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CAPÍTULO N° 1
NÚMEROS REALES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(51, 52, 53, 54)
NIVEL I
Resolución 1
Vemos que: * 85
1 6= ,
* 311
0 27= , (Periódico puro)
* 12
0 5= ,
* 13
0 3= ,�
(Periódico puro)
* 8
150 53= ,
� (Periódico mixto) Rpta.: E
∴ B A− = 3 8; Rpta.: C
Resolución 4
Son irracionales: π y 7
∴ Hay 2 números irracionales Rpta.: B
Resolución 7
Sea 4 7 13x − =
Por propiedad: Si a b=
��������a = b ∨ a = −b
Tenemos que:
4x − 7 = 13 ∨ 4x − 7 = −134x =13 + 7 4x = −13 + 74x = 20 4x = −6
x = 5 ∨ x = −32
Luego, tomamos el valor negativo de “x”
∴ x = −32
Rpta.: D
Resolución 5
5 2666 5 26526 52
90, .... ,= = −
�
= =47490
7915
= 5 415 Rpta.: A
Resolución 6
Si A ; 3= −∞ ; B = −2 8;
Graficamos los intervalos.
Resolución 2
⊂ IR (V)
IN Q⊂ (V)
∪� II = � (V)
∴ VVV Rpta.: C
Resolución 3
Denso Rpta.: BResolución 8
A) − =3 3 (verdadero)
B) − =4 2 4 2 (verdadero)
C) x x= , si x > 0 (verdadero)
D) 6 6 0+ − = (falso)
Porque: 6 + 6 ≠ 0
E) x x= − , si x < 0 (verdadero) Rpta.: D
Resolución 9
1
14 2
1
7 2
114 2
17 2
: =
= =1 7 2
1 2
12
1
214
×
×
= 0,50 Rpta.: B
-
�����
������� ������� ��������
Resolución 10
I. a5·a2 = a10 ........... es falso
ya que: a5·a2 = a5+2 = a7 ≠ a10
II. a a273 3= ........ es falso
ya que: a a a a273273 9 3= = ≠
III. b7·b7·b7 = b21 ........ es verdadero
ya que: b7·b7·b7 = b7+7+7 = b21
IV. 0 9 0 3, ,= ........ es falso
ya que: 0 99
103
100 3, ,= = ≠
∴ F F V F Rpta.: D
Resolución 11
− + − = − + −125 243 5 33 53 3 b g b g = −83
= −2 Rpta.: B
Resolución 12
A = = =16 64 16 4 433 3 · � A = 4
B = = =6 36 6 6 6· � B = 6
Calculamos: (A + B)2 = (4 + 6)2 = 102
∴ (A + B)2 = 100 Rpta.: C
Resolución 13
3 12 3 80 4 45 2 27− + −
3 4 · 3 3 16 · 5 4 9 · 5 2 9 · 3− + −
3 4 3 3 16 5 4 9 5 2 9 3· · · ·− + −
3 2 3 3 4 5 4 3 5 2 3 3· · · ·− + −
6 3 12 5 12 5 6 3 0− + − = Rpta.: E
Resolución 14
L = +−
= +−
50 2
18 2
25 2 2
9 2 2
·
·
L = +−
25 2 2
9 2 2
·
·
L = +−
= =5 2 23 2 2
6 2
23
2
12
∴ L = 3 Rpta.: C
=72
1
7· =
7
2 7
7
7× =
7 72 7·
=7
2Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1
I. 3, 15 > 3, 2 es falso
II. −5, 7268 < −5, 7271 es falsoIII. 3,1416 es irracional es falso
∴ Relación correcta: F F F Rpta.: E
Resolución 2
Por dato: −2r > 7
r < −72
r < −3,5
� r: −4; −5; .........
∴ rmax = −4 Rpta.: B
Resolución 3
Graficamos los intervalos dados:
Luego: A B∩ = −2 3;
C = −∞; 3
� A B C∩ − = − − −∞b g 2 3 3; ; ={3} Rpta.: D
Resolución 4
Reemplazamos con los valores aproxima-dos al centésimo, obtenemos:
π + −10 13 10e j e j:
(3,14 + 3,16) : (3,61 − 3,16)
6,30 : 0,45 = 14,00 Rpta.: C
Resolución 15
1
7
7 2 7 2 7 12 2 72 14 14
= =
-
�����
�������� �� ��� ���������
Tenemos que:
1 2 1 2− = − −e j
1 2 2 1− = −
2 3 2 3− = − −e j
2 3 3 2− = −
Reemplazando en (I) tenemos que:
2 1 3 2− + −e j e j2 1 3 2 2− + − =
∴ 1 2 2 3 2− + − = Rpta.: B
Resolución 7
2 7 1 26 0x − − − =
2 7 1 26x − =
Resolución 5
I. π ∈IR ....................... (V)
II. − ∈52 IN ................... (F)
ya que: − = − ∉5 252 IN
III. ( )∪ ∩ =� � � �
∩ = . .............. (V)
IV. − ∈49 IR ................. (F)
∴ Relación correcta es: V F V F Rpta.: D
Resolución 6
1 2 2 3− + − ........ (I)
como: 1 2 0 2 3 0− < ∧ − <
7 1 13x − =
� 7x − 1 = 13 ∨ 7x − 1 = −13
x = 2 ∨ x = −127
∴ Solución mayor = 2 Rpta.: E
Resolución 9
* A = + −12 75 48
A = + −4 3 25 3 16 3· · ·
A = + −4 3 25 3 16 3· · ·
A = + − =2 3 5 3 4 3 3 3
� A = 27
* B = + −16 128 543 3 3
B = + −8 2 64 2 27 23 3 3· · ·
B = + − =2 2 4 2 3 2 3 23 3 3 3
� B = 543
Luego:
A B2 32 3 327 54+ = +e j e j
Resolución 8
116
2 212
1
2
1
24 2 3
1 3
2 3
1 3
− −FHG
IKJ
= − −FHGIKJ
− −− −/ /
= − −FHGIKJ
−12
14
18
13
= FHGIKJ
−18
1 3/
= =8 2
13 Rpta.: B
= + =27 54 81
∴ A B2 3 9+ = Rpta.: B
Resolución 10
A =−
RS|T|
UV|W|
−81
32 27
3 4
2 5 1 3
1 3/
/ /
/
A =−
RS|T|
UV|W|
−81
32 27
4 3
5 2 3
1 3/
A =−
RS|T|
UV|W|
−3
2 3
3
2
1 3/
-
�����
������� ������� ��������
Resolución 11
Racionalizamos cada sumando:
1
5 3
5 3
5 3
5 3
5 3 5 3+−−
= −+ −
×e je j
= −
−FHIK
5 3
5 32 2
=1
5 3
5 32+
= −
1
3 1
3 1
3 1
3 1
3 1 3 1+−−
= −+ −
×e je j
=3 1
3 12 2
−
−
1
3 1
3 12+
= −
1
4 2 5
4 2 5
4 2 5
4 2 5
4 2 5 4 2 5−++
= +− +
×e je j
=+
−
2 2 5
4 2 522
e je j
=+
−
2 2 5
4
e j
1
4 2 5
2 52−
= − +
Luego, efectuando tenemos que:
15 3
13 1
14 2 5+
++
−+� �� � �� � �� �
5 32
3 12
2 52
− + − − − +FHG
IKJ
5 3 3 1 2 52
12
− + − + + =
Rpta.: A
Resolución 12
8 36 3 729
6 16
8 6 3 3
6 2 2
6 9
3
3 69
3
e j e j· ··
=
= 2 3 33 23·
= 2 3 323 ·
=2·3 = 6 Rpta.: D
Resolución 13
L nn nn= − +7 494 2·
L n nn= − +7 494 2·
L nn
n= −+
7 74 22
· e j
L n nn= − +7 74 2 4·
L n nn= − + +7 4 2 4
L nn= =7 73 3
∴ L = 343 Rpta.: E
Resolución 14
E = 9 9 99 9
6 4 3
20 5· ·
·
Hallamos el M.C.M de los índices de lasraíces:
m.c.m (6; 4; 3; 20; 5) = 60
Luego:
E = 9 9 99 9
10 15 20
3 1260 · ·
·
E = =9 9 910 206060 12 30
·
= =9 3
∴ E = 3 Rpta.: B
+ –– –
–+
–
–
–
–
–
Resolución 15
Reducimos “A”, obteniendo:
A x x x x= 3 43 45 56· · ·3·2 3·4 5·4 6·5A x · x · x · x=
A x x x x= 6 12 20 30· · ·
m.c.m (6; 12; 20 y 30) = 60
� A x x x x= 10 5 3 260 · · ·
A =−
RSTUVW =
−−27
4 327
1 31 3
//
1/ 31 1A
27 3 = =
∴ A =13
Rpta.: C
-
�����
�������� �� ��� ���������
A x x= =+ + +10 5 3 260 160
203
A x= 3
Ahora reducimos “x”, obteniendo:
33x 4 2 2 64=
x = =4 2 2 4 4 2 83 3· ·
x = =4 2 2 4 4·
x = 4·2 → x = 8
Luego:
A x= =3 3 8
∴ A = 2 Rpta.: B
Resolución 16
A = − −343 1253 32
e j y B = 23643
A = +7 5 2b g y B = 293
A = 144 y B = 8
Luego:
22
2 18 36
18
1
144
8A
B=
FHG
IKJ
= =·
∴2
6A
B= Rpta.: A
Resolución 17
Racionalizamos cada sumando:
2 3
2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
2 3
2 3
2
2 2+−
=+ +
− +=
+
−
e je je je j
e j
=+
−
2 3
4 3
2e j
2 3
2 3
2 3
1
2
+−
=+e j
2 3
2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
2 3
2 3
2
2 2−+
=− −
+ −=
−
−
e je je je j
e j
=−
−
2 3
4 3
2e j
2 3
2 3
2 3
1
2
−+
=−e j
Reemplazamos en:
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
1
2 3
1
2 2
+−
+ −+
++
−e j e j
� �� � � �� �
2 3 2 3+ + −e j e j
2 3 2 3 4+ + − = Rpta.: E
Resolución 18
Hallamos “A”
A = − = − −2 5 2 5e j ; ya que: 2 5 0− <
� A = −5 2
Hallamos “B”
B = − = −3 5 3 5 ; ya que: 3 5 0− >
� B = −3 5Luego:
A B+ = − + −b g e j77
5 2 3 5 =17
∴ A B+ =b g7 1 Rpta.: A
Resolución 19
3 2 2 1 22
+ + −e j
1 2 2 2 1 2+ + + −
1 2 2 2 1 2 122
+ + + −· · e j
2 1 2 12
+ + −e j
2 1 2 1 2 2+ + − = Rpta.: C
-
�����
������� ������� ��������
→ → → →→
= −+
FHG
IKJ
3 3
2 2
12 =
+FHG
IKJ
0
2 2
1 2/
= 0 Rpta.: E
Resolución 24
Reducimos “E”
Ex x
x=
53 ;
x x xx
x x · x= =
E x x x x= =· ·5312
15
3 E x=
710
3
� E x=730 ; para: x = 2
607
E =FHGG
IKJJ =2 2
607
730
602
77
130
×
E = 22 → E = 4 Rpta.: A
Resolución 25
Expresamos las fracciones en decimales
y comparamos con: 720
0 35= ,
A) 0, 48 B) 0,37 C) 0,15 D) 0,3 E) 0,2
2960
1130
3
20
310
15
=−22 5 3
22
e j
22
5 35 3
+= −
Reemplazando en:
1
2 3
22
5 3−+
+��� � ��� �
2 3 5 3 7+ + − = Rpta.: B
Resolución 21
A = ++
−15
1
115
54
A = ++
−15
15 1
5
54
A = ++
−55
55 1
54
A = +−
+ −−5
5
5 5 1
5 1 5 1
54
e je je j
A = + −
−−5
55 5
5 1
542 2
A = + − −55
5 54
54
A =+ − −4 5 5 5 5 5 5
20
e j ·
4 5 25 5 5 25 5A
20 20+ − − −= =
Resolución 22
2 2 3 1 26 3+ −·
2 1 1 22
6 3+ −e j ·
2 1 1 23 3+ −·
1 2 1 23 + −e je j
1 2 1 1223 3− = − = − Rpta.: E
Resolución 23
27 3
32 2
3 3
2 2
3 1 1
5 0 5
2 1
1 1 21
−
+
F
HGGG
I
KJJJ
= −+
FHG
IKJ
− −−
− −−
e j,
( )×( )
�
Resolución 20
Racionalizando cada sumando:
* 1
2 3
1 2 3
2 3 2 3
2 3
2 322−
=+
− += +
−
· e je je j
= +−
2 34 3
1
2 32 3
−= +
* 22
5 3
22 5 3
5 3 5 3
22 5 3
5 322+
=−
+ −=
−
−
· e je je j
e j
=−
−
22 5 3
25 3
e j
∴ A =− 520
Rpta.: E
-
�����
�������� �� ��� ���������
f = = =108 5399
15999
1 60
3
136
××
,
∴ f = 1,60 Rpta.: C
Resolución 27
S = −FHGIKJ −FHG
IKJ −FHG
IKJ −FHG
IKJ −
FHG
IKJ1
12
113
114
115
11
25...
