CAPÍTULOI………………………………………………………………… 3BASES MATEMATICAS PARA ESTADISTICA I …………………………………………… 3

1. Operaciones con enteros y racionales……………………………………………………… 32. Redondeo de datos. ………………………………………………………………………... 63. Sistema de coordenadas rectangulares (S.C.R.). ………………………………………….. 64. Simbología a utilizarse en estadística I……………………………………………………. 7

CAPÍTULO II………………………………………………………………. 9GENERALIDADES………………………………………………………………………………. 9

1. Concepto de estadística……………………………………………………………………. 92. Importancia y aplicaciones de la estadística en otras ciencias…………………………….. 93. Clasificación de la estadística: Descriptiva e Inductiva…………………………………... 104. Estadísticas y parámetros…………………………………………………………………. 105. El método estadístico……………………………………………………………………... 10

CAPÍTULO III…………………………………………………………….. 12NOCIONES PRELIMINARES…………………………………………………………………. 12

1. Concepto de variables. Clasificación…………………………………………………….. 122. Ordenación de datos……………………………………………………………………… 123. Amplitud total o recorrido de la variable………………………………………………... 124. Tamaño o anchura de un intervalo de clase……………………………………………… 135. Límites de clase………………………………………………………………………….. 136. Intervalos de clases………………………………………………………………………..147. Tabulación de datos……………………………………………………………………… 158. Distribución de frecuencia………………………………………………………………...159. Marca de clase o punto medio…………………………………………………………….1710. Frecuencia acumulada…………………………………………………………………… 1811. Porcentaje………………………………………………………………………………... 18

CAPÍTULO IV……………………………………………………………. 20REPRESENTACIONES GRÁFICAS…………………………………………………………. 20

1. Representaciones gráficas……………………………………………………………………. 202. Recomendación para la construcción de gráficas……………………………………………. 203. Gráficos lineales……………………………………………………………………………… 20

3.1. Histograma……………………………………………………………………………….203.2. Polígono de frecuencias………………………………………………………………… 21

3.2.1.Interpretación pedagógica del polígono de frecuencias…………………………… 223.3. Gráfica de frecuencia acumulada……………………………………………………….. 26

3.3.1.Interpretación pedagógica de la frecuencia acumulada……………………………. 27

1

4. Gráficos de superficie……………………………………………………………………….. 284.1. Gráfica de barras……………………………………………………………………….. 28

4.1.1.Barras verticales…………………………………………………………………... 294.1.2.Barras horizontales…………………………………………………………………294.1.3.Barras compuestas………………………………………………………………….314.1.4.Porcentaje de barras compuestas………………………………………………….. 31

4.2. Gráfico circular…………………………………………………………………………. 32

CAPÍTULO V…………………………………………………………….. 35MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL…………………………………………………….. 35

1. Medidas de tendencia central………………………………………………………………… 351.1. Media Aritmética. Tipos………………………………………………………………… 351.2. Mediana. Tipos………………………………………………………………………….. 401.3. Modo. Tipos……………………………………………………………………………... 431.4. Representación gráfica de la X , Mdn y Mo, en un polígono de frecuencias……………..451.5. Media Geométrica………………………………………………………………………..451.6. Media Armónica………………………………………………………………………… 46

CAPÍTULO VI……………………………………………………………. 47MEDIDAS DE VARIABLILIDAD (DISPERSIÓN)………………………………………… 47

1. Medidas de dispersión……………………………………………………………………471.1. Desviación media. Tipos…………………………………………………………... 471.2. Desviación típica. Tipos…………………………………………………………….49

2. Interpretación pedagógica de la desviación media y de la desviación típica…………….54

CAPÍTULO VII……………………………………………………………55MEDIDAS INDIVIDUALES…………………………………………………………………... 55

1. Medidas individuales…………………………………………………………………………551.1. Cuartiles…………………………………………………………………………………551.2. Deciles…………………………………………………………………………………. 591.3. Percentiles………………………………………………………………………………591.4. Puntuaciones Tipificadas (z)…………………………………………………………... 621.5. Puntuaciones Derivadas (T)…………………………………………………………….63

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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓNDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASMODALIDAD ABIERTA

CAPÍTULO I

BASES MATEMÁTICAS PARA ESTADÍSTICA

1. Operaciones con enteros y racionales 1.1. Adición de enteros y racionales.

1.1.1. Adición de enteros positivos. Para adicionar enteros que estén precedidos de signo (+), se suman los valores absolutos y se escribe la respuesta con el signo (+), que bien puede ir sobrentendido.

EJERCICIOS: 1) +17 + 15 = +322) +100 + 58 = +1583) +1 + 8 = +9

1.1.2. Adición de enteros negativos. Para adicionar enteros que estén precedidos del signo (-), se aumentan los valores absolutos y se escribe la respuesta con el signo (-).

EJERCICIOS: 1) -25 - 12 = -372) -80 – 120 = -2003) -12 – 0 = -12

1.1.3. Adición de enteros de diferente signo. Para adicionar enteros de diferente signo, se restan los valores absolutos y la respuesta se la escribe con el signo del mayor valor absoluto.

EJERCICIOS: 1) -25 + 18 = -72) +17 – 8 = + 93) -5 + 12 = + 7

1.1.4. Adición de racionales. Para adicionar racionales es necesario hallar el mínimo común denominador (es el denominador común el que contiene a todos los denominadores). Luego el m.c.d. se divide para cada uno de los denominadores y el coeficiente se lo multiplica por el numerador, por último se suman los productos parciales.

EJERCICIOS: 1) 1/4 + 3/2 = 1+6

4 = 7/4

2) -2/3 – 5/6 = −4−5

6 = -9/6 = -3/2

3

3) 6/5 – 1/3 = 18−5

15 = 13/15

4) -3/2 – 5/7 = −21−10

14 = -31/14

1.2. Sustracción de enteros y racionales.Para restar enteros y racionales, la resta se transforma en suma, cambiándole el signo al sustraendo y luego se suman los enteros.

EJERCICIOS: Sustracción de enteros: 1) 7 - (+4) = 7 – 4 = 3

2) -3 – (5) = -3 – 5 = -83) +2 – (-3) = +2 + 3 = +54) -3 – (+10) = -3 – 10 = -13

Sustracción de raciones:

1) 3/5 – (-2/15) = 3/5 + 2/15 = 9+215

= 11/15

2) -2/3 – (+3/8) = -2/3 – 3/8 = −16−9

24 = -25/24

1.3. Multiplicación de enteros y racionales.Para multiplicar o dividir enteros y racionales es necesario saber la ley general de signos.

(+) . (+) = +(−) . (−) = −(+) . (−) = −(−) . (+) = −

1.3.1. Para multiplicar enteros, se multiplican los signos y luego los valores absolutos.

EJERCICIOS: 1) (+4) (+3) = 122) (-5) (-8) = 403) (-6) (+3) = -184) (+7) (-4) = -28

1.3.2. Para multiplicar racionales, primero se multiplican los signos y luego se multiplican los numeradores y denominadores entre si.

1) (+ 3/4) (+8/9) = + 24/36 = 2/32) (-5/4) (+16/25) = -80/100 = -4/5

1.4. División de enteros y decimales.

4

1.4.1. Para dividir enteros, se multiplican los signos y luego se divide el dividendo para el divisor.

EJERCICIOS: 1) (-21) ÷ (7) = 122) (+48) ÷ (-6) = -8

1.4.2. Para dividir racionales, la división se transforma en multiplicación, así, se escribe el dividendo multiplicado por el divisor invertido.

EJERCICIOS: 1) (3/5) ÷ (15/9) = (3/5) (9/15) = 27/75 = 9/252) (-8/21) ÷ (4/7) = (-8/21) (7/4) = -56/84 = -2/3

1.5. Potenciación de enteros y racionales.La potenciación tiene tres elementos: Base, exponente y potencia.

43=64 4 se llama la base.

3 se llama el exponente.64 se llama potencia.

El exponente indica el número de veces que se repite la base.Para elevar un número entero o un racional a un cierto exponente, se multiplica el entero o el racional por si mismo, las veces que indica el exponente.

POTENCIACIÓN DE ENTEROS

EJERCICIOS: 1) (+5)2 = (5) (5) = 252) (-7)2 = (-7) (-7) = 493) (-2)2 = (-2) (-2) = 44) (-3)3 = (-3) (-3) (-3) = -275) (-2/3)2 = 4/96) (11/10)2 = 121/100

1.6. Radicación de enteros y racionales.La raíz cuadrada de un número negativo, no existe en el conjunto de los números enteros ni en los racionales, pero si existe en el conjunto de números complejos.

1.6.1. Para extraer la raíz de un entero, si Ud. Cree conveniente puede utilizar el mecanismo operatorio de raíz cuadrada, caso contrario acuda a las tablas de raíces cuadradas o bien a máquinas calculadoras.

EJERCICIOS: 1) √16 = 4

2) √121 = 11

1.6.2. La raíz de un racional, es igual a la raíz del numerador sobre la raíz del denominador y luego se extrae la raíz del numerador y del denominador.

