exploratory longitudinal analysis with multiway component ...cedric.cnam.fr/~saporta/pk.pdf · in...
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Exploratory Longitudinal Exploratory Longitudinal Analysis with Multiway Analysis with Multiway
Component ModelsComponent Models
Pieter M. KroonenbergPieter M. KroonenbergDepartment of Education and Child Studies, Leiden UniversityDepartment of Education and Child Studies, Leiden University [email protected] [email protected]
STA201 STA201 Mai 2010, ParisMai 2010, Paris
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
ContentsContentsSection 1: General principles
Overview longitudinal modellingThree-way dataThree-way longitudinal data
Section 2: Three-mode models and methodsIntroductionStochastic modelsThree-mode component models
Section 3: "Technical" intermezzo on three-mode component modelsSection 4: Exemples
Croissance et développement de l'organisation des hôpitaux HollandaisDéveloppement morphologique des jeunes FançaisesChangements des interactions entre mères et enfants pedant les six premiers mois
Section 1Section 1
General principlesGeneral principles
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1.11.1Overview Modelling Longitudinal DataOverview Modelling Longitudinal Data
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Multivariate longitudinal data
Fully-crossed data (Repeated measures)Several subjects have scores on several variables at various points in timeModelling depends on
the structure present or knownnumber of variables, subjects, and time pointsunderlying mechanism of changeassumptions about the data
Types of modellingStochastic modelling with or without latent structuresDescriptive (exploratory) modelling via component models
with functional restrictions on the time modewith general restrictions on the time modetime as an interpretational device
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Stochastic modelling -1
Without latent structures general linear model
regression analysisautoregressive models: variables are predicted by the same variables measured earlier and possibly external variables
repeated measures analysis of variancevia doubly multivariate analysis of variance: measurements on the same variables at different time points are treated as a multivariate set andseveral different variables available make it doubly multivariate. Models are tested with complex Manova models including trends, mean differences, etc.
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Stochastic modelling - 2Without latent structures
Multivariate time seriesfew variables, few subjects, many points in timecontinuous measurements of medical instrumentstrends in the stock marketskin conductance during an experiment from several electrods
TimeAm
plitu
de o
f ski
n co
nduc
tanc
e
14
12
10
8
6
4
Descent
Ascent
Base line
7006005004003002001000
21 3 4 5
Time series analysis: ARMA, ARIMA,ARMAV models, Fourier analysis
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Stochastic modelling - 3
With latent structuresStructural equation modelling
Several measurements of the same latent construct(Causal) relationships are defined at the level of the latent variables rather than the observed ones.
time 1 time ktime 2
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DISTAL5
RES5
APPRAV5
DISTAL8
RES8
APPRAV8
CRY5
LOC5
MAN5
PRM5
CMM5
RSM5
AVM5
DIM5
CRY8
LOC8
MAN8
PRM8
CMM8
RSM8
AVM8
DIM8
Stochastic modelling Strange Situation
Episode 5
Episode 8
Distal = Communication à distanceRes = Résistance contre la mamanApprAv = Conflict entre approcher et éviter la maman
crier
mouvement
manipulation des jouets
proximité
contact
résistance
éviter la mère
interaction à distance
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Stochastic modelling - 4
Latent growth modelsDo one or more p-parameter functions underlie the set of curves
Three-mode covariance modelsStructural equation model for the
1..j..J 1..j..J 1..j..J
1..j.
.J1.
.j..J
1..j.
.J
k=1
k=1
k=2
k=2
k=3
k=3
Multivariable-multioccasion covariance matrix (j = variables; k = occasions)
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Descriptive modelling
Basic aimDescribe the major patterns in the data and how they change over time without calling upon explicit distributional assumptions.
Major tools are projection into low-dimensional spacescurve fitting especially for the time mode
Time introduces (through autocorrelation)contiguity ordinality[a certain amount of (underlying) smoothness]
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Handling the time mode -1
Time as interpretational devicethe most exploratory approach is to perform an analysis without paying attention to time during the analysis, i.e. ignoring it as a design aspect.time is then only used as an interpretational devicecontiguity and ordinality are primary principles for interpretation
Disadvantagesloss of (a priori) interpretabilitylack of real (imposed) smoothnessimportance and stochastic characteristics of irregularities hard to judge
AdvantagesData are surpreme, no artificial (untenable) restrictionsGood baseline for further investigation
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Handling the time mode -2
General constraints on the time modeIn order to introduce more structure into the time mode, one may use specific knowledge about the underlying longitudinal process or guess at certain properties and introduce constraints on the components of the time mode, such as
smoothness (e.g. B-splines)ordinalitymonotonicity (e.g. I-splines)unimodality
Such restrictions generally reduce the fit of the model to the data,small reduction:
increase in interpretability (generally) reduction of parameters
large reduction:restriction and corresponding interpretation not warranted
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Functional restrictionsReplace time mode components with parametric functions ("instrumental variables"; cf. "canonical CA")E.g. Gompertz curves
Advantage: A priori interpretability but other functions could also give an adequate fitDisadvantages: Possibly inadequate fit; function inappropriate
Handling the time mode - 3
(Source: Timmerman, 2001, Chap. 5)
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1.21.2 Three-Way Data Three-Way Data
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Three-way data array(fully crossed)
Xunderlining indicates (three-way) array
Subjects = first modei = 1, ... , I
Variables = second modej = 1, ... , J
Years = third modek = 1, ... , K
Subjects
Variables
Years
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Slices
Horizontal slices
Xi
Lateral slices
Xj
Frontal slices
Xk
Slices are matrices
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Fibres
Columns (column fibres)
xjk
Rows(row fibres)
xik
Tubes(depth fibres)
xij
Fibres are vectors
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Traditional approaches to three-way data
k=1
k=K
X1
Mean1...i...I
1...j...J
k=1
k=K
1...j...J
1...i...I
1...i...I
1...i...I
X3
X2
X1
Averaging
k=1 k=K
1...j...J 1...j...J1...j...J
1...i...I X3X2X1
Variables replicated(wide matrix)
Subjects replicated(long matrix)
1..j..J 1..j..J 1..j..J
1..j.