S = 12
23
34
43
2425
· · · · ... ·
∴ S =1
25 Rpta.: C
Resolución 28
Graficamos los intervalos:
Del gráfico vemos que:
A B∩ = 2 6;
Por datos: A Ba
b∩ =2
3;
Por comparación: 22
= a � a = 4
6 = 3b � b = 2
∴ a + b = 4 + 2 = 6 Rpta.: D
Resolución 29
E = +FHGIKJ
−0 9 214
10 24
9, ·,
b g�
E = FHGIKJ +
FHG
IKJ
−910
214
129
49
2
·
Resolución 26
f = 1,09 × 0,53 : 0,36
f = −109 199
5399
3699
× :
∴ Está más cerca: 1130
Rpta.: BE = = =10
994
10 3 53
5
3
1
19 2
· ·
∴ E =53
Rpta.: A
Resolución 30
A = 22
13
423 e j
A = =2 273
143
2
e j
∴ A = 24 Rpta.: D
Resolución 31
3 5 27 7 147
· ·FHIK
3 5 22 7 7 2 147
× ×· ·e j
3 5 214 14 147
· ·e j
( ) ( )77 1414 3 · 5 · 2 30=
= 30
71
214
= =30 301 2/ Rpta.: D
Resolución 32
M = −FHG
IKJ −FHG
IKJ −FHG
IKJ2
1
25
1
510
1
10
M = −FHG
IKJ −FHG
IKJ −FHG
IKJ2
22
55
510
1010
M = −FHG
IKJ
−FHG
IKJ
−FHG
IKJ
2 2 22
5 5 55
10 10 1010
M = 2 4 55
9 10
1
21
52 10
· ·
M = =2 5 9 1025
9 2 5 1025
· · × ×
M = = =9 10025
9 10 185
2
525×
∴ M = 3,6 Rpta.: C
-
������
������� ������� ��������
CAPÍTULO N° 2
RELACIONES Y FUNCIONES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(86, 87, 88, 89, 90, 91, 92)
NIVEL I
Resolución 1
{ } { }= − ∧ =A 2 ; 3 B 1; 2
� A B× ; ; ; ; ; ; ;= − −2 1 2 2 3 1 3 2b g b g b g b gm r Rpta.: D
Resolución 2
I. ( ) ( )0 34 ; 3 1; 27− = − .......... (V)II. ( ) ( )7 1/ 2 0 31 ;16 5 ; 64= ....... (V)III. (3; −2) = (−2; 3) .................. (F)
3 ≠ −2 ∧ −2 ≠ 3
∴ La relación correcta es VVF Rpta.: B
Resolución 3
Se debe cumplir:
(a + 3; 7) = (8; b)
� a + 3 = 8 → a = 5� 7 = bLuego: a + b = 5 + 7
∴ a + b = 12 Rpta.: A
Resolución 4
M = 0 2 4; ;l qLuego: M2 = M × M
� M2 = {(0; 0),(0; 2),(0; 4),(2; 0),(2; 2), (2; 4),(4; 0),(4; 2),(4; 4)}
Rpta.: C
Resolución 5
G = {x∈ /−6 < x < 2}G = {−5; −4; −3; −2; −1; 0; 1}n° elementos de G: n(G) = 7
H = {x ∈ /−5 < x < 0}H = {−4; −3; −2; −1}n° de elementos de H: n(H) = 4
� n(G × H) = n(G) × n(H) = 7 × 4
∴ n(G × H) = 28 Rpta.: C
Resolución 34
Resolviendo, tenemos que:
x
x
+−
=11
3
x x+ = −1 3 1e jx x+ = −1 3 3 4 2= x x = 2 → x = 4
Luego: M = x + x2
M = 4 + 42 = 4 +16
∴ M = 20 Rpta.: B
Resolución 33
Hallamos: 2 3 5 5− = − =x
2 − 3x = 5 ∨ 2 − 3x = −5−3 = 3x 7 = 3x
x = −1 ∨ x =73
Luego:
Σ de soluciones = − + =173
43
b g
∴ Σ de soluciones = 1 3,�
Rpta.: D
Resolución 6
A = {3; 4; 5; 6} y B = {6; 7}
� A ∩ B = {6}Luego: (A ∩ B)× B ={6} × {6; 7}∴ (A ∩ B)× B = {(6; 6);(6; 7)}
Rpta.: E
-
������
�������� �� ��� ���������
Resolución 7
A = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}
B = {3; 4; 5; 6}
R x y A B Yx= ∈ =RSTUVW; × /b g 2
� R = {(8; 4);(10; 5);(12;6)} Rpta.: C
Resolución 8
R x y S T yx= ∈ =RSTUVW; × /b g 2
� R = {(10; 5),(14; 7),(18;9)} Rpta.: A
Resolución 9
R = {(x; y)∈ L × N / y = 2x + 3}
� R = {(−3; −3),(−1; 1),(1; 5)}Luego: Dom R = {−3; −1; 1}
Ran R = {−3; 1; 5} Rpta.: C
Resolución 10
Recuerde que para que sea una función, la primera com-ponente de cada par ordenado, debe tener una sola ima-gen.
∴ Cumple: R1 = {(1; –7);(2; –7);(3; 5)}
Rpta.: A
Resolución 12
Nos dicen que:
{(−5; a + 1) ; (−2;b − 7);(−2; 9);(−5; 10)}
Es una función, entonces se debe cumplir que:
* (−5; a + 1) = (−5; 10)� a + 1 = 10
a = 9
* (−2; b − 7) = (−2; 9)
Resolución 11
Analizamos cada alternativa:
A) f1 = {(−2; −1);(0; 3);(5; 4)} sí es función
B) f2 = {(−2; 3);(5; 7)} sí es función
C) f3 = {(0; −1);(5; 3);(−2; 3)} sí es función
D) f4 = {(3; −2);(4; 0);(4; 5)} no es funciónde B en A
E) f5 = {(−2; 7);(0; 7);(5; 7)} sí es función
Rpta.: D
� b − 7 = 9b = 16
Luego, hallamos:
a b+ = +9 16 25 5= =
∴ a b+ = 5 Rpta.: A
Límite superior
Límite inferior
Resolución 13
Si f(x) = 3x2 − 4x + 5� f(2) = 3(2)2 − 4(2) + 5
f(2) = 9
Si g(x) = 5 − 2x2
� g(−3) = 5 − 2(−3)2
g(−3) = −13Luego: f(2) + g(−3) = 9 +(−13)
∴ f(2) + g(−3)= −4 Rpta.: D
Resolución 14
Sea f(x) = 3x + 7
x ∈ [ 1; 8 ]
Luego:
f(1) = 3(1)+7 → f(1) = 10
f(8) = 3(8) + 7 → f(8)= 31
� f(x)∈ [f(1); f(8)]
∴ Rango = [10; 31] Rpta.: D
Resolución 15
Analizamos las altenativas y podemos ob-servar que (2; 9) no pertenece a la gráfica:
y x= 23
2
Reemplazamos las coordenadas en la gráfica:
Y x= 23
2 ���923
2 2= b g
983
= es falso Rpta.: E
Resolución 16
R = {(x; y)/ x + y es par }
� R = {(4; 6);(6; 4);(5; 5),(5; 7);(7; 5); (7; 7);(4; 4);(6; 6)}
∴ n° de elementos de R = 8 Rpta.: B
-
������
������� ������� ��������
Resolución 24
Recuerde: R1 será simétrica
Si ∀(a; b) ∈ R ⇒ (b; a) ∈RAnalizando cada alternativa:
A) {(1; 1);(1; 2);(1; 3);(3; 1)
(1; 2)∈ R ∧ (2; 1)∉ R∴ No es simétrica.
B) {(3, 2);(2; 3);(3; 1)}
(3; 1) ∈ R ∧ (1; 3) ∉ R∴ No es simétrica.
C) {(1; 3);(1; 2);(1; 1)}
(1; 2) ∈ R ∧ (2; 1) ∉ R∴ No es simétrica.
D) {(1; 2);(2; 1);(3; 3)}
(1; 2)∈ R ∧ (2; 1) ∈ R∴ Sí es simétrica
E) {(3; 2);(2; 3);(1; 3)}
(1; 3) ∈R ∧ (3; 1) ∉ R
∴ No es simétrica Rpta.: D
∴ Son refelexivas: R1 y R3 Rpta.: D
Resolución 20
Se tiene que:
Resolución 17
R = {(x; y) / x > y + 1}
� R = {(6; 4);(7; 4);(8; 4);(7; 5); (8; 5);(8; 6)}
Luego: Dom R = {6; 7; 8}
Ran R = {4; 5; 6} Rpta.: D
Resolución 18
Analizando las altenativas, vemos que nocumple: {(2; 6);(1; 5)}
ya que: 1∉ A Rpta.: C
Resolución 19
Tenemos que:
R1 = {(3; 3);(4; 5);(5; 4);(5; 6);(6; 6)}
Rpta.: E
Resolución 21
Recuerde: (a; b) = (m; n)
⇔ a = m ∧ b = n
Luego: 2 1 5 73 2
2x
y+ = −FHGIKJ; ;b g
� 2x + 1 = 7 ∧ 5 3 22
= −y
x = 3 ∧ y = 4
∴ x + y = 3 +4 = 7 Rpta.: C
Resolución 23
Tenemos que:
R= {(Lima; Perú);(Perú; x);(Caracas; Z);
(Santiago; Y);(Chile; Santiago)}
Recuerde que una relación R será simétrica cuando:
(a; b)∈ R ⇒ (b; a)∈RLuego:
• (Lima; Perú) ∈R� (Perú; Lima) ∈R ∴ x = Lima• (Caracas; Z) ∈R� (Z; Caracas)∈R ∴ Z = Caracas• (Chile; Santiago)∈R� (Santiago; Chile) ∈R ∴ Y = Chile
Luego: A= {x; y; Z}
� A = {Lima; Chile; Caracas} Rpta.: A
Resolución 22
Se tiene: A = {2; 3; 4}
Analizaremos cada alternativa:
A) {(2; 3);(3; 2);(4; 3)(3; 4);(4; 4)}
No es reflexiva ya que le falta: (2; 2) y (3; 3)
B) {(2; 3);(2; 2);(3; 3);(4; 4);(4; 3)}
Como: (2; 2)∈ R ∧ 2 ∈ A(3; 3)∈ R ∧ 3 ∈ A(4; 4)∈ R ∧ 4 ∈ A
∴Sí es refelexivaAdemás: C; D y E no son reflexivas Rpta.: B
-
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�������� �� ��� ���������
Resolución 25
Se tiene:
R = {(2; 5);(3; 7);(3; 3);(5; 2)}
Definida en: A = {2; 3; 5; 7}
Cumple:
Rpta.: C
Resolución 26
A = {2; 3; 4}
En “A” se define la siguiente relación:
R= {(2; a);(2; 3); (b; 4);(3; c);(3; 2)}
y es reflexica
� (2; a) = (2; 2) → a = 2
� (b; 4) = (4; 4) → b = 4� (3; c) = (3; 3) → c = 3Luego: a + b + c = 2 + 4 + 3
∴ a + b + c = 9 Rpta.: D
Resolución 27
Hallamos los elementos del conjunto A
A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Se sabe que: R={(a; b) / a = 2b} definida en A
� R = {(4; 2);(6; 3);(8; 4)
Dom R = {4; 6; 8}
Ran R = {2; 3; 4} Rpta.: D
Resolución 28
Analizamos cada relación:
* R1 ={(x; y) / x es hermano de y}
Luego: (x; y) ∈ R1 ∧ (x; z) ∈ R1� (x; z)∈ R1 (sí cumple)∴R1 es transitiva.
* R2 = {(x; y)/x es de la misma raza que y}
Luego: (x; y)∈ R2 ∧ (y; z) ∈ R2� (x; y)∈ R2 (sí cumple)∴R2 es transitiva.
