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Evaluation subjective Michel Grabisch To cite this version: Michel Grabisch. Evaluation subjective. D. Bouyssou and D. Dubois and M. Pirlot and H. Prade. Concepts et M´ ethodes pour l’Aide ` a la D´ ecision, Herm` es, pp.175-232, 2006. <halshs- 00179068> HAL Id: halshs-00179068 https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00179068 Submitted on 12 Oct 2007 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es.

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Evaluation subjective

Michel Grabisch

To cite this version:

Michel Grabisch. Evaluation subjective. D. Bouyssou and D. Dubois and M. Pirlot and H.Prade. Concepts et Methodes pour l’Aide a la Decision, Hermes, pp.175-232, 2006. <halshs-00179068>

HAL Id: halshs-00179068

https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00179068

Submitted on 12 Oct 2007

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.

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a % b ⇔ f(a) %′ f(b)

f(a ∗ b) = f(a) ∗′ f(b).

�H}GRT�f�:P�U�UVP���À�Í]¿L�É�V¿£�f}�����S��fU�PL� (A,B, f) �I�1� f P>~c� �f}G�f�TQ��TQ��(���f�]S�~�Q�P��kP A °(P���~ B �²ÄRh�ÄRh¢]�]~Ä�kP´U�RT}f«(RT«TPµ}f�T��~O�fSV���T}]~Ä¡<�fP�U�¡<�fP�¹º�TS�~ ¡(�]P f P�~��ÄU9� �����fP�UVU�PT�hÔN� �>���fP�U�U�PµP>~c�a�kSV��P�]�kÎD��Ì�� aL�]¿D~�S B = R��¥a}k ]}t�X�T}¨�kSV�F¡(�]P f Rh�f�:�T����P�ʺ�(�¨P�~���ÏH�f}fP�Ì�¿»Ë:Ì���¼�¿��]�»�%�#���%�

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� ÔXP�~������]P�U�UVP>~���� S�}(��P���°%RhU�UVP(�IÔtP�~�����Rh}�~c¹º�(��QDR%��SV�(}]~tR(�kQ�S�~�~�SV¢fU�P�~O~��T}<� φ(x) = αx+β � α > 0 �k¥Ä�kP�Q��fU�P�~�Âk��P�Q1�:����R%���f��P*P�}�¤�P�U�~�S��]~���Rh}f}f��P�~´�k����RTUVP�}]�k��SVP����

� ÔXP�~£�����fP�UVU�P�~��(���fSV}]RTUVP>~��� t�(�k��P�¹º�(}]����SV�(} φ ~�����S�����P�Q�P�}<�H�L���TS�~�~�RT}(��P�P�~��HRT�kQ�S�~c±~�S�¢fU�PT�k¥Ä�kP�Q��fU�P�~�Âf�����fP�UVU�P��kP��k�f��PL���T�f�>���fP�U�UVP��kP >£S����<��P����

�£}]P��f���(���<~�SV��S��T} ~��f� A/ ∼ ʺP��_P�Q��fUVP¯Â a P�~����B¹º�TS�~D�fU��]~DU��T}f«��Ä�T� �fU��]~.���]RT�]����T� �fU��]~7UV�(�f���Ó¡<�fP b Ï�P>~c��¼�� �T�]� � À��h�9�É�%¿~�SH~�R¨°(����S¬���z��P�~���P�S�}]���]RT}f«T��P����(�f�D���(�k��P����Rh}�~c¹º�(��QDR%��SV�(}ÓR(�kQ�S�~�~�SV¢fU�PT�µÆ£S�}]~�S9�´�fRh}�~.U#� �>���fP�U�UVPÇ�kP�~x�kP�«(���>~ ��P�U�°_SV}X�µ�LP�U�R¯R¯�]}~�P�}]~G�kP7�kS���Px¡(�]P a P>~c�G�fP��k�¹º�TS�~��fU��]~G���]Rh�]�¯¡<�fP b �t�]RT�F�L�(}<����P.�LP�U�R�}X� P�} R,�]RT~�fRT}]~´U9� P����]P�U�UVP��kP>~£�kP�«(���>~£¤�P�U�~�S��]~��

Ý»}<������P>~�~��T}]~�±Å}f�T�]~�RT�,��R(~£U�PF�fU��]~�~�S�Q1�]UVP1�kPG~�Øk~c��­�Q�P���P�U�R%��S��T}]}fP�U#���k�,�cØ<�:P A =(A, %) �<�1� % P>~c�µ�f}fP���P�U�R%��SV�(}D¢fS�}]RhS���P(� � �T�]~�°T�(�fUV�(}]~ �����(�f°TP��N�f}.�]�TQ��TQ��T���f�fS�~�Q1Pf �kP A �fRT}]~ B = (R,≥) ʺ�]���(¢fUV­�Q�P��kS¬�*�k�¯Î�¿L¼��kÌ�� �<¿��%Ì Ù �É�:�h��Ï�� | RT}]~£U�PF��R(~£��� �f}P�}�~�P�QF¢fU�P A  ]}]S9�KS�UÄP�~��H¹�R(�LS�UVP��kP�Q��T}<����P���¡<�X� �]},��P�UÄ�f�TQ��(Q1�(���]�fS�~�Q�PFP��_S�~���P�~�S PL�~�P��fU�P�Q�P�}<�H~�S % P>~c���]},�f�����T���k��P�U�RT��«(P����h��RhU#�fPL�*�T}��:P��k�*�f��P�}]�k��P��L�(Q1Q�PF~��TU��k��SV�(}f(x) := |{y | x % y}| �fÔtP����>~��]U¬��R%�£~�� �L��P�}]��RT�z��RT~´�1� A P>~c�£�k��}f�TQG¢f��RT¢fU�P�Ê�P�}z¹�RhSV���S�Ut~��fÕ1��¡<�fP�U#� P�}]~�P�QF¢]UVP�¡<�f�T��S�P�}<� A/ ∼ ~��TSV�£�k��}f�(QF¢f��Rh¢]UVPIÏ��| Rh}]~*U�P1��RT~H«T��}]����RhU#��S�U }X� P>~c���]R(~H���T�h¦c�T�f��~��:�(~�~�SV¢fU�P��kPF�����(�f°TP��H�]}B�f�(Q1�(Q��T��±�f�fS�~�Q1P(�kÔXPH���T}<����PL±ÅPL�kP�Q1�]UVP��fPHU#� �(���f��P£U�PL�kS��L�(«T��Rh�f�fS�¡<�fPT�<�kÐx§ | P�¢f��P��X�<P�~��´����U�­�¢f��PT�²a��P�}f�(}]~ A = R2 �NP��x�k�� ]}fS�~�~��T}]~.U9� �T���k��P�UVP��_S��L�(«T��Rh�f�]S�¡<�fP¯Êº��Rh����S�P,RT~�Ø<Q�������S�¡<�fPIÏ�]RT��Â

(a, b) �lex (c, d) ⇔[

a > c �(� (a = c PL� b > d)]

.

� �f�]���<~��(}]~N¡<�X� �f}.�f�(Q��TQ��T���f�fS�~�Q�P f PL�kS�~c��PT�(}f�T�]~�Rh�f��S��T}]~aRTUV�(��~ f(a, 1) > f(a, 0) �| �T}]��S�UtP��kS�~���P���RTS¬�£�f}���R%��SV�(}f}fP�U g(a) ��P�UO¡<�fP f(a, 1) > g(a) > f(a, 0) �K¤�P���St����Rh}<�°%RhU�Rh¢fU�P��:�T�f�Ä���T�k� a ∈ R�T�T}DR�RhS�}]~�S]�k�L �}fSf�f}fP£¹º�T}]�L��S��T} g : R −→ Q

�*>�P�Q�RT��¡<�f�(}]~¡<�fP.�LP�����P�¹º�T}]�L��S��T}¨P�~��FS�}%¦cP��L��S�°TPT�t¥a}¯PL©KPL�>��~�S a 6= b ���(}¯R�}f����P�~�~�RTSV��P�Q�P�}<� a > b�T� b > a � | Rh}]~.UVP,��RT~ a > b �N�LP>�LS£S�Q��fUVS�¡<�fP,¡<�fP g(a) > f(a, 0) > f(b, 1) >g(b) ��¤�P���P�}]�fRT}(�>�fRh�]���f}fPH¹º�T}]�L��S��T}zSV}h¦cP�����SV°(P��kP�~µ����P�U�~´�fRh}�~´UVP>~���R%��SV�(}f}fP�U�~µ}fP��:P��k�PL�kS�~c��P��>�

� ���(~�~�S�­���P�Q�P�}<���kSV���f�f}]P���P��f���>~�P�}<��R%��SV�(}x}_�fQ�����S�¡<�fP�}X� P>~c�£��RT~��:�(~�~�S�¢fU�P�~�S A P>~c���� �f}G��Rh���kS�}]RhU_~��]������S�P��f� §*�LP�U��fSk�kP

R�T¤�P��LS_P>~c� PL�k�f��SVQ����]Rh�OUVPµ����~��fU¬��R%� �kP � S���ª_�f�T©�±

��S�UV«(��RTQ��%¢]RT~���~��f�ÄU�R�}f�T��S��T}������hÌ Ù Ì�¿ � Ù ¿L�]¼��É�»��� � �(S¬� (A, %) �f}��(���k��PµU�RT��«(PN���h��RTUtʺS#� PT�Rh}<��S�~�Ø_Q1������S�¡<�fP� A/ ∼= A Ï�� �H}��kSV��¡<�X� �f}fP��]RT����SVP B �kP A P>~c�G�hÌ Ù Ì�¿ � Ù ¿L�]¼L¿G�fRT}]~(A, %) ~�S ∀a, b ∈ A\B ��P�U�~N¡<�fP a � b �(RTUV�(��~ ∃c ∈ B ��P�UK¡(�]P a % c % b �(ÔtP£���>~��]U¬��R%�P�~���RhU��T��~µUVP�~��fS�°IRT}<���� ��� #�.�� $&)���� �%�É� (A, %) % ���Å�h�]��½L�É�K�%�ÉÌ�¿7;�L��¿ �(��¼��»¿ f : A −→ R

�»¿��,aL�]¿ a %

b ⇔ f(a) ≥ f(b) ¼��´¿L�´¼�¿��k�V¿�Î�¿��]�´¼�� % ¿�¼����k�7Ë:Ì����%Ì Ù Ì�¿����%Ì �<¿��»�%�»�%� ¿L��� � ¿��f¼�¿�Î�½��V¿a��]�%�#��¿L��� A/ ∼ �1�k�x¼L�h�_¼ ��¿L�]¼L¿�ÎD½L�V¿F�%Ì Ù Ì�¿ � Ù ¿L�]¼�¿��%�FË:���_¼ Ù �L�K�%ÎD½LÌ��T½��V¿�;��1¿NË:���_¼ ¼���k�,�»¿L� f ¿��(��¼��Å¿ �%�V�hÌ�¼ (A,B, f) ¿�¼��N�k�K¿F��À�Íf¿��É�V¿��%Ì Ù �É�:�%��¿�;¤�P´���>~��]U¬��R%�aRh�f�:�T����P´�f}]P��������(}]~�P�§*}f�T����Pµ�]��P�Q1S�­���P´¡(�]P�~���S��T}D�fRh}�~ UVP���R(~ n = 1 �ÔtR¹º�(}]����SV�(}Ú��� �f��S�UVSV��� ui

¦c�(�fP�UVP���ÖTU�P��kP,U#� �]�TQ��TQ��T���f�fS�~�Q1P(�ÄPL� % ��P��f����~�P�}<��P�U�R�f���L¹º����P�}]�LP��k�Ç~��%¦cP��tÞX�kP1�fUV��~���U�R.¹º�(}]����SV�(} ui

�L��RT}<���k�� ]}fS�PD§7�f}]PF����RT}]~c¹º�(��QDRh��S��T}~�����S��L��P�Q�P�}(�£�����(S�~�~�RT}<��P*�f��­>~��k�(}x�(¢k��S�P�}<�£�f}]P������fP�UVU�P��T���kSV}�RhU�PT�

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�£}]PF�����]P�U�UVP1�T���kS�}]RhU�P�P�~����]Rh�f°_��PT��PL��}fPG�:P���Q�PL���]RT~H°T����SV��RT¢fU�P�Q�P�}<�H�kP1QDRh}fS�P���kP>~ °IRTUVP��f��~t}_�fQ�����S�¡(�]P�~��%¥N~c��±#S�Uk�:�(~�~�S�¢fU�Pµ��� RhU�U�P�� �fU��]~ UV�(SV}1PL�a�kP´~����>�LSV ]P��Ä�f}]Pµ�>���fP�U�U�P��� SV}<��P���°IRTUVU�P � ¤�P�����P¨¡<�fP�~���S��T}·P�~��z��P�U�S���P¨Rh�!Q�P>~��f��Rh«(PB�kP¯�kSV©:����P�}]�LP(���k�T}<��}f�T�]~�k�(}f}f�T}�~��f}B����­�~*¢f��PL¹NRT��P���®��X� �H}B�L�(}]~�S��k­���P1�LPL����PG¹º�TS�~*�f}fP1��P�U�Rh��S��T} % ~��f� A ¡<�fSP�~��F¡<�]R%��P���}]RhS���PT�XÔXP.~�P�}�~��k�T}]}f�.§ ab % st ���(�f� a, b, s, t ∈ A P�~���UVP.~��fS�°%Rh}<�.ÂtU�R�kSV©:����P�}]�LPx��� S�}<��P�}]~�SV���7P�}<����P a P�� b P�~��F�fU��]~�«(��RT}]�kPD¡<�fP.U�R��kSV©:����P�}]�LP7�X� S�}<��P�}�~�SV���P�}<����P s PL� t ��U9� S�}(��P�}]~�SV���.����Rh}<������R(�k�fSV��P.��Rh���f}]PD¹º�T}]�L��S��T}¯����P�UVU�P f �k�L ]}]SVPz~��f� A �Æ£S�}]~�SX�T}�R1U9� ��¡<�fS�°%RhU�P�}]��PDÂ

ab % st ⇔ f(a) − f(b) ≥ f(s) − f(t).

ÔtR1¡<�fP�~���S��T}xP�~��£�kP*~�RI°T�(SV�´¡<�fP�U�U�P�~´~��(}<�µU�P�~´�L�(}]�kSV��S��T}]~µ��P�¡<�fS�~�P>~´~��f� % �:�T�]�´¡<�X� �f}fP��P�UVU�P�¹º�T}]�L��S��T} f P��_S�~���PT�>PL�Ä~�S<��PL����PN¹º�(}]����SV�(}�P�~����]}fS�¡<�fP(� ����RT}(� �H¿���À��%�<; � � ß �_�(}<��Q��T}k±������¡(�]PHU�P�~ �����T}]�fS¬��SV�(}]~´~��fS�°%Rh}<��P>~�~��T}<�´}f����P�~�~�RTSV��P�~NPL��~��fÕD~�Rh}<��P�~����(�f�´U9� PL�kS�~c��P�}]��P�kP f Âß ��ÔtR���P�U�R%��SV�(} ¢fS�}]RhS���P R ~��f� A2 �k�L �}fSVPz�]RT� (a, b)R(s, t) := ab % st P�~��G�]}�f�����T���k��P�U�Rh��«TPH���h��RhU#��f� ab % st ⇒ ts % ba �� � ab % a′b′ P�� bc % b′c′ S�Q��fUVS�¡<�fP�}<� ac % a′c′ ��� ab % st P�� st % xx S�Q��fU�S�¡<�fP�}(�*U9� PL�kS�~c��P�}]��PG�kP u, v ∈ A ��P�U�~H¡<�fP au ∼ st PL�

vb ∼ st Ê9~��(UV°%RT¢fSVU�SV���>ÏL��f� t�(�k��P,~���¡<�fP�}]�LP�~���Rh}��fRh��� ~c����S�����P�Q�P�}<�.¢:�T��}f��P�P�~��. ]}]SVP Ê9R%�kSV�(Q�P,Rh�����fSVQ���±�kSVP�}�Ï�� �H}B�fS¬��¡<�fP a1, . . . , an

P�~��*�f}]P7¼�� aL�]¿��:À�¿G¼��»�%� Ù �%Ì Ù ~�S ai+1ai ∼ a2a1�

i = 1, . . . , n− 1 PL� ¬a2a1 ∼ a1a1Ê�P�~��]RT��P�Q�P�}<�µ����«T�fU�SVP���ÏL�<Ô�RG~���¡<�fP�}]�LP*~c��Rh}k±

�fRh���P�~��F¢��(��}]��P7~�����S��L��P�Q1P�}<�G~�� S�UNPL�kS�~c��P s, t ∈ A ��P�U�~1¡<�fP st � aia1 � ts �i = 1, . . . , n �| Px�fU��]~��Ä~�S´�f}×��P�U f P��kS�~���P(��S�U´P�~��1�f}]S�¡<�fP�§,�f}]P7����RT}]~c¹º�(��QDRh��S��T} R%ÕD}fPz�:�(~�S¬��SV°(P

�f��­�~��kPL���k�� ]}fSV��RhS�}]~�S��f}fP������]P�U�UVP���� SV}<��P���°IRTUVU�PT�Ý»UtP��kS�~���PG�f},����~��fU¬��R%�H�fÐB§ � ���h���H�fRh}�~�U�PF��R(~£��� A P>~c�H ]}fS#�:¡<�fS�¹�RhSV�HS�}<��P���°TP�}fS��

�LP���P�}]�fRT}(�£�]}z~����f��QDR1S�}k ]}fSt�X� Rh�_S��TQ�P>~��Ý»UfP��_S�~���P��f}������(S�~�SV­�Q�P��cØ_�:P£�kP£Q�P�~��f��Rh«(PT�h�kSV�£Î�¿L¼��kÌ�� �<¿�¿ �(�»¿L�]¼�� Á��T�1���(}����]P������fP

�f}��f�(Q1�(Q��T���f�fS�~�Q�P*P�}<����P (A, %, ∗) P�� (R,≥, +) � �£}fP���P��]���>~�P�}(��R%��SV�(}.PL�kS�~c��P�~�S�P��~�P��fU�P�Q�P�}<�N~�S (A, %, ∗) P�~��a�f}�«T���T�f�:P´�T���k�T}f}]�´RT�����]SVQ����fSVP�}zʺ���f���T��­�Q�P£�kP����(U��fP���Ï��| Rh}]~���P���RT~��k�T}z�T¢f��S�P�}<�£�f}fP������]P�U�UVP��kP���R%��SV���� �(�]~G°TP�}]�T}]~���� �L���]�kS�P���UVP���R(~1Q1�(}f�h±»�kS�Q�P�}]~�SV�(}f}fP�U n = 1 � � �fP�~�Pz�]R(~�~�PL±#��±ÅSVU�fRT}]~ÄU�P���R(~ÄQF�fUV��SV±»�kSVQ�P�}]~�S��T}]}fP�U �H¤��T}f¹º�T��Q1��Q�P�}<�N§�}f�(~a}f�h��R%��S��T}�~��h}]�T�]~��k��~�SV«(}f�T}�~

�]RT� X = X1 × · · · × XnU#� P�}]~�P�QF¢]UVP��kP>~��T¢k¦cP���~�� � �T�]~D���]P������f�T}]~G�f}fPz¹º�(}]����SV�(}

u : X −→ R��P�UVU�P�¡<�fP x % y ~�S�PL��~�P��]UVP�Q1P�}<��~�S u(x) ≥ u(y) �fÔN� P��_S�~���P�}��LP��kP��LP�����P¹º�T}�����S��T}ÓP�~��.�k�T}]}f��P��]RT�1U�Pz���f���T��­�Q�P��kP � S���ª<�]�h©:± ��S�U�«T��RhQ ÂÄSVU´¹�RT�k�.PL�DS�U£~��fÕ1�

¡<�fP (X/ ∼, %) RTS¬�H�f},~��(�]~�±#P�}]~�P�QF¢fU�P��T���k��PL±»�kP�}]~�P��k��}f�(QF¢f��Rh¢]UVP�PL�*¡(�]P % ~��TSV�£�f}�f�����(���k��P*U�RT��«(PH���h��RhU#�]Æ� ]},�fP�¹�RhS���P�Rh�]�]Rh��RIÈ�����PHU�P�~��kSVQ�P�}]~�S��T}�~ Xi

�f�(}����fP������fP��kP�~¹º�T}�����S��T}�~��kS¬��P�~ Ù ��À��hΣË]�I¼��(½L�V¿L¼��:�T� P>~c��±Å§h±Å�fSV��P*�fP*U�R1¹º�T��Q�P

u(x1, . . . , xn) = F (u1(x1), . . . , un(xn)), Ê �TÏRI°TP>� F ~�����S��L��P�Q1P�}<�µ�L���TS�~�~�RT}(�>� ��}fP*���T}]�fS¬��SV�(}7P�~�~�P�}<��S�P�U�UVPH���(�f�µU9� PL�kS�~c��P�}]��PH�kP��LP�����P¹º�T��Q�P�P�~��£U�R1�f���T�f��S��L�����kP�¼��»Ëf�hÌ��T½��É���É�»�´ÁL�%��½��V¿G�T��É� Ù �»Ë]¿L� Ù �%�KÀ�¿����kP (X, %) Â

(xi, zic) % (yi, zic) ⇔ (xi, z′ic) % (yi, z

′ic), ∀x, y, z, z′ ∈ X. Ê � Ï

����� � � � ���������������������� � ����!� "�#F $ ���!#%��&'��(�������������*),+.-

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∼ /�0 �1�%� �2�������� � ����!�3�%�4�� � �576�83579;:<9;6�=>8�:@? :@9;A /

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ÔtR7}f�h��R%��SV�(} z = (xA, yAc) ~�S�«T}]S¬ ]P1¡<�fPFU#� �(¢k¦cPL� z P>~c�H��P�U ¡<�fP zi = xi~�S i ∈ A �KPL�

zi = yi~�S�}f�T}t�<¤�PL����P��f���T�f��S��L���µP�}<����R%È�}fP´U#� P��kS�~���P�}]�LP£�kP´��P�U�R%��SV�(}]~ %i

~��]�a���]RT¡<�fP Xi�

PL�µ�k�T}]����� �]�TQ��TQ��T���f�fS�~�Q1P>~ ui : Xi −→ R�T¥a}.����~��fQ��T�TUVP£����~��fUV��Rh�aP�~��NUVPH~��fS�°%Rh}<�£Â

� ��� #�.�� $&)�� (X, %) ¿�¼���Ì�¿»Ë:Ì���¼�¿��]�»�T½��V¿1Ë]�%Ì��k�:¿�ÁL�%�:À��#���%� uÙ ��À��hΣË]�I¼��(½L�V¿¨�h�I¿�À

F : Rn −→ R¼��#Ì���À��Å¿�Î�¿��]�£À�Ì��%��¼�¼��%���Å¿G¼��´¿L�µ¼�¿L�k��¿LÎD¿L���µ¼�� % ¿�¼����k�.Ë:Ì����%Ì Ù Ì�¿����%Ì �<¿

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Page 12: Evaluation subjective - CORE · Evaluation subjective Michel Grabisch To cite this version: Michel Grabisch. Evaluation subjective. D. Bouyssou and D. Dubois and M. Pirlot and H

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� �fP�UVU�P�P�~��HU�R.��P�U�R%��SV�(}�P�}<����P�¢fS��:�TU�RhS���P/9I�f}fS��:�TU�RhS���P�P��HU�P�~��cØ<�:P�~H��� �����fP�UVU�PxÊ��T���kS¬±}]RTUVP(��S�}<��P���°%RhU�UVP(����R%��SV����P����h� ÏX¡<�fP�}f�T��~�RI°(�T}]~���°T�k¡<�f��~ �NÆÃ�f��SV�(��S<Rh�]���f}X�>�T}��:P��f�O³�����P

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ÔtRGQ��L���f�k�kP7�,Æ�¤ � ¥ )� Ê �,P�RT~��f��SV}]«1Ƶ������RT����SV°(P�}fP>~�~µ¢_Ø7R.¤µR%��P�«(�T��S���RhU � R(~�P>�¥a°%RhU��]Rh��S��T} tP>� ��}fS�¡<�fPIϵP�~����k�fPF§ � Rh}�RGPG¤��<~c��R1PL���aRh}�~�}fS���ªK� � �(�]~´��P�}_°T�%Ø(�T}]~�UVPU�P�����P��f�£§8� ß � �k� � �t�:�T�f���]UV�]~��kP��k�L��RhS�U�~��

¤��TQ�Q�P�}�®L�T}�~£�L�(Q1Q�PF��S¬±»�kP>~�~��]~£��Rh��U�PF��RT~£Q��(}f�h±»�kS�Q1P�}]~�SV�(}f}fP�U#� �H}B���T}]~�S��k­���P�f}ÚP�}]~�P�QF¢fU�P� ]}fS*��� �T¢k¦cP���~ A = {a, b, c, . . .} � �H} �:�(~�P,Rh�Ú~��h¦cPL�x�kP��k�Ó�cØ<�:P�~7�kP¡<�fP�~���S��T}�~��k�:�T�f�´���T�k��P��]RhS���P (a, b) ∈ A2 Â

� ¥N~c��±Å��P�¡(�]P a P�~��´�]UV�]~�Rh������RT�L��SV¹µÊ��T�z�f����¹º����Rh¢fU�PT�_P����h� Ï´¡<�fP b �Dʺ�(�fS69I}f�(}�Ï � SXU�R�������(}]~�P*P�~�� �I�(�fS �(�f�(}x}]�h��P aPb �� � S aPb �TP>~c��±Å��P�¡<�fP£U�R��kSV©:����P�}]�LP*��� R%������R(����SV°_SV���FÊ��T�D�f���L¹º����P�}]�LP(�TPL���h� Ï P�~��*Ê��f}fP~�P��fUVP������:�T}]~�P����<~�~�S�¢fUVPIÏHÂ� ����­>~µ¹�RhS�¢fUVPDÊ aC1b

Ï� ¹�RTSV¢fU�PDÊ aC2b

Ï� Q��k�k������PDÊ aC3b

Ï� ¹º�(����P�Ê aC4b

Ï� ����­>~µ¹º�T����PDÊ aC5b

Ï� P��<����³�Q�P�Ê aC6b

Ï��� S �T}Ç}X� R.}fS aPb }fS bPa �:�(}B�kSV��¡<�fP a PL� b ~��T}<�*S�}]�kSV©K����P�}<��~��:��P1¡<�X� �T}Ç}f�h��PF�]RT�aC0b

� �H}BR P = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ C6�KPL�H�(}Ç�k�� ]}fSV� Pk := Ck ∪ Ck+1 ∪ · · · ∪ C6

�k = 1, . . . , 6 �¥a}¨~�P����L¹º����RT}(��§zU�R7���f���T��SVPD�k�Q�P�~��f��Rh«TP(��U�Rz�������(}]~�P1§xU�Rz�f��P�Q�S�­���P1¡<�fP>~c��SV�(}Rh�]���(����P,�f}fPÇSV}k¹º�(��QDRh��S��T}Ú�T���kS�}]RhU�PT� �H}����fP������fP,�]}fPB��P��f����~�P�}<��R%��S��T} }_�fQ�����S�¡(�]Pf : A −→ R

��P�Ut¡<�fP f(a) > f(b) ~�S�PL��~�P��]UVP�Q1P�}<��~�S aPb ���H}z~�RhSV��Ê���¹c��~�P>����S��T} � ��TÏ¡<�fP��fRT}]~N��P���R(~aS�U�P�}DPL�kS�~c��P����(�%¦c�T�f��~N~�S P P>~c�µ�f}D�f�����T���k��P£~c����S����N���h��RhU#�TP��µ¡<�fP���P�U�R�k�� ]}fSV�£�f}fP������]P�U�UVP��T���kS�}]RhU�PT�

ÔtRz~�P��L�(}]�kPD¡<�fP�~���S��T}P�~��FRh�]�]Rh��P�}<����P1RT�ÇQ�P>~��f��Rh«(P1�fP��fS¬©K����P�}]��PT�XÔ�Rx��P�U�R%��SV�(}¡<�]R%��P���}]RhS���P % P�~��H�k�� ]}fS�P�SVQ��fU�S���S¬��P�Q�P�}<����Rh�£U�P���RT��R(����­���P*�T���k�(}f}f���kP�~H��Rh����«(�T��SVP>~C1, . . . , C6

���H}7R�°<�x¡(�t� �f}]P���P��f����~�P�}<��Rh��S��T}D�]RT�N�f}]P������]P�U�UVP*�kPH�kSV©K����P�}]��P£}X� PL�kS�~���P�]R(~N���T�%¦c�(�f��~�ʺ����~��fU¬��R%���kP � ���h�����:�T�f�´U�P���RT~µ �}fS9�k�(�z�fP ����Rh}<� �1¿��µÀ��%�<;]�:�T�f��U�P���RT~«T��}f����RhUÉÏ�� | RT}]~�U�PF��RT~£�]���>~�P�}(�>����P�U�RD��P�°_SVP�}(�*§.���fP������fP��£�f}fPF¹º�T}]�L��S��T} f : A −→ R��P�UVU�P�¡<�fP aCkb PL� cCk′d �fRI°TP�� k > k′ P�~��´�>¡<�fSV°%RTUVP�}(��§1U�R����T}]�kSV��S��T} f(a)− f(b) >f(c)−f(d) � � Rh}]R£Pµ¤��(~���R´P����aRh}�~�}fS���ª*�T}<�X�����T�]°T�a�kP>~t�L�(}]�kSV��S��T}]~���� PL�kS�~���P�}]�LP���� �]}fP��P�UVU�P�¹º�T}�����S��T} f �]UV�]~F~�S�Q��fUVP>~�¡<�fPD�LP�U�U�P�~��kP � ���h���!� ß �Å�X²a��P�Q�S�­���P�Q�P�}<�>��U9� PL�kS�~c��P�}]��P��� �f}fP1��P�UVU�P�¹º�T}�����S��T} f P>~c����¡<�fS�°%RhU�P�}<��PD§xU9� PL�kS�~c��P�}]��PD�kP�}f�TQG¢f��P>~*����P�U�~ 0 =: t1 <· · · < t6

P������ �f}fP�¹º�T}�����S��T} f : A −→ R��P�U�~£¡<�fP

aPkb ⇔ f(a) > f(b) + tk, k = 1, . . . 6. Ê <Ϥ�PL����PD�L�(}]�kSV��S��T}ÇP�~��*�>¡(�]SV°%RhU�P�}<��P1§z~��(}����(�f��§7�]}fP1���T}]�fS¬��SV�(}Ç~��f��UVP1«T��Rh�f�]PG�kP�U�R��P�U�R%��S��T} P �:¥aU�UVP1P�~��H��«(RTUVP�Q1P�}<�1ʺP��H�fU��]~�~�SVQ��fU�P�Q�P�}<��Ï�°T����SV �RT¢fUVPF�]Rh�*U�R7���>~��(UV�f��S��T}��� �f}��f���T«T��RhQ�Q�P*UVS�}f��RTSV��PT�� �f�]���<~��(}]~�¡<�fP*U�P�~´�kP��f�7�L�T}��kS¬��SV�(}]~��T���kSV}�RhU�P�PL����RT���fSV}]RTUVP*~��(SVP�}<��°T����SV ]��P�~��(²ÄRh��f} �]���(«T��RhQ�Q�P1U�S�}f��RTSV��PT���T}×���fP������]P.RhU��T��~�U�R,�fUV��~F�:PL��S¬��P.¹º�T}�����S��T} f �:�(~�~�SV¢fU�P.P�}

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¤��T}�~�S��k�����T}�~�QDRhS�}(��P�}]RT}<�HU�PG��R(~£QG�fU¬��S¬±»�kS�Q�P�}]~�SV�(}f}fP�U9� � �(�]~�}]�h���(}]~*�L�TQ�Q�PG��S¬±�kP>~�~��]~ X U9� P�}�~�P�QF¢fU�P,�kP�~.�T¢k¦cP���~D�:�h��P�}<��S�P�U�~����kP�U�R¹º�(��Q�P X1 × · · · × Xn

�a² �T�f����]R(¡(�]PN�kP�~��L��S��k��P��f� Xi

��}f�(�]~O~��f�]���<~��(}]~t¡<�X� SVU_P>~c� ~��(S¬�X �}fS9�%~��TSV�O¡<�X� SVU<PL�kS�~c��PN�f}1~��(�]~�±P�}�~�P�QF¢fU�P Xi

 ]}]S<���TQ����(����Rh}<�XU�P�~X°%RTUVP��f��~t��P�QDRh��¡(��Rh¢fU�P�~��kP Xi�h¤�PL����Pa�_Ø_���T���f­>~�PaP>~c�

