expo rithmo

SEMANA DE LA FILOSOFIAFACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACION

(UCV)Rithmomachia: batalla rtmica de los numeros

Tomas Guardia, Douglas Jimenez

UCV. Escuela de MatematicasUNEXPO. Vicerrectorado de Barquisimeto

Noviembre, 2012

Tomas Guardia, Douglas Jimenez (UCV. Escuela de MatematicasUNEXPO. Vicerrectorado de [email protected]@gmail.com )SEMANA DE LA FILOSOFIA FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACION (UCV) Rithmomachia: batalla rtmica de los numerosNoviembre, 2012 1 / 44

Antecedentes Presentacion

Boecio

Anicio Manlio Severino Boecio(480524)

Obra

Traduccion de Organon deAristoteles.

Traduccion y comentariosa la Introduccion a lasCategoras de Porfirio.

Trabajos teologicos.

De Arithmetica.

Dos libros de los Elemen-tos de Euclides.

La consolacion de la filo-sofa (en prision).

Boecio

Obra

De Arithmetica.

Boecio

Obra

De Arithmetica.

Boecio

Obra

De Arithmetica.

Boecio

Obra

De Arithmetica.

Boecio

Obra

De Arithmetica.

Boecio

Obra

De Arithmetica.

Boecio

Aparentemente fue el primero en usar el termino quadrivium como:

Aritmetica.

Musica.

Geometra.

Astronoma.

De Arithmetica Presentacion

Boecio, De Arithmetica

De Arithmetica

Traduccion libre de la Arithmetica de Nicomaco de Gerasa, elpitagorico.

No es un libro de matematica (bajo los estandares actuales).

Es mas bien un esfuerzo taxonomico: clasifica numeros y proporciones.

De Arithmetica

De Arithmetica Numeros

Clasificaciones de De Arithmetica

Numeros pares e impares (clasificacion primaria).

Pares segun la forma de sus factores.

Pares segun la suma de sus divisores: antecedente pitagorico de losnombres de las secciones conicas.

Desigualdades entre enteros.

Clasificacion de las desigualdades

Multiples

Superparticular

Superpartiente

Multiple superparticular

Multiple superpartiente

Cada una admite la definicion opuesta (sub).

Multiples

Superparticular

Superpartiente

Multiples20 es multiple de 4: lo contiene 5 veces

Superparticular

Superpartiente

Multiples

Superparticular

Superpartiente

Multiples

Superparticular12 es sesquialter de 8: lo contiene vez y media (1 12 )

Superpartiente

Multiples

Superparticular20 es sesquitertio de 15: lo contiene vez y un tercio (1 13 )

Superpartiente

Multiples

Superparticular

Superpartiente

Multiples

Superparticular

Superpartiente25 es superbipartiente de 15: lo contiene una vez y dos tercios (1 23 )

Multiples

Superparticular

Superpartiente42 es supertripartiente de 24: lo contiene una vez y tres cuartos (1 34 )

Multiples

Superparticular

Superpartiente

Multiples

Superparticular

Superpartiente

De Arithmetica Proporciones

Clasificacion de las proporciones

Los conceptos de razon y proporcion fueron el leitmotiv de los estudios de laescuela pitagorica. Toda la matematica de la Grecia antigua se sustento sobre estos dos

conceptos. La idea se expresa en la forma A es a B como C es a D y la posteridad la

escribio A : B :: C : D. Si tres numeros enteros integran una proporcion se dice que forman una

progresion. La escuela pitagorica primitiva trabajo con tres tipos de progresiones, las

cuales definan tres medias: aritmetica, geometrica y armonica. El pitagorismo posterior desarrollo otras ocho distintas.

Clasificacion de las proporciones Los conceptos de razon y proporcion fueron el leitmotiv de los estudios de la

escuela pitagorica.

Toda la matematica de la Grecia antigua se sustento sobre estos dosconceptos. La idea se expresa en la forma A es a B como C es a D y la posteridad la

escuela pitagorica. Toda la matematica de la Grecia antigua se sustento sobre estos dos

conceptos.