* R3 = {(x; y)/ x es padre de y}
Luego: (x; y)∈ R3 ∧ (y; z)∈ R3pero: (x; z)∉ R3 (No cumple)∴R3 no es transitiva.
∴ Son transitivas: R1 y R2 Rpta.: D
NIVEL II
Resolución 1
Del conjunto: A={2; 3; 4; 5; 6; 7}
* R1 ={(a; b)/a + 2 = b}
� R1 = {(2; 4);(3; 5);(4; 6);(5; 7)}
Dom R1= {2; 3; 4; 5} → n(DomR1) = 4
* R2 = {(a; b)/a+3=b}
� R2={(2; 5);(3; 6);(4; 7)}
Ran R2 = {5; 6; 7} → n(Ran R2)=3
Luego: n(Dom R1) + n(Ran R2)= 4 + 3 = 7 Rpta.: C
Resolución 3
Se tiene: A = {2; 3; 4; 7}
como:
R= {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(a; 3);(b; a − 1);(c; c)}Es reflexiva
� (2; 2);(3; 3);(4; 4);(7; 7) ∈ R
� c = 7
Como: (a; 3) ∧ (b; a − 1) ∈ R
� b = 2 ∧ a = 3
∴ a + b + c = 12Luego, la relación quedaría así:
R = {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(3; 3);(2; 2);(7; 7)}
����
como: (2; 3) ∈ R ∧ (3; 3) ∈ R
� (2; 3) ∈ R
como: (2; 4) ∈R ∧ (4; 4) ∈R
� (2; 4) ∈ R
Resolución 2
Hallamos los elementos de “A”
A={5; 7; 9; 11}
Se tiene además que:
R={(a; a);(b; b);(c; a);(9; c);(d; d);(c + b − 1; 11)}Es reflexiva y simétrica.
� (5; 5);(7; 7);(9; 9);(11; 11) ∈ RLuego, se debe cumplir que:
� c + b − 1= 11c + b = 12
7 5Además como:
(a; a); (b; b) ; (d; d) ;(c + b − 1; 11) ∈ R
(9; 9); (5; 5) ; (7; 7) ; (11; 11) ∈ R� a = 9 ; b = 5 ; c = 7
∴ a + b + c = 9 + 5 + 7 = 21 Rpta.: A
-
������
������� ������� ��������
UVW � c = 5
Como: (a; c) ∧ (c; a) ∈R ��� (a; a) ∈ Rcumple.
Luego: (c; a) ∧ (a; c)∈RPero (c; c) ∉ R∴ No es transitiva
Relación correcta: VVF Rpta.: C
Tenemos que:
(2; 2);(3; 3);(4; 4);(5; 5) ∈ R
y {2; 3; 4; 5} ∈A
∴ R es reflexiva.
Además: (a; b)∧(b; c)∧(a; c) ∈R
(3; 2)∧(2; 4)∧(3; 4)∈R
∴ R es transitiva Rpta.: E
Resolución 9
Se tiene: M = {8; 9; 10}
Además:
R = {(c + 5; 2c);(a; 8);(b + 5 ; 9);(c + 3 ; b + 6)}es reflexiva.
Como: (c + 5; 2c)∧(10; 10) ∈R� c + 5 = 10
� 2c = 10
Como: (a; 8)∧(8; 8) ∈R
� a = 8
Como: (b + 5; 9)∧(9; 9)∈R� b + 5 = 9 → b = 4
∴ a + b – c = 8 + 4 − 5 = 7 Rpta.: C
Resolución 10
Como:
R = {(2; 3);(4; 9);(3; b);(a + b; 9);(9; c + 1)}
es simétrica.
� (2; 3) ∧ (3; b) ∈R∴ b = 2
� (4; 9) ∧ (9; c + 1)∈R� c + 1 = 4 → c = 3
Luego, la relación quedaría así:
R = {(2; 3);(4; 9);(3; 2);(a + 2; 9);(9; 4)}
� (9; 9) ∧ (a + 2; 9)∈R� a + 2 = 9 → a = 7
∴ a + b + c = 7 + 2 + 3 = 12 Rpta.: C
Resolución 6
n° de relaciones = 22 2× = 24 = 16
Rpta.: E
Resolución 7
I. Si R es una relación de equivalencia, entonces R essimétrica ... (Verdadero)
II. Dado A={2; 3; 4} en él se pueden definir 512 relacionesdiferentes ... (Verdadero)
ya que: # de relaciones = 23×3 = 29 = 512
III. Dado B = {a; b; c; d} se define R⊂B ×B tal que R = {(a;c);(b; d);(c; a);(a; a)}Entonces R es transitiva ........ (Falso)
Resolución 4
Se tiene: A ={4; 5; 8; 9}
R = {(x; y)/x + y, es número par}
� R = {(4; 4);(4; 8);(8; 8);(8;4);(5; 5);
(5; 9);(9; 5);(9; 9)}
∴ n(R) = 8 Rpta.: B
Resolución 5
I. Una relación R definida en el conjunto A es simétricasi(x; y) ∈ R, entonces (y; x) ∈ R ....................... (Verda-dero)
II. Toda relación de equivalencia es una relación simé-trica ........... (Verdadero)
III. n(A × B) = n(A)× n(B) ..... (Verdadero)
IV. Toda función es una relación ...........
....................................... (Verdadero)
∴ Relación correcta: VVVV Rpta.: B
∴ Es transitiva Rpta.: A
Resolución 8
Del gráfico:
Resolución 11
Como:
R = {(4; 4);(a; a);(b; b);(4; 5);(5; c);(5; 6);
(e; e + 2);(6; 4);(d; 5)}
es de equivalencia.
Como: (6; 4) ∧ (4; 5)∈R
� (6; 5)∈R
-
������
�������� �� ��� ���������
Por deducción: (d; 5) = (6; 5)
� d = 6
Como: (4; 5) ∧ (5; 6)∈R� (4; 6)∈R
Por deducción: (e; e + 2) = (4; 6)
� e = 4
Como: (5; 6) ∧ (6;5)∈R� (5; 5)∈R
Pero hay: (a; a)=(5; 5) → a = 5
(b; b) = (6; 6) b = 6
Luego, la relación quedaría así:
R = {(4; 4);(5; 5);(6; 6);(4; 5);(5; c);(5; 6);(4; 6);(6; 4);(6; 5)}
Notamos que falta: (5; c) = (5; 4)
� c = 4
a + b + c + d + e = 5 + 6 +4 + 6 + 4
∴ a + b + c + d + e = 25 Rpta.: E
Resolución 12
Se tiene: R = {(1; 3);(2; 6);(3; 9)}
Analizamos las alternativas, vemos que cumple la “B”
R a b ab a b= = +; /b go t413 = 1 + 4(3) = 13
26 = 2 + 4(6) = 26
39 = 3 + 4(9) = 39 Rpta.: B
Resolución 13
M = {x∈ / −2 ≤ x < 2}� M = {−2; −1; 0; 1}
N = {3x − 2/ 4 < x < 7 ; x ∈ IN }� N = {13; 16}
Luego: M×N = {(−2; 13);(−2; 16);(−1; 13); (−1; 16);(0; 13);(0; 16); (1; 13);(1; 16)}
∴ (−2; 5) ∉ M × N Rpta.: B
Resolución 14
Analizamos cada alternativa:
A) {1; 3} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementosB) {2; 4} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementosC) {1; 2; 3; 4} × {4; 6; 8} → tiene 12 elementosD) {1; 2; 3; 4} × {2; 3; 4; 6; 7; 8}
→ tiene 24 elementos
E) {1; 2; 3; 4} ×{2} → tiene 4 elementos
Rpta.: D
Resolución 15
S = {6 − 3x / 5 ≤ x < 7 ; x ∈ }
S = {6 − 3(5) ; 6 − 3(6)}
S = {−9 ; –12}
S2 = {(−9; −9);(−9; −12);(−12; −9);(−12; −12)}
Rpta.: B
Resolución 16
Hallamos los elementos de cada conjunto:
A = {3x + 4 / −6 < x ≤ 1 ; x ∈ }
� A = {−11; −8; −5; −2 ; 1; 4; 7}
Bx
x x= − − ≤ < ∈RSTUVW
22
6 3/ ;
�7 5 3 1
B 4; ; 3; ; 2; ; 1; ; 02 2 2 2− − − − = − − − −
Hallamos los elememtos de R:
R x y A B yx= ∈ = +RST
UVW; × /b g5
2
R = − − − −FHGIKJ −
RSTUVW
11 3 832
5 0; ; ; ; ;b g b g
Rpta.: D
Resolución 17
Hallamos los elementos de “T” :
T = {2x2 −10 / −3 ≤ x < 4 ; x ∈ }
T = {−10; −8; −2; 8}Ahora se sabe que:
R = {(x; y)∈ T × IN/ y = 4 − 2x}Hallamos los elementos de la relación R:
R = {(−2; 8);(−8; 20);(−10; 24)}
∴ Dom R = {−2; −8; −10} Rpta.: E
Resolución 18
Hallamos los elementos de “J” :
J = {10 − x2 / −6 < x ≤ 2 ; x ∈ }J = {−15; −6; 1; 6; 9; 10}Ahora, se sabe que:
R = {(x; y)∈ J × / y = 30 − 3x}Hallamos los elementos de la relación R.
R = {(−15; 75);(−6; 48);(1; 27);(6; 12);(9; 3);(10; 0)}
∴ Ran R = {0; 3; 12; 27; 48; 75}
Rpta.: A
-
������
������� ������� ��������
Resolución 24
La ecuación de la parábola es de la forma:
(x − h)2 = 4p(y − k) ... (α)Donde: vértice = (h; k)
Sea la parábola: y = 2x2 + 4x − 1Para hallar el vértice damos la forma de (α), completandocuadrados:
y = 2x2 + 4x − 1y = 2(x2 + 2x) −1y = 2[(x + 1)2 − 1] −1y + 1= 2(x + 1)2 − 2y + 3 = 2(x + 1)2
(x + 1)2 = 12
(y + 3)
� (x − (−1))2 = 12
(y − (−3))
(x − h)2 = 4p(y − k)Donde: h = −1 ∧ k = −3∴ Vértice = (−1; −3) Rpta.: A
Notamos que:
{(1; 1);(5; 2);(9; 0)} no es función de A en B.
Ya que: 9 ∉ A Rpta.: C
Resolución 21
Sabemos que: f(x) = 4x − 1g(x)= 2x + 13
Hallamos: g(−7) = 2(−7) + 13
� g(−7) = −1
Luego: f(g(−7)) = f(−1) = 4(−1)−1 = −5
∴ f(g(−7)) = −5 Rpta.: E
Resolución 22
Para graficar: y = 2x + 1
Hacemos: x = 0 ��� y = 2(0) + 1
y = 1
Obteniendo la coordenada: (0; 1)
Hacemos: y = 0 �� 0 = 2x + 1
x =−12
Obteniendo la coordenada: −F
HGIKJ
12
0;
Ubicamos dichas coordenadas en el plano cartesiano:
Rpta.: B
Resolución 23
Los valores del rango están expresadospor los valores que toma “y”
Tenemos que: h x x( ) = −13
4 ; x ∈ −3 6;
y x= −13
4 ∧ −3 < x ≤ 6
Damos forma conveniente a:
−3 < x ≤ 6− < ≤33 3
63
x
− < ≤13
2x
(Restamos: 4)
− − < − ≤ −1 43
4 2 4x
��
−5 < y ≤ −2
∴ Rango = − −5 2; Rpta.: E
Resolución 19
Por dato:
{(a; 3b);(a; a + b);(2b; 12)} , es una función
� (a; 3b) = (a; a + b)
3b = a + b → 2b = aLuego: (a; 3b) = (2b; 3b)
� (2b; 3b) = (2b; 12)
3b = 12 → b = 4
� a = 8
Finalmente: a − b = 8 − 4 = 4
∴ a − b = 4 Rpta.: C
Resolución 20
Hallamos los elementos de los conjuntos:
A = {1; 3; 5; 7}
B = {0; 1; 2}
-
������
�������� �� ��� ���������
Resolución 25
Sea: y = 3x2 − 12x + 20 (Parábola)
Como: 3 > 0 ; la gráfica se abrirá hacia arriba
� Las alternativas descartadas.
