f ¿ 1 , ) t o . ' t

CTJRSO DII TI [ ,EC'TROTIICNIA

iBI1S'CTIRI O ]vtt A,G N[ nT.U fi tVJ O

:r(CiliP.{CIUllT'rO;i}

lFill,H(C'if Uiil' Cj' O ij

{TIE lit'CE?"Ar rED lt'C :t'C l''l )

J. Jesús [ t ' rai le iVIr l r¿tca tedrá t ic0 de E lec t ro tec¡ l i¿ t

f i .T .S . I . C i ln r in . ¡s , C¿ lnA leS y puc t ' t t )su . l t . N l .

l l l g e n i e r o s c l e C ¡ t n i n o s r C a n u l e s y P u e r t o s

Co lccc i í l n l i s c t t e l asC o l e g i o d e

' fcrccm Etlicirin. Diciembre I995

O CTILECIO DE TNGENTEROS DEC¿\MINO.S, CANALES y PUERTOS

Reserv¡rdos los derechos para todos ros pafses. Ningunapilrte tle e.sra publicrción, incluiclo el discño de f¡ cubierta.pur:de ser reprrducirla, almacenada o rrnnsrnitida de ningunaftr 'na. rri por ningún medio. sea ésre erectrónico. r¡uímico.mecánico. electro-óptico. gratración. forocopia o cualquierrurru, sin previo uurorización e.scrits por parte de lr Editorial.

lrrrpreso en EspañaPrinretl in .Spain

l S l l N : 8 - l - 7 4 9 1 - l J l - z

l )c¡rósiro l -egal : M. 23tt4g-1990

(:OI,ECIO DE INGENIEROS DE CAMINOS. CANALES Y PUERTOS.servicir tle Publicaci.nes - ctlrección Escr¡efa.s

Irrr¡rrinrr.: RUCAR'fE. .S.L, . I 'uerro tle Arlabiin. J-l - 2lt0lg Madrid

CURSO DE IILECTITOTtrCNIA

IE ]L EC]I IR.O Mi A G }J IET]i S }d O1r

CIIIIRClIJIIliCSE[-,]ECTRJI'CCS

(TER CIEIR.A IEDICilrO ly)

II N J . I C E

PROLOCO

CAPITULO I: LEYES GENERALES DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO

l. L- Introducción

1.2.- Deñnición de magnirudes funclamentales

I .2.1 .- Densidad dc carga volumétrica p"

1.2.2.- Carnpo eléctrico E

| .2.3.- Densid¿rd de corriente J

1.2.4.- Dcsplazamiento elécuico f), polarización I', permitividad. e

|,2,5.- Inducción rnagnéüca l ]

1.2.6.- Campo magnédco I l , imanación M. permeabil idad, p

I .3.- Ley tte conservación de la carga. Ecu,ación de continuid¿td

1.4.- El campo electromagnético. Fuerza de l¡rentz. Ecuaciones de Maxwell

1.5.- Caractcrización de los medios

l.ó.- Interpretación física dc las ecüciones de Maxwell

|.7 .- Contlicioncs dc contomo

I .7. I .- Ctltn¡lonentes nort¡talcs

1.7 .2.- Com¡xrnenres nngenciales

| .7.3.- Condici()nes cls corrtorno para rrtateriales dielécuicos y mngnéticos

| .7 .4.- Condiciones de contorno en buenos conductores

Problernas

B iografías

Refcrcnc ias

CAPITIJLO 2: DIVISIONES DEL EI-ECTROMAGNETISMO

2. l . - ln t rcx lucci r in

2.2.- Electrostát ica

2.2.1 .- Campo elcctrostiítico y p'otencial e.scalar

2.2.2.- Capircitlad y condcnsadores

2.3.- Resistetrcia eléctr ica

XIfI

I

7

7

8

I

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22

24

28

32

14'14

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79

79

82

95

99

I ( ) I

l (16

I ()6

125

1 3 3

2..1.- Electrocinótica. Ccncr¡tlorcs dc la l'uer¿a elcctromotriz

2.5.- tvlagnctostiit icu ;

2.5.1.- Campo rnagnéüco. Inducción y potencial vector

2.5.2.- lnttucuancia. Coclicientes tle autoinducción e induccién mutuÍl

2.6.- Campos elcctronlagriéticos variablcs

2.6.1 .- Corricntc de clespliu;rmicnto y carnpo magnéúco

2.6.2.- Lcy dc Faraday. Voltaje y diferencia rle potencial

2.6,3,- F.e.m.s. {e at¡toinducción e inducción mutua. Cottvenio de pt lnto

2.6.4 .- 0ntlas electromagnéücas

2.6.5,- Potencialcs rctardados. Campos cuasiestacionarios

2.'t .- Bal¿tnce cnergético en el cant¡n elcctrolnagnético

2.7.1 .- Porencia disipada en un elcrnento t ihmico. Ley de Joule

2.1 ,2.- Encrgía almacenada en el campo elcctrico

2.7.3.- Encrgía alntacenada cn cl canr¡xt magnéüco

2.7 .4.- Teorema dc PoYnüng

Pnlblct¡tas

ll iografías

Rcfcrencia.s

CAPITULO 3: INTI{ODUCCION A LA TEORIA DE LOS CIRCUITOS

ELECTRICOS

3.I . - l ¡ r tnx lucción

1.2..- V¡uiablcs quc intervicncn en cl estutlio de los circuitos elecricos.

(- 'olrvcnios de signos

3.2.1 .- Corriente clócuica

.\.2.2.- Tcnsión. Dif ercncia de ¡rtltencial

1.2.1.- Potencia clócuica

1.3.- l : lerncntospasivos

.J .3 . I . - Res is tcnc ia

-1.3.2.- Bobina. Inductancia

I .3 .3 . - Condcnsatlor

VI

t40

t47

t47

1 5 6

165

165

169

174

1 8 0

t92

2M

205

207

209

2t l

223

238

241

243

245

245

246

249

251,

252

2s6

25rf

3.4.- lmpedancia y aünitancia operrcional

3.5.- Elementos activos: fuentes o gcneradores

3.ó.- Tipos de excilación y formas dc onda

3.6.1.- Clasificación de ondas

3.6.2.- Ondas pcriodicas: valores &sociados

3,7 .- To¡nlogía de redes: conceptos fundarnentales

3.7.1.- Deliniciones

3.7 ,2.- Propiedades

3.8.- Lemas de Kirchhoff

3.8.1,- Primer lema tle Kirchhoff

3 .8.2. - Segunrlo lenra de Kirchhoff

3.8.3.- Elc,cción de la.s ecuaciortcs intle¡nrrdientes para la aplicación

de los lemas de Kirchhotf

1.9.- Asociación de elementos pasivos

3.9. I .- Conexión serie

3.9.2.- Conexión en paralelo

3.9.3.- Equivalencia estrella-triángulo

3.10.- Asociación y lransformación de fucntcs

3. I l.- Análisis de circuitos por cl método tle las mallas

3.1 l . l . - Método de las mal las:

Ironnulación general:

3.1 1.2.- Méttxlo de las rnallas con gcnendorcs dc corricnte

3. 12.- Análisis dc circuitos por cl método de los nudos

3.12.1 .- Formulación gcncral I

3.12.2.- Méttxlo de los nuclos con gcneradores de tcnsión

3. 13.- Principio t le supcrposición

3. 14.- Tcoremas dc l 'hcvcnin y Norton

Problemas

B iografías

Referencias

261

267

268

269

271

213

273

275

275

21(t

27tl

279

287

287

289

291

298

3$l

305

3 1 2

3 r ?

3t- l

323

321

.82

144

3(A

\67

CAPII"LJLO 4: CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOTDAL

-1. I . - Int r tx lucci t in

1.7.- Onda scnoirlal: gcnentciórr y valores astxiados

1.3.- Rcprescnmcititr compleja dc una magnitutl scnoidal

"1.4.- Derivatlit c integral tlc una magnitud senoiül

1.5.- El donrinio t lcl t icmpo y el donrinio dc la frccuencia

-1.ó.- l{cs¡rucsLa scltoitlal rfe lr¡s e lcnrentos pasivos

'1.7 .- Irn¡lcttartciit y atlrnitancia complcja

.1.8.- Anír l isis r lc circuitos cn réginren pcrnl i lnente senoidal

-1.tt. I.- Ccncnrlidades

.1.8.2.- ,{sociación t lc elementos pitsivos

-1.8.3.- Mótotlo de las corricntes de malla

,l.tl.-1.- lvfétulo de las tcnsiones de nudo

1,8.5.- Principio t lc suflerf losición

1.8.ó.- -lcorcnríN

rlc 'ttrévenin

y Nort"on

"1.9.- Ptllcncia L'¡l un circuito cléctrico cn rcgimcn de corriente alrcma senoidal

1. 10.- I 'o tc l tc ia cornplc ja

J. I l.- [iuctrlr dc pütünciil: sr.r irnportancia priictica

.1.12.- L't)rrcccion del factor tle ¡xltcncia

'{.1 3.- , \{cdid¿t dc la potcnci¡¡ cl t c.a.

.1. 14.- ' l -r iutslcrcnci l

m¿ixi lnl t dc ¡ntcncia

.1 .15 . - Rcson¡u lc ia c t t c .¿ t .

Prrlblc rl¡ls

[] iogral'íus

[(clcrcnci¿ts

CAPI ' l 'LJ l - ( ) 5: CIRCUIT'OS TITIFASICOS Y COMPONENTES SIMETRICAS

5.I . - ln t r tx l t ¡cc i t in

5.2.- (lcltcracitin dc tcnsitlttcs ujlisicas

VIII

369

372

378

385

388

392

397

400

400

408

4 l I

4 1 5

4 1 8

422

424

435

443

44tt

460

4M

467

172

494

196

499

500

5.3.- Conüxir in cn estre l la ct ¡u i l ibrada

5.,1.- Concxión cn t¡ i i ingukl cqui l ibrado

5.5 . - C'argas dc.scr¡uil ibratlas

5.5.1.- Cargas dcsequilibrad¿x conectarlas en cstrclla

5.5.2.- Cargas tlescquilibraürs conectÍ¡das cn triángulo

5.6.- Potenc ia cn sistem¿Ls trif¿lsicos

5.ó. l.- Ccncnrlid¡rttcs

5.6.2.- Potcnci&s cn sistcmas uif lsicos equil ibrados

5.1 .- Conccción tlcl factor tlc ¡ntcncia cn trifdsica

5.8.- Mc¡lick¡ de la potencia cn sistcnras trifásicos

5.8.l.- Gencrulid.nles

5 .8.2. - Medida de la ¡ntcncia en circuitos equilibnrdos

5.9.- Transp,orte de energÍa electrica: vcntaja tle los sistemas uif'¿isicos frente a

los nronofásicos

5. I 0.- Componentes simétricas

5. I 0. I .- Ccner¿lid¿ttlcs

5 . 1 ().2. - El o¡rcrador uifllsico "¿t"

5. 10.3.- CornJnnentcs sinrétricas dc fasorcs dc.sequilibrados

5.10.4.- lmpctlancias dcbirlas a las corrientes dc difcrente frccuencia

5.10.5.- Rcrlcs r ls sccncncia

5. 10"6.- Cúlculo t le faltas cn sistcmas t lc potencia

Problcnt¿ts

Biogral'íiu

Re fcrenci¿rs

CAI' I f tJLO ó: I t t iCl lvf EN -I 'RANSITORIO

DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

6. I .- Intnxluccirin

6.2.- La rcspucsta comple ta dc ulra rcd lineal

6"3.- Contl icior¡cs inici¿rles de los elcmcntos

6 .1 .1 . - Rcs i s t cnc ia

5()6

5 r 9

530

.530

51 I

5.15

5rl5

5.17

5s5

5tr0

5riO

563

5ó8

569

5ri9

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5"t2

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5fr3

5t1,1

5Íió

6( )5

fiOtl

ó{)9

l¡ 10

6t2

ó 1 3

6.3.2.- lnr lucuncia

6.3.3.- Grp,tcitlad

6.4.- Análisis clásico dc t¡ansitorios en sistemas de primer orden

6.4. I.- Respucsh transitoria de un circuito R-L

6.4.2.- Respuesh ransitoria de un circuito R-C

6.5.- Solución sistemática dc redes de primcr orden

6.6.- Análisis clásico de transitorios en sistemas de segundo ordcn

6.6. l.- Respucsta transitoria de un circuito R-L-C

6,7 .- J'ransformada de l-aplace

6.8.- Aplicacione.s de la uansfsrmada de Laplacc en el estudio de t¡ansitorios dc

circuitos electricos

fi .8. l .- Respucsta dc los elcmentos pasivos sinrples en el plano "s"

Problcnras

Biografíru

Referencias

API]NDICE I: SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

l.- Irruoducción

2.- Unidades básicas

3.- Unitladcs suplemenüarias

4.- Prefijos decimales

5.- l'ablru dc uridadcs

APINDICE 2: REPASO DE ANALISIS VECT'ORIAL

I .- Ilrtroclucción

2.- O¡lcracioncs con vcctorcs

3.- S i.stcrnas dc coonlenadas orrogonales

.1.- Funciones integrales

-l . I .- Integrales curvilíneas

1.2.- Circulación

X

6 t 3

(r l4

6 1 9

6 r 9

626

630

639

639

(r54

657

657

675

ó90

692

695

fi95

696

697

697

701

102

746

1 t3

7 t3

7 1 4

5.-

4.3. - Integral de su¡rcrlicie

4.4.- F lu jo

4.5.- Integral triple

Funciones di fercncialcs

5.1.- Cradiente tlc un cam[n escalar

5.2.- Divcrgencia dc un campo vectorial

5.3.- Rotacional de un carnpc, vectorial

5.4.- El o¡nmclor Laplaci¿uto

Teoremas integrales

6. I .- Teorcma dc C)strogradsky-Causs o teorema dc ln divergencia

6.2.- Teorcma dc Stokes

Iden ü datlcs vcc tori alcs

7 .1.- Opcraciones

7 .2.- Relaciones

7 .3.- Identidules integralcs de Green

Campos vcctoriales irrotacionales y solenoidales

8.1.- Campo vectorial irroracional

8.2.- Campo vectorial solenoidal

Teorcma de l{elmholn

APENDICE 3: REPASO DEL ALGEBRA DE LOS NUMEROS CON,IPLL,JOS

L- Intrslucción

2.- Algebra de los númcros cornplejos I

2.1.- Operuciones búsicas

3.- Interpretacirin gcomdmca tlcl o¡rcrador "j"

4.- Propieclatlcs rle los opcradorcs "Re", "Ifft"

5.- Propicdadcs de la funcitirr conjugatla dc un complejo

7 1 6

7 t 6

719

721

721

723

726

729

133

?33

735

7 3'�1

737

739

740

740

7'10

742

7 "13

7,15

74 tt

7J tt

7 5 r

751

754

6.-

7. -

8.-

9. -

' \PENDICE -l: II{ANSFORMADA DE LAPLACE

I nrrxtuccitin historica

Dcl-irrición dc t¡anslbnllflfa de l.aplace

l-eorcrn¿u vrbre la tnnsformada tle l:place

Drl*.rnlllo dc pilrcs dc t¡ansformadas

SÍrrrcsis rtr) ontlfl.s utiliz¿ndo cl opcrudor rctnrso dcl ticnr¡lo

[:r¡ncioncs inrpul.so (dcln dc Dirac)

-l"r:ursfornnda inversl dc Laplarc. Tablas dc transformadas

INDIC'E AI-FAI}ETICO

INDICE DE BIüJRAI1AS

... Accrca t lcl Arl tr lr

757

758

759

767

772

775

7 8 1

789

799

800

P R O l , O G O

l-a presente obra cs el fruto dc casi veinticinco años de ex¡rriencia cn lacnseñanza ¡lc csua ¡nateria en tlifcrcnrcs Escuelas l'écnicas Esparlolas de Ingenicría'llcnica cIngenicría Su¡rcrior.

Aunque csui orientado cn principio p¿ua que sirva dc guía de estr¡clio a losalumnos de Tcrcer Curso matriculados en la asignatura ds Elecuicidad y Elecuotccnia cn laEscuela Tócnica Su¡rcrior dc Ingcnicros dc Can¡inos, C¡¡nalcs y Pucrtos dc lu Univcrsid¡¡dPolirécnica rJe Madrid, sc han anrpliado algunos temas, pÍ¡ra quc sea útil a un scctoruniversitario más amplio. En el caso dc n¡¡est¡o Ccntro, cl libro cubre con extensirinsuficicnte la prinrcra parte dcl Curso, que va scguido dc un cs¡udio dc las nráquinas cinstal¡cioncs clécuicas.

El libro r¡ara tle los principios fundamentales del electromagnetismo y lateoría de los circuitos clécuicos. El capítulo I introdr¡ce las lcyes generalcs tlclclectronragnctis¡no, cn las que sc toman las ccuaciones dc Maxwell como postulados. Estcenfoquc dcdr¡ctivo dcl clectromagnetismo, tienc la vcntaja dc dar mayor gencralidatl a losresullados obtcnidos, consiguiéndosc un ahorro cn cl tiempo dc explicación, frente alméro<lo inducrivo rradicional, que sigue más bien un desarrollo histórico. Eslo no suelcpresenü¡r grandes ¡nconvcn¡entes si el alumno ha estu¡liado con antelación un curso dc Físic¡general y ticnc una prcparación suficiente en tcoría <le carn¡ros escalares y vectorialcs, quc cnla práctica ya F)seen los cstudiantes de Tcrccr Cuno de nuesuas Escuelas. De todos n¡rxkrs,¡nra facilirar más la comprensión de este capÍtulo, se incluye una introducción hist¡irica ilcldesarrollo de la elcctricidad para quc el cstudiante repase sus conocimicntos t¡ásicus rleelcctricidad csrudiados en la Física. También se cfcctúa una definición cle lu tnagnitutlcsfundar¡rcnulcs que intervienen en el análisis tle los fcnómenos eléctricos antcs rlc intrr¡hrcirlas ecuaciones tle Maxwell corno postulados,

El caplrulo 2 esrudia las divisiones dcl elccuomagnelismo, y sc lnuliru crlrtsuficiente detallc: la electrostática, magnctostática, electrocinética, los carrrposcuasicstacionarios y los ca¡npos clectromagnélicos variables. Se han incluido a nrorlt¡ rlccjenrplos de aplicación, ampliaciones de la tcoría, para quc los profcsores que lo consirlercnmás convenicnte hagan uso de ello, en la forma que consideren más oporluna c¡r strsexplicaciones de clase. Ccneralmente estas ampliaciones se rcf¡e ren a conccplos de carnposelcctrornagnéticos variablcs que son inneccsarias para los ingcnicros quc van a trabaiarúlricarncnte cn cl camln tlc la lrccucncia industrial.

El capítulo J hacc una introducción a la tcoría de krs circuitos cléctricos, en clque sc plantean conceptos gcnerales, válitlos para circuitos de c.c. y c.a., lo quc rcprescnuluna gra¡t venraja tle tiempo frentc al enfoquc tradicional. Sc estudian en eslc capítukl klsprincipales teoremas rte circuitos y los ejernplos sc rcalizan con ft¡cntcs de c.c. para que schaga nrás simple la aplicación dc lus conccptos cstutliados.

El capítuto 4 se reficrc a kts circuilos tlc c.a. senoidal, que comicnzn con larepresentación cornplcju dc estc tipo de ondas, introduciendo cl conccplo de do¡ni¡rio dc lafrccuencia cornpleja y aplicando kls tcorc¡nas cstudiados cn cl capÍtulo ilntcrior cn lilrnta

xilr

corrrplc.in. Sc csturliu con dcurllc los conccptos rlc ¡ntcncia cn c.a,, cl factor tlc potencia y suinr¡xrn:rncia pricüca cn cl rcndilnicnto dc las inst¿lacioncs y la forma dc corrcgir el ntismo.

El capítulo 5 trau los circuitos tritásicos y las cornponcntcs sinrétricas, seexplicn la gcncración dc f.c.m.s. uifásicas, los ti¡los tlc concxión, cargas cquilibradas ydcscquilibradrus. potcncia y su medida. El estudio de las com¡roncntcs simétricas sc puerlecvitar cn rrna prirncra lcctura dcl libro ya que consideramos que no cs nccesario para aquellosestutliantes quc no v¡yan a scr cs¡lecialisus en clcctricirlad.

El capítulo 6 sc dcdica al régimen úansitorio d¿ los circuitos elcct¡icos, en elquc sc hace un doble análisis, tanto el clásico de resolución tlirecta de las ccuacionesintcgrodifcrencialcs dc la rcd, como el modcrno basado cn la tdcnica dc la lransformada rleLrplacr:.

Catla capítulo del libro conticne una gran variedad de ejemplos de aplicacióncon su solución completa lo que facilita por una parte, la labor del profesor que lo utilice,ya quc poüá dcrlicar ntenos tientpo dc la chse a la tcdiosa manipulnción nunlérica y más ala.s dcdr¡ccioncs brísicas y por ouo lado, facilira el autoaprendizaje dcl alumno, ya quc carlanrrcvo conccpto r¡uc se inFoducc úene su cjcmplo dc aplicación para que comprenda mejor elsignilicado dc la tcoría presennrla.

Al final dc cada capítulo sc incluycn cuarenh problernas cn los que se datinicanrcntc lt rcspuesla final. Con cllo sc prctende facilinr la labor del pnrfcsor cn prepar.¡rcnr¡nciados dc ejcrcicios para rcalizar en clase y cl rabajo dcl alumno tle tencr que rccurrir abuscar libros de problemas para comprobar su nivel de conocimientos. La mayor parte deestos problemas perteneccn a ex¡i¡rcnes quc se han propuesto a nuestros estudiantes en afosanteriorcs. Tcnicndo cn cuenta los ejemplos rcsueltos a lo largo de cada capítulo y losproblcrnas finalcs, el libro contienc mas dc lrescientos problemas, que facilitan laasimilación de la tcoría.

En cada capítulo sc incluyc una amplia bibliografía dc arnpliación de lostcrnas cstutlia<los cn la lección, que puedc ser útil para aqucllos csturliantes t¡ue tlesccn unarnayor prof'untliz.ación de los conceptos cstudiados. Rcprcsentan partc de las rcfcrencias queha utilizado el autor cn la rcdacción dcl libro. También se incluyen biografías de cienüficos,ingenieros y prolbsores quc han cont¡ibuírlo directa o indirectamente al desarrollo de latccnología clcctrica. Su semblanza contribuye a conocer el momenlo socio-cuttural en cl qucse dcscnvolvicron los dcscubrimientos y ks aportacioncs más importantcs que realizaron loscicntíficos.

En cl l ibro se han incluido cuatro apendices cn cl que sc ex¡xlncn: l) clsistcrna inlcrnacional tlc unirlatlcs S.l.l 2) repaso dc análisis vectorial. quc serii ritil parauqrrcllos quc neccsiten un cstudio preliminar cn tcoría de campos escalarcs y vcctorialcs: 3)rcpaso del ólgcbra rJc los núrnero complcjos, para ayurlar a rccorda¡ a los csturliantes lasopcracioncs b¡isicas con cstos númcros; 4) trnnsformarla tle Laplace, que se ha int¡oducitlocorno a¡Énrlicc, para scparar su tratamicnto matcmiilico dc las aplicaciones cn el cstudio tlelos uansitorios dc lo.s circuitos cléctricos.

Se ha intcntado cn la rcdacción rlcl lcxto, conseguir la mayor claridad que hasido posiblc; pura cllo cl autor ha cstarlo atcnto a todas las pregunu¡s quc le hacían los

X¡V

alumnos dentro y fuera del aula. comprobando qué pancs dc cada lccción cnccrraban mayoresdificultades para cllos y observando con dctcnimiento los enores que se prulucían con ntásfrecuencia cn los exámencs y evaluaciones. los profcsores dc la Cáterlra prcstaron una ayutlavaliosísima, <lando ideas para modificar los planteamientos inicialcs.

'l'odas estasobservaciones aconsejaron tcncr que cfcctuar diversos cambios; en algunos cüsos. scprepararon más figuras, para taciliur una mejor comprensión; en otros, hubo quc incluirmás ejemplos dc aplicación quc ilustrasen con mayor vigor los conceptos tcóricos.

No só si la obra que se ofrece al lecror merecerá su aprobaci<in, kr único quepuedc decir el autor, cs que sc ha puesto todo el empeño en intentar lograr un lcxto con onaalta calidad didáctica, cn el que se combinascn de un mo¡lo adecuado la tcoría y la prácticr,facilitando a los estudiantes su estudio. Considcramos que es un dcbcr de todo crlucndorlograr lo que nuestro gran filósofo Ortega y Gassst dcnominaba la econontía de laenseñanza, es decir hacer fácil lo difícil, para optimizar el tiempo del alulnno, hacicndoque apren<la cn un ticmpo más breve.

Quiencs llegucn a utilizar estc libro de texto quizá encuentrcn (lue algunasseccioncs dcbicran anrpliarsc o dctallarse aún más. Cualquicr sugcrcncia nuevr o crítica, scrítbienvenida y se tomani en considcr¡ción ¡rara futuras ediciones.

NOTA ADICIONAI.: Esta obra en su primcra cdición rccibió en cl aÍto 1993 un prcrtrioinstitufdo por la Fundación Gcneral rle la Universidad Politécnica dc Madrid, al nrcjor librodc texto escrito por un profesor dc la U.P.M. .

ADVIIRTENCIA: En cste texto los vectores o c¡ntida¡Jes vcctori¡les sc rcpresentan cnnegrita. También se cscrihen en negrita las rhagnitudes fasorialcs y los núrncroscomplejos quc aparccen en el estudir¡ dc la corricnte alterna.

XV

. \ I , E.STUDI.\N'I 'E

El objcto dc esta obra, [rcnsadt y escrita para ti, os ayudarrc en el esru¿io delclcctrornagnclisntrt y lt¡s circuirls cléctricos como preiimbulo i¡ una f<¡rntación en(:lecüotecnia u otras aplicacioncs prácticas dc la ingeniería eléct¡ica. Aunque la guía tle unprofesor cxpcrlo es muy bcncficiosa püro ti, cres tú y solamcnte tú, el único res¡lonsable tlelprogrcso cn lus cstudios. El éxit<¡ dcpendc cornplclamcntc de que tor¡rcs parlc acriva cn clf,rq:cso dc aprcnrlizaje. Tú no esuis aprcndientlo porque estés alrnacenando en lu mcnte ¡násconocin¡icnlos o m¡is información. una persona aprende, cuando ha comprcntlido elsignil'icado dc kl que cstr¡dia, ¡lcsarrollantlo una capacirlarl para crrfrcnursc co¡i situack¡ncsr¡l¡cvils y mcjorantlo unas aplitt¡dcs dc razonamicnto. DccÍa Janrcs Clerk Maxwell en sucnnltrcncia inaugural en cl King's Collcge de Londres en 1860: euien se aprende urutfórnwla, se halla o merced de su memorio, pero aquel quc domina un priniipio puede,ilttiltcner su cabeza libre de fórnultts, pues sobe que puede fiúricar las que le hagan falta, enel ntonleúo que quiera. ¿ Será nccesurio añulir que,a pesar dcl rcchazo naturai tlel espírituuntc el dwo proceso de pensar, este proceso una vez realizada furce scntir al espíritu un po¿ery ule,gría que le uniman a se¡¡uir atlelante, olvidando et trabajo y lus an¡¡ustia-s queucompañan el poso de un estudt¡ de desurrollo a otro ? . Querid<l estudiante: Las palabras¡ntcriores rcsumcn un cxtcnso tratado pcdagógico, ¡ aprcnde dc ellas, transformará t.ushibitos dc esturtio !.

Dada la revolución tccnotógica actuat, que fx,ne en dudn los conteni¿ostra¡licionales, se hacc cada vcz más acuciante el cntrenamiento de las facultadesintclectuales, ¡nediantc un dcsarrollo equilibrado rle la mente. Es importante que tri,esilldiitntc, comprendas csla lección y te ejcrcites en un aprendizaje antic¡pador e innovarkrr.Dcbcs estar prcpararlo y scr lo bastantc flexiblc para recducarrc y sintonazar con las nuevassilt¡acioncs, aconrrxlándote ripida y lliciln¡ente a la novctlarl consu¡nte y a los numerososcarnbios quc intcrvendnin cn lu carrcr¡ fulura.

Utiliza cste libro diariamentc. Un día o dos nnles ¡Jc catla clase, haz unc.(arnc¡r prclinrinar dc l¡ lccción quc vaya u oxplicir cl profcsor cn el aul¡, esto despenará trrittterCs ¡ror el lcma y tc pcrrnitirii conocer la organización dcl capítulo. Es como mirar lainragcn rlc un rttmpecabcz¡$ anlcs dc junt¡¡r sus picz¡si tcncr una idca gcneral dcl capÍtulo teayudarii consitlcr¡blcnrcnlc p¡úa vcr como sc relacionan los temas entrc sí. Convicne en estarcvisitin r¡uc tc litnnulcs pregunms y anotcs las partcs oscuras, para (luc prestcs ntás atencióncn las cx¡rlicacirlncs dc clase cn lo conccrniente a estos punros. Esn acción mejorará tua¡lrovcclutmienlo cn cl aula y favorccerá tu conccnuación. CarJa día, después de asisúr a lascl¿rscs, convicnc quc hagas una lcctura más detenida de los tcmas explicados en el aula. Ellibro conticne nruch<ls cjcmplos de aplicación que tc ayudarán a comprendcr mejor lascucslioncs crpucslas, proc¡rr¡¡ haccr los problemas por lu cucnt¿¡ y compara los resulladoscon cl libro, cstc cs un nrélrxlo inestimablc para cornprobar tu propio progreso. Si unproblctna se te rcsislc, vuclvc a rcprsar l¡ tcoría oua vcz c inténralo rcsolver nuevamente.Estr: pr<rccrlinricnto podrú p¡rrcccrlc lento al principio, pcro conlbrnrc avance el Curso vcnisItrs rcsullarlos: estas mciorando tus titculrudes intelectuales. Si aún tc quedan dudas,:t¡rrovcchu las l¡orus de tutorí¡s dc los profcsorcs pam haccrles las consulurs conespondientes.Al linali¿nr cada capÍtulo. cs inlcres¡¡nte haccr un rcpaso gcncral, cxponiendo verbalmente,con tus propias palabras, lo quc has lcítlo, te puedes ayudiu con resúnrcnes que hayasprcparado con ¡¡ntelaciriu, lo quc mcjorarii tu aprcndizaje cn lo rcl'c¡cntc a organización y

xvl

comprcnsitin. Para c¡¡ncluir, convie¡re que comprucbcs tus conoc¡ntienlos, rcsolvicnrlrl losproblcnras quc considcres más adecuados y que hay preparados al final dc cada capÍttrloi clobjetivo cs obligarte a que actúes por lu cucnu, sin ayuda, esfor¿ándote cn a¡rlicar trrsconcrcinrientos. Su resolución tc ayudarír a dcsarrollar mélodos lógicos cle pensalnienttl,arlquiricndo l:r sulicicntc prírctica y rlcslrcza cn la aplicación dc los conccplos cstr¡di¡ttk¡s.Cuiurdo resuelvus los cjcrcicios, convienc que sigas los siguientes pasos: l) rcduccitir¡ tlclproblenra físico a un csüado dc idcalización que pueda scr exprcsado matemátican¡cnte cnfornta de ccuacioncs; 2) rcsolución dc cstc protllcrna purarnentc ¡natcm¡itico y 3) itttclttuirrter¡rretar los rcsultartos tlc csta solucitln cn función dc las condicioncs del pr'oblcrrrapropuesto, Nli cxpcriencia nrc indicu, que la arcncién del alu¡nnc¡ es absortrida tinir:anrc¡tlclxrr cl scguntlo ptso, rlc trtancra quc no nlcanzl ¡ vcr clara¡¡rclrtc lo rclación quc cxi$lc orrttcésre y el verdadcro problcnra físico. Procuru en la rcsolución clc los problernas aplicar cstosrcs pi¡sos sucesivos, con ello obtcnrJrás una concclrción plcna dc la asignaturu, potcnciiltnlotus cnpacirlulcs dc aprcnclizajc.

Espcro que disfrurcs con la lcctura de este libro y que te sca dc gran utilid¡rl cntus estudios. Corrsérvalo cr¡i¡nrk¡ al)rucbcs la asignatura, lc selvirít cn tu c¿urcri¡ prolesional.Bienvcnido al ntanvilloso nlundo dc la Ingcnicría Eléctrica.

AGRA DECTIVT IENTOS

El ar¡tor se siente <lbligado a cxpresar una profunda deuda dc grat¡rud a muchas personas, sirtlas cualcs nunca hubiera gxlido apareccr est¿¡ obra.

A los prol'csores f). Pcdro Carcía Gutiérrez y D. Antonio lluiz Mateo. por la rlisr:usirírt yrcvisiór¡ rle ntuchos cpÍgrlt'cs del tcxto. A los prolbsores: D. José Rom¿in Wilhclttti .\yza,D. Angcl Caldcr<in Fcrnánrlcz , D. José Angcl Sánchez Fernindez, D. Luis Arévalo lr'lr¡ñoz ,D. Evclio Plaza Morcno y D. Jolquín Grcgorio Sauvcdra ¡)or sus sugcrencilt.s utt e I¡¡ati¡nricnlo tle cicnos te¡nas , y cn particular a este riltimo por su ayuda en la delincircirin tlcgrnn Irarrc tlc trrs ligurus dcl libro. A la Srut lnn¡oculuda Albaccto por la ntccanugrafítt rlcllnanuscrito original, cslbrz¡indose cn obtcncr un mayor fcndirniento con su pr(,ccsa(L)r (lcrcxtos. A D. Francisco Sanu lsabcl, cncargado rlcl Scrvicio dc Publicacior¡es dc la llscucll,

¡xrr su interés cn nlcjorar la erlición dc este lit¡ro.

A los aluntnos, por ayutlarmc con sus prcguntas a buscar mejofes idcas para cst:ribircnpíurlos. Y por últinro, pcro no co¡! mcnos calor, (toy las gracias a mi esposa y ntis ltijtls

lx)r crccrse que cslc lillro cs cl riltirno quc cscribo. [xrr su alienlo y contprensión y a t¡rtictrcscsla ot¡ra ha ¡cstado ¡nuchas hor¡s dc convivcncia.

XVI I

LEYIiS GI iNEITAI"ES DIILC.\ ÑT I'O ELIICT'IIO iU AGNE'I'IC O

c.\l, i l ' tJl-()

1

I . I IN ' I 'R0DTJCCION

Las leyes que gobiernnn el conlport Í¡ t l l icnto t le l c i l r l lpoclccrronllgnético son el pilar sobre el que se asientan todas las especialidatlcsdc la ingeniería eléctrica. Es por ello, que se ha consider¡tdo dc gmn irlie réscor¡lenziir cste Curso de Electrotecnia, que trüto de las aplicaciottes priicticas del¡r electr ic i t lnd, haciendo ur l repaso de las leyes generi l les delclcctromagnetisnlo, püra que el lector adquiera una fomlnción de base, (lue lepcrrni ta i ¡s irni lar con mayor faci l idnd los conceptos que se vt ln a i rilrcorporrndo pÍurhtinanrcnte a lo largo de los dit'erentes cnpítulos dcl texto.

Existen diversas formns de iniciar la teoría del electrornagnetisnto:cn principio puede seguirse el desarrollo histórico, que es el procedirnientoque se utiliza en los cursos de Física bdsica, haciendo una exposición r¡ue serpoya en los descubrin'lientos experinlentales de una gran pléyade clecientíficos e ingenieros, que mil[can las leyes fundanlentales que se h¿tn idoestableciendo a lo lilrgo cle los años, pilra convertir esta rarrra del conocinrientohunrano en cienci Ír . Sin embargo, consideranlos que en un curso r leclectrotecnia dirigido a ingenieros superiores, parece m¿is ndecuarlo intentirruno s¡ntetizÍrción de los conoci¡nientos tomnndo corno punto (lc pnrtida. lnsleyes miís generüles cuya validez hasta el presente esté nsegur¡ldn y considerrrdicho punto de arranque como unn base axionri t ica de lr teoríu cle laelectricidad. Esta versión se apoya en los trabajos de ñlaxrvcll ( l83l- lft79) yotros cientí f icos del s iglo XIX. Se observn r lue pueden cleducirse losl'cnó¡lenos eleclrornngnéticos. itl ltrellos il esinln nrncroscri¡ricn. tlc ulr ¡trinlcrolnuy reducido de ecuuciones I'und¡rnlentales, co¡rocitlns lrov tlíit, con cl ltolttl lretle Eculcicllles de ñl¡rxrvell y de Lorentz. Lils leyes tle lit clectrost¿íticlt.rll lgnetostiíticit, crnrpos vlrilrbles, ctc. senin eslrhlecidlts tle este nlotlo. crlnroconrccrrencil de lls cculcioncs lir¡rdlnlcntales tonlitdils corrro postulltdos. Espos ble que u¡ l ¡ l l : rnteunrienlo de cste t ipo resulte nlcno: i int tr i t i ro r¡ue cldesnrrollo histórico. pcr() cslil dificultird se vc cor¡rpcrtsittl it ¡tor un:l nrir\'{)rsistenrntizacitin y gencrrlidad de los resultrdos obtenidos.

Plrrir tircilititr l l lcctor lt conrprcrrsir'ln de cste citpítukr. (¡re ir vcccsprovocit c iertu ¡rcr¡r le. i i t l r td i r¡ ic ial . t lcbir lo l ¡ l i t inversi t i ¡ l h istor ic l t (plc sc

Et.ECIRO¡\tA( ;NETtSt\tO \, (-'tRCUt-t.OS ELIC¡"RtC( )S

plart tc l t . \ ' l l t l los r t t r t t t l r r t lc rcsu¡¡ l i r rrr¡uí l l ser ie de lrcr¡ntecirnient¡s r¡ue hnntc'¡ l i r lo l t ¡g. l rr . cn l i r rrnir secrrencial i t - lo lnrgo der t ienrpo y t¡ue lbrman losallr¡cnre.s dc cstc grln rÍo (lr.¡L- reprcscnrl hr rJoría de N,tairveil.

'Er¡r"runros qu"

este prcludio ¡tovclcsco sirva de ¿tcicate a h conciencii¡ del lectér repasaniocicrros hcchos irnr:lados crr su pasado, cuando esrudió un curso cie físicabiisica, lruciendo nriis ticil -h uproxinración a las teoríts de Maxwell; lasagacidatl y tcnircidad.t¡uc tlcbcn rcunir los estudinn¡es cle enseñtnrn r,,p"rior,hr¡r dc scr lls ct¡alidatles t¡uc .le permitan no ¡rmedrentarse hacia io quéf)re nlulrrril¡llcrr¡c se ¡ruccle consid(:rí¡r osado y c¡rrrr.rrilñado.

Sc considerll (luc l¡t ciencia eléctrica cornienza con la rlublicaciónclt : l l ibro Dc i l Íu1¡nctc por wi l l ianr ci lber¡ (15.14-1603) cn el año 1600.cilbcrt (lue cnl ¡nédico de la reina Isabel I de tnglarerra, recogió en su libro,lls expericrrcils <le los griegos sobre la atracción y repulsi-ón cle cuerpojcurgrtlos ¡ror frorarnienro. De hecho la palabra eiectiicida,l procecle declccrrón, que es el nornbre griego del ¿ímbar (rlLextpov ), que era uno de losIni¡teililles con.{}re lhalg,s dc Milero lrizo expcrielrcias sobre cuerpos cargados.Gilberr cn srr libro, clasil ' ica los nrarc¡iales eñ cléctricos y no eléciricos, d-erlucetarnbiclr que h ticrrr es un gran imin y da no¡nbre a los'extremos de una agujarrrirgnética: polos norlc y sur (r)

En 1660, Otro von Grericke de Magdeburgo consrruyó un:rprinritivit nt:it¡uina elec¡rost¡i¡icn de tiiccirin. En fZ3¡ el-cienrífico ÍiancésduFly otlscrvn los tipos de fuerzas existentes en cuerpos cargados y estabtecet¡ue lil electricidad ilpilrece err dos fbrrnas disrintas: vírrea y iesinoia, debidasc.n el prirner cilso irl vidrio y en elsegundo al iínrbar, sedá y papel.-En 1745rierre f rrgar un inrporran¡e descubrimienro: la borclla tte táyitcit,, que es un¡tpi l r i t to capaz dc alnracen¡rr carga eléctr ica y corrst i tuye úe este

-nlodo cl

¡ l r inr i t ivu condensrdor: p:rrece scr. que estc invento- f i le rcal izado porilltlsschcrlbroek v Cunaeus. A partir de e.s¡e nror¡rento co¡lrienzil el desanóllotlc.lrr. t¡uc hoy denorninarÍun¡os electros¡irica. En este clmpo trabajó el granpolír ico c. invenror no.neanrer icano Benjamin Frankl in i lz0o-t i90)"queirrvestigri h.desclrgr eléctrica en cuerpos acabados en punta, inventando elP¡rrilrlyos. Fritnkli¡t nrotliticó cl no¡nbre de los tipos de llecrrici<lucl y asocióll ¡xrlalrnr r'ítrea n ll elccrric.idud positiva y a la ilebida il cargas en cuerposrcsinosos conro clccrr ic i t lad ncg¿lr iva. Churlcs Coulonrb ( 1736-1806) 'uningctt icro r l l i l i t i r r l iancés i¡ lvcst iur i l l Icy t¡ue l levu su nonrbre sobre l i ¡erzasclllrc ctlerpos cl¡rgl¡dos. tle¡nostr'¡uttJo c{)ll ¡¡¡ balanza dc Iorsión que él rrrisr¡o

(') | l"y .tu" lt¡tecr co¡tsl¡r r¡ttc cl cmplco rlc l;r .rguj:r nragnitica cn navcgüci(in (bnijula) sc ¿cbc ¡ losul l i r tos. l ) ' t ¡ rcc {cr r lud cn t ¡ t ¡ r l icc i r ¡ t ¡ur i t t chrn¡r r lc l añr¡ l l l (1. ) .C.) sc c i ta la ¡xr lar idar l rnngnr! t ica.pcrt ¡ s t ¡ ent l l lco Jrr ic t icrr l r ¡ sc c l tc l t iu h¡rsta c l ¡ ¡ñu l (Xl l l (D.C.) r l t rantc l l ¡ l innst í ¡ Sulrg, c l' ' in \c l r l ( )

l l r : l ¡ . r ( ) r ' r ' r , lc t ¡ tL. cn i l t . | | t i l \ r lL. tn: r ] i I r r r ] \ l r ; rnccscr.

)

I.EYLS CEN ERALES DEL CAMP0 EI,EC-TRONIAGNETICO

construyó, ( lue erí t s imi l¡r a ley de gravi trc iórt universal de Newlol t . I fenry( ' ¡vcnt l is l r (1731-1810) un t ís ico inglés, hizo inrportantes descubrint ic¡ l ¡os c¡ lc l crmpo de la clectr ic idad pero no publ icó sus trabajos; sus not i ts t lclut¡orltorio fueron cditadas por Maxwcll cn I879; ¡¡tuchos dc los trabajos (prcse atribuyen a Coulo¡nb, Farilday, Ohrn y o¡ros fueron i¡nticil)a(l()s l)ol'Ctvcndish. Vcrificó la ley de Coulo¡nb con grírn precisión, ¡nidió la c()nstuntcdieléctrica o permitividad de t¡n dieléctrico e introdujo la idea de potcnciirle lécrrico. La teoría maternát¡ca de la electrost¿itica recibió un gran inrprrlso corrIos cstr¡ t l ios de Poisson, que en un i l r ¡ ículo fechado en l8l2 r lerntrestr i r¡nirteuriiticíunente la dist¡ibución de la crrga eléctrica en ctterpos cargilrlos yl¡rlica Ia ¡eoría de la gravitación a h clectrostiítica, hacientlo corresponrler e IconceJ)ro de potencial gravitacional al potcncial eléctrico.

F Ias ta 1780, los exper imentos e léc t r i cos se rc fc r íanexclusivamente a fenómenos electrostiiticos de interacción entre cucrposcirrgados. En este año, Calvani, un profesor de anatonría italiano, dcscr¡lrreun tcnómeno eléc¡r¡co nr¡evo: conectilndo con dos nletales dit-erentes, dospilrtes d¡stintfls de las ancas rle una rana disecada, se produce t¡na contracció¡rtlc los mi¡sct¡los de la rnna en el nronrento en que se juntan los nretalcs.Durante 20 años Galvnni investigó este t'enómeno y publicó en l79l un librosr:bre elecrricidad animal, en el que se indicaba que el origen de su elect¡'ir:iclarlcra cl teji<lo cle las ancas de la rana. Alessandro Volta ( 1745- 1827) repitió losexpcri¡nentos de Culvani y l legó al convenci¡nicnto de qrre la fuente dcelectricidud ern e I colrtacto metilico de los dos metales y tlue lirs ancas de lanrna servían únicamente como un detector dc corricnte. Para tlemostrarlo,Volta dispuso en 1800 un gran núnrero de uniones meti i l icas en ser ie,lirr¡nadas por discos altemados de dos merflles clistintos separados por trozosrlc tela hunredccidi¡ con ¡icido. Conect¡rndo unos hilos en los extre¡nos clc csta¡lila, observtl que se ¡lroducía ulra clrispa eldctrica cuando se tocal.un y sesepanrban los hi los. La i rnportancia de este descubrimiento ern que l l p i lavr¡ l taic¿¡ nsí for¡nnrlr , era una iuen¡e conf¡nua de electr ic ic l ld, t ¡ue ibu i rpcnnitir a los investigaclores poder expcrinrentar con mlyor tircilidad lirspro¡rieclades de ll elcctricidad .(')

En I tt20. el cienrífico thnés I luns Christirrn Oersrerl ( 1777- I fl5l )obscrvó t¡ue el paso de la corrientc cléctricl por un lldo producía h desvi¡rcirintlc rrnt brtijuln coloci¡dit cn stt proxirnid¡ul. Los experinren¡os de C)crstcrlponÍan en cvide¡lc ia r¡ue las corr ien¡cs eléctr icrs pror l t rcían clrn¡x)stnagnét icos. r¡ i rce dc r 'ste nro( lo cl c leclron¡agnct ismo. U¡ra se¡nantr nl i is

( ' ) f i n l r o n r ) r n l l v c r d l ( | . l t : t y r ¡ u c i n r l i c l r ( p r c V o l t l c x p l i c t i s t ¡

con l ; rc l ( ) dc l ¡ rs r ¡ t l i oncs r ¡ tc t i i l i c ¡ ts . lo t ¡ t t c c r ¡ l un c r r ( ) r . l v las l í l fdcc { ) r n ü n t c c l i c t r i c ; r c r f l c l r c s t ¡ l t ¿ ¡ t l o t l c l r l ¡ r a c c i r i ¡ r r l u t n l i c i l . D c, l c s ¡ r ¡ e r c c c l . r g r r n i r r r ¡ r o r t l t r c i ¡ r d c l t l c s c t ¡ l r r i ¡ r t i c ¡ ¡ t o r l c V r ¡ l t l .

p i l l cn func ió ¡ l t l c l ¡ r r r tc ¡ l c i r ¡ l t l c

sc ( l c r ¡ los t f ( i ( luc l : t r ¡c ¡ te r i rc i t l ¡ r t l t :

c t t ; l l qu ic r fn l t ¡ l c r :1 . c5 tü L ' f r ( ) r I l ( )

LLLL I r rU l r l¿ rL¡ r tU¡ t , ) t \ tu I L IKLL¡ t l (JJ LLLL I ¡ r r t r r . r

tnrde de darse it collocer el desctttrrintiento de Oerstcd, el físico y nntenriii icolrnncés André i\ltrie Ampére ( 1775-l836) presentó un a¡tículo a h ¿\caderniatle las Cienciirs de París en el t¡uc detemlin¿rbn la fuerza entre hilos puralelosl levlndo corr ientes eléctr icas. denominando a esta nueva ciencia:electrodinámica: Ampére fue el primero en reconocer h dit'erencia entrecorriente eléctrica y voltaje, y sugirió que el cümpo nrognético de un in¡ánpernulnente se debía a las corrientes eléctricas produciclus entre l¡rs tliversi¡sl)artículils de hierro del imiin, (hoy día se srbe t'¡ue el magnetisnro del hierro setlebe itl irl inea¡ticnto espontineo de los nromentos rnagnéticos tlel spin de losclectrones). Contribuciones adicionales al magnetisnro fueron realizados por elrnaternático Causs (1777 -1855) y el físico Weber ( 1804- l89l ).

Al propio rienrpo, un gran núnlero cle investigaclores experirnenta-ban con lns corrientes eléctricas, especial utención merece la publicación quereal izó Ceorge Sinron Ohnr (1789-1854) en 1827 en el que derenl inaba laproporcionRlidad entre voltaje a¡rlicado y corriente eléctrica, c¡ue hoy denonri-nnnlos resistencia eléctrica. Denlostró el valor de la resistencia ec¡uivalente deuna asociación de resistencias en serie, el valor de la resistencia de un conduc-lor en t'unción de sus rlinlensiones y la variación de la resistenciu con la tempe-rntrrrl. En el ¡rño 1847, el tísico alcnlÍn Custav Robert Kirchhoff ( I fl24- I 887)publicó sus célebres leyes de los circuitos eléctricos que explicaban las rela-ciones entre corrientes y tensiones en las redes eléctricas.

Entre tanto, muchos investigadores encontraban paradójico el quela clectricidad produjera magnetismo, pero que no se obtuviem el l 'enómenocolrtrnrio cle que el nragnetisrno crear¡l e.lectricidad.. Sin -ernbargo-en l83l elgran t¡uínrico y experimentador inglés Michael Faraday ( l79l- 1867) encontróque un conrpo milgnético variable podía producir una corriente eléctrica.

Faradty construyó un solenoide con unos 70 m de hilo tle cobre,cu1,os ternrinules unió n un galvilnónrctro. Al introducir un im¿ín dentro delsolcnoide observó unn tlcsvitciólr del galvanómetro en un sentido, ¡r cuandositcab¡t el ir¡rin cornprobó (lue lü desviatción obtenidil ern de sentido contrario;de este rrrotlo descubrí¿r el t'enó¡neno de inducciólr eléctrica por el que segeneraba una tensión inducitla por ntedio de un cnnrpo rna{nético variable.[]ste descubrinriento iba a ser ll base del desanollo del relér¡rtfo v de lasrrriír¡uinrs eléctricas. De hecho Faraday consrruyó un protorip;de sénerridordis¡roniendo un disco de cobre de 30 cnr de diúmetro que se ¡lrovía entre los¡rolos de un irniín : por nredio de unos contilctos deslizantes que se unían al ejedel disco y t su peri fer in pudo corrrprobnr con un galvnnónretro, que seobtenía r¡n¡r corriente eléctricir intJucida. Flrntlay que er:l un cx¡:erirnentadorrurto, hizo grandes contribuciones a la electricidad y a la t¡uírlicn. A él se debecl dcscubrirniento de l¡r electrólisis , acuñando los nonrbres de {nodo. cirtxlo,clectrril ito, ion, ctc.: estudió r¡rmbién el conrponanliento de la luz dentro de unc¡unpo rnagnét ico, c lasi f icó lc ls nrater iales nragnét icos: par¿lnrasnet ismo,

I

rlitnlag¡tetismo, comprobó también que las fuer¿as de interacció¡l enlre cilrgirs

;ü,.ü;;ñi"*iil del medio dieléctrico, y para ello introrlujo la pirlabra :

;;;;¡á;d inducriva específica (conocida hoy áiri conro permitividad). Fnr:rday

iJíi.rirO ,i.bién et principio tli conservación de la carga y el apantallatniettto

,iJ"t¡.o. Un concepto de'gran importancia en electromagnetisnlo y t¡ue [ue

i"-trü""i¿ó por nuraday Es el dé líneas rle fuerza; en el caso eléctrico

;;t*li^b; éstas líneas'(canrpo eléctrico) como la dirección de la fuerz¡r

;i;;t.i; qre actuaba sobie uria pequeña carga: en el caso.magnético' estas

iin.rJ t.oi"po nragnérico¡ se cdndspondÍan a la dirección de lns fuerzns

nrasnéticas que actuaban sobre una aguju imantadn' Mas tarde el genio de

Maiwell daría una versión mirtenráitic¡r a esta visión fÍsica'

Aunque la paternidad de la inducción eléctrica se atribrye a

Faraday, hay qué destaiar aqttí, que un científico anlericano Joseph Ilenry

iii07:í üZSÍ déscubrió este rnismb efecto, el misnto añ9 que Farlday pero

iin i"n.Á"ionoci¡niento de ello en Europa. Henry trabajó con electroinranes'

á.'f,ó"ño .n 1831 había construído uno que podíri levantar pesos de hasta unit

ñ;irdr; inventó el prinrer relégrafo eleciroriragnético años arrtes qtre Cttttss yü"6"ii,iunqu" su uili"a"ión prTcticil sc debir u-S¡rnruel lvlorse ( l79l - | 872). t\

Het*V iin ehrUargó se le consitlera coll ¡nerecinriento el descubridor flelib;¿;i"; de autoiirtucción en 1832 y el inventor del prinrcr relé en I835'

El año 1873 representa una fecha cruc-i¡r!_p_a¡a-latistoria del

electromagnetist¡lo. En este iño James Clerk Maxwetl ( l83l- 1879) ¡rublic:t.sufamosa íbra Electricity and Magnetism en la que unificir todos loscouocimientos de la eléctricidad a través de un juego de ecuaciones'denominadas en su honor: ecuaciones de Maxwell. En esta obra el autor dioio*ro .ot.*ática al concepto de líne¿rs de fuerza de Farlday, i¡ltroduciendotós conceptos de campos vectoriales eléctrico y ¡nagnético. La inlportancia del

tiaUr¡o dd síntesis de Maxwell fue, no solanrcñte resunlir en cuiltro ecttacionesbisi ias los fenómenos electromagnéticos, s ino también introducir el.uit""pto de corriente de desptai.amienlo, que-representa.lrr con'iente

oue üdaviesa un dieléctrico someiido il un campo eléctrico variable. Corr ello

se resolvín el principio de conservación tle la carga que.no cunlplía h ley-deAnrpére. De éste.n'iodo y ü nivel matem¡ítico Maxwell predccíu la posible

exlstencla y creaclon de únn onda electro¡nügnética. De hecho con ll tcoría detvlaxwell cúlmina la teoría ondulrtoria tle la'luz, considerantlo a ésta co¡ntl ttnao¡rtlt electronragnética. Años nriis tarde el llemln Hei¡rrich Flertz ( 1857- 1894)en el año 1888 [udo tlenrostr¡rr dc un modo experimental ln existencia de estasondts construyendo utl oscil¡ltlor y un detecto_r y demostrando tliversnspropieclatles de reflexión y refracción de ondas. El uso pnictico de lts ondlsll,,itrotnlgnéticns ptrn tri¡ns¡nitir infor¡uación se {e_b9 rl ingertiero italirtrtoCiugielnr;N{nrconi ( ltl74- 193?), que fue cilpaz en l90l-(antes tlel tlesanollo{e lis v¡ilvulas) rle transnritir una-seiial de radio entre lrtghierrl y Canatlií:comenzlndo con ello ll rirdio conlunicitción.

t

Et.llCI ROltl¡\CNETISNI() Y CIRCUttOS EI-ECIR lC()s

Err nrrestro cs¡ur l io del electromflgnet ismo y como yi l se haindicirdo ilnterionncnte. una vez deñnidas las magnitudes y cnnrpos vectorialesrluc intcrvienen en el an:ilisis del campo electromngnético, se tomar¿ín lasccr¡aciorres de tvluxrvcll corno postulados y a pilrtir de cllas se deduciriín lasleyes experinren¡irles de Ctlulomb, Causs, Anrpérc, Fnraday, etc. Todas lascuestioncs (lue se estudiar¿i¡r en este capítulo se enrnÍIrcan dentro de la fisicacliisici¡, es decir no cu¿ínticit. Lls leyes del electromagnetismo (lue se anÍtlizon,son v¡ilid¡rs n cscnla rnacroscópica; los principios y ¡r¡é¡odos tle la físicacuiinrica puedcn lplicarse itl electrontagnet¡smo porn tratar los problentas acscah ¡¡ricroscripica de lus ptrtículns e lenlentnles. L¡t feoríil correspondiente serlc¡¡onlirur e lcctrodi¡tiínlica cdiinticit y fue cstirblecida entre los años l9a5-50 yno se rií objeto de estudio aquí.

Co¡uo y¡r se ha incl icado en esta introclr¡cción histór ica, lalbrnluhción de las leyes electronlilgnéticts, necesit¡r introducir la noción decanlpo. lin lugar de calcular directamenle lts fuerzas rle interacción entre doscuerpos cargados, o dos circuitos recorridos por corrientes, se calcula elcanrpo que crcil uno de ellos y se obt¡ene nús tarde la fuerza del ono so¡netido¿r cse ciunpo. lil concepto de cantpo no sólo es una noción cómoda que facilitael cilculo; cn particul¿rr, en el esrudio de la propagación y radiación de ondaselectronragné¡icas, los físicos e ingenieros han atribuírJo al campo unacxistencia autónorna independicnte del elemento que lo creó. La presencia delcanrpo rnorliticr las propiedades del espacio y el campo es considerado de estaIr l rnra conro u¡r ente f ís ico; el objet ivo es muchas veces estudiar sus

¡rropicdades, irrclependientcn)ente de la causa que lo creó._ Esta naturalezni'ísica que í¡ veces se da tl cümpo, debe emplearse sin entbargo con sunrocrridado, y¡¡ (lut: puedc dar lugnr ü enorcs en lir interpretlción de ciertosl'c¡rri¡ne nos e lectrorna gnéticos.

En cste capítulo. sc vi ln n t lef inir en pr incipio, las pr incipalesrnagniludes que estiirt inrplicadns en los fenómenos electronlilgnéticos. Setonirnín r¡rís turde las ect¡aciones de Maxwell como postulitdos y se hará unlniil isls sirnplilrcado sobre su interpretnción físico-nlate¡n¿i¡icit. En cl capítulor, se dcsurrollarún Ias diferentes ¡ireas del eleclronlagnetisnlo, paril que ellcct¡r ve¡ cl ncxo tle urritirr con cl mdtotloclásico. Las uniditdes entpleatlaspirnr del ' in ir lus divcrs¡ts ntagnitudcs son l¿ls correspondientes al Sistemainternucion¡ll tlc u¡ricllulcs Sl cuyu relación se muestrÍ¡ en el apéndice l.

[ -a for¡ l rr¡ l rc ión nl t¡ tenr i i t ict contenidn en los dos pr i tnerosclpíttrlos tlcl tcxto dcdictdos irl electromagnetis¡no, presupone r¡tte cl lectorrisirc r¡ltl ¡rrepitritción strficiente en ciilculo vectorinl y teoría de clmpos. No()l)stiullc y'pnra cotncxiidad det leclor, en el irpéndice 2 de es¡e libro, se hltce un¡cl)ilso rlu llt lritsc llecesitria tlc ciilctllo vectorial.

LEYES CENERAI.ES DEL CAMIN ELECTROMAGNETICO

1.2 DNFINICTON DE IV IAGNI 'TUDES FUNDAMENTALE.S

Vamos a definir hs principales nragnitudes que a¡rarecen cn clesrudio del carrrpo electromagnético y su significado físico para analizar ntiistarde las relaciones funda¡nenlales que tienen lugar entre fuentes y c¿lmposvectoriales.

l . ! . t D I INSIDAD DÍ l CARGA p t

El origen de todos los fenómenos electronragnéticos, cs laexistencia de la cnrgn eléctricit y el movimiento de la misma. En clefinitivl, por¡nedio cle un canrpo electrornagnético lo que se pretencle, cs tlcscril¡i¡'salisf¿rctor¡írmente tas interacciones entre cürgas y elementos de ctlrricnle.Parece pues, que el pr inrer paso en nuestro intento, sea rcpreset l t i l rnlatc¡náticanlente est¿rs magnitucles haciendo posible su manejo.

Las partículas eléctricas fundamentales de la materia son las ctrgaseléctr icas. I -rs cargas eléctr icas pueden ser posit ivas y negf l t ivas. .Sctlemuestra experimentalrnente que la carga eléctrica total de un conjurttodefinido de materia se conserva y que además la carga eléctrica solar¡renlcexiste en múltiplos enteros positivos o negativos de la magnitud cle la carga dele lec t rón e = -1 ,602.10 '19 cu lombios ; es to i rnp l i ca que la carga es tácuantificada. I-a unidad de carga en el sistema SI es el culo¡nbio quc es igual aun amperio-segundo, es decir C = As.

Desde el punto de vist¡t del electromagnetismo cl¿isico, unil cargireléctric¡r, puetle subdividirse indefinidamente de tnl forma que se dcfi¡tc co¡¡lo

dc¡¡sidad dc carga volunrétricn pu rt lit relación:

a q jp"= f t C / rn - ( l . l )

donde Aq es la cargu existente en un Av de volumen. En un sentido rigttroso,

py sólo represent¡¡ una ftrnción continua, si Av tiende ¿t cero Íl €sc,tlamacroscópicil, es decir cle tal tbrnla que el elemento de volunren consideradoconrengl un nr'l¡lcro elevado de partículas discretas cargadas (lo curl i¡¡dicaque ̂ v sigue siendo grattde desrle un punto de vista microscópico). Ll lig.l. I a ilustra cl significrtlo tle la relación expresada en la ecuación ( l.l ).

Como t¡uiera t¡ue la carga Aq que se encuentra dentro tle u¡re lenrento r\v puede v:triar de un punto a otro, es evidente rlue la densidld dccargir es u¡ra función dc llts coonlcnaclas y posiblerneltte del tienrpo. i\sí ptris,

pv cs un ci ln lpo escr lar, que se expresa en general Por Pv (x.v,z, t) <-¡

ELEC'T?OMAC N E rIS NIO Y CI RCUTTOS E LEC'rR ICO.S

s in lp lcmenre pv ( r , t ) .

a l D i s t r i b u c i ó n

v o l u m é t r l , c ab l D i s t r i b u c i ó n

s u p e r f i c i a lc ) D i s t r i b u c i ó n

l i n e a l

Fig. Ll

En alglnos problenras físicos, se identifica la carga Aq con unelenrerrto dc superficie. o de lfnea, en vez de un volu¡nen. Entoni.es la'retación( l. r ) se oeltne co¡no stgue:

A q - .P, =F¡; Cfin" ( r . 2 )

( 1 . 3 )

( 1 . 4 )

en l i t f ig. l . l se i lustran estas definiciones.

La cantidad total.de carga conterrida en una región volumétrica,superficial o linenl, de acuerdo con fl .l), (l,Z) y (1.3) seri:"

d v ; q = J p , d s ; ( t = J O , . ' , ,T

AqP r = A l C/m

n=I v /m(l

fq = J p u

t lonr le v , s yT represrnronde ilrtegración.

rcspectivarnente el volunlen, superfici e y curva

1.2.2 C,\I\IPO F:LF:CTRTCO E

si se tiene un conjunto de cargas eréctricas y se coroca una¡rcqueña cagn de prueba innróvil q en esa regron, esra carga exrlerinrentardrun¡r fuerz¡r. F (newton). Est¡r fuerza es proporclonai a la "nr!'o q, ie ral rnodorlue cl co-^iente. Itlq es un illvarianre que iepresenra una próp¡é¿a¿ local delf spÍlc:fo. bl coctente flntenor se denornina cdmpo eléctrico

- E, de tal nrodo que

se cumple:

d t

d c = t r d l

( 1 . 5 )

LEYES GENERALES DEL cAtvll{) ELECTR()MACNEIICO

l a un idad de l S t de l cunrpo e léc t r i co es en pr inc ip io según (1 . -5 ) c lnewton/culonrbio; conro se veri nlás adclante dcspués de la cxplicitción ttclpotencial eléctrico, una unidatl ntiis empleada es el voltio/rnetro.

Segrin (1.5) el campo eléctrico seríi¡ la fuerzl que por unitlrtl decilrga experimenta una pequeña cargu de prueba estacionüria colocadn en elpunto donde se t¡uiere detenninar E. La exigencit de que la carga de pruebaienga un valor pequeño, es pitra asegurar que no se penurbe la contiguraciónde cargas cuyo campo se medirú. El canrpo eléctrico E es un cünlpo vectorinlcuya dirección y sentido conesponde al de la fuerzt F elt cuda punto de larelión, de acuerdo con ( I .5). El cancepto de cantpo eléctrico Jirc introútcidoc¡l electrontdg,netismo pura describir las fuerzus entre cargus . Co¡rlo cldacarga est¿í rodeada por t¡n canrpo eléctrico, es razonable consideritr a lits t'argasconro las fuentes que prulucen estos canlpos. Al ser E un cantpo vccloriil l, esposible adenris trazar una curva de tal manera que el culrpo sen tangclttc t lacurva en cildü punto. Puedcn dibujarse cualt¡uier nú¡¡rero de curvas en litregión objeto de estudio,.cle tnl modo que por cada punto pa-snrii Una scllacurva, ya que si pasaran dos, u ese punto le corresponderían dos cant¡ros Iidistintos , lo cual es contrario u la definisión de campo vectorial . [.tts ctrrvitscon sus ca¡npos vector iales tangentes en cada punto de lus nl is¡t l i ts scdenominnn llnecu de cdn po, también se denominan líneas dc.llu.io y líneus defuerzu y se ut i l izan con frecuenci i t para dibujar cf lnrpos cléctr icos ymagnéticos.

I .2.3 DENSIDAD DF; CORRII. :N' I ' I ' . I

Sabenns que un nrovimiento ordenado de cargas e léctricas en unacierta dirección constituyc unt corrien¡e eléctric¿t. Considcrenros por ejenrploque se tiene un nledio con unü rlistribución de curga de rlensi<hd volt¡nlétricu

pv y supongilnlos que lils curgils tienen units ve locidades nlctli i lspor unn función vector iu l u (x ,y ,z , t ) . Sc puede t le l ' i ¡ r i r un i rcor¡ ' iente J en un punto P de lu región. por l t expresión:

J = p v u A / r n 2

re[)rcscn tírdlrsdens id td de

( l . 6 l

err generr l s i sc t iencn di l 'crentcs t ipos de ci l rgls l ibrcs crr c l rncdio cundensiclncles volulrrétricus pu¡ y velocicladcs u¡. la densidatl dc corricnte cs igull¿t:

. f= I pui ui A,/rnl ( 1.7)

Los lnetlios (lrrc contienen cÍ¡rgas libres puederr ser: l) krs nlr:tl lcs,(conro por ejenrplo sucede cn un hilo de cobre) en los cuales h condr¡cción sedebe a los clectroncs, y i l t ¡uc las cargas posit ivas est i in l i j rs cn lu rcd

EI-EL-TR0ilIr\CNETISTI() Y C¡RCUTTOS NLECTRICOS

cr istr l inr( ' ) , b) los senriconducrores_quc l tevan electrones l ibres, y huecos(luserrcia tJe elccrrolles) y c) los clectróiitos (sllcs en solución) que cbntie nentanto iolres posirivos conto negativos.

l-a tlensidad de coniente J es t¡na medida, en el entorno del puntoP, de la crn¡idad de cargl elécrricl quearnviesa en una uniclatl de tiempo, lat¡nirlad de superticie nonn¡rl ¡r u ( ó u¡). Si se riene una superticie S a ravés deh cu¡rl exis¡e nrovi¡nien¡o.de cargils, el flujo de J a través de S, se denonrinaitttctt¡ükut de lu corriemc cltiuricu i:

-

Af ,

i - l J d sJ

( 1 . 8 )

a l n l o v i l ¡ r i e n t o

scnt ido ( l t ¡e e le c u a c i ó n ( 1 . 6 )

e lec t roncs .

quc se rnide en anrperios (l anrperio = I culonlbio/segundo).

Nol:r ¡lrricticl: Par¡ que tenga el lecror un¡ idca miis concrcra rtc lo que significa elarnpcrirl sc pucden dar las siguicrttcs cifr¡¡s: cl hombre cmpieza a scntir la conientc que pasaa través de su cucrpo curndo alcanza los 5 rniliampcrios (5mA), si ésta ascien4e á :dmetcsulut pcligrosa p¿¡ril su vidai las linrplras incandcscenres (bombittas) de uso frecuente en elalur¡rbrarlo donróstico absorbcn co¡rientcs en¡re 0,2 y 0,5A; los rurJiatlores cléctricos entrc 4 y8A; una coci¡ra eléct¡ica entre 5 y l0A: ¡rn molor dc un ascensor enuc l0 y 20A; uni¡lternar.ltlr de una ccnrll cklctrica pucdc suminisuar a plcna carga una corricnte comprenrtidacntre 10.000A y 20.0004.

La intensidad de l i¡ corriente elécrrica es una magnitud escalar quereprcsenra la canridad de carga positiva c¡ue ltraviesa una süperficie clada iorr¡nidad de.t ienrpo. En et 'ecto, la carga que atraviesa en un t ienrpo dt 'u¡relenlento de superticie s, nomral a u (fig. 1.2) es ln contenida en ei volumentle r¡nci l inclrode base s ygencrntr icespCralelasa u yde longitud dl = udr.

F i g . t . 2

( * ) Dcsgrac i¿ t t l l ¡ ¡ t c l l l c . tn tes t l c c r lnoccrse quc l i ¡ cor r i cn tc cn un nrc ta l e ra deb ic laordcnado ( l c l t l s c lccur l r tcs , sc adoptó c l convcn¡o quc daba a la cor r ien te e l n r ismod c l t l l o v i ¡ r t i c n l . : t l c u n r c a r g a P o s i t i v Í ¡ . S i s c t i e n c c n c u c n t ¡ ¡ c s t c c o n v e n i o y l arcsu l ta quc c l scn t id r ¡ dc l ¡ t l cns i t l ¡ r l dc cor r i cnrc . f cs conuar io a l mov i ¡ ¡ r ien to de tos

t 0

I"EYES CEN EIIALES DEI- CAlvl l{) Et.EC[RO[\.IACNEflCO

De este mulo se cumple :

t lc l = pu dv = pu su c l t = J s dt = i d t

dondc se ha tenido en cuenta t¡ue J = pv u y que Ia densidad de corriente .l esunifonne en el iírea S para poder considerar según (1.8) quc i =.1s. De laecuación (1.9) se deduce la deñnición histórica de la intensidad de la corrientceléct¡ica:

i = # A ( 1 . 1 0 )

En función de las propiedades de conducción de cargns, losnlater iales se pueden clasi t icar en: a) conductores, que disponen t i :elect¡ones libres en las últinras órbitas (electrones de valencia) que puedenmoverse con cierta facilidad por la red cristalina del metal cuando se aplica unca¡npo eléctrico exrerno; b) aislantes o dicléctricos que pricr¡cilnlenr$ nodisponen de electrones libres para dar u¡la corriente tl aplicar un catnpoeléctrico. Cuandc se aplica un canrpo eléctrico B a un nraterial que p{)sc¿electrones libres, aparece una ft¡erza en éstos que se obtiene de la ecuaciórr(1.5). Si el ¡nedio en el que se nrueven las curgas fuera ideal se produciría uniraceleración de las clrgas de acuerdo con lu ley de Newto¡r:

F - q E = - e E = n r + Ndr

donde se ha considerado únicamente In fuerza sobre un elecnón de cnrgl - e ymasa ¡n. Integrando la ecuación anterior se obtiene la velocidad u:

( l . e )

( l . l l )

- e Eu = trn nVs ( 1 . 1 2 )

lo cual indica que la velocidad de los electrones üumenta linealmente con elt iernpo hacia inf ini to, lo cual, según (1.6) y (1.8) también impl ica t¡ue lacorrienre en el conductor aumenta con el tiempo lo que estii en contradiccióncon los resultrtJos experinrentales. Lo que ocurre en rerlidad es que en un¡naterial real, existe una fuerza arnortiguadora adicional resultante de loschoques de los electrones con la red cristalina del nrcdio. Es¡as colisiones sonl¡s causantes del culentamiento del material recorrido por la corriente. l-atuerza amortiguadora estabiliza los clectrones, resultando una vclocidarl dcarrastre u,¡ corlstilnt€ y cuyü rnagnitucl es proporcional ul campo eléct¡.ict¡. Sidenonrinanros f . el t iernpo l ibre nledio entre col is iones, se tendrá unuvelorcidad ¡lledia de iurastre de valor:

u r r = l f n * f # r , l = - ; * r c = p n n r / s ( 1 . t 3 )

ELECTR()IUACNE'NSÑIO Y CIRCUIT()S ELECTRICOS

El cocienre -et. /2nt se denonrina nurvilirl¡d de los electrones yse representa por la letra griega ¡t. En el cnso del cobre es del orclen cle 4.l0'3rn2/V.s. Si se consideril u¡l conductor con n electrones por unidad devolt¡men, la densidad volumétrica de carga libre sería: pv = - ne y teniendoen cuent¡l ( L6) d¡¡¡i lugar a una densidad de corriente (denonrinada densidadde corriente de conducción. J) de valor:

2.¡ = p" ud =- ne uu =*

t E A,/n.,2 (1.14)

la ecuación anterior denruestra t¡ue la densidad de corriente es directamentepro¡rorcional al canrpo eléctrico aplicado. Los experinlentos dernuestran queéste es un nrodelo(') extrenradamente exacto para una anrplia gama deconductores. La ecuación ( L la) se suele expresar:

J = o E A l n Z(lue e.s la ley de Ohm en fonna puntual. El factor o recibe el nombre deconduct iv idad y se mide en siemens/merro. Comparando (1.14) y (1.15)sc puede expresar la conductivid¡¡d o :

ne2$= ñ - T .

/ l t l v S/rn

( 1 . 1 5 )

( r . r 6 )

en la tabla ne I se muestra una relación de conductividades de diversosrnateriales a 20q C. En los conductores , la conductividad tiene un valor

TAI]LA NO I

(') El modclo rlc conductivirJad lquí cxpuesro se rtcbc a Karl Drude quien lo propuso en l9ü). La:rparición dc la mccánicr cuántic¡ pernrititi unr cxplicrción más lnrplia de csros fcnómcnos.

t 2

LEYES CENERALES DEL CANII'() ELECTR()TI.ACNENCO

elevado y en los aislantes el valor es pequeño. Desde un purlto dc vista itJell,

un material se considerará conductor perfecto si O = @, nlielltrils que se

considerará aislante perfecto si o = 0.

ETEMPLO DE APLICACION I.I

Supóngase un hilo de cobre de I0 mml de sección transversct! que transportauna corriente de J\A. El peso atónúco del cobre es igual a 63,54: cl núncro de Avo¡4adrovole 6,0X.1ú3: el peso específico tlel cobre es 8900 k¡gtni,lo coruluctit'itlud dcl colre es

5,8.107 flm, Ia nnsa del elccrrón es 9.10'31 kg y su carg,a vale' 1,6.t0-19C. Si el cobreriene un electrón de valencia en cada útono, calcular: I ) nwnero de elec¡rones libres l nf : 2)velocidad de arras¡e nedia: 3) tienpo que tardarún los electrones en recorrcr 100 m: 1)tiempo libre medio entre colisiones: 5) movilidad dc los clectrones ¡t.

S O L U C I O N

l) El número de Avogadro nos {a cl númcro dc átomos por mol. Como quicra qtrc I ntl rlccobre pcsa 8900 kg. y un mol dc cobrc son 6J.54 Sralnos, cn Inlr dc cobrc halrrá:

89000m= 140069 molcs63,54

2)

y por consiguiente, cl número de árornos de cobrc cn lr¡r3 scrá:

r = 140069 , 6,023. 1023 = 8,4. 1028 ¿ito¡¡tos

conlo el cobre tiene un electrón librc por átotno, el núnrcro dc ctccuones librcs por nllsent

n = 8,4. 1028 ctccuones/m3

L¿ densidad de corricntc en el conductor valc:

= ?3

= 3 A/r 'rn2 = 3' lo6 A/nr2

y fnr consiguicnte cl cam¡xr elcct¡ico cn cl intcrii lr dcl corrrluctor tcrtclri i un vitlor:

r = * = # #

= 0 , 0 5 r 7 V / n r

de cste rnodo la vclocidatl dc arrastre scgún (1.14) scrú:

r _ IJ - s

l 3

2 , 2 3 . l 0 - 4 n r / s

ELECTROI\IACNETI.SII{) Y CIRCUITOS ELEC-I'RIC1 )S

esu vclocidad cs muy pcqucria, considcruntto (luc unu scñ¡l cn un hilo sc propaga a lavcltr iüd dc la luz.

3) El ticmpo quo lorda¡¿in los cL.croncs cn rccorrcr l00rn seni:

I = I = * = 4, j18 . l (É scgun(los = 124.-14 lrorirst l d 2 , 2 3 . 1 0 - - t ' '

sitt cn¡b¿lrgo si sc tritnsmitc una scñal por cl hilo t¿lr(li lría cn tlcgur:

- c , 100, = I

= :i i O ¡-

= 3,33 . l0'7 scsundos

ya ( lue la t r í ¡nsn¡ is ión sc producc a lo vc loc idur l dc l¿r luz: c = 3.108 m/s. La grantl i l "crcrtcia r lc t icmpos y vclocid¿rdes sc ( lcbc al l rccho dc quc uni l scñal en un hi lo se¡)ropaga confo una on( lu c lcctronr¿rgndt ica justo l 'ucra dcl l r i lo . El lcctor pucdcco¡nprcndcr nlcjor este cfcclo, suponicndo uft tubo l lcno dc bol i tas quc csüin e¡lcontacto unil a contil luitción dc la otra; si por un nlüdio l¡¡cc¿inico cxtcrior hacc¡nos quclas bol¿t.s inicicn un nlovirt t icnto ¿r vclocit lar l consrantc, torlas lus bolas comenzarán atrasladarsc ir¡.rfdntríneatne nte , pcro unil (lctcnninada bola que csté al princi¡lio tlel tuboü¡rdarii un cierto licrnpo cn llcgar al l ' inal.

El t icmpo l ibre medio entrc col isioncs, r lc acucrdo con (1.16) scr¿i:

2moTc= - : 1 ¡ =

n g "

z . 9 . lo -31 . 5 , g . lo7 = 4 ,86. l0- 14 segunclos8 , 4 . 1 0 2 8 . ( 1 , 6 . l o - 1 9 ) 2

el ticnrpo anterior dcpcndc dirccüamcnte de la conducüvitlud del mater¡al (que a su vcztlcpcnrlo de la tc¡npcrnturil) pcro no dcpcndc tlcl c¡¡mpo clécrrico cxisrcnrc (lcrilro dclconductor . Esto sc ent icndc fúc i l rncntc sal r icndo quc scgún la lcy csudíst ica dcBc¡ltz¡ttann, los clcctrones, ¡ lún cn auscncia dcl canlpo cxtcrior t icnen vclocidadcsrér¡rt icas dcl ordcn dc 105 rn/s. con r l lovimicntos al azar (de un Inodo similar almovimiento browniano) dc tül ¡nodo quc cn prorncdio cstudíst ico no hay corr ienreclócrr ica cs dccir no hay movirnicnto ncto rtc cargas (*). Cuundo sc apl ica un campocxlcr¡lo al conductor se produccn velmidldcs nct¿rs tlc ürrastrc, (luc como vc¡nos cn este

. l)

l f ) s i t lcn 'minanrt :s u,r ,

Bol t¿rnann, nos dicc quc

l ¿- f l l l l1 l¡ l

,l= - L k T)

l l u vc loc i r l rd td rn t i cu dc n tov i rn icn to t l c los c lcc t roncs . l i l cs rad ís t i ca t l c

sc cur ¡ l [ ) l c :

(k = c tc dc Bo l tznrann = l .3 l l . l ( l ' 21 J /K)

rlonrlc se dcducc prra un¡ tcnrpcrülur¡ nn¡bicntc dc ?(le C. cs rlccir T = 293 K quc u,n = t ,5. t 05 ¡/s.

t 4

L E, Y ES C EN E RA LES DE L C'\Ñf I}O ELECTRONIAG N ETI CO

ejcrnplo son del orden tle l0-4 nl/s, quc no son corllparübles a li¡s vclocidades tél¡tticas

aleatorias y por el lo t , es una m¿lgnitud que no dependc prácticamente dcl clrn¡ro.

Cuanrlo au¡ncnta la ternpcratura dc un conductor se produce una mayor vilració¡¡ dc la

rcd crisnline lo que se traduce cn una reducción de tq, es por ello que la conducljvttkttl tlc

un Inct¿rl sc rcrluce conlbrrne aunlenu la temperatura.

5) Dc acucrdo con (l .13) la rnovilit lad valdrá:

rr = l#l

= = 1,27. ro'3 nr? / v.s

1.2.1 DESP'-AZ,AMIEN' I 'O I ]LUCTRTCO D, POLARIZACION P, PI iR.l l l l ' l ' lV l l )AD e.

Un material aislante o dieléctrico no contiene electrones lilrres, porello al aplicar un campo eléctrico sobre él no se produce ningrirt ¡r¡ovi¡¡¡icr¡tt¡de cargas. como es el caso de un conductor. Desde un punto de vist i rnricroscópico un dieléctrico esti formtdo por átomos con un núcleode cargaspositivas-y una nube de electrottes alrededor del núcleo. Generalnrente elitomo es eléctricamente neu¡ro. Al apliCar un campo eléctrico exterrlo scejercen unas fuerzas sobre las panfculas cargadas de cada dtotrc, provocandoun despl;lzamiento del centro de gravedrrd de la nul¡e electrónica respecto-alnúcleo. El iítomo sigue sicndo neutro, pero los centros de gravedad de lasdistribuciones de ciuga positiva y negativa se separan una distancia. Esteconjunto de dos cargai igúales y de diferente signo, separadas una distancia seconoce con el nombre de dipolo eléctr ico. Se denomina ¡nonrentodipolar p al producto de la cÍuga q por la distancia d, es un vector cltyoseñtido v¿r ¿e lL atrga negaiva a la positivu. En la prictica existen dieléctricoscon nrotéculas poiares'cs decir, que tienen utl momento dipolar, aú¡n cn elcrso de que no existan campos exterrlos, En el caso de ¡noléculns no¡rolares i el momento dipolar sólo aparece cuando se aplica un ca¡npoéxterior. Se define como canrpo de polarización P de un dieléctrico, elrnonrento dipolar por unidad de volunlen:

IpP - l i n r -

av- r ' AvClntz ( 1 . 1 7 )

el efecto del campo eléctr ico I it le s¡l lazilnriento e léctrico I), t¡ue

D

rpl ic ldo se representt en el cl ieléctr ico por else dc l l ne:

= t o E + P cln:p ( l ' 18)

clo¡ lde E' es l l consrnnte dieléctr icn o pernl i t iv idad del v i lcío que vi l le:

l 5

ELECT'ROÑIACNETISNIO Y CI RCU¡'OS ELECTRICOS

I -,tE o = ' ' l 0 '

36r

y se rnicle en culombios/volt io-metro, o sinrplementeIrdelanre en Fuadios/rnetro (F/nl).

CNnr ( 1 .19 )

como se entenderá nris

Cuando el nredio dieléctrico es lineul e isótropo la polarización Pes di¡ectunente proporcional al cuntpo eléctrico:

P = X . E O l i Cln"t2 ( 1 .20 )

donde Xe es una cant idrd sin dirr tet ts iones que se denonl ina suscept ibi l idade lóctr ica. Al sust i tuir ( 1.20) en ( L l8) resulta:

D = e o ( l + X e ) E = 8 0 8 r [ ! = E E C / t t r e ( l - 2 l )

dortde:

€ r = I * X * ( t .22)

CONSTANTE DIELECTRICA E''

Matcrial s, Material e,

AirePctrilcoParafinaTcfIónPapclAcciteTicrra .scca

I2 , 12 , 12 , 12-32 , 33J

Cuurz-o lirnrlitlo 3,8Baquclita 5,0Mica 5,6-6Porcclrna 5,7Diurnantc 16,5Agua dcstil¿rda tfODiox itlo tlc tit¿rn io I ()0

TABLA NO 2

En el vacío y aproxinradamente en el aire, la poltrización It esnula y de este modo ( 1. 18) nos da:

E

€g

es una constante sin di¡nensiones que se conoce con el nombre depernritividad relativa o constante dieléctrica del medio. El coeficienteE = tr eo es la permitividad absoluta o simplemente permitividad. En latabla na 2 se da una relación de las constantes dieléctricas de diferentesmnteriales.

l 6

l ) = e o E C/nr2 ( 1 . 2 3 )

t 7

LEYES GENERALES DEL CANII}O ELECTR0NIACNENC0

si se r iene en cuenta (1.21) y (1.22) nos indica que €r = l . Esto sc debe a que

hs pennitividades según (1.22) se tornün con referencia al vacío.

Nuestra experiencia nos indica que al hacer un estudio delelectromagnetismo siguiendo un proceso deductivo, el estu<liante no llegl_ltcomprendér la necesidad de que se utilicen dos cautpos vectoriales distintos I)v E'fiara analizar los fenéntenos eléctricos. Como se comprentlerii ntísldetante al enunciar las ecuaciones de Maxwell ( ver expresiottes 1.49), hprinrera de ellss o ley de Gauss indica que e[ desplazamiento eléctrico lJ estd

relrcionado únicatnenle con la carga libre Pvl es independiente del medio

lísico en que se manifiesn el canryo. Sin embargo el vubr del cwrtpo elóctrico'E dcpentie del medio en el Ete se preseman los ctttrrptts y estií rclaciollldo

con D por la ecuación (1.21) señalnda arttes. En definitiva la causa delcartrpo

eléctrico es la carga distribuída Pv , euo da lugar al desplazanliertto eléctrico [)indepcndientc del medio, micntrus que el cflrtrpo E se define segrin ( 1.5) porun efecto: la fuerza que se ejerce sobre una carga de prueba y su valordepende del medio en el que se nranifiest¡rn los campos.

La variación del desplazantiento eléctrico respecto tlel tienrpo,

representado por la derivada DD/0t se deno¡nina tJensitlarl de corrierrte tJedesplazamiento J¿:

r a DJt l =

a,A/nt2 ( 1 . 2 4 )

este término fue el que introdujo Maxwell en la ecuación de Ampire parilhacerla consistente con el principio de conservación de curga (ver epígrafes1.3 y 1.4). Conviene destacar que J¿ tiene dimensiones de de nsitlad decorriente, y de ahí su denonlinación, pero que no represe nta en modo algurtouna densidad de corrienle de conducción física conro lit señalada en(1.6), sino una variación con el tiempo del desplirzamiento eléctrico D.

1.2.5 INDUCCION MAGNT:'T¡CA II

E l campo nragnét ico es ur t concepto in t roduc ido enelecuonragnetismo para explicrr las fuerzas que apilrecen entrc corrienteseldctricas. Los canrpos ntagnéticos son producidos por corrientes eléctriclst')Una carga eléctrica en nrovimie¡lto que es equivrlente il unil corriente eléctricl,tanlbién produce un compo nragnético.

Por supuesto . se pucdcn produc i r c tmlx )s n lagr rd t i cos con in rüncs l )cnn i lncn tcs v tanrh ió r r conroverá más ade lan te . s i ex is tcn cün l l los q l i c t r i cos v i l r iüb lcs .

( ' )se

EI-ECTR()IU¿\GNETlSNIO Y CI RCUTTOS ELKrR IC()S

Si se mueve unil c¡lrga etéctrica q, en ra zona de acción de unucorr ic¡r te cléc¡r ica, r urrr vclocirJad r¡ , api i lecerd rrna fuerza de or igennragnético sobre la cilrgl (lue es-proporcional a t¡, a su velocidad u, y-espcrprendiculirr a es¡¿r úhi¡ila. Esta fuerza.es proporcional y perpendicular a lai¡¡dr¡crión rnagnótica l| en ese punro dcl ispricio y re sárirr*e la siguienrerelación:

F = Q ( u x B ) N ( 1 . 2 S )

donde x represcnrü un producro vecrorial. La unidad de inducción es el 'fesla('1.) o Vs/nr2

. _ . .!o ex.presión (!.?51 es aniíloga a ta (1.5) y se puede romar comouna definición axionrii¡ica de la inducción magnética B-.

Si se considera un hilo conducior lleva¡ldo una corrienre elécnicadentro de un canrpo nragnético de inducción I!, esre campo eiercerá una fi¡erzarnagnética sobre cada una de las cargas móviles que constiiuyen la corrienteeléctrica y esta fuerza es transmirida a los átonros del hilo. Sí represenramospor dr¡ la carga que se rnucve a la velocidad de arrasrre u en un diferencial dlclcl hilo, se obrendr¡i según ( 1.25) un cliferencial de fuerza magnética:

d Ir = dq (u x R) N

ahora bien en el hi lo se cun)ple la igualdad:

d t l u = i d t # = i d l

( I .26)

( t . 2 7 )

( 1 . 2 8 )

donde se hr ut i l iz ldo la expresión (1.10) que relaciona la corr ienre elécrr icacon l¿r variación tte cirgl Llevlndo ( l.l7) a ( 1.26) rcsuha:

d f ' = i ( ¿ I x l | ) N

Am

Si toc los los e lcn lenros d l del conducrorrn isn lo c ; ln lpo n l i lgné t ico dc i r r t lucc ión I l , y es Lconductt)r, l l t irerzit nli lgnét¡cil result¡rnte ser¿i:

P = i (1, ,x I t ) N

l l t

el dl rcpresentil un elenrenrt'r diferencial de longitud del hilo y cuyo senridovccro¡'i¡rl cs el del rnovinrienro de hs clrgrs posirivas (dirección de li dcnsidadde corr ienle. l ) . A h ecuncir in ( t .2t t) r lgunos aurores la denominan f i rerznelectronragnética de [,a¡llace v expresu la tlerza a que cstá sonreritjo r¡ncontlucror situ:rdo dentro tlel carnpo rje rcción de una intlucción n:agnética B.

estdn sometrdos i l unl¿r long i tud ro ra l dc l

( l . 2e )

LEYES CENERALES DEL CAMK) ELECTROMACNMCO

cn cl cirso de que B sea perpendicular a L, la fuerza total valdrú il"B con elsenrido vector ial representado por (1.29). este sent ido vector ial pucdc¡¡lcrnt:rizarse ficilmente por medio dc la regla de Fleming dc la n¡:¡¡¡¡ri zqu ic rda ( f ig . 1 .3 ) .

I I I D I C E ( l n d u c c t ó n )

CORAZON ( corr I en te )

Fig. 1.3

Si se colocan los dedos pulgar, índice y medio o corazón de lamano izr¡uierda, formando un triedro trirrectingulo, de tal modo que el dedoINdice señrle el sentido de la lNducción If , el dedo medio o COrazó¡r elsentido de la Coniente, el sentido de la FUerza vendrá expresatlo por ladirección y sentido del dedo pulgar (el rniís grueso, el más FUerte).

l . r .ó CAMPO MAGNETICO l l , l l l IANACION M, PIIRI\ I I tAl l l l - I I )AD ¡r

Las propiedades magnéticas de los materiales son debidas a unapropiedat l cu¿ínt ica del electrón que recibe el nombre de ¡non¡e¡rtontagnélico de spin. El giro del electrón sobre sí mismo es equivalenre il undipolo rnagnético formado por una espira de superficie S llevnndo unircorricnte i, cl momento del dipolo m es igual al producto de i por s y esperpendicular a la superf icie s, tomando como sentido positivo de la superliciecl correspondiente a la traslación de un sacacorchos t¡ue girase en el sentido dela conie¡rte (contrario ll movimiento del electrón).

En lir nrayoría de los materinles, los iítomos poseen el mismonúmcro de electrones con momento magnético positivo que negativo, rle csrctrrodo no aparece ningún eftcto nragnét ico exter ior. En los ¡nater iulcscorrespon<lientes a los tríadas magnéticas: hierro, cobalto, nít¡uel, cicrtc¡selenrentos de las ¡ierras rarns y nlgunas aletciones y óxidos de estos nletalcsticnen r¡n ¡ril¡nero difercnte tJe electrones con momento ¡¡lagné¡ico positivo qrrenegativo, cste tleset¡uilibrio provocu ln aparición <ls un ¡nornent() nragnitico

Ptr l .CAR( fuerza )

ELECTROMACNflS¡VÍO y CtRCUtToS ELECTRTCOS

rcsultante que se- une al de argunos itomos vecinos fbnnnndo dominiosnragnéticos con el nrismo scntidó de monrenro magnético. un eitauo neutro,bs diversos dominios del nraterial se orienran al izar no.*¡siün¿o ningúrief'ecto exterior resultante, sin embargo cuando s. opti"a ui,;rrrrp" nragnético:.:T$9l se produce un alineanriento áe los momenrós rnagnéricoi tle rodos losdomrnros, dando lugar a la aparición de un momento magñérico resultanre.

se define er campo de irnanación M de un materiar mrgnético,o vector de magnetización al mornenro tlipolar -agnetico foi unidad devolumen:

pl = Lim ffav-+0 Av

el . lector.Puede observar el pi tralel ismo existente entre r¡of¡e¡rtopoln¡zlciórr con nlonrento nrágnético e inranación.

:...^..^^:.._ ^Ft_:lllt_". rna.gnético I{ se define a parrir de la inctucción B y lar¡ll¡rnactÓn fU por la relación:

Mtr

(A/m¡

doncle FO representÍl(lue vale:

H - g - Mpo

la constante ntagnét ica o

Ih = 4n l0-7 Vs/Am

( I .30)

t l i po la r y

( t , 3 1 )

permeab¡l idad del vacio,

(lue se mide en voltio.s-segundo/amperio-nletro o simplemente como secornprender¿í mis adelallte, en henrios/inetro (H/rn). r------'-'-

cuando el medio magnético es rinear e isótropo, ra imanación Mes directanlente proporcional :rl culnpo magnérrco

ivt = X,n tl Mn

( I .32)

( 1 . 3 3 )

clorrde 1,r , es una cant i t lad sin di¡nensiones que se deno' l inasuscept ibi l idad nragnét ica. Sust i tuyenclo (1.33) en ( l . j l ) resulta:

donde:

:0

$ = Fo ( l+Xnr) l l = t ro l " r r t I - p I I T 'es las (1.34)

LEYES CENERALES DEL CANIPO ELECTROMACNET¡CO

l t r = l +u

X r n = ' -Lto

( r . 3 s )

es una constante sin dimensiones que se conoce con el no¡nl l re dcperrrreabi l ic lad relat iva del rnedio. El coef ic ienre p = pr po es l Í tpermeabilidad absoluta o sinrplemente permeabilidad. En la tabla ne 3 sernuestra una relrición de las permeabilidades relativas de diferenres nrateriales.

En la gran mayoría de los mareriales la permerbilidad relariva esprícticamente igual a la unidad. Se denominan maleriales dianragnéticos losque tienen pr cercano a I por defecro. Los materiales paranngnélicos ticnenrun valor p, cercano a I por exceso. En el caso de nrater ialesferromagnéticos ¡t, puede tener un valor nruy grande pero sc cotrlportancomo medios no lineales, ¡rrdepentle no sola¡nente de ll ntagnitud de Il sinotilmbién de la hisroria previa del nraterial, exisle un efecto de ntemorit quc sedenonrina l ¡ istéresis.

Materiat pr I lvlatcrial Lr

PERMEABILI DAD RELATI VA ¡r,

F ' e r r o m a g n é t i c o s I D i a m a g n é t i c o sN i q u e l . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 2 5 0 | B i s r n u t o . . . . , .C o b a l t o . . . , . . i . . . o . . . . . . . 6 0 0 l O r o . r . . . . . . .

l{ierro Comercial ..,,.. 4000 | Cobret { ieno a l la pureza . . . . . 2 . I 05 | egua . . . . . , . . . .Supc rn ra l t oy . . . . ¡ . . . . . . l . l 0ó | p r r i lmügné t i cos79Vo N i ; 5Vo Mo I R i re . . . . . . . . .

A lum in io

P¿üur l io . . . . :

= ltXrn

l - 1 , ? . 1 0 - 4I -3 .6 . I0 -5l - t . 1 0 - 6l -0,9. l0-5

l + J , 6 . 1 0 ' 7l+2 ,5 .10 '5l + 8 , 2 . 1 0 - 4

TABLA NC 3

. Siguiendo un argunrenro sinrilur al util izado en el epígrafe 1.2.4 errel t¡ue sr: explicaba la necesidud de utilizar dos campos vectorialés l) y E paraanalizar los fenómellos eléctricos, se hacc necesurio emprear dos camposvectori¡rles tl y II cunndo se estudian los l'enónlenos nrasnéticos. Colno secomprenderú m¡is adelante al enunciar las ecuaciones áe Nluxrvel l ( vere.xpresiones L49), la últi¡na de ellas o ley de Anrpére inrlica que la inrensirhddel campo nragnético tl esrá relacionitla tinicámcnte con'kt densitlud tlecorrieme de contluccióy.J I es inrlepcntlicnrc del ntcditt Jísico en el que sen;yntficsta el cwnpo. sin enrbargo'el ualor tte ro induóción nngnéiica Rdepende del medio en el.que sc presendn ltts cunpos y esti rellciilnada conl l por. la ecuación ( l -34isenalada anres. En oerin¡r¡vá la causa del canrpomagnético es la densidad de corrienre J, que rla lugar al clnrpo vectorial'l l

2 l

ELECTROMA( ;NE:llSIW) y CtRCUlros El.tfl.Rtc( )s

independienre del nredio, mienlras que la inducción mngnética Il se tlefinesegrin (1.25) por un efeclo: la fucrza (lue se ejerce sobre-unil c:uga ntóvil osegún ( l.2ll) sobre un elenrenro de corrienre y su valor depende de-i meclio enel t¡ue se nranitiestan los canrpos.

I .3 I ,EY DE CONSERVACTON DE LA CARGA.I iCTJACTON DE CONTTNUIDAI)

Uno de los puntos funclamen¡ales en que se basa el electro-rrragnctisnro, es el principio de conservación de la carga, es decir, no existeevirlencil ni comprobación experimental que hagn atfinirir que la carga puedacrearsc o destruirse. Si se tiene una región del espacio en el que entra unaconiente neta, se tendrá un aunrento de carga en esa región. De ñrodo similar,si salc r¡nn corrienre de una región, la carga dentro de esa región debedisrninuir .

En la- l ig. t .¿ sc muesrra un vo_lumen que cont iene cargf lspositivas, que esrií l irnirado por una superficie s; se ha iepresentado tarnblénr¡¡ra coffierrtc quc sale de la región. Esra corricnte debe ser igual a latlisr¡rinrrcirin con el ticnrpo tle Ia carga posiriva dentro de la región.

I-a corriente (lue .salevi l le de acue rdo con ( 1.8):

i =

cl círculo ( lue r tr i lv iest la integrnl indica quelinritarrt lo el volumen V. Por otr¿l parte la cnrga qsi la densidnd de cargil volumétrica es pv ville :

h superficie S es cerrad¿lque lray denro del volumen

Fig. 1.4

clel volunten V a través t le la

f l.d.s A

supe rtlc ie S ,

( l . 36)

t i'6

I-EYFS (iENERAl-l S I.)El- C¿\lr I I)() ELECI'ROMAGNE]]C( )

d v C ( 1 . 3 7 )

( l . 3ft)

( l . 39)

(1. ,10)

Iq = l P uJ

l¿r disnrinuciti l l con el t ierrtpo dtl estÍl ci lrga serú igual a:

i gua l lndo ( 1 .36) y ( 1 .38) resu l ta :Í ,f J'cls =

{ r . d s = { } 0 "

_ d q = _ { r

crr diJ Pn dv

* Jp"¿u

que exprcsa el principio de conservación de la carga en fonna integral. Iin

general pu será una función r:scalar que dependerií de las coordenadas x,y,z y

del tienrpo t. Si et volumen V es trjo (no varía con respec¡o al dempo) se p<.rdriientonces introclucir la derivada temporal de (1.39) bajo el signo integral

aplicada únicanrente a pv, pero al ser pu (x,y,z,t) una funcién escalar (de

pirnto) habrá t¡ue rransform¡,r tanlbién la derivada total por la derivadn parcial,de este nrodo resulta:

fioiu .l dv = - [ {, o" (t.4 t)J J Dr

ya que estn igualdad debe ser.i.urtu pnr, "uulqi,i., tbrma clel volumen, puetleni gualarse las cantidades sutrintegrales, resultando:

d¡v. r =-afu (1 .42)dt

que es la fomra diferencial o puntuitl del principio de c-onservación de lit c;trgay (lue se conoce con el nonrbre cle ecu¡¡citi¡r tle ctlnti¡tuidad. Esta ecttitcitltlindica r¡uc lit ca¡rtid¡rcl dc corriente t¡uc divcrgc.dc un elentento de volu¡¡reninf ini tei inral es igual a la disminttc ión con el t iempo de la carga contenidadentro.

si se ¡iene en cuenta el teon;ma cle Ostrogradski-Gauss, se puede transformarla integral sobrc li¡ supcrficic cerrudu S en una integral de volunten, de cste,undo ( 1.40) se convicrte cn:

En el caso de corrientes estacionarias, la densidad de carglt novaría con el tiernpo y la ecuación de continuidu{ ( 1.42) se trattsfonlra en:

E LECTROIvIAC N EI'IS tvlO Y C l RC U ffOS E LtfTR ICOS

d i v . I = 0 ( 1 . 4 3 )

hs corrienres continuus.st¡nlinistradas por pilas o bateríus correspolrden a unejcnrplo de (1."t3), e indic¡r t¡ue las lín-eas de corrienre son'cerradas osolenoidales. s i se integra (1.43) sobre un volumen V, l i rni tado por unasupelficie cerrad¡ S, resulta:

{o tvJdv = f l ds = o (1 . ' l4 t

( t . 45)

tltle se puede expresar de un modo nrÍis priíctico, tenienclo en cuenta ( I .3(l):

I i j = ot

ecuación -que representa el ¡lrirner lema de Kirchhoff y que establece lo si-guiente: In suma algebraica de todas las corr ientes que salen de unnudo (punto donde conf luyen vari¡s corr ientes) es- lgual a cero.

[ . 4 EL CAMPO I ILECTROMAGNETICO. FUERZA DELOTIENTZ. I ICUACIONI 'S DE MAXWELI, .

.En una región del espncio, diremos que un punto es orclinirio, sicn sus pnrxinridades, las propiedades físicas del ripdio sbn continuas, es tlecirrro experinrentan variaciones bruscas. Basándonos.en la definición anterior,lla¡narernos campo electromagnético al donlinio de existencia tJe los camposvectoriales siguientes:

E: Campo eléctrico (V/m)D: De.splazamienro eléctrico (C/m2)Il: lnducción nragnética (l)II: Cinmpo nragnético (A/nr¡

finiros,. contilluos y. con derivadas finitas y continuas en todos los puntosordi n¿rios del espacio.

Los campos eléctr icos y nrngnét icos son fundanrentalmentec¡ltllpos de l'uerzl debidos.u Ins cargas eléciricns. La denontin¡rción eléctrico,rnngnético o elecrromagnético, depende delestado de movimiento de las "*guieléctricas-respecto a un referencial. Las cargas eléctricas en reposo originan-unca.nrpo electrosriirico. es rlecir independiente del tienrpo.'El mov'j¡nientorelntivo de.las cargrs representa un:i corriente eléctrica y p'ro,luce un campo delilcrzns ¡rdicional denonlinndo c¿unpo nragnético. Esté nuevo campo se dice(lue.es nragnetostático, si las cargils se ntueven a velocidad constitnte respecto¡tl sistcmn tJe relere nciit o ¡:unto ile observación. Los movinlientos aceleiadoso (l(: orro tipo, producerr anrbos tipos tle canrpo: el eléctrico y el rrragnético que

24

LEYES CENERALES DEL CAMIO ELEC-TROMACNMCO

variarrin con el tiempo y que se denorninan c¡¡mpos electromagnéticos.

Si los cumpos B y ll existen en un punto P de una región dclespacio, su presencia puede detectarse físicarnente por nledio cle unit cilrgil (lcoiocada eñ ese punio. La fuerza F resultante en esil cargA, tcndrii tloscomponentes: una debida al campo eléctrico y denominada por ello fuerzaeléctrica que vendrii expresada de acuerdo con (1.5) por:

F e = q E Newton ( 1 .4(r )

y otra debida al cantpo magnético de intlucción B . Si la carga_s,e rnueve ilvelocidad u, esta fucrza rnagnética vendrú expresada según (1.25) por:

F n , = Q ( u x B ) Newton ( L47 )

l.a fuerza total o resultante F sobre la carga q seri lit stl¡ltl de lafuerza eléct¡ica (1.46) y la magnética (1.47), resultando scr:

p = F r + F m = q ( E + u x B ) N e w r o n

que se denomina ley de fuerzas de Lorentz.

La conexión de los carnpos eléctricos y rnagniticos con lns lr¡entcsde carga y de corriente que los crean, viene deternrinada por urt jueuoelegante de relaciones, conorcidas como ecuaciones de Mitxrvell y quesintetizan diversas leyes experimentales descubiertas por otros científicos.Estas ecuaciones, expuestas por Jnmes Clerk Maxwell en su fanrosa obraElectriciry and fvlagnetis'nr en 1873 son las siguientes:

( I . 48 )

( 1 . 4 9 )

l ) d i v D = P v

2 \ r 0 t E = - a u -0 t

3 ) d i v B = 0

. t ) r o t l l = J * r J l )

D t

las cuatro ccuaciones t le Maxwel l nnter iores se hnn nunrer ldcl , porconveniencia pedagógica. No signi f ica estü nr¡nrcración ningrin ordencronológico de descubrinrientos. Se aclvierte adc¡niís al lcctor t¡uc el ordenaquí serinlado, puede ser diferente al tlue enrplefln otros ¿rutores.

t5

EI.E(][RO¡"IACNE-flSIltO Y CTRCUITOS ELEC-IRrcOS

[ -as cr¡arro ecr¡ac iones de Maxwel l (1.49) , junro con la ley defucrzas rlc Lorcnfz {l.. l ft) y la ley de conservación de la carga (1.42)(')const i luyen los postu lados fundamentales del e lect rornagnet ismo. Suve r i f icac ion cxper imenta l se obr iene por la comprobación de susconsect¡encius. Es¡¡rs ecuaciones son vúlidas para merlios l ineales y nolineales, ¡larr nredios isótropos y no isótropos y en el margen de lrecueñciastlcsde ccro a las ¡niís rha, como es el caso de las microondas. Debe destacarserl¡¡l l l ién rlue .son leyes mitcroscópicas, lo t¡ue indica que se deben aplicar aregioncs o volúnrenes cuyas d imensiones sean grandes respecto a lasrl ir lrcnsiones ntó¡nicas.

Las c'culcioncs dc Marwcll han tcnido una importancia fundamen¿al en lahistoria dc h Física. Es la primera teoría invariante dcsde el punto dc visla relarivisra.Dcscnrpcilr'l un papcl dccisivo en la aparicitin y argumenhción de la tcoría dc la relatividad.l-a trar¡sl'ornritcirin de l-orcntz dc la relativirlatl rcstringida sc dcdujo considcrando lainv¡¡rianci¡¡ de lar ecr¡aciones de lffaxwell, lo que significa que estas ecuacionestir'ncn la ntisnta fornra lanlo si sc exprcsan en un sistc¡na de referencia esBcionario corno enun sislcnra dc rcfcrcncia móvil. L¿ división tlcl carnpo cloctromagnético en campos eléct¡icosy nragnéticos cs dc c¡rácler relalivo. ya qrrc éstos dcpendcn del sistema de rcfercncia cn elr¡uc sc csludirn los fcnó¡nenos. Pucde demostrarse con la teoría dc la rclatividad que si scconsidcran unos carn¡x)s E y ll en un punto de un sistema inercial fijo, los campos Ii'y B'cn cl mlsnro punto y tiempo cn un sistem¡ incrciul móvil quc se mueve a una velocidad urcspccto rlcl prirncro (supuesto quc se cumplc: u << c, tlonde c es la vclocidad de la luz),vienen exprcsados ¡l:

E'= Ii + u X B ; R'= l l - -u d Iic 2

( I .49 bis)

dc csre nrodo, si se consirlcra por ejemplo un campo puramente eléctrico ll cn un sislcma dercfcrc¡rcia fijo, se ranslb¡¡nará en un corn[xr con componentcs de tipo cléctrico li'yrnagnérico l!', cn un sistcma de rclbrcncia móvil.

Se observr enseguida que las cuatro ecuaciones de Maxwell noson totalmcnte indepcndientes entre sí. Vamos a demostrarque Ins ecuacionesc.r¡rresadas cu función de la divergencia se obtienen de las ecuaciones conrot¡rcional.

' l 'e niendo en cuenta t¡ue de las propiedades dcl c¿ílculo vectorial, ladivergcncir dcl ro¡acional de cualquier cumpo vectorial es cero, al tomar l¡rtlivcrgcncin de h eculción (2) tle ( 1.49) resulta:

t * ) C,r , ¡ lo sc vcr i rn is l r lc l ; t r t te, l l lcy dc co¡tservacir in r lc la cnrga está impl íc i ramenle escr i ta en. l r c t :u l ( ' i ( in t lc f r ' laxwcl l . Sc r lcstrcr ü( luí cst¡ r lcy conlo poslu lat to paro comprcndcr n lc jor

l ) ¡ t r t ic tp i rc i r in t lc N' tür$ 'c l l , ( ' r r lü adnptacir in de l i r lcy dc Anrpérc para que cunrpl icra c l pr incip io( 'onscfv l tc i r in t lc l ; t c . t f u l t .

26

l al a

tlc

LEYES CENERALES DEL CAMI)0 ELECTRON/IACNFflCO

div rot

es decir:

y de otro modo:

o = g (d i v D -pu )Dt

que integrando nos da:

d i v f ) = p u + C Z

E = c t i v ( - a 8 " a

a r ) = - ; ( c l i v B )(1 .50)

( 1 . 5 1 )

donde c1 represcnra una constonte independiente del tiempo. La experie nciademuestra que C¡ debe ser nula, yu que nunca sc han observado cargilsmagnéticas aisladas.

De modo similar si tomamos divcrgencias en la cuarta ecuación delr,laxwell y se considera conlo postulado conocido el principio de conservació¡tde la carga (1.42) resulta:

g -., -+(div B) :+ div B = C¡0 r '

¿iv ror II = cliv J + div,*,

es decir:

Q = c l i v J * 1 ( c l i v DDr

y teniendo en cuenta la ley de conseruación de la

o - * + * ( d i v D )

) ( 1 . 5 3 )

carga, se obtiene:

(1 . 52 )

(1 .54 )

(1 .5s)

( 1 .56)

donde C2 representa una constante independiente del tiempo. la experienciademuestra que C2 es igual a cero y que el desplazamiento eléctrico D queda

unívocamente determinado por la distribución de cargas pu.

El lector puede comprobar que admitiendo como postuladosfunda¡¡ lentales la l r , 2 'y 4o ecuación de Maxwel l , no hace tal ta tencr encuenta como ley fundamental la ecuución de continuidad de la carga, ya qtte tleheclro está irnplícita en las ecuaciones de Maxwell. Este hecho es evirlente sitomamos diveigencias en la cuarta ecuación de Maxwell, ya que se obtie¡tc:

21

E LECI'RO MAG N IINS N,I O Y C I R C U TT()S E L ET--T R ICO.S

cliv rot l [ . t l iv J + divtpldt

es dccir rcsulta:

o - c l i v J + *

( d i v D )

y tcr r iendo en cuenta la l ! ecuación de lv faxwel l : d iv D = pvccuitcit in de continuidacl:

( l . 57 )

( t . s8)

se ob t iene la

( I 5e)S = d i v J + ! \ = r d i v J : -Dr

?p-"Jt

Haciendo un repaso de la situación en que se encuentra el anilisisdcl carrrpo electronragnético, nos encontramos con cuatro ecuaciones deMaxwell de las cuales sólamente la 1,2 y 4 son independientes cuando loscarllpos vnrían con el tiempo. En las tres ecuaciones anteriores queda inrplícitoel principio de conservación de la carga, por lo que est¿l ley no hace faltiri¡rclui¡la. Ahora bien en el enunciado de un problenra electromagnético, puedeno incluirse en general, una especificación completa de las fuentes; confrecuencia, el canrpo se define o se conoce en una región li¡nitada del espacioy el problema es entonces determinar el campo en un punro genéricocualtluiera. Lo anterior significa que no sólamente se deben determinar loscampos D, B, B y H sino también las fuentes J. y pn con rodo ello setiencn entonces seis incógnitas y tres ecuaciones independienres. I)e estenrodo no es posible encontrar una solución única del problema. Se llega conel lo a la conclusión de que para def inir unívocanrente un problemaclectronragnético, es preciso buscar tres nuevos ecuaciones que complententenn las ecuaciones de Maxwell. Llegados a este punto, puede que el lector c¡uededesorientado ante la situación en la que se encuentra. Es f¿ícil dlr salidn a estaincertidunlbre, si analiza¡nos más profundanrente el problema. Si se observanIns ecuacio¡ les de Maxwel l (1.49), vemos que no muestr i ln de un ¡nodoexplícito la dependencia de los campos en función de h consritución físicu delnredio en el que nctúan, lo que es contrario a nuestra experiencil diarin. Deeste tnodo para analizar de un nlodo satisfactorio el problenu electronragnéticose dcberin incluir en las ecuaciones de Maxwell, las reltciones que existenelltre los cilnrpos, en función del medio en que se establezcan. Las ecuacionesnecesarias han sido ya establecidas en el epígraf 'e 1.2 y se desracannuevanrente en el siguiente aparta<.|o.

t .5 C¡\RACTBIIIZ¿\CÍON DIt LOS MEDIOS

[.os nledios f ís icos en los que pueden i lctunr los camposelectronragnét icos, los podernos clasi f icar en: conductores, ais lantes o

2tt

LEYES CENERALES DEL CAT,iK) ELECTROMACNEI1CO

dieléctricos y magnéticos. Si el medio cs lineal, homogérreo e istitro¡ro, sttspropiedades-se prieden caractcrizür de un ¡nodo completo introduciendo tres

conslanles esculares: conductividad o, pernritividatl e, y pcrnrcabiliclacl ¡r. Erre l ep ígra fe 1 .2 , ecuac iones (1 .15) , (1 .21) y (1 .34) se expres i l ro r t lasrclaiioñes entre los campos en los diversos medios, a saber:

eStaS re lac iones So l l las l lecesar ias para comple tarelectrornagnético.

