f b g b k l ? j k l < ; j : a h < : m d n n ? > ? j : e v...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА-КАИ»

Чистопольский филиал «Восток»

Кафедра Компьютерных и телекоммуникационных систем

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

по дисциплине

«Теория автоматов»

Индекс по учебному плану: Б1.В.ДВ.01.02

Направление подготовки: 09.03.01 Информатика и вычислительная техника

Квалификация: Бакалавр

Профиль подготовки: Автоматизированные системы обработки информации и

управления

Вид профессиональной деятельности: проектно-конструкторская, проектно-

технологическая

Чистополь

2019 г.

Лабораторная работа №1

СИНТЕЗ КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ НА

УНИВЕРСАЛЬНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ

Цель работы. Изучение методов логического синтеза комби -

национных схем на элементах И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Комбинационные схемы

В ЦВМ информация кодируется в двоичном коде и пре д-

ставляется в виде множества двоичных сигналов. Каждому из по-

следних соответствует двоичная переменная, принимающая лишь

два значения : 0 и I . Отсюда следует, что любую схему в ЦВМ

можно представить как функциональный преобразователь, в кот о-

ром появление на входах какой -либо комбинации из нулей и

единиц вызывает появление на выходах определенной комбинации

из нулей и единиц. При этом выделяются два основных класса

схем - комбинационные схемы (КС) и конечные автоматы (КА).

В КС значения выходных сигналов в момент времени t од-

нозначно определяются значениями входных сигналов в тот же

момент времени. Выходные сигналы в конечном автомате зависят

также и от состояния автомата, которое, в свою очередь, зави сит

от входных сигналов, поступивших в предыдущие моменты вр е-

мени.

Технические вопросы синтеза КС решаются с помощью ап-

парата алгебры логики, в котором основным понятием является

понятие переключательной (или булевой) функции. Переключ а-

тельной функцией (ПФ) называется функция, способная прин и-

мать лишь два значения, и такая, что все ее ар гументы также мо-

гут принимать только два значения. Если значения ПФ отожд е-

ствить с выходными сигналами схемы, а значения ее аргументов с

входными сигналами, то функция будет описывать процесс пр е-

образования электронной схемой входных сигналов в вых одные.

На этом основано приложение алгебры л огики к синтезу КС.

x1

xn

x2

КС

у1

у2

уm

Рис.1.1

Общий вид КС представлен на рис.1.1. Можно сказать, что

эта схема реализует т переключательных функций от п аргумен-

тов (y i=f i(x1 , x2 , …, xn) , i=1-m).

Любая сколь угодно сложная КС строится из более простых

схем с одним выходом, реализующих элементарные ПФ. Эти сх е-

мы, называемые логическими элементами, должны реализовывать

базис, т.е. систему ПФ, из которых с помощью операций алгебры

логики может быть образована ПФ любой сложности[ l].В цифро-

вой технике наиболее широко используется булевый базис,

включающий переключательные функции или операции: отрица-

ния (операция НЕ), дизъюнкции (операция ИЛИ), конъюнкции

(операция И), и универсальный базис, вкл ючающий либо опе-

рацию отрицания дизъюнкции (операция ИЛИ -НЕ), либо опера-

цию отрицания конъюнкции (операция И -НЕ).

Операция отрицания реализует ся элементом НЕ (или инвер-

тором), значение сигнала на выходе кото рого равно обратному

значению входного сигнала ( xy ) . Таблица истинности и усло в-

ное обозначение элемента представлены на рис. 1.2.

Рис.1.2

Операция дизъюнкции над значениями входных сигналов ( y = x1 v

x 2 v …v xn , n2) выполняется элементом ИЛИ. Сигнал на выходе

элемента ИЛИ принимает значе ние 0 только в том случае, если ни

один из входных сигналов не имеет в д анный момент времени

значения 1 . Таблица истинности и условное обо значение элемента

ИЛИ ( п. = 2) приведены на рис.1.3

Операция конъюнкции (y = x1x2 … xn , n2) выполняется

элементом И, сигнал на выходе которого равен 1, если все вход -

ные сигналы одновременно равны 1 . На рис.1.4 приведены табли-

ца истинности и условное обозначение элемента И ( п = 2).

Рис.1.3

Рис.1.4

Операцию отрицания дизъюнкции 2),,...,,(... 21321 nxxxvxvvxvxxy nn

реализует элемент ИЛИ -НЕ, представляющий собой элемент ИЛИ

с инверсным выходом. Опер ацию отрицания конъюнкции

( 2),,...,,/(... 2121 nxxxxxxy nn ) реализует элемент И-НЕ, являющийся

элементом И с инверсным выходом. Таблицы истинности и усло в-

ные обозначения элементов ИЛИ -НЕ и И-НЕ приведены на

рис.1.5 и 1.6 соответственно.

&

x2

x1

X1 X2 Y

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 0 1

Рис.1.5

1x1

x2

X1 X2 Y

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 0

Рис.1.6

По теореме де Моргана nn xvvxvxxxx ...... 2121 и nn xxxvxvvxx ...... 2121 .

Отсюда следует, что элемент И -НЕ выполняет операцию ИЛИ над

инверсными значениями входных сигналов (рис.6, в) , а элемент

ИЛИ-НЕ операцию И над инверсными значениями входных сиг-

налов (рис.1.5, в) .

Введем далее важное понятие полярности логики, являющееся

связующим звеном между реальным элементом и его логической

функцией. Под полярностью логики понимается уровень сигн ала

(положительный или отрицательный, высокий или низкий), кото -

рый соответствует логической единице. Уровни электрич еского

потенциала, представляющие 1 и 0, не относятся к существенным

характеристикам элементов, а выбираются перед началом лог и-

ческого синтеза. Так, например, элементы диодно –транзисторной

(ДТЛ) и транзисторно -транзисторной логики (ТТЛ) вы полняют

операцию И -НЕ только в том случае, если в качестве уровня ед и-

ницы принят более высокий потенциал (положительная логика).

Если же выбрать в качестве сигнала единицы низкий потенциал

(отрицательная логика), то те же элементы будут реализовывать

операцию ИЛИ -НЕ. Пусть, например, имеется элемент, выпо лня-

ющий в положительной логике операцию И -НЕ nxxxy ...21 . При из-

менении полярности логики (в качестве сигнала 1 выбирается бо-

лее низкий уровень потенциала) на входы элемента будут п осту-

пать инверсные (обратные) значения ( )...21 nxxx переменных х1 , х2 ,

х n , а с выхода будет снижаться обратное значение y функции у .

Так как функция элемента, определяемая его структурой, сохр а-

няется, то справедлива следующая подстановка в выражение

.,...,,:... 2121 nn xxxyxxxy Преобразуя последнее выражение в следу-

ющем порядке: nn vxvvxxxxxy ...... 2121 , убеждаемся, что элемент реа-

лизует операцию ИЛИ-НЕ в отношении переменных х1 , х2 , …, хn .

Характеристика комбинационных схем . На рис.1.7 пред-

ставлена КС, реализующая на элементах булевого базиса систему

двух ПФ: 1321232211 )(; yvxvxxyxxvxxy . Как видно, в КС значения вход-

ных сигналов определяются путем последовательного преобр а-

зования входных сигналов в промежуточные и промежуточных - в

выходные, т.е. путем многоуровневого преобразова ния.

Рис.1.7

При определении уровней КС используется правило: ка ж-

дый элемент i -го уровня (i > I) должен иметь хотя бы один вход,

подключенный к выходу элемента ( i - 1)-го уровня. Нулевой уро-

вень составляют входы КС, первый уровень - элементы, на все

входы которых поступают сигналы непосредственно с входных

проводов КС. Обратная связь, т.е. подключение выхода элемен та

какого-либо уровня ко входу элемента того же или младшего

уровня, не допускается. Таким образом, число уровней r в КС

равно максимальному числу элементов, проходя ч ерез которые

сигнал от входа КС достигает ее выхода. Если на любом элемен те

сигнал задерживается на время 0 , то значение D =r0 будет опре-

делять быстродействие КС.

Сложность КС характеризуется суммарным числом S вхо-

дов элементов, составляющих схему. В схеме рис. 1.7 r = 5, S=

13.Важными характеристиками системы элементов, использу емых

при построении КС, являются коэффициент объединения J и ко-

эффициент разветвления F .Коэффициент объединения J задает

максимальное число входов элемента, т.е. максимальное число

элементов, выходы которых могут быть объединены ч ерез входы

данного. Одной из мер, позволяющих удовлетворить требуемое

значение J в синтезируемой КС, является разделение входов с п о-

мощью дополнительных элементов. Процесс разделения входов

при J= 2 поясняется схемами на рис.1.8, а (для случая реализации

в булевом базисе функции у1=х1х2х3х4) и 1.8, б (для случая реа-

лизации в базисе И-НЕ функции 43212 xxxxy ) . В первом случае ис-

пользуется преобразование: у 1=х 1х2х 3х4=(х1х2)(х3х4) , и вместо

элемента И с четырьмя входами в КС вводятся 3 элемента И с

двумя входами. Во втором случае вместо одного элемента И -НЕ

Рис.8

с четырьмя входами применены 5 элем ентов И-НЕ с двумя входа-

ми. Здесь

))(())((4343212143214321432143212 xxxxxxxxxxxxxxvxxxxvxxxxxxy .

Коэффициент разветвления задает максимальное число вхо -

дов элементов, которые можно соединить с выходом данного эле -

мента, не вызывая искажений сигналов 0 и 1 , превышающих за -

данные пределы. Если в КС оказался перегру женным какой -либо

элемент, то принимаются меры к его разгрузке.

Рис.1.9

Разгрузка может выполняться дублированием выходного

сигнала или дублированием элемента. Пусть F=4, и к выходу не-

которого элемента А необходимо подключить 7 входов других

элементов. Дублирование сигнала осуществляется по схеме

рис.1.9,а . с помощью двух инверторов I и II . Недостатком спо-

соба является увеличение задержки сигналов в схеме. От этого

недостатка свободен способ разгрузки дублированием элемента

(рис.1.9.б).

Синтез КС на элементах универсального базиса сводится к

выполнению следующих этапов: представление реализуемых

ПФ в булевом базисе; минимизации ПФ; перевод минимальных

выражений в базис И -НЕ либо ИЛИ -НЕ; построение КС с учетом

требуемых значений J, F, D .

Синтез КС на элементах универсального базиса сводится к

выполнению следующих этапов: представление реализуемых

ПФ в булевом базисе; минимизации ПФ; перевод минимальных

выражений в базис И -НЕ либо ИЛИ -НЕ; построение КС с учетом

требуемых значений J, F, D .

Задания на лабораторную работу № 1

1. F (A, B, C, D) = (1, 3, 6, 7, 9, 12, 13) = 1, (0, 4, 8, 14) = 0

На остальных наборах переключательная функция не определена

2. F (A, B, C, D) = (0, 2, 4, 5, 8, 10, 15) = 1, (1, 7, 9, 14) = 0


3. F (A, B, C, D) = (1, 2, 5, 7, 14, 15) = 1, (0, 4, 8, 13) = 0


4. F (A, B, C, D) = (3, 4, 6, 7, 11, 12) = 1, (1, 5, 8, 14) = 0


5. F (A, B, C, D) = (0, 3, 6, 8, 10, 14) = 1, (1, 4, 11, 13) = 0


6. F (A, B, C, D) = (0, 1, 7, 9, 11, 15) = 1, (3, 5, 10, 14) = 0


7. F (A, B, C, D) = (2, 3, 6, 13, 14, 15) = 1, (1, 7, 9, 12) = 0


8. F (A, B, C, D) = (5, 6, 8, 9, 11, 14) = 1, (2, 7, 10, 13) = 0


9. F (A, B, C, D) = (4, 5, 7, 10, 12, 13) = 1, (1, 6, 11, 14) = 0


10. F (A, B, C, D) = (0, 5, 8, 11, 13, 14) = 1, (2, 7, 10, 15) = 0


11. F (A, B, C, D) = (1, 3, 4, 10, 11, 15) = 1, (5, 8, 12, 13) = 0


12. F (A, B, C, D) = (0, 4, 6, 12, 13, 15) = 1, (1, 3, 7, 14) = 0


13. F (A, B, C, D) = (1, 2, 6, 8, 10, 11, 14) = 1, (0, 3, 9, 13) = 0


14. F (A, B, C, D) = (2, 4, 5, 7, 12, 13, 15) = 1, (1, 6, 8, 14) = 0


15. F (A, B, C, D) = (1, 5, 6, 8, 10, 11, 14) = 1, (0, 4, 9, 12) = 0


16. F (A, B, C, D) = (2, 5, 7, 8, 11, 13, 15) = 1, (0, 6, 10, 14) = 0


17. F (A, B, C, D) = (1, 4, 8, 10, 11, 14, 15) = 1, (2, 7, 9, 13) = 0


18. F (A, B, C, D) = (1, 3, 6, 7, 9, 12, 13) = 1, (0, 4, 8, 14) = 0


19. F (A, B, C, D) = (0, 1, 3, 7, 12, 14, 15) = 1, (2, 5, 11, 13) = 0


20. F (A, B, C, D) = (2, 3, 6, 8, 9, 11, 15) = 1, (1, 4, 10, 14) = 0


21. F (A, B, C, D) = (2, 4, 7, 8, 11, 14) = 1, (0, 5, 13) = 0


22. F (A, B, C, D) = (1, 5, 6, 7, 10, 13, 15) = 1, (2, 4, 8, 14) = 0


23. F (A, B, C, D) = (0, 6, 7, 10, 11, 15) = 1, (1, 8, 9, 14) = 0


24. F (A, B, C, D) = (2, 3, 7, 10, 12, 14) = 1, (0, 8, 13) = 0


25. F (A, B, C, D) = (1, 6, 7, 9, 10, 14) = 1, (0, 5, 12) = 0


26. F (A, B, C, D) = (1, 2, 8, 10, 11, 12) = 1, (3, 4, 9, 14) = 0


27. F (A, B, C, D) = (0, 5, 7, 13, 14, 15) = 1, (1, 4, 8, 12) = 0


28. F (A, B, C, D) = (3, 5, 6, 10, 11, 12, 15) = 1, (0, 2, 7, 14) = 0


29. F (A, B, C, D) = (1, 6, 7, 9, 13, 14) = 1, (0, 5, 12, 15) = 0


30. F (A, B, C, D) = (2, 4, 11, 13, 14, 15) = 1, (0, 5, 10, 12) = 0



Вариант F=V(.. . . . . . . . . . . . . . . . . . ) Не определены

1 . 0 ,2,4,8,10,12,14 1,9,13

2. 0,3,4,8,10,13 2,6,14,15

3. 0,2,5,8,11,12,14 1,4,7

4. 0 ,2,4,9,10,12 3,7,13,15

5. 0,2,3,5,7,8,11 4,6,14

6. 0,3,5,7,12,15 6,9,10,13

7. 0,4,8,9,11,13,15 2,3,10

8. 0,4,6,8,10,13 2,7,11,14

9. 0,3,5,8,10,12,13 2,6,11

10. 0,4,5,7,9,13 3,6,8,11

11. 0,1,3,5,8,11,15 7,9,12

12. 0,1,4,7,10,12 2,3,8,13

13. 0,1,5,6,10,12,14 3,7,9

14. 0,1,5,7,9,13 4,6,14,15

15. 0,2,5,9,10,12,15 3,8,13

16. 1,6,9,11,13,15 2,4,12,14

17. 1,2,6,9,11,14,15 3,10,12

18. 1,3,7,9,10,14 2,5,11,15

19. 1,3,5,8,10,12,14 4,9,13

20. 1,3,6,11,13,15 2,6,9,14

21. 1,4,6,8,10,12,13 3,7,11

22. 1,5,6,7,9,15 2,3,8,10

23. 1,6,7,8,10,11,15 3,8,14

24. 1,2,4,5,7,13 6,8,10,15

25. 1,3,8,9,11,14,15 4,6,10

26. 1,7,9,12,14,15 2,3,5,10

27. 1,5,7,10,11,13,14 0,3,8

28. 1,2,7,9,10,12 0,5,6 ,13

29. 1,2,7,8,10,12,14 3,11,15

30. 1,3,5,9,13,15 0,6,10,12

31. 2,3,5,8,11,13,14 1,4,10

32. 2,6,8,9,11,13 7,10,12,15

33. 2,5,7,8,10,12,15 0,6,11

34. 2,4,8,9,12,13 1,5,10,14

35. 2,3,7,9,11,14,15 4,5,10

36. 2,5,6,9,10,12 1,7,8,15

37. 2,4,6,8,13,14,15 0,9,10

38. 2,5,9,11,13,15 1,6,7,10

39. 2,3,4,6,8,10,12 0,5,9

40. 2,3,6,9,12,13 1,4,8,14

41. 2,3,7,9,11,13,15 0,8,10

42. 2,4,7,9,11,14 5,8,10,15

43. 2,5,8,9,11,13,15 1,6,7

44. 2,4,8,10,13,15 0,5,9,14

45. 3,5,8,10,11,13,15 1,6,12

46. 2,6,7,10,12,14 0,8,11,15

47. 3,4,6,7,9,12,14 5,8,10

48. 3,5,7,8,13,15 4,6,9,11

49. 3,4,6,9,10,13,14 1,5,8

50. 3,6,8,9,11,13 0,7,10,15

51. 3,6,7,10,12,13,15 4,5,9

52. 3,7,8,10,12,15 1,4,9,13

53. 3,4,5,7,9,11,13 6,10,14

54. 3,7,9,11,12,15 0,5,10,13

55. 3,5,6,9,10,12,14 1,7,11

56. 4,5,7,9,11,12 1,3,8,14

57. 4,6,7,9,12,14,15 0,2,5

58. 4,8,10,12,13,15 1,3,7,11

59. 4,6,8,10,11,13,14 1,3,9

60. 4,8,9,11,13,14 0,3,10,15

*Приведены два варианта заданий для удобства преп о-

давателя.

Порядок выполнения работы

1. Произвести кодирование состояний, входных и выхо д-

ных сигналов абстрактного автомата, заданного графическим

или табличным способом.

2. Составить кодированную таблицу переходов, таблицу

кодированных выходов и таблицу функций возбуждения три г-

геров заданного типа.

3. Получить минимальные выражения для функций кодир о-

ванных выходов и функций возбуждения триггеров в булевом б а-

зисе.

4. Полученные выражения перевести в заданный униве р-

сальный базис.

5. Построить на эмуляторе синхронизированную схему а в-

томата в заданном базисе.

7. Проверить работу автомата в соответствии с таб лицами

переходов и выходов.

Примеры выполнения заданий на лабораторную раб оту

Синтез КС с одним выходом.

Представление реализуемой ПФ в рулевом базисе. По таб-

лице истинности ПФ может быть по лучена совершенная дизъюнк-

тивная нормальная форма (СДНФ) записи функции [1]. Для п о-

лучения СДНФ нужно выписать произведения, соответству ющие

наборам значений аргументов, при которых функция обр ащается в

1 . При этом, если в данном наборе аргумент х i = 1 , то он вписы-

вается в соответствующее произведение без изменения; если

же Х1 = 0 , то в произведение вписывается его отрицание ix . Все

полученные произведения соединяются между собой знаками

дизъюнкций. Для ПФ, заданной таблицей, можно записать СДНФ:

321321321 xxvxxxvxxxxy

х 1 х 2 х 3 х 4

0 0 0 0

Каждое из полученных произведений равно 1 только при

определенном наборе значений всех аргументов функции и но -

сит название минтерма .

Преобразуем полученную СДНФ следующи м образом:

213213321321 )( xvxxxxvxxxvxxxxy .

Такая дизъюнкция произведений, члены которой могут и не

быть минтермами, называется дизъюнктивной нормальной формой

(ДНФ). ДРФ, содержащая минимальное число букв, называется

минимальной ДНФ (МДНФ).

ПФ может быть определена также и нулевыми ее значения-

ми. Так, рассматриваемая функция (см. таблицу) равна 0 , если

равно 1 любое из произведений:

321321321321321 ,,,, xxxxxxxxxxxxxxx, т .е. .

Или, в соответствии с правилом де Моргана,

))()()()(( 321321321321321 xvxvxvxxvxvxxvxxvvxxvxvxxy

Каждая дизъюнкция полученного произведения равна 0

только при определенном наборе значений всех аргументов функ-

ции и носит название макстерма . Форма представления ПФ в ви-

де произведения макстермов есть совершенная конъюнктивная

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

нормальная форма (СКНФ). Путем склеивания членов полученной

СКНФ [ l], можно получить выражение: ))()(( 213221 xvxvxxvxxy .

Такое произведение дизъюнкций, члены которого могут и не

быть макстермами, есть конъюнктивная нормальная форма (КНФ).

КНФ, содержащая минимальное число букв, называется мин и-

мальной КНФ (МКНФ).

Минимизация ПФ. Существуют различные методы, позволяющие

получать МДНФ и МКНФ функций [ l - 3]. Для функций с неболь -

шим числом переменных (до 5 -6) наиболее удобным методом ми -

нимизации является метод диаграмм Вейча, основанный на ис -

пользовании операции склеивания: xyyvxyxyvx )( . Диаграмма

Вейча является графическим представлением совокупности всех

минтермов для данного числа переменных. Каждый минтерм

изображается на диаграмме в виде клетки. Диаграмма образует ся

путем такого расположения клеток, при котором минтермы, нахо-

дящиеся в соседних клетках, отличаются значением одной пере-

менной.

Диаграммы Вейча для функций двух, трех и четырех пер е-

менных представлены на рис.1.11. В каждой из диаграмм наборы

значений переменных, указанных по обе стороны диаг ональной

черты в левом верхнем углу диаграммы, представлены о вне ш-

ней стороны соответствующего столбца или строки, вдоль кото-

рых эти переменные остаются постоянными. Ми нтермы функции

отмечаются единицами в соответствующих клетках диаграммы.

Минтермы, не входящие в функцию, отмечаются в клетках нул я-

ми (либо клетки оставляются пустыми).

Рис.11

На основании операции склеивания два минтерма, наход я-

щиеся в соседних клетках, можно заменить одним произвед ением,

содержащим на одну переменную меньше. Если соседними явл я-

ются две пары минтермов, то такая группа из четырех минтермов

заменяется произведением, уменьшенным на две п еременные. В

общем случае наличие единиц в 2 п соседних клетках позволяет ис -

ключить п переменных.

Следует заметить, что в диаграммах соседними считаю т-

ся также крайние клетки каждого столбца или строки, так как

расположенные в них минтермы отличаются значением одной

переменной.

Минимизация ПФ с помощью диаграммы сводится к так о-

му объединению всех соседних единиц в группы, при котором

каждая группа содержит максимальное число единиц, а колич е-

ство групп минимально. Практическ и минимизацию выполняют

следующим образом. Каждую группу единиц накрывают овалом

(рис.1.12). Каждому овалу ставят в соответствие произведение,

в котором отсутствуют переменные, изменяющие в данном ов а-

ле свои значения. Переменная или ее отрицание остае тся в

произведении, если она сохраняет в овале единичное или нул е-

вое значение соответственно. При этом удобно пользоваться

обозначениями переменных и их отрицаний, проставленными

вне поля диаграммы. При минимизации следует иметь в виду,

что одна и та же клетка диаграммы может накрываться н е-

сколькими различными овалами.

Рис.1.12

Для функций, диаграммы которых представлены на

рис.1.12, можно получить следующие МДНФ:

BCAvBCDvDCAfDCBvDCBAvfBvBCACvAf ga ;; .

Диаграмма Вейча позволяет получить и МКНФ функции.

Для этого сначала получают МДНФ д ля отрицания функции f ,

объединяя на диаграмме пустые клетки. Так, из рис. 1.12,б сле-

дует, что CBvDDvACf B . Далее, с помощью правила де Моргана,

получают МКНФ функции f . Для функции рис.12,в МКНФ имеет

вид ))()(( CBvvDADCvCBvDDvACf B и является более простой, чем

МДНФ.

Реализация ПФ на универсальных элементах . После

нахождения МДНФ и МКНФ функции, реализуемой на элемен-

тах универсального базиса, в полученных выражениях осу-

ществляется переход к базисам И-НЕ либо ИЛИ -НЕ.

Переход к базису И -НЕ. Представим операции НЕ, И и

ИЛИ в базисе И -НЕ:

BABAAvBАvB

ВААВАВАААА

/,//

;,//);/(

Отсюда следуют правила перехода: инверсия осуществл я-

ется подачей аргумента на элемент И -НЕ; конъюнкция реализу-

ется подачей аргументов на элемент И -НЕ с последующей ин-

версией; дизъюнкция выполняется инвертированием аргументов

с последующей подачей их на элемент И -НЕ.