Completamos cuadrados para hallar el vértice.
y = 3x2 − 12x + 20y = 3(x2 − 4x) + 20y − 20 = 3[(x − 2)2 − 4]y − 20 = 3(x − 2)2 − 12y − 8 = 3(x − 2)2
(x − 2)2 = 13
(y − 8)
(x − h)2 = 4p(y − k)
Donde: h = 2 ∧ k = 8� Vértice = (2; 8)
Luego, la gráfica es:
Rpta.: CResolución 26
Como: f(x) = 3x2 − 1
Hallamos: f(5) = 3(5)2 − 1 = 3(25) −1
� f(5) = 74
f(2) = 3(2)2 − 1 = 3(4) -1
� f(2) = 11
f 6 3 6 1 3 6 12
e j e j= − = −( )
� f 6 17e j =
Reemplazamos estos valores hallados en:
f f
f
5 2
6
74 1117
8517
b g b ge j
+= + =
∴f f
f
5 2
65
b g b ge j
+= Rpta.: A
Resolución 27
Se tiene:
De la gráfica, vemos que: f(0) = −9 f(–1)= −5 f(−2) = −9
Luego:
k = f(0)+f(−1)+f(−2) = (−9)+(−5)+(−9)∴ k = −23 Rpta.: C
Reemplazamos los valores hallados en:
f(−2) + (g(4))2 = 23 + 132
e j∴ f(−2) + (g(4))2 = 36 Rpta.: B
Resolución 28
Sea: f(x) = 4x2 − 2x + 3� f(−2) = 4(−2)2 − 2(−2) + 3 = 4·4 + 4 + 3� f(−2) = 23
Sea: g(x) = x2 3−
� g 4 4 3 16 32b g = − = −� g 4 13b g =
Resolución 29
El rango viene a ser los valores que toma “y”
Así, tenemos que:
f x xb g = −12
3 ∧ x ∈ −2 4;
y x= −12
3 ∧ −2 < x < 4
− FHGIKJ < <
FHG
IKJ2
12
12
412
x
− <
-
������
������� ������� ��������
Como: (7; 4) ∧ (4; 8)∈R ∧ (7; 8) ∈R
� R no es transitiva.
Luego: R es reflexiva y simétrica.
∴ Cumple: sólo I y II Rpta.: C
Resolución 32
Si f(x) = x2 + 3
� f(10) = 102 + 3 = 103
� f 40 40 3 432
e j e j= + =
� f 20 20 3 232
e j e j= + =Reemplazamos los valores hallados en:
f f f10 40 20b g e j b g+ +
103 43 23 169+ + =
= 13 Rpta.: B
Resolución 33
Del gráfico:
Vemos que: f(0) = 3
f(1) = 2
f(2) = 3
Luego: M = f(0) + f(1) − f(2)
M = 3 + 2 − 3
∴ M = 2 Rpta.: D
Como: (1; 2) ∧ (2; 1) ∈R ���(1; 1) ∈ R
� (a; a) = (1; 1) a = 1
Como: (2; 1) ∧ (1; 2) ∈R � (2; 2) ∈R
� (c; c) = (2; 2) c = 2
Como: (2; 1) ∧ (1; b) ∈R � (2; b) ∈ RComo: (2; 3) ∈R ∧ (2; b) ∈R
� (2; 3) = (2; b) � b = 3
∴ a + b + c = 1 + 3 + 2 = 6 Rpta.: C
Como ∀ a ∈ A ∃ (a; a)∈R� R es reflexiva.
Como: ∀ (a; b)∈R ��� (b; a) ∈R
� R es simétrica.
Resolución 34
Sabemos que:
R = {(1; 2);(2; 1);(a; a);(c; c);(2; 3);(1; b)}
es transitiva.
Resolución 30
Para graficar es suficiente conocer 2 puntos, ya que lafunción es una recta.
Hallamos dichos puntos:
* Para: x = 0 �� y = −02
1 → y = –1
Dando el punto : (0; 1)
* Para: y = 0 �� 0 21= −x → x = 2
Dando el punto: (2; 0)
Ubicamos los puntos y graficamos:
Rpta.: C
Resolución 31
Sea la parábola: y = −x2 + 2x − 1A esta ecuación le damos la forma:
(x − h)2 = 4p(y − k)Donde: vértice = (h; k)
Multiplicamos por (−1)a ambos lados:y = −x2 + 2x −1−y = x2 − 2x + 1−y = (x − 1)2 , le damos forma(x − 1)2 = −1 (y − 0)
h = 1 k = 0
∴ Vértice = (1; 0) Rpta.: C Resolución 35
Dado el conjunto: A = {4; 8; 7; 9}y la relación
R = {(4; 4);(4; 8);(4; 7);(8; 8);(8;4);(7; 7);(7; 4);(9; 9)}
-
������
�������� �� ��� ���������
CAPÍTULO N° 3LEYES DE EXPONENTES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(110, 111, 112)
NIVEL I
Resolución 1
Aplicando: Am + n = Am · An
Obtenemos:
5 5
4 5
5 5 5
4 5
1 1m m
m
m m
m
+ − = −·
·
·
=− = =5 14
44
1 Rpta.: A
Resolución 2
Aplicando: (−b)par = bpar
(−b)impar = −bimpar
Obtenemos:
(22)3 − (−2)4 − (−2)5 = 43 − 24 − (−25) = 64 − 16 + 25
= 64 − 16 + 32
= 80 Rpta.: C
Resolución 3
Aplicando: Am + n = Am · An
Obtenemos:
2 2
3
2 2 2
3 3
3
2
1 3
2
1a a
a
a a a
a
a+
++L
NMM
OQPP
= +LNMM
OQPP
/ /·
·
=+L
NMMM
O
QPPP
2 2 1
3 9
31
a
a
ae j
·
/
=LNMM
OQPP
=LNMM
OQPP
2 9
3 9
2
3
1 1a
a
a a
a
a·
·
/ /
= FHGIKJ
LNMM
OQPP
23
1a a/
=23
Rpta.: B
Resolución 4
Aplicando: (−b)impar = −bimpar
A Amn P m n pe jLNMOQP =
× ×
Obtenemos:
Mx x
x
=
LNM
OQP
LNM
OQP
−−
−−
6 2 32
4 23
· ( )
e j
Resolución 5
Si 12x = 4 · 3x = 3x · 4
� x12 = x4·3x = x3x·4
Aplicando: Am×n = (Am)n
Obtenemos: x x xX x x12 3 4 3 4= =· e j∴ El exponente de x3x es 4 Rpta.: B
Mx x
x=
FHG
IKJ−
−
− −
6 23
2
4 2 3
·( )·( )·( )
Mx x
x=
−FH IK −6 23 2
24·
·b g
Mx x
x=
− −6 8 2
24· ( )·( )
Mx x
xx= = + −
6 16
246 16 24·
∴ M = x−2 Rpta.: D
Resolución 6
Aplicando: (Am)n = Am×n
b1 = b ∧ b° = 1Obtenemos:
a a a a a7 34 15 4 6 2 7
0· · · ·e j e j− =
= a7· a3×4· a1· a−4×6· a21
= a7·a12·a1·a-24·a2
Aplicando: Am·An·Ap=Am+n+p
Obtenemos: a7+12+1+(−24)+2 = a−2 Rpta.: D
Resolución 7
Tenemos que: x6 = x3·x3 ∧ x4 = x3·x
� (x6 + x4)x-3 = (x3·x3+x3·x)x-3
= (x3·(x3+x))x-3
= x3·(x3 + x)·13x
= x3 + x ... (α)
-
������
������� ������� ��������
13 1 3
3
1 127 27
2764
− =−
=
=
−
64
1
273
=−
64
13
= = =1
64
1
64
141 3 3/
Rpta.: C
Obtenemos:
− + = − +2 4 2 4251 2 271 3 25 27
3
b g b g b g b g/ /
= (−2)5 + (4)3
= −25 + 43
= −32 + 64
= 32 Rpta.: C
Iguales
Aplicando: A An n=1
Am · An = Am + n
Obtenemos:
x x xa a1
31
25
12· =
x xa a1
31
25
12+
=
x x
a a
a
2 3
65
122+
=
x x
a
a
5
6 25
12=
x xa5
65
12=
�
56
512a
=
12 · 5 = 5 · 6a
12 = 6a → a = 2 Rpta.: B
Resolución 10
Aplicando: AA
nn
− = 1 ∧ b° = 1
Obtenemos:
Resolución 8
Por dato:
x x xa a3 2 5 12· /=
Pero: x3 = 8 → x3 = 23
x = 2
Luego: x3 + x = 8 + 2 = 10 Rpta.: C
Resolución 9
Aplicando: AA
nn
− = 1
Obtenemos:
5 25 2
5 21
512
n n
n n
n n
n n
++
= +
+− −
= ++
5 2
2 55 2
n n
n n
n n·
=+
+
5 2 5 2
2 5
n n n n
n n
e j ·
= 5n · 2n = (5 · 2)n
= 10n Rpta.: B
Resolución 11
Sabemos que: x −n = 9 ............. (α)
�1
9xn
= � xn =19
.... (β)
Aplicando: Am·n = (Am)n
Tenemos que:
81x2n + x−2n = 81xn·2 + x−n·2
= 81(xn)2 + (x−n)2
Reemplazamos: (α) y (β)
= FHGIKJ +81
19
92
2b g
= +81181
81·
= 82 Rpta.: C
Resolución 12
Aplicando: A An n
1
=
(−b)impar = −bimpar
-
������
�������� �� ��� ���������
Resolución 13
Aplicando: a b a bn nn= ·
A Apmn n m p= × ×
Obtenemos:
2 2 2 28
2
8FHG
IKJ =
FHGG
IKJJ·
= FHIK2 2
22 2 28
·× ×
= 888
e j
= 8 Rpta.: C
Resolución 14
Aplicando: a b a bn nn= ·
A Amnm n
=/
Obtenemos:
3 3 3 35 2 52 2− −= e j ·
= −3 310 22 2 ·×
= =−3 310 24 84
= 3
84 = 3 2
∴ El exponente de 3 es 2 Rpta.: B
Resolución 15
Aplicando: (Am)n = Am×n
b° = 1
Obtenemos:
( )
( )
( ) ( )
3
5
56
101 531 31 1 53
0
7 · 57 · 5
12 4 6 8 10
−−− × −
=
+ + + +
= 7 535
53·
×
= 7 533
·
= 7 × 5
= 35 Rpta.: B
UV|
W|M
����n
Entonces:
MM
= 8 �������� MM
2 8=
Resolución 16
Sea: K = +3 3 3 6......
Hacemos:n
n
= 3 3 3......� ��� ��
������n n= 3 ·
n2 = 3n → n = 3Reemplazamos el valor de “n” en:
K = +3 3 3 6......
