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ESTUDIO DE UN ESTIMADOR LOCAL
DEL NIVEL DE ESTABILIDAD DE LAS
TENSIONES DE UN SISTEMA DE
ENERGÍA ELÉCTRICA
Trabajo fin de master MSE Director: Francisco M. Echavarren Alumno: José Ángel Castro Abad
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 1
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN. 3
I. ESTIMACIÓN LOCAL DE LA ESTABILIDAD EN TENSIÓN. 3
II. REGULACIÓN TERCIARIA PARA MAXIMIZAR LA ESTABILIDAD EN TENSIÓN. 4
III. ANEXO TÉCNICO: PSAT. 4
ESTIMACIÓN LOCAL DE LA ESTABILIDAD EN TENSIÓN 5
I. LA ESTABILIDAD EN TENSIÓN: TEORÍA BÁSICA. 5
II. CAUSAS DEL PUNTO DE COLAPSO. 6
III. EJEMPLOS DE PÉRDIDA DE ESTABILIDAD DE TENSIÓN. 8
IV. DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA ESTABILIDAD EN TENSIÓN. 10
V. HERRAMIENTAS CLÁSICAS PARA LA ESTIMACIÓN DE LA ESTABILIDAD EN TENSIÓN. 12
A. FLUJO DE CARGAS DE CONTINUACIÓN (CPF). 12
1. FASE DE PREDICCIÓN 13
2. FASE DE CORRECCIÓN 14
3. PARAMETRIZAJE. 15
B. BIFURCACIÓN SILLA-NUDO (SNB). 16
VI. UN ESTIMADOR LOCAL: ‘ILST’ 16
A. UNA HERRAMIENTA DE ESTIMACIÓN LOCAL DE LA ESTABILIDAD EN TENSIÓN. 16
B. DEFINICIÓN DE ILST 17
MUESTRA DE RESULTADOS DEL ‘ILST’ 18
I. INTRODUCCIÓN. 18
II. CASO BASE. 21
III. ESTUDIO DEL CASO BASE TRAS OPTIMIZACIÓN. 23
A. MINIMIZACIÓN DE PÉRDIDAS. 24
B. PERFIL ÓPTIMO DE TENSIONES. 25
C. COMPARATIVA. 26
IV. ANÁLISIS ZONAL DEL CASO BASE. 27
A. REGIÓN B. 27
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B. REGIÓN A. 28
C. TABLA COMPARATIVA. 29
CONCLUSIONES 31
BIBLIOGRAFÍA 32
ANEXO TÉCNICO: PSAT. 33
I. INTRODUCCIÓN. 33
II. ¿COMO FUNCIONA? 35
A. COMPONENTES. 35
B. ESTRUCTURAS DE DATOS. 35
C. MODELOS. 36
III. CASO DE ILST 38
A. NUDO DE REFERENCIA V∟0 (GENERADOR) 38
B. NUDO PV (GENERADOR) 38
C. NUDO PQ (CARGAS) 39
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Introducción.
La gestión de redes de transporte debe compensar permanentemente el consumo y las
pérdidas de potencias activas y reactivas con la ayuda de medios de generación y de
consumo. Frecuentemente esta misión es realizada a través de un control jerarquizado
de la frecuencia y de la tensión. Como se define en [1], la regulación terciaria de tensión
consiste en una optimización de variables de control de la red:
- Tensión de consigna de los alternadores o de los compensadores.
- Tomas de transformadores.
- Reactancias y baterías de condensadores.
Esta optimización es, en general, multiobjetivo y busca minimizar los costes de
explotación y maximizar los márgenes de seguridad del sistema [2]. El criterio de
seguridad aparece a menudo en forma de restricción, como el N-1 [3], pero es difícil de
cuantificar. Numerosos incidentes debidos a una pérdida de estabilidad de tensión nos
han recordado que este concepto es difícil de gestionar [4].
I. Estimación local de la estabilidad en tensión.
Con el fin de garantizar el abastecimiento de la demanda bajo determinadas condiciones
de seguridad, se busca conocer la demanda máxima a partir de la cual no se puede
asegurar el transporte de electricidad a las cargas [5]. Este punto de máxima demanda se
conoce como punto de colapso (black out). Desde dicho punto el sistema eléctrico no
puede satisfacer un aumento de la demanda. Existen diferentes herramientas para
estimar la estabilidad en tensión, las cuales proponen una evaluación global de la
distancia al punto de colapso (evaluación de la distancia entre la demanda inicial y la
demanda en el punto de colapso. Se propone un indicador local del margen estático de
cada nudo del sistema respecto a un nivel crítico situado en el punto de colapso.
En el desarrollo de este trabajo, primero se darán unas nociones básicas relacionadas
con la estabilidad en tensión, acompañada del relato de algunas situaciones reales de
sistemas eléctricos que llegaron a tener problemas de estabilidad. Se presentará una
herramienta para analizar la estabilidad en tensión a través del método de continuación
aplicando un software libre desarrollado por Federico Milano y denominado psat [6].
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Por último se presentarán los resultados de la herramienta para un sistema de 118 nudos
en diversos escenarios.
II. Regulación terciaria para maximizar la estabilidad en
tensión.
Una regulación terciaria interesante para garantizar la seguridad de alimentación sería
una maximización de la demanda que puede soportar una red antes de perder la
estabilidad en tensión.
En la segunda parte de este trabajo se proponen dos funciones de optimización para
maximizar la estabilidad en tensión, es decir, para que el sistema pueda transportar un
máximo de potencia sin llegar al punto de colapso (black out)
III. Anexo técnico: PSAT.
El trabajo contiene un anexo técnico donde se explica el funcionamiento básico de
PSAT, desarrollado poR Federico Milano [6]. Este programa se ha utilizado durante el
desarrollo del trabajo.
Estimación local de la Estabilidad en Tensión
I. La estabilidad en tensión: teoría básica.
La estabilidad en tensión se puede definir como la capacidad de un sistema eléctrico
para mantener los niveles aceptables de tensiones en los nudos de un sistema tanto en
condiciones normales de operación, como tras haber sufrido una perturbación en la red.
Numerosos fenómenos pueden crear una perturbación: fallo de una línea o de un
elemento de esta, variaciones de las cargas, modificación de la configuración del
sistema, etc. Este estudio se ciñe a la estabilidad en tensión ante una variación de la
demanda.