}f�>�LP�~�~�RhS���P(�<��Rh�5�,Æ�¤ � ¥ )�!}]P*�:P��f�µ����RI°%RTSVU�UVP���¡<�fP�~��]�µ�]}xP�}]~�P�QF¢fU�P£ �}fS9�f¡<�fSK�fU��]~P�~����kP*��Rh���kS�}]RhU�S¬������P�~�����P�S�}<��PT�<¥aU�UVP*}X� P�~��µP�}7�f��S�}]�LS���P*�]R(~N��P�~�����S��L��S�°TP*��Rh�µ}X� �T�f¢]UVS��T}]~�]R(~µ¡<�fP*U#� P�}]~�P�QF¢fU�P��kP�~µ�T¢f¦cPL��~´��� S�}(������³L��Ê����T}]~�S��f������~µ�fRh}]~µU#� P��k������S�P�}]��P>ÏNP�~��µ}]���LP>~c±~�RhS���P�Q1P�}<�H ]}]S� x1, x2, . . . , xp ��Ý»Ua~��fÕ1��RTUV�(��~*�kP��f��P�}]�k��P Xi := {x1

i , x2i , . . . , x

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ÔtR¨Q������f�k�kP �,Æ�¤ � ¥ )� ��P�}<����P,�fRT}]~.U�R ��Rh����«T�T��S�P��fP�~.Q������f�k�kP>~7�L�(}]~������fS¬±~�Rh}<�H�f}]P�¹º�T}�����S��T} u �k�>�L�(Q1�:�(~�Rh¢]UVP7Ê9��¹c�K��¡<�]Rh��S��T}×Ê �TÏ�Ï��KRI°TP�� F �L��Rh}<�*�kPGU�R.¹º�T��Q�P∑n

i=1 wixi� wi ≥ 0 Ê9~��(Q1Q�P1���(}]�k������PT� � �T���T}�~H¡<�fP1UVP>~��L�T}��kS¬��SV�(}]~*}f����P�~�~�RTSV��P�~�PL�

~��kÕ.~�RT}(��P�~X~��f� % �:�T�f���f}fPa��P��f����~�P�}<��R%��S��T}*�]RT�X�f}fPN~��TQ�Q�PÄ�:�T}]�k������Pa~��(}<�t�L�T}]}<�]P�~Ä°T�(SV� � � ß �T��� �ºÏ�� � �T��~�~�RI°T�T}�~���� RT�f��­�~�U�R.~�P�����SV�(} � ��D¡<�X� �f}fP���P��f����~�P�}<��R%��S��T}��k�>�L�(QG±�:�(~�Rh¢fU�Px}]���LP>~�~�SV��Pz�f}fP��_Ø<�:�h���f­�~�P��kP�~����]Rh��Rh¢fS�U�S¬���.¹�RhS�¢fU�P��kP % ���BÆ�¤ � ¥ )� ¹�RTS¬�S�Q1�]UVS��LSV��P�Q1P�}<�G�LP�����PD�_Ø_�:�h���]­�~�PT��PL�1~�P�¢]R(~�PD�kP>~�~��]~��:�T�f���]Rh}]~��]}�]��P�Q1S�P�����P�Q��]~�L�(}]~������fSV��P�U�P�~H¹º�T}�����S��T}�~H��� �k��SVU�S¬��� ui

~��f�����]R(¡(�]P Xi��ÔtR.¹�RT®��T}B�kP1�f���k�L���fP���P>~c��U�R

~��fSV°%RT}(��PT� � �]�f���<~��(}]~�¡<�fP�U9� �T}�°(P��fS�UVU�P��L�(}]~c�����]SV��PHU�RG¹º�T}]�L��S��T} ui~��f� Xi

� �H}z���T}]~�S¬±�k­���P�U#� P�}]~�P�QF¢fU�P��kP�~£�T¢k¦cP���~�ÊÉ :����SV¹�~�U�P��fU��]~£~��T�f°(P�}<��Ï

Ai := {(01, . . . ,0i−1, xji ,0i+1, . . . ,0n)}

xji∈Xi

Ê �TÏ�1�

0jP>~c�1�f}fPz°IRTUVP��f�F��Rh����S��L�fU�SV­���Px�kP Xj

¡<�fPx}f�T�]~1RhU�U��T}]~FPL�k�fU�S���S¬��P��>� � �(�]~GU9� �_Ø(±�:�h���]­�~�P��fP�~�����Rh��Rh¢fS�UVSV���F¹�RhS�¢fU�PT��U#� RT�f�fU�S���R%��S��T}¨�kP�U�R7Q��L���f�k�kP=�,Æ�¤ � ¥ )� �k�>�L��S¬��P�LSV±»�kP�~�~���~�~��f��U#� P�}]~�P�QG¢fUVP��X� �(¢k¦cPL��~ Ai

�f�L��P���Q�S�}fP�~�Rh}]~�RTQF¢fS�«T���9�����f}]P������fP�UVU�P���� S�}k±��P���°%RTUVU�P ui

�%�T� P>~c��±Å§h±Å�kS���PN�k�L �}fSVP´§£�]}fPµ����Rh}]~�¹º�T��QDR%��S��T}�RhÕD}fPN�:�(~�S¬��SV°(P��]��­>~ αiui+βi�

αi > 0 � �Æ �f��S��T��S9�f}t� S�Q����(����PG¡<�fP�U�U�P�°%RhU�P��f�*�kP Xj��P��k�H³�����PF���f�TS�~�SVP��:�T�]�

0j�:² �T�f�*�kP�~

��RhS�~��(}]~t�kP����TQ�Q�P�}]~��f��Rh¢fS�UVSV���µ¡<�fP�}]�T�]~ RhU�U��T}]~�PL�k�fU�S���S¬��P��>�ISVU_S�Q1�:�T����P´¡<�fPµUVP>~�°%RTUVP��f��~0j�]�fS�~�~�P�}<�a��P�°T³���S��Ä�f}.~�P�}]~NRT¢]~��TU��X� � P�UV�(}�¡<�fP�U9� �����fP�UVU�P�P�~��N�f}]SV�:�TU�RhS���P��(��¢fSV�:�TU�RhS���P

ʺ°(�TS��G~�P��L��S��T} � � � Ï��O�T}×�k�� ]}fSV�0j

�L�(Q�Q1PxU�RB°%RhU�P��f���kP Xj��P�~�~�P�}<��S�P.�]RT�GU�Px~��%¦cPL�

�L�(Q�Q1P�����RT}(�����T�k��±Å§h±9¹�RTS¬��S�}]RT���LP��k��RT¢fUVPDÊ9��RT~��kP�~��>���fP�U�U�P�~´�f}fS��:�TU�RhS���P>~�Â0iP�~���RhU��T��~

U�PD�fUV��~��:PL��SV�F��UV��Q1P�}<��Ï����T�¨}fP��k����P,Ê���RT~��kP>~������]P�U�UVP>~�¢fS����(U�RTSV��P�~�Â0i

P>~c��U�R�°%RhU�P��f�}fP��k����P��kP�U9� �����]P�U�UVPIÏ��

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�k���(�f�µ���T�f��P��]RhS���Pi, j �kÝ»Ut~�P�QG¢fUVP�}]Rh���f��P�UX�fP��f��P�}]�k��P��L�TQ�Q�P�°%RhU�P��f�£���TQ�QF�f}]P ui(0i) = 0 �Æ� �}.�kP´ f�kP��aU�P�~��kP��f�1�L�(}]~���Rh}<��P�~ αi, βi

�TS�UfP�~��N}f�>�LP�~�~�RhS���P��kP´ f�kP��a�f}.�kP��k�kSV­�Q1P�:�TS�}(�´��P�QDRh��¡<�]Rh¢fU�P��kP�~�P�}]~µRh¢�~��(UV�z~��f�´���]R(¡(�]P Xi

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~�R%��S�~�¹�RhS�~�RT}(��P>ÏL� � S�}f�T}X��U�R °IRTUVP��f�1i

P�~��7U�R¯°%RhU�P��f�,¼L�h�9��¼ºÁL�h��¼L�h�]�»¿��°(�_¡<�f��P,�fRh}�~.U�R� P>����S��T} � � � � | P*Q1³�Q�PH¡<�X� Rh�f�]RT��RI°%RT}(�>�hU�PH~�P�}]~�Rh¢]~��TU��.�kPH��P�~�°%RhU�P��f��~aS�Q��fUVS�¡<�fPH¡<�fPui(1i) = uj(1j)

�:�T�]�����T�k��PF�]RTSV��P i, j ��²ÄRh�*�L�(}<°(P�}<��S��T}t�f}f�T��~£�:�(~��T}]~ ui(1i) := 1 �i = 1, . . . , n �¤�P���SÄ�L��Rh}<�����>RhU�S�~��T�KU�P�~�¹º�(}]����SV�(}]~ ui

~��(}(�F�f�L��P���Q�S�}f��P>~��kP�¹�RT®��T}�f}fS�¡<�fPT�X¥NUVU�P�~~��T}<�zÀ��%Î1Î�¿��f¼��kÌ��(½L��¿�¼xRT�×~�P�}]~G�1�¯�f}]Px��«(RhU�SV���7�kP>~F°%RTUVP��f��~FSVQDRT«TP�~FSVQ��fU�S�¡(�]P7�f}fP��«<RhU�S¬�����kP�U�R�~�R%��S�~�¹�RT�L��S��T}7�:�T�]�£UVP�~��%¦cPL�>�

ÔtRx�kP���}fS�­���P��L��Rh�:P1���T}]~�S�~c��PG§7�f�L��P���Q�S�}fP��*U�P�~*���(S��]~ wi�kPG����RT¡<�fPG�fP�~��L��SV�k��P��f�

�fRT}]~OU�R*~��(Q�Q1P����(}]�k������P F �I² �T�f�Ä��P�U�Rf�I�T}1�L�T}�~c�����fSV��U#� P�}]~�P�QG¢fUVP´�kP>~��(¢k¦cPL��~´ÊÉ ��L��SV¹�~�ÏB := {(01, . . . ,0i−1,1i,0i+1, . . . ,0n}i=1,...,n, Ê�=(Ï

PL�H�T},Rh�]�fUVS�¡<�fP�U�R�Q��L���]�_�fP �,Æ�¤ � ¥ )� ~��f� B ���(�f�£�����(�f°TP����f}fP��>���fP�U�U�PF��� SV}<��P���±°%RhU�UVP w �(¥N}.}f�h��Rh}<� bi

U9� ��U���Q�P�}<�´�kP B RIØ<Rh}<�aU�R�°IRTUVP��f�1i§�U�R�S�­�Q�P����<�(���f�T}f}f��PT�h�(}

�T¢f��S�P�}<� wi = w(bi)� i = 1, . . . , n ��¤�P�����PG¹�R(®L�(}Ç�kP��f���k�L���fP���~�S�«T}]S¬ ]P�¡<�fP�UVP1�:�TS��f~��� �f}¨�kP�~��L��SV�f��P��]�*���T����P>~��:�T}]��§xU�R7°%RhU�P��]�*Rh������S�¢f�f��P�§.�]}Ç�(¢k¦cPL���L��Rh}<��~�R%��S�~�¹�RhS�~�Rh}<�

~��f�£�LP��kP>~�����S��k��P��f��PL�£}]P��k����P.Ê��T�zSV}]R(����P��k��Rh¢fU�P>ϵRhS�U�UVP��f��~���5C�� � V�H�R�O J1�[\TO N'V�H U � WXV)U � M'Z U � F �KYM��[K O N3V�H R � ����ZI\TO N �Z

Ôa� Rh�]�fUVS���Rh��S��T} �kP¨U�RÃQ��L���]�_�fP]�,Æ�¤ � ¥ )� ��P���Q�PL�B�fP¨�f�T}f}fP����f}fP¨�������(}]~�P�L�(}]~������]����SV°(PxRh�f�×�kP��k�ס<�fP>~c��SV�(}]~G���<~���P�~�Rh�×�f��¢f�k�.�kP��LP�����P�~�P��L��S��T}X� �LP���P�}]�fRT}(���P�~�����P�S�}(��P,Rh����RT~D��� F P>~c�xU�R ~��TQ�Q�P,�:�T}]�f������PT��ÔtR ~��TQ�Q�P,�:�T}]�k������P�P�~��7�f}fP¹º�T}�����S��T},�X� RT«T����«(Rh��S��T}z~�S�Q��fUVP(��QDRTS�~�U�S�Q1SV����PT� | � Rh�f����P��]Rh�����]�T},~�RhSV��¡(�t� S�U�P��kS�~���P��kP}f�(QF¢f��P��]~�P�~�Rh�k����P>~X¹º�(}]����SV�(}]~ ��� Rh«T����«<R%��SV�(}�Ê�°T�(SV�a¤��]Rh�]S¬����P,*�kP´�LP��O�(�f°_��RT«TPIÏ�� � �T�]~�f���T�:�(~��T}]~µS��LS��f}]P�Rh�f�f���k���fP��fU��]~´«T��}f����RhU�PT�

¤��T}�~�S��k�����T}�~�U#� P��kP�Q��fU�P�~��fS�°%Rh}<��Rh ]}¨�kP�Q1�(}<����P���UVP>~*UVS�Q�S¬��R%��S��T}�~��kP�U�R�~��TQ�Q�P�:�T}]�k������P�PL�£Q��h��SV°(P��´}f�h����P�RT�f�f���_���]PT�

������� �� ß ÂN²a��P�}f�T}�~ X = X1 × X2�NPL�.~��]�f���<~��(}]~D¡<�fP�U9� �T} RhSV�

�L�T}�~c�����fSV�7U�P�~x�kP��k� ¹º�(}]����SV�(}]~x�X� �k��SVU�SV��� u1, u2��¤��(}]~�S��k�����(}]~ � �(¢k¦cPL��~

a, b, c �f�f�T}<��UVP>~´�k��S�UVSV���>~£~��T}<��Âu1(a1) = 0.4 u1(b1) = 0 u1(c1) = 1u2(a2) = 0.4 u2(b2) = 1 u2(c2) = 0,

P�}.~��f�f�:�(~�Rh}<��¡<�fP ui : Xi −→ [0, 1] � i = 1, 2 �<ÔXP�~��%¦cP���R��L�(Q�Q1P��f����¹º�L±��P�}]�LP a � b ∼ c �X¤��fP������f�T}�~ w1, w2��P�U�~H¡<�fP1�LPF���f�(S¬��~��TSV����P��f����~�P�}<���

�]Rh�´U�RD~��(Q1Q�P��:�T}]�k������PT���H}z�T¢k��SVP�}<��Âb ∼ c ⇔ w1 = w2

a � b ⇔ 0.4(w1 + w2) > w2

��¡<�fS�°IRTUVP�}<�7§ 0.8w2 > w2����P,¡<�fS�P>~c�.S�Q����<~�~�SV¢]UVP(��ÔtR¨��RhS�~��T}ÓP�}ÚP�~��

¡(�]Pz�fRT}]~1�LPzQ1�k�k­�UVP(� UVP�~��h¦cPL�.~��:����S¬ �Pz~�P��fU�P�Q�P�}(��U�RÇ~�R%��S�~�¹�RT�L��S��T}×�kP>~�T¢k¦cP���~� �����S¬¹�~N~�Rh��S�~c¹�RTS�~�Rh}<��~ ~��f� UVP��]��P�Q1S�P��Ä����SV��­���PµPL�aS�}]RT���LP��k��RT¢fUVP>~O���(�f�UVP1�kP��k�kS�­�Q�PT�KP��*°_S��LP1°TP���~�Rf� �BRh}fSV¹ºP�~���P�Q1P�}<���KUVP�~��%¦cPL��P�~���~�P�}�~�S�¢fU�PGRh�f��T¢k¦cP���~DRIØ(RT}<�1�f}Ú����SV��­���P�S�}]RT���LP��f��Rh¢]UVP(�NÆ£S�}]~�S9�N~�S£�(}ÃU#� RI°%RTS¬�.S�}<��P������T«T�~��f�HUVP>~ � �T¢k¦cP���~� :����SV¹�~ b, c, d := (11,12)

��S�U Rh�f��RhSV��PL�k�f��S�Q1�F�f}fPF}]PL����P�f����¹º����P�}]��PH�:�T�]� d �]Rh����Rh�]���(���£§ b P�� c �

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¤�PL��PL�kP�Q��fU�P£~��]«T«T­���P�¡<�fP��:�T�f���L��Rh¢fU�SV� F �hSVU]¹�Rh�k��SV}<��P������T«(P�� U�P£~��%¦cP���~��f�N�kP>~a�T¢f¦cPL��~ ��L��SV¹�~N�f����~�P�}<��Rh}<�a�f}fP����TQG¢fSV}�RhS�~��(}�RT��¢]S¬����RTSV��P£�kP1iP��

0i�<R��f��S��T��Sk���T�k��P�~aU�P�~��L�(QG±

¢fS�}]RhS�~��T}]~´�:�(~�~�S�¢fU�P�~�Ê�}f�T�]~�¡(��RhU�S¬ ]P����(}]~µ�f}���P�UX�T¢f¦cPL���kP7½��É�:�h�ÉÌ�¿IÏ���Æ�SV}�~�S�U9� P�}]~�P�QG¢fU�PB �kP>~Ä�T¢f¦cPL��~Ä �����S¬¹�~�§*���T}]~�S��k����P��ÄP>~c�>�T}f�(}1��RT~Ä�LP�UV�]S��k�� ]}fS]��Rh�£Ê�=<Ï��(Q�RTS�~aU9� P�}]~�P�QG¢fU�P�kP>~´�T¢k¦cP���~�¢fS�}]RTSV��P�~*Â

B := {(1A,0Ac) | A ⊂ N} Ê �hÏP�}!���<~�RT}(� N := {1, . . . , n} ��P��x�1�!U9� �T¢k¦cP��7 ��L��SV¹ z = (1A,0Ac) P�~����k�� ]}fS*�]Rh�zi = 1i

~�S i ∈ A P�� zi = 0i~�S�}f�T}X�:Æ£�f�]UVS�¡<�]Rh}<���,Æ�¤ � ¥ )� ~��f�*�LP���P�}]~�P�QG¢fU�PT�]�(}

�L�(}]~������fS¬�´�f}fP*�����]P�U�UVP���� SV}<��P���°%RTUVU�P µ : P(N) −→ R�<¥N}x��P�QDRh��¡<�]Rh}<��¡<�fP A = ∅, N�L�(}]�k�fSV�NRh�f�F�T¢k¦cP���~ (01,02, . . . ,0n) PL� (11,12, . . . ,1n) �hS�U]~�P�QF¢fU�P�}]Rh���f��P�Uf�kP��:�(~�P��

µ(∅) = 0 PL� µ(N) = 1 �� �]RT}]� A ⊂ B �:}f�T�]~���P�QDRh��¡(�]�T}]~£¡<�fPFU9� �T¢k¦cP��� ��L��SV¹ (1B ,0Bc)Ù �%Î1�É�:¿1U#� �(¢k¦cPL�

(1A,0Ac) �t��P.¡<�fSN~�SV«(}fS¬ �P.¡(�]PDUVPD�f��P�Q�S�P���P>~c�FRT�Q��(SV}]~FRh�]~�~�SÄ¢:�T}¯¡<�fPDU�P.~�P>�L�(}]�~��f�µ����RT¡<�fP��kP>~�����S��k��P��f�>�(Ý»UK~�P�QF¢]UVPH��RTS�~��T}f}�Rh¢fU�P£��� SVQ��:�(~�P��´RhU��T��~N¡<�fP µ(A) ≤ µ(B) ��f}fP��]���(�f��S��L���*RT�f�:P�U���P�Q��T}f�T���(}fSVP��(�xQ�S�P��k���¼L�h�Å�h�]��¿��ÔtR*°%RhU�P��]� µ(A) P�~��aU�R�°%RhU�P��]�NR%������SV¢f�]��P��]RT�ÄUVP£Q��k�k­�UVP£§�U#� �(¢k¦cPL�Ä :����SV¹ (1A,0Ac) �²a�fS�~�¡(�]P ui(1i) = 1 � ui(0i) = 0 � ∀i ∈ N �f�T}�RzÂ

F (1A, 0Ac) = µ(A), ∀A ⊂ N. Ê �<ÏÆ£�f����P�Q�P�}<�F�kSV��� µ �k����P���Q�SV}]P F ~��f��UVP>~�~��TQ�Q�PL��~��fPDU9� �_Ø<�:P����L�]¢�P [0, 1]n �XÝ»UN��P>~c��P§¨�k�L��P���Q�SV}fP�� F ~��f� [0, 1]n P�}<��S�P��>�Ä�T� ~��]�

Rn+�T�

Rn ~��fS�°%Rh}<�DUVPz�cØ_�:P,��� �>���fP�U�U�Pʺ�]}fSV�:�TU�RhS���PT�k¢fS����(U�RTSV��PT�k¢:�T��}f��PT�kPL���h� Ï��:¤�P>�LSXP>~c��U#� �(¢k¦cPL���fP*U�RD~�P�����SV�(}���

¥a}�����~��fQ��T�kU�P*Q��k�k­�UVP���� ��°%RTUV�]Rh��S��T}zP�~����L�(}]~c�����]S¬�£�kP�U�R1¹�RT®L�(}z~��fS�°%Rh}<��P(�Ê �<Ï�� #%'�'�� ) � �kP>~Ä�kP�~��L��SV�f��P��]��~ X1, . . . , Xn

�hP��N~�Sf}]���LP>~�~�RhS���Pµ�kP>~Ä~��(�]~�±#P�}]~�P�Q1±¢fUVP>~µ ]}fS�~£�kP��LP>~£�kP>~�����S��k��P��f��~ X1, . . . , Xn

���� ,0#�� � � �7) ��� #%'�"���$&) ' ������) � Ê � � Ï7Ô�R���P�U�Rh��S��T} % ~��f� X = X1 × · · · × Xn

P>~c���]}�]�����T���k��P1U�Rh��«TP1���T��RhU¹�RTSV¢fU�P�Q�P�}(�N~�����Rh��Rh¢fU�P*Ê9�LP�����P��<Ø_�:�h���f­�~�P´P�~��aSV}_°T����SV �RT¢fUVP���Rh� % }fP���P��k�N³�����P���T}f}_��~��f� X P�}<��SVP���ÏL� �Ä�TS�� � �h��P �G���(�f���f}fP�RT�k����P��<Ø_�:�h���f­�~�PT�

Ê � � Ï � �]�´����RT¡<�fPH�fP�~��L��SV�k��P��f�>�<SVUKP�~��´���<~�~�SV¢]UVP���� S��kP�}<��SV ]P����kP��k�D°IRTUVP��f��~N�]RT��±��S����fUVS�­���P�~0iPL�

1i�]���<~�~����fRT}<�µ�f}�~�P�}]~�RT¢]~��TU��X�

ʺSÉÏ�� #1' � ��./��(*����#%'8"�) ��� #%'�(*����#%' � " � �7��������� ui �(}���T}]~�S��k­���PG�:�T�]� i ∈ NU9� P�}]~�P�QG¢fU�P Ai

�k�T}]}f�B�]RT�ÇÊ �TÏ���ÔN� RT�f�fU�S���R%��S��T}��fPBU�R¯Q��L���]�_�fP �,Æ�¤ � ¥ )�¹º�T�f��}fSV�O�f}]P�¹º�(}]����SV�(} ui

§��f}]PN����RT}]~c¹º�(��QDRh��S��T}FRhÕ�}]P��:�(~�S¬��SV°(P��]��­>~����H}G�f�L��P���±Q1S�}fP�U�P�~´¹º�(}]����SV�(}]~ ui

�kP�¹�R(®L�(}x�f}]S�¡<�fP�P�}�S�Q����<~�RT}(� ui(0i) = 0 � ui(1i) = 1 �∀i ∈ N �¤�PL����P��L�(}]~c����������S��T}z~��]�f���<~�P�¡<�fPDÂÊ��

iÏzÔXP�~x��P�U�R%��S��T}�~ %i

~��f� Ai~��T}<�x�kP>~7�f�����(���f��P>~.U�Rh��«TP�~D���h��Rh�k� Ê � �h��R�Â

S�Q��fUVS��LSV��P�Q�P�}<�£°T����SV ]��~�S�U#� �<Ø_�:�h���f­�~�P*¹º�T}]�fRTQ�P�}<��RTUVPDÊ � � ϵP�~��£~�Rh��S�~c¹�RTS¬��P>ÏÊ �iÏ7UVP>~D�L�(}]�kSV��S��T}]~��kPzQ�P�~��f��RT«TPz�kP��kS¬©K����P�}��LP�~��(}(�D~�R%��S�~�¹�RhSV��P�~�Ê���¡<�]R%��SV�(}Ê <Ï�ÏL�

ʺS�SÉÏ�� #%' ��� ./��( �7��#%' "�) ���+,0#%'�"�� ./������#1' µ �T}G���T}]~�S��k­���P�U#� P�}]~�P�QG¢fUVP���� �T¢f¦cPL��~ �����S¬¹�~ B �k�� ]}fSk�]RT�£Ê �TÏ�� �H}�Rh�f�fU�S�¡(�]PµU�R*Q��L���]�_�fP��,Æ�¤ � ¥ )� ���(�f�a�k����P���Q�S¬±}fP���U�R£¹º�T}]�L��S��T} µ : P(N) −→ R

�I�k�� ]}fS�Pµ§��]}fPa����RT}]~c¹º�(��QDRh��S��T}�R%ÕD}fP����<~�SV��S�°TP�f��­>~�� �H}¨���f�TS�~�SV��U9� �f}fS�¡<�fPF¹º�(}]����SV�(}B��P�U�UVPD¡<�fP µ(∅) = 0 PL� µ(N) = 1 � | P1U�R~��(����PT�]U�RD¹º�(}]����SV�(}B��� Rh«(����«(R%��SV�(} F P>~c���k�� ]}fS�PGRh�f��~��TQ�Q�PL��~��kPGU9� �_Ø_��P������f¢�P[0, 1]n Ê�°T�TS���U#� �>¡(��R%��S��T}¨Ê �<Ï�ÏL�¤�PL����P��L�(}]~c����������S��T}z~��]�f���<~�P�¡<�fPDÂ

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ÔtR����T}]~������]����SV�(}Ç¡<�fP�}f�(�]~�RI°T�T}�~��f����~�P�}<����P1��P>~c��PG���f���(��S�¡<�fPT���k�¨Q��TS�}]~*P�}¨�LPD¡<�fS�L�(}]�LP���}]PGU#� �>���fP�U�U�P µ �X¥NUVU�P�P�~����f�T}f}f��PDR% ]}�kP��f���>�LS�~�P��*���T�f��P�~�}]�(~*�_Ø<�:�h���f­�~�P�~��kP����RI°%RhS�U9�TPL�µ�X� RTQ1P�}fP��NUV�(«TS�¡(�]P�Q�P�}<��§�}]�h����P£Q��k�k­�U�PT� � �(�]~a°(P������(}]~Ä�fRh}�~aU�R�~�P>����SV�(}�=�kP>~´Q1�����f�k�kP>~��f��R%��S�¡<�fP>~���� S��kP�}(��S¬ :��R%��SV�(}z�fP µ �

� � uFq�(XrtsOwzyNr�{Lu�q v�&0/ 6��%uFqxyNr�{Lu�q v $36���s�2��76�r�{�u�qÝ»}<������P>~�~��T}]~�±Å}f�T�]~�§.U�R7�L�(}]~������]����SV�(}B�kPFU�R7¹º�T}]�L��S��T} F � � �(�]~*RI°T�T}�~£Q��T}<�����G��S¬±�kP>~�~��]~�¡<�fP��PL����P¹º�T}]�L��S��T}·P�~������T}f}_�fP¨~��]�zU�P�~�~��TQ�Q�PL��~z�fPU#� �<Ø_�:P����L�f¢:P [0, 1]n�]RT�BÊ �<Ï��N��Rh�7��� �#}]�LS��fRh}<�.RI°TP>�zU�R¹º�(}]����SV�(} µ : P(N) −→ [0, 1] �0>£Rh�]��P�UV�(}]~D¡<�fP

N = {1, . . . , n} P>~c�aU#� P�}]~�P�QG¢fUVP£�fP�~ÄS�}]�kP��1�kP>~a�kP�~��L��S��k��P��f��~��hÆ£S�}]~�S9� F �:P��f�N³L����P´°_�fP�L�(Q�Q1P��f}]P�PL�_��P�}]~�S��T}��kP µ ~��f��U9� �_Ø<�:P����L�]¢�P�P�}<��SVP���ʺ°T�(SV��P

Rn Ï��� �(�]~NRI°(�T}]~O ]�_�HUVP>~a°%RhU�P��]��~a�fP µ(∅) PL� µ(N) �<PL�µ}f�T��~NRI°T�(}]~ S�Q1�:�(~��H¡<�fP µ ~��(S¬�Q��T}f�T���(}fPDʺS�~��T���T}]P>Ï*ʺ�_Ø_���T���f­>~�PDÊ��Ï�ÏL�� �� '��6����#1'�� � �K¿´ÁL�%�KÀL�#���%� µ : P(N) −→ [0, 1] �»¿L�É��¿�aL�]¿ µ(∅) = 0 µ(N) = 1 ¿�� A ⊂ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B) ¿L¼��´��Ë(Ëf¿��V��¿�Q�P�~��f��PHÒ��T�fP����������h�B��RT�]RT��S¬����������;ÔtRB}f�h��SV�(}Ã�kPzQ�P�~��f��P7Ò]�(�fP7����P�}]�Ã��P�U�UVP��kPzQ�P�~��f��PzRT�f�fS¬��SV°(Pz�kPzU�R����]���T��S�Pz�kPzU�RQ�P�~��f��P7� Q� �OÊ9§�}fP£��RT~a���T}k¹º�(}]�k��P�RI°TP>��U�R����f���(��S�P£�k�.Q�P�~��f��Rh«(P�� ÏL�hPL�µR��k�T}]}f��UVS�P��x§�f}fPH���]���T��S�P��kP*U�RFQ1P>~��]��PH}f�T}k±»RT�]�kS¬��SV°(P7� ��Å� >�Rh�f�:P�U��T}]~µ¡<�X� �T}7�kSV��¡(�]P µ P>~c��� ÙTÙ �É�9� Á~�S µ(A∪B) = µ(A)+µ(B) � A∩B = ∅ � | � Rh�f����P��]Rh�����%�(}��fS¬�N¡<�fP µ P�~���¼ �%ÎD���9Ì�� a��]¿~�S����(�f�����(�k� A ⊂ N � µ(A) }fP��f���:P�}]��¡<�fP��kP |A| ���C3D � KYR U[ZIR]F \��Z M3M'Z R \^K J U[N3H[KYM'ZIR&��H[N V�M'KYN'JLZIR

¤��T}�~�S��k�����T}�~HU�PD��R(~���� �]}fPD�����fP�UVU�PD�f}fS��:�TU�RhS���P�¢:�T��}f��P(�X~��(S¬���cØ_�fS�¡(�]P�Q�P�}<� [0, 1] �� �T����P�¢f�k�DP�~��.�k�T}]���kP����T}]~������fS���P F ~��f� [0, 1]n �ÄÝ»U�Ø×RÇ¢fS�P�} P�}<��P�}]�k�Ó�f}fP�S�}k f±}fSV�����kP1¹�RT®��T}]~*��� �L��P�}]�k��P F §.�]RT����SV���kP µ ���LP��:P�}��fRh}<��}f�T�]~*���fP������f�(}]~H�f}fPG¹�RT®L�(}~�SVQ��fU�PÇ�kPU�P,¹�RhS���PT� �£}�Q��%ØTP�}�~�S�Q��fU�PÇP>~c���kPB��P����T�f��SV�x§ U#� S�}<��P����:�TU�R%��S��T} ´�:�T�f�x ∈ [0, 1]n � F (x) ~�P���RhSV���k�L��P���Q1S�}f���]RT�£�f}fP�¹º�T��QF�fU�P�¹�RhS�~�RT}<�£SV}<��P���°(P�}fS���U�P�~�°%RhU�P��]��~F (1A, 0Ac) �k���(�f� A �fRT}]~µ�f}zP�}]~�P�QG¢fUVP��kP�~��(Q�Q1P���~ A(x) �]�fP���P�U�UVP�~��T����PH¡<�fP*U#� P�}k±°TP�UV�(�f�:PF�L�(}<°(PL�kP A(x) �kP�~*~��(Q�Q1P���~H�kP A(x) �L�(}(��SVP�}f}fP�U�PF�:�TS�}<� x P�}B¡<�fP>~c��SV�(}¯Â�h� P�~��GU�§,U�Px~�P�}�~�Q�³�Q�P��kP7U�R�}f�T��S��T}×��� S�}(��P������(U�Rh��S��T}X� | � Rh�f����P7�]RT���>�ORh ]}×��� ��°_SV��P�����(�k��P.RTQF¢fS�«T� �����T�X�f}¨�:�TS�}<� x �k�(}f}f�.�k�(S¬�FRT�f�]Rh����P�}fS���§��f}fP.P����f}fP7~�P��fU�PD����«TS��T}t�²ÄRh�N���T}]~���¡<�fP�}<���hU#� �_Ø_�:P����L�f¢:P [0, 1]n P�~��N�]RT����S¬��SV�(}f}f��P�}��:�TU�ØT­>�k��P>~a�k�� ]}fS�~Ä�]Rh�NUVP��f��~P�}�~�P�QF¢fU�P�~a�fP�~��(Q�Q1P���~ A1, . . . ,Aq

�T¡<�fS�~��T}<�Ä���(�]~a�kP>~N~��TQ�Q�PL��~a�kP [0, 1]n �_¤�P�~a�:�h±U�ØT­��f��P>~��L�T}<��SVP�}f}fP�}<��U�P�~£���(SV}<��~H�k�T}<�£U#� S�}<��P����:�TU�R%��SV�(}zP>~c�£�(¢k��P�}_�fP�§D�]RT����SV�£�kPFUVP��f��~~��TQ�Q�PL��~��

Ôa� S�}(��P������(U�Rh��S��T}xU�R1�fU��]~£~�SVQ��fU�P�~�P���RhSV�µ�f}]P�SV}<��P����:�TU�R%��SV�(}z�fPH�cØ_�:P�UVS�}f�>RhS���P�Â

F (x) =∑

A∈A(x)

[

n∑

i=1

αi(A)xi

]

F (1A, 0Ac),

ß =

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�1� αi(A) ∈ R� i = 1, . . . , n � ∀A ∈ A(x) �XRI°(P����kP>~��:�TU�ØT­>�k��P�~����T}<��P�}]Rh}<�*UVPGQ1�(SV}�~�kP�~��TQ�Q�PL��~´���<~�~�SV¢]UVP(�

¥Ä�fRhQ�S�}f�T}�~�P�}Ú�k�L��RhS�U£U�P,��RT~ n = 2 Ê OS�«T�f��P ß ÏL�a² �T�f�DS�}<��P����:�TU�P�� F P�} x �aS�U

(a) (b)

(0,0)

(1,1)(0,1)

(1,0)(0,0)

(1,1)(0,1)

(1,0) x1

x 2 ..

x1

x 2

������� ß � Ý»}<��P����:�TU�R%��SV�(}xU�S�}f��RTSV��PGÂT�G�f���L�(�f�]RT«TP�~µ�:�(~�~�S�¢fU�P�~P�~��D}f����P�~�~�RTSV��Px~�Rh�f¹*��R(~1�]Rh����S��L�fU�S�P������(�f� x ��� RI°T�TS���Rh�×Q��(SV}]~ � ~��TQ�Q�PL��~��a~�SV}f�(}U�P��f��P�}<°(P�U��T�f�:P��L�T}_°(PL�kP�}fP��:�T�f����RG���T}<��P�}fSV� x �fÝ»U�Ø7R1~�P��fUVP�Q�P�}<�£�kP��k�z�k�����T�f�]RT«TP>~�:�(~�~�S�¢fU�P�~�Ê�R<ÏGPL�Bʺ¢:ÏKÞaPL�fRTQ1S�}f�(}]~�UVP��f��P�Q�S�P��>�a¡<�fS��kS�°_S�~�P [0, 1]2 P�} �kP��f�Ã����«TS��T}�~{(x1, x2) | x1 ≤ x2}

P�� {(x1, x2)|x2 ≤ x1}� � �f�f�:�(~��T}]~H¡(�]P x1 ≤ x2

�KÔtR�¹º�(��QG�fU�P�kP�°<S�P�}<�>�fP�}z��P�QDRh��¡(��Rh}<�´¡<�fP F (0, 0) = 0 PL� F (1, 1) = 1 Â

F (x1, x2) = (α1x1 + α2x2)F (0, 1) + (β1x1 + β2x2).

