高度による気圧の変化

龍谷大学 理工学部 数理情報学科

T150005  石原 優介

指導教員 飯田 晋司

zD

z

図3‐１ タワー状の空気

温度が一定の場合の理想気体の気圧と高度の関係

気圧を求める式を導く

zとΔzの位置の圧力差をΔpとする

Δp = p(z + Δz) – p(z) = ‐ρgΔz

.1000

ρ= = =M n n mpm

V V RT

p gmz

p RTD

- D＝

ρ大気の密度

大気の体積V

大気のモル数

=分子数/アボガドロ数

n

大気の絶対温度T

気体定数R

分子量

1モルの気体の質量(g)

M

気体の状態方程式pV nRT g 重力加速度の大きさ

この式を用いてマッターホルンの山頂の気圧を求めた

マッターホルンの山頂(z=4478m)では気圧は579hPaです。

1 1

0 0

p z

p

d p g md z

p R T-ò ò＝

11

0

l o g ,p g m

zp R T

æ ö÷ç ÷ç -÷ç ÷÷çè ø＝

1 0 1

gmp p z

R T

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø＝ ex p

-429×9.8×10

1000×8.31×273gmRT

= ≒1.25

29 /1000m = 空気の平均の分子量

0273K=0 , 1013 hPaT p= =℃

乾いた大気が断熱膨張する場合の気圧と高度の関係

これも気圧を求める式を導く 両辺を積分をして計算すると

なので上の式に代入し、計算すると

dQ dU pdV= +

0V

nRTdU pdV nC dT dV

V= + = +

VCdV dT

V R T= -

( )2 1 2 1log log log logV

CV V T T

R- = - -

1p V

V V V

C C R RC C C

g+

= = = + 比熱比

( ) ( )1 12 2 1 1

1 12 2 1 1

log log ,V T V T

V T V T

g g

g g

- -

- -

=

=

VU nC T= 内部エネルギー

dQ気体が吸収する熱量0dQ=

断熱過程

以上から断熱変化では

⇊

定数の項をすべて右辺へ移行

両辺対数を取り、pで微分すると、定数の微分はゼロなので左辺の微分を計算して整理すると

⇊pV g = 一定

n R Tp

p

gæ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø一 定

1 定数P T

1l o g ( ) 0d p Td p

p

1d T d p g m

d zT p R T

gg

= = --

1dT gmdz R

gg-

= -

1( ) (0)

gmT z T z

Rgg-

= -

pV nRT

高度が変化したとき、気圧を表す式は

dp gmdz

p RT-＝

上の式の両辺をpで割ったのちに積分すると

今回もマッターホルンの山頂の気圧を調べた

Z = 4478 m を代入すると

という結果になった1 1

0 0 1(0)

p z

p

dp gm dzp R gm

T zR

gg

= --

-ò ò

1

1

1 0

1(0 )

.(0 )

gmT z

Rp p

T

ggg

g

-æ ö- ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø

11229K= 44 , 550 hPapT - == ℃

1(0)

dp gm p gm pdz R T R gm

T zR

gg

= - = --

-

dp gmdz

p RT-＝

(0) 273K=0 , (0) 1013 hPaT p= =℃

75

g =

29 /1000m =

湿った大気が断熱膨張する場合の気圧と高度の関係

大気が湿っている

⇊大気中の水蒸気が温度が下がる

と凝結して潜熱を放出する

⇊乾燥した大気より気温の減少が

緩やかになる

と、予想します

V

.n

rn

= 水

空 気

273.15( ) 611 exp 17.27

35.86T

p s TT

æ ö- ÷ç ÷= = ´ ´ç ÷ç ÷ç -è ø水

水蒸気は常に飽和, 水蒸気の圧力は飽和水蒸気圧

1:

dQ Ldn Ln dr

L

=- =-

水 空気

水蒸気モルが凝結する際の潜熱

:

:

n V

n V空気

水

体積 の大気中の空気のモル数

体 水蒸積 の 気大気中の のモル数

( ), ( ), ( )p z r z T z空気

の連立方程式

( ) ( )

( )( )

(1

)( ) ( )

( )( )

1 ( ) ( )( )1

( )

P

P P

P

P

P

r zr z m L C T z

RT zdT zd z L C T r z Cds T

r zdTC p z

mg

C

C

æ ö÷ç ÷ç+ + + ÷ç ÷ç ÷ç ø= -

è

+ ++ +

水

水 空 気

空 水 水気

空 気 空 気

空 気

( )( ) ( ) ( )( )

( )

m r z mdp z d s T dT zp z g

d z R T z dT d z

+= - -

空 気 水空 気

空 気

( ) 1 ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

r z m m r zd r z d s T dT zr z g

d z R T z p z dT d z

+ += +

水 空 気

空 気

図5-1 高度と温度の関係

図5-2 高度と気圧の関係

図5-3 高度と水の沸点の関係

湿った大気

乾いた大気

図5.2 2005年8月30日9時に神戸大学自然科学総合研究棟3号館屋上から放球

したラジオゾンデによって観測された気温のプロファイル。点線は乾燥断熱減率に従う気温の変化を示している。

岩山隆寛,「地球流体力学(2012年度)」講義資料https://www.se.fukuoka‐u.ac.jp/iwayama/teach/gfd/2012/chap5.pdf (2018/01/31 参照)の図5.2 に計算結果を重ねた図

