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Universidade de São PauloUniversidade de São PauloEscola Politécnica Escola Politécnica -- Engenharia CivilEngenharia CivilPEF PEF -- Departamento de Engenharia de Estruturas Departamento de Engenharia de Estruturas

e Fundaçõese Fundações

ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de

Concreto: Vigas, Lajes e Pilares

1º CICLO DE 2004

Professores: Túlio N. Bittencourt Rui Oyamada

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ES025ES025Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e PilaresEstruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares

Objetivos:• Transmitir os conceitos fundamentais de

dimensionamento de estruturas de concreto: vigas, lajes e pilares

• Introduzir os avanços tecnológicos provenientes da atualização das normas técnicas.

• Aplicar técnicas computacionais disponíveis.

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Aula Assunto Dia Professor

1 Apresentação do curso, objetivos, expectativas Introdução ao Concreto Estrutural

4/3 Túlio

2 ELU - Solicitações Normais: Flexão Simples

11/3 Túlio

3 ELU – Solicitações Tangenciais: Cisalhamento

18/3 Rui

4 ELU – Solicitações Tangenciais: Torção

25/3

Rui

5 ELS – Flechas, Fissuração e Fadiga

1/4 Túlio

6 Lajes maciças (detalhamento), nervuradas, cogumelo

8/4 Rui

7 FNC – Flexão Composta Normal com grande e pequena excentricidade.

15/4 Túlio

8 FCO – Flexão Composta Oblíqua

22/4 Túlioi

9 Pilares contraventados: dimensionamento e detalhamento

29/4

Túlio

10 Pilares – Complementos e Estabilidade Global

6/5

Túlio


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Avaliação:Listas de exercícios e prova.

Bibliografia:• FUSCO, P. B. – Estruturas de Concreto Armado - Solicitações Normais.• FUSCO, P. B. – Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto.• SANTOS, L. M. - Cálculo de Concreto Armado.• SANTOS, L. M. – Subrotinas Básicas do Dimensionamento de Concreto Armado.• SUSSEKIND, J. C. - Curso de Concreto.• MONTOYA, P. J. – Hormigon Armado.• PFEIL, W. – Concreto Armado.• LEONHARDT, F. – Construções de Concreto.• Associação Brasileira de Normas Técnicas(ABNT).NBR 6118 – Projeto e execução de

obras de concreto armado. Rio de Janeiro, ABNT, 1978.• NB1-2000 – Texto de discussão da revisão da NB1 – Projeto de Estruturas de Concreto.• Texto didático do curso.

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Notas de Aula______________________________________________________________________

• Introdução ao Concreto Estrutural• Introdução à Segurança Estrutural• Flexão Simples - Dimensionamento e Verificação• Solicitações Tangenciais – Cisalhamento• Dimensionamento à Torção• Aderência, Ancoragem e Emendas de Barras por Traspasse• Alojamento da Armadura de Flexão na Seção Transversal• Estados Limites de Utilização• Resistência da Armadura de Concreto à Fadiga• Lajes• Flexão Composta - grande excentricidade• Muros de Arrimo• Caixa D’Água Usual• Escadas Usuais• Flexão Composta• Pilares

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Introdução ao Concreto Estrutural______________________________________________________________________

Características principais do concreto simples

Boa resistência a compressão - fcc : 10 MPa a 40 MPa

Exemplo: Barra curta comprimida, seção de 20x20cm

resistência 20 x 20 x 1,0 = 400 kN (≅ 40 tf = 40000 kgf),

Baixa resistência a tração – fct : da ordem de fcc/10Inadequado para peças sujeitas a flexão

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Módulo de elasticidade

Ec = (20000 MPa a 35000 MPa).

Coeficiente de dilatação térmica

α to C= ⋅− −10 5 1 .

Os efeitos da variação de temperatura são importantes. Chegam a exigir a utilização dejuntas de dilatação. Considere-se uma variação de temperatura ∆T = 15oC, usualmenteadmitida no projeto de estruturas; tem-se a seguinte deformação:

∆ ∆l l l= ⋅ ⋅ = ⋅( )α εt tTε αt t T mm m= ⋅ = ⋅ = ⋅ =− −∆ 10 15 0 15 10 0 155 3, , / .

