estadc3adstica actuarial no vida1

8/13/2019 Estadc3adstica Actuarial No Vida1

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ESTADSTICA ACTUARIAL NO VIDA


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NDICE

Introduccin

1. Los modelos de probabilidad especficos1.0Conceptos bsicos de estadstica1.1Modelos discretos

Distribucin de BernoulliDistribucin BinomialDistribucin de PoissonDistribuccin Binomial NegativaDistribucin con contagioEjemplos

1.2Modelos continuosDistribucin uniforme

Distribucin Normal

Distribucin log-normal

Distribucin ParetoDistribucin Gamma

Distribucin Beta

Distribucin Exponencial

Ejemplos

1.3Convergencia y teoremas sobre lmites1.4Introduccin a los procesos estocsticos

2. Teora del riesgo y de la ruina2.1Procesos del nmero de siniestros: Proceso de Poisson

2.2Procesos del dao total: procesos compuestos de Poisson2.2.1Teora y ejemplos del clculo de reservas, parmetros, prima y prob. de insolvencia2.3Aproximaciones a la distribucin del dao total

2.3.1Recurrencia de Panjer: ejemplos en Poisson, Bin., Bin.negativa y geomtrica

2.4 Teora de la ruina

3. Inferencia aplicada3.1Mtodos de estimacin3.2Contrastacin no paramtrica(Chi, K-S, S-W)

3.3 Estimacin de los parmetros del riesgo total3.4 Mtodos de aproximacin en la estimacin

4. Simulacin4.1 El mtodo de Montecarlo4.2 Aplicaciones a las distribuciones del Riesgo4.3 Obtencin emprica de la siniestralidad


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INTRODUCCIN

El objetivo de la asignatura es resolver

Donde S representa la cuanta total que debe afrontar una aseguradora como suma de un nmero N desiniestros, de cuanta Xicada uno. Es decir, la suma de cada siniestro nos da el importe total en euros quedeber desembolsar una compaa de seguros. De esta forma existen 2 variables aleatorias:1. El numero N de siniestros2. La cuanta X de cada uno de estos siniestros.

Conceptos bsicos de estadstica:Qu es una variable aleatoria?Es una funcin que transforma la aleatoriedad en un nmero.

Qu es una funcin de distribucin, o funcin de distribucin de probabilidad?Es una funcin que a cada nmero real x le da la probabilidad de que la variable aleatoria tome valoresinferiores o iguales a x. Es decir, representa la probabilidad acumulada de - a .

Qu es una funcin de cuanta o funcin de densidad?Es la probabilidad exacta de que la variable X sea un valor determinado. Para variables discretasse habla defuncin de cuanta y es posible calcularlo, por ejemplo; probabilidad de tener 2 siniestros (N=2). Para lasvariables continuasse habla de funcin de densidad, y es imposible calcular la probabilidad de un valorexacto (dado que es continuo e infinitamente exacto), pero s es posible determinar la probabilidad dentrode un rango, por ejemplo probabilidad de que la cuanta de un siniestro est entre 100 y 110 .

Se obtiene derivando la funcin de distribucin:


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Qu es la esperanza matemtica?Representa el valor medio esperado de una variable aleatoria, y se representa como la suma de cada valor xpor su probabilidad de ocurrencia:

Si es una variable discreta;

Si es una variable continua

Las propiedades de la esperanza,la esperanza de la cartera de Barcelona y Baleares es igual a la suma de la

esperanza de la suma de ambas.la esperanza de una cartera sujeta a una divisa

Qu es la varianza?Es una medida de dispersin, elevada al cuadrado para evitar compensacin de valores por encima y pordebajo de la media, y tambin para magnificar los valores ms alejados.

Las propiedades de la esperanza,

Qu es una funcin generatriz?Es una transformacin que permite condensar en una funcin todos los valores de una secuencia. Es unacuerda de la ropa en la que tendemos una sucesin de nmeros para exhibirla. Y permite hallar lasprobabilidades y momentos de una variable aleatoria.

Qu son los momentos de una variable aleatoria?Son valores que relacionndose permiten estudiar una distribucin, indica su punto medio, su dispersin, suasimetra y su altura.El primer momento es el valor central =El segundo momento es la varianzaEl tercer momento es la asimetra o sesgo.El cuarto momento es la puntiagudez o curtosis.

Propiedades de las funciones de distribucin de probabilidad

Es continua por la derecha y montona no decreciente.

Cuando estamos con variable discretas la funcin de distribucin es del estilo


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Y sucede en distribuciones binomiales, binomiales negativas, bernoulli, Poisson, geomtrica, etc.

Cuando estamos con variables continuas la funcin de distribucin es

Y sucede en las distribuciones normal, ji cuadrado, t student, exponencial, etc.

Qu es la distribucin de Bernoulli?Sirve para sucesos dicotmicos; (sucede / no sucede). Como lanzar una moneda al aire, o vivir/morir. Laprobabilidad de xito es A y tiene una probabilidad p, y la de fracaso es A y tiene una probabilidadcomplementaria 1-p.En esta distribucin la media y varianza de los xitos ser;

Qu es la distribucin binomial?Cuenta el nmero de veces que sucede un xito en una serie de n experimentos con la misma probabilidad p.

siendo

Si x es una variable aleatoria con distribucin binomial, su

Qu es la distribucin binomial negativa?Cuenta el nmero de experimentos necesarios para que suceda el m-simo xito.

Donde,

Qu es la distribucin de Poisson?Se trata de una distribucin que mide el nmero de veces que sucede un fenmeno. Lo que supone es queante un experimento (nmero de accidentes en las carreteras, emisin de fotones de una partcula)tendremos una que ser el nmero de veces que se da el suceso en un intervalo de tiempo (2

accidentes/hora). Su ley de probabilidad es;

Y tiene como media y varianza;


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Debe cumplir que sera posible fraccionar el tiempo hasta unidades temporales donde slo se da 1 suceso, ycon la probabilidad de que sucedan 2 o ms sucesos = 0 en este mnimo intervalo temporal, y que seanindependientes entre estas fracciones mnimas temporales.Cumplido esta condicin, la puede ser un nmero no entero > 0


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TEMA 1. MODELOS DE PROBABILIDAD ESPECFICOS1.0 definicin de probabilidad y conceptos de estadstica

0.La probabilidadLey de los grandes nmeros de Bernouilli: Un experimento aleatorio se caracteriza porque, repetido muchas

veces y en idnticas condiciones, el cociente entre el nmero de veces que aparece un resultado (suceso) y elnmero total de veces que se realiza el experimento tiende a un nmero fijo.

Definicin axiomtica de la probabilidad por Kolgomorov: Consider que esta frecuencia relativa de unsuceso est en relacin directa con su probabilidad de ocurrencia. De forma que se puede extrapolar que,para un solo experimento, la probabilidad de que ocurra el suceso es igual a la frecuencia relativa observadadespus de haber repetido el experimento muchsimas veces.

Adems, la probabilidad del suceso (a) ser complementario a la probabilidad de no-suceso .

Este ltimo se lee como la probabilidad de que suceda a o que no suceda a, es igual al todo.

La probabilidad de que suceda a o b es la suma de probabilidades:

La probabilidad de que suceda a y b es el producto de probabilidades:

La probabilidad de que suceda a condicionado a que haya sucedido b es:

Parmetros estadsticosEl parmetro estadstico es un nmero, obtenido a partir de datos de la poblacin, que resume el conjunto dedatos que contiene una variable aleatoria. Su funcin es crear un modelo de la realidad. Por ejemplo, la mediaaritmtica. Este parmetro se analizar para ver si se ajusta al modelo ideal, se estimar, o se descartar enbusca de parmetros ms fiables.En su acepcin matemticamente ms pura, un parmetro es una variable que define una familia de objetosmatemticos en determinados modelos. Como la distribucin normal con parmetros media y desviacinestandar, N(, ), o en Poisson su parmetro , o la Binomial con n, y p.

Las propiedades de un parmetro estadstico son:1. Que se defina de manera objetiva, sin ambigedades.2. Es capaz de concebir todas las observaciones, sin dejar valores fuera de su marco.


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3. Es interpretable, y tiene un significado claro.4. Es poco sensible a las fluctuaciones muestrales.

Medidas de posicin: Son parmetros que indican los valores en determinados puntos de la distribucin,como medias, modas y mediana respecto la tendencia central, o los cuantiles.Medidas de dispersin: son parmetros que resumen la heterogeneidad de los datos, varianza o desviacinestandar, coeficientes de variacin.

Medidas de forma: dan valores a la asimetra y curtosis de la distribucin.

Los momentosSon una generalizacin de los parmetros estadsticos. Son valores obtenidos a partir de todos los datos deuna variable estadstica y sus frecuencias absolutas, centrados respecto a la media observada. Como yo loentiendo: a partir de unos datos observados en realidad slo se pueden encontrar dos cosas: cul es lamedia, y cul es la dispersin de los datos alrededor de la media.

