estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

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    1/47

    PROBLEM

    1

    (2 5

    puntus

    Una empresa de

    electrodom~sticos

    ocaliza Ia venta de sus productos en 2 ciudades: Valencia

    y

    Madrid.

    La

    rnitad

    de

    1 s productos

    que vende

    por a 5

    en Madrid

    son

    frigorificos,

    a1

    igual

    gue tambikn

    lo son la

    mit d de

    10s que

    vende

    por afio

    en Valencia. AdemBs, se

    sabe que

    tambikn vende lavadoras

    y

    lavavajillas, a raz n de 2 lavadoras por cada Iavavajillas en

    Madrid;

    siendo en Vdencia

    de

    2

    lavavajillas por

    cada

    lavadora.

    La empresa no vende nin h

    otro products De

    1 s

    productos

    que vende en Madrid, se

    sabe que

    en

    un

    80

    de

    10s

    frigohificos,

    u

    90

    de las lavadoras

    y u

    75 de

    10s

    Iavavajillas

    son

    de

    color

    blanco.

    Respecto a Valencia, el 30

    de

    1 s frigorificos, el

    25

    de las lavadoras y el 40 de 10s

    lavavajillas

    no son

    de color blanco.

    Sepa

    que

    el

    70

    de

    sus

    ventas

    tienen

    lugar

    en Madrid.

    a Calcule la probabilidad de-queun product0 elegido a1 azar

    veidido

    por

    esf empresa sea de

    color blanco.

    b) Suponga

    que

    se

    selecciona

    un producto de esta

    empresa

    a1

    mar, de 10s vendidos

    en

    Madrid.

    Si

    resulta que es de color

    blanco,

    jcud

    es

    la

    probabilidad

    de

    que

    sea

    una Iavadora? Indique

    si

    el

    hecho

    de saber que fuera blanco, ha influido

    en

    la probabilidad

    de

    que fuese m

    lavadora, la

    vista del rcsuItado

    obtenido,

    justificando

    la respuesta.

    c Si nos centramos

    en

    10s productos

    de esta

    empresa que tienen destino Madrid

    ese

    aiio, y

    seleccionarnos

    un product0

    a1 mar,

    jcu6

    es la

    probabilidad de que sea u

    frigorifico

    si

    se

    sabe

    que

    no

    es

    blanco?

    d) Calcule a1

    probabilidad

    de que u producto vendido por esta

    empresa,

    elegido a1 azar,

    sea

    blanco

    o

    su

    venta haya sido en

    Valencia.

    B= tener color blanco al=ffigorifico-Madrid a =frigorifico-Valencia

    A =destine Madrid

    a =lavadora-Madrid a -1avadora-Vdencia

    Az =destine

    Valencia

    a =lavavajiIlas-Madrid a =IavavajiIlas-Valencia

    a)

    Aplicamos

    el

    teoxema

    de

    Probabilidad Total:

    P B ) =

    P A , ) P

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    nbre

    l

    PROBLEMA

    :

    Continuaci6n

    b

    Aplicamos

    el teorema

    de

    Bayes:

    Existe dependencia ya que

    la

    probabilidad condicionada

    es

    distinta

    a

    la probabiIidad

    sin

    condicionx,

    Ademis

    la

    dependencia

    es favorable,

    pa

    que el hecho de saber qu

    sale blmco

    en Madrid

    incrernenta

    la probabilidad

    de que se

    h te

    de

    una lavadora.

    donde se

    necesita

    calcular que:

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    PROBLEMA 2 (2 5

    pu tos

    Un

    fabricante

    de disquetes est6 interesado

    en

    analizar

    en sus

    discos la cantidad

    de bytes

    que

    quedan en sectores

    daiiados tras darles

    formato.

    Ha

    tornado

    mas mediciones que

    indican

    que

    el

    85% d e

    10s

    disquetes tienen menos de 10.000 bytes en sectores'da5ados.

    Tarnbikn se

    ha

    observado que el 90 de 1 s disquetes

    tienen

    mas de 4.000 bytes en sectores d&ados.

    Suponga

    que la distribuci6n

    del

    nxirnero

    de

    bytes existentes en

    sectores

    daiiados

    puede

    aproximarse a una normal.

    a) Calcule

    el

    nlimero medio

    de

    bytes en sectoresdafiados,

    y

    su desviac i6a tipica.

    Para

    el

    resto

    de

    apartndos olvide

    1 s

    nrimeros

    anteriores

    y

    suponga

    que

    el

    n h e r o

    medio

    de

    bytes daiiados es 7500 y

    la desviaci6n tipic

    es

    2500.

    b)

    Calcule

    la

    probabilidad de

    que la

    cantidad de

    bytes

    situados

    en sectores

    dafiados se

    encuentre

    entre 5000

    y 7000.

    c

    Calcule

    la probabilidad e que la diferencia entre e1 nrimero

    de

    bytes que tenga en

    sectores

    dafiados

    un

    disquete tornado a

    azar y el nrimero

    medio

    de

    bytes

    en sectores

    daEiados

    en

    1 s

    disquetes

    de este fabricante, sea superior a 3000

    (por exceso

    o por defecto).

    d)

    Calcule cud es

    el

    n b e s o

    de bytes

    que

    debe

    habes en sectores dafiados de

    u

    disquete, para

    el que el 60

    de 10s disquetes tenga mayor n b e r o

    de

    bytes

    en sectores da ad os

    que

    61.

    e) Se

    le

    ha indicado que

    considere

    normal la

    distribucibn

    de

    la variable n h e r o

    de

    bytes

    existentes en

    sectores dailados . Sin embargo esta

    variable

    s6lo

    puede

    tom=

    valores

    naturales. Explique esta

    situation

    aparentemente

    contradictoria.

    Se

    define

    la variableX niunero dc bytes

    situados

    en sectores dafiados

    a

    Resolvernos el

    sistema que se

    plantea:

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    NCA

    Resalvienda las dos ecuaciones obtenidaspara las dos inc6gnitas y

    1

    e)

    La variable aleatoria

    s

    trabaja

    mediante m a normal,

    porque nos 1 indica el

    enunciado,

    pero

    realrnente es m a

    v a.

    discreta 10s

    valores

    son

    naturales,

    no

    reales ,

    que

    por trabajar

    con

    g m e s nrimeros

    s t i

    siendo utilizada corno m a

    continua.

    En este

    tipo de aproximaciones se

    comete

    poco error a1

    calcular probabilidades de

    intervdos

    de

    valores. S i n embargo a intentar calcular la probabilidad

    de

    u

    valor concreta

    de la variable apareceria la

    incanmencia de

    Ia

    correspondencia

    de

    valores. Seria

    falso

    decir que la

    probabilidad

    de

    u

    valor

    concreto

    6500,

    por ejemplo

    fiera nula

    La

    probabilidad

    de

    un valor

    de

    la variable discreta

    se debera

    corresponder

    con la de u

    cierto

    interval0

    de la

    continua,

    no siendo nula, sina muy

    baja.

    En

    el

    curso se ha visto

    la

    aproximacion de la v.a. binomial y de

    la

    v.a. Pojsson

    mediante

    normales utilizando

    aproximaciones por continuidad

    En

    este

    caso

    ha de

    exiqtir

    una

    aproximacion por

    continuidad

    igual o similar

    a

    las vistas.

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

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    TIFICIIA DE

    SALAMANCA

    -ENMADRID

    D O S

    Y

    >

    5XPEDE

    *

    PROBLEM 2 5 ~untos .

    Una

    variable aleatoriaX iene

    por

    funci6n de

    distribution:

    I

    6 < x

    a) ~ E s discreta?,

    jcontinua?,

    ipuede

    ser

    discreta o continua?.

    R a o n e

    suficientemente las

    9

    respuestas

    b) Si fuese continua

    calcule:

    bl) a , b , c y d

    b2 La funci6n

    de densidad,

    cornprobando despuCs

    de calculada s i realmente es

    funci6n

    de densidad o no.

    b3

    Media

    y

    vafianza deX

    b4)

    p ~ 3 ) ;[ X 3.5)v 1.55 x 55 y P [ @ s s ) ~ x1 . 5 ) ]

    Nata:

    Haga

    todos 1 s cdlcuIos enfimcidn de

    a b

    c d y slrstitya f ia lments sus

    valares

    m m b i c o s

    a Se sabe

    que

    F x)

    es

    h c i 6 n

    de

    distribuci6n de una v.a.X.

    Si

    1 s valores de a, b, c y d heran tales que F x) fuese m a

    funcibn continua,

    entonces

    X

    seria

    ma v.a. continua. Esto

    es posible,

    como verernos despuis

    en el apartado

    b.1.