.J1.
.j..J
1..j.
.J
k=1
k=1
k=2
k=2
k=3
k=3
Multivariable-multioccasion covariance matrix
k=1
k=K
S1
Covariance matrices
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1.31.3 Three-Way Longitudinal Data Three-Way Longitudinal Data
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Example200 inspectors rated the surface roughness of 15 metal loaves on 4 times (repeated measure)
200 x 4 x 15 three-mode data
4 types of inspectors; A,B,C and D (within-subject factor)
200
4
15
A
B
C
D
Repeated measures data (fully crossed - with a design on the subjects)
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Three-way dataCross-sectional data
rjj'k correlation between scales j' and j at time point k
set of correlation/ covariance matrices;
no necessity for subjects to be the same not fully-crossed
Sampl
es/
Occ
asio
ns
1.......j'.......J1....
.j ....
.J
Variables
Variables
1....
.k...
...K
rjj'k
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Cross-sectional data
Multi-Set DataDifferent samples of subjects each generate a matrix, say different age groups each produce a correlation matrix of the subtests of an intelligence test
Values only comparable within each matrix or matrix conditional
Often correlations or covariances: Two-mode three-way data (variables by variables by samples/years
k=1
k=K
k=2
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Cross-sectional data
Each subject k generates a matrix but rows (time points) are different for each k frontal slice (subject), but variables are the same for each slice.
Subjects get their medication at different times with different intervalsDifferent batches evolve at different speeds over time; times at which they are measured do not have the same intervals
Each sample k generates a matrix but rows (subjects) are different for each k frontal slice (sample), but variables are the same for each slice.
Cross-sectional study of intelligence: comparing structure of intelligence tests for different age groups
k=1
k=K
k=2
1... j ...J
I1
IKI2
Multiset data are often converted to correlation/covariance matrices or similarity matrices and then analysed
Multi-set data
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Multiblock models
Y+= X1 X2
Three-mode linear models(applications in chemistry)
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Mother Activities
J categories
1st month
6th month
Child Activities
(I categories)
Three-way categorical data
Fully-crossed: t0, t-1, t-2
one variable lagged twice(variables décalés)
Behaviourat time 0
Behaviour at time -2
Behaviour at time -1
Cross-sectionaltwo variables fully-crossed;measured K times(transversal)
Section 2Section 2
Three-Mode Models and MethodsThree-Mode Models and Methods
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Types of analysis techniquesStochastic-Nonstochastic
Stochastic TechniquesUse of distributional assumptionsMostly model testing or model search via model testingSubjects are replications and not necessarily interesting as individuals (exchangeable)
Data-Analytic Techniques'Population' techniquesSubjects are interesting as individuals: Interest in individual differences
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2.12.1 Stochastic models Stochastic models
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Stochastic modelsRepeated measures multivariate analysis of variance
Structural equations modelling on multivariable-multicondition matrix (=multitrait-multimethod matrix)
Three-way analysis of variance without replications(one observation per cell; not longitudinal?)
1..j..J 1..j..J 1..j..J
1..j.
.J1.
.j..J
1..j.
.J
k=1
k=1
k=2
k=2
k=3
k=3
k=1 k=K
1...j...J 1...j...J1...j...J
1...i...I X3X2X1
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Multivariate repeated measures models
Repeated measures analysis of variance (with of without a design on the subject mode)
interpretation of significant multivariate trends
interpretation of significant univariate trends
interpretation of significance between group effects (if design is available on subjects)
Little regard for individual differences, only as groups (However, hierarchical linear models (HLM - random effects and mixed models ).