5

EJERCICIOS: 1) √81/25 = √81√25

= 9/5

2) √49 /36 = √49√36

= 7/6

1.7. EJERCICIOS PROPUESTOS PARA EL ESTUDIANTE

1) -19+12-13+8 = 19) 1/2 – 3/4 = 2) 25-7+13-9-3 = 20) 35/2 – 5/6 =3) -23-12+18-2 = 21) -5/7 – 9/8 =4) 12 – (-9) = 22) -2/3 – (-5/6) =5) -16 – (14) = 23) -9/8 – (-15/8) =6) -14 – (-9) = 24) -56/3 – (-9/5) =7) (-7) (-5) (-2) = 25) (-2/7) (-5/6) =8) (-9) (-8) (-1) = 26) (-9/8) (8/6) =9) (-2) (-3) (-4) = 27) (2/48) (96/4) (76/98) =10) (-72) ÷ (+9) = 28) (48/56) ÷ (-7/8) = 11) (-81) ÷ (-3) = 29) (-58/86) ÷ (29/43) =12) (-45) ÷ (-15) = 30) (24/56) ÷ (12/34) =13) (-3)4 = 31) (3/4)2 =14) (-5)3 = 32) (-3/5)3 =15) (10)6 = 33) (-6/5)3 =

16) √100 = 34) √49 /25 =

17) √121 = 35) √36/81 =

18) √1 = 36) √4 /9 =

2. Redondeo de datos: En la actualidad se utilizan con mucha frecuencia las máquinas calculadoras para realizar operaciones matemáticas, obteniéndose algunas cifras decimales, para evitar escribir todas las cifras decimales, es necesario el redondeo de datos utilizándose el siguiente procedimiento: Cuando el último dígito es menor q 5, se omite; en cambio si el último dígito es mayor o igual a 5, al dígito anterior se le aumenta 1.

Aproximación a un entero: 9,3 = 9Aproximación a un entero: 10,5 = 11Aproximación a la décima: 12,18 = 12,2Aproximación a la décima: 6,23 = 6,2Aproximación a la centésima: 5,139 = 5,14Aproximación a la centésima: 2,532 = 2,53Aproximación a la centésima: 15,678 = 15,68

3. Sistema de Coordenadas Rectangulares

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Esta formado por la intersección perpendicular de dos rectas numéricas, las mismas que tienen ciertas características propias.3.1. Características del Sistema Coordenado Rectangular.

Esta formado por dos ejes coordenados. El eje horizontal se llama eje de las equis o eje de las abscisas. El eje vertical se llama eje de las yes o eje de las ordenadas. Se pueden representar puntos P (x,y), de tal manera que sus elementos (x,y) tienen

un orden fijo.El semieje (0Y) es positivoEl semieje (0Y`) es negativoEl semieje (0X) es positivoEl semieje (0X`) es negativo

EJEMPLO: Al representar el punto A(4,5) que tiene de abscisa 4 y de ordenada 5, se localiza en los respectivos ejes y luego se realiza la intersección y ese será el punto A.

4. Simbología a utilizarse en Estadística I

Por lo general todos los autores de obras de Estadística, establecen su propia simbología, ahora se trata de unificar la simbología que se ha venido estudiando.

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Amp. = Amplitud.ni. = Número de intervalos.N = Número total de casos o población.i = ancho de intervalo.Xm= Punto medio.ls = Límite superior.li = Límite inferior.P = Porcentaje.f = Frecuencia.fa = Frecuencia acumulada.Ao = Área del sector circular.u = Desviación respecto de la media supuesta.X = Media aritmética.

Xs = Media supuesta.Mdn.= Mediana.fai = Frecuencia acumulada inferior.Mo.= Modo1 = Diferencia entre la frecuencia del modo y la frecuencia inferior.2= Diferencia entre la frecuencia del modo y la frecuencia superior.G. = Media geométrica.H = Media Armónica.DM= Desviación media.d = Desviaciones.α = Desviación estándar, o desviación típica.C.V.= Coeficiente de variación.Qp1 = Ubicación del primer cuartil.Qp2 = Ubicación del segundo cuartil.Qp3 = Ubicación del tercer cuartil. Q1 = Primer cuartil.Q2 = Segundo cuartil.Q3 = Tercer cuartil.Dp1 = Ubicación del primer decil.Dp2 = Ubicación del segundo decil.Dp3 = Ubicación del tercer decil.D1 = Primer decil.D2 = Segundo decil.D3 = Tercer decil.Pn = Ubicación del percentil.P100= Percentil.z = Puntuaciones tipificadas.T = Puntuaciones derivadas.Ls = Límite real superior.Li = Límite real inferior.

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CAPÍTULO II

GENERALIDADES

1. Concepto de Estadística Es una parte de la matemática, que utiliza sus propios medios para recolectar datos, expresarlos en forma matemática, analizarlos y luego investigar las relaciones existentes entre los hechos, para poder inferir ciertas conclusiones.

2. Importancia y aplicaciones de la Estadística en otras ciencias. 2.1. Importancia de la estadística

En la actualidad toda institución o toda organización, debe tener sistemas de control estadístico, desde ese punto de vista la importancia es enorme, ya que no solo en educación podría ser utilizada, sino en la industria, en el comercio y en la salud pública.

En la escuela primaria, mediante la estadística se podrá conocer si un alumno lee muy bien o regular; si la asistencia de los escolares es normal, irregular; si la estatura está en relación con la edad.

En la escuela secundaria, los Sres. Profesores Dirigentes de curso, pueden conocer a fondo el rendimiento de su curso, mediante los métodos estadísticos.

En el campo de las predicciones ayudaría a tener un concepto mas claro de cómo se producirían ciertos fenómenos.

Todo profesional competente de las ciencias del comportamiento, debe conocer ciertos métodos estadísticos y su aplicación.

2.2. Aplicaciones de la estadística en otras cienciasLa estadística es un método necesario, que se utiliza en las ciencias de la

agricultura. Por ejemplo, cuando se desea explicar la abundancia agrícola, debido a la aplicación estadística, a los planos y a los análisis de los experimentos agrícolas.

La estadística es utilizada por las ciencias económicas en lo que respecta a las estadísticas del desempleo y sus repercusiones sociales.

Las ciencias médicas, usan las estadísticas para probar la eficacia de nuevos medicamentos. La lista sería interminable. La estadística se emplea en la Geología, Biología, Psicología, Sociología, y en todo sector en el que las inferencias deben hacerse a base de datos o informes incompletos.

Las ciencias pedagógicas tienen a la estadística como un instrumento indispensable de trabajo, ya que puede conocer a los problemas escolares en los cuales sea posible utilizar la estadística para poder resolverlos.

9

Clasificación de los alumnos de acuerdo a la edad cronológica y de acuerdo a la edad mental.

Medición del aprovechamiento, utilizando pruebas objetivas. Evaluación de las pruebas (fáciles, difíciles y normales). Clasificación de los estudiantes de acuerdo a su calificación. Establecer correlaciones entre asignaturas diferentes. Comprobación del rendimiento de los estudiantes de un mismo curso o grado. Para la interpretación de los resultados de una investigación con el objeto de

planificar el trabajo docente. Para la promoción de los estudiantes.

3. Clasificación de la estadística3.1. Estadística Descriptiva

El objeto de la estadística descriptiva es la clasificación de datos, representar gráficos, utilizar medidas de tendencia central, medidas de variabilidad, medidas individuales y obtener ciertas conclusiones.

3.2. Estadística Inferencial“La inferencia estadística tiene por tanto como función generalizar los resultados de la muestra, para estimar las características de la población”1

La estadística descriptiva y la Inductiva, utiliza así mismo dos tipos de elementos matemáticos.La estadística descriptiva para analizar sus datos utiliza procesos operatorios de aritmética, en cambio la estadística inductiva cuando trata de obtener conocimientos acerca de poblaciones a partir de muestras extraídas de esa población.Los medios matemáticos se fundamentan en la teoría de la probabilidad.

4. Estadística y Parámetros4.1. Estadísticos. Se llama así al conjunto de características y resultados de una elaboración

estadística cuando se han obtenido a partir de una muestra. El estadístico no afirma ni niega nada con respecto a la población.

4.2. Parámetros. Se llama al estadístico que por sus condiciones es aceptado como válido para la población. El parámetro no se puede obtener directamente, sino que se infiere por cálculo de probabilidades.

CUADRO DE ALGUNOS PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOSCARACTERÍSTICA PARÁMETRO ESTADÍSTICO

Media Aritmética m XDesviación típica s αVarianza s2 α2

Fracción o proporción p pCoeficiente de correlación R rNúmero de casos n N

CUADRO No. 2

1 Cfr. Barbancho Alonso, Estadística Elemental Moderna, p.12

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5. Método EstadísticoToda investigación experimental conlleva un método de trabajo.El método estadístico, para su aplicación requiere del siguiente proceso:5.1. Determinación precisa del problema. Es fundamental delimitar claramente el problema y

plantearlo bien en todas sus dimensiones.5.2. Comprobación de datos. Es conveniente verificar los hechos que van a ser objeto de

análisis y que han sido captados por la observación o la experimentación, mediante los instrumentos de medida.

5.3. La Elaboración Estadística. Se refiere a la recolección, selección y seriación de los datos que han de ser tratados y expresados numéricamente y gráficamente.

5.4. La Interpretación de los datos. Una vez que se ha llegado a determinar el valor de las cifras recopiladas, se pueden obtener ciertas conclusiones.

5.5. Obtención de inferencias y generalización de los resultados. Las conclusiones anteriores que son la muestra, se la puede llegar a generalizar para toda la población.

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CAPÍTULO III

NOCIONES PRELIMINARES

1. Concepto de variable. Variable es toda magnitud que esté dispuesta a cambiar de valor.Las variables tienen dos características: La primera es la diferencia entre los valores posibles de la variable y los valores realmente observados; la segunda es la diferencia entre variables discretas y continuas, o variables cuantitativas.1.1. Diferencia entre valores posibles es el conjunto de valores realmente observados.

Los valores posibles es el conjunto de valores que puede tener la variable. Por ejemplo si las calificaciones de un examen van de 0 a 20 en enteros, la variable

calificación los 21 valores que van desde 0, 1, 2,3,…..20, a este conjunto se lo llama valores posibles.