    Para

    que

    X fuese discreta, F x)

    deberia ser

    ma funcihn

    en escalera,

    pero entonces, por

    la

    forma en

    que esta

    definida,

    vemos

    que, en

    todos

    1 s

    puntos

    de salto,

    F x)

    no

    es

    continua

    por la derecha, con 1n qve no

    seria

    h c . i h n de distribucihn,

    Cabe

    obsesvar

    que

    si

    se

    puede conseguir que F x) sea ma funci6n escalonada:

    en

    el

    intervalo

    l JcG

    debexl a ser

    O y

    b un

    valor

    cualquiera del intervalo 05b5315;

    y,

    andogamente,

    en

    el

    intervalo 4Cx16 bastaria tomar

    c=O y 3/51d5l. Sin embargo,

    en

    ninguno de estos casos la

    funci6n

    seria continua por la derecha en 1 s puntos de salto,

    por

    lo que

    nuncn serja

    una v.a. discreta.

    Por tanto, Xtiene que ser

    continua.

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

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    n nto

    PROBLEM : Continuacidn

    b.1) A ser Xcontinua, F x) es una funci6n continua, luego

    En

    la grhfica que represenla esta

    h c i o n

    se

    ve

    que

    el irea

    que encierra

    con el

    eje es:

    3 1

    rea

    = 1 2.

    =

    I luego si es funci61-1 e

    densidad

    5

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

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      APELLIDOSYNOMBRE

    f

    ..

    r

    .

    No

    E

    EXPEDIENTJZ

    _CURSO

    3

    GRUPO _

    PROBLEMA

    :

    Continuacibn

    B

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    PROBLEM

    2 5~ u n t o s l

    Se

    ha desarrollado

    una nueva

    tecnica

    de fabricacibn

    de un componente

    de

    una

    antena de

    radiofrecuencia, mediante la cual se a f i a que se obtienen componentes que en tkrmino

    medio

    son capaces de soportar fiecuencias mhximas superiores a 7GHz.

    Se sabe

    que

    la distribution de

    las

    frecuencias

    miximas soportadas

    por

    1 s

    componentes asi

    fabricados

    tienen un

    desviacibn

    tipica de

    400MHz

    e

    quiere

    cornprobar

    s

    es cierto que

    en

    media

    al

    menos

    soportan

    7GH2,

    para

    lo

    cual

    eI

    departamento de

    control de

    calidad ha desarrollado

    un contraste

    de

    hip6tesis para la medida de

    100 cornponentes con m a

    region

    critica de < 6900MHz

    Se

    pide:

    a) Calcule

    la

    probabilidad

    de que

    siendo realmente cierta la

    afim aci6n de

    que la fiecuencia

    m h a e

    kabajo

    es superior 7GHz

    sin

    embargo

    se concluyaque

    esto no se cumple.

    b)

    Calcule la probabilidad de aceptar como cierto que se superan dichos

    7GHz

    en media, si

    realmente

    s6Eo

    se superan

    10s

    6'94 GHz.

    c) i C d

    es el

    valor de Ia

    fiecuencia r n k im a que en media deberia

    tener

    la poblacibn de

    componentes para que la potencia

    del

    contraste con dicha poblaci6n

    de

    componentes hera

    de 89'25 ?.

    d

    para

    quC

    valores

    la

    potencia

    awnentar

    para 10s

    superiores

    a1

    pedido

    en

    el

    p d o

    c ,

    o

    para

    10s inferiores?

    Se ha

    realizado un contraste

    unilateral (porque se pretende

    detectar que se

    superen

    o

    no 1 s

    7G&,

    y

    porque la regibn critica es

    2

    < v d o r ) para el

    valor medio

    de

    una poblacibn, con

    rnuestrn

    suficicntcmcnte grande

    como para aproximar

    medim~te

    l Teore~ma

    Cenlral del Limite

    (n=100) desviacibn

    tipica

    conocida =

    400 MH z

    H, :u = 7.000

    MHz

    Reg.

    Aceptacihn :

    >6.900M z

    HA

    LI

    <

    000MHz Reg.Critica

    : x < 6 . 9 0 0 M H z

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      IJIYWERSIDADPONTIFKIAJ3&SALAMANCA- EN ?&TAbRID-

    de

    ElgctrdpiCii

    y.Comunicaaiopks P Z / ~

    ...

    Brd;e),'

    APELLIDOS

    Y

    NOMBKE:

    -

    - ,

    N DE

    EXFEMENT E

    L 1

    CURSO

    - 3"

    GRIJPO:

    -

    ptiemb

    b) Se

    pide

    la probabilidad de

    error

    tipo TI para

    p

    = 6940

    I

    c La potencia es

    0 8925, cuando

    la probabilidad de error tipo IIes de

    0 8925

    = 0'1075.

    Volviendo

    a 1 s cilcdos del apartado anterior:

    Buscando este

    valor

    en las

    tablas, vemos

    que

    P Z

    >1 24) 07 075

    690

    A

    = 1 24

    4 0 0 1

    p = 6900- 24

    /

    1 50

    i

    d)

    La

    potencia

    aumenta para valores

    del parhebo

    mis alejados del de la hipbtesis

    n d a , ya

    que el

    contraste

    es c p z de distinguir con

    mas

    faciIidad la diferencia. En este caso,

    por

    tanto,

    para

    valores

    inferiores

    a1

    calculailo:

    p 6 -

    Esta

    argwnentncibn tebrica

    se puede conlprobar

    ~~unGicamcnlc

    or comparaci6n

    de

    10s

    valores calcnlados en

    10s apartados

    b)

    y c).

    I,

    6900-p

    De i p a l rnanera, a partir de la

    expresion

    obtenida cn b) P

    = P

    Po

    observacibn de la

    tabla

    de valores d e la distribuci6n N O, ), puede observnrse que es

    rnenor

    cuanto

    mayor

    sea

    el numerador, y

    par

    tanto,

    cuanto

    m i s pequeiio sea el

    valor

    de pa.

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    PROBLEMA

    I

    2

    . 5p u n t d

    Se tienen

    5 fichas, cada m a

    rnarcda

    on

    una

    cifia distinta

    dei

    1 a1

    5

    Se

    realiza

    con ellas un

    experhen to , consistente

    en

    elegir al azar tres fichas

    y colocarlas n

    fila, en e1mismo

    orden

    de

    su eieccibn, de

    izquierda

    a derecha.

    Calcule las probabilidades de 10ssiguientes

    sucesos:

    a)

    Que

    aparezca el n b e r o 123"

    b) Que aparezca lin

    nflmerc,

    compuesto par I s i f ias

    I, "2", y

    3

    c) Que

    aparezca

    un niunero qu no

    contenga la cifra 3

    d)

    Que

    aparezca un nhnero

    qu contenga

    menos

    una de las cifras "2" "3"

    e) Que

    aparezca un

    nknero compuesto

    por

    cifras

    sucesivas.

    f) Que aparezca LU nhrnero compuesto por c i t k sucesivas, ordenadas ascendentemente

    de

    49

    izquierdaa

    derecha.

    g) Que aparezca un n h e r o

    par

    o

    lo

    que

    es lo mismo:

    b3

    1 3

    - . p - -=

    o 10 que es 10 mismo:

    --

    t

    -2

    3

    60 60

    c5.3 P i/

    5

    (11 (21 3) (495)

    v v

    por hipergeomktxica para varios sucesos:

    [ )

    .2

    t

    d)

    Que contenga

    el

    2 y/6 el 3

    =

    Quy

    no contenga el 2

    ni

    el "3

    g) G ue saIga

    n h e r o

    par

    Que

    el 6ltimo nhnero sea el "2" 6

    el

    "4"

    4

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    11/47

    PROBLEM

    2

    2

    5 orsrttos~

    n a fabricacibn de aleacibn de estafio pJomo para

    la

    soldadura de componentes

    electr6nicos

    se quiere estudiar la

    reIaci6n

    existente entre la proporcion

    de

    plomo en la

    aleacibn

    y

    la

    cantidad

    de

    aleacibn

    producida por a.

    Nsmbraremos por

    X

    la proporci6n de

    plomo

    en

    la

    aleacibn,

    por

    Y a

    la

    production

    diaria

    de

    aleaci6n en Tm).

    e

    sabe

    que

    Ia densidad conjunta de Ias variables aleaforiasX e e s

    Se pide

    a) Calcule

    el

    valor

    de

    b) Obtenga las filnciones

    de

    demidad marginales

    c) ison independientes las variablesX I

    d) Calcule la esperanza de

    las

    variablesX Y de

    su

    product0

    G

    X

    e) Calcule uX y a

    f

    Obtenga la recta de regresi6n de Y sobreX

    g ~ C u h t o

    ale el coeficiente de correlaci6n

    Iineal

    entrehsvariables Xe

    IT

    Nota: e

    recomienda

    que trabaje 10s

    apnrtados sin susrituir

    el

    v lor

    de

    '%

    obtenido en

    el

    apartado

    a ,

    realizandn es6a

    sus itarcidn

    crIfinnl de

    c d

    apm6adn.

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    12/47

      pti m

    PROBLEM

    :

    Continuacibn

    1

    Dado que k = =. f x ,y = f x ) .