En realidad, es especialmente difícil de preveer con exactitud la variación de la
demanda. Por ello, se estudiará una aproximación clásica de la demanda considerando
un factor de carga λ definido de esta manera:
)1(0 jjj kSS ⋅+= λ (1)
jS es la demanda de potencia aparente en el nudo j Sj0 es su valor inicial. es una
constante en función de la dirección de potencia que se le quiera dar a cada nudo y de el
factor de distribución de pérdidas.
jk
La figura 1 representa una curva clásica de tensión para un nudo dado, en función del
factor de carga del sistema. Se observa que una aumento de λ produce una bajada de la
tensión. El punto de colapso es λ = λmax.
Figure 1. Representación de la tensión de un nudo en función del factor de carga del sistema
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En un sistema simple de dos nudos como el presentado en la Figura 2, la curva Vi = f(λ)
está fuertemente relacionada con la demanda de potencia activa del sistema, tal y como
muestra la figura 3:
- Al aumentar la inyección de reactiva en las cargas (sistema más capacitivo), λmax es
más grande.
- Si las cargas son muy capacitivas, la tensión del punto de colapso aumenta. De ahí se
deduce que, cuanto más capacitivo sea el sistema, la tensión del punto de colapso estará
más próxima a la tensión nominal del sistema.
Figure 2. Sistema en nudo 2 [5]
Figure 3. Representación de la tensión del nudo 2 en función del factor de carga del sistema y del cos φ del nudo 2 [5]
II. Causas del punto de colapso.
El fenómeno de la inestabilidad de tensiones tiene gran importancia en la explotación de
sistemas de energía eléctrica. La inestabilidad de tensiones está relacionada con la
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capacidad de un sistema de energía eléctrica de mantener niveles aceptables de tensión
en todos los nudos, tanto bajo condiciones normales de operación como tras sufrir
perturbaciones.
La estabilidad de tensiones es un fenómeno de naturaleza fundamentalmente dinámica,
y su estudio requiere el modelado detallado de todos los elementos que conforman un
sistema de energía eléctrica: generadores, cargas, transformadores, reactancias, FACTS,
interconexiones en corriente continua de alta tensión, etc. Desde un punto de vista
físico, las causas fundamentales por las que un sistema pueda alcanzar el colapso de
tensiones son variadas.
• Sistemas con gran demanda de potencia activa y/o reactiva: Cuanto mayor sea la
carga del sistema, y por tanto mayor la generación, el transporte por las líneas
será mayor, así como las pérdidas. Esto trae como consecuencia grandes
corrientes por las líneas y bajas tensiones en los nudos.
• Sistemas con grandes desequilibrios generación-demanda en las áreas de
intercambio (grandes transferencias de energías entre las áreas): El exceso de
transporte de energía entre áreas de intercambio a través de las líneas de
interconexión, provoca que en éstas las corrientes sean muy grandes, lo que
contribuye a grandes caídas de tensión.
• Grupos en sus límites de generación o absorción de potencia reactiva: La
saturación del límite máximo de generación de potencia reactiva en un
generador, desemboca en una disminución de su tensión de consigna. Esto
provoca que, para transportar la misma potencia a nudos cercanos, la corriente
por las líneas debe crecer, aumentando la caída de tensión en dichas líneas
(análogo en el caso del límite inferior.
• Pérdida de uno o más elementos de la red (líneas, generadores, transformadores,
etc..): En el caso de líneas y/o transformadores, la pérdida de cualquiera de estos
elementos conlleva por lo general la saturación de otras líneas de transporte al
hacerse cargo éstas de de la capacidad de de transporte perdida. En el caso de
generadores, si el reparto entre el resto de grupos de la generación perdida no se
realiza de manera equilibrada, puede provocar que algunos grupos se vean
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obligados a generar más potencia que la que puede transportar el conjunto de
líneas que los unen a la red.
• Tensión de consigna de generadores mal ajustada: Un mal ajuste de las tensiones
de consigna de los generadores puede derivar en corrientes por las líneas
demasiado elevadas, que provocan grandes caídas de tensión en las mismas.
Sin embargo, desde un punto de vista matemático, la cercanía a la inestabilidad de
tensiones de un sistema de energía eléctrica depende directamente de la distancia
existente entre el punto inicial de funcionamiento y la bifurcación silla-nudo de las
ecuaciones estáticas del sistema (flujo de cargas) Este punto es conocido como punto
de colapso de tensiones. Dicha distancia se puede medir variando gradualmente uno o
más parámetros de las ecuaciones de flujos de cargas (despachos de potencia en nudos,
reactancias, tomas de transformadores, impedancias de líneas , etc) hasta alcanzar dicha
bifurcación. Entre las anteriores, la medida más utilizada es la que se obtiene variando
el despacho inicial de potencia activa y reactiva, generada y consumida, en una
determinada dirección, controlando la magnitud de dicha variación mediante un
parámetro conocido como factor de carga.
El factor de carga no constituye la única manera de medir la proximidad de un sistema
al colapso de tensiones. Existen definidos en la literatura técnica otros índices de gran
interés en la operación de los sistemas de energía eléctrica, ya que también pueden ser
utilizados como indicadores de lo cerca que se encuentra el sistema del colapso de
tensiones.
III. Ejemplos de pérdida de estabilidad de tensión.
En la literatura se encuentran grandes incidentes en sistemas de energía eléctrica
directamente relacionados con la inestabilidad de tensiones: Francia, Diciembre de
1978; Columbia Británica, Julio de 1979; Suecia, Diciembre de 1983; Bretaña, Enero de
1987.
Existen también muy bien documentados incidentes más recientes directamente
relacionados con la inestabilidad y el colapso de tensiones. En los próximos
subapartados se resume dos de los más importantes:
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Italia, Septiembre de 2003. En el caso del incidente acaecido el 28 de Septiembre de
2003 que afectó a prácticamente la totalidad del sistema eléctrico italiano. El origen del
incidente fue la pérdida a las 3:01 en el sistema suizo de la línea de 380 KV Mettlen-
Lavorgo, a causa de una falta a tierra por arco del conductor a un árbol, como
consecuencia de un exceso de flecha. A raiz de ésta pérdida, ETRANS solicito a GRTN
la reducción de 300 MW en la importación de energía que Italia estaba haciendo de
Suiza. Sin embargo, esta medida no fue suficiente para aliviar las sobrecargas en el
sistema suizo, lo que originó un nuevo exceso de flecha en el conductor de la línea de
380 KV Sils-Soazzacon, provocando un nuevo arco de conductor a un árbol. Las
sobrecargas producidas por las pérdidas de ambas líneas produjo una apertura en
cascada de todas las líneas de interconexión con el sistema italiano en 12 segundos. En
ese momento, las importaciones del sistema italiano ascendían a un total de 6900 MW,
esto es casi un tercio de del total de la demanda del sistema Italiano (21100MW).