Рис.1.13

В общем случае на свободные входы элемента И -НЕ

должны быть поданы либо константы "1", либо подключены

уже используемые в элементе входные сигналы (рис. 1.13).В ла-

бораторном макете сигналы на свободных входах элементов И -

НЕ соответствуют константе "1", поэтому эти входы можно

оставить незадействованными (на схемах свободные входы

можно не показывать).

Преобразуем МДНФ и МКНФ функции (рис. 1.12,б ) . Здесь

и в дальнейшем предполагается, что исходные переменные КС

поступают в парафазном коде (т.е. каждая переменная х i посту-

пает по двум проводам: по одному – прямое значение х i , по дру-

гому - инверсное iх ) .

МДНФ:

DCBDCBADCBvDCBADCBDvCBAvDCBDvCBAvf ,,/,,,/,/ .

Соответствующая КС приведена на рис.1.14, а. Здесь число

уровней r = 2, число входов элементов S=9.

Рис. 14

МКНФ:

DCADCABA

CDADCABADvCAvAvCvDBAvDvCAvAvCvDBAvf

,,/,,,/,,//

Соответствующая КС приведена на рис. 1.14,б. 3десь r =3, S =12.

Из примера видно, что реализация на элементах И -НЕ

МДНФ функции приводит к двухуровневой схеме, реализация

МКНФ – трехуровневой схеме.

Переход к базису ИЛИ -НЕ

BAAvBAvB

BABA

BvAABABAAvAА

,

;,,

;

Правила перехода: инверсия реализуется подачей арг умента

на элемент ИЛИ -НЕ; конъюнкция получается инвертированием

аргументов с последующей подачей их на элемент ИЛИ -НЕ;

дизъюнкция выполняется подачей аргументов на элемент ИЛИ -НЕ

с последующей инверсией.

В общем случае на свободные входы элемента ИЛИ -НЕ

должны быть поданы либо константы 0 , либо подключены уже

используемые в элементе входные сигналы.

Преобразуем МДНФ и МКНФ функции рис. 1.12,б.

МДНФ:

DCBDCBA

vDCBvvDBvCvAvDCBvDCBAvDCBDvCBAvf

,,,,,,

В соответствующей схеме (рис.1.15,а) r = 3, S = 10.

МКНФ:

DCАDCABА

DvCAvAvCvDBAvDvCAvAvCvDBAvDvCAvAvCvDBAvf

,,,,,,,

В схеме (рис.1.15,б) r = 2, S = 11 . Как видно, реализация на

элементах ИЛИ -НЕ МДНФ функции приводит к трех уровневой

схеме, реализация МКНФ - к двухуровневой схеме.

Рис.1.15

Из четырех схем, реализующих функцию рис. 1.12 ,б предпо-

чтителен вариант на рис.1.14, а ( г = 2, S = 9). Если же в КС не -

обходимо использовать элементы ИЛИ -НЕ и допускается исполь-

зование трехуровневой схемы, то следует выбрать вариант

рис.1.15, а . (г = 3, S= 10), и т.д. В общем случае выбирается в а-

риант КС, который при заданных значениях J и F является опти-

мальным в смысле минимума используемого в схеме оборудов а-

ния при выполнении ограничений на быстродействие КС. Следу-

ет также иметь в виду, что синтезируемые схемы часто можно

дополнительно упростить, применяя скобочные формы пре д-

ставления функций [3]. Скобочные формы в булевом базисе пол у-

чают путем вынесения за скобки общих частей нескольких прои з-

ведений (в ДНФ) или нескольких дизъюнкций (в КНФ). Так,

например, получим скобочную форму из МДНФ функции

рис.1.12,а:

vBCСvBАBvBCACvAf a .

Переведем МДНФ и скобочную форму в базис И -НЕ.

CBBACABCvBAvCABvBCACvAf a ,/,,/,,//

Скобочная форма:

CBBCABCBCAvBCBCAvBCСvBАf a ,/,,/,//

Схемы, реализующие МДНФ ( r = 2, S = 9) и скобочную фор-

му ( r = 3, S = 8), приведены на рис.1.16. Схема рис.1.16,б не

только проще, но и требует лишь двухвходовых элементов. Но в

любом случае скобочные формы приводят к увеличению числа

уровней r в схеме.

На практике к скобочным формам прибегают, наряду с

разделением входов, для получения схем, удовлетворяющих

требуемому

Рис.1.16

На практике к скобочным формам прибегают, наряду с

разделением входов, для получения схем, удовлетворяющих

требуемому значению коэффициента J[3]. При этом разделение

входов используется в последнюю очередь, либо сопровождае тся

увеличением числа входов S в КС.

Синтез КС со многими выходами Задачу синтеза схемы с m

выходами, работа которой описывается системой из т функций,

можно свести к задаче синтеза КС с одним выходом, если каждую

из функций реализовать о тдельно. При этом получаем искомую

схему с т выходами, состоящую из т независимых КС. Однако в

общем случае схему можно существенно упростить, объединив

участки схемы, реализующие одинаковые вы ражения в уравнени-

ях нескольких функций.

Общая идея минимизации схем со многими выходами св о-

дится к получению таких выражений для совокупности пер е-

ключательных функций, в которых оптимально используются

члены, общие для нескольких функций [ 1].

Рис.1.17

Пусть, например, требуется построить двухуровневую КС,

реализующую на элементах булевого базиса систему трех фун к-

ций, заданных в ДНФ. Диаграммы Вейча функций представле ны

на рис.1.17. При раздельной минимизации можно получить сл е-

дующие МДНФ функций: CADvBAABvfBCADvBvBAfAvBCf Ba ;; .

Схема, построенная по этим выражениям, будет содержать

24 входа элементов (S = 24). В то же время можно построить и с-

комую схему с S = 21, если согласно рис.1.18 представить функ-

ции в виде следующих ДНФ:

BBCvABvAAf a

CvABADvBAfBBCvAADvBAf b ;

При этом предполагается, что любой из дизъюнктивных

членов ABDBABABCA ,,, , повторяющихся в выражениях для н е-

скольких функций, будет реализовываться одним элементом, о б-

щим для этих функций.

Рис.1.18

Синтез схем с многими выход ами, оптимальных по коли-

честву оборудования, связан с практически неосуществимым

перебором большого числа вариантов схемы. Известные методы

синтеза [ l ,3] позволяют сократить перебор, однако при этом п о-

лучаются не оптимальные, а только в той или иной ст епени близ-

кие к ним схемы.

Содержание отчёта

1. Представление реализуемых ПФ таблицами истинн ости

и диаграммами Вейча.

2. Получение минимальных нормальных форм ПФ.

3. Переход к базисам И -НЕ и ИЛИ-HЕ.

4. Функциональные схемы на элементах И -НЕ и

ИЛИ-НЕ, собранные в среде эмулятора.

Приложение

1.2 . Функции в алгебре логики

Рассмотрение понятия функции в алгебре логики (АЛ) можно

начать с функций одной переменной. Нетрудно видеть, что т аких

функций можно построить четыре (табл. 1.1) .

Таблица 1 .1 . Функции одной переменной в АЛ

Переменная Функции

x g 0 g 1 g 2 g 3

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

Очевиден и содержательный смысл этих функций: g 0 - константа

нуля, g 1 - повторение x , g 2 - инверсия x , g 3 - константа единицы.

Для двух переменных может быть введено уже 16 функций (табл.

1.2) .

Таблица 1 .2 . Функции двух переменных в АЛ

Переменные x 1 0 0 1 1

x 2 0 1 0 1

Функции

f 0 0 0 0 0

f 1 0 0 0 1

f 2 0 0 1 0

f 3 0 0 1 1

f 4 0 1 0 0

f 5 0 1 0 1

f 6 0 1 1 0

f 7 0 1 1 1

f 8 1 0 0 0

f 9 1 0 0 1

f 1 0 1 0 1 0

f 1 1 1 0 1 1

f 1 2 1 1 0 0

f 1 3 1 1 0 1

f 1 4 1 1 1 0

f 1 5 1 1 1 1

Продолжая этот ряд , получим таблицу 1 .3 , показывающую, что

количество логических функций вычисляется как два в степени

количества возможных вхо дных наборов.

Таблица 1 .3 . Зависимость числа логических функций от числа

входных переменных

Количество входных переменных 1 2 3 . . . n

Число входных наборов 2 1 2 2 2 3 . . . 2 n

Число логических функций 2 1 2 4 2 8 . . . 22 n

Логическая функция определяется как n -местная функция, опр е-

деленная на множестве истинных значений <Истина (True),

Ложь(False)> и принимающая значения в этом множестве.

Если последовательность логических переменных обозначить как

X=(x 1 , x2 , . . . , xn ) и назвать двоичным набором, то под функцией

алгебры логики следует понимать однозначное отображение

множества всевозможных наборов * на множество Y=<0,1>.

Если две функции алгебры логики f 1 (x1 , x 2 , . . . , x n) и f 2(x1 , x2 , . . . ,

x n) принимают на всех возможных наборах одинаковые зн ачения,

то они называются равными (эквивалентными).Функции двух п е-

ременных, рассмотренные в табл. 1 .4 играют важную роль в а л-

гебре логики и могут быть названы элементарными.

Таблица 1 .4 . Содержательная таблица функций двух переме нных

в АЛ

Функция в

аналитическом

выражении

Наименование Словесное

выражение

Выражение

в элеметар-

ном базисе

Функциональ-

ное обозна-

чение

f 0 =0 Константа “0” Всегда ложно x 1x1vx2x2 рис. 1 .1 .а

f 1 =x1 x2

f 1 =x1 &x2 Конъюнкция, И x 1 и x2 x 1&x 2 рис. 1 .1 .б

f 2 =x1 x 2 Запрет x 1 Запрет по x2 x 1x2 рис. 1 .1 .в

f 3 =x1 Повторение x1 Повторение x1 x 1 рис. 1 .1 .г

f 4 =x2 x 1 Запрет x 2 Запрет по x1 x 1x2 рис. 1 .1 .д

f 5 =x2 Повторение x2 Повторение x 2 x 2 рис. 1 .1 .е

f 6 =x1 x 2

Сложение по мо-

дулю 2, неравно-

значность, ис-

ключающее ИЛИ

x 1неравно -

значно x2 x 1x2vx1x2 рис. 1 .1 .ж

f 7 =x1vx 2

f 7 =x 1+x2 Дизъюнкция, ИЛИ x 1 или x2 x 1v x2 рис. 1 .1 .з

f 8 =x1 x 2 Стрелка Пирса ,

ИЛИ-НЕ не x1 и не x2 x1 v x2 рис. 1 .1 .и

f 9 =x1 x 2 Равнозначность,

эквивалентность

x 1равно -

значно x2 x 1x2vx1x2 рис. 1 .1 .к

f 1 0 =x 2 Инверсия, отри-

цание x2 Не x2 x 2 рис. 1 .1 .л

f 1 1 =x 2 x 1 Импликация x1 Если x2 , то x 1 x 1v x2 рис. 1 .1 .м

f 1 2 =x 1 Инверсия, отри-

цание x1 Не x1 x 1 рис. 1 .1 .н

f 1 3 =x 1 x 2 Импликация x2 Если x1 , то x 2 x 1v x2 рис. 1 .1 .о

f 1 4 =x 1 |x2 Штрих_Шеффера ,

И-НЕ

Не x1 или не

x 2 x1v x2 рис. 1 .1 .п

f 1 5 =1 Константа “1” Всегда ис-

тинно

(x1vx1) (x 2v

x 2) рис. 1 .1 .р

К элементарным функциям обычно относят: функцию инверсии

(отрицания) , конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, штрих

Шеффера и стрелку Пирса.

Новые функции АЛ можно получить из известных функций либо

путем перенумерации аргументов, либо путем подстановки в

функцию новых функций вместо аргументов.

Функция АЛ, полученная из функций f 1 , f 2 , . . . , f k с помощью этих

правил, называется суперпозицией функций f 1 , f 2 , . . . , f k . В табл.

1 .4 приведено представление р азличных функций через суперп о-

зицию конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Лабораторная работа 2

СИНТЕЗ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ

Цель работы : изучение процедуры структурного синтеза

конечных автоматов.

I . Конечные автоматы

Автоматом называется дискретн ое устройство, способное

принимать различные состояния, под воздействием входных си г-

налов переходить из одного состояния в другое и вырабатывать

выходные сигналы. Математической моделью устройства являе т-

ся абстрактный автомат, который задается совокупн остью пяти

объектов S(А,Х, У, , ) , где

А ={a0 ,a1 ,a2 , …, a m , …,aM } - множество состояний автома та,

причем, a0- исходное (начальное) состояние;

X = {x 1 , x 2 ,…, x f ,…,xF } - множество входных сигналов;

У = { y1 , y2 ,…, yg ,…,yG } - множество выходных сигналов;

- функция переходов, обеспечивающая выработку после -

дующего состояния aS автомата в зависимости от существу ющего

состояния а т и входного сигнала х f , т .е .а S=(a m , x f) ;

- функция выходов, обеспечивающая выработку выходн о-

го сигнала автомата в зависимости от a m , и x f , т .е . yg= ( a m , x f) .

Если множества А,Х,У конечны, то автомат называется к о-

нечным.

риc.I

Абстрактный автомат имеет один входной и один выхо д-

ной каналы (рис.1) и функционирует в дискретные моменты вр е-

мени, которые обычно об означаются натуральными числами: t=

0 , 1 , 2 ,…,n , . . . . В каждый момент дискретного времени t автомат

находится в определенном состоянии a(t) , причем в момент t = 0

он всегда находятся в исходном состоянии а (0) =a 0 . В момент t

автомат, находясь в состоянии а( t ) , воспринимает сигнал x(t ) на

входном канале, вырабатывает на выходе сигнал y(t )= [а( t ) , x(t )]

и переходит в новое состояние, которое к сл едующему моменту

дискретного времени определяет ся как a(t+1) =[a(t ) , х( t ) ] .

Наибольшее распространение получили автоматы Мили и

Мура. Закон функционирования автомата Мили задается сл еду-

ющими уравнениями:

a(t+1) =[a(t ) , х ( t ) ]; y( t)= [a(t) , х( t ) ] .

Работа автомата Мура определяется уравнени ями:

a ( t+1) = [ a ( t ) , х ( t ) ] ; y( t )= [ a ( t ) ] .

Как видно, в автомате Мура выходные сигналы за висят

лишь от состояния автомата.

Способы задания конечных автоматов

Табличный способ. Автомат Мили может быть задан та б-

лицей переходов, определяющей функцию переходов , и табли-

цей выходов, определяющей функцию выходов . Строки этих

таблиц соответствуют возможным входным сигналам х f , а столб-

цы - возможным состоянием аm автомата. В таблице переходов

(рис.2 , a ) на пересечении столбца а m и строки х f находится со-

стояние a s=(а m , х f) . В таблице, выходов (рис. 2 ,б) в аналоги ч-

ной клетке помещается выходной сигнал yg= (а m , х f) . Как видно,

здесь задан автомат, имеющий множества A={a0 , a1 , a2 }; X={x 1 ,

x 2 }; Y={y1 , y2 , y3 }.

Так как в автомате Мура выходные сигналы зависят лишь от

состояния, то он задается одной так называемой отмеченной

таблицей переходов (рис.2 ,в) . В этой таблице над каждым с о-

стоянием а автомата, обозначающим тот или иной столбец таб -

лицы, стоит соответствующий этому состоянию выходной си г-

нал yg= (a m) .

Рис.2

Графический способ . Этот способ основан на использ о-

вании направленных графов. Ве ршины графов соответствуют

состояниям, а дуги - возможным переходам между ними. Две

вершины а m , и а s графа соединяются дугой, направленной от а m ,

к а s , если существует переход a s=(а m , х f) . Дуге автомата Мили

приписывается входной сигнал х f , и выходной сигнал yg= (а m) .

В автомате Мура выходной сигнал yg= (а m) записывается внут-

ри вершины а m . Графы автоматов Мили и Мура, задан ных таб-

лицами рис.2 , представлены на рис.3 .

Рис.3

Процедура синтеза конечного автомата в общем случае де -

лится на два этапа : этап абстрактного синтеза и этап струк -

турного синтеза. Содержанием первого этапа является построе -

ние графа или таблиц переходов и выходов и получение множ е-

ства состояний А с минимальным числом членов [ l ] . Цель этапа

структурного синтеза - построение схемы автомата на заданных

логических элементах и элементах памяти.

Согласно теореме о структурной полноте [ I ] система

элементов, из которых может быть построена схема любого ко-

нечного автомата, должна содержать логические элементы ба-

зиса и в качестве элемента памяти - автомат Мура, обладающий

полнотой переходов и выходов. Полнота переходов в автомате

означает, что для любой пары состояний существует входной

сигнал, который переводит автомат из одного состояния в др у-

гое. Иначе говоря, в каждом стол бце таблицы переходов должны

встречаться все состояния автомата. Полнота выходов означает,

что каждое возможное состояние автомата отмечет отличным от

других выходным сигналом.

В качестве элементов памяти широко используются эл е-

ментарные автоматы Мура с двумя состояниями. Каждый из т а-

ких автоматов выдает два различных выходных сигнала, соо т-

ветствующих двум его различным состояниям. В дальнейшем

указанные состояния и соответствующие им выходные сигналы

будут обозначаться одной буквой Q и кодироваться цифрами 0

и I (Q{0,1}) .

Элементарный автомат может иметь в общем случае н е-

сколько физических входов, на каждый из которых могут пода-

ваться двоичные сигналы. Условное обозначение элементарного

автомата приведено на рис.4 . Здесь u j i , j=1, 2,…,K – сигналы

возбуждения элементарного автомата ( u j i {0, 1}) .

рис. 4

Структурная схема конечного автомата (рис.5) состоит

из двух основных частей: комбинационной части (КЧ) и запом и-

нающей части (34). КЧ строится из логических элементов базиса

(ЗЧ) представляет собой набор элементарных автоматов Q 1 , Q2 ,

Q 3 .

Рис.5

Каждое состояние абстрактного автомата a m(m=0,1 ,…,M)

кодируется в структурном автомате набором состояний элеме н-

тарных автоматов (Q1 , Q2 ,…,Q k) , где R ]log 2 (M+1)[ ; ]a[

означает ближайшее целое число, большее a или равное a , (если

а целое) . Каждый входной x f , f=1,2 ,…,F и выходной yg ,

g=1,2 ,…,G сигналы абстрактного а втомата кодируются наборами

значений двоичных сигналов на L, входных (1 , 2 ,….L) и N

выходных (Z1 , Z 2 ,…,ZN) каналах структурного автомата. Здесь

L ] log 2 F[; N ] log 2 (G)[ .

Изменение состояний элементарных автоматов происх одит

под действием сигналов возбуждения u j r , где j=1, 2 ,…K r ; r = 1 ,

2 , . . . ,R . В схеме рис.5 для простоты у каждого элементарного

автомата показано по одно му входу u r . .

После выбора элементов памяти и кодирования состояний,

входных и выходных сигналов абстрактного автомата произв о-

дится синтез комбинационной части структурного автомата, ре а-

лизующей систему функций кодированных выходов Zn и функций

возбуждения элементарных автоматов u j r . Здесь

Z n ( t )= Z n[Q1 ( t ) , Q 2 ( t ) ,…, Q R( t ) , 1 ( t ) , 2 ( t ) ,…, L( t ) ] ,

n=1,2 ,…N

u j r ( t )= u j r[Q1 ( t ) , Q 2 ( t ) ,…, Q R( t ) , 1 ( t ) , 2 ( t ) ,…, L( t ) ] ,

j=1,2 ,…,K r ; r=1, 2 ,…, R.

Типы элементарных автоматов

Роль элементарных автоматов Мура в схемах ЦВМ выпо л-

няют триггеры различных типов. Рассмотрим некоторые, часто

используемые типы.

I . Т-триггер (триггер со счетным входом) . .Условное обо-

значение, граф и отмеченная таблица переходов T-триггера

представлены на рис.6. Триггер имеет два выхода; прямой Q и

инверсный Q . Из графа триггера видно, что для перевода триг -

гера в противоположное состояние нужно на вход T подать еди-

ничный сигнал. Согласно таблице переходов Т -триггер обла -

дает полнотой переходов и выходов.

Рис.6

На практике более удобно вместо таблицы переходов и с-

пользовать матрицу переходов триггера, которая определяет

значения входных сигналов, обеспечивающие каждый из чет ы-

рех возможных переходов в триггере (00, 01, 10, 11).

Матрица переходов Т -триггера представлена на рис.6 ,г.

Из матрицы рис.6 ,г может быть получена аналитическая

запись закона функционирования Т -триггера: .

Это формула функции логического сложения по модулю 2: п о-

этому иначе T-триггер называют триггером со счетным входом.

2. RS-триггер (триггер с раздельными входами). Условное

обозначение, граф, матрица переходов RS-триггера представ -

лены на рис.7 . Из графа следует, что переход из 0 в 0 может

Рис.7

происходить при двух комбинациях входных сигн а-

лов: , т.е . переход не зависит от зн ачения R . Необходимо

лишь, чтобы S = 0. Аналогично переход из I в I не зависит от

значения, и при этом R = 0 . Граф составлен с учетом того, что

одновременная подача единичных сигналов на входы R и S за-

прещена (RS=0). В матрице переходов коэффициентами b i обо -

значены безразличные значения соответствующих сигналов

(b i {0,1})

3. Триггер с дублированными переходами (рис.8) . В отли-

чие от RS-триггера в рассматриваемом триггере переходы из 0 в

I и из I в 0 могут также осуществляться при одновременном по -

ступлении единичных входных сигн алов, т.е . при R 'S '= I .

Рис.8

Задания

для лабораторной работы №2

по теории автоматов ( специальность 230101)

1. Синтезировать автомат на RS-триггерах и элементах ИЛИ–НЕ.

Схему построить на JK- триггерах:

0 – 2 – 4 – 6 – 7 – 10 – 8 – 9 – 1 – 15 – 13 – 14 – 11 – 12 – 3 – 0



0 – 3 – 7 – 6 – 2 – 10 – 12 – 9 – 14 – 15 – 13 – 1 – 11 – 8 – 4 – 5 –

0



0 – 4 – 7 – 5 – 2 – 11 – 8 – 9 – 12 – 13 – 15 – 14 – 1 – 10 – 3 – 6 –

0



0 – 5 – 4 – 2 – 10 – 8 – 9 – 1 – 15 – 13 – 14 – 11 – 6 – 7 –12 – 3 – 0



0 – 6 – 4 – 12 – 7 – 10 – 2 – 1 – 15 – 13 – 14 – 11 – 8 – 9 – 3 – 0



0 – 7 – 12 – 10 – 4 – 6 – 13 – 8 – 9 – 1 – 15 – 14 – 11 – 5 – 3 – 0



0 – 9 – 4 – 6 – 8 – 7 – 10 – 12 – 1 – 15 – 14 – 11 – 13 – 2 – 3 – 0



0 – 1 – 10 – 8 – 4 – 6 – 12 – 15 – 13 –7 – 9 – 5– 14 – 2 – 11 – 3 – 0



0 – 2 – 5 – 8 – 9 – 14 – 10 – 15 – 6 – 7 – 13 – 11 – 1 – 12 – 3 – 0

10. Синтезировать автомат на RS-триггерах и элементах ИЛИ–

НЕ. Схему построить на JK- триггерах:

0 – 7 – 2 – 4 – 6 –10 – 5 – 15 – 13 –8 – 9 – 1 – 14 – 11 – 3 – 0



0 – 2 – 6 – 7 – 4 – 10 – 8 – 9 – 1 – 15 – 13 – 14 – 11 – 5 – 3 – 0



0 – 3 – 8 – 9 – 2 – 10 – 5 – 11 – 6 – 15 – 13 – 4 – 1 – 7 – 12 – 14 –

0



0 – 3 – 5 – 4 – 7 – 6 – 11 –15 – 2 – 8 – 14 – 1 – 9 – 12 – 10 – 13 – 0



0 – 4 – 3 – 7 – 1 – 14 –15 – 13 – 8 – 9 – 11 – 5 – 10 – 2 – 12 – 6 – 0

15. Синтезировать автомат на RS-триггерах и элементах И–НЕ.