Se esta deformação for impedida, as tensões normais correspondentes seriam da ordem deσ εt c tE MPa= ⋅ = ⋅ ⋅ =−20000 0 15 10 33( , ) .

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Tensões desta ordem, quando de tração (queda de temperatura com deformação impedida),podem levar a peça à ruptura por tração. Por outro lado, a força normal resultante, dada por(σt Ac) seria muito grande [por exemplo, para uma seção retangular de 20 cm por 30 cm, Nt= σt Ac = (3.103). 0,2.0,3 = 180 kN ≅ 18 tf = 18000 kgf]. Estes problemas são atenuadosatravés de juntas de dilatação e, de apoios com vínculos criteriosamente definidos. Estasjuntas reduzem os comprimentos dos trechos contínuos e, consequentemente, osdeslocamentos impostos aos seus apoios. Estes por sua vez são projetados de modo areduzir o impedimento à deformação livre da estrutura.

Para se ter uma idéia da distância entre essas juntas, imagine-se a deformação axial livrecom variação das aberturas limitadas a cerca de 5 mm. Resultaria, então, distâncias daordem de

l l⋅ = ∴ =⋅

= ≅−

ε t mm mm m5 50 15 10

33333 3 333,, .

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Retração do concreto

Em ambiente normal, o concreto sofre diminuição de volume no decorrer do tempo,independente de qualquer solicitação. Este fenômeno é denominado retração do concreto edepende de vários fatores: umidade do meio ambiente, espessura das peças, etc. Em peçaslivres alongadas, resulta em deformação de encurtamento, com valor assintótico no tempoinfinito, da ordem de εs =-15.10-5 (“shrinkage”). Costuma-se relacionar este encurtamentocom uma variação (queda) equivalente de temperatura; obtém-se

T Css

t

o= = −εα

15 .

No cálculo das estruturas, esta variação equivalente de temperatura deve ser adicionada àvariação de temperatura propriamente dita. Em casos de queda de temperatura, poder-se-iachegar a um efeito global da ordem de (-30 oC).

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Fluência do concreto

O concreto quando solicitado permanentemente, apresenta um incremento adicional dedeformação (εcc) ao longo do tempo. Este fenômeno é conhecido por fluência do concreto(“creep”). Normalmente, admite-se que esta deformação seja proporcional à deformaçãoimediata ou inicial, εco.

εcc = ϕ εco

onde, ϕ, denominado coeficiente de fluência, é crescente assintoticamente para valores daordem de 2 a 3 no tempo infinito (ϕ∞ = 2 a 3). Este coeficiente é função de vários fatores:umidade do meio ambiente, tipo de cimento, espessuras das peças, etc.

Portanto, em cada instante, a deformação total é dada por

ε = εco + εcc = εco (1 + ϕ)

chegando-se a até quadruplicar a deformação inicial.

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Uma das características do concreto simples é a sua baixa resistência à tração. Ela inviabiliza o seu uso em certas peças, como nos tirantes e nas vigas. Para contornar esta deficiência, surge a idéia de associar o concreto simples ao aço, que

apresenta ótima resistência à tração. Este aço constitui a armadura do material composto, concreto estrutural. Esta

associação é obtida moldando-se o concreto com a armadura adequadamenteposicionada na peça.

A ligação dos materiais (trabalho conjunto) é garantida pela aderência entre o concreto ea armadura.

Em princípio, o alinhamento das barras que compõem a armadura deve seguir atrajetória das tensões principais de tração. Assim, ao ocorrer a ruptura do concreto dazona tracionada da seção, a armadura tem condições de “costurar” as partes resultantes,restando apenas uma fissura como registro desta ruptura.

Pode-se, assim, garantir a capacidade portante do elemento estrutural à custa daarmadura com a presença de fissuras (fissuração).