    (y)

    ~ x , =. X Y son

    inde~endientes

    Dado que

    Y

    on independientes, tendremos

    E X

    Y ) E X)

    E Y) Asi

    Podemos

    comprobalo

    de manera inmediata, sin

    mas

    que

    plantear:

    1

    xy~/(~,~) d'=

    ~ ~ Z h I + 3 ~ ~ ) d x ~

    :ZJy2

    28k 7

    x 2 )

    x

    x ) 2 x 4 )

    2

    1

    =

    =

    w

    0

    Dado

    que

    X Y on

    independientes,

    tendremos E X Y

    E X) E Y).

    si 0

    =

    I

    I

    adoqceXei.ionindcpcadicaer,tendrcnior~=E ~)= ?=

    g)

    Dado

    queX

    Y

    son

    independientes, tendremos

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    13/47

    PRBBLEMA

    3

    2 5

    nuletosl

    Una

    empresavende

    repuestos

    de maquinaria industrial. El

    10% de

    las

    compras que

    se realizan

    son de

    un gasto inferior a 1.200€

    cada

    ma.

    Por

    otro

    lado, el

    60 de las

    cornpras

    son

    de

    un

    gasto

    superior a

    1 800€ cada

    una.

    Se

    sabe que

    el

    gasto por cornpra sigue

    m a

    distxibucibn

    normal.

    a) Calcule

    el

    gasto medio por cornpra y la desviacion tipica

    Para

    10s a p d d o s b y

    c

    suponga

    que

    el

    g sto

    medio

    por compra

    es de

    2000€

    y la desviacibn

    tipica es de 600€.

    b)

    CalcuIe la

    probabilidad

    de

    que

    el

    gasto

    por

    cornpra

    difiera

    del

    g sto

    rnedio por

    compra

    en

    @

    mis

    de 400€.

    c) Calcule para quk

    gasto

    por compra, el 30% d e las compras tienen menor

    gasto

    que 61.

    Se

    tiene m a variable aleatoria X, de la que se conoce que sigue una distribucibn Ji-Dos de

    Pearson,

    con

    61 grados

    de

    libertad.

    d CalcuIe la probabilidad de que la variable

    tome

    un valor

    inferior

    a

    3

    0

    Nota: En

    a

    deberii inferpolrrr mientras qu

    en 1 s

    demlis se

    po h

    coger

    el

    valor rn pr6ximo

    S O W C I ~ N :

    a)

    Se toma coma

    variabIe gasto :

    v ~ ~ l . s a a = o ~ ~

    ( z > ~ . ~ - ~ ) = a a

    p ( z > p - 1 - 8 0 0

    =

    0 4

    Interpolando:

    Resolviendo las

    dos

    ecuaciones obtenidas

    para las dos inc6gnitas p y

    p

    = 1947 78

    =

    583 48

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    14/47

     bre de

    b La probabilidad

    pedida

    es:

    X

    2000 2000

    X

    =

    0 3

    a 600

    600

    d

    x x k

    omo

    61

    >

    30, se realiza

    la

    aproximacion de

    .Ti-Dos de Pearson

    ma

    Normal

    y

    definiendo

    una

    nueva variable aleatoria:

    =

    i

    X on

    distribucibn:

    N JK ,I )=N I I ,I )

    La probabilidad

    que

    s

    pide

    es:

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    15/47

    PROBLEMA

    (2 5

    untos

    En

    el

    centro

    de

    llmadas de

    una entidad

    bancaria se quiere evaluar el n b e r o de llamadas

    entrantes en

    la

    franja horaria de 9h a 1Eh

    de

    la rnaiima en 10s

    dias

    laborables. En funci6n de

    ello se dirnensiona la plantilla, teniendo

    en

    cuenta que:

    si

    se asignara mis personal del

    necesario, ese

    recurso hmano est ri

    siendo desperdiciado;

    mientras que si se asignara menos

    del liecesasio, se

    perderian

    llamadas

    l no ser

    atendidas, lo qu se considera perjudicial

    para

    10s intereses de la

    entidad

    bancaria.

    La

    entidad

    bancaria toma

    decisiones

    sobre

    la

    dimension

    de

    la plantilla

    asumiendo como

    cierta

    la premisa de que entre las 9h

    y las

    1

    h

    de un

    dia

    laborable,

    entra32

    245 llmadas

    en

    pronedio.

    Se contabilizan las llamadas de 9h a lh durante 27 dias Iaborables, obteniendo

    en

    total 6750

    llamadas. En

    esta

    muestra, la

    variable n h e r o

    de

    llamadas obtenido

    en esa franja

    horaria,

    por

    dia

    tiene una cuasivarianza de 20.

    Suponga que el

    n h e r o de llamadas entrmtes

    en esa

    fianja

    horaria en

    Ios

    as laborables

    sigue ma

    distribuci6n normal,

    y

    utilice

    un error

    tipo I del

    5

    para

    responder

    a las siguientes

    cuestiones:

    a

    ~ E sorrecta la premisa

    asumida?

    Justifique

    su

    respuesta por contraste

    de

    hipbtesis

    b)

    Calcule

    el tamafio d e Ia muestra que delirnita la aceptacibno el

    rechazo

    en diche contraste,

    sedando si para valores superjores o infaiores

    l

    obtenido se rechaza o se acepta.

    c) Calcule el Error Tipo II supeniendo que las

    llamadas que realrnente

    entran

    un

    dia

    laborable en promedio entre

    las

    9 y las 11 es de

    248.

    d)

    Si

    desconocemos

    el

    n h e r o rnedio

    de

    llamadas

    existente entre

    Ins

    9h

    y

    las

    1

    lh

    en

    un

    dia

    laborable, pero queremos estimarla, jcon gu probabilidad

    podrernos

    h a r

    que no

    cometeremos un error superior a llamadas en

    dicha

    estimacibn

    si

    et

    n b e r o

    de

    dias

    analizados se aumenta en

    1

    O?

    a) Se

    plantea

    el contraste bilateral:

    JYh

    =

    20 S

    =

    4 472

    Se utiliza el estaditico de contraste adecuado, teniendo en cuenta que

    la varianza

    poblacional

    es

    desconocida

    y

    el

    tamafio de la

    muestra s

    inferior a 30.

    Cae

    en

    la regibn de rechazo ya que no cumple It

    <

    t ;+, porque

    5 8

    9 > 2'056

    Por tanto, con un Error Tipo

    I del

    5 se puede afirnlar que la premisa que esta asumiendo

    no es correcta.

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    16/47

    GRUPO:

    PROBLEM : Continuacibn

    b Teniendo en cuenta que la media muestral es superior a la media poblacional que sea

    asume en la hpbtesis nula

    la condicibn de

    aceptacibn

    con

    la

    que

    vamos

    a

    operar

    es:

    Luego,

    para n

    3

    se

    acepta

    la hip6tesis

    nula, y para n

    > 4

    se rechaza.

    Aceptar o

    P = P Go f i lm)

    Para valores

    superiores 30

    de

    tama5 de

    muestra, teniendo en cuenta que

    estariamos

    con

    una

    2 iempre nos

    daria

    rechazo,

    al

    ser

    el

    valor de

    Z mayor

    que ZWo2

    = 1 96,

    por

    tanto

    operarnos

    con la

    expresibn

    anterior:

    P -

    5 5443

    5 t,,

    -1 23 1

    8) ~ r , , 2 1 23 18) ~ t , , 5 5443)

    0 1

    0

    d)

    El nuevo tamaiio

    de

    rnuestm es: n 27 10=

    37,

    es decir, mayor que 30

    por

    lo que la

    expresibn con

    la

    que

    vamos

    a operar es:

    d

    Luego:

    0 00326

    1

    a 0 00652

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    17/47

    UNIVERSDAD

    P-ONTIFICIADE S m C A

    ~ e ~ a r t a m e n t o

    e

    Electr6nica

    y

    Coml

    ESTADIST~CA:- -iunio-2002-@arde)

    - -

    PELLIDOS NOMBRE:

    No

    E EXPEDIENTE:

    CUKSO:

    3

    -GRUPO:

    EN MADRID

    iones W ? Z 1 .

    PROBLEMA 1

    2 5

    ~zmtos

    Las

    capacidades de 10s condensadores

    de

    una

    serie

    en una cadena de fabricacihn siguen

    una

    distribucibn

    normal,

    con una

    media

    de

    1 3 s (nano-Faradios),

    y

    una desviacibn tipica

    de

    0 04nF.

    1) Escogido un condensador a1 azx, calcule la

    probabilidad

    de

    que

    su

    capacidad

    est6

    comprendida

    entre:

    la) 1 28nF y I130nF Ib)

    1'30nFylt32nF

    lc 1'31nFy 1 33nF

    2

    Calcule

    entre

    qut

    dos

    valores

    (simttricarnente distribuidos en torno

    a

    la

    media) se

    encuentran

    las

    capacidades del 80

    de 1 s

    condensadores

    de

    esta serie.

    3

    Si se seleccionaranmuestm

    de

    16 condensadores;

    3a) ~ C u d

    e

    esperaria que fueran la media

    y

    la desviacibn tipica

    de

    Ias

    capacidades

    medias de

    cada

    muestra?

    3b

    Cud1

    seria la

    expresi6n de la funci6n densidad

    de

    probabilidad

    de las medias de

    est s

    muestras.