Los valores observados, es el conjunto de valores posibles de la variable, que se han observado realmente por Ejm. Los cuatro valores de la variable que se han observado son 10, 12, 15, 19, a este grupo se les llama valores realmente observados.

1.2. Variables cuantitativas.Desde tiempos antiguos se conocen que vienen influyendo en el desarrollo de la matemática el dominio de lo discreto y de lo continuo.

1.2.1. Variable discretaLas magnitudes discretas interpretan la naturaleza matemática en forma individual, precisa, separadas como los números enteros, por ejemplo los estudiantes de un curso.

1.2.2. Variable continuaLas magnitudes continuas interpretan la naturaleza y la matemática en forma ininterrumpida, por ejm. El peso de los alumnos, la edad de las personas.

1.3. Variables CualitativasSe trata de una característica del fenómeno que se investiga o más bien de una cualidad, que no puede ser representada mediante numerales, por ejm. El sexo, el tipo de colegio, etc.

2. Ordenación de datosCuando el investigador dispone de un conjunto de datos tiene que ordenarlos de acuerdo a las variables cualitativas y cuantitativas.Para ordenar las variables cualitativas se toma en cuenta las características o cualidades de la investigación. En cambio para ordenar de acuerdo a las variables cuantitativas, se disponen los valores que sea en forma ascendente o descendente y luego se los escribe en un cuadro estadístico.

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3. Amplitud total o recorrido de la variable.Se llama amplitud total a la diferencia que se establece entre el valor mayor y el valor menor de la variable,

Ampl. = X mayor – X menor. X. mayor = Valor mayor de la serie.X. menor = Valor menor de la serie.

Una serie tiene sus valores límites que son: 185 y 131, determinar su amplitud.

Amp. = X mayor – X menor.Utilizando la fórmula, reemplazando los valores tenemos:

Amp. = 185 – 131 Amp. = 54

4. Tamaño o anchura de un intervalo de claseSe llama al número de valores que existen entre dos valores límites.4.1. Ancho del intervalo de clase. Es conveniente en Pedagogía que toda serie tenga como

ancho del intervalo un número impar es decir: i = 3, i = 5, i = 7, i = 9, etc.Con el objeto de que el punto medio de la serie sea un número entero.

4.2. Determinación del anchi del intervalo de una serie. Para conocer el número exacto de valores que existe en un intervalo, se lo puede hacer mediante la fórmula:

i = ls – li + 1 ls. = límite superior.li. = límite inferior.i = ancho de intervalo.

A proponerse los intervalos de una serie de valores; se desea conocer el ancho del Intervalo. X

1ra. 47.5 – 52.5 2do. 42.5 – 47.53ro. 37.5 – 42.54to. 32.5 – 37.55to. 27.5 – 32.56to. 22.5 – 27.57mo. 17.5 – 22.58vo. 12.5 – 17.5

CUADRO No. 3

5. Límites de claseSe llaman límites de clase a los valores expresados que están formando los intervalos, por ejm. Los valores de la serie del cuadro No. 3.5.1. Límite superior e inferior de un intervalo.

13

Si tomamos la fórmula del intervalo.

i = ls – li + 1

al tomar el primer intervalo y reemplazar sus valores en la fórmula tenemos:

i = 52 – 48 + 1

5.1.1. Se llama límite superior, al mayor valor del intervalo, podemos tomar los valores 52, 47, 42,37, etc. del cuadro No. 3, que son límites superiores.

5.1.2. Se llama límite inferior al menor valor del intervalo por ejm. los valores 47, 42, 37, etc. del cuadro No. 3

5.2. Límite real superior e inferior de un intervalo.5.2.1. Límite real superior, se lo obtiene de la semisuma del límite superior del intervalo en

referencia con el límite inferior del intervalo mayor.Para su cálculo utilizamos la siguiente fórmula:

Ls=ls+li2

Obtener el límite superior del tercer intervalo.

Ls=43+422

Ls = 42,5

5.2.2. Límite real inferior asimismo se obtiene de la semisuma del límite inferior del intervalo en referencia, con el límite superior del intervalo menor. Para su cálculo utilizamos la misma fórmula anterior.Por ejm. obtener el límite real inferior del tercer intervalo del cuadro No. 3.

Li= ls+ li2

Li=37+382

Li = 37,5

En consecuencia los límites reales del tercer intervalo son los siguientes: 42,5 – 37,5

6. Intervalos de claseEs un conjunto de numerales que se los agrupa, en una clase porque debido al número de elementos que se repiten, no pueden ser representativos todos a la vez.Una serie de valores se la agrupa en intervalos, cuando el número de elementos que la forman es mayor o igual a 25.

Para determinar el número de intervalos de clase, se divide la amplitud para el ancho del intervalo (número impar) que se desee de acuerdo al número de elementos y se le suma la unidad.

¿= Ampi

+1

EJEMPLO: Ordenar en intervalos las estaturas de 50 estudiantes.

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Ls = Límite real superiorls = límite superior del intervalo en referencia.li = Límite inferior del intervalo mayor.

Li = Límite real inferior

177- 167 – 169 – 176 - 159 - 161 – 165 – 163 – 167 – 167 – 160 – 141 – 133 – 180 – 168 – 170 – 172 – 160 – 161 – 163 – 163 – 166 – 163 – 153 – 148 – 131 – 185 – 167 – 173 – 171 – 160 – 162 – 162 – 164 – 165 – 161 – 154 – 140 – 131 – 167 – 175 – 171 – 160 – 164 – 161 – 166 – 164 – 162 – 158 – 132.Primero: se localiza los valores mayor y menor de la serie.X mayor = 185 Amp. = X mayor – X menorX menor = 131

Segundo: se halla la amplitudAmp. = 185 – 131Amp. = 54

Tercero: Se impone el ancho del intervalo (i = 9)Cuarto: Se obtiene el número de intervalos:

¿= Ampi

+1

¿=549

+1

ni = 6 + 1ni = 7

De esta manera hemos obtenido que la nueva serie debe tener 7 intervalos.

7. Tabulación de datosEs el proceso mediante el cual se anota frente a la columna de la variable el número de veces que se repite una magnitud, se lo puede hacer mediante rayitas verticales u horizontales.

8. Distribución de frecuencias8.1. Frecuencia. Se denomina al número de veces que se repite una misma magnitud.8.2. Serie simple con frecuencia

Se llama así a la ordenación de la variable realizada en forma ascendente o descendente, siempre que la amplitud o recorrido no sea demasiado grande, porque si esto sucede se puede ordenar por intervalos.Ejemplo: Ordenar y tabular los siguientes datos en una serie con frecuencias.

159 – 161 – 165 – 163 – 167 – 167 – 160 – 160 – 161 –163 – 163 – 166 – 163 – 160 – 162 – 162 – 164 – 165 – 161 – 160 – 164 – 161 – 166 – 164 – 162 –

Se ordena la variable en forma descendente y luego se realiza el proceso de tabulación.

X Tabul. Frec. f.

15

167166165164163162161160159

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

222343441

TOTAL: 258.3. Serie ordenada de intervalosCuando una serie esta formada por más de 25 elementos, es necesario utilizar los intervalos para agrupar los valores de la variable.

8.3.1. Proceso para ordenar una variable mediante intervalos. Primero: Se halla la magnitud o recorrido de la variable, tomando el

ejemplo propuesto en (6) tenemos:Amp. = X mayor – X menor Amp. = 185 – 131 Amp. = 54

Segundo: Se calcula el número de intervalos.

¿= Ampi

+1 ¿=599

+1

¿=6+1 ni = 7

Si el número de intervalos es de 7 y el ancho del intervalo propuesto es de 9.

Tercero: Se construye la columna de los intervalos, iniciándose por el mayor valor de la variable que es 185, se disminuye 8 unidades y se obtiene el primer intervalo: 177 – 185, como puede notarse en este intervalo están incluidos (9) valores. (177,178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185) lo que equivale a decir que en el intervalo existen nueve numerales o que i= 9.Asimismo para obtener el segundo intervalo, se resta 9 unidades del primer intervalo, es decir el límite superior y el límite inferior se les resta 9 unidades, así obtenemos el intervalo 168 – 176, este mismo proceso se sigue hasta obtener los siete intervalos.

X

177 – 185168 – 176159 – 167150 – 158141 – 149132 – 140123 – 131

CUADRO No. 5

16

Cuarto: Se tabula los valores del conjunto de datos de la serie de datos del número (6) y se establecen la columna de las frecuencias.

X TABULACIÓN f

177 – 185168 – 176159 – 167150 – 158141 – 149132 – 140123 – 131TOTAL:

///////////////

///////////////////////////////////

31225323250

CUADRO No. 6

Este es el proceso para ordenar una serie de datos, mediante intervalos.

9. Marca de clase o Punto medio. Es el valor medio de cada uno de los intervalos. Se lo representa por la letra Xm. , y para calcular su valor se utiliza la siguiente fórmula:

Xm= li+ls2

Calcular los puntos medios de la serie del cuadro No. 7.Por ejemplo:

Xm=177+1852

Xm = 181

Este es el proceso que se sigue para obtener todos los puntos medios.

X f Xm

17

177 – 185168 – 176159 – 167150 – 158141 – 149132 – 140123 – 131TOTAL:

31225323250

181172163154145136127

CUADRO No. 7 10. Frecuencia acumulada

Como su nombre lo indica, es la acumulación de la frecuencia a partir del menor valor de la variable, su símbolo es (fa).La frecuencia acumulada es muy utilizada en la construcción de ojivas.Construir la columna de la frecuencia acumulada de la serie del cuadro No. 7.

