UNIVERSIDAD AUTNOMA DE ZACATECASFRANCISCO GARCA SALINAS UNIDAD ACADMICA DE INGENIERA I

MAESTRA EN INGENIERA APLICADA CON ORIENTACIN EN RECURSOS HIDRULICOS

MODELACIN DE FLUJO SUBTERRNEO Y TRANSPORTE

INVESTIGACIN:ELEMENTO FINITO

Zacatecas, Zac.,a viernes 24 de Abril del 2015ELEMENTO FINITO

INTRODUCCIN La aplicacin del mtodo del elemento finito para problemas de agua subterrnea comparado con el mtodo de las diferencias finitas. Dos de los objetivos ms importantes que se busca obtener mediante el anlisis ingenieril es la capacidad de identificar los principios fsicos bsicos que rigen el comportamiento de un sistema y adems transformar esos principios en modelos matemticos compuestos de una o varias ecuaciones que puedan ser resueltas, con el fin de predecir el comportamiento cuantitativo y cualitativo del sistema, teniendo en cuenta que esta prediccin debe ser precisa. El modelo matemtico resultante est compuesto de una ecuacin o de un sistema de ecuaciones, cuya solucin debe ser consistente y debe ser representativa de las bases y principios bsicos del sistema.Las situaciones donde el sistema es relativamente simple, es posible analizar el problema mediante el uso de sistemas tradicionales. Como son los mtodos aprendidos en cursos elementales de ecuaciones diferenciales. Sin embargo los sistemas actuales tienden cada vez a ser ms complejos, por lo que la solucin de los sistemas de ecuaciones diferenciales principales o la regin donde se puede localizar la solucin demandan el uso de un mtodo de aproximacin o un mtodo numrico, para as extraer la informacin relacionada con el comportamiento del sistema. El mtodo del elemento finito es una tcnica que soluciona o se aproxima a una solucin a un sistema de ecuaciones diferenciales relacionadas con un problema de carcter fsico o ingenieril. OBJETIVOEl objetivo de este trabajo es resolver la modelacin del flujo y la comprensin del mtodo del elemento finito utilizando el Excel. ANTECEDENTESDiversos autores han considerado que Arqumedes, utiliz un mtodo semejante al del elemento finito para determinar el volumen de algunos slidos. Aunque l calcul reas, longitudes y volmenes de objetos geomtricos, dividindolos en otros ms sencillos y luego sumando sus contribuciones, el concepto de aproximacin variacional no se observa por ningn lado. La relacin con la definicin de MEF es muy pobre. Se puede argumentar que la medida del volumen (rea, longitud) de un objeto es una funcin escalar de su geometra. Cambiando medida por energa y objetos por elementos en las lneas anteriores, la descripcin se aproxima a lo establecido por el MEF la energa del sistema es igual a la suma de la energa de cada elemento. Sin embargo, Arqumedes necesitaba las definiciones de derivada para realizar sus clculos de energa y el Clculo no fue inventado sino hasta 20 siglos despus.En 1941, Hrenikoff present una solucin para problemas elsticos usando el mtodo de trabajo del marco. En un artculo publicado en 1943, Courant us interpolacin polinomial por partes sobre subregiones triangulares para modelar problemas de torsin. Las ideas bsicas del mtodo del elemento finito se originaron en el anlisis estructural de las aeronaves. En el periodo de 1950-1962, Turner trabajando para Boeing formula y perfecciona el Mtodo por Rigidez Directo. Turner y otros investigadores obtuvieron matrices de rigidez para armaduras, vigas y otros elementos y presentaron sus resultados en 1956. Clough fue el primero en acuar y emplear el trmino elemento finito en 1960. En los primeros aos de la dcada de 1960, los ingenieros usaron el mtodo para obtener soluciones aproximadas en problemas de anlisis de esfuerzos, flujo de fluidos, transferencia de calor y otras reas. Un libro de Argyris, publicado en 1955, sobre teoremas de energa y mtodos matriciales, ciment mtodos adicionales en los estudios de elemento finito. El primer libro sobre elementos finitos por Zienkiewicz y Cheng fue publicado en 1967. A finales de la dcada de 1960 y principios de la siguiente, el anlisis por elemento finito se aplic a problemas no lineales y de grandes deformaciones. El libro de Oden sobre continuos no lineales apareci en 1972.

METODOLOGAQu es un elemento finito? El concepto bsico puede ser parcialmente ilustrado a travs de un antiguo problema: encontrar el permetro L de un crculo cuyo dimetro es d. Como L=d , esto equivale a obtener un valor numrico para . Se dibuja un crculo de radio r y dimetro d=2r como se muestra en la figura 8.10a. Se inscribe un polgono regular de n lados, donde n8 en la figura 8.10b. Se renombran los lados del polgono como elementos y los vrtices como nodos. Las etiquetas de los nodos son enteros que van de 1 a 8. Considrese un elemento tpico, el que une los nodos 4-5, como se muestra en la figura 8.10c. Este es un caso del elemento genrico i - j mostrado en la figura 8.10d. La longitud del elemento es Como todos los elementos tienen la misma longitud, el permetro del polgono es , de donde la aproximacin para resulta