¥a}��f��P�}]RT}<� (x1, x2) = (0, 1) PL� (1, 1) �k�T}z�T¢f��S�P�}<�£UVP>~´��¡<�]Rh��S��T}]~�~��fS�°IRT}<��P�~�Âα2 = 1, β2 = 0

α1 + α2 = 0, β1 + β2 = 1,

��� �1�zU9� �T}��(¢k��S�P�}<�£�L�(Q1Q�P��f}]S�¡<�fP�~��TU��k��S��T}�U#� P��_�]��P>~�~�SV�(}BÂF (x1, x2) = (x2 − x1)µ({2}) + x1.

Ê (Ï¥a}��f���k�L���]Rh}<�£�kP�Q�³�Q�P�RI°TP��HU�P���RT~ x2 ≤ x1

�]�T}z�T¢k��SVP�}(��ÂF (x1, x2) = (x1 − x2)µ({1}) + x2.

Ê ß �<Ï¥Ä�fRhQ�S�}f�T}�~XQDRhS�}<��P�}�Rh}<�O~�S(U#� Rh�k����Pµ�k�����T�f�]RT«TPaQ�­�}fP�§��f}fP�~��TU��k��SV�(}X�%¤��]�TS�~�S�~�~��T}�~

x ∈ {x1 + x2 ≥ 1} �kU#� �>¡(��R%��S��T}���� SV}<��P������(U�Rh��S��T}��kP�°_S�P�}<��ÂF (x1, x2) = (α1x1 +α2x2)F (0, 1)+(β1x1 +β2x2)F (1, 0)+(γ1x1 +γ2x2)F (1, 1).

¥a} ���<~�RT}<� x = (1, 0) PL� x = (0, 1) �´�T} R×}]���LP>~�~�RhS���P�Q�P�}<� γ1 = γ2 = 0 ���LP¡<�fSNS�Q��fU�S�¡<�fP7¡<�fPDU�P.�:�TS�}<�xÊ ß � ß Ï*}fP.�:�T�f����RG¦�RTQ�RTS�~�³L����P.��PL�����(�f°T���]RT��U�Rz¹º�(��QG�fU�P��� SV}<��P������(U�Rh��S��T}X� �H}��L�TQ��f��P�}��Ó¡<�fPÇ���(�f�x¡<�fPBUVPB�f���L�(�f�]RT«TP�¹º�T}�����S��T}]}fPT��SVUH¹�Rh�k�¡<�fP�U�P�~�~��(�]~�±#P�}]~�P�QF¢fU�P�~��L�(����P�~����(}]�fRT}(��~ÄRh�k�D~��TQ�Q�PL��~µ���f�(S�~�S�~N���(�f�NU#� SV}<��P����:�TU�R%��SV�(}¹º�T��Q�P�}<���f}fP����]R%È�}]P A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An

�]�L�(Q1Q�P��T� P>~c��U�P���RT~´�:�T�]��UVP��k�>�L�(�f�]Rh«(PÊ�R<Ï��

¥a}¯«(��}f����RTUVS�~�RT}<����P.��RhS�~��(}f}fP�Q�P�}(���:�T�f� n ¡<�fP�U����T}]¡<�fP(�t�(}�:P��f�GQ��T}<����P���¡<�fPU#� �f}]S�¡<�fP*~��(UV�k��SV�(}DRI°TP����fP�~a�:�TU�ØT­>�k��P�~a���T}<��P�}]Rh}<�NU�P£Q��TS�}]~N�fPH~��TQ�Q�PL��~a���<~�~�SV¢]UVP£P>~c��k�(}f}f��P��]RT��Â

ß �

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� q = n! Þ� ���]RT¡<�fP*���(UVØ(­��k��P�P�~��£�k�L ]}]SX�]Rh���]}fP���P���QG�k��Rh��S��T} σ ~��f� N Â

Aσ = {x ∈ [0, 1]n | xσ(1) ≤ xσ(2) ≤ · · · ≤ xσ(n)};

� ���]RT¡<�fP Aσ�L�T}<��SVP�}(� n ~��(Q�Q1P���~��k�fU��]~´UVP�~��TQ�Q�PL���(��S�«TS�}fP (0, 0, . . . , 0) Þ

� ���(�f� x ∈ Aσ�kU�R1¹º�(��QG�fU�P��X� S�}<��P����:�TU�R%��S��T}xP�~��

F (x) =n

i=1

[xσ(i) − xσ(i−1)]µ({σ(i), . . . , σ(n)}). Ê ß(ß Ï

�H}���P��k�a�����(�f°TP��a�LP�����~��fU¬��R%�a��«(RhU�P�Q�P�}(�a���fP �£ÔX�%°��T~���ʺP��<��P�}]~�S��T}D�kP´¹º�T}�����S��T}�~a��� P�}k±~�P�QF¢]UVPF~��T��~c±ÅQ��_�f�fU�RTSV��P�~7� ��� �ÉÏL�:ÔN� �>¡<�]R%��SV�(} Ê ßTß Ï´P�~���P�}�¹�RhSV�G� � �É���Å� �TÌ��%��¿ Ù ¿��tÍf� a��]¿L��kP x Ê9�L�T}�~�S��k�������L�TQ�Q�P��f}fP�¹º�(}]����SV�(}z�fP N �fRT}]~ [0, 1] ÏL�� �� '��6����#1' � � �h�É� µ �k�:¿ÃÀ���Ë]�TÀ��É�Å� ¼��kÌ N ¿��7�k�K¿.ÁL�h�:À��9���h� f : N −→ R+ ;� � S�}<����«T��RhU�P��fPG¤��f�k¡(�]PL� Ù ¿ f Ë]�%Ì�Ì���ËTË]�%Ì�� � µ ¿L¼�� Ù � � ����¿´Ë]�%Ì��

Cµ(f) :=

n∑

i=1

[f(σ(i)) − f(σ(i − 1))]µ({σ(i), . . . , σ(n)}),

�%�%¿�À σ �k�:¿µË]¿�Ì�ÎG�k�»�%�#���%��¼��kÌ N �»¿L�É��¿ a��]¿ f(σ(1)) ≤ · · · ≤ f(σ(n)) ;� �(�]~ÄRI°T�(}]~ �k�T}��´Q1�(}<�����´¡<�fP�U#� SV}<����«T��RhU�Pµ�fPH¤��f�k¡(�]PL�N�L�(����P�~��:�T}]�G§HU#� SV}<��P����:�TU�R%��SV�(}U�SV}f�>RhS���P´U�R*�fUV��~a~�S�Q��fU�P����(�f�Ä���>~��(�]�k��P�}]�h����P´�f���T¢fU�­�Q�P��fRh}�~ UVP£��RT~Ä�kP>~ �����fP�UVU�P�~ �f}]S¬±�:�TU�RhS���P>~Ä¢��(��}]��P�~��TÝ»U�}X� Ø�RF�LP��:P�}��fRh}<��RT�]�L�f}DS�}]���T}_°T��}fSVP�}<�N���(�f��¡<�fP x Rh�]�]Rh����S�P�}f}]P§

Rn+�]�LP�¡<�fSX�:P���Q�PL���kP�����RTS¬��P��´U�P���RT~��fP*U#� �f}fS����(U�RTSV��P�}f�T}�¢:�T��}f����«(RTUVP�Q�P�}<���

Ý»U P�~��H¹�R(�LS�UVP1�kP1°T����SV ]P���¡<�fP1~�S µ P�~��*R(�f�kSV��SV¹c��U9� S�}(����«(��RTUVP1�kPD¤��]�_¡<�fP���~�PF�����f�fS¬�§zU�R�~��TQ�Q�P����(}]�k������P ∑n

i=1 µ({i})xi� | � Rh�k����P��]RT���>�X�T}¨R��:�T�f�����T�k� x ∈ Rn

+PL�

���(�k��PÇ��Rh��RT�LSV��� µ � mini xi ≤ Cµ(x) ≤ maxi xi��UVP>~.¢:�T��}fP�~.�L��RT}<�7R%����P�S�}<��P�~7�]Rh�

U�P�~���RT�]RT��S¬����~ µmin, µmax�X�k�L ]}]SVP>~��]Rh� µmin(A) := 0 � ∀A 6= n ��PL� µmax(A) := 1 �

∀A 6= ∅ �Ôa� S�}(����«(��RTUVPF�fP�¤��f�k¡<�fPL��P�~���§.U�R.¢]R(~�P1�kPG}]�TQF¢]��P��k�x����RI°%RT�k�zP�},���f���(��S�PG�kP1U�R�k�>�LS�~�S��T}X�(¥a}x�f���LS�~�SV�(}.�fRh}]~NU9� S�}]�LP�����RhS�}D�T�.U�P£��S�~�¡<�fPT�(P�U�UVP*R��k�T}]}f��U�SVP��.Rh�k�DQ��k�k­�U�P�~�kP�U#� �f��S�UVSV���ÇP�~���������P�RT�Ú~�P�}]~.�kP¤��]�_¡<�fP��Bʺ°(�TS��.UVP>~�����RI°%Rh�k�Ó�kP � ���fQ�P�S��kU�P�� � ��� �#�� Rhª_ªTP��[� �� �ºÏ��k�kP*U9� �k��SVU�S¬�����k���:P�}]�]Rh}<��P*�k�7��Rh}f«zÊ � �fS�«T«(SV} ���� �ÉÏL�_PL���T��ʺ°T�(SV���f}fP�~�Ø_}k±���]­�~�P��kP��LP>~´Q1�k�k­�UVP>~£�fRT}]~�� =��ÉÏL�f¥a},�k�>�LS�~�S��T}zQF�]U¬��S�����SV��­���P(�fU9� S�}(����«(��RTUVP��kPG¤��f�k¡<�fPL�P�~����f��S�UVS�~���PH���TQ�Q�P£�f}fP�¹º�T}]�L��S��T}.«(��}f����RTUVP£��� Rh«(����«(Rh��S��T}D�kP�~�~����T��P�~��h�:P���Q1P�����Rh}<�µ�kP��P��f����~�P�}<��P��´U9� SV}<��P���RT����SV�(}7P�}(����P�����SV��­���P>~�� ���_� ß �Q�� ��Ê�°T�(SV� � P>����SV�(} �TÏ��

ÔXPH�f��P�Q�SVP�������~��fUV��Rh�´�kP���RT��R(��������S�~�R%��SV�(}��fPHU#� S�}<����«T��RhU�P��kP�¤��f�k¡(�]PL��RF�������k�T}f}]��]RT� � ���]Q1P�S��fUVP�� � �*= �<Þ´SVU�R �����¨~��]SV°_S��]Rh�z¢fS�P�} ��� RT�k����P�~��µP�}!��Rh����S��L�fU�SVP��z��P��k���kP�,RT��S����]RhU#� � �T�]~H��P�}_°T�%ØT�(}]~´U�P�UVP>����P��f��Rh�k��Rh����S��LU�P�~H�kPG~�Ø_}<���f­>~�P>~7� ß �k�>� � � �� ��O�:�T�f�U#� P>~�~�P�}<��S�P�UX�fP�~��f���T�]��S��L����~´�kP�U9� S�}(����«(��RTUVP��kPF¤��f�k¡<�fPL�>���C B � KYR U[ZIR]F \��Z M3M'Z R \^K J U[N3H[KYM'ZIR � N V�M3KYN'J ZIR

¤��T}�~�S��k�����T}�~FQDRhS�}<��P�}]Rh}<�DUVP,��RT~D�kP>~������fP�UVU�P�~�¢]SV�:�TU�RhS���P>~XÞ S�U�~�P���R~��kÕ.~�RT}(�.�kP�L�(}]~�S��k����P��£U#� S�}<��P���°%RhU�UVP [−1, 1] �1>�Rh�f�:P�U��T}]~H¡<�X� �]}fPG�>���fP�U�U�P�¢fS����(U�RTSV��PG���T}<��S�P�}<�£�����(S�~�:�TS�}(��~���P�QDRT��¡<�]RT¢fUVP>~�Â:U�R7°IRTUVP��f��}]P��k����P

0�:PL�*UVP>~�°%RhU�P��]��~

1P�� −1

Ê�S���S �]� ß PL� −1��P�~���P>����S�°TP�Q�P�}<��ÏL�fPL�£S�Ut~�P�QF¢]UVP��k�(}]��}f�>�LP�~�~�RhS���P�¡<�fP��LP>~�°%RhU�P��f��~�Rh�f��Rh��RhS�~�~�P�}<���fRh}]~U#� P�}]~�P�QF¢fU�P��kP�~£�T¢k¦cP���~µ ��L��SV¹�~£§��L�T}�~�S��k����P��´�:�T�f�£���T}]~������fS���P�U�P�Q1�k�k­�UVP.Ê�°T�(SV��Ê �TÏ�ÏL�

ß �

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ÔtR¨~��TU��k��S��T} U�R�fUV��~.~�S�Q��fU�P,P�~��7�kP,~��f�f�:�(~�P��D�f}fP,~�Ø_Q��L����S�P�P�}<����P�UVP>~D�]Rh����S�P�~}f��«(R%��SV°(P�PL���:�(~�S¬��SV°(PT��RT�]¡<�fP�U ��R(~�U#� P�}]~�P�QG¢fUVP B �kP>~��(¢k¦cPL��~�¢]SV}]RTSV��P�~H�k�L �}fS �]Rh�1Ê �hÏ~��kÕ����:² RT�HP��kP�Q��fU�PT�]�(},�:�T�f����RTS¬�*�kSV��PG¡<�fPFU9� ��°%RhU��]Rh��S��T}B�kPGU9� �T¢f¦cPL� (−1A,0Ac) P>~c���«<RhU�P,§¯U#� �(�f���<~��,�fPB�LP�UVU�PB�kP,U#� �T¢k¦cP�� (1A,0Ac) ʺQ��k�k­�UVPB�fS¬�Ǽ �%ÎD���9Ì�� a��]¿IÏD�T�Ú�kPU#� �(¢k¦cPL� (1Ac ,0A) Ê�Q1�k�k­�UVP��fS¬�1�%¼��%Î����9Ì�� a��]¿IÏ���²O�(�f�£�f}��(¢k¦cPL�����TQ����(����Rh}<�£§�U�R1¹º�(S�~�kP>~H~��L�(��P>~����<~�SV��SV¹�~HPL��}f��«<R%��SV¹�~��]U�PF�fU��]~*~�S�Q��fUVPGP�~��*�kP���RTU����fU�P��H�fP�~�~��L�(��P>~£«(UV�(¢]Rh�k��:�T�f�µU�R��]Rh����S�P£�:�(~�S¬��SV°(P�PL�µU�R��]Rh����S�P�}f��«(Rh��S�°TP�~����]RT����Q�P�}<���h�]�fS�~µ�kPHUVP>~�R(�f�kSV��S��T}f}fP����| Rh}]~´U�P���R(~ n = 2 �]�LP�����P��f���k�����k�f��P*P�~��£SVU�UV��~c������P�~��f��U�R �S�«T�]��P7�zÊ�R<Ï��

10−1

1

−1

x

x

1

2

(α)

10−1

1

−1

x

x

1

2

(α)

10−1

1

−1

x

x

1

2

(1)

(α)

(1) (1)

(−1)

(0) (0) (0)

(−1) (−1)

(−β)

(−α) (γ)

(δ)

(γ)

(δ)

(δ+α)

(γ+β) (η)

(−β+α)

(a) (b) (c)

(ε)

(β) (β) (β)

(β−α)

����� � � � ¤µRT~���� �]}fP��>���fP�U�U�PN¢fS����(U�RTSV��P�Â>Q��k�k­�U�P�~ ~�Ø<Q�������S�¡<�fP�Ê9R(ÏL�h¤�² �ʺ¢�ÏL�I¢fSV�:�TU�RhS���P«T��}f����RhU�Ê9��Ï���ÔXP�~*���T}]�]~�}f�TS���~*S�}]�kS�¡<�fP�}<��U�P�~��T¢f¦cPL��~H ��L��SV¹�~��k����P���Q�SV}�Rh}<��UVP�Q��k�k­�U�PT�U�P�~a°%RTUVP��f��~aP�}<����P£�]RT��P�}(���f­�~�P�~Ä�fP�~a��°%RhU��]R%��SV�(}]~Ä«TU��T¢�RhU�P�~XÞTUVP>~a~����T��P�~a�]Rh}]~ÄU�P�~N�]Rh����S�P�~}f�(}x«(��S�~���P�~´~��T}<�£��RhU��L�]UV�>~�§G��Rh����S��£�kP�~�~��L�(��P>~µ�]Rh}]~´U�P�~���Rh����S�P�~´«T��S�~���P�~��

� SÄ�(}�]��P�}]�BU#� SV}<����«T��RhU�P1�fPx¤��f�k¡(�]PL� Cµ�:�T�f����RhU��L�fU�P���U�P�~�~��L�(��P>~H«(UV�(¢]Rh�f�B~��f�

U�RG��Rh����S�P����<~�SV��S�°TP��kP�U#� �>���fP�U�U�PT�f�LP>~£�kP��k�xQ��k�k­�U�P�~�~�� ���L��S�°TP�}<����P�~���P>����S�°TP�Q�P�}<���k�:�T�f�x ∈ Rn Â

Cµ(x) := Cµ(x+) − Cµ(x−) Ê�~�Ø<Q�������S�¡<�fPIÏ Ê ß �(ÏCµ(x) := Cµ(x+) − Cµ(x−) Ê�RT~�Ø_Q��L����S�¡(�]P>Ï Ê ß � Ï

RI°TP>� x+i := xi ∨ 0 PL� x−

i = (−xi)+ � i = 1, . . . , n � | � RT�k����P��]RT��� µ P>~c�*U�R7��Rh��RT�LSV���

�L�(}%¦c�f«(�f��P(�T�k�L �}fSVP��]Rh� µ(A) := 1−µ(Ac) � A ⊂ N �<¤�P>~aP��_�]��P>~�~�SV�(}]~Ä�k�� ]}fS�~�~�P�}<�aP�}¹�RhSV�F�LPD¡<�X� �T}¨Rh�f�:P�U�U�PDU9� SV}<����«T��RhU�P��kPx¤��f�k¡<�fPL��~�Ø<Q�������S�¡<�fP�ʺ�(�¨SV}<����«T��RhU�P1�fP��kSV�:���� *= �ºÏµPL�£U#� S�}<����«T��RhU�P*�kPG¤��]�_¡<�fP��£RT~�Ø<Q�������S�¡<�fP!� �#�� S�U#� �(}!}X� R �]R(~��kPÇ��RhS�~��T}��kP¨~��]�f���<~�P��x�]}fP¯¡(�]P�U��L�T}�¡(�]PÇ~�Ø<Q�������SVPÇP�}<����PÇU�P�~�]RT����SVP>~N�:�(~�S¬��SV°(PHP��µ}]��«(Rh��S�°TP(�<�(}.�:P��k�£R%¦c�(�k��P��µ§GU#� P�}]~�P�QF¢fU�P��kP�~µ�T¢f¦cPL��~µ¢fS�}]RTSV��P�~ B �U#� P�}]~�P�QF¢fU�P��kP�~G�T½�¾�¿L�9¼F½L�É�K�%�ÉÌ�¿L¼��:� �<�%�#� Á�¼ N Â

N := {(−1A,0Ac) | A ⊂ N}.

�H}¨�L�T}�~c�����fSV��RhS�}]~�SÄ�kP��k�Ç��Rh�]R(�LSV����~ µ+, µ− �X~��(S¬���kP��k�BQ��k�k­�U�P�~��f}]SV�:�TU�RhS���P>~����k�(}<��T}z°%RD~�S�Q��fU�P�Q�P�}<�£RT�f�fS¬��SV�(}f}fP���U�P�~�~����T��P�~µ«TU��T¢]RT�k�,ÂCµ+,µ−(x) := Cµ+(x+) − Cµ−(x−), ∀x ∈ Rn. Ê ß _Ï

¥a}Ó�k����S�~�SV�(} �fRh}�~FU�P7��S�~�¡<�fPT� �LPxQ��_�f­�U�Px�L�(����P�~��:�T}]�¨Rh�×Q1�k�k­�UVPz�kP�~G�:P���~��:P��L��S�°TP�~�L�]QF�fU���P>~£Ê#¤��fQG�fU�R%��S�°TP�²N���<~��:P��L� ´�fP��(��Ø7ÊŤ�² £Ï�ÏN�kP �°TP���~�ª<ØFPL� ��RT�f}fP�QDRT}f}�� ���#�

ß

Page 21: Evaluation subjective - CORE · Evaluation subjective Michel Grabisch To cite this version: Michel Grabisch. Evaluation subjective. D. Bouyssou and D. Dubois and M. Pirlot and H

² �T�f�*�LP�����PG��RTS�~��T}t�f�T}�U#� RT�f�:P�U�UVP���R�ÎD� Ù ���V¿������t�:² �(�f� n = 2 �]S�U�P>~c�HSVU�UV��~c�����1~��f�HU�ROSV«(�f��P �zÊ�¢�Ï��¥a}k �}X�%~�S<�T}G}fPN°(P��k� �]RT~t¹�RhS���P���� �_Ø<�:�h���f­�~�P��X� S�}]�k����P�}]�fRh}��LP´�kP�~��]Rh����S�P�~��:�(~�S¬��SV°(P

PL�*}f��«<R%��SV°(PF�kPFU#� �����fP�UVU�PT��SVUO¹�Rh�f�*�L�(}]~�S��k����P����L�(Q�Q1PG�T¢k¦cP���~£ �����S¬¹�~*~��]�f�fU���Q�P�}<��RTSV��P�~�LP��k�G¡<�fS]���TQ��:�T����P�}<�ħ*U�RH¹º�TS�~a�kP>~ }fS�°TP�RT�k�F~�R%��S�~�¹�RhS�~�RT}(��~

1PL�a}f�(}1~�R%��S�~�¹�RhS�~�RT}<��~ −1

��H}zP�~����k�T}]�����T}]�k�]S¬��§��L�(}]~�S��k����P��´U9� P�}]~�P�QG¢fU�P��fP�~F�(½º¾�¿���¼ � ÀL�#� Á�¼��Å¿�Ì��:�h�ÉÌ�¿�¼DÂ

T := {(1A,−1B ,0(A∪B)c) | A, B ⊂ N, A ∩ B = ∅}. Ê ß �(Ϥ�P���S�P>~c�µSVU�U��]~c�����H~��f�µU�R OSV«(�f��P �.Ê��>Ïa�fRT}]~�UVP���RT~ n = 2 �<¥a}7Rh�]�fUVS�¡<�]Rh}<�µU�R�Q������f�k�kP�,Æ�¤ � ¥ )� ~��f� T �k�(}z���T}]~������fSV�´�]}fP������fP�UVU�P���� S�}<��P���°%RhU�U�P v : Q(N) −→ R

�kP�}z}]�h±��RT}<� Q(N) := {(A, B) ∈ P(N)×P(N) | A∩B = ∅} �_¤��TQ�Q�P£�f�����L�>�kP�Q�Q�P�}<�>�T�T}�:�(~�P v(N, ∅) = 1 PL� v(∅, ∅) = 0 �h�f�fS�~�¡<�fP£��P£~��(}<�aUVP>~a~����T��P�~ «(UV�(¢]Rh�k�F�X� �(¢k¦cPL��~a~�Rh��S�~c±¹�RhS�~�Rh}<��~��]Rh�����(�k�´PL�´}fP��k����P>~µ�]Rh�����(�k����P�~���P>����SV°(P�Q�P�}<��� | PHQ�³�Q1P(�_�T}7�:P��f�����T}_°TP�}fS��¡<�fP v(∅, N) = −1 �O¥N}k ]}X��U�RÇ}f�h��SV�(}Ó�fP,�k�TQ�S�}]Rh}]��Pz~�� Rh�f�fU�S�¡(�]P����TQ�Q�P��fRh}]~�U�R� P>����S��T} � � �k�f��P�¡(�]SX�L�T}��k�fSV��§GS�Q����<~�P��´�f}fP��f���T�f��S��L������� S�~��h���T}fS�P��kP v �fRT}]~µUVP�~�P�}]~~��fSV°%RT}(�£Â A ⊂ B S�Q��fUVS�¡<�fP v(A, ·) ≤ v(B, ·) P�� v(·, A) ≥ v(·, B) �(² RT�aRh}]RTUV�(«TS�P�RI°TP��U�RG}]�h��S��T}��kP���Rh�]R(�LSV���T�k�(}zRT�f�:P�U�UVP7½�� ��À���Ë]�TÀ��É�Å�F�f}fP���P�U�UVP�¹º�(}]����SV�(} � � �_� � = �Å�� �� '��6����#1'�� � �K¿z¢fSV±Å��Rh�]R(�LSV���Ǽ��kÌ N ¿L¼��*�k�K¿*ÁL�%�:À��#���%� v : Q(N) −→ R

�%�L�� �� �h�]� �

� � � A ⊂ B ⇒ v(A, ·) ≤ v(B, ·) ¿L� v(·, A) ≥ v(·, B) �� �É� � v(N, ∅) = 1 v(∅, ∅) = 0 v(∅, N) = −1 ;� �K¿D½L� ��À���Ëf�(ÀL�É�»�x¿L¼�� Ù �É�»¿ Ù �Ç�cØ_�:PD¤�² ¼���¿L�É��¿*Ë]¿L�k�´¼ � ��ÀLÌ��ÉÌ�¿7À��%Î1Î�¿D�V� Ù � H�LÌ�¿��:À�¿Ù ¿ Ù ¿�� ��À���Ë]�TÀ��É�Å�L¼ µ+, µ− �

v(A, B) = µ+(A) − µ−(B), ∀(A, B) ∈ Q(N).

