entailment of statement forms

8/4/2019 Entailment of Statement Forms

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NICHOLAS LAPARA

S E M A N T I C S F O R A N A T U R A L N O T I O NO F E N T A I L M E N T

(Received 10 Decem ber, 1974)

1 . E N T A I L M E N T O F S T A T E M E N T F O R M S *

T h a t c l a s si c a l l o g i c a l c o n s e q u e n c e ( o r v a l i d im p l i c a t io n ) i s n o t t h e s a m e a se n t a i l m e n t is p l a in . W h e r e A a n d B a r e l o g i c a ll y i n d e p e n d e n t s t a te m e n t s , 1t h e f o l lo w i n g :

(1 ) A & N A~ . ' . B(2 ) B / . ' . . 4 v ~ A

a r e v a l i d b y t h e u s u a l t h e o r e t i c a l d e f i n i t i o n s , b u t s u r e l y t h e y a r e n o te n t a i l m e n t s . B d o e s n o t f o l l o w f r o m A & , ,~ A , n o r d o e s A v ,,~ A fo l l o wf r o m B . I t c o m e s a s n o s m a l l s u rp r is e t o a n y o n e u n c o r r u p t e d b y l o g ic a lt h e o r y t h a t (1 ) a n d ( 2) a r e t o h a v e t h e s a m e s t a t u s a s :

( 3 ) A A / . ' . A( 4 ) A~ .' . A , , ~ A

T h i s i s n o t b e c a u s e s u c h p e o p l e a r e l o g i c a l l y i n s e n s it iv e ; i t is b e c a u s e t h e yh a v e n ' t y e t h a d t h e t h e o r y o f v a l id i m p l ic a t io n i m p o s e d u p o n t h e m . I fp r e s s e d o n w h y (1 ) and (2 ) a re r e j ec t ed , t he r e sponse wi l l be a long t hel in e s t h a t t h e p r e m i s s ' h a s n o t h i n g t o d o w i t h ' t h e c o n c l u s i o n ; t h a t , f o r (1 )t h e i m p o s s i b i l i t y o f t h e p r e m i s s i s i r r e l e v a n t t o l o g ic a l c o r r e c tn e s s , s in c ew e r e th e p r e m i ss s o m e h o w t r u e , t h a t w o u l d n ' t m a k e t h e c o n c l u s i o n t r u e ;a n d f o r (2 ) th e n e c e s s a r y t r u t h o f t h e c o n c l u s i o n is a g a i n i rr e l e v a n t , f o r itis n o t t h e t r u t h o f th e p r e m i s s w h i c h m a k e s t h e c o n c l u s i o n t r u e.

S o m e o t h e r c o n c e p t u n d e r li e s o r d i n a r y b u t t h o u g h t f u l lo g i c al j u d g -m e n t s o f w h a t f o ll o w s f r o m w h a t , a n d i t is t h a t c o n c e p t a t w h i c h I w i s ht o g e t . N a t u r a ll y ~ t h a t s u c h l o g i c a l j u d g m e n t s a r e o r d i n a r y d o e s n o t m e a nt h a t t h e c o n c e p t s b e h i n d t h e m a r e c o n f u s e d , a m b i g u o u s , v a g u e , o r u n -

Philosophical Studies 29 (1976) 91-11 3. A l l R ig h ts R e se rv e dCopyright 9 1976 by D. R eide l Publishing Com pany, Dordrecht-Holland


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92 NICHOLAS LAPARA

s y s t e m a t i c . S u c h c o n c l u s i o n s c o u l d b e r e a c h e d o n l y a f t e r a n a n a l y s i s o ft h o s e c o n c e p t s .E n t a i l m e n t i s h e r e c o n c e i v e d a s a l o g i c al r e l a t i o n b e t w e e n s e t s o f s ta t e -m e n t s , a n d is t o b e d e f i n e d o n s e m a n t i c a l g ro u n d s . I t is n o t t o b e c o n -f l a te d (a s s o m e h a v e d o n e ) w i t h t h e r e l a t i o n b e t w e e n a s e t o f s t a t e m e n t sa n d a s t a t e m e n t j u s t i f t h e r e is a p r o o f o f t h e l a t te r f r o m t h e f o r m e r .T h o u g h s e m a n t i c a l l y ( a n d p e r h a p s a l s o p r a g m a t i c a l l y ) i n s p i r e d , t h a tn o t i o n w o u l d b e syntactically d e fi n ed . 2 W h e t h e r t h e i n f e r en c e f r o m A t o Bi n t h e c o n t e x t o f a p r o o f is w a r r a n t e d b y t h e f a c t t h a t A e n t ai ls B i s a( h a rd ) q u e s ti o n o f h o w t h e t h e o r y o f r i g o ro u s p r o o f r el at es t o t h e t h e o r yo f e n t a il m e n t a s a semantical r e l a t i o n , a n d t h u s p r e s u p p o s e s t h e l a t t e rt h e o r y a s s e t tl e d i n d e p e n d e n t l y , z

I n t h i s s e c t io n I d e v e l o p t h e f u n d a m e n t a l s o f a g e n e ra l t h e o r y o f e n -t a i lm e n t , a n d e x a m i n e c o n s e q u e n c e s o f t h a t t h e o r y f o r t h e e n t a i l m e n to f s t a t e m e n t f o r m s . I n S e c t i o n 2 t h e c o n s e q u e n c e s o f t h e t h e o r y f o r th ee n t a i l m e n t o f s t a t e m e n t s i n g e n e r a l a r e e x a m i n e d . S e c t i o n 3 c o n t a i n sd e t ai ls o f t h e t h e o r y o f e n t a i l m e n t i n s o f a r a s it d e p e n d s o n t h e t r u t h -f u n c t i o n a l c o n n e c t i v e s (a n d b y e x t e n s i o n , q u a n t if i c at i o n ).

T h e p r e s e n t a p p r o a c h is b a s e d o n t h e i d e a t h a t t h e t r u t h o f t h e e n t a il i n gp r e m i s s e s i n s o m e w a y brings about o r forces o r guarantees t h e t r u t h o ft h e e n t a i l e d c o n c l u s i o n . 4 T h i s , o r s o m e t h i n g l i k e it , is a l s o t h e b a s i c i d e ab e h i n d t h e s t a n d a r d c o n c e p t o f v a l id i m p l i c a t io n . B u t t h e f o r m a l d e f i ni -t i o n o f v a li d i m p l i c a t i o n s o m e h o w m i ss e s t h i s i d e a , a n d t h e r e s u l t d if f er sf r o m e n t a i l m e n t i n e s se n ti a l w a y s .

T h e t r o u b l e s e e m s t o b e th i s. T h e i d e a t h a t t h e t r u t h o f t h e p r e m i ss e sb r in g s a b o u t t h e t r u t h o f t h e c o n c l u s i o n s ee m s t o a m o u n t t o t h i s : what-ever w o u l d m a k e t h e p r e m i ss e s t r u e w o u l d ipsofac to m a k e t h e c o n c l u s i o nt r u e . T h e e m p h a s i s o n ' w h a t e v e r ' i s i m p o r t a n t .

T h e s t a n d a r d n o t i o n o f v a li d i m p l i c a t io n c o n si d e rs o n l y m a x i m a l t r u t h -c o n d i t i o n s , ~ t r u t h - c o n d i t i o n s p r o v i d i n g a t r u t h - v a l u e f o r e a c h s t a t e m e n ti n t h e l a n g u a g e w h e t h e r o r n o t t h a t s t a t e m e n t is in v o l v e d i n th e p r e m i s s es .H o w e v e r , o n e c o u l d i g n o re m o r e a n d m o r e o f a g iv e n m a x i m a l t r u t h -c o n d i t i o n , s t i l l f i n d i n g t h a t t h e p r e m i s s e s a r e m a d e t r u e . T h e q u e s t i o nt h e n i s , d o e s this s ti ll m a k e t h e c o n c l u s i o n t r u e ? T h a t is t o s a y , i f w e a r et o c o n s i d e r whatever m a k e s t h e p r e m i s se s t ru e , w e m u s t c o n s i d e r n o t o n l ym a x i m a l t r u t h - c o n d i t i o n s , b u t p a r t i a l o n e s a s w e ll . 6 T h e s t a n d a r d n o t i o no f v a l i d i m p l i c a t i o n m i s s es a l l t h e se .


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S E M A N T I C S F O R A N A T U R A L N O T I O N O F E N T A I L M E N T 93

T h i s i d e a a l r e a d y i n v a l id a t e s (2 ), f o r a n y p a r t i a l t r u t h - c o n d i t i o n m e r e l ym a k i n g t h e p r e m i s s B t r u e f a il s t o g i v e a n y t r u t h - v a l u e t o t h e c o n c l u s i o n .T h e r e a r e s t il l o b s t a c l e s t o t h e u n i v e r s a l a p p l i c a t i o n o f t h e i d e a o f p o s s i b l yp a r t i a l t r u t h - c o n d i t i o n s , h o w e v e r . H o w a r e w e t o m o b i l i z e t h e i d e a i nt h e f a c e o f s t a te m e n t s w h i c h a r e i n c o n s i s te n t , s o t h a t no t r u t h - c o n d i t i o n sm a k e t h e m t r u e ? O n e w a y w o u l d b e t o a l l o w tr u t h - c o n d i t i o n s w h ic h a r ei n c o n s i s t e n t , t h a t i s , w h i c h g i v e b o t h t r u t h - v a l u e s t o s o m e s t a t e m e n t s .T h e n ( 1 ) w o u l d a l s o b e r u l e d o u t , f o r a p a r t i a l ( i n c o n s i s t e n t ) t r u t h - c o n -d i t i o n m a k i n g A b o t h t r u e a n d f al se , b u t g i v in g n o v a l u e t o B , m a k e s t h ep r e m i s s A & ~ A t r u e ( a n d f a ls e a s w e ll , o f c o u r s e , b u t n o m a t t e r ) , b u td o e s n o t m a k e t h e c o n c l u s i o n t ru e .

E s s e n t i a l l y t h is i d e a a p p e a r s u n d e r d i f f e r e n t g u i se s i n a r t ic l e s b yv a n F r a a ss e n , 7 a n d R o u t l e y a n d R o u t l e y . 8 I n a n y f o r m , i t c a n b e s h o w nt h a t t h e d e p l o y m e n t o f p o s s ib l y p a r t ia l , p o s s i b l y in c o n s i s t e n t tr u t h - c o n d i -t i o n s f o r t r u t h - f u n c t i o n a l l o g i c g e n e r a t e s e x a c t l y t h e ' t a u t o l o g i c a l e n t a i l -m e n t s ' o f A n d e r s o n a n d B e l n ap . 9

T h e r e a r e t h r e e r e a s o n s t o r e j e c t i n c o n s i s t e n t t r u t h - c o n d i t i o n s , h o w e v e r .T h e f i rs t is t h a t t h is a p p r o a c h d o e s n o t t a k e r e a ll y s e r io u s l y t h e n o t i o no f tr u t h a n d f al si ty . W e w a n t t o c o n s i d e r w h a t h a p p e n s u n d e r t h e a s s u m p -t i o n t h a t c e r t a i n s t a t e m e n t s a re true; b u t i f w e v i o la t e t h e l a w o f n o n - c o n -t r a d i c t i o n i t i s n o t truth t h a t w e a r e re a l l y c o n s i d e r i n g , b u t a m e r et e c h n i ca l d e v i ce g o i n g u n d e r t h e s a m e n a m e .

I t m a y b e r e p l i e d th a t t h e d e m a n d s a r e i n c o m p a t i b l e , t h a t i f w e w i s h t oc o n s i d e r i n c o n s i s t e n t s ta t e m e n t s a s t r u e , t h e n p e r f o r c e w e m u s t d r o p t h el a w o f n o n - c o n t r a d i c t i o n t o t h e e x t e n t o f u s i n g t e c h n i ca l d e v ic e s w h i c hd o n o t c o n f o r m t o i t . T h i s i s n o t t h e c a s e , h o w e v e r , a s w i l l b e s h o w nb e l o w , f o r t h e r e i s a n o t h e r w a y t o h a n d l e t h e m a t t e r . T h e o b j e c t i o n ,t h e r e f o r e , s t a n d s .

