estadisticas descriptiva para ingeniería ambiental con spss

UNIVERSIDAD

~~NACIONAL DE COLOMBIA

"~~=~ S E D E P A L M 1 R A FACULTAD DE INGENIERÍA Y ADMINISTRACIÓN

ESTADíSTICA DESCRIPTIVA PARA

INGENIERíA AMBIENTAL CON SPSS

VIVIANA VARGAS FRANCO

ESTADíSTICA DESCRIPTIVA PARA

INGENIERíA AMBIENTAL CON SPSS

CALI, JULIO DE 2007

Vargas Franco, Viviana Estadística descriptiva para ingeniería ambiental con

SPSS / Viviana Vargas Franco. -- Editora Viviana Vargas Franco. -- Cali : Impresora Feriva, 2007.

312 p.: ii. ; 24 cm. ISBN 978-958-33-9319-3 1. Estadística descriptiva. 2. Análisis de datos. 3. Estadística

con ayuda de computador. 4. SPSS para Windows (Programa para computador) -Métodos estadísticos. 5. Medio ambiente - Métodos estadísticos 1. Tí!. 519.53 cd 21 ed. A1131724

CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

© Viviana Vargas Franco [email protected] .co Julio de 2007

ISBN 978-958-33-9319-3

Universidad Nacional de Colombia - Sede Palmira Facultad de Ingeniería y Administración

Foto carátula: Carlos Carrillo

Impreso en los talleres gráficos de Impresora Feriva S.A. Calle 18 No. 3-33 PBX: 5249009 www.feriva.com Cali, Colombia

A Diana y David, mis hijos

Agradecimientos La autora expresa sus más sinceros agradecimientos a las diversas personas e instituciones que han colaborado en la elaboración de este libro, entre las que se destacan las siguientes:

Adela Parra Romero. Estadística - Universidad del Valle. Juan José Castillo. Ingeniero Ambiental- Universidad Nacional de Colombia, Sede Palmira. Mauricio Rojas Delgado. Estudiante Ingeniería Agrícola - Universidad Nacional de Colombia, Sede Palmira. Natalia Tamayo González. IngenieraAmbiental- Universidad Nacional de Colombia, Sede Palmira. Rafael Domínguez Lasso. Ingeniero Agroindustrial - Universidad Nacional de Colombia, Sede Palmira. Ricardo Alberto Londoño Saldaña. Ingeniero Agroindustrial - Universidad Nacional de Colombia, Sede Palmira.

Instituciones Instituto Cinara de la Universidad del Valle. Santiago de Cali Departamento Administrativo de Gestión del Medio Ambiente de Cali-DAGMA. Corporación Autónoma Regional del Valle del Cauca-CVC. Universidad Nacional de Colombia - Sede Palmira

Contenido

Pág.

Introducción ................................................................................................... .

Capítulo 1

Fundamentos de los métodos estadísticos

1.1 Modelos estadísticos............................................... .............. ....... ..... .... 4 1.2 Aspectos generales del método científico............................................. 5 1.3 Los datos como materia prima de los métodos estadísticos .... ... ....... ... 8 1.4 Aspectos relacionados con la calidad del dato..................................... 9 1.5 Conceptos en la aplicación de los métodos estadísticos.. ..................... 11 1.6 Estadística descriptiva vs estadística inferencial.................................. 13 1. 7 Definición de variables ............... ....................... ..... .............................. 14

1. 7.1 Variables cualitativas o categóricas.......... ....... ....... ....... ....... ...... 14 1.7.2 Variables cuantitativas................................................................ 15 1.7.3 Otras clasificaciones................................................................... 17

1.8 Métodos paramétricos y no paramétricos ............................................. 17 1.9 Métodos estadísticos por tipo de variable............................................. 18 1.10 Etapas generales en la construcción de un modelo estadístico ............. 20

Capítulo 2 Medidas descriptivas

2.1 Medidas de tendencia central............ ............ ................ .............. ......... 23 2.1.1 Media.......................................................................................... 24 2.1.2 Mediana...................................................................................... 36 2.1.3 Moda........................................................................................... 38

2.2 Medidas de dispersión .......... .................. ...... ................ ................ ....... 41 2.2.1 Rango....................................................... .................. ................ 41 2.2.2 Desviación media ....................................................................... 42 2.2.3 Varianza...................................................................................... 44 2.2.4 Desviación estándar.... ............................... ............ ......... ............ 46 2.2.5 Coeficiente de variación ...... ....................................................... 48

ESTADIsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS IX

Capítulo 3 Distribución de frecuencias 3.1 Distribución de frecuencias univariadas............................................... 53

3.1.1 Distribución de frecuencias univariadas para una variable discreta.................. ........................................................ 54

3.1.2 Distribución de frecuencias univariadas para una variable continua .................................. ...................................... 61

3.2. Distribuciones bidimensionales de frecuencia ................................ ..... 89 3.2.1 Distribución bidimensional en variables discretas ...................... 89 3.2.2 Distribución bidimensional para variables continuas.................. 93

Capítulo 4 Medidas y gráficas de posición 4.1 Cuartiles................................................................................................ 98 4.2 Deciles .................................................................................................. 103 4.3 Percentiles............................................................................................. 106 4.4 Medidas de dispersión para indicadores de posición............................ 11 O 4.5 Representación gráfica de las medidas de posición .............................. 11 O

4.5.1 Diagramas de cajas y alambres .................................................. 110 4.5.2 Diagrama de tallos y hojas ......................................................... 120

Capítulo 5 Modelos de regresión 5.1 Modelo de regresión lineal simple........................................................ 127 5.2 Supuestos del modelo de regresión lineal simple ................................. 131 5.3 Diagrama de dispersión ........................................................................ 132 5.4 Otros modelos de regresión .................................................................. 136 5.5 Coeficiente de correlación.................................................................... 147 5.6 Coeficiente de determinación ............................................................... 155

Capítulo 6 Planeación estadística en un proyecto de investigación 6.1 Objetivos del proyecto .......................................................................... 159 6.2 Descripción del sistema ........................................................................ 159 6.3 Codificación del sistema........................ ............................................... 161 6.4 Definición de variables, sitios y frecuencia de muestreo ..................... 162 6.5 Formatos de muestreo........................................................................... 164

x ESTADisTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERíA AMBIENTAL CON SPss

6.6 Flujo de información ... ......... .. ............... .............. .... ............................. 165 6.7 Sistema de información .. ....... ...................... ........ ... ..................... ......... 167

Capítulo 7 Evaluación de sistemas para tratamiento de agua potable 7.1 Estadísticas descriptivas ..... ..................... .................... ..... .................... 171 7.2 Gráficos de medias, mínimos y máximos............................................. 173 7.3 Histogramas ............................................................................. ... ......... . 180 7.4 Tablas cruzadas..................................................................................... 182 7.5 Gráficos de frecuencias acumuladas ..................................................... 185 7.6 Gráficos de tallos y hojas .... ... ............................ .. ............... ............. ... .. 186 7.7 Percentiles .... ... .... ........ ....... ........... .. ... ..... .. ... ... ................ .. ..... .... ... ... ... .. 190 7.8 Diagrama de cajas y alambres .............................................................. 193

Capítulo 8 Calidad de aire 8.l Gráficos de estadísticas descriptivas.. .... ..... .. .............. ........... .. ............. 204 8.2 Histogramas ........ .... .. .. ........ ... ....... ... .... ....... .. ........ ...... ... .. ..... ..... .. ........ . 211 8.3 Tablas cruzadas..................................................................................... 214 8.4 Gráficas de frecuencias acumuladas .. ................ .... ............ ................... 217 8.5 Percentiles... ........... ............................ .............. .............................. ....... 220 8.6 Contaminación del aire en Ciudad de México........ ............... ............... 224

Capítulo 9 Calidad de agua en una fuente superficial 9.l Estadísticas descriptivas ....................................................................... 237 9.2 Presentación gráfica.............................................................................. 239 9.3 Histogramas .......... ......... ......... .... .... ...................................................... 245 9.4 Tablas cruzadas..................................................................................... 248 9.5 Frecuencias acumuladas ....................................................................... 251 9.6 Percentiles....... .... ................................................. ... .... ....... .......... ......... 252

Capítulo 10 Instrucciones en SPSS 10.1 Ingresando los datos a SPSS .................................................................. 257 10.2 Importando archivos de Excel ....................... .... ............................. .. ..... . 259 10.3 Estadísticas descriptivas................................................... ... ..... ............... 263

ESTADIsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS XI

10.4 Histograma .... ... ..... ............ .. .... . ....... ... .... ..... ........ ... ... .. ..... .. .. ... .. .... .......... 268 10.5 Gráfico de frecuencias acumuladas......................................................... 270 10.6 Gráficos en tres dimensiones ...... ....... ...... ...................................... .. ....... 271 10.7 Gráficos de barras en tres dimensiones .. ................................................. 273 10.8 Gráfico de tallos y hojas. .............. .............. .... ..... ..... ...... .... ............. ..... ... 274 10.9 Gráfico de cajas y alambres ... ........................................... ............ .......... 276 10.10 Percentiles.... ................................... ................... ...... ............ .... ... ... ....... 277 10.11 Tablas cruzadas o distribución de frecuencias con dos variables.......... 280

Capítulo 11 Gráficas en Excel

11.1 Gráfico para la media, desviación estándar y el máximo.... ... ..... ....... .. ... 283 11.2 Gráfico para media, máximo y mínimo .... .... ....... .... ... ... ....... .. ... ...... .. .... . 288 11.3 Gráfico de series de tiempo ............................................................... ...... 291

Bibliografía .................................................................................................................... 295

XII ESTADfsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS

Introducción

Este libro tiene como objetivo proporcionar aspectos conceptuales de la estadística descriptiva con aplicaciones en estudios de la Ingeniería Sanitaria y Ambiental. Está diseñado como texto de consulta en cursos de estadística o para el uso de estudiantes o profesionales que desarrollen un estudio o una investigación donde se requiera aplicar técnicas de estadística descriptiva para el análisis de datos y la toma de decisiones.

En él se exponen aspectos conceptuales de los principales métodos de la estadística descriptiva en lo relacionado con la organización, presentación, estimación y análisis de indicadores estadísticos aplicados en estudios o investigaciones en la Ingeniería Sanitaria y Ambiental. Este trabajo se constituye en un aporte al uso de los métodos estadísticos descriptivos, considerando que se han escrito muchos textos sobre métodos estadísticos pero pocos en el ámbito nacional y regional con aplicaciones a la Ingeniería Sanitaria y Ambiental.

Si bien es cierto que el espectro de desarrollo de la Ingeniería Sanitaria y Ambiental es amplio, se han seleccionado casos sobre evaluación de la calidad de agua en una fuente superficial, comparación de sistemas de tratamiento para agua potable y evaluación de la contaminación del aire en una región específica. Otras aplicaciones pueden seguir la metodología estadística utilizada en los casos estudiados en el presente libro.

Debido al avance de los recursos informáticos, en cuanto a hardware y software, los cuales han permitido una utilización intensiva de los métodos estadísticos, en este libro se presentan los procesos o rutinas para la estimación de los indicadores estadísticos en la hoja electrónica Excel (Microsoft Office) y el programa estadístico SPSS (Statistical Package for the Social Sciences) versión 11.5.

La forma como se expone el libro se presenta a continuación: Los primeros cinco capítulos contienen los aspectos conceptuales de la estadística descriptiva. El capítulo 1 presenta los fundamentos de los métodos estadísticos; el capítulo 2, medidas de tendencia central y medidas de dispersión; el capítulo 3, distribuciones univariadas

ESTADrSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERrA AMBIENTAL CON SPSS

y bivariadas; el capítulo 4, medidas y gráficas de posición, y el capítulo 5, modelos de regresión lineal. En cada uno de estos capítulos se desarrollan ejemplos que ilustran los procesos estadísticos relacionados con estudios sobre ingeniería sanitaria y ambiental.

Del capítulo 6 al capítulo 9 se presenta la aplicación de los métodos estadísticos descriptivos a casos documentados de la Ingeniería Sanitaria y Ambiental. El capítulo 6 desarrolla la planeación estadística de un proyecto de investigación; el capítulo 7 analiza la evaluación de plantas de tratamiento de agua; el capítulo 8 presenta un estudio de calidad de aire, y el capítulo 9, un estudio sobre la calidad de agua en una fuente superficial.

Los capítulos 10 Y 11 presentan las instrucciones para utilizar el software SPSS y Excel, respectivamente.

Las bases de datos de los casos de apl icación fueron recolectadas en diversas investigaciones y estudios desarrollados por varias instituciones, entre las que se destacan: Instituto Cinara de la Universidad del Valle, Corporación Autónoma Regional del Valle del Cauca (CVC), Universidad Nacional de Colombia, sede Palmira y Departamento Administrativo de Gestión del Medio Ambiente de la ciudad Santiago de Cali (DAGMA).

2 ESTADíSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERíA AMBIENTAL CON SPss

CAPíTULO

1 Fundamentos de los métodos estadísticos

Los procesos de recolección, organización, presentación, procesamiento, análisis e interpretación de datos numéricos son aspectos fundamentales en el desarrollo de un estudio o una investigación en general, y en particular en los estudios relacionados con la Ingeniería Sanitaria y Ambiental, considerando que generalmente en estos últimos los datos son la herramienta básica para la consolidación de las investigaciones y la toma de decisiones.

Los datos generan información para la toma de decisiones en condiciones de certeza o de incertidumbre. Para la toma de decisiones en condiciones de certeza se utilizan modelos matemáticos determinísticos y la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre, medida por la teoría de la probabilidad, se realiza a través de los modelos estadísticos estudiados en la ciencia Estadística.

La estadística es la ciencia que se encarga de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos numéricos, con el fin de tomar decisiones con criterios de incertidumbre y confiabilidad. Los métodos estadísticos tratan de la presentación gráfica y resumen de datos a través de indicadores, estimación de parámetros poblacionales, pruebas de hipótesis en relación con parámetros poblacionales, determinación de la exactitud de las estimaciones, estudio de la variación, estudio de correlación y el diseño de experimentos, de forma univariada y multivariada, entre otros.

ESTADIsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS 3


1.1 Modelos estadísticos Un modelo estadístico es una representación simplificada, formal y abstracta de un fenómeno de la naturaleza o de un sistema, éste puede representar la estructura, el comportamiento o el funcionamiento de una parte de interés o el conjunto del fenómeno o del sistema. La representación se hace a través de símbolos matemáticos que corresponden a relaciones entre parámetros y variables.

Un modelo se considera adecuado si efectiva y objetivamente representa la realidad que pretende estudiar y conocer. El elemento básico para juzgar un modelo es su confrontación con la realidad, esto implica que para juzgar el modelo debe hacerse una observación empírica del objeto de estudio y con base en ella juzgar la bondad del modelo (Quiroga).

La construcción y aplicación de un modelo estadístico se define a través de los elementos básicos de la teoría estadística: datos, aleatoriedad, variabilidad, teoría de probabilidad, selección muestral, estimación de parámetros y docimasia de hipótesis, entre otros.

No existe un modelo perfecto, pero se debe preferir un modelo simple, donde no se pierda información, considerando los componentes sistémicos y aleatorios del fenómeno.

Los métodos estadísticos proporcionan criterios y modelos matemáticos para realizar los procesos de recolección, procesamiento y análisis de datos requeridos en estudios donde una componente fundamental son los datos, con características de variabilidad y aleatoriedad. La aplicación de los métodos estadísticos permite generar conclusiones objetivas con criterios de confiabilidad y riesgo en la toma de decisiones. Los métodos estadísticos son un medio y no un fin y como tal deben ser utilizados; los resultados estadísticos deben ser contrastados con análisis de las teorías y modelos conceptuales o modelos matemáticos que permitan suministrar avances significativos en las diferentes áreas de su aplicación.

La estadística como ciencia independiente es un desarrollo del siglo XX. Sir Ronald Aymer Fischer (1890-1962) fue el principal representante, el transformador de ideas que cohesionó y estableció los fundamentos teóricos de la inferencia estadística como método de razonamiento inductivo que da un nuevo sentido al procesamiento de datos e intenta medir su grado de incertidumbre. Sus resultados le dieron a la estadística estatus de disciplina científica, reafirmado por los innumerables campos de aplicación de sus metodologías (Y áñez, 200 1).

El avance del análisis estadístico en los últimos años ha sido rápido y su uso se constituye en una valiosa herramienta para la toma de decisiones. La actualización

4 ESTADfsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS

CAPíTULO 1 - FUNDAMENTOS DE LOS MÉTODOS ESTADíSTICOS

permanente de los recursos informáticos en cuanto a hardware y software ha permitido una utilización intensiva de los métodos estadísticos.

Existen dos fases en el procesamiento estadístico de un conjunto de datos: una parte relacionada con la estadística descriptiva o estadística deductiva y otra relacionada con la estadística inferencial o estadística inductiva. La estadística descriptiva consiste en resumir el conjunto de datos de una investigación en indicadores estadísticos que permiten estimar el grado de centralidad, dispersión, posición y distribución de frecuencias. El análisis descriptivo es una etapa importante en la comprensión de un fenómeno, pues permite estudiar las tendencias generales del conjunto de datos.

Generalmente después del proceso descriptivo se hace la estimación de la inferencia estadística o estadística inferencia\. Esta consiste, a partir de los resultados estadísticos de una muestra representativa de una población, en realizar generalizaciones o inducciones a parámetros de la población, considerando criterios de riesgo y confiabilidad, estimados a partir de la teoría de la probabilidad, tal como se observa en la Figura 1.1.

Población

X" Xl' XJ' X 4 , X 5 , ........ X .. , X .. +/, X m+l , •••

........ X p •••• XIV'

Muestreo probabilístico

Teoría de probabilidad

/

Proceso de inferencia estadística

Figura 1.1 Esquema del proceso de inferencia estadística

MlIestra representativa

X/ •••.• Xl'" X J

X 4 •••••• X k+/

Xk+1" •....••..•. X n

Los métodos estadísticos están relacionados con el método científico en las etapas de recolección, organización, presentación y análisis de datos, para la deducción de conclusiones y la toma de decisiones razonables de acuerdo con los análisis estadísticos.

1.2 Aspectos generales del método científico El conocimiento científico es aquel que se realiza mediante la aplicación del método científico; permite el uso de la razón, la lógica, la objetividad y tiende a evitar que

ESTADíSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERíA AMBIENTAL CON SPSS 5


el conocimiento surja de la pasión o la emoción. Por medio de la investigación

científica el hombre ha alcanzado una reconstrucción conceptual del mundo que es

cada vez más amplia, profunda y exacta (Bunge). El conocimiento científico puede

caracterizarse como conocimiento racional, sistemático, exacto, verificable y por

consiguiente falible .

El método científico es una guía para desarrollar una investigación o estudio con

resultados de carácter científico. La palabra método viene del griego: "meta", que

significa "con" y "odos" que significa "camino", es decir, es la forma de proceder

encaminada hacia un objetivo donde lo que se va desarrollando guarda orden y

coherencia. El método científico puede concebirse como un modelo general de

acercamiento a la realidad; es una pauta o matriz abstracta y amplia, dentro de

la cual están los procedimientos y técnicas específicas que se emplean en una

investigación.

Una investigación puede definirse como el estudio sistemático de un sujeto u objeto

con el fin de descubrir nuevos hechos o principios. La aplicación de la lógica y

la objetividad son la base del uso del método científico. En el método científico

es esencial el estudio de lo que ya se conoce, pues a partir de ese conocimiento

se formulan hipótesis, que se ponen a prueba generalmente con procesos de

experimentación.

Las etapas del método científico no deben considerarse lineales, son procesos

cíclicos, donde el avance de una etapa permite revisar las anteriores; éstas deben

considerarse como una guía para abordar en forma metódica el proceso de realizar

una investigación. Si bien existen diferentes esquemas del método científico, el

que se presenta en la Figura 1.2 destaca los aspectos relacionados con el uso de los

métodos estadísticos.

Entre las características básicas del proceso de investigación se destacan los siguientes

aspectos:

• Un producto de la investigación: nuevo conocimiento

Es un proceso sistemáticamente organizado

Es un proceso en espiral del conocimiento

Genera saltos cualitativos del conocimiento por acumulación de pequeños cambios

cuantitativos

• Permite replicabilidad de los resultados • Operan la lógica y la objetividad

B ESTADfsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS

CAPíTULO 1 - FUNDAMENTOS DE LOS MÉTODOS ESTADíSTICOS

PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN

Definir: • Antecedentes • Justificación

Preguntas a resolver

t NUEVAS

PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN

t CONCLUSIONES y

RECOMENDACIONES Generar en relación con las preguntas de investigación y análisis de datos.

.......

OBJETIVOS Definir: • Objetivo general • Objetivos

específicos

HIPÓTESIS ~ Definir los posibles resulta

dos de las preguntas de investigación.

PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS DE DATOS

Aplicar:

· Instrumentos de recolección de datos.

· Sistemas de información.

· Teoría de muestreo.

· Estadística descriptiva.

· Inferencia estadística.

· Modelos matemáticos.

t MARCO TEÓRICO

Describir teorías y conceptos aplicados en la investigación .

t METODOLOGÍA

Describir el diseño experimental, materiales y

~ métodos para desarrollar los objetivos de la investigación.

Figura 1.2 Esquema de las etapas del método científico.

Se relacionan los siguientes conceptos: o Teoría vs práctica o Abstracción vs concreción o Conocimiento particular vs general o Inducción vs deducción o Análisis vs síntesis o Conocimiento heurístico vs científico

La estadística es un conjunto de herramientas útiles en la investigación en las fases de planeación, análisis e interpretación de los resultados de una investigación, apoyando el desarrollo del método científico en la descripción y la predicción. Por la naturaleza de los métodos estadísticos los resultados son parciales y fragmentados más que completos y definitivos.

En una investigación debe haber concordancia lógica entre los objetivos, el diseño de la investigación, el análisis de los resultados y las conclusiones; generalmente los conceptos y métodos estadísticos juegan un papel importante únicamente en el análisis e interpretación de datos, lo cual conduce con frecuencia a investigaciones en las que no hay una buena concordancia entre los objetivos, el diseño de la investigación y las conclusiones.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERíA AMBIENTAL CON SPss 7


Los procesos estadísticos proporcionan información y conclusiones a partir de un

conjunto de datos. Inferencias de lo particular a lo general podrán obtenerse con

un cierto grado de incertidumbre y los investigadores en los diferentes campos de

la ciencia deberán reconocer el papel de la estadística como un aspecto relevante

de una investigación.

El papel de la estadística en la investigación es, entonces, funcionar como una

herramienta en el diseño de ésta, en el análisis de datos y en la extracción de

conclusiones a partir de ellos. Los métodos estadísticos no deberían ser ignorados

por ningún investigador, aun cuando no tengan ocasión de emplearlos en todos sus

detalles y ramificaciones.

1.3 Los datos como materia prima de los métodos estadísticos

Los datos provienen de un proceso de medición u observación que debe realizarse

de manera regular, organizada y sistemática, de tal forma que permita obtener un

sistema confiable de observaciones con el fin de acercarse a la respuesta de los

interrogantes específicos de una investigación.

Los datos son la materia prima de la mayoría de los estudios o investigaciones, de

ellos depende en buena medida el aprovechamiento de los métodos estadísticos para

su posterior análisis. De nada vale acumular datos sobre una investigación si no

existen criterios para su organización y procesamiento estadístico.

En un estudio donde los resultados generan un conjunto de datos, es casi indispensable

resumirlos en indicadores de carácter estadístico que faciliten su presentación,

interpretación y análisis. Un conjunto de datos no genera información por sí mismo,

es a través del procesamiento matemático o estadístico significativo donde se pueden

encontrar indicadores y medidas de tendencia que generen información:

Datos =/:. Información

No se puede caer en la frase "ricos en datos, pobres en iriformación ". En general los

textos de métodos estadísticos no mencionan o suponen que el proceso de recolección

y calidad del dato es un aspecto conocido por los investigadores o profesionales

que realizan estudios, sin embargo es una de las fases de la experimentación que

generalmente no se planea con el cuidado que se requiere.

La recolección de datos y su posterior análisis no son la finalidad principal de

una investigación o un estudio, es necesario realizar procesos de modelación

matemática y estadística que permitan generar información sobre las preguntas de la investigación. La información que se genere del proceso de análisis debe

8 ESTADISTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS

CAPiTULO 1 - FUNDAMENTOS DE LOS MÉTODOS ESTADíSTICOS

incorporarse a teorías y marcos conceptuales, de tal forma que se consigan

conclusiones válidas y objetivas. Un proceso que permite transformar datos en información se presenta en la Figura 1.3.

Definición de técnicas de

recolección de datos

Aplicación de técnicas de

recolección de datos

+ DATOS J

Organización y digitalización en

bases de datos y sistemas de infonnación

Procesamiento y análisis de datos con métodos estadísticos

y matemáticos

( INFORMACIÓN )

Teorías y conceptos del fenómeno de

estudio

Figura 1.3 Un esquema metodológico para convertir datos en información.

1.4 Aspectos relacionados con la calidad del dato La calidad de los datos es uno de los aspectos importantes que se deben planear

antes de las etapas de recolección y aplicación de los métodos estadísticos, pues los

procesos estadísticos generalmente no verifican ni corrigen deficiencias en la calidad

de los datos. Varios componentes se deben estudiar sobre la calidad de un conjunto

de datos: confiabilidad, validez y representatividad, entre otros.

Representatividad. Está relacionada con el tamaño de la muestra y la forma como se

seleccionan los individuos u observaciones a ser analizados y responde a la pregunta:

¿Los resultados de la muestra pueden aplicarse o generalizarse a la población objeto

de estudio?

El tamaño de la muestra depende del grado de variabilidad del fenómeno a estudiar,

el nivel de precisión deseado y el nivel de confiabilidad requerido, así como de los

costos de personal, reactivos y equipos, entre otros.

La forma de selección del número de muestras, es decir, el tipo de muestreo a

utilizar, puede ser probabilístico (cada elemento tiene una probabilidad conocida de

ser seleccionado en la muestra), o no probabilístico (no todos los elementos tienen

ESTADíSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERíA AMBIENTAL CON SPss 9


probabilidad de ser incluidos en la muestra). Se deben seleccionar los individuos sin sesgo y que haya participación de los diversos elementos del fenómeno a estudiar.

La representatividad está ligada a la definición de la población objetivo y a la muestra seleccionada y estas a su vez a los objetivos del estudio, los cuales deben estar claramente definidos

Con fiabilidad. Se relaciona con los instrumentos o formas de medición de las variables a medir y responde a la pregunta: ¿Qué tanto se puede repetir la medición de tal forma que produzca resultados similares en condiciones similares?

La corrfiabilidad está asociada a la consistencia de los datos con los instrumentos de medición. La corrfiabilidad de un instrumento de medición se refiere al grado en que su aplicación, repetida al mismo sujeto u objeto, produce resultados iguales.

Validez . Se refiere al grado en que un instrumento, concepto o indicador mide realmente la variable que se pretende medir, ésta debe alcanzarse en todo instrumento de medición que se aplica. Una pregunta que responde al concepto de validez es: ¿Se está midiendo lo que realmente se cree medir?

Si es así, la medida es válida, de lo contrario no lo es. No hay medición perfecta, pero es necesario que haya una representación fiel de las variables a observar, mediante el instrumento de medición.

Un instrumento de medición puede ser confiable, pero no necesariamente válido. Por eso es conveniente que los resultados de una investigación demuestren ser

confiables y válidos,

Factores que afectan la con fiabilidad y la validez. Algunos factores que afectan la confiabilidad y la validez de un conjunto de datos:

Improvisación • Instrumentos de medición utilizados en diferentes contextos y sin adaptación • Falta de validación de los instrumentos de medición • Instrumentos inadecuados para las variables seleccionadas • Condiciones inadecuadas en las que se aplica el instrumento

Capacitación deficiente al personal de apoyo Instrucciones deficientes

Fuentes de error. Algunas fuentes de error en las mediciones son: error aleatorio, error sistemático, normalidad y anormalidad.

Error aleatorio. Es el producido por el sistema de mediciones, es un error constante que está presente en cada una de las mediciones que se efectúan. Su valor no afecta

10 ESTADiSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS

CAPíTULO 1 - FUNDAMENTOS DE lOS MÉTODOS ESTADíSTICOS

al valor real ni al valor promedio del conjunto de datos. En términos estadísticos es

igual a la diferencia entre una medición y la media de todas las mediciones.

Error sistemático. Es el producido por la medición de cada una de las componentes

del sistema, no es constante, es el error de redondeo que se lleva a cabo en cada una de las mediciones. En términos estadísticos es igual a la diferencia de la media de todas las mediciones con el valor real de la variable (que normalmente es desconocido en el estudio).

El error sistemático normalmente permanecerá cuando se repita la medición. De ahí que sea dificil detectarlo en un estudio. Éste también indica que el instrumento de medida no es completamente válido. Algunas veces es posible detectar un error sistemático si el mismo objeto se mide con dos métodos distintos. Si se descubre, se elimina por corrección de mediciones (por ejemplo, por normalización de las mismas) o por calibración de la escala del instrumento de medida.

En un estudio el error aleatorio y el error sistemático pueden darse conjuntamente y es importante detectarlos. A mayor número de observaciones se controla el error aleatorio, pero no el error sistemático. Entre las estrategias para reducir el error sistemático se encuentran: calibración de los instrumentos y realización de medidas ocultas. En general, los fabricantes de instrumentos de medición suelen garantizar que el error total (aleatorio + sistemático) de su equipo es inferior a cierto límite, siempre y cuando el instrumento sea usado con las especificaciones definidas.

Normalidad y anormalidad. Se dice que los datos son normales si el patrón sigue la forma de una curva normal o en forma de campana, en caso contrario se habla de datos con anormalidad. En el caso de datos normales, se pueden estimar intervalos de confianza alrededor de indicadores estadísticos de interés; en caso de anormalidad se pueden estimar niveles percentiles, que pueden estar alrededor del 95% y 97,5%, que depende del estudio que se esté realizando.

1.5 Conceptos en la aplicación de los métodos estadísticos

A continuación se describen algunos conceptos fundamentales para la aplicación de los métodos estadísticos.

Población. Se define de acuerdo con los objetivos del estudio, y está determinada por condiciones ambientales, de tiempo y espacio, entre otras. La población se define como la totalidad de los elementos o individuos que tienen características similares y sobre los cuales se desean realizar inferencias o generalizaciones. Se deben definir claramente quiénes y qué características deben tener los objetos o sujetos del estudio, es decir, la población.

ESTADíSTICA D ESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS 11


Muestra. Es una parte seleccionada de la población objeto de estudio y sobre la cual se van a realizar las mediciones. La muestra debe ser representativa con el fin de dar confiabilidad a las inferencias o generalizaciones a la población. La muestra puede ser seleccionada con criterios probabilísticos o criterios no probabilísticos. En general, para el uso de la inferencia estadística se requiere una muestra probabilística. Para la selección de una muestra probabilística se deben considerar los siguientes aspectos:

• Definir en forma precisa la población Considerar el marco muestral (fuente de extracción de unidades) Seleccionar el tipo de muestreo (depende de la población, puede ser aleatorio, estratificado, por conglomerados, sistemático, entre otros)

• Estimar el tamaño de muestra (con criterios estadísticos, definir: nivel de confiabilidad deseado, nivel de precisión en la estimación y nivel de variabilidad de las variables de interés)

• Definir un procedimiento de muestreo (cómo seleccionar los elementos de la población) Seleccionar la muestra

Una población puede ser finita o infinita, pero la muestra siempre será finita. La muestra puede ser de interés inmediato, pero importa principalmente describir la población de la cual se tomó. La escogencia de la muestra debe reflejar estrechamente las posibles características de la población.

Parámetro. Se refiere a un indicador estadístico que es calculado a través de las observaciones o datos de la población. El valor del parámetro es constante y generalmente desconocido, el cual se estima a través de los datos de la muestra.

Estadístico o estadígrafo. Se refiere a un indicador estadístico que es calculado de las observaciones o datos de la muestra. El valor del estadístico es conocido y varía con la muestra. En general estos indicadores son los que se pretenden generalizar a la población a través del proceso de inferencia estadística. Los más utilizados son: media aritmética, desviación estándar, momentos, coeficientes de correlación, entre otros. La media muestral es un estadístico que permite estimar la media poblacional, que es un parámetro.

Estimación. Es el proceso estadístico mediante el cual se infieren o generalizan los datos de un estadístico a un parámetro, utilizando la teoría de la probabilidad. Es decir, se generalizan los valores de los resultados muestrales a valores poblacionales.

Distribución de probabilidades. Es la forma de agrupación de los datos. Existe un gran número de distribuciones asociadas a la forma de agrupación y al tipo de variable de los datos. Algunos ejemplos de distribuciones son: normal, Poisson, geométrica,

12 ESTADrSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERrA AMBIENTAL CON SPSS

CAPITULO 1 - FUNDAMENTOS DE LOS MÉTODOS ESTADlsTICOS

hipergeométrica, entre otras. Si los datos se aproximan a una de estas distribuciones, su modelo teórico se puede utilizar para propósitos de toma de decisiones.

1.6 Estadística descriptiva vs estadística inferencial Los métodos estadísticos se pueden clasificar en dos fases: estadística descriptiva y estadística inferencia\. No es que existan dos estadísticas, las primeras son técnicas descriptivas y las segundas inferenciales, estas últimas se apoyan en los resultados de las técnicas descriptivas y permiten generalizar de una muestra a una población, utilizando la teoría de la probabilidad, tal como se observa en la Figura 1.4.

Estadistica descriptiva o estadlstica deductiva

Univariada o multivariada

1

Inferencia estadlstica o estadlstica Inductiva

Unlvariada o multivariada

( TEoRÍA DE LA PROBABILIDAD )

1 • Intervalos de confianza. • Pruebas de hipótesis. • Modelos de regresión. • Modelos de diseño de experimentos. • Modelos de series de tiempo. • Análisis multivariado. • Geoestadística.

• Presentación gráfica de datos. • Medidas de tendencia central. • Medidas de dispersión. • Medidas de posición. • Distribución de frecuencias.

• Meta-análisis.

Figura 1.4 Esquema de la relación entre estadística descriptiva e inferencial y sus principales procesos.

La estadística descriptiva, como su nombre lo indica, permite describir significativamente un conjunto de datos mediante la presentación, organización y resumen en indicadores estadísticos. Las técnicas con las cuales se resume el conjunto de datos son: las medidas de tendencia central, de dispersión, de posición y el análisis de distribución de frecuencias; estos métodos pueden ser de carácter univariado o multivariado, de acuerdo con los requerimientos del estudio. Generalmente después del análisis descriptivo se desarrolla el análisis inferencia\.



El análisis estadístico inferencial permite hacer un proceso inductivo para inferir sobre una medida estadística, generalmente la media aritmética, a la población con base en observaciones de una muestra seleccionada en el estudio. Este tipo de análisis utiliza la teoría de la probabilidad para cuantificar el nivel de confianza de las conclusiones obtenidas (Behar, 1996). Algunos métodos para realizar el proceso de inferencia están conformados por modelos de diseño de experimentos, modelos de regresión, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis.

1.7 Definición de variables Una variable es una característica observable o medible en un objeto o sujeto de estudio, que puede adoptar diferentes valores o expresarse en varias categorías. Los valores que asumen las variables en cada uno de los sujetos son los datos. También se entiende por variable una característica observable relacionada con otros aspectos observables, estas relaciones pueden ser de causalidad, covariación, dependencia y asociación o influencia.

En investigación, las variables son los aspectos a medir y representan los conceptos estudiados, estas constituyen un elemento básico de las hipótesis puesto que se construyen sobre la base de relaciones entre variables referentes a determinadas unidades de medición. Es importante resaltar la importancia de las variables como elementos básicos del método científico, ya que la investigación es, en ciertos aspectos fundamentales, una tarea de medir, analizar y concluir sobre variables de interés en un problema específico.

Una variable es medida utilizando una escala de medición, la elección de la escala de medición depende del tipo de variable y del manejo estadístico que se aplicará al conjunto de datos. Existe una correspondencia directa entre el concepto de variable y escala de medición. Las variables pueden ser clasificadas como cuantitativas (intervalares) o cualitativas (categóricas), dependiendo si los valores presentados tienen o no un orden de magnitud natural (cuantitativas), o simplemente un atributo no sometido a cuantificación (cualitativa). Un diagrama donde se presentan la clasificación de los principales tipos de variables y la relación con la escala de medición se presenta en la Figura 1.5.

1.7.1 Variables cualitativas o categóricas Son aquellas cuyos valores tienen un carácter de cualidad no susceptible, naturalmente de variación numérica. Se clasifican en ordinales y nominales.

Nominal, se denomina a la variable cualitativa que genera valores de cualidad, sin tener ellos ningún orden o jerarquía. Los números asignados a las diversas categorías


CAPITULO 1 - FUNOAMENTOS DE LOS MÉTODOS ESTADlsTICOS

( CLASlFICACIÓN DE VARIABLES)

CUALITATIVAS CUANTITATIVAS

Escala de medición

INTERVALO RAZÓN

Figura 1.5 Diagrama general de clasificación de variables.

del valor de las variables se consideran como etiquetas, pero no poseen el significado numérico usual , los valores tienen una naturaleza no-métrica, no se puede decir que una categoría es mejor que otra y la asignación numérica es arbitraria. Algunos ejemplos de variables cualitativas nominales son: género, raza, profesión, credo religioso, color de ojos, partidos políticos y estado civil.

Ordinal, se denomina a una variable que genera datos de cualidad y no de cantidad, los números asignados a las diversas categorías se consideran etiquetas, pero se genera una relación de orden que se preserva en el sistema numérico. Los números que se asignan a los atributos deben respetar o conservar el orden de las características que se miden. El tipo de datos que resulta tiene naturaleza no-métrica. A pesar del orden jerárquico no es posible obtener valoración numérica lógica entre dos valores. Algunos ejemplos de variables cualitativas ordinales son: estrato socioeconómico, nivel de satisfacción (acuerdo-total, acuerdo-parcial, desacuerdo-parcial y desacuerdo-total) y calificación (E-excelente, S-satisfactorio, A-aceptable, Ddeficiente, I-insuficiente).

Las funciones de distribución asociadas a una variable discreta son: uniforme discreta, Bemoulli , binomial , hypergeométrica, Poisson, geométrica, binomial negativa, Beta-binomial y logarítmica.

1.7.2 Variables cuantitativas Son aquellas donde las características o propiedades pueden presentarse en diversos grados o intensidad y poseen un carácter numérico. Las escalas cuantitativas son

ESTADISTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS 15


reconocidas también como escalas intervalares o numéricas. Estas se clasifican en continuas y discretas.

Variables discretas, los valores de estas variables son enumerables y toman sólo

valores enteros. Ejemplos: número de hijos, número de carros, número de personas, número de productos y número de pacientes atendidos, entre otras. La escala de medición es de intervalo.

Variables continuas, son aquellas que pueden tomar infinitos valores dentro de un intervalo dado. Los valores de estas variables están relacionados con los

números reales. Ejemplos: peso, estatura, salario y temperatura, entre otros. Las variables continuas presentan dos escalas de medición: de intervalo y de razón.

Escala de intervalo, se caracteriza por generar datos numéricos, la diferencia entre dos medidas es significativa. En esta escala tienen sentido la suma y la resta de valores, pero no existe un cero absoluto ni las distancias entre los valores generan noción de equivalencia. En esta escala no tiene sentido el concepto de división. Algunos ejemplos: puntuaciones en una prueba de razonamiento (IQ) y temperatura del agua.

Por ejemplo, en esta escala es posible decir el mejor desempeño (IQ) que tuvo un estudiante en una prueba frente a otro; un niño con un IQ de 150 es mejor que un niño que obtuvo 75, pero no se puede decir que el primero tiene el doble de inteligencia que el segundo. En esta escala no hay un cero verdadero. El cero

en temperatura Fahrenheit es una temperatura seleccionada al azar. El cero en centígrados corresponde a otra temperatura muy diferente. El resultado es que, a pesar de que 100°C es el doble de 50°C, en una temperatura de 100°C no hace el doble de calor que en una de 50°C.

Escala de razón, es el nivel más complejo en las escalas, tiene un origen natural, el cero absoluto, y al igual que en la escala de intervalo se generan medidas numéricas y las diferencias son valores significativos. La resta y la división entre dos valores de esta escala tienen significado. Ejemplos: peso, estatura y edad, entre otros. Aquí tiene sentido hablar de que una persona pesa el doble de otra, o que alguien tiene el doble de años que otra persona.

En general las medidas dan origen a datos continuos, mientras que las enumeraciones

o conteos originan datos discretos. Es siempre posible pasar de una escala a otra

menos exigente. Ejemplo: los estudiantes pueden medirse en metros (variable

continua-razón), pero pueden también ordenarse de mayor a menor, convirtiéndose

en una variable ordinal.


CAPfTUlO 1 - FUNDAMENTOS DE lOS MÉTODOS ESTADfsTICOS

En nivel de complejidad se puede clasificar como el más simple, la escala nominal, seguido de la escala ordinal, posteriormente aparecen las escalas de intervalo y la escala de más alto nivel de complejidad es la de razón. La importancia de esta clasificación por niveles reside en el hecho de que mientras más complejo o alto es el nivel de medición, más elaborados son los métodos estadísticos que se pueden utilizar.

Las funciones de distribución asociadas a una variable continua son: uniforme, normal, exponencial, gamma, beta, Cauchy, Log normal, doble exponencial o Laplace, Weibull, Logística, Gumbel y sistema Personiano.

1.7.3 Otras clasificaciones

Existe otro tipo de clasificaciones de las variables, las cuales se presentan a continuación:

Variables dependientes (1'): Reciben este nombre las variables a explicar, o sea, el objeto de una investigación que se trata de explicar en función de otros elementos.

Variables independientes (X): Son las variables explicativas, es decir, los factores o elementos susceptibles de explicar las variables dependientes (Y); en una investigación de tipo experimental son las variables que se manipulan.

Variables intermedias o intervinientes: En algunos casos de análisis de relación causa-efecto, se introducen una o más variables de enlace interpretativo entre las variables dependientes e independientes.

Variables explicatorias: Son las propiedades que interesan directamente al investigador en términos de su modelo.

Variables externas: Son las que están fuera del interés teórico inmediato y pueden afectar los resultados de la investigación empírica.

La clasificación de las variables depende de cada investigación en particular.

1.8 Métodos paramétricos y no paramétricos Dentro de los métodos estadísticos se pueden distinguir los métodos paramétricos y no paramétricos. La estadística paramétrica se aplica principalmente a datos de tipo cuantitativo y cada técnica tiene supuestos estadísticos que se deben cumplir para poder aplicar el método; uno de los principales supuestos se refiere a la normalidad de la población de la cual fue extraída la muestra, si no se cumple este supuesto, sobre todo en los casos en que la muestra es de tamaño menor de 30 unidades, las conclusiones a las que se llegue podrían ser erróneas. Cuando las variables que se manejan no son de tipo cuantitativo o cuando no se cumplen

ESTADfsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS 17


los supuestos estadísticos requeridos para las diferentes pruebas, se utilizan los métodos no paramétricos.

Los métodos utilizados para las variables de tipo cuantitativo (intervalo o razón) son los métodos paramétricos, los cuales presentan buenos niveles de confiabilidad en la predicción. En las escalas cualitativas (nominales u ordinales) se utilizan los métodos estadísticos no paramétricos, que no son tan precisos en su predicción. En la Tabla 1.1 se presentan las principales características de los métodos paramétricos y no paramétricos.

Tabla 1.1 Principales características de los métodos paramétricos y no paramétricos.

Métodos paramétricos Métodos no paramétricos

• Se requieren conocimientos de teoría de • Se requieren conocimientos elementales la probabilidad, pruebas de hipótesis y a nivel matemático. Son fáciles de usar y funciones de distribución, entre otros. entender.

• Se deben cumplir varios supuestos sobre los • Se tienen pocos supuestos, los datos pue-datos de la población: distribución normal, den o no tener distribución, es decir, libre varianzas iguales, entre otros. distribución.

• Las variables deben ser cuantitativas, • Se pueden utilizar con variables de tipo con escala de medición de intervalo o de cualitativo con escalas de medición ordinal razón. o nominal. También se pueden utilizar en

variables cuantitativas.

• Se pueden realizar análisis multivariados. • Presenta limitaciones en el análisis multi-variado.

• Generalmente se requieren tamaños de • Se pueden trabajar con muestras pequeñas muestra grandes (n > 30). (n < 30).

• Se utiliza el total del conjunto de datos. • Solo se utiliza parte del conjunto de da· tos.

• Son métodos eficientes y confiables esta- • No son tan eficientes estadísticamente, dísticamente. presentan una mayor probabilidad de

rechazar una hipótesis nula falsa (error Tipo 11).

1.9 Métodos estadísticos por tipo de variable Un aspecto a considerar en una investigación es definir el tipo de análisis estadístico que se debe realizar dependiendo de las variables y su escala de medición. Como una guía se presentan en la Tabla 1.2 los diversos métodos estadísticos que se pueden aplicar según el tipo de variable y su escala de medición.


CAPrTULO 1 - FUNDAMENTOS DE LOS MÉTODOS ESTADrSTICDS

Tabla 1.2 Clasificación de métodos estadísticos dependiente del tipo de variable y su escala de medición.

M6todo a utilizar Tipo de variable Estadistica Estadistica inferencial Estadistica infarancial

descriptiva paramétrica no param6trica Análisis de Tabulación cruza-correspondencias. da: Chi-cuadrado, Análisis de correlación

moda canónica no lineal. Mcnemar, Cochran, nominal frecuencias Análisis de Coeficiente de contin-

homogeneidad. gencia, Phi, Cramer's V, Lambda Modelos de regresión de Rachas. elección discreta.

Análisis de

Cualitativa correspondencias. Tabulación cruzada: Análisis de correlación Chi-cuadrado, Gamma, canónica no lineal.

Análisis de Somer's d, Kendall's,

moda homogeneidad. Tau·b, Kendall's tau·c. Kruskal-Wallis. ordinal frecuencias Análisis de componentes Prueba de la mediana. mediana principales Friedman. categórico. Mann-Whitney. Regresión categórica. Wilcoxon. Modelos de regresión de Rachas. elección discreta-

ordenados. Análisis de

correspondencias. Tabulación cruzada: Análisis de correlación Chi-cuadrado, Gamma, canónica no lineal. Análisis de Somer's d, Kendall's,

moda homogeneidad. Tau-b, Kendall's tau-c. Kruskal-Wallis. discreta frecuencias Análisis de componentes Prueba de la mediana. mediana principales Friedman. categórico. Mann-Whitney. Regresión categórica. Wilcoxon.

Cuantitativa Modelos de regresión de Rachas. elección discreta-

ordenados.

Estimación puntual y por intervalo. Kruskal-Wallis.

Pruebas de hipótesis. Prueba de la mediana. ANOVA. Mann-Whitney.

continua Todas MANOVA. Wilcoxon. Análisis de componentes Signo.

principales. Rachas. Modelo de regresión Chi-cuadrado.

lineal simple y múltiple.

ESTADrSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERrA AMBIENTAL CON SPSS 19


1.10 Etapas generales en la construcción de un modelo estadístico Como una guía y no como una norma inflexible, se pueden delinear las siguientes etapas en la construcción de un modelo o procesamiento estadístico (Quiroga).

• Caracterización del problema

En esta etapa se deben definir los diferentes aspectos del problema, con el fin de lograr una idea global del mismo, considerando en lo posible ir de lo simple a lo complejo, de las partes al todo. En este aspecto se pueden seguir los siguientes pasos:

El sistema. Definición del sistema y los diversos componentes del sistema, de acuerdo con el problema, su delimitación, los diversos componentes y sus relaciones.

Justificación. Se debe definir el porqué y el para qué de la investigación y del estudio del sistema, aclarando los elementos teóricos sobre el problema y sus fuentes, realizando una revisión del estado del arte. Se deben definir el tipo de parámetros, variables y supuestos sobre sus relaciones; de causalidad o de correlación. Así mismo, se deben definir variables de respuesta, variables de estado, variables endógenas y/o exógenas y la caracterización de información disponible, en inventario y tamaño.

• Definición de objetivos e hipótesis

Se deben plantear los objetivos e hipótesis generales en relación con el problema

objeto de la investigación. Las hipótesis deben basarse principalmente en la

naturaleza misma del fenómeno o sistema, apoyadas en teorías, experiencias y

criterios de personas que conozcan la problemática estudiada. Se deben definir

alternativas de modelos y su aplicación.

• Marco teórico

De acuerdo con las hipótesis, se deben exponer los elementos teóricos fundamentales de la investigación y de carácter estadístico que permitirán la construcción, el desarrollo y aplicación de los modelos estadísticos.

• Diseño de metodologías estadísticas

Se debe caracterizar el proceso de muestreo o el diseño experimental utilizado para la obtención de las observaciones, definiendo limitaciones y cobertura (población y muestra). Así mismo, definir los parámetros y las variables, su caracterización y su nivel de importancia: ¿cuáles variables se observan?, ¿cómo se observan?, ¿cuáles se generan? y ¿cómo se generan? Las variables deben clasificarse según diferentes criterios (aleatoria, determinística, de respuesta, independiente, dependiente, observable, no observable, generada, endógena, exógena, de estado, controlada, no


CAPrTULO 1 - FUNDAMENTOS DE LOS MÉTODOS ESTADrSTICOS

controlada y covariable, entre otras). Debe juzgarse su grado de variabilidad, los posibles factores que la determinan y definir sus categorías.

En la caracterización de parámetros deben explicarse su interpretación y su papel en el sistema o fenómeno. Del mismo modo, describir los métodos de estimación de parámetros, propiedades, errores estándar y criterios para evaluarlos. Se deben describir y explicar la docimasia de hipótesis estadísticas. ¿Qué supuestos se deben validar? ¿Cuál es su importancia? ¿Cómo validarlos? Se deben describir y explicar los métodos y formas de aplicación del modelo construido y validado, sus alcances, limitaciones y ventajas.


CAPíTULO

2 Medidas descriptivas

Este capítulo presenta las principales medidas descriptivas de tendencia central y dispersión utilizadas para el resumen de un conjunto de datos. Una medida descriptiva es un valor que caracteriza las observaciones resumiéndolas en medidas de tendencia central, dispersión o variabilidad y forma o asociación.

Las medidas de tendencia central describen valores típicos que se encuentran entre el valor mínimo y el valor máximo observado en el conjunto de datos. Las medidas de dispersión o variabilidad describen en qué medida los valores de un conjunto de datos son distintos entre sí o con respecto a una medida de centralidad. Las medidas de forma describen las características de una distribución de frecuencias de un conjunto de datos. Las medidas de asociación, para el caso de dos o más variables, muestran el grado de asociación entre estas variables y cómo están relacionadas.

2.1 Medidas de tendencia central Estas medidas permiten describir el grado de centralidad de un conjunto de datos. Son valores que representan un valor central hacia el cual tiene tendencia a concentrarse el conjunto de datos. Entre las medidas de tendencia central se destacan:

• Media: aritmética geométrica



armónica cuadrática rango medio ponderada

Mediana

• Moda

Las medidas de centralidad más utilizadas son la media aritmética, mediana y moda. En algunos textos al cálculo de estas tres medidas se le denomina promedio.

2.1.1 Media

2.1.1.1 Medía aritmética

Es la medida más utilizada en el análisis de un conjunto de datos, es un valor central que toma en cuenta todos los valores que aparecen en el conjunto de datos y las distancias relativas a estos valores. Los valores tienen la misma importancia en el grupo de datos.

Su analogía fisica se puede comparar con el centro de masa de una colección de masas de una dimensión, tal como se presenta en la Figura 2.1

o O O O! O

Figura 2.1 Representación gráfica del concepto de media.

La media aritmética es la suma de los valores de la variable sobre el número de datos en análisis, la notación en la muestra es diferente que en la población.

Si XI' X]' X j , •••••••••••• , X n _ l' X n representan los valores de una variable en una muestra, entonces la media aritmética se calcula por medio de la ecuación 2.1.

11

X=XI+XZ+Xj + ... +Xn _~Xi LX ---=-- . (2.1)

n n n

X . (se lee "X barra" o "X trazo ''): media de un conjunto de datos provenientes de una muestra

n : número de datos de una muestra

I : (es la letra griega mayúscula sigma): signo de suma/aria (se lee "suma de'')

Cuando los datos representan el total de la población, la notación de la media es diferente de la media de los datos muestrales.


CAPITULO 2 - MEDIDAS DESCRIPTIVAS

Si XI' X]' XJ , ............ , X N _ l' XN representan los valores de una variable en una población, entonces la media aritmética se calcula por medio de la ecuación 2.2.

N

,L .. Ix¡ ~X XI+X]+XJ+'" +XN ~ p= =--=-- (2.2)

N N N

f.l : (es la letra griega minúscula mu): media de un conj unto de datos provenientes de una población

N : número de datos de una población

La media aritmética poblacional se estima a partir de la media aritmética muestral utilizando la teoría de la probabilidad.

En estudios ambientales o de ingeniería sanitaria en muy pocas oportunidades se cuenta con los datos poblacionales, muy frecuentemente se tienen conjuntos de datos provenientes de una muestra, considerando que generalmente los fenómenos naturales tienen población infinita, lo cual impide obtener los datos de la población. Por ejemplo, para estimar la calidad de agua de una fuente de agua o la calidad del aire en una determinada zona, tener la población es equivalente a analizar "toda" el agua del río o "todo" el aire de la zona de estudio, lo cual no es posible. Esto refuerza la importancia de la estimación de la media poblacional a partir de la media muestral.

La media aritmética no siempre tiene sentido conceptual o validez real. Por ejemplo, si en un muestreo de calidad de agua se tiene un valor de pH de 4 unidades, es decir ácido, y un valor de pH de 8 unidades, es decir básico, el promedio del agua daría un pH de 6 unidades, es decir neutro, lo cual no tendría sentido desde el punto de vista real, por 10 anterior es necesario analizar la validez lógica y real de esta medida antes de ser utilizada.

La media aritmética sólo tiene sentido para datos cuantitativos, ya sean estos de carácter discreto o continuo, pues no se puede promediar el sexo, que toma categorías de femenino y masculino, así estas estén categorizadas como ° y 1, debido a que la media daría 0,5, que no tiene sentido ni representación real. En el presente texto la media aritmética se denominará media o promedio. En la Tabla 2.1 se presentan algunas ventajas y limitaciones de la media aritmética.

ESTADIsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS 25

V IVIANA VARGAS FRANCO

Tabla 2.1 Ventajas y limitaciones de la media aritmética.

Ventajas Limitaciones

• Es la medida estadística más comúnmente • Es fuertemente afectada por los valores ex· empleada. tremos, ya sean valores máximos o mínimos

• Es fácil de calcular y entender. Y por consiguiente puede estar lejos de ser

• Se pueden realizar cálculos algebraicos. una representación de la muestra.

• En su cálculo se incluye cada uno de los • No es conveniente utilizarla en: conjunto

datos de la muestra o la población. de datos demasiado heterogéneos, cuando

• Es un valor único para cada conjunto de los datos sean proporcionales o estén en

datos. progresión geométrica.

• Las unidades son las mismas de la variable • Se debe analizar junto con medidas de

analizada. dispersión.

• La distribución de las medias que se obtienen • Se debe acompañar por otras medidas de

de muestreos repetidos de una población se tendencia central, tales como la mediana y

conoce y es de gran utilidad en el proceso de la moda.

inferencia. Generalmente es la distribución • Sólo tiene sentido en variables cuantitati·

normal. vas.

Ejemplo 2.1 Un monitoreo de la calidad de agua en una fuente superficial, en la variable turbiedad, presenta los siguientes resultados:

7

¿ X; Datos primer muestreo: 5; 4; 5; 4; 8; 10,' 9 (UNT) -+ X = ~= 6,4 (UNT)

7

Con una muestra adicional: 12 (UNT)

Con otra muestra adicional: 150 (UNT)

Con otra muestra adicional: 320 (UNT)

(UNT Unidades Nefelométricas de Turbiedad)

8

¿X; -+ X=~= 7,1 (UNT)

8 9

¿X; -+ X=~= 23(UNT)

9 10

¿ x; -+ X=~= 52,7 (UNT)

10

-,

26 ESTADíSTICA D ESCRIPTIVA PARA INGENIERíA AMBIENTAL CON SPss

CAPfTULO 2 - MEDIDAS DESCRIPTIVAS

Considerando el primer muestreo, la media de turbiedad para la fuente superficial es 6,4 UNT, valor que indica el centro del conjunto de datos. A medida que se adicionan valores extremos de turbiedad, la media incrementa su valor significativamente. Un solo dato extremo altera el valor de la media de manera significativa.

El valor de la media para datos homogéneos es un buen indicador del grado de centralidad de un conjunto de datos; sin embargo, es una medida fuertemente afectada por valores extremos, y esto es una gran limitación para el uso de este indicador estadístico sin el análisis conjunto de otras medidas de centralidad o dispersión.

2.1.1.2 Propiedades del operador sumatoria

A continuación se presentan las principales propiedades del operador sumatoria, las cuales permiten comprobar algunas propiedades de la media.

n · ¿ e = ne donde e es constante y n el número de datos ; = /

n n

• ¿eX;=e¿X; ; = / ; = /

11

• ¿X=nX ; = /

n n n

• ¿(aX;±bY¡j=a¿X;±b¿Y; ; = / ; = / ; = /

n

"x. ¿ I 11

- . / " -• X=~-¿X.=nX n ;=/ I

2.1.1.3 Propiedades de la media

• La suma de las desviaciones de los datos con respecto a la media es cero. Esta propiedad surge del hecho de que la media es el punto de equilibrio de la distribución, tal como se presenta en la ecuación 2.3. La media es la única medida de tendencia central que cumple esta propiedad.

n

¿ (X¡-X)= 0 (2.3) ;=/



Demostración: Aplicando propiedades del operador sumatoria se tiene el siguiente proceso:

n n n n

I(X¡-X)= Ix;- IX= IX¡-nX=nX-nX=O ¡ = 1 ¡ = 1 ¡ = 1 ¡ = 1

• Las sumas de los cuadrados de las desviaciones a partir de la media aritmética es menor que la suma de cuadrados de las desviaciones a partir de cualquier otro valor. En forma algebraica:

I (X¡-xy es mínima.

• Si cada uno de los datos de una variable toma valores constantes (k) , la media será igual al valor de la constante. En términos algebraicos:

Si X= k , para todo i = 1,2, ..... n, entonces X= k .

• Si cada uno de los datos de una variable es afectado aditivamente (negativamente) por una constante (k) , la media de la nueva variable es equivalente a sumar (restar) la constante a la media de la variable original. Enforma algebraica:

Si Y¡ = k ± X¡,para todo i = 1,2, ..... n , entonces Y= k ± X.

• Si cada uno de los datos de una variable es afectado multiplicativamente por una constante (k) , la media de la nueva variable es equivalente a multiplicar la constante por la media de la variable original. Enforma algebraica:

Si Y¡ = kX¡ , para todo i = 1, 2, ..... n , entonces Y = kX.

• Si cada uno de los datos de una variable es dividido por una constante (k) , entonces la media de la nueva variable es la media de la variable original, dividida por la constante. Algebraicamente:

X -Si Y. = -'- , para todo i = 1, 2, ..... n , entonces Y = X

, k k

• Si se genera una variable como la combinación lineal de dos variables, la media de la nueva variable será la combinación lineal de las medias de las variables originales. Algebraicamente:

Si Z¡ = aX¡ + bY¡ , para todo i = 1,2, ..... n, entonces Z = aX + bY.

• En general, de todas las medidas utilizadas para calcular la tendencia central de una población, la media es la menos sujeta a variación debida a cambios en la muestra.


CAPiTULO 2 - MEDIDAS DESCRIPTIVAS

La media es la medida de tendencia central más utilizada en estadística, pues emplea los datos disponibles de una variable y tiene una fuerte aplicabilidad en el proceso de inferir de una muestra a una población, debido a que las distribuciones de medias que se obtienen de muestreos repetidos de una población se conocen y son de gran utilidad en el proceso de inferencia.

2.1.1.4 Media geométrica

Esta es una medida de centralidad que se utiliza generalmente cuando los valores dependen del tiempo; varían de manera no lineal o cuando existe un alto grado de heterogeneidad en el conjunto de datos.

La media geométrica de un conjunto de datos XI' Xl' X] , ••.•.•.•..•. , XII _I , XII de una muestra se define como la raíz n-ésima de la multiplicación del conjunto de datos y se calcula como se presenta en la ecuación 2.4.