( I . 6 0 )

nuestro t ¡ lode lo

Cuando se tratil cle medios no lineales, entonces J es función dcE, D es función de E y B es función de Il. En el caso de ¡nedios anisótroposJ y B no son paralelos, ni D con E, ni B con Il; en estas circuttstartcils lits

magnitudes escalares o, E y lt, se convierten en matrices de tres filas por tres

columnas: una para cada cada conrponente vectorial,. se dice entollces (lue o'

e y p representan un ente matemitico conocido con el nonrbre de tensor. Ertlos materiales no homogéneos, las propiedades del medio son diferentes etl

los diversos puntos de medio; en este caso los valores de o, € y p sollfunciones de las coclrdenadas espaciales. En este capítulo supondretnos t¡uetrabajamos con medios lineales, homogéneos e isótropos tle tal rnodo que se

supondrá que la caracterización de los ntedios por sus parámetros o, t y ft sotlconstantes escala¡es.

Una vez conocidits las ecuaciones de Maxwcll cuyit intcrprctaciórtfísica se hará en el epígrafe siguiente, se puede ahora profundizar en cl cstudiotle los materiales conductores y dieléctricos, contpletando cl irnrilisis renlizadoeh el epígrafe 1.2.3.

Co¡tsidere¡nos un nraterial (condugtor o dieléctrico) sobre el t¡tle se

coloca una distribución volu¡nétrica de cargn que vale pg en el tienr¡ro t = 0,nuestro problenrr es itveriguar co¡no evoluciona con el tiernpo, el vnlor de lacargr volunrétrica pv(t) . Est¿i claro que si pu varía con el ticnrpo hlbrÍ trnitdensidad de corr ie¡ l te en el ¡nater ial J que deberi curt t¡r l i r c l pr i rrc ipio r lecontinuidad de curgr y la ley dc Ohm:

fu_"Dt

CONDUCI'ORES:DIELECTRICOS:MAGNETICOS:

J = oli A/nr2f )=eE C / rn2D = p II Teslas

2t)

J = o E : d i v J , ( l . f i l )

si e I r¡rateriul es honrogéneo, lineal e isótropo, entonces o cs una canticl;rilconstantc y ( 1.62) se convierre en:

o r r i v E = - + ( r . 6 3 )' J r

ahora bien co¡rociendo la l 'ecuación cle Maxwel l y h relación entrg loscirnlpos I) y Il rcsulta:

o d i v ( Q , = - * = ) g P Y = - a P " ( t . 6 4 )

€ ) t e E r

ccuación diferencial que integratla nos da:- - t

pv = p0 e € C/ nr3 (1.65)

lu ecuación (1.64) represenra la ley de variación de carga volumérrica en ünnredio condt¡ctor o dielécrrico. La solución ( 1.65) nos indica que la densidadde c:ugu volumétrica sigue una ley exponencial, donde p6 representa ladcnsidad de carga inicial en ¡ = 0. Esr¡r densidad inicial se reduce a l/e =l/2,718 = 36,8Vo del valor p0 en un riempo r igual a:

EI.ECi'II()NI,\CN['TISIUO Y CI RCUITOS ELLCTRICOS

d i v ( o t i ) = - ? P Y0r

- - - g -o

segundos

( r . 62 )

( 1 . 6 6 )

a este parámetro r, se [e conoce con el nombre de tiempo de relajación.

Si considera¡nos la si tuación ideal en que se tenga, o = €,

entonces T = 0, se dice entonces t¡ue el mareriat es un conductor perfecro y

teniendo en cuenta (1.65) la densidad de carga volumétr ica pu será igual a

cero. Si se considera el otro c¡rso límite de que o = 0, entonces t= @, se dicecntonces t¡ue el nratcrirles un dieléctrico pertecto y teniendo en cuenta (1.65),

la densidad volumétrica de carga ¡ru serii igual a la inicial pg.

Cunndo se consideri¡n nrateriales reales, como por ejemplo en elcaso de un buen conductor conlo el cobre se tiene:

30

I -EY E' G EN ERA LE,S I)E L CAM K) E LECTROMAC NETICO

o = 5 , 8 . 1 0 7 s / m : € = e = - L ¡ 6 ' e = )o 36n

=) t=?= 1 ,52 .1O- le segundos

y cn el caso de un br¡en dieléctrico como la nrica resulta:

o,, 10-15 S/m ; e, =6 = t = 53052 seg = td,7 ¡orur.

los valores anterio;'es indican que en un material buen conductor el tienrpo derelajación es ¡nuy ;requeño, lo cual indica según ( 1.65) que en un tiempo rnuy

breve, la carga p0 colocada en t = 0, se redistribuye por el material haciendo

su distribución volumétrica de carga nula. Esto quiere decir qtre la citrgavolumétrica ha desaparecido de cualquier punto del interior del material. Si hcürga se conserva, según mantiene el principio de continuidad, la úrticaposiUilidad para la crrga depositada en el ¡naterial, es fluir hacia la stperf rcieüonde se détendrá por el límite de la misma. La explicación física de loanterior es simple: al introducir cargas en el interior del material, estasprovocardn un canrpo eléctrico, que ejcrcerán a su vez unas fuerzas sobre l¡rsóargas que tenderiín a separarse entre sí, cste movimiento es facilitado por loseleótron'es libres del meül conductor y continuará l¡asta que todas las cargitsllca¡rcen la superficic del conductor. De la anterior discusión ta¡¡ltl ié¡¡ sccleduce que ño pueda exist i r campo electrr¡stát ico denlrr¡ de ¡¡¡¡conductor(*).Los electrones se moverin en respuesta a cualquicr ctmpo {lttcpueda c¡uedar residual, hasta que se hayan distribuído de tbrnln tal quc elcilmpo en cualquier punto dentro del conductor sea nulo.

En el caso de un dieléctrico el tiempo de relajación es grande, locual indica según ( 1.65) que al colocar una carga (o distribución de cargas) t'nun dieléctrico, esta carga se podrá considerar a todos los efectos, t¡ttcpermanece en el punto dé emplizamiento. Esto se debe a que un dieléctricotiene una tlaja corrductividad y que por lo tanto lunque apürezca tln cflr¡r[,oeléctrico en el interior, éste no serí suficiente para nlover las carglts, ya qtle üntletinitiva el dieléctrico no posee electrones libres que pennitan la condttcció¡t.

(') Ertu conclusión se refiere a un conductor en electrostática. En clcc¡rodinrimica, es decir, cuando

¡nr e l conductor c i rcula una dcnsid¡d <le corr ientc pcrnrr inente J. c l campo cléctr ico vc¡ t r l r l i

cxprcsarlo por la lcy di: Ohn¡: E = J/o . Cenerrln¡cnlc cofio o cs grantlc, cl cant¡xr ulúclric¡r .'¡t r¡¡¡

co¡¡ductor l lcvandr¡ u¡r¡ cr¡ r r ientc cst¡c ion¡r i ¡ suclc sc¡ pcqucño, pcto no cero. (Vcr c jer t ¡ l ) l ( r ( lc

ap l i cac i r i n l . l ) .

l t

ELECTROMACNETISMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

Esta visión del nrovirliento de nrigración de cargas que se produceen un nutcriul, nos ofiece un modo conveniente de diferelrciaiun conductordc un rislante. Si un nraterial tiene un tiernpo de relajaciólr rnuy corro, lo cualsignifica que una curga libre es exrraordinariamente móvil en é1, se consideraqur: el n¡aterial es conductor; ntientras que si t es muy grande, el ntaterial secornporta conlo un aislante.

I .6 TNTERPRBTACION FISICA DE LAS BCUACIONES DBIVTAXWELL

,. Para comprender el significado físico de las ecuaciones rleMaxwell, es preciso expresarlas en forma integrar o grobar. Recordemos quelas ecuaciones de Maxwell son:

l ) d iv D =P*,

2) ror E = - qBEt

3 ) d i v B= 0

4 ) r o t l l , - a D= J * T ,

conociendo el teorema de ostrogra-dski-Gauss y el de stokes se podránexpresar las ecuaciones anteriores én forma integrai y de este modo poáremosobtener conclusiones sobre su significado físicó. La explicación de cada unade las ecuaciones de Maxwell, se-hará a continuación comenzando con la I y Iy siguiendo con la 4 y 2.

1.6.t ECUACION div D = p . LEy DE GAUSS

Considerenros una zona del espacio, en la que existe unadistribución volumétrica de cargas pv, Que ocupa un volumen v' señalado enla.fig. l-5 por una zona rayada. supóngase ahora que eregimos de un modoarbitrario un volumen.v limitado. pór una supérficie-cerracla s y quiconsidernmos que por ejemplo, contiene a su vez'todo el volumen v' de iasc:ugas. El elemento dS en.esra superficic se considera posirivo hacia afuera yes .perpencliculrr en cadr punio de la superficie.' .si cste volt¡men úa¡bit¡ariamente elegido se enrplea para integrar ia primera ecuación de Maxwellresulta:

( I .67)

=Jo"v

Jo''V

32

D d V , d v ( l . 6 g )

LEYES G EI{ E RALES DEL CAI\I IO E LECTR ONTAG N E].I C()

Fig. 1.5

de acuerdo con el teorema de Ostrogrndski-Gauss, la integral de volunrcn de lnizquierda de la ecuación (1.68) se puede,transfornrar en una integral sobre lasuperficie S que encierra V y es igual ál flujo del carnpo vectorial D quearraviesa la superficie cerrada S, resultando:

ahora bien, la integral de volumen de la derecha de la ecuación anterior es ceropara puntos del volumen V que no pertenezcan a V', ya que fuera de la

distribución de cargas, el valor de la densidtd pv' es cero. Esto significa quela integral de la derecha (1.69) se puede extender al propio volumen de cargasV', y se obtiene:

f o.os = Ior: dvs v

f n.os = Jn", dv's v '

( l . 69)

( 1 . 7 1 )

( r. 70)

la integral de volumen, una vez resuelta, nos dará el valor de la carga totalcontenida en V' y por endc en V (ya que V contiene a V'). Si se consideraarlem¿ís que el medio existente es lineal, homogéneo e isótropo, con un vnlord,: permitividad e, sabemos adernás que se!ún (t.60) se cunrple: f) = e E,e <presión que al sustituir en ( 1.70) nos da:

f u . d st

la-ecuación (1.71) representa la forma integral r le la prinrera ecuación deMaxwell y se conocé conro ley de Causs,

-y nos indi'ca que: el flujo del

campo eléctr ico E que atravies¡ una superf icie cerratla S en u¡rmedio de pcrnrit ividad e es , igual a la carga lotal encerratla por la

3 l

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUMOS ELECTRICOS

superf ic ic, div idida por e. (En el caso dc que el nredio sea el vacío,entonces se deberii sustituir € por su valor en el vacío, Que es e¡).

Observe el lector que si la superñcie arbitrariamente elegida, nohubiera con¡enido el volumen de cargas, el flujo de E, rlarÍa un rJsultadonulo. .Si de orra ¡nanerü, se hubiera elegido la superficie S tre rrl modo querinicnrnenre encerrase una parte de la distribución de cargas, de acuerdo con elrcorerna dc causs, el flujo de E, sería sólanrcnte igual a la parte tle la cargacnccrratlu por S.

. . La ley. cle _G¿russ Ls parricularmente útil para calct¡lar el campoeléctrico de aquellas distribuciones de carga que rienen simetrías espaciaiesdr:tc'nninadas y que penniten conocer a priori Ia fonna de las líneas de Ii y suevolucirin con la disrancia. De este modo, se po<lrii elegir la superficie S deintegr:rción dc la ecuación ( l.7l ) que resulte m¿ís conveniente para calcular elflujo de li.

Si analizamos la ecuación (1.71) se observa t¡ue si la carga Q espositivt, ei flujo del campo eléctrico de e ser posirivo, lb que requiáre i suvez, püra un valor detlnido de E, t¡ue el producto escalar EdS = E ds cos adcbe ser positivo (cr es el ángulo fonnatlo por B y dS).Como el sen¡ido vec-torial de tlS, es saliente a la superficie ccrrada, querrd esto decir que a debeser menor de 90o , lo que.corresponde ü unas líneas de B salientes a la carga.Inversanrente, y ri¡?.onanclo de un motlo un¡ilogo, si la carga Q es negutiva elllujo serií rregativo, lo quc ocuniri, si las líncas tle E entran en la carga.

Si se aplicnn esros resultados a la forma diferencial o local de laley de Gauss o primera ecuación de M¡uwell, se ¡endrá:

d i v D = p v

si p" es positivu. es decir mayor que cero, se tendrá una divergencia de Dposit iva, es decir las l íneas de D y por lo tanto de E salen de las cargasposit ivas, lo r¡ue represenla que Ias cargos posit ivas son ln fuentedc las lí¡reas de campo eléctricr¡. Al conrrario si pu es negativa, el flujode, l) o de E cs ncgativo, y por tnnro las líneas de canrpo eléctrico enran en lascÍrrgi ls negal ivas, de este rnodo las cargas negat ivas s{rn un sumiderode l í ¡reas de cantpo eléctr ico.

I 'JETIPLO DIi , IPLICACION 1.2

Culcular lo intensidml de comíro eléctrico Ii debidet a lr¡s sr.grrientes

LEYES CENERALES DEL CAlvlf0 ELECTROMACNEflCO

distribuciones cle carga, siluulas en el vacío:

u) Umcarga puntwl Q.b) IJnu distribución eslérica de carga de radio ro de densidad volumétricu p,

(cutontbioslmJ ).c) Urut cargu lineal de longüud infinitay densidad p¿(culombioslmetro).

4 Ilna supeficie plana infinita de densidad pg ¡culonúioslmz)

S O L U C T O N

a) Carga puntual Q:

En la fig. 1.6 sc in¡iica la carga Q. Para calcular el campo E tlcbido a la carga,sc clegirá una supcrficie S cn la lcy de Gar¡ss, que sea una esfera en cuyo centro esté la c;rrgrr.La ecuación a aplicar sení;

Por simetría se observa que la com¡nnente dc Ii es solo radial; por otra partesi sc supone que Q es ¡lositiva, H debe ser s¡liente, para que la integral de E sobre S. dc rrr¡rcsulti¡tk¡ ¡xrsitivo, Por oua parte el vulor tle I ll I debe se¡ el mis¡no en odos los puntos rlela cslcra al csmr sc¡mrulos igualnrente del cent¡o donde se ha situado la carga. l..larnantlo a, alvcctor uniü¡rio radial y aplicurdo el teorema de Gauss, se obtiene:

f n .o , = a =) fE.ds = 9; yaque D = Eol ie6

f t r r . Er ) . (a r .c ls ) = *

\ - E = l - E- \ P - / r r

K

Q€ ¡ i lJ;X X.l"{ r

wi;'X't-

- - - ,

- - ' - ; \ ^ i , . : -\ S u p e r f l c i e c e r r a d a 5

F i g . 1 . 6

coll¡o ilr rr = I y al scr Er constantc pue{le sacilrse dc la integral, obtcniendo:

E,=_-lr*e =) li = il¡ lir= itr - ^f;*-

" r 4 ' r Eo 12

,I

- o - ¡ - ¡ - \ \

ELECTROMAGN L-IISMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

si la ciuga Q llcgn a ser ncgativa cl valor dcl camgr scría idóntico al calculatlo aquí. pcro conscr¡tirlo cntrontc al ccntro dc la cargn. llslo intlica que las llncas dc cam¡xr clcctrict¡ salcn dclas cargas posiüvas y entran cn las cargas ncgativas.

b) Distribución esférica:

En la fig. 1.7 sc represcnta esta distribución, cxisliendo en cstc caso dossolucioncs. El campo fuera de la di.st¡ibución (r > re) se obticne por aplicación tlcl tcorcnrarlc Causs a una csl'era concéntricu S ¡ dc rurlio r. Al igual que cn cl caso anlcrior cl canr¡xr cncsur zona quc denominamos El scrá rudial y sc obücne:

\\

E o f e r a S ,t z

t ( r < r o ) ;- lZZ=^rE

z

II

E a f e r a S ,

r t\

It,I

t\\\

f to r .Et ) . (a r .ds)

que ill scr pv cons;;te da:

f f , ¡ ,E2) . (a r .ds)s2

l l ( r > t l i E t = t " E l

Fig . 1 .7

l r t= - l p u r l v =16 ; , €s

4

E . - P " ' : n t : ' - P - v . r o 3t r ' r=m=lT;-7

= I f p r , l u =€, J,

]0 "0

4n 12 dr

para r > r0

4n 12 t l r = Ez .1n 12

Para puntos interiores r la distribucirin (rcro) aplicando Causs a la supcrficiecsférica 52, sc obticne:

* io"(lue resulta:

c ) D i s t r i b u c i r i n l i n e a l :

3(r

Ez =*J par'r < r()

En la f ig. 1.8 sc int l ic i t c.\ul t l istr ibución . La supcrl" ici0 t lc intcgracir in sc

37

LEYES C EN ERALES DEL CAM PO ELE�TROMACNb-NCO

ha elegido como un cilindro de raclio r concéntrico consimeríá, E es radial y de magnilud const¿lnte sobre laAplicando Gauss, se obtiene:

el sistema y rle longitutl /. Porsuperficie tateral tlcl cil indro.

t? ?ó E . d S = l E . d SJ Jl s o

¿onde s represenur ta superficie toral dcl cilindro (larcral + bases) y so es la superficie lateral

dcl cilindro clegido. [a segurula integral dc superficie anterior es abiern porque sobrc las

bascs det cilindi-o el flujo dé E es ceroal ser E perpendicular a rls, y se ha prescinditlo por lo

unto de este término. Operando la ccuación anterior resulua :

, _ P t" - zneor

= - ! - e = t [ p ¿ d l

E q t o é

..Y. ñ , ,D

#W,-Hr-a

r.a

2

a,

I\ tr r )

Fig. 1.8d) Distribución superficial:

En la fig. 1.9 se muestra esra distribución . Se ha const¡uído una superficie dcintegración S en forma de paralelcpípedo rccungular que se exticndc a la mislna distancia ¡a¡nbos lados de la rlistribución. La simetría dcl sistcma requiere que E sca norntal a lasupcrficie a ambos lados de la supcrficie cargada. Sólo se emite tlujo por las caras S t y SZ

dcl paralelcpípedo. Aplicando Gauss se obticnc:r r l l

J ( a , .E , ) . ( a , . ds ) +

J ( -a * .E* ) . ( ' a ' . t l s )= ;

J p , t l s

¡ ¡ t 2 t

llanrando S t y SZ = S, querla:

" - P t"x _ 2€o

e s d e c i n

E = a x P : p a r a t o r r o x > o¿EO

E = - o * i g ; p a r a r o d o x < 0¿Eo

' l

I,t

l a

a

t

,,IIl\

t

t

E L ECTR ()N I,\(; N El] S ÑIO Y C IR C-' UrrOS E T. ECT R ICOS

r Ex x

Fig . 1 .9

I iJI i iTfI .O I)E API.ICACION 1,3

Se dispone de una eslera conductora maciza de radio R sumergidu cn el wtcío. Ios parómetrosdel nutterial de la esfera son : e, p y 6, mientas que los del vacío son : E0 , Iro y60 = 0. En el tienpo | = 0 se corgo la esfera conductara con una densidad volumétrica de

üvga p0 ClmJ. Determinor : a) h densidatl dc corriente J y el campo eléctrico E tanto en elinlerior como en el exterior de la esfera ¿n t = 0 : b) la densidad de corriente J y el campoclét:trico E ktttto en el lnte rior como en el exterior de la esfera paru t > 0 : c) ¿ Cuál ,reró kte-rpresión ¿le lu dcnsid<td de carga superftciul de la esferu (es decir paro r =R ) enlunción deltienpttl

S O L U C I O N

a) Campos en e l l ienrpo I = l ) :

[:n prirncr lrrgar vanros a (lctcrrninar los clrmpos D1¡, EO y J6t = 0. Al lplit ' ir cl tcorcnl¿¡ tlc Glus.s pilra r < R, resultar¿i:

(lcntro y fueru tle la csfcra en

r r D 0 P o rr . 0 = t - i l ¡

3 ,D g . { f i , r } = p t ) 1 n r '

= : ) D o = u r - P # ;

y fx)r consiguicntc la rlcnsitlatl rlc corricntc prcxlucida cn cl intcrior dc la csl'cra scrá:

J r ) = s t . i ¡ = ¿ r " # *

[)c r¡¡r nrorkr aruikrgo, puro I = 0 cn cl cxtcrror dc li¡ cslcra ( al scr nula la conductivi¡lad delv¿¡cir) sc 0lt t icnc:

38

i=-:^t*.""1-'.*-ii"l " z

LEYES CE.N ERALES DEL CAMK) ELECTROMACNMCO

D o . - l n r z = p o 1 " * ' =f )0= t r+ f ; -a r f f } ' . ¡e=0E o = P

Al aplicar la ccuación .!e continuiclad en los puntos ¡nt€riores a la esfera ( rcR ) y de acucnlocon (1.61) rcsul la :

. d Df ; t l r = o = ' t l i v J o

y tcnicndo cn cucnta l: expresión (tc la divcrgencia en coordenadas esféricas rcsulta:

r * t r = o = - i * ( r 2 r o ) = - : P o

¡Je ¡onrtc sc ¿ctluce 'rna cxpresión dc la cvolución de la tlensidad volumétrica dc carga con cl

dcrnpo:. o ,

P v = P o e e

b) Canpos para t > 0:

De acuerdo con el valor anlerior , las exprcsiones de los campos I), E y J en el interior de la

csl'era ( rcR ) paraun t¡empogenórico tt lcbcránscr:

o- - t

o- - t - n - ,

O g O r C t '; . f = r , r T *

= 0 ( ya (luc no hay con(luccitirt tlc

t ) = u , & S " : : n ! ¡ ¡ l , P [ S- ' ¡ 3 3 e

y I)Anr r > R los catilpos serán los ¡nis¡nos que en tcorricnte cn csta zona), es (tcc¡r:

D=i l r { f ; E=} - i l ¡ f f $ : ro=o

c) Dcnsidad de carga superf ic iu l en la esfer¡ :

La carga toti¡l contcnitla cn la esfera cn t = 0 valc:

J "e n = j o R , p 0

la carga anleri¡rr se tnrslarliuá mctliantc la corricntc dc contluccirin, desde cl interior dc la cslirra( rlistr:ibuciri¡ tlc carga voh¡rnúuica ¡ lncia la superlicie ¡lc l¡ ntisnta, donde lic conccr¡uari itllí

cn fomra tlc cuga sgperliciat. La disuibucirin dc carga superlicial sc puule crlcular apliclttdo

cl principio ¿c átnscrvación {c la carga a todo el sistema, tóngase cn cuenü¡ para ello que la

caigu inicrror ¡c la csfer¡ (rcR) cn cl ticnr¡xr t rlel¡e dccrcccr con el tictnpo crr lirr:rtlcxpgrrcrrcial c(n¡o y¡ sc h¡¡ dcrrxlsl¡¡¡dr¡ cn cl apartatto antcrior y sc prxlni exprcs¿rr üsí:

l9

E LECTROIvIACN gn S M() Y CI RC U ffOS E LEC'I"RIC( )S

Q ( r ) = Q o c - o r l t = P t l c ' o t / e

cn conseruencia h dcnsid.ld de crrga supcrficial dc la csfera valdrá:

{ o , v B . d v = f n . o s = 0

.se denonrinil f lujo nritgnético O il:

.10

1"o '

cl lcctor comprobará quc la dcnsidad volumétrica dc carga ticndc a cero a merJida que eltiempo ticntlc a infinito, mientras que la dcnsidarl su¡rcrficial de carga va creciendo con clticrnpo cn forma exponcncial, dc ul modo que cuiurdo cl ücnrpo tiendc a infinito vale:

^ - Qo -Po-&r s - 4 o ¡ 2 -

J

lo quc intlica que cuando I -r - la carga superficial total scrá igual a Q0. En dcfinitiva lo quesuccdc cs quc toda la carga cléctrica Qo gue estaba inicialnlentc disrribuída cn la esfera cnt<xlo su volurncn va emigrando ¡xro a poco hacia la superficie, hasl:t úasladarse torh la cargaa la p:rifcria o contomo cxterno cuando el ticmpo ticnde i¡ infinito.

F.xistc un proccdimicnto mós clcgantc para dcterminar la carga supcrficial basado en laccuación (l. l2l) dcl epfgrafc 1.7 que representa las condiciones de contorno quc debcnculnplir las corn¡xrncntes noru¡alcs dc los vcctores rlcsptazamiento cléctrico cn la l'ronleracnt¡é dos mcdios ( cn nüestro caso: entre la esfbra y cl vacío ) , y así resulh:

Ps=Dvacío-Dcsfe¡a

y que tenicntlo cn cuenut los valorcs obtenidos cn el apartado b) da lugar a:

p s = # t Q o - Q ( t ) l = ¡ s , t - e - 6 t t € ) = S , ' - c - o r / e ¡

r ) s = t { # l , = R f # l r = R = S ( t - c ' o t / e ¡

cxprc.sión quc coincidc con la dcrnostrada antcriormcntc de un modo nrás intuitivo.

1.6.2 HCUACION r l iv l l = 0. Carácter so lenoidal del campo magnét ico.

-. lrrtegrlndo la ecuución anterior, sobre un volulnen V linritatlo porrrrrir superficie cerrada S y aplicando el teorenra de Ostrogadski-Causs seobtiene:

LE,Y T$ C; L,N E ITAL&,S DEL CAM I{ ) T, LEc: I"ROMAG N trI] C(.)

B d s Wlr

d i v B = 0

o = l ( l . 7 l )

( I . 74 )

la unidad SI del flujo nragnético es el Weber, que es un Tesla' m2'

De esre nlodo la ecuación (1J2) indica qtre el flujo ntagrtético

sobre una superficie cerrada es siempre igual a cero' A esta definiciórt se ll

;;;;; ¿";'el nombre ¿e tey de 'conJervaciórr

del flujo nragnético.

nrúi ¿orr" cuenra el lecror, (ue esta ley no significa que. Lo haya.flujo

*rgneri.o sobre alguna pnrte'de la supérficie,_ sitto t¡ue. el. fltrjo snlientc

,esíltante sobre unf sup"rfi"ie cerrada,'arbitrariamente elegida es en total

;rrrl;. i l definitiva el flüjo que entra en la superficie cerrada es igunl al t¡uc

sale de la nrisllla.

Se puede dar unn propiedad equivalente.d.e qgta ley, si se hn

comprendido ei teotentu de Gat¡ss. Recordeinos que si la divergcncia de un

rouriio vectorial es positiva en un-puilo, significa que este punto e s r¡n¿r fuente

de lineas de ese cahrpo vectorial. Al contr¿rio, si la divergenci¡¡ clcrl calrlpovectorial es negativa én un punto, significa que este punto-es. ttn surtlidero detíneas de cam¡io vectorial (aplír¡uesé al cumpo eléctrico E ). De esle ¡uodoconcluimos que si tenemos la ecuación:

indicará que no hay ni fuentes ni sumideros de. campo.rnagnético y_lasl íncas ¿e inOuccidn son siempre cerradas (sin pr incipio ni f in). Esteconcepto se expresa nl¡rtenl¡íticamente diciendo, que li¡ inducción nlagnética es

soteno ida l ( * )

otro nlodo de decir lo mislno. y que el lector rccordarii dc uncurso de Física b¿ísica, es que no se pueden aislar cargas nlagnéticas..Sitenemos un im¿in pennünentey asociantbs el polo norte por ejenlplo, I un tipode carga ntagnética positiva y el polo sur a una carga nragnettc.il llegiltlvü' seobserv-it expérinrenthlntente que-si pnrtimos el intiin no quetlartln aislirdosanrbos poloi, sino que catla trozo resultante tendr¡i los tlos tipos de polos, pornris qüe se intente subdividir el imún para aislar .un polo. aparec.erininclefecriblemente ambos tipos de polos. Las líneas de indtlcción cn tln itl l: inpermanente, van del polo norre al polo sur por fuera del inriin y vuelvelt dcllur tt norte por dentro dcl inriin, lbrmando líneas cerradas. es tlccir

( ' ) Lo pnlahrr solenoi t lc procctJc desuti jo gricgo

"cit los" = fonnl.

( t . 7 2 )

l a co¡ l tb inac i r in dc la p i l labrn l r t ina

.l I

ELECTRONIACN gNSMO Y CIRCTJTK)S ELECTRICOS

solenoidales. La designación del polo nort€ y polo sur, es¡ii de acuerdo con elhecho de c¡ue al suspender u¡r irnán en el cam¡io nragnético ter¡estrc, aquél seorienrarii l¡ucia los polos norte y sur geogrdficos {que corresponden a los¡rolos sur y norte rnagnéricos respectivamenie).

t . 6 . J I |CUACION ro t " ' aDl l - .1 + r ' . L t iY DI i A l f f PERI i - ¡ \ |AXIVEI.L

Si cl desplaza¡niento elécrrico D ¡¡o varÍa con el riempo, laecuaclon se convlene en:

r o t I I = J ( 1 . 7 5 )

sc rrilra tle r¡n¡ expresión vÍlida únicamenie para canlpos es¡dticos y que seconocc con el no¡nbre de ley de Anrpére .Esta ecuación es en cierio hlodoan:ikrga a la ley. de causs. y pernrite-calcular el canrpo rnagnético II que¡rrulucc un¡ corrienre elécrrica (de conducción).

F ig . l . l0

Considere¡nos el esquema de la f ig. l . l0 que representa unalxrbinr (solenoide) de cinco espiias por tas que clircula una corrienre i. se haelcgido url circuiro cerrado arbitrnrio 1, sobre el t¡ue se apoyi¡ una superf-rcieabierta s (si la curvil y es plana, la superficie abierta puede ser ta propiaencerrada por la curva). En la fig. l.l0 se nluestran los sentidos vectoriales e¡rln curva y en la superficie que están relacionados entre sí de acuerdo con laregla de la mano derecha: si se toma la ct¡rva abrazándola con la mano derecha,de tal ¡uodo que el sentido de los dedos sigu la dirección del diferencial tlelongitud asignado l ln curva, el diferencial de la superficie tendri el sentidovectorial hacia el(lue ilpunre elrledo pulgar. Si inregramos la ecuación (1.75)sobre la superticie S elegida se obriene:

I r t i r

I-EYES CENERALES DEI" CAM[{) ETJCTROMACNENCO

I I ds ds ( 1 .76)

el segunclo micmbro de la ecuación anterior re-presenta de acuerdo con ( I '8) lacorrñntc roral que afraviesa la superficie S. La fig. _1.10 muestra tlue lacorriente i en c'ada esfiira entra por el lado negativo S y salen por el ladopositivo; por ello ln corricnte total qtte a¡raviesa S es 5i, o en general si cxiste¡lÑ espirriique atraviesen la superfióie el valorserá Ni. El primernrienrbro de( 1.76) se püede convertir en uña integral curvilínea, si se aplica el teorema de

Stokes, sobre la curva T en la que se apoya la superficie. De este modo (1.76)

se transfonna en:

= N i (1 .77)

que representa la ley de Ampére el.fon.nlintegrnl, y que l:.define en lossiguientes términos : la ciiculación del canrpo mngnético solrre un

canl ino cerrado 1 es igrral a la corr iente total que atraviesacualr¡uier superficie apoyada en la curva. La ley de Amp.ére es Intrytitil pára determinar el campb magnético Il y como consecuencia la inducción

magnética B (a través de la relación ll = F tI) producida por una corricnlc,

cuanclo cxiste una curva cerrada y alrededor de la corriente, en la c¡tre lamagnitud Il es constante en toda la curva.

El producto Ni se denomina fuerz¡ ma-gnetomotriz (f.nr.nr.) yse ¡nide en arnperivueltas (o amperios-vtlelta). ESto da como resultado pitrit lituni¿ad de campo magnético II el amperivuelta/¡netro (A-v/m). Estas u¡tirl¿dusson cle gran iirterés-prúctico en el estudio, diseñ^o y comportilnrientil rledispositivos electromecdnicos como relés, transformadores, y mát¡uinnseléctricas.

En el caso de que el desplazamiento eléctrico varíe con el tientpo,la ley de Arnpére debe arnpliarse para tener en cuenli¡ la contribución que hace

ll campo magnérico la densidad de corriente de desplnzamiento J¿= )l)/Dt.

F.n este caso se tiene la cuarta ecr¡ación de Maxwell en su fbrma mis general:

=Jr{ - '

f u.,nT

ror II = J * al)

Dt( l . 7 t t )

recrrérdese t¡ue el ¡lr¡evo sumando (lue ilpArece en el Segundo. mienlbro tle( l.7tt) cs l¡r cbrrtribucitin tle lvt¿rxwcll panr ltitccr contptr¡ible lu ¡lrirttitivir lcy rlc

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

Anrpdre con el principio de continuidatl de la cargÍr. Las di¡nensiones de lnrlerivuda del desplazamiento es de densidad corriente y se rnide en A/m2. Decste nrodo (1.78) contiene dos densidades de comiente: l) J clue es ladensidatl de corriente de conducción, igual según la ley de Ohm a oE y 2) J¿(pre es la densidad de corriente de desplazamiento, y que es igual a 0Dl0t .

Si se tiene una zona del espacio con ambos tipos de corriente, alintegrar (1.78) sobre una superficie S abierta apoyada sobre una curva yynplicnnrlo el teorema de Stokes, obtenemos:

f l l . d t = t + t ¿

Yclondc :

( t .g0)

y la corricnte totnl

Seobservasinembargo,queq!-eIcampoMecuencias,(lue es el cÍunpo de la Electrotecnia, l@rnellQ,t (lue l¡I I9 t ( lue l i t sdens idadesdecor r ien te(deconducc ión f f i t I l c to res .Cónsidéiese por ejemplo el caso tle un'conduc el cobre cuyosp¿u¿imetros son:

t = 8 0 ; [ f = p 0 ] ; O = 5 , 8 . l 0 7 S / m

ill que se rplica un carnpo eléctrico sinusoidal:

[ = E n ¡ c o s ú ) t VAn

donde to expresa la pulsnción de la señal en radianes/seg y que es igual a 2nf,sientJo f la fiecuencia en hertzios. Las densidades de corriente de conduccióny clesplaznnriento ser:in respectivamente:

( r .7e)

_ f f a DI = J J r l s ; t ¿ = J * d t; d r

cxpresan respcctivnntente ; corriente totÍll cte condrrcción,de desplazanriento que atraviesan la superficie S.

La ecuación (1.79) es una ampliación de ley de Anrpére (1.77)cua¡rdo existen campos eléctricos variables. Quanto-m¡ís¡ApidameAtefe.ffe-g.l_c.rimpcrlantrrrriliyirr será l*corrientillgjglplazamiento, que pgdrá contribuir¿g-gge nto.lo a un nrayo.

-l tl

J = O f = O E , n c o s ( l ) t

45

LEYES GENEMLES DEL CAlvll0 EI-ECTROMAGNEIICO

¡ o = P = t o * - - E o o , E ¡ ¡ s e n . o tdr dl

de este modo el cociente de nragnitudes será:

l J l o- = E = o -l Jd l o l t Zn fe

si se considera una señal de corriente ulr.l,to de 50hz (t1ue es la erttplendr etrEspaña) resultará un cociente:

o 5 ,8 . I 07 = 2 .09 . lQ t62 r f e g 2n 50.10 '9 B6n

lo t¡ue demuestra que lJ l>> lJ¿ l. Iry!-gqqjÚfg¿@Ilt'

.!-.o"¡rnte¡ntt¡ot

l¡s valores anteriores nos de¡truestran entonces, que pilrn cllculnrlos campos magnéticos producidos por corrientes eléctricas en conductor"es, !epuede_de¡p¡gqiar con buen criterio la corriente tle desplazanliet-tlo' De ahí quc aio I ufl¿áEste te itñe

-em pléar¡-Irle y df ñm-id¿?t ( l : 7 i t ¿brilod o ri gor p e se

a que se utilicen campos variables con el tiempo.

pafámetrosE 99ll_o. pgr --eiglpl.qJs-nig cuyosson:t r = 6 ; P = l r o g - l0 - l5 S /n l

el cociente I I | | | J¿ | para unafrecuencia de 50 FIz es iguitl it:

: l J f o l 0 - l5 = s. l0 - I= =I J ¿ | 2 n f E 2 n 5 0 . l O - e , 6 1 3 6 n

lo que indica que cn la mica y e!! gg¡p-rgl-e.n.les dieléctricos, ltcorrientc tlcdesplazamiento es.rnuy_lgp.e¡to..,r-g lq d9.9.9[d-u-c9ig¡. De ahÍ que para calcularcampos magnéticos en- diéléctr icos, tengamos el c¡rso opuesto al deconductores. Ahora sólame_ntg-.i¡tfl-uir¿i..En el ciilculo-la. -cprriente rJe-desplazamiento. En la pníctica este ccso es el que se da por ejenrplo dentro dcun condensador. De todos modos, está clilro, que en lu realidad, la producciónde campos nragnéticos se realiza con bobinas anolladas sobre nrrterialesferromagnéticos, en las que debido al nretal conductor de las bobinas,sóla¡nente se tiene en cuenta en el c¿ilculo, la corriente de conducción en lasbobinas, despreciúndose co¡'llo se ha denrcstrado antes la corricnte dedesplazarniento.

EI.ECTR()MACNTJTISM0 Y CIRCUITOS ELECTRICOS

EltittPLo Dú,. }u,t.tc,lctoN 1.1

Detenniutr lu inducción en el interiory en el exterior dc un conductor rccto delongittut infinitu con sección circular de radio a. Lu corricnte total que lleva el conductor esde I amperios y se distribuye uniformemente por la sección transvertal dcl conductor. Elca,t.luctor y cl medio tienen permeabilidad po.

S O L U C I O N

Iin la figurl l. I I a se muesra el conduclor t¡ue hemos oricnrado en cl cjc z .El problcnrl cs sinrplc dcbido a la'simc¡ría cilíndrica y ¡nr ello se puctle utilizar con sen-cillcz la lcy dc Anr¡rcrc. [,[ campo nragnético ll y la inducción l] lonnuán líncas cenadas enfo¡ rnir dc circunlcrencias con eje dc si¡ncuía el del ejc propio conductor. Dc este modo l] cstlngencial y su magnilud cs consüante en una misnla circunfcrcncia. ya quc srs puntos cstárrtulos igualnrentc scparatlos dcl conduclor. l'cnicndo cn cuenm qüe lflnto cn cl inlcrior comocn cl extcrit¡r rlcl cr¡nrluctor la pcnrtcabilidad es ¡ro, la lcy de Anr¡rcrc ( 1.77) nos dará:

I

+ R . d l = t t o iJ

Y

L r n e a d e c n $ p o

m a g n é t i c o .

S e n t i d o d e l a

c o r r i e n t e .

F i g . l . l I

cs rlccir:

crsor o vectorI

ó l | r . d l =J I

T¡cxter ior , cnci

t lortdc a6 cxprcsa el v

I,EYES GEI.{ERATES DEL CA}IT{) EUTTROMACNETICO

¿onde y rcpresenra la curva de integración. Para calcular la inducción fuera dcl conductor' se

clcgirá'el rccinro 1¡ mostrado en tf tig. l.l I a, quc cs una circunferencia de radio r¡ >a' I)c

un nrodo anllogo, para cl cálculo de la inducción en el interior del conductor, se lomará tl¡l

recinto circunfórencial 12 < a. La corrienlc i en la ccuación última, expresará la conientc

toral que auaviesa cualquier super[icic que se apoye en las circunfere¡rcias anteriores, crt

nanicülar los propios círiulos que encierran aquéllas. Si el scn¡ido de rccorrido en las curvas

cs el indica46i cl ientirlo ¡nsiúvo de las superñcies irá en el eje z, que coincide con el dc l¿s

corrientcs. AsÍ se tendró:

a) Exterior del conduclor

En cste caso sc tienc:l l ¡ = a t B q t ; d l = a 4 r ¡ d $

ya que el c i rcui to Yltncxlo rcsulta:

unitario tiangcncial. Al aplicar la ley dc Am¡lüre sc ticnc:(f

ltgr . rr dS = 2r r¡Ror = lto I

Yrefra toda ta corricnte I que llcva el conduclor. l)c cstc

n - P o l

r = a o B o r = a o i ñ ; r l > a

b) Inlerior del conduclor

El cálculo 4e la integral cs similar al anterior, sin embargo la corricrttc qrtc

alrraza cl círculo lirnitado flor y2 ya no es la total l. Si la corriente sc distribrryc u¡riltlrnlc'

r¡rcnte c¡r la sección ransversal, la {cnsi{ad rlc corriente o co¡rienw por unidad dc srr¡rr:rlicicvaklni:

co¡no cl radio tle T2 es 12 (siendo 12 S.a), la corriente otal que atraviesa cl círculo dc rldio rr

seni:¡ t j

i = l z t t r 2 2 = 1 4 ¡ 2 1

y de estc mcxlo. la lcy de Am¡Érc nos da:

r - - . 1t' - ,tIo2

?n r2Boz = lro t ? l2 ra '

Il2 - aq Boz - a6 -Lr-0J3,! ; 1 2 s a

Iln lu l ' ig. I l l l sc ntucstra la rcgla dc la mano t lcrccha t lc Ampcro t luc Pci l l l l ¡c

, 17

ELECI ROMACNETIStyIO Y CIRCUITOS ELtgtR¡CoS

tlcli¡rir cl scntido conccio dc lus líncas de campo rnagnéúco. Al tonlar cl conductor con esurt¡r¡¡no, ¡lc t¡rl fornr¡ que cl dcrlo pulgar scflalc sl scntido tlc lu corricntci cntoncc$ los dcmdsdcrkrs i¡ttlicarlln cl sentido dc las lfnc¡s dc canrpo magnético. El lcctor comprobará laarlecuación dc esu regla prácüca física, con la ¡natcmática rJe orienución dcl reconido de lacurvi! con la supcrficie (...cfectivanrcntc cs lo nrismo).

ITJEItIPLO DE APLICACION 1.5: DEFINICION DE A^IPERIO

Lafig. t.12 mue stra tlos conductoresfiliformes (muy clelgados) paralelos quellevan corricntes I ! e 12 cn el misnw sentido, La longitud del conductor 2 vale L y elconductor I se considera indclinido. Si la separación entre conductores es D (D<<L).Crtlculur la fuerza a que ie veró sometido eI conductor 2, uplicando Iu ley de Laplace(ecuación 1.28).

F ig . l . 12

soLUcroN

De acuerdo con cl ejcmplo dc aplicación 1.4, si sc aplica la ley de Amp0rc alconrJuct<rr I, se pucde calcular la inrlucción B quc produce el conductor a una rlistancia D desu cjc, rcsulhndo ser

^ po l ro =16

cl scntido vectorial de B, en los puntos correspondicntcs al contluctor 2 es cntranle al planodcl papcl y pcrpcndicular al mismo. Como los hilos son paralclos, la intlucción que producccl conductor I en todos los puntos dcl contluctor 2 cs conslante, dc tal modo que al aplicar lalcy rlc Laplace al conductor 2 se obticnc:

F = I z J , r r r * B = t = t # o *

cl serrtido vectorial ¿c esn fucrlta sc intlica cn la fig. l.l2 y es rlc atracción. Si se consideral¡ = 12 - I amperio, L= I metro. D = I mctro, resultaría una fucrza:

unF =

ir- = 2'lo'/ Ncwton

48

, I

t(\ \ r

LEYLS GENERALES DEL CAMID Et^ECll{OtvlACNEllCO

dc cste rcsultado sc desprcnde la rlefinición dc um¡rcrio: corrienle que.debe circullr

simulti incrtncntG For dos hilos purrtlelos, separldos I nt tn el v¡cio, p¡tra

producir unr Juerza de !.10'? N por metro de longltud'

Nota práctica:

l) En la fabricación de matcrial elect¡ico, cs nccesario tener cn cucnta las ftterz.:rs t¡ue

nucden ácsanollarsc cn caso clc cortocircuitos. sobrc todo si la rlisurncia cntrc c0ntlucttlrcs cs

l;;;;; .otno .r lrecuenrc cn cl caso de las cajas blinrJadas rle baja tcnsirin (B'1"). Por

Iotisiguiente, dcbe calcularsc la disuncia ent¡e los puntos de.sujeción rlc estas banus' su

seccié¡r y su motnento de inercia. Se pucdC cOnsiderur a esns barras como vigas apoyatlit-s

cargadas uniformcmentc y, por consiguientc, so¡nctidas a flcxión'

Las fuerzas elcctrodinánricas cjerccn igualmcntc una acción sobrc los intenuptorcs,

scccionadores y cortacircuitos dc cariuchos fusibles quc, cn caso dc cortocircuito puctlcn

abrirse y cort¡r el circuito de for¡na intcmpcstiva.

2) l-as bobinas dc BT rte los trnnsfornradorcs dc potencia son- conslrttí¡las

[rccuenónrcnte por conductorcs rcctangularcs dc cobrc ( pletinas dc cobre )' En cl pcríotlo

ransirorio tle corrocircuiro sc pucdcn pio¡lucir fucrzas cnormcs cnue las lubinas ¡xrr lo que

dcbc procedcrsc a una bucn¡¡ tijación dc las mismas prra resistir cstos csfucrzos.

EJ'iMPI.O DE ii|I 'LICACION I.ó

En ta lig. Ll3 se nluestra un toroide tte sección recutng,ular de pcrnrcubilitltttl

Uo, que lleva arrollatlo un devanado uniformemente distribuítlo con N espiras recorri<Ias ¡xtr

unn corrienre l. Calcular la inúrcción magnética para puntos r<a: a<r<b: r>b'

C o r r i e n t e

s a l l e n t e

a l p l a n o d e

I a p ó g i n a

II

h,Corr ien tcen t ran tea l p l a n o d e

l a p á g i n a .

F i g , l . l 3

so l ,uc l oN

Lu sirncuíi l r lcl ¡rroblcrtt4 f tos indicit ( luc

"lg

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUTTOS EI-EL-TR¡C()S

ti¡r,o de rocinro cs el quc sc eligini para inlegñu la ley dc Am¡rérc.

Si se considcr¡ un camino y¡ circular de radio a<r¡<b, con el senrido dercconido n¡osrrado en la ligura, enlonccs cl ds, scrá saliente a la pógina y las conicntesinte¡iores a Tl ser.in p<tsitivas, de este n¡odo sc obúcne:

f o t = z r t t B s = ¡ o N I

cs dccir: Jr

u o N ll l = ¡ ¡ 0

* " I a < r ¡ < b

Para punros r < a, la inducción será cero ya que el rccinro y2 no conlicnccorrienles cn su inlerior. De un nrodo análogo para r >b, la inducción nmbién scrá cero puescl rccinto 1l conliene una coricnte total +NI - Nl = 0; (+NI son las corricntcs positivasqucvan p,or la partc intcrior rlcl solcnoidc y - NI son las corrienres negalivas quc van por la¡ranc cxtcrior dcl solenoitlc).

l .ó.{ t iCUACroN rot E = i+ LEy DE FARADAY.

Si la inducción magnética no varía con respecto al tiempo, elsegundo mie¡nbro de la ecuación anterior es igual a cero, es decir:

r o t E = 0

Se rrara de una ecuación vrílida para campos estáticos y que nosindica tlue el campo E es irrotncional. Como sabemos de c¡ílculo vectorial, elrolacional de un gradiente es siempre igual a cero; es posible por elloide ntificar el campo E como e I gradiente de una función e scalar V que sedenonrina potencit l o lensión eléctr ica:

E = - g r a d v

( I . 8 I )

( 1 . 8 2 )

la unidad SI del potencial escalar V es el voltio. La razón para incluir el signonrcnos cn ( l . t i2) se verá luego.

De la ecunción (1.81) se puede obtener una forma integral ,integrando cl rot E sobre una superficie abierta S que se apoye sobre unacurva ynrbitrarin, y aplicando el teorema de Stokes. En la fig. Ll4 se

expresiln los sentidos vectoriales en la curva T y en la superficie queest¿in rclaciorrados enre sí de ¡rcuerdo con la regla de la mano derech¡r.

50

4/1lr-, d- -/..: --/- - - ../'cñ i -Yux

I-EYES C ENERALES DEL CAtvl K) EI^ECI-ROMAGNETICO

Fig, l . l4

Como sabemos el teorema de Stokes convierte una integral tlt:superficie en una integralcurvilínea. Al integrar (1.81) sobre la superficic.S tlcIn hg. I 14, y aplicar el teorema de Stokes resulta:

Jro t t i . ds = f n . d l = 0 (1. tt3)

( I .84)

s 1la integral curvilínea indica que la circulación del campo eléctrico sobre u¡racurva óerrada es nula. Es decir el campo elecrostático es conservativrl. l)ltritcomprende r mejor este concepto, consideremos e I circuito de la f,tg. -1.15, qrrenruestra un recinto atravesado por unas líneaS de campo elécnico. Si tene¡nosunfl carga q en el punto P, de acuerdo con (1.5) actuarú sobre ella tlna fttcrz¿tclectrostdtiba <¡E,-siendo E el valor del campo en el punto P. Consiclercrrxrstlos puntos Pt y PZ cualesquiera del recinto. El trabajo por unidad de c;trgar¡ue tendrían que realizar las fuerzas e léctricas productoras del carnpo Ii ¡rararnovcr la carga q entre P¡ y P2 scría:

P2

w = f n . r , v(l

/'

obsérvese que en In ecuación anterior, no se especihca el camino para ir dcstlePr Y Pz. Va¡nos t de¡nostrar que el trabajo iln¡erior es independie¡rte tlclc:tnrino scguiclo ¡lor h carga ptra ir de P¡ y Pr. Consideremos para cllo los

dos carninos "lt y ̂ fz mostrados en la hg. 1.15. El trabajo por unidad de cargit

que renlizarían las fuerzas del campo para ir desde P¡ y Pr por el camino y¡ y

volver de P1 y P¡ por el camino 12, formando un recorrido cenado serÍa deacuerdo con (1 .83) y (1 .84) :

5 l

= 0 ( t . t ts)

t + l z

campo pírra rnover la cargaes el signif icaclo de campo

ELECTROIVIAGN gnSMO Y ClRcUIros El-ECfRlCoS

trs (lccir el trabajo realizado por las fuerzas delrurrid¡rcl en un circuito cerrado es cero. Este(:onscliltivo. De la ecuación anterior se deduce:

LI' u,],, + LI' u'],, = [r' o,],

[0,, I lot Il J r . d r | = l J o . u ' ILp,, Jr, Ln Jr,

b E i

\ e E

( 1 . 8 6 )

( I . gg )

P l

comparantlo los términos primero y tercerode (1.86) y teniendo en cuenta(1.84), se deduce que el trabajo es el ¡nismo por el camino Tt Que por el

P2. Si se t iene en cuentaen función del potencial

= Vl Y2 (1.87)

c:ilrnino T,Z o por otro cualquiera que una P1 connhoru ( 1 .82) y ( 1.84) podrenlos calcular el trabajoescalirr V, y así resulta:

P2 P2 P2Y = f n . d t = - f g r a d v . d t = - | . d vq J J J

P1 P1 P¡

la ex¡rresión anterior se puede esc-ribir:

P 2 2

= J E d ¡ = J E d rP r I

c a m i n o J i

r

/ :F ig , l . l 5

52

v, -v t volt ios

cons ideradt ls .

LEYES G EN E RALES DE L CATVI I {) E LECTROI!'TAC N ETI C O

que expresa la difere¡rcia tle potencial entre dos puntos Pt y PZ co¡lro el

riauajl rcalizodo por las fuerzas del cantpo poru rrlover h cnrga

unidad entre P1 Y P2.

La ecuación ( l '88) permite def inir potenciales absolutos

tomando como referencia de potenciales uno de los puntos. A. eqte respecto

i,.u q"r indica¡ que al esrudiailos canrpos eléctricos.eir las.proxinlirlades de la

lJó.}ñó¡i G""tüi, se toma como potencial ruilo el de laTicrra. Al investigrr

;;;i i;;;r g.n"roi.r, cuando lai cargas se hallan en und zonct finita dcl

ii loi¡i, it mds cd¡nodo considerar que el potencial es nulo en el

¡rií¡ñ¡to,'in¿icando con este nombre una zona alejada infinitarnente de las

;;t; Éor consiguiente si en la ecuación (1.88) se fija el valor V2=0 en utt

pun-to P2 = p = oo, seobtendrá el potencial absoluto V = Vl erl Pl = r :

V

lo que signi f ica quevolt ios) representapara nt0ver lai e fe renc ia ( * ) ,

R o o

t f= l n d l = l E . d t

J JÍ r

el potencial absoluto V enel t rabajo real izado Porca rga un ¡d ad en t re

( l . 8e )

un punto (c¡ue se tr l ide el llas fuerz.as dcl ci l t f lpr)ese pu ¡ l t 0 y e l de

Nota práctica: Para que tenga el lector una idea m¡ís concrcta de lo que signilica el voltio

s" puilen dar las siguientcs citras: ku pilas galvánicas cn la trrayoría tlc los casos Seneratruni tcnsión del orden de l,5V; el acu¡núhdorde plomo pro<luce una tcnsión dc ccrca de 2V

¡nr celda (como hay seis en serie, resulu un valor total tle l2V); los t¡enes mcuopolitanosiuncionan con 600V de conientc conúnua; los fenocaniles españoles funcionan a 3000V de

c.c. La d.d.p, en los rcrminales de un enchufe doméstico existe una tensión dc 220V dc c.a.:los alternadores de una cent¡al eléctrica gcneran tensiones comprcndidas entrc los 30fi)V

$equcnos altemadores de cenualcs hidráulicas ) hasta 30.000V en los turlxlalternadorcs dc lits

cenüabs nucleares. La tensión más elev¡da cn las rcdcs dc A.T' españolas es dc 180.000V'

(t) En algunus rextos cl potcncial ¡trsoluto sc exprcsa talnbién así:

r

v = - f u ¿ lJ

cuyo significado es cl rrabajo lealir-ado por un ugente €rlerno en contra dc las fucrzas dcl

c"mpo p"ra movcr l¡."rg" unidu,t entre cl punto de rcfcrcncia y cl punto dontlc sc dcsc¡ c¡lcular cl

potcncia l . Téngasc en cu"n¡r quc un sgcntc cr terno dcbcrá apl icar una fucrza -qE, (Es dcci tcr¡ntra¡ia a la fucr¿¡ ejercirta por el campo] para ¡ndcr nrovcr la carga unidlrd cnt¡e los dos punlos

5 3

ELECTROivIAGNFilSMO Y CIItCUffOS ELEgt'RtCOs

aun(luc cn Rusia exisE una linca dc 1,2 lnil lones dc volrios (l,2lvlv). Finalmenre un rayotlcsarrolla una lensió¡r que a vcces supcra los l00MV.

. Un aspecro a considerar en la ecuación (l.tt8) es (¡ue si la cargaunidad se nlueve en una dirección perpendicr¡lar al carnpo, no seproduce trabnjo a lo largo de Ja rayectoria, ya que el producro escal¡rr de B pordl serií nulo en todo el recorrido, es decir se cunrplirii:

V l - Y Z =

I

d l = 0 : + V t = V Z ( 1 .90)

tirl trayectoria- se denomina equipolencial y todos los ¡:unros de un campotlue t ienen el ¡nismo potencial , pueden considerarse unidos media¡ i tesuperllcies ec¡uipotenciales. De aquí se deduce una propiedad inrportante delos cnmpos clec¡ros¡ i í r icos que indica que las l íneas r le campó eléctr icodeben ser perpendiculares a las superf ic ies equipotenciates.

Otro aspecro a co¡rsiderar es el sentido vectorial de las líneas decanrpo eléctrico E, respecto a las superficies equipotenciales. Consideremos elcaso nr¡is sirnple de un campo elécrrico unifornrc en el sentido del eje x (t'ig.

F i g . l . l 6

l.l6 a), rlontle se han señalirdo dos superficies equipotenciales Vo para x = 0y V para una abscisa general x. Si consideramos dos puntos Pl y PZ¡renenecientcs a estils superficies, unidos para nroyor sencillez por un caminoquc coincidü cc,n u¡la línca tle canr¡lo eléctrico, de acuerdo con (l.tt8)lacl.d.p. elrtre arnbos puntos scrií;

54

P2,a

I EJ

I)I

b)

LEYES CENERALES DEL CANIPO ELEL'II{OMACNE I]CO

V = E . d l = E x

lo r¡ue significa (lue el campo eléctrico s.e dirige dexle las |trpoq:i:: de muyor

noienciui u lus ie oreno'r piorcnciul,es decir eI catrtpo elécuico se orienta hacir¡i;;-;;;;i"i.i-J..ri"i.nr.r (Vo > V). S¡ se toma conro rel'ercncia dc

Poteñciales Vo = 0 Parü x = 0, resulta:

V = - E x ( 1 . 9 2 )

esra relació¡r muy úti l se ha representado en la f ig. l . l6b. cuandoiónsi¿eramos aos i lunros específ icos de abscisas x¡ t xlr la ecuación (l '92)

nos daría unos pótenciales V¡ = - E xl ; V2 =- E *z'rcstundo y hacienckr

d = x2-x l, obtenemos:

( 1 . 9 3 )

P 2 x

I I i . d t = JP r o

vo

r{ v,-v, v,-v,L ¿ -H

x z - x l d

aunOue esm relación es válida solanrente para campos eléctricos unifonnes, se

;i;;d;;;;piio est¡nrar el canrpo eléctiico entré dos punlgq separados urtalíi;;;;";il,;unáo t" ion*" la'd.d.p. Vr-Ve enre ellos. Si la diferencia depoi"rt.¡uf Vt-Vz es positiva, el campo esil dirigido dc x¡ a. x2, I-si c$'".grii"",

"r,i'diri;ido ;n sentido contr¿,tlo. Este es precisanrente el s.igniñcarloiiii""o ¿"i signo nigatiuJ áe la ecuación ( 1.82). La

-ecuación ( l '93) indica t¡rre

;i;;;trp; el"écrrico"se puecle.expresar en.voltios/metro, quc'es cquivalentc al

ne*tor,/cutonrbio que ya se indicó en el epígrafe l '2'2'

Es instrucrivo que el lector se dé cuenta de la analogía que existe

enrre el .unipo elecrrostárico y el campo.gravitatorio. Ambos canlPos sonconservativoi, lo qu. significá que el iraUa¡o realizado P9'l1s ft¡erzas dclcar¡rDo (o Dor orro ugrnte".*r.*o)'para raslaciar l' carga unidad (rnasa unidarl);;i;;A;;;t,*, ifito J.ptnae á,i tu situación de lolpuntos inicial v.final v,á-¿"i.ríi""iéguido puir ir de un punto a.otro. El potencial electrost¿ítico esrr¡f "g" ii pór.nüiut grivitltorio, riehnido éste cornó la energía potencial qttet ie,¡e"una irasa unid'at l (m=lkg) situada a una cierta altura del plano.t lcr.t.i"".io ipiono de la siperficié tenestre) y que conlo sabemos-es funcitindirecra de eitl altura (E,' j ¡n g h)' Las supcifiiies equipotencialcs' equivulcnetr el t:unrpo graritatoiio a lás superfic.ies.de ig,ual ulura y que son (si seconsicleran pei¡uenas tlistancias) plhnós horizontáles paralelos a la superficic¿-i ii,*¡r. t l,i "npu4ititt equipoiencktles son.perpen¿ticulares a.las líneas de,it,,,jii áiiiir¡ti, tó.¡uc córrésponde a que lls iupcrficies horizontrles (rleiguiil iltur.) son'pcrpirr4icularés a las líñeus de ciunpo gravitatorio (qtte cs

) )

ELECTROMACNENSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

vcrticrl). Al igual que un cilmpo electrostiii ico se dirige de las superticies denrilyor n l¿rs tle rnenor potcncial (sentido de hs potenciulcs decrccientes), setiene c¡ue el canrpo gravitatorio se dirige desde los planos de nrayor nivel a losrle n:enor nivel o ultura (sentido de lru alturas decrecie¡ltes).

Hasta ahora se ha analizado el significado tle la segunda ecuaciónrle lvlaxwell p¡¡rü campos estáticos. En el caso de t¡ue la inducción Il varie conrespecto al tienrpo, se tiene lu ley de Faraday:

In ecuación anterior indica, que ahora cl cirnrpo eléctrico no es irrotacionalconlo ell.el caso estitico, por consiguiente E no es conservrtivo y no se puedec,Kprcsnr conro el gradiente de un potencial escalar. Para expresar (1.94) enfon¡ra integral, se integrariín unlbos térnrinos de la ecuación sobre unasuperl'icie abie¡'ta S apoyada sobre una curva cerrada y y aplicando el teoremade Stokes se obtiene:

f E ."l

ln ecunción nnterior es vál idü parÍ l

un contorno o curva cerrada 1. En principio el que el contorno cerrado 1 seatun circuito real físico (conro una espira de cobre) o imaginario es indiferente.Iin la práctica píra que sea útil el canrpo eléctrico E inducido por la varinciónde B, se enrplearán contomos o circuitos de nraterial conductor. El término del¡rrinrer mienrbro de (1.95) se define como fuerza electromotriz (f.e.m.)

inúrcidtt en el circuito cuyo contorno es y:

dl = - [* ! ot ( l .es)r d t

cualqr t ; superf ic ie S que se apoye sobre

r O t E = - ¿ qEt

e = f E . d lT

( I .94)

v (1. e6)

exprcsión que si se compura con (1.88), vemos t¡ue t iene dimensiones depotencial y por ello se mide tarnbién en voltir¡s. Plra ver el significado físicotle la f.e.nr., he¡nos de recordar que el c¿lnlpo E representa según (1.5) unafuerzr por unidad de carga F/q, esto significa según (1.96) que la f.e.¡n. se¡ruedc escribir en general conlo:

e = { I o t; q

= i f F

s6

dr ( t . e7)

Fig . l . I 7

l n d u c I d ¡

57

LEYES CENERALES DEL CAtvlln ELECTROMACNEflCO

de este modo, la f.e.m. se puecle definir conto lt¡ energía .cedidu ¡x)r tll lg;*;ó no eÍectrostát ico'( integral curvi l ínea) por utt idat l t lc carga

a lo largo del circuito cerrado 1. Para ver el significado del segunrlo

miembro de (1.95) vomo$ n considerar en pr inci¡ l io que el c ircui to y es

estacionario.En este caso se tendrii:

f aB , a f , - d fe = J T t d s = - ; J B d s = i J B d s

i

I iuncntrndo

( l .gtt)

( 1 . 9 9 )

la derivada parcial ha podido salir de la integral al ntantenerse ln superficie

;;J;rdGl'rfoniendo'una continuirlad en B-y sus derivadas parciales )'Porátr. it¿" It dárivada parcial se ha transfomladb en total, ya que la integral de

iuperficie una vez réalizadu, no depentlerú de punto-, es_-decir nos dará urt

;;ñ;;;;r;ilúoirunl.nte función cl'el tiempo pór variar I! con_el tierlpo. El

;é*li ' i lá; l. ¿iréctta de (1.98) representa coino ya se definió en (l'73) cl

fluiomaenético clue atrauiesa la süperficie S. De este ntoclo.y teniendo en

.rÉnti 1f:SSl f 0'.73) se tendri comó expresión de la f.e.m. irrdt¡cida:

doe = E V

esta ecuación es la ley de inducción de Faraday conro él la concibió y que nosáiñi- ia f .u.m. i r¡áucir lo en un circui to estacionario cerrado e.süuár v de sis,no contrar io a la var iación r lel f lu jg nrogltét ico que

oi ior¡éru el i i rcui to respecto r lel t icrnpo. El s igno negat ivo de la

ecuición anterior corresponáe a la llamada ley de Lenz.v-nos dice que la

f.e.m. inducida cuando él circuito sea conductor, tenderd a producir utta

;;i;"i;;".i *irnto que se opondrá at canrbio en el flujo concatenado. por la

espira concluctora. En ia fig. l.l7 se nruestran estas ideus' En la fig' l.l7 n'

la'ináucción magnética v*ir disrninuyendo al atravesar la espira, este ca¡lrbioprouoiatrí una f.i.m. inducida que a su vez,- si- la- espira está cerrada, hará

lircular una corrienie en un seniido tal, que la inducción que ella produzcaB*Ur.,* tienda a oponerse al cambio en la'inducción prinritiva o intluctora. En

el'i i ió?e la fig. t.l7b cotno la B original aúnlentü, el sentido de la corrienteinclucida en la áspira serii contrario al interior para oponÉrse al aunlento cle ll.

B d l ¡n lnu tcndo

lnduc td¡

l - lasta at¡uí, en la expl icación de la ley dc Flraday se hacc¡nsitle r¡do cl clso nrÍs sinrple e in¡rtedinto, estudirndo la f.e.¡n. inducitla entunl espira fija, rtrlvcsldl por un campo mugnético de inducción vuiable. Elvalor tle la l '.c.nl. estrbr cxpresado por la ccuitción ( L98):

" =J-$o' ( r roo)

E L ECTR OIU'\(; N E].I S I\ IO Y CI RC U IT0S E t-EC TR I COS

l u es ta f .e . ¡u . se la conoce con e l nombre de f .e .n t . de acc i t inlr t ¡r .sf t¡r¡ l ¡adora. I - lemos visto quc (1.100) se deducía t l i recfanlente de lascgtrnda ecuación de lvlaxwell:

ABfo t l ! = - ; ;

y (luc se rrrnsfonuaba en l¡r ecunción ( 1.99):

doe= -

. l i -

en cl supuesto de que se considerase fija lit superticie de intcgración, es decirse ha supuesto que la espira donde se induce la f.e.m. perrnanece estacionaria(conviene que el lector retenga estos hechos, y se dé cuenta c¡ue el paso de(1.98) a (1.99) es sólamente vál ido si la espira esta f i ja).

Existe otra forma de generar f.e.m., que no requiere la necesidadde tcner una inducción rnagnética que varíe con el tiempo, como preconiza lasegurrda ecuación de Mlxwell. Se demuestra experimentalmente que aunquell

-no varíe con el tiempo, se puede obtener una f.e.¡n. en una cspira (y

ranrbién en un conductor que ni tan siquiera forme un circuito cerrado),sicrrr¡rre r¡ue elll se n'¡ueva dentro tle la zona cJe acción de la inducciónnngnética.

Para deter¡¡rinar h expresión n¡atemúticn de esta nuevt f.e.nr., hayquc recorclar el concepto genernl de f .e.nr. dcf inido en la ecuación (1.97)cirnro energía ceclidn por el crntpo por unidird de carga. Si se considera querlisponcrnoi de u¡ra espirt conductort (cerrada o no) que se mueve a velocidadu tl-entro de un campo mlgnético cuyn inducción es invariante con el tiempo,en los electrones libres de la cspira, aparecerd según ln ley de Lorentz, unaIuerza rnagnética <Je h lon¡n:

Fu, = q (u x I | ) ( r . l 0 r )

58

LEYES CENERALES DEL CANI I{) ELEgI'RC)IVIACNETICO

la fuerza anterior (que Procede decampo mügnét ico) provocará unconductor, realizándose un tr i tbajo( I . l0l ) corresponde ri a uÍla f.e.nl.:

la conrbi r tac ió¡r : ve loc idad de la espi r ln tov in r ien to de las cargas l ib res de l

por un id ld dc c i t rga , que segúr t ( 1 .97) y

I

. ( l t = f (u x B) d l (1 .102)

Y

f

E . d l + f ( u x B ) d l (1 .106 )

Y

le =

q $ 4 n"f

oue se denonrina f .e.n¡. t le ntovimienlo o de acción velocidacl.ói*i*rente si el circuito no es cerrudo' la integral ( l. 102) será abiertl con .loslímitcs de la integración dcl conductor nlóvil. De este modo la expreslor¡se¡teral de creacié¡¡ de f.e.m., en el caso de que se tenga movinriellto de Il

Espira y var iación de R con el r ienrpo serú la sun'¡a de (1.100) y (1.102) cs

decir:

e = - [ * ¿ r * { ( u x B ) c t l ( l . l o 3 ), r r ,

\que es la su¡na de la f.e.m. ransfornradora y la f.e.m. de nrovinriento.

Es fácil darse cuenra de h validez y cardcter general de (1.103). si

se tiene una carga q que se mueve a velocidad u el¡ uJrfl región donde exis¡enanrbos tipos <tcéanipb E y B,la fuerzu elecuornugnética total F quc-apareccin iróaigu q, medidh por un observador estacionalio serÍa, de acuerdo con laley de Lorentz:

F = 9 ( E + u x B ) ( 1 . 1 0 4 )

Para un observador que se ¡¡roviera con la carga .q, no hay

movimie nto aparente y la fuerza- sobre q puede ser intcrpretada ctlmo la

provocada por un campo elécuico E tle valor:

E ' = E + u x B ( t . 1 0 5 )

(obsérvese que el campo eléctrico anterior es el misnlo que el qtre st. ex¡tresabaen la pr inr 'er l ecuai ión l .49bis y que se obtenía por consi<. lcracio¡ l t :s

relat ivíst icas). De es¡e nrodo si e I c ircui to conductor, de contorno Y y

superficie S se mt¡eve en un cilmpo co¡n[inldo de E y B, de acuerdo con( |.97) daría lugar a una f.e'nr. total:

l re =

(l \

y teniendo en

. d l =

cue¡l ta

f E ' . d l = fY Y( 1.95) resultr t :

59

ELECTROÑIACNEIISIVIO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

" = f E ' . c l = f# . ds + f tu*B) . d t (1 .107)Y s l

t¡ue coincide con lu ecuación ( l. 103) obtenidr co¡no superposición de efectos.l-n ect¡ación rnterior expresa de un nrodo explícito la fbrnra general de la leyrle Faraday, para una espira que se nlueve dentro de un canrpo magnético quev:ría con el t iernpo. En resumen la ecuación (1.107) indica t¡ue existen t loscausas que provocün la aparición de f.e.¡n. en unil espira conductora: una deel las, es debida al cambio del cantpo vector ial B, que da lugar al pr imersunl lndo de (1.107) y representr h f .e.nl . t ransfornradora; la otra, es<lebida al nlovimiento del corltorno de la superficie, que da lugar al segundosunrarrdo de (1.107) y representa la f .e.nr. de n¡ovinr iento y que se¡rroduce aunque la inducción B seu indepencliente del tienrpo. Son f.e.nr.s.distintas cuyo origen es diferente. Debe destacarse tarnbién el hccho que laley de Flraday en la fomra que este genirl experinrcnlitdor lu propuso:

dctre : - - - 3 -

tJt

( :o l l t icne ambos st rmandos de

d s* { '

( 1 . 1 0 7 )

considerenros la espira nróvil 1¡ (t) nrostrada en ln fig. L I 8 a en el tienrpo t.' l 'ar¡lbiér¡ sc señala la superficie S 1 y el cle¡nento ds ¡ .El carlrpo rrragnético enel tiempo t tiene una inducción tl(t). En el tiempo t+At la espira se nlueve unarlistancia uAt. El diferencial de la superficie y la inducción en el tiempo t+At sehan designado: ds2 y B(t+At) respectivamente, y la espira se ha denominado(su contorno) por Tz (t+^t). Durunte el increnlento de tienrpo At la espira habanido el volumen mostrado en la fig. I . l8b.

Apl icando hs reglas de derivación al segunt lo nr ienrbro de laccuación (1. 108) resuln:

( r . r 0 8 )

en su to la l idad . Para c lenros t ra r lo ,

( l . l 0 e )*J t crs = H"*[{r(r+at ),rse

Jttr,xr,, ]

ahora bien el valor de tXt+At) se puede e.\presar en funció¡r de IXt) haciendoun desarrollo en serie de Taylor:

B(t + At ) = Ü(t) - #

At + térnri'os <Je alto orden

(r()

LE,YES CE,NERALES DEL CAJUI'O ELECI'ROIVIACNL I It tI

T r ( t )

f , t

t ) B ( r )

a l b )

F i g . l . l 8

de este nlodo la ecuación ( I . 109) se escribir:

donde B(t) se ha descrito ahora simplenrente como I! '

( I ' I l0)

Ahora bien, debe tenerse en cuenta que debido al carácter

solenoidal de las líneas de inducción, se debe cumplir:

d i v B = O = + J A i v B d v = O * f B . d s = 0 ( l . l l l )

donde I representa la superficle cerrada que tinrira?l volutre-n V. si se aplicala ecuación ( l . l l l ) a l vblumen represeri tudo en lrr f ig. l . l8.b,.entonces, la

rup.tfiCi.E debe iicluir no sóla¡neñte las superficies sf y s:. de lu espira sino

también .iit.u lateral que btrre la espira en el tienrpo At. Obsérvese tambiénque el dslateral es iguaíul producro vec¡orial dl x uAt, cuyo sentido positivo

es satientJa-t¡iiuperncie. De este modo rcsultl:

dr, + # o, . drr) I B.ds, Js t

puede

tJrns2

*J- ds= T: .*

f B . ( d t x u,l

consec uenc ia

f Bcls = o = Ir s 2

el signo menos corres

B. ds2

pondien

B. dsl +

a S t e s

fs ¡te

) A t ( l . l 1 2 )

del sent ido posit ivo

elegido en el recorrido de la curva Y¡, que hace que ds¡ sea entrante a lasuperficie cerrada I y no saliertte co¡llo así lo requiere lir aplicnción de( l : l I 1). La ecuación t t . t t Z) nos l leva a escr ibir la igualthd siguiente:

6r

I " ( t ' o t I

t,EYES CENERALES DEL CAM I)O ELESI'IT0IVIACNE-I'¡CO

f., -9 E. dl

LEY. DB FAR,ADAY

G'"f # t'

F.c .m. l r ¡o t fo rmrc lón F.e .E. mov lmien to F.c .m. lo l ¡ l

Fig . l . l9

En la historia de la Ingcnicríu Eléctrica, han surgido durrnte r¡tilsde cien años, grandes controversias en la aplicación de la ley de Faraday,dando lugar a un sinntimero de paradojas (*). La confusión-procedía de r¡ttcen muchós ejernplos sencillos,

-la aplicación i¡rdiscriminada de uno u otro

sumando de-( l . i l5) que se deben a fenómenos dist intos daba lugar almismo valor de f.e.m.; parecía por consiguiente, que o bien ambos factol'es,eran una expresión altérnativa-de la misma cosa o que uno de ellos eracompletamente general y el otro era únicamente un caso especial. El más cllrtrejeniplo de la fa-lsedad áe estas afirmaciones lo constituye, el gran.rtúmcrc¡ tlt:"inventos" de generadores de c.c. qtte sc han propuesto a lo llrgo de los airos,para funcionar sin escobillas (y que nunca fqncionaron) . Por consiguiente ypara que no queden nrás dudas, eñ general deben entplearse ambos su¡nandosüe la

-expresión (l.l l5), de nl modb quc debe ten€rse muy en c'renta (lue l¡t

f.e.m. ira¡rsformadora y la f.e.nr. de mr¡vimiento son fe¡róntet¡osdist intos y que ninguno de el los ¡ luet le scr deducido del t ¡ t ro.

( t ) E l k :c to r in tc resqdo cn cs tcci tat los en lü b ib l iograf ' Ía, dr¡ndcCu l lw i ch .

tcme, pucdc consul tür los ur t fculos c lc Moon"Spcnccr, y ( l t l l r r t

se nlucstrün ülgunus ¡rüf i ldo¡ ; ¡s cur¡( ¡sas cot t ¡ r ) u l cxpur i t t tc t t to ( l { :

f" . . ( } { u X B ) d l

t

f., -9(u X B) dl

t

6362

J n . , r . 3 -J n .os l = f n . f uxd t )A t ( l . l 13 )S I S ¡ Y

sust i tuye nt lo ( l . l l3) en ( l . I l0) se obt iene:

d f f a B: J l l . t l s = 9 8 . ( u x d l ) * J ñ u r ( l . l l 4 )

s T s

ya (luc al ¡ender At -r 0, ctli¡lcidcn sl = S2 = S, quc es la superficic de laespira. Llevandoel resultado ( l . l l4) a (1.108) resulta:

e = $ 1 t t . . , ,

= - J s o r * f t u x l l ) d l ( l . l l 5 )

r jont le , , nn , .nioto en cuenta u,* n (u x dl) : - ," x B) dl .

La ecuación ( L I l5) demuestra que lt ley general de Faraclay:

doe = - -

dt

contiene en su totalidad los dos tipos de f.e.m, que pueden aparecer en unaespira. En el caso de que el circuito sea estacionlrio y la inducció¡¡ varíe con elticrnpo, de rcuerdo con ( l. I I 5) se cuntpliri:

d ó r J B .c = - : : = - J ; d r ( l . t l 6 )

E L EL-f R ( ) r\ IAC N E]'l S N t( ) Y Cl ltc U n'( )S E LEC!"R ICOS

expresión que coincide con lo ya tlentostrada en (1.98). En el caso dc que elcircui to sen nróvi l y l l inducción sei¡ constanle, lu expresión ( l . l t5) sel¡ar¡stontrarí en:

d O le = =

f ( u x R ) ¿ ld t

Y

en el caso miis general, de que exista velocidad y variación de B con eltienrpo, habrií que apliclr la ecuación ntiís general(l.l l5). En el cuadro de lafig. l.19. sc nluestran es¡as relaciones bÍsicas, que aclaran estos conceptos.

( l . l l 7 )

ELECTROMACNLT¡SMO Y CIRCUIToS ELEC-I'RICOS

I']E\TPLO DE APLICACION 1.7

La I'tg. L2O muestrct una carga eléctrlca puntuul q estacionarta sitúa¿la en unnreüo de permitividul eo. Calculor la diferencia de porcncial entre los puntos P ¡ y P2.

^ " - - \ \, - \a

f t a t - t ' a

í , " Li"t"-"{ \,t:)i.-X

\\

II

I,t

2rl

t z - t \ - - - - /

Fig. 1.20

S O L U C I O N

En el cjcmplo dc aplicacidn n0 1.2 dc estc capítulo, sc demostró quc cl campoclécuico quc produce una crug¡r puntual q a una distancia r rJc su ccnt¡o valc:

E = i l ,. . - ' r r 4 n g o 1 2

La rl.d.p entre Pt y P2 se puedc escribir tlc acuerdo con la fig. l. l6:

( V r - V e ) = ( V r - V l ) + ( V t - V z )

y tenicntlo en cuenl,ÍI (1.88) rcsulta:

cuyos valorcs son:

P2 l'3 - P2

V r - V z = J n . o l = J u . t t j + J n . o tl'l t'l I'3

V t - V ¡ =

tlonde se ha tcnido cn cucnta quc cl camino cntre P¡ y P3 cs un i¡rco tle circunfcrencia dqradio R¡ y quc por consiguientc se cumplc: tll = a0 R¡ dq, Al ser ar perpcndicular a aE, lad.d.p. entre estos puntos es ccro. El rcsultado sc podía haber prcvisto con antclación, y0 quecn este r¡rco dc circunlcrcnciu cl carnpo cs pcrpcndicular al camino y no hará falta ningúnrabajo ncto p¡¡ra mover la carga unidad cntrc cstos puntos.

P3 P3

Jr: . , t t = Ir ,P¡ P1

Q- =, aO Rl d0 = 0r l n e a r o

El valor t lc la otra intcgrul cs cl siguiclt tc:

LEYES CEN ERALES DEL CAM K) ELEfi ROMAGNENCO

P2

V r - V e E f E . d l =P3

v r -ve = 4 * - (

q - - - d l =

4 n e 0 r *

I

R r )

R2

IR ¡

R 2

I a rR ¡

IR t

q

; " .dr :á

cs dccir:

v r - V z = V 3 - u r = # u o , * ü ,

se ha tcnitlo en cuenta en cl clilculo dc ta últi¡na intcgral quc sc cumple ar dl = dr.

ETEMPLO DE API.ICACION T.E

Se dispone de una esfera dieléctrica lweca de radio interior a y exlerior b,cargada con una distribución wlumétricu de carga de dcnsidad pr. Calculor los ctttnpos y

porenciales para puntos : I ) r > b; 2) a < r < b: J ) r < a, La eslera tiene una perntitividacl e y

en los demós puntos la permitividad es eo.

soLUctoN

En la fig. l.2l se muesrra la geomerría del problcma. Como existe sirnctríaesfórica, se pndrán calcular fácilmente los cam¡ns elécricos, aplicando el teorema dc Gat¡ss.Una vez caiculados los campos, se podrán calcular los potenciales por simplc intcgración,lcnicndo en cuenu¡, que pÍ¡ra fxler dcfinir potencialcs absolutos, tomÍremos como rcl-crcnciade potenciales: el infinito: es decir V (r = o) = Q.

- - - - - - - \

t t ' - - -

- - - "

Fig. l .2 l

Para calcular los campos cléctricos, cn las trcs rcgiones, sc ctegirin supcrficicscslóricas concén¡ricas S t, SZ y 53 respectivanrentc. En c¡da una r.le cllas, cl carn¡n cléctricocs cl mismo cn todos los puntos. Al aplicar la lcy de Gauss a csus su¡rcrl'icics se obticnc:

\ \\\III,

I

tl3tf

ELECTROMACNE-NSLIO Y CMCUMOS ELIfI'RICOS

l ) I ¡u ¡ t los ex le r i r ) res . Es fera S 1 c le rad io r>b :

L;r le y dc Causs nos rJice:

f

9 E l , l s =s ¡

tlonde sc puedc escribir:

Il¡ = ar Er ; ds = a¡ ds ; dV = 4nr2 dr

Conro quiera (lue sólo hay cargas entre a y b se obticttc:

b

Er. 4nr2 = 1 [ p, 4nr2,Jr = +ry (rr3 -u3)

E ¡ J ' v 3 g o

dc dcxrrl: w úxlrcc:

E l = a , , h

( b 3 - 4 3 )

2\ Puntos en la esfera d ie léctr ica. Esfera 52 de radio a<r<b:

En este cilso, como la permitividad de la esfera es t, la ley de Gauss nos dani:

l ¡ .-' I p"dvt g r

r l l+ E2ds = '

l p " . lV =l ,

- t t r

puesto (lue sól;Ilente hay cargn entre a y

Al operir se obtiene:

E 2 = a r # ( ' 3 - a 3 )

l ) Punlos en e l in ter ior . l is fera 53 de rndio r< i l :

(-'umo csn eslbra no conticne cargas cn su interior, cl campo en esla zona será cero:

E 3 = oPara el ciilculo tle potencialcs se tcndrá:

I ) Para r>b :

r l: I p" 4nr¿drE J

r . a

LEYES G ENERALE,S DI]L CAM K) ELECTROMACNTNCO

tv r = JÍ f t , n ' - a3 ) r l r

= PrJb3 - a3 )3 e o r

2) Para acrcb :

En la parte exrcrna de la esfera dielérrica, se üene un potencial:

Y 2 - V ¡ ( r = b ) =

& donde se dcdme:

o-V ¡ ( r = b ) = 3 H o 1 u 3 - ¡ 3 ¡

ta 4.cl.p. cnre un punto rtcntro de la csfera dicléctrica y otro situado en su su¡rerficie exlernavale:

I * , z , , r - a 3 ) d r = Q - " [ 9 ' ' ' t i . r - l , l3 e L z

+ a ' ( b Í J

V z ( a < r c b ) = ? t * * . f t i - i , . * # l

cl potencial cn la parte interior de la esfera dieléct¡ica, se obtendrá cspecificando cl valoranterior paro r = a. Resulta:

¡ 3 - a 3 I+ J

e 0 bv z ( r = a ) = i ' t + ' 3 + * ( * - i l

J ) P a r a r < a

Lj¡ d.d.p. enll.e un punro situarlo en cl hueco anterior y ouo siluado en la pancintema dc la est'cra dieléctrica scrá:

¡V r ( r c a ) - V z ( r = a ) =

J t r d r = 0

f

ya que E3 = 0. f)c este nrodo V3 (r < a) = V2 (r = a).

ItJEilPI.0 DE ^PI.ICACION 1.9

La lig. 1,22 muesua una barra conductora que se desliza sobre unas g,uíatnetálicus paralelas, con un movinienlo de oscilución de velocidad tt = ax um cOs An. E¡t ktzorut rle movimienlo de la barra erisrc un cantpo magnético sinusoidal en el sentid¡¡perpendiculor a! plano de tu pú¡gim y entrant¿ u ella y cuya inducción vate: R='arBrrcos cru,Calcular hf .e.n. inducida en el sistema ¡ que nediró el oparato voltimétrico indicailo en l¿figuru.

E LECTROM AG N b-I] S lvf O Y CI RC U ITO.S E L EC-f R ICOS

Fig. r.22

S O L U C I O N

Elegimos en primer lugar el scntido tlc circulación de la cspira fornrada ¡xr elirpilrilto dc lncdida, guías y barra oscilante. Sc ha tomado cn la fig. 1.22 cl sentido anti-Iror'¡uio. listc scntitlo irnponc a ln espira, un vector superficic que va dirigido cn el scntido¡xtsitivo tlcl cjc z. Estos sigrros dcfincn como consecuencia la ¡rolaridad de la f.e.m. inrlucida,r¡ue se ha sc¡lalado en el aparato de medida. (El sentido de circulación en la espira, nos dará elsc¡rrirltl dc circulacién dc la corrientc inducida si se ccrrase cl circuito con una resistencia dcciuga, cn lugar dc colocar el aparato dc medida).

Como quicra que el campo magnético varía con el tiempo y hay movimientotlc unn parte de la espira existinín dos tipos dc f.e.m.: de ransformadora y tle movimiento.

l.a f.c.m. de movimiento valdrá:

,. ?,e m = f ( u X I l ) d l =

J l t r x u m c o s o r ) x ( - & r B n l c o s o r ) J a r a yA

Bn, cos2 tt dy = um B* L cos2 tot

l,¿r f.c.m. riursfbrmadora señi igual a:

cs dccir:

rluc al sust¡tuir los valores:

.a!ldt

nos da:

68

r rJll dsc r = - J a

d s = a ¿ | � , . d x ;

BÍ

e m = J u m

A

Umt r - -

CI

S r E A & 9 ,o a a a aa & a a @

a

= az Bm (l) Sen (r)t ; scn 0)t

LEYES G ENERALES DEL CAM ITC ELECTROI\4ACNE:IICO

x.re r = - J

( a r B * o s e n n ) t ) a r L d x =" b

cs dccin

cr =' Bn, l- u¡¡ sen2 o) t - Brn L b to scn CI) t

La f.e.m. total o resultante, será la sunta de las dos anteriores:

erora l = B* L u r * (cos2 to [ - scn2 o t ) - Bn . Lb o l sen o t

o dc forma equivalcnte:

€ r o t a l = B u r L u , ¡ c o s 2 o t - B m L b a l s e n o t

Esta f.e.nr. sc puede ot)tener dircclarncnte aplicando la lcy de Faratlay:

ctotal = 'f

cl valor dcl flujo que atraviesa la espira es:

t lO = l n O t = I t - t " 8 , n c o s o t ) ( a r L d x ) = - B m L ( x + b ) c o s t o t

J J

s - by susl^ituyendo el valor de ,\ resulta:

< P = - B m L ( * s c n t , l t + b ) c o s t r l t' ( o

dc donde sc obtiene:

e t o r a l = S

= - s m L o s e n o t ( T s e n C I t t + b ) + B n , L u r n c o s 2 t l t

que operando da lugar a:

c to ta l = B rn L u r ¡ cos2 to t ' Bm Lb<o sen o t

que coincirle con la calcularla antes, sumando los tlos tórminos de f.c.m.

E]&:ilIPLO DE API"ICACION I.IO. CORRIENTES DE FOUCAUI.T.

Iln disco circular delgodo de radio a, espesor b y conductividad o, estó colocadoen un co,npo magnético cuya inducción varía co¡t el tiempo B = az B(t), y es perpendicttloral disco ¡1ig. t.2J). Culcular : a) corriente inducido en el disco en unrtlünvnto delgadcrcircuktr dc rodio r y espesor dr. b) potencia disipada en todo el disco.

B , n 0 L ( x + b ) s c n r o t

69

EI-ECTROMACNENS MO Y CIRCUT¡'OS ELEfl'R ICOS

N0'l',1; Se despreciu el cumpo mogn(ítico inducitlo /or lu corrientes.

' ! '

Fig. 1.23

S O L U C I O N

a) Dc acucnlo con la scguntla ecuación de Maxwell:

- . a Br o t r , = - T f

la variación en la inducción magnéúca provocará un carnpo eléct¡ico inducido, que debido ala sinrctría tlc la figura crnsistir¡i cn lÍneas dc E circulares. Si ¡omamos r¡n circuito circulardc ratlio r, como el ¡nosuado en la fig. L23 y con et sentido de circulación señalado, el ds desu¡rerlicie dc la espira fonnada, es¡á orienudo hacia el ejc rle las z ¡nsitivas. Al integrar lascgunrla cc¡lación rlc M¿xwell se obüene:

e = f r i ,rr =l-$1 u' = I# dsY s

l i = ¿ r ó E : ( l l = i l o r d q ' i f

= t r { T U ; d s = o ¿ t l s

t lontlc il,¡ rcprcscntil cl vcctor unitario t¿lngencial, resulta:

e= I t . 2nr = ry nrz

cs (lccir cl v¿rlor (lcl canlg) cléctrico a una di"smncia r dcl eJe (lel disco valtlni:

E = i { E { U ; : r r i = -

la t tcnsit tut l de c{)rr icntc.f , scgún l¿r ley t lc Olrnr, vult lrú:

10

y t()nlílfl(lo:

r ( lB(r)a o I ü

LEYLS GITNERALES DEL CAIV{I'O E,LEL'I'R0MACNE IIUO

J=oE ,= - uo T ' #

que rcprescnta una coniente en un filzunento de cs¡rcsor dr:

d i = J d s t

donde rts¡ cxprcsa cl clcrnento dc superficie ransversal dcl tilamento tle corriertlc

ds¡ = nt b dr. De este ntt¡d,l rcsulLr:

. o b r U n O , t ,tlt= - -T-

ü

els ignon¡cnosanier iors igni | icaque|acorr icntef l r tyeensent idocontrar ioaa4.

b) Rccr¡értlesc {e un cu¡sortc física quc la ¡rotencia disiparta en una rcsislencia R atravcsrt{¡t

por una corriente, i vale iü2 . En el filamento de espira considenda se tendrá una rcsistcnc¡i¡:

^ t 2 r rn = G = o b , l t

ttonrte { reprcsent¿¡ la I rngitud de la espira. De esre modo la potcncia disipada en csn espira

valdrt

. tpr=Rf¿'l t=gF tff 12a,

y la potcncia tourl disipada en el disco seni:

P,.r¡, = i**(*3), u,= fs(#i()

csta potencia disipa{a {cbido a l¿s conientes inducid:¡s, se denomina pérdidas por corrienles

de !'oucaull y .onsfiruyen una Jc tus causas del calcnhmie¡¡to tlcl hierro en las nráquinas

clóctricas.

I iJ l i túPI .O DÚ) API- IC¡TCION l ' I l : DISCO nE rARAI¡AY

Etltu[ig.l.2lsemtlcstrae!generatlordediscodeFarulay,mencionutocnklintroducción hisúrícti tle este ca¡título. Estti constituído por un disc.o cir.culur,de radio u '¡ue

1¡:iru i vn:tocirt td an¡¡ulttr a rultsig. tlentro..de .un cumpo magnétti?,:y tñ:i:'i: constantc qu¿

7s purralelo ul e¡e iá rorcción: Il = oz B. Se disponen unas escobillas que hacen contucto cotl

e l c j ey lape r i f e r i a¿ te ld i scopa rame t l i . r conunvo l t lme ' ro la f . e ,m , i nduc idapo re |il,iíioáoi¿i*¡tLs e! vutor y potai¡tta¿ ¿e la lecturo dcl volúmetro?.

1 l

ELECTROMACNMSNIO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

Fig. 1.24

SOLUCION

Corno quicra que el campo magnético es constante sólanlentc cxistirá f.e.m. detltovimiento. Si se considera la espira fomrada ¡r,or el circuito l-2-34-5- I, la f.e.nr. prtrce.¿crátirriciunentc dc la purte móvil l-2 corres¡rondiente a un radio del disco. De csta lornra seticnc:

r = 6 ( u X r t ) r r lt"

donde 7 se rcpresenüa el circuito cerrado mencionado. Tomando el sentido de circulaciónscr-lalado en la fisura 1.24 resultar¡l:

r t o ) X ( a r B ) J a r t l r = o l 8 o ¡ B a 2r d f =

LEYLS C EN ERALES DEL CATVI I}O H LECTROMAC NETICO

En la f ig. 1.25carga positivo dc valor q. Alfuerza magnéüca:

F = Q (u ¿ X I l ) = q ( a x u ¿ X a , B ) = ( - a y ) q u ¿ B

como consecuencia de esta fuerza, las cargas posidvas son arrastradas hacia el lado negativodcl cje Y, dejando por consiguicnte un exccso dp cargr n€gativt er¡ cl btrtlc conespondicntc aleje rie las Y positivas. La carga seguirá acumulándosc en los bordes hasn que la fucrzaeicctrostática ésubleci¡la por esta separación equilibrc la fuerza magnética que actúa sobre losportadorcs. Se alcanzaná esta condición de equilibrio cu,ando se cuntpla:

Q u ¿ B = q ESi d es la anchu¡a de ta lámina, se obtcndrá una d.d.p. enu,e los tcrlninalcs M y

N de ralor:V M N = V H = E d = u d B d

esta te rsión rle electo Hall ¡rcrmite calcular la velocirlad dc anasue de los p,ortatlorcs de cargasi se .;onoccn d y B. E;riste también la posibilidatl de obtener el número dc portirrtorcs dccarga por unidad de volunrcn n midicndo la corricntc dc la muest¡a: téngue en cucnül paracllo c re si I es la corrientc y S la sc,cción trnnsvcrsal dc la lírnina sc curnplc:

l = J .S = ngu t t s =+ u , t= ; - jT

lo qr : esrá de acucrdo con la nragnitud de la densirlad de conientc dcfinida en ( l. l4). Llevandola vr iocid¿¡d dc arrastre a la ecuación dc la tensión Hall rcsulta:

7 3

Io

2

J[t"I

Fig 1.25

S O L U C I O N

se ha rcpresentado en el origcn dc coortlenadas un portnclor tlen love rssa lave loc idadq¿= l l u¿s9obúenesegún ( l . l 0 l ) una

yil t¡uc la velocidad tangencial u en cada punto dcl radio l-2 es igual a aó rúr. y cl prorluctonrixto (ló x ar) a, es igual a L En la ñ9. 1.24 se mucsra la polarirlad de esra f.e.m.

IiJIiTII,LO DE API.ICACION I.T2: DFECTO IIALL

Considérese una lámina conducbra de tongitud L, onchura d y espesor t.ot ientaia respecb a los ejes x , Y, z tal como se muesrra en la fig L25 . supongamos quepor lo kímina circula una corriente eléctica I dcbida a portalores de carga positivos que senurcstron con velocidad mcdia de arrasrre u¿ en el sentido del eje de las x positivas, Alt¡;licar nn ca,npo magnético ttniforme de inducción B = az B que cubre toda la lómina, sepnvluce conn consecuencia de lufuerza magnética que actúa sobre las cargas nróvilcs, unadesviación de la.s mismas hacla uno de los lados transersales de Ia lámina. Calcular h d.d.p.que oJrorece enrc los terminales M y N, clenominudn ten.sión dc elccto llall V¡¡ .

72

ELECTRONIAGNETIStvIO Y CIRCUIIOS ELECTRICOS

Vrt

y corrro s = t rl , sc puc(lc cxf)rcsar t¿unbién:

¿tlntlc la c¡ntidlrl l/nq sc cotr(xc como cocficicnte dc llall R¡¡ . En consccucncia se observa

r¡rc la rcnsit'ln I llll pucrlc utiliz.arsc para mgdir cl númcro de ¡nrtadorcs dc.carga por unidad devolur¡cn c¡¡ funcitlir rtc rnagnitutlcs fúcilmcntc mcdiblcs. También la última ccrración indicaquc pucdc uriliz¡ulc una mucstra cirlibrada apropiatlirmcntc par-a rne¡lir la inducciÓn B-

lll cfccrq ttall tue dcscubicrto cn l8?9 ¡nr et físico nortcamericano E.C. llall( lg55 - 1929 ). Puede cl lccror denlostrar ficilmcntc que si los portadores de carga sonncgativ¡s ( clcctrones ) la acr¡nrulirción de carga en la lámina es contrariu a la que se muestra

enia fig. l.:S, tu quc daría lugar a un cocficie nle tlall R¡¡ negativo y I una VH negativa. En

dcfinitiva cl signo y nragnilurl dc RH pfoporciona cl signo dc los ponadorcs de carga y su

dcnsiclad ¡r. Fn la mayoría dc los meralcs los ponadores dc carga son elccuones y las

tcnsiones V¡¡ <lbrenirhj concuerdan bastante bicn con los valores calcr¡lados para los melales

r¡ront¡.¡alen¡cs ( Li, Na, Cu, Ag ) donde n cs aproximattamente igual al númcro rle electroncs

ilc vtlencia por ulrirlad dc vc¡h¡nrcn. Sin cmllargo estc ntcxlelo no es válido para mctales como

.t fr*, u¡ y L\,1 y para los semrconrluctores como cl gcrmanio y el silicio. Estas discrepanciasy,,la¡rrcutó putdcn crplicarse con ayuda dc lu física dcl esndo sólido'

1.7 ( ]ONDICIONIiS DE CONTORNO

[-os posrulados bísicos desanollados en.los epígrafes anteriores

sc u¡llican it puñtos ordinarios del espacio, es decir a regioltes donde lits

ruroriic,lirr.les iís,cos del nledio son coñtínuas. Vanros a desarrollar en este

lirii i i i.. las rclaciones cxisrentes entre los cÍ¡mpos electromagnéticos en la

iitp"*ifi.í. de discontint¡idad entre dos medios., Consideremos pilra ello un

lllerlio l, cuyos pnrlin'letros sean il.¡, et Y 6t y un ntedio 2, de parintetros: p.2,

t2 ! 6���������������¡2 ; vunlos i¡ ver Ins relaciones que flpnrecen entre.las componentes

,rl',,iunLs y tangenciales de los campo-s debido n las condiciones de contonro

t¡uc irn¡r,Iic la s-uperficie tle tliscontiiruitJitd cntre a¡nbos nrcdios.

1.7.r COt\ lPONliN' l 'Fls NoRl\ lAl , l is

I R ( l=-_-;n q )

v r r = * T = R * T

[ -us condiciones desc obticnen p()r n¡rl icacii ln de la

f

I

-l ,l

contorn() pitri l las co¡llponentes normüles de I)

l! ecuución ttc Mitxwcll, ctt tbnnu integral:

= Jn"l) tls c l v = a ( l . l l 8 )

o e r - - d s . a r .

t , É t , o r , t L . r ./

tt

. r ' d o 3

' t ' - - - l - -

9"r:-4,"'?r,'tz' l2'.Bz

LEYES CENERALES DEL CAMPO ELECMOMACNEnCO

a un pequeño volt¡men que incluya el contorno entre ambos medios (fig'

1 . 2 6 ) .

REGION I

REGION 2

Fig. 1.26

See l igep i r rae l lo 'un .peque i tovo lumenc i l fndr icocuyas | rasesseencuenrran e¡r cada ,"gi;;;;;ió, i ¿. al¡ura aw, de ral forma que hemos de

obrener la relación entre I)¡ y D2 cuando aw -+ 0. La integral de superficie

;;l;;;;;..riO,i t r . r I 8) pueáe esciibitse como sunra cle res términos:

f D rls = Ju¡ dsl + I ot .ls: + f n, 'Jsl

S S ¡ S r 5 3

SiDesñn i to , la te rcera in tegra l r iendeacerocuandoAW-¡0 'S iel radio del c i l inclro.r ' tuy pequeño, el valor de D es constante en la

supcrficie As, y la cxprcsión ( I ' I l9) puede ponerse:

a,. , As ) + f lu jo l l teral (1.120)

Si l | lnramosQir |acargaposib |eque.puedeencefTnre lvo l t ¡nren,la apliclciórii.'iii r"y i" tl*rr al ciin'tlro proporciona la siguiente igualdrtt:

an ( Dt - D: ) As + flujo luteral = Q

que al dividir ¡lor As y tender ¿\w -r 0 nos dn :

(1 . I l 9 )

d D rJs = I)r i tn As + f)r (-J

1 5

ELECTROMACNEI'IS tvlo Y CI RCUITOS ELECTRICOS

l inr i l ¡ ( Dr

A w - r 0

Dz ) + linr lgtg*lgllt = lim a-As

d w - r 0 Aw *r (l

El valor del cociente del 2s miembro al tender Aw -+ 0 es la

dclrsidad de ciuga superficial ps en el contorno o superficie de separación:

¡ñl im 5 =P,

AsA w - r 0

Ás - r0

nricntras que el 2e ténnino del prinrer mienlbro tenderá a cero, resultando lacondición:

a n ( D t - D z ) = p s : + D n l - D n 2 = P s ( l . l 2 l )

yÍr que an. D expresa la conrponente nonnal de D. La ecuación anteriorexpresa la relación existente entre las componentes nomlales de los veclores l)en la frontera entre dos medios.

Para ver las relaciones existentes entre las componentes normales

de B, se ha de aplicar la relación D = eE en cada nredio, de tal forma que(l.l2l) se convierte en:

an ( er Br - ezBz) - ps (1.122)

Si se aplica un desarrollo aniílogo a la 3! ecuación de Maxwell,div Il= 0. puede obtenerse la relación existente entre los componentes de B yen consecuencia de I{. resultando:

o ¡ ( I l f - I l 2 ) = 0 : + B n t = B n 2

o ¡ ( p r l l r - V z l { z ) - 0 ( 1 . 1 2 3 )

1.7.2 COIl fPONI'N' I 'ES'TANGENCIALES

I-as condiciones de contorno para los componentes tangenciales seolrticnen a ¡rartir de las otras dos ecuaciones de Maxwell, consideremos porejr:rnplo la aplicación de Ia 4r ect¡ación de Maxwell:

J(t

se cumplirii:

t l l 2 = + d l ( a n x a t )

7 7

LEYES C ENEITALES DEL CAM IO ELrcTROIVTAGNETICO

r o t r r = J . *

que en forrna integral es:

I ( r o t t l ) ds = J ro , * l So tutilizrndo el teorema de Stot<ei resultil:

t s

fuor = Jra , + l Su 'Y s s

donde y es el contorno de la superficie abierta S.

Al apl icar ( t .124), al recinto de la f igtrra l '27, dondc sc hlindicado con t¡ el vector unitario tangencial a la superficie.

Fig. l .27

RECTON I.

t , É l , 0 l , B l ' t { l

RECION 2

z , t z , D 2 , B z . t l z

( 1 . 1 2 4 )

srefnpre quc

( l . t 2 s )

se tiene:

I I sea

d a

d r + Jn ,n + f I I d t

q término tenderán a cero,

r b cyII dr = J rr . i l +f I{Y i l b

Al tencler Aw-) 0" el 2q y 4finito. Como quiera adenl¿ís que:

cll ¡ = - ¿ll ( an x at ) I

r la:

$ i l d l = - I I l ( r n^l

( lued¿lndo así :

- l l l ( n n x i t r ) + I I z ( a n x a 1 ) +

ELECITIONIAGNEIISMO Y CIRCUTTOS ELEC'I'R ICOS

Por otr¿r parte el

x ar ) L + I IZ ( an x nr) L { ' () tros tcr¡nir tos

2e rniernbro de ( 1.124) apl icndo al nt isrno recinto

( r . 126)

( r .127)J.f , t , + f Sor = J. a, as + # a, as

S S

otros terml nos JAs aD AsL

donde J . ar . As es la corriente total que atraviesa la superficie. To¡nando

lírnites cumdo Aw+ 0 y L--t 0, resulta:

- I I r ( c ¡ x i r 1 ) + I I 2 ( a ¡ x a 1 ) + 0 = J 5 a ¡ * 0 ( 1 . 1 2 8 )

donde .f, es la <Iensidad de corrientc por me¡ro en la superficie:t A s

¡' = lirn fAw-¡0

Modificando tos prooucfiot,*,n* que aparecen en (1.128) seobtie ne:

a 1 ( n ¡ x l l ¡ - l l 2 x a ¡ - J s ) = 0 ( 1 . 1 2 9 )

como al es cualquier vector paralelo al contorno, la ecuación anterior puedecxprcsnrsc ett general como:

(t¡e exDresa ll relación existente entre las componentes tangenciales de losuect.rres I I. De una fonua sinrillu, si se pirte de la ecuación de Maxwell:

anrotlr = -

T

1 l ¡ x ( l l f - I I Z ) = J s = t I - l t t - [ l r 2 = J s ( 1 . 1 3 0 )

Se l lcglt i t l i t ex[)resiól t :

il¡ x ( tif - IiZ ) = 0 :+

7tt

Ett = Et2 ( r . r 3 l )

' t9

t-EYI:S CLNERAI-LS DEL CAt\ltt) ELtgl'ROlvfAGNEI1CO

oue establece la relación t¡ue existe enne las componentes tangenciales tle los

ian,pos eléctricos en la superlrcic de separación entre dos medios.

En e I caso de que en el contomo no existan cÍugas superficiales nicorrientes, las exprcsiones ( I .l2l ) y ( l. 130) quedariín:

I .7.3 CONDICIONIIS DE CONTORNO PARA MATERIALESDII i I ,TIC'I 'RTCOS Y MACNE'I 'TCOS

En los l¡uenos dielécrricos y materiales magnéticos, no existen nicargas superliciales ni corrientes, por lo que las ecuacioneq de.contortlo t¡uurel¿icionan los canrpos en la supcrficie de separación de dos medios, scrá:

l ¡ ( Dr - DZ ) = 0 =+

¿ r n x ( l l r - l l Z ) = 0 4

Dnl = Dn2

Ht t - H t2

=+ Dnl = Dn2:+ E,t = Er2: : t Bnt o Bn2

:+ Hrt = I{r2

A n . D l = B n . D 2

ax x E¡ = fln x Ii2

an . l l l = f ln . B2

a n x l l l = a ¡ x I I 2

donde I)¡1, Rn incl ican las con"lponentes normales al

expresan las corlrp()netltes tangenciales al nlismo.

( 1 . 1 3 2 )

c o n t o r n o y l l t , l i l

I , 7 . { CONDICIONES DE CON' I 'ORNO EN I }UENOSC 0 N D U C ' T O R I ' S

En el caso de buenos conduclores, de acuerdo con el apartado( 1.5), (en lltectrostiítica) el óampo e¡iel interior del conductor es cero y totlrtia curga est¡i en la superfrcie. Si lrrponemos que el conductor está situado ert e Inlctlio 2, las condicionei de contomo que resultan son:

A n . f ) ¡ = P s& n x E t = 0

a n . I l t = i l f r . l l Z

:=) Dnl = Ps=+ Ert = 0

=+ Bnt = Bn2 ( 1 . 1 3 3 )

an x l l t = Js +an x l I2 =+ I - l ¡ ¡ = Js + Htz

la primera de estas ect¡aciones, permite cnlcular la densidad de citrgasupérficial en un condt¡ctor si se conoce la componente nonnal de l) cn lusupcrficie.

ELECTROMACNENSÑIO Y CIRCUN'OS EI.ECTR]COS

En el c¿tso de conductores perfecttls. al ser o = @, el cnmpo Bcn el interior del conductor es sienrpre nulo üunque existan campos variables,y en consecuencia también son nulos los campos B y II. Las ecuacioneslnteriores se convierten en el caso de campos variables para conductores

¡rerf'ectos en:

( l . 1 3 4 )

ccuar-'iones de gran intportancia para el estudio de la propagación de onrJasclectronragnéticas en conductores perfectos.

EJITMPI.O DE AI'I.ICACION l.I3 : CONDICIONES DIi CON't'ORNO

En kr fig. 1.28 se nuestra la frontcra entre dos medios. El nrcdio I es delúerroco¡ tunapcrñeib i l idadrelat ivapr iguala2.000.Elmedio2csela i re( l t r= l ) .S i l l t= 0,0t Alm coil a¡ = 300, calcular el valor ele Il2l trz.

F ig. 1.28

S O L U C I O N

De acucrdo con las ccuacioncs ( 1.29) sc tendrá:

l n . D l = P s

a ¡ x E ¡ = S

On . B l = ( )

a ¡ x I I ¡ - J s

Bn l = Bn2

l l r t = l { t2

:+ Dnt = Ps= + E t t - Q

: + B n t - Q

:+ FIrt = Js

ttl l l l cos ct1 = ¡r2 l{2 cos cI2

I I t .scr l cr l = t lZ scn ü2

á_\

)' [)or c0nslgulcntc:

It( )

} I f ERRO

F ¡ =F.l¡¡¡

LEYES C ENERALE.S DEL CAM I\C E LECIRO IVI.AG N ETICO

lg91 = 12tg u2 lr l

tte donde se deduce al aplicar valores numéricos:

tgu2=sffi = 2,88 ' l0¿ =r a2 = Q,QlSo

lo que significa que las líncas de campo magnético salen dcl hicrro hacia el aircpie.ii"ornCnt. perpóntticulares a ta superficie rlel hieno . En gcncral la tlirección de B ó H en

.l oir" o en otró nrolio de baja penneabili<tad relaúva pucden tomarse como perpcmlicular a la

fronlEra de un mcdio que tenga una permeabilidad rclativa olta.

El valor de H2 será igual a:

Í12 =

o de otro modo el valor de las inducciones seni:

R ¡ = p t H ¡ = 2 ( X [ . 4 n

8 2 = V Z H Z = 4 f i . 1 0 - 7

l t t r ?t-"t 'cos o )¿ = 0, 01. 1732 = 17,32 AlntV2

l o - 7 . o , o l = 2 , 5 I . l o ' 5 T e . s l a s

l7,32 = 2,17 . l0-5 J 'cs las

H ¡ { ; " , + (

8 l

l . l .

1 . 2 .

l . 3 .

I . r l .

E t- E(]IRON IAG N ETI S lvlO Y C I RC UffOS E l, ECIR lco.s

P R O I T L E I \ I A S

Uri l izando la ley t te Causs, ( l t ecuación de Maxwcl l ) . Calcular la cargaencerilda por un cutlo de 2 m. de lado situado en el oclante positivo de unsistema dc coordcnadas cartesianas, con un vértice colocado cn el origen y lastrt:s arisüir.s (lue partcn del misrno, coincidiendo con los cjcs x, y,z; si cl vcctor

D vafe : a) D = i l r 2x2 . b) D = tx (x+3) +ay ( f+4) + ar(z+S). c) f ) = üx

xyz * ry ^2 y2 z2 + oz x3 y3 ? .3

[Resp. a) Q = 32C. I b) 24C.c) Q = 164,4 C.l

Se t ierre una distr ibución volunrCtrica dc carga tte dcnsidnd pn = r2 cos20.

Calcular la carga total contenida en una esfera de radio a.

[Resp. Q = ¿na5/ l5 l

Se dis¡nne de una esfera hueca dc radio interior A y radio exterior b.Calcular el

campo cléctrico para r < a ; a < r < b ; r > b, si la esfera tiene una distribución

volunrétr ica de carga: a) pv = A = consulnte; b) Pv = kr donde k es una

conslantc.

NOTA: La permeabilidad es Eo en todos los puntos.

fResp. a)o; a , f t - (

13 - a3 ) i or #(

b3 - a3 ) ;

b ) o i 8 r ; f u - ( / ' 4 4 ) i o r ; f r ( b 4 - 4 4 ) l

Dercrnrinar el valor pu t le'una distr ibución volumétrica de carga esférica, si

sabemos que el catnpo que crea en el vacío es de la fornta:

E = a r *

{ [ ,+ + ( , . i ) ] , , i ]

[Resp. pv = ' l -eQ t " '2 r la1

Íl-t

I ln la l ' ig . P. l . l , los- valores t lc las

culombios. Calcular el f lujo total dclla su¡re rlicie dcl cuatlrrulo ABCD.

Cargas Son: Qt = I culo lnbio, q2 = ' 2

tlcsplainmiento clécuico D quc atravicsal . 5 .

F ig . P .1 .2

r .6 .

r . 7 .

I . 8 .

[. EI'LS C ENERALES DEL CAtvl l{) ELECTROMACNffiCO

D ( 1 , 1 , - 1 )

F i g . P . l . l

[Resp. 0,5 culombios en el sentido posit ivo del cjo Yl

Una carga cll se encuentra en el eje X en el punto xl = a. Detenninar el valor tle

una carga q2 colocada en xZ= - a./3 dcl eje xr para que el flujo de la intcnsitlatl

del campo etfuFico E a través del círculo x = 0, y2+22 = a2 sea nulo.

[ R e s p . e 2 = q r L * l2 - V 3

Una esfera de radio R tiene una dcnsidad volumétrica dc carga Pu = kÉ C/tn3

donde k es una conslante. Calcular el nujo dcl campo eléctrico E que pasa através de un círculo tle radio R, cuya superficie en su puntocentral es ta¡lgcntc ¡.tla esfera. La permitividad es eo en todos los puntos.

, ñ t r k R S l .fReso . - ( l - r ) ]r ¡ 4 e o { z '

Una distribución de carga de densidad pu está lirninda por dos planos parulclos

scparados una distancia d . Calcular la intensidad del carnpo elfutrico li e¡t clinterior y cn el exterior de la distr ibución (f ig. P.1.2).