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Concreto EstruturalConcreto Armado

• aderência• proteção• coeficientes de dilatação térmica próximos

Concreto Protendido

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Aderência entre o concreto e a armadura Este fator é muito importante pois permite a mobilização da armadura imersa na massa de concreto. Em geral, são aplicadas mossas e saliências tornando a conformação superficial da barra apropriada para garantir a aderência. As vigas adequadamente projetadas apresentam, junto à borda tracionada, fissuras discretas de pequena abertura que introduzem aí um comportamento singular. Contudo, observa-se o estabelecimento de um panorama de fissuração estabilizado com um comportamento, também, estabilizado. Isto permite, do ponto de vista macroscópico, admitir que a aderência possa ser considerada perfeita, sem escorregamento aparente entre os materiais. Esta consideração constitui uma das hipóteses básicas da teoria de solicitações normais no concreto armado.

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Proteção da armadura pelo concreto A armadura é protegida pelo concreto que a envolve, atenuando o efeito de sua corrosão. As fissuras de pequena abertura, praticamente, não afetam a corrosão. Daí, a importância em se garantir a presença de fissuras de pequena abertura e o envolvimento eficiente das armaduras. Procura-se atender estas necessidades através da observância de aberturas limites para as fissuras e, de um cobrimento mínimo das armaduras, valores estes determinados experimentalmente.

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Coeficientes de dilatação térmica de valores próximos

Os elementos estruturais estão sujeitos a variação de temperatura.O concreto e o aço que constituem o concreto estrutural, tendema apresentar deformações, dadas pelo produtos da variação detemperatura (∆T) pelos respectivos coeficientes de dilataçãotérmica.Estas deformações poderiam provocar o aparecimento de tensõesinternas, eventualmente, destruindo a ligação entre o concreto e oaço, ou seja, eliminado a aderência, de fundamental importânciapara o concreto armado.Felizmente, este problema é praticamente eliminado pelo fato doscoeficientes de dilatação dos dois materiais apresentarem valoresmuito próximos entre si.

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• Notação internacional

Trata-se de uma notação recomendada pelo CEB (Comité Européen du Béton) a serem empregadas no projeto de estruturas. Um símbolo destinado a designar um termo ou uma grandeza é constituida de uma letra principal, com índices descritivos conforme a necessidade de esclarecimento. A construção de um símbolo deve ser feita conforme as seguintes regras gerais:

a) a letra principal deve ser escolhida conforme

•a tabela 1 que fornece o guia para a escolha do seu tipo; e •as tabelas 2 a 5 que fornecem o seu significado;

b) os índices mais comuns são indicados nas tabelas 6 a 8;

c) algarismos podem ser usados como índices;

d) pode haver mais de um índice (separados ou não por vírgulas) num mesmo símbolo; neste caso, o primeiro índice indica a situação e os índices seguintes a causa;

e) não havendo possibilidade de confusão, índices podem ser omitidos, por exemplo,fccd (resistência do concreto à compressão em valor de cálculo - “design”)→ fcd;

f) convenciona-se o sinal (+) para a tração e o sinal (-) para a compressão.

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• Normas técnicasOs projetos envolvem uma série de critérios. É, altamente, desejável que eles sejam padronizados visando a uniformização do nível de qualidade da obra. Estes critérios normatizados constituem as diversas Normas de Projeto. Para o projeto de estruturas de concreto interessam, diretamente, as seguintes Normas Brasileiras:

•NBR-6118 - Projeto e execução de obras de concreto armado. Fixa condições gerais que devem ser obedecidas no projeto, na execução e no controle de obras de concreto armado, excluidas aquelas em que se empregue concreto leve ou outros concretos especiais

•NBR-6120 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Fixa condições exigíveis para determinação dos valores das cargas que devem ser consideradas no projeto de estrutura de edificações, qualquer que seja sua classe e destino, salvo os casos previstos em normas especiais

•NBR-6123 - Forças devidas ao vento em edificações. Fixa condições exigíveis na consideração das forças devidas à ação estática do vento, para efeitos de cálculo de edificações, e aplicável exclusivamente a edificações em que o efeito dinâmico do vento pode ser desprezado

•NBR-7197 - Projeto de estruturas de concreto protendido. Fixa condições gerais exigíveis no projeto e estabelece certas exigências a serem obedecidas na execução e controle de obras de concreto protendido por armadura, excluidas aquelas em que se empregue concreto leve ou outros concretos especiais.