El momento ordinario de orden kse obtiene como

El momento central de orden kse obtiene como

Demostracin de que la mediaes = momento ordinario de orden 1 y su momento central es = 0.

La interpretacin que yo le doy es que los momentos ordinarios son una medida de los valores observados(potenciados k veces) y los momentos centrales es una relacin entre estas medidas y el centro; la media.Son valores abstractos, pero que combinados ofrecen una perspectiva de la distribucin de la variable.

Demostracin de la varianza; primero es necesario encontrar el momento ordinario de orden 2, y luegocombinarlos en el momento central de orden 2,

Se puede demostrar que

Y, lo que ya se ha dicho, siempre en cada caso es fcil calcular el valor del momento ordinario k como


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La asimetrase obtiene como

La curtosisse obtiene como

Ejemplo:La variable N tiene funcin de distribucin F(x)=

Como la funcin de distribucin son las probabilidades acumuladas, y N es una variable discreta,

P(N=0) 0,5P(N=1) 0,25P(N=2) 0,12P(N=3) 0,08P(N=4) 0,05

Momento ordinario de orden 1, o media,

Para encontrar la varianzaser necesario encontrar el momento ordinario de orden 2,

La asimetra

La curtosis

0 x


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Pleno de retencinImporte a partir del cual los siniestros de una cartera los asume una empresa de reaseguro. Por ejemplo: secontrata un reaseguro con pleno de retencin en 1200 euros. A partir de este importe, los siniestros se losqueda la empresa reasegurado.

FranquiciaImporte por debajo del cual los siniestros los asume otra compaa. Por ejemplo: se contrata una franquiciade 1200 euros. Otra compaa se hace cargo de hasta los 1200, y los importes por encima de 1200 los afrontanuestra aseguradora.

Variable aleatoria mixtaSea X la v.a. prdida de un asegurador, cuando existe un deducible d y un beneficio lmite de M:

Es decir, no existe prdida siempre que el coste del siniestro sea inferior al deducible (p.ej. tienes unsiniestro de 40 pero siempre se deducen 50, por lo que no ests en prdidas).Existen unas prdidas entre el valor mximo deducible (50) y un tope de beneficio lmite, p.ej 100, de formaque si se da precisamente un siniestro de 100, el valor de la prdida ser de 100-50= 50.A partir del valor M, la prdida para el asegurador ser siempre un mximo de M, p.ej., si se da un siniestrode 150, el coste para el asegurador ser 150-50 = 100.

La funcin de distribucin en este caso ser

Es decir, valores negativos de prdida no existen; probabilidad de ocurrencia cero, valores superiores a Mmenos el descuento son el mximo, lo que queda por lo tanto es la distribucin de la probabilidad de costeentre cero y el lmite superior M-d.

La funcin de densidad ser

Donde el lmite inferior es el valor discreto de la probabilidad de que el coste sea = d. El lmite superior es elvalor discreto de que la probabilidad del coste sea = M. Entre ambas, existe una funcin de probabilidadcontinua.


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Transformacin de una variable aleatoria

Ejemplo:Dada la funcin , cul es la transformacin si

a) Y=5+xb) Y=log(x)

1 hay que verificar la monotona de las funciones Y;a)

b)

2 Se invierte la funcin Y; en lugar de Y igual a X, se invierte a X igual a Y;a)

b)

3 Una vez demostrada la monotona e invertida la funcin ya slo queda

a)

b)


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1.1 modelos discretos1.Distribucin de BernoulliEsta distribucin XBe(p)es la base para luego construir la distribucin Binomial. La distribucin deBernoulli es aquella distribucin donde la variable aleatoria slo puede tomar 2 resultados mutuamente

excluyentes; xito (A) o fracaso (A). El espacio muestral W slo est constituido por estas dos posibilidades, donde A tiene una probabilidad de ocurrencia = p, y A tiene una probabilidad q=1-p. Elejemplo clsico es el ensayo de lanzar una moneda al aire: la posibilidad de xito excluye el fracaso; sucedeuno u otro. Y la suma de ambas probabilidades es = 1, no hay espacio para nada ms. La distribucin deBernoulli sirve para encontrar la probabilidad de xito al realizar un ensayo. Volviendo a la generalidad:La funcin de densidad de Bernoulli se resume,Y su funcin de distribucines,

La esperanza matemticaes,

La varianza matemticaes,

Ejemplo:Un comercial coloca un seguro el 30% de las veces que sale a la caza de clientes. Modelizar la variablealeatoria venta segn una distribucin de Bernoulli.Cul ser la probabilidad de vender 1 seguro?

La funcin de densidad ser,

La media o valor esperado ser,

Y la varianza ser,

La probabilidad de que al hacer un intento de venta, consiga vender el seguro ser


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2.Distribucin BinomialSe conoce como XB(n,p), donde n es el nmero de repeticiones del experimento y p es la probabilidad dexito. La distribucin Binomial consiste en la repeticin de n ensayos de Bernoulli independientes y en lasmismas condiciones. Si antes Bernoulli nos daba la probabilidad de xito para un ensayo, ahora la Binomialnos informa de la probabilidad de k xitos al realizarse n ensayos. En cada prueba existe la probabilidad p de

xito (A), y la probabilidad q=1-p de fracaso (A).a) As, A suceder k veces, y A suceder n-k veces, es decir,

b) Todos los sucesos elementales posibles, independientes, son al final y al cabo permutaciones conrepeticin de n elementos de los cuales k son del tipo A, y n-k son A, el nmero de permutaciones es:

Una vez se tiene la probabilidad de que suceda k, y el nmero de permutaciones, ya se puede calcular la

probabilidad de que se den k xitos con n ensayos:

Si no vamos a los extremos, la probabilidad de que en n ensayos no haya ningn xito ser,y la probabilidad de que en n ensayos haya n xitos,

Por ejemplo, tiras una moneda 100 veces y esperas la probabilidad de que no salga ni una cara:

y la probabilidad de que salgan 100 caras,

Ya se puede deducir tambin que la probabilidad de, por ejemplo, un solo xito es

as como la probabilidad de un solo fracaso,

En definitiva, la probabilidad de que sucedan x xitos ser,

Las condiciones de la funcin de distribucin Binomial son1. valores siempre positivos2. la suma de todo debe ser igual a 1.

La segunda condicin se demuestra porque si entonces

Ya que recoge todas las n permutaciones:


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La distribucin Binomial es simtrica cuando las probabilidades de xito y fracaso son iguales (0,5, como altirar la moneda al aire). Si existe una mayor probabilidad de xito (p>0,5) entonces la distribucin esasimtrica y su media se encuentra a la derecha del centro (si es que colocamos un eje de coordenadasbsico con el 0 -fracaso- en origen y el 1 -xito- a la derecha).Si es al revs y existe una mayor probabilidad de fracaso (q>0,5) entonces la asimetra es por la izquierdaporque el mximo de la distribucin se encuentra a la izquierda del centro.

La funcin de distribucin de la Binomiales

Una buena herramienta de cara a aquellas preguntas pueteras del estilo, si la probabilidad de X=k es tal,cul es la probabilidad de X=k+1?, es la relacin entre los coeficientes binomiales de k y k+1para el mismonmero de ensayos, es decir, se puede demostrar que,

Ya que,

Por lo tanto,

La esperanza matemticaser, segn la propiedad de que la esperanza de una suma es la suma deesperanzas;

La varianzaser,

La varianza ser mxima cuando p=q=0,5


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Ejemplo:Un comercial coloca un seguro el 30% de las veces que sale a la caza de clientes. Cul es la probabilidad deque en las 10 prximas visitas realice al menos una venta?

Suponiendo que cada visita se puede considerar como una variable aleatoria de Bernoulli conp=0,3entonces la variable X nmero de ventas en 10 visitas serB(n=10, p=0,3)

Con una funcin de densidad

Entonces, la probabilidad de obtener al menos una venta en las prximas diez visitas ser

3.La distribucin de PoissonLa distribucin de Poisson XP()aparece como lmite de la distribucin Binomial cuando el nmero deensayos es grande ( n > 30) y la probabilidad de xito pequea ( p < 0,1), o bien np > 5. Por extensin deestas dos condiciones, tambin se relaciona con la probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo detiempo o en un espacio determinado; nmero de errores por pgina en una imprenta, nmero de accidentespor da, nmero de estrellas en un volumen de espacio,

Desarrollando la Binomial cuando el lmite tiende a infinito se llegara a la funcin de densidad de la Poisson,

Siempre que,para todo kpositivo

tambin positivose cumplir que f(k)es una funcin de densidad entre 0 y 1. Y la suma de todo f(k)= 1


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k ser el nmero de sucesos que pueden ocurrir sujetos a una probabilidad, y ser el parmetro de ladistribucin de Poisson, que se puede entender como el nmero medio de sucesos por unidad de espacio otiempo. Y se expresa que la variable X sigue una distribucin de Poisson de parmetro lambda;

La esperanza matemtica, coincide con el parmetro lambda

Y la varianzatambin ser,

Otra propiedad de la distribucin de Poisson es que si son variables aleatorias de Poissonindependientes de parametros , se cumplir que la suma de variables sigue una distribucin deparmetro lambda igual a la suma de parmetros.