La idea se expresa en la forma A es a B como C es a D y la posteridad laescribio A : B :: C : D. Si tres numeros enteros integran una proporcion se dice que forman una

escribio A : B :: C : D.

Si tres numeros enteros integran una proporcion se dice que forman unaprogresion. La escuela pitagorica primitiva trabajo con tres tipos de progresiones, las

progresion.

La escuela pitagorica primitiva trabajo con tres tipos de progresiones, lascuales definan tres medias: aritmetica, geometrica y armonica. El pitagorismo posterior desarrollo otras ocho distintas.

cuales definan tres medias: aritmetica, geometrica y armonica.

El pitagorismo posterior desarrollo otras ocho distintas.

Clasificacion de las proporciones: media aritmetica

Tres numeros A, B y C estan en progresion aritmetica si el centroequidista de los extremos; esto es B A C B.

En terminos de proporciones, se plantea as:

pB Aq : pC Bq :: A : A o pB Aq : pC Bq :: A : A

Bajo estas premisas se cumple que B A C

2.

Ejemplos: 2, 3, 4 5, 8, 11 22, 67, 112

2.

Ejemplos: 2, 3, 4 5, 8, 11 22, 67, 112

2.

Ejemplos: 2, 3, 4 5, 8, 11 22, 67, 112

2.

Ejemplos: 2, 3, 4 5, 8, 11 22, 67, 112

2.

Ejemplos: 2, 3, 4 5, 8, 11 22, 67, 112Tomas Guardia, Douglas Jimenez (UCV. Escuela de MatematicasUNEXPO. Vicerrectorado de [email protected]@gmail.com )SEMANA DE LA FILOSOFIA FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACION (UCV) Rithmomachia: batalla rtmica de los numerosNoviembre, 2012 8 / 44

Clasificacion de las proporciones: media geometrica

Tres numeros A, B y C estan en progresion geometrica si el centro es eltermino medio de la proporcion.

A : B :: B : C .

Bajo estas premisas se cumple que B2 AC .

Ejemplos: 2, 4, 8 5, 15, 45 12, 18, 27

A : B :: B : C .

Ejemplos: 2, 4, 8 5, 15, 45 12, 18, 27

A : B :: B : C .

Ejemplos: 2, 4, 8 5, 15, 45 12, 18, 27

A : B :: B : C .

Ejemplos: 2, 4, 8 5, 15, 45 12, 18, 27

A : B :: B : C .

Clasificacion de las proporciones: media armonica

Tres numeros A, B y C estan en progresion armonica si las distancias delcentro a los extremos estan entre s como los extremos.

pB Aq : pC Bq :: A : C .

Bajo estas premisas se cumple que B 2AC

A C.

Ejemplos: 2, 3, 6 9, 16, 72 72, 90, 120

A C.

Ejemplos: 2, 3, 6 9, 16, 72 72, 90, 120

A C.

Ejemplos: 2, 3, 6 9, 16, 72 72, 90, 120

A C.

Ejemplos: 2, 3, 6 9, 16, 72 72, 90, 120

A C.

Rithmomachia Presentacion

Rithmomachia

Juego de cuadros y fichas, con algun pare-cido al ajedrez.

Algunos comentaristas atribuyen su inven-cion a Pitagoras.

No hay evidencias historicas que apoyen es-ta hipotesis.

Quedan pocas dudas de que se trata de unjuego medieval.

Juego ideado para apoyar el aprendizaje deDe Arithmetica de Boecio.

Las reglas parecen variar de acuerdo a par-ticularidades regionales.

Rithmomachia

Las piezas son redondas, triangulares y cua-dradas y cada una tiene impreso un nume-ro.

Cada jugador dispone de una pieza especialllamada piramide, constituida por piezas delas formas anteriores en tamanos decrecien-tes.

La forma de las piezas corresponde a con-cepciones pitagoricas acerca de los nume-ros.

