행렬식 determinant

Keon M. Lee

행렬식

소행렬

여인수

행연산과 행렬식의 관계

행렬식의 성질

크래머(Cramer)의 공식

행렬식의 기하학적 의미

Part I

행렬식 의미와 정의

행렬식(determinant)

행렬식(determinant)

nxn 행렬 A를 스칼라값으로 사상하는 함수 또는 그 값

det(A) = det A = |A|

용도

행렬 A가 가역(invertible)인지 판단

• 선형시스템의 해

• 선형변환의 역변환

행렬 A를 이용한 선형변환에 따른 면적이나 체적 변화율

행렬 A의 수학적 특성 기술

• Jacobian determinant

• 고유값(eigenvalue)의 특성방정식(characteristic equation)

• 다변수 Gauss 함수

행렬식(determinant)

1x1 행렬

2x2 행렬

행렬식(determinant)

3x3 행렬

0이 되어야 가역(invertible)임

행렬식(determinant)

3x3 행렬

소행렬 (Minor) Aij

행렬 A에서 i행과 j렬을 제거하여 만든 행렬

행렬식(determinant)

2행 기준

1열(column) 기준

행렬식(determinant)

3x3 행렬

-한 행(row)에서 한개씩 -부호는 순열(permutation) 순서에 따라 결정

행렬식

행렬식에 대한 Leibniz 공식 (Leibniz formula)

두 원소씩 자리 바꿈을 해서 [1,2,3]를 만드는데 수행한 자리바꿈 수가 짝수이면 1, 홀수이면 0 [2,3,1] [1,3,2] [1,2,3] : 2번 (짝수)

모든 가능한 순열(permutation)의 집합

행렬식(determinant)

행렬식(determinant)

행렬식에 대한 Laplace 공식 (Laplace expansion formula)

nxn 행렬 A의 행렬식은 양/음 부호가 교대로 나오는 n개 항의 akj와 det Akj 의 곱의 합으로 정의

여인수(cofactor, 餘因數) Cij

Part II

행렬식의 성질

행렬식(determinant)

행렬식(determinant)

행연산의 행렬식 성질

행에 대한 스칼라 곱 (row scalar multiplication)

행렬 B가 행렬 A의 한 행(row)에 상수 c를 곱해서 만들어지는 경우

행렬식의 성질

행의 덧셈에 대한 행렬식 (determinant as sum of determinants)

행렬식의 성질

열(column)의 덧셈에 대한 행렬식

행렬식의 성질

전치 행렬(transpose matrix)의 행렬식

A의 2번째 열(column)을 기준으로 한 det = AT의 2번째 행(row)을 기준으로 한 det

행렬식의 성질

행 교환된(row exchange) 행렬의 행렬식

두 행이 바뀌면, sgn() 계산에 1번 교환추가 부호 변경

행렬식의 성질

중복된 행(row)을 갖는 행렬의 행렬식

행 교환(row exchange)

r행과 s행이 동일하기 때문에, 모든 행렬에서 가 만족하려면

행렬식의 성질

행의 스칼라 곱을 다른 행에 더한 행렬

행렬식의 성질

삼각행렬(triangular matrix)의 행렬식

행렬식의 성질

대각행렬(diagonal matrix)의 행렬식

항등행렬(identity matrix)의 행렬식

행렬식의 성질

행 연산(row operation)의 행렬식(determinant)에 대한 영향

행(row)에 상수배 det B = c det A

행 교환(row exchange) det B = - det A

다른 행의 상수배를 더하는 것 det B = det A

Review

형 연산 – 행렬곱으로 구현 가능

항등행렬 I에 일련의 행렬을 곱하여 (즉, 행연산을 수행하여), 임의의 행렬 A를 표현할 수 있음

행렬식의 성질

기본행렬과 행렬의 곱의 행렬식

다른 행의 상수배를 더하는 것

행교환

스칼라배

행렬식의 성질

행렬 곱의 행렬식

A가 비가역(singular)인 경우와 가역(invertible)인 경우로 나누어 증명

A가 비가역(singular)인 경우의 증명

A가 비가역이면 AB도 비가역

행렬식의 성질

행렬 곱의 행렬식

가역(invertible)인 경우의 증명

A를 기본행렬 곱으로 표현 가능

기본행렬과 행렬 곱의 행렬식

행렬식의 성질

역행렬(inverse matrix)의 행렬식

행렬식의 성질

블록행렬(block matrix)의 행렬식

1) det B = 0인 경우

2) det B ≠ 0인 경우

A, B : 정방행렬

행렬식의 성질

블록행렬(block matrix)의 행렬식

A가 invertible일 때

B가 invertible일 때

행렬식의 성질

블록행렬(block matrix)의 행렬식

Sylvester의 행렬식 정리(Sylvester’s determinant theorem)