Схему построить на JK- триггерах :

0 – 14 –2 – 13 – 6 – 7 – 10 – 4 – 9 – 1 – 15 – 3 – 8 – 11 – 12 – 5 – 0



0 – 13 – 7 – 6 – 2 – 10 – 12 – 8 – 14 – 15 – 3 – 1 – 11 – 9 – 4 – 5 –

0



0 – 12 – 7 – 1 – 2 – 11 – 8 – 9 – 15– 13 – 4 – 14 – 10 – 5 – 3 – 6 – 0



0 – 11 – 4 – 5 – 12 – 8 – 9 – 1 – 14 – 13 – 15 – 2 – 6 – 7 –10 – 3 – 0



0 – 10 – 4 – 12 – 7 – 13 – 2 – 1 – 15 – 6 – 14 – 11 – 5 – 9 – 8 – 0



0 – 9 – 12 – 10 – 4 – 6 – 8 – 5 – 1 – 15 – 13 – 14 – 11 – 7 – 3 – 2 –0



0 – 8 – 4 – 6 – 3– 7 – 10 – 15 – 1 – 11 – 13 – 14 – 12 – 2 – 9 – 0



0 – 7 – 10 – 1 – 4 – 6 – 12 – 15 – 13 – 11 – 9 – 5– 14 – 2 – 8 – 3 – 0



0 – 6 – 5 – 2 – 13 – 14 – 10 – 15 – 9 – 7 – 4 – 11 – 1 – 12 – 3 – 0



0 – 5 – 2 – 7 – 6 – 10 – 11 – 15 – 13 –8 – 9 – 1 – 4 – 12 – 3 – 0



0 – 4 – 15 – 6 – 12 – 10 – 8 – 9 – 1 – 7 – 2 – 13 – 14 – 11 – 5 – 3 –

0



0 – 15 – 8 – 9 – 5 – 11 – 12 – 10 – 6 – 3 – 13 – 4 – 1 – 7 – 2 – 14 –

0



0 – 13 – 5 – 6 – 7 – 10 – 11 – 12 – 2 – 8 – 14 – 1 – 9 – 3 – 15 – 4 –

0



0 – 2 – 1 – 4 – 7 – 12 – 10 – 8 – 13 – 14 – 6 – 11 – 9 – 15 – 3 – 0



0 – 3 – 11 – 6 – 12 – 9 – 2 – 10 – 8 – 4 – 14 – 15 – 13 – 1 –7 – 5 – 0



0 – 4 – 5 – 2 – 7 – 11 – 8 – 12 – 9 – 13 – 15 – 1 – 10 – 14 – 3 – 6 –

0



0 – 5 – 2 – 7 – 10 – 4 – 8 – 9 – 13 – 12 – 14 – 1 – 15 – 11 – 6 – 3 –

0



0 – 6 – 12 – 3 – 10 – 2 – 15 – 13 – 1 – 4 – 14 – 11 – 8 – 7 – 9 – 0



0 – 7 – 10 – 4 – 14 – 12 – 6 – 9 – 1 – 8 – 15 – 13 – 3 – 11 – 5– 0



0 – 9 – 2 – 3 – 8 – 10 – 14 – 11 – 4 – 6 – 12 – 1 – 15 – 7 – 13 – 0



0 – 1 – 2 – 11 – 3 – 4 – 6 – 10 – 8 – 12 –7 – 9 – 5 – 15 – 13 – 14 – 0



0 – 2 – 10 – 15 – 1 – 12 – 9 – 14 – 6 – 7 – 13 – 11 – 5 – 8 – 3 – 0

37. Синтезировать авто мат на RS-триггерах и элементах ИЛИ–


0 – 7 – 6 – 13 – 8 – 10 – 2 – 4 – 5 – 15 – 14 – 11 – 9 – 1 – 3 – 0



0 – 2 – 10 – 6 – 7 – 11 – 3 – 9 – 1 – 4 – 8 – 15 – 5 – 13 – 14 – 0



0 – 3 – 4 – 1 – 2 – 10 – 5 – 12 – 14 – 8 – 9 – 11 – 13 – 7 – 6 – 15 –

0



0 – 3 – 7 – 1 – 9 – 6 – 5 – 4 – 11 – 10 – 13 – 8 – 14 – 15 – 2 – 12 –

0



0 – 4 – 5 – 3 – 7 – 1 – 14 – 8 – 10 – 11 – 12 –15 – 13 – 6 – 2 – 9 – 0



0 – 14 – 6 – 12 – 5 – 2 – 13 – 4 – 7 – 10 – 9 – 3 – 8 – 1 – 15 – 11 –

0



0 – 13 – 2 – 7 – 6 – 10 – 14 – 12 – 8 – 15 – 3 – 4 – 1 – 11 – 9 – 5 –

0



0 – 12 – 1 – 11 – 10 – 5 – 9 – 15 – 2 – 13 – 7 – 8 – 4 – 14 – 3 – 6 –

0



0 – 11 – 12 – 4 – 5 – 8 – 3 – 14 – 9 – 1 – 6 – 7 – 10 – 13 – 15 – 2 –

0

46. Синтезировать автомат на RS-триггерах и элемент ах И–НЕ.


0 – 10 – 7 – 4 – 13 – 2 – 11 – 5 – 9 – 12 – 1 – 14 – 8 – 15 – 6 – 0



0 – 9 – 12 – 10 – 4 – 6 – 8 – 5 – 1 – 15 – 13 – 14 – 11 – 7 – 3 – 2 –0



0 – 8 – 3 – 12 – 2 – 4 – 6 – 7 –1 – 11 – 13 – 10 – 15 – 14 – 9 – 0



0 – 7 – 4 – 10 – 1 – 6 – 8 – 3 – 12 – 11 – 9 – 5 – 14 – 2 – 15 – 13 –

0



0 – 4 – 5 – 1 – 3 – 7 – 14 – 8 – 9 – 15 – 13 – 11 – 2 – 12 – 10 – 6 –

0



0 – 3 – 9 – 12 – 2 – 10 – 4 – 14 – 11 – 6 – 8 – 15 – 7 – 5 – 13 – 1 –

0



0 – 4 – 7 – 11 – 8 – 3 – 6 – 12 – 5 – 2 – 15 – 1 – 10 – 9 – 13 – 14 –

0



0 – 5 – 4 – 2 – 9 – 13 – 7 – 10 – 8 – 12 – 11 – 6 – 15 – 3 – 14 – 1 –

0



0 – 6 – 10 – 14 – 5 – 11 – 2 – 12 – 3 – 7 – 9 – 1 – 4 – 8 – 15 – 13 –

0



0 – 7 – 14 – 12 – 13 – 3 – 6 – 8 – 15 – 10 – 11 – 5 – 9 – 1 – 4 – 0



0 – 9 – 8 – 11 – 2 – 3 – 6 – 7 – 13 – 12 – 1 – 4 – 15 – 10 – 14 – 0



0 – 1 – 3 – 2 – 8 – 7 – 9 – 11 – 4 – 6 – 15 – 13 – 12 – 10 – 5 – 14 –

0



0 – 2 – 1 – 12 – 11 – 5 – 8 – 15 – 14 – 10 – 4 – 7 – 13 – 3 – 6 – 9 –

0



0 – 7 – 8 – 6 – 13 – 2 – 4 – 5 – 15 – 10 – 14 – 1 – 3 –11 – 9 – 0

60. Синтезировать ав томат на RS-триггерах и элементах ИЛИ–


0 – 2 – 7 – 10 – 6 – 3 – 9 – 11 – 4 – 8 – 15 – 5 – 1 – 13 – 14 – 12 –

0



0 – 3 – 2 – 10 – 5 – 7 – 6 – 12 – 9 – 4 – 1 – 11 – 13 – 15 – 14 – 8 –

0



0 – 3 – 9 – 6 – 15 – 2 – 10 – 13 – 8 – 14 – 5 – 4 – 12 – 7 – 1 – 11 –

0



0 – 4 – 10 – 11 – 7 – 1 – 13 – 6 – 14 – 12 –15 – 2 – 8 – 5 – 3 – 9 – 0



0 – 8 – 5 – 6 – 12 – 4 – 2 – 13 – 7 – 3 – 10 – 9 – 14 – 11 – 1 – 15 –

0



0 – 13 – 6 – 2 – 7 – 12 – 8 – 10 – 4 – 1 – 15 – 9 – 5 – 3 – 11 – 14 –

0


1 -3 а0 а1 а2 а3 4 -6. а0 а1 а2 а3 7 -9. а0 а1 а2 а3

х1 а3 а2 а0 а1 а2 а0 а3 а0 а1 а2 а3 а0

х2 а2 а3 а1 а3 а3 а1 а0 а1 а1 а3 а0 а3

a0 a1 a2 a3 а0 а1 а2 а3

y2 y3 y0 y1 у1 у0 у3 у2

y0 y3 y2 y0 у3 у2 у0 у1

10-12 . 13 -15 16-18

а0 а1 а2 а3 а0 а1 а2 а3 а0 а1 а2 а3

х1 а1 а3 а0 а3 а0 а3 а1 а0 а1 а1 а0 а2

х2 а2 а0 а3 а1 а1 а0 а3 а2 а3 а2 а1 а0

y2 y3 y1 y0

y1 y2 y0 y1

19-21. 22-24 25-27

а0 а1 а2 а0 а1 а2 а0 а1 а2

х1 а1 а2 а0 а2 а1 а0 а0 а2 а1

х2 а2 а0 а1 а1 а0 а2 а1 а2 а2

х1 y1 y0 y2 y1 y0 y1

х2 у2 у1 у0 у0 у1 у2

Например: 13 -15 (13,14,15)

Первая цифра - триггеры R-S

Вторая цифра - триггеры Т

Третья цифра - триггеры J-K

Выходные сигналы автоматов Мура назначаются самим

студентом.

* Два вида заданий представлены для удобства препод а-

вателя.

Порядок выполнения работы

1. Произвести кодирование состояний, входных и выход-

ных сигналов абстрактного автомата, заданного графическим

или табличным способом.

2. Составить кодированную таблицу переходов, таблицу

кодированных выходов и таблицу функций возбуждения триг-

геров заданного типа.

3. Получить минимальные выражения для функций кодир о-

ванных выходов и функций возбуждения триггеров в булевом ба-

зисе.

4. Полученные выражения перевести в заданный униве р-

сальный базис.

5. Построить синхронизированную схему автомата в зада н-

ном базисе.

6. Набрать на эмуляторе схему автомата и проверить его

работоспособность.

7. Проверить на эмуляторе работу автомат а в соответствии

с таблицами переходов и выходов.

Пример выполнения задания на лабораторную работу

Рассмотрим процедуру структурного синтеза на примере

построения (на Т -триггерах и элементах И -НЕ) автомата Мили,

таблицы переходов и выходов которого пр иведены на рис.2,и,с

соответственно. Здесь (М+1)=3, F=2, G=3.

1. Определяются минимально необходимые количества

триггеров R , физических входов L и выходов N структурного ав -

томата: R=]log 2 (M+1)[=2; L=]log 2 F[=1; N=]log 2 G[=2.

Как видно, в автомате требует ся два триггера, состояния и

выходные сигналы которых обозначим через Q1 и Q2 ; в автомате

должен быть один вход и два выхода Z1 и Z 2 .2 . Составляются

таблицы кодирования состояний, входных и выходных сигналов

абстрактного автомата. Один из возможных вар иантов кодирова-

ния приведен в табл.1 - 3 .

3. С помощью полученных таблиц переходов и выходов

(рис. 2, a , б ) строится кодированная таблица переходов и таб -

лица кодированных вых одов.

Кодированная таблица переходов определяет зависимость

состояний триггеров в момент времени ( t +1) от состояний триг-

геров и входных сигналов автомата в момент времени t . В табл.4

кодированную таблицу переходов составляют первые пять столб-

цов. Комбинация единичных состояний триггеров является за -

прещённой, поэтому в соответствующих клетках таблицы стоят

прочерки [1].

Таблица кодированных выходов определяет зависимость

значений выходных сигналов автомата в момент времени t от со -

стояний триггеров и входных сигналов автомата в тот же момент

времени. В табл.4 ее составляют стол бцы 1,2 ,3 ,6 ,7 . В клетках 6 и

7-го столбцов, соответствующих запрещенной комбина ции со-

стояний триггеров, помещены коэффициента b i , значения кото-

рых безразличны (b i{0,1}) .

Таблица 4

4. Строится таблица функций возбуждения триггеров, кото -

рая определяет значения сигналов на входах триггеров, обеспе -

чивающих необходимые переходы автомата из одного состояния

в другое (табл.4, столбцы 8 и 9). При этом использ уется матрица

переходов триггера и ранее построенная кодир ованная таблица

переходов (матрица переходов T-триггера представлена на

рис.6 ,2) . Например, в первой строке табл.4 Т1=0 , Т2 =1 , так как

здесь первый триггер переходит из 0 в 0 , а второй – из 0 в I и

т .д.

5. Проводится синтез комбинационной части автомата, реа -

лизующей систему функций возбуждения триггеров и функций

кодированных выходов автомата. В данном случае реализуется

система из четырех функций:

Z 1 ( t )= f1 [1 ( t ) , Q1 ( t ) , Q2 ( t ) ] ; Z2( t )= f2 [( t ) , Q1( t ) , Q 2 ( t ) ] ;

T 2 ( t )= f 3 [ ( t ) , Q 1( t ) , Q2( t ) ] ; T 2( t )= f 4[ ( t ) , Q1 ( t ) , Q 2( t ) ] ;

Для минимизации этих функций воспользуемся диагра м-

мами Вейча. Согласно заданию комбинационная часть автомата

строится на элементах И -НЕ. Примем также для определенн о-

сти, что комбинационные схемы должны быть двухуровневые.

Отсюда следует, что мы должны исходить из минимальных

дизъюнктивных нормальных форм (МДНФ) записи синтезиру е-

мых функций [3].

Диаграммы Вейча для функций Z 1 , Z2 , T 1 , T2 , составлен-

ные на основе 1 -3-го и 6 -9-го столбцов табл.4 , представлены

на рис.10. Из диаграмм модно получить следующие МДНФ си н-

тезируемых функций (коэффициентам b i , в диаграмме приписы-

ваются такие значения, чтобы упростить выражение для ми-

нимизируемой функции): .

Рис.10

6. Для отметки моментов дискретного времени

t0,1 ,2…n ,… в схему автомата подаются синхронизирующие

сигналы С , следующие через равные интервалы времени Т; Т

определяет такт работы устройства (рис.11,a). Синхронизиро-

ванная структурная схема автомата на T-триггерах приведена

на рис.11,б .

В течение такта Т формируются выходные сигналы авт о-

мата Z n( t )=[( t ) , x(t ) ] (по сигналу С) , и триггеры ЗЧ одновре -

менно переключаются в состояния, соответствующие очеред-

ному состоянию автомата 0, ( t +1) (по сигналу ) . Как видно

на входах всех триггеров ЗЧ поставлены двухвходовые элеме н-

ты И. .На практике триггеры часто выполняются в синхронном

варианте (синхронные триггеры), когда упомянутые элементы

И включаются в схемы триггеров. Число входов у каждого из

таких триггеров увеличивается на единицу; добавляется вход С

для синхронизирующих сигналов.

Рис.11

7. Обеспечивается устойчивость состояний и устраняет-

ся эффект гонок в автомате. Понятие устойчивости состояний

автомата заключается в следующем.

Пусть на графе автомата имее тся два перехода (a ma S и

a Sa k) , выполняемые под действием одного и того же сигна-

ла x f . . Если длительность сигнала (рис.11,б) больше времени

перехода автомата из a m в aS , то автомат в данном такте может

перескочить состояние a S и к моменту ( t+I ) оказаться в состо-

янии a k . Состояние aS в этом случае будет неустойчивым.

Другой неприятный момент связан с тем, что триггеры

ЗЧ имеют, как правило, различные времена переключения, ра з-

личны также времена задержек сигналов обратной связи, по-

ступающих от выходов триггеров на их входы (через КЧ). П о-

этому, если при переходе автомата из a m в a S должны изме-

ниться состояния нескольких триггеров, то между их выходны-

ми сигналами начинаются состязания (гонки) . Тот триггер, ко-

торый перейдет в новое состояние раньше других, может по

цепям обратной связи изменить сигналы на входах других

триггеров до того, как они переключатся в новые состояния. В

результате триггеры мо гут оказаться в иных состояниях, чем

это требуется по графу автомата.

Устойчивость состояний будет обеспечена, и эффект гонок

устранен, если выходные сигналы триггеров, фиксирующие их

текущие состояния Q r ( t) , не будут меняться во время действия

синхросигнала на их входах. Этим свойством обладают двухсту -

пенчатые триггеры, которые переключаются в новые состояния в

момент окончания синхросигнала. Например, условное обознач е-

ние и логически эквивалентная схема двухступенчатого Т -

триггера приведены на рис.12. Как видно, в состав двухступе н-

чатого триггера входят два триггера – I и I I . Во время действия

сигнала С происходит лишь запись информация в триггер; с мо -

мента окончания сигнала С состояние триггера переписывается

в триггер. Аналогично строятся двухступенчатые триггеры др у-

гих типов. При использовании двухступенчатых триггеров в сх е-

ме рис.11,б отпадает необходимость в инверторе; синхро сигналы

подаются непосредственно на входы синхронизации триггеров ЗЧ

(см. далее рис.14).

Рис.12

В лабораторном макете используются двухступенчатые JК

-триггеры. Условное обозначение, логически эквивалентная сх е-

ма и матрица переходов JК -триггера приведены на рис.13,а ,б ,в

соответственно. Здесь J – вход синхронной установки триггера в

"1", К- вход синхронной установки в "0" . По сигналу JКС =1

триггер переключается в противоположное состояние.

JК-триггер называется универсальным, так как может в ы-

полнять функции других типов триггеров. Так, на рис.13,г

представлены способы использования JК -триггера как Т -

триггера и как RS -триггера.

8. Для построения синхронизированной схемы автомата

выражения для функций выходов автомата логически умножа-

ются на символ синхросигнала С. В данном примере получаем:

Рис.13

Если в синтезируемой схеме автомата используются си н-

хронные триггеры, то полученные минимальные выражения для

функций возбуждения триггеров на С не умножаются. В этом

случае синхросигналы подаются непосредственно на входы

синхронизации триггеров автомата.

Переведём далее полученные МНДФ для функций Z1 , Z2 ,

Т 1 , T2 в заданный базис И -НЕ;

Рис.14

9. На основе полученных выражений строится схема а в-

томата (рис .14) . Здесь в качестве синхронных Г -триггеров ис -

пользованы JК -триггеры.

Содержание отчета

1. Граф и таблицы переходов и выходов абстрактного ав -

томата.

2. Таблицы кодирования состояний, входных и выходных

сигналов абстрактного автомата.

3. Кодированная таблица переходов, таблицы кодиро-

ванных выходов и таблица функций возбуждения триггеров.

4. Получение минимальных выражений для функций к о-

дированных выходов и функций возбуждения триггеров. Пер е-

вод выражений в заданный базис.

5. Схема автомата на эмуляторе, работающая в заданном

базисе.


РЕГИСТРЫ. СЧЕТЧИКИ

Цель работы: изучение схем построения регистров и счетчи -

ков на универсальных триггерах и логических элементах.

Регистры Регистр - запоминающее устройство, предназн а-

ченное для хранения одного п -разрядного двоичного числа,

представляет собой совокупность п триггеров, каждый из кото-

рых служит для запоминания одного двоичного разряда, и всп о-

могательных схем, обеспечивающих, в частности, выполнение

операций по вводу и выво ду (съему) информации из регистра. В

зависимости от способа ввода и съема информации различают

параллельные и последовательные регистры.

В параллельных регистрах все разряды числа вводятся, а

также выдаются одновременно. Регистре могут быть построены

на триггерах любого типа: синхронных и асинхронных, одност у-

пенчатых и двухступенчатых. На рис. 3.1 представлена схема п а-

раллельного регистра на JK -триггерах (используемых в лабор а-

торном макете) и логических элементах И-НЕ.

В схеме рис.3.1 запись числа в регистр осуществляется

двухтактным способом с использованием асинхронных устан о-

вочных входов R и S . В первом такте производится установка

всех триггеров в нулевое состояние сигналом "Уст.0". В следу -

ющем такте по сигналу "Прием числа" прямой код ч исла, посту-

пающего по кодовым шинам числа (КШЧ), подается на входы S

триггеров. Выдача числа из регистра может производиться в

прямом коде (по сигналу на линии I) , в обратном коде (по сигн а-

лу на линии II ) и в парафазном коде (путем подачи сигналов о д-

новременно по линиям I и II ) .

Рис.3.1

Последовательные регистры используются для ввода или

съема двоичной информации, представляемой последовател ь-

ным способом, т.е . , в виде временн ой последовательности си г-

налов, которые соответствуют значениям цифр в дв оичных раз-

рядах и проходят по одному каналу в дискретные моменты

времени, задаваемые синхронизирующими сигналами.

Схема трехразрядного последовательного регистра пре д-

ставлена на рис.3.2а. Регистр построен на двухступенчатых

триггерах, соединенных друг с другом последовательно. Осн о-

ву схем составляет сдвигающий регистр, в котором по оконч а-

нии сигнала "Сдвиг" в каждый триггер заносится состояние

предыдущего триггера, т .е . двоичный код, записанный в рег и-

стре, сдвигается вправо на один разряд. При этом в старший

триггер записывается значение сигнала на линии , а выдвига-

емый вправо младший разряд кода теряется.

Рис.3.2а

В процессе ввода информации в n -разрядный регистр разря-

ды вводимого числа (начиная с младшего) подаются последов а-

тельно на вход , а в качестве сдвигающих сигналов исполь -

зуются синхронизирующие си гналы. По окончании n-го сдвига-

ющего сигнала число окажется записанным в триг герах регистра.

Вывод информации из регистра последовательным способом

осуществляется путем подачи сдвигающих сигналов. При этом на

выходе формируется последовательный код числа, ранее зап и-

санного в регистре.

Счетчики

В схемах ЦВМ счетчики используются для подсчета ко -

личества сигналов, формирования последов ательных чисел и де -

ления частоты. В потенциаль ной системе элементов счетчики

строятся на асинхронных или си нхронных двухступенчатых Т -

триггерах, количество которых определяется максимальной ра з-

рядностью хранимых чисел. Счетчик на n триггерах имеет 2 n

различных состояний, которым соо тветствуют двоичные числа от

0 до 2 n - I .

Таблица 3.1

Рис.3.3б

Пусть в состав счетчика входят три триггера, состоя ния ко-

торых обозначаются через Q3 , Q 2 , Q1 . При поступлении послед о-

вательности сигналов на вход счетчика состояния триггеров б у-

дут меняться согласно табл.3.1. Из таблицы следует, что в пр о-

цессе счета младший триггер должен пере ключаться по каждо-

му входному сигналу счета, а каждый последующий триггер

должен менять состояние на противо положное, если предыдущий

триггер переключается из 1 в 0. Первое условие реализуется по-

дачей сигналов счета ( с ч ) на вход Т младшего триггера счет -

чика. Так как двухступенчатые триггеры переключаются по сп а-

ду единичного входного сигнала, то для выполнения вто рого

условия нужно вход каждого последующего триггера связ ать це-

пью переноса с прямым выходом предыдущего триггера

(рис.3.3 .а ) . На этом выходе будет отрицательный перепад

напряжения при переходе триггера из 1 в 0 .

Рис.3.3

Работа трехразрядного суммирующего счетчика, предста в-

ленного на рис.3 , а , поясняется временной диаграммой на

рис.3/З,б . Согласно диаграмме триггеры в процессе счета пер е-

ключаются последовательно друг за другом. Поэтому счетчик

носит название счетчика с последовательным переносом. Ма к-

симальная частота работы счетчика с последовательным пер е-

носом определяется максимально допустимой частотой пер е-

ключения его младшего разряда и составляет

F c ч=1/Т с ч=1(t с ч +t n ) . Если числа, формируемые счетчиком, необ-

ходимо выдавать в параллельном коде (путем одновременного

опроса всех триггеров) , то частота F c ч оказывается значительно

меньшей, так как очередной сигнал опроса может быть подан

лишь по окончании переходных процес сов во всех триггерах

счетчика. В схеме рис.3.3.а в качестве сигналов опроса испол ь-

зуются сигналы счета, и минимальный пе риод F c ч =(t с ч+nt n) .

Таблица 3.2

Наряду с суммирующими счетчиками применяют вычита -

ющие счетчики, осуществляющие «обратный» счет. Из таблицы

последовательных состояний вы читающего счетчика (табл. 3.2)

следует, что в процессе обрат ного счета младший триггер пер е-

ключается по каждому входному сигналу счета, а каждый п о-

следующий триггер меняет состояние на противо положное, ес-

ли предыдущий триггер переходит из 0 в 1 . Поэтому для полу-

чения вычитающего счетчика нужно в схе ме суммирующего

счетчика связать вход каждого последующего триггера не с

прямым, а с обратным выходом предыдущего триг гера (рис.3.4) .

