experimentos de un factor uii t

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas

Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro

Cárdenas, Michoacán,

Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.

101

e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.

1.- En Design and Analysis of Experiments, 4ª. Edicion (John Wiley & Sons), D.C. Montgomery describe un

experimento en el que la resistencia a la tensión de una fibra sintética es de interés para el fabricante. Se piensa

que la resistencia se relaciona con el porcentaje de algodón de la fibra. Se usan cinco niveles del porcentaje de

algodón, y se hace cinco replicas en orden aleatorio, obteniendo los siguientes datos como resultado.

Porcentaje de algodón

Observaciones

1 2 3 4 5

15 7 7 15 11 9

20 12 17 12 18 18

25 14 18 18 19 19

30 19 25 22 19 23

35 7 10 11 15 11

a) ¿El porcentaje de algodón afecta la resistencia a la ruptura? Trace diagramas de caja comparativos y

haga un análisis de varianza. Use α= 0.05

b) Grafique la resistencia a la tensión promedio contra el porcentaje de algodón e interprete los

resultados.

c) Encuentre los residuales y examínelos en cuanto a la adecuación del modelo.

a)

Tabla.

Diagrama de cajas.


Observaciones

Totales Promedio 𝑦𝑖𝑗2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑦𝑖2

𝑎

𝑖=1

1 2 3 4 5

15 7 7 15 11 9 49 9.8 525 2401

20 12 17 12 18 18 77 15.4 1225 5929

25 14 18 18 19 19 88 17.6 1566 7744

30 19 25 22 19 23 108 21.6 2360 11664

35 7 10 11 15 11 54 10.8 616 2916

376 75.2 6292 30654

3530252015

25

20

15

10

5


Re

sis

ten

cia

a la

te

nsió

n

Gráfica de caja

El 20% de algodón tiene

la mayor variabilidad en

sus datos.

En el porcentaje de 30%

se tiene la mediana que

representa la mayor

resistencia a la tensión.






101


Prueba de hipótesis.

1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 = T5 = 0 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los

casos.

2. Ha: Ti ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.

3. α = 0.05

4. Estadístico de prueba.

Análisis de varianza

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Fo Valor P

Tratamiento SSTra=475.76 (a-1)=4 MSTra=118.94 Fo=14.76 P=0.001 Error SSE=161.20 a(n-1)=20 MSE=8.06 Total SST=636.96 an-1=24

5. Zona critica

𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 6292−3762

25

𝑛𝑖

𝑗=1

= 636.96𝑎

𝑖=1

𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2

𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦𝑖𝑗2

𝑁=

30654

5−

3762

25475.76

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 636.96− 475.76 = 161.2

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

2.87

0.05

0

Gráfica de distribuciónF, df1=4, df2=20

𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎

(𝑎 − 1)=

475.75

4= 118.9375

𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸

𝑎(𝑛 − 1)=

161.2

20= 8.06

𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎

𝑀𝑆𝐸=

118.9375

8.06= 14.75

𝑆𝑖 𝐹0 > 𝑓𝛼

→ 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎

6. Regla de decisión.

Como 14.75 > 2.86 H0 se rechaza

7. Conclusión

Dado que H0 se rechazo se concluye que el porcentaje

de algodón que contenga la fibra sintética afecta la

resistencia ala ruptura de la fibra.






101


b)

c)

Residuales

Porcentaje de algodón Residuales

15 -2.8 -2.8 5.2 1.2 -0.8

20 -3.4 1.6 -3.4 2.6 2.6

25 -3.6 0.4 0.4 1.4 1.4

30 -2.6 3.4 0.4 -2.6 1.4

35 -3.8 -0.8 0.2 4.2 0.2

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5

Re

sist

en

cia

pro

me

dio

Porcentaje de algodón.

Dado que la media de la media es

15.04, se observa que existe

variación de los datos respecto del

promedio de la resistencia y el

porcentaje del algodón.

La grafica nos muestra

que la resistencia a la

Tensión depende del

porcentaje de algodón,

además de que existe

variación considerable en

los porcentajes 15, 30 y

35 de acuerdo a su

respetiva media, el

porcentaje de algodón

más eficaz es de 25%. 3530252015

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

Porcentaje de algodon

Re

sid

ua

les

Gráfica de valores individuales de los Residuales






101


2-.En “Orthogonal Desin for Process Optimizationand its Application to Plasma Etching”(Solid State

Technology; mayo de 1987), G. Z.Yin y D. W Jillie describen un experimento para determinar el efecto de la

velocidad de flujo del C2F6 sobre la uniformidad delgrabado sobre una oblea de silicio utilizada en la

fabricación de circuitos integrado. En el experimento se emplean tres velocidades de flujo. A continuación se

presenta la uniformidad resultante (en porciento) para seis replicas.

Velocidad de flujo

Observaciones

1 2 3 4 5 6

125 2.7 4.6 2.6 3 3.2 3.8

160 4.9 4.6 5 4.2 3.6 4.2

200 4.6 3.4 2.9 3.5 4.1 5.1

a) ¿La velocidad de flujo del C2F6 afecta la uniformidad del grabado?. Construya diagramas de caja para

comparar los niveles del factor y efectué un análisis de varianza. Utilice α= 0.05.

b) ¿Los residuos indican algún problema con las suposiciones del análisis de varianza?

a)

. Tabla

Diagrama de cajas.