X f fa

177 – 185168 – 176159 – 167150 – 158141 – 149132 – 140123 – 131TOTAL:

31225323250

50473510752

CUADRO No. 8

11. PorcentajeSe llama así al valor correspondiente de cada frecuencia determinada por cada 100 casos del total. Se lo simboliza con una P y para el cálculo se utiliza la fórmula:

P= f .100N

Hallar los porcentajes para las columnas de frecuencia y frecuencia acumulada de la siguiente tabla.

18

P = porcentajeN = número total de elementosf= frecuencia

X f % f fa %fa

177 – 185168 – 176159 – 167150 – 158141 – 149132 – 140123 – 131

39283232

618566464

50473510752

10094762014104

TOTAL: 50 100

Obtener el porcentaje de la frecuencia del primer intervalo.

P = ? P= f .100N

f = 3 P=3 .10050

P=30050

P = 6

N = 50

Asimismo se obtienen el porcentaje de la frecuencia acumulada.

P = ? P= fa .100N

f = 50 P=50 .10050

P = 100

N= 50

Si Ud. sigue este mismo proceso puede obtener los valores que se encuentran en las columnas.

19

CUADRO No. 9

CAPÍTULO IV

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

1. Representaciones gráficas

Las representaciones gráficas tienen por objeto ofrecer una visión de conjunto del fenómeno que está investigando.Es más fácil examinar datos que estén representados en gráficos antes que cuando estén dados en tablas o en cuadros numéricos.Las representaciones gráficas hacen uso de todos los medios geométricos, en consecuencia se atienen a la rigurosidad y precisión de las construcciones geométricas.

2. Recomendaciones para la construcción de gráficas

Para la construcción de gráficos se debe tener presente las siguientes recomendaciones:2.1. Elegir la escala que más se adapte al fenómeno a representarse para que puedan apreciarse

todos los detalles.2.2. Tratar de que las dimensiones para el eje x y para el eje y sean simétricas, utilizando el

sistema de coordenadas rectangulares.2.3. Colocar en la parte superior o inferior el título.2.4. Construir el gráfico en papel milimetrado, porque de esta manera es más fácil para el que

construye el gráfico, como para el que interpreta el mismo.

3. Gráficos Lineales

Es un tipo de gráfico que utiliza el primer cuadrante del S.C.R.

20

Para construir este tipo de gráfico es necesario de que existan dos tipos de variables: Dependiente e independiente.

3.1. HistogramaUn histograma de frecuencias es una serie de rectángulos que tienen las siguientes características.

La base está sobre el eje x, haciendo centro el punto medio, la longitud horizontal es igual al ancho del intervalo de clase, en forma general la variable se ubica en el eje de las equis.

Asimismo la frecuencia se la ubica en el eje de las yes, como alturas.Representar los siguientes datos en un histograma.

X f

18 2

17 5

16 8

15 10

14 6

13 5

12 4

11 3

10 2

TOTAL: 45

CUADRO No. 10

Representar en un histograma el siguiente cuadro de valores.

x f Xm

18 – 2015 – 1712 – 149 – 116 – 83 – 5

31016842

1916131074

TOTAL 43

21

CUADRO No. 11

Para representar un histograma de una serie ordenada en intervalos es conveniente representar en el eje de las equis el punto medio también se puede escribir los límites de cada intervalo, y en el eje de las yes se ubica la frecuencia.

3.2. Polígono de frecuenciaEs un gráfico lineal que se forma por la intersección de la variable con las frecuencias dando

origen al llamado polígono de frecuencias o curva de frecuencias.

x f Xm18 – 2015 – 1712 – 149 – 116 – 83 – 5

31016842

1916131074

TOTAL 43

CUADRO No. 12

GRÁFICO No. 5

3.2.1. Interpretación Pedagógica del polígono de frecuencias.

22

El polígono de frecuencias nos permite observar cómo se distribuyen los puntajes en un grupo, y se puede estimar si el tipo de evaluación es normal, demasiado difícil, sin tomar en cuenta otros criterios sicopedagógicos.

3.2.1.1. Si en el polígono de frecuencias existe un agrupamiento mayor en el extremo derecho se puede decir que la evaluación fue demasiado fácil.

x f

20191817161514131211

410108632221

TOTAL 18

GRÁFICO No. 6

3.2.1.2. Asimismo si en el polígono de frecuencias existe un agrupamiento mayor en el extremo izquierdo, se puede decir que la evaluación tuvo alto grado de dificultad.

x f

23

CUADRO No. 13

201918171615141312111098765

111222356781010964

TOTAL 77

CUADRO No. 14.

GRÁFICO No. 7

3.2.1.3. En cambio si existen dos agrupamientos en el polígono de frecuencias, diremos que es un curso en el cual hay dos grupos de estudio, para el primer

24

grupo la prueba es inadecuada por ser difícil, y para el segundo grupo la prueba es demasiado fácil.

x f

2019181716151413121110987

13477521267631

TOTAL 55

CUADRO No. 15

GRÁFICO No. 8

25

3.2.1.4. Si los puntajes se distribuyen en forma uniforme o normal se obtiene el siguiente gráfico, se puede decir entonces que la evaluación tomada ha sido normal.

x f

20191817161514131211

234610107532

TOTAL 52

GRÁFICO No. 9

3.3. Gráfico de frecuencia acumulada

26

Es un diagrama lineal que para utilizarlo en Pedagogía, se ordena en el eje de las equis la frecuencia acumulada y los valores de la variable en el eje y, la intersección de todos los puntos da origen a la curva de magnitud a la que se llama gráfico de frecuencia acumulada o también ojiva.

x f fa Xm

18 – 2015 – 1712 – 149 – 116 – 83 – 5

31016842

4340301462

1916131074

TOTAL 43

CUADRO No. 17

GRÁFICO No. 10

3.3.1. Interpretación Pedagógica de la Frecuencia Acumulada.

27

La curva de magnitud asimismo nos permite observar la distribución de la variable, es así que se puede resultar de mucha utilidad en el campo pedagógico, para clasificar las evaluaciones sin tomar en cuenta a algún criterio sicopedagógico.

CUADRO No. 18

GRÁFICO No 11

La posición de la curva (a), nos indica que la evaluación que se ha tomado ha sido normal. (según datos de la serie)

La posición de la curva (b) nos indicaría que el tipo de evaluación ha sido demasiada fácil.

28

x f fa

20191817161514131211109

112346754321

393837353228221510631

TOTAL 39

La posición de la curva (c), asimismo nos indica que la evaluación ha estado difícil.

4. Gráficos de SuperficieEs un tipo de representación que se la realiza por medio de puntos, líneas y superficies: es decir que existe proporcionalidad entre línea y superficie de los valores propuestos, por ejm. Los gráficos de barras, gráficos circulares.4.1. Gráficos de barras

En el diagrama que se lo representa mediante rectángulos el eje de las equis sirve de base de los rectángulos, y no tiene el mismo significado que los histogramas.Cada uno de los rectángulos tiene una sola representación, y en este tipo de gráfico los rectángulos no están unidos como en el histograma.Por ejemplo representar el siguiente cuadro de valores en un gráfico de barras.

Cursos F

SextoQuintoCuartoTerceroSegundoprimero

200350400450500600

TOTAL: 2500

CUADRO No. 19

DATOS POBLACIONALES DE UN COLEGIO DE LA CIUDAD DE LOJA

0

100

200

300

400

500

600

700

GRÁFICO No. 12

29

4.1.1. Barras verticales y horizontales

Para la construcción de gráficos de barras se tiene que tomar en cuenta algunos aspectos como ser el ancho de las barras, la distancia entre las barras y la escala a usarse.A continuación proponemos un ejemplo de barras verticales. Asimismo es posible representar cuadros de calificaciones de estudiantes de un curso por ejm.

x f Xm18 – 2015 – 1712 – 149 – 116 – 83 – 5

31016842

1916131074

TOTAL: 43

CUADRO No. 20

4 7 10 13 16 190

2

4

6

8

10

12

14

16

18

GRÁFICO No. 13

Representar el siguiente cuadro en un gráfico de barras horizontales.

Cursos fSexto 200Quinto 350

30

Cuarto 400Tercero 450Segundo 500Primero 600

CUADRO No. 21

1

2

3

4

5

6

0 100 200 300 400 500 600 700

GRÁFICO No. 14

4.1.2. Barras compuestas

A este tipo de gráfico se lo llama barra subdividida y se lo utiliza cuando se desea representar dos o más series de datos.Representar en barras compuestas las calificaciones de Ciencias Naturales de dos cursos diferentes.

x Xm f(A) f(B) Total f.

19 – 2116 – 1813 – 1510 – 127 – 94 – 6

2017141185

020416080403

021002051402

4141813185

TOTAL: 37 35

CUADRO No 22

31

5 8 11 14 17 2002468

101214161820

Curso BCurso A

Xm

f

GRÁFICO No. 15

Este tipo de gráfico se lo utiliza para realizar comparaciones en el rendimiento de dos cursos diferentes.

4.1.3. Porcentaje de barras compuestas

Es un tipo de gráfico mediante el cual se representa los porcentajes, donde todas las barras tienen la misma altura.Representar en un gráfico de porcentaje de barras compuestas dos cursos diferentes en una misma asignatura.

x Xm f(A) f (B) Total f % f (A) % f (B)

18 – 2015 – 1712 – 149 – 116 – 83 – 5

1916131074

2614853

21081264

4162220117

5037,563,64

4045,4542,86

5062,536,36

6054,5457,14

TOTAL: 38 42

CUADRO No. 23

Para trazar el gráfico se ubica los puntos medios en el eje de las equis y los porcentajes tanto de A, como de B, en el eje de las yes, tomando una columna para cada intervalo.