    4 Escogida una muestra

    de 16

    condensadores a1 azar, calcule la probabilidad de que su

    capacidad media este comprendida

    entre:

    4a)

    lf28nFy

    1 3 0 s

    4b) 1'30nFylt32nF

    4c) 1131nFy 1 33nF

    5 ) Calcule entre qud dos vdores (sim6tricamente distribuidos en torno a

    la

    media) se

    encuentran

    Ias capacidades medias

    del 80

    de

    las

    muestras de

    16

    condensadores que

    pudieramos

    tomar

    sobre

    esta serie.

    6)

    Compare y analice cada

    resuItado de

    4) frente a

    1 s

    de

    1);

    y el resultado de

    5 ) frente a1

    de 2

    7)

    L Q U ~ s

    m8s probable que

    ocurra:

    a

    un condensador

    de

    capacidad superior

    a

    1 34nF;

    h)

    lrna

    capacidad media superior 1 32nF en

    una muestra

    de 4 condensadores;

    c) o m a capacidad media que supere

    1 s

    1 3InF en ma muestra de

    tamaiio 16?.

    ExpliqueIo.

    SOLUCION:

    La variable involucrada es

    22 Capacidad de

    un

    condensadorde la

    serie

    (nF)

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    18/47

     

    UNIVERSIDAD PONTIFICIA

    DE~SACAEGC NCA

    EN MADWD. L

    .

    .

    .

    Denai-tamento

    de Electrbnica y

    C~munica~iones*

    Pbz 30

    .

    - . 2 .(Tart

    -

    lAPELElDOS NUMB :

    <

    No

    DE

    EXPEDRNTE CmSO

    3 GRUPO

    PROBLEMA

    1:Continuacibn

    A

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    19/47

    PRORLEMA

    :

    Continuacibn

    B

    5)

    De la misma

    form que

    en 2), pem ahora con

    Asi

    :

    4,

    = 0 1915;

    P

    = 0 4772

    4,

    =

    0 1

    15;

    P

    =

    0 4772

    La

    distribucibn de

    XI es mhs concentrada en torno = I 30, luego u nterval0 que

    cornience en este valor recage

    mhs

    probabilidad en la

    distribucibn

    de X16 ue en la de

    X

    4 =O I747 P = 0 15735

    Por el misrno

    rnotivo,

    si eI interval0 se aleja de la media recoge menos probabilidad el de

    distribuci6n

    mas

    concentrada.

    m ~ t [ 1 ~ 3 f o ~ 0 5 1 2 6 ]

    ;,a~[1 3*0 012816]

    De

    nuevo

    por

    el mismo motivo, para acumular

    la

    rnisma

    probabilidad

    en

    un

    jntervalo

    centrado en

    la media,

    este intewalo resulta menor en la distribucibn m6s

    concentrada

    Son equiprobables. Cada una es miis concentrada que la anterior,

    y

    en todas

    se calcula

    la

    probabilidad

    de

    superar

    Ia media mhs una

    desviaci6n tipica

    (z

    >I).

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    20/47

    UNIVERSID D ONTIFICIA

    DE

    SALAMmCA EN

    M-AD~~ID

    .

    De

    artamento

    de ElectFodica f

    Comunicaciones w 3 k z 8

    .

    io-2002. Tarde)

    . .

    . -

    APELLIDOS

    Y N O M B k :

    -

    O

    E EXPEDIENTE:

    CURSO 30 GRUPO:

    PROBLEM

    2 (2 5

    puntos

    Se

    tiene la funci6n de

    densidadde probabilidad

    conjunta:

    X

    donde

    R

    es la regi6n

    delimitada

    por: y 2 y

    x 2 0 y

    D x + y

    a)

    Cdcule

    el valor de

    k.

    b)

    Obtenga

    las

    funciones

    de

    densidad

    marginales.

    c

    ~ S o n

    ndependientes

    Ias

    variables x e

    y?

    partir del

    resultado de independencia

    o

    no

    que

    haya obtenido, ipuede deducis

    alguna

    conclusi n .respecto a1

    vdor

    del coeficiente

    de

    correlation?

    d CalcuIe

    P X

    2 1 .

    e Calcule el valor

    de

    la funci6n de distribucibn en el punto I , ]) .

    f) Calcule P X

    ;

    2

    0 5).

    Noia

    No s

    necesario sustituir el

    valor de en

    el

    upartado

    b .

    a)

    Calculamos

    10s dos

    puntos de code:

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    21/47

    UNIVERSIDAD PONTIPICIA DE.SALAMARCA

    EN M A D ~

    .

    - Departamento de Electrbnica Comunicaci nei f m 2 /

    -

    -2002 Tardej

    APELJ

    No

    FE

    EXPEUIENTE: C w o 3 GRUPO:

    - >

    PROBLEMA 2: Continuaci6n

    Asimismo:

    c Probando con un

    punto,

    como por ejemplo

    el I,

    1 :

    f C v = < -

    -

    Por

    tanto,

    no son

    independientes.

    Esto implica que hay alglin tipo de

    dependencia

    Iuego

    existe

    la

    posibilidad de que

    pudiera ser

    lineal

    por

    lo

    que no

    podemos

    concluir un valor de antemano;

    habria

    que

    calcuIarla con su correspondiente expresi6n.

    k y @ - y ) - k y 3

    - < y C l

    0 resto

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    22/47

    PROBLEMA

    3

    (2 5

    uuntos)

    a Se sabe que

    una

    determinada caracteristica de

    una

    pobIaci6n

    tiene distribuci6n IV@,3 . I

    realizar

    un muestreo aieatorio

    simple

    de

    tamafio

    n, se

    obtiene,

    para la

    media,

    e

    dicha

    caracteristica, un intervalo de confianza cuya semilongitud

    vale

    a, con un nivel de

    significacibn de l5 :

    al) i d

    deberfa

    ser

    el tamafio

    muestrat para obtener una estimacibn el doble

    de precisa,

    mmteniendo la misma confianza?

    62

    icon

    qui confianza

    podemos

    conseguir un ntervalo de la

    mitad de longitud

    que el

    in icid , con el mismo tamaiio

    muestral

    ,

    PI

    b)

    El

    nurnero

    de

    clientes

    que

    acude

    pox hora a

    una

    oficina

    bancaria

    sigue

    un

    proceso

    de

    Poisson. Contados 1 s

    clientes

    que

    acuden

    en

    I50

    horas

    elegidas

    a

    azar>

    se obtiene que han

    sido 1350

    bl ) Obtenga

    un

    intexvdo

    de

    confianza

    para

    el

    verdadero valor

    medio

    de

    clientes

    por

    hara, con un

    nivel

    de significaci6n del90

    bl') Obtenga

    u

    intervdo de

    confianza

    para eI verdadero valor medio

    de

    clientes por

    hora con un nivel de

    confianza

    deI 90

    N P

    b2 ~Cuftl

    eria

    el

    nivel

    deI confianza de un intervalo

    cuyo

    extremo inferior fuera 9, si la

    muestra hubiera sido de l mitad de tamaflo que la anterior

    y

    la

    media muestrd

    hubiera

    sido

    un 10

    mayor que

    la anterior?

    SOLUCION

    al)

    Estimamos la media de

    una

    poblacibn

    normal

    de

    varianza conocida. El

    intervalo de

    confianza simttrico

    en

    este

    caso es = x z,g x

    1 I

    ,

    de

    semilongitud z

    *

    s

    Manteniendo

    la misma

    confi nz (y mismo nivel de significacibn), una estimaci6n

    dobie de precis

    ser i la

    que obtenga un intervalo de

    confianza

    de longitud

    mitad

    que

    el

    a

    anterior, y, por tanto,

    de

    semiIongitud mitad que la anterior. Luego

    za

    /: a - 2 '

    u n*

    Dividiendo

    ambas

    expresiones resulta

    es

    decir,

    el

    tarnaiio

    muestral

    debe ser 4 veces mayor, y

    esto

    independientemente de cuid

    sea

    eI nivel de significacibn, siempre

    que

    sea el

    mismo

    en 10sdas

    casos.

    a2)

    Ahora rnantenemos el tamaiio muestral y

    qrxeremos

    conseguir tambi tn

    el doble de

    precisibn,

    es

    decir, un

    intervalo de confianza de

    la mitad ds Iongitud.

    Esto lo

    conseguiremos con

    un nivel de

    confianza

    inferior.

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    23/47

    ICA

    .

    UNIVERSIDA?

    PONTIFICIA DE-SALAMA NFA EN M DRID

    ,Departamento

    de EIectrhicay Comunicacion-es.Z Q ~

    z r

    -[ESTAD~ST

    002

    (Tarde)

    APELLIDOS

    Y

    N

    No E

    E X P E D E h

    .