Velocidad de flujo

Observaciones


𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑦𝑖2

𝑎

𝑖=1

1 2 3 4 5 6

125 2.7 4.6 2.6 3 3.2 3.8 19.9 3.31666667 68.89 396.01

160 4.9 4.6 5 4.2 3.6 4.2 26.5 4.41666667 118.41 702.25

200 4.6 3.4 2.9 3.5 4.1 5.1 23.6 3.93333333 96.2 556.96

70 11.6666667 283.5 1655.22

200160125

5.0

4.5

4.0

3.5

3.0

2.5

Velocidad de flujo de C2F6

Un

ifo

rmid

ad

de

gra

ba

do

qu

imic

o

Gráfica de caja

En la velocidad de flujo de

200 se tiene la mayor

variabilidad del grabado

químico.

En la velocidad de flujo de

160 se tiene la mediana que

representa la mayor

uniformidad del grabado.






101



1. Ho: T1 = T2 = T3 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.

2. Ha: Ti ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente

3. .α = 0.05


Análisis de varianza.


Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Fo Valor P


5. Zona critica

6.

𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 6292−3762

25

𝑛𝑖

𝑗=1

= 636.96𝑎

𝑖=1


𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦𝑖𝑗2

𝑁=

30654

5−

3762

25475.76

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 636.96− 475.76 = 161.2


(𝑎 − 1)=

475.75

4= 118.9375


𝑎(𝑛 − 1)=

161.2

20= 8.06


𝑀𝑆𝐸=

118.9375

8.06= 14.75

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

X

De

nsid

ad

3.68

0.05

0

Gráfica de distribuciónF, df1=2, df2=15 𝑆𝑖 𝐹0 > 𝑓𝛼



Como 3.58 < 3.68 H0 se acepta

7. Conclusion.

Dado que Ho se acepta se concluye que la

velocidad del flujo de c2f6 no afecta la

uniformidad del grabado químico.






101


b)

Residuales.

Velocidad de flujo Residuales

125 -0.61666667 1.28333333 -0.71666667 -0.31666667 -0.11666667 0.48333333

160 0.48333333 0.18333333 0.58333333 -0.21666667 -0.81666667 -0.21666667

200 0.66666667 -0.53333333 -1.03333333 -0.43333333 0.16666667 1.16666667

3.-.Se estudia la resistencia a la comprensión del concreto y se investigan cuatro técnicas de mezclado

diferentes. Se han obtenido los siguientes datos.

Técnicas de mezclado

Observaciones

1 2 3 4

1 3129 3000 2865 2890

2 3200 3300 2975 3150

3 2800 2900 2985 3050

4 2600 2700 2600 2765

a) Pruebe la hipótesis de que las técnicas de mezclado afectan la resistencia a la comprensión del

concreto. Use α= 0.05.

b) Encuentre el valor de p para el estadístico de f calculado en el inciso a).

c) Analice los residuales de este experimento.

El grafico nos muestra que

no existe variabilidad

considerable en cada

cantidad que representa la

velocidad de flujo respecto

a su respectiva media,

siendo en 160 donde existe

menor variabilidad. 200160125

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Velocidad de flujo de c2f6

Re

sid

ua

les

Gráfica de valores individuales de residuales






101


a)

Tabla.

Técnicas de

mezclado 1 2 3 4 Totales Promedio 𝑦𝑖𝑗2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑦𝑖2

𝑎

𝑖=1

1 3129 3000 2865 2890 11884 2971 35350966 141229456

2 3200 3300 2975 3150 12625 3156.25 39903125 159390625

3 2800 2900 2985 3050 11735 2933.75 34462725 137710225

4 2600 2700 2600 2765 10665 2666.25 28455225 113742225

46909 11727.25 138172041 552072531

Diagrama de caja.


1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.

2. Ha: Ti ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.

3. α = 0.05


4321

3300

3200

3100

3000

2900

2800

2700

2600

Tipo de mezclado

Re

sis

ten

cia

a la

co

mp

ren

sio

n P

si

Gráfica de caja

El grafico nos muestra que no

existe variabilidad considerable

en cada una de los tipos de

mezclado pero si en

comparación de los cuatro.

El tipo de mezclado 2 tiene la

mediana que representa la

mayor resistencia a la

comprensión.






101


Análisis de varianza.


Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Fo Valor P

Tratamiento SSTra=489740 (a-1)=3 MSTra=163247 Fo=12.7281 P=0.001 Error SSE=153908 a(n-1)=12 MSE=12826 Total SST=643648 an-1=15

5. Zona critica

C)

Residuales

1 2 3 4

1 158 29 -106 -81

2 43.75 143.75 -181.25 -6.25

3 -133.75 -33.75 51.25 116.25

4 -66.25 33.75 -66.25 98.75

𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 138172041−469092

16

𝑛𝑖

𝑗=1

= 643648.43𝑎

𝑖=1


𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦𝑖𝑗2

𝑁=

55207253

4−

469092

16= 489740.18

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 643648.43− 489740.18 = 153908.25


(𝑎 − 1)=

489740.18

3= 163246.72


𝑎(𝑛 − 1)=

153908.25

12= 12825.68


𝑀𝑆𝐸=

163246.72

12825.68= 12.7281

𝑆𝑖 𝑃 < 𝛼



Como 0.001 < 0.05 Ho se rechaza

7. Conclusión

Dado que Ho se rechaza se concluye que el tipo

de mezclado afecta a la resistencia a la

comprensión.

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

3.49

0.05

0







101


El grafico nos muestra

que existe significancia en

los residuos de acuerdo a

la media de la resistencia

a la comprensión de cada

uno de los tipos de

mezclado.

4.-.Se realizo un experimento para determinar si cuatro temperaturas de cocción específicas afectan la

densidad de cierto tipo de tabique. El experimento llevó a los siguientes datos.

Temperatura °F

Observaciones

1 2 3 4 5 6 7

100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 21.5 21.8

125 21.7 21.4 21.5 21.5 0 0 0

150 21.9 21.8 21.8 21.6 21.5 0 0

175 21.9 21.7 21.8 21.7 21.6 21.8 0

a) ¿La temperatura de cocción afecta la densidad de los tabiques? Use α=0.05.

b) Encuentre el valor p, para el estadístico F calculado en el inciso a).


a)

Tabla

Temp. F° 1 2 3 4

5

6

7 Totales Promedio

𝑦𝑖𝑗2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑦𝑖2

𝑎

𝑖=1

100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 21.5 21.8 152 21.7142857 3300.68 23104

125 21.7 21.4 21.5 21.5 0 0 0 86.1 21.525 1853.35 7413.21

150 21.9 21.8 21.8 21.6 21.5 0 0 108.6 21.72 2358.9 11793.96

175 21.9 21.7 21.8 21.7 21.6 21.8 0 130.5 21.75 2838.43 17030.25

477.2 86.7092857 10351.36 59341.42

4321

200

100

0

-100

-200

Tecnicas de mezclado

Re

sid

ua

les

Gráfica de valores individuales Residuales






101


Diagrama de cajas.



2. Ha: T1 ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.

3. α = 0.05



Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Fo Valor P

Tratamiento SSTra=344.49 (a-1)=3 MSTra=114.8 Fo=1.47 P=0.248

Error SSE=1874.0 a(n-1)=24 MSE=78.1

Total SST=2218.5 an-1=27

175150125100

25

20

15

10

5

0

Temperatura F°

De

nsid

ad

Gráfica de caja

El grafico nos muestra que no se

encuentra una variabilidad

considerable en la temperatura 100

y 175, se observa que en las

temperatura 125 y 150 no existen

lecturas por lo cual la variación llega

hasta 0.

La temperatura 175 con tienen la

mediana que representa la mayor

densidad.

𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 10351.36−477.22

28

𝑛𝑖

𝑗=1

= 2218.50𝑎

𝑖=1


𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦𝑖𝑗2

𝑁=

59341.42

7−

477.22

28= 344.49

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 2218.50− 344.49 = 1874.0


(𝑎 − 1)=

344.49

3= 114.83


𝑎(𝑛 − 1)=

1874.0

24= 78.08


𝑀𝑆𝐸=

114.83

78.08= 1.47






101


5. Zona critica.

d) Residuos

Residuos.

100 0.08571429 0.18571429 -0.01428571 -0.11428571 -0.01428571 -0.21428571 0.08571429

125 0.175 -0.125 -0.025 -0.025 -21.525 -21.525 -21.525

150 0.18 0.08 0.08 -0.12 -0.22 -21.72 -21.72

175 0.15 -0.05 0.05 -0.05 -0.15 0.05 -21.75

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

3.01

0.05

0


𝑆𝑖 𝑃 < 𝛼 → 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎


Como 0.248 > 0.05 Ho se acepta

7. Conclusión.

Dado que Ho se acepto se concluye que la temperatura no

afecta a la densidad del ladrillo. Esto se puede observar en

el diagrama de cajas donde las medianas no variaban

considerablemente.

El grafico nos muestra que la

temperatura 100 contiene

variabilidad mínima con respecto a

la media de densidad.

Las demás temperatura contiene

variación considerable y esto se

debe a los valores en 0 de las

observaciones.

175150125100

0

-5

-10

-15

-20

-25

Temperatura F°

Re

sid

uo

s

Gráfica de valores individuales de Residuos






101


5.-.Un ingeniero electrónico esta interesado en el efecto que tienen cinco tipos diferentes de recubrimiento de

un cinescopio, sobre la conductividad del mismo en un dispositivo de visualización de un sistema de

telecomunicaciones. Se obtuvieron los siguientes datos para la conductividad.