B t - r . I , I )

(9:3 '3) Y

ELECTROIVIAG N E I'l S tvl O Y C I R C Uil'OS E L t[-f RICOS

[Rcsp.a)E. r rc r io r : I1 - r .1 t# para* t t i E= - Í r ¡

b ) l n t e r i o r : B = i t x f f i p a r a 0 < x . \ i E =

I vtl2ea

pafü x < d2 '

P v xo t

zro para \ < x < o l

r .9 .

r.r0.-

t . l l .

1 . 1 2 . -

t . 1 3 .

Dctenninar el trabajo nccesario para llevar una carga de -Z¡tC desctc el puntop¡ (2,1, - l ) a l punto Pe (8,2,- l ) cn uoa zona en la que el valor t lc l campo

e lécu i co es i gua l I E=ax y+sy x .a ) s i gu ien t l o l apa ráho la x = 2y2 ; b )a l o

largo de la línea rcct¿l Que une P1 cofl P2.

[Resp. a) 28 pjulios. b) 28 pjuliosJ

Dos cargas puntualcs de igual magnitud q, están situadas en el eje Y de un

sisl'crna tle coortlenadas cartesianas, en y = b, e y = - tr respccLivarnentc' a)

Calcular el carnpo elcctrico Ii en un punto del eje x de coordcnacla.s (x,0,0). b)

Deternrinar el trabajo necesario par¿ mover una pequcf,a c¿uga q'tlestle x =l0b

hasta x = b.

[Resp. a ) E = rx ffi ; b) 0,304 ffi I

Dos esferas medlicas crJncéntricas huecas de radios r I y rZ (rt < rZ) llcvan

unas cargas Qr y Qe rcspectivamente. Calcular el potencial eléctrico cn los

puntos: a) r I rt ; b) rt< r < r2i c) r 2 12. t-a permitividatl es to en todos los

puntos.

[ R e s p . a ) v = * ( * . * ) ; u ) v = *

( 3 + ? ) ;I _ r Q t . Q 2 ) = I , Q r + Q z - r 1c ) V = ñ ( ; + - , 4 n ' o

( r , I

Calcular el potencial a quc se encucntra una esfcra nreu{lica tlc radio R clrgatlacol Q culolnbios, rccubicrtn por una corona esfcrica tlicle,ctrica dc ¡rcrmitivitladt = 2ro, y radio extcrior 2R, que tiene una densidad volumétrica de cargl Pu

C/m3. Sobre la e.sfera dc rarlio 2R existe atle¡nás una distribución supcrficial de

carga p5 Clrn2.

[Rcs¡,. V= .i%- q!(" try B Il 6ne6R 3eo E; - J

Se t l isponc dc una corona esfórica dc rat l io intcrior Rlz y cxterior R, que

conticne un dielóctr ico de penniüvidad e cargado con unA dcnsidad t lc cnrga

volu¡nétrica pu C/rn3. Calcular el potencial c¡r el centro dc la esfera si crr cl

espacio intcrior a r < ll l2 el medio es cl vacío (e = eo) y no existc ninguna

carga en eslil zonil.

It4

r . 1 7 . -

1 . 1 4 .

r . t 5 . -

1 . t 6 . -

Lk,Y tls U[:l'¡l,:R¿\LbS DLL L.'\lvlI t.l uLr:t- | |r('¡tv r/ \\ rI rl- i t"- r I

7p"_R2 + tug l[Resp. V = ?Aeg n, I

Un cable coaxial está formado por dos conduct('res cilÍndricos, el i lrtcrior tienc

un radio "a" y el exteriof u¡r ridio

"c". Enue amlms conductores sc tl is¡xrlren

dos capÍLs de material aislante, la primera esui constituída ¡ror un dicléctric0 tle

permiúvitlad e ¡ y se extiende desrtc l=a hasta r=b (acbcc). y la scgu¡l(l l l cs ttn

dielectrico cle pcrmitividad e2 que se exüende dc.sde r = b hasta r = c (corttluctor

exterior).Si la r igidez dieléctr ica dc los aislantes t iene un vi l lor E.l para cl

tliclccr¡ico I y Ec2 para el diclectrico 2l dcterminar : a) la üfcrcncia dc ¡ntcncial

máxima que pucdc apl icarse cntrc los conductorcs, sin que se prodtlzca la

perforación tlé ninguno dc los aislantes, b) ¿qué rclación dcbc e,ristir entrc "a",

t' lr"; rt y s2 para qüc la perforación sea simult¿ínea en arnhos (liclúctricos.

Noua: La rigiclcz ¿icléctrica dc un aislante, representa cl valtlr m¿Lxilno tlc cattl¡xr

elóct¡ico quc cs capaz- de soportar sin quc se produzca perforilción o ruPtum dcl

nl isnro.

IResp. a) El aislantc I sc pcrfor¿rri si la tcnsitln nplicaclil critrc corldtlcl()rcs cs

igual o superior a Vt = Ecl Et a ( I ru ? * I ru I l .' ; ' ' t 1 a E 2 t

para el aislanteZ,la ruptura se producirá para un valor de la tensió¡t:

Y 2 = E c 2 e 2 b ( f l n [ * l ' " l l' E ¡ A E Z O -

La tensión rnáxima que puede aplicarse será la menor enre V t y Y 2 .

b ) e l a Ec l = E2 b Es2 l .

Un cilintlro conductor hueco de radio "a" y gran longitud, cstá a potencinl cero y

contiene en su interior un dielécUico cargado con una dcnsitlatl vtllutnótrica tlc

cafga pv = po (r - a). calcular el cam¡n elécrrico E y el potencial v cn puntos

interiorcs al cilindro. El dieléctrico tiene pcrnriüvidatl e.

r R c s p . E , = ? ( f T ) ; v - -? ( f * ) + ? ( ' f * ) lSe dis¡ru1e una tlist¡ibución dc carga lineal dc tlcnsidatl p¿ C/rn y dc longitutl

b, quc cst¿i colocilda a unil distanci¿l "a" y paralcla a una li i¡nina tlc extcnsiórt

inl' inita quc ricnc una tlistribuciiln suparficial de vtlor Ps C/nt2. Ctl.,,l l iu cl

trabajo q¡c se rc(luiere (agcnte exterior) ¡tura girar la líncit de citrg¿l rcspecto il

tu¡o ¿c sus cxtrcrilos, de modo (lue qucdc l)crpen(licullr a la supcrlicic tlc l lt

l¿irn ina.

[Rcsp. w = H#

que no dc¡rcnde dc "4" f .

Un contJuctor rcct i l í l rco t lc rat l io " i¡" y longitud inl ' ini ta l lcvl t tna corr icnte

continua r lc I anl l lcr ios. A¡r l ici lndo cl tcorenta ( le Arnpire, calcuhr la int l t lccit i t t

cn un punto p:r i l istarrcia r dc su cjc (r>a). Dcmostr i l r ut i l iz.at l t lo coor(lcnndils

85

1 . r 8 .

r . r 9 .

I .20.

ELECTRONIACNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

ci l índr icas ( lue cs te cümpo es so leno ida l , cs t lec i r quc d iv I | = 0 . La

Ilernlcabil¡dxd cs Fo.

[ R e s p . g = r o # l

La t ig. P.l .3 mucstra dos conductorcs f i l i formes de longitud inf inira que secxticntlen il anlbos lados de cjc ?., y (luc llevan corricnte,s dc la rnisnta magnitttd[ ¡ lcro de scnti t lo contrario. Calcular cl valor dcl campo magnético I l cn elpunto P de coordcnadas x, Y, z = 0.

I t tesp I I

F ig . P . 1 .3

I [a¡(y - lyll--{)1 I [ a x y - c y ( x + a ) I2 n t ( x - a )2 + yz l 2 n t ( x + a ) 2 + y z l

C'alcular la intlucción que produce un conductrlr cilíndrico hr¡e¡:o de longitudinf init¿t, de r i ldio i tr ler ior "¿1" y e,\tcr ior "b", quc transporta una corr icl l lc I

runifor¡lcrnentc tl istribuída en su sccción transversal, ett putltos : a) r<a , b)

a<r<b y c) pb. La permeabilit lad es igual a Fo en totlos k¡s puntos.

[ R c s p i l ) l ] = 0 ; b ) l ] =aómtro I G2 - a2); c ) l l = r o # * l

Dcre¡ninar c l valor de la i ¡ rducción en c l punto P de la l ' ig . P. 1.4, y ( lue

l ) roducc uf t conductor c i t índr ico hucco dc k lngi t r r r l in f in i ta que l lcva t tna

corricnte cléctrica con dcnsidltt constanle dc J A/r¡r2 en el scntido entralltc al

p lano dc la píg ina. La cavidad c i l Ín t l r ica r lc radio b no es coüx¡al con c l

condl¡ctor. [-a pcmlcabiliüttl cs ]to.

P ( x , y )

LEYI$ CENERALES DEL CAMT{) EIjCTROMAGNENCO

Fig. P. | .4

[ltesp t] = pg-Ji{ I

1.21.- Dos dc las trcs componenles tle la inducción de un campo magnético eslárl

ex¡rrcsatlas el' coordenaths cilíndricas por las expresiones:

B z = B o 1 2 t c o s f ; n E = O

Determinar a) Inducción Br. b) Valor dcl campo eléctrico inducido si se cottoce

a priori que sólo existe componcnte tangcncial E4' NOTA: Para t = (l' la

inducción es igual a cero.

[Rcsp. Rr = #

oo 13 t scn E Q = - o o ' - i c o s f I? w .L '

t .22 . Un conductor está fonnado [mr un número infinito de hilos adyacentes, cadü

uno de ellos infininnrente largo y que lransportan una corriente i (fig' P.1.5¡.

Calcr¡lar cl campo magnético B c¡r,e produce la distribución si es n cl núrnero do

lrilos conductores grr unid¿rd de lottgitttd.

i

F ig . P . l . 5

87

1.23 .

I .24.

l . ' 25 .

tt lt

( 2 , o , o )

ELECIROMACN E-IIS tvlO Y CIRCU n0s ELEfl'RlCo"s

l[ R c s p . B = ; p 0 n i l

Sc ticne un campo magnótico R tlado por la expresión:

B = a¿ 6 sen ( ? ) scn (ry) Teslas

hall l r cl t lujo magnético tolal que atraviesa el cuadrado t leindicaclo en la fig. P. L6.

Fig. P. I .6

[lesp. (D = 9,73 Wbl

Un conductor cilíndrico, l lcva unamagr¡ético por metro dc longitud queconductor indicatla en ta fig. P.l .7.

2 rn. t lc lado,

de l0 A. Calcular c l f lu j t lsupcrficie S plana intcrior al

x

cornenteatraviesa la

v'7.

Fig . P . 1 .7

[Resp. l . l0 - 6 wU/m.f

Dos conductores paralclos dc longitud infinita esuinllevan corricntc iguales y de senlido conrario (tig.B en cl purrto P.

scpilrados una distancia d YP.l . t l ) . Calcul¿u cl valor de

LEYES CENERALES DEL CAM I,o ELESIROMAGN E, I]CO

ft

I R 'l

--.,Fig . P .1 ,8

- - 2 P 0 i d a x I[Resp.t ]=n[f i2;51

1,26.- Cuat¡o conth¡ctorcs infinitos paralelos están colocados en los vértices tlc uncua{rado tte 20 cm. de lado. Scluce pasar por cada conductor una conicntc dc 20A; con los senridos indicados cn la fig. P.1.9. ¿ Cuálcs son la ntagnitud ydirección dc B en el cenuo del cuadrado ?.

t .21 .

Fig . P . 1 .9

[Resp. B = oy 8.10'5 teslasl

La f igura P.l . l0 muesl,ra la sccción transversal de un conductor coaxial dc L

meuos dc longitud. El conductor interior tiene un rÍtdio r¡ y lleva unil corricnte

I que sale del plano de la página. El conductor cxterior cstá conrprcntlidtl entrc

los radios 12 y 13 y llcva urn corricntc I entrante al plano dc la página. Calcular

cl flujo magnético O que üunviesa la sccción uansversal dcl corrductor cxtcrior.

La pcrme$bilidad tlcl conductor cs po.

n9

E LE(]IROñIAGN E[l.S tvlO Y C I RC Uf fO.S E L Ff.f R lC( )S

Fig .P. l . l0

[Resp. rD= -# t ( r+ # r "g . l ,1 2 2 t l

1.28.- La fig. P.l. l l muestra un conductor I dc longiturl i¡¡f inita quc l lcva unaconicntc l¡, I Quc sc sitú¡ en el plano dc la prlgina. Se tiene una espira

tra¡rccial 2 situada en el mismo plano, quc lleva una corricnle 12 | culas

rlinrensiones son las mostradas cn ta figura. Calcular aplicando ltt lcy dcLaplace, la fueza dc aracción a que está sometida la cspira 2 dcbido al campomagnéüco dcl conductor l.

b ig . P . l , l l

rResp.F = t* t 2t ¡ r f f i +4r, , ; rüsct " 'St I

La tig. p.l.12. muesira un conductor l, [rcrpcndicular al plano del papel,_t¡uellcvnlnn corrientc I, El conrluclor 2 es una llmina metiilico dc anchurit 2b y

espcsor tlesprcciahle, quc cs pilralcla al conductor l, y llcva una corricntc I clt

seirdrlo conlrnr¡o ill L bcterrninilr l¿¡ fucrz.ir F)r unitlatl dc longitrnl a qtlc eslarús()rncrida lu lúmina (igual y tlc scntido conúario a la quc i lparccerá en el

conductor).

| ,2(),

1.30 .

r . 3 l .

LE,Y E5 C EN I RA I,I:S DE L CAIVI I)() E LEClTROMAC N EnCO

l t i g . P . l . l 2

lRcsp . F=Fo *

a r c t s ] I

Una bana conductora colocada horizontalmente, gira alrcdcdor de un eje verlical

situado a una dismnc¡a l /k dc uno de sus exlremos, 0 una velocidatl dc N

revoluciones por se gundo . La longitud de la barra es L. Calcul¿rr la d.tl.p- elltrc

los cxtremos de la bana si el movimicnto sc pfoduce dcnt¡o tle un catrlpo

magnéüco vcrtical de inducción B.

[ R e s p . e = Í Í N B L 2 # I

Consi6órcsr¡ un sis¡ema tte coordení¡das cnrtes¡anils con el plano X O Y

liorizo¡ral : el cje Z vcrtical. En cslc rcfcrencinl sc dis¡xlne dc un lri lt l t lc collrr:

cn forrna tlc par¡bolu ] = kxz, y un carn6, nragnéüco vcrtical dc induccirirr ll.'

ar, I]. Una varilla conducrora sc trasliltla parüendo del rc¡nso desds el vérricc tlc

f a paróbola siguiendo una lrayef,roria paralela al plano X O Z aEyándosc crl l"t

parli l¡¡lü. El movintienlo se rcalizá con una aceleración il constante. Calct¡l¡tr lr¡

i.*.n,. inducida cn el rccinto conductor así formado cn función de la posiciórr"y" dc la vari l la

[ R c s p . e = ' B Y

1.32.- La fig. P.l. l3 mucstra un campo B uniformc, conccntrado en un voltt¡ncn

cilíndiico dc radio R. El cam¡ro B esrá decreciendo con rrna rapidcz conslantc dc

lfi) gauss/seg. ¿Cuál cs la aieleración instantánca (dirccción y magnitrtd) quc

e*¡rciimenta un-clectrón colocado cn A, cn b, y cn c. Sup'<íngase quc r = 5 cttr'

(Nb'fn: e/m = l,?6.l0ll cutornbios/tg')

9 l

+!

1.5

b

x

ELECTROMACNFNSNIO Y CIRCUTIOS ELEÜTRICOS

l nducc ión B

t , 3 3 .

I .34.

F ig . P . l . l 3

ff lesp. a) 6,6. 107 m/scgZ a la iz.quicrda; b) ccro; c) 4,4.107 ¡r/5sg2 a laú:rcclnl

Se tiene un cofnpo magnótico Br, dado [nr la expresiólr:

B z = B o I l ' ( l l t ] s e n o r t

conl'inado ¡r un recirito cilínrlrico tlc radio a, Deler¡ninar el campo cléctrico E

inducido para pu¡ttos intcriorcs al cilintlro (rca).

[Rcsp. E'='

Un campo magnético unifornle B, llcnabarra mctálica de longitutl b, sc colocaesui cambiüntlo con una rapitlcz dB/dtcxl¡emos dc la varilla.

] c o s t o t l

un volumcn cilíntlrico de radio R. Unaco¡no Inucs|ra en la l ig. P. l .14. Si B, Calcular la f.e.nl. inducida cntrc los

t toBor [ t i ( : ) '

lnducc lón i

F ig . P . l . l 4

d R b= [ 1

xx

x

x

x

X

92

IRr.rp. e @ l93

1 . 3 5 ,

LEYTs CLNERATIX llEl. cAtvll)O [t]L'I ltu[[AUNL I lctl

En ta f ig. p. l . 15 AB fcpresenH un0 vari l ta mctál iCn que sc muevc con t lna

velocidad consunte v = 2 nl/s, ¡nrllelumente o un conduclor rcclo tlc longitutl

irrfinita que llcva una corrientb i = 40 A, Calcular lit f.c.l lt. inducida cn la

varilla.. ¿bué cxtfefllo rlc la v¿gilla sc encucnua a mayof fnrcncial?

# -F'n^| i l

f locn l l *v

I .U'

Fig. P. l .15

[Rcsp. 36,8 PV; Puno Al

1.36.- Calcular ta f.e.m. inducida en el hllo conductor dc la fig. P.l.16 se mtrevc con

una vclocidarJ v. perpcndicularmcntc a la dirccción dc un campo ntagltéticouniformc B. El canrpó magnético ll está limirado a una región circular dc radio

R (¡rolos dc un imán).

\- Conductor

F ig . P . l . 16

lRe ip . c=2vB l f :A I

|.3?.. L¡ b¡na conductorn AB rtc l¡ fig. P.l.l7 t¡ce cont¡clo con lut gufas ntctdlicasCA y DB. El conjunto sc encucntra cn un c¡¡mpo magnCdco unifornrc B = 0.5Tcslas. perpcrulicular al plano tb la figura. ¡) Calcular la magnitud y sentido dcla f.c.ni. inducirla en l¡¡ barra cuando sc mucve hacio la dcrccha con unavelocirlad rte 4 m/s. b) Si la rcsistcncio dcl circuito ABCD es 0,2Q (sttpuestaconshnle), hallar la fucr¿a ncces¡¡ria para mantener l¡ b¡¡rra en movinticnlo. Scdcsprccia cl roinn¡icnto. c) Conrpamr lacanúrhrl dc trabajo mccdnico por rmitlarlde iienr¡xl quc rcalizo la fuerza F con la cantidad dc cnlor dcsarrollada por

scgumto en cl circul¡o Ri2.

1.38 , -

ELECTROMACNETIS MO Y CIRCT'ITOS ELECTR ICOS

-rSOcn

.J_

Fig . P . l .17

[Resp. I V de l] a A ; b) 1,25 Newton ; c) 5Wl

Dos bnrras conductofas paralelas, separadas enuc sí 0, I metros, se mucven a la

misma velocida6 ;; ;'10 m/s, rlcsiizando sobre unas gufas conductoras sin

resistencia (fig. p.l:lB). [.a resisrencia tte catla barra es de 0,01o. La zona

coniprendirü énus los carrilcs está atravesada [nr un camlxl magnético dc

incfucción lt =sr.ld x2 y Testas cuando la bana A está en la posición x = 0,1

m, c&lcular : a) É.e.m.s inducidas cn cada barta. b) Fuerza electromagnético que

nciúa soltrc cüda uÍlo. c) L,ccfum vm tlcl voltfmeu'o'

F ig. P. l , l8I

IRcsp. a) eA = 0,50 V I eB =2Y ¡nlarirtatl positiva en el cxtremo inferior b)

F'n = ar 3,i3 N ; FB = o* ('15) N ; c) vm = 1,25 voltiosl

Un lubo conducror de radio inrerior 4 cm. y exterior de 5 c¡n (lig. P.l.l9) gira a

500 r.p.nl, arietleaor de su ejer !T ul camF) magnético uniforme B = 0,5

irilrr, que r*no 30e con el elc'tfcl tubo. Caicular la f.c.rt. i¡rtlucida entfe dos

escobill¡$ colocatfas como se iirtlics cn tas ¡nsiciones a) y b) de la fig' P'l'19'

1 ,39 . -

9s

B ( v e r t t c a t l

LEl' ES CI1NERALES DEL CAM K} ELECTROMACNENCO

f . p . l l .

F ig . P . l . l 9

[Resp. a) 0Ol V : b) 0,0066 V]

1.40.- Un anilt' de conducúvittad o = ¡,8Z.tO? siemens/m. y densidad T = 2,?.103

Kg/m3 v: dcja caer a parrir del reposo con su plano horizontal dc tal fornl quc

cada eleraentr¡ ¿e su circunfercncia cs aravesarlo ¡nr un cam¡n ntagnético ratlialD = 0,1 Teslas. ¿Cuál scrá la velocida¡l que tcndrá el anillo al cal¡o ¡lc lOmiliscgunrtos y cull scrá la vclocidorl ñnal de régimen pcnnanentc? Nota:

acclc¡ación de la gravulad I = 9,8 m/s¿'

fResp. v=-g15- ( I - , ' * r , 52 ,4rnm/s ; V f in r t = 69 ,3 rn r t l / s I- oll '

N I O C R A F T A S

t) CAVEND¡Sg, l lenry (l?31.1810). Físico y qufmico inglés. Estudió en la Univcrsirla<l(le Cambrirtge, pero no sc graduó. Hcrcde¡o dc una gran fortuna se rlcrlicri

lx,r entero i la-investigación cicntífica. Dcsgraciadamcn-te cnlerntó dcmisantropíaynoquisopublicarsustrabljos,¡nrlor¡uclamayorpartede ellos ño sL conaieron hast¡ nruchos años después dc su muc¡tc. lln|a decar|a l??0.1?80, rea|izó cxpcrimentos el{cricos, anticipárrdosc a lamayor partc de los dcscubrimicntos quc sc hicieron en krs cincucttl¡anos siguientcs. Maxwell los dcscubrió y publicó un siqlo más tartlc c¡rl8?9. Había rlcscuhicrto on¡cs quc coulomb la ley que lleva cl notnllrcde estc riltimo. También dclinió con prccisión los conccplos tlc carga y

¡rotcncial. El er¡rcrimcnto más cspcctlcular quc realizri C¿¡vcnrlish lircrteterminar la conshnlc gravitatoria quc sc inclufa cn la lcy dcgraviución de Newlon.

ELECTROMACNSNSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

2) COIJLOMB, Charles Augunin (1736-1S06). Físico e ingcniero militar francés' En

sus primcroi uabajos como oficial dc ingenieros sentó-las bascs tle la

resiircncia dc nraicrialcs (l??3). l lábil cxpcrimcnt¿dor y profuntlo

tcorico. En l't77 inventó la balanza dc torsión para medir la fucr¿¡ enlrccuerp.rs curgados ek¡cuicamsntc, dcmostrando n¡¡is tanlc cn 1785, la lcyq u c . | | e v a s u n o m b r e ' L a b a | a n z a r | e C o u | o ¡ n b p c r r n i t i ó m e d i rex0ctamcnle la mosa cléctrica, es decir. |a carga dc un cuerpo. (Esta

magni tut |habíasi r lo inuoducidacnFls icaporFrank| in . ¡ rcrodc. lnmodo semicualitativo). En sus úlümos a¡1os, también rcali¿ó cstutliossobre magnetisnto.

3) FLEMING, Sir John Ambrose ( 1849-1945). lngcniero eléctrico inglés. Estrrdió encl Univcrsiry College tle Londres (1S66) y en el Royal College rle

eufmica en -Soutlr

Ken.sington. A los 28 años fue a Curlrbridge dondeeiturl ió durante dos años bajo la dirección tlc J.C.Muxwcll en cl

Laborarorio Cavendish. Fue Catedrático de Física en el NottinghanUniversiry Collcge ( l882). En 1884 se hizo cargo_dc la recién creadaCárcrlra ríe lnge¡iicria Elóctrica cn el University College {e Lontlrcs,quc ocuparía lluranre 4 I uños. En l8?9 las Conlpailfas Edison y la

Bell Teicphone comenzaron 0 insularse en Londres y eligieron aI;lcming óomo asesor científico. Su contribución fundamental fueprobablérnente la derticada a la fotometría tle las lfinparas cléctricas. Es

i*¡rorr,antc el libro que escribió sobre ensayos de u-ansformatlorcs- Enl899 fue asesor dc la Compañía Man:oni, para la cual diseñÓ un¿lplanta quc desanollaba 20kW en alta tensión pag los circuitos dc

radiocomunicación. Una contribución fundamental a la radio fuc su

rliodo recl¡ficarlor, basado cn el efecto Etfison y que patenló cn1904. Hiz.o una contribución inmcnsa a la tccnología elécuica a uavésde los cursos organizatlos por su Universidad, por sus conferencias ypor sus libros. Sirs rcglas rfe lt mano derecha y de la mano izquiercla

iror dcrcrminsr l&s reÍaciones veclorialcs de la fuerza magnética y dc lai.e.m. re.spccüvanrentc, dun una prueba tle su ¡rcdagogll. Sus claseserAn ejerriplo dc gran lucictcz, comprensión y anrenirlarf , Obluvtlgrínde; prómios: Medalla Faraday, prcntio Kelvin, medalla l{ughes y()lfos.

Benjamin (17A6-l?90). Hombre tle Estado y cicntífico norleamericano.perrcnecía a u¡ra familia de nrodcstos indusuiales. E,ra cl hijo núnteroquince de un total de diecisiete hermanos. Fue escritor, intpresor,pollrico, tliplornárico y cicntífico. Sus primcras investigacioncs tlatanilc 1741 en las que cstudia el maravilloso efecto de los cuerpospuntiagutlos que pueden i¡¡mlmente comunicar el fuegg eléctrico u los'tle¡nús*cuerpo:s

y-urrelnturselo. Estc descubrimienlo le llcvó nl¿is lurdc ainvcnrar sl ¡larirrayos (17521. Forrnuló también la unitlatl dcl fluítloclécuico, ncgativo o positivo scgún las propicdades dc los cucrlx)s.Represcntó alos rccién creados Estados Unidos antc la corte dc Francia.A su nluertc los franccscs lc dcdicaro¡l el siguic¡ltc ver.so: Eripuit coclo

fulmen sceptrunulue ryrannis (Arrcbató cl rayo ul ciclo y cl ccuo a losLiranos).

4) FRANKLIN,

9697

5) GAuss,

6) CloRGI,

7) MAXWELL,

LEYES C ENERALES DEL CAM NO ELECTROI'IAGNENCO

Karl Friectrich (l 77'l-1855). Matcm¡lrico y asuónomo ulcmán. Fue un

niño prodigio en matcmáricas y pcrmaneció sicndo prodigio lo(|il su

vida. Esruuíó cn la Univcrsittad dc-Coünga. Antcs rfc cumplir los vcinte

años desanolló cl mérülo dc los mínimoi cuadrados. En I 799 tlcmostrti

el teorema fundamental del ólgcbra e hizo imprmntes uabajos erl la

Teorfa 6e los Númcros y Ccorñeula. Causs fxlr su talcnto rnatcmótico

recibió el nombre úc - princeps maümaticorum lprínci¡re de las

matemáücas). Fue Dircitor dcÍ Observarorio astronómico dc Gotinga.

Estu¿iri el magnetismo tcrresrs, con la coopcración dc Wcbcr. En I tf 34

consuuyó un-telógrafo cléctrico, y establéció un sistenla de mcdidaslógico para los fcnÓmcnos mognéticos.

Giovanni ( | B? I - 1950). Ffsico e ingeniero italiano. Estutl ió en la

Universidad ¿e Ronlfl cn lo quc sc graduó en 1893. En l90l dcs¡rr()llóun sistc¡na práctico tls u¡ridadós. La Conrisitln E,lcctrottlcnicutnternacional decirlió en 1935 que cste sistctna dc unitlatlcs fuera

bauriz.ado con el nornbre ds Ciorgi, Menos conocido es por su carrcrÍtprofcsional conlo ingeniero, pcro rlesdc 1895 a 1905 diseñó y construyó

ienuales hidrocldctricas, líneas de translrcrrc, sistemas dc distribución y

rambién lfneas ds uacción elécuicl para ranyías y fcnocarriles.'EnI g05 publicó un importanle rrabajo sobre cl estutlio unificarlo rlc las

máquinas cléctricas,'denrcstranrfo fas analoglas más que. I as rli fe relrc ias

entñ las ditercntes máquinas eléctricas y que tan bril lantemcnteanalizarla Gabricl Kron yeinl¡cinco arlos más nr¡le. Fuc el prinrcro en

aplicar la transformada de Luplacc al nrétulo opcracionnl, tlentostrando

la conexión Entrg esn rigurosa hcnamienut matemilÚca y los esttttlios

efecruados ¡nr Heavisidc. En 19l0 fuc nomtlrado catedrático tlc la

Universitlad de Roma, enscflando rnatemólicas, física e ingcnicríleléctrica. Bril lante matcmático c ingenicro Bcneralista, rcaliz.óimporrantes contribuc¡ones cn et campo d9 la variablc cornplcja,propagacitin tle ondas, rclarivirfad y en ta aplicación dc los tliagrarnasve,cioriales (hoy fasoriales) al estudio dc ia corr¡cnte üllcrna.

Ja¡nes Cterk (1831-18?9). Mareinático y Ffsico escocés. Dol¡ulo tlc grantnlcnro püra lus nratc¡nóücas. Esl¡rlió cn la Univcrsidad de Etlimburgo.ymás ranle cn Cumbridgc. A los quincs años contribuyó con un trabajtloriginal, al discilo de las curyas ovaladas quc prcsentó a la RoyalSocicry rle Etlinburgo. En ltt54 fuc segundo Wranglcr (un wrilrlglcr csaquel alurnno que obticne matrículas de honor en los cxónlcncs dcmaremáticas dc Cambrirfge, el número I fuc su compañero Rtlullt,conocido por sus ag)rncioncs a la teorÍa dc la eslab¡l¡dud cn cl caln¡mdc lo qus hoy sc conocg corno lngcniería dc Control ). l l iz.ocontribucioncs a la astronomfa en relación con los anillos de Saturno(185?). En ¡lwcúnica analizó la csnbilidad dcl regulatlor tlc vcltrcidatl tleWart. Mós ranle invcstigó en cl campo de la leorÍn cinitica dc los gascs(ltt59) sicndo el primcro en aplicar métodos estadfsticos pürü dcscribirlu ¡rnrpicdadcs dc l¿u molcculas y su d¡stribución tlc velocidntlcs (lcy dcNfaxwcll.Roltzm¿¡nn) pilrs cllo sc val¡ó dc ut¡ hipotdtico ser intcligcntetfcrrolninldo diublillo de itcuwell . Entrc I855 y 1872 l)ublicti tliversos

8) OHM,

9) STOKES,

E L ECIR ()[ | AC N EIl S tvl () Y C¡ RC U lT( )S E L ll--I'R I C( ).S

trnbajos sollre In pcrccpción dc f os colores, rccibicn(lo la nrctlallaRunrford cn |86(). En lt l7| l 'uc elcgido pilra la nucvl cltc(lra dcCnvcndish cn C¡mtrridge. comen?.ó a tl iscñar cl Latxrratorio tleCavclldislr y suprvisó su consl¡uccitin. Marwclt rlió a conocer loscxpcr¡rnentos cldctricos de Cavcndish y (luc no habían sitlo putrlicatloshnsta enu)nccs, en quc dcnrostnilhü (fuc csle cxcéntrico ¡rcrsonajc sc lrabíaadclantarlo cincuenta aflos con sus uabnjos. La conuibución nlásirn¡nrmnte de Maxwell se efcctuó en el ¡rerítxto | 864- 1873, cuando tliófor¡na matcrnútica n las líncas rlc fuerr.o (lc Fararlay, cufminanrlo con lapublicrción tle ta obra: Electrici ly ¡¡¡rd lff ugnelism cn lt l73, rtondcpfcscnt¡l sus fümosas ccuscionc.s que sintclizan los fcnómctr0selcctromagnéticbs y formulando la hipótcsis t lc la naluralczaclecuonragnédca dc la luz. Dcsgraciatliunente parü la ciencia, murió dccá¡rcer Bntes dc cumplir los cincucnta i¡ños, cu¿tn(lo estaba en plcnapotcncia intclcclual.

Ccorg Si¡non ( | 787- 1854). f:ísico alemán. I I i jo tte un cerrajero.Estutl ió en Colonia. Enscñaba en l iccos, pcro su anrbición eraconseBuir un nombranticnlo cn la univcrsidad. Para esto tcnía qucprescntar algún trabajo importante tle invcstigación. Escogió cl nuevocam[n tle In con¡ente cléctrica iniciado ¡ror Volta. Debitfo a su ¡robreza,tuvo que construirsc sus propios equipos de laboratorio. descubricndo en1827 In ley que lleva su nombre, quc dcsgraciadantcnte no le sirvió paraconscguir el pue$to univcrsiUrio que tanto ansiaba. En cl prólogo dc sutrabajo, al que dió el título: tcorfil matemática tlcl circuito galvánico,rcfleju asf su amargura: los circu¡tsloncias en que he vivido hasta ahorctno lnn sido ciertamente las mús ftworables para que me animasen aIrro.Íeguir mis estudios: la indiferencia del público abate nú úninto yomenilza extinguir mi omor o la ciencia. Sus invcstigaciones recibicro¡luna buena ücogiü1 fucra tlc su país y tuvo que esperar hasm 1849 cn quefuc ntlmbmrlo catcdr¿ltico dc la Univcrsidatl tlc Munich, rle modo (lue losúlti¡nos aflos dc su vitla, los plsó cn cl ap)geo dc la n¡rrbicitln realiz.ild¿t.

Gcorgc Gabriel (1819-1903) Matcmático y Físico brit¿ínico. Sc graduócn C¿tmbriclge en | 84 | , con cl númcro uno dc su clasc eil matcmáticits.En llt49 l 'uc nombrarlo catedrdtico dc Inalemática.s cn la nlismíluniversirlad. Fuc sccrclario de In Royal Smicty cn 1854 y presi(lcnte rlela misma cn 18.85 (nnrlie había ocupüdo cstos trcs puestos tlcsrlcNcwton). Las obras de Stokes comprcntlcn los gratlos miis altos, latcoríu {e lus ocuacioncs difcrencialcs c irrtcgrulcs, muchas ramas dc lamccúnica y la hit lrorl indmica, la tcoría dc la luz y cl sonido. Sustrubnjos ex¡)crimcntalcs sc rel'icren espccialmentc ¿r los fcnómcnoslu¡¡r inosos.

98y()

I- E Y ES C E}TE RA T*E S DE I, CAM t{) E LECTR O MAC N.rN CO

N ¡ i F E R E N C ¡ A S

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l4 )

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25)

DIVISTONBS DBLELECTROMAGNE'TISMO

CAPTruL,t)

2

2,1 INTRODUCCION

una vez estudiadas las magnitudes fundanrentales que apÍuecenen el an¡ilisiJtle cualquicr fenómeno elácromagné.ric.o, -Y cl signiFrcado físicoár iar .tuutiones tle Maxwell, revisadas cn el Capftulo l, vamos a estudiar en.rri .rpfu¡g, taJdivisiones cidsicas que se suelén enplear.en el nprendiznjede esta'rama de la física y que son el fundan¡ento de la ingeniería eléctric¡t'

Procederemos en primer tugar n realizar una clasificación delelectromagnetismo, paniendo tle los postulados {e Maxwell y a continuacióni" f,or,f un"r"pnto dé tas drcns a que-dan lugar, pnra conectnr nras fiel¡nentecon el desarnrllo histórico.

Recordemos del capítulo l, lns cxpresiones de las cuatro ecuacio-nes de Maxwell:

= P v

ABE - -

Dt= 0 ( 2 . l )

r a D= J + Tdr

a) cliv D

b) rot E

c) tliv B

d) rot II

estas ecuaciones sintetiza¡l el comportamienlo de los fenó¡nenos elcctro-magnéticos . La gran bellcza de cstas ecuociones cuuSó tul intpacto en sutierñpo, que el gra"n científico Boltzmtnn, cornparó con acieno estns sensacio-nes ion ia irn¡iresión (lue tuvo el Fnusto de it novela tle Coetlte, tl ver elsigno del ¡nacrocosnlos ll principio dc su tragediu:

... Al verc'sfo.r si¡¡rtns , trri crrcrpo se hu conmtovido proftuuktnrcitte... sc,ónttcuso ohru ile un-ilios e.sroJ srgrrr,rs , que apacigrtttn la tenrpestutl ile nti ulttttt,llewn tle alegríu ¡tti coruzóy, y que de un ntodo exlraño y mislerioso

r0r

ELECTROTIAGNENSNIO Y C¡RCIJITOS EI-ECTRICOS

tlesc¡wuclvctt tt nti ttlredetlor kts elcmetnns de la Nttutrulezu?... 'fttclo

sepresentd cluru ü rrt'.r ofo.r.' con cstos sencillos cdraücres dcscnbro u lttperfccción cl sccrcb dc lu uctiviilutl dc kt Naturalezur'l

l-¡rs ecuilc¡ones de Maxwellcxistentes en los medios:

J = o E ; B = p l I ;y ln ecuirció¡r de fuerzas tle L¡rentz:

p = q ( E + u x B )

sc co¡nplctal t con las relnciones

l ) = e E (2 .2)

(2.3)

En las ecuaciones de Maxwell (2.1) se observa una inierconexiónentre los cilnrpos eléctricos E y Dt y los campos magnéticos ll y lI; sinernbargo cuando los fenómenos son estacionnrios, es tlecir cuando no varíancon el tiernpo, las ecuaciones de Maxwell se transfonnan en:

a ) d i v D = P "

b ) r o t B = 0c) div ll = 0 Q.4')d ) r o t l l = J

se observn entonccs, que querlan scparados los fenómenos cléctricos estáticos(electrostiitica), indi'cudós por l¿is ecu¡tciones l) y b) de (2.4) de losfcnónrcnos cst¿iticos nngnéticos (nragnetostútica) que obedccen las ecuacionesc) y rf) de (2.4) que junio con lru rel¡tciones (2.2) y .(2.3).pernriten hacer unacliüis¡ón dcl elei:trdmagnetismo en : eleclrgstálica, (Ecuaciones a y b),nrognetostálicn (ecuaciones c) y d)) y campos variables (ecuacionesgenerales 1Z.l)).

Denrro del cnpítulo tle cnmpos variables, se suelen dividir los fe-nómenos según se tengan campos de üariación lenta o cuasicslacionariosy variación iripiaa: cntnpo geirernl eleclromagnético.

Los campos cunsiest¡tcionarios son en principio los correspon-dientes a la bnja l'resucnci¡t. EÍ¡ realidarl esta situación.significa que en lacuürtil ecuació¡i de M¿¡xwell se puede despreciar la densirlad tle corriente dedesphzurnicnto en relación con'lit densidird de corriente de conducción. Deesti nrulo las cct¡ucio¡les dc M¡txwell quedlrínn expresadns lsí:

(t) Tourr,to ¡lcl F¡usr¡r dc Gocrhc. prig. 2l tlc la rtccirnotcrccr¡ c¡lición. Colccción A$sttll' Esprsa'

Calpc S.A. Nl¡rltid. l9lll.

il)2

a) tliv f) =

b) rot [, =

ln expres ión: i2( t ) = Im cos o l ( treprese¡lta la diferenciit tJe fase enuei¡rcluso (lue se te ngü it = 0 cuilndoexistente enre la velocidad, longitud

c : - f ? t ; o ) = Z t t f = r 9 = C I l f , =

lrlvl SIONES DEL ELECI'ROMACNEI-ISIYIO

Pv

_ a qDr

c ) d i v B = 0

d) rot I I = J

en qenerill se deno¡ninu cilmpo cuasiestaciorrario aquél que se tiene en ttlta

;ffi;;;;i6iai dintensio¡res'del circuilo son pequeñas. c^gqrR.ryadas c'n la

lonuitud de onda rJe lil señal variable que nraneja. Esta.definlclÓn rcpresenlit

uniconrtición nrls rigurosa que la de decir campos- de baja. trecuencl¡l ' y qlre

;;;;;,ñ;;; in"iuyó to idéa de dcspreciar lh tlensidad de corrie ntc tlc

dcsplazalniento.

Aunque la explicación de lo anterior se analizard con rigor cn el

enfur¡fe 2.6.5. sé pr¡ede ¿itlelantar una respuesta intuitiva. Supóngase qtle se

¿'.1?" "-r,-.ilniro ¡i'"poeación de energfa électromagnética a lo.largo de.una

línea lilrl la (que lio iieñe derivuciones o consumos dc cilrgn ¡ntennc(ll(ts)'

üil;;;"ffiil"r,:,t dos secciones I y 2 de ln línea ante¡ior separadas utra

iiiioit"i" t t t"r tas que circulan unas.conientes vnriables i¡ (t) c i2(t)

i"ip."t¡uu."nü. S"gUn la teorfa de circuitos ambas corrientcs dcberfan scr

ffiiü;, ;Oárii iü ¿rUe cumplir la igualdad: i¡ (t) = i2(g . Sin embatgo,

uirt¡runáo con dsralte l¡ situ¡bión se demuestra que csta igualda¿ no es

iffi;i;'; general, púósó i¡ue debc tenerse en cuentir que la. propagación tlcl

i;;ñ;r; rTe.roniigriéi¡..i no es instantáne¡. Si se cbnsidera por cjem¡tltr;ú; ü;;;üii iiiEi rtrerna sinusoirlalquc obedece a la expresión i¡(t)

= I,,, coS ort, donde <o es la pulsación de la señal en raüs y que es igual a 2nf

¿o'li. i r.pr.senla la frecuencin de la ondn; la expresió.n de la conientc i2(t) crt

ia s".c¡On alejada, estarú retrasada respecto_0 i¡(r) el tiemporequerido ptra

oue la corrienie ltesue a In sección 2 y que si se denomina c a la velocidatl de

il;;pü;;i;;-.iál¡ri"nuf en el conduóror ( velocidad de la luz en el nredio )

conesponderá a un tiempo I =lJc y por lo tanto la corriente i2(t) obedecerii a

(2 .5 )

t ) = Im cos ( (Dt - q), donde I = o)xlns corrientes it(t) e i2(t). Puctle restlltari¡ = lnr. Teniendo en cuenti l la rel¡ lciórttle ondu y frecucncil se puede escribir':^\ .L ZnL¿Ifl c I

(2.6)

tlc ircuer¿1¡ c¡n la ccuació¡r tnicrior, el rctnrdo de fase es despreciitble¡¡lenlepe(lucr-lo si sc cutnple:

I 0 3

E LECT'llOlv{AC N E'n S ¡vl0 Y C I RC UITOS E LECT RJCOS

L < < ) r (2 .7 ¡esta desigualdnd sc denominn condición del canrpo eleclrontagnéticrlcunsiestncionario. Por consiguiente si se cumple (2.7), las corrientes i¡(t)e i2(t) scriin iguales y se cunrplirá el principio dc la constancia de la corrienteinsta¡rtineu en todas las secciones del conductor.

Por ejernplo en el cantpo de la Electrotecnia se manejan se ñulessinusoitlalcs de una liccuenCin rJe .50 l{z (en Europa), que colrespo¡¡den a unit

longitud de onda l. :

tt = ; =.1¿rll =6.to6m=6oook¡n

cn la ecunción anterior c fcpresenta la velocid¿rd de propagación de la luz. llstáclnro r¡ue unt ntáquina eléctrica tiene unas dimensiones mucho menores que6000 ftnl y (lue por consiguiente su estudio se puede realizar co¡no si serrflrnra de ún óamio cuasiestacio¡lario. La teoría dc circuitos que sctratará miis¡rleltntc e¡r este iexto pertenece también a est€ campo cuasiestacionario. Encstas con<l ic iones se puede hnblar de un circui to con parónletroscrxrcentrados, donde sdn aplicables los lemas de KirchholT y donde resultanliis conveniente manejar ias ntagnitudes de tensión y corriente que loscÍ¡rnf)os elecromagnéticos. FIay que tener en cuentn sin ernbargo, que culndosc trirta en Electrotecnia, el estudio de una línea eléctrica de al¡a tensiólt, cuyasdimensiones son superiores a 300 km entonces la teoría de circuitos deKirclrhoff ya no es a¡ilicable, pues la dimensión del circuito es en cierto ntodocom¡larable a la longitud de onda de la señal que transporta la línea (mds del/20 tle l¡¡ longitud de onda). En este caso se clebe utilizar la teoría de¡rnrr inrelros dlstr lbuidos ¡r lo Inrgo de toda In l fneu, ounque siguensubsistiendo los conccptos de tensión y corriente miís que los de cantpos.

En el cnso más general de carnpos electromagnéticos conviuiaciones rripidas, las dimcnsiones del circui¡o resul¡an comparables a lalorrgitud de onda de las señales. En este cüso no tiene sentido hablar detcnsión y coniente sino de campo electromagnético. Es preciso enloncesconsiderlr las ecuuciones tle Maxwell (2.1) sin ninguna restricción, ya quc lacorriente tle desplazamienro deji de ser despreciable, pues se tiene un efectorlc propngación de ondas. Esta situación se presenta de un nlodoclaro en latécnic¡i dé lus telecontunicaciones, donde se em¡rlean señules con frecuenciastlcl ordcn de kilohertzios, megaherrzios e incluso gigahcrtzios (lC Hz = 109llz) . Si se consideru por ejenrplo una señalrle I gigahertzio, la longitud deonda conespondiente scría:

I04

r = Z = 3- '-1i) t- =o,3onretros'L t ro9

Fig. 2. I

l l= ( ) : r r t t l l = . l

l ()5

DIVISIONES DEL ELECI'ROMAGNSnSMO

los equipos de radar que emplcan señalcs ¡l es¡as frecuencias lienen ya

¿ii".n"ió"ti comparabies a la'longitud rle onda anterior. y por e llo no ticneiinii¿o hablur en este cuso de teoiia rlc circuitos sino de teoría del campoelectromagnético.

Aunque los conceptos que se acaban de presenrar en este epígrafe,ser¡ín demos¡rndós más adelañte, cónviene resaltar nuevamente cl he-cho (qu9

nur,ll ¡tpttt¡onut a algún lector) dc que la tcoría de circuitos de Kirchhoffliuó r. C.i"o"e rle un cürso de Ffsica ólásic¡, es una teoría porticulnr.y.porJonrlsu¡enr" no válida en generat, sólamcntq es oplicuble en el caso de la bajairecuEn.ia. curndo hs iiin¡ensiones del circriito son ¡rluy.pequeñas en;;;;;;ñl¿"con la longirurt rte onda de Ins señrles implicadas. La únicai"uiíJo¿ i"n las ec-uaciones t le Mrxwell que son de validczgenera l .

En la fig. 2.1 se muestra un cuadro que sintetizalas secciones e¡loue se subdivide eielecnomagnetisnn, con Ins écuaciones de Maxwcll n lnsiiüó óiii"""n. Aunc¡ue en elépígrafe 1.6 del cupítulo I se hizo un estrdioi'ofrre io inremrerucióh físics de ialccunciones de Maxwell, creenms que esrlesiun-intrt¿s'pctlagógico dar un repaso en los epígrafes siguientes, dc lasdiferentes seóciones en las que se Subdivide cl electrontagllellsnlo nunqueiOtur.nt. sea a modo de resumen, püril conectar mús lielmcnte con la realirladhistórica.

cAMros IEsrAncos t

ELECTROSTATICA

MAENÉTOSTATICA

cAMl0 cuAsl-

ESTACIONARI()i

CAM¡N GENEITAL

t l i v D = P v i r o t E = 0

t l i v l l ' 0 ¡ r r l l l l ' J

d i v l ) = P v ; r ( t t f , = -

rliv ll = (l : rttl ll = .l

D = P v . r r l t l ' l =

{

ITLE,CIROMACNmSMoa!rJ t

CAtvll¡OSVARIARLES

,)U

d t(�l)

+,Jr

f div

1 divELECTIION,IACNETICO

EI-ECI¡OMAGNI-IISMO Y CIRCUTrcS ELECTRICoS

2.2 [LEC'I'ROSI'ATICA

2,2.1 CAñlPO nLDCTnOST¿lTlC0 Y P0'l ' t iNCtAL li.SC,lL¿tR

Lu electrostdtica se dedica al estudio de los campos eléctricosprotlucidos por csrgns en reposo y donde se considera que la densidad decarga cn cudu punto del cspacio es independientc del tientpo; por lo tanto sesupóne t¡ue ll ilensidad dc corriente J es igual il ccro; es decir, aparte de qucIni nragnitudes eléctricas son constantes con el tiempo, se co¡tsidera que noexisren fucntes quc puedan originar un fenónrcno magnético. [,as ecuacionesdc lvlaxwcll t¡ue rlefincn In elect¡ostiítict son de acuerdo con h fig. 2.1:

n ) d i v D = P v

b ) r o t E = 0(2 .8 )

(2.9)

( 2 . l 0 )

estas ccu¡tcioncs tonradas corno postulndos junto con l¡¡s relnciones exislente s

en los medios expresitdns en (2.2), en particular la ecuación D = € E y la leyde fuerzas rJc Lorentz. (2.3), tlue en electrostá¡ica se reduce I F = QB son lasecuaciones l¡¡isicas dc la electrostiítica.

Co¡¡to yn sc vio en el epígrafe 1.6, la ecu¡tción n) de (2.8)tle¡m¡ninada ley rle Gnuss, pennile calcular el campo eléctrico prorlucirlo porunn tlistribución de cürgas. Asf se demostró en e I ejemplo tle lplicación 1.2de I capítulo I que el cirnrpo cléctrico producido Por una cilrgil ptlr¡tuül t¡, a una

dislanci¡t ll, etl un medio tle pernritividnd €, erl igual a:

qE - t p -

4ne Rz

F = tl 'E = fl- -!+4ne R-

V/m

cn la f ig.2.3a se nruestra ln situ¡rción de la cargn y.el..ptrnto l t . t londe seq¡lcuta fl canrpo eléctrico. El vectbr uni¡nrio a¡ sigue la dirección de la cargui¡l r¡unto. .Si en el punto P se coloca un¡l cilrgil t¡' (que no perturbe el cnmpo),rJeircucnlo con lu icy de Lorentz se veri so¡nctida a unn fuerzu:

r06I r)7

DIVIS IONES DEL ELECTROMAGNM5 MO

/ - - \

IIII\

\ : . - r -

- - - '

a )

Fig.2.2

ecuación que representa la lcy rle Cotllonrb de fuerza entre cnrgilseléctricas. Se observa en (2.10) que si q y t1' tienen elnlisrno signo, la fucrzasolrre t¡' (existe otra fuerzl igua[ y.colitraria sobre Q) cs de repulsitSn conrttindica e¡'uetto. a¡¡ mientraique si q y q' son de signo contrario, h fucrznserá de atracción (en el sentirlo de -a¡ ).

si la cnrgir puntuat q se sitúa en u¡r sistenta de coordenRdas conrose ¡ur¡eslra en la fig.-2.ib, el cunrpo eléctrico producido en P, de acucrtlo co¡¡(2.9), tlontle R = I r- r'1, serl:

b )

E ( P ) = a P

y co¡n0 Ír¡1 rcpresent¿l el vector unit¡rr io qr¡e va desde el

l ¡ t c i l rg i l , - ü l pu¡ l to P donde Se calcula e l ' c¿lmpo, Se

clefinición de versor:r r '

a¡¡ = ilr :'ui

de donde (2. I I ) adnri te frrnlta:

(2 . 1 1 )

punlo rlolrdc sc sitr i¡rpodri i escribir por

r i (P ) rd f f i

(2 .12\

( 2 . l 3 )

si se tiene un sislema formndo por varias cargas puntuales, el carnpo total enun punto, serú igu¡l (por superposición) a la suma de los campos crcndos porclda cargr dc este nxxlo se ol¡tienc:

ELECTROMAON EnS MO Y CIRCLTNOS ELECTRICOS

t i = - . l . ,4ne

rlr (r-rrk)_FFtr ( 2 . l 4 )

( 2 . 1 5 )

ik = l

do¡rde q¡ se indica el valor de cada corgar r'¡ expresa el radio vector que une

el origen con cada c¡lrga y r el ratlio veclor que define el punto donde sequicre calcular el camPo.

La ecuación (2. 14) nos da una idea para poder calcular el canlpoeléctrico producido por una distribución coniinua de carga.de cualquier

c,eo¡¡etrí4. Considérese por ejenrplo la distribución continua de carga de lañg. 2.3. en la que se riruestia ún volumen V'con una densidad de carga

volumétrica pu. Si se tonla un dv'en la disUibución, éste contendrá una carga

puntunl dq = p".tlv'quc pro<lucir{ cn cl punto P un campo dB, según (2.13):

p- dv ' ( r - r t )d E =

' �

4nel r-r '13

Fig. 2.3

si sc rlesea calcular, et canlpo eléctrico total t¡ue produce la distribución dec¡uga cn p, habrá que sumai de acuerdo con-(2.14) loscampos quc producec;rrñ rlifcrencial de carga. Co¡no la distribución es con¡inua, el sumatorio de(2.14) se convertir¿i en una integral y se tendrií:

P f x r ! r z l

IOtt

y e xpresilndo el operador laplaciano en coordenadas c&rtesianas resulta:

t09

D¡VI SIONES DEL ELECTROMAGN EnS MO

[ ,=J-4ne

I P,jt:t') ¿u,J. lr-r'13

(2 . l6 )

Debe destacarse que la integral (2'16) representa xn campo

vecrorinl, l" q"ii¡gr¡f"á iUá p'go calcular-el campo E, dlbenin calcularse las

;;;;iñil;g;J.r "*¡ttálE;:E;'

Ez Por separaüo' Dicho de otro modo la

".uufiOn (2.16) da lugar en'üenéral, a Ucs inteeralcs dc volumen' un¡ para

catla componentc del óampo. La simetrfa ¡te la óisrribución pcrnritirií prcver

ffi;ñ;ü!üi'ri-"*¡t," ofiuna.omponcnte dbl canrpo que sea cero, evitando

de esle nrodo su cilculo.

si la disrribución de campo no es votumélrica, sino superficial de

ctensidnd p¡ (c/nr2), la ecuación (2.16) rambién es válida con sólo cambiar el

diférencial de carga p" dv' por p, ds'. Del mismo modo' si la distribución cs

lineal de rlensidad p¿ , deberi cambiarse P" dv'por p¿ dl"

En la próctica, el cdlculo de campos elécricos sc ve facilitado si seemotea el concepto {e-poiencial escalar. Téngasc cn cucnt¡¡ según lo estudiado;;'!'i;"fdi;ib, óué t^ segunrlu ecuacióñ (2.8) nos indicn que el cnmpo;il;r;;ríú;o es ¡rnitacionull que por lo ¡anto deriva del gradiente dc unafunción escalar V, es decir:

r o t B = 0 = + [ = - g r a d V (2. l7)

D - P v i I

(2 .1 8 )div (e E) = r divfi = e div (-grad V) = Pv

ahora bien, de cilculo vectorial (ver apéndice 2, epfgrafe 5.4) sabemos que

div (grarl)=V2 (operador lnplaciano) y por cohsiguientc la ccuución (2' l8) se

conviene en:

reniendo err cuenta ademis la primern ecuación de Maxwell div

supuesro ufl ¡nettio lineul, honlogénco e isótropo se tendrá:

VzV - - P!.t

(2. l g)

ELEC'|ROMAGNffi.SMO Y Cl RCU[[O.S ELI:CTR ICOS

a2v azv azv puF p + a r {

+ ñ = - ?

(lue cs unil ecuación diferenci¡rl en derivndfls pnrcinles clcnonrinadade I 'oisson, que permite calcular V en función de la distribución

(2 .20)

ecuacirilttle cargils

(2.2|'�)

p". Las constantes de integrnción se determinan conociendo Ins condicionesde contonro del potencial (condición de Dirichlet ) y de la clcrivada nonnal del¡rotenciaf ( corulición de Neunann ¡.

En el cnso partic'ular de quc se tenga un medio en el que no

cxist¡rn distribuciones de cargl volurnétricn, es decir con pv = 0, la ecu¡ciónrle Poisson (2.19) se coltvierle en:

V 2 V = g

(lue se deno¡ninn ecuación de LaplaCe. Las soluciones cle esta ecuación serienonrinirny' urciones arnúnicus. En una gran pürtc dc las aplicaciones, estasitr¡ación se protluce cuando se desea calcular la distribución del potencialdebid¡r a una .serie de conductores colocados en un nredio, y donde se conoceel vulor de sus potenciales.

Ln rcsolución dc las ecuaciones de Poisson y Laplace requiereprocedirnientos ¡le ciilculo cspcciales que no sc van a tralnr aquí. Por ejentplo,él procetlimiento riguroso dé crilculo rle In ecuación de Poisson ltace uso delas funciones de Creen (ver apéndice 2), sin entbargo vnmos a tra¡nr dc daruna solución dc la ecunción de l'oisson de un modo nrás infornl¡¡|. De lasecuacior¡cs t2.l6) y (2.17) subernos que se cumple:

E = d v ' ; E = - g r i l d V ( 2 . 2 2 ) '

tlo¡rde:

t ' - r t '

" * (x-x ' ) * o , (y-y ' ) * ü , (z-z ' )

Puede demoslr¡lrse (vcr ejcrnplo de nplicación Ne 7 del apéndice2) que el gratliente de la nragnitutl escalar l/lr'r'l vale:

I I Pu ( r - r ' )a -

lne j . l r - r ' lJ

. I ( r . r t )g r ¡ I d lm= -hF i i

l l 0

( 2 .23 )

DIVISIONES DEL EI.ECTROMACNMSMO

esto intlica t¡ue la expresión (2.22) dcl cilmpo electrostático produciclo por unil

distribución-volumétrica de ciuga se puede escribir:

r=*J*rn , r$n" dv ' (2.74)

(2.2s)

Dero conlo el operador gradiente sólo afecta a las coonlenadas (x,y,z) y.la

i-nt"giui *" refilre a las" coorde¡radns (x', Y', z'), se pueclen interci¡nlbiilranrbas operaciones Y nos queda:

q¡e irl cgl¡rpilrar con (2.22) nos da cot¡lo solución del potencial V:

(pte a¡llicando a una carga puntu¿tl conduce il:

[i = - gril,f J- [f'" 1'14ne { I r -r ' l

I f P " d v 'v - - l -

4ne J. lr-rtl(2.26)

v - - l4ne

en el cÍIso de distribuciones

q

ñ¡l (2'27)

de carga superficial, el térrnino Pv dv' de l a

seecu¿rción (2.?6') clebe transformarse en Ps ds'; y pari l cargas l inealcs

transfornra en p¿ dl'.

Ln ecuación (2.26' es simplemente In solt¡ción de la ecuoción dc

Poisson (2.19) y permite calcular el potencial V producido ¡ror urtu

rlis¡ribución vohímétrica de clrga. Debc destacarsc no obstante, que pilril

aplicar (2.26'l se requiere t¡ue ll tlistribución de la carga sc sitúe. en una z¿¡'t{t

finiut det esniacio v ie tenga normalizado el potencial con un volor cen¡ cn cl'¡,r¡nit¡.

Lii vcnrirja rie utii izar el potencial escalar en los ciilculos de catttptrs.í,¡u" (2.26) re¡riesentl u¡ra solit integral escalar (en vez de tres que eran',.."rorius p,ito ót cálculo de E). De este modo calculado el.potencinl V, sepr,e,tc .te.iulir a continttación el carnpo.E, aplicando el operador gradicnle, tallomo indicn Q]|\. En tle finitivu óada componente del campo se ol¡ticr¡eco¡no derivnr la del potencial respecto i r la coordenada cartesial tacorrcspondiente. Est¿í ólaro t¡ue E no puede ser infinito, -lo t¡tte eqttivirlc ndecir tiue las rlerivatJns del potencial respecto a las coordenadas dcbcn serfinitas.'De estn nlilner¡r el noténcial esc¡¡lniV ilene que ser unafunciónJ'ittitu ¡'continua con ¿lcrivatlas liitittts respeck, u kts coordenadu . Estas contlicione so pro¡liedarJes rlel potencial son dc grnn vllor para resolver las ecuncioltes dcl-aplace y Poisson.

i l l

ELECTROMACNTTISMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

En aquellos ejernplos, don<te la simetrfa de la distribttción pennitetlcterminar fi coh senciliez,'se ptrcde calcular el potencial V a partir de E,tenienrlo en cuenta ta expresióri(1.S9) del capítuio I que potlemos cscribiraquí así:

;v - l B . d l

lIlor ejernplo, si se conoce el campo eléctrico prducido(2.9):

(2.28)

por una cÍuga puntual

(2.29)B = a '-tJ-'1 4neR2

el potencial en un punto P a distancia R de la carga seri:

f r t! = l t o R - j - ) ( a R d R ) =

ñ 4reR-(2.30)

4reR

y cot¡lo quicra tlue Según la fig. 2.2, se tiene R = lr'r'1, la ecuación anterioróoincidirii con la ya dernosuada en (7.27),-

Iin la fig. 2.4 se muestra un griifico en el que.se representan lasrclnciolres nrús inrpñrtanles que tienen lugar en el campo electrostáticor y queresurnen los conceptos anteriores.

D'¡ t.l

Fig, 2.4

I 12

y p )r cons¡guiente el valor del carnpo eléctnco resulnnts scrá:

r r3

DIV¡SIONES DEL ELECTROI4AGI{ETISMO

EIETIPLO DE APLTCACION 2.1 : CAII IPO Y PATENCIAL DE UN

,INTLLO CARGADO

Iln aníllo dc rúio a, ticnc uru distribución d¿ cugu lineol de dercidul p¡Ctnt.

Calcular el volar dcl campo eléctrico y cl potcnciul en un punto dcl cic del anillo distonrc de

su cenlro 2 melros,

soLUctoN

En la fig. 2.5 se m¡tcstra l¡ distribución-dc carga. El camfn dE quc pmduciró

un rlifcrcncial dc carga rtq = Pl rll del a¡rillo situado dn el punto P. en cl punto M disuntc z

metros del centro del anillo, valdnfi

d t i = r r # #

2or r l ld E r = 2 d E c o s O = &'"- -

4tE so 12

I

' t

I

Fig. 2.5

Se obscrva por la simctría dc la figurl. quc cl difcrencial de carga cxis¡ente encl punto P'opucsto a P prrxluce un nródukl dc tlE idéntico al anlerior dc tal ntulo que lacomposición de ambos c¡rmpos diferencialcs da un¡¡ resultante cn cl cjc z dc valoc

; d l = a d oLf

EI.EC'TRONIAGNEnS¡V|() Y CIRCUITOS ELECTR¡C0S

tr - Ptl .É¿ Zregrj

yaque r= (ü2 * r2 ¡1 f2 .

El valor tlel porcncial en el punto M scrl igual a:

1 f i z a d zI f f iL 2 r" aoz * 22 ¡ t tz

EIE¡LPLO DE APLrcACION 2,2 : ECUACION DE rO'SSO'v

se disponc dc un conductor coaxíal formado por dos cllindros tis.2.6) de

radios a y b. Et ciliidro inluior está a porcncial V6y cl extcrior a po!¿nclal cero |ticrra). El

espac'n cntrc los cilindros conticnc u¡a distribuclón de carga ¿n densidad volumélrica pu =

po h. nesolvicrulo la ecuación de Polsson en coordcnaüs cillndrlcos, calcular el volor dcl

¡ntencia! v en la zotw conryrenüfu entrc los cilitúros, si la pcrmitividad cs e,

Fig. 2.6

SOLUCION

La ccuación de Poisson indica quc:

v 2 v = . &e

como la disuibución rtc carga de¡rcndc únicarncnle dcl radio, la erpresión del laplaciltto en

cillndric¡s (ver tabla ne 2 dci a¡róndice 2 dcl rlct tibro) sc re¿uce a:

d , d v . P 0ü ( f T ) = - ñ

J a d a0

= P r t ' o = = =z ; ; ( a r * z t , t t 2

v ¿ j r . o , = j t r . d 4 , =0 0

tlc dontlc se dcduce:

cs dccit:

i l 4

!r

PJ!t

!"ú

d V P O= á r ü = '

; rt t ' $ l = + A

l i = - g r a d V = +

r t5

DIV|SIONES DEL ELECTAOMACNETISMO

v = - g l t j + A t n r + BI

l¡s condicioncs dc contorno son :

V r = a : + V = V 0V r = b : á V - 0

sustituyendo cSt¡s condicioncs cn la expresión del ¡ntcncial. determinaremOs las constantcs

dc inrcgración A y B, y rcsulta un valor final del potencial:

v = + (b - r ) + t Vs- + (b-a) l i f - [H$

I;.JEITIPI,O DE API]CACTON 2,3: ECI]ACION DE T'APLACE

se ticnen dos esleras metálicas concénrlcas de radios a y b (a<b) ' La csfcra

interior tiene un potenciut vo-y la exerior está conectada a tierra (potencial cero)' No cxistc

ninguna distribución de carga cnlre las esferas. Calcular: a) Aplicando la ectmción de laplace

cnZiorrtenadas esféricas, íl valor del potencial enne las esferas. b) Cantpo eléctrie-o en esta

zorn. c) atrga total de la e$ero interior.

S O L U C T O N

l)cbi¿g a la simeuíír dc las esferas, cl ¡ntcncial tlc¡rcnttcrá únicalnentcdcl radio. I)c csto

r¡odo la ccuación de La¡llacc (vcr tat¡la n0 2 dcl a¡réndicc 2) nt¡s dr:il)

V 2 V = 0

quc al irrtcgrar da lugar a:

' '1I =Al i ls contliciones dc contorno son:

V r= a : a

V r = b : : t

tlc rhrxlc sc tle¡lucc:

V = .

V = V 0 = á V 0 =

V = 0 = + 0 =

I::) '7

r o * ( "+)=o

? + B

A + Ba

+ + Bt)

v = H ( ? - r )b) El canrpo clcctnco en cü)r(lenatlas cilí¡rdricils será igual a

l i = - a r t =V o o b

^ r ( b * ¡ ¿

ELECTROIIIACNETISMo Y CIRCU|TOS ELECTRToS

c) [il dcsplazanricnto clÓruico D valtlr¡i:

D = e o E = " , # * #

quc ctt la supcrlicie dc la esfera interior será igual a:

. E g V ¡ bD ( r = a ) = a r G : ; ñ

y la carga tout do esu csfcrt se obtcntlró aplicondo cl |eo¡ema de Gauss, resuhando:

Q = {o . "

= D( r=a)S = D( r=a)4ru ' = 1 j f f i

ttIDbtPI.O DE APLICACION 2,4: APANTALLAUTaUTO ELIiCTRICO

En lalig.2,7 sc mtustra uno eslera conductora maciza d¿ raüo a, rodeada por

otra nrcttilica y lueca, concéntrica con la anterior de rsüos interior h y crterior g' Se aplica

una tcnsión de Vo voltíos a la esfera interior. sicndo la permitividad de todas los zonas eo.

Culcular : u) campos y potenciales en todos los puntos del cspacio (zonas 1,2,3 y 4) en

función le la caiga depositadu por la batería en la eslera intcrior. b) Valor de la carga Q. c)-Se conecta la cslcra ftueca erterior a tierra (potcncial dc 0 voltios) pcrmaneciendo la interior

en Vo voltios, eletermi¡ur la nueva carga Q' que adquirirá la gsfera intcrior 1 los cotnpos y

potenciales en todos los putrtos del espacio. Dedwir concltulones prócticos'

Notu.- Ilesolver el problenut

tt ig. 2.7

uplicando el teorema tle Gauss l*'

(t) Ett" prohlema sc pucdc rcsolver también integrando l¡ ccuación de Lrplacc en c¡¡ortlcn¡<l¡5

csfér icas

l t 6

T

DIVI S IONES DEL ELECTROMACI.IETISMO

S O L U C I O N

Si dcnominamos Q la cargo tte la esfcra interior, al ser ésn conductora, se cnconlrarárepÍrtida cn su superficie, de tal modo quo cl campg en_91 interior ssrá ccro como

conesp<lntle a un conductor el electnrstáúca (ver cpÍgrafe 1.5), cs dccir

E ¿ = oparu calcular el campo elécuico en la zona 3, sc elegiró como superficic tlc Causs unaeslbru dü rudio o<r<b, y sc tcntlr¡i :

E3 = ar il#"¡Denrro dc la esfera hueca cxrerior, al scr nmbién metálica, se tcndrá un camF) nulo. csúrcifi

E2=o

este resu¡La(lo requicrc algo de atcnción. Obsérvese que si sc desea dctcnninar el caln[neléctrico en esm zona habrrl que elegir una sulrcrficie de Causs de radio b < r < c. Paraque el canrpo dentro de este óonductor seü ccro, no quedará nrás remedio que scgún el

rlorcma de Gauss, la c¡uga total encenada ¡nr la csfera de integración sea cero. Comoquicra que la c¡uga en la esfera interior recibida de la batcría es Q, tleberá existir en lapurrc inierior de la esfera exterior unl cÍuga -Qigual y dq sentido conrario a l0 anterior(tcrrónrcno tle influenc¡il eléctrica), Ahora bien conto la csfera extcrior está aislada,y tlcbitfo al principio tle conscrvación dc la crrga, cl valor total dc la m¡sma dcbc scrnulo. Esto requie;e quc ¡tpÍuezca una carga +Q inrlucitla por influencia en la parte

crtcrior ¿e la csfera hucca. Debc rccalcürse, nueví¡mcnle, que debitlo al carúctercon(luctor de las esferas, rodas las c¡ugirs exisdrá¡r únicamenle en la superficie.

Para determinar el camg) en la zona I, se debcrá elegir una csfera dc raclio r>c ytcnicntfo cn cucnu el reporto de cargss estudiado, quc se nlueslra cn la ftg. 2J.,rcsult¿uá ulta carga tonl encerroda: +Q'Q+Q=+Q, lo que da un resulhdo:

l i t = ! r - - "P '4 r E o r 2

que coincide con el cam¡ru elécuico dc la zona 3, (es como si no exisricra la esferithucca). Para calcular el valor dc los florcnciales, se tomará como refercncia dc 0 voltioscl poter¡cial cn el inl'inito. Ds estc mulo se lcndl-á er¡ la zona | :

v¡ = j nr .dr = i th

r r r =J ]

v 2 = V r ( r = c ) = d *

a4 n e 6 r

r:n pnrticular. cl vaklr dcl potencial anlcrior para r=cr nos dürá cl potencial tlc la csfcritr nct¿ilica cxtcm¡¡, (luc al scr conductofa cs cqu¡Fltencial. Es tfccir:

I 1 7

ELEC¡R()MAGNE.nSFI0YcIRcUtTosELEcTR¡c()s

En lit z.onü J, sc tcndró:

V3 = v2 + l i 3 . d r=#+ I t * . u '3

,bscrvcss cn la cxpresión ünrerior que si el espcsor de la csfcra hueca es pequeflo (c =

;t,;a ¡xltcnciol cn io tono 3 cr¡incidc con cl de la r'ona l'

El valor 4cl potcnciul tlc lu csfcril inrcrior sc obtcndró hacicntlo r = ¿l en v3' rcsulutndo:

v 4 = v r ( r e , u ) s ¡ f i ; t i +

b)Comor¡r r icraqucV4csc|potcncia|ap| icar |ocon|abatcr laextcmaqueesigualaV6'sc Endni:

v 4 = v s = # - t : +

dondc sc obúenc lo cilrga Q:

4 t t E 6 V 6a = f f i

; + ; - r ,

c) L¡ siruación que sc úcnc ¡rrnra es rü indicada cn la [ig.2.8,

I t ig. 2.8

si trcnrrminnmos e, ra nucvi¡ cirrgir cn ra csfera interior comunicüda F)r la batería Vo'

sc tcndrú prlr inllrrcnci¡ unn cürgn -Q' cn la pute intcrior tlc la csfcra hucca' (lc cstc

cs rlccir:

i i r

i - f l

L . L la b t

I l f t

I 1 9

DIvISIoNEsDELELE,CTROMACNE-I]S¡yIO

nrodo se consigue que cl campo elécuico en la zona 2 sea cero' Por el principitl dc

conscrvación dc la cilrga, aparccerá una .rqu +Q' en la parte-,extcrna de la esfcra hucca'

pero como esüa esfcra es.á conectada a iirrru, la carga Q'; ernigrará. a dena' pitril

irn¡on.r qtte cl ¡ntencial de esta esfera sea nulo'

f)e csts modo si sc eligc una esfera de inrcgración dc causs con f)c. la carga total

contenida tlentro de estc rec¡nto scló: *Ó;'Q;= 0 (concs¡nndicntes a la esfera i¡tteritlr

y a la parte interna de la esfcra r¡ueca).-Es inmediato tlemostrar dc este modo que los

1;u*¡ror eléctricos en las cuauo zonas del espacio son:

t ir =o ; Ez=o ; Et = ̂ r t ; fu : E¿ =o

y los ¡xJrcnciales en cadü zona serón:

v i=18 d , = l " f i Fd r =# - t i3 r

V 4 = v r ( r = a ) = f t t l

y cof*' q'ieril (l,c V4 cs igual a la tensión tle la baterfa v0, sc tcndrú:

vo= tr- t

V¡ :¡ T

Er . r l l '= 0 )nQuefi¡ ÉÍ 0 i Vt = V¡ (r = c ) = 0

*l

j n g r t v ol li l b

l i r *

l r

Q'=

que seril la nueva cafga quc adquirini la esfera interior'

Esros resulü0(los ticnen consecuencias prácticas im¡rorlantcs. sc observa que si sc ro(lea

l¿r csl.e¡a i¡rrerior l,or otro ltuccu conücl¡xlu e tlerin, ltls efcctos clel cilmlx) iltlerior ntl

sc nlilnificstnn efl e¡ exterioilo tanrbi¿n at rcvés' si se riene ull camllo cxtcrior' dstc lto

sc ircus¡r cn el intcrior dc In esfcra hucr:a, sicrrrprc que esré conect'¡lda a tien¿l (En ciu() (lc

cst¿lr la csfcra lrutxa aisl¿nla, los efectos de cum¡n se mÍniticsnn en iulll)os scllti(tos'

sicntlo in{ilercnte que exis¡l o no la esfera hueca)'

Dccstemot|o,unitenv0huq@(1u'.puedc'lgu$estafconstittríth¡nrun eluei+dq fr.rerálico) concciÍla a ti**@lgi, divitlc amspacio en dos regiottcs:

i n t c r i t l r y c x t c x ¡ ñ l l n t u t � s e [ o r m a d c c s t e m o d o l o ( l u c S cttcnomina p!,'!a!!¿*Iisiri**j.+¡lgg-t*Sl' por ser gste investigatlor quién

conrprobó ñe renomcno por primcrf vill-a-laula tle Faraday qg-9.qplc¡r crt

laboratorioulc-tlterlirlarir0djgglÉlgisü'io* oistario ttc las acciones eleclroiiñiióCs

ELECTROMACNMSMO Y CIRCT'TTOS ELECTRICOS

cxreriores ('). pn los u¡ui¡ros elcct¡ónicos, sob¡e todo cn sirrs[Er!glot!id9-0g!!q-lirtelidnd (lllFl). sc nrocedc.alblinüie rlc los cables rh audio pa¡a cviur interfcrcncias,to quüilC6'ñbiÉii'déiilpteánrlo un cablé?óIliiai,-rlóiüd'liFanÉc-x-ién¡á-qrid sa-'cdnAEAla riiasa-(éha5¡O'ilól-e¡lü¡ru é3 ún tbiidubtor bnmaltádo. [¡s cablé-slütjie-diiéiís-Ílótransfxlrtc y disrribución de energla eléc¡¡ica esuin rodearhs por trna funda metálica quesirve dc pantalla para protegerlos dc las influencias atmosféricas. Elhilo-gle cuard¡rtue es un conduclol.que.se-coloca.r ln largp-fle-toda la.!in91,,9.1.F.-Ury-f. n$¡!¡1-¡lglos a¡royos o tones.dc-0hS.tglS_l0n y quc está uni¡lo a ticrra a uavés rle Ia esuuclurarncróiicade-tosapoyos,4ousúiwE¡rna-jaule-{e rgatla:r=iTg.$-plgg_q,u" pro'ie¡ió a-lñ-| írcs.dc l¡s sobrcc¡rsirioes sunosféric.¡¡.gSmo_€¿gJ$g$¡:¡f .

-

, i lEiIPt.O DE APLICACION 2.5 : DISTRIIIUCION DE CARGA F.NCONDUCTORES, EI:EC'I'O PUN'I'A

Se lienen dos esleras conducloras de radios R ¡ | R2, rcspectivamente'queestán separodas una Bran dinancia D>>R t , R2 como se ve en lalig.2.9, de tal modo que

se puaden estudiar ambas esferas como si estuvieran aisladas (sin intlwncia mutua). Se unenunbas esferas por medio de un hilo conductor M, y se deposita una carga Q total en lusesferos. Calcular :a) cargut quc adquirirón cada esfera. b) Can¡n cléctrico en las supe(iciestk ambu esferas. Deducir concltuiones prócticus.

l ll D l

Fig. 2,9

S O L U C I O N

Si denominamos Qt y QZ las carg¿N que tom¿uán cada una dc las esfcras y tenicndo encuenta que formon un conjunto equ¡fxttcnciül, al igualar los potcnciales dc catla una setcndrá:

Qr - -*92---- d 9r- l r4 , r e o R t

= 4 " E l R , s

a t = r a t

(t) To.tor tos lcctorc¡ habrln observado que al viajar cn cochc. oycndo unx-¡¡¡i56¡a¡ts-t¡rlio-ósrant,cnar ¡e l¡.1gg-rur.lihlc--¡-l.Illg¡-pg1.ul.-túee!--o-p¡sg.sUhtgg-t".eE .tg-!gi!lcs-rb.hie¡ro.-{q. las

1n¡áittiil¡1-rl-eluglq$-1lly.¡t rlcl túncl for¡na¡r un¡ rutdnticr jaule d:_ Frt4g:-g5J:jtrl¡-gritrad¡tlcúia-¡eñ.alradig9.É_B!:.11l¡irt¡p-,¡--d$-tl.--

r20

DIVISIONES DEL ELECTROMAGNENSMO

cs rtccir l¡s cügas se rep¡¡rrcn dircct¡mcntc proporcional a sus rarlios. Como quicra que

la cargt tou¡l cs Q, sc puede cscribir:

Q = Q r + Q rdc ¡lorxle ss dcduce:

o , = q ! * a : Q z = u i k ; o

b) Los cam¡ns eléctricos en las superficic¡ dc las esfer¡s scrán:

Et rup= t;fu ; E2 ¡up= . "**7

dc dorxle sc deduce:

E r r u o - . l a , z 9 l - , & r z l L = &

ñ ; = ' R ; ' -

Ó ; = t R ' ' - R 2

= R i

se observa cntonces que los ctmpos etéctricos son invcrsantcntc propnrcionales a losradios. sien{o más elávado en la superficie do la esfera mils ¡rcqueña quc lienc mcnorradio 4c curvgtura. Es|a es la razón ¡nr la cual la distribución de lo corga stlbre unconductor dcpendc de su forma. El campo.cl&tricncsJ¡cmpilU$-lntenso ccfc¡ tlc li¡sssqu¡nss+eJir¡a$osi" Inc s'frcrficies equipotenciales, (efeg¡gllc lq¡ puq!S)-[nr csu¡razón se evitan pmtas agudm en loc er}'ipo¡ de altn rensi4n. Clpdp.gl 9a-qpoeléctrico cxcede.un valor crítico Er.denominado tcnsión tlc ruptura o r¡g¡dez¿ieléctrica. sc pruluce una dcscarga en el dielócrico que rodca cl.conductor, quc en elc¡so deloireJe-dcnom¡tra-cfcclo¡cro¡r y.que se.Prodtt.cq pflfa-ün..clmpg-d-e3{!y'CIm 0Ue-e!-eeeirq c¡ de-J.lkYtiun-nil¡..la.po-rsclape¡ l0 flqm,...) El cfecocorona refrii¡C¡6unüugedec.ügs.proytrula prr t¡ ioniz¡ción del oire quo r<xlea uncondUcoi-üiüi¿o y d¡nanificiu'por un.zumbirlo quc se tronsformá en sonid-oiF,iñianre aconlpanqúo por una cmisién dc luz.(halo.o qglpna). Eqra cs-!q-91p!i.sl9J,í.ndcl zu¡pbirlo quó se a¡rrc,cia.dcbajg.l|.c. $nullncade alu rcnsión.-Pg$glg qerto tcnsiónrte.trunig¡rrn cr'.nranrenc¡r¡e? l! iiitión ue lo=s conjlustefg$gla:¡¡ñ.ea

-tineitql re4ig.ge

cuivanira) rar¡to rtaygr-scr¿-eJifegg-sclgtEuEig.cfccto se.reduce.c$p-lg4l!9-hilqi"C-e--mayrjilil¡iróiio é incluso cab!91.!ge-c-q9.. Elcfpcts pqonq $prpigfl!¡-gna péttlida.de-cñAili1¡liig !!!g['{-$i¡j"Íg¡]ll,¡Prtoncia c4-e!-geg d9-!ilsns-ds.eri¡n-l$gi-tu.fl'

,'Una aplicación del efecto de punüas es el pararrayos. La teorl¡ de este

dispositivo es quc la punu tlel p¡¡rurrayos ¡uaerá cl nyo rhscargándolo a üerr¡¡ a uavésde un contluctor dc suficiente sccción. Enuc"un¡ nqbc rle lormcnt¡¡ y la ticna puetlecxisril_ulra rl-ifsrcngi¡¡ rlc potencial 4c.l{10 millones dc ygltios y cuando ocuÍe unadcscarga o rayo puulcri lh¡if rn<iincnui¡Eamcnlc conientcs rlc lü).(X[ A enue la nube ycl sucló,-Estr¡ rcprcscnu potcncias dcl-ordc¡r ¡le-l0.rrn OW.(cs dccir lü)00 centralesnuclcares dc lffD MW carla uno). Como r¡uiera quc la conientc del rayo es dccorta duracirin. su cncrgía sólament-e cs -dc. tg9 jqtlqg, es decir nrenos dc 280 kWh, quees cl or¡lQn d!:l gsuumorhnléstieg.d-e*Ull_ylyiqn4l.Q lt¡l¡a ds¡¿¡tc I nrcs

l 2 t

¡JLECTROIIAGNMSMO Y CIRCUMOS ELECTR ICOS

El clccto coron¡r o dc dcscarga clecuos¡drica ticncn mmbién uplicacionesrit i lcs. conro cn*la pintura clcctrostática. cn l¡¡ precipitación rlc partículasconr¡tnrin¡¡nrcs provinicntcs dc kx humos rtc chin¡cncas. como cn las centralcslér¡nicus tlc carbón. cn la indusuia mctalúrgica, etc.ii¡cn lm nriquinas fotocopiadoras-.(xelogrufín) . cn la quc la rlcscarga por cfccto corona úc un hilo sonrcli¡ftr a un ¡ntencial ...tlc 6.üfl ¡¡ 7.ffX) v. producc la rlisuibucién rle una curga clcctrostática su¡rcrficial-en..una placa lrxrruonrluctrlrl dc sclcnio, h¡¡ciéndola scnsible a la luz.

El i :Ml ' I .O Dt i APIJC,ICION 2.6: LTETODO DE ¿AS IhIAGENESriLEc't'Rrc,ts (I.oRD KlrI.vlN)

Cttlcular el potcncitil elécttlco producülo ¡wr u,vt corgu pt¿ntwtl Q siuwla a unodistoncia il de un plono conductor inlefinülo que estó concctulo a tierra (¡ntencial cero).

S O L U C I O N

ll¡¡sta ¡¡hora cl cálculo rlc cam¡ns y potenciolcs sc hn realiz¿trlo cn medioshonrogúneos y uniforrles. En gencral el cllculo dc campos reqrticrc la aplicación dc lasccuaciones dc Lir¡llacc (o dc Poisson en su c¡so) observnndo las conrliciones de contorno querlcben cunrplir. Existcn sin crnbargo una varicdad de problemas en hs que se puerle llegar auna soluciti¡l sinrple sin ncccsi¡lad dc tcner quc crnplear direcutmenlc la ccuación dc Laplace.lil ejenrplo que sc profpnc uquí concs¡xlndc a uno de esios ca,sos. En la fig. 2.10 se üene

Fig. 2. l0

rcpresenhda h ciugl Q quc cstá situ¡rln u um disütncia d dc un plano conductor que Úcnc

¡xrtenci¡l cc¡t lpucdc scr cl propio pllno dc licrr¡. Dcscamos calcular cl potencial . qrreprulucc cstr¡ disi¡ibución cn cl punto P a dis¡ancia R¡ dc la carga Q. Estd claro que si csta

carga cstuvicrit sril¡¡ cn cl csp¡tülo, cl potcncial scrln Q/4ne6 R¡. pcrO cl plano conduclor

cjercc ¡lgún clbct¡¡ ttlicionll. Trtngasc cn cucnta q$c cstc plano-rcprescnla una superficieci¡uipotcircill por scf con(tuc¡or¡l. por consiguicntc cl cnnt¡xl tlc h,carga Q dcbc llcgarpdr¡rcnrliculur'nl pllnu y sc inrlucirin cnrgas ncgalivas supcrlicialcs elt los puntos dc

t27

,

t iirl'

DIVISIONES DEL ELECTROMACNMSMO

rcrn¡inacirin (inllucncia electrosrática). La carga inducida cn cada punlo de la supctficie

rlcpcndcrá dc lit ttis¡ancia a la carga, sicndo máxi¡na dcbajo dc la carga y disninuycndo.a,uüli.la q¡e aurncnta la disuncia aQ. El cálculo dcl potencial cn P scria entonces dcbirlo a la

propia carga puntual Q, más cl que resulta de las cargas inducidas cn el-plano. Ll soh¡ció¡¡rigjr.rsa dc¡ ¡iroblcrna consistiría cn ¡csolvcr cn eslc c:lso la ecu¡ción dc ltoissort:

V2v = P:t

e imponicndo l¡r condición dc conlorno v o 0 para y =o' Elcampo cléctr.ico sc pcxlría

obtcner a partir del gradientc li =' grad v que para Y = 0 daría cl valor ̂dcl cam¡xr ert lii

su¡rcrficic ¿cl plano y teniendo en cucnta la condición de contorno (1.130) rlcl capítulrt l,

pcinritiría dctórn¡inar la rlistribución su¡rrñcial P¡ = Dn = to En ' siendo En el cantpo

normal al conrluctor. El métorlo dc lus imágencs rcsuclvc cstc problema y ouos silnilarcs tlc

un nrodo ¡nis scncillo. Se ol¡scrva en la fig.2.l0 continuando con las líneas de catrt¡rlclécuico. q¡c esm disrribt¡ciólr cs idéntica r la quc rcsultuía coklcando una cargo '(l a unit4istancia { por dcttajo del plano, De cstc modo cl problcma dcl cálculo dc potcnciitlcs o

c¡¡npos por encinrtt dcl pluno se reducc a uno más simplc formado_¡nrla.carga Q y suimagen lQ rcspccto rtcl plano. Dc cstc modo el p,otcncial en el prrnto P sería igual a:

o - oV ( P ) = 4 " i , R ' , *

4 n e 6 R 2

donde R¡ y R2 so¡l l¡¡s tlist¿ncias mostrltlas en la fig.2.l0.

Esu rlistribución dc cargas satisfacc la ecuación de Laplace cn punlos

cxrcriores al plano y ademis ta condickin rlc conlomo V = 0 que inr¡nne cl plano. Obsórvcscquc si sc cligc un-punto S cn cl plano, las distancias Rt I RZ son siemprc igualcs ¡lr lo

quc la soluciri¡ rlcl potcncial calcul¡ula anlcriormcnle oplicada 0 cslos punlos daría sicntprcun valor nulo.

Estc pnrccrlilnicnto pcrmitc adc¡nás calcular con scncillez la carga supcrficial¡cal induci¿a cn r:l pluno. Téngasc en cuentÁ quc el campn cn los puntos del plano cor¡dttclt¡rtlcbid<l a las dos cargas puntuntes daría una comg)ncnte normal, por ejemplo para el punto Stle valor:

r i =-oy, . "f fñt c.so= -"y z "t fRTrlxxlc:

n = f i2*lr

Dc cste ¡nrxlo l¡t dcnsidu{ dc cirgn supcrficial imlucida cn cl plano daría un valor.

ps = €ou = . , __*_ , uf*: rr¡i-

t l cn gcncrul si cl punto S ticnc conrponcntcs (x,0,2), l¡ disrancia R sería (d¿ a *2 ¡ ,!¡ l/ l

t 2 3

ELECTROMAGNFI'IS lvlO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

y la dcn.sithrl supcrficial dc cürgl rcs[nndcría a la ccuación:

Q dP s = '

Potlcmos comprobar quc lu carga total inducida en todo cl plano cs 'Q, paraello integritnros la densidud p( il l(xk) cl plano y rcsulE:

e i n , r u c i ü = f p , d s = . S f - d s

f u , " " = ' 2 " |ñ - ; rwy hncicndo el cambio de variable : x2 + z2 = 12 , al lomaf un diferencial de su¡rerficic enfornla de corona circular dc radio r y es¡rsor dr. es decir ds = 2rr dr sc obúene:

El método rlc las imágencs cs cómodo y permite ¡esolver problemas decnmpos clectrornagnéticos con scncillcz. OUos ejemplos tlpicos son una carga prrntualerrfrcnte <tc varios planos. carga puntual frcnte a una esfera , línea ¡le carga al lado rle unasupcrf icic cilílrdrica. ctc.

n|EntPLO Dl, APLrcACION 2,7: DII'OLO EI.ECTRICO

Calailar el potenciol escalar V y el cwnp cléctrico E de fus cargas puntuales+-q y -q siwaclas cn las ¡nsiciones z = dl2 y z =-dl2 rcspeclivamente clel eie ., Para un puntoP muy ilejado cle las cargas y deflnkb por cl radio vcctor r>> d d¿ la lig. 2. l I . Sugerencia :euplcar coordenadas csféricas. El medio ilene pcrmltividad eo,

.so l ,ucIoN

d '¿'

t24

Fig. 2, | |

t 2 5

DIVISK )NLS DEL ELECTROMAGNENSMO

El potcncial cn ct punto P scrd la suma dc los potenciales que producc clda

c¡¡rg;¡t que teniendo en cuenn (2.30) duá lugar a:

v(P)-ff i ; . a;;:*r= #* Y#si sc su¡ronc que r>>d, se cumplirln las siguientes aprorimaciones:

R ¡ R 2 - ¡ t ; R z . R l . d c o s 0

y por consiguientc el valor del potencial será:

v (p) * -q-C-99!-g' \ ' / - 4 n e 6 1 2

cl pfoducto qd se tlenomina nlonle nlo dlpolar (vcr epfgrafe 1.2.4 del capitulo l)' y quc se

dciine vcc¡orial¡ncnte en cl scntido {c ta ciuga negativa a la positiva. cs {ccic

P = ¡ z q d '

dc este modo, sc ¡ndrá expresar cl pxcncial:

v = o t - ,

4 n € 0 r '

Para obrener E a parrir tle V, sc aplica la cxpresión dcl gradientc en esféricasresultando:

E=-Br¡¡d v=- [r, H + ¿re # + ao ,ofr. ff i I --Er #

y quc da lugar a:

t i = - , r H - , . 6 # =

# * F [ . r 2 c o s o + a s s e n 0 J

2.2.2 CAPACIDAD Y CONDENSADOITES

Un elemento que tiene gran utilidad en el estudio yaplicación de los circuitos eléc¡ricos es el condens¡rlor, que es unconrponente que almacena energía de campo cléctrico. Biisicamente uncondensador ei un sisten¡a fcrrnrido por dos conductorcs (perfectos) situadosen un medio tlieléctrico honngéneo de permitividad e y sometidos a unadiferencia de potencial V.

avag r ao

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

En ln fig. 2.12 se nruestr¡l el esquenra corrcspontlienre. Alapliclruna d.cl.p. co¡t l¡t piiu ó birteríit se produce lnn sepnrución ¡le cilrg¡ls; tl lto de

los conductorcs,'el conecturlo ni polo positivo de l:r ¡li la rec-ibe cargfls

ooiii¡u,,r con un valor total +Q, t¡tte-sc quedan en la superlicie del conductor

i; "í otro conducror se quedu-cuigado óon una ctrga _Q.iega! y de senticlo;;;;;i; ul ¡rnrerior, residienrJo eía carga en la superficie del conductor 2.

Ó"*o-.lu¡.ta tlr¡e liri superficics de los cbnductores son equipotenciales, se

esrat i..i"t,in unas lfnens'tle cnmpo eléctrico perpendiculnres a las. strperficiesrJe a¡nl¡os conductores, saliendo del condt¡ctor cargado positivamente y

entrirndo en el conductor cargado negativamente (ley de Causs)'

Fig . 2 .12

El vil lor t le la cilrgil tot¡l l sobrc la superllcie del

inrgltlo posirivnlnentc se obtcnilri i lpl icundo In ley dc Gauss.

a = f D . t l S = f e E . d S

donde s representa tn sulerlrcie tinr¡tl rjel contluclor. De un ntodo ani{logo se

Jiiernrin¡r'l¡¡ cnrga toti¡l'rlel co¡tducror ¡egntivo 2. Se puerle calcular la d'tl'p'

;i;iil;-;rri Tor rlos contJuctores V y que ntantiene la pila o baterí1,

it;ü;.;ilr "1..*,rrpo cléc¡rico h lo Inrgo di uri¡l rayectoria que unn dos punros

;;;ñ.ñ;iFi ípz ¿. tir superlicÉ de ambos conductores (vcr frg. 2.10)

resultardo:

V = V l - V r = (2 .32)

conductor l ,

( 2 . 3 1 )

P 2 2

f t i . d t = I E . d lP ¡ l

Se deno¡ t t ina c i lPncidadc¿tfga y ln difere¡lc¡¿r de potellciitl, t¡tteda:

l ? 6

cle esle sistema, el cociente entre lateniendo e n cuenta (2.31) y (2.32) nos

ÍO' iO r l ^ r '

DI VI S ION LS DEL ELECTROÑIAC NEÍISMO

E . d S

C = = e Faradios (2.33)v l - v r

E . d I

por definición, la capacidacl {e un sistema electrostiítico es una nragnitudinsiriva. Obsérvese e¡i (2.33) t¡ue la capacidad es el cociente entrc la carga rlellonductor positivo y la tl.d.p.'enlre ese conductor y el nega.tivo. La unidadSI <le capaiidnd es el faradió que es el cociente entre culombios y voltios. Lacapacidid depencle <le la pernritividad del medio dielé-ctrico y. de.la formit y

separación de los conduc¡bres, lo que así se rcfleja en (2.33). Siendo el nrecliolineal, si se duplica ln cnrga, segúir (2.31) sc tcndrá doble campo eléctrico yde acuerdo coñ (2.32) resultarf también unn d.d.p. rloble entre contltlctoreshaciendo que el cociente cnrga/d.d'p' sea constante.

En los cátculos prdcticos dc la capacidad, existen dos méiotlospara determinar C:

a

I) Se considero unfl d.d.p, enlre los conducrcres y se resttelve. luecuación de Lu¡tlace para dercrminar el polenciul l/ etlümlquier ptotto. Se culéulü entonces E cle la expresión Ii =

grad V y como consecuencia el vulor de D = eE y el de kt

corg,ü Q - Jt D. tls, que saltlrd enfitncíón deV, de este mod('

.;e obtiene C como cociente Ql(V I-Vil.

2) Se supone uno cargo Q sohre los conducnres. Entonces seculct'rla el cutnpo etéctrico E por el teorema de Guu.\s, y krd.d.p. entre conducrcres par Iu ecuación (2.32), que TCrú

Jimción de Q, detenninando posrcriormente C por el cocicve( 2 . 3 3 ) .

Nola prácl ica:

l-os primcros condensadorcs utiliz.aban cl vidrio como dicléctrico. Dcs¡xtÚs sr:emplearon ionrlensadorcs con papcl pirralinado disponicndo bandas rlclgatlas tlc cstit¡lt¡ tr

ah¡ininio unas sobre otras, con plpcl irnprcgnnrlo interpucsto quc después sc c¡trrollalli¡r¡ clrcspiral con ottjcro tlc obtencr úna gran supcrliciccon fioco.volumcn. tloy llía sc ¡rtiliz.¡¡rtcoirdensarlores--c-e-rá¡nicos.rlc prtliéster, dc uíntalo y pt99lr.C!1i9Ct. Los g!999q!iligq5 sort losquc presenun nrnyor capacidarl pcro son-ilc ¡p]4¡!!g{!!, es dccir pucden tr¿bgiq1!99ültcrl':rlZ!=g.r. Los conriensariorcs se ulilizan profGamiñrc cn la ingenicrÍa eléctrica : ntcjrlr;t rlclfaoor Oe porencia de las instnlaciones dc c.a. (vcr capftulos 4 y 5). protección dc las líttcltscontra lassobretcnsiotrcs, tiluos elócuicos y sobre todocn el can¡fndelaelcctrórricn y Ltsco¡nunicacit¡nes,

t27

ELECTROMACNENSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

ITIEMPI.O DE APTICACION 2.8: CONDENSADOR PLANO

calcular la copacidad de un condcnsador plono lormodo por dos placos

nrctítlit:as parolelas de superlicie S y separadas u¡lu üstancio d (í9.2.13) . El _espacio entre

Itts nlacas conüene un tliitéctrico dc permitividad e las dincnsbncs de los placos son mtty

t,,¡iriir,rit i to separación d, parc consklcrar un cam¡n unilormc d¿ntro del condensdor. Se

rtásprecia asimismo el efecto de los bordcs (dcformación del cuttpo cn cstos zoryts).

Fig. 2.13

soLUctoN

a) Priner proccdlmlento:

sometcmos cl condcnsadof a una d.d.p., dc tal modo quc la placa superiortcnga un ¡ntencial Vs y la inferior 0 voltios. Como quiera que las dimensiones dc las placas

son muy suJrcriorcs a la scpartción d, la distribución de potencial enuc placas variaráúnica¡nentc con la contponenic z.

Al aplicar la ecuación de laplace en coordenadas carlcsianas resulhrá:

V 2 v = o c2v: á - T = 0

ú¿L

: = ) V = A Z + B

para cvaluar las consnntes A y B tencmos las condiciones de contorno:

V=V0 f r i l r az=dV = 0 p a r a z = O ;

con ello se obtiene:

V =

y el cnln¡r,o eléctrico será:

tztl

hz .d

i ' r

DIVI S¡OÑES DEL ELECTRON4AGNMSMO

cn lo placa superior se tendrü:

E ( z = d ) =h = , D = r E =d

1 . , r ' I

í : . . ' ' j

E = - g r A d V = - r r +

r * , s

2V r z = i E . d r = 9 ¿

I

V¡¡e d

que cofresponde a una cafga:

Q = D S =

tlc thnrls sc dc¡Jtrc la ca¡ncid¿td:, ^ - Q - e S" -

v o - o - d

b) Segundo Procedi¡¡l ienlo :

Si consirlcrarnos quc lo placa supcrior ticnc una cargo +Q, quc concs¡tndc- aruna densirlad de carga supcrficial P¡'= Q/S y scgún la condicidn de contorno (l.ll3) ón

bucnos conduc¡ores corrcs¡x)nde a un dcsplazamiento:

D = - r z p s = r E = D ' = - o , qt o E )

cl valor anlcrior sc podía hal¡er obtcnido aplicando cl tcorcma rlc Gauss a un paralclepí¡tcdoquc tuvicra una superficic dcntro dc la placa y otra paralela a las placas y en la zonacomprcndirla en$e cllas.

La d.d.p. entrc los puntos I y 2 dc lls plac¡s (fig. 2.13) siguiendo una lfnc¡de cam¡n scría:

l

,I

dcdmdcsc dslrre:. - Q - e S" - V t 2 -

r l .

quc coincidc con cl valor calculado anlcs,

I ; IEMPI .O D l i ¿ lP l . l cACION 2 .9 : CAPACIDAD DE UNA L INE¿ lRI I ' I I ,AR

La fig. 2.1a mtlastro la sección ransve¡sal dc una linca bifilar de tronsporte deenergia eléctricu,forna&t por dos conductores de rdio g parulclos y de long}tud inlinüo,separodos una disnncia d>>o. El medio dieléctrlco cs le permitividad e. Calcular htttpttciúul de h línea ¡nr uidad lc longitwl.

r29

E LEClT,Otvl AGN EnS MO Y c IRCUITOS E l.ECTll ICOS

Fig. 2.14

soLUcloN

su¡nniendo que el conductor I tenga una carga dc +Q culombios/neUo y elconductor 2 una'carga ¿" - g C/m. Al aplicar cl teorema de Gauss a cada conductor para

.uitulri.¡ campo óléctrico in el punio P cn la lfnca que une los ccntros de ambos

contlucbres, rcsullará:

Et = r* #* : Ez = a, t;;t,t . ,)

rte esu forma, el cam¡n resulonte en el punto P selá:

f , , = E l + E z = a ¡ ¡ f t . t l +

y la d.d.p. enuc los puntos A y B tle los condüctofcs será:

nVnu = I E

rt

que nos da:

l ld - r t

*,1t n {

a

d ' ¡ rd l = T [ " , # ( i +¡

i l r dx

vAB = _a_' l E

Jl- ¡n É.-:-9 G,n E i ¡

r e

t n {0

y por cons¡gt¡icnte h capaci{ad rcsultanp será:

Q = * =

I 3 0

F/m

DIVI SIONES DEL ELECTROMAGNENSMO

Et t r t tPL0 I rE APL ICACION 2 .10 : CONDENSADOR CON VARIOSI).IEI.ECTRICOS TiV SE'I 'T

El dieléctrico de un corulensador de placas paralelas de supcrlicie S, consiste entlos capas de permitividades e¡ y e2 y cspesores d t ! d2 respectivamente. Dcterminar : u)

lrulucción eléctrica ó desplazamiento D ; b) campos eléctricos E t I EZ cn cada dieléctrica:

c) copaciful ül co¡ul¿nsúr,

SOLUCION

a) En la fig. 2.15 se nruestra la disposición física del condcnsador si consitleramos r¡ue laplaca supcrior tienc uná carga distribuftl¡ en su supelficie de valor +Q ( lo qttciorres¡rcnde tanrbién a una cargn - Q cn la placa infcrior ), de acucrdo con cl ejcmplo tlcaplicación 2.8 sc lendrá un desplnzamicnlo e lcctrico de val<¡¡:

D= - ¿ tL$

F i g . 2 . 1 5

b) Los camfxls eléctricos en cadi¡ diclcrctrico valtlnin:

D - a - . E o = D - =I i t = u , = - a z r t f i o e 2

c) [¡ tl.d.¡r. entre las placas supcriur c inferior es igual a:

2I

V t - Y 2 = J t t . t l l = 8 , ¡ t l ¡ + E 2 t l 2 =

Iy [xx cons¡guientc cl valor dc l¿r cilp¡¡c¡darl dcl condcnsador forrnado serii:

azth

a , d ts t q

+ b )E2

( , - a - . - e r t? i -. -

V l . V 2 d t t Z + d 2 e ¡

r3r

ELECTROMACNEnSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

Estc resultatto sc puede oblcner dirccnmcnic, si se tiene en cuenh que elcs(lucrnn tlc la lig. 1.15 rcprcScnta la asociacitin cn scrie dc dos condcnsadorcs planos dccapacirkxlur:

t rSc2 =

^,

y corno quiera quc la capacidad resultante de la asociación scric tle contlensadores cs igual a:

E r SC r = - - :' 0 r

t l l¿C C ¡

' C 2

er I q¿ldr d2

¡- --L--\ ' E ¡ s E 2 SUt

* d;

. . 9 r J 2 s¡; E2 + ¿r i i

-^\ l- -< \ r -

c l 9 ¿C l + C Z

fesu ltil:

rpre coincidc con el valor c¡lculatlo anles.

HEnIPLO DE API. ICACION 2. I I : CONDENSADOR CON V¿lRlOSDII'LEC'TRICOS EN PARALELO

Det¿rminar la cupttcidod tlel condensador plano mostrado en la fig. 2./,6,

fornwdo por úos tlieléctricos de ¡termitividades ct ! E2 qúe cubren superficies S¡ ) Sz

respectivamente.

F i g . 2 . 1 6

S O L U C I O N

Supuesl¡rs unas cargas librcs +Q¡ y +Q2 crt la placa suprior dcl condensarlor,corres¡nndientes a cad¡ rliclécuico ( quc conespondcrfan a k¡s mismos valorcs tlc carga ¡rrodc sigrro contrario en la placa inferior ) , resulun los siguientcs dcsplazatnientos clécuicos:

t32

DIV¡SION ES DEL ELECINOI.IACNENSMO

D t = ' L z g l '' s r I

rcsulBndo unos campos eléctricos:

E¡ =+ ! . t * ;

Ahora bien la d.d.p. enüre las plac¡I¡ cumplirá la igualdad:

2 r

v t - V 2 = i E . d l = E r . l = E r d = r = $ ¡ = - 9 e - = Y r . . ' - - l & -,

* ' - ' - t - - ' - s t e t s z g ¡ d

y la capacidad resulbntc será:

"=9J9 = Jr Jt r 9:-ra' - v l - v 2 - d

que representa el v¡lor de la asaiacidn en paralclo dedos condensadores de capacirhdes C¡ =

e¡ S¡ /rf¡ y C2= ezS2/d2 . de tul modo Que C= C¡ +C2.

2.3 RBSISTBNCIA BLECTRICA

Si en la fig.2.l2los electrodos I y 2 cstún inmersos en un me<lio

lineal de conductividad o, al aplicar una d.d.p. V entre electrodos, seproducirii un campo eléctrico E y como consecuencia dc la ley de Ohntaparecerá una densiclad de coniente eléctrica J =o E quc da lugar a unaconie¡lte de circul¡ción:

r = f J . < r s = o f u . o s ( 2 . 3 4 )S S ¡

la d.d.p. enüe electrodos, de acuerdo con (2.32) valdrd :

2v - V¡ - v, = J U. ,tt (2.35)

L

se deno¡nina rcsisler¡cia elécrrica ¡il cociente entre la d.d.p. aplicada entreclectrodos y ll corrientc dc circulución entre unl"ros, que teniendo en cuent¡t(2.3a) y (2.15) nt¡s du lu lcy tlc Olrnr en tbnnu global:

ñ Q zD 2 = ' t t

ü

D2 QzE z = É ! o s z

t ñ ,

t

,

r33

. , I' , t.{::ti {

I¡It

:lI, I

ELEITROIVTAG NEn S MO Y CIRCU ITOS ELIí-IIT ICOS

2

I E . d l

o f E . d s

L¡ unidatl sl de resisrencia eléctrica es el ohmio (voltio/amp.); la

resistenciu e¡."tti",r ¿" un iitr..u rlepende de la conducrividad del nredio y deii"i"""" *iónrérrica Jei-con.¡unroi Sicndo el mctlio lineal, homogéneo e

iiol|ii,á, ti;lüii.; l- b.á.pltplLada, apareceni una corricnte doble, de ¡al

;r,ü;';i; ; ñ; üüv¡ se ri.,a niienc coniranre. conrpara ndo I as expresiones

ii.rl i tz.¡6) se obtiene unn relación de- gran interé-s-:

(2.37)

R = I =I

ohnrios (2 .36)

R C = E 'o

lo oue indica que si se conoce ta capacidad entre dos contluctores, se puede

;ijoi.ñ;i;;;;¡siin.-ia ¿¡re.r¡unente, upticanrto ta retación (2.37).

E I E i l I P L 0 D I i ¡ l P | , I C A C I O N 2 ' 1 2CONDUCTOR C/, I " INDRICO

. . R T S T S T E N C I A D E U N

Calcularktresistencia¿léctric.adewcotúuclorcillndricodecondtlctividdo,sección ransvcrsül wilorne S y longilud L'

S O L U C I O N

Al n¡rlicür llt lü tl.t l.P. V¡

cüfflpo e ldct¡ico cn su intefior rle valor:

ya que sc cumple:2 1 .

v o = v r 2 = J . n . r ' l l = I E . d t = E . L

l ( ,

cstc c¿lttlg) dafú lugu a una tlensirlad tle cofriente:V

J = o E = o fy o una corrienls eléctrica totnl:

t = J l . . ' t s = J S = " 7s

dc durdc sc (lcdur:

R=+ =*| :l ' l

cntrc los exUemos dcl conductttr, sc producirá urt

ñ v ot r = T

DIVI SIONES DEL ELECTROMACNETISMO

si s¡: rtcnomina p a la resistivirjad del conductor, inversa dc la conductividad: p = Uo (¡¡o

confuntlir p con icnsidad voluméf ica dc carga), entonces el valo¡ dc R cs:

e¡uación conocida por todos de un cunio de ffsica general'

I ' I E M P I . o D E ^ P l . r c ^ c I o N 2 . I j : R E S I S T E N C I ^ E N T R E D 0 SCON DUCTOR ES SEIIT I EST'ERICOS

Lo !ig. 2.t7 mucstra dos coruluctores scmies{éricos concénuicos de radias u y

b (a < b), trpori¿ós po, wt morcrial de contluctividod uniforme o. Colcular: a).Resistencia

eléctrica entre conductores, b) Resistencia eléctrico entrc los conducnres,cuando cl radio de

la csfera ertcrior b tiende a ldrnito' Dcducir conclwiones prócticas'

F i g . 2 . l 7

SOI ,UCION

a) Al sometcr a los conrluctorss a una rl.rl.p. Vn6 se tendrá una corriente dc circulación I qttc

sc ¡isuibuirá (por sinreuía) en fo¡ma radial de una semiesfera a la ora. La densidad dc

conicntc scni igual a:, - l - Ir ¡ =

S -

z r t 2

ya que fa superñcie de una scmiesfera dc rrdio r es2¡rt2. El campo eléctrico radial

óoneqlondicnte vendni expresado por la lcy tlc Ohm:

l , tE , = á = T ; m

de ml mr¡do qrre la d.rl.p. entre scmiesfcras seni:

f t = p !

1 3 5

ELECIROMAGNE-TISMO Y CIRCUNOS ELECTRICOS

Vru = V¡

y cn consecuencia el valor de la resistencia cntre las scmiesferas será:

o _ V n - V b _ L I IK= -a- =

2 ; | ; ( ; ' b )

Se puede llegar al mismo rcsuhodo, calculando en primer lugar la capacidadrlel sistenra, sup,iesto r¡uc ól medio enúe conduclores üene una ¡rcrmitividad-e y aplicando

lxtstcrionnentc la exprcsión (2.37). Si considcramos que la semiesfera rle radio a ticne unn

c¡rrga Q y la sentiesfera de radio b tiene una carga 'Q, el teorema de Causs aplicado a una

scnriesfera de ratlio a<rcb nos dará:

cs dec i r :

E r = # E

dc donrte se dcduce una d.d.p. enue conductores:

b

Vr - vb = I Ert l r =

lo t¡ue tta un valor para la ca¡ncidad: '

b

v 6 = l E d r = * ( * - * )

l D , d s = ? á E r . 2 n r 2 = 9s t t

* r * ' * r

y rrl aplicar (2.37, resulm:

.?tcp-�l la ' b

l .- 6 )

r¡ue coincide con el valor calculado anteriolmente.

b) Si cn la úttima exprcsión se hace S = o, s0 obticnc:

IR= fr;;

cste rcsulu¡do nos puede servir como expresión que rlcrcrmina la resistencia de un clecuotlo(conductor) scmieiférico cnterrado en un tc¡rcno (tiena) plano de contluctivitlad o, o de otro¡r¡or¡o la resisrencia rle la pucsta a tiena tlc un clecuotlo semicsférico. En las instalacionescléct¡icas. las puesus a úena se establecen con objeto, principalnrentc, tlc li¡nitar ta tensión

r36

DIVISIONES DgL bLL'c I KU'YIAU¡iLi ' ¡Jtr¡u

{uc con fcs¡rccto ¡ tiena puerlan pfcscnt¡rl' en un momcnto dado las mas¡s metflicas'

,ir;-s;;.¡; il;;**¡On,fe [as proücioncs y rcrlucicntlo e lriesgo que sug,nc una avcría cn

cl material utilir¡do.

':,1= #a = 2"rolt oj = it'¡s n-

si oor accidenre uno.dc_los.cablps-dq..l*o ltngS..tes¡ pl.apoyo.metálico.y sc prulucc por-

il.i¡'prü ;h"=tóñiüuárlilly*tl;Jtg'll.Ejlq[p- tónüá-u.npptlc-ia!.en l^ torna dc úcna trs

valor: ¡ [=nt=3t,85.1f l )=!1!! !J-

la tcnsión enue dos punOs disUnfes un pas0 humano, cs decir dcl ordcn de 80 cnt, en el

caso ¡n¡is dcsfavorable scríit igual a:

Vab = t ) =3lri(t -fr)= le6oy

quc evirlcnlemenle es una tcnsión ¡nligrosa para el cuerpo humano'

Si sc considera ot¡a situación por ejcmplo que un pie esté a b¡ = I m' del

ccnlro dc la toma y el otro a b2 = l 'sg m' se lendrá:

v u r b z = * [ t t f r ) - ( r - ü l J = f r ;= 3185 (# -#) - 7o8v

que siguc siendo una fcnsión peligrosa para cl cuer¡ro hum¡no. Por cso nl caer un cable de

alu teisión sol¡re la tiena surge un¡ sitúaci¡in peligrqsa no sólo ¡l estar en ctxlu¡cto directocl cable y cl hombre. sino ü¡mbién {cbido ir la aparición de volujes-tipo.lcnslón depaso. Eílas mallas úe tiena quc se colocan cn los püqücs de U¡nsforniadores;deb-biomprobarsc cn et proyecro, qué ta lensión de paso no sotrcpase los valores adnisiblesitnp,i.stui ¡rur et Relhi¡cnto Elecuorec¡rico (en gcneral no debeh.b'uperarse los 30V).