Рис.3.4

Счетчик, который может работать как в режиме суммиров а-

ния, так и вычитания, называется реверсивным. На рис.5 пре д-

ставлена схема реверсивного счетчи ка со стороны младших ра з-

рядов. Здесь в состав схемы входят управляющие линии I и II ,

задающие режим работы. Если единичный потенциал присут-

ствует на линии I , то триггеры связаны, как в суммирующем

счетчике. Если единичный потенциал подан на линию I I , то

схема реализует обратный счет.

Рис.5

Кроме рассмотренных, широко применяются более быстр о-

действующие схемы счетчиков со сквозным, групповым и одн о-

временным переносом, характеризующиеся усложненными ц е-

пями связи между триггерами.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Составить принципиальные схемы соединений на эмулят о-

ре для исследования заданных преподавателем видов ре гистров и

счетчиков.

2. Собрать на эмуляторе схемы заданных видов регистров и

счетчиков. Для каждой из собранных схем:

- провести проверку правильности работы в режиме одиноч -

ного запуска, используя кнопку "Такт " , и в динамическом ре -

жиме, используя сигналы от ГТИ;

- определить допустимые пределы изменения длительности

синхронизирущих сигналов (или сигналов счета);

3. Объяснить полученные результаты.

Примеры построения схем, собираемых на эмулятор е

Счетчики с одновременным, сквозным и групповым пер е-

носом.

При построении схем счетчиков можно использовать метод и-

ку структурного синтеза конечных автоматов [3]. Построим,

например, кодированную таблицу переходов и таблицу функций

возбуждения триггеров трехразрядного суммирующего счетчика

(табл.3) . В табл.3 строки, соответствующие отсутствию входн о-

го сигнала счета ( с ч=0), можно не приводить. При с ч =0 со -

стояние счетчика не меняется и , следовательно, сигналы возбуж-

дения триггеров Т 1 , Т2 , Т3 , должны быть равны 0. Из табл.3 с п о-

мощью, например, диаграмм Вейча можно получить следу ющие

выражения для входных сигналов триггеров: Т 1 = с ч ; Т1= с ч Q1 ;

Т 1 = с ч Q1 Q2 .

Таблица 3 .3

В общем случае для n-разрядного счетчика можно запи сать:

Т 1 = с ч ; Т i= с ч Q1 Q2….Q i - 1 , i=2n (3 .1)

или в преобразованном виде Т1=сч; Тi=Ti-1Qi-1; i=2n (3.2)

Так как в выражения для входов всех триггеров счетчика

входит сомножителем с ч , то уравнения ( I) и (2) удобно реа -

лизовывать на синхронных Т -триггерах, подавая сигналы счета

непосредственно на входы синхронизации всех триггеров. При

этом вместо уравнений ( I ) и (2) следует использовать соответ -

ственно уравнения:

Т 1 =1; Т i=Q 1 Q2 ….Q i - 1 , i=2n (3 .3)

Т 1 =1; Т i=T i - 1 Q i - 1 ; i=2n. (3 .4)

Счетчик, построенный по уравнениям ( 3.4) , носит название

счетчика со сквозным переносом. Схема n -разрядного счетчика

со сквозным переносом представлена на рис. 3.7. Максимальная

частота работы такого счетчика равна F с ч=1/[ t с ч +t n +(n-1)0 ] где

0 - время задержки одного логического элемента.

Счетчик, построенный по уравнениям ( 3.3) , называется счет-

чиком с одновременным (параллельным) переносом. Схема так о-

го счетчика при n=4 представлена на рис.3.8. Здесь

F с ч=1/( t с ч +t n +0 ] . Счетчик с одновременным переносом характ е-

ризуется наивысшим быстродействием, однако разрядность его

ограничивается возможностями элементов схемы: нагрузочной

способностью триггеров и коэффициентом объединения по входу

И. В тех случаях, когда указанные ограничения не позволяют

строить схему счетчика с заданным числом разрядов n , разряды

счетчика разбивают на группы по m разрядов (m 2) . В пределах

каждой группы разряды организуются, как в счетчике с одн о-

временным переносом, а группы связываются между собой ц е-

пями сквозного переноса.

Рис.3.7 Рис. 3.8

Обозначим через Р j - сигнал переноса на входе j -й группы

разрядов счетчика.

Рис.3.9

Р 1=Т1 =1; Р j + 1 =Р j Q j mQ j m - 1 …Q j m - m + 1 j=1 ]n/m[

На рис.3.9 приведена струк турная схема счетчика с груп -

повым переносом при m= 4 . Здесь первая группа разрядов орг а-

низована по схеме рис.3.8. В каждой последующей группе

входной сигнал переноса пода ется через соответствующие сх е-

мы И на входы Т всех триггеров данной группы. Например, во

второй группе:

Т 5 =P2 ; Т 6=P2Q 5 ; Т 6=P2 Q5 Q6 ; Т 6 =P 2 Q5 Q6 Q7 .

В счетчике с групповым переносом F с ч=1/[ t с ч +t n +n/m[0 }.

Счетчики с коэффициентом пересчета, не равным целой

степени двух Коэффициент пересчета К n определяет число со-

стояний счетчика или, иначе, максимальное число входных си г-

налов, которое может быть сосчитано сче тчиком. Например, при

К n = 5 счетчик имеет пять состояний и каждый пятый входной

сигнал счета переводит его в исходное состояние. Рассмотре н-

ные ранее n-разрядные счетчики имеют К n = 2 n

Счетчик c К n 2 n , где n - целое, можно построить путем

введения в схему обратных связей, обеспечивающих переход

суммирующего счетчика из состояния, соответствующего дв о-

ичному числу (К n -1) ,в исходное нулевое состояние. При этом

число разрядов счетчика n=]log 2K n [

Рассмотрим пример синтеза десятичного счетчика (К n =10),

предназначенного для деления частоты на 10. В состав счетчика

входят четыре JK -триггера ( Q3 , Q2 , Q1 , Q0 ) . Входные сигналы

счета поступают по линии с ч ; каждый десятый сигнал дол жен

появляться на выходе .

Таблица 4

В табл.3.4 совмещены кодированная таблица переходов

(столбцы I - 9) , таблица кодированных выходов (столбцы 1 -5,

10) и таблица Функций возбуждения три ггеров (столбцы I - 5 ,

11-18) счетчика с К n = 10. Коэффициенты в в таблице обозна-

чают безразличные значения соответствующих сигналов.

Используя, например, диаграммы Вейча, можно получить

следующие выражения для выхода и входов триггеров:

= с ч Q3 Q0 ; J 0=K 0 = с ч ; J 2=K 2= с ч Q0 Q3 ;

J 3 =K3= с ч Q0 Q1 ; J 3 = с ч Q2 Q1 Q0 ; K 4= с ч Q0 ;

Схема синхронного десятичного счетчика, построенного в

соответствии с этими выражениями, представлена на рис.10.

Здесь сигналы с ч подаются непосредственно на входы си н-

хронизации всех триггеров, и следовательно, выражения для

входов триггеров преобразуется к виду

J 0 =K0=1; J 1 =K1=Q 3 Q1 ; J 3 =K3=Q1 Q0 ; J 4 =Q2 Q1 Q0 ; K3=Q 0 .

Рис.3.10 Рис.3.11

Схема асинхронного десятичного счетчика на JK-триггерах

представлена на рис.3.11.


Счетчик с пересчетом

№ Коэффициент

пересчета

Тип триг-

гера

1 . 9 JK – тр .

2 . 9 RS - тр .

3 . 9 T - тр .

4 . 10 JK – тр .

5 . 10 RS - тр .

6 . 10 T - тр .

7. 11 JK – тр .

8 . 11 RS - тр .

9 . 11 T - тр .

10 . 12 JK – тр .

11 . 12 RS - тр .

12 . 12 T - тр .

13 . 13 JK – тр .

14 . 13 RS - тр .

15 . 13 T - тр .

16 . 14 JK – тр .

17 . 14 RS - тр .

18 . 14 T - тр .

19 . 15 JK – тр .

20 . 15 RS - тр .

21 . 15 T - тр .

22 . 17 JK – тр .

23 . 17 RS - тр .

24 . 17 T - тр .

25 . 18 JK – тр .

26 . 18 RS - тр .

27 . 18 T - тр .

28 . 19 JK – тр .

29 . 19 RS - тр .

30 . 19 T - тр .

31 . 20 JK – тр .

32 . 20 RS - тр .

33 . 20 T - тр .

34 . 21 JK – тр .

35 . 21 RS - тр .

36 . 21 T - тр .

Задания

на лабораторную работу №3 по теории автоматов

для специальности 230101

1. Синтезировать вычитающий с четчик К С Т = 9 на Т-триггерах и

элементах И -НЕ. Схему построить на JK- триггерах.

2. Синтезировать вычитающий счетчик К С Т = 11 на Т-триггерах и











элементах ИЛИ -НЕ. Схему построить на JK- триггерах.





10. Синтезировать вычитающий сч етчик К С Т = 13 на Т -триггерах

и элементах ИЛИ -НЕ. Схему построить на JK- триггерах.

11. Синтезировать вычитающий счетчик К С Т = 14 на Т -триггерах


12. Синтезировать вычитающий счетчик К С Т = 15 на Т -триггерах


13. Синтезировать суммирующий счетчик К С Т = 9 на Т -триггерах

и элементах И -НЕ. Схему построить на JK- триггерах.

14. Синтезировать суммирующий счетчик К С Т = 11 на Т -

триггерах и элементах И -НЕ. Схему построить на JK- триггерах.



16 . Синтезировать суммирующий счетчик К С Т = 13 на Т -




18. Синтезировать суммирующи й счетчик К С Т = 15 на Т -


19. Синтезировать суммирующий счетчик К С Т = 9 на Т -триггерах



триггерах и элементах ИЛИ -НЕ. Схему построить на JK- тригге-

рах.



рах.


триггерах и элементах ИЛИ-НЕ. Схему построить на JK- тригге-

рах.



рах.



рах.

25. Синтезировать реверсивный счетчик К С Т =5 при сложении и

К С Т =5 при вычитании на Т -триггерах и элементах ИЛИ -НЕ. Схе-

му построить на JK- триггерах.


К С Т =6 при вычитании на Т-триггерах и элементах ИЛИ -НЕ. Схе-

му построить на JK- триггерах




28. Синтезировать реверсивный счетчи к КС Т =5 при сложении и



















К С Т =5 при вычитании на Т -триггерах и элементах И -НЕ. Схему

построить на JK- триггерах.

35 . Синтезировать реверсивный счетчик К С Т =6 при сложении и




К С Т =7 при вычитании на Т -триггерах и элементах ИЛИ-НЕ. Схе-




















*Два вида заданий представлены для удобства преподават е-

ля.

Кодовые кольца Особую группу составляют счетчики, раб о-

тающие по принципу циклического сдвигающего регистра (код о-

вые кольца) . Простую схему кодового кольца можно получить

из схемы сдвигающего регистра на рис.3а. если выходы триггера

TT 0 связать со входами триггера ТТ2 ( J 2 =Q0 , K2 =Q0) . Схема та-

кого кодового кольца и таблица состояний представлены на

рис.12, а и б соответственно. Из таблицы состояний следует, что

подобное кодовое кольцо можно рассматривать как счетчик с

К n= 2 п. , где п - число разрядов кольца. Д ля схемы рис. 12 ,а Kn

= 6 , так как каждый шестой по счету входной сигнал переводит

схему в исходное нулевое состояние.

Рис.3.12

Другой вариант кольца можно получить, если в схеме

рис.3.12,а переключить входы триггера ТТ2 (J 2 =Q 0 , K 2=Q0 ) и в

исходном состоянии занести единицу в один из триггеров

(например, в ТТ2 ) . В этом случае коэффициент пересчета схемы

будет равен К n =n=3 (рис.3.12,в). Различные варианты кодовых

колец подробно рассматриваются в [2].


1. Логические схемы исследуемых устройств,

2. Принципиальные схемы для исследуемых устройств в

эмуляторе.

3. Временные диаграммы по всем пунктам программы.

4. Анализ полученных результатов и краткие выводы.


ДВОИЧНЫЕ СУММАТОРЫ

Цель работы: изучение схем построения одноразрядных и

многоразрядных двоичных сумматоров на универсальных три г-

герах и логических элементах.

Двоичные сумматоры

Двоичный сумматор является операционным узлом ЦВМ,

предназначенным для арифметического суммирования двух m-

разрядных двоичных чисел A и B с фиксированной запятой

(А+В = S).

Как правило, многоразрядные сумматоры ( m>1) строятся из

одноразрядных сумматоров (ОС), каждый из которых осущест в-

ляет двоичное суммирование одноименных разрядов слагаемых

а i , и в i и переноса из предыдущего разряд а P i - 1( I=1m) . На

выходах ОС формируются значения данного ра зряда суммы S i

и переноса в следующий разряд Р i .

Одноразрядный комбинационный сумматор. Одноразрядный

комбинационный сумматор (ОКС) представляет собой комбин а-

ционную схему с тремя входами ( а i , в i , P i - 1 ) и двумя выходами

( S i , P i ) . Процесс двоичного суммирования в ОКС описывается

таблицей истинности для значений S i , P i , рассматриваемых как

переключательные функции от а i , в i , P i - 1 (рис.4.1.a) .

С помощью, например, диаграмм Вейча (рис.1 , б ,в ) можно

получить следующие минимальные дизъюнктивные нормальные

формы (ЬДНФ) для S i и P i :

11111111 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii PbaPbaPbaPbaPbaPbaPbaPbaS (4 .1)

1111 iiiiiiiiiiiii PbPabaPbPabaP (4 .2)

или

11)( iiiiiiiiiii PbabaPbabaP (4 .3)

Рис.4.1

Схема ОКС, реализующая уравнения ( 4.I) и (4.2) , представ-

лена на рис.2 . Введем следующие обозначения: s - время за-

держки образования суммы S i в ОКС; - время задержки рас-

пространения переноса через ОКС; o - среднее время задержки

одного логического элемента; S в х- суммарное число входов

логических элементов в ОКС. Для ОКС на рис. 4.2: s=3о ;

p =2о ; S в х=26. Здесь и далее предполагается, что разряды сл а-

гаемых a i , b i подаются в парафазном коде.

Рассматривая сумму S i как функцию четырех переменных

(a i , b i , P i - 1 , P i ) , можно получить для S i следующее более про -

стое выражение:

PPbaPbaPPbaPbaPPPbPaPbaS iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

111111 )( (4 .4)

На рис.4.3 представлена схема ОКС, построенная по уравн е-

ниям (4.4) и (4.3) . Здесь s=6о ; p =2о ; S в х=19.

Рассмотрим еще два варианта ОКС. Выражения для суммы

S i (4 .I ) и переноса Р i (4 .2) можно преобразовать к следующему

виду: S i=a i b iP i - 1 =м iP i - 1 ; (4 .5)

P i =a i b i (a ib i) P i - 1= a i b iм iP i - 1 (4 .6)

где - знак логической операции сложения по модулю 2:

);( yxyxyx iiiiiii bababaм .

Рис.4 .2

Рис.4.3

Схема ОКС, построенная на элементах И -НЕ в соответ-

ствии с уравнениями (4.5) и (4.6) , представлена на рис.4.4.

Здесь

;iiiiiiiiiii bababababaм

;11111111 iiiiiiiiiiiiiiiiiii PммPммPPмPммPмPмPмS

11 iibiiibii PмbaPмbaP

Для ОКС на рис.4: s=5о ; p =2о ; S в х=18.

Рис.4.4

Для сокращения времени p можно применить схему, в к о-

торой перенос представляется в виде совокупности с игналов,

передаваемых по нескольким линиям. Введем обозначения:

С i=a ib i ; T i = a i v b i Из диаграммы Вейча на рис.1 ,в получим

МДНФ для отрицания переноса Р i :

11 iiiiiii PbPabaP (4 .7)

Из уравнения (2), (5) и (7) следует:

.)(

;)(

;)(

1

1

111

iiiii

iiiii

iiiiiiii

PTCCP

PTCTP

PPTCPTCS

Обозначим 1 iiii PTCU ; )( 1 iiii PTCV

тогда

)( 1 iiii PVUS (4 .8)

iii UTP (4 .9)

iii VCP (4 .10)

Рис.4.5

Схема ОКС, соответствующая уравнениям ( 4.8) - (4 .10) ,

приведена на рис.4.5. Здесь прямое и инверсное значение пере-

носов представляются как конъюнкция пар сигналов, которые

передаются раздельно. Формирование полных значений сигн а-

лов переноса осуществляется непосредственно на входе тех

схем, на которые они поступают. В схеме рис. 4.5 p =2о ;

s=4о ; S в х=17. Недостатком схемы является большое количе-

ство связей для сигналов распространения переносов.

Одноразрядный накапливающий сумматор . Основу одно-

разрядного накапливающего сумматора (ОНС) составляет три г-

гер со счетных входом (Т -триггер) , реализующий операцию

сложения по модулю 2. При построении ОНС выражения (4.1 ) и

(4.2) для суммы S i и переноса P i преобразуются к виду

S i =a i b iP i - 1 ; (4 .11)

1)()( iiiiiii PbabbaP ; (4 .12)

Схема ОНС представлена на рис.6 . Здесь первоначально

триггер устанавливается в нулевое состояние сигналом

«Уст.0», и в нем запоминается значение a i . Далее процесс об-

разования суммы S i выполняется в два такта. В первом та кте

по управляющему сигналу у1 на счетный вход триггера под а-

ется значение b i . При этом триггер реализует операцию сл о-

жения по модулю 2 ( a i b i) . В этом же такте комбинационная

часть ОНС формирует в соответствии с уравнени ями (4.12)

сигнал переноса в следующий разряд Р i . В следующем такте

по сигналу y2 на счетный вход триггера подается значение P i - 1 .

При этом в соответствии с уравнением (4.11 ) в триггере обра-

зуется сумма S i .

Рис.4 .6

Многоразрядный накапливающий сумм атор, построенный

из ОНС, оказывается более простым, чем сумматор из ОКС,

однако в нем требуется два такта на образование суммы, что

увеличивает время выполнения операций сложения.

Рис.4.7

Можно уменьшить время образования суммы на один такт

путем применения одноразрядных комбинационно -

накапливающих сумматоров (ОКНС). В ОКНС сигнал переноса

P i формируется комбинационной схемой в соответствии с

уравнением (4.2) , а сумма S i образуется в триггере, на счетный

вход которого подается сум ма по модулю 2 (b iP i - 1) , формиру-

емая комбинационной схе мой. Схема ОКНC приведена на

рис.4.7. Здесь по сигналу y1 на счетный вход триггера, хр а-

нящего значение а i , подается сумма по модулю 2

111)( iiiiii PbPbPb . При этом в триггере согласно уравнению

(4.11 ) образуется сумма S i .

Многоразрядные сумматоры. В зависимости от способа

сложения разрядов чисел различаются последовательные и п а-

раллельные сумматоры. В последовательном сумматоре разр я-

ды чисел суммируются последовательно во времени, начиная с

младших. Основу последовательного сумматора составляют

один ОС и схема задержки переноса Р i на один такт. В состав

параллельного сумматора входят т ОС по числу разрядов сум-

мируемых чисел. ОС со единяют между собой цепями перен о-

сов. В схему параллельного сумматора ра зряды каждого сла-

гаемого подаются одновременно.

Примеры пост роения схем

Последовательный комбинационный сумматор На рис.4.9

представлена схема комбинационного сумматора при m= 3. В

состав схемы входят два сдвигающих регистра PrA и PrB, в

которые заносятся слагаемые A и В; один одноразрядный

комбинационный сумматор SM и схема задержки переноса P i

на один такт. Задержка реализуется с помощью JК -триггере

(триггера переноса TTp ) .которым используется в р ежиме Д -

триггере [2].

Рис.4.9

Суммирование в схеме р ис.4.9 осуществляется за три та к-

та {т = 3) . Пусть слагаемые занесены на соответствующие р е-

гистры, а триггер ТТp установлен в нулевое состояние. Тогда

на входах ОКС будут действовать значения младших разрядов

слагаемых а i и b i и сигнал Р0 = 0 . При этом на выходах ОКС

формируются значения S i , которые подаются на входы три г-

гера старшего разряда PrA и Р 1 , которое подается на входы

триггера переноса ТТp . Если подать сигнал сдвига, то после

его окончания числа на PrA и PrB сдвинутся вправо на один

разряд; значение S i занесется в освободившийся старший ра з-

ряд PrA; значение P i зафиксируется в триггере переноса. В

результате на входах OKС будут действовать сигналы a i , b i и

P i . К моменту подачи вто рого сигнала сдвига на выходах

ОКС будут действовать сигналы S 2 и Р2 . По окончании вто-

рого сигнала сдвига S2 занесется в старший разряд PrA, P2 -в

триггер ТТp . Окончательно, после по дачи третьего сигнала

сдвига в РгА окажется сумма S=S3 S2S 1 , а в триггере переноса

будет зафиксирован перенос из старшего разряда P 4 .

Время суммирования т -разрядных чисел в последовател ь-

ном комбинационном сумматоре равно )( 0 snсдвсдв tmmT ,где

Т с д в - период следования сигналов сдвига; с д в - длительность

сигнала сдвига; n - время переключения триггера .

Параллельный комбинационный сумматор В параллельном

комбинационном сумматоре используются n ОКС, соединенных

последовательно цепями переносов. Разряды сла гаемых A и B

подаются на входы ОКО одновременно с двух па раллельных

регистров. Схема сумматора пр и n = 3 представлена на

рис.4.10. Здесь на входы трех ОКС поступают разряды слага е-

мых с двух регистров PrA и PrB . При этом на выходах ОКС

формируются значения разрядов суммы S=S3S 2S1 . Сигналы с

выходов ОКС поступают на входы триггеров PrA . Предполага-

ется, что разряды суммы окончательно фиксируются в PrA, ко-

торый носит название регистра -накопителя сумматора. Для

этого управляющий сигнал y1 подается на входы синхрониз а-

ции всех триггеров PrA. Так как триггеры PrA двухступенчатые

о то во время действия сигнала y1 выходные сигналы тригг е-

ров не меняются, и , следовательно, на входах ОКС поддерж и-

ваются значения разрядов А. По окончании сигнала y1 в триг-

герах PrA зафиксируются разряды суммы.

Рис.4.10

Определим максимально возможное значение времени с

момента подачи на входы ОКС разрядов слагаемых до момента

формирования на выходах ОКС всех разрядов суммы. Хотя в

сумматор разряды A и В подаются одновременно, процесс

формировании сигналов переноса является последовательным.

В предельном случае сигнал переноса, возникший в младшем

ОКС. будет распространяться вплоть до старшего ОКС; сл е-

довательно, искомое вре мя равно (m-1)p + s .

Параллельный накапливающий сумматор Параллельный

накапливающий сумматор строится из m OHC , соединенных

последовательно. На рис.4.11 представлена схема на -

капливающего сумматора при т= 3. В состав схемы входят три

ОНС, связанные цепями переносов. Триггеры, входящие в с о-

став ОНС, образуют PrA, называемый регистром накопителем

сумматора.

Суммирование чисел A и В осуществляется следующим

образом. Предварительно триггеры PrA устанавливаются в

нулевое состояние сигналом "Уст.0" и в PrA записывается

первое слагаемое А (разряды А подаются на входы S тригге-

ров) . Второе слагаемое В предполагается записанным в PrВ .

Далее по управляющему сигналу y1 разряды В подаются на

счетные входы триггеров PrA. В результате в каждом i -

триггере ( i=I+m) образуется сумма по модулю 2 ( а ib i ) .

Сигналы с выходов триггеров PrA поступают в схемы фор-

мирования переносов, которые в ка ждом разряде организованы

в соответствии с уравнением (4.12). Пo сигналу у2 сформиро-

ванные сигналы переносов P i подаются на счетные входи три г-

геров PrA, в которых при этом образуются разряды суммы (с о-

гласно уравнению (4 .11 )) .

Рис.4.11

Как и в схеме комбинационного сумматора (рис.4 . 10) ,

здесь процесс формирования переносов является последов а-

тельным; максимально возможное значение времени с моме н-

та переключения триггеров PrA по сигналу у1 до момента по-

дачи сигнала y2 равно mp =2m0 .

Параллельный комбинационный сумматор с одновр еменным

переносом Параллельное суммирование используется в тех

случаях, когда требования по быстродействию не позволяют

применить последовательный сумматор. Рассмотренные пара л-

лельные сумматоры характеризуются последовательным фо р-

мированием переносов между одноразрядными сумматорами

(ОС) и носят название сумматоров с последовательным перен о-

сом. Применение их нецелесообразно, ес ли задержка распро-

странения переноса через ОС сравнима с дли тельностью такта

(Т с д в ) в последовательном сумматоре. Время суммирования

оказывается при этом почти таким, как в последо вательном

сумматоре.Для уменьшения времени суммирования примен яют

параллельные сумматоры с одновременным переносом, при н-

цип построения ко торых заключается в том, что значение ка ж-

дого разряда суммы получается в результате одновреме нного

анализа соответствующих и всех более младших разрядов сл а-

гаемых. Рассмотрим, как строится комбинационный сумматор о

одновременным переносом.