    CURSO:

    39:

    GRUPO:

    PROBLEMA 3:

    Continuaci6n

    como

    a

    -1'96 z =

    a

    a 0'05

    -=01025

    0 98 -=Ot1635

    2 2

    b I )

    Un

    nivel

    de

    signification

    deI

    90

    significa

    que

    la

    probabilidad

    de

    que

    el

    interval0

    sea

    err6neo

    es del

    90 . Esto no

    tiene n i n g h

    sentido

    y asi

    hay que

    indicarlo;

    pero

    si se

    puede

    calcular. La

    mejor

    respuesta seria indicar u

    fa alta

    de sentido y

    calcularlo:

    r ~

    b13

    Queremos

    estimar la media de ma distribuci6n de Poisson. Corno el

    tarnaiio

    muestral

    es

    grande 1501,

    sabemos que

    en

    este caso

    un intervalo

    de

    confianza de

    la media es

    150

    b2)

    El nuevo tamfio

    muestral

    es n = - = 75

    y

    la nueva

    media

    rnuestral

    2

    x =

    X + O ~ X =9+Ot1 .9=9 '9 ,

    con lo

    que

    el nuevo

    intervalo de

    confianza

    serla I n =

    y como su extremo

    inferiar es

    9

    :

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    24/47

    - L S W R S I D A D >ONT

    ,

    D,epartamenl

    ?- - --SSTAD~STICA:

    +J * APELLIDOS

    Y NOMBRE

    EIettr6nica- Con

    3-juliio-2002

    Tardl

    PROBLEMA 4 (2 5nrtntosJ

    Una

    empresa de asesoramiento

    infomhtico

    quiere estimar

    si el

    nGmero

    medio de

    peticiones

    de asesoramiento

    que

    cabe esperar

    que

    tengan

    c d

    dia es

    5

    en

    su

    defecto

    mayor que 5 De

    estudios anteriores se considera aceptable que n

    varianza

    pobInciod

    dcl n h e r o

    de

    peticiones por

    dia es 4. El Director TCcnico

    de la

    empresa que aprobb con buena nota la

    Estadistica en

    la UPS)

    dice que

    si

    observando 100 dias,

    elegidos a1 azar,

    el

    n h e r o medio

    de

    peticionespor dia es mayor o

    igual

    a 5 35 rechazari la hipbtesis de que

    el

    ncrnero

    rnedio es 5 .

    a

    cud

    es la

    probabilidad d e que

    la

    decisi6n

    de

    rechazar Ia hipbtesis fuese

    e r r h a ?

    b)

    ~ C U Aeria

    el

    criterio

    de

    decisibn para

    a

    =

    0 0

    1

    ?

    c

    Si

    a =

    0 05, jcu I

    seria Ia

    probabilidad de

    aceptar

    que el ntimero medio

    es

    5 , cuando

    realmente fuese

    S S?

    iy

    cuando

    realrnente fi~ese

    ?

    Se quiere contrastar las hipbtesis:

    H , :

    p = p , = 5

    H , : p > 5

    a

    La probabilidad de que

    la

    decisi6n de rechazar

    la

    hip6tesis planteada

    (la

    hipbtesis nula)

    h e s e

    erronea es la probabilidad de rechazar la

    hipbtesis

    nula cuando es cierta es

    decir,

    el

    error de

    tipo I,

    a

    ~ ( r e c h a z a r

    , H , cierta)

    =

    a

    Dado que el tamaiio muestral

    es grande

    y

    l

    varianza

    poblacional conocida,

    bajo

    la

    hip6tesis nula,

    el estadistico x tiene distribucihn normal x :N ( , G

    y por tanto

    el

    estadistico de contrnste

    X /lo

    N O J )

    7

    T

    La

    regi6n

    critica

    de

    este contraste es R-C.:

    - p O

    > z

    s x p o

    > zap

    y,

    segun

    el enunciado,

    se rechazara si 5 35

    ,

    es decir, si

    x

    po > 0 35 ;

    F

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    25/47

    UNIVERSIDAD PONTIFICIADE SAL

    ENMADRID

    J

    IDOS NOMBRE:

    PROBLEMA

    4:

    Cont inuacih

    X - P O z a

    obien

    x po > z a p

    La regibn critica

    es

    Y

    luega x >

    z,

    coma

    a

    = 0 01 2

    =

    2 32 y el

    criterio

    de

    decisibn

    seri:

    Rechazamos

    Hosi

    x

    >

    5'464

    Aceptamos Hosi < 5'464

    c)

    Nos

    e s t h pidiendo fa probabilidad

    de error

    de

    tip0

    LI

    es decir de aceptar

    la

    hipbtesis

    nula

    cuando

    es

    falsa

    emos que la

    probabilidad d e cometer

    error

    de tipo 11,

    es

    decir de aceptar que el

    n ~ m e r o

    medio es 5 , cuando realmente

    es

    5 5 es de casi el 2094 pero cuando realmente es

    6 es

    de

    solo el

    0104% .

    I

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    26/47

    Depa

    STICP

    APELLIDOS

    Y NOMBRE:

    o

    E

    EXPEDLENTE: CURSO:- 3

    -GRUPO:

    PROBLEMA 1 2 auntos)

    En

    una fhbrica se consulta a

    10s

    empleados sobre mas nuevas

    medidas

    de

    seguridad

    tomar.

    Un

    65 de 1 s

    empleados

    def

    t w o de

    noche

    apoyan

    estas

    medidas;

    el 40 de

    las mujeres

    emple d s las apoym.

    AdemBs, sabernos que

    el

    50 de la plantilla trabnjn

    en

    turno de dia

    y el

    otro

    50

    en h~rno e

    noche.

    En este

    turno

    de

    noche, el

    20

    de

    1 s

    empIeados son

    mujeres, corno tambikn son

    mujeres

    el 30 de

    la

    plantilla total.

    e

    pide:

    a)

    Probabilidad

    de

    que un

    empleado

    elegido a1

    sea ma mujer

    que apoya las rnedidas.

    b)

    Probabilidad

    de

    que

    un

    empleado elegido a1

    mar

    sea

    una

    mujex

    y/o

    un

    trabajador

    del

    turno

    de noche.

    c)

    ~ E sndependienteel

    sexo de

    1 s trabajadores de si

    trabajan

    no

    en

    tumo de noche?

    d) Si el 50

    de 10s empleados varones apoyan el

    plan

    calcule la probabilidad de que un

    ernpleado varbn o mujer) elegido a1

    mar

    no

    trabaje

    en el

    tumo

    de noche, y no apoye las

    nuevas rnedidas de seguridad.

    SOLUCI~N:

    Definimos 1 s sucesos

    A

    -

    Apoyar

    las rnedidas

    N

    Ser

    de

    turno

    de noche

    Sermujer

    Datos: P ( A I N ) = ~ ~ ~

    ( A ~ Y ) = O ' ~ P (N )= o ' ~

    P ( M I N ) = O ' ~

    ~ ( ~ ) = 0 ' 3

    c)

    { p ; ~ ~ o ~ 2 ]

    P ( M N )r P (M ) No

    son indcpmdii-nter

    Asi

    P ( NU

    A ) =

    P (N )+

    P (M) .P (A IM )+

    @)-

    P ( A I

    R -

    N)- ( A IN )

    ~ @ n= P NU

    A ) = 1

    -P N)-P M).P AIM)-P Q)~P A~)+ ( N ) . P ( A I N ) =

    =I-0 '5-0 '3 .0 '4-0 '7 .0 '5- t -0 '5-0 '65 ~ 0 3 5 5

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

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    NIVERSIDAD .PONTIFICIA DE SALAMANCA

    EN-MA~ND

    Depai

    nto de

    Electrtjnlcay

    Cornmi

    xi

    7 2

    3TICA tiq-2002. (Maiiana)

    APELLIDOS

    Y NUMBRE:

    .

    o

    E

    EJPEDENTE:

    CURSO:

    -3

    GRUPO

    PROBLEMA

    2 (2 5

    pun tos~

    Dada la

    variable

    aleatoria bidimensional X,),

    on

    funci6n densidad

    conjunta

    \ resto

    donde RX

    es

    el recinto plano comprendido en el interior de la

    poligonat

    cerrada

    formadapor

    1 s

    puntss

    O,O),

    1

    , I

    y 1,4).Se

    pide:

    a Compruebe

    que es

    funcibn de densidad conjunta

    b

    Calcule

    la h c i 6 n

    densidad

    de

    probabilidad

    de

    la

    variable aleatoria

    unidimensional

    X

    c Calcde la funcidn

    de

    distribucibn

    de la

    variable

    deatoria

    unidimensional X.

    d CalcuIe

    la funci6n de

    densidad

    de la

    variable Y condicionada al

    valor

    de X

    e l

    Calcule la

    esperanza rnatemitica de la variabIe X 2Y

    Nola: En c d

    funcibn

    que

    se le

    pide

    debe expresar tras lox

    ccilculos, en

    u resumen final

    el

    v lor

    de

    la

    funcidnparn fo os

    Ins

    pvnios

    dr SYJdominion

    luego

    es

    f d p

    resto

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

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    XPEDIENTE CURSO -3 GRUPO

    PROBLEMA

    2:

    Continuacibn

    efinimos as iferentes zonas

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    29/47

     

    UNIV DAD

    P.ONTIFIC~A-B~-S AMANCA

    N MADRID

    . .

    . . ~ e ~ a i t am e n t oe Electr6nica y Ibmunicaci6nes

    :??m /y

    [ESTAD~STICA: (Mafi:

    .. ,..