T h e s e c o n d o b j e c t i o n i s th a t t h e u s e o f i n c o n s i s t e n t t r u t h - c o n d i t i o n si n v a l i d a t e s a r g u m e n t s w h i c h b y i n t u i t i o n a r e p r i m i t i v e e n t a i l m e n t s o n l ya d e g r e e le ss o b v i o u s t h a n t h e f a c t t h a t A & B e n t a il s B . I n p a r t i c u l a r ,d i s j u n c t i v e s y l lo g i s m is re j e c t e d , f o r b y t h e s a m e i n c o n s i s t e n t t r u t h - c o n d i -t i o n m e n t i o n e d a b o v e , t h e f o l l o w i n g is i n v a l id a t e d :

( 5 ) ~ A , A v B / . ' .B e l n a p , A n d e r s o n , a n d t h e i r fo l l o w e r s h a v e a r g u e d t h a t ( 5 ) ought t o b er e j e e te d , b u t s u c h a r e c o u r s e i s u n p a l a t a b l e . W e a r e , a f t e r a l l, a t t e m p t i n g


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9 4 N I C H O L A S L A P A R At o a n a l y z e o u r i n tu i t iv e c o n c e p t o f e n t a i l m e n t , a n d t h e c o r r e c t n e s s o f( 5 ) is p a r t o f t h e b a s ic r e p e r t o i r e o f i n tu i t i o n s w h i c h f o r m t h a t c o n c e p t .T h i s i s n o t t o s a y a s a t i s fa c t o r y a n al y si s o f e n t a i lm e n t c o u l d c o n t r a v e n en o i n t u i ti o n s , f o r t h e s e t o f i n tu i t io n s m a y b e i n c o n s is t e n t. T h a t t h a t isi n d e e d s o f o r e n t a i l m e n t h a s b e e n a r g u e d b y S m i le y , 1~ b u t e v e n i f t r u e ,w e o u g h t t o s ee w h e t h e r a n a n a l y s is c a n b e p u t f o r w a r d w h i c h p re s e r v est h e m o s t c o m p r e h e n s i v e a r r a y o f b a s i c i n tu i t i o n s p o s s ib l e . T h e r e j e c t i o no f d i s j u n c t iv e s y l l o g i sm is a h i g h p r i c e t o p a y - a n d w e p a y i t f o r t h ew r o n g r e a s o n s.

C o ns id e r . I f A v B is t r ue , b u t ,-, A i s t r ue , t h e n , u n l e s s t h e s i t u a t i o nc o n s i d e r e d i s a n i n c o n s i s t e n t o n e , B m u s t b e t r u e a l s o . n T h e u n d e r l i n e dp h r a s e i s t h e c r u c i a l o n e , a n d t h a t i s w h y d i s j u n c t i v e s y l l o g i s m f a i l s i nt h e s e m a n t i c s o f i n c o n s i s t e n t t r u t h - c o n d i t i o n s . B u t s u c h t r u t h - c o n d i t i o n sw e r e i n t r o d u c e d i n o r d e r t o d e a l w i th i n c o n s i s t e n t s t a t e m e n t s , w h i c h t h ep r e m i s se s o f ( 5) a re n o t . T o a l l o w t h e i n t r o d u c t i o n o f s u ch t r u t h - c o n d i -t i o n s t o t h r o w o u t d i s j u n c t i v e s y l l o g i s m i s t o l e t t e c h n i c a l d e v i c e s w i p eo u t a r e a li s t ic a p p r e c i a t i o n o f th e o r i g i n a l p r o b l e m . I n d e e d , i t is t o' s o l v e ' a p r o b l e m b y m i s s i n g i t a n d s u b s t i t u t i n g s o m e t h i n g e ls e . I f v a l i di m p l i c a t i o n i s s h o w n w a n t i n g b e c a u s e i t v a l i d a t e s ( 1) a n d ( 2 ), t h e n e n t a i l-m e n t d la A n d e r s o n , B e l n a p , e t a l . , i s e q u a l l y i m p e a c h e d b y i t s r e j e c t i o no f ( 5 ) .

T h e t h i r d o b j e c t i o n t o t h e d e v i ce o f i n c o n s i s t e n t t ru t h - c o n d i t i o n s ism o s t s e ri o u s f o r a s u p p o s e d a n a ly s is o f o u r i n t u it i v e n o t i o n o f e n t ai l m e n t .A c a r e fu l e x a m i n a t i o n o f h o w w e a c t u a l l y r e a s o n w i t h i n c o n s i s te n t s ta t e-m e n t s s h o w s t h a t w e d o n o t c o n s i d e r i n c o n s i s t e n t t r u t h - c o n d i t i o n s .S e e in g h o w w e d o p r o c e e d w i ll sh o w t h e w a y t o p r o p e r l y r e a s o n i n g w i t hi n c o n s i s t e n t s t a t e m e n t s .L e t u s t a k e t h e f o l l o w i n g in c o n s i s t e n t s t a t e m e n t s :

(6 ) A & B , ~ B .H o w m i g h t w e a r g u e s e m a n t i c a l l y t o s e e w h a t f o l l o w s f r o m t h e s e ? T h ef o l l o w i n g w o u l d b e t y p i c a l, I t h i n k :

F o r t h e fi rs t s t a t e m e n t t o b e t r u e , b o t h A a n d B m u s t b e t r u e . F o r t h es e c o n d s t a t e m e n t t o b e t r u e , t h e n ,,~ B m u s t b e t r u e . T h u s , f o r b o t h s t at e -m e n t s t o b e t r u e , b o t h B a n d ~ B m u s t b e t r u e , a n d h e n c e , B & ~ B f o ll o w s .

W h a t h a v e w e d o n e h e r e? W e h a v e n o t p r o c e e d e d a s i f a s s ig n i n g o p p o -s i t e t r u t h - v a l u e s t o t h e s a m e s t a t e m e n t B ; r a t h e r , w e h a v e p r o c e e d e d a s


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SEMANTI CS FOR A NATURAL NOTIO N OF ENTAI LMENT 95

i f a s s ig n i n g tr u t h - v a l u e s t o t w o q u i t e u n r e l a t e d s t a te m e n t s , B a n d ~ B .T h e f a c t t h a t t h e t w o s t a t em e n t s a r e r e a ll y r e l a t e d b y t h e n e g a t i o n f u n c -t i o n h a s b e e n s u p p r e s s e d ; t h a t B i n ~ B i s t h e s a m e a s B i n A & B h a sb e e n i g n o re d .

T a k e a s o m e w h a t m o r e c o m p l e x ex a m p l e :(7 ) A v B , H A , N B .

S e m a n t i c r e a s o n i n g a b o u t t h e s e i n c o n s i s t e n t s t a t e m e n t s m i g h t g o a sf o l l o w s :

F o r t h e f ir st t w o s t a t e m e n t s t o b e t r u e , B m u s t b e t ru e . B u t f o r t h e f ir sta n d t h i r d s t a t e m e n t s t o b e t r u e , A m u s t b e t r u e . T h u s , i t f o l lo w s t h a tA & B m u s t b e t r u e .

T h e r e a s o n i n g i n t h is c a s e p r o c e e d s i n t w o m o m e n t s , w i t h A v Be m p l o y e d e a c h ti m e . B u t t h e f a c t t h a t B i n ~ B e m p l o y e d i n t h e s e c o n dm o m e n t i s i d e n t ic a l to B i n A v B e m p l o y e d in t h e f i r s t m o m e n t i s s u p -p r e s s e d ; a n d t h a t A i n t h e s e c o n d m o m e n t is i d e n t ic a l t o A i n H A i n t h ef i r s t m o m e n t i s a l s o s u p p r e s s e d .

N o t i c e t h a t i n b o t h t h e s e e x a m p l e s th e s u p p r e s s i o n o f c e r t a in s t a t e m e n ti d e n ti ti e s m a k e s t h e i n c o n s i s t e n c y o f th e p r e m i s s es v a n i s h . I n e x a m p l e( 6) t h a t i s o b v i o u s . I n t h e r e a s o n i n g o f e x a m p l e ( 7) , t h e t r e a t m e n t o fA v B a s i f i t w e r e tw o s e p a r a t e p r e m i s s e s is c e n t r a l t o e s c a p i n g t h e i n c o n -s i st e n cy . T h i s is r e m a r k e d o n f u r t h e r s u b s e q u e n t l y .

T a k i n g t h e s e t w o e x a m p l e s as t y p ic a l , w e c a n s a y t h e f o l l o w i n g : I no r d e r t o d e a l w i t h i n c o n s i s t e n t s t a t e m e n t s , w e m a y n e e d t o s u p p r e s sc e r t a i n s t a t e m e n t i d e n t i f i c a t i o n s i n a w a y w h i c h d o e s a w a y w i t h i n c o n -s i s t e n c y , a n d c a r r y o u t o u r r e a s o n i n g w i t h t h e s e s u p p r e s s i o n s i n e f f e c t .

T h i s p r o c e d u r e o f se v e ri n g s t a te m e n t i d e n t it ie s i s o n e w e m u s t i n -c o r p o r a t e i n t o a f o r m a l a n a ly s is o f e n t a i lm e n t . B u t t h e w a y t o d o t h is l ie sr e a d y t o h a n d . T h e p r o c e s s d e s c r i b e d a b o v e c a n b e d e s c r i b e d ef fe c ti v e lyi n a n o t h e r a n d f a m i l i a r w a y : i n d e a l i n g w i t h i n c o n s i s t e n t s t a t e m e n t s , w ec o n s i d e r t h e m a s i n s ta n c e s o f c o n s i s te n t s t a te m e n t f o r m s . R e a s o n i n gw i t h ( p o s s ib l y p a r t i a l) t r u t h - c o n d i t i o n s is t h e n a p p l i e d t o t h e s e l a tt e r .T h a t i s th e w a y i n w h i c h t h e i d e a o f th e t r u t h o f t h e p r e m i s se s mak i ngt h e c o n c l u s i o n t r u e c a n b e m o b i l i z e d t o c o v e r a ll c as es , c o n s i s t e n t a n di n c o n s i s t e n t .O n e w o r d o f c a u t io n , h o w e v e r . I t m u s t b e a d m i t t e d t h a t i n t h e s a m p l er e a s o n i n g s a b o v e , w e d o n ' t really c o n s i d e r t h e s t a t e m e n t s a s i n s t a n c e s


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96 NICHOLAS LAPARAof som e th ing else. R a the r , we l ook a t t hem ' f rom a d i s tance , wi th ce r ta inkey de t ai ls obscu red . ' H ow eve r , the w ay t o g ive fo rm a l expre s s ion t o t h i sm e taph or is t h rou gh t he dev ice o f cons i s t en t s t a t ement fo rm s and t he irinstances.

In o rde r t o dev e lop the se ideas i n to a fo rm a l ana lys is o f en t a ilment ,tw o s t eps a re necessary . F i r s t en t a ilment fo r fo rm s o n t he bas i s o f t ru th -va lues im pos ed b y poss ib ly pa r ti a l t ru th -condi t i ons is de f ined . Then ,en t a i lmen t fo r s t a tement s is de fined de r iva t ive ly . A n a rgum ent ( a rgumen tform ) i s a s equence o f p remi sse s (p remi ss fo rms) fo l l ow ed by a conc lu-s ion (conc lus ion fo rm) . A n a rgu men t i ns tan t ia t e s an a rgum ent fo rm jus ti f t he sequence o f s t a tement s i n t he a rgum ent i ns tan t ia t e s t he sequenceo f f o r m s i n t h e a r g u m e n t f o r m . A n a r g u m e n t f o r m is p re m i s s- c o n si st e n tjust i f the set of premisses is consistent (sat isfiable) .D E F I N I T I O N . The premisses o f an argument fo rm entail the conclusionj u s t i f

(1 ) the argument fo rm is premiss-consistent, an d(2) for every argument instantiating the argument form, every (possibly

partial) truth-condition ma king the prem iss s tatemen ts true m ake sthe conclusion true also.

D E F I N I T I O N . The prem isses o f an argument entail the conclusion ju sti f the argument instantiates an argument fo rm whose prem isses entail theconclusion. 1~

Fo r conven i ence , he rea f te r t he m e ta - symb ol ' ~ ' w i ll be an abbrev i a -t i on o f t he me ta -expre s s ion ' en ta i l( s )' . T he con t ex t will u nam bigu ous lyde t e rmine whe the r we should unde rs t and t h i s t o be fo rm- o r s t a t ement -enta i lment . To deny enta i lment , '+- , ' wi l l be used.