В соответствии с уравнением (4.3) для переноса из ОКС

можно записать, что

11)( iiiiiiiii PTCPbabaP (4 .13)

Из уравнения (4.13) следует, что 2111 iiii PTCP ;

3222 iiii PTCP и т .д. Подставив выражение для 1iP в уравнение

(4.13) , получим

211 iiiiiii PTTCTCP

Продолжив этот процесс подстановки до появления в пр а-

вой части уравнения переноса P 0 , т .е . входного переноса

младшего разряда сумматора, получим сл едующее выражение

для Р i ( i =I-m):

012112211 ......... PTTTTCTTTCTTCTCP iiiiiiiiii (4 .14)

В соответствии с уравнением ( 4.14) строятся схемы фор-

мирования переносов в разряды сумматора c одновременным

переносом (рис.4.12) . Так как в правой части уравнения ( 4.14)

участвуют лишь разряды слагаемых (С i =a ib i , T i=a i v b i ) и пе-

ренос P0 , которые подаются в схему суммирования одновр е-

менно, то , следовательно, переносы во все разряды суммат ора

будут формироваться одновременно. В схеме рис. 4.12 в каж-

дом ОКС выделены цепи формирования сигна лов iC и Т i .

Здесь задержка суммирования складывается из задержки в

схеме формирования переноса и вре мени образования суммы

S i в ОКС.

Рис.4.12

Сумматор о одновременным переносом является наиболее

быстродействующим, однако разря дность его ограничена х а-

рактеристиками логических элементов, а именно, коэффиц и-

ентами объединения по входу J и разветвления по выходу F.

В тех случаях, когда указанные ограничения не позволяют

строить сумматор с заданным числом разрядов, разряды

сумматора делятся на группы. При этом в пределах каждой

группы переносы формируются одновременно, а группы св я-

зываются между собой цепями последовательного или одн о-

временного переноса.


1. Принципиальные схемы для заданных типов суммат о-

ров,собранные в эмуляторе.

2. Результаты проверки правильности собранных схем сум -

маторов для различных случаев алгебраического суммиров а-

ния двоичных чисел.

Занятие 1. Минимизация переключательных функций (ПФ).

Совершенные ДНФ и КНФ используются лишь для первоначального

представления ПФ. Дело в том, что эти формы записи в ПФ не удобны для

построения КС, поскольку при их реализации получаются схемы, содержа-

щие элементы, которые можно исключить, если исходить из других форм

ПФ. Поэтому при синтезе комбинационных схем (КС) встает задача упроще-

ния записи выражения для ПФ. Эта задача называется минимизацией ПФ.

В процессе минимизации СДНФ получается последовательно в начале

сокращенная ДНФ, далее тупиковая и минимальная.

Существуют различные методы минимизации ПФ из которых чаще

всего используются методы Квайна, Мак-Класски, Блейка-Порецкого, диа-

грамм Вейча, карт Карно. В принципе все эти методы являются равновид-

ностями метода Квайна.

Метод Квайна Метод Квайна основан на преобразовании СДНФ с помощью операций неполного склеи-

вания и поглощения.

Операция склеивания: xyxxy .

Операция поглощения: xxyx .

Операция неполного склеивания: yxxyxyxxy .

Теорема Квайна. Если в совершенной ДНФ ПФ провести все операции неполного склеи-

вания, а затем все операции поглощения, то в результате получится сокращенная ДНФ,

т.е. дизъюнкция всех ее простых импликант.

В соответствии с теоремой Квайна в исходном состоянии ПФ должна быть представлена в

СДНФ. Если ПФ задана в произвольной ДНФ, то необходимо применять операцию раз-

вертывания. Эта операция заключается в умножении некоторых дизъюнктивных членов

на выражение типа: 1 хx , что, естественно, не меняет значение этих членов.

Пример.

DCBADCBADCBADCABDCBADCBADCBAf ),,,(

1 2 3 4 5 6

Результат удобно записывать в следующем виде:

1*– 2*= СВА (по D), 2 – 6* = DСА (по В), 4 – 5* = СВА ,

2 – 3*= DСВ (по А), 3 – 4* = DСА (по В), 4 – 6 = DСВ .

Звездочками помечаем дизъюнктивные члены, которые участвовали в опе-

рации склеивания и которые будут поглощены. Чтобы быстрее находить

дизъюнктивные члены, которые могут склеиваться, заметим, что склеи-

ваться могут дизъюнктивные члены, у которых число переменных с отри-

цанием отличается на единицу.

В дальнейшем конституенты единицы уже не будут склеиваться ни с

одним из полученных членов. В результате получим:

DCACBADCBDCADCBCBADCBAf ),,,(

1 2 3 4 5 6

Можно ли еще склеивать, т.е. все ли простые импликанты?

2* – 4* = DС (по В), 3* – 6* = DС (по А).

Тогда получим сокращенную ДНФ: CBACBADСDCBAf ),,,( .

Давайте запишем алгоритм для получения сокращенной ДНФ. Пусть ПФ

содержит nаргументов.

1. В СДНФ провести все возможные операции склеивания конституент 1.

В результате образуются произведения, содержащие (n–1) букву

2. Поскольку конституенты 1 в дальнейшем не будут склеиваться ни с од-

ним из полученных членов, проводят все операции поглощения.

3. Провести все возможные операции склеивания дизъюнктивных членов с

(n–1) буквами и затем все операции поглощения членной с (n–1) буквой и

т.д.

Рассмотрим еще пример. СВСАВАСВСАCBAf ),,( .

Применяя операцию развертывания, получим:

САВСВАСАВСВАСВАСВАСВАСВАВСАСВАCBAf ),,(

= СВАСАВСВАСВАВСАСВА .

1 2 3 4 5 6

1*– 2*= СА (по В), 2 – 6* = ВА (по С), 4 – 5* = СА (по В),

1 – 3*= СВ (по А), 3 – 4* = ВА (по С), 5 – 6 = СВ (по А).

В результате получим:

СВСАВАВАСВСАCBAf ),,( .

Сравнивая выражение для ),,( CBAf до операции развертывания и сокра-

щенную ДНФ видим, дизъюнктивный член ВА является лишним. Это

объясняется тем, что сокращенная ДНФ содержит все простые импли-

канты. Ясно, что некоторые импликанты можно исключить из сокращен-

ной ДНФ, не изменяя значений ПФ.

Методы получения тупиковых и минимальных ДНФ

Очередной этап упрощения или минимизации ПФ заключается в

отыскании тупиковых, а затем минимальных форм.

Определение. Дизъюнкция простых импликант, ни одну из которых ис-

ключить нельзя, называется тупиковой ДНФ заданной ПФ.

Некоторые ПФ имеют несколько тупиковых форм.

Определение. Тупиковые формы ПФ, содержащие наименьшее количе-

ство букв, называются минимальными.

Рассмотрим 2 метода отыскания тупиковых форм.

1. Метод испытания дизъюнктивных членов.

Правило испытания. Для того, чтобы испытать некоторый дизъюнк-

тивный член, необходимо исключить его из сокращенной ДНФ и подста-

вить в оставшееся выражение такие значения переменных, которые обра-

щают исключенный дизъюнктивный член в 1. Если при этом оставшееся

выражение будет тождественно равно 1, то исключенный дизъюнктивный

член является лишним.

Пример. СВСАВАВАСВСАCBAf ),,(

Испытываем СА =1, А=0, С=1. ВВCBAf ),,( =1. СА – лишний.

Его исключаем из выражения для ПФ и затем вновь проводим испытание

дизъюнктивных членов ит.д.

СВСАВАВАСВCBAf ),,( .

СВ = 1, В = 0, С = 1. АCBAf 0),,( = А, этот член исключить нельзя.

ВА = 1, А= 0, В = 1. СCBAf 0),,( =С , этот член исключить нельзя.

ВА = 1, А = 1, В = 0. 1),,( ССCBAf , этот член можно исключить.

СА = 1, А = 1, С = 0. 1),,( ВВCBAf , этот член можно исключить.

СВ = 1, В = 1, С = 0. 1),,( ВВCBAf , этот член можно исключить.

Итак, СА исключили из выражения для ПФ. Далее испытаем СВ .

САВАВАСВCBAf ),,( .

СВ = 1, В = 0, С = 1. АCBAf 0),,( = А, этот член исключить нельзя.

ВА = 1, А= 0, В = 1. 00),,( CBAf = 0, этот член исключить нельзя.

ВА = 1, А = 1, В = 0. 1),,( ССCBAf , этот член можно исключить.

СА = 1, А = 1, С = 0. ВВCBAf 0),,( , этот член исключить нельзя.

Получим: САВАСВCBAf ),,(1 . Испытывая вновь дизъюнктивные чле-

ны, увидим, что ни один из этих членов исключить нельзя. В результате

нашли одну из тупиковых ДНФ.

Если начать испытания дизъюнктивных членов с члена СВ , то получим:

СВВАСАCBAf ),,(2 .

В общем случае это громоздкий способ. Более удобно применять графиче-

ский метод.

Метод импликантных матриц

Для построения импликантной матрицы строят таблицу, в горизонтальные

и вертикальные входы которой записывают все простые импликанты и все

конституенты 1 соответственно. В таблице отмечают крестиками те кон-

ституенты 1, которые поглощаются соответствующими импликантами.

Правило. Чтобы получить минимальную ДНФ заданной ПФ, достаточно

найти минимальное число импликант, которые совместно накрывают кре-

стиками все колонки импликантной матрицы, т.е. все конституенты 1.

В результате получим:

f1 (A, B, C) = CA v BA v CB ,

f2 (А, В, С) = CB v BA v CA ,

f3 (А, В, С) = CA v CB v CA v CB . Как видим, ПФ f3 (А, В, С) тупиковая, но не

минимальная.

Выбор минимального покрытия по методу Петрика

Из импликантной матрицы может следовать достаточно большое

число вариантов покрытий, что при большой импликантной матрице за-

трудняет задачу выбора минимального покрытия.

Петрик предложил формальный метод выбора минимального покры-

тия, основанный на получении булевого выражения – конъюнкции дизъ-

юнктивных членов. Раскрывая скобки, определяем все множество возмож-

ных покрытий и из них определяем минимальные.

Пример. ))()()()()((),,,,,( fcfeeddbcabafedcbаf

= ))()(())()(( ecfbedbcafefcfecbeedbddbcacaba =

= bceabcebcdeacdebcefabefbcdfаdf .

В результате получили все множество покрытий.

f1 (A, B, C) = CA v BA v CB , f2 (А, В, С) = CB v BA v CA .

Остальные формы тупиковые, но не минимальные.

Метод минимизации Блейка-Порецкого.

Недостатком метода Квайна является то, что для его применения

необходимо представить функцию в СДНФ. Процесс такого представления

для функции с большим числом аргументов зачастую является весьма

громоздкой задачей, т.е. было бы желательно найти возможность построе-

ния сокращенной ДНФ, не по СДНФ, а по произвольной ДНФ данной

функции. Идея построения сокращенной ДНФ по произвольным ДНФ бы-

ла предложена в работах А. Блейка и П.С. Порецкого. Суть метода состоит

в том, что в произвольной ДНФ осуществляют все операции обобщенного

склеивания: Если в ДНФ для данной функции f(А, В, С) входят две конъюнкции

вида АС и BС , то имеет место следующее равенство:

АВСВАССВАС .

Запишем функцию f (А,В,С)в следующем виде:

АВСВАССАВСВАВСАССВАС .

Из этого вытекает метод построения сокращенной ДНФ. Этот метод

заключается в том, если в ПФ есть конъюнкции с переменными С и С ,то

не изменяя исходную функцию необходимо пополнить новыми членами

вида АВ. После этого надо провести поглощения и вновь повторить по-

Конст.

Пр. “1”

импл.

CAB BCA CBA BCA CAB CBA

1 2 3 4 5 6

а) CA x x

в) CB x x

с) BA x x

d) BA x x

e) CA x x

f) CB x x

полнение ДНФ. Этот процесс необходимо производить до тех пор, пока не

будут возникать новые конъюнкции вида АВ. По окончании преобразова-

ний получаем сокращенную ДНФ.

В основе метода Квайна так же лежит операция склеивания, но опе-

рация неполного склеивания, является частным случаем операции обоб-

щенного склеивания при А = В.

AС v AС = A v AС v AС .

Рассмотрим примеры:

1. Найти сокращенную ДНФ для функции трех аргументов:

2. Пусть дана функция трех аргументов:

Метод минимизации Мак-Класки

В методе Квайна есть одно существенное неудобство. Оно связано с

необходимостью полного попарного сравнения всех членов СДНФ ПФ на

этапе нахождения всех простых импликант (при выполнении всевозмож-

ных операций неполного склеивания). При большом числе переменных

применение метода Квайна становится затруднительным. Мак-Класки в

1956г. предложил модернизацию метода Квайна, дающую уменьшение

числа сравнений.

Идея метода Мак-Класки заключается в следующем. Конституенты 1

в СДНФ представляются не в буквенном виде, а виде условных чисел –

номеров соответствующих конституент.

Пример.

ABCDDABCDCBADCBABCDADCBADCBADСВАDCBAf ),,,( =

= 0000 0001 0010 0111 1001 1010 1110 1111 =

= 01279101415 = (0, 1, 2, 7, 9, 10, 14, 15).

При этом оказывается, что переменные имеют вес: ABCD 8421.

Давайте посмотрим, какие конституенты 1 склеиваются. Мы говорили, что

могут склеиваться те, у которых число отрицаний отличается на 1.

DCBADCBА = 00000001 = 01= СВА ; 01= (0,1), (1), т.е. склеиваются

конституенты 0 и 1, а в скобках указывается разность, какая переменная

исключается (А).

Еще пример: 01000110 = 46 = (4, 6), (2) – склеиваются по В.

Вводится понятие индекса. Индексом целого числа называется количество

1 в двоичном представлении этого числа; 7 = 0111 – индекс равен 3, 0000 –

индекс равен 0 и т.д. Если конституенты 1 склеиваются, то их индексы на

1, в скобках должно быть число (их разности), равное целой степени 2.

Правило. Для того чтобы два числа m и n являлись номерами двух склеи-

вающихся между собой конституент 1, необходимо и достаточно, чтобы

их индексы отличались точно на 1, чтобы сами числа отличались друг от

друга на степень 2 и чтобы число с большим индексом было больше числа

с меньшим индексом.

Так конституенты 1 с номерами 4 и 3 = 0100 и 0011 не склеиваются, хотя

их разности равны 1.

Все конституенты 1 разбиваются на группы в соответствии с индек-

сом и располагаются в порядке их возрастания. Группы отделяются друг

от друга чертой. Склеиваться могут конституенты только соседних групп.

Пример. ),,,( DCBAf (0, 1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 14, 15)

Прежде всего группируем номера конституент в порядке роста их индек-

сов. В нулевую группу попадает номер 0. В 1 группу – конституенты с ин-

дексом 1 (1 и 4), 2 (3=0011, 5=0101, 6=0110, 10-1010, и 12=1100), 3

(11=1011 и 14=1110), 4 (15=1111). В результате имеем следующее разбие-

ние конституент функции ),,,( DCBAf на группы:

0 0

1 1

4

2 3

5

6

10

12

11

14

4 15

В силу теоремы, склеивание возможно между номерами конституент

соседних групп, т.е. 0-1, 1-2, 2-3 и 3-4. Никакие другие склеивания невоз-

можны.

Необходимо также, чтобы число, стоящее в следующей группе, было

больше соответствующего числа в предыдущей группе, причем больше на

целую степень 2.

Результаты склеивания записываются парами, рядом записываются

разности номеров склеивающихся конституент. Например, 0 склеивается с

1, записывается пара (0,1) и рядом их разность: 1– 0 = 1. Запись выглядит

так: (0, 1), (1). Около склеенных номеров ставятся звездочки, показываю-

щие, что эти члены участвовали хотя бы в одном склеивании. Такие члены,

как известно, в сокращенную ДНФ уже не войдут. После завершения

склеивания групп отделяем горизонтальной чертой полученные выраже-

ния. Дальше осуществляется та же процедура, но теперь склеиваются

между собой полученные пары. Под парой подразумевается трехбуквенное

выражение. Для склеивания пар применяются те же правила, но добавля-

ется еще одно условие: разности у склеиваемых пар должны быть одина-

ковы. При этом оказывается, что переменные в выражении одинаковы. 0 0 *

1 1 *

Возьмем, например, пары (0, 1),(1) и (1, 3), (2). 0 и 1 склеиваются, 1 и 3

тоже, но разности у них не одинаковы – поэтому склеивание невозможно (у

первой пары нет переменной D, у второй пары нет переменной С – они, ко-

нечно, и не могут склеиваться).

В результате склеивания пишем уже четверки (0, 1, 4, 5) и две разности

(1, 4), т.е. в результирующем выражении нет 2-х переменных B и D.

После завершения этих склеиваний получают, если возможно, вось-

мерки, при этом должны совпадать уже разности в скобках у четверок и т.д.

Обозначим пары и четверки, которые не участвовали в склеивании, ла-

тинскими буквами. Тогда edcbaDCBAf ),,,( . При получении выра-

жения для импликант а, в, с и т.д., поступают следующим образом: берут

любую из конституент 1, участвующих в операции склеивания, и исключают

переменные, указанные в разностях.

Например, для импликанты а получим: 0001= DCBA . Разность 2 гово-

рит о том, из выражения необходимо исключить переменную с весом 2, т.е.

С. Тогда а = DBA .

Аналогично получим:

для в: 0011= СDBA , в = DCB , для с: 0001= DCBA , с = CA , для d: 0100 =

= DCВA , d = DВ , для e: 1111=AC, e = АС. В результате получим:

ACDBCADCBDBADCBAf ),,,( .

Занятие 2. Диаграммы Карно-Вейча для полностью определённых ПФ.

Минимизация не полностью определённых ПФ. Построение комбинаци-

онных схем.

Диаграмма Вейча является фактически таблицей истинности ПФ,

которая представляется не в виде столбцов, а в виде специальных карт.

Каждой клетке диаграммы соответствует определенный набор значений

аргументов. Поэтому диаграммы можно рассматривать как графическое

представление совокупности всех конституент единицы. При этом диа-

4 *

2 3

5

6

10

12

*

*

*

*

*

3 11

14

*

*

4 15 *

(0,1), (1) *

(0,4), (4) *

(0,1,4,5), (1,4) (с)

(0,1,4,5), (4,1)

(1,3), (2) (а)

(1,5), (4) *

(4,5), (1) *

(4,6) , (2) *

(4,12), (8) *

(4,6,12,14), (2,8) (d)

(4,6,12,14), (8,2)

(10,11,14,15) (1,4) (e)

(10,11,14,15) (4,1)

(3,11), (8) (в)

(6,14), (8) *

(10,11), (1) *

(10,14), (4) *

(12,14), (2) *

(11,15), (4) *

(14,15), (1) *

грамма строится таким образом, что склеивающиеся между собой консти-

туенты единицы оказываются расположенными в соседних клетках, т.к.

отличаются значением только одной переменной. Приведем примеры по-

строения диаграммы Вейча и карт Карно для ПФ от разного числа аргу-

ментов.

1) переключательные функции двух аргументов:

Диаграмма Вейча:

Для представления функции с помощью диаграмм Вейча или карт

Карно следует записать единицы в клетках таблицы, соответствующие

наборам, на которых функция равна единице, а нули в остальные клетки.

При склеивании соседние конституенты будем обводить овалом.

2) переключательные функции трех переменных.

В этой карте соседними клетками являются также крайние клетки

каждой строки, т.к. расположенные в них конституенты отличаются друг

от друга значением только одной переменной. Такую диаграмму следует

рассматривать, как свернутую в цилиндр.

Минимизация ПФ с помощью диаграмм Вейча и карт Карно сводит-

ся к такому объединению соседних единиц в группы, при котором каждая

группа содержит максимальное число единиц, а количество таких групп

минимально. При этом все единицы диаграммы Вейча данной функции

накрываются наименьшим числом наиболее коротких произведений (им-

пликант).

3) переключательные функции четырех переменных.

4) нарисуем схему в булевом базисе:

ДНФ

КНФ

Построим схему реализующую функции f1 в базисе И-НЕ (штрих

Шеффера). Для этого осуществим переход от булевого базиса к базису И-

НЕ.

Минимизация не полностью определённых ПФ.

В ЭВМ часто применяются комбинационные схемы (КС), закон

функционирования которых определен не полностью. В таких схемах не-

которые комбинации сигналов на входы никогда не подаются. Эти комби-

нации входных сигналов называются запрещенными. Для запрещенных

входных комбинаций выходные сигналы не определены, т.е. могут прини-

мать любые значения (0 или 1). Поэтому при синтезе КС с не полностью

заданным законом функционирования можно произвольно задать значение

выходных сигналов для запрещенной комбинации входных сигналов, по-

скольку нормальная работа схемы при этом не нарушается. Обычно вы-

ходным сигналам на запрещенных комбинациях придают такие значения,

при которых можно построить наиболее простую схему. Работа схем с за-

прещенными комбинациями входных сигналов описывается не полностью

определенными ПФ, т.е. функциями, значения которых определены не на

всех наборах аргументов. Поэтому минимизация не полностью определен-

ных ПФ с помощью карт Карно сводится к такому доопределению ПФ,

при котором получаются группы с максимальным числом соседних единиц

в каждой группе, а число таких групп минимально. При этом ПФ будет со-

держать минимум букв.

Пример:

Найти минимальную ДНФ и минимальную КНФ не полностью

определенной ПФ от четырех переменных. Функция равна единице на

наборах: f=v(2,12,13) и равна нулю на наборах: f=v(5,9,15). На остальных

наборах функция не определена.

Занятие 3. Конечные автоматы. Способы их задания.

Элементарные автоматы.

Для задания конечного автомата S необходимо задавать совокуп-

ность из пяти объектов: S(A, X, Y, , ),

где A = {a0,a1,a2,...,an} – множество внутренних состояний автомата,

X = {x1, x2,…, xm} – множество входных сигналов (входной алфавит),

xi буква входного алфавита,

Y = {y1, y2,…, yk} – множество выходных сигналов (выходной алфа-

вит),

- функция переходов, определяющая состояние автомата a(t+1), в

котором автомат будет находится в момент времени (t+1), в зависимости

от состояния автомата a(t) и входного сигнала x(t) в момент времени t, т.е.

a(t+1) = [a(t), x(t)],

- функция выходов, определяющая значение выходного сигнала

y(t) в зависимости от состояния автомата a(t) и входного сигнала x(t) в

момент времени t, т.е. y(t) = [a(t), x(t)].

Автомат работает следующим образом, в каждый момент времени t он

находится в определенном состоянии a(t) из множества А возможных со-

стояний. Причем в начальный момент времени t = 0, он всегда находится в

состоянии a(t = 0) = a0. В момент времени t автомат воспринимает входной

сигнал x(t), выдает выходной сигналу y(t) = [a(t), x(t)] и переходит в сле-

дующее состояние a(t+1)=[a(t), x(t)]. Другими словами абстрактный ав-

томат каждой паре символов a(t) и x(t) ставит в однозначное соответствие

пару символов a(t+1) и y(t). Такие автоматы называют детерминирован-

ными. На преобразование информации в детерминированных автоматах

наложены условия.

Кроме детерминированных автоматов существуют вероятностные

или стохастические автоматы, в которых переход из одного состояния в

другое под воздействием случайных или детерминированных входных

сигналов происходит случайно. Работа таких автоматов описывается уже

матрицей переходов , элементами которой являются вероятности перехо-

дов из одного состояния в другое.

Задание автомата

Чтобы задать конечный автомат S необходимо описать все элементы мно-

жества S = {A, X, Y, , } . То есть необходимо описать входной, выход-

ной алфавиты и алфавит состояний, а также функции переходов и выхо-

дов . При этом среди множества A = {a0,a1,…, an} необходимо выделить

начальное состояния a0, в котором автомат находится в момент времени t

= 0. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее

часто используются табличный и графический.

Табличный способ

При табличном способе задания автомат Мили описывается двумя табли-

цами: таблицей переходов и таблицей выходов.