Durante estos 12 segundos, la frecuencia se mantuvo aproximadamente en 50 Hz
gracias al soporte que ofrecía la interconexión. Sin embargo, las tensiones del sistema
cayeron de forma incontrolada durante estos segundos. Este hecho motivó que las
centrales del sistema italiano, una vez desconectado de la UCTE, no pudieran soportar
el sistema por sí solas. De este modo, a pesar de que los sistemas automáticos de
deslastre de cargas desconectaron más de 3500 MW de bombeo y otros 7000 de carga,
las centrales del sistema italiano fueron disparando sucesivamente hasta perder un total
de 3700 MW de generación. Tan sólo 2 minutos y 30 segundos después de la
desconexión del sistema italiano de la UCTE, la frecuencia había caído hasta los 47,5
Hz, produciéndose el colapso de forma definitiva en todo el sistema italiano.
Una situación próxima al colapso de tensiones se produjo en el sistema eléctrico
peninsular español el día 17 de diciembre de 2001. Se muestra a continuación en la
Figura 4 la evolución de la demanda de potencia activa del sistema eléctrico peninsular
español durante el 17 de diciembre de 2001 (La línea más baja en el comienzo de la
gráfica).
La ola de frío que afectaba a España provocó un aumento sin precedentes de la demanda
de energía eléctrica. Se alcanzó el record histórico tanto de demanda punta a las 18:45
horas con 35500 MW, como de demanda media horaria a las 18:00 con 34930 MW. A
la baja capacidad hidráulica motivada por una año muy seco, se sumó la
indisponibilidad de algunos grupos térmicos. Todas estas circunstancias desembocaron
en valores de tensión muy bajos a la hora de la punta, como los registrados en los nudos
de 400 KV de San Sebastián de los Reyes con 348 Kv en la zona Centro, o Catadau con
358 Kv en la zona de Levante.
Ante esta caída de tensiones, el Operador del Sistema tomó la decisión cerca de las
19:00 de deslastrar 500 MW de carga de las zonas Centro y Levante. Esta medida fue
suficiente para para frenar la caída de las tensiones y devolver al sistema a un punto de
funcionamiento más seguro, como muestra la figura 4 (La línea de arriba en el
comienzo de la gráfica indica la evolución de la tensión en el nudo de S. Sebastian de
los Reyes)
Figure 4. Representación de la tensión del nudo de S. Sebastian de Los Reyes y de la demanda de Madrid el 17 diciembre 2001
IV. Definición matemática de la Estabilidad en Tensión.
Para una distribución de cargas (PD, QD), una distribución de la producción de potencia
activa (PG) y de tensiones de consigna para los alternadores y compensadores (VG)
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dados, se puede determinar el estado del sistema: tensión V y ángulo δ en cada nudo. En
la redacción de este trabajo se sintetizará las ecuaciones del flujo de cargas en:
0),( =δvg (2)
Se explicarán con más detalle estas ecuaciones en el anexo técnico: PSAT, sección III.
Para conocer el estado del sistema para diferentes factores de carga hay que añadir una
variable de estado λ suplementaria a la ecuación (2). El sistema eléctrico queda
representado por tanto por el siguiente sistema:
0),,( =λδvg (3)
Esta modelización del sistema eléctrico está altamente limitada por la representación
aproximada de demandas.
A medida que las cargas aumentan, los voltajes en las barras disminuyen (si las cargas
no son muy capacitivas) hasta llegar al punto de colapso donde hay un único estado de
operación. Para valores más grandes de cargas no existe solución.
Desde el punto de vista matemático, este cambio del sistema se llama bifurcación silla-
nudo. En realidad, la naturaleza del punto de colapso de tensión está asociado con un
concepto matemático definido por Sotomayor en los años 70 [7].
La dificultad esencial para identificar el punto de colapso es que la matriz jacobiana del
sistema de ecuaciones correspondientes es singular en dicho punto. Por esta razón, los
intentos de resolver el flujo de carga en estados cercanos al punto de colapso con
métodos convencionales como el flujo de carga fracasan y no convergen.
El Jacobiano J(v,δ,λ) de el sistema g(v,δ,λ) es definido por :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
vvgvg
vvgvg
vJnn ),,(),,(
),,(),,(
),,(
11
λδδ
λδ
λδδ
λδ
λδ
L
MOM
L (4)
donde n es el numero de ecuaciones que definen el sistema de flujo de carga..
Por lo tanto, un método para encontrar el punto de bifurcación podría ser el aumento
gradual sistemático del factor de carga, resolviendo cada uno de los sistemas de
ecuaciones hasta que el sistema no convergiera. El problema es que este método está
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limitado por la característica del punto de bifurcación que afecta a la no convergencia
del sistema, incluso en estados anteriores al de dicho punto. Por ello, se han
desarrollado métodos más eficaces. En este trabajo se presentan dos.
V. Herramientas clásicas para la estimación de la estabilidad
en tensión.
A. Flujo de cargas de continuación (CPF).
Las técnicas de flujo de cargas de continuación constituyen una herramienta muy
robusta para el cálculo de trayectorias de variables de estado en un sistema dependiente
de uno o varios parámetros. Diferentes métodos existen; este trabajo se centra en el
desarrollado por C. Cañizares en [8]. El sistema considerado es resumido por la
ecuación (3). Una de las variables debe ser el parámetro de continuación λ, y el resto
serán x.
0),( =λxg (5)
En este estudio, se consideran únicamente v, δ, y el factor de carga como las variables
del flujo de cargas (se desprecian todas las variaciones dinámicas). El factor de carga es
el parámetro de continuación y v y δ el resto de las variables. Esta afirmación no es
exacta como se explicará en la sección de parametrizaje.
El flujo de cargas de continuación es un proceso iterativo que, a partir de una situación
inicial definida por (xj, λj), se calcula una nueva situación (xj+1, λj+1) con λj+1 > λj. El
proceso finaliza cuando se alcanza el punto de colapso de tensiones (λmax).
La iteración se divide en dos etapas: predicción y corrección. La figura 5 muestra un
paso completo para obtener (xj+1, λj+1) a partir de (xj, λj).
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Figure 5. Iteración de un flujo de cargas de continuación.
1. Fase de predicción
La fase de predicción da una primera aproximación (xj*, λj
*) que no satisface (5), pero el
error atribuido no es elevado.
El algoritmo parte de una solución conocida (xj, λj). Inicialmente, (x0, λ0) corresponde a
la solución del flujo de cargas para la carga inicial (λ=1).