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• Unidades

Comprimento: m (cm, mm)força normal: kN = 103 N (≅ 0,1 tf)força cortante: kN, kN/mmomento: kN.m; kN.m/m; kN.cm/mcarga concentrada: kNcarga distribuida: kN/m; kN/m2

peso específico: kN/m3

resistência, tensão: kN/cm2, 1 MPa = 106 N/m2 = 0,1 kN/cm2 (≅ 10 kfg/cm2)10 MPa = 1 kN/cm2

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Introdução à Segurança Estrutural______________________________________________________________________

1. Comportamento Básico dos Materiais1.1. Elástico linear1.2. Visco-elástico1.3. Elasto-plástico

2. Comportamento dos Materiais2.1. Concreto2.2. Aço2.3. Concreto Armado

3. Comportamento das estruturas3.1. Comportamento elástico linear3.2. Comportamento não-linear3.3. Redistribuição de esforços devido a acomodação plástica3.4. Colapso da estrutura

4. Métodos de Verificação da segurança4.1. Método das Tensões Admissíveis4.2. Método da Ruptura ou do Coeficiente de Segurança Externo4.3. Métodos Probabilísticos4.4. Método Semi-probabilístico4.5. Valores Característicos e Valores de Cálculo. Ações e Resistências4.6. Consideração da Simultaneidade de Ações Variáveis no Valor de

Cálculo das Ações

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Métodos de verificação da segurança A estrutura é considerada segura quando apresenta condições de suportar, sem atingir um estado limite, as ações mais desfavoráveis ao longo da vida útil da obra em condições adequadas de funcionalidade. O conceito de segurança é qualitativo, de difícil quantificação. Segurança exagerada implica em altos custos, tornando a estrutura antieconômica. O projeto estrutural deve ser balizado de um lado pela insegurança e de outro pelo desperdicio. Os métodos de avaliação da segurança são os seguintes: método da tensão admissível, método da ruptura e método probabilístico.

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Método das tensões admissíveis Neste método impõe-se a condição de que a maior tensão de trabalho não ultrapasse a tensão admissível do material (σadm), que é definida como a resistência (f) do material dividida por um número γi (coeficiente de segurança interno). Assim, para verificações com tensões normais tem-se: σ σ

γ≤ =adm

i

f . Não é correto quando se tem comportamento não linear

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O coeficiente de segurança deve medir a distância que separa a situação deutilização, da situação de ruina. Resulta, assim, a idéia de que a cargamultiplicada por γi deve levar à ruina da estrutura. Esta conclusão seriaobservada em estruturas de comportamento elástico onde existeproporcionalidade entre as ações e as solicitações correspondentes. Casocontrário, se a estrutura apresentar comportamento não linear, ela seria falsa,gerando insegurança ou desperdício de material. Por exemplo, com respostanão linear, se a tensão ficar multiplicada por 3 quando o carregamento forduplicado, a adoção de γi = 3, pode levar à falsa idéia de que o carregamentopoderia ser triplicado quando, na realidade, a sua duplicação poderiaocasionar a ruina da estrutura, gerando insegurança; numa situação contrária,se a tensão ficar duplicada quando o carregamento for triplicado, a adoção deγi = 2, pode levar à falsa idéia de que o carregamento poderia apenas serduplicado quando, na realidade, ela poderia ser triplicada, portantoacarretando desperdício de material.

Os comentários efetuados levam a conclusão de que a quantificação dasegurança fica prejudicada no método das tensões admissíveis.

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Método da ruptura ou do coeficiente de segurança externo

Consiste em impor um limite para a carga de serviço (F) de modo que aaplicação desta carga multiplicada pelo coeficiente de segurança externo (Fu

= γe.F) acarretaria a ruina da estrutura.

Por exemplo, esta ruina poderia ocorrer quando a solicitação majorada numaseção alcançar a sua resistência última. Neste método, a não linearidade físicaé automaticamente considerada na determinação da resistência da seçãoatravés dos diagramas reais (σ x ε). Constitui, assim, um método melhoradoem relação ao das tensões admissíveis. Continua, porém, a incerteza sobre onível de segurança, devido à variabilidade das resistências dos materiais; ummesmo coeficiente γe indica níveis diferentes de segurança conforme se tratede aço, concreto, madeira, etc.