(2.4)

Para facilitar el cálculo se aplica la función log a ambos lados de la ecuación:

_1 - -log ( XI' Xl' •••• XII) n

_1 - - ( log XI + log Xl + ... + log XII) n

generando la ecuación 2.5. 11

Llog(X/)

l X ..:.../ ---=1'---__ og g=

n (2.5)

Entonces para hallar la media geométrica se aplica la fonción exponencial en base 10, a ambos lados de la igualdad, generando:



Cuando los datos representan el total de la población la notación de la media geométrica se presenta a continuación.

La media geométrica de un conjunto de datos Xl' X]' X 3 , •••••••••••• , XN _1' XN de una población, se define como la raíz N-ésima de la multiplicación del conjunto de datos y se calcula como se presenta en la ecuación 2.6.

Ilg = ~ XJ' X]' X 3 ' oo.· XN_J' XN (2.6)

El empleo de la media geométrica es equivalente a realizar una transformación de la variable original X , en log(X) y el posterior cálculo de la media aritmética a la nueva variable, para obtener ellogaritrno de la media geométrica. Por ejemplo, si la variable abarca un campo de variación muy grande, tal como el porcentaje de impureza de un producto químico (por lo general alrededor del 0.1 %, pero en ocasiones llega incluso al 1 % o más); en este caso es conveniente el empleo de log X en lugar de X para obtener una distribución más simétrica y una aproximación más cercana a la curva nOffilal. En la Tabla 2.2 se presentan algunas ventajas y limitaciones de la media geométrica.

Tabla 2.2 Ventajas y limitaciones de la media geométrica


• Es una medida resistente a datos extremos, pero • No es fácil de calcular y para un número considera· mite detectar en un conjunto muy heterogéneo, ble de datos (n > 150), se presentan limitaciones una medida de tendencia central confiable. en el programa Excel. En el programa SPSS

• Las unidades de la media geométrica son las no está considerada dentro de las rutinas más mismas de la variable. comunes.

• Se pueden realizar cálculos algebraicos. • Puede presentar limitaciones en su interpreta· • En su cálculo se incluye cada uno de los datos de ción.

la muestra. • Cuando existe uno o varios valores de la variable • Es un valor único para un conjunto de datos. iguales a cero, el valor de la media geométrica • Es muy útil cuando el conjunto de datos represen· toma automáticamente el valor de cero.

ta aumentos o disminuciones porcentuales. • Sólo se puede calcular cuando la raíz n·ésima • Se utiliza para promediar valores cuyo crecimiento exista.

sea en progresión geométrica. • Programas como Excel no validan el signo del producto y siempre que hay valores negativos no la calcula.

• Sólo tiene sentido en variables de carácter cuan· titativo.

• El desarrollo algebraico de esta medida puede tener un grado de complejidad mayor que el desarrollo de la media aritmética.


CAPíTULO 2 - MEDIDAS DESCRIPTIVAS

Ejemplo 2.2 Considerando la situación del ejemplo 2.1 se calcula la media

geométrica:

Datos del primer muestreo:

5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT) x =~x.x"x = 6 (UNT' g I 2 7 /

Considerando una muestra adicional:

12 (UNT) -+ Xg = ~ XI· Xl·· Xa = 6,6 (UNT)

Considerando otra muestra adicional:

150 (UNT) -+ ~ = ~ Xl· Xl·· X 9 = 9,3 (UNT)

Considerando otra muestra adicional: _ ~ol

320 (UNT) -+ X g = 'IJ Xl· Xl·· XJO = 13,2 (UNT)

La media geométrica para los datos del primer muestreo es 6 UNTya medida que se incorporan datos extremos la media geométrica se incrementa levemente en comparación con la alteración que presentan las medias aritméticas calculadas en el ejemplo 2.1 .

El valor de la media geométrica es considerablemente menos afectado por valores extremos en comparación con los valores de la media aritmética, generando una medida más cercana a la centralidad del conjunto de datos cuando el conjunto

de datos es heterogéneo.

2.1.1.5 Media armónica

Equivale a la transformación del conjunto de datos originales en el recíproco de cada dato, l/X, y luego se calcula la media de los datos transformados, es el recíproco de X. Su campo de aplicación es bastante restringido. Es útil al promediar velocidades, volúmenes de ventas y cuando la variable crece en progresión armónica.

La media armónica de un conjunto de datos XI' X 2 , Xl' ............ , XII _I' XII provenientes de una muestra se define como la media de los recíprocos del

conjunto de datos, tal como se presenta en la ecuación 2.7.

1 n 11 1 I-

¡=I X ¡

(2.7)

n

Siempre que X¡ :; O

ESTADíSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS 31


Para un conjunto de datos provenientes de una población se calcula como se presenta a continuación.

La media armónica de un conjunto de datos XI' X]' X 3 , •••••••••••• , X N _I' X N

provenientes de una población se define como la media de los recíprocos del conjunto de datos, tal como se presenta en la ecuación 2.8.

1 N

#"=7f~) L...x. ;=1 t

N 1 Ix. ;-1 ,

(2.8)

N

Siempre que X¡ '* O

La relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica se presenta en la desigualdad 2.9.

X" :5 Xg :5 X (2.9)

La media armónica es la más resistente a valores extremos, seguida por la media geométrica y luego la media aritmética. Las fortalezas de la media aritmética son sus propiedades, las cuales permiten desarrollos algebraicos y propiedades importantes para la inferencia estadística y la distribución normal que presenta la familia de medias de un estudio.

Ejemplo 2.3 Considerando la situación del ejemplo 2.1 se calcula la media armónica:


x= 7

5,7 (UNT) 5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT) -+ " 7 1 I-/_/ X¡

Con una muestra adicional:

X= 8

6,1 (UNT) 12 (UNT) -+ " 8 1 I-¡~/ X¡

Con otra muestra adicional:

X= 9

6,8 (UNT) 150 (UNT) -+ h 9 1 I-¡_/ Xi

Con otra muestra adicional:

32 ESTAOfsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS


320 (UNT) 7,5 (UNT)

El valor de la media armónica para turbiedad en el primer muestreo es 5, 7 UNT, ya medida que se adicionan valores extremos a la muestra el valor de la media armónica no se incrementa significativamente.

Como se puede observar, a través de los ejemplos 2.1, 2.2 Y 2.3, se cumple la relación de desigualdad presentada en la ecuación 2.9 entre las medias armónica, geométrica y aritmética. La media armónica genera los menores valores de centralidad del conjunto de datos y es la que menor impacto presenta por valores extremos. Sin embargo, esta medida presenta limitaciones en su manejo algebraico y no existe cuando algún dato toma el valor de cero. Así mismo no posee ventajas en su distribución.

2.1.1.6 Media cuadrática

Es otra medida de tendencia central, que consiste en elevar al cuadrado los valores y generar la raíz cuadrada de la media aritmética de estos nuevos valores, es poco afectada por valores extremos, pero presenta pocas ventajas algebraicas y de distribución.

La media cuadrática de un conjunto de datos Xl' X 2 , X 3 , ............ , Xn_l' X n provenientes de una muestra se define como se presenta en la ecuación 2.10.

-2 ¡r;Zx/ X=

n (2.10)

Xl es la notación para la media cuadrática muestral

Cuando los datos representan la totalidad de una población la definición de la media cuadrática se presenta a continuación.

La media cuadrática de un conjunto de datos XI' X 2 , X 3 , ............ , X N _I' X N

provenientes de una población se define como se presenta en la ecuación 2.11.

2 ~~X/ p. =

N (2.11)

p.2 es la notación para la media cuadrática poblacional

ESTADfsTICA D ESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS 33


Ejemplo 2.4 Considerando la situación del ejemplo 2.1 se calcula la media cuadrática:


5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT) -+ ~ ¿X/ X 2 = ;=17 = 6,8 (UNT)

Con un dato adicional:

12 (UNT) -+ [f; ¿X/ X 2 = ;=18 = 7,7 (UNT)

Con otro dato adicional:

150 (UNT) -+ ~ ¿X/ X2 = ;=19 = 50,5 (UNT)


~o

¿X/ X 2 = ; = 1 = 112 (UNT)

10

320 (UNT) -+

El valor de la media cuadrática para turbiedad en el primer muestreo es 6,8 UNT, pero a medida que se adicionan valores extremos el valor de la media cuadrática aumenta significativamente.

La media cuadrática presenta más variabilidad que la media aritmética. Esta medida es fuertemente afectada por valores extremos.

2.1.1.7 Rango medía o semírrango

Otro valor representativo de importancia, sobre todo cuando se necesita rápidamente una medida de centralidad es el rango medio o semirrango.

El rango medio se define como la media aritmética del valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos y se calcula como se presenta en la ecuación 2.12.

X mín +Xmáx RM = ~~--.:.=- (2.12) 2

Donde X mín es el valor mínimo y X máx es el valor máximo del conjunto de datos.



Aunque el rango medio se calcula fácil y rápidamente, a menudo es ineficiente porque ignora la información contenida en los términos intermedios. Así mismo puede que no sea representativo, en el caso de que alguno de los valores máximo o mínimo, sean valores especiales o atípicos dentro del conjunto de datos.

Ejemplo 2.5 Considerando la situación del ejemplo 2.1 se calcula el rango

medio:


5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT) ~ RM= X min +Xm6x = 7 (UNT)

2 Con un dato adicional:

12 (UNT) ~ RM= X min + X m6x =8 (UNT)

2 Con otro dato adicional:

150 (UNT) ~ RM= X mín +Xm6x = 77 (UNT)

2


320 (UNT) ~ RM= X min +Xm6x =162 (UNT)

2

El rango medio para turbiedad en el primer muestreo es 7 UNT; sin embargo, cuando se adicionan datos extremos esta media aumenta significativamente.

El valor del rango medio presenta una variación similar al valor de la media aritmética, por su definición es afectada por los valores extremos.

2.1.1.8 Media ponderada

Cuando se conoce la media de varios grupos de datos y el número de datos en cada grupo, se puede calcular la media global que se conoce como la media ponderada, mediante la ecuación 2.13.

(2.13)

En el siguiente ejemplo se ilustra su uso.



Ejemplo 2.6 Se ha realizado un monitoreo de 4 meses sobre la calidad de agua en sólidos suspendidos (mg/l), en el afluente de una planta de tratamiento de agua potable. Las medias mensuales se presentan a continuación:

S61idos suspendidos (mall) Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4

X 9,8 11,4 7,5 10,5

n 13 18 20 15

Para el cálculo de la media se utiliza la media ponderada, descrita en la ecuación 2.13

Xp

(13· 9,8) + (18· 11,4) + (20· 7,5) + (15·10,5)

13 + 18 + 20 + 15

Xp = 9,7 mg/l

Es decir, la media de sólidos suspendidos en el afluente de la planta durante los 4 meses fue de 9, 7 mg/l

2.1.2 A4ediana Es la segunda medida más utilizada después de la media aritmética para estimar el centro de un conjunto de datos. Para hallar la mediana de un conjunto de datos estos deben ser inicialmente puestos en orden de magnitud, de manera creciente o decreciente. La mediana es el elemento central del conjunto de datos, es una medida de posición; hay el mismo número de observaciones a la derecha y a la izquierda del valor de la mediana.

La mediana divide la distribución de los datos en el punto medio; el 50% de los datos está por encima de la mediana y el otro 50% está por debajo de la mediana, es decir, es el valor que divide el conjunto de datos en dos grupos iguales.

Si Xl' X 2 , Xj , •••••••••••• , X n -1' X n representan los valores ordenados de forma ascendente o descendente de una variable seleccionada de una muestra, entonces la mediana se calcula mediante la ecuación 2.14.

Xn+l

2 si n es impar

Me =ixn+xn (2.14) - - +1 2 2 si n es par

2

36 ESTADIsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS


Cuando los datos representan la totalidad de una población la fórmula de la mediana se presenta a continuación:

Si XI' X]' X 3 , •••••••••••• , XN - 1' XN representan los valores ordenados de forma ascendente o descendente de una variable seleccionada de una población, entonces la mediana se calcula mediante la ecuación 2.15.

XN+ I si N es impar -]

M= XN+XN (2.15)

e - -+1 ] 2 si N espar

2

Si el número de datos es impar, la mediana es el dato del centro del conjunto de datos. Una vez los datos se ordenen en forma ascendente o descendente. Los datos que se repiten deben ser ordenados, también, en su secuencia lógica. Si el número de datos es par, la mediana es la media de los dos datos del centro. En la Tabla 2.3 se presentan algunas ventajas y limitaciones de la mediana.

Tabla 2.3 Ventajas y limitaciones de la mediana.


• Su valor no se ve afectado por datos extre· • Es afectada por el número de observaciones, mos y por lo tanto es una medida de impor· pero no por su magnitud. tancia cuando se presenta esta situación en

• En general la mediana es menos estable que un conjunto de datos. la media de una muestra a otra, por lo tanto

• Es fácil de calcular y entender. no es tan útil en la estadística inferencial.

• las unidades de la mediana son las mismas • los datos deben ser ordenados antes de de la variable. calcular la mediana.

• Se puede hallar en variables cualitativas y • Su definición no permite realizar procesos cuantitativas. algebraicos.

• Es un valor único para un conjunto de da· tos.

• Cuando los datos tienen una marcada asi· metría, es mejor representar la tendencia central con la mediana que con la media.



Ejemplo 2. 7 Considerando la situación del ejemplo 2.1 se calcula la mediana:

Datos del primer muestreo (n=7):

5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT) -+ Me =X7 +/ =X4 = 5 (UNT)

Con un dato adicional (n=8):

12 (UNT) -+

Con otro dato adicional (n=9):

2

Xi + X~ + /= X 4 : X s = 6,5 (UNT) M= '" e

150 (UNT) -+ Me = X 9 +/ =Xs = 8 (UNT)

Con otro dato adicional (n=10):

320 (UNT) -+ Me

2

X IO + X/o - -+/ 2 2

2 X s + X6 = 8,5 (UNT)

La mediana para la turbiedad en el primer muestreo es 5 UNT, es decir, el 50% de los datos son menores a 5 UNTy el 50% son mayores a 5 UNT A medida que se adicionan datos extremos esta medida varía levemente.

El valor de la mediana es el valor central de la distribución de datos, es una medida bastante resistente a valores extremos, por lo tanto es una buena medida de centralidad del conjunto de datos.

2.1.3 Moda Como su nombre lo indica, representa el valor o valores que tienen la mayor frecuencia en el conjunto de datos; son los valores que más se repiten, ya sean estos muestrales o poblacionales. En un conjunto de datos puede no existir un valor modal o existir una o más modas. Cuando hay una moda, el conjunto de datos se denomina unimodal, en el caso de dos modas se denomina bimodal, en el caso de tres modas se denomina tri modal y en el caso de más modas se denomina multimodal. La moda se representa como M o para datos muestrales o poblacionales. En la Tabla 2.4 se muestran algunas ventajas y limitaciones de la moda.


CAPrTULO 2 - MEDIDAS DESCRIPTIVAS

Tabla 2.4 Ventajas y limitaciones de la moda.


• Es fácil de calcular y entender. • La moda no necesariamente ocurrirá como un valor central.

• Las unidades de la moda son las mismas de • La moda no siempre existe.

la variable. • No se pueden realizar procesos algebrai-

cos.

• No requiere cálculo. • No presenta mucha utilidad con pocos datos

en el conjunto de análisis. • En general cuando el conjunto de datos no

• Puede utilizarse para datos cualitativos y resulta unimodal se debe a posibles fallas

datos cuantitativos. en el muestreo o fal ta de homogeneidad de los mismos.

• No es afectada por datos extremos aisla-• A pesar de describirse como una medida

de centralidad, cuando los datos no son dos. simétricos, no la representa.

Ejemplo 2.8 Considerando la situación del ejemplo 2.1, se estima la moda:

Primer muestreo:

5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT) -+ Mol = 4 (UNT) Y Mol = 5 (UNT)


12 (UNT) -+ Mol = 4 (UNT) y Mol = 5 (UNT)


150 (UNT) -+ MOl = 4 (UNT) y Mol = 5 (UNT)


320 (UNT) -+ Mol = 4 (UNT) y Mol = 5 (UNT)

Los datos del primer muestreo presentan dos modas, es decir, es un conjunto de datos bimodal; los valores que mayor frecuencia presentan en turbiedad son 4 UNT y 5 UNT A medida que se incorporan datos extremos al conjunto de datos las modas se mantienen constantes, en este caso específico.

Si se obtienen diferentes muestras de una población en forma aleatoria, la media varia en cada una de ellas, lo mismo sucede con la mediana y la moda. Sin embargo, la media varía menos que la mediana y la moda, lo cual es muy importante en la estadística inferencial y es una de las principales razones del uso de la media en

ESTADrSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS 39


esta rama de la estadística. Una media muestral con seguridad está más cerca de la

media poblacional que la mediana o la moda de la muestra.

La media, la mediana y la moda proporcionan una parte de la descripción del conjunto

de datos. Sin embargo, es necesario definir indicadores que permitan estimar el grado

de variación o dispersión de los datos con relación a las medidas de tendencia central

y del conjunto de datos en general. Estas medidas por sí solas no son suficientes

para analizar y tomar decisiones en relación con un fenómeno en estudio, como se

ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.9 Se evalúa el efluente de dos reactores en paralelo para tratamiento

de agua potable, en la variable color real medida en Unidades de Platino Cobalto

(UPC), generando las siguientes medias:

Reactor 1:

Reactor 2:

Xl =10 UPC

Xl =10UPC

En el análisis y comparación de estos dos reactores se estaría muy tentado a

concluir la igualdad en el efluente para color real. Sin embargo, los datos con

los cuales se calcularon las medias se presentan a continuación:

Reactor 1: Reactor 2:

10; 12; 10; 12; 8; 10; 8 UPC 58; 2; 2; 2; 2; 2; 2 UPC

Como se puede apreciar, los datos arrojados por los dos reactores en color real

difieren significativamente, factor que no se puede evidenciar sólo a través del

valor de la media. Por lo tanto, a pesar de ser la media una de las medidas más

utilizadas para resumir y analizar un conjunto de datos, es necesario acompañar

esta medida con otras medidas de centralidad y dispersión, las cuales permitan

estimar el grado de variación del conjunto de datos.

En la Tabla 2.5 se presentan otras medidas de centralidad que permiten analizar de

forma más integral la calidad de agua en color real de los dos reactores. Se puede

apreciar, a través de estas medidas, que el reactor 1 tiene más homogeneidad en el

conjunto de datos, en comparación con el reactor 2, debido a que en el primero las

medidas de tendencia central son muy similares, mientras que en el segundo difieren

significativamente.



Tabla 2.5 Medidas de tendencia central de dos reactores para potabilización de agua en color real.

Medidas de tendencia central Color Real (UPC)

Reactor 1 Reactor 2

Media 10 10

Mediana 10 2

Media geométrica 9,9 3,2

Moda 10 2

Se puede generalizar que un conjunto de datos es homogéneo cuando la media, la mediana y la media geométrica presentan valores similares, en caso contrario se presenta heterogeneidad en el conjunto de datos_ Sin embargo, existen medidas descriptivas que miden en forma adecuada el grado de dispersión o variabilidad del conjunto de datos, denominadas medidas de dispersión.

2.2 Medidas de dispersión Las medidas de dispersión o variabilidad permiten generar criterios sobre el grado de homogeneidad o heterogeneidad del conjunto de datos que se está analizando, en relación con una medida de centralidad, o con respecto a los datos en sí. Las medidas estadísticas más utilizadas para medir el grado de variabilidad o dispersión son: rango, desviación media, varianza, desviacióv estándar y coeficiente de variación.

2.2.1 Rango Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos. Mide la longitud en la cual se encuentran los datos, en general a mayor longitud mayor dispersión de los datos; sin embargo, es necesario analizar la variable y las unidades en las cuales se está midiendo, con el fin de hacer un análisis adecuado de esta medida de dispersión.

El rango de una muestra aleatoria o de una población se define por la ecuación 2.16.

(2.16)

En la Tabla 2.6 se presentan algunas ventajas y limitaciones de esta medida de dispersión.



Tabla 2.6 Ventajas y limitaciones del rango.


• Es la medida de variación más fácil • No se pueden realizar cálculos algebraicos.

de calcular y entender. • Sólo incluye dos datos para su cálculo: el valor

máximo y el valor mínimo, ignorando los valores intermedios.

• las unidades coinciden con las de • Es fuertemente afectada por los valores extremos.

la variable de análisis. • Se debe acompañar de otras medidas de dispersión

para su análisis.

Ejemplo 2.10 Considerando la situación del ejemplo 2.1 se calcula el rango:


5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT)

Con un dato adicional: 12 (UNT)

Con otro dato adicional: 150 (UNT)

Con otro dato adicional: 320 (UNT)

-+ R = X máx - X min = 6 (UNT)

-+ R =Xmáx-Xmín = 8 (UNT)

-+ R =Xmáx-Xmln = 146 (UNT)

-+ R =Xmáx-Xmín = 316 (UNT)

Para el primer muestreo el rango es 6 UNT, es decir, la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo es 6 UNT A medida que se incorporan datos extremos el rango aumenta considerablemente, evidenciando el grado de dispersión de los datos.

Como se puede apreciar, a medida que el conjunto de datos presenta más variación o heterogeneidad, el rango incrementa su valor de forma significativa. El rango es una buena medida del grado de dispersión de un conjunto de datos.

2.2.2 Desviación media Se define como la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los datos, con respecto a la media; también se puede calcular en relación con la mediana, en este último caso la desviación media representa un valor menor. Una limitación de esta medida es su poca facilidad para el desarrollo algebraico.

En la obtención de esta medida intervienen todos los valores del análisis; por lo tanto, permite una información relativa de todos ellos, y da mejor conocimiento del grado de variabilidad de la distribución de los datos que el rango.



Si Xl' Xl' X3 , ............ , X,, _I' X" representan los valores de una variable en una muestra, entonces la desviación media se calcula por medio de la ecuación 2.17.

" ¿Ix;-xl dm =.:..; =.-:1'----__ (2.17)

n

Si los datos son el total de la población, la notación de la desviación media se presenta a continuación:

Si XI' Xl' X 3 , •••••••••••• , XN _ I' XN representan los valores de una variable en una población, entonces la desviación media se calcula por medio de la ecuación 2.18.

N

¿IX;-pl DM = .:..; =.-:1'------

(2.18)

N

Ejemplo 2.11 Considerando la situación del ejemplo 2. 1 se calcula la desviación media:

Datos del primer muestreo: 7

5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT) -+


¿lx;-xl dm=

;= I =2,2 (UNT)

7 8

12 (UNT)-+ ¿lx;-xl

dm= ;=/

=2,6 (UNT) 8

Con otro dato adicional: 9

150 (UNT) -+ ¿1x;-xl dm=

;= / =28,2 (UNT) 9

Con otro dato adicional: 10

320 (UNT)-+ ¿Ix;-xl

dm= ;=1 = 72,9 (UNT)

10

La desviación media para el primer conjunto de datos toma el valor de 2,2 UNT, que indica el nivel de dispersión de los datos con relación al valor medio, que es 6,4 UNT Cuando se introducen datos extremos al muestreo, la desviación media aumenta evidenciando el grado de dispersión del conjunto de datos.



A medida que el conjunto de datos presenta mayor variabilidad la desviación media aumenta su valor y permite medir el grado de variabilidad del conjunto de datos.

2.2.3 Varianza Debido a las limitaciones algebraicas que evidencian el rango y la desviación media, se origina el concepto de varianza, que mide las variaciones del conjunto de datos con respecto a su media aritmética y se define como la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de cada dato a la media aritmética. En general, cuanto menor sea el valor de la varianza, menor es el grado de variación o heterogeneidad del conjunto de datos con respecto a su media aritmética. Sin embargo, es necesario contextualizar el análisis de esta medida a la variable y las unidades en que está medida.

Si Xl' X 2 , X 3 , •••••••••••• , X,,_I' X" representan los valores de una variable seleccionada de una muestra, entonces se define la varianza muestral como la ecuación 2.19.

n

S2 ~ (x¡-X/ = (X¡-X/+(X2-X/+(X3-X/+ •••• + (Xn-X/

n-l n-l

(2.19)

El cociente (n -1) se utiliza en reemplazo de n, debido a que con esta definición se obtiene una mejor estimación de la variable poblacional, es decir, el valor esperado de S es igual a ,;2, en términos matemáticos:

E (S) =,;2

Además, S cumple con la propiedad de ser un estimador insesgado, una característica deseable para un estimador.

En el caso de que los datos sean el total de la población, la notación se presenta a continuación:

Si Xl' X 2 , X 3 , •••••••••••• , XN_1' XN representan los valores de una variable seleccionada de una población, entonces se define la varianza poblacional como la ecuación 2.20.

N

1 ~ (x¡- f.l/ (X¡- f.l/+ (X2 - f.l/+ (X3 - f.l/+ .... + (XN- f.l/ (J = =

N N 0": es la letra griega "sigma" (2.20)



En la Tabla 2.7 se muestran algunas ventajas y limitaciones de la varianza.

Tabla 2.7 Ventajas y limitaciones de la varianza.

Ventajas limitaciones

• Es de las medidas de variación, la más utili· • Las unidades de esta medida son las uni· dades de la variable al cuadrado. zada.

• No es fácil su interpretación debido a sus • Se pueden realizar cálculos algebraicos. unidades.

• Se incluyen todos los datos en su cálculo. • Se debe acompañar de otras medidas de

dispersión para su análisis.

Ejemplo 2.12 Considerando la situación del ejemplo 2.1 se puede calcular el valor de la varianza:


7

5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT) ~ S=

¿(Xi-Xl ;gl = 6,3 (UNTl

7-1 Con un dato adicional:

8

12 (UNT) ~ S=

¿ (X/-Xl ;~1 = 9,3 (UNTl

8-1 Con otro dato adicional:

9

150 (UNT) ~ ¿(X¡-Xl


s = c...; --01 ___ _

9-1 2276,3 (UNTl

10

320 (UNT) ~ ¿ (X;-Xl

S = ;-1 = 10844,3 (UNTl 10-1

Como se puede apreciar la varianza genera una idea significativa del grado de variabilidad de un conjunto de datos, pues a medida que aumenta el grado de heterogeneidad esta medida aumenta sustancialmente, aunque sus unidades

elevadas al cuadrado limitan fuertemente su interpretación.

2.2.3.1 Propiedades de la varianza

• El valor de la varianza es siempre positivo o igual a cero, esto es: S ~ O,para cualquier conjunto de datos.



• Si todos los valores de un conjunto de datos son constantes, el valor de la varianza es igual a cero. Algebraicamente:

Si Xi = k , para todo i = 1, 2, ..... n, entonces S2 = O.

• La varianza no se altera cuando a cada uno de los datos se le suma o se le resta una constante. En términos algebraicos:

Si 1'; = Xi ± k, para todo i = 1, 2, ..... n, entonces S: = S: . • Si cada uno de los datos en análisis se multiplica por una constante, la varianza

resultará multiplicada por la constante al cuadrado. Algebraicamente:

Si 1'; = kXi , para todo i = 1, 2, ..... n, entonces S: = k 2 S:. • Si se divide por un mismo número a cada uno de los datos en análisis, la varianza

quedará multiplicada por el cuadrado de dicho divisor. En este caso la constante debe ser diferente de cero. Algebraicamente:

Si Yi = : Xi ' para todo i = 1,2, ..... n, entonces S: = /2 S: ; k,* O

Una ecuación alternativa para el cálculo aproximado de la varianza se presenta a continuación:

n

IX; S2=~-X2

n

2.2.4 Desviación estándar La forma de superar una de las limitaciones de la varianza, sus unidades al cuadrado, es a través del uso de la raíz cuadrada, dando origen al concepto de desviación estándar.

La desviación estándar muestral se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza muestral, tal como se presenta en la ecuación 2.21.

" I (Xi-Xl (2.21)

S=-Vs2= /-1

n-1 La desviación estándar poblacional se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza poblacional, tal como se presenta en la ecuación 2.22.

N

u={Gi= I (Xi-P.)] i-l

N (2.22)

, 46 ESTADfsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS


En la Tabla 2.8 se presentan algunas ventajas y limitaciones de la desviación estándar.

Tabla 2.8 Ventajas y limitaciones de la desviación estándar.

Ventajas Limitaciones • Es, junto con la varianza, una de las medidas • Se debe acompañar de otras medidas de

de variación más utilizadas. • Tiene las mismas unidades de la variable dispersión para su análisis.

analizada. • Para su cálculo primero debe calcularse la • Se pueden realizar cálculos algebraicos. • Se incluyen todos los datos en su cálculo. varianza.

Ejemplo 2.13 Considerando la situación del ejemplo 2.1 se calcula el valor de la desviación estándar:


5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT) ~ S = ...JS2 = _i-_' ____ = 2,5 (UNT) 7-1


12 (UNT) ~ S = ...JS2 = _ia_, ___ =3 (UNT) 8-1


150 (UNT) ~ S = ...JS2 = ; - 1

9-1 =47,7 (UNT)


320 (UNT) ~ S = ...JS2 = i='

10-1 = 104,1 (UNT)



Para los datos del primer muestreo la desviación estándar es 2,5 UNT, que indica poca variación entre los datos, es decir, los datos se alejan de la media (6,4 UNT) en una desviación estándar en 2,5 UNT hacia adelante yen 2,5 UNT hacia atrás de la media. A medida que el conjunto de datos se vuelve heterogéneo, la desviación estándar toma valores bastante grandes. Por ejemplo, con todo el conjunto de datos analizados, el valor de la desviación estándar es 104,1 UNT, lo que significa que los datos se alejan en promedio 104,1 UNT del valor medio (6,4 UNT).

Ésta es una buena medida del grado de dispersión del conjunto de datos; a medida que aumenta el grado de variación de los datos esta medida aumenta, en las mismas unidades de la variable de origen.

2.2.5 Coeficiente de variación El coeficiente de variación permite estimar la relación porcentual entre el valor de la media y la desviación estándar. A medida que se presenta mayor heterogeneidad en el conjunto de datos, el valor del coeficiente de variación es mayor. Esta medida puede tomar valores negativos sólo cuando la media tiene un valor negativo, por ejemplo, en el caso de la variable temperatura o nivel de pérdidas. En este caso se sugiere tomar el valor absoluto para una mejor interpretación del coeficiente de variación.

El coeficiente de variación muestral consiste en expresar la desviación estándar muestral como un porcentaje de la media muestral, tal como se presenta en la ecuación 2.23

s CV= X x 100% (2.23)

Siempre que X"# O

El coeficiente de variación poblacional consiste en expresar la desviación estándar poblacional como un porcentaje de la media poblacional, tal como se presenta en la ecuación 2.24.

Siempre que JI. "# O

(1

CV=¡¡-x 100% (2.24)

Esta medida es adimensional, sus unidades están dadas en porcentaje, por lo tanto es un buen indicador de comparación entre dos o más diferentes variables o dos o más diferentes poblaciones.



Como una guía para su interpretación se puede tomar el siguiente esquema:

0%

Datos poco variables u homogéneos

De otra forma:

30%

Datos variables o heterogéneos

70% 100%

Datos muy variables ---. o muy heterogéneos

Si S~ O.3X entonces el conjunto de datos es poco variable u homogéneo con relación a la media.

Si O.3X < S ~ O. 7X entonces el conjunto de datos es variable o heterogéneo con relación a la media.

Si S>0.7X entonces el conjunto de datos es muy variable o muy heterogéneo con relación a la media.

Ejemplo 2.14 Considerando la situación del ejemplo 2.1, se calcula el coeficiente

de variación:


5; 4; 5; 4; 8; 10; 9 (UNT) -+ CV = 2,5 x100% = 39,1 % (UNT) o S = 0,39 X 6,4


12 (UNT) -+ CV=.-L x100% = 42,3% (UNT) o S = 0,42 X 7,1


150 (UNT) -+


CV = 47, 7 xl 00% = 207,4% (UNT) o S = 2,07 X 23

320 (UNT) -+ CV= 104,1 x100% = 197,6% (UNT) o S = 1,97 X 52,7

Para el primer conjunto de datos el CV = 39%, indica que los datos presentan

variación con relación a la media. A medida que se consideran datos extremos en

el muestreo, el CV toma valores de 207% y 197%, que indica una gran variación

de los mismos con relación a la media.

El coeficiente de variación aumenta considerablemente a medida que la distancia

entre la media y la desviación estándar crecen.



Ejemplo 2.15 Considerando los datos presentados en el ejemplo 2.8: Se evalúan dos reactores en paralelo para tratamiento de agua potable, en la variable color real en Unidades de Platino Cobalto (UPC), generando las siguientes series de datos:

Reactor 1: 10; 12; 10; 12; 8; JO; 8 UPC

Reactor 2: 58; 2; 2; 2; 2; 2; 2 UPC

En la Tabla 2.9 se presentan las principales medidas de tendencia central y dispersión para este conjunto de datos.

Tabla 2.9 Medidas descriptivas para la comparación de dos reactores para potabilización de agua, en color real.

Medidas Símbolo Reactor 1 Reactor 2 I descriptivas matemático Media X 10 UPC 10 UPC Mediana Me 10 UPC 2 UPC

.

Media geométrica Xg 9,9 UPC 3,2 UPC Moda Mo 10 UPC 2 UPC Rango R 4 UPC 56 UPC Varianza SZ 2,7 UPC2 448 UPC2

Desviación estándar S 1,6 UPC 21,2 UPC Coeficiente de variación e.v. 16,3 % 211,7 %

A pesar de tener los mismos promedios en color real, los dos reactores presentan eficiencias bastante diferentes, tal como se puede evidenciar en las medidas de dispersión. El rango para el primer reactor es 4 UPC Y para el segundo es 56 UPC, 10 cual evidencia que en los datos del segundo reactor la distancia entre el valor mínimo y el valor máximo es mucho mayor que la del reactor 1.

La desviación estándar, esto es, el promedio de la distancia de los datos con respecto a la media, es 1,6 UPC para el primer reactor y 21,2 UPC para el segundo reactor. Es decir, los datos se alejan de la media en 1,6 UPC para el primer reactor y se alejan 21,2 UPC para el segundo reactor, lo cual permite concluir que existe una mayor variación en el reactor 2.

El coeficiente de variación es también un buen indicador del grado de variación de los datos en relación con la media; para el reactor 1 es 16,3% y para el reactor 2 es 211,7%. Un CV=16,3% significa que el conjunto de datos es homogéneo para el caso



del reactor 1; sin embargo, un CV= 211,7% significa gran variación o heterogeneidad en el conjunto de datos, para el caso del reactor 2.

También, las medidas de centralidad, como la mediana, la media geométrica y la moda, indican el grado de variación de un conjunto de datos, pues en el reactor 1 estas medidas toman valores similares, contrario a lo que sucede en el reactor 2.

En general las medidas descriptivas permiten resumir adecuadamente un conjunto de datos en medidas de centralidad y medidas de dispersión que permiten caracterizar el fenómeno en estudio. Adicionalmente es necesario estudiar la distribución del conjunto de datos, tal como se desarrolla en el próximo capítulo.


CAPíTULO

3 Distribución de frecuencias

Las medidas de tendencia central y dispersión resumen el conjunto de datos en uno o varios indicadores estadísticos, perdiéndose la tendencia y las frecuencias de agrupación de los datos. Esta limitación se soluciona con el estudio de la distribución de frecuencias, que consiste en describir numérica y gráficamente la forma y composición del agrupamiento del conjunto de datos. La distribución de frecuencias puede realizarse para una, dos o más variables. En el caso de una variable se denomina distribución univariada, en el análisis de dos variables se denomina distribución bivariada y para más de dos se denomina distribución multivariada.

La manera de construir la distribución de frecuencias puede resultar tediosa, si se realiza manualmente y si el número de datos es considerablemente grande; para ello se recomienda el uso de software estadístico. Sin embargo, en este capítulo se desarrollarán ejemplos que ilustran la forma de construir la distribución de frecuencias de forma manual y en el capítulo lOse presenta el proceso con el software SPSS.

3.1 Distribución de frecuencias univariadas Corresponde a la agrupación de una sola variable a través de categorías o intervalos, de tal forma que se presentan las frecuencias o repeticiones en cada una de ellas. En el caso de una variable discreta, los datos se agrupan en categorías, mientras que para una variable continua se agrupan en intervalos.



3.1.1 Distribución de frecuencias univariadas para una variable discreta

Para generar la distribución de frecuencias en una variable discreta se deben seguir los pasos que se describen a continuación, los cuales permiten organizar la distribución de los datos en una tabla de cinco columnas:

Paso 1: Identificar los valores diferentes que toma la variable y escribirlos en la

primera columna de la tabla, en orden ascendente. Se denotará por k el número

de valores diferentes que se encuentran en el conjunto de datos y se denotarán por

Xl' X]' X 3 , .... , X k_ 1' X k. En esta columna no deben haber valores repetidos.

Paso 2: La segunda columna consiste en calcular la frecuencia absoluta, ni' que es

el número de veces que se repite el valor Xi en el conjunto de datos. La suma de

los ni es igual al número total de datos en análisis. Por ejemplo, el valor de n3 es el

número de veces que se repite la observación X 3 en el conjunto de datos.

Paso 3: El cálculo de la frecuencia absoluta acumulada, Ni' consiste en diligenciar

la tercera columna y es equivalente a sumar los valores menores o iguales de las

frecuencias absolutas, ni' de cada valor Xi' como se presenta a continuación.

N¡ =n¡

N] = NI + n} = nI + n]

N 3 = N 2 + n3 = nI + n2 + n3

: :

:

N k_¡ =Nk_] + n k _¡ = n¡ + n] + n 3 + ..... + n k _] + nk_1

N k =Nk_¡ + nk = nI + n] + n3 + ..... + nk_1 + nk= n

Por ejemplo, el valor N 4 es el número de datos que tienen valores menores o iguales

aX4 •

En este caso se debe cumplir la desigualdad de la ecuación 3.1.

nI =N¡ ~N2 ~N3""'" ~Nk_¡ ~Nk= n (3.1)

Paso 4: La cuarta columna consiste en calcular la frecuencia relativa, hi , la cual es el valor relativo o porcentual, que representa el valor de cada Xi . Generalmente este valor se multiplica por 100%, tal como se ilustra a continuación:


CAPfTULO 3 - DISTRIBUCiÓN DE FRECUENCIAS

n, h,=-lOO%

n

:

:

n hk _]=~lOO%

n

Por ejemplo el valor de h3 es el porcentaje de veces que aparece la observación X3 en el conjunto de datos.

La suma de todos los valores h¡ debe ser 100%. En el caso que cada h¡ no sea haya multiplicado por 100%, la suma debe ser 1.

Paso 5: La quinta columna consiste en calcular la frecuencia relativa acumulada, H¡, que es equivalente a sumar los valores menores o iguales de las frecuencias relativas de cada valor X¡ , como se presenta a continuación.

H] =h¡

H 2 = H¡ + h2 = h¡ + h2

H3 = Hz + h3 = h¡ + h2 + h3

: :

: :

H k_¡ =Hk_2 + hk_¡ = h¡ + h 2 + h3+ ....• + hk_2 + hk_¡

Hk =Hk_¡+hk=h¡+hz+h; + •.... +hk_¡+hk=l ólOO%

Por ejemplo, el valor de H 4 es el porcentaje de datos que tienen valores menores o iguales a X4 •

En este caso se debe cumplir la desigualdad de la ecuación 3.2.

(3.2)



Siguiendo los pasos del 1 al5 se construye la Tabla 3.1, que representa la distribución

de frecuencias para una variable cuantitativa discreta, presentando un buen resumen

del conjunto de datos de la muestra o población estudiada.

Tabla 3.1 Distribución de frecuencias para una variable discreta.

Frecuencia Frecuencia Valores Frecuencia absoluta Frecuencia relativa de la absoluta acumulada relativa acumulada 1%1

variable ; n; ;

X; n; N;=¿n¡ h;=-100% H;=¿h;

;= I n ;-1

Xl nI NI h l Hl

Xz nz N z hz Hz

Xl n] N] h] H]

: : : : :

: : : : :

: : : :

X k_l nk_l N k_l hk_l H k_1

X k nk Nk=n hk H k= 100%

k k Totales ¿n;=n -- ¿h;=100% --

;~1 ;=1

Cuando se tiene un número considerable de categorías en una variable discreta se procede a generar intervalos para construir la tabla de distribución de frecuencias, debido a que al utilizar la metodología descrita anteriormente se genera una distribución poco significativa, pues es posible que cada dato presente una o dos repeticiones, 10 que generaría una tabla casi igual al conjunto de datos analizados.

3.1.1.1 Medidas de tendencia central y dispersión

para datos agrupados en una variable discreta

Cuando se tiene una tabla de frecuencias para una variable discreta, es posible estimar

a partir de la información de la distribución, algunas medidas descriptivas tales como:

media, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.

La media se puede calcular utilizando la distribución de frecuencias de la Tabla 3.1, a través de la ecuación 3.3.


CAPiTULO 3 - DISTRIBUCiÓN DE FRECUENCIAS

XII' = (3.3)

X'" : media calculada con datos agrupados

La varianza para datos agrupados se puede calcular a través de la fórmula de la ecuación 3.4.

n-l ;-/

El valor de h; debe utilizarse sin porcentaje (%), tanto para el cálculo de la media

como de la varianza.

A partir de estas dos medidas se pueden estimar la desviación estándar y el coeficiente de variación; su conceptualización, interpretación y unidades son similares a las presentadas en el Capítulo 2.

3.1.1.2 Representación gráfica de la distribución para una variable discreta

Gráfica de frecuencias absolutas

Esta gráfica se construye ubicando los diversos valores de la variable en el eje X, en el eje y] la frecuencia absoluta y en el eje Y2 la frecuencia relativa, o viceversa, tal como se observa en la Figura 3.1. Esta gráfica muestra la tendencia de la distribución de los datos.

Gráfica de frecuencias acumuladas

Esta gráfica coincide con la función discontinua escalonada. En el eje X se ubican los valores que toma la variable X, en el eje Y¡ la frecuencia relativa acumulada y en el eje Y2 la frecuencia absoluta acumulada, o viceversa. Tal como se presenta en la Figura 3.2.

Según esta gráfica el valor de H" es el porcentaje de datos que tienen valores menores

o iguales a X".

(Ver Figura 3.1 y Figura 3.2 en la página siguiente)



Yj J

hJ%) J Y2

ni

h¡ n j

h3 n3

h2

1 n2

hk • nk

hk

_1 • t nk _ 1

XI X 2 X3 ················Xk _ 1 X k

Variable X

Figura 3.1 Gráfica de frecuencias absoluta y relativa para una variable discreta.

Y, ! hK =100%

HK

_I

H K _]

H 4

H3

H ]

H¡

o---e o---e

o---e o---e

XI X] X 3 X 4

Variable X

o---e Nk=n r o---e Nk_1

o---e Nk _]

X k _] X k _ 1 X k

N 4

N3

N]

N¡

Figura 3.2 Gráfica de frecuencias acumuladas para una variable discreta.



Ejemplo 3.1 Se tomaron muestras de coliformes totales, mediante el método de filtración por membrana, para la estimación de la calidad del aire en los predios de la Universidad Nacional de Colombia-Sede Palmira y se encontró la siguiente serie de datos: 23; 10; 47; 47; 232; 156,' 99; 47; 156; 23; 47 Y 99 UFC/m3

.

Considerando que la variable coliformes totales es una variable cuantitativa discreta, se utilizan los pasos descritos anteriormente para construir la tabla y gráficas de distribución de frecuencias. La Tabla 3.2 presenta la distribución de frecuencias, donde se puede analizar que el 75% de los datos toman valores menores o iguales a 99 UFC/m3

, el valor de 232 UFC/m3 tiene una frecuencia de un dato en la muestra y corresponde a un porcentaje del 8,3%, y el valor de 47 UFC/m3 tiene una frecuencia de cuatro muestras equivalentes a un porcentaje del 33,3%.

Tabla 3.2 Distribución de frecuencias para coliformes totales en el análisis de la calidad de aire en la Universidad Nacional de Colombia-Sede Palmira.

Número de Datos % de datos de % de datos acumu-

Coliformes datos de acumulados de colifor· coliformes lados de coliformes

totales coliformes mes totales totales totales ; ni I

XI totales NI = ¿ni hl =-100% HI=¿h¡ (%) ni 1- 1 n 1- 1

10 1 1 8,3 8,3

23 2 3 16,7 25,0

47 4 7 33,3 58,3

99 2 9 16,7 75,0

156 2 11 16,7 91,7

232 1 12 8,3 100%

Totales n=12 -- 100% --

La Figura 3.3 muestra la gráfica de frecuencias absoluta y relativa, no acumuladas, donde se puede analizar que la mayor frecuencia la presenta el valor de 47 UFC/m3

, con una frecuencia absoluta de cuatro datos y una frecuencia relativa de 33,3%, y con menores frecuencias los valores de 10 UFC/m3 y 232 UFC/m3

con frecuencias absolutas de un dato y frecuencias relativas de 8,3 %.



h¡(%) ni

33,3 4

16,7 2

~

8,3 1

10 23 47 99 156 232

Coliformes IOlales (UFC/m J)

Figura 3.3. Frecuencias absoluta y relativa para el estudio de calidad de aire en coliformes totales en la Universidad Nacional de Colombia-Sede Palmira.

La Figura 3.4 presenta la gráfica de frecuencias acumuladas, donde se analiza que el 58,3% de los datos son menores o iguales a 47 UFC/m3 y el 91,7% de los datos son menores o iguales a 150 UFC/m3

•

HJ%)

100

91,7 o 75,0 o o 58,3 0----0

25,0 0-----0

8,3~

10 23 47 99

Coliformes IOlales (UFC/mJ)

o o o

150 232

Ni

12 11

9

7

3

1

Figura 3.4. Frecuencias absoluta y relativa acumuladas para el estudio de calidad de aire en coliformes totales en la Universidad Nacional de ColombiaSede Palmira.


CAPITULO 3 - DISTRIBUCiÓN DE FRECUENCIAS

Utilizando las ecuaciones 3.3 y 3.4 para el cálculo de la media y la varianza considerando datos agrupados, se presentan a continuación estas medidas para coliformes totales en el análisis de calidad de aire:

6

¿n¡X¡

¡ s I = 82,2 (UFC 1m3 ) n

6

¿ n¡ ()(- 82,2/ 2 ¡ a l

S ag = ----11----

Con la fórmula alterna:

6

Sa~ = ¿ h¡ ()(- 82,2/ = 4649,8 (UFC I m3/

¡ = I

=> S = 68,1 (UFC 1m3) ag

=> S = 65,2 (UFC 1m3) ag

El coeficiente de variación se puede estimar a partir de los anteriores valores:

CV=82,8%

La media de coliformes totales es 82,2% (UFC/m3) , con desviación estándar

de 68,1 (UFC/m3) y coeficiente de variación de 82,8%, lo que indica gran

dispersión del conjunto de datos con relación a la media. Aunque generalmente

debido a la gran variación de la variable coliformes se sugiere el uso de la media geométrica.

3.1.2 Distribución de frecuencias univariadas para una variable continua

En el caso de una variable continua, los datos se agrupan en intervalos o clases

para definir la distribución de frecuencias. Los criterios de frecuencias: absolutas

y relativas, acumuladas y no acumuladas, son los mismos que para el caso de una

variable discreta, analizada anteriormente. La diferencia consiste en la definición

de intervalos y el concepto de marca de clase, así mismo la representación gráfica tiene algunas particularidades. La definición de los intervalos la puede hacer el

investigador, de acuerdo con su conocimiento sobre la variable o el interés por rangos específicos. También se pueden utilizar algunas reglas que permiten estimar



el número de intervalos. A continuación se presentan los pasos para la definición

de los intervalos, la marca de clase y la forma de construcción de la tabla de

frecuencias.

Paso 1: Estimar el número de intervalos a considerar; esto se puede hacer de dos maneras: que el investigador defina el número de intervalos que requiere, o utilizar como guía la ecuación 3.5, donde k es el número aproximado de intervalos y n es el número de datos de la variable analizada.

k = 1 + 3,3 Ig( n ) (3.5)

El valor de k generalmente toma valores decimales, por lo tanto es necesario aproximarlo a un valor entero; el número de intervalos es un valor entero, se deben hacer 4 ó 5 intervalos y no 4,5. Otra opción para hallar el número de intervalos es utilizando la fórmula: k = rn. Se recomienda aproximar este valor al mayor entero. En general la literatura recomienda usar entre cinco y veinte intervalos

Paso 2: Una vez definido el número de intervalos, se requiere estimar la longitud de cada intervalo. Se recomienda que la longitud sea igual en cada uno de los intervalos, pues esto facilita la interpretación de la distribución de frecuencias. La longitud de cada intervalo se calcula mediante la ecuación 3.6.

L=JL K (3.6)

Donde R es el rango; R = Xmáx - X min Y k el número de intervalos a elaborar.

A continuación se presentan los pasos para la definición de los intervalos, la marca de clase y la construcción de la tabla de frecuencias.

Paso 3: Definir los límites de cada intervalo, se inicia con el valor inicial X o, que puede ser definido como el valor mínimo del conjunto de datos, o como el menor valor entero al valor mínimo, con el fin de que los límites de los intervalos tengan valores enteros y esto facilite la interpretación de la distribución de frecuencias.

Los intervalos deben definirse con la notación matemática de conjuntos, pues esto evitará ambigüedades en la ubicación de cada dato en particular, tal como se presenta a continuación:



primer intervalo

segundo intervalo

tercer intervalo

[Xo, XI]

(XI, Xzl

(X2 , Xl]

(k -1) ésimo intervalo (Xk - 2 , X k -¡)

k-ésimo intervalo

Cada límite se calcula sumándole la longitud del intervalo al límite anterior:

XI = Xo + L; X2 = Xl + L; :::::; Xk- I = X k- 2 + L; X k = X k- I + L

Paso 4: Calcular la marca de clase, que se define como el punto medio de cada intervalo, y se calcula mediante la ecuación 3.7.

X' I (3.7)

Paso 5: Construir la distribución de frecuencias como se presenta en la Tabla 3.3:

• La primera columna consiste en enumerar los intervalos definidos con la ecuación 3.5.

• La segunda columna es la definición de los intervalos construidos sobre la base de los pasos 2 y 3, descritos anteriormente.

• La tercera columna es la marca de clase definida en el paso 4.

• La cuarta columna es la frecuencia absoluta, ni' que consiste en contar el número de datos de la muestra o población que se encuentran en cada intervalo.

• La quinta columna es la frecuencia absoluta acumulada, N¡, definida como el valor acumulado del número de datos en cada intervalo.

• La sexta columna es la frecuencia relativa, h¡, definida como la representación porcentual de cada intervalo.

• La séptima columna es la frecuencia relativa acumulada, H i , que consiste en el valor acumulado de las representaciones porcentuales, h¡, en cada intervalo.



Tabla 3.3. Distribución de frecuencias univariadas para una variable continua.

Frecuencia Número Marca

Frecuencia absoluta acu· Frecuencia del Intervalo de

absoluta mulada relativa intervalo clase ¡ (X;-J,XJ

k X' . n¡ N¡=¿n¡ h¡=n¡ln (%)

I ¡ = /

1 {Xo,Xti x', n, N,

:z (X"Xz] X'z nz Nz

3 (Xz' X,] X'J n j Nj

: : : : :

: : : : :

k-l (X. _l , X. _ ti X'. _, nk

_1 N. _,

k (X. _"X.] x'. n. N.=n

-- Totales -- n --

3.1.2.1 Medidas de centralidad y dispersión para datos agrupados en una variable continua

h,

hz

hj

:

:

h._,

h.

100%

Frecuencia relativa

acumulada ¡

H¡=¿h¡ ; =1

H,

Hz

Hj

:

:

H. _,

H.=IOO%

--

Media, para datos agrupados de una variable continua se calcula utilizando la ecuación 3.8.

k k

¿n;X/ k ¿n;X/ =¿h;X/ (3.8)

;-1 ;=1 = ; =1

Xag = k

¿ni n ;=1

El cálculo de la media a través de la tabla de frecuencias genera un error en relación con la media de los datos originales, pues como se puede analizar de las fórmulas, se supone que la marca de clase es un representante de cada intervalo. Este error se denomina error de agrupación, que es equivalente al error relativo de un número aproximado y se calcula con la fórmula de la ecuación 3.9. Para calcular el error de agrupación de la media se debe calcular la media del conjunto de datos sin agrupar.

IX-X I IEagl = X ag 100% (3.9)

Siempre que X:f:: O



Varianza, para datos agrupados de una variable continua se calcula utilizando la

fórmula de la ecuación 3.10.

k k

¿nJX/-X"gl ¿nJX¡:"'X"gl k

Sl= .....:/:.....-...:..'----- = / - 1 -::::.'Lh/(x/-x.l "11 (fn,)-l n-l ¡ /-/

(3.10)

/ - /

El error de agrupamiento para la varianza se presenta en la ecuación 3.11. Para

calcularlo se debe hallar la varianza de los datos sin agrupar.

(3.11)

Siempre que S #: O

Desviación estándar, para datos agrupados de una variable continua se calcula utilizando la fórmula de la ecuación 3.12.

(3.12)

El error de agrupamiento para la desviación estándar se presenta en la ecuación 3.13. Para calcularlo se debe hallar la desviación estándar de los datos sin agrupar.

(3.13)

Siempre que S #: O

En general, se puede decir que los datos están bien agrupados si el error de agrupación presenta valores menores al 30%, medianamente bien agrupados si éste se encuentra entre 30% y 70% Y un deficiente agrupamiento para errores mayores a 70%, tal como se ilustra a continuación:



0% 30% 70% 100%

Datos bien Datos medianamente Agrupación agrupados bien agrupados deficiente

Mediana, cuando los datos se agrupan en intervalos de clase, la mediana no puede calcularse en forma exacta; sin embargo, si se supone que las observaciones en cada intervalo están distribuidas uniformemente, puede obtenerse una aproximación de la mediana.

El primer paso consiste en localizar el intervalo que contiene el valor de la mediana, es decir, saber dónde se halla el 50% de los datos, o dónde se encuentra la mitad de ellos. La mediana se calcula a través de la ecuación 3.14 utilizando las frecuencias absolutas, o la ecuación 3.15 empleando las frecuencias relativas.

[n 1 --N 2 1-1

Me:: X I _ 1 + ni (L) (3.14)

[O 5 - H 1 M :::: X +' 1-1 /L I

,- I-J h .' '/ 1

(3.15)

Donde:

X;-J Límite inferior del intervalo que contiene el valor de la mediana

n Número de observaciones en el conjunto de datos

X; -1 Frecuencia absoluta acumulada hasta el intervalo anterior a la clase que contiene la mediana

ni Frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana

H¡-l Frecuencia relativa acumulada hasta el intervalo anterior a la clase que contiene la mediana (sin porcentaje)

h¡ Frecuencia relativa del intervalo donde se encuentra la mediana (sin porcentaje)

L Longitud del intervalo donde se encuentra la mediana


.!J

CAPfTULO 3 . DISTRIBUCiÓN DE FRECUENCIAS

Moda, similarmente como se calculó la mediana, la moda se puede estimar a partir de la tabla de distribución de frecuencias. El primer paso consiste en identificar el intervalo donde se encuentra la moda, es decir, el intervalo que tenga la mayor frecuencia absoluta o relativa. Una vez determinado el intervalo modal, la moda se puede estimar a partir de la ecuación 3.16.

(3.16)

Donde:

X; - 1 límite inferior del intervalo que contiene el valor de la moda

dI = I ni - ni-! I diferencia entre la frecuencia absoluta del intervalo modal y la frecuencia absoluta del intervalo precedente.

d] = I ni - nj+ 1I diferencia entre la frecuencia absoluta del intervalo modal y la frecuencia del intervalo siguiente.

L longitud del intervalo donde se encuentra la moda

Si la longitud de los intervalos es igual, se pueden considerar las frecuencias relativas (sin porcentaje), tal como se presenta a continuación:

3.1.2.2 Representación gráfica de las frecuencias para una variable continua

En el caso de una variable continua las gráficas de la distribución de frecuencias tienen nombre específico y juegan un papel protagónico para estimar la tendencia de la distribución poblacional y tienen una fuerte incidencia en los procesos de: inferencia, cálculo de probabilidades, estimación de intervalos de confianza y pruebas de hipótesis, entre otros.

Histograma, es la representación gráfica de los intervalos en el eje X y las frecuencias relativa y absoluta en los ejes YI y y], como se presenta en la Figura 3.5. Con el histograma se puede analizar la tendencia de los datos y es la primera aproximación a la forma de distribución poblacional del conjunto de datos.

Polígono de frecuencias, es la representación gráfica de la marca de clase de cada intervalo en el eje X y las frecuencias relativa y absoluta en los ejes YI y y], como se presenta en la Figura 3.6. Se puede dibujar sobrepuesta al histograma o en forma separada. El polígono de frecuencias permite estudiar la forma de la distribución



de frecuencias, y a partir de la forma se pueden inferir algunas características importantes, tales como la simetría con relación al centro del conjunto de datos.

h,f")

hJ

h,

h ,

hk

X o X, Xl

",

"J

"1 "1 nk

XJ •••••••• Xk

_1

Xk

Variable X

Figura 3.5. Histograma, gráfica de los intervalos de clase vs. las frecuencias absoluta y relativa.

h,(%)

hJ t h1

h'l h

k_

1

hk t

~ "

X/ x/ X' 3

Variable X

~

X/_I

..

x' k

n/

! n3

n1

1 ni n

k_

1

t nk

Figura 3.6. Polígono de frecuencias , gráfica de las marcas de clase vs. las frecuencias relativas y absolutas.



Ojiva es la representación gráfica de cada límite de clase en el eje X y la frecuencia

relativa y absoluta acumulada en los ejes Y¡ Y Yz, como se observa en la Figura 3.7. La ojiva se puede presentar para valores mayores o iguales (a) o para valores menores o iguales al límite superior de cada intervalo (b).

H¡(%)

H¡(%)

HJ=100%

H1

HJ

H4

Variable X

(a) Ojiva, para valores menores o iguales

------e X

k_

J

Variable X

(b) Ojiva, para valores mayores o iguales

Ni

NJ=n

N1

NJ

N4

Figura 3.7 Ojiva, gráfica de los intervalos y las frecuencias relativa y absoluta acumuladas.

ESTADIsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERrA AMBIENTAL CON SPSS 69


A partir de la gráfica de la ojiva es posible obtener en forma aproximada el valor de la mediana. Ésta es el valor que divide la distribución en dos partes iguales, es decir, el 50% de los datos están por encima de la mediana y el 50% de los datos están por debajo de la mediana. Ubicando el valor del 50% en el eje Y, se estima en el eje X el valor de la mediana en forma aproximada, como se presenta en la Figura 3.8.

HJ%)

100% H

K_

J

HJ 50%

H 2

HJ / Xo X J X 2 XJ

Xk

_J X k

Me = valor de la mediana

Variable X

Figura 3.8 Estimación de la mediana a partir de la ojiva.

NI

Nk=n N

k_

J

NJ

N2

N J

Ejemplo 3.2 Los datos de la Tabla 3.4 corresponden a un muestreo de ruido ambiental del nivel de presión sonora (LP) medida en decibeles (dE) en diferentes estaciones de la ciudad de Cali durante el día (LPD) y la noche (LPN).

Como el nivel de presión sonora es una variable cuantitativa continua, se procede a realizar los pasos para construir la tabla de frecuencias, el histograma y la ojiva, tanto para el nivel de ruido en el día y en la noche.

Análisis para el nivel de presión sonora de la ciudad de Cali durante el día (lPO)

El número de intervalos se estima utilizando la ecuación 3.5:

k = 1 + 3,3 19(50) = 6,6::::: 7



Tabla 3.4 Muestras del nivel de presión sonora de ruido medida en decibles (dB) en diferentes estaciones de la ciudad de Cali. (LPD, en el día; LPN, en la noche).