    APELLTDOS

    ~ M B R ~

    CURSIS: 3 GRUPO:

    o

    E

    EXPEDENTE:

    .

    PROBLEMA

    2:Continuacihn

    R

    e Podemos calcular la esperanza desde

    la

    hnci6n

    densidad de

    probabilidad

    conjunta;

    calcdarla como combinacibn lineal de las rnarginales,

    que

    ademhs podrian

    calcularse

    cada

    una e

    forma

    bidimensional

    (a

    travCs de Ia fdp conjunta),

    midimensional

    a travks de las

    densidades marginal

    es)

    .

    = , )

    derdclafdpr, bidimensional

    Asi,

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    30/47

     

    .

    . .

    . . - . .Departamentode

    Electrbnfca y Com rlnicacionres

    . WE

    -

    ESTAD~STICA:

    3-junio-2002 (Mafia

    -

    -

    Se quiere

    realizar

    un

    estudio sobre ciertas costumbres

    de 10s

    jubilados

    en una

    gran

    ciudad.

    Para ello

    se

    necesitan datos sobre

    sus

    tiempos

    medios de desplazamiento como peat611

    por

    la

    calle

    por

    semana

    (bien sea paseando, de compras, etc.); y sobre la proporci6n de jubilados que

    durante

    a1 menos

    tres

    dias

    por

    semma

    se encuentran pie en la caI1e

    entre

    las

    y

    5:3 de

    la

    tarde.

    Damos par hecho que la distribucibn de estas variables es

    independiente

    de la semana

    elegida,

    por

    lo

    que se tomara

    ma

    muestra

    sd~ciente, se

    estudiarg

    a

    todos

    10s

    individuos de

    dicha

    muestra

    a

    lo

    largo

    de una sernana completa.

    Se 1e pide inicialm ente, sin tener

    ningiin

    dato de la poblacibn, que calcule I y 2 :

    1) L~uponiendo *)ue la

    desviaci6n

    tipica de la permanencia

    en la

    calle

    por semana

    de 1 s

    jubilados

    fuese

    de 4 horas, qub tamaiio de

    muestra se

    necesitarfa

    para lograr

    un nivel

    de

    confianza del95

    de

    estar en eI valor

    correcto

    de

    la

    permanencia media

    a

    pie

    por

    semana,

    conu nargen de 1 hora

    de error?

    {*)

    Nota;

    la

    suposici n indicadase ufilkard exclusivumenfe en

    este

    apartado

    2 ) ~ Q u damaiio

    de

    muestra se

    necesitaria

    para obtener

    m a

    confianza

    del95

    de estar

    dentro

    de 015 de

    la proporci6n

    verdadera (en tanto

    por uno) de personas jubiladas

    que

    se

    eneuentran

    en la caIle corns

    peatones

    entre las

    5 y

    las 5:30

    de Ia

    tarde,

    l

    menos

    durante

    tres dias

    por sernana?.

    Se

    ha

    tornado

    una muestra de

    100

    personas jubiladas

    en esta ciudad,

    tomando un

    registro

    del

    tiempo

    e

    actividad

    como peatbn a lo largo de una sernana completa obteniendo 1 s

    siguientes resultados:

    tiempo medio

    como

    peat611 n Ia semana

    cornpleta: I5 3h

    -

    cuasivarianza

    del

    tiempo

    de permanencia como peat6n

    en

    la semma: 14 44h2.

    27 personas, de

    las 100 estuvieron en

    la

    calle

    entre

    las

    5

    y 5:3 de la

    tarde

    durante

    a1

    menos

    tres dias

    de la

    semana.

    3) Obtenga un

    intervdo de confianza del

    95 para el tiempo

    medio

    de permanencia como

    pealdn de 1 s jubilados por

    sernana, en

    esta ciudad.

    4) Obtenga un

    interval0

    de confianza de1

    95

    para la proporcibn de

    jubilados

    que

    aI

    nlenss

    durante

    tres

    dias

    por semana se

    encuentran

    en

    la

    calle

    entre

    las

    5

    y

    las

    5:30

    de

    la

    tarde.

    SOLUCION:

    Defanimos

    las

    variables

    en

    uso:

    Tiempo de desplazarniento como peat6n de u ubilado de

    esta ciudad.

    p Proporcibn

    de

    jubilados de

    esta ciudad

    que se encuentran en la

    caIIe

    entre

    las

    5 y

    5:30pm

    durante

    a1

    menos

    tres

    dias

    de la semana.

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    31/47

    PROBLEMA

    : Continuaci6n

    2 ) E = 0 015

    ;

    1 a 0 95 z = z ~ ~ 1 96;

    diseiio en caso peor

    (1

    = 0 25

    Nota: npq

    4 69 0 25 1

    067 25

    >

    Cuando

    s

    tornen rnuestras s comprobari con las proporciones que se midan

    27

    4) En

    l s

    expresiones donde

    ne esitemosp

    tomaremos

    =

    00

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    32/47

    UNIVERSIDAJl-qONTIFIC][A. , J T I ~ ~ ~ . N C AN MADRID

    iana)

    PROBLEMA

    4

    2 5 u

    os

    Una

    compaiiia

    de aviaci6n quiere tener informaci6n sobre el n h e r o

    de

    pasajeros

    medio

    que

    tendrh en vuelos correspondientes a ciertos

    tramos

    horarios. En

    funcibn

    de las

    condiciones

    de

    1 s contratos

    de

    catering y de adquisicibn

    de

    combustible, el n he r o inedio de

    pasajeros

    que

    la

    compairia

    considera adecuado

    es

    de 136.

    Por

    ello

    se

    diseii6

    hnce varios meses m a politica

    de precios que consigtiera este objetivo. Para evaluar el

    exito

    o no dc

    esta politica

    de la

    compafiia,

    se ha

    tornado

    nota

    del

    n h e r o

    de pasajeros

    de

    10s

    dtirnos 22 vueIos

    correspondientes a dichos tramos horarios,

    y

    se han

    observado

    que suman

    un

    total de 2950

    pasajeros. Para

    esos vuelos, se obhvo

    una

    varianza en

    eI

    nrirnero

    de

    pasajeros, de 200

    a

    Para

    un Error

    Tipo I del

    5 , mediante

    un contraste

    de hip6tesis,

    cornpmebe

    si la

    politica

    de precios ha

    tenido

    6xito.-

    b

    Suponga

    que desconociera cui l es

    la

    suma total de

    pasajeros

    de 10s 22 vuelos. Con quC

    probabilidad se

    podria

    mar, mediante un

    contraste de hipbtesis, que

    la

    politica

    de

    precios

    ha

    fracasado,

    cuando en

    realidad no

    es asi suponiendo que

    en

    la regi n de

    aceptacibn

    la media rnuestral

    no se aIeja

    en

    m8s de 5 pasajeros, respecto al objetivo.

    c CalcuIe

    la

    potencia

    del

    contraste

    para

    m lternativa de 140

    pasajeros,

    per0

    suponiendo

    que el ntimero

    de

    vuelos andizados fuera 40, con m a

    suma

    total d e pasajeros de 2950 y

    varima p r esos 4

    vuelos

    de 200. Suponga

    el

    Error Tipo I del 5 .

    h o n e

    sobre el

    resuItado.

    Se plantea

    el contraste biln cral,y

    se utiliza el

    estaditico

    de contraste adecuado, teniendo

    en

    cuenta que

    la

    varianza poblacional

    es desconocida y

    el

    tamaiio de la muestra es

    inferior a 30.

    H o : ic=136

    =

    lx Pol

    - 1134-1361

    '648

    H , : ~ 1 3 4

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    33/47

    PRORLEM : Continuacihn

    Cae

    en

    la regi6n

    de

    aceptacibn ya que

    t

    s

    0 648 08

    Por tanto con

    un Error

    Tipo

    I del 5 se puede

    afinnar

    que la politica de precios ha

    tenido

    kxito.

    b)

    Lo

    que se

    pide e s :

    Re chuzar H

    cierr

    Con el valor

    mhs

    cercano en

    tablas, se

    obtiene:

    0 05

    2

    WI

    La

    potencia del contraste

    es baja per0

    eso aisladarnente no significa nada.

    Es

    necesario

    saber quk debe hacer el contraste ante una poblacibn cuya media di sk

    4

    de

    la

    hipbtesis nula 1

    40 1

    3

    6=4).

    Si esa diferencia de

    es

    poco

    relevante

    la potencia

    obtenida

    puede ser suficiente; pero

    si esa diferencia debe ser

    detectada

    y rechazada la

    pstenci

    abtenida resulta demasiado

    baja y

    seri

    necesario

    aumentar el

    numero

    de

    vuelns

    anali7ados.