Tipo de recubrimiento

Observaciones

1 2 3 4

1 143 141 150 146

2 152 149 137 143

3 134 133 132 127

4 129 127 132 129

5 147 148 144 149 1. ¿Existe alguna diferencia en la conductividad debida al tipo de recubrimiento? Utilice α=0.01.

2. Analice los residuos de este experimento.

3. Construya un intervalo de 95% para la estimación de la media del recubrimiento del tipo 1.

Construya un intervalo del 99% para la estimación de las diferencias de las medias entre los

recubrimientos 1 y 4.

a)

Tabla.

Tipo de recubrimiento 1 2 3 4 Totales Promedio

𝑦𝑖𝑗2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑦𝑖2

𝑎

𝑖=1

1 143 141 150 146 580 145 84146 336400

2 152 149 137 143 581 145.25 84523 337561

3 134 133 132 127 526 131.5 69198 276676

4 129 127 132 129 517 129.25 66835 267289

5 147 148 144 149 588 147 86450 345744

2792 698 391152 1563670

Diagrama de cajas.

54321

155

150

145

140

135

130


Co

nd

ucti

vid

ad

Gráfica de caja

Con respecto a los tipos de

recubrimiento, se tiene que

existe variación considerable.

El tipo 2 tiene la mayor

variabilidad de sus valores.

El tipo 5 tiene la mediana que

representa la mayor

conductividad.






101



1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 = T5 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.


3. α = 0.01



Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Fo Valor P


5. Zona critica

𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 391152−27922

20

𝑛𝑖

𝑗=1

= 1388.8𝑎

𝑖=1


𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦𝑖𝑗2

𝑁=

1563670

4−

27922

20= 1154.3

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 1388.8− 1154.3 = 234.5

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

4.89

0.01

0



(𝑎 − 1)=

1154.3

4= 288.57


𝑎(𝑛 − 1)=

234.57

15= 15.63


𝑀𝑆𝐸=

288.57

15.63= 18.46




Como 18.46 > 4.89 H0 se rechaza

6. Conclusión

El tipo de recubrimiento a la conductividad,

además de que existe diferencia en la

conductividad de cada tipo de recubrimiento.






101


b)

Residuales

Residuales

1 -2 -4 5 1

2 6.75 3.75 -8.25 -2.25

3 2.5 1.5 0.5 -4.5

4 -0.25 -2.25 2.75 -0.25

5 0 1 -3 2

c)

Estimación.

TIPO 1

El grafico muestra que existe

variabilidad no considerable en

relación de los residuos con la

media que representa la

conductividad promedio de cada

tipo de recubrimiento.

𝑥 = 145

Datos

n = 4

s = 3.915

∝

2=

0.05

2= 0.025

95% α = 1 – 0.95 = 0.05

Grados de libertad.

V = n – 1

V = 4 – 1

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

-3.18

0.025

3.18

0.025

0

Gráfica de distribuciónT, df=3

54321

5

0

-5

-10


Co

nd

ucti

vid

ad







101


El valor de la conductividad del cinescopio con el recubrimiento del tipo, se encuentra entre

138.7751 6y 151.2248.

TIPO 1 y 4.

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

95%

De

nsid

ad

138.7751

0.025

151.2248

0.025

0


𝑥 ± 𝑡 ∝

2 𝑆

𝑛

145 ± 3.18 3.915

4

145 ± 6.2248

• 145 + 6.2248 = 151.2248

• 145− 6.2248 = 138.7751

𝑥 = 129.25

Datos

𝑥 = 145

n1 = 4

s 1= 3.915

n2 = 4

s 2= 2.061

∝

2=

0.01

2= 0.005

99% α = 1 – 0.99 = 0.01 𝑥 = 129.25

n2 = 4

s 2= 2.061

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

-3.71

0.005

3.71

0.005

0


Grados de libertad.

V = n – 1

V = 4 – 1

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

99%De

nsid

ad

12.849

0.005

18.651

0.005

0







101


6.-Se determino el tiempo de respuesta en milisegundos de tres tipos diferentes de circuitos de una

calculadora electrónica. Los resultados se muestran a continuación.

a) Usando α= 0.01 pruebe la hipótesis de que los tres tipos de circuitos tienen el mismo tiempo de respuesta.

b) Analice los residuales de este experimento.

c) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para el tiempo de respuesta del circuito tres.

a)

Tabla

Tipo de circuito

Observaciones

1 2 3 4 5

1 19 22 20 18 25

2 20 21 33 27 40

3 16 15 18 26 17

Tipo de circuito. 1 2 3 4 5 Totales Promedio

𝑦𝑖𝑗2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑦𝑖2

𝑎

𝑖=1

1 19 22 20 18 25 104 20.8 2194 10816

2 20 21 33 27 40 141 28.2 4259 19881

3 16 15 18 26 17 92 18.4 1770 8464

337 67.4 8223 39161

𝑆𝑝 = 𝑛1− 1 𝑆12 + (𝑛2− 1)𝑆22

𝑛1 + 𝑛2− 2= 𝑆𝑝 =

4 − 1 3.1952 + (4− 1)2.0612

4 + 4− 2= 3.128

𝑥1− 𝑥2 ± 𝑡 ∝

2 𝑆𝑝

1

𝑛1+

1

𝑛2 = 145− 129.25 ± 3.71 3.128

1

4+

1

4 = 18.651 𝑦 12.849

A un intervalo de 99%, la diferencia de las medias de la conductividad del recubrimiento 1 y 4 estará entre

12.849 y 18.651






101


Grafica de cajas.