- l - r ! - l ) = = - l - - ( tZ t t o

t a b ' 2 l t o a !

( ü ' ü ) =

t: tEi t f t .O DE APLICACION 2.14: IüSISIE¡VC,A n/VTfl8 l 'OS,tSrgl|/tS ltrvltinf{Á l)AS

Lu fi,¡. 2.18 nwesod dos electrodos csféricos dc rudios ly h que cstónseparatlos uno distoncio D grundc en contparación con los radios (R >> o'lt) y estón

t37

ELECTIOIVIACNET|SMO Y c¡RCUnOs ELEclT,¡Cos

cntcrrodus cn un medio inlinito dc conductividad unifurmc o. Calculor lo resistencia¿léctrica cntrc wnbas esferos. Sugerencia: Culcular prinuro la ca¡nci&ul de lo cotfigruoción yüternúnur luego h resistenciu upliconlo la ccución (2.J7).

Fig .2 .18

.S()LUCION

Su¡ronicndo unas c¡¡rges +Q y -Q respccüvamenle en cada csfera, el campoelécuico cn un punro P cn la líncu rlc unión enre los conceptos tlc las csferas sc fxlrúobtener apticando el teorema tlc Causs a supcrficies csféricas que ruleen cada esfera yaplicamlo luego superposición. De esrc modo se obticnc:

- a r t I Ibr= Iñ tF * (D - x ) t J

y ¡nr consiguicnte la d.rl.p. cntrc ambas csferas serll:

, , a D -b

v r 2 = 4 * I + --l---.=l u* = -a I( D - x ) ' J 4 n e L

l l l l l- + + - - lD - b a b D - a JL*

t * + l - 3 1

r - - -a- F - -4n3Vp

- t + l - . 2a b D

y hacicntlo la ¡lproxi¡llac¡Ón:

D . ¡ l t D

se oblienc uno d.d.¡1.:

v r 2 '

quc d¿t lugnr a un vulor dc la caprcidad:

D - b = ' P

_a_4ne

1 3 8r39

DIVI SIONES DE,L ELECIROMAGNEI]SMO

y tenien¿o en cuenll (2.37) corresg)nde a un valor dc la rcsistencia:

obsérvesc que si D cs muy grande, la cxpresión anlcrior sc puule aproxintar

gnr la ecuación:

cn particular si a = b rcsulh:

In= ñi

<¡ue es indcJrendientc dc la scparación ent¡c clccuotlos.

El cálculo anterior nos dcmucslra una propicdad in¡rcrtante de Ins torna.s ¡lc

tierra y eS de gran intcrés en aqucllas aplicacioncs en las quc sc-tonn la tierr¡.conto lrilt¡ rlt:

;;;;";-iu -qu"

se observa quc'ta resiste,ncia dc las tomas ¿e tierra es

precrtcaníente Independiente di la sepnrorlón'cnlre elcctrodos. Desds un pt¡l l i(t

rle vista físico esto sc erptica por el hccho dc quc al aumentar la disnncia enlre los

"la"Ug¡lot crece res¡rcüvamenfe et área cñcaz del mcdio l¡or el que circuta la corrientc; el

aumento de la distanci¡ enlre los etect¡odos aumeota la rcsisEncia, mienras quc el at¡mcntr¡

del ilrea Ia disminuye como sc observa en la expresión de R, estos dos factores sc

iurl*non prácticarnenre y la resistencia resulta ser in{e¡ren{iente de.la.separación cnftc

elecüodos. És indudat¡le qúe el considcrar unilormc la conductividad de la ticr¡¡¡ o es un¡¡

aproxirnación mrry burda .'pero que se considera suficicntc si cl tcneno cxistcnte alredcdor tlc

lós ebcrnxlos es úena vegórat. iesr¡lta evidente que la conductiviüd cn las proxirnidades dc

los electrodos es de la máyor im¡nrtancia y gcncralmcnb puede aumenBrse humerlccicntltr

la tierr¿ en torno a ellos o cntenindolos a úná pofundid¿¡dsuficientc en la quc la prescnciu

de las aguas subtenáneas garantice una bucna conductividad dcl suelo. la proporcionalidad

inversa en¡'e la resistenóia y las rlimensiones tinealcs se aplica aproximatlametrte a

electro¿os de cualquier forma. En la práctica los cleclnxlos pueden estar co-nslituírlos por

barras, tubos, placas, cables, pletinas u otros perfiles. En algunos casos.se forman anillosccrrados o millas ¡nerálicai rle pucsta a iierra (por ejcmplo en las subestacit¡ncstransfonnadoras),

En España la Instrucción MIBT 039 del Reglamento Electrotécnico de BajuTcnsión da normas iobÉ las puestas a liena. Cuando se emplcan placas cntcnadas dc cobrc

se exigc un espcsor mínimo de 2 mm. con una su¡rerfiiie útil no inferior a 0,5 nrz ycolocailas en ¡lsición ve¡tical. También se puedcn emplear picas verticales en forma detr¡bos de aceró galvanizatto de 25 mm dc diámetro extcrior como mínimo, La longitrtt| nodcbc ser inferioi ¡ 2 nr. Cuando se crnplean con¡luctores cnlerrados horizonblntente pucdcn

utilir¡rse cables dc cobre desnudo de 35 mm2 de sccción co¡no mfnimo, o ¡¡cero galvanir.arlo

de 95 m¡n2.

R = ¿ : = * t l + l - 3 1

f t = * t l + i l

ELECT1IOMACNENSMO Y CIRCUITOS ELECTRICoS

2 .4 EL I IC ' I 'ROCINBTICA. GBNERADORES DE FUBRZAI'LIICTIIOMO'I'RIZ.

La electrocinética es una rama del elec¡romagnetismo que estudiael nlecanisnm de generación de una corriente eléctrica, y las rclaciones entrecorrienres y tensiones eléctricas.,En la actualidad esta ranra ha dado lugar aruna especinlidad más amplia representad¡ por-la teoría de circuitos y-elu¡¿ilisis de redes, que se estudiará con profunditlad en los capítulossiguientes. Nuestro interés aquí reside únican'lente, en conlprender laproducción cle corrientes eléctr icos eslacionarias (denorrr inadasinrrrbién de corriente continuo), para analizar en el epfgrafe siguiente losfenónrenos magnéúcos a que dan lugar.

Vnmos 0 demosrar primeramcnte la imposibilidad de obtener unncorriente eléctrica estacionaria con la presencia rinica de un can¡poclcctrost¡itico. Sabernos que el catnpo electrostótico eS u¡t camPo conservativoy que por consiguiente el valor de su circulación en un ca¡nino cerrado essiernpre cero, es decir:

f n. ar = o (2.38)Y

para lrn material óhmico, se tiene la relación: J = o B y por consiguiente(2.38) se convierte en:

, t

+ - ' J . d l = q' 61

(2.39)

la eculción anterior nos indica que con un campo electrostá¡ico, no se puedenlantener una corriente eléctrica estacionaria en el ntisnro sentido, en uncircuito cen'ado. Las corrientes estacionarias sólo pueden existir en presenciadc canrpos no electrostriticos, los cuales se coneiguen con la presencia de pilaso bateríus (conversión de energía qufmica a cnergía eléctrica), generadoreseléctricos (conversión de energía mecdnica a energfa eléctrica), etc. Estasfrrcntes de energfa eléctrica producen unos conrpos no conservativos que sonlos causantes de los movimientos de las cargas y se denominan tambiénfuentes de fuerza electromotriz (f.e.nl.).

Consideremos el csquenra de la fig. 2.19 que representa unabirteríir eléctrica co¡r dos e lectrodos I y 2. La acción qufmica crea un cantpoeléctrico no conservativo En (únicamente dentro rle la batería) queprotluce una acumulación de círgas positivas en el electrodo I y otra dencgativas en el clectrodo 2. Estas cargas provocan a su vez un campoelectrost¿ítico E que se dirige de las cargas positivas a las negativas tanto pordentro como por fueru rle lu baterfa. Al cerrar los polos o electrodos de lab¿rterín con un elemento óhmico: resistencia, aparecerá según la ley de Ohnrunt dcnsidad de corriente eléctrica irnpulsada por un campo eléctrico

140

DIVISIONES DEL ELECTROiI'IACNEIS MO

fotal, sumit de E miís Bg, de tal modo que sc cumplc:

J = o ( E + B s ) (2.40)

B r t c r f r

Fig. 2.19

donde debe tenerse en cuenta que E, cxiste sólamente dentfo de la baterfa'yB está presente tanto dentro como fuéra del generador. Debe destacarse en tafip2,19 que si el sentido de la conicntc eléclrica se carac¡eriza respeclo a loseñcuodoi de la pila, en el circuito exterior la corriente circula del electrodo.positivo al negaiivo, mienlras que dentro de la pila, la corriente va desde el'electrodo

negáüvo al positivo. De la ecuación anterior deducimos:

E + E o = 5 ( 2 . 4 1 \o o

que al integrar a lo largo tlel camino cerrado formaclo por la baterfa,resis¡encia e hilos de unión. nos da:

E g . d l =

como quiera que el campo E es electrostdtico, lamiernbro dc (2.42) cs nula. Por otro ladoelectromotr¡z "e, ' a la integral.

$ *T

$ E . d r + fY Y

e = fT

Eg espolos

pr¡mera integral del primerse dcf ine conlo fueÍz,a

J . dl (2.42)

(2.43\E g . d l

que teniendo en cucnla quebna integral alliena enre los

cero fucrn dc la baterí4, se transfonna ennegativo (2) y positivo (l) del generador:

l 4 r

I" =

J Es .d l (2 .44 )

2si sc considera que la rcsistencia tiene un¡ conductividad o, longitud I ysección transversal unifornrc S por la que circula unu corriente l, se tendráunn densidnd de conicnte J = l/S y el segundo ¡nicnrbro dc (2.42) seconvicrte en:

, 6 ] ¡ . c u = ó 1 l d r , = r ó g = r R ( 2 . 4 5 )J o J o S J o S1 T 1

y[ que lo integrnl curvilfneu ¡nterior representa según se de¡nostró en :lejenrplo de nplicación ne 8, la resislcncia eléc¡rica del elen¡ento ohmico(realnrente, la integral curvilfnea de (2.45) represen¡a la resistencia totalexistente en el circuito cerrado: baterfa, resistcncia c hilos de unión. Sesupone por sirnplicirlad, que la resistencia está concenrrada únicamente en.elelérnen¡o óhmito). Combinando las ecuaciones (2.421, (2.44) y (2.45), sepuede escribir:

E LECTROMAC t'f Ell.S ¡vl0 Y C I R C UITOS E l-EC l' R tC( )S

C = R I

que es la ley de Olnn en fornta global (o integral).

(2.46)

Para ver el significado de la f.e.m. de una batería, vamos aconsiderar que sc desconec¡a la resistencia eléctrica en el circuito de la fig.2i19. En este caso se tendrd un campo no consery¡¡tivo Bn dentro tlc labatería, que se dirige dcl electrodo negativo al positivol-Debido a laseparacióé de cargas ilue resulta, aparecerá un campo eléctrico E, dirigido delpglo positivo al nógntivor l¡¡nto dentro como fuera del generador. En circuito-abierro

no circula coniente por la batcrfa y no existe ninguna fuerza neta sobrelus cnrgas (electrones libres), de cste modo dcntro de l¡ batería los campos Bgy E tleben ser iguales y rle sentido contrario, y el valor de la f.e.m. serri igual

(2,47)

segúut (?.44) a: l

l lf f

e = l n - . d l = - l E . d lJ B J2 ?

denUo dela hatcría

142

Alroru bien debit lo nl car¿ictcr conservntivo del campo l i , si

l 4 l

consideramos u l l c i rcu i to delratcrín sc c urrr¡ll ini:

t )l Vl S lON LS DEL ELEgf ROIyIACN b-nSMO

integración (no físico) celri l( lo por fueril de l lt

2 l

f E . d lY

= l E . d t + f I i . d t = o ( 2 . 4 8 )

y tenie l rdo en cuent i l (

if

e = |J

?

Fucra batcría Dcntro batcría

2.46 y 2,47) se puede escribir:

2I i g . d l = I D . d l = V l V 2 = R l

I

Fucra batería

In ecu¡rción snterior indica que ln f.e.nt. es una clevnción dc potcncinl yre¡ lresenta la d.d.p. en l tor¡res de la l ¡aterí¡ cuando cst¡ i el lciicuito abierto (compárese la expresión (2.49) con ll definición de rl.d.p.en ( 1 .88) ) .

Se debe llamar la atención al lector, de cu¿il es el signif rcado dc llecunción (2.49). La f.e.m. de I generador definida como la integral curvilí¡¡entlel canrpo no conserv¡rtivo Bn entre los terminales negativtl y positivo ¡rordentro del generador coincide-con la d.d.p. resultante de la-integraciór¡ delca¡¡lpo eléctrico conservativo [i e¡llrc los tern¡inales positiüo y neg.ativrl,por fuera del generaclor. llay de ltecho, sólame¡¡tc una lensión en el circtritoi¡ue es la d.d.¡i. entrc los bomes de la batería. Esta tensión se.puede describirb¡en, comr¡ una elevación de tensión a través rjc la batcría (ft¡erz-aelectromotriz e) que solía represenlnrse antiguamente por un¡l fleclrl dcvaloración en el seittido de 8", o bien como uni¡ caída de tensión il través dela cuga (Rl) que solía represeñt¡rrsc por una flecha de valoración en el serttitlode Ii por fueru del geneiador. El uso <le esta tloble sirnbologfa vectorial lrasido ó¡usa de ¡¡ruchos errores en el estudio de la electrocinética, y pitraevilnrlos, los textos ¡nodernos procuriln ceñirse n los términos clevacirirt ycaf i la de tcnsión, el iminandt¡ lo m¿ís posible el uso de f leclrns r lcvaloracirin para las lensiones. (Es suficiente, como ya comprobitrií cllector cn el Cup. 3 dedicndo a circuitos eléctricos, seíillar con síml¡olos + y -los tcrnlilrirles dc los gcrrerltlores y dc lls cilrgas (resistcncias) ¡ltru cvititrestos conllictos).

Volviendo a l¡t ccuación (2.49), si lenemos un circuito cerritclot¡ue incluya nriis de unn fuentc rJc f.e.nr. y varias resistenciits, se ¡lucdcgcneralizar esr expresión n:

(2.4e)

E,LEC-IROMACNETISMO Y CtRCUNCIS ELECTRICOS

e ¡ = I R r l rk

. . t

ecuacloll rlue representa el 2e lema dc Kirchlroff quece r r ¡dOr l a Sun l ¡ a lgeb fA i ca de f . e . t [ .S .(e levaciones de tensiórr ) es igual - o la sumacaít l ¡rs de tensión en las res¡stencias.

El camino cerrado puede ser cualquiera, de- tal ¡nodo que lascorricntes que circulan por las reiistencias serán én general diferenres. tr q!:sí es irnpórtante al apl icar este_lenra, es que se tomen los slgl los"ori""inni.nte. Supóngirse conocirlos los sentidos dc los f.e.nr.s. y las"u"i*i.t; tos sentitlosilgebraicos coreclos se pueden hall¿u fácilmente: llI"* ir.,riil"b, si el senrido"¿e la corriente en esd resislencia coincide con eliótiti,¡" J" integración etegido libremente, en caso contrario es negativo'La¡;;tr:; ii posii¡no si el señ¡ido del campo no conservativo Bt de esa batería(rtue va d¡i¡e¡¿o tlel terntinal negaüvo al posítívo ) coincide cón el sentido deiiiiLoru"iOn'del circuito cenadb; en caso conlrario de que el sen¡ido deiiiiifiio"iOn pase ttel polo positivo al negativo, la f.e.m. será negativa' Estosconceptos se repasaran nu'evamente en ól capítulo 3, dedicado a la teoría delos circuitos eléctricos.

Existen en la práctica dos tipos de generadores de f.c.rn. de tipoeufnrico y que constituyeri las pitas y los acumuladores (para la generaciónür óiirteír éléctrica a gian escila se útilizan los generadores electromecánicos;il 'ñ;. esrudiarún úuí ). Las pilas representán unos gencradores de f'e.m.tie ti¡lo ineversible, miénras que-los acuinuladores son reversibles.

Tj

(2.50)

dice: En un circuittlde las ba te r íosalgebraica de las

PI I,A

a l

ACUI{ULADOR

b )

Fi5.2.20

Una pita es¡¿í constituítla por dos ¡netales distintos que-con_stituycntos r:lectroclos y que están sumergid-os cn un elecUólito. En-la.fig. 2'20loselectrodos sonc|e'zinc y cobre, yél elecrrólito es agua acidulad¡.(con ácidoirini.¡"b1. Es la pila Voita, El priicipio de funcionanricnto de las pilas sc basaóiiia r"o.fo de Ñernst, por la cual,-todo metal sumergido en un electrólito

144

DIVISIONbS UbL LLLL I l{(' 'tvlAUl{L I l¡ftlu

emire iones positivos cle dicho mctal quc. se disuelv-cn en el lfquido. tle t¡l

;rü; .ü;;inieiaf queda cargatlo nefativamente. La disolución tle iones

.ri r¡,tOi hastn que se ulcanza-la llamida presión de lonizacirin rle dichomer¡l (quc es una magniturl cons¡antc Para un detcrminado ntetul y

JüriiOüi.+ En "i taso dE la pila voltaica, tri O.A.p. que s.e establece entre eliinó-, .i u'eua acidulada es mayor que cnrr€ cl cóbre y e I nrismo lir¡uklo, ya

ouc á zincl¡nile en un mismo lfqUido mds iones positivos que el cobre' (le lüliii*ii. q""en Cl exrerior aparecé un. d.{.p.enré cl zinc. y el cob¡e en favorJ;';il,¡iii*o, y rtc ahf ta iolaridad de la'f.c.m, mostratla en la fig' 2.20 lasnúuJ ton ineveisibles debído al fenómeno de polarización: al conectnr un:tÜrir. t t" pila se produce u¡¡a corriente eléc¡rica que hacc desprenderf,iáiJgrnó ¿bl electólito en la supcrficie del ánodo (terminal positivo), Yronrbién iones SO4 1en la supcrficie del cdtodo (temrinal negativo), estefenómeno dc electrólisis npdifica la naturaleza de los electrodos, provo,cando""u iiá"ó"iin ,te tu f.e.nr. y un aumento de la rcsistencia intemn rle la pila. Siiiioi ca,nUlos son grandesi se llega a una situación en que se.tiene una f.e.n¡.oeoueña dando müy poca corrieñtc o unn carga en virtud del aumcnto de suiÑstCn.¡u interna. Se ¿¡ce entonces t¡ue la pilá está polarizada . (En una pila

nueva de 4,5 V, se tiene un¡ resistencia tlel Orden de 3O; sin embargo la pilaal final de la descarga riene una f.e.m. de 4 V y unl resistenci¡ irlterna de

30O. De este modo el envejecimiento de una pila consiste sobre todo en unaumento de la rcsistencia interna. Las pilas tipo Leclanché (grafito, zinc,cloruro amónico) (') ticnen una polarizCción mds lenta por lo que son nrdsduraderas y so¡r las quc m¡ís s'e emplean actualmente. (e.n uplicacionesespecialcs íe utilizan i¡mbién dc mcróurio, magnesio, alcalinns: de litio ysodio, etc...).

El acumulador es sin embargo un gcnerador químico reversible.Se construyen de diversos tipos: plomo o de Pldnré, hieno-níqu.el o de Edisony de plata.'En la fig. 2.20 bie reiresenta el mris frecuen¡e !e plon'ro. Se tieneún cléctrodo positiio tle PbO2 y óro electrodo negativo de Pb, el clectrólito esuna solucién de H2 SOa de 24e Beaumé que correspondc a una dcnsidud de1,2. Cuando se produce la descarga sobre una resistencia. la concentracióttdel icido disnriñuye debido a su descomposición por electrólisis (cunndo elacunrulador estd ríescargado la densida¡l'del elec¡iólito cs de 20o Be, o scnl,l6) y los electrodos ie recubren de una pelfcula de Pb SOl quedandoaislados de la solución. De esta fornla se reduce la f.e.m. y aumentn litresistencia inlerna. La reacción inversa de Carga que regencrl el ucumulador,

(t) Uri l i¿tn Mn O2 conlo düs¡rulari¿antcr piui lvü ja

cntrc l . { y 1.5 y su rcsistcnci i ¡ cs r lc J ¡

i

lbsorbcr cl hidróBcno quc sc ve formlndo. Su [.c.m.

5 ohmios.

t 4 5

EI.F-CI]IOMAGNENSMO Y CIRCUTK)S ELEC-TRIC()S

se nro{uce ¡¡litnen¡tndo In batería. Con unA fuente exlernil de corrienlr:co¡itinu¡¡, de este modo se regener¡r el eléc¡rolito y los electrcxlos, se- produc':una evADoración de agua y-itl final un desprerrdinriento de hidrógeno ¡roiig"no'qu" suele uras'irlr íapores icidos (tlé ahí la necesidatl de ventilacióndel loc¡tl).

La f.e.m. de cada etemenlo del acumulador de plomo cs en laclrgn del ortlen de 2,3 V. (se disponcn en la priíctica vnrios elcnrentos en

serie) con resistencias muy pequeñ¡s dcl ordcn de 0,01 O. El acurnulador seespecifica por el vnlor de su f.e.m. y su capacidad (no confuntlir este ténninoióh el .¡ué se emplen al hnbl¡r de condensadores). La capacirlad de unucunrulntlor represlnta tn cantidatl de clectricidad t¡ue puede.suministrar sinl¡ecesidad de cirrgnrlo nucva¡lrenie y se expres! en nnt¡rerios -hora. Este valoróeneuclc tle In di¡ración de la destarga y generalnrente corresponde a t¡ntieh¡po tle l0 horas (ltor ejenrplo unn batería de 35 Ah pafa u¡a descarga. cnlQh,'sola¡nente tiene 25Áh ¡i sc descarga en I hora). Conviene evitario.rltut"t fuerrcs ¡Írnto en la cnrga comoln la descarga porqt¡e se puedenio,ftlcir unn dcstrucción de las plicas de plomo. El valor nl¡is a<lccuado seríai,i *rr"sponrlientc al riernpo'anterior.'Por ejemplo un acumulaclor de¡¡urolnóvii de 45 Ah, concspbndc a una corriente nominal de 45/10 = 4,5 A'que convie¡te no sobrepasar, si se exceptúa el breve monrcnto en que.seiiro¿u.r el unanque ttel rirotor. Es interesahte hacer un ejemplo pua entenderhrejor estn nragnitutl: si considcramos quc nos dejamos qr¡ce¡yli$5 las lucesiiei¡r,rronúvil ün un día dc invierno con ias luces rle posición (4x5 W = 20 W),loi Jr i¡¡.e (2 x 40 w = 80 w), se lienc una potencia total de 1.00 ry' lo queóonesnon¿erí1si se manliene constflnle cn l2 V la tensión de la batería' ü rtnaióriiñ,i rle lfi)/ll = 8,33A, y il un$ durnción del ¡cutnulador de 4518,33 --

5,4 horas.

Los acumulndores de plonro son pesados y necesitan grandesntenciones para evili¡r lu sulfnración y disgregación de las placas. 'I'ienen una;;;i;ñl.i;iorde¡r de l0 Ahn(g. Edíson én 1902 inventó un ¡tcumulador ¡ndsl¡*il.tin¡éno-nfuuel, en el cür¡l cl iínodo cstá fonnarlo por una mezcla deiii¿i,i*¡¿o de ni ¡uei y nft¡uel conrprimirlo e.n tubos de acero cerrados por Ul.i¡iirt* gt cútüo e.s unir rejilla don alveolos conteniendo óxido fcnoso' El;ü;ó1il;i un¡ sotuc¡órr d-e potasa c¡ústica KOFI al 21o. La f.e.m. es delói¿ir, ¿" 1,5 v cort unu capircitlad específica de 15 Ah/kg. En el caso delucuniu¡a¿oi tle plnta, los eléctrodos soh de plata y zinc y el e lectrólito es deñiJ;iliñ ¡" ziric. t.i f.e.m. es rle 1,9 vol¡ioi con úna capucidurl cspecílica de60 Ah/Kg, netamcnte superior a los otros tipos'

1 4 6l. [7

Dl \': SIONES DEt ELECTR( )lvlAGNEIlSMO

r.5 ruA(;Nlil'os't'ATIcA

! .5. I C¿IMPO MAGNIiTTCO, INDUCCION Y POTENCIAL VI 'C' I 'OIT

La mRgnetost¡itica es la rama del electromagnetismo que se dcrlica¡rl cstudio de los-cantpos ntagnéticos y fuerzas que apürecen al circularconientes eléctricas por conduclores, o cuando se considcran imnnesperrtunentes. Las

- ecuacioncs b¿isicas que r igen los fenólncnos

inngnetostiíticos son las relaciones de Maxwell particulares mostradas e¡¡ lalig. 2.1 y que se indican aquí otra vez:

a ) d i v B - 0

b ) r o t I I = J (2.s I )

en el cnso de la clectrost¿ítica, se consideraba que no existfan cargas e¡lnrovimiento y que por tflnto no habfa corrienles, es decir se consideraba .l =0. En el caso de ltr magnetostáticn, existen corrientes, pero éstas no tlebeltvariu respecto tlel tiernpo, por lo que dJ /dt = 0, que representan c6nicntcseléctricas-estacionarins o de corrientc continua co¡no las producidas por laspilas y acumul¡dores t:studiados en el epígrafe anter¡or.

Las ecuaciones (2.51) tomadas como Postulados, junto con lasrellciones existenlr',s en los medios rnateriales expresadas elt (2.2), errparticular la ecunción 3 = plt y la ley_de fuerzns de Lorentz (2.3) que errnragnctostiiticn se l.:duce a F = q (r¡ x R) o su equivalente paril corrienles:d! ' -= i (dl x I l ) d ' : f in ida en ( l :28), son las ecuaciones básicas dc l ¡rmagnetostitica.

La ecuació¡¡ a) de (2.51) significa como ya sabemos que lirinducción mugnética es solenoidnl, o de otro modo, que no pueden aislarsccilrgas magnéiicas. La segunda ecuación de (2.51) representa el teore¡na dcAnrpére t¡rie nos da un método útil, para calcular los valorcs de_lf y I| de t¡nndisrñbución de corrientes con algrin tipo de simetrfn, t¡ue hlgan frícil el c¿ilcukrde In circulnción ele lI, cuando se expresa la ley de Ampére e¡r tbrma integralo glotral:

dl = Ni (2 .52)

(lue yil sc csrudió en el epígrat'e

Pnra poder calculnr el valor de Il ó B de cuak¡uier distribución dccorriente, serií preciso adaptar In ley de Ampére, de un modo análogo a conlose hizo en electrostática con el tcorema de Gauss. En electrost¡itica fr¡cnecesario rccurrir al enrpleo de un potencial escalar V, yn que cl r:l¡nllr¡clcctrostiitico cr¿¡ co¡lservilrivo. Recordemos tlel epígrat'e (2.1| ) quc se obte ní¡

f *Y3 d eI cnpítulo l .

ELECTTOMACNETIS NIO Y CIRCUTTOS ELECI'RICOS

lrt ecuución de Poisson escill i lr (2. l9):

v 2 v = - P u ( 2 . 5 3 )E

cuya soluciótl se indicaba en (2.26):

v = -l- f ..Pri-u-' 4 l r e t , l r - r ' l

(2 .54)

(2.57)

tlc nr¡uf se declucfa el campo electrostático por la aplicación del gradienterrcgativo dcl potcncial V.

En rrmgnetostitica el cnriicter solenoidal de B, permite identificarlt inducció¡r corni el rofacional de un c¿¡mpo vectorial A tlenolninado

¡roiericial vector (repasar el apéndice 2), dc este motlo se puede escribir:

B = r o t A ( 2 . 5 5 )

nl susriruir este expresión dc l| en la ecuación de Ampére rot B = p..1, seobticrrc:

r¡rt rot I = FJ (2.56)

Ahora bien de c¿ilculo vectorial se deduce:

rot rot ¡\ = grild (div A) - V2 A

donde V2 A es el laplaciano vectorial. Sustituyendo (2.57) en (2.56) resulta:

grnd (div A) - V2A = [t J (2.59)

Co¡no yÍr se conoce del teorema de l-lehnhol¡z (ver apéndice 2), laespecilicación de ún campo vectorial requiere conocer tan¡o su div-ergencia"oi¡o ru rotacional. El roiacional de A estii yu especificado en (2.55) hemostle fijar por consiguientc str tlivcrgencia.Ld conrlición nlás sirnple sería las igu ien te :

d ivA=o (2 .5g)

11condición anterior se clenomina calil lración (gauge) de Coulo¡nb y esvúlicla sólamente cuando se aplicit en magnetost¡ítica. Cuando se trabaja co,ncÍrrnl)os v¡uinbles se lo¡na la cóndición de óalibración de L¡rentz (Ver epígrafc2.6.3). La ecuasió¡¡ (2.59) hace que (2.58) se ransforme en:

t 4 8

V 2 A = - L r J (2.60)

149

D¡VISIONES DEL ELECTROMAGNMSMO

que es la ecuación vectorial dc Poisson, andloga ¡ la (2.53) estudiarln enelecuosuítica

Se pucde ver qt¡e In-calibración dcl potcncial vector expresnda cn(2.59), que da iugar a qui tZ.Sg) se transforme en (2.60) es consistente con.i p¡i'c¡ir¡o de coñservaiión de la carga. At tomar divergencins en la ecuaciónde'Anrpére (2.51) se obtiene el principio de con¡inuidad cstático:

div (rot H¡ = div J = 0 ( 2 . 6 1 )

uhora bien si aplicamos el oper¿¡dor laplacianb a (2.59) resulta:

V2(div A) = 0 =) div (V2 A) = 0 (2,62\

y teniendo en cuenta (2.60):

ctiv (V2A) = div (-[t J)= - p div J = 0

(lue se cofresponde con (2.61), conro querí0rnos dentostrar.

(2 .63)

La ecuación (2.60) vcc¡orial de Poisson, es equivalentc (encoordenadas cartesi¡nas) a las tres ecuaciones cscalares siguientes:

V 2 A x = - p J * l V 2 A y = - l r J y i V z A z = - N ,

cada una es aniíloga u (2.53). de tul ¡nodo que las soluciones de_(2.64) ser¡ínsirniln¡es u lus que se dieron pura cl potencial escalar en (2.54). Es decir si enelectrostática se tiene:

(2,64)

(2.65)

(2.66'�)

en magnetost¿itica se cumplirrí por ejemplo para la primera ecuación (2.fvl):

. , P I r P . , d v 'V ' V l r r = = ) ! =

t . l ' , u , .

E 4ne i ' lr 'r.f

v2Ar=- [ rJ . *+ A,=+ [ lg '( 4n J, lr-r'ly de un nrotlo aniilogo porr lns oEas componentes. Combinando de este nlot-lolas soluciones se podrii escril¡ir:

E I-ECTROTYIAü N E, I'I S IVIO Y C¡ RCUTT0S E I-tfTR ICOSDIvIsIONIsDELELECTR0MAGNEI'lsM0

r | = I ro t tg- At ' " 'J l r ' r ' l

en el ejernplo cle aplicnción ne 8 del apendi ce 2 se demuestra que:

. J r r, (r---..L')-r o t * - l

= J x f r r , l l

y ¡nr consiguien¡e (2.69) se pucde exprcsar así:

B _ p [ J x ( r . r ' ) , , u , ( 2 . 2 1 )' = ¡;J,-¡-'-:Fi:-

"'

y al aplicnrlo a circuitos filifonlrcs: J dv' = | dtt' se co¡rvierte en:

ut r , l f 'L!r ;¡) = pl 6

dl ' lR ' t 'estas elz)t ' =? ; | - l ; ; l - :

G l , R3

ecuac ión t l ue rep resen ta | i r | ey r | cB io tySavar t ,donde l l ese l vec to rq t |eva desde el elemento dl' decorrienle' hasta elpu¡1o P donde-se calcula ll'

Itn la resolución de pr""üf.** lt¿óiir.ir, tr ley de Biot y Savart se calcult en

dos pasos:

(2 .67 \(2.6e)

(2.7 o)lu ecr¡ación attterior nos dl el vnlor dcl potencinl vector A en el punto P de;;;.i;;ñt i.x,y,z¡ debido a una distribu-ción de tlensid¡rtles de corriente J en;;;;t;;ii;;t v'ii¡ú. 2.21); sientlo r el radio vector del ¡ru¡to P y r' el radiovcctor de ult e lentento dv'.

F . /

Fig. 2.21

. En l¡ pricticn, l¡rs corie¡tes circulan nor¡nalmente por circuitostilifomres (condulroreiJófg,r¿osl. Pnra un hilo clelgado de sección S, el dv'

.i-iou,,t n 3 dl' y l¡r corrienie I = SJ se extiende u lo lnrgo del hilo; de este

nrotío la ecuacióir (2'67) sc transfonna en:

A = F-l I dl ' = + { gl ' wb/nr (2.68)' r

J n l t r - / l =

4 - ! , , R

enelpr i rnerpasode(2.73)seca|cu ln la in t |ucc iónelementa ldeunelet l tentodecorr iente|ysedetcrnt innnsuscomponcntcsvector ia les.Enelsegut t t |oI ) Í t so ' se in teg ran losconrponen tesan te r i o resex tend idasa todoe lh i l ocondt¡ctor o a rrnmos ¿"i¡i5.'s, purJl "uirot er cálcuro de alguna inrcgrul,

;;lñ¡"la sinrería de la ctisribución de corrientcs'

Es indudab|eque|a ley<leBiorySavar tesq{qdi f íc i ldca¡ l | icarque la tey .t"-nnip¿re, peio téngaie en cueñ¡a Que esta última sólante¡lte sc

¡ruede errrpleu, "n uqu"ilos caso! es que resulta i¿"it ct cálculo cle la integr.l

curvilfrrea (2.52\,qu. in la priícrica cóne.spon<le a los-problemas en los t¡uu cl

;¡;il; i'nüeii"iOn ió¡iiriOi con elde lai líneas en las que B es constante'

En la fig. 2.22 senruestra ttn griifico"{1"^e:^tl9:} fig' 2'4' en

el <¡ue se represenruniuTüut'iÑi t*ít"intpotiantes t¡ue tienen lugar cn el

carnpo magnetoslattco.

(2.13)

yil (luc scgtin la fig. 2.21 se cumple quc R_ = | r-r'1. Ademiís / representa el

iit"üiro rtJt tr¡to tlonde se tiene la coniente l.

C e n e r n | n t e n t e e | p o t e n c i a l v e c t o r t i e n e p o c o i n ¡ e r é s p a r n e lirrgcnicro y l.lemús nó rerine ins ventajas qttc teníu,el,p9!:1-:H escalar en

"i"""ii".i iirí.u. io qurini"iéin,l. verdaÍ es'cono,cer la iirrlucción provocada

"* iiuo tlisrribución di conicn¡cs. Lir solución la tene¡nos en la ecuación

ü:;i:il;-il;ñi;-;.irritilr lt il prnir de A. Tenienclo en cuenta el valor

g.n.rit ilel ¡iore,rcill vcctor r:xpresudo en (?'67) se tendrú:

l5( )

v '

r '

ELEC'IROMACNMSMO Y CIRCUNOS ELECTRJCOS

E ¡rH

Fig.2.22

ti lEitPLO DE APLICACION 2.15: INDUCCION DE UN CONDUCTOII}INI'I'O

Calcular la inducción magnético B que producc cl co¡ductor dc longitud L deln [ig.2.23 en cl punto P. El conductor lleva una corrienle de I amperios y el nrcdio eshontogéneo de pcrmeabilitlad ¡t

S O L U C I O N

¡ . c l t S d l

Fis.2.23

Por el principio de continuidad. la coniente eléctric¡ dcbe formar parte rlc uncircuito cerradr¡. El mosuado cn la fig, 2.23 scrá üna parte de este circuio.

Tomanrlo un dr de elemcnlo de conductor, podemos calcular cl dB que pmvaacn un punio P a¡llicando la lcy de tliot y Savan:

. , r ' - l ! f , ay 'x .X R'" -4t ¡ p3

152

,,

2

DtvtSIONES DEL ELECTROIVTACNENSMO

cl scnrido vecrorial dc dt| es prpendicular y salientc al plano dc la.nuura (ejc z). sc obscrva

;,ñ;;; loi¿i ¿" tos ctemintós dx van eñ cl epz.Lanragnitud dc csu inrlucción cs:

,rfr -.u! d4 ...sgn 4-u ¿ - 4 r

R 2

y la inrlucción total scrá:

quc haciendo el cambio de variable:

Í . ¡ - . - r - - r - - ^ ^ - . f - - ,

tg 0 = ffi

donrle cl valor dc m es: m = ,g ",

resuha:

x = m - : _ I -r g o

cs dccir:

= +f (cosa¡ - cosaz)4 r r

!

Rcalmente,los llneas de B serón nngcncialcs acircunlcrencias cuyo eie es el

conductor, de ahí que en el punto P, la inducción sea pupcndiculor y saliente al plorc de la

.mCirlu.

Si el conductor cs de longitud infiniu los ángulos a¡ I 02 ticnden a:

o¡ -r ü i o.2+ l80e

y por consiguientc el valor dc la inrlucción serd:

,, - pl-"2- 2n¡

quc sc pcxtría haber obtenido {ircct¡mcntc aplicanrlo h ley de Amptre. (vcr ejcnrplo dcaplicación 1.3 dcl capítulo l).

Lr ¡ p l I dx scnoI D - = l -u z

4 n I R 20

^ p l " l

s e n o d aI ) - = l -' ' 4 n J r

a¡

=. dx=r-q- :sgn- o

ft = -'-"r 'sen c

I i I Ei l I I ' Í .O DIi , l l 'LICTICIONCI ' ICU¿AfT

2.16 : INDUCCION DE UNA ESPIRA

Dctcrmill,r cl volor de la inducción cn el cje dc una cspiro circulu de rodio u yqtn ,rdnslrortü u'tl't cor¡icnle I .t urw üstoncia z dc su pktto.

t 5 3

ELECTROMACNENSMO Y CIRCI'TTOS ELFTTRrcOS

sol ,ucloN

En la fig. 2.24 * nluestfa cl csqucma concs¡nndicnrc. Al aplicur la lcy rle

Biot y Sovart a un clc¡ncnto dl dc conigntc sc úcnc:

rm=H tr

Fig. 2,24

d B = H Slos ¿ifercnciales dc inducción que produce cada difcrencial de longitud hacen que ¡nr simctría

se lnulen las cornponentes cn él plano dc la cspira. De ssta modo sólo se tienc una

resultanc en el eje i. La componentc dB. cn cslc eje es:

d B r = d B c o s ü = * S c o s o

tlonde se tienc:

C O S O =

y se obtienc una inducción totl¡l cn P :

cuyo múfulo vale:

es dccir:

ñ¡ p I cosül t - =u ¿

{ n R 2

fi,=\tPlF

a

m'

íl .

R I

f d r = HY,

l l t a2Br .= f f i

1 5 4

2 n a

+ -l-l-+-trlr L

r 5 5

DIVIS¡ONES DEL ELECTROMACNENSMO

ElEttIPl.O DL APLIC,ICION 2.,7 : DIPOLO MAGNETICO

Calcularc|porcnciolvectorAylainducciónmagnéilca'Rproducidosporunuespiro circular de rodio á, t¡ue tteuo una.coirie.nre I como inüca latig.2.25 cn un punto l'

.sitwdo a una distanc¡a tl)>u. El medio es dc permeabitittod ¡to. Sugercncio: Enpluu

coorderudas e{éricas. (Lo espira estó siuinda cn cl pla¡o XOY) '

P ( x r I r ¿ )

Fig. 2.25

SOLUCION

Dc acucrdo con (2.68), el valor dcl ¡rotencial veclor A en P será:

A = T O T4 n f

T

dl '

l r - / i

dclndc sc tiene:

d l '= a* dx ' * uy dy ' ; rx '<< x

= á x x + a y y + i l ] - ? .

; y ' < < y i

+ l y y ' + üzz ' ;f ' =

t x X

z '=o

II r " t - l

=t d ' x ' ) 2 + ( y ' y ' r z + Q z'\2 l l 12

I t *2 *y2+22) ( t . l f f i ,

l l '

l r - r ' l = '

; I I

t | - z - { - L ' t v v ' I - l / 2 = )' Í 'I t

l t t2 Í

ELECTROIYÍAGNflSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

de este ¡nodo la exprcsión del potcncial vcctor scrá:

n = S f l , t . *} ' f )(a,rtx '+ ardY') = * i f - l+*

T

tl¡nde la integral sc ha rcsuclto pasantto a coordenadas polarcs las magnitudes primadas'

Dcnominando momenlo dipolar magnétlco m a un veclor dc módulo

lS pcqrcndicular a la supetficie dc la espira, rcsultará:

m = a z l S

rlc dontlc sc olrtienc:

n=* -É. = "o * *ff"

qrre cs el valor del potencial veclor en función dc pa¡ámeUos referitlos a coordenarlas

csféric¡rs. El valor ¿c fo ¡n luc.¡ónie of¡An¿tá tcniendo en cuenh la expresión del rohciol¡al

en esféricas, rcsultando:

B = rot n = f f i [ar2cos0 +ag sen 0 t

cxprcskin nnáloga a la obtenida en el ejcmplo tle aplicación 2.7 sobre el di¡nlo eléctrico'

2.5.2 INDTJC' r ANCIA: COEITICIENTES DE AUTOINDUCCION t i

INDUCCION MUTUA

Enc lec t ros tá t i ca ,uns i s t cmadedosconduc to res , t i eneunar:nntirlad ¿"ütg. Aiilñ6"iáu'"n cada uno de ellos.que es proporcional a la

itii"i"ii"¡" á"foi"n"iuf "iitiintt "ntt" los mismos, de acuerdo con la relación

12.33) :Q = C ( V t - V 2 ) = C V

ln corrsranle tle proporcionalidad, es un factor geométrico: la capacidad' De

rrrr nrodo sinlilar.n .ugnitottótica, en un sistelma fonnado por dos circuitosii;;ilü roni.n,". .o.lu"uno.l. ellos cs atravesado por un flujo quc cs proclu-citlo v es proDorcionai a la corriente que circula pór el otro.La constante de

;*r,ír;i"L;tiiu.ilr iotr,Uién un factoi geoméricb, denorninado coeficienteli; Iftñ¡6n *"tru. En elcaso de que solo exista un circuilo, el cocientecritre el flujo t¡ue se atraviest a sí mismo debido ¡ su corriente y esa ¡¡risma"oirl.nr. ie <ienonlina ct¡eficiente de autoinducción'

(2.7 4)

r56

(2.77\

1 5 7

DI VI S IONES DEL ELECTNOi{AGNb.TTSMO

Fig.2.26

consideremos el esquema de la fig.2.26, donde se ¡ienen dos

circuitos "l t v lZ acotados por dos supcrf icics abiertas. S¡ y SZ

respectivam"hrt. S¡ por el circuito I pasa una corricnte l¡, producirá una

inducción B¡, parle ¡te la cual auavesará el circuito 2 a navés de la superficie

s2. si designamos por o2¡ el flujo producido por el circuito I y que llega a

2, se tendrá:

el = f n, , .ls2s2

clonde 52 es cualquier superficie abiena quc sc apoyc cn el contorno l dc laesoira 2] En el ciso de quc la espira sea plana, pucde lomarse incluso laprbpia cle la espira. Como quiera qúc por la ley de Biot y Savar¡, lo inducción

Il¡ serii proporcionat a su corriente (supuesto cl medio lincal). el flujo O2¡será ¡..roporcional a la conientc l¡ :

O Z t = L U I r (2.7 6\

la constante <te proporcionalidad L2¡ sc denomina Inducción nrutu¡ entrelos circuitos 2 y l. La unidad Sl dc la inducción mutua cs el henrio (Wb/A).Er. el caso tló que cl circuito 2 tenga N2 cspiras, sc deno¡nina flujocurcnlenado o abarcado por el circuito 2 a :

Y2t = N2 ozt

y la ecu¿tción ecu¡rción (2J6\ se generaliza a:

(2,7 5)

E, 1. ECTROIvIAC t IEI'I S NIO Y C nCU ffOS E LIfTRf COS

de tlonde se deduce:

t P 2 l = L u I t

Lzt=?

(2 .7 8 )

(2.79)

circuit o 2,l . En estecualquier

(2 .81 )

Herrrios

de este ¡noclo la inducción mu¡ua de un circuito expre$ el cocientc entre elflujo concntenatlo por este circuito dcbido a la corriente que circula por otro.

En el caso dc que el medio no sea lineal es rlecir que la¡rnneabilidad no sen constontc, l¡t dcfinición antcrior sc debc cxprcsar de unnrcdo ¡nás gencrnlpor:

Lzt (2.80)= 9llía r Fr- d l t

J. ' , 1t

I

De un nrodo anilogo, .si circula una corrientc 12 por eléste producir¿i unü inducción II2 parte cle ln ctral llegnrií al circuitoc¡rso se tiene un tlujo concatenado por el circuito I a través desuperficie que se apoyc sobre el ntisnto:

tl 'r2 = Nr Sz = Nl f ot ' ds¡s l

y se define la inducción rnutua Lnde un nlodo aniilogo a (2.79):

Ln=ry =r (En senerill ) =r Ln=S*

Se puede considerar también la situación del flujo producido por

I¡ rlue otraviesa su propio circuito Yli en este caso el flujo concatenado seráigual a:

t f t t = f r f t o t t

y se defille como coeficiente tle auloinducción del circuito I al cociente:

(2.82)

(2.8 3 )

L t r (2.84)

que también se mitle cn henrios. De un modo andlogo paro el circuito 2, al

circulnr un¡ corriente 12 por ]2, se tendr¡l un flujo concatcnado ty22,prcxlucidopor el propio circuito, tle tal nrodo quc sc pulrrí definir el coeficiente de

158

- ' {ul l

=e (En general ) =+ Lrr = SUO

DIVI S lON LS DEL ELECTROMAGNE:IISNIO

irutoinducció¡r t lel circuito 2 al cocientc:

l l " tt ; -

l-11 = -T-- - 12

:+ (En gellerill ) =+ Lt¿Z= #

(2 .85)

Sc pue clc de npsrar (ve r ejemplo de aplicación.n0 2- I 8) que l¿¡nto

los coe frcientes de autoinducción Lll Y LaZcomo los de inducción mutua l-¡2

y Lr¡ dcpenden de tas d imensiones propias.de los c i rcu i tos. dc la

ner¡ñóubi l idad del ntedio y de ln separnción r le los c i rcu i tos. Una bobina

lonstituyc t¡n circuito t¡rre presenta propiedades de autoinducción, pudiendo

alntncelíar crrergía nragñética, de u¡t-nlotlo anii logo al de un condcnsldor r¡uc

¡lucde alnucenar energía eléctrica.

Nota práct icu:

l) Al cortar circuitos quc tcng¡n bobin¡rs con imporlantes cocficicntcs tlc

auroin¡lucción puedcn naccr lcnsioncs y cxraconicnics dc ntptura capaces dc pcrjudicar a los

aparltos inrercalildos en el circuito. Se pucdc ¡lr9lcgcr a cstos aparatos: a) corundo lcnta y

progrcsivarnentc la coniente (si csto cs posiblc): 2) provocando un cortocircuito cn cl

im¡inaCo cn cl momenro del cortei :¡unquc gencralmentc es más adecuado cenar cl circuitr¡(luc se tra6 dc conar sobre una resistencia prevista a cste efcctoy que linrita la.intensidad dcli¡ corricntc; c) insu¡lantlo un contlensador que absorbcrá la encrgfa magnética y la almnccnarácn fonna de cnergÍa electrostdüca'

2) En las rcttcs elécrricas sc emplean b<¡binas dc rcactancia para limitar las corrict¡lcs¡c cort<rcircuito. Para ¡ntencias ¡rcr¡ucñas consistcn gcneralmcnle en un arrolla¡nicnto dc lf)¡ Z0 cs¡riras dc cobre desnudo foinando una hélicc y-a¡ruyada en aisladorcs dc porcclana. Sc¡ritiza¡i tan¡bién parl lirnitar los cl'ccos ncfostos dc las sob¡ctcnsionet cn lus ¡cdcs ilércas y

cntonces sc cohtan a la entra{a dc las subcst¡cioncs. Para granr.lcs ¡r,otcncias se cohrcalt

dcntro de una cuba de nccitc diel{¡trico (accitc dc uansformatlor).

]: lElttPLO DE ,IPLrcACION 2.18: FOR¡LIUI.AS DE N*:U¡IANN

Se disDonen de los dos circuilos mos|rados en |a |i9,2.2ó. Calcufurunulítiutnrcnte cl coeficicnte tle inducción nwua L¡2, enfunción de las ilinrcnsiones y

septración de ¿ntbos circuitos. SOLUCION

si suponcrnos quc pof cl circuito I circula una corricnle I ¡ , cl flujo (lt1 I (luc

ut¡¡¡vicsu cl circuito 2 tlcbirlo u l¡ scrii scgún (1.75):t f

, h ¡ = J l l l . t l s 2 =

J ( r o t A ¡ ) . t l . s 2s 2 E

yÍt (lrrc al scr l l¡ solcnoidal,l)rocederú dc un ¡rutcncitl vectorolfil l]arlc cl vulor dc r\¡ rluc pr(xlucc cl circuito I cn puntos(2.ólt) su¡luestori circrri los l '¡ l i lbnncs:

= f.lz

A¡ t lc

del ci

A t d r2 (2 .86 )

acuerdo cor¡ (2.55). I 'or

rcuito 2, victte tlad:t prtr

r 5 9

ELECTROMACNT'TIS MO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

A ¡ = + { 4 l r -4 r

i l ¡ z - r t l

tlonde los radios vectores rt y 12 son los mosrados en la frg,2.26.(2.86) resulta:

Q r = * $ $ f f i1r lz

y tcniendo en cuenta la definición (2.76) sc tiene:

(2.87)

Al sustituir (2.87) en

(2.88)

(2.89)

que sc denonrina fórmula de Neumann, y tlemuestra Que t¿t depende dc la forma de 1¡, Y2 yrle la scparación enrc circuilos 12 - r¡ .

Si el medio es lineal, al cambiar cl onlen de integración de (2.89) obtenemosel valor de L¡2, Que coincide con l4¡ es rJccir se cumple que:

Ln= L2l = M (coef. de inducción mutua) (2.90)

En cl caso de que ambas integrales de 2.89 se cxüendan a un mismo circuito,se obtendrán las expresioncs de L¡¡ y L22. En el cálculo.¡eal, estas últimas integralestienen problemas de singularidades (en los puntos en los quc se cumple: 12 = rt) que serlcbcn cvitar,. En la práctica el cólculo de inducuncias sc ¡ealiza di¡ecnmente aplicando lasdefinicioncs rfe cocicnes enuc flujos y conicnrcs, como se h¡ indicado en el eplgrate2.5.2.

IiIEMPLO DE APLICACION 2.19: INDUCCION MUTUA

' Colculor cl coelicient¿ d¿ inducción mutuu� entrc los circuitos de latig.2.27.

El con¡tuctor I es de longitnd inlinita y el mcdio tiene prmeobilidad po.

r (;0

Fig. 2.27

DIV¡S¡ONES DEL ELECTROMAGNENSMO

soLUcloN

Si se considcra una corriente I ¡ en cl circuito | , al aplicar la lcy dc Amp¿rc sc

puule calcular ta inrlucción que producc a disunci¡ r dc su eje, rcsulundo:

- F o t rul = ao fi-i

cl flujo concatcnado por la espira 2. g2¡ es ¡güal a tD2¡ y vale:

n t t b

. p z ¡ = o ¿ r = J 8 , , t , = ' j - t r , * * ) ( ¡ o h d r )

= ! ! e - l l ! ¡ n l t !E .

ya que ds2 = aO lt d¡. Dc la exprcsión antcrior sc dcducc:

v¿t = SI ¡n 4 t-h henriosLzt = I;

= z " a

EJE I t IP I .O DE API . ICACION 2 .20 : AUTOINDUCIONSOTENOTDE TOROIDAL

DE UN

El toroide de sccción rectangular dc la lig. 2.28 ticne wa perncabilidad ¡ts y

estó bobinado con un dcvanado unilormemcntc disrlbuldo dc N espiras. Calculor elcocftciente dc outoinducción de este solcnoide.

Fig. 2.28

SOLUCTON

Al pasar una conicntc I por el devanado sc creará una inducción B denuo deltoroirlc. Por la sirncuía rlc la figura se pualc aplicar Amplrc a un circuito 1, represenmdo¡nr una circunfcrencia rk radio a < r < b, rcsultando:

ELECTROIvIACNffiSMO Y ClRCUrn)S El-FCl'lllCos

f n . u r = ¡ r ¡ N lI

y como quicra que lt es h'rgcncial. d igual quc dl resulu:

B = ¡ ¡ O B ; t l l = a o d l

y ¡ror consiguicntc :F o N I

f l = e 0 i , - ,

cl llujo o quc ouavicsa la ¡ccción uonsversal valc:

,u =Jnu. = i tor ?#)(¡ohor) - S{ l r m !S ¡

cl flujo loral ry concatenado por las N espirAs, Scrá N vcccs mayor, y como consecuencia serc¡nl¡¡l

,=T =Nf = +# -: henrios

UEnIPLO DE API . IC¿TCION 2 .21 : AUTOINDUCCION DE UNCONDI]CTOR CIT- INDRICO

Colcular cl cocficlcntc ú¿ auloinducclón por melro de un conductor reclo

cillnüico dc raclio A. Lo pcrmcabili&td del conductor cs P, lo dcl medio circundante ¡to.El

co¡tductor ransporto uut corrientc I undormcmenl¿ üslribulfu por su superficie lransvcrsal'

SOLUCTON

En este cjemplo. cl flujo concarenado consiste en dos partes: el flujo interno y

cl flujo crlcrno. El fiujri lnlerno cs cl cristente dentro rlel conductor y debido a la

corricítc tlcnt¡o dc é1. Eitc flujo no enloza toda In coniente sino una frucción ds la mislna'

El flujo erlerno es cl c¡istónlc fucra del con¡luctor,y rtcbido.a.su propia corriente.

abarcantlo rodo el conduclor. Por consiguiente püa calcular l¡ auoinducción de este cablc,

seró preciso ¿etcrmintr los flufrs concaienados cn el intc¡ior y cn el exterior. l¡ inducunci¡

que ie obticne al considerar el llujo concatenado en el interior del conductor se dcnon¡ina

ihductancia o coeflcicntc de autoit¡ducclón lntcrno: L¡n¡ . La inductancia debid¡ al

llujo concalcnudo cn cl exterior sc dcnomina cocficiente dc ¡uloinducción externo:

t-.i, . U. csre nuxk¡ h induct¡nciu total ¡xr nrct¡o de longitud tlcl co¡rductor será igual a:

L = Lint + Lcx¡ lf/nt

i l ) Cálculr l r le lu inductanc¡i l inlerna

(2.91)

Si se consi¡lcm In scccirin rnnsvcrsnl dcl condwtor mostraü cn la fig.2'29' ll

aplicu cl tcorcnt¡t dc Anrp0rc a u¡¡n circunlbrcncia rtc radio r, rcsuhl:

t62

DTVI S IONLS DEL ELECTROMACNENSMO

Fig.2.29

f n . A f = F o i , = B o 2 ¡ ¡ r

rlontlc i, rcprcsenur l¡ cor.icutclconrcnida clcnl¡o dc un cfrc¡llo dc ¡adio r. Si denomina¡nos I ¡

lu corricnlc tot¿rl, la dcnsitlad dc corrients vaklrá:, _ l _ |' - S - n a 2

y ¡nr consiguientc la coniente i será:

I r = J n " = " #dc cslc modo el valor dc la inducción quc pruluce cl conductor en su in¡erior a dis|a¡tcia rscni:

B¡ = a, ##cl flujo que atravicsa una corona cilínd¡ica a una disuncia r dcl cenro, dc espcsor dr y dc Inr dc longitltl (profunrlidad) será igual e

do*= I r ¡ r ls=t to ** ) (e0 .dr . l )= t+#csrc flujo cnlaza rinicamente la corriente i* del conductor, por ello cada Welrcr dc flujo

prrxfucc fa fracción ¡2 h2 del flujo concatenado tohl. Dc estc modo cl diferencial de fluioconutcnado dry. tlcbirlo a dO, vcnrhá dado por:

dY,=$ ut , =#? * ( ' )

cl llujo intcrno total concatenarlo por cl conductor, sc obtendrá integrando la cantidudanterior cntrc 0 y a, rcsulnndo:

(') oun ¡nétodo rle ra¿on¡¡r cst¡ erprcsión. es consi<lerar quc et flujo clifcrencial cr¡nca¡cnado esrlebirlo a N* cspiras:

dtüx = Nr dgxdondc N, rcprcscnta el númc¡o dc cspiras quc abrazan l¡ corrientc i*; si sc tiene cn cuenta quc hayt¡n solo conrluctor. N* represcnt¡¡á la fr¡cción dc una cs¡ritr guc ocupr cl drcr rayrrle dc la lig. 2.29.cs dccir

N* o rr2lna2 ( l l=] la2

r63

ELEgIROMAGNTE"NSMO Y CIRCUN'OS ELE�TRICOS

¡I' t ' i n , = j * d r= #0

cluc conduce il un valor de lu inclucnncia intcma:

Lin, =l* =ül n/nr

ll/rn

(2.92\

(2"e3)

(2.94)

si el conrluctor cs cte cob¡c enlonccs F = Fo = 4n l0'?, t'lc ul fornla que (2'92) sc convicrlc

cn:

l¡) Cálculo de l¡r Inductoncia exlern¡¡:

En la fig. 2.30, sc mucstro una sccción trunsvcrsul dcl contluctor y las lfncasrlc in{uccirir. al aplicar la ley dc Arnp0rc a lu conl'igurución nrosrada, ¡cnicndo cn cucnu queen cl exterior sc ticne p=ps, rcsulla:

Fig. 2.30

L in , =+ . t o ' ?

Bo 2 r r ; ' Po I =á t to-# 06

ya quc cl camino e¡terno abraza la corricnte total quc uanspona el conth¡ctor. Dc cste modo,el tlujo que auavicsa una coronü cilíndricit dc radio r, espcsor dr, y tle I m dc longitud será:

p 0 Id O ^ = f f i d r

el ftujo concatenado rJry, tlcbiclo al flujo dtl¡* ticnc el mismo valor ya quc cncicrra l¡¡ lnisma

cgrricntc rotal. El flujo total concateni¡do entre l¡l pcrifcria dcl conductor y un cilindto denrdio nruy gmnde pcro finito R, sc obtcndrá integrantlo (2.94) enuc a y R' resuluntlo:

' d r

r64

(2.99)

I fi5

D IVI S ¡ON L5 DEL ELECIIOI.íAC NENSMO

R .

y.., = ,D.rr = t #P-!- .rr =i ? n t

que cofres[nndc a una inductancia extefna:

L.*, =+tt =H h *y reniendo en cuenüa el valor ,lc lto, resulu[¡l:

Lrr¡ = | . lo '? tn * t l /m (2.e6)

f)c este modo la incluctancia toml del conductor para una d¡sBncia aúiraria Rscrá:

Lr = Linr * Lerr o f;

+ t*

t" *

(z.e?)

y si se considcra que p=[ro= 4r l0'? resultl:

L r = l o ' ? ( * + z r n f ) H / m (2.99)

Cuando se tmr¡ el cálculo dc la induchlgi! de una lfnea bifilar, ta inducunciacalculada en (2.9?) y (2.98\debe mulripl¡éuse-poTüdí p-áüa'reirer en cuenta ambosconducrorcs. Entonces el parámetro R representa la separción cn|re los conductores. En elcjernplo de aplicación 2.28 se calcula l¡ inductanci¡ de un cable por un proccdimientodisünlo al expueslo aquf, basándosc cn oonccptos ercrgéticos.

2.6 CAMPOS BLECTROMAGNE'I'ICOS VARIABLES

2.6.1 CORRTENTE DE DESPLAZAMIENTO Y CAMPO MAGNETICO

Cuando las fuenles que crean los campos: la densidad voluméricade carga y la densidad de corrientc vnrían con. rcspccto rl tiempo, se producenunos canrpos electromugnéticos variables, qui vcndrán ligados en gcneral ¡lorIns cuatro ecuaciones de Maxwell:

F o l r n I2 a a

a ) d i v D = P ,

b ) r o l f , = - *

c ) d i v l l = 0

d ) r o r i l = J + *

tf/m (2.9s)

ELECTROÍYIACNE'|ISMO Y clRCynos ELt{TRlcos

esr¡rs ecu¡rcioltcs, junto con las que relacionan los catnpos cn los rnetlios (2.2)y la de lucr¿¡¡s de Lorenlz (2.3), constituyen la b¿rse del es¡udio nr¡isgeneral dcl curnpo electronurgnético.

En el capílulo I se hizo ya un estudio simplificado ffsico cle lasecuaciones de Mnxrivell, que se ha ido completando en cste capítulo con unanálisis nr¡is detnllaclo rle i¿¡ electrost¿itica y magnetost¿ftica. Recordemos queen nlügnctost¡iiica, se obtiene un c¡¡mpo magnético.ll por la presencia decorrien-tcs tle conducción J, sin enrbargo en el caso de campos varinbles cspreciso lcner en cuenla que puede también obtenerse un campo Il , sinnccesid¡¡d de que existnn corrientes de conducción, sientpre 9u9 F tenga unc¡¡t¡lrro eléctricb vuri¡rblc que dn lugor a la deno¡ninatla tlensidad de corrienterlc d'cspl¡rzirnr¡e¡rto aD /ai. RecrÉrdese del capítulo l, al nnalizar ll cuarlaesu¡lción de tvtaxwcll tluc el término 0D /0t, fuc in¡¡ulucido por Maxwell,n¡¡lplii¡¡rrlo o completnnüo In prinririva ley de Anrpére para hacerla conrpatiblcco¡i el nrincipio üe corrtinuirlad o de conservación de la carga. O de nrodoinverso In ecünció¡t de Maxwcll cxpresarln en (2.99 d) cumple la ecuación decolrtitruidncl. C)bsérvese qtte lomando divergencias en cada ¡nie¡nbro de est¡tecuación resulH:

ctiv rgt tl = ttiv J + div *v tcniendo en cuentl tltle la tlivergencia del rotacional de cnmpo vectorial esÁienlpt" cero, y la eipresión de tt ley de Causs o prinrera ecuación tlelvt¡xwell, se puede escribir:

opt-ti

DIV¡SIONES DEL I LECTROMAGNETISMO

Ahora (lue y¡l co¡rocem:rs el conc.epto de capaciglll.lg ¡ruetlcenrender rnejor lu t ..".íJn¿ ¿" iu co¡"iente de ¿e'splazantiento' ConsirJerentos

el cortle¡rsa.to, ptono,"iil;¡; n.f ,t;t placas metiílicas circulares tlc

su¡rcrficie S y separac'iO" ¿' mosir¡'do en ia fig' 2'31'.alimenl{t-!-t:-t:i:;;il;-t;; .te'f..]r.tr. e. Est¿i claro ¡'ue si este generador ts q"^corrrentc8;;i;t"it;;.i"tpi" ;ti. pirtl "" hirv varilción-tle carga con el ticmpo' dc

Ñ;iod'¡t ecüac¡'ón de continuidad (2'l0l) se transfornra en:

si la ecuación i lnter ior2.31 por tr i lzo f ino' conlir i z.tirr ierd0 ¿ltrüvcs¿ld:lse tcnclrÍ:

f d i v J d v = f J . d s = o (2. t ()3)

V S

lo ouc se exDresa cliciendo: que lri sunra dc corricnles de co¡t¿t¡cciti¡l

;"";;i;t-;[i "ül"ir.""i-es'igrrirl o. cero. Co¡no quierr que dcntro dcl

i-on¿énru¿or no hay "Ñ,,rtor"t-n'.l¿ílicos, la corricnte que sale por lit llase

derecha tlel cilindro prlr"i", ió q,,C requieie en conespoñdencia con (2'103)

il;l;;;ri.ni" f. ir-fot'ttil.is cle inión sea nu[a. Efectivamente, el

condensador represent͡ un circuito ubierto, y por ello no Ae!1 g1sll *1i:ll:

.i¿"iii* i¿. co'nducción) por den:ro de él y conlo consecuencla la corrrcnle

sunrinistr¡tda por la birteríi¡ sería nul¡t'

S i n e ¡ n b a r g o s i e l g e n e r a d o r c | e l a f i g . 2 . 3 l t u v i c r a r ¡ n ¡ t f ' e . l ¡ t .cr¡va ¡nar¡niti¡,i ru.rn r.ir,"¡én deírienrpo, tle rnl ma¡iera que la tensió¡t aplicatla

ai óotdeñsa¿¡rr resultara por ejernplo rJe la fonna:

v(t) = V'r c 's 0) t

con (2 .32) r l r l cü tn l )o

V VE = i - = : i r c o s C I ) t (2 . I05)

de desplnznntiert to pi l r i t t l t l¿t( lue dn l t rgur i t t t f l i t t le t ts ic lnd de corr icnte

I)s¡Tlit ivit l i ld en tle I t l ieléctrico:

t l iv J ='C

se inregra ul volumen cilíndrico mostrndo en la f i$.-la bnsá,le l¡r derecha denrro dcl condcnsndor y l i t dc

por el colrdurtor de unión (gener¡rdor- conde¡lsi ldor),

(2 . I02)

(2.100)

( 2 . l 0 l )r l iv J =

(lu0 cs lil ecuitción tle continuitlnd.

(2 . I04)

eléctr ico v i l r i ¡ rb le del t t ro t le lse lendrÍ cle i lcuerdocon(lcttsatlor tJe vulor:

AD AEJ,t= ai

=Eo i ta = 9tl.J-ru .osenor

t 6 6

Fig. 1.3 I {J ü ut'tt cofficnte totnl tlc tlcs¡ll itzil¡l l ictlto:

(2 . 106)

1 6 7

E LECIRO¡v|,AGNETIS MO Y CIRCUIIOS ELECTRICOS

i , r = IJa . ds = Jd . S =s

o teniendo en cuen¡¡r que la capacidad de un condensador plano es C = eo S/d,resultn:

i r l = ' V m C o l s e n r r l t (2.108)

Ahorn bien de Rcuerdo con la definición de capacidad (2.33)existi¡¿i u¡n corriente dc conducción en el hilo i, que curnplird la relación:

E o V r c ,\, tt) Sen (r)td

v vcle doncle se obtiene:

Ai r = f t ( C V ) = V m C a l s e n o l t

y ¡ll trilnsfonnar los integfales de volumen en superficie, resulta:

r= t I J . d s =

JS izquicrda

(2. 107)

( 2 . 1 t 3 )

c = . q = J l g

I

J J¿ . ds (2.112)

S,Jereclra

f l( l r . l . d s = - , 1 , J a . d sJ J

Scilíndrica Scilínclr ic¡

(2.t09)

(2 . t l 0 )

quc coincidc con la corriente de clesplazanriento (2.108). De este mdo unacorriente variable is en el hilo se transforma en una corriente dedesplazamiento i¿ denro tlel condensador, como así lo requiere la ecuación decontinuidnd. Obsérvese que (2.101) se puede escribir:

J .r ivr dv = - I +dv = f 0,"[p)0" = - IdivJ¿dv (2.ur)i i c , t i \ d ¡ l v

tkrnde se ha tenido en cuentil que las integrales de superfice cerrada se hantrnnsformado en integrales abiertas extendidas en cada caso a las superficiestlel cilindro clonde existen las densid¡des de corrientc correspondientes, estlecir: a las bascs izquierda (para J ) y derecha ( para J¿) rlel cilintlro nrostradoen la fig 2.31. De este modo resulta:

i c = - i ¿ : + ic = icl

' l tngase en cuenta par¿t pasar de (2.112) ¡ (2.113), que en elvolunten cilílrdrico de integrirción de la fig. 2.31, el valor del prirrrcr nrie¡lrbrodc ( 2. l l2) cs igu¡rl a -i" puesto que en In superfrcie izquierda del cilindro J yds son de sentido contrario , nrienrras que el valor del segundo mieml¡ro

I68

D¡V|S¡ONES DEL ELECTROiTIACNffiSMO

( incluyendo el signo nlenos que ticne) es igual-.1 -- i¿.pucsto t¡u.e la intcgrnl es

ig"ri í¡r yü que Jn la superfiiie rlerecha del cilindro (dcnro del condensador)

J¿ y ds tienen el mismo sentido.

Dc acuerdo con los rcsultados anteriores, sc pucdc calcular ahornel campo mngnético H dentro dcl condensudor, que obeilecerd I la siguienteecuación puntual:

rot l l = Jo (2.1 14)

y$ que cn el inrcrior: J" - 0. si sc consirlcü una circunfercncin tle rorlio r

irtenor que el radio de las placas, al integrar (2.1 14) resultnrd:

( lue tenientlo en cuenli l (2.106) nos dil:

t t q= ¡u i * - *# t c , )r2

( 2 . t l 5 )

(2. i l 6)

(2. I l7)

si se considera (ver fig. 2.3 | ) que r > a, la expresión anterior se conv¡erle en:

Fro=2k E' 1#S

{t) i l sen0!t

de este nrodo se explicn la producción de campos magnéticos en el vitcío concorrientes de despldzanlienio, es tlecir con cünrpos eléctricos variables.

s e n ( l l t

2 .6 .2 l . l ' , :Y D l i l , 'ARADAY. VOL ' l 'AJF : YPO'l ' l iNC l A l ,

D l l . ' t iR l iNCl A Dh:

En el epígrafe 1.6.d del capftulo anter ior se estut l ió conprofundidad la ley dé Éuraday. Estn ley noi iñd¡ca la posibilidad de producircünrpos eléctricos si se tienen compos nngnéticos variables. Vanlos a dar eneste aparrado r¡ni¡ detlucción de est¡¡ ley con un enfoque dittrente ltasatlo e¡t eluso dc los potenciirlcs csc¡tlur V y vectorinl .\, contpletando tle eslc ltlotlo lo(lue ya se estudió cn cl capítulo l.

Lr fucnr de Lorentz qtte actúa sobre una cargil (l tlue se tlllleve ituna velocid¡ul r¡ de¡ltro de u¡rn región en la que existe un cilnrpo cléctrico li yun canrpo rrugnétictr dc ilrtluccióll ll cs:

( 2 . 1 1 8 )F = t l i l i + u x l l )

I (r9

Dlvl SIONES DEL ELECTROIVIAC NmSMo

si se rienen en cuenla las ecunciones (2.1 l9) y (2.123) resultn:

B ' = E + u x D = - g r a d V ' S * u * n ( 2 ' 1 2 6 )Jr

el camfio vectorial u x ll se puede considerar como un campo cléctrico

i"¿i"¡ir por acción del moviiniento. El valor de la f.e.m. inducida en u¡r

circuito l teniendo en cuenta (2.126) sení:

" = f E ' . d l

= f ( g r a d " - *

+ u x B ) r l l ( 2 . 1 2 7 ' )

1 1

clct¡ido al cardcter inotacional del campo Eo =' grad V, su integral curvilfnea

extendida a un circuito cerrado tenclrií un valor nulo y en conscctteltcia l¡t

ecuación (2.127t. se transforma cn:

r l A. = f - # u t * f t u x B ) t l l ( 2 . 1 2 8 )

1 T

si se tiene en cuenta que B = fot A y se aplica el teorema se Stokcs a l¡tprirnera integrnl tle (2.128) resultar¡i:

r DA , 7 I f aB , -

t f ru ' = l ' f

( rotA)ds = - I u.* (2 ' r2e)

Y

doncle S representa cunlquier superficie ubierta que se apoya en la ctlrva

contorno 1. Susrituyendo (2.129) en (2.128) se obtiene la expresión final de

ln f,e.nr. inducida en cl circuito 1 :

" = - [ 4 o , * , $ t , , x t ] ) t t t = g s ( 2 . 1 3 0 )J 0 t J ' d tS Y

ecuación que coincide con la ( t.l l2) del capítulo I ' demostrado allí de rr¡l

mqlo mis tradicional. La f.e.m. anlerior se puedc expfesar como -d<Itlrlt (ley

integral dc Farnclay). En el caso de que el circuito l esté formado por v:¡rias

espiras hay que tcner en cuentil real¡trenle el flujo \t concí¡tenado total y rlc

este nlodo (2. I 30) se puede escribir püra una bobina de N espiras:

n l

ELECTROIIACNMSMO Y CIRCUTIrOS ELECTRICOS

/lu expresión anterior indica que la fuerza que tctúa por unidnd rlc cnrga F/q scpuerle interpretar como un cümpo cléctrico E'de valor:

Ahoruque:

r 1 ¡ r [ = - 9 - ( r o r A )0r

(2 . I l9)

se cleduce

(2. 120)

la segunda

(2. l2 l l

(2. 122\

(2.t23)

r o t ( l i + + ) = 0E t '

I = E ' = E + u x l lq

bien, de la ect¡ación de Maxwell: div tt = 0,

B = r o t r \

sicndo A e I potencinl vector rnil'ghético, Conlo quierfl ndetnús queley dc Maxrvell (Ley de Faraday) nos dice:

r()t E0r

se podrú cscribir teniendo en cuentil (2. 120) :

es dccir cl campo veclorial E + dA/Dt es irrotacional, por lo que puedededucirse tlcl grddiente de un potenciul csc¡lar V, resultando:

[ = - g rodv - +rlt

11 rnagnitud V es una función escülnr, pero su relación con l:r funcióninrrodúcida en electrostitica no es quizis muy clara. Por esta razón nosotrosva¡¡los a cscribir E = E¡ + Eo donde:

AAl i i =

, . I B , l = ' g r a d v

el curnpo ll¡ es el c¿¡nr¡to eléctrico inducido por la variaciórt del camponrlgnéiico, és no co¡tservativo. El clrnpo En sin enrbargo, procede de lascnrgüs, es conservotivo, cs decir irrotucionnl y se cumple :

r u f I l ¡ = - a Dilr

(2. 124\

(2.125)r o t E q = 0

l 7 { )

ELECTROMACNEI'ISIv|O Y C| RCUITOS ELECTRICOS

e =-Nf =-# ( 2 , 1 3 1 )

2

ur? = J u'. ot (2.132)

donde E' según (2,126)es un carnpo eléltrico no conservativo. Sin cmbargoconro se estudió en los epígrafes l .6d y 2.2.1la di ferencia de polencialclócl r ico o lensió¡r eléctr icn se def inc únicnnrentc para ca¡nposconscrvntivos o electrostdticos procedentes de cargas conlo es el BO. Lad.tl.p. entre dos punlos lr! 2 es igual a:

Vrz = f Un .d t = J - g radV.d t (2 .133)l l

Otro aspecto que desenmos considerar aquí y que por nuestraexperiencia henros observudo como graves enores de interpretación, es ladit'ercncia t¡ue existe entre voltaje y diferencia de potencial. El voltaje enlretlos ¡luntos se define así:

cle este rnodo, si se t ienen en cuenta l¡s ecuaciones ( 2.126) y (2.132\,cl voltlje entrc dos puntos en sistemas estálicos, es decir sin nnvinriento(u = 0), tendr¿í h siguientc fonna:

2 2 2uf2 = i .n ' .o t =

i . gradv.dt +

i -

* r , (2 .134)

t t ly tenicndo en cuenm (2.133) se convier¡e en :

2

u r 2 = \ z + Í - $ o ' ( 2 . 1 3 s )

e¡r el caso dc canrpos esláticos, la inrlegrat que aparece en la ecuaciónilnterior cs cero ya que no hay variación del campo nragnético con e I tiempo,de este rnodo el voltaje es simplernente diferencia de potencial. Sinenrbnrgo, cl voltajc en genernl no senl iguol a lu d.d.p, como asf lo expresa laecuacién (2.135).

Otro aspecto r considerar es que la d.d.p. V¡2 al proceder de uncÍrmpo conservativo, es independiente del camino seguido para ir de I a 2, sinernbargo el volt:rje U¡2 depende dcl canrino de integración porque B'no escr.rnscrvativo. En otras palabras U ¡2 no queda unlvocamente detenninado porkts posiciottes ¿le los puntos I y 2, sino que depende del camino que une I y2. Esto significa en la priictica, que si se coloca un voltímeuo para medir elvoltaje U¡2 por medio dc unos cables tern¡inales que se unan a los puntos I y2. y si éstos enlazan un flujo nragnético variable, la lectura dcl vol¡Ínretrotlcpcnde ri í de la colocación o recorrido que sigan e stos cables.

t12

DIV¡SIONES DEL ELECTNOMACNENSMO

Aforrunadnnrenle, en cl campo dc la etecrotccnia, ¡l scr cl dominio deln bajaiiecuinc¡a, la contribución dc los términos intcgralcs 4q (2.135) es¿"roi"i¡oUÍt y por ello los conccptos dc voltaje y d.d.p. coinciden (de ahí laiontusión cn'muchos clcctrotécnicos); sin cnibargo en clcampo de los altasiticuinc¡as, la nredida de voltajes por medio dc un voltlmctro no tiene sentidoV

-p ó."f¡.re hablar de cam[os'E y It directamcntc . En este curso de

élecrórecnia y de acucrdo con ios comcntarios antcriorcs no se ha¡á distinciónenre ambas riragnitudcs: voltaje y d.d.p. (tensión).

ETEIITPLO DE APLICACION 2.22 : VOLTATE Y D.D,P,

Er núcreo nognético de talic,2J2, tinc una sección ronsvc¡sal uniforme sy uno longitud magnética media L. la pcrntcabilielad del ntlclco cs p.La bobina de-excitación-ilcnc

N espiras y cnó alimentada por una co¡¡icntc altc¡na í(t) = ¡^rotrt.

Abrazando el nricleo y como sc mtnstro cn laflgura, sc encu.rtt¡o una cspira quc sc clcrrasobre dos ¡eslstencias R t I RZ.Calcular: I) F.e.m. lnducido en csta cspira debido ol fluiovariable producido por la bobina dc cxcitución 2) kcturas vAB y vCD de los

volthnetros qw se indicun.

Fis.2.32

NOTA: Supóng,ase que no existe flujo de dlspcrsión, es dcclr todo el tluio producido por ktlnbiru estó contiruttb ol núcleofcrromagnético. i

soLUcloN

l) Aplicando cl tcorem¡ de Amp0le al circuito T, que rcpresenm la longitu¡I mcdiageométrica (y magnética) sc r¡bücne:

c

f B . d l = B . L = p N i ( t ) = t

Iel fiujo toutl que atray¡cs¡l la sección transversalatravicsa la cs¡rira dc l¿r dercclra seni igual a :

B = Pl ' l i (UL

del núcleo y que por consiguientc

-.\

R ¡

1 7 3

ELECTROMACNENSIIO Y CIRCUITOS ELEfl 'RICOS

r p = [ l l . d s = B S =ts

L¡ f.c.nt. inrlucida en lr es¡rirl v¡tldrá:

, = - # = # s c n ' t

la f. c. m. anlerior ticnc el scnlido mosra(lo mostrü(fo cn lu fig. ?.32, sc ¡xldrían¡nllién considerar cl sentido conlrurio qu¡Bndo cl signo menos cn h lcy tlc Lcnr. pcro

tcnic¡rdo cn cucnt¿¡ la o¡losición,dc flujo quc dcbe tcncr la corricnle inducidn cn la

espif¡1.

L¿ f.e.¡¡. a¡ter¡or prfilucc una corriente i, dc circulación cn la es¡riril cn el scntido ql¡c

sc mucstrfl, que (te acucfdo con ln tey rlc ohm (2.36), o nlcjor aplicando cl segrrndo

lcma de Kirchlroff (2.50) nos da:

, e I t l N S o l j n o s c n ' ti c = R r ; 1 ü = n , - R , - L

de cste mrxlo los valores inst¡rntáncos (cn función del tienlF) de las tcnsiotles v4¡ Y

vCD $cr0n:

v A B = ' R l i e =

v C D = * R 2 i c =

S i ( r ) = # ln, ctts trtt

2'

.-.- R.t- lt.L s. I J*R ¡ + R 2 L

s e n o t

--I2- F { l3 1"r scn o,rR ¡ + R 2 L

. El lcctor pucrle obscrvar quc aunque los puntos A r_C so¡ e.l misn¡o (supt¡es$

rlcsn¡cciable la rcsistc¡¡cin rlel hikl tlc la cspiia) e igualmcnte D y D, las lccturas de los

ilif";;;" ron iguates. Sc comprucbn con cllo, quc el volrajc entre.rtos puntos tle¡rcntle

rlcl iamino scguidó paru ir dc uho ¡ ouo y no cslá ppr consiguicntc uuívocantente

tlcrcnninarlo.

! . ó . J F . I i . [ U . S . D I i A U ' t ' O I N D U C C I O N R I N D U C C I O N I I I U ' T U A .

CONVENTO DU PUN" I 'O

Por li¡ gran inrporrancin que tiene en el es¡udio de los circuitoselécrricos v magnéiicos, uimos ,, rleünnin¡r las relaciones que se cttrnpleni^,iJ i."i¡ó"it i óóni.nics en bobinns alimenndas con fuente s o gencrarlores

nii" "nii,in .on tl ricmpo. Consitlércse inicial¡nente una bobi¡ra de N c.spiras

itñü z'11"1 -J.

i.r¡sréncin rlesprecinbte, alimentada por un gener:ttlor de

tcl¡sión v(t), que en cl ins¡ante tle tiempo t considerado.' suponemos. r¡tte el

i.iiiüif *ii.li- f tiene un potencial posirivo respeclo.al lerylnnl inli:rior 2'

Ái'.itiitit'tl circuito por la bobinit' circutuii uni corriente i(t) en el sr:ntirlo

i,i¿iüá" t.i rlecir rte nuyor ü mcnor potenci*l por lleru tlcl generarktt v(t)),

l'l ¡l

DIVISIONE5 DEL ELECTROMACNE'NSMO

/ r

i i o { t r¿ - l . d - . ) , a.a| ¡ ' i - ' ' lt r l l

-ttt

i t t l- ;, - \

l ¡¡ l\ _ /+ l

I

+ i lv t t

-lú.-N e s p l r a s

\ +

= -f'f *l

v ( t )b b l

a

v t

Y _ Pi t { r l

';l. / - \,, I\ ,

- l

- - . . 1

e = rl f 99'2 d t

c la l

Fig. 2.33

que pro<tucirá n su vez un flujo <D(t) cn la sección transversal del devanado,.iue io.resportderá, según la ley de Ampére, a un sentido positiv_o dcl canrporhagnético, que irl de áUajo arriba por d-entro de la bobina. Este flujo variirbleindicirri cn ia bobina uná f.e.m. de autoinducción, cuyo valor de acuerlocon la ley de Faraday serií:

e r = - N $ l

debe destacarse que para aplicar l¡ ecuación anterior, el sentido de la f.e.m'inducida (elevaci'ón áe teniión) debc tomarse concordante con el fl{o, o loque es equivalente, con la corriente pro{uctora del flujo. Lo que sucede endefinitivir, es que la bobina equivale a un generado.r de lensión,.cttyapolaridatl es la iirdicada en lR frg.'2.33b, y que tiende a elevar el potencial tlulas cargas en el scntido de la coniente.

Existe otro modo de expresar la ley dc Fnrnday, y es considcrarque en la bobina se produce una iuerza conlraeleclromotriz (f.c.e.¡n.)que se opone al canlbio de flujo y cuyo valor es:

(2 . 136)

(2. r 37)."2=+ N $len este caso la f.c.e.m. (cafda de tensión) debe tomnrse en sentido contrario alflujo, o de otro mo¡lo, conlrario a la corriente i(t) que produce aqué|. l-o qrrcsucede ahora, es que la bobinn es equivalentc ¡ ttn generador de tensiórt cuyitpolaridnrl es lt inilicarla en la fig. 2.33 c, hacicndo quizás nr¡is cvirlcntc, litreacción de la bobina (ley {e Lenz), ya que en esta situación, la coniente qtre

[ - - - |t -

- t \ ¡ - J f

r 7 5

ELECTROMACNETISMO Y C¡RCUMOS ELECTR¡COS

¡rro<luce este generador equivalen¡e tenderfa a Incer mover las.cargas positivasite ¡ u g (scniido de su e levirción tle tensión), oponiéndosc al flujo crccienteinductor (es decir oponiéndose a la corriente i(t) de la alimentación).

Estos dos modos de expresar la misma ley ha sido objeto degrandes controversias. Los textos modcrnos prefi_eren_expresaf la ley.deFnraday en la forma mostrada en la ecuación-(2.137). En este caso suelentlcno¡ninar fl e2 como tensión inducida, en oposiciól a e¡ (ecuaciórt

2.136) que denominan f .e.m. inducida. Este será el convenio.Í tu9 tqadoptará'tle at¡uf en adelnnte en este texto. Con este criterio, la polaridad delgenórador equivalente a la bobina (f¡g. 2.33c) es csncordante con la-¡rolaridadtle ll tensióñ aplicada v(t), cs decir los terminales unidos entre sí tienen larrris¡nn polaridail instant¿ínea ; en el caso dc la fig. 2.33 c,los terminales I y uson positivos y los 2 y b son negativos.

Debe destacarse en cualquier caso, que única¡nenle existe unatl.d.p. de la red. En efecto, a la aplicación del segundo lema de Kirchhoff alos óircuitos de las figuras 2.33b y 2.33c conduce al misnro resultado:

Es co¡rveniente expresar la ecuación anterior en función delcoel'iciente de nutoinducción L de la bobina. Si se tiene cn cucnta (2.83) y(2.84) se puede escribir:

dov ( t ) = - Q l = e 2 = N k

v( r )= N# =L$i

(2.t38)

(2.140)

L - (2. l39)

do¡rrle \t expresa el flujo total concatenado por la bobina, que es N veces el deunn espira. De este modo (2.138) se puede expresar de un modo más útil enel clnrpo de la teoría de circuitos:

T=NT

la ecuación anterior relaciona la tensión con la corriente en una bobina ideal(sin resistencia). Esta ecuación es equivalente a (2.138) y cs simplemente laversión de la ley de Faraday desde el punto de vista de la teoría de circuitos,por(lue se dcscribe en función de las variables tensión y corriente. Elcoeliciente L representa simplemente cl nexo de unión entre la versión ca¡npo(4¡) y la versión circuito (i).

En resumen, desde el punto de vista de la teoría tle circuitos, latcnsión e2 o sinr¡llen'rente "e" y su ¡rolaridad respecto al sen¡ido de la corriente

l"l (t

DIV|STONES DEL ELECTROMAGNENSMO

"imDuesto" por la red i(t), lfr0recc dc acucrdo con h fig, 2.33c como unaca¡üa ¿e le'nsión, cumpliénbose |¡ condición (2.138), es decir la accitín

causada por v(t) (y srrs valores asociados i(t) y O(¡)) es igual a la rencciólt dela bobina, considerada como cahla dc ¡cnsión rcspec¡o dc la red.

. d ie= L i ¡ i

Considerentos ¡hora cl esquer¡a de la fig. 2.34, cn el qtte setienen dos bobinas ideales (sin resistencia) con acoplamicnto mngnético (csdecir tos flujos de ambos dcvnnados interactúan entre s0. Si se aplicantensiones externas v¡(r) y v2(t) a cada uno dc los dcvanados apnrecerdn unascorrientes ir(t) y i2(t)en los ¡¡rismos, lo que de acuerdo con el cpígrafe 2.5'2darl lugar a los siguientes flujos.

t ^ ( t lI ¿

ñ . -o-J-?.+

F _ v a ( t t-l---f

L z

órztDz t4122

tDt t

Fig. 2.34

tlujo producido por el clevanado I y que se atraviesa r sí nlisnto.

flujo producido por el devanndo 2 y que llega a l.

flrrjo producido por el devanado I y que llega L2,

flrrjo producido por el devanado 2 y que se atraviesa a sÍ mismo.

Tenicndo cn cuenta los sentidos dc las conicntes nrostradas en lafig. 2.34, y el sentido de los ¡nollamicntos, comprobamos, quc los flujosprodut:idos (aplicar el teorema de Ampérc) son concordantes y siguen elsentido que se señala. De es¡e modo los flujos totales que ¡rparcceriín en losdeva¡';tdos serán:

S ¡ = $ ¡ + O t ZO2=OZr +4 )Zz

( 2 . 1 4 1 )

t77

ELECTROMACNENS MO Y CIRCUMOS ELEC'mICOS

por consiguiente y de acucrdo con (2.140), las tensiones aplicadas screlacionar¡in con los flujos, según las ecuaciones:

v ¡ = N , { F = N r # + N r # (2,142)

(2.1 44)

(2. 145)

tltb^ .l(ñ^- dQZZvz= Nz tf = Nz É + Ne.tr

Alrora bien, teniendo bn cuentfl las dehniciones dcarrtoinducción e inducción mulua, dadas en el epígraÍe 2.5,2,(2.142) sc lransforrnariín en:

cocficicntcs dclas ecuaciones

(2.143)t

II,',.1l

v 1 = L l r * + L n

v z = h , t { | + L z z

giadt

9tedt

donde Ltt y LZZ rcpresen¡an los coeficientes de autoinducción de losdevanados I y 2 rcspectivamente, y LtZ, L2¡ sotl los coeficicntes dei¡¡ducción mutuü. En el caso de que el medio sea lineal, los coeficientes L¡2 yL2¡ son iguales y sc reprcsenlan por la letra M. Por lo tlue las ecuacioncs(2. I 43) adntiten la representación.

v ¡ = L ¡ i i ¡ + M *v z = M # + L 2 *

L¡ representa rhora el coeficiente L¡¡ y L2, sustittrye aL22. Se denominacoeliciente dc acoplatniento de ambos devanados al cociente:

¡ r f M l

r/u tLz

En genernl k es n¡enor que la unidad. Cuando k = [ todos losflujos enlazan ¿r¡nbos tlevanados y se dice que las bobinas tienen unaco¡llanricnto pcrfeclo.

r 7 8

Las rensiones L¡ 1l y L $¡ representan las tensiones debidas

1 7 9

DTVI S IONES DEL ELECTROMACI.¡ETIS MO

a las f.e.¡n.s. de autoinducción, ntientras qu" u $ t " t,2 represcr¡tan

las te nsiones debidas a las f.e.m.s. de inducción nrutua . Según se observa enlas ecuaciones (2.144) ambas tensioncs se sunnn, debido a que los flrtjos sortconcordanles, debido al sentido de arrollanriento de los clcvanados. En lapríctica para evitar el dibujo de los sentidos tle los arrollamicntos que soni¡uienes en definitiva determinan el sentido de las tensiones inducidas porefccto de la inducción rnutua, sc acostumbra a señalar con un punto loslcrmi¡¡ules de los dev¡¡rodos por los quc hay quc introdrtcircorrientes para que den flujos dcl ntis¡tto sentido. De este ntoclo unncorriente que en¡re por el terminal con punto (sin punto) de un devunado,inrJucirá una tensión

t , d i ¡w¡

¡t

con polaridad positiva en el tenninal señalado con un punto (sin punto) dclotro devanado. Los terminales con punto (sin punto) se denominnn l¡or¡rcshrrrnólogos. En el caso de la fig. 2.34a, el esquema de los devanados con elconvenio de punto es el indicado en la fi5.2.34b, cn cl que se dibujln los dostlevanados, señalando con un punto los terminales superiores (porque son losbornes ¡lor los que se deben introducir corrientes para que den flujosconcordantes), también se indican los valores de los coeficientes tlcautoinducción de cada devanado Lt y Lz, y de inducción mutua M. Lnsecuaciones t¡ue relacionan las tensiones con las corrientes en esle circuito sonlas ya expresadas en (2.144).

Para comprcnder mejor este convenio, considérese el circuito conircoplnnricnto rnagnético dc la fig. 2.35a, c¡uc tienc un devanado l,con N¡

l l ( t ) i - - - f - ' - ' - € - - ' ;

+ = - l _ ' z ( t )L I _ ^ : | ; + e

I-'-f h Í-(u r { t ' F { N r

- t H " r ( l }- 9H-{-q--.---1 ry

r i

r 2 ( r )

bfu\ d , , +\8 ,

v r t r ll,l a t__{

l - - - - - - . . 1 .

Fig. 2.35

espiras arrollatlas en el nris¡no scntido quc cl dcvanado I de l¡ fig. 2.34 y conun devanado 2, de N2 espiras pero arrolladas cn sentido contrario al dc la fig.2.34. Se observa que, pilrit que los tlevanaclos den flujos concordantes cn cl

t . ( r lt - '

ELECTROMACNETISMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

sentido se¡inlado. hubr¡l t¡ue introducir corriente por el terminal A deltlevnnado l y porel ¡emlinal r deldevanado 2. En elesquema tle la fig. 2.35bse h¡rn señirhrlo con un pur¡to estos tenninales homólogos, y en consecuencialas rclaciones v-i en cada devanado serán iguales a:

, d i tvl = L¡ i ir

v 2 = - M t

- M *

+ L2*

(2 .146)

como vemos, las tensiones inducidas debidas al acoplamiento mutuo tienensigno negativo ya que las corrientes rcales i¡ e i2 proclucen flujos que ticndenil contr¡urestarse muluamenle.

2.6.4 0NDAS ELuC'� t 'ROMAGNE't ' ICAS

Una de las inrplicaciones más ¡mportantes de las ecuRciones deMnxwell y que causó rnós inrpucto en la é¡nco dc su publicaciótt (1873) lue la¡rrediccién de las ondas electromagnéticas que Hertz comprobó en 1888. Eralir prinrera vez en la historia rJe la ciencia, en la que un análisis mate¡nático seldelnntaba al descubrimiento fÍsico.

Las ondas clectronragnéticas que con tanto acierto vaticinóMaxwell t¡uince años antcs de su comprobación experintcntal co¡tsisten enc¡rmpos eléctricos y rnagnéticos que son solución de las ecuaciones deMaxwell. Supóngasc una perturbación elécricat como por ejemplo un cambioen la corriente de un conductor, que se produce en una región del espacio. Elcírmpo eléctrico variable t¡ue resulta debido a la perturbación, provoca dencuerdo con la cu¡trta ecuación de Maxwell un campo magnético variablccuyas líneus de tlujo roclean las lfneas de E. Este campo magnético variableprovoca a su vez de acuerdo con la ley de Faraday (2t ecuación de Maxwell)lur¡ cilmpo cléctrico variable. Estos campos variables con el tiempo, continúangencriíndose lpoyindose uno en cl oro en una región amplia del espacio que¡oelea el conductor y se produce un¡ onda resultante, con líneas de campos Ey ll que se rodeun entre sí y se propagan en el espacio fuera de la fuen¡e. Lapropagación dc estos ondas sc realiza n velocidad flrnita. En el caso cle camposcuasiestrcionarios (de variación lenta), las distancias son tales que la¡rropagación de efectos se produce de un modo prdcticamenle instantáncocuarrdo se comprir& con la velocidad de cambio de l¡s señ¿¡les. Vamos atlemostrnr las ccuuciones de onda y la velocidad de propagación que dependcde los parimetros pg y e¡ del medio.

Consi<leremos el c¡so mis simple de una onda que sc prop¡ga enun n¡edio lincal, homogéneo y isótropo, que sea aislante perlbcto, es dccir p

rttO

DIVIS¡ONES DEL ELECTROMAGNETISMO

Iy'e son const¡¡ntes y con una conduc¡ividad O nula . En estc medio no existen

cargas libres p" ni corrien¡es de conducción J y por consiguiente lasccuaciones de Maxwell aplicadas a cs¡a siluación son:

d i v D = O = +

r o t [ = - a B = +0r

c l i v l l = 0 = +

r o t l l = - a q = )Dr

d i v E = 0

r o t E = - F

div If'= 0

?udt

(2.147)

(2. l4g)

(2.149)

( 2 . t 5 t )

r o t I I = - r a gEr

Ins expresiones anteriores representan ecuaciones difcrenciales de primerorden en las que se rclacionan los campos vectorialcs E y ll . Se puedenol¡tener ccuaciones diferenciales de segundo orden para E y lI solantente. Sisc uplica gl operndor rolacionul u cada nriembro de la scgundo ecuación deMaxwcll (2.1 47 ) resulta:

pero teniendo en cuenta la identidad vcctorial:

rot rot [, = grad (div B) - V2 B

r o t r o t d = - l r 1 ( r o t f t l = - p rdr

vzr r =pr#

q2q.E12

y ademrís la prinrera ecuación dc Maxwell (2.254') part nredios sin cnrgnsrcsulta:

F,, F A2EY¿E =pe

a l2 (2 .150)

;siguiendo un proceso similar aplicando el rotacional a ln cuarta ecuación deMaxwell se obtiene una ecuación anrilogt a (2.150) para cl canrpo magnéricoi l :

ll s ecuaciones anteriores son las denominadas ecuaciones de onda de unc¡mpo clecrromagnético, que sc propagan a una velocidad:

r8r

I

cn cl cnso dc r¡uc cl nledio clecuincide con la velocidad de In

E LECIROMACN ETIS M() Y ClRCttÍrOS Et.Ef't-tUCoS

U = (2 . 152)

sc¡l el vacío l¿l velocidad a¡ttcriorpropagaciónluz:

I = l . 108 ny's (2.153)c =./t,r.t

En coordenadns cartesi¡nas, las ecuaciones de ondn setra¡rsforman cadn unn en tres ecu¡tciones esdalares, que obedecen a lasecuacio¡res (2.1.50) y (2.151). En los cjenrplos de aplicación 2.23 y 2.24 secomplenrcntün estos conceptos.

Ii]ETIPLO T,E API.ICACION 2.2J : ECUACION I,I' UNA OND¿I

En la fig. 2, 36 se muesra una onda E = f(t) que se propaga en las dosdirccciones del ejc t a tna velocidadu. D¿tcrninar ld cctnción dilercncial de lo onda.

II =

E ' f l Z r u t l

. r ' t t

at

, ' tt ' t

r ¡t

t ",f !l'*¡'

, l

) t¡ l

t tt

La onda qucerprcs¿uil dc fa for¡na:

ya (lue ü.s tlna (ln(lit E = l'(z)nto(lo nniilogo, l¿¡ ccuacióncr:uitCi¡irt:

r 8 2

Fig. 236

S O L U C I 0 N

sc propaga a vclocittad u cn cl sent¡do ¡)ositivo tlcl cjc 7. se

li (z,t )= f (z ' ut)

quc sc hil lr¡¡slntl¡ulo un cspncio a = ut hacia la dcrccha. De urldc lu ondil quo sc ntucve lracia lu izquicttla res¡nndcrii a la

Il (z,t) = f (r. + ul)

Ii6" tdt

represcnlafá una ondaDcnominando cr a laparciales:

E = f(z) que sc desplazavariablc de Paso o = z

DIVT S ION T.S D EL ELECIIIOMAG NE'TI S MO

dc este rnodo la ecuación gcncral:E ( z , t ) = f ( z t u t ) (2.154)

a vctocidatt u en arnbos sentidos del ejc x'+ ut. se tcndrón las siguientes derivadas

aq.Da

( t u ) ( t u ) # = u 2 # (2. r 5s)

(2 .156)

se propaga a vclocitlad u en los dos

tod¿rs hs tlirecciones del espacio, lit

(2. r 57)

(2. t 58)

¿Edt

asEt

a2g,^0t¿

AEd aAEd u

Da aE¿ r = a ;

d a .a t

= r u

conrbinando las dos ecuaciones qt¡e hay en (2.155) se obtiene:

dzn I azEa,r =7 ;iT

una on(la E = f(z) qrrcla onda sc propaga en

y tlerivanrJo nuevarnente rcsulh:

d2n aznlF =5;¿ ;

que cs la ccuación diferencial de

scntidos del eie z. En gcneral siccuación (2.1 56) se convicrrc en:

cuya soluciórl scrá dc la forma:

V 2 E =I azE} ; F

E ( r , t ) - f ( r t u t )

rlondc r rcprescnu¡ un punto 8enérico dcl cspacio.

EtEi l r r r .0 DE APLICACION 2.2. t : OND¡IS EI .ECTROMICnÉttC, tS

SiÑUSOIUILI;S EN MEDIOS ILIATERIAI,ES. EI;ECTO PELICUI'AR

cuantlo sc tienen fuentes que varkrn sinusoidalmcntc con cl üempo, se

praducen campos de voriación senoidal'y que se expresan le un modo nñs simple an-notoció¡t

eqnnencial, ü la siguicntc forma:

f = Ii (x,y,?.) e j to t : l l = l t ( x , y , 2 , e J ( D l

j representa el número imoginario'{1 , ,¡u, corre.spontle en Matemóticas al símlnlo¡ = t/J'Ei'lntgcniería

Eléc¡ico si prefiere utilizor la letru i yo que i se uso.para representar lu

corriinte eléctrica. La norcción exponencial onrcrior sc comprcnderó meior ol estutliur ld

ciorriente olrcrna en el cupítulo 4. Pot cl nomento el lactor puede tencr cn cuent't quc uno

variación scnoidul con el üempo se pucde representor por lo porte real (Rc) dc t¿tttt

exponencial, ya que según la férmula de Euler se cumple: d@t = cos trtt + i sen at: si el

I rt3

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUAOS ELECTRICO5

sistenttteslineal,sepucdeomüircloperodorReytraboiarsimplcmenrcconeJü.llnavetque se resuelve el problema wando lu nonción crponenciol, ¡nro dar significodo tísico a lanlución, se n¡nará lu grtc real del resultulo.

Si.re ronsddera que los campos elecÍomagnéticos sigucn una variación exponencial(scnoitktl) úetcrmi¡ur: u) Ecuaciones de Mawell para campos scnoidoles. b) Si se comiderow medio libre de cargas (pv = 0) I d¿ parámeros p,e,6. tenie¡úo en cuentu qw se cumple:

t = oE, determinar las ecuaciones de onfu del campo cléctrico y magnético en este medio. c)Si en el caso anterior sa supone que la onda de campo eléctico está potarizada en ladirección x y se propaga cn el sentido dcl eie z positivo, dercrminar la expresión de E y II'en el ctso de que se considere que se cumple: o<<tx (medios dieléctricos). d). Resolver elopartado onterior en el suprusto de que se cumpla: o >>on (medios conductoret)'

NOTA : Las dcnsidrdes de conicntc y de carga son respecúvamentc:J = J ( x , y , z ) e J ü r t ; Pv = Pv (x,Y,z) e J (^r t

.sot . u ct oN

a) Las ccuaciones de Maxwell son:

div Ii = PJ't

d i v l l = Q

; r o t E = ' [ , *

: r o l l l = J + t *

si sc tiene e¡l cuenta que los campos son tle la

oflcrador dl}t se convicrte en jto:forma E elo)t y tl efürl, entonces el

¡i l

( l l e J 0 ) t ) = j t o l l¡* ( l i c J ( 0 t ) = j t r t l i ;d t \

y de este modo, las ecuaciones de Maxwell en régimen sinusoitlal, se expresar¿in asf:

rfiv Fl = P"/e : rtff li = - j trl lr It

t l i v l f = 0 ; r o t l l = , 1 + j o e E

b) En cste caso, las ecuaciones dc Maxwell antcriores se rnnsforman en:

tliv l.: E 0 ; rol ti = - j to lr ll

div l l = Q ; r0l l l = o E + j ot e l i

lontan(fo el romcional de la .segunda ecuacitin ilntcrior, fesull¿r:

(2 .1 59)

1 8 4

r 6 t r g t E = - j o p r o t l l cuyas solucioncs son de la lbrma:

(?.16{)

r85

D¡VIS¡ONES DEL ELECTROMAGNENSMO

y tcniendo cn cuent¡l la cuaf¡¡ ccuación de M¡¡well y quc rot rol B = grrd div n ' V2n.

sc obtiene:

g r a d d i v l t - V 2 E = - j ü t l t ( o + j o e ) E

ecuación que se transforma en:

v 2 n + ( c o 2 p e - j a l p o ) E = o (2. | 60)

tlc un moclo análogo, cl lector puede rtemostrar gue paft com[ns magnéticos so cumple:

v 2 t l + ( o l 2 p e - j r o l r o ) l t = o (2. 16 1)

las ecuaciones (2.160) y (2.161) se denominan ecu¡clones dc llclnrholte.para ncdiosfísicos y son u¡ia gencralizaciórr rle (2.150) y (2.151) para medios l¡tatcrialcs y cnmposscnoidales,

si en un mcdio domina la corrienlc ¡tc conducción (J>>dD/dt)' pucilc

clasificarse como medio conductor y segrin (2.159) significa quc ol>>úl€. En caso conua¡io,si es mayor ta corriente de desplazamiento (ED/il >> J) el medio actúa corno.dielécuico y

scgún 1i.t59) significa quc o<<ot. Cu¡ndo_sc cumplc o =.oe cl mcdio licnc a la vezprñpie,OaOes Oi co-nductor f rtietCcrico. (Es ora forma de ca¡acrcrir¡r los medios, quc conducei los mismos resulu¡Jos que los desarroll¡¡los en el epfgrafc 1.5 en función dcl tient¡n derclajación).

Dc este modo las ccr¡¡ciones de onda en metlios dicléctricos y con cilnlpossenoirhles seriin:

v2u + tr¡2 lr e E =0 (2,1621

V 2 t f + t ¡ 2 p t l l = 0

que son equivafcnrcs a las (2.150) y (2. l5l). En el c¡$o de medios conductores sc obtienc:

V 2 n - j u r l r o E = 0V 2 l l - j r , ¡ l ¡ o l l = 0

c) En el caso rle nreriios dicléctricos, si el carnpo elécuico es de la fornta E* (z,t) = E* 1t¡

eJot, la primcra ecuación dc (2. t62) nos rta:

(2. t 63)

. A z tt í ¡ + 0 r " P e ) E * ( z ) = 0

ELECTROMAGNMSMO Y C¡RCUITOS ELrcTRrcOS

E r ( z ) = F . g s t j k z

donde E¡¡ es un paf¿imetfo y k una constants, dcnominada conslonle

De este mrxlo la ecuación de onda sc convierrc en:

( - k 2 + t o z U 8 ) E s = $

(lue Gs una sirnple ecuación algebraica cuya solución es:

k 2 = r o 2 p e " * e k = a l f i

de estc rnodo la solución final tle (2. t 64) es:

de propng¡tcit in.

(2. l65)

E r ( z , t ) = E o e j ( t r t t t k z )

si se consider¡ arlcmás que et camln sc propaga cn el sentido ¡nsitivo del eje z, y seconsidera el cam¡n rcal senoidal rcsulurá:

E ¡ ( z , t ) =Eqc j ( o ¡ t ' k z ) =c E ¡ ( z . t ) =Eocos ( ro t - kz ) (2 .16ó )

En la fig. 2.37 se muesúa la forma de cstc campo eléctrico. La señal decanrpo sc propoga a una vcloci¡l¡d u quc sc puale dete¡minar fácilmentc. Considérese para

cllo un púnto cualquicra de l¡ onda, por ejemplo el punto A dc la fig. 2,37. La fase es

consumte (cn esrc caso cero grados), dc ul ntrxlo que sc licnc: '

trl t - k z = $ (fase conslante) = $e

/../ 'l l r ( z r t l

I 8 6

FiB. 2.37

i t o e E ¡ ¡I t r ( z , t ) = f f c j ( t o t

r tf7

DIVISIONES DEL ELECTROMACNETISMO

fxxJcmos vcr conlo sc mucvr: estc punto. tlerivando la ecuación anterio¡ rcspccto dcl tictn¡n:

dc este modo obrcnemos:

# =o= 0 r

dl I u(z, t )j - = j o E E s c j ( t ^ t t

k k

Iu = .fñ

(2.t67a)&ú

(l)=I . = l l = f

ta exprcsión anterior rcprosenta la velocld¡d dc lase de la onda (o sinrplcmcnte la

vcloci<tad de propagación ¡le la on{a), ya que nos indica la rapitlcz con que ss mucvc unpunto dc fase consurntc de la ond¡.

l¡ ecuación (2.166) indica que en un plano z = constante, por ejemplo z = 0'

ef canr¡n eléctrico oscila con una pulsación t¡ o frccuencia t = al2n. En la fig. 2.37 sc ha

rcorescntado ta onda en I = 0. El ticmgr que tarda la onda cn movcrsc una longitud de ond¡¡

l, sería el ¡lcriodo T = l,/u, que corei¡nnde a una frecuenci¡ f = l/T. = uA. Tc¡¡icodt¡ cn

cuent¡ (2.167) se Podrá cscribir:

Para detcrminar la onda de campo magnético, sabcmos

ecuación (2.159) para nredios dielécrricos (o<<on) que so cumplc:

(2.167b)

scg ún la cl¡arta

r o t l l = j o e E + r o l l l = j o e a r E r ( z . t )

dondc ll es función dc z y t. Puc¡¡g quc las ondas sc pfopaSln Gn cl sentido dc las z'

¡xlsitivas. Arlcmás cl campo ciéctrico cstá polariz.adg según cl cje 0X,_tre cslc n¡odo

iesülUrá que la única componentc ¡rosiblc de cam¡n magnético seró ll, (z,t) y así sc

obüene:r Y t ' la q = j a l t a r E s e i ( o t ' k ¿ )t á,t

l l y ( z , y ) 0 |

dc dmdc sc tkrfuce:

. (I) 2tcÍ 2nK = ; = r f

= l '

l+k z )

que al intcgrar nos da:

k¿ ) = f f Esc j ( o r t k z )

ELECTROMACNETISMO Y C¡RCLTNOS ELECT'ITICOS

que coffes¡}onde en el campo real sinusoidal a:

l l r (z , t ) = t r Eo cos( t , l t - kz)= f E*(z , r ) (2. t68)

en la fig. 2.37 se muesua la onda Hr(z,t).

Si cn la ecuación (2,268, se sustituye el valor de k/o obtcnido en (2.265) seobticne:

r;Hr(z, t ) =

\ [ E*(z, t )

kr relación cnue los camflos eléctrico y magnético vale:

rr= ffi=^tr (2.169)

este crrcficiente r¡ se denomina lmpedancia Inlrlnseca del medio o impedancia dc onday sc lrride en ol¡¡nir¡s. En el caso dc que el nrcdio dicléctrico sca el v¡cfo. la inr¡redanciair¡lrínscca vale:

l20tr - 377 ohmios

d) En cl caso dc medios conducbres. si se partc de un campo eléctrico rle la forma E, (z,t) =

Ex (z) clúx. la primera ccuación (2,163) nos da:

V 2 n - j t o p o E = 0 = r ( # - j o t r o ¡ E r ( z ) = S (2,170)

cuyn solución para una onda progrcsiva, que se propaga en cl cjc positivo de z. es dc lafr¡nna:

E . ( z ) = E g c ' j k z

dontlc la conslante dc pmpagación cumplc ahor¿ la contlición:

( - k 2 - j r , ¡ p o ) E o = 0

dc dondc sc rJcducc para k un valor complcjo:

r 8 8

y al ilrtegrar resulta:

e - s ¿ c j ( o r - f l ¿ )

r89

DIVISIONT.S DEL ELECTROMACT.{ENS MO

k = m = . / . 1 . t l r o ( + - i + ){ 2

- v 2

que llcvando a la ecuación del canlpo nos da como valor del campo cléctrico:

(2 , t71)

(2.1721

E r ( z ) - E g c ' j k ¿ = E o e '

que denominando :

fil,"z , . j \ z

zqro

2

(t=u=ffsc puede cxpres¿u el cam¡)o:

E r ( z ) - E g e ' c t z c ' j 0 zes decin

E r ( z , r ) = E ¡ e ' a z c ' j 0 e s j o t = f o e ' t r z e j ( o t ' 0 ¿ )

o el clominio rc$l senoidal:

E* (z , t ) - Egc 'c lz cos ( co t - Fz) (2. t 73)

el factor e{z disminuye al aument¡r z¡ cs por cllo un facbr reductor del canpo y por ello

et parárnetro c se dcno¡nina const¡nlc dc ¡tcnuaclón. El facto¡ c'j0z oto,o a la fase quelleva el campo I lo largo dcl eje z, como se observ¡ en (2.173), ¡ror ello p sc rlenominaconslanlc dc fasc.

El campo magnético H se obtienc a partir dc (2.159) aplicada ¡ mediosconductores. es decir:

r o t l l oc D

y teniendo cn cuenu¡ quc solo c¡istc componente H" (z,t) nos queda:

Jllr.J¿,tld ¿

- o E * ( z . t ) = o E o e ' o z e j ( t o t ' 0 ¿ )

o E ¡= 0

+ j BI | , (z, t)

ELECTROMACNENSMO Y CIRCU�TOS ELETTRICOS

y como

se obricne una exprcsión del cilmpo magnético l{, (z,l) en el dominio real sinusoidal:

It, (z,r) = a/ft I,o e'c r

ta inr¡rdancia intrínseca, en este caso, quc se uala tle ¡nedios conductorcs scrá igual a:

E r ( z ) - E g e ' ü z e ' j 0 zl- rr

t l r ( z ) = { f r E e € ' c r z e ' j [ t z t - j ;

ra= F ={* t t

( | + j )

quc indica que el canpo magnético csü desfosado 45c del cam¡n clécuico. [¡s valores dcIi¡(z) y llr(z) vnlcn:

c o s ( r o t - t ] r - f )

./ #

I

I

I

I

I

E*(z)Tl =

t¡/t =

IT¡ -a t 4 =

(2,1741

(2.175)

la vclgcidarl de propagación de l¡s ondas E y ll en el medio conductor. sc obticncn tomando

un¡ fase consunte ¡lc la misma, por ejemplo para cl caso dcl cam¡n cléctrico:

. 0= t ¡ t ' Fz=consümlc

y rlerivandn la expresión antcrior respecto del ücmpo. nos da:

* = o = . o . p tttc donde sc tk¡lucc :

tlz r (it

d. =ll = p'

=á

r lü = [ } =

,={13que es un valor pequcño si o cs grandc.