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Métodos probabilisticos

A segurança das estruturas é afetada por uma série de fatores, porexemplo, as variabilidades das ações, das resistência e das deforma-bilidades; os erros teóricos da análise estrutural; a imprecisão de execução; etcA ruína ocorre quando a resistência R é alcançada pela solicitação S.A probabilidade p de R igualar S constitui a probabilidade de ruína.

P = p [R<=S]

Quanto menor a probabilidade de ruína p, ou seja, quanto maior nível de segurança, mais cara é a estrutura.

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Método semi-probabilístico

Trata-se de método híbrido onde são introduzidos dados estatísticose conceitos probabilísticos, na medida do possível. A verificação dasegurança consiste, basicamente, no seguinte procedimento:

As ações e as resistências são consideradas através dos seus valores característicos, Fk e fk, respectivamente, os quais apresentam 5% de probabilidade de serem ultrapassados para o lado desfavorável.

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• os valores das ações Fk são alterados pelo multiplicador

γf , gerando os chamados valores de cálculo Fd = γf.Fk , com a finalidade de reduzir bastante a probabilidade de serem ultrapassados; a aplicação destas ações de cálculo ao modelo estrutural permitem obter as solicitações em valor de cálculo, Sd (ou, simplesmente, solicitações de cálculo);

• os valores das resistências, fk, são alterados pelo divisor γm , gerando os chamados valores de cálculo fd = fk / γm , com a finalidade de reduzir bastante a probabilidade de serem ultrapassados; a utilização destas resistências de cálculo nos modelos teóricos, permitem determinar os esforços resistentes em valor de cálculo, Rd (ou, simplesmente, esforços resistentes de cálculo);

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a condição de segurança é atendida quando Sd ≤ Rd. Os valores γf e γm são chamados coeficientes de ponderação, das ações e das resistências, respectivamente. Estes coeficientes levam em consideração os diversos fatores que afetam a segurança estrutural. O quadro seguinte lista estes fatores.

Fatores que afetam a segurança afetam1 - variabilidade das ações F γf1

2 - simultaneidade das ações F γf2

3 - erros teóricos da análise estrutural S e R γf3 e γm

4 - imprecisões de cálculo S e R γf3 e γm

5 - imprecisões de execução (geometria) S e R γf3 e γm

6 - variabilidade das deformabilidades S γf3 e γm

7 - variabilidade das resistências R γm

8 - capacidade de redistribuição e aviso γn

9 - responsabilidade de maior vulto γn

10 - condições particularmente adversas γn

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Valores característicos e valores de cálculo. Ações e resistências

Ações e resistências constituem variáveis aleatórias.

Normalmente, considera-se a intensidade das ações correspondentes ao valor característico superior, Fksup, que apresenta 5% de probabilidade de ser ultrapassado. Costuma-se indicar a ação em valor característico por Fk.

O valor de cálculo das ações é definido por Fd = γf . Fk.

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Em edifícios, adotam-se:

• para verificações de estados limites últimos

(γfg = γfq = 1,4); (γε = 1,2) de modo queFd = 1,4 Fgk + 1,4 Fqk + 1,2 Fεk

• para verificações de estados limites de utilização(γfg = 1 e γfq = 0,7); (γε = 1) de modo queFd = Fgk + 0,7 Fqk + Fεk.

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Resistências

Normalmente, considera-se a resistência correspondente ao valorcaracterístico inferior, fkinf, que apresenta 5% de probabilidade de serultrapassado (de ser menor). Costuma-se indicar a resistência em valorcaracterístico por fk.

O valor de cálculo das resistências é definido por fd = fk / γf . Adotam-se os seguintes valores nas verificações: • estados limites últimos: γc = 1,4 para o concreto; fcd = fck / 1,4 γs = 1,15 para as armaduras de concreto; fyd = fyk / 1,15.

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Consideração da simultaneidade de ações variáveis no valor decálculo das ações.

Quando existirem ações variáveis de naturezas diferentes com poucaprobabilidade de ocorrência simultânea, com Fqk1 ≥ Fqk2 ≥ Fqk3 ... , adotam-seas seguintes ações de cálculo (combinação de ações):

• para verificações de estados limites últimos:

Fd = 1,4 Fgk + 1,4 [Fqk1 + 0,8 (Fqk2 + Fqk3 + ...)] + 1,2 Fεk

• para verificações de estados limites de utilização em edifícios:

Fd = Fgk + 0,7 [Fqk1 + 0,8 (Fqk2 + Fqk3 + ...)] + Fεk.