N ow , b y w ay o f example s , l e t' s inves t iga t e a f ew form-en t a i lment s .F i r s t, we can show tha t hypo the t i ca l sy ll og ism is a fo rm-en t a i lment :

(8) 2;1 ~ 2:2 , 2;2 ~ 2:3 -~ 2;2 ~ 2;3-W e choo se a rb i t r a ry s t a tement s su i t ab ly i ns t an t i at i ng t he fo rm s :

As ~ A2, A2 ~ A3, A1 ~ A3.Th en we inves t iga t e (poss ib ly pa r t ia l ) t ru th -cond i t ions m aking t he p remi sss t a tement s t rue . These can be co l l ec ted i n to t h ree t ypes o f th ree (whe re


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' - ' i n d i ca t e s t h a t n o t r u t h - v a l u e is c o n s i d e r e d f o r t h a t s t a t e m e n t ) :AI A~ A3

F F T , F , o r - -F T , F , o r - - TT , F , o r - - T T

I n e a c h c a s e it will1 b e s e e n t h a t t h e t r u t h - c o n d i t i o n a s c o n s i d e r e d c o n t a i n se n o u g h t o d e t e r r a i n e A ~ = A 3 t o b e t r u e ; a n d s o t h e e n t a i l m e n t h o l d s .

F o r a n e x a m p l e o f a n o n - e n t a i l m e n t , c o n s i d e r t h i s :(9) X, -~ X, & (X2 v ~ X2) .

C h o o s e s t a t e m e n t s A ~, A~ & (A 2 v ~ A 2 ) i n s t a n t ia t i n g t h e f o r m s s u c ht h a t A ~ a n d A 2 a r e lo g i c a ll y i n d e p e n d e n t . T h e n c o n s i d e r t h e p a r t i a lt r u t h - c o n d i t i o n a s s ig n i n g t r u t h m e r e l y t o A ~. T h i s is n o t s u tf ic i en t t od e t e r m i n e a t r u t h - v a l u e f o r A 2 , a n d s o l ea v e s t h e t r u t h o f A 1 & (A 2 v ~ A 2 )u n d e t e r m i n e d .

I n S e c t i o n 3 t h e g e n e r a l a n s w e r a s to w h i c h e n t a il m e n t s h o l d o n t r u t h -f u n c t i o n a l g r o u n d s i s g i v en , b u t i t c a n b e n o t e d h e r e t h a t a l l t h e f o l l o w i n gf a m i l i a r b a s i c t r u t h - f u n c t i o n a l i n f e r e n c e s a r e f o r m - e n t a i l m e n t s : m o d u sp o n e n s , m o d u s t o ll e n s, s i m p l i fi c at io n , c o n j u n c t i o n , a d d i t i o n , d i s j u n c ti v es y lo g is m , c o n t r a p o s i ti o n , c o m m u t a t i o n o f ' & ' a n d ' v ' , a s so c ia ti v it y o f' & ' a n d ' v ' , d i s t r i b u ti o n o f ' & ' o v e r ' v ' , a n d ' v ' o v e r ' & ' , D e M o r g a n ' sL a w s , t a u t o l o g y ( i.e ., Z v 2 - ~ 2 ) , a n d t h e d e fi n it io n s o f ' ~ ' a n d ' = ' i nt e rm s o f ' , , ~ ' ' , ' ' v ' .& , A m o n g q u a n t if i ca t io n a l f o r m - e n t a i lm e n t s a r eu n i v e r s a l q u a n t i f ic a t i o n i n t r o d u c t i o n a n d e l i m i n a t io n , a n d t h e q u a n t i f ie rn e g a t i o n r u le s .

W e c a n n o w a s k w h a t s o m e o f t h e g e n e ra l p r o p e rt i e s o f f o r m - e n ta i l-m e n t a r e. F i r s t, v ce c a n i m m e d i a t e l y se e t h a t c o n d i t i o n a l p r o o f fa i ls f o r' = ' . Th a t i s :

( 1 0 ) I t i s n o t t h e c a s e t h a t i f 21, X 2, . . . , 2., X ~ 9 t h e n

T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t s t h a t :( 11 ) Z~ , X ~ - oS 2 .(12 ) Z1 "~ 272 ~ X2 .


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98 N I C H O L A S L A P A R AI f co n d i t i o n a l p r o o f w e re p e r m i tt e d , o n e c o u l d r e ad i ly s h o w t h a t ~ i d o e senta i l 2~2 = Xz i3W h y d o e s c o n d i t i o n a l p r o o f f o r ' ~ ' p o s si b ly n o t p r e se r v e e n t a il m e n t ?T h e i d ea t h a t e n t a i l m e n t m e a n s t h a t w h a t e v e r w o u l d m a k e t h e p r em i s se st r u e w o u l d i pso f ac to m a k e t h e c o n c l u s i o n t ru e i m p o s e s a r a t h e r s t r o n gr e l e v a n c e r e l a t i o n b e t w e e n p r e m i s s e s a n d c o n c l u s i o n . I t is t h e p o s s i b l ev i o l a t i o n o f t h is c o n d i t i o n w h i c h m a k e s c o n d i t i o n a l p r o o f i ll e gi ti m a te i ng e n e r a l, a n d i n p a r t i c u l a r f o r th e e x a m p l e a b o v e .

A s s u m i n g t h a t I f -A - t h e n - B e n t ai ls A = B , c o n d i t i o n a l p r o o f o n ' i f - t h e n 'm u s t f a i l i n a t l e a s t a l l t h e c a s e s w h e r e i t f a il s f o r ' ~ ' . I t fa i ls a l so i n o t h e rc a se s , h o w e v e r , a s t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s h o w s :

(13) T o m i s e x a c t l y 3 8 y e a r s o l d .T o m is e x a c t ly 4 0 y e a r s o l dT o m is e x a c t ly 3 8 y e a r s o l dI f T o m is e x a c t ly 4 0 y e a r s o l d , t h e n

T o m i s e x a c t l y 3 8 y e a r s o l d .

p r e m i s sa s s u m p t i o nr e - i t e r a t i o n

c o n d i t i o n a l p r o o f

T h e c o n c l u s i o n d o e s n o t f o l l o w f r o m t h e p r e m i s s i n a n y s e ns e o f 'f o l l o w ' ,f o r t h e c o n c l u s i o n c a n n o t b e t ru e , b u t t h e p r e m i ss m a y b e . S i n c e c o n d i t i o n -a l p r o o f f a il s f o r t h o s e s t a t e m e n t s , i t f a il s a l s o f o r th e s e f o r m s ( w h e r e' a ' i s a p a r a m e t e r f o r n a m e s i n t h e o b j e c t l a n g u a g e ) :

a i s e xa c t ly 38 ye a r s o ld ; i f a is e xa c t ly 40 ye a r s o ld , t h e n a i se x a c t l y 3 8 y e a r s o l d .

04)S i n ce c o n d i t i o n a l p r o o f f o r ' = ' is n o t l e g it im a t e i n g e n e r a l, n e i t h e r i s

reductio, i n a s m u c h a s reductio w i l l g i v e t h e s a m e e f f e c t a s c o n d i t i o n a lp r o o f . I f ~ f l . . . . . 2~ ,, ~ ~ , t h e n i t i s t r u e t h a t ~ . . . . , 27 ,, ~ ( 2 7 = ~ ) ~ 4~ && ~ ~ ; b u t p o s s i b ly ~ , . . . , 27 ,, + +2 7= ~ .

C o n t r a p o s i t i o n d o e s n o t h o l d i n g e n e r a l f o r f o r m - e n t a i l m e n t . I f~ 1 , ~ 2 , . . . , ~ , , ~ ~ ~ , i t doe s no t f o l low tha t 2~1, X2 , . . ., 2f,, ~ ~ ~ ~ S , f o r{2~1, 2~2 . . . . 2 7, . . .. ~ 4~} m a y n o t b e c o n s i s t e n t . M o r e o v e r , c o n t r a p o s i t i o nf a il s in o t h e r c a s e s a s w e ll . F o r i n s t a n c e :

(15) 2?1 v (2~2 & ~ 2?2) ~ 27,s i nc e th e p r e m i s s is c o n s i s te n t a n d t h e o n l y t ru t h - c o n d i t i o n s m a k i n g i n -s t a n t ia t i o n s o f t h e p r e m i s s t r u e m a k e t h e in s t a n t i a t io n o f ~1 t r u e . H o w e v e r :


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S E M A N T I C S F O R A N A T U R A L N O T I O N O F E N T A I L M E N T 9 9(1 6) "" 271 4 o ,,~ (2;1 v (I; 2 & ,,0 272)); i.e ., ,-~ 2;i 4o "~ Z1 & (2;2 v --~

" ~ 2 ; 2 )s in c e t h e p a r t i a l t r u t h - c o n d i t i o n w h i c h m e r e l y m a k e s t h e i n s t a n t i a t i o no f 271 f a ls e a ss i g n s n o t r u t h - v a l u e t o t h e c o n c l u s i o n . T h e n e c e s s a r y a n ds u t S c i e n t c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h c o n t r a p o s i t i o n d o e s h o l d i n t h e t r u t h -f u n c t i o n a l c a s e a r e g i v e n i n S e c t i o n 3 .

T r a n s i t i v i t y d o e s h o l d f o r f o r m - e n t a i l m e n t . T h a t i s , w e h a v e :(17) I f 2;1--~Z2 a n d 2 7 2 - - ~ 2 ; 3 , th en Z~ ~ 2; 3 .T o p r o v e t h is , a s su m e t h e a n t e c e d e n t a n d c h o o s e a r b i t r a ry s t a t e m e n t s

A , C s i m u l t a n e o u s l y i n s t a n t i a t i n g Z 1 , 2 73 . W e t h e n c a n f i n d a s t a t e m e n tB i n s t a n t i a t i n g I;2 in s u c h a w a y t h a t a n y p a r a m e t e r s c o m m o n t o 27~ a n dI72 a r e i n s ta n t i a t e d i n B a s t h e y a re i n A ; a n d a n y p a r a m e t e r s c o m m o n t o2 ;2 a n d 273 a r e i n s t a n t i a t e d in B a s t he y a r e i n C . T h e r e i s no c on f l i c t he r e ,s in c e a n y p a r a m e t e r s c o m m o n t o 2;1 a n d Z a a r e c o m m o n l y i n s t a n t i a t e di n A a n d C . T h e n A , B s i m u l t a n e o u s l y i n s t a n t i a t e 2 ;1 , 2 72 ; a n d B , Cs i m u l t a n e o u s l y i n s t a n t i a t e 2 7 2 , 2 ; a . S o , b y a s s u m p t i o n , a l l ( p o s s i b l yp a r t i a l ) t r u t h - c o n d i t i o n s m a k i n g B t r u e m a k e C t r u e . T h e n , a l l ( p o s s i b l yp a r t i al ) t ru t h - c o n d i t i o n s m a k i n g A t r u e m a k e C t ru e . S i n ce A a n d C w e r ea r b i t r a r y , a n d Z j: m us t be c o ns i s t e n t , Z 1 ~273 .

T h e tr a n s i ti v i ty o f e n t a i l m e n t m e a n s t h a t w e c a n c o n s t r u c t ' c h a in s ' o ff o r m - e n t a i l m e n t s ; i f w e l is t t h e p r e m i s s f o r m s , t h e n w r i t e a s e q u e n c e o ff o r m s s u c h t h a t e a c h f o r m is e n t a il e d b y a s e q u e n c e o f s o m e o f t h e f o r m sp r e v i o u s l y a p p e a r i n g , t h e p r em i s s f o r m s e n t a i l e v e r y s u b s e q u e n t f o r m .S u c h a c h a i n c a n c o n s t i t u t e a p r o o f t h a t t h e o r i g i n a l s eq u e n c e e n t ai lst h e l a s t f o r m i n t h e s eq u e n c e .