Salvo las piramides, cada pieza tiene doscaras con el mismo numero y diferente co-lor.

Para el espectador actual la disposicion ini-cial de juego parece (salvo ciertas zonas)una disposicion numerica arbitraria

. . . pero tiene su explicacion.

Rithmomachia

Para el espectador actual la disposicion ini-cial de juego parece (salvo ciertas zonas)una disposicion numerica arbitraria. . . pero tiene su explicacion.

Rithmomachia

Disposicion boeciana de las piezas

Numeros (n, Par Vs. Impar)

Multiples (n)

Superparticulares (1 1n )

Superpartientes (1 nn1 )

Piramide blanca Piramide negra

Rithmomachia

Multiples (n)

Rithmomachia

Multiples (n)

Rithmomachia

Multiples (n)

Rithmomachia

Multiples (n)

Rithmomachia

Multiples (n)

Rithmomachia

Multiples (n)

Piramide blanca

Piramide negra

Rithmomachia

Multiples (n)

Rithmomachia

Disposicion final del tablero

Se comienza colocando las piezas co-mo en la disposicion anterior pero enorden inverso, esto es, de mayor a me-nor.

Rithmomachia

A continuacion, los triangulos de laprimera fila de triangulos suben a re-forzar los flancos de las redondas in-feriores.

Rithmomachia

Pero tambien lo hacen los triangulosde la segunda fila de triangulos.

Rithmomachia

Y los que quedan de esta segunda filarefuerzan los flancos de la primera filade triangulos.

Rithmomachia

Los cuadrados extremos de la primerafila de cuadrados suben a los flancosextremos de la retaguardia.

Rithmomachia

Y los que quedan de esta fila suben acompletar los espacios vacos.

Rithmomachia

Los cuadrados de la ultima fila se or-denan en la parte final de la retaguar-dia.

Una version del juego arranca con estadisposicion final, pero algunas estra-tegias se pierden con ella, de maneraque. . .

Rithmomachia

Los cuadrados de la ultima fila se or-denan en la parte final de la retaguar-dia.

Una version del juego arranca con estadisposicion final, pero algunas estra-tegias se pierden con ella, de maneraque. . .

Rithmomachia

. . . una mejor disposicion se obtienereplegando los ejercitos.

Y desde aqu comienza la partida.

Rithmomachia Reglas de juego: Movimiento de las piezas

Rithmomachia

Movimiento de las piezas

No hay acuerdo absoluto sobre el movimiento de las piezas. El ClubVenezolano de Rithmomachia usa una mezcla de reglas de varias fuentes

. . .y algo de interpretacion.

La partida la inician las piezas blancas, esto es, los numeros pares.

Las piezas se mueven de acuerdo a su forma independientemente de su valor.

Cuadrados y triangulos tienen dos tipos de movimientos: uno regular y otroirregular.

El movimiento irregular aumenta la movilidad de la pieza, pero le impidecapturar piezas enemigas.

Bajo ningun concepto una pieza puede ocupar el lugar donde esta otrapieza, aliada o enemiga.

Rithmomachia

No hay acuerdo absoluto sobre el movimiento de las piezas. El ClubVenezolano de Rithmomachia usa una mezcla de reglas de varias fuentes

. . .y algo de interpretacion.

Rithmomachia

No hay acuerdo absoluto sobre el movimiento de las piezas. El ClubVenezolano de Rithmomachia usa una mezcla de reglas de varias fuentes. . .y algo de interpretacion.

Rithmomachia

Movimiento de las piezas: redondas

Las piezas redondas se mueven uncuadro en diagonal, en cualquier di-reccion.

Las limitaciones del movimiento lasda el tablero y las otras piezas sobreel.

En el diagrama a la izquierda, la re-donda blanca puede moverse a to-dos los cuadros marcados con *.

En cambio, la redonda negra solodispone del cuadro marcado con +.