Problems with large interactions and complex structure in variables
k=1 k=K
1...j...J 1...j...J1...j...J
1...i...I X3X2X1
Variables replicated
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Covariance modelsStructural equation modelling of multivariable-multioccasion matrix or multimode cov. matrix
if a good model fit, easy interpretation (a priori known)needs large amounts of data for testing of modelsstrong assumptions about distributions and variable structureNo regard for individual differences
s jk,jk = variance of variable j measured at time k
s j'k',jk = covariance of variable j measured at time k with variable j' measured at time k'
1..j..J 1..j..J 1..j..J
1..j.
.J1.
.j..J
1..j.
.J
k=1
k=2
k=3
k=1 k=2 k=3
s jk,j'k'
s j'k',jks jk,jk
s11,11
sJK,JK
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2.22.2 Three-Mode Component Models Three-Mode Component Models
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Common nonstochastic models
Tucker2 modelThree-mode principal component analysis with extended core array (Tucker)
Tucker3 modelThree-mode principal component analysis with full core array (Tucker)
Parafac modelParallel factors model [actually component model] with superdiagonal core array (Harshman, Carroll)
STATIS Structuration des TAbleaux a Trois Indices de la Statistique - (Escoufier, L'Hermier des Plantes, Lavit)Not a model but a method
AFM Analyse Factorielle Multiple (Escofier,Pagès)
Also a method - (with which I unfortunately have no practical experience)
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Singular value decomposition
Xsubjects
variables
= A B'00
g11
g22
G
The singular value decomposition is the basic structure of a matrixA'A = I, B'B = I, G = diagonal (g12 = g21 = 0)P = BG & Q = AGFirst column of A is exclusively linked to first column of B, and the same for the second components, therefore they refer to the same component. xij = Σs(aisbjsgss)
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SVD and PCA and Q-PCA
loadings for variables
A B'00
g11
g22
G
A F'=scores for subjects
Xsubjects
variables
Standard PCA
Xsubjects
variables
=
'loadings' for subjectsX' Q'=
'scores' for variables
subjects
variables
= B A'00
g11
g22
GX'subjects
variables
Q-PCA (ACP dual?)
B
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Three-mode PCA: Replicated SVD
Replicated SVD is not really a three-mode model. No restrictions. Independent solutions for each k.
xijk = Σs(aisk bjsk gssk)
k=1
k=K
X1
XK= AK
B' K
0GK0
X1= A1
B' 1G10
0
X3= A3
B' 3G30
0
X2= A2
B' 2G20
0
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Three-mode PCA: Tucker2 model
k=1
k=K
X1
XK = A B'GK
X1= A B'G1
X3= A B'G3
X2= A B'G2
True three-mode model with restrictions: Only one A and B for all subjects k.The singular value matrices Gk not diagonal anymore xijk = Σp Σq(aip bjq gpqk)
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Three-mode PCA: Tucker3 mode l
True three-mode model with restrictions: One A and B and components C to describe the subjects. Singular values in core array G link and weight combinations of components.
xijk = Σp Σq Σr (aipbjqckrgpqr)
k=1
k=K
X1
X = A B'P
Q
RP
Q
R
C
G
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Three-mode PCA: Parafac mod el
True three-mode model with restrictions: One A and B and components C to describe the subjects. Singular values in core array G weight combinations of components. Core array is superdiagonal.First column of A, B, and C are exclusively linked to each other, therefore they refer to the same component.
xijk = Σs ais bjs cks gsss
k=1
k=K
X1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
aS
bS
cS
+ +g111 g222 g333xijk =
S
S
S
A CB SuperdiagonalCore Array
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Three-mode PCA: Core arrays
Superdiagonal full core array (S = P = Q = R)
Extended core array (R = K)
Full core array
R=K
S
S
S
P
QR
S
S
K
Slice diagonal extended core array (S = P = Q)
C DA B
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Tucker2model
Extended core array PxQxK
Parafacmodel
1. Superdiagonal core array SxSxS2. Diagonal frontal slices SxSxK
Tucker3model
Full core array PxQxR
PCA
on e
xten
ded
core
arr
ay
K ---
--> R
Diagonal core array; P=Q=R=Sno orthonormality restrictions
Diagonal frontal slices; P
=Q=S
no orthonormality restrictions
S
S
S
S
S
K
P
Q
R
S
S
K
Relations between component models
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STATIS
Wk==== intrastructure k
W1 W1=X1X1'
WK WK= XKXK'
W W W W ====
vect
oris
edw
1
vect
oris
edw
K
..
.
C C C C = = = = W' W W' W W' W W' W
C C C C = = = = AAAAΦΦΦΦA' A' A' A'
C = C = C = C = Interstructure
first column ofA A A A :αααα = (αααα1,...,ααααK)
W = ΣΣΣΣkααααkWk= UΛΛΛΛU'
subject compromise components: U*=UΛΛΛΛ1/2 1/2 1/2 1/2 (princ. co-ord.)
W = = = = Compromise intrastructure
subject co-ordinates for each k: WkUΛΛΛΛ−−−−1/21/21/21/2 per condition k
variables for each condition k: ααααkXk'U intrastructure
Wk==== intrastructure k
W1 W1=X1X1'
WK WK= XKXK'
W W W W ====
vect
oris
edw
1
vect
oris
edw
K
..
