Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей №3 имени К. А. Москаленко»

математика

ОРНАМЕНТАЛЬНОЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ

ИСКУССТВО МОРИСА ЭШЕРА

Макуси Елизавета Михайловна

6 класс

Чигрина Елена Витальевна

учитель математики

Липецк 2015

2

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………….............

Гипотеза, цели, задачи исследования…………………………………...………………………

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Художник и геометр М. Эшер…………………………………………………………………..

Исследование работ Эшера……………………………………………………………………...

Мозаика и паркеты в работах Эшера……………..……………………….................................

Паркеты из правильных многоугольников…………………………………………………….

Неправильные паркеты………………………………………………………………………….

Паркеты в работах Эшера………………………………………………….................................

Составляем свой паркет…………………………………………………………........................

Паркет «Клоуны»………………………………………………………………………………...

Мой «Листопад»…………………………………………………………………………………

Вывод………………………………………………………………..………...............................

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………….…………................................

Библиографический список……………………………………………..……………………....

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Паркет «Клоуны»…………………………………………………..………….

Приложение 2. Паркет «Листопад» …………………………………………….….………….

Приложение 3. Подарочная кружка…………………………………………………………….

Приложение 4. Нарядный комплект………………………………………...………………….

3

3

4

4

6

7

10

10

12

13

14

16

16

17

18

19

20

21

3

«Искусство орнамента содержит в неявном виде

наиболее древнюю часть известной нам высшей математики»

ГЕРМАН ВЕЙЛЬ

«Я мог бы посвятить всю вторую жизнь работе над моими творениями»

М. ЭШЕР

ВВЕДЕНИЕ

На уроках наглядной геометрии нам встретились работы Эшера, и ими заинтересовался

весь класс. Его работы были необычными, и всем хотелось понять, как он сумел это сделать. А

летом, когда мы были с родителями в Испании и посещали замок Альгамбры, я увидела одну из

первых мозаик Мориса Эшера и вспомнила уроки математики.

Я решила узнать больше об искусстве, технике построения паркетов Мориса Эшера.

Обзор литературы по данной тематике показал, что вопросы, касающиеся геометрических

паркетов, освещены достаточно полно у Колмогорова А.Н. [2], Михайлова О.А. [3], Смирновой

И.М., Смирнова В.А. [1]. Орнаменты и паркеты Эшера рассматриваются у Шарыгина И.Ф.,

Ерганжиевой Л.Н. [4]. В литературе, посвящённой творчеству М. Эшера и Интернет-ресурсах [6]

даны его работы и совсем нет информации о том, как он составлял свои паркеты-перевоплощения.

Я решила провести своё исследование на эту тему, выдвинув следующую гипотезу.

Гипотеза: если я познакомлюсь с орнаментальным и геометрическим искусством М. Эшера, а

затем изучу принципы построения мозаик художника, то я смогу сделать паркет похожий на его.

Исходя из этого, я обозначила для себя цели и задачи проектной работы.

Цель: изучить работы Эшера и научиться составлять паркеты похожие на работы художника.

Задачи работы:

1) Познакомиться с биографией Мориса Эшера.

2) Изучить работы М.Эшера, связанные с паркетами и мозаиками.

3) Предположить, как сделаны эти работы.

4) Понять схемы работ Эшера.

5) Составить схему и придумать свой паркет.

4

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Художник и геометр Морис Эшер

Ма́уриц (Морис) Корне́лиус Э́шер (17.06.1898 – 27.03.1972) – нидерландский художник-

график. Известен, прежде всего, своими концептуальными литографиями, гравюрами на дереве и

металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и

симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов,

самый яркий представитель имп-арта.

Морис Корнелиус Эшер родился 17 июня 1898 года в провинции Голландии. В доме,

котором родился Эшер, сейчас находится музей.

С 1907 года Морис учился плотницкому делу и игре на пианино, обучался в средней школе.

Оценки по всем предметам у Мориса были плохими за исключением рисования. Учитель

рисования заметил талант у мальчика и научил его делать гравюры по дереву.

В его гравюрах и литографиях математики видели ключи к доказательству теорем или

оригинальные контрпримеры, бросающие вызов здравому смыслу. На худой конец их

воспринимали как прекрасные иллюстрации к научным трактатам по кристаллографии, теории

групп, когнитивной психологии или компьютерной графике.