32

4 7 10 13 16 190

20

40

60

80

100

120

Curso BCurso A

GRÁFICO No. 16

4.2. Gráfico CircularEs un diagrama de superficie que se lo utiliza para representar datos, el gráfico está dividido en partes tales según el número de variables que existan en la serie de datos.Para el cálculo matemático se utiliza la siguiente fórmula:

A0= f .360N

Representar en un diagrama circular los siguientes datos de un Colegio de Loja.

CURSOS f Ao

Sexto 200 29Quinto 350 50Cuarto 400 58Tercero 450 65Segundo 500 72Primero 600 86TOTAL 2500 360

Para representar gráficamente, se parte del semieje positivo de las equis, tomando en sentido contrario a las agujas del reloj.

33

Ao = superficie en gradosf = frecuenciaN = número total de casos

Por ejemplo obtener los valores correspondientes a Sexto y Primer curso respectivamente.

A0=200 .3602500

A0=290

A0=600 .3602500

A0=860

PRIMEROSEGUNDOTERCEROCUARTOQUINTOSEXTO

GRÁFICO No. 17

BARRAS SUPERPUESTASEste tipo de barras, regularmente son utilizadas cuando se trata de una Población Estudiantil, osea escuelas, colegios, etc., o un conjunto bien definido.Para representar gráficamente se procede así:

1. Cuadro EstadísticoEjemplo: Población estudiantil de un Colegio.

Ciclo Tercer CursoDiversificado Segundo Curso Primer Curso

110120140

Ciclo Tercer CursoBásico Segundo Curso Primer Curso

150170240

2. Se utiliza dos semiejes:a. En el semieje horizontal no se la escala con respecto al cuadro, sino se centraliza

para colocar las barras.b. En el semieje vertical se lo escala con las frecuencias, o sea con el número mayor

que exista de alumno con cualquier curso o ente que se trate. En nuestro ejemplo observamos que el número 240 es mayor por lo cual este semieje debe tener ese máximo, con la escala igual de acuerdo al espacio que se va a utilizar.

3. RepresentaciónSe observa el cuadro estadístico y se toma el que tenga menor frecuencia, se lo coloca como barra en el centro del semieje horizontal, en nuestro caso es el tercer curso del ciclo diversificado que tiene la menor frecuencia que es 110, luego el que le siga, la frecuencia se grafica encima del primero, o sea el de segundo curso del mismo ciclo que tiene 120 y así

34

sucesivamente todas las demás barras. Se considera para cada barra el mismo ancho y su forma es a partir del semieje horizontal.

4. Representación de la gráficaAl haber construido la gráfica se pinta cada barra de diferente color o se raya de diferente manera cada una para diferenciar y a la derecha de la gráfica se coloca la leyenda indicando el color o rayando utilizado para cada barra.

CAPÍTULO V

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. MEDIDAS DE TENDENCI CENTRALEs un conjunto de valores que tienden a ubicarse en el centro de una serie de datos ordenados.Entre las principales medidas de Tendencia Central tenemos: La media Aritmética, la mediana, la media Geométrica, El modo, y la media armónica.

1.1. Media AritméticaEs el valor promedio de un conjunto de datos. Por ejm: La Media de los siguientes valores es:

35

14, 15, 13, 12, 15 = 695

=13,8

La media aritmética de esta serie es 13,8

1.1.1. Media Aritmética de una serie sin frecuencias.Para hallar la Media Aritmética, se suman los valores, sin ordenarlos y luego se divide para el número de valores existentes. Esta proposición se la puede transformar en una fórmula.

X=∑ X

N

X = Media Aritmética∑x= Sumatoria de valoresN = Número de valores

Calcule la media de los siguientes pesos de alumnos dados en kilos.

47, 49, 51, 48, 50

X=∑ X

NX = ?

X=2455

∑x = 245

X=49 N= 5

La media aritmética es 49 kilos.

1.1.2. Media Aritmética de una serie simple con frecuancia.Cuando una serie se le agrupa en serie simple con frecuencias para obtener la media artimética, se multiplica la variable por la frecuencia respectiva y luego se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos. Todo esto puede representarse mediante una fórmula matemática, así:

X=∑ X . f

N

X = Media Aritmética

∑ X . f = Sumatoria de producto de la variable por la frecuencia.

N = Número de elementos.

36

Las calificaciones de matemáticas de un curso de un colegio de Loja, en el primer Trimestre de éste año lectivo obtiene las siguientes calificaciones:

14 – 13 – 13 – 16 – 14 – 12 – 15 – 13 – 13 – 19 – 09 – 11 – 19 – 11 – 15 – 12 – 10 – 12 – 11 –10 – 17 – 16 – 11 – 15 – 17 – 19 – 15 – 14 – 12 – 16 – 14 – 14 – 12 – 12 – 16 – 14 – 18 – 14 –

16 – 11- 15 – 14 – 13 – 14

Las mismas que al ordenarlas en una serie simple con frecuencias tenemos:

CUADRO No. 25

X=?

∑ X . f =611

N = 44

X=∑ X . f

N

X=61144

X=13 , 886 X=13 , 89La media aritmética en la asignatura de Mateméticas es de 13, 89.

1.1.3. Media Aritmética de una serie ordenada en intervalos.Cuando una serie está ordenada en intervalos, es posible determinar su valor mediante dos procesos diferentes, determinados por la utilización de dos fórmulas matemáticas.

PRIMER MÉTODO

37

x f xf20191817161514131211109

031255956521

05718348075126657255209

TOTAL 44 611

Algunos autores le llaman Método Largo, consiste en obtener los puntos medios con su respectiva frecuencia y luego se suman todos estos productos parcialesy se divide para el número de elementos. Todo esto traducido en una fórmula quedaría así:

X=∑ X . f

NX=¿ Media Aritmética

∑ X . f = sumatoria de prodcuto de los puntos medios por la frecuencia.

N = Número de casos

Se estableció un grupo de 100 estudiantes para medirles la talla en uno de los colegio de Loja, una vez ordenados los datos se obtiene la siguiente tabla de valores.El ejemplo propuesto en la tabla tiene un ancho de intervalo que es igual a 8, es decir que es un número par; como consecuencia todos los puntos medios tandrán decimales.

x Xm f Xm . f143 – 150135 – 142127 – 134119 – 126111 – 118103 – 11095 – 102

146, 5138, 5130, 5122, 5114, 5106, 598, 5

28263120112

29311083393

3797, 52290

1171, 5197

100 12,250

CUADRO No. 26

X=∑ Xm. f

N

X=12 ,250100

X=¿ 122,5

SEGUNDO MÉTODOAsí como el anterior a éste proceso algunos autores le llaman método corto, porque cuando se tiene una serie con un número grande de casos este proceso es más factible manejarlo que al anterior proceso.

38

Para hallar la Media Aritmética mediante éste método, la serie debe estar ordenada en intervalos y luego seguir este proceso:

1. Se supone una media supuesta (X ), este valor puede ser cualquier punto medio, de preferencia que sea el que tiene mayor frecuencia.

2. Se establece las diferencias entre el punto medio y la supuesta, dividiendo cada uno para el ancho del intervalo.

U = Xm−Xsi

U=146 , 5−122,58

U= 3

3. Se realiza el producto de las diferencias por las frecuencias y se suman algebraicamente.4. Una vez que se han obtenido todos estos valores, es posible determinar la X , con la

siguiente fórmula.

X=Xs+∑ f .u

N.i

Utilizaremos la serie del cuadro anterior para la aplicación del segundo método.

X Xm f Xs U f . u

143 – 150135 – 142127 – 134

146,5138,5130,5

2826

321

61626

119 – 128 122,5 31 122,5 0 0

111 – 118103 – 11095 – 102

114,5106,598,5

20112

-1-2-3

-20-22-6

100 0

CUADRO No. 27

X = ?

Xs = 122,5

∑ f .u=¿ 0

i=8N = 100

39

X=Xs+∑ f .u

N.i

X=122,5+(0 ) .8

N.8

X=122,5+0

X=122,5

1.1.4. Media Aritmética de varias mediasEs valor promedio de todas las medias que se dan.Este promedio se lo utiliza mucho, para saber el aprovechamiento de un curso. Ejemplo:Despues de una Junta de curso se pudo conocer que uno de los cursos en estudio obtuvo las siguientes medias en cada una de las asignaturas señaladas.

ASIGNATURAS XIdioma Nacional

MatemáticasEstudios SocialesCiencias Naturales

InglésEducación física

Opciones prácticasEducación Artística

13,413,514,213,814,216,715,813,4

TOTAL 115,0

CUADRO No. 28

Se utiliza la fórmula: X=∑ x

NX= ?

∑ x=¿ 115

N = 8

X=∑ x

N

X=1158

40

X=¿ 138

La media del aprovechamiento del curso es de 14,38: de acuerdo a la escala dada por el Ministerio de Educación, se puede notar de que se trata de un aprovechamiento Bueno.

1.1.5. Propiedades de la Media Aritmética1.1.5.1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números es igual

a cero.

X X - X

1415131215

0,21,2-0,8-1,81,20

CUADRO No. 29

X= 13,8

1.1.5.2. Si f1 números tienen de media m1, f2 números tienen de media m2,….. fk

números tienen de media mk, entonces media de todos los números es:

X=f 1 .m1+ f 2 . m2+…… ..+ fk .mk

f 1+ f 2+……….+ fk

Se llama Media ponderada de todas las medias.