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Flexão SimplesDimensionamento e Verificação______________________________________________________________________

1. Introdução1.1. Ações1.2. Resistências1.3. Verificação da Segurança (Estado Limite Último)

2. Tipos de Ruptura na Flexão3. Hipóteses Básicas

3.1. Manutenção da Seção Plana3.2. Aderência Perfeita3.3. Tensão nula3.4. Diagrama Tensão-Deformação (de cálculo) na Armadura

3.4.1. Aço de Dureza Natural3.4.2. Aço Encruado

3.5. Diagrama Tensão-Deformação (de cálculo) no Concreto3.5.1. Diagrama Parábola-Retângulo3.5.2. Diagrama Retangular Simplificado

4. Estado Limite Último Convencional na Flexão4.1. Estado Limite Último por Esmagamento do Concreto4.2. Estado Limite Último por Alongamento Plástico Excessivo da

Armadura

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1. Domínios de Deformação2. Seção Retangular com Armadura Simples

2.1. Dimensionamento2.2. Verificação2.3. Aplicação às Vigas Usuais de edifícios

2.3.1. Seção do Apoio2.3.2. Seção do Vão

3. Seção Qualquer com Armadura Simples4. Seção Retangular com Armadura Dupla

4.1. Dimensionamento4.2. Verificação

5. Tabelas para o Cálculo de Seções Retangulares5.1. Tabela Tipo k5.2. Tabela Universal (adimensionais)5.3. Exemplo

5.3.1. Solução pela Tabela Tipo k5.3.2. Solução pela Tabela Universal5.3.3. Flexão Simples em Seção Qualquer

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Ações As ações geram solicitações nas estruturas. Estas solicitações são determinadas através de teorias de cálculo estrutural. No caso geral, tem-se: F = Fk → Fd = γf Fk → Sd ou, em estruturas de comportamento linear, F = Fk → Sk → Sd = γf Sk . No caso da flexão simples, tem-se: Fd → Md.

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Resistências

As resistências são deteminadas através de teorias apropriadas, a partir dosdados da seção transversal e das características mecânicas dos materiais.

No caso da flexão simples tem-se, como dados:

fck (resistência do concreto);fyk (resistência da armadura); edimensões relativas da seção transversal (concreto e armadura).

Através de teoria apropriada determina-se o momento resistente último, MuVerificação da segurança

Existe segurança adequada quando é verificada a condição: Md ≤ Mu. Porrazões de economia, faz-se Md = Mu

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As

Mud Mud

A A’ B’ B

diagrama de ε

fissuras

εs

εcu

seçãotransversal trecho de viga

Tipos de ruptura na flexão

Em geral, tem-se os seguintes tipos de ruptura:

• se As = 0, ou muito pequena ⇒ ruptura frágil (brusca) por tração no concreto;• se As for muito grande (pequena deformação εs)⇒ ruptura frágil (brusca) por

esmagamento do concreto comprimido; e• se As for “adequada” ⇒ ruptura dútil (com aviso), com escoamento da armadura

e acompanhada de intensa fissuração da zona traciona

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Hipóteses básicas

1) manutenção da seção plana: por exemplo, as seções A e B passam para A’ e B’, quandofletidas, permanecendo planas;

2) aderência perfeita entre concreto e armadura: inexistência de escorregamento entre osmateriais (a deformação da armadura εs é admitida igual à deformação da fibra deconcreto εc , junto a esta armadura);

3) a tensão no concreto é nula na região da seção transversal sujeita a deformação dealongamento;

4) diagrama tensão-deformação (de cálculo) na armadura

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aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento.σsd

fyk

fyd

εyd0,010

εsd

arctg Es

diagrama de cálculo

Es = 21.000 kN/cm2

fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento (resistência característica no escoamento)

γs = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura)fyd = fyk / γs = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente

ao patamar de escoamentoεyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de

escoamento

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aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento.σsd

fyk

fyd

εyd0,010

εsd

arctg Es


Es = 21.000 kN/cm2

fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento (resistência característica no escoamento)

γs = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura)fyd = fyk / γs = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente

ao patamar de escoamentoεyd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de

escoamento

Os aços desta categoria são os seguintes:

TIPO fyk (kN/cm2) fyd (kN/cm2) εydCA25 25 21,74 0,00104CA32 32 27,83 0,00132CA40A 40 34,78 0,00166CA50A 50 43,48 0,00207

Os aços são designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistência característica no escoamento em kN/cm2.