.vect
oris
edw
1
vect
oris
edw
K
..
.
C C C C = = = = W' W W' W W' W W' W
C C C C = = = = AAAAΦΦΦΦA' A' A' A'
C = C = C = C = Interstructure
first column ofA A A A :αααα = (αααα1,...,ααααK)
W = ΣΣΣΣkααααkWk= UΛΛΛΛU'
subject compromise components: U*=UΛΛΛΛ1/2 1/2 1/2 1/2 (princ. co-ord.)
W = = = = Compromise intrastructure
subject co-ordinates for each k: WkUΛΛΛΛ−−−−1/21/21/21/2 per condition k
variables for each condition k: ααααkXk'U intrastructure
Section 3Section 3
ExemplesExemples
3.1 3.1Croissance et Développement de Croissance et Développement de
l'Organisation des Hôpitaux Hollandaisl'Organisation des Hôpitaux Hollandais
(revised version of lecture presented on 22/1/1982 in Utrecht for the "Studiegroep methodologie longitudinaal onderzoek")
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Mise-en-scène
ProblèmeIl n'y a pas beaucoup de théorie sur la croissance et développement des organisations comme des hôpitaux, donc la modelisation est difficile.
QuestionsQuelles tendances sont présentes?Y-a-t'il des tendances différentes pour des types différents des hôpitaux?Y-a-t'il des changements dans la structure des hôpitaux?
Données188 hôpitaux, 23 variables, 11 ans ('56-'66)
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Modes d'analyse
ConsidérationsLe nombre des hôpitaux (individus) est insuffisant pour les modèles d'equations structurelles et il n'y a pas assez de théorieBeaucoup de variables, plusieurs non-GaussiennesNombre moyen d'annees
Préparation des donnéesPlusieurs variables numériques étaient categorisées avec environ 10 catégories de tailles croissantes avec l'objectif de surmonter la dissymétrie de certaines variables (utilisant "optimal scaling").
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Co-ordination Variables de coordinationFinDir financial director directeur financierQExter ratio qualfied nurses on/outside wards proportion infirmières diplomées sur/dehors les sallesQRatio ratio qualfied nurses/total number of nurses proportion infirmières diplomées/le total des infirmières Open openness franchise
Functionality Variables fonctionelsFuncti number of functions nombre des fonctionsRushIn Rushing index - divison of labour index de division de travailExStaf executive (managerial and supervising) staff nombre des cadres supérieurs NMProf non-medical professionals nombre des professionels non-médicalsAdmin administrative (i.e. clerical) staff nombre de personel de bureauParaMed paramedical staff nombre de personel paramédicalNonMed other non-medical staff nombre de personel non-médicalNurses total number of nurses nombre total des infirmièresOverall size Variables de tailleMedTech medical-technical facility index index des aménagements médico-techniquesStaff total staff personel totalBeds total number of beds nombre des litsPatient total number of patients nombre des patientsDifferentiation Variables de différenciationTraining training capacity capacité de formationResearch research capacity capacité de rechercheClinSp main polyclinical specialisations nombre des spécialisations cliniques de basePolySp main polyclinical specialisations nombre des spécialisations polycliniques de baseClinSub clinical subspecialisations nombre des sous-spécialisations cliniqeus principalesPolySub polyclinical subspecialisations nombre des sous-spécialisations polycliniques principales
Hospital study : Variables
(Classification sociologique théorique des variables)
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Les modèles de Tucker
Tucker3: x ijk = ΣΣΣΣp ΣΣΣΣq ΣΣΣΣr (aipb jqckrgpqr)
Tucker2: x ijk = ΣΣΣΣp ΣΣΣΣq (aipb jqhpqk)
X
2
2
2
G
11 a
ns
188 hôpitaux
22 variables
A
2 composants des hôpitaux
188 hôpitaux
B
2 composantsdes variables
22 variables
2 composants des ans
C11 ans
Matrice noyau complète (Tucker3)
2
2
11
H
Matrice noyau allongée
(Tucker2)
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Reconstitution des scores observés à base de composantes
Composantes hôpitaux: Hôpitaux typiquesComposantes variables: Variables latentesComposantes ans: Tendances
Elément dans la matrice noyau signifie le score d'un hôpital typique sur une variable latente pour une tendance particulière de tempsChaque hôpital observé est une combinaison ponderée des hopitaux types ponderés dans la mesure où chaque type est charactéristique pour cet hôpital (aip)Chaque variable est une combinaison ponderée des variables latentes (bjq)Chaque année est une combinaison ponderée des tendances (ckr)
hôpital type 1
taille
spécialisation
tendance 1 tendance 2
taille
spécialisationT3 matrice noyau
tendance 1 tendance 2
hôpital type 2
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Exemples de matrices de correlationsentrée ans (à base de 188 x 22 observations) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 100 2 96 100 3 94 97 100 4 93 95 98 100 5 89 92 94 95 100 6 87 90 92 93 97 100 7 86 88 90 91 94 95 100 8 85 88 90 91 94 95 97 100 9 83 85 87 89 91 93 94 96 10010 81 84 86 87 90 91 93 95 97 10011 80 82 85 86 89 90 92 94 95 97 100
nombre de lits 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 100 2 97 100 3 97 98 100 4 96 98 99 100 5 95 96 98 98 100 6 94 96 97 98 99 100 7 94 95 97 97 98 99 100 8 93 95 96 97 98 98 99 100 9 92 94 95 95 97 97 98 99 10010 92 93 94 94 96 96 96 98 99 10011 91 92 93 93 95 95 95 97 97 99 100
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-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966
Coo
rdin
nées
prin
cipa
les
Années
Composante 1
Composante 2
Tendances(coordonnées versus années)
Niveau
Croissance
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-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Deu
xièm
e C
ompo
sant
e
Première Composante
Formation
Recherche
Dir Fin
MedTech
PropInfSalles PropInfDipl
Fonctions
Personel
DivTravail
CadresSup
NMProf
AdminParaMd
NonMedInfirmieres
LitsPatients
Franchise
ClinSpPolySp
ClinSub
PolySub
Espace des variables latentes
La théorie sociologique concernant les groupes des variables n'est pas complètement confirmée; les variables de coordination, les variables de taille et les variables fonctionnelles se comportent de la manière prévue, mais il n'y a pas une distinction entre les derniers types.