2 . E N T A I L M E N T S O F S T A T E M E N T ST u r n i n g n o w t o t h e q u e s t i o n o f s t a t e m e n t - e n t a i l m e n t , t h e f ir st q u e s t i o nw h i c h a ri se s is t h is : h o w a r e w e t o a p p l y f o r m - e n t a i l m e n t to d e t e r m i n ew h e t h e r c e r t a i n s t a t e m e n t s e n t a i l a g i v e n s t a t e m e n t ? H o w a r e w e t od e t e r m i n e , f o r in s t a n c e , t h a t t h e s t a t e m e n t s i n a c e r t a i n a r g u m e n t i n -s t a n t i a t e no f o r m s s a t is f y in g t h e d e f i n i ti o n o f f o r m - e n t a i l m e n t , i f i n f a c tt h e r e a r e n o s u c : h f o r m s ?I f w e l o o k a t a c t u a l p ra c t ic e , w e c a n n o t i c e t h a t i t c o r r o b o r a t e s t h ea n a ly s is o f s t a t e m e n t - e n t a i l m e n t a s d e r i v a t iv e f r o m f o r m - e n t a i l m e n t . T o


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100 NICHOLAS LAPARAs h o w t h a t a c o n c l u s i o n s t a te m e n t d o e s n o t f o l l o w f r o m g i v en p re m i ss e s,p e o p l e c o m m o n l y e i th e r s h o w t h a t t h e p r e m i ss e s a r e i n f a c t t ru e , b u t t h ec o n c l u s i o n f a ls e ; o r , i f t h a t p r o c e d u r e is n o t o p e n , t h e y p r o d u c e a' c o u n t e r - i n s t a n c e ' , t h a t i s , a n o t h e r a r g u m e n t r e l a t e d t o t h e f i r s t , b u t w i t ht r u e p r e m i s s e s a n d f a l s e c o n c l u s i o n . 14 T h e r e l a t i o n i s t h a t t h e t w o a r g u -m e n t s a r e o f t h e s a m e f o r m , a n d i t is t h u s d e m o n s t r a t e d t h a t t h e a r g u m e n tf o r m d o e s n o t c o n s t i t u te a n e n t a il m e n t . I t is p r e s u m e d t h a t i f t h e a r g u m e n tf o r m i n q u e s t i o n d o e s n o t v a l id a t e t h e o r i g in a l a r g u m e n t a s a n e n t a i lm e n t ,t h e n n o o t h e r f o r m d o e s e it h e r.

T h i s p r e s u m p t i o n c l e a rl y i n v ol v e s t h e i d e a t h a t a n y a r g u m e n t w h i c h isa n e n t a i l m e n t i n s t a n t i a t e s s o m e f o r m w h i c h v a l i d a t e s t h e e n t a i l m e n t .O t h e rw i s e , t o s h o w t h a t t h e r e a r e n o s u c h v a l i d a ti n g f o r m s d o e s n o ts uf fic e t o s h o w t h a t t h e a r g u m e n t is n o t a n e n t a il m e n t . T h e m e t h o d o fi n v a l i d a t i n g a n a r g u m e n t via c o u n t e r - i n s t a n c e s t h u s a s s u m e s t h a t t h el a n g u a g e h a s s u f f i c ie n t s y n t a c t i c s tr u c t u r e s o t h a t a l l e n t a i l m e n t r e l a t i o n sa r e r e v e a l e d a t t h e f o r m l e v e l . F o r i n s t a n c e , a l a n g u a g e w h e r e s e n t e n c e sm a y b e s in g le sy m b o l s w o u l d n o t q u a l i f y , f o r i f A m e a n s t h a t T o m is t a lla n d n o t t a ll , a n d B m e a n s t h a t T o m is ta ll , th e n i n t u it iv e l y A e n ta i ls B ,b u t th e r e i s n o p r e m i s s - c o n s i st e n t a r g u m e n t f o r m a v a i l a b l e t o v a l i d a t e t h is .

I f w e m a k e t h is s a m e p r e s u m p t i o n o f s u f fi ci en t s y n t a c ti c s tr u c t u r e i nt h e l a n g u a g e w e c o n s i d e r, t h e n w e c a n s h o w t h a t t h e f o r m a l a n a l y si s o fe n t a i l m e n t u n d e r w r i t e s t h e i n f o r m a l m e t h o d o f c o u n te r - in s t a n c e s, b ys h o w i n g t h a t t h e r e a r e c e r t a i n f o r m s i n s t a n t i a t e d b y a n a r g u m e n t w h i c hv a l id a t e th e a r g u m e n t a s a n e n t a i lm e n t i f a n y d o .

F o r a g i v e n a r g u m e n t , c o n s i d e r a l l t h e p r e m i s s - c o n s i s t e n t a r g u m e n tf o r m s w h i c h th e a r g u m e n t i n st a n ti a te s . T h e a r g u m e n t is a n e n t a i l m e n tj u s t i f o n e o f t h e se a r g u m e n t f o r m s i s (t h e t r u t h o f th i s s t a t e m e n t r e st so n t h e a s s u m p t i o n o f s u ff ic i en t s y n t a c t i c s t r u c t u r e i n t h e l a n g u a g e ) . N o wi t c a n b e s h o w n t h a t i t i s s u f fi c ie n t t o c o n s i d e r o n l y s o m e o f t h e s e a r g u -m e n t f o r m s . F i r s t , b y d e f i n i n g ' g e n e r a l i z a t i o n ' , a p a r t i a l o r d e r i n g i si n t r o d u c e d i n t o t h e c l a ss o f p re m i s s - c o n s is t e n t a r g u m e n t f o r m s i n s t a n t ia -t e d b y th e a r g u m e n t :D E F I N I T I O N . The (premiss -cons is tent) argum ent fo rm ~ is a generaliza-tion o f the (premis s -cons i sten t) a rgumen t fo rm ~ ju s t i f every argumen tinstantiating fl instantiates ~, bu t not conversely.

T h i s p a r ti a l o r d e r i n g h a s m i n i m a l e le m e n t s ; t h e m i n i m a l e l e m e n t s f o r


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SEMANTIC, S FOR A NATURAL NOTIO N OF ENTAI LMENT 101

a g i v e n a r g u m e n t a r e t h e m o s t s p e c i f i c p r e m i s s - c o n s i s t e n t a r g u m e n tf o r m s w h i c h t h e a r g u m e n t i n s ta n t ia t e s ( i f t h e p r e m i s s s t a te m e n t s a r ec o n s i s t e n t , t h e n t h e s e q u e n c e o f s t a t e m e n t s i s i t s e l f t h i s f o r m ) . W h a t Iw i l l s h o w i s t h a t i n c o n s i d e r i n g w h e t h e r t h e p r e m i s s s t a t e m e n t s e n t a il t h ec o n c l u s i o n , w e n e e d l o o k o n l y a t th e s e m i n i m a l e l e m e n t s . M o r e e x p l ic i tl y ,t h e f o l l o w i n g w i l l b e p r o v e d :T H E O R E M 9 I f a p re mi s s -c ons i s te n t a rgum e n t f o r m i s no t an e n ta i lme n t ,then no general i za t ion o f i t is .

T o p r o v e t h i s , c o n s i d e r a p r e m i s s - c o n s i s t e n t a r g u m e n t f o r m w h i c h i sn o t a n e n t a i l m e n t , a n d s u p p o s e , f o r a r g u m e n t , t h a t s o m e g e n e r al i za t io no f i t is a n e n t a il m e n t . C o n s i d e r a n y a r g u m e n t i n s t a n t i a t in g t h e f i rs t f o r m ;th en i t i n s t an t i a t e s t he gene ra l i z a t ion 9 Bu t t he n eve ry (poss ib ly pa r t i a l )t r u t h - c o n d i t i o n m a k i n g t h e p r e m i s s e s o f t h e a r g u m e n t t r u e m a k e s t h ec o n c l u s i o n t r u e . S i n c e t h i s w a s a n y a r g u m e n t i n s t a n t i a t i n g th e f i rs t f o r m ,t h a t f o r m is a n e n t a i l m e n t , c o n t r a r y t o h y p o t h e s i s.

A n i m m e d i a t e c o r o l l a r y is t h a t f o r a n a r g u m e n t w i t h a c o n s i s te n t s e t o fp r e m i s s e s, t h e p r e m i s s e s e n t a i l t h e c o n c l u s i o n i f , a n d o n l y i f , e v e r y ( p o s-s i b ly p a r t i a l ) t r u t h - c o n d i t i o n m a k i n g a ll t h e p r e m i ss e s t r u e a l so m a k e s t h ec o n c l u s i o n t r u e .

I t i s n o w e a s y to s h o w t h a t n o t e v e ry a r g u m e n t i n s t a n t i a ti n g t h e f o r m :(18) 2;1 & ,~ S~ / . ' . $2

i s a n e n t a il m e n t . ' r a k e f o r e x a m p l e , t h e a r g u m e n t :(19) T o m is ta l l & ~ (T om is ta l l )9

9 Sam i s sho r t .T h e r e a r e s ix m o s t s p e c if ic p r e m i s s - c o n s i s te n t f o r m s w h i c h t h is a r g u m e n ti n s t a n t i a t e s 15 ( w h e r e ' a ' i s a p a r a m e t e r f o r n a m e s , ' is f ' i s a p a r a m e t e rf o r s i n g u l a r y p r e d i c at e s , ' c1 ' i s a p a r a m e t e r f o r s i n g u l a r y c o n n e c t iv e s , a n d'C z' i s a p a r a m e t e r f o r b i n a r y c o n n e c t i v e s) :

(20) a i s ta l l & ~ (T om is ta l l ), Sa m is sh or tT o m i s f & ,-, (T om i s t a l l) , Sa m i s sh or tT o m i s ta l l & ,~ (a i s ta l l) , S am i s shor tT o m i s t a l l & ,-~ (T om i s f ) , S am i s sho r tT o m i s t a l l & c l ( T o m i s t al l) , S a m is s h o r tT o m i s ta l l Cz "~ (T om i s t al l ), S am i s sho r t


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102 N I C H O L A S L A P A R AF o r e a c h o f t h e s e o n e c a n e a s il y f i n d i n s t a n t ia t i n g s t a t e m e n t s a n d t r u t h -c o n d i t i o n s m a k i n g t h e p r e m i s s s t a t e m e n t t r u e , b u t f ai li n g t o m a k e t h ec o n c l u s i o n s t a t e m e n t t r u e .

N o w , t o s e e t h a t t r a n s i ti v i t y m a y f a i l f o r s t a t e m e n t - e n t a il m e n t , c o n -s i d er th e f o l l o w i n g n o t o r i o u s ' d e r i v a t i o n ' :

( 2 1 )( a ) A & ~ A p re m is s( b ) A f r o m ( a )( c ) A v B f r o m ( b )( d ) ~ A f r o m ( a )( e) B f r o m ( c) a n d ( d )

E a c h s t ep i n t hi s d e r i v a t i o n is a s t a t e m e n t - e n t a i l m e n t ; b u t w e h a v e s e e na b o v e t h a t f r o m p r e m i s s t o l a s t l i n e m a y n o t b e , e s t a b l i s h i n g t h a t s t a t e -m e n t - e n t a i l m e n t i s n o t t r a n s i t i v e . T h e f a i l u r e o f t r a n s i t i v i t y i s w h a t w es h o u l d e x p e c t o f a g o o d t h e o r y o f s t a t e m e n t - e n t a i lm e n t . I t is p re c i se l yt h e i n v o c a t i o n o f t r a n s i ti v i t y w h i c h b ri n g s t h is ' d e m o n s t r a t i o n ' o f t h ee n t a i l m e n t o f B b y A & ~ A d o w n o n u s ; o n l y a f te r t h e d e b a c l e d o w e s eea n y r e a s o n t o d o u b t s i m p l e b a s i c e n t a i l m e n t s s u c h a s t h a t A e n t a i l sA v B , o r t h a t H A a n d A v B t o g e t h e r e n ta i l B . O u r c o n f i d e n c e i n t h es ee n t a i l m e n t s i s o r i g i n a l ly m a n i f e s t e d i n t h e specific c h a i n o f r e a s o n i n g i n -v o l v e d . O u r c o n f i d e n c e i n t r a n si t iv i t y , h o w e v e r , is a n i m p o r t e d g e n e r al i za -t i o n . I n d e e d , i t a r is e s f r o m o u r a c q u a i n t a n c e w i t h e n t a il m e n t s p r o c e e d i n gf r o m consistent p r e m i s s e s . T h e r e is e v e r y r e a s o n , t h e r e f o r e t o t a k et r a n s it i v i ty a s t h e m o s t s u s p e c t l i n k i n t h e c h a i n f r o m i n c o n s i s t e n t p r e m i s s -e s t o u n a c c e p t a b l e c o n c l u s i o n : t r a n s i ti v i t y d o e s n o t a l w a y s h o l d w h e nt h e p r e m i s s e s a r e i n c o n s i s t e n t . H o w e v e r , w e h a v e t h e s p e c i a l c a s e t h a t i ft h e o r i g i n a l p r e m i s s s e t o f s t a t e m e n t i s c o n s i s t e n t , t h e n e n t a i l m e n t i st r a n s i t i v e .