� �7½�� ��À���Ëf�(ÀL�É�»��¿�¼�� Ù �É�»¿1~�Ø_Q��L����S�¡<�fPD¼��N¿L�¨�%�k�#Ì�¿ µ+ = µ− ;Æ£S�}]~�S v Rh������S�¢f�fPN§´���]R(¡<�fPÄ�T¢k¦cP�����P���}]RTSV��P �f}�~��L�T��P «TU��T¢]RTU%�]Rh� v(A, B) = F (1A,−1B) ��1� (1A,−1B) �k�>~�S�«T}fPµU�P�°(P�����P��f�O°%RhU�Rh}<� ß �:�T�f� i ∈ A � −1 �:�T�f� i ∈ B �IP�� �HRhS�UVU�P��]��~��¤�P���S�P>~c���L�(}k¹º�T��Q�PF§DU�R.°_S�~�S��T}�¢fS����(U�RTSV��PG�fPFU#� Rh©:P>��������P�UVU�PG¡<�X� P�U�U�PGR.�����GSV}fSV��S���PG�]Rh��*~�«T�_�k�Ç¿��´À��%� ;>� �/= �µÊº°T�(SV� � P�����SV�(} � � ß Ï�� � ��P�����¿��µÀ��h�<; � = �X�T}<�£�f���T�:�(~��H�]}fP�}f�h��SV�(}�kP7À���Ë]�TÀ��É�»�D½L� Ë]�%�V�h�ÉÌ�¿ ζ : Q(N) −→ [0, 1] × [0, 1] �f�1��§D���]RT¡<�fP���UV��Q1P�}<� (A, B) �kPQ(N) ���T}¨RT~�~��k�LS�PG�fP��k�Ç~��L�(��P>~ ζ+(A, B) P�� ζ−(A, B) �tU9� �f}¨�L�T}��LP���}]RT}(�*U�Rz�]RT����SVP�:�(~�S¬��SV°(P*�k��~��L�T��PT�_U#� RT�k����P*U�RG�]Rh����S�P�}f��«<R%��SV°(PH�k��~����T��PT�k¡<�fSK°T����SV ]P�}<�´UVP>~´�f���T�f��SV�����>~~��fSV°%RT}(��P�~�Â

� ~�S A ⊂ A′ PL� B ⊃ B′ ��RhU��T��~ ζ+(A, B) ≤ ζ+(A′, B′) PL� ζ−(A, B) ≥ζ−(A′, B′) Þ

� ζ−(A, ∅) = 0 � ζ+(∅, A) = 0 � ∀A ⊂ N Þ� ζ(N, ∅) = (1, 0) PL� ζ(∅, N) = (0, 1) �¤�PL����PH}f�h��SV�(}7�L�(����P�~����(}]��§�U�R�°_S�~�SV�(}��k�]� Ë]�%�V�h�ÉÌ�¿ Ù �%�]½��V¿��kPHU9� R%©KP��L���(��P�U�U�PH¡<�X� P�U�UVP£P>~c�

�k��¹ºP�}]�k�]P��]Rh��¤µRT��SV�(�f���,¿��£À��h�<; � � �Å�]�1��U#� �(}���P��k�*RI°(�TS����L�_PL�kS�~c��P�}]��PF�kPF~�P�}<��S�Q�P�}<��~�:�(~�S¬��S¬¹�~�P��£}f��«<R%��S¬¹�~��

¤��T}�~�S��k�����T}�~N�fRT}]~N�]}7�f��P�Q�S�P�����P�Q��]~´U�P�~�¢fSV±Å��Rh�]R(�LSV���>~����TQ�Q�PH�k�(}f}f��P��kP*¢]RT~�PT�PL�*��P�}<���T}�~*�fP����T}]~������fS���PGU�R.¹º�T}]�L��S��T} F ��� Rh«(����«(R%��SV�(}X�]°_�fP��L�(Q�Q1PG�f}fP�PL�_��P�}]~�SV�(}�kP v ~��f� [−1, 1]n �(�]�fS�~´~��f� Rn �]¤��(Q1Q�PH���(�f��U�PH��RT~��kP�~������fP�UVU�P�~��f}fS��:�TU�RhS���P>~��(}f�T�]~RhU�U��T}]~H���fP������fP����]}fPG~��TU��k��S��T},~��T��~�¹º�T��Q�PF��� SV}<��P������(U�Rh��S��T}�U�R7�fU��]~�~�SVQ��fU�PF�:�(~�~�SV¢fU�PT�QDRhS�~F��PL����P.¹º�(S�~�±Å��S9�tUVP>~F�:�TS�}<��~F§B�L�T}�~�S��k����P����:�T�]�FU#� S�}<��P����:�TU�R%��S��T}¯}]P7~��(}<�F�fU��]~FU�P�~

� �

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(−1,1) (1,1)

(1,−1)(−1,−1)

x

|x|

x

x

|x |

1

2

2

(0,−1)

������� � � Ý»}<��P����:�TU�R%��SV�(}xU�S�}f��RTSV��P*�]Rh}]~´U�P���R(~´¢fSV�:�TU�RhS���P�Ê n = 2 Ï

~��TQ�Q�PL��~ �kP´U#� �_Ø_�:P����L�f¢:P [−1, 1]n �IQ�RTS�~O���T�]~OU�P�~ �:�TS�}<��~ �L�(����P�~����(}]�fRT}(��~�RT�k���T¢f¦cPL��~��P���}�RhS���P>~��k�h� P�~���±»§%±»�kS���P*U�P�~´�:�TS�}(��~ x ��P�U�~�¡(�]P xi = −1, 0 �T� ß � i = 1 . . . , n �¥Ä�fRhQ�S�}f�T}�~£���T�k����� Rh¢:�T����UVP���R(~ n = 2 ʺ°(�TS�� OS�«]� � ÏL�:²N��P�}f�T}]~H�f}Ç���(SV}<� x ��P�U¡<�fP x1 ≥ 0 � x2 ≤ 0 P�� |x1| ≤ |x2|

��Æ�UV�(��~��t�:�T�]��UVP7���(SV}<� |x| �O¡<�fSµ~�Px~�SV���fPx�fRh}]~U�PF¡<�]RT�k��Rh}<���:�(~�S¬��S¬¹c��}f�T�]~��L�T}]}]RhS�~�~��T}�~µ�f�c¦�§DU�R�Q�P�S�UVU�P��f��P�S�}(��P������(U�Rh��S��T}�U�SV}f�>RhS���P�P�}Rh�]�fUVS�¡<�]Rh}<��U�PD���>~��]U¬��R%���kP.U�R � P��L��S��T} ]� ß Ât�h� P�~���U#� S�}<����«(��RTUVPD�kPx¤��]�_¡<�fP�����Ý»UN~��fÕ1�QDRhS�}<��P�}�Rh}<���]RT�N�f}]P*~�Ø_Q1������SVPHRT�k�>¡(��R%��P*�kP�Q�P�������P�U�P�~�¢:�T}]~´~��TQ�Q�PL��~���� SV}<��P����:�TU�R%±��S��T}¨Â

F (x1, x2) := |x1|F (1,−1) + (|x2| − |x1|)F (0,−1)

¤�PL����P�PL�k�f��P�~�~�SV�(}.P�~����f}fP�SV}<����«T��RhU�PH�fP�¤��]�_¡<�fP��µ��Rh�´��RT�f�:�T���´§G�f}fP*¹º�T}�����S��T}z��� P�}k±~�P�QF¢]UVP ν1

�k�� ]}fS�P��]Rh��Âν1({1, 2}) = F (1,−1)

ν1({2}) = F (0,−1).

¤��T}�~�S��k�����T}�~�QDRhS�}(��P�}]RT}<�GU�Px��R(~�«(��}f����RTU9� | �� ]}fS�~�~��T}]~ N+ = {i ∈ N | xi ≥ 0} �N− = N \N+ �fÆ�°TP��*�kP>~��L�T}�~�S��k����R%��SV�(}]~µ�kP*~�Ø_Q��L����S�P�RT}]RhU��T«(�fP�~��<}f�T�]~µ�(¢k��P�}f�T}]~*Â

F (x) =|xσ(1)|F (1N+ ,−1N−)+n

i=2

(|xσ(i)| − |xσ(i−1)|)F (1{σ(i),...,σ(n)}∩N+ ,−1{σ(i),...,σ(n)}∩N−)

�1� σ P>~c�O�f}fPa�:P���QF�f��R%��SV�(}�~��]� N ��P�U�UVPN¡<�fP |xσ(1)| ≤ · · · ≤ |xσ(n)|�h¤�PL����PNP��k�f��P>~�~�S��T}

P�~���U#� SV}<����«T��RhU�PN�kP�¤��f�k¡(�]PL�O�fP |x| �]Rh����RT�f�:�T����§£U�R´¹º�T}�����S��T}G��� P�}]~�P�QF¢]UVP νN+�k�L �}fSVP

�]RT��ÂνN+(A) := F (1A∩N+ ,−1A∩N−).

¥a}�~�P�~��(�f°TP�}]Rh}<��¡(�]P F (1A,−1B) =: v(A, B) ���T}z�T¢k��SVP�}<�£U�R��k�� ]}fSV��S��T}�~��]SV°%Rh}<��PT�� �� '��6����#1'�� � �h�É� v �k�:¿�½�� ��À���Ë]�TÀ��É�Å�F¼��kÌ N ¿�� x ∈ Rn ; � � S�}<����«T��RhU�P*�kP�¤��f�k¡<�fPL�Ù ¿ x Ë]�%ÌFÌ���Ë(Ëf�hÌ�� � v ¿L¼�� Ù � � �]��¿�Ëf�hÌ��

Cv(x) := CνN+ (|x|), Ê ß =(Ï

�%�%¿�À N+ := {i ∈ N | ai ≥ 0} N− := N \N+ ¿L� νN+(A) := v(A∩N+, A∩N−) ;

� ß

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Ý»UOP�~��H§D}f�T��P��*¡<�fP νN+}X� P�~��H��RT~£P�},«T��}f����RhUt�f}fPF��Rh�]R(�LSV���T�:��RT���:�T�f°%Rh}<��³�����PF}f�(}

Q��T}f�T���(}fP��T�z�f��P�}]�k��P��kP�~´°%RhU�P��]��~´}f��«(Rh��S�°TP�~��� S v P�~��D�k�×�cØ_�:P�¤�² RI°TP>� v(A, B) = µ+(A) − µ−(B) �aRTUV�(��~G�T}Ã��P������T�f°(PU�P.Q��_�f­�U�Px¤�² Cµ+,µ−Ê�PL�F��Rh�F���T}]~���¡<�fP�}(���(}¨��P������T�f°(P1U#� SV}<����«T��RhU�P.�kPx¤��f�k¡<�fPL�

~�Ø<Q�������S�¡<�fP�¡<�]Rh}�� v P>~c��~�Ø_Q��L����S�¡(�]P>Ï���¤�P>�LSX~��f«T«(­���P*�fP��k�z��P�Q�RT��¡<�fP>~*Â� Ôa� SV}<����«T��RhU�P��kP.¤��f�k¡(�]PL�H�:�T�]�HU�P�~H¢fSV±Å��Rh�]R(�LSV����~*�L�(}]~���SV���fPG¢fSVP�}B�f}]PF«T��}f����RhU�SV±~�Rh��S��T}x�fP�~�Q��k�k­�U�P�~�~�Ø_Q��L����S�¡(�]P*P��*¤�² Þ

� ÔXP�~*Q��k�k­�U�P�~�~�Ø_Q1������S�¡<�fP1PL�G¤�² ~��(}<���kP>~���RT~*�]RT����S����fU�SVP���~*��� SV}<��P����:�TU�R%��SV�(}UVS�}f��RTSV��P*P�}<����P�UVP>~����(SV}<��~ �>��P���}]RTSV��P�~�� x Ê�RI°TP>� xi = −1, 0, 1 ÏL�

>�P�°TP�}]�T}]~7Q�RTSV}<��P�}]RT}(�zRh��Q��k�k­�U�P�f}fS����(U�RTSV��PB�k�(�f¢fU�PÇ�kP � ��P>�L� ¿��.À��%�<;�� �=��#�Ôa� S�}(����«(��RTUVP��kP1¤��]�_¡<�fP����]RT�£��RT�f�:�T����§D�f}fPF��Rh�]R(�LSV����¢fS��:�TU�RhS���P�P>~c�H�f�L ]}fS�PF���TQ�Q�P~��fS¬�>� ²O�(�f� x ∈ Rn � }f�T���T}�~ σ U�RÇ��P���QG�k��Rh��S��T}Ó~��f� N ��P�U�UVP�¡<�fP |xσ(1)| ≤ · · · ≤|xσ(n)|

�fP����k�L �}fS�~�~��T}]~�Â

A+i := {σ(j), j ∈ {i, . . . , n} | xσ(j) ≥ 0}

A−i := {σ(j), j ∈ {i, . . . , n} | xσ(j) ≤ 0},

PL�C+

ζ (x) :=∑

i∈N

(

x+σ(i) − x+

σ(i−1)

)

ζ+(A+i , A−

i )

C−ζ (x) :=

i∈N

(

x−σ(i) − x−

σ(i−1)

)

ζ−(A+i , A−

i ),

RI°TP>�OUVP>~XQ�³�Q�P�~t}f�h��R%��SV�(}]~�¡<�fPa�f���������kP�Q1Q�P�}(�>��ÔN� S�}<����«(��RTUVPÄ�kP´¤��f�k¡(�]PL�X�]RT�X��RT�f�:�T���§ ζ P�~���RhU��T��~´�k�L ]}]SVP��]RT�

Cζ(x) := C+ζ (x) − C−

ζ (x), ∀x ∈ Rn. Ê ß �TÏÝ»UÄØBRz�kP��f�B��P�QDRh��¡(�]P�~*SVQ��:�T����RT}(��P�~�§7¹�RhS���P�S��LS#�XÔtRx�f��P�Q�SV­���P1P�~���¡(�]PT�X~�SÄ�T}B°(P��k���P�~���P��´�fRT}]~NU#� P�~��f��SV�µ�f�x�k�(�f¢fU�P��f}fS��:�TU�RhS���P*�kP�¤µR(�LS��T�f�:�]�<S�U:P>~c�µ�f���L¹º����Rh¢]UVP*�kPH���T}]~�S¬±�k����P���U�P1���T�f�fU�P (C+

ζ (x), C−ζ (x)) �L�(Q�Q1PGU9� S�}(����«(��RTUVPF�fP�¤��f�k¡<�fPL�>��~�RT}]~£P�©:P>�����]P���U�R�kSV©:����P�}]�LP(��Ô�R,�kP��f�_S�­�Q�PxP�~��G¡<�fPT� �fRh}�~�U#� �_Ø_���T���f­>~�P7�1�¯�T}¯P�©:P>�����fP7U�RB�kSV©K����P�}]��P

Ê ß �hÏL�(�(}7�:P��k�´Q��T}<����P��´¡<�fP*~�S:�T}7°(P��k�´¡<�fPHU#� PL�k�f��P�~�~�S��T}D}fP��k����P�}]�kP*�]RT~´�kPHU�RG��P���±QF�f��R%��SV�(} σ ���f�(S�~�SVP�¡(��Rh}]���]UV�]~�S�P��f��~t���T}_°_SVP�}f}fP�}<�>��RhU��T��~�}f�>�LP>~�~�RhS���P�Q�P�}<�tU�R£��RT�]RT��S¬���¢fS����(U�RTSV��P ζ �f�TSV��~�PG��P��f�fSV��P�§7U�R7¢]S¬±»��RT�]RT��S¬��� v(A, B) := ζ+(A, B) − ζ−(∅, B) ��PL�U#� P��_�]��P>~�~�SV�(}x�kP Cζ

��� �#}]�LS��kP�RI°TP>� Cv�f�T}f}f���]RT��Ê ß =(Ï�� ���Å�

� �%& y 67( v8&)( 2�y�8&)/ / &)( u�s vx{Lq867/ &)(�5C3D ��H,OQJ V)U ��\TO N'V�H

(�]~�¡<�X� §µ�f����~�P�}<�X}f�T��~XRI°T�(}]~K~��f�]���<~��a¡<�fPÄU�P�~X¡<�]RT}<��SV���aQDRh}]SV�f�]UV��P�~�P��XUVP>~������fP�UVU�P�~�L��RhS�P�}<��}_�fQ�����S�¡<�fP>~��f~��TSV�£��� S�}<��P���°%RhU�U�PT�f~��TSV���fP���Rh��S��zÊ������fP�UVU�P�~�À��%Ì Ù �É�:�h�V¿L¼>Ï�� | RT}]~�U�R�f��R%��S�¡<�fPF��P��:P�}]�]Rh}<����SVU�}X� P>~c�*�]RT~�~��(�f°TP�}(�£�:�(~�~�SV¢fU�PF��� �T¢f��P�}]SV�*�kSV��P��L��P�Q1P�}<�H�kP�U#� S�}k±¹º�T��QDR%��SV�(}F��RT���kS�}]RTUVP(��PL� U�P�¢f�f�Ä�fP�U�R£Q��L���f�k�kP5�,Æ�¤ � ¥ )�×P>~c�:¦c�]~���P�Q1P�}<�Ä�X� �(¢k��P�}fSV��]RT�a�f}fP�RT�f�f���k���fP´���f���T��S�¡<�fP�Q�P�}<�Ĺº�T}]�f��P��f}fP�SV}k¹º�(��QDRh��S��T}.��RT���fSV}]RTUVP�§��]RT����SV����� S�}k±¹º�T��QDR%��SV�(}Ó�(���fSV}]RTUVP(��RT�Ú�f��SV�Ú�LP��:P�}��fRh}<�x�kP¡<�fP�U�¡<�fP�~7�<Ø_�:�h���f­�~�P�~,Ê�Q�P�~��f��RT«TP,�kP�kSV©:����P�}]�LP(�K�T¢k��P�}<��S��T}�kP�~*}fS�°TP>Rh�k��}fP��k����P�~*PL��~�R%��S�~�¹�RhS�~�RT}(��~��:PL���h� Ï�� | Rh}]~��LP�����RhS�}fP�~

���

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~�S¬���]R%��SV�(}]~��(SVU�P�~����:�(~�~�S�¢fU�P£¡<�fP�U#� �(}D}fP�~��TSV�N�]R(~aP�}DQ�P>~��f��P���� �T¢f��P�}]SV�µ�LPL����P£S�}k¹º�(��QDR%±��S��T}��k�,�f���LS��kP��f���]�T��¡(�]P�UVPF�f���LS��kP��f��}fPF~��TSV�£�]RT~����T�f����P�}<���]Rh}]~£~�P�~£�������(}]~�P>~��k�(�¡<�fP�U�P�~ �_Ø_���T���f­>~�P>~a�kP´¢]RT~�P�}fP��f�]S�~�~�P�}<� ³�����P�°T����SV ]��P>~�� | Rh}]~N�LP£��R(~��%S�Uf}fP���P�~���P´�fU��]~¡<�X� §G�f��S�UVS�~�P���U9� S�}k¹º�T��QDR%��S��T}z�T���kS�}]RhU�PH��P�U�U�P�¡(�]P�U�UVP(�kP�}�~�P����T}<��P�}(��Rh}<���kP�U�R�~������]�����f��P�]RT�f°_��P1¡(�t� P�UVU�PGS�}]�k�]S¬�>��PL��P�}B��°_S¬��Rh}<���fPF¹�RTSV��PG�kP>~*�<Ø_�:�h���f­�~�P�~*Rh��¢fSV����RhS���P>~£�:�T�f��~�P��RhQ�P�}fP����fRh}]~´U�P�Q��T}]�fP���Rh���kS�}]RhU#�

�a°(�TU��fP��1�fRh}]~1�f}ÃQ��T}]�kPx�f�f��P�Q�P�}<���T���kS�}]RhUµ�L����P7P�} ¹�RTS¬�D�kPz}f�TQG¢f��P��]~�P�~F�fS¬¹É± ����fU¬����~����H�k����P,U�PB¹�RTS¬��¡(�]PB}f�T����PÇ�L�(}]~������]����SV�(}��kP�~x¹º�T}�����S��T}�~x��� �k��SVU�S¬���ÇP��z�kPU�R�:�T}]�k����Rh��S��T}�PL�k�:�(~���P��fRT}]~£U�R � P>����SV�(} � � �D}X� P>~c�H�fUV��~£�:�(~�~�S�¢fU�PT�]}]�h����P�Rh�]�f���k���fP���S¬±�kP>~�~��]~ ¢]R(~���P´~��f�ÄU#� S�}<��P����:�TU�R%��SV�(}G}fP��:P��f�a³L����Pµ����Rh}]~��:�(~���PT�%P��aSVU]P�}1P�~��N�kP�Q�³�Q�P£�kP�~Rh�]�f���k���fP>~�QF�]U¬��S�����SV��­���P>~��kPGU9� SV}<����«T��RhU�P��kPD¤��f�k¡(�]PL�HP��k���<~���P�~£�fRT}]~ � ß � ����Å� | Rh}]~�LP�����PG~�P�����SV�(}X�:}f�T�]~£��P�}(���T}]~*�kP1�k�T}f}]P���U�P�~H�T�f��S�U�~HPL�kS�~c��Rh}<��~����(�f�*RT¢��(���fP�����P��cØ_��P�kP��f���T¢]UV­�Q1P(�| Rh}]~����T�f��Px��PL����P7~�P��L��S��T}X���T}×���T}]~�S��f­���P.�kP�~F�����fP�UVU�P�~F�T���kSV}�RhU�P�~� ]}]SVP>~xÊ�}f�h����P�~~��T�f°(P�}<� L Ï��fRI°(P��H�f}��fU��]~��:PL��SV�£��U���Q�P�}(� O

PL�£�f}��fU��]~�«(��RT}]�.��UV��Q1P�}<� 1l �� �(�]~�RI°(�T}]~*Q��T}<�����.�fRT}]~�U�R � P��L��S��T} � ���¡<�fPD���(�f�FU�P�~������fP�UVU�P�~��(���fSV}]RTUVP>~���U�P�~

�T�:����R%��SV�(}]~tRT��SV���]Q1����S�¡<�fP�~��]~��fP�U�UVP>~t}t� ����RhS�P�}<� �]RT~O~�SV«(}fS¬ :��R%��SV°(P�~���Æ�SV}]~�S#�>�(}�P�~����(¢fU�SV«(�«T���(~�~���Q��k�k���kP£~�P£���T}<��P�}<��P��Ä�kP>~Ä�T�:����R%��SV�(}]~OQ�SV}fS�QF�]Q Ê ∧ ÏÄPL�ÄQDR%�kSVQG�fQ Ê ∨ ÏOPL�N�kPU�P��f��~ �L�TQG¢fS�}]RhS�~��(}]~�� �H}1Rh�f�:P�U�UVPNË]�%� �%���%ÎD¿H½��>�%�V��¿��D���(�k��PµPL�k�f��P�~�~�S��T} P (x1, . . . , xn)¹º�T��Q���PN�fP n °%Rh��S�RT¢fUVP>~ x1, . . . , xn

§�°IRTUVP��f��~X�fRh}�~ L �>�kP����T}]~���RT}<��P�~t�fRh}]~ L ��P�����P�U�SV��P�~�]RT� ∨,∧ �fRh}]~��]}fP,�L�TQG¢fS�}]RhS�~��(}ÓRT��¢]S¬����RTSV��Px�kP���Rh��P�}<���f­>~�P>~�� �]RT�DPL�kP�Q��fU�P ((α ∧x1)∨ (x2 ∧ (β ∨x3)))∧x4

� �£}.����~��fUV��Rh�NSVQ��:�T����RT}(�´�kP��BRh��S����]RTU]�kSV�´¡<�fPHU9���É�]�»� �hÌ��%�V¿Ù ¿ � � �(¿��:�ÃÊ�¡<�fPxU9� �T}Ã�k�L ]}]SV��R,�fU��]~GUV�(SV}:ÏF��� �#}]�LS��kP7RI°(P��DU�RB��U�R(~�~�P7�kP>~F�:�TU�Ø_}fÖTQ�P�~¢:�<�(UV��P�}]~F��P�U�~�¡<�fP P (O, O, . . . , O) = O� P (1l, 1l, . . . , 1l) = 1l �OPL� P P�~��1�����(S�~�~�RT}<�

~�P�U��T}7���]R(¡<�fP�°%Rh��S�Rh¢fU�P � = ß �Å�_²a�fS�~�¡<�fP��LP>~����T}]�fS¬��SV�(}]~´~��(}(�´�LP�UVU�P�~µ~��]�µU�P�~�¡<�fP�U�U�P�~�}f�T�]~RI°T�(}]~ORh�f�f�]ØT�a���T�k��P´}f�h����Pµ�L���]�kP�¦c�]~�¡<�X� S��LS#�%�T}G���TQ��f��P�}]�G¡<�fP�U#� SV}<����«T��RhU�Pµ�fP � �]«TP�}]��L�(}]~���SV���fP�U#� �(�k��S�U�S�}]�L�(}(���T�f��}]RT¢fUVP��fRT}]~�U�P���RT�k��P��T���kS�}]RhU#�

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PL�F�]RT�GRTSVU�UVP��f��~��tRTSV}�~�Sµ¡(�]P.U9� R�Q��T}<�����;�BRh��S����]RTU�� = ß �Å��U#� SV}<����«T��RhU�P.�kP � �]«TP�}]�SV}]�f�fS¬�1�f}fPx��P�U�Rh��S��T} �kPx�f����¹º����P�}]��P7¡<�fS´~�Rh��S�~c¹�RTS¬�1U�RÇ~����]Rh��Rh¢fS�U�S¬����¹�RhS�¢fUVPz~�SµPL�~�P��fUVP�Q�P�}<�z~�S�SVU�Ø�R �]}·�L��SV��­���PÇ�fS��L��R%��P��f�>�´¥a}�¹�RTS¬�>��U9� S�}(����«(��RTUVPB�fP � �]«TP�}]�SV}]�f�fS¬�´�f}fP*�f���T�f��S��L�����fUV��~N¹�RTSV¢]UVP�¡<�fS�P>~c�´U�RD¼��ÅË]�%Ì��T½��É���É�Å��ÁL�%��½��V¿ Ù �ÉÌ�¿�À��9���h�]�K¿L�É�V¿���k�L ]}]SVP��]RT��Â

(xi, z−i) � (yi, z−i) ⇒ (xi, z′−i) � (yi, z

′−i), ∀x, y, z, z′ ∈ X.

¤�PL����P��L�(}]�kSV��S��T}zP�Q���³>���fP�¡<�X� �]}z��P�}_°(P���~�P�Q1P�}<�´�kP��f���L¹º����P�}]�LP�~��f��°<S�P�}]}fPT���(*#%' ��� ./��( ����#1' "�) � � #1'�( �7��#%' � " <���������6�7� §ÚU#� SV}_°TP���~�P¯�k� ��R(~,��RT���fSV}]RTU9�SVU´}X� P�~��D�]RT~1�:�(~�~�S�¢fU�Pz�kP��k����P���Q�SV}]P���UVP>~G¹º�T}]�L��S��T}]~���� �k��S�U�S¬���,~�RT}]~G���T}f}�RIÈ�����PU�RÇ���(}]�k����Rh��S��T}X� �H}Ó°TP�����RB��S¬±»�kP�~�~��T�]~1¡<�fP�U9� ��°%RhU��]Rh��S��T}Ó«TU��T¢]RTUVP���� �f} �T¢k¦cP��(xi,0ic) �]RT�NU#� S�}<����«(��RTUVP£�fP � �f«(P�}f��~�� ���L��SV� ui(xi)∧µ({i}) �<Æ�SV}]~�S#�(S�U]}X� P�~�����RT~���T�h¦c�T�f��~*���<~�~�SV¢]UVPD�kP���PL�����T�]°TP�� ui(xi)

��Rh��U�Rx°%RTUVP��f���kP µ({i}) �X¡(�t� P�UVU�PD~��(S¬��L�T}]}<�]PF�T�B}f�T}X��RT«TSV�*�L�(Q�Q1PG�f}Ç~�P��]SVU#�t¤H� P>~c�����(�f��¡(�]�TS��]Rh}]~*U�R.�fU��f�]RT�����kP�~Rh�f�fU�S���R%��SV�(}]~��(P��µ¢fS�P�}z¡<�fP*��PL����P*�<Ø_�:�h���f­�~�P*~��TSV�µ~��%¦cP�����P�§1��RT�k��S��T}f�(}7~��f�f�:�(~�P¡(�]P����T��~£U�P�~£Rh������S�¢f�k��~H~��(}<���k�L ]}]S�~H~��f�H�f}fP��>���fP�U�U�P��L�TQ�QG�f}fP L ¡<�fSO~�P����£P�}¹�RhSV��§G}]�h��P��£U�P�~�~��L�T��P�~´�kP>~£R%������SV¢]�k��~�� | Rh}]~ � ��� �#� � ��Rh¢]S�~����¨¿���À��h�<;��f���T�:�(~�P�}<��f}fP�Q��L���]�_�fP.�L�T}�~c�����fS�~�Rh}<�*U�P�~*¹º�(}]����SV�(}]~���� �k��S�U�S¬���T�tRT�f��­>~�RI°T�(SV���L�(}]~c�����]S¬��U�R���(}]�k����R%��SV�(} µ �

�5C B ��� N3H,OQF � J KYM'Z U�Z�� � � ZIH[V� �(S¬� µ �f}fP���Rh�]R(�LSV���x~��f� N �]��P�}]Rh}<�1~�P�~1°%RhU�P��]��~1�fRh}�~ L �ÄRI°TP�� µ(∅) = O

PL�µ(N) = 1l � � �(S¬� a := (a1, . . . , an) �f}°TP>����P��f���kPD~��L�T��P�~*�fRT}]~ Ln �tÔN�V�É���Å� �TÌ��%�V¿ Ù ¿� � �<¿��:���kP a ��Rh����Rh�f�:�T���´§ µ P�~����k�L ]}]SVP��]RT� � �� �NÂ

Sµ(a) :=n∨

i=1

[aσ(i) ∧ µ(Aσ(i))],Ê ß �<Ï

�1� σ P>~c�Ä�f}fP´�:P���QF�k��R%��SV�(}G~��f� N ��P�U�UVP´¡<�fP aσ(1) ≤ aσ(2) ≤ · · · ≤ aσ(n)�IPL� Aσ(i) :=

{σ(i), . . . , σ(n)} ���H}�}f�h��P���R£U�R£��P�~�~�P�QF¢fU�Rh}��LPNRI°(P��aU#� SV}<����«T��RhU�PN�kP£¤��f�k¡<�fPL��Ê | �L¹c���TÏL�� S U#� �(},�f��P�}]� L = [0, 1] ��U�P�~HS�}(����«(��RTUVP>~��kP.¤��f�k¡<�fPL�*PL� � �f«TP�}f�x��� �#}]�LS��kP�}(��¡<�]Rh}]�~��TSV��U�R���RT�]RT��S¬���T�>~��(S¬�OU9� SV}<����«T��Rh}��kPa�f��P�}]�F~�P>~X°%RhU�P��f��~O�fRh}]~ {0, 1} ���fU��]~t�]���>�LS�~���Q1P�}<�NÂSµ(1A, 0Ac) = µ(A) = Cµ(1A, 0Ac), ∀A ⊂ N

Sµ(a) = Cµ(a) ∀a ∈ [0, 1]n ⇔ µ(A) ∈ {0, 1}, ∀A ⊂ N.