N' dI estlci6n LPD(dB) LPN(dB) N° dllStlci6n LPD(dB) LPN(dB) 1 63,7 56,6 26 65,1 57,6

2 66,9 60,2 27 55,3 47,1

3 66,8 56,0 28 71,3 61,7

4 75,3 72,3 29 72,3 72,8

5 70,8 67,2 30 64,6 54,6

6 75,0 68,3 31 59,6 55,8

7 76,3 67,3 32 70,6 70,7

8 75,0 69,4 33 65,3 60,0

9 71,4 72,3 34 74,0 68,3

10 77,4 70,7 35 74,9 69,9

11 71,6 65,7 36 64,1 59,8

12 70,5 65,1 37 53,3 44,2

13 73,7 65,9 38 62,5 52,7

14 71,0 64,7 39 62,3 56,6

15 56,1 54,1 40 75,4 70,0

16 69,0 63,1 41 61,1 49,6

17 72,1 68,5 42 65,9 57,7

18 74,1 71,0 43 62,6 63,0

19 76,5 71,0 44 50,2 42,0

20 57,3 55,4 45 50,9 44,6

21 71,6 67,4 46 62,0 52,7

22 67,2 63,5 47 64,0 54,4

23 62,3 55,5 48 58,7 50,6

24 69,4 64,5 49 68,2 62,7

25 60,5 60,7 50 61,6 49,1

Es decir, se construirán siete intervalos en la tabla de frecuencias. La longitud de cada intervalo se estima a partir de la ecuación 3.6:

L = X máx -Xmín = 27,2 = 39::::: 4dB k 7'



Esto es, la longitud de cada intervalo será de 4 dB. Considerando que el valor mínimo es de 50,2 dB, se selecciona el menor entero al valor mínimo como el valor de X o,

es decir:

X o=50dB

A partir del valor mínimo se generan los límites superiores de los intervalos:

Xl = Xo + L = 50 + 4 = 54 dB

X2 = X¡ + L = 54 + 4 = 58 dB

X3 = X2 + L = 58 + 4 = 62 dB

X4 = X3 + L = 62 + 4 = 66 dB

X s = X4 + L = 66 + 4 = 70 dB

Xó = X s + L = 70 + 4 = 74 dB

X 7 =Xó +L= 74+4= 78dB

Las marcas de clase se construyen como el valor medio de los intervalos de clase:

X; Xo+X¡ 50+54 = =52dB

2 2

X'= X¡+X2 54+58

2 2 2 =56dB

y así sucesivamente hasta llegar a la última marca de clase:

X; Xó +X7 = 2

74 + 78 = 76dB 2

A partir de los anteriores valores se genera la Tabla 3.5 de distribución de frecuencias. La columna de frecuencias absolutas consiste en contar el número de datos que se encuentra en cada intervalo dentro del conjunto de datos analizado, por ejemplo n¡ = 3, es el número de datos de la muestra que se encuentran en el intervalo [ 50,54 J dB, que en porcentaje, frecuencia relativa, corresponde a h¡ = %0 100% = 6%, es decir, el 6% de los datos se hallan en este intervalo.

El valor de Ns = 29 significa que 29 datos son menores o iguales a 70 dB Y en términos porcentuales representan el 58% de los datos y el valor de H 4 = 46% significa que el 46% de los datos son menores o iguales a 66 dB.



Tabla 3.5. Distribución de frecuencias para el nivel de presión sonora en el día

en la ciudad de Cali.

Número de Porcentaje

Número de datos acumulado de Número Intervalos de Marca acumulados Porcentaje de datos por

del ruido de datos por por intervalo de datos por intervalo intervalo

intarvalo (X¡_oX¡) clasa ruido intervalo de ruido de ruido da ruido k (dB) x.' ; h¡=n¡ln(%) ; , ni N¡=¿n; H¡=¿hl (%)

1-1 ;=1

1 [50,54] 52 3 3 6 6

2 (54,58] 56 3 6 6 12

3 (58,62] 60 6 12 12 24

4 (62,66] 64 11 23 22 46

5 (66,70] 68 6 29 12 58

6 (70,74] 72 12 41 24 82

7 (74, 78] 76 9 50 18 100

-- Totales --- 50 --- 100% ---

La Figura 3.9 presenta el histograma para el nivel de presión sonora en el día en la ciudad de Cali, donde se puede apreciar que las mayores frecuencias se dan en los intervalos de ruido entre (62, 66JdB y (70, 74JdB, con frecuencias relativas del 22% y el 24%, respectivamente. Las menores frecuencias se dan en los intervalos [50,54JdB y (54,58JdB con frecuencias relativas del 6%.

La Figura 3.10 presenta la ojiva, que consiste en graficar los límites superiores de cada intervalo versus los valores de frecuencia relativa acumulada. Aquí se puede analizar que el 46% de los datos tienen niveles de ruido menores o iguales a 66dB y el 82% niveles de ruido menores o iguales a 74dB.



25

~ 20 ~

.~ 15 ji

~ .~ 10 " '" '" ;:s

" 5 r ----1 ~ lt.,

O

50-54 54-58 58-62 62-66 66-70 70-74 74-78

Niveles de ruido LPD (dB)

Figura 3.9 Histograma de niveles de ruido en el día para la ciudad de Cali.

~ 100 ~ i5 90 ..s 80 ;:s § 70 g 60

.~ 50 Ji 40

<\)

~ 30 .~ 20 <ll

78

~ la ~ O~I~~-:~~~--~--~~--~--

54 58 62 66 70 74


Figura 3.10 Ojiva para los niveles de ruido en el día para la ciudad de Cali.

A continuación se presentan algunas medidas de centralidad y dispersión para la medición de ruido en el día.

Como el nivel de presion sonora se mide en dB (decibelios), paraca\cular las medidas de centralidad y dispersión se debe tener en cuenta que para promediar el nivel de presión sonora es necesario utilizar la ecuación 3.17:

- [1 ~ O,I.LP] LP=101og n ~10 (3.17)



Donde:

LP Nivel de presión sonora equivalente.

n Número de mediciones.

LP Nivel de presión.

Es decir, el nivel de presión sonora (LP) no se puede promediar directamente ya que esta medida se encuentra en escala logarítmica. Es necesario entonces utilizar como parámetro la ecuación 3.17. Redefiniendo las ecuaciones 3.8 a la 3.16 con base en la ecuación 3.17 y la información de la Tabla 3.5, se calculan la media, varianza, desviación estándar, mediana y moda.

X ag = 10 /og (-~ L ni. 1 (yO,J)(XiV = 70,9dB -IEagl% = 1

7°':;,;°,9 1 = 0,3%

El valor medio de ruido en el día en la ciudad de Cali es 70,9 dB, el error de agrupamiento es 0,3% para este estadístico, que significa que la tabla de distribución de frecuencias resume muy bien el conjunto de datos.

• S;g = 162,ldB2 -IEagl% = 1159,9 -162,11 % = 1,3% 159,9

• Sag = 12,6dB -1 Eag 1 % = 112, 71~,1/,61 % = 0,7%

La desviación estándar del nivel de ruido durante el día en la ciudad de Cali es 12,6 dB. La distribución de frecuencias representa muy bien la variación del conjunto de datos, con un error de agrupamiento del 0,7%.

La moda estimada a partir de la distribución de frecuencias representa adecuadamente la moda del conjunto de datos, dado que el error de agrupamiento es sólo del 3,1% .

• Me""'67.3dB -lE 1%=167,05-67,31 %=04% - , ag , 67,05



El valor de la mediana estimado con la distribución de frecuencias es un buen indicador de la mediana del conjunto de datos, pues el error de agrupamiento es tan solo del 0,4%.

Análisis para el nivel de presión sonora en la noche (LPNJ

Siguiendo la misma metodología para el análisis de ruido en el día, se realiza la distribución de frecuencias para el nivel de presión sonora en la noche. La distribución de frecuencias se presenta en la Tabla 3.6.

Tabla 3.6 Distribución de frecuencias para el nivel de presión sonora en la noche para la ciudad de Cali.

Intervalos Marca Datos por

Datos Porcentaje acumulado Número de acumulados por Porcentaje de de datos por intervalo

del ruido de intervalo intervalo de ruido datos por interva· de ruido

intervalo (X¡_/J X¡} clase de ruido / lo de ruido /

k x.' N¡=¿n¡ h¡=n¡ln (%) H¡=¿h/(%) (dB)

I n¡

/ - 1 / - 1

1 [42,47} 44,5 3 3 6 6

2 (47, 52} 49,5 4 7 8 14

3 (52, 57} 54,5 11 18 22 36

4 (57,62) 59,5 7 25 14 50

5 (62,67) 64,5 9 34 18 68

6 (67,72) 69,5 13 47 26 94

7 (72, n) 74,5 3 50 6 100

-- Totales -- 50 -- 100% --

La Figura 3.11 presenta el histograma para el nivel de presión sonora en la noche en la ciudad de Cali, donde se puede apreciar que las mayores

frecuencias suceden en los intervalos de ruido entre (52,57]dB y (67, 72]dB,

con frecuencias relativas del 22% y el 26%, respectivamente. Las menores frecuencias se dan en los intervalos (42,47]dB y (72, 77]dB con porcentajes

del 6%, respectivamente.



30

25 ~ ~ .~ 20 .§ ~ 15

.~

" s::: <Il 10 ;os

" ~ ~

5

O

42-47 47-52 52-5 7 57-62 62-67 67-72 72- 77


Figura 3.11 Histograma del nivel de presión sonora, ruido, medido en la noche en la ciudad de Cali.

En la Figura 3.12 se presenta la ojiva, que representa la gráfica de los límites superiores de clase versus los valores de frecuencia relativa acumulada. Donde se puede analizar que el 50% de los datos tienen niveles de ruido menores o iguales a 62dB y el 94% niveles menores o iguales a 72dB.

100 .----. ~ 90

/ ~

~ 80 -S! ;:s 70 ¡;; ;:s

60 " <:s

.~ 50 -S! 40 / ~ .~ 30 t.J s::: <\) ;:s 20 t.J

~ c..:; la .----O

54 58 62 66 70 74 78


Figura 3.12 Ojiva para los niveles de ruido en la noche para la ciudad de Cali.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS 77


A continuación se calculan algunas medidas de centralidad y dispersión para la medición de ruido en la noche; como el nivel de presión sonora se mide en dB (decibelios), para calcular las medidas de centralidad y dispersión se debe tener en cuenta que para promediar el nivel de presión sonora es necesario utilizar la expresión de la ecuación 3.17, y redefinir las ecuaciones 3.8 a la 3.16.

X ag = 10 log (~ ¿ni. 1ffO,J)(XV = 66,7dB _1 Eag 1% = 166,1 - 66, 7 I = 0,9% 66,1

El valor medio de ruido en la noche en la ciudad de Cali es de 66,7 dB Y el error de agrupamiento es de 0,9% para este estadístico, que significa que la tabla de distribución de frecuencias resume muy bien el conjunto de datos.

• S;g = 153,8dBl -lEa 1 % = 1153,3 -153,81 % = 0,3% g 153,3

• Sag = 12,4dB -1 Eag 1 % = 112,31~,~2,41 % = 0,8%

La desviación estándar del nivel de ruido durante la noche en la ciudad de Cali es 12,4 dB. La distribución de frecuencias representa muy bien la variación del conjunto de datos, con un error de agrupamiento del 0,8 %, para este estadístico.

Mo~ 68,4dB

• Me~62dB

_1 Eag 1 % = 156,;;;8,4 1 % = 20%

-IEagl % = 162,2 - 62 62,2 1 % =0,3%

Los valores de la moda y la mediana son menores en las horas de la noche que en las horas del día. El error de agrupamiento de la moda, en este caso, es mucho mayor que el presentado para el nivel de ruido en las horas del día.

Ejemplo 3.3 La producción de basura diaria por vivienda y por habitante en el municipio de Talaigua, departamento de Bolívar, se presenta en la Tabla 3.7.



Tabla 3.7 Datos de producción de basura diaria en el municipio de Talaigua (Bolívar) .

Basura Basura por Vivienda No. de por vivien· habitante No. habitantas da (kg/dial (kg/dial

Basura Basura por Vivienda No. de por vivien· habitante No. habitantas da (kg/dial (kg/dial

1 3 1.70 0,57 20 6 3,93 0,65

2 5 4,51 0,90 21 8 4,06 0,51

3 5 5,14 1,03 22 5 4,29 0,86

4 4 0,95 0,24 23 10 4.71 0,47

5 6 1.73 0,29 24 6 2,59 0,43

6 5 1,08 0,22 25 3 3,87 1,29

7 10 8,55 0,86 26 5 6.75 1,35

8 8 3.73 0,47 27 8 5,83 0.73

9 8 8,87 1,11 28 11 10,65 0,97

10 2 2,72 1,36 29 6 3,72 0,62

11 7 1,01 0,14 30 4 2,18 0,54

12 5 1,80 0,36 31 4 1,97 0,49

13 2 2,26 1,13 32 2 2,09 1,04

14 5 6,39 1,28 33 10 5,00 0,50

15 7 5,43 0.78 34 5 6,44 1,29

16 7 3.71 0,53 35 2 1,14 0,57

17 7 7,86 1.12 36 9 3,39 0,38

18 6 6,67 1,11 37 6 4,12 0,69

19 6 4,44 0.74



Análisis para producción de basura diaria por vivienda

Siguiendo los pasos para construir la tabla de distribución de frecuencias, se presenta

en la Tabla 3.8, la distribución para la producción de basura producida por vivienda

(kgldía).

Tabla 3.8 Distribución de frecuencias para la producción de basura por vivienda

(kg/día)

Datos Porcentaje Intervalos de Marca acumulados Porcentaje de acumulado de

Número basura por de Datos por

por intervalo de datos por datos por intervalo de del vivienda clase intervalo

basura intervalo de basura intervalo

(X¡./1X¡j X.' de basura ; basura ;

k , ni N;=Ln; h;=n;ln(%) H;=Lh¡(%) (kg/día) (kg/día) ;=1 ¡= I

1 rO,2] 1 8 8 21,6 21.6

2 (2,4] 3 11 19 29,7 51,3

3 (4,6] 5 10 29 27,0 78,3

4 (6,8] 7 5 34 13,5 91.8

5 (8,IO] 9 2 36 5A 97,2

6 (lO,12] 11 1 37 2,7 99,9

-- Totales -- 37 -- 100% --

El histograma para la producción de basura por vivienda se muestra en la Figura

3.13, donde se puede analizar que las mayores frecuencias se tienen en los intervalos

(0,2), (2A) Y (4,6) (kg/día), con frecuencias relativas de 21,6%, 29,7% Y 27,0%,

respectivamente. La menor frecuencia se encuentra en el intervalo (10,12) (kg/día),

con un porcentaje del 2,7%.



35

30

~ ~ 25 .~ ... ..!:! ~

20

.S! 15 u ~ ;: u 10 ~

t:.; 5 I O I I

0-2 2-4 4-6 6-8 8 -10 10 - 12

Basura por vivienda (kg/día)

Figura 3.13. Histograma de producción de basura por vivienda en el municipio de Talaigua (Bolívar).

La ojiva se muestra en la Figura 3.14, donde se puede analizar que el 51,3% de los datos son menores o iguales a 4 kg/día por vivienda y el 91,8% de los datos son menores o iguales a 8 kg/día por vivienda.

100

~ 90 ~

~ -Sl

80 ;: 70 t: ;:

60 <.> ~

~ 50 ] ~ 40 .9 30 <.> s.:: 1\) ;: 20 <.>

J: 10

o 2 4 6 8 la 12


Figura 3.14. Ojiva de la producción de basura por vivienda en el municipio de Ta/aigua (Bolívar) .



A continuación se presentan medidas de centralidad y dispersión para la medición

de producción diaria de basura por vivienda en kg/día, estimados a partir de la

distribución de frecuencias.

XQg = 4,2 (kg/día) -IEQgl % = 0%

S:g = 6,4 (kg/día) -IEQgl % = 12,3%

SQg = 2,5 (kg/día) -1 EQg 1 % = 4,2%

Me ~ 3,9 (kg/día) -1 EQg 1 % = 0%

Mo ~ 3,5 (kg/día) -IEQgl % =No existe

El valor medio de producción de basura por vivienda es 4,2 kg/día, con una

desviación de 2,5 kgldía. La mediana y la moda toman valores de 3,9 kgldía y 3,5

kgldía, respectivamente. En general, las distribuciones de frecuencias presentan una

buena agrupación del conjunto de datos, pues se obtuvieron errores de agrupamiento

relativamente pequeños. El error de agrupamiento de la moda no existe, debido a que

en el conjunto de datos no existe moda, a pesar de que este valor se puede estimar

con la tabla de frecuencias.

Análisis para producción de basura diaria por habitante

La distribución de frecuencias para la producción de basura diaria por habitante para

el municipio de Talaigua (Bolívar), se presenta en Tabla 3.9.

El histograma para la producción diaria de basura por habitante del municipio de

Talaigua se presenta en la Figura 3.15, donde se puede analizar que la producción

de basura con mayor frecuencia sucede en el intervalo (O,4-0,6]kg/día, con una

frecuencia relativa del 27%. La producción con menor frecuencia se da en el intervalo

(O-O,2]kg/día con una frecuencia relativa del 2,7%.

La ojiva para la producción de basura diaria por habitante se presenta en la Figura

3.16, donde se puede analizar que el 43,2% de los habitantes tienen una disposición

de basuras menor o igual de 0,6 kgldía, el 70,2% tienen una disposición de basura

menor o igual a 1,0 kg/día y el 86,4% tienen una disposición menor o igual a 1,2

kgldía.



Tabla 3.9 Distribución defrecuencias para la producción de basura por habitante (kg/día).

Número del

intervalo k

1

2

3

4

5

6

7

--

30

~ 25 ~

~ 20

~ 15 ·9

~ 10

~ 5

Intervalos de basur por habitente

(X¡./JX,j (kg/dÚl)

[0-0,2}

(0,2-0,4)

(O, 4-0, 6}

(O, 6-0, 8}

(O,8-l)

(J-l,2)

(J ,2-l ,4)

Totales

Marca de Datos por

clase intervalo

X' de basura 1 ni

(kg/dÚI)

0,1 1

0,3 5

0,5 10

0,7 6

0,9 4

1,1 6

1,3 5

-- 37

Datos Porcentaje

acunwlados Porcentaje de acumulado

por intervalo datos por de datos por inter·

de basura intervalo de valo de

1 basura basura

N¡=Ln¡ ¡

hl=n¡ln(%) H1=Lhl(%) 1- / i - l

1 2,7 2,7

6 13,5 16,2

16 27,0 43,2

22 16,2 59,4

26 10,8 70,2

32 16,2 86,4

37 13,5 99,9

-- 100% --

O +------+------r-----~----~r_----~----~----~ 1-1,2 1,2 -1,4


Figura 3.15 Histograma de producción de basura diaria por habitante para el municipio de Talaigua (Bolívar).



100

~ 90 ~ .g -Sl

80 ;:s 70 E:: ;:s

60 <.;¡ (]

(]

50 .;: ~ 40 ~ .S! 30 <.;¡ s:: ~

20 ;:s

" ~ ~ 10

O 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Basura por vivienda (Kg/día)

Figura 3.16 Ojiva de producción de basura diaria por habitante para el municipio de Talaigua (Bolívar) .

A continuación se presentan medidas de centralidad y dispersión para la medición de basura por habitante en kg/día, estimados a partir de la distribución de frecuencias.

X ag = 0,7 (kg/día)

S:g = 0,1 (kg/día)

Sag = 0,3 (kg/día)

Me;:;; 0,7 (kg/día)

Mo ;:;; 0,5 (kg/día)

-IEagl%=O%

-IEagl%=O%

-IEagl%=O%

-IEagl%=O%

-lE 1%=10,6-0,51=167% ag Q 0,6 '

El valor medio de la producción de basura por habitante es 0,7 kg/día, con una desviación de 0,3 kg/día. La mediana y la moda toman valores de 0,7 kg/día y 0,5 kg/día, respectivamente. En general, la distribución de frecuencias presenta una buena agrupación del conjunto de datos, pues se obtuvieron errores de agrupamiento iguales a cero, excepto para el valor de la moda.


CAPíTULO 3 - DISTRIBUCiÓN DE FRECUENCIAS

3.1.2.3 Asimetría y nivel de apuntamiento de las gráficas de frecuencias

La suavización de los polígonos de frecuencias muestrales son una aproximación a la curva de frecuencias poblacional; esta aproximación es más precisa a medida que aumenta el tamafio de la muestra. La Figura 3.17 muestra diversas formas de tendencia de los datos, generadas a través de las curvas del polígono de frecuencias.

a) Simétrica o normal

d) En forma de J

g) Bimodal

b) Sesgada a la derecha (sesgo positivo)

e) En forma de J invertida

h) M ultimodal

c) Sesgada a la izquierda (sesgo Negativo)

v j) En forma de U

i) Rectangular o uniforme

Figura 3.1 7 Diagramas de distribución para una variable continua (Spiegel, 1970).

(a) Curva de frecuencias simétricas. Se caracterizan porque las observaciones que equidistan el máximo central tienen la misma frecuencia. Curva normal.

(b) Curva sesgada a la derecha (sesgo positivo). La cola de la curva a un lado del máximo central es mayor que al otro lado. Si la cola



mayor se presenta a la derecha de la curva se dice que está sesgada

a la derecha o sesgo positivo. (e) Curva sesgada a la izquierda (sesgo negativo). Si ocurre lo contrario

se dice que la curva está sesgada a la izquierda o sesgo negativo. (d) Curva en forma de J. El máximo se presenta en un extremo. (e) Curva en forma de J invertida. El mínimo se presenta en un

extremo. (f) Curva en forma de U. Tienen el máximo en ambos extremos. (g) Curva bimodal. Tiene dos máximos. (h) Curva multimodal. Tiene más de dos máximos. (i) Rectangular o uniforme.

Dos medidas ayudan a caracterizar una curva de frecuencias : el grado de asimetría, medido por el indicador de sesgo, y el grado de apuntamiento de la curva, medido por el coeficiente de curtosis.

Sesgo, es el grado de asimetría o falta de simetría de una distribución. Una curva es simétrica si las observaciones son equidistantes con el valor máximo central de la curva. Si el polígono de frecuencias de una distribución tiene una cola más larga a la derecha del máximo central que a la izquierda, la distribución se llama asimétrica positiva o sesgada a la derecha o que tiene sesgo positivo. En el caso de que la distribución tenga una cola más larga a la izquierda, la distribución se llama asimétrica negativa o sesgada a la izquierda o que tiene sesgo negativo. El sesgo o nivel de asimetría de una distribución se puede estimar a partir de la ecuación 3.18.

asimetría = A = medía - moda s s

(3.18)

Aquí, s es la desviación estándar de la muestra.

El nivel de sesgo o asimetría presenta las siguientes interpretaciones:

• Cuando es igual a cero, la simetría es perfecta; la curva presenta forma de campana o distribución normal.

• Cuando el valor es cercano a 0,1, indica una distribución de frecuencias ligeramente asimétrica.

Si el valor es mayor que 0,1, indica una distribución de frecuencias con asimetría

notoria.

• El signo positivo indica una asimetría con cola hacia la derecha.



• El signo negativo indica una asimetría con cola hacia la izquierda.

Un valor aproximado de la moda será el valor más alto de la curva del polígono de frecuencia. Una curva de frecuencia puede tener más de una moda, sin embargo, en

la mayoría de las aplicaciones relacionadas con las investigaciones experimentales

son raras las distribuciones que tienen más de una moda. La presencia de dos o más modas significa generalmente que los datos no son homogéneos o que se han

combinado dos o más distribuciones distintas.

Si la distribución es unimodal y simétrica, entonces la media, mediana y moda serán

iguales entre sÍ. Un ejemplo de esto es la curva con forma de campana o normal.

Cuando la distribución es asimétrica, la media y la mediana no serán iguales. Así, en el caso de una distribución asimétrica en forma negativa o sesgada negativamente, la media será menor que la mediana. Con una curva asimétrica en forma positiva

o sesgada positivamente, la media será mayor que la mediana, tal como se observa en la Figura 3.18.

M =M =X o •

As=O (a)

M <M <X o •

As>O (b)

X<M<M • o

As <O (e)

Figura 3.18. Opciones de asimetría presentadas en una distribución de frecuencias.

(a) Asimetría perfecta; distribución normal (b) Asimetría positiva, cola hacia la derecha, sesgo positivo (e) Asimetría negativa, cola hacia la izquierda, sesgo negativo

Coeficiente de curtosis, es el grado de apuntamiento de una distribución, este se toma

generalmente con relación a la distribución simétrica o curva normal; una distribución que presenta un apuntamiento relativamente alto se llama leptocúrtica;una distribución achatada se llamaplaticúrtica y la distribución normal o acampana con relación al centro se llama mesocúrtica. Una medida del coeficiente de curtosis se emplea utilizando la ecuación 3.19.



" ¿(X¡-Xl curtosis =k

1-/ (3.19) ns4

Donde s es la desviación estándar y n el número de datos en la muestra.

Este índice presenta la siguiente interpretación:

Cuando es igual a 0,263, se dice que es una distribución mesocúrtica o distribución

normal.

Cuando es mayor que 0,263 se dice que es una distribución leptocúrtica.

Cuando es menor que 0,263 se dice que es una distribución platicúrtica.

Para las distribuciones no normales que tienen un gran apuntamiento, la mediana

puede ser una medida de centralidad más fiable que la media, y entonces resulta

preferible. En la Figura 3.19 se presentan las diversas opciones del coeficiente de

curtosis.

k=0,263 (a) Mesoeúrtiea:

distribución normal

~ k < 0,263

(b) Platieúrtiea: distribución achatada

k> 0,263 (e) Leptoeúrtiea:

distribución apuntada

Figura 3.19 Clasificación del nivel de apuntamiento de una curva a través del coeficiente de curtosis.

Intervalos para la media. Para una distribución aproximadamente normal se pueden

estimar intervalos con relación a la media y la desviación estándar, como se ilustra

a continuación:

f.I. ± a : contiene aproximadamente el 68% de los datos.

f.I. ± 2a: contiene aproximadamente el 95% de los datos.

f.I. ± 3a: contiene aproximadamente el 99 % de los datos.


CAPrTULO 3 - OISTRIBUCIÓN OE FRECUENCIAS

Con datos muestrales los intervalos son:

X ± S ~ Contiene aprox. el 68% de los datos.

X ± 2S ~ Contiene aprox. el 95% de los datos.

X ± 3S ~ Contiene aprox. el 99% de los datos.

Gráficamente se ilustran estos intervalos en la Figura 3.20.

¡.L-3O ¡.L-20 ¡.L-o

\.

\.

\.

I I I I I I I I I I ._0-;

¡.L ¡.L

) Y 68%

Y 95%

Y 99%

o I

¡.L+20

)

Figura 3.20 Intervalos para la media en una distribución normal.

3.2 Distribuciones bidimensionales de frecuencia

I ¡.L+3O

)

En este caso se analiza la distribución de frecuencias de dos variables simultáneamente. Se estudia el caso donde las dos variables son discretas o continuas, pero no la combinación de ellas.

3.2.1 Distribución bidimensional en variables discretas En este caso se considera que las dos variables en análisis son de carácter discreto. La distribución de frecuencias consiste en elaborar una tabla de dos entradas, donde se

ESTAOrSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERrA AMBIENTAL CON SPSS 89


colocan en la primera fila los valores diferentes de la primera variable y en la primera columna los valores diferentes de la segunda variable; en ambos casos los valores de cada variable deben ser diferentes y estar ordenados en forma ascendente. En la Tabla 3.10 se presenta la distribución bidimensional para dos variables discretas.

Tabla 3.10 Frecuencia bidimensional para variables discretas.

~ Y, y] Y3 Yk-/ Y, Frecuencias

VIfiBbII x · .. margina/es de X

X, nll n,z n'3 n/,k _1 n"k n,. hll h/2 h'3

· .. hlk

_ 1 h"k h,.

X2 n21 n2Z nZ3 nZ,k- 1 nz,' nz. hZI hzz hZ3

· .. hU _1 hu hz.

X3 n31 n3Z n33 n3,k_1 nu n3. h31 h3Z h33

· .. hU _1 hu h3.

Xp" np_u np _I,z np_I,3 np _ /,k - I np _I,k np_l" h._u h. _ 1.2 h. _I,3

· .. h. _lk _1 h. _u h. _l .

Xp npl npz np3 np,k_1 npk np. hnl hoz h3

· .. h.,k_1 h.k h •.

Frecuencias n, nz n3 n,k_1 n.k n-n margina/es de Y h , h.z h3

· .. h,k_1 hk h .• 100"

En este caso cada frecuencia absoluta, nij' es el número de datos que presentan los valores Xi y lj, simultáneamente.

Por ejemplo, n]3 es el número de datos que toman los valores X] y Y3' simultáneamente. n34 es el número de datos que tienen los valores de X3 y Y4, simultáneamente.

Así mismo se pueden hallar las frecuencias absolutas marginales, que son equivalentes al análisis de las variables unidimensionales o de una variable independiente de la otra y se denota por ni. para la variable X y nj . para la variable Y.

Por ejemplo, n3. es el número de datos que toman el valor de X3 para cualquier valor de la variable Y y es equivalente a la expresión:

k

n3.=n3/+n31 + ...... +n3k = L n3j j = /

n.4 es el número de datos que toma el valor de Y4 para cualquier valor de la variable X y es equivalente a la expresión:


/


n.4+ n 14 + nu+ ...... + np4 = f nu ; = 1

En la tabla de frecuencias se deben verificar las siguientes expresiones:

n./+n.l +n.3+ ...... +n.k =

De forma similar:

k

~n .=n ~ .J j = /

p

~n. =n ~ l .

i = /

Donde n es el número total de datos considerados en el estudio.

De modo similar se procede para el cálculo de las frecuencias relativas, recordando que estas son el cociente entre la frecuencia absoluta sobre el total de datos. También se pueden calcular las frecuencias relativas con relación al número de datos de las filas o al número de datos de las columnas.

Cada frecuencia relativa, hij' es el porcentaje de datos que presentan los valores Xi

y lj, simultáneamente.

Por ejemplo, h23 es el porcentaje de datos que toman valores de Xl y Y3,

simultáneamente. h34 es el porcentaje de datos que tienen valores de X 3 y Y4,

simultáneamente.

Así mismo se pueden hallar las frecuencias relativas marginales, que son equivalentes al análisis de las variables unidimensionales o de una variable independiente de la otra y se denotan por h. para la variable X y h.j para la variable Y.

Por ejemplo, h3. es el porcentaje de datos que toman el valor de X 3 para cualquier valor de la variable Y y es equivalente a la expresión:

k

h3.=h3/+h3Z + ...... +h3k = ¿h3j j = /

h.4 es el porcentaje de datos que toman el valor de Y4 para cualquier valor de la variable X y es equivalente a la expresión:

h.4= h/4+ hu+ ...... + hp4 = f hu i = /



Para las frecuencias relativas se deben verificar las expresiones: k

De forma similar:

h. l + h.Z + h.3+ ...•.• + h.k= ¿hj= 1 Ó 100% j = 1

h l. + h z. + h3. + ...... + hp. = f h L = 1 Ó 100% ; = 1

h ll + h 12 + h13+ ••..•. + hpl + hpz +···· + hpk=f "ihij= 1 Ó 100% ; = 1 j = 1

También es posible calcular las frecuencias acumuladas absolutas y relativas, Nij y

Hij' considerando los criterios anteriores y la definición de cada una de ellas.

En la Figura 3.21 se muestra la representación gráfica de una distribución bidimensional para variables discretas. En este caso se deben graficar en el espacio tridimensional; dos dimensiones para las variables X y Y, Y otra para las frecuencias relativas o absolutas. La gráfica se realiza levantando sobre cada punto del plano XY, es decir (Xi' Yj ), un segmento vertical de longitud igual a nij para la frecuencias absolutas o hij para las frecuencias relativas.

n, (h,J

I I Y, x, Ix: x .. 1( I A,A X,/ x

y, 7 1/ / y, / '. / / / / 11 / /

/ / / / / / y , / / / / / /

y

Figura 3.21 Gráfica de distribución defrecuencia bidimensional para dos variables discretas,



3.2.2 Distribución bidimensional para variables continuas Para el caso de dos variables continuas se deben realizar intervalos tanto para la variable X como para la variable Y. En este sentido los intervalos se pueden definir por experiencia de los investigadores o se pueden construir siguiendo los pasos recomendados para la definición de intervalos de una variable continua del caso unidimensional.

En la Tabla 3.11 se presenta la distribución de frecuencias bivariadas para dos variables continuas ( X Y Y). En la primera columna se colocan los intervalos de la variable X y en la primera fila se colocan los intervalos de la variable Y, o viceversa.

Tabla 3.11 Frecuencia bidimensional para dos variables continuas.

~ [Yo. V,I IY,.Y21 IY2.Y31 (YK.,.YKI Frecuencias

Variable X · .. marginales de X

[X •• Xd n11 n12 n13 n1K n1. h11 h12 h13

· .. h1K h1.

IX1• X21 n21 n22 n23 n2K n2. h21 h22 h23

· .. h2k h2.

IX2• X31 n31 n32 n33 n3K n3. h31 h32 h33

· .. h3K h3.

IXp.1• Xpl np1 np2 np3 npK np. hp1 hp2 hp3

· .. hpK hp.

Frecuencias n' l n'2 n'3 n'K n .. -n marginales de V h' l h'2 h'3

· .. h'K h .. -100%

Las frecuencias absolutas nij consisten en el número de datos que se encuentran en los intervalos ( X i_l , XJ y ( lj-l' lj], simultáneamente.

Por ejemplo, n l3 es el número de datos que se dan en los intervalos (Xl' Xl] Y ( YH Y3 ] simultáneamente. n34 es el número de datos que tienen los intervalos (Xl' X 3] y (Y3, Y4] simultáneamente.

Así mismo, se pueden hallar las frecuencias absolutas marginales, que son equivalentes al análisis de cada una de las variables unidimensionales o de una variable independiente de la otra y se denota por ni. para la variable X y n.j para la variable Y.



Por ejemplo, n3. es el número de datos que hay en el intervalo ( X] ,X3 J, independientemente de los intervalos de la variable Y. Es equivalente a la siguiente expresión:

k

n3• = n31 + nn+ ...... + n3k = ¿ n3j j=/

n." es el número de datos que hay en el intervalo (Y3, Y J, independientemente de los intervalos de la variable X. Es equivalente a la expresión:

p

n.4=n14 +nu + ...... +np"= ¿ni" i = I

En la tabla de frecuencias se deben verificar las expresiones:

n.l = n.] + n.3 + ...... + n.k = k

~n .=n ~ ./ j=1

p

nI + n] + n3 + ...... + n = ~ n· = n . .. p. ~ L

i = 1

De forma similar:

n 11 + n J] + n /3 + ...... + np / + np ] + .... + npk = f f nij = n i=1 j = 1

Donde n es el número total de datos considerados en el estudio.

De forma similar, se procede para el cálculo de las frecuencias relativas, recordando que son el cociente entre la frecuencia absoluta sobre el total de datos. También se pueden calcular las frecuencias relativas en cuanto al número de datos de las filas o al número de datos de las columnas.

Cada frecuencia relativa hij consiste en el número de datos que se encuentran en los intervalos ( X i_l , XJ Y ( lJ-l' lJJ, simultáneamente.

Por ejemplo, h]3 es el porcentaje de datos que toman valores entre (XI' Xzl Y ( y] , Y3J simultáneamente. h]3 es el porcentaje de datos que tienen valores entre ( X]' X 3J y ( Y3 , Y"J, simultáneamente.

Así mismo, se pueden hallar las frecuencias relativas marginales, que son equivalentes al análisis de las variables unidimensionales o de una variable independiente de la otra y se denota por h i. para la variable X, y hj para la variable Y.



Por ejemplo, h3' es el porcentaje de datos que toman valores entre ( X2, X3] para cualquier valor de la variable Y. Es equivalente a la siguiente expresión:

k

h3.=h3/+h32+······ +h3k= ¿h3j j = /

h.4 es el porcentaje de datos que toman valores entre (Y3' y J para cualquier valor de la variable X. Es equivalente a la expresión:

h.4 = hl4+ hu+ ...... + hp4 = f hu ; = /

En la tabla de frecuencias se deben verificar las expresiones:

k

h./ + h.2 + h.3 + ...... + h.k = ¿ h.j = 1 Ó 100% j = /

h/. +h2. +h3. + ...... +hp. = fh¿ = 1 Ó 100% ; = /

De forma similar:

P k

hlJ +hll +h/3 + ...... +hp1 +hp 2 + .... +hpk = ¿¿hij = 1 Ó 100% i=l j =l

También es posible calcular las frecuencias acumuladas absolutas y relativas Nij y Hij, considerando los criterios anteriores y la definición de cada una de ellas.

La Figura 3.22 muestra la representación gráfica de una distribución bidimensional para variables continuas. En este caso se deben graficar en el espacio tridimensional; dos dimensiones para las variables X y Y Y otra para las frecuencias relativas o absolutas. En el caso unidimensional las frecuencias se representan por áreas de rectángulos en el histograma, ahora en el caso bidimensional, las frecuencias se representan por volúmenes de paralelepípedos en el denominado estereograma.



n¡(h)

/ / / /

¿:. f- / / ~

/ / V / V /

/ / / /

h "XI Xl XJ / .~ I Xl ....

YI / / / V 1/ ,. 1/ / / /

x

YJ / 1/ 1/ / / / 1/ 1/ V / /

,/ / V / / / / / / / / /

y

Figura 3.22 Estereograma, gráfica de distribución bidimensional de frecuencia para dos variables continuas.


CAPíTULO

4 Medidas y gráficas de posicion

Las medidas de tendencia central y dispersión presentan limitaciones cuando se desea realizar análisis con respecto a la posición que ocupan los datos; por tal razón surgen las medidas de posición que se usan para describir la posición que tienen un valor específico en relación con el resto de datos. Estas medidas sintetizan las distribuciones de frecuencias e indican qué porcentaje de datos, dentro de una distribución, hay antes o después de un valor determinado.

Las medidas de posición más utilizadas en estadística son los cuartiles, deciles y percentiles:

Cuartiles: Dividen la distribución en 4 partes iguales; existen 3 cuartiles: primero, segundo y tercer cuartil.

Deciles: Dividen la distribución en 10 partes iguales; existen 9 deciles: primero al noveno decil, son también llamados cuantiles.

Percentiles: Existen 99 percentiles que dividen una distribución en 100 partes iguales: primero al noventa y nueve percentil, también se llaman centiles.

A continuación se describe la forma de estimar cada una de estas medidas, las cuales se pueden calcular para datos agrupados y datos sin agrupar. También es posible estimarlos a partir de la ojiva



4.1 Cuartiles Los cuartiles son los valores que dividen un conjunto de datos que previamente han sido ordenados en forma creciente, en cuatro partes iguales. Existen tres cuartiles que se denominan Q/ , Q2 y Q3 y presentan las siguientes características:

Q/ : Es el valor de la variable donde el 25% de los datos es menor que este valor y el 75% de los datos es mayor que él. Q2: Es el valor de la variable donde el 50% de los datos es menor y el 50% de los datos es mayor que este valor. Coincide con el valor de la mediana. Q3: Es el valor de la variable donde el 75% de los datos es menor que él y el 25% de los datos es mayor que este valor.

• Entre los valores Q/ y Q3 se encuentra el 50% de los datos.

Entre dos cuartiles consecutivos se encuentra un 25% de los datos, tal como se observa en la Figura 4.1.

25% 25% 25% 25%

mín. Ql Q2 Q3 máx.

Datos ordenados en forma creciente

Figura 4.1 Esquema gráfico de la ubicación de los cuartiles en una distribución.

Cuartiles para datos sin agrupar, en este caso se deben ordenar los datos de forma creciente. El cálculo de los cuartiles se debe realizar considerando diferentes opciones de acuerdo con el número de datos. Generalmente los textos presentan que el cuartil

.. Xn+Xn uno, Q¡, se puede calcular como X n + / SI n es Impar o 4 4+ / SI n es par y que 4 2

. . X 3n +X3n . el cuartll tres, Q3' se puede calcular como X3 (n + /) SI n es par o 7 7+ / SI n

4 2

es impar, pero estas fórmulas no funcionan en todos los casos. (El lector puede verificarlo con los ejemplos que se muestran en este capítulo).

98 ESTAOlsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS

CAPITULO 4 - MEDIDAS Y GRÁFICAS DE POSICiÓN

Después de un detallado análisis de las posibilidades para el cálculo de los cuartiles

se llega, en este libro, a las fórmulas generales que permiten estimar estos valores en forma precisa. El cuartil dos, Q;z, sólo depende del valor de paridad que toma n, mientras que para el cálculo del cuartil uno, Qb y el cuartil tres, Q3' deben considerarse

adicionalmente otros argumentos, como la paridad de ; o de n ~ 1 .

Para el cálculo de los cuartiles los datos deben estar ordenados en forma ascendente, los valores repetidos deben considerarse en el conjunto de datos. Las diferentes opciones para el cálculo de cuartiles se presentan en las siguientes ecuaciones:

• Si n es impar: Q;Z=X"+I ;z

S. n+l 1 --2- es par:

Si n + 1 es impar: QI =X"+3 2 4

Q3 = X3" +J 4

X"+X,, - -+1

Q1= 12

1 • Si n es par:

Si !!. es par: 2

Si n es impar: 2

3X" +X" -+1 -QI= 4 4 4 O, 75X" + 0,25X" -¡+I -¡

O, 75X" + 1 + 0,25X" + 6 4 4

3XJ" +1 + X3"-1

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

4 4 Q3 =---=--4-~- = 0,75XJ"+1 + 0,25X311 _1 (4.10)

4 4



Ejemplo 4.1 Se tienen los datos de Demanda Química de Oxígeno (DQO) en mg/l, en el efluente de una planta de tratamiento anaeróbico para agua residual tipo UASB (Upflow Anaerobic Sludge Blanket), la serie de datos ordenados en forma creciente se presenta a continuación:

110; 126; 135; 145; 152; 155; 160; 181; 191; 191; 200; 208; 216; 257; 260; 312; 315,: 320 y 320 (mg/l) .

Considerando que el número de datos es impar, n=19, y que n ~ 1 10

es un número par, se utilizan las ecuaciones 4.1,4.2 Y 4.3 para el primero, segundo y tercer cuartil, respectivamente, tal como se presenta a continuación:

X S +X6 Q/ = 2 0,5Xj + 0,5X6 = 0,5( 152) + 0,5( 155) = 153,5 mg / I

Es decir, el 25% de los datos son menores que 153,5 mg/l y el 75% de los datos superan este valor en el efluente de DQO en la planta UASB.

Q2=X/o=191 mg/I

Donde el 50% de los datos son menores que 191 mg/I y el 50% de los datos supera este valor. Es el valor de la mediana.

X U +X/5 Q3 = 2 = 0,5Xu + 0,5X/5 = 0,5( 257) + 0,5( 260) = 258,5 mg / I

Significa que el 75% de los datos es menor que 258,5 mg/l y e125% de los datos supera este valor en el efluente de DQO en la planta UASB.

Cuartiles para datos agrupados: En este caso se considera que los datos están agrupados en una tabla de frecuencias y se debe ubicar el intervalo donde se encuentre cada uno de los cuartiles. Los cuartiles se pueden calcular a través de la ecuación 4.11 si se utilizan las frecuencias relativas, o con la ecuación 4.12 si se utilizan las frecuencias absolutas.

Q. =x + (0,25k-H ) 1-/ 2 1- / (L) (4.11)

Q. =X¡-/ + (knl4 -N1_/) n (L) 1

(4.12)


CAPiTULO 4 - MEDIDAS Y GRÁFICAS DE POSICiÓN

Donde:

k : Valor del k-ésimo cuartil a ser calculado (k = 1, 2 Ó 3)_

X¡ _/: Límite inferior del intervalo que contiene el valor cuartiL

n : Número de observaciones.

H¡ - 1: Frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior al que contiene el cuartil (sin porcentaje).

h¡ : Frecuencia relativa del intervalo donde se encuentra el cuartil (sin porcentaje).

N¡ - 1: Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al que contiene el cuartiL

n¡ : Frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el cuartiL

L : Longitud del intervalo donde se encuentra el cuartiL

Ejemplo 4.2 Considerando la Tabla 4.1, donde se presenta la distribución de

frecuencias para la variable nivel de presión sonora en el día, ruido, tomada en

diferentes estaciones de la ciudad de Santiago de Cali, se procede a estimar los

cuartiles para datos agrupados. (Esta tabla es equivalente a la Tabla 3.5).

Tabla 4.1 Distribución de frecuencias para la presión sonora en el día (LD).

Porcentaje Datos acumula- acumulado

Marca Datos por dos por Porcentaje de de datos

Número Intervalos de de datos intervalo de de intervalo de por

del ruido clase ruido por intervalo intervalo (X,-" X,} X' ruido ¡ intervalo de ruido

k (dB) ¡

N/=¿n¡ de ruido

(dB) ni /

/ - 1 h¡=n;ln (%)

H¡=¿h¡(%) ¡- I

1 [50,54J 52 3 3 6 6 2 (54,58J 56 3 6 6 12 3 (58,62J 60 6 12 12 24 4 (62,66J 64 11 23 22 46 5 (66,70J 68 6 29 12 58 6 (70,74J 72 12 41 24 82

7 (74,78J 76 9 50 18 100 .... Tota/es ..... 50 . .... 100% .....



A partir de la tabla de distribución de frecuencias se utiliza la fórmula de la ecuación 4.11, para el cálculo de los cuartiles:

• Primer cuartil

Se encuentra en el cuarto intervalo, considerando que los datos hasta allí son menores o iguales que 46% y el tercer intervalo contiene el 24% de los datos, según la columna de frecuencia relativa acumulada. El primer cuartil es el valor que genera el 25% de los datos menores que él. Por lo tanto, se generan los siguientes valores:

n = 50; k = 1; X3 = 62 dB; H3 = 24% = 0,24; h4 = 22% = 0,22; L = 4

Entonces:

( 0,25 - 0,24) (4) = 62,2 dB Q¡ = 62 + 0,22

Significa que e125% de los datos es menor que 62.2 dB Y el 75% de los datos supera este valor.

• Segundo cuartil

Se encuentra en el quinto intervalo, considerando que los datos hasta allí son menores o iguales que 58% y en el cuarto intervalo los datos son menores o iguales al 46%, según la columna de frecuencia relativa acumulada, presentándose los siguientes valores:

n = 50; k = 2; X 4 = 66 dB; H4 = 46% = 0,46; hs = 12% = 0,12; L = 4

Entonces:

( 0,50 - 0,46) (4) = 67,3 dB Ql = 66 + 0,12

Es decir, el 50% de los datos es menor que 67,3 dB Y el 50% de los datos supera este valor. Coincide con el valor de la mediana.

• Tercer cuartil

Se encuentra en el sexto intervalo, pues los datos hasta allí son menores o iguales al 82%, según la columna de frecuencia relativa acumulada. Por lo tanto, se generan los siguientes valores:

n = 50; k = 3; X s = 70 dB; Hs = 58% = 0,58; hó = 24% = 0,24; L = 4

Entonces:

(0,75 - 0,58) (4) = 72,8 dB Q3 = 70 + 0,24



Significa que el 75% de los datos es menor que 72,8 dB Y e125% de los datos supera este valor.

4.2 Deciles Los deciles son los valores que dividen el conjunto de datos, ordenados en forma creciente, en diez partes iguales. Existen nueve deciles que se denominan DI' D2J ••• ,

D9' Cada decil representa el! 0% del total de los datos y entre dos deciles consecutivos se encuentra un 10% de los datos, tal como se presenta en la Figura 4.2. El cálculo de los deciles se puede realizar para variables no agrupadas y variables agrupadas.

Datos ordenados en forma creciente

Figura 4.2 Esquema gráfico de los valores deciles de una distribución.

Deciles para datos sin agrupar, en este caso se deben ordenar los datos en orden

creciente. Si se considera el conjunto de datos ordenados XI' X]' X]' •••••••••••• X" _1 , X" los deciles se pueden estimar a partir de la ecuación 4.13.

10 D= ¡

X ...

k Xk(It+I)

10

si n es par

si n es impar

Donde k es el número del decil a calcular.

(4.13)

Ejemplo 4.3 Para los datos del ejemplo 4.1, sobre la Demanda Química de Oxígeno (DQO) en el efluente de una planta de tratamiento anaeróbico para agua residual tipo UASB (Upflow Anaerobic Sludge Blanket):

110; 126; 135; 145; 152; 155; 160; 181; 191; 191; 200; 208; 216; 257; 260; 312; 315; 320 Y 320 (mg/l).

Se calculan a continuación los deciles del conjunto de datos (n=19):

DI = X I (II+I) = X] = 126 mg / 1 10



D 2 =X2 (fI+l) =X4 = 145 mg / I lO

DJ =XJ(fI+l) =X6 = 155 mg / I 10

D 4 =X4 (n+I)=Xa=181 mg/I lO

D s = Xs (fI + 1) = X IO = 191 mg / I 10

D 6 = X 6 (fI + 1) = X 12 = 208 mg / I 10

D 7 =X7(fI+l) =X14 = 257 mg / I 10

Da =Xa(fI+l) =X16 = 312 mg / I lO

D9 =X9(fI+l) =Xla =320 mg/I 10

El decil 3, DJ , significa que el 30% de los valores es menor que 155 mg/l y el 70% de los datos supera este valor.

El decil5, Ds, significa que el 50% de los datos es menor que 191 mg/l y el 50%

de los datos supera este valor.

El decil 9, D 9 , significa que el 90% de los datos es menor que 320 mg/l y el1 0%

de los datos supera este valor.

Deciles para datos agrupados: En este caso se considera que los datos están agrupados en una tabla de frecuencias y se debe ubicar el intervalo donde se encuentre cada uno de los deciles a estimar. Los deciles se pueden calcular a través de la ecuación 4.14, si se utilizan las frecuencias relativas, o con la ecuación 4.15, si se utilizan las frecuencias absolutas.

D =x. + (O,lk-HI _ I ) (L) k ,-1 h

I

(4.14)

D =X + (knll0-N¡ _/ ) (L) k 1- /

ni (4.15)



Donde:

k : Valor del k-ésimo decil a ser calculado. (k = 1,2, 3, 4, .... , 9)

X¡ _I : Límite inferior del intervalo que contiene el valor decil.

n : Número de observaciones en el conjunto de datos.

H¡ _I : Frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior al que contiene el decil (sin porcentaje).

h¡ : Frecuencia relativa del intervalo donde se encuentra el decil (sin porcentaje).

N¡_ I : Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al que contiene el decil.

n¡ : Frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el decil.

L : Longitud del intervalo donde se encuentra el decil.

Ejemplo 4.4 Considerando los datos del ejemplo 3.2 y la tabla de distribución de frecuencias 4.1, donde se presentan las frecuencias de la variable nivel de presión sonora de ruido medido en decibeles (dB), para diferentes estaciones de la ciudad Santiago de Cali, en el día. Se calculan a continuación los deciles D¡, DsY D", utilizando la ecuación 4.14.

• Primer decil

Se encuentra en el segundo intervalo, debido a que los datos hasta allí son menores o iguales al 12%, según la columna de frecuencia relativa acumulada y el primer decil es el valor que genera el 10% de los datos menores que él. Por lo tanto, se generan los siguientes valores:

n = 50; k = 1; XI = 54 dB ; HI = 6% = 0,06; h} = 12% = 0,12; L = 4

Entonces:

D =X + [0,1(l)-H¡J (L) I I h

1

D = 54 + [ 0,1 - 0,06 J = 553 dB 1 0,12 '

Es decir, el 10% de los datos es menor que 55,3 dB Y el 90% de los datos supera este valor.



• Quinto decil

Se encuentra en el quinto intervalo, debido a que los datos hasta allí son menores o iguales al 58%, según la columna de frecuencia relativa acumulada y el quinto decil es el valor que genera el 50% de los datos menores que él. De esta manera se generan los siguientes valores:

n = 50; k = 5; X 4 = 66 dB; H 4 = 46% = 0,46; h5 = 12% = 0,12; L = 4

Entonces:

D =66+ (0,50-0,46) (4)=6~3dB 5 0,12 '

Es decir, el 50% de los datos es menor que 67,3 dB Y el 50% de los datos supera este valor. Coincide con el valor de la mediana.

• Noveno decil

Se encuentra en el séptimo intervalo, pues los datos hasta allí son menores o iguales al 100%, según la columna de frecuencia relativa acumulada, y el noveno decil es el valor que genera el 90% de los datos menores que él. Por lo tanto, se generan los siguientes valores:

n = 50; k = 9; Xó = 74 dB; Hó = 82% = 0,82; h7 = 18% = 0,18; L = 4

Entonces:

D = 74 + (0,9 - 0,82) (4) = 758 dB 9 0,18 '

Significa que el 90% de los datos es menor que 75,8 dB Y el 10% de los datos supera este valor.

4.3 Percentiles Los percentiles son aquellos valores que dividen los datos ordenados de forma creciente, en cien partes iguales. Existen noventa y nueve percentiles que se denotan por P¡, P2 , ....... oo. , P99 , donde cada percentil representa el 1 % del total de los datos.

El percentil 1, PI> supera el uno por ciento de los valores y es superado por el 99% de los datos restantes. El percentil 95, P95 , supera el 95% de los datos y es superado por el 5% de los datos. Pk : Percentil k-ésimo, es aquel valor de la variable que deja a su izquierda el k% de la distribución.



Percentiles para datos sin agrupar, en este caso se deben ordenar los datos en forma creciente. Si se considera el conjunto de datos ordenados XI' X 2 , X 3 , •••••••••••• X n _ l' X n , los percentiles se pueden calcular a través de la ecuación 4.16.

¡x ...

lOO P=

Ir XIr(If+J) 110

si n espar

si n es impar

Donde k es el número del percentil a calcular.

(4.16)

Ejemplo 4.5 Para los datos del ejemplo 4.1, sobre la Demanda Química de Oxígeno (DQO) en el efluente de una planta de tratamiento anaeróbico para agua residual tipo UASB (Upflow Anaerobic Sludge Blanket):

Se calculan a continuación los percentiles 35, 80 Y 95.

P 35 =X35 (n+J) =X7 = 160 mg /1 100

Pao =Xao(n +l) =X16 = 312 mg /1 100

P95 =X95 (n+l) =X19 = 320 mg /1 10

El percentil 35, P35, significa que el 35% de los valores es menor que 160 mg/l y el 65% de los datos es mayor que este valor.

El percentil 80, Pao, significa que el 80% de los datos es menor que 312 mg/l y el 20% es mayor que este valor.

El percentil95, P95, significa que el 95% de los datos es menor que 320 mg/l y el 5% es mayor que este valor.

Percentiles para datos agrupados. En este caso, se considera que los datos están agrupados en una tabla de frecuencias y se debe ubicar el intervalo donde se encuentre cada uno de los percentiles a estimar. Los percentiles se pueden calcular a través de la ecuación 4.17, si se utilizan las frecuencias relativas, o con la ecuación 4.18, si se utilizan las frecuencias absolutas.



Donde:

P =x. + (0,01k-Hi _ l ) (L) k ,-1 h . ,

Pk=X

i_

1+ (kn/100-N¡ 1) (L)

ni

(4.17)

(4.18)

k : Valor del k-ésimo percentil a ser calculado. (k = 1,2,3,4,5, 6, 7, .... , 98,99)

X i - J : Límite inferior del intervalo que contiene el valor percentil.

n : Número de observaciones.

N i _ 1 : Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al que contiene el

percentil.

n k : Frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el percentil.

Hi _ J : Frecuencia relativa acumulada del intervalo anterior al que contiene el percentil

(sin porcentaje).

hk : Frecuencia relativa del intervalo donde se encuentra el percentil (sin

porcentaje).

L : Longitud del intervalo donde se encuentra el percentil.

Ejemplo 4.6 Considerando los datos del ejemplo 3.2 y la tabla de distribución de frecuencias 4.1, donde se presentan las frecuencias de la variable nivel de presión sonora de ruido medido en decibeles (dE), para diferentes estaciones de la ciudad de Santiago de Cali, en el día. Se calculan a continuación los

percentiles 25, 80 Y 95, utilizando la ecuación 4.17.

• Percentil 25

Se encuentra en el cuarto intervalo, debido a que los datos hasta allí son menores

o iguales al 46%, según la columna de frecuencia relativa acumulada y el percentil

25 es el valor que genera el 25% de los datos menores que él, lo cual genera los

siguientes valores:

n = 50; k = 25; X3= 62 dB; H3 = 24% = 0,24; h4 = 22% = 0,22; L = 4


CAPrTULO 4 - MEDIDAS Y GRÁFICAS DE POSICiÓN

Entonces:

( 0,25 - 0,24 ) P15 = 62 + 0,22 ( 4 ) = 62,2 dB

Es decir, el 25% de los datos es menor que 62,2 dB Y el 75% de los datos supera este valor.

• Percentil 80

Se encuentra en el sexto intervalo, debido a que los datos hasta allí son menores o iguales al 82%, según la columna de frecuencia relativa acumulada. De esta manera se generan los siguientes valores:

n = 50; k = 80; X5 = 70 dB; H5 = 58% = 0,58; h5 = 24% = 0,24; L = 4

Entonces:

( 0,80 - 0,58 ) Pao = 70 + 0,24 ( 4) = 73,7 dB

Es decir, el 80% de los datos es menor que 73,7 dB Y el 20% supera este valor.

• Percentil 95

Se encuentra en el séptimo intervalo, pues los datos hasta allí son menores o iguales al 100%, según la columna de frecuencia relativa acumulada. De esta manera se generan los siguientes valores:

n = 50; k = 90; Xó = 74 dB; Hó = 82% = 0,82; h 7 = 18% = 0,18; L = 4

Entonces:

( 0,95 - 0,82 ) P95 =74+ 0,18 (4)= 76,9dB

Significa que el 95% de los datos es menor que 76,9 dB Y el 5% supera este valor.

También existen los quintiles que dividen el conjunto de datos en cinco partes iguales; existen cuatro quintiles que se pueden denominar k l , k], k j Y k".

En teoría, los percentiles 25%, 50% Y 75% son el primero, segundo y tercer cuartil, respectivamente. Así mismo, los percentiles P/O ' p]O ' PjO, P"o , Pso , Póo, P70, Pao Y P90 corresponden a cada uno de los deciles DI ' D] , Dj , Do Ds, Dó, D7 , DaY D9, respectivamente. Tal como se presenta a continuación:

PJO = DI ; P10 = Dl ; P30 = Dj Y así sucesivamente hasta P90 = D9 Y


VI VI ANA VARGAS FRANCO

P2S= Q¡ ; PSO=Q2= DS y P 7S= QJ

4.4 Medidas de dispersión para indicadores de posición Algunas medidas de dispersión para las medidas de posición se relacionan a continuación. Éstas permiten representar, en forma gráfica, las medidas de posición y comprender la dispersión del conjunto de datos a través de los intervalos intercuartil, inter-decil, inter-percentil y semirrecorrido inter-cuartil, tal como se presenta en las ecuaciones 4.19, 4.20, 4.21 Y 4.22, respectivamente.

Intervalo o recorrido ;nter-cuartil

Ra=R1C=QJ-Q¡

Este intervalo contiene el 50% de los datos analizados

Intervalo o recorrido ;nter-decil

RD=D9-D¡


Intervalo o recorrido ;nter-percentiJ

RC=P99- P¡


Sem;rrecorr;do ;nter-cuartil

SRa = QJ- Q¡ 2

4.5 Representación gráfica de las medidas de posición

4.5.1 Diagramas de cajas y alambres

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

Este diagrama constituye una buena síntesis de la distribución de frecuencias y su sencillez lo hace muy útil, sobre todo en aquellas situaciones donde es necesario comparar dos o más distribuciones (poblaciones o tratamientos). Los diagramas de cajas y alambres (boxplots o box and whiskers), muestran cómo se distribuyen los datos, de tal forma que proporcionan información acerca de la localización, la dispersión, el sesgo y las colas del conjunto de datos, que se pueden apreciar en un solo gráfico.


CAPfTULO 4 - MEDIDAS Y GRÁFICAS DE POSICiÓN

Este diagrama ha sido un aporte fundamental realizado por Tukey (1977). Es un

gráfico simple debido a que se realiza con cinco números y se observan en forma clara la distribución de los datos y sus principales características.

Los diagramas de cajas y alambres son útiles para diversos fines, entre los objetivos

de estos se destacan:

• Identificar los datos alrededor de la mediana

• Tener idea de la dispersión de los datos, basándose en la longitud de la caja (rango intercuartílico), pues la caja corresponde al 50% de los datos que están en la parte central. Además, se aprecia el rango de los datos que corresponde a la distancia entre las observaciones más extremas.

• Permitir conocer el grado de asimetría de una distribución, al comparar la proporción de la caja que queda a la izquierda de la mediana con la que queda a la derecha, igualmente la longitud de los alambres respectivos.

• El diagrama es útil para identificar posibles outliers (datos fuera de lo común) a través de los cercos internos pero dentro de los externos y outliers fuera de los cercos externos.

• Permitir comparar varias poblaciones a través de sus distribuciones. En este caso se construye un diagrama para cada distribución y se dibujan en una misma escala (sobre un mismo plano), lo cual permite fácilmente hacerse una idea de las semejanzas y las diferencias de los rasgos más importantes de las distribuciones.

Similarmente se pueden comparar diversas variables para una misma

población.

Existen dos opciones para graficar el diagrama de cajas y alambres : uno general y otro identificando valores extremos y outliers.

Diagrama general. Se basa en el valor mínimo, los cuartiles (Q/> Q2 y Q3) y el valor máximo. Los pasos para construirlo se presentan a continuación:

• Dibujar y marcar un eje de medida horizontal o vertical.