T h e r e r e m a i n s a p r o b l e m n o n e t h e le s s . S i n c e t r a n s it i v i ty s o m e t i m e sf a i l s f o r i n c o n s i s t e n t p r e m i s s e s , h o w m a y w e d e m o n s t r a t e s t a t e m e n t -e n t a i l m e n t f o r s u c h p re m i s s e s b y d e r i v a t i o n s o f t h e f a m i l i a r s t e p- w i ses o r t ? B a r n e s w i ll r e p o r t t h e a n s w e r t o t h i s ; b r i ef l y , h o w e v e r , t h e u n -r e s t ri c t e d p r e s e r v a t i o n o f t ra n s i t iv i t y a t t h e f o r m l ev e l a ll o w s t h e u n -w a n t e d c a se s to b e e x c is e d a t t h e s t a t e m e n t l e v el . T h e c r i t e r io n f o r d e m o n -s t r a t i o n a m o n g s t a t e m e n t s , l i k e e n t a i l m e n t , w i l l b e a t t h e f o r m l e v e l .E x p e c t a b l y , s t a t e m e n t - e n t a i lm e n t d o e s n o t n e c e s s a ri ly c o n t r a p o s ee i th e r . F o r a n y A , B , t h e f o ll o w i n g a r g u m e n t is a n e n t a i l m e n t :


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SEMANTICS FOR A NATURAL NOTION OF ENTAILMENT 103(22) .4 v ( B & ,-, )

, ' , AB u t t h is m a y n o t b e :

(2 3 ) ,-~ A. - . ~ ( A v ~ B ) )

T h i s i s e as i ly c h e c k e d b y c h o o s i n g a c o n t i n g e n t A a n d l o g ic a ll y i n d e -p e n d e n t B .

E x a m p l e ( 2 3 ) a l s o s u p p l i e s a f u r t h e r f a c t . I t i s n o t t h e c a s e , a s m i g h th a v e b e e n c o n j e c t u r e d , th a t w i t h i n th e r e a l m o f a r g u m e n t s w i t h c o n s i s te n tp r e m i s s es , e n t a i l m e n t c o i n ci d e s w i t h v a l id i m p l i c a ti o n . W e m i g h t c o n -j e c t u r e t h a t w i t h i n th e r e a l m o f a r g u m e n t s w i t h c o n s i s te n t p r e m i s se s a n di n w h i c h n o r e d u n d a n t s t a t e m e n t s o r o p e n f o r m u l a s a p p e a r , e n t a i l m e n tc o i n c i d e s w i t h v a l i d i m p l i c a t i o n ( b o t h ( 2 2 ) a n d i t s c o n v e r s e a r e e n t a i l -m e n t s , h e n c e A v ( B & , - , B ) a n d A a r e e q u i v a l e n t i n a s t r o n g s e n s e ,s h o w i n g ( B & , -, B ) t o b e r e d u n d a n t ) - b u t t h a t a ls o i s n o t t ru e , s i n cet h e r e a r e a rg u m e n t s o f th e f o r m A ~ B / . ' . A ~ ( A & B ) w h i c h a r e n o t e n -t a i l m e n t s .

T h e r e is o n e f e a t u r e o f s t a t e m e n t - e n t a i l m e n t t h a t m a y s e e m c u r i o u s .W h e n i n c o n s i s t e n t p r e m i ss e s a r e i n v o l v e d , w h e t h e r a p r e m i s s i s r e p e a t e do r n o t m a y b e c r u c i a l t o t h e e n t a i l m e n t . F o r e x a m p l e , t h e p r e m i s s e s :

(24) N A , ~ B , A v Bd o n o t e n t a i l A & B o n t h e p r e s e n t a n a l y s i s , w h e r e a s t h e s e p r e m i s s e s d o :

(25) ~ A , N B , A v B , A v B .T h i s f e a t u r e s e em s t o m e r a t h e r a s t r e n g t h t h a n a w e a k n e ss , h o w e v e r , f o ri t m i r r o r s f e a t u r e s o f h o w w e a c t u a l ly d o r e a s o n f r o m i n c o n s i s t en t p r e-m i s s e s . R e c a l l h e w t h e r e a s o n i n g w i t h t h e a b o v e p r e m i s s e s w e n t . C o m -p a c t l y p u t , i t m i g h t b e s t a t ed a s f o l l o w s :

I f A v B i s t r u e a n d a l s o H A , t h e n B m u s t b e t r u e . B u t i f A v B i s t r u ea n d a l s o , ~ B , th e n A m u s t b e t ru e . B u t i f b o t h A a n d B a r e t r u e , t h e n s oi s A & B .W h a t w e h a v e d o n e h e r e is t o e m p l o y A v B t w ic e , a n d i n t w o d i f fe r e n tc h a r a c t e r s , a s i t w e re . W e w e r e f ir st c o n c e r n e d w i t h t h e l i n k a g e o f t h e


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104 N I C H O L A S L A P A R Af i r st c o m p o n e n t o f th e d i s j u n c t i o n w i t h , -- A ; th e n s e p a r a t e ly w i t h th el i n k a g e o f t h e s e c o n d c o m p o n e n t w i t h - ~ B . T h e s e l in k a g e s ar e s h o w ns e p a r a t e l y i n t h e f o r m - e n t a i l m e n t w h i c h , h a v i n g c o n s i s t e n t p r e m i s s f o r m s ,v a l i d a te s t h e e n t a i l m e n t o f A & B b y ( 2 5) :

(26) N ~ 1 , e~, ~ 2 , ~ ' ~ 1 V z~3, S 4 V "~2 -- ' t z~3 ~ 4 ~N o t i c e t h a t i n t h is f o r m - e n t a i l m e n t , t h e d i sj u n c t io n s s h a r e n o c o m p o n e n t .T h i s i s a r e f le c t io n o f t h e e a r l ie r r e m a r k s c o n c e r n i n g t h e s e v e r i n g o fs t a t e m e n t id e n t i ti e s a n d t h e e m p l o y m e n t o f t h e d i s j u n c ti v e p r e m i s s t w i cei n o r d e r t o e s c a p e i n c o n s i s t e n c y .W e m a y n o w t u r n t o a m a j o r i s su e . T h e q u e s t i o n a ri se s o f w h e t h e r ad i s t in c t i v e n o t i o n o f n e c e s si ty c a n b e d e f i n e d i n t e r m s o f e n t a i lm e n t . I nw h a t w a y s w o u l d w e e x p e c t s u c h a m o d a l i t y t o b e d i s ti n c ti v e ? T h e q u e s-t i o n is w h e t h e r w e c a n d e f i n e ' [ Z ] ' i n s u c h a w a y t h a t f o r a n y t w o s t a te -m en t s 16 A , B :

(27) [E~ (A = B) i f , an d on ly i f, A ~ B .I f s u c h a d e f i n i t i o n c a n b e g i v e n , t h e n [ E '[ w i ll d i f fe r f r o m l o g i ca l n e c e s -s i ty D ' w h e r e a ll t a u t o l o g i e s a r e n e c e s sa r y , f o r a l t h o u g h :

( 2 8 ) f - - I ( B = ( A vw i l l be t ru e , s ti ll , fo r c e r t a in A , B :

(29) [ 'E'](B = (A v ~ A ))w i l l no t .

H o w e v e r , n o s u c h d i s t in c t iv e n e ce s s it y c a n b e d e f i n e d f o r e n t a i l m e n t ,a t l e a s t f o r n e c e s s i t y a n d e n t a i l m e n t w h i c h h a v e r e a s o n a b l e p r o p e r t i e s .T h e a r g u m e n t i s a s f o l l o w s . A s n o t e d , f o r n e c e s s it y t o b e c o r r e l a t e d w i t he n t a i l m e n t , w e m u s t h a v e (2 7). B u t a n y r e a s o n a b l e n o t i o n o f n e c e s s it yf o l l o w s t h e p r i n c i p le :

(30) I f K l A an d A ~ B then ~__JB .T h i s i s s im p l y t h e r e q u i r e m e n t , i n t e r m s o f e n ta i l m e n t , t h a t w h a t f o l lo w sf r o m a n e c e s s a r y s t a t e m e n t is it s e lf n e c e s s ar y . N o w a n y r e a s o n a b l e t h e o r yo f e n t a i l m e n t h a s :

( 3 1 ) ( A s ) B .


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T o g e t h e r , ( 3 1 ) a n d ( 2 7 ) y i e l d :( 3 2 ) [ ] ( (A 8 ) = 8 ) ) .

A g a i n , a n y r e a s o n a b l e t h e o r y o f e n t a i lm e n t a l s o h a s :( 3 3 ) ( A & B ) = B ~ A = ( B = B ) .

( T h e le f t s id e , b y t h e d e f in i ti o n o f ' ~ ' a n d D e M o r g a n ' s l a w , is( 3 4 ) ~ A v ~ B v B .

B u t t h e ri g h t is t o o , b y t h e d e fi n i ti o n o f ' = ' a lo n e ) . B u t n o w ( 3 2) a n d ( 3 3 )b y ( 3 0 ) g i v e :( 3 5 ) [ ] ( A = ( 8 = 8 ) ) .

B u t b y ( 2 7 ) , t h i s g i v e s :(36) A ~ (B --, B ) .

T h i s , h o w e v e r , i s u n a c c e p t a b l e a s a n e n t a i l m e n t f o r a r b i t r a r y A , B . 17T h e u p s h o t o f t h i s i s t h a t t h e l o g i c o f e n t a i l m e n t , u n l i k e t h e l o g i c o fs t r ic t i m p l i c a t i o n , d o e s n o t c o n s t i t u t e a d i s t in c t i v e m o d a l l o g i c . W h a t i t

i n d i c a t e s i s t h a t : m o d a l l o g i c a n d e n t a i l m e n t l o g i c se r v e v e r y d i f fe r e n tp u r p o s e s , t he o re tJ [c a ll y c a p t u r i n g c o n c e p t s w h i c h p o i n t i n q u i t e d i f fe r e n td i r e c t i o n s . W h a t m u s t b e t h e c a s e is t h e c o n c e p t s u i te d t o , a n d a n a l y z e db y , m o d a l l o g i c . W h a t f o ll o w s f r o m a s e t o f s t a t e m e n t s i s t h e c o n c e p ts u i te d t o , a n d a n a l y z e d b y , th e l o g ic o f e n t a i lm e n t . T h e t w o c o n c e p t s a r en o t in t e r c h a n g e a b l e , a l t h o u g h s u p e r fi c ia l ly it m a y s e e m s o . T h e n o n -e x i st e n ce o f a m o d a l l o g ic b a s e d u n i q u e l y o n e n t a i lm e n t b r i n g s t h is p o i n to u t in a d e c i si v e w a y . ( ' [ [ ] ' r a t h e r t h a n 'I-E l' can b e d e f i n e d i n t e r m s o fo u r e n t a i lm e n t . B u t o f c o u r s e t h e c o n v e r s e i s n o t p o s s i b l e . T h i s o n l yu n d e r l i n e s t h e p o : i n t s m a d e a b o v e ) .