観測データとの比較

おわりに

• この論文では、高度による気圧や温度の違いについて調べました。

• 大気は理想気体であると考え、第２章で理想気体の性質と後に使う公式についてまとめました。

• 第３章では温度が一定な場合の気圧と高度の関係を調べました。

• 第４章では乾いた大気が断熱膨張する場合の気圧や温度と高度の関係について調べました。第３章と違い断熱膨張の際に気体

が外部にする仕事のために気体の温度が下がります。

• 第５章では湿った大気が断熱膨張する場合の気圧や温度と高度の関係について調べました。Mathematicaで連立微分方程式を

数値計算して、温度や圧力が高度によってどう変化するかを調べました。断熱膨張で気体の温度が下がると、気体中の水蒸気が

凝結し、その際に放出する潜熱のために第4章の場合よりも温度の低下は少なくなります。数値計算結果と[3]に載っていた気温

減率( )を比べると、高い高度(8km)では一致しましたが、高度が小さいところでは一致しませんでした。

ご清聴いただきありがとうございました

湿った大気が断熱膨張する場合の気圧と高度の関係

大気が湿っている

⇊大気中の水蒸気が温度が下がる

と凝結して潜熱を放出する

⇊乾燥した大気より気温の減少が

緩やかになる

と、予想します

体積 の大気中の空気のモル数を 、水蒸気のモル数を

とし、その比を で表す

Vn

空気

n水

r

.n

rn

= 水

空 気

,

, .

p p p

n Tn T rn Tp R p R R rp

V V V

= +

= = = =

空気 水

水空気 空気

空気 水 空気

⇊

つぎに大気の密度を求める

飽和水蒸気の圧力 は温度によって決まっている

を微分して

,を微分して

⇊

また、

⇊

(1 )p p p r p= + = + 空気 水 空気

( )

1

1

n m n m rn m

V Vm rm m rm

p pRTRT r

r+ +

= =

+ += =

+

水 水 空気 空気

空気 空気

空気 水 空気 水

空気

( )sT

273.15( ) 611 exp 17.27

35.86T

s TT

æ ö- ÷ç ÷= ´ ´ç ÷ç ÷ç -è ø

( )p s T=水

( )( )

ds Tdp ds T dT

dT= =

水

( )rp p s T= =空気 水

( )ds Tdrp rdp dT

dT+ =

空気 空気

1 ( ) dpds Tdr dT r

p dT p= - 空気

空気 空気

gdz dpr- =

空気

( )ds Tdp dT gdz

dTr= - -

上の式から

上のそれぞれの式を で割ると

微 ⇊ 分

理想気体の状態方程式を微分し、

この式を

に代入

1 ( )r rds Tdr dT gdz

p dT pr

+= +

空気 空気

d z

( ),

1 ( )

dp ds T dTg

dz dT dzr rdr ds T dT

gdz p dT dz p

r

r

=- -

+= +

空気

空気 空気

( )V VU n C n C T= +空気 水

空気 水

( )( )

V V V

V V V

dU dn C T n C n C dT

drn C T n C rC dT

= + +

= + +

水 空気 水

水 空気 水

水 空気 水

空気 空気

(1 )pdV Vdp R r n dT Rdrn T=- + + + 空気 空気

( )V V V

dQ dU pdV

drn C T n C rC dT pdV

= +

= + + + 水 空気 水

空気 空気

が得られる

ここで

と

を代入

( ) ( )( )

( )V V V

P P P

dQ dr n C R T n C R r C R dT Vdp

C Tdr n n C n C dT Vdp

= + + + + + -

= + + -

水 空気 水

空気 空気

水 空気 水

空気 空気 水

,P V P VC C R C C R= + = +空気 空気 水 水

1 1( ) (1 )V n n RT n r RT

p p= + = +

水 空気 空気

( ) (1 )P P P

dpdQ C Tdrn n C n C dT n r RT

p= + + - + 水 空気 水

空気 空気 水 空気

⇊

水蒸気の場合は潜熱が発生するので、 を水蒸気１モル当たりの潜熱とすると

熱力学の第一法則の式にこれを代入すると

⇊

( )P P P

gdzdQ C Tdrn n C n C dT n RT

pr

= + + +水 空気 水

空気 空気 水 空気

空気

dQ Ldn Ln dr=- =- 水 空気

L

( )水 空気 水

空気 空気 水 空気 空気

空気

P P P

gdzC Tdr n n C n C dT n RT Ln dr

pr

+ + + = -

( )水

空気 空気

空気

空気 水

空気 水

P

P P

gdzL C T n dr n RT

pdT

n C n C

r+ +

= -+

で割ると

が得られる。整理して ⇊

dz

( )P

P P

dr gL C T n n RT

dz pdTdz n C n rC

r+ +

= -+

水

空気 空気

空気

空気 水

空気 空気

( ) ( )

( )( )

( )( ) 1 ( )

( )( )

1 ( ) ( )1 ( )

( )

P

P P P

P P

r zr z m m L C T z

RT zdT z gd z C L C T r z Cds T

r zdTC p z C

æ ö÷ç ÷ç+ + + ÷ç ÷ç ÷çè ø= -

+ ++ +

水

水 空 気

空 気 水 水

空 気 空 気

空 気

上の式を

に代入すると と についての方程式が得られる

、 、 についての微分方程式になる

( )( ) ( ) ( )( ) ,

( )( ) 1 ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

m r z mdp z d s T dT zp z g

d z R T z dT d zr z m m r zd r z d s T dT z

r z gd z R T z p z dT d z

+= - -

+ += +

空 気 水空 気

空 気

水 空 気

空 気

p空気 ( )r z

( )T z ( )p z空気

( )r z