• Construir una caja (rectángulo), con ancho arbitrario (el ancho no tiene representación estadística alguna), cuyo borde izquierdo (inferior) sea el valor del

primer cuartil y el borde derecho (superior) sea el valor del segundo cuartil.

• Construir una segunda caja a partir del límite derecho (superior) de la primera caja, hasta el valor del tercer cuartil.



• Dibujar un primer segmento de recta (bigote) desde el valor mínimo hasta el

borde izquierdo (inferior) del primer rectángulo.

• Dibujar un segundo segmento de recta (bigote) desde el borde derecho (superior)

del segundo rectángulo hasta el valor máximo del conjunto de datos.

Siguiendo los pasos anteriores se construye el diagrama general de cajas y alambres para un conjunto de datos, el cual se puede presentar de forma horizontal o vertical, tal como se observa en la Figura 4.3. El bigote de la izquierda (inferior) representa el 25% de los valores entre el valor mínimo y el primer cuartil, Q¡; la primera caja corresponde al 25% de los datos, los cuales se encuentran entre Q¡ y Q2; la segunda caja corresponde al 25% de los datos, los cuales se encuentran entre Q2 y Q3' El bigote de la derecha (superior) viene dado por los datos que se encuentran entre Q3 y el valor máximo del conjunto de datos.

- ",4x.

-Q3

- M. =Qz

Q¡ Qz = M. Q]

I I I mín. máx. -Q¡

I

-mín.

(a) (b)

Figura 4.3 Diagrama general de cajas y alambres en un eje vertical (a) y un eje horizontal (b).

La interpretación del diagrama de cajas se presenta a continuación:

• La longitud de la caja refleja el grado de dispersión de los datos. A mayor longitud, mayor dispersión. Ahí se encuentra el 50% de los datos.

• La línea que divide la caja principal es el valor de la mediana. Si ésta se encuentra en el punto medio de la caja o cercano a éste, indica simetría de los datos con relación a la mediana. También indica homogeneidad en la distribución de los datos.


CAPrTULO 4 - MEDIDAS Y GRÁFICAS DE POSICiÓN

• La dispersión está dada tanto por la longitud de la caja, como por la distancia entre los extremos de los bigotes.

• El sesgo se observa en la desviación que exista entre la línea de la mediana en relación con el centro de la caja, y también la relación entre las longitudes de los bigotes.

• Las colas de la distribución se pueden apreciar por la longitud de los bigotes en cuanto a la altura de la caja, y también por las observaciones que se marcan explícitamente.

Ejemplo 4. 7 Considerando el ejemplo 4.1 sobre los datos de Demanda Química de Oxígeno (DQO) en mg/l, en el efluente de una planta de tratamiento anaeróbico para agua residual tipo UASB (Upflow Anaerobic Sludge Blanket):

110; 126; 135; 145; 152; 155; 160; 181; 191; 191; 200; 208; 216; 257; 260; 312; 315; 320 y 320 (mg/l).

Se desarrolla el diagrama de cajas y alambres con base en los valores de los cuartiles:

QJ=153,5 mg/l, Ql=191 mg/l, Q3=258,5 mg/I

Considerando el valor mínimo 110 mg/l y el valor máximo 320 mg/l, se construye en la Figura 4.4 el diagrama de cajas y alambres.

_ : ' ::lf·¡::I~,·. :l !( I I I I I •

110 153,5 191 258,5 320 Xmín Q¡ Qz QJ Xmáx

Niveles de DQO (mg/I)

Figura 4.4 Diagrama de cajas y alambres para los datos de DQO en una planta de tratamiento UASB.

Considerando que en cada cuartil se encuentra e125% de los datos, se puede analizar que la distribución es asimétrica en relación con la mediana, así mismo, que existe menor dispersión en el intervalo (153,5; 191) mgll que en el intervalo (191; 258,5) mgll. El bigote de la izquierda presenta menor longitud que el bigote de la derecha, evidenciando que por debajo del valor de la mediana; 191 mgll, el conjunto de datos presenta menor nivel de variación que por encima de este valor.



Diagrama con puntos extremos. En este caso se realizan las cajas como en el caso del diagrama general, adicionando los límites generados por cercos internos y externos, utilizando las siguifntes expresiones:

cerco interno inferior ~ QJ-1.5*RlC cerco interno superior ~ Q3+ 1.5*RlC cerco externo inferior ~ QJ-3*RlC cerco externo superior ~ Q3 +3*RlC

Donde RlC = QJ- Q2 es el rango intercuartílico que corresponde a la longitud de la caja, es decir, donde se encuentra el 50% de las observaciones analizadas.

Se deben prolongar líneas rectas desde los bordes de las cajas, QJ y Q3' identificando los límites a una distancia de 1,5*RlC (cerco interno) y a una distancia de 3*RlC (cerco externo).

Los puntos que se encuentren entre las distancias 1, 5 *RlC y 3*RlC se deben marcar con círculos abiertos, "o", y significan puntos inusuales suaves o puntos extremos. Los puntos que se encuentren por encima de una distancia de 3*RIC son puntos atípicos o que se salen de la tendencia general de los datos, a estos puntos generalmente se les llama "outliers" o puntos raros y se marcan con "*". Si no hay datos en esta región se considera que no hay puntos outliers en el conjunto de datos. La representación de este diagrama de cajas y alambres se ilustra en la Figura 4.5.

* *

Puntos raros u "outliers"

* -- 3RlC o o Puntos extremos

o _ 1,5RlC

-QJ} _ Ql 50 % de datos

-Q/

- 1,5RlC o O Puntos extremos

O

* * *

3RIC

Puntos raros u "outliers"

Figura 4.5 Representación del diagrama de cajas y alambres con datos extremos.


CAPiTULO 4 - MEDIDAS Y GRÁFICAS DE POSICiÓN

La interpretación en este caso es similar al diagrama general de cajas y alambres,

pero se deben tener las siguientes consideraciones:

• Si hay valores extremos por debajo o por encima de la caja, se presenta una mayor

dispersión en el conjunto de datos.

• Cuando hay valores extremos, la media aritmética no es representativa.

• Los puntos outliers deben analizarse cuidadosamente, con el fin de tomar decisiones en relación con ellos.

Ejemplo 4.8 Se tienen los datos de precipitación anual (mm) registrada desde

1994 hasta el 2002, en el municipio de Morales-Cauca, tal como se presenta

en la Tabla 4.2. Se desea comparar, mediante un diagrama de cajas y alambres

con valores extremos, la precipitación de los meses de julio y octubre a través

de los años analizados.

Tabla 4.2 Precipitación (mm) anual registrada en el municipio de Morales,

departamento del Cauca, desde 1994 al 2002.

~ En. Feb Mlr Abr Jun Jul Al' 5., Oct Nov Die

1994 63,5 70,4 160,5 101 89,5 92,5 100,5 115,3 158,9 99,4 97,8

1995 58,4 78,3 168,9 110 95,6 80.7 115,2 120,3 166,2 103 89.7

1996 60,2 80,1 152,3 108 102 89,6 97,3 109,4 171,3 96,5 80,4

1997 70,2 70,4 156,3 112 98,4 86,9 103,3 110,3 169,2 97,5 86,3

1998 98,2 78,2 159.7 106 90,1 90,6 105,8 114,5 160,5 89,3 94,2

1999 57,3 69,8 148,9 98.7 85,6 79,4 95,4 100,2 149.7 90,1 85,2

2000 68,2 75,6 158,9 112 98,9 88,1 108,4 109,8 168,4 86,3 79,8

2001 59,8 71.2 160,2 105 88,5 83.7 104,2 118,2 170,2 90,4 86,3

2002 68,1 73,2 156.7 110 96,8 91.7 107,9 111,8 165,9 94.7 95,8

Precipitación en el mes de julio

Con base en las ecuaciones 4.1 a 4.5 se calculan los cuartiles, el RlC y los cercos internos y externos:

Q¡=X3 = 83,7 mm, Q2=XS = 88,1 mm y Q3=X7 = 90,6 mm

RlC= Q3 - Q¡ = 6,9 mm



Cerco interno inferior: QJ -1,5* RlC= 83,7 -10,4 = 73,3 mm

Cerco interno superior: QJ + 1,5* RlC= 90,6 + 10,4 = 101 mm

Cerco exterior inferior: QJ - 3* RlC= 83,7- 20,7 = 63 mm

Cerco exterior superior: QJ + 3* RlC= 90,6 + 20,7= 111,3 mm

Precipitación en el mes de octubre

QJ= 160,5 mm , Q2 = 166,2 mm y Q3 = 169,2 mm

RlC= Q3 - QJ = 8,7 mm

Cerco interno inferior: QJ -1,5* RlC= 160,5 -13,1 = 147,4 mm

Cerco interno superior: Q, + 1,5* RlC= 169,2 + 13,1 = 182,3 mm

Cerco exterior inferior: Q, - 3* RlC= 160,5 - 26,1 = 134,4 mm

Cerco exterior superior: Q, - 3* RlC= 169,2 - 26,1 = 195,3 mm

Como se puede apreciar en la Figura 4.6, no existen valores extremos ni puntos outliers en la precipitación de los meses de julio y octubre. Se puede analizar que existe mayor precipitación en el mes de octubre que en el mes de julio. Las dos distribuciones presentan ligera asimetría en relación con la mediana, considerando que la longitud de las cajas no es similar. La precipitación enjulio es mucho menor que en octubre.


CAPfTULO 4 - MEDIDAS Y GRÁFICAS DE POSICiÓN

200 195.3

182,3

169.2 166,2

160.5

150 147,4

134.4

,......,

ª 111 .3 '-' Q

'O ' (3 100 101

! '" ..... :& 90,6

U 88.1

e 83,7 p.,

73.3

63

50

Julio Octubre

Meses

Figura 4.6 Diagramas de cajas y alambres para la precipitación mensual del municipio de Morales- Cauca, en los meses de julio y octubre, durante los años 1994 a 2002.



Ejemplo 4.9 Considerando los datos de precipitación anual (mm) registrada en los años de 1994 hasta el 2002, en el municipio de Morales-Cauca, se desea comparar, mediante un diagrama de cajas y alambres con valores extremos, la precipitación de los años 1994 y 2002.

Precipitación en el año 1994:

63,5 70,4 89,5 92,5 97,8 99,4 100,5 101 115,3 158,9

. Como n = 11 Y n; 1 = 6, par, entonces se utilizan las fórmulas 4,1,4,2 Y 4,3 para

el cálculo de los cuartiles.

Q¡ = 0,5X3 + 0,5X4= 0,5( 89,5) + 0,5( 92,5) = 91 mm

Q2 =X6 = 99,4 mm

Q3 = 0,5Xa + 0,5X9 = 0,5( 101) + 0,5( 115,3) = 108,2 mm

RlC= Q3 - Q¡ = 17,2 mm

Cerco interno inferior: Q¡ -1,5* Rle= 91- 25,8 = 65,2 mm

Cerco interno superior: Q¡ + 1,5* Rle= 108,2 + 25,8 = 134 mm

Cerco exterior inferior: Q, - 3* Rle= 91- 51,6 = 39,4 mm

Cerco exterior superior: Q, + 3* Rle= 108,2 + 51,6 = 159,8 mm

Precipitación en el año de 2002:

68,1 73,2 91,7 94,7 95,8 96,8 110 107,9111,8 156,7 165,9

Como n = 11 Y n + 1 = 6, par, se utilizan las fórmulas 4.1, 4.2 Y 4.3. 2

Q¡ = 0,5X3 + 0,5X4 = 0,5( 91,7) + 0,5( 94,7) = 93,2 mm

Q2=X6 = 96,8 mm

Q3 = 0,5Xa + 0,5X9 = 0,5( 107,9) + 0,5( 111,8) = 109,9 mm

Rle= Q3 - Q¡ = 16,7 mm

Cerco interno inferior: Q¡ -1,5* Rle= 93,2 - 25,1 = 68,1 mm

Cerco interno superior: Q3 + 1,5* Rle= 109,9 + 25,1 = 135 mm


CAPITULO 4 - MEOIDAS y GRÁFICAS DE POSICiÓN

Cerco exterior inferior: Q¡- 3* RlC= 93,2 - 50,1 = 43,1 mm

Cerco exterior superior: Q3 + 3* RlC= 108,2 - 50,1 = 158,3 mm

Como se puede apreciar en la Figura 4.7, no existen diferencias marcadas en la precipitación de los años 1994 y 2002, pero en el año 2002 se presentó un punto atípico o "outlier ", con valor de 165,9 mm.

Precipitación (mm)

\59,8

\34

08,2

99,4

9\

65,2

39,4

1994

Años

o \65 ,9

\58,3

\35

\09,9

96,8

93,2

68, \

43 ,\

2002

Figura 4.7 Diagramas de cajas y alambres para la precipitación mensual del municipio de Morales- Cauca, para los años de 1994 y 2002.



4.5.2 Diagrama de tallos y hojas También denominado diagrama de Tukey, es un procedimiento semi gráfico para presentar información en variables cuantitativas; es una forma rápida de obtener una representación visual del conjunto de datos a través de su recuento y ordenación. En términos generales, se puede decir que los diagramas de tallos y hojas, además de ser fáciles de elaborar, presentan más información que los histogramas, teniendo solo como limitación que no muestran las frecuencias, aunque se pueden desarrollar en columnas anexas al diagrama.

Los pasos para construirlo son los siguientes:

• Se deben seleccionar uno o dos dígitos iniciales de la variable de análisis, para los valores de tallo y el dígito o dígitos finales se convierten en hojas.

• Luego se hace una lista de los valores de tallo en una columna vertical (entre 5 y 20 tallos).

• Se procede a registrar la hoja por cada observación junto al valor correspondiente al tallo.

• Finalmente se indican las unidades de tallos y hojas en algún lugar del diagrama.

El diagrama de tallos y hojas permite visualizar:

• El centro de la distribución.

• La forma general de la distribución: simétrica si las porciones a cada lado del centro son imágenes espejos de las otras; sesgada a la izquierda si la cola izquierda (los valores menores) es mucho más larga que los de la derecha (los valores mayores) y sesgada a la derecha opuesto a la sesgada a la izquierda.

• Desviaciones marcadas de la forma global de la distribución.

• La forma de comparar dos distribuciones en forma simultánea.

Ejemplo 4.10 Considerando los datos de precipitación anual (mm) registrada en los años 1994 a 2002 en el municipio de Morales-Cauca, presentados en la tabla 4.2, se realiza a continuación el diagrama de tallos y hojas para la precipitación del mes de enero y del mes de octubre, durante los años 1994 a 2002.

Precipitación en el mes de enero:

63,5 58,4 60,2 70,2 98,2 57,3 68,2 59,8 68,1 (mm)



Estos datos transformados a números enteros quedan como: 635584602702 982573682598681.

En este caso es conveniente escoger el primer número como el tallo y los dos últimos términos como las hojas. El diagrama de tallos y hojas se presenta a continuación:

Enero

Tallos

5 6

Hojas (n=9)

73 84 02 35

7 02 8 9 82

98 81 82

Como se puede apreciar, las mayores frecuencias de precipitación para el mes de enero se presentan en los rangos de 50 mm y 60 mm, muy poca frecuencia en los rangos de 70 mm a 90 mm.

Precipitación en el mes de octubre:

158,9166,2171,3169,2160,5149,7168,4170,2165,9(mm)

Estos datos transformados a números enteros quedan como: 1589 1662 1713 16921605 1497 1684 17021659.

En este caso es conveniente escoger los dos primeros términos como el tallo y los dos últimos términos como la hoja, tal como se presenta a continuación:

Octubre

Tallos Hojas (n = 9)

14 97 15 89 16 05 59 62 84 92 17 02 13

Como se puede apreciar, las mayores frecuencias para el mes de octubre se presentan alrededor de 160 mm y muy pocas frecuencias entre 140mm y 150mm.

Otra ventaja de los diagramas de tallos y hojas consiste en la comparación de dos distribuciones, tal como se presenta en el siguiente ejemplo.



Ejemplo 4.11 Mediante un diagrama de tallos y hojas, comparar la distribución de la precipitación de los años 1995 y 2000, indicados en la Tabla 4.2. A continuación se presentan los datos transformados:

Año 1995: 584783168911009568071152120316621030897 (mm)

Año 2000: 682 75615891120989881108410981684863798 (mm)

Generando el siguiente diagrama:

Año 1995 Año 2000

Hojas Tal/os Hojas

84 5 6 82

83 7 5698 9707 8 6381

56 9 89 3000 10 8498

52 11 20 03 12

15 89 8962 16 84

Como se puede apreciar, las distribuciones de precipitación de los años 1995 y 2000 no presentan grandes diferencias, concentrándose las mayores frecuencias entre 70 mm y 110 mm.


Modelos de regresión

Cuando se realizan estudios que involucran varias variables, evaluadas simultáneamente para cumplir un objetivo específico, se puede analizar la relación inherente a ellas. Definir relaciones que posibiliten predecir una o más variables en términos de otras es uno de los objetivos fundamentales de muchas investigaciones, lo cual se puede abordar a través de las técnicas estadísticas de modelos de regresión.

Los modelos de regresión se usan para estimar "la mejor" relación funcional entre una variable dependiente y una o varias variables independientes, mientras que los métodos de correlación se utilizan para medir el grado de asociación de las distintas variables.

El término "regresión" fue definido por Francis Galton (1822-1911), en su libro Natural inheritance (1889), refiriéndose a la "ley de la regresión universal". Él estudió la eugénica, término también introducido por él para definir el estudio de la mejora de la raza humana a partir de las características hereditarias.

Galton estudió la altura de los hijos en relación con la altura de sus padres, y probó que la altura de los hijos, de padres altos, "regresaba" hacia la media de la altura de la población a lo largo de sucesivas generaciones. Esto es, hijos de padres demasiado altos tendían a ser en promedio más bajos que sus padres, e hijos de padres muy bajos tendían a ser en promedio más altos que sus padres.



Así mismo, se realizó un estudio con más de mil registros de grupos familiares y se encontró la relación que se presenta en la ecuación 5.1, que permite estimar la altura media del hijo a partir de la altura del padre.

Altura del hijo = 85 (cm) + (0,5)* altura del padre (cm)

y=a+bx (5.1)

Por ejemplo, si el padre mide 2,0 m = 200 cm, entonces se desea estimar la estatura media de su hijo, es decir, cuánto vale y = ?, para un valor x = 200 cm, reemplazando en la ecuación 5.1 se obtiene:

y = 85 + 0,5( 200 ) = 185 cm

Entonces, se espera que el hijo mida 185 cm = 1,85 m, es decir alto, pero no tanto como el padre. El valor tiende a regresar a la media.

Si el padre mide 1,2 m = 120 cm, entonces se desea estimar qué se espera de la estatura de su hijo:

y = 85 + 0,5( 120 ) = 145 cm

En este caso, se espera que el hijo mida 1,45 m, es decir bajo, pero no tanto como

el padre. El valor tiende a regresar a la media.

Actualmente el término regresión se utiliza para predecir una variable en función de

otra, y no implica que se esté estudiando si se produce una regresión a la media.

El aspecto estadístico de la regresión consiste en lograr una estimación funcional de la relación entre dos o más variables. En este proceso es necesario identificar

una variable independiente o de respuesta, y, la cual no es controlada en el estudio;

los valores de esta variable dependen de una o más variables independientes o de

regresión, que se denominan x" x], x3 , •• ••••• , xn. Estas variables independientes o

de regresión no son aleatorias y no tienen propiedades poblacionales.

La variable y puede ser de carácter cuantitativo o dicotómico (aquella que

sólo admite dos categorías que definen opciones o características mutuamente

excluyentes: sí o no). En el primer caso se habla del modelo de regresión lineal y en el segundo caso del modelo de regresión logística. La diferencia fundamental

entre el modelo de regresión lineal y de regresión logística es que el primero

predice el valor medio de la variable dependiente (y) a partir de una o más variables independientes; mientras que el segundo permite predecir la proporción de una


CAPITULO 5 - MODELOS DE REGRESiÓN

de las dos categorías de la variable dependiente dicotómica, en función de una o

más variables independientes.

En el caso del modelo de regresión lineal, la relación entre dos variables cuantitativas, una dependiente y una independiente, se denomina regresión simple y cuando se trabaja una variable dependiente en función de varias variables independientes, se denomina modelo de regresión múltiple, tal como se presenta en la Figura 5.1.

Modelo de regralóa

I I I!I

Simple Múldple Una variable independiente x Varias variables independientes

Una variable dependiente: y x"xz,···,x" Una variable dependiente: y

• • Lineal No lineal Lineal No lineal

Figura 5.1. Clasificación de modelos de regresión

La relación fija para un conjunto de datos de un estudio, se caracteriza por una ecuación de predicción que recibe el nombre de ecuación de regresión o modelo probabilístico, en contraposición de un modelo determinístico. Un modelo se denomina determinístico cuando el valor de y es único para un único valor de x. Es decir, dado un valor de entrada se obtiene un único valor de salida cada vez que se opere el modelo, mientras que en un modelo estocástico o probabilístico que incluye una o varias componentes probabilísticas, para un valor de entrada se obtiene una respuesta diferente cada vez que se opere el modelo, tal como se muestra en la Figura 5.2. El modelo determinístico genera una relación de causa-efecto, mientras que el modelo estocástico no necesariamente.

Modelo Entrada ~ determinístico

(a)

~

Única salida

E ntrada

Modelo estocástico

(b)

-'"

.. ~

Posibles salidas

(n respuestas)

Figura 5.2. Esquema operativo de un modelo determinístico (a) y un modelo estocástico (b).



Algunos ejemplos de modelos determinísticos son: la ecuación del balance hidrológico, la fórmula racional y el hidrograma unitario, y algunos ejemplos de modelos estocásticos son: series de lluvias, series de caudales, niveles de embalses y eventos extremos.

La Figura 5.3 presenta el ejemplo de una ecuación determinística correspondiente al balance de agua en un embalse (a) y un ejemplo de un modelo estocástico, que estima la remoción en un sistema de tratamiento de agua por Filtración Lenta en Arena (FLA) (h).

Caudales de entrada

P Precipitación

Et Evapotranspiración

EMBALSE

dS Cambio en almacenamiento

Infiltración F

Qv Excesos

Suministro Q

BALANCE: 1 + P = Et + F + Qv + Q + dS

a) Esquema de un modelo determinístico. Balance de agua en un embalse

Ag atl

Ul1

lente

F.L.A. ,-

¡....

agua

arena

-.

• • • Posibles valores en el agua etluente

Agua efluente = J30 + J3¡ agua afluente + Error

b) Esquema de un modelo estocástico. Estudio de la eficiencia de unfiltro lento en arena (FLA)

Figura 5.3. Ejemplos físicos de un modelo determinístico (a) y un modelo probabilístico (b).


CAPfTULO 5 - MODELOS DE REGRESiÓN

5.1 Modelo de regresión lineal simple

El análisis de regresión lineal simple se realiza cuando se pretende explicar una variable dependiente, y , cuantitativa, en función de una variable independiente, x, cuantitativa. Este modelo permite estimar la función lineal matemática entre x y y, con el fin de hallar la estimación media de y, a partir de valores de x, tal como se presenta en la ecuación 5.2.

(5.2)

Donde:

Y¡ : Valores de la variable de respuesta o dependiente. Genera un vector fila transpuesto de dimensión (n x 1): [Y¡'Y]'Y3' ....... 'YnlT

x¡ Valores de la variable independiente. Genera un vector fila transpuesto de dimensión (n x 1) : [x¡, x]' x3 , ••••••• , xnlT

}Jo Valor poblacional desconocido, el cual se estima a través del conjunto de datos. Es el valor de y cuando la variable x toma el valor de O. Punto de corte con el ejey

}J, Valor poblacional desconocido, el cual se estima a través del conjunto de datos. Es el valor de la pendiente de la recta.

E¡ Error aleatorio. Genera un vector de dimensión (n x 1) : [E" E], E3 , ....... , EnlT

Los errores aleatorios, E¡ , son valores no observables, en estos se pueden recoger los posibles errores de medida, tanto de la variable x como de la variable y, así como los errores en la especificación lineal del modelo y que pueden afectar a la variable dependiente del modelo.

Los coeficientes poblacionales de correlación}Jo y }J, se estiman con los datos muestrales del estudio generando los valores de a y b respectivamente, como se presenta a continuación:

¡ ...--... -y=a+bx

Modelo poblacional

Estimación de parámetros

Modelo muestral



La predicción de y se realiza a través de valores promedios o valores esperados; a través de la ecuación 5.3 se puede estimar el valor promedio de y para un valor específico de x .

I'xIy = E (y / x) = E ( Y) = y = a + bx (5.3)

Donde: I'ylx = E (y / x) = E ( Y) es la esperanza de y.

A partir de la ecuación 5.3 los errores se pueden calcular como e¡ = !y¡ - y¡!; es la diferencia entre el valor muestral y y el valor estimado de la línea de regresión, y.

Existen dos formas de estimar los coeficientes del modelo de regresión (a y b): el método de los mínimos cuadrados y el método de máxima verosimilitud. El método de los mínimos cuadrados consiste en estimar los coeficientes de regresión, de tal forma que se minimicen las distancias de los puntos muestrales a la recta estimada, como se ilustra en la Figura 5.4. El método de máxima verosimilitud consiste en hallar un modelo matemático o función de verosimilitud con los datos, de tal forma que maximice la probabilidad de los parámetros del modelo.

Variable y y= a +bx

Variable x

Figura 5.4 Esquema gráfico del método de mínimos cuadrados.



En general, la técnica más utilizada es la de mínimos cuadrados, que consiste en un método de ajuste de curvas, sugerido originalmente a principios del siglo XIX por el matemático francés Adrien Legendre (1752-1833).

Tal como se presentó anteriormente, el método de los mínimos cuadrados consiste en hallar los valores de los parámetros del modelo de regresión, a partir de minimizar la suma total de residuos o errores aleatorios generados por la estimación de la línea de regresión, como se muestra en la ecuación 5.4 .

ft n ft

¿ eJ = ¿ (YI- y¡i = ¿ (YI- a - bx¡i (5.4) 1- / ¡ - / 1- /

Para obtener los mínimos de la ecuación 5.4 se deben encontrar primero las derivadas parciales con respecto de a y b, tal como se presenta en las ecuaciones 5.5 y 5.6, respectivamente.

(5.5)

(5.6)

Seguidamente se igualan a cero las dos ecuaciones anteriores; generando las expreSlOnes:

- 2 ¿ (y¡ - a - bx¡i = O

-2 ¿x¡(y,-a-bx,i= O

Aplicando propiedades del operador sumatoria, se obtienen las expresiones:

¿ Y¡ - ¿ a - b ¿ x¡ = O

¿ x¡Y¡- a ¿x¡-b ¿ x/=O



Realizando operaciones algebraicas, se genera el sistema de ecuaciones 5.7 , denominado sistema de ecuaciones normales de la regresión, el cual es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a y b.

" " na+b ¿x¡=¿y¡

¡ - 1 ¡- I

" " " (5.7)

a ¿x;+ b ¿ x/ = ¿x¡y¡ ¡ - 1 ; - 1 ; - 1

Utilizando alguno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se obtiene el valor de b a través de la ecuación 5.8.

" "" n (¿x;y¡) - ( LXi) (¿y;)

b =; ; ¡

" " (5.8)

n (¿x/) - ( ¿xli ¡ ;

Una vez calculado b se puede despejar de alguna de las ecuaciones del sistema 5.7 el valor de a, generando la ecuación 5.9.

" " ¿y¡- b LXi ¿YI b¿x1

n n n =y-bx (5.9) ---'--1- -=----1 _....:....1 -....:....1 _ = __ a

Es decir, los coeficientes poblacionales'po y.PI se estiman a través de los datos muestrales, por el método de los mínimos cuadrados, con las ecuaciones 5.8 y 5.9. Primero se debe calcular el coeficiente b y luego el coeficiente a. a es el punto de corte con el eje y; es el valor de la variable x, cuando y = O Y b es la pendiente de la recta; es la razón media de cambio de y por cada unidad de cambio en x. En la actualidad el cálculo de estas constantes se puede realizar de forma ágil utilizando diferente tipo de software y estimar diversos modelos para un estudio en particular.

De manera similar, se pueden hallar los coeficientes de regresión de un modelo de regresión, con los parámetros en forma lineal, realizando las derivadas

parciales, encontrando y solucionando el sistema de ecuaciones normales respectivo.


CAPITULO 5 - MOOELOS OE REGRESiÓN

5.2 Supuestos del modelo de regresión lineal simple

Para obtener los estimadores de los parámetros desconocidos del modelo de regresión lineal simple se debe cumplir un conjunto de supuestos, para el uso adecuado e interpretación del modelo de regresión. Algunos de estos supuestos se requieren para el análisis de inferencia de los parámetros, el cual no se desarrolla en el presente texto. Los supuestos se presentan a continuación:

• El modelo es lineal en las variables y en los parámetros

Las variables independiente y dependiente que se analizan en el modelo se deben encontrar en forma lineal, en la primera descripción del modelo o a través de un proceso de transformación, y los parámetros o coeficientes de regresión asociados a dichas variables también deben aparecer en forma lineal. Este supuesto es fundamental, puesto que las técnicas estadísticas son diferentes para modelos lineales que para modelos no lineales. Por ejemplo, el modelo y = .Po +.P ¡X + e es lineal en sus variables y en sus coeficientes de regresión, mientras que el modelo y = .P~ I + e no es lineal en la variable independiente, pero lo es en sus parámetros. Sin embargo, este modelo se puede transformar en un modelo lineal, como se presentara más adelante en este capítulo.

• El modelo está correctamente definido

Este supuesto implica que se han incluido las variables explicativas o independientes adecuadas dentro del modelo de regresión. Además no se deben haber omitido variables independientes relevantes para explicar la variable dependiente, y la relación matemática debe permanecer en el período muestral, lo cual implica que los coeficientes de regresión son constantes.

• Variable independiente no estocástica

Los valores de la variable x son fijos para muestras repetidas, x es una variable no estocástica, lo que equivale a realizar el análisis estadístico condicionado a la muestra que se ha observado. De este modo, se supone que el modelo de regresión y sus supuestos se aplican al conjunto particular de los valores de la variable dependiente, x.

• Identijicabilidad de los parámetros

Significa que los coeficientes'po y.PI se pueden estimar de forma única a partir de unas observaciones dadas, lo cual sucede cuando la variable x no sea constante, es decir, que presente variabilidad. Si la variable x es constante, el modelo presentaría

ESTAOlsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS 131


dos términos constantes: el asociado al parámetro fJo y el asociado al parámetro fJ/ y ambos coeficientes medirían el mismo efecto.

• La esperanza de los errores condicionada a la información dada es nula

Significa que las observaciones de x no contienen información sobre el valor esperado de ej. Este supuesto se utiliza en el proceso de inferencia de los parámetros estimados, en forma algebraica:

E {e¡} ro E {el] O

E { e;} = O => E { e;} = I =

E {en]1 I O

• Los errores presentan varianza constante

Esto significa que la varianza de los errores es constante, en forma algebraica:

v (e¡) = rl = constante i = 1, 2, 3, ..... , n

• Los errores se distribuyen de forma normal

En forma estadística significa que la distribución de los errores es simétrica, es decir, presenta una distribución normal, con media cero y varianza rl.

E ( e¡) - N ( o,rl )

El cumplimiento de este supuesto permite realizar inferencias sobre los parámetros estimados del modelo de regresión.

5.3 Diagrama de dispersión

Existen diversas opciones para estudiar la forma del modelo de regresión: el primero

es a través de la relación conceptual de las variables analizadas, esto es, si se conoce

a priori la ecuación matemática de la relación entre las dos variables.

Otra es a través del diagrama de dispersión, que consiste en graficar en el plano

cartesiano las parejas de datos observados para realizar el análisis de regresión.

Este permite visualizar la tendencia del conjunto de datos y da una idea del tipo de

relación matemática existente entre las dos variables analizadas. El diagrama de dispersión, permite evidenciar si existen datos que se alejan de la tendencia general



del conjunto de datos; puntos atípicos u outliers, los cuales se pueden confirmar a

través de las gráficas de cajas y alambres.

Estos diagramas se pueden realizar con relativa facilidad en diferentes programas de computador. En la Figura 5,5 se presenta el esquema general de un diagrama de dispersión, el cual representa una gran ayuda en la definición de la ecuación matemática que permita estimar la tendencia de los datos. Por ejemplo, en la Figura 5,6 se evidencia una tendencia de los datos a una línea recta, con pendiente positiva y corte en el origen.

y

Yi

• ~* ~ • • •• •• • ~ .

••• • • - -+-¡ •• ••• • : . •

Xi

•

Figura 5.5 Esquema general de un diagrama de dispersión.

x

Ejemplo 5.1 Se tienen las medidas de sólidos suspendidos y turbiedad, evaluados en una estación de monitoreo sobre el río Cauca, en el departamento del Valle del Cauca. (Fuente: Cinara,1991), como se presentan a continuación:

Se desea calcular un modelo de regresión lineal que permita estimar valores de sólidos suspendidos a partir de valores de turbiedad, es decir, la variable dependiente, y, es sólidos suspendidos, pues esta es la que se desea estimar a partir de la variable independiente, x; turbiedad.

Realizando el gráfico de dispersión entre turbiedad y sólidos suspendidos, se observa en la Figura 5.6 que esta tendencia es una línea recta y que la relación es directa, es decir, a medida que aumentan los niveles de turbiedad aumentan los niveles de sólidos suspendidos.



1200

= ~ 1000 !. • '" "ª ~

800

5 600 ~ ::s '" 400 '" ~ - 200 ~

O O 200 400 600 800

Turbiedad (UNT)

Figura 5.6 Diagrama de dispersión entre las variables sólidos suspendidos (y) y

turbiedad (x).

Para hallar los parámetros a y b del modelo de regresión lineal se presenta en la Tabla 5.1 el cálculo de las operaciones requeridas para su estimación.

Tabla 5.1 Datos de turbiedad y sólidos suspendidos en una estación del río Cauca, para ser analizados en un modelo de regresión lineal.

Sólidos .

Número de Turbiedad observación Fecha (UNT)

suspendidos Xi * X, x, * y,

i Xi (mg/l)

Yi

1 04·Mar-91 42 71 1764 2982

2 07-Mar·91 72 146 5184 10512

3 11·Mar·91 360 505 129600 181800

4 14-Mar·91 35 61 1225 2135 ; 5 08·Abr·91 65 136 4225 8840

6 11·Abr·91 120 169 14400 20280

7 15·Abr·91 100 190 10000 19000i 8 14·May-91 190 269 36100 51110 I

9 16·May-91 650 978 422500 635700

10 20·May-91 230 394 52900 90620

11 23·May-91 105 176 11025 18480

12 27-May-91 75 120 5625 9000

13 30·May-91 69 99 4761 6831

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CAPíTULO 5 - MODELOS DE REGRESiÓN

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Número de Turbiedad Sólidos

observación Fecha (UNT) Suspendidos

x¡*x¡ X¡*Yi i x¡ (mgfl)

y¡

14 04·Jun·91 125 133 15625 16625

15 06·Jun·91 85 140 7225 11900

16 11·Jun·91 32 53 1024 1696

17 13·Jun·91 34 54 1156 1836

18 17·Jun-91 85 123 7225 10455

19 24-Jun·91 450 568 202500 255600

20 02·Jul·91 51 84 2601 4284

21 04-Jul·91 37 73 1369 2701

22 11·Jul-91 62 84 3844 5208

21

¿=suma 3074 4626 941878 1367595 ;=/

Media 139,727273 210,272727

Utilizando los resultados de la Tabla 5.1 y las ecuaciones 5.8 y 5.9 se tienen los siguientes resultados para los coeficientes de regresión a y b.

b = 22 (1367595) - ( 3074 )(4626) = 1 40765 22 (941878) - (3074/ '

a = (210,272727 -1,40765) (139,727273) = 13,5856

Entonces, el modelo de regresión lineal que relaciona turbiedad y sólidos suspendidos en la estación de monitoreo en el río Cauca queda definido por la ecuación 5.10.

E (y) = y = SS = 13,5856 + 1,40765 * TU (5.10)

El valor del intercepto en algunas ocasiones no tiene significado práctico, como en este caso; significa que para un valor de turbiedad de O unidades, los sólidos suspendidos son de 13,58 mg/l. El valor de la pendiente significa que por cada unidad de cambio en los niveles de turbiedad, los sólidos suspendidos aumentan en promedio en 1,4 unidades.

ESTADíSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERíA AMBIENTAL CON SPss 135


Con el modelo de regresión hallado se pueden realizar estimaciones del valor promedio de sólidos suspendidos a partir de un valor fijo de turbiedad. En general, se recomienda realizar estimaciones en el rango de valores de la variable independiente turbiedad, es decir [ 32; 650 J UNT, esto con el fin de evitar posibles inconsistencias, debido a que no se conoce la forma de la relación por fuera de este rango.

Por ejemplo, para un valor de turbiedad de 50 UNT se espera que el valor medio de sólidos suspendidos en el río Cauca, sea:

ss = 13,5856 + 1,40765 ( 50 UNT) = 83,9681 mgll

Para un valor de turbiedad de 450 UNT se espera que el valor medio de sólidos suspendidos en el río Cauca sea:

ss = 13,5856 + 1,40765 ( 450 UNT) = 647,03 mgll

Valores por fuera del rango de turbiedad no se recomiendan estimar, pues la fuerza del modelo de regresión es la estimación y no el pronóstico, para esto último se utilizan con mucha confiabilidad los modelos de series de tiempo.

5.4 Otros modelos de regresión

Aunque la ecuación de la línea recta es una de las más utilizadas, en general un conjunto de datos puede ajustarse a otra función matemática para describir en mejor forma la asociación entre las variables. Se considera un modelo lineal si los parámetros a estimar aparecen de manera lineal en la ecuación. En la Tabla 5.2 se presentan diversos modelos lineales, en los parámetros de regresión.

Tabla 5.2 Modelos de regresión lineales en los parámetros de regresión.

Nombre de la función Ecuación

Parábola o cuadrático y =.Po + .PI X + .P1K + 8

Polinomio de grado 3·cúbico y =.Po + .PI X + .P1K + .P3r + 8

Polinomio grado-n y =.Po + .PI X + 'pzK + .P3r + .•.... + .PIIX' + 8

Senoidal y =.Po + .PIsen x + .P2COS X + 8

logarítmica In y = .Po + .PI In x + 8

Semi logarítmica y = .Po + .PI In x + 8

Inversa .PI y =.Po + -+8 x





Nombre de le funci6n Ecuaci6n

Raíz cuadrática 1 y = flo + fl¡x 'h + 8

Raíz cuadrática 2 y = flo + fl¡x 'h + fllX + 8

Cuadrático del logarítmico y =flo + fl¡lnx + fll( Inxl + 8

Y = flo + fl¡ e-x + 8

Y = flo + fl¡~ + fll ln x + 8

Y = flo + fl¡x + fll ~ + 8

Otras ecuaciones lineales Y = flo + fl¡lnx + fl2 ..¡x + 8

Y = flo + fl¡x·5 + fl2 eX + 8

Y = flo + fl¡lnx + fl2(ln xl + 8

In y = In flo + fl Iln x + 8

Los modelos lineales son útiles en muchas situaciones, y aunque la relación entre la variable de respuesta y las variables regresoras no sea lineal, en muchos casos la relación es "linealizable" en el sentido de que haciendo transformaciones con logaritmos o funciones inversas en la variable de respuesta y/o algunas variables regresoras, la relación se convierte en lineal. Sin embargo, existen situaciones donde una relación no lineal no es factible su linealización. En este último caso se denomina modelo de regresión no lineal (El estudio de un modelo de regresión no lineal es muy extenso y complejo, pero existe una amplia literatura sobre el tema). En la Tabla 5.3 se presentan ejemplos de modelos no lineales y su transformación a modelos lineales en los parámetros y variables de regresión.

Tabla 5.3 Modelos de regresión no lineales y su transformación a modelos de regresión lineales.

Funci6n Modelo no lineal Modelo transformado a lineal

1 1 Hipérbola 1 y= +8 -=fl +fl X+8

flo+ fl1x y o ¡

x 1 fl¡ Hipérbola 2 y= +8 y=flo--X+ 8

flox-fl¡

Contmúa en la págma sIguIente




Exponencial 1

Exponencial 2

Geométrica o potencia

Raíz

logística 1

logística 2

logística 3

Gamma o especial de Hoerl

Gauss

Especial 1

Especial 2

y =fJofJ/ +&

y = fJOeP'X + &

y = fJOxP'+ &

y = fJofJ~+ &

1 Y = fJo fJ; + &

y ~+&;fJ¡<O

y = fJo (l-eP'X) + & ; fJ¡ < O

y = fJOeP1XxP'+ &

y = fJo eP¡{X -fJ,/ + & ; fJ¡ < O

y =flo eP'/. + &

1

In y = In fJo + x In fJ¡ + &

Iny = InfJo + fJ¡x + &

In y = In fJo + fJ¡ In x + &

1 Iny=lnfJo+-X Infl¡+&

In y = -lnfJo -x InfJ¡+ &

In (fJ] -1) = fJo + fl¡x + & Y

In (1- to )=fJ¡x+&

In y = InfJo + fl¡x + fJ]ln x + &

Iny = InfJo + fJ¡ (x-fJ]l + &

Iny=lnfJo + fJ¡ +& x

1 Y =fJo+fJ¡e- x +&

En la Tabla 5.4 se muestra el sistema de ecuaciones lineales para algunos modelos de regresión, las cuales se pueden resolver con un conjunto específico de datos, para estimar los parámetros a y b.



Tabla 5.4 Ecuaciones normales para algunos modelos de regresión.

Modelo de regresi6n lineal Sistema de ecuaciones normales

n n

y=Po+p¡x+e poblacional na+b ¿xl= ¿y¡ ¡ - / ¡ - /

n n n

y=a+bx mues/ral a ¿xl+ b ¿ x: = ¿X¡y¡ 1- / ; - / ; - /

n n

y=po+p/lnx+e poblacional na+b ¿Inx¡= ¿y¡ ¡ - / ¡ - /

n n n

y=a+blnx mues/ral a ¿Inx¡+b ¿(lnxl/= ¿y¡lnx¡ ;- 1 ¡ - l ¡ - J

Y = PoxtI'+ e } n n

poblacional n In a + b ¿ In x¡ = ¿ In y¡ lny = InPo +p¡lnx +e ; - / ; - /

n n n

Iny=lna+blnx mues/ral In a ¿In x¡+ b ¿(In x;/ = ¿ In x¡ Iny¡ / - / 1- / ;=1

y =Po efl,x+ e }

n n

poblacional n In a + b ¿x¡ = ¿ Iny¡ Iny=lnPo+p¡x+e ; - / i = I

n n n

Iny=ln a +bx mues/ral In a ¿x;+ b¿(X)2 = ¿x¡lny;

; - / 1- / 1- /

y=Po+ p¡ +e n 1 n

poblacional na+b ¿-=¿y¡ x ¡ _ I Xi ¡ _ I

b n 1 n 1 n y .

y=a+ - mues/ral a¿-+b¿-=¿~ x ; _ 1 X¡ 1_ / xi ¡ _ I x¡

Y =Pop/'+ e } poblacional

n 1 n

1 n In a + In b ¿ - = ¿ In y¡

Iny = In Po +-X Inp¡+e ¡ _ / x¡ ¡ _ /

1 n 1 n 1 n Iny .

Iny=lna+ -X Inb mues/ral Ina¿-+b¿2=¿-' ¡ _ / x¡ 1_ / XI ¡ _ / x¡

n n n

na +b ¿xl+c ¿x/= ¿y¡ y=Po+P¡X+P2r +e poblacional ; - / i = I i - J

n n n n

a ¿x¡+b ¿x/+c ¿x; = ¿x¡y¡ y=a+bx+d mues/ral ; - / ¡ - I ¡ = / ; = /

n n n n

a ¿x:+ b ¿x/+ C ¿x/ = ¿ X¡2y¡ ; - / ; - / ¡ - I ; ""' 1





Modelo de regresión lineal

y = flo + fl¡x'h + fllX + e poblaeional

y=a+bx'h + ex muestral

y = flo + fl¡ln x + fll (In x / + e poblacional

y = a + blnx + e (In x/ muestral

y = floefl'x xP'+ e } lny = Inflo + fl¡x + fllln x + e poblacional

lny =ln a +bx+clnx muestral

- fl2 +e ;fl¡< O } Y 1 +efl·+fl,x poblacional

In (L -1 )=flo+fl¡x+e y

e In(--1)=ax+b y muestral

y = fl efl,(x-fl,/ + °fl o e, ¡<O } Iny=lnflo+fl/(x-fll/ +e poblacional

Iny =ln a + b(x- e/ muestral

Sistema de ecuaciones normales

na+b ix,'h+eix,=iy, ¡ - I 1- 1 ¡ - 1

a ix,'h+bix,+e ix~=ix:y, / - / / - / / - / ; - /

a ix,+bix~+e ix/ = ix/y/ / - / / - / / - 1 ¡ - I

na + b t}n x/ + c f (In x/l = f y/ / - / / - / 1- /

a f/nx,+b f(lnx)'+c f(lnx¡}J= f y/In x/ 1- / / - 1 / - / 1- /

a f (In x¡l + b f (In xli + c f (In XI)' = f y¡ (In x¡l / - / / - / 1- 1 / - /

n In a +b fx¡+c f/nx¡ = f Iny¡ / - 1 / - / / - /

Ina fx¡+b fx:+c fx¡ (Inx¡l= fX¡lny, '-1 /-/ ¡ - I ¡ - l

In a f/nx¡+b fX¡lnx¡+e f(lnx¡l= f/nY¡lnx¡ 1- 1 / - / ; - / , - /

n n e na + b ¿ x¡ = ¿ In (- - 1 )

¡ - ¡ / - ¡ y¡

,. " ,. e a ¿x¡+b ¿x/= ¿x¡ln (- -1)

¡ - / / - / / - / y¡

n n

n In a + b ¿ ( x¡ - e/ = ¿ In y¡ / - / ¡ - /

In a i(x,-e/+ b i(x¡-e/= i (x,-e/lny¡ / - / / - ¡ / - /


CAPrTULO 5 - MODELOS DE REGRESiÓN

Ejemplo 5.2 Calcular el modelo potencial y = flo X fJ1 + e para estimar niveles de sólidos suspendidos a partir de valores de turbiedad, en una estación de monitoreo del río Cauca, con los datos presentados en el ejemplo 5.1. Con el fin de seguir los procedimientos para estimar los coeficientes de regresión de la línea recta, se debe linealizar la ecuación potencial aplicando logaritmo natural, generando la ecuación 5.11, que es lineal en los parámetros de

regresiónfloY fll '

In y = Inflo + fllln x + e

In y = In a + b In x

ecuación poblacional (5.11)

ecuación muestral

En la Figura 5.7 se presenta el diagrama de dispersión para esta ecuación.

8

7 • ., 7 ~ :;¡;

6 1:: .. ~ :oc 6 '" '" ~ :::: 5 .~

'" ~ 5 ~ ....¡

4

4

3 3 4 4 5 5 6 6 7 7

LN de turbiedad

Figura 5.7 Diagrama de dispersión para el logaritmo de turbiedad y el logaritmo de sólidos suspendidos.

Para estimar a y b se define en la ecuación 5.12 la fórmula de los residuales para el modelo transformado a logaritmos.

n n n

Le: = L(y¡-y¡l = L(lny¡-ln a-b Inx)2 (5.12) / - 1 ¡ = 1 ¡ = I

Hallando las derivadas parciales con respecto a cada uno de los parámetros a estimar, se obtienen las ecuaciones 5.13 y 5.14.



n

o ~e: = _2 f(lny,-In a-b Inx¡) oa a ¡-1

(5.13)

n

oLe: n

~ = - 2 ¿ In x¡ ( In Y¡ -In a - b In x¡) ob ¡=1

(5.14)

Igualando a cero simultáneamente las dos ecuaciones anteriores y despejando se genera el sistema de ecuaciones (5 .15), denominado sistemas de ecuaciones normales de la regresión, para el modelo potencial. Este sistema coincide con el presentado en la Tabla 5.4.

n n

n In a + b ¿ In x¡ = ¿ In y¡ 1-1 1-1

n n n

In a ~)nx¡+b ¿(Inx,l= ¿ Inx¡ Iny, (5.15)

¡-1 ¡-1 ¡-1

Con el fin de calcular las diversas sumas que se requieren para la estimación de los coeficientes, se presentan en la Tabla 5.5 los datos que permiten reemplazar las ecuaciones normales del modelo potencial, para el ejemplo 5.2.

Tabla 5.5. Valores que permiten estimar el sistema de ecuaciones normales del modelo potencial y = /Jo xP1 + e

turbiedad Sólidos In Un tur)x Un tur)x In Observación

(x¡} suspendidos

(turbiedad) (sólidos

(lntur) i

fecha (y¡} suspendidos) Un sólidos)

(UNT) (mgll) ( lnx¡}

( lny,) (lnx;/ (lnx,lny¡)

1 04·Mar·91 42 71 3.74 4,26 13,97 15,93

2 07·Mar-91 72 146 4,28 4,98 18,29 21,31

3 ll -Mar-91 360 505 5,89 6,22 34,65 36,64

4 14-Mar-91 35 61 3,56 4,11 12,64 14,62

5 08-Abr-91 65 136 4,17 4,91 17,43 20,51

6 ll-Abr-91 120 169 4.79 5,13 22,92 24,56

7 15-Abr-91 100 190 4,61 5,25 21,21 24,16

8 14-May-91 190 269 5,25 5,59 27,53 29,36





turbiedad Sólidos

In In (In tur}x (In tur}x Observaci6n

(x¡) suspendidos

(turbiedad) (sólidos

(In sólidosl i

fecha (y¡) suspendidosl (Inturl (UNT) (mgll)

( Inx¡) ( Iny¡) (In xi (lnx¡lny¡)

9 16·May·91 650 978 6,48 6,89 41,95 44,60

10 20·May·91 230 394 5,44 5,98 29,57 32,50

11 23·May·91 105 176 4,65 5,17 21,66 24,06

12 27-May·91 75 120 4,32 4,79 18,64 20,67

13 30·May·91 69 99 4,23 4,60 17,93 19,46

14 04·Jun·91 125 133 4,83 4,89 23,31 23,61

15 06·Jun·91 85 140 4,44 4,94 19,74 21,95

16 11·Jun·91 32 53 3,47 3,97 12,01 13,76

17 13·Jun·91 34 54 3,53 3,99 12,44 14,07

18 17·Jun·91 85 123 4,44 4,81 19,74 21,38

19 24·Jun·91 450 568 6,11 6,34 37,32 38,75

20 02·Jul·91 51 84 3,93 4,43 15,46 17,42

21 04·Jul·91 37 73 3,61 4,29 13,04 15,49

22 11·Jul·91 62 84 4,13 4,43 17,03 18,29 22

L=suma 3074 4626 I - l

99,88 109,98 468,47 513,09

Utilizando los resultados de la tabla anterior y reemplazando en las ecuaciones 5.15 . El sistema de ecuaciones lineales para el modelo potencial queda expresado como se presenta a continuación:

22 In a + 99,88 b = 109,98 99,88 In a + 468,47 b = 513,09

Resolviendo este sistema de ecuaciones con incógnitas In(a) y b, se tiene que:

b = 0,917814 Y In a = 0,8322

Se aplica antilogaritmo para obtener el valor de a:

a =2,2984

Por lo tanto el modelo de regresión queda definido por la ecuación 5.16 ó 5.17.



In SS = 0,8322 + 0,9178 In TU (5.16)

o

SS = 2,2984 TUo.m814 (5.17)

Los coeficientes de la ecuación 5,16 se pueden interpretar de la siguiente forma:

In a = 0,832 ~ para un valor de turbiedad de 1 UNT, el valor del logaritmo de sólidos suspendidos es de 0,8322.

b = 0,9178 ~ por cada unidad de cambio en el logaritmo de turbiedad, el logaritmo de sólidos suspendidos aumenta en 0,9178.

En la ecuación 5,17 el coeficiente de la potencia b = 0,917814 tiene la misma interpretación que en la ecuación 5,16, mientras que el valor de a = 2,2984 es el valor de sólidos suspendidos, en mg/l, para un valor de turbiedad de 1 UNT.

Como se puede apreciar, las variables sólidos suspendidos y turbiedad se ajustaron de manera adecuada al modelo de la línea recta y al modelo potencial, tal como lo evidenciaron los respectivos diagramas de dispersión. Surge entonces, de manera natural, la pregunta: ¿Cuál es el mejor modelo? Para responder esta pregunta es necesario estudiar los conceptos de correlación, que se presentan en el siguiente numeral.

En la Figura 5.8 se ilustran algunas gráficas de modelos no lineales en los parámetros, pero que son linealizables por medio de una transformación matemática, como se presentó en la Tabla 5.3.



, I I ~ I , I I • • t It • t 1-.... ¡

t I c-;.",.... • I I I I I • • v.-I I I • 1M -.----------------------------- I

tic Jl

61.

7 7

6>'

116 x 116 x

y y

/1

y=ax6 /1 y=ax6 --_-: x 1 x

y b>O y b<O

y =a +blnx

y=a +blnx X

X

Figura 5. 8 Tendencias de algunos modelos no lineales en los parámetros (Behar, 1996).



" t------::;---------------

, b<'

, ,-_"" ,-u"" l: "1------------------------

x x

y 1

y (a + be-X)

l/a 1 - - - - 1- - - - - - - - :.::.;:..::.::- - - - -

y (a> 0, b> 0, e > O)

, , , , ,

, , , ,

, , ,

y=a + be-x

a--r---------------------+ x

o

y

a

x

(a > 0, b> 0, e < O) ,

" y = a + be-x , , , , ,

~ x

Figura 5.8 Tendencias de algunos modelos no lineales en los parámetros (Continuación) (Behar, 1996).



5.5 Coeficiente de correlación

Una pregunta que surge después de la estimación del modelo de regresión, es: ¿cuál es la intensidad de la relación matemática entre las dos o más variables analizadas? Las técnicas estadísticas que permiten responder y determinar el grado de intensidad de la relación del conjunto de variables se denomina análisis de correlación. Un indicador muy utilizado en el análisis de correlación es el denominado coeficiente de correlación muestral, denotado por r, el cual se estima con el conjunto de datos analizado.

El coeficiente de correlación muestral, r, fue definido por el investigador Kart Pearson, aproximadamente en 1900. Este coeficiente describe la intensidad lineal de la relación entre dos conjuntos de variables de nivel de intervalo o de razón, y no proporciona necesariamente una medida de la causalidad entre ambas variables. r es una medida de la dependencia estadística lineal, es decir, la ecuación de la línea recta, de las variables x y y. También se le denomina r de Pearson o coeficiente de correlación producto-momento de Pearson, el cual se puede calcular con las ecuaciones 5.18, o, 5.19.

n n

¿(x¡-x)(y¡-y) ¿(xi-xl ¡- /

=b ¡-/

(5.18) r= n n n

¿(xi-xl ¿(y¡-il ¿(y¡-il ¡-/ ¡-/ ¡-1

Donde b, es el coeficiente de correlación estimado en el modelo de regresión lineal.

(5.19)

Propiedades del coeficiente de correlación r

A continuación se describen las principales propiedades del coeficiente de correlación:



r es un valor adimensional, que no depende de la magnitud de las variables analizadas.

• El valor del coeficiente r se encuentra entre: -1 ~ r ~ 1, en términos porcentuales -100% ~ r ~ 100%.

• El coeficiente de correlación tiene el mismo signo que la pendiente de la ecuación; (a) r> O sí y sólo si b > O; (b) r < O sí y sólo si b < O. Tal como se presenta a continuación:

148

y y

x

a) b)

r<' 6<'

• •

x

Un valor de r == O significa que no hay correlación lineal entre las variables estudiadas; las variables no presentan ningún grado de dependencia lineal(a) o la dependencia es curvilínea (b) como se observa a continuación:

y y

l • • • • r -::::, O . • • r 'Z O

-=----. • • • • • I • •• x x

• •

• t a) b)

ESTADISTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS


• Valores de r cercanos a O indican que hay dependencia estadística lineal débil, por lo tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión son poco fiables . También, es posible en estos casos que la relación pueda ser no lineal entre las variables. Si las variables son independientes r = O, la inversa no es necesariamente cierta.

• Un valor de r cercano a 1 (o 100%) indica dependencia lineal fuerte (las variables aumentan al mismo tiempo) y por lo tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán bastante fiables. En este caso existe una correlación lineal positiva fuerte, como se observa en la siguiente figura:

y

r=:.1

x

• Un valor de r cercano a -1 indica dependencia lineal fuerte (una variable disminuye a medida que la otra crece) y por lo tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán bastante fiables, en forma gráfica se muestra a continuación:

y r =:. -1

x



Valores de r = 1 o r = -1 (r = 100% o r = -100 %) se presentan cuando los puntos observados se encuentran sobre la línea de regresión; existe una dependencia perfecta entre las dos variables analizadas, como se observa a continuación:

y. r=-1

x

a) b)

Las variables x y y pueden estar correlacionadas linealmente, es decir, un valor de r cercano a ±1 (±100%), lo cual no significa que x causa a yo y causa a x; el modelo de regresión no evidencia una relación de casualidad.

Las variables x y y pueden ser depen,dientes, pero su coeficiente de correlación, r, puede ser O, esto sucede en el caso de tendencias parabólicas o exponenciales, pues el coeficiente de correlación mide el grado de asociación de la línea recta, de las dos variables analizadas. Si dos variables aleatorias son independientes también son no correlacionadas, pero si dos variables aleatorias no están correlacionadas no necesariamente son independientes.

Se puede definir una guía que permita analizar la intensidad y la dirección del coeficiente de correlación, tal como se presenta a continuación:

Correlación Correlación negativa negativa

fuerte moderada

Correlación negativa

débil

Correlación positiva

débil


moderada

Correlación positiva fuerte

r=-1 r=- 0.7 r=-0.4 r=O r=0.4 r=0.7 r=1

t Correlación negativa perfecta

~

150

Correlación negativa

No hay correlación


j Correlación positiva perfecta

~

ESTADIsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS


La anterior guía debe tomarse como un apoyo en el análisis del coeficiente de correlación, pero siempre el coeficiente de correlación debe analizarse en el contexto del fenómeno en estudio.

¿Qué no mide r?

• El coeficiente de correlación muestral, r, no mide la magnitud de la pendiente, es decir, la fuerza de la asociación lineal entre las dos variables en estudio, como se presenta en seguida:

Igual valor de r

• El coeficiente de correlación muestral tampoco mide 10 apropiado del modelo lineal, como se muestra a continuación:

Igual valor de r

. . . /

Si r = 0,3 Y r = 0,6, significa, solamente, que se tienen dos correlaciones positivas, una algo mayor que la otra. No se puede concluir que r = 0,6 indica una relación lineal dos veces mejor que la indicada por el valor r = 0,3.



Ejemplo 5.3 Calcular el coeficiente de correlación del modelo lineal estimado para sólidos suspendidos y turbiedad, presentado en la ecuación 5.10:

E (y) = y = SS = 13,5856 + 1,40765 * TU

En la Tabla 5.6 se muestran las columnas que permiten calcular el coeficiente de correlación, el cual se estima a través de la ecuación 5.18.

n

n

~:rY;-YY

512356,36 r=b

¿(xi-xl ;=1 = 1,40765*

1035004,36 = 0,99 o r = 99%

;=1

El valor del coeficiente de correlación indica que los sólidos suspendidos y la turbiedad, presentan una buena relación lineal, es decir, los datos muestrales se encuentran muy cercanos a la recta estimada.

Tabla 5.6 Valores que permiten estimar el coeficiente de correlación para el modelo de regresión lineal entre sólidos suspendidos y turbiedad.

Observación Turbiedad Sólidos

i IUNT) suspendidos Irng/ll (xi-xl (Y/-yi

Xi Yi

1 42 71 9549,20 19396,13 2 72 146 4586,00 4130,63 3 360 505 48523,28 86865.77 4 35 61 10966,28 22281,53 5 65 136 5583.08 5516,03 6 120 169 388,88 1703.21 7 100 190 1577,68 410.87 8 190 269 2528,08 3449,21 9 650 978 260385.68 589409,35

10 230 394 8150.48 33756.71 11 105 176 1205.48 1174.43 12 75 120 4188.68 8148,67 13 69 99 5001.32 12381.01 14 125 133 216.68 5970.65 15 85 140 2994,28 4937.87


152 ESTADIsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS



Observeción Turbiedad Sólidos

i (UNT) suspendidos (mg/l) (x¡-xl (Y¡-yl

XI YI

16 32 53 11603,60 24733.85 17 34 54 11176,72 24420.31 18 85 123 2994,28 7616.05 19 450 568 96273.68 127970,75 20 51 84 7871.24 15944,11

21 37 73 10551,40 18843,05

22 62 84 6040,40 15944.11 22

¿=suma 3074 4626 512356.36 1035004.36 ¡ - 1

Media 139.72 210.27

Ejemplo 5.4 Calcular el coeficiente de correlación del modelo potencial y = 'p~J para sólidos suspendidos y turbiedad, considerando los datos del ejemplo 5.2. El modelo se calculó en la ecuación 5.17:

ss = 2,2984 * TUO,91 7814

En la Tabla 5.7 se presentan las columnas que permiten calcular el coeficiente de correlación, el cual se estima a través de la ecuación 5.18, con las variables transformadas a In.