K n= + = + =6 3 6 9
∴ k = 3 Rpta.: A
Resolución 17
Sea: M = 888
M3 = 8
M = 2
Luego: 4 + M = 4 + 2 = 6 Rpta.: B
Resolución 18
x y x y x y
xy xy xy xy
veces
veces
· · · · ...... · ·
· · · ...... ·
3 3 3
60
20
� ������� ������
� ������ �����
x x x x y y y y
xy
veces veces
· · · ... · · · · · .... ·
30
3 3 3 3
30
20
� ����� ���� � ����� ����
e j
x y
x y
e j e j30
330
20 20
·
·
Aplicando: A Amnmn=
A
AA
m
nm n= −
-
������
������� ������� ��������
= = =4 4 4
1
412
= 2 Rpta.: A
Obtenemos:
2243 3 · 3
2 4
− +
94
34
81124
812 2
+LNMOQP =
LNM
OQP
− −· ·
= 3−2·81
=1
3812 ·
= =1 81 9
1
9
9·
Rpta.: B
= −2
2 2
2 9
20 8
e j·
= + −2
2
2 9
20 8
×
( )
= =−2
22
18
1218 12
= 26 = 64
Rpta.: B
Aplicando: AB
BA
n nFHG
IKJ =
FHG
IKJ
−
1
AAn
n− =
Resolución 19
Tenemos:
22 1
42 4 13 3 3
−− −
−
+ ⋅
Obtenemos:
x y
x y
x y
x y
x
x
302
303
202
202
15 10
10 10
15
10·
·
·
·= =
= x15-10
= x5 Rpta.: C
Resolución 20
Aplicando: AA
nn
− = 1 ∧ A An n1
=
Obtenemos:
NIVEL II
Resolución 1
Aplicando: Am·An·AP = Am+n+p
A Amn m ne j = × A
AA
m
n
m n=
−
Obtenemos:
4 4 4
2 16
4
2 2
4
2 2
7 6 10
20 2
7 6 10
20 4 2
9
20 4 2
−
−
− + +
− −= =· ·
· · ·×( )e j
Resolución 2
Sea: 3 5 8 2
2
81 25 2 2
2
4 2
3 4
3
3 4
−=
−+ +
e j b g e j· · · ·xx
x
x
Aplicando: A Amn m ne j = × A A Am n m n+ = ·
Obtenemos:
81 25 2 2
2
56 2 2
2 2
3
3 4
3
3 4
−=+
b g e j· · · ··
x
x
x
x
= =56 2
167
·
Rpta.: B
Resolución 3
Rx x
x
=
LNM
OQP
LNM
OQP
−−
−−
12 3 43
6 32
· e j
e j
Aplicando: ( )pnm m n pA A × ×
=
A Am n mn× = e j
Obtenemos:
Rx x
x=
− −
− −
12 3 4 3
6 3 2·
( )· ·( )
( )· ·( )
R x x
xx x= = =
12 36
3612 2 6· ×
R x= 26
e j∴ EL exponente de “x2” es 6 Rpta.: B
-
������
�������� �� ��� ���������
Resolución 4
Reducimos: x x xa a a· ·2 3
Aplicando: A Amnmn=
Obtenemos: 1 1 1a 2a 3ax · x · x
Aplicando: Am·An·Ap = Am+n+p
Obtenemos:
xa a a1 1
21
3+ +
x a116 ← Es de grado=
112
�116
112a
= → a = 22
Reemplazamos el valor de a = 22 en:
x xa11 2211=
Aplicando: A Amnmn=
Obtenemos:
x x x2211
2211 2= =
∴ El grado es 2 Rpta.: B
Resolución 5
Reducimos: x x xn2 ·
Aplicando: a b a bn nn= ·
A Anm m n= ×
Obtenemos: x x x x x xn n2 2 2= · ·
= x x xn2 24 ·
Aplicando: Am·An = Am+n A Amnmn=
= +x x n2 4 2· =+
x x
n
2
24·
=+ +
x
n2
24
Por dato: 22
44+ + =n
Grado
Resolución 6
Sea:2 4
2 8
14 5
10 2++
Aplicando: A Amn m ne j = ×
Obtenemos:
2 2
2 2
2 2
2 2
14 2 5
10 3 2
14 10
10 6
+
+= +
+
e je j
=+
+
2 2 2
2 2 1
6 8 4
6 4
e je j
=+
+
2 2 1
2 1
4 4
4
e j
= 24 = 16 Rpta.: E
Resolución 7
Aplicando: A Amnmn=
Am·An = Am+n
Reducimos:
x x x xa a a a5 321
532· ·=
24
2+ =n ����� 2 + n = 8
∴ n = 6 Rpta.: C
=
+x a a
15
32 = x a
1710
Por dato: x xa17
101720=
Si las bases son iguales, los exponentes son iguales.
17
101720a
=
∴ a = 2 Rpta.: B
Resolución 8
= =2 216 2 8×
Aplicando: Am×n = (Am)n
Obtenemos:
∴ Es la octava potencia Rpta.: D
-
������
������� ������� ��������
49
49
32
1
25 32
15F
HGIKJ =
FHG
IKJ
−−
−−
= FHGIKJ
−49
1
321 5/ = FHGIKJ
−49
1
325
= FHGIKJ
−49
1
2 = FHGIKJ = =
49
94
32
1
2
Rpta.: BResolución 10
Aplicando: Am+n = Am·An
Tenemos que:
5 3
3 3 3
5 3 3
3 3 3 3 3 3
5
4 3 2
5
4 3 2
n
n n n
n
n n n
+
+ + +− −=
− −
e j e j· ·· · ·
Factorizando:5 3 3 3
3 3 3 3 1
2 3
2 2
· · ·
·
n
n − −e j
5 3
3 3 1
1355
3
2·
− −=
= 27 Rpta.: D
AA
nn
− = 1
A An n1
=49
32
1
251 2FHG
IKJ
−− /
Resolución 9
Aplicando:AB
BA
n nFHG
IKJ =
FHG
IKJ
−
A Amn mn=
Tenemos que:
92
35
32
2581
29
53
23
2581
1 2
2 0 5
2
2 1 2
FH
IK +
FH
IK
FH
IK +
FH
IK
=
FH
IK +
FH
IK
FH
IK +
FH
IK
− −
− , /
=
+
+
29
259
49
2581
=
+=
279
49
59
399
= 3 Rpta.: C
Resolución 12
49
32 251 2
FHG
IKJ
− −− / Sabemos que:
Resolución 11
Aplicando: AA
nn
− = 1
An·Bn = (A·B)n
Tenemos que:
En n
n nn= +
+− −3 5
3 5
En n
n nn
n n
n n
n n
n= +
+= +
+3 51
31
5
3 5
5 3
3 5·
E n nn= 3 5·
E nn= 3 5·b g∴ E = 15 Rpta.: C
Resolución 13
Aplicando: a b a bn nn= ·
A Apnm m n p= × ×
Tenemos que:
2 2 2 23372
233
72L
NMMM
O
QPPP
=L
N
MMM
O
Q
PPP
·
= 83 2 3 2 272
× × × ×
= 87272
= 8 Rpta.: D
Resolución 14
Aplicando: A Amnmn=
A
AA
m
nm n= −
Tenemos que: 55
5
5
3
3
3
3
n nnn n
n( )( )
++
= =+5
5
3
3
n
= 5n + 3 − 3 = 5n
∴ El exponente de 5 es n
Rpta.: A
-
������
�������� �� ��� ���������
Resolución 15
Aplicamos la siguiente regla práctica:
x x x xm q srpn
mp q r snpr· ·
( )
=
+ +
x x xm qpn
mp qnp
· =
+
4 2 4
4 64
2 2 2
2 2
3
34
2 1 2223
2 634
· ·
·
· ·
·=
(2·2 1)2 23·2·2
2·3 64·3
2
2
+ +
+=
= =2
2
1
1212
1212
Rpta.: A
Resolución 16
25 5 53416
· ·−LNM
OQP
5 5 52 34216
· −LNM
OQP
Aplicamos la siguiente regla práctica:
(mp q)r s
p nprrn m q sx · x · x x
+ +
=
5 5 5 52 34216 2 4 3 2 1
2 4 2
16
· ·
( · )· ·−− +L
NMOQP
=L
NMM
O
QPP
=L
NMM
O
QPP5
1116
16
Aplicando: (Am)n = Am×n
Tenemos que: =L
NMM
O
QPP = =5 5 5
1116
16 1116
1611
×
∴ El exponente de 5 es 11 Rpta.: C
Resolución 17
Tenemos que:
5 5 5 5 5 25· · · ...· · ·
5 5 5 5 5 5· · · ...· · ·
5 5 5 5 25· · · ...· ·
5 5 5 5 5· · · ...· ·
5 5 5 25· · · ...·
5 25· = 5 5 25· = = 5
Rpta.: B
Resolución 19 Si: 8 26 = nn
Pero: 8 2 26 32 3= =×
Vemos que:
2 2 2 2 232 3 42 4 52 5 2= = = = =× × × .... aa
Como: 8 2 26 32 3= =× nn
� 2 22nn aa=
....
.Resolución 18
x x x x n3
10 4 15= − −· ·
x x x x n3
10 4 1 225= − −· ·
Aplicamos la regla práctica:
(mp q)r sp nprrn m q sx · x · x x
+ +
=
Obteniendo:
x x
n310
4 2 1 25 2 2=
− −( · )· ·
x xn3
10
1420=
−
Luego, a bases iguales, exponentes iguales.
�3
1014
20= − n
n = 8
Finalmente:
n + = + = =1 8 1 9 3 Rpta.: A
-
������
������� ������� ��������
Ex y
x y=
e j e j60
560
330
·
Aplicando: A Anm
mn=
(A·B)n = An·Bn
� A =12
Resolución 20
Tenemos que:
Ex y x y x y
x y x y x y
veces
veces
=· · · · ....· ·
· · .... ·
5 5 5
120
3 3 3
30
� ������� ������
� ������ �����
Ex x x x y y y
x y
veces
y
veces
=FH
IK
· · · ... · · · · · ... ·
60
5 5 5 5
60
330
� ����� ���� � ����� ����
Luego: n = 2a ∧ 2n = 2a
→ 2(2a)= 2a
4a = 2a
Analizando:Si a = 1 → 4(1) = 21
4 = 2 → no cumple
Si a = 2 → 4(2) = 22
8 = 4 → no cumple
Si a = 3 → 4(3) = 23
12 = 8 → no cumple
Si a = 4 → 4(4) = 24
16 = 16 → cumple
� a = 4
Entonces: n = 2a = 2(4) → n = 8
Hallamos: n + = + =1 8 1 9 = 3
Rpta.. D
Resolución 21
Aplicando: AA
nn
− = 1 ∧ A Amn mn=
Calculamos:
= = =−
161
161
16
14
1 4 4/
Obtenemos:
Ex y
x y
=
602
605
303
·
·e j �� E
x y
x y=
30 12
10
·
·e j
Aplicando: A B A Bn n n· ·=
Tenemos que: Ex y
x y=
30 12
10 10
·
·
Ex y
x y
=
302
122
10102
·
·
� Ex y
x y=
15 6
10 5·
·
Aplicando:A
AA
m
nm n
=−
Tenemos que:
E = x15−10 · y6−5
∴ E = x5 · y Rpta.: B
-
������
�������� �� ��� ���������
B = = = =−
641
64
1
64
18
12
1 2/
� B =18
Luego: A B· · ·−−
= FHGIKJ = =
111
218
12
8 4
∴ A · B−1 = 4 Rpta.: B
2 3x x
5 53 3+
=
Si las bases son iguales, los exponentes serán iguales.
�
25
35
xx= +
∴ x = −1 Rpta.. B
Resolución 24
Aplicando la siguiente fórmula:
x a a a a= · · · · ...
� x = a
Tenemos que:
A = 13 13 13· · · ...
� A = 13
B = 3 3 3· · · ...
� B = 3
Luego: A B+ = + =13 3 16 4
∴ A B+ = 4 Rpta.: D
Resolución 22
Aplicando: (Am)n = Am·n
A Amnmn=
Am·An = Am+n
Tenemos que:
9 3 275 5x x= ·
3 3 325 35e jx x= ·
3 3 325 35x x= ·
3 3 3
25
35
xx= ·
Resolución 23
Hacemos: M = 6 6 6 6· · · · ...
Esta expresión esigual a "M"
� ��� ��
M M= 6 ·
M2 = 6M → M = 6
Reemplazamos el valor de “M” en:
K = +19 6 6 6· · · ...