Таблица переходов

xj\ai a0 … an

x1 (a0,x1) … ( an,x1)

… … … …

xm (a0,xm) … ( an,xm)

Таблица выходов

xj\ai a0 … an

x1 (a0,x1) … (an, x1)

… … … …

xm (a0,xm) … (an,xm)

Строки этих таблиц соответствуют входным сигналам x(t), а столбцы –

состояниям. На пересечении столбца ai и строки xj в таблице переходов

ставится состояние as = [ ai, xj], в которые автомат перейдет из состояния

ai под воздействием сигнала xj; а в таблице выходов – соответствующий

этому переходу выходной сигнал yg = [ ai,xj]. Иногда автомат Мили зада-

ют совмещенной таблицей переходов и выходов, она в некоторых случаях

более удобна.

Совмещенная таблица переходов и выходов автомата Мили.

xj\ai a0 … an

x1 (a0,x1)/

(a0,x1)

… (an,x1)/

(an,x1)

… … … …

xm (a0,xm)/

(a0,xm)

… (an,xm)/

(an,xm)

Задание таблиц переходов и выходов полностью описывает работу конеч-

ного автомата, поскольку задаются не только сами функции переходов и

выходов, но также и все три алфавита: входной, выходной и алфавит со-

стояний. Так как в автомате Мура выходной сигнал однозначно определя-

ется состоянием автомата, то для его задания требуется только одна таб-

лица, которая называется отмеченной таблицей переходов автомата Мура.

Отмеченная таблица переходов автомата Мура:

yg (a0) … (an)

xj\ac a0 … an

x1 (a0,x1) … (an,x1)

… … … …

xm (a0,xm) … (an,xm)

В этой таблице каждому столбцу приписан, кроме состояния ai, еще и вы-

ходной сигнал y(t) = (a(t)), соответствующий этому состоянию. Таблица

переходов автомата Мура называется отмеченной потому, что каждое со-

стояние отмечено выходным сигналом.

Примеры табличного задания автоматов Мили и Мура:

Автомат Мура

yg y2 y1 y1 y3 y2

xj\xj a0 a1 a2 a3 a4

x1 a2 a1 a3 a4 a2

x2 a3 a4 a4 a0 a1

Автомат Мили

xj\ai a0 a1 a2 a3

x1 a1/y1 a2/y3 a3/y2 a0/y1

x2 a0/y2 a0/y1 a3/y1 a2/y3

По этим таблицам можно найти реакцию автомата на любое входное сло-

во. Например:

Для автомата Мура:

x1 x2 x2 x2 x1 …

a0 a2 a4 a1 a4

y2 y1 y2 y1 y2

Для автомата Мили:

x1 x2 x2 x2 x1 …

a0 a1 a0 a0 a0 a1

y1 y1 y2 y2 y1

Графический способ

При графическом способе задание автомата осуществляется с помощью

графа. Этот способ основан на использовании ориентированных связных

графов. Вершины графов соответствуют состояниям автомата, а дуги – пе-

реходам между ними. Две вершины графа ai и as соединяются дугой,

направленной от ai к as, если в автомате имеется переход из ai в as, то есть

as = (ai, xj). В автомате Мили дуга отмечается входным сигналом xj, вы-

звавшим переход, и выходным сигналом yg, который возникает при пере-

ходе. Внутри кружочка, обозначающего вершину графа, записывается со-

стояние.

Граф для автомата Мили

Граф для автомата Мура

Элементарные автоматы

Элементарные автоматы, имеющие следующие особенности:

1. Они являются автоматами Мура с двумя внутренними состояниями;

2. Автомат имеет два различных выходных сигнала, соответствующих

двум его внутренним состояниям. В дальнейшем состояния автомата

и его выходные сигналы будем обозначать одной буквой Q.

Элементарные автоматы могут иметь, в общем случае, несколько физиче-

ских входов:

В качестве элементарных автоматов в вычислительной технике использу-

ются триггеры. Рассмотрим некоторые из них.

Т-триггер. Это автомат Мура с двумя устойчивыми состояниями и одним

входом Т, который изменяет свое состояние всякий раз, когда сигнал Т=1 .

Таблица переходов Т- триггера:

yg 0 1

xj\ai 0 1

T=0 0 1

T=1 1 0

Из таблицы переходов видно, что Т-триггер обладает полной системой пе-

реходов и выходов, поскольку для каждой пары состояний (0-0, 0-1, 1-0,

1-1) имеется входной сигнал, обеспечивающий переход из одного состоя-

ния в другое. Кроме того, каждое состояние автомата отмечено отличным

от других выходным сигналом. На практике более удобно вместо отме-

ченных таблиц переходов пользоваться так называемыми матрицами пере-

ходов элементарных автоматов:

T Q(t) Q(t+1)

0 0 0

1 0 1

1 1 0

0 1 1

Матрица переходов определяет значения сигналов на входах элементарно-

го автомата, обеспечивающие каждый их четырех возможных переходов.

Здесь Q(t) и Q(t+1) – состояния автомата в моменты времени t и t+1 соот-

ветственно. Для записи закона функционирования Т-триггера в аналитиче-

ском виде составим диаграмму Вейча по матрице перехода:

T\Q(t) 0 1

0 0 1

1 1 0

Из диаграммы имеем: )()()()()1( tQtTtQtTtQ или )()()1( tQtTtQ .

Поскольку эта формула совпадает с переключательной функции сложение

по модулю два, то Т-триггер часто называют триггером со счетным вхо-

дом Т, а входной сигнал, поступающий на вход Т, счетным сигналом. На

практике кроме асинхронного используют так же и синхронный Т-триггер,

который меняет свои состояния только при Т = 1 и С = 1. Вход С называ-

ют входом синхронизации. Поясняющая работу комбинационная схема и

обозначение синхронного Т-триггера представлены на рисунке:

Обозначение синхронного Т-триггера на функциональных

схемах:

RS-триггер

RS-триггером называют автомат Мура с двумя устойчивыми состояния-

ми, имеющий два входа R и S такие, что при S=1 и R=0 триггер принимает

состояния 1, а при R=1 и S=0 – состояние 0.

В соответствие с состоянием, принимаемым триггером, вход S называет

единичным входом, а вход R нулевым. Матрица переходов RS-триггера:

R S Q(t) Q(t+1)

b1 0 0 0

0 1 0 1

1 0 1 0

0 b2 1 1

Комбинация сигналов R=1 и S=1 является запрещенной и поэтому

переход в триггере при таких значениях входных сигналов не определен.

Переход триггера из 0 в 0 возможен при двух комбинациях входных сиг-

налов: R=0, S=0 и R=1, S=0. Поэтому в первой строке матрицы переходов

RS триггера в столбце R поставлена переменная b1, которая может прини-

мать два значения 01. Аналогично, переход из состояния 1 в 1 также

возможен при двух комбинациях входных сигналов: R=0, S=0 и R=0, S=1.

Поскольку при таком переходе значения сигнала на входе S безразлично,

то в нижней строке матрицы переходов в столбце S записана переменная

b2. По матрице переходов можно построить граф RS-триггера.

Автоматы, которые могут переходить из одного состояния в другое под

действием нескольких комбинаций входных сигналов, называются автома-

тами с избыточной системой переходов. Избыточность можно использо-

вать в процессе синтеза для упрощения схемы, придавая переменным b1 и

b2 такие значения, которые позволяют минимизировать число элементов.

Поэтому, если схемы двух элементарных автоматов равноценны по слож-

ности, то предпочтение отдают автомату, имеющему большую избыточ-

ность системы переходов. Запишем закон функционирования RS-триггера

в аналитическом виде, для чего составим по матрице переходов диаграмму

Вейча:

SQ(t)

T 00 01 10 11

0 0 1 1 1

1 0 0 - -

Пустые клеточки соответствуют запрещенной комбинации входных сигна-

лов. При минимизации эти клеточки можно заполнить произвольным об-

разом, в нашем случае лучше единичным значением. Тогда имеем:

)()1( tRQStQ .

JK-триггер. JK-триггером называют автомат Мура с двумя устойчивыми

состояниями и двумя входами J и K, который при условии J * K = 1 меня-

ет свое состояние на противоположное. В остальных случаях он функцио-

нируют в соответствии с таблицей истинности RS-триггера, при этом вход

J эквивалентен входу S, а вход K - входу R. Этот триггер уже не имеет за-

прещенной комбинации входных сигналов и его таблица истинности имеет

вид:

J K Q(t) Q(t+1)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

По этой таблице можно построить диаграмму Вейча и матрицу переходов:

KQ(t)

J 00 01 10 11

0 0 1 0 0

1 1 1 0 1

Матрица переходов JK-триггера

J K Q(t) Q(t+1)

0 b1 0 0

1 b2 0 1

b3 1 1 0

b4 0 1 1

)()()1( tQKtQJtQ

Универсальный триггер

Триггер JK типа относится к разряду универсальных триггеров, поскольку

на его основе путем несложной внешней коммутации можно построить

RS-, D- и T- триггера.

RS-триггер получается из JK-триггера простым наложением ограничения

на комбинацию входных сигналов J=K=1, так как эта комбинация является

запрещенной для RS триггера.

Счетный триггер на основе JK-триггера получается путем объединения

входов J и K.

D-триггер

D-триггером (триггером задержки) называют элементарный автомат му-

ра с двумя устойчивыми состояниями и одним входом D таким, что Q(t+1)

= D(t). Название D-триггера происходит от слова “delay” – задержка. Из

определения следует, что состояние триггера в момент времени t+1 повто-

ряет значение входного сигнала D(t) в момент времени t. Матрица перехо-

дов для D-триггера:

D Q(t) Q(t+1)

0 0 0

1 0 1

0 1 0

1 1 1

Обозначения асинхронного и синхронного D-триггеров.

В синхронном D-триггере при С=0 триггер свое состояние не меняет, а

при С=1 работает так же, как и асинхронный, то есть

___

Q(t+1)=D(t)*C(t) v Q(t)* C(t)

Граф D-триггера

D-триггер строится на основе JK-триггера:

Занятие 4. Структурный синтез цифровых автоматов и их схемная реа-

лизация.

В структурной теории автомат представляют в виде композиции

двух частей: запоминающей части, состоящей из элементов памяти и ком-

бинационной части, состоящей из логических элементов.

Структурная схема

Комбинационная схема, строится на логических элементах, образующих

функционально полную систему, а память – на элементарных автоматах,

обладающих полной системой переходов и выходов.

Каждое состояние абстрактного автомата ai, где i={0, n}, кодируется в

структурных автоматах набором состояний элементов памяти Qr, r={1, R}.

Поскольку в качестве элементов памяти используются триггера, то каждое

состояние можно закодировать двоичным числом ai = Q1a1Q2

a2... Qrar.

Общее число необходимых элементов памяти можно определить из соот-

ношения: . Здесь (n+1) – число состояний. Логарифмируя нера-

венство получим . Здесь ] C [ означает, что необходимо

взять ближайшее целое число, большее или равное C.

В отличие от абстрактного автомата, имеющего 1 входной и 1выходной

каналы, на которые поступают сигналы во входном X={x1, x2,..., xm} и вы-

ходном Y={y1, y2,..., yk} алфавитах, структурный автомат имеет L входных

и N выходных каналов. Каждый входной xj и выходной yj сигналы аб-

страктного автомата могут быть закодированы двоичным набором состоя-

ний входных и выходных каналов структурного автомата.

xi = o1a1

o2a2... oL

aL

yg = Z1a1Z2

a2... ZNaN

Здесь of и Zh– состояния входных и выходных каналов соответственно.

Очевидно, что число выходов L и N можно определить по формулам

; , аналогичным формуле для определения R.

Изменение состояния элементов памяти происходит под действием сигна-

лов U=(U1,U2,...,Ur), поступающих на их входы. Эти сигналы формируются

комбинационной схемой II и называются функций возбуждения элемен-

тарных автоматов. На вход комбинационной схемы II, кроме входного

сигнала xj, по цепи обратной связи поступают сигналы Q=(Q1, Q2, ..., QR),

называемые функцией обратной связи от памяти автомата к комбинацион-

ной схеме. Комбинационная схема I служит для формирования выходного

сигнала yg, причем в случае автомата Мили на вход этой схемы поступает

входной сигнал xj, а в случае автомата Мура – сигнал xj не поступает, так

как yg не зависит от xj.

Табличный метод структурного синтеза

Структурный синтез конечных автоматов заключается в выборе типов

элементарных автоматов, в составлении функции возбуждения каждого

элементарного автомата и функций кодированных выходов заданного ав-

томата. На этапе структурного синтеза выбираем также способ кодирова-

ния состояний и выходных сигналов заданного автомата через состояния и

выходные сигналы элементарных автоматов, в результате чего составляют

кодированные таблицы переходов и выходов. Функции возбуждения эле-

ментарных автоматов и функции выходов получаются на основе кодиро-

ванной таблицы переходов и выходов. Рассмотрим примеры синтеза, кото-

рые позволяют сформулировать общий алгоритм структурного синтеза ко-

нечных автоматов.

Пусть необходимо синтезировать автомата Мили, заданный совмещенной

таблицей переходов и выходов:

xj\ai a0 a1 a2

x1 a1/y1 a1/y2 a1/y2

x2 a2/y3 a2/y3 a0/y1

В качестве элементарных автоматов будем использовать JK-триггера, а в

качестве логических элементов – элементы И, ИЛИ, НЕ. Итак, имеем

A={a0, a1, a2}; X={x1, x2}; Y={y1, y2, y3}. Здесь n=2, n+1=3; m=2, k=3.

1.Перейдем от абстрактного автомата к структурному, для чего определим

количество элементов памяти R и число входных L и выходных N кана-

лов.

R = ] log2(n+1) [ = 2

L = ] log2 m [ = 1

N = ] log2 k [ = 2

Таким образом, необходимо иметь два элементарных автомата Q1 и Q2

(так как R=2), один входной канал O1 и два выходных канала Z1 и Z2.

2.Закодируем состояния автомата, входные и выходные сигналы:

Таблицы

кодирования

состояний входных выходных

автомата сигналов сигналов

aj Q1 Q2

a0 0 0

a1 0 1

a2 1 0

xj O1

x1 0

x2 1

yg z1 z2

y1 0 0

y2 0 1

y3 1 0

Здесь и в дальнейшем будем использовать естественное кодирование, ко-

гда наборы значений двоичных переменных расписываются в порядке воз-

растания их номеров. Поскольку автомат имеет три состояния, то комби-

нация состояний элементарных автоматов 11 не используется и является

запрещенной (автомат в это состояние никогда не попадет). С учетом ко-

дирования составим совмещенную таблицу переходов и выходов автомата:

xj\ai 00 01 10

0 01/00 01/01 01/01

1 10/10 10/10 00/00

3. Строим кодированные таблицы переходов и выходов. Кодированная

таблица переходов определяет зависимость состояний

элементарных автоматов в момент времени (t+1) от значения входного

сигнала и внутренних состояний автоматов в предшествующий момент

времени t, т.е.: Qi(t+1)=fi[Q1(t), Q2(t),…,QR(t),O1(t),…, OL(t)].

В кодированной таблице выходов выходные сигналы Zl(t) определяются в

зависимости от значения входных сигналов и внутренних состояний в мо-

мент времени t, т.е.: Zl(t)=fi[Q1(t),Q2(t),…,QR(t),O1(t),…,OL(t)].

Кодированная таблица переходов и выходов имеет следующий вид:

(t) (t+1)

o1 Q1 Q2 Z1 Z2 Q1 Q2

0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0 1

0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 - - - -

1 0 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 - - - -

4.Основная задача, решаемая в процессе структурного синтеза – построе-

ние таблицы функций возбуждения элементарных автоматов. При постро-

ении этой таблицы используется матрица переходов JK-триггера.

J K Q(t) Q(t+1)

0 b1 0 0

1 b2 0 1

b3 1 1 0

b4 0 1 1

С помощью матрицы переходов заполняются столбцы таблицы функций

возбуждения. В строках этой таблицы записываются значения J и K, обес-

печивающие нужный переход.

Таблица функций возбуждения

(t) (t+1)

o1 Q1 Q2 J1 K1 J2 K2 Q1 Q2

0 0 0 0 b 1 b 0 1

0 0 1 0 b b 0 0 1

0 1 0 b 1 1 b 0 1

0 1 1 - - - - - -

1 0 0 1 b 0 b 1 0

1 0 1 1 b b 1 1 0

1 1 0 b 1 0 b 0 0

1 1 1 - - - - - -

В результате мы получим систему переключательных функций Z1(t), Z2(t),

J1(t), K1(t), J2(t) и K2(t) заданных в виде таблиц их истинности.

5.Следующий этап – синтез комбинационной части конечных автоматов.

Обычно полученные переключательные функции минимизируют и пред-

ставляют в булевом базисе, а переход к заданному базису осуществляют

после.

В нашем случае мы имеем 6 переключательных функций трёх аргументов,

для каждой из которых построим диаграмму Вейча.

Диаграммы Вейча

Обычно полученную систему ПФ минимизируют совместно. Однако сов-

местная минимизация всех ПФ представляет собой достаточно трудоем-

кую и длительную операцию, применимую, в общем случае, при исполь-

зовании машины. В результате минимизации мы получим следующую

схему конечного автомата:

Функциональные схемы, получаемые в результате структурного синтеза, в

дальнейшем на этапе инженерной доработки подвергаются изменениям.

Эти изменения связаны с тем, что добавляются специальные цепи, учиты-

вающие технические особенностями конечных автоматов.

Технические особенности конечных автоматов

В схемах ЭВМ все сигналы изменяются и воспринимаются, как правило, в

дискретные моменты времени, обозначаемые числами натурального ряда

t=0, 1,…. Для отметки моментов дискретного времени ЭВМ содержит спе-

циальный блок, вырабатывающий синхронизирующие импульсы (СИ),

следующие через равные интервалы времени Т. Этот интервал времени Т

определяет такт работы устройства.

Поэтому первая техническая особенность связана с необходимостью

синхронизации работы конечного автомата, причем синхронизации под-

лежат не только выходные сигналы, но и функции возбуждения. В связи с

этим в автомат обычно вводят две серии синхроимпульсов СИ1 и СИ2,

сдвинутых на половину периода друг против друга. Две серии синхроим-

пульсов СИ1 и СИ2

Под действием СИ1, формируются выходные сигналы

Zl(t) = g[a(t),x(t)], а под действием СИ2 автомат переводится в новое состо-

яние a(t+1).

Здесь U – сигналы возбуждения триггера. Согласно приведенной

схеме на входах каждого из триггеров стоят двухвходовые элементы И. На

практике триггера часто выполняются в синхронном варианте (синхрон-

ные триггера), когда упомянутые элементы И включают в схему триггера.

Например, схему синхронного триггера RS-типа можно рассматривать как

состоящую из асинхронного RS-триггера, ко входам R и S которого под-

ключены двухвходовые элементы И. На эти элементы кроме входных сиг-

налов поступает синхронизирующий сигнал, обозначаемый буквой C.

Очевидно, синхронные триггера будут сохранять свои состояния при С=0,

а переходы в них возможны при С=1. Если С=1, то переходы в синхрон-

ном триггере будут осуществляться также, как в асинхронном. Примене-

ние синхронных триггеров в качестве элементов память конечного автома-

та облегчает организацию синхронизации таких автоматов. Синхронные

триггера

Вторая техническая особенность конечного автомата связана с возмож-

ностью возникновения неустойчивых состояний и так называемых «гонок»

в автомате. Понятие устойчивости заключается в следующем. Пусть в гра-

фе автомата мы имеем такой участок:

Здесь оба перехода (ai --> as) и (as --> af) выполняются под действием

одного и того же входного сигнала xj. Если длительность синхронизирую-

щего сигнала СИ2 больше времени перехода автомата из состояния ai в со-

стояние as, то сразу после перехода автомата в as может начаться переход в

следующие состояния af под действием того же входного сигнала xj. Таким

образом автомат может перескочить состояние as и к моменту времени t+1

оказаться не в as, как это требуется по графу, а в af. Состояние as в данном

случае будет неустойчивым.

Другой неприятный момент заключается в том, что при работе авто-

мата могут возникать так называемые «гонки» (состязания). Дело в том,

что триггера в схеме имеет различные времена срабатывания, а также раз-

личные времена задержек сигналов обратной связи, которые поступают с

выходов триггеров на их входы через комбинационную схему II. По этим

причинам, если при переходе автомата из состояния ai в as должны изме-

ниться состояния нескольких триггеров, то между выходными сигналами

этих триггеров начинаются гонки. Тот триггер, который выиграет гонки,

то есть изменит свое состояние раньше других триггеров, может через

цепь обратной связи изменить сигналы возбуждения на входах других

триггеров до того момента, как они изменят свои состояния. Это, очевид-

но, может вызвать переход автомата совсем не в то состояние, которое

нужно графу. Например. Пусть ai=101, as=010. Тогда при переходе из ai в

as под действием входного сигнала xj меняются состояния всех триггеров.

Допустим, что первый триггер изменил свое состояние раньше других. В

этом случае автомат окажется в некотором промежуточном состоянии

ah=001, и если из этого состояния есть переход под действием сигнала xj в

al=011, то автомат в момент времени t+1может оказаться в al, а не в as.

Для устранения описанного эффекта гонок и неустойчивых состояний ча-

сто используют двойную память в автомате, когда каждый триггер в схеме

дублируется. Структурная схема автомата выглядит при этом следующим

образом:

Структурная схема автомата

Здесь под действием синхронизирующего сигнала СИ1 формируются вы-

ходные сигналы Zl(t) и переключаются триггера первого ряда. Под дей-

ствием СИ2 состояния триггеров первого ряда переписываются в соответ-

ствующие триггера второго ряда. Поскольку СИ2 сдвинуты относительно

СИ1, а сигнал обратной связи о состоянии автомата снимается с триггеров

второго ряда, то в момент поступления входного сигнала, то есть в СИ1,

состояние автомата не изменяется и продолжает оставаться прежним до

СИ2. Поэтому в такой схеме полностью обеспечивается устойчивость со-

стояний и устраняется влияние гонок. Действительно, гонки сигналов с

выходов триггеров второго ряда возможны в момент СИ2, то есть. в мо-

мент переключения этих триггеров. Но в момент СИ2=1, СИ1=0 и следова-

тельно эти гонки никак не могут повлиять на состояния триггеров первого

ряда, которые переключаются в момент СИ1=1. Также не будет и неустой-

чивых состояний, поскольку автомат не может проскочить за один такт

через одно состояние и перейти в следующее, ибо в момент перехода триг-

геров первого ряда в новое состояние, то есть в СИ1, состояние триггеров

второго ряда не меняется (СИ2=0) и, следовательно, не могут измениться и

сигналы возбуждения триггеров первого ряда, которые зависят от состоя-

ния триггеров второго ряда. Поэтому автомат не может проскочить состо-

яние.

С целью упрощения построения схем автоматов, имеющих двойную па-

мять, промышленность выпускает специальные двухступенчатые триггера.

Рассмотрим работу такого триггера на примере двухступенчатого JK-

триггера.

Особенностью двухступенчатого триггера является то, что он меняет свое

состояние в момент окончания синхронизирующего сигнала С. В резуль-

тате этого во время действия сигнала С выходные сигналы триггера не ме-

няются, а происходит запись информации в триггер Т1. В момент С=0 со-

стояние триггера Т1 переписывается в Т2.

Двухступенчатый триггер

Занятие 5. Синтез регистров и счетчиков

Для приема и выдачи чисел, представленных в последовательном

коде и используются регистры последовательного действия, основу кото-

рых составляют регистры сдвига. Регистр сдвига осуществляет операцию

сдвига записанного в него двоичного числа влево или вправо на один или

несколько разрядов при подаче специального управляющего сигнала

«сдвиг». Рассмотрим процесс синтеза двухразрядного сдвигающего реги-

стра на D-триггерах. Регистр должен работать следующим образом: в мо-

мент прихода синхронизирующего сигнала «С» код сдвигается в регистре

вправо на один разряд. При этом разряды числа, сдвигаемые вправо, теря-

ются, а в освобождающиеся слева разряды вводятся разряды числа, посту-

пившего в последовательном коде на его вход. Имеем следующую кодиро-

ванную таблицу переходов и функции возбуждения (таблица выходов не

строится, ибо выходами регистра являются выходы самих триггеров).

Кодированная таблица переходов и функций возбуждения

Используя диаграммы Вейча, получаем следующие минимальные дизъ-

юнктивные нормальные формы функций возбуждения триггеров:

Отсюда получаем следующую схему сдвигающего регистра:

С целью устранения гонок и неустойчивых состояний используются двух-

ступенчатые D-триггера.

Двухступенчатый D-триггер

Аналогично строится и n-разрядный регистр сдвига, который содержит n

последовательно соединенных D-триггеров, причем вход первого триггера

является входом регистра.