ÔXPHUVP>����P��f�µ���(�f����R�~�P*����¹º����P���§;� ß �_� � � ���:�T�f�´�kP�~µRh����S��LU�P�~µ�kP*~�Ø_}<���f­>~�P(�(P��´§;� = ß � = � ��:�T�f�*�f}fPG�L�����kPG�k����RTSVU�UV��PG�kP>~��]���(�f��S��L����~£�fPFU#� S�}<����«(��RTUVPG�kP � �]«TP�}]�]�]P�},�]RT����S����fUVS�P���fRT}]~´�f}fP��:P���~��:P��L��S�°TP��kP�U�RG���f���T��SVP��kP�U�R��k����S�~�SV�(}X� � �(�]~´Q�P�}<��S��T}]}f�T}]~´��«(RTUVP�Q1P�}<��f}fPÇR%�kSV�(QDR%��S�~�R%��S��T}Ú�kPBU9� SV}<����«T��RhU�P,�kP � �f«TP�}f�×�fRT}]~D�f}!��RT�k��P,�kPB�f���LS�~�SV�(}��fRh}]~U#� S�}]�LP�����RhS�}X�f~�SVQ�S�U�RTSV��P�§1��P�U�UVP��fP � RI°IRT«TP*���(�f�£U#� �f��S�UVSV����P>~��:������P!� ß f� ß � �Å�

¤��TQ�Q�P¨}f�T��~�U9� RI°T�(}]~��kS¬�B�]Rh}]~�U#� S�}<�����k�k�]����SV�(}X�£U�RÓ�]Rh�f°_��PL���¨�f� ��RT�k��P�T���kS¬±}]RTUOS�Q��fU�S�¡<�fPD�kP>~*�fS¬Õ.�L�]U¬����~��XRhS�}]~�SÄ¡<�fPD¡<�fP�U�¡<�fP�~*����~��fUV��R%��~H~��f���f��P�}]RT}(��~��KRh�f�k¡<�fP�U�~}X� �����]RT�f�:P¯�]RT~�U#� S�}<����«T��RhU�P¨�fP � �f«TP�}f�]�£²ÄRT��PL�kP�Q��fU�PT�£S�U��:P��k�Rh����S�°TP��z¡<�fP¯�:�T�f�a, a′ ∈ Rn � ��P�U�~D¡<�fP ai > a′

i� i = 1, . . . , n �Ä�(}ÓRTS¬�.�LP���P�}]�fRT}(� Sµ(a) = Sµ(a′)ʺP�©:P��H�kSV�H�kPD�K� �T� Ù ¿IÏ��KÔa� P�}]~�P�QG¢fUVP��fP��LP�~£PL©KPL��~£SV}]�f��~�SV��Rh¢fU�P�~´P>~c������­>~�¢fS�P�}�����~��fQ��

�fRT}]~*U�Rx�f���T�:�(~�S¬��SV�(}B~��]SV°%Rh}<��P8� = �f�>� ß �Å� � �TSV� � �f}B�]�����T���k��PGU�RT��«(P����h��RTU�Ê��L�(Q��fUVP������PLÒ]P��_SV¹c�<����Rh}]~�SV��SV¹�ÏN~��f� [0, 1]n �_PL�´���(�f� a, b ∈ [0, 1]n �<}]�T�]~�������S�°T�(}]~ a ≥ b ~�S ai ≥ bi

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�:�T�f�O���(�k� i ∈ N �IPL� a > b ~�S a ≥ b P�� ai > bi�:�T�]� RT�FQ��TS�}]~O�f} i ∈ N �IP�}k �} a � b~�S ai > bi

�:�T�f�´���T�k� i ∈ N ���H}��fS¬��¡<�fP � °(����S¬ ]P*U�R�Î��h�:�%�»�%����¿�~�S a ≥ b S�Q��fUVS�¡<�fPa � b �KU�R Ù �%Î1�É�:�h�:À�¿£ÁL�hÌ��Å¿ Ù ¿ ���hÌ�¿��Å�z~�S a > b SVQ��fU�S�¡(�]P a � b �KPL��U�R Ù �hÎG�É�K�%�:À�¿ÁL�%��½��V¿ Ù ¿ ���hÌ�¿��Å��~�S a � b S�Q1�]UVS�¡<�fP a � b ���H}zRDRTUV�(��~µU�P����>~��fUV��Rh�£~��fS�°%Rh}<���� ./#�, # �7�6�7��#%' ��� �h�É� µ �k�:¿GÀ���Ëf�(ÀL�É�»�G¼��kÌ N ¿�� �µ

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�I�h�V¿L�kÌ�¼ Ù �%�]¼ {0, 1} �� �É�É� � �µ�:¿F�I��Ì�� � ¿N¾��%ÎD�%��¼���� Ù �%Î1�É�:�%�KÀ�¿NÁL�hÌ��Å¿ Ù ¿ ���hÌ�¿L�»�*;

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M'KYN3J ZIRÔXPÄ��Rh��Rh«T��Rh�]�fPO��S¬±»�kP>~�~��]~K°_SVP�}<�t�kPa�f����~�P�}<��P���UVPN��P�}]�fRh}<�X�(���kS�}]RTUT�kPÄU#� S�}<����«(��RTUVPÄ�kP

¤��f�k¡<�fPL�>�k¤�PHQ��_�f­�U�P�}fP*~��f�]���<~�P*Rh�]���f}.�:�TS�}(�µ�]Rh����S��L�]UVS�P��µ~��f�µU#� �>���fP�U�UVP(�T�f�(��Q�S�~NU�P�~PL�_������Q1SV���>~

OPL� 1l �TPL�µ�k�T}]�£��P��k�N³L����PH�L�T}�~�S��k�����£�L�(Q�Q1P��k��� Ëf�h�V�%�ÉÌ�¿L�kÔtR�¡<�fP>~c��SV�(}.~�P�:�(~�PµQDRTSV}<��P�}]Rh}<�a�kP��k�� ]}fS��a�f}1Q1�k�k­�UVP�¢]SV�:�TU�RhS���Pµ�T���kS�}]RhU#�h~�SVQ�S�U�RTSV��Pµ§���P�U��fSf�f���T�:�(~��

�fRT}]~´UVP���RT�k��P���Rh���kS�}]RhU#��¤�PL����P�~�P��L��S��T}zP�~��´¢�RT~���P�~��]� � � �k� �fß � ��� �Å�¤��TQ�Q�P�}�®L�T}�~´�]Rh�����T}]~������fS���P��]}fP������]P�U�UVP�¢fS��:�TU�RhS���P��(���kS�}]RTUVP(�]�h� P�~���±»§%±»�kS���P�RI°TP>�

�f}��:�TS�}(�a��P�}<����RhUk}f�T���OQDRT��¡<�]RT}(�ÄU�R*UVS�Q�S¬��P�P�}<����P´U�R ���(}fP��kP�~ �%¢��(}]~��1~��L�(��P>~��%RI°TP>�

�f}¯�fU��]~F«T��Rh}]���U���Q�P�}(�G}f�h��� 1l �tP��FU�R ���T}]P.�kP�~��IQDRh�f°%RhS�~��Ç~��L�(��P>~����kPD�fU��]~��:PL��SV���U���Q�P�}(��}]�h��� −1l ��² �T�f����P�U�R�SVUN~��kÕ��G�kP�¹�RTSV��PD�f}fP.���T�fS�PD��P�}_°TP���~���P���� �f}fP.�>���fP�U�UVP�T���kS�}]RhU�P L+ RI°TP��7�kP�~1�fU��]~G��P���SV��P��G�fU��]~1«T��Rh}��¨��U���Q�P�}<��~OPL� 1l � }f�h����P L− �OPL��kP�U�P�~�Q�PL������Pz¢:�T�f��±»§%±Å¢��(�k���Ä¥a}Ú��� Rh�f����P�~G��P���Q�P�~�� L− := {−a | a ∈ L+} �aRI°TP>�

(−a) ≤ (−b) ~�S:PL�£~�P��fU�P�Q�P�}<��~�S b ≤ a �_PL�´U9� �����fP�UVU�P*¢fSV�:�TU�RhS���P�P�~�� L := L+ ∪L− �_P�}¹�RhS�~�Rh}<�£�L� �#}]��S��kP��OPL� −O

�ÔtRF�kP��k�kS�­�Q�P£����Rh�:PH���T}]~�S�~c��P�§�QF�]}fSV�µ�LP�����PH�����fP�UVU�P£¢fS��:�TU�RhS���P��X� �(������Rh��S��T}]~aR(�k�L±

¡<�]R%��P�~��f¡<�fS���P���Q�P�����P�}<����� P�©:P>�����fP����fP�~���RTU����fU�~µ��P�}�Rh}<�£�L�TQ��k��P��k����Rh��RT�L��­���PH�T���kS¬±}]RTU9��Q�RTS�~�Rh�]~�~�S(�kP�U�R£~�Ø_Q��L����S�PN�kPNU#� �����fP�UVU�PT�%¤��TQ�Q�P ∨ PL� ∧ ~��T}<�tU�P�~��kP��f���(������Rh��S��T}]~�kP£¢�RT~�P£��P���Q�S�~�P>~aP�}D�T���kSV}�RhU#�h}f�T��~a°T�(�fU��T}]~a���T}]~������fS���P£�fP�~a�(������Rh��S��T}]~a}f�h����P�~

6, 7°T����SV �RT}(�´P�}��]RT����S����fU�SVP���UVP>~��L�T}��kS¬��SV�(}]~�~��fSV°%RT}(��P�~��Ê�� � Ï 6, 7 �L���9}��LS��kP�}<�£RI°TP>� ∨,∧ ~��f� L+ ÞÊ�� � Ï −a P>~c�£U#� �T�f�:�(~����kP a �fRh��~�P�}]~��1� a 6(−a) = O

ÞÊ�� � Ï a 7 b ~��fSV�tU�R´��­�«(UVPÄ�kP>~t~�SV«(}fP�~K�:�T�]�XU�R´QG�fUV��S��fUVS���Rh��S��T}��kP>~X����P�U�~  −(a 7 b) =

(−a) 7 b � ∀a, b ∈ L �ÔtRz�f��P�Q�S�­���P1���T}]�fS¬��SV�(}�kSV�F¡<�fP�UVP>~��T�:����R%��SV�(}]~H���]P������f��P>~*~��T}<���kP>~�PL�_��P�}]~�S��T}�~*�f�Q�SV}�P��£Q�Rh���fÔtR1�kP��k�kS�­�Q�P��kSV��¡<�fP

6~�P����TQ��:�T����P��L�(Q1Q�P��f}fP�R(�f�kSV��S��T}��kP�~´����P�U�~

PL�zU�R �����TS�~�S�­�Q�PB�fS¬��¡(�]P7P�~��xU�PB�:P�}]�]Rh}<�z�kPÇU�R×QF�fUV��S��fU�S���R%��SV�T}t��¤�P>~7Rh}�RhU��T«TS�P�~

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O < a < b PL�N�L�(}]~�S��k��±���T}]~´U#� P��k�f��P>~�~�S��T} (−b) 6 b 6a � � P�U��T}�U�R1�fU�R(�LP��kP>~��]RT��P�}(���f­�~�P�~��_UVP�����~��fUV��Rh���fS¬©K­���P��RT���T}¯R ((−b) 6 b) 6a = O 6a = a �tQDRTS�~ (−b) 6(b 6a) = (−b) 6 b = O� �H}

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a 6 b :=

−(|a| ∨ |b|) ~�S b 6= −a P�� |a| ∨ |b| = −a �T� = −bO

~�S b = −a|a| ∨ |b| ~�S�}f�(}X�

Ê ß <Ï

� RT�k¹��:�T�f�*U�P���RT~ b = −a � a 6 b °%Rh�f����P�U��fS P�}<����P a PL� b ¡<�fS P�~��*U�P��fU��]~*«T��Rh}]��P�}°%RhU�P��f�£RT¢]~��TU��fPT�ÔtR7}f�T}f±ÅR(~�~��k�LS�R%��S�°_S¬���F�kP

6¹�RhSV��¡(�t� �(}B}fP1��P��k�����L��S���PG�f}fP1PL�k�f��P�~�~�S��T}B�f�,�cØ_��P

n6

i=1ai~�SO�(}Ç}]P1~����>�LSV ]P��]RT~�¡<�fP�U�¡<�fP���­�«TU�PG�fP���RhU��L�fU#�K²aU��]~�S�P��]��~�~��T}<�����<~�~�SV¢]UVP>~��KPL�

�fRT}]~OU�R*~��]S¬��Pµ}]�T�]~O�k��SVU�S�~�P����T}�~tU�R���­�«(UVP´~��fSV°%RT}(��PT�%¡<�fSk�L�(}]~�S�~���P´~�S�Q��fUVP�Q�P�}<�a§HRT«T����«TP��~����]RT����Q1P�}<�µU�P�~£¡<�]RT}<��SV����~´�:�(~�SV��S�°TP�~´P��£}f��«<R%��SV°(P�~*Â

〈n6

i=1ai〉 := (

n6

i=1a+

i ) 6(−n6

i=1a−

i ).

ÔtR��f�L ]}fSV��S��T}.�fP7~��fS�°IRT}<�aUVP>~a�L�(}]�kSV��S��T}]~£Ê � � Ï P��HÊ�� � ÏO}fP£�:�(~�P��]RT~N�kP��f���(¢fU�­�Q�PT�PL�£U#� �T�:����R%��S��T}xP�~���RT~�~��k��S�Rh��S�°TP1Â

a 7 b :=

{

−(|a| ∧ |b|) ~�S sign a 6= sign b|a| ∧ |b| ~�S�}f�T}t� Ê � �<Ï

� �(�]~N~��TQ�Q�P�~aQ�RTSV}<��P�}]RT}(��P�}DQ�P�~��f��P£�kPH�k�� ]}fS��NU#� S�}<����«T��RhU�P´�fP � �f«(P�}f��~�Ø_Q��L����S�¡(�]PPL�£U�P���P�}]�fRT}(�£�(���fSV}]RTUX�k��Q��_�f­�U�P�¤�² ��:¤�P�U��fSV±Å��St~�� ������SV��Â

Sµ+,µ−(a) := Sµ+(a+) 6(−Sµ−(a−)).

� �]RT}]� µ+ = µ− �f�T}z�T¢f��S�P�}<�£U9���É�]�»� �hÌ��%�V¿ Ù ¿ � � �<¿L�K�1¼��%Î����#Ì�� aL�]¿��f}f�T����P Sµ�

Ñ �]Rh����S��,�kP¨U�§f�£}f�(�]~��:�T�f°(�T}]~��k�� ]}fS���U9� SV}<����«T��RhU�P¨�kP � �f«(P�}f� �:�T�f���f}]P¢]S¬±��RT�]RT��S¬��� v �´P�}!�]���k�L�>�fRh}<���L�TQ�Q�PÇ�]Rh}]~xU�RÓ�k�� ]}fSV��S��T} ��µ�T� P>~c��±Å§h±Å�fSV��P,P�}·���<~�RT}<�Sv(a) := Sν

N+ (|a|) �fRI°TP��£UVP>~�Q�³�Q1P>~µ}f�h��R%��S��T}�~�¡<�fP*�f�����L�>�kP�Q�Q�P�}<�>�<P��µP�}7��P�Q��fU�R%±®�RT}<�µ�fRT}]~µU�RG�k�L ]}]S¬��SV�(}x�kP*U9� S�}(����«(��RTUVP��fP � �]«TP�}]� ∨,∧ �]Rh�6, 7 � �H}.�:P��k��Q��T}<����P��¡<�fP�U9� S�}(����«(��RTUVP��kP � �f«(P�}f���:P��k�*RhU��T��~µ~�� ���L��S���P��kP�U�RF¹�R(®L�(}z~��fS�°IRT}<��P!� � � �NÂ

Sv(a) =⟨

n6

i=1

[

|aσ(i)|7 v(Aσ(i) ∩ N+, Aσ(i) ∩ N−)]⟩

, Ê � ß ÏRI°TP>� σ �]}fPG�:P���QF�f��R%��SV�(}B~��f� N ��P�UVU�P1¡<�fP |aσ(1)| ≤ · · · ≤ |aσ(n)|

�KPL� N+ := {i ∈N | ai ≥ O} � N− := N \ N+ � ��}fP�PL�k�f��P�~�~�SV�(}×~�P�QF¢fU�Rh¢]UVP��:�T�f�DU�P�~D��Rh�]R(�LSV����~¢fS����(U�RTSV��P�~�R1�������f���T�:�(~���P��]Rh� � ��P�����¿��µÀ��h�<; � = �#�

�H}×�:P��f�.Q1�(}<����P��D¡<�fPz~�S v P�~��.�k�Ó�cØ_��PB¤�² ��Ä�(}Ã��PL�����(�f°TPxUVP�Q��k�k­�U�PB¤�² �T���kS�}]RhU#�]¥N}k ]}X�K}f�(�]~�Q�P�}(��SV�(}f}f�(}]~ | P�}f}]P�¢:P���«7PL� � ��RT¢fS�~���� � ßTß �Å��¡<�fS��(}<�H�f���T�:�(~���f}fP�¹º�(��QG�fU�R%��S��T}z«T��}f����RhU�P��kP�U#� S�}<����«(��RTUVP��kP � �]«TP�}]�.~��f�£�fP�~��>���fP�U�UVP>~´¢fS����(U�RTSV��P�~��kP~������]�����f��P�RT��¢fSV����RhS���P1ʺ ]}fS�P��T�zSV}k �}fSVP(�]RI°TP>���(�z~�Rh}�~µ�����T�X�kP����h� Ï��

� pKv8&�qFrO{��zy 6�r�{�u�q v�&)( � 6�s�6 � µrts�&)( v8& / 6 �%u�qxyNr�{LuFq v%$'6���s 2,*� 6�r�{Lu�q

� �f�]���<~��(}]~�¡<�fPHU9� �T}x°TP��fSVU�U�PH�k����P���Q�SV}]P��µ�f}7Q��k�k­�U�P���� ��°%RhU��]R%��SV�(}7~��]¢k¦cP��L��S�°TPH�f��cØ_��P��k�>�L��S¬�D�fRT}]~D�LP����]Rh�]S¬����P(� §�]RT����SV���kP��k�(}f}f��P>~1PL�DQ�P�~��f��P>~1PL�k������S�Q�P�}<��RTUVP>~��

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ÔXP>~N¢]�k��~´��� �f}fPH��P�UVU�P*�f��QDRh�����fP£�:P��f°(P�}<�´³L����P�°%RT��S���~��(RTSV}]~�S�¡<�X� �(}.U�PH�k����RhS�U�UVP���RG�fRh}]~U�R � P>����SV�(} ]� � �T�]~�RI°(�T}]~�PL�k�fU�S�¡<�f�D�fRT}]~*U�R � P>����S��T} � � �7U�Rz�L�(}]~c����������S��T}Ç«T��}f����RhU�P�k�Q��_�f­�U�PT�KP�}¨~�P1¢]R(~�RT}(��~��]���BÆ�¤ � ¥ )��� � Sa��PL����P�Q1�����f�k�k�(UV�(«TS�PFP>~c���f��R%��S���RT¢fU�P�:�T�f�ÄU�R��k�L��P���Q1S�}]Rh��S��T}G�fP�~ ¹º�(}]����SV�(}]~ ��� �f��S�UVSV���(�TP�}1��P�°%Rh}]���]P�U�RH¹�RT®L�(}1�fP´�f�L��P���Q�S�}fP��U�Rz¹º�T}]�L��S��T} ��� Rh«(����«(R%��SV�(}X�X�LP.¡<�fS#���]Rh}]~�}]�h����P.Rh�]�f���k���fP(�X��P�°_SVP�}<�F§��k�L��P���Q1S�}fP��FU�R�:�T}]�k����Rh��S��T} µ Ê���RT�]RT��S¬���>Ït�T� v �fRT}]~OUVPµ��RT~O¢fS��:�TU�RhS���P*ʺ¢fSV±Å��Rh�]R(�LSV���IÏ��>}X� P>~c� U�R��fU��f�]RT����k�B��P�Q��]~H�]R(~�P�}<°_S�~�RT«TP>Rh¢fU�PF�fRT}]~£�f}��R(�k��P1��� ��°%RhU��]R%��SV�(},~��]¢k¦cP��L��S�°TPT�:¥a}PL©KPL�>�:U�P�~�T¢f¦cPL��~�¢fS�}]RhS���P�~ (1A,0Ac) ÊÉ��P���}]RhS���P>~N�fRT}]~�UVP*��RT~N¢fS����(U�RTSV��P>ÏN�k�T}<���(}7R�¢:P�~��TS�}.�:�T�f�U�R,�k�L��P���Q�SV}]Rh��S��T} �kP µ �T� �kP v � ~��(}(�1�kP�~G�T¢k¦cP���~� �����S¬¹�~1~��]�FU�P�~�¡(�]P�U�~��T}¯}]P7�:P��k��f���k�L���fP��x§Ó�kP>~7P��_�:����S�Q1P�}<��R%��SV�(}]~x����P�U�UVP>~�� �H}!P�~��z�f�T}]��L�(}(����RTSV}<�x�X� �k��SVU�S�~�P��zU�P�~�T¢f¦cPL��~DËfÍ �I¼�� a��]¿L¼Ç§ �kS�~��:�(~�SV��S��T}X�µ~��(�f°TP�}(�xP�}Ú}f�(QF¢f��P�UVS�Q�S¬���T�´Æ£�f�:P�U��T}�~ O ⊂ XU#� P�}]~�P�QF¢fU�PF�kP>~��(¢k¦cPL��~�§.�fS�~����<~�SV��S��T}t��¡<�fP�}f�(�]~�R(~�~�S�Q1S�U��T}]~£���TQ�Q�PF�f���������kP�Q�Q1P�}<�§1UVP��f��~´°TP��L��P��f��~��fP��fP�~��L��SV�k��P��f��~��

ÔXPz�f��SV}��LS���Pz«T��}f����RhUµP�~����X� �k��SVU�S�~�P��.�kP�~1Q��L���f�k�kP�~���� �T�k��SVQ�S�~�Rh��S��T}X�ÄRT�f��­>~G�f�L f±}fSV��S��T} ��� �]}!�L��S¬��­���PÇ�kPÇ°%RhU�S��kSV���¨�k��Q��k�k­�UVP¨RT�k�>¡<�]R%�>� �H}��:P��k�,�kS�~���S�}f«T�fP��x�kP��k��f��SV}��LS��]Rh�k�7�cØ<�:P�~��fP��L��S¬��­���P�~�Â

� UVP>~��L��SV��­���P�~H�k�,�cØ_�:PFQ�S�}fSVQ�S�~�Rh��S��T}B�X� �f}]PGP�����P��f���T�B��� �f}fP��kS�~c��Rh}]��P d �KP�}(����PU�R,~��T����S�P7�k�¯Q��k�k­�UVP F (u1(x1), . . . , un(xn)) Ê�UVPz~����T��PD«TU��T¢]RTUN��RTU����fUV�IÏ�P��GU�R~��(����SVP �h�k��~�SV����P � y(x) � x ∈ O �t¤�P�U�R.S�Q��fUVS�¡<�fP�¡(�]PGU#� �(}B�k�(S¬��}f����P�~�~�RTSV��P�Q�P�}(�RI°T�TS��O�f}fP´Q�P�~��f��P��k�D~��L�(��Pµ«TU��T¢]RTU y(x) �:�T�f�a���]R(¡<�fP��(¢k¦cPL�a�kP O �T��P´¡<�fSk}t� P>~c��]RT~µ¹º�(������Q�P�}<�´���(�%¦c�T�f��~µUVP���RT~´P�}x�f��R%��S�¡<�fP(�� UVP>~µ����SV��­���P>~����]P������]Rh}<�µ§1��P�~���P>����P��µUVP>~´�f����¹º����P�}]��P�~�PL�k�f��SVQ���P�~´~��]� O � � S��:�T�f�

x, x′ ∈ O �_U#� P��_�:����S�P�}]��PH����°(­�U�P�¡<�fP x P�~�� �%Rh�.Q��(SV}]~µRh��~�~�S�¢:�T} �.¡<�fP x′ ʺ}]�h���x � x′ ÏL��RhU��T��~�~��T�]~�U9� �_Ø<�:�h���f­�~�P�¡<�fP � P�~��H�L�(Q��fUVP����]����Rh}]~�S¬��S¬¹ÄP�������Ò]PL�kSV¹Ä~��f�O �aU�P�Q��k�k­�U�P,�k�TSV�.��PL�����T�]°TP��D�LP�����P,�f���L¹º����P�}��LP¨Â F (u1(x1), . . . , un(xn)) ≥F (u1(x

′1), . . . , un(x′

n)) �¥a},¹�RTS¬��U�R7��P��f����~�P�}<��Rh��S��T}� ��k­�UVP1�kP�~*�f���L¹º����P�}]�LP>~£S�}]�k�fSV���kP�~*�L�(}<����RhS�}(��P�~H~��f�µ �(� v �]P��£}fPF�k�� ]}fSV���]RT~�§��]���(�f��P�Q�P�}<�£�]Rh��U�P����f}��L��SV��­���P��kP�°%RhU�S��kS¬���T�:Ôa� P�}k±~�P�QF¢fU�P*�fP�~�~��TU��k��S��T}]~µ�(¢k��P�}<�]P�~µ�L��Rh}<��P�}z«T��}]����RhUK°_S��kP��(�7S�}k ]}fS#�fS�U�P�~��´}]���LP>~c±~�RTSV��P��kP��k�L �}fSV�´�f}z�L��S¬��­���PH�kP*°%RhU�S��fS¬����Rh ]}7�kP����f�(S�~�SV�µ�f}fP��kP>~µ~��TU��k��SV�(}]~HÊ��]Rh�PL�kP�Q��fU�P��LP�U�U�P�¡<�fSt�f���k�k�]S¬�£U�P�~�~��L�(��P>~�«(UV�(¢]Rh�f�.UVP>~��fU��]~��kSV©:����P�}]�LS���~�Ï��

ÔXP>~ �kP��k�FRT�f�f���k���fP�~t�T}<�OU�P��]��~O�f���T�f��P�~�RI°%Rh}<��RT«TP�~tPL� SV}��L�T}_°(��}fS�P�}<��~��>PL�Ä��P��f°TP�}<�O³�����P�L�(Q��fUV��Q�P�}<��RTSV��P�~�� � �T���T}�~N¡<�X� P�}.Rh�]�fUVS�¡<�]Rh}<�aU�R�Q��L���]�_�fP[�,Æ�¤ � ¥ )�!~��f� O �TS�U]P>~c��:�(~�~�S�¢fU�P���� �T¢k��P�}fS��Ä�kP�~O~��L�T��P�~t«TU��T¢]RT�k��~��]���f}]P��>���fP�U�UVPµ�kP´�kS¬©K����P�}��LPT�IÔa� RI°%Rh}<��RT«TPN�f��L��SV��­���PH�fPH�kS�~c��Rh}]��PHP>~c�´¡<�X� �(}.�����(�f°TP����T�%¦c�(�f��~N�f}]P*~��TU��k��S��T}t�(QDRhS�~���S�P�}.}]PH«<Rh��Rh}<��SV�¡<�fPF��P�U�UVP�±Å��SX��P��f����~�P�}<��P�U�R���P�U�Rh��S��T}��kP��]����¹º����P�}]��P�SV}]�f�fS¬��PF�]RT�£U�P�~£~��L�(��P>~�«TU��T¢]RT�k�BÂ�T}G��P��k�aRI°T�(SV� §�U�R�¹º�TS�~ y(x) > y(x′) PL� F (u(x)) < F (u(x′)) �%P�}G}f�T��RT}(� F (u(x)) :=F (u1(x1), . . . , un(xn)) �%Æ£ ]}G��� ��°_SV��P��O��P��LS#�>�T}��:P��k� S�}]�L�(���:�T��P��XU�P�~O�L�(}<����RhS�}(��P�~X�f�fP�~Rh�f�F�f���L¹º����P�}��LP�~ �fRT}]~OUVP´�f���T¢]UV­�Q1P���� �T�f��S�Q1S�~�R%��S��T}t�hRh�F��S�~�¡<�fP��kP´}fPµ�����T�]°TP��ÄRT�]�L�f}]P~��TU��k��S��T}X�´Ôa� S�}]�L�(}<°(��}fS�P�}<�7P>~�~�P�}<��SVP�UH�kPÇU�RÃ~�P>�L�T}��kPBRh�]�f���k���fPBP�~��z¡<�X� SVU*}X� Ø R×�]RT~���(�%¦c�T�]��~*�kP�~��(UV�k��SV�(}X�KPL��¡<�fP1�]Rh}]~*�LP���R(~��:SVU }X� P�~����]RT~�~�SVQ��fU�P1�fP1~�RI°T�(SV��¡<�fP�UVU�P(Ê9~�Ï�f���L¹º����P�}]�LP<Ê�~�ÏNS�}_°TP���~�P��>�

� �(�]~��k������S�°T�(}]~HQ�RTSV}<��P�}]RT}(���fU��]~�~��:����S¬ :¡(�]P�Q�P�}<���LP>~*RT�f�f���k���fP�~��:~��fS�°%Rh}<��¡<�fPU�P�~´�����]P�U�UVP>~�~��(}(�£��Rh���kSV}�RhU�P�~µ�T���T���kS�}]RhU�P�~��

�5C3D � KYR \^K�JLU�N3H[K�MÔXP��L��SV��­���P���� P�����P��]��U�P��fUV��~µ¹º���>¡(�]P�}<�µP>~c��U�RG~��TQ�Q�P��kP�~���Rh�����>~N�kP>~´����RT����~�� | Rh}]~

U�PF��R(~£�1� F P>~c�HU9� SV}<����«T��RhU�P��kPD¤��f�k¡(�]PL���]RT����Rh�f�:�T����§D�f}]PG��RT�]RT��S¬���T��UVP��]���(¢fUV­�Q�P

���

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��� �T�k��SVQ�S�~�Rh��S��T}�~�� ������SV��Â�,SV}fS�Q�S�~�P�� ∑

x∈O

[

Cµ(u1(x1), . . . , un(xn)) − y(x)]2

� �(�]~´U�P�~��L�(}<����RhS�}(��P�~ µ(A) ≤ µ(B), ∀A, B ⊂ N, A ⊂ B,

P�}� f�fRh}<� µ(∅) = 0, µ(N) = 1 � �H}���P��k� Q1�(}<����P���¡<�fPµ�LP>�LS(~�PN��RhQ�­�}fPN§£�]}��f���T¢fU�­�Q�P¡<�]RT�f��Rh��S�¡(�]PG~��T�]~��L�(}<����RhS�}(��P�~HUVS�}f�>RhS���P>~ � � �>��� �#�X�fP 2n − 2 °%RT��S�Rh¢fU�P�~1ʺU�P�~*°%RhU�P��]��~�f��S�~�P�~´��Rh� µ �f~�Rh�k¹Ä~��]� ∅ P�� N Ï�PL� n(2n−1 − 1) ���T}<����RhS�}<��P>~��Ý»U:Ø1R����T�h¦c�T�f��~a�f}]PH~��TU��k��S��T}.§G�LP£�f���T¢]UV­�Q1P(�(QDRTS�~N�]RT~a¹º�T���L��Q�P�}(�µ�f}fS�¡<�fPT�_Ôa� P�}k±~�P�QF¢]UVP1�kP�~*~��(UV�f��S��T}]~£¹º�T��Q1PG�f},P�}]~�P�QF¢fU�PG���T}_°TP��kPT��ÔN� �����]�fPG�kP1U9� �f}fS��LSV���1�kP1U�R.~��h±U��k��S��T}�}t� P>~c�7��RT~7~�S�Q1�]UVPÇPL�7�:P��k�z³L����P������(�f°T��PB�fRT}]~ � =�� �Å� | �T}]}f�T}]~�±ÅP�}�¡<�fP�U�¡<�fP�~Rh�:P���®L��~�� � �f�f�:�(~��T}]~z¡<�X� SVU*ØÓRTS¬� l �k�(}f}f��P�~ x1, . . . , xl �fRh}�~ O �µP��x}f�T���(}]~ y :=[y1, . . . , yl]T UVPG°TP��L��P��f�H�kPGUVP��f��~�~��L�T��P�~£«TU��T¢]RT�k��� �H},�:P��k�*������S���PG~��(�]~�¹º�(��Q�P�°(P���±���(��S�P�U�U�P [dk]T u

U9� SV}<����«T��RhU�P��kPD¤��]�_¡<�fP����kP xk ∈ O ���1� uP�~���U�P�°TP>����P��f���kPG��RhS�U�UVP

2n − 2 �L�(}<��P�}�Rh}<�HU�P�~*°%RhU�P��f��~*�kP µ ��P�� dk P�~��*�f}°TP>����P��f���kPG��RhS�U�UVP 2n − 2 �L�(}(��PL±}]RT}(�´U�P�~´~����T��P�~µ�kP xk �kS�~��:�(~���~µ�kP*¹�RT®��T}xR(�k��¡<�]Rh��P(�(¥a}z¹º�(��QDRh}<�µU�RGQDR%����S��LP DT :=[d1, . . . ,dl] �fU�RGQ�S�}fS�Q1S�~�R%��S��T}��k������SV��­���P*��P�°_SVP�}(�£�k�(}]��§G�����T�f°(P�� u∗ ��P�Ut¡<�fP�Â

d(Du∗,y) = minu∈F(N)

d(Du,y)

�1� F(N) P>~c�µU9� P�}�~�P�QF¢fU�P*�fP�~µ��Rh��RT�LSV���>~�~��f� N �_PL� d U�R1�kS�~c��Rh}]��P�P����LU�S��kS�P�}]}fPT� F(N)�L��Rh}<�F�L�(}_°TPL�kP(��U9� P�}]~�P�QG¢fU�P7�kP�~��f���k�k�]S¬��~ Y := {Du | u ∈ F(N)} U9� P�~��FRh�]~�~�S9�XP���k�(}]�*SVUXP��kS�~���P��f}��f}fS�¡<�fP y∗ ∈ Y ¡(�]St~�Rh��S�~c¹�RTS¬��Âd(y∗,y) = min

u∈F(N)d(Du,y).