1. Ho: T1 = T2 = T3 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.


3. α = 0.01



Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Fo Valor P


321

40

35

30

25

20

15

Tipo de circuito

Tie

mp

o d

e r

esp

ue

sta

Gráfica de caja

El grafico muestra que el

tiempo de respuesta al tipo

de circuito 2 contiene una

variación considerable.

Aunque tiene la mediana

más representable de

tiempo de respuesta.

𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 8223−3372

15

𝑛𝑖

𝑗=1

= 651.73𝑎

𝑖=1


𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦𝑖𝑗2

𝑁=

39161

5−

3372

15= 260.93

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 651.73− 260.93 = 390.8


(𝑎 − 1)=

260.93

2= 130.5


𝑎(𝑛 − 1)=

390.93

12= 32.56


𝑀𝑆𝐸=

130.5

32.56= 4.007






101


5. Zona critica.

Residuales.

Residuales

1 -1.8 1.2 -0.8 -2.8 4.2

2 -8.2 -7.2 4.8 -1.2 11.8

3 -2.4 -3.4 -0.4 7.6 -1.4

321

10

5

0

-5

-10

Tipo de circuito

Tie

mp

o d

e r

esp

ue

sta


El grafico nos muestra que los datos

que representan el tiempo de

respuesta del tipo de circuito 1 y 3

no muestran mucha variabilidad

respecto a la media de cada tipo,

contrario del tipo de circuito 2,

donde si hay variabilidad

considerable.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

X

De

nsid

ad

6.93

0.01

0





Como 4.01 < 6.93 H0 se acepta

7. Conclusión

Los tiempos de respuesta de los tres tipos de

circuitos de la calculadora son similares, es

decir la variabilidad que tienen no es

considerable.






101


Estimación.

TIPO DE CIRCUITO 3

A un intervalo de 95% la media del tiempo de respuesta del tipo de circuito 3 estará entre

12.9422 y 23.8578.

𝑥 = 18.4

Datos

n = 5

s = 4.39

∝

2=

0.05

2= 0.025

95% α = 1 – 0.95 = 0.05

Grados de libertad.

V = n – 1

V = 5 – 1 = 4

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

-2.78

0.025

2.78

0.025

0


𝑥 ± 𝑡 ∝

2 𝑆

𝑛

18.4 ± 2.78 4.39

5

18.4 ± 5.4578

• 18.4 + 5.4578 = 23.8578

• 18.4− 5.4578 = 12.9422

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

95%

De

nsid

ad

0.025

23.8578

0.025

012.9422







101


7.-En un articulo de ACI (Vol. 84, pp,213-216) Materials Journal se describen varios experimentos para

investigar el varillado del concreto con una varilla, a fin de liberar el aire atrapado. Se utilizo un cilindro de 3

x 6pulgadas, y el número de veces que se usó esta varilla es la variable de diseño. La resistencia a la

comprensión resultante del ejemplar de prueba de concreto es la variable de respuesta. Los datos se muestran

en la siguiente tabla.

Nivel de varillado

Observaciones

1 2 3

10 1530 1530 1440

15 1610 1650 1500

20 1560 1730 1530

25 1500 1490 1510

a) ¿Hay alguna diferencia en la resistencia a la comprensión debida al nivel de varillado?

b) Encuentre el valor p para el estadístico F del inciso a).

c) Analice los residuales para este experimento. ¿Qué conclusiones pueden sacarse acerca de los

supuestos fundamentales de los modelos?

a)

Tabla.

Nivel de varillado 1 2 3 Totales Promedio

𝑦𝑖𝑗2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑦𝑖2

𝑎

𝑖=1

10 1530 1530 1440 4500 1500 6755400 20250000

15 1610 1650 1500 4760 1586.66667 7564600 22657600

20 1560 1730 1530 4820 1606.66667 7767400 23232400

25 1500 1490 1510 4500 1500 6750200 20250000

18580 6193.33333 28837600 86390000

Diagrama de cajas.

25201510

1750

1700

1650

1600

1550

1500

1450

1400

Nivel de varillado

Re

sis

ten

cia

a la

co

mp

ren

sio

n

Gráfica de caja

El grafico muestra que el nivel de

varillado 20 tiene variación

considerable en sus datos, al

igual que el nivel 15.

El nivel 25 es el que menor

variación en sus datos tiene.






101





3. α = 0.05

4. Estadístico de prueba


Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Fo Valor P


Error SSE=40933.32 a(n-1)=8 MSE=5116.66

Total SST=69566.66 an-1=11

5. Zona critica.

Residuos.

𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 28837600−185802

12

𝑛𝑖

𝑗=1

= 69566.66𝑎

𝑖=1


𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦𝑖𝑗2

𝑁=

86390000

3−

185802

12= 28633.33

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 69566.66− 28633.33 = 40933.32


(𝑎 − 1)=

28633.33

3= 9544.44


𝑎(𝑛 − 1)=

40933.32

8= 5116.66


𝑀𝑆𝐸=

9544.44

5116.66= 1.865

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

4.07

0.05

0





Como 0.214 > 0.05 Ho se acepta

7. Conclusión.

No existe diferencia entre los valores que

representan la resistencia a la comprensión

entre los tipos de varillado.






101


c) Residuales

Residuos

10 30 30 -60

15 23.3333333 63.3333333 -86.6666667

20 -46.6666667 123.333333 -76.6666667

25 0 -10 10

8.-En un articulo de Environment International (Vol. 18, n° 4) se describe un experimento en el que se

investigó la calidad del radón liberado en las duchas. Se uso agua enriquecida con radón, y se probaron seis

diámetros diferentes de los orificios de las regaderas. Los datos del experimento se presentan en la siguiente

tabla.

a) ¿El tamaño de los orificios afecta el porcentaje promedio de radón liberado? Use α = 0.05.

b) Encuentre el valor p, para el estadístico F del inciso a).


d) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para el porcentaje promedio de radón liberado cuando el

diámetro de los orificios es 1.40

25201510

150

100

50

0

-50

-100

Nivel de varillado

resid

ua

les

Gráfica de valores individuales de residuos

Tamaño de los orificios

Observaciones

1 2 3 4

0.37 80 83 83 85

0.51 75 75 79 79

0.71 74 73 76 77

1.02 67 72 74 74

1.4 62 62 67 69

1.99 60 61 64 66

El grafico de residuos nos

muestra que el nivel de

varillado 10 y 25 no tiene

variabilidad considerable

respecto a la media de su

resistencia a la

comprensión, a diferencia

del nivel de varillado 15 y

20.






101


Tabla

1 2 3 4 Totales Promedio

𝑦𝑖𝑗2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑦𝑖2

𝑎

𝑖=1

0.37 80 83 83 85 331 82.75 27403 109561

0.51 75 75 79 79 308 77 23732 94864

0.71 74 73 76 77 300 75 22510 90000

1.02 67 72 74 74 287 71.75 20625 82369

1.4 62 62 67 69 260 65 16938 67600

1.99 60 61 64 66 251 62.75 15773 63001

1737 434.25 126981 507395

Diagrama de caja.




3. α = 0.05

4. Estadístico de prueba


Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Fo Valor P


Error SSE=132.24 a(n-1)=18 MSE=7.35


1.991.401.020.710.510.37

85

80

75

70

65

60

Diametro de los orificios.

Ra

do

n lib

era

do

(%

)

Gráfica de caja

El grafico nos muestra que

entre mayor es el diámetro del

orificio de la regadera menor

será el porcentaje de radón

liberado.

Siendo el diámetro de 0.37 en

el que se libera el mayor

porcentaje de radón, y el

diámetro de 1.99 el que menor

porcentaje de radón libera.






101


5. Zona critica

c)

Residuales.

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

2.77

0.05

0


Residuales

0.37 -2.75 0.25 0.25 2.25

0.51 -2 -2 2 2

0.71 -1 -2 1 2

1.02 -4.75 0.25 2.25 2.25

1.40 -3 -3 2 4

1.99 -2.75 -1.75 1.25 3.25

𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 126981−17372

24

𝑛𝑖

𝑗=1

= 1265.62𝑎

𝑖=1


𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦𝑖𝑗2

𝑁=

507395

4−

17372

24= 1133.37

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 1265.62− 1133.37 = 132.24

El grafico muestra que en los diámetros

1.02, 1.40 y 1.99, se tiene variación

considerable respecto de su media.

Por otro lado los diámetros 0.37, 0.51 y

0.71 tienen menor variación con respecto a

su media.


(𝑎 − 1)=

1133.37

5= 226.68


𝑎(𝑛 − 1)=

132.24

18= 7.35


𝑀𝑆𝐸=

226.68

7.35= 30.85





7. Conclusión.

Dado que Ho Se rechazo se concluye el tamaño

de los orificios de la regadera afecta el

porcentaje promedio de radón liberado.

1.991.401.020.710.510.37

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

Diametro de orificios.

Re

sid

ua

les







101


d)

Estimación.

DIAMETRO 1.40

A un intervalo de confianza de 95%, el promedio del porcentaje de radón liberado por la regadera

con 1.40 de diámetro estará entre 59.3555 y 70.6445.

𝑥 = 65

Datos

n = 4

s = 3.55

∝

2=

0.05

2= 0.025

95% α = 1 – 0.95 = 0.05

Grados de libertad.