Ejemplo:Si se tienen una cartera de 10.000 plizas, y el siniestro que cubren sucede 1 vez cada 1000 con un coste porsiniestro de 5000 euros,a)probabilidad de que ocurran menos de 2 siniestros.b)probabilidad que ocurran al menos 3 siniestrosc)esperanza matemtica de la indemnizacina)La variable aleatoria X nmero de siniestros sigue una distribucin Binomial n=10.000 y probabilidad p=0,001. Como n es grande y p pequea, se puede aproximar por la Poisson, donde el parmetro ser = n*p

Por lo tanto es una distribucin de media 10, y varianza 10.

La probabilidad de que X sea inferior a dos ser

b)Mediante complementarios:


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c)La esperanza de la indemnizacin ser,

4.La distribucin Binomial NegativaXBN(n,m,p) Dentro de procesos dicotmicos, se puede tener como objetivo calcular el nmero de

exposiciones al riesgo necesario para que tenga lugar m siniestros.Esto significa que habr sucedido m-1 siniestros durante n-1 veces. Y que exactamente en la exposicinnmero n, sucede el m-simo siniestro.

Ms fcil de ver en ejemplos;Si se sabe que se venden 3 seguros cada 10 intentos de venta, se puede calcular cul es la probabilidad dea) que al cabo de 9 intentos se hayan vendido 2 seguros.b) que al cabo de 10 intentos se hayan vendido 3 seguros.c) que al cabo de 11 intentos se hayan vendido etc.

O por ejemplo, si nos dedicamos a tirar una moneda al aire, cul es la probabilidad de que al dcimo

lanzamiento nos salga la quinta cara. Esto obliga a que en las nueve tiradas anteriores hayan salido 4 caras y5 cruces, y que exactamente en la 10 tirada salga al 5 cara. n=10 y m=5

Por lo tanto, esta probabilidad ser =y como se ve, los exponentes suman las n-1 exposiciones al riesgoy se est aadiendo la probabilidad de quela n-sima exposicin sea el resultado buscado. Se pueden sumar los exponentes y reducir la expresin a

Pero tambin hay que aadirle el nmero de permutacionesde estos xitos y fracasos, esto es: la cantidad deveces que se dan ese nmero de xitos y fracasos pero en cualquier orden. Finalmente, la probabilidad que

estamos buscando ser exactamente una de sas permutaciones de las n-1 exposiciones previas de formaque justamente en la ltima exposicin sucede el ltimo xito:

La expresin de la distribucin Binomial Negativa es: X~BN(m, p)Donde m es el m-simo xito esperado, y p la probabilidad de dicho xito.

La funcin de distribucin ser,

La esperanza matemticaser,


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La varianzaser,

Ejemplo:Si se venden 3 seguros cada 10 intentos de venta, cul es la probabilidad de que en el intento nmero 100 seconsiga la venta nmero 30?

m= 30, el nmero de ventas objetivon= 100, momento en el que se espera obtener esa venta nmero 30.

Existe un 2,6% de probabilidades de que en el intento de venta nmero 100, llegue la 30 venta..

La Binomial Negativa es una alternativa al modelo de Poisson cuando la frecuencia de ocurrencia del sucesono es constante. Suponiendo que una cartera N siga una distribucin de Poisson de media , y que a su vezesta media muestra la variabilidad de la cartera representada con una funcin de densidad continua (por

ejemplo del tipo Gamma, de parmetros y ), entonces la distribucin de accidentes seguir unadistribucin Binomial Negativa para un nmero de sucesos y probabilidad p=1/(1+).

Recurrencia para el clculo de probabilidades en una Binomial NegativaA partir de la Binomial Negativa se pueden llegar a dos distribuciones muy tiles.Por un lado, averiguar la probabilidad de que en m+k exposiciones al riesgo hayan ocurrido exactamente kfracasos

Se puede desarrollar la expresin anterior para llegar a una distribucin an mucho ms interesante:

5.Proceso de Polya-EggenbergerConsiste en una distribucin de probabilidad que tiene en cuenta el efecto de contagio de la ocurrencia. A

medida que sucede el siniestro contagia al resto de exposiciones incrementando su ocurrencia.Se nombra a h como el grado de heterogeneidad de las variables aleatorias, a mayor h, menos efecto

contagio. Y ser el parmetro media.


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donde

y

Por efecto de la recurrencia, se demuestra que


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Ejemplos:1.Cul es la probabilidad de obtener 3 caras si se tira una moneda al aire 5 veces?

Tirar una moneda al aire sigue una distribucin de Bernouille, y cuantificar la probabilidad cuando serealizan n exposiciones sigue una distribucin Binomial, donde la variable aleatoria X es nmero de caras

X~B(n,p)donde n= 5

2.Cul es la probabilidad de una Poisson truncada por la exclusin del valor 0, es decir, omitiendo el valor 0?

3.Se tienen 2000 personas sometidas a un riesgo con probabilidad 0,001. Si existe independencia en laocurrencia del siniestro, qu distribucin de probabilidad le corresponde? cul ser la media y la varianza?

Se define X como la variable aleatoria nmero de siniestros, que sigue una Binomial (n=2000 y p=0,001) Por lo tanto, la variable X sigue una Poisson de parmetro lambda

4.Se tienen 10.000 asegurados sometidos a un riesgo con probabilidad de ocurrencia del 0,005%. Cul es elnmero medio de accidentes? Cul es la probabilidad de tener que afrontar el pago de ms de 3 siniestros?

X se define como la variable aleatoria nmero de accidentes que sigue una Binomial (n=10.000 y

p=0,00005)

El nmero medio de accidentes ser = 0,5

La probabilidad que P(X>3) ser,

5.En una fbrica el nmero de accidentes por semana sigue una Poisson de =2 a)cul es la probabilidad de que en una semana haya algn accidente?b)cul es la probabilidad de que haya 4 accidentes en 2 semanas?


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c)cul es la probabilidad de que haya 2 accidentes en 1 semana y 2 ms la siguiente semana?d)cul es la probabilidad de que en una semana que s ha habido accidentes, no sean ms de 3?Se define X como la variable aleatoria nmero de accidentes por semanaX~P(=2)

a)probabilidad de que haya algn accidente supone el complementario a que no ocurra ninguno:

b)probabilidad de 4 accidentes al cabo de 2 semanas, suponiendo que existe independencia y la cantidad deaccidentes de una semana no afecta al nmero de accidentes de la siguiente, se puede definir ahora X comola suma de accidentes de dos semanas; , y con parmetro igual a la suma de

c)la probabilidad de 2 accidentes una semana y 2 ms la siguiente semana supone una interseccin donde setiene que dar P(X=2) y P(X=2), que es igual a P(X=2)*P(X=2)

d)Es una probabilidad de P(X0),

6.Un broker hace una media de 4 inversiones intradia y cobra 10 euros fijos por operacin como comisin.Cul es la probabilidad de ganar ms de 1000 euros al mes? Suponer que el nmero de inversiones diarias

sigue una distribucin de Poisson y que hay 20 das laborales al mes.Sea X el nmero de operaciones mensuales, que sigue una ley de Poisson de parmetro

Si

Por lo tanto

Una aproximacin sera decir que para llegar a 100 operaciones, si hay 20 das laborales, esto supone 5operaciones al da. Sea ahora X la variable aleatoria nmero de operaciones diarias, que sigue una


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distribucin de Poisson de parmetro =4. Se calcula la probabilidad de que hayan ms de 5 operaciones al

da, a lo largo de 20 das, para conseguir superar la cifra de 1000 euros:

Y ahora, que esto se d durante 20 das supone

7.Un analista de bolsa contabiliza las veces que una accin cae ms de 50 cntimos de euro respecto a la horaanterior. Le sale una media de 0,5 veces a la semana.Cul es el riesgo de que en una semana se produzcanms de 2 cadas? Cul es la probabilidad de que en 3 semanas no haya ni una? Supongamos distribucin dePoisson.

Sea X la variable aleatoria nmero de cadas de 50 cntimos respecto la hora anterior, que sigue una

distribucin de Poisson =0,5

Que no suceda nada durante 3 semanas quiere decir

O lo que es lo mismo, se puede suponer que tenemos una distribucin de Poisson de =0,53=1,5 donde

ahora X es el nmero de cadas cada 3 semanas.