Ý»U:��P>~c��PH§�����~��T�]�f��P£U�PH~�Øk~c��­�Q�PDu∗ = y∗ �<�f�T}<��U#� �]}fS���S¬���*�fP�U�RF~��TU��k��S��T}.�k����P�}]�7�f���Rh}f«��kP�U�RxQDR%����S��LP

D� ¤�P��:P�}]�fRT}<���

u∗ �k�TSV��³L����P1Q1P�QF¢f��PD�kP F(N) �X��P�¡<�fSÄ��P�}��U#� �����]�kP��kP�U#� �]}fS���S¬�����L�TQ��fU�S�¡(�]��PT���H}x��P��k������­�~µ¢fS�P�}�RI°T�(SV�µ�f}z��RT}f«�����­>~µSV}k¹º����S�P��]�£§2n − 2 P���RI°T�TS��´�f}fP��f}fS�¡<�fP�~��TU��k��S��T}X�| � �f}z�:�TS�}(���kP*°_�fPHP��k������S�Q�P�}<��RTU9�_U�RFQ��L���f�k�kP�¡(��RT�k��R%��S�¡<�fP(�(¢fS�P�}�¡<�X� �T�k��SVQDRhU�PT��f����~�P�}<��P��kP>~´SV}��L�T}_°(��}fS�P�}<��~�Â

� � S�U�P*}f�TQG¢f��PH�kPH�k�(}f}f��P�~�P�~���¹�RTSV¢fU�PT�<U#� P�}]~�P�QF¢fU�PH�fP�~µ~��(UV�k��SV�(}]~����<~�~�SV¢]UVP>~N�:P��k�³L����P�«T��Rh}����fPL�HU�R.~��TU��k��SV�(}��f�T}f}f��P��]Rh��UVP>~£U��T«TS��LS�P�U�~£�kPF�f���(«T��RhQ�QDR%��SV�(}x¡<�]R%±�k��Rh��S�¡<�fPÇP>~c�,~��T�f°(P�}<� �IPL�_����³�Q�P �T��RT� ~�P�}]~����!P�UVU�P¯�L�T}<��SVP�}(��¢:P�RT�]�L�(�f�·�kP°IRTUVP��f��~F§ �BPL�1§ ß � ÔtR,��Rh�]R(�LSV���7RTSV}�~�Sµ�T¢k��P�}_�fPxSV}]�f�fS¬���kP�~1�L�(Q����(����P�Q�P�}<��~�f���k���fP>~´�k��Q1S�}�PL���k��QDR%�x���(�f��U9� S�}(����«(��RTUVP��kPG¤��f�k¡<�fPL�>�

� ÔtR���RhS�UVU�PH�fP�~�Q�Rh����S���P�~µ�k�7�]���(«T��RhQ�Q�P£¡(��RT�k��R%��S�¡<�fP*�L���%È��NPL�k�:�T}fP�}(��SVP�UVU�P�Q�P�}(�RI°TP�� n �:ÔtPF��P�Q��]~��kPG��RhU��L�fU#�KU�R.��RTSVU�UVP1Q���Q��TS���PT��RTSV}�~�SÄ¡<�fPFU�P�~*�f���T¢]UV­�Q1P>~��kPQ�Rh����S���P�~�QDRTUO���T}]�kSV��S��T}]}f��P>~��L���TS�~�~�P�}(���fPFQ�³�Q�PT�KÆ£S�}]~�S9� n = 8 P�~��*�k��¦�§D�f}fP°IRTUVP��f�´SVQ��:�T����RT}(��PT�fP���SVUXP>~c�£S�U�UV�]~��TS���P*�kP�°(�T�fU��TS���RhU�UVP��£Rh�k±»�kP�U�§1�kP n = 10 �| P�~ÄRhU�«T�(��SV���]Q1P>~t�]P��f��S�~���S�¡<�fP�~ ~��T�]~�±Å�T�k��SVQDRh�f��PL�kS�~���P�}<���%�L�(Q1Q�P��LP�UV�]Sf�kP´Ýc~��fS�SkPL�� �f«(P�}f� � � �Å�>P����,�T��S<P����,�f���T¹º�]~��fS � � ���#� � RT~���~��f�Ä�LPµ�kP���}fS�P��>��U#� RT�k��P��f�ÄR£�f���T�:�(~��N�]}

RhU�«T�(��SV���]Q1P���� �T�k��SVQ�S�~�Rh��S��T} � � ß �Å�t¡<�fSÄ¢fS�P�}¯¡<�fPD~��(�]~c±Å�T�f��S�Q�RTU9��R��kP>~���P���¹º�(��QDRT}]�LP>~Q�P�S�UVU�P��]��P>~�¡<�fP*�LP�U�U�P�~µ�kP�~N��P�}(��R%��SV°(P�~a�]���>�L���fP�}<��P>~��_ÔXP*�L��S¬��­���P£�k��S�U�S�~�����P�~���PHUVP*�L��S¬��­���P�kPDU#� P�����P��]��¡(��RT�k��R%��S�¡<�fP(�tRh�]¡<�fP�Ua�T}¯RT�f�fU�S�¡<�fPDU�PD«T��RT�kS�P�}<�>�XÔa� S��k��P7�kPD¢]R(~�P.�fP.�LPL�RhU�«T�(��SV���]Q1P�P�~��µ¡<�fPT�<P�}7U9� Rh¢]~�P�}��LPH�fP£���(�k��PHSV}f¹º�T��Q�Rh��S��T}X�<U�R�QDRh}fS�­���P�U�R�Q��TS�}]~�Rh��¢fS¬±����RhS���Pµ��� Rh«(����«TP��tU�P�~Ä~��L�T��P�~�P�~��ÄU�R*Q��%ØTP�}f}fP´Rh��S¬���fQ��L��S�¡<�fP(�I�T� P>~c��±Å§h±Å�fSV��P��]}fP´SV}<����«T��RhU�P

�1�

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¥Ä�fRhQ�S�}f�T}�~´Q�RTSV}<��P�}]RT}(�£U�P�~�Rh�f�f���k���fP�~��f�,~�P>�L�T}��.�cØ_�:PT�]����UVP>~£~����T��P�~´«(UV�(¢]Rh�k��kP>~D�T¢k¦cP���~.�fP O ~��(}<�.��P�Q1�]U�RT����~��]RT�D�f}fP���P�U�R%��SV�(}Ó��� �T���k��P � �N¡<�fP�U9� �T}Ú~��f�f�:�h±~�P���Rx���LÒ�PL�kSV°(PT������RT}]~�S¬��SV°(PT��QDRhS�~��]R(~�¹º�T���L��Q1P�}<�F�L�TQ��fU�­L��PT� �H} �f��~�SV��P1�����T�f°(P����f}fP��RT�]RT��S¬��� µ ��P�UVU�P�¡<�fP

x � x′ ⇔ Cµ(u1(x1), . . . , un(xn)) > Cµ(u1(x′1), . . . , un(x′

n))

�:�T�f�����T�k� x, x′ ∈ O ��ÔN� P>~���RT�LP.�fP�~�~��TU��k��S��T}�~��X~�� S�UNP>~c��}]�T}¨°_S��kP(�XP�~��F�f}¨�:�TU�ØT­>�k��P�L�(}_°TPL�kP(�(P��µS�U�SVQ��:�T����P��kP*UVP*���>�k�fS���P*U�PH�fU��]~µ�:�(~�~�S�¢fU�PT�_�f�fS�~´�kP����f�TS�~�S��µ�f}fP�~��(UV�k��SV�(}�]RT����S����fUVS�­���PB§¯U#� SV}<������S�P��]���µÆ� ]}!�fP,UVPÇ���>�k�fS���P(�N�(}Ú��P��k�zRh¦c�T�k��P��x�fP�~7���T}<����RhS�}<��P>~PL�k�f��S�Q�RT}<�´¡<�fP�U#� �(}x�k�>~�S���P*�f}��LP�����RhS�}.�cØ_��P��kP���Rh�]R(�LSV����Ê���RT�]RT��S¬��� k ±ÅR(�f�kS¬��SV°(PT�_°T�(SV�� P>����S��T}G�hÏL�Ä�T�Ã��P�����RTSV}]~1�L�(Q����(����P�Q�P�}<��~1�kP�U�R,¹º�(}]����SV�(}Ã��� Rh«(����«(R%��SV�(} �kP�~�~��L�(��P>~ʺS�Q����(����Rh}]��P�~ �kP>~Ä�L��S¬��­���P�~��>S�}<��P���R(����S��T}xÂ%°T�(SV� ��«<RhU�P�Q�P�}<� U�R � P>����SV�(}!�hÏL�%² �T�f�a���f�(S�~�S���f}fP�~��TU��k��S��T}X� �,RT��S����]RhU�PL� >��T�]¢�P�}]~ � = � ���f���(���<~�P�}<�µ�kP*QDR%�kSVQ�S�~�P��NU#� �>��RT���µP�}<����PHU�P�~~��L�T��P�~N«TU��T¢]RT�k�.��RTU����fUV�>~N��Rh�µUVP*Q��_�f­�U�PT�_���(�f�µUVP>~��(¢k¦cPL��~��fP O �k¥a}7P�©:P����f~�S�U#� P��k��P����P�~���S�Q�P�¡(�]P x � x′ �h�h� P�~��a¡<�fP x P>~c�´¼�� �T�]� � À��h�9�É�%¿LÎD¿��]�OQ1P�SVU�U�P��f�Ä¡<�fP x′ �%PL�a�k�(}]��UVP��f��~~��L�T��P�~t«TU��T¢]RT�k���k�TS�°TP�}<����PLÒ]����P��Ä��PL����Pµ�fS¬©K����P�}]��Pµ~�P�}�~�S�¢fU�PT�T¤�P���S(�:P��k�a~�� P��k�f��S�Q�P��O�]Rh�U�P��f���(«T��RhQ�Q�P�U�SV}]��RhS���P�~��fS�°%Rh}<��Â

�BR%�kSVQ�S�~�P�� ε� �(�]~´U�P�~£���T}<����RhS�}<��P�~ε ≥ 0

Cµ(u1(x1), . . . , un(xn)) ≥ Cµ(u1(x′1), . . . , un(x′

n)) + ε, ∀x, x′, x � x′

µ(A) ≤ µ(B), ∀A, B ⊂ N, A ⊂ B,

P�}× f�fRh}<� µ(∅) = 0, µ(N) = 1 � �H}×�:P��f�1�����(�f°TP��G�fRT}]~8� � ���f}fP��kP>~�����S��k��S��T}Ã�kP�LP�����P�Q��L���]�_�fPT��RTSV}�~�SO¡(�t� �f}�P��kP�Q��fU�P�����RhSV�����]RT���LP�����PFRh�f�]���k���fP(�kPL�H���TQ��]Rh����RI°TP>�U#� RT�f�f���_���]P*�k������SV��­���P���� P�����P��f�>�

��T�k�N��P�¡<�fP�}f�T��~aRI°T�(}]~ PL�k�:�(~��£�LSV±Å�kP>~�~��]~Ä���T}]��P���}fP�U9� S�}(����«(��RTUVP��kP*¤��]�_¡<�fP��a�]Rh���Rh�f�:�T���H§D�f}]PG��RT�]RT��S¬���T� �H},��P��k��«T��}]����RhU�S�~�P��£~�Rh}]~���P�SV}]PGRh�f��Q��k�k­�UVP>~£¢fS����(U�RTSV��P�~ʺ¢]S¬±»��RT�]RT��S¬����~��kPL���T� ÏL�

�5C B � KYR]V�JLU[N�H�KYM¥a}Ç�f��P�Q�SVP��HU�SVP��X����P�QDRh��¡<�f�T}]~H¡<�fPFU�P�~�~����>�LSV ��LSV���>~*�f�Ç��R(~*�T���kSV}�RhUO��P�}]�kP�}<����R%±

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��³�Q1P*~�S�U9� �T}x~�PH�fU�R(�LP��]Rh}]~�UVP*��R(~a�1� L P�~���U#� S�}<��P���°%RhU�U�P [0, 1] �(��PH¡<�fS:��P���Q�P��µ�kP�k�� ]}fS��£U9� P�����P��f��¡<�]RT�f��Rh��S�¡(�]PHQ��%ØTP�}f}fP(�kUVP��f���T¢]UV­�Q1P��kP�Q�S�}fS�Q1S�~�R%��S��T}z�T¢f��P�}_��RI°TP>�U#� S�}<����«(��RTUVP£�fP � �f«(P�}f��P>~c�µ�kS¬Õ.��SVU�P�§�����~��T�]�f��P(�h��Rh�N¹�RhS�~�RT}<�aSV}<��P���°(P�}fS��aU�P�~N�T�:����R%��S��T}�~∨,∧, 6, 7 �:}f�T}ÇUVS�}f��RTSV��P�~HPL��}f�(}B�k����S�°IRT¢fU�P�~�� | Rh}]~���PG��R(~��:S�UO}]PG��P�~���P1¡(�]PGU�P�~*Q��L±���]�_�fP�~Ä�kSV��P>~ Q1����Rh±#�fP��f��S�~���S�¡<�fP�~µÊ�RTUV«(�T��S¬���fQ�P�~�«T��}]�L��S�¡<�fP�~��%��P��L�]S¬�Ä~�S�QF�]UV�(�%PL���T� Ï��:�T�f�����~��T�]�k��P�U�PF�f���T¢]UV­�Q1P(��Ý»UOØ�R7¡<�fP�U�¡<�fP>~£����RI°%Rh�f���fRT}]~*�LPL����P1�kSV��P��L��S��T}X�:¢fS�P�}¡(�]PFU�R�fU��f�]RT���£~��TS�P�}<�£Rh�f�fU�S�¡(�]��~´P�}z¹�RTS¬��§1U#� S�}<����«(��RTUVP��kPG¤��f�k¡<�fP��7� ��k�L�� k� � �Å�

¥a}��P�°%Rh}]���fP(��U�PD��R(�k��PG�T���kS�}]RhUOP�~������T�f��±»§%±#¹�RhSV�����TQ��]R%��SV¢]UVP�RI°TP>��U�P�~�Rh�f�]���k���fP>~�k�7�cØ<�:P���P��f����~�P�}<��Rh��S��T}.�kP>~��]����¹º����P�}]��P�~����}fP��L�����kP*�f�L��RTSVU�U���P��kP*��PL����P�Rh�f�]���k���fP*R�L����¹�RhSV��P��]RT� >�S����,¿L�´À��h�<;����]Rh}]~´U�P���RT~´���xU�P�Q��k�k­�U�P�P�~��£U9� SV}<����«T��RhU�P��kP � �f«TP�}f���]Rh���Rh�f�:�T���£§G�]}fP���Rh��RT�LSV���!� � ß �Å� � �T�]~´P�}��f�T}f}f�(}]~´¢f��SV­�°TP�Q1P�}<�´U�P�~´����~��fUV��Rh��~��

�H}Ú~��]�f���<~�P,¡<�fP�U�P�~.¹º�T}]�L��S��T}]~7��� �f��S�UVSV���B~��T}<�7���T}]~������fSV��P�~��aP��7�f��P�}f}fP�}<�.UVP��f��~°%RhU�P��f��~a�fRT}]~Ä�f}]P������fP�UVU�P L �f}fS����(U�RTSV��PaÞTRTSV}�~�Sf�(}���P��k���L�(}]~�S��k����P��a¡<�fP�U�R��]����¹º����P�}]��P� �kP.U#� P��k��P����FP>~c�GPL�k�f��SVQ���P.�fSV��P��L��P�Q�P�}(�1~��f� Ln ��Æ��f�:P�U��T}]~ A ⊂ Ln U9� P�}]~�P�QG¢fU�P�L�(����P�~��:�T}]�fRT}<�µ§ O � | S�~���S�}f«T�f�(}]~��kP��f�x}fS�°TP>Rh�k�7�kP���P��]���>~�P�}(��R%��SV�(}X�

� U�R�Ì�¿»Ë:Ì���¼�¿��]�»�%�#���%��ÁL�%Ì��»¿L���1��U�RD��Rh��RT�LSV��� µ �k�(S¬�H³L����P���P�UVU�PF¡<�fP Sµ(a) ≥ Sµ(b)~�S�P���~�P��fUVP�Q�P�}<�£~�S a � b Þ� U�R7Ì�¿ÅËKÌ��L¼L¿��]�»�%�#���%��ÁL�h��½L��¿L�f���.U#� �(}7P�Q��:³����fP*~�S�Q��fU�P�Q�P�}<�´�f}fP*SV}_°TP���~�S��T}� a � bSVQ��fU�S�¡<�fP Sµ(a) ≥ Sµ(b) ��H}D�:P��k�µ��P�}]~�P���R��]��S��T��S]¡<�fP�U�R���P��f����~�P�}<��R%��S��T}G¹�RhS�¢fU�PH���T}_°_SVP�}(�aQ�S�P��k�.§�U#� SV}<����«T��RhU�P

�kP � �]«TP�}]���fP*��Rh�£~�P�~´�f���T�f��S��L���>~�Ê�~����]RT��RT¢fSVU�SV���*¹�RhS�¢fU�P��kSV��P��L��S��T}f}]P�U�UVPIÏ��� �f�]���<~��(}]~H¡<�fP�U�P�~*�T¢f¦cPL��~��fRT}]~ A �f�]S�~�~�P�}<�*³�����PG��P�«(���(�f���>~£P�} p �LU�RT~�~�P>~H�X� S�}k±�kSV©:����P�}]�LP [a1], . . . , [ap] �]Rh� ∼ �NU�R ��Rh����S�PÇ~�Ø<Q�������S�¡<�fPB�kP � ��P�}�}_�fQ������h��Rh}<�x�kP¹�RT®��T} §,��P7¡<�fP a1 ≺ · · · ≺ ap �OÔtP.�f���T¢fU�­�Q�P7�kP7U�R���P��]���>~�P�}(��R%��SV�(}ǹº�(����P.��P�°_SVP�}<�§�����T�]°TP�� p °%RTUVP��f��~ α1 < α2 < · · · < αp

�]Rh}]~ L �Ä��P�UVU�P�~x¡<�X� S�U£P��_S�~���P,�f}]P,��R%±�]R(�LSV��� µ °T����SV �RT}(� Sµ(a) = αi���:�T�f�z���(�k� a ∈ [ai] � i = 1, . . . , p ��¥a} �LP¨¡<�fS

�L�(}]�LP���}]PaUVPµ�f���T¢fU�­�Q�PN�fP�U�R£��P��f����~�P�}<��R%��S��T}*¹�RTSV¢fU�PT�IS�U<~��kÕ��Ä�kPN�����(�f°TP�� p−1 }f�(QF¢f��P�~0 =: α0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αp := 1 �fRT}]~ L ��P�U�~£¡<�X� S�UXPL�kS�~c��P��f}fP���RT�]RT��S¬��� µ °(����S¬± �RT}(� αi−1 ≤ Sµ(a) ≤ αi

�k���(�f�´���(�k� a ∈ [ai] � i = 1, . . . , p �¥a}Ç}f�h��Rh}<�H�L�(Q�Q1PG�f�����k��Q1Q�P�}(� σ �f}]PF�:P���QF�k��R%��S��T}Ç~��f� N ¡<�fSO���>Rh����RT}f«TP�U�P�~~��L�T��P�~1�]RT���T���k��P��L���TS�~�~�RT}(�>��U#� P�}]~�P�QG¢fUVP��kP>~D��RT�]RT��S¬����~G��P�UVU�P�~.¡<�fP Sµ(a) = α P�~��}f�(}�°<S��kPF~�S aσ(n) < α �(� aσ(1) > α �:PL��P>~c�*U9� SV}<��P���°IRTUVU�P [µa,α, µa,α] �:�1�����(�f�£���T�k�A 6= ∅, N

µa,α(A) :=

{

α ~�S A ⊂ A(i>a,α)

1l ~�S�}f�T}

µa,α (A) :=

{

α ~�S A(i≥a,α) ⊂ A

O~�S�}f�T}

RI°TP>� i≥a,α ∈ N ��P�Ua¡(�]P a(i≥a,α−1) < α ≤ a(i

≥a,α)

��PL� i>a,α ∈ N ��P�Ua¡(�]P a(i>a,α−1) ≤

α < a(i>a,α)

�]Ôa� P�}�~�P�QF¢fU�P��kP�~£~��TU��k��SV�(}]~´���(�f�£U�R1��P��f���>~�P�}<��R%��SV�(}.¹º�(����P*P>~c��RTUV�(��~µU#� S�}k±��P���~�P��L��S��T}��kP*���(�]~£�LP>~´SV}<��P���°IRTUVU�P�~��k�:�T�f�´���T�k� αi

�Ôa� P�}�~�P�QF¢fU�P��kP�~H��Rh��RT�LSV���>~�~��(UV�f��S��T}]~£�f�z�]���(¢fUV­�Q�P��kP���P��f����~�P�}<��Rh��S��T}x¹�RhS�¢fUVP�P>~c�

°_S��fP*~�SKPL��~�P��fUVP�Q�P�}<�´~�� SVU:PL�kS�~c��P i ��P�U�¡<�fP a(1) > αi�:�T�]���f}��LP�����RhS�} a ∈ [ai] �T�7~�� SVUPL�kS�~c��P i ��P�UÄ¡<�fP b(n) < αi

�:�T�f�*�f}¨�LP�����RhS�} b ∈ [ai+1] �KPL��~�SV}f�(},P�~����f}BS�}<��P���°%RhU�U�P

� �

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[µ, µ] ��RI°TP��

µ (A) =

p−1∨

i=1

a∈[ai+1]

µa,αi (A) , µ (A) =

p−1∧

i=1

a∈[ai]

µa,αi (A) .

�£}]PµRT�k����PµRT�f�f���k���fP�R*�L�����]���(���<~���PN�]RT� >£�T�f¢:P�}]~5� ��]�2=1��Å�%¢]RT~���P´~��]�OU#� SV}<����«T��RhU�P�kP,¤��f�k¡<�fPL�>� �H}×~��]�f���<~�P�¡<�fP�~��f�D���]R(¡<�fPxRh������S�¢f�k� Xi

� UVP�~��%¦cPL�DP�~��D��Rh��Rh¢fU�Px�kP�L�(Q��]Rh��P���U�P�~1�(¢k¦cPL��~7ʺ��P�U�R%��SV�(} �i

ÏL� ²O�(�f���kP�~G�T¢k¦cP���~ x, y �O�T} �:�(~�P Ri(x, y) = 1~�S xi �i yi� PL� �B~�SV}f�(}X� | � Rh�f����P7�]RT���>��U�Pz~��%¦cP��1P>~c����Rh��Rh¢fU�Px�kPz��Rh}f«(P��F�fRT}]~��kP�~

��Rh����«T�T��S�P�~Ä�(���k�(}f}f��P�~ C1, . . . , CmUVP>~��fS¬©K����P�}<��~N�T¢k¦cP���~µ�kP O �_�f�L ]}fS�~�~�RT}(�µRhS�}]~�S��f}fP�]RT����S¬��SV�(}z�kP O P�} O1, . . . , Om

�k² �T�f� i < j �fUVP�~��%¦cPL�£P>~c��SVQ�P�¡<�fP x ∈ OiP>~c�£Q��(SV}]~

¢:�T} Ê�RT�,~�P�}]~£~�����S��L��Ï�¡<�fP y ∈ Oj� �H},�f�L ]}fSV�HU�P�¼�À��%Ì�¿1ÎD�%Ì �T�É�:�h�t�K¿L�£�kP x ∈ O ~��f�

U#� Rh������S�¢f�k� i �]RT��ÂSi(x) :=

y∈O

[Ri(x, y) − Ri(y, x)].

�H}��P��k��Q��T}<����P���¹�R(�LS�UVP�Q1P�}<��¡<�fP SiP>~c���]}fP���P��f���>~�P�}<��R%��SV�(}ÃÊ�Q1P>~��]��RT«TP1�T���kSV}�RhUÉÏ

�kP �i�NRh�Ú~�P�}]~.�1� xi �i yi ⇔ Si(x) ≥ Si(y) ��ÔtP�~�¹º�(}]����SV�(}]~ S1, . . . , Sn

~��(}<��L�(Q�Q1P�}]~��f��RT¢fU�P�~��K��Rh��P�U�U�P�~�°(���fS��L�fU�P�}<�����(�k��P>~�UVPDQ�³�Q1PD~�P�}]~DÊ�}f�TQG¢f��P��fP�¹º�TS�~�~��f��f}��L��SV��­���P*�1� x P�~��´Q�P�SVU�UVP��f�£�kS�Q�SV}_�f���k��}f�(QF¢f��P*�fPH¹º�(S�~´���xS�UXP>~c��¢]Rh�����:Ï��]��� Rh�f����P�]RT���£�(}z�:P��f��UVP>~£�L�(}]~�S��k����P��£�L�(Q1Q�P��kP>~������]P�U�UVP>~£�kP���R%��S��]�f��Rh�£�]}fP�QF�fUV��S��fU�S���R%��SV�(}�]RT�£�f}fP1�L�T}�~c��Rh}<��P��:�(~�S¬��SV°(P�}fPF����Rh}f«(P��]RT~�UVPF~�P�}�~���Ý»UtP�~��*�f�T}]���:�(~�~�SV¢fU�P���� �k��S�U�S�~�P��SN

1 , . . . , SNn�_¡<�fSK~��(}(�µUVP>~N°(P���~�S��T}�~Ä}f�T��QDRhU�S�~���P>~ÄP�}<����P ��PL� ß ���,Rh��S�����RhU]P�� >��(�f¢:P�}]~

�f���T�:�(~�P�}<��RhU��T��~H��� �k��SVU�S�~�P�����P�~�~��L�(��P>~�}f�(��QDRTUVS�~��>~H�]Rh}]~��f}]P1S�}<����«T��RhU�PG�kP7¤��f�k¡<�fPL��:�T�f�£��RhU��L�fU�P����f}�~��L�(��P*«TU��T¢]RTU��kP����]RT¡<�fP��(¢k¦cPL�>�f~��(S¬� Cµ(SN

1 (x), . . . , SNn (x)) ��H}7��°_S¬��P�RTSV}�~�S�U�P�~´S�}]�L�(}_°T��}]SVP�}(��~��fP�U9� SV}<����«T��RhU�PH�fP � �f«TP�}f�]�_���T�k��P�}z��P�~���P>����RT}<�

U�P���Rh��RT�L��­���P��(���kS�}]RTU �fP�~��k�T}]}f��P>~���¤�P���P�}]�fRh}<�>�:U�P�~�~��L�(��P>~�}]PL��~��X� �f}�T¢f¦cPL� x ∈ O�k����P�}]�kP�}<��¹º�T����P�Q�P�}(�´�kP£���T�]~�U�P�~NRT�k����P�~N�T¢k¦cP���~µ�fRh}�~ O �_RhU��T��~N¡<�X� �f}7~��L�(��P£�fP�°_��RTS¬���PLÒ]����P���U�R�¡<�]RhU�S¬����SV}<����S�}]~�­>¡<�fP���� �]}z�(¢k¦cPL��~�P�U��T}z�f}��L��SV��­���PT�¤�P���SN����Rh}<�>��S�U���P�~���Px§,�k�L��P���Q�SV}fP��FU�R,��RT�]RT��S¬��� µ � � S�U#� �T} °(P��k�G¡<�fPxUVP7Q1�k�k­�UVP~����]RT��P��L�(����P��L��P�Q�P�}(�´U�P�~£��U�R(~�~�P�~ C1, . . . , Cm

�kSVU�~��kÕ���¡<�fPCµ(SN

1 (x), . . . , SNn (x)) − Cµ(SN

1 (x′), . . . , SNn (x′)) ≥ ε,

�:�T�f�*���(�k��P1�]RTSV��P (x, x′) ∈ Oj × Oj−1� j = 2, . . . , m �KPL� ε > 0 � �H}B�:P��f�������f�fSV��PU�PG}f�(QF¢f��PG�fP1���T}<����RhS�}<��P�~HP�}ÇSV}<�����k�k�fS�~�Rh}<�H�:�T�f�����]R(¡(�]PG�LU�RT~�~�PFU�P�~*P�}]~�P�QG¢fU�P�~��kP�~

�T¢f¦cPL��~��f�TQ�SV}]��~´PL���f�TQ�SV}�Rh}<��~�ÂNdj := {x ∈ Oj |6 ∃x′ ∈ Oj \ {x}, x ≥ x′}

NDj := {x ∈ Oj |6 ∃x′ ∈ Oj \ {x}, x′ ≥ x}

RI°TP>�.U�RB��P�U�R%��SV�(}Ã�kP��k�(Q1S�}]RT}]�LP��k�L �}fSVP��]RT� x ≥ y ~�S�P���~�P��]UVP�Q1P�}<�D~�S xi �i yi�

i = 1, . . . , n �kÝ»UX~��fÕ1�£RTUV�(��~µ�kP��L�(}]~�S��k����P���U�P�~´�L�(}<����RhS�}(��P�~µ�LSV±Å�fP�~�~��]~µ�:�T�f�´U�P�~µ�]RTSV��P�~(x, x′) ∈ Ndj ×NDj−1

� j = 2, . . . , m �f¤�P>~´�L�T}<����RTSV}<��P>~��<R%¦c�(�k����P�~µRh�k�7���T}<����RhS�}<��P�~�kP�Q��T}f�T���(}fSVP��kP µ �K¹º�T��Q�P�}<�*�]}Ç�f���T«(��RTQ�Q1PGUVS�}f�>RhS���P1�1�ÇU�R7¹º�T}]�L��S��T}�T¢k¦cP>����S¬¹NP>~c�~�SVQ��fU�P�Q�P�}<� max ε �ÔXP¨Q��k�k­�U�P ����Rh}<��P�}<��SV­���P�Q1P�}<�B�k�L��P���Q1S�}f�(�£SVUF¹�Rh�k�,QDRTSV}<��P�}]Rh}<��³L����P ��Rh�]RT¢fU�P��� ��°%RhU��fP��D�f}Ã�(¢k¦cPL�.¡<�fP�U����T}]¡<�fP x ¡<�fS�}X� Rh�f��Rh����S�P�}<�D�]RT~�§U9� P�}�~�P�QF¢fU�P���� RT�f�f��P�}k±��S�~�~�RT«TP O �µ�h� P�~���±»§%±»�kS���P��kP�U�P,�LU�RT~�~�P��.�fRh}]~.U9� �f}fPB�fP�~.��R%����«T�(��S�P�~ C1, . . . , Cm

���R

�]ß

Page 33: Evaluation subjective - CORE · Evaluation subjective Michel Grabisch To cite this version: Michel Grabisch. Evaluation subjective. D. Bouyssou and D. Dubois and M. Pirlot and H

��­�«TU�P�P�~���U�R�~��fSV°%RT}(��PDÂx ∈ Cj

~�S zj ≤ Cµ(SN1 (x), . . . , SN

n (x)) ≤ Zj

x ∈ Cj ∪ Cj−1~�S Zj−1 ≤ Cµ(SN

1 (x), . . . , SNn (x)) ≤ zj .