I t a l so s h o u l d b e r e - em p h a s i z e d t h a t t h e a n a ly s is o f e n t a i lm e n t y i e ld sa l o g ic w h i c h i s f o r m a l i n a w a y in w h i c h t h e l o g i c o f v a l id i m p l i c a t i o na n d t h e lo g i c o f m o d a l i t y a r e n o t . T o s a y, f o r e x a m p l e , t h a t a n a r g u m e n to f t h e f o r m :

( 3 7 ) A = BA.'. g


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106 N I C H O L A S L A P A R Ai s va l id because o f i ts form is n o t c l ea r ly a d e q u a t e a s a n e x p l a n a t i o n o f t h ef o u n d a t i o n o f v a l id i ty . I n t r u t h - f u n c t i o n a l l og ic , f o r i n s ta n c e , t r u t h - v a l u ea s s i g n m e n t s a r e g i v e n t o s t a t e m e n t s ; t h e d e f i n i ti o n s o f t h e c o n n e c t i v e s,n a t u r a l l y , r e f e r t o t h e i r a p p e a r a n c e i n s t a t e m e n t s ; a n d i t i s b o t h p o s s i b l ea n d n a t u r a l t o g i ve t h e d e f i n i ti o n o f v a l i d i t y directly fo r statemen ts: th es t a t e m e n t s A s , A 2 . . . . , A n ( tr u t h - f u n c t i o n a l l y ) v a l i d ly i m p l y t h e s t a t e m e n tB i f, a n d o n l y i f, e v e r y t r u t h - v a l u e a s s i g n m e n t w h i c h m a k e s a l l t h e A t t r u em a k e s B t r u e a s w e ll . T h e d e f i n i ti o n o f v a l id argument form t h e n b e c o m e sd e r iv a t iv e : a n a r g u m e n t f o r m is t r u t h - f u n c t i o n a l l y ( f o rm - ) v a l i d if , a n do n l y i f, e v e r y in s t a n t i a t i n g a r g u m e n t i s v a l id . F r o m t h i s p o i n t o f v i e w , a na r g u m e n t is n o t v a l i d b e c a u se o f it s fo r m . R a t h e r , a f o r m is v a li d b e c a u seo f i ts a r g u m e n t s ! B e c a u s e o f th i s p o s s ib i li ty , i t i s n o t c l e a r t h a t t h e r e i sa n y r e a l f o r c e i n s a y i n g t h a t t h e s y s t e m o f f o r m v a l i d i ti e s is t h e s o u r c e o fv a l i d it y a m o n g s t a te m e n t s , a n d n o t m e r e l y a r e f le c t io n o f it .

I n t h e p r e s e n t e n t a i l m e n t lo g i c , h o w e v e r , t h i n g s a r e n e c e s s a r i l y r e v e rs e d .F o r m - e n t a i l m e n t is th e p r i o r c o n c e p t , a n d s t a t e m e n t - e n t a i lm e n t p o s t e r i o r ;a n d s t a t e m e n t - e n t a i lm e n t c a n n o t b e c o m e t h e p r i o r c o n c e p t . T h e r e f o r e ,i t i s precisely b e c a u s e o f its f o r m t h a t a n a r g u m e n t is a n e n t a i l m e n t , o rn o t . T h e s y s te m o f f o r m - e n t a i l m e n t s is n o t j u s t a s y s t e m o f r e g u la r it ie sa b s t r a c t e d f r o m t h e l og i c al b e h a v i o r o f s t a t e m e n t s , b u t a s y s t e m o f r ul esg o v e r n i n g t h e l o g i c o f s t a t e m e n t s .

3 . T R U T H - F U N C T I O N A L E N T A I L M E N T

T r u t h - f u n c t i o n a l e n t a i l m e n t i s e n t a i l m e n t d e p e n d i n g s o l e l y o n t r u t h -f u n c t i o n a l s t r u c t u r e ; s i m i l a r ly f o r q u a n t i f i c a t i o n a l e n t a i l m e n t . T h i s m e a n st h a t t h e p o s s i b l y p a r t i a l t r u t h - c o n d i t i o n s m e n t i o n e d i n t h e g e n e r a l d e fi n i-t i o n o f e n t a i l m e n t a re i n t h i s c a se t h o s e t r u t h - c o n d i t i o n s r e l e v a n t tod e r i v i n g t r u t h - v a l u e s v i a t h e d e f i n i n g c o n d i t i o n s f o r t h e c o n n e c t i v e s a n dq u a n t i f ie r s . I n b o t h c a s es , s in c e f o r s i m p l i c i ty I a s s u m e t h e s u b s t i t u t i o n -i n s ta n c e i n t e r p r e t a t io n o f q u a n t i f ic a t i o n , s u c h t r u t h - c o n d i t i o n s a r ea s s ig n m e n t s o f t r u th - v a l u e s t o a t o m i c s t a te m e n t s . P a r t ia l t r u t h - c o n d i -t i o n s w o u l d t h e n b e p a r t i a l a s s i g n m e n t s , w h e r e i n s o m e a t o m i c s t a t e -m e n t s m a y r ec e iv e n o t r u th - v a l u e .

H o w d o t h e connectives w o r k w h e n t h e t ru t h -v a lu e s o f s o m e c o m p o -n e n t s a r e i g n o r e d ? V e r y s i m p l y , i f t h e t r u t h - v a l u e s c o n s i d e r e d a r e s u ff i-c i e n t b y t h e s t a n d a r d t r u t h - t a b l e s t o s u p p l y a t r u t h - v a l u e f o r t h e c o r n -


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SEMANTICS FOR A NATURAL NOTION OF ENTAILMENT 107pound, then that is its truth-value. In the other cases, the truth-value ofthe compound is not determined by the truth-values considered. Thus, ifonly A is given a value, then if the value is false, A ~ B is determinedtrue, but i f the value is true, A = B has no value determined. This amountsto the conditions of r e g u l a r i t y on 3-valued truth-tables posed by Kleene(see note 18).

We can formalize this idea conveniently by letting 2 represent truth, 1represent the lack of truth-value, and 0 represent falsity. Then insteadof talking about partial assignments of true and false, we can talk of (full)assignments of 2, 1, or 0. For any statements A, B, the behavior of theconnectives under such assignments is then given by the followingtables: is

A B , ,, A A & B A V B A - - ' B A = _ M2 2 0 2 2 2 22 1 0 1 2 1 12 0 0 0 2 0 01 2 1 1 2 2 11 1 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 10 2 2 0 2 2 00 1 2 0 1 2 10 0 2 0 0 2 2

In the truth-functional case i t is sufficient to consider only the m i n i m a lassignments making the premisses true; tha t is, assignments making thepremisses true, but such that no fragment of such an assignment makesthe premisses true. This is because expansions of minimal assignmentsto fuller ones are redundant: if every minimal assignment making thepremisses also true makes the conclusion true, then every expansion ofthese assignments does so also. For simplicity, the definition of truth-functional entailment (C-entailment) is not given in terms of minimalassignments, but 1these only need to be considered in actual cases:DEFINITION. T h e p r e m i s s e s o f a n a r g u m e n t f o r m t f - e n ta i l th e c o n cl u-s i o n j u s t i f

( 1 ) th e a r g u m e n t f o r m is p r e m i s s- c o n s is t en t , a n d( 2 ) f o r e v e r y a r g u m e n t i n s ta n t ia t in g t h e a r g u m e n t f o r m , e v e r y a ss ig n -m e n t o f 2 , 1 , o r 0 to a t o m i c s t a t e m e n t s w h i c h g i v e s a l l t h e p r e m i s s e s

t h e v a l u e 2 g i v e s t h e c o n c l u s i o n t h e v a l u e 2 a l s o .


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108 N I C H O L A S L A P A R AT h e n , t f , st a t e m e n t - e n t a i l m e n t is s im p l y a m a t t e r o f b e in g th e i n s t a n t ia -t ion o f a t f - fo rm en ta i lmen t , (A s no ted , th i s de fin i tion ex tends to qua n t i -f i cat iona l en ta i lm en t v ia the sub s t i tu t ion - ins tance in te rp re ta t ion . )

In dea l ing w i th t f - fo rm-en ta i lmen t the re i s a p rocedure wh ich s impl i -t ie s th ings cons ide rab ly . S t r ic t ly spe ak ing , in inves t iga t ing t f - fo rm -en ta i lmen t , we mus t choose s ta temen ts in s tan t i a t ing the fo rms , andinves tiga te the i r behav io r under {2 ,1 ,0}-as signmen ts . Sup pose the se -quen ce o f fo rms is 1;1 , I ;2 , .. . , 2 ;,, qL No w supp ose th a t in s tead o f a s s ign ing2 , 1 , 0 t o a t o m i c s ta t e m e n t s, w e a s si g n 2 , 1 , 0 t o a t o m i c f o r m s , a n d a s kwh ethe r every su ch ass ignm ent wh ich g ives 1 ;1 , 1;2 . . . ,2 ; , a l l the value 2also gives 9 the va lue 2 . Th is is equ iva len t to inves t iga t ing the beha v io ro f in s tan t i a t ions o f the s equence unde r as s ignmen ts to a tom ic s ta temen ts ,fo r every such as s ignm en t w h ich g ives the p rem is s s t a temen ts the va lue2 i s i som orph ic to one o f the as s ignmen ts g iv ing a l l the 1 ;, the va lu e 2 . Inth is way , by ' r ead ing ' the fo rms as s t a temen ts , we can inves tiga te t f - fo rmen ta i lmen t d i r ec tly , w i tho u t exp l ic i t ly cons ide r ing in s tan t ia t ing s ta te -ments . This device wi l l be u t i l ized below.

I n t h e m a n n e r o u t l in e d i t is e a s y t o v e r if y t h a t c o n d i t io n a l p r o o f o n ' ~ 'd o e s n o t p r e s e r v e t f - ( f o r m - ) e n t a i l m e n t , n o r d o e s reduc t io , a n d t h a tcon t r ap os i t ion o f t f - en ta i lm en t f a il s in genera l ( exac t cond i t ions und erw h i c h c o n t r a p o s i t io n h o l d s a r e s t a te d b e l o w ) . W e c a n n o w l o o k a ts everal p roper t i e s o f t f - en ta i lm en t . 19

F i r s t w e de f ine a va lue -p rese rv ing ru le o f in fe rence as o ne wh ichs t ar ti n g f r o m a f o r m o f v a lu e v l e a d s t o a f o r m o f th e s a m e v a lu e . F o rs u c h r u le s w e h a v e t h e f o l l o w i n g :R E P L A C E M E N T T H E O R E M . T f - e n ta i lm e n t i s p re se rv e d i f, i n anyc on te x t , a f o rm i s r ep lac e d by one go t t e n f r om i t by v a lue- prese rving ru le s .

S i nc e th e v a l u e o f t h e r e p l a c e m e n t e q u a l s t h e v a l u e o f t h e r e p l a c e dpa r t under every as s ignm en t , t f - en ta i lm en t (w h ich is the p rese rva t ion o fthe va lue 2 f rom p remis ses to conc lus ion ) i s unaf fec ted .

B y u s in g t h e t a b l e s t o c h e c k t h e r u l es m e n t i o n e d b e l o w f o r t h e p r o p e r t yo f p rese rv ing va lue , we ge t theS P E C IA L R E P L A C E M E N T T H E O R E M . T f - e n t a i l m e n t i s p r e s e r v e di f, i n any c o n te x t , a f o rm i s r e p lac e d by on e go t t e n f r om i t by the ru l es o fD o u b l e N e g a t i o n , D e M o r g a n ' s L a w s , D i s t r i b u t i o n , A s s o e i a t i v i t y , C o m m u -t i v it y , o r de f in i t ion o f ' = ' and ` = ' i n t erm s o f ' v ' , % , and ' ~ ' .


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SEMANTICS FOR A NAT URA L NOTION OF ENTA ILME NT 109

H e r e a r e t w o t h e o r e m s r e l a t i n g c o n j u n c t i o n a n d d i s j u n c t i o n t o t f -e n t a i l m e n t ( a l e m m a i s p r o v e d t o f a c i li ta t e t h e s e c o n d p r o o f ) :C O N J U N C T I O N T H E O R E M . 2~1 ~ 2 ; 2 & z ~ 3 / f , a n d on ly i f , 271 ~ 2;2 a n d2;1 ~ 2;3.

V er i fy v i a t he t ab les .L E M M A 1 . A t r u t h - f u n c t i o n a l c o n t r a d i c t i o n c a n n o t h a v e t h e v a lu e 2 .

T a k e a n a x i o m a t i z a t i o n o f t h e t a u t o lo g i e s a n d v e r i f y b y t h e t a b le s t h a tn o a x i o m e v e r h a s t h e v a l u e 0, a n d t h a t t h e r u le s c a n n o t t a k e s u c h a x i o m si n t o t h e o r e m s h a v i n g th e v a l u e 0 . T h e n , s in c e ' ~ ' t a k es 2 i n t o 0 a n d 1i n t o 1 , c o n t r a d i c t i o n s ( v a l u e - e q u i v a l e n t t o t h e n e g a t i o n s o f t a u t o l o g i e s )n e v e r h a v e t h e v a l u e 2 .D I S J U N C T I O N T H E O R E M . 2;1 v 2;2 v . . . v 2;, --+ 2 ; /f , a n d o n l y i f, s o m e2; i i s cons i s t en t , c ,n d f o r eac h s uch , 2 ;~ ~ 27.