nombre des spécialisations
taille
degré de spécialisation
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Espace des hôpitaux types
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Deu
xièm
e C
ompo
sant
e
Première Composante
135104
5
182
142 101
74
144
Le plafond des coordonnées est causé par des valeurs des spécialisations; plusieurs hôpitaux possèdent déjà toutes les specialisations possibles.
Examples scores hôpitaux R MT S NM B P PSmax:3 7 14 10 9 9 11182:56: 2 6 13 10 9 9 566: 2 7 14 10 9 9 8
101:56: 1 1 1 1 1 8 266: 1 1 1 1 1 9 2
135:56: 1 4 11 7 8 3 4 66: 2 5 11 9 8 4 4
144:56: 1 5 4 3 4 9 666: 1 6 9 2 7 9 9
R=Recherch;MT=MedTech;S=Personel;NM=NonMed;B=Lits;P=PolySpec;PS=PolySub
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Exemples des scores hôpitaux
R MT S NM B P PSmax:3 7 14 10 9 9 11
101: (1e - -; 2e 0)56: 1 1 1 1 1 8 266: 1 1 1 1 1 9 2
55: (1e 0; 2e 0)56: 2 5 3 3 3 7 366: 2 5 4 2 4 9 6
182: (1e ++; 2e 0)56: 2 6 13 10 9 9 566: 2 7 14 10 9 9 8
R=Recherche;MT=MedTech;S=PersonellNM=NonMed;B=Beds;P=PolySpec;PS=PolySub
Exemples des scores hôpitaux
R MT S NM B P PSmax:3 7 14 10 9 9 11
5: (1e -; 2e +)56: 1 3 2 1 3 9 266: 1 3 2 1 3 9 2
142: (1e -; 2e +)56: 1 3 2 1 2 9 166: 1 5 4 1 3 9 3
144: (1e ++; 2e +)56: 1 5 4 3 4 9 666: 1 6 9 2 7 9 9
Scores des hôpitaux
Exemples des scores hôpitaux
R MT S NM B P PSmax:3 7 14 10 9 9 11
74: (1e - -; 2e - -)56: 1 2 1 1 1 1 166: 1 2 1 1 1 1 1
104: (1e -; 2e - -)56: 1 3 3 1 3 1 166: 1 3 4 2 3 1 1
135: (1e +; 2e - -)56: 1 4 11 7 8 3 4 66: 2 5 11 9 8 4 4
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Valeurs brutes de la matrice noyau complète (gpqr)
Type 1: Hôpital genéral Type 2: Hospital 'specialisé' Taille Degré de Taille Degré de spécialisation spécialisation
niveau 150 1 -1 53croissance 2 -7 10 -5
Matrice noyau
Contributions proportionelles à l'ajustement (SS(Fit)): niveau .490 .000 .000 .060croissance .000 .001 .002 .000
L' hôpital général est déjà grand et reste grand (150)
L' hôpital général ne grandit pas et (comparativement) un peu moins spécialisé, c'est a dire devient un peu plus général (-7)
L' hôpital spécialisé est déjà spécialisé et reste comme ça (53)
L' hôpital spécialisé grandit un peu (10)
Contributions proportionelles à l'ajustement des 4 éléments majeurs de la matrice noyau:.490 + .001 + .060 + .002 = .553des autres 4 éléments = .006
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
A. Biplot modes emboîtés:[Nested-mode (or Interactively coded) biplot]
B. Biplot conjoint[Joint biplot]
Réprésentation dans l'espace des composants d'une entrée (dites, ckr ) des lignes qui sont une combinaison des autres deux entrées avec une entrée emboïtée dans l'autre.