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    34/47

    PROBLEMA t ~ juntas

    En ua determinado juego, en

    eI

    que se trata

    de conseguir la

    m i x h a punlxxibn,

    la

    probabifidad de supmar

    en

    una partida

    1 s

    30

    puntos es 0 6,

    mientras que la

    de

    quedarse

    por

    debajo

    de

    2

    puntos cs 0 2.

    e

    snbe

    que

    la

    variable

    aleatnria puntuacidn obtenida n m a

    partida

    sigue

    ma

    distribucibn

    normal Ademk sabernos que el

    redtado

    de cada

    partida

    es

    indepmdiente

    del de

    las

    anteriores.

    a)

    Obtenga

    1 s

    valores

    de los

    parhetros

    de

    la

    distribuci6n

    de

    probabtbilidad

    de

    dicha

    variable

    aleatoria.

    b) CaIcule la

    probabilidad de

    que

    la punmci6n obtenida

    en una

    partida disk

    de

    la

    media

    en

    mis de putos.

    c) Suponga que se realiza urr tomeo en el que

    hay

    que participar en 4

    partidas.

    e consigue

    premio si

    en menos de las partidas

    se logra m a puntuacih

    de menos

    4 puntos.

    jcd s la

    probabilidad

    de conseguir

    premio?

    d)

    i C d

    seria

    dicha

    probabiiidad

    si en el

    torneo

    s

    tuviaa

    que participar'en 50

    partidas, y

    se

    obtuviera premio

    logrando40 puntos

    o

    mis, en a1menos

    3

    5 de ellas?

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    35/47

    C En cada

    partida:

    En el torneo:

    ha= nfmero de veces

    que se

    consiguen

    a

    menos 40 puntos, en 4 partidas

    Hay

    independencia entre cadajuego luego lo

    modeIizamos

    como

    una

    binomial:

    d) En

    cada

    partida,

    la probabilidad de

    Zograr

    4 6 mhs

    puntos

    es la ya

    calculada

    en c):

    4

    34 302

    =

    P Z 0 3

    35 =

    0 3707

    En l torneo:

    niunero

    de ve es que se consiguen

    a

    menos 40 puntos,

    en 50 partidas

    Hay independencia entre cada

    uego luego lo

    modeI izmos como una binomial:

    Pero dado que w q 11 664>

    9 y

    por

    l

    teorema

    de Moivse-Laplace,

    se podrA realizar m

    aproximacibn de la

    variable

    binomial hsoW la normal Y,on distribucibn:

    N ~ ~ G~(18 '535 ,3 ' 415) ,

    que

    por

    la

    correcci6n

    de

    continuidad

    queda:

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    36/47

    'ICA:

    Ll Heb 2002

    Tarde

    Para con-trolar las especificaciones

    de

    un,

    medicamento de

    nuevo

    disefio,

    se ha seleccionado.

    una muestra de 20

    pildoras

    de

    dicho

    medicamento. Se

    esth

    analizanda la cantidad

    media

    de

    miligramos

    de paracetamol,por pifdora; y

    para

    ello se observa el peso total de esta sustancia

    contenido

    en el cn n jm t o de as

    20

    pildoras de la muestra, resultando s de 9800 mg.

    a

    ReaIizando u conbaste de hip~tesiscon un Emor Tipo

    del

    5 , indique a quC

    I

    conclusiones llega

    sobre la

    espec5caciirn de

    500 rng pox pildora, teniendo en cuenta que

    20

    de

    10s

    dabs de la muestra se sabe

    que:

    2

    x,

    y

    =

    10

    1=1

    b i Q ~ tesponderia a1 apartado anterior si lc infoman que la varianza poblacional es 50?

    c Teniendo en cuenta

    que

    la

    varianza

    poblacional es la

    del

    apartado anterior obtenga

    la

    potencia del contraste

    para

    ma hipbtesis alternativa de 49 mg. A l a vista del

    resultado

    obtenido,

    L ~ U iria sobre el tamaiio de la

    muestra?

    El

    contraste es

    bilateral:

    ..

    Teniendo en cuenta

    que

    la variafiza poblaciond es desconocida y que el tamaiio

    de

    la

    muestra

    es

    inferior

    a

    30

    se utiliza

    el

    estadistico de contraste

    es t:

    La regi6n de aceptacibn

    viene

    dada

    por:

    1 -

    P O

    tg;-I

    3

    Y

    < t : . I

    Lxiego no cumple la

    condicibn

    de la

    re n

    de

    aceptaci611,

    es deck, cae fuera de

    dicha

    re@: 1 7'91

    2 093.

    Por tanto

    s

    rechaza la hipbtesis

    nula

    con u nivel de significaci6n de 0 '05 .

    Con una rnuestra de tamao 20, con

    m a

    probabilidad de error

    no

    superior

    al

    5 ,

    se

    puede

    afimm que

    la

    cantidad

    media

    de

    miligramos

    de paracetamol por pildora

    no es

    500 mg.

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    37/47

    PROBLEMA

    2: ontinuacibn

    Se realiza

    el

    anterior contraste pero

    dado que ahora se

    conace

    la

    varianza

    poblacional el

    estadistico

    de

    contraste

    es :

    La

    reg6 de aceptacibn

    viene

    dada por:

    0 05

    0 025

    2

    Z hD251 96

    Teniendo

    en cuenta que: 1 6 3251 > 196 se

    Ilega

    a lamism

    conclusibn que

    en el apartado

    anterior

    es

    decir de rechazo

    de

    la hipbtesis nula.

    Potencia

    del

    contraste 1

    La

    potencia

    de

    conbaste es uy elevada por

    lo

    que no seria

    necesario

    amentar el t m a f l o

    de la muestra.

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    38/47

     ar

    e

    PROBLEMA 2 5 u u n f o s ~

    Dada la

    variable

    le tori

    bidimensional

    X Y , cuya funci6n densidad

    conjunta

    queda

    definidapor

    donde m

    es el

    recinto

    plmo comprendido

    en el interior de la

    poIigonal

    formada

    por

    1 s

    pmtos

    P O I

    191

    (1,4)

    Se pide:

    a) btenga

    el valor

    de

    k

    b

    a

    funcion densidad de probabilidadde la variable

    aleatoria midimensional

    Y

    c La

    funci6n de distribuci6n de

    la

    variable

    aleatoria

    unidimensionalY.

    d)

    La funci6n de densidad

    de la variable

    condicionada

    a1valor Y-y.

    e) speranzamatedtica de la variable

    y de

    la variable

    x

    Il,l

    y-r

    030)

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    39/47

    UNWERSIIDAD

    P O N T I F I m . D ES-CA

    EN MADRID

    Ll

    De~artamento e

    Eledr6nictr y

    Co-municaciones.

    -

    .

    Tarde

    m

    .

    APEZJ,Zuuh

    r .i.IOMBRE ..

    .

    ----N DEEXPEDENTE:

    -CURSO: 3 GRUPO:

    .-

    PROBLEM

    :

    Continuacibn A

    <

    15

    l j 3 5 y 5 1

    32

    h

    y 4

    0 resto

    C

    r

    J

    O C y 5 1

    15

    60

    0 resto

    D e h o s

    as diferentes zonas

    V (X,~)ER~

    =

    Y y l e n R n =

    y l l

    v x , ~ ) E R ,=

    YyZ l e nR

    =

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    40/47

    UNTVERSlDAD

    ~ON TIFICJA -DE ALAMANCA

    EN MADRID

    -

    De

    artamento

    de

    Electr6nicay Comunicaeiones&~'o

    s --

    APELLDOS

    N O m m :

    NoDE

    EXBEDENTE:

    u 3 GRUPO

    PROBLEMA 3: Continuaci6nB

    e

    Podemos

    calcular l s

    espernnzas

    marginales desde la funci6n densidad de probabifidad

    conjunta bidimensional), o

    a

    pa

    de

    las

    densidades

    marginale

    s

    unidimensionales).

    Dado

    que

    tenemos calculada la

    f.d.p.

    marginal para la Y

    apartado

    b), pero

    no

    para la X

    podemos,

    por ejemplo

    calcular:

    E X ) =

    f x ,

    4-

    x

    v

    desde

    la fdpq

    hidimensiond)

    --m

    E Y)

    =

    y .

    y) r y

    desde

    la

    fdp,

    midimensional

    J x

    Asi,

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    41/47

    JJNTVE RSIDADPONTIFICI DE.SALAMANCA-ENMADRID

    . -.

    :-

    - Departamento

    de Electrbnica

    y Comn-nicaciones

    2ooi o?

    IESTAD~STICA:

    1

    I-Feb-2002 (Tard 1

    APELLIDOSY NOMBRl

    gJkS : 3*

    . - - m o :

    -

    o

    E W E D I E N T E : - -

    PROBLEMA

    4

    (2 5 puntos

    De ma

    poblacibn fueron

    seleccionados deatoriamente 300 individuos,

    de

    10s que 93 eran

    fiunadores.

    a Estime la proporcibn de fumadores de la poblacibn, haciado uso del intervalu de

    confianza del95 .

    b)

    ~Cubtasersonas

    deberiamos

    seleccionar en

    ma

    m u e m para que, con un probabilidad de

    0197R7I valor

    absoluto

    de la diferencia entre las proporciones

    (en tanto

    por

    uno) de

    fumadores

    existentes

    en la

    poblacibn

    y en

    a

    muestra fuera inferior a 0 1?.