"

r=b

¿( In x¡-In xl ¡- I ------- =0,917814 *

n

¿(lny¡-Inyl

15,06 --- = 0,98 o r = 98% 13,11

¡- I

El valor del coeficiente de correlación indica que el logaritmo natural de los sólidos suspendidos y el logaritmo natural de la turbiedad presentan una buena correlación lineal, es decir, los datos analizados se encuentran muy cercanos a la recta estimada.



Tabla 5.7 Valores que permiten estimar el coeficiente de correlación para el modelo de regresión lineal entre In de sólidos suspendidos y In de turbiedad.

Turbiedad S6lidos

Observación (UNT) suspendidos In Turbiedad In Sólidos L,(In x/- bt x)' L,(In y/-In y)' i (rng/I) Iny¡ Inx¡

x¡ y¡

1 42 71 3,74 4,26 0,64 0,54

2 72 146 4,28 4,98 0,07 0,00

3 360 505 5,89 6,22 1,81 1,50

4 35 61 3,56 4,11 0,97 0,79

5 65 136 4,17 4,91 0,13 0,01

6 120 169 4,79 5,13 0,06 0,02

7 100 190 4,61 5,25 0,00 0,06

8 190 269 5,25 5,59 0,50 0,35

9 650 978 6.48 6,89 3,75 3,56

10 230 394 5,44 5,98 0,81 0,96

11 105 176 4,65 5,17 0,01 0,03

12 75 120 4,32 4,79 0,05 0,04

13 69 99 4,23 4,60 0,09 0,16

14 125 133 4,83 4,89 0,08 0,01

15 85 140 4,44 4,94 0,01 0,00

16 32 53 3.47 3,97 1,15 1.06

17 34 54 3,53 3,99 1,03 1,02

18 85 123 4,44 4,81 0,01 0,03

19 450 568 6,11 6,34 2.46 1,80

20 51 84 3,93 4.43 0,37 0,32

21 37 73 3,61 4,29 0,86 0,50

22 62 84 4,13 4.43 0,17 0,32

12

¿=suma 3074 4626 99,88 109,98 15,06 13,11 ;=1

Media 139,72 210,27 4,54 5,00



5.6 Coeficiente de determinación

El coeficiente de determinación muestral, R2, es la variación total de la

variable dependiente y , que es explicada, o se debe a la variación de la variable independiente x. R2 expresa la proporción de la variación total de los valores de la variable y , que puede ser explicada por una relación lineal con los valores de la variable aleatoria x. Este se puede calcular mediante la ecuación 5.20.

(5.20)

Propiedades del coeficiente de determinación

• O S K S 1 en ténninos porcentuales; 0% S R 2 S 100%

• KS,,2

• R2 da una mejor interpretación de la fuerza de relación entre y y x , que el coeficiente de correlación, r.

Un valor de r = 0.9435 indica una buena relación lineal entre x y y , lo cual implica un valor de R2 = 0.8902 u 89.02%, lo cual significa que aproximadamente el 89% de la variación de los valores de y se deben al modelo de regresión estimado.

Ejemplo 5.5 Calcular el coeficiente de determinación en los modelos lineal y potencial, para los sólidos suspendidos y turbiedad en una estación de monitoreo del río Cauca, presentados en las ecuaciones 5.10 Y 5.17.

Modelo Tipo r K ss = 13,5856 + 1,40765 * TU Lineal 0,99039 0,98087

SS = 2,2984 * TUO,917814 Potencial 0,98380 0,96786

En la ecuación lineal el 98% de la variación de los sólidos suspendidos es explicada por el modelo, que indica un buen modelo, es decir, solo el 2% de la variación de y no es explicado por el modelo. En la ecuación potencial el 96,8% de la variación de los sólidos suspendidos es explicada por el modelo, lo cual representa un buen modelo, es decir, solo el 3,2% de la variación de y no es explicado por el modelo, presentándose ligeramente mejor el modelo lineal. Además, generalmente se prefiere matemáticamente el modelo de la línea recta, por su sencillez y facilidad de interpretación.



Coeficiente de no determinación

A partir del coeficiente de determinación, se puede definir el coeficiente de no determinación, el cual mide la proporción de la variación total de y, que no es explicada por la variación de x y se calcula como 1 - R2

. Por ejemplo, para un valor de r = 0.8, el valor del coeficiente de determinación es R 2 = 0,64 o 64%, el coeficiente de no determinación es 1-R2 = 0,36 o 36%, es decir, e136% de la variación de y no se debe a la variación de la variable x.

Algunos aspectos para definir el modelo de regresión

A continuación se presentan algunos aspectos a considerar en la estimación de un modelo de regresión.

• Analizar el grado de causa-efecto entre las variables a correlacionar. Si se sabe el comportamiento del fenómeno en términos de su ecuación diferencial, como por ejemplo, si el crecimiento de y por cada unidad de x es constante, es decir:

Z = k. Entonces la ecuación de regresión debe considerarse como la función

y = kx + e, o sea la familia de modelos rectilíneos, que soluciona la ecuación diferencial.

• Estar interesado en estimar la variable y a partir de valores de la variable x o determinar la tendencia de esta relación.

• Desear determinar el grado de correlación lineal entre las variables y y x.

• Generar y analizar el diagrama de dispersión. Este paso es muy importante porque permite establecer en forma gráfica la tendencia de la relación.

156

Seleccionar el modelo de regresión que tenga el valor más alto del coeficiente de determinación y el menor número de variables en el modelo.

ESTADfsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS

CAPíTULO

6 Planeación estadística en un proyecto de investigación

La planeación del proceso de recolección y organización del conjunto de observaciones o datos en un proyecto de investigación se constituye en etapas fundamentales en el desarrollo de un estudio, pues estos aspectos permiten contribuir significativamente con la coherencia entre la recolección, el análisis de datos y los objetivos de la investigación. La planeación de la recolección de los datos incluye la organización, el manejo, la sistematización, la definición de variables, sitios y frecuencias de muestreo, definición de instrumentos de recolección de datos, así como la definición de un sistema de información.

La planeación estadística debe hacerse desde la toma de las muestras hasta el análisis de los datos y la producción de informes, con el fin de generar información confiable y coherente con los objetivos de la investigación. Para desarrollar el proceso de toma de datos es necesario que el grupo de trabajo comprenda y comparta los objetivos del proyecto, conociendo los aspectos de carácter técnico y los conceptos a manejarse dentro de la investigación.

En este capítulo se presenta el método utilizado para el manejo de información en el proyecto de investigación sobre sistemas para potabilización de agua denominado Proyecto Integrado de Investigación y Demostración de Métodos de Filtración Gruesa para Sistemas de Abastecimiento de Agua, el cual fue desarrollado por el Instituto Cinara de la Universidad del Valle en los años de 1990 a 1995, realizado en



la Estación de Investigación y Transferencia de Tecnología localizada en la Planta de Tratamiento de Agua Potable de Puerto Mallarino en predios de Emcali.

El Instituto Cinara de la Universidad del Valle realiza, entre otras actividades, investigaciones sobre tecnologías simplificadas en el área del abastecimiento de agua potable con el objeto de desarrollarlas y adecuarlas a las condiciones técnicas y socio-económicas de países en vía de desarrollo y como aporte a los problemas de abastecimiento de agua del país.

Una de las tecnologías investigadas, por el Instituto Cinara, es la tecnología de Filtración en Múltiples Etapas (FiME), la cual es una alternativa tecnológica para la potabilización de agua, con mucho potencial de ser utilizada en las zonas rurales, pequeños y medianos municipios. Esta tecnología no requiere el uso de sustancias químicas ni componentes mecánicos y puede ser fácilmente operada, mantenida y administrada por miembros de la comunidad.

Cuando la tecnología FiME es seleccionada, diseñada, construida, operada y mantenida adecuadamente, produce efluentes con bajos niveles de turbiedad, sin la presencia de impurezas ofensivas y libre de entero-bacterias, entero-virus y quistes de protozoarios. (Visscher, 1996).

Una planta de tratamiento FiME generalmente consta de tres etapas de tratamiento: un Filtro Grueso Dinámico (FGDi), un Filtro Grueso (FG) y un Filtro Lento en Arena (FLA), tal como se presenta en la Figura 6.1. El Filtro Grueso presenta varias opciones, dependiendo de tres aspectos: número de unidades, sentido del flujo del agua y la forma de instalación del material filtrante, que en este caso son gravas. En esta investigación se compararon cinco opciones de filtración gruesa (FG) operando en paralelo: Filtro Grueso Ascendente en Serie(FGAS), Filtro Grueso Ascendente en Capas (FGAC), Filtro Grueso Horizontal Modificado(FGHM), Filtro Grueso Horizontal (FGH) y Filtro Grueso Descendente en Serie (FGDS).

El estudio de diferentes tipos de filtros gruesos se realizó para remover niveles adecuados de turbiedad y otros parámetros, de tal forma que permitieran superar las limitaciones de operación que tiene la tecnología de Filtración Lenta en Arena (FLA), la cual presenta dificultades en su operación, cuando los niveles en la fuente de abastecimiento supera en turbiedad 50 UNT en el afluente o cuando se presentan amplias variaciones en períodos muy cortos, intensificando las labores de operación y mantenimiento, reduciendo significativamente la eficiencia del FLA. (CINARA

IRC,1989).


CAPfTUlO 6 - PlANEACIÓN ESTADfsTICA DE UN PROYECTO DE INVESTIGACiÓN

Etapas de filtración ,~--------------------------~,

Filtro grueso (FG)

Filtro lento en arena

(FLA)

Desinfección terminal ,,-----------\

Figura 6.1 Esquema general de una planta de tratamiento con tecnología FiME. (Galvis, 1999).

6.1 Objetivos del proyecto

El equipo de trabajo debe entender claramente los objetivos del proyecto, pues estos permiten guiar permanentemente las diversas actividades, en general, y en particular el proceso de recolección y análisis de datos.

Entre los objetivos del proyecto de investigación: "Proyecto Integrado de Investigación y Demostración de Métodos de Filtración Gruesa para Sistemas de Abastecimiento de Agua", se destacan los siguientes:

• Evaluar y comparar desde el punto de vista económico, físico-químico , bacteriológico e hidráulico, diferentes opciones de filtración gruesa: FGAS, FGAC, FGH, FGHM Y FGDS.

• Investigar diferentes alternativas de Filtración Gruesa orientadas a producir criterios de selección, diseño, operación y mantenimiento.

• Promover alternativas de Filtración Gruesa que permitan superar las limitaciones de la tecnología de la Filtración Lenta en Arena.

6.2 Descripción del sistema

Realizar el esquema del sistema en estudio es una de las primeras actividades a realizarse dentro del desarrollo de un proyecto de investigación.

El sistema de evaluación de la calidad de agua de los filtros gruesos se presenta en la Figura 6.2. La fuente de abastecimiento utilizada fue el agua del río Cauca en su paso por la estación Juanchito de la ciudad Santiago de Cali. La tecnología FiME evaluada consta de tres etapas: Filtro Grueso Dinámico (FGDi), Filtro Grueso (FG) y Filtro Lento en Arena (FLA).



Filtro Grueso Dinámico (FGDi). Consiste en una estructura que consta de una capa de grava fina del orden de 0,2m-0,3m de profundidad. El agua que entra en la unidad fluye sobre la capa fina de grava y parte de ella drena, a través del lecho, hacia una tubería perforada y continua hacia la siguiente etapa en el sistema de tratamiento. La velocidad de operación de estas unidades puede estar entre 1,0 m/h y 9,0 m/h.

Filtro Grueso Ascendente en Serie (FGAS). Consiste en tres estructuras, de 1,2 m a 1,5 m de altura, encontrándose en cada una determinado tamaño de grava. La grava se coloca de gruesa a fina. El agua atraviesa las tres estructuras, desde la grava gruesa hasta la grava más fina, con flujo ascendente. La velocidad de operación es del orden de 0,3 m/h a 3,0 m/h.

~uenteO.1 deagua ~~[B~:]uP~~~~~

FLA 1 -t.4 ~

FLA2 -2.2 ~

FLA3

3.4 ~

FLA4 -4.4 ~

FLA 5 -5.4 ~

Filtración Gruesa Descendente en serie 3 Etapas (FGDS3)

Figura 6.2 Sistema del estudio de comparación de Filtros Gruesos (Galvis, 1999)

Filtro Grueso Ascendente en Capas (FGAC). Consiste en una sola estructura, de 1,2 m a 1,5 m de altura, en la cual la grava se encuentra instalada por capas, quedando en el fondo el material grueso y en la superficie el material fino. La grava se coloca de gruesa a fina. El agua atraviesa la estructura desde la grava gruesa hasta la grava más fina, con flujo ascendente. La velocidad de operación es del orden de 0,3 m/h a 3,0 m/h.

Filtro Grueso Horizontal (FGH). Consiste en una estructura rectangular, compuesta de tres capas de grava las cuales van de gruesa a fina. El flujo del agua va en sentido horizontal. La velocidad de operación es del orden de 0,3 m/h a 3,0 m/h.


CAPfTULO 6 - PLANEACIÓN ESTADfsTICA DE UN PROYECTO DE INVESTIGACiÓN

Filtro Grueso Horizontal Modificado (FGHM). Consiste en una estructura rectangular, compuesta de tres capas de grava las cuales van de gruesa a fina. En este estudio éste es una modificación del FGH. El flujo del agua va en sentido horizontal. La velocidad de operación es del orden de 0,3 m/h a 3,0 m/h.

Filtro Grueso Descendente en Serie (FGDS) . Consiste en tres estructuras de 1,2 m a 1,5 m de altura, encontrándose en cada una determinado tamaño de grava. La grava se coloca de gruesa a fina. El agua atraviesa las tres estructuras, desde la grava gruesa hasta la grava más fina, con flujo descendente. La velocidad de operación es del orden de 0,3 m/h a 3,0 mIh.

Filtro Lento en Arena (FLA)~ Es una estructura que consiste en un lecho de arena fina, de diámetro efectivo entre 0,2 mm y 0,3 mm, con una profundidad de 0,5 m a 0,8 m, colocada sobre una camada de grava de medio de soporte y una tubería como sistema de drenaje en el fondo. La altura total del filtro, desde el fondo hasta la corona de los muros, puede variar de 1,90 m a 2,50 m y se puede construir en hormigón reforzado, ferrocemento, piedra o mampostería.

6.3 Codificación del sistema

La codificación del sistema de evaluación permite una fácil ubicación, agiliza el manejo y desarrollo del muestreo, así como el diligenciamiento de los formatos de campo y de laboratorio y la retroalimentación al sistema de información. El sistema de experimentación, en la presente investigación, se codificó considerando las diversas etapas de evaluación de la calidad de agua que operan en el sistema, tal como se presenta en la Tabla 6.1.

Tabla 6.1 Codificación del sistema de evaluación del proyecto de investigación.

Etapas de mulltreo Codificaci6n

Cruda 0.1 Cruda

0.2 FGDi·A: Filtro Grueso Dinámico - A

Acondicionadores 0.3 FGDi·B: Filtro Grueso Dinámico - B

0.4 FGDi·C: Filtro Grueso Dinámico - C

1.1 FGAS1: Filtro Grueso Ascendente en Serie etapa 1

1.2 FGAS2: Filtro Grueso Ascendente en Serie etapa 2 Línea 1

1.3 FGAS3: Filtro Grueso Ascendente en Serie etapa 3

1.4 HA1: Filtro lento en Arena 1

2.1 FGAC: Filtro Grueso Ascendente en Capas Línea 2

I 2.2 FlA2: Filtro lento en Arena 2 Continúa en la página siguiente




Etapas de muestreo Codificaci6n

3.1 FGHM 1: Filtro Grueso Horizontal Modificado 1

3.2 FGHM2: Filtro Grueso Horizontal Modificado 2 línea 3

3.3 FGHM3: Filtro Grueso Horizontal Modificado 3

3.4 FLA3: Filtro Lento en Arena 3

4.1 FGH1: Filtro Grueso Horizontal 1

4.2 FGH2: Filtro Grueso Horizontal 2 línea 4

4.3 FGH3: Filtro Grueso Horizontal 3

4.4 FLA4: Filtro Lento en Arena 4

5.1 FGDS1: Filtro Grueso Descendente en Serie 1

5.2 FGDS2: Filtro Grueso Descendente en Serie 2 línea 5

5.3 FGDS3: Filtro Grueso Descendente en Serie 3

5.4 FlA5: Filtro Lento en Arena 5

6.4 Definición de variables, sitios y frecuencia de muestreo

En un estudio se presentan diversos tipos de variables, pero las que más se encuentran en los fenómenos ambientales y de ingeniería sanitaria son las variables de tipo continuo. En la Tabla 6.2 se presentan las variables estudiadas en el proyecto de acuerdo con su clasificación entre químicas, físicas, biológicas e hidráulicas. Los coliformes fecales y los estreptococos fecales son variables de tipo discreto, las otras variables estudiadas son de carácter continuo con nivel de medición de razón.

Tabla 6.2 Clasificación de variables que se analizaron en el estudio.

Variables Tipo Nombre de las variables

Turbiedad (UNT) Color real (UPC)

Cuantitativas Sólidos sedimentables (mg/llh)

Físicas continuas

Sólidos suspendidos (mg/l) Sólidos volátiles (mg/l) Sólidos totales (mg/l) Temperatura (OC)

pH (unidades) Alcalinidad total (mgJl Ca C03)

Químicas Cuantitativas Dureza total (mg/l Ca C03)

continuas Oxígeno disuelto (mg/l) Hierro total (mg/l) Manganeso total (mgtl)

------ ------ -- --- -- -- -- - --- ------ -



CAPfTULO 6 - PLANEACIÓN ESTADfsTICA DE UN PROYECTO DE INVESTIGACiÓN


Variables Tipo Nombre de las variables

Biológicas Cuantitativas Coliformes fecales (UFC/100ml) discretas Estreptococos fecales (UFC/100ml)

Cuantitativas Pérdida de carga hidráulica(cm)

Hidráulicas continuas

Pérdida de carga parcial (cm) Caudal (l/s)

Los sitios de muestreo están relacionados con los objetivos de la investigación así como de las necesidades de evaluar y comparar el sistema integralmente. En la Tabla 6.3 se presenta la frecuencia de muestreo para cada una de las variables a analizar en esta investigación. Las frecuencias y puntos de muestreo se definieron de acuerdo con la experiencia de los investigadores, los cuales consideraron la importancia de las variables, los objetivos y el presupuesto disponible del proyecto de investigación. En otros casos, se utiliza la teoría estadística del muestreo para estimar el número de muestras requerido en cada variable, considerando niveles de error, confiabilidad, variabilidad y recursos.

Tabla 6.3 Frecuencia y puntos de muestreo para análisis de calidad de agua en el proyecto de investigación.

Punto de muestreo 1.3 1.4 03

1.1 1.2 2.1 2.2 Total de

01 04 06 5.1 5.2

3.3 3.4 muestra por 05 4.3 4.4 variable

Variable 5.3 5.4

Color real (UPC) 4d d 2s 2s 2s 2s 2s 4d/44s

Turbiedad (UNT) 24d d 3d 3d 3d 3d 3d 90d

Sólidos sedimenta bies (ml/I/h) q q q q 10q

Sólidos suspendidos (mg/l) d 2s 2s 2s 2s 2s 2s 1d/44s

Sólidos volátiles (mg/l) m m m m m m m 23m

Sólidos totales (mg/l) m m m m m m m 23m

Temperatura (OC) 4d 4d

Pérdida de carga hidráulica (cm) 3s 3s 3s 3s 3s 57s

Pérdida de carga parcial (cm) s s s s 19s

Caudal (l/s) d d d lOd





Punto de muestreo 1.3 1.4 03

1.1 1.2 2.1 2.2 Total de

01 04 06 5.1 5.2

3.3 3.4 muestra por 05 4.3 4.4 variable

Variable 5.3 5.4

pH lunidadesl q q q q 12q I Alcalinidad totallmg/I CaC031 m m m m 12m

Dureza totallmg/l CaC031 m s s s 12m

Oxígeno disuelto Img/ll q d d d 12q

Hierro y manganeso totallmg/ll m m m m m m m 23m

Coliformes fecales IUfC/lOOmll 2s 2s 2s 2s 2s 2s 2s 46s

Estreptococos fecales IUfC/l00mll q q q q q q q 23q

d - diaria s - semanal q - quincenal m - mensual

6.5 Formatos de muestreo

Es necesario registrar el conjunto de datos recolectados en instrumentos adecuados como paso previo al resumen y análisis de estos. En general en proyectos de seguimiento de sistemas de monitoreo, el instrumento que se utiliza es el formato. La definición de los formatos debe planearse de tal forma que permita la obtención de los datos de una manera completa y eficiente, que facilite la uniformidad en las diferentes observaciones y evite la recolección de datos no relevantes, redundantes y desorganizados

El formato debe responder a los objetivos y propósitos de la investigación y antes de su puesta en operación se debe probar su funcionalidad. Este aspecto se cumple mediante una aplicación piloto que detecte las fallas del instrumento de medición. La distribución para diligenciar el formato debe ser lógica y ordenada. El orden de los aspectos a evaluar debe responder a su importancia en el estudio, los datos deben tener referencia de espacio y tiempo específicos.

El diligenciamiento de los formatos debe hacerse con criterios de calidad, considerando que es la primera base de datos, no digital, que se tiene del estudio o de la investigación, y los datos son la materia prima para el procesamiento y análisis de los resultados. Uno de los formatos de la presente investigación se presenta en la Tabla 6.4, donde se incluyen las variables analizadas y los puntos de muestreo definidos.


CAPITULO 6 - PLANEACIÓN ESTADIsTICA DE UN PROYECTO DE INVESTIGACiÓN

6.6 Flujo de información

A los datos recolectados es necesario hacerles un proceso de revisión y corrección en cada etapa del flujo de información, considerando que las conclusiones del estudio no pueden ser más precisas que los datos sobre los cuales se basan, es decir, las conclusiones que se derivan del estudio son de tal calidad y precisión como se lo permitan los datos y su análisis. Un conjunto de datos errados necesariamente va a llevar a conclusiones erradas.

El flujo de la información del proyecto de investigación se desarrolló con base en el esquema que se presenta en la Figura 6.3; este flujo permitió identificar el seguimiento de los datos desde la toma de la muestra hasta el reporte y publicación de los resultados, además permitió generar responsabilidades definidas en cada área de trabajo de la investigación.

Las muestras fueron tomadas por los muestreadores de acuerdo con los sitios y horas de muestreo específicos, las cuales eran llevadas a los laboratorios fisico-químico o bacteriológico de acuerdo con el tipo de análisis a realizar, estos laboratorios analizaron y reportaron los datos al área de ingeniería, que revisó y realizó las observaciones pertinentes, para posteriormente trasladar los formatos al área de información y sistemas donde se digitalizaron los datos en bases de datos y se realizó el procesamiento estadístico, incluyendo resumen de los datos a través de tablas y gráficos, los cuales fueron analizados en el área de ingeniería, para posteriormente ser presentados y analizados con la dirección del proyecto. El procesamiento estadístico se realizó utilizando los programas SPSS y Excel.

Laboratorio Dirección

flsico-gulmico del proyecto

Comité de Análisis de 1----- seguimiento y muestras y control de reporte de proyectos Cinara

Toma de datos Área de in¡:enierla

muestras

Responsable del proyecto

Laboratorio Información microbioló¡:ico

técnica y socio

Análisis de Área de económica

muestras y información ~ reporte de datos sistemas

Base de datos Análisis estadístico

Figura 6.3 Esquema del flujo de información del proyecto de investigación.


O> O>

m (j)

~ o ¡¡¡ -i

~ O m (j) () :Il

~ ~ ~ :Il ~

Z G) m Z ;Ti :Il

i> ~ ;:: !!1 m Z

~ r ()

O Z

Ul "tl Ul Ul

Tabla 6.4 Formato para la recolección de datos del proyecto de investigación.

Instituto Cinara - Universidad del Valle e IRC-Holanda Proyecto Integrado de Investigación y Demostración de Métodos de Pretratamiento para Sistemas de Abastecimiento de Agua.

Fecha:

~ LINEA 1 LINEA 2 LINEA 3 LINEA 4 LINEAS

FGASl FGAS2 FGAS3 FLAl FGAC FLA2 FGHMl FGHM2 FGHM3 FLA3 FGHl FGH2 FGH3 FLA4 FGDSl FGDS2 FGDS3

Variable 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3

Hora

Turbiedad (UNTl

Color real (UPC)

pH (Unidades)

Alcalinidad (l11li/1 CaCo3)

Dureza total (mgJI CaCo3)

Oxígeno disuelto (l11li/11

Sólidos suspendidos (l11li/11

Estabilidad en suspensión (an/h)

Sólidos sedimentables (mI/h)

000 (l11li/11

~atura(OC)

Estreptococos fecales (UFC/lOOmI)

CoIiformes fecales (UFC/1OOmI)

Pérdida de carga (an)

Caudal II/s)

Filtrabilidad (mI/3nin)

r....,(dias) --------- -- - --- ---

Observaciones:

FLAS

5.4

< <: 'i> z ~

< ~ :Il G) ~ (j)

"TI :Il ~ Z ()

o

CAPrTULO 6 - PLANEACIÓN ESTADrSTICA DE UN PROYECTO DE INVESTIGACiÓN

6.7 Sistema de información

Un sistema de información es un mecanismo o estructura administrativa que tiene como funciones la captación, almacenamiento, recuperación y análisis de datos; permite recopilar, organizar, sistematizar y procesar los datos de manera ágil y confiable. El sistema de información consta de bases de datos que son una combinación de programas y archivos que se utilizan conjuntamente de manera integrada y coordinada, las cuales permiten recolectar un conjunto de datos mutuamente relacionados. La construcción de las bases de datos incluye la obtención de los datos, su codificación, captación y sistematización.

Para diseñar el sistema de información se dividió el sistema de estudio en cinco ambientes: cruda, acondicionada, integrada, filtros gruesos y filtros lentos en arena. Estos ítemes forman el esquema principal de la entrada a la base de datos. La base de datos tuvo 21 archivos correspondientes a los diferentes sitios de muestreo en la investigación, tal como se presenta en la Figura 6.4 (ver Figura 6.4 en la página siguiente). En las bases de datos los registros se organizan y se mantienen en una tabla compuesta por filas y columnas, de tal forma que los datos sean fáciles de encontrar y procesar. Las filas en la base de datos se llaman registros y las columnas campos. Entre las ventajas de las bases de datos se destacan las siguientes: evitan la redundancia, reducen las inconsistencias y los errores de captura, y apoyan la integridad y la independencia de los datos.

E! sistema de información planteado permitió desarrollar las comparaciones y evaluaciones de interés en la investigación, agilizó la adición, modificación y consulta de registros. El análisis estadístico descriptivo de los datos generados en esta investigación se presenta en el próximo capítulo.

ESTADrSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS 167

CAPiTULO 6 - PLANEACIÓN ESTADIsTICA DE UN PROYECTO DE INVESTIGACiÓN

l. CRUDA L-J: l FGD¡-A

2. ACONDICIONADA I FGD¡-B

--FGD¡ -C

---J

[ FGAS 1

3. INTEGRADA FGAS2

FGAS3

FGHM 1

4. FILTROS GRUESOS

I I FGHM ~ ( FGHM2

FGHM3

FGHI

~~ FGH2

FGH3

FGDSI =-ti F0002

[ FLA I l I FGDS 3

5. FILTROS LENTOS H-.[ FLA2 EN ARENA l [ FLA3 l [ FLA4 l ( FLA5 l

Figura 6.4 Esquema de la base de datos del proyecto de investigación.


CAPíTULO

7 Evaluación de sistemas para tratamiento de agua potable

Este capítulo presenta el procesamiento descriptivo y gráfico de un conjunto de datos

relacionado con la evaluación de sistemas para tratamiento de agua potable. Los datos

fueron procesados y presentados en el programa estadístico SPSS y corresponden a

la evaluación de cinco Filtros Gruesos (FG), evaluados en el marco de la tecnología

de filtración en múltiples etapas, FiME.

El estudio de evaluación y seguimiento de los filtros gruesos lo realizó el instituto

Cinara de la Universidad del Valle, en la Estación de Investigación y Transferencia

de Tecnología localizada en predios de la Planta de Tratamiento de Agua Potable de

Puerto Mallarino en Emcali, cuya fuente de agua cruda es el río Cauca. Los aspectos

conceptuales de esta investigación se presentaron en el capítulo 6.

Un sistema de abastecimiento de agua para beber, asearse y para fines domésticos

es un elemento esencial para la salud, el bienestar y la productividad de las

comunidades, y es determinante en la calidad de vida de las personas. El agua

contaminada contiene una gran cantidad de bacterias y virus que exponen a la

comunidad a enfermedades de origen hídrico, entre las que se destacan el cólera

y la enfermedad diarreica aguda (EDA). En países en vía de desarrollo, la EDA

es la segunda causa de muerte en los niños de 1 a 4 años (OPS). El suministro



continuo de agua en suficiente cantidad y de buena calidad es factor básico en la reducción de enfermedades de origen hídrico.

En América Latina las coberturas en abastecimiento de agua son del orden del 92% para la zona urbana y 52% para la zona rural. En Colombia las coberturas son del orden del 86% para la zona urbana y del 44% para la zona rural; sin embargo, se estima que solo el 62% de los habitantes de las zonas urbanas reciben agua potable y en la zona rural lo hace solamente el 10% (Mondragón, 1996). En la actualidad estas cifras presentan la misma tendencia.

Las cifras presentadas sobre coberturas sugieren que el aprovisionamiento de agua que cumpla con los tres elementos básicos: continuidad, cantidad y calidad, es especialmente crítico en la zona rural, los pequeños y medianos municipios y los asentamientos marginales de las grandes ciudades, donde se presentan limitaciones de recursos humanos, fisicos, económicos, infraestructura administrativa y vías de comunicación, entre otros.

Una alternativa tecnológica con mucho potencial para ser utilizada en los pequeños y

medianos municipios, las zonas rurales y urbano-marginales de las grandes ciudades es la filtración en múltiples etapas (FiME). Esta tecnología ha sido desarrollada sobre la base de la experiencia de la Filtración Lenta en Arena (FLA) por el Instituto Cinara, de la Universidad del Valle.

Una planta de tratamiento FiME generalmente consta de tres etapas: filtro grueso dinámico (FGDi), filtro grueso (FG) y filtro lento en arena (FLA). El filtro grueso presenta varias alternativas que dependen del sentido del flujo del agua y del número de unidades: de flujo ascendente: en capas (FGAC) y en serie de tres etapas (FGAS3), de flujo horizontal: (FGH3) y modificado (FGHM3) y de flujo descendente en serie de tres etapas (FGDS3). Un esquema de la tecnología FiME se presentó en la Figura 6.1.

El Instituto Cinara evaluó los cinco filtros gruesos (FG) en parámetros fisicoquímicos, bacteriológicos e hidráulicos, con el fin de definir los mejores en eficiencia. En este capítulo se analiza la eficiencia de los FG en las variables turbiedad y coliformes fecales, utilizando técnicas estadísticas descriptivas y

gráficos; la metodología presentada se puede generalizar para las otras variables analizadas en la investigación. A continuación se describen conceptualmente estas variables.

Turbiedad. Es una medida de partículas orgánicas e inorgánicas en el agua, tales como arcillas, sedimentos, partículas orgánicas coloidales, plancton y otros organismos


CAPITULO 7 - EVALUACiÓN DE SISTEMAS PARA TRATAMIENTO DE AGUA POTABLE

microscópicos, y estas partículas tienen un efecto en la salud pública porque pueden

incluir microorganismos patógenos o sustancias tóxicas, p.e. asbesto (Craun, 1993). Niveles altos de turbiedad pueden proteger los microorganismos de los efectos de la

desinfección y además estimular el crecimiento de bacterias (WHO, 1993).

Coliformes fecales. Son organismos indicadores de contaminación fecal,

particularmente Escherichia coli (E. coli), una bacteria que vive en los intestinos del

hombre y otros mamíferos, los cuales son excretados en grandes cantidades en las

heces fecales. Este es un parámetro universal para indicar el grado de contaminación

fecal en una fuente, debido a que el mayor riesgo microbiológico en el agua está

asociado con la ingestión de agua contaminada con excretas de origen humano y

animal, y porque se ha establecido que la ingestión de patógenos causan enfermedades

de origen hídrido. (Craun, 1993)

7.1 Estadísticas descriptivas

Considerando que el afluente de los FG es el agua integrada, se calculan las estadísticas descriptivas incluyendo esta etapa. Los filtros gruesos que presenten menores valores efluentes en promedio y los de mayor remoción promedio serán considerados los mejores.

La remoción de una variable se calcula con la fórmula:

Rem afluente - efluente xl 00% afluente

• Turbiedad

La siguiente tabla presenta los resultados del programa estadístico SPSS en el cálculo de algunas estadísticas descriptivas.

Estadísticas descriptivas para turbiedad (UNT)

Integrad FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3 FGDS

Media 73,6 12,4 21.7 21,2 13,3 16,5

Mediana 48,0 8,0 18,0 17,0 9,5 14,0

Moda 26,0 14,0 17,0 17,0 18,0 18,0

Varianza 5790,1 139,7 342,2 256,6 100,0 228,3

Desviación típica 76,1 11,8 18,5 16,0 10,0 15,1

Rango ordinal 563,0 113,0 166,2 126,1 78,2 137,4

N total 294 294 294 294 294 294



Los filtros con menores efluentes promedios son el FGAS3 y el FGH3, estos presentan un menor valor en la desviación estándar y el rango, que significa una mayor concentración de los datos alrededor del valor medio, seguidos del FGDS. Por el contrario, los filtros que presentan mayores valores en los efluentes son el FGHM3 y el FGAC, con valores de dispersión y rango más elevados, mostrando una mayor dispersión en relación con el valor medio efluente.

Las estadísticas descriptivas para la remoción de turbiedad se observan en la siguiente tabla:

Estadísticas descriptivas para remoción de turbiedad (%)

REMFAGS3 REMFGAC REMFGHM3 REMFGH3 REMFGDS

Media 80,3 66,2 65,1 77,5 73,6

Mediana 80,8 66,6 65,3 78,6 74,3

Moda 80,0 70,0 50,0 80,0 60,0

Varianza 82,5 127,0 194,6 103,0 124,9

Desviación típica 9,1 11,3 13,9 10,1 11,2

Rango ordinal 45.4 59.4 82,1 50,8 71,5

N total 294 294 294 294 294

Se puede analizar que los filtros con mayor eficiencia en la remoción de turbiedad son el FGAS3 y el FGH3, los de menor eficiencia son el FGAC y el FGHM3, generando los dos primeros menor variación en cuanto al valor medio que los dos últimos. En la remoción de turbiedad la distribución del FGAS es muy simétrica, considerando que los valores de la media, la mediana y la moda son muy similares. El filtro que presenta menor simetría es el FGHM3.

• Coliformes fecales

Las estadísticas descriptivas para coliformes fecales se presentan en la siguiente tabla:

Estadísticas descriptivas para coliformes fecales (UFC/100 mI)

INTEGRAD FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3 FGDS

Media 24758 65 369 929 182 147

Mediana 13200 35 260 867 141 80

Moda 12900 12 10 1600 110 50

Varianza 992226516 8287 150381 525016 18199 26053

Desviación típica 31500 91 388 725 135 161

Rango ordinal 155000 389 1790 3807 618 760

N total 31 31 31 31 31 31



Al igual que en turbiedad, los filtros con menores efluentes son el FGAS3, el FGDS y el FGH3, similarmente con los menores valores de dispersión. Los filtros con mayores efluentes en coliformes fecales son el FGAC y el FGHM3, así mismo, con los mayores valores de dispersión.

A continuación se presentan las estadísticas descriptivas para la remoción de coliformes fecales .

Estadísticas descriptivas para remoción de coliformes fecales(%)

REMFGAS3 REMFGAC REMFGHM3 REMFGH3 REMFGDS

Media 99 98 93 99 99

Mediana 100 98 96 99 99

Moda 100 99 76 99 91

Varianza 1 3 39 3 4

Desviación típica 1 2 6 2 2

Rango ordinal 6 8 24 9 9

N total 31 31 31 31 31

Considerando la remoción en coliformes fecales se tiene que los mayores promedios los presentan el FGAS3, FGH3 y el FGDS3 y los menores el FGAC y el FGHM3. Las desviaciones en cada una de las remociones son muy similares. Debido a la magnitud de las unidades en coliformes fecales, los valores de remoción deben analizarse más detalladamente, considerando preferiblemente el número de unidades logarítmicas reducidas.

7.2 Gráficos de medias, mínimos y máximos

La presentación gráfica de los datos es una de las etapas fundamentales en el análisis descriptivo del fenómeno estudiado; en este ítem se presentan diversos tipos de gráficos que permiten analizar la eficiencia de los filtros gruesos. Estas gráficas se desarrollaron en la hoja electrónica Excel (Las instrucciones para realizarlas se presentan en el capítulo 11).

• Turbiedad

La siguiente gráfica muestra los valores medios de los efluentes de los filtros gruesos, la desviación estándar y el valor máximo.



so

.. ~

~ ro ~

! 20

~

i :1; ,o

'. 1': .. :i l60 ~ ~ 40

~ .'" 1 20 ):

,GAS, 'GAC

'GAS, 'GAC

fGHM3 FGH3

Medi. ___ MlÚimo

'OHM' 'OH' Media ___ Máximo

.ID

'10 .-._--........ ' .. ~ ~ >201

FGDS3

FGOS3

1111

'00 t 80 i 60 .1 40 ~ ,o

'00 I ID ~

60 1l ~

40 ~

; 20 ~

~

Gráfica de media, desviación estándar y máximos en turbiedad (UNT)

y remoción de turbiedad (%)

Se puede evidenciar, considerando el valor medio, la desviación estándar y el valor máximo, que los mejores efluentes los tienen el FGAS3 y el FGH3, seguidos del FGDS3. Los valores más altos en el efluente suceden en el FGAC y el FGHM3. En el FGAC se observa el mayor valor máximo, así como la mayor dispersión del conjunto de datos analizados.

En la remoción de turbiedad, el FGAS3 es el que mayor media presenta, seguido del FGH3, los filtros de menor remoción son el FGHM3 y el FGAC.

El gráfico de series de tiempo permite visualizar la tendencia de una variable con relación al tiempo de muestreo de los datos, tal como se ilustra en las siguientes gráficas, donde se compara el comportamiento de los filtros FGAC y FGAS3.



1+-----~--~~--~----~----_r----~----~~ 50 70 90 1 lO 130 150 170 190

Día de operación

---FGAS3 --- FGAC

30 +-----~----r_----r_----r_--~~--~----~~

50 70 90 110 130 150 170 190

Día de operación ---FGAS3 ---FGAC

Gráficas de series de tiempo en turbiedad (UNT) y remoción de turbiedad (%)

En el efluente de turbiedad se puede analizar que la tendencia de los filtros es similar; sin embargo, los efluentes del FGAS3 siempre son menores que los del FGAC, y esta característica es la deseable. En la remoción de turbiedad no se evidencia la misma tendencia, presentando el FGAS3 siempre valores mayores de remoción que los valores del FGAC.

Otro gráfico muy útil es el que presenta los valores mínimo, medio y máximo, donde se puede observar y comparar la eficiencia de los filtros gruesos, de manera ágil y clara.



110

150

~ lZ0

J 90

-e 60 ~

30

O

,to

~100 J 80

1 60 ~ ,~ 40 .~

S 20 =c:

o

i""

FGAS3

FGAS3

roo

---

r-'

~

FGAC FGHM3 FGH3 FGDS3

+ Media

1""

'-

FGAC FGHM3 FGH3 FGDS3

+ Media

Gráfica de mínimos, media y máximos en turbiedad (UNT) y remoción de turbiedad (%)

El filtro donde sucede el valor máximo más elevado, en turbiedad, es el FGAC y el filtro que tiene el menor valor máximo es el FGH3. Considerando la definición de rango como la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo, se tiene que el filtro con menor rango es el FGH3 seguido del FGAS3 . Los filtros con mayor rango son el FGAC y el FGDS3 , evidenciando una mayor dispersión de los datos en estos filtros. En remoción, el filtro con los niveles más bajos es el FGH3 y los filtros que tienen los mejores niveles de remoción son el FGAS3 y el FGH3. El filtro con mayor rango es el FGHM3 y el de menor rango es el FGAS3, seguido del FGH3 .


CAPiTULO 7 - EVALUACiÓN DE SISTEMAS PARA TRATAMIENTO DE AGUA POTABLE

• Co/iformes fecales

El siguiente gráfico muestra los valores: medio, desviación estándar y valor máximo del efluente de los filtros gruesos en coliformes fecales.

I , ... ~

~ ~

10000

1000

100

lO

1-

f-

f--

o

_ .•... --_ ..... __ .~-_._--._--....... _------~._---~_._-... -----1 1~

FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3

c:==::J Media ------ Máximo

-- - - -- - -=- -r- f- -- 1------

i- f-- ~.

r-- 1- -r-- t- -

FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3 c:=::::J Media ____ Máximo

FGDS3

----...... _.~

- f--

- f--

t- 1-

FGDS3

120 @

100 I 80 .. 60 1 40 ..

~

20 .i ~

o

Gráfica de media, desviación estándar y máximos en coliformes fecales (UFC/JOOml) y remoción de coliformesfecales (%)

El FGAS3 tiene el menor valor medio y valor máximo, seguidos del FGH3 y el FGDS3. El filtro grueso con el mayor valor medio y el mayor valor máximo es el FGHM3, seguido del FGAC. En la remoción, los menores valores se dan en el FGHM3 y el FGAC. Las mayores remociones suceden en los filtros FGAS3, FGH3 y FGDS3, pero en ninguno de los filtros se evidencian grandes diferencias en sus valores medios y máximos.



A continuación se presenta la gráfica de series de tiempo para el efluente y la remoción de algunos de los filtros gruesos evaluados, en coliformes fecales .

10000

11000

~ e. 100

I ~ a 10

SO 70 90

--- FGAS3

110 130 Día de operación

---FGAC

150 170 190

--- FGHM3

110~i--~~~~~~~--~------~---------------'

:;¡. ~ ~1001 ~. ............... «;;j'*'f' cc:::::::: ::;::w

I , t 90 I '1 .¡

~ ---~,L\t------------------------~ __ __ t \} \1 i 80 I ~

70+1----~----~----r_--~ __ --~----~----~~ SO 70 90

---FGAS3

110 130 Dla de operación

---FGAC

150 170 190

--- FGHM3

Gráfica de series de tiempo en coliformes f ecales (UFC/l00ml) y

remoción de coliformes fecales (%)

En el efluente de coliformes fecales se muestra una tendencia irregular en los filtros gruesos, generando los menores valores el FGAS3 y los mayores valores el FGHM3. En la remoción los mayores valores se dan en el FGAS3 y los menores valores el FGAC.



El siguiente gráfico ilustra los valores mínimo, máximo y media de los efluentes de los filtros gruesos en coliformes fecales.

10 VV'

:-000

... ~

100 ~

10

1

FGAS3 FGAC

110

1 t

70

FGAS3 FGAC

....

L....

FGHM3

+ Media

.~

FGHM3

+ Media

~:-

~

L....

FGH3

~

FGH3

;;.;.;-

~

-

FGDS3

1

FGDS3

Gráfica de mínimos, media y máximos en coliformes fecales (UFC/ 100ml) y remoción de coliformes fecales (%)

Se puede analizar que los menores valores medios se encuentran en los filtros gruesos: FGAS3 y FGDS3 y las mayores medias en el FGHM3 y el FGAC. Los mayores rangos suceden en el FGAS3 y el FGAC y los menores rangos en el FGHM3 y el FGH3. Las mayores remociones se observan en los filtros FGAS3, FGH3 Y FGDS3 y la menor remoción se da en el FGHM3.



7.3 Histogramas

Las gráficas de histograma penniten visualizar la fonna de la distribución del conjunto de datos, la cual se puede comparar con distribuciones teóricas establecidas. Para variables discretas las distribuciones a comparar pueden ser binomial, poisson, geométrica e hipergeométrica, entre otras. En una variable continua las distribuciones a comparar pueden ser unifonne, t-student, nonnal, chi-cuadrado, entre otras.

A continuación, se presentan, para algunos filtros gruesos, los histogramas de turbiedad y remoción de turbiedad, comparado con la distribución nonnal. Las gráficas corresponden al procesamiento realizado en el software estadístico SSPS (las instrucciones se presentan en el capítulo 10). En cada gráfico se observa la desviación estándar (Desv. tip.), el valor de la media (Media) y el número de datos analizados (N).

• Turbiedad 70 T'-----------------------, loor, ------------,

60

50

.~ 40

~ ~ .:: 30

20

10

180

D~sv. tlp. - 18,50

Media - 21

N-294,OO

80

'rO

.:: 40

20

UlIII,~ J~~;". 38g~n~~~a~~~~~nn~~

FGAC - TURBIEDAD (UN1J

47.g.~n~u~M~~a~~

FGBJ - TURBIEDAD (UNT)

60,'---------,

50

40

'g ~ 30

.:: 20

10 Desv. tlp. - 16,01

Media -U

111 11 1 11 1 1 1 1! II I I II I II~ N - 194,OO

4 9 1318n 28~37 424752 5761 FGHM3 - TURBIEDAD (UNT)

Gráfica de frecuencias absolutas para turbiedad

ESTADrSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERrA AMBIENTAL CON SPSS

CAPfTULO 7 - EVALUACiÓN DE SISTEMAS PARA TRATAMIENTO DE AGUA POTABLE

El gráfico de frecuencias del FGAC muestra valores hasta 88 UNT, con frecuencias significativas hasta 53 UNT Y frecuencias máximas entre 3 UNT Y 28 UNT. El FGH3 tiene valores hasta 49 UNT, con frecuencias significativas hasta 28 UNT Y frecuencias máximas entre 4 UNT Y 19 UNT. El FGHM3 presenta valores hasta 57 UNT, con frecuencias significativas hasta 42 UNT Y frecuencias máximas entre 9 UNT Y 18 UNT. Las distribuciones evidencian cierto grado de asimetría con relación al valor medio, con sesgo a la derecha, es decir, las mayores frecuencias se presentan en los valores menores de turbiedad, disminuyendo la frecuencia a medida que aumentan los valores de turbiedad.

Analizando la distribución de frecuencias, el mejor filtro en turbiedad es el FGH3, pues tiene sus mayores frecuencias entre 4 UNT y 7 UNT, superando más de 120 datos en este rango, mientras que el FGAC tiene más de 120 datos en el rango de 8 UNT a 18 UNT.

• Remoción de turbiedad 40~-------'

30

10

I L Dtn.tip.- n ,17

lD111 ~ Mtm - u 0J;!35 :I,J40 ..!,J"U,50U,,,U,eo¡.J.65,J..!,,J..!O ,"""5 eo"""85J,.U,.1.90 J,J'95 N-1U,H

FGAC - remoción en turbiedad (")

60

50

40

~

'; _ 30

~ 20

/

h-~ 10

30.---------,

20

10 /

/ ~

1\ I ni n Dtn.típ..- JI.IJ rlAf1 I ~ MtdM • 11

O ~46 ""52 ..!,J56..!,JeoU,64U,eaU,'2U,'6¡.J.eo,J..!84,J..!88,u92,u96L,LJ N -1f4,1IJ

FGHJ • remoción en turbiedad (")

,\ .\

~

.~ Desv. tlp. - IJ,95

Ittl!diQ - 65

N-194.00

U~~503540"50"9085roU908590~

FGHMJ • remoción en turbiedad (%)

Gráfica de frecuencias absolutas para remoción de turbiedad



El gráfico de frecuencias en remoción de turbiedad para el FGAC muestra valores de remoción entre 35% y 95%, con una gran concentración de datos en el rango entre 50% y 75%. El FGH3 tiene frecuencias de remoción entre e148% y el 96%, con una gran concentración de valores entre 64% y 88%. El FGHM3 presenta frecuencias de remoción entre el 15% y el 95%, con una gran concentración entre 45% y 85%. Las distribuciones de la remoción de turbiedad son simétricas en relación con el valor medio, con una buena aproximación a la curva normal, es decir, las mayores frecuencias se encuentran alrededor del valor medio de la remoción y muy pocas frecuencias en los valores extremos de la distribución de frecuencias. "'-.

Que la distribución de los datos se aproxime a una curva normal es una característica deseable para el proceso de inferencia estadística.

7.4 Tablas cruzadas

El cruce de variables, denominado tablas cruzadas o tablas de contingencia, permite evaluar las frecuencias de una variable, condicionada a los valores de otra variable. En la evaluación de los filtros gruesos es importante analizar la eficiencia de diferentes intervalos de calidad de agua en el afluente.

Considerando rangos de turbiedad en la integrada y rangos de turbiedad en el efluente de los filtros gruesos, se presentan a continuación tablas de contingencia para los filtros FGAS3, FGAC y FGH3, las cuales fueron generadas con el software estadístico SPSS.

En cada tabla la segunda columna muestra los intervalos de calidad del agua afluente (agua integrada) y la primera fila los intervalos efluentes de los filtros gruesos. El término "Recuento", en cada casilla, corresponde al número de datos que cumplen la condición del agua integrada y del efluente del filtro grueso. El primer porcentaje en cada casilla corresponde al nivel porcentual por fila y el segundo porcentaje al nivel porcentual por columna.


CAPfTULO 7 - EVALUACiÓN DE SISTEMAS PARA TRATAMIENTO DE AGUA POTABLE

• Tabla para FGAS3

Tabla de contingencia Integrada * FGAS3 FGAS3

(O-S) (5-lOl (lO-20) (20-301 >30 Total Integrada [0-201 Recuento 9 O O O O 9

% de Integrada 100,0% ,0% ,0% ,0% ,0% 100,0% % de FGAS3 12,2% ,0% ,0% ,0% ,0% 3,1%

[20·401 Recuento 48 54 3 O O 105 % de Integrada 45.7 51.4 2,9 ,0% ,0% 100,0% % de FGAS3 64,9% 56,8% 3,8% ,0% ,0% 35.7%

[40·501 Recuento 6 19 15 1 O 41 % de Integrada 14,6% 46,3% 36,6% 2.4% ,0% 100,0% % de FGAS3 8,1% 20,0% 19,2% 3.4% ,0% 13,9%

[50·1001 Recuento 7 14 42 11 2 76 % de Integrada 9,2% 18.4% 55,3% 14,5% 2,6% 100,0% % de FGAS3 9,5 14.7% 53,8% 37,9% 11,1% 25,9%

>100 Recuento 4 8 18 17 16 63 % de Integrada 6,3% 12.7% 28,6% 27,0% 25.4% 100,0% % de FGAS3 5.4% 8.4 23,1% 58,6 88,9 21.4%

Total Recuento 74 95 78 29 18 294 % de Integrada 25,2% 32,3% 26,5 9,9% 6,1% 100,0% % de FGAS3 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

De la tabla se pueden analizar diversos aspectos: El 35,7% de los valores del afluente estuvieron entre 20 UNT Y 40 UNT yen este caso los valores efluentes se presentaron entre O UNT Y 10 UNT con un porcentaje representativo del 97 ,1 %. Se obtiene que el 25,2% de los datos del FGAS3, se encuentran entre O UNT Y 5 UNT Y el 32,3% entre 5 UNT Y 10 UNT. También se puede analizar que el 84% de los datos del FGAS3 son menores que 20 UNT Y el 57,5% de los datos son menores que 10 UNT.

• Tabla para FGH3

Tabla de contingencia Integrada * FGH3 FGH3

(0·5) (s-lO) (10-20) (20-30) >30 Total Integrada [0·201 Recuento 7 2 O O O 9

% de Integrada 77,8% 22,2% ,0% ,0% ,0% 100,0% % de FGH3 20,0% 1.7% ,0% ,0% ,0% 3,1%

[20-401 Recuento 23 74 7 1 O 105 % de Integrada 21,9% 70,5% 6.7% 1,0% ,0% 100,0% % de FGH3 65.7% 61.7% 8,5% 2,3% ,0% 35.7%

[40·501 Recuento 3 18 17 3 O 41 % de Integrada 7,3% 43,9% 41,5% 7,3% ,0% 100,0% % de FGH3 8,6% 15,0% 20.7% 7,0% ,0% 13,9%

[50·1001 Recuento 2 17 35 20 2 76 % de Integrada 2,6% 22.4% 46,1 26,3% 2,6% 100,0% % de FGH3 5.7% 14,2% 42.7% 46,5% 14,3% 25,9%

> 100 Recuento O 9 23 19 12 63 % de Integrada ,0% 14,3% 36,5% 30,2% 19,0% 100,0% % de FGH3 ,0% 7,5% 28,0% 44,2% 85.7% 21.4%

Total Recuento 35 120 82 43 14 294 % de Integrada 11,9% 40,8% 27,9% 14,6% 4,8% 100,0% % de FGH3 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%



Se puede analizar que el 35,7% de los datos del agua integrada se encuentran entre 20 UNT Y 40 UNT Y para este rango los valores efluentes al FGH3 se tienen entre O UNT Y 5 UNT Y 5 UNT Y 10 UNT en porcentajes de 21 ,9 Y 70,5 respectivamente. Se visualiza que el 11,9% de los datos del FGH3 se dan entre O UNT Y 5 UNT Y el 40,8% entre 5 UNT Y 10 UNT. También se puede analizar que el 80,6% de los efluentes del FGH3 son menores que 20 UNT Y el 52,7% de los datos son menores que 10 UNT.

• Tabla para FGAC

Tabla de contingencia Integrada • FGAC FGAC

(0·5) (5·10) (10·20) (20·30) >30 Total Integrada (0·20) Recuento 7 2 O O O 9

% de Integrada 77,8% 22,2% ,0% ,0% ,0% 100,0% % de fGAC 50,0% 3,1% ,0% ,0% ,0% 3,1%

(20·40) Recuento 7 58 40 O O 105 % de Integrada 6.7% 55,2% 38,1% ,0% ,0% 100,0% % de fGAC 50,0% 89,2% 44,0% ,0% ,0% 35,7%

(40·50) Recuento O 3 26 12 O 41 % de Integrada ,0% 7,3% 63.4% 29,3% ,0% 100,0% % de fGAC ,0% 4.6% 28,6% 18,5% ,0% 13,9%

(50·100) Recuento O 2 20 41 13 76 % de Integrada ,0% 2,6% 26,3% 53,9% 17,1% 100,0% % de fGAC ,0% 3,1% 22,0% 63,1 22,0% 25,9%

> 100 Recuento O O 5 12 46 63 % de Integrada ,0% ,0% 7,9% 19,0% 73,0% 100.0% % de fGAC ,0% ,0% 5,5% 18,5% 78,0% 21.4%

Total Recuento 14 65 91 65 59 294 % de Integrada 4,8% 22,1% 31,0% 22,1% 20,1% 100,0%

--% de fGAC , 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

Se puede analizar que el 35,7% de los datos de la integrada se encuentran entre 20 UNT Y 40 UNT Y en este rango los valores efluentes al FGAC se dan entre O UNT Y 5 UNTy 5 UNTy 10 UNTenporcentajes de 6,7 y 55,2 respectivamente. Se visualiza que el 4,8% de los datos del FGAC están entre O UNT Y 5 UNT Y el 22,1% se da entre 5 UNT Y 10 UNT. También se puede analizar que sólo el 57,9% de los datos del FGAC son menores que 20 UNT, con relación al 84% del FGAS3 y al 80,6% del FGH3 y únicamente el 26,9% es menor que 10 UNT.



7.5 Gráficos de frecuencias acumuladas

Los gráficos de frecuencias acumuladas permiten analizar los niveles de turbiedad y los porcentajes en que estos niveles se presentaron en cada filtro grueso. A continuación se muestran las gráficas de frecuencias acumuladas para los filtros: FGAS3, FGDS y FGHM3. Las gráficas se procesaron en el programa estadístico SPSS.

'''''

75 •

. ~ lO:

~ !O\

.¡:

""

'" '" 25.0 ""O 75,0 100,0 25,0 ""O 15.0 100,0 125,0

FGAS3 FGDS

'''''

'" .~

lO:

~ !O\

.¡:

""

25,0 50,0 75,0 100,0 125.0

FGHM3

Gráfica de frecuencias acumuladas para turbiedad

En el FGAS3 alrededor del 88% de los datos son menores que 25 UNT Y alrededor del 98% de los datos son menores que 50 UNT. En el FGDS alrededor del 80% de los datos son menores que 25 UNT Y alrededor del 98% de los datos son menores que 50 UNT. En el FGHM3 alrededor del 70% de los datos son menores que 25 UNTy alrededor del 95% de los datos son menores que 50 UNT. De estos tres filtros,



según la gráfica de frecuencias acumuladas, el más eficiente es el FGAS3, seguido del FGDS y por último el FGHM3.

7.6 Gráficos de tallos y hojas

Los gráficos de tallos y hojas permiten visualizar en forma detallada la distribución de frecuencias del conjunto de datos. Las salidas que se observan a continuación corresponden al proceso en el software SPSS. En la columna "Frecuency" se presenta la frecuencia absoluta de los datos; en la columna "Steam" se da el valor de los tallos y en la columna "Leaf' se tiene el valor de las hojas para cada tallo.

• Diagrama para el FGAS3

En este caso las máximas frecuencias se dan en los valores menores o iguales a 9 UNT Y las mínimas frecuencias se tienen en los valores mayores o iguales a 20 UNT. Se puede analizar en el diagrama de tallos y hojas que 33 datos de turbiedad tomaron valores entre 2 UNT y 3 UNT; 63 datos tomaron valores entre 4 UNT y 5 UNT; 46 datos entre 6 UNT y 7 UNT y 27 datos entre 8 UNT y 9 UNT, siendo estas las mayores frecuencias.

Diagrama de tallos y hojas para el FGAS3

FGAS3 Stem-and-Lea~ Plot

186

Frequency Stem & Leaf

,00 o 33,00 o 63,00 o 46,00 o 27,00 o 2,00 1

13,00 1 27,00 1 18,00 1 18,00 1 8,00 2 6,00 2 4,00 2 7,00 2 4,00 2 6,00 3 2,00 3

10,00 Extr~m~~

Stem widch: Each leaf:

10,0

2222222333333333 4444444444444444444455555555555 66666666667777777777777 8888888889999 ,\;

223333 4444444555555 66666777 88889999 0111 233 5& 677 9& 011 2 (>=33)

2 case(s) & denotes fractional leaves.



• Diagrama para el fGAC

En el FGAC las máximas frecuencias están en los valores de 5 UNT a 9 UNT Y entre 15 UNT Y 19 UNT. Las menores frecuencias se encuentran en los valores

mayores que 30 UNT. Del diagrama de tallos y hojas se puede evidenciar que 65

datos de turbiedad tomaron valores entre 5 UNT Y 9 UNT; 27 datos entre 12 UNT y 14 UNT; 64 datos entre 15 UNT y 19 UNT y 39 datos entre 20 UNT y 24 UNT,

siendo estas las mayores frecuencias.

Diagrama de tallos y hojas para el FGAC

FGAC 5tem-and-Lea~ Plot

Frequency Stem o; Lea:f

14,00 o 65,00 O

27,00 1 64,00 1 3 9,00 2 26,00 2 17,00 3 12,00 3 8,00 4 6,00 4 1,00 5

15,00 Extremes

5tem tJidth: Each lea:f:

10,0

334444.q 55566666677777888888888999999999 223333.q444.q40; 5555556666777777777788888889999 000111223333444444 55666678889 001134.q& 5678& 023& 6& &

( > =51)

2 case (s)

& denotes fractional leaves.

• Diagrama para el fGH3

Aquí, las máximas frecuencias se encuentran entre los valores de 4UNT y 9 UNT y las menores frecuencias entre los valores de 20 UNT a 32 UNT. Del diagrama de tallos y hojas se puede evidenciar que 16 datos tomaron el valor de 3 UNT, 40 datos se encuentran entre 4 UNT y 5 UNT; 71 datos se dan entre 6 UNT y 7 UNT y 28 datos entre 8 UNT y 9 UNT, siendo estas las mayores frecuencias.