K M= +19
K = + = =19 6 25 5
∴ K = 5 Rpta.: C
-
������
������� ������� ��������
• El exponente de la variable “z” es 6
� Grado relativo a “z” : G·R(z) = 6
Luego: G·R(y) + G·R·(z) = 1+ 6
∴ G·R·(y) + G·R·(z) = 7 Rpta.: C
A = 4
CAPÍTULO N° 4
POLINOMIOS EN IREJERCICOS DE REFORZAMIENTO (POLINOMIOS). Pág.(135, 136, 137, 138)
NIVEL I
• El exponente de la variable “y” es 1
� Grado relativo a “y” : G·R·(y) = 1
B = 125125125
� B = 1253
B = 5
Luego: A B+ = + = =4 5 9 3
∴ A B+ = 3 Rpta.: B
Resolución 25
Aplicando la siguiente fórmula:
xa
a
a
a
=
����� x a= 3
Tenemos que:
A = 646464
� A = 643
Resolución 1
Sea: Q(x; y; z) = 8x4yz6
Resolución 2
Sea: 5x2a-b+3 y3b+1
Luego: G·R·(x) = 2a − b + 3 = 6 ... (I)G·R·(y) = 3b + 1 = 16 ....... (II)
De (II) tenemos que:
3b + 1 = 16
3b = 15 → b = 5 Rpta.: C
Resolución 3
Sea: P(x; y) = 9xy3b − 1
� G(P) = 1+ (3b − 1) = 3b
� G(P) = 3b
Resolución 4
Sea el monomio: P(x; y) = 12x3n+2 y6
Grado del monomio: G(P) = (3n + 2) + 6 ...(I)
Por dato: G(P) = 14 ............................... (II)
De (I) y (II) tenemos que:
(3n + 2) + 6 =14
3n + 8 = 14
3n = 6 → n = 2Rpta.: A
Sea: Q(x; y) = 5xy11
� G(Q) = 1 + 11 = 12
� G(Q) = 12
Como: P(x; y) = 9xy3b−1 y Q(x; y) = 5xy11
Son términos semejantes, entonces sus grados son igua-les:
� G(P) = G(Q)
3b = 12 → b = 4 Rpta.: B
-
������
�������� �� ��� ���������
Resolución 5
Efectuando: (x5· ya)(x4·y3)=x5+4 ·ya+3
= x9 ya+3
Hallamos el grado del monomio x9ya+3 :
Grado = 9 + (a + 3)
Por dato: Grado = 17
� 9 +(a + 3) = 17
∴ a = 5 Rpta.: C
Resolución 6 Sea:
( )6 m 9 n
2 mx y
R x; yx
− +
−=
R(x; y) = x(6−m)−(2−m) y9+n
R(x; y) = x6−m−2+m y9+n
R(x; y) = x4 y9+n
G.A.(R) = 4 +(9 + n)
Por dato: G·A·(R) = 21
� 4+(9+n) = 21
13 + n = 21
∴ n = 8 Rpta.: C
Resolución 7
Reducimos:
P(a) = −5a(a + 2)− 6a(a − 3)+ 3a(a − 2)+ 8a2
P(a) = −5a2 − 10a − 6a2 + 18a + 3a2 − 6a + 8a2
P(a) = −5a2 − 6a2 + 3a2 + 8a2 − 10a + 18a − 6a
P(a) = −11a2 + 11a2 + 2a
∴ P(a) = 2a Rpta.: A
Resolución 8
Reducimos:
E = −x−(−x−y) − (−y + x)− yE = − x + x + y + y − x − y
∴ E = y − x Rpta.: B
Resolución 9
Sea:P(x; y; z) = 6x3y2z5 − 9x2y6z4 + 13xy7z5
Grado del monomio: 6x3y2z5
� 3 + 2 + 5 = 10
Grado del monomio: 9x2y6z4
� 2 + 6 + 4 = 12
Grado del monomio: 13xy7z5
� 1 + 7 + 5 = 13
Luego: grado absoluto del polinomio es:
G·A· (P) = 13 Rpta.: C
Resolución 10
Sea: R(x) = x4m−3 + x4m−5 + 6
Como el grado absoluto de R(x), es igual al mayor gradoabsoluto de uno de sus téminos, analizamos y vemos que:
4m − 3 > 4m − 5� G·A·(R) = 4m − 3Por dato: G·A·(R) = 25
� 4m − 3 = 25
∴ m = 7 Rpta.: C
Resolución 11
Sea: Q(x) = 3mxm + 6mxm−1 + 11mxm−2
Analizando los exponentes de cada término, vemos que:
m > m − 1 > m − 2� G·A·(Q) = 6
Por dato: G.A(Q) = 6
� m = 6
El coeficiente de mayor valor será:
11m = 11(6) = 66 Rpta.: D
Resolución 12
Si: M = a3xa+8 yb-4
N = b2 xb+5 y-a+5
Donde: “M” y ”N” son términos semejantes
� x a+8 = x b+5
a + 8 = b + 5
a − b = –3 ........... (I)
� y b−4 = y −a+5
b − 4= −a + 5b + a = 9 ........... (II)
Sumando (II) + (I):
b + a = 9 (+)a − b = −32a = 6 → a = 3
Reemplazando el valor de “a=3” en (I) tenemos que:
3 − b = −3 b = 6
Luego: a×b = 3×6 = 18 Rpta.: B
Resolución 13 Sea:
P(x; y) = 3xa−8y6 + 4xa−11y5 + 7xa−13y20
Analizando los exponentes de“x” tenemos que:
a−8 > a − 11 > a − 13
-
������
������� ������� ��������
Resolución 14 Sea:
Q x y x yaa; ·b g = − 3 62
Q x y x yaa a; ·b g = − −32 62
Q x y x y
aa a; ·b g = − −3
26
2
Por dato: G·A·(Q) = 9
�3
26
29
aa a−
+−
=
3 62
9a
a+
−=
3a + 6 = 9(a − 2)3a + 6 = 9a − 18
24 = 6a → a = 4 Rpta.: B
Resolución 16 Sea:
P(x; y) = 6xm+2 yn+3 + 4xm+1 y2n−1
Donde:
* Grado del monomio 6xm+2 yn+3 es:
(m + 2) + (n + 3) = m + n + 5
* Grado del monomio 4xm+1 y2n − 1 es:
(m + 1) + (2n − 1) = m + 2n
Como: P(x; y) es homogéneo
� m + n + 5 = m + 2n
∴ n = 5 Rpta.: C
� G·R·(x) = a − 8
Por dato: G·R·(x) = 5
� a − 8= 5 → a = 13
Luego:
P(x; y) = 3x13−8y6 + 4x13−11y5 + 7x13−13y20
P(x; y) = 3x5y6 + 4x2y5+7y20
Donde:
• Grado del monomio: 3x5y6 es:
5 + 6= 11
• Grado del monomio: 4x2y5 es:
2 + 5 = 7
• Grado del monomio: 7y20 es:
20
∴ G·A·(P) = 20 Rpta.: B
Resolución 15 Reduciendo:
Ex x x
x x
=
LNM
OQP
LNM
OQP
5 3 42
3
2 4 53
e j
e j
· ·
·
Ex x x
x x=
5 3 42
3
2 4 53
×
×
· ·
·
Ex x x
x x=
15 4 2 3
8 5 3
· ·
· � E
x x
x=
+
+
15 4 2 3
8 5 3
·
Ex x
x
x x
x= =
19 2 3
13 3
19 2 3
13 3
· ···
= x38 + 3 − 39
= x2
∴ Grado del monomio =2
Rpta.: B
Resolución 17
Reemplazamos los valores de x = 3 e y = −1 en:x−y·(−2y)x
Obteniendo: (3)-(-1)·(−2(−1))3 =
=31·23 = 3·8 = 24 Rpta.: B
Resolución 18
Como: a = 2 ; b = −3 ; c = 4
� E = (aa + ca − ba)a
E = (22 + 42 − (−3)2 )2
E= (4 + 16 − 9)2 = 112
∴ E = 121 Rpta.: C
Resolución 19 Sea:
P(x) = 4x + 1
� P(1) = 4(1) + 1 → P(1) = 5
� P(2) = 4(2) + 1 → P(2) = 9
� P(3) = 4(3) + 1 → P(3) = 13
� P(0) = 4(0) + 1 → P(0) = 1
Luego: EP P
P P=
++
= ++
=1 2
3 05 913 1
1414
b g b gb g b g
∴ E = 1 Rpta.: B
-
������
�������� �� ��� ���������
Resolución 20 Sea:
P(x−5) = 5x + 5
* Si P(−1) = P(x−5)
� −1 = x − 5 → x = 4
∴ P(−1) = 5(4) + 5
P(−1) = 25
* Si P(0) = P(x − 5)
� 0 = x − 5 → x = 5
∴ P(0) = 5(5) + 5
P(0) = 30
* Si P(1) = P(x − 5)
� 1 = x − 5 → x = 6
∴ P(1) = 5(6) + 5
P(1) = 35
* Si P(−2) = P(x − 5)
� −2 = x − 5 → x = 3
∴ P(−2) = 5(3) + 5
P(−2) = 20
Luego:RP P
P P=
− ++ −
= ++
=1 0
1 225 3035 20
5555
b g b gb g b g
∴ R = 1 Rpta.: B
Resolución 21 Sea: P(x) = 2x + 3
� P(2) = 2(2)+3 → P(2) = 7
Luego: P P P2 7b g =Donde: P(7) = 2(7)+ 3
P P P7 17 2b g b g= =∴ P P 2 17b g = Rpta.: D
Resolución 22 Sea: P(x+1) = x2
Hallamos “x” :
Si P(x+1) = P(2)
� x + 1= 2 → x = 1
∴ P(2) = (1)2 � P(2) = 1
Luego: P(P(2)) = P(1)
Hallamos “x” :
Si P(x+1) = P(1)
� x + 1= 1 → x = 0
∴ P(1) = 02 ��� P(1) = 0
NIVEL II
Resolución 1 Sea:
P(x; y) = (5xn+4·y2)5
P(x; y) = 55 ·(xn+4)5 ·(y2)5
P(x; y) = 55 · x5(n+4) · y10
P(x; y) = 55 · x5n + 20 · y10
Como el grado del monomio es 40
� (5n + 20) + 10 = 40
5n + 30 = 40
∴ n = 2 Rpta.: B
Luego: P P P P P P2 1 0b gc h b g b g= =Hallamos “x”
Si P(x+1) = P(0)
� x + 1 = 0 → x = −1
∴ P(0) = (1−)2 � P(0) = 1
Finalmente:
P P P P P P2 1 0 1b gc h b g= = = Rpta.: B
Resolución 2
A = 2mxm+2 · y3m+n
B = 3nx3n−2 y4m−8
Como A y B son términos semejantes, en-tonces la parte variable tienen los mismosexponentes.
Así: m + 2 = 3n − 2 ........... (I)3m + n = 4m − 8 ......... (II)
Sumando: (I) + (II)
m + 2 + 3m + n = 3n − 2 + 4m − 84m + n + 2 = 3n + 4m − 1010 + 2 = 3n − n12 = 2n → n = 6
Reemplazando: “n = 6” en (I):
m + 2 = 3(6) −2 m = 14
Reemplazando “n=6” y “m = 14” en A y B:
A = 2(14)x14+2 y3(14)+6
� A = 28x16 y48
B = 3(6)x3(6)−2 y4(14)−8
� B = 18x16 y48
Luego: A − B = 28x16 y48 −18x16 y48
∴ A − B = 10x16 y48 Rpta.: B
-
������
������� ������� ��������
Resolución 7
Por dato: G·A·(R) = 3 ........ (I)
Luego: R x yaa= − 3 62 3 ·
R x yaa= −3 61
2 3·e j
R x y
aa a= − −3
2 36
2 3·
G·A·(R)=3
2 36
2 3a
a a−+
−
G·A·(R) = 3 62 3
aa
+− ........ (II)
De (I) y (II), tenemos que:
3 62 3
3aa
+−
=
3a + 6 = 3(2a − 3)3a +6 = 6a − 9 15 = 3a
a = 5
Luego: P = 3x2a·y3a−1
P = 3x2(5)· y3(5)−1
P = 3x10· y14
Donde: G·A·(P) = 10 + 14
∴ G·A·(P) = 24 Rpta.: C
Resolución 8 Sea:
P(x; y) = (5a−1·xa+2 ·ya)2
P(x; y) = (5a−1)2 · (xa+2)2 ·(ya)2
P(x; y) = 52(a−1)· x2(a+2)·y2a
Donde: G·A·(P) = 2(a+2) + 2a
= 2a + 4 + 2a
G·A·(P) = 4a + 4
Por dato: G·A(P) = 16
� 4a + 4 = 16
4a = 12 → a = 3
Reemplazando el valor de: a = 3
− El coeficiente del monomio será:
52(a−1) = 52(3−1) = 52(2) = 54 = 625
Rpta.: C
Sumando (I) + (III):
3a + b = 11 (+)a + 3b = 9
4a + 4b = 20
4(a + b) = 20
∴ a + b = 5 Rpta.: B
Resolución 4 Si 9xb + 4ax5 = 17x5
Analizando, vemos que para que cumplala igualdad, el exponente de “x” debe ser 5
� b = 5
También, los coeficientes deben ser igualesen ambos lados de la igualdad, por lo que:
9 + 4a = 17
4a = 8 → a = 2
Luego: 2 2 2 5a b+ = +b g = 9 = 3Rpta.: B
Resolución 5 Efectuando:
A = [(2p − 3) − (3p + 4q)] − [2q−(3p + q)−p]
A = [2p − 3 − 3p − 4q] − [2q − 3p − q − p]
A = [−p − 4q − 3] − [q − 4p]
A = −p − 4q − 3 − q + 4p
∴ A = 3p − 5q − 3 Rpta.: B
Resolución 6
R x y x x y x x y= − + − − + − +3 2 3 2b g b g
R x y x x y x x y= − − − − − − −3 2 3 2
R x y x x y x x y= − − − − − − −3 2 3 2
R = 3x − y − 2x − x + 3y + 2x + x + y
∴ R = 3x + 3y Rpta.: C
UVW
Resolución 3 Sea:
M(x; y) = 10x3a+b ya+3b
• Como: G·R·(x) = 11
� 3a + b = 11 ........................ (I)
• Como G·A·(M) = 20
� (3a + b) + (a + 3b) = 20 ...... (II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos:
(11) + (a + 3b) = 20
� a + 3b = 9 ........................... (III)
-
������
�������� �� ��� ���������
Resolución 9 Sea:
P x x xm mb g = 3 234 ·
P x x xmm
b g = 323
4·
P x xm
m
b g =+3 2
34
P x xm m
b g =+9 23
4
P x xm
b g =11
34
P x xm
b g =F
HGG
I
KJJ
113
14
P x xm
b g =1112
Como el grado de P(x) es 22
�1112
22m =
11 22 121 2m = ·
∴ m = 24 Rpta.: D
Resolución 10
Reduciendo la expresión:
P xx x
x x
n n
n nb g e j e j
e j=
−
−
4 3 4 2
2 4 6
·
·
P xx x
x x
n n
n nb g =−
−
3 4 8
4 2 6
( )
( )·
·
P xx x
x x
n n
n nb g =−
−
3 12 8
4 8 6·
·
P xx
x
n n
n nb g =− +
− +
3 12 8
4 8 6
P xx
xx
n
nn nb g = =
−
−− − −
11 12
10 811 12 10 8( ) ( )
P(x) = x11n−12−10n + 8
P(x) = xn−4
Como: P(x)es de cuarto grado, tenemos que:
n − 4 = 4
∴ n = 8 Rpta.: C
Resolución 11
Reduciendo la expresión:
( )3 m 7 n
3 n 6 mx · y
M x; yx · y
+ −
− −=
M(x; y) = x(3+m)−(3-n) · y(7−n)-(6−m)
M(x; y) =x3+m−3+n · y7−n−6+m
M(x; y) = xm+n · ym−n+1
Sabemos que: G·R·(x) = 5
� m + n = 5 ............................... (I)
Sabemos que: G·A·(M) = 7
� (m + n) + (m − n + 1) = 7 ........ (II)Reemplazando (I) en (II), tenemos que:
5 + (m − n + 1) = 7m − n = 1 ................................. (III)
Sumando (I) + (III), tenemos que:
m + n = 5 (+)m − n = 12m = 6 → m = 3
Reemplazando “m = 3” en: (I), tenemos que:
3 + n = 5 → n = 2Luego: 2m + n = 2(3) + 2
∴ 2m + n = 8 Rpta.: D
UVW
Resolución 12 Sea:
Q(x; y) = 15x4y3n − x4ny6 + 8(x3y2)6n
Q(x; y) = 15x4y3n − x4ny6 + 8x18n y12n
Como: G·R·(y) = 24
Sabemos que el grado relativo de “y” es el mayor exponentede “y” en la expresión.