Эшер был известен, прежде всего, своими концептуальными литографиями, гравюрами на

дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий

бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных

трёхмерных объектов.

Морис Корнелиус Эшер сказал: "Иногда, когда я рисую, мне кажется, будто я медиум,

находящийся во власти существ, порождённых моим же воображением. Рыбы становятся птицами.

День ночью. Из хаоса рождается жизнь, она замирает в

мёртвых городах, трансформируется в шахматную партию и

рассыпается в пыль. Мозаика оживает и превращается в

ящериц, они движутся, живут и вновь уходят в орнамент".

Исследование работ Эшера

В 1916 году Эшер выполнил свою первую

графическую работу, гравюру на фиолетовом линолеуме -

портрет своего отца Г. А. Эшера. В то время он посещал

мастерскую художника Герта Стигемана, имевшего

печатный станок для того чтобы изготавливать свои

гравюры. На этом самом станке были отпечатаны первые

Рис. 1

5

гравюры Эшера (рис.1)

Эшер много путешествовал. Жил в Италии и Швейцарии, Бельгии. Изучил мавританские

мозаики, делал литографии, гравюры.

На основе эскизов путешествий он создал свою первую картину невозможной реальности

Still Life with Street.

В конце тридцатых годов Эшер

продолжал эксперименты с мозаиками и

трансформациями. В то время он создал

мозаику в виде двух птиц, летящих навстречу

друг другу, которая легла в основу картины

"День и ночь" (рис.2).

Эшером был составлен паркет «Небо и

вода», в котором из белых рыб получаются

птицы (рис.3).

В 1946 году Эшер начал интересоваться технологией глубокой печати. И хотя эта

технология была намного сложнее той, которой пользовался Эшер до этого, и требовала больше

времени для создания картины, но результаты были впечатляющими - тонкие линии и точная

передача теней. Одна из самых известных работ в технике глубокой печати "Капля росы" была

закончена в 1948 году (рис.4).

В середине 50-х годов Эшер объединил мозаику с фигурами, уходящими в бесконечность.

Так же он любил делать гравюры по дереву, например, такие как: «Меньше и меньше»

(рис.6), «Натюрморт с улицей» (рис.5).

Рис. 3

Рис. 2

Рис. 4

6

Мозаика и паркеты в работах Эшера

Мозаичные изображения известны с античных времён. Первоначально это были несложные

узоры из камешков, затем художники стали создавать целые мозаичные картины и панно со

сложным сюжетом и богатой красочной палитрой.

Регулярное разбиение плоскости, называемое мозаикой или паркетом – это набор

замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и просветов

между ними.

Эшер интересовался всеми видами мозаик -

регулярными и нерегулярными (нерегулярные мозаики

образуют одинаковые фигуры, но нельзя выделить

регулярно повторяющийся блок) - а также ввёл собственный

вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры

изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда

изменяют и саму плоскость.

Рис. 5 Рис. 6

Рис. 7

7

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он

провёл много времени в замке Альгамбре (рис. 7), зарисовывая арабские мозаики (рис. 8, 9), и

впоследствии сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения".

Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: «В математических работах

регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный

вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но

сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем

сад, лежащий за ней».

Паркеты из правильных многоугольников

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три

правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. А именно, вокруг одной

точки плоскости можно плотно уложить 3 правильных шестиугольника, 4 квадрата, 6 правильных

треугольников. В каждом из этих замощений любые два многоугольника имеют либо общую

сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек. Замощение плоскости

многоугольниками, удовлетворяющее этим требованиям, называют паркетами.

Убедимся в том, что никакой другой правильный многоугольник, кроме перечисленных

выше, паркета не образует.

Как известно из геометрии, сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна:

где n – число вершин (углов) многоугольника.

Рис.1

6

Рис.

15

(n – 2) · 180º

Рис. 8 Рис. 9

8

Тогда величина каждого угла правильного многоугольника равна:

Кол-во

углов n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Величина

угла 60 90 108 120 128,57 135 140 144 147,27 150

А теперь составим таблицу, где α – величина угла правильного многоугольника, а k – число

углов, сходящихся в одной точке (вершине) паркета.

Сумма углов правильных n-угольников, сходящихся в одной точке (вершине) паркета,

равна 360º, значит k = 360 : α

α 60 90 108 120 128,57 135 140 144 147,27 150

k 6 4 3,3 3 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,4

То есть у правильного треугольника α = 60º, то k = 360 : 60º, т.е. k = 6, значит, в одной

вершине паркета могут сходиться 6 правильных треугольников.