Par exemple, le mode "temps" peut emboîté dans le mode "enfants". De cette manière il est possible de faire des trajectoires.
Réprésentation dans l'espace conjoint des composantes des deux entrées (variables et enfants) pour chaque composante de la troisième entrée (dites, ckr , coordonnée du temps)
Deux types de biplots
543
216Jean
Olivier
Gilbert
Ndeyevocaliser
sourir
actif
o
o
o
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Biplot conjoint: Hôpitaux et variables
Hôpital général
Hôpital spécialisé
Première composante des ans (Niveau)
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
Deu
xièm
e C
ompo
sant
e (D
egré
de
Spé
cial
isat
ion
)
Première Composante (Taille )
Formation
RecherchePropInfSalles
PropInfDipl
NMedProfFranchise
ClinSpPolySp
ClinicalSub
PolySubFinDir
Lits, Personel,etc
10474
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Deu
xièm
e co
mpo
sant
e
Première composannte
Formation
RechercheNurseInOutQNurse
Lits,Personel, etc
ClinSpecPolySpec
Biplot conjoint: Hôpitaux et variables Deuxième composante des annees
(Croissance linéaire - analyse avec des contraintes)
104
95 154
135136
120
80
74
176 182
74 & 104 ne grandissent pas
PolySub
L'échelle des axesest inférieure à rapport la figure précédente(-1, 1)!
10155
Example55 (1e 0; 2e 0)56: 2 5 3 3 3 7 366: 2 5 4 2 4 9 6
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Années
Taill
e de
s él
émen
ts d
es m
atric
e no
yeau
allo
ngé
'66'65'64'63'62'61'60'59'58'57'56
6
5
4
3
2
1
0
-1
h(1,1)
h(2,2)
h(1,2)
h(2,1)
Tucker2 matrice noyau allongé
le grand hôpital général grandit un peu et le petit hôpital général diminue un peu
l'hôpital spécialisé ne change pas dans son degré de spécialisation
l'hôpital spécialisé grandit un peu
l' hôpital général devient un peu moins spécialisé, c'est à dire il acquiert les spécialites qui lui manquait
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Valeurs bruts de la matrice noyau complète (gpqr) sans et avec contraintes
Type 1: Hôpital genéral Type 2: Hospital 'specialisé' Taille Degré de Taille Degré de spécialisation spécialisation
niveau 150/150 1/1 -1 /-1 53/53croissance 2/6 -7/-7 10/10 -5/-3
Tucker3 avec contraintes
Modèle Tucker3 avec contraintes surcomposantes du tempsTendances strictement constantes & linéaires
Ajustement proportionel: .559 (sans) /.557 (avec contraintes)
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
19561957195819591960196119621963196419651966
Coo
rdon
nées
Années
Composante normalisées
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
ConclusionsQuelles tendances?
Très stable avec une croissance linéaire faibleDes structures différentes pour différent types d'hôpitaux?
Deux groupes d'hôpitaux: des hôpitaux generaux et des hôpitaux spécialisés.
Les hôpitaux generaux ont des valeurs élévés ou grandissent un peu (ou vice versa); les grands restent grands et les petits restent petitsLes hôpitaux spécialisés restent spécialisés et grandissent un peu.
Y-a-t'il un grand changement dans les structures des hôpitaux?
Pas vraiment
laatste
3.23.2 Développement Morphologique des Jeunes Développement Morphologique des Jeunes
FrançaisesFrançaises
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Mise-en-scène
QuestionsQuelles sont les relations entre les variables de croissance des jeunes filles?Le mode de changement dans leur croissance physique est-il le même pour toutes les filles? Ou certaines filles changent-elles de manière differente sur differentes variables?