По приведенной методике можно построить регистр сдвига информации

влево или вправо и на другой элементной базе, например на RS или JK

триггерах. Заметим, что в случае сдвига информации, хранящейся в реги-

стре, и отсутствии входного сигнала, в освобождающиеся разряды реги-

стра вводятся нули. Например, регистр сдвига вправо на один разряд на

синхронных JK- триггерах имеет вид.

Схема регистра, дополненная схемой ввода информации

Заполнение регистра в этом случае будет происходить в течение n тактов,

после чего число, находящееся в регистре, может быть прочитано в парал-

лельном коде. Цепи ввода и вывода числа в такой регистр в параллельном

коде, такие же, как и у параллельного регистра. Регистр сдвига на функци-

ональных схемах обозначается следующим образом:

Для указания направления сдвига используется стрелка: сдвиг в сторо-

ну старших разрядов, сдвиг в сторону младших разрядов.

Синтез счетчиков

Синтезировать 3-х разрядный счетчик с коэффициентом пересчета Кст =2n

=8. Синтез такого счетчика можно провести на основании кодированной

таблицы переходов трехразрядного счетчика и таблицы функций возбуж-

дения:

На основании этой таблицы построим диаграммы Вейча для сигналов воз-

буждения триггеров, рассматривая их как функции состояний триггеров

Q1(t), Q2(t), Q3(t). При =1. Имеем:

Из диаграмм получаем следующие выражения для сигналов возбуждения

триггеров T1=; T2=Q1; T3= Q1Q2. Если бы мы синтезировали n-

разрядный счетчик, то получили бы следующие выражения для сигналов

возбуждения триггеров:

T1=; T2=Q1; T3=Q1Q2; T4=Q1Q2Q3; … Tn=Q1Q2Q3…Qn-1

Счетчик, построенный в соответствии с этими уравнениями носит назва-

ние счетчика с одновременным или параллельным переносом.

Т.к. во всех функциях возбуждения присутствует входной сигнал , то та-

кой счетчик целесообразно строить на синхронных Т-триггерах, подавая

счетные сигналы на входы синхронизации всех триггеров. В результате

получаем следующую схему:

Синтез счетчиков с коэффициентом пересчета k2n.

Для многих устройств ЭВМ необходимы счетчики с k2n. Такие счетчики

называют еще пересчетными схемами.

Синтезируем счетчик с коэффициентом пересчета равным 5 (на Т-

триггерах). Такой счетчик имеет пять состояний (от 0 до 4). Количество

триггеров определяется согласно формуле , где k=5 – число со-

стояний. Отсюда . Выходной сигнал Z=1 должен формиро-

ваться на каждый пятый входной сигнал. В результате получается кодиро-

ванная таблица переходов, выходов и сигналов возбуждения.

Таблица

При =1 строим следующие диаграммы Вейча

Из диаграмм Вейча получаем следующие выражения для трех функций

возбуждения и функции выходов:

Это синхронный пятеричный счетчик:

Занятие 6. Синтез сумматоров. Синтез одноразрядного двоичного

сумматора.

Закон функционирования такого сумматора при сложении трех цифр

определяется следующей таблицей.

На основании таблицы строятся диаграммы Вейча и получаются мини-

мальные ДНФ функций Si и Pi+1

По полученным уравнениям можно построить двухуровневую схему одно-

разрядного комбинационного сумматора.

Двухуровневая схема одноразрядного комбинационного суммато-

ра

Полученную схему можно упростить, если рассматривать Si как функцию

4-х переменных Si=Si(аi,вi,Pi,Pi+1).

Отсюда имеем:

Схема сумматора:

Схема имеет число уровней здесь r=6, сложность равна 17.

Занятие 7. Абстрактный синтез цифровых автоматов. Алгебра событий.

Составление и разметка регулярных выражений. Построение отмечен-

ной таблицы переходов автомата Мура.

Представление событий в автоматах

В основе рассматриваемого способа задания автоматов, лежит понятие со-

бытий, представимых в автоматах.

Пусть Y{y1, y2, …, yk} – выходной алфавит конечного автомата S с фикси-

рованным начальным состоянием a0. Тогда каждой букве yj, выходного

алфавита можно поставить в соответствие множество входных слов Sj(x1,

x2,…, xm), которые вызывают появление на выходе автомата буквы yj.

Определенное таким образом множество слов Sj(x1, x2, …, xm) называют

событием, представленным в автомате выходным сигналом yj.

Поэтому для задания конечного автомата, имеющего выходной алфавит

Y{y1, y2, …, yk}, достаточно разбить множество всех возможных входных

слов на K событий S1, S2, …, Sk, представленных в автомате выходными

сигналами y1, y2, …, yk соответственно. Для частичного автомата необхо-

димо, кроме того, задать множество Sз запрещенных слов. Таким образом,

конечный автомат может быть задан таблицей, устанавливающей соответ-

ствия между событиями и буквами выходного алфавита. Зная набор собы-

тий Sj, можно, не пользуясь таблицами переходов и выходов, найти реак-

цию автомата на любое входное слово, для чего достаточно определить в

множество каких слов входного алфавита оно входит (то есть какому со-

бытию принадлежит).

Для описания автоматов на языке регулярных событий вводят ряд опера-

ций над событиями, то есть строят алгебру событий. Мы рассмотрим ал-

гебру событий, введенную Клини и усовершенствованную академиком

Глушковым В. М.

Соответствие событий буквам выходного алфавита

Событие Буква

S1(x1, x2,…, xm)

S2(x1, x2,…, xm)

…

Sk(x1, x2,…, xm)

Sз(x1, x2,…, xm)

y1

y2

…

yk

-

Операции в алгебре событий

Алгебра событий включает три операции:

Дизъюнкцию (объединение) событий;

Произведение событий;

Итерацию событий.

Дизъюнкцией событий называют событие S = S1v S2v…vSk, состоящее из

всех слов, входящих в событияS1, S2, …, Sk.

Пример. Событие S1 содержит слова x1, x2x1, x1x1, т.е. S1 = (x1, x2x1, x1x1),

аS2 = (x2, x1x2). Тогда S = S1 v S2 = (x1, x2, x1x1, x1x2x2x1).

Произведением событий называется событие S = S1* S2* …,* Sk, состоя-

щее из всех слов, полученных приписыванием к каждому слову события

S1 каждого слова события S2, затем слова события S3 и т.д.

Пример. S1и S2 те же. Тогда S = S1* S2 = (x1x2, x1x1x2, x2x1x2, x2x1x1x2,

x1x1x2, x1x1x1x2). Произведение событий не коммутативно, то есть слова,

входящие в события S1*S2 и S2*S1 различны: то есть S1*S2 S2*S1. По-

скольку произведение не коммутативно, следует различать операции

«умножение справа» и «умножение слева». Например, относительно про-

изведения событий S1*S2 можно сказать, что событие S2 умножено на со-

бытие S1справа, а событие S1на S2 слева.

Третьей операцией, применяемой в алгебре событий, является одномест-

ная операция итерация, которая применима только к одному событию. Для

обозначения итерации вводят фигурные скобки, которые называются ите-

рационными.

Итерацией события S называется событие{S}, состоящее из пустого сло-

ва e и всех слов вида S, SS, SSS и т.д. до бесконечности. Т.е. {S} = e v S v

SS v SSS v …

Пример.

S = (x2, x1x2){S} = (e, x2, x2 x2, x2x2x2, …, x1x2, x1x2x1x2, …, x2x1x2, x1x2x2, …)

При синтезе конечных автоматов важнейшую роль играют регулярные со-

бытия. Очевидно любое событие, состоящее из конечного множества слов,

является регулярным. Действительно, такие события можно представить в

виде дизъюнкции всех входящих в него слов, образованных из букв задан-

ного алфавита с помощью операции умножения. События, состоящие из

бесконечного числа слов, могут быть как регулярными, так и не регуляр-

ными.

Теорема: Любые регулярные выражения и только они представимы в ко-

нечных автоматах.

Из этой теоремы следует, что любой алгоритм преобразования информа-

ции, который можно записать в виде регулярного выражения, реализуется

конечным автоматом. С другой стороны, любые конечные автоматы реа-

лизуют только те алгоритмы, которые могут быть записаны в виде регу-

лярных выражений.

Рассмотрим, как можно совершить переход от описательной формы зада-

ния алгоритмов работы конечных автоматов к представлению этих алго-

ритмов в виде регулярных выражений. С целью упрощения такого перехо-

да вводят основные события, из которых с помощью операций дизъюнк-

ции, умножения и итерации можно составить более сложные события, со-

ответствующие заданному алгоритму работы автомата. За основные собы-

тия принимают такие события, которые более часто встречаются в инже-

нерной практике при синтезе схем ЭВМ. Пусть дан конечный алфавит X =

(x1, x2, …, xm).

Регулярное событие – это любое событие, которое можно получить из

букв данного алфавита с помощью конечного числа операций дизъюнк-

ции, произведения и итерации.

Регулярное выражение – любое выражение, составленное с помощью

операций дизъюнкции, произведения и итерации.

Система основных событий

В эту систему мы включим те из наиболее часто встречающихся событий,

которые используются при записи регулярных выражений на практиче-

ских занятиях и курсовой работе.

Пусть дан алфавит X{ x1, x2, …, xm }.

1. Событие, состоящее из всех слов входного алфавита (всеобщее собы-

тие).

F = {x1 v x2 v …v xm}

2. Событие, содержащее все слова, оканчивающиеся буквой xi.

S = { x1 v x2 v …v xi v …v xm } xi = Fxi

3. Событие, содержащее все слова, оканчивающиеся отрезком слова l1S =

F l1

4. Событие, содержащее все слова, начинающиеся с отрезка слова l1 и

оканчивающиеся на l2:S = l1 F l2

5. Событие, содержащее только однобуквенные слова входного алфавита

S = x1 v x2 v …v xm

6. Событие, содержащее только двухбуквенные слова входного алфавита

S = (x1 v x2 v …v xm)( x1 v x2 v …v xm)

7. Событие, содержащее все слова длиной r

S = ( x1 v x2 v…v xm)( x1 v x2 v…v xm)…(x1 v x2 v…v xm) - r членов

8. Событие, содержащее все слова, длина которых кратна r

S = {( x1 v x2 v…v xm)( x1 v x2 v…v xm)…(x1 v x2 v…v xm)} - r членов

9. Событие, состоящее из всех слов алфавита X{ x1, x2}, не содержащих

комбинации букв x1x1 и оканчивающихся буквой x2

S = { x2 v x1 x2}

10. Событие, состоящее из всех слов алфавита X{ x1, x2}, не содержащих

серии из r букв x1 и оканчивающихся буквой x2

S = { x2 v x1 x2 v x1x1 x2 v … v x1x1… x1 x2} - (r-1) членов.

Рассмотрим пример составления регулярного выражения, определяющего

закон функционирования конечного автомата.

Пример.Записать в виде регулярного выражения алгоритм работы автома-

та, сравнивающего два двоичных числа, представленных в последователь-

ном коде. Количество разрядов числа – произвольно.

------------------------- КА

------------>

Х{x00,x01,x10,x11,xs} Y{y1,y2,y3}

Окончание чисел фиксируется подачей на вход автомата сигнала xs. Если

число, поданное на первый вход автомата, меньше числа, поданного на

второй вход, то КА выдает сигнал y1, если больше – то y2, если оба числа

равны – то y3. Числа подаются на входы автомата младшими разрядами

вперед. На входы автомата сравнения одновременно может поступить од-

на из четырех комбинаций сигналов 00,01,10,11, которые закодируем сле-

дующим образом x00=00, x01=01, x10=10, x11=11. При этом будем считать,

что первая цифра каждой комбинации относится к первому входу, а вторая

– ко второму входу. Таким образом, входной алфавит автомата включает

пять букв X{x00, x01, x10, x11, xs }, а выходной три буквы Y{y1, y2, y3}.

Два двоичных числа равны, если равны цифры в любых одинаковых раз-

рядах. Поэтому событие, заключающееся в поступлении на вход автомата

равных чисел, состоит из всех возможных слов, содержащих буквы x00 и

x11. Т.е. S3 = { x00 v x11} xs.

События, представленные в автомате сигналами y1 и y2 можно записать в

виде:

S1={x00vx01vx10vx11}x01{x00vx11}xs

S2={x00vx01vx10vx11}xx10{x00vx11}xs.

События S1, S2 и S3 не охватывают всего множества слов, которые могут

быть записаны в алфавите X{ x00, x01, x10, x11, xs}, т.к. в эти события входят

только слова, оканчивающиеся буквой xs. Слова, не входящие в S1, S2 и S3,

должны быть представлены в автомате пустой буквой e: S4 = S1 v S2 v

S3.Очевидно, что записанные выражения можно упростить, если входные

сигналы 00 и 11 закодировать одной буквой, например xr. Такое кодирова-

ние возможно, т.к. КА одинаково реагирует на эти комбинации.

S1={xrvx01vx10}x01{xr}xs

S2={xrvx01vx10}x10{xr}xs

S3={xr}xs S4=S1vS2vS3

Заметим, что одно и тоже регулярное событие может быть представлено

различными регулярными выражениями. Поэтому встает задача отыскания

таких регулярных выражений, которые позволяют представлять события

наиболее простыми формулами. Рассмотрим несколько основных соотно-

шений, которые используются при преобразовании регулярных выраже-

ний.

1. S1 v S2 = S2 v S1 - закон коммутативности

2. (S1vS2)vS3=S1v(S2vS3)=S1vS2vS3 - законы ассоциативности

3. S1*(S2*S3) = (S1*S2)*S3 - законы ассоциативности

4. S1(S2v S3) = S1S2 v S1S3 - закон дистрибутивности

5. {{S}} = {S}

6. {S}*{S} = {S}

7. {{S1} v {S2} = { S1 v S2}

8. {e} = e

9. eS = Se = S

Методы абстрактного синтеза

Задача абстрактного синтеза заключается в составлении таблиц переходов

и выходов автоматов по заданным условиям его функционирования, пред-

ставленным в форме регулярных выражений.

Абстрактный синтез обычно выполняется в два этапа:

1. Первый этап заключается в получении таблиц переходов и выходов

в некоторой исходной форме. Построенный по этим таблицам авто-

мат обычно содержит «лишние» внутренние состояния.

2. На втором этапе производится минимизация количества внутренних

состояний заданного автомата.

Синтезируемый автомат может быть задан либо как автомат Мура, либо

как автомат Мили. Поскольку для автомата Мура всегда можно построить

эквивалентный автомат Мили, то достаточно рассмотреть алгоритм синте-

за автомата Мура, который проще автомата Мили.

Алгоритм синтеза автомата Мура

Рассмотрим пример абстрактного синтеза автомата для случая, когда регу-

лярные отношения составлены без применения операции итерации. Соста-

вим отмеченную таблицу переходов автомата, имеющего входной алфавит

X{x1, x2} и реализующий следующий алгоритм.

S1 = x1x2 v x1x1x1

S2 = x1x2x2 v x2x2

Sзапр. = x1 v x2x2x2

При синтезе условимся начальное состояние автомата обозначать цифрой

0, а остальные состояния – десятичными числами 1, 2, 3 и т.д. Очевидно,

самый простой, хотя и не экономный по числу используемых внутренних

состояний автомата, алгоритм синтеза заключается в следующем. Фикси-

руется начальное состояние и для входного слова, содержащего r букв,

назначается r внутренних состояний. Переходы в автомате определяются

так, что первая буква входного слова переводит автомат из начального со-

стояния 0 в состояние 1, вторая буква из 1 в 2 и т.д. Аналогичные последо-

вательности внутренних состояний назначаются для всех остальных слов.

Затем все конечные состояния, в которые автомат попадает после подачи

слов, входящих в событие Si, отмечаются выходными сигналами yi. Чтобы

система переходов автомата была определенной, для всех слов, имеющих

одинаковые начальные отрезки, следует назначать одну и ту же последо-

вательность состояний. Например, для регулярного события S1 первая бук-

ва x1 переводит автомат из начального состояния 0 в состояние 1, вторая

буква x2 – из 1 в 2.

S1 = | x1 | x2 | v | x1 | x1 | x1 |

0 1 2 0 1 3 4

S2 = | x1 | x2 | x2 | v | x2 | x2 |

0 1 2 5 0 6 7

Поскольку первая буква второго слова x1x1x1, входящего в S1 также есть x1,

то она переводит автомат из начального состояния 0 в 1. Вторая буква x1

переводит автомат из 1 в 3, третья – из 3 в 4.

Первые две буквы слова x1x2x2, входящего в S2, совпадают с первым сло-

вом события S1. Поэтому первые две буквы этого слова должны последо-

вательно переводить автомат из 0 в 1, и из 1 в 2. Дальнейшие состояния

обозначим числами 5, 6 и 7. Получившаяся в результате форма записи

определяет разметку мест регулярных выражений.

Местами регулярного выражения называют промежутки между двумя бук-

вами, между буквой и знаком дизъюнкции, а так же между буквой и скоб-

кой. Кроме того, вводят начальное место, обозначаемое цифрой 0 и конеч-

ные места, отождествляемые с концом каждого слова. Для запрещенного

события Sзапр последовательность событий можно не назначать.

Для размеченных регулярных выражений составляется отмеченная табли-

ца переходов.

Отмеченная таблица переходов

е е y1 e y1 y2 e y2 e

xj\ai 0 1 2 3 4 5 6 7 *

x1 1 3 * 4 * * * * *

x2 6 2 5 * * * 7 * *

Чтобы система переходов автомата была определена при подаче любого

входного слова, кроме состояний 0 7, вводится еще одно состояние, ко-

торое обозначается звездочкой *. В это состояние автомат переходит при

подаче входных слов, которые не входят в события S1 и S2. Выходным

сигналом y1 отмечены состояния 2 и 4, y2 – состояния 5 и 7. Остальные со-

стояния отмечены пустой буквой e.

Алгоритм синтеза усложняется, если регулярные выражения содержат

итерационные скобки. При разметке регулярных выражений различают

основные и предосновные места.

Очевидно, некоторые места могут быть одновременно основными и

предосновными.

Все основные места отмечаются различными десятичными числами, при

этом всем начальным местам приписывается индекс 0. Затем каждое

предосновные место отмечается совокупностью индексов основных мест.

В эту совокупность входят индексы внутренних состояний, находясь в ко-

торых автомат может принять букву, стоящую справа от предосновного

места.

Разметка регулярных выражений. Разметка регулярных выражений

проводится по правилам подчинения мест.

Общие правила подчинения мест регулярного выражения

1. Индекс места перед любыми скобками распространяется на началь-

ные места всех дизъюнктивных членов, записанных в этих скобках.

2. Индекс конечного места, любого дизъюнктивного члена, заключен-

ного в любые скобки, распространяется на место, непосредственно

следующее за этими скобками.

3. Индекс места перед итерационными скобками распространяется на

место, непосредственно следующее за этими скобками.

4. Индекс конечного места любого дизъюнктивного члена, заключен-

ного в итерационные скобки, распространяется на начальные места

всех дизъюнктивных членов, заключенных в эти итерационные

скобки.

5. Индексы мест, слева и справа от которых стоят буквы, никуда не

распространяются.

6. В автоматах многократного действия индекс конечного места всего

выражения распространяется на те же места, на которые распростра-

няется индекс начального места. Это правило справедливо только в

тех случаях, когда событие представлено регулярным выражением

так, что оно не содержит многократно повторяющихся слов, входя-

щих в заданное событие. И тогда организация автомата многократ-

ного действия осуществляется путем разметки.

Смысл приведенных правил подчинения мест сводится к следующему: ос-

новному месту с индексом i подчиняется место j, если автомат, находя-

щийся в состоянии i, может принять букву входного алфавита, записанную

непосредственно справа от места j. Рассмотрим эти правила на примере

синтеза автомата, описываемого следующим

регулярным выражением:

В этом автомате сигнал y1 выдается после поступления подряд 3-ех букв

x1, а y2 – после x2, следующей за серией их трех и более букв x1. В осталь-

ных случаях выдается буква e.

Индексы основных мест записываются непосредственно под регулярными

выражениями, а индексы предосновные мест располагаются ниже индек-

сов основных мест, под горизонтальной чертой. Выражение имеет 12 ос-

новных мест (от 0 до 11).

Проведем разметку предосновных мест. В начале определим, какие буквы

может принять автомат, если он находится в состоянии 0. Поскольку на

вход автомата может поступить любое из трех слов, записанных в итера-

ционных скобках, то индекс 0 распространяется на каждое из трех предос-

новных мест, расположенных в начале этих слов. Учитывая, что событие,

соответствующее выражению, записанному в итерационных скобках, со-

держит пустое слово е, индекс 0 распространяется на предосновное место,

расположенное сразу за скобками. Это означает, что в частном случае ни

одно из трех слов, заключенных в итерационные скобки, на вход автомата

не поступит и тогда первой буквой, которую принимает автомат, является

буква x1, стоящая непосредственно за итерационными скобками. Таким

образом все эти предосновные места подчинены месту с индексом 0.

Теперь найдем предосновные места, на которые распространяется индекс

1. Если автомат находится в состоянии 1, то он может принять букву x2,

расположенную слева от места 1, так как эта буква находится в итераци-

онных скобках и, следовательно, неоднократно может повторятся во вход-

ном слове автомата. Кроме того, в состоянии 1 автомат может принять

начальные буквы других слов, расположенных в итерационных скобках, и

букву x1, непосредственно следующую за этими скобками. Таким образом,

месту с индексом 1 в данном случае подчиняются те же предосновные ме-

ста, что и месту с индексом 0.Если автомат находится в состоянии 2, то он

может принять только букву x2, расположенную справа от места с индек-

сом 2. Поэтому индекс распространяется на единственное предосновное

место, являющееся одновременно основным местом 2. Аналогично можно

найти подчиненные места других основных мест.

По окончании слова, входящего в событие S, автомат переходит в состоя-

ние 11, после чего на вход автомата может поступить второе слово, этого

события S, так как мы считаем, что автомат является автоматом много-

кратного действия. Автоматами многократного действия называются такие

автоматы, которые могут неоднократно принимать слова, входящие в со-

бытия, представленные в автомате. В таких автоматах индекс конечного

места распространяется на те же предосновные места, на которые распро-

страняется индекс начального места, т.е. по окончании очередного слова,

на вход автомата этого слова может поступить вновь.

По размеченному регулярному выражению теперь можно составить таб-

лицу переходов автомата. Однако перед построением таблицы целесооб-

разно уменьшить число индексов основных мест, а следовательно и число

внутренних состояний автомата.

На этом первом этапе минимизации внутренних состояний можно пользо-

ваться следующим правилом:

Если несколько предосновных мест отмечено одинаковой совокуп-

ностью индексов и справа от этих мест записаны одинаковые буквы,

то основные места, расположенные справа от этих букв можно отме-

тить одинаковыми индексами.

В полученном нами выражении основные места 2, 4 и 7можно отметить общим индексом, так как слева от каждого из этих мест записана буква x1, а предосновные места, предшествующие этой букве, имеют одинако-вую совокупность индексов (0, 1, 3, 6, 11). Теперь с учетом этого прове-дем новую разметку:

Проделанную процедуру можно повторить вновь, так как в полученном выражении есть два места (4 и 6), перед которыми стоит одинаковая бук-ва x1, имеющая предосновное место, отмеченное одинаковым индексом 2. После этого получим окончательную разметку:

На этом первый этап минимизации закончен.

Второй этап минимизации

Составление отмеченной таблицы переходов. Составим теперь отмечен-

ную таблицу переходов автомата. Определим вначале внутренние состоя-

ния, в которые переходит автомат из состояния 0 при подаче на его вход

сигнала x1. Для этого найдем все предосновные места, содержащие индекс

0, справа от которых записана буква x1. Таких мест в выражении три. Все

основные места, расположенные за этой буквой x1, отмечены индексом 2.