8.Un actuario ha analizado unos datos de siniestralidad y concluye que la probabilidad de que un mismoasegurado tenga dos siniestros en un ao es cuatro veces la probabilidad de que tenga un siniestro en unao. Sabiendo que el nmero de siniestros que sufre un asegurado en un ao sigue una distribucin de

Poisson. Determinad:a)El nmero esperado de siniestros que sufre el asegurado en un ao segn la hiptesis de Poisson.b)La probabilidad de que un asegurado tenga ms de 3 accidentes en un ao.c)Si la ocurrencia de siniestros en un ao y el siguiente es independiente. Cal es la probabilidad de que unasegurado tenga al menos un accidente en dos aos?

a)Sea X la variable aleatoria nmero de siniestros en un ao, que sigue una distribucin de Poisson . Si,


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b)

c)Se puede plantear como la probabilidad de que un ao no haya suceso y al ao siguiente haya un suceso.

Pero es ms correcto decir que Xes la variable aleatoria nmero de siniestros cada 2 aos, que sigue unadistribucin de Poisson de parmetro =82=16

9.Una entidad ofrece a sus clientes preferentes (un total de 5000 clientes) una tarjeta de crdito. Laprobabilidad de que se realice un uso fraudulento de la tarjeta es de un 0.003% al mes. En una operacinfraudulenta, la prdida se considera fija e igual a 1350 euros.a)Calculad la probabilidad de que no se produzca ningn uso fraudulento de la tarjeta durante un mes.b)El coste anual por tarjeta emitida que tendr una cobertura por uso fraudulento (coste esperado anual).Se supone independencia entre un mes y el siguiente.

Sea X la variable aleatoria uso fraudulento de la tarjeta al mes. Que por tener una muestra grande y una

probabilidad de ocurrencia pequea, sigue una distribucin de Poisson de parmetro =50000,00003=0.15

a)Probabilidad de no suceso

b)Coste de la cobertura anual del uso fraudulento

que es la media de usos fraudulentos al ao. Si se multiplica por el valor de la operacin fraudulenta,

y si ahora se reparte entre la poblacin de 5000 targetas,

0,49 cntimos por tarjeta cubriran el valor del uso fraudulento anual.


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1.2 modelos continuos

1Distribucin uniformeToda variable aleatoria se puede relacionar con una distribucin uniforme en el intervalo (0,1). Supone que

la funcin de intensidad de probabilidad es constante, con lo cual la probabilidad de ocurrencia es constanteindependientemente de la cantidad de exposiciones al riesgo. Su funcin de densidad es,

Para todo el intervalo (a,b) de distribucin uniforme. Y cumple que,

La funcin de distribucin dentro del intervalo ser,

La esperanza matemtica ser,

Y la varianza,

Ejemplo:El tiempo que una ambulancia tarda en acudir al lugar del accidente sigue una distribucin uniforme entre 0y 10 minutos. Cul es la probabilidad de que tarde ms de 3 minutos? Cul es el tiempo medio de espera?

X es la variable aleatoria tiempo de espera que sigue una distribucin U(0;10)

otro ejemplo:El coste de los siniestros se distribuye uniformemente entre 0 y 10.000a) cul es la media?b) cul es la media si se establece una franquicia de 1000?c) cul es la media si se establece un lmite de 9000?d) cul es la media si b+c?


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a)

b)

c)

d)


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2.La distribucin NormalSi se tiene n variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas, por el Teorema Central delLmite, cuando n tiende a infinito entonces X sigue una distribucin Normal. Tambin surge en otros casoscuando los sumandos son dependientes entre s. La caracterstica fundamental es que en la distribucinNormal la media, mediana y moda coinciden, y separa en dos lados perfectamente simtricos la distribucin,

adems es el punto donde la densidad de probabilidad es mxima. Esta simetra supone que la densidad dela probabilidad se puede medir en trminos de mediadesviacin estandar. Su funcin de densidad es,

Y si X es una variable aleatoria que sigue una distribucin Normal de media y varianza , se expresar,X~N(, )

o expresado en desviacin estandar, X~N(, )

Dos distribuciones Normales de igual varianza y media tendrn un dibujo,

Dos distribuciones Normales de igual media y varianza < tendrn un dibujo,

Si X~N(, ) y a0 es una constante, la variable aleatoria Y del tipoY=aX+btambin ser una distribucin Normal N(a+b,a)

Si y entonces la variable aleatoria tendr una distribucin

La funcin de distribucin ser,


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Y para cualquier media y varianza se cumplir que la proporcin de probabilidad acumulada dentro de losintervalos entre la media y n veces la varianza es constante, = 0,6826 1,64 = 0,9 1,96 = 0,95 2 = 0,9544 2,58 = 0,99

3 = 0,9972

Distribucin Normal estandarizadaConsiste en una distribucin Normal con media 0 y varianza = 1. Esto permite para cualquier distribucincon media y varianza particular estandarizarlo a N(0, 1). Para transformar la variable aleatoria particular X auna variable aleatoria estandarizada Z, donde las tablas de la normal indican cul es la probabilidadacumulada para cualquier valor de Z, que se obtiene

Ejemplo:La distribucin del resultado tcnico (en miles ) de una cartera de seguros sigue una distribucin Normal

con parmetros =0 y =30a) cul es la probabilidad de obtener resultados negativos?b) cul es la probabilidad de obtener beneficio entre 10 y 15?c) cul es la probabilidad de un beneficio superior a 30?

Sea X la variable aleatoria resultado tcnico en miles de euros, con distribucinX~N(0, 30)

La probabilidad de obtener resultados negativos ser,

si se estandariza dar el mismo resultado,

b)

c)


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3.La distribucin logartmico-NormalEs una de las distribuciones ms usadas para ajustar datos en relacin al coste de un siniestro. Por efecto dellogaritmo, se da ms importancia a los valores grandes y no presenta una distribucin simtrica: lapendiente a la derecha de la media es ms suave. Esto permite una mayor densidad de probabilidad a laderecha, y por lo tanto es ms fcil encontrar valores extremos por la derecha: es ms pesimista.

Para valores medios o altos de la varianza, respecto a la funcin de distribucin Normal, la asimetra tiende aser ms pronunciada. Y por el contrario, cuando la varianza de la lgN tiende a cero, ms simtrica es ladistribucin hasta el lmite de superponerse a la distribucin normal.Una variable aleatoria X sigue una distribucin lgN si el logaritmo neperiano de X se distribuye como unanormal.

Tambin se puede estandarizar, de forma que,

Si se opera en esta expresin se puede despejar X en funcin del valor Z de la normal estandarizada:

Su funcin de distribucinser,

Su esperanza matemticaser,

Y su varianzaser,

Ejemplo:Un siniestro tiene para su cuanta una funcin de distribucin lgN(=7, =1,5)a) cul es la probabilidad de tener un siniestro de cuanta inferior a 200?b) cul es la probabilidad de tener un siniestro de cuanta superior a 1000?

Sea X la variable aleatoria cuanta del siniestro

X~ln(7, 15)


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4.La distribucin de ParetoEs una distribucin muy til en el clculo de la probabilidad de que se produzca una prdida grande. Si ladistribucin lgN muestra ms densidad de probabilidad en el extremo de la derecha que la distribucinNormal, la distribucin de Pareto todava converge a cero ms lentamente que la propia lgN. Por este motivose usa para determinar las primas de un reaseguro en los tramos de grandes siniestros.

El primer paso es considerar la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor superior a undeterminado x. Siendo x>k y >0

Su funcin de distribucin ser,

Su funcin de densidad es, para todo x>k

y f(x)=0 para xk

Su esperanza matemtica es,

Su varianza es,

La distribucin de Pareto suele utilizarse junto con otra distribucin. Para modelizar la distribucin de unavariable aleatoria X se usa una distribucin de las anteriores hasta un cierto valor k crtico, a partir del cualentra en funcionamiento la distribucin de Pareto con su particular lentitud en converger a cero por laderecha.

El parmetro k es la altura inicial de la funcin de distribucin, y el parmetro es el responsable de la

suavidad con que la funcin tiende a cero. Cuando menor sea el parmetro ms suavidadmslentitud en converger a ceromayor densidad de probabilidades ms probable que ocurra un siniestrode elevada cuanta.

Ejemplo:La distribucin del coste de un siniestro de una cartera de seguros, sigue una distribucin de pareto deparmetros =2 y k=300, cul esla proporcin de siniestros que exceden los 600? cul es el coste medio?

Sea X la variable aleatoria coste del siniestro,

Un 25% de los siniestros exceden los 600 u.m.


