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Exercices d'application du cours d'hydraulique en charge

Paternité - Partage des Conditions Initiales à l'Identique : http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. AlbagnacINP Toulouse

31 janvier 2015

Table des matières

Introduction 5

I - Exercice : Siphon 7

II - Exercice : Écoulement gravitaire 9

III - Exercice : Réseau avec valve 11

IV - Exercice : Conduites en parallèle 13

V - Exercice : Réservoirs 15

VI - Exercice : Pompe de relevage 17

Conclusion 19

Ressources annexes 21

Solution des exercices 23

O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac 3

Introduction

Chaque question conduit à un réponse sous forme valeur numérique comme par exemple 3 ou 3,1 suivant le nombre de décimales requises.


I - Exercice : Siphon I

[Solution n°1 p 23]

Siphon : question 1

On considère le siphon de la figure avec cm. On néglige les pertes de charge

et on considère , e t Pa pour les

applications numériques.

1. Indiquer la pression normalisée en m au point

Siphon : question 2

2. On suppose que la pression au point est égale à la pression atmosphérique. Indiquer la pression normalisée en m au point

Siphon : question 3

3. Calculer la vitesse en m/s.

Siphon : question 4



Image 1 Siphon

Siphon : question 5


Exercice : Siphon

O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac8

II - Exercice : Écoulement gravitaire II


Écoulement gravitaire : question 1

On considère l'écoulement gravitaire entre deux réservoirs dont les surfaces libres, représentées par les points et d'altitudes respectives e t sont séparées d'un différence d'altitude

. Les réservoirs sont reliés par une conduite en fonte de longueur , de diamètre cm et de rugosité absolue (fonte). Il en résulte un mouvement gravitaire de débit . On suppose que les réservoirs sont alimentés ou vidés de manière à ce que les altitudes et restent constantes. On considère ,

et pour les applications numériques.

1. On suppose ici que l'on connait . Donner la valeur de en m (zéro décimale).

Le diagramme de Moody est disponible ici (cf. Diagramme de Moody p 21).


2. Quelle hauteur en m (zéro décimale) obtient-on avec la formule de Hazen-Williams avec (fonte).


3. On suppose ici que l'on connait cm. Donner la valeur de en avec deux décimales.


4. Quelle débit a valeur en (une décimale) obtient-on avec la formule de Hazen-Williams .


Image 2 Écoulement gravitaire

Exercice : Écoulement gravitaire


III - Exercice : Réseau avec valve III


Réseau avec valve : question 1

On considère l'écoulement dans une canalisation dont le débit est l/s. Une conduite verticale de longueur m et de diamètre cm se prolonge en une conduite de longueur m et de diamètre cm. La rugosité absolue des conduites est ~mm. Un coude dont le coefficient de perte de charge singulière est le relie à une conduite horizontale de longueur m et de même diamètre. L'eau s'écoule alors à travers une valve dont le coefficient de perte de charge singulière est . On considère , et pour les applications numériques.

Calculer la valeur de la pression au point en Bar (avec une décimale).



Image 3 Réseau

IV - Exercice : Conduites en parallèle IV


Conduites en parallèle : question 1

On considère deux montages reliant le point de pression au point de pression . Le montage (a) est constitué de deux

conduites de longueur ~m et de diamètre ~cm. Le montage (b) est constitué d'une conduite unique de longueur

et de diamètre . La rugosité absolue de toutes ces conduite est mm. On suppose que ~hPa. On considère , et

pour les applications numériques. Calculer le rapport des débits des deux montages (une décimale). On pourra supposer dans un premier temps que le régime est rugueux puis vérifier cette hypothèse.



Image 4 Conduites en parallèle ou conduite unique

V - Exercice : Réservoirs V


Réservoirs : question 1

On considère le montage de la figure et on ajuste de telle sorte que le débit vers le réservoir intermédiaire soit nul.

Calculer le rapport en supposant que le coefficient de frottement est constant dans toutes les conduites.


Image 5 Réservoirs

VI - Exercice : Pompe de relevage VI


Pompe de relevage : question 1

Une pompe de courbe caractéristique avec m,

et m, relève de l'eau entre deux réservoirs dont les surfaces libres sont séparées par une hauteur m. La conduite reliant les deux réservoirs est de longueur m, de diamètre

cm et de rugosité absolue mm. On considère ,

et pour les applications numériques.

Calculer le débit de fonctionnement du montage en (une décimale). On pourra supposer que le régime est rugueux puis vérifier cette hypothèse.