Rithmomachia

Movimiento de las piezas: triangulos (regular)

Las piezas triangulares se muevenregularmente dos cuadros en fila ocolumna, en cualquier direccion.

En el diagrama a la izquierda, eltriangulo blanco solo puede moversea los cuadros marcados con *.

En cambio, el triangulo negro dis-pone de todos los cuadros marcadoscon +.

Rithmomachia

Movimiento de las piezas: cuadrados (regular)

Las piezas cuadradas se mueven re-gularmente tres cuadros en fila o co-lumna, en cualquier direccion.

En el diagrama a la izquierda, el cua-drado blanco puede moverse a todoslos cuadros marcados con *.

En cambio, el cuadrado negro dis-pone solo de los cuadros marcadoscon +.

Rithmomachia

Movimiento de las piezas: irregulares

Un movimiento irregular consiste enanadir un cuadro perpendicular almovimiento regular.

No hay limitaciones, salvo que elcuadro de llegada debe estar vaco.

Los movimientos irregulares no per-miten captura de piezas enemigas.

Rithmomachia

En el diagrama a la izquierda, eltriangulo blanco puede moverse irre-gularmente a todos los cuadros mar-cados con * y el negro a todos loscuadros marcados con +. El movi-miento es similar a un caballo de aje-drez.

Rithmomachia

En el caso del cuadrado, el blancopuede moverse irregularmente a to-dos los cuadros marcados con * y elnegro a todos los cuadros marcadoscon +.

Rithmomachia

En el caso del cuadrado, el blancopuede moverse irregularmente a to-dos los cuadros marcados con * y elnegro a todos los cuadros marcadoscon +.

Rithmomachia

Movimiento de las piezas: la piramide

Los numeros piramidales (suma de numeros cuadrados descendentes) estaninscritos en la tradicion pitagorica desde los orgenes.

Rithmomachia compone las piramides con piezas de los tres tipos: redondas,triangulares y cuadradas. La unidad tiene una forma especial en la piramide blanca, pero se trata

como una redonda: corresponde al espritu pitagorico. La piramide goza del movimiento de cada una de las piezas que la

componen.

Puede ser capturada en su totalidad (cosa difcil) o por cada una de suspartes constituyentes.

Si la piramide es vctima de captura de todas las piezas de una mismaforma, entonces pierde la movilidad de esa forma.

Rithmomachia

Los numeros piramidales (suma de numeros cuadrados descendentes) estaninscritos en la tradicion pitagorica desde los orgenes.

Rithmomachia compone las piramides con piezas de los tres tipos: redondas,triangulares y cuadradas. La unidad tiene una forma especial en la piramide blanca, pero se trata

como una redonda: corresponde al espritu pitagorico. La piramide goza del movimiento de cada una de las piezas que la

componen.

Rithmomachia

Los numeros piramidales (suma de numeros cuadrados descendentes) estaninscritos en la tradicion pitagorica desde los orgenes. Rithmomachia compone las piramides con piezas de los tres tipos: redondas,

triangulares y cuadradas.

La unidad tiene una forma especial en la piramide blanca, pero se tratacomo una redonda: corresponde al espritu pitagorico. La piramide goza del movimiento de cada una de las piezas que la

componen.

Rithmomachia

La unidad tiene una forma especial en la piramide blanca, pero se tratacomo una redonda: corresponde al espritu pitagorico.

La piramide goza del movimiento de cada una de las piezas que lacomponen.

Rithmomachia

Rithmomachia Reglas de juego: Captura de las piezas

Rithmomachia

Tipos de captura (1)

Las capturas se producen mediante alguna forma de igualdad numerica o porprogresiones (aunque hay una excepcion).

No hay acuerdo unanime respecto a los tipos de captura o sus formas.

Las igualdades numericas se producen mediante operaciones aritmeticaselementales: suma, diferencia, producto, cociente, potencia o races.

Las progresiones pueden ser aritmeticas, geometricas o armonicas.

Rithmomachia

Las capturas se producen mediante alguna for

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