Se busca un vector del sistema que sea tangente a la curva de la figura 5 en (xj, λj). Este
es definido por:
jjj
xxxgxg
λλ
λλ
∂∂
×∂
∂=
∂∂ ),(),( (6)
j
j
jj
xxλλ
τΔ
Δ≈
∂∂
= (7)
La ecuación (6) comprende el mismo número de ecuaciones y de variables que el flujo
de cargas, pero hay una variable añadida, el parámetro de carga. Por lo tanto, hay una
variable más en el nº de variables que en el de ecuaciones. Se necesita otra ecuación
añadida
Esta ecuación define un límite para la longitud del vector:
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j
kτ
λ =Δ (8)
Primera iteración:
k=+1
Iteraciones siguientes:
Si en la iteración anterior λ aumentó => k=+1
Si en la iteración anterior λ disminuyó => k=-1
Se resuelve el sistema compuesto por las ecuaciones (6)-(8) para obtener los valores del
vector tangente ),( λΔΔx . El vector define los valores del punto aproximado.
( ) ( ) ( jjjjjj xxx λλλ ΔΔ+= ,,, ** ) (9)
Figure 6. Descripción de la fase de predicción
2. Fase de Corrección
La fase de corrección definida (xj+1, λj+1), cumple (5) y otras ecuaciones suplementarias
para conseguir un distanciamiento mínimo de (xj+1, λj+1) respecto a (xj*, λj
*). Esta fase
garantiza la convergencia del sistema y la no singularidad del jacobiano del nuevo
sistema.
Diferentes métodos existen en este estado. Uno de los más utilizados es el denominado
‘intersección perpendicular’. Consiste en encontrar la intersección entre el plano
perpendicular al vector tangente (Δxj, Δλj), y la curva definida por (5) como se
representa en la figura 7.
La ecuación del plano perpendicular al vector es:
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0))(()(( 11 =Δ+−Δ+Δ+−Δ ++ jjjjjjjj xxxxλλλλ (10)
La solución del sistema constituido por las ecuaciones (5) y (10) permite obtener (xj+1,
λj+1).
El proceso iterativo continuará hasta que λ comience a disminuir. Ahí ya se habrá
sobrepasado el punto de colapso.
Figure 7. Descripción de la fase de corrección.
3. Parametrizaje.
Para mejorar el proceso se puede cambiar el parámetro de continuación en cada
iteración. Este paso es opcional.
Consiste en utilizar como parámetro de continuación la variable que tenga mejor
influencia.
En el caso de un sistema de potencia, el factor de carga es el mejor criterio cuando se
parte de la solución base porque, en estas condiciones, las tensiones y ángulos varían
poco con λ.
Sin embargo, después de varias iteraciones las variables tensión y ángulo varían
bastante para pequeñas modificaciones del factor de carga. En esta situación el factor de
carga sería un pobre criterio como parámetro de continuación.
Una recomendación es, a partir de la primera iteración con el factor de carga como
parámetro de continuación, hacer una evaluación para elegir como parámetro la variable
cuya variación sea la más grande en el vector tangente.
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B. Bifurcación Silla-Nudo (SNB).
El método Bifurcación Silla-Nudo es descrito en [9]. Éste permite calcular directamente
el punto denominado Bifurcación-Silla-Nudo .Este punto debe ser un estado posible del
sistema (cumplir (5)). Además, el jacobiano definido en (4) debe ser singular. Para
obtenerlo se busca un punto tal que el vector propio de (4) (derecho o izquierdo,
diferente de cero) tenga un valor propio igual a cero.
Se llamará, en las sucesivas ecuaciones, v al vector propio derecho, w al vector propio
izquierdo.
0),(=×
∂∂ v
xxg λ
o 0),(
=×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂ w
xxg Tλ
(12)
Con :
│v│ = 1 o │w│ = 1 (11)
Se encontrará el punto Bifurcación Silla-Nudo al resolver el sistema constituido por las
ecuaciones (5), (11) y (12).
VI. Un estimador local: ‘ILST’
A. Una herramienta de estimación local de la estabilidad en tensión.
Aunque desde un punto de vista teórico puede ser interesante conocer el punto de
colapso, en la práctica es poco probable de alcanzar debido a las hipótesis hechas sobre
la evolución de la demanda, y de la regulación secundaria y terciaria.
El objetivo de este estudio es analizar la evolución de la caída de tensión en cada nudo
del sistema antes de llegar al punto de colapso definido por el CPF, siempre teniendo
en cuenta los límites prácticos de funcionamiento de la red (límites de tensión, de
inyección de potencia reactiva de los generadores, y límites térmicos de la línea).
Para ello se ha utilizado el algoritmo de flujo de cargas de continuación porque presenta
la ventaja de describir una serie de puntos de funcionamiento posibles donde se
verifican las siguientes limitaciones.
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Los límites (máximo y mínimo) de tensión son definidos en cada nudo. Estos son
verificados cuando se parte de un estado inicial (en ocasiones, definido con el objetivo
de maximizar una o varias variables por medio de la regulación terciaria). El estimador,
durante el proceso del CPF, permite que las tensiones de los nudos puedan ser inferiores
a Vmin, teniendo plena conciencia de ello. Un límite Vmin fijo (por ejemplo 0,9) es
demasiado permisivo en el caso de una red muy capacitiva o demasiado restrictiva en
otras situaciones de la red donde puede alcanzar tensiones inferiores a esta. Los límites
de tensión verificados por ILST son δVi /δλ en cada nudo.
Figure 8. Principio de funcionamiento del ILST
B. Definición de ILST
Como se cita en la sección II-A y en la ecuación (4), el punto de colapso de tensión se
caracteriza por δVi /δλ = - ∞. El principio del ILST es analizar para cada nudo el valor
δVi /δλ en cada iteración del CPF, como representa la figura 8.
Esto resuelve el problema planteado en la sección I del valor de la tensión en el punto
de colapso en el caso de redes particularmente capacitivas.
Para cada nudo i, el índice corresponde al valor de λ, cuando δVi /δλ llega a ser inferior
a un límite predefinido L.
El trabajo realizado se apoya sobre las funciones desarrolladas en PSAT [6]. El CPF
está programado en matlab. La función de evaluación del ILST puede dividirse en seis
partes:
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1. Los datos de los sistemas eléctricos que se dispongan deben estar en formato
matpower. Estos datos representan el funcionamiento en régimen nominal del
sistema. El primer paso es seleccionar la red que se quiera estudiar y
caracterizarla en formato matpower. Estos datos se introducirán en el programa.