Image 6 Réservoirs

Conclusion

D'autres exercices peuvent être trouvés dans l'ouvrage de Bennis [Saad BENNIS]


Ressources annexes

- Diagramme de Moody


Solution des exercices

> Solution n°1 (exercice p. 7)

Siphon : question 110

On a m.


On a m.


Les égalités s'écrit e t entrainent

m/s.

Siphon : question 49,55

L'égalité s'écrit entraine m/s.

Siphon : question 59,10

L'égalité s'écrit entraine m/s.



• Comme et , on a .

• Cette perte de charge est due au frottement dans la conduite et vaut .

• Le coefficient de frottement se lit sur le diagramme de Moody avec , puisque m/s et .


• On trouve et donc m.

// Scilab// Exercice "Gravitaire"// Question 1clear a// Colebrookfunction F=col(f,r,Re)F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction// Parametrese=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;// D Q imposesD=.6;Q=1;// Calcul de Re et rA=%pi*D^2/4;V=Q/A;Re=V*D/nu;r=e/D;disp(sprintf('U=%3.1f Re=%3.2g , r=%3.2g',V,Re,r))// Calcul de ff=fsolve(0.01,col)disp(sprintf('f=%3.2g',f))// calcul de hh=L*f*V^2/(2*g*D)disp(sprintf('h=%3.1f',h))

Listing résultat :

U=3.5 Re=2.1e+06 , r=0.0001f=0.013h=13.3


m.

// Scilab// Exercice "Gravitaire"// Question 2clear// Parametrese=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;// D Q imposesD=.6;Q=1;// Calcul de rr=e/D;// Formule de Hazen-WilliamsCHW=140;h=10.675*L*(Q/CHW)^1.852/D^4.87;disp(sprintf('h=%3.1f',h))



Listing résultat :

h=13.6

Écoulement gravitaire : question 30,13

• La relation entraine que avec m/s.

• En itérant sur le diagramme de Moody ( , , , ) ou directement en résolvant cette équation implicite à l'aide d'une calculatrice, on obtient

et donc m/s.

// Scilab// Exercice "Gravitaire"// Question 3clear// Colebrookfunction F=colhD(f)V=sqrt(2*g*h*D/(f*L));r=e/D; Re=V*D/nu;F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction// Parametrese=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;// Q h imposesh=.3; D=0.6;// Calcul de rr=e/D;// GuessK=sqrt(2*g*h*D/L);f1=0.012;V1=K/sqrt(f1);Re1=V1*D/nu;f2=1/(2*log10(r/3.71+2.51/Re1/sqrt(f1)))^2;disp(sprintf('K=%3.2g , r=%3.2g',K,r))disp(sprintf('f1=%3.3f V1=%3.2g , Re1=%3.2g, f2=%3.3f',f1,V1,Re1,f2))// Calcul de ff=fsolve(0.01,colhD)disp(sprintf('f=%3.2g',f))// calcul de QV=K/sqrt(f);Re=V*D/nu;Q=V*%pi*D^2/4;disp(sprintf('V=%3.2g, Re=%3.2g, Q=%3.2f',V,Re, Q))

Listing résultat :

K=0.06 , r=0.0001f1=0.012 V1=0.55 , Re1=3.3e+05, f2=0.016f=0.016V=0.48, Re=2.9e+05, Q=0.14



Écoulement gravitaire : question 40,14

On a

// Scilab// Exercice "Gravitaire"// Question 2clear// Colebrookfunction F=colhD(f)V=sqrt(2*g*h*D/(f*L));r=e/D; Re=V*D/nu;F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction// Parametrese=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;// Q h imposesh=.3; D=0.6;// Calcul de rr=e/D;// GuessK=sqrt(2*g*h*D/L);f1=0.012;V1=K/sqrt(f1);Re1=V1*D/nu;f2=1/(2*log10(r/3.71+2.51/Re1/sqrt(f1)))^2;disp(sprintf('K=%3.2g , r=%3.2g',K,r))disp(sprintf('f1=%3.3f V1=%3.2g , Re1=%3.2g, f2=%3.3f',f1,V1,Re1,f2))// Calcul de ff=fsolve(0.01,colhD)disp(sprintf('f=%3.2g',f))// calcul de QV=K/sqrt(f);Re=V*D/nu;Q=V*%pi*D^2/4;disp(sprintf('V=%3.2g, Re=%3.2g, Q=%3.2f',V,Re, Q))

Listing résultat :

K=0.06 , r=0.0001f1=0.012 V1=0.55 , Re1=3.3e+05, f2=0.016f=0.016V=0.48, Re=2.9e+05, Q=0.14


Réseau avec valve : question 12,5On calcule la charge en partant de l'aval et en rajoutant les pertes de charge.