1.2. Mediana: Se llama Mediana al valor que ocupa al centro de una distribución, dejando a cada lado el 50% de los casos.Halle la Mediana de los siguientes valores:

17 – 16 – 15 – 14 – 13

Mdn. = 15

Se puede notar que Mdn. = 15 o sea que es el valor que está ubicado en el centro de la serie.

1.2.1. Mediana de una serie sin frecuencias1.2.1.1. Si el número de elementos es impar, se ordenan, los datos y se toma el valor

central. Ejemplo: Halla la Mdn de los siguientes valores:

41

101 – 100 – 99 – 98 – 97 – 96 – 95Mdn. = 98

1.2.1.2. Si el número de elementos es par, se ordena los daros y luego los dos valores del centro se los suma y se los divide para dos. Por ejemplo:

Halle la Mdn. de los valores:101 – 100 – 98 – 96 – 95 – 94

Mdn. = 98+96

2Mdn. = 97

1.2.2. Mediana de una serie simple con frecuenciaPara el cálculo de la mediana en esta serie, se procede así:

Se halla la columna de frecuencias acumuladas, luego se divide el número de casos para dos y éste valor se lo ubica en la columna (fa) en el valor igual o próximo mayor al valor N/2 y la variable correspondiente será el valor de la Mdn.Halle la Mdn. de la siguiente serie:

X f fa1918171615

31255

4441403833

14 9 28131211109

56621

1914831

44

CUADRO No. 30

N2

El valor igual o próximo mayor será 28, en consecuancia el valor de la variable es 14, por tanto

la Mdn. es 14.

1.2.3. Mediana de una serie ordenada en IntervalosPara hallar el valor correspondiente a la Mdn de una serie ordenada en intervalos, se utiliza el siguiente proceso:1. Se halla la columna de la frecuencia acumulada.2. El número de casis se divide para dos y éste valor se lo ubica en la columna de la

fa, si es el valor igual o mayor que N2

42

3. Una vez que se ha ubicado donde se encuentra la mediana, se procede a encontrar el límite real inferior del intervalo (Li)

4. Se obtiene (fai) que es el valor de la frecuencia acumulada inferior a la localizada

con N2

5. Se escribe el valor f que es la frecuencia del intervalo donde está N2

6. El ancho de intervalo (i)7. Se utiliza la fórmula siguiente:

Mdn.=Li+( N

2−fai)

f.i

Mdn. = MedianaLi = Límite inferior realN2

= El número dividido para dos

fai = Frecuencia acumulada inferiorf = frecuencia del intervalo.

Obtener la Mdn de la siguiente tabla de valores.

X f fa

143 – 150135 – 142127 – 134

2826

1009890

119 – 126 31 64

111 – 118103 – 11095 – 102

20112

33132

100

CUADRO No 31.

N2

=1002

N2

=50

Li=118+1192

Li = 118,5

fai = 33f = 31i = 8

43

N2

Se reemplaza estos valores enla fórmula y tenemos:

Mdn=118,5+(50−33)

31.8

Mdn=118,5+ 1731

.8

Mdn=118,5+4,387 Mdn=118,5+4,39 Mdn=122,89Este es el valor central.

1.3. ModoEl modo o la moda es el valor de la variable que se repite mayor número de veces o sea es el valor mas frecuente.Es frecuente que una serie tengs 2 valores modales, a la que se la llamaría serie bimodal, etc.Por ejem: En la siguiente serie el valor modal es el 15.17 – 19 – 15 – 15 – 15 - 13 – 14 Mo. = 15

1.3.1. El modo de una serie sin frecuenciasPara determinar el Modo de esta serie, es muy sencillo, de avuerdo a un concepto, el Modo es el valor que se repite mayor número de veces.Por ejem: Halle el Mo de la Serie:

155 – 159 – 161 – 161 – 162 – 163El Mo es 161

1.3.2. El Modo de una serie simple con frecuenciaPara determinar el Mo es esta serie, nos atenemos al concepto de Mo: Que es el valor que más se repite.Por ejemplo: Determinar el Mo en la siguiente serie: Se procede así: se determina la variable que tiene mayor frecuencia y dicha variable será el Mo.

X f

1918171615

31255

14 9

13121110

5652

44

Mo Mo = 14

9 1

44

1.3.3. El Modo de una serie ordenada en IntervalosPara determinar el Mo de una serie ordenada en intervalos se procede así:1. Se localiza la mayor frecuancia en esa fila estará el Mo.2. Se halla el límite inferior.3. Se halla el valor 1 = F . modal – f . inferior4. Se determina el valor 2 = f . modal – f . mayor5. Se utiliza la fórmula

Mo=Li+∆1

∆1+∆2

.i

Halle el Modo de la siguiente serie:

X f143 – 150135 – 142127 – 134

2826

119 – 126 31111 – 118103 – 11095 – 102

20112

100

CUADRO No 33

Mo = ?Li = 118,51 = 31 – 20 = 112 = 31 – 26 = 5i = 8

Mo=Li+∆1

∆1+∆2

.i

Mo=118,5+ 1111+5

. 8

Mo=118,5+ 8816

Mo = 118,5 + 5,5Mo = 124

45

Mo

El Mo = 124

1.4. Reepresentación gráfica de: X . Mdn y MoPara su representación gráfica se la realiza en el sistema de coordenadas rectangulares en su Primer Cuadrante.Representa gráficamente la X , Mdn y Mo en un polígono de frecuencia para los siguientes valores.

X Xm f143 – 150135 – 142127 – 134119 – 126111 – 118103 – 11095 – 102

146,5138,5130,5122,5114,5106,598,5

28263120112

100

CUADRO No 34.

Para esta serie de valores, se han obtenido los siguientes resultados:

X = 122,5Mdn. = 122,89Mo = 124

46

X Mdn

Mo

1.5. Media GeométricaEste tipo de medida no es utilizada en Padagogía.La media geométrica de n elementos es igual a la raíz de n, del producto de todos sus elementos. Así puede ser: La media geométrica de 2 valores es la raíz cuadrada de su producto.La media Geométrica de 3 valores, es la raíz cúbica del producto de sus valores y así sucesivamente.La fórmula de la Media Geométrica es:

MG=n√( x1 ) ( x2 ) ( x3 )… …..(xn)

Halle la Mg de 9 y 4

MG=√9.4MG=√36Mg = 6

1.6. Media ArmónicaSe define como la recíproca de la media aritmética de los inversos 1.

Su fórmula es: MH= 1

1N

(1X1

+1X2

+1

X 3

+….1Xn

)

Halla le Meda armónica de: 3, 7, 2

MH= 113(

13+

17+

12)

MH= 113(

4142

)

MH=

1241

126

MH=12641

1. Cfr. Downie Heath; Métodos Estadísticos Aplicados.Pag. 63

47

CAPÍTULO VI

MEDIAS DE VARIABILIDAD (DISPERSIÓN)

1. Medidad de dispersiónSe llama dispersión a la intensidad con que los valores de una variable tienden a extenderse alrededor de un valor medio.Entre las principales medidas de variabilidad o de dispersión tenemos:La desviación media y la desviación típica.

1.1. Desviación MediaSe llama así a la diferencia que se establece entre la variable y la media aritmética.

1.1.1. Desviación media de una Serie de FrecuenciasEs conveniente ordenar la variable, luego se calcula la Media Aritmética y luego se construye la columna de las desviaciones, que es la diferencia entre la variable y la media aritmética.

La fórmula a utilizarse es la siguiente: D . M .=∑ d

N

D. M. = Desviación Mediad = Sumatoria de las desviacionesN = número de casos

EJEMPLO:Halle la D. M de los siguientes valores: 20 – 19 – 18 – 17 – 16 – 15

X d = X - X201918171615

2,51,50,5-0,5-1,5-2,5

105 9

CUADRO No 35.

Para la sumatoria de las desviaciones, se las suma, sin tomar en cuenta el signo.

48

X=1056

D . M .=96

X=17,5 D. M. = 1,5

1.1.2. Desviación Media de una serie simple con frecuenciasPara obtener la desviación media de una serie simple se utiliza el siguiente proceso:1. Se halla la media aritmética2. Se halla la columna de las desviaciones (d)3. Se construye la columna (f.d)4. La fórmula a utilizarse es la siguiente

D . M =∑ f . d

ND.M = Desviación Media∑f.d = Sumatoria de frecuencias por desviacionesN= Número de casos

5. Se suman todos los valores de la columna (f.d) sin tomar en cuenta los signos.

EJEMPLO:Halle la desviación media del siguiente cuadro de valores

X f X.f dm. f.dm.20191817161514

2234633

40385468964542

3,352,351,350,35-0,65-1,65-2,65

6,74,74,051,4-3,9-4,95-7,95

TOTAL 23 383 33,65

CUADRO No 36.

X=∑ f . x

N

X=38323

X=16,65

D . M .=∑ f .d

N

49

D . M .=33.6523

D.M. = 1,46

1.1.3. Desviación media de una serie ordenada en intervalosPara el cálculo de la D.M de una serie ordenada en intervalos, se utiliza el siguiente proceso:1. Se halla la media aitmética por cualquiera de los métodos estudiados.2. Se halla la columna de las desviaciones, estableciéndose la diferencia entre el

punto medio y la media aritmética3. Se construye la columna f. dm. Que es el producto de la frecuencia por las

desviaciones mediasAl final se suman todos los valores sin tomar en cuenta los signos.

4. Se utiliza la fórmula:

D . M .=∑ f .dm .