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5.La distribucin GammaEs otra distribucin muy til cuando se dispone de un conjunto de datos positivos, con una sola moda, y deasimetra positiva; la mayora de los sucesos se concentran a la izquierda de la media. Esto se correspondecon distribuciones donde se dan muchos sucesos de poca cuanta y pocos sucesos de ms cuanta. Tambinse usa para modelizar el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso.

Ejemplo: en un estudio de la guardia urbana de Barcelona se toma una distribucin gamma para modelizar elnmero de vctimas en accidentes de trfico. Como es ms habitual la proporcin de 1 ocupante por

vehculo, y es ms rara la probabilidad de 4 5 ocupantes por vehculo siniestrado, se crea una distribucingamma para modelizar el nmero de vctimas por accidente de trfico. El 38% de la distribucin lo acumulala proporcin 1 accidentado por accidente, el 36% 2:1, 16% la 3:1, 6% el 4:1 y finalmente un 3% para 5:1

La funcin de densidad es

donde x>0 y h, son parmetros positivos.

Se demuestra que f(x) es una funcin de densidad porque para f(x)0

La funcin caracterstica es,

La esperanza matemtica ser,


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La varianza ser,

donde

6.La distribucin betaEs una distribucin para modelizar variables que representan proporciones. Su funcin de densidadincopora la funcin gamma (x),

Su esperanza es,

y su varianza,

Ejemplo:La proporcin de plizas de hogar que durante el ao tienen algn siniestro sigue una distribucin Beta convalor esperado 0,375 y varianza 0,1302. Cul es la probabilidad de que la proporcin de hogares con algnsiniestro sea como mximo del 45%? cul es la probabilidad de que la proporcin de hogares con algn

siniestro sea como mnimo del 75%?

Sabiendo que

se encuentra quep=0,3y q=0,5

P(X0,45)= 0,6138

P(X0,75)= 1-P(X0,75)= 0,2343


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7.La distribucin exponencialLa distribucin exponencial se aplica en fiabilidad de sistemas, en variables que representan tiempo de vidade componentes con pequeo desgaste. Tiene dos parmetros, y . Es un caso especial de ley gammacuando =0 y =1. Se puede interpretar como tiempo transcurrido hasta la presencia de un acontecimiento.

Su funcin de densidad es

y si suponemos que =0 y que =1/, entonces

Su funcin de distribucin es

Y su esperanza es

y su varianza,

Ejemplo:

El tiempo que un paciente tarda en ser atendido en un centro de salud sigue una distribucin exponencial demedia 10 minutos. Cul es la probabilidad de que un paciente tarde ms de 20 minutos en ser atendido?

Sea X la variable aleatoria tiempo de ser atendido. Si la media son 10 minutos, entonces

Entonces,


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Ejemplos:1.Un asegurador ha observado que en una de sus carteras en promedio tiene 5 siniestros anuales superiores alos 3 millones de Euros. Los datos de los ltimos 10 siniestros que superan esta magnitud son:

{3,2 ; 4 ; 5 ; 4,5 ; 3,1 ; 3,8 ; 7 ; 3,2 ; 3,4 ; 4 }Suponiendo que la variable aleatoria "Coste del siniestro en millones de Euros" sigue una distribucin de

Pareto, calculad:1. Probabilidad de tener un siniestro que cueste ms de 20 millones de Euros.2.Cada cuantos aos se espera un siniestro de ms de 20 millones de Euros?3. Si la cartera est formada por 200.000 plizas que se renuevas anualmente, cunto cuesta por pliza elreaseguro de los siniestros de ms de 20 millones?

Primero se encuentra la media y la varianza muestral de los 10 siniestros:

Se establece el parmetro k=3

A partir de la muestra, se puede suponer que

La probabilidad de tener un siniestro superior a 20 millones es de 0,093%

Esta probabilidad prxima a 0,01% supone que uno de cada mil siniestros supera los 20 millones de euros.Si cada ao hay cinco siniestros; mil siniestros dividido por 5 siniestros al ao da 200 aos para que sucedaun siniestro superior a 20 millones.

Sea ahora X la variable aleatoria valor esperado de los siniestros superiores a20 millones.

Lo que se ha hecho es plantear ahora k=20 y suponer que el parmetro sigue siendo = 3,68

Como que hay 5 siniestros al ao,

0,1279 millones de euros es el coste esperado anual. Si se tienen 200.000 plizas,


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El precio de la cobertura del reaseguro anual de los siniestros de un importe mayor de 20 millones de euroses de 64 cntimos de euro para cada una de las 200.000 plizas.

2.El coste de un siniestro sigue un a distribucin normal de media 1 milln de euros, con una desviacinestndar de 300.000 euros. Si los siniestros son independientes y se producen 5 siniestros. Nota dejadindicado el clcullo de la funcin de distribucin de una normal estndarda)Calculad la probabilidad de que el coste total supere los 7 millones de euros.b)Calculad la probabilidad de que ningn siniestro sea superior a 1 milln de euros.Sea X la variable aleatoria coste total de un siniestro, que sigue una ley Normal de media =1 milln y

desviacin estandar =300.000.a)que 5 siniestros superen en total los 7 millones supone 1,4 millones por siniestro;

Tambin,Sea X la variable aleatoria coste del siniestro ~N(1;0,3), y si los siniestros son independientes entonces

y as

b)La probabilidad de que ninguno de los 5 siniestros supere el coste de 1 milln, es

3.El nmero de tramitaciones de siniestros que realiza la central de una entidad en un da oscila

uniformemente entre 60 y 120. Si los das son independientes entre s, calculad la probabilidad de que encinco das se superen las 500 tramitaciones.

Sea X la variable aleatoria nmero de tramitaciones al da, X~U(60,120), si renombramos X como

variable aleatoria nmero de tramitaciones en 5 das, ser X~U(560, 5120) = X~U(300, 600).

y ahora, si la funcin de densidad de una distribucin uniforme es

y la funcin de distribucin es


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4.Un conjunto de plizas tienen dos tipos de coberturas. Para cada una de ellas el coste del siniestro sigue unadistribucin log-normal de media = 1; = 2 y desviacin estndard = 1, = 2 respectivamente.Suponiendo que los dos costes son independientes.a) Hallad que distribucin sigue el producto de los dos costes.b) Escribid el valor esperado del producto de los dos costes.

Sea la variable aleatoria coste del siniestro, y su logaritmo sigue una distribucinSea la variable aleatoria coste del siniestro, y su logaritmo sigue una distribucin

Entonces el producto de los dos costes serque seguir una distribucin

b) el valor esperado ser


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1.3 Convergencia de sucesiones de variable aleatoria1.Sucesin de variable aleatoriaSi una sucesin de nmeros reales es una funcin que genera una lista ilimitada de nmeros; sucesinconstante (2,2,2,2,2), la sucesin de nmeros naturales (1,2,3,4,5,), sucesiones recurrentes como la de

Fibonacci (1,1,2,3,5,), o progresiones aritmticas o geomtricas Entonces una sucesin de variablealetoria es una funcin que genera una lista ilimitada de nmeros inciertos, debido a que cada nmero esuna variable aleatoria. Se reconoce como

Convergencia en probabilidadUna sucesin converge en probabilidad a la variable aleatoria X si cuando al llevar la sucesin al lmitela probabilidad de que la diferencia entre y X sea mayor que un error es igual a cero.

Esta convergencia en probabilidad de a X se escribe

Propiedades:

1. Si y se tiene que g(x) es una funcin continua, entonces

2. Si y y g(x,y) es una funcin continua, entonces

3. Se cumple tambin que

2.Teorema de BernoulliSea una variable aleatoria con distribucin Binomial B(n,p). Si tenemos otra variable aleatoria tal que

Su funcin de densidad ser

Siendo la frecuencia relativa de la presencia de un suceso de probabilidad p en n pruebas independientes:


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La frecuencia relativa converge en probabilidad p cuando el nmero n tiende a infinito.

Conclusin: Dado un suceso de probabilidad p, cuando n tiende a infinito la frecuencia relativa se aproxima ap.

3.Teorema de PoissonEs una generalizacin del teorema anterior de Bernoulli, que tambin dice que la frecuencia relativaconverge en probabilidad a p. Sea A un suceso y consideremos n experiencias independientes, cada una deellas asociada a un espacio de probabilidades que no son necesariamente iguales, con como lasprobabilidades de A en cada uno de estos espacios. Entonces

Cuando el nmero de experiencias tiende a infinito, la frecuencia relativa verifica que

4.Ley de los grandes nmerosLa media muestral de n observaciones independientes de una variable aleatoria, tiende a m cuando crece n.Si tenemos una sucesin de n observaciones de una variable aleatoria, y consideramos que

Entonces

5.Convergencia en la distribucinEs la forma ms dbil en convergencia. La sucesin converge en ley o en distribucin a la variable X defuncin de distribucin F(x) si

Si es una binomial B(n,p) con n que tiende a infinito y p muy pequea, y np= entonces

donde X es una distribucin de Poisson de parmetro


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6.Convergencia en probabilidadSupone que la probabilidad de encontrar un resultado inusual se vuelve ms y ms pequea cuando lasecuencia avanza. Un estimador ser consistente si converge en probabilidad a la cantidad que estima. Es laconvergencia que establece la ley dbil de los grandes nmeros

7.Convergencia casi seguraSupone que la secuencia converge casi seguro, en casi todas partes, con probabilidad de 1 hacia X. Implica laconvergencia en probabilidad, y por lo tanto tambin la convergencia en la distribucin. La convergencia casisegura es la que establece la ley fuerte de los grandes nmeros.