А у правильного пятиугольника α = 108º, значит k = 3,3, следовательно, не существует

паркета из правильных пятиугольников, и так далее.

Паркеты из правильных многоугольников сами правильные в том смысле, что они

«одинаково устроены» относительно всех своих вершин.

А теперь узнаем, какие ещё есть способы составления паркетов из правильных

многоугольников, допуская многоугольники с различным числом сторон.

На иллюстрациях 10 – 17 показаны некоторые виды таких паркетов.

Всего имеется 11 типов правильных паркетов.

9

Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности, в мозаиках

иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный

пятиугольник.

Рис.10

Рис.11

Рис.12

Рис.13

Рис.14

Рис.15

Рис.16

Рис.17

10

Неправильные паркеты

Теперь рассмотрим заполнение плоскости неправильными одинаковыми многоугольниками

и проверим утверждение о том, что для любого четырёхугольника существует паркет, состоящий из

четырёхугольников, равных исходному. Иначе говоря, четырёхугольником произвольной формы

можно заполнить всю плоскость без пробелов и наложений.

Возьмём произвольный четырёхугольник ABCD (рис. 18) и рассмотрим симметричный

ему относительно середины стороны АВ четырёхугольник. Исходный четырёхугольник ABCD

обозначим цифрой 1, а симметричный — цифрой 2. Теперь четырёхугольник 2 отразим

симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырёхугольник

обозначим цифрой 3 и отразим его симметрично относительно середины его стороны CD.

Полученный четырёхугольник обозначим цифрой 4. Четырёхугольники 1, 2, 3 и 4

примыкают к общей вершине углами А, В, С и D. А так как сумма углов четырёхугольника

равна 360°, то эти четырёхугольники заполнят часть плоскости вокруг общей вершины. Такое

же построение можно провести вокруг каждой новой вершины, что и даст искомое заполнение

плоскости.

Паркет может быть составлен из неправильных многоугольников, а также из

произвольных фигур, как в орнаментах Эшера.

Паркеты в работах Эшера

Эшер использовал базовые образцы паркетов, применяя к ним трансформации, которые в

геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры,

превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искажённые образцы мозаик имели в своей

Рис.18

11

основе правильные треугольники, квадраты или шестиугольники, таким образом сохраняя

свойство заполнения плоскости без перекрытий и просветов между ними (рис. 19).

Регулярное разбиение

плоскости птицами

Рептилии

Цикл

Эволюция 1

Рис. 19

В гравюре "Рептилии" маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного

пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику

рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В "Эволюции 1" можно проследить

развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц. Центральная

идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого

сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет

обработать ни один компьютер. Литографии "Рисующие руки" и "Рыбы и чешуйки" используют

эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки

рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения

неразделимы. В работе "Рыбы и чешуйки" концепция самовоспроизведения представлена более

функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием. В этом смысле данная

работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека. Конечно, мы не

состоим из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе

информацию обо всём теле в виде ДНК. Использование Эшером различных математических фигур

и законов не ограничивается лишь вышеприведёнными примерами.

12

Составляем свой паркет

Кажется, что придумать паркет похожий на работу

Эшера очень сложно. Конечно, полностью повторить

талантливого художника не удастся. Но некоторые

геометрические знания и умения помогут нам понять

принципы построения паркетов Эшера. Овладев ими,

каждый школьник сможет нарисовать свой неповторимый

паркет.

На паркете Мориса Эшера нас будут интересовать

лишь линии, их изгибы и повторы и то как геометрическая

фигура трансформируется в объекты живой и неживой

природы. Посмотрите, как квадраты преобразуются в собак

(Рис. 20).

Значит для создания паркета нам нужно следовать пунктам:

1. Возьмите за основу любую геометрическую фигуру. Например, возьмём квадрат (рис.21) или за

элементарную ячейку можно взять и правильный треугольник. Если мы возьмем треугольник, то в

этом случае плоскость мы будем заполнять без промежутков путём поворота треугольников

вокруг их вершин на 600 (рис.22).

2. Изменим одну сторону квадрата. Тогда, чтобы ячейки «вдвинулись» одна в другую, так же надо

изменить и противоположную сторону (рис. 23).