A ssu m e t ha t 2;1 v 2 ;2 v . . . v 2 ;, ~ 2 ;. S ince t he p rem is s i s t hen con s i s t en t ,s o m e 2;i m u s t b e c o n s i s te n t . A n y a s s i g n m e n t t h e n g i v i n g t h a t 271 t h ev a l u e 2 g i v e s t h e p r e m i s s t h e v a l u e 2 , a n d s o g i v es t h e c o n c l u s i o n 2 ; t h ev a l u e 2 .

N ow as su m e th a t som e 271 i s con s i s t en t , an d t h a t f o r eac h suc h , 27i ~ 2 ;.Th en 271 v . . . v 27,, i s cons i s t en t , a nd an y as s ig nm en t g iv ing i t t he va lu e 2m u s t g i v e s o m e L'~ t h e v a l u e 2 . S u c h 2;~ a r e c o n s i s t e n t b y L e m m a 1 , a n ds o , 2 ; , ~ 2 ;. B u t t h e n b y h y p o t h e s i s , 2; i s g i v e n t h e v a l u e 2 .

A l t h o u g h t h e p r e s e n t s y s te m i s n o t th e s a m e a s A n d e r s o n a n d B e l n a p ' ss y s t e m o f t a u t o l o g i c a l e n t a i l m e n t s , 20 t h e r e a r e s i m i l a r ( b u t n o t i d e n t ic a l )c o n d i t i o n s o f r e l e v an c e g e n e r a te d .S P E C IA L R E L E V A N C E T H E O R E M . I f 2 ;1 , a c o n j u n c t i o n o f b a s i c

f o r m s t f - e n t a i ls 2 ;2 , a d i s ju n c t i o n o f b a s i c f o r m s , t h e n s o m e c o n j u n c t i n 2;1i s a d i s j u n c t i n 2 ; 2 .

A s s u m e t h e a n t e c e d e n t . 2 ; 1 , t h e n , i s c o n s i s te n t . C o n s i d e r t h e n , a na s s i g n m e n t g i v i n g a l l th e b a s i c f o r m s i n 2;1 t h e v a l u e 2 , a n d a l l o t h e r s t h ev a l u e 1. F o r t h is a s s i g n m e n t t o g i v e 2;2 t h e v a l u e 2 a s i t m u s t , s o m e c o n -ju nc t o f 271 m us t be a d i s j unc t o f 2;2.R E L E V A N C E T H E O R E M Y I f X 1 ~ 2 ;2 , t h e n 2 ;x a n d 2 ;2 s h a r e s o m e a -


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110 NICHOLASLAPARAt o m i c f o r m , a n d t h e d i s ju n c ti v e n o r m a l f o r m ( D N F ) o f Z l s h a r e s a b as i c

f o r m w i th t he c o n ju n c ti ve n o r m a l f o r m ( C N F ) 2 z o f Z 2 .A s s u m e t h a t Z 1 ~ Z z - R e l y i n g o n t h e S p e c ia l R e p l a c e m e n t T h e o r e m ,c o n s i d e r Z ~ , t h e D N F o f Z 1 , a n d z c , t h e C N F o f 2 ;2 . T h e n , b y t h e D i s-j u n c t i o n T h e o r e m , s o m e d i s j u n c t Z~ o f Z ~ t f- e n ta i ls e a c h c o n j u n c t o f Z c .C o n s i d e r a s p ec if ic c o n j u n c t Z j . N o w , 2 ;i i s a c o n j u n c t i o n o f b a s i c f o r m s ,a n d Z ~ i s a d i s j u n c t i o n o f b a s ic f o r m s . H e n c e , b y t h e S p e c ia l R e l e v a n c eT h e o r e m , Z i a n d Z j s h a r e so m e b as ic fo r m . B u t t h e n s o d o Z ~ a n d z c ; a n d271 a n d 2~2 the n sha re som e a to m ic fo rm .

N o w , b e f o r e p r o v i n g t h e t w o c o n t r a p o s i t i o n t h e o r e m s , w e n e e d a n -o t h er l e m m a :L E M M A 2 . I f ~ 1 ~ 2 ;2 , w h e r e ~,1 i s a c o n j u n c t i o n o f b a s i c f o r m s a n d 2;2a n o n - n e c e s s a r y d i s j u n c ti o n o f s u c h f o r m s , t h e n N ~2 -* " " 2;1.

A s s u m e t h e a n t e c e d e n t . B y t h e S p e c i a l R e l e v a n c e T h e o r e m , $ 1 a n d2~2 s h a r e s o m e b a s i c f o r m , s a y 2 ; . C o n s i d e r ~ 2 ; 2 , w h i c h i s c o n s i s t e n t ,since 2~2 i s no t ne c e ssa ry . T o g ive " 2 ;2 , t h e va lue 2 , 2;2 m us t be g ive n theva lue 0 . T he n , ho w e v e r , i t s d i s junc t 2 ; m us t be g ive n 0 ; s inc e 2~ i s a c on -ju nc t o f 2 ;1 , t he l a t t e r is a l so g ive n 0 . H e nc e - ,,2 ;1 i s g ive n the va lue 2 .C O N T R A P O S I T I O N T H E O R E M . I f ~ , 1 ~ ~2 , th en ~ ~ ,2 -~ "~ ~1 i f , a n do n ly if , ,,~ Z,2 is c o n s i s t e n t a n d f o r e a c h i m p o s s i b l e d i s j u n c t I i i n t h e D N F o f~ i , w e ha ve N Z 2 - -r ,,~ I~.

A s s u m e th a t Z 1 -+ z~ 2 a n d " 2 ?2 ~ ~ Z x . T h e n " Z 2 is c o n s is t en t . N o ws u p p o s e f o r s o m e i m p o s s ib l e d i s ju n c t I i n t h e D N F o f 2;1, ~ 2;2 +* "" I. B yt h e S p e c ia l R e p l a c e m e n t T h e o r e m , ~ Z 1 c a n b e r e p l a c e d b y ~ 27 11 & ,,~~ r ,1 2 & . . . . Z a , & ~ l x & . . . & ~ I & . . . ~ I m , w h e r e t h e Z x i a n d t h e I j a r e t h ed i s j u n c t s i n t h e D N F o f 2; , t h e I j b e i n g t h e i m p o s s i b l e o n es . I f ~ Z 2 + * ~ / ,s o m e a s s i g n m e n t g i v in g ~ 2 7 2 t h e v a l u e 2 d o e s n o t g i ve , ~ I t h e v a l u e 2 ;b u t t h e n t h a t a s s i g n m e n t d o e s n o t g i v e t h e a b o v e c o n j u n c t i o n , n o r ,,~271,t h e v a l u e 2 , c o n t r a r y t o h y p o t h e s i s .

For t he c onve rse , a s sume tha t 271- -> Z2 , t ha t ~2 ;2 i s c ons i s t e n t , a ndt h a t f o r e a c h I t , w e h a v e ~2 ~ ~ I i " C o n s i d e r th e D N F o f 2;i, n a m e l y~11 v 2 ;12 v . . . v 2~1, v 11 v . . . v I , ; an d the C N F o f 2~2, th a t i s , ~21 & 2;22. . . & 2~2p & N I & . . . & N ~ , w he re the N ~ a re t he ne c e ssa ry c on ju nc t s . Byt h e D i s j u n c ti o n T h e o r e m , w e h a v e f o r e a c h j : 2 ; l j ~ 2 1 & 2;22 & . . .9 . & 2 ;2 p & N I & . . . & N ~ . B y t h e C o n j u n c t i o n T h e o r e m w e t h e n h a v e f o r


21/23


e a c h j , k : 2 7 1 j - ' ~ , 2 k . I n v o k i n g L e m m a 2, w e h a v e f o r e a c h j , k :r ~ _ ~ 2 k " - ~ 2 7 1 j , r~ he D i s j u n c t i o n T h e o r e m t h e n y i el d s f o r e a c h j :~ Z 21 v ~ Z 22 v .. . v -~ 272~v , - , N v . .. v , , -N q~ " 271 j- By the Spec i a lR e p l a c e m e n t T h e o r e m , t h e p r e m i s s o f ea c h o f th e s e m a y b e r e p l a c ed b y~ 27 2. N o w , s i n ce w e h a v e ~ Z 2 ~ , , ,I f o r e a c h i, b y th e C o n j u n c t i o nT h e o r e m w e h a v e ~ 2 7 2 ~ ~ 27 11 & " ~ 1 2 & ~ . .. & '~ 27 1n & ~ 1 1 & . . . &,~ I m ; a n d t h e c o n c l u s i o n o f t h i s b e c o m e s ~ Z i b y t h e S p e c ia l R e p l a c e m e n tT h e o r e m .

A s a n i m m e d i a t e c o r o l l a r y w e g e t t h eS P E C IA L C O N T R A P O S I T I O N T H E O R E M . If 271~ 2 7 2 , where 272 isnonnecessary and S 1 has a D N F w ith no im pos sible disjun cts, then ,,~ 272 ~

A s a w ra p-up , i t i s poss ib l e t o g ive a pu re ly syn tac t i c c r i t e r ion fo r t f -f o r m e n t a i l m e n t .S Y N T A C T I C T H E O R E M . Z 1 ~ 2 7 2 / f , and only i f , there are cons is ten tdis juncts in the D N F o f 271, and each such d is junc t con ta ins a bas ic fo rmfr o m each conjun:ct in the C N F o f 272.

Su pp ose th a t Z x ~ 272. Th en , s ince 271 i s con s is ten t , the re a re con s is ten td i s j u n c ts in t h e D N F o f Z1 . S u p p o s e o n e o f t h e s e 27 d o e s n o t c o n t a i n a n yb a s i c f o r m a p p e a r i n g i n s o m e c o n j u n c t o f 272. T h e n a n a s s i g n m e n t g iv i n ga l l ba s i c fo rm s in 27 the va lu e 2 , bu t a l l o the r s t he va lue 1 g ive s 27x, bu t n o t272, the va lu e 2 , s ince i t g ives the co nju nc t o f 272 the va lu e 1 (see l ine 5 o ft h e t a b l es ) , c o n t r a r y t o h y p o t h e s i s .

N o w s u p p o s e t h a t t h e r e a r e c o n s i s te n t d i sj u n c t s in 27 o, t h e D N F o f Z 1 ,a n d t h a t ea c h su c h d i s ju n c t c o n t a i n s a b a s i c f o r m f r o m e a c h c o n j u n c ti n Z c , th e C N F o f 272. T h e n Z ~ is c o n s i s t e n t . I f s o m e a s s i g n m e n t g i v es272 (a nd hen ce 2J0) the va lue 2 , i t m us t g ive so m e d is ju nc t 27 in 27o thev a l u e 2 . B u t s in c e 27 i s a c o n j u n c t i o n o f b a s ic f o r m s , e a c h o f t h e se f o r m si s g i v e n t h e v a l u e 2 . B u t t h e n s o m e f o r m i n e a c h c o n j u n c t o f 27c i s g i v e nt h e v a l u e 2 , a n d s in c e th e s e c o n j u n c t s a r e d i s j u n c t i o n s o f b a s i c f o r m s ,e a c h o f t h e m ( a n d s o u l t i m a t e l y Z 2 ) i s g i v e n th e v a l u e 2 .

N o t e . I t w il l b e o f in t e r e s t h e r e t o a n n o u n c e t h e r e s u lt s w h i c h R o b e r t F .B a r n e s w i ll c o m m u n i c a t e i n d e ta i l. H e p r e s e n t s a se t o f s o u n d a n d c o m -p l e te r u le s f o r t f - f o r m - e n t a i l m e n t , g iv e s c o n d i t i o n s f o r s t a t e m e n t d e r i v a -


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I 1 2 N I C H O L A S L A P A R A

t i o n s t o e s t a b l i s h s t a t e m e n t - e n t a i l m e n t , i n c l u d i n g c o n d i t i o n s f o r t h e c o r -r e c t u s e o f c o n d i t i o n a l p r o o f a n d reduc t io , a n d s h o w s t h a t t h e t a u t o l o g i c a le n t a i l m e n t s a r e a p r o p e r s u b s e t o f o u r t r u t h - f u n c t i o n a l e n t a i l m e n t s , f o rw h i c h a p r o p e r s u b s e t o f t h e r u l e s i s s o u n d a n d c o m p l e t e .