Diagrama de tallos y hojas para el FGH3

FGH3 Stem-and-Leaf Plot

Frequency Stem & Leaf

16,00 o 40,00 o 71,00 o 28,00 o

1,00 1 8,00 1

26,00 1 25,00 1 22,00 1 17,00 2 9,00 2 6,00 2 6,00 2 5,00 2 1,00 3 5,00 3 2,00 3 6,00 Extreme!!!

Stem width: Each leaf:

10,0

3333333& 4444444445555555555 66666666666666666666677777777777777 88888888999999 &

2333 4444455555555 666677777777 88888888899 00000111 2233 445 77& 99& &

22& &

(>~38)

2 case(s) & denotes fractional leaves.

De los diagramas de tallos y hojas, para los tres filtros analizados, el FGAS3 tiene la mejor distribución, debido a que 169 datos tienen valores de turbiedad en el rango de 2 UNT a 9 UNT, seguido del FGH3 con 155 datos en el mismo rango y luego se encuentra el FGAC con sólo 79 datos en este rango.

• Comparaciones de diagramas de tallos y hojas

El diagrama de tallos y hojas compuesto permite comparar dos distribuciones simultáneamente. A continuación se presenta la comparación de los efluentes de algunos filtros gruesos:

• Diagrama para el FGAC y FGAS

La distribución del filtro FGAS muestra las mayores frecuencias en los valores hasta 9 UNT, mientras que en la distribución del FGAC, la concentración de las frecuencias se encuentra entre 8 UNT y 9 UNT y entre 16 UNT y 17 UNT. Así mismo, el FGAS presenta pocos datos mayores a 20 UNT, contrario al FGAC.



Diagrama de tallos y hojas para el FGAC y el FGAS

fGAC 1 JGAI

, .... 1 'l'al.1o ....

33 Ir o 1 2222222333333333 I 44444555 Ir o 1 4444444444444444444455555555555 I

66666677777 I o 66666666667777777777777 I 888888888999999999 Ii o 1I 8888888889999 I

• I1 1 1I • I 223333 Ii 1 1I 223333 I

444444555555 I1 1 1I 4444444555555

66667777777777 11 1 li 66666777

88888889999 11 1 1 88889999

000111 11 I 1 0111

223333 11 2 233

44444455 11 I I 5. 66667 11 2 I 677

8889 I1 2 I 9& 0011 I1 J I 011

3& 11 J 1I 2.

445 11 1 I 67 11 J I 8& 11 J 1I o • I

23& 11 • 1I I 6& • I I & 11 5 1I

1 51 11

bt-.

133 (>-)

• Diagrama para el FGAC y FGHM

El diagrama de tallos y hojas para comparar las distribuciones del FGAC y el FGHM permite analizar que las distribuciones de frecuencias de estos dos filtros son muy similares, con mayores frecuencias en los valores de 8 UNT Y 9 UNT de turbiedad y entre 16 UNT y 17 UNT. Las menores frecuencias se dan a partir de 22 UNT en las dos distribuciones (ver diagrama en la página siguiente).



Diagrama de tallos y hojas para el FGAC y el FGHM

I JGAC I ftllo 1

I I'GIIIII I I ... I ..... 1 [ 33 o 11 1

44444555 o 11 H555555 1 66666671771 o 11 666117777777 1

888888888999999999 o 11 88888888888999999999 1 . [ 1 11 00 1 223333 1I 1 11 2333 1

444444555555 1I 1 11 444445555555 I 66667777777777 11 1 11 66666677777177 1

88888889999 I 1 11 88 888 888999 I 000111 11 00011111 I 223333 11 22233 I

44444455 11 45 1 66667 11 666671777 I

8889 11 88999

0011 11 01

I 3& I 333

445 I 4H5

67 11 8& 11 3 8.

o 11 • 0001

23& 11 • 3.

6& 11 • 6&

• 11 I

11 I 3&

51 11 -- 54 l>el

7.7 Percentiles

Los percentiles son valores que permiten analizar de forma detallada las frecuencias , en general los percentiles más utilizados son el percentil 95 y el percentil 99.

Tabla de valores percentiles en los filtros gruesos en turbiedad

Integrad FGAS3 FGAC FGH3 FGHM3 FGDS

Percentil 05 21,0 3,2 5,0 3,8 5,7 3,9

Percentil 25 30,0 3,9 9,6 6.4 9,2 7,5

Mediana 48,0 8,0 18,0 9,5 17,0 14,0

Percentil 75 84,0 16,0 26,0 18,0 27,0 20,0

Percentil 95 220,0 31,0 51,0 29,0 48,0 39,0

Percentil 99 450,0 68,0 110,0 50,0 100,0 105,0

De la tabla se puede analizar que el 50%, es decir, la mediana de los datos, toman valores menores a 48 UNT en la integrada; 8 UNT en el FGAS3; 18 en el FGAC; 9,5 en el FGH3 ; 17 en el FGHM3 y 14 en el FGDS.


CAPrTULO 7 - EVALUACiÓN DE SISTEMAS PARA TRATAMIENTO DE AGUA POTABLE

El 75% de los datos tiene valores menores a 84 UNT en la integrada; 16 UNT en el FGAS3; 26 UNT en el FGAC; 18 UNT en el FGH3; 27 UNT en el FGHM3 y 20 UNT en el FGDS.

El 95% de los datos toma valores menores a 220 UNT en la integrada; 31 UNT en el FGAS3; 51 UNTen el FGAC; 29 UNT en el FGH3; 48 UNTen el FGHM3 y 39 UNT en el FGDS.

Analizando el percentil95, los mejores filtros son el FGAS3 y el FGH3, seguido del FGDS y por último los filtros FGAC y FGHM3.

A continuación se presentan los gráficos de diversos percentiles para los filtros FGAS3 y FGAC.

Gráficas de valores percentiles para el FGAS3 (1 y 2) en turbiedad



GráfICo de percelltiks JHlrt:l FGAC (1) 1~rl------~--------tl--------~--160 140

~ 120 0::.'00 J 80 ~ 60

Gráficas de valores percentiles para el FGAC (1 y 2) en turbiedad

En términos generales, el FGAS3 presenta valores percentiles menores a los valores percentiles del FGAC, lo cual evidencia la fortaleza del FGAS3 en relación con el FGAC.



7.8 Diagramas de cajas y alambres

Los diagramas de cajas y alambres permiten estimar gráficamente la forma de distribución de los filtros gruesos, éste se puede realizar considerando también valores extremos y valores atípicos u "outliers".

• Turbiedad

En el diagrama de cajas general (a) se puede evidenciar que los filtros más homogéneos en su distribución son el FGAS3, FGH3 y el FGDS, con mayor homogeneidad en la distribución del FGDS, en relación con el valor de la mediana.

Considerando el diagrama con valores extremos y "outliers" (b) se puede evidenciar que en los efluentes de los filtros existen valores extremos, denotados por "o" y valores atípicos u "outliers" denotados por "*" (el número indica la posición de la observación en la base de datos). Los valores atípicos se deben analizar cuidadosamente, con el fin de definir el grado de validez de los mismos .

. ~----------------------~ - ... 110 too •• .... ~

*t ..

*t .. *tAO .....

1100

... .. ..... *t .. ..... *to, ... .... .. ..

*to.

20 -, .. 50 : ... ... ... ... ... ...

FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3 FGDS FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3 FGDS

(a) (b)

Gráfico de cajas y alambres para turbiedad

• Coliformes fecales

En el diagrama de cajas general (a) se puede evidenciar que los filtros más homogéneos son el FGAS3, FGH3 y el FGDS. El filtro con mayor dispersión lo presenta el FGHM3, seguido del FGAC.

Considerando el diagrama con valores extremos (b) se puede evidenciar que en el efluente del FGHM3 no se presentan ni valores extremos ni atípicos, mientras que en los otros filtros se presentan entre 1 o 2 valores extremos y 1 o 2 valores atípicos.



~rl-----------------------------'

=-1500

S ~ 2-,; ~ 1000 u.

J 8 500

01 N-

I

" FGAS3

~ " " " " FGAC FGHM3 FGH3 FGDS

(a)

f500

~ 2-,; ~1ooo u.

I 500

N_

*"

-w, • .... Q,

~ B'

" " 31 " " FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3 FGDS

(b)

Gráfico de cajas y alambres para coliformes fecales

En general, se puede analizar que los mejores filtros gruesos evaluados en cuanto a turbiedad ycoliformes fecales fueron el FGAS y el FGH, seguido del FGDS; por último se encuentran el FGAC y el FGHM. En el porcentaje de remoción los mejores filtros fueron el FGAS, FGDS y FGH, seguidos del FGAC y el FGHM.

Sin embargo, para una adecuada selección de un filtro grueso es necesario analizar otros parámetros de calidad de agua y considerar factores de operación y mantenimiento, así como los costos de inversión inicial, administración, operación y mantenimiento de cada una de las unidades.


CAPíTULO

8 Calidad de aire

Este capítulo presenta el manejo de información asociado a la calidad del aire medido en diferentes estaciones de Santiago de Cali; los datos y la información se tomaron del Departamento Administrativo de Gestión del Medio Ambiente de Cali, a través de su dirección electrónica www.dagmacali.gov.co. También se presenta el manejo de información de la calidad de aire de la ciudad de México, de su Sistema de Monitoreo Atmosférico de Ciudad de México - SIMAT, presentado en su página electrónica (www.sma.df.gob.mx/simat/pnindicadores.htrn). Para los datos de Santiago de Cali se analizan los parámetros dióxido de azufre, material

particulado y ozono.

El aire es una mezcla gaseosa compuesta en un 78% de nitrógeno, un 21 % de oxígeno y un 1 % de gases como bióxido de carbono, ozono, argón, xenón y radón, entre otros. Se considera contaminación del aire a la adición de cualquier sustancia que altere sus propiedades fisicas o químicas.

Debido a la contaminación atmosférica que se prese.nta principalmente en las ciudades, y con el fin de proteger la salud de sus habitantes, se necesita implementar acciones para mejorar la calidad del aire, y el primer paso es medir su calidad, determinando sus causas, y evaluar sus efectos y los problemas fundamentales que se presentan para diseñar un plan acorde con ellos.



Alrededor del mundo se ha encontrado que en los centros urbanos las fuentes móviles son las mayores contribuyentes de emisiones contaminantes a la atmósfera, siendo siempre más significativas, comparadas con las emisiones de fuentes fijas. Un menor aporte de emisiones es ocasionado por fenómenos asociados a las actividades de urbanización, tales como: deforestación, tala de árboles, apertura de vías, erosión de cerros, disposición de escombros, disposición de desechos sólidos y almacenamiento de combustibles, entre otros. A continuación se describen algunos parámetros de calidad de aire.

• Dióxido de Azufre (S02)

Es un gas incoloro de olor característico, constituido por un átomo de azufre y dos átomos de oxígeno en su estructura molecular. Se origina por la combustión o proceso de combustibles que contienen azufre (diésel y combustible) y la fundición de minerales ricos en sulfatos. Se genera principalmente por la industria, seguido de los vehículos automotores. Los compuestos que contienen azufre están presentes en la atmósfera natural no contaminada. Estas sustancias provienen de la descomposición bacteriana de la materia orgánica, de los gases volcánicos y otras fuentes. Sin embargo, su contribución en el balance total de S02 resulta muy pequeña en comparación con las producidas en los centros urbanos e industriales como resultado de las actividades humanas.

El S02 atmosférico puede oxidarse a S03 por diferentes medios y reaccionar con la humedad del entorno (H2S04), los cuales se dispersan en el ambiente en forma de lluvia, niebla, nieve y rocío, dando origen a un proceso de acidificación de la tierra y cuerpos de lluvia (lluvia ácida).

En altas concentraciones, el dióxido de azufre puede ocasionar dificultad para respirar; humedad excesiva en las mucosas de las conjuntivas, irritación severa en vías respiratorias e incluso al interior de los pulmones por formación de partículas de ácido sulfúrico, ocasionando vulnerabilidad en las defensas.

El dióxido de azufre es causante de enfermedades respiratorias como broncoconstricción, bronquitis y traqueítis, agravamiento de enfermedades respiratorias y cardiovasculares existentes y la muerte; si bien los efectos señalados dependen en gran medida de la sensibilidad de cada individuo, los grupos de la población más sensibles al dióxido de azufre incluyen a los niños y ancianos, a los asmáticos y aquellos con enfermedades pulmonares crónicas como bronquitis y enfisema.

La OMS recomienda como límite para preservar la salud pública una concentración de 100 aSO llg/m3 promedio de 24 horas, y de 40 a 60 Ilg/m3 en una media aritmética anual.


CAPITULO 8 - CALIDAD DE AIRE

• Material particulado o partículas (PMJ

En contaminación atmosférica se reconoce como partícula a cualquier material sólido o líquido con un diámetro que oscila entre 0,0002 y 500 micrómetros (¡.tm). En conjunto se designan como partículas suspendidas totales o PST.

Las fuentes de emisión de partículas pueden ser naturales o antropogénicas. Entre las naturales se encuentran: viento, erosión del suelo, material biológico fraccionado, erupciones volcánicas, incendios forestales y polinización de plantas, entre otros. Entre las fuentes antropogénicas se encuentran: combustión de productos derivados del petróleo, quemas en campos agrícolas, fertilización y almacenamiento de granos, la industria de la construcción y diversos procesos industriales.

Las partículas pueden tener una composición fisicoquímica homogénea o estar constituidas por diversos compuestos orgánicos e inorgánicos. Entre los componentes orgánicos se encuentran: fenoles, ácidos, alcoholes y material biológico (polen, protozoarios, bacterias, virus, hongos, esporas y algas). Entre los compuestos inorgánicos se encuentran nitratos, sulfatos, polímeros, silicatos, metales pesados (hierro, plomo, manganeso, zinc o vanadio) y elementos derivados de pesticidas y plaguicidas. Las partículas se clasifican de acuerdo con su efecto en la salud humana, como producto derivado de un proceso natural o antropogénico y por sus características físicas:

Partículas sedimenta bies (> 10/-1m ). Son partículas que por su peso tienden a precipitarse con facilidad, razón por la cual permanecen suspendidas en el aire en períodos cortos. Por lo general no representan riesgos significativos para la salud.

Partículas menores a 10 micrómetros (~ 10/-1m ) (PMlO)' Son partículas de diámetro aerodinámico equivalente o menor a lOllm. Se consideran perjudiciales para la salud debido a que no son retenidas por el sistema de limpieza natural del tracto respiratorio.

Partículas menores a 2,5 micrómetros (~ 2,5/-1m). Son partículas de diámetro aerodinámico equivalente o menor que 2,5 ¡.tm. Representan un mayor riesgo para la salud humana, pueden ser un factor de muerte prematura en la población.

El material particulado puede tener efectos negativos en la salud y bienestar del hombre, ya que puede contribuir a aumentar las enfermedades respiratorias como la bronquitis y agudizar los efectos de otras enfermedades cardiovasculares. Así mismo, afecta la visibilidad y velocidad de deterioro de muchos materiales hechos por el hombre.

El riesgo a la salud por partículas lo constituye su concentración y el tiempo de exposición en el aire, sin embargo, el tamaño es la característica física más importante



para determinar su toxicidad y efectos en la salud humana. Las partículas mayores a 10 11m son retenidas básicamente en las vías respiratorias superiores y eliminadas en su mayor parte por el sistema de limpieza natural del tracto respiratorio, por lo que no son consideradas significativamente dañinas para la salud; sin embargo, la exposición continua a altas concentraciones puede causar irritación de garganta y mucosa.

Las PMIO (fracción respirable) no son retenidas en las vías respiratorias superiores, cerca de un tercio penetra hasta los pulmones. Su efecto depende de su composición química, pueden producir irritación de las vías respiratorias, agravar el asma y favorecer las enfermedades cardiovasculares. En el corto plazo la contaminación por PM¡o puede causar deterioro de la función respiratoria y en el largo plazo se asocia con el desarrollo de enfermedades crónicas, el cáncer o la muerte prematura.

• Ozono (03)

El ozono es un gas altamente reactivo, de color azul pálido, constituido por tres átomos de oxígeno en su estructura molecular. Este se puede clasificar en dos grandes grupos: ozono estratosférico y ozono troposférico.

Ozono estratosférico. Se origina en forma natural en la estratosfera (entre 12 km y 50 km a partir del suelo) mediante la fotodisificación del oxígeno producida por la radiación solar ultravioleta; se concentra en una capa delgada denominada ozonosfera, la cual filtra y modera la radiación solar ultravioleta y otras partículas energéticas que inciden sobre la superficie terrestre. Esta acción protectora de la capa de ozono permite que se lleven a cabo diversos procesos en los ecosistemas naturales: en la célula evita que se rompan las moléculas de ADN y enlaces de carbono. En los últimos cincuenta años la emisión de clorofiuorocarbono (CFC), usado en equipos de refrigeración, aire acondicionado, aerosoles y esponjas plásticas, ha provocado el deterioro y debilitamiento de la ozonosfera en un orden de 3% cada diez años.

Ozono troposférico. En la troposfera (de O km a 12 km a partir de la superficie terrestre) el ozono se produce por la reacción fotoquímica de óxidos de nitrógeno (NOx) y compuestos orgánicos volátiles (COY' s) derivados del uso de combustibles fósiles, los cuales se denominan precursores del ozono. La reacción fotoquímica se produce cuando los NOx y los COY's reaccionan con la luz solar, lo que produce

un átomo libre de oxígeno (O). Este átomo libre puede adicionarse a una molécula de oxígeno (02) y formar una molécula de ozono (03), El proceso es reversible y está condicionado por la intensidad de la radiación solar.

La OMS recomienda como límite para preservar la salud pública una concentración de ozono de 0,05 a 0,10 ppm (partes por millón) por hora, cada tres años.



El ozono se considera uno de los contaminantes de mayor preocupación en la actualidad, ya que es altamente oxidante y afecta los tejidos vivos, se asocia con diversos padecimientos en la salud humana. Los individuos que viven en zonas donde se registran regularmente concentraciones altas de ozono presentan diversos síntomas como: irritación ocular, de nariz y garganta, tos, dificultad y dolor durante la respiración profunda, dolor subesternal, opresión en el pecho, malestar general, debilidad, náusea y dolor de cabeza. Por otra parte, los daños por exposición al ozono dependen de la sensibilidad de cada individuo y del tipo de exposición. El ozono causa severos daños al follaje de algunas variedades de plantas y en otras reduce significativamente su crecimiento.

• Otros indicadores de calidad de aire

El monóxido de carbono es un gas incoloro e inodoro, que en concentraciones altas puede ser letal. La principal fuente antropogénica de monóxido de carbono es la quema incompleta de combustibles como la gasolina. Para que se complete el proceso de combustión es necesario que haya una cantidad adecuada de oxígeno. Cuando éste es insuficiente, se forma el monóxido de carbono y una manera de reducirlo es exigir que los automóviles sean sincronizados debidamente para asegurar la mezcla del combustible con el oxígeno. Por esta razón, los reglamentos de inspección de automóviles han sido útiles para controlar el monóxido de carbono.

El monóxido de carbono es especialmente problemático en zonas urbanas con gran número de automóviles. El volumen del tránsito y el clima local influyen sobre su concentración en el aire. Los efectos sobre la salud dependen de la concentración y duración de la exposición. El monóxido de carbono en los seres humanos afecta el suministro de oxígeno en el torrente sanguíneo. La exposición al monóxido de carbono puede agudizar las enfermedades del corazón y del pulmón. El peligro es más evidente en nonatos, neonatos, ancianos y en quienes sufren enfermedades crónicas.

Los óxidos de nitrógeno son un grupo de gases conformados por nitrógeno y oxígeno. El nitrógeno es el elemento más común y representa el 78% del aire que respiramos. Los óxidos de nitrógeno incluyen compuestos como óxido nítrico (NO) y dióxido de nitrógeno (N02). El término NOx se refiere a la combinación de estas dos sustancias. Las fuentes más comunes de óxidos de nitrógeno en la naturaleza son la descomposición bacteriana de nitratos orgánicos, incendios forestales y de pastos, y la actividad volcánica. Las fuentes principales de emisión antropogénica son los escapes de los vehículos y la quema de combustibles fósiles.

El óxido nítrico es relativamente inofensivo, pero el dióxido de nitrógeno puede causar efectos en la salud. En el proceso de combustión, el nitrógeno en el combustible



y aire se oxidan para fonnar óxido nítrico y algo de dióxido de nitrógeno. Los óxidos

nítricos emitidos en el aire se convierten en dióxido de nitrógeno mediante reacciones

fotoquímicas condicionadas por la luz solar. El dióxido de nitrógeno daña el sistema

respiratorio porque es capaz de penetrar las regiones más profundas de los pulmones.

Así mismo, contribuye a la fonnación de la lluvia ácida.

• legislación ambiental

El gobierno nacional, a través del Ministerio de Transporte y mediante nonnas como el

Estatuto del Transporte para el transporte masivo (No. 3109 de 1997), ha contribuido

a definir lineamientos necesarios para la correcta planificación, ejecución y control

de dichos proyectos, centrando su atención en las grandes ciudades que integran

polos de desarrollo industrial y comercial. Para el análisis del comportamiento de

la contaminación es preciso realizar una comparación de los valores registrados de

cada contaminante con la nonna nacional vigente para emisiones atmosféricas (D.L.

02/82). Para poder aplicar esta nonna deben calcularse los valores específicos de

acuerdo con la temperatura promedio y la presión atmosférica de cada ciudad. Los

valores para Cali se muestran en la Tabla 8.1.

Tabla 8.1 Normativa de calidad del aire para diversos parámetros.

Nonna Nonnapare Pmmetro SirmoIo Condición lIICionaI o candici6n

EPAnl local 121

la máxima concentración de una muestra recolectada en forme continua

Partlculas durante 24 horas que se pueda sobrepasar por una sola vez en un 131 150 pg}m3

menores periodo de 12 meses.

de 10 PMIO

micrómetros la concentración promedio de una muestra recolectada en forma continua durante 24 horas que se pueda sobrepasar por una sola vez en 13150pg/m3 un periodo de 12 meses.

El promedio aritmético de los resultados de todas las muestras diarias recolectadas en forma continua durante 24 horas en un intervalo de 12 100pg}m3 34.22 ppb meses, no debe exceder la norma.

Dióxido la máxima concentración de una muestra recolectada en forma continua

802 durante 24 horas que se puede sobrepasar por una sola vez en un 400pg}m3 136.61 ppb de azufre periodo de 12 meses.

la máxima concentración de una muestra tomada en forma continua durante 3 horas que se puede sobrepasar por sólo una vez en un periodo 512.29 ppb de 12 meses.





Norma Nonnapara Par6metro SInmoIo CandiI:i4n nacional O condición

EPAI11 1ocaI 12l

la máxima concentración de una rooestra recolectada en forma continua 15000¡.¡g/mJ 11.72 ppm

durante 8 horas.

Monóxido CO

de carbono la máxima concentración de una muestra tomada en forma continua durante 1 hora que se puede sobrepasar por sólo una vez en un período 39.06 ppm de 12 meses.

Dióxido de El promedio aritmético de los resultados de todas las muestras diarias

nitrógeno N02 recolectadas en forma continua durante 24 horas, en un intervalo de 12 100¡.¡g/mJ 47.61ppb meses, no debe exceder la norma.

la mbima concentración de una muestra tomada en forma continua Ozono 03 durante 1 hora que se puede sobrepasar por sólo una vez en un periodo 170¡.¡g/mJ 77.57 ppb

de 12 meses.

111 2S' C y 1 atmósfera 121 2S.2'C y 0.89 atmósfera 131 Norma EPA

• Red de monitoreo de calidad del aire de Santiago de Cali

La red de monitoreo de Santiago de Cali está constituida por ocho estaciones automáticas, la ubicación de las estaciones fijas se ilustra en la Figura 8.1 y los parámetros medidos en cada una se consignan en la Tabla 8.2.

- ..:-- - - J M.CAUII ... _........ I

IJU"'iUfAIWfQ ...... TUtwo M &un6N ........ .--:NR . ........

Figura 8.1 Ubicación geográfica de estaciones de monitoreo de calidad de aire en Santiago de Cali (www.dagmacali.gov. co).



Tabla 8.2 Ubicación de las estaciones de monitoreo y parámetros medidos en Santiago de Cali (www.dagmacalLgov.co).

Identificaci6n Meteoro· Par"'tros medidos

(Abreviatural logia PMIl NO. CO S02 03

t : >~ ~'i . Centro Diagnóstico ,.: ,' .... 1.';-, ~':';'''.:

.¡" t '''~~ Automotor del Valle

,

. " . (",' . )",'" '.,

.' . (CDAVI

~~-,y.;

,;

BA Marco Fidel Suárez /" :" U-."

2 ,,:'~:' ,,; ~;

(BA) , ,

l ~~ ",L~ , , .:1:' ,);;"(

''l'-•• '~ 1", , .,":'1.

3 Hospital Universitario del Valle (HUV) ¡::', -' ,-~. . ,;

' .. :1 '~',:

",,:'.:' ,:>,.,'~ ,.' ..

r:·~·>: '. 4

Polideportivo El Diamante ; "'-~:" t'~ .. /

(PPD) ',,,:, ""

5 CVC Pance

t ..... ~. ..' t-,- .. ,,! 1:+:..:"« , !,-":

6 Escuela República Argentina (ERA) '*,;:. l,'. ,{~ ,,{:.'t'!:';;

""';'~'. .... ... ~ .. ~ ""',

7 Universidad del Valle

l .: ,:j;, (UV) ,e,""l lo;

8 Calle 15 '~ ~.: ;,¿ ,

:

La Tabla 8.3 presenta diversos indicadores descriptivos, utilizados para analizar los parámetros evaluados por el SIMAT, Sistema de Monitoreo Atmosférico de Ciudad de México, y presentados en su página de intemet (www.sma.df.gob.mxIsimatl pnindicadores.htm). Por la importancia que tienen los indicadores de calidad del aire y meteorología, estos se elaboraron con criterios de suficiencia de información, que consideran el tipo de dato y el desempeño de las estaciones de monitoreo en Ciudad de México.



Tabla 8.3 Indicadores descriptivos para el resumen de datos de calidad de aire.

(www.sma.dfgob.mx/simat/pnindicadores.htm)

Indicador Descripción Tipo de dato Par6metro

Señala los eventos extremos. Es sensible a cualquier Máximo diario 03. N02. CO. Máximo suceso extraordinario (incendios. desfogues industriales. S02. PST.

eventos meteorológicos. etc.). Colecta de 24 horas PMlO

TOP 30 Señala los eventos extremos recurrentes. mitiga la

Máximo diario 03 influencia de sucesos extraordinarios.

Al ordenar una población de datos de menor a mayor. Percentil un percentil señala la concentración que acumula un

determinado porcentaje del total.

Concentración que acumula 90% de los registros. Ca· Promedio horario

Percentil 90 racteriza el comportamiento de los registros máximos de un contaminante. evita la influencia de eventos

Máximo diario 03. N02. CO. extraordinarios. S02. PST,

Concentración que acumula el 75% de los registros. Promedio diario PMlO

Percentil 75 Caracteriza el comportamiento de registros cotidianos Colecta de 24 horas de un contaminante. al evitar los valores altos.

Concentración que divide en dos al total de registros. Percentil 50 (mediana) Caracteriza el comportamiento de registros cotidianos.

evidencia aumentos generales.

Promedio diario Permite evaluar el cumplimiento de normas de protección S02. PST.

Promedio a la salud y el comportamiento anual de algunos paráme· Colecta de 24 horas PM1o. pH. tras. Es sensible a valores extremos. NOj. S04

Colecta semanal

Promedio trimestral Permite evaluar el cumplimiento de la norma de protección

Colecta de 24 horas Pb a la salud por concentración de plomo.

Indica indirectamente un nivel de riesgo por exposición Promedio horario Promedio superior a un limite a concentraciones superiores al valor de una norma de 03. PMlO

protección a la salud. Colecta de 24 horas

Promedio horario

Indica la frecuencia de valores de un contaminante en Promedio móvil 03. N02. CO.

Intervalos intervalos especificas. algunos se asocian a los límites S02. PST. permisibles definidos en las Normas Oficiales Mexicanas

Colecta de 24 horas PM10. pH. de Salud Ambiental. N03. S04

Colecta semanal

Muestra el comportamiento de un contaminante en el 03. N02. CO.

Comportamiento tipico diario transcurso del dia. Permite asociar con la intensidad de Promedio horario S02 las actividades antropogénicas

ESTADisTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERiA AMBIENTAL CON SPSS 203


8.1 Gráficos de estadísticas descriptivas

• Material particulado, PMro

En la gráfica se presenta el promedio anual de material particulado menor de 10 micrómetros, PMIO, en relación con la norma anual de 50 Jlglm3

. Las estaciones Centro de Diagnóstico Automotor del Valle (CDAV) y Calle 15 reportan valores superiores a la norma anual definida, mientras que las estaciones Marco Fidel Suárez (BA), Polideportivo El Diamante (PPD) y Escuela República Argentina (ERA) están por debajo de la norma anual.

60,00

50,00

i 40,00 .. ~9

30,00 g .. .. 20,00 <.> .. a 10,00

0,00 COAV BA POO ERA CALLE 15

Es/ación Promedio anual - Norma anual 50 "g/m3

Gráfica de material particulado menor a J O micrómetros. (www.dagmacali.gov.co)

En la Tabla 8.4 se presentan las frecuencias para diversos intervalos de material particulado PM 1 O·

Tabla 8.4 Distribución promedio de material particulado en algunas estaciones de la ciudad de Santiago de Cali. Abril - noviembre de 2004. (www.dagmacali.gov.co)

Distribución de frecuencias para promedio PMlO por Estación Intervalo (Recuento de dlas)

CDAV BA PDD ERA

< 50 pg/m3 85 (19.5%1 87 (35.7%1 85 (36.6%1 181 (43.5%1

51.100 pg/m3 132 (30.3%1 34(13.9%1 30 (12.9%1 27 (6.5%1

101 ·150 pg/m3 1 (0.2%1 1 (0.4%1 1 (0.4%1 0(0.0%1

Total 218 (50.0%1 122 (50.0%1 116 (50.0%1 208 (50.0%)


CAPiTULO 8 - CALIDAD DE AIRE

Observando la tabla se concluye que valores menores de 50 ~glm3 se dan el 39% de las veces en la estación CDAV, el 71,3% en la estación BA, el 73,3% en la estación PDD y el 87% en la estación ERA. En el rango de 51 ~glm3 a 100 J.lglm3 se muestran el 60,5% de los datos en la estación CDAV; el 27,8% en la estación BA; el 25,8% en la estación PDD y el 13% en la estación ERA.

La siguiente gráfica muestra la serie de tiempo para la concentración máxima PM 1 0,

en algunas estaciones monitoreadas de Santiago de Cali.

100

i zso

i ZOO

j 150 ·

~ 100 -

I <:l 50 -

- CDA V -poo ~ERA ~-BA --Nor",lIdillf';tI

Gráfica de series de tiempo anual para concentración máxima de material particulado, PMlO (2004) .

La serie de tiempo de la concentración máxima, PM 10, permite visualizar que en general la estación CDAV presenta muy frecuentemente valores por encima de la norma de PM lO, con valores más elevados en los meses de mayo y julio, disminuyendo sus niveles en los meses de octubre a diciembre. La estación PDD, en los meses monitoreados, muestra valores máximos por debajo de la norma, excepto en el mes de mayo; de igual forma la estación ERA reporta valores por debajo de la norma, excepto en octubre. La estación BA tiene los valores más altos de las estaciones graficadas en junio y julio, también evidencia los valores más bajos en julio y agosto.

La siguiente gráfica muestra el comportamiento semanal, diario y horario en algunas estaciones de monitoreo de la red de Santiago de Cali.



80

60 I __ ::-f. -3 40

';.. , 20

o l' , - 'i COAV BA POD ERA CVC CALLE 15

o Domingo C Lunl!s • Martes O Miércoles • Jueves • Viernes • Sdbado

Gráfica del comportamiento semanal de PM¡o. Enero de 2004 (www.dagmacali.gov.co)

Aunque no se puede observar una tendencia general para el comportamiento semanal en las diferentes estaciones, las mayores concentraciones se muestran generalmente los jueves para las estaciones BA, PDD, CVC y Calle 15; el martes para la estación CDAV y el miércoles para la estación ERA. Las menores concentraciones se dan el domingo para las estaciones CDAV, CVC y Calle 15; y el lunes para las estaciones restantes (www.dagmacali.gov.co). La estación ERA muestra las menores concentraciones de material particulado en el mes graficado y las mayores concentraciones se dan en las estaciones CDAV y Calle 15.

La siguiente gráfica presenta el comportamiento diario de PM lOen enero, en algunas estaciones monitoreadas en la ciudad.

1~r.1======================================~~ 140

120

::- 100

l 80 -3

• 60 ~ 40

20

o I-~,~- \.J V

206

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Dias (t)

--CDAV -+- BA --PDD ---..-CVC ~ERA -+-CA LLE/5 --- NormadiariaI50pg!m3

Gráfica del comportamiento mensual de PMlO. Enero de 2004. (www.dagmacali.gov.co)


CAPfTULO 8 - CALIDAD DE AIRE

Se pueden apreciar concentraciones bajas y poco variables durante los primeros diez días del mes en las estaciones graficadas y un comportamiento variable que alcanza concentraciones mayores en la estación Calle 15 y CDAV, a partir del día 8 (www. dagmacali.gov.co). La estación que evidencia los menores valores de PMIO es la estación CVC, seguida por las estaciones PDD y ERA.

En la siguiente gráfica se muestran las máximas concentraciones horarias en algunas de las estaciones monitoreadas. Se puede ver que, a excepción de la estación CVC - Pance, ubicada en la zona rural, las máximas concentraciones ocurren entre las 10 Y 12 horas, con un incremento de las concentraciones a partir de las 18: 00 horas, excepto para la estación PDD que mostró una disminución progresiva a partir de las 18 horas (www.dagmacali.gov.co).

........ ~.,

~ '-~ .... ~

100

80

60

40

20

o o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 23

horas (1)

ERA -+--CALLE 1 5

Gráfica del comportamiento horario promedio de P Mi O. Enero de 2004 (www.dagmacali.gov.co).

• Dióxido de azufre (S02)

La siguiente gráfica muestra la concentración promedio de dióxido de azufre en estaciones de Santiago de Cali.



40

130 ~

120 , 1 ~ 10

él

O +1_.1..-......... CDAV BA PDD ERA

Estación

Concentración promedio anual -Norma anual 34,ZZ ppb

Gráfica de concentración promedio de dióxido de azufre (SO» (www.dagmacali.gov.co)

En las estaciones CDAV, BA, PDD Y ERA los niveles de concentración promedio de S02 son menores que la norma anual establecida, que es de 34,22 ppb, mostrando las estaciones graficadas valores medios menores o iguales a 10 ppb. El mayor promedio de concentración lo dan la estación CDAV, seguido de las estaciones BA, ERA y el menor promedio la estación PDD.

La siguiente gráfica muestra la serie de tiempo anual de la concentración máxima de S02 (ppb) en cuatro estaciones monitoreadas en Santiago de Cali.

~~-7--~-C~~~~--~~--~-C~--~~--~~--~~~--~~--~

1 100 !{

t 10

J <.l

. .

~~:

. . . 'TT:'" : ....•.. l •. . ,.

-~~---~~~~ .. ~~~~~--~~~

208

~CDAV ~-BA -7" PDD ~ERA --Norma diaria 136,61 ppb

Gráfica de series de tiempo anual para la concentración máxima de S02



Se puede apreciar que en general las estaciones graficadas están por debajo de la norma diaria establecida que es de 136,61 ppb, excepto la estación CDAV con un valor superior a la norma en noviembre. De marzo a julio la estación PDD evidenció en general las menores concentraciones máximas de S02. De octubre a diciembre la estación que mostró los valores más altos fue la CDAV y la estación que dio los valores más bajos fue ERA.

La siguiente gráfica muestra los valores promedios horarios de concentración de

S02·

20 ····t~··············· liS .................. ... _.*. :* .. \ ..................... - ....... .

~ .. 10 . • --: ............. /(~ . . ..... ~ ..... . ~ .. :-~;- .~ :~ .. ~ • .

: ... .. * • .. * .. * * s ~ ~ .• ~ . :.~ .: ... ~ ... : .. : ·~ :.: Jo:.::::1"-'·*·~ ·..:a .. ii ..:.:_-·~ .. ~~7~ .. ·_·. :... :;.·

:tE JI( ~( JK - )k '.:+: -l!(. ~ )I(- - )K ~( )j( )K )K )K JI( ::+: )K o

o 1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 1 S 16 17 18 19 20 21 22 23

horas (1)

_ COA V -*- BA .. -. --_. POI) _ ERA

Gráfica de concentración promedio horaria de S02 (www. dagmacali. gov.co)

Se observa que en el comportamiento horario para las concentraciones de S02, en las diferentes estaciones, los valores máximos se dan entre las 9 y las 11 horas. Las estaciones CDAV y BA muestran un segundo valor máximo, más bajo que el primero, entre las 20 horas y las 21 horas, aproximadamente. Estos valores máximos coinciden con las horas de mayor densidad de tráfico. También se observa que la estación con mayor concentración es la CDAV, seguida de la BAy las menores concentraciones las tienen las estaciones PDD y ERA.

La siguiente gráfica muestra el comportamiento semanal, diario y horario, en algunas estaciones de monitoreo de la red de Santiago de Cali.



20.---------------------------------------------~

15

1 10 ~'

5

o CDAV BA PDD ERA o Do",ingo CJ Lunes • Martes O MUrcoles • Jueves • Viernes • Sábado

Gráfica de concentración promedio semanal de S02 (www.dagmacali.gov.co)

Se observa que las menores concentraciones se dan el domingo, debido posiblemente a la disminución del tráfico y de las actividades laborales. En general las mayores concentraciones de S02 se muestran el martes para las estaciones CDAV, BAy PDD; y el miércoles para la estación ERA. Se puede analizar que la estación CDAV da los niveles más altos de S02 en los diferentes días de la semana, seguida por la estación BA. En la estación ERA se observan los menores niveles de concentración de S02, seguida de la estación PDD.

• Ozono (03)

La siguiente gráfica presenta la máxima concentración horaria de ozono en dos estaciones monitoreadas: PDD y CVc.

210

aeJJO¡ 84.00

82.00

i 80.00 -5 c" 78.00

76.00

74.00

72.00 +1------~----~~------~----~--------~----~

PDD O/e

= Máximo J hora - Norma horaria 77.57 ppb

Gráfica de máxima concentración horaria de ozono. Enero de 2004 (www.dagmacali.gov.co)



Se puede apreciar que, en el mes graficado, se excedió la norma horaria tanto en la estación PDD como en CVC zona rural (www.dagmacali.gov.co). En la estación PDD el valor máximo fue superior a 84 ppb de ozono y en la estación CVC la concentración máxima de ozono supera las 80 ppb.

En las siguientes gráficas se presenta el comportamiento horario de ozono en las estaciones Polideportivo El Diamante (PDD) y CVC Pance, para los diferentes días de la semana.

60

50

Polideportivo El Diamante

>- .

60

50

CVCPance

o 1 2 3 4 5 8 7 8 9 101112 13 14 15 18 17 181920 21 22 23 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 14 1516 17 181920 21 22 23

¡Domingo -.- · LI,II\f'~ Io4Irt.. Mi6rcoIes ........ - J\M'ItI ____ V¡emeS--"-- $M)ado

\

Gráfica de comportamiento horario del ozono 03. Enero de 2004. (www.dagmacali.gov.co)

En la gráfica se observa que la tendencia del valor del ozono es similar en cada uno de los días analizados en las estaciones PDD y CVC-Pance. El comportamiento horario de 0 3 en enero de 2004 muestra que las mayores concentraciones promedio de este contaminante se dan a las 13:00 horas en la estación PDD y a las 15:00 horas en la estación CVC- Pance (www.dagmacali.gov.co). Los menores valores de 03 se evidencian en las primeras hod s; desde las O hasta las 8 horas, a partir de lo cual se observa un incremento signifibativo hasta alcanzar el valor máximo de 03 y disminuye nuevamente hasta alcanzar niveles bajos a partir de las 18 horas en la estación PDD y de las 20 horas para la estación CVC-Pance.

8.2 Histogramas

• Material particulado, PM,o

A continuación se observan los histogramas del material particulado, PM¡O, en las estaciones CDAV, PDD y ERA, los cuales se comparan con la distribución normal.



Estación: J CDAV 800

600

'~ ~ 400 ~

200

_"'·J2.'1 Mtfif-j7

.......... u,u ........ .1,I-I,Ju,u,J-li"'i"'i'''''' N·l121."

42031152 6884100116132148164111196

PMII

Es/ación: 6 ERA

700

600

500

3 15 n ! 51 ~ ~ u • mlDl! 147

PM"

400

300

'1200

'"

100

Estación: 4 PDD

W~JIIQ¡~II~I~1151!m

PM"

_.'14.14 II ... ·'J N'u;~"

_. - 2lJf

M ... ·" N·Ufl."

Gráfica de frecuencias absolutas para material particulado (P Mi oJ

En la estación CDAV se dan frecuencias en material particulado, PM IO, hasta 196 Ilg/m3, con las mayores frecuencias en el rango de 20 Ilglm3 a 68 Ilglm3, así mismo se evidencia un buen ajuste de la distribución a la curva normal. El promedio en la estación es de 57 Ilglm3 y una desviación estándar de 32,4 Ilglm3.

En la estación PDD se observan frecuencias hasta 137 Ilg/m3, con las mayores frecuencias en el rango de 141lglm3 a 591lglm3, evidenciándose un buen ajuste de la distribución a la curva normal. El valor promedio en esta estación es de 44 Ilglm3 con una desviación estándar de 25 ,2 Ilg/m3.



En la estación ERAse observan frecuencias hasta 147 ¡..tglm3, con su máxima concentración

en el rango de 15 ¡..tglm3 a 63 ¡..tglm3, evidenciándose un buen ajuste a la curva normal.

El valor promedio es de 43 ¡..tglm3 con una desviación de 24,94 ¡..tglm3.

En general, las estaciones PDD y ERA evidencian la misma tendencia sin diferencias significativas en los valores promedios de PM 1 O. También se puede evidenciar que de las estaciones graficadas solo la CDAV muestra frecuencias por encima de la norma anual de PM JO, pero con pocas frecuencias en estos valores.

• Dióxido de azufre (SD2)

En la siguiente gráfica se observan los histogramas de la variable dióxido de azufre, S02, en las estaciones CDAV, PDD y ERA.

Est.ción: J CDAV Est.ción: 4 PDD 1000.--------, 500.-------,

800

200

Dm. n,. ·',H Mp -',7

J,I,I,l,J,l,l,l,LM1IL,I,1,I,l.w;t_ N-'JIf,H

I~u~~~~w~m~~~ J~U~UU~u~~u.u

SO, SO,

E,"ción: 6 ERA 7011 .---------,

6011

500

200

1011 -.. "" M"· ~, I

J,U,LJ,LI,IJI,U,U,u,u.,u,u,IJ;I:I;J N -11"'" J 1) ¡1 11 il 1)11 1111 ".I1lJl11~1

SO,

Gráfica de frecuencias absolutas para el dióxido de azufre (SO))

En la estación CDAV se muestran frecuencias de dióxido de azufre, S02, hasta valores de 39,2 ppb; con concentración máxima de frecuencias en el rango entre 0,8 ppb Y



10,4 ppb; con un valor medio de 9,7 ppb Y una desviación estándar de 9,06 ppb. La forma de la distribución se concentra en los valores menores a 13,6 ppb. A partir de este valor las frecuencias disminuyen sustancialmente, la gráfica de la distribución presenta sesgo hacia el lado izquierdo.

En la estación PDD se observan frecuencias hasta 13,7 ppb; con una concentración máxima de frecuencias en el rango entre 0,3 ppb y 4,8 ppb; con un valor medio de 3,3 ppb y una desviación estándar de 2,51 ppb. La forma de la distribución es asimétrica, concentrándose la mayoría de valores hacia la franja izquierda de la gráfica y muy pocos valores mayores a 7,0 ppb.

En la estación ERA se dan valores en la distribución hasta 14,7 ppb, con concentración de frecuencias en el rango entre 0,3 ppb y 3,9 ppb; con un valor medio de 4,1 ppb y una desviación estándar de 4,58 ppb. La forma de la distribución es asimétrica en cuanto al valor medio, con sesgo alIado izquierdo.

De las estaciones graficadas sólo la CDAV evidencia valores por encima de la norma anual de S02, con bajas frecuencias.

8.3 Tablas cruzadas

Realizando un cruce de variables entre dióxido de azufre S02 y material particulado, PM 1 0, se muestran tablas de contingencia en tres estaciones monitoreadas en la ciudad de Cali. A continuación se dan los resultados de la estación CDAY.

• Estación COA V

Tabla de contingencia PMIO *S028

S02 Total

10·201 (20-40) [40-60) >60

Recuento 2266 63 6 O 2335 <50 % de PM lO 97,0% 2.7 ,3% ,0% 100.0%

% de 502 49,8% 15.4% 11,8% ,0% 46,5%

Recuento 1904 245 21 8 2178 (50·100J % de PMlO 87.4% 11,2% 1,0% .4% 100.0%

PMlO % de 502 41,9% 60,0% 41,2% 50,0% 43.4%

Recuento 316 85 17 7 425 (100·150) % de PMlO 74.4% 20,0% 4,0% 1.6% 100,0%

% de 502 6,9% 20,8% 33,3% 43,8% 8,5%

Recuento 61 15 7 1 84 >150 % de PM,o 72,6% 17,9% 8,3% 1,2% 100,0%

% de 502 1,3% 3.7% 13.7% 6,3% 1.7% Recuento 4547 408 51 16 5022

Total % de PMlO 90,5% 8,1% 1,0% ,3% 100,0% % de 502 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

a. Estación - CDAV



En esta estación el 46,5% de los datos muestreados del material particulado PM 1 O, da

concentraciones menores a 50 ¡¡glm3 y el 43,4% se encuentra entre 50 ¡¡glm3 y lOO

¡¡glm3, es decir, en estos dos intervalos se halla el 89,9% de los datos de PM\O.

Para dióxido de azufre, S02, se observa que 90,5% de los datos se encuentran en el

rango de O ppb a 20 ppb Y el 8, I % en el rango de 20 ppb a 40 ppb, es decir, en estos

dos rangos se encuentra el 98,6% de los datos de S02.

Cuando el PM lOse encuentra entre O ¡¡glm3 y 50 ¡¡glm3, el 97% de los datos de S02

se da entre O ppb Y 20 ppb Y el 2,7% entre 20 ppb Y 40 ppb.

Cuando el S02 se encuentra entre O pbb Y 20 ppb, el 49,8% de los datos de PMIO se

encuentra entre O ¡¡glm3 y 50 ¡¡glm3 y eI41,9% entre 50¡¡glm3 y lOO ¡¡g/m3.

Del total de datos analizados, el 45,1% se encuentra entre O ppb Y 20 ppb de S02 y entre O ¡¡glm3 y 50 ¡¡glm3 de PM 10, simultáneamente. El 37,9% de los datos

toman valores entre O ppb Y 20 ppb de S02 y entre 50 ¡¡glm3 y 100 ¡¡glm3 de PM 10,

simultáneamente.

• Estación POO

A continuación se presenta la tabla de contingencia para la estación PDD.

Tabla de contingencia PM1D * S028

S02 Total

[0·20) (20-40)

PMlO <50 Recuento 2214 2 2216 % de PMlO 99,9% ,1% 100,0% % de S02 65,6% 50,0% 65,6%

(50·100) Recuento 1065 2 1067 % de PMlO 99,9% ,2% 100,0% % de S02 31,6% 50,0% 31,6%

(100·150) Recuento 86 O 86 % de PMlO 100,0% ,0% 100,0% % de S02 2,5% ,0% 2,5%

>150 Recuento 10 O 10 % de PMlO 100,0% ,0% 100,0% % de S02 ,3% ,0% ,3%

Total Recuento 3375 4 3379 % de PMlO 99,9% ,1% 100,0% % de S02 100,0% 100,0% 100,0%

a. Estación - POO



En esta estación el 65,6% de los datos muestreados del material particulado PMIO presenta concentraciones menores a 50 ¡.tg/m3 y el 31 ,6% se encuentra entre 50 ¡.tg/m3 y 100 ¡.tg/m3

, es decir, en estos dos intervalos se encuentra el 97,2% de los datos de PM 1 O.

Para dióxido de azufre, S02, se presenta que 99,9% de los datos se encuentran en el rango de O ppb a 20 ppb.

Cuando el PMIO se halla entre O ¡.tg/m3 y 50 ¡.tg/m3, el 99,9% de los datos S02 se

encuentra entre O ppb Y 20 ppb.

Cuando el S02 se da entre O ppb Y 20 ppb, el 65,6% de los datos de PM 10 se encuentra entre O ¡.tg/m3 y 50 ¡.tg/m3 y el 31 ,6% se encuentra entre 50 ¡.tg/m3 y 100 ¡.tg/m3

.

Del total de datos analizados el 65,5% se encuentra entre O ppb Y 20 ppb de S02 y entre O ¡.tg/m3 y 50 ¡.tg/m3 de PM 10, simultáneamente. El 31 ,5% de los datos toman valores entre O ppb Y 20 ppb de S02 y entre 50 ¡.tg/m3 y 100 ¡.tg/m3 de PM 10,

simultáneamente.

• Estación ERA

A continuación se presenta la tabla de contingencia para la estación ERA.

Tabla de contingencia PMIO • SOz'

802 Total

[0·201 (20-401 [40·601 >60

Recuento 2406 5 1 2 2414 <50 % de PMIl 99,7% ,2% ,0% ,1% 100,0%

% de 802 65,6% 14.7% 20,0% 50,0% 65,1%

Recuento 1167 18 2 2 1189 (50-1001 % de PMlO 98,1% 1.5% ,2% ,2% 100,0%

% de 502 31,8% 52,9% 40,0% 50,0% 32,1% PMlO

Recuento 88 11 1 O 101 (100-1501 % de PMlO 87,1% 10,9% 2,0% ,0% 100,0%

% de 502 2.4% 32,4% 40,0% ,0% 2.7%

Recuento 4 O O O 4 >150 % de PMIl 100,0% ,0% ,0% ,0% 100,0%

% de 502 ,1% ,0% ,0% ,0% ,1%

Recuento 3665 34 5 4 3708 Total % de PMIl 98,8% ,9% ,1% ,1% 100,0%

% de 502 100,0% 100,0% 100.0% 100.0% 100,0%

a_ Estación - ERA

En esta estación e165 ,1 % de los datos muestreados del material particulado PMIO evidencia concentraciones menores de 50 ¡.tg/m3 y el 32,1% entre 50 ¡.tg/m3 y



100 Ilg/m3, es decir, en estos dos intervalos se encuentra el 97,2% de los datos

de PM1o.

Para dióxido de azufre, S02, se observa que 98,8% de los datos se encuentra en el

rango de O ppb a 20 ppb Y el 0,9% en el rango de 20 a 40 ppb, es decir, en estos dos

rangos se da el 99,7% de los datos de S02.

Cuando el PMIO se da entre O Ilg/m3 y 50 llg/m3, el 99,7% de los datos S02 se

encuentran entre O ppb Y 20 ppb.

Cuando el S02 se halla entre O ppb Y 20 ppb, el 65,6% de los datos de PMIO se

encuentran entre O Ilg/m3 y 50 Ilg/m3 y el 31,8% entre 50 Ilg/m3 y 100 llg/m3.

Del total de datos analizados, el 64,9% se observa entre O ppb Y 20 ppb de S02

y entre O Ilg/m3 y 50 Ilg/m3 de PM 10, simultáneamente. El 31,5% de los datos

toman valores entre O ppb Y 20 ppb de S02 y entre 50Ilg/m3 y 100 llg/m3 de PMIO,

simultáneamente.

8.4 Gráficas de frecuencias acumuladas

A continuación se presentan las frecuencias acumuladas para la variable dióxido de azufre S02 y material particulado, PM 10, en las estaciones monitoreadas CDAV, PDD Y ERA.

• Material particulado, PM,o

COA V PDD 100'II 100'II

15% 15%

.~ "§-

~ " "'" ~ "'" el; el;

,,% 25%

~ ~ ~ ~

0,00 50,00 100,00 150,00 200,00 0,00 50,00 100,00 150,00 200,00

PMII PM"

Gráfica de frecuencias acumuladas para material particulado, P MIO

(Continúa en la página siguiente) .



ERA

1(lO'"

15%'

.~

~ 50% <>':

""

.~ 0,00 50,00 100,00 150,00 200,00

PM"

Gráfica de frecuencias acumuladas para material particulado, PM¡O (Viene de la página anterior)

En la estación CDAV alrededor del 50% de los datos toman valores menores o iguales a 50 Ilglm3 de material particulado, PM 10 Y aproximadamente el 88% de los datos son menores o iguales que 100 Ilg/m3

.

En la estación PDD cerca del 75% de los datos toman valores menores o iguales que 50 Ilglm3 y aproximadamente el 98% de los datos son menores o iguales que lOOllglm3.

En la estación ERA alrededor del 65% de los datos son menores o iguales que 50 Ilglm3

y aproximadamente el 98% de los datos son menores o iguales que 100 Ilglm3.

De las estaciones graficadas la única que muestra frecuencias por encima de la norma es la CDAV, con bajas frecuencias.

• Dióxido de azufre, S02

A continuación se muestran las gráficas de frecuencias acumuladas en tres estaciones de monitoreo para dióxido de azufre.



CDAV PDD

100% 100%

75" 75"

.~ ~ "'" ~ &:

"i-~

"'" ~ &:

"" ""

'" 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 0,00 10,00 20,00 JO,OO

SO, SO] ERA

75"

.~ l! c: ~ "'" &:

""

"',~~~~uw~~~~ww~ 0.00 10,00 20,00 JO,OO

SO]

Gráfica de frecuencias acumuladas para dióxido de azufre, S02

En la estación CDAV alrededor del 75% de los datos son menores o iguales que 10 ppb Y aproximadamente el 90% de los datos son menores o iguales que 20 ppb de dióxido de azufre.

En la estación PDD alrededor del 97% de los datos son menores o iguales que 10 ppb Y aproximadamente el 99% de los datos son menores que 20 ppb de dióxido de azufre.

En la estación ERA alrededor del 95% de los datos son menores o iguales que 10 ppb Y aproximadamente el 99% de los datos son menores o iguales que 20 ppb de dióxido de azufre.

De las estaciones graficadas la única que evidencia frecuencias por encima de la norma es la CDAV, con bajas frecuencias.

ESTADfsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIEAIA AMBIENTAL CON SPSS 219


8.5 Percentiles

Este ítem ilustra el análisis de los valores percentiles para material particulado, PM 1 O

Y dióxido de azufre S02·

• Material particulado, PM,0

La siguiente tabla expone valores percentiles en cuatro estaciones monitoreadas en la ciudad de Cali.

Tabla de valores percentiles para material particulado. PMlO

Estación

CDAV BA PDD ERA

Percentil 05 13.66 3,98 9,25 9.00

Percentil 25 33,96 16,80 25,88 25,00

Mediana 51,54 36.68 41,15 40.20 PMlO

Percentil 75 73.93 56.49 57,13 56.80

Percentil 95 116.30 89,05 89.12 89.00

Percentil 99 158.16 122,15 127,37 119.70

En la estación CDAV el 50% de los datos son valores menores o iguales que 51,5 Jlg/m3

; el 75% menores o iguales que 73,9 Jlglm3; el 95% menores o iguales

que 116,3 Jlglm3 y el 99% menores o iguales que 158,1 Jlglm3. Evidenciando que

existen datos por encima de la norma anual de PM lO, en esta estación.

En la estación BA el 50% de los datos toma valores menores o iguales que 36,7 Jlg/m3

; el 75% menores o iguales que 56,5 Jlg/m3; el 95% menores o iguales

que 89,1 Jlglm3 y el 122,2% menores o iguales que 158,1 Jlg/m3• Es decir, en esta

estación se cumple la norma anual de PM 10 en el periodo analizado.

En la estación PDD el 50% de los datos toma valores menores o iguales que 41,2 Jlg /m 3

; el 75% valores menores o iguales que 57,1 Jlg /m3; el

95% menores o iguales que 89,1 Jlg/m3 y el 99% menores o iguales que 127,4 Jlg/m3

. Lo cual indica que esta estación cumple la norma anual de PMIO en el periodo analizado.

En la estación ERA el 50% de los datos toma valores menores o iguales que 40,2 Jlg/m3

; el 75% valores menores o iguales que 56,8 Jlg /m3; el 95% de

los datos toma valores menores o iguales que 89,0 Jlg/m3 y el 99% menores o iguales que 119,7 Jlg /m3

. Así, en esta estación se cumple la norma anual de PMIO en el periodo analizado.


CAPfTUlO 8 - CALIDAD DE AIRE

En general, se puede observar un comportamiento similar en las estaciones BA, PDD Y ERA, cumpliendo siempre la norma, contrario a lo que sucede en la estación CDAV, donde se presentan valores más elevados y con datos que no cumplen la norma anual de PM I Q.

En la siguiente tabla se presentan los valores percentiles mensuales de material particulado, PMIO, en la estación CDAY.

Abril

Mayo

Junio

Julio

Mes Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

Tabla de valores percentiles mensuales para material particulado. PM1D. en la estación CDAV

PM'O

Parcentil 05 Parcantil 25 Mediana Parcantil75 Parcentil 95

6.40 21,40 42,05 67,30 111,40

12,32 29,32 45,50 64,66 110,46

5,02 17,55 36,90 61,52 111,82

5,87 24,90 42,91 63,55 102,13

3,94 10,59 27,10 46,52 80,00

11 ,80 28,20 43,49 59,55 95,44

8,88 26,12 42 .. 21 61 ,62 95,00

14,19 31 ,51 44,33 59,82 90,40

18,92 34,99 49,87 67,00 98,29

Parcantil 99

146.42

153.70

160,00

143,29

113,07

138,33

127,59

121.01

126,26

En mayo el 50% de los datos fueron menores o iguales que 45,5 llg/m3; 75% de los datos son menores o iguales que 64,7 llg/m3 y 95% de los datos son menores o iguales que 110;5 llg/m3.

En agosto se observó que el 50% de los datos son menores o iguales que 27,1 llg/m3; el 75% son menores o iguales que 46,5 Ilg/m3 y el 95% menores o iguales que 80

Ilg/m3.

Para el mes de diciembre el 50% de los datos son menores o iguales que 49,9% llg/m3; el 75% son menores o iguales que 67,0 Ilg/m3 y el 95% de los datos son menores o iguales que 98,3 llg/m3.

En general, en el percentil 95 , los meses con los valores más altos de material particulado se encuentran entre abril a julio, 10 mismo sucede con el percentil 99.

La siguiente gráfica presenta los valores percentiles de material particulado, PMIO a través de los meses en la estación CDAY.



180 160

.:;--. 140" · t 120 ~ 10 ~~ 80 Q.; 60

40 20 O

-* * *.~.

~ . .)(. lE ·· )~( )( ) ( ~

.~_~,.~=:~~=_~<;=-~_:m=:=.~.~:._~'.':_-~~ ABR. MAY. JUN. JUL. AGO. SEP. OCT. NOV. DIC.

Mes

--+-- Perc. S __ Perc. 25 --4-Perc. SO ~Perc. 75 --*- Perc. 95 -- Perc. 99

Gráfica de valores percentiles mensuales para material particulado, P Mi O en la estación CDA V.

En la grafica de los percentiles se puede apreciar que los valores menores de PM 10

se dan en agosto y los mayores valores en junio.

• Dióxido de azufre, SD2

En la tabla siguiente se presentan valores percentiles para dióxido de azufre, S02, en cuatro estaciones monitoreadas en Cali.

Tabla de valores percentiles para dióxido de azufre, SOz

I Estación I

CDAV BA PDD ERA

S02 Percentil 05 1.63 1,13 .31 .53

Percentil 25 3.96 2,59 1.53 1,64

Mediana 7.41 4,71 2.90 2,87

Percentil 75 12.48 8.06 4.36 5.16

Percentil 95 24.79 15.78 7.90 11.08

Percentil 99 42.82 26.19 11.96 21.38

En la estación CDAV el 50% de los datos son valores menores o iguales que 7,4 ppb; el 75% menores o iguales que 12,5 ppb; el 95% de los datos toma valores menores o iguales que 24,8 ppb Y el 99% menores o iguales que 42,9 ppb. Por lo cual, esta estación cumple la norma anual de S02 en el período analizado.

En la estación BA el 50% de los datos toma valores menores o iguales que 4,7 ppb; e175% valores menores o iguales que 8,1 ppb; e195% valores menores o iguales que



15,8 ppb Y el 99% menores o iguales que 26,2 ppb. De este modo, en esta estación se cumple la norma anual de S02 en el periodo analizado.