2. Si se desea, se pueden modificar los datos insertados anteriormente para seguir
uno de estos tres objetivos :
a. minimización de pérdidas.
b. perfil óptimo de tensiones.
c. Aumento de demanda y generación de una única región (A o B)
3. Se cambian los datos de formato matpower a formato PSAT para que este
programa reconozca los datos y pueda hacer el CPF.
4. Con el algoritmo descrito anteriormente se busca el límite de la demanda que
cada nudo puede soportar para una dirección de potencia.
5. Se localiza el nudo que limita más el crecimiento de la demanda y se dibuja la
evolución de la tensión para poder estudiarlo.
6. Se realiza una gráfica para ver cuales son las zonas más problemáticas respecto a
la estabilidad en tensión.
Muestra de Resultados del ‘ILST’
I. Introducción.
Para analizar los resultados de la herramienta se ha elegido una red de 118 nudos
publicada en el IEEE. Esta red está dividida en dos regiones, A y B. La región A posee
más nudos que la B, entre ellos el nudo de referencia “slack”. En el estado inicial del
flujo según los datos presentados en IEEE la región B es exportadora y A importadora,
aunque ambas están muy equilibradas.
Se estudiará la estabilidad en tensión de esta red partiendo de diferentes escenarios y se
aumentará la demanda de tal forma que se identificarán los nudos más débiles (los que
pierden estabilidad primero durante la evolución del aumento de la demanda)
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Los escenarios que se estudiarán son:
• Caso base. El estado inicial es el presentado en la revista IEEE. • Minimización de Pérdidas. Se modificará el Caso base para minimizar las
pérdidas. • Perfil óptimo de tensiones. Se modificará el Caso base para minimizar la
desviación típica de los módulos de tensión de todos los nudos. • Análisis Zonal del Caso Base. Región B. Se partirá del Caso base con la
salvedad de que la evolución de la demanda sólo afectará a los nudos de la Región B.
• Análisis Zonal del Caso Base. Región A.Se partirá del Caso base con la salvedad de que la evolución de la demanda sólo afectará a los nudos de la Región A.
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II. Caso base.
Lo primero que se debe tratar es el índice que se estudiará para identificar un nudo como
débil en estabilidad en tensión.
El índice a estudiar es, como ya se dijo anteriormente, la velocidad de caída de tensión
respecto la evolución de la demanda. Lo que falta por establecer es qué límite numérico
elegir. Primero se establecerá un índice bastante elevado (muy permisivo), como -0,16 y
se estudiará para el Caso base. Con este índice habrá un número elevado de nudos que
lleguen a la máxima demanda que soporta el sistema sin superar el índice. Los nudos que,
aún con un índice permisivo, no son capaces de soportar una demanda alta se
identificarán como nudos débiles.
Figure 9. Resultados Caso Base λ=-0,16
Posteriormente se repetirá el análisis con un índice bajo (poco permisivo), como -0,11. En
este caso, muchos nudos no serán capaces de soportar un gran aumento de demanda sin
haber superado el índice. Los nudos que, con un índice poco permisivo, son capaces de
soportar una demanda alta se identificarán como nudos robustos que difícilmente tendrán
problemas de estabilidad.
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Figure 10. Resultados Caso Base λ=-0,11
Por último se repetirá el análisis con un índice intermedio a los dos anteriores que
proporcione unos valores de lambda máxima por nudo con una desviación típica más
suave que el segundo caso pero más acusada que el primero. El índice será -0,14.
Figure 11. Resultados Caso Base λ=-0,14
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En la gráfica se identifican claramente dos zonas. La primera y más importante es la
compuesta por los nudos 77, 118 y 76 (y alrededores).
El nudo 76, que es el peor parado, alcanza el índice impuesto con un factor lambda de
0,3483 (el factor máximo que se alcanza con el CPF es 1,0296). Este nudo es un
generador y una carga. No está generando potencia activa y tiene una carga bastante
elevada (0,68 en el punto inicial del Caso base).
Viendo los resultados se podría concretar que el problema de la zona más débil es que los
generadores (nudos 74, 76, 77) no están generando potencia activa, por lo que se debe
abastecer la demanda de esa zona con nudos más lejanos. En resumen, en esa zona hay
una clara falta de generación.
Respecto a la segunda zona (nudos 33, 34, 35, 36, 37, 38, 43, 44, 19, 20, 21) parece que
es menos crítica, aunque algo más amplia. El motivo es similar a la primera zona, los tres
nudos generadores que pertenecen a la zona identificada (34, 36 y 19) no están generando
potencia activa, pero si consumiéndola.
Respecto a la interconexión entre las dos zonas cabe mencionar que en el Caso base la
región B es la exportadora con una diferencia de 0,9314. Sin embargo a la vez que la
demanda aumenta el sentido de la interconexión va cambiando. Para el factor máximo de
demanda (1,0296) es la región A la exportadora con una diferencia de 0,3369. Se aprecia
que la zona más afectada por la estabilidad en tensión es la región A. Es de destacar que
la segunda zona crítica citada posee nudos de ambas regiones, si bien la mayoría son de la
región A.
Una vez identificadas las zonas a estudiar y un índice que da una buena referencia, se
comparará estos resultados con los que da la misma red con el índice de -0,14 en
diferentes escenarios (los numerados anteriormente)
III. Estudio del Caso Base tras optimización.
Una vez identificadas las zonas a estudiar y un índice que da una buena referencia, se
comparará estos resultados con los que da la misma red con el índice de -0,14 en
diferentes escenarios de optimización: minimización de pérdidas y perfil óptimo de
tensión.
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 24
A. Minimización de pérdidas.
A continuación se presenta la gráfica partiendo de un estado inicial que minimiza las
pérdidas modificando las potencias y tensiones de consigna de los generadores. Como era
de esperar, la estabilidad global mejora (tanto en las zonas conflictivas mencionadas
anteriormente, como en las estables). Además el máximo parámetro lambda que alcanza
es mayor en este caso (1,1751 frente a 1,0251). Cabe mencionar que hay una zona (la de
los nudos 52, 53,54, 55, 56, 57, 58) que reduce la estabilidad en tensión respecto al Caso
base. De todas formas esta reducción no es alarmante ya que hablamos de parámetros de
lambda entre 0,9 y 1 para el caso descrito frente a 1,0251 que alcanza en el Caso base.
Esta situación probablemente se deba a dos motivos. Por un lado los nudos de esa zona
con generadores (54, 55, 56) tienen bastante consumo de reactiva (en especial el único
generador que produce energía activa, marcado con el número 54, el cuál consume 0,32).
