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8/17/2019 examenunidad2-140312135846-phpapp02.pdf

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Elaborado por:

Azahel Hernández Navarrete.

Ingeniería Financiera, 8vo Cuatrimestre.

Cálculo Diferencial, 5to Cuatrimestre.


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Examen Unidad 2. Cálculo Diferencial e Integral.

Deriva las Siguientes funciones.

A. Método de los 4 pasos.

I. = 1er paso: a se le suma h = ℎ

= ℎ 2 ℎ = ℎ 2 2ℎ ℎ = ℎ 2 4ℎ 2ℎ = ℎ 2 4ℎ 2ℎ = ℎ 2 4ℎ 2ℎ

2ndo paso: a ℎ se le resta = ℎ = ℎ 2 4ℎ 2ℎ 2

= ℎ 2

4ℎ 2ℎ

2

= ℎ 4ℎ 2ℎ

3er paso: a ℎ se divide entre h = +− Se factoriza el numerador de

−−

o

−−

Se cancela h.

o

−−

1 4 2ℎ 4to paso: a +− se le obtiene su límite, donde ℎ → 0: → = +−

lim→ = 1 4 2ℎ lim→ = 1 4 20 = 1 4

Resultado de la derivada de la ecuación = es: =


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II. = Sub paso: a = , se simplifica a: = 1er paso: a se le suma h = ℎ

=

+

2ndo paso: a ℎ se le resta = ℎ = + = ( )−+ + = −+ + Se resuelve el binomio de = −+ +

o = −(++)

+

= −(++)+ = −−−+ = −−+

3er paso: a ℎ se divide entre h = +−

=

Se realiza la división por método sándwich.

o = = (−−)+ Se factoriza el denominador

o = −−+

Se cancela h de = −−+ o = −−+

4to

paso: a +− se le obtiene su límite, donde ℎ → 0: → = +− lim→ = −−+ lim→ = −

lim→ = − = −

Resultado de la derivada de la ecuación = es: = −


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B. Deriva por fórmula.

I.

= (−)− Se transforma el radical √ a exponente / . Se cancela el exponente 2, para pasa a ser 2 = 4

Se suman los exponentes de la variable w, de la siguiente forma:o 2 o Puesto que en el denominador, tiene una variable w, se sube al numerador

con exponente negativo: 4 = o Se procede a continuar la suma de las variables w: ′ = −

++

o La función queda de la siguiente forma: ′ = −

o Se procede a transformar el exponente

a radical

′ = − √

o ′ = − √ o ′ = −

II.

= (√ ) Se cancela de la función = (√ ), ya que su derivada es la misma.

Se obtiene la radical

√ en exponente

/

Se deriva el exponente / en − Se multiplica el = l por la derivada del exponente −

, quedando de la

siguiente forma: = −

′ = −

Puesto que el exponente −, está negativo, ésta hay que volverlo positivo de lasiguiente forma: − → / por lo que…

′ =

′ = ′ = √


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III. = − − Se transforma el radical √ 5 en exponente 5. Para eliminar la división

−, se procede a subir el denominador al numerador,

cambiando el exponente de positivo a negativo, de la siguiente forma:

5 5− Se procede a realizar la multiplicación de = − 5 5−, a través de la

fórmula UV=UV’+VU’, donde = −, y = 5 5−. = −, = 5 5−

= −

5−

= −5 = −(51) = −5 = 5−

Se deriva la función 5 5− en trespartes: la derivada de 5 ; de y lamultiplicación por 5 5− :

o = 5 − 5−−

o = 5 − 5 2−

o = − 5 2

o = 2 − 5

o = − 5

o = 5 5 Por tanto: = − 5 5 5− 5 5− = −5 5 5−5 5− = 5− 5 25− 5− = 5− 5 25− 5−


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IV. =

Puesto que está multiplicando a ( ), entonces se procederá ausar la siguiente fórmula: UV=UV’+VU’, donde = , y = ( ).

= = ( ) Puesto que la derivada de una secante es =sec tan , entonces = 3 sec1 se deriva en2 partes, sec y sec en lo siguiente:′ = 32sec−1 sec1 tan1 (0 −)

′ = 32sec1 sec1 tan1 ′ = 6 sec1 sec1 tan1 1 ′ = 16 sec1 sec1 tan1 =

Puesto que la función = 5 está compuesto de unbinomio, entonces se procederáa derivarlo en 2 partes: 5 y 5 .′ = 45 −25− − ′ = 45 10 = 45 (10 1)

′ = 10 145 ′ = ( )

[(31 )40 45 ] [5 (61 1 1 )] 31 40 45 5 6 1 1 1 120 125 1 65 1 1 = 65 sec1 20 2 5 tan1


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C. Obtén la derivada de segundo orden de “y” (y’’), de la siguiente ecuación

implícita.

I. =

Derivada de primer orden ’.o Se iguala a “0”.

2

= 0

o

Se resuelven los mismos términos (suma o resta).

2 = 0 2 = 0 = 0

o Se deriva toda la función.

2 −2 − − = 0 22 = 0 2 2 1 = 0 2 2 = 0

o Se agrupan los términos con y’.

2 = 2

o Se factoriza la y’ de la función.

2 = 2 o Se despeja y’ de la función.