RI°TP>� zj := minx∈NdjCµ(SN

1 (x), . . . , SNn (x)) PL� Zj := maxx∈NDj

Cµ(SN1 (x), . . . , SN

n (x)) �ÔXP>~OSV}<��P���°%RTUVU�P�~ [zj , Zj ]�L�(}]~c��S¬���fP�}<�Ä�f}1�T���k��P���� SV}<��P���°IRTUVU�PT�IQDRhS�~O�]RT~O}f�>�LP>~�~�RhS���P�Q�P�}<�

�f}7¡<�]R(~�SV±Å�T���k��P(�h² �T�f���f}fPHPL�k�fU��TSV��R%��SV�(}.�k�L��RhS�UVU���P*�k�7��U�R(~�~�P�Q�P�}<�N}]�T�]~���P�}_°T�%ØT�(}]~OUVPU�P�����P��f�£§8� =*=��#�� pKqGr &´s�xs�2µr 6�r�{�u�q v�&./ 6��%u�qzyarO{Lu�q v $36���s�2��76�r�{LuFq

� �f�]���<~��(}]~�¡<�fPHUVP*Q��k�k­�U�P*RTS¬�´�L���H�(¢k��P�}_�.�]Rh�µU#� �f}]P*�kP>~µQ1�����f�k�kP>~´��� S��kP�}(��S¬ :��R%±��S��T}Ç�LSV±Å�kP>~�~��]~��]�h� P�~���±»§%±»�kS���PG¡(�]P�U9� �T}Ç�L�T}]}]RIÈ���U�P�~�¹º�(}]����SV�(}]~*��� �f��S�UVSV���GPL�HU�R�¹º�(}]����SV�(}��� Rh«(����«(R%��SV�(} F �fÔXP>~N¹º�(}]����SV�(}]~���� �k��S�U�S¬��������RT�k�fS�~�P�}<�µU�P�~´Rh������S�¢f�k��~��fP*U#� �T¢k¦cP����k¡<�fP�U�UVP¡<�fP�~��(S¬�DU�P��f�D}�R%���]��P(�ÄP�}Ú~����T��Pz¡<�]RT}<��SV��R%��S¬¹*�T� ¡<�]RhU�S¬��R%��S¬¹c�aP��7�kP��LPz¹�RhSV�.�T}<�D�f}fPS�}(��P����f���L��Rh��S��T}¨�LU�RhS���P(��²ÄRh�F���T}<����PT�X�fRT}]~�U�P.��R(~�«T��}f����RhU F �L��Rh}<���f}fPDS�}<����«(��RTUVPD�kP¤��f�k¡<�fPL�H�T�,�kP � �f«TP�}f�]��SVU�}X� P>~c�H�]RT~H~�S�Q��fUVPG��� RI°(�TS����f}fPF���TQ��f�����fP�}]~�SV�(}zS�}<���fSV��S�°TP�kP�U�R£¹�RT®L�(}��k�T}<� F Rh«T��­�«(PÄUVP>~�~��L�(��P>~�� �H���>���(�f����P�����RTSV}fP>~tRT�f�fU�S���R%��S��T}�~Nʺ°(�TS�� � P>����SV�(} (ÏL�]�LP>�LS��:P��k��~�� RI°T����P��´�kP��f��P�Q�S�­���P�SVQ��:�T����Rh}��LPT�

Ý»U´Ø RÇ�fPz}]�TQF¢]��P��]~�P>~�¹�R(®L�(}]~���� S�}<��P����f���L��P�� F �Ä��}_�fQ������T}�~c±ÅP�} ¡<�fP�U�¡<�fP>~G�]}fP�~�]RT��Q�S�U�P�~´�fU��]~£~�SV«(}fSV ���Rh��S�°TP�~��� UVP>~Ä�kP�«(���>~ORI°(P��NUVP>~�¡<�fP�U�~ F P�~��a�f���k���fP´�k��Q�SV}�Ê ∧ ÏOP��N�k��QDR%�7Ê ∨ ÏL�_¤�P�~Ä�fP�«T����~SV}]�fS�¡<�fP�}(�*~�S F RT«T��­�«(P*U�P�~H~����T��P�~£�fP�QDRh}fS�­���P��fU��k��ÖT�H�L�(}%¦c�T}�����S�°TP.Ê���P�UVS���~��]Rh��f}[�cP��'��ÏK�T���fS�~�¦c�T}]�L��S�°TP�Ê���P�UVS���~t�]Rh�t�f}[�c�(� ��Ï��I¤�P>~t�kP�«T����~��(}<�t�L���aSV}<�����k�k�fSV��~t�]Rh�¸NRh«TP��,� ß ��� �tÊ��fP�«T����~ �kP��9�hÌ��:¿L¼�¼��:PL���9�h� Ù �K¿�¼�¼��9Ï��:�T�f�ÄU�P�~ Q��%ØTP�}f}fP>~t�:�T}]�f������P�~�T���k�T}f}]��P�~GÊ � � ÆHÏL�X¡<�fSÄ~��(}(���kP�~*S�}<����«(��RTUVP>~H�fPD¤��f�k¡<�fP��*���BU�Rx��Rh�]R(�LSV���FP>~c�~�Ø_Q��L����S�¡<�fP1Ê µ(A) }fP��k���:P�}��z¡<�fP��fP |A| Ï��

� U�R��f����~�P�}��LP��kP�°(PL���<~´PL�H�fP�¹�RI°TP��]��~��� � �Å� �H}��kSV�H¡<�fP�U�P��L��S¬��­���P i P>~c�£�f}�°(PL���~�S ¡<�fP�U�¡<�fPG~��TSV�HU�PG°(P��L��P��]�H�kP�~����T��P�~ (a1, . . . , an) �K�T}ÇR F (a1, . . . , an) ≤ ai�� SXU#� S�}f��«<RhU�S¬����P�~��£��P�}<°(P���~���PT�_�T}��kSV�HRhU��T��~´¡<�fP i P�~��£�f}��L��SV��­���P��kP�¹�RI°TP��f�>�fÔXP�~~�SV���]Rh��S��T}]~��1� i P>~c�F�]}°(PL�����T�¯�f}fP�¹�RI°(P��f�F�L��RT}<���fUV�f��Öh�G��RT��P>~��>�,RT��S����]RTUaR�k�L ]}]SX�f} Ù ¿ �hÌ�� Ù ¿��%¿��Å��ʺ¹�RI°TP��]��Ï��:�T�f��U#� S�}<����«T��RhU�P*�kPG¤��]�_¡<�fP��7� =�� �Å�

� UVP��kP�«T���*�X� S�Q����(����Rh}]��P���� �]}�����SV��­���P(��¤�P��kP�«(����S�}]�kS�¡<�fP�UVP��:�TS��f~�Q��%Ø(P�}���� �]}�L��S¬��­���P1�fRT}]~�U�P1Q��k�k­�UVP(� � �]Rh}�� F P�~���U�R�~��TQ�Q�P1�:�T}��k������P(�X�LPD�kP�«(������� SVQ1±���(����Rh}]��P1P>~c�F~�S�Q1�]UVP�Q1P�}<��U�Rz�:�T}]�k����Rh��S��T}¨~��]��UVP.����SV��­���P�P�}¨¡<�fP>~c��SV�(}X� | Rh}]~UVP���R(~´��� �]}fP�SV}<����«T��RhU�PH�kPF¤��f�k¡<�fP����k}f�(�]~�RhU�UV�(}]~µ°T�(SV�´¡<�fP��LP��kP�«(���*�:P��k�£³�����P�k�L ]}]St�L�(Q1Q�P�U�RG°%RTUVP��f�£�kP � �]RT�fU�P�ØT�

� UVP£�kP�«T������� S�}<��P���R(����S��T}1P�}<����P��L��SV��­���P�~�� � Sf}]�T�]~Ä��P��]��P�}f�T}]~OU#� P��kP�Q��fU�P£�kP�U�R � P���±��S��T} � � ��RI°TP>��UVP>~ � �(¢k¦cPL��~ a, b, c �t}f�(�]~FRI°(�T}]~�U�§��f}¯P��kP�Q��fU�P7��� SV}<��P���R(����SV�(}P�}<����P��L��S¬��­���P�~ ��RT�OU�R�~�R%��S�~�¹�RT����SV�(}G�kP�U#� �f}DRh«TSV�a~��]�ÄU�R*}f�>�LP�~�~�S¬���´¡<�fP´U#� RT�k����P��L��S¬±��­���PG~��TSV�H��«(RTUVP�Q1P�}<�H~�Rh��S�~c¹�RTS¬�*���(�f��RI°T�TS��£�f}~����T��P�«TU��T¢�RhU�~�R%��S�~�¹�RhS�~�Rh}<�1Ê9�fRh}]~�LPL�.P��kP�Q��fU�PT�NS�U�P>~c�.}]���LP>~�~�RhS���P�¡<�fP�U#� Rh�k����P,~��TSV�x~�R%��S�~�¹�RhSV�,ÂN�T}ÚR¯�k�(}]���f}fPRh«T����«<R%��SV�(}¨À��%��¾��%�KÀL�#�É�I¿��fP�~�~��L�(��P>~�ÏL�K¤�P�U�RDQ��(}(����PG�kP�¹�RT®��T}�S�}<���fSV��S�°TP1¡(�]PFU�R~��(Q1Q�P��:�T}��k������P�}]PF�:P��k����P��f����~�P�}<��P����kP�~��f�f��}f�TQ�­�}]P�~*��� S�}<��P���R(����S��T}�P�}<����P�L��S¬��­���P�~��(P���¡<�fP*U�P�~��kP�«T����~µ�kP �I�T��}fP�~�~��DRh}]���%RT}]�k}fP>~�~��.~��T}<�´UVS���~´§1U9� S�}(��P���RT�L±��S��T}X�fRTSV}]~�SX¡<�fP�U�P�~´�f�f��}f�TQ�­�}fP�~��kP�°(PL���1P���¹�RI°TP��f���

� UVPz�kP�«(���7�fPx�:�T�f°(�TS��GRTQ1��UVS��T��Rh}<�F��� �f}Ó�L��S¬��­���PT�OÝ»U��:P���Q�PL�D�kP7�����:�T}]�f��Pz§,U�R¡(�]P�~���S��T}¯~��]SV°%Rh}<��P�Ât�:�T�f�G�f}¯�T¢k¦cP��G�k�(}f}f�T�O~�SNU9� �T} �k�>~�S���P.RhQ���U�SV�(��P���~�S�«T}]S¬ f±��R%��SV°(P�Q�P�}<��~��T}�~��L�T��P�«TU��T¢]RTU9��~��f�H¡(�]P�U�����SV��­���P��f�TSV��±Å�T}�Rh«(SV�£P�}��f��SV�(��SV��� � �H�

� �

Page 34: Evaluation subjective - CORE · Evaluation subjective Michel Grabisch To cite this version: Michel Grabisch. Evaluation subjective. D. Bouyssou and D. Dubois and M. Pirlot and H

P�}]���T��PHÂ%P�}GQ��%ØTP�}f}fP(�I¡<�fP�U]�L��SV��­���P´�k�TSV��±Å�T}1~�Rh��S�~c¹�RTSV��P��:�T�]�aRI°T�TS��O�f}D~����T��P�«(UV�T±¢]RhUa��UVP�°T� � � S�P�} ¡<�fP.~�P�QG¢fU�Rh¢fU�PDRh�¯�kP�«(���.�X� S�Q����(����Rh}]��PT��}f�(�]~�°TP������T}�~*¡<�fP�LPL����P�}f�T��S��T}�P�~���P�}z¹�RhSV���kSV©:����P�}(��PT�� �(�]~��k����RhS�U�UV�(}]~��fRh}�~´U�RD~��fSV��P��LP>~£�kS�°TP���~´�kP�«(���>~�Ê�¡<�fP�}f�(�]~�Rh�f�:P�U�U�P����T}]~��É� Ù ��À�¿�¼IÏ��

� C3D ��H�U[N�\^Z U � N3W� V JQOQKYH[\^Z U ����H \^JLN'O �IJ Z¤��T}�~�S��k�����T}�~ ���(�k�´�X� RT¢��(����U�P*��RT~���� �]}fPH�>���fP�U�U�P��f}fS��:�TU�RhS���P���Rh���kS�}]RhU�PT�(Ý»UK~�P�QG¢fU�P

}]Rh���f��P�UO�kPG�kS���PF¡<�X� �]},�L��S¬��­���P i P>~c�HSVQ��:�T����Rh}<��~�S����(�f�£���T�k��PG�L�<RhU�S¬��SV�(}��kPG����SV��­���P>~A �<U�P�~����T��P�«TU��T¢]RTU]�kPHU9� �T¢k¦cP�� (1A∪i,0−(A∪i))

P�~���~�SV«(}fSV ���Rh��S�°TP�Q�P�}(���fUV��~a«T��Rh}��1¡<�fP�LP�UV�]SX�kP (1A,0−A) �f²ÄRh���L�(}]~���¡<�fP�}<�>�(U#� S�}]�kS��LP��X� S�Q����(����Rh}]��PHP>~c�£�k�� ]}fSX�L�(Q�Q1P*�f}fP°%RhU�P��f�tQ1�%Ø(P�}f}]P ∆i

�kPaU�R�¡(��Rh}<��SV��� µ(A∪i)−µ(A) �L�:�T�f�t���T�f� A ⊂ N\i ��²ÄRh�tRTSVU�UVP��f��~S�UkP�~�� ~��T�f��RhSV��Rh¢]UVP´¡<�fP´U�R*~��(Q�Q1P´�kP>~�S�}]�kS��LP>~Ä~��]�����T�]~OU�P�~Ä����SV��­���P>~�~��TSV�a�L�T}�~c��Rh}<��P(�>�kP¹�RT®��T}�§F�:�T�]°T�TS��´PL©KP��L���fP��£�kP�~����TQ��]Rh��RhS�~��T}]~��(P��£¡(�]P*U�R1}_�fQ������h��Rh��S��T}z�kP�~�����SV��­���P>~}X� SV}fÒ]�fP�]RT~�~��f�xU�P���>~��fUV��Rh��� � S��kP�fUV��~x�(}!S�Q����<~�P�kPÇ�]��P�}]�k��PÇ�L�(Q�Q1P°%RhU�P��f�Q��%ØTP�}f}fP ∆i

�]}fP�~��(Q1Q�P��:�T}]�k������PT�kRhU��T��~ � �]Rh�]UVP�Ø � ��� �tR1Q��T}<�����*¡<�fP�U#� P��k�f��P>~�~�S��T}�kP�U#� S�}]�kS��LP��X� S�Q����(����Rh}]��P*P>~c���f}]S�¡<�fP.Ê��É� Ù ��À�¿ Ù � �ÉÎ�Ë]�%Ì��»�%�:À�¿ Ù ¿ � Íf��ËK�V¿ �<Ï�Â

φµ(i) :=∑

K⊂N\i

(n − k − 1)!k!

n!

[

µ(K ∪ i) − µ(K)] Ê �1�(Ï

RI°TP>� k := |K| ʺ�T}·�TQ�PL������RÓUVP¯~��f��±ÅS�}]�kS��LP µ ~�� S�U�}X� Ø!R×��RT~�RhQG¢fS�«T���9���IÏ����H} R∑n

i=1 φ(i) = µ(N) = 1 �kP���~�S µ P�~��£RT�f�fS¬��S¬¹c�:RhU��T��~ φ(i) = µ({i}) ��H}���P��k�*R(�fRh�f��P��H�LPL����PG}f�h��SV�(}�RT�,��R(~£��� �f}fPF�>���fP�U�U�P�¢fS����(U�RTSV��PT� �H},�fSV��RD¡<�X� �]}

�L��SV��­���P i P�~��*S�Q����(����Rh}<��~�SÄ���]RT¡<�fPG¹º�TS�~�¡<�X� �(}BU#� Rh¦c�T�k��P1§x�f}fPD���(RhU�SV��S��T}B�kPD����SV��­���P>~~�R%��S�~�¹�RhSV��~��<�(�z¡<�X� �T}xU9� P�}]UV­�°TP���� �f}fP��L�<RhU�S¬��SV�(}x�kP��L��SV��­���P�~µ}f�(}x~�R%��S�~�¹�RhSV��~��k�T}x�T¢k��SVP�}(��f}fP.RTQ���U�SV�(��Rh��S��T}¨~�S�«T}fSV ���R%��S�°TPD�k� ~��L�(��P1«TU��T¢�RhU#�X¥a}¨��P���Q�P>~��kP.¢fSV±Å��Rh�]R(�LSV���>~��X��P�U�R°TP��k�*�fSV��PG¡<�fPGU9� SV}��kPL�B��� S�Q1�:�T����RT}]�LP1�k�TSV�H³�����PF�f}]PGQ��%ØTP�}f}fPF�fP�~*¡(��Rh}<��SV���>~ v(A ∪i, B) − v(A, B) PL� v(A, B) − v(A, B ∪ i) ~��f�����T�]~.UVP>~ (A, B) ∈ Q(N \ i) �a¥N}~��TQ�QDRh}<�´��P�~��kP��k�7P��_�]��P>~�~�SV�(}]~��T}z�T¢k��SVP�}(� v(A ∪ i, B)− v(A, B ∪ i) �k�1�zU�PH��P���Q�P�1� i R��f}fP�°%RTUVP��f��}]P��k����P*RF�kS�~���Rh���X� | Rh}]~�� � =k��� � �Å�_�h� P�~��µ�LP�����P*�kP���}]SV­���P£P��k�f��P>~�~�S��T}¡<�fSaP>~c�F���f�(S�~�S�PT�K¹�RhS�~�Rh}<�FRhS�}]~�SÄU9� �_Ø<�:�h���f­�~�P.¡<�fPDU#� S�}]�kS��LP.��� S�Q1�:�T����RT}]�LPD}]P.�k�TSV���]RT~�k����P�}]�k��P��fP�~�~�S¬���]R%��SV�(}]~��1� i P�~���}fP��f����P�Ê fP�U�~�P�}<����RhUÄPL� �BRT���f�%°(P�� � ß ���N�f��P�}f}fP�}<�U#� RT�k����P�°T�(SVP�PL�£«<Rh���kP�}<��U�P�~��kP��k�zP��k�f��P>~�~�S��T}]~´~����]RT����P�~´�fRh}�~�U�R1Q��%ØTP�}f}fP(�k°T�TS����f}fP�kS�~����]~�~�S��T}��k�L��RhS�UVU���P��kP���P����(SV}<���fRT}]~�� � � �ºÏ��

¤��TQ�Q�PN�:�T�]��U�P�~O��RT�]RT��S¬����~���~��T�]~��f}fP��<Ø_�:�h���f­�~�P��kPµU�SV}f�>Rh��S¬���T�>SVU_~��kÕ�� ��� S�Q1�:�(~�P���kP>~H���T}]�kSV��S��T}�~H�kP1~�Ø_Q��L����S�PxÊ��]RT~*��� SV}fÒ]�fP�}��LPG�fPGU�R.}_�fQ������h��R%��SV�(},�kP�~*�L��S¬��­���P�~�Ï´PL��kP*}f�T��QDRhU�S�~�R%��SV�(},ʺU�RG~��TQ�Q�P��kP�~µS�}]�kS��LP�~´~��f�����T��~�U�P�~´����SV��­���P>~aP�~����L�T}�~c��Rh}<��PIÏa�:�T�f��T¢f��P�}]SV�a�]}fP£PL�k�f��P�~�~�SV�(}G�f}]S�¡<�fP��fP£U9� S�}]�kS��LP���� S�Q1�:�T����RT}]�LP(�TRh�]��P�UV����«(RhU�P�Q�P�}(�£�É� Ù ��À�¿Ù � �ÉÎ�Ë]�%Ì��»�%�:À�¿ Ù ¿ � Íf��ËK�V¿ �%��¡<�fSt~�� �>�L��S¬��Â

φv(i) =∑

K⊂N\{i}

(n − k − 1)!k!

n![v(K ∪ {i} , N \ (K ∪ {i})) − v(K, N \ K)] .

Ê � � Ϥ�PL����P�PL�k�f��P�~�~�S��T}�P�~��t����­>~t~�P�QG¢fU�RT¢fU�PN§���P�U�UVPa�(��S�«TS�}]RTUVPa�kP � �]RT�fUVP�ØDÊ �1�(Ï��>ÔtR��f���T�]��S��L����kPµ}f�T��QDRhU�S�~�R%��SV�(}F~�� �>�L��S¬� ∑n

i=1 φ(i) = v(N, ∅)−v(∅, N) = 2 � � S v P�~��Ä�k�F�cØ_�:P�¤�² RI°TP>� v(A, B) := µ+(A) − µ−(B) �k���fP�} φv(i) = φµ+

(i) + φµ−

(i) �� SK�T}x����RI°%RhS�UVU�PH�]Rh}]~µ�f}���R(�k��P*�T���kS�}]RhU#�_RhU��T��~ µ PL� v �f��P�}f}fP�}(�´U�P��f��~µ°IRTUVP��f��~µ~��f��f}fP������fP�UVU�Pa�(���kS�}]RTUVP(��PL��UVP>~��k�� ]}fSV��S��T}]~O�LSV±»�kP�~�~���~�}X� �T}<���fU��]~O�kPN~�P�}]~�� | P>~t�k�� ]}fSV��S��T}]~

� �

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~�SVQ�S�U�RTSV��P�~x���(�f��UVP>~���Rh��RT�LSV���>~��´RT�]Rh�k����P�~�RT�·��R(~7�(���fSV}]RTUH�(}<�z�����¨�f���T�:�(~���P�~7�]Rh�U#� RT�k��P��f�%� �*= �#�H¤�P���P�}]�fRT}(�>�´¢fSVP�} ¡<�X� P�U�U�P�~��L�(}]~�P���°(P�}<�x�kP>~z�f���(�f��SV������~z~�P�QF¢]U�RT¢fUVP>~��U�P��f��S�}<��P����f���L��R%��S��T}z�f��R%��S�¡<�fP���P�~���P��f���T¢fU���QDR%��S�¡<�fP(�

� C B ��H�U[N�\^Z U � N3H,OQZ>J KY\TO N'V�H¥N~�~�RIØ(�T}]~��kP��k�T}f}]P��µ�f}fP��k�L �}fS¬��SV�(}7�f������S�~�PH�fPHU#� S�}<��P���R(����S��T}t�f¤��(}]~�S��k�����(}]~Ä���T�k�

��� Rh¢:�T���7U�P���R(~ n = 2 P��£UVP>~5��T¢k¦cP���~£~��fS�°IRT}<��~�ʺ°(�TS�� �S�«]�L<ÏHÂ� x = (01,02)� y = (11,02)� z = (01,12)� t = (11,12)

(a) (b) (c)

critere 1

x

z t

y

0 1

0

1

1 1

2

2

critere 1

critere 2

x

z t

0 1

0

1

1 1

2

2

critere 1

critere 2

x

z t

y

0 1

0

1

1 1

2

2

y

critere 2

����� � � | SV©K����P�}<��~£��RT~���� S�}(��P���RT�L��S��T}Ý»UNP>~c�1�LU�RhS��F¡<�fP t P�~��FQ�P�S�UVU�P��f�G¡(�]P x ��Q�RTS�~FUVP>~��f���L¹º����P�}]�LP>~�~��]��UVP>~FRT�k����P�~��]RTSV��P�~�k����P�}]�kP�}<���k� ~��h¦cPL��� Ñ ��Rh�]~�P.�kP.U�R,�L�(}]�kSV��S��T} �kPx�k�TQ�S�}]Rh}]��PT�X�(}¯��P��k�1~�P7~�S¬���fP��P�}<����P�U�P�~��kP��k�xP��<����³�Q�P�~�~��fSV°%RT}(��~�Â�7�6�������7��#%' )�� ��.�� $&)�� �T},�:�(~�P µ({1}) = µ({2}) = 0 �K�LPG¡<�fSO��P�°_SVP�}<�HRh�k���f���L±¹º����P�}]��P�~ x ∼ y ∼ z ÊÉ ]«(�f��P ,Ê�R(Ï�Ï���¤�P�U�RD~�S�«T}fSV ]P�¡<�fP��:�T�]�£UVPG~��%¦cP�����UVP>~£�kP��f�

�L��S¬��­���P�~µ�k�TS�°TP�}(��³�����P*~�R%��S�~�¹�RhSV��~µ�:�T�f�£RI°(�TS����f}z�T¢f¦cPL�£~�Rh��S�~c¹�RTS�~�Rh}<�>�<P���U�R1~�Rh��S�~c±¹�RT����SV�(}¯�kP7~�P��fU�P�Q�P�}<�FU#� �f} �kP�~F�kP��k�¨}fP7~��kÕ��F�]R(~�� �H}¯�kS¬�1¡(�]P.UVP>~F����SV��­���P>~~��(}(�FÀ��%Î�Ë:���LÎD¿L���Å�h�ÉÌ�¿L¼��

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| Rh}]~Ä��P�~ �kP��f�1~�S¬���]R%��SV�(}]~��IU�P�~Ä����SV��­���P>~�}]P´~��T}<� �]RT~ S�}]�k����P�}]�fRT}(��~Ä�fRh}�~�U�P�~�P�}]~ �1�1U�R~�R%��S�~�¹�RT����SV�(}��kPµU9� �f}FS�}kÒ]�]P�~��f��U#� �k��S�UVSV���´�kPµU9� Rh�f����PN�:�T�f� RI°T�(SV�X�]}fPN�(¢k¦cPL� «TU��T¢]RTUVP�Q�P�}<�~�R%��S�~�¹�RhS�~�RT}(�*ʺ}f�>�LP�~�~�RhS���P£�fRT}]~�UVPH�f��P�Q�SVP�����R(~��<S�}<�f��S�UVP*�fRh}]~�U�PH~�P��L�(}]�]ÏL���H}.�kSV��RhU��T��~¡<�X� SVUXØxRx�É���Å¿�Ì��(ÀL�#���%�ÇP�}<����P�UVP>~��L��S¬��­���P�~��

�£}]P�~�SV���]Rh��S��T},~�Rh}]~£SV}<��P���R(����SV�(}xP>~c�£��P�U�UVPG¡(�]P�U�RD~�R%��S�~�¹�RT�L��S��T}��kPF���]R(¡<�fP��L��S¬��­���PRh�]���(����P�~�R1�f���T�f��P*���T}<����S�¢f�k��S��T}�§1U�R�~�R%��S�~�¹�RT�L��S��T}z«TU��T¢]RTUVP(�_��P�¡<�fSX~�P�����R(�k�fSV���]Rh��Â

µ({1, 2}) = µ({1}) + µ({2}) Ê ��<ÏÊ�R(�f�kSV��S�°_S¬���>Ïzʺ°(�TS�� OS�«]� ÓÊ9��Ï�ÏL� | RT}]~1U�RÇ~�SV����R%��S��T} ß �O�T}ÓR µ({1, 2}) > µ({1}) +µ({2}) ��RI°TP>��U#� SV}f��«(RTUVSV���ÄS�}_°TP���~���P ���(�f�XU�R�~�SV����R%��S��T}7�f�>¤�P�U�R�~��]«T«T­���PÄ¡<�fPÄU#� S�}<��P���R(����S��T}

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I12P�}<����P�U�P�~��L��SV��­���P�~ ß P������fP�°_��RTS¬�´³L����P��f�L ]}fS�P��]Rh��Â

Iµ12 := µ({1, 2})− µ({1})− µ({2}) + µ(∅). Ê ���(Ï

>�P�Q�RT��¡<�f�(}]~*¡(�]P1��PL����P�PL�k�f��P�~�~�S��T},}t� P>~c��Rh�k����P�¡<�fP�U�Rz�kSV©:����P�}]�LP1P�}<����P1U�Rz~��TQ�Q�P�kP>~a~����T��P�~O«TU��T¢�Rh�k�G�fP�~ �T¢f¦cPL��~N~��f�ÄU�R��kS�Rh«(�T}]RTUVP�ʺ���1S�UfØ1R*�f�TQ�SV}�Rh}]��P£~c����S�����P>Ï��TPL�aU�R~��TQ�Q�P´�fP�~Ä~��L�T��P�~ ~��f�ÄU#� RT}(��S��fS�RT«T�T}�RhU�PHʺ����SVUk}X� ØGR�RT�]�L�f}]Pµ��P�U�R%��SV�(}G�kP£�f�TQ�SV}�Rh}]��P>Ï��Ôa� S�}(��P���RT�L��S��T}BP>~c���:�(~�SV��S�°TPD¡<�]Rh}]�ÇU�P�~��L��SV��­���P�~�~��T}<���L�(Q��fUV��Q�P�}<��RTSV��P�~��KPL��}f��«(R%��SV°(P¡<�]Rh}��7S�U�~�~��(}(�£~��f¢]~���SV���k��S¬¹�~��| Rh}]~µU�P*��RT~´�kP*�fUV��~µ�fP �G�L��SV��­���P�~��<U�R1�k�L �}fS¬��SV�(}x�kP�U#� S�}<��P���R(����S��T}7P�~��´~�SVQ�S�U�RTSV��P�§�LP�UVU�P��kP�U9� SV}��kS���PD�kP � �]Rh�fU�P�Ø(�X�h� P�~���±»§%±»�kS���P1¡(�]PF���T�k��P�~�U�P�~��L�<RhU�S¬��SV�(}]~H�fP N �k�TS�°TP�}<�³L����PD�]��S�~�P>~�P�} ���TQ��k��P(�tÔtR��k�� ]}fSV��S��T} ~��fS�°IRT}<��P.R��L���D�f���T�:�(~���P��]Rh�7�,�f���T¹º�]~��fSaPL�� �(}fP��fR8� ��� �Å�f�:�T�f���]}fP��]RhS���P*�kP�����SV��­���P>~ i, j Â

Iµij :=

K⊂N\{i,j}

(n − k − 2)!k!

(n − 1)!

[

µ(K ∪ {i, j}) − µ(K ∪ {i})−

µ(K ∪ {j}) + µ(K)]

. Ê � =<Ï�H}xR Iij > 0 Ê���P>~��t� < 0, = 0 ÏN���(�f�µ�fP�~´�L��S¬��­���P�~µ�L�(Q1�]UV��Q1P�}<��RhS���P�~*ʺ��P�~��X�<~��f¢]~���SV���f±��SV¹�~��hSV}��k���:P�}]�]Rh}<��~�Ï��TÔ�R��k�L ]}]S¬��SV�(}��fP£�LPL�aS�}]�kS��LP�R������´P�}]~��fSV��P�����P�}��k�fP��]RT�ÄU9� Rh�k��P��f�§G���(�k��P����(RhU�SV��S��T}��kP��L��S¬��­���P�~ ∅ 6= A ⊂ N ���� ��Â

Iµ(A) :=∑

K⊂N\A

(n − k − |A|)!k!

(n − |A| + 1)!

L⊂A

(−1)|A|−|L|µ(K ∪ L), ∀A ⊂ N, A 6= ∅.

Ê ���TÏ�H}z��P�Q�RT��¡<�fP�¡<�fP�U#� �(}�R Iij = I({i, j}) �_PL��RT�]~�~�S I({i}) = φ(i) �]U#� SV}]�fS���P���� S�Q����(��±��RT}]�LP��kP � ��Rh�fU�P�Ø(��² �T�f�O�LP�����PN��RTS�~��T}X���T}�Rh�]��P�UVU�PNU�R´¹º�T}�����S��T} I U#�V�É� Ù ��À�¿ Ù � �É���Å¿�Ì��(ÀL�#���%�Ù ¿ � Í]��ËK�V¿ �%�TÝ»U<P>~c�O¹�RT��SVU�P��kPµ°T�TS�� ¡(�]PT�%¡<�]Rh}]�FU�R*��RT�]RT��S¬����P>~c�ÄRT�]�kS¬��SV°(PT�I�T}1R I(A) = 0�:�T�f� ���T�k� A ��P�U]¡<�fP |A| > 1 � � S�«T}]RTUV�(}]~OP�}k �}�¡<�fP I R*�����£R%�kS��TQDR%��S�~��µ�]Rh� � ��Rh¢fS�~����PL� >��T�]¢�P�}]~ � 1��#�K��� �f}fPG¹�RT®L�(},~�S�Q�SVU�RhS���PF§.U#� S�}]�kS��LP1��� SVQ��:�T����Rh}��LPF�kP � �]RT�fUVP�ØT� �£}fPRh�f����P�Rh�kSV�(Q�Rh��S�~�Rh��S��T}zRG�������f���T�:�(~���P*�]RT� f�%¦cS�Q��h��� �� ���#�

�H} R¨°<�Ú¡<�fP�U#� S�}]�kS��LPÇ��� S�}<��P���R(����S��T} �L�(}<��S�P�}<�7�L�(Q1Q�P,��RT~��]RT����S����fUVS�P��DU#� SV}]�fPL���� SVQ��:�T����RT}]�LP��kP � ��Rh�fU�P�Ø(�f¥a}z¹�RhSV���fS�UXP>~c�£�:�(~�~�S�¢fU�P���� �T¢k��P�}fS���U9� S�}]�kS��LP���� SV}<��P���RT����SV�(}�kP�¹�R(®L�(}����>�L�f��~�S�°TP�§.�]Rh����S����kP�U#� SV}]�fS���PG��� SVQ��:�T����RT}]�LPF�fP � �]RT�fUVP�ØT��P�}B���T}]~�S��f����Rh}<��kP>~�~��(�]~c±Å�f���T¢fU�­�Q�P>~µRI°(P��HQ��TS�}]~��kP��L��SV��­���P�~ � 1��Å�f² �T�]� Iµ

ij�]�LP�����P���P�U�R%��SV�(}x~�� �>�L��S¬��Â

Iµij = φµ[ij]

([ij]) − φµN\i(j) − φµN\j (i), Ê ���(Ï�1� [ij] P�~��Ä�f}��L��S¬��­���PN ��L��SV¹OÊ i PL� j �f��S�~OP�}]~�P�QF¢fU�P>ÏL� µ[ij] : P((N \{i, j})∪{[ij]}) −→[0, 1] �_RI°TP>� µ[ij](A) := µ((A \ [ij])∪ {i, j}) ~�S A 3 [ij] �_PL� µ(A) ~�SV}]�T}X�<PL� µN\i

P>~c�U�RG��P�~�����S�����S��T}��kP µ § N \ i �

¥Ä�fRhQ�S�}f�T}�~HQDRTSV}<��P�}]Rh}<���L�(Q1Q�P�}(���LPD���T}]��P��k����P��k�F~�PG«(��}f����RTUVS�~�P��HRT���RT~��kP�~¢fSV±Å��Rh�]R(�LSV���>~�� �£}fP´�f��P�Q�S�­���Pa¹�R(®L�T}1~�P���RTS¬� �kPµ�f���k�����kP��O�kP´QDRh}]SV­���P����>�L�f��~�S�°TP�§��]RT����SV��kPxU9� SV}��kS���P7��� SVQ��:�T����RT}]�LP7�fP � �]RT�fU�P�Ø Ê � � Ï���P�}¯�k��SVU�S�~�Rh}<�1�f}fPD¹º�(��QG�fUVPx~�S�Q�SVU�RhS���Px§Ê �1�(Ï�� � � �#�h¤�P��:P�}]�]Rh}<���I§£��RT�]~�PN�kPNU�R�¢fS��:�TU�Rh��S¬���T��S�U_~�P�QF¢fU�Pa�fU��]~�}]R%���f��P�U(�kPµ�kS�~c��SV}f«(�fP��U�P�~��L��SV��­���P�~�~�R%��S�~�¹�RhSV��~��kPD��P��k�Ç¡<�fSN}fP�UVPD~��T}<���]RT~���¥a}¨}f�h��Rh}<� A, B U�P�~����(RTUVSV��S��T}]~�kP��L��SV��­���P�~µ~�R%��S�~�¹�RhSV��~´PL��}f�(}x~�R%��S�~�¹�RhSV��~��_�T}zP�~������T}]�f�fS¬��§1�f}zSV}]�fS���P��X� S�}<��P���RT�L��S��T}z§�kP��k�ÇRh��«T�]Q1P�}<��~ IA,B

Ê�RT�f��P�UV�,½�� �»�É�]�»¿LÌ��TÀ��9���h�×�fRh}�~!� � � �ÉÏL� | ����RTSVU�UV�(}]~��LP>�LSa�fRT}]~*UVP��R(~ n = 2 �:P�}B~��fS�°IRT}<�HU�PFQ�³�Q�PGRT��«(�fQ�P�}<��¡<�fPF�:�T�]�HU�P�~H��Rh��RT�LSV���>~�� Ñ ��Rh�]~�PF�kPGU�R

� �

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-

6s s

s s

c

c

c c c

(01,12) (11,12)

(01,02) (11,02)

(01,−12) (11,−12)

(−11,12)

(−11,02)

(−11,−12)

v({1, 2}, ∅)v({2}, ∅)

v({2}, {1})

v({1}, {2})v(∅, {2})v(∅, {1, 2})

v({1}, ∅)v(∅, {1}) v(∅, ∅)

������� � � �H¢f¦cPL��~µ��P���}]RhS���P�~µ���(�f� n = 2

¢fS����(U�RT��SV���(�_}f�T�]~�RI°(�T}]~�QDRhS�}<��P�}�Rh}<�5 1�(¢k¦cPL��~N��P���}]RhS���P�~�ʺ°(�TS�� OS�«]� �(Ï�� | RT}]~����]R(¡(�]P~��T�]~�±Å��Rh�������kP [−1, 1]2 �]S�U�~��kÕ��H��� Rh�]�fUVS�¡<�fP���U�RD�k�� ]}fSV��S��T},�kPFU9� SV}��kS���PF��� SV}<��P���RT����SV�(}�LU�RT~�~�S�¡<�fP��k�T}]}f��P��]RT��Ê ��<Ï����H}z�T¢f��S�P�}<��Â

I{1,2},∅ := v({1, 2}, ∅)− v({1}, ∅)− v({2}, ∅) + v(∅, ∅) Ê �1 (ÏI∅,{1,2} := v(∅, ∅) − v(∅, {1})− v(∅, {2}) + v(∅, {1, 2})

I1,2 := v({1}, ∅)− v(∅, ∅) − v({1}, {2}) + v(∅, {2})

I2,1 := v({2}, ∅)− v({2}, {1})− v(∅, ∅) + v(∅, {1}).

