Anderson Franco G.Carolina Conde P.Elizabeth Henao J.

ESCHER Y EL ARTE FRACTAL

“For me it remains an open question whether pertains to the realm of

mathematics or to that of art.”M.C. Escher

Maurits Cornelis Escher nació en Leeuwarden, Holanda, en Junio de 1898, pintor reconocido principalmente por sus ilusiones espaciales, edificios imposibles de construir, repetición de patrones geométricos y sus increíbles técnicas de labrado en madera y litografía.

BIOGRAFÍA

M.C. Escher, fue uno de los más grandes artistas gráficos del siglo XX, artista inusual, decidido a resolver problemas que parecían interesar más a los matemáticos que a los artistas. Tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano al arte, de mostrar que una superficie bidimensional es capaz crear ilusiones ópticas de gran profundidad.

• La estructura del espacio: Incluyendo paisajes, compenetración de mundo y cuerpos matemáticos.• La estructura de la superficie: Metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito.• La proyección del espacio tridimensional en el plano: Representación pictórica tradicional, perspectiva y figuras imposibles.

Una de sus principales características es la dualidad y la búsqueda del equilibrio, la utilización del blanco y el negro, la simetría, el infinito frente a lo limitado, el que todo objeto representado tenga su contrapartida.

Sus trabajos se pueden clasificar básicamente en tres temas y diversas categorías:

Perspectiva distorsionada

Su obra gráfica está llena de ilusiones ópticas, que parecen a primera vista naturalistas, pero que después de una visión más detallada nos sorprenden con la imposibilidad de lo que creímos obvio. Así nos vemos forzados a mirar una y otra vez para descubrir las sorpresas que nos ocultan sus dibujos.

En el área de la perspectiva introdujo puntos de desvanecimiento inusuales forzando a los elementos de la obra a obedecerlos (todos dependen de el) Por eso podemos ver en muchas de sus escenas orientaciones “arriba/abajo”, “izquierda/derecha” dependiendo del punto desde donde se observa.

Aún sin ser matemático, sus obras muestran un interés y una profunda comprensión de los conceptos geométricos, desde la perspectiva a los espacios curvos, pasando por la división del plano en figuras iguales.

En su visita a Granada descubrió un sistema para representar particiones periódicas del plano, consiguiendo descubrir los 17 grupos de simetría, planos que figuran en la Alhambra, a pesar de sus rudimentarios conocimientos matemáticos. Pero no se detuvo aquí, sino que además introdujo el color, cosa que nadie había hecho hasta esa fecha.

¿Aplicaba matemáticas?

Geometría en el arte de Escher

Teselación, o embaldosado, es la división del plano en sectores de forma idéntica, de tal forma que cubran completamente el plano sin sobreponerse ni dejar espacios.

Escher trabaja básicamente con las figuras geométricas que rellenan el plano (cuadrado y triángulo equilátero) y con las figuras obtenidas a partir de ellos que también rellenan el plano: paralelo-gramos y hexágonos. Además trabaja con las redes formadas por estas figuras y sus derivadas. No requiere únicamente para su formación figuras geométricas regulares.

Escher usaba éstas figuras geométricas como punto inicial de sus diseños, va modificando cada una de ellas a su antojo creando una figura patrón que al repetirla encaja con las demás rellenando el plano sin dejar espacios libres.

• Traslación: Es el movimiento de un patrón sobre cierta distancia.

• Rotación: giro de un patrón alrededor de un punto fijo.• Reflección: reflejar un patrón con respecto a un eje.• Reflección con desplazamiento

Poliedros

Figuras geométricas con caras poligonales similares. Hay muchos sólidos que se pueden obtener a partir de la intersección de poliedros o al reemplazar cada una de sus caras con una pirámide.

Los fractales son objetos que exhiben formas repetitivas en diferentes órdenes de magnitud. Algunas de las características principales de los objetos fractales son: dimensión fraccionaria, compleja estructura a toda escala, bifurcación infinita y autosimilitud.

Existe una relación entre los trabajos de Escher y las imágenes fractales. Esto se debe a que de alguna manera él hizo « fractales sin darse cuenta », ya que en muchos de sus trabajos se encuentran características de autosimilaridad, por su simetría dentro de una escala, por su pauta en el interior de una pauta; y escalamiento muy propias de las imágenes fractales.

FRACTALES

¿Qué tiene que ver Escher con los fractales?

Se desconoce si alguna vez llegó él a manejar estos términos, aunque bien es cierto que desarrolló con frecuencia estructuras matemáticas complejas y avanzadas mientras continuaba pregonando su desconocimiento total sobre esta materia.

Parte de su obra incluye elementos relacionados con el infinito. Según comentó, su aproximación al infinito surgió del modelo de Poincaré, en el cual se puede representar la totalidad de una superficie infinita encerrada en un círculo finito.

Con la partición regular de la superficie no se ha obtenido todavía la idea del infinito, sino sólo un fragmento de él. Si la superficie fuese infinitamente grande necesitaríamos infinitas partes para cubrirla en su totalidad.

La idea es sencilla, se trata de ir dibujando figuras que encajen entre sí rellenando el plano y que poco a poco van aumentando o disminuyendo de tamaño (según sea el caso) hasta dar la impresión de que hay un número infinito de ellas.

¿Cómo traza sus figuras?

El método usado por Escher para encajar un número infinito de figuras en un espacio finito consistía en tomar objetos cuyas áreas sigan la regla: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... y así sucesivamente. Si sumáramos todas sus áreas tendríamos la expresión: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +.....=1, que es una serie convergente que suma la unidad.

Diseños Cuadrados

Diseños deEspiralesCon este tipo de diseños

parece que Escher no sólo quiso expresar el infinito, sino también la idea de la transformación continua. Los peces son muy pequeños al nacer y poco a poco se van desarrollando y aumentando de tamaño, hasta que llega un momento en que empiezan a disminuir de nuevo para acabar tal y como comenzaron, pequeños.

Escher tuvo conocimiento de las leyes matemáticas a través del libro "Introducción a la Geometría", de H. Coxeter. En particular observó en dicho libro un mosaico hiperbólico obra de Henri Poincaré que le inspiró la idea de la aproximación al infinito desde un nuevo punto de vista.

Diseños inspirados por Coxeter

Además podemos observar que en los grabados de la familia límite circular las líneas curvas acentúan la impresión de volumen con lo cual parece que estamos viendo una mitad de una esfera, y nuestro cerebro puede imaginar que el dibujo continúa fuera de nuestra visión.

Así fue desarrollando esta idea hasta dar con un sistema de construcción propio, que llega a su máximo exponente con el grabado "Serpientes", en el que ya no se aprecia el mosaico de Poincaré aunque siga estando subyacente.

GRACIAS