N

D.M. = Desviación mediaf. dm. = Sumatoria de prodcutos de la frecuencia por las desviaciones medias.EJEMPLO:Calcular la desviación media de los valores de la siguiente tabla.

X Xm f f. Xm dm f.dm18 – 2015 – 1712 – 149 – 116 – 83 – 5

1916131074

24161031

3864208100214

6,923,920,92-2,08-5,08-8,08

13,8415,6814,72-20,80-15,24-8,08

TOTAL 16 435 88,36

CUADRO No 37

X=∑ f . Xm

N

X=43536

X=12,08

1.2. Desviación típicao desviación estandarEs la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones.Para el cálculo matemático la desviación típica se tiene los siguientes casos:

1.2.1.Desviación Típica de una serie sin frecuenciasPara determinar el valor de la desviación típica, se utiliza el siguiente procedimiento:

50

D . M .=∑ f .dm .

N

D . M .=88,3636

D.M. = 2,45

1. Se halla la media aritmética2. Se construye la columna de las desviaciones3. Se halla la columna (d2)4. Se utiliza la fórmula

∝=√∑ d2

N

∝=¿Desviación típica

∑ d2= sumatorias de las desviaciones elevadas al cuadrado

N = Número de casos

Halle la desviación típica de la siguiente serie de valores:20 – 19 – 18 – 17 – 16 – 15

X d d2

201918171615

2,51,50,5-0,5-1,5-2,5

6,252,250,250,252,256,2517,50

CUADRO No 38

X=1056

X=17,5

∝=√∑ d2

N

∝=√ 17,56

∝=√2,92∝=1,71

1.2.2. Desviación típica de una serie simple con frecuenciasPara el cálculo de la desviación típica, se utiliza el siguiente proceso:1. Se determina la media aritmética2. Se halla la columna de las desviaciones3. Se construye la columna de las desviaciones elevadas al cuadrado4. Se elabora la columna de f.d2.5. Se utiliza la siguiente fórmula

51

∝=√∑ f . d2

N

∝=¿Desviación típica

∑ f . d2= sumatorias del producto de las frecuancias por el cuadrado de las

desviaciones.N = Número de casos

EJEMPLO:Halle la desviación típica de la siguiente serie:20 – 19 – 18 – 17 – 16 – 15 – 14

X f d d2 f . d2

20191817161514

2234633

3,352,351,350,35-0,65-1,65-2,65

11,225,521,820,120,422,727,02

22,4411,045,460,482,528,1621,06

TOTAL 23 71,16

CUADRO No 39

Si la X=16,65

∝=√∑ f . d2

N

∝=√ 71,1623

∝=√3,09∝=1,76

1.2.3. Desviación típica de una serie ordenada en intervalosPara el cálculo matemático de la desviación típica en una serio ordenada en intervalos, se utiliza el siguiente proceso.1. Se determina la media aritmética2. Se halla la columna de las desviaciones3. Se construye la columna de las desviaciones elevadas al cuadrado4. Se elabora la columna de f.dm2

5. Se utiliza la fórmula:

52

∝=√∑ f . dm2

N

∝=¿Desviación típica

∑ f . dm2= sumatoria del producto de las frecuencias por las desviaciones

elevadas al cuadrado.N = Número de casos.

X f Xm Xs u f.u dm dm2 f. dm2

18 – 2015 – 1712 – 149 – 116 – 83 – 5

41419661

1916131074

13

210-1-1-3

8140-6-12-3

5,942,940,06-3,06-6,06-9,06

35,288,640,0039’3636,7282,08

141,12120,960,0656,16220,3282,08

TOTAL 50 1 620,70

CUADRO No. 40

X=Xs+∑ f .u

N.i ∝=√∑ f . dm2

N

X=13+0,06 ∝=√ 620,7050

X=13,06 ∝=√12,41∝=3,52

53

GRÁFICO No 19.

Como Ud. Puede darse cuenta las calificaciones estan dadas por números enteros en consecuencia tenemos:Para la calificación Sobresaliente, estarán las estudiantes que tengan los puntajes de 19 y 20 Para la calificación muy Buena, los puntajes: 15, 16, 17 ,18.Para la calificación Buena se tendrán los puntajes 12, 13 ,14.Para la calificación Regular se tienen los puntajes: 8, 9. 10, 11Para la calificación deficiente se tienen los puntajes 5, 6, 7.De acuerdo a los puntajes existentes en cada calificación es posible determinar el número de estudiantes que están ubicados en cada grupo de las calificaciones cualitativas.En el presente caso se tendrían las calificaciones distribuiídas así:

SobresalienteMuy buenaBuenaRegularDeficiente

2 Estudiantes16 Estudiantes19 Estudiantes8 Estudiantes5 Estudiantes

Total 50 Estudiantes

CUADRO No 41A continuación ampliaremos este tipo de distribución .

1.2.4. Distribución de las calificaciones mediante la desviación típica o desviación estándar.Mediante e3stewe proceso es posible ubicar a cada uno de los estudianes en el rango de calificación cualitativa de acuerdo a los valores de la media aritmética y a la desviación típica de todo el grupo.

54

EJEMPLO: Distribuír las calificaciones siguientes que pertenecen a la tabla de valores que se utilizó en el cuadro anterior.

12 – 14 – 9 – 16 – 18 – 15 – 16 – 17 – 10 – 8 – 12 – 14 – 8 – 13 – 17 14 – 13 – 16 – 10 – 7 – 12 – 15 – 7 – 12 – 16 – 13 = 14 – 13 – 19 – 6 13 – 16 – 6 – 15 – 16 – 12 – 15 – 14 – 18 – 10 – 13 – 10 – 5 – 14 – 1711 – 13 – 9 – 16 – 12.Que constituye latabla de valores:

X f Xm18 – 2015 – 1712 – 149 – 116 – 83 – 5

41419661

1916131074

CUADRO No 42

Se han obtenido en cálculos anteriores los siguientes datos :X=13,06∝=3,52

Para distribución se debe tener en cuenta la siguiente tabla:

CUADRO No 43CALIFICACIONES NUMERALESSobresalienteMuy buenaBuenaRegularDeficiente

18,04 a 21,5614, 82 a 18,0411,30 a 14,827,78 a 11,304,26 a 7,78

Para obtener los intervalos se parte de la media aritmética sumando y restando la mitad de la desviación típica, se obtiene el intervalo de la calificación Buena. Para obtener el intervalo de la calificación Muy Buena, al límite superior del intervalo anterior se le adiciona el valor de la deviación típica; Para el intervalo de Sobresaliente, al límite superior del intervalo anterior se le adiciona el valor de la desviación estandar.Para obtener el intervalo de la calificación Regular, al límite inferior de la calificación Buena se le resta el valor de la desviación típica.Así mismo para obtener el intervalo de la calificación Deficiente, al límite inferior de la calificación Regular, se le resta el valor de la desviación estandar. Así se obtiene todos los intervalos.

55

Así puede Ud. realizar la distribución mediante la desviación estandar que es muy utilizada en la escuela primaria.

2. Interpretación Pedagógica de la Desviación Media y de la Desviación Típica.En pedagogía se utiliza mucho estas medias de variabilidad, para poder realizar análisis sobre la homogeniedad o heterogeneidad del grupo.Si la desviación típica o la desviación media tiene valores menores, se considera que el grupo es más homogenio y viseversa.“La desviación media se la utiliza cuando se desea dar la importancia a todos los puntajes de la serie.La desviación estandar se utiliza cuando se necesita una medida de variabilidad de mayor precición; si ha sido calculada la media aritméica, como medida de tendencia central; si se desea dar a cada valor de la serie la importancia que tiene y se proyecte realizar cálculos estadísticos posteriores en la curva normal” 2

CAPÍTULO VII

MEDIDAS INDIVIDUALES

1. Medidas individuales

En educación, al maestro no solo le interesa conocer el valor que representa al conjunto de datos y el valor de variabilidad del grupo, si no que necesita conocer datos más precisos que le permitan observar en forma concreta el valor de cada individuo.Mediante el desarrollo de las diferentes medidas individuales como son: los Cuartiles, Deciles, Percentiles, Puntuaciones Tipificadas ( ) y las puntuaciones derivadas T.

1.1. Los cuartiles

Es un tipo de medidas individuales que se los utiliza para dividir la serie en cuatro partes iguales, las mismas que reciben el nombre de Cuartiles: Primer Cuartil (Q1), Segundo Cuartil (Q2) y Tercer Cuartil (Q3).

2 Cfr. Vizuete, Cedeño, Estadística Aplicada a la Educación pág. 143

56

Conviene indicar que bajo primer cuartil está el 25 % de los casos, entre el primero y el segundo cuartil está otro 25% de los casos y sobre el tercer cuartil está el otro 25 %.

1.1.1.Calculo de los cuartiles de una serie simple con frecuencias.

Se utiliza el siguiente proceso:

1. Se construye la columna de la frecuencia acumulada.2. Se ubica la posición de cada uno de los cuartiles en la columna de la frecuencia

acumulada, mediante la utilización de las siguientes fórmulas:

Qp1 = Posición del cuartil uno. Qp1 = N / 4Qp2 = Posición del cuartil dos. Qp2 = 2N / 4Qp3 = Posición del cuartil tres. Qp3 = 3N / 4

3. Una vez que ha sido ubicado cada uno de los cuartiles en la frecuencia acumulada, es posible determinar el valor de cada cuartil, tomando el valor de la variable, correspondiente al cuartil ubicado.

EJEMPLO:

Determine los cuartiles de los puntajes de un curso que están dados en la siguiente tabla.