L e h i g h U n i v e r s i t yN O T E S

* T h i s p a p e r h a s b e n e fi te d g re a t ly f r o m t h e c r it ic i sm s a n d s u g g es t io n s o f J o h n C o r c o -r a n , a n d e s p ec i al ly R o b e r t F . B a r n e s . B a r n e s h a s a l s o i n v e s ti g a te d th e p r o o f t h e o r y o ft h i s n o t i o n o f e n t a i l m e n t , a n d t h e r e l a t i o n t o A n d e r s e n - B e l n a p e n t a i l m e n t . H i sr e s u l t s w i ll b e r e p o r t e d i n d e p e n d e n t l y , b u t a n o t e a t t h e e n d o f t h i s p a p e r b r i e fl y a n -n o u c e s t h e m .1 I u s e ' A ' , ' B ' , . . . as m e t a - v a r i a b l e s o v e r s t a t e m e n t s ; ' ' , ' Z ' l ' , . . . a s r e c t a - v a r i a b l e so v e r s t a t e m e n t f o r m s . A s t a t e m e n t f o r m is a n e x p r e s s io n c o n t a i n in g z e r o o r m o r ep a r a m e t e r s w h i c h m a y b e r e p l a c e d b y t e r m s o f a s p ec i fi e d s y n t a c t i c c a t e g o r y , t h u sy i e ld i n g a s t a t e m e n t . S u c h s t a t e m e n t s i n s t a n t ia t e t h e f o r m i n q u e s ti o n . N o t e t h a t b yt h i s c o n v e n t i o n st a t e m e n t s a r e f o r m s ; a n d a g i v e n s ta t e m e n t a s s t a t e m e n t is t h e o n l yi n s t a n t i a t i o n o f i t s e l f a s f o r m .2 T h u s , I a v o i d s u c h r e m a r k s a s t h i s : ' . . . t h e f a c t t h a t s u c h a d e d u c t i o n e x i s t s i . e . ,p r o o f o f B f r o m A , o r c o r r e s p o n d i n g l y t h a t a n e n t a i l m e n t A - + B h o l d s, w a r r a n t s t h einference o f B f r o m A ' (A l a n R o s s A n d e r s o n a n d N u e l D . B e l n a p , J r ., ' T h e P u r e C a l c u -l u s o f E n t a i l m e n t ' , Journal o f Symbolic Logic 27 (1962 ) , 22 ) .3 F o r a d i s c u s s io n o f t h e t h e o r y o f p r o o f a s a d i sc o u rs e , s ee J o h n C o r c o r a n , ' T h r e eL o g i c a l T h e o r i e s ' , Philosophy o f Science 36 (1969 ) , 153 -177 .a I a m d e v e l o p i n g a n a n a l y s i s o f t h e i d e a t h a t t h e t r u t h o f a l l t h e p r e m i s s e s is sufficientt o g u a r a n t e e t h e t r u t h o f t h e c o n c lu s i o n. F o r a n a n a ly s i s o f t h e i d e a t h a t t h e t r u t h o f a l lt h e p r e m i s s e s i s s u f f i c i e n t and t h e t r u t h o f e a c h p r e m i s s i s in s o m e s e n s e necessary t og u a r a n t e e t h e t r u t h o f t h e c o n c l u s i o n , s e e K e i t h L e h r e r , ' R e l e v a n t D e d u c t i o n a n dM i n i m a l l y I n c o n s i s t e n t S e t s' , Philosophia 3 , 1 5 3 - 1 6 5. I t s h o u l d b e n o t e d t h a t w h i l eL e h r e r c h a r a c t e r i z e s h i s n o t i o n s y n t a c t ic a l l y i n t e r m s o f d e d u c i b i l i t y v i a a s t a n d a r d s e to f r u l e s, t h e c o m p l e t e n e s s o f t h o s e r u l es l e a d s i m m e d i a t e l y t o a c o g n a t e s e m a n t i c n o t i o n .5 I u s e ' t r u t h - c o n d i t i o n ' t o r e f e r to a n y s i t u a t i o n w h i c h p r o v i d e s t r u t h - v a l u e s f o r t h es t a t e m e n t s i n a l a n g u a g e . I f t h e l a n g u a g e i s p u r e l y t r u t h - f u n c t i o n a l , w e n e e d c o n s i d e ro n l y t r u t h v a l u e a s s i g n m e n t s . F o r a q u a n t i f i c a t io n a l l a n g u a g e a l s o t h e s e w i l l s e r v e, v i at h e s u b s t i t u t i o n i n s t a n c e i n t e r p r e t a t i o n . B e y o n d t h i s , o t h e r t h i n g s b e c o m e r e l e v a n t ,a n d l o g i c i a n s h a v e o n l y b e g u n t o e x p l o r e t h i s t e r r i t o r y . I n o r d e r t o c o n s i d e r t h e i d e ao f e n t a i l m e n t a t i t s m o s t g e n e r a l , h e r e t r u t h - c o n d i t i o n s i n g e n e r a l a r e c o n s i d e r e d ,w h a t e v e r t h e y m a y b e .8 A ' p a r t i a l ' t r u t h - c o n d i t i o n is n o t o n e w h i c h f a il s to a s s i g n t r u t h - v a l u e s t o c e r t a i ns t a t e m e n t s . I g n o r i n g t h e p o s s i b i li t y o f real t r u t h - v a l u e g a p s, I a m a s s u m i n g t h a t e v e r yt r u t h - c o n d i t i o n a s s i gn s a t r u t h - v a l u e t o e v e r y s t a t e m e n t i n t h e l a n g ua g e . W h a t i s h e r em e a n t b y a p a r t i a l t r u t h - c o n d i t i o n is a t r u t h - e o n d i t i o n c o n s i d e r e d p a r ti a l ly , b y i g n o r i n gt h e t r u t h - v a l u e s i t i n f a c t a s s i g n s t o c e r t a i n s t a t e m e n t s . I t i s c o n v e n i e n t , h o w e v e r , t ot a l k a s i f p a r t i a l t r u t h - c o n d i t i o n s a s s ig n v a l u e s o n l y t o s o m e s t a t e m e n t s .r B a s C . v a n F r a a s s e n , ' F a c t s a n d T a u t o l o g ic a l E n t a i l m e n t s ' , Journal o f Philosophy6 6 ( 1 9 6 9 ) , 4 7 7 - 4 8 7 .


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S E M A N T I C S F O R A N A T U R A L N O T I O N O F E N T A I L M E N T 1 13

s R . a n d V . R o u t l e y , ' T h e S e m a n t i c s o f F i r s t D e g r e e E n t a i l m e n t ' , Noas VI (1972 ) ,3 3 5 - 3 5 9 .9 A l a n R o s s A n d e r s o n a n d N u e l D . B e l n a p , J r ., ' T a u t o l o g i c a l E n t a i l m e n t s ' , Philosoph-ical Studies XIII ( 1 9 6 2 ) , 9 - 2 4 .10 T . J . S m i le y , ' E n t a i l m e n t a n d D e d u c i b i l i ty ' , Proceedings of the ,4ristotelian Society5 9 ( 1 9 59 ) , 2 3 3 -2 4 5 . S e e , h o w e v e r , t h e d i s c u s s i o n i n t h e p r e s e n t p a p e r , p . 1 2.~ 1 T h i s c o n s i d e r a t i o n b y i t s e l f , i t s e e m s t o m e , q u i t e u n d e r c u t s B e l n a p ' s c l a i m t h a td i s j u n c t i v e s y l l o g is m i s v a l i d w h e n ' o r ' i s i n t e n s i o n a l , b u t n o t a l w a y s w h e n i t i s t r u t h -f u n c t i o n a l ( N u e l D . B e l n a p , J r . , A Formal ,4nalysis of Entailment, N e w H a v e n , 1 9 6 0 ,p p . 3 3 ~ 5; 3 8 - 4 3 ). A n o t h e r p o i n t i s w o r t h n o t i n g . B e l n a p s ee m s t o t h i n k t h a t t h e e x -h a u s t i v e n e s s o f a s e t o f a lt e r n a t i v e s c a n n o t b e de facto (p. 4 1 ). B u t o n s e e in g t w o m e ni n a r o o m , a n d t h a t o n e i s t al l, a n d b e i n g t o l d t h a t T o m a n d B i ll a r e i n t h e r o o m , Ik n o w t h a t m e r el y de facto T o m i s t a ll o r B i l l i s t a ll , a n d t h a t t h e r e a r e n o o t h e r c a s es .A n d f r o m t h is de facto d i s j u n c t i o n i t s u r e ly f o ll o w s , w h e n I l e a r n t h a t B i l l i s th e s h o r to n e , t h a t T o m i s t a l l .13 R e c a l l t h a t s t a t e m e n t s c o u n t a s f o r m s . T h u s , i f (A1 .... An} i s a c o n s i s t e n t s e t, t h e nt h e a r g u m e n t .4 1, . .. , A n , B i s i t s e lf t h e m o s t s p e c if ic p r e m i s s - c o n s i s t e n t a r g u m e n t f o r mm s t a n t i a t e d b y i t s el f. T h i s f a c t i s o f i m p o r t a n c e l a t er .1 3 I n h i s w o r k , B a r n e s i n v e s t i g a t e s c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h e n t a i l m e n t i s p r e s e r v e du n d e r c o n d i t i o n a l p r o o f f o r ' ~ '14 I a m i n d e b t e d t o J o h n C o r c o r a n f o r c a l li n g m y a t t e n t i o n t o t h e c o m m o n l y u s e dm e t h o d o f c o u n t e r - i n s t an c e s i n t h is c o n n e c t i o n .15 A c t u a l l y t h e r e a r e a n i n f i n i te n u m b e r , b u t a l l a r e i s o m o r p h i c t o t h e s i x g iv e n . I ng e n e ra l , w e n e e d c o n s i d e r o n l y t h e l im i t e d n u m b e r o f n o n - i s o m o r p h i c f o r m s , f o r i so -m o r p h s h a v e t h e s a m e e n t a i l m e n t c h a ra c te r is t ic s .1~ I t a l k h e r e i n t e r m s o f m o d a l i t y a n d s t a t e m e n t - e n t a i lm e n t , b u t t h e s a m e c o n s i d e r a -t i o n s c a r r y o v e r , mutatis mutandis t o m o d a l i t y a n d f o r m - e n t a i lm e n t .17 B o t h t h e p r e s e n t S y st em a n d A n d e r s o n - B e l n a p h a v e ( 31 ) a n d ( 33 ). A l t h o u g h A n d e r -s o n a n d B e l n a p d e f i n e a n e c e s s i t y o p e r a t o r i n t h e i r sy s t e m , ( 27 ) d o e s n o t h o l d f o r i t ;t h u s i t is n o t d i s t in c t i v e ly c o r r e l a t e d w i t h t h e i r e n t a i l m e n t .1 8 T h e s e t a b l e s a l s o a p p e a r i n R o b e r t N e i d o r f f , Deductive Forms, H a r p e r a n d R o w ,N e w Y o r k , 1 9 67 , p. 3 9 5, w h e r e t h e y a r e i n t e r p r e t e d i n a n e n t i r e l y d if f e r e n t w a y . T h e ya r e i n e f fe c t th e ' s t r o n g ' 3 - v a l u e d t r u t h - t a b l e s g i v e n i n S . K l e e n e , Introduction toMetamathematics, D . V a n N o s t r a n d C o . , P r i n c e t o n , 1 9 5 0, p . 33 4.~9 T h e t w o R e p l a c e m e n t T h e o r e m s a n d t h e S y n t a c t i c T h e o r e m w e r e s u g ge s te d b yr e s u lt s i n B a r n e s ' p r o o f t h e o r y .2 0 S e e n o t e 9 f o r t h e A n d e r s o n - B e l n a p s y s t e m . B a r n e s h a s s h o w n t h e p r e c i s e r e l a t i o no f t h i s s y s t e m a n d t h e ir s .21 F o r t h e b a l a n c e o f t h e p a p e r , ' -- ~ ' s t a n d s s p e c if ic a l ly f o r i f - f o r m - e n t a i l m e n t .2z A n y D N F o r C N F c o n s i d e r e d m u s t b e g o t te n b y v a lu e p r e s e r v in g r u le s o nl y. I np a r t ic u l a r , a s B a r n e s p o i n t s o u t , a r b i t r a r y t a u t o lo g i e s m a y n o t b e a d d e d i n p r o d u c i n ga n o r m a l f o r m .

entailment of statement forms

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