Teorema de Laplace-de Moivre:

Si es una binomial B(n,p) con n que tiende a infinito y p constante, y entonces

Teorema central del lmite:Si una sucesin de variables aleatorias independientes, con esperanza y varianza finitas, se verifica que

Es decir, la variable aleatoria suma de variables aleatorias secomporta como una distribucin normal.

El problema que se plantea es: cmo de grande debe ser n para que este lmite se cumpla?

Ley dbil de los grandes nmeros: Asegura que en muchas situaciones la media aritmtica de n variablesaleatorias converge en probabilidad hacia E( ): La convergencia cuando converge enprobabilidad a cero.

Ley fuerte de los grandes nmeros: La convergencia cuando converge a cero.

Es decir, la ley dbil nos dice que el promedio de las observaciones es muy probablemente casi igual que elvalor esperado. La ley fuerte nos dice que la convergencia de los valores observados al valor esperado es casisegura. El detalle es que se pasa de una convergencia de probabilidad, a una convergencia casi segura.

8.Ley de Kolmogorov de los grandes nmerosSi las variables aleatorias de la sucesin son independientes, igualmente distribuidas, de varianza comn,entonces

9.Teorema de MoivreSea con y donde p=q=0,5Es decir, el experimento de lanzar una moneda al aire.


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Cuando n sucede que la variable converge en distribucin a una N(0,1), con lo cual la variable tiene

una distribucin N(np, )


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1.4 Introduccin a los procesos estocsticosCualquier estudio de una variable aleatoria a lo largo de un plazo temporal o espacial es un procesoestocstico. El estudio pretende modelizar tericamente una variable aleatoria para poder hacerpredicciones del comportamiento futuro de un proceso.

Se identifica un proceso estocstico con una sucesin de variable aleatoria . Normalmente la t

hace referencia al momento temporal, y X a la variable aleatoria. De forma que ser el valor de la variablealeatoria en un momento temporal. Por ejemplo; nmero de palabras escritas el ltimo minuto. Estosprocesos pueden ser sobre variables aleatorias independientes, o llegar a una gran complejidad si se aplicana variables aleatorias no independientes, como los procesos estocsticos de cadena de Markov; el ltimoevento condiciona la probabilidad de eventos futuros.

Un proceso estocstico markoviano es tal que la distribucin de slo depende de la distribucin de yno de los otros anteriores.


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TEMA 2. TEORA DEL RIESGO Y DE LA RUINA2.1 Proceso del nmero de siniestros. Proceso de Poisson.

Un proceso de Poisson es aquel que1. El nmero de sucesos que se producen en un intervalo de tiempo es una variable aleatoria, independiente

de los que se produzcan en otro intervalo de tiempo: los sucesos se dan de forma independiente.2. La probabilidad de que en un intervalo de amplitud infinitesimal ocurra un nico suceso es t, siendolambda constante.3. La probabilidad de que en una amplitud infinitesimal se produzca ms de un suceso es despreciable.

Dicho de otra forma, un proceso de Poisson cuenta los eventos raros que suceden a lo largo del tiempo.

Se demuestra que la probabilidad de que en el espacio t sucedan x siniestros es una Poisson de parmetro t

Distribuciones mixtas de PoissonSi para una Poisson se cumple que tiene valor esperado y varianza iguales a , en la realidad sucede que no

siempre coinciden E(X) y V(X): algunas veces la varianza es superior a la media. Adems, no concurre lahiptesis de independencia, y el acaecimiento de un siniestro aumenta la probabilidad de los siguientes:sucede contagio.

Lo que se plantea es una distribucin de Poisson donde el propio parmetro es a su vez una variablealeatoria compuesta por una constante y una variable aleatoria que recoge la heterogeneidad de la cartera:

Ahora la media ser

y la varianza ser

Ejemplo:El nmero medio anual de siniestros por pliza no es constante, sino una variable aleatoria que puede tomar

3 valores diferentes sujetos a una probabilidad de ocurrencia:

0,4 0,1

0,8 0,8

1,2 0,1

El valor esperado de ser

Las variaciones de se considera que estn producidas por la variable , de forma que


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de forma que para cada escenario se puede despejar el valor de la variable

k

0,4 0,8 0,5 0,1

0,8 0,8 1 0,8

1,2 0,8 1,5 0,1

Los momentos de segundo orden son,


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2.2 Procesos de Dao Total. Proceso compuesto de Poisson.El dao total es un proceso compuesto en tanto que est formado por la variable aleatoria nmero desiniestros y la tambin variable aleatoria cuanta del siniestro. En un principio, y por restricciones tcnicas,los primeros estudios de seguros simplificaban la realidad suponiendo que el valor de n de siniestros ycuanta tenan valor igual al valor esperado (la media de observaciones anteriores).

De Moivre demostr que si una empresa aseguradora simplifica las variables aleatorias de su cartera por losvalores medios, la probabilidad de ruina es elevadsima. Es necesario incluir un margen adicional; unrecargo de seguridad, para englobar las fluctuaciones aleatorias. En la teora del riesgo se estudia o analizalas fluctuaciones aleatorias que se producen sobre la siniestralidad, con el objetivo de saber qu reservas hayque tener, que retencin vamos a asumir (reaseguro) y el nivel de riesgo aceptado en la cartera.

Los fondos del asegurador sern ingresos menos pagos:

Ejemplo:Si una empresa tiene 1000 plizas, donde con un 10% de probabilidades suceden siniestros de media 100euros, el valor esperado de coste total ser = 10000,1100 = 10.000 euros.

Si la desviacin tpica es de 30, significa que la desviacin tpica de la cartera es =

Se puede estandarizar a una distribucin normal N(0,1) haciendo que

cul es la probabilidad de que el coste sea superior a 11.500 euros?

Cartera con importe de siniestro constanteSupone que todos los siniestros son del mismo importe, X, y que el nmero total de siniestros de la carterasigue una distribucin de media n. Si k es el nmero total de plizas de cartera y q la probabilidad deocurrencia, entonces

Entonces,

Si n es mayor de 10, entonces se puede utilizar la aproximacin normal a la distribucin de Poisson:

Siendo X el importe de cada siniestro, k el nmero total de plizas, y N el nmero de plizas siniestradas deun conjunto n, y adems es el recargo de seguridad, las reservas del asegurador a final de ao deberan

ser


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Si se estandariza a la normal (0,1) se puede escribir una funcin con el valor del error asumible, es decir,valor de la reserva sujeto a una Z que garantiza una solvencia en el 99% de los casos, por ejemplo:

o lo mismo pero expresado dede el valor de la reserva:

Ejemplo:Una cartera de 1000 plizas, con un capital asegurado por pliza de 500 euros. La frecuencia es de 0,01, elrecargo de seguridad es de =0,1. Cul es la reserva para tener una solvencia en el 99% de los casos?

Qu tamao debe tener la cartera para que no sea precisa reserva inicial?

Si K es el nmero total de plizas, y n=K y sabemos que

Cartera con un importe de siniestros variableEvitamos la restriccin anterior de que todos los siniestros son del mismo importe. N sigue siendo el nmerototal de siniestros de un conjunto de n plizas, pero ahora cada siniestro es de un importe .La variable aleatoria coste total (C) es ahora

Que antes se reduca a C=NX gracias a la restriccin de que todos los importes son iguales.

El nmero esperado de siniestros sigue siento n=kq y su distribucin es

y se supone que cada siniestro tiene su media = m y momento de segundo orden . Se deduce que

Es decir, el coste total esperado es el total de polizas siniestradas por su valor esperado. Tambin

Si las reservas libres a comienzo del ao son , y el total de primas devengadas es

Incluyendo tambin un recargo de seguridad, y el coste total a afrontar, las reservas a final del ejerciciosern:


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Las reservas libres sern, para cada caso,

donde tambin kq=n

Ejemplo 3:Si una aseguradora quiere tener unas reservas de 12000, para una cartera que sigue una Poisson deparmetro =0,05, con parmetros m=967,4 y , condicionados a una solvencia del 99%( ), y la probabilidad del siniestro es q=0,035 cul debe ser el tamao de la cartera?