Como:12n > 3n ; ∀ n > 0� G·R·(y) = 12n = 24
→ n = 2
Hallamos el grado relativo de “x” :
Los exponentes de “x” en la expresión dada son:
4; 4n; 18n
Reemplazando “n = 2”, obtenemos:
4; 8; 36
∴ G·R·(x) = 36 Rpta.: C
-
������
������� ������� ��������
Luego: R N R3 1b g =Si: R(x) = 4x + 3
� R(1) = 4(1) + 3 = 4 + 3
R(1) = 7
∴ R N 3 7b g = Rpta.: C
Como: A(x) es de tercer grado, tenemos que:
2 46
3n + =
2n + 4 = 18
2n = 14 → n = 7
Luego: el coeficiente será:
3(n − 1) = 3(7 − 1) = 3·(6)
∴ 3(n − 1) = 18 Rpta.: C
∴ Grado de Q xb g 5 30= Rpta.: C
Resolución 17 Si grado de P(x) = 7
� grado de P3(x) = 7 × 3 = 21
Si grado de Q(x) = 9
� grado de Q2(x) =9 × 2 = 18
Luego: grado de H(x) = P3(x) + Q2(x) ;
es el mayor grado de ambos monomios:
∴ Grado de H(x) = 21 Rpta.: B
Resolución 18
Como: F(x) = es un polinomio lineal, seráde la forma:
F(x) = ax + b ; a y b constantes
� F(2) = a(2) + b = 5
2a + b = 5 ......... (I)
� F(1) = a(1)+ b = 4
a + b = 4 ......... (II)
Restamos (I) − (II); obteniendo:2a + b = 5a + b = 4
a = 1
Reemplazamos el valor de “a = 1” en (II);obteniendo:
1 + b = 4 → b = 3
Si: F(x) = ax + b = 1·x + 3
F(x) = x + 3
� F(7) = 7 + 3
∴ F(7) = 10 Rpta.: B
Resolución 19
Si: N(x) = 2x − 5� N(3) = 2(3) − 5 = 6 − 5
N(3) = 1
UVW
0
(−)
Resolución 13
Reduciendo la expresión:
A x n x xnb g b g= −3 1 2 86· ·
A x n x xnb g b g= −3 1 282
6· ·
A x n x xnb g b g= −3 1 2 46· ·
A x n x nb g b g= − +3 1 2 46·
A x n xn
b g b g= −+
3 12 4
6·
Resolución 14 Sea:
P(x) = 3axa+5 + 5axa+6 + 2axa+8
Analizando los exponentes, vemos que:
a + 8 > a + 6 > a + 5
� G·A(P) = a + 8 a + 8 = 17
Por dato: G·A·(P) = 17 a = 9
Los coeficientes de P(x) son:
3a; 5a; 2a
� La suma de coeficientes será:
3a + 5a +2a = 10a ; pero: a = 9
� 10a = 10(9) = 90 Rpta.: E
Resolución 15 Sea:
P(x) = 3x90 − 27x88 + 3x2 − 4x
P(x) = 3x88(x2 − 9) + 3x2 − 4x
� P(3) = 3(3)88(32 − 9) + 3(3)2 − 4(3)
P(3) = 3(3)88(9 − 9) + 27 − 12
P(3) = 3(3)88(0) + 15
∴ P(3) = 15 Rpta.: C
Resolución 16 Sea:
Q(x) = 5x6 + x4 + x2 + 3x + 6
Donde: el grado de Q(x) = 6
Luego: el grado de Q xb g 5 6 5= ×
-
������
�������� �� ��� ���������
Por dato del problema: G·R·(x) = 10
Entonces, tenemos que:
m + 4 = 10 → m = 6
• Hallamos el grado de cada monomio y el mayor gra-do será el grado absoluto del polinomio P(x; y)
− Hallamos el grado del 1° monomio:� (m + 1) + (n − 3) = (6 + 1) + n − 3
= 7 + n − 3
� Grado del 1° monomio: n + 4
− Hallamos el grado del 2° monomio
� (m + 3)+(n − 4) = (6 + 3)+(n − 4)
= 9 + n − 4
� Grado del 2° monomio: n + 5
− Hallamos el grado de 3° monomio:� (m + 4) + 2n = (6 + 4) +2n
� Grado del 3° monomio: 10 + 2n
UVW (−)
Resolución 20
Como: R(x) es un polinomio lineal, será dela forma:
R(x) = ax + b ; a y b constantes
� R(−3) = a(−3) + b = 8 −3a + b = 8 ......... (I)
� R(2) = a(−2)+ b 6 −2a + b = 6 ........ (II)
Restamos (II) − (I), obteniendo: −2a + b = 6 −3a + b = 8
(−2a)−(−3a) = −2 −2a + 3a = −2
a = –2
Reemplazando “a = -2” en (I):
−3(−2)+b = 86 + b = 8 → b = 2
Las constantes serán: a = −2 y b = 2� R(x) = −2x + 2
Luego: R(−4) = −2(−4)+2
∴ R(−4) = 10 Rpta.: C
Resolución 21
P(x; y) = 3xm+1 yn−3 + 7xm+3 yn−4 − xm+4 y2n
Analizamos los exponentes de la variable “x” y vemos que:
m + 4 > m + 3 > m + 1
� G·R·(x) = m + 4
Resolución 22 Sea:
F(3x − 1) = 2x + 3P(x) =4x − 1
Hallamos “x” para hallar F(2):
Si F(3x − 1) = F(2)
Analizamos los grados de cada monomio y vemos que:
10 + 2n > n + 5 > n + 4
� G·A·(P)= 10 + 2n
Por dato del problema: G·A·(P) = 16
Entonces, tenemos que:
10 + 2n = 16
2n = 6 → n = 3
Reemplazamos: m = 6 ∧ n = 3 en:mn
= =63
2
∴mn
= 2 Rpta.: A
� 3x − 1 = 2
3x = 3 → x = 1
Luego: F(2) = 2(1)+ 3
� F(2) = 5
Luego: P F P2 5b gc h b g=Si P(x) = 4x − 1
� P(5) = 4(5) − 1 → P(5) = 19
∴ P F 2 19b gc h = Rpta.: B
Resolución 23 Sea:
Q(x) = 2mxm + 4mxm−1 + 6mxm−2
Analizando los exponentes de “x”, vemos que:
m > m − 1 > m − 2
Entonces: G·A·(Q) = m (Dato)Pero: G.A(Q) = 5� m = 5Reemplazando el valor de “m” en Q(x), tenemos que:
Q(x) = 2(5)x5 + 4(5)x5−1 + 6(5)x5−2
Q(x) = 10x5 + 20x4 + 30x3
Término cúbico
∴ El coeficiente del término cúbico es 30
Rpta.: D
-
������
������� ������� ��������
2(2) + 1= 7 − m 5 = 7 − m → m = 2
Luego: mn = 22 = 4
∴ mn = 4 Rpta.: B
Resolución 27
P(x; y) = (6 − n)x3 y + mx2 y3 + 5x3y − 4x2y3
• Factorizando:
P(x; y) = (6 − n + 5)x3y + (m − 4)x2y3
Como: P(x; y) es idénticamente nulo:
� 6 − n + 5 = 0 ∧ m − 4 = 0 n = 11 ∧ m = 4
Reemplazando estos valores en:
nm − = −2 11 22 4 2e j e j
∴ nm − =2 32
e j Rpta.: B
Resolución 28
P(x) = xa+b + 4xa − 7xb + 5
Si P(x) es ordenado y completo de grado 3
� a + b = 3 � a = 2 � b = 1
∴ a2 + b2 = 22 + 12 = 5 Rpta.: C
Resolución 29
2Ax2 + Bx2 − Cx + B ≡ 8x2 + 5x − 4
(2A + B)x2 + (−C)x + B ≡ 8 x2 + 5x + (−4)
� B = –4
� −C = 5 → C = −5� 2A + B = 8
2A + (−4) = 82A = 12 → A = 6
Luego:
A + B + C = 6 +(−4) + (−5)
∴ A + B + C = −3 Rpta.: B
Reemplazando el valor de “m” en los exponentes de “x”,tenemos que:
5m + 2n + 3 =5(3) + 2n + 3 = 18 + 2n
4m + 2n + 1 = 4(3) + 2n + 1 = 13 + 2n
3m + 2n = 3(3) + 2n = 9 + 2n
Donde: 18 + 2n > 13 + 2n > 9 + 2n
Luego: G·R·(x) + G·R·(y) = 43(18 + 2n) + (4m + 5) = 4318 + 2n + 4(3) + 5 = 4318 + 2n + 12 + 5 = 43
2n = 8 → n = 4
Reemplazando “m” y “n” en P(x; y); tenemos que:
P(x; y) = x26 y7 + x21 y11 + 7x17 y17
∴ G·A·(P) = 17 + 17 = 34 Rpta.: D
Resolución 25
P(x; y) = 8x2n+6 − 3x2n+3 yn+2 + 5y9−n
Polinomio homogéneo es aquel en el que todos sus térmi-nos tienen el mismo grado.