En la estación PDD el 50% de los datos toma valores menores o iguales que 2,9 ppb; el 75% valores menores o iguales que 4,4 ppb; el 95% de los datos toma valores menores o iguales que 7,9 ppb Y el 99% menores o iguales que 11 ,9 ppb. Así, esta estación cumple la norma anual de S02 en el periodo analizado.

En la estación ERA el 50% de los datos toma valores menores o iguales que 2,9 ppb; el 75% de los datos toma valores menores o iguales que 5,2 ppb; el 95% de los datos toma valores menores o iguales que 11,1 ppb Y el 99% son menores o iguales que 21,4 ppb. Es decir, en esta estación se cumple la norma anual de S02 en el periodo analizado.

En general, se puede observar un comportamiento similar en las estaciones ERA y PDD, con valores bajos de dióxido de azufre, seguidas de la estación BA, y por último con los valores más elevados la estación CDAY. Pero las estaciones cumplen la norma anual de S02.

En la siguiente tabla se observan los valores percentiles mensuales de dióxido de azufre, S02, en la estación CDAY.

Mes Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

Tabla de valores percentiles mensuales para dióxido de azufre. S02. en la estación CDAV.

S02

Percentil 05 Percentil 25 Mediana Percentil 75

,15 ,93 1,67 2,75

,47 1,94 3,34 5,65

1,34 2,39 3,96 7,50

1,91 3,60 5,94 8,95

,33 2,73 4,17 6,24

1,89 4,37 7,50 10,60

1,36 3.44 5,62 8,89

,90 2,60 5,08 9,84

1,08 2,98 5,73 12,18

Percentil 95 Percentil 99

6,05 9,44

11 ,34 18,73

15,17 27,12

17,11 24,21

11,37 16,20

18,07 26,00

15,80 26,46

21,95 39,42

26,26 46,93

En mayo, el 50% de los datos son menores o iguales que 3,3 ppb, el 75% son menores o iguales que 5,7 ppb y el 95% son menores o iguales que 11 ,3 ppb de dióxido de azufre. En agosto, el 50% de los datos son menores o iguales que 4,2 ppb, el 75% son menores o iguales que 6,2 ppb y el 95% son menores o iguales que 11 ,4 ppb de dióxido de azufre.



Para diciembre, el 50% de los datos son menores o iguales que 5,7 ppb, el 75% son menores o iguales que 12,2 ppb Y el 95% son menores o iguales que 26,3 ppb de dióxido de azufre.

En general, en el percentil 95 se observa que los meses con los valores más altos de dióxido de azufre se encuentran entre septiembre y diciembre.

En la siguiente gráfica se muestran los valores percentiles de dióxido de azufre a través de los meses, en la estación CDAY.

!~ r-- :---:--::-----.--.-.--.~------:--~~--:-------'------------:--- ~.--~-------.--.---:--.-.-/~-j

40 35

:¡ 30 · ,s; 25 ;¿ .•. >~ .... ~.,.~ ~ 20

15] 10 · 5 O

~ -~ ... ! ~ ~~ .... F;:~·---':---·!=·- ~j-~ .. ; .". ~ t_----- _______ a....:..:_ '. --_ a_n ___ ~

ABR. MAY. JUN. .AA. AGO. SEP. OCT. NOV. DIC.

Mes

-+- Pere. 5 ·· .. -Pere. 25 ~Pere. 50 ---Pere. 75 --Pere. 95 --- Pere. 99

Gráfica de valores percentiles mensuales para dióxido de azufre, S02, en la estación CDAV

Analizando los valores percentiles de la gráfica, abril presenta los menores valores de S02, mientras en diciembre se observan los mayores valores.

8.6 Contaminación del aire en Ciudad de México

Este Ítem muestra información gráfica de calidad de aire en Ciudad de México, los cuales fueron monitoreados por el SIMAT, Sistema de Monitoreo Atmosférico de Ciudad de México, y presentados en su página de Internet (www.sma.df.gob.mxIsimat! pnindicadores.htm), monitoreados en el período 1996 a 2005 (hasta julio).

Una de las labores del Sistema de Monitoreo Atmosférico (SIMAT) es informar oportunamente el estado de la calidad del aire para proteger la salud de los habitantes de la zona metropolitana del valle de México.

El SIMAT tiene un boletín informativo de los eventos extraordinarios del incremento de las concentraciones de PMJO y S02, principalmente. El boletín se emite cuando en determinada hora yen cualquier estación de monitoreo, las concentraciones horarias de PM JO o S02 son mayores o iguales a 300 ~g/m3 o 0,200 ppm, respectivamente. A continuación se observan las gráficas de diferentes parámetros analizados en Ciudad de México.



• Material particulado, PM 10

A continuación se observa la gráfica de los valores promedios diarios de partículas menores de 10 micrómetros (PMIO), monitoreada entre 1995 a 2005 (fuente: www. sma.df.gob.mxIsimatlpnindicadores.htm ).

1995 1996 1997 1996 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Ano

c:::::::J Dlas arriba del valor limite -+- Percentil 90

Gráfica de promedios diarios de partículas menores de 10 micrómetros (PM¡oJ, 1995 -julio 2005

Se puede observar que el número máximo de días por encima del límite de PM 10 se presentó en 1996; entre 1995 a 1998 se dieron los valores más elevados del número de días por encima de la norma. Sin embargo, a partir de 1998, estos valores bajan considerablemente encontrándose valores bajos en los años de 1998 y 2005.

A continuación se muestra la gráfica de los valores promedios diarios de partículas menores a 10 micrómetros (PM 10), monitoreada de 1995 a 2005 (fuente: www.sma. df.gob.mxIsimatlpnindicadores.htm).

En el diagrama de cajas se observan los valores mínimos y máximos, así como los valores percentiles 25, 50, 75 Y 90.

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 200] 2004 2005

::K P~entil7S _ Mblmo • Percentlt 90 t::JPercentll so ~ Mlnlmo + Pertentll25

Gráfica de promedios diarios de partículas menores de 10 micrómetros (PM¡oJ, 1995 -julio 2005



Se puede analizar que la mayor dispersión de los valores promedios diarios de PM 1 O,

se dan entre 1997 y 2003. En el percentil 90 se puede observar que entre 1995 y 1998 se evidencian las mayores concentraciones promedio de PM 10, mientras que entre 1999 y 2005 estos valores son menores.

A continuación se observa la gráfica del comportamiento típico diario de partículas menores de 10 micrómetros (PMIO), monitoreada de 1995 a 2005, donde se evidencia la tendencia anual cada 24 horas (fuente: www.sma.df.gob.mxlsimat/ pnindicadores.htm).

120

-¡lOO ~ 80- ·· c ~ 60

i 40 ... ~

t..l 20

0+1-'--r-.-'-'--r-r~~r-r-.-'--r-r~~--r-r-.-'-'--r~~

1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 S 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Hora -+- 1995 1996 -4- 1997 ~ 1998 --*-1999 -+- 1000

1001 -+- 1001 -+-- 1003 -'*- 1004 Julio 1005

Gráfica del comportamiento típico diario de partículas menores de 10 micrómetros (PMJO), 1995 -julio 2005

Se puede observar que a través de los años el comportamiento típico diario de PM 1 O

sigue la misma tendencia; valores relativamente bajos hasta las primeras seis horas, valores altos entre las 8 horas y las 11 horas, nuevamente disminución entre las 13 horas y las 16 horas y aumento entre las 19 horas y las 20 horas.

A continuación se presenta la gráfica del valor máximo maximorum de concentraciones horarias de partículas menores de 10 micrómetros (PMIO), monitoreada de 1995 a 2005 (fuente: www.sma.df.gob.mxIsimat/pnindicadores.htrn).


1400

')' 1200 's:

~1000

i 800

" ~ 600 i

400 ~ 1: a 200

o 1995


1233

721 7+4

763 ......•

670

.. .. ..

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Año

Gráfica del máximo maximorum de concentraciones horarias de partículas menores a 10 micrómetros (PMJO), 1995, julio 2005

Entre 1997 a 2000 se evidencian valores más altos del valor máximo de PM lO, pero a partir de 2001 los valores máximos empiezan a disminuir y permanecer estables a través de los años.

A continuación se observa la gráfica del promedio anual de concentraciones de partículas menores de 10 micrómetros (PM 1 o), monitoreada de 1995 a 2005 (fuente: www.sma.df.gob.mxlsimatlpnindicadores.htm).

'" lO

1'0 ..... 0

60 1: 50

~ .0

130

~ 20 1: a lO

O 1995

SI . 1$ 51

57 5'

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Año

Gráfica del promedio anual de concentraciones horarias de partículas menores a 10 micrómetros (PM¡oJ, 1986, julio 2005

En la gráfica se puede analizar que el promedio anual de concentración de PM 1 O

muestra sus concentraciones máximas entre 1995 y 1999, a partir del 2000 el valor de concentración promedio disminuye y evidencia un incremento en el año 2005 (valor estimado).

A continuación se observa la gráfica de los valores máximos diarios de ozono entre 1986 a 2005. Se ilustran los diagramas de cajas y alambres, evidenciando los valores máximos y mínimos y los valores percentiles del 25, 50, 75 Y 90% (fuente: www. sma.df.gob.mxlsimatlpnindicadores.htm).



0,500

0,400

i' ~ 0,300

:~ ~ 0200 " ' ~ a

0,100

0,000

·~llilIl! · ~tt · ~ · · ~ · 1 · 1 · ·~· · ~!~· ·~ i ¡ i i i I i i i i I j , i i I i i i

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Ano )K P~rcenlil 7S - Máximo _ Perunlll 90 - Percenta SO _ MI"I",o • Percentlllj

Gráfica de máximos diarios de ozono (03), 1986 - julio 2005

En general los valores máximos de ozono mostraron gran dispersión entre 1986 a 1992, a partir de lo cual la dispersión disminuye paulatinamente hasta el año 2005. Los valores más altos de los valores máximos se dan hasta 1992, a partir de lo cual

disminuyen.

• Ozono, 03

A continuación se muestra la gráfica de los valores máximos diarios de ozono, desde el año de 1986 a 2005 (fuente: www.sma.df.gob.mxlsimatlpnindicadores.htm).

0,350 380

0,300 300

i' 0,250 240

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0,050 80

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~ orllS ""ib. dtl ViI/or límite ..... ProMedio, rop JO • Puc.",iI 90 Mo

Gráfica de máximos diarios de ozono (03) 1986 -julio 2005

Se puede analizar que los valores máximos diarios de ozono mantienen la misma tendencia entre el valor promedio y el percentil 90. Los valores más altos se dan en



1986 Y entre 1990 a 1993. A partir de 1993 los valores inician un descenso paulatino hasta e12005 (valor estimado).

A continuación se expone la gráfica del comportamiento típico diario de ozono, por años, durante las horas del día (fuente: www.sma.df.gob.mxJsimatlpnindicadores.htm).

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0,120

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19" , .. , -.-"" ____ '989

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... 40 1995 ~ /996 ___ 1997

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•• Jul. 1005

1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Gráfica del comportamiento típico diario del ozono (Oj), 1986 -julio 2005

Se puede observar que a través de los años el comportamiento típico diario de ozono sigue la misma tendencia, es decir, valores relativamente bajos hasta las primeras diez horas, altos entre las 11 horas y las 16 horas y nuevamente disminución a partir de las 18 horas, aproximadamente.

A continuación se muestra la gráfica de los valores maXlmo maximorum de concentraciones horarias de ozono, monitoreada de 1995 a 2005 (fuente: www.sma. df.gob.mxJsimatlpnindicadores.htm).

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0,500

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0,2804 . ' .. 0,271

0 ,226 -.---. 0,222

o,OOO-l-_-__ - __ - __ - __ - __ -_-__ - __ - __ -_~

~ ,~ ~ ,~ ~ ,~ ,~ ,~ ~ ~ ~ ,~ ,- ,~ ~ ~ = - ~ -Mo

Gráfica de máximo maximorum de concentraciones horarias de ozono

(03), 1986 - julio 2005

Se puede observar que los valores máximos maximorum son más elevados en el periodo de 1986 a 1992, a partir de este ultimo año los niveles empiezan a disminuir, pero lentamente, hasta el 2005.



• Dióxido de azufre, SD2

A continuación se observa la gráfica de los valores promedios diarios de dióxido de azufre (S02), monitoreada entre 1995 y 2005 (fuente: www.sma.df.gob.mxIsimat/ pnindicadores.htm).

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30

25

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.1 10 ~

Grijica de promedios diarios de dióxido de azufre (SOj, 1986 -julio 2005

Se puede observar que el número máximo de días por encima del límite de S02, se dio en 1992; entre 1986 a 1998 se encuentran los valores más elevados del número de días por encima de la norma. Sin embargo, a partir de 1993 estos valores bajan considerablemente con pocos datos por encima de la norma en el 2000 y 2001. El percentil 90 permite analizar cómo los niveles de concentración descienden a partir del año 1992, mostrando valores altos nuevamente en los años 2000 y 200 l.

A continuación se ilustra la gráfica de los valores promedios diarios de dióxido de azufre (S02), monitoreado entre 1995 y 2005 (fuente: www.sma.df.gob.mxIsimat/ pnindicadores.htm).

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¡ f l I r ¡ ~ ~ 111 I I ---r---r--- -.,.--,---r .-'- '---,.~ -r-

1966 1967 1966 1969 1900 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1996 1999 2000 2001 = 2003 2004 2005

X "na,,'" 7J - MbJ_ • ~tU H _ hr«,,1IJ s, -Mútl_ + hrft,.tI/ U No

Grijica de promedios diarios de dióxido de azufre (SOj, 1986 -julio 2005



Se puede analizar que la mayor dispersión de los valores promedios diarios de SOz se dan entre 1986 y 1992. A partir del año 1993, los valores medio, máximo y mínimo de los valores promedio de S02 empiezan a descender, excepto para el año 2001 , cuando se observa la mayor dispersión de la base de datos analizada.

A continuación se muestra la gráfica de los valores promedios diarios de dióxido de azufre (S02), monitoreado entre 1995 y 2005 (fuente: www.sma.df.gob.mx/simat/ pnindicadores.htm).

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Hora

Gráfica del comportamiento típico diario del dióx ido de azufre (SO]), 1986 - julio 2005

Se puede observar que a través de los años el comportamiento típico diario del dióxido de azufre sigue la misma tendencia, es decir, valores relativamente bajos hasta las primeras ocho horas, valores altos entre las 9 horas y las 11 horas y nuevamente disminución a partir de las 14 horas, aproximadamente.

A continuación se muestra la gráfica de los valores máximo maximorum de concentración horaria de dióxido de azufre (S02), monitoreado de 1995 a 2005. (fuente: www.sma.df.gob.mxJsimat/pnindicadores.htrn).

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0,286 0,283 -0,250

1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

M o

Gráfica del máximo maximorum de concentraciones horarias de dióxido de azufre (SO]) , 1986 - julio 2005


VIVI ANA VARGAS FRANCO

Se puede observar en general que los valores máximos maximorum tienden a disminuir a partir de 1986, con el valor más bajo en 1997 y el valor más alto en 1986.

A continuación se muestra la gráfica de los valores promedios anuales de la concentración horaria de dióxido de azufre (S02), monitoreado entre 1995 y 2005 . (fuente: www.sma.df.gob.mx/simat/pnindicadores.htrn).

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O,CXXl +-1 -~-~--r-~-~--r--'--~--r--'--"'---r--'--"'---r-~-~--r--,-----l 1986 1967 1968 1969 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1996 1999 200l 2001 2002 2003 2004 2005

Mo

Gráfica del promedio anual de concentraciones horarias de dióxido de azufre (SO:¿), 1986 - julio 2005

En la gráfica se puede analizar que el promedio anual de concentración de S02 genera sus concentraciones máximas entre 1986 y 1992, a partir de 1993 el valor de concentración promedio disminuye.


CAPíTULO

9 Calidad de agua en una fuente superficial

Este capítulo muestra un manejo descriptivo de datos relacionados con el estudio de la calidad de agua del río Cauca en su paso por el departamento del Valle del Cauca, en dos variables: oxígeno disuelto (OD) y demanda bioquímica de oxígeno (DBO). Los datos fueron monitoreados por la Corporación Autónoma Regional del Valle del Cauca (CVC).

La cuenca hidrográfica del río Cauca ocupa dentro del contexto colombiano un lugar estratégico; en ella se localiza la industria azucarera, la mayor parte de la zona cafetera, las zonas de desarrollo minero y agropecuario, y un sector significativo de la industria manufacturera del occidente colombiano. Aquí se encuentran ubicadas dos de las ciudades más pobladas del país, tres consideradas intermedias y cinco que superan los 100.000 habitantes. La intensa utilización de la cuenca, asociada al desarrollo industrial del sector y el crecimiento poblacional, hace que se deba considerar como factor importante el estudio permanente de la calidad del agua del río Cauca, para un mejor aprovechamiento y planificación de este recurso hídrico en la región.

El río Cauca es uno de los ríos más importantes del país, tiene una longitud total de 1.350 km, una cuenca hidrográfica de aproximadamente 63 .300 km2 y brinda grandes beneficios a cerca de 183 municipios, localizados en los departamentos que recorre, permitiendo contabilizar aproximadamente diez millones de habitantes, es decir, el 25% de la población colombiana (Vélez, 2003).



El río Cauca es aprovechado de manera relativamente intensa para numerosos propósitos: generación de energía, extracción de materiales del lecho, captación de agua para consumo humano, riego, industria, pesca, recreación y como fuente receptora de vertimientos de aguas residuales industriales yaguas residuales de algunos de los municipios que se encuentran en su cuenca. Sin embargo, el manejo y las intervenciones sobre el río Cauca y sus ríos tributarios no han sido los más apropiados, originando serios problemas ambientales (Vélez, 2003).

Uno de los principales problemas de la calidad del agua del río Cauca es el agotamiento del oxígeno disuelto, como una consecuencia de las múltiples descargas de aguas residuales domésticas e industriales que se vierten a su cuenca. Por esta razón, la CVC desde su creación ha venido realizando grandes esfuerzos en generación de políticas, planes y proyectos para el mejoramiento de la calidad del agua del río y el control de los vertimientos; es así como la CVC ha implementado un programa de monitoreo sobre el río Cauca y sus ríos tributarios, con 19 estaciones en el departamento del Valle del Cauca, el cual se ilustra en la Figura 9.1

+

I AbKlsa(Km) ESTACICN

1. Ante. Suarez 1.8 2. Ante. Ovejas 3.1 3. Antes TITTlt>. 24.1 ... Paso de III Belsa 27." 5. P .. o de III Bol.. 78.9 6. Puente Hormiguero 113.5 7. Antes Navarro 127.7 8. Juanc:hlto 139.3 9. PISO del Comercio 1 ..... 6 10. Puerto lsaacs 155.5 11 . Paso de la Torre 170.8 12. Vljes 181 .8 13. Yotoco 211 .8 14. Medi8CIIl'lOll 220.9 15. Puente RIofrio 284.8 16. Pueril Guayabal 347.0 17. Puente La VIctoria 369.6 18. An.calO 418.5 19. Puente La VrginJa ..... 7

Front .... - d ... Cuenea

""-"'"

o 25 50 km

Figura 9.1 Estaciones de monitoreo sobre el río Cauea (Vélez, 2003).

A continuación se describen conceptualmente los parámetros analizados en este capítulo.


CAPiTULO 9 - CALIDAD DE AGUA

• Demanda bioquímica de oxígeno (DBD5J

Este parámetro es una medida aproximada de la cantidad de materia orgánica degradable bioquímicamente, presente en una muestra de agua, y se define como la cantidad de oxígeno requerida por microorganismos aerobios para oxidar la materia orgánica hasta formas inorgánicas estables, en un período de cinco días a 20°C. Si la materia orgánica se encuentra en gran cantidad, los microorganismos necesitarán también gran cantidad de oxígeno para estabilizar esa materia, lo cual indicaría una alta demanda bioquímica de oxígeno.

La DBO determina la cantidad de oxígeno requerida por la biota del sistema para oxidar completamente la materia orgánica biológicamente degradable. Esta cantidad corresponde a la suma del oxígeno consumido por: las bacterias (en su proceso de síntesis y respiración a medida que utilizan el sustrato), los consumidores (protozoarios cuando ingieren las bacterias como fuente de energía para realizar los procesos de crecimiento y respiración) y los procesos de autodestrucción de la biomasa, creada en los dos procesos anteriores.

La DBO, al igual que la demanda química de oxígeno (DQO), es usada para medir el grado de polución de las aguas residuales, la cual se basa en el principio químico que en medio ácido, agentes oxidantes fuertes, pueden oxidar con muy pocas excepciones la materia orgánica presente, transformándola en dióxido de carbono yagua. Por lo que los valores de la DQO serán siempre mayores que los de la DBO para una misma muestra, y esta diferencia puede hacerse más grande, cuanto más resistentes a la degradación biológica sean los materiales orgánicos existentes .

• , Oxígeno disuelto (00)

El oxígeno es esencial para las diferentes formas de vida acuática y tiene influencia en la mayoría de los procesos químicos y biológicos que ocurren dentro de un cuerpo de agua. La concentración de OD en el agua varía de acuerdo con la temperatura, la salinidad, la turbulencia, la actividad fotosintética de algas y plantas y la presión atmosférica. Vertimientos de aguas residuales ricos en materia orgánica y nutrientes traen consigo una disminución del OD, debido al incremento de la actividad microbial, vía respiración, que ocurre en la degradación de la materia orgánica.

En los desechos líquidos el oxígeno disuelto es el factor que determina si los cambios biológicos son efectuados por organismos aeróbicos o anaeróbicos. Los primeros usan el oxígeno para la oxidación de la materia orgánica e inorgánica y originan productos finales inocuos, mientras que los últimos efectúan tales oxidaciones a través de la reducción de ciertas sales inorgánicas y los productos finales son a menudo perjudiciales.

La concentración de oxígeno en el agua es vital, tanto para organismos animales como para los vegetales. Influye particularmente en el metabolismo de los microorganismos



(bacterias) que causan la descomposición de los contaminantes en el agua. Dicha descomposición aerobia de los contaminantes en el agua consume oxígeno y una reducción de la concentración normal de oxígeno es, pues, un indicador de contaminación o presencia de sustancias consumidoras de oxígeno.

La cantidad de oxígeno disuelto es un factor importante para determinar el tipo de organismos que viven en el agua, puesto que algunos necesitan elevadas concentraciones de oxígeno disuelto para sobrevivir, mientras que otros son más tolerantes a concentraciones fluctuantes o bajas. La reducción en las cantidades de oxígeno disuelto, además de afectar directamente la respiración de organismos acuáticos, puede incrementar la toxicidad de agentes venenosos, como sales de cobre, zinc, plomo y fenoles, que son muy frecuentes en aguas residuales industriales.

La Tabla 9.1 muestra el rango admisible en algunos parámetros fisicoquímicos y bacteriológicos para calidad de agua.

Tabla 9.1 Marco legal para el análisis de parámetros físico-químicos y bacteriológicos (Colombia).

Parámetro Unidad Norma Rango Admisible Uso del racurso

pH Unidades Ac. 14 de la CVC/1976 6·9

Temperatura oC Ac. 14 de la CVC/1976 ::s 30

Oxígeno disuelto mg/l Ac. 14 de la CVC/1976 >4

DBO mgtl RAS/199B ::s 6 Diversos Usos

000 mgtl RASl199B ::s 6

Color (UPC) RAS/199B ::s 75

Turbiedad (UNT) RAS/199B ::s 150

Sólidos Totales mgtl Dec,4751199B ::s 1000

Dureza mg/l Dec.475/199B ::s 160

Nitratos mg/l Dec.4751199B ::s 10 Tratabilidad Convencional

para Agua Potable Nitritos mg/l Dec,4 751199B ::sI

Sulfatos mg/l Dec.1594/19B4 ::s 400

Cadmio mg/l Dec.1594/19B4 ::s 0,01

Níquel mgtl Dec.1594119B4 ::s 0,2

Plomo mgtl Dec.1594/19B4 ::s 5,0 Agrícola

Zinc mgtl Dec.1594/19B4 ::s 2,0

Cobre mgtl Dec.1594/19B4 ::s 0,2

Cromo mg/l Ac. 14 de la CVC/1976 ::s 0,05 Diversos Usos

Cloruros mg/l Dec.1594/19B4 ::s 250

Hierro mg/l Dec.1594/1984 ::s 5 Agrícola

Manganeso mg/l Dec.1594119B4 ::s 0,2

Coliformes Totales NMP/100 mi Dec.1594119B4 ::s 4000 Tratabilidad Convencional Coliformes Fecales NMP/100 mi Dec.1594/19B4 ::s 2000 para Agua Potable

Fuente : RAS: Reglamento del Sector de Agua Potable y Saneamiento.

236 ESTADíSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERíA AMBIENTAL CON SPSS


9.1 Estadísticas descriptivas Se muestran a continuación las estadísticas descriptivas para los parámetros demanda bioquímica de oxígeno y oxígeno disuelto, analizados en las diferentes estaciones monitoreadas del río Cauca, en el Valle del Cauca.

• Demanda bioquímica de oxígeno (OBO;

En la siguiente tabla se observan estadísticas descriptivas para la variable demanda bioquímica de oxígeno (DBO), en las estaciones monitoreadas del río Cauca en el Valle del Cauca.

Tabla de estadísticas descriptivas para demanda bioquímica de oxígeno (OBO)

Medidas de tendencia central Medidas de dispersión

~ Minino MIdiI Milimo Madi MedíIIII MIdiI

Rango 'llrilnzl DmiIci6n Coef. di

Img/I) ImII/II Img/I) ImgIIl ImII/II llImtricI

Img/I) lmgII¡2 EstindIr Vllilci6n1'lo1 EstICián ImgIIl ImgII)

1. A. Suárez 0.10 1.88 7.80 0.60 1.40 1.38 7,70 2.28 1.51 80.5%

2. A. Ovejas 0.10 1.51 7.00 1.20 1.20 1.11 6.90 1.39 1.18 78.2%

3. A. Timba 0.10 1.46 4,70 0,70 1.15 1.19 4.60 0.83 0.91 62.4%

4. P. Balsa 0.20 1.55 4.80 0.90 1.30 1.25 4.60 1.04 1.02 65.7%

5. P. Bolsa 0.10 1.94 5.30 1.90 1.90 1.49 5.20 1.54 1.24 63.8%

6. Hormiguero 0.20 2.18 6.30 2.50 2.00 1,78 6.10 1.64 1.28 58,7%

7. A. Navarro 0.60 2.64 13.50 2.10 2.30 2.27 12.90 3.23 1.80 68.1%

8. Juanchito 0.30 2.48 5.70 2.20 2.25 2.20 5.40 1.32 1.15 46.2%

9. P. Comercio 0.60 4.61 18.40 4.20 3.80 3.93 17.80 8.76 2.96 64.2%

10. Pto. Isaacs 1.30 4.44 16,70 2.80 3.72 3.96 15.40 6.29 2.51 56.6%

11. P. La Torre 0.77 5.05 14.80 3.00 4.48 4.43 14.03 7.42 2.72 53.9%

12. Vijes 0.86 6.40 18.50 5.30 5.15 5.33 17.64 16.64 4.08 63,7%

13. Votoco 0.80 5.08 16.50 2.80 4.10 4.15 15,70 11.58 3.40 66.9%

14. Mediacanoa 1.20 4.77 13.20 2.00 3.95 4.04 12.00 8.23 2.87 60.1%

15. Pte. Riofrío 0.68 4,79 14.60 1.90 3.80 3,75 13.92 11.42 3.38 70.5%

16. Pte. Guayabal 0.85 4.16 13.20 3.80 3,71 3.45 12.35 7.10 2.66 64.0%

17. La Victoria 0.50 3.53 11.60 2.50 3.05 2.99 11.10 4.56 2.14 60.4%

18. Anacaro 0.70 3.85 13.90 1.80 2.64 3.06 13.20 8.10 2.85 74.0%

19. Pte. Virginia 1.12 3.36 10.80 2.40 2.60 2.94 9.68 4.07 2.02 60.0%



Considerando el marco legal para el análisis de parámetros físico-químicos y bacteriológicos, se observa que en el valor medio de DBO las estaciones monitoreadas cumplen la norma admisible, menor que 6 mgll, excepto la estación Vijes donde el valor medio es de 6,4 mgll. Sin embargo, en los valores máximos todas las estaciones superan el valor admisible de DBO, excepto las estaciones: Antes Suárez, Paso de la Balsa, Paso de la Bolsa y Juanchito. Los valores más críticos se dan en el tramo Paso del Comercio a la estación Yotoco. Así mismo, en este tramo se observa la mayor variación del conjunto de datos, evidenciándose esta situación con las medidas de dispersión; rango y desviación estándar.

El coeficiente de variación es un indicador de la relación relativa entre la desviación estándar y la media y permite analizar en forma porcentual la relación entre estas dos medidas. Analizando el coeficiente de variación para la DBO se puede observar que este valor es alto en cada una de las estaciones evaluadas, con un valor mínimo de 46,2% en la estación Juanchito y valor máximo de 80,5% en la estación Antes Suárez. Las estaciones con mayores valores en el coeficiente de variación son: Antes

Suárez y Antes Ovejas, con valores de 80,5% y 78,2%, respectivamente.

• Oxígeno disuelto (00)

En la tabla de estadísticas descriptivas para la variable oxígeno disuelto (00), en las estaciones monitoreadas, se puede evidenciar que considerando un valor admisible de oxígeno disuelto mayor a 4 mg/l, para diversos usos, se da que el río Cauca en su paso por el Valle del Cauca cumple este criterio en el valor medio hasta la estación Puente del Comercio.

A partir de la estación Puente del Comercio los valores medios de oxígeno disuelto disminuyen considerablemente, encontrándose valores de 1,51 mgll en la estación de Yotoco y de 1,65 mgll en la estación Media Canoa. Así mismo y de forma dramática, los valores mínimos en las estaciones evaluadas no superan la norma admisible (>4 mgll), alcanzándose valores mínimos entre 0,1 mgll y 0,2 mg/l, en el tramo Paso de la Torre a Mediacanoa.

En cuanto a variación, en el tramo Antes Timba a Paso del Comercio, se encuentran coeficientes menores al 30%, es decir, los datos varían relativamente poco en relación con el valor de la media, mientras en el tramo Paso de la Torre a Mediacanoa se dan coeficientes de variación en el rango de 54% a 70%, indicando una gran dispersión del conjunto de datos, respecto al valor medio de oxígeno disuelto.

238 ESTAOrSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERrA AMBIENTAL CON SPSS


Tabla de estadísticas descriptivas para oxígeno disuelto 1001

Medidas de tandencil cantral Medida de dispersión

~ .... .... lIbiIIII ... .... .... "-" VIriIIII

..... CIII .•

lq.4) .... .... .... .... s.itricI ... ..,; E.-.. VIridt Estación ... ... 111

1. A. Suárez 0.70 4.64 8.00 4.80 4,70 4.20 7.30 3.19 1,79 38%

2. A. Ovejas 0.90 5.09 8.00 6.20 5.30 4.74 7.10 2.57 1.60 32%

3. A. Timba 0,70 6.23 7.91 7.20 6.45 5.92 7.21 1.80 1.34 22%

4. P. Balsa 1.80 6.28 8.00 7.20 6.60 6. " 6.40 1.43 1.19 19%

5. P. Bolsa 0.40 5.95 7.27 6.40 6.30 5.71 6.87 1.38 1.17 20%

6. Hormiguero 1.60 5,76 7.80 6.10 5.96 5.60 6.20 1.19 1.09 19%

7. A. Navarro 0.80 5.52 7.50 5.90 5.90 5.31 6,70 1.38 1.17 21%

8. Juanchito 3.10 5.19 8.20 5.30 5.30 5.12 5.10 0,76 0.87 17%

9. P. Comercio 1.20 4.50 8.10 4.20 4.60 4.30 6.90 1.47 1.21 27%

10. Plo. Isaacs 0.50 3.55 5.80 3.00 3,70 3.26 5.30 1.55 1.24 35%

". P. La Torre 0.10 2.14 6.30 0.20 2.12 1.49 6.20 2.14 1.46 69%

12. Viies 0.20 1,71 4.60 0,70 1.60 1.29 4.40 1.44 1.20 70%

13. Voloco 0.20 1.51 4.30 1.20 1.35 1.22 4.10 0.92 0.96 64%

14. Mediacanoa 0.10 1.65 4.10 1.30 1.50 1.39 4.00 0.81 0.90 54%

15. PIe. Riofrlo 0.60 2.21 4.30 2.10 2.15 2.05 3.70 0.67 0.82 37%

16. PIe. Guayabal 0.30 2.40 4.60 2.40 2.40 2.23 4.30 0.66 0.81 34%

17. La Victoria 0,70 2.75 5.00 3.10 2.80 2.65 4.30 0.49 0.70 25%

18. Anacaro 1.20 2.92 6.40 3.20 2.85 2.84 5.20 0.51 0,71 24%

19. Pte. Virginia 2.20 3.55 6.00 3.80 3.60 3.48 3.80 0.49 0,70 20%

9.2 Presentación gráfica En este ítem se observan diversos tipos de gráficas que permiten analizar la tendencia de la demanda bioquímica de oxígeno y oxígeno disuelto. Se analizan gráficas de valores máximos, mínimos, medios y gráficas de series de tiempo a través de los años y meses.

• Demanda bioquímica de oxígeno (DBO)

A través de la gráfica de valores mínimos, máximos y media se puede evidenciar que las estaciones monitoreadas cumplen con el valor admisible de 6 mg/l en los valores



mínimos y medios de DBO, excepto en la estación Vijes. Sin embargo, los valores máximos superan el valor admisible en los siguientes tramos: Antes Suárez a Antes Ovejas, Hormiguero a Antes Navarro, Paso del Comercio a Puente La Virginia, es decir, cerca del 85% de las estaciones evaluadas no cumplen la norma de DBO en los valores máximos, aunque el 95% sí la cumple en el valor medio.

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Gráfica de mínimos, máximos y valores medios para demanda bioquímica de oxígeno

Los valores más elevados de DBO se encuentran en las estaciones Paso del Comercio y Vijes, con valores superiores a 18 mgll, los valores máximos por debajo de 6 mgll se dan en el tramo Antes Timba a Paso de la Bolsa, y la estación Juanchito, y en estas estaciones es donde se cumple con el valor admisible de DBO, en los valores mínimos, medio y los valores máximos.

La tendencia general de DBO es tener valores bajos hasta la estación Hormiguero, y a partir de ahí se inicia un ascenso de los valores máximos hasta la estación Yotoco, luego bajan los niveles hasta Puente La Virginia, pero sin alcanzar los valores admisibles.

En la gráfica no se evidencia una relación directa entre los niveles de caudal y los valores de DBO en las estaciones evaluadas, pues los niveles de caudal medio tienden a aumentar a través de las estaciones, no siendo esta la tendencia del valor medio o el valor máximo de la DBO.

A continuación se observa la gráfica de series de tiempo para la DBO, desde el año 1984 al año 2002, en cinco estaciones monitoreadas sobre el río Cauca, donde se evidencia que las estaciones Paso de la Balsa y Juanchito tienen, a través de los años, valores menores al valor admisible.


CAPITULO 9 - CALIDAD DE AGUA

La estación Puente La Virginia evidencia hasta el año 1994 valores por debajo de la norma y valores superiores al valor admisible en 1994, 1995, 1997 Y 2000.

11 ~----------------------------------------------------------~ 1 .. • . -. • • ~ "'lo ~ ••

12 .' . ............... ..

1 0 ,,- ....... ,.Oo ..

1964 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

-- P. Balsa --JMandilo P. de La Torre -- Pte. Riofrlo -- Pte. Lu Virginia

Gráfica de series de tiempo para DEO en estaciones sobre el río Cauca

La estación Puente Riofrío tiene valores menores al valor admisible hasta el año 1994, a partir de esta fecha tienden a incrementar los valores, alcanzando máximos superiores a 14 mg/l en 1997 y superiores a 12 mg/l en 2001 . En 1998 y 1999 bajan los niveles.

La estación Paso de la Torre tiene un comportamiento estable, con valores menores al valor admisible, hasta 1995, excepto en 1985 y 1992. En el período 1996 a 2002 se observan valores superiores al valor admisible.

La siguiente gráfica muestra la relación espacio-temporal de la variable DBO, donde se relacionan las estaciones (numeradas), los meses del año (numerados) y

los valores de DBO.

Gráfica espacio-temporal para demanda bioquímica de oxígeno



Se puede evidenciar que en las primeras estaciones, desde Antes Suárez hasta Juanchito, los valores de DBO son menores al valor admisible de 6 mgll, en cada uno de los meses del año. Sin embargo, en las estaciones centrales se observan los mayores niveles de DBO, es decir, entre Puente del Comercio y La Victoria, los valores de DBO se incrementan considerablemente con valores máximos en los meses de enero a marzo, disminuyendo entre los meses de abril a mayo e incrementándose nuevamente hasta el mes de diciembre donde alcanza valores máximos.

La DBO vuelve a mostrar valores bajos en las últimas estaciones monitoreadas, es decir, en el tramo Anacaro a Puente La Virginia, donde la tendencia es a generar niveles bajos de DBO. En general los meses de marzo, abril y mayo muestran los niveles más bajos, incrementándose hasta llegar a los valores máximos en diciembre.

• Oxígeno disuelto (00)

En la gráfica de valores mínimos, máximos y media se puede evidenciar que en el primer tramo de monitoreo del río, desde Antes Suárez a Paso del Comercio, el valor medio de OD cumple con el valor admisible, pero en este tramo el valor mínimo no cumple con el valor deseado de OD.

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Estación

. OD • CAUDAL

Gráfica de mínimos, máximos y valores medios para oxígeno disuelto

Entre la estación Paso del Comercio a Puente La Virginia la situación del río se vuelve crítica, pues el valor medio siempre está por debajo del valor deseable y sus valores mínimos también están en esta condición, siendo el tramo más crítico desde Paso de La Torre a Puente Guayabal.


CAPfTULO 9 - CALIDAD DE AGUA

Gráficamente se evidencia una relación inversa entre los niveles medios de OD y los valores medios de caudal, pues en el tramo Antes Suárez a Puente del Comercio los valores medios de OD tienen tendencia hacia valores bajos y los valores medios de caudal tienen tendencia a incrementarse, mientras que en el tramo Puerto Isaacs a Puente La Virginias los valores medios de caudal tienden a incrementarse y los valores medios de OD muestran fluctuación con tendencia a tomar valores mínimos.

En la siguiente gráfica se observan los valores máximos, mínimos y medios de oxígeno disuelto por mes en cuatro estaciones.

9.00 ,------------------,---------:-----;--........,

7.00 1 8.00 I

~ 6.001 ¡I ! s.OO ¡ 1 ~ 4.00 +-1 -~+_++=H_++--_+;;;.-.~+'_+_"".......,¡"..,j._=r-+.r..___iI_+_=____'lI....-++.....;¡+_+.=f1

Q 3.00 ~ 2 .00~ 1.00!

0 .00 1--: -~--~-'--~-~--~-~-_--'--_-_-_--~-_l ENE"O FEIRUO MA"ZO AUI.. IoI"YO JlHO

Mes ---+- A. Slldr~z ---+- Hor".¡g,,~ro --... - Plo. ISQQCS --+-Pte Virginia

Gráfica de valores mínimos, máximos y medios mensuales para oxígeno disuelto

En la estación Antes Suárez los valores medios de OD cumplen la norma admisible, pero solo hasta agosto, incluyendo diciembre, y de septiembre a noviembre el valor medio está por debajo de 4 mgll. Sin embargo, en los valores mínimos esta estación tiene valores admisibles sólo en enero, abril y julio.

En la estación Hormiguero en general se cumple con la norma admisible de OD, en los valores medios, máximos y mínimos, excepto en los valores mínimos en febrero, marzo, septiembre y noviembre, mientras en la estación Puerto Isaacs se observa que sólo en enero se cumplen con los valores deseados de oxígeno disuelto (> 4 mgll), tanto en el valor medio como en los valores máximos y mínimos. En los otros meses los valores medios en general son menores a 4 mgll con valores demasiado bajos, menores a 1 mg/l, en marzo y agosto.

En la estación Puente La Virginia los meses donde se observan valores medios deseados de oxígeno disuelto son enero y abril; en el resto de meses los valores medios y mínimos son menores a 4 mg/l. En enero, febrero, abril, mayo, noviembre y diciembre los valores máximos son menores a 4 mgll, considerándose esto como una situación crítica.



La siguiente gráfica muestra la serie de tiempo para oxígeno disuelto desde el año 1984 al año 2002 en cinco estaciones monitoreadas sobre el río Cauca.

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--P. Balsa ----Jllanchilo --P. de La Torre -- PIe Riofrio -- Pte La IIirginia

Gráfica de series de tiempo para oxígeno disuelto en estaciones sobre el río Cauca

De las estaciones graficadas, las estaciones Paso de la Balsa y Juanchito tienen en general valores admisibles de OD (> 4 mg/l), excepto en los años 1987 y 1995 para Paso de la Balsa y en los años 1996 y 1998 para la estación Juanchito.

Las estaciones Paso de la Torre, Puente Riofrío y Puente La Virginia en general muestran valores por debajo del valor admisible de OD, excepto en 1989 y 1991 para la estación Paso de la Torre y en 1985, 1989 Y 2000 para Puente la Virginia.

La siguiente gráfica muestra la relación espacio-temporal de la variable OD, donde se relacionan las estaciones (numeradas), los meses del año (numerados) y los valores de OD.

8,00

i 6,00

'6 o 4,00 á; .2' el

2,00

0,00

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Gráfica espacio-temporal para oxígeno disuelto



Se puede evidenciar que en las primeras estaciones, desde Antes Suárez hasta Juanchito, los valores de OD son mayores al valor admisible de 4 mg/l, en cada uno de los meses del año. Sin embargo, en las estaciones centrales se observan los menores niveles de OD; entre Puente del Comercio y La Victoria los valores de OD disminuyeron considerablemente, con valores mínimos en los meses de enero a marzo.

La OD vuelve a generar valores altos en las últimas estaciones monitoreadas, es decir, en el tramo Anacaro a Puente La Virginia, donde la tendencia es a evidenciar niveles altos de OD.

9.3 Histogramas En este ítem se muestran gráficas de histogramas para algunas estaciones de muestreo sobre el río Cauca en la variable oxígeno disuelto. A continuación se observan histogramas en las estaciones Antes Ovejas, Paso de la Balsa y Hormiguero.

ESTACIÓN: 2,00 Antes Ovejas Estación: 4,00 Paso de la Balsa 16,----------, JO

12

20

10 / \

~ 1\

1\

h-L 1,0 1,5 ¡O u 3.0 3.5 Oj o~ ~o ~5 lO 1.5 7,0 7,5 lO

Oxigeno disuelto

u ¡O ¡5 3.0 3,5 0,0 O~ ~O 5,5 6.D 6~ 7,0 7~ lO

Oxígeno disuelto

Estación: 6,00 Hormiguero JO,--------,

20

0""/1p. · /.1I8

Me¡¡. - j.7

.L.J., __ :;.¡..,.J ......... ,........ ........ ,..L.,...l...J..,.J N - 71.OII

1.52.02,53,03,5 4,0 4,55,05,56.06.51,07.58,0

Oxígeno disuelto

/)mI. típ. · ',19 Medj. - 6J

N - 61,OO

Gráfica de histogramas en estaciones de monitoreo sobre el río Cauca para oxígeno disuelto.



La distribución de frecuencias en la estación Antes Ovejas, para OD, se encuentra en el rango de 1 mg/l a 8 mg/l, evidenciando sus frecuencias máximas entre 5,0 mg/l y 6,0 mg/l y mínimas en datos menores a 3,0 mg/l. También se puede analizar que el 28,3% de los datos fueron menores a 4,0 mg/l y el 71,6% cumplieron la norma admisible, es decir, valores > 4 mg/l. La media en esta estación fue de 5,1 mg/l, con una desviación estándar de 1,6 mg/l. La forma de la distribución se asemeja a la curva normal.

En la estación Paso de la Balsa se observa la distribución de frecuencias en el rango de 1,5 mg/l a 8,0 mg/l, con frecuencias máximas entre 6,5 mg/l y 7,5 mg/l y mínimas entre 1,5 mg/l y 5,0 mg/l, obteniéndose que el 6% de los datos toman valores menores que 4,0 mg/l y el 94% cumple el valor admisible (> 4,0 mg/l). La media en esta estación fue de 6,3 mg/l, con una desviación estándar de 1,2 mg/l. La forma de la distribución es asimétrica con sesgo hacia la margen izquierda.

La distribución de frecuencias en la estación Hormiguero se encuentra en el rango de 1,5 mg/l a 8 mg/l, con frecuencias máximas entre 6,0 mg/l y 6,5 mg/l y frecuencias mínimas en los rangos de 1,5 mg/l a 4,5 mg/l y entre 7,0 mg/l y

8,0 mg/l. También se puede analizar que el 9% de los datos fueron menores que 4,0 mg/I y el 91 ,0% cumplieron la norma admisible, es decir, valores > 4 mg/l. La media en esta estación fue de 5,7 mg/l, con una desviación estándar de 1,08 mg/l. La forma de la distribución es relativamente simétrica, asemejándose a una

distribución normal.

A continuación se muestran los histogramas en oxígeno disuelto para las estaciones Puerto Isaacs, Vijes y Mediacanoa.


12

10


Estación: 10,00 Puerto [saaes Estación: /2,00 Vijes

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/, \ ~

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O"', IÍp. = 1,35

Mtdi .. 3,4

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20

10

Desv. típ. = / ,1/

Mt dill = /,6

.1-.,-......... .L..,-............................. -L...,.....l-,.....l-,.-L..,~ N - 71,00 0.0 .5 1,01.52,02,5 3,03,54,04,55,05,56,0

Oxígeno disuelto

0,0 ,5 1,0 1.5 2.0 2.5 3,0 3,5 4.0 4,5

Oxígeno disuelto

Estación: 14,00 Mediaeanoa 30,-------------,

20

10 [7

0,0 ,5 1,0 1,5 2.0 2,5 3,0 3,5 4,0

Oxígeno disuelto

O .... 1ÍJ!, - ,69

Mt dill = /,6

Gráfica de histogramas en estaciones de monitoreo sobre el río Cauca para oxígeno disuelto

En la estación Puerto Isaacs la distribución de frecuencias se da en el rango entre ° mg/l y 6,0 mg/l, con frecuencias máximas entre 3,0 mg/l y 5.0 mg/l y frecuencias mínimas entre ° mg/l y 1,5 mg/l y entre 5,5 mg/l y 6,0 mg/l. También se evidencia que e145% de los datos, en esta estación, cumple los valores admisibles para OD (>4 mg/l), mientras que el 55% de los datos toma valores menores a 4,0 mg/l. El valor de la media en esta estación fue de 3,4 mg/l y la desviación estándar de 1,4 mg/l. La forma de la distribución puede considerarse cercana a una curva normal.



La distribución de frecuencias en la estación Vijes se observa en el rango de O mg/l a 4,5 mg/l, con frecuencias máximas entre 0,5 mg/l y 3,0 mg/l y mínimas entre 3,5 mg/l y 4,5 mg/l. En esta estación sólo el 7% de los datos cumple los valores admisibles para OD (>4 mg/l), mientras que el 97% de los datos toma valores menores a 4,0 mg/l. El valor de la media fue de 1,6 mg/l, con una desviación estándar de 1,21 mg/l. La forma de la distribución es relativamente simétrica, asemejándose a una distribución normal.

En la estación Mediacanoa la distribución de frecuencias se da en el rango entre O mg/l y 4,0 mg/l, dando sus frecuencias máximas entre 0,5 mg/l y 2,5 mg/l y mínimas entre 3,0 mg/l y 4,0 mg/l. En esta estación, en forma dramática, el 97% de los datos no cumple los valores admisibles para OD (>4 mg/l), es decir, los datos analizados toman valores menores a 4,0 mg/l. El valor de la media en esta estación fue de 1,6 mg/1, con una desviación estándar de 1,21 mg/l. La forma de la distribución es relativamente simétrica y se asemeja a la curva normal.

9.4 Tablas cruzadas Considerando rangos de calidad de agua para oxígeno disuelto y demanda bioquímica de oxígeno, se muestran a continuación tablas de contingencia para las estaciones Antes Suárez, Juanchito y Vijes.

A continuación se observa la tabla de contingencia entre rangos de DBO y OD, en la estación Antes Suárez.

Tabla de contingencia ORO * Oxígeno disuelto8

Oxigeno disuelto Total

[0·2.51 (2.5·3.51 (3.5-5.51 5.5·8.01

OBO (0·2.01 Recuento 5 B 17 14 44 % de OBO 11.4% 18,2% 38,6% 31,8% 100,0% % de Oxígeno disuelto 62,5% 80,0% 70,8% 66.7% 69,8%

(2.0·3.01 Recuento 1 2 2 5 10 % de OBO 10,0% 20,0% 20,0% 50,0% 100,0% % de Oxígeno disuelto 12,5% 20,0% 8,3% 23.8% 15,9%

(3.0·5.01 Recuento 2 O 3 O 5 % de OBO 40,0% ,0% 60,0% ,0% 100,0% % de Oxígeno disuelto 25,0% ,0% 12,5% ,0% 7,9%

>5.0 Recuento O O 2 2 4 % de OBO ,0% ,0% 50,0% 50,0% 100,0% % de Oxígeno disuelto ,0% ,0% 8,3% 9,5% 6,3%

Total Recuento 8 10 24 21 63 % de OBO 12,7% 15,9% 38,1% 33,3% 100,0% % de Oxígeno disuelto 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100.0%

a. Estación - Antes Suárez

248 ESTADíSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERíA AMBIENTAL CON SPSS


En esta estación se puede apreciar que el 69,8% de los datos de DBO se encuentran en el rango O mg/l a 2,0 mg/l y el 15,9% se dan en el rango de 2,0 mg/l a 3,0 mg/l, es decir, en estos dos rangos se halla el 85,7% de los datos de DBO.

Para el oxígeno disuelto, el 33,3% de los datos se encuentra en el rango 5,5 mg/l a 8,0 mg/l y e138,1 % en el rango 3,5 mg/l a 5,5 mg/l, es decir, en estos dos rangos se encuentra el 71,4% de los datos de OD.

Cuando el oxígeno disuelto se encuentra entre 5,5 mg/l y 8,0 mg/l; la DBO toma valores entre O mg/l y 2,0 mg/l; el 66,7% de las veces y entre 2,0 y 3,0 mg/l el 23,8%.

Cuando la DBO se halla en el rango O mg/l a 2,0 mg/l; el 11,4% de los datos de OD se encuentra entre O mg/l y 2,5 mg/l y el 18,2% de los datos se da entre 2,5 mg/l y 3,5 mg/l.

Del total de datos analizados, el 22% se hallan entre 5,5 mg/l a 8,0 mg/l de OD y entre O mg/l y 2,0 mg/l de DBO, simultáneamente. El 27% de los datos se encuentra entre 3,5 mg/l y 5,5 mg/l de OD y entre O mg/l y 2,0 mg/l de DBO, simultáneamente.

En esta tabla se puede evidenciar que valores menores de DBO están asociados a valores altos de OD, valores altos de DBO repercuten en una disminución de la OD.

La siguiente tabla muestra el cruce entre oxígeno disuelto y DBO, en la estación Juanchito.

Tabla de contingencia oBO * Oxigeno disuelto8


(2.5·3.51 (3.5·5.51 (5.5·8.01

OBO [0·2.01 Recuento O 20 11 31 % de OBO ,0% 64,5% 35,5% 100,0% % de Oxigeno disuelto ,0% 39,2% 44,0% 39,2%

(2.0·3.01 Recuento 1 17 6 24 % de OBO 4,2% 70,8% 25,0% 100,0% % de Oxígeno disuelto 33,3% 33,3% 24,0% 30.4%

(3.0·5.01 Recuento 2 13 8 23 % de OBO 8.7% 56,5% 34,8% 100,0% % de Oxigeno disuelto 66.7% 25,5% 32,0% 29,1%

>5.0 Recuento O 1 O 1 % de OBO ,0% 100,0% ,0% 100,0% % de Oxigeno disuelto ,0% 2,0% ,0% 1,3%

Total Recuento 3 51 25 79 % de OBO 3,8% 64,6% 31,6% 100,0% % de Oxígeno disuelto 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

a. Estación - Juanchito

ESTADisTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS 249


En esta estación, el 39,2% de los datos de DBO se encuentra en el rango de O mg/l

a 2,0 mg/I, el 30,4% en el rango de 2,0 mg/I y 3,0 rng/I y el 29,1 % entre 3,0 rng/I y

5,0 mg/l, es decir, en estos tres intervalos se da el 98,7% de los datos de DBO.

Para el OD, el 31,6% de los datos se da en el rango 5,5 mg/l y 8,0 mg/I y el 64,6%

entre 3,5 rng/l a 5,5 rng/I, es decir, en estos dos rangos se halla el 96,2% de los datos

deOD.

Cuando el OD se encuentra entre 3,5 rng/I y 5,5 mg/I; el 39,2% de los datos de DBO

se halla entre O mg/I a 2,0 mg/I; el 33,3% entre 2,0 mg/I a 3,0 mg/I y el 25,5% entre

3,0 mg/I a 5,0 mg/l.

Cuando la DBO se da entre 3,0 mg/I y 5,0 mg/I; el OD se halla entre 2,5 mg/l y 3,5

mg/I el 8,7% de las veces; el 56,5% se da entre 3,5 mg/l y 5,5 mg/l y el 34,8% entre

5,5 mg/l y 8,0 mg/l de OD.

Del total de datos analizados, el 25,3% de los datos está entre 3,5 mg/l y 5,5 mg/l de OD

y entre O mg/l a 2,0 mg/l de DBO, simultáneamente. El 16,5% de los datos se da entre

3,5 mg/l y 5,5 mg/l de OD y entre 3,0 mg/l y 5,0 mg/l de DBO, simultáneamente.

A continuación se muestra la tabla de contingencia entre rangos de DBO y oxígeno

disuelto, en la estación Vijes.

Tabla de contingencia DBO • Oxigeno disuelto·


[0·2.51 (2.5-3.51 (3.5·5.51

oBo [0·2.01 Recuento 2 1 O 3 % de OBo 66.7% 33,3% ,0% 100,0% % de Oxigeno disuelto 3,6% 10,0% ,0% 4,2%

(2.0·3.01 Recuento 5 2 3 10 % de OBO 50,0% 20,0% 30,0% 100,0% % de Oxígeno disuelto 9,1% 20,0% 42,9% 13,9%

(3.0·5.0%1 Recuento 11 5 2 18 % de OBO 61.1% 27,8% 11,1% 100,0% % de Oxígeno disuelto 20,0% 50,0% 28,6% 25,0%

>5.0 Recuento 37 2 2 41 % de OBO 90,2% 4,9% 4,9% 100,0% % de Oxígeno disuelto 67,3% 20.0% 28,6% 56,9%

Total Recuento 55 10 7 72 % de OBo 76.4% 13,9% 9.7% 100,0% % de Oxígeno disuelto 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

a. Estación - Vijes

En esta estación el 4,2% de los datos de DBO se dan entre O mg/l y 2,0 mg/l, el

13,9% entre 2,0 mg/l y 3,0 mg/I y el 25,0% entre 3,0 mg/l y 5,0 mg/l, es decir, en estos tres intervalos se halla e143,1 % de los datos de DBO.


CAPíTULO 9 - CALIDAD DE AGUA

En OD, el 76,4% de los datos se encuentra en el rango ° mgll a 2,5 mg/l, el 13,9% entre 2,5 mgll y 3,5 mgll y el 9,7% entre 3,5 mgll y 5,5 mgll.

Cuando el OD se halla entre 2,5 mgll y 3,5 mg/l; el 10% de los datos de DBO está en el rango de ° mg/l a 2,0 mgll; el 20% entre 2,0 mg/l y 3,0 mg/l y el 50% entre 3,0 mg/l a 5,0 mgll.

Cuando la DBO se da entre 3,0 mg/l y 5,0 mgll; el OD se halla entre ° mg/l y 2,5 mgll e161, 1 % de las veces; entre 2,5 mgll y 3,5 mg/l el 27,8% Y el 11,1 % entre 3,5 y 5,5 mg/l de OD.

Del total de datos analizados, el 51,4 % de los datos se da entre ° mg/l y 2,5 mg/l de OD y > 5,0 mg/l de DBO, simultáneamente. El 15,3% de los datos se ubica entre ° mg/l y 2,5 mg/l de OD y entre 3,0 mg/l y 5,0 mg/l de DBO, simultáneamente.

9.5 Frecuencias acumuladas A continuación se observan las gráficas de frecuencias acumuladas para oxígeno disuelto en las estaciones Antes Suárez, Paso de la Balsa y Juanchito.

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Gráfica de frecuencias acumuladas en oxígeno disuelto, en las estaciones Antes Suárez, Paso de la Balsa y Juanchito

De la gráfica se puede analizar que en la estación Antes Suárez alrededor del 43% de los datos toma valores menores a 4,0 mgll, es decir, el 57% cumplió el valor admisible. En la estación Paso de la Balsa alrededor del 5% de los datos son menores a 4 mg/l, y el 95% de los datos cumple el valor admisible. En la estación Juanchito alrededor del 12% muestra valores menores a 4 mgll y el 88% toma valores admisibles. Lo



anterior evidencia que en estas estaciones se tienen pocas frecuencias en datos menores o iguales a 4 mg/l, que es el estado deseable del río.

La siguiente gráfica ilustra las frecuencias acumuladas de las estaciones Vijes, Mediacanoa y Puente Guayabal.

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Gráfica de frecuencias acumuladas en oxígeno disuelto en las estaciones Vijes, Mediacanoa y Puente Guayabal

En las estaciones Antes Suárez, Paso de la Balsa y Juanchito se dan sus mayores frecuencias en valores menores a 4,0 mg/l, pues cerca del 98% de los datos toman valores menores a 4 mg/l, considerándose esta situación bastante crítica en el río.

9.6 Percentiles Este ítem muestra el análisis de los valores percentiles para oxígeno disuelto y demanda bioquímica de oxígeno.

• Oxígeno disuelto

En la siguiente tabla se muestran los valores percentiles de OD en las diversas estaciones monitoreadas sobre el río Cauca en el Valle del Cauca.



Tabla de percentiles para oxígeno disuelto en estaciones del río Cauca

00

Parcantil ParcantM Mediana

Parcantil Parcantil P8rcantil 05 25 75 95 99

Estación Antes Suáraz 1,3 3,5 4,7 5,8 7,5 8,0

Antes Ovejas 1.8 4,1 5,3 6,1 7,5 8,0

Antes Timba 4,3 6,0 6,5 7,1 7.4 7,9

Paso de la Balsa 4,1 5,7 6,6 7,1 7,6 8,0

Paso de la Bolsa 3,8 5,7 6,3 6,7 7,1 7,3

Hormiguero 3,3 5,5 6,0 6.4 6,7 7,8

Antes Navarro 1.7 5,2 5,9 6,2 6,5 7,5

Juanchito 3,7 4,7 5,3 5,7 6,3 8,0

Paso del Comercio 1,9 3,6 4,6 5,3 5,9 8,0

Puerto Isaacs ,8 2.7 3,7 4,6 5,3 5,8

Paso de la Torra ,1 ,7 2,0 3,0 4,6 6,3

Vijes ,2 ,6 1.4 2.4 4,0 4,6

Yotoco ,2 ,8 1,3 1.8 3,5 4,3

Mediacanoa ,3 1,0 1.5 2,0 3,7 4,1

Puente Riofrlo ,9 1,6 2,2 2.7 3,6 4,3

Puente Guayabal 1,0 1.8 2.4 2,8 3,6 4,6

Puente La Victoria 1,7 2,3 2,8 3,1 3,8 5,0

Anacaro 2,1 2,5 2,8 3,2 3,9 6.4

Puente La Virginia 2.4 3,1 3,6 3,9 4,5 6,0

De la tabla se puede analizar que en la estación Antes Suárez el 50% de los datos son menores o iguales que 4,7 mg/l; el 75% son menores o iguales a 5,8 mg/l; el 95% son menores o iguales a 7,5 mg/l y el 99% son menores o iguales a 8 mg/l.

En la estación Paso de la Bolsa el 50% de los datos son menores o iguales a 6,3 mg/l; el 75% son menores o iguales a 6,7 mg/l; el 95% menores o iguales a 7,1 mg/l y el 99% son menores o iguales a 7,3 mg/l.

En la estación Paso de la Torre el 50% de los datos son menores o iguales a 2,0 mg/l; el 75% son menores o iguales a 3,0 mg/l; el 95% son menores o iguales a 4,6 mg/l y el 99% son menores o iguales a 6,3 mg/l.