Por otro lado el modulo de la tensión de los nudos generadores ha aumentado en el punto
de partida de este escenario frente al Caso base (el nudo 54 en el Caso base tenía una V de
0,958 y en este escenario tiene 1,039). Para lograr este aumento del módulo de la tensión
los nudos han tenido que generar más reactiva. Es decir, se encuentran con un déficit de
reactiva para mantener las tensiones respecto al Caso base.
Respecto a la interconexión entre las dos zonas cabe mencionar que en este escenario la
región B es la exportadora con una diferencia de 1,0221. Sin embargo a la vez que la
demanda aumenta el sentido de la interconexión va cambiando. Para el factor máximo de
demanda (1,1751) es la región A la exportadora con una diferencia de 0,4043. Se aprecia
que la zona más afectada por la estabilidad en tensión es la región A. Es de destacar que
la segunda zona crítica citada posee nudos de ambas regiones, si bien la mayoría son de la
región A.
Figure 12. Resultados Caso Base Optimización Minimización Pérdidas λ=-0,14
B. Perfil óptimo de tensiones.
Ahora se presenta la gráfica partiendo de un estado inicial que optimiza el perfil del
módulo de tensión, minimizando la desviación típica entre estos valores. En este caso la
estabilidad global también mejora, con un máximo parámetro lambda mayor que en el
caso base (1,169 frente a 1,0251), aunque no llega alcanzar el parámetro del escenario de
minimización de pérdidas. Respecto a la zona más conflictiva en el caso base (nudos 74,
76, 77 y alrededores) cabe mencionar que mejora sustancialmente los parámetros lambda,
a pesar de que sigue siendo la zona más débil en cuanto a estabilidad en tensión (el nudo
76 alcanza 0,5005 frente a 0,3483 del Caso base). Este valor supera también el alcanzado
en el escenario de minimización de pérdidas (0,4801). También mejora la siguiente zona
más débil del Caso base (nudos 33, 34, 35, 36, 37, 38, 43, 44, 19, 20, 21). Sin embargo, a
simple vista se ve que la zona ya tratada en el escenario de minimización de pérdidas
(nudos 52, 53,54, 55, 56, 57, 58) empeora. La explicación a esto es la misma que la del
escenario de minimización de pérdidas. El crecimiento de necesidad de reactiva para
aumentar los módulos de la tensión en una zona que consume bastante energía reactiva
provoca que los máximos lambda que se puedan alcanzar disminuyan, sin llegar a ser
valores preocupantes ya que rondan los 0,8.
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 25
En resumen, este escenario da una mayor estabilidad en las zonas más débiles,
mejorándola en las zonas más conflictivas respecto al Caso base y el escenario de
minimización de pérdidas, y sin llegar a alcanzar al escenario de minimización de
pérdidas en las zonas estables.
Respecto a la interconexión entre las dos zonas cabe mencionar que en este escenario la
región B es la exportadora con una diferencia de 1,0067. Sin embargo a la vez que la
demanda aumenta el sentido de la interconexión va cambiando. Para el factor máximo de
demanda (1,169) es la región A la exportadora con una diferencia de 0,4074. Se aprecia
que la zona más afectada por la estabilidad en tensión es la región A. Es de destacar que
la segunda zona crítica citada posee nudos de ambas regiones, si bien la mayoría son de la
región A.
Figure 13. Resultados Caso Base Optimización Perfil Tensión λ=-0,14
C. Comparativa.
En la tabla 1 se muestran los datos más identificativos en una comparativa entre el caso base y
sus dos optimizaciones ya tratadas.
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 26
Caso Base Minimización Pérdidas Perfil Óptimo TensiónLambda mínima 0,3483 (nudo 76) 0,4801 (nudo 76) 0,5005 (nudo 76)Lambda media 0,935 1,056 1,036Desviación Típica Lambda 0,137 0,131 0,156
Tabla 1 Comparativa entre el caso base y sus dos optimizaciones ya tratadas
En el escenario de minimización de pérdidas mejora notablemente la estabilidad respecto al
caso base, al igual que en el escenario de perfil óptimo de tensiones. Cabe mencionar que en
el caso del perfil óptimo de tensiones los resultados en las zonas conflictivas son mejores que
en el de minimización de pérdidas, sin embargo en zonas estables sucede lo contrario.
IV. Análisis Zonal del Caso Base.
A. Región B.
En este escenario se parte del Caso base. Sin embargo los nudos pertenecientes a la
región A no se verán alterados por el aumento de su propia demanda y generación, ya que
sólo se aumentará la de los nudos de la región B.
Como era de esperar, en este caso, la estabilidad de todos los nudos muestran un estado
formidable, ya que como se dijo antes, prácticamente todos los nudos que presentaban
problemas de estabilidad pertenecían a la Región A.
La máxima lambda que se alcanza en este caso es 1,1503 y la mínima 1,162 (nudo 1). Es
decir ningún nudo baja de 1,1.
Respecto a la interconexión entre las dos zonas cabe mencionar que en este escenario la
región B es la exportadora con una diferencia de 0,9314. A medida que aumenta la
demanda y la generación en la región B aumentan las pérdidas en dicha región y por lo
tanto la diferencia generación-demanda hasta alcanzar una diferencia de 2,3081 entre el
desfase generación-demanda en A y en B, manteniéndose B como zona exportadora.
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 27
Figure 14. Resultados Caso Base Escenario Región B λ=-0,14
B. Región A.
En este escenario se parte del Caso base. Sin embargo los nudos pertenecientes a la
región B no se verán alterados por el aumento de su propia demanda y generación, ya que
sólo se aumentará la de los nudos de la región A.
En este caso, las zonas más débiles coinciden con las señaladas en el Caso base, ya que la
mayoría de los nudos pertenecen a la Región A con alguna salvedad:
La zona más crítica (nudos 77, 118 y 76) empeora un poco respecto al Caso base. Como
se comentó antes, esta zona se ve afectada por una notable falta de generación. El hecho
de que la demanda en la Región B no aumente y por lo tanto la Región A no tenga que
aumentar la exportación, hace que el problema citado sea menor en este caso que en el
del Caso base. Sin embargo esta zona tiene un apoyo en los dos nudos generadores de la
región B 25,26. Como en este escenario la Región B no aumenta su propia generación
(más que la debida a las pérdidas) la zona crítica se queda todavía más aislada.
La segunda zona crítica también mejora debido a la explicación anterior de la
disminución de exportación y a que en esta zona había dos nudos pertenecientes a la
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 28
Región B, los cuales lógicamente, en este escenario no presentan problemas de
estabilidad.