Al es¡rdiar la pro¡ngación en medios conduc¡ores, se sucle dclinir el concepto

de profundldad de Penelroclón 6:

S =

(')Eo

_?_(')po

190

(2. l76)A urra liccucncia lttcnor F)r cjcnrplo l0 k[l?., sc ücne:

t9r

DIVIS¡ONFJ DEL ELECTROMACNET|SMO

la cxprcsión antcrior indica ct valor rls z para cl cr¡al los c¡lmfns g y H T re'ducen a l/c,

sicn,io 9 la basc ¿c los logarirmos ncperianos. Es ¡lecir cuando los canrpos E y tl sc rcdttcc¡¡

al 36,l lVo tfcl valor en el origen (l lc= l l2.718 - 0,368), Obsérvcse en la ecuación (2.17'l)

quc p¿rr¡r z = 6, se obtienc:

I E * ( z , t ) | = | E o e ' o ' z l ¿ = 6 - E g e - I

Dc cstc modo. l¡ rcsistcncia a al|a frecucncia dc un conductor sc pucdc

6btcner, su¡roniendo que la corricntc circula uniforntencnts distribufdil en uno proluntlidld [i 'eiru opio*irnución citanlo mayor cuanto mayor cs cl radio a dct hilo conductor respccl,r a 6

(cs dccir a>>6). Si se consi{cra un conductor cilfnclrico dc radio ¡. la longitu{ L y

co¡xluctividad o, la rcsistcnci¡¡ en c.c. sabcntos que vale:

^ L L*""=i3=; ;7

micnlras quc c.a., la sccción transvcrsat dc conducción se suponc represcntada por utlíl

ci¡cunfcrcncia 2na de espesor 6, lo quc dn lugar:

R. .o } t t i l 6

(lc cstc rn(xlo se puede cscribir:

r-.

R r r = R " c # = r y

si se considcra un hilo rle cobfe de I cm dc tliámetro dcsicmcrrs/metro a ¡na frecuencia ttc 108 Hz rcsulta:

y scgrin (2.1?7) la rclacit i l r de resistencias cl l c.a. y c.c. valt lrá:

(2.1 77)

conductividad o = 5,8.1()7

= 6,6 . l0 - ó nl

R rn

R.,a 5 . l 0 -3= r¡ = zsilr1

= 378'3

. t--nl'po r . l 0 ' 7

E LECfROlvl.Ac N E f l S ¡vlo Y C¡RCU ITOS E LBCTR ICOS

R. lo4 .4 n l o ' 7 ,5 ,8 t o7= 6 , 6 . 1 0 ' 4 m

y [X)f consrSurcnte :R " ¡ - l - - S . l Q ' l, \ " - t 6 = L r . . 6 i ñ = 3 ' 7 8

r frecucncias menorcs, la protundidarl de ¡rnctración es comparable al radio conductor y yano cs viílidu la rellción (2.1711dcbicndo haccrse cl cdlculo analíticamcnte utiliza¡rdo lasfuncioncs dc Bcssel.

Una aplicación rccnológica del cfccto pelicular cs el tcmplarlo de metales. Afrecucncl¿¡s clevndlg ol c¡lor producido ¡nr cfecto loulo sc libcra principolnrcntc cn lo capasupcrficinl, lo que ¡rcrmitc c¡lenBr al rojo el conductor cn una capa corrcspondicnte a laprotuntlirlad dc penctrflción, sin variar escncialmente la tem¡rcratura dc las zonas intemas, loquc lrrcjora ta durcza dc los ¡n¡terialcs ( proceso de templndo ). Los joyeros utilir¡n estcl'cnónrcno cn el dorado dc metales con hornos de alt¡ frccuencia.

2.6.5 POT¡INCIALES RETARDADOS. CAMPOS CUA.SIES.

TACIONARIOS.

En elepígrafe2.(t.? se han obtenido las expresiones generales delos campos Il y ll en función tle los potenciales escalar V y vectorial A,cuar¡<Jo se triltü de campos electromagnéticos variables. Las ecuacionescorrcsponclientes son l'a (2.123) y la (2.120) :

[ = - g r a d V - ¿ lDt

B = r o t A

A prirtir de lns expresiones ünteriores vontos oecuítciones diferellciales n rlue responden los potenciÍrles V y A.l¿r 4! ecuación de Maxwell:

r o t l t = l r . f + p E +dl

( 2 . t 7 g )

(2. t79)

obtener lnsSi se parte de

(2 . t 80)

Ír l sr¡st i tuir (2. 179) en (2. 180) result i l :

r o t r g t ¡ \ = l r J + p e

y telr iendo en cuenta (2. 178):

t92

u0r

DIVISION ES DEL ELECTROII4AANEN SMO

r g t r g t A = p J + p e srndv-$ l (2 . l t t2 )* (

Conro quiera que según el teorema de Helmholtz, l¿r dcfinición deun ca¡npo vcctorinl necesit¡r lu especificación tanto de su rotaciort¡tl co¡no sudivergencia. se observa que el rot A es igual a D, tettemos por consiguientelibertad para elegir la divergencia de A. Si se impone la condición:

(lue desnrrollando el dotrle rotaciontl da lugar 0:

g r a d ( d i v A ) - v z A = [ r J - p e #

- g r a d ( [ r s * loÍ

es decir: . ,

v z A a 2 A = - r J + s r o d ( d i v / a v' P e

; ¡ . = - [ t J + g r o d ( d i v A + l t t ; )

c l i vA+pery =g3r

v 2 A - p e #

= - p J

d i v I i = & = d i v ( - g r a d V - * ,t

- v d t

V Z V + + ( d i v A ) = - P rJ r r

( 2 . 1 8 3 )

(2 . 184 )

(2 . l g5)

(2. l g6)

denonrinada condicié¡r dc calibr¡ción de Lorentz y que es equivalente nla calibración dc Coulo¡nb (2.59) que se impuso cn el caso rle crmposest¡íticos. La condición (2.185) hacc t¡ue la ecuación (2.184) se transformeen:

que conslituye la dcnominatl¡ ccuación de onda no homogénca pnra clpotencial veclor A.

Podemos obtener una ecuación similar parn el potencial escal¡r V.Si se parte de la prirncra ccuución de Maxwell y sc ticne en cuenra (2.178)resulta:

(2 . 187 )

( 2 , 1 9 8 )

( 2 . t 8 1 )es decir :

r93

ELE(:IIOMAGNENSIIO Y CIRCUTTOS ELLCTR ICOS

y tenicrrdo efl cucnli l (?. 185) se l lcga ir:

v2v -uE 4y = Pv. Í - - Dr2 e

(lue es lu ecu¿rción de onda no lronrógenea lr i lrav .

(2 . l8e)

el potcncial csc¿l lar

(2. 190)

( 2 . l 9 l )

(2. t 92)

Es significativo de¡nostrilr qu€ la condició¡l tle calibración, deI-orentz es cottsisientc con cl principio rle continuidad. Si se tonu e I gradienterJr: (2.185) resuhn:

g r i l d ( d i v A ) + l r e + ( g r a t l V ) = Qut

que teniendo en cuentn (2. 178) da lugÍ l r a:

s r a d ( d i v r \ ) - p . ( ? # + * ) = o

es clecir:

s r n d ( d i v A ) - p e # - p * = g

y nl lonlor divergcncios:

diu I srnd ( tliv A ) | - P e div t#

es decir:

v ? ( t l i v A ) - p e d i v #

- p *

= o

.. aD- lt otv a,

= g (2 . l g3 )

(2 .194)

pero de la iclentidad vectorial :

V ? ( t l i v A ) = t l i v ( V 2 ' \ )

iú sr¡stituir e.n (2.194) resultu:

l0, f

(2 . 195 )

195

es decir la ecuación r le cont inuidad est i í implfc i ta en la condición dc

calibrnción de l¡rentz.

I-as ecuÍlciottes cle olrch dc los potenciales (2. 186) y (2.189):

DIVI SIONLS DEL ELECTROMAGNI'NSMO

d iv ( v2A - p r + ) -p qP = o

y teniendo en cue'ta (2. 186) se l ; ; , ,

dt

p ( d i v . l + q P " ) = o = ) d i v . l + + = ov r r l

0 t , - ' a '

D t

vzv -pE 11 = - Pv,)tz t

V z ¡ t - p e + = - p JDt2

'

- u Í J d v; r \ = * J , ?

(2 .196)

(7.191\

( 2 . l9 t t )

se transforman en las ecuaciones de Poisson (2.t9) y (2.60) respectiva¡ncnteen el caso de que los campos sean estáticos:

yzy = - P : . v2n = -FJ (2 .199 )€

cuyas solucioncs de acuerdo con (2.26) y (2.67), rlenominando ll = h'-r'leñUl:

(2.200)

Es eviclenre t¡uc las soluciones de (2.198) te_ndrdn. una fonnasimilar n (2.200) pero teníendo erl cuen!¡ el re¡ardo que-sufririn las rccir¡ncs¿.tri¿o a.iue ll püpagnción se produce a una velocidatl ñnitn, que clc acucrrlo

corr (2.152) es igual a tn/ pe . (Obsérvesc t¡ue cuando P" = 0 y- J=0 ert l^secuaciones (2. tÓg), se transforman cn ecuaciones de onda como las (2.150) y( 2 . l s l ) .

Si se considera por ejernplg unn distribución volumétricit dc carga

dependierrte tlcl tiernpo Pu (r', t) en un volumcn v', el potencial cscahr V e¡t

v = r tryqir [ r r

ü , l t

ELECTROMAGNEI'|SIV|() Y CIRCUII'OS ELECTRICOS

un punto P detinido por el radio vector r (ver lig. 2.3) en el tiernpo t, ser¿í el

dcbido al vrlor que tenía pv no en el tiempo t sino en el tiernpo t - R./u, donde

ll = lr-r'l y u la velocidad de propagación, ya que t = R/u expresa el tiempor¡ue tarda la :rcción en llegar al punto P. De este modo las soluciones de(2. l9ll), te niendo en cuentü (2.200) ser¿in de la forma:

que sc denonlinan potenciales electrodinií¡nicos o retardados. Si suponenrosr¡ue lns fuentes varír¡r con el tienrpo de un nrodo sinusoidal, es dccir:

p v e j o t i J e j t ¡ t ( Z . 2 O Z )

y tcrt iendo en cuento segt in (2.1(r7) que k = co/u, las sol t¡c iones (2.201) set¡'anslbnnan en:

V(r, t )=*J,

A(r , t )=j |J

j or( , . I l

l\ e-- . .- -:- clv'= -l-- tR 4ne d,

. l : i l ' :*l ' trv,R

{L-ej':il:":dv,R

(2.243\

(2.204)

(2.205)

(2.246)

eslns son las soluciones de los potencialcs retardados con fuentes de variaciónscnoitlal. Desarrollando en serie de l'aylor cl factor exponencial e-jR resulta:

e - j k R = l - j k R + r y + . . .

alrorn bien si se t iene en cuenta el valor de k de (2. 167 b) :

k = ? [T

sc obticne una sinrplif icación de (2.203) y (2.204) si se considera que:

196 t97

v = * f4 r r E v ,

DIVIS ION bS DEL ELECI'ROMAGNU I'ISMO

k R < < l R << l, (2.207)

yil (lue entonces según (2.205)(7.204) se convierten en:

se tendrd e'jkR = I y de este ¡nodo (2.203) y

A = o dv' (2.20tf )

(lue son soluciones et¡uivalentes a (2.200), que se aplicaban a c:¡mposeslaltcos.

Los resultados (2.208) definen los denominartos polcncialcscuasie$taCio¡¡arios , debido a que lienen la nlisma variación espacial qrtelos cnrripos egtúticos, pero cn csie CasO v¡rían senoidaln¡cnte cot¡ cl ticmpo(con eit'rt¡ . La aproximación cursiestacionaria se debe a que-el retardo csdespreciable, o dé otro modo según (2.2071,14s dimensiones del circuito R

son los suficientenrente pequcñas comparadaS con la longitrrd de onda L de laseñal de tal moclo, que el tienrpo quc requieren los campos para propagarse deuna parte a otro del circuito cs dcsprcciablc (matemáticumente, esto

conesponde a la aproxirttación c'jkR - l) La oplicación miis irnportante de loscanrpos cuasiestacionarios es l¡ teorfa de circuitos que tantl utilidad ¡iene en elcampo de la ingeniería eléc¡rica, y quc sc tra¡ará cn los capÍtulos posteriores.La teorfa de circuitos se bnsa en los le¡nas de Kirchhoff y lue desarrollada poréste para las redes rle coniente conlinua, es decir en circuitos alimcntados porpilas donde no hay vuriacioncs de las señalcs con el tiempo. Su campo deaplicación se extendió a los circuitos dc conicnte altcrna donde las fuentesvariaban con el tiernpo y donde es más útil para el ingeniero hablar detensiones y conienres, que dc campos. El campo cuasiestacionnrio represenlael eslabón de enl¡ce entre l¡r ¡eorín del cümpo electromagnético y la teoría rJecircuitos r¡ue fuerolr desurrol lados independienteme nte. Ahqra --secq$qrenderd¡ryjor.pqrqué pg.d9-!q--!llq.9,-..SggU""iq-q,t9..seemplenen eleclrotecnra, lrenen valloez los lcm0.s¡Éc t1.r.f9ung!!. yq qpe sl secorisitléiiiiile-ñileí¿f6'fi¿cuéñdid'fiAGiñíñiisiltrtt ii-ioñginiA.aé onda esig-l{ ú.l$l k-Jr1 V Ror ello cualquier circuito ffsico se pucde consirler¡n con"di.nre-nsiones despreciables fren¡e.a.L, Se exceptúa el es¡udio de las lfneaseléctricas laigas tle longitud supcrior a 300 km, donde cs indudable quede bido a sus cli¡nensioncs hay que tcner cn cuenta los reta¡dos que $e tlerivandc la propagación (¡uc dcju de ser instantdnea ). Claro estd, que si lafrecuencia de las señalcs aunlenla, m€nor han de ser l¡¡s dimensiones delcircuito p¡ra (lue se pueda aplicar la aproximación cuasicstacion¡rria y sigarrsientlo viilidos los lcr¡lus de Kirchhoff. Dg.rhí que en el c¡¡¡npo de lus

=e 2nl IT

P Í J e j t t

l -

4 n l , Rflt, ' i: dv' ;

R

El-ECI'RolrlAGNLTlStvlo Y CIRCUflOS ELECT'R l(- ( )s

microondi ls t le hln ut i l iz.nrse direct i l tnenle lns cct lncionesningtin t ipo dc itproxit¡t i tciólt.

t lc lv la. \wel l s in

El l ; i l f L0 DI i , IPLIC, ICION 2,25: I . INE¡ l DI i f ' | ¡ ¡VS¡ ' , . Í 'ON S' /VI ' } :RDI DAS

krfigura2"J8 nnrcstra uno línert de tr$nsnúsión simple fornurdo por drts placos

Fig. 2.38

cotuhtctoras porolelas de longinul t (longind de la llncü, unchuro b y se¡uraciótt a. Lt línea

cski ttlimenktúct por ttn gercr.tdor de c.a. y sc cürgtt al final con un.t impethncia Z¿(t ) ' ¡¡

nedio entre kn placas es un tlieléctrico de parómetros e,U, con o = 0. .Sd l¿¡ placus ,son

cotttluctores pe¡ectos, las condicioncs dc contorno Ner epígrale I '7) inponen en que la

ii,iionrnrc ionl¡cncirtt del campo ¿!éctrico E seu ccro y que la conponente nonnal de Il (o

sea ttc llt trrt ciro. Si kt pulxrción del ¡¡enerndor es o, rodls. Ctlcular o) Eryresión analítictt

tlc ltis connpos Ii y II que s¿ ProP.tgiln cn kt llneo b) Corriente que circulo por las plocos y

toltúc eurc pktits ¡siguienio cn c:stc ctt:¡o uno ltneu de campo eléctricol. c) cociente vli. ¿l)

t,r¿riltir¡Ut y ,ttp'ucittii de lu línea por metro tle longit4d. c)-l'cniendo cn cucntu los lenns de

iir:ct*olf y ios iabr¿s obtenidos en el apnrtodo t!), dercrminar la corricnt¿ i y el voltaje de

trt líncoTiisde el punto de vi'stu de kt teorío de circuitos'

sol.ucl()N

Dc acucrtlo con las rcstricdit¡ncs irnpucstas y desprccilntlo krs sfcctos dc bortls

cn l¡ls cxtrc¡ngs ¿c las placas. sc puedc considcror quc los canrpos sigucn las dircccitlnes

lnt¡str¡rlas cn lu fig. 2.38, y son dc lu li¡rnn:

g, = - i tx l i . (z,t l : l l = - i ly l l t (r . , t) (?.20e)

(') En cl cnpírulo ,l sc conrprcnrlcri cl conccpto dc irnpcrtrncir. El lcc¡rr puctlc considcrar quc Z¡

rcprcscnl¡t unl rcsistencia ¡rarl contprcnrlcr ntcjor cstc cjcnrplo'

l9t l

,L,I

I,

I

' ¡a

I{

DI VIS IONE,S DEL ELECI RONIACNb-I-ISNIO

estos ciltnlx)s tlcbcn tllntlccer las ccuílciotlcs dc Mitxwcll:

d i v l i = 0 r ' t f , ,=- -Hl; d i v l l - 0 ; r ( t t l lA E= e ( l t (2.2 l0)

(2,2n)

que rcspondc¡l a las ecui lcioncs dc ondn (2.150) y (2.151):

V 2 E = l r e

V 2 g = p e

a2Eaa0 2 t t;F

3á

,12 E_,.

,)22

-!ltdt2

= I t E

= p e

{F')12

4t-1"D12

cuyüs solucioncs según el ejcrnplo de aplicación 2.22 son ¡)ilru vuriacitln sinusoitlal:

sc riene asf una on{a TEM (l'ranverse electrona¡¡nctic\,yu quc los clmpos cstin en phr'tls

uansversalcs a l¡ dirccC¡ón de propngrción. En iis exprcsioltcs onlcriorcs sc ticnc atlcnriis

(luc:(2.2t3)

b) Dcacucrdoconlascondic ioncsdccontomo( l . l3 l ) ladcnsid lddeconicnteportnero,cn

ií irr"iiüi" ¿c los contluctorcs scrá igual a ll, Y cs ¡rurulclit al cje z, ¡csullnndo t¡¡¡a

conicntc totitl:

i

y cl volt l je enrre pl i lcas siguicndo unt l íncit dc c¿u¡lpo, scrÍ l igual a h d.d.p. rcstl l t i lndo:

2

v ( z , r ) = I E . d l

= E r ( z , t ) a = R c [ a E o c i ( o ¡ r t t z ) f ( 2 ' ? 1 5 )

I

c) El cwientc V/l será igual a:

(2.2 l6)

quc sc dcnornina inrptrl lncia clr¡rclcrístic¡l dc la líncn'

d) La capacidad C¡, de la líncu corrcs¡nndc ¡¡ l:¡ quc ticnc un condcnsador dc plncas pitrak:lits

E* (2. , t ) = Rc I roc j ( t ' r t t k t ) I

l Í , ( z , r ) = I t e f ?

c j ( t o t t k ' ) I

r _ e - U g If \ - . , I U = r - '

u A . JUe

( z , r ) = H y (? . ,1 ) . b = Rc f T c j ( t o t t k t ) I

(2.2t2)

(2.2t4)

rlc tl i¡ltc¡lsio¡cs b x f y scpari¡citin "it" cttrc llts it l¡¡l l l(l l lri¡s:

C¡ = , : = tY Furu t l ios (2.? l7)

1 9 9

ELECTROMAGNFNS MO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

(luc concsp)n(lc ü una cilprcidad por uniüd dc longitud:C ¡ b r

c=7 = e; Faracl ios/mcuo

O = t B . d s = p H y a ¿i

y c0nr0 I cs igual lly b se tendni:

LL=? =# Hcnrios

(luu corrcslx)ndc ü unn putoinduccién por unid¡td dc longitutl;

l=b =4!- Henrios/metrot

- b

v(2.,r) - v(1. +L't.,t) = L ¿!z iiQ't)Jr

(2.218)

Para calcul¡r la inducuncia dc la línea. sc obscrva que el flujo rnagnético queatravicsa la sccción cnrc línc{s cs:

(2,2 te)

(2.220\

(2,221)

c) Va¡nos a {erlucir las ccuaciones generirles de la llnea dc trnnsmisión siguiendo la teoría decircuitos. Si su¡roncmos quc los cün¡fxrs so¡r cuasicst¡cionarios, la ll¡rea se p<xlrá rcpresenl¿r

¡xrr el csqucma dc purámetros distril¡uidos dc la t)g.2.39, en el que sc h¡ considerado¡n Az dc lf¡rca. Las magnitudcs v(2,0, i(z,t) rcprescntan la tcnsión y la conicnte en la líneaen z. Dc modo anilogo v (2.+Az,t), i(z+Az,t) reptesentan esns magnitudes en z+Az; L es unparánrerro scric a lo lurgo dc la línea, C cs un pariimeuo paralelo que represcttt¡¡ capacidatlcr¡rc lírrcas.

v ( z + 0 z , t l

Fig. 2.39

Al rplicar los lcmas dc Kirchlroff resulh:

i l z e 0 a . t l

2( X) 20 l

D¡VI SIONES DEL ELECTROI4ACNENSMO

i(z,r) - i(z +a z,t) = C ore(TFd (")

al dividir ambas ¡puÍrciones por A¿ y tcnder esüt tongitud a cero resulüa:

'%P=1ry' ry=cry

# = 1 . # ' # = ! c #las ecuackrncs antcriores sc pualcn combinar para obrcler erpresiones para v c i solamcntc.

fcsuluuldo:

y co¡ro de acucrdo con (2.218) y (2.221) se cumplc:

las ecuaciones (2.224't sc convierten en:

(2.222'�t

(2.223)

(2,224)

t n (2,22s., '

(2,2271

LC= =pe=+ i 71¿=alF=t

(2,2261

esus cxpresiones son análogas a las (2.21l) obrcnidas cn función de los campos. Al scr v ei sinusoidales sc obtic¡ten las soluciones:

i2v i2va;,1 =Pe tF ; a2¡ a2¡

l rz = Ptálz

rluo son soluciones anókrglr u la¡ obtcnidls Cn cl lporUdo b). Da cs¡e mrxlo h lcoría decircuitos con parfuncUos distribuítlos d¡ los mismos rcSultadoS que lA tcoría tlc cumpos.

sc observa que las solucioncs (2,2121 y (2,2271conlienen ondas incirlcntcs ala carga (a¡r - kz) y rcflejadas por la carga (ot+kz) . Sc pucdc dcmost¡ar quc r¡ Zo = ZL

existc una arlapurci¡in de img:dancia de lu lfnc¿ con la carga, cn cste caso la ontl¿t rcllcjadit cs

(t ) S" l¡ir tcnido en cucnla quc l¡ ,t..|.p. en la bobina es iguol a:

v (z , t ) = Re I vo c i ( o r l t k z ) |

i ( z , t ) = R o f *

c i ( o r t k ' ) I

Yr. = - . = ,*=*(L i )= L j i

ELECITOMAGNFNSNIO Y CIRCUITOS ELECTR ICO.S

rrula y srilanrcntc c.ristc omla incirlente que va cn cl scntido gcncrarkrr-cirga.

IiJEill'LO DE ,IPLICACION 2.26: ANIEA'¿{ DIPOLO

En el ejenplo de aplicación 2.24 se han demostrodo las características deprttpagación de untt onda electromagnética. En el ejemplo 2.25 se ha estudiado clcomportamiento de uno líneu de transimisón sin pérdidas. Es horo de analizar cómo setran$hrna uno señal de altufrecuencia qw circula ¡nr una lírca de transmislón en una ontütclectt'otnugnética. Lus antends conslituyen los trqnsductores o convertidores de unu señolclictricu en unu ¿tnda que se rodio al es¡ncio. Consiürese el caso mús simple mostrada en lt

¡ig. ) a0 denoninado radiador cléct¡ico elcmcntal o dipolo de llertz, que est,i

t z.r'¿ F

I q/ ' t -I o e J ^ .Í

I

I

I1...

'

x

--- \

7 / ' ' - - -

constituítlo por un hilo corto de tongitud d que lleva una corriene allerna lodat.Noturalnrcnt¿ un elc¡nento de corriente alslodo cs invcrosimil ya quc no cumpliría elprincipio de utnservación de la carg,a. Lo que sucede realmenle es que en los extremos delconducrcr se depositun cargas como si allí htúiera sendas esferas innginarias ( y de lwchoerun reules en el cu.so del dipolo construído por llertz ) que estón corgadas con unos valores+q y -q y que .se estún cargando y descarg,ando alQrtutivamente por medio de la corriente.

Lu carga sobre kt esfera superior puede describirse como qodü y la de ta etfera in{erior

conú -qoeld. Laintensklul qtucirculadeunaootra cs por consiguiente: i=dqldt =

i o q¡¡ eit'r - I¡ tit't , que es h corriente que se uriliza como dato. Debido u la variación de

kt cargu que se obtienc en los cxtrcnos a cste rudiadar se le conoce también r.on el nombrede dipolo oscilante . Si las dimensiones del circuito son pequeñas en comparación con lalong,itutl de orula de la señal. se tiene un reparto de la corriente uniforme en todo el hilo.I'urtiendo de h expresión (2.204) que da el valor del potencial vector producido por unadi.strilut:ión volwnótrica de corrientc y teniendo en cuenta que en nu¿slro caso la corrienle es

fitiforme. Éillcular utilizondo coordentttlas esféricas los campos b) y II producidos por ellipoht de ll¿rtz en un pu,tto I' muy aleiodo dcl hilo ( r>>d) .

)02

c

DI VISIONES DEL EL,ECTROMACNMSNIO

SOLIJC ION

De acuerdo con (2. 2O4) el potencial vcctof magnético producido por tr::¡ldisuibución volu¡nét¡ica de corricnte será:

A

como qu¡cra que la cofrientc es

sr s0R =

P d l o e j ( t " t - k r )A = ' J ¿

4 r r

cuyas conlponentcs en coordenadas csféricas son:

Ar - Az cos 0

A g = - A z S e o 0 =

A o = o

la relación:

b s11' ' '1*)R

culo se realiz¿ para puntos muy alejatlos dcl conductor, sc tcl¡i lrá

resultado clc la integral antcr¡or sc puedc al)roxintar a:

p d l g e j ( a t t - k r )(2.230)a.L Az ; con Az = 4 n r

t r . j ( ú ) ¡ - k R )

I -'f "- dv' (2.228)J Rv 'e se ¡ndrá sustituir J dv' ¡nr l.dl resulnndo:

t l l , = I t I l o . @ d t ' ' A

4 n l R

' : a z Q ' 2 ? 9 i

,l

l r d l O c o s 0 e j ( o ¡ t ' k r )

p=

4 r

filiform

A = J " IU , 'r ,

cons ideraquee lcá lr, de tal for¡tra quc cl

Dc los valores anteriores se pucde obtener el canlpo magnético

B = r o t A = ? l l = ! r o t Alr

4 n r

P . d l 0 s e n 0 e j ( t ' ¡ t - k r )4 r r

(2.23t)

l l a part¡r (t '.,

(2.232)

(2.2:13)

se tiene l).tíü

(2.234\

(2.23 5)

quc en c(nrderradils esféricas de acuerdo con la tabla n0 2 del a$ndice 2 nos da:

¡ . a dA , , [ 6 t lt r = r o i t & ( r A 0 ) -

a 0 I = a o - - s e n 0 ( + . i ) e j ( o r - k r )

Alrora bicn tcnicndo cn cuenn la cuarta ecuación de lvlaxwellvariac iones sirt uso itlales:

r o r i l = E ¿ q D = J - r 0 l t lD t I ' - joe

tlc tkxrde yJ dcduce:

t an s ; ; ) r (r 116 )ll r l a= j r , I t r f f i t o ( l { o s c n o )

203

ELECTRONTACNMS MO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

tl;urdo lugar a:

qrrc considcrando regiones o puntos muy alcjados del elemento de coniente (p>d) se ftodrántfcspreciar cn (2.233) y (2.2361 los términos que contiencn magnitudes llr2 y ll¡3 encomparncirín con los que conúenen l/r, rcsullando finalmente los valores de los campos cnz . r x ras l c j anas :

i kd lnll = a, ffi scn 0 ej (ú't'kr)

E r = H c o s o t h.F.'fu]' j(ror'E o = H s e n o .i.trr

j t o p d l ¡E = oe f f i scne s j ( to t -k r )

b --e.t- =1[= TrHó k .o{ tr€

[ # . #kr) e.236)

s j (ott- kr)

(2.237)

cs tlccir cn zonas alejadas de la antena sólamente cxisten los campos E6 y l16 quc cslán enplirnos situatlos a 900 (onda plana), como quiera que adcmás ambos campos sonproporcionales a sen 0, sc obtienen valo¡es máximos en la dirección perpendicular a laantena es dccir en el plano XOY. El cociente Ee / Ho teniendo en cuenu (2.t69) y (2.237)valc:

(7.238)

quc rcpresenta la inpedancia inkínseca del medio, como ya se indicó en el ejemplo dea¡rlicación 2.22. De un modo más preciso se puede considerar zona lejana, aquellos puntosdr: una rcgión dcl espacio en los cuales se cumple la desigualdad:

kr>> I (2.239)

qrrc tcnicndo cn cucnt¿¡ quc según (2. ló7 b) k cs igual a2nl|'se convierte en :

r >> )rl2n (2.240)

si sc considcro ¡xrr cjcrnplo una se¡1nl dc r¡rdiqlifr¡sión cn frccuoncia mululad¡ rlc f * 100Mllz, la longitud dc onda cn el vacio es igual a 3 m. Esuí claro que rcgioncs situadas a Iknr dc la antena (lkm >> 3m) represen!írn ya zonas lejanas donde se tend¡án campos dcpropagacirir quc sc pucdcn consirlcrar como si se u¡¡urscn de una onda plana.

2.7 IIAI,ÁNCB IINERGE'TICO EN BL CAMPO BLBC'I 'RO-MAGNBTICO

Uno de los princi¡lales teoremas de la física y que constituyenprot:lamenrente su pilar fundamental, es el principio de conservación de la

204

DIVIS¡ONES DEL ELECTROMACNETISMO

energía: nada se crea ni Se destruye, únicamente se fransformn. Vantos aunutüat en este epígfafe , la forma matemática que toma este principio cuatttloi" ipii"a a fenói¡rónos electromagnéticos y que se denomina tcorcnta de

Poyhting, analizando con detallé el balance de-energías que se procluce.Ouizás u'iia de tas propicdades más espectaculares que tiene el caml)o"i".trotugnético es ia pbsibilidad de rraniferir energía a grandgs distancias,por medióde ondas, eh ausencia de cualquiermedio material. Este es u¡t

ispecto nuevo para muchos lectores y Que quedará reflejado.aquí de un modosimple y elegañte, mediante una manipulación adecuada de las ecuaciones de

Maiweit. Añtes de demostrar el teorbma de Poynting se van a analizar lasexpresiones parciales de los diferentes tipos de energía que aparecen enelectromagnetismo.

2.7.1 POTENCIA DTSIPADA EN UN ELEIIIIiNTO O¡II\'IICO. I-IiY I)¡iJOULE

Cuando se aplica un cflnrpo eléctrico a un conductor, l¿rs cilrgaslibres (electrones de lai úttinus órbitas) experimentarán unas fucrzas t¡ueserán iuficientes para poder arrancar estos electrones de sus iitortlos ymoverse a lo largo de lared cristalina del conductor. Es indudablequ-e estenrovimiento représentarl un consumo de energfa, que procederá de la fi¡enteque produce el campo aplicado.

Si consideramos inicialmente una carga q moviéndose convelocidad u dentro de un campo eléctrico E, [a fuerza eléctrica F que actúusobre la carga será qE. La energía que debe comunicar el campo pafa nroverla carga un diferencial de longitud d I sení:

d W = F . d l = q E . d l j u l i o s ( 2 . 2 4 1 )

de t¡l modo que lu potencia necesaria, energía por uniclad rle tiem¡ro será:

dw f! dlP = T , = q E . t = q E ' u v a t i os (2.242'�)

si considcramos ahOrt un Conductor con una denSidad volunlétrica dc cargit

pu, el diferenciul de potencia necesario para mover las cargas contenidas enun diferencial dc volunren dv, de acuerdo con (2.242) seri:

d p = ( c l q ) E . u = ( P " d v ) E . u = J . E d v (2.2.13)

ya que sabemos según ( L6) que J = Pv u . La cxpresión anterior representauna densidud de potelrciir o potencia por unidad de volu¡trcn:

205

E l, EL-I'R Oft,lAC N FI'IS M() Y C I RC U ITOS E LECTR ICOS

(2.244)

expresión que constituye la ley de Joule en forma puntual.

Si se desea expresar esta ley en forma global, habrá que integrar arotlo el colldt¡ctor. Consideremos por simplicidad que se trata de un conductorcilíntlrico de superficie uniforme S, de longitud L y conductividad o comosc muestra en la fig. 2.41, l '¿, potencia to¡al necesaria para que elcampo E mueva las cargás será:

Fis . 2 .41

Í $ = J . E w / m 3

p = J ; . E d v

= l o . E . E d v = l o . E z d uv v v

r 2= [

' - . dv (2.245)ü o

(pre telriendo en cuenta Que J = t/S ; dv = S dt nos da:

(2.246)

que es la ley de Joule en fornra integral. Esta potencia RI2 se disipa enfon¡la de calor en el conductor debido a las colisiones que sufren loselcct¡ones al nloverse por la red cristalina del mismo.

donde sc hn teniclo en cuerl l i l ( lue:

206

p = J*. dv = htr. s dl =t2J#i = t2 R

ü o T 5 -

T

La ccuación (2.246\ se puede expresar también en ft¡nción de lnd.d.p. lp l icada al conductor . Teniendo en cuenta que en el cont luctorlrtifbmrc se cumple: J dv = | dl,,la expresión (2245\ se convierle en:

p = J J . E d v = i t . E . d r = t j n . u , = r V ( 2 . 2 4 7 )v l l

( - - E

u - t J - ú z

Dl /ISIONES DEL ELECTROIVIAGNETISIVíO

V = V r e (2.248)

rfe este nrodo, la combinnción de (2.246) y (2.247) expresan la conversión de

inrrgtu en et ionductor, cs decir la ¡nteniia enrregadi por la fuente es igull a

la potencia disiparla en el conducror por efecto Joule: Vl = RI2.

Nota práct ica:

En trxlos los casos cn los que el objeto de la transformación dc energía no sca

la producción de calor, hay que considerar perjudicial el efecto Joule. Por ora parte el efcctttJoule es el que limita ia potencia que sc puede exigir a un molor o a un generador eléct¡ico'No obstante, el efccro Jbule tiene ta¡nbién nu¡nefosas aplicacioncs prácticas: a\ esufis o

aparotos tle culefacción elécrrica, que conslituycn una aplicación dirccta dc la producción dc

calor mcdiante -la

coniente eléctrica: b) cortacircuitos fusibles, cn los quc la fusión dc utthilo de bajo punto dc tusión (ti¡ro esraño-plomo) sc basa en el efccto Joulc. sirvcn par;t

proteger fás insulaciones contra las sobrcintensida¡lcs: c) relés térmicos, quc utilir:rn cl

ófectó Joule para calcntar r¡na lámina bimetálica que se dila6 dcsigualmcnte y que

intenumpe cl circuito cuando la intensidad de coniente alcanza un valor peligroso' d)

lónparai de incondescencia , de filamcnto dc wolframio (llamado también tungstcno) y que

se fnne incandescenle por el ¡xrso de la corrientc, radiando luz.

2J.2 ENERCIA ALI I IACENADA T:N CAMPO ELECTRTCO

Vamos a estudiar ahora la expresión de la energía almacenada enun conductor cuando se aplica una d.d.p. enrc armaduras'de valor V'Consider¡remos por simplióidaO que se tra¡a de un condensador plano (ñg.

2.42) desuperficie s, separación d y permiriviclad del dieléctrico e. L¡

I t ig . 2.42

potencia suministrnda al condensador seri según (2.247):

2= t E . d t

JI

207

ELECTROMAGNMS MO Y CTRCUTTOS ELECTRICOS

P = V I

ya que [ = dq/dt. El diferencial de energía dWeen un tiempo dt, teniendo en cuenta que Q = CV

d W r - p d t = V d q = C V d V

(Ftc supone una energía total almacenada:

= v # (2.249)

suministrada al condensadorvaldrá:

(2.2s0)

v l

w . = I c v d v = * c v ' = I

o 2 v v -

l q

e n esta expresión se ha tenido en cuenta que q =clel condcnsador.

. )v = f q :

2 CCV, siendo q

(2.25r)

la carga total

Se puede expresar la ecuación anterior en función de los camposexistcrrtes en cl interior del condensador. Si se parte de la expresión (2.250),sntrerrros que la d.d.p. V entrc las placas del condensndor provoca un campoentre las annacluras uniforme:

2

V = \ z = J B . d l = E . dt

la carga q que aparece en la placa superior según el

(2.252)

teorema de Causs será:

f D . d s = D . s = qs

de este ntodo sustituyendo en (2.250) Ios valores de Vdecir dq = $ dD) resulta:

D=

I Ii . dD julios I m30

(2.253)

= E . d y Q = D . S ( e s

d W . = E . d . S d D (2,254)

conro <¡uiera que S d es el volumen del dieléctrico, resulrará una densidad deenergía almacenada en el condensador (energía por unidad de volumen):

w e =w.

(2.255)volunlert

que es la energía por unidad de volumen almacenada en el condensadorcuando el desplazamiento eléctrico varfa entre 0 y D. La ecuación anterior seaplica tanto a nredios lineales conp no lineales; en el caso usual de dielécrricoslinealcs se tiene que D - eE y la ecuación (2.255) se transforma en:

20tr

Drv|S ION ES DEL ELECTROMAGNETISMO

w e = julios/m3 (2.256)

almacenada en elde este modo ll2 eE? representa la derisidad de energíacampo eléctrico de un nledio lineal.

2 . 7 , 3 ENERGTA ALIVTACENADA I iN EL CAMPO MAGNETICO

En el epígrafe anterior se ha obtenido la expresión dc Ia energí:talmacenada en un campo eléctrico a partir de la energía al¡nacenad¿l en uncondensador cargado.De un nrodo análogo vamos a determinar altora laencrgía almacenada en un c¿lmpo magnético partiendo del cálculo de la energíitalmatenada en un solcnoide toroidal. En la fig.2.43 se muestra un toroide

Fig. 2.43

de radio medio R y de sección transversal S que supone una dimensiónpequeña en comparación con R, para considerar que el cilmpo magnético esuniforme dentro de la sección trensversál del toroide. El devanado estáformado por N espiras uniformemente distribuídas nlrededor tle lacircunferencia del toroide y se supone en principio que su resistencia eléctricaes despreciable. Al inroducir una corriente i(t) en el devanado se producirá uncampo magnético uniforme en el interior del toroide, de tal modo que si sedenomina I = 2nR la circunferenci¿ media, al aplicar el teorema de Arn¡llre aeste circuito magnético resultará:

i e'z

{ H . d l = H . l = N i

T

Teniendo en cuentc ahora la expresión (2.138) t¡uc relaciona latensión aplicada en el flujo total Y concatenado por la bobina que es N vecesel de una espira O, se tiene:

(2.2s7)

20t)

IJ LECTROMAGN ET|S MO Y CIRCUTTOS ELFCI'R ICOS

A hora bien de acuerdo con Ia de f in iciónirutoinclucción de una bobina (epígrafe 2.5.2), se t iene:

r - d y'¿ dl

( l r f c l levando i l (2.258) nos da u,na relacióncléctrica:

' dY d.[, dlv = . J t = d l d t =

el dif crencial cle energía dWrn suministrada atienrpo dt, será igual a:

(2 .259)

de coeficiente de

(2.259)

tensión aplicada a corriente

, d lL di (7.26A')

la bobina o inductancia en un

I d t - L I d I (2.26t)

(2.262)

(2.263)

v ( t ) = # = N #

d W * = V I d t = L

que supofie una energía tolal alrnacenada:

I

w m = I L I d I =0

dIAr

1 L \ z2

ccuación análogn a la (2.251) demostratla para un condensador.

Se puede expresar la ecuación anterior en función de los campos

mlgnéticos exis¡entes. Si Y expresaba el flujo total concatenado por el

solenoide y se denonrina <D el flujo magnético que atraviesa la sección

transversal, se cumplirá que Y = Nó, ya que la bobina del toroide enlaza N

veces el flujo tD que atraviesa la sección del toro. De estc modo la ecuación(2.2511) se puede expresar en tu¡rció¡t del flujo de la sección transversal:

v = # = f { #

conro r¡uiera además que el flujo O que atraviesa la sección transversal esigual a:

2 r 0

O =

de este modo yentra al toroide

P ; ¡ V I =

DIVI S IONES DEL ELECTROMAGNETISMO

I B . d s = B . s : + + = S . + ( 2 . 2 6 4 \s d t d t

teniendo e n cuenta (2.257), (2.263) y (2.2(A), la potencia quese ra:

N d ó r _ d o¡ ! d t . * ( N I ) ¡ t

= l I . 1 . s . * ( 2 . 2 6 5 )dr

suministrada en el tiempo dt, que se

julios / m3 (2.267)

que representa un diferencial de e nergíaalmacena en el campo magnético:

d W , n = p d t = t I . l . S . d B (2.266)

como quiera que l.s representa el volumen del núcleo del solenoide, se te¡ldrduna densidad de energía magnética almacenada cuando la inducción pasa devaler 0 a B:

wmB

= I I I . d B0

esta ecuación se aplica tanto a medios lineales como no lineales. En el caso deque se considcre un material lineal de permeabilidad p, se dene B = pII y laecuación (2.267) se transfornra en:

w m =volufnen

I ' . ' , I 82w m =

1 [ r I 1 * = 1 -b f tj u lios/rn3 (2.268)

que es la densidad de energía almacenada en el campo magnético de un mediolineal, y es análoga a la (2.256) del campo eléctrico.

2.7.4 TEORIII\IA DE POYNTTNG

Este teorema establece el balance energético en un sistenraelectromagnético a partir de las ecuaciones de Maxwell y del conocimiento rlelas energías explicado en los epígrafes anteriores. Si consitleramos l;tsecuaciones de Maxwell:

, u t E = - * ; r o t l l = J + * Q . z 6 g )

y tomamos to.tiu"rg",l'Jia det produc¡o vectoriat u" u':", [I, que de cdlculovectodal sabemos que es igual a:

? t I

ELECTROMAGNEI'¡S MO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

d i v ( E x l I ¡ = I l . r o l E - B . r o t l l ( 2 . 2 7 0 )

al sustituir en (2.270) los valores de las ro¡acionales que dan las ecuacionesde Maxwell (2.269) resulta:

( 2 - 2 7 t )

V acotndo sobre unacomo muestra ln f ig.

V ,\ t t

Jcriu (E xV

apl icnndo elt ic l lc:

a l- I -

D r \ ?

)B rr aI)d i v ( E x l l ) - - l l : - - F , - E J

si la ccuación arrerior se inre-: ,"0r. ll volumensupcrficie cerrada S, que puede contener en general2.44: fuentes y receptores (reslstencias) resultar¿i:

jv

E ? P - € E ¿ g = r E ¿ q0t 0t 0r

s{ ,n

Fig. 2.44

I I ) c l v = - J t r r . *+8 , * rnu J t . . l dv ( z . z7z )l ' d t D t ' v

teorema de Gauss al prinrer rniembro de la ecuación anterior se

Jo'v (E x I I ) dv = f (E x I I ) cts (2.273)v s

se consideran r¡redios lineales se cunrplirá:

A(. c--t14l*á

)v+r

u ' j

lb {r

$

z t 2

e E 2 ) (2 .27 4)

4 )

2t3

DTVISIONES DEL ELECTROMAGNMSNIO

= + (+ pHz)d l - "

t t * = p I I * = p " *

de este modo la ecuación (2.272) se transfofrna en:

{ ( E x r I ) d s = -

* { [ ; r E ' . t p H 2

] d v

, 2

IE*.J dv = J*0" + 3v ü o D t

f losi dentro del volumen existen generadores con canrpos eléctricosconservativos Eg, se podrá escribir:

12J = g ( E + E g ) : + J E = r ' - E n . J Q . 2 7 6 )

o o

que al susrituir en (7.275) y reordenando la ecuación da conlo resultado:

- f E.J dv (z.zls)v

t t + E E ' . + p H 2 l c l v . f ( l i x l l ) c l si L z 2 ' J s

(2.277\La ecuación anterior representa el principio de conservación dc la

energía aplicado al campo elecuomagnético. El significado de los térntinos esel siguiente:

I Er.J dv = I Es.J.s.dt = i I EB dt = I i ev ' r Y

es la po tenc ia to ta l ins tán tánea sun l in is t rada por losgeneradores interiores al volurnen V.

, 1 2[ l ¿ u = I R i 2í o

es según (2.246) las pérdidas Óhmicas en las resistencias clelvolumen V (et'ecto Joule).

A t l l - ) I - r

a { L i t E 2 . ; p H 2 . ¡ d ves el increnlento o variación de la energía total alnracenad¿l(eléctricl + nugnética) tlentro del volumen V.

f (E x t t ) dss

r)

2)

3)

ELIlrm( )LÍAGNETIS MO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

cstc término es nuevo para nosotros y representa el flujo deporencia clectromagnética que salc por la superf ic ic queencierra el volumen V.

El vector E K Il se denomina vector de Poynting S:

S = E . x l I W n r 2 (2.278)

y representa la potencia elecrromag.nética por mcrro cuadrado(lue se inadia a navés rle la superfrcie S.

De este modo el teorema de Poynting o de balance energético enelectronragne¡ismo representado por la ecuación (2.277) indica que I,a ¡lotenciasunlinistrirla por los generadores existentes dentro de un volumen V es iguala la suma de las perdidns por efec¡o Joule, más la variación de la encrgía totalalmacenada, mis la potencia radiad¡ a través de la superficie que encierra elvolunren V. El voluinen de integración se puede elegir a voluntad y puedeencefrírf un tinico elemento para estudiar con detalle la conversión de energraen é1. En este cÍrso habrÍ términos de la ecuación general (2.277) que nocontribuyan al balance energético.

F.IEMPI.O DE APLICACION 2.27 : ENERGIA ELECTROSTATICA

Se ti¿ne una distribución de carga eslérica de rgdio R y densidad volumétricap, . Culcufur la energía electrostática alnncenúa por la esfera' El meüo es el vacío-

soLUcroN

l ) Pr inrcr prr tcedint icn l t l

Vantgs a calcular primcranrente la encrgía elóctrica almacenada, como energía neccsariapara lbmrar la csfcra dicléct¡ica de ¡rrmitividad eo. Se uau en dclinitiva dc ir formando

la csfcra u busc tlc ir añadicndo capas de espcsor dr; el Uabajo que tcndía que haccr unagcnre cxtcno para formar la csfera de radio R sería en definitiva la_energía toul que

[ucdará almaccnada cn la esfera. Consitlcremos por ejemplo ]a situación, cn que se tiener¡n¡ cslbr¿ rJe nrdio r, cl ¡ntcncial quc tcndría esta esfcr¿ scría:

V = L4 ne6r

donrlc ll carga q quc ticnc la esl'cra scría igual a:{ r

q = p v J r r -

tte cstc mcxlo cl ¡ntcncial tle la esfcra sería: )

v __L"il e o

cl ¡ui:ulir a la csfcru anrcrior una cup:¡ rtc espcsor dr, implic.r incorporar un difcrencial dc

214

DI VI S ION LS DEL ELECTROMAC I{ETI S MO

ürga:c l q = p " 4 n 1 2 d r

el trabajo neces.lrio para traer esre dq devle el infin¡to hasm la esfera, sería dc acuerdo con

(2.250):

dw.=vdq=# p"4 rcrzdr=+# dr

y pdlr consiguiente el trabajo total

w " = f0

2) Segundo procedinr ienlo

Vamos a considenu en esrc procedimiento, quo se partc de la esfera ya forrnlda. En cstc

caso la encrgía al¡nacenada sc ¡lodrfa determinar de acuerdo con la expresión (2.251)

teniendo en cuenu que al ser una distribución continua sc podría cscnbir:

wc = lou =) w" = + Jn,dvV2 - .- 2 y

en este caso V expresa el F)lencial en un punto de la esfera a distÍlncia rdel ccntro. Para

calcular cste potencial, cs prcciso, deternlinar previamen@ los canrFls clÓc[icos quü

p¡1ylucc todaia distribucitin de carga par¿¡ puntos inrcriorcs y cxrcriores a la csferil. Si .sc

aplica el tcorenla dc Gauss, se obdcnc:

P a r a p u n t o s r s R = á 4 n r l t o E i = 1 r r 3 P v

Para puntos r ¿ R =t 4 n ¡? so Eu =\" R3 P,

ya que cn el úlrimo caso hay que tcner en cucn¡¿t que pv cxiste solo hasu r = R. Dc las

ecu¿Ei()nes antcriores se duluce:

E i = t r a r ; E . = # a rdo cste mülo el ¡ntcncial en un punto interior de la csfera será igual a:

v = t E . d r = l ' E ¡ . d r . l E . . c l rJ J ' R

es rlc'cit:

+ [ ¡ n ' - " 16 e o t

sustituycn(lo cste valor cn li l Cxprüsitin dc encrgí4, rcstllt0:

we = + Jn, trv V = +fJ pv4 rr2 dr ft

(3 R2que da lugar a:

necesar¡o pera formar la esfera sería igual a:

a n p?, 14 dr = l_rT p3{3 e o l 5 e s

v = T t u r . d r + T + g ü =

1 2 )

2 1 5

ELECTROIVTACNffiSMO Y CIRCUITOS ELECTzuCOS

w - = 4 n P u 2 R 5

" 1 5 e gsolución quc coincide con el caso anterior, pero determinada por un proccso físicodifcrente. Es prcciso que el lector se dé cuenta que en este último procerlimiento sc hadetcrminatlo la cnergía almacenada o de interacción toul del conjunto de ladistribucion dc carga.

3 ) ' I e r ce r p roced im ien to

Varnos a calcula¡ ahora la energía almacenada teniendo en cuenl:t los campos queprtrluce la cslera compleu. De acuenlo con (2.256,la encrgía por unidad de volumen esigual a:

I -.rwe = t €0 ts.

y por consiguiente la energía ot¿l scrá:

donrlc v representa el volu¡nen total del espacio sobre el que se exticntle la acción de loscürnpos producidos por la distrihución de carga. En nuesuo problema se tienen carnpostlc¡rtro y lircra dc la esl"cra; cn este últinro caso, el carnpo exterior llega hast¿t cl infinil.o.

? lw e =

I ; e e E 2 d v

Dc este modo rcsult:t: .

w . = J ( ; E o E l ) 40

t r , rzdr+ i ( iR

e o E 3 ) 4 n r 2 d r

y tcniendo en cucnta los valores de E¡ y E" obtenidos en el aparudo 2), se üene:2 n p , 2 R s 2 n p r z R s 4 r p " 2 R 5wu =-Ji6- . --e.;- = Js r;

el ¡rimcr sumando de la ecuación anterior rcpresenta la energía intrínsec¿ localiz¡da encl interior de la esfera, mient¡as que el segundo sumando repr$enta Ia energía innínsecatlc la esfc¡a en el espacio quc la rodea. Obsérvesc que el cociente dc esus energías W 1 yW2 vale;

2 ¡ t p "2 R5

W l _ 4 5 e O _ tW 2

- 2 r _ P " 2 R 5 - 5

9 e or¡uc cs indcpcndientc dcl radio dc la esfcra.

I tJ I i i l lPI .0 Dl i APLICACION 2.2E: ENERGIA ELECTRICA, INTRIN-.ll:'Czt, illUl'UA Y TOTAI..

Sc clisponcn dos t:st'erus ¡netúlicas huecas concéntricas de radios R ¡ y R2 conIl¡ < It2que llevuncar¡¡as Q¡:" Q2 respecrivamente.Calcular: a) energías intrínsecas demrla esfera; b) energía ntutua de interacción: c) energ,ía total dcl conjunto.

2 l ( t

b)

DMSTONES DEL ELECTROIvIAGNETISMO

S O L U C T O N

Las energías intrínsecas represcntan las energías propias de cada tlistribucién,

consideradas aisladamente, cuyo valor es:

w = l o ucomo quiera que el potencial de una esfera de radio R y carga Q es igual a Q/4neo R, se

tendn&

Energía inuínscca de la esfera Rt : W I = ü tr

Energía intrínseca de la esfera Re : W2 = # #,

[¡ energía de inreracción entre ambls esferas es igual a- la carga Q ,l* una csfcra

multiplióada por el potencial V crcado por la oua esfera en los puntos cle la primera, cs

dai¡:

wrz=Q,; f t=f f i[¡ energía etéctrica total det sistema sería igual a :

w, = wr + wr + wrz =#* t ff + H+ ry I

Obsérvese en este ejemplo,que existen rcalmente tres tipos de energías clécuicas:

inuínsecas (o propiai), d'e ineracción y total.La expresión (2.256) extentlida a todo clvolumen dondl eiisun campos, representa la energía tonl almacenada, que no pcnnite

observar las energías componentes del sistema-

El lcctor puede comprobar, aplicando el tcorema de Gauss, que sc ticttcn trcs cürll[ruselectricos:

P a r a r f R l : á E t = O

ñ Q rEz= 4"fuF

E Qr-*Q¿tr3 = 4"r0tr

Para Rt S r S R2 =á

Prrar 2RZ :e

y la errcrgía total alntacc¡l¿t(lit scría tlc acucrtlo con (2.256)

W e =V t ^ ¡ ¡ d D

f ( ; e o E l l q r r 2 d r + I ( + e o E i ) 4 n r r d r =R¡ R2

= r t_d_ + _q3_ *_Qrgz I4 n e ¡ ¡ L ? n , 2 R z R 2 J

211

EI-ECTROMAGNMS N,IO Y C¡RCUNOS ELECTRICOS

que nruesui¡ direcnn¡ente la energía lot¡l almacenatla, sin definir las energías parcialesque entr¡¡n cn juego cn e I sisrcma.

EIEMPI.O DE API.ICACION 2.29 : CAI.CULO DEL COEFICIENTE DEAUTOINDUCCION A PARTIR DE LA ENERCIA MAGNETICAA L I T A C E N A D A

Colcular el coeJiciente dc autoitducción por nuro d¿ longitud de un co¡tductortillndrico d¿ rodio "tt" , quc tienc uno permcabilidad y , El medio cxterior tiene unapernrcubilidutl ¡to .Comprobar el rcsultutlo con Ia solución obtcnida en el ejemplo deuPlicación 2'21 '

soLUcIoN

Si se suponc que cl conductor lleva una corriente total I uniformementetlistribuída por su sccción ransvcrsal, sc pueden oblener los valores dc la inducción intcriory cxlcrior al conductor aplicando el teorcma de AmSre, dando lugar a las nragnitudessiguientcs:

Bi =aof i f , I ; tro IB e = a q ñ

exprcsrones que coinciden con las ya calculadas cn (2.94) y (2.100) del ejemplo deaplicación 2.21; la magnitud r rcprcsenta el radio del rccinto de integración. La encrgíaaln¡accnada en el interior será según (2.28):

. . l B i , r " , = ? r f p r l - ) ' z u r ü = p l 'W,nl =

Ju r 2 F l

z t t \ 2 r ' a ' ) 1 6 r

donrle dv¡ rcpresenu el diferencial de volumen dc un anillo cilfndrico de radio r, y longitud Iuletro y cspesor dr, Si se dcnomina L¡ al cocficientc dc autoinducción interna. rle acuerdocon (2.?62) se cunrplirál

* t r r ' = w ' ¡ = f t {de donde sc obticne:

Li = # H/m

La cnergía magnética almaccnarta en la zona extcrior hasta un ciiil¡lroconcénúico con cl conductnry dc radioR finito scrá:

w.. = f +4 ou" = | + fq)' zn,d,= *'" *J " 2 t u ' r ? B o \ 2 r

y dcnorninando l-, al cocficiente dc uuoinducción extema. sc cumplirá teniendo en ( ucnn(2.262):

| ^ ¡ l , "

i r" t t =w," =ff rn&de ¡lmrh sc rhdtrc:

2l f t

DIVI S IONES DEL ELECTROMAGNENSMO

. t l o . RL e =

2 " ' n ; H/m

por consiguienre la inductancia total del conductor por meFo dc longitud será:

L -L i +L" = # + H t ' * H /m

vafor quc coincidc con cl cxprcs¿do cn (2,97) y calculado 6r ouo proculimicno.

E]EMPLO DE APLICACION NI 2,30 : FLUTO DE POTENCIA EIV UNCIRCUITO

comprobar el leoremt de Paynting para calcular el tluio total de polencio qile

entro en wta resistincia eléctricaformúa por un cordtutor cilt¡drico de longitud L' rulío g

qru llcva una conienrc continua de I amperios. La conútctividad es o'

SOLUCION

En la hg. 2.45 se muesra el conductor considerado, donde se ha supuesto que

está alineado con el eje z. t¿ densidad de corriente J vale:

J = a , - +e t t a -

Fig. 2.45

¡x)r lo quc el campo elécuico cn el interior del conductor vale:

_ _ . r Il i = = ' = L . - 1

o ' ' o ñ a o

2 1 9

ELECTROMACNMSMO Y CIRCT.IITOS ELECTRICOS

t'l cnm¡xr magnético en la su¡rcrficic tlcl conductor se puule obrcner aplicondo cl teorema de,\nr¡ñrc, rcsulüando scr:

H = a o , * J

rlc cstc nrodo cl vector dc Poynting cn la supcrficic dcl conductor es igual a:

ps =E x i l = (azx uo ) #

E - a r f f i F

intcgrantlo cl vcctor dc Poynting a la superficie lateral dcl hilo rcsulta:t - - ? f ' r \ f A

9 S . d s = J ( ' a r ? r r , " f ; f )

( a ' d s ) = - f f i

Z n a LS Sl¡rcnl

tx dccir:

f s . d s =S

ya r¡uc lt =Llna2 o rcprescnu¡ la rpsistcncia del conductor.

Si se tiene cn cuenu¡ (2.277) donde en el caso considerado no exisle el primerlnicnrlrnr, ni alnraccnamicn1o dc energía rcsulta:

e l ? r0 = J ;0" + f s . dsv s

f s . d s = f l o u = - R t 2S V

f ! - = - R t 2, t a - o

trs rlccir:

se obscrva por consiguiente que cxislc un flujo de potencia electomagnéüca que entra en elconductor.

Vcanlos ahora cómo fluyc la potcncia entre üna fucntc y una carga, paraconrprcnrlcr mcjor cl significado dcl vcctor dc Poynting. Considórese el circuito simplc dcla fig. 2.46 cn cl que una pila alirnenta una rcsistcncia eléctrica R a través de unosconductorcs dc conductividad infinita en forma dc pletina rle longitud L, anchura b ysepuracirin a<<b. Sc ha clcgido csta forma de los conrluctorcs dc unirin para facilinr elc¿ilcrrlo analítico, pcro cn gcncral se puule utilizar cualquier forma y scparación rJe los "hilos"

rle uni<in.

Al oxistir una d.d.p. V cntrc los conductorcs superior e inferior sc tcndrá uncanrpo cléctrico cntrc cllos, quc tlcbirlo a la pequcña scparación cxistentc será uniformc. Si:ic ticne rrn punto I en la placa supcrior y un punto 2 cn la inferior sc podrá cscribir:

2?

V = J ¡ t . r l l = E aI

r:l sentirfo vccto¡ial de l! cs cl indicado cn la fig. 2.46 y va de la placa superior (mayor¡ntcncial) a la i¡lferior (nrcnor potcncial).

220

DIVI SIONES DEL ELECTROMAGNENSMO

FLUJO DE POTENCIA

Fig. 2.46

Al pasar una corricnte por los conduclores se producirán alredcdor rlc clloslfneas sotenoidales de campo magnético tI Dcbido a la geometría dc la ligura, sc puctlcconsi{erar que el campo magnético es muy f,equcño fuera dc los conductóres, dc este mcr&rlas líneas de H son entfantes Al plano {e la página enuc ambos conductorcs, la lcy tleAm$re nos da:

f H . o l - H b = t

de este modo el vector de foyndlg E x H es paratclo al cjc de los conductorcs con elsentido vectorial indicado (no existen carnpos fuera de las placas conductoras). Dc cstc mtxloel flujo de potencia ¡iransferida del generador a la carga será igual a:

p = 6 ( E x l t ) ¿ s = [ ( I + ) d s ¡ = $ a b = v lJ ' J a b

' a bs s r

dondc s ¡ fepfessnla la sccción rcctangular ab cntre placas. obscrvamos ¡nr consiguicnrc que

la integración del vector de Poynting de el mismo resultado que la teoría rlc circuitos.Realmentc la potencia que sale del gcnerador es Vl y la que sale dc la rcsistencia (receptor)es -VI pue o que el vector S cnra el ella, y cuyo valor según se ha dcmosu¡do antcs es -

Rt2.

Un aspccto interesantc a destacar que se deduce dcl estudio anlerior cs lülocalir¿cidn de la cnerglo y cl flujo encrgético. El "flujo de polcncia" se rc$liz¡ ¡ tr¡¡véstlcl espacir cnt¡e conductorcs (cn gencral se exticndc a la zona que rorlea al circuito),actuando l,x conductores dc unión como meros guiadorcs de la encrgía. La energía no cs unapropiedad tlel conductor y dc la carga que trans[,orta, sino del c¿impo electromagnótico qucexiste en la zona alrcdcdor dcl circuito. Es más, el flujo cncrgético no esui rclacionado¡lirecta¡nenle con la corricntc y la tcnsión sino quc depcndc tot¿¡lmcntc rlcl vcctor dcPoynting. Es ot¡a fo¡ma de recalcar que la tcoría de circuitos es un aspccto particular dclcamgr clc,:troma gnét ico.

221

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUNOS ELECTRIC0S

EJEMPI,O DI : APLrcACION 2.JI : ENER¿IA QUE TRANSPORTA UNA0N D¡ l

A partir de la expresión dc los carnpos E y ll producidos por una antcnaüpolo (2.237) dct ejemplo de aplicación 2.2ó, determimr: a) vector de Poynting instantóneolcn función dc! tienpo). I'aru cllo del¡en convertirse previamcntc los cantpos exponenciales¿n :;,:noidllcs. b) vector de Poynting meüo. c) Potencio nuüa ¡adiado pr la anteno'

NO'I'A: El vulor nrcdio de una función l(t) se dcfine por la expresión:

fral =

dc cste tn(xlo cl vcctor dc Poynting instantáneo será igual a:

. T

+ Ir(r) rrr0

tlorule'l' es el periado de la señal. La pulsación ade una señal periódica es igual a2 tlT.

SOI ,UCION

a) l.os valorcs dc los cant¡xrs son:

E = a e l q ' l - g J s s e n 0 e j ( o t - k r ) = a 6 l f f ! s e n 0 e j ( r o r ' k r + t 2 )

i k d l o u o t o r r n g e j ( r ¡ t - k ¡ + r \ lI t - a o # s e n 0 e j ( . o ¡ - k t ) = " O i n ,

quc err cl carn¡r rcal sinusoidal sc pucden considerar (omando la panc rcal de los valorcs¡nwriorcs ) dc la lirma:

t o 1 r d l ¡ k d l ot i = - r e f t f s c n 0 s c n ( o t - k r ) : l l = - " O - ¿ n , s c n 0 s c n ( o l t - k r )

s = t i x t t = ( 4 0 x , 6 l f f s e n 2 0 s e n 2 ( o t - k r )

r¡s dccir:

S = a r (T# )z sen2o

I k ,l In \2t 4 , r r J

b) El v¿¡lor dcl vcctor de Poynting scrá igual a:

{9- pk

f ' uL k

c o s 2 ( c o t - k r )Srn..l = il r

cl valor clc la intcgral cs igual u'tZ rlcbido al carricter ¡nr de la función coscno. de esrc nrodorcsulla:

222

d rsenze] + I

c) tá potencia media radiadaTéngase en cuenta quc cl dsapéndice 2 es:

y dc este mcxlo rcsulh:

P*cd = f

S..¿ ,ls, =

S

y que te nienrlo en cuenta que k = 2n[L nos da un valor:

DIVI SIONES DEL ELECTROMACNETISMO

sme,r= , , f i ( !# ¡2 sen20= at i^/Ft{f l2 sen20

por la anpna se obtiene integrando en una esfera de radio r.

*n .ootdcnadas esféricas de acuerdo con la ecuaciÓn 4.8 dcl

cl+ = N, fZ sen 0 d0 d0

+,r(#)'l

o - t \

A\{ \ }

1 . , : , 1ms

F ig . P 2 ;

Q t

+ r2seno do To*f ¿ o

Pmecr ia=f ak lo2( f l '

dontle l. es la longitutl de onda de la señal-

PROBLEMAS

2.1.- Dos pequcñas esferas conductoras, cada una dc masa m, están suspenditlas de los

crtrcinoi 4e rlos hilos aislanrcs (fig. P.2.1) dc longitud L unidos en un pu¡rto cornúlr0, Se 4c¡rosiurn cargas sobrc las csferas dc modo qucsa scparan una disuncia tl. Si l¡¡csfcra I lleva una éarga conocitla Qt . ¿Cuál será el valor de la carga Q2 colocadir

sobre la esfera 2? Nota: El me¡lio tiene una permitividad to y la aceleracién de la

gravulad cn esa zona vale g.

223

ELECTROMACNMS MO Y CIRCUITOS ELECTR ICOS

2ne6d3nr gI Rrrp. e2 =

Qr L 2 . t \ t '

2.2.

2.3.

2.4.

2.6 .

2.5.

La fig. P.2.2 muestra una distribución de carga lineal p¡ finita extcndida en eleje X desde x=a hasta x=b. Calcular el campo eléctrico en el punto P, si clrnerlio ücne ¡rcrmiüviclad eo

Fig. P.2.2

I Resp. [, = r- ft

(cos B- cos u) + ", ¡fr; (sen cr- scn fJ) J

Se üene una barra en forma de semicircunferencia de raüo R y t¡ue esd cargadacon una dcnsidad lineal pl = A scnO, donde A es una conslante, y 0 varía entfe0 y n. Calcular el campo eléctrico en el cent¡o de la semicircunferencia"

I R e s p . f , = * IUegR '

Un disco circular de radio R sc carga con una densidad superficial uniforme ps.Calcular el campo electrico sobre el eje dcl disco a una dista¡rcia z dcl centro.r P s ( rI Resp Er.=

r,o ( I

Un cilintlro hucco de longitud 2L y radio g tiene su eje de simetría a lo largodel cje z y su centro geomérico en el plano z = 0. Calcular el campo elécuicoen un punl,o situado en el ejc rJel cilindro a una distancia z de su centro. Ladcnsid¿rd de carga supcrficial es ps y la pemritividad eo .

In*rpEz=ff i(#Sc ticne un di.sco tlc pcqucño espcsor y de radio R, cargado con una densidadsul)crl'icial dc carga p, C/m2. Calcular cl potencial escalar V en un punto de lapcriferia del disco. L¿ permitividad es t.

224 225

2.'1 .-

2.8.-

2.9.

2.10 . -

2 . 1 l .

DIVISION ES DEL ELECTROTúACNETISMO

p:Er[ResP .V=

- , r , '

Un anillo circular de radio q, l leva una disuibución dc carga lineal p¡ C/tn.

Calcular el porencial elécuico cn un punto situado en el eje del anillo a

distancia z dc su centfo. [-a permitividad del medio vale e.

r . p _ t a I \ lL Resp. V =;: t- , r' 2 e G n y

Sc rlis¡rone dc una corona circular de radio intcrior "4" y exterior "b" cargilda

con una rlcnsidad su¡rcrficial de carga p, C/m2 . Caltular cl cam¡ro elcctrico

que produce la corona, cn un punto de su eje a distancia z del cenro'

Permitividad: eo.

r P s z , - l I \ ^ 1L Resp. f, , =

r* (m )az l

Se dis¡rone de una lámina de anchura d y esficsor dcspreciable quc está sittlada

en el plano X1Z, y se exirende en el eje X desdc - dn h¡rsta +dlz y cn el cje z,

descle .oo u +-, L¿l l¿iminu ticne una disuibución supcrficial rlc cargü de v¡tlor Ps

Clm2. Calcular cl carnpo eléctrico producido plr la lámina en un punto P dc

coordenalas (x,y,O).rIResp.

E-f t [ 'n+ y 2

d d

a x + ( i l r c t g 5 - a r c t s ; ) a y ) ]

( x . \ r , + y 2

^/.ry./

Una superficie cónica de altura arbit¡aria y radi-o de la base R ticne una carga

uniformemcnte disuibuída de dcnsidad ps Cl:rr'?. Dcterminar cl uabajo quc cs

nece.sario rcalitar para trasladar una carga q desdc el inllnito hasn el vórúcc de

la superficie cónica.o . R 0

I R e s p . W = T | ,

Se ticne unü disrribución de carga esférica dc radio R que prülucc un tx)tcncialcn su intcrior ( rcR ) dc la forma:

V = P - e - a r4 tt s0 r

Calcular: a) Dcnsidad voluméUica de carga Pv, apl icando l i t ccuacir in de

P¡issgn. b) Carnpo clóctr ico [ =-grad V, c) ci lrga total contct l ida cn unl lcslcril dc rulio R lplicundo: l) por intcgraciórr tlcl valor pv obtcnitlt l ctl cl

apart^üdo a): 2) tr)r cl tcorcma tlc Gauss, particndo dcl valor dcl cilrn[n clóctrico

obtcnido cn cl apartatlo b, ¿¡xlr qué nroüvo no se obticnc cl mismo rcsultatlo

Et.ECIIt()lvlAGNmSM0 Y CIRCUITOS ELECTRlCos

Jx)r iunbos prNetlim ientos'lr t b o 2 ̂ - a r . k \ " . _ . _ b ( l + a _ r )L Rcsp. a) pv =-¡ff e- a r ; b) E, =iffi c- a r ar'

4 ncgr2

c) lvfércxlo l :a - h t( l+aR)g-aR -¡1. Método2; Q = b ( l+aR)e-aR.Et método2 nos da cl rcsultatJo correclo, yü que el métotlo I no tiene en cuenn quecxisre una carga puntual en r = 0 dc valor h. Esto se dcbe a que al existir una

carga punlual en el sistema, la ecuación de Poisson no es aplicable].

En la fig. P.2.3, se muestra una carga puntual q situada frente a dos planos

conductores perpcn(licularos, conecmdos a tierra (V=0). Calcular la fuerza

clóctrica quc aparr-cc sobrc la carga. Sugercncia: Existen tres cargas imagenquc prülucen una l"uer¿il sobre la carga.

2 . t2 .

2. I 3.- En la fig.P.2.,l sc mucsra un condcnsador plano. [a placa infcrior tiene un

¡xltencial V = 0 y la superior un p<ltencial Vo. El espacio cornprendido cntre

las placas contienc una carga espacial de densidad volumétrica Pv = k z2

¡onrlc k es una co¡lsti¡nte y z, la dismncia dcsde la placa inferior. Calcul¿¡r clvak¡r ¿el potencial cn la zona comprendida enue las placas del condens¡¡dorintcgrando la ccu¿tción dc Poisson.

[ r r * * 1 , , F = i 6 f l t - { u * ( m t r y - * ) + s y t f f i ' # , } ]

R e s p ! = - * - l ( V o + H t r ]

Fig. P.2.3

726

?. t6 .

227

f DIYISIONES DEL ELECTROMAC}.{ETISMO

V=VO

. Fig. P'2'4a'

2.14.- Un condensador plano ticne uns separación entre placas de valor d'El{icléctrico es el aire y soporta anles de su peforación una tensión máximaenuc pt4cas de valor V6.-Se coloca dent¡o del condensador una lámin¡ de

materialdielé{uico de espesor tcd y constrnte dieléctrica er que se apoya en la

placa inferior y cubre ¡oda su superficie. Calcular la nueva tensión máximaque se puede aplicar al condensador antes de que sc pruluzca una nu0va

¡lerforación en el aire.

I n.rp. v = vo I r - t !l t r

2 . 1 5 . [.a fig. p.2.5 muesra la sección transversal de un condensador cilíndrico dc

longilu¿ L, radio interior I y exterior b. La rnitad del conctensador llcva ur¡

r l ic lécuico de permirividad rclat iva Er I , nl ienlras que la otra l lcva olro

tlielfut¡ico dc pernritividfld ee. Cslcular la ca¡ncidad del co¡rdcns.'ldor.

i,) l

t.

t Rcsp. C =

Fig. P.2.5

t t t t ) ( g r ¡ + t r r ) L

r n :

a) t{allar la cap¿rcidacl p'or unid¿ld dc longitud de un cable coaxial (condcnsildor

cilín¿rico) filmratlo F)r un conductor interior dc radio ¡l y otro cxtcrior dc rittlirr

l l .El aislanrc r icne una pcr¡r¡ i t iv idarl e.b) Si el dicléctr ico se suhdivit lc ctt r l t ls

Dtvl S¡ONES DEL ELECTROIvIACNETIS MoELECTROMAGNETIS MO Y CIRCUTTOS ELECTRJCOS

capas de permitividades € | y EZ,h primera comprendida entre el radio it y un

rudio intcrnredio c (acc<b) y la segunda comprendida entre c y el r¿tlio exterior

b. Calcular la capaciúld del cable resulüantc.2ne t eZ

( e r l n ? * t , l n

r ZneI Rcsp. a)

=tna : ) - - - - - - - - o ¡ r o i ñ

2 . 1 7 .

2 .18 .

2 . t9 .

2.24.-

I Rcsp. C t n b I

Se riene un condensador plano para¡clo de su¡tcrficie S y separación tl. t1lrl ielcctrico no cs homogénco y la pcrmitividad varía linealtnentc dc.sdc una

¡rlact a la otra. Si t ¡ | t2 son sus vi l lorcs en las dos placas. Ci l lcular la

c:lplrcid¿td tlel corldcns¿¡dor fonnatlo.

r . S ( e z - e r ) lL Rcsp. Q = -=- J

d l n ' LE ¡

Se tiene un condensador cilíndrico, formado por dos conductores concéntricostle radios Rl y R2, somet¡dos a una d.d.p.V. Entre amhs conductores se

rtispone de un aislante dc rigidez dieléctrica Ec. 8) Dctcrminar el valor mínimo

del radio exterior R2 quc hace que el camg) en el interior no supere el valor de

la rigirlez dieléctrica Ec . b) Calcular el valor óptimo cle Rt Quc hace mínimo

cl radio exErior,V V r

I Resp. a) Re = Rl exp (ffi ) ; b) Rr = ü |

Calcul¿rr la capacidad dcl condensador mosrado en la fig. P"2.6, formado portlo"s placas planas que forman un ¿ingulo a enue sí. Las placas ticnen unaprofuntlidad L y la pcrmiüvidad del dielécuico es t.

Fig. P.2.6

Fig. P.2.7

[n*rp. B = 2,06.l0-5 Teslas pcrpendicular y entrante al

Un hilo conductor en forma de polígono regular dc n lados, esl¿i inscrito cn

una circunferencia dc radio 0 Calcular el valor de la inducción en el ccntro dc

la circunferencia, sicndo I la corriente que ci¡cula por el conduclor'

r P o l n . - r r lt R e s p . $ = f f i , 8 n J

Calcular la inducción en el punto P de la espira rectangular de la fig. P.2.tl.

Fig. P.2.8

plano de la péginaJ

2.21.

2.22.

[n* rp .g=# tTLCT

Dctcrmin¡r el valor dc la inducciónP.2.7, si cl radio a es igual a 5 cm.

En cl circuito dc la l ' ig. P.2.9 sigue los arcos y cucrdas de una circunlcrcnciade radio a tnetros. Calcular el valor de B en el centro 0 de la circunfercncia,cuando la conicntc cs I.

Pr r r o l

I¡II

2?8

B cn cl punto M t lcl circuito de la [ ig.2.23.

229

E LEC'IROMACNETIS MO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

F i g . P . 2 . 9

r ttolI n . , p T ( ] + I ) l

Calcular el cam¡ro magnético B que crea la espira recungular de la lig. P.2.10cn cl cenlro tle crxrrtle¡ndas 0, sicndo I la conienlc que llcva la cspira

F ig . P .2 .10

DTVISIONES DEL ELECTROMACNMSMO

t -

p-

I

I I LL --#

r lI

2.24 .

2.25.

2.26.-

F ig. P.2.1 I

r - P o l - ^ . - q . n / ^ \ - P o l . - o 1I R.rp. B(P)=ffi to,g] ; B(Q)= # ts; J

La [ig. P.2.12 muestra dos bobinas o carretes de Helmholu que se util izan

con frecucncia para disponer de una región accesible en el espacio tlondc se

requiere un cam[xl magnéúco esencialmentc uniforme. Esto se logra hacicndoque el radio de las bobinas coincida con la separación entre las mismi¡s.

Calcular: a) Inducción en el punto P a disrancia x del origen y en el cje dc

las btlbinas b)lnducción en el origen. c)Denrosrar que la inducción calculada

en a) cumple las siguientes igualdades en x = 0.

I n*rp. By=#

gL _,l2urr - nü

- dxZ

- r '

l d = a l

-

F i g . P . 2 . l 2y 1 + ( ) 2 + ( ! , '

Calcular la induccirin c¡r kls pu¡ltos P y Q que produce el conductor qtrcbrado

tlc la fig. P.2.1 I t¡uc llcv¿t ttl l¿l cofricnte de I amfrer¡os.

23023r

La fig, P.2.13 mucstra un hilo que uansporu una corriente I y que tiene laforma de una espiral logarítmica d¿rda por la ecuación en coordenadas ¡xllares:

P = a s ' 0 / n

Calcular el valor de la inducción en el origen 0.

Fig. P.2.13

[Resp.B-#pcrpend ic r r |¿ r rysa | ienrea |p |anode lapág ina |

DIVISION Ls DEL ELECTIIO¡ytAGNEflSMO

T-

Fig, P.2.14

I nrrp. a) B = #

(cos o¡- cos a);b) B(P)

Un disco circular dclgado dc nadio A de materid dielóctrico, est¿í cargado con una

densitlad de carga su¡rcrficial uniforme pr. El disco gira alrcdedor de un eje

perpendicular a su plano y que pasa por el ccntro de un disco a velocidatl

ungutar rr¡. Calcul¿u el valór úe h intlucciórr que se tiene en cl eje dcl di.sco a

un; distancia z dcl plano del mismo (disco de Rowland)'

t Resp.g=r ry tg (# '2 , ) )

Una esfera de raclio R tiene una carga Q distribuída uniformemente [X]r su

superficie. La esl'cra gira en torno a su di¿imeuo con una velocidad angular

constante o.a) Calcular la inducción magnética B en cl ccntro tle la csfcra. b)

Conresmr a la pregunb anterior si la carga Q se distribuyc unifornlemcnte cn el

volumen de la esfera.

r . f g . o Q . k \ t t o P - . 9 . ¡

L R e s p . $ = 6 , E R , b ) 4 , r R J

Una esfcra dc radio R tiene una carga Q distribuítla unifonncmcntc cn todo su

volumen El hemisferio superior gira en tomo a su cjc tle sintctría con una

velocida{ angular constante o}1 rad/s., micnuas que el otro gira en scntitlo

conrrurio con vclocidad angular o¿ ratl/s. Calcular: a) inducción B cn cl centru

tle la csfera compucsul. b) ¿qué partc dc la carga Q es neccsilrio distritluirunifgrmcmente tl'cnuo del lrcmisfcrio superior y qué parte en el hcntislcritlinfcrior para que B sca igual I ccro cn cl centfo tle la esfcra.

F o Q , \ , \ , . \ Q t ' l z -Resp. g = i# - (o r r - rD2 ) ; b ) Qr =

r , * 12 tez =;,11ir- l

Una su¡rcrf icie cónica (x2 + y2 = 12: 0 S z S lr) cargada uniformemente con

tfensidad supcrf icial ps ClnZ gira en torno a su cjc t lc simetría con un¿t

velocitlad angglar constante ol radls. Calcular la inducción magnética ll cn el

vdrticc tle la supcrl'icie cónica.

ELEC'TROMAGFTETIS MO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

I Rcsp. a) B*= t$ ,

I u 2, a+ (

2 - *

, ' ¿+ ( 2 * x ) Z f l z t , a 2 ) z ¡ 3 l 2

b) Bx- -9-ugl-ufizs

b

2.27.

B(e)=$l

2.29.

2.3A.

2.31.

2.28.- Se tiene una solcnoide de longitud b y radio a (fig. P.2.la), que llcva unnrimcro de espiras N uniformemcntc dist¡ibuíüs que uansponan una corricnletlc I amperios. a) Calcular B en cl punto M. b) Si se consirlcra un solenoidelnrgo, cs decir b>>a, tlctcrminar B en cl ccntro tlcl solenoitlc (punto P) y en elccntro de una cara (punto Q)

r32

2.32.

233

,,.ü*utooNmsMo y .TRCUITGS ELEcrRJcos

r - l t o P t o l t 1I R c s p . B = 4 r

2.33.- Sobre un ronco dc cono dc bascs circular de radios b y bl2 y altura a/2, sedisponc un arrollamiento uniforme de N cspiras por unidad de longitud(¡ncdidas sr¡brc cl eje del tronco de cono). recorrido F)r una corriente de Iarnlnrirx, Estc uonco do cono pailcncc€ g un cono ¡lc altura g y tnsc citcular deradio [. Calcular la inducción B en el vénice del cotto.

t Resp. B = l r o N l a b 2 l ¡ 2

2.34 .

2 .35 .

I nrrp.

2 ( a 2 + 5 2 ¡ 3 1 2

Dcrerminar el cocficiente de inducción mutua entre los circuitos mosuados enla fig.P,2.l5. El conductor I es infinitamentc largo y l leva una coffiente de Iam¡rcrios.

o

M = *

Fig . P .2 . l5

r r o I t . r + b ) ' ' g # - b ] ]

En la l ig. P.2. 16 sc muc.stra un disco conductor de radio r que gira a unavclocitlad angular tr¡ r¡td/s, dcntro de un campo magnético uniforme, perovariable con rcspccto al tiempo y de inducción Brcos o2t que es paralclo al

eje del t t isco y con el sentido indicado. Por medio de unas escobil lasconecndas al eje dcl disco y al extremo del radio del mismo, se conecn unvoltímctro que forma una espira recmngular de lados r y h. Calcul¿u la lectura"inslanuinc¿I" (en función dcl tiempo) tlel voltÍ¡netro cuando la cspira que élforrna esuí: I ) en un plano paralclo al eje, 2) en el plano rJel disco. NOTA: Elcanrpo magnérico auavicsa también la zona del espacio alrededor del disco, cnpaflicular la espira reclangular tlel monutje 2).

?34

I n.rp. a) M h : t m ' c o s . u t l

235

II¡u1

't

DIvl St DN ES DE[. EI-ECTROI\{AGNEflSMO

Fig. P.2.16

. to 12 B- ot r2B- 1

I n.rp. a) *:r coS {rt2 t ; b) trlz r h Br sen o2 r +}3 cos t,tr t I

2.36.- Un roro¡,lrlt, ¡rcrmeabilidad ¡r (fig. P'2.17) tienc N espiras arrolladas atrertedor

del mismo. Por el centro y en et éje dcl toroide sc tiene un con¡luctor dc gralt

longitutl que lleva una'coniente alterna il = It sen ort' calcular: a)

Cocficientc <te inducción mutua enue ambos circuitos. b) F.e'm' inducid¡ en la

bobina de N esPÚas.

F ig P .2 .17

e = - N * i¿ I t

=Nt t * h? ; b )

ELECTROMACNMSMO Y CIRCIJITOS ELECTRICOS

¿.37.- Unn barra conductora. rucda sobre unas gufas mctálicas quc f<rmtan un planoinclinrrJo rlc a grarlos (fig. P.2.ltl), a una velocidad dc x m/s. Las guías csuánscpararlas una distanci¡ dc b met¡os. Existe un campo magnético variable en ladirccción dcl eje z con uns inducción: B = oz Bm y sen tot Teslas ¿ Cuál sc¡ála lcctura instrnúnea del voltímero conectado enuc las guÍas mel¿ilicas cuandola ban-¿ pase Por el Plano x = a ?

x . s e n 4

2.38 .

Fig. P.2. l8

I R e s p . e - - t * # ( c o s a s c n o ] t + ü , c o s o t ) l

La fig. P.2.19 muestra una espira rechngular de dimensiones b x h. Existcndos conductores dc longitud inf inita paralelos al lado h de la espira. Elconductor I l leva una corrientc alterna il = Ig sen olt, el conductor 2lleva una

conicnte continua de 12 amperios. Calcular la f.e.m. inducida en la espira en

los casos siguicntcs: a) El conductor I está fijo y el conductor 2 se mueve avclocidad V = 8x v.b) El conductor 2 está trjo y el conductor I sc nlucve a

vclo,citla(l V= - tx v.

NO'|A: Las cotas scñalatlas rcprcscnlnn las posiciones en el tiernpo t = 0.

= Iosens t

236

F ig . P .2 .19

237

2.39.

2.40.-

DIVI SIONES DEL ELECTROMACNENS MO

I R e s p . a ) e = ' * t l o 0 c o s . o r t r * + t 2 v b f f i

b ) e = - H I I o o c o s o t t h # + I s s e n o t h . r , ) I

Se üene un potcncial vector magnéüco en el vacio de la forma:

d = a¿ l0 '7 cos 6x cos 8z cos tot

Teniendo en cuenfa que en el vacío se tiene Pv = 0, J = Q. Det'erminar: a)

ecuación de onda homogénea para el potencial vector; b) pulsación (0 crl

ratlianes/seg; d) campo eléctrico E y carnpo magnético H; tl) Potcncial escaler

V .

I Resp. a) v2Ar=[r0t r . * ] ; v2Az = ' l f f i Ar .= to2 po eo Ar i

b) c*12 lr,O eO = 100; ü)= 3. 109 rad/s; c) It = rot A =r lI = 8y A,477 scnf¡x

cos 8z cos t; E = ax 144 sen6x senS¿ sent * az 108 cos6x cosSz scnt;d) V =

24 cos6x senSz scn trlt J

En una región del espacio dc parámetros €s, po, s€ tienen unos campos

electromagnéticos esráticos E,D,B y lI. Se conocen los potenciales cscalaresy vectoriales si guientes:

Potencial escalarelectrosÉrico: V =e-Icosx +zZ voltios

Potencial vector magnético: d = Nx Y - ay x - Nz senz e-xy Wb/nt

Calcular: a) Campos B y B ; b) comprobar que estos catnpos obcdccen la.s

ccuaciones de Maxwcll esuiticas; c) calcular las tlcnsitladcs tlc cuga vclluntótricay densidad tle coniente de conducción tl) dcterminar cl tlujo magnético t¡ttc

auaviesa la superficic del círculo: ̂ 2 + yZ = 4 ; z- 0.

[ n . r p . a ) E = o x e - Y s e n x +$ = 8 x x e - x Y s e n z

b ) r o t E - 0 ; d i v B = 0 ;

c ) p v = - 2 e 0 , ¡ = #

d) o '." - 8tt. ]

a y c - Y c o s x - a r L z |

+ fly.y e- xÍ senx7. - 'rlz2;

( "* y cosz * ay x co.s?. * n¿ (*2 * yz ) scnz

t) BroT,

2) BRAUN,

3) FARADAY,

ELECTROMACNET]SNIO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

B I O G R A F I A S

Jcan Baptistc (1774-1862). Ast¡ónoffio, malcmático químico y físicofrancés. Estudió en la Politécnica,. Bajo la protección de Laplaccobtuvo el puesto d,e profesor de física en el Collége de France (1800).En l8(X en compañía tle Gay-Lussac, hizo la prinrera ascensión englobo rlc carácter verdaderamente científico pora estutliar la partesuprior de la atmósfera. Miembro del Bureau des longitudes. Viaj(rcon Arago a España para medir el arco dcl meridiano de Paris, desdcDunquerque a Barcelona. Hizo estudios en magnetismo, pero sustrabajos más impornntes se refieren a la luz polarizada,

Karl Ferdinand (1850-1918). Físico alemán. Estudió matemáticas y

física en Marburgo y Berlín. En 1885 obtuvo la cátedra de físicaexperimenul en Tubinga donde dirigió rrn nucvo Instituto de física. En1895 pasó a Estraburgo para hacerse cargo de la misma cátedra.Demosuó que en la cadcna galvánica, la energía química no se

rünslorma toüalmente en elécuica. Hizo nombles uabajos sobreexcepciones a la ley de Ohm en conductores metálicos. Descubrió en1897 el tubo de rayos catülicos. A partir de 1898 se derlicó al estudiode la tele¡¡rafía sin hilos (radio), dcsanirllando circuitos oscilanEs que

hicieron posible la transmisión a gron tlisnncia. Premio Nobel deFísica e n 1900, que cornpartió con Marconi.

Michael (1791-1867). Físico y químico inglés. Hi jo de un herrero,clesde los uece años trabajó como encuadernador, lo que lc pernritióleer tot los kls l ibros que e snban a su alcance. En l8l2 tuvo la

o[nrtunidad de asistir a las confcrenci¡ts de Humphry Davy en la RoyalInst i tut ion . El joven Faraday tomó notas que r lespués dctal ló

cuidatlosamentc con diagramas en color y se las mandó a Banks,prcsidcnte tlc la Royal Society , esperando obtener un cmplco que lepermitiera rcner un conlÍlcn más íntimo con la ciencia. como no tuvo

contcsmción le mandó al mismo Davy oras not¿ts con la ¡retición dequc lc no¡nbrase su ayudante. A Davy esto le impresionó rnucho,Li lnro por la at lulacit in implíci ta t lel gesto como por la evidentehatril idad dcl jovcn, y aunque tle inmediato no le complació, cuandoruvo la primera oportunidad le ofreció un puesto, del cual tomóposesión Furaday cn 1813, a la edad de veintidós años, con un sueldonlcnor quc cl quc había esu¡do percibientto como encuadernador. Cusiinlncdianmentc Davy dejó Inglaterra para hacer su gran viaje por

E,uropa llcvúnclose il l jovcn como sccretario y criado. Esto dio nrotivo

de t¡ue h señora Davy lo trat¿se con tlcsprccio, cosa que su ffiarido,p¿lra dccrédito suyo, no cvitó, y quc Flraday soportó con humildad.

238

6) LENZ,

23e

4) HENRY,

5) ilERTz,

DIVI SIONFS DgL ELECTROMA(]NEI"IShTO

Faraday probó ser más quc rncrccetlor de su macstro; virtualtnc¡rtc

vivía en -y

para cl laboratorio, no tcnicndo entonces, ni más tartle,

colaboratiorcs o ayudantesi nlostriindose Davy amargado y rcscntitlrt

cuu¡lo comprobó que su protcgido ñnalmcntc lc eclipsaría, sobre tt¡dtt

cuando F¿railay scf,aló algunos defecto$ cn su i¡rvento, la lúnpara tle

seguriclad (andgrisú) usada por los mineros. É1, una vez aprcntliz tte

encuatlernador, llcgó a scr dircctor del laboratorio cn 1825 y en l8l3

profesor r le quÍmica cn cl Royal I nst i tut ion Fue uno dc los

iientít'icos más importanres dc su épclca y frocos.hombrcs sc lc ltatl¡¿irt

po6iclo igualar en el número y consecuencias prict icas t lc sl¡s

descubrimientos científicos. En química ideó métodos para licuur

gases, descubrió et bence¡ro (1825) y la electról isis (1833). Faratlay

ácunó los no¡nbre rJe elecrólito y electrodos: ánodo y cótotlo. En físicu

descubr ió en 1832 c l pr inc ip io dc la inducción magnót ica,

descubrimienro que cas¡ al mismo l iern¡ro c independientcrnente

cfectuó cl Físico norteanlericano llenry. Su tcoría de las líncas de

fucrz¿r no se to¡nó muy en scrio al principio ( la publicti en ltt44) l)crocuando Maxwell sc ocupó dcl elecuonlagnetismo basá¡rdose crl lt ls

hcchos con precisión matemática, iría a descmbocar en los misnltls

resultados que Faratlay había planteado con simplcs palabras (Furarlity

desco¡rocía por completo el c¿ilculo rnal,emático pero teníi¡ una enot¡ltc

habili¿ad en el latrorarorio). Estudió el magnetismo dc las alcacioncs

de hierro, y otros cuerpos (diamagneüsmo y paramagnelisrno).

Joseph (1797-1878). Físico norleamericano. Su vicla es paralela en

mucúos aspecros a la de Faraday. De familia humildc, a los trccc aikl.s

fue apren¿iz. dc relojero. Paganclo su propia instrucción, cstrtdiri ett lrt

Albairy Acadc¡ny, ón la quc fue prolbsor dc cicncias dcstlc l t t2ó.

Interesatlo por los ex¡rcrinrenros de Oersted, descubriri el princi¡lio tlc

inducción rnagnética a la vez (lu€ F'rraday. Co¡tstruyri elcctroil¡rarlus,analiza¡rtto cl l 'cnónreno de autoinducción. lnvc¡rtó un rchl ehlctric() tJl¡

1835 y rambién el relégralo, aunquc fue Morse cn 1840 t¡uicn.lo pusrr

er, ptáctica con su alfábcro. En I tt46 fuc nombratlo secrcl¿trirl t lu lrr

tnsiirución Srnithsonian, fomentando el aurttcnto dc nusvas cic¡tci¿¡s

como la metercología.

Heinr ich Rur lo l f (1857-1894). Fís ico a lemán. In ic ié estudios t lc

ingeniería (18?5) pero los dejó por la f ísica (1875). Fue alut¡tr¡o dc

tf ólnrholn y Kirclrhoff. Catetlrát ico de física en Karlruhc ( l t t t t5).

Trabajando con un circuito osci lante descubrió la cxistcncia t lc las

on6af c lccrromagnót icas ( l8 t t8) que había prcr lec i t lo Maxwcl l ,

culminundo con etto la rcoría clectromagnética t le la luz. En l l l ¡ l t ) ,

succtlió a Clausius como catcdr¿itico tle física cn Bonn, raba¡antltl c¡t

rayos cato{l icos. Dcbido a un cnvcncnamicnto crónico de la surtgre

murió antes de cumplir los treinta y sicte años.

l{einrich Friedich Emil (1S04-1865). Físico ruso. Estut l iÓ tctt logíi t ,

ciencias naturalcs y f ísica. Catcdrático cn San Petcrsl lurgo, l t l r- :

preccptor ttc los hijos dcl zar Nicolás I y murió tlurante un viil jc it

7) LORENIZ,

8) N,IAIICONI,

9) 0ERSTED,

t0) P0lssoN,

E LECTRONIACN E-NS NIO Y CIRCUÍTOS ELECTR ICOS

lurli¡. Sc lc tlcbc la lcy quc llcva su nombre conrpletantto tlc este tl lotlo

cl ¡lrinci¡lio dc intlucción tlc Faraday.Escribió un excelcnte lv'lanuill de

l:ísica cn 1864.

l {en¿r ik Anton (1853-1928) . F ís ico ho landés. Es tud i í r en la

Universidad de Leiden, ¡nás Hrde, en 1875, obtuvo la cátctlra de física

tcórica, puesto que conservó hasta su muerte. En 1875 cn su prirncr

rrabajo: sobre la reflexión y refracción de la luz , discute diversas

rcorías de la óptica, intentando unir la física clásica con las nucvas

rcorías tle Maxwell de radiación electromagnética. En ltt95, a¡ll ica las

ccuaciones de Maxwcll a cuerpos en rnovimiento, añadierrtlo n las

ccuaciones fundamenules, la dcnominada ecuación de la fuerza cle

Lorcntz. Estudió la influencia de un canl[n magnético sobre la luz con

su rtiscípulo Zeeman, recibicndo ambos en 1902 el prcnrio Nobcl clc

Física. Analiz6 el experimento de Michelson y Morlcy y propusojunto con Fitzgeratd que los cuerpos sufren una contr¿lccidn en una

itirección paralcla a su velmidad (conuacción de LorentT.). Esta tesisfue arnplíada en 1905 por Einstein en $u teoría espec ial de la

relatividad,

Gugl ic lmo ( 1874- 1937). Ingeniero e léctr ico i ta l iano. De fami l ia

acornodada, fue cducado privadamenie sin matricularsc oficialmcnte en

ninguna Univcrsidad. Hacia 1895. tuvo la idca tle qtre se ¡xxlían util iznr

las onrtas clectrolnagnéticas evidenciadas F)r Hertz para hacer telegral'ía

sin hilos. En 189? esubleció una transmisión porencima tlel Canal dc

la Mancha y después oua sobre el Atlántico en 1902, contradicicntlo

asf fas previsiones pesimistas sobre las posibilidades dc dctccción de

ondas rat l ioeléctr icas a miles de ki lómetros. En 1909 Marconi

comparüó el Premio Nobel dc Física con Braun.

Hans Cr isr ian (1777 -185 I ) . Fís ico danés. Estudió f ís ica en la

Universitlad de Copcnhague, viajó por toda Europa y en l tt06 ftrc

nornbrado cateüático dc física y química dc su propia Universitlad. En

Itt20 tfurante una explicación prácüca en cfase, se le ocunió tender un

hilo por el que circulaba una corriente eléctrica por encima de una

u¡guja imantada y ¡nralelamente a su dirección, observando que la agujase desviaba ) .re puruba en una dirección perpendicular al hilo . Sein ic iaba con el lo e l c lccuomagnct ismo. Estos expcr imcnt t ls sepublicaron cn latín el 2l dc Jul io de 1820 en Co¡rcnhague y se diópublicidutl cn torla Europa. Fuc sin embargo Arnpére cl que duría un¿tcxplicacirin cuilntilativa de estos fenómenos dos meses más üanle, en la

Acudemia tlc Cicncias dc París.

Sirneon Dionise ( I 781 - I t t40). Matemático, f ísico y astrónornofrancós. Con aptitudcs excc[rcionalcs para la.s rnatenráticas, ingresti ctln

diccisictc años en la Escucla Politécnica, tlonde sus progcsos cilusaronla ldrniración tle Lagrilnge. Antes de cumplir los vcinticuatro añosgrrró la Cátedra dc ln¿íl isis y mecánica cn la Pol i tócnica ( l805).

Prcsidcntc dcl Bureuu de Longitucles . Se lc puetlc coltsidcrar colllo

r l) POPOV,

DTVIS IONES DEL ELECTROÑI"AGN ETl S MO

uno dc los Funclat lores dc la f ís ica matcmát ica. Ct lnt r i l l t t l ' t i

enornlcmcnre al dcsarrollo de la tcoría dcl potencial elúctrictl. Putrlit:t i

tambión Ensayos sobre maSnetismo .

Alexander Stepanovich (1859- 1905). Físico ruso. Esutlió rnntem¿itit:as

en la Universiilad tle San Perersburgo (1883). Rcconoció cnscgt¡itln h

importancia del dcscubrimicnto de las ondas elcctronragnéticas por

Hertz y empe zó aestudiar métodos para su rccelrción a larga tlistanciit

un año üntes de que lo hicicra Marconi. Fue cl primcro (lue tlt i l izti ulta

antena rcceptora y realizó intentos de uasmisión, pcro cl óxitrl rcltl l<l

obtuvo Marconi empleando el conccpto de ¿lntcnl ttc Po¡xlv co¡tlo

sisrcma, ro sélamentó dc reccpción sino tiambión dc cmisión.

John Henry (1852-1914). Físico y matcmático inglés. Sc grntlut i cn

l876 en el Triniry College de Cambridge. Trabajó durattte un aiio ctr cl

l¿borarorio de iavendilh bajo la dirección de Moxwell. En 1880 frrc

contratatlo conlo catectrático de Física en el lvfason Collcgc tlc

Birnringhan, puesto en el que frcrmaneció toda su vida. f:ellt lw tlc l l

Royal íocicty ( lBBl) y vicepresident! de, la misma (1910). Escribió crt

coláboración tle J.J.-Tirornson varios libros de tcxto tlc FÍsica. Putllicri

numerosos artículos en el Philosophical Transactions sobrc tcorías

eléctricas, gravitación y radiacidn, presitin dc la luz, ratliación .solar,

etc. Su publicación más im¡rorurnte y que le tl ió mayor notorictllt l sc

reficre a la transferencia dc energía en el canrpo electrornagnútictr

(lBB4), definienclo el concepto de vector de Poynting y dctcrnritrantlo la

expresión dc la energía raüada por un carnpo elccuotnagnctictt.

Henri (1859-1928). Ingeniero e industrial luxemburgés. Estutlit i cn l¿t

Escuela Poli técnica tte Bruselas (1884). En 1885 arnpl ió cstudios cnparís bajo la dirección dc Marccl Deprez. Dotado tlc grantlcs cualittades

para loi rrabajos prácticos, Interesado por cl dcscubritnicnto tlel

icu*ulador pór Castón Planté, construyó un nucvo protot ipo qt lc

empleaba una placa rlc plomo puro para formar el ittodo, ltl quc

repiesentó una excelente idea, ya que mejoraba la duracitin y cl

rendimiento del acu¡nulador unido a un bajo mantcnint icnto. Esttr

explica que su patcnte frances.lr 179393 de novicrnbre dc ltlSfi.stlbre un

acumulador con electrodos pcrfeccionaclos fuera i¡tmetliatanrcótc

exportada a todos los paÍscs. Fundó la Ernpresa quc llcv¿t su notnbrc y

que sc tlcdicó ( y sc dctlica) a la construcción tle acunttll¿ttlorcs,

l2) POYNTINC,

t3) TUDOR,

TTF , } 'T iR I iNCTAS

D. CflENC, Ficld and Wavc Elccrrornagnctics. AddisonWeslcy Pub. Rr-'¿ltl irtg, fr' lass,

l 983.DELLA TORRE, C.V. LONGO, Tlrc Elcctromagnctic Ficld. Rotlcrt E. Krir 'gct I 'ub.

Co. lvlalabar, Florida, 1969, ,

r)

2)

240 241

ELECTROIVIACNEIISM0 Y CIRCUII OS ELEL-TRICOS

3) C.l. l. DURNEY, C.C. JOI|NSON. Introtluction to Motlem Elccuotnagnctics. Mac(iraw Il i l l l look Co., New York' 1973.

J) l{.s. Et-LloT, Elcctronrugrrcrics. Mc Graw llill Book. co. Ncw York, 1966.Si t!t. FANO. L.'f. CHU, R.P. ADLER, Electromagnctic Fields, Encrgy aml Forccs. J.

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Volumc l. Bult€rworth. Lon¡lon 1969'8) I:. GARDIOI-, Trairé rl'Elccuicité. vol. lll: Elccuomagnétismc. Etlitions Georgi

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2,12

CAPTTUL,O

INI ' I IODUCCION A LA' I 'EORIA 3DTi I,OSCIRCUITOS II,LICTIIICOS

3. I IN 'T ITODUCCTON

se han estudiado en los capítulos anteriores, las ecuaciones de

Maxwell; se lrn visfo tlue ellas explicarr'los fenó¡nenos electrotnagnéticos, de

nc¡erdo con los canrpos que prodtrcen las distribuciones de carga y dc t:tl-

rrie ¡tte.

Generalnte¡¡te cn el cilmpo de h Elcct¡otecnia, el interés tlel

estu{io, no reside tünto en el an:ílisis ile loS campos, sino en la relaciól entrc

tenSioneS y corrienteS, El concepto de circuito, filvorece es¡a reloclon' (1uc

nimtite caicular adenrás, si se desea, la energía, potencia, etc' Los conceptos

ile la teoría {e circuilos, que se introducen en este capitulo y.slgutcntes' se

iiin,i*n"utun en los mismbs heclros experimentales blsicos,que las ecuaciortes¡; i\4Ñ;ii; i in ernt argo, el circuito incluye aproxintaciones quo no está¡t

comf¡rendidas en el conCepto gencral de la ieorfa del campo. Lo aproxlnracloll;;;;ü;;-;;i i i "ituJio

'¿" ior circuitos, es la consideración cle cariíc¡er

"iir'ii.t*¡"nario de las corrientes t¡ue lo rccorrcn' que conlo yn se indicó cn

.i "unfirln ¡ulterior, significa que las tlintensiones del circuito, son pet¡tteiÍas

;,t-";;ñir;óon la'torigirud dé onrta de l¡s señales que lo recoffen o t¡: otrn

lbnna, la perturbnción se propagn en el circuito instantúneunrcnte.

tlisrórican¡ente, ln teoría de los circuitos eléctricos, que inicial-

¡nente recibió el noutbre de electrocinéticn, se dcsnrrolló como tln ci¡¡rlpo

i',,riil"ir¿i,rio if" f u teoría electronragnélica. Las bases de esta rama de h in-

uenitría elécrrica. se erlcuen¡ran en fas leyes tle Ohrn (ver epígraf'c-2'2'3) y

i.ti in.i ¿" r¡rchhoif (ver epígrafes 1.3 y.2.4), y fu.eron aplicados.inicial¡nc¡tten circuitos recorridos poi Jorrientes eitncioilarias que no variab¡¡n con el

i¡rr¡¡,o, lo cuul ern lógico sttponer debido a que los rinicos generadores de

ti,"riu ét.tttomot¡iz exjstentei era¡¡ de corrienté conlinua, como las pilas eléc-

tricas. M¡is larde con el desanollo de la conienle üllerna, a base de generntlo-

res clcctrot¡lec¡inicos, se disprtso de fi¡entes de f.e.nr. cuya magniiud ern ttnaf¡nciOn sinr¡soid¡l del rienrpo. Estas vnriaciones attment¡ron In cornp_lcjirlrrddcl estudig 4c los circuitos eléctricos, yn que npurecicrott ¡rucvo$ R.tnó¡¡lc¡tos,fu.lintio que incluir e¡l l¡rs ccuncionós biísic¡is. Tral¡intJose de cotricttlcs y

243

ELECIROMACNETIS[.I0 \' CIITCUTI'OS ELLC-TRICOS

tcr¡siorrcs cuyit vnriitción con el tienrpo cril lenla, se putlo realizar una itdaptl-cio¡ ¡lc las léyes de Ohnl y Kirchhoff, crnpleartdo ditgrtmas.vectoriales e i¡t-clrrycrrdo el i:i lculo con números conrplejos, (lue se denominó inicial¡nente"¡uéttxlo sirnbólico".

¿Pero que es un circuíto eléctrico? Un cirqui¡o I red eléctrica esu n co nj un to.'rle _e le mcn tos contl¡i nados tlq r r¡! fo¡Ii¡luñiñi; l C-poiib il i tlad de(lue se orrsrne una corriente'étiótrica, Exisien'unoi elerúenrós deriominados¿icl i vos o ianrbién' f'uentcs o gcneradoréi-{üe' sunrinistran'energía bléctricu"yorros ele¡nentos denol¡rinartos pasivos, qué disipan o alntacenan este tipo deenergín. Pode¡¡ros simbolizar un circuito eléctrico-por el. bloque dr: fti figl 3. I,que istú some riclo a unos estírnu-lgs.d-e.-qürilla.d9.¡o-1¡i¡,¡¡dqp-g¡t*ilgg.isne¡tdcbitlas ¡r la acción de las fuenteS,.pr!gi.n.an$o..Unasr,cspr¡c¡las9.n.el.circuito,que.sorl,la.q.lensipnp{ys-q..frie-$eg-que-aBa¡-e¡;enenlnred.

mExcrr^sx)r, -{ ei¿"*,-,1o l---* ¡gFIgggI¡r - r y . c d .

I

E r s ( j r ¡ t _ " J

Fig. 3.1

En el estudio de los circui¡os, existen dos ramas bien determina-ctas; una se denonrina el anólisi¡JeJEks, tlug.ll3t4..de,palqulat. la. res-puesta,.conecidosJ¡r¿xcitación-y-el oircuito."y.otra.da"origqn q.la sínleSis deie{Cs oue.trata de deterntinar el tipo dc circuito, cuando se con(rce la excita'ói,in y'ía rysprlqqtil..Ednuesirocurso,'sólo'selratarríeIA$liti:-.lgjgslgliituluello, es necesario representar un sistema físico por un ¡.tg*ilelo éléctrico equi-valente y consiste en aplicar posteriormente diversos teciiéinaS, que en generalutilizan como base las leyes de Kirchltoff.

Según la naturaleza de la función de excitación, se obtienen diver-sos capítulos interesanles en el esturlio de los circuilos eléctricos. Si estatuncióir es invariante en el tiempo se obtienen.lql..gif"pUitgs.excitados concorricnle ió¡rtíriüa

'(C.c.); qi-tt .fqnglpn e;ciiaqiór.t |,1's.!¡roi{al, se .obtienen,

los circr¡ i tos exci lados co¡ i corr iente al ter¡a-senoidal (c.a), que son<lc glan irnportaiiiirri'ya r¡ue'eJr h ptlptigu.-Iu.-c..il"s.enpidil.es..!q Qa.;é $q la. g9-rrcración, uunstbrmación y distribución de ll energía eléctricl. En estc cnpítulose expondrilrr'conbepios géniirnlés'de'lii'teorfl"dé'Cirii¡itoS;'v'dl¡dos para c.c. yc.t., i in cmbargo loi ejernplos trala<Jos, se realizan con fi¡entes invariantes encl ticmpo, pilril que el lector puecla aplicar inmediatamente y de unu fonnascrrcilla los-teoremls formulados sin la complejidad apnrente que conlleva alprincipio la c.it., (cuyo estudio particular se realiza e n el capítulo 4).

244

INIRODUCCION A tA,I.EORIA DE I¡S CIRCU¡'¡US üLLCI RICOS

La representación matemiítica del.comportanliento de un circuilohace uso dc ecuaiioncs tliterencialcs, cuya ¡olggifir cotnpleta contprendc. tlosDurtes:unoqueestasoluc iónt le ls is ten lahontogéneb' t ¡ ¡eseder lo l ¡ l l ¡ l i t res-'fi;:;;;rñ¡

lp.upia del circuito y que es iñdependientg^rlel ti¡to tle ex-[irrriOn'i "rtu qúd.t ia solución partii:uíar de la ecúación rlifcrencial'-qtre serlenornini respi¡eqta forz4{a y 1¡ue depende del tipo.de excitación' En cir-cuitos pasiv'ós-que contengan resislencias, la respuésta-naturul debe ser llece-il;;r[;i¿ ;;.,éñi g*Jo, íiniendo car¡tcterizada por ténni nos e x ponenc i alesá..ñ.ünr.t; ¡nieñtras que estl respuesta no sea-despreci¡ble se.tlice que elcircuito funciona en régimen transitorio y cuando al cabo.de un clertotiemuo est¡ respuesta ¡iende a Cero' se dicc que el circuito lullc¡ona en reSl-;ür';;;*.ñelrte. En lo que sigue.se supóne que el tiempo.transcurridodesde'que se conect¡lron las excitacioncs al circuito es lo sutic¡enleltlenlesrande'pura que los térnlinos transitorios no influyan_en la respuest¡t es decir;;ü;; ffi; ü;;;i"¿¡o ¿.t réginren permanente d-el circuito, En el capíttrlo 6i" firr¡ t¡n istr¡clio específico?el conrportanriento tr¡nsito¡io de los circuitosil¿iiii"ó. "iiiu Uas" maternií¡ica se npbya en el concepto de transfomruda tle[.rrplace.

3.2 VARTARI. ,ES QUB INTETTVIBNEN BN BT, ESTUDIO DB; ' ; * ' lob ctncui ' ros ELEcrRICos. coNvENIo DB

S I G N O S .

Las principales variables que intervienen en el estudio de loscircuitos eléctricos sbn: coniente, ténsión y potencia. Est¡¡s varinblessustituyen a los campos electromagnéticos gue ¡qar9q$n en los tlos citpítulosanteriores de¡licados'tl electromagñe¡ismo. La definición de eslas variables yalas conoce el lector, pero consideramos de gran intportancia dar t¡n rcpasotsiquiera somero, para afianzar conceptosque a partir dc ahora van.a ser de usouuig* para el leitor. Tarnbién, y anies dé repasar los.lenlas de Kjrchhoff, seinciiirin en cste epígrafe los convenios de signos utilizados en cl estudio delos circuitos eléctricos.

r.2.t' EgB.Ugrytg grrtrruca.

El fin prirnonlial de un circuito e[éctrico e-l.ntgver gafgqs a lo largo

-de caminos*e'ipqcificqs. Es¡e.¡nóvínriénió.tte'Cdi[hs. óónsrituye u¡n Corriente'elécrrica, qu. ir'ppr"ienra por la letru'i6'i scgtitique la nragiritud dependap

-no dcl riempo,'La corrientseléctricu represenla ll variaciólr de cargl con el

iienrpo t¡ue -se

profluce en la sección U¡ltsversal de un co.ttductor, eS decir, dc"acuerdo con ( l . l0) :

l:"i :wl ( 3 . 1 )

conlo y¡r se indicó en el epígrafe L2.3, !a.goniente eléctrica se considera conto

245

r¡n movinrientp.tlg¡argqs_positivas (convenio debido a Benjamín Franklin),hunque sabemos que la conducción en los metales, se debe en realidad al¡novirnienlo de los electrones libres.