Nos preguntan por el valor de k. El primer paso es encontrar el nmero de plizas siniestradas = n

Ya que

Ser necesario tener o menos de 837 plizas contratadas, o ms de 60117, para disponer de unas reservasde 12000.

Ejemplo 4:Cul debe ser la prima de riesgo de un seguro si la cuanta media de los siniestros es de m=412,9, y laprobabilidad de ocurrencia es de q=0,035?

Eleccin del tipo de distribucinSi existe un nmero mximo de sucesos posibles entonces la mejor opcin es la distribucin Binomial.Cuando no existe techo o n tiende a infinito se usa Poisson, ya que formalmente la Binomial tiende a laPoisson.La Binomial Negativa se usa cuando media y varianza son distintas, y es la primera que se usa antes queotras distribuciones ms complejas.


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2.3 Aproximaciones a la distribucin del dao totalSea S el coste total o dao total que hace frente una compaa de seguros de forma anual. Ser fundamentalpoder calcular la probabilidad de que P(Ss), es decir; la probabilidad de que el dao total S sea inferior a un

importe s. O bien encontrar la probabilidad complementaria; la probabilidad de que el dao total exceda deun determinado importe. Una forma de aproximar el valor de S es hacer la suma de las cuantas de cada

siniestro ocurrido; es el modelo de riesgo individual. Otra aproximacin es la del riesgo colectivo; donde setrata el nmero de siniestros y la cuanta de cada uno como variables aleatorias. Esto ltimo es lo que acabasucediendo, en tanto es dificil conocer en cada momento los datos reales.

1.Recurrencia de PanjerSe demuestra que cuando estamos en el modelo de riesgo colectivo, si las variables aleatorias cumplen unaserie de condiciones, la frmula de Panjer expresa con gran exactitud la distribucin de probabilidad de queel dao total S sea menor o mayor a una cuanta s.

Si N es la variable aleatoria nmero total de siniestros, entonces ser una variable discreta (porque nosucede medio accidente). Para que la frmula de Panjer funcione, deben cumplir que la probabilidad

sea de la clase (a,b;0), es decir, que dependa de dos constantes, a y b, de forma que

Por ejemplo, la probabilidad de que la cantidad de siniestros totales sea = 1, es decir (N=1), ser

Resulta que slo las distribuciones de Poisson, Binomial, Bin. negativa y geomtrica, pertenecen a esta clase,y se cumplen cuando:

N es una binomial de parmetros (n,p); N~B(n,p) y las constantes son

N es una Poisson, N~P(),

N es una binomial negativa, N~BN(, p)

Si se despeja la frmula de la probabilidad de forma que;

se tiene la frmula de una recta, Y=aX+b donde a es la pendiente de la recta. Si sabemos que Poisson no

tiene pendiente, que la Binomial es de pendiente negativa, y que Binomial Negativa y geomtrica son de

pendiente positiva, un grfico de nos dar una pista de cul es la funcin de distribucin que mejor se

ajusta a las frecuencias observadas.


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La frmula de recurrencia de Panjer es laboriosa, pero la mejor de las peores, y supone que f(x) ser lafuncin de densidad de la variable aleatoria S, discreta, asociada a la cantidad de reclamacin.

Y para cada distribucin, f x) ser:Para la distribucin de Poisson;

Para la distribucin Binomial;

Para la distribucin Binomial Negativa;

Y para la distribucin Geomtrica;

Ejemplo de Panjer aplicado a una Poisson:Si el nmero total de siniestros N sigue una Poisson de parmetro =5, y con , cul esla probabilidad de que S>3?

Como estamos en una Poisson, a=0, y b==5

Aplicando Panjer, para los valores positivos de x tendremos que;

Y ahora hay que aplicar la recurrencia;

la probabilidad de no tener ningn siniestro,

la probabilidad de tener 1 siniestro,

la probabilidad de tener 2 siniestros,


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Por lo tanto,

Ejemplo de Panjer aplicado a una Binomial:Si el nmero total de siniestros N sigue una Binomial de parmetros N=100 y =0,05, y con

, cul es la probabilidad de que S>3?

Las constantes sern

Aplicando Panjer, para los valores positivos de x se tiene que






Y finalmente,

Ejemplo de Panjer aplicado a una Binomial Negativa:Si el nmero total de siniestros N sigue una Binomial de parmetros r=5 y =0,3, y con



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Las constantes sern







Y finalmente,

Ejemplo de Panjer aplicado a una geomtrica:Si el nmero total de siniestros N sigue una geomtrica de parmetros =0,1, r=1, y con


Las constantes sern







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Y finalmente,

2Aproximacin al dao total por una distribucin NormalComo el mtodo recursivo de Panjer se demuestra limitado, se han desarrollado mtodos de clculo paraaproximar la distribucin de la cantidad total (S) independientemente de la distribucin N. As no nospreocupamos de si la funcin de probabilidad de N es de la clase (a,b;0) o no.

Las aproximaciones ms utilizadas son la Normal, Normal-power, log-normal, Gamma, Edgeworth y Esscher.Ser necesario tener los datos empricos de la variable aleatoria S, y de no tenerlos habr que encontrar losmomentos del coste total a partir de los momentos de N y X (variable aleatoria nmero de siniestros ycuanta de cada siniestro, respectivamente).

El mtodo de la aproximacin por la distribucin normal consiste en plantear que la funcin de distribucindel dao total,

sigue una distribucin normal con la misma media y varianza que S, tal que

y que como cualquier normal se puede tipificar, siendo la funcin de la normal tipificada;

Se justifica la aproximacin normal por el teorema central del lmite, puesto que N es una funcin devariables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas.

El problema que presenta es el supuesto de simetra propia de la normal, algo muy difcil de defender en larealidad ante la mayora de carteras de plizas.

Aproximacin al dao total por una distribucin GammaLa distribucin gamma se usa cuando la variable aleatoria S tiene un poco de asimetra (un poco, no mucho),o cuando el parmetro de la Poisson es grande.

Aproximacin de EdgeworthPrimero es necesario estandarizar la variable, para dejar la media=0 y la varianza=1. Da muy buenosresultados entorno al valor medio, pero funciona muy mal en los extremos.


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Aproximacin de EsscherEs la que presenta mejores resultados dentro de la teora del riesgo. Es la utilizada para modelizar losseguros de coches con bonus-malus

Aproximacin de Normal-powerSe estandariza la variable en una variable simtrica. No funciona en colectivos reducidos. En todo caso suutilidad es demostrar cun mala es la distribucin normal.


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TEMA 3. INFERENCIA APLICADA3.1 Mtodos de estimacin

1Introduccin a la estimacin puntualCuando se estudia un fenmeno aleatorio puede suceder que, o bien se desconoce el modelo de probabilidadal que se ajusta la variable aleatoria que estamos estudiando; inferencia no paramtrica, o bien conocemos elmodelo de probabilidad pero se desconocen los parmetros que la definen; inferencia paramtrica.

La estimacin puntual forma parte de la inferencia paramtrica, y consiste en usar la informacin de lamuestra para determinar el valor de los parmetros que, supuestamente, tiene la distribucin deprobabilidad de la poblacin.

Espacio paramtrico: el conjunto de todos los valores admisibles para los parmetros, se escribe .

La funcin de distribucin que depende de nuestro parmetro a analizar ser

Por lo tanto, la familia de distribuciones de una variable aleatoria , tendr valores dentro del conjunto

Ejemplo:Si es una variable aleatoria, y sabemos que sigue una distribucin Binomial con parmetros n=3 y pdesconocido, pero con valores entre 0 y 1;

Por lo tanto, los valores del parmetro depende de la muestra elegida. Por esto el parmetro no puede ser elparmetro real de la poblacin, sino que se trata de un estimador. El estimador es una funcin de los valoresmuestrales con un conjunto de posibles valores que han de ser los valores posibles del parmetro de lapoblacin.

El estimador se obtiene calculando la media de los valores observados, o con la media geomtrica, o

tomando el valor de la moda, o tal vez tomando el valor mnimo observado, en definitiva, se obtienemediante estadsticos. El estadstico, o estadstico muestral, es una medida cuantitativa derivada delconjunto de datos de la muestra. Y por lo tanto: Ni todos los estadsticos son estimadores, y no todos losestimadores asignan el mismo valor al parmetro desconocido.

Evidentemente, como los datos de la poblacin son inescrutables, nunca se sabr cul es el error que secomete al realizar la prediccin con nuestros estimadores.