Respecto a la interconexión entre las dos zonas cabe mencionar que en este escenario la
región B es la exportadora con una diferencia de 0,9314. A medida que aumenta la
demanda y la generación en la región A aumentan las pérdidas en dicha región y por lo
tanto la diferencia generación-demanda pasa a ser mayor para la región A hasta alcanzar
una diferencia de 4,5325 entre el desfase generación-demanda en A y en B.
Figure 15. Resultados Caso Base Escenario Región A λ=-0,14
C. Tabla comparativa.
En la tabla 2 se muestran los datos más identificativos en una comparativa entre el caso base y
los dos escenarios Región A, Región B ya tratados.
Caso Base Región B Región ALambda mínima 0,3483 (nudo 76) 1,1162 (nudo 1) 0,3104 (nudo 76)Lambda media 0,935 1,142 1,052Desviación Típica Lambda 0,137 0,013 0.181
Tabla 2 Comparativa entre el caso base y los dos escenarios Región A, Región B ya tratados
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En el escenario Región B hay una estabilidad global formidable. Respecto al escenario
Región A la estabilidad global mejora aunque debe tenerse en cuenta que empeora un poco
respecto al caso base por los motivos señalados en apartados anteriores
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 31
Conclusiones
Durante el desarrollo de este trabajo, se hizo un estudio sobre la problemática actual, que
sufren las redes de energía eléctrica, de pérdida de estabilidad de tensión, y sobre los métodos
de estimación más apropiados para analizar dicho fenómeno. Casos recientes como el
sucedido en Italia en 2003, muestran la necesidad de indagar sobre las causas y sobre métodos
de predicción más fiables para reducir las posibilidades de alcanzar un colapso de tensión.
Después de leer documentación sobre los métodos más empleados para conocer los límites de
estabilidad, el flujo de cargas de continuación se presenta como el más adecuado para conocer
diferentes puntos de funcionamiento posibles de la red hasta alcanzar el colapso de tensión.
En dicho estudio se profundizó en un programa de análisis de redes desarrollado por Federico
Milano denominado PSAT. Se ha partido del algoritmo de método de continuación de este
programa para desarrollar una herramienta que realiza la estimación de la estabilidad local en
tensión según un índice basado en la sensibilidad de la tensión en cada nudo respecto al nivel
de la demanda en la red. Este índice está adaptado a todo tipo de regulación de redes: muy
compensada o no.
Se ha aplicado la herramienta de estimación en diferentes escenarios de un sistema de 118
nudos, con dos zonas vulnerables, que sufre un aumento de carga continuado en régimen
permanente. La coherencia de los resultados muestra el buen funcionamiento de la
herramienta de estimación.
Sin embargo, a pesar de los buenos resultados obtenidos no debe olvidarse las principales
limitaciones de este tipo de herramienta cuyos dos pilares fundamentales son:
• La infinidad de variaciones posibles de la demanda y de la regulación secundaria,
relativiza el valor de los estimadores de estabilidad.
• Dificultad de pronosticar un valor adecuado para el máximo índice de estabilidad.
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 32
Bibliografía [1] P. Panciatici, F. Bena, P. Pruvot, N. Janssens, J. Deusse, M. Stubbe, «Le Réglage Centralisé de Tension : un
Element Clé pour l’Exploitation Optimale des Systèmes Electriques», CIGRE session 1998, Paris, France,
Cigré Paper 39-116, 1998
[2] C.W. Taylor, “Reactive Power Today, Best Practices to Prevent Blackouts”, IEEE Power and Energy
Magazine, Vol. 4, No 5, pp. 104 – 102, September-October 2006
[3] Y. Hayashi, J. Matsuki, “Loss minimum configuration of distribution system considering N-1 security of
dispersed generators”, IEEE Trans. on Power Syst.,Vol. 19, No 1, pp. 636-42, Feb. 2004
[4] C. W. Taylor, Power System Voltage Stability, New York: McGraw Hill, 1994
[5] T. Van Cutsem, C. Vournas, Voltage Stability of Electric Power Systems, Kluwer Academic Publishers,
1998
[6] F. Milano, PSAT: Power System Analysis Toolbox, Documentation for PSAT version 1.0.0, 2002.
Available at http://www.power.uwaterloo.ca
[7] Sotomayor J., Generic bifurcations of dynamical systems. In Dynamical Systems, M.M.Peixoto, Academic
Press, 1973.
[8] C. A. Cañizares and F. L. Alvarado, "Point of Collapse and Continuation Methods for Large AC/DC
Systems," IEEE Trans. on Power Syst., Vol. 8, No. 1, pp. 1-8, Feb. 1993
[9] C. A. Cañizares, "Conditions for Silla-Nudo Bifurcations in AC/DC Power Systems," International Journal
of Elect. Power & Energy Syst., Vol. 17, No. 1, pp. 61-68, 1995
[10] Francisco Miguel Echavarren Cerezo “Márgenes de funcionamiento en los Sistemas de Energía Eléctrica:
Cálculo y Acciones para su mejora”. Tesis para la obtención del grado de Doctor, 2006
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 33
Anexo técnico: PSAT.
I. Introducción.
ILST hace los cálculos del CPF gracias a una aplicación de análisis de redes llamada PSAT.
Este programa lo ha desarrollado el Prof. DR. Federico Milano [6].
Para comenzar se enumerará las características básicas de PSAT:
• Es código abierto (MATLAB).
• Funciona con los S.O más comunes.
• Realiza las siguientes rutinas :
1. Continuation Power Flow.
2. Slack node bifurcation.
3. Optimal Power Flow.
4. Small signal stability analysis.
5. Time domain simulations.
• Utiliza el cálculo vectorial y las ventajas de matrices dispersas de MATLAB, los
cálculos son relativamente rápidos.
• Contiene interfaces con UWPFLOW y GAMS, lo que permite aumentar la potencia de
trabajo de PSAT y resolver los problemas de flujos de cargas de continuación y de
optimización.
• Para un análisis completo y preciso de sistemas eléctricos, PSAT tiene bastantes
modelos estáticos y dinámicos de componentes.
• Los modelos dinámicos incluyen cargas no convencionales, máquinas síncronas,
transformadores de regulación, FACTS, aerogeneradores y pilas de combustible.
• PSAT también contiene:
1. Interfaz gráfico.
2. Editor de esquemas bajo Simulink.
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3. Conversión de formatos de datos (IEE CDF, EPRI, PTI, PSAP, PSS/E, CYME,
Matpower, PST, NEPLAN…) a formato de datos PSAT.
4. Posibilidad de añadir nuevos modelos.
II. ¿Como funciona?
Psat modeliza los sistemas eléctricos con ecuaciones algebraicas y diferenciales.