¥a}�~�P�¢]RT~�Rh}<��~��f�£��P��f��SV}]��SV�:PT�k�(}���P��k�£Q��T}<����P���¡<�fP�U�RF¹º�(��QG�fU�P*«(��}f����RTUVP*P�~���Â

Iv(A, B) =∑

K⊂N\(A∪B)

(n − a − b − k)!k!

(n − a − b + 1)!∆A,Bv(K, N \ (A ∪ K)),

RI°TP>� ∆A,Bv(S, T ) :=∑

K⊂A,L⊂B(−1)(a−k)+(b−l)v(S ∪K, T \ (K ∪L)) � �H}x��P��k�°T����SV ]P��´¡<�fP�U#� SV}]�fS���P���� S�Q����(����Rh}]��P��kP � �]Rh�]UVP�Ø7�:�T�f��U�P�~´¢fSV±»��Rh��RT�LSV���>~�~�� ������SV��Âφ(i) = Ii,∅ + I∅,i

¥a}¹�RhSV���t�T}��P������T�f°(P1RI°(P�� Ii,∅PL� I∅,i

U�P�~�Q��%Ø(P�}f}fP>~��kP�~�¡<�]RT}(��S¬����~ v(A ∪ i, B) −v(A, B) PL� v(A, B) − v(A, B ∪ i) SV}<�����k�k�fSV��P>~��fRT}]~�U�R � P>����SV�(} �k� ß ��PL�F¡<�fSa��P��f���L±~�P�}<��P�}(�a��P�~��:P�����SV°(P�Q�P�}<�a�f}DS�}]�kS��LP����(�f�aU�P�~N����SV��­���P>~Ä~�Rh��S�~c¹�RTS¬��~ÄPL���f}DSV}��kS���P����(�f�NU�P�~�L��SV��­���P�~µ}f�(}�~�Rh��S�~c¹�RTS¬��~��� S v P�~��N�k�1�cØ_��P*¤�² ÓRI°(P�� v(S, T ) := µ+(S)−µ−(T ) �hU#� S�}<��P���RT�L��S��T}�~�� PL�k�f��S�Q1P�kP�U�RG¹�RT®L�(}z~��fS�°%Rh}<��P�Â

ʺSÉÏ IvS,T = 0 ~�Rh�k¹Ä~�S S = ∅ �T� T = ∅ �ʺS�SÉÏ7P�}x}]�h��RT}<� Iµi U9� S�}]�kS��LP���� SV}<��P���RT����SV�(}z�fP*U�RD��RT�]RT��S¬��� µi

�f}f�(�]~�RI°T�(}]~*Â

IvS,∅ = Iµ+

(S), ∀∅ 6= S ⊆ N

Iv∅,T = Iµ−

(T ), ∀T ⊆ N.

� =

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ÔtRz�f���T�]��S��L����Ê�S�Ï�PL�k�f��SVQ�PD�LU�RhS���P�Q�P�}<��U�Rx¹�RhSV�F¡<�fPD�:�T�f���]}Q��k�k­�UVPx¤�² ��tSVUa}t� ØR�]R(~���� S�}<��P���R(����S��T}zP�}<����P�U�P�~´�]RT����SVP>~´���<~�SV��S�°TP�P��´}]��«(Rh��S�°TP(�fÔtR1�f���T�f��SV�����DʺS�SÉϵQ1�(}<����PU�RG��P�U�R%��SV�(}xP�}<����P*U#� SV}<��P���R(����SV�(}x�:�T�f��U�P�~´¢]S¬±»��RT�]RT��S¬����~µPL�£�:�T�f��U�P�~���Rh��RT�LSV���>~��

Ôt§�RT�]~�~�S#�XS�UNPL�kS�~c��P.�:�T�f�GUVP>~���RT�]RT��S¬����~��f}×��¡<�fS�°IRTUVP�}<���T���kSV}�RhUN�kP7U9� SV}<��P���RT����SV�(}�� = �Å�>¡<�fS(�f����~�P�}<��PN��P��:P�}]�]Rh}<�tU�P�~XQ�³�Q1P>~t�k��¹�Rh�k��~�¡<�fPNU9� SV}��kS���PN��� SVQ��:�T����RT}]�LPa�(���fSV}]RTU9�

� C�� ��H�U[N�\^Z U[Z V � �V�N3J KYWXFIM�N'V J KYH,O]WXV ��Z HÔXP�¢]�k�x�kP,��PL�.S�}]�kS��LP,P>~c�7�kP,¡<�]RT}<��SV ]P��.U#� SV}<������³��7¡<�fP�U9� �T}ÚR¯§¯RTQ1��UVS��T��P��DU�P�~

~��L�T��P�~�~��f���f}]P7�L�<RhU�S¬��SV�(} A �kPx�L��S¬��­���P�~��XR% ]}¯��� �T¢k��P�}fS����f}¨«<RhS�}QDRh�_S�QF�]Q ~��f��UVP~��L�T��P�«TU��T¢]RTU9���LP���Sa�L��Rh}<�F°_�¨P�}¯Q��%ØTP�}f}fP.~��f�����T�]~�U�P�~��T¢k¦cP���~� :����SV¹�~7Ê�P�}¨¹�RTS¬�����T�]~U�P�~�°TP>����P��f��~G�fP�~��L�(��P>~�ÏF�:�(~�~�S�¢fU�P�~�� ��}fP,�L�(}]~������]����SV�(}×R%�kS��TQDR%��S�¡<�fP��kP��LP���S�}]�kS��LPR.�����G�f���(���<~���P��]RT�*Ô�Rh¢f��P��]���]P�PL� � ��RT¢fS�~���� � � � �Å�K�k�T}<��}f�T�]~*�k�(}f}f�T}�~£¢f��SV­�°TP�Q1P�}<��LSV±»�kP�~�~��(�]~�U�P�~GRh��«T�fQ�P�}(��~��f��S�}]�LS��]Rh�f�K��² �T�f� A ⊂ N �O}f�T���T}�~ WA(F ) ��PL�1SV}]�fS���PT�°_�.�L�(Q1Q�P£�]}fP�¹º�T}�����S��T}]}fP�U�UVPHRT~�~��k�LS�Rh}<�N§��]}fP�¹º�T}�����S��T}.�X� RT«T����«(Rh��S��T} F �f}D}f�TQG¢f��P����P�U#�

�H}Ã~��f�f�:�(~�P�P�}Ó�f��P�Q�SVP��DUVS�P�� ¡<�fP WAP�~��.�L�T}<��SV}_�X� PL�.U�S�}f��RTSV��PT�N¤��T}�~�S��k�����T}�~

QDRhS�}<��P�}�Rh}<�µ�]}fP�¹�RTQ�SVU�UVP��kPH¹º�T}�����S��T}�~µ�X� RT«T����«(Rh��S��T} �1¼�¿��k�É���_}f�h����P>~1α : [0, 1]n −→

{0, 1} � α ∈ [0, 1]n P����k�L �}fSVP>~��:�T�f�´���T�k� x ∈ [0, 1]n �]Rh��Â

1α(x) =

{

1, ~�S xi ≥ αi, i = 1, . . . , n

0, ~�SV}f�(}X�� �(S¬� NA,α

U�R��f���T�:�T����S��T}¯�kP.°(P�����P��f��~��kP [0, 1]n �k�T}<��U�Px~��L�(��P�«TU��T¢�RhUa�]R(~�~�P7�kP �§ ß ~�Sa~�P��]U�~�U�P�~�~��L�(��P>~��kP�~�����SV��­���P>~��fRh}]~ A ~��(}(��RTQ1��UVS��T����~��KÝ»UN~�P�QF¢]UVP�}]Rh���f��P�Ua�kP�:�(~�P���¡<�fP WA(1α) �k�(S¬�µ³L����P£�]���(���(����SV�(}f}fP�U:§ NA,α

�(Ý»U:��P�~���P�§F��Rh¦c�T�k��P��a�f}xR%�kSV�(Q�P�kPG}f�T��QDRhU�S�~�R%��SV�(}X�]�kS�~�RT}<�H¡<�fPG¡<�]RT}]� F P�~���U�R7~��TQ�Q�P��:�T}]�k������P ∑n

i=1 λixi�KRhU��T��~

WA(F ) =∑

i∈A λi��¤�P�~!¨R%�kSV�(Q�P�~1�k�L��P���Q1S�}fP�}(�.�kPz¹�R(®L�T}Ã�f}fS�¡<�fP�U9� SV}��kS���PT�a¡<�fS

~�� �>�L��S¬��Â

WA(F ) = 3 · 2|A|

x∈[0,1]n

yA∈[xA,1]

[

F (yA, xAc) − F (x)]

dx dyA

RI°TP>�.U�P�~G}f�h��R%��SV�(}]~F��Rh¢fSV���fP�UVU�P�~1P�� yA ∈ [xA, 1] ~�S�«T}fSV �RT}(� yi ∈ [xi, 1] ���(�f�F���T�k�i ∈ A � � ��Rh}]� F P>~c��U#� S�}<����«T��RhU�P��fP�¤��]�_¡<�fP����f�(}x�(¢k��S�P�}<�£�:�T�f� A = {i} Â

Wi(Cµ) = 6∑

K⊂N\i

(n − k)!(k + 1)!

(n + 2)![µ(K ∪ i) − µ(K)],

¡<�fSfP>~c� ����­�~Ä~�P�QG¢fU�Rh¢fU�PT�h¡<�f�(S�¡<�fP��kSV©:����P�}<�Ä�fP�U9� SV}��kS���P��kP � �]RT�fUVP�ØT� �H}1��P��k�NQ��T}<����P��¡<�X� P�}�«T��}f����RhU Wi(Cµ) ≤ 3φµ(i) �]²O�(�f� A = {i, j} �(}x�(¢k��S�P�}<���kP*¹�RT®��T}z«T��}f����RhU�PGÂ

Wij(F ) = Wi(F ) + Wj(F ),

QDRhS�~��LP�����P�R(�f�kSV��S�°_S¬����}X� P>~c�£�]UV�]~´°_��RhS�P��k­�~�¡<�fP |A| > 2 �Ý»UOP�~��*�:�(~�~�S�¢fU�PG�kP1�L�(}]~c�����]SV��PF��� �f}fPG¹�RT®��T}BRT}]RhU��T«(�fP��f},S�}]�kS��LP�¡<�fSÄ~��(S¬�*�f���T�f��P§1�f}��T¢k¦cP����]Rh����S��L�fU�S�P��>�kPL�£}f�(}x�]R(~´�f}fP�Q��%ØTP�}f}fP�~��f�´���(�]~´UVP>~´�T¢k¦cP���~��:�(~�~�SV¢fU�P�~��

� �

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� C�� ��H�U[N�\^Z U[Z \^V,H���V�H[\TO N3V�H Z>O U�Z U[N�R ��V,H[\TO N'V�H¥a}�RT�fRT�k��RT}<�µ�f}]P*�k�� ]}fSV��S��T}��kP | �h¦cQ1�%°_S�� � ß = �#� �BRh��S����]RTU � ���f� =�� �tRG�f���(���<~��*U�R

�k�� ]}fSV��S��T}z«T��}]����RhU�P�~��]SV°%Rh}<��PH�:�T�f�´U�P�~µS�}]�kS��LP�~´�kP����T}%¦c�(}]����SV�(}.PL�£�kS�~º¦c�(}]����SV�(}x��� �f}fPS�}(����«(��RTUVP��kPG¤��f�k¡<�fPL���]RT����RT�f�:�T����§1�f}]P���Rh��RT�LSV��� µ Â

conjµ :=E(max) − E(Cµ)

E(max) − E(min)

disjµ :=E(Cµ) − E(min)

E(max) − E(min)

RI°TP>� E(F ) U�R¨°IRTUVP��f�DQ��%ØTP�}f}fP���� �f}fP�¹º�T}�����S��T}Ú��� Rh«(����«(Rh��S��T} F ~��]�DU9� �_Ø<�:P����L�]¢�P�f}fSV���(�]~��TSV��Â

E(F ) :=

[0,1]nF (x)dx.

>£RT�f��P�UV�(}]~´¡<�fP�UVP�Q�SV}]SVQG�fQ PL��U�P�Q�Rh�kSVQG�fQ ~��T}<�µU�P�~���RT~µU�SVQ�SV��P�~��fP*U#� SV}<����«T��RhU�PH�kP¤��f�k¡<�fPL�>�hÆ£S�}]~�S]�LP>~ SV}]�fS���P�~O����RT�f�fS�~�P�}<�Ä�f}��kS�~c��Rh}]��Pµ}]�T��Q�RTUVS�~���P´§*��P�~ ¢:�T��}fP�~��%ÔXP��f��~�k�� ]}fSV��S��T}]~��:P��]°TP�}<�£RhS�~���Q�P�}<�£~�� �L��P�}]�f��P�§D��� Rh�k����P>~�¹º�T}]�L��S��T}]~£�X� RT«T����«(Rh��S��T}X�

�H}1��P��k�NQ��T}<����P��a¡<�fP£��P�~ÄS�}]�kS��LP>~Ä«T��}f����RhU�S�~�P�}(�a��P��k�FS�}<�����k�k�fSV��~Ä�]RT�ĸNRh«(P��Ä�:�T�f�U�P�~´Q��%ØTP�}f}fP�~´�:�T}��k������P>~��(���f�T}f}f��P�~ � ß � ���#�

� C�� � Z+OQVXZ+O N�H[U[N�\^ZAU[Z �Z>O V�H},RD°_�,¡<�fP i P�~����f}Ç�L��S¬��­���P��kPF°(PL���,Ê���P>~��t�:�kP�¹�RI°TP��]��Ï´~�S F (a1, . . . , an) ≤ aiʺ��P�~��X� ≥ ai

ÏX¡<�fP�U�¡<�fP�~��TSV�tU�PN°(P�����P��f�O�kP�~��L�(��P>~�� � �]Rh}�� F P�~���U#� S�}<����«(��RTUVPa�fP´¤��f�k¡<�fPL��]RT�F��Rh�f�:�T���G§,�]}fPx��Rh�]R(�LSV��� µ � S�U�P>~c�G¹�RT�LS�U�Px�kPxQ1�(}<����P��G¡<�fP i P>~c�1�f}×°(PL���B~�SµPL�~�P��fU�P�Q�P�}<��~�S µ P�~��a��P�UVU�PH¡<�fP µ(A) = 0 ¡<�]Rh}]� A 63 i �TP��µ¡<�fP i P�~��N�f}7°TPL����S�Q1�]UVS�¡<�fP¡<�fP�U#� SV}<��P���R(����SV�(} Iij

P>~c�µ���<~�SV��S�°TP ∀j 6= i �� � �#� | PHQ�³�Q�PT� i P>~c�µ�f}fP�¹�RI°TP��]�a��¡<�fS�°%Rh�k�§ µ(A) = 1 ¡<�]Rh}]� i ∈ A �]��P�¡<�fS�SVQ��fU�S�¡(�]P���«(RTUVP�Q�P�}<�£¡(�]P Iij ≤ 0 ∀j 6= i �¤��TQ�Q�P�SVU�P>~c�.��Rh��P��kPz�����T�f°(P��D�kP�~.°TPL���(~1PL�D¹�RI°(P��f��~��fRh}�~�UVP�~�P�}]~D��S¬±»�kP�~�~��]~���,RT��S����]RhU_RH�f���(���<~��µ�kP�~OS�}]�kS��LP>~O�fPµ°(PL����PL� ¹�RI°(P��f�O°%RhU��f��~ �fRT}]~ [0, 1] �>�f�L ]}fS�~Ä�L�(Q�Q1P~��fS¬�7� ���f��=�� �Å�

vetoµ(i) := 1 −1

n − 1

T⊂N\i

(n − t − 1)!t!

(n − 1)!µ(T )

faveur(i) :=1

n − 1

T⊂N\i

(n − t − 1)!t!

(n − 1)!µ(T ∪ i) −

1

n − 1.

¤�P�~��f�L ]}fSV��S��T}�~£¡<�fS���P��f°TP�}<��~�P�QF¢fU�P��£¡<�fP�U�¡<�fP��:P���Rh��¢fSV����RhS���P>~�~��T}<��P�}z¹�RhSV�£�kS�������P�~�]RT� �R%�kS��TQ�P�~*¡<�fS UVP>~��k�L��P���Q1S�}fP�}(���kPG¹�RT®��T}Ç�f}fS�¡(�]PT�XÆ£S�}]~�SÄ¡(�]P1�:�T�]�*U#� SV}]�fS���P1�kP� �]RT�fU�P�ØT�t�T}SVQ��:�(~�P.¡(�]P.�LP�~�SV}]�fS���P�~�~��TS�P�}<��UVS�}f�>RhS���P>~�P�}¹º�T}]�L��S��T}¯�kP µ �XP��F~�Ø_Q��L±����S�¡(�]P�~�Rh� ~�P�}]~��1�ÃSVU�~D~��T}<�DSV}]~�P�}�~�S�¢fU�P�~�§�f}fP���P�}_�fQ������h��Rh��S��T}×�fP�~D�L��SV��­���P�~�� �H}S�Q1�:�(~�P.��� Rh�k����P7�]Rh���F¡<�fPDU9� S�}]�kS��LP7�kP7°TPL���,�k�¯Q�SV}]SVQG�fQ ~��TSV����«<RhUN§ ß �t�kP.Q�³�Q1P�:�T�f�´U#� S�}]�kS��LP��kPH¹�RI°TP��f���k�zQ�Rh�kSVQG�fQ��k¥a}k ]}X�k�]}fP��L�T}��kS¬��SV�(}z�fP*}]�T��Q�RTUVS�~�R%��S��T}x�kS¬�¡<�fP�~�S����(�]~�U�P�~£����SV��­���P>~��T}<�£U�P�Q1³�Q�P�SV}]�fS���PF�kP�°TP����,Ê���P>~��X���kP�¹�RI°TP��f��ÏL�fRhU��T��~��LP�����P°%RhU�P��f�£�f�TSV���L� �#}]��S��kP���RI°TP��HU#� S�}]�kS��LP��kP����T}%¦c�(}]����SV�(}Ê���P>~��t�f�kP��kS�~�¦c�T}�����S��T}:Ï��

� �

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�H}�R1���TQ�Q�P��f���(�f��SV������~�Â1

n

n∑

i=1

vetoµ(i) = conjµ

1

n

n∑

i=1

faveurµ(i) = disjµ.

� ��6 � { / / &)( � 6�strO{Ly�w8/L{ ´s�&)(Óv�& y 6��86Fy�{�r 2)( &µr]:�{ *]y,6�� 6�yµ{�r 2)(� �(�]~FRI°(�T}]~F°_�×�fRh}�~�U�P�~1~�P>����S��T}�~G¡<�fSµ�f�����L�>�kP�}<�G¡<�fPxUVP>~G��Rh�]R(�LSV���>~�PL��U�P�~�¢]S¬±

��RT�]RT��S¬����~z~��(}<�x�f} Q��%ØTP�}!�f�fS�~�~�Rh}<�xP�������­�~x«T��}]����RhU��kP���T}]~������fS���P�kP�~zQ��k�k­�U�P�~��� ��°%RhU��]Rh��S��T}¨QF�fUV��S��L��SV��­���PT� ¤�P��:P�}]�fRT}<�G�LP�����P7��S����fP�~�~�P�R��]}¯�f��SV�Ç}]�T}¯}f��«TU�SV«(P�Rh¢]UVP(���RT�GU�RB���TQ��fU�PL�kSV���x�fPz��P�~GQ1�k�k­�UVP>~1P�~��GPL�k�:�T}fP�}<��S�P�U�UVP¨Ê��kPzU#� �(���k��P7�kP 2n �:�T�]�1U�P�~��RT�]RT��S¬����~FPL� 3n �:�T�f�1UVP>~F¢]S¬±»��RT�]RT��S¬����~�Ï���Ô�RB¡<�fP>~c��SV�(} ~�Px���<~�PzRhU��T��~F~�� S�U�}]Px~�P���RhSV��]R(~����<~�~�S�¢fUVPx��� RI°(�TS����kP�~FQ1�k�k­�UVP>~�¢]R(~��>~�~��]�G�kP>~���RT�]RT��S¬����~�}f�>�LP>~�~�S¬��Rh}<��Q��TS�}]~��kP2n �L�_PLÕ.��SVP�}(��~���~�RT}]~µ���(�f�£Rh�k��Rh}<��¡<�fP�U�R��k��«T��RT�fRh��S��T}z�kP�~´�:P���¹º�T��QDRh}]��P�~�~��TSV�µ�����(�~�P�}]~�SV¢]UVP(� �£}fP��]��P�Q1S�­���PH¹�RhQ�SVU�U�P��kP���RT�]RT��S¬����~´P�~����LP�UVU�P��kP�~�Î�¿L¼��kÌ�¿�¼ Ù ��À��%Î�Ë]�I¼��T½��V¿L¼� ß � � 1 �Å��¡<�fSHSV}]��UV�]P�}<�7U�P�~ λ �»ÎD¿�¼��kÌ�¿L¼,�kP � �f«(P�}f�G� �� �#�N����­�~7~��T�]°TP�}<�.�k��SVU�S�~���P�~DP�}�f��R%��S�¡<�fP(�a¤�P>~D��RT�]RT��S¬����~�~��(}<�D�f�L ]}fS�P�~���Rh���f}fPz¹º�T}�����S��T} ~��f� N RT}]RhU��T«(�fPz§Ç�f}fP�kP�}]~�SV���(�_PL��}]PH}f�>�LP>~�~�S¬��P�}<�µ¡<�fP n− 1 ���_PLÕ.�LS�P�}<��~�� t�(�k��P�¹º�TS�~��<UVP>~NQ��k�k­�UVP>~N¢]R(~��>~�~��f��LP>~´��Rh��RT�LSV���>~a�(}(�´�f}x���(�f°T�(SV�´��� PL�k�f��P�~�~�S��T}D�����k�]S¬�>�_��Rh�µP�}x�]Rh����S��L�fU�S�P��µU9� SV}<��P���RT����SV�(}Iij

RF���T�%¦c�(�f��~´UVP�Q�³�Q�P�~�SV«(}fPT�f¡<�fP�U�¡<�fP�~��TSV� i, j �Ý»U�P�~��£�:�(~�~�S�¢fU�P��fP�«T��}]����RhU�S�~�P��´�LP��L�(}]�LP��k��Rh�f�7¢fSV±Å��Rh�]R(�LSV����~ � � = �Å��£}]PĹ�RhQ�S�UVU�Pa�fU��]~tR(�fRh�f����Pa§£}f�(~�¢:P�~��TS�}]~�P>~c��U�R´¹�RTQ�SVU�UVP��kP�~���Rh��RT�LSV���>~ k ±ÅR(�f�kSV��S�°TP>~��

� �� '��6����#1'�� ����� � � �%�É� k ∈ {1, . . . , n− 1} ; � �K¿*À���Ëf�(ÀL�É�»� µ ¿L¼�� Ù �É�»¿ k ±»RT�f�fS¬��SV°(PF¼��I(A) = 0 aL�]�h� Ù |A| > k ¿L���É�Ä¿��(��¼��Å¿ A ⊂ N À��%�]�»¿��:�%����¿ �_�(ÀL�»¿LÎD¿��]� k ���V��Î�¿��]�9¼�»¿L�É�V¿ a��]¿ I(A) 6= 0 ;| � RT�f��­>~XU�P�~��f���T�f��SV�����>~t�kP�U9� SV}��kS���P���� S�}(��P���RT�L��S��T}X���f}fP���Rh�]R(�LSV��� ß ±ÅR(�f�kSV��S�°TPaP>~c�OP�}�¹�RTS¬��f}fP.��Rh�]R(�LSV���.R(�f�kSV��S�°TPT� | � �f}fPD¹�R(®L�T}¨«(��}f����RTUVP(�:�]}fP.��RT�]RT��S¬��� k ±ÅR(�f�kSV��S�°TP�}f����P�~�~�SV��P1 + n +

(

n2

)

+ . . . +(

nk

)

− 2 �L�_PLÕ.�LS�P�}<��~´���(�f��³L����P��k�� ]}fS�PT��£}]PF��RT�]RT��S¬��� �I±»RT�f�kSV��S�°TP(�f¡<�fSt}f�>�LP>~�~�S¬��PF~�P��fU�P�Q�P�}<� n(n+1)

2 − 1 ���_PLÕ.�LS�P�}<��~��fP>~c��f}Ç¢��(}B�L�(Q1�]���(Q1S�~£P�}<����PF��S����fP>~�~�P�PL���L�(Q��fUVP��kS¬���T�K��Rh�HP�U�UVPG��P���Q�P����kPG��P��f����~�P�}<��P��U#� S�}<��P���RT�L��S��T}.P�}<����P*�kP��k�7�L��SV��­���P�~��_�LP�¡(�]S:P>~c�£~��kÕ.~�RT}<��P�}z�f��R%��S�¡<�fP*�fRh}]~µU�RF�]UV�f��Rh����kP>~µ��RT~��(¥a�_�:����S�Q1P�}<��RhU�P�Q�P�}(�>�_�T}7���T}]~���Rh��PH¡<�fP*U�RF�kSV©:����P�}]�LP��kP*�f�����LS�~�SV�(}.P�}<����P��]}Q��k�k­�U�P �I±»RT�f�fS¬��S¬¹OPL�£�f}�Q��k�k­�U�P��L�TQ��fU�PL�£P>~c�´¹�RTSV¢fU�P.ʺ°(�TS�� � � ��ºÏ��� �]RT}]�FU�R�Q�P�~��f��PµP>~c�,�%±ÅR(�f�kSV��S�°TP(�%SVUfP>~c�a�:�(~�~�SV¢fU�P���� PL�k�f��SVQ�P��ÄU#� SV}<����«T��RhU�P��kPH¤��f�h±¡<�fPL���fPH¹�R(®L�(}7����­>~�����U�RTSV��Rh}<��P�RI°TP>� I RT��UVS�P����kP µ � � � �NÂ

Cµ(a1, . . . , an) =∑

Iij>0

(ai ∧ aj)Iij +∑

Iij<0

(ai ∨ aj)|Iij |

+

n∑

i=1

ai(φi −1

2

j 6=i

|Iij |), ∀a ∈ [0, 1]n, Ê � �<Ï

�:�T�f� ���T�k� (a1, . . . , an) ∈ Rn+� | P´�fU��]~ �T}�R φi−

12

j 6=i |Iij | ≥ 0 ���(�f�O���T�f� i �(¤�P�U�RQ��T}<����P�¡<�fP�U9� S�}(����«(��RTUVP��kP1¤��]�_¡<�fP��£���(�f��U�P�~�Q�P�~��f��P�~[�%±ÅR(�f�kSV��S�°TP>~�P>~c�£�]}fPF~��TQ�Q�P�kP�]Rh����S�P�~x�L�(}%¦c�T}]�L��S�°TP(�µ���T����P>~��:�T}]�]Rh}<�xRh�f� S�}<��P���R(����S��T}�~.�:�(~�S¬��SV°(P�~��µ�kS�~�¦c�T}]�L��S�°TP�~

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ʺS�}<��P���R(����S��T}�}f��«(Rh��S�°TP�~�ϵPL�H�f}fP��]RT����SVP�U�S�}f��RTSV��P.ʺS�}]�kS��LPF�X� S�Q����(����Rh}]��P��kP � �]RT�fU�P�ØfÏ�� ��T�k����P�U�R1���T����P>~��:�T}��7§�U#� S�}<��P����f���L��R%��S��T}�¡<�fP�}f�T��~£RI°T�(}]~´�k�T}f}]��P��kP�U#� S�}<��P���RT�L��S��T}X�| P��fU��]~µ�LPL����P*~��(Q1Q�P£P>~c�µ�L�T}_°(PL�kP£��RT� ∑n

i=1 φi = 1 �<Æ£S�}]~�S9�<U9� S�}(����«(��RTUVP��fP*¤��f�k¡<�fPL�P�~���U�R1¹ºP���Q�PL���]��P����T}_°TP��_P��kP����T�f��P�~�UVP>~£�L�(}%¦c�T}�����S��T}�~�PL�H�fS�~�¦c�T}]�L��S��T}]~��kP��]RTSV��P�~��kP�L��SV��­���P�~��kPL�£�kP����T�]~´U�P�~��kS��L��Rh��P��]��~�Ê9�L��S¬��­���P�~µ�f��S�~�~�P��fU�~�Ï��

ÔXP��L�(}]�LP��k���kP�¢fS¬±»��RT�]RT��S¬��� k ±ÅR(�f�kSV��S�°TPH~�P��k�L �}fS¬�£�kP*¹�R(®L�T}zRh}]RTUV�(«T�fP(� � �T�]~µ��P�}k±°T�%Ø(�T}]~�U�P�UVP>����P��f�£§8� � = �t�:�T�f��U�P�~£��RTS�~��T}]~µ~��T�]~�±V¦�R(�LP�}(��P�~´§��LP�����P��f�L ]}fSV��S��T}t�� �� '��6����#1'�� � �K¿ ½�� ��À���Ëf�(ÀL�É�»� ¿�¼�� Ù �É�Å¿ k ±»RT�]�kS¬��SV°(P·Ëf�h�kÌ �k� k

Ù �h�f¼ {1, . . . ,n − 1} ¼���¼��%�!�É� Ù ��À�¿ Ù � �É���Å¿�Ì��(ÀL�#���%� ¿�¼��F�»¿L� aL�]¿ IA,B = 0 aL�]�h� Ù |B| < n − k ¿��N�É�O¿��(��¼��Å¿ (A, B) �%�%¿�À |B| = n − k �Å¿�� a��]¿ IA,B 6= 0 ;�£}]PN¢fSV±Å��Rh�]R(�LSV����}f����P�~�~�SV��P 1+2

(

nn−1

)

+22(

nn−2

)

+· · ·+2k(

nn−k

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+ 0.163(a3 ∨ a5) + 0.142(a4 ∨ a5) + 0.003(a1 ∨ a3) + 0.028a3.

�f�)���k�k­�U�PH��Rh�´QDRT�L���h± ���(}fP�~HʺU�P�~´°%Rh��S�Rh¢fU�P�~´~��T}<�µU�P�~µ}fS�°TP>Rh�k�7�X� S�}]�L�(}k¹º�T����~��f��U�P�~Q�R(�L���h± ���(}fP�~K¦�RTQF¢:P�~��_¢f��R(~��_¢]R(~��f�z�k�<~��<�]RT�k�£�k�x�k�<~µPL�´���(S¬����S�}fP���P>~��:P��L��S�°TP�±Q1P�}<��� e P>~c��U�P�}fS�°TP�RT�x«(UV�(¢]RhU���� S�}]�L�(}k¹º�T�����fRI°(P��*�f}fP��f������S�~�SV�(}z�fP 10−3 Ï��

e = 0.517(a2 ∨ a4) + 0.134(a4 ∨ a5) + 0.122(a2 ∨ a3)

+ 0.095(a1 ∨ a3) + 0.051(a3 ∨ a4) + 0.039(a1 ∨ a5) + 0.043a5.

�H}���P��k�����T}<��Rh��P��a¡<�fP�U�R��]RT����SVP´U�SV}f�>RhS���P£�fP£�LP�~aQ1�k�k­�UVP>~ÄP�~��Ä����­�~O¹�RTSV¢]UVP(�(ÔXP>~ SV}��kS���P�~��� SVQ��:�T����RT}]�LP��kP � ��Rh�fU�P�Ø.P��£UVP>~´SV}��kS���P�~£�X� S�}<��P���RT�L��S��T}x�����T�f°(��~´~��T}<��UVP>~�~��fS�°%Rh}<��~�Â

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