Pua indicar-el sentido de la corriente eléctrica en un conduclor, seutiliza u¡ra flecha de reftiieñcia al ládddé aqüé!, que muestra también el valor omagnitud de la corriente. (Debe destacarse aquí que la corriente es unhmagnitud escalar, el vector adyacente al sonductor indica en realidad el sentidovec¡ori¡rl de la densidad de corriente J que es unn magnitud vectorial). En lahg. -1.2a sc nrueslra un tramo de cgnductor que lleva una corriente que setliiige de a a b y valc 5 amperios. Cuando se invierte In corriente y circula deb ¿r á como se nluestra en la fig. 3. 2b, entonces su valor cambia dc signo, esdecir - 5A, sienrpre se que conserve el sentido de la flecha apuntando de a ab, o podernos poner + 5A si se cambia el sen¡ido de la flecha. El mismocriterio se en4rlca prra conientes que varíen con el tiempo i(t); en este cnso siel valor tle i(t) para un tiempo definido tu es positivo, es decir i(to) > 0,cnlonces el llnvi¡niento de las cargüs positivas en ese instante sigue el sentidonlostr¡r(lo ¡ror la flechl (fig. 3.2.c). Si i(tU) < 0, entonces en t = t6 las cargas

¡rositivas (coniente) circultn en sentido opttesto al supuesto por la flecha.

INTRODUCOON A TA TEORTA DE Lf'S CIRCUTTO.S ELECTRICOS

dipolo ('). Denro del rectángulo s9 g9-ede tener un solo elemento de circuitoo i¡na combinación de ellos-. Es indiferente su contenido, ya que estítmosintcresados sólamente en lo que sucede en los terminales de acccso externo'

ELEC:IROI\IAG NmS NtO Y CIRCUIIOS EI-ECTR ICOS

¡ l b ) c t

Fig. 3.2

3.2.2' t : r , lNsI oN,. . Dt t 'EBENCIA--D ILPOTENCIA L

Co¡no ya se demostró en el epígrafe 2.4, parg-qq-e*g¡tiqtl¡n¡novi¡niento ordenado de.cargas,,es decir una.corriente.eléctrica, es PI99!19tlisponer de una fuente o genórador de fuerza ele'ctrom<itriz (f.e.rii.). [é_esíe'¡tlüo

se comunica energñ a las ctrgap.. Sg.define la diferéncia de prjiEñciali;.tip.i " i;;sión entre ,lót puntot dJuri ciió¡ito,io*g el trabajci. iéaliiá?o al

i"oy:T'ia carga unidad entre esos..punlos.. De abuerdo con (1.87)3é pódrriescnDtr:

Fig. 3.3

Para que la tensión entre los terminales A y B quedecomnletaménib i3-óeóifibfda, se debé"señdIar,-s{fqh9ión v(t) y,-unos signos-+I jüuL'i. Cotoóa¡i ei,i"lós iermiñales del dipóio;S¡ ¿n el tiempo t¡, la tensión

l1t^¡'es poiitiva entonces el terminal (+) está a un potencial más positivo que

el trminal G). Asf en el caso de la fig. 3.3a, el tcrminal A es 5v más positivoáue el rennüit g, o de otro modo el Érminal A tiene un potencial 5V superiorrif i.rr*ui B. fn'et caso de la fig. 3.3b, el terminal B está I - 5y por encimaáel terminal A (ó a + 5V por de-bajo de A). En definitiva las figuras 3.3a y3.3b son rlos versiones distintas de la misma tensión.

También, para describir la d.d.p. entre dos puntos, se utiliza t¡nanotación con doble suüíndice, asÍ v4g representa la d'd'p' entre A y B ó dc Asobre ó respecro deB(ttonde,,el^pr.i1néy..¡ubíndice A i¡ulica ellerminttl positivtty-ii t"gti,l;ti stibínttiie B.el''teiniín¡,al hegativo ). Está claro que se currtpliriislempre rlue v4g = - uno' En el caso de la fig' 3'3a se tiene: v63= +Jy

mientras que en li frg.3.3b se tiene: vBn = - 5V.

En muchos casos se prefiere describir la tensión enre A y B (o deA sobre B)-in.jerntlnqs¡e-gií{4.s,3elevaciones de tensión' Así porrjr.pl,r "n'riólso'Oála iig. ¡.1i,_i! p'9aa..Oiiir g.Ufie.lener¡na c-aída dc

ténsibn ¿e.n.y. B de.JY, o-.una elévabióñ db-tensión he.B. a.A de 5 V. Er¡üt*i"os dréi!éticos,'se'riehe_una óaída.-de-téirsion'_entre-A.y B, cuando hibarga unidad desatruila ún.tra$ajo al moübrs'e de A tiasta B; o al contrario, sc

La tensión se represent¿tmilgnitutl de¡lenda o no del tiernpo. Enclos tenllin¿tles o accesos A y I] que en

(3 .2)

por las letras v o V, según que sula fig. 3.3 se representa un circuito conteoríü de cirr:uitos recibe el nombre de

[:ti/( t ) No confundir este nt tmbreaparecía en el capí tu lo 2, ¡ lap l i cac ión 2 .7 y 2 .17)

de dipolo enrplea<lo cn

estutl iur los nraterinlcstcoría dc circuitos. con el término di¡xrlr l quc

tl icléctrico$ y nragnéticos (ver ejenrplos du

246247

ELECTROMAGNMSMO Y CTRCUNOS ELECTRICOS

tienc unl elevación de tensión entre B y A,cuando sc.requie¡e.un trabajocxlerno para mover la'carga unidad desde B hasta A.. Teniendo en cuenta laannlogía'entre el potencialéléctrico y et campogravitai<irio tenestre, podemoscornprerrder mejor estos conceptos. En la fig. 3.4 se muestra una masa de I kgsitri¡xla R una altura representada por el nivel A, se lra considerado otra alturareprg5..,ra. por el nivel B, por debajo de A. Está claro que el potencial (alturao irivel) de Aes más alto que el B. De este modo de A a B se tiene una caídaclc porencial, o bien de B a A existe una elevación de potencial. Si la masa deI kg se suelta en el nivel A, la masa caeri atraída por el campo gravitatoriopasirnrlo por el nivel B, desarrollando un trabajo y sufriendo una pérdida deéncrgí;r pótencial. Si por el contrario se considera que la masa está inicialmentecn cl rrivel B, entonces pÍua pasar al nivel A que está más alto, será necesarioquc u¡l agente externo comunique una energía a la masa, en contra de lasfucrzas del campo gravitatorio para nrover la masa desde B hasta A. Estaencrgía quedarú almacenada como energía potencial de la masa en el nivelA.lin el caso de los circuitos eléctricos, el agente externo es el generadorcléctrico que debe elevar el potencial de las cargas eléctricas, mientras que enlos elementos pasivos se produce una caída de potencial, desarrollándose unaenergía que debe suministra el generador.

A - O ' n

B - €

I K g .

h = 0

Fig. 3.4

La d.d.p. entre dos puntos extremos de un circuito se obtienecol¡lo la suma de las tensiones entre los diferentes puntos intermedios y porcorrsiguiente si se considera por ejemplo que en un circuito se tienen unastcnsiones: VAB = +lOV; VBC = - 6V; Vgp = +l lV, se tendní un d.d.p. ennrel o s p u n t o s A y D d e v a l o r : V A D = V e s + V S C + V C D = + 1 0 - 6 + l l = 1 5voltios, lo que indica que el punto A está a una tensión de l5V por encima del¡rurrto D. Si se desea calcular la d.d.p. entrc los puntos C y A resultirá: Vq4 =V C - . g + V B A = - V S C - V A B = - ( - 6 ) - ( l 0 ) = - 4 v o l t i o s , l o q u e i n d i c a q u e e lprnrlo C est¡i a 6V por debajo de la tensión del punto A. Es importante escribircorrectn¡nente Ia secuencia de letras de las tensiones para no corneter errores.Dcbe tenerse en cuenta adenriís que la d.d.p. V¡ - - Vj¡ .

248

TNTRODUCCION A LA TEORIA DE I.,OS CIRCUITOS ELECTRICO.S

3.2.3 ggg$g$.$!.Ev^IS¡S.A

Como sabemos,.la potencia.elécgic¡ eq 9l .trabajo realizado por

gtli{ud de tiempg De este niodo fteniendo en cuenta (3.2) se puede escribir:

Fi;, (3 .3 )

It

ii

como quiera que la potencia eléctrica.$eper¡d-e..,de."do5.variables: tensión ycorrienie..habiá nue tener. en cuenta ios sentidos de referencia de arnbas.ñagñitudés para.obtener el.sentido.dela potenci¡.En lq fig. 3.54 se muesFaunáipolo eñ el que se señalan los signós de la-rensión y el.seltido tle lacorriente. La potdncia eléctrica que entra en el dipolo viene definida por laexpresión:

Pf)-?,Y(¡|lQ (3'4)

Fig. 3.5

si p(t)>Q, entonces el,dipolo M recibe o absorbe potencia actua¡rdo corllo unebhiiumídor o carga. Si p(t)<O, entonces cl dipolo M produce o entrega'potencia (energía)-como una fuente o generador,, Comprobelnos que estasifirmaciones'sdn correctas: Supónfase'inicialmente que v>0 e i>0, rl ser v>0,entonces de acuerdo con la polaridad de la tensión de la fig. 3.5a, se tendriivA> vB y al ser la corriente i>0, las c¡rgas eléctricas (positivas) irún tlelterminal A al B, sufriendo una caída de teñsión, por lo t¡ue dichas cargasperderin energla potencial, la cual será absorbida por el dipolo M, es decirresulta p(t)>O. Consideremos ahora el caso contrario, supóngase entonces quepor ejemplo se tiene v > 0, e i < 0, entonces las cargas positivas van de B a A, sufriendo una elevación de tensión, por lo que dichas cargas gannn encrgíapotencial, la cual serií entregada por el dipolo, es decir resulta p(t)<O; este es elcaso representaelo en la fig. 3.5b. (el rnisrno resultado se obtiene considerantlov < 0 e i > 0 ) .

En la prictica, no es conveniente trabajar con potencias negativas,

2,19

ELECTROMACN SNSÑ|() Y CTRCUITOS ET ECTRICOS

pur lo t¡ue se ¡lretiere hablar de potencias absorbiclas y porencias generadas.i lcmos vlsro qt¡e el dipolo M de la fig. l.5a absorbe potencia y trabaja connrecepfor; cn cs¡e caso observantos ¡ambién que la ccrrriente e-ntra por ql¡erniinal positivo del dipolo. Al cor¡trario, el dipolo N cle la fig. 3.5bsun¡inistrh potencia y nabaja como g,enerador; en este caso observamos quela corrien¡c óale por el terminal positivo. Dc este mo<Jo se puede decir que laporencia absorbida por un dipolo, es el- .producto de la tensión por lacorricn¡c (lue e¡tlra por el terntinal positivo (dipolo receptor o carga), miennasqr¡e l:r potencia suministrad¡ por un dipolo, es el prulucto de la tcnsión porli cori'cntc que sale por el temtinal positivo (di¡tolo fuente o generador)'

Veanlos uhora como se produce la transferencia de energía entredos dipolos. lln la fig. 3.6 se muestran tlos dlpofgs unidos entre sí por un parde ¡er¡irinales con las polaridades indicadas. El dipolo I representa una fuenteo generador ya que l¿r corriente sale ¡lor sus tenninal positivo. Ln potenciageuerada por este dipolo es:

Pgcnerada = 5'3 = 15 W

srNrIDo ii llllls¡'ERENCIA

Fig. 3,ó

el clipolo 2 representa un receptoro cilrga, ya que la.corriente entru por surerniinal posii ivo. La potencia absorlt ida por este dipolo es:

Pabsorbida = 5.3 = 15 W

dc cste ¡nodo lo que Se cufnple en este sistem& eS quc:

Pg.n.*da= Pabsorbida

que es simplernente el principio de conservación de la energía. De este modos'i produce unu ¡rn¡tslÉenciii de encrgía del generarlor nl receptor, como loututtrta el senti{o de la tlech¿r (El lectór cornprobarií que cste sentido coincidecon et tlel vector de Poynting cstudiado eñ el epígrafe 2.7.4. Téngase en

250

(3 .5 )

INIROI)UCCI()N A TATEORI.A DE LOS C¡RCUITOS ELECTRICOS

cuenra que en la zona comprendida e_nfre los hilos de unión de ambos dilnlos,

se rienen unas líneas de'campo eléctrico E que van de.m-ayor a t¡lcrlof

ñ;;;úi, m Ji"ii ¿it t'ito superior al.inferior v únIll":t1t-l.13lte. se gún lrtiev dc Ampére, penetran en ei plano del papel, por lo qq9 el sentido del veutt¡r

¡; p;;;;i '";i5'=Axtt) irá dé izquierda-a dérecha. En resumen la te,rrí¡t

it.r*¡'ogn?rica y la de circuitos cónducen a los mismos resultados.

3.3 BLEMENTOS PASIVOS

S o n a q u e l l o s c o m P o n e n t e s d e | o s c i r c u i t o s ' q u e d i s i p a r r . r >almace nan energía'e léctrica y cónstituyen por ello los rece ptores.o cargas rlu

"n "ii"uito. Estoi etementos íon modelós matemáticos lineales e ideales dc krs

"iiitr.n,ot físicos del circuito tlue individualmen¡e puetlen-presentar hs

i i*u¡.nt" t rrropiedades: a) dis ipación de energía eléctr ica ( l t :

i"!¡ri.""irX'-úi'oi-""enamiento de energía en- cántpos magnéticos(L: coef. de autoinducción); c) almacennnticnlo de- ene.rgla en caI¡lpo.s

.lé.tri"us (c: capacidad). Las tres-propiedades pueden darse en nrilyor o

*inor grado cn el' comportamiento dé un cornponente dc un circuito real, pttr

ello laic¿r¡acterísticas de los componentes prácticos pueden sintettzarsc por

medio de una adecuada combinación <le R,l, y C'

El ¡érmino resistencia o resistor se utiliza Para caracferizar ttn

conlDonente de un circuito cuyo comportamiento se aproxima idealnrente a tln

"i"iti*to R puro. El rérminobobina o inductor se refiere a un_componente,tlcun c¡rcuito trrya principal característica es la inductancia. El condcnsadorinclica un conrponente de un circuito cuyo conrportamten¡O se aproxlnl¿t

idealmente a un elenrento C Puro.

Los elementos R, L y c se suponen ideales, lo cual quiere tlecir

oue cada uno t iene ,rnas propiedades-únicas e independie¡t tes dc las

Juraci.rfit¡"as de los otros, y además implica que las relaciones existcntes

"nir. lo tensión y corriente en cada uno son lineales, es decir, las relaciones

; : fai) consisttn en ecuacioncs diferenciales lineales con coeficicntcs

.onrtinter. Los valores R,L y C se supondrán también independientes de la

frecuencia y cle las amplitudes de tensión y corriente'

El término pasivo indica que los elementos no cont ienengeneradores y en consecr¡e¡rcia no p-uede aparecer ninguna tenslon y comente

in rus terminales sino se aplica una fuente dc energía exterior'

Laprop iedade léc t r i caasoc iadaconcadae lementoR,LyCseconsidera conró una unidad concenlrada individual localizada en un punto

del circuito, ttunquc rJe hechO en un cornponente priíctico.col¡lo es el Caso de;;;;;;i;i";cia, Ín disipación de energíi se produzca a.lo largo de toda st¡

ügiu,,l-¡Íri¿,r. Lu supollción de etemeñros cohce¡trndos inrplica que cl cfecto

25 I

ELECTROIVIACNffiSMO Y CIRCUTIOS ELECTRICOS

(lrre se produce rl conectar uiln fuente, se prop¡rga instantúneanlente 0 todo elcircuito y lu corriente resultante en un cornponente detemlinado es la nris¡na entot l ¡rs sr¡s p¿lr tes en cualt¡uier instunte de t ienrpo. Tal suposiciónsimpl i f ica enornremente el anál is is de redes y es vál ida siempreque las dimensiones de los elementos individuales y de todo elcircrr i lo, sean nruy pequeñas (campos cuasiestacionnrios); en casocontr¿rrio se ha de reconocer la limitación del término elemento concentrado ysc dcbe tener en cuenta l¡ naturaleza real de parámetros distribuídos (en lattrcnica tle la Elecnotecnia, sólo uparecen circuitos con parirnetros distribuídosal cstu<liar líneas de transporte de energía eléctrica largas de longitud superiora 3(X) k¡ns). Cuando se estudian sistemas que trabajan a altas frecuenciascr)nro o(:urre en el caso de las Microondas no pueden aplicarse los conceprostle circuito dcsanollados en esta lección y se deben enrplear directarnente lasecu¡rciones de Maxrvell como expresiones nriís generales que describencualt¡uier fenómeno electronragnético.

Vanlos a estudiar ahora, las propiedades funda¡nentales de losclcnrentos pasivos R, L y C.

3.J.r Rrisrs 'r 'F:NCtA

Conro yn se hn ilrdicado en los pdrrufos anterieres, la resistenciaes el elcnrento del circuiro, en el que se disipa energía elécrrica. En la fig.3.7a se muestra el símbolo de la resistencia eléctrica, en el que se incluye elvrlor de la ¡nisn¡n en ohmios y los sentidos de referencia asociados de tensióny cordente. En el caso de que la resistencia sea variable se empleará el símbolode la l' ig. 3.7b (indicando el rango de variación de la misma). En el mercadosc efrcucntran unü gran variedad de tipos de resistencias: fijas y variables cluepuerlen estar hechas de carbón, de hi lo bobinado, l íquidas, erc. , las haytiunbién especiales: vuriables con la tensión (VDR), varial¡les con lu luz(lotorresistores), resistencias que disminuyen con la temperatura (NTC otcrrrr i .stores) etc. . . Las resistencias regulables de pequeña potencia sedenorninarr potencirímetros y las de gran potencia reciben el nontbre dercóstdtos que pueden ser a su vez de ilrünque, de regulación y de carga.

i ( r )R

¡ffiei

, { t ) -

a )

252

Fig . 3 .7

oro, el

753

INTRODUCCION A IATEORIA DE I'S CIRCUITOS ELECTRICOS

En el caso de resistencias bobinadas hay que tener en cuenta

¿rdenr¡is ctciefecto de R, el efecto de la inducción, que seri tanto tu¡is

inroortantc cuanto tnayoi sea la frecuencia de la corriente. En estc caso el

;i;;i. ;"i"riiñrc ¿ála rcsistencia real, teniendo en cuenta el efecto rle

irill".ilo"li"lñ¡i¿"¡; en ta ngura 3.8 (mientras que no se diga lo contrariose supondrá que se trabaja con résistencias ideales).

Er"::. -:"":":t RE f e c t o l n r l u c t t v o

L

Fig. 3.8

A la hora de especificar una resistencia no es suficiente indicar su

valor óhntico , sino que es necesario detallar la- máxima potencia que es capaz

de transformar en óalor por efecto Joule sin calentarse (también puecle

indic-s" la mdxima corribnte admisible). El valor de la resistencia pttede

indicarse directamente escribiendo su valor en la superficie o ptrede emplearsecomo se hace en Electrónica, un código de cOlores como se muestra en la tlg.f.p en Csrc c¡5o la resistenciu presenta-cuaro bandas de cOlores, numerados ao"rtir ¿e la banda más cercina a uno de los extremos. La l! y 2r banda[ónit¡tuy"n las cifras significativas, la 3! banda indica el factor multiplicadoro númeío de ceros que ñay que añadir a las cif¡as significativas y la 4' bandainá¡"a la tolerancia' dentio he la cual el fabricante garantiza el valor <le lariiistencia. El significado de los colores es el que se indica en la tabla ne l.

I

s l g n i f t c a t l v a s

I T o l e r a n c i a

F i g . 3 . 9

Por ejenrplo si los colores de las bandas son: blanco violeta-tlcgro-

villor de la resistencia serii:

r(c i r rac

L

t { u l t l p

l f

a f

¡ l I i e a d o r

ELECTROMACI{ETIS MO Y CIRCUMOS ELECTR ICOS

BlancoJ9

ViolenJ7

NegroJ100

OroJ

fiVoág7Q t57o

COLOR DICMO MULTIPLICADOR TOLERANCTANcgroñlarrónRojoNirrirnjaArnarilloVerdeAzulVioletaGrisBlanco0roI'lataS in color

0I234567I9

100l0 l

' 102103lo4105106107108l0el0 - l

-r_o-,

iro"!107o!20Vo

El valorlon¡¡itutl / y seccióncx prcsit in:

TABLA NO I

cle la resistencia de un cot¡ductor de

s, se calculó en e I ejernplo de aplicaciónresist iv idad p,2.12 y t iene por

f t = p f (3 .6 )

(3 .7 )

el valor de p para el cobre recocido a 20oC. es: 0,0173 fl mm2/m' y la

resis¡encin varí¡ con ln temperatura de acuerdo con la expresión:

Rz = Rr t I + a ( oz - or ) ]

sier¡t lo R¡ la resistencia a la remperatura 0t, y Rz l¡ resistencia a la

remperatufa 02,cr indica el coeficiente de variación de la resis¡encia con la

temper¡turil, que para el caso del cobre vale 1/234,5 aC'l'

I5, f

De acuerclo con !a ley de Ohnl (2.36), la relación enre la tensión y

255

v ( t ) = R i ( t )

la relación matemárica anterior es únicamente válida para lry polaridatles

¡¡ot,tn¿oi .n ia ng. 3.7. De este mo{o se observa t¡ue si i(t)>$ (la corriente

intro pot el terminil A), entonces y(t){, lo que signitica quc la corrientc entra

nor el'remrinal de mayor potencial Á y se trásladial de menor potencial B. Sí

l;ñ;il; q;e i(r).tÍ (corricn¡e enra pof el tcrminal I]), entonces v(t)<g y cl

ierminat B tiene mayot potencial qucel terminal A. De nuevo, olra vez,la

;;;;;l;;"r. pot "í t"ttninal cuyo potencial es mayor. CgTo. quiera tluc la

;;;;1;.ir*t,i por la resisrencia'de inayo¡ a m€nor.potencial, de acuerdo con

el enísrafe 3.2.j se tendrií un consumo de potencia en este elenrento cttytr

valoi,ieniendo en cuenta (3.4) y (3.8) será:

,)p(t) = v(t) i(t) = R i-(t) =

u2(t)

R

INTRODUCCION A LATE,ORIA DE TOS CIRCUITOS ELECTRICOS

la corriente en unü resistencia vale:

(3 .8 )

(3.9)

(3. l0)

la unidad de conductallcia esdan el nombre de nrlto, que

sirnbolizit¡t co¡l la lera griega

una expresión alrernativa de la ley de ohm cn función de la

conductancia es:

expresión que representa la potencia disipada por efecto Joule'

La inversa de la resistencia se denomina conductancia y sc

designa por la letra G, de tal forma que se cumple:

el siemens (En E.E.U.[J. A la unidad anterior lceS la palabra ohm escrit¿t al revés, y taml¡iérr l i t

omega inrpresa boca abajo O ' I ).

Q = *

i t t ¡ = { v( t )=Cv(t ) ( 3 . 1 I )

( 3 . l 2 )

de t¿rl moclo (lue p(t) toma la tbrma:

p ( r ) = á i 2 1 t ) = Q v 2 ( r )

El concepto detérrninos nluy comunes enallierto. Un cortlcircuito eslnciendo de este m0d0 que

resistencia se trt i l iza también pilra t lefinir t losteoría de circui tos: cortoc¡rcui to y circui loun Contlucrcr ideal Erc Se unc entre dos puttlos,Jrl rs.f i SrcnCia Seü cero olvnios. El cortocirctlitrl

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

¡ruer.le llevnr cualt¡uier corriente cuyo vnlor de¡rcndc del resto de.l circuito, peroin tcnsiórr entre sus temtinales esde cero voltios. Al contrario, ttn circuittt¿bicrto represenru Unu ruplur¡ del circuito en e1e punn, por lo que no pued.et:irculctr corrienrc. Sc puede considerar como un circuito con resistenciaintinita y que puede tenei cualquier tensión que depende del resto de la red.

3.3.2 NORINA. INDUCTANCIA

Es el elemento del circuito, capaz de almacenar energía magnética,se represcnta por el símbolo de la fig. 3.10 a o 3.10 b según sea el valordel cocficie¡rte de autoinducción fijo o variable. Asociado con el valor de L, la

oE fec tod e l a

r e s l s t e n c i a A u t o l n d u c e i ó nb o b i n a . d e l a b o b i n a

i ( r )-+

Fig. 3.10

lxrbina presenta tanlbién una resiste¡rcia debido a que está realizada por unconducior arroltado sobre un núcleo que puede ser o no de materitlferrnnugnético (incluso a determinadas frecuencias, pu.edg apírecer un efectode capaóidad entre espiras), resultando un circuito equivalentede una bobinareal cbnro el i¡rrlicado en la fig. 3.I L Mien¡ras que no se diga lo contrario sesuponrlri que se trabajn con bobinas ideales.

Fig. 3.1 |

La relación enne la tensión aplicada y la corriente en una bobina esde acuertlo con (2.140):

v ( r )= f # (3 . I 3 )

l¿r relación anterior es únicumente válida para las polaridades mostradas en lafig. 3.10. La d.d.p. en bornes de la bobina es directanlente proporcional a la

25(t

C a p a c l d a d e n t r e e s P i r a a

INTRODTJCCION A LA'I'EORI,A DE U)S CIRCUNOS ELECI'RICOS

variación de la corriente respecto al tiempo. El factor de proporcionalidad es lainductancia de la bobina Üen henrios. Con el convenio de signos dc la fig.3.10 V teniendo en cuenta (3.13), podemos comprobar que un at¡¡rlento dc laconiénte corresponde a una tensió¡i positiva y una reducción de ln corriente dllugar a una ten-sión negativa. Se oüserva también según indica la ecuación(¡Itl) que si la corriente i(t) es constante, entonces la tensión v(t) es cero. Deeste müo, una bobina alimentada con un1 corriente con¡inua (estaciorraria)actúa como un cortocircuito. Si en cambio la coniente i(t) cambia con rapidcz,se obtend¡á una fuerte tensión entre los tenninales.

La relación inversa a (3.13) se puede obtener por integración c¡rtreun tiempo inicial to y un tiernpo final t, resultando:

d i I

ñ = t u ( t )

que al integrar nos da:

i(r) - i(t,,)

i o t . '

=+ JA;nt=f J" ( t )d tto lo

' ¡= iJ v ( r )d rI o

l f '* r., J v(t) dt

lo

r f; I u(t) dtL J

( 3 . I 4 )

( 3 . t 5 )

de donde se deduce:

i(t¡ = i (to)

o tornando t0 = 0 resulta:

( 3 . 1 6 )

( 3 . l t t )

i ( t ¡ = i ( o ) + ( 3 . t ¡

la expresión anterior indica que la corriente en'la bobina en un tiempo t > 0 esigual u la corriente inicial i(o) más la corriente que se desanolla a partir de t =

0. Como quiera que la tensión estií rel¡cionada con el flujo y(t) concatenadopor la bobina según (2.360) se tiene:

enionces la integral de (3.17) representa el flujo concatenado por la bobina.que al dividir por L nos da la corriente. Analizando (3.17) se observa t¡ue labobina tiene un efecto de nrcmoria, ya que la corriente en un tiern¡ro t dcpende

257

ELECIROMAGNET|SMO Y CIRCUITOS ELE{TR¡COS

no sólanlcnte de la entradn i(t) en ese nlomento sino tanrbié¡r del valor pasadodc l¡r entrarla.

Olro aspecro a considernr y que se deduce de la ecuación (3.13),es que la corriente en una bobina no puede variar bruscanrente, ya que lalensió¡r se harín il¡finita, lo que es físicamente imposible. Por ello la corrienteen una txrlli¡ra no puede tener discontinuidades. Err particular se cumple:

INIRODUCC'ION A LATEORIA DE ¡,,OS CIRCUITOS ELECTRICOS

En un condensador debe definirse el valor de la capacidad en faradios y latensión máxi¡na que es capaz de soportar entre sus terminales sin que se¡xrfore el dieléctrico. (En los condensa<lores empleados pÍra corregir el t'acrorde potencia de las instalaciones industriales, en vez de dar la capacidad, sesuele dar el valor de la potencia reactiva, conceptos que se estudiar¿ín en elcap. 4). En la pr:íctica el condensador suele presentar unas pérdidasrepresentadas por medio de una resistencia en paralelo con el condensadorcomo indica la fig. 3.13 (mienrras no se diga lo contrario, se supondrá que sctrabaja con condcnsadores ideales).

F i g . 3 . 1 3

I- i l re lac ión entre la tensióncondensaclor es de acuerdo con (2.33):

apl icad¡r y la corrien te en un

i(0-) = i(0+)

que inclica que la corriente inicial justo antes de t = 0 es la misma que justodcspués de t = 0. Este concepro es útil en el estudio del réginren transitorio delos circuitos.

Para establecer un flujo en unfl bobina es necesario unt energía clecnu'adir, <¡uc t¡ucda alrnacenada después en el cam¡ro nngnético. En el cpígrafe2.7.3 se calculó esta energía y que cle un modo breve vamos l repasarnuev¡r¡nentc. La potencia absortlida por la bobina seri igual a:

P( t ) = v ( t ) i ( t ) - I i ' � r \ d i ( t )- Lr rrr/ -Ir

y l ¡r encrgía ¿t lnracenada en un intervalo de t ienrpov¿tld¡' i i :

(3 . I 9 )

( 3 . 2 1 )

J . ] .J C0NDI iNSADOR

Es el elenrento del circuito, capaz de almacenar energía eléctrica.lln Ia fig, 3.12 se rnuestra el símbolo del condensndor, en el que se incluye lacaplcitllrl cn faradios y los sentidos asocindos cle tensión y corriente. En elc¿rso dc t¡uc el condcnsaclor sea variable se emplearií el sínlbolo de la fig.3 . I 2 b .

i ( t ) = . * ÍA (3 .2?)

es decir la corriente en t¡n condensador es direct.rmente proporcional a lavariación dc la tcnsión rcspecto del t iempo. Un aumento de la tensió¡¡corresponde a unn corriente positiva y una reducción de la tensión aplicada alco¡rclcnsador corresponde a una corriente negativa. Se observa que si v(t) esconsrante, entonces la corriente i(t) es igual a cero. De este modo, utrcondensaclor ali¡nentado con r¡na tensión continua (estacionaria) se comportircomo un circuito abierto.

[.a relación invcrsa a (3.22), se puede otrtener integrando entre r¡ntiernpo inicial t6 y un tiernpo final t:

t lv I

. ' l r =e i( t) =

que al integri l r nos ( l Í r :

A c * ' { o B

(3 .20)

conlprendido e¡rtre 0 y r

( t )w( t ) =

l ( r )- D c

n 4 } - o u+ v ( t ) ¿

a )

1 , . . 2= t " t

t 1f f

I u i ( l t = IJ Jo o

r -$ ior

r ( r )-_0> c

t ¡

f dv I r| ; c l t = ; I i f t ) ¿ t (3 .23)

J U I C J[ o t ^+ v { t ) á

b )

25tt

Fig . 3 . l2

25()

E LECTROIvIAC N ETIS MO Y CI ITC U II.OS E LLCTR ICOS

3.4 IMPBDANCIA Y ADMTTANCIA OPBRACIONAL

I-as relaciones tensión-corriente en los ele¡nentos pasivos sirn¡llcsestudiados en el epígrafe anterior, pueden escribirse de nuevo ctnpleando losoperadores:

o = 1 I = f= ¡ l ; D = J t r . r u lconsiderando c¡ue las condiciones inicialcs son nulas, las expresiones (3.t1),(3. l3) y (3.26) se tra¡rsfom'ran en:

RESIS ' IENCIA: v* ( t ) =R i ( t )

B O B I N A : v r ( t ) = t # = L D i ( t ) ( 3 . 3 1 )

GoNDENSADoR: v. (t) =NJ rt, l o' =ff ,r, l

las ecuaciorrcs antcriores indic¡¡¡1, t¡uc l l lensión puede ex¡lreslrse cor¡lo unproducto dc una cierta ex¡lresión del opcrador D, t¡uc cn cl caso de unaresistencia se reduce a una constante por la variable corricntc cléciricl.

t ;=¿J i ( r )dtto

INTRODUCCION A I.A'TEORIA DE U)S CIRCUN'OS ELECTRICOS

i ( t ) z $ l+

r o---fl------o u+ v ( t )

Fig. 3. | 4

Rcprcsentaretnos csil expresión por Z(D) y la tlenrrnrinÍrrcn'r()s irn¡lcdarrciiroperacional. En la fig. 3.14 se ¡nuestr¡¡ el sírnbolo de la irnpetlanciu ylos sentidos asociarlos de tensión y coniente. Este sínrbolo general puctlcrepresentar un único elcnlcnto pasivo sinrple (R, L ó C) o unt co¡ubin;rcitinde ellos. De act¡enlo con la definición de inrpetlancia y tcnicudo encuenta las polnridades de la fig.3.l4, se podri cscribir:

v(t) = 21P¡ ¡1,¡ (3.32)

la relación anterior cngloba las trcs exprcsiolres (3.-1 l), cuntplidndose l)ilri lcada elenrcnto:

(3.24)v(r) v(ro)

t

v ( t ) = v ( t o ) + l [ ' t , l ¿ , ( 3 . 2 s )U J

o to¡rranclo el instante inicial Bil ts = O rat'r,,n,

t

v ( t ) = v 1 o ¡ * l [ i t , l ¿ , ( 3 . 2 6 )U J

ln ex¡rresión arrterior indica que la tensión en el contJensador erl un tienrpot > 0 cs igual a la tensión inicial v(o) ntás la tensió¡r desarrollada a ¡rartir de t= 0. ll l condens¡rdor tiene un ef-ecto de ¡rremoria ya que los valores pasados del¡r corriente nlbctnn los vulorcs acturles de lu tensiérr.

Otro aspecto a consit lerar y que se deduce de (3.22) es que latc:nsión en u¡r condensador no puede variar bruscantente, ya que la comiente seh;rrí¿ inl' i lrita, lo t¡ue es físicanrente irrtposible. De cste nrodo l¿r te lrsión ell unconrlensador no puede tener discontir¡uidades. En particular se curnple:

v(0-) = v(0+) (3.27)

lo t¡ue indica que la ter¡sión inic ial justo i lntes de t = 0 cs la nr isnr¡ t ¡ue justodespuds tJe t = 0. Este concepto es ú¡til en el estudio dcl réginrcn transitorio delos circuitos.

Al apl icar una tensió¡r i t un condensador se produce unAseparaciórt de cargas entre ambas pltcas o arnraduras, lo t¡ue produce unciurll)o eléctrico, quedando almacennda una energía de este tipo. La potenciaabsorbida por el condensador ser¿í:

p(t) = v(t) ¡( t ) = Cu(t) dY{D

(3.2S)d t

y In cnergía almacenada ent¡e 0 y t segundos serii igual a:t t

w ( r ) = J u i u , = J . * v d r = f c v 2 ( 3 . 2 e )

clc dolrdc se deduce:

? 6 1? ({l

lir irrrpedancia es según (3.32) un cociente entre tensión y corriente, y porcllo se mide en ohnrios, igual que la resistencia elécrrica. En definiriva lo quesucede es que la impedancia es unn magnitud más general que la resistenciay se ulil iz.a cr¡:rndo las tensiones y corrientes varían con el tiempo. En elcapítulo 4 dedicaclo a l* corriente alterna se tcndrá una idea rnás ffsica delsignificado tle las relaciones (3.33). En principio lo que se pretende en esreca¡rítulo es da¡ formulaciones generales de la teoría de circuitos que seanvírlidas para cualquier tipo de excitación. Los ejemplos de este capítulo sererlizar¿in con tr¡cntes de corriente continua donde no existen variaciones concl tie nrpo. I)c estc nrodo se conseguird conrprender la corriente alterna (c.a)co¡¡ l '¡r¿ís facilid¡d, evitíndose repetir conceptos innecesarios que en los textostradicionales sobre circuitos eléctricos se ha¡r estado produciendo.

En el caso de que se tomen las tensiones como variablesirrtlepenrlicntes, Ins rel¡rciones corriente-tensión en lc¡s elementos pasivossinr¡rfes, se obtienen a partir tle (3.1 l) , (3.17) y (3.22), que en el supuesro devalorcs i¡licinlcs nulos dan lugar a:

INI'RODIJCCION A [ATEORIA DE II]S CIRCUTTOS ELECTRICOS

RESISTENCIA Y(D) = GI

U) (3.36)

CoNDENSADOR Y(D) = cD

la admitancia, es según (3.3-5) un cociente entre corr¡ente y tensión, y por ellose nritle en sicmens, igual que la conductancia eléctrica (3.10). En deh¡ritiv¡¡la ad¡nitancia es una nragnitud miís general que la condr¡ctancia y se emplea encircuitos en los que las tensiones y corrientes varían con el tiempo.

Los conceptos de impedancia y admitancia operacional son muyútiles para desarrollar los principales teoremas de circuitos desde un punto dcvista general. En el caso de que lim fuentes de excitación o generadores dr: l¿rretl no varíen con el tienrpo (corriente continua), solo tiene sentido habla¡'dcresistencia y conductancia; obsérvese que en este caso, al ser D = d/dt = 0, lainrpedancia de una bobina, teniendo en cuenta la 2! relación de (3.3 I ) es ccro,mientras que para un condensador se observa que la impedancia es infinita; klanterior significa que una bobina alimentada con corriente continua sccomporta co¡no un cortocircui to ( impedancia cero), mientras que u¡ lcondensndor se comporta como un circuito alliert¡r (impedancia intinita); dcotra forma si se analiza la expresión (3.32), puede decirse que una corrienk:continua que circule por una bobina produce una d.d.p. en sus bornes nr¡la,mientras r¡uc si se aplica una d.d.p. continuo il un cundensador, éste no dejanlpasar la corriente.

Si se compuran las expresiones (3.32) y (3.36), se observa r¡uclos conce¡rtos de impedancia y adrnitancia son inversos y se cumple:

EI.ECIROMAGNETISMO Y CI RCUITOS EI.ECTNICOS

ITESIS'TENCTABOt]IT.IA

= f t= LD (3.33)

I3 --¡

CD

Z(D)Z(D)

BORINA Y(|)) =CONDENSADOR Z(D)

RESISTIINCIA i( t ) = G. v(t)

IToBINA i(t) = iJ v(t) dt l l=

t- D v(t) (3 '34)

coNDENSADoR i(o =c#=cD v (t)

l.as ecuaciones anteriores, nos dicen, que podemos expresar laintensidad i(t) conn un producto, no conrnutativo, de una cierta expresión dcloperador D, t¡ue en el c¿rso cle una resistencia se redt¡ce a una constilnte por lavariable v(t). l lepresentarenros esa expresión por Y(D), y la denominaremos¡rr l ¡¡¡ i l rnci¿r opemciol tal , cuyo símboloes el misnlo que el t le la f ig. 3.14rlc la inrpedancia. De este ¡rtoclo se cunrplirá:

i ( t ) = Y(D) v(t) (3 .35 )

t¡uc irplicada a (3.34) nos indic¿t cl valor de la ad¡nitancit para cada elemento¡rasivo sintple :

3.s ELBMENTOS ACTMS: FUBNTES () GBNBRADORIIS

Los elementc¡s act ivos se denominan también fuentes ogeneraclores y son los encargados de sunlinistrar energía eléctrica al circuito.I-o.s dos nrodelos básicos enrpleados en el estudio de los circuitos eléctricosson clos: ge neradores de te¡lsión y generadores de corriente. Cndn uno cle lost icnrpos anter iores se pueden subdividir en fuentes independiel t tcs odcpcndientcs y tanrbién en gerteraclores rcnles o ideales. Vamos a continuasiór¡a describir cada uno de los tipos:

a) Un gencrador de lcnsirin ideal, es aquel elernento del circuilo r¡ur:pro¡rorciona energía eléctrica con una deternrinada tensión v(t) quc cs

Y(D) =# (3 .37 )

262 2(tj

g "

+ | 1 " "v r ( r . r Q-j,

a )

ELECTROMAGNETIS MO Y CIRCUITOS ELECTR¡COS

irrclependiente de la corriente que pasü por é1. En la ñ9. 3.15¿r se ¡nuestracl sílllbolo del gcnerador dc tensiólr ideal en el que se indica l¿r tensitinvg(t) del generador con la polaridad del misrno. Así si vs(t) > 0 en-tdlces el tenninal a tiene un potencial vs(t) voltios por Sncima ttelterminal b . La tensión vg puede clependér del tiempo o no; cuandode¡rende del tiempo, s€ representa con minúscula: vs(t) y cuando node¡lelrde del t iempo se representa con mayúscula: Vs. Esta últ irnasituación es la que se tiene cuando se trata de un generarfir de corrientecontinuA, como es el caso cle una pila o acumulador. Tratánclose de unapila o acunrulador ideal también se puede utilizar un sínlbolo alternativocorno es el mostrado en la f ig.3.l5 b. El ternrinal más fino y largorepresenta siempre el borne positivo, mientras que el m¿is corto y grueso

Fig. 3 .15

representa el terminal negativo (por el lo los signos + y - de la f ig. 3.15 bsorl rcdundantes). La característica v - i de r¡n generador ideal de tensiónes la inrl icada en la f ig. 3. 15c., ( lue es sirnplenrente una recla horizontalcuyil ortlenada represente el valor vo de la tensión en bornes, ya (lue deacuerdo con la definición el valor de vu no depende de i.

Si se conecta una carga al gcnerador de tensión ideal, éste sunlinistrarácorriente al circuito. El valor de esta corriente, dependerá de la rnagnitudcle la impedancia de carga. La pote¡rcia eléctrica suministrada por elgcnerador de tensión de la f ig. 3.15¿1, si el senticlo tJe la corriente es elindicndo, será de acuerdo con el epígrafe 3.2.3 igual a:

pg (t) = v*(t) i(t)

TNIRODUCCION A IA'I'EORI,A DE I.OS CIRCUN'OS ELECTRICOS

proporciona energía eléctricn con unil deternrinarla tensión v(t) (lue

üepende cle la corr iente que pasi l por é1. La relnción v- i et l estosgeñerndores es una línea recta, de pendiente negativa, cotno se tl lueslrl l

én la fig. 3" l6a; esto es debido -a

que el generadol reil l de tertsit ittpresentR en general una cierta inrpedilncia (que ell cl citso de c.c. scco¡rvierte en una resistencia, conro se estudió en e[ epígrafe anterior), eilla que se prodüce una caícla de tensión. Por ello el sírnbolo de rlngen'erador ienl de tensión está representado, conlo se rnuestra en lil fig.3.16 b, por un generador ideal mls uno impedancia en serie. El valor clela tensién vs dél generüdor ideal es el correspondiente al punto en el (lue

la caracteríIt ica v-i (f ig 3. I 6a), corti l al eje de ordenüdas. S i scconlparan los símbolos de las figuras 3.15a y 3.16b,_se observa-qtlc utlgenerat lor ideal de tensión t iene unr i rnpedancia z en serie igual a

ce r() .

F ig. 3. l6

Un acurrlulador de un coche es un generildor re¿ll de tcltsiri l l dc cot'r ietltccontinua (unidireccional). La tensión vg es igual a lzV y si surl l i l t istra

pequeñas corrientes (al conectar uníl cargit enlre terntinales), l¿t tettsiónen bornes seri sensible¡lrente igual a lzV, €s decir trabajnría conto ungenerÍrdor ideal de terisión . Ahora bien, si la cilrgA conectada consutncmucha corr iente, la tensión en bornes disnrinuir¡ i debido i t la resistcncit linterna que tiene el acurnulndor. El lector lo puede coulprobilr f¿ícilnlentenl ic l icndo la tensiól l en bonles del i lcu¡nul¿rdor (ntal l l¿rrnarlo bi t tería)cuündo conectil el nlotor de arranque. Observnrá que la tensión baj¿r a [l ti9 volt ios.La potencia eléctrica sunr¡nistrada por un generador de tensión reit l,con el convenio de tensiones y corrientcs cle l¿r t ig. 3.1(rl l ser¿í:

pg (t) = v(t) i ( t ) ( 3 .3e)

c) Un generador de c¡¡rr iente idcal, es at¡uel elenrel t to act ivo t¡ue

.ll 'v ls T

- l

j ,b ) c )

(3 .38)

re(:uérclese.que cu¿tndo se trata cle c¿rlcul¿lr unil potencii l gcnerada, setornA como corriente positiva la que sale por el tenninal + clel generÍrdor.

Un generador de tensir in real, es aquel elelnento del c ircui to ( lueb )

264

I

2(t5

E I -ECTROMAGNETIS tytO Y CIRCUITOS ELTCTRICOS

prolx)rc io l t¿t energí l con una determinat la corr iente io( t ) que esint lc¡rendiet l te de la tensión en bclrnes. El sínlbolo de un gé¡erat lor 4et:orric¡lte es el ntostrado en la fig.3.l7a, donde ig(t) o Ig ss lü corrientesunlinistrada ¡).or el nrisrno. El sentido de la corriénte se indica por unaflcclrit colocada en el interior del círculo. La característica v-i de ung€neraclor cle corriente ideal es la mostrada en la fig. 3.17 b, que essirnplel¡lente una recta vertical cuya abscisa representa el valor de in (t) (oI para fuelttes de c.c.) de la corriente suminisrrada por el generador, yorlue cle acuerdo con Ia definición, el valor de i, no depende de la tensiónen bclrnes. ,

[-A tensión clel generador depende de la carga conectada externamente yes un crror ( lue: conleten los pr incipiantes considerar, Que la tensión v(t)cs cero. Dctle t¡ucdar clÍtro que v(t) clepende del extcrinr. Considerenlosun cjcrrtpkr sirnple: supóngi lse que i( t) = 5A y que enrre ¿l y b se conecrlun¿t rcs is lencin de l0 Q; .según la ley de Ohrn la t ' l .d .p. V¿rt l ser¿i igual aR iu cs dcci r en este cnso 50V, pero s i R es igual n 20 Q.ser i de lU) V,ctc. t :s t lecir V¡rb t lepende t le la carga extenri t . Si la tensión ( lue resultncn bonres del generarlor es v(t) y es is ( t) la corr iente (pte sale por eltcnninul posit ivo, la potencia suministr lc l i l por el generador de corr ientese rii:

p(v) = v( t ¡ . i * ( t )

II.rÍRODUCC]')N A L.A T'EORIA DE I.f)S CIIICUTTOS ELECTRICOS

representaclo por:n ge¡ler i ldor ideal en paralelo con una inrpecl i t f lc ia(nredic la en oh¡ni r rs) o en parale lo con uni l adnl i t l t ¡ tc ia (en cste cársornedidn err sie¡nens). El valor dc l i l corr iente io del generaclor i t lcal es cl

correspondiente i l l punto en el que la camctüríst ic¿t v- i corta i l l eje deabscisás. Si se co'ír lptrran lcls sínrbolos de l i rs f iguras 3. l7i l y 3.1l ib, soobserya que un g()nenrdor ideal de corr iett te t iene unÍt aclnt i tanci i t Y enparalelo que es ignal a cero (o i l l tped¿tncia i¡rl lnita).

La potencia elécrr ica suministrada por rrn generador de corr iente real,con los senticlos (;e tensiones y corr i t : ntes mostrados en la f ig. 3.18b es:

p( t ) = ! ( t ) i ( t )

I I ly que destac i l f a( l t ¡ í que e l cor tcepto de genent( tor de corr icnte re l t l oirJcul, es un tér¡t ' : ino teó¡ ' iüo ( lue se i¡r trocluce en teorí i l de circuitos pi tnlexpl ic l r c l corn l )or t i ln t icnto t le c icr t i ts redcs. U¡r gener¿t( lor c léct r ic t l :¿tcunlu lut lor , p i l : r , e tc . ,0s un d is¡ los i t ivo t ' ís ica¡r tcnte rcal , ( lue e( l t l iva lc ¿rt rn gener i tdor r r : i . r l ( le tcnsión; lo c¡ue sucede, cs (Fte este ge¡ lcrador cncier t i rs condic i , rnes de f t rnc iorutnr ier t to puede est i l r sunr in is t rat rc lo t l r l i tcor r ienre que no t lependa dc la tens ion por lo que e( lu iva le a u t lgenera(lor de cilniente .

(3 .1 I )

(3.40)

+

v ( t )

r ( t )g

v ( t )

t g

b )a )

b )i ( r )

g Fig . 3 .1 t t

I iuen tes o generadores depcnd ien tes . - Las fuentes de tens ió r r ycoff ie¡ l te ( lue se i lc¿rt lnn de describir , son ele¡ncntos en los que la tcnsiólry la corr iente t ienen valores ñjos, y por t i lnto, ¡ lo ajustables. Existet l otrot ipo de f t¡e¡rtes en los que los valores cle v ó i r to son t ' i jos, sino ([ t le

r lcpentlen ( le la tensión o corr iente en otros puntos de la red; este t ipo clcgeneradclres se conocen con el nonrbre dc gelteradores depcndiel l te.so generadr ¡ res cont ro lados . Pueden darse cuat ro t ipos de f t ¡en tescontrol¿rdas, clependienckr cle que ci ldi l ge nerüclor sunrinistre una tensiór¡o unír corricnte y segrin (lr¡e [a variable de corttrol seil unit v o u¡l it i . Ert l¡rf ig. 3. I 9 sc nluestríul est" lucn"r¿it icorr lente estos ge¡ler i tc lores, dottdc c I

Fig . 3 . l7

d) [Jn gcnerador de corr ie¡r te real es un ele¡nento act ivo t¡ueproporciona cnergía eléctrica con unÍl dcterminada i(t) que depende de late¡lsió¡r en bornes. La relación v-i en estos generadores es una línearcctn dc pentliente negativa conlo se muestra en la fig. 3. l8a; esto esdcbido a r¡ue el generaclor real de corriente, presenl¿r en general unaadr¡r i tnncia en paralelo (que en el c irso de c.c. se convierte en unaco¡lduct¡rncia), err lit que se produce unu derivrción de corriente i¡ (vcrfig.3.ltlb). l 'or ello el sí¡nbolo del generador rei¡l de corrienteestil

266

e)

267

ELEgIROMAGNETISMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

rccuü(lro intlica un circuito eléctrico (C.8.).

b )

d )

+ a ) -

i e = á i t

F i g . 3 . 1 9

Iin c'l cnso <te ln fig. 3.19 a se tiene un generador dc tensión cuyarnagnitud depentle de la tensión entre otros puntos del circuito, en b)sc t iene un generador de tensión cuya magnitud depende de unirr:orriente; en c) existe un generador de corriente cuya intensidad dependetlc lt tcnsiórl entre dos puntos del circuito y en d) se tiene un generadorrle corriente cuya intensidad es función tle la corriente en otra parte <Jelcircuito. Los generadores dependientes se introclujeron históricamente enIn tcoría dc circuitos para modelizar el comportarniento tle elcmcntosactivos electrónicos, como por ejemplo las válvulas y los transistores.

J.6 ' I ' I I 'OS DB BXCITACION Y FORMAS DB ONDA

En el estudio de los circuitos eléctricos, se nranejan diferentcsfirrrciones de excitnción y respuesta que en general pueden variar con eltiern¡ro. La tlependencia funcional

v = v ( r ) ó i = i ( r )

puct.lc darsc en fonna analítica o grrifica. En anrbos casos, se conoce il esarelacitirr funcional con el ténninoforma de onda .

¿6n 269

INTRODUCSON A Iá TEORTA DE [.OS CTRCUITOS ELECTR¡COS

3.6.T CLASII ' ICACTON DII ONDAS :

La.s ondas utilizadas en circuitos, puetlcn clasificarse en primcrIugar según el signo de la rnagnitud que la representa, y así se tienert:

a) Ondas bidireccionales de corriente alterna : Son ondas en lasque la rnagnitud to¡na valores positivos o negativos. En el caso de que laonda represente lü f.e.m. de un generador de ¡ensión, significn qqe _li¡polaridad de sus terminales va cambiando co¡r el t:empo. En la fig. 3.20se muestra una onda tle este tipo, representada por unl función y = y(r) .

Y ( t )

Fig. 3.20

b) Ondas unidireccionales: Son ondas en las que la magnitut l t ¡uc l l tsrepresenta tiene una única polaridad. En esper;ial se ticne la ondt dc c.c.de nragnitud const¿rnte quc se representü cn la fig. 3.21.

y ( t )

F i g . 3 . 2 l

Puecle real izar.sc t Í l rnbién una clasif icacién cle las ondas según r¡ue lasnrisnlas se repitan o no con el t ienlpo y üsí se tiencn:

l ) Ondas per¡ódicas: ( lue son aquel las que se repi te¡r a in tcrvalosiguales dc t ient¡ lo y en el nr isnro orden. El t ienrpo neces¿rr io p¿rr irrepetirse el ciclo se llama periotlo y se representil por

-l'. Si la on(lu

. } f t t - 4 & . . . - . ¡ . s 5 F a \ - ¡ ' r - . . . - 4 - a , . * ! & - ¿ - . . . - . - . ó ¡ ¡ a l E ¿ b . * / & - r ú f ¡ e u g b . ¿ ! d b - . { É 5 - { C ó i ¡ :

I

I

I

;E L IICIROIvIAC N E-TIS MO Y CI R C UI r0S EI-T{-T.R ICOS

es dcr la lbrrn¡l y - f(t) se cumplirí:

y = f ( t ) = f ( t + T )

Lf l onda cle ln f ig. 3.20 es adenrás de nlterna, periócl ica con elpcr iodo indicado en la f igura; una onda a l tern¿r per iódica decspcc ia l in rpor tanc ia la cons t i tuye la onda seno ida l ( f ig .3.22).cuya magnitud varía con el t ie¡npo siguiendo una ley seno.

INTRODUCflON A IÁTEORIA DE U)S CIRCUITOS ELECTRICOS

y t t )

F i g . 3 . 2 3

ONDA.S P I IR IODICAS: V ' \ LORI iS ASOCIADOS

v ( t )

3 .6 .2

Fig. 3.22

E,¡r Lrna onda periódica se denomina ciclo a Ia parte de la on(lacontpren(lidit en e I intervalo de tiernpo de un pcriodo, por ejerrrplocn cl inlervalo (t , t+' l ' ) .

Se denornina f recuencia a l núrnero de c ic los que t ienen lugarpor segundo y que se mide en Flertz (o lrertzio), corresponde it la¿l¡lt igu¿t unidatl: ciclo por segunclo (c/s).

Ondas no per i í ld icas: Son aquel las ondas (pre no t ienen c ic losrlc repetición, l i lmbién se la l lama ondi l íubitrar ia. Un ejernplo decst¿r onda se indica en h f ig . 3 .23.

Iln este cilpítulo, trabidaremos fundanrent¿llmente con las ondas dec.c. r lc nragnitud const i lnle y en los capítulos 4 y 5, con las onrlasperi t idic¡rs al ter¡r¡rs senoidales. Existen sir t enrbnrgo, otro t ipo deon(l¿l! ; que son interes¿rntes en el estudio transitor io de circuitos y( lue se estudiar i in en e l c i lp í tu lo 6: función r i lnrpa, funcióncsL":t lón, pulso rcc:t i lngr¡ lnr y función irn¡ l tr lso o dc Dirac (estasondÍls t ienen tanrbién interés ert el estucl io de vibraciol les).

Debido a la irnportancia de estas ondas, van r definirse diversasmagnitutles que se enrplean cn su estudio. Se han visto yt los concepros dr:cic lo, ¡rer iodo y frecuensia; de las def inic ioncs de esras dos t i l t in lasmagnitudes puede obtenerse la relación:

(3 .42)

et't l¿t (lr¡e f 'rcpresr:ntl l¿r frecucnciíl en f lertz y' l 'el pcrírxlo en segun(los.

Si la onda periúl ica es de l¿t fornta: y = f( t) se denonrint:

J ' , 0 sel, el vl t lo¡ '

(3. -13)

b) V¡rl.Ofl li l.|CAZ es cl valor cuatlrálico medio, es decir el valor medir>dcl cuadrudo rle la función en un ¡leríodo'[. Su expresión es:

(3 . . 14 ¡

r = !'l'

2)

a) VALOIT l \ IEDIO al promedio in tegra l en un per ior lorne(l io cn un ciclo, su exprcsión nratel l r¿ít . ica es:

Tl f

Ymcd = TJ

r(t) dt

T

i frttr)12 dr' r ' I -

1 . ,

En el crso dc t¡ue tas ondas quc se estudien representcl lcorricntes, los cont:cptos de valor nledio y cficuz tiene n un significirdo físicointportitnte, y así puede de¡noslrar el lcctor r¡uc el valor nredio indica el vllc¡r

2 1 l l 21 |

ELECTROMACNETISMO Y CIRCUITOS ELECI'RICOS

con$la¡lte Y,1¡ cle una cortiente contillu¡r que prodrrcc l¿r nlisuln c¡rnticlad dcelectricidad en el períoclo T que la orrda periódica; mientras que el valor ellcazindica cl valor constilnte Y de una corriente continua que produce la misnlacantidad de calor en el periodo T quc la corriente pcriódicn, al circulir por unaresistencia R.

Al valor máximo que representa la onda periúlica se le conoce concl nonrbrn de valor de cresta o tanrbién valor de pico, pudicndo exist i rrlos vnlorcs diferentes cuando la ollda sea alterna (para valorcs positivos yrregativos).

I iJI i iVI ' I-0 DIi APLICACION 3,1,

Calcular el volor medio y eftcaz de la ondu representada en laJ'i¿¡.3.2.1,dcterninando previanrcnte el periodo y lafrecuencia.

S ( ) T , U C I O N

I ' i g . 3 . 7 4

ü ¡rcriulo cs tlc 0,03 scgundos, quc corrcsl)onde a una ficcucncia dc:

INTRODUCCION A I.A TEORIA DE LOS CIRCUTI'OS ELECTRICO.S

(1,{11¿

l ü ) 0 t t l r + I l 0 d t +0,01

I*r =0,02

- r,pr--l

.f* l"t (1000 r)2 dr + j r02 dt + ig r, | = +A

I o'03

L ü o,or o.o2 J

DE I fEDES: CONCIiP' IOí j I t tJNDA I \ ' l I iN' l ' , \ -

T -I mcrj

o,()3 I[ o , t t l = 5 AJ l

0,02 J#L'I'

r)

3 . 7 ' I ' O P O L O G I A

L E S

I-a topologírt es una ranra de la geomctrír, (lus cs muy riti l ¡xtraestudiar los circui tos eléctr icos (Kirchhoff ya la cnr¡r let i en 1.8'17). l .atopologír trilti l (le las pro¡ricdntles de las redcs (prc no sc aleclur ct¡llrrlo sedobl¡r o <listorsiona de algunt u ol¡a rn¿rncrn cl ttnlaño y lbrlru tlc l¡r rccl.

tJna de l:rs aplicaciones rn¡ís il l lportantcs de la topología cn cl¡lniílisis dc redcs es podcr seleccionar el núme ro corrccto v nriis a¡rro¡riltlo tlctensiones o corientes incógnitas para la resoluciólr dc r¡n circuito clictrico.

Va¡lros a dlr en este rpartado una serie de dcfinicioncs rlti lcs t¡rrese han de manejar a lo largo del tcxto.

NtlD() : Es un punto r lc ur t i r i l t entrc t res o ¡n l is c lcn lcntos r lc c i rc t ¡ i to . l i ¡ rtopo log í l t , c l c :once l ) to dc n t ¡do se i rp l i ca tanrb idn t r l pun to t lonr lcconfluyen t lc ' ls o nl i is cletncntos de un circuito. En nuestro c¡rso culn( lose tenga u t l p t ¡n to t le un ión en t , re dos e lcnrcn tos t le r ¡n c i rcu i to ,clenonl ini trenlos i l este punto: nudo secunthrio, y cui lndo cxisturr t les ontr is elernentos se conocer¿i sirn¡ l lcnlentc por el nonrbrc t lc nurlo. [ : rr laf ig . 3.25 i l , los ¡ runtos A y B son ntr ( los, 'n l ientr¿rs ( luc cn l l f ig . 3 .251t .los puntos A y [ ] son nudos secundarios.

t = J.= = 33 ,3 ll'¿' - 0,03La ccuación de l¿r onda cs:

0 < t -< 0,0 I

0 , 0 1 < t < 0 , 0 20 , 0 2 < t s 0 , 0 3

¡xrr lo talr lo lo.s valores mcdio y cf icaz scri in:

. l 0' = , r t u1 r= l ooo ti ' - l 0i = 0

? 1 ?

F ig . 3 .25

ELECIROMA(¡NL-T¡SIVIO Y CIRCUITO.S ELEfI](ICOS

2) ltAl\lA: Iis un elemento o grupo de elementos conectado entre dosnut los (En topología el término también es vi í l ido para nurlossecu¡ldarios pero no se aplicará aquí). La red de la fig. 3.25 l, tiene tresríunAs.

3) RII) pl,¡\NA: Es unR red que puede dibujarse sobre una superficieplana sin que se cruce ninguna ranra. En caso contrario se dice que lared es no plana. La fig. 3.26 a presenta t¡na red en puente queapare¡rternente es no plana, sin enrbargo dibujindoln como se muestraen la fig. 3.26b, se otrserva que realmente es plana. (En este textosólarnente se estudiarán las redes phnas ).

I t i g , 3 . 2 6

l-, \ZO: Es rrn conjunto r lc rnrnits ( luc fonnan ttnát l í ¡rc: t ccrr i ldi l , de talfonrur (l l te si se elintinl cuitl( luier rnrl lít del l¿rzo, cl ci lt l l ino (lueda abierro.( l istc conccl)to es vi i l i tk l tart t t l p¿trí t rcdcs pl i tnas como p¿tra l l rs no

¡ l l r tn¿rs ) .

Nl, \ l , l , , t : I lste concepto se npl ica sol i l rnente i l c ircuitos planos y es unl¿rzo que no cont ienc n ingún otro en su in ter ior . E,n un c i rcu i to p lanoexistcrr obvi¿rnlentc t i lntas ntalhs, conlo ventonos t iene l¿r red. En l¿rI ' ig. 3.26b sc t icnen t le esta fomra 3 mallas: a, b y c. Corrtpnrébese quetot l trs las nt¿l l las son l tzos, pero no todos los lazos sot l rnal las.

(;R,\ tro: I ls un dibujo sirnpl i f ic¡rdo de un circuito en el que cadir ramase reprc.sentu por u¡ l segnlento. s i tnmbién se indica con una f lecha e lsentirlo dc l l corriente paril citda línea del grnfo, se dice t¡ue se tiette tlngrir f 'o or icr i t i r( lo. En l¿r f ig.3.27b se muestra cl grafo de la ñ9. 3.21 a.

AI i l tOL: fs la parte de un grafo fo¡rnndo por rnmas que-c.ontengan atot lo.. i los nu(loi , s irr (p¡t sc l 'ornlen l¡ tzos, Et l ln f ig, 3.27 b t ;e h¡t¡rostr ' i l ( lo co¡ l Í ¡reas gruesas un i i rbol tJcl gr i t lb, corlst i t t ¡ ido por lnsfti l I l¿rs 2,3 y "1.

IT{IROD|' 'JCION A LA TEORIA DE LOS CIRCUTMS ELECTRICOS

-\-)

Fig. 3.27

8) t ts t ,A l loN : Son las r i lmas del grnfo noconoccn tanltr ién con el nornbre de cuerdasPiuit el grafo de la f ig. 3.27 b, las r¿lrnÍ ls 1,5

3 .7 ,2 PROPIEDA DI iS

b )

incluíclas en el i i rbol . Scy tanrbién ramas de etl lace.y 6 son eslnbones.

dc c¿ulrrc¡r n'l l)0:i

175

-l)

De h <Jefinición de árbol, se dcdr¡ce que si se tiene unl retl dc rramfls y n nudos, el ntinrern dc ra¡nas del iirbol ser¡i el de nutlos ¡ne¡los l.

Nq rnrnits del ¡ írbol = Nü nu(los - I = r l - | (3..15)

por otra parte el ntinrcro rle eslabones, scrá igrrtl al nrinlero de r¡¡¡nls tlclgrafo menus cl nti¡ncro dc rrrtras del ¿irlxll, cs dccir:

Nede es labones = r - ( n - l ) = r - n+ I 46 )

s) Las ecuaciones (3.4-5) y (3.46) son muy útiles para la elección dclas variables indcpendientes de una red.

3. l t I -ENl i lS DE KILCII I IOFF

I-as ecuaciones básic¡s de los circuitos, se formularon a partir dedos le¡nls scncillos que fueron expresatlos por primera vez por (iustavKirchhoff e n 184-5. EI primer le¡¡a se aplica a lns corrientcs qr¡e enfran o salende un nudo y constituye la versión en teoría de circuitos del principio dccurservación de la carga. El segundo lema, se lplicu a las tensiones a lo largrrdc un circuito cerratlo (lazo o rnnlla) y reprcsc¡lta la versión e¡r la teorín tlecircuitos del principio de conscrvación de la cnergía.

(i)

t )Vitnros i l ver a continunción t¿r fornlulacir in y expl icacir ln

uno de cstos lcr tuts , cuyí t denrostr¿tc i r in r igurosn l )or tcor í ¡ r dcclcctronl¿tgnéticos se i tn¿l l izn ctr los ejcrnplos clo apl icación 3.2 y 3.3.

274

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

3.8.t r'Rt$iliR LF:MA Dtt KtRCUilOt'F'

Este lema es el resultado directo de I principio de consewación deln citrga. E¡r los textos sajones se conoce con el nombre de ley de lascorrientes de Kirchhoff, y se aplica a los nudos de una red. Consider€nlos unnudo crralquiern de un circuito, como el mostrado en la fig. 3.28, en el que sernuestran los sentidos de referencia de las corrientes en las distintas rarrras (lascorrientes en general pueden dependcr del tiempo y por ello se escriben conrnirrúscula). Como quiera que en un nudo no se puede almacenar c¡rga; encualc¡uier instante de tiempo, la corriente total que entra en el nudo debe serigual a ln corriente total que sale del nrisnro. E,n otras palabras y. confornlulación matenrático, en el nudo de la fig. 3.28 se cunrple:

i r (t) + i3(t)+ is(t) = iz(t) +i4 (t)

INTRODUCCION A LA'TEORIA DE U)S CTRCUNOS ELECTRICOS

igual a cero. Cualquier versión es buena, lo intportante es establccer los signosde las corrientes claranrente.

El prinrer lenra rle Kirchhoff tie¡re un sínril hidrírulico. Si scconsidera una red de tuberías llevandr¡ agua que confluyerun en un ¡runto, clcautlal total (m3/s¡ que llcga al nudo tlebe ser igu:rl a cero.

El primer lema de Kirchhoff se puede generalizar t¡tilizando lo queen topología se denomina grupo de corte. Considérese una red que sepuede separar (cortar) en dos partes N¡ y N2 como se nluestril cn la fig. 3.29a. La línea discontinua representr la superficie dc corte que divitlc al

Fig. 3.29

circui toen una parte externa N¡ (nodibujada) y una p{rte internt N2. Ltsdos partes están conectadas por los hilos a,b,c,d que llevnn l¿rs corricntcsindicadas. Como quiera que la corriente que entra en cada elelnento es igunl irla que sale tle é1, ya que h carga neta almacenada es siempre nulil, entonces secunrplirií:

iu(t) - i5(t) +ir(t) -i¿(t)'= 0

que es una generalización del prinrer lerna de Kirchhoff y que se cnuncia así:

La sunra algcbraica de las corr ientes que entran cn cuatr¡uiersuperficie cerrada es igual a ccro.

_ La superficie dc corte tnnlb¡én puede ser abierta, sienrpre t¡rresepi l r€ el ,c ircui to or iginnl en dos partes. En ta f ig.3.29b se ¡nueitra doscircuitos N¡ (izquierdl) y N2 (dcrecha) que se han separndo por nrcdio <le unpllno de corte C. Si sc cortsider¿rn conro corrie¡ltes positivls las qrre salcn ¡xrr

(3 .47)

tr dc otro rnoclo:i 1 ( t )

es r lcc ir:I in cua l t ¡u ie r i ¡ rs fan te de t iempo, la sun la

tod¡rs las c(rrr ientes que entran en un nudo es igual

Fig. 3.28

i2( t )+ i3( t ) - i+( t ) + i5 ( t ) = $ ( 3 . 4 8 )

a lge l l r a i ca dea ccrO:

I i ( t ) = Q (3.4e)

en la de finició¡l anterior, la palabra algebruicu significa que las corrientest ic lrcn signo, una corr iente i2(t) que sale dcl nudo es equivalente a un¿lcorrienle - i2(t) que entra en el nudo. De este modo para aplicar (3.49) se dcbea.sigrrar el s igno + a las corr ientes que entran en el nudo y signo - a lascr-)rlicntes que salen del nudo. Conlo quierr que la ecuación (3.49) conserv¿rsr¡ virlirlez si se rrrultiplican a¡nbos nrie¡ntrros por (-l), la ecuación et¡uivalcrrtcindicarír r¡ue la suma de las corrientes r¡ue salen de un nudo es en todo instantc

276

i--a( t )

¡ t ó t t t

2 7 7

E Lh,CI'ROMAC N HI'l S lvt( ) Y C I RC U fK)S E LLC-I'R I C( )S

la pane derecha del plano de corle se cumplirá: ,

i¡(t) - i2(t) -i3(t) +i4($ = 1¡

que expres¡l en definitiva que I i(t¡ = 6 en cualquier su¡rerficie de cone.

3.8.2 SE(¡UNDO LEIUA DE KIRCIITIOFF

Este lema es, como ya se ha indicado anfes, consecuencia directaclel prirrcipio tle conservación de la energía. En los textos sajones sedcnomina: ley de las tensiones de Kirchhoff, y se aplica a los lazos o nrall¿rsde una red.

l{ecuérdese que la d.d.p. o tensión entre dos puntos I y 2 es eltrallirjo (energíir) por unidad de carga que adquiere o pierde la nrisma al¡noversc dcsdc I lrastn 2. Si nl ir de I n 2, la cargn adquiere o gilna energíacnron(:cs 2 cs positivo respecto a l, hay por consiguiente unil elcvación dercr¡sitin dc I l2 (o unrr c¡rídl de tensitin de 2 a l), o al contr¡rrio si la carga¡ricrrlc o gilstir energín para ir de I a 2, entonces 2 es negativo respecto a l, loque sigrrifica una caírl¡r dc tensión de I a 2 (o una elevnción de tensión de 2 ttr ) .

Consiclere¡rros ahora el circuito de la fig. 3.30, quc nruestra uncarnino cerrado de In rcd. Supóngase unil carga e=l C, que se sitú¡a en cl ¡rudo

INI'R0DI.JCCION A 1,.A,I'EORIA DIJ IJ).S CIRCUTTOS ELECI'ItICOS

gastada tle valor: v3(t) + v4(t) y en consecuencia se cumplirá:

v¡( t ) + v2( t . r + v5( t ) = v3( t ) + v4( t )

o de otro modo:

v3(t) + v4(i) - v l( t) - v2(t) - v5(t) = Ses decir:

(3 .50)

(3.5 r )

todasce r()

En cualquier instante delas tensiones a l r¡ largo de

I v ( t ) = Q

lo) NUDOS2s) l-Azos (MA[-LAS)

tiempo, la sunri l algebraicl r leun carnino cerrado es igual i r

en la definición anterior, :a palabra algebraica significa que las tensionestienen signo. Unt tensión en un elcmento se to¡na con signo + cuanrlo irlrecorrer el circuito vamos rle + a - (nrayor a menor potencial) y se loml consigno -cuando vamos de - a + (menor n nrayor potencial). En delinitivr co¡teste co¡lvenio la ccuación (3.52) intlica que la sunra de las caídas de tensión cnun circuito cerrado es nula. Si se tomr el convenio opuesto, entonces la su¡rrirdc elevaciones de tensión es igual a cero, ambos convenios son equivalentes.

En definitiva lc,s dos lemas de Kirchhoff se expresan así:

(3 .5?)

(3 .5 3 )I i ( t ) = oI v ( t ) = 0

Fig. 3.30

A y t¡uc se nrueve en el senticlo intlicado,del nudo A al B, clel B al C, etc.haitr- volvcr al nudo de part idn A. Se han señalado en la f ig. 3.30 laspolaridatles de las tensiones. Según cl principio de conservación de la energía,ia energíir giuradr por In carga al efectuar este recorrido cerrarJo, deber¿í serigual a la energín ¡rerdida por la nrisnra. Como quiera que las elevaciones detórrsión son girnnnciits de energíl y las cnídas dc tensitín son pérdidas, sererldr'¡i urra cnlrgín gnnndu por la ciugl igual a v ¡(t) 'r v2(t)+v5(t) y unit ettcrgíit

278

(lue nos indica t¡ue lo que se cumple en una ecuación part las corrientt:s, secumple en la otra paru ias tensiones; lo que se aplica en un cnso ¡rant losnudos, sc aplict cn el otro prra los lazos o nrallas. Estas sernejnnzils ¿rpnrcccrlcon frecuencia en ll teorít de circuitos y se denonlina dr¡alid¡¡d. lln cstc cusolos ténlr inos duales son: corr iente-tensión y nudo-mal la, extendicnt lo ladt¡alidacl a otras magnitudes, se consigue simplificar mucho el estudio tlcciertos circuitos, co¡no yír se ver¿í m¡is atlelante.

3.8.3 I IT-I ICCION DE LAS IICUACIONES INDNPNNDII]N'TIIS PAIIAI,¿\ AI'I,ICACION DE LOS LI.:I\,IAS DIi KIRCIIIIOFI¡.

La resolr¡ciórr de un circuito eléctrico consiste en calcular lirscorrielltes de las diversas ritnras del misnro, ya que determinad¡rs ésras scpodrían exanrinar lns dif'erentes tensiones y potencias en cada elenrento tlelcircuito. Si el circuito tiene r ramas, se tendrin por consiguiente r incógniras.Para resolver la red serír preciso preparilr r ecuaciones qr¡e sean independicnrcsy que se pueden deducir aplicando los dos lemas de KirchhotTal circr¡ito. Elprotrlenn sigrriente serín ¿cómo elegir estas ecuAciones, teniendo la scguritlutlr le t¡uc forr¡rcn r¡¡r s istcma ir t t lc¡ :encl ict l tc?. I ' ¡ rr¡ ¡r¡¡al i r .nr csta si t r¡¡rc ir in

+

v r ( t )

4 ( t ) v r ( t )

v - ( t )5

D

27\)

LL,LL I h ( l t r l . r \ \ . r ¡ r r - I l * r l v l t . , I L . l l \L t : r r U . r LL t f - I r t l t - .1 / . r

:onsitlcrcntospor ejemplo el circuito de la f ig. 3.31. Existen seis runas

ve¡ Fig. 3,3 |

(r = (r), a las que se les ha asignado unas corrientes en unos selrtidos tonl¿rdosrullitrari¡lnlcnte. De acuerdo con estos senticlos se ha determinaclo la polaridadrlc hs tensiones en cada una de las resistencias del circuito (la corriente sedirige, en los elementos pasivos, de nrayor a menor potencial) de este rrrodoen carla r¡rtit de hs resistencias se escribe la ley de Ohnl como vi = Ri ii. Elcircrrito tielre 4 nr¡dos (n = 4) a los que podría aplicarse el prinrer le¡ua deKirchhoff, y cuyo resultado serfa, de acuerdo co¡l (3.49):

núnrero de nudos independientes es igunl nl número de rnnras del irbol clelgrafo dc la red, (ver ecüación 3.45). En el caso de ll fig' 3.31, se tic¡e: n=4.yfior consiguiente se tendr¿in n-l=3 ecuaciones de nudo, que resr¡ltan de lahplicación del primer lema de Kirchhoff.

Ahora bien, como existen r incógnitas, se necesitar¿in: r- (n-l)ecuaciones adicionales que se obtendrin aplicando el 2q letna de Kirchho[f alc ircui to. Para la red de, la f ig.3.3l representarán:6-(4- l) = 3 ecuacionesnuevas, que es en definitiva, según la ecuación 3.46, el núnrero de ramas tleenlace o éslabones del circuito. Ahora bien, el 2q lenu de Kirchhoff se aplica alos lazos de la red, que son los diferentes circuitos cerradc¡s (lue se pucclenfornrar. El lector puede comprobarque en el caso de la fig. 3.31 existe¡l 7Iazos, a sabeT: ABCEA; AFDBA; CBDCFIC; EAFDI]CE; EABDCI.ICE;AFDGHCIIA y EAFDGHCE. Esti claro que de estos 7 laz-os, sólit¡nentc dcbehaber 3 indepentlientes ¿pero como elegirlos? lo más simple es tontar nquelloslazos que coincidan con las mallas (ventanas) que tiene la rctl y t¡ttc sc hattseñalado en la fig. 3.31 por a, h, y c (y que se corresponden con los tresprimeros lazos enumerados anteriormente). El lector puede contprobar t¡ue losdernás lazos son co¡ttl:inación lineal de estas ¡nallüs. AsÍ el 4a lazo es ln sultlade las mallas a y b, el 5etle la sumade a y c, el 6qde b y c, y cl 7! de a, [r y c,

Se podrían busc:tr otrils combi¡raciones, pero estÍl es la lrriissimple. (En redes espacir les, no plani ls, los lazos nt is si tn¡ l les, sott loscorrespondientes a los circuitos cerrados que se forman ill cerrur las ranlas tlclárbol por los eslabones, de tal nrodo t¡tte cada lazo que se fbnne colltcnga unsólo eslabón, por ello se obtienen tantos lazos indepentlienles corno eslalrrrncstiene la red, es decir: r-n+1). Por consiguiente la respuestit dcl cirt:uittt tlc lafig. 3.31, se obtendrá de las soluciones <le hs ccuaciones:

Nutlo A :Nutlo B :Nudo C :Nudo D :

I ¡ - b - l 3 = 0

1 2 - l a - l S = 0I ¿ + l O - l t = Ql l + 1 5 - [ ó = 0

( 3 .s4)

Observamos que cada corriente de rama aparece exactanrente dosveces en las ecuaciones anteriores, unil vez con signo + y olra con signo -, lo(lue cril de esperur yü que al conectar una romü dos nudos, la corrienle serí¡rositiva ¡especto de un nudo y negativa respecto del otro (la corriente va tJe unrlr¡tlo itl otro).Se puetle contproltar por ello t¡ue cada una de las ecuaciones seobticnc conlo la sunra de las restantes carlrbiatla de signo. Por ejernplo, alsurnar las ecunciones de los nudos A,B y D resulta:

l ¡ - la - 16 = $ (3 .ss)

A t I 1 - l z - \ = 0NUDOS I]) lz - lq -ls = 0( ler l ,errtn) C) lq +lf, - l t = 0

a ) R ¡ I ¡ + R Z 1 2 + R a l a - V s r =MA[,[-AS b) R3 ll + Ve2 - ttS 15 - Rz Iz =(2u Lenra) c) - l t¿ I¿ + RS 15 + It6 Ió -Vs3 =

( 3 -561

0o ( 3 . 5 7 )0

que corno ya se ha indicado, es la ecuación del nurJo C ca¡nbiada de signo.I'or cclrrsiguiente la ecuación del nudo n-ésinro, est¿í realnrente incluída en lasn- l ecuaciones restantes, y es por ello redundante. De este modo para aplicarel pr i rner lerna de Kirchhoff y conseguir un conjunto de ecuacionesinr lc¡rencl ientes se deberán elegir n- l nudos de los n lotales disponibles.Desrle un punto de vista topolégico lo anterior se expresa dicie¡rclo que el

2Ít0

donde se ha aplicado el 2e lenta de Kirclrhoff (3.52) a las tres nrallas tlelcircuito. De cualquier rnodo, el procedinriento aplicado at¡uí es l)oco cficie¡ttcporque utiliza un gmn núnrero de ecuacioncs e incógnitas. M¿ís ldcl¡lnte scofrecerán métotlos t¡ue enrplean un nti¡nero nrí¡rinro de incógrritas yecuaciones, y que por consiguiente son de nrayor rendimiento.

E]I'MPI.O I)Ii ÁI'I.ICACT0N J.2

Partienút de h ecwrción dc contindtLtd o principio tlc conserwción dc h carga:

I

- , , ' ' r t 3

l bO (

I o I s

R - I o

o

zft I

L["LL" I l(t) lvlr\(;N L' I lSNl( J ¡

cliv J =

dcnrcstrür t:l primer iema de Kirchlwf.

y sc illtegftl

L l l ( t . t J l I US LLI :L I l ( t \ - (J : ¡

Qnr. ,r)t

o b icn:

l i r l l t ( Jt rL lLLluf . { A tA I LtJ l ( l r \ I )b L(J.S r . i l (utJ l ' l ' t -15 l : l - l :U I l ( tU()s

r i1t¡ = iil (3 .61 I

S O L U C I O N

Consitlércsc el nr¡do N de la fig. 3.32, si sc partc rlc la ccuac¡ón (lc continuidaclsobrc u¡u supcrficic csfórica S ¡ tlue cncicrrc cl rrurkl N cn .su intcriur sc curnplirii

f r a l rI c l iv J c lv = - | o ' i . lu (3.58)

J J C ) Jv v

donde el primer micmhro, dehe interprcmrse como suma algebraíca de las corrientcs que salerrdel nudo. Scrán ¡xlsitivas las conicntcs salientcs y negativas las cntr¡ntcs al nutlo.

E.n el caso de que las corrientes no varíen respecto del ticnrpo, la expresirin(3.61) se convcrtirá en:

I I = o (3.62)

que reprcsenu¡ el ¡rimer lcrna dc Kirchhoff. f)e acuerdo con est¡rs imposicioncs, parccc i¡primera vista quc cl lcr lema dc Kirchhoff solamente es válido para corrientes t¡ue no varíeucon rcsfrccto al tiernpo. Sin cmbargo vamos a vcr que la ecuacir'ln gcneral (3.6 | ) se rcdr¡cc ula (3.62) ar¡nque se tc¡rgan corrientcs variables, sicmprc quc se consideren variacioncs le ¡rtascon el licm¡xr, lo que cc¡uivale a decir que los clc¡nentos del circuito pucden rcprcsentarsc c¡lfon¡ra tlc panfunctros co¡rccnF¿dos.

Desdc un punto de vista cstriclamente rnalemático, la ecuación general (3.61)que sc obtcnrlría al aplicarla a la superficic dc intcgración S¡ de la fig. 3.32 daría lugirr al lcrlcma dc Kirchhoff (3.62), puesto tl,¡c el ¡ecienlo de integración Sl no contiene nirrgúrrelcmento que almacene cargas cn su interior y por cllo el scgundo mie¡nbro de (3.61) serÍaigual a ccro. Sin cntbnrgo si sc considcra una supcrficic tlc iutcgración 52 dc tal nrrxlo tlucpase por el ccntro dcl contlensarlor de la rama 5, entonccs la ecuación (3.61) da lugar a:

(3 .63 I

los condcnsadorcs rlc las rarnas I y 2 no tendrían eslc problcma ya que el primero cs cxtcririra la supcrlicic de integración y cl segundo al cstar dcnuo dc la misma (S2), no ricncproblcrnas rle ahrtaccna¡nicnto dc cnrga, prque ambas placas compcnsan sus variacioncs ¡lccarga (una placa ticne una c¿¡rga + q2 y la otra - ¡12). De to<las formas si sc p¡¡rtc tlcl su¡urcstrrde paránreuos conccntrados la superficie 52 no potlría pasar por cl ccnuo dcl condensador rl¿la rarna 5, por lo qr¡e (3.63) se úansformar¡í cn (3.62). De estc modo el primcr lcnra deKirchhofl cs sientprc válido, para conientcs que varicn o no Lon respccto al ticmpo, sicrn¡rrut¡ue sc consirlercn can¡[x)s clü¡sicsucion¡¡rios.

EJIifuIPI.O DIi AI'I.IC,ICION 3.3.

Considérese el circuito de la fig. 3.33o que represenla un gencrador quculimenat un circuito serie R-1,-C.

a) Obtener h reku:ión v, = f(i) aplicando el 2Q lema de Kirchhoff. b) Con.siderando tlesquenn equivoleile electntma¡;nético de la fig. 3.33 b, obtener la rektción unkriorupliunlo h teorfu de canpos.

E ilr¡* t'f

Fig. 3.32

sicndo v cl volu¡ncn dc la eslcra. Si sc aplica cl tcorcmq dc Ostrogradski-Causs al prinrcr

rnicmbnr tlc la ccrrirción antcrior y tcnicndo cn cuenta que Ju pu dv = q se tendr¡í:

f r . d s = # (3.5e)

la intcgrll rlcl ¡rrinrcr nricnrbnr rlc (3.59) cs nula cn lqucllo.s punlos dc la supcrficic csféricarltxxlc lx¡ lury corricntcs. Par¡¡ las c¡lrricnlcs salientcs dcl nudo, al tcncr .f y rls el lnislrroscntirlo (o cn gcncral rluc J y ds ftlrmcn un llngulo infcrior a 90o) darán un valor positivo ycll clso contrario las intcnsirl¡¡des scrln ncgativas, quedando exprcstda la ccuacirin (.1.59) dc lal i l rn ta s igrr ic t t tc :

282

i ¡ - i z + i ¡ - i . r + i s = - t l i l (3.60)

zrJ 3

L,LlrL l lt(Jfvlr\L,r'{L I l5fvltj r Lu'.L.ur I US bLte I l(lLU.\

, d i , - I IL i lE --- l

B

+

I J ia 'a )

vg

A

*rd

I= 6 j

d

b )

F i g . 3 . 3 3

S O L U C I O N

¿D Para cl circuito de la fig. 3.33a, el 2s lema tlc Kirchhoff nos (ül:

R i + L t l i

+ I r ' r 'r r t c J i d t - v 8

= 0

o dc otro modo:

v B = R i + L t l i I r '

* +

c J i d ttlolrtlcr sc lra tcnido en cuenta que:

v p = R i ; v L = L + I

u d t ; v c = á J i , r t

(3 . f i )

(3.65)

(3.66)

(3.67)

(3.68)

b) Scgún la teoría dc campos, el gcnerador de la fig. 3;33h irnponc un canrpo 8, deorigcn no clecl¡ostático que va dcl tcr¡ninal negativo al positivo. Eslc campo vacanrbian<lo rlc sentido conlorme varía con cl tiernpo. l..a fig. 3.33b re¡rrcscnta lapoluirlad cn bonres del gencrador en un n¡omento consitlcrado. Este carn¡lo dará lugarcn cl exrcrior a un campo E no electrostritico (debido a que E* varía con el tiernpo) yquc cn el instantc supucsto se dirigirá dcl tcrminal + al - por fucra y por dentro dclgcncrador. Existirá por consiguiente un canrpo cléct¡ico total Fl + Ii, Quc dará lugar auna dcnsida<l de corricntc J dc circulación por el circuito, y se cumplirii :

. I = o ( B + I t g ) = ) I i + l i o = Io c t

rlctrc tcrierse en cuentil y dc un mo(lo sinrilar al e.studiatlo en cl epígralc (2.4) quc Ir,

sóllrnrt:nte c.\istc dcntro dcl gcncru(lor y quc Ii estíi prcscntc tanto dcnuo como fueratlcl nrismo. El campo ¿mtcrior dc ¡tcucrdo con (2.123) es igual a:

E = - s r i l d v - +( ' d l

ccuitción quc llcvada a (3 ,67) nos dil:

2?,'l 2rt5

tig = ¿ +o s r a d v +

*(l,rr9)

(3 ,70)

( 1 . 7 I )

y supucsto que no hay miis accirxrcs en el circuito (corno movint:;nlo rlc conductoros)y que cl cnnr¡xr rnf,sndtico quu rc$ulic $e cor¡$idcrc concsntru(lo cn lü brlhinilr rc$ult¿rr¿lal integrer (3.69) a lo largo del circuito:

f nr.n = f * or + f s r a o v d r + f * u tT T

cuyos valores parciales son igu¿llcs a:

r ) TENSTON DEL GENERADOR (F.E.M.) :

. ' ?uB =

f I i* t l l =

J E* dl

T A

2) CAIDA DE TENSION ITEStS'�i lVA:

v ¡ q = { l , u = I ' g = i - t = R iJ O , ' O S O' t B

3) CAIDA DE TENSION INDUCTIVA:

Í Dn ' [)V r , = { # . u = * } a . ' = # = L H

4) CAIDA DE,'TENSION CAPACITIVA:

r t iv ( : = I g radv d l =

JSradV d l ='t l)

q1l = ( l =S E C

rcsulhd.).s (lue al l lcv¿u a (3.70) nos dan:

v B = R i * I - $ . * J , u , ( . 3 . 7 2 )

y quc coir cidc con la cxpresión (3.ó5) cuya dcducción se rcal izó a¡r l icarrdo la tcoría r lccircuitos. I

iDcbc destaclrsc t¡uc lns cquivalcni ias (3.71) son vál irhs sicnrprc quc sc

considcrc la tcoría tlc los pariirnclros conccnua(los, cs dccir lu rcsistcncia tlcl circuilo sc lra

- D t lb ( l = - - - =

t

* J i ' r '

consitlcrarlo ctlnccntrada cn cl conduclor tle longitud l, cl flujo mlgnético sólo cxisrc cn cli¡¡tcrior tlc la lxrhirta y cl condcnsacklr cs el ú¡rico clcurc¡lto tlcl circuito cnplz. dc ül¡r¡i¡cenarcargas cléctricas. Dc ahí la validcz. tlcl paso dc las integralcs curvilíneas ccnadas dc 13.?0) alas abierla.s t¡uc rcsultan cn (3.71) y aplicadas sólamcnte a cada elcn¡enlo dcl circuito. Elleclor obscrvará quc la deriucción de la relación vg = f(i) es mucho nrás simple etnplundo lalcoría tle circuitos, ya quc al tratarse dc camgrs cu¡uiestacionarios ticncn validcz kls lemas tleKirchhoff. En gcneral para campos dc variación rápida, clcja dc sc¡ rcal la su¡r,osición rlcparánretros conccntrados y deben utilizarsc los conceplos dc campo. Afortunarla¡ncnte, clcant¡xl dc la Elcctrotccnia es cl campo dc la baja frccucncia, donde nucstro intcrés csiarár:cnlrarlo en analiz¿r sinrplcnrcrrtc las rclacioncs cntre lensioncs y corricntes.

IiJI 'MPI.O DIi ÁPI.IC,ICION 3,1.

En el circuito tlc tafig. 3.34, calculor: I) corrienrcs I l, lr, I j .2) Porenciastléctricus suntinistru¿üts por los generodorcs 3) Potencias eléctricus disipulas en hsrcsistancius. Con\ruél.tesc el bultnce de potencias del circuito.

¡ ¡ r I l ( ( ) t - ¡ t rL t . l ( , ¡ f . l ¿ \ L - . \ I L (J l ( l r \ U l : l - r , r5 L l ¡ (uUl l t ¡S L l . - l :L lR l ( . ( )S

P l = 8 . I t = $ . 6 = 4 t l WP2 = - 13 . 13 = - 13. ( - 5) = + 65 W

cl signo - colocado en la expres¡ón de P2 proccde de c¡ue la conicnte 13 corrsirlc¡'arliren la f ig . 3.34 entra por c l posi t ivo dcl gcncrador y quc a su vet valc - 5A(Recuértlese que la potencia suministrada por un gcncra(lor ttc tcnsitin cs cl pr(xluctr) rtt:la v, por la corr icntc quc sale ¡ lor cl tcrminal + ).

Las pltcncias surninistrarlas F)r los gencra(lorcs serán:

Pts.n -Pl +Pe = 48 + 65 = I 13 W

Las ¡ntenci¿Ls disipadas en las rcsistcncias scriin:

P ( | 0 o ) = f t P - 1 . 6 2 = 3 6 WP ( 2 O ) - 2 . 1 ? = 2 WP(3o) - 3 . ( - 5 )z = 75 w

que reprcscnLa una potcncia absorbiila tot¿rl:

Pubs = 36 + 2 + 75 = I 13 W

se observa quc sc cumplc cl balance dc ¡rotcncia cn cl circuito, cs rtccir:

I P g * n = I P a b s

3.9 ASOCI¡ \CION DI i ELEIVI I IN ' I 'OS P, \SMS

Los ele¡nentos pasivos pueden conectilrse entre sí, de tal tbrrnaque una conrbinacir in de cl los puede sust i tuirse por un valor equivl lenre, l rsprincipales co¡nbinacio¡les (lue se observan so¡r:

3 .9 . I CONI iX ION SERI I i :

Varios elementos pasivos se dicen que estiín conectados en sericcr¡ando circula por ellos la nrisnra intensidad. Consideremos los elenrenrospasivos conectados en, ser ie de Ia f ig. 3.35a representados por susinroedancias operacionales Z¡(D), Zz(D), etc. Si l lamamos v¡, v2,.vn a lad.d.p. en los bornes de cnda impedancia y vT a la tensión total, sgcumptiiri acacuerdo con e | 2e lenra de Kirchhoff:

3)

I J I 3-rr

v 2 = l 3 v

Fig. 3.- l . l

s0t .ucroN

l) l.a rcrl tie¡re trcs ra¡nas y en c(nrsecuencia e¡tislcn trcs incógnitas. llay dos nutkls A yl]. (-ilr¡¡o sc lra indic:rdo cn el cpígrnfe l.ll.3, cl prinrcr lcma dc Kirchlxllf sc aplicará ar¡- I nt¡rkrs, cs r lccir l I r tu<k¡, y cl scguntlo lcnra sc a¡l l icari i a las tf t ls nurl las quc t icrrclir rcrl. I-¡rs ccrrat:iorus corrcsponrlienlcs scrá¡r:

N U D O A : I l + l ¡ - 1 2 = 0¡ v l A L I - A a : I I t + 2 1 2 - 8 = 0M ¿ \ I - L A b : + 2 l Z + 3 l f + 1 3 = 0

tlc rltxtt le sc rlcrluccn los valorcs:

f l = ó A ; l Z = l A ; 1 3 = - 5 A

quc indica que la corricnle rcal de circulación 13 es contrarir a la señalada cn el gníficorlc l l f ig. -1.34.

2) l-as ¡xrtcncias cléctricns sun¡inistr¡rlas por gcneradorcs, dc acr¡crtlo con (3.38) scnin:

28ó

V ' f ] VI

. . . , , . 1 : . ! , l l . , r ) ' l [ ' ' ) l t

r l , l ; l r ( 3 , , ) r \ ¿ ( " , )

287

A

+

LLbu I Kurvl¡rLrl.'lb I 15rrlu r Lll(Lul I u5 Lr"t** I l(lt-t):r

,2, l

z t 4,,v r ( t ) vT { r )

Fig. 3.35

n

v ' l ' = f u i =Z l i + ZZ i * . . . . . *Zn i = (Z t +ZZ* . . . , . . . . + Z r ) i

es dccir: I

v T = 4 i

(3.73'l

( 3 . 7 4 )

(3 .7 6 )

Lo r¡ue indica que la relación entre vl'e i no se morlil ica, si elgru¡ro dr: krs n elelnentos, se sustituye por uno sólo de impedancia total Z1i¡iual a:

ZT = Zt + 22 + . . - . . . . . + Zn (3.75)

t¡uc rl:r cl valor resultante de la asnciación de inrpedancias en scric. En la fig.3.3-5b sc r¡ruestril el circuito ec¡uivalente correspondiente.

Si la tensión en una impedanci zrZies vi se cunrplirá:

v i = Z ¡ i ; v T ? T f i = +

I ) I les is tencias:

En este caso se cumpliri:

VT = (Rf + R2 + . . . . ¡ . * Rn) i =

kr quc in t l ica que la res is tencia equivalente a uns{lric es igual a las sunras de las resistencias:

Rr i (3 .71)

conjunto de resistcncias en

Rn (3 .7 t t )

Z;vi = 4

vT

que se denomina regla del divisr¡r de tensión.

La aplicacirin de la expresión (3.75) a los diferentes ele¡nentospasivos, si se tienen en cuent& las expresión (3.33) nos da:

2 8 8

R T = R 1 + R 2 + . . . . . . . . +

2,39

lN'l RUDUCLIUN A l-A I EURIA lJtl 1.1)S Cll(CLJI I US LLLe I RtLos

2) Bobinas:

La aplicación de (3.73) d¿ri:

V' f = (Lf + Le * . . . . . . + Ln) Di

que llamando L1 a la inductnnciil equivalente darii:

es clecir: T = Lr Di

L T = L t + L Z + . . . . . . ¡ . + L n

que indica que la inductancia de vari¿rs bobinas en serie csinductancias.

3) Cr¡ndensadores:

En este caso (3.7 3) cla:

, l I | . 1 . Iv r = t q * a , + " " " * q ) D t = a , . n t

por lo r¡ue la capncidad cquivalente cunrplirií la c,xpresión:

l t t tG

= . , n C 2 + . . . . . . . . . . . +

*

(3 ,79 )

( 3. tr0)

la sunri t dc l i ts

(3 . l t I I

(3 . t i 2 )

Es decir, la inversa de la clpacidad total es la sunlr de las inversas rlc llscapacida<les individualcs.

3.9,2 CONEXTON I iN PARALT:LO

Se dice que varios elementos pasivos estiín concctados en pirralclocuando es¡ún sometidos totlos u la mis¡na tensión. Consitlerenros losele¡nentos conectados en paralelo de la fig. 3.36a rcpresenrados por susadn¡i lancias: Y¡(D), Y2(D),. . . .Y¡ (D). Cada uno de el ios deriva coir icnresi¡, i2,......i¡, de tal fornra t¡uc teniendo en cuentü el prinrer lenla tle Kirchhof[y la relación (3.35) se cunrpliri:

ni t = ) i t = Yrv + Y2v+. . . . .+Yrv = (Y t + Y2+. . . . . . . .+ Y , , ) v (3 . f t3 )

Ies decir:

h = Y r v ( 3 . 8 ' l )

cuyo et¡uivale¡ltc es cl ¡rr¡:strudo cn la fig. 3.36b.Y.[ representil la adlll itancia

LL,[:r. I KL]Nl¡\t. i l- , [ : l l5t\ lr.r I Ll l(t , 'UlI()s bLl:L"l t i lL'(r: j

total r¡ue co¡lsume la rnisma corriente total i1 t¡ue todas las adnritanciasconcctadls en pamlelo, resultando t¡ue:

l i ' i I l t ( J t , ) r j t . L l ( , , f ' l r \ L A I L ( . ¡ l ( l r \ l j l : l r ) S ( - l t ( L i J l l t . ¡ S I L L L I l ( l U ( . ¡ S

v ( t )

u

FiÉ. 3.36

Y ' ¡ =Y I + Yz + . . . . . . . . . . . Yn (3 .8s)

(3 .86)

Si Irr c()rriente en la lclnlitíulcil \ '¡ es i i se tendrii:

i i - Y ¡ v ;

(lue se dcnomina regla Cel divisor de corriente.

La apl icación de (3.85) al cálculo de la adnri tancia total de unact¡ncxión ds elementos ¡rnsivos, si se tienen en cuenta las ex¡rresio¡res (3.36)tlan:

l ) I les is tenc¡a :

En este crso la admitancia de una resistencia es su concluctancia(C = t/R) tle tal lbrnra (luc se curnplirír de acucrdo con (3.85)

Gr = Gl + Gr + . . . . . + Gn (3 .87)

o cn [r¡nción tlc las resistencias:

t l l l¡¡i = ni * ni * """' * iü (3'88)

En cl caso sinrple de tlos resistencias en paralelo dará:

_ R l R zRr =nFF; (3.8e)

y lns corrientes (lue se derivan por cnda rflIna en fttnción de la corriente total,rlc acuer<lo cort la regla dcl divisor de corriente 3.86 ser¿in:

290

. Ri ¡=ff i1 'r

I l o l l i n a s :

i ^ - I t t -t2=ffi6t-t

fonnl aniiloga n las resistencins se obdene:

l l l li r f = ñ + ú + " " " ' + i ;

de dortde:

Cr = Cr + C: + . . . . . . .+ Cn

al cle vítr ios con(lensn(lores conectaclos en pari l lelo csoi t l )nc id i r t lcs t lc lo$ col ldensi tdures i ¡n l iv idu¿r les.

3) Condensadores:

En este caso la adnlitancia de un condensldor es C¡ D; llanrandoC'¡ D a la ndrrri¡nnci¡r total, se tendrú:

i = (C t - t C r * . . . . . + Cu) Dv ;

(3 .90)

A

+

- --+r , f

2)

Dev ( t )

iT=Yrv =+ i ¡ = +

i1

ESTRTLLA

{ ¡ r , 1 r ' ' l , t t t ' I r ' r " '

, ' t : - : \! ¡ ',

' r , , l r :.

I ,.,.

I ' ig. 3.37 ,, ^\j ! . - 4 ( . r J

,' a . I ,, =, '!., '),' 'i , ' r l r J r / r , ' t

, / r \

(3.e r )

i = C ' r D v

(3.e2)

igul l r l l sr, tnl ír de l l .s

3 . 9 . 3KI . :NNr i r - t . y .

Hay ciertas asociaciones de ele¡nentos pasivos que tpare( lenfrecucntenrert tc en la Ingcniería Eléctr ica y ( lue ¡¡o se pueden sinrpl i t ic l r 'd irectanre¡rte yi l que no corresponden sirnplenlente a asoci¿rciorres dr:inrpedancias en ser ie o paralclo. Estas redes gencralmentc rec¡uiererr rrnrrfnurslbnr¡ación de r¡nu red cstrcl lu a una red tr iángulo o viceúersa. E¡r l i rfig. 3.-17 se muestrar¡ estas redes pasivas, cuyos tem¡¡llales de acceso exrerior

¡ ./ ,.291

sc lrun denominado 1,2 y 3 y que tienen la misnra situación topogrólica . Laconcxitin estrella representa tres impedanciasZ¡,Zyy 23, rqre parten dc lostres nr¡rlos de acceso externo l,2y 3 y que se unen en un punto colnún. Laconexitin triiingulo está formada por tres inrpedancias ZA,ZB,y ZC, que r¡nenlos diversos nudos dando ln apariencia geonrétr ica de un tr i i lngulo.l'{ecesilanros ahora buscar las leyes de transfomración de una red en la otra, detrrl rnodo que umbos circuitos sean equivalentes desde un punto de vistacxterno, es decir desde los nudos l, 2 y 3.

Está claro que si las dos redes son equivalentes deberán constu¡rirIns ¡¡ris¡nas con'ientes cuando se aplican las ¡nismas tensiones externas, lo t¡ueer¡uivale a clecir en términos de impedancia, que las impedancias c¡ue seobservan entre los diferentes terminales l-2, 2-3 y 3- I deben ser idénticasparn anrbos monlajes, y por consiguiente se deben satisfacer las siguientesigunltlades:

que Z¡ se puede obtener su¡nando la ecuación a) con c) y restando la b) y deun moclo análogo se calculan Zay 4 resultando:

7 . - - 1 g k - . T n - k Z ¡ - - . z n - - Z A 4 - -'-¿t - Z¡+Zg+k ' ".!-

Z¡+Zg+k t kr - Za+Zg+k

( 3.e4)

Cacla una de las ecuaciones anteriores responde a ln fonnr:

z i =producto de las dos impedancios del trióngulo conect(tclus al nwlo i (3. es)

sume cle lus tres im¡tedancias del tritingulo

que nos da una regla nrnenrotécnica sinrple para recordar la equivalenciatriángulo-estrella.

2) Transfornración estrella-triángulo

En este caso se conocen los valores de las irnpedlncias Zl,Zz,21,tle la estrella y se dcsean cnlcular los valores et¡uivalentes deZ¡,7.tt,7<:,del triángulo. El proceso de resolución consiste en dividir dos a tlos lasecuaciones ( 3.94) resultando:

-4v- ' k (3 '96 )

y al sustituir en h terccr¿l ecuación (3.94) nos dil:

Inr¡)cdancia entre los

nudos I y 2

Irn¡lctlancia cntre los

n u d ( ) s 2 y 3 b ) 2 2 ' r Z t

Inrpcdancia entre los

nudos 3 y I c ) 2 3 + 2 1

" l ' r ián gu lo

= kil(zn+zs)_ 7#+{#!,

= zr,tl (Zs+ zt)= *t{ry,{""iti

= z l 8 n ( k + z ¡ ) - f f i # *7- . . - . zÚa. -r r r *

Z ¡ + Z B + Z g

de dorrde se deduce l i rZ¡:

I is trel Ia

a ) Z 1 + Z z

4 z - 1 * A - u AZ 1

- Z B ' Z 1 - Z C ' Z 2

b * t + r yzg r ¡ zg

Z¡ *_Z*7 ' 2 . | . ' 2 2T + r + n

El sínlbolo ll en las expresiones anteriores expresiln la conexiórr enf:aralclo tle la irnpedancia quc tiene delante con la que tiene tletriis. Ptracscrillir las igualdldes 0nteriores, se ha tenido en cuenta, que para la cstrella seobscrvan desde cada par de ternrinales, dos impedancias en serie, ¡nientras(fuc l)ilrü cl trii ingulo se lienen dos inrpedancias en serie con la restants en¡rarnlclo. Las ecuaciones anteriores se puetlen resolver piua obtener los valoresdc7,1,7'2,23, en función deZ¡,Zg,Zg, ó a la inversa. Resultant lo:

I) ' l ' ransformación tr iángulo-estrel la

En este caso se conocen los vrlores deZ¡,Zg y Zc, del trii ingul<r1'dcseanros calcular los et¡uivalentes Z¡, Zz,2y de la estrella. El proceso dercsolución es sim¡rle a partir de las ecuaciones (3.93). Obsérvese por ejenrplo

292

y de un nrodo an¿ilogo piua Zg y 7a:

4 = % # ; z c = h Z z + 1 z Wzr*-- (3'97b)

cada una de las ecuaciones (3.97) responden a la cxpresión:

-7 _Z1ZZ + 7 .221 + Z l7 IT-A -Z: ( 3 .1 )7n )

(3.et t )!!!u!(t cle lo¡p¡gt1llg_UU_0!!4ctrjgs dt todalJus jmpeclalgiu! deJu e .s.!!c.t!q!impeduncio de lu estrcllu conectada ul nudo opuesto ü Z¡

Las tr¿lnsfontraciolles anteriores se uti l izan con gran frecuencia crr

zi

293

¡ ¡ { t t ( \ ; l ¡ r , r - \ - l t . l l " , l r \ l - r \ I t . (J l ( l ¡ ' \ t . ¡ t - l r J . ' ¡ t . l l t t . -U l l ( ) } l : l .LL I K te(Js

cl an¿il isis cle circuitos, yÍl ( lue pernlite simplif icu ciertasinrpetlarlcias no estiin conectadils de fonlla simple: en serie

l iJ I i i l I PI .O Dl i , l l 'L ICTICION .?.5

Ctlculur Iu resi.ttencia entre lo,r terminoles A y B dedonde lotkt.s kts cifras indican el valor de /ru resistencius en olunios.

rc( les cn l ls r¡ue l í tso cfl paril lclo.

lu recl de lu Itg. 3.-J8,

y se obticne cl circuito dc la fig. 3.40. En csta rc(l pucdcncotnprentlit l¿u,tflüc los tcrminalcs:

A C y C M : R = i

B E y E N : R = +M D y D N : R = l

\ o

i r l2 0

las resistencias cn scric

+ l =

+ l =

+ l =

l / 3 f I c

Fig. 3.311

SOI .TJC ION

'I'ransf<rrn¡antk¡ la cstrclla dc lf l concctada cntrc los tcrn¡inalcs DFllriángukr (vcr lÍnca dc puntos dc la fig. 3.3t1¡, qucrlani cada valor dc és¡c:

R 6 = 3 1 )

I (y =

I

ahora r lospuntOs tlc la

t . 33 + 3 + 3

l / 3 f ! c 3 f L

Fig. 3.40

F)r otra partc las rcsislcncias dc 3 y 6O cornprcndidas entrc los nu<los F y ll cstárrcn paralelo, rcsulhndo u¡r valor equivalcnlc (cxp. 3.1t9):

y . \ $ o h t i c n e l ¡ r f i g . 3 . 3 9 . E x i s t e ntrarr.sl i l r ' tnarsc cn cstrcl la (vcr l íneas dc

tr i i ingukls CDF y DEII que pue( lenf ig. 3.39). El c¿unhio dc los valorcs:

= 1 ( )

? ÁR = ¡ ; i = 2 r )

y la red de la l ig. 3.40 sc ransfornra en la rcd dc la tig. 3.1 t. En esta rcd sc tiencn cn stri,liu rcsistencias corrrprcnditlas cntre MF, Fll y IlN, rc)^ulu¡ndo un valor cquiv:rlcrrrc:

R - l - r 2 + l = r l o

F i g . 3 . 4 l

quc estii ctt ¡raralclo con la rcsistcncin dc Zfl comprcnrlida cntrc los nudos M y N, rcsultalu¡r:

294

I . i g . 3 . 3 9

29:í

f i ,= 2 ' 42 + 4

y ilsí sc ollticne el circuito rle la tig.3.42, tlondc.s(rric, rcsuhando un valor equivalcnte tolal entrc

^= 3 ( )

se obscrva que las tres rcsistcnciirs cst¡in enk l s t e n n i n a l c s A y B :

ú+

3 = 4 1 )

(¡re cs et valor ¡rcdido.

alz ÍL

a/3 sL

Fis .3 .42

IiJItMPt.O DE APLICACION 3.6 : RED I iN ESCALERÁ

Ittlig. 3.a3 muesffa una red eléctrica quc aparece en cierlus aplicaciones dc la.rllnel.r dc transtniskln, I qu¿ se denomin¿t reú en escalera . Las rumus horizonmles .¡e honc.rprtxttlo enforna de inpedunciu,r, nie¡ttras qut las rantas verlicales se exprexn enttlnitnncits. Culcular. le) Expresión de Ia ley de recurrencia que se obtiene para determinlr ktin¡tedancia eEüvalenle de entrada de la red.2) Si la red es infinita y los valores de lasinpeduncias son todos r¿sislivos e iguales u I ohmio y las admitnncias son de I siemens,clcterminer el vllor cle Zr, .

" ' 3

L L.L'c D a

Fig. 3.43

r )

29(t

S O L U C T O N

Para dctcrminar la Zoldc la rcd, corncnzarcmos por la rlcrccha (tinal de la red) y sc irá

tlc irtr¿is a atlclante. En la sección ail 'sc ticnc la conexión cn scric dcZT con Yg quc da

Y o + Y o o ' - Y 6 + - l : ' - " - -

z t . # ;

cn seric con Z6b,y por el lo la im¡xdancia t¡uc sc ol)scrvar¿i

un valor:

Zra' = Zl +

Ahora bien la adnti tancia Y6 esLi i en

admit,ancia tot¿l cntrc bb' scrá igual a:

t -Y g + . . .

paralclo con 7,üa, y l)or cons igu icn tc la

4 4R n n = l + lYbb ' =

A continuaciórt 25 csui

cntrc c y c'seni:

Zcc ' = Zs + Zbb'= z5 +Y 6 +

z t . # ;

b

r- Z-,

continuando de cstc rt(xlo se obticnc una inrpcthncia equivalc¡ttc dc la rcd:

Zect = 21+ I-----

Y 2 + - - - - - l '

Z j + l - - -

Ya * .1 - -' 2 5 + . . .

la exprcsión anterior se conoc:c con cl nor¡rbrc dc fruc;ión contiruul. C'onocic¡tdo lrlsvalores nurnóricos (lc las irn¡rctl¿utci:r-s y adinitancias sc podr¿i c:.tlcular la irrt¡rtlanci¿lcquivalcntc dc la rcd rlc un Ino(lo sinrplc. Por cjcnrplo si la red ticnc 6 clc¡ncntos dcvalor I ohnrioy I sicrncn.src^sultarú:

Z e g = l + = l ,(r25 ol +

l 3

ll + - r

l +l + It

2) En cl caso de quc sc tcnga una red infinita (fig. 3.44¿r), se tcndría quc tlctcrnrinar cn' principio el límite a que ticnrlc la lracción continua calculado en cl apartado anlcrior.

Pcro el problema cs más sinrplc, si .se tienc en cuenta que al añadir a la retl tlc la l'ig.3.44 a, la célulu quc sc rcpitc, se obtiene la rcd de la fig. 3.44 b, tlondc la rcsistcnciaquc sc observaril cnt¡c a¡' rlcbe scr la ¡nisma quc la que sc ol¡scrv¡uá entrc b y b', csdccir R".r. En la rctl de la fig. 3.44 b sc cumplirá tlc cstc modo:

1l).7

I

I

I. - * - * I a ,

I l r t . i ¡ ¡ l , t t ¡ l ' i . I l . ) t t ¡ t / l i ¡ r ri, rt )t..,Lel()N A tr\ I LUI(I.{ lrL 11.}5 Lrl(LUl I (r.i ¡iLtiüt ¡(le(/S

algetlraica de todos cllos, es decir v, = I u¡ ; (fig. 3.45 b).

t , ) FUENTI.]S DI i CORRIF]NTIT TDEAI,ES EN PARALELO

Si se disponen de varias fuentes ideales de corriente conecta(las e¡lparalelo, co¡¡ro i¡ldica h fig. 3.46a, se podrán sustituir, teniendo crrcuenla el ¡lrirner le¡r'ra de Kirchhoff por otr¿r fuente ideal de corrientc,cuyo valor es la suma algebraÍca de todos los generadores: i'¡ = I i¡.