Les données32 filles, 8 variables, 12 âges (4-15)
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Age151413121110987654
1000
800
600
400
200
0
Tête
Poitrine
Jambe
Mollet
Bassin
Poids
Longueur
Longueur cap à coccyx (Torse)
Courbes moyennes (Fille moyenne)
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
1.5
2
2.5
3
3.5
2600 2620 2640 2660 2680 2700 2720
Dev
ianc
e (S
S(R
esid
u))
Degrees-of-Freedom
1x1x1 1x2x2 1x3x3
2x1x2
2x2x1 2x2x2 2x2x3
2x3x2 2x3x3
3x1x3
3x2x2 3x2x3
3x3x1
3x3x3
4x2x2 4x2x3
4x3x2 4x3x3
3x3x2
Graphique d'ajustement avec une enveloppe convexe
(Deviance plot with convex hull)
df = IxP + JxQ + KxR + PxQxR - P2
- Q2
- R2
(matrices en composantes) (matrice noyau) (non-singularité des matrices)
degrés de liberté
modèle préféré
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1ère
Composante
weight
length
crrump
head
chest
arm
calf
pelvis
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
weight
length
crrump
head
chest
arm calf pelvis
Composantes des variables et cercle de correlation
1ère
Composante
2e
Composante 3e
Composante
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Coo
rdon
ées
Age
Composante 1Composante 2
Composantes de temps(1ère composante transformée pour être la plus constante possible
la 2e composante reste orthogonal a la 1 ère)
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Croissance d'obésité(Coordonnées des filles x âge sur 1
erscomposantes des variables)
Fille moyenne
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Coo
rdon
nées
Com
posa
ntes
-
Obé
sité
1
2
3
4
5
6
7 8
9
10
11
12 13 14
15 16 17
18
19
20 21
22
23 24 25
26
27
28
29
30
Age
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
transversal
Poids par âge - Etats-Unis
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
2e
Composante
12
3
5
6 7
8 9
10
11
12
13
14
15
1617
19
20
21
22
23
24
25
27
28
29
30
Poids
Mollet
Bassin
HEAD 26
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.61
e reComposante
12
3
4 5
6 7
8 9
10
11
12
13
14
15
1617
18
19
20
21
22
23
24
25
27
28
29
30
Longueur
Torse
Poitrine
Jambe
HEAD 26
Biplot conjoint(1
ereComposante d'âge)
ObèseFrêle
Grand
Petit
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Deu
xièm
e C
ompo
sant
e
Première Composante
1
23
4
5
6 7
89 A
BCD
E
FGH
I
J
K
L
M NO
PQ
RS
TU
1
2
3
4
5
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A
BCD
E
FGH
I
J
K
L
M NO
PQ
RS
TU
1
2
3
4
5
67
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J
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L
M NO
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1
2
3
4
5
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8
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FGH
I
J
K
L
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O
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RS
T U1
2
3
4
5
67
8
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J
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L
MN
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2
3
4
5
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9
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D
E
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L
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P
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2
3
4
5
67
8
9
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H
I
J
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1
2
3
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8
9
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L
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1
2
3
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6
7
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J
K
L
M
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2
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7
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9
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K
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2
3
4
5
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8
9
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J
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P
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2
3
4
5
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8
9
A
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J
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P
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-
-
- - -
1
23
4
5
6 7
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1
2
3
4
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67
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A
BCD
E
FGH
I
J
K
L
M NO
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TU
1
2
3
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5
67
89
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FGH
I
J
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L
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PQ
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2
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67
8
9A
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FGH
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J
K
L
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PQ
RS
T U1
2
3
4
5
67
8
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E
FGH
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O
PQ
RS
T U1
2
3
4
5
67
8
9
A
BC
D
E
FGH
I
J
K
L
MN
O
P
QRS
TU 1
2
3
4
5
67
8
9
A
B CD
E
FG
H
I
J
K
L
M
N
O
P
QRS
TU
1
2
3
4
5
67
8
9
A
B CD
E
FG
H
I
J
K
L
M
N
O
P
QRS
TU
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B CD
E
FG
H
I
J
K
L
M
N
O
P
QRS
T
U1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B CD
E
FG
H
I
J
K
L
M
N
O
P
QRS
T
U1
2
3
4
5
67
8
9
A
B CD
E
FGH
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
RS
TU 1
2
3
4
5
67
8
9
A
BC
D
E
FGH
I
J
K
L
MN
O
P
Q
RS
T U
Biplot Modes Emboîtés:Trajectoires