),,( pyxfx =•
(1)
),,(0 pyxg= (2)
;:;:
mlmm
nlmn
gf
ℜℜ×ℜ×ℜ
ℜℜ×ℜ×ℜ
a
a
f: ecuaciones diferenciales : Representan la dinámica de los generadores y sus relaciones con
la carga.
g: ecuaciones algebraicas: Representan la interconexión entre las red eléctrica y el equilibrio
de potencias activas y reactivas en los nudos.
x: variables de estado ( )nx ℜ∈ . Ángulos internos y velocidad angular del generador,
variables del control del sistema.
y: variables algebraicas ( )mx ℜ∈ .
p: variables independientes ( )lx ℜ∈ . Parámetros que modelizan los cambios en la red. (p.e
factor de carga)
Estas ecuaciones son utilizadas para las diferentes rutinas (CPF, SNB, OPF…)
Para explicar como se obtienen las ecuaciones hay que definir:
A. Componentes.
Todo los que compone la red. (Generador, carga, fallo, control)
B. Estructuras de datos.
Variables globales donde está la información de cada componente del sistema. Por ejemplo,
para un generador síncrono, su estructura de datos es:
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 35
Figure 16. Estructura de datos de un generador síncrono
C. Modelos.
Las fórmulas que caracterizan el funcionamiento de cada componente. PSAT utiliza un
modelo determinado según la información que tengan las estructuras de datos del
componente. Por ejemplo, si un generador síncrono está definido en su estructura de datos con
las variables que corresponden con las columnas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 18, 19 (ver figura 17)
PSAT utilizará el modelo II:
1. Ecuaciones diferenciales:
( 1−Ω=•
wbδ ) (3)
( )M
wDPPw cm )1( −−−=
•
(4)
2. Potencia eléctrica:
( ) ( ddadqqaqc iirviirvP )+++= (5)
3. Relación entre voltajes y corrientes:
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 36
09/07/2009 José Ángel Castro Abad 37
)( dldqqaq ixxeirv −′+′−+=0 (6)
( qlddad ixxirv −′−+=0 ) (7)
En este caso, hay numerosos modelos de generadores síncronos.
Dependiendo del estudio que se quiera hacer deberá escogerse el modelo más
apropiado.
Además se pueden hacer modelos nuevos en el editor de PSAT
Figure 17. Editor de PSAT para crear nuevos modelos
Después de introducir todos los datos de los componentes que nos interesan para el análisis,
PSAT relaciona todas las fórmulas de los modelos y crea un único modelo del sistema a
estudiar. Estas son las ecuaciones que PSAT utiliza para sus rutinas.
III. Caso de ILST
Para el análisis de ILST, no se tuvo en cuenta las variaciones dinámicas, ya que se supone que
el sistema va estar en régimen permanente y con variaciones de carga muy lentas. No se
definen componentes como la carga o el generador.
El modelo se crea únicamente a través de estructuras de datos de flujo de carga para definir
los nudos PV, PQ, nudo referencia, líneas de transporte, transformadores.
Las ecuaciones a utilizar son ecuaciones del flujo de cargas:
A. Nudo de referencia V∟0 (generador)
Constantes: Voltaje ( ), ángulo del voltaje (kV kδ )
Variables: Potencia activa generada ( ), potencia reactiva generada ( ) varia para
mantener la tensión constante
kGPkGQ
)cos(1
kmkmkmkmm
N
mkG senBGVVP
kθθ +=∑
=
(8)
)cos(1
kmkmkmkmm
N
mkG BsenGVVQ
kθθ −=∑
=
(9)
k=> n° du nudo de referencia.
N=> cantidad de nudos en la red.
kmθ => mk δδ −
=>Conductancia entre k y m. kmG
=>Susceptancia entre k y m. kmB
B. Nudo PV (generador)
Constantes: Potencia activa generada ( ), Voltaje ( ) kGP kV
Variables: Ángulo del voltaje del nudo respecto el nudo de referencia ( kδ ), potencia
reactiva generada ( ) varia para tener la tensión constante. kGQ
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)cos(1
kmkmkmkmm
N
mkG senBGVVP
kθθ +=∑
=
(10)
)cos(1
kmkmkmkmm
N
mkG BsenGVVQ
kθθ −=∑
=
(11)
k=> n° del nudo del generador cuya potencia se quiera calcular
N=> número de nudos en la red.
kmθ => mk δδ −
=>Conductancia entre k y m. kmG
=>Susceptancia entre k y m. kmB
Nota: Si llega a su límite: GQ
Constantes: Potencia activa generada ( ), potencia reactiva generada ( ) kGP
kGQ
Variables: Ángulo del voltaje del nudo respecto al de referencia ( kδ ), voltaje ( ) kV
)cos(1
kmkmkmkmm
N
mkG senBGVVP
kθθ +=∑
=
(12)
)cos(1
kmkmkmkmm
N
mkG BsenGVVQ
kθθ −=∑
=
(13)
k=> n° del nudo del generador cuya potencia se quiera calcular.
N=> número de nudos en la red.
kmθ => mk δδ −
=>Conductancia entre k y m. kmG
=>Susceptancia entre k y m. kmB
C. Nudo PQ (cargas)
Constantes: Potencia activa consumida ( ), potencia reactiva generada o consumida
( )
kLP
kLQ
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Variables: Ángulo del voltaje del nudo respecto al de referencia ( kδ ), voltaje ( ) kV
)cos(1
kmkmkmkmm
N
mkL senBGVVP
kθθ +=∑
=
(14)
)cos(1
kmkmkmkmm
N
mkL BsenGVVQ
kθθ −=∑
=
(15)
k=> n° del nudo de la carga cuya potencia se quiera calcular.
N=> número de nudos en la red .
kmθ => mk δδ −
=> Conductancia entre k y m. kmG
=> Susceptancia entre k y m. kmB
Para compensar las pérdidas se añade :
0)1(11
=−−+ ∑∑==
pertes
N
kL
N
kGk PPPKg
kkγ (16)
kγ => Parámetro de participación del generador k en las pérdidas
Kg=> Variable en función de las pérdidas.
kmθ => mk δδ −
=>Conductancia entre k y m. kmG
=>Susceptancia entre k y m. kmB
Nota: Para hacer el análisis requerido hay que tener las estructuras de datos de PSAT
siguientes:
• Estructura de datos del nudo de referencia.
• Estructura de datos del nudo PV.
• Estructura de datos del nudo PQ.
• Estructura de datos de las líneas de interconexión.
• Estructura de datos de los nombres de los nudos.
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