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aço encruado (CA50B e CA60B)

σsd

fyk

fyd

εyd 0,010εsd

arctg Es


0,002

A

B

Até o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear; entreA e B, admite-se diagrama em parábola do 2o grau; e, além do ponto B,um patamar.Admite-se que o diagrama tensão-deformação na armadura seja o mesmo,na tração e na compressão.

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diagrama tensão-deformação (de cálculo) no concreto

diagrama parábola-retângulo

σcd

0,85fcd

0,002 0,0035

εc (encurtamento)

parábola do 2o grau

patamar

γc = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto)fcd = fck / γc0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistência do concreto

para cargas de longa duração (efeito Rusch)

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diagrama retangular simplificado

As

Mud

x

k fcd

0,8x

deformação deestado limiteúltimo (εu)

x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimidak = 0,85 , quando a largura da zona comprimida não diminui em

direção à borda comprimida (seção retangular)0,80 , em caso contrário

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estado limite último convencional na flexãoO estado limíte último é atingido quando ocorre uma das duas situações seguintes:

1) a deformação de encurtamento no concreto (εcu) atinge 0,0035; denomina-se, estadolimite último por esmagamento do concreto;

As

εcu = 0,0035

εs

Mud

2) a deformação de alongamento na armadura mais tracionada (εsu) atinge 0,010; denomina-se, estado limite último por alongamento plástico excessivo da armadura;

As

εc

εsu = 0,010

Mud

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domínios de deformação

Conforme foi visto no ítem anterior, o estado limite último convencional ocorre quando odiagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B

h

d

As

0,0035

εyd

0,010

A

B

x34

x23

D4

D3

D2

4

3

2

Mud

d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimidax = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida)

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Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2(D2); passa pelo ponto B (ELUlt. por alongamento plástico excessivo da armadura) eo encurtamento do concreto na borda comprimida está compreendido entre 0 e0,0035. O concreto é pouco solicitado e a armadura está em escoamento. A ruptura édo tipo dútil (com “aviso”). A altura da zona comprimida obedece à condição:

x ≤ x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d

que pode ser obtida por semelhança de triângulos

Diz-se que o diagrama do tipo 3 está no domínio 3 (D3); passa pelo ponto A (ELUlt.por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura está compreendido entreεyd e 0,010. O concreto está adequadamente solicitado e a armadura está emescoamento. A ruptura é do tipo dútil (com “aviso”). A altura da zona comprimidaobedece à condição:

x23 ≤ x ≤ x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd)

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Diz-se que o diagrama de deformação 4 está no domínio 4 (D4); passa pelo ponto A(ELUlt. por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura estácompreendido entre 0 e εyd. O concreto está muito solicitado e a armadura é poucosolicitada. A ruptura é do tipo frágil (praticamente, sem “aviso”). A altura da zonacomprimida obedece à condição:

x34 ≤ x ≤ d.

A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D2 e D3 é dita subarmada ou normalmentearmada.

Quando o ELUlt. é atingido no D4, a seção é dita superarmada. Trata-se de situaçãoantieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar odimensionamento neste domínio.