• La charge en , supposé situé à l'altitude m (par convention) est



m.

• La vitesse dans la conduite de rayon est m/s.

• La perte de charge dans la valve est ce qui conduit à m.

• Le nombre de Reynolds dans la conduite de diamètre est et la rugosité est . On en déduit, à partir du diagramme de Moody, et donc

m.

• La perte de charge dans le coude est ce qui conduit à m.

• La perte de charge dans la conduite de longueur et le changement d'altitude conduisent à m.

• Le nombre de Reynolds dans la conduite de diamètre est et la rugosité est . On en déduit, à partir du diagramme de Moody, et donc

m.

• Comme , on a m.

• On en déduit Bars.

Pression (rouge) et charge (bleu) le long du réseau

// Scilab// Exercice "Reseau"// Question 1clearxdel(winsid())// Colebrook



function F=col(f,r,Re)F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction// ParametresL1=1; L2=2; L3=3;D1=.04; D2=.02;e=4*1.e-4; nu=1e-6;g=9.81; rho=1000; rhog=g*rho;Q=.001;K3=1.5; K5=10;// Calcul de Re et rA1=%pi*D1^2/4;V1=Q/A1;A2=%pi*D2^2/4;V2=Q/A2;Re1=V1*D1/nu;Re2=V2*D2/nu;r1=e/D1;r2=e/D2;disp(sprintf('V1=%3.1f Re1=%3.2g , r1=%3.2g',V1,Re1,r1))disp(sprintf('V2=%3.1f Re2=%3.2g , r2=%3.2g',V2,Re2,r2))// Calcul de f1Re=Re1; r=r1; f1=fsolve(0.01,col)Re=Re2; r=r2; f2=fsolve(0.01,col)disp(sprintf('f1=%3.2g',f1))disp(sprintf('f2=%3.2g',f2))// calcul de hp6=1.e+5/rhog; H6=p6;disp(sprintf('H6=%3.2f',H6))H5=H6+K5*V2^2/(2*g);p5=H5-V2^2/(2*g);disp(sprintf('H5=%3.2f, p5=%3.2f',H5,p5))H4=H5+f2*V2^2/(2*g*D2)*L3;p4=H4-V2^2/(2*g);disp(sprintf('H4=%3.2f, p4=%3.2f',H4,p4))H3=H4+K3*V2^2/(2*g);p3=H3-V2^2/(2*g);disp(sprintf('H3=%3.2f, p3=%3.2f',H3,p3))H2=H3+f2*V2^2/(2*g*D2)*L2;p2=H2+L2-V2^2/(2*g);disp(sprintf('H2=%3.2f, p2=%3.2f',H2,p2))H1=H2+f1*V1^2/(2*g*D1)*L1;p1=H1+(L1+L2)-V1^2/(2*g);disp(sprintf('H1=%3.2f, p1=%3.2f',H1,p1))P1=p1*rhog;disp(sprintf('P1=%3.2f',P1))// FigureL12=L1+L2;L123=L1+L2+L3;s=[0 L1 L12 L12 L123 L123];H=[H1 H2 H3 H4 H5 H6];p=[p1 p2 p3 p4 p5 p6];plot(s,H,'b-','Linewidth',2)plot(s,H,'bo','Linewidth',2)plot(s,p,'r-','Linewidth',3)



plot(s,p,'ro','Linewidth',2)xlabel("s","fontsize", 4);ylabel("p/(rho g) et H","fontsize", 4);a=gca();a.data_bounds(2)=7;a.data_bounds(1)=-1;//a.data_bounds(4)=1.2*Hm;set(gca(),"grid",[1 1])set(gca(),"font_size",3)xs2png(gcf(),'Reseau1');

Listing résultat :

V1=0.8 Re1=3.2e+04 , r1=0.01V2=3.2 Re2=6.4e+04 , r2=0.02f1=0.04f2=0.049H6=10.19H5=15.36, p5=14.84H4=19.17, p4=18.65H3=19.94, p3=19.43H2=22.48, p2=23.97H1=22.52, p1=25.48P1=249995.28


Conduites en parallèle : question 13,1

• La perte de charge linéique dans les deux cas est .

• Les vitesses dans les conduites de diamètre et de diamètre sont données par et .

• Les rugosités et conduisent au coefficient de frottement et en supposant que le régime est rugueux.