Propiedades de los estimadores1. Propiedad de insesgadez: Consiste en contrastar el valor del estimador que nos planteamos, respecto

sucesivas muestras de de la poblacin. De forma que comparndolos y asumiendo que a veces se cometenerrores de ms y de menos, la media de - ser = 0

Un estimador es un estimador insesgado de si:


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Y si planteamos que b() es la diferencia entre el estimador del parmetro y el parmetro a estimar,

Cuando b()>0 el sesgo ser positivo: nuestro estimador est sobreestimando el parmetro.Cuando b()


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O dicho de otra forma,

Ejemplo:Volviendo al primer estimador del ejemplo del apartado anterior, si suponemos que la variable aleatoria sigue una distribucin normal ~N(, 30), entoncessu error cuadrtico medio ser:

2. Propiedad de eficiencia: Si resulta que nos encontramos con dos estimadores insesgados el que tengamenor varianza ser el que tenga menor error cuadrtico medio. Se dir entonces que, el que tenga menorvarianza, ser ms eficiente.

Podemos compararlos, y si V()


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Se cumple cuando el estimador es insesgado o asintticamente insesgado. Tambin se verifica que lavarianza del estimador cuando n tiende a infinito es = 0.

Si se cumple que la probabilidad de error tiende a cero, y que la varianza tambin, entonces se dice que es unestimador consistente en Error cuadrtico medio.

Ejemplo:Volviendo a los 3 estimadores planteados anteriormente;

y entonces, aplicando lmites:

Y por lo tanto es un estimador consistente.

Respecto al siguiente;


Y por lo tanto es un estimador consistente.

Y respecto al ltimo


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Y por lo tanto es tambin un estimador consistente.

4. Propiedad de suficiencia: Un estimador es suficiente si incluye todas las observaciones de la muestra y nose le escapan valores extremos. El criterio que se usa para determinar esta propiedad es la factorizacin deFisher-Neyman, donde el objetivo es decubrir si la funcin de verosimilitud de la muestra aleatoria simple se

puede descomponer en otras dos funciones; una que s depende del parmetro, otra que no.

2.Mtodos de estimacinPara encarar la bsqueda del estimador ms adecuado existen dos caminos: El mtodo de los momentos, y elmtodo de la mxima verosimilitud.

Mtodo de los momentosUn momento es una representacin de la poblacin, y por lo tanto los momentos de una muestra debencoincidir con los momentos de la poblacin. El mtodo de los momentos en la estimacin de los parmetrossupone crear los parmetros de la funcin a partir de una muestra.El procedimiento consiste en plantear un sistema de ecuaciones en el que la incgnita sean los momentosmuestrales. No se garantiza que el estimador obtenido vaya a ser insesgado, pero s que pueden serloasintticamente (cuando n tiende a infinito) y s que son estimadores consistentes y asintticamentenormales.

Slo para recordarlo: la varianza de una muetra siempre tiene denominador n-1:

Ventajas del mtodo de los momentos: su simplicidad.Desventajas: no se tiene en cuenta la distribucin de probabilidad de la poblacin, y por lo tanto no se usatoda la informacin disponible.

Ejemplo 1:Si se tiene una muestra aleatoria simple de tamao = n, y tenemos una variable X~P()donde se desconoceel valor del parmetro :

El momento de la poblacin

y cualquier muestra debera cumplir que


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Por lo tanto,

Y ya est.Lo que se ha hecho es suponer que la media de la muestra deber ser la media de la poblacin, en tanto que

el mtodo de los momentos plantea que los momentos muestrales y poblacionales deben coincidir.

Ejemplo 2:Si tenemos una muestra de tamao = n, de una variable X~BN(m, p), donde m y p son desconocidos,

Lo que hay que hacer es encontrar la media y varianza de la muestra, y plantear un sistema de ecuaciones en

tanto que tenemos dos incgnitas, m y p, precisamente los parmetros a estimar.

Ejemplo 3:Muestra = n, y variable de una distribucin exponencial: X~exp(), donde es el parmetro

desconocido:

Ejemplo 4:Muestra = n, y variable de una distribucin uniforme: X~U(a, b)

Y de nuevo, encontrando la media y la varianza de la muestra, se despejan los estimadores de a y b.

Mtodo de la mxima verosimilitudEs un mtodo simple pero de clculo complejo. Consiste en elegir entre todos los estimadores del parmetroaquel que haga mxima la probabilidad de haber obtenido la muestra encontrada. Es decir; maximizar laprobabilidad de observar lo que realmente se ha observado.

El procedimiento es, ante una muestra, definir la funcin de verosimilitud L(X, ), donde cada valor

observado X tiene su probabilidad asociada por un parmetro . As, ser la funcin de densidad de lavariable x. De forma que

Es decir, L(X; es la probabilidad de haber obtenido toda la serie de observaciones encontrada.

Como trabajar con productos es un lo, se puede aplicar logartmos de forma que


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Propiedades:No garantizan la insesgadez de los estimadores. Aunque s que lo son de manera asinttica. Son consistentes,son asintticamente normales, tampoco se garantiza suficiencia.


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3.2 Contraste no paramtricoEs un procedimiento para verificar el ajuste a una distribucin de probabilidad. La distribucin que sigue lavariable es conocida, y los parmetros de la misma pueden conocerse o no. El procedimiento consiste enverificar si la muestra proviene de una poblacin que sigue una distribucin determinada. Es lo que seconoce como contrastes de bondad del ajuste.

Existen 3 tipos de contraste: El de chi cuadrado o de Pearson, el de Kogomorov-smirnov, y el de Shapiro-Wilk.

La hipotesis a contrastar es la afirmacin sobre la funcin de distribucin. La hipotesis nula por lo tanto esque la muestra proviene de la poblacin planteada, y se justifica cuando no existen diferencias significativasentre la distribucin muestral y la terica. Un caso extremo supone rechazar la hipotesis nula.

1.Contraste de PearsonEs una prueba de bondad del ajuste que se basa en la distribucin chi cuadrado (o Ji cuadrado, o ). Mide el

ajuste entre valores observados (reales) y esperados (tericos) bajo la hiptesis nula establecida. La esque no hay diferencias significativas. La alternativa, es que se distribuyen con funciones diferentes.Es un contraste donde los parmetros de la variable aleatoria pueden ser conocidos o no. Para poder realizaresta prueba se necesita medir la variable aleatoria en diferentes intervalos.

Donde k es el nmero de categoras o intervalos definidos, y h el nmero de parmetros estimados. Como se

ve en la funcin, es un estadstico que mide la discrepancia entre cada elemento observado , y el que ledebera corresponder segn la teora E.

Consideraciones:1. el nmero de intervalos ser por lo menos de 5, y no ms de 20.2. el nmero esperado de observaciones por intervalo tambin ser > 53. Si un intervalo no cumple esta condicin (2), se agrupar con el intervalo siguiente.

Se define como el nivel de significacin crtico, De forma que se rechazar la hipotesis nula si

2.Contraste de Kolgomorov-SmirnovSoluciona un problema que tiene el contraste de Pearson, y es el de la necesidad de una muestra grande. Elcontraste de K-S se utiliza cuando la muestra es pequea, la funcin continua, y aparecen intrvalos vacos.No necesita agrupar las observaciones a intervalos. Pero necesita que se sepan los parmetros de la variable,excepto cuando se trata de una distribucin normal.

Procedimiento:

1. Extraer una muestra aleatoria simple de tamao = n.2. Calcular la funcin de distribucin emprica de la muestra.


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Donde F es la funcin de la frecuencia relativa acumulada de las observaciones, N(x) es el nmero deobservaciones de la muestra con valor igual o inferior a x (una frecuencia absoluta acumulada), y n es elnmero total de observaciones muestrales.3. La funcin Fn se puede utilizar como estimador de la funcin de distribucin de la poblacin F(x).4. Comparacin entre funcin emprica y planteada.5. Medir las discrepancias a travs de la distancia mxima entre las dos observaciones.

6. La distribucin de este estadstico Dn, depende del tamao de la muestra n, no depende de la funcinplanteada, s depende del nivel de significacin.

Es decir, el objetivo es valorar la diferencia mxima entre la distribucin emprica y la planteada. Si estadistancia es significativa, entonces es que son distribuciones diferentes.

Se rechazar la hipotesis nula cuando:

Ventajas de K-S respecto chi cuadrado:La potencia del contraste K-S es mayor que la de chi cuadrado porque funciona con muestras pequeas.Aunque cuando n tiende al infinito se igualan.

Para recordar: la potencia define el grado de confianza para concluir que la hipotesis nula es falsa cuandorealmente es falsa. Es decir, la potencia la probababilidad de NO cometer un error tipo II; aceptar la hipotesisnula cuando es falsa.

3.Contraste de normalidad de Shapiro-WilkTrata de contrastar si una muestra viene de una poblacin Normal sin necesidad de conocer los parmetros.

La hipotesis alternativa es que la funcin sigue otra distribucin diferente a la normal.

Procedimiento:1. ordenar la muestra de menor a mayor.2. El estadstico para realizar el contraste es

estadc3adstica actuarial no vida1

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