En la estación Yotoco el 50% de los datos son menores o iguales a 1,3 mg/l; el 75% menores o iguales a 1,8 mg/l; e195% menores o iguales a 3,5 mg/l y el 99% menores o iguales a 4,3 mg/l.

Los percentiles en forma gráfica se observan a continuación.



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Gráfica de valores percentiles para oxígeno disuelto en estaciones del río Cauca

Analizando en general los valores percentiles se tiene que las estaciones con mejor reporte de datos en OD son Antes Timba y Paso de la Balsa, pues sólo e15% (percentil 05) de sus datos son menores o iguales a 4,3 mg/l y 4,1 mg/l, respectivamente. Le siguen las estaciones Antes Ovejas y Juanchito, pues e125% de los datos son menores a 4.1 mg/l y 4,7 mg/l, respectivamente.

Las estaciones con valores críticos se encuentran en el tramo Vijes a Puente Guayabal, pues el 99% de los datos (percentil 99) son menores o iguales a 4,6 mg/l. Otras estaciones con datos críticos son Paso de la Torre, considerando que el 95% de los datos son menores a 4,6 mg/l y la estación Puerto Isaacs, pues el 75% de los datos son menores a 4,6 mg/l, similarmente la estación Paso del Comercio, con el 50% de los datos menores de 4,6 mg/l.

A continuación se observa la tabla de valores percentiles de DBO en las estaciones monitoreadas sobre el río Cauca. De la tabla se puede deducir que en la estación Antes Timba se observa que el 50% de los datos toman valores menores o iguales a 1,2 mg/l; el 75% son menores o iguales a 2,0 mg/l; e195% son menores o iguales a 2,9 mg/l y el 99% datos menores o iguales a 4,7 mg/l.



Tabla de percentiles para demanda bioquímica de 00 en estaciones sobre el río Cauca

080 Percentil Percentil

Mediana Percentil Percentil Percentil

05 25 75 95 99 Estación Antes Suárez .4 ,9 1.4 2.4 5,1 7,8

Antes Ovejas ,2 ,8 1,2 2,1 3.7 7,0 Antes Timba ,3 ,8 1,2 2,0 2,9 4.7 Paso de la Balsa ,3 ,9 1.3 1,9 3,6 4,8

Paso de la Bolsa ,3 1.1 1,9 2,5 4,9 5,3 Hormiguero ,3 1,3 2,0 2,8 4,8 6,3 Antes Navarro 1,0 1,8 2,3 3,1 6,0 15,1

Juanchito ,8 1.6 2,3 3,2 4.4 5.7 Paso del Comercio 1,5 2,8 3,8 5.4 9,0 15,9 Puerto Isaacs 1,9 3,0 3,9 5.4 10,1 16.7 Paso de la Torre 1,9 3,2 4,6 6,6 10,9 14,8

Vijes 2,5 3.4 5,2 9,0 15.7 18,5

Yotoco 1,6 2.7 4,1 6,8 10,5 16,5

Mediacanoa 1,5 2.7 4,1 5.7 10,8 13,2

Puente Riofrío 1,3 2,0 3,8 6,3 11,2 14,6

Puente Guayabal 1.2 2,3 3.7 5,2 9,3 13,2

Puente La Victoria 1.1 2,2 3,1 4,6 9,8 11,6

Anacaro 1,3 1,8 2.7 5,5 10,1 13,9

Puente La Virginia 1,5 2,2 2,6 4,2 B.4 10,8

En la estación Hormiguero el 50% de los datos son menores o iguales a 2,0 mgll; el 75% son menores o iguales a 2,8 mg/l; el 95% menores o iguales a 4,8 mg/l y el 99% son menores o iguales a 6,3 mg/1. En la estación Vijes el 50% de los datos son menores o iguales a 5,2 mgll; el 75% son menores o iguales a 9 mgll; el 95% son menores o iguales a 15,7 mgll y el 99% son menores o iguales a 18,5 mg/1. Los percentiles en forma gráfica se muestran a continuación.

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Gráfica de valores percentiles para DBO en estaciones del río Cauca



Analizando en general los valores percentiles para DBO, se da que las estaciones con mejor desempeño son: Antes Timba, Paso de la Balsa, Paso de la Bolsa, Hormiguero y Juanchito, pues el 99% de los datos son menores o iguales a 4,7, 4,8, 5,3 , 6,3 Y 5,7 mg/l, respectivamente.

Le siguen las estaciones Antes Suárez, Antes Ovejas y Antes Navarro, debido a que el 95% de los datos son menores o iguales a 5,1, 3,7 Y 6,0 mg/l, respectivamente.

Las estaciones con valores críticos en DBO son Paso de la Torre, Vijes y Yotoco, debido a que el 50% de los datos son menores a 4,6, 5,2 Y 4,1 mg/l, respectivamente.

De los resultados descriptivos desarrollados en este capítulo, la presentación gráfica de los datos y consideraciones de carácter técnico se pueden generar los siguientes análisis generales:

En el tramo Antes Suárez a río Ovejas se dan aumentos leves en la concentración de oxígeno disuelto y una disminución leve de la demanda bioquímica de oxígeno; el río en este tramo inicia un proceso de recuperación, recibiendo una reaireación que es utilizada para la degradación de la materia orgánica.

En el tramo Antes río Ovejas a Hormiguero el río recibe aguas de tres ríos afluentes : río Ovejas, río Timba y río Palo, aumentando considerablemente los niveles de caudal del río Cauca, lo cual permite una estabilización de la demanda bioquímica de oxígeno y el incremento en la concentración de oxígeno disuelto, considerando que los ríos Timba y Ovejas aportan un caudal importante con altas concentraciones de oxígeno disuelto y valores bajos de demanda bioquímica de oxígeno.

En el tramo Hormiguero a Vijes se observa la mayor contaminación del río por materia orgánica, debido a que en este tramo recibe las descargas de la ciudad de Cali, Palmira y el corredor industrial Cali-Yumbo, donde se encuentra gran parte de los ingenios azucareros, la mayoría de las industrias de producción de pulpa de papel, industrias productoras de químicos y la principal destilería del departamento del Valle del Cauca. En este tramo se dan constantemente valores bajos de oxígeno disuelto y un incremento progresivo de la demanda bioquímica de oxígeno.

En el tramo Vijes a Mediacanoa se tiene la condición más crítica a nivel de concentración de oxígeno disuelto, pues en general se encuentra entre 1 mg/l y 2 mg/l. En este sector hay una fuerte exigencia en la demanda bioquímica de oxígeno. La contaminación en este sector es aportada por los municipios de El Cerrito, Guacarí y Yotoco. (Vélez, 2003).

En el tramo Mediacanoa a La Virginia el río muestra una marcada recuperación, pues la carga contaminante es menor y esto posibilita la auto-recuperación de la calidad de agua. En este sector se observan descargas de aguas residuales e industriales, debido a los ingenios, beneficiaderos de café e industrias alimenticias, así como de los municipios de Buga, Tuluá, Riofrío, Bugalagrande, Cartago y Caicedonia. (Vélez, 2003).


CAPíTULO

10 Instrucciones en SPSS

En este capítulo se presentan los procesos básicos para el uso del programa estadístico SPSS (Statistical Package for the Social Sciences), en su versión 11.5, para el sistema operacional Windows (Las nuevas versiones tienen los mismos procesos para la estadística descriptiva que los presentados en este libro). SPSS es uno de los programas más comúnmente utilizados para el análisis estadístico de datos. Entre sus ventajas se encuentran: cubre un amplio rango de los análisis más comunes y gráficos estadísticos, los datos pueden ser grabados en SPSS o pueden ser importados de otros programas, como Excel. Los resultados del análisis de datos están claramente estructurados en un archivo de salida, en el cual se pueden realizar modificaciones y pueden ser editados en el procesador de texto Word (Microsoft). '

Para ingresar al programa SPSS en el menú de inicio se debe seleccionar: Programas>SPSS for Windows>SPSS 11 .5 para Windows, o simplemente dé doble clic en el icono de SPSS si este se encuentra instalado en el escritorio, SPSS automáticamente abrirá una hoja vacía: "Sin titulo - SPSS para Windows Editor de datos". Para finalizar el programa SPSS se debe seleccionar Archivo>Salir, de la barra del menú o clic en el botón X, en la parte superior de la esquina derecha de Windows.

10.1 Ingresando los datos a SPSS El editor de datos abre automáticamente cuando se inicia una sesión SPSS y contiene una hoja electrónica para introducir, editar y mostrar el contenido de un archivo de datos.



Las filas en el editor de datos de la hoja electrónica son observaciones o casos y las columnas variables. La línea superior de las filas contiene el nombre de las variables, mientras que la columna izquierda se refiere al número de la secuencia de las observaciones o medidas, tal como se ilustra a continuación.

• Para definir las variables de la barra de menú se debe seleccionar Datos>Definir propiedades de variables ... o pulsando doble clic en la celda "varOOOOl" en la línea superior de las filas, donde se define el nombre de la variable 1; en la siguiente columna, en "var00002", se puede definir el nombre de la segunda variable y así sucesivamente hasta completar las variables del estudio. El nombre de cada variable debe iniciar con una letra, con máximo ocho caracteres y puede ser alfanumérico. El nombre no debe contener espacios en blanco, pero pueden ser usados caracteres especiales.

• En la caja: Definir propiedades de las variables de clic en Etiqueta, y en la ventana abierta "Definir etiqueta", tipear el nombre completo de la variable o un nombre más extendido del tipeado en "var00002". Aquí se permiten espacios y no existe una longitud máxima.

• Mientras la caja Definir propiedades de las variables está abierta, es útil también seleccionar el tipo apropiado de cada variable, seleccionando Tipo; ésta ofrece una lista de diferentes posibilidades (numérica, fecha, científica, dólares, notación etc.). Indique el número de decimales en la instrucción Ancho, y pulse clic


CAPiTULO 10 - INSTRUCCIONES EN SPSS

en continuar. Dé la Medida (escala, ordinal, nominal) y dé clic en aceptar. A continuación se observa la caja de definir variable:

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10.2 Importando archivos de Excel Si los datos se encuentran almacenados en un archivo de Excel, donde las variables están por columnas y las observaciones por filas, es posible trasladar estos datos al editor de datos de SPSS. Para realizar el traslado del archivo se deben seguir los pasos que se presentan a continuación; ilustrados con las variables; turbiedad y

sólidos suspendidos.

Abra el archivo de Excel que contiene los datos a ser trasladados a SPSS .

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Señale los datos de las variables que se van a procesar y dé clic en el icono de copiar, en este caso turbiedad y sólidos suspendidos,

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Inicie el programa SPSS y posiciónese en la primera columna y primera fila, es decir, la celda Al, Y seleccione Edición> Pegar.

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• Los datos de las variables turbiedad y sólidos se copiarán en el editor de datos de SPSS. Para cambiar el nombre de las variables se debe habilitar la "pestaña";


CAPfTULO 10 - INSTRUCCIONES EN SPSS

vista de variables, que está ubicada en la parte inferior de la pantalla. También se puede realizar ubicándose en la fila superior de cada variable.

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Se desplegará la pantalla que presenta la descripción de variables, el nombre, el tipo, la longitud, el número de decimales, la etiqueta, valores especiales, valores perdidos, columnas, el tipo de alineación y el tipo de medida.

Campos que deben ser diligenciados de acuerdo con el contexto del estudio.



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En el ejemplo específico, el editor de datos en SPSS quedará definido de la siguiente forma, quedando definidas las variables para el procesamiento estadístico.

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CAPfTULO 10 - INSTRUCCIONES EN SPSS

10.3 Estadísticas descriptivas Las estadísticas descriptivas que permite calcular directamente SPSS son: media, suma, desviación estándar, máximo, mínimo, varianza, amplitud (rango), coeficiente de curtosis, coeficiente de asimetría y error típico de la media. El proceso del cálculo se ilustrará con el ejemplo de la evaluación de cinco filtros gruesos, presentado en el capítulo 7.

• En la barra de menú de SPSS seleccione: Analizar>Estadísticos Descriptivos> Descriptivos ... , en este momento se despliega el cuadro de diálogo Descriptivos.

c~ .. mecIas Modelo lneaI generlll Modelos mixtos

Coneledones R~ lOQlnNl CIesflc .. RldJcdán de datos Esealas PruIbas no perllll6b1ces Series teqIorlles

~ RespJeStes ~ AnilsIs de valores penIcIos •••

• Seleccione del lado izquierdo del cuadro de diálogo las variables a las cuales desea calcularles estadísticas descriptivas y páselas alIado derecho (Variables) mediante el botón que se encuentra en el medio de las dos subventanas. Para seleccionar las estadísticas descriptivas que desea calcular, dé un dic en Opciones.

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Acepte! I F>.\lII I

Rttttbletll! I Ctn:ei« I ~ I

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263


Seleccione las estadísticas descriptivas que desea calcular y dé un clic en Continuar, volverá al cuadro de diálogo Descriptivos. Una vez esté seguro de que las variables deseadas están en el lado derecho de la ventana, dé un clic en Aceptar.

264

'~~·P~-Pki¡;~~"::, .. ",. __ . .,_ ~ ~ Meóa ~ SI.IlIa {anna} Dispersión

~ Oesv. típica ~ Minino ~I

~ Varaanza ~ Mmoo AjWa I

~ An1*ud ~ E.T. meáa

~= ~ Asinebía

Orden de "'-Iz1IICi6n

(O LAta de vllrietlles

r AlabéIico

r MediIIIs éIICendenIes

r Meóas d.cendrri1llS

Una vez haya hecho clic en Aceptar se abrirá una nueva ventana, la cual contendrá el resultado de los procedimientos realizados en la sesión de trabajo. Esta nueva ventana, que se visualiza, es independiente del editor de datos de SPSS y se llama Visor SPSS, donde se presentan los resultados de los procesos estadísticos. Los resultados presentados en la ventana Visor de SPSS se pueden trasladar a un editor de texto, como Word, mediante el proceso de señalar, copiar y pegar.

1·:..tC!~II~S l _Vl ~L~!!>.>. ____ ~ • ____________ ...... _ ._~ ... ~ ....... . ~.,:...,JI¡I'

fII ...... to ......


CAPITULO 10 - INSTRUCCIONES EN SPSS

Con el proceso presentado anteriormente no es posible calcular algunas medidas descriptivas como la mediana y la moda. A continuación se presenta el procedimiento para el cálculo de estas estadísticas descriptivas a través de tablas personalizadas.

En la barra de menú de SPSS vaya a Analizar> Tablas> Tablas Personalizadas ... , en este momento se despliega el cuadro de diálogo Tablas Personalizadas.

_ _ os

Corn0iecJ0005 ~ ..... LoghNI 00sl1Ul' Rll<UxJOO do datos

PruIIbas no paraméblc.as

- boIrpJraIos SuperviYenda

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Tata;do ,~~ .. . Tata; do freo..oerOas. ••

En el cuadro de diálogo Tablas Personalizadas encontrará al lado izquierdo la lista de variables disponibles en la ventana del Editor de datos de SPSS; aliado derecho (en blanco) se encuentra la ventana donde se realizará el diseño de la tabla. "Arrastre" al cuadro blanco en el área de columnas, las variables a las cuales desea calcular las estadísticas descriptivas.

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J:~==. , ........... . ~ ~~ .. "-'-¡ Sñ_ f--



Una vez que ha pasado las variables, dé clic en el lado derecho del mouse y en el menú que se despliega elija Seleccionar todas las variables de columna.

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VCli"bIes . ,~

,cIo lclol , lecho {l • .•.

'nteg,od . 'fl¡o¡3 11g." , Igac Ilgac) ,t¡tm3IL '¡g,:!{lgh3) , Igds 1I¡¡dol ' ,emlguJ . . ',emlgac . '_Ig""'-

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[fIiiI No'l11Ii I!I Cq¡¡p&" lOe-cw.,..,.,

EJtacktoos de r~ ... CeteQOf_ '1 tot_ ' .

Inl:ercm¡bl.Y flM y 't'arWJIes de cdurrna 5clew""or to<b, la5 v.y\,ble5 de 'lo :M\,(,IU...-I;t:;¡dasles:"."tl..:, Je<,;It~

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Cort. Copiar

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PoIIcOl. CoIurmas .,.. r Oeu. P01ieión de cete{)Off."

Ongon' Yan""', do colJrrna

• Una vez que se han seleccionado las variables en el área de diseño de la tabla, vaya al cuadro Definir (parte inferior izquierda) y localice el cursor sobre Estadísticos de resumen y dé un clic; inmediatamente se desplegará la ventana donde podrá seleccionar las diferentes estadísticas que desea calcular. Sólo debe buscar y seleccionar de la lista Estadísticos la estadística de preferencia, luego pasarla al cuadro Visualización mediante la flecha que se encuentra en medio de las dos subventanas. Cuando haya terminado de seleccionar las estadísticas, dé un clic en Aplicar a selección, entonces volverá a la ventana de diseño de la tabla personalizada.

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V",ioble seleccionada: IM úl~ v",iabl .. )

e-tadi,licos; Vtluahzación;

Pe,C<II"II199 .: .¡z. Eno'lÍpicode lameóa - . I~'~" I~~ I'''''''''''''ICO Detv. típica A. ••

Suma N total •

I AplicO! •• elección I ApliC<ll ~ lodo Cenor J~..J



• Finalmente, seleccione Filas en el subcuadro Posición del cuadro Estadísticos de resumen, y dé un dic en Aceptar.

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TaIJia I Tílubal Etladí.~do"""'_1 0_1 lIa_ .. IIiI NOIft\II I!I e_ ., Iñ 14M ' do{dol I ¡¡¡<+.. ...... ' lecho!"' .. ' nle!ilod .. 1IIIo"ld 190t3 IIIIC I~ Iv ' 1ga<311g.. Mido r .. "!I''W'VY'I I'N'ln .... n IIm'I M ""mM N 'fooc~gocl

Mldono (1'111'1)'1'", nnnn..nn r,'l1'lJ'1'l N HY\.ftl n " !fTnl{f. ' tg\l{lgh3) Modo rlflmm rI'lI\I\.nn fYTl'\ /Wl mm.m ro

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SIi Cd;eg",¡", y M'oIeo Ptr defecto .. Origen V<>rIoI:II .. do ,<+.. ..... ..

I AcOlIta I ~ Rec\otNc. l CoraIa I ~ A

Aparecerá la ventana del Visor SPSS con los resultados de la tabla personalizada disefiada, tal como se presenta a continuación.

+ Tablas personallzactas

",",GRIIO ....... . "'" , ....... 'GHl 'ODa ".dl. 13,50 12,4!i 11 ,14 21 ,19 13,20 10,!;1

M.atana 48,00 ',00 18,00 11,00 9,45 14,00 .oo, " .00 14.00 " ,00 17.00 '8.00 18.00 ....... 5'0,00 115,00 170,00 130,00 ",00 140,00 .Ini~ 17,00 2,00 3,80 '.90 >," 2," Vartanza 5190,08 139,66 342,18 256,57 100,02 228,31 Desvl.clónlipltl 16.(}g 11 .82 18.50 '6.02 10.00 15." Rango otdlnol 56:J,oo 11:J,OO 186,20 '26,10 70,2iI 1:J7,40



10.4 Histograma Para realizar el histograma en SPSS se deben seguir los siguientes pasos:

En la pantalla de Editor de datos de SPSS vaya a Gráficos y seleccione Histograma.

En el cuadro de diálogo pase la variable, a la que desea construirle el histograma, al subcuadro Variable (usando la flecha) , señale la opción Mostrar curva normal y dé un c1ic en Aceptar. En la ventana de salida de SPSS se muestra el histograma, alIado derecho del gráfico se muestra la desviación típica, la media y el numero de datos de la variable .

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~~ ... ~ PInia- -_. -- f Ret!#m l <t> 1gm.1 l' r lJlalal~~bde: : ('..miv l <i> ¡gu j -=:J ~ <i> i!Ps ~1fJIÍOlI3

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T ... ·I ~oet#A3 ~ IiMosil.amraNi ~.;<t."'i\'¿~~';;:''i,"

268 ESTADIsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS


• Para editar el gráfico dé doble clic sobre el gráfico, aparecerá una ventana de edición llamada Editor de gráficos de SPSS; en esta ventana podrá editar el nombre de los ejes, el tamaño de la fuente y el número de decimales de los ejes.

ArthJvo EdId6n v. ~rie DINIIo Series ~ AnIb. GrMlcol ?

!!l C]b llll I .J _1-1 " H · lcol"'l T jAlhlij" l.nJ LlT 120.,-----------,

100

BO

60

40

20

INTEGRAD

• Para editar cualquier elemento del gráfico dé doble clic sobre el componente que desea modificar, aparecerá el cuadro de diálogo correspondiente. Por ejemplo, si se desea modificar el eje X, el cuadro de diálogo que aparecerá es llamado Eje de intervalo, como se muestra en la figura; en este cuadro se puede modificar el título del eje, los intervalos y el formato de las etiquetas. Si da un clic en Etiquetas aparecerá un nuevo cuadro de diálogo donde se puede modificar el número de etiquetas, el tipo, el número de decimales, el factor de escala del eje y la orientación de las etiquetas.

,-fje Ge ;~leIVa, ~_

Mcnb. -- -('" T ..... I .. ~

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eir ... decíIn* .. r rS __ de_

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Fottorde - r-0rie!Ucí6rc 1_ :::J

ESTADIsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS

Ic..a-I c:..c.r. 1 ...... 1

269


10.5 Gráfico de frecuencias acumuladas • En el Editor de datos de SPSS vaya a Gráficos> Interactivos> Histograma, como

se muestra en la figura. Aparecerá el cuadro de diálogo Crear Histograma.

aarr.,. ... ....... ", !Í'ooao", -", LheM~ .• ,

"' ..... ....... Dlet;J'nas.c ...... ISarrasde.-ror .. ,

• En el eje vertical pase del lado izquierdo la variable Porcentaje ($pct) y en el eje horizontal pase la variable a la cual desea graficar la ojiva o distribución de frecuencias acumulada, seleccione en la parte inferior Histograma acumulado, como se muestra en la figura.

270

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AtiQnor-IH ... ogr .... 1 ll\_1 0_1 ~ R~o[Scow> '[eIol , p.e"'1 , FGAC[lgaccatl , FGAS3 [1_3cat1 , [lgos3J , FGOS (lgc:I>caIl , (lgdal , FGH3 [lgI>3caIl , [Id'll , FGHM3 (lgIwn3c:. ,[I~ , (int_ad1 , '",_odoI r .. ...,. '11-_1 , (,-g0s31 , (,-gdol '('~I , (" • .", ..... 31

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C"",*- -ESTADfsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS

CAPITULO 10 . INSTRUCCIONES EN SPSS

Dé un dic en Aceptar, el gráfico se mostrará en la ventana de salida.

J

10.6 Gráficos en tres dimensiones • En el Editor de datos de SPSS vaya a Gráficos>Interactivos>Diagrama de

dispersión , como se muestra en la figura. Aparecerá el cuadro de diálogo Crear Diagrama de dispersión.

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~ ... _ .. ~_ ..... Al .. , •• -.. o.._docojo. .• a.r .. di.,..,., -_ ...



Pase las variables que desea graficar del lado izquierdo a cada uno de los cuadros marcados como ejes, como se muestra en la figura, luego en la pestaña ajuste verifique que el Método sea Suavizador, en la opción Kernel que por defecto utiliza la distribución normal; puede elegir también la distribución uniforme.

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"c.o_ " ........ -,,-,~ .... ,~,~, .... ,~,c.o.v-.. ,c.o._. , DeO_ ,DIOI<b>I '000_ '000 .. _1 '_-11_ ,_ ....... ,--,-,,--'f ...... ,.._

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r ~,tb60' ~

- -• Dé un clic en Aceptar y el gráfico en tres dimensiones aparecerá en la ventana

de resultados.

272

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IOIlg lallll ~!!l.:J .1bl.l~ Al..!.J; - ---~ .!.I..:.I t:llCI ~I c;;.¡1 ~I I ~' _____ -o

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10.7 Gráficos de barras en tres dimensiones En el Editor de datos de SPSS vaya a Gráficos>Interactivos>Barras como se muestra en la figura. Aparecerá el cuadro de diálogo Crear gráfico de barras.

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=~'--.. . . __ ~_ .. ___ .. ~ l-·.¡'ii'---¡¡;;"I----¡,.-I o..ar- . ..... a.r.,de fITrtII •••

• Señale las variables que desea graficar y páselas alIado izquierdo, a cada uno de los cuadros marcados como ejes, como se muestra en la figura.

---------------------------------------------(ff"U r.',l111IJ di' ".11',1"" I X

Ao9* "ariIIIIM 10_ cW ",Míco'" 10M .. J a ............ 1 T , ..... , o~ 1

t I fP Por--.t.,¡" ($pct) .......... lJO!O FGH3 (fgh3cal)

- 1 , IrQgID ",,-..J -V .......... ~---

Color; I Al ~ :1 Eodo: I a. ÁpIIf ·1

V.w.IHcW......, -----...-------



Dé un clic en Aceptar y el gráfico en tres dimensiones aparecerá en la ventana de resultados.

10.8 Gráfico de tallos y hojas • En el Editor de datos de SPSSvaya aAnalizar>Estadísticos descriptivos>Explorar,

como se muestra en la figura. Aparecerá el cuadro de diálogo Explorar.

274

-=--___ JI -COn_ ."'-....., deofk. __ dodotoo -

7$ n !lO !lO 65 n n 5.t 69 75 79 E8 69 li6 65 69 !i6 51 81



En el cuadro de diálogo, pase las variables al subcuadro Dependientes; en la opción Mostrar sefiale la subopción Gráficos. Dé un clic en el botón Gráficos y

sefiale Tallo y hojas, como se muestra en la figura .

• l ltpluf<H rx -- I _.- j[- leomru. l [!] "- I ro N .... delot' ... "'....... P T .... """"

R_I ro---....... rHto!otJ .....

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F.clofea;

1 C~__ Alu!al [!] I

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...- 1 r GI_ con l>IUIboo do .......,¡,jod

Oiopoqo6n por rweI"", pruebe do u......----, [!] E_Ioo ..... _ ro

j . , r '"

¡ M08Ib. - -- :l Ir T,wI_. P"'..- JlOll""' .... ::::J ,- 1 r ' 1 norm3dor r_r E"",,_r.G'lficooj E G,Mioot. .. 0_

Dé un clic en Aceptar y el gráfico de tallo y hojas para cada variable aparecerá en la ventana de resultados.

P'GA.S3 Scem-and-Lea:f P lot

Frequeney

,00 33,00 63,00 16,00 21,00 2,00

13 , 00 21,00 18,00 11S,OO 8,00 6,00 4,00 7,00 4,00 6,00 2,00

Su., Laaf

o o 2222222333333333 o 4444444444444444444455555555555 o 66666666667777777777777 o 8e8e8lS8IS8i9;9 , 1 223333

1144444555S55 1 66666711 1 8e81S999i

0111 233

011

10,00 lxeremes 2 (> -33)

Se"", wideh: 10,0 E.ch leaf: 2 cuel")


" 1 • Al: 17 Aii:;

275


10.9 Gráfico de cajas y alambres En el Editor de datos de SPSS vaya a Gráficos>Diagramas de cajas.

0,0 ., ,,» u u ·

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,. 12 111 111 .. 12 12 54 .. "-j ,.

",Q ~ 19 83,1. •

~:[ -: "747 1 - 55"

"'1 .. n.! 56

:~1'

• En el cuadro de diálogo Diagramas de caja, elija la opción Simple; en la opción Los datos del gráfico son, elegir Resúmenes para grupos de casos si va a graficar una sola variable, y Resúmenes para distintas variables si va a graficar varias variables; luego dé clic en Definir, pase al sub cuadro Las cajas representan: las variables que desea graficar y dé un clic en Aceptar y el gráfico aparecerá en la ventana de resultados de SPSS.

I h.U~1 ,1111,' .. d" , -1)" X • lb 1,'111111' ,l. , q' q'"I'I., H, '11111, 111' I',H , ,11 ·,,,11\ 111 X

Ii!3s. , Ooh I .... IoNI 1M -·1 ~- 1 10<03

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::: .. :::

276 ESTAOrSTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERrA AMBIENTAL CON SPSS

CAPíTULO 10 - INSTRUCCIONES EN SPSS

10.10 Percentiles En la barra menú de SPSS vaya a Analizar>Tablas>Tablas Personalizadas ... , en este momento se despliega el cuadro de diálogo Tablas Personalizadas.

c" Arctlyo Etklón Ver Datos Transformar l:.. Gráftc:os lJ:ldades "'ertana 1

~IiiIJ~ ~ ~~ ~ ~J r,¡ Informes • ~J Estadstlcos deSCr1JtIvos •

11:<10 ~2 ., COrroarar medas • ConjJntos: de res:¡luest:as mút~les ... h

do fecha Modelo ..... a1 general •

~ 1 62.00 03-MAR·91 Modelos mIXtos • Tobl .. b .... , ... ..

2 63.00 Q4·MAR·91 CorrelacIOnes • Toblo> Qoneroie, ,,.

3 63.00 Q4·MAR·91 Regre<lón • Tabl .. de res¡>.Jest .. .rul~, ...

~ 4 63.00 Q4·MAR·91 Le>;¡Iineal • T 1IblllS de frecueflClllS. ,. 1m 5 64.00 05-MAR·91 Clad'lcar • O 5.10 2,80 2,60 6 64.00 05·MAR·91 Reducción d. dotas • O 5.40 3.40 700 7 64.00 05-MAR·91 Escalas • O 6,70 4.10 5,60 8 65.00 ffi-MAR·91

Pruebas no p«Sl'IIétn::-,s • O 17.00 9,60 8,80 5e!1 .. temporole< • 9 65.00 ffi-MAR·91 S4Jer""-'enda • O 16.00 7,60 8,50

10 65.00 ffi-MAR·91 R.spuO<t .. .rullples • O 15.00 6,90 6)0 11 66.00 07·MAR-91 An~sls die valor.s percldas •.. O 12.00 4,60 8,!ll 1? ~h nn n7.MJl.Q.Ql n 7htl A An "lq('!

• En el cuadro de diálogo Tablas Personalizadas encontrará al lado izquierdo la lista de variables disponibles en la ventana del Editor de datos de SPSS; alIado derecho (en blanco) se encuentra la ventana donde se realizará el diseño de la tabla. Arrastre al cuadro blanco en el área de columnas las variables a las cuales desea calcular las estadísticas descriptivas.

;:;~~;I:;;:;;;:';-;~.~~~~Ji1I~I · . -- - -'" --T<SbI. I Tltuloo l Etladr.lCO.d.con~asI.1 Opciono.1

VeriabiM .. IHiiI N~ l!l CoaPo ~ CaQ<OO , ( ¡jOIUf""" I "ec ... 11 . ... ,".."ocI .

"ga. 3[f" .. ~

'fgac[f_J ' fr;r.m3 (I. .. ¡ 'frN[fr;J13J I ' fgrJ . (lgrJoJ , • .mg>a3 ...

, • .m~ I".m<twn·· ~

--'" , ff ; . Celegorlet

5a. C4Ir:QoI Id < r'-" .~

[Derri' I [E~r'~M '~~ IOMI ~ ~*I.dído:l de lettrne ~ P~on de calegorí

¡ p Si J;ate.gofl~ y tot'*f

PO$IC16n: CoI~ Por defecto .

Oogen: i. ~

/>.oefiOl 1 .. Pegar I R esI<SbIeceIl Cancel .. I A¡.udo I h

ESTADISTICA DESCRIPTI VA PARA INGENIERIA AMBIENTAL CON SPSS 277


Una vez que ha pasado las variables, dé clic en el lado derecho del mouse y en el menú que se despliega, elija Seleccionar todas las variables de columna.

~I.!,.!:~!~cl.~ 't~~""~~_""_,,_f!' ~I~ hblo ! TfU>s1 Elladl_ de """oale l Op"" ..... 1

11 • ..,100 .. ~I!!ICqp. ~ ~

, ~ 00 1001 1I11 Cokrme. I ~fOCMP... . ~¡",eg.d ~fgas311g ~fgac [f¡¡acJ ~tojlm3~. ~4to3 ~gh31 ~fv:I'UgdoJ ~_.,.tJ .. ~I"""'C ~I""r/lm _ ' I ~

'"' lb • I....!!!!!II u.

~ C«egorf"" I

{vaIitJbIe'*' I • .".¡.¡ I

19<i "ocio

Estld'lticm de resl,lYl .... . ,

,.atev~las '1 h.~.s .. _.1'"'1'1 fin I nnnn" lrtertombio! f"'~ '1 ... ,y¡~es de colanne

Seitcclor'l&r todas 1M \f.m~s de ti.l

~Mo"y_s

No se puede ,«te! ~

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Mostrar l"IOn"II:n de Yaflable " MO$trar etl!JJeta de va~

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~. ~~.:TI~.-!- ... :-~ ... _-'"':":. !",.;".~ ... _. : _ 1i 3 Defri,------..., ~¡ .. dl_'d._ ..

ti ~oI.egcAl".,..tot.elt:~

Eotodlttioo,de_

PooicOl: CciJoM.. r ~ I P""''''d .. ~ ''og""., Ongon VftlOe, de "'...... o>or d""',o

I Ac:ep'" ! ~ Aestobleceo! e...., .. ! ~

• Cuando se han seleccionado las variables, en el área de disefio de la tabla, diríjase al cuadro Definir (parte inferior izquierda) y localice el cursor sobre Estadísticos de resumen y dé un cHc. Se desplegará la ventana donde podrá seleccionar las diferentes estadísticas que desea calcular. Sólo debe buscar y seleccionar del cuadro Estadísticos los percentiles que desee calcular, las opciones que aparecen son percentil 5, 25 , 75 , 95 Y 99, recuerde que la mediana es el percentil 50, luego páselos al cuadro Visualización. Cuando haya terminado de seleccionar las estadísticas, dé un clic en Aplicar a todo. Volverá a la ventana de disefio de la tabla personalizada.

fstd,hs1iros de resumen : VdlidbJes de es, di" ' X

Variable ~ fgac

E$ladralicot:

278

Moda 1"1 .. ' 1 ~

~ ; I t"" I ,'l

Rango Error Hpóco de la me<ia D~.tr~ ,.._ ~

ViaAaizaci6n;

E .. ..tI atic:o Percerd05

• 1P!ryri25 MIKianI

EIiauet. f'ercentj 05 f'ercentj 25 MIKianI ~-

Percenti 75

ApIicer a .. ci6n J Apiear a todo

...

....

c.n. A¡Iuda

ESTADrSTICA D ESCRIPTIVA PARA INGENIERrA AMBIENTAL CON SPSS


Finalmente, seleccione Filas en el subcuadro Posición del cuadro Estadísticos de resumen, dé un clic en Aceptar.

v_ .. l1li-- 18,--.. ~c.. 'do(dol 1'" I ~~". I ,-,.. .. ''o*"pAL I Igool 19tw3 ldl3 lude 'Igoolll!l .. _os ryn¡n mm" rftY1.n nrror." , Igoc Ifgocl _25 'I'mJ' ...... n .....,.,'" ...., .... '1fIrtaJ,-._ -.. on-n, q-rr¡n """" '"1"1" '1dl311oJ>31 '1gdr1lgdaJ

_1'5 fTIIJ"I..fI ~ rTau1 r<rroI.

'ftlOIIDorl.-,---: ,.....,... ... . .. ". ,::; .¡:

CoIogaoíc

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Doh--------¡ N.tt-._-¡ t«e!P ar, .

J

• Inmediatamente aparecerá la ventana del visor de SPSS con los resultados de la tabla personalizada diseñada .

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..!.I.!.J.!l.:.J d!2J ~ ~ -I!IT-::- + TIIIIIIIs persofMIIzadas -_1 fGOSJ f~ FGfO .60S _ ..

U 5.1 )~ l.f _:15 -.. U .. - ,~ - .~ 11~ U ,." _15 'U 71~ ,., ..

<t r--l • ...-..J; ¡



10.11 Tablas cruzadas o distribución de frecuencias con dos variables Para realizar el cruce de variables cuantitativas en SPSS es necesario convertir estas a nuevas variables que son categóricas. Para eso se deben recodificar las variables a partir de los rangos deseados.

• En el Editor de datos de SPSS vaya a Transformar>Recodificar>En distintas variables, como se muestra en la figura. Este procedimiento crea una nueva variable, esta nueva variable será categórica y las categorías corresponderán a los intervalos escogidos para la variable cuantitativa.

emt ... ___. .• ~ •• T'¡":J •

~---... 1Isignar._ a ca5D5 •• •

~""""a ... _; oeor_~ .. . I ~I ~- -.....,wIores .......... .

• En el cuadro de diálogo seleccione la variable y pásela al subcuadro Varo numérica ... Varo de resultado; en el subcuadro Variable de resultado introduzca el nombre de la nueva variable y la etiqueta, dé un clic en Cambiar. Luego dé un c1ic en la opción Valores antiguos y nuevos ... , en este momento aparecerá un cuadro de diálogo, con dos subcuadros: Valor antiguo y Valor nuevo.

• En las diferentes opciones de Rango se introducen los valores correspondientes a los intervalos en que se va a clasificar la variable cuantitativa y en Valor nuevo/ Valor se asigna la categoría correspondiente, como se muestra en la figura, luego dé un c1ic en Añadir. Una vez que haya establecido las categorías, dé un clic en Continuar, inmediatamente regresará al cuadro Recodificar en distintas variables; dé un clic en Aceptar. En el Editor de datos de SPSS debe aparecer la nueva variable creada. Repita este procedimiento con cada una de las variables cuantitativas que desea cruzar.

280 ESTADISTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON SPSS


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- 1- 1 ... '

Si requiere que en la Tabla cruzada generada por SPSS aparezcan los intervalos y no las categorías, puede ir al Editor de datos de SPSS, y en la pestaña Vista de variables (parte inferior derecha del editor) seleccionar las nuevas variables creadas y asignar etiquetas, como se muestra en la figura.

v.ort'!S ~ .. ~ MnQuno Oancha Ningwlo 10 Oancha Ningwlo Ninguno 8 o...ct..

5 Ninguno Ninguno 8 o.ndwo - ----- Ningwlo Ninguno 8 Oe\'tCha

Tm-~'-MnQuno Ninguno 8 o.ndwo

2.OO-~r Ningwlo Ninguno 8 Oincha lOO-wmr MnQuno Ninguno 8 o...ct.. 4,OO-"!!5Il-1~

NInguno Ninguno 8 o.ndwo Ningwlo Ninguno 8 Oatac:No MnQuno Ninguno 8 ~

lbIMirico 8 2 Ningwlo Ninguno 8 0IIrec:ha l'bMnco 8 2 Ningwlo Ninguno 8 o.ndwo lIbnénco B 2 Inlegrldo CatelNíjUño ¡Ninguno B o...ct.. llUnérico B 2 FGAS3 Cllleg Ninguno Ninguno 8 o.ndwo I'bnérico 8 2 FGHI/D Categ MnQuno Ninguno 8 ~

lbIMirico 8 2 FGH) Categon Ningwlo Ninguno 8 Dancha tUMnco 8 2 FGAC Categor MnQuno Ninguno 8 Oincha

l<f;~¡¡¡;c¡ediiiii$A\II$"" "" I/IlI""M ',.-------,1 ~ ... _________________ _ • .1

En la barra de menú de SPSS vaya a Analizar>estadísticos Descriptivos>Tablas de contingencia. .. , en este momento se despliega el cuadro de diálogo Tablas de Contingencia. Seleccione del lado izquierdo del cuadro de diálogo, las variables para las cuales se calculará, una en el subcuadro Filas y otra en Columnas. Si selecciona más de una variable en alguno de los cuadros, SPSS calculará tablas cruzadas (2x2) para cada par de variables.



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r----- -- -------------~ Ta blas de co ntingencia' Most rdl en IdS c X

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r FlecuenciMl ¡;¡ Observedas

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r ToI"

, c~1 Cancela¡ I Ayuda I

ResidJos,------,

r No,,",icodos

r T~icodos

r Ti:lificodos caregijo.

Para obtener porcentajes por columna, fila y total; estadísticos de tablas de contingencia, gráficos y elegir la fonna en que las categorías se presentan en la tabla, puede seleccionar alguna de las opciones que aparecen en la parte inferior del cuadro de diálogo. Dé un clic en Casillas. Elija los Porcentajes que aparecerán en la tabla cruzada (contingencia) y dé un clic en Continuar, volverá al cuadro de diálogo Tablas de Contingencia. Luego dé un clic en Aceptar.

t; R'-'~ Ul1drJO~ J V l~O( !,IJI\\ _ 1<" 'x Arctwa Edd6n Y« lnMrta fa1Mto Ar'Iabar Gráflcot: l..ddedet: 'nntM'lll 1

~1 1iJ 1.I[lI~~.:.:J CJlhl"I~~...!J "1.1~ .r.:Íl I ~11:}1~ rr

- @l.........,. Tablas de contingencia ... ¡

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... R ..... men FMItm6n de4 lI(oc .. Nnltnlo de k) .. eal4)1 ,_""o CatOS

V'lIdo. PercUdas Total N Porc.nh', N Porcant. I N Portlntll'.

1nt8lJrada C¡tegorlca 294 I 100,Oc;l, I O I ,0'- mi 100,0'-.. FOAS3 Coalegorlca

Tabla de condnuenda •• ~ CaI\IgOI'ka • fGASJ Careaorb

F0AS3 CatQDOrlca

10-5) lS-l0) (10-20) [20-30) .J htsg,ada 10-20) Recu9nto O O O cmgorlca " el; Int&g~d¡

CaltcMca 100.0'- ,0'1'0 ,0'1'0 ,0'1'0

"el; FOA83 Ca1;gOrlCa 12,2'- ,0'- ,0'- ,0'-120-'0) Recuento 4s 54 3 O

'1> 1Io&lT'ohQf'Oa 45.1'- 51 ,4'- 2,8'1'0 ,0'-Cafegorlc.

~ de FGAS3 Cateaorlca 849'- 588'1'0 J,8'- 0'1'0 ~ '1 > • ~

~ "'P<ii-¡flMY*Mb Jld'AnnwwNin

El programa estadístico SPSS es uno de los más utilizados para el procesamiento de datos, tiene amplia utilización en áreas como ciencias experimentales, ciencias de la salud, ingenierías, finanzas y economía, entre otras. Es uno de los paquetes más extensos y potentes del mercado debido a su gran variedad y velocidad de procesos en bases de datos de gran tamaño y la amplia gama de salidas y presentaciones gráficas que proporciona (Visauta, 2002).


CAPíTULO

11 Gráficas en Excel

Para la presentación de algunas gráficas del conjunto de datos y de las medidas de tendencia central y de dispersión, se escogió el software Excel, debido a que SPSS presenta limitaciones cuando se necesita realizar gráficos personalizados.

En este capítulo se muestran los pasos para construir diversas gráficas utilizadas en los capítulos anteriores. Las palabras en negrilla son instrucciones de Excel y deben ser escritas con la misma sintaxis. Los comandos en Excel se pueden escribir con mayúscula o minúscula; en este caso se escribirán en mayúscula para resaltar la instrucción.

Para la realización de gráficos se deben introducir los datos de las variables de interés en la hoja de cálculo con formato numérico. En el presente ejemplo se tienen seis series de datos que corresponden a valores de turbiedad en diferentes sistemas de pretratamiento: integrada, FGAS3, FGAC, FGHM3, FGH3 Y FGDS3 (Ver ilustración en la página siguiente).

11.1 Gráfico para la media, desviación estándar y el máximo • Diríjase a la última fila, donde termina la serie de datos, para calcular la media,

la desviación estándar y el máximo, en cada sistema de filtración gruesa.

Seleccione una casilla donde desee que aparezca el valor de la media, escriba =PROMEDIO(rango); esta función calculará la media para la serie de datos.



f --tii---- fE~-lrm~~-fG~--TGfm_ -~H3-pfuS3---L----- • r 62 0;._91 23,0 •• 8,1 9~ .p 3~

.!J 63 04-", .. -91 32,0 ~ 8,0 9) .~ t'. 5p 5 63 ()4·fw1lit·91 22,0 4,1 6,1 8,0 4,0 . 4p 6 63 04·Ma,-91 26,0 3..9 5,1 6,8 3$J 3,4 T 6' 05-"'ar-91 25,0 2,6 5,0 5,1 2~ 2~ e 64 ()5.M.,.9, 25,0 3.4 8.6 5,.4 3A 7 JJ 9- 6' 05-_91 84,0 ." _pp 6,7 ' .1 51> JQ.. 65 06-", .. 91 6JoO 12.0 17 P o.-1JJl _,_~,6 L B~ " 65 (6.M8f-91 33.0 8.3 15JJ 16,0 7 S 8.5 12 65 (B..M.,..91 29.0 7.B 8.9 ISD 6.9 62 13- 66 07 ..... -91 '5,0 5,5 11 .0 12P ',6 8~ 14 66 07-"'0<-91 30,0 'fJ 6,1 7,6 'fJ 3~ 15 66 07·M;u·91 26,0 4,4 6.2 3,9 7 P 4,4 16 67 (11.",,,-91 ' 8,0 5.0 ;!Jp 8.0 '.0 5,6 17 67 C8-Mw-91 SO,O 13.0 17.0 14,0 5,5 14.0 lB 67 (B-Mar-Sl JEi.Q 9,6 17,0 16,0 6.2 8,8 19 6B 09-"' .. -91 31'p 6.9 9.5 9~ _ 6J j 5,,6 :l!L 6B 09-_91 27,0 6.0 12.0 9Jl ' 5 ,1 _ 57 21 69 10-.... -91 28.0 5,5 12.0 6,7 , .0 43 22 70 11· .... -91 12'.0 7) 16.0 14)) 5) 62 n 70 11-"' .. -91 240.0 7" 22.0 17 P 6)) 8,1

!J!r~~-=zt!í¡il1~J , ,-

En rango debe escribir la ubicación donde se encuentra la serie de datos a la que se quiere calcular la media. En el ejemplo, la función específica es: =PROMEDIO(C3:C299). El rango se puede seleccionar a través de señalar el conjunto de datos con el "mouse" o ratón, luego presione enter y el resultado de la fórmula aparecerá en la casilla seleccionada. El proceso se puede copiar, con la instrucción copiar, señalando la celda donde se quiere calcular el promedio y la instrucción pegar, tal como se presenta en la siguiente pantalla.

PaI<D/ll1.

A B '- - OO-- FÉctiA-;w 191 IIhM91 2!11 192 I I .Ju~91 E ' 192 I I .Ju~91 :BJ 192 1 1 .Ju~91

291 193 12.Ju~9 1 ,292 193 __ J2~!,!:91 293 194 13-Ju~91

294 194 13-M91 ~ 195 - ""4-PJ?;u~:-';9:;" -1---296 195 14-Ju~9 i 'B1

El cálculo de la desviación estándar se realiza con la instrucción =DESVEST(rango), donde el rango incluye el conjunto de datos a procesar; en este caso la instrucción seleccionando el rango queda definida como DESVEST(C3:C296). La instrucción se copia para las otras columnas generando la siguiente pantalla.


CAPITULO 11 • GRÁFICAS EN EXCEL

""'" ~

~ Anal

..... CfNTL :do .... '!<3·c296) ----------------------A B O E F G H

1 DO FECHA INTEGRADA FGAS3 FGAC FGHM] FGH3 FGosa lf!l 191 l().Jul-91 40.0 47 13.0 6.5 6 .0 7.5 B 192 11.Ju1.91 34.0 3p 9 .4 7p 5p 6.8 2li9 192 11.Jul-91 56 .0 4S 15 .0 9.5 5S 7 .1 200 192 11.Jul-91 55 .0 4J1 17 .0 10.0 5p 62 291 193 12.Jul-91 66 .0 4A 9,6 9S 6p 710 292 193 12.Ju1-91 26 .0 4.0 6,9 7.5 6.0 6p 293 194 13.Jul-91 26 .0 4.0 9J1 7S 5p 6,9 294 194 13.Ju1-91 26.0 4p 9 J1 6Jl 6.2 6 Jl 295 195 U .Jul-91 21.0 4.' 9p 6.7 6J1 7 .1 296 195 1 ~Jul.91 17 41 6 6 6 .2 6,9 m 2!18 736 12.4 21.7 21.2 13.3 16.5

=deS'lllst¡c3 c296) 3D

El cálculo del valor máximo se realiza a través de la instrucción =MAX(rango). En este caso la instrucción se convierte en =MAX(C3:C296) y se copia en forma similar a las anteriores instrucciones, generando las siguientes pantallas:

. . • ,~t!_~..,ort.

'( \.J:'!I..Q.. """ ' A L'!I'AI\. .10: . ..... ..... ... ~ "" . c',," ¡ ¡¡¡¡ dilO. ,.. , ,.:d m".,.... :t& . """ ' 1'0 .II...L..L ~..:.~ ;;:;t~, ... _ .. * .... If. • -iJ. -, "'- ..JI!'

PEMCDfT1L ~ -maxl'c3 A B ~1 ..... G2~ ........ E .. _ F · F~ I F~ 1 DO FEC ...... INTEGRADA FGAS3 FGAC FGH\13

7Hl 191 10.Ju1-91 _ 4il1l - 47 130 8.5 6 7Ji 2BB 192 l1.Jú-¡¡¡¡

:~ 3,6 9 4 7 ,6 5 6.0

2BB 192 ll -Ju~91 4 5 15 9.5 5 7 1 29D 192

I :~~~~-r ~t·· 4.8 17 \ºf- 5 8.2 291"" ' 193 44 9 6 7A 292 '*1--l. 1~.:-!~'91 26l! 40 6 7:' 6 8.Ii m 194 13-1u1-91 26l! 4l! 9 7:, 5 6,9 294 194 I 13-Ju1-91 2sl! 4 .6 9.8 8l! 6.2 . 8Jl 295 195 l ~ul-91 ;;g 4 .4 9.6 8 7 6.0 7.1 296. 195 1 4.Ju~91 41 8 .6 8l! 62 6.9 297 29B 73,6 12.4 21.7 21.2 13.3 ~6.5

;. l 761 11.8 18.5 16,0 10,0 I 15.1 _.x <30296) :rn

I!!I ¡'lk."",Jl tI-.: . 1 yi';lI,It.lt ,,ut¡.e,,1>-:l'J'A . .... "..... .... -.,.,. - ! -

Esot.VMI cnort.e

'fl Olio cr n , ,Q11:J . Jl.. ~ ~LLII¡, i&· ""J-"1 . (" •. EiIH\ E • j 1 ~ 11 f1lI lIS I!I , ..... .~ .... · 1 • • l N 1 1. . 1Et.J3I ¡;;, .... ,- c: .:,,: - ~ :ti: I.ID · x · . ! C3XJ

_ =W\X(C3 C296)

A B .. .;·<e o E F G H 1 ()() fECHA lN1EGRAIlA FGAS3 f GAC FGH\13 fGH3 J FGIlS3

7fIl 191 J IQ.JuI91 4IJl! 4 7 13l! 8 ,5 6 7,5

~. 192 11..w91 34 11 3.6 9.4 7¡; 5~ 6.11 2e9 192 11·JW.!I1 56l! 4.5 '5.0 9 .S S.5 I 7,1 ~ 192 l1.JW.Sl t 56l! 4 .0 17.0 10l! Sp 92 291 193 1:¡.,u.91 66 l! 44 9.6 9:' 6.6 7 ,1

~ 193 12-Ju191 2611 411 6)1 7 .5 611 t 6.6 193 194 1~1 2611 4.0 9 J1 7.5 Si> 6,9 :294 194 lJ..U.91 2611 4.6 9.0 8 Jl 6,2 9Jl 295 195 1~ 21 11 ¡ 4 .4 . 9~ 81 6 .11 . ~ 7,1 296 195 1~1 1711 4 1 8p 8 Jl 62 6,9 :Hl . 2!18 -. 73,6 12,4 2V 21.2 13,3 16.5 1 =. O-Uc"'OII_ 76 1 11 .8 18.5 16.0 10.0

! 15.1 í ,

tolú .... !BlJl 11511 170l! 1:JJl! 81l! 141lJl :Jl1



Para realizar la gráfica del promedio, la desviación estándar y el valor máximo,

se activa el icono de Asistente para gráfico I D en la barra de herramientas,

tal como se presenta a continuación.

• Entonces aparece el primero de cuatro cuadros de diálogo en el asistente. En este paso se debe seleccionar Tipos personalizados, el tipo de gráfico Líneas y columnas 2. Haga c1ic en Siguiente y aparecerá la ventana datos de origen, tal como se presenta a continuación:

- . ~~ ~1!!Ut.11t:! !~s.:!:"~ ~d~1 (l~r~E)r1flE2.~~¡~

lJ,l (""""""91'

IlJ,l c"""',en~ lit (OOm!s y .. ""

¡ «ros ~ L ..... coiaidos IáL ..... ",dos ejes

~ L ..... sua,;UIdos IIt L ..... y coUmos I ~GP'·,t;DI ~ Logorbn<o

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"' .. ~~ I_k~ 10,00 ~r.i" .... 40,(10 , .... ....

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I en"" 1~ISI¡""1. > I~

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.....-biedadl$E$300: jH$300

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del '"'l\l'ldo ele de catogorios (lI): --; L:III-'

IC.r<""I~~~

En Datos de origen señale cada una de las series y en Nombre señale la casilla que contiene el nombre Media y el Máximo; asígnele a cada uno sus Valores correspondientes y en Rótulos del eje de categorías (x) señale el rango donde se encuentran los nombres de las variables (pretratamientos).


Nombre Valores

C APITULO 11 - GRÁFICAS EN EXCEL

Rótulos de eje de Categorias (x)

Una vez seleccionados los datos de origen, dé dic en Finalizar.

A B o E F G H I -¡--FECHA- DO INTEGRADA FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3 FGDS3

293 13-Jul·91 194 28.00 4.60 9.ao 8.00 6.20 8.00 294 14-)ul·91 195 21.00 4.40 9.60 8,70 6.ao 7,10 295 U ·Jul·91 195 17 .00 4,10 8,60 8.00 6.20 6,90 29§. 297

medll 73,56 12,.5 21,19 13,26 16,1;1 299 m.,uma 5Ill,00 115.00 130,00 81,00 1~,oo

iiif deSVIaClon 76 11 1602 1000 15,11 301 iif 1eo,00

303 180.00

ii¡- 140.00

305 120,00

iis 100,00 ~ &O,()() -+-,",><>no

307 SOllO iia .. ,()() 309 20,00

31ii' ollO

311 FOAS3 FO"", FOH<l FOH3

312

Con doble dic sobre las barras se desplegará el cuadro de diálogo Formato de serie de datos; dé un dic en la pestaña Barras de error Y; seleccione en el subcuadro Presentar>Por exceso y en Personalizada:+ señale el rango donde se encuentran los valores de la desviación estándar para las variables (pretratamientos ).



~~·~~d~~~~i~ ·"d-~~--~·t:;~--··-··_~--··"'·~··-~'==>::=::::::=:':'~I

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[5 15

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1 tiQ

~ I c:..nc..er

Dé un clic en Aceptar y el gráfico le mostrará las barras de error que corresponden a cada una de las desviaciones estándar de las variables (pretratamientos), tal como se presenta a continuación:

50 ~----------------~----------------------------~ 180

40 150

30 120

90 20

60 10 30

O O FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3

1- Media -+-Máximo I

11.2 Gráfico para media, máximo y mínimo

288

Calcule la media, el máximo y el mínimo para cada variable, como se indicó en el procedimiento anterior. Adicionalmente, calcule la distancia desde la media hasta el valor máximo y la distancia desde el valor mínimo hasta la media para cada variable. Para esto debe restar al máximo el valor de la media, este valor será el que aparecerá en el gráfico como el máximo, seguidamente reste a la media el valor mínimo.


CAPrTULO 11 - GRÁFICAS EN EXCEL

1 ____ EtofJ6W\1lpnsoJlU . '[ _ ti x

" 1 ,.. . 1.1 l.\ ~ ~I& }~ a. 'o'l. " ....... '.~ r . l ,-¡ I Ia .cl~!I JI'owI -110 ·I .L_,L" [-:~ cJat' 1-"'-... .. ..... ...'l" • . .&.. . . ,i!!!I

I'IRCDITI. _ =DDHIBl

A B e E F G H 1

Haga clic en el icono Asistente para gráficos lOen la barra de

herramientas,

Seleccione el tipo de gráfico Líneas como se muestra en la figura, dé clic en Siguiente,

Tilos estándar ~s personalizados

T de Míen:

lIi CoUmas =: a..rrM ~~~ ........................ ~. ~ CiraJar

It¿:Xl'(~)

lIIfII iwas @ AnIos

* R.<IdíoI ~~ ~ lk6bujas

F~--~ -"""'''' Pr~ para VflIIlllU8Stra



• En Rango de datos seleccione el rango donde se encuentran los valores correspondientes a la media de cada variable; en la pestafia Serie en Rótulos del eje de categorías (x) , sefiale el rango donde se encuentran los nombres de las variables (pretratamientos); escriba el nombre de la serie en la casilla Nombre como se muestra en la figura, dé un clic en Finalizar. El gráfico aparecerá en la hoja de cálculo.

~;;~~,, - :i'i~l

Rangodedltos ~

a ...... dodoloo, 1_ .. -....,.. Series:Wt: ®~ oc_

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1 c_ 1~~1 (NIr. I

En el gráfico dé doble clic sobre la línea y se despliega el cuadro de diálogo Formato de serie de datos; en la pestafia Tramas seleccione la opción Ninguna para Línea, luego vaya a la pestafia Barra de error y, seleccione en el sub cuadro Presentar>Ambas; en Personalizada:+ el rango de datos correspondiente a los valores de la distancia de la media al máximo y en Personalizada:- el rango de datos para la distancia del valor mínimo a la media. Dé un clic en Aceptar.

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290 ESTADfsTICA DESCRIPTIVA PARA INGENIERfA AMBIENTAL CON spsS

CAPfTULO 11 - GRÁFICAS EN EXCEL

• A continuación aparecerá el gráfico que representa la media, y las líneas del mínimo y del máximo para cada variable.

180 ~------------------------~ 150 '---~---ir-""""-----------__ '" 120 -b-~----~~~~--~------+--i

90 +-~----+-~~~--~----~~

60

30 +--+----~-----±---~r_---~~

o ~~----~~--.. ~----~~~ FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3 FGDS3

11.3 Gráfico de series de tiempo

l. Medial

El gráfico de series de tiempo consiste en graficar los valores de la variable en el eje y versus los intervalos de tiempo en el eje X.

• Haga clic en el icono Asistente para gráficos I D en la barra de

herramientas.

Seleccione el tipo de gráfico XY (Dispersión) y el subtipo de gráfico Dispersión con puntos de datos conectados por líneas sin marcadores de datos, como se muestra en la figura, dé un clic en Siguiente; en Rango de datos seleccione el rango correspondiente a la serie de datos; este rango debe incluir, además, una variable que serán los valores del eje X, que para el ejemplo es el día de operación (DO), los datos de turbiedad (eje Y) de las variables (pretratamientos) con sus respectivos nombres. Dé un clic en Finalizar .

.... , ..... .. , .. -.... .... " .. " .. , ..

\ \, . 11 .,. ,~, <Jo J .1 1

t \ • .,. ,

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• En este momento aparecerá en la hoja de cálculo el siguiente gráfico.

180 160 140 120 100 80 60 40 20

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-

-

o 50

I I 111, I II

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100 150 200

•

•

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1 1

250

FGAS3 F GAC F GHM FGH3 FGDS3

• Para observar mejor el comportamiento de las series, se puede editar el gráfico para que la escala del eje Y se muestre en escala logarítmica; además, puede elegir mostrar la leyenda en la parte inferior del gráfico. Para mostrar la leyenda dé clic derecho del mouse y en el menú que se despliega elija Opciones de gráfico, en el cuadro de diálogo en la pestaña Leyenda, seleccione Abajo en Ubicación y dé un clic en Aceptar.

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• Para editar el formato de los ejes dé doble clic sobre el eje que necesita editar; para el eje Yen Escala seleccione la opción Escala logarítmica. Para el eje X, puede cambiar los valores máximo y mínimo del eje; para este ejemplo el día de operación mínimo es 50, por lo que podemos escribir en valor mínimo 50 para que los valores del eje X empiecen en 50 y no en cero.


CAPiTULO 11 - GRÁFICAS EN EXCEL

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• Una vez editado el gráfico, quedará ~omo se muestra en la siguiente figura.

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100 ~------------------+-------------------

1 +-----~------~--------------r_------------~

50 75 100 125 150 175 200

FGAS3 FGAC FGHM3 FGH3

Excel es una poderosa herramienta para organizar y procesar datos, principalmente numéricos. La hoja electrónica o de cálculo, estructurada como tabla de filas y columnas, permite elaborar de forma fácil diversos procesos y gráficas estadísticas.


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