Следовательно, автомат из состояния 0 под действием сигнала x1 перехо-

дит в состояние 2. Аналогично, сигнал x2 переводит автомат из состояния

0 в состояние 1, так как за предосновным, содержащим индекс 0, после

буквы x2 расположено основное место с индексом 1. Таким же образом

определяются переходы автомата их других внутренних состояний. Сиг-

нал y1 выдается после поступления подряд трех букв x1, то есть в состоя-

нии 6, а сигнал y2 – после x2, следующей за серией из трех и более букв, то

есть в состоянии 8. В остальных случаях выдается пустая буква е. Отсюда

получаем следующую отмеченную таблицу переходов:

yg e e e e e e y

1 e

y

2

xj\ai 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x1 2 2 4 2 6 2 7 7 2

x2 1 1 3 1 5 1 8 8 1

Из построенной таблицы видно, что из состояний 0 ,1 ,3 и 5 автомат

сигналами x1 и x2 переводится в одинаковые состояния (2 и 1). Кроме того,

все перечисленные состояния отмечены одинаковыми выходными сигна-

лами. Поэтому состояния 0, 1, 3 и 5 можно объединить в одно состояние,

обозначив его как a0. Введем также обозначения: 2 – a1; 4 – a2; 6 – a3; 7 –

a4; 8 – a5. Тогда получим упрощенную таблицу переходов автомата. В этой

таблице из состояний a3 и a4 под действием входных сигналов х1 и х2 ав-

томат переходит в одинаковые состояния a4 и a5. Но объединять эти состо-

яния нельзя, так как они отмечены разными выходными сигналами. По

этой же причине нельзя объединять состояния a0 и а5. Объединение состо-

яний и составляет второй этап минимизации, причем объединяются только

такие состояния, которые отмечены одинаковыми выходными сигналами,

и из которых под действием одинаковых входных сигналов происходит

переход в одинаковые состояния. Очевидно, у таких состояний должны

совпадать столбцы таблицы переходов.

yg e e e y1 e y2

xj\ai a0 a1 a2 a3 a4 a5

x1 a1 a2 a3 a4 a4 a1

x2 a0 a0 a0 a5 a5 a0

Второй пример абстрактного синтеза

Рассмотрим еще один пример абстрактного синтеза автомата. Найдем таб-

лицу переходов автомата сравнения чисел, условия работы которого зада-

ны регулярными выражениями:

Регулярные выражения

Регулярные выражения событий S1 и S2 содержат одинаковые сомножите-

ли в итерационных скобках, перед которыми расположено место с индек-

сом 0. Поэтому в обоих выражениях основные места внутри итерационных

скобок отмечены одинаковыми индексами (3, 4 и 5). Индекс конечного ме-

ста каждого выражения распространяется на начальные места всех регу-

лярных выражений, так как в автоматах многократного действия за словом

любого события, например S1, может быть подано слово любого другого

события, то есть S1 v S2 v S3. В размеченных выражениях можно объеди-

нить места с индексами 4, 6 и 5, 9:

По размеченному выражению составим отмеченную таблицу переходов.

yg е е y3 е е е е y

1 е

y

2 е е е е

xj\ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 3v *

ai v

3

v

6

8

xr

1

v

3

1 1v

3 3

3

v

6

3

v

8

6

1

v

3

8

1

v

3

1

v

3

3

v

6

3v

8 *

x0

1 4 * 4 4 4 4 * 3 * 4 4 4 4 *

x1

0 5 * 5 5 5 5 * 5 * 5 5 5 5 *

xs 2 2 2 * 7 9 7 2 9 2 2 7 9 *

При составлении таблицы следует учитывать, что для разных регулярных

выражений автомат под действием одних и тех же входных сигналов пере-

ходит в разные состояния. Эти внутренние состояния будем отмечать

множеством индексов основных мест. Например. В событии S3 переход из

состояния 0 в состояние 1 происходит под действием сигнала xr а в S1 под

действием этого же сигнала из состояния 0 автомат переходит в состояние

3. Поэтому, внутреннее состояние, в которое автомат переходит под дей-

ствием xr из состояния 0, будем обозначать множеством из двух индексов

1 v 3. Аналогично получается переход из состояний 2, 7 и 9 под действием

xr, а также переход из состояния 4 и 5 в состояния 3 v 6 и 3 v 8 соответ-

ственно под действием xr. При заполнении таблицы получается свободные

клетки там, где переходы в автомате не определенны. Такие клетки будем

отмечать звездочкой *, которую следует рассматривать как индекс некото-

рого внутреннего состояния. Таблица переходов составляется не только

для состояний, отмеченных индексами основных мест регулярного выра-

жения, но и для состояний, отмеченных множеством индексов. Для запол-

нения колонок для таких состояний достаточно образовать дизъюнкцию

таких индексов, которые расположены в колонках, отмеченных индексами,

входящими в множества. Например. Для заполнения колонки 1 v 3 образу-

ем дизъюнкцию индексов расположенных в колонках 1 и 3. Поскольку со-

стояния 1, 3, 6 и 8 отмечены пустой буквой e, то и состояния 1 v 3, 3 v 6, 3

v 8 также отмечаются буквой е.

После построения таблицы проведем второй этап минимизации числа

внутренних состояний автомата. Можно объединить состояния, отмечен-

ные индексами: 0 и 1v3, 4 и 3v6, 5 и 3v8. При этом состояния отмеченные

звездочкой обозначим через 10, а состояния 1v3 – 0, 3v6 – 4, 3v8 – 5.

yg e e y3 e e e e y1 e y2 e

xj\ai 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xr 0 1 0 3 4 5 6 0 8 0 10

X01 4 10 4 4 4 4 10 4 10 4 10

X10 5 10 5 5 5 5 10 5 10 5 10

xs 2 2 2 10 7 9 7 2 9 2 10

По построенной таблице проведем третий этап минимизации, исключив

такие состояния, в которые автомат из нулевого состояния никогда перей-

ти не может. В нашем случае такими состояниями являются 1, 3, 6, 8 и 10.

Обозначив оставшиеся состояния 0 – b 0, 2 – b 1, 4 – b 2, 5 – b 3, 7 – b 4, 9 – b

5, получим окончательную таблицу переходов заданного автомата.

yg e y

3 e e

y

1 y

2

xj\a

i

b

0

b

1

b

2

b

3

b

4

b

5

xr b

0

b

0

b

2

b

3

b

0

b

0

x01 b

2

b

2

b

2

b

2

b

2

b

2

x10 b

3

b

3

b

3

b

3

b

3

b

3

xs b

1

b

1

b

4

b

5

b

1

b

1

Четвёртый этап минимизации

В некоторых случаях после получения отмеченной таблицы переходов ав-

томата возможен четвертый этап минимизации. Правда этот этап не всегда

приводит к уменьшению числа состояний и часто является проверочным.

Алгоритм этого этапа рассмотрим на примере.

Пусть есть автомат, заданный следующей отмеченной таблицей перехо-

дов:

yg y1 y1 y1 y2 y1 y2 y2 y2

xj\ai 0 1 2 3 4 5 6 7

x1 2 5 2 2 4 4 5 2

x2 3 1 7 3 5 5 1 7

X3 1 6 1 1 1 1 6 1

Алгоритм минимизации заключается в следующем:

1. Все внутренние состояния разбиваются на группы по числу выход-

ных сигналов. В нашем случае есть два выходных сигнала y1 и y2 и,

следовательно, будет две группы, которые мы обозначим буквами a

и b.

2. По таблице переходов автомата определяют, к каким группам при-

надлежат внутренние состояния, в которые автомат переходит из

данного состояния под воздействием каждой буквы входного алфа-

вита. Эти состояния запишем в виде последовательности букв под

каждым из состояний автомата. Например, из состояния 0 автомат

переходит в состояния 2, 3 и 1, которые принадлежат соответственно

к следующим группам a, b и a. Эта последовательность букв (aba) и

записывается под состоянием 0.

3. Проводят новое разделение внутренних состояний на группы, объ-

единяя в каждой группе состояния, отмеченные одинаковой после-

довательностью букв. В нашем случае каждая из двух групп распа-

дается на две группы, по числу различных последовательностей

букв:

4. Пользуясь таблицей переходов автомата, вновь отмечают каждое со-

стояние последовательностью букв. Разделение состояний на новые

группы продолжают до тех пор, пока новые группы состояний появ-

ляться не будут. В нашем случае, минимизация заканчивается на

втором шаге, так как все состояния, входящие в группы а и с отме-

чены одинаковыми последовательностями букв, а группа b и d со-

держат только по одному состоянию.

Все состояния, входящие в каждую из этих групп, можно заменить одним

состоянием той же группы. Взяв в качестве представителей групп состоя-

ния 0, 1, 3 и 6 и обозначив их символами a0, a1, a2 и a3 соответственно, по-

лучим следующую таблицу переходов с минимальным числом внутренних

состояний.

yg y1 y

1 y

2 y2

xj\ai a0 a1 a2 a3

x1 a0 a2 a0 a2

x2 a2 a1 a2 a1

x3 a1 a3 a1 a3

Для построения автомата Мили, воспользуемся рассмотренным ранее ал-

горитмом, для чего в каждую клетку >совмещенной таблицы переходов и

выходов запишем значения выходного сигнала, которым отмечено, нахо-

дящееся здесь состояние.

xj\ai a0 a1 a2 a3

x1 a0/y1 a2/y2 a0/y1 a2/y2

x2 a2/y2 a1/y1 a2/y2 a1/y1

x3 a1/y1 a3/y2 a1/y1 a3/y2

В полученной таблице колонки, помеченные состояниями a0 и a2, a1 и a3

идентичны, что позволяет при минимизации исключить состояния a2 и a3.

В результате получаем таблицу переходов и выходов автомата Мили име-

ющего два состояния a0 и a1.

xj\ai a0 a1

x1 a0/y1 a0/y2

x2 a0/y2 a1/y1

x3 a1/y1 a1/y2

Занятие 8. Эквивалентные автоматы. Алгоритм перехода от произволь-

ного автомата Мили к эквивалентному ему автомату Мура и обратно.

Два автомата Sa и Sb с одинаковыми входными и выходными алфавитами

называются эквивалентными.

Оказывается, что для любого автомата Мили существует эквивалентный

ему автомат Мура, и, обратно, для любого автомата Мура существует эк-

вивалентный ему автомат Мили.

Рассмотрим алгоритм перехода от произвольного конечного автомата Ми-

ли к эквивалентному ему автомату Мура.

Пусть дан конечный автомат Мили Sa={Aa,Xa,Ya,a,a}, имеющий множе-

ство состояний Aa={a0,a1,…,ai,…,an}, множество входных и выходных сиг-

налов Xa={x1,x2,…,xj,…,xm} и Y={y1,y2,…,yg,…,yk}, а также функции пере-

ходов a(a,x) и выходов a(a,x).

Требуется построить эквивалентный ему автомат Мура.

Sb={Ab,Xb,Yb,b,b}, у которого Xb=Xa, Yb=Ya, так как множества входных

и выходных сигналов у эквивалентных автоматов должны совпадать. Для

определения множества состояний Ab автомата Мура образуем всевоз-

можные пары вида (ai,yg), где yg – выходной сигнал, приписанный к дуге

входящей в состояние ai. Например, для вершины ai имеем пары (ai,y1),

(ai,y2), (ai,y3).

Если такие пары мы образуем для всех вершин, то получим множество

пар, которое является множеством состояний автомата Мура:

Ab={(a0,y1), (a0,y2),…,(an,yk)}={b1,b2,…,bn}, где bl=(ai,yg).

Функции выходов b и переходов b определим следующим образом. Каж-

дому состоянию автомата Мура, представляющему собой пару вида (ai,yg)

поставим в соответствие выходной сигнал yg, то есть функция выходов

равна yg=b[(ai,yg)] = b[bl]. Если в автомате Мили Sa был переход

a(ai,xj)=as и при этом выдавался выходной сигнал a(ai,xj)=yp, то в эквива-

лентном автомате Мура будет переход из множества состояний (ai,yg), где

g принадлежит G, G – множество номеров выходных сигналов, приписан-

ных к входящей ai дуге, в состояние (as,yp) под действием входного сигнала

xj.

Автомат Мили (фрагмент)

Автомат Мура эквивалентный автомату Мили

Автомат Мили имеет два состояния, а автомат Мура три : (ai,yf), (ai,yh),

(ai,yp). Если автомат Мили был в состоянии ai и пришел входной сигнал xj,

то должен выработаться выходной сигнал yp. Поэтому в автомате Мура из

состояний, порождаемых ai, то есть из состояний (ai,yf) и (ai,yh) при по-

ступлении xj переход должен идти в состояние, отмеченное выходным

сигналом yp, то есть в (as, yp). В качестве начального состояния автомата

Мура можно взять любое состояние из множества (a0, yr).

Преобразование автомата Мили в автомат Мура

Рассмотрим пример: Пусть необходимо преобразовать автомат Мили, в ав-

томат Мура. Граф автомата Мили:

В автомате Мили Xa = {x1, x2}, Ya = {y1,y2}, Aa = {a0, a1,a2}.

В эквивалентном автомате МураXb = Xa = {x1, x2}, Yb = Ya = {y1, y2}.

Построим множество состояний Ab автомата Мура, для чего найдем мно-

жества пар, порождаемых каждым состоянием автомата Sa.

Состояние Порождаемые пары

a0 {(a0, y1), (a0, y2)}={b1, b2}

a1 {(a1, y1)}={b3}

a2 {(a2, y1), (a2, y2)}={b4, b5}

Отсюда имеем множества Ab состояний автомата Мура Ab = {b1, b2, b3, b4,

b5}. Для нахождения функции выходов b с каждым состоянием, представ-

ляющим собой пару вида (ai, yg), отождествим выходной сигнал, являю-

щийся вторым элементом этой пары. В результате имеем:b(b1) = b(b3) =

b(b4) = y1;b(b2) = b(b5) = y2.

Построим функцию переходов b. Так как в автомате Sa из состояния a0

есть переход под действием сигнала x1 в состояние a2 с выдачей y1,то из

множества состояний {b1, b2}, порождаемых a0, в автомате Sb должен быть

переход в состояние (a2, y1) = b4 под действием сигнала x1.Аналогично, из

{b1, b2} под действием x2 должен быть переход в (a0, y1) = b1. Из (a1, y1) =

b3 под действием x1 переход в (a0, y1) = b1, а под действием x2 – в (a2, y2) =

b5. Наконец из состояний {(a2, y1), (a2, y2)} = {b4, b5} под действием x1 в

(a0, y2) = b2, а под действием x2 – в (a1, y1) = b3. В результате имеем граф и

таблицу переходов эквивалентного автомата Мура:

yg y1 y2 y1 y1 y2

xj\bi b1 b2 b3 b4 b5

x1 b4 b4 b1 b2 b2

x2 b1 b1 b5 b3 b3

В качестве начального состояния автомата Sb можно взять любое из состо-

яний b1 или b2, так как оба порождены состоянием a0 автомата Sa.

Переход от автомата Мура к автомату Мили

Обратная задача, то есть переход от автомата Мура к автомату Мили ре-

шается чрезвычайно просто. Пусть дан автомат Мура Sb ={Ab, Xb, Yb, b,

b}. Необходимо построить эквивалентный ему автомат Мили

Sa = {Aa, Xa, Ya, a, a}.

По определению эквивалентности имеем Xa = Xb; Ya = Yb. Кроме того, Aa =

Ab, a= b. Остается только построить функцию выходов. Если в автомате

Мура b(ai, xj) = as, аb(as) = yg, то в автомате Мили a(ai, xj) = yg. Другими

словами a(ai, xj) = b(b(ai, xj)). Таким образом таблица переходов автома-

тов Мили и Мура совпадают. А таблица выходов эквивалентного автомата

Мили строится так, что в каждую клетку таблицы записывается выходной

сигнал, которым отмечено состояние, расположенное в данной клетке.

Пример. Пусть дан автомат Мура:

xj\yi y1 y1 y3 y2 y3

xj\ai a0 a1 a2 a3 a4

x1 a1 a4 a4 a2 a2

x2 a3 a1 a1 a0 a0

Тогда эквивалентный ему автомат Мили имеет следующую совмещенную

таблицу переходов и выходов.

xj\ai a0 a1 a2 a3 a4

x1 a1/y1 a4/

y3

a4/

y3

a2/

y3

a2/

y3

x2 a3/

y2

a1/

y1

a1/

y1

a0/

y1

a0/

y1

Занятие 9. Вероятностные автоматы

Детерминированные автоматы S мы задавали совокупностью из пяти

объектов: S(A, X, Y, , ), где A = {a0,a1,a2,...,aM}– множество внутренних со-

стояний автомата, X = {x1, x2,…, xF} – множество входных сигналов (входной

алфавит), xi – буква входного алфавита, Y = {y1, y2,…, yG} – множество вы-

ходных сигналов (выходной алфавит),

- функция переходов, обеспечивающая однозначный переход автомата в

состояние as из состояния аm под действием входного сигнала xf, то есть as =

[am, xf],

- функция выходов, определяющая однозначное значение выходного сиг-

нала yg в зависимости от состояния автомата аm и входного сигнала xf, т.е. yg

= [аm , xf].

В работе Поспелова Д.А. «Вероятностные автоматы» рассмотрена бо-

лее общую модель автомата, а именно: зная состояние автомата аm и входной

сигнал xf, мы не можем с вероятностью, равной 1 сказать, в каком состоянии

окажется автомат в следующий момент времени, а также какой выходной

сигнал он в этом случае вырабатывает. Однако мы можем указать вероятно-

сти наступления соответствующего события, а именно: зная состояние аm и

входной сигнал xf, мы можем указать вероятности перехода автомата в со-

стояния {а0, а1, …, аm, …, аM}, а также вероятности появления выходных

сигналов {y1, y2,…,yg, …, yG}, т.е. задаем закон распределения вероятностей.

Законы распределения задаются в виде следующих таблиц:

am,xf a0 a1 … am … aM

a0,x1 P010 P011 … P01m … P01M

a0,x2 P020 P021 … P02m … P02M

… … … … … … …

am,xF P0F0 P0F1 … P0Fm … P0FM

a1,x1 P110 P111 … P11m … P11M

… … … … … … …

am,xf Pmf0 Pmf1 … Pmfm … PmfM

… … … … … … …

aM,xF PMF0 PMF1 … PMFm … PMFM

am,xf y1 y2 … yy … aM

a0,x1 q011 q012 … q01y … q01G

a0,x2 q021 q022 … q02y … q02G

… … … … … … …

am,xF q0F1 q0F2 … q0Fy … q0FG

a1,x1 q111 q112 … q11y … q11G

… … … … … … …

am,xf qmf1 qmf2 … qmfy … qmfG

… … … … … … …

aM,xF qMF1 qMF2 … qMFy … qMFG

Т.е. в каждом случае имеем закон распределения, заданный в виде гисто-

грамм. Очевидно, т.к. автомат обязательно перейдет в одно из состояний, то

10

M

i

mfip , 10

G

j

mfjq , где 10 mfip , 10 mfjq .

Автоматы, в которых зная состояние автомата аm и входной сигнал xf,

мы можем указать лишь вероятности перехода в новое состояние и вероятно-

сти появления выходных сигналов, т.е. законы распределения, называются

вероятностными автоматами (ВА).

По аналогии с детерминированными автоматами, Можно определить

ВА Мили и Мура. ВА, у которых вероятности появления выходных сигналов

(закон распределения) зависят лишь от состояний автомата, но не зависят от

входных сигналов, называются ВА Мура. Если же вероятности появления

выходных сигналов (закон распределения) зависят как от состояний автома-

та, так и от входных сигналов, имеем автомат Мили.

Рассмотрим некоторые частные случаи вероятностных автоматов. Мо-

жет быть, что выходные сигналы автомата определяются детерминировано, а

переходы автомата – случайно. Такие автоматы называются Y – детермини-

рованными вероятностными автоматами. Если состояния определяются де-

терминировано, то имеем А- детерминированный вероятностный автомат.

Если в процессе функционирования автомата законы распределения

вероятностей появления выходных сигналов и вероятности перехода автома-

та в новые состояния не меняются во времени, то такие ВА называются ВА с

постоянной структурой.

Очевидно, можно рассмотреть общий случай, когда эти законы распре-

деления зависят от времени. Такие автоматы называются ВА с переменной

структурой.

ВА с переменной структурой в каждый фиксированный такт работы

является некоторым обычным ВА, но в период между тактами ВА может из-

менять свои матрицы переходных вероятностей или таблицы выходных ве-

роятностей, или и то и другое вместе.

Часто при построении ВА изменение вероятностей производят по не-

которому закону, причем закон зависит от истории функционирования авто-

мата (т.е. зависит от входных сигналов, поданных на него и от выходных

сигналов, т.е. реакции автомата). Такие ВА с переменной структурой назы-

ваются автоматами компенсирующего типа. Их разработке и уделяется ос-

новное внимание.

В этом случае можно сказать, что ВА работает в некоторой среде, в ко-

торую он выдает выходные сигналы и из которой он получает входные.

ВА среда

х1

х2

хF

. .

.

. .

.

. .

.

Входные сигналы условно можно разделить на поощрения («нештра-

фы») и наказания («штрафы»). При этом в зависимости от выходного сигнала

на вход подается поощрение или штраф. Если в зависимости от этих сигна-

лов менять вероятности перехода автомата из одного состояния в другое, то

оказывается, что с течением времени автомат перестраивается таким обра-

зом, что он начинает с большой вероятностью получать сигналы поощрения,

т.е. он в некотором смысле приспосабливается к той среде, в которой он

находится.

Проблема организации целесообразного поведения автомата в случай-

ной среде тесно связана со способом изменения вероятностей перехода авто-

мата. Возможно изменение вероятностей перехода автомата по строкам и по

столбцам.

Рассмотрим У-детерминированный вероятностный автомат. Пусть ав-

томат в некоторый момент времени t находится в состоянии аm, выдал соот-

ветствующий этому состоянию выходной сигнал yg и получил на вход сигнал

поощрения. Тогда вероятность рmm перехода из состоянии аm в состояние аm

увеличиваются на некоторую величину p , а все остальные вероятности в

строке уменьшаются на p /М. Если же автомат получает сигнал штрафа, то

вероятность рmm перехода из состоянии аm в состояние аm уменьшаются на

некоторую величину p , а все остальные вероятности в строке на увеличи-

ваются на p /М, чтобы сумма вероятностей осталась равной 1.

Возможен и другой принцип изменения вероятностей, при котором

происходит учет предыстории поведения автомата. Если автомат в момент

времени t перешел из состояния аm в состояние ак и в момент времени t+1

получил сигнал «штраф», то вероятность рmк заменяется на рmк, где коэф-

фициент больше 0 и меньше 1, а все остальные вероятности в строке изме-

няются на величину Mpmk /)1( . Если же получил сигнал «нештраф», то

вероятность рmк величину mkp )1( , а все остальные уменьшаются на ве-

личину Мpmk /)1)(1( .

Можно менять вероятности в матрице перехода не только по строкам,

но и по столбцам. Например, возможен следующий алгоритм. Если в момент

времени t под влиянием входного сигнала xf автомат перешел в состояние аm

и в момент времени t+1 получил сигнал «штраф», то независимо от того, из

какого состояния он перешел, все элементы m-го столбца в матрице перехо-

дов заменяются на (рmm – p ) или рmm , а все остальные вероятности из-

меняются аналогично тому, как это происходило при изменении вероятно-

стей по строкам.

Подобные автоматы уже находят применение при управлении в слож-

ных системах и дают больший эффект там, где раньше работали детермини-

рованные автоматы.

Рассмотрим пример, который приводит Д.А. Поспелов – регулирование

движения через автомобильный перекресток. Обычно (мы с вами всегда

сталкиваемся именно с таким светофором) задают жесткий режим переклю-

чения светофоров, при котором длительность включенных сигналов (красно-

го и зеленого) – постоянны. Однако, как показывает практика работы таких

светофоров, решение задачи получается мало эффективным, поскольку пред-

полагается, что потоки машин постоянные, стационарные.

Можно установить датчики на перекрестке, которые бы подсчитывали

число машин (очередь), возникающее в данном направлении при красном

свете светофора. Пусть на перекрестке стоит ВА компенсирующего типа, ко-

торый имеет 2 состояния: включен красный свет вдоль главного направления

и включен зеленый свет. Каждому состоянию однозначно соответствует вы-

ходной сигнал, т.е. автомат У-детерминированный. С датчиков поступают

сигналы штрафа и нештрафа.

П2

П1

Главное

направление

Матрица переходов выглядит следующим образом: рззр

рр

зк

кзкк.

Пусть в начале все эти вероятности равны 0,5 и на главном направле-

нии скопилось П1 машин, а на другом – П2. На вход автомата поступает сиг-

нал ПΔ = П1 – П2. Пусть ПΔ > 0, т.е. на главном направлении больше машин.

Тогда если автомат в момент времени t находился в состоянии зеленом, пе-

решел в состояние зеленый и получил сигнал нештраф, то вероятность рзз

(t+1) увеличивается, а вероятность рзк (t+1) уменьшается:

рзк (t+1) = рзк (t),

а вероятность рзз (t+1) = 1– рзк (t+1).

Тем самым увеличивается вероятность состояния зеленое вдоль глав-

ного направления, т.е. автомат подстраивается под обстановку. Заметим, что

если потоки одинаковы, то оптимальной является следующая матрица пере-

ходов: 01

10.

f b g b k l ? j k l < ; j : a h < : m d n n ? > ? j : e v...

Documents