V = n – 1

V = 4– 1 = 3

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

-3.18

0.025

3.18

0.025

0


𝑥 ± 𝑡 ∝

2 𝑆

𝑛

65 ± 3.18 3.55

4

65 ± 5.6445

• 65 + 5.6445 = 70.6445

• 65− 5.6445 = 59.3555

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

95%

De

nsid

ad

0.025 0.025

0 70.644559.3555







101


9.-.En un artículo de Journal of the Association of Asphalt Paving Technologist (Vol. 59) se describe un

experimento para determinar el efecto de los vacios de aire sobre la resistencia porcentual conservada del

asfalto. Para los fines del experimento, los vacios de aire se controlan en tres niveles; bajo (2-4%), medio (4-

6%) y alto (6-8%). Los datos se presentan en la siguiente tabla.

a) ¿Los Diferentes niveles de los vacios de aire afectan de manera significativa la resistencia

conservada promedio?. Use α = 0.01.

b) Encuentre el valor p para el estadístico F del inciso a).


d) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la resistencia conservada promedio cuando hay un

nivel alto de vacios de aire.

e) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de la resistencia conservada

promedio en los niveles bajo y alto de vacios de aire.

a) .

Tabla.

Diagrama de cajas.

Nivel de vacio de aire

Observaciones

1 2 3 4 5 6 7 8

Bajo 106 90 103 90 79 88 92 95

Medio 80 69 94 91 70 83 87 83

Alto 78 80 62 69 76 85 69 85

Nivel de

vacio de aire

Observaciones


𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑦𝑖2

𝑎

𝑖=1

1 2 3 4 5 6 7 8

Bajo 106 90 103 90 79 88 92 95 743 92.875 69519 552049

Medio 80 69 94 91 70 83 87 83 657 82.125 54525 431649

Alto 78 80 62 69 76 85 69 85 604 75.5 46076 364816

2004 250.5 170120 1348514

El grafico nos muestra que no existe

variación contundente en relación con

los datos de cada caja.

El nivel Bajo es el que contiene la

mediana que representa el mayor

porcentaje de resistencia conservada. MedioBajoAlto

110

100

90

80

70

60

Nivel de vacio de aire

Re

sis

ten

cia

co

nse

rva

da

(%

)

Gráfica de caja






101





3. α = 0.01



Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Fo Valor P


Error SSE=1555.7 a(n-1)=21 MSE=74.1

Total SST=2786 an-1=23

5. Zona critica.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

X

De

nsid

ad

5.78

0.01

0


𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 170120−20042

24

𝑛𝑖

𝑗=1

= 2786𝑎

𝑖=1


𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦𝑖𝑗2

𝑁=

1348514

8−

20042

24= 1230.25

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 2786− 1230.25 = 1555.75


(𝑎 − 1)=

1230.25

2= 615.12


𝑎(𝑛 − 1)=

1555.75

21= 74.1


𝑀𝑆𝐸=

615.1

74.1= 8.30


𝑆𝑖 𝑃 < 𝛼 →

𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎


7. Conclusión.

Dado que Ho se rechaza, se concluye los

diferentes niveles de los vacios de aire

afectan de manera significativa la resistencia

conservada promedio.






101


c)

Residuales.

Residuales

Bajo 13.125 -2.875 10.125 -2.875 -13.875 -4.875 -0.875 2.125

Medio -2.125 -13.125 11.875 8.875 -12.125 0.875 4.875 0.875

Alto 2.5 4.5 -13.5 -6.5 0.5 9.5 -6.5 9.5

d). Estimacion

NIVEL ALTO.

MedioBajoAlto

10

5

0

-5

-10

-15

Nivel del vacio de aire

Re

sid

ua

les


El grafico muestra que existen

variaciones en los tres niveles de vacio

de aire respecto a su media.

𝑥 = 75.5

Datos

n = 8

s = 8.22

∝

2=

0.05

2= 0.025

95% α = 1 – 0.95 = 0.05 0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

-2.36

0.025

2.36

0.025

0


Grados de libertad.

V = n – 1

V = 8 – 1






101


A un intervalo de confianza de 95% la resistencia conservada promedio cuando hay un nivel alto de

vacio de aire se encuentra entre 68.6414 y 82.3586.

e)

NIVEL BAJO Y ALTO.

𝑥 ± 𝑡 ∝

2 𝑆

𝑛

75.5 ± 2.36 8.22

8

75.5 ± 6.8586

• 75.5 + 6.8586 = 82.3586

• 75.5− 6.8586 = 68.6414

𝑥2 = 75.5

Datos

n 2= 8

s2= 8.22

𝑥1 = 92.875

n 1= 8

s 1= 8.55 ∝

2=

0.05

2= 0.025

95% α = 1 – 0.95 = 0.05

Grados de libertad.

V = n – 1

V = 8 – 1

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

-2.36

0.025

2.36

0.025

0


0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

95%De

nsid

ad

68.6414

0.025

82.3586

0.025

0


0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

95%De

nsid

ad

7.4789

0.025 0.025

0 27.2711







101


10.- Un articulo de Materials Research Bulletin (Vol. 26 n°11) investigo cuatro métodos diferentes para

preparar el compuesto superconductor PbMo6S8. Los autores sostienen que la presencia de oxigeno durante el

proceso de preparación afecta la temperatura de transición de superconducción Tc del material. Los métodos

de preparación 1 y 2 usan técnicas que están diseñas para eliminar la presencia de oxigeno, mientras que los

métodos 3 y 4 permiten la presencia de oxigeno. Se hicieron cinco observaciones de Tc en °K para cada

método, y los resultados son los siguientes.

a) ¿Hay evidencia que apoye la afirmación de que la presencia de oxigeno durante la preparación afecta

la temperatura de transición media?. Use α= 0.05.

b) ¿Cuál es el valor P para el estadístico F del inciso a)?

c) Analice los residuos de este experimento.

d) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para Tc media cuando se usa el método 1 para preparar

el material.