Fig. 3.46

c) COI \ IBTNACIONES NO VALIDAS

[-as fue¡rtes ideales de tensión no puede n conectarsc en ¡riralelo de no sc:r(¡re lenga¡r sr¡s tensiones iguales y de fomra nniíloga (dual), las fucrtlcsidcAles (l|J corriente no se puedcn conectitr en serie, A menos (luc sC¡il¡itlénticas (lo contr¿rrio contlucirín a una indctcn¡rinrción en la rcd. Il¡ l¡rpriictica, con fue¡rtes reales de tensión lo anlerior conduciría a firertcscorricntes internns y la fucnte de nrayor tensión se descargnría soble la()r rit ).

d) r tJ f i N't ' t i D IiE l.lt l\,1 D N'l'o

En l¿ r f ig .3 l l7 a se nrues t ra unA fuente ider l de tens ión que t iene lainrpecl¿ulcia en p¿tr¿l lelo. [ .¿l corr ientc ( lue circt¡ la por la inrpet l i l ¡ rci i rdepenclc únicrune¡rte de l¿t tcnsión de la fuente vg(t) que es la ( lue en ( lei i -

n i t i v i t es t i Í f i j anc lo l i t d .d .p .en t re los tenn inn les A y 13 . En lo ( luerespect l a los cúlcutos en el resto t te la red (a efectos externosi l i rpresencia o no de l¿r i rnpedAncia en parülelo es indiferente y por el lopuede orn i t i rse, conlo así se i r rc l ica en la f ig . 3.47 b. Ambos c i rcu i t ( )scntregan a la red externa que pueda conectarse entre A y B, t Íul to l¿rmisnra tensión v( t ) entre tcrn l ina lcs corno la nr isnra corr iente i ( t ) (ésr lt le¡renderui por supucsto de l ir rcd). Esta c(luivit lencia pernlite i l ntenutk.l

R b b ' = l + l l f R a a

Fig.cs tlcc ir:

f t e Q = l

(l l¡c rc:slx)ll(lc a la ccu¿tción:¡ 1 2 c Q - R c r t - l = 0

tlc tlontlc sc (lc(lucc cl valor:

o ^ . , = | * , { 5 = r , 6 r g o. . c Q . ' - '

3.10 ASOCI¿ICION Y TRANSFORM¡ICION DE FUIINTIIS

En el rpirtado anterior se han estudiado las retles equivalentesdcbirlls a li¡ asociación de elc¡¡lentos pasivos, vanlos a estudilr ahora tasreglus de transfonuitciórt de elertrcntos activos (fuentes o generadores).

ir) t 'UIiN'l 'uS D¡l 'IIINSION IDEAI,ES nN SDRIIi

Si se tienen generadores ideales de tensión conectados en serie, comoint l ic¡¡ la f ig. 3.45 a, pueden sust i tuirse apl icando el 2e lema deKirchhol'f por otro generldor cuya tensión total sea igual a h suma

3 .44.

+ | ' i t q

I + R e q

. I ' T . ] N S I O N I D T i A L T i N P A R A I . I i I , 0 C O N I . J N

- , r 1 f- { H

\_/v

f l

Fig. 3.4 5

' t= f ib )

t

29tt ?()()

t rLLL I l t r , ¡ rvr ,¿rLr l r [ : l lo lv lU ¡ L l t (Lut I U5 LLb\- I ] , ( lL())

t r { t ) r ( r }+

i ( t )--+

Fig. 3,47

sintplif icar redes que a primera vista parecen conrplicadas. Téngaseprecilución en esta equivalencia, que es v¿il ida sólarnente a eflectosextenlos de este circuito. Obsérvese que ambas redes entregiln la nlisnlÍrvr(t) e i(t) y por lo ttnto la misma potencia al circuito que se conecreeirtre A y B. Sin embargo si se solicita un valor interno de esta red,t f elre v(t lverse al c ircui to or iginal ( f ig . 3.47 a). Pnra cornprobaresto en un ejemplo sinlple, supóngase que el c ircui to de la f ig. 3.47itt iene los siguientes paránletros: vs ( t) = lOV ;Z= lOQ y que se conectaexternamente una resistencia R =2{l (no dibujada en la llguril). Arnboscircuitos d¿rn una tensióll entre terminales igual a l0V, coll ufla corricntei(t¡ = uslR = 5A, lo que representa una potencin de 50W. Sin enrbargo sise sol ic i ta el valor de la corr iente i r( t ) y la potencia clue suministra elgencrí tc lor de tensión, sc tendrá una ir= l0/10 = lA, por lo q¡e i l ( t ) - J+ I = 6A y una porencia p¡(t) = 60W.

v ( b )g

v ( t )g

Fig.3.48

El elcmento en paralelo podría incluso ser un generador de corrienteideal colno el que se muestra en la f ig. 3.48a. En este caso ocurre unaeqttiv¿rlencia aniílogA, Para el circuito exterior que pueda conectarse entreA y I l e.s indifererlte la colocación del generidor de corrienre. Anlbasredes dan ül exterior la t l l isma vs(t), y p(t) = vn(t) i(t). Sin etnbilrgo lacol r iente interna y la potenciñ interna del" generador de tensiónserían: i t ( t ) y vs(r) i ¡ ( t ) ,

3fi)

+

l l ' l ¡ ¡(trl, uLLl\I I /r t/r ¡ LL/t(¡./ \ Li L LA,J Lllr! ut I \ iJ !.LL:L ¡ l\t\- i./. '

e) FUENTE DE CORRII]NTE IDEAL EN SERIE CON UN ELIIMI.]NTO

En la fig. 3.49 a se muestrt una fuente de corriente ideal en serie conuna irnped&ncia que es un caso dual al ilnterior ( donde .se coltrcittra

v ( t )

I ( r )I

r)

Fig.3.49

ilntes unA tuente de tensión se pone uhora unil fuente tle corriente, t lonrlese conectaba unil impcdancia en píu'alclo ahorn se conectit en serie). Enlo que respecta al resto de la red, el circuitt l de la fig. 3..49 se puetlesust i tuir por el dc la f ig. 3.49b. Ambos circuitos clan la nl isnl l corr ientcis(t) que impone el generüdor cle corriente, con l¿t nrisrna tensión extcrn¡rv(t) (clue vendr¿i detennin¿rda por la red que se conecte cntrc A y l l). .Sinenlbargo la equivalencia no es vúl ida a efectr¡s intenlos. Obsdrvese (prcla tensión vs(t) que tendrd el generador de corriente depender¿í del valorde la inrperl&ncia Z, ya que en esta se produce uni l caícla de tensiórrZiE(). Para ver este cf'ecto más claranrente con un ejenlplo, supongilsequé is( t ) =2A,2= lQ y que se conecta entre A y l l un¿r res isrencia c lel0Q.Te formar¿í una tnal la por la cual circula una corr iente i , , ( t) = 2A,de este nrodo la d.d.p. en los borne.s A y B ser¿i igual a v(t) ="Vnn = ftin = 10.2 = 20V, comunicándose n la res is tencin extern i l una potenci i rP .

l l . v ig = 40 W. para anrbos circui tos t le la t ig. 3.49. Sin ernbnrgointernanlentc el generador de corriente tendrá una vg igual a v(t) +Z is(t) = 20 + 1.2 = 22 V., [o que representa una prJtentia de 22,2 = 44w,o ,

I tQUIVAL I INCIA G I |NERADOR Dt i ' l ' I iNS ION R t i ¡ \ t ,DOR DT' CORRTI iN' I ' I i RI iAL

( ; t iN t i I IA-

Un generador real de tensión se puede sust i t t ¡ i r a efectos externospor . utl gelterador rc¿tl de corrien te. Parü denrostrnr las reglas t lee( luivalenci i t , consideremos los circui tos de la f ig. 3.50 a y b, quenluestrall respcctivatllcnte un generildor de tensión reill y un gener¿riJor

+

3 0 I

A

Fig. 3.50

de corrientc rcil l ( lue dnn at circuito externo que se conectnri e ntre Ay l] l¿t rtt is¡tt it tcnsiórt v(t) entre tenninales y la n'risnla corriente de cargÍri ( t ) . In t ¡ tor t icnt lo l : r igualc lad de v( t ) e i ( t l l rac i¿ l e l u i rcu i ro exrerno, .seobservit que pitra cl generador de tcrtsión, al r ipl ic i l r el

' rs lenra de

K irchhoff se curnpl ir¿i :

vs( t ) = v ( t ) +Z i ( t )

equivalcnte al de corriente. Debe advertirse al hacer es¡os carnbios, tlccuiíles dcben ser los sentidos y polaridades de los generadores. Si elgenerador de tensién tiene el polo + al lado del terminal A, el generarlorde corriente bontbear¿i corriente hacia este borne A y viceversa. Sevuelve tarnbién ¿t recalcar qr¡e esta equivalencia es vúlida sólamente itefec¡os cxternos, es decir para analizar el comportamiento dcl circtritoque se conecte entre A y B. Si se solicita en un problenra específico, uttparánretro interior de los circuitos de la fig. 3.50 debe volverse nles(luenrl originitl.

Otro aspecto a co¡lsiderar es la irnposibilidad de sustituir un genera(lorideal de tensión por o¡ro de corriente ideal o a lt inversa. Rccuénlescquc cn un gencrador de tensió¡t ideal (ver epígral'e 3.5) la impedlurcia 7-es igual ¿r cero, por lo tlue si se intentara transfornrarlo en corrientc dt'acrrcrtlo c:on las reglus de eqrrivdencia indicadts en (3.102) daría lugltr itis = i¡¡finito y adenriis con Z1 = Z = (1, es decir con los ter¡ll inal¿s er¡c'i¡rtocircr¡ito, Io r¡ue no tiene sentido físico. Aniilogamenle se ¡rtrctlcdc¡nostr¡u' la relución invcrsl, t¡uc conduce a rcsultados sintilares.

EJI|LTPI.O DIi API. ICACION 3.7

Su.stiuir la red de hfi1g.3.5l por un generador rcul de tcnsión o de corrientc.

Fig. 3.51

S O L U C I O N

Pasando los gcneradores reales dc tcnsión a corriente, aplicando lascquivalcncias rladas cn (3.100) se obricnc cl circuito dc la fig.3.52 a quc a su vc¿ suconvic:rte en cl de la fig. 3.5?b, al sustituir los gencrarlorcs dc corricnte por sus ct¡uivalr:ntcsy habicnrlo sustilr¡irlo tambiún las rcsistcncias cn puralclo fnr sus rcsr¡ltantcs. El circ¡¡itoúltirno pucrlc sinrplilicarsc nriis, pasando los gcncradorcs dc conicnte a tcnsión (fig. 3.53 a).

v t l )g i ( r )

Ii ¡ { t I

cle doncle resulta:

2 1 - z

( 3.ee)

(3 . r00)

(3 . t 02)

(3 . r03)

i(t¡ = 's('Il

is(t) = Ys# ;

Y(!)Z

si rle unil f lonna clual se aplica el primer lema de Kirchhoff al generÍrdortlc ccl¡ 'r icnte reil l , se tendrii en el nudo A':

i ( t ) = i s ( r ) f

( 3 . 1 0 1 )

l ns ecuac iones (3 .1m) y (3 .101) ser¿ in i c lén t icas s i se cun lp le ln dob leigualcl¿rtl si guiente:

l : r s ccu Í rc iones (3 . 102) represent f ln de es te modo las reg l i l s detr¿ulsfo¡-nración e indic¿ut en este cilso, los valores de los pariinretros detgcneri l ( lor r le corr iente en ful tció¡r dc los valores del gel lerador detc¡ lsión. Inversi lnrente, si se parte de un generador de corr iente rei l l , de(3 . l02) ob tenemos:

v s ( r ) - z ¡ i r ( r ) ; z - z l

302

( luc nos dan los vi l lores cle los pi l r i imetros del gener¿rdor de tensit i rr

303

a

l

)1

)I

[ ]ui,- jD¡ /' 2OI 2A

I

,/

I3A( ) : l'"+:'"!

b

a )

( lr fe : l su vez al sufni lr los clcrnentosgcnerit(lor re¿rl tlc tcnsión o cl dc la tig.

ELECI Rolvl"AUNL-llstvlrJ Y cIRCUII os EL¡L'I'R|c()s

Fig. 3.52

en ser¡e t lnn cl circuito de la f ig. 3.53h, cn forma t lc3.53c cn forma cle gencrador dc corricntc rcill.

C=:>

Fig. 3.53

3. T I ANALISIS DB CIRCUTTOS POR EL ME'I 'ODO DE T,ASiVIALLAS

En lo explicado hasta ahora se han fonnulado ros teorernas vmétodos firndanrentales.que se.utilizan en teoría de circuitos. En este epígrafáy siguiente se van a describir dos métodos sistemáticos: nrétodo'¿ó lascorricntes de malla (o sinrplemente método de las mnllas) y método de lastensioncs. de nr¡do (o simplemente nrétodo de los nudosi, que pennirenresolver los circuitos de un mo<lo ordenado, escribiendo lai eclaciorresindependientes de la red en funcién de un pequeño núnrero de varinbles, (el

304

INTRODUCCION A LA TEORI,A DE tOS CIRCUTIOS ELECI'RICOS

rnínirno necesario) lo c¡ue da lugar n procedimientos metódicos, fiícilesaplicart y también rápidos, que utilizan como base los lernils cle Kirchhoff.

3 .11 .1 METODO DB LAS MALLAS: FORNIULACION GENl . l t lA l -

El método de las nrallns (cn gencral, nréto<lo de las corricntes dclazo para circuitos no planos) consisle en aplicar el 2e lenla de Kirchhoff ¿r lasmallas del circuito, de tal ft¡rnra que el ler lenra de Kirchhoff quedn aplicadoinrplícitamente.

Antes de empezar a resolver un circuito por el ¡nétodo de lnsmallas, se debe intentilr siempre que sea posible, sustituir los generadorcs decorriente existentes en la red por generadores de tensión equivalentes, con lastécnicas analizadas en el apartado f) del epígrafe anterior- Esto sierrr¡rre seriifactible gn el caso de que los generadores de corriente presentes en la ied se¿rnreales (és decir tengan una impetlancia en paralelo) pero no en el caso dc t¡uclos ge neradores de corriente sean ideales, y esta situación se rnalizar¡í eil e Iepígrafe 3.11.2. Consideraremos por consiguiente que en la rcd, sc hanpodido sustituir todos los gcneradores tle corriente por tensión.

Recordenro.s tanrbién <¡ue el núnrcro de rnallas nl (p¡e tie¡rc rrnn rctlplana es según lo estudiado en el epígrafe 3.8.3. igual a:

m = r - n + l ( 3 . 1 0 . t )

siendo r el núrnero de ranras y n el número de nudos del circuito. Sabcrnostanlbién que al aplicar el 2e lenra de Kirchhoff a estas nl nrallas se obticnc unconjunto de ecuaciones linealnrente independientes. por otro tado, las nrallasde un circuito plano, sc identifican como lin ue¡f¿¡r¡as que tiene rir rctr.

-. Para conrprender la forn¡a cn que se aplica el nrétotto ttc lu:;nrallas, víuttos a consitlcrnr el circuito rlc l¡i fit. 3.j4. f,lrrna,lo nor lls rlosmallas, (lue yil tienen generadores de tensión. Eli¡lérodo de las ¡nnlias consistcen asignar a cada nralla unr corriente desconocida, que en l.r fig. 3.54 sc hlndenominado i¡ e i2, dc tal fornla que tengan todai el nlis¡nd senrido, ¡rorejenrplo el de ¡novinriento de las agujas del reloj. La elección unifonnc delsentido de estas corriente-s.pennitirá óbtener un

-sistenra de ecuncioncs cuyir

des.cripción.9s Tlly nretódica y simple. Las intcnsidades de rarna querlárrf¿icilmente identificadas, en función'rle las corrientes tle nralla, ya (lue secumple:

de

:105

l j t- tC I RufvlAGNL I lsfrtu Y Clltuut I US tiLLL I t i lr OS

Fig. 3.54

I ) Las rlnrus erternas penenecen a una solo malla, por lo que lai¡úerci&ul de runut será igtwl n ! h intensidad de la mnllu o que perre¡rcce, seIomurú el sigrto más si coinciden las rcferencias ¿lc poluridad de lasinrcn^tidades de ranw y malla y signo menos en caso contrario.

2)'l'oda la ruma i,tterna perteneceró a dos nlr.l,ll,at, de tal forma Ercsi toda.r lüs corrientes de mallu tienen el mismo sentitb,, la intensidud de esant¡¡ttt serú lu diferenciil eiltre las corrientes de diclns mctllas, el resultu&¡vcrulrú ufcctudo de sig,rut .* o - seg,útr que su referencia de poluridatl ct¡i¡tci&t on0 to,t lu de runw.

¡Nt RutjuccloN A t¡\'l EOl{lA IJE t-l)S ClRcult()S Et.Dcill'lcos

estas ecuaciones se hubieran podido escribir directamente pues expresan unalbrma alternativa del 2a lema de Kirchhoff y que indica que la suma dc lastensiones generadoras en una malla es igual a las caídas de tensión en lasirnpedancias. Al recorrer las mallas en el sentido de las corrientes de mallu,debe tenerse en cr¡enta para la aplicación de (3.107) que una fuente cuyirpolaridad de referencia representa una elevación de tensión da lugar a unirtensión positiva. (Conviene que el lector atnlice bien eslos signo.r ).

Sustituyendo las ecuaciones (3. 105) en (3.107) resultar¿i:

vsr = Z l i l +Zs ( i r - i z )

-vs2 = Zziz - 23 ( i ¡ - i2)

que reducienclo a térmi¡ros semejantes da lugar a:

( 3 . 1 0 8 )

Mal la l :

Ivlalla 2:

l¿ts ccu¿rciones ¿l¡ l ter ioressiguiente rnodo:

que ¿rchll itc la fonna rnatricial:

vsl = (Zf 7.1) i1 Z l iz

- v s z = - 2 3 i l + ( Z z + 2 3 ) i z

f lvr)z = 7et it + Zzz

(3 . 109)

( 3 . I l 0 )

=Írl[ 'J (3.u r)

pueden escribirse en forrna m¿ls cotnpircr i l c lul

I ( u e ) L = Z ¡ i r + Z n i zDe acuerdo con lo anterior, las corrientes de ra¡naf ig .3.5 ' f cst¿rr í in re lac ionadas con las corr ientes de n la l l Í lecu¿rr: ione s:

i. cle lapor las

(3 . l 06)

miembro de lasotro micmbro, el

l n ' l S e

i 1 e i t

i2

( 3 . r 0 5 )

si se aplica irhora el 2q lenra de Kirchhoff a cada una tle lns rnallas siguiendo el:;cntido rlcxtróginl se obtiene:

i a = i li t, = izi , = i t - i z

Iu,l =lll:l; I l:�,, t',;l [:; ]IUA[-[-A l:IVIALT*A 2:

- v r l + 7 . t i a + Z l i " = $+ v;2 'F'Z.ziu - Zl ic = 0

S i las fuentes de tensión se colocan en unccuilcionni iurtcriores y lírs tefrsiones en lils irnpedancias en elconjt¡nto (3. 106) se tr¿lnsfornta en:

v g t = Z 1 i u + Z l i t

- vg2 = Zz i v ' 7 , i i "

donde l(vr)r y I(uu)Z representan In suma de las tensiones generacloras(elevaciolrel r1e tensién) que se obtienen al recorrer las nlallas I y 2 cn e Isentido de las corrientes que circulan pr:r ellas. Obsérvese en las ecuacirlncs(3.109) y fig. 3.54 que en la rnalla I sólo hay unt rensión-generador:r vgl yíU)arece con signo positivo ya que respecto ¡l sentido de corriente i 1 reprcsórrritr¡na clevación de tcnsión (la corriente i¡ recorre nl gerrerador vn¡ dc - ¡r {-),l¡rient¡as que cn la malla 2 sólo existe un generador v*2 rlue apareóc con signonegativo ya (}re respecto al sentido de la corriente i2 representa una caídn rletensión (la corriente iZ atraviesa el generador vg2 de + a -).

306

(3 .107 )

307

Por otra parte al compara-r las ecuaciones (3.1l0) o (3.1I l) con(3.109) sc observa que:

Z l t = / , 1 + Z lZ n = Q t = - 2 3h z = Z z + Z l

(3 . r t2)

Las impedancias Z¡ t y 7aZ (y en general Z¡¡) se conocen con el¡rombre de autoim¡ledancias de las mal las l , 2 (en general i ) yrel)rcsenta¡ l las impedancias totales c¡ue formun las mal las 1,2.. . i . Lasinrpetlanciits ZtZ = Z2t y en general Z¡¡ se conocen con el nonlbre deinrpedancias mutuas entre las mallas def lo y 2" subíndice y represenracort sigrttt negutivo la impedartcia común a ambas mallas.

La nratriz de inrpedancias indicada en (3. I I I ) es en consecr¡cnciar¡na nlatriz sinrétrica, con todos los términos de la diagonal prirrcipal positivose igual n las autoimpedatrcias de cada malla. Los denriís términos sonneglt ivos y re¡rresentan las inrpedrncias nrutuas entre Inal l ¡rs. I lst i rs¡rro¡ricdndes penuiten por ello escribir directanrente las ecuaciones (3.109)corr arreglo a las reglas antedichas.

En el caso de existir en el circuito generadores dependic¡rtes ocontlola(los, será preciso introducir ecuaciones adicionales a las anteriores (luerelacionell la f.e.nl. o corriente de la fuente co¡ttrolada con las corrientes de las¡nrllns; en este caso el co¡üunto total dará lugar a una matriz de inrpctlancilsque ya no será si¡nétrica.

De cualc¡uier nlodo, se observa, que el métulo tle las mallas utilizanl = r - n + I ccuaciones, que es un núnrero inferior al de ramas: r, tlue era elnrirncro de ecuaciones que eran necesarias al aplicar los lemas de Kirchhoff(nrallas y rrudos). El método de las nrallas representa por ello una o¡:tirnizacitinrespecto nl nú¡nero.de incógnitas y ecuacioncs puestas en juego, con l¿r vcntajaadicional, de t¡ue se pueden escribir las ecuaciones de un modo sistcnliitico.Calcultdas las corrientes de nralla de las ecuaciones (3.109), se podrándctennilrar las corrientss de ran¡a de acuerdo con (3.105).

I'JENII'LO DI' APLTCACION 3.E

En el circuito de lafig.3.55, calcufur por el método de las mallas: l) D.d.p.cntre kts nudos A y C.2) Potencia disipada en la resistcncia de 3Q.

Fig. 3.55

S O L U C I O N

Prirneranlcnte, vamos a susti tuir el gcnern(lor t lc corr icnte rcal l lor uno t lc tc¡rsit i r tct¡uivnlentc . Dc ilcucrdo con (3.103) los vülorcs corrcslx)ndicntcs son:

u g = Z . i = I . l 0 = 3 0 V ; Z = 3 f )

dctrc tenersc en cuenla ¿rl haccr cste cambio, que dc acucrdo con cl scntido t lclgcncrador dc corr icnte dc la f ig .3.55, e l gcncrador dc tcnsión dc 30 V tcnr l r i i la

¡nlaridatl mosuada cn la fig. 3.56, con cl lcnninal + a la dcrccha para irn¡lulsnr c:nrqnsen cste scnüdo. (El scntido tlc la clcvación dc tcnsión de cste gencrildor tlcbc coincitl ircon cl dc la corrientc dcl gcncrador tlc intcnsidad al quc sustituyc).

Fig. 3.56

Asignando al circuito cle la [ig.3.56 los sentidos de las corrientc.s dc Inalla intlic¡rrklsy tcnicndo en cucnut (3.1 l0) sc pülrú escribir dircctanlcntc:

M a l l a l : 7 = ( 2 + l + 2 ) i 1 - Z i z

M a l l a 2 : 3 0 = - Z i t + ( 2 + 3 + ü i ¿

309

-íl-

308

t lu dontlc rcsulul:i l = 3 A ; i Z = 4 A '

y la r l .r l .p. cntrc A y C ¡nrcdc obtcncrsc t l i rcctatncntc crJtno caída r le tcrrsir in cn la¡ c.sislcnt: i¿r dc 2 {l rcsuit¿rrttlo scr:

Vnc = [ t i - 2 . ( i r - i2 ) = 2 ( 3 - 4 ) = - 2V

cl ¡r¡ isl¡¡o vi l lor pucdc ohtcrncrsc por cualt¡uicr otro c¿unino quc una cl nudo A con C.I)or cje rnf) lo si sc siguc la n¡ta AtlC ( luc cont¡cnc dos rc.sistcncias dc 3O y 4Q y ungcncr¿r(lr lr t le tcnsió¡r dc 30V, la t l .d.p. cntrc A y C seríI igunl a la sr¡nru de lasc¿¡idus dc lensir in ¡rrorluciths por todos kls clc¡ttrrt t tos cxistc¡rtcs cn cstc ci lmino yasí sc puc(lc cscribir:

'

V n c = 3 i 2 - 3 { ) + 4 i 2 = 7 i 2 - 3 0 = 7 - 1 - 3 0 = - 2 V

quc cr)¡¡rci tk: c()n cl rc.sr¡ l t¿tt lr t lntcr¡or. I ls imfx)rhntc r lrrc cl lcctor.sc dé cucnti l r lc t¡uccn la r l l t i rnu ccu:lci t i ¡1, la tc¡rsir i¡r dc 30V t lcl gcncru(lor l lcva signo ncgl l ivt), csto csrk:tr i t lo ¿r ( luc al scguir la nrt¿r Atlc lu l ' t ¡c¡ l tc dc tc¡tsión.sc vr] cotno uft clcntcnto¿tct ¡vo ( luc provoc¿t un¿t e le\ '¿¡ t : ió¡ l de lensi r i ¡ l de 30V (cn c l scnt ido ABC), o t lc( ) t ro f l to( l ( ) , c l gcncr¿t( lor in t r t t t lucc cn la ru l ¡ ¡ ABC una caída de te l rs i r in de -

J0\/. . .1. lg,unos i¡utorcs crxprrJSln csl i t i t lct t l ic icnth) quc lu t l . t l . ¡ t . cnl.rc dt ls ¡ luntos csigrru l u:

V n c - I R i - I u ,

rklnt lc cl l )r inlcr tónni¡ro t lcl scgundo ¡nicnl l l ro cxprcsa la sutl l ¡ t dc l¡ ls caít las detcnsitrn l)rov()ci ld:rs crr l()s clcrnc¡ttos l) i ls¡v()s c.\ istcrttcs cn cl ci t¡ t t ino qrrc ul lc A conCl y c l scgun( lo túrr l r ino oxprcsa con s igno tnenos la surT¡ü dc hts c lcvac¡oncs dctclrsi t i l l ( luc intro(luccn los gcncra(lorc.s cxistcf l tcs cn la run quc unc A con C. Esteri l t i ¡¡ lo si l lno - ¡)rocc(lü cvir lc¡ l tcr¡ lcnlc t lc l : , t convcrsit i ¡ l dc uful clcv:tci t i ¡ t dc tcnsió¡t enunil cilí(l¿t tlc tcttsiti¡¡ cn ltls Scllcril(l()ros.

P¿¡nr cil lcullr la potcncii¡ cn la rcsistcnc¡a tlc 3() cs l)rcc¡so c¿llct¡l¿tr la i¡ttc¡lsidad dc la

c()rr icntc ( luc pitsl lx)r cl ln, cn cl circuito originit l de la l ' ig. 3.55. Tóngtso cn cttcntÍ lr¡uc al scr csru rcsistcnci ir dc 3Q cl vi l lor t tc la inrpcditncia dcl gcncrador dc ct¡rr icf l tc,sc ir¡tcnta calcul¿tr cl vak¡r (lc una variablc itrtcrn¿t cn li l u'¿tn.sfilrm¿lcititt gcltcril(lor dccorricntc a gencrüdor ( lc tensión,por lo quc una vcz ci l lculat l t l cl circui lo de la f ig.

1.56, r lcbc volvcrse a l or ig inul dc la l ' ig . 3.55. ' Icn icndo cn cucnta según la l ' ig . 3.56

r¡r rc i r . - ¿ lA, quc cs la corr icntc quc v i l por la ra lna BC dc (B a C), a l apl icar c l lcr

lerna dc Kirclrhol ' f al nutlo [ t t lc la l ' ig. 3.55 rcsuluri :

l 0 = i R n + i n c - i R A + 4

por lo t luc i¡¡4 = 6.A y [ ]or co¡rsiguiclt te la potcncia disipi l( l¿t scría:

P(3Q) = R i ¡ lA2 = 3 . 62 = 108 W.

l i l l r ( ( ) t - , t j ru l ( )N¡\1. : \ l l : tJ l ( l¿\1. , t : t ¡ ) . j ( . .11(Lul l l rSLI-LLl l i lL()s

conrprobará cl lcct<lr sin cmbargo, que la ¡xltencia disipada en la rcsistcnciu clc 3(lcquivalentc dc la fig. 3.56 es igual a 3.i22 =3 .42 = 48 W, quc no coincittc c¡x¡ laanlcrior. La u¡uivalcncia dc la t¡ansformación es válida solamentc para hacer cálcukrscxlcriorcs al gcnerador dc corricntc. Cuando se solici lan variables i¡rlcr'¡rasdebe volverse a l c i rcu i lo or ig inal .

E]b:IIIPI.O DE APLICACI0N 3.9

Calcular la polencia disipada cn la resisrcncia 9{2 del circuito de la fig. 3.57que tiene un g,cnerulor de corriente dependiente de la tensión en la rcsistencia central de I Q.

Fig. 3.57

S O L U C I O N

E.riste r¡na fucntc dc corricnte dc¡rcndicntc, quc pasiimlola a fucntc dc lcrrsit'r¡rrtr

vg= 5-0,5 Vt = 2 '50 V¡ I R = 5Q

y sc obticnc cl circuito tlc la fig. 3.58.2)

a ] +\

1 1 l r t "rO

F i g . 3 . 5 8

3 1 0 3 l l

[¿s ecuaciones de malla son:

55 = (9 + l ) I r - I . Iz- 2 , 5 0 V l = - I I t + ( l + 5 + 3 ) 1 2

kr rclación entre la scñal de control tlcl gcncrador V I y las corricntcs dc malla

V r * I . ( l t - 1 2 )

tlc donrle ¡csultan las ecuaciones genenales:

Malla I :Malla 2 :Malla 3:

28 - vE2 - t i1is¡ = +(2+3)

- u e ¡ l i t - 2

'g3

i"L

i 2 +

l i ¡2 i t( l + 2 ) i ¡

( 3 . I l 3 )

l l c 12 cs :

resulumdo:

¡xrr consiguicnte, la potcncia disipada cn la resistcncia dc 9fl será:

P= R i2 = 9. 5,3112 = 260, l l W.

3 . I I .2 I \ I I . ] ' I 'ODO DE LAS MALLAS CON GENI iRADO¡TDS DI iCORRIENTE

Cuando se dispone de una red que se desea analizar por el nréto<Jode las corrientes de nralla y existen gelteradores de corriente ideales, estos nose pueden transfonnar en generndores de tensión, por lo que pilrece a primeravista r¡ue la presencia de estos generadores va a com¡rlicar el estudio delcircuito, ya que sus tensiones no son conocidas. Vamos a exanlinar en estee¡rígrafe que tales redes se estudian de modo semejante y que no suponen porello una mayor complejidad; es más, incluso en algunos casos la presencia degcneradores de corriente facilita detemlinados cálculos. Lo inrportante esasignar a los generadores de coniente presentes en la red, una tensióngcneradora dcsconocida que como saben¡os viene tleterminnda por el resto delcircuito.

Considérese por ejenrplo el circuito de la fig. 3.59 que contienedos gcneradores de corriente que no se pueden transformar en tensión.Plimcrarne¡rte se asignan los valores v,.2 y vr¡3 a las tensiones de anlbosgr:neradores, con las polaridades indicudas én la fig. 3.59.Se preparan acontinuación las corrientes de circulación de mallas: i¡, i2, e i3, ] se escribenlas ecuaciones de malla de acuerdo con lo explicado en el e¡rígrafe anterior, lot¡rre <Ia lugar a:

v g 1 = 2 8 v .

F E

Fig. 3.59

obscrvanros quc se disponcn de tres ecuaciones con cinco incógnitas: i ¡, i2,i3, vsl , y vc3. Se ret luieren entonces dos ecuaciones adicionales qrreobteñtlrernol relacionantlo las intensidades de los generl<tores de corricntc,con las corrientes de las mallas a las que afecta. Asi cn el circuiro dc la fig.3.59 se tiene:

a ) 5 - - i 3

5 5 = 1 0 I r - t Z0 - 1 , 5 I 1 + 6 , 5 1 2

I l = 5 , 3 8 A i l Z = - 1 , 2 4 A

b ) l = i 2 - i ¡se observa de las ecuaciones anteriores, que la corriente de la rnrlla 3 ya seconoce, porque está tleterminada por el generador de corriente existente en esilmalla, es decir: i3= - 54. De este modo el problenra se lirnita a las rrrallas I y 2únicamente. En principio parece que el problenra se ha retlucido a un sistenrade cuatro ecuaciones con cuatro incógnitls, sin enrbargo la realidad es atinrr_rás sjmple. obsérvese t¡ue si se surnan las ecuaciorres de lns nlallas I y 2 de(3.1l3), se elimina la varialtle de paso v*2, dando lugiu a:

( 3 . 1 1 4 )

(3 . r r s )

(3 . I l ( r )

a dos ecuacioncs con

28 = I i r + 5 i 2 - 3 i 3

y teniendo en cucnta que i3 = - 5A se convierte en:

1 3 = l i r + 5 i 2

la ecuaciórr anter ior junto con la b) de (3.1 l4) da lugardos incógnitas:

1 3 = I i r + 5 i 2[ = i ¡ - i 2

3t2 3 1 3

I

,,^. f

( 1r )" (

l l ( ( ) ¡ \ l ? \ ( , l i l : l l . ) l t i ( , r \ t ¡ \ \ r r ¡ l ( r J l : l . l _ t . ¡ l i l r ( , , - )

cuyos resullatlos son:i l = 3 4 : i Z = 2 A

t¡ue junto con i3 = - 5A dan los valores de las corrientes cle malra, que sedcsetba¡i dctcmtinar. El lector habrá observado que las variables internrediasvg2 y vg3 quc hicieron fhl ta para escr ibir (3.113) no son necesarias parardsolveicl circuiro. De hecho el problema requiere únicanrente formulai lal;ecr¡aciones (3.1 l4) y (3.1 l5):

5 = _ i 3I = i z - i l ( 3 . l l 7 )2 8 = l i ¡ + 5 i 2 - 3 i 3

las dos- prinreras ecuaciones représentan las corrientes fijadas por rosq_cncradores de intensidad. La terceril ecuació¡r (3.1l7) que es cópia de(3. I l5) procedía de la sunla de las ecuaciones de las nrallas I y 2 de (3.-l l3) yreprcscnta ln aplicación rlel segundo lcma de Kirchhoff al lazo A B C E F Cst¡rrla dc las ¡nallas I y 2. ISste lazo determina en definitiva un circuiro cerrartoque sólo cont iene generadores de tensión e impedancias, evi tando losgcneradores de corriente cuyr tensión se desconoce. La mayoría de losestudiilntes encuentran nrás simple y sistemático plantear las ecuaciones(3.1 13) y (.3. I l4) y resolverlas siguiendo el proceso r¡ue aquí se ha clatlo queescribir direcramenlc el s isrenra (3.1l7) iormandó poi las condicior iesirnl)uestírs por los generadores de corriente y por las ecuaciones de las rnallas(y cn su caso lazos) que no contengnn generadores dc corriente necesarias¡rara cornpletar tantils ecuaciones como incógnitas.

IiIEilIPLO DIi API]C,ICION 3.IO

C¡lcular la intensidad qtu circula por Ia resistencia de 20 oltmios del circuirodc luJig. 3.t/) tplicando el nÉtotlo de las nnllu.r.

ao fL

r)

l f ¡ | l ( t r t / iJL ( . .1() f . ¡ ¿\ l -A I Lt ) l ( l r r l . , rL L1).5 Llr i ( . tJ l l t lS l :L l , :ü l t ( lu()S

S O L U C I O N

Proced imien lo d i rec to :

M¿rl la t :Gcncnxlor:

I;rzo ABCDEFC:

(nrás sirnplc)

16 = ( l +2 ) i 1J =

l 6 =

2 i 2 - t i 3- i 2 + i 3

I i 2 + 2 0 i 3

2)

que da lugar a los siguicntes valorcs:

i l = 3 A ; i Z = - 4 A i i t = l A

Pr r ¡ ced in r i en t r l s i s t emá t i co :

l v f a l l a l : 1 6 = 3 i t - z

M a l l a ? : - v s - - Z i ¡ + 3

lvf alla 3 : ug = - t l

Genc ra t l o r : J= - i 2

Al surnar l¿ls rnal las 2 y 3 sc cl inr ina la variablc dc paso vg:

0 = - 3 i r + 3 i 2 + 2 l

quejunto con las otras dos ecuacioncs (malla I e imposición dcl gencrador) conduccna los rnisr¡ros resullarlos antcriores,

ElEltlPI-0 DIi API.ICACION 3.II

Calcular por el método de las mallas la corriente ¿n la rcsistencia de 4Q delcircuitt¡ de lafig.3.ól y rumbién la d.d.p. en barnes de la resistencia de 2Q.

1 2 - 1 3i2

+ 2 1 i 3+ i 3

l 3

,Q

--f\g

6 -fL

----\73 f L

A A A Aloo fL

l.l

a.(

r t

t--Yvvr\

/

v vv 'ri o . C Lr

YVY- -

l z r L (

II

N

3 1 4

Fig. 3.60 F ig . 3 .61

3 t 5

bLbU I RUfvt¡u.r l ' , lL, l 15lvt() t L l l tuul I UJ L, l . ,L- t - I l ( lL. tJ.¡

SOLUCION

El gerrcrador de corrientc de 3A pucde l¡ansformarse en un generador de tcnsión con losvnlorcs:

f t = 3 Q u g = 3 . 3 = 9 V .

El gcncrador <te 4A, no puede pasarse a fucnte dc tcnsión fnrquc no ticnercsistcrrcia cn plralelo, esrc gencrador dará ya cl valor dc la corricntc dc csa malla, El circuitode la fig. 3.(rl se convierte cn el tlc la fig. 3.62.

Fig. 3.62

Aplicando rnallas se obtiene:

l 09I3

= ( 5 + 6 + 4 ) l l - 4 l z* * - 4 l l + ( 4 + 3 + 2 ) l z - 2 l t= 4

rcsuli¿ul(10:

dc dorrtlc sc tlcrluce:

l 0 = 15 I t - 4 l zl 7 = - 4 I ¡ + 9 1 2

tr = i# = 1,32n A ; I l = f f i =2 ,479A

[¡ corriente cn la resistencia de 4l] seré:

I o = l ¡ - 1 2 = - l , l 5 l A .

cs r lccir la corr icnte t" vale l , l5l A. y t ienc scnúdo conl.rario al señalatto

tl.d.p. en txrrncs de la resistencia tlc X) scrii:

cn la f ig . 3 .61 . l -a

3 1 6

V M N = 2 ( l Z - 1 3 ) = - 3 , 0 4 2 V

3t7

el terminal N ticnc en consccucncia nrayor Jxlcncial que cl tenninal M'

3. I2 ANALISIS DB CIRCUITOS POR BL METODO DE LOSN U D O S

3.12.I FORMULACION GDNNRAL

El nlétodo cle los nudos (o de las tensiones del ¡ludo) es urtproceclirniento {e análisis que se utiliza en teoría de circuitos p_ara calcular sui"spu.sto. Consiste en aplicar explícitanrcnte el prirner lema de Kirchhofif r losnuáos in<lependientes del circuiio (todos menos uno), de tal fornra que cl 2elema cle Kiichhoff result¡t aplicado de un modo irnplícito.

Antes de comenzar a resolver un circuito por el método de losnudos, se debe intentar siempre que sea posible, sustituir los generadoresreales de tensión por generadores-reales de corriente-gc¡uivalentes, con litstécnicas analizadás eñ el apa¡tado f del epígrafe 3.10. Esto sienrpre scriírealizable en el caso de que lós generadores de tensión present€s erl la red sclnreales (es decir tengan rina impédancia en serie) pero no e¡ el caso <Ie quc losgeneradores de tenlión sean icieales. Esta situación se analizar¡í en el ep.ígrafei.tZ.Z. Suponemos, por consiguiente, que-en la.red que se va :l estutJiar sehan poctidd sustituir tódos los géneradorcs de tensión por corriente.

llemos de recordar, que el númcro de nudos independientes deuna red de n nudos es igual a n -1, lo que indica que si se toln¿r urt nudocomo potencial de referencia se podriin calcular las tensiones de los otrosnuclos-respecto de aquéI, aplicando el primer lemn de Kirchhoff u los ¡t -l

nudos restantes, dañdo lugar a un conjunto de ecuaciones li¡lealnle¡lteindependientes. La elección del nudo de referencia es totalmente libte, pero !9más'práctico es elegir aquel nudo que tenga- más ramas conectadas a é1.Muclios circuitos eléétricos reales están construídos sobre una base ntet¡ílica ochasis al t¡ue se conectan algunos elementos del circuito, por lo (ltle escómodo tomar el chasis co¡no nudo dc referencia, que en este cilso scdenomina masa. En otros casos, que se encuentran en la ingeniería eléctric¡cle potencia, el chasis es la misma tierra y por esta razón el nu{o de referenciase éonoce frecuentemente con el nombre tle tierra que se simboliza con t¡nrayado especial (ver nutlo 3 de la fig. 3.63)- El nudo de rel'erenciittstii porconsiguiente al potencial de tierra o potencial cero y las tensiones de los olrosnudos se referirin respecto de la tensión de tierra (0V) lo <¡ue pemtitir¡í rJcflrlirpotenciales absolutos y no diferencia dc potenciales.

Para ver conro se aplica el nlétodo de los nudos, vil¡llos ilconsiderar cl circuito de la fig. 3,63, fornlado por tres nttdos, donde sirloexisten generadores de conie¡rte. El nudo 3 se ha tomado conlo ref,ereltcia r)

Fig. 3.63

nudo dato que se conectn a tierra: 0,voltios, (se obsewa que el nudo 3 es todala ral¡rn inferior de la fig. 3.63). Las tensiones de los otros nudos respeto alnudo de referencia, se han dibujado en la fig. 3.63 con unos corchetes conunas polaridades de referencia, colocando el signo negativo cn el nudo dato.S i denominamos a las tens iones de los nudos: v ¡ , V2 , y v3 = 0rcspectivarnentc, se cumpliri:

i = Y v

expresión que utilizaremos después en el aniil isis.

Una vez tomado el nudo cle referencia,cle los de miís nudos, se debe aplicar el I er lcma de2 resultanclo:

N u d o l : i n 1 i r Z - i t ¡ = QN u d o 2 : i i 2 - i z t - i e z = Q

y teniendo en cuenta (3.120) se cumplirá:

i l2 = YZ (u l - v2)i t 3 = Y t v tiZ3 = Y3 vZ

vnlores que l levados ri (3 . l2l) y colocando las corrientesen el primer nriernbro y las corrientes de las adrnitanciasda:

Nudo I : i r l = Y2 (v t - vZ) + Yl v tNudo 2: - i "*z = - Y2 (vt - vz) * Y3 vr

que re(luciendo a términos semejantes nos du:

Y 1 (3 . 120)

y señaladas las tensioncsKirchhoff a los nudos I y

' t l Y 3 ( ' ¡ l ?

v t 3 = v l - v 3 = v 1 - 0 - v ¡v Z 3 = v Z - v 3 * v 2 - 0 = v 2

( 3 . 1 l 8 )

(3. 122)

de los generltcftrrcsen el segundo, nos

(3 . 123 )

(3. I 2 l)

( 3 . 1 2 4 t

En el c¿rso de referirnos a una d.d.p. entre dos nudos, dondeninguno sea el tle referencia, corno es el caso de la tensión v¡2 de la fig. 3.63,ésla se señala con r¡n corchete donde el segunclo.subíndice tiene el signoncgativo y el prirnero el signo positivo, y asÍ se cumple:

v l 2 = v l - v 2 (3. i l 9)

e n ln ¡rriictica, se inrenta sintplificat cl dibujo dc la fig. 3.63, no dibujnndo loscorchetes y polaridadcs de las tcnsiones pues queda implícito que lastensioncs de los nudos estin referidas al nudo dato, por lo que es suficienteescribir encima del nudo su tensión y asf resulta para el nudo l: v¡ para elnudo 2: v2, etc. Cuando se trate el c¡ilculo de la d d.p. entre dos nudos, dondeninguno es el de referencia, como v 12, entonces se sobreentiende que se ratadc lu dilerencia expresada en (3.1l9) (como diferencia de tensiones entre elprinrer nudo y el segundo).

Otro aspecto a considerar en la red de la fig. 3.63 es que loselenrentos pasivos están expresados en forma de admitancias (r¡ue se nriden ensiemens ) en vez de inrpedancias. Esto se ha hecho a propósito a fin de-vercllrarnentc ln dualidad existe¡lte entre el método de los nudos y el método delas nrallas, co¡¡ro m¿is tarde se comprobarií. Debe recordarse según (3.35) quela relnción existente entre la corriente i t¡ue circula por una admitancia Y y suter¡sión v cs igual a:

-'t l8

las ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma mis compacta delsiguicrrtc ¡¡'¡txkl:

Nudo t : iq r = (Y¡ +Y2) v1 - YZvZNudo 2: - , lz= - Yz vr + (Yz +Y3) v2

I ( i o ) l = Y l l v l + Y n v z¡1 i ! )z = Y2t v l +Y22v2

que adnlite la forma matricial:

(3 . I 25)

r ¡ r I r r i r l , ] [ f ' Y , r J [ " ' l

[ ' ,1= l ; ; ; ' ; : l= l - ' . , - l l . l= [ " ] [ " ] (3r26)t t(is)21 =

[ "r, Yrrj 1"r¡clonde I(i,¡)r y I(is)Z representün la st¡ma de las corrientes de los generndorcsdc intensidad rlue flegarr a los nudos I y 2 respectivanrente. Obsérvese en lasecr ¡ac ioncs (3 .124) y f ig .3 .63 que en e l nudo l , e t t t ra la cor r ien te dc lgenerador I y por ello in¡ aparece conro corriente positiva. En el nudo 2, sctiene una ranril con un !,enerador de corriente ig2, cuya intensidad s:tle dcl

3 1 9

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUN()S ELECI'RICOS

nudrr y por ello esta corriente aparece con signo(3. I 24),

Si se comparan las ecuaciones (3. 125) óobscrvan las siguientes identidades:

Las admitancias Y¡ l,Y22, ...Yii se conocen con el nombre de¡rukradnlitancias de nudo y representan la suma de las admitancias quellegan a los nudos 1,2 ..,i.

Las admitancias Y12 = Y2¡, . . . , Yi i = Yi¡ se conocen con elnornbre de ad¡nitancias mutuas entre los nudds ¿"¡- ¡e y 2e subíndice yrcprcsentfln con signo menos (ver relación 3.127) la admitancia total conrúna nrnbos nudos. La matr iz de admitancias indicacla en (3.126) es enconsccuerrcia una matriz simétrica, con todos los ténninos de la diagonalprincipll positivos e igual a las autoadmitancias de cada nudo. I.os dem¿ístrirnrinos son negaiivos y representan las adnlitancias mutt¡as entre nudos.I:stas pro¡riedades. de forma análoga a la estudiada en el análisis por mallas,¡.'enniten escribir directarnente las ecuaciones (3.124) con arreglo a lo indic:rdocn los párrafos anteriores.

En el caso de existir en el circuito generadores dependientes, seriipreciso introducir ecuaciones adicionales a las anteriores, que relacionan latcnsión o la corriente de la fuente controlada, con las tensiones de los nudos;en este caso el conjunto dará lugar a una ¡natriz de admitancias que ya notcntlrá la propiedad de ser simétrica.

El lector cont¡rrobará la analogía entre la expresión (3.1I l )t¡btcnida en cl ¡¡rétodo de las ¡nallas y la (3.l2fi) obtenida en el nrétodo de losnurfos. Esta analogía se denonrina en teoría de circuitos: dualidad, y pernriteescr ibir (3.126¡ conociendo (3. l l l ) o a la inversa ut i l izando las siguientesdua l idades :

TNTRODUCCION A IATEORIA DE I.,OS CTRCUTK)S ELEC1TRICOS

I'] I \MPLO DE APLICACION 3.12 :

Resolver el ejemplo cle aplícación 3.8 por el métoda de los nudos.

S O L U C I O N

En la [ig. 3.64a sc ha represcntaclo nucvamente el circuito dc la fig. 3.55.

' ¡ - '

Fig. 3.64

El generattor de tcnsión de 7 v esui en serie con dos rcsistencias dc 2Q y I O, tluc rcprescntanuni rcsistcncia total de 3Q. Al translormar este gcnerüdol de tcnsitin rcal clt corricltlc,resulta:

. 7i e t = í : Z = 3 t - t

en la fig. 3.64b se muestfa el circuito transformado. Sc ha tonlado cl nudo C comtlrcferencia y a los nudos A y Il se les hail asignado las tensioncs v1! v2, Aplicantftr cl

método de los nutlos rcsulta:

negativo el l el s istema

(3.1 26) con (3.124) sc t

lvlalla

Cenerador de tensión

Irrrpedancia

T'ensión

Coniente mnlla

Yl r - Yr+ YzY t Z - Y 2 l = - Y 2YZZ= YZ+ Y3

s

e

e

e

e

(3 .127 )

Nudo

Cenerador de corriente

Aclnritancia (3.128)

Corriente

Tensión nudo

b )

NUDO I (A):

NUDO 2 (B) :

+ - r o = ( l . r . l ) v r lr o = I V 1 . ' , I j . l

V 2

) v z

cuyos re.sultados .son:v t = ' 2 V i v } = 1 6 V

l) l-a d.d.p. entrc los nudos A y C será:

v A C = v l - v 3 = v ¡ = - 2 V

2) Por la rcsistcncia dc 3Q cn paralelo con cl gcncrador <Jc corricnte ci¡culará utra intcnsitlad:

i 92=

IOA

r * r=7 l 3

c

320 321

i n n - i 2 l = Y ( u Z

y ¡rr consiguientc, la potcncia disipada en esla rcsistencia scrá:

P ( 3 ) = R i 2 g n = 3 . 6 2 = 1 0 8 W

valorcs quc coincidcn con los calculados cn el cjemplo dc aplicación 3.8 pr cl ¡néto&¡ de lasnl¡l las.

IiJI'TIPLO I'Ti API.ICACION 3.13

Culcular fu potencia disipada en la resistencia de 5Q del circuito de la fig. 3.ó5que tiene un gentrudor rle torricnte dcpendiente, ¡nr el métodn de los nwlos.

l l ' ¡ | K( , l r t .JL-LlUf t ¿\ L\ t L( l l t l¿\ Ub I t . )S Lt l tLt , l I tJS l :L. t :L ' l 'RlCUs

dc tlcxrdc .se rkrltx.r:V B = 2 0 v

la corricntc cn la rcsistcncia tlo 5Q valdrá cn consccucnci¿l:

r o = ? = 4 A

P = 5 .42 = 80 W.

v r ) = l I r o , ( - 2 ) l = l O = 6 A

J'turr i lndtl

fnt r inc ia lcs dc los nudos

NI.JDO A:

NLII)O B:

S O I , U C I O N

cl nu(lo C, conto nu(lo dc rcl'crcncia y lla¡nantlo VA y Vn a losA y tl, sc ticnc:

r o + 2 ,5 16 = t l . I t V ¡ - l uol - ' r l Is - z , s l b = - t u o . t i + i l v n

3.1.2.2 Métr¡do ¡ le los nr¡dos con generadores de tcnsión.

Cr¡nndo se dispone de una red que se desea analizar por el métodode las tensiones de nudo y existen generadores de tensión iderles, és¡os no se¡lueden transfornrar en generatlores de corriente, por lo que parece I primeravista.que la presencit de estos generadores va a cornplicar el estudio tlelcircuito, ya qr¡c sr¡s corrientes no son conorcidns pues dependen dcl circuitr¡ex¡erior. Vantos a exanlinar en este epígrafe que tales redes se es¡udian de unmodo sernejante al expuesto en el epígrat'e 3.12.1 y que no suponen por ellol¡nfl rnayor complcjidad; es rnas, incluso el problema suele ser mÍs simple, yaquc el generador de tensión , f i ja ya directa¡nente la tensión entre lc¡s nudos alos cualcs est¡i conectado.

EI anií l is is de esre t ipo de circuiros sigue el desarrol loconvencional, tratando a los generadores de tensión como genenrdores dccorriente, cuyas intcnsidades son desconocidas. De un n'¡odo anilogo alexpucsto en el epígrlfe 3.11.2, esras intensidades so¡t variables de paso t¡ucpueden cli¡ninarse sumando dos n dos las ecuaciones. A las ecuacio¡resresultnntcs deben nñadirse entonces lns tensiones entre nudo$, que fijan lnsfuentcs de tensión, la solución se obtendr¡i resolviendo el siste¡na dcecuaciones resul tan ¡es.

Consiclérese por ejemplo el circuito de la fig. 3.66, en el que set ienen dos generadores de tensión que no pueden transfornrarse engcneradores de corriente. Asignanros a estos generadores dos corrientesdesconocidas iu¡ e is? en cl sentido considerado. Si se to¡na el nudo 4 cornorelerencia, al a¡llicarél método de los nr¡dos resulta:

y la ¡xllcncia rlisipada scrá:

a) Nr¡clo I :

b) Nudo 2:

ier - lo = é¡ I ) vr

Fis. 3.65

l¿r r:onicntc l5 (variablc (lc control del gcnera(lor dc¡xndienle) vale:I

I b = i u o

F)r lo (lr¡c li ls ccultcioncs anleri{lrcs, se conviertclt cn:

l 0 = V 4 - V g

P = - 0 , 5 V 4 + 1 , 2 V g

6 - i s z

l lTvz 5 v r

l .* 2 ) v z= ' * v r . é

2 f L

322

(3.129)

32.]

ELECTROMACNEIISMO Y CIRCUTTOS ELEL-I'RICOS TNTRODUCCION A LA'I'EOR[A DE If)S CIRCUMOS ELECTRICOS

ETEMPT.O DE API-ICACION 3.14

Calcular la potenciu disipwla en la resistencia dc 6d2 del circuito de la tig. 3.67por el método de los nudos.

c) Nudo 3: l 0 + i g 2 = + v r * ( * ** , " ,

u33

vc

c

?Fig. 3.66

las ccuaciones que imponen los generadores son:

d ) v l = l 0 V

e ) v 3 - v 2 = 6 V( 3 . 1 3 0 )

l:1,::, 'r:,,9,r d),rros da ya el valor de la tensión tlel nudo I , por Io que no hacel i r l t Í r ut i l izar Ia ecuación a) correspondiente a este nudo. Al 'sumar lasecuaciones b) y c) se elinrina la vari¿ible tle paso i*2 resultando el siguientesistc¡lla tlc ect¡aciones:

Fig. 3.ó7

S O L U C I O N

Printcramentc, sc dcbcn t¡anslbrmar los gcncrarlorcs dc tensiórr c¡l conicntc. Elgcncrador dc 4v sc conviertc cn:

cl gcncra<Ior dc 28V es idcal (no tienc impctlarrcia cn ,seric) por lo quc no sc ¡ructlcl¡a¡lsformar_. Ei circuito equivalcnte rcsull¡ntc cs cl rnost¡arlo en ta tig. 3.6'll. Exrstcn cuiltronudos: A, B, C y D. To¡namos cl nudo D co¡no rcfcrcncia. Los potcrüialcs <le los nur¡¡s A,B y C respercto al nutlo dc refcrencia, se deno¡ninan V¡ , Vg y V6 rcspcctivarncnte. El nutloA tienc un potcncial claramente cspccificado por el generador de tensiórr dc la izquicrtla csdccir V¡ = - 28V (obsérvcsc la ¡nlaridad), soló trar¡ iatta aplicar cl rnCrotto dc los nurlos u I]y C, resultando:

NUDO A: V¡ = - lgY

, z = * = 2 A ; R = 2 ( l

N u d o 2 + N u t l o 3 :

ürncf iciones:

rlc doncJc se ol-ltiene:

1 6 = - ( t . | l " r + (

v l = l 0v 3 - v 2 = 6

t . l t , r* ( i . { r " ,( 3 . t 3 l )

v l = l o v ; v ¡ = l 4 V ; v 3 = 2 0 V

(|tre cs la solución del problenra. conocidas estas tensiones de los ¡lr¡dos sc¡rodr;ín cnlcular fácilmentc las corrientes en las ¿¡uerias i¿r,uni o, la retl.Arrnr¡rre . lns ecraciones (3.131) se podrían esct¡ui i -J i i "" ionr.nre, "r¡rrrrccclinricnto sistemático que se acaba d'e exponer ev¡ta nluctroi .rror.r.

12,l

N U D O B : . 2 = - i u o . 4 . 1 . * ) v n I

5

I* Tl _ . I;

v B + ( ;

Vg

) v cNUDO C: 6 =

325

E I". [rc=l'R o tvlAü N g f 1 s lvl o Y c I R c u t ros E LLC'I' lt lc( ).s

vc

l r L

F

F i g . 3 . 6 8

V A = - 2 t t v ; V B = - l f t v ; V C = 2 V

INI'ROI]IJCCION A I"ATEORIA DE LOS CIRCUITO.S ELECTRICOS

es rlccir:

f = VR

quc cs la ecuación conrcla. Téngase cn cuenta que la corricnte quc llega al nudo C prmertcnrcdcl gencrador tlc corricntc será sicrnpre 6A indcperulicnrc de la rcsistencia que llcvc cn seric.Como ya se indicó cn cl apartado e) dcl epígrafc 3.10 csu rcsislcncia en seric con urrgcncrador ds coriente :;c podría haber eliminado y los valores de las Ensiones de nudo r¡o schubicran modiñcado. lil efecto de csta resistencia será cambiar la tensión en borne.s dclgcncrador de coniente que esú cn serie y que se modificará cn función dcl valor de aquélla.

3.13 PITINCIPIO DB SUPBRPOSTCION

Este principio que se aplica n redes lineules tiene por objercrcalculur h respues'a en un elemento tJe un circuito, cuando existen v¡rriasfuentes y dicc lo siguiente:

I- t respuesta de un circui lo l ineal, ¡ var ias f i lentes dcexc i tac i r in ac tua¡ ¡do s imu l táneanren le , es igua l a l ¡ rsunra de las respuestas que se o l l tendr ían c r ¡a ¡ rd r ¡actuase cada una de el las por separado.

La prueba de este ¡eorema puede establecerse clirectnmen¡e por unanálisis por mallas (o también nudos) tle un circuito y para verló mrísclaramente se va ¡l consitlerar la recl de la fig. 3.(r9. Las ecuaciones dc lusnnllas da¡l:

+ ( i + I ) v cT5

luo

ctl conscct¡cncia la conicnte que circula por la rcsislcncia de 6O irá dcl nr¡rlo D al nudo Il ytcndrit un vak¡r:

= 3 A

y la ¡xltcncia tlisipada scrá:P = R t 2 = 6 . 3 2 = 5 4 W

El lcctor observ¿¡rl quc cl problenta se ha rcs¡¡clto sin nccesida4 dc incluir cnli¡s ccuacitlncs Ia rcsistcncia dc 4() cn seric con el gcnerador dc corricntc dc óA. Estarcsislcncia cn scric con cl gcncrndor dc corricnte suclc scr ¡notivo tlc confusión para lostrstr¡tliantcs ya quc suclcn incluirla conlo una atlnrilancia quc introtlrrccr¡ cn cl nudr¡ C rlr: cstai l l i i l lcGt:

t lc dtlrrt lc rcsulla:

NUIX) C: ó - - -

h ccur¡ci( ir t antcrior c.s err( ineit ,()trsúrvü.sc ( luc cn cl nu(lo C dct[u

t l txtr lc l i ts corr ic¡t lcs vit lcn:

) v c

y constitrryc un¿l milh aplicación rlcl nrétodo dc kls nu(los.la I ' ig. 3.ót l , la a¡r l ic¿tción dcl ¡rr ir l rcr lcnra t lc Kirchhol ' f 'nos

6 = l c n + l C n

Inn =f

z t zz

tr l l5 + T + ¡

I5

v n + (z l

t

u g l g2

, --YEju- . r- -- - vc-- V-¡l- Yst C l l = - 5

- ; I C D = - I

= T

rlc cstc rnrxlo sc cu¡nl l le cn cl ¡ lu( lo C:

6 =Y!:*Ju + +

F i g . 3 . 6 9

vs l - (7 , ¡ + 73) i ¡ - Z3 i2 = Zn i l + Zn izv E2

- -7'1 it + (22+Zf ) iz = Zzt i t + 272i1

de donrle se cleclr¡ce, quc por ej. l i t corriente i¡ vale:

32(t 3?7

ELECTROMACNETISMO Y CIRCUITOS ELTjCT'RICOS

, 4 , , a ,l l = J - u r t *

A - v g zdonde A t t y LZt indican los menores adjunros de lil marrizI q cl tleterntinante de la misnta, todos ellos son funciones dede la red.

de impedanci¿rslas inrpeclancias

INTRODUCCION A IATEOR1A DE LOS CIRCUNOS ELECTRICOS

red excitada con generadores de diferentes frecuencias, cortstittryc el únicoprocedimiento válido para determinar la respuesm del circuito .

ETEMPLO DE API]CACION 3.T5

Calcular la corrienle i que circulu por la resistencio de 30{2 drl circuito tlc lofig. 3.70 aplicando cl teor¿ma de superposición.

Fig. 3.70

S O L U C I O N

El circuito rle ta lig. 3.70, es cquivatentc a la suma rlc kls circuittls a, b y c dcla 3.71; cn catla uno tle cstos circuitos sólo aparccc un solo gencratlor, sabicndo suslituí(lolos otros generadorc-s lxlr sus "intpedancias internas" (cortocircuito para cl gencratlor rlctcnsión y circuito abierto para el gcncrador de conicnte). Vamos a rcsóluer caia uno rlc losc¡fcurlos.

. En general para una red de n mailas, ra corriente en una nralragenérica i valdrá:

4,, A"' A .i , =*ur , * -Éur , * . . . *

f u*n (3.132)

en cOftsecuencia i ¡de cnrriente:

P = R ( i ' + i ' ) z

y cs un error haber puesto la potencia así:

P '= R ( i ' )2 + R1 i " ¡Z

la . iusti l ' icación de la anterior es sirn¡l lc, y&cua(lr i i t ic¿r y no una función l ineal.

puede considerarse, como la surna lineal cle n componentes

a*,T-

vgL , k = 1 r2 . . . t l ( 3 .133 )

debitlas a cada generador de malla vg¡ actuando independientemente de lasotras fue¡rrcs. Debe hacerse notar, quE pala qge deje rtó actuar un generatrurde tensión, debe anutarse su' teni ión

' (ue j 0t , - ; ; ¡ ; i r"se ha ¿ecrrr tocircui tar; mientras que para anular uñ generador de corr ienle(i=0) se debe dejar abiertó.

Debe tenerse en cuenta también, que al aplicar superposición, lap'te'cin tl.isipada en una resisrencia, no'pirede .il";i,,;;;i lmnndo laspotenci¡rs <lebidas a los corrponentes intlividüales ¿e .'orr¡.nrq siiio qt,. a*u"cirlcularse.pre,viamente la córriente total y procederde.sp"Jiii l "¡¡"rro de p.l]jJr *,i. sii' e i" son las componentes indiíicirares, ra ió.i¡éni; i"i;i es i = i' +i"(sunra algebraica) y ta poténcia disipada serii:

ÍL

(3 . I 34)

(3. I 3s)

que la pote l lc ia es una [unción

a )

C i r c u i t o a ) :

Las resistcu¡ui'ralcntc:

64vb )

Fig. 3.7 l

I

20O y 30() c.stán paralc lo rcsul t ¡ rndr¡ un v¿l lor. .En gcncral, la resorución de un cirsuito eréctrico por er princi¡ri'de

su¡rerposición es un .procetlimiento pcsirnista, yír ,¡ue és basianre le'ro':rrn¡raratlo con el aniílisis de rnallas o nüdos. sin emharyo tronriiio tietrc utt.

12ft

20 .rl-

20 -fL

ia

,/\30

20'rL

20 -n-

nc ias de cn

'329

E LEC-TR ONIAC N E'TI S I IO Y C I RC T' ITOS E LECT R ICOS

Iucgo la crlrricnte que suministra cl gcnen(lor dc J2V cs:

r r 30 . l0R - i 0 ; 1 0

= 1 2 r )

i = 2 0 + r 2 = l A

Tct t icndo en cucnta la rcgla dcl d iv isor de corr icntc (3.90) , lu inrcnsidad ic

i a= I # fd = |n

Dc lbrnt¿¡ análoga al cuso antcrior, la corricntc quc suminisrra cl gcncrador dc61 V es:

. 6 1i= ¡o-1; = 2A

pucs cxistc "otro" grup() dc rcsislencius dc 20 y 30 l) cn paralclo. La corriente i¡ dcl circuitoscrá:

2 0 { ^l b = ¿ ' 2 0 * i o = t ^

C i r cu i t o c ) :

Las t¡cs resistencias cstln cn paralelo y la corricntc total valc 4 A. quesunrinistn¡ cl gencrador tlc co¡ricntc. Dc acucrdo con la regla g¡:ncral dcl divisor tle corrienle(3,8ó) sc ticne:

IYi 3( l Ii i = i r ü = i " = { T - T - - T = 4 ¡ = l A'

m * ? o * t o

En crxrsccucncia, la corr iente total i r lcl circuito do la f ig. 3.70 scrá igual a:

i = i ¿ r + i b * i . = 2,2 A

h : t l i . r lPLO DE, r l ' l - lC t r c lON l . l é : SUPITRPOSIC ION CON I :UENTI ¡SDI;PIiN DI I|NT'Í:S

Calcular la porencia elúctrica disipada en la resistcncia de 3dl del circuito de laÍ5.J.72 uplicurulo el principio de superposición.

valdr:t

C i r c r ¡ i t t ¡ l ¡ ) :

2 4 ,= + = + l =) )

330

y por consiguientc h ¡rotcttciu t l is i¡r l t la valdni:

33 1

II{III0DIJCCION A I.Á TEORIA DE U)S CIRCUN OS ELECTRICO.S

Fig. 3.72

S O L U C I O N

Cr¡tndo se ticnen redcs con ft¡cntcs dcpcndientes, éstas deben mantencrseinncus, debicndo ligurar crr cada uno dc los circuitos cn los que se dcstlobla la rcd. La raz.ór¡de ello, es quc las l'ucnres dcpcndicnrcs, por su propia naturaleza dependcn de la tensió¡t ocorrienrc dc alguna parrc dcl circuito. Por todo cllo, la resolución clcl circuito de la fig. 3.72¡nr supcrposición rcquierc calcula¡ los dos circuitos de la fig. 3.73. En an¡lms sientprc scconsidcra la lbcntc depcnrliente y únicamentc un generatlor irule¡rendienle.

Par¿ el circuito t le la f ig. 3.73a se t¡cnc:

1 2 - 2 i l = ( 3 + I ) i l = r ¡ r = 2 A

Pa¡a el circuito r lc la f ig. 3.73b rcsulta:

- 2 i r ¿ ¡ | i t + 3 ( i 2 + f i ) * i l = ' . 1 A

+ +," 'i,*fil,

+.^l _ Y - la t b l

' F ig. 3.73

En consccucncir¡ la corricntc quc circula ¡xlr la rcsislencia de 3Cl rlc la fig. 3.72de acucrtl<¡ con la lig. 3.71 scrá:

i t 3 O ) = ¡ ' + ( i z + 6 ) = 2 + ( - 3 + 6 ) = 5 A

ELECTROMACNSIISMO Y CIRCUNOS ELECTRICOS

p = 3 i 2 - 3 . 5 2 = 7 5 W

:I. I4 ] ' I IORBMAS DII 'THEVENIN Y NORTON

Cuantlo el interés en el estudio de una red, se fija en una parte delrr nrisnra, por ejemplo en una mma, es interesante poder separar esta rama delresto dc la red para no tener que resolver el circuito completo cada vez que senrotlificnn los parámetros de esa rama. Los teoremas de Thévenin y Nortonconstituyen dos procedimientos para sustituir el resto de la red y hacer mássimple el cilculo tle tensiones, corrien¡es, etc. en la rama que se desea estudiarde un nlotlo específico.

Considérese por ejenrplo la red de la fig. 3.74 a, en la quc sedesea c¡lcular únicamente la corriente iR que pasa por la resistencia R, paradiversos valores de la misma.

'l'ransformando el generador de corriente real a tensión se obtendráuna red con dos mallas (fig. 3.7ab) que se puede resolver por el método de lascoricntes de malla, dando lugar a las ecuaciones:

1 0 = g i t - 4 i R-16 = - 4 i ¡ + (6+R) in

que da lugar a un valor ip por la regla de Crarner:

r0-r6

[ :-88 - l r

(3 . 136)

(3. I 37)i R =-4 3 2 + 8 t l 4 + R

l l ecuación anterior nos da una expresión simple para calcular el valor de lacorriente c¡ue atraviesa la resistencia R para cualquier valor de R. En la fig.-1.74c sc ha representado un circuito eléctrico activo que obedece a la ecuación(3.137) y que es más simple que el circt¡ito original de la fig. 3.74a. Amboscircuitos da¡l el ¡nismo valor para la corriente i¡. La parte recuadrada delcircui¡n de la fig. 3.74c constituída por un generador de tensión más unarcsistcllcia (en general irnpedancia en serie se denomina equivalente de'l ' lri 've¡¡in de la red de la fig. 3.74a,, excluyendo la resistencia R.

6+R[ :

_t l2 1 3 3

INIRODUCCION A IATEORTA DE U)S CIRCUTTOS ELECTRICOS

I

IIIII

R III

II

J

a )

León Thévenin,anterior en 1883 en formaenunciado siguiente:

l 6 v b )

Fig. 3.74

un ingeniero de telégrafosde teorenra (Teorema de

francés, exprcsó loThévenin) d¿rndo e l

"Cualquier red l ineal, compuesta de elementos pasivosy act ivos ( indepbndientes o dependientes) ( f ig. 3-754) se ¡ruet leéust i tuir . (desde el punto de vista de sus tern¡ inales externosAB) por un generador de tensión va¡ denominado generador deThévenin, más una inrpedancia en serie Zrh".

| - - - l

Ii

-f

S)¡'IIIL _l

B

b )

Fig. 3.75

En la fig. 3.75b se muestra el circuito equivalente de Thévcnin dela red "dipolo" de la fig. 3.75a. Si ambas redes han de ser equivalentesdeber¡ín dar los rnismos valores de tensión y corriente a una impednncia decargaZy. Está claro que pírri¡ calcular los valores de v1 y Z1 sc necesitnrÍn

III i F lt {II

ELECTR0MACNMS Ñ¡O Y CIRCUN'OS ELECI'RICOS

fi j irr tfos corrtliciones cspecíficas en cl vulor 'de Zy,las miis sirnples seránc lcg i r Z ¡ , = - y Z t= l l .

El h¡rcer Zy= * significa física¡nente desconectar la impedancia declrga dcl circuito. En csta situación el circuito de la hg. 3.75a da¡d una tensiónen vacío o en circuito abierto V6 con i = 0, que deberú ser idéntica a la quetlebe dar el circuito de la fig. 3.75b ; en este circuito si i = 0, se obtiene unatensiólr entre los tenrtinales AB igual o vff¡r ya que la caícla de tensión en laZ'¡¡ scrii nr¡ln. Por consiguiente "el volor de va¡ de l¡ rt'd equivalentees igual a la ntagnitud vs de la red l ine¡ l que se obt iene entre loslerrninnles dc sal ida AB al desconectar la carga y dejar el c ircui t t ¡n l l ie r l t ¡ t t

Si ahora se elige Zu= 0, que representa un cortocircuito entre loster¡ninnles externos y denonrinamos i.orro la corriente que circula por estecortocircuito realizado enre los terminales extemos AB del circttito de la fig.3.75it, se deberii obtener la misma corriente icorto para el circuito de la fig'

3.75b. E,n esta figura Z¡ = 0 resulta :

; -.Yf!rrcorto - Zfn

de donde se obtiene el valor de Zn, :

zn =JnLlcorto

¡NIRODUCOON A TA TEORIA DE U)S C¡RCT'ITOS ELECTRICOS

negativos para la impedancia de Thévenin quc no tiene sen¡ido físico pero símatemático.

El teorema rle Thévenin tiene una vcrsión dual qrre es el ¡core¡nacle Norton. En este caso la re<l lineat de la fig. 3.76a se puede sustitrtir por uttgenerador de corriente i¡ en paralelo con una impedancia Z¡ (fig. 3'76 b).

Fig. 3.76:

En definitiva esia equivalencia, representa al comparar las liguras 3.75b y_3.76b,Ia sustitución de un generador de tensión por otro de corricnte. ¿\síobservamos que se debe cumplir:

t--)

(t i l

II

IIII

7,L

( 3 . 1 3 8 )

(3. I 3e). v T h .t - - t| - - I'N

7 'corto

" th; 4 = 1 (3 .140)

es decir : et vak¡r de Z'¡¡, sc obticne como cociente entre la tensiónt¡ue { i r l ¡ r red cn vacio v0 = vTh y la cOrr iente de cortocircui toi c o r t 0 " '

Si los generadores de ln red l ineal ( f ig. 3.75a) son todosintlepcndicnres, e l cilculo de Z¡¡es más simple que el e xpresndo en (3.139) y

,.préser,ta el valor cle la impedancia t¡ue se observa enFe los temrinales A. y Bdi salitla cuando se unulan los generadores internos de la red (es decir secorrocircuiritn los generarlores de tensión y se abren los de coniente). Téngasecn cucntil que si sé anulan los generndores de la red, al no existir fuentes dee.rciración itariin luglr a una tensión equivalente de

'l 'hévenin igual a cero, y

scgún el circuito Oc ta trg. 3.75b, al anul¡r v1¡ la impedancia que se observa

e¡rre los tenttinales A y B (quitando por supuesto lu carga) coincide con Z1¡.

cuanclo la red lineul conriene generadores dependientes éstos no

se p¡c¿e n anular yil quc su anrplitudes clependen de tlgtrnn vitriable de tensiónii.'ooi"'¡¡e tlc l:r réd y por ello i¿r dcterminación 21¡ delre realizurse de acuerdo

co¡r la tle tjnición geneial (-3.1-19). Iln este caso es frecuente encontr¿¡r vnlores

.r34

que nos indica que el generador de corriente de Norton es igual a la corrientcde cortocircuito que se obtiene en la red lineal al juntar sus terminales (Zl = 0)y que la impcdancia de Norton es el cocien¡e entlc la tensión en vacfo.y l¡óoniente de-cortocircui¡o de la red (al igual que la impedancia de Thévenin). Eltrabajo de Norton fue publicado 50- añoi $91n9és--qye.el.de..-fhévenin.Tam6ién se dice que el-gran ffsico alemán H.s.F. Helmholtz (1782-1894)demosnó un caso especial del teorema de Thévenin en 1853'

E]EMPLO DE API.ICACION 3.17

Demostrar que el circuito de lafig. 3.74c represenn el circuito eEúvalente deThévcnin de la red de lalig. 3.74a.

SOLUCION

En la fig.3.77 a se muesua el circuito para calcular la v1¡. Sc hadesconcctado la resistencia R qrre habla entre A y B, y dcbemos calcular VAB = Vg cstandilsin carga el circuito. En el circuito de ta fig. 3.77a, se tiene:

+

vt zN

33s

ELECTROMACNETIS MO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS TNTRODUCCION A IáTEORIA DE tOS CTRCIJITOS ELECTRICOS

i l = 4 . 4

= 1 , 2 5 A

y la tcrrsión en vacío enre A y B, siguiendo el camino ACDEFB será:

v A B - v g = v T h = 4 i l - 2 . 8 = 5 - 1 6 = - l l V

A

e=B

zrna) CALCULO DE YT h

Dejando el circuitodebc dctermiriár VAB,

Fig. 3.78

S O L U C I O N

abierto, se obticnc

eo 5l-

Fie. 3.11

quc indica quc B es el terminal + del generador de Thévenin, como asl se comprueba en latig.3.74c.

Para calcular la impcdancia (en este caso resistencia) dc Thévenin, se debencortocircuitar los generadoms de tensión y abrir los de corriente (es decir se debe dejar nruerlah red, lo que significa anular los generadores); el circuito resultante se muesua en la fig.3.77b. tá irnpedancia será:

Z = 4 1 1 4 + 2 = # . ) = 4 f i

valor quc sc conluma en la fig. 3.74 c.

I;]EíTPI.O DE APLICACION 3.T8

Calcular lu corriente i del circuito de Ia fiy. 3.78 aplicando el teorema de'l 'hé+,enin.

la red de la fig. 3.79, dondc se

Fig. 3.79Aplicando el leorema de las mallas, rcsulla:

U -32 = (20 + 2o)\ -20t2c o n 1 2 = 4 4

rh dondc resulta: r ,

3 2 = 4 0 t t - 8 0 : : t l ¡ = f f = 2 , 6 4

por lo qrle VAB - V0 * V¡¡ valg:v A B = 2 0 1 1 - ( - 3 2 ) = 8 8 V

b) cALcuLo DE zrt l

Primer procedimiento.

Al cortocircuiur los lcnninales AB sc obticnc cl circuito dc la fig. 3.80, quercsolviendo por mallas rh:

a ) 2 s L b )

20 JL

3l(r 3 1 7

¡nr lo tanto:

tlc dmdc sc tlcrlrce:

E l- E(:IR OMAC NETIS tvlO Y C IR C LIITOS E L ECTR lC( )S

32=20 I l- U = 2 0 1 2 - Z A \

1 3 = - 4

l l = 1 , 6 A . ; I Z = - 7 , 2 / ' , .

Inn = Irorro = I l - lZ= 8,8 A.

INTRODUCCION A [A TEORIA DE U)S CIRCUNOS ELECTRICOS

Fig. 3.81

a) CALCULO DE LA CORRIENTE i :

El circuilo a resolver será el indicado en la fig. 3.82.dondc se ha señalado conun recuadro la red equivalcnte de Thévenin . La conientc i, tendrá el valor siguiente:

. 8 8i= lo ;m =2 '2 A

Fig. 3.80

cn consecuencia, la impcdancia Z.¡¡ valdrá:

a* . - Yp . =$ ! , , ' l oa¿ T h = ñ = g " F = ¡ u

Segundo p roced in l i en to :

Al no existir fuentes dependientes, suslituyendo los gcneradores

impedancias internas se obtiene el circuito de la f ig. 3.81 clonde se observa

res¡stencias tle 20O esdn en pÍualelo, resulüando una resistencia nml:

R l R 2 2 0 . 2 oR r = - r - t a t = f f i = l o o

(lue coincidc con el calculado antcs.

Fig. 3.82

EtELIPLO DE APLICACION 3.19 : TI IEVENIN CON FUENTESD E P E N D I E N T E S

En cl circuito de la fig. 3.83, calcular: a) corriente iR que circula por kt

resistencia de carga R aplicando u) el método d¿ las nnllas. b)Teorcnu deTWvenin.

por susque las

.l3 tt33()

3 r t

t"- rñ,, l

ELECTROMAGNENS MO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

Fig. 3.83

SOLUCION

a ) Denominando i. = i¡ e i¡ = i¡ a las corrientes de malla y v, la tensión en bomas dclgcncrador de coniente de la fig. 3.81, sc podrá escribic

M a l l a a : - v r = l i ¡

M a l l a b i " g + 3 i t = R i R

Cond ic ión : 6= i ¡ - i ¡gencratlrcPnientc

de tlondc se derlrrc:- -r2rR = lTlT

tr ) En la fig. 3.84a, se muestra el circuito para calcular la v1,. Se obsewa que il = - 6A,

¡nr lo que la d.d.p. en vacío entre los terminales A y B resulta ser:

Vnn = VTJr = 3 i¡ - l . i l = 2\ - - lz[

3 t t

trl

Fig. 3.84

En la fig. 3.84b se ha efcctuado un cortocircuito enre A y B. Al resolver fxlr mallas

INIRODUCCION A LA TEORIA DE Lf)S CIRCUI I'OS K.LECI RICO.S

rcsulu:M a l l a l : - v r = l i tM¡lla 2: v, + 3l¡ = 0Condición : 6 = i"or,o. i¡

dc donde * dctlt¡cc:i1 = 0; i"ot¡o = 6,4.

por consiguienre, de acucrdo con (3.139) sc tcndrá una impedancia dc Thévenin:

- v1¡ '12zrn=¡* i l=; =-zo

está claro que cl valor antcrior tiene nrás sentido matemiitico que físico. Dcbc qucrlarclaro que al calcular esc cociente se dcbe tonl¡¡f vTh entre A y B, y la intcnsidnd dc

corto como corrientc que va de A a B.

De este modo el valor rJe la corricnte en la rcsistencia R scría igual:

. vm -12rR = ztñ =:l;T

que coincide con el valor calcularto por e I método de las mallas.

Conviene que el lector se dé cuenla que al existir generadorcs de¡rcndientes no puedecalcular la4¡ como impedancia quc se observa enue terminalcs al anular losgeneradores intemos. Un c¡ilculo simple para la red de la fig. 3'83' lc llevará a unvalor (en caso dc proceder erróncamcnte) deZ¡= lf); {ue no es el correcto. Ot¡o

aspecb a considerar es que cuando la red lineal conticne generadorcs dcpendientes <tc la' ' intensidad de la carga (por ejemplo en el caso de la fig. 3.83 que el gcnerador dc

tensión sca de la forma: 3i¡) no sc puedc calcular el circuito equivalentc rlc Thévenin,porque la carga está íntimamente ligada at generador, y al dejarla en circuito abierto ocortocircuito está modificando el valor de aqucl. Es decir, para quc exista unequivalente de Thévenin, la carga no puede interaccionar "dircctamente " con ltlsgeneradores dependientes.

EIEMPI.O DE APLICACION 3.20: TRANSFERENCIA I t IAXIMA DEPOTENCIA

En lufig. 3.85 se nuesta el circuito equivalente de'l'hévenin de una rcdlineal. Calcular el valor de lo resistenciu de corgu RLen función de los ¡nrúnetros dc b red,

para que se transJiera lo rulxima potenciu aesn carga.

S O L U C I O N

L¡ coniente I quc circula ¡nr la carga dc la fig. 3.85:

f t.o".ol co r to

340 34r

f ^ I , r 2

l q + l = . u i . o ( 3 . 1 4 4 )L dRí Jnr=¡rn 8 Rih

que confirma que el cxtremal es máximo, para R¡ = RTl', es decir cuando la ¡esistencia de la

carga coincidc con la rcsistencia del u¡uivalente de Thévenin.

En las condiciones anteriores se dice que la red lineal (a la cual sustituyc eler¡uivalcnle de Thévenin) y la ciuga están adaptadns. La potencia miixima desanollatla en lacafga cn estas condicioncs será:

INTRODUCCION A TATIOR1A DE I-OS CIRCI.'ITC}S ELECTRICOS

se debc advertir al lcctor que sc ha dctermin¡do el valor de R¡ para unos

valores prefijados de R.¡¡ y V6. No debe confundirs€ estc problema con el inverso, en cl

que se tienc un generador V1¡ con una resistencia en scrie R1¡ cuio valor se desea

detem¡inar para suminis6ar la máxima pot€ncia a una cafga concida R¡ . Es obvio que crr

esta situación la potencia será máxima cuando Rrh = 0' es decir cuando el equivalenle rlc

Thévcnin tenga una resistencia despreciable.

ELECTROMAONENS MO Y CTRCUTTOS E LECTRICOS

,- Jrr, -' - R T h + R

F i g . r . ;

ql¡e ccffc.s[x)nde a una'polencia consumida en Pl :

P L = R l 1 2 = R L &" (Rr ¡ + R l )2

la condición rle máximo rcpresenh:

dPr -.' JBr¡:3u)3." l nr$rn.+J"rJ =vL- -Itr:3u- =0ffi

- v'Th*r-rr:-ñrñ"üF------:s:' =v"Ih (nin** KL),

que comeqnnde a:RL = Rtn

el leculr l)ucdc cotnprobar t¡ue se cumple:

( 3 . 1 4 1 )

(3 ,142)

(3. t 43)

Rtn

,'^at r I

342

. vnr2(Pl)unx=4rffi (3 .145 )

343

" J . 1 .

ELECTROMAGNSNS MO Y CIRC UTruS ELLC I'RICO.S

I ' R O B L E M A S

Calcular las resistencias totalcs entre los terminales A y B de los circuitos dcla f ig . P .3 .1 .

a !

Fig , P .3 ,1

[Resp. a) 6,751] ; b) lfil

Dcterminar las resistencias er¡uivalentes entre los terminales A y B dc loscircuitos de la fig. P.3.2, donde todos los valores se dan en ohmios. La fig.P.2b represenüa un cubo en el que todas las arisuas son resiste ncias de I fl

u )

3.'2,-

Fig. P.3.7

o l

r OB

IN t!,

YY 'l -

I A A - -

i3/ ' J

:

> l J L IIt l

A

V Y

l ¡

TJLI A A A

M: ts' ¡

l !

b t

144

I l{es¡r. r) ? o I b) :

345

3.3.

tfi I RUDULLIU¡.¡ A l-A I buKtA ub tlJ¡ Lll(Ltjl ¡ \rJ rLuL ¡ tLrLrr.)

Calcular la corrientc suminisracla por el generador de l0 V del circuito de la

[ig. P.3.3, rcduciendo previamente la rcrl pasiva'

Fig. P.3.3

[Resp.4Al

En la red de la fig. P.3.4 calcular lospor tecnicas de reducción de la retl.

valores de la tensión v y la corrietlte i,

tFig. P.3.4 .

lResp . i = 8A ; v = l l 2v l

Calcular la potencia consumida en la resistencia de 3Q dcl circuito dc la fig.P.3.5 reduciendo previaménte la red.

3.4. '

3 .5.

3.ó.

Ii LECTRot\tAc NETI S M O Y Cl RCI"ITTOS E LECTR ICOS

F i g . P . 3 . 5

[Resp. 3W I

Calcular la d.d.p. entfe los nudos M y N de la red de la lig. P.3.6.

F ig .P .3 .6

[Resp. VyN = zvl

La rcd de la fig. P.3.7 se conoce con el nombre de puente dc Wheatstone ¿quérclación rlctrc existir entre t(1, R2, Rl y R4, plra quc lsca igual a ccro?

+1 . ,

3 .7 .

346347

3.8.

3.9.

INTRODUCCION A IATEORI.A DE L,OS CIRCI'ITOS ELECTRTCOS

Fig. P.3.7

[Resp. R t Rq - R2 Rf ]

Calcular la tl.d.p. entre los nudos A y B del circuito de la fig. P.3.8, ¡ror cl

¡nétcxlo de las mallas.

Fig. P.3.8

[Resp. - 3 ,18 Vl

Calcular la porencia absorbida ¡lor la resistencia de 3O del circuito ttc la f rg.P.3.9 ¡xrr el rnétodt¡ de las mallas.

8vt - ¡ l - 3 n

3 .10 . -

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUMOS ELECTRJCOS

Fig. P.3.9

[Resp. 27Wj

Calcular el valor de la resistencia R del circuito mostrado en la [ig. P.3.10p.lra que la corriente i sea cerc (Nou: Aplicar métotlo de las mallas).

F ig. P.3.10

[Resp. I,923 l)l

Calcular la intensidad i del circuito de la fig. P.3.1 I por el método dc lasmallas.

3 . l l .

3,[8 349

2,ft

a{I

+(\

r + y y y -

l n l nA A 4..--l AAA--

t-f o , s nr\(

g lr l

Iqto Í

\ "I

I Q :l l A

,/

L> t .or

INTRODUCCION A tA'I'EORI.A DE U)S CIRCUTI OS ELL,C I RIUOS

Fig. P.3. I I

[Resp. 0,577 A,l

Calcular por el método de las mallas la d.d.p. cR bornes dcl generador dc

corriente de la tig. P.3,12.

Fig. P.3.12

[Resp. 9 Vl

+

I

3.12.-i (

i l l l . t l ,

3 . 1 3 .

E LEC'IROMAGN ETIS MO Y CIRC U TTOS E LEL-[' I{ IC ()S

En cl circuito dc la f ig. P.3.13, calcular a) la d.d.p.cntre los nutlos A y D; b)qué ¡rtcncia suminisua el generador de corriente al circuito?

+

tJl

0

3 . 1 4 .

3 . 1 5 .

350

Fig . P .3 .13

[ R e s p . V A p = - 4 V ; P = - 3 W l

Calcular la d.d.p.en bornes del generador de corrienrc de la fig. P.3.14.

Fig. P.3.14

[Resp. l5 Vl

Calcular la d.d.p. en bornes del generador de corriente del circuito dc ta fig.P.3.15 por cl método de los nudos.

.*I

3 . 1 6 .

3 . 1 7 .

INIRUDUCCION A I..A'I'EORIA Db U)S UIRCUI I'0S ELECI'RICOS

Fig . P .3 .15

[Resp. V¡n = 1,5 V.J

Calcular la d.d.p. enre tos nudos A y B del circuito de la fig. P.3.16 por elmétulo dc los nudos.

Fig. P.3. l6

[Resp. Vnn = 0,80ó V.l

Calcular ¡ror el método de los nudos la potencia suministrada [nr el gcncrarlortle corricntc del circuito de la fig. P.3.17

35r

J . l 8 . -

ELECTROMAGNETIS tyto Y CIRCUfl-OS ELECTRIC0S

F i S . P . 3 . l 7

[Resp. P = 48Wl

En el c i rcui to dc la f ig , P.3. | 8 , delerminar las potencias c léctr icassunrinist¡adas por los generadores de tensión y de corrientc, por el método delos nudos.

2SL

Fig. P.3. l8

[Resp. P(l2V) = - 36W i P(22V) = l lOW ; P(lA) = - l2W]

En el circuito dc la fig. P.3.19, la potencia suministrada por el generador detensión es nula. Calcular: a) Coniente It; b) D.d.p. VAC.

3.20.-

INTRODUCCION A LA TEORI,A DE U)S CIRCUITOS ELECI'RICO.S

Fig. P.3. l9

[Resp. a) Is = 3A; b) VnC - ' lvl

En el circuito de ta fig. P.3.2},calcular las potencias clectricas suministraclasp<lr catla uno de los gcneradores al circuito,

Fig. P.3.20

[Resp. P(3A) = 9W; P( lA) = 0,5 W ;, P( I V) = 0,5 Wl

En el circuito de la tigura P.3.21 calcular: a) potencia disipada cn R ¡potencia suministraül por el generador dc tensión E2 al circuito.

: b )

.t52

3.2r.

3s3

ELECTROMAGNENSIIO Y CIRCUTTOS ELECTR ICOS

2*4v

Fig. P.3.21

f i t e s p . P ( R l ) = 0 W ; P ( E 2 ) = 4 0 W 1

En el circuito de la fig. P.3 .22,calcular: a) potencia entrcgada por el gcncrador¿e corrientc tle 2A; b) ¡nrencia disipada en la resistencia de 3O.

+5v

Fig. P ,3.22

[Rcsp. P(2A) = 36W ; P(3C¿) = lzwl

En cl circuito dc ta fig. P.3 .23,calcular: a) ¡ntencias suminisrartas por losgeneradorcs al circuiro. b) Potenciiu disipatlas en las resistencias. Cl*probarque se cumple cl balance tle ¡ntencias cn el circuito, es dccir lPgen =

IPuis¡p.

INTRODIJCCION A L TEORIA DE tOS CIRCUITOS ELECTRICOSI

Fig. P.3.23

[Resp. a) P (5V) = l0W ; P(3,5A) = 31,5W; P(lA) = 4W ; b) P(lO) = 9W;P(21)) = 2W; P(lQ) = l2Wi P(4O) = 4W; P(5O) = 5W; P(6Q) == 13,5W. lPgco = l0+31'5 + 4 = 45.5W ;IP¿¡sip. =9+2¡12+4+5+13'5 = 45'5w I

3.24.- En el circuito de la fig. P.3.24, calcular: a) corriente cléctrica suministrada

¡xlr el generador de tensión de 20 v; b) diferencia de potencial en bornes dclgenerador de corrienrc de 5A; c) poterrcia eléctrica suminisrada por el gencritdorde corriente de 24' al ci¡ct¡ito.

3.27.

3 .23 .

Fig. P.3,24

[Resp. a) Ix = 5,5A ; b) VAD = 3V I c) P(2A) = l2Wl

En el circuito de la fig. P.3.25, calcular: a) Potenciasgeneradorcs. b) Potencias tlisipatlas en las resistcncias.cumple el balancc de ¡rutcncias en cl ci¡cuito.

suminisraclas por losContpruébcsc qt¡e sc

3 5"1

3.25.

35s

ELECTROIV{ACNENS MO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

Fig. P.3.25[Rcsp. a) P(l0V) = 6Z,SW; p(SV) =- l?,5W: P(5A) = rcrlYi P(2'54) =

isw. ¡)'ptz'n) = ?8,125w: P(2n¡) = 3,t25w; P(5o) = l25w:-P(5o) = 5w:rlao¡ = zjw;'p(lo) = 625w; P(lf¡) = 25W; I,Pu = f,P¿ = 26't,5W '

].2(r.- En cl circuito de la figura, P,3.26, la potcncia elóctrica sunrinistrada por clgenerador de conienrc ál circuito es de 54w, calcular : a) f.e.m. E dcl generadorúe tensión existente cn6e los nudos A y C' b) potencias el€ctricas producidaspor los generadores, c) potencias tlisipadas en.las resistencias. comprobar clbalancc de Potcncias en la red.

3.27 .

3 5fi

F i g . P . 3 . 2 6

[Res¡ r . a ) E =2Y;b) P(2V) = '4W; P(7V) = t4W; P(3A) = 54W'c) P(lr)) =lWi P(2Q) = 2W ; P(3C}) = l2W: P(4fi) - 4w ; P(5()) =

45W. IPg = - 4+14+54 = fylW = IPdisip.= l+2+12+4+45 |

En el circuito tJe la fig, P.3.27,el generador de 25V absorbe una polcncia dcg?5W. Calcular : l)-i¡rrensidad l, dcl generador de corientc. b) Potcncia

3.28.

INTRODUCCION A LA TEORI.A DE I.OS CTRCUTTOS ELECTRICOS

generada por la fuente de coniente dependienle'

Fig. P.3.27

[Resp. a) Ig = l0A ; b) P = 1250 W.l

En el circuito rle la tig. P.3.28,calcular el valor entero de la rcsistcncia R, siel generador tle¡rndiente cntrega una potencia dc l68W al circuito.

l '.

Fig. P.3.28

357

ELECTROIúACNETISMO Y CIRCI.,IITOS ELECTR ICOS

[Resp. R = 4Ol

3.29.- En el circuito de la fig. P.3.29, la potcncia eléctrica generada por la fuentede¡rcndiente es dc 230w., calcular la cnsión Vt de la fucntc de la izquicrda dela figura. NOTA : Dc los dos valores que se obtienen, lóntese cl que secorres¡nndc con la ¡xrlaridad mosrada en la figura.

+

Calcular la magni tud iB del generador de corr ientc dc la f ig .P.3.3 l s i la

¡rorencia entregada por éial circuito es de l8w. NOTA : De las clos soltrcitines

¡nsibles, lómesc la quc dé lugar a un valor entcro tle ir.

3 . 3 1 .

3.32.

IM'RODUCCION A IATEORIA DE If)S CIRCUITOS ELECTRICOS

Fie . P .3 .31

[Resp. 9AlÉn el circuiro de la fig. P.3 .32, calcular el valor t le la resistenciagcnerador cle tensión de 6V absorbe una potencia dc 48W.

ug

Fie. P.3.29

lRcsp. Vs = 30 Vl

En el circuito de la frg. P.3.30, calcular el valori b = l A

R s i c l

3.30 . de la tcnsión v* si la corriente

IRe.sp. R = 4Ol

En la fig. p.3.33 el generador de corriente tiene una magnitud proflorcional a

la tcnsiór vx. Si la ¡rotencia enfregada por este generador al circuito cs dc 4\V,

Fig. P.3.32

358

fResp. Vs = l5 V l

Fig. P.3.30 1.33 .

359

1.34 .

ELECTROIVÍACNffiS MO Y CIRCUffOS Ef -ECTRICOS

dererminar el valor de la constantc k de proporcionalidad, sabiendo que es unrrúrneru entefo.

F i g . P . 3 . 3 3

[Rcsp. k = 4l

Calcutar aplicantlo el prirrcipio tle sulrcrflosición, la corriente i que circula porh rcsistencia dc 4() tlcl circuito tlc la l'ig. PJ.3a.

Fig. P.3.34

IResp. i = 5Af

Calcular la corriente iu dcl circuito rJe la fig. P.3.35, aplicando el princi¡rio dc

sullcrTnsición._1. _15.

"](r0

i g=Y*

TNTRODUCCION A I.ATEORIA DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

i b

Fig. P.3.35[Resp. ia = 4Al

Calcular el circuito cquivalente de Thévenin entre lo.s tcrnrinalcs A y B dc la

red tle la fig. P.3.363.36.-

3.37.

[Resp. Va¡ = 25V ;

Calcular c l c i rcui totcorcrna tJc TlÉvcnin.

Fig. P.3.36

Rrn = 2ol)l '

de la f ig . P.3.37, calcular la corr icnlc i apl icatrt lo cl

lorl. lolt

3 6 1

3 .18 .

3 .19 .

E LEC'mOMAGT.IENS MO Y CTRCITITOS ELECTR ICOS

2v 'l€'" 'n+ g

B

Fig. P.3.37

[ R e s p . i = 0 , 4 A 1

En cl circuirc de la fig. P.3,38, dctcrminar: a) equivalente de Thévenin entreA y B. b) Potcncia disipada en una resistencia de 4,5Q colocada cnre A y B.

[Resp. a) VTn = VnR

Fig. P.3.38

lOV : Rtn = 0,5 Q; b) lSWl

En el circuito dc la fig. P.3.39, se pide: a) circuito equivalente tle Thévenincntre A y B, al extracr la resistcncia R dcl circuito; .b) ¿cu¿il debe ser el valorttc R püm que la potencia disirlada cn est¡¡ resistencia sca máxima?

B0v

362363

3.40.-

INTRODUCCION A IATEORIA DE LOS CIRCUTTOS ELECTRICOS

F ig .P .3 .39

[Resp. a) V1¡ = Vag =' I l5V ; Rnr = 6 O ; b) 6fll

Calcular el circuito equivalente de Thévenin entre los rcrminalcs A y B tle la

red de la fig. p.3.40 (al desconecüar la resistencia de 4Q). Dercrminar a partir

del resulradó anterior, la potencia disipada en la res¡stcncia de 4Q.

Fig. P.3.40

[Resp. V ' fh = lOV ;Rf f r = l f l ; P = l6Wl

R - +'r--.. -

r ) AMPETTE,

2) EUÍ-ER,

3) CALVANI

,t) f IEI-MlloLTz,

ELECTROMAGNFNS MO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

B T O G R A F I A S

Andre Marie (177 5 - 1836). Matemático y físico francés. Catedniúco dclvfatcmáticas en la Politicnica de París (1809). Sus trabajos comomatemático se exticntlcn dcsde el cálculo de probabilidades hasta laintcgración de ecuacioncs difercnciales cn dcrivadas parciales. Sincmbargo los estudios más importantes cle Ampcre sc rcficren a laclcctricidad. A la scmana dc conocerse en Francia los ex¡rcrintcntos dcOcrste¡f tlcsarrolló Ia clectrcxf inámica aplicantlo el cálculo infinitesinlala la elect¡icidatl. Comprobó que un conjunto de cspiras paralelas que eldcnominó solcnoide sc comportaba igual que un irnán. La Mc¡noriaprcsentada cn 1827 clenominada: "Teoría matemcitica de los fenómenoselectrodinámicos exclusivamente deducidas de la experiencia" es unaadmirable conslrucción lógica y de precisión maravillosa.

l ,eonhard (1707 - 1783). Matemáüco alemán de nrigcn suiz.o. Estudióbajo las cnseñanz;s deJuan Bernouilli, y fue compañero tlc los hijos dcéste Daniel y Nicolás. Profesor dc fÍsica tcórica y ntás tartle dematemáticas supcriorcs en San Petersburgo (1733). Fue uno de losmatemáticos m¿is prolíficos de todos los tiempos pues e.scribió rararlossobre tottas las ramas tfe dicha ciencia. Aplicó las matemáticas a laastronomía sicndo precursor dc las ideas de Laplace y Lagrange.Creador de la topología que ticne aplicaciones en el cstudio de retles.Contr ibuyó enormemente a la difusión dc las matcmáticas por suscncillezy clwidad de exposición. Se te atribuyen más de un millar deMemorias, doscientas de las cuales se descubrieron cuarenta añosdcspues de su muerte.

Luigi (1737 - 1798). Médico y físico iraliano. Catedrático tle anatomíapri ict ica en la Universidad dc Bolonia (1775). Galvani notó que losmúsculos dc las ancas de una rana disecat la cxper imentabanconvuls iones cuando les l lcgaba una descarga eléctr ica. S usob.servaciones las publ icó en l79l cn su ntemoria ' ' D e vir ibuselcctricitatis in motu mu'sculari" (Sobre los cf'ectos dc la elcctricitlad cnel movimiento muscular) . Galvani admit ía la ex istencia de unaclcctricidad animal particular y asimilaba los músculos dc la rana a unaeslrccie de condcnsador (análogo a la botclla tle Leydcn). Estaexpl icación produjo una v iva polémica entre Galvani y Vol la,tlcmostrando estc último cl crror dcl anterior, invenundo la pila quel leva su nombre. Realmente las ancas de la rana actuaban como unmedidor tle la corriente eléctrica. Ampére en 1820, sugirió que csteinst¡urnento se dcnominara galvanómetro en ho¡tor a Galvani.

Hcrnlann Ludwig Fcrt l inand von ( l82l - l t t94). Fisiólogo y f ísicoalcmán. Estudió metl icina cn Bcrlín. Fue profesor dc f isiología enKónigsbcrg (ltl49), nrás tarrlc en Bonn y postcriormcnlc cnscñó fí.sicacn Bcrlín ( l87l). Dif íci l scría encontrar otro sabio de lo.s t icl t tposmcxlcrnos que haya ejercitlo Lanto influjo cn muchos terrcnos dc la

16,I 365

INTRODUCCION A I.A TEORI.A DE L.OS CIRCUTTOS ELECTRICOS

ciencia: y ello fue sólo posible a qu€ sus genialcs dotcs dc invcstigadory su habilidarl de experimenudor iban dirigidas y guíadas ¡xlr unaprofunda penetración lilosótica que lc llcvaba a las cucstioncslundamentales. En Medicina hizo grandes cstudios sobrc los úrgnnos tlcla vista y el oído. En Ffsica realizó trabajos cn elcctrodinámica, pcrosu contribución más importante cstá rclacionada con el principio dcconservación de la energía, al que llegó por cstudios en la acciónmuscular. Se intcresó por los trabajos dc Maxwell y planieó clproblcma dc situar la radiación elecuomagnética fucra dcl cs¡rcctrovisiblc a su discípulo Hcrtz; quicn lo prohl más tanlc rlc un ntotlorotundo.

5) KIRCHITOFF, Gusrav Roberr (1824-1887). Físico alemán. Estudió rnalctnllic¡rs cn' Künigsbcrg. En 1845 sicndo aún estudiante, unplió la tcn¡ía dc Olrm acon<tuctorés de dos dimensioncs y dcmostró sus clósicas lcycs dc lascorrientcs derivadas. En 1848 y basándose como Oh¡n cn la obra tlcFourier (teoría del calor) estableció la teoría gcneral dcl paso dc laclecuicidad en los conductores dc lres dime¡¡siones. Catcdrático dc fÍsicaen Heilderberg (1854), donrlc en unión con Bunsen rlescubrieron clanálisis especual que ¡rrmitió identificar elcmcnios como cl ccsio y clrubittio. En 1874 obtuvo la cátedra de física matcmática cn laUniversidad dc Berlín. Hizo nmbién im¡nrtantcs aportaciones enelasticidad, teoría mecánica del calor y óptica'

6) PLANTE, Gaston (1834 - 1889). Físico francés. lnventó en 1859 cl acumulixlorelécuico quc lleva su nombrc, constituído por placas de plomosumergidas cn ácido sulfúrico, que es esencial¡nente el nrisnro tipo qucllevan hoy día los automóviles. La ventaja del acumulador frente a lapila de Volta es su posibilidad de recarga. lo que pcrmitc una mayorduración rcspecto a las pilas. También estudiri la clectricitladatmosférica, construyenrlo una máquina reostiitica que reproducía laforma de ontla dcl myo.

7)THEVEMN, Lcón Charles (1857-1926). Ingeniero francés. Estudió en laPolitécnic¡. En 1878 ingrosó como ingeniero cn cl Cucrpo dcTclégrafos, puesto en el que pcrmaneció has¡a su jubilacidrn en 1914.Durante esle período normallzó la construcción de líncas aéretstclcgráficas en Francia. En 1896 fuc nonlbrado Director dc la EscuelaProfesional Supcrior dondc enseñó matemáticas e ingenicría eléct¡ica,Su célel¡re teorema se publicó cn 1883 en Annules

'l'elegraphiqucs ymás tanle se prescntó en la Acadcmia de Cicncias lCornptcs Rcndus dcl'Acarlemie des Sciencies, diciembre dc 1883. pag 159). Realmcntc cltcorcma rle Thévenin fue publicado en 1853 por tl. llclmholtz cn clAnalen der PhysikundChimiede Poggcndorf(pag 2l l).

8) VOLTA, Alessandro (1745 . 182?). Físico italiano. Carednítico dc tísica aplicndadc lu Univcrsidad de Pavía (1779). En l77l había dcscubicrto clelecuóforo, primera máquina cléct¡ica por influcncia, t¡rrc crn nráscónrqla dc uti l izar quc las dc frotamicnlo. En lTtl l construyír un

ELEgtROtYlAcNmSMo Y CIRCUITOS ELECTRICOS

clec¡rómelro mejorando el aparato rte du Fay' E¡ llg}comprcndió laim¡rurranciat |c ldescubr imienrcdeGalvaniy¡ccpt( ienpr inc ip iosuteoría, Después rlc muchos experimentos cn su laboratorio, rcch¡zócomplenména en l?93, ta teoría de la elecuicidad animal dc Calvani,denrósnando que los mrisculos de la rana no so con¡¡aen si el "arco"

que ciena et iircui¡o está formado por.un único. mctal' En 1800,utiliz¿ndo discos dc cobre, cinc y carbón impregnado en una soluciónsalina. invcnló su famosa pila que pcrmiúa producir un tlujo decorrientc elécuica.

9) WIIEATSTONE, Charlcs (l8m . 1875). Físico inglés. En sus primctos años sc dedicó a- la acústica. fabricando dive¡sos instrumentos musicales. Junto concmke inventó el telégrafo en 183? después de una larga entrevista conItenry (Weber y Cauls habían fabricado ouo en Gotinga e n 1834 y e Idc lr{b¡se es Oi lg¿O). En l84l construyó un generador eléct¡ico. Sunomb¡e es más conocido en óonexión con el puente de wheatstonc, que

cs un dispositivo para mcdir la resistencia de un circuito nredianle unequilibrado de conienEs.

366361

INTRODUCCION A [-{ TEORIA DE I.J)S CIRCUN'OS ELECTRICOS

R N F E R E N C I A S

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Research and Etlucatiort

Enfoque Sistémico. lvlc

36tt l (r9

CIRCUITOS DE CORRIENTEALT'IIRNA SIINOIDAL

C'\l)[Ttt[,( )

4

4 . 1 I N T R O D U C C I O N

En el capítulo anterior, se han des¿rrollado las técnicas enrplcaclttsen teoría de circuitoi, resolviendo ejemplos con excitaciones de c.c. pam ltacernrás sinrple la aplicación de los teoremns estudiados. Al analizar las rede s decorr ienté al ter i la, surge a pr inrera vista Una di f icul tad plra resolvcrdirectamente las ecuaciones de comportanriento de los circuitos, ya (lue

obedecen en general a expresiones integrodiferenciales. Sin em.bargo y conlose verá en esñ capítulo si'se utiliza una transformación fasorial las ecuacionesse convierten en'expresiones algebraicas definidas por números c.omplejos,observándose entondes que su estudio es basunte sistemiítico, guardando grananalogía con el desarrolib visto en el capítulo anterior. L¡r ideir de enrp-lear losnúmeios complejos en el estudio de la corriente alterna d¡rta del año 1896 y sedebe a C.P.

-Stéinmetz (un brillante ingeniero de la Conlpañía Ceneral

Electr ic), que denominó I este proceso: nrétodo simból ico y quesimplificaría el estudio de la c.a.

Al hablar de c.a. se endende que se ref iere a la c.a. rJe t iposenoidal, funda¡lental¡nente esto es así, porque la onda seno, es la tlue seobtiene en los generadores de c.a, (alternadores) de las centrales eléctricts yconstituye atleñr¡is la bnse de la producción. trunsporte y distribtrción de litenergía eléctrica. debitJo a t¡ue la c.it. puede aduptar su tensirin a los valoresrequi ridos por rnedio de transformitdores, con lo que se logru un granrendi:niento en su utilización. De hecho la c.a.,se introduce en la ingenieríaeléct¡rca cuando Lucien Gaulard y John-Dixon Gibbs descubren cn l8t l4 loque e'los denonlinaron generndor sectlndario y que ntlís tartle trls algunnsrirodi:' icaciones realizad¡rs por Deri, l l lathy y Zypernorvsky dc [¡t Citsit Cl¡tztle Budapest se conveniría en el trrnsfbrnli¡dor. El transtonnadr:r scríit la baseparil :l desarrollo de l¡rs rcdes de lrünsporle y distribucitin con c.it. (luccomerrzó el a¡]o l8ll5.

Colno sc hu señnlado en el apartado J.6: una tle lits cuntcterísticltsde l.s señalc.; pcritrdicls cs l¡r [recuencia. que cs cl ntitucro dc ciclos ¡rorsegu.tdo (l lz): cuantJo sc tlccidió el, enrpleo dc l:t c.l. ltubo t¡uc clcgir cl vitlor

ELECI]IONIACNETIStllo Y CIRCUtT OS ELECTRICC)S

de esm frecuerrcin; para valores de l5-20 Hz, l lcaída tJe rensión en las l ínerstle transpone dc cnergíit (debido a la inductancia L de la línea) es rcducicla,pcro las l:inrpitras plrpndcan y los nrotores de c.a. ticnen unt vibraciónnlolcsra; r 133 l-lz, los tri¡nsftrr¡nadores y algunas miquinas eléctricas, puedenscr ¡¡riis pec¡uerios piua la nlis¡¡la potencia, sin entbargo las caídas de ¡ensiónson nrÍs elcvudas y la trucción eléctrica es difícil (En Esparia la raccióneléctrica se hrce en c.c. a 3000 V, se excepttit el tren de alta velocidad AVEr¡uc funciona a 25000V de c.it. n 501-lz): por ello final¡¡tente se estableció unConve ncion¡rlisnro y Euro¡rit tomó un valor de 50 FIz y E.E.U.U. y gran partede su contillente cligió ó0 Hz, que son los dos valores existentes actualmenlecn cl nlr¡nrlo pitril generitción tle energíit cléctric¿t. Hay en el cantpo-de laElectrotecnia,'fiecuencias nliis tltas, que son comunes por ej. en los aviones,donde las línens de rrnnsporte son cortits y es vitll lrt l igereza de las nrdquinasy por lo general r¡snn frecuencias de 4001-lz. En elcantpo clc la Electrónjca yCónrur¡idi¡ciones se enrplean tiecuencias ¡nds elevldas t¡ue pueden llegar hastalos Cigalrertz (lGl'lz = 109 I{z) distribuídas según indica la Tabla ne 1. Porejemplo Ins enrisoras de nrdio comerciales enriten en Alv!e¡_el r.a¡gg d_e 550 atO-Stt'f t lz, mientrts que la banda de FM se extiende desde 88 a 108 MHz.

Ranuo tlc l 'rccucncias Dcnont innción

I - l0 kllz (Bandit 4)l0 - 3m kHz (Bunda 5)100 kllz - I Mt-lz (Bantla 6)3 - l0 lvf FIz (Banü¡ 7)l0 - 3m Nlllz (Banúr 8)l(X) ¡vl tl¿ - 3 C tlz. (tlantla 9)3 - l0 CI I¿ (Bant la l0)J0 - lm Cilb. (Bantlit I I )

Muy baja frccuencia (VLF)Baja liccuencia (Lt')Mcdia liccucncia (lvl F)Alu ticcucncia (HDMuy alu lrecuencia (VHF)Ultru alta frecuencia (UHRSupcr ülta liccucncio (StlRE.rra alta frccucncia (El{R

' , , l . l c l ,t ' lOT.\: La bal¡tla N sc cxtierrdc dcsdc 0,3 . l0f{ Hz husta 3 t 0 H¿.

TABLA N' I

Desde el punto {e vista de la teorí¡l de circtlitos la onda senoidalpresenta las velltítjas siguicntes:

I ) Sc puecte tliferenciar e integrar repetitltunente y seguir siendo,ow seno¡de de la ntisnruJ'rcarcnciu.

2) Lu sunu'de ondus senoidulcs de iguul frecuenciu, pero de

anr¡tlittut y Jbsc ('t urbirarias es una senoidC tle la nisnwfrecucncit, lo cwl es

( t ) E l concd l ) r ' dc fasc sc inc l i ca cn c l apar t ldo 4 .2 .

fio

CTRCL'ITOS I)E CORRIENfE AL'I'ERNA SEN0IDAL

interesan¡e para uplicor hs leyes de Kirchhtlf.

3) Adnirc t¿nu represe,trución tlet tipo erponencial, lo cuttl dasktcttuún ntús los dos pglios uyeriores, ya que ¡termite operar Con vectoresgiratttrios tlenominados tasores, que admircn unu representaCión en el ¡tktm''iomplejo.

