etude math atique et simulation de la dynamique neuronale · 2016. 12. 19. · introduction mod`ele...

IntroductionModele de Hodgkin-Huxley

Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyModeles integre-et-tire

Conclusion

Etude mathematique et simulation de la

dynamique neuronale

Kevin Polisano

Encadre par :Arnaud Tonnelier

23 Mai 2012

Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale 23 Mai 2012 1 / 33



Conclusion

1 IntroductionObjet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie

2 Modele de Hodgkin-HuxleyModelisation physiqueSimulation numerique du modele

3 Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyElimination de 2 variablesEtude du modele reduit

4 Modeles integre-et-tirePresentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil

5 ConclusionBilanPerspectives futures




Conclusion

Objet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie

Sommaire

1 IntroductionObjet d’etude : le neurone biologiqueDemarche suivie

2 Modele de Hodgkin-Huxley

3 Reductions dimensionnelles de Hogkin-Huxley

4 Modeles integre-et-tire

5 Conclusion




Conclusion


IntroductionObjet d’etude : le neurone biologique

Bicouche lipedique

Types de canaux

Types d’ions

Echanges transmembranaire

Potentiel de repos aenviron −70 mV

Flux d’ions et polarisation

Potentiel d’action (spike)




Conclusion





Conclusion


IntroductionDemarche suivie

Plan d’attaque

Presentation du modele de Hodgkin et Huxley

Reduction du modele et etude mathematiques

Modeles integre-et-tire avec un nouveau type de seuil




Conclusion

Modelisation physiqueSimulation numerique du modele

Sommaire

1 Introduction

2 Modele de Hodgkin-HuxleyModelisation physiqueSimulation numerique du modele



5 Conclusion




Conclusion


Modelisation physiqueEquations de Hodgkin-Huxley

Equation des canaux

Fraction de portesαi (V )−−−−→ Fraction de portes

fermees 1 − pi (t) ←−−−−

βi (V )ouvertes pi (t)

dpidt

= αi (V )(1− pi (t)) − βi (V )pi (t) =p∞(V )−pi (t)

τi (V )

p∞(V ) =αi (V )

αi (V )+βi (V )et τi (V ) = 1

αi (V )+βi (V )

Equation du circuitloi des mailles : IC + INa + IK + IL = 0

loi d’ohm : Ii = gi (V − Ei )

Equations de Hodgkin-Huxley

cMdVdt

= −gNam3h(V − ENa)

−gK n4(V − EK )−gL(V − EL) + Iapp

dndt

= φ[αn(V )(1− n) − βn(V )n]

dmdt

= φ[αm(V )(1− m) − βm(V )m]

dhdt

= φ[αh(V )(1− h) − βh(V )h]




Conclusion


Stimulation par un echelon de courant de 4 µA

0 50 100−100

−50

0

50

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

potentiel membranaire V

0 50 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

n

0 50 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

m

0 50 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

h




Conclusion


Stimulation par un echelon de courant de 10 µA

0 50 100−100

−50

0

50

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

potentiel membranaire V

0 50 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

n

0 50 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

m

0 50 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

h

Kevin Polisano Etude mathematique et simulation de la dynamique neuronale23 Mai 2012 10 /

33



Conclusion

Elimination de 2 variablesEtude du modele reduit

Sommaire

1 Introduction


3 Reductions dimensionnelles de Hogkin-HuxleyElimination de 2 variablesEtude du modele reduit


5 Conclusion


33



Conclusion


Reduction dimensionnelleElimination de 2 variables

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

n+h pour 4uA

n + h ≃ 0.87

−80 −60 −40 −20 0 20 40 600

1

2

3

4

5

6

7

8

9

V (mV)τ

(ms)

Constantes de temps

τm

τn

τh

m(t) ≃ m∞(V (t))


33



Conclusion


Reduction dimensionnelle

Equations du modele reduit

dVdt

= 1CM

[Iapp − Iion(V , n)] ≡ f (V , n)

dndt

= φ(n∞(V )−n)τn(V )

≡ g(V , n)

Iion(V , n) = gCam∞(V − ECa)− gKn(V − EK )− gL(V − EL)

Interets du modele reduit

Representation des variables dans le plan de phase

Interpretations geometriques du comportement neuronal

Etude du systeme dynamique (stabilite, bifurcation, etc)


33



Conclusion


Stimulation par un echelon de courant de 60 mAReponses temporelle et dans le plan de phase

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

potentiel membranaire solution

V3V2VR

−60 −40 −20 0 20 400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

V

n

Diagramme de phase

(V3,n3)(V2,n2)V−nullclinen−nullCline


33



Conclusion


Stimulation par un echelon de courant de 100 mAReponses temporelle et dans le plan de phase

0 50 100 150 200 250 300−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

temps (ms)

pote

ntie

l (m

V)

potentiel membranaire solution

V3V2

−60 −40 −20 0 20 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

V

n

Diagramme de phase



33



Conclusion


Analyse theorique du systeme

Etude de stabilite du point fixe

On examine les valeurs propres de la matrice jacobienne :