= +−−+ Derivada de segundo orden ’’.

o De la función de primer orden obtenido, hacer su correspondiente

derivación.

o Puesto que es una división U/V, se procede a realizar la siguiente fórmula: =

− , por lo que se realizará lo siguiente:

= 2 = 2 = 2− −′ = 2 ′ = 21 1′ = 2 ′

= 2− − = 2 = 21 1 = 2 1 o

−+−−[−(−+)]−+

o

(−)−()()(−)−(−)()−(−)(−)−+

o

[−(−)][(−)]−[(−)][(+)−]−+

o

Se eliminan paréntesis.

−−+−+−++−+

o Se ordenan mediante variable x, de mayor a menor en su exponente.

+−+−−+−+

−+ o Se realizan las operaciones (suma o resta) de términos iguales.

+−+−−+−+

−+

+−−+


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o Sustituir y’ con la función obtenida+−−+ en la función anterior.

+−−+

o Realizar la multiplicación correspondiente entre 3 y +−−+.

+

+−

−+

++−−+ ()−−+ ()−−+ −−+

o Realizar la suma de fracciones ubicadas en el numerador.

−+

() −+

() −+

() −+

−+

o Sumar los términos similares.

−+

−+

o Aplicar el método “Sándwich”

(−+)−+−+

−+

−+

−+

−+

o Se factoriza el 6 en la ecuación ubicado en el numerador.

(−+)

−+ o Se obtiene la derivada de segundo orden resultante:

= −+−+


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II. =

Derivada de primer orden ’.o Se iguala a “0”.

7 3 3 = 0 o Se resuelven los mismos términos (suma o resta).

7 3

3

= 0

7 4 3 = 0

o Se deriva toda la función.

3− 0 [(24−)4] [ (23−)] = 0 3 84 6 = 0 3 84 6′ = 0 3 8 4 6′ = 0

o Se agrupan los términos con y’.

3 8 4 6′ = 0 4 6 = 3 8

o Se factoriza la y’ de la función.

4 6 = 3 8 o Se despeja y’, de la función. = − −−

Derivada de segundo orden ’’.o De la función de primer orden obtenido, hacer su correspondiente

derivación.

o Puesto que es una división U/V, se procede a realizar la siguiente fórmula: =

− , por lo que se realizará lo siguiente:

= 3 8 = 4 6 = 2 3−8(1 8−) = 6 8 8 = 6 8 81 = 6 8 8

′ = 24−6′ ′ = 8 6′ ′ = 8 6′ o

[(−)(−−−)]−[(−−)(−)]−

o Se multiplican los binomios y trinomios.

464848666868 38368884 6

24+32+32364848+ 24+1864+48

4

6

243232364848241864484 6 o Se realizan las operaciones entre términos similares (suma o resta).

242448483264323648184 6

32323648184 6


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o Se eliminan paréntesis y corchetes.

32323648184 6

32 32 36 48 18

4

6

o Se ordenan por variable x de mayor a menor exponente.

32 18 32 36 484 6

o Se factoriza y’. opción A.

32 18 32 36 484 6

o Se sustituye la y’ por el resultado obtenido al final de la derivada de primer

orden realizado = −

−− :3 84 6 32 18 32 36 48

4 6 o Se multiplican los términos del numerador.

[(332318)(832818)]4 6 32 36 481

4 6

[(96+54+)(256+144+)]4 6 32 36 4814 6 96 54 256 1444 6 32

36 4814 6

o Se suman las fracciones ubicadas en el numerador.

96 54 256 144324 6364 6484 64 6

4

6

96 54 256 144128+ 192+144+ 216+192 2884 64 6

96 54 256 144 128 192 144 216 192 2884 64 6

o Se realizan las operaciones (suma o resta) correspondientes.


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96 54 256 144 128 192 144 216 192 2884 64 6

96 54 384 288 216 2884 6

4

6

o Se realiza operación “Sándwich”.

96 54 384 288 216 2884 64 61

96 54 384 288 216 2884 64 6

96 54 384 288 216 288

4 6+

96 54 384 288 216 2884 6


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D. Resuelve la derivada en su más alto orden posible de las siguientes funciones.

I. = 50 8 o Derivada de primer orden.

= − − − − − + − 50− 0 = − + − + 50

= − + − + [(501)] = − + − + 50

o Derivada de segundo orden.

= − − + − − − + − 50 = − + − + 0 Simplificar fracciones.

=

13 = − 13

o Derivada de tercer orden.

= −

−

−

[(1−

)][(3−

)]

= − 23 = − 22[(31)] = − 223

o Derivada de cuarto orden.

= − − [(2−)] 2− 0 = − 42 = − 4[(21)] = − 42

o Derivada de quinto orden.

= − − [(4−)]0 = − 4 = − [(41)] = − 4

o Derivada de sexto orden.

= − − 0 = − = [(31)] = 3

o Derivada de séptimo orden.

= 0 = 0


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II.

= o Derivada de primer orden.

= − − − − − −

=

−

− o Derivada de segundo orden.

= − 4− − − − = 20 − Simplificar fracciones.

=

20

−

= 20 −

o Derivada de tercer orden.

= − 20− − − −

= 80 − = 80 − 1 = 80 −

o Derivada de cuarto orden.

= − 80− − 0 = 240 = 240

o Derivada de quinto orden.

= − 240− −

=

480

= 480[(451)] = 48045

o Derivada de sexto orden.

= − 480−0 = 480 = [(4801)] = 480

o Derivada de séptimo orden.

=

−

0

= = 1 =

o Derivada de octavo orden.

= 0 = 0

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