Algunas ideas del MEF, pueden identificarse gracias al ejemplo anterior. El crculo, visto como un objeto matemtico, es reemplazado por polgonos. Estos constituyen la aproximacin discreta del crculo. Los lados, renombrados como elementos, estn completamente identificados por los nodos en sus extremos. Los elementos pueden separarse desconectando sus nodos, un proceso llamado desensamble en el MEF. Gracias a este proceso, un elemento genrico puede ser definido, independientemente del crculo original, por el segmento que conecta dos nodos i y j. La propiedad relevante del elemento, en este ejemplo, es la longitud de su lado Lij, misma que puede ser calculada en el elemento genrico independientemente de los otros, una propiedad conocida como soporte local en el MEF. La propiedad objetivo: el permetro del polgono, es obtenido al reconectar n elementos y sumando su longitud; los pasos correspondientes en el MEF son el ensamble y la solucin, respectivamente. Por supuesto que no existe nada particular en el problema del crculo, pues la misma tcnica se puede utilizar para obtener la longitud de curvas suaves.Clculos realizados durante el mtodoEn este trabajo se realiz primero a partir de unos datos de la matriz de elementos como aparece en la figura 1.

Figura 1. Separacin del sistema por elementos.Despus de separar la matriz por elementos triangulares que es como trabaja el mtodo del elemento finito. Una vez definidos el nmero de elementos se determinaron las coordenadas de cada uno de los nodos los cuales forman el elemento. Cabe mencionar que el sentido en el que se tomaron las coordenadas es un sentido anti-horario ya que as es como se maneja en este mtodo. Como a continuacin se muestra en el siguiente cuadroSUBNDICENODO COORDENADAS

XY

i1100300

j6200200

m5200300

Cuadro 1. Coordenadas del elemento 1.Posteriormente se determinaron las funciones base con las siguientes ecuaciones:

Con las siguientes ecuaciones se complet el siguiente cuadro.

Cuadro 2. Funciones base del elemento 1.Una vez determinadas las funciones base para cada uno de los elementos se procedi a sacar las derivadas de las funciones base con respecto a cada una de las variables (x, y) en los subndices i, j y m.

A continuacin se muestran las derivadas

Cuadro 3 Resultados de las derivadas del elemento 1.

Con las derivadas parciales anteriores se determinaron los valores de las conductancias de cada nodo, como a continuacin se muestran en el siguiente cuadro.NODOSSUBNDICEGL=iGL=jGL=m

1i0.50-0.5

6j00.5-0.5

5m-0.5-0.51

Cuadro 3. Conductancias de cada nodo del elemento 1.RESULTADOSCon el mtodo antes mencionado as como los clculos que se fueron describiendo para cada uno de los elementos y nodos, de obtuvo finalmente la matriz de conductancia, para posteriormente con ella determinar las alturas faltantes en el sistema. En este caso son las alturas de los nodos 6, 7, 10 y 11. Las cuales se calcularn ms adelante en otro apartado, pero las cuales tambin forman parte del mtodo del elemento finito.Antes se realiz una asociacin de valores en la matriz de conductancia por cada uno de los 18 elementos como se muestra a continuacin los cuales nos dan como resultado la matriz de conductancia al hacer las sumas de cada una de sus celdas.

A continuacin se muestra el resultado al cual se pretenda llegar durante el desarrollo del presente trabajo.

Cuadro 4. Matriz de conductancia.

Calculo de la cargas Una vez resuelta la matriz de conductancia se asignan las cargas que ya se tenan para determinar las faltantes.A continuacin se muestra un cuadro con las cargas asignadas multiplicadas por los valores de la matriz de conductancia.

Fig. 4 Alturas o cargas.

Posteriormente a partir de estos se obtiene el sistema de ecuaciones, como aparecen en seguida:4h6-(-1h7)-(-1h10)+0h11=15.86

(-2h6)+6h47+0h10-1h11=14.75

(-h6)+0h7+4h10-h11=16.77

0h6-h7-h10+4h11=16.32

Con estas se form la matriz de cargasMatriz de cargas

E. Finito

4-1-10h615.86

-140-1h714.75

-104-1h1016.77

0-1-14h1116.32

Finalmente para resolver las cargas faltantes se desarroll la matriz, primeramente sacando la inversa y est multiplicndola por la matriz columna de los valores.Por lo tanto las cargas faltantes quedan:INGGNITACARGA

H67.933

H77.683

H108.188

H118.048

CONCLUSINCon la utilizacin del mtodo del elemento finito, se puede comprobar los valores obtenidos para las alturas las cuales se calcularan en otro apartado, para hacer un comparativo con las alturas calculadas mediante el mtodo de las diferencias finitas.Cabe mencionar que durante el proceso para la determinacin de la matriz de conductancia se tuvieron algunas trabas pues se tena duda en las derivadas de las funciones base de cada elemento, pero finalmente se logr el objetivo planteado al principio del presente trabajo.Tambin se debe recalcar que durante la descripcin del mtodo as como los clculos realizados slo se explican los de un slo elemento pues los de ms elemento se hace de la misma manera por lo que no es necesario poner todos los elementos que forman a dicha matriz de conductancia.Comprobando los valores obtenidos de las tablas del mtodo de diferencias finitas con este mtodo llegamos a los mismos valores.

BIBLIOGRAFALibros Anderson Mary P. y Woessner William W. Simulation of flow and advective transport PPLIED GROUNWATER MODELING, New York, San Diego, Boston, London, Sydney, Tokio y Toronto. Pag. 159.

Pginas de internet.http://www.salome-platform.org/www.ptolomeo.unam.mx