X f fa201918171615141312 111098765

12343215423232211

504947444037352016141196421

57

Qp3

Qp2

Qp1

Total 50

CUADRO No 44

Qp1 = N/4 Qp1 = 50/4 Qp1 = 12,5 Equivale: Q1 = 11

QP2 = 2N/4 Qp2=2.50

4QP2 = 25 Equivale: Q2 = 14

QP3= 3N/4 QP3=3.50

4QP3 =37,5 Equivale: Q3 = 16

Se puede observar que la posición del cuartil uno es 12,5; y el valor que corresponde en la variable es 11; por tanto Q1 = 11 y así se obtienen los demás valores.

1.1.2.Cálculo de los cuartiles de una serie ordenada en intervalos:Para el cálculo de los cuartiles de una serie ordenada en intervalos se utiliza el siguiente procedimiento.1. Se halla la frecuencia acumulada.2. Se ubica a los cuartiles de acuerdo a su posición en cuartil uno, cuartil 2, y cuartil

tres.3. Se emplea las siguientes fórmulas para hallar los cuartiles:

Q1=Li+( N

4−fai) . i

f

Q2=Li+( 2N

4−fai) .i

f

Q3=Li+( 3 N

4−fai) .i

f

Uds. Pueden notar que estas fórmulas son aplicaciones de la fórmula de la mediana.Q1= Cuartil unoQ2= Cuartil dosQ3= Cuartil tresLi= Límite real inferiorN= Número de elementosfai= Fracción acumulada inferiorf= Fracción del intervalo donde está ubicado el cuartili= ancho del intervalo.EJEMPLO:Calcular los cuartiles de la siguiente tabla de valores:

X Xm f Fa

58

43 – 5144 – 4740 – 4336 – 3932 – 3528 – 1124 – 2720 – 2316 – 1912 – 158 – 114 – 7

49,545,541,537,533,529,525,521,517,513,59,55,5

26710121813106542

9593878070584027171162

Total 95

CUADRO No. 45

Ubicación de los cuartiles:Qp1= N/4 Qp1= 95/4 Qp1= 23,75Qp2= 2N/4 Qp2= 190/4 Qp2= 47,5Qp3= 3N/4 Qp3= 285/4 Qp3= 71,25

Cálculo de los cuartiles:Para el Primer cuartilDatos:Li = 19,5N/4 = 23,75fai = 17f = 10i = 4 Fórmula:

Q1=Li+( N

4−fai) . i

f

Q1=19,5+(23,75−17 ) .4

10

Q1=19,5+(6,75 x 4 )

10

Q1=19,5+2,7

Q1=22,2

Para el Segundo Cuartil.Datos:Li= 27,52N/4 = 47,5

59

fai= 40f= 18i = 4Fórmula

Q2=Li+( 2N

4−fai) .i

f

Q2=27,5+( 47,5−40 ) .4

18Q2=27,5 + 1,666

Q2=27,5+1,67

Q2=29,17

Para el tercer Cuartil.DatosLi = 35,53N / 4 = 71,25fai = 70f= 10i= 4

Fórmula:

Q3=Li+( 3 N

4−fai) .i

f

Q3=35,5+(71,25−70 ) . 4

10

Q3=35,5+ 1,25 x 410

Q3=35,5+ 510

Q3=35,5+0,5

Q3=36

Toda la serie se ha dividido en tres cuartiles:Q1 = 22,2Q2= 29,17Q3= 36

Podemos notar que Q2 es equivalente al valor de la mediana, en consecuencia es la misma fórmula de la mediana.

60

1.2. Los DecilesLos deciles dividen a la serie en diez partes.Así como en el caso de los cuartiles, para su cálculo matemático, los deciles se los puede ubicar en forma directa en una serie simple con frecuencias.Mientras tanto que para su cálculo en una serie ordenada en intervalos es conveniente ubicarlos en la frecuencia acumulada y después para el cálculo matemático se utilizan las fórmulas que damos a continuación:

FÓRMULAS DE UBICACIÓN DE FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DELOS DECILES LOS DECILES

Dp1 = 1 N10

D1=Li+

( N10

−fai)

f. i

Dp2 = 2 N10

D2=Li+

( 2 N10

−fai)

f. i

Dp3 = 3 N10

D3=Li+

( 3 N10

−fai)

f. i

Dp4 = 4 N10

D4=Li+

( 4 N10

−fai)

f.i

Dp5 = 5 N10

D5=Li+

( 5 N10

−fai)

f. i

Dp6 = 6 N10

D6=Li+

( 6 N10

−fai)

f.i

Dp7 = 7 N10

D7=Li+

( 7 N10

−fai)

f.i

Dp8 = 8 N10

D8=Li+

( 8 N10

−fai)

f.i

Dp9 = 9 N10

D9=Li+

( 9 N10

−fai)

f.i

Ud. Puede realizar aplicaciones tomando como modelo el ejercicio propuesto en los cuartiles.

1.3. Los Percentiles

61

Los percentiles dividen a la serie total en cien partes.Para su cálculo matemático hay que tomar en consideración las siguientes fórmulas: de posición y de cálculo.

Fórmula de posición Fórmula de cálculo de percentil

Pp=P .N100

Pp=Li+(P . N−fai)

f.i

Determine los valores correspondientes a los percentiles: P10, P30, P50, P75.X Xm F fa

48 – 5144 – 4740 – 4336 – 3932 – 3528 – 3124 – 2720 – 2316 – 1912 – 158 – 114 – 7

49,545,541,537,533,529,525,521,517,513,59,55,5

26710121813106542

9593878070584027171162

Total 95

CUADRO No 46

Ubicación de los percentiles:

Pp=P .N100

P10=10 .95100

P10 = 9,5

P30=30 .95100

P30 = 28,5

P50=50 .95100

P50 = 47,5

P75=75.95100

P75 = 71,25

Para el cálculo de los diferentes percentiles, se necesita los siguientes datos:

62

P75

P50

P30

P10

P10 = ?Pp = 9,5fai = 6f = 5i = 4

P10=Li+( P . N

100−fai)

f.i

P10=11,5+(9,5−6)

5. 4

P10=11,5+3,5 .45

P10=11,5+145

P10=11,5+2,8

P10=14,3

Para el P30

Datos:Li = 23,5Pp = 28,5fai = 27f = 13i = 4

P30=Li+( P . N

100−fai)

f.i

P30=23,5+(28,5−27)

13. 4

P30=23,5+ 8,5 .413

P30=23,5+0,46

P30=23,96

Para el P50

Datos:Li = 27,5Pp = 47,5fai = 50f = 18i = 4

63

P50=Li+( P . N

100−fai)

f.i

P50=27,5+(47,5−40)

18. 4

P50=27,5+ 7,5 .418

P50=27,5+1,67

P50=29,17

Para el P75

Datos:Li = 35,5Pp = 71,25fai = 70f = 10i = 4

Fórmulas:

P75=Li+( P . N

100−fai)

f.i

P75=35,5+(71,25−70)

10. 4

P75=35,5+ 1,25 .410

P75=35,5+ 510

P75=35,5+0,5

P75=36

De esta manera Ud. puede obtener los 99 percentiles.

1.4. Puntuaciones tipificadas Z.Se llama puntuación tipificada a la desviación de cada uno de los valores con respecto a la media aritmética de todo el grupo y a esta diferencia se le divide para la desviación típica de todo el grupo.La fórmula para su cálculo matemático es:

64

z= X−X∝

1.4.1. Aplicación de las puntuaciones tipificadasSe utiliza para determinar cuando un estudiante está mejor ubicado en una cierta asignatura.Así por ejemplo un estudiante de colegio obtiene las siguientes calificaciones:

Asignaturas X X ∝I. Nacional

MatemáticasE. Sociales

151417

161216

22

2,5

I Nacional : z=15−162

z = - 1/2 z = - 0,5

Matemáticas: z=14−122

z = 2/ 2 z = 1

E. Sociales: z=17−162,5

z = 1/ 2,5 z = 0,4

Se puede notar claramente que el estudiante esta mejor ubicado en matemáticas, porque su puntaje está por encima de la media, así mismo su variación es mínima.En cambio en Estudios Sociales su puntaje así mismo es mayor que en X , pero la desviación típica es menor, en consecuencia los puntajes tienen mayor variación.En Idioma Nacional se puede notar que z es un valor negativo, ya que su puntaje está por debajo de la X , a pesar de que tiene la misma variación que en matemáticas.

1.5. Puntuación derivada TEste tipo de puntuaciones se las utiliza con el objetivo de aumentar la escala evitando la utilización de decimales menores que la unidad y de valores negativos en la aplicación de z.Para su cálculo matemático se utiliza la siguiente fórmula:

T = 20z +50

T = Puntuación derivada T.Z = puntaje z20 y 50 = son valores constantes

EJEMPLO:Transformar los siguientes puntajes z en puntuación derivada T.

Z = 0,21 T= 20 . 0,21 + 50 T= 4,2 + 50 T= 54,2Z = -2,3 T= 20 .( -2,3) + 50 T = -46 + 50 T = 4

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CUADRO No47

Z = 1,5 T= 20 . (1,5) + 50 T = 30 + 50 T = 80Z = -1,6 T= 20 . (-1,6) + 50 T = -32 + 50 T = 18Z = 0,08 T= 20 . (0,08) + 50 T = 1,6 + 50 T = 51,6

Se puede observar claramente que entre los dos valores negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto por ejm. Z= 2,3 mediante los puntajes T se obtiene: T = 4 y Z= -1,6 mediante los puntajes T, se obtiene: T = 18.

Mediante los puntajes T, esta diferencia se puede aclarar fácilmente y se puede notar de que el valor de Z = -1,6 es mayor porque T= 18.

GALO LUNA Z.

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