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seção retangular com armadura simples

A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma:• a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular;a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode serimaginada concentrada no seu centro de gravidade

h

d

b

x0,8x

0,85fcd

Rcd

Rsd

0,4x

d - 0,4x

Mud

As

εu

σsd

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Resultantes das tensões:

no concreto: Rcd = 0,85⋅fcd⋅b⋅0,8⋅x = 0,68⋅b⋅x⋅fcd

na armadura: Rsd = As⋅σsd

Equações de equilíbrio:

de força: Rcd = Rsd ou 0,68⋅b⋅x⋅fcd = As⋅σsd (1)

de momento: Mud = Rcd⋅(d - 0,4⋅x)ou

Mud = Rsd⋅(d - 0,4⋅x)

Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem:

Mud = 0,68⋅b⋅x⋅fcd⋅(d - 0,4⋅x) (2)ou

Mud = As⋅σsd⋅(d - 0,4⋅x) (3)

h

d

b

x0,8x

0,85fcd

Rcd

Rsd

0,4x

d - 0,4x

Mud

As

εu

σsd

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Caso de dimensionamento

Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletorsolicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d ≅ 0,9 h. Dessa forma, aequação (2) nos fornece o valor de x:

0 40 68

02,,

x d xM

bfd

cd

− ⋅ + =

x d xMbf

d

cd

2 2 52 5

0 680− + =( , )

,,

x dM

bd fd

cd

= − −

1 25 1 1

0 425 2,,

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Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer asseguintes situações:

I) domínio 2, onde x≤ x23 = 0,259 d; e σsd = fyd

II) domínio 3, onde x23 ≤ x ≤x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd); e σsd = fyd

III) domínio 4, se x ≥ x34; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça superarmada; esta alteração pode ser obtida da seguinte forma:⇒ aumentando-se h (normalmente, b é fixo pois depende da espessura da

parede onde a viga é embutida);⇒ adotando-se armadura dupla.

Obs.: o aumento da resistência do concreto (fck), também permitiria fugir do domínio 4.

Para a situação adequada de peça subarmada tem-se, σsd = fyd . Assim, a equação (3) nosfornece

AMd x

Mf d xs

d

sd

d

yd

=−

=−σ ( , ) ( , )0 4 0 4

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Caso de verificação

Algumas vezes, procura-se o momento resistente da seção inteiramente definida. Nas duasequações de equílíbrio, as variáveis desconhecidas são: x, Mud e σsd. Contudo, esta última éconhecida ou é função de x; de fato, nos domínios 2 e 3 tem-se σsd = fyd e, no domínio 4, elaé dada pela expressão:

σ εsd s sd sE E d xx

= = ⋅−

⋅ 0 0035, .

Dessa forma, tem-se duas equações a duas incógnitas e, portanto, o Mud procurado.

Não se sabe, a priori, qual o domínio de deformação correspondente ao ELUlt. Assim, asolução pode ser obtida por tentativas:

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admite-se, por exemplo, que o ELUlt. corresponda ao domínio 3 ou 4 (armadura emescoamento); da equação de equilíbrio de força tem-se

0,68 b x fcd = As σsd = As fyd

e, portanto

x = (As fyd) / (0,68 b fcd)

que permitirá verificar a validade da hipótese inicialmente admitida. Caso positivo, é sódeterminar o momento resistente

Mud = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)

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Se a hipótese inicial não for válida, isto é, se o ELUlt. corresponder ao domínio 4, a tensãona armadura será função de x e o seu novo valor pode ser obtido da equação de equilíbrio(reescrita):

0 68 0 0035, ,⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅−

⋅b x f A A E d xxcd s sd s sσ .

e o momento procurado é obtido, substituindo esse valor de x na expressão já vista

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Propriedades do Concreto

Massa específica do concreto armado, para efeito de cálculo, pode ser adotada como sendo de 2500 kg/m3.

Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido como sendo igual a 10-5 /ºC.

Na falta de ensaios, a resistência à tração pode ser avaliada por meio das equações( 1.1 ) a ( 1.3 ) (NBR6118/2001).

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A NBR6118/78 prescreve o seguinte valor para fctk:

Na ausência de dados experimentais sobre o módulo de elasticidade inicial do concreto utilizado, na idade de 28 dias, o projeto de revisão da NBR6118 permite estimá-lo por meio da equação ( 1.5 ).

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O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para a determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado por ( 1.6 )

A NBR6118/78 prescreve outra expressão para o cálculo do módulo de elasticidade do concreto à compressão, no início da deformação efetiva, correspondente ao primeiro carregamento:

es25 - conceitos fundamentais de dimensionamento de ... · estruturas de concreto: vigas, lajes e...

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