Рис. 20

Рис. 22

Рис.23

Рис. 21

13

3. Можно изменить и левую сторону квадрата (рис. 24), но такие же изменения мы проделаем с

правой стороной.

Рис. 24

4. У нас получилась ячейка. Продолжим рисовать такие же ячейки, и мы получим паркет.

Паркет «Клоуны»

Для начала я решила изобразить простой паркет «Клоуны».

1) Для этого мы берём за основу прямоугольник (рис. 25 (1)).

2) Вырежем снизу квадрат и установим его на противоположную сторону прямоугольника

сверху (в дальнейшем, это будет основой для головы клоуна) и точно так же изменим нижнюю

сторону квадрата (рис. 25 (2)).

Рис. 25

3) Снизу на сторонах квадрата строим три треугольника, вырезаем их, передвигаем и

приклеиваем к сторонам верхнего квадрата (рис. 25 (3, 4)). Это будут колпак и волосы клоуна.

14

4) Вырежем четырёхугольник на правой стороне прямоугольника, передвинем и приклеим

его к левой стороне (это будут руки клоуна) (рис. 25 (5, 6)).

5) Срежем у прямоугольника два верхних угла в виде прямоугольных треугольников и

сдвинем их вниз. (рис. 25 (7)). Так мы оформим плечи и ботинки клоуна (рис. 25 (8)).

6) Прорисовываем детали (рис. 26).

7) Собираем паркет (рис. 27).

Рис. 26

Рис. 27

8) Делаем фигуры разноцветными. (Приложение 1).

После того как я окончательно разобралась с принципами построения паркетов, мне

захотелось повторить свой удачный опыт и немного усложнить задачу.

Мой «Листопад».

За основу я взяла квадрат. Составила паркет из квадратов и в каждом нарисовала по два

треугольника, постоянно меняя их расположение:

1) в левом ряду: сначала в нижнем левом углу, потом в нижнем правом, затем снова в нижнем

левом;

2) в следующем ряду сначала в верхнем левом углу, потом в верхнем правом, затем снова в

верхнем левом и т.д.

Получилось изображение, напоминающее стрелки (рис. 28).

15

Рис. 28 Рис. 29

Снаружи необходимо ещё добавить треугольники, которые там появятся, если мы

продолжим составлять паркет по описанному принципу. После этого сотрём линии приклеивания

(рис. 30).

Рис. 30

Если включить воображение, то можно разглядеть кленовые листья, которые закружились в

листопаде. Я так и назвала этот паркет «Листопад» (Приложение 2).

16

Вывод

Я познакомилась с орнаментальным и геометрическим искусством М. Эшера, изучила

принципы построения мозаик художника, узнала много нового о паркетах. В результате

проделанной работы я составила схемы своих паркетов, а также поняла, что, если за основу взять

обычную геометрическую фигуру и выполнить некоторые преобразования, можно получить

художественную мозаику.

Используя эти знания, я составила красочные паркеты: «Клоуны» и «Листопад» и, переведя

их на кружку, футболку и кепку, сделала отличные подарки для друзей (Приложения 3, 4).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Практическую значимость моей работы вижу в том, что:

1. Знания, которые я получила, во время работы над проектом, могут использовать школьники и

пробовать рисовать свои необычные паркеты.

2. Эти паркеты можно превратить в замечательные подарки.

3. Я узнала много нового о художнике Морисе Эшере, о секретах геометрии и уверена, что эти

знания пригодятся мне в будущем.

4. Моя работа может быть использована учителями на уроках или факультативных занятиях по

геометрии.

17

Библиографический список

1. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений./ Смирнова И.М., Смирнов

В.А..- М.: Просвещение, 2011.- с.175-179.

2. Колмогоров А. Н.. Паркеты из правильных многоугольников./ Квант.- 1970-№3-с.24-27.

3. Михайлов О.А. Одиннадцать правильных паркетов./ Квант.-1979-№2- с.9-14.

4. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия 5-6 класс / Издательский дом

«Дрофа» 1998 г. – с.142-147.

5. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. Аксенова М.Д..-М.: Аванта+,

2002.- с.298-300.

6. Интернет ресурсы:

1) www.wikipedia.org

2) http://mcesher.ru/symmetry.html

3) http://mcesher.ru/early-works.html

4) http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html

18

Приложение 1

Паркет «Клоуны»

19

Приложение 2

Паркет «Листопад»

20

Приложение 3

Подарочная кружка

21

Приложение 4

Нарядный комплект