Como: P(x; y) es homogéneo
� 2n + 6 = (2n + 3)+(n + 2) = 9 − n2n + 6 = 3n + 5 = 9 − n
• 2n +6 = 3n + 5 → n = 1• 3n + 5 = 9 − n → n = 1
Los exponentes de “y” son:
* n + 2 = 1 + 2 = 3
* 9 − n = 9 − 1 = 8
� G·R·(y) = 8 Rpta.: B
menor exponente
de “y”
G:R (y)
G:R (x)
Resolución 24
P(x; y) = x5m+2n+3 y2m+1 + x4m+2n+1y3m+2 +
7x3m+2n y4m+5
* Los exponentes de “y” son:
2m + 1 ; 3m +2 ; 4m + 5
Donde: 2m + 1 < 3m + 2 < 4m + 5
Por dato: 2m + 1 = 7
2m = 6 → m = 3
Resolución 26
Q(x; y) = 2n 1x + + 6xn+2 yn−1 − 13y7−m
Como: Q(x; y) es homogéneo:
� n2 + 1= (n + 2) + (n − 1) = 7 − mn2 + 1 = 2n +1 = 7 − m
• n2 + 1 = 2n + 1 → n = 2• 2n + 1 = 7 − m
Resolución 30 Si:
B(x)=x2 + x − 1
� B(2) = (2)2 + (2) −1
B(2) = 5
Luego: A B A2 5b g =
-
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EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
(ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS). Pág.(143, 144, 145, 146)
NIVEL I
También: Q(x; y) = −3y + x − 9Luego:
3P(x; y) + Q(x; y) = 9x + 3y + 18+ (−3y + x − 9) = 9x + 3y + 18 − 3y + x − 9
∴ 3P(x; y) + Q(x; y) = 10x + 9 Rpta.: C
Si: A xxb g = + 1
2
� ( ) 5 1A 52+=
A(5) = 3
∴ A B 2 3b g = Rpta.: B
Resolución 1 Sea:
P(x; y) = 3x + y + 6
� 3P(x; y) = 3(3x + y + 6)
3P(x; y) = 9x + 3y + 18
Resolución 2 Si:
P(x; y) = 5x + 3y − 3
� 2P(x; y) = 2(5x + 3y − 3)
� 2P(x; y) = 10x + 6y − 6
Si Q(x; y) = 2y − 2x + 5
� 5Q(x; y) = 5(2y − 2x + 5)
� 5Q(x; y) = 10y − 10x + 25
Luego:
2P(x; y) + 5Q(x; y) = (10x + 6y − 6)+(10y −10x + 25)
= 10x + 6y − 6 + 10y − 10x + 25
∴ 2P(x; y) + 5Q(x; y) = 16y + 19 Rpta.: C
Resolución 3
P(x) − Q(x) = (5x2 − 3x +1) − (x2 − 3) = 5x2 − 3x + 1 − x2 + 3
= 4x2 − 3x + 4 Rpta.: E
Resolución 4
P + Q = (4x3 + 2x2 − x + 5) + (–3x2 + 2x +3)P + Q = 4x3 + 2x2 − x + 5 − 3x2 + 2x + 3
P + Q = 4 83 2
4
x x xtér os
− + +min
� ��� ��
∴ El polinomio resultante tiene 4 términos Rpta.: B
Resolución 5
A − B = (5x2 + 6x − 2) − (−2x2 + 6x + 1)
A − B = 5x2 + 6x − 2 + 2x2 − 6x − 1
A − B = 7 32xs
−2 término��� �
∴ El polinomio resultante tiene 2 términos.
Rpta.: C
Resolución 6 Hallamos: (B + C − A)
2 4 1 2 3 3 42 2 2x x x x x x
B C A
− + + − − − − + − =e j e j e j� ��� �� � ��� �� � ��� ��
= 2x2 − 4x + 1 − 2x − x2 − 3 − x2 − 3x + 4 =
= −9x + 2 Rpta: D
Resolución 7 Hallamos: “A − B + C”
( ) ( ) ( )CA B
3 3 2 2 34x 2x 1 x 3x 6 x 3x 4− + − − + + − + =������ ������ ������
= 4x3 − 2x + 1 − x3 + 3x2 − 6 + x2 − 3x3 + 4=
= 4x2 − 2x − 1 Rpta.: C
Resolución 8
* Sea “L” el lado del cuadrado
� Perímetro del cuadrado = 4L
Como: L = 3x + 2
� Perímetro del cuadrado = 4(3x + 2)
Perímetro del cuadrado = 12x + 8
* Sean “a” y “b” los lados del rectángulo
� Perímetro del rectágulo = 2(a + b)
Como: a = 4x − 1 ∧ b = 5x + 2� Perímetro del rectángulo:
= 2[(4x − 1) + (5x + 2)]=2[4x − 1 + 5x + 2]= 2[9x + 1]
Perímetro del rectángulo = 18x + 2
-
������
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Resolución 14
R = −3x2−{5y +[−3x2 + {y − (6 + x2)} − (−x2 + y)]}R = −3x2 −{5y +[−3x2+{y − 6 − x2} +x2 − y]}
R = −3x2 −{5y +[−3x2 + y − 6 − x2 + x2 − y]}R = −3x2 −{5y − 3x2 − 6}R = −3x2 − 5y + 3x2 + 6
∴ R = 6 − 5y Rpta.: B
Como: L = 7x + 1
� Perímetro del cuadrado = 4 (7x + 1)
Perímetro del cuadrado = 28x + 4
* Sea el triángulo isósceles:
� Perímetro del hexágono = 6acomo: a = 2x + 1
� Perímetro del rectángulo = 6(2x + 1)Perímetro del
rectángulo = 12x + 6
* Sea “L” el lado del cuadrado
� Perímetro del cuadrado = 4LComo: L = 3x − 1
� Perímetro del cuadrado = 4(3x − 1)Perímetro del
cuadrado = 12x − 4
Luego:Perímetro del
hexágono − Perímetro del
cuadrado = (12x + 6)− (12x − 4) = 12x + 6 − 12x + 4 = 10
∴ Excede: en 10 Rpta.: E
Resolución 13
* Si el pentágono es regular, entonces sus cinco ladosson iguales.Si el lado del pentágono es “L”
� Perímetro del pentágono = 5Lcomo: L = 4x + 3
� Perímetro del pentágono = 5(4x + 3)
Perímetro delpentágono = 20x + 15
* Sean “a” y “b” los lados del rectángulo
� Perímetro del rectángulo = 2(a + b)
como: a = 7x + 4 ∧ b = 3x + 1� Perímetrodel
rectángulo = 2((7x + 4)+(3x + 1)
= 2(10x + 5)
Perímetrodelrectángulo = 20x + 10
Luego:
Perímetro delpentágono −
Perímetro delcuadrado = (20x + 15)−(20x + 10)
= 20x + 15 − 20x − 10 = 5
∴ Excede en 5 Rpta.: D
� Perímetro deltriángulo
= (10x − 3)+(10x−3)+(7x + 1)
Perímetro deltriángulo = 27x − 5
Luego:
Perímetro delcuadrado +
perímetro del
triángulo = (28x + 4)+(27x − 5)
= 55x −1
Rpta.: D
Resolución 10
Sea “M” la expresión buscada:
� (5x2 − 3x +6) + M = 8x2 + 5x − 3M= 8x2 + 5x − 3 − (5x2 − 3x + 6)M = 8x2 + 5x − 3 − 5x2 + 3x − 6
∴ M = 3x2 + 8x − 9 Rpta.: C
Resolución 11
Sea “N” la expresión buscada:
� (16x3 − 4x2 − 9) − N = 12x3 + 6x − 8(16x3 − 4x2 − 9) − (12x3 + 6x − 8) = N16x3 − 4x2 − 9 − 12x3 − 6x + 8 = N
∴ N = 4x3 − 4x2 − 6x − 1 Rpta.: E
Resolución 12
* Si el hexágono es regular, entoncessus 6 lados son iguales.
Si el lado del hexágono es “a”
Resolución 9
* Sea “L” el lado de cuadrado:
� Perímetro del cuadrado = 4L
Luego:
Perímetro delcuadrado
perímetro del
rectángulo
+ = (12x + 8)+(18x + 2)
= 30x + 10
Rpta.. D
-
������
�������� �� ��� ���������
(M – 6)x3 + (5 − N)x2 − 3x + 1 = 2 x3 + 3 x2 − 3x + 1
Luego: M − 6 = 2 → M = 85 − N = 3 → N = 2
Entonces: M − N = 8 − 2
∴ M − N = 6 Rpta.: B
Resolución 15
E x x x= − + − + +3 2 1 2b gE x x x= − − + +3 2 2 2E = x − 3x + 2x − 2 − 2
∴ E = −4 Rpta.: E
Resolución 16
( ){ }P x 2x y x y z x z= + − + − − + − + −P x x y x y z x z= + − + + − + + −2l qP = x + z − z
∴ P = x Rpta.: C
Resolución 17
(Ax2 + 5x + 8)+(3x2 + Bx − 6)=5x2 + 7x + 2
Ax2 + 5x + 8 + 3x2 + Bx − 6 = 5x2 + 7x + 2
(A + 3)x2 + (5 + B)x + 2 = 5 x2 + 7 x + 2
Luego: A + 3 = 5 → A = 25 + B = 7 → B = 2
Entonces: A + B = 2 + 2
∴ A + B = 4Rpta.: D
Resolución 18
(Mx3 + 5x2 +2x + 4) − (6x3 +Nx2 + 5x + 3)= 2x3 +3x2 − 3x + 1
Mx3 + 5x2 +2x + 4 − 6x3 − Nx2 − 5x − 3= 2x3 + 3x2 − 3x + 1
Resolución 19
P + Q − R = (x2 + x − 3)+(2x2 − 2x + 1)−(3x2 − 4x + 5)
P + Q − R = x2 + x − 3 + 2x2 − 2x + 1 − 3x2 + 4x − 5
∴ P + Q − R = 3x − 7 Rpta.: B
Resolución 20
(A − C)−B = ((5x2 − x + 4) − (2x2 + 5x + 3))−(3x2 − 4x + 1)
(A − C) −B = (5x2 − x + 4 − 2x2 − 5x − 3) −3x2 + 4x − 1
(A − C)− B = 3x2 − 6x + 1 − 3x2 + 4x − 1
∴ (A − C) − B = − 2x Rpta.: B
NIVEL II
Resolución 1 Si:
P(x; y) = 2x2 − 2x + 3y2 − 3
� 2 P(x; y) = 2 (2x2 − 2x + 3y2 − 3)
2 P(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6
Además: Q(x; y) = 4x − 4x2 − 3y2 + 6
Luego:
2 P(x; y) + Q(x; y) = (4x2 − 4x + 6y2 − 6) +
(4x − 4x2 − 3y2 + 6)
2 P(x; y) + Q(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6 + 4x −
4x2 − 3y2 + 6
∴ 2 P(x; y) + Q(x; y) = 3y2 Rpta.: C
Resolución 2 Sea:
A(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8
Si: B(x; y) = 4xy2 + 2x2y +xy + 5
� 2B(x; y) = 2(4xy2 + 2x2y + xy + 5)
2B(x; y) = 8xy2 + 4x2y + 2xy + 10
Luego:
A(x; y) − 2B(x; y) = (8xy2 + 6x2y − 3xy + 8) −(8xy2 + 4x2y + 2xy + 10)
A(x; y) − 2B(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8 −8xy2
−4x2y − 2xy − 10
∴ A(x; y)− 2B(x; y) = 2x2y − 5xy − 2 Rpta.: B
Resolución 3
P(x) − Q(x) = (4x3 + 2x2 + x + 3) − (5x2 − 4x − 4)
P(x) − Q(x) = 4x3 + 2x2 + x + 3 − 5x2 + 4x + 4
∴ P(x) − Q(x) = 4x3 − 3x2 + 5x + 7
Rpta.: B
Término demayor grado
Término demenor grado
Resolución 4
P + Q = (3x3 + 4x2 + 2) + (21x2 + 4x + 1)
P + Q = 3x3 + 25x2 + 4x + 3
Luego:
Coeficiente deltér o demayor grado
minFHG
IKJ −
Coeficiente deltér o demenor grado
minFHG
IKJ = 3 − 3
= 0
Rpta.: C
-
������
������� ������� ��������
Resolución 9
De la figura:
También: AB = CD
BC = AD
FG = n
GE = m
Luego, perímetro del rectángulo ABCD es:
AB + BC + CD + AD = 32 x
CD + BC + CD + BC = 32x
2BC + 2CD = 32x
2(BC + CD) = 32x
BC + CD = 16x
� AD + AB = 16x
Vemos que:
DC = AB = 4x + 1
QN = PM = 3x + 2
BC = AP + MN + QD = 6x + 4
Luego:
El perímetro de la figura será:
AB + AP + PM + MN + QN + QD + DC + BC
= AB + DC + AP + MN + QD + PM + QN + BC
= AB + AB + BC + PM + PM + BC
= 2AB + 2BC + 2PM
=2(AB + BC + PM)
= 2((4x + 1)+ (6x + 4) + (3x + 2))
= 2 (13x + 7) = 26x + 14
∴ Perímetro = 26x + 14 Rpta.: C
Resolución 10
Sea la figura:
� ��� ��
Vemos que:
BC = BF + m → BF = BC − m
CD = ED + n → ED = CD − n
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