[

−∂Iion(VR , nR)

∂V/CM −gK (VR − EK )/CM

φn′∞(VR)/τn(VR) −φ/τn(VR)

]

=

[

a b

c d

]

Nature du point fixe

a 6 0 le point fixe est stable

a > 0

si −a/b > −c/d alors le point fixe est instablesinon stable si a+ d < 0 et instable si a+ d > 0


33



Conclusion


Interpretations dans le plan de phase

−60 −40 −20 0 20 400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

V

n

Diagramme de phase


Iapp = 60 mA : stable

−60 −40 −20 0 20 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

V

n

Diagramme de phase


Iapp = 100 mA : Instable


33



Conclusion


Interpretations dans le plan de phase

−60 −40 −20 0 20 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

V

n

Diagramme de phase

(V3,n3)(V2,n2)V−nullclinen−nullcline

Iapp = 90 mA : Bistabilite


33



Conclusion


Theorie des bifurcations

Bifurcation de Hopf

Stabilite du systeme dynamique dependante de Iapp

Pour Iapp < 94 et Iapp > 212 point fixe stable

Pour Iapp ∈ [94, 212] point fixe instable


33



Conclusion

Presentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil

Sommaire

1 Introduction



4 Modeles integre-et-tirePresentation du modele IFIntroduction d’un nouveau type de seuil

5 Conclusion


33



Conclusion


Presentation du modele IFFormulation mathematiques

Forme generale d’un modele IF

v = F (v )− w + Iappw = a(bv − w)si v > vseuilalors v ← vresetet w ← w + d


33



Conclusion


Presentation du modele IFSimulation du modele IF d’Izhikevich

Modele d’IzhikevichF (v) = 0.04v2 + 5v + 140, a = 0.02, b = 0.2, vseuil = 30 mV , Iapp = 20

0 20 40 60 80 100 120−80

−60

−40

−20

0

20

40Modele RS (Regular Spiking)

vreset = −65 mV , d = 8

0 20 40 60 80 100 120 140 160−80

−60

−40

−20

0

20

40Model CH (chattering)

vreset = −55 mV , d = 2


33



Conclusion


Introduction d’un nouveau type de seuilDetermination d’une fonction seuil


33



Conclusion


Introduction d’un nouveau type de seuilDetermination d’une fonction seuil

n = 0.0188V + 1.4322


33



Conclusion


Introduction d’un nouveau type de seuilSimulation de HH reduit muni du seuil

0 50 100 150 200 250−80

−60

−40

−20

0

20

40

temps (ms)

V (

mV

)

Modele HH reduit avec et sans seuil soumis a un courant aleatoire

vreset = −75 mV , nreset = 0.7

HH reduit avec seuil affine

dVdt

= f (V , n) + input(V , t)dndt

= g(V , n)si n < 0.0188V + 1.4322alors v ← vresetet n ← nreset


33



Conclusion


Extraction d’un modele IFApproximation des nullclines

Equations approchees

P(V ) = 1, 27.10−3V

2 + 0, 16V + 5, 21

n = 0, 0159V + 1, 343

Probleme : perte d’information !


33



Conclusion


Extraction d’un modele IFApproximation des surfaces

Equations des surfaces approchees

z = f (V , n) ≃L2 z = 3V 2 + 374V + 10552− 1170nz = g(V , n) ≃L2 z = 4.104V + 0, 27− 0, 27n


33



Conclusion


Extraction d’un modele IFProjection des surfaces sur z = 0

Visualisation dans le plan de phase

Probleme : courbes nullcline etpoint fixe incoherents

Solution : minimisation souscontraintes des nullclines


33



Conclusion


Discussion : application a des donnees biologiquesChallenge de l’INCF

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 105

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

pote

ntie

l (m

V)

temps (ms)

Reponse d’un neurone biologique soumis a un courant aleatoire


33



Conclusion

BilanPerspectives futures

Sommaire

1 Introduction




5 ConclusionBilanPerspectives futures


33



Conclusion


ConclusionBilan

Recapitulation de la demarche

Presentation du modele complet de Hodgkin-Huxley

Reduction du modele a 2 variables

Determination d’un seuil naturel

Introduction de ce seuil dans le modele reduit

Interets du nouveau type seuil

Biologiquement plus plausible

Gain de temps en simulation

Amelioration du pouvoir predictif


33



Conclusion


ConclusionPerspectives futures

Pistes a suivre

◮ Terminer l’extraction du modele IF

◮ Soumettre ce modele aux donnees biologiques duchallenge et analyser statistiquement son pouvoir predictif

◮ Appliquer ce nouveau type de seuil aux modeles dejaexistants et l’etendre aux reseaux de neurones


33



Conclusion


Questions ?


33

etude math atique et simulation de la dynamique neuronale · 2016. 12. 19. · introduction mod`ele...

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