• On en déduit m/s et t m/s.

• En utilisant les nombres de Reynolds et et les rugosités et , on vérifie sur le diagramme de Moody

que les valeurs de et sont bien celles de régimes rugueux. Les débits sont alors et .

• Le rapport entre les deux débit est .

Listing résultat :

// Scilab// Exercice "Parallele"// Question 1clear// Colebrookfunction F=col(f,r,Re)F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction



// ParametresL=100; D=0.1; Dp=2.e+5;e=1.e-4; nu=1e-6;g=9.81; rho=1000; rhog=g*rho;// Perte de charge lineiqueJ=(Dp/rhog)/L;// Deux petits tuyauxDa=D; ra=e/Da; fa=0.02;Va=sqrt(2*g*Da*J/fa);Rea=Va*Da/nu;disp(sprintf('Va=%3.1f Rea=%3.2g , ra=%3.2g',Va,Rea,ra))r=ra; Re=Rea; fac=fsolve(fa,col);disp(sprintf('fa=%5.4f, fac=%5.4f',fa,fac))// Un gros tuyauDb=2*D; rb=e/Db; fb=0.017;Vb=sqrt(2*g*Db*J/fb);Reb=Vb*Db/nu;disp(sprintf('Vb=%3.1f Reb=%3.2g , rb=%3.2g',Vb,Reb,rb))r=rb; Re=Reb; fbc=fsolve(fb,col);disp(sprintf('fb=%5.4f, fab=%5.4f',fb,fbc))// DebitsQa=2*%pi*Da^2/4*Va;Qb=%pi*Db^2/4*Vb;ratio=Qb/Qa;disp(sprintf('Qa=%5.4f, Qb=%5.4f',Qa, Qb))disp(sprintf('ratio=%5.4f',ratio))ratiot=2*sqrt(2)*sqrt(fa/fb)disp(sprintf('ratioc=%5.4f',ratiot))

Va=4.5 Rea=4.5e+05 , ra=0.001fa=0.0200, fac=0.0203Vb=6.9 Reb=1.4e+06 , rb=0.0005fb=0.0170, fab=0.0171Qa=0.0702, Qb=0.2155ratio=3.0679ratioc=3.0679


Réservoirs : question 133

• Comme dans le tuyau de diamètre et dans le tuyau de diamètre , on peut écrire et .

• On en déduit que et d'où .


Pompe de relevage : question 10,14



• La rugosité conduit à un coefficient de frottement .

• La courbe caractéristique de la conduite avec .

• L'égalité des deux courbes caractéristiques conduit au débit de

fonctionnement .

• On en déduit ~m/. Comme et , on est bien en régime rugueux.

Point de fonctionnement

// Scilab// Exercice "Pompe"// Question 1clearxdel(winsid())// Colebrookfunction F=col(f,r,Re)F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction// Parametres de la pompeHm=100; Qm=1; bet=40;// Parametres du tuyauL=100; D=.15; h=20;e=1.5e-3; nu=1e-6;g=9.81; rho=1000; rhog=g*rho;// Rugosite



r=e/D;f=0.038;alpha=8*f*L/(%pi^2*g*D^5);disp(sprintf('r=%3.2g, alpha=%6.4g',r,alpha))// Point de fonctionnementQs=sqrt((Hm-h)/(alpha+bet/Qm^2));Hs=h+alpha*Qs^2;disp(sprintf('Qs=%5.3g, Hs=%5.3g',Qs,Hs))// Verification frottementVs=4*Qs/(%pi*D); Res=Vs*D/nu;disp(sprintf('Vs=%5.3g, Res=%5.3g r=%3.2g',Vs, Res, r))Re=Res; fs=fsolve(f,col);disp(sprintf('fs=%5.4g',fs))// Courbe caracteritiqueQ=linspace(0,Qm,101);Hp=Hm-bet*(Q/Qm).^2;Hc=h+alpha*Q.^2;// Plotfigure("BackgroundColor",[1 1 1])plot(Q,Hp,'b-','Linewidth',4)plot(Q,Hc,'r-','Linewidth',4)xlabel("Q","fontsize", 4);ylabel("Hp","fontsize", 4);a=gca();a.data_bounds(3)=0;a.data_bounds(4)=1.2*Hm;set(gca(),"grid",[1 1])set(gca(),"font_size",3)xs2png(gcf(),'pompe');

Listing résultat :

r=0.01, alpha= 4135Qs=0.138, Hs= 99.2Vs= 1.18, Res=1.76e+05 r=0.01fs=0.03821



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