Por e llo los problemas de circuitos de c.a. util izan como bascoperativa los ntimeros complejos. Es conveniente qu.e cl lector_ replsc clríÍgebru compleja antes de contenzar este capítttlo, para ello en el apértdice .3 schace un repaso de la vrrriable compleja que se precisa.

Además se ha de destacar, que según el desanollo en serie clcFourier, cuak¡uier función periódica puede representarse por.una sutna dr:ondas senoidales de diferentes frecuencias, el an¡ílisis puede extenderscincluso a scñales no periótlicas y discretas entpleando la integral dc Fr¡urier.Toclas esras propiedajes destacan las grandes ventajas de las ondas senoiditlesen cualquier curnpo rie la Física.

Conviene tener en cuenta sin embargo, que debido al cambio dupolaridad con el tiempo, las corrientes alternas no pueden emplearse crt llrélec¡rólisis, ni tarnpocó en b¿tños y cubas electrolíticas (galvanoplas¡ia). Otrtrtanro ocurre con la c.rrga de acunluladores o baterías eléctricas y también ert llrtracción eléctrica ccn motores de c.c. que necesimn este tipo de coniente paritsu fi¡nciontmiento y sinrilar¡nente en los renes de la¡ninación requerirlos ertacerías e industrias papeleras. En estos casos es preciso incorporar a lirins¡alaciones llneos rectificudores que transformen la c.a. de la red en c.c.Antiguanrcntc se empleaban para esta misión rec¡ificadores de vapor dcnrercurio, ¡¡r¿is tarde se utiliza¡on placas de selenio y en la ac¡ualidad se traha.ilcon rectificadores de silicio ( constituídos por diodos semiconductorcs cotrdos temlinales de acceso externo denominados: iinodo y citodo; estoS rliotlosstln ele¡nentos no lineales que únic:¡mente conducen en el sentido iinotlo-ciitodo, tle este modo al inch¡irlos en un circuito alimentado por c.a. és¡a sctrnnstbrnra en corriente unidireccional, que rnás tarde se tiltra para t¡ue délugar a un¿r c.c. libre de rizado, cs decir cxenta de componentes ul¡ernas ).Pilril controlar la ¡ensión rectificada se emplea comúnmente el rectificadorcontrol¡rdo de silicio o tirisbr (que es un dispositivo electrónico quc tiene tresuniones scnlicondr¡ctoras y que dispone de tres terminalcs de acceso externo:iinodo, cútodo y puerta; este clemen¡o sóllmente conduce en el sentido ¡i¡rrxlo-ciitotlo y ir partir del instante en (lue se da una señal o inrpulso tle control a l¿tpuenÍ¡, lo que pemtite variar h magnitud de la c.c. de salida ).

Desde el punto de vista fisiológico lus tensiones alternas de bajnfrecuencia son m¿is peligrosas que lns continuas conespondientes. Se puctlcafirnrar que una tensitin anterna de 127V, 50Hz es tan peligrosa como una c.c.1 220V; ¡ lor c l contr¡ tr io l rs tensiones nl ternas de ¿rl ta frecuencia sor¡inol'cr¡sivas c¡l virtutl t.le su per¡ucril prof'undidad de peneración (vcr cjcnr¡lhr

37r

ELECTROMAGNETIS¡vlo Y CIRCUITOS ELECTRICO.S

rle aplicuciti¡r 2.24 del cupitulo 2) y por ello se utilizan en tisiorerapia medianredeterminirdos aptrütos de diurermia (por ejemplo en el tratanliento delrer¡lrratisrno y en la rehabilitación de algunas enfermedades óseas ynrt¡sculares).

. t .2 ONDA SBNOIDAL; GENERACION Y VALORES ASO.CI¿IDOS

El csquemr bisico de generación de una onda senoidal es elr¡lostrn<lo en la fig. 4.1 y constituye la versión mrís simple de un alternador(ge rreratlor de c.l). Se tiene una espira de superficie S nr2 girando sobre suejc ir urra velocidad angular constante de to rad/seg, dentro de un campo

F i g . 4 . l

nr:rgnético uniforme producido por un im¿ín o en generat electroim¿ín, clevnhrr ll '['eslas. (El rrrovimiento de la espira se debe a un medio nlec¿inicoc'xtcrior, (lue cn el caso de una central eléctrica es un¡l turbina). El flujonragnético que atraviesa la espira cuando los vectores S (Superficie) y B(inducción) lbrnran un ángulo 0 = o)t, teniendo en cuenta que la inducción csr¡rrilomrc en todos los puntos de la superficie de la espira, es:

d<l¡g = - T =

( l | to rcsl)ontJe lr la lornli l generi l l :

.t 72

( 4 . l )

con la ley cle

(4 .2 )

Donde se ha denominado Er al producido B.S.to. La ex¡rresión(4.3) represen¡a la f.e.m. instantánea (dependien_te del tiempo) e¡gendradaen la bobina y cuya evolución con el tiempo es dc forma senoidal (fig. 4.2). Elvalor instantáneo dependiente del tiempo se representa por la letra eminúscula; E¡¡ es la amplitud de la onda, que también recibe el no¡nbre

Fig.4.2

de valor máximo, valor de pico o valor de cresta; o se conoce con el nonlbrede pulsación o frecuencia angular y se mide en rad/s. Si se denomina T(segundos) el período de la onda, es decir el tiempo de duración de un ciclo, larelación con la pulsación r¡ será:

oT= 2r ;

CIRCI.JTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOTDAL

e(t) = Em sen o,t

la frecuencia de la onda es el nú¡nero de ciclos por segundo y esperíodo T:

cuya unidad es el hertzio.

2nft)=_r

(4 .3 )

(4 .4 )

la i l lversa t lel

(4 .s)

(4 .6 )

en E,spaña

r=+ r{zDe2 nT

f<p r- I g ¿s = B . S = B .S. cos tllt

ícott)() (luic'ri l r lue el t lujo ¿tnterior varía con el t iempo, de acuerdol;unrtlav sc producir¿i unit f.e.nl. inducida de valor:

Q =

las ecuüciones (4.4) y (4.5) se deduce:

= 2n f rüd/s

d

Arpor ejernplo la pulsación de la onda senoidal para una señal tle c.u.donde f = 50 FIz, vale:

trl = 2n(50) - J l4 rad/s

que corresponde ¿l un pcríülo T = l/50 = 20 nlil isegundos.

r{ ,/

( B S c o s o l t ) = S S o l s e n t l l t

.17 3

ELECTR0NIACNETISN.Io Y CIRCUITOS ELEC'I'RIC()S

[:rr lngenierín Elécrrica, cuando se analizan circuitos de c.a., en losr¡uc cst i in i rrrpl icadus ondas scno y ondas coseno, resultr lnuy convenientcrrabajar con r¡n stllo tipo de ondas (bien seno o bien cose¡ro). I-as ventajas decllo se conrprobariin nlás adelanre. En este texto, sc ha elegido conn t'uncióntle trabajo h lorma coseno, de este modo, si se tienen señales ripo seno, setranst'erirín u la fbnnl coseno, bas:índose en la identidad tririonontérrica:

sen ü, - cos (ü, (4 .7 )

CIRCUTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

v(t) = Vnt cos (cot + (Pv) = Vm cos (ttlt + 30o)

i(t) = Inr cos (ox + (pi) = Im cos (cot - 45o)

( 4 . l 0 )

rlc cstc r¡todo lit señlrl cle f.e.nt. (4.3) se expresarÍi conlo ccJ.seno:

e (r) = E.-. cos (r,rr |l

[-a lilrnla tle ondl nriis general responderú por consiguiente a unfl expresión dela fonna:

y = f(t) = Yn, cos (olt + g)

aunque son inaceptables dimensionalmente, serán v¿ílidas para nosotros. (l-ajustiticación es que resulta rniis cómodo para cualquier persona imaginlr laposición angular expresada en grados, que medida en radianes ) . En lafig4.4 se han dibujado las señales indicadas en (4.10).

Fig. 4.4

Obsérvese que h fase de cada onda indica el iingulo quc fomra cl

¡rico de la onda con el cjc de ordenadas (ot =()) . El dngulo es posirivo cu¡rncloel pico t¡ueda a la izquierda del eje de ordenadas y negativo cuando el pico estda la derechr. Se tleno¡nina diferencia de fase o desfase entre dos orldassenoidales de la nrisma frecuencia, a la diferencia entre sus fases re spectivas.Así para el ejernplo de la fig. 4.4 enrre las ondas v(t) e i(r) existe un tlestastrde:

I = 9v - 9i = 30e - ( ' 45e¡ = 75o

Cuando el desfase es posit ivo, quiere decir que la onda pr imera esrdadelantada respecto de la segunda, o de otro modo que la segun<la esriiretrasa<la respecto de ll prirnera. Así en la tig. 4.4, la señal de rcnsitin esrúldelantada 75o respecto a lt corriente, o ésta se retrasa 75o respecto a latensión. Cuando el desfase es 0o, se dice entonccs que ambas ondas esld¡¡ errfise.Si el desfuse es t 9()q, atnbas ondas est¡ín en cuadraturo y si cs ll l(leentonces estiin en oposlcirin. Obsérvese en la fig. 4..1 que al modific¡rr cl

nT)

(.1.8 )

(4.e)

fIt) rqpre.senta el valor instantáneo de la señal, que puedc ser una f.e.nr.,tensi t in corr iente,. . . , Y, cxpresa la ampl i tud nráxima de la señal; q serlcrrt'¡nrina ringulo tle fase inicial o simplemente f¡se. En la fig. 4.3 se hadibujado la señrl (4.9), donde se ha supuesto que g es positivo. El iíngulotlc fasc tp cs cl ilrgunrento tle la onrJa cn el tiernpo ¡ = 0. Si se tiene en cuenta

t.1.9), l¡l cxpresrr to e¡r r:rd/s y t cn segundos, el producto ott quedard

expresado cn radiues, por lo que q deberi ¡nedirse nmbién en radianes. En la

¡lriicticl de ln ingenieríl resulta sin ernbargo mls útil, nabnjar con q en grados(scxagesirtralcs), por lo t¡tre exprcsir¡ncs conlo:

.l7l

Fig . a .3

375

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUNOS ELECTRICOS

origen de l'mes (origen de tiempos) se nlodificnn l¡s fuses cle lus señales, sinerrrbargo l¡r diferenciu de fase o clesfase entre ellas pemlancce inalterado, porcllo cl desl'ase entre ondas es independiente del origen.

Como ya se indicó en el capítulo anterior al estudiar las ondaspcricxlicas, existen dos valores importantes que se enrplean en el análisis deeste tipo de ondas: el valor medio y el valor eficaz.

De i lcuerdo con (3.43), el valor medio de l l onda senoidal (4.9)sc rii igual a:

Y = . l7n

que da lugar a valor:

CIRCUITOS DE CORRIEI.ITE ALTERNA SENOIDAL

2cosZct dcr2tct+q

JvIun

v -Y ¡u- -t 2

Y Imco

f(t) dt = Yn, cos (c,lt + p) dr = 0 (4. I I )

es inrnediato cornprobar que la integral anterior es igual a cero, ya que el áreacorrcspondiente ü lfl parte positiva de la onda, es igual y de signo contrario a laexisrcnte en la piute negativa. Cualquier onda con simetría intpar tendrd estapropiedad.

El virlor eficaz de una señal senoidal se podrá citlcular por rnecliodr: la ex¡rrcsión (3.4¿l):

relación importante y que conviene retener en el estudio de la c.a. senoid¿rl.En el estu<l'io <le los circuitos eléctricos es de gran utilidad el enrpleo demagnitucles eficaces debido al significado físico que representan. Considéresepoiejernplo una señal de corriente alterna de la lbrma:

i = Inl cos (r)t ( 4 t 7 )

la energía eléctrica que disiparií esta corriente cuando circula por u¡laresistenóia R en un tienrpo 1'lpirfodo de la onda) seri igual a:

p ( t ) = R i2 ( t ) d r (4. I l l)

I , que pase por la nl isrnaSi se considera ahora una cofr iente cont inuaresistencia R, disipnrá una energía

p(t) = R i 2 d t = f t 1 2 7

T

I l 'T J

T

_ l l '- T J

Y - | LJ t:" cos2 (o¡t + q)dr' V ' f o

ilnterior efectuamos el cambio de variable:

f

(4 . l6)

( 4 . 2 1 )

f =

y sust i tuyendo el valor (4.9) resulta:

pítril rc.solver la ilrtegrill

( r ) t + Q = C l : + U X l t = d 6 l

t = 0 = = r C [ = g ; t = ' f á 2 T , + g

t lunrle sc htr tenido en cuentír que oT = 2Íf. Al sustituir losel t ( r [ . l3) rcsul tü :

(4. t2)

( 4 . l 3 )

( 4 . l 4 )

valores dc (4. l4)

(4 . l 9 )

(4.20)

que como venlos coincide cofl l i tintegral (4.20) da lugar ü:

, l ,r,| - _l -

{ 2

def inic ión (4. l2). Al scr i t t ) sertoic lal , la

Se tlebe destucar la sinrbología de estos valores. Lus nngniuulescon núnú.sculu reprcscttttut k>s vulorcs instantúneos dcpendienrcs dcl tictrtptt,por e jenrp lo las cxpres iones (4 .8 ) , (4 .9 ) , (4 .10) y (4 .17) represcntanmagnitudes insttntáners. Los valares eficaces se represcntdn por lu ¡¡tisttttt

Ta

J

el valor eficaz I de una corrien¡e periódica es precisamente el valor de r¡nacorriente continua t¡ue d circular por una resistencia R produce en utt tietnpo Tla nlisnla cantidad rJe errcrgía tlisipada. Este valor se obtendr¿i igualando (4. ltl)y (4 .1e) :

R 12 ' r = R iz(t) dt =+ t =

T

J

\ ' /6 317

f :LECTttOMAcl.¡E:l'lStvt0 y C|RCUÍTOS ELECTRTCOS

letn.t quc lus mugnitudes insmnuiileds pero con mayúsarlrr y sin subíndicesaltirbétieos. por cjenrplo la rnagnirud Y en (4.l2) ó I cn t.1.20), intlican valorescl'icaccs. Lls cantidatjes nráxi¡¡ras se rcpresentan con mayúscula y el subíndice"rn": 8,n., , Ynr, Im,. . .Teniendoen cuenta (4.9) y (¿.tO), se pcxlr i i escr ibirelvalor i¡rstantáneo y(t) por la cxpresión:

y(t) = , [1Y cos ( t¡ t +g )

o c l l c l cüso c le la corr iente e léct r ica (4. l7) , ten iendo enresultaní:

i ( t ) = . / 1 t c o s 1 ¡ t

obséryese tilnto en (4 .22\ y (4 ,23\ que el valor efic rz (Y ó I) seexpresión if lsl i l¡ l t i ine¿r dc un nlodo nlás explícito que en (4.9) ó

(4.22)

cuenr i l (4 .21)

(4.23'�)

introduce en l¿l(4 . l7) .

(4.24)

Cc-neralmente nl definir una señal alterna (senoidal) se fijan elvalor eficaz y la liecuencia. Por ejemplo la tensión disponible en un enchufede un domicilio tlornés¡ico en Españir, es de 220 V (cficaccs) y 501{2, porconsiguicnte la expresión insran¡dnea sení de la fonna:

v(r ) = $ . 2?A . cos (314t * gu) vo l t ios

VAI0R MAXltvlO oxZn f

donde gv es cl i ingulo de ret'erencia inicial o fi lse.

{.J IIEPRIiSENTT\CION COMPLEJA DIi IJNA IVIAGNITUI).S I iNOIDAL

Las funcioncs senoidales:

y (r) = JT Y cos (rot +g)

y(t) = JT Y sen (rut +g)

se f)ue(len considcntr ( lue proceden de la proyección t lesol)rc los e jcs (le un sisterna tle coonlenadils cilrtesianils (orcírl c inri lginrtr ia tJcl pl lno cor¡r¡l lejo).

(4.2s )

un yector giratoriotnejor coordenadas

Pum de¡nostrar lo anterior en la fig. .1.5 se ha dibujado un vector

OIvl,, tle mtxltllo Y./2 que forma con el eje real rrn dngulo q, en el tiempo t =0. Corno s¡rhcrnt¡s de Ílgebrir conrpleja (ver apéntlice nu 3), el vcutor OM6 se¡rrretlc rc¡lrescnlÍrr erl lbnrtit expone rtciitl por In expresién:

17tt

CIB ]UITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

olvt. =,F " "'* (4.26\

ahora bien si este v;rlor gira en sentido contrario a las agujas del reloj, a una

velocidad angular ¡¡ (raüs); en un ins¡an¡e t medido a partir cle la posición

inicial OMo, habrá recorrido un ángulo ú)t, que unido al inicial 9, supondri un

arsumento 0 total:

0 - { D t + g (4.77)

nn (vü "J ( r r t+ ' ¡ l )

J ,v r?cou ( r¿r+{ }

Fig. 4.5

la posición correspondiente se scñala en la fig. 4.5 por el vector OM, t¡ttcadntite ultt ex¡rresiótt cxpnnettcial:

u J ( r t . { ) ¡

=

j f , r r t r i )

' l-t

I

III

¡?sen{

1.IIII

I

Y l 2 c o s {

37 ()

ELECTRONHGNMSMO Y CIRCU TTOS ELEÉ'I'RICOS

ofvl =JE Y *j(tot+rl)

It lror'¿t bicn teniendo en cuenta la identidad de Euler, (4.28) seunil Íbnna equivalente:

(4.2rt)puedc escribir t le

(l lte representa l i l proyección en el eje reLa ¡riu'te inraginarit de (4.?9) es:

In,I JT Y.j(''.*'lque rcpresenta ln proyección sobre el eje

cf iv l

(4 .29)

(4.30)

(4 .3 3 )tlc crrya lrornenclirtura se deduce el tunmño del vector t V-Z y ) y su posición errt = (1. rlcfinida por el árrgulo p. En la práctica de la ingeniería eléctrica seprelicre hacer uso de lhsores en valores eficaces, que se representan en negritar) cofl un sínlbolo vectorial en la parte superior.

-It0

Ñ = J E Y c o s ( r o t + g ) + j J í Y s e n ( r r x + p )lu ¡xule reil l de l i l expresión anterior es igual a:

R,,,,, I tíY ,j(*'. *'l = JT Y cos (rot + p)al (eje x) del vector giratorio (./2 Y).

= JT Y sen (ox + g) (4.31)

irnaginario (eje Y) del vectur giratorio

En la fig. 4.5 se muestran anrbas componentes real e irnaginaria,quc corresponden a lns ondas coseno o seno. De este nlodo se infiere t¡ue elconocinliento del vector giratorio :

J T Y . j ( ' t + q )hnce (lue se conozcil la evolución de unil onda senoidal con el t ienlpo.

El vector giriltorio (4.28) se puede representar tanlbién así:

( T Y * j e ) r j * ' (4.32)

ln parte entre paréntesis representa la posición del vector en t = 0, nrientras c¡ueel térrnillo e,t' lt cuuo módulo es la unidad, inclica el ntovimiento del vector. (Encierto nrodo. se puede considerar que eitot es un operador ¡natenr¡itico quea¡rlicado a un vector hace que éste se mueva).

Se denominil fasor a l l ci lntidad contpleja:

fi yel,p

CIRCUIIOS DE CORR¡ENTE AL'TERNA SENOIDAL

V = Y e j e

cantidad conrpleja que aclmite una representaclon enKennelly):

f = Y l t p

f = Y e J P ; ( - t . l4)

forma polar (ttotaciórr dc

Se observa que conocido el valor de un fasor (nroclulo y O fi y

y su fase g) queda determinada la evolución senoidal' Si se u¡ilizan sienrpre

funciones coseno, el fasor (4.35) da lugar a:

Re [ ./? y elorr I = Re t .n Y elp elc't I = {2 Y cos ( ox + I )

(4.3s )

(.1. 3 6)

( 4 . 3 7 )

( 4 . 3 8 )

l-a idea de utilizar vectores giratorios pilra representar señillcssenoidales se debe a Fresnel, sin embargo su aplicación a la Electricidad es

debida a Steinnretz y Kennelly (ver biografías al final dc este capítulo).

La representación fasorial permite ver con sencillez el desfase cntrediferentes magnitirdes senoidales e intérpretar geométricamente las operacionesefectuadas.sobre las magnitudes que representan. Considérese por ejernplo losvalores instantáneos de una tensión y una corriente:

v(r) = JT V cos (o¡t + gu)

i (r) * JT I cos (ort + gi)

los valores fasoriales serún:

V = Y l e v ; l = l ' ¿ q i

cuya fepresentación se muestra en lu tig. 4.6a (representación cn villores

eficaces). Obsérvese que anrbos fasores al girar a la misrnn velocidad ol ('),

siempre tendrdn la misma posición relativa. El desfase de los fasores de la

fig. 4.6a es: g = pv - gi , lo t¡ue indica que la tensión se adelanta a h corricnte(o la corriente se retrüsa a la tensión). En mucltos casos en conveniente tonraruna de las señales como referencil de fases, lo que sinrplifica el ciilctrlo conlos números complejos. Por ejenrplo en la fig. 4.6b, se ha repetido ltt l ig. 4.64

(t) Es cri<lcnte quc cn r¡n rliagranra f¡sori¡l sólamente sc pueden reprcsenlar ¡c¡i¡les senoid¡lcs dc

l¡ misma frccuenci¡. lo quc significm lasorcs quc ginn a la misma velocidad.

38 r

ELECTROMAGNETISIVÍO Y CIRCUMOS ELECTRICOS

Fig. 4.6

to¡ranCo la corriente conro referencia, el desfase entre ambos vectores

giratorios sigue siendo g, pero el instantc en que se han dibujado los fasoresy¡r no cs cn t = 0, sino otro diferente.

T;JEN.IPT.O DE API. ICACION 4.1

Culrulur lu swna de las ten.siones iwtantaneos:

v ¡(I) a 20 cos ( I00t + 30")v2(I) - 30 cos ( Iü)t + tt0")

utilizandofitsores equiwilentes ruitünos. tlcpresenlor: a) diagranaltsorial, b) dfugroma en eltientpo.

S O I - U C I O N

Los l 'usorcs tn¿ixitnos son:

vl = 2ll¿30" : vz= 30¿60"cuyil sunl¿l cs:

V-¡ = V¡+ Vl = l0Zl00 + .l0ZóO'�= (17,32+jl0)+(15+j25,9t1) = 32,12+j35,98

cs tlccir:VT = ltt.l7Z"ltl,07q = .¡3,37 "¡a8.07'�

cn lir t'ig. {,? sc nrucsrn la surna lasorial corrcspondiente y la rcprcscntación ¡ie hs ondas cncl ticnrpo. l-a e rprcsión instanuinca ds lil tctlsión total scrá:

3lt2

CIRCUTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIT)AL

v 1 ( r ) = R e I q 8 , 3 7 e J 4 8 ' 0 7 e c j o t J = C t t , 3 7 c o s ( I 0 O t + 4 8 ' 0 7 0 )

. ¡8 , 37 | ¿8 : ,O7o_

l O O r a d / s

l l nII

II

I

lIIlI 3 0 0

r ¡ ' ) ^ íl - -v fn-2 Z O c o s ( l O O t , + 3 O o l

3 0 c o s ( l O O t + 6 0 " )

\ r * a , _

\ \ - I ' ) r

\ \ " - .\ ),L

t ._r'

Z'- ' +'r ' e.

I ; ig. - l .7

I i J l i f t lP I .O D I i , IPL IC , IC IAN 1 .2

Culcular la sw¡tu de las sigttientes corrientes:

h ( r ) = r { 2 2 0 c o s ( 3 t - ó 0 " ti ¡( t) = . /J l0 cos ( 3 t + 30")

| 8 .1

ELECTROMACNMS MO Y CIRCI.JITOS ELECTRICOS

(n kt forma i71t) = {2 I cos(3t+tp) utilizando fcuores equivolentes (clicace.s).

S O L U C I O N

Los fasores eficaces de arnbas corrientes son:

I l = lo ¿30" lz= 20 ¿' ffio

- J l 2 , 3 2 Ia' I 1 +I' 2=22' 36 | -3314

a

t 2

Fig. 4.8

cuyo dingramo fasorial se muestra cn ta flg. 4.8. [¿ suma de aml¡os complejos será igual a:

tT= l0Z30o + 202- fQo = (8,6ó + j5) + (10 - j17,32)= 18,6ó - i12,32

es tlccin

ly =22,361- 33.43e

¡rr consiguiente e I valor insunláneo corrcsponrlerá a:

i f l t ) =ne [ü 22 ,36e - j 33 ,43e e ¡ r t ] = l ñ ZZ , lOcos (3 t - 33 ,41 , )

El lcctor puede considcra¡ muy arüficioso trabajar con fasores eficaces, ya quel;rs expresiones instantáneas finales utilizan valo¡es máximos ¿por qué no tabajarclirectantente confasores mdximos como en el problema anrcrior? . Efectivamentc en esteproblcma scría más simple utilizar fasores máximos, p€ro es conveniente que el lector seaco.stumllre a trabajar con fasores eficaces, porque como sc verá más adelante es más útil encl cstudio dc circuitos.

60'i \f 3 3 , a 3 ' ,

3f34

(4 .3e)

I85

CIRCUTTOS DE CORRIET.ITE ALTERNA SENOIDAL

I iJEMPI.O DTi APIJCACION 1.3

Calcular la su¡tta de las siguientes tensiones:

v¡(t) = .r | 2 I0 sen ( l \ t + 45o) ; v2(t) = 20 cos ( lAt + 6A")

en laforma:

,tll = '[l v cos (10 t + tP )

utilizanfut fasores equivalentes ( eficace s ).

soLUc t0N

Anres dc cofltenzar el probtema han dc referirse a¡nbas señalcs a la exprcsióncoscno idcntificando claramcnte los valores eficaces. Asf rcsulla:

u1(t) = {2 l0 sen (lOt + 45o) = ú t0 ro, (l0t + 45o' 900).= Jz to.ot (lOt - 45')

v2(t) = 20 cos (lOt + 600) = ^ft + cos (l0t + 60o),,1 2

de este modo sc irjentifican fácilmcnte los lasorps eficaccs:

Vl = lO ¿- 45"

que se pucdcn rcpresenur en un diagrama fasorial. L¿ suma tle anrbas lcnsiones complejasscrl:

VT = V l +Y2= t04 -45a . * ¿ 60o = ( 7 ,o7 - j 7 ,0? ) + (7 ,07 + j 12 ,25 )1 2

es decir

VT= ( 14. t4 + j 5 ,18) = 15.06 Z2O, l2o

que corresponde a un valor ins¡anuíneo:

4 . 4

vT (1) = .D 15.06 cos (lOt + 20JZa)

DERIVADA I i INTEGRAL DE UNA IVTAGNI" I 'UDS E N O I D A L

Considerenros un¿l señal senoidal de valor ef ic¡rz Y y kse g. Suvalor instantáneo vendrú expresado por:

; yz=ftzsa"

y(t) = '[1Y cos ( tut +g )

h clerivada corl rcspecto itl tientpo yale:

rlyjQdr

que representa una función senoidal, cuyo valor eficaz es o veces er valorcñcaz Y de la señal y(r) y que va adelantada 90o respecto de ella.

Ll inregral de y(t) (inregral particular, supuesra la consranre deintcgración nula) vale:

. - v - Y Í .j f ( t ) . t t = V t ; s e n ( c r l t + r p ) ' = ̂ 1 2 l c o s ( c o r + g -

; ) @ . 4 t )

que representí¡ una función senoidal, cuyo valoreficaz es l/co veces el valorcficaz Y rlc la se¡iel y(t) y que va retrasada 90o respecto de ella.

Los resultados anteriores se pueden obtener ¡ambién partiendo deft¡nciones exponenciales, lo que permite adenrás ver el significado geoméricotle las opcraciones: tlerivación e integración. Si se parre de la funcióncxponencial ys(t):

y e ( r ) = { 2 Y e f ( t ¡ t + I ) = r n y e l q s i o r t (4.42)

cuya pane real es la función de partida ya que:

R e I y " ( t ) ] = y ( 0

¡\l clerivar e integrar (4.42) empleando el operador derivada D e integrall/D rcspectivÍ¡rnente se obtiene:

(4 .4 3)

(4.44)

cuyo resultado nos indica que en el campo exponcncial , el operador Dcr¡uivirlc a jco, y el operador l/D equivale a l/jtrl.

Por otro lado dc rcuerdo con la fórrnula de Euler, se puedeescribir:

j = E j n r t , . f = - j = ¿ . i a 2 ( 4 . 4 5 )

-lllfi

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

que l levün(lo i l (4.43) y (4.44) da lugar a:

Dy. =J? y e lq e jn t? 1 ' ¡ e jo r r= f i Y coe j (9+ I r ' t z ) e lo r t

L - y e . l q l - e - j T t t z e j a t t = ¡ 2 y

e j ( q - n t z l e j t o tDyr

={2 ( l )

' t f ( ' � t ¿ eJo ( t }

E L EC-rRoNl.AG N E]]s ¡vto Y clR c u ITos E LEcr R lcos

V: Y rD sen ( ox +g ) = .A Y co cos ( ox +rp + f ) (4.40)

(4.46)

(4.47)

el lector puede comprobar, que al tomar la partc real de (4.46) y (4.47) seobt ienen las mismas expresiones instantáneas senoidales calculadasdirectamente en (4.40) y (4.4I ).

Para ver el significaclo geométrico de las expresiones anteriorcs,observanlos que los fasores equivalentes a :

ry e ( t ) ó y ( t ) ; D y e ; 5 V t

son:

YeDy*tD Y *

= ) Y = Y e J 9 = f Z . g

=) Y r r le j (P +Tt lz \=Y@¿(WnlZ) = j o¡ YY ¡ Y l= ) : e l ( g - r e l ? \ - l / ( V T r l } ) = - ' . y( J ) ( ' ) J 0 )

en ta fig. 4.9 se han representado los tres fasores simt¡ltáneamente. ,Se

D y . = { 2 Y e l q j o s i t , t t = j c 0 y e

I r x y e l , p . J - e f , o t = I y cn Yt = 1r jco jor

POR DERTVACION

Y

POR INTEGRACION

, Fig. 4.9

observa que : el fasor que representa la derivada (la integral) deu¡la fr¡nció¡r senoidal se obtie¡¡e a partir del fasor representalivo

de la misnra nru l t ip l i cando (d iv id íendo) su módu lo por o ¡ yaunrcnlando (disrninuyendo) su fase en nl2, cs decir 90o.

I

1ft7

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUITOS ELECTR¡COS

. I .5 Et, DOI\,TINIO DEL'I ' IEI\ IPO Y EL DOTVIINIO DB LAI T R E C U E N C I A

Vunos a demostrar en este epígrafe la utilidad de lu funciónexponencial, en definitiva de los fasores, en el aniílisis de los circuitos decorricnte ¡rlternr (c.a). Consideremos el circuitode la fig.4.l0, fonnado porurra rcsistencia R en serie con una in<Juctancia L ali¡nentadas por un generadordc tc¡rsión sillusoidal, cuyo valor instant¿íneo es:

v'(t) = JT V cos (ort + g") (4.49)

el problenrl consiste en calcular la expresión instantinea de la corriente i(t) r¡uecirct¡la por lt nralla del circuito. Las polaridades señaladas en la fig.4.10,rcpreselltan los signos de las tensiones en el nromento considerado.

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

tensión del generador es exponencial:

v e ( r ) = . , / 2 v e j ( o t + 9 v ) = . 1 2 v e j 9 u s j o t = { 2 v . j t , ( 4 . 5 1 )

donde:! = ! s j 9 ,

representa el fasor eficaz de l¡ tensión generadora. O_bsé_rvese.que la tensiónreil v, (t) es la parte real de vs(t), es decir v'(t) = Re [vg(t)1. La ecuaciórt(4.50) se convierte en :

L* + R io = ,Fv e j ' 'd t e

cuya solución ie está relacionada con la corriente real "i" por :

di"(t) ,1

;¡ = dÍ jco r er',

al sustituir (4.54) y (4.55) en (4.52) se obtiene:

i = Re [,.J (4 .s3)una corriente

(4 .54 )

(4 .s2)

(4 .55 )

Fig. 4. l0

Al npl icar e l 2e lenra de Ki rchhof f a la mal la de la [ ig . 4. l0 seol:tiene:

JT v cos (cot + gu) (4.50)

la ecui¡ción anterior define el comportamiento del circuito en el dominio dellientpo.-l'al denominación se utiliza en las redes, cuando se conocen o deseancrlcular las expresiones de v(t) e i(t) en función del tiempo. En esre capítulonos i¡rteresu calcular la solución particular de (4.50) que represenra larcspr¡est¡t en régimen permanente de la red (') y que también se denominares¡ruesta forz.ada. Esta solución no se va a obtener direcramente porirrtegraciórr de la ecuación diferencial (4.50) en el dominio del tiempo, sinoern¡rf eurdo vna trunslormackinJ'usorial .

Ptra proceder i l est¡l transformación, vamos a consiclerar que li l

Es razonable suponer que la solución de (4.52) esexponencial de la forma:

i, (r) = JT L'*' ,j*'� = JE I ej''

donde:I = l c j 9 ¡

indica el valor fasorial de la corriente. De acuerdo con el epígrafe anterior, laderivada de i"($ será igual a:

v { t )E

. d itL= " a t -

L * + R i =dt

v V- / ( p u - p )

! P2*''¡¡2¡2

(4 .5 7 )

[ =l * ) 1 . . : r so luc i r in r l c la homogénerüxfx)ncrrc i ' ¡ l ( luc t icndc r ccro con

:l ,-{ tt

t ranst tona quese estudia e l r e l

es una funcioncrpí tu lo ó.

V¡¡= t l i

,'^-' t ( r t u+

L

JT jrot- I ej'' + {í R I *j'' = JT v ej'' (4.5(r)

que divicliendo por ./1 elax cla lugar a :

j o L I + R I = V

de donde se deduce:

Y l.tpu

R2+c,l2Ldc (4.50) const i luye la solucidncl t icrn¡xr. El análisis uansitorio

R+joL( .1.5 g )

3,\9

E LECIR o r\ | Ac N E t] S lvl O Y Cl R C U ITOS E LECI R IC( )S

donrle :o)L

rp = arcrg n_I-t corricntc expo¡lencial i .(t) se obtendri sustituyendo (.1.58) en (4.5,1):

t = vi " ( t ) - J 2 p e

V j ( a ¡ t + 9 " - e )(4.se)

CIRCUITOS DE CORRIEMTE AUIERNA SITNOIDAI-

(.OIWERSION FASORIALe

R2+or2L2L $ + R i = ü v c o s ( t o t + S " ) -+ j o ¡ L I + R I = V

RE.SPUESTA FASORIAL

rlue lrl tonli, lr l t plne real, resultari según (a.53) la

i ( t ) = $ + c o s/n ' * . ' ' L t

corriente senoidal i(t):

(olt + gv - g) (4,60)jor

r l-- \YJ(oIv

-t

-)-)

f ) =

ID -iv

J

qdr

I

la corriente rnteribr serii la solución de la ecuación diferencial de partida(4 .50) .

La ecuación fasorial (4.57) define el comportamie nto del circuitoen el ¡lominio de la frecuencia, y es una ecuación andloga ¡r la de partida(.1.50) que clcf inía el componamiento del c ircui to en el dominio deltienrpo. I3s inrportnntc que el lector comprenda en este ejemplo simple, elpror'eso ilc tr¡rnstbrmación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia,que ¡renuitc ¡r i tsar de la ecuación (4.50) a la (4.57), lo que signi f icatianstbnllar una ecuación difcrencinl en una ecuación algebraica, cuyasohrcitin es r¡ruy sinrple nplicando las reglas del ilgebra compleja. En la fig.4.1I sc nlucslrit el proceso general de transformación, cuya ntetodología serjusta a lls si¡¡uielttes nonllas:

| ) Dcscribir lodos los gcncradores dcl cirt:uito en térntiruts de la Jitnciónc()scrlt).'

v (r) = JT , rcos (rot + rpu)

tlc ucucrtlo con esto el lirsor correspondiente seri de l¡t lbrnra;

V¡ = V e J 9u = ! /9u

en c l cuso dc ( lue ex is t ¡ ln fuentes expresadas en térnt inos del seno,tnlnslbrrnirlus en coscno de ¡rcuerdo con la identidatl trigonométrica:

ftsen (rot + 9) = cos (rrlt + I -

T)

F , - VI -

R+jol l

MODULOY FASE

r _ V . . - _ - _ . . _ o ¡ Lt= ¡ ; f f i ;9=arc tsT-

Fig . 4 .1 I

2) T'ransformur las ecuttciones diferenciules (o integrg diferenciules) dc ht' red eh el donúnio del tiempo al dominio de la frecuencia, para cllo

sustiruir el opemdor D por jol y el operador l/D por l/jol, expresancl<tt¿unbién los valores de tensiones y corrientes en la forma fasorial.

3) Resolver kts et:uaciones fasoriales resuhantes, utilizando procedimientosdel álgebra cornpleja, determinando de este modo las corrientes de ll rcd.

4) I.os fosores ¿le las corrientes proporcionan los da¡os de magnitutl y fuse.Á párilr tle ellos escribir ku expresiones insnntáneat de laS corrientes.

l-a metodologfa uquí descrita ounque e s ventitjosn, se puedc opti-mizar todavít nlús. Cuarido se esludien las respuestas senoidales de los elc-rnentos pasivos en elepÍgrat'e siguiente y se defina.el concepto de irnpedatrciitcornplejl serernos caplces de escribir directar¡rente Ins ecu¡tciones fasorialcs dcun circúiro, sin neceiidatl de escribir las ect¡aciones integro-diferencialcs quc

RLSPUESTA TEMPTf,R\L

DO:\l l l , ¡ loIJT.:L

'rI E!\l l,o

DO} I IN IODE I,A

T.RECUI iNCIA

190 39 l

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

lo definen. con ello se ahorrar¡í un0 grnn cantidad de tiempo y esfuerzo, evi-llndo n¡uchos de los p¡sos nratemdticos que aquf se han se¡luido.

' I .6 RESPUESTA SENOTDAL DE LOS ELEIVIBNTOSP A S I V O S

Vamos a analizar en este epígrafe la respuesta ell el dominio deltienrpo y.en.el-dorninio de la frccuenci¡rdé los tres elémentos pasivos sinrples:resistenciir, inductancia y capacidad. supóngase que se conoce la corriente quecircula por estos elenrenros y que sea de,la fórma:

i(t¡ = Ji I cos (cot + gi)

se trat i t t le calcular la tensión terminal existente en cada unorcsponderii a la fonna general:

v(r) = JiT V cos (ort + p")

l it solución del problema .serú encontrar los valores de V y gv eny gi y tle los parimeros R,L y C.

Las expresiones fasoriales de la tensión y de la corriente ser¿in:V = V e j 9 u = Y Z g " ; I = l e l g i - l Z g i ( 4 . 6 3 )

A partir de estfls expresiones y conociendo las relaciones entre v(t)e i{t) para cacla elemento pasivo, podremos determinar su respuesta se noidal;'yasr sc lrcne;

i t ) I IBSISTBNC¡A

Err la fig.4.l2a seha represenrado una resistencia en eldominio der

CIRCUTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

v ( t ) = f t i ( t ) (4 .64 )

la relación anterior en el donrinio de la frecuencia (canrpo conlplejo) cleacuerdo con las reglas establecidas en el apanado anterior será:

v = f t . I ( 4 . 6 5 )

En la f ig. 4,12 b se muestra el circuito equivalente coffesponcliente a laecuación fasorial (4.65), que representa en definit iva un circuito en eldorninio dc la liecuencia. El lector puede observar la analogía entre (4.64)y (4.65).

Si se t iene en cuenta (4.63) y (4.65) resulta:

Y /W = f t 1 /q ide donde se deduce:

V = R I i e v = g i U l . 6 l )por consiguiente los valores silrusoidales de tensión y corricnte en unÍlresistencia serán:

i ( t ) = , [ 2 l c o s ( o t + g ¡ )

v(t) = .E nl cos (ol t + gi )

( 4 . 6 1 )

de el los ( lue

(4.62)

función de I

(4 .66)

(4 .68 )

en la f igura 4.13 a se muestran estas señales senoidales, gue vi ln en fase(ev - qi) y cuyos valores eficüces est¿in relacionados segú¡l deterrninir lirley de Ohnr de acuerdo con 4.67. En la fig. 4. l3 b se ha representado eldiagrama fasorial correspondiente. Anrbos fasores estin alineados yil quelas dos senoides est¿ín en fase.

a-

oDOI I INIO DE LA FRECUENCIADOMII I IO ITEL T I IMPO

a ) b )

F ig . 4 .12

ticrn¡lo. De acuerdo con lu lcy de Ohm, se cumple:

v ( t )

3e'2

D O M I N T O O E L T I E M P O

F ig . - 1 .13

DOT. I INIO DE LA TRECUENCIA

le l

b)

Et-ECI'RolvlAcNms Nlo Y ctRcunos ELEcrttICos

INDUC' I ' . \NCIA t

^ ln la f ig. '1.14 a se hi l representudo uni l bobina en el donl inio del r iern¡ lo.Sabcntos ( luc la rclación entre la te nsión lpl icada v(r) y la corr ie nte i (r i esigual a :

+Y

P

J L u )

"*D O M I N I O D E I . T I I M P O D O M T N T O D E L A F R E C U E N C I A

Fig . 1 . I 4

v( t )=r-#

Ir rclación ante¡'ior en el dominio de la frecuencia (susrituyendo el operadorclerivrd¡¡ por jco) seri:

V - jrol I (4.70)

cuyo circuito equivale ntc se nluestrÍr en la fig. 4.14b. Observa¡nos cn (4.70),u¡rr ecuación análoga a la ley de Ohm, en la que la ¡ensión conrpleja es¡rroporcional a la corr iente conrplcja por rnedio t le un factor deproporcionalidad que vale jol.

Si se t iene en cuenta (4.63) y (4.70) resulta:

Y /.rp, = j crl Ll lrpi = ot Ll ¿(gi+90q)

(4.69)

( 4 . 7 l )

(4.72)

serin:(4 .7 3)

es rlccir:

! = t l l L I ; 9 " = 9 ¡ + 9 0 o

de este rnodo los vtlores instrnti ineos v(t) e i(t) en unr i¡rt lucrancii l

v ( t ) = f i t r l L I c o s ( o r t + r p ¡ + 9 0 s )

i(r) = ./? I cos (or t + g¡ )

en la f ig.4. l5 se han representado estas dos señales. Se observa que latensión estií adela¡r¡ada respccto de la corriente un iingulo de 90o. El

394

CNCUTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

módulo eficaz de la tensión V es igual a coLl. En la f ig.4.l5b se funnrepresentado loS fasores correspondien¡es, y se observa que V está adelt¡ttitdo90o respccto de I, es decir es¡án en culdraturl.

D O M I N I O D E L A F R E C U E N C I A

D O M I N I O O E L T I E M P O

Fig . ,1 .15

c) cAPAcIDAT)

En la f ig. 4. l6a se ha representi ldo un cofrdensador en sl donl i l t io

Sabernos que la rclación enrre la tensión v(t) y la corr iente i( t) v. t le:

v(r) = * J ',,, o, g.7 4)

clel tiernpo.

la re lac ión anter ior en

integral por l/ jcr¡) es:

F i g . 4 . 1 6

el dorn in io de la f recuencia (sust i tuyendo e I o¡rcr i td( ) r

v(bl f i ( t ,{ + J ¡ ) r I.- r t"l

39s

ELECIROMAGNEnS MO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

v = l - - IjcrrC

cltyo circui to equivalente se ha representado en la f ig. 4.16b.corn[)leja V es proporcionül íI la corriente conrpleja I, ¡rrcdiünre elo lo (lue es equivalente -j l/toC

= - i - l - I- o )c (4 ,75 )

L¿r tensiónfactor l/jtrtC

es dccir :

Si sc t iene e n cuenta (4.63) y (4.7 5) resulta:

Y/.pr=- j+ r / .g i= + | ¿Wi-9oo)OC olc

! = . 1 - ¡orc

(4 .76)

(4 .77 )

v

DOMINIO DE LA FNICUENCIA

; 9u = 9¡ -90o

tlc este modo los valores instant¡ineos v($ e i(t) en una capacidad scriin:t

v ( t ¡= r / J ^ I cos (co r+g ¡ -90e ) (4 .78 )olC

i ( t ¡ = ¿ I c o s ( t o t + r p ¡ )

err la fig. 4.17 sc han representado las dos señales. La tensión est¿í retrasada ala coniente un iingulo de 90o. En la fig. 4.17b se han represenrado los fasorescorrcspondientes, que están en cuad¡atura.

3!)6

OOMTNTO DgL T IEI . IPO

F i g . 4 . 1 7

(4 .n I )

397

4 . 7

CIRCIJTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

IMPEDANCIA Y ADII I ITANCIA COIVTPLE.TA

Las relaciones fasoriales v= f(I) de los elementos pasivos

simples calculadas en el epígrafe anterior son de la fomn :

V - R T! = j r t ¡ L I

v - - l - I = - i l - IjoÉ -

0)C

las ecuaciones a¡rteriores, indican que el fasor tensión puede expres¡rse cotl'toel producto de una ciena expresión c,ompleja, que en el caso de u.tta resistenci;¡se reduce a una constante por el fasoi Corriente. De un modo aniilogo.llestudiado en el epígrafe del capítulo anterior,.la expresión comp.leja anteriorio"i"ut" entre el'fñor tensión y el fasor corriente óe denomina intpedancia

compleja z( j |o\ .En la f ig.4.18 se muestra elsímbolodel i t impedanciacomplela (plano fasorial), de tal forma que se cumple la denominada ley dcOhni rin ¡iotación fasorial :

(4 .79)

(4.n0)V = Z I

Fig. J. l8

La relación (4.80) engloba las tres ecuaciones (4'71)). Es

importante haccr notar que Z ó Z(ja\ es un número conrplejo, pcro no es tlllfasor, ya que no se corresponde con ninguna fUnción senoidal en el dorniniodel úerirpo como le ocurre a los fasores de tensión y corriente.

Conrparündo (4.tt0) con (4,79) venlos que se cumple:

Resistencia:

Inductünciil:

Cupacidad:

/ r =

'lt =

/-, =

Rj t o L

_l_ = _ i_ l_jcoC -

trlc

ELECI'ROIIIACNiffiSMO Y CIRCUÍTOS ELEL-I'RICOS

cn estil$ scuirciones, cnda rémrino es el cociente enrre un fasor tensión y un

fasor corriente, en consecuencia R, jtoL, -j l/oC y en general Z se nlediriin enr¡hnl ios. Para la resistencia, la impedancia es un número real; para lairrtluctiulcia, es un número intaginario positivo y para la capacidad, es unnú¡rrero irnaginario negativo.

Como ocurre con cualquier número complejo, la impedanciaconrpleja se puede expresar en forma binómica o rectangular del siguienter¡rulo:

/ , = R + j X (4 .82)

la pute real de Z es la conlponente resistiva o simplenren¡e resistencia, lapaite inraginarir es ln cornponente reactiva o simplemcnte reaclancia .' l 'antoll, co¡¡ro X y conro Z sc nredirán en ohmios. Comparando (4.82) con (4.81)vcrnos (lue una inductancia presenta una reaclancia positiva (X>0) nrientras(luc una capacidad supone una reactflncin negativa (X<0). En la fig. 4.l9 sc harcpresentado la relación (4.82), el ¡nódulo de la impedancia será:

l z l = $ - arctg (4 .8 3 )

F ig . a . l9

y por consiguiente se curnple en el t r iángulo de impedancias de la f ig..1. l9:

R = l Z l c o s 0 ; f , = l z l s e n 0 (4.84)

XR

l - l inversa de la inrpedancia se denomina admitancia Y y seculnple:

" = l = c + i B ( 4 . 8 5 ).L

la plr tc rcal r ic l t i tdnr i¡ancia se t lenominl conductanCia G, y la pnrte

l9tl

CIRCUNO.; DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

imaginaria recibc el nombrc de susceptancia B. Las magnitudes G, B e Y semidén en siemcns ya qus proceden del cociente enlre ulla corriente y urtatensió¡t.

Las relacione.s entre R, X, C y B se deducen de Ia definicit in

(4.86)

(4.9 5):

G + j R =

de donde se deduce:

IR + f

I B._-. ix _R.- jx.= R +IX R +lX - C4 xz

G = # r A ; B =

debe destacarse en¡onces que G no es la inversa de R, excepto en el caSo detener un circuito sin:plemente resistivo (X = 0). De un nlodo similar lasusceptancia B no es id inversa de X, pero en un circuito reactivo puro (R = 0se tieñe Que B=- llx. Si se aplica la definición (4.85) a los elementos pasivossimples se cumpliní:

IResistencia: y=

R =G

Inrjuctancia: y=* I

j t L = ' J

;

Capacidad: Y=jorC (4.88)

que son las expresiones de las admitancias de los elementos pasivos simples

.X(4.97)

R 2 + X z

EJEMPLO DE APLICACION 4.1.

Se dispone de un dipolo pasivo alintentado por una tensión senoidal:

v(i l = 10'17 cos t0 t + 20 sen (10 t + 45Q)

si lo corriente obsorbida es: i(t) = l0 cos ( l0t + 45"), determinar la impedancia equivalenledel dit¡olo.

S O L U C I O N

El fasor dc tcnsión cl'icaz. v¿llc:

y cl fasor (le corncfttc:

v = ro ̂ ¿oo * ?y ¿gsg-goe) = 2o - j ro! 2

.r99

ELECTROMACNEfiS TVIO Y CIRCUN.OS ELEL'TRICOS

¿ 4 5 4 = 5 + j 5

f x)r consiguicnte ll impcd¿rncia compleju cquiv¿llcntc dcl diplo scni:

v 20 - i lO ?0 - . i lQ I :_ i5_ |z - T = s l i r = s f f 5 f r = t - j 3 l )(luc rcpresc¡ll¡l unil resistcncia dc l() cn seric con un condcnsador dc capacitlad:

C - = 0,0333 F¿radios

4. [ t I \NALISIS DE CI I ICUITOS EN REGIMBN PERMA.NENTB SENOIDAL

4 .8 . I GENERALTDADES

El an¿ílisis de circuitos excitados por c.a. senoidal puede hacersecn el donrinio de la frecuencia utilizando la representación fasorial, bien enfbnnu grrifica o analítica. En el epÍgrafe 4.5 se desarrolló un procedinrientonnalítico que pernritía püsilr del dominio del tiempo al dontinio de laliecue¡rcia, para ello se sustituían las excitaciones senoidales por excitacionescxponenciales, se escribían a continuación las ecuaciones integro-diferencialesr¡ue describfan el comportantiento del circuito, sustituyendo los operodoresrferivatla e integral por jor y ll jtuo respectivamente, y al dividir el sistema deccuaciones por eit¡t se obtenían estas ecuaciones fasoriales correspondientesrunil vez resueltas estas ecu¿rciones por procedimientos algebraicos sernultiplicaban las soluciones por

lT "t''y tonundo la parte real se volvía al dominio del tiernpo.

El proceso de c¡ilculo anterior se puede optimizar teniendo encr¡cntir el concepto de impedancia compleja desarrollado en e I epígrafe 4.7 . Laidea consiste e¡r sustituir la red en el dominio del tiernpo por un¿l red fasorialcn el donrinio de la frecuencin. a la cual se aplicarán los lemas de Kirchhoffdircctalnente en tbmla t'asorial.

I-a red fasorial se obtiene directamente de la red en el dominio deltiernpo sttstituyendo las tensiones corrientes por sus fasores correspondientesv c:rrnbiando los elenrentos de la red por las impedancias complejas (ver tablarr0 l). A continuación el circuito sc puede resolver aplicando los lemas cleI(irclrhoff en fomra compleja, que se enunciarían así:

.r00

CIRCIJTTOS DE, CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

TABLA DE CONvERSION OgL DOt ' l IN IO DEL TIEI . IPO AL DOMt¡ l lO0E l .A FRECUEi IC:A

TABLA NA I

ler Lema de Kirchhoff : '

En un nudo, la sunra de los fasorescomplejas) es igual a cero, es decir:

I I = 0

de corr iente (corr ientes

2q Lema de Kirchht¡ff:

En un laz-o o malla, la suma de las elevaciones de tensión de losgeneradores expresada en forma compleja es igual a la suma de las caítlns detensión en las inrpedancias conrplejas, es decir:

t - +tl z

1 l1 = -

Coll l

3, =

3Jo

(4 .8e)

Cf RCI ' ' ITO EN EL OOMINTO DEL TIEI . IPOglfir.flrc B{ El. m{l{lo tt Ll mtclfitrtA

( R I D F A S O R T A L I

I ) GANERADOR OE TS,TIS tON

, lá Vcos( tu t+?)

E vsen (u/ t+ ?) =

" /á Vco. (rer t +?-9Oo IOOt

= v ' * l

Y = v L9:-gq:

2 ) cEr{EnAqgR-qE Con[LEllrgII

i = VEIcos (w¿+a) t = r [g_

3 } R E S I S T E N C I AR

Y * = R I *

ffi¿) !NDUclANct f

L I , Yr.' ' jlL tr.

*r-{f[.\-.;[--L::r,r ló + v u - ó

s) CAPA9I93q vc, -i ale . rc

r'--{ hIfiru

-l() I

I 'odos los teoremas de circuitos desarrollados en el capítuloanterior serán nplicables al réginren senoidal, expresando las tensiones ycorrientes en forma fasorial y susrituyendo las impedancias operacionales porirnpedancias complejrs.

Considercmos el circuito de la fig. 4.10 resuelto en el epígrafe 4.5y que se dibuja en la tig, 4.20a. El circuiro equivalente en el dorninio de lafrccucncia serii el indicado en la fig, 4.20b. Al aplicar el 2e lema de Kirchhoffcn fon¡rir ftrsorial ¡ esta red resulta:

' n f

- - ' r i t ) . . . ¡ P V c e s , l r t . f , ¡ )g

F i g . 4 . 2 0

! = Y / . p r = R I + j t l l L I

(lue coil lcide con la ecuación (4.58) pero escrita aquí deI)c la ecuación i lnterior se deduce:

Y /9,

CIRCUTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENO¡DAL

En muchos problemas es instructivo también trabajar condiagramas f'asoriales, que se pueden dibujnr conociendo las relaciones entrclos fasores dc tensión y corriente dc los elementos pasivos simples que scexplicaron cn el epÍgrafe 4.6. P¿ra ilus¡rar este procedirnien¡o considere¡no.s elesquema de la fig. 4.20b. Al tratarse dc un circríto serie, lo más conve¡tientees elegir lu corribnte como fasor de referenci¿ , ( cuando se rata de circuttosen paralelo es más idóneo temar la rcnsiótt como fasor de referencia ). Ennuestro caso resulta:

E LECI"R( )MA( ; N EI1S ¡vl0 Y Cl RCU ffOS E LECI'RIC'OS

r v B = L z I

V=l-

rl n2+ iwzYz

(4.e 1 )

un modo más directo.

(4.92)

(4.90)

J L ü /

I = l ¿ 0 s

los fasores coffespondientes a las tensiones del circuito ser¿in:

V p = R I = f t 1 . ¿ . 0 e

V ¡ = j t o L . I = o l L l ¿ 9 0 o

(4.e4)

(4.95)

l = /(qu - p)

lo que confimra lo explicado en el epígrafe 4.6, de que la tensitín en unaresistencia está en fase con la corriente, mientras que la tensión en tl¡loinduc¡ancia se ailelmn 90o respecto de la corriente.

La rensión del generador se obtendr¿í como suma de itmbastensiones:

V = V p + V L = R I + j r r t L l =donde :

Í /q (4 .e6)

Lor(P = arcrg R-

En la fig.4.2l a se muestra eldiagrama fasorialconespondiente,que representa la suma compleja 1+.96). Co¡no quiera que en este problcrna setrjó el fasor cle tensión con una fase de gu grados, se observa en la fig. 4.21a

que la tensión a¡llicada V forma rp grados con la referencia del eje real.R+ joL

d o n d e : p = T c r s * . . .

I".a intensiclad instanti inea seri igual a:

i(t) = r/J +cos ( trrt + eu - e)r/ n:+ j a)zLz

(4 .93 )

si se compara el procedimiento desarrollado aquí con el analizado en elcpígrlfe 4.5, comproblrcnros la gran cficacia de este método consistente endibujar enseguidn el circuito fasorial, y trabajar con él directamente. Es m¿is,cs habitual en la teoría de circuitos presentar los cjercicios y problemas enfbnna tirsoritl desde su inicio, d¿indose por entendido que proceden de undonrir¡io del tienrpo senoidal.

J02

+ v Y r _

a +

V * . R I

F i g . 1 . 2 1

'103

ELECTROMACNMSMO Y CIRCLÍITOS ELECTRICOS

Por consiguiente el diagrama real se obtendrú al hacer girar ln lig.- l .2 l l l r i rsta que la fase de V sea igual a gy grados. En la l ig.4.2lb se ha

tlibu.iltlrr cl diagrarna conespondiente. De aquí se deduce el iíngulo gi = gv - gy dc (4.96) el nródulo de la corriente I, resultando:

a)

CTRCUI'IOS DE CORRIENTE ALTL,RNA SENOIDAL

S O L U C T O N

En fa figura 4.23 se han dibujado el diagrama fasorial concspondicnle. El tl ibujo tfcl

tfiagrama comienza rcprcscntado a cscala el vector OQ = I = l0 ¿.()0, que se tollla

como fasor de refercncia. La tensión V¡ estará en f¿$e con I, ya que la tensión etl utla

resistencia está en fa$e con la corriente, su expresión fasorial será: VR = 30 l0o y

corresponde al vecror OM de la tig,4.23. A conünuación se dibuja el vcctor MN quc

concsbnde a la tcnsión en bornes de la inductancia quc según sabcntos se atlclantarág0o a la corriente. La expresión fasorial correspondiente serÍi VL = 70¿90o. ¿\

continuación se tl ibuja cl vcctor NP que corresponde a la tensión en borncs tlcl

condcnsador que se rerrasarii 90" respecto de la corricnte (repasar cpígrafc 4.6).Esta

tcnsión se escribirá en forma fasorial: Vg = l00/.' 904.

V

ffii gi = gu-g

vllor t¡ue coincide con el obtenido en (4.92).

Cuando se tienen circuitos tipo serie, lo normal es construir losdingrnnras fasoriales tonrando la corriente como referencia ya que es el fasorconrrin rr todos los elementos de la red. Sin enrbargo cuando se tienen circuitostipo pnralelo, se prefiere tomar la tensión aplicada conro referencia ya que ellarcllre ser¡tn el fasor.común a todas las ramas.

IiJIiAIPLO DE APLICACION 4.5.

En la red de la fig.4.22, el generador tiene una frecuencia de 50llz. Laslecturos dc los aparatos de medida son:

l V n | = 3 0 V ; l V t | = 7 0 V : I V C I = I 0 0 V : I I | = I 0 A

Fi5 .4 .22

Díbujur el diag,rama.fasorial del circuito. y deducir a partir de él: a)'l'cnsión del

¡e.ncrodor V r:

L) ltulores dc R, L y C.

Nokt: I-tts voltlmetros y omperímetros nidcn los módulos de los vtlores eficaces det(ns¡ones y corricntcs reTpectivanrcnte, y pol consiguiente sus lectunts son cuntidade.¡en:akves.

l = (4.97)

Fig . 1 ,23

El valor de la rnagrritud clc V* se obtendrii según preco¡liza el 2e

como la su¡na: ,V g = V R + V L + V c

lcrna dc Kirchhoff

(4.en)

-10,1

quc corrcspondc al vcctor OP de la fig. a.23. Si se ha dibujado esta figura il csc¿lla, sc

¡rodrá rnedir directalncntc con unü regla la nlagnitud OP quc nos da el m(idulo de latensión del gcnerador. Esm tensirin se puedc obtencr de forma analítica, rcsolvicntlo laccuación (4.9t1) ya quc sc conoccn las cxprcsiones f¿rsoriales tlc las lcn.sioncs. Y así rc-sulh:l:

Vg = 30¿00 + 70¿+90{ + nn ¿-90g = 30 - j30 = 30. /2 ¿- 45s

Por consiguicrrrc cl rntxlulo tlc VU seni igual a 30fi es rlecir -12,J3 voltios, sicndo

405

E LECI'R OMAC N E-nS f\l( ) Y Cl RCU ITOS E ["ECT R lC()S

e | f i rgulo g t lc la t ig . 1.23 dc 45o

Es r¡rt error muy común entre los principiantes, el realizar la suma (4.98) cn forma¿uitr¡rét ica, y r lecir quc la tcnsión de la fuente es igual a 30 + 70 + lü) = 2m V. Elcrror provicne tle no tener en cuenh que se está o¡rerando con fasores. La relación(4.98) es la correcu, y cxprcsa una suma vectorial, que al t¡aducir a magnitudes setranslbnna en:

l v s l = I V R + V L + V C l * l V n l + l V L l + l V 6 l (4.ee)

cs rJccir el módulo dc la tcnsión del generador es igual al mótlulo dc la sunla vectorialtlc l ls tensiottcs parciales, que cs difcrente a la sunra de los mótlulos dc cada tensión.Suele sorprender también el lrccho (que aquf sucede) de ( lue exisun tensionescor¡ll]onentes su¡lcriorcs incluso a la dcl generador, como en este caso aparecen en laint lucta¡rcia (?0V) y el condensador (100V) que son mayores que los 42,43V dc lafuente de tcnsión. Lo artterior se clebe al carácter fasorial (vcctorial) de las tensiones.

Los valores dc los parámetros del circuito se obtienen direclanrente de las relacionescntrc tcrrsiones y corricntes, y así rcsuln:

= i 3 = 7 e ;

l__Cro

y teniendo en cuen!¡r Qü0 o = 2rf y que f = 50 tlz, da lugar a:

R = J l ) : t= f i ¡ =2228mH ; C=-- - - l - - =318,3pF

h:JI¡,,VPl.O DE APLIC¡ICION 1.6

En el circuito de Ia fig. 4-24, se han registrado las lecturas de los siguientesofttratos de medidtt (quc por sinplicidad no se lan mostrodo cn lafigura):

i lz l = 5A : I Vnzl = 3SV : lVczl = l20v : I I t | = 3A : lVat l =75v

Determinur: a) Lccturas de dos voltímelros colocados de tal manero que midanres¡nctiwtnent¿ la tensién V, del generudor y V6 úe la lnductancia Lj. b) L¿cura de unumperímetro t¡e mido lu carrienle total I ¡ stunininrada por el generador.

a)

CIRCUITOS DE CORRIEM'E ALTERNA SENOTDAL

l*,f

uur

t,l A

Fig. 4.24

. S O L U C I O N

Sc observa que se disponcn de todos los datos de la rama 2. Si se elige la coricnlc Ir

conro t'asor de refere ncia, sc tendrá:

12= s¿oe

y fxrr consiguiente las tensiones VRZ y VCZ ser¿irl :

VRz = 35 ¿V ; Vcz = l2O/" 90e

ya que la tcnsión en R2 irii en fase con lZy la de C2 se rerasará 90o respecto dc 12.

De esre modo la d.d.p. enue M y N que represenn la tensión del generatlor Vt será:

Vg = VnZ + VC2 = 35 /.Ae + n0¿- 900 = 125¿- 73,74e voltios

en la fig.4.25 se rnuestra el diagrama fasorial correspondiente. El voltímctro quenride la rensión det generador marcará 125v. El ángulo 92 de la fig. 4.25 quc

represerrn el desfasc entrc la rcnsión aplicada y la corriente 12 serii de73,74".

I-a corrienre 13 que lleva la rama inrluctiva PQ, irá rerasada un ángulo (clcsconocido a

priori) que se ha denorninado rp3 en la fig. 4.25. La tensión Vp3 irá rerasada un

úngulo (desconocido a priori) que se ha denominado 93 en la fig. 4.25. t^0 tensión

Vnl ini cn fase con 13 y la tensión VU irá 90o adelanuda respecb de 13, de ml nro<lo

que la suma de ambas tensiones debe ser igual a la lensión tle alimenración Vr. Dcl

rriángulo OPQ de la fig. 4.25 se tleduce:

vlr = lfnfrF, = t(x) vottios

lr)

=3r l r Lrrr= #+

=*+= # = roa

, r , l V R l 3 0K = r l r = l o

siendo el ángut"

:: ^ Y I* = f_5, = 0,6 :=?cos {p3= -v*- = ill

= I

406

9r = 53r l3o

407

Fig. 4.25

run voltínrct¡o colocado cn paralelo con V6 duá una lectura de lü)V.

b ) l . ac< r r r i cn t co ta l I ¡ sc rá igua la lasu ¡nade12n lás13 .En la f i g .4 .25 se ind i ca lasunra lasorial correspondiente y que en forma analítica es:

I l =12+13 =J¿go +31 ( ' 73 ,74a '53 ' l 3q ) =51Ú +32 '126 '870= 4 / . ' 36 '87e A

por consiguicnte, el ampcrírnet¡o scñalará una coniente rle 4A, que es el valor eficaz dela conicnte I ¡.

El lccr<¡r habni comprobado la gran ayutla que pro¡rorcionan los diagramas fasoriales,sollrc torlo en uquellos c¡¡sos en que sc plantean los dau.¡s en forma dc valores n¡cxlula-rcs. Esu consrucción gcométrica resulta bast¿nte úú1, pues pcrmite vcr con sencillezIn ¡rosición quc dcbcn tcncr los fasores, que en cstos casos resulla más sirnple quc opc-rar co¡r númcros complejos cuyo ¿lrgumento se desconoce.

. t .8 .2 ^SOCTACION DE ELEMEN'TOS PASIVOS

Las reglas para determinar las impedancias equivalentes de combi-n¡rciones de elementos pasivos en réginten senoidal, son idénticas n las estu-diad¡rs en el epígrafe 3.9 del capftulo anterior, sustituyendo las irnpedanciaso¡reracionnles ullí definidns por intpedancias complejas en el caso senoidal.Iguillrnente se aplicarún las conversiones estrella a triángulo y viceversa. Vea-n)os un ejenrplo de aplicación.

E.TI'IIIPI.O DIi ,IPLICACION 1.7

Calcul¿r la impedancia to,al entre los terminales A y B de lu red de la fig. I .26y lü (orrientc suminisra¿la por cl ¡4enerador si éstc üene una tensión en bornes da&t por lactprc,rión:

40tt

CIRCUI1US DE CORRIENTE AUTERNA SENOTDAL

rv* = r/2 I0 cas 100 t voltios

vg= v? lo co3 loot

Fig.4.26

SOLUCION

El generador de tcnsión tiene una pulsación o = lü)rad/s y un valor fasorial

escrito en forma polar:v8 = lozou

l¡s impcdancias rJe la rcd son:

llobinas: 7 = +j aL y como son tod¡N de 0'01 H.

danunva lo r Z=+ j 100 .0 ,01 = j lO

Condensado res t Z= - j # .Pa ¡ac l con t tensado rde0O lFnosdaZ= ' j l l )

y para el condensador de 0,02F da Z =' j 0'5 A

Resistencias : Z = R, son todas de lQ.

El circuito transfornratlo cn cl dominio dc la frccucncia rle la fig. 4.26, sc indica cn la lig.4.27 -En cstc circuito, varnos it lranslbrmar el Uiángulo de irn¡rcdancias I fl, jl 0 y - j f),5

O cn una cst¡clla dc acucr¡lo ¡¡ las ft'r¡nulas de conversión (3.94), resultando:

ELECTROIVIACNffiSM0 Y CIRCUffOS ELECTRICOS

V-- -= 35v? 2 \

I ^ = 5 A¿J

' /n, =75v

= l Z O v

o r o l t l

I - i l - = - - - l . l - = = . i - ! L l ' i 9 f l = ( ) , J + j g , g oz 1 = f f i = r f j o J = r , z 5 -

409

ELEfl]tOlvlAGN FnsNt0 Y CIRCUilOS ELl[TRlcos

Fig,4.27

" - _ i _ ! _ ( - . i _ 0 , 1 r _ _ Q , 5 _ 9 J l r - i n s \r.z=i; ' ; t ' --t i t j = I . l0J = -*- iñ-- = 0,4. j0,2fi

, . _ _ ! _ ( _ : j _ ! l J L _ - i 0 . 5 _ - i 0 . 5 ( | - i 0 . 5 ) _ ^ , . 'z.r=ri iTlTlJ = l ; l -dJ --*-- l7t- =.0,2-j0,4n

se obscrva que lr inr¡rcdancia 23 no es físicamcnte realizable ya que apÍu€ce una rcsistencia

ncgariva, sin cnrbargo no nos rlcbe inrporur ya que es una rerl equivalente (*) . El circuito del;i l ' ig..1.27 sc convicrte entonccs cn el de lafig.4.28,dondese observandosran¡asenparalclo (contcnicntlo a sr¡ vez tlos impcdrncias cn serie) con otra rama en seric. Lasinr¡ularrci:u cn ¡rar.rlclo son:

ZA =( - 0,2 - j 0,.1 ) + ( l+j l ) = 0,8 + j0,6 = l¿36,tJ7"

Z$ =( 0 ,4 - j 0 ,2 ) + ( l - j l ) = 1 ,4 - j l ,2 = 1 ,84 ¿- 40 ,6"

rl ue ( | ¿t n u r l¿r i rt I l^-* ( li¡ nc i a eq u i va lc n te :

t l l= + _ _

Z p Z ¡ ' Z B=) zp=m

(') L¡ equi"alcnci¡ cntre rcrjes cslrcll¡ y triángulo sicmprc es posiblc ¡ cfcctos de es¡udio del

circuiro. C)rro aspecro ¡ consirlcra¡ cs que sea prsiblc la re¡lización físic¡ de la red cquivalcnle' Es

cvidente (¡¡c n(r sc puerlc construir u¡ra rcsistenci¡ ncgativa. Sin embargo en cl caso qu€ nos ocupa

l¡ rerl cn csrrclla cquivalente rla lugar ¡ los misntr¡s rcpottos rlc corrientc y tcnsión que la rcd en

uiángulo, ¡^-sc a cr is l t t un¡¡ ¡cs istsnci¿ negat iva '

.l l0

- O , 2 - 3 O , 4

O , . t r . ¡ 0 r B

o r 4 - j 0 r 2

C:IRCUI'I{)S DE CORRIENTI, AL'I'ERNA SEN(-IIDAL

resultando:

qs decir:

Fig. 1.28

r _ (0,8 r i :QJI(.1,f i . .1. ' .2I" P - ( 0 , 8 + j 0 , 6 ) + ( 1 , 4 - j 1 , 2 )

| ¿36870 8 4 ¿ - 4 0 60

2 , 2 - j 0 . ó

,, = llffJ;;?$ = o,ar ¿tt,s3e = o,?e + i o,16 o

esm im¡rdancia est¿i en serie con 0,4 + j0,8O. rcsultando una impedancia total cnre A y B:

Z A B = 1 0 3 + j 0 , 8 ) + ( 0 , ? 9 + j 0 , 1 6 ) = I ' l + j 0 ' 9 6 = 1 , 5 3 1 3 8 ' 9 c C ¡

en consecuencia la corrientc suministrada ¡ror cl gcnerador será:

, _ v 8 ¡ 0 2 0 0 ? < t' -2" = l '53ñF

= 6 '541-38'9cAmper ios

cuya expresión insnnúnea es:

i(t) = .J2 6,54 cos ( 100 r - 38,9)

. I .8 .3 MI]TODO DI l LAS CORRIENTES DE MALLA

El método de las mallas para circuitos senoidales es análogo al es-tt¡diado en el cpígrafe 3.1 I <lcl capítdlo anterior,_ representando ahora los gene-

radores por st,i fásores conespondientes y sustituyendo las impedancias ope-racionatés por sus impedanciai complejas. Si existen gencradores de corrientese deben transformar'previamente a generadores de tenSión equivalente. En elcaso de que existan géneradores de corriente ideales que n-o se puedan truns-formar, s'e deberá seguir el método indicado en el cpígrat'e -1. I L2. Vean¡os

- i l t

ELECTROMACNMS MO Y CIRCI.'ITOS ELECTRICOS

unos ejcrnplos de aplicación de esta teoríA.

I;IE1IIPI.O DE .APLICACION 4,8

Culcular la corriente i¡utantónea r

o , o l t l 1 n

del circuito de la fig. a.29.

o , 0 l H

I

t ) t ' " +' 'orFs e n I O O t

c

v o = y ' í l o c o s l o o t

t o

Fig. 4.29

S O L U C I O N

La tcnsión generadoru dc la fuentc vb sc expresa en lorma fasorinl:

Vb = l0100

El generador dc corricntc ü una inrcnsidatl:

i, = {7 l0 sen t00 r =^{, l0 cos ( 100 r - 90g )

y su lbrrrra llrsorial scrá:la = l0/'90o

P¡rsarttlo cl gcncrador dc conicntc a gcncrador dc tcnsión, dc acuenlo con (5.62)se üenc:

V a = Z l u = l . l 0 ¿ - 9 0 0 ; Z - l O

Las bobinas de 0,01H. ticncn unas impedancias:

+ j r o L = + j l ü ) . 0 . 0 1 = + j l Q

El condcnsador dc 0gl F. üene una impedancia:

I' j ¡ " = ' j l n

En consecucncia cl circuito dc la tig, 4.29 en el dominio tlcl ticrnpo da lugar alcircuito de la tig. 4.30, cn cl dominio rlc la frecuencia, dondc ya sc ha rcaliz-ado la

.n2

CIRCUNOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

transformación dcl gencraclor dc conienlc.

A j l f t j rr J2

a l aT I J T ¿- j l n

c

r o [9 .

loLJpo

F i g . 4 . 3 0

Al aplicar cl teorcma de las nrallas queda:

t 0 ¿ - 9 0 0 = ( l + j l - j l ) I ¡ - ( - j l ) l Z- l O ¿ 0 e = - ( - j l ) I l + ( l + j l - j l ) I z

que openando es:l 0 ¿ - 9 0 0 - I ¡ + j l 1 2- 1 0 = + j l I ¡ + 1 2

en consecuencia, se obticne:

I l = o ;

y la corriente I cn el conclcnsador scr¿i:

lZ=-rc lV = l$¿l t lQ"

l¡ = 12 = tQ lQe

¡nr lo quc la cxpresión instant¡inc¿ de i scrá:

i (t) =./f l0 cos 100 r

ETEMPLO DE APLICACION 1.9

En el circuito de la[íg.4.31a los valores instan!áneos dc los ¡¡encnulores son:

v o = J 0 c o s ( l 0 t - 1 5 " 1 v o l t i o s : v 6 = t [ i f t c o s l 0 t v o l t i o s

i, ='{l l0 scn la ! .amperios

Culcular: l) corrientcs instantáneas'suminisftados por los generadores detensión: 2) tensión cn bornes de la luentc de corriente.

4 1 3

ELECIROIVIAGNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

l otgg'

Fig. 4.3 I

S O L U C I O N

L;rs expresiones fasoriales (le los generadores scrán:

r / - :0- ,r a - r - L - 4 5 0 : V b = l O ¿ 0 4 I I c = 1 0 ¿ - 9 0 0v 2

conro quiera arlernás QU€ ú) = l0 rad/s, las imfrcdancias complejas scr¿ln las mostradas en lat-ig. .1.3 | b. r\plicar l¡s ecuaciones de ¡nalla resulla:

t 0 t O e = ( l + j l - j l ) l r - ( - j l ) 1 2 - j l 1 320- F ¿ - , t 5 0 . l 0 z O c = . ( . j l ) I ¡ + ( l + j l - j l ) 1 2 . j l 1 3v 21 3 = - l o l ' 9 o o

cs tlccir:n ¿ o e = l I t + j l 1 2 ' j l 1 3

- j l O = j l I ¡ + I 1 2 - j l 1 31 3 = + j l o

quc rcsolvicndo da lugar a:

t l = - 5 + j 5 = 5J? ¿1350 :12 = - 5 - j 5 =5ú ¿ ' - l 35e ;13 = + j l { l = ¡6 ¿ *n0o

l-a corriente sunrinistrarla por cl generudor vo scrá iguat a lt , que corrcspondca r¡n valor instanúneo :

CIRCUMOS DE CORRÍ ENTE ALTERNA SENOIDAL

Lu corricnrc suminisrrada por el generador vg (del nudo A al nu<io B) cs igual

a : l b = l l - | 2 = j l O = 1 0 1 9 { Y

que corrcsponcle a un valor insüanunco:

i 5 = { 2 l 0 c o s ( l 0 r + 9 0 0 )

l.,r d.d.p. cn lxrmcs del gencrador dc coniente es:

Vg ¡ ¡ - j l ( 12 ' 13 ) + j l ( I ¡ ' 13 ) =20 - j lO =2236 t ' 26 '56 "

que corrcsponde cn valor insnndneo u:

vcD = ü 22.36 cos (10 t - 26,56c )

4.8. . I I \ IETODO DE LAS TENSIONES DB NUDO

El método de los nudos para circuitos senoidales es análogo al es-tt¡diado en el epígrafe 3.12 del capítulo antcrior, representando ahorn los gerte'

radores por sus Íasores concspondientes y suStituyendo las irnpedancias o

admi¡anóias operacionales por sus valores complejos. Si existen generadores

de tensión debén ransfonnarse previamente a fuentes de corriente equivaletrte.En el caso de que existan generadores de tensión ideales que no s9 R_tt9{.1ntransfonnar, se tleberií seguir e I procedimiento indicado en el epígrafe 3'12.2.

Veamos dos ejemplos de aplicación de esta teoría.

EIT'I|IPLO DE API.ICACION 1.IO

Resolver el eiemplo 1.8 por el método de los nudos

soLUcloN

El generador de tcnsión, t iene en serie una irnpedancia de l+jlQ'ransfomrándolo cn gencrador dc conienF sc obtiene:

- v¡ t Io log lotu=-l' = l;i = ,{; t- 4s'�

/ , z l + j l

y cl circuito de la tig. '1.29 se convicrtc en el dc la fig.4.32.

Aplicando cl tcorcn¡a dc los nu¡los, a los nudos A y B siendo C cl nr¡do rlato,sc l icnc:

- J l n

4 1 4

i 2 = . /Z t 5 . / t ) cos (10 r - 1350 ) = l 0cos (10 r - 1350 )

- i l5

ELECTROMACNMSNIO Y CTRCIJITOS ELECTRICOS

J l n B

CIRCUTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

?

F i g . 4 . 3 7

I l rI

* j l JI; V n +) r

- i l r L

r c ¿ - 9 0 0 = [

* t - 4 5 g =! z

que cs:l 0 ¿ - 9 0 0 - (

1 0 ,É ¿ - 4 5 0 =! 2

de drxrtte se deduce un valor de Vg:

- r-0 .ilgv B = . - j l

¡ror lo tanto la coniente I será:

v 4 ' i v s

t i * * ' *t * : , I v s Fig. a.33

SOLUCION

Los valores fasoriales de las tcnsioncs de los generadores son:

v o = 9 t 4 5 a i v n = * ¿ - 4 s e- ,'lz ^lz

al Eansformar el generador rlc tcnsión vo en generador de corriente rcsult¡:

4 , o s or a = 1 4 . = $ z a s o , R = 0 . 5 ou,r ,lz

Como quiera además QU€ ot e | ¡ads, Ias impedancias complcjas y el citcuitoequivalcnte en el dominio dc la frecucncia será el indicado en la lig. J.33b. Al tomar cl nud<rD como referencia, y aplicu las ecuaciones de nudo rcsult¡:

[ - l0 l - .904 = l0 ¿0a- J lss dccir:

i(r¡ = {T r0 cos 100 t

qtle coincidc con cl rcsulhdo dcl ejcmplo 4.8 re¿lizado allf por el méto{o dc las mallas.

I i l l i l t ÍP I .O DI i APLICÁCION J . l l

En el circuito de lafig.4.33a los valores instankineos cle los generodores son:

va = I0 cos ( t + 450 ) voltios; vá = 4 cos ( t - 4so ) voltios

Calcular la corriente instantónea qu¿ circula por Ia inductancia de I I lenrio.

I - j l ) V e + j l V B

jl V¡ + ( 0,5 - j 0,5) Vn

= l0 ^¿- 90q

A) t¿4sa = t# .# . f ' lB ) v s = + ¿ - 4 5 a

v 2

c ) f t r t s ' = - * v ¡ * vs

es dccil:

v A , # v s * V s

+ t t t loJ

* j I * - j r ] V g

A ) - l 0 - j l 0 = ( {B ) V ¡ ¡ = 2 " j 2C) l 0 + j l 0 = - 2

+ i 2 ) v 4 - j ? v s - 2 V c

V a + j l V B + Z Y c

4t6 4t7

cuyos rcsultrt los son:

V A = l + j

la crlrrrcnte I scñrlutla cn

I = Y V B C

cs dccir un v¿llor instanuinco: r

i( t) = 12 6,708 cos ( t + 153,43e)

{ .E.5 PRINCTPIO DI ] SUPERPOSTCION

El principio de superposición para circuitos senoidales es análogoal estudindo e n e I epÍgrafe del capítulo anterior. Cuando se estudian redes li-neales que incluyen generadores con diferentes frecuencias, el método de su-¡rcrposición constituye el único procedimiento vdlido para analizar el compor-tanriento del circuito, expresando el resultodo como suma dc valorcs instantif-neos, ya que no se puedc operar simultaneamente con fasores de frecucnciasdiferentes. Veamos unos ejemplos:

[:]EI'TPLO DE API.ICACION 4.12

Resalver el ejemplo 4.8 por el principio de superposición.

SOLUCION

El circuiro de la fig. 4.29 en el dominio de la frecuencia. es el indicado en lal'ig.4.34.Cuantloactúaclgeneradorrle corricnte,elouogencrador debe suslituirse por su

A ¡ l r l B t ! 2 j l n

Fig. 4.34

ilnpcüncia intcrn¡¡, rcsr¡lu¡ndo un cortocircuito fxlr ser un generador dc tcnsión como muesrala fig. .l.J-5, rlonrlc dcbc calcul¡rsc la coniente l'.

J l r t

CIRCUI1r)S DE CORRIEI\ÍTE AUTERNA SENOIDAL

j l n j l ,1

lqi€o.j,T

a[ '-jt ¡r

l ) { : ' z

c

Fig. 4.35

Lrs impedancias t+jl y -jl cstán cn paralelo dando lugara una inrpcdartciatotal:

z^=lb i_ ! . ) l i+=r- j I- P - t + j l - j l

resuttando el circuito dc la fig. 4.36, donde se observa que la impedancia l-jl está en scrie

A j l t L

Ia

| ) ' r r -soI JL l-J

B

Fig. .{.36

con j I rcsultamlo una im¡rcdancia total dc lfl, cn consecuencia la corriente del generador dcl0 ¿-90e sc distribuye ¡nr igual enre las dos ra¡nas resulhntes, ya que ambas ticnerr lasnrisn¡as impedancias, la conientc lu vaklrá:

ELECI'RONIACNE]1SM() Y CIRCUÍTOS EI.-ECTRICOS

0 ; V B = 2 - j 2 ; V C = 5 + j 4

la lrg. 1.33b quc circulani tnr ia inductancia tle I l lenrio será:

I= 1 1 Q ' i 2 - S - j 4 ) = - S + j 3 = 6 , 7 0 8 ¿ 1 5 3 , 4 3 0

J r

( luc l lcvando a lat ie nc:

I a = r y = 5 2 - 9 o gf ig.4.35 y tcnicntlo cn Jurno la rcgla dcl r l iv isor de corr ientc (5.49), sc

- lY ;

= 5 ¿ - g o s - - i l - ' - = 5 . ñ ¿ - 4 5 e= l a " ,

= 5 ¿ - l 0 o * t I

J t +

t + J t

J '

Cru¡¡r¡lo lclúa xrlo el gcnerador dc tcnsión el generador dc conientc dcbc dcjarsccncircuitoatl icrto, co¡no inrl ica la fig.4.371 en este circuito la irnpedancia l+jl Qrle la

4 t 9

ELESIITOMACNETISMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

<>-É

Í " D

f fL * -¡r l4o.

c

Fig.4.37

izquicrrla esui en paralelo con - j I Q, ¡esultando un valor equivalcntc;

z . -= f !4 f l e *= t - i l- P - l + j l - j I

y sc obriene el circuiro equivalcnte de la fig. 4.38. En este circuito la corr¡entc Ib que

sun¡il¡isra cl gcnerador isr

lJ l i l - rL

- \

l-jl fl lo[Q[.

c

Fig. 4.38

I" = rb.,*T#+TlT = 5tv(r + j r) =5''[i ¿qso

L¡ corrientc I rlc la lig. 4.34 cs la suma de las conientcs l' (fig. 4.35) c I"tt ig. 4.37), resultando un vulor tot¡t l:

t = l' + t" = 5{Z ¿- 15o + S'{l ¿qSo = l0 Zgc

r¡uc coincidc con los valorcs obtenirlos por el método de las mallas y nurlos. La cxpresiónirrst^nuinca scr¡i:

¡(0 = {z r0 cos r00 r

CIRCUMOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

E]EMPLO DE APLICACION 4.13

Calcular la corriente instantónea i en ¿l circuito de Ia lig. 4.39 aplicando elprincipio dc superposición. EI generador de te¡uión es d¿ c.a. d¿ valor instantó¡wo:

vgt (t) = '[V rc cos I0 t vohios

l l L o . l H o . l r l

Fig. 4.39

el generador fu intensüad cs d¿ corriente continua de valor lt2 = 5A.

SOLUCION

Los circuitos equivalenles en el dominio de la frecuencia al apliclrsupcrposición son los moslrados en la fig. 4.40. En el caso de la fig. 4.40 a actúa sólamenteel generador de tensión de c.a. con una pulsación o= l0 rad/s. El gencrador de conientc lg2

se ha dejado abierto. En el caso de la fig. 4.40b actria únicamentc el gcnerador de corrienlecontinua que tiene una frecuencia o¡=0, y ¡ror ello la imperlancia de la txlbina es nr¡la(Lcrr = 0), es rlccir actúa como un cortocircuito, y la imperlancia del condensador es inliniu(l/Ct¡ = o) quc represcnt¡r un circuito abierto. El generador de tensión cn estc caso sc ha

j r - : I J't

l ¿

I '',]5A( I

J l - í :

I g ¿

_ l0¿0eIb = r;Ti;:-JJ = 5roe

que llcvantlo al circuito rle la fig. 4.37, y tcniendo en cuenta la regla del divisor de corrientesc obtienc para l" cl valor:

Fie. 4.40

En cl circuito de la l ' ig. 4.40a, la impcdanciacondensador -j I , lo quc da lugar a una impedancia cquivalcntc

l+j l est i i cn pi lralclo con (11l- j l , que a su vcz. esú cn scrie

-r20 .121

con l+i l r lc l¿r r i lnla ¡\8, por co¡lsiguicntc la conicnte I ¡

tr = " ' lgz0e- -- ' l + j l + l - j l

Lt .L t . ¡ l t ( ih lA( ¡ i ' , i L I 15h l ( , r i r_ ¡ i ( ( -U l luS H-L t - - l l { l t - t r l>

,seni igual a:

= 5¿0e

\ - l l (LU i I \ JS , [ LUI ( i ( l t : ¡ ¡ t L . ' rL I L - l ( ¡ ' t r t iL : I ' { r t l t )A l '

tcrminalcs A y B, sc ha de quitar la impcdancia tlc carga rlc . jlA y calcular la d.d.p, cntrcesos tcrminales, rJc acucrdo con cl csquetna dc la lig. 4''l l. que se úaducc cn el est¡ucnra dc lalig. 4.4 I b, 4onde se ha ¡¡ansformutlo el gcnerador de corricntc en tcnsión. Aplicanrlo la 2r leytlc Kirchhoff a la ¡nalla. se obtienc:

l0 ¿- 904 - rc / .00= ( l + j l + I + j l ) I

j l ' a Jl ' ¡ -

r0l-gI

quc cofreslxJftde a una cofricfllc instandnea:

i¡(r) = V2 5 cos l0 t amperios

¡x)r ouo lurlo, cl circuito dc la lig. .1.,10b, rcprescnm dos resistencias de lQ en paralclo, a lascu¡rlcs lcs llcgl una corricn¡c dc 5,{. Por ello la conicnte 12 será:

s12= i = / , J ¡

dc estc ntulo la corrientc i tlc la l'ig. ,1.39 scr¿i igual a:

i1r¡ = rfl 5 cos l0 t - 2,5 am¡rcrios

tóngase cn cl¡cr¡t:¡ que la corricnte 12 va dc B a A en el circuito dc la fig. 4.40b y por eso seha rcstado a i¡. Dc un ¡nodo andlogo sc hubiera resuelto el problcma si el generador decr¡rrienrc tr¡vicra or¡ lrccucnci¿r. En este c¡¡so sc calcularían las impcdancias dc la red a esuliccucncia nucvo p¡ua rcsolvcr la red dc la fig. 4.40 b calculando finalmente la coniente i(t)c¡r la ra¡na AB como surna algebraica de las conicnles quc sc obtiencn en estit rarna, de cadauno de los cúcuitos de la fig. 4.40. Indudablemente la solución contendrá corrientes de doslrccr¡cncias difcrcntes que se dcberán sumar en forma instantánea ya que corresponden afasorcs dc velrrcidadcs tlisünms. Obsérvese quc cuundo una red dispone de generadores defrecuencius tliJerenrcs, el nétodo de superposición que se acaba de establecer es cl úniconútodo upllcuble para deterntinar la respuesta u cadu trecuencia de excitación de losgenenulorcs.

.f.ri.ó l ' t ioR¡lt\t.\s D¡t TllEvENlN Y NoRToN

Los reorernas tle Thévenin y Norton estudiados en el epígrat'e delclpítulo lnterior, se aplicln de un nrodo anilogo cuando los generadores sonsenoidalcs, cruplerndo t'asores c impetlancias complejas. Vea¡nos su fiorma deirplicación.

I i J I iMPI .O I ) I i , IP I ]C , IC ION 1 . I J

llesolvcr el cjcnplo 4.ti, oplicando el teorema d¿'l'hévenin.

S O I . U C I O N

al C, \ l .ClJ l .O DE V' ¡ ¡ ¡ :

Para obrcncr cl circuito cquivalente de Thévenin dc la l ig. .1.30 enue tos

42?

que da un valor:

Fig. 4.4 I

l0 -J!8 = s¿t8oe =- j¿00t¡ E: -2T¡

¿

En consecuenc:a la d.d.p. enue los terminales B y C siguiendo el camino BDCes:

V B C = V B D + V D c = ( l + j l ) ( ' 5 ¿ 0 0 ) + 1 0 2 0 0 - 5 ' j 5

que será cl v¿lor dc la lensitin gencradora de Thévenin, es decir:

V T n = V B C = 5 - j 5 = 5 l [ l ¿ - q s o

b ) CALCUI ,O D I i 21 ¡ :

La impedancia Z1¡ es la impcdancia que se obtiene enue los terminales B y

C, al anular las fucntcs inrernas. Tomando por ej. el circuito dc la fig.4.4l se obtie¡¡e elesqueota dc la l ' ig..1.42 donde sc ricnen dos impedancias de l+jl() puest¡ts en paralcloresultantlo un valor equivalentc:

l ¿ i lZBC = ZTh =-:+r- = 0,5 + j 0,5 O

a

E¡¡ consccucncia cl circuito cquivalente de Thévenin cs cl indicado en la fig.-1..13, quc al aplicar la 2r lcy dc Kirchholf da:

0 , 5 + j 0 , 5 - j ls',17¿- 4 sg= 7 = 1 0 l 0 o

0 , 5 v 2 ¿ - . { 5 s

s.l¡ ¿- AseI ¡ =

423

I1LECIROIVIAGNffiSMO Y CIRCUIIOS ELEC'TR ICOS

Fig. 4.42

B

- j 1 J 1

,,r. o.o,

que coincidc con los resulhdos anteriores.

. I .9 POTENCIA UN UN CIRCUITO ELBCTRTCO BNTTEGIMBN DE CORRIEN'TE ALTERNA SENOTDAL

Consideremos el dipolo eléctrico mostrado en la fig. 4.44, en elt¡ue señalan kcs sentidos de referencia de la tensión aplicada y la corrienteelictric¿l absorbida (repasar convenio de signos para la potencia, en el epígrafe3.2.3). Supóngase que los valores instanráneos de ambas magnitudes sean dela fonna:

v ( t ) = . / ? V c o s o t

i 1 t ) = ü t c o s ( o l r - g )

CIRCUI'ruS DE CORRENTE ATTERNA SENOIDAL

FiE' 4'44

el argumenro tle la inrpedancia tiene un ángulo positivo), y. se consideranegaiiuo cu¡ndo la coÉiente se i¡delanta a lt tensió¡ (cs <lecir pilra cilrgitsiafiacitivas en las que el argunren¡o de la impedancia representa un úngulonegativo).

La potencia eléctrica instantánea absorbida. por el tl ipolo (que

pafa ¡nayor senóillez, se puede considerar que contiene úniclmente elet¡rentospasivos) será:

p(t) = v(t) i(t) = 2 V I cos tot cos (t¡t -p)

que teniend0 en cuenta que : I r

c o s a c o s b = ; [ . o t ( a + b ) + c o s ( a - b ) ]

se transforma en:

( 4 . l 0 l )

(4 . r02)

se ha tornado la tensión conro origen de fases, de tal rnodo que la corrientescgúrr (,[. 100) esri retrasada de la tensión un ángulo de g grados.

Por definición esre destase se considera positivo cuando la co-rricnrc sc retr¡rsa respecto de la tensión (es decir par& cargas inductivas donde

424

p(t) = !l cos p + V I cos (2olt - 9)

en la f ig.4.45 se han representndo las señales v(t) e i t t ) dc (4.1(X)) y laporencia-p(t) de (4.102). Óbservamos que la potencia tiene una lrecue¡tciaüoble qucla tensión o la corriente. Una lámpara lluorescente parpadea coll unítfrecueñcia de 100 Hz no de 50Flz. El ruido de la reactlnciu (o balasto) de unfluorescente es un zumbido de 100 Hz no de 50 I{2.

En lu fig. 4.4-5 se observu que In potenciit i lrstlnliinel p(t) torn¡rvalores negativos, Correspondiendo ¡r los intervalos de tienrpo en los t¡tle lltensión v(t) y la corriente i(t) tienen signos opuestos. Dtlrante estos intervalosse devt¡elve energía a la t'uente t¡ue impone elpotencial v(t) procedente delos elementos pasivos contenidos en el dipolo receptor de l rr f ig. '1.44.Compruébese que este efecto sólamente se produce si el dcstase cntre v(t) e

i(t), es decir el ingulo g, cs distinto de cero (ver ecuación 4.102). Parl que el

ángulo rp sea distiltto de cero, la red de la fig. 4.44 debe contener ¡ttle nllis tleun elenrento resistivo en el que se disipa la potencia, otro (s) elenlento (s) in-

(4. t 00)

i : :4

,-125

duc¡ivo y (o) cl¡rircitivos. E¡r estos elementos existe una reserva de cnergíl quercs¡ronde a:

CIRCUITOS DE CORRII,NTE ALl IRNA SEN()IDAL

nlayor que cero (siempre que dentro de él exista un elenten¡o pasivo^t¡ue disipceneigÍa, como es el ciiso de una resistencia). El valor nledio de (4.102) scr¡í:

' T t TP = + J n t r l a t

= t f l u t c o s q + V t c o s ( 2 o r ' 9 ) ] d r ( ' t . ¡ 0 4 )

' o ' o

v ( t ) < Oi i r , ) > o

r t g . { . { j

(llrc rumenta a cuenta de la energÍa surninistrada por el generador cuando v(t) ei(t) crcccrr c¡r vllor lbsoluto y disminuye cuantlo lus misn'¡as magnitudes se¡educc¡t.

Ll energía devuelta por los campos eléctricos y magnéticos,alnlrcenacln cn los condensadores y bobinas respectivamente , junto con lacnergía ¡lrovenienre dcl gencratlor se trnnsforma normalmente en calor en laresistencia tlel dipolo recep¡or. Pero cuando la energía devuelta por estoscírrnpos srJper¡r lir energíit disipada en la resistencia, el exceso de energíavuelve al ,r¡enerador, acelerando su marcha durante un breve intervalo derienrpo; jusmmente en estos momentos la potencia absorbida por el dipolo esrrcgativa, lo t¡ue indicr t¡ue el generador que aliment¡r este circuito estiírccibiendo ¡rotcncia del clipolo rcceptor.

lnrlutlablemente si el dipolo de la frg. 4.44 es receptor, la potenciaabsorbida por cl nrisnro cxpresada en (4.102) tendr¡í un valor medio no nulo

126

que representa una potencia media:

P = V I c o s r p

por un

l )

Q = V I s e n q

que se denonrin¡ potenciA reactiva. De acuerdo con estas denontinacionesy simbologías, la écuación (4.102) que representa la potencia inst¡tntáneit scpuede expresar:

p(t) = P (l+cos 2cot) + Q sen 2cot (4 . I09)

el primer témtino tiene un valor medio igual a P y su amplitud oscila entre 0 y

2P con una pulsación 2o), se denomina potencia ac¡iv¡ instantánea, y suumplitud P es la potencia activa o media. El segundo tér¡nino tiene un valor

medio nulo y su amplitud oscila entre -Q y +Q con una pulsación 2o, sedenomina por dctinición potencia reactiv¡ instantónca y su amplitud Qes la potencia reactiva (4.108).

En resumen la potencia eléctrica instantánea absorbida o generadacircui to consta de dos ¡énninos (4.102):

U n término con.\tenlc P , dcnontinudo potcncict ttctiva que c.r tg tutl ul

vak¡r ntedio P - VI uts q de la potencia instantóneu.

Iw = ; L

"1,-,r - lv r t , l * |-"-{J

ry , ¡ . ) rQ

r í t ) > t )

t

i 2 + + c v 2

i ( t l+- t-lO--{

|i:t:Jv ( t ) \ 0i ( t l < r )

(4 . 103 )

v----ü

(r t . 105)

:lcos t '

que corresponde al sumando independiente del tiempo de (4.102). De este¡irodo se püede consiclerar la potenóia ins¡antánea p(t) expresada en (4.102) y

dibujada en la fig. 4.45, que es la suma de la potencia media VI costp

nús un ténnino flucluanle VI cos (2ot - tP) que se puede escribir asÍ:

V lcos (2rr l t - tp) = (V I cos g) cos 2ot + (V I sen 9) sen 2<ot (4.106)

donde:

I APOT

tr

U E D I A\

II

I

II:

I, { , ,-4r ,

l \ i t t ) =V2Icos 1rr . , r - f )

p . VI cos g

es como ya se ha indicado la potencia media, denominada también potenciaactiva. Por analogía se considera el término:

(4 . 107)

(4. I0g)v { r . ) l - Ir--1__J

v t t l < ' . 1 )

l ( t ) ) r )

Ii ( r )-i l-r---1 |

v { c l l - ¡**-{-J

¡ t l ,-{>

r a Iv r t ' l f I

I r' - 1 . . 1

r i t I<l- r-r- * - f l

. r , t , l * |t --1-J' . ' t t r < r )i ( r ; . : 0

i,l,ffi

\

427

E LECTROIVIATJNTTISMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

2) Un término V I cos (2ut-e) oscilante de pulsctciótt 2u y cle vulormcdio ,tulo clenominctdo potenciu l ' luctuentc, que se puededescontponer a su vez en clos sumandos (4. 106):

a) Un térnrino de amplitud igual a la potencia activa : P=V I cosg yde pulsación 2o),

b) Un térnúno de amplitud igual a la potencia reactiva: Q =VI sen(p .Este sumando est¿í desfusado 90o en retraso respecto al anteriory es también de pulsación Zt..o,. ( Téngase en cuenta que secumple: sen 2 ot = = cos (2 ox - 90o).

EI producto VI que es igual a la amplitud de la porencia fluctuanterecihe el nonrbre de potencia aparcnte S. Entre las potencias P, Q y Sexistcl¡ las siguientes relaciones:

(w)(vAR)

(vA) (4. I l0)

[ ' ( )1 ' I1NCIAACTIVA: p= V Icos {p =S cos tp

R)'I"b,NCIAREACTIVA: Q= V I sen p- S sen p

POl'llNCIA APARENTE: S = ! I =

Cada una de tas potencias anteriores responden por consiguiente auna fórmula concrera y a un slmbolo propio. También ti-enen unidades demedida especlficas. Asf y corno ya se ha-indicado en (4.110), la potenciaactiva P se expresa€n vatios (W) o en kilovarios (kW); la potencia aparente Sse expresil en voltio-amperios (VA) o en kilovolrio-amperios (kVA), (eneste caso en el argot de los electricistas se pronunciacavéas ) y la potenciareact iva Q se expresa en volt io-amperios react ivos (kVAr). Desde unpunto de vista estricto las tres magnitudes P, S y Q tienen dimensiones de¡rotencia, pero el utilizar unidades de nredida distin'tas facilita su identificación,evitar¡do de este modo errores de interpretación.

La especificación de la potencia en las máquinas y equipos de c.a.cs divcrsa y tienen un origen práctico, así las nráquinas generadoias de c.a.(rltenradores de las centrales Eléc¡ricas) y los transformadores definen suspotencias en fon¡a de potencia aparenre medida en VA, kVA, MVA; elconocinriento de.esta potencia y la tensión nominal (cuasiconstante) a la que serel l iz.¡r el sr¡ministro, indican de acuerdo con la úl t ima ecuación (4.110), larniíxirnl coriente que puede llevar ta nriiquina, que es en definitiva la que'lefinc la sccción de los conductores de sus devanados elécrricos y de ioste¡rninr les de sal ida.

r28

CIRCUTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

[-os motores de c.a. se especifican por su tensión de alirnent¡rcióny por su potencia mecánica en el eje'en kW o caballos de vapor CV (lCV =

iiO W¡, que conociemdo el rentlimiénto def-rnen la potencia eldctrica activa t¡ucabsorben de la red.

Las reactancias, bien sean inductivas o capacitivas se expresan enforma de potencia reactiva y por ello se miden en kVAr,-mientras qtre lasresistencias eléctricas (por ejemplo una plancha) sc especifican en fonna depotencias activas y por ello se nriden en kW.

Se ha visto en el capftulo anter ior, en el que se tratabanfundarnentalmente de circuitoS de c.c., en loS que las tenSiones y corrientes nodependÍan del tiernpo, que sólo existía un tipo de potencia que era el productotte-tensión por corriente, es decir Vl y que se medía en vatios. Sin enrbargoahora, en c.a. senoidal, la potencia que "apffentemente" se consunle es Vl yse mide en VA. Sin enrbargo henros visto, tlue sólamente lit potenciit activa esla que puede dar resultadoi tangibles, )ra quq representü la potencia nrctlil t¡uereaimente Se consume. Est¿t potencia activa eS en general lttcnor qttc la

potencia aparente, lo que se debe a la presencia del factor: cosq en la prinleraecuación (4.1l0) y que por el lo se deno¡nina factor dc ¡ totencia, cuyovalor puede oscilar entre 0 y l:

Fac to rdepo tenc ia =cosg ; 0<cosgS I

el factor de potencia aparte de expresar el cociente entre la potencia activa yaparente (P/S), representa el coseno del úngulo que fon:ra ln tensión y lacorriente de un circuito, y que además si se trata de un circuito pasivo (por

ejemplo una irnpedancia) el ríngulo g se identitica con el argutnento t¡ue tiene

la impedancia compleja. De este nrodo el úngulo q, es bdsico par:t calcular llpotencia activa que realnrente se desanolla en un¿r inrpedancia. Ptra un circttitoinduc¡ivo, la corriente se retrosa a la tensión y por ello se dice t¡ue el factorde potencia va en relraso. Al contrar io, en un circui to cupncit ivo, lacorriente se adelnnta a la te nsión y por ello se dice t¡ue e I factor de ¡xttenciaestá en adelanlo. De este nrodo, el detenninante que se añade al t¿tctor dep,otencia (abreviadanrente f.d.p.) indica la posición relativa entre la tensión y laco¡Tlente.

Es importante destacar t¡ue las expresiones (4.1 l0) son tnotlullres(no complejas). Por convenio, se considerrn los iíngulos g positivos pilril clr-gas inductivas y negativos pilrü las capacitivas. Este convenio es inncccsario

para calcular las potencias ac¡ivas (ya que cos(-tp) = cose). pcro cs nccesitrio

para dar un siglro i l l i ls potencias react ivas (ya t¡ue sclr (-rp) =-scntp). De

( 4 . l l l )

,129

H_ECTRON|ACNEnSM() Y CTRCUn'OS E!-ECTR|COS

¡cuerdo con ,lst() y conlo veremos a continuiicion. tas ¡ltencins reaclivassc co¡¡sideran posi l ivas par¡¡ cargos indr¡ct ivas y ncgat ivas paral i rs ca¡ rac i t i vas .

Vanlos ¡r calcul¡u las diferentes potencias en los elenrentos pasivossimplcs: lt,l- y C. para homogeneizar el estudio vamos a cr¡nsiderar ungcncrrdor cuya tensión sc ¡oma como referencia para los tres elementos, deacuerdo dc ¡rcucrdo con la expresión:

v(t) = JT V cos ott (4. I t2)

¿ t ) R E S I S ' l ' E N C I ¡ \ :

En la f ig. 4.46 i l serclación fusot-ial cs:

V = R I = )v ̂ ¿ae

t ( t - )-4

Fig. 1.46

(lue corrcspott(le en el dorninio del t ienrpo

v(r) = JT V cos cot ;

I c o s C I t ;

en la fig. 4.46b se han representado conjuntamente las señlles, p(¡), v(0 e i(t).Se obs-erva que e.n cúalt¡uicr ins.tante de- t ienrpo P(t) . > 0. El s ig. troconstantemcnte poslnvo de [a potencia instlnt¡Ínea, estií l igado al hecho físicode que la resistencia absorbe per¡ni¡nenlenrente energía eléctrica que ellaconvierte en calor por efecto Joule.

Las potencias activa, reactiva y üpilrente, se obtendrin aplicando

(4.1 l0) y teniendo en cuenta que V = RI, y g = 0, resulta:

CIRCUII'OS DE CORRIENI'E ALTERNA SENOII)AL

p ( t ) = 2 V I c o s l o l t = ! I + V I c o s 2 c r l t - p ( l + c o s 2 c o t )

V . j c r t l - I ¿-90ejcol

i (J-l--+,

Rr _ v

R

muestra el c ircui to correspondiente. [ - Í l PR = ! l cosg = VI = RI2 (W)

Q n = V I s e n g = 0 ( V A R )

S¡¡ = Vl (VA)

de donde se deduce que en una resiste ncia coinciden las potenc_ias activir.yap&rente y su mugnitúd representa h potencia.di.sipadu e¡t c¿¡lor. La potenciareacdva es nula. Se dice ento¡lces que unü res¡stenclü consume una potencla

acriva RI2, pero no consume potencia reactiva.,En -la-fig. 4.46 se hanseñalado con una flecha blanca ia magnitud y sentido de la potencia activaPp y con una flecha rayada la potencia rcactiva Qg.

b) INDUCTANCIA :

En la fig. 4.47a se muesrra el circuito correspondiente, la relacirinfasorial será:

v ¿ae

( 4 . I l 3 )

( 4 . 1 l 5 )

(4 . I l 6 )

( 4 . 1 l 7 )V(l)L

[ =

i(r) = JrV = R 9 = 0 o

r lando lugur i l una potencia irrst i tnt i inei l p(t) $egún (4.109):

,l l0

) i ( r )

P - , = f i t '

c:=>

@' ' r , ' t - '

(4. r r4)

F ig . 1 .17

,1.3 l

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUITOS ELESI'RICOS

r¡rc corresponde en el dominio del tienrpo a:v(t) = {2 V cos o¡t ; i(t) = JZ I cos (r¡r - 90o)V =Lo l i g=90o (4 .118 )

obsérvese que se ha puesto g = + 90o debido a que la carga es inducriva pura(prra cargas inductivas se to¡nan los ángulos positivos). La potencia instantí-ner p(t) cn la inductancia ser¿í:

l)(t) = / VI cos ot cos (olt - 90o) = VI cos (2rot-90o)

es decir según (4. 109):

l)(r) = V[ sen 90o sen Zlot = QL sen 2tl¡t

VI cos tp = VI cos 90q = Q

VI sen Q = VI sen g0 = VI = Ltrl 12 = X¡ 12V I

en la fig. 4.47b se han representado conjuntamente las señales v(0, i(t) y p(r).Se observa que p(t) es una potencia fluctuante de pulsación 2or, lo quesigrrifica que en el intervalo de tiempo en que p(t) es positiva, el generadorenlrega energía a la inductancia, la cual se almacena en forma de campornagnético, mienras que en los intervalos en que p(0 es negativa, la energíaRlrnacenada en la bobina es devuelta al generador. Esta potencia que oscilaentre el generador y la inductancia es precisamente la potcncia reactiva Q¡-. Elvalor ¡ncdido de (4.120) es cero y no existe disipación de energía sinointercambio de la misma (')

Las potencias activa, reactiva y aparente se obtendrán aplicando(4,I l0), teniendo en cuenta que en este c¡so se cumple: V = Lrol, g = 90o:

( 4 , I l g )

(4. 120)

(w)(vAR) (4.12t )(vA)

P L =

Q L =s L =

en consecuencia, en una inductancia coinciden las potencias react iva yaparente, el valor conespondiente coincide según (4.120) y (4.121) con lanm¡:litud miíxinla de la potencia instantánea. La potencia acriva es nula. Sedice entonces que una inductancia no consume potencia activa, pero que;tbsorbc una potencia reactiva positiva Lo¡ 12 = X¡ 12.

La ¡lotenciu reactiva cle una inductanciü se puede expres&r corno el

l - . ; r ¡ rotelrc i ; l rc¡rct iv i l rc¡ l rescntü cn c icr to modo unay v icne s in rc r l i z .a r n ingún t r : rba jo ú t i l .

( * )v a

r 3:l

cnergía' . que oscilando como un póntluloes decir según (.1, 109):

( 4 . 1 2 6 )

.13 3

CIRCUNOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

producto de la pulsación Ol por el valor nuiximo de la energír alntacenada poril campo magnético. Téngase en cuenta que si denominanros I,¡ = ri2 I a la

corriente m¡ixima, la energía m¿íxima que se almacena periúlicantente es:

w = ! L f = L t zm a S m ¡ u 2

- m

y por consiguiente se cumplirú :

Ql = Lcol2 = Q) W *ug m¿x

c ) coNDENSADOR:

Er¡ lafasorial será:

I

V - ' Ijo¡C

fig. 4.48a se rnuestra el circuito correspondicnte. La relación

(4 .127)

(4 .123)

v.¿0e=+ [ = -i- = j oC V ¿0e = VolC ¿9U (4. 124')

aj t tC

que cofresponde en el dopúnio dell-

/ ( t ) = JZ V

IV = l l ;

o)C

i(t) = lT I cos (ror + 90o) ;

( .1. I 25)

F ig .4 .48

tiernpo a:

cos ot;

{ P = - 9 0 o

obsérvese que se ha puesto ahora g =-90o debido a que la cnrga es cüpacit ipura. La potencia instantúner p(t¡ en el condensador seri igurl n:

p(t) * 2 VI cos cut cos (cut + 90o) = VI cos (20¡t + 90o)

i ( r )--r

cn la tig. 4.48b se han representado conjuntamente las señales v(t), i(t) y p(t).

Se observa que p(t) es una potencia fluctuante de pulsación 2or, lo quesignilicu t¡ue durante el intervalo de tiempo en que p(t) es positiva, elgenerrdor entrega energía al condensador, la cual se almacena en forma decilnrpo cléctrico, mientras que cn los intervalos en los que p(t) es negativa, lacnergía alnracenada en el condensador es devuelta al generador. Esn potenciat¡uc uscila cntre el generador y la crpacidad es precistmente la potenciarcactivl Q". El valor nrcdio dc p(t) es cero y no existe disipación de energía,sir¡o intcrcar¡lbio de la nlisma.

'I'eniendo en cucnta que en este caso se liene:

y = - - ! - l e = - 9 o scoC

[,ls ¡rote ncils activ¡, rcactivu y aparenle se obte ndriin aplicantlo (4.1 l0):

CIRCUITOS [}E I]ORRIENTE AL'I'ERNA SENOIDAL

y por consiguicnte se cumpl ird:I

Q c = - - i - l l = - ( D C V 2 = - @ W e l e c m a x ( 4 . 1 3 0 )Col

4. IO POTENCIA COMPLEJA

En teoría de circu.tos, cuando se realizan cdlculos con potenciaseléctricas, es a menudo muy rrtil conrbinar la potencia activa y reactiva cle unelenrento en una cantidad cor.rpleja, que se denomina potencia compleja. Si seconsidera un dipolo receptor,tómo el'mostrado en la fig. 4.44, alimerrtado poruna tensión (tornada como relr:rencia):

EI-ECTROÑIACNMS N{O Y CIRCUITOS ELECTRICOS

p(r) = - Vl sen 90o sen 2rot = Qc sen ?olt

PC= VI cos tp = VI cos ( - 90s ) =

Qc = \/ l scn (p = Vl sen ( - 90u ¡ =

S c = V l

0 (w)

+ t2 =- xs 12 (vAR)Cto

(vA) (4.r 28)

/(t) = 17 V cos ort

y que absorbe una corriente i(r):

i(t) = '/Z t cos (cot-q)

los valores fasclri¿rles de las n'¡¿lgnitudes anteriores serún:

! = V ¿ } e ; I = l / . - q

$ = V I c o s q + j V I s e n g

que si se tiene en cuenta (4. I l0) vemos que se tradrlce en:

S = p + je

en consecuencia, en un condensador coinciden' las potencias react iva yilparente. La pote ncia activa es nula. Se dice entonces que un condensador nocirnsunlc potencia ac¡ iva pero que nbsorbe una potencia reacl iv¡nega t i va :

Q c =