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Deu
xièm
e C
ompo
sant
e
Première Composante
1
2
3
4
6 7
8
9
11 1213
14
151617
18
19
20
21
2223
24
25 27
poids
longueurtorse
tête
poitrine
jambe
mollet
bassin
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
1
2
3
6 7
8
9
11 1213
14
151617
20
21
2223
24
25 27
Biplot Modes Emboîtés:Trajectoires(Trajectoires: Le numéro indice la moyenne par rapp ort au temps)
laatste
3.33.3Changements des interactions Changements des interactions
entre mères et enfants pendant les entre mères et enfants pendant les six premiers moissix premiers mois
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Variables & Catégories
Comportement de la mèreSANS REGARD ENFANTREGARDERSTIMULEROFFRIRCONTACT PHYSIQUEAPAISER
Comportementde l'enfantInactifSourirRegarderVocaliserExplorerPleurerSucer
Mois après naissance123456
Van den Boom, Developmental Psychology,Amsterdam
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Tableau de contingence à trois entrées
Activités mère
J catégories
1er
mois
6e
mois
Activités enfant
(I catégories)
TransversalDeux variables complètement croisées,mesurées K (= 6) fois
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Mère Sans Regarder Stimuler Offrir Contact Apais er Rapport Physiq ue EnfantENFANT Mois 1 INACTIF 378 2197 206 335 851 1 SOURIR 225 1363 558 681 51 2 26 REGARDER 1346 4764 648 1735 1456 39VOCALISER 232 1135 220 919 46 5 58EXPLORER 14 73 19 44 84 1PLEURER 342 854 6 59 10 5 1178SUCER 166 243 83 105 11 6 44
Mois 2 INACTIF 157 1057 85 175 405 0SOURIR 212 1621 1042 983 41 8 19REGARDER 1460 4346 748 1802 1491 57VOCALISER 272 908 503 1049 40 3 53EXPLORER 44 149 26 50 66 12PLEURER 364 479 27 117 10 7 1297SUCER 757 552 102 195 24 4 61
Mois 3INACTIF 74 434 42 54 175 0SOURIR 260 1425 1112 1098 36 0 14REGARDER 2015 4580 719 1999 1222 47VOCALISER 350 836 520 1140 28 7 32EXPLORER 538 637 83 313 141 8PLEURER 220 538 8 140 7 7 873SUCER 483 429 104 230 23 3 50
Données Mère Sans Regarder Stimuler Offrir Contact Apais er Rapport Physiq ue EnfantENFANT
Mois 4 INACTIF 55 277 10 22 9 0SOURIR 188 938 934 825 28 8 11REGARDER 1845 4380 634 2030 1132 48VOCALISER 344 700 356 961 22 1 31EXPLORER 764 1545 200 777 162 24PLEURER 414 460 23 123 7 6 975SUCER 702 642 161 378 22 6 35
Mois 5INACTIF 116 155 2 13 40 0SOURIR 142 649 683 607 14 4 9REGARDER 1686 3512 580 1942 1008 60VOCALISER 529 864 282 792 20 3 22EXPLORER 1842 1796 387 1367 227 30PLEURER 381 558 10 228 7 7 833SUCER 762 430 77 275 18 2 35
Mois 6 INACTIF 34 64 0 2 15 1SOURIR 161 567 537 505 16 1 10REGARDER 1897 3172 428 1860 914 50VOCALISER 456 864 269 798 21 4 31EXPLORER 2208 2003 339 1373 245 34PLEURER 483 525 19 245 10 8 849SUCER 1354 463 105 383 14 2 48
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Analyse de correspondanceà trois entrées
Tableau à trois entrées des proportions.
Eliminer l'influence des marges simples afin pour étudier seulement les déviations du modèle d'indépendence
Appliquer une analyse generalisée des valeurs singulières pour trouver une approximation de rang faible.
Calculer les mesures d'ajustement et leur partitions
Faire une réprésentation spatiale des dépendances globales, marginales et partièlles dans un seul biplot
Dequier (1973), Choulakian (1988), Kroonenberg (198 9), Carlier & Kroonenberg (1996, 1998)
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
I = enfant; J=mère; K=mois
Partitionner l'ajustement du modèle aux données
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
A. Biplot modes emboîtés:[Nested-mode (or Interactively coded) biplot]
B. Biplot conjoint[Joint biplot]
Réprésentation dans l'espace des composantes d'une entrée (dites, ckr ) des lignes qui sont une combinaison des autres deux entrées avec une entrée emboïtée dans l'autre.
Par exemple, le mode "temps" peut etre emboîté dans le mode "enfants". De cette manière il est possible de faire des trajectoires.
Réprésentation dans l'espace conjoint des composantes des deux entrées (variables et enfants) pour chaque composante de la troisième entrée (dites, ckr , coordonné du temps)
Deux types de biplots
543
216
Geert
Gilbert
Jean-Jacques
Jean
vocaliser
sourir
actif
o
o
o
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Biplot Conjoint(1ère Composante du temps)
CONTACT PHYSIQUE
Composante 1 - Temps
Mois 1 1.22 1.33 0.94 0.95 0.86 0.8
Valeur plus ou moins stable pendant les mois avec un declin modéré
inactifsucerexplorer
STIMULER
REGARDER
APAISER
SANS RAPPORT ENFANT
OFFRIR
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-3
-2
-1
0
1
2
vocalisingpleurer regarder
inactif
OFFRIR comportement mère
comportement enfant
sourir
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Biplot Conjoint(Composante 2 du Temps)
Composante 2 - Temps
Mois 1 -1.42 -0.63 -0.14 0.55 1.16 1.5
Valeurs montent (presque linéaire avec âge)
inactif
OFFRIR comportement mère
comportement enfant
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
inactif
sourirsucer
explorer
CONTACT PHYSIQUE
STIMULER
REGARDER
APAISER
SANS RAPPORT ENFANT
OFFRIR
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
Biplot modes emboîtés(espace mère)
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
REGARDER
SANS RAPPORT ENFANT
CONTACT PHYSIQUE
STIMULER OFFRIR
APAISER
inactif
sucer
regarder
sourir
vocaliser
pleurer
explorer
Composante2
Com
posa
nte
3
Les flèches commencent à 1 mois après la naissance et se terminent 6 mois après.
LETTRES CAPITALES = comportement mèreitalique = comportement de l'enfant
THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY
-1.5 -1 -0.5 0 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
0
0.5
1
1.5
2
inactif
souriresucer
explorer
Contact physique
Stimuler
Regarder
Apaiser
Sans rapport enfant
OffrirII
MM
IIMMCentroïde mère
Centroïde enfant
Comportement mère croissant
Comportement mère décroissant
Comportement enfant décroissant
Comportement enfant croissant
es
is
C
AS
O
S
R
Interactions I×T et M×T
laatste