Métodos de preparacion

Observaciones

1 2 3 4 5

1 14.8 14.8 14.7 14.8 14.9

2 14.6 15 14.9 14.8 14.7

3 12.7 11.6 12.4 12.7 12.1

4 14.2 14.4 14.4 12.2 11.7

𝑆𝑝 = 𝑛1− 1 𝑆12 + (𝑛2− 1)𝑆22

𝑛1 + 𝑛2− 2= 𝑆𝑝 =

8− 1 8.552 + (8 − 1)8.222

8 + 8− 2= 8.3866

𝑥1− 𝑥2 ± 𝑡 ∝

2 𝑆𝑝

1

𝑛1+

1

𝑛2 = 92.875− 75.5 ± 2.36 8.3866

1

8+

1

8

= 17.375 ± 9.8961

17.375 + 9.8961 = 27.2711

17.375− 9.8961 = 7.4789

A un intervalo de 99%, la diferencia de las medias de la resistencia conservada del nivel bajo y alto estará entre

7.4789 y 27.2711.






101


a)

Tabla.

Método de preparación 1 2 3 4 5 Totales Promedio

𝑦𝑖𝑗2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑦𝑖2

𝑎

𝑖=1

1 14.8 14.8 14.7 14.8 14.9 74 14.8 1095.22 5476

2 14.6 15 14.9 14.8 14.7 74 14.8 1095.3 5476

3 12.7 11.6 12.4 12.7 12.1 61.5 12.3 757.31 3782.25

4 14.2 14.4 14.4 12.2 11.7 66.9 13.38 902.09 4475.61

276.4 55.28 3849.92 19209.86

Diagrama de cajas.


1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los

casos.


3. α = 0.05


4321

15.0

14.5

14.0

13.5

13.0

12.5

12.0

11.5

Metodo de preparacion

Te

mp

era

tura

de

tra

nsic

ion

Gráfica de caja El grafico nos muestra que los

métodos 1 y no tiene variación

en cuanto a sus datos y en

común. A diferencia de los

métodos 3 y 4, donde existe

variación de sus datos tanto en

singular como en conjunto

ambos.

Esto nos dice qué e la presencia

de oxigeno en el proceso afecta a

la variación de la temperatura.

Donde los métodos 3 y 4

permiten la presencia de

oxigeno.






101



Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Fo Valor P


Error SSE=7.948 a(n-1)=16 MSE=0.497


5. Zona critica.

b) Residuales.

Modo de preparación Residuales

1 0 0 -0.1 0 0.1

2 -0.2 0.2 0.1 0 -0.1

3 0.4 -0.7 0.1 0.4 -0.2

4 0.82 1.02 1.02 -1.18 -1.68

𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 3849.92−276.42

20

𝑛𝑖

𝑗=1

= 30.072𝑎

𝑖=1


𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦𝑖𝑗2

𝑁=

19209.86

5−

276.42

20= 22.124

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 30.072− 22.124 = 7.948


(𝑎 − 1)=

22.124

3= 7.404


𝑎(𝑛 − 1)=

7.948

16= 0.496


𝑀𝑆𝐸=

7.404

0.496= 14.90

𝑆𝑖 𝑃 < 𝛼 → 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎



7. Conclusión.

Dado que Ho se rechaza, se concluye que la presencia

de oxigeno durante la preparación del compuesto

afecta significativamente la temperatura de transición

media. .

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

3.24

0.05

0







101


d) Estimación.

METODO 1.

4321

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

Metodo de preparacion.

Re

sid

ua

les

Gráfica de valores individuales de residuos.

El grafico nos muestra que la variación

de los valores del método 1 y 2 no

contienen variación significante con

respecto a la media de la temperatura

de cada método. Contrario al método 3

y 4, que si tienen variaciones, esto

respalda los supuestos de la prueba de

hipótesis aceptados.

𝑥 = 14.8

Datos

n = 5

s = 0.070

∝

2=

0.05

2= 0.025

95% α = 1 – 0.95 = 0.05

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsid

ad

-2.78

0.025

2.78

0.025

0


Grados de libertad.

V = n – 1

V = 5 – 1






101


A un intervalo de confianza de 95% la temperatura de transición promedio del método de

preparación 1 estará entre 14.713 y 14.887.

𝑥 ± 𝑡 ∝

2 𝑆

𝑛

14.8 ± 2.78 0.070

5

14.8 ± 0.087

• 14.8− 0.087 = 14.713

• 14.8 + 0.087 = 14.887

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

95%

De

nsid

ad

14.713

0.025

14.887

0.025

0


experimentos de un factor uii t

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