Part III

Cramer의 공식

행렬식의 기하학적 의미

크래머의 공식(Cramer’s rule)

A가 가역(invertible)인 nxn 행렬일 때, 임의의 b Rn에 대하여 Ax = b의 유일한 해 x = [x1 x2 … xn]

T

i-번째 열(column)

크래머의 공식

Cramer 공식을 이용한 연립방정식 해

2, 3차원에서는 유용하나, 고차원에서는 비효율적임

크래머의 공식

A의 역행렬 A-1 구하기

의 i번째 열(column) 벡터에서 j번째 행의 여인수(cofactor)를 이용한 행렬식 계산

adjugate / adjoint of A (수반행렬)

크래머의 공식

Cramer 공식을 이용한 A의 역행렬 A-1 구하기

주로 이론적 계산에 적용

큰 nxn 행렬 계산에는 비효율적

행축약(row reduction)을 이용한 역행렬 계산 방법 효율적

행렬식의 기하학적 의미

2x2 행렬 A에서, A의 열(column) 벡터에 의해 결정되는 평행사변형의 면적은 |det A|와 같다.

행렬식의 기하학적 의미

3x3 행렬 A에서, A의 열(column) 벡터에 의해 결정되는 평행육면체의 부피는 |det A|와 같다.

행렬식의 기하학적 의미

선형 변환

2x2 행렬

원점을 한 꼭지점으로 하는 벡터 b1, b2에 의해 결정되는 평행사변형

선형변환 T에 의한 상(image)

{T(S)의 넓이} = |det AB| = |det A||det B| = |det A|{S의 넓이}

b1

b2

S

T(b1)

T(b2)

T(S)

행렬식의 기하학적 의미

선형 변환 T

S가 평행사변형이면 T(S)의 넓이 = |det A| {S의 면적}

S가 평행육면체이면 T(S)의 부피 = |det A| {S의 부피}

Image : http://mathinsight.org/determinant_linear_transformation

Summary

행렬식(determinant)은 정방행렬에 대해 정해지는 값으로, 가역행렬 여부 판단, 행렬에 대응하는 선형변환에 따른 변화율, 수식의 간단한 표현 등을 위해 사용된다.

소행렬(minor) Aij는 행렬 A에서 i행과 j렬을 제거하여 만든 행렬이다.

행렬식은 Leibniz 공식 (Leibniz formula)을 이용하여 쉽게 전개될 수 있다.

여인수(cofactor)는 (i,j)번째 원소에 대해서 (-1)i+j detAij 로 정의된다.

행렬식은 Laplace 공식 (Laplace expansion formula)를 사용하여 행 또는 열의 원소와 대응하는 여인수의 곱의 합으로 정의될 수 있다.

행에 스칼라 배를 하면 행렬식의 값도 스칼라배 크기로 증가한다.

특정 행만 다른 두 행렬이나, 특정 열만 다른 두 행렬을 서로 더한 것의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식의 합과 같다.

전치행렬의 행렬식과 원래 행렬의 행렬식은 서로 같다.

행교환된 행렬의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식과 부호만 반대이다.

중복된 행을 갖는 행렬의 행렬식은 0이다.

행의 스칼라 곱을 다른 행에 더한 행렬의 행렬식과 원래 행렬의 행렬식은 같다.

Summary

삼각행렬의 행렬식은 대각원소의 곱과 같다.

대각행렬의 행렬식은 대각원소의 곱과 같다.

항등행렬의 행렬식은 1이다.

행렬 곱의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식의 곱과 같다.

역행렬의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식의 역수이다.

블록행렬의 행렬식은 부분블록과 부분블록의 연산결과에 대한 행렬식으로 표현될 수 있다.

크래머의 공식은 선형시스템의 해, 역행렬을 행렬식을 이용하여 결정할 수 있게 한다.

선형변환의 경우 행렬식은 면적, 체적 등의 변화율에 해당하는 기하학적인 의미도 갖는다.