    93

    La

    estimaci6npuntual

    que obtenemos de

    la

    rnuestra s p = 0 3 1

    300

    .M ser muestra grande n= 300

    >50),

    podemos tomar el estadistico

    =

    -

    NN )

    p 3

    n

    Asi, eI interval0

    de

    confianza

    solicitado

    es

    I = p

    ?

    s:

    Dado que

    no

    conocernosp (es, de hecha, lo que

    estamos

    estimando),

    lo

    aproximaremos

    por

    su estimzjbn pmtud. De

    modo

    que:

    Dado que no conocemosp,

    lo aproxharemos por su

    estimacibn

    puntu,al.De modo

    que:

    Dado que tenemos

    m a

    muestra de la poblncibn, no

    es necesario

    tomar el caso peor: I p s

    0 25

    , por

    tanto. n o

    lo hemos

    hecho.

    La aproximaci6n

    realizada: p .

    1 -

    =

    p . 1-P

    s mas realista

    por

    tanta

    siempre rn optimists que

    el

    caso

    peor , si bien no diferirb

    mucho

    ambas soluciones, a1 ser

    p 1- = 0;

    1 . 0 69

    = 0 2139 cercano a 0 2 5 .

    En

    cualquier caso, con este presupuesto, tendrimnos:

    10 25

    a) 1

    =

    0 3 1t

    96

    1

    1

    uu

    0 25

    b,

    ~ ~ 2 2 ' 2 9 I311025

    l Z

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    42/47

    Una llamada telefbnic comienza en

    u

    nstante

    aleatorio en el interval0

    0,T).

    f - 4

    Se definela V A X instantede

    comienu de

    l

    llamada ,

    dendo: ~ t ,X r,

    con r 0,

    T Calcde:

    a Funci6n

    de

    distribucibn

    de dicha

    variable.

    b)

    Su

    b c i b n

    densidad

    de

    probabilidad.

    J 4

    Dado que

    la

    V A

    esth

    defmid

    en 0,T

    eberemos distinguir tres zonas de

    la

    variable

    X:

    Por tanto:

    Nota:

    Este problema

    tambien podria

    h berse resuelto si

    se hubiera

    preci do en

    el enunciado

    t -t

    que F ~ ,

    define

    m a variable aleatoriaunifome

    continua.

    T

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    43/47

    epart:

    Clectrbnica

    y Corn

    [EST.

    ICA:

    il-Feb-2002

    Mafiar

    APELLIDOS Y N O ~ R E :

    - NoI33

    WEDIENIT: LUKSJ6

    PRORLEMA 2 (2 5 puntos~

    Seh n medido

    100

    l b inas

    de

    zero

    en

    m a plaata de fabrica, obteniendo

    de

    estas

    medidas

    un

    valor medio de

    0 25

    6 m ,

    un

    valor s2=

    0 0

    1

    Se

    pide:

    a Verifique

    el bum funcionamiento de

    esta f5brica, con un nivel de significacibn

    del 5 ,

    cornprobando

    la

    veracidad

    de la

    afmaci6n del, director

    de la misma,

    que

    segur

    que u

    produccibn tiene

    un grosor medio

    de

    0 25 3mm.

    b) Calcule cuhl es Ia

    potencia

    de la prueba que Vd.

    h

    reaLizndo en a , para m a produccibn

    con

    grosor

    medio

    de

    0 2lmm.

    a

    e

    hata de

    u contraste

    biJated

    para

    la media

    poblacional de

    rrn

    normal de

    la que

    desconocemos su desviacibn tipica.

    El

    contraste

    seplantea:

    A

    ser

    grande la

    muesba n

    = 100

    >

    50), el estadistico de contraste

    = erAN 0,l).

    s/

    =

    se acepta la hip6tesis o

    La ~ ~ h ~ m i c i 6 nel director

    de

    la fgbrica s consjderara

    ciert~,on significa.cibn

    del 5

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    44/47

    D D PONTIFICIA

    BE

    SALAMANCA EN MADRID

    -

    De~artainento

    e

    ElectrBnica

    y

    Comunicaciones

    ~ o b nh

    .

    I

    :

    E G i f E

    11 Feb 2002

    .

    PROBLEM

    :

    ontinuacibn

    Recordado del apxtado anterior,

    Para nuestro caso particular:

    donde 0 0~149 < 0'0' 7

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    45/47

    - lINlVERSID.AD

    PONTIFICM

    DESALMANCAEN

    MADRID

    Dkpartwmcnto

    e

    Electrdnica y

    C~municacianes

    200

    n3

    . -I ESTADIS

    11-Feb-2002

    Mafia

    . APELLZ~OS NWU.

    No

    DE EXPEDENTE: -CURSO:

    3 GRUPO:

    -

    ;

    >

    ma)

    Se

    define la V.A.bidkctensional (X Y ,mediante su

    f.d.p.c.

    que toma valores dist intos de cero

    en

    el

    cuadrado

    delimitads

    por los

    puntos: l ,O) ,

    0,1), -1,O) y 0,-1),

    de

    t l

    forma

    que en las

    zonas

    del

    cuadrado correspondiezrtes

    a1

    segundo

    y

    cuarto cuadrantes, la f.d.p.c. es unifonne de

    valor

    K;

    ientras

    que en el primer y

    tercer

    cuadrantes

    la

    f.d p.c. toma la expresibn: y

    .

    a) CdcuIe

    el

    valor de K.

    b) Obtenga las funciones de densidad margindes.

    c) Compruebcla independencia o

    no

    de u

    variables.

    d)

    Calcde

    la

    covarianza

    entre

    las

    variables.

    e Obtenga la recta de regresi6n de la variable Y obre laX

    f)

    Mediante la recta que minimice el m r

    uadrAtico

    medio, iquk estimacibn ddaa como

    valor de la variable Y ara un valor

    de =

    0 8

    ?

    Por slmetria

    del

    recinto

    y de

    la

    fdpc

    respecto

    de

    la recta =

    , enemos:

    I 1-r O l r

    1

    a lJoy vd.+J-lloQ d r + r r xydydr r

    d y = - + 2 k - k = I

    1 -1-1 0 x-l

    12

    b) Funci6n de densidad marginal de la variable x:

    0 resto

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    46/47

    nento

    Andogamente para

    lavariabley, se obtiene

    c ) No son independientes y

    que no

    se

    cumple la igualdad x, Y =

    f x ) f b ) V X, y

    Utilizando u contraejemplo podemos demostmrlo: evaluando n el

    punto

    (0 8 ,0'6 :

    De igual foma se tiene que a @or s i m e ~ ael recinto y de la fdpc)

    Por

    tmta la covarianza quedrt:

    pl

    =

    1'2635

    ll

    e)

    Teniendo

    en

    cucnta

    que

    la

    expresih

    de la

    recta

    de regresibn es

    p

    Y

    =

    2 0

    x

    ),

    nas

    falta la varianza de la variable x. Pero dado que p = a al ,basta con calcular: a

    1'2635

    Sustituyendo finalmente

    en

    la recta de

    regresibn

    Y=0 1693X

    f

    j

    7'463

    O X=m

  • 8/17/2019 estadistica - 2002__examenes resueltos.pdf

    47/47

    En una

    empresa

    que fabrica

    neumhticos

    para

    vehiculos

    especiales, se obtiene

    una muestra de

    unidades y

    se

    observa que el dihetro

    medio es

    de

    1

    metro. La

    variable

    X qu mide djcho

    dibe t ro

    sigue una

    distribuci6n normal. Sabiendo

    que la varianza mueshal es 0' 1 .

    a Obtengau

    nterval0

    de co&anza d e l 9 8 para la

    varianza

    del diimetro de 1 s

    neumaticos

    fabricados.

    b)

    Obteagaun

    nterval0

    de o ~ ~

    el95

    para

    el

    d ihe t ro rnedio de estos

    neumaticos.

    c

    Se

    quiere tener una

    probabilidad

    0 99

    de que

    el dihetro

    medi

    o en

    la

    poblacibn no

    se

    alej

    e

    del

    dihetro

    medio obtenido

    en

    lamuestra

    en

    rn

    de 1

    centimetros.

    ~ C u h t o s

    e d t i c o s

    necesitariamos

    en

    la muestra?

    SOLUCION

    a

    a

    a? 1-a=OT98

    -=0 '01

    ;

    1 =0199

    2

    2

    22

    --0133=

    0'136

    M= 13 s;=-

    n - 1

    b

    -

    21

    b

    A

    ser

    la variaoza

    de

    la

    poblacibn

    desconocida,

    y

    la muestra

    menor que 30

    e obtiene el

    intervdo con la t-student:

    1-a=O 95

    =. =0'025

    C

    A1

    ser

    u

    nterval0 menor qu n el apartado b con una mayor probabilidad, necesitara

    de m a

    muestra superior, que muy

    posiblemente supere

    30.

    Por

    tanto:

    -

    0'005- a = O P 9

    /:

    Aproximandcl sin interpolar:

    ZWoo, 2 58

    Sustituyendo el valor obtenido en

    tablas,

    y

    despejmdo

    n:

    =

    LxA

    (A1

    ser

    mayor

    de

    30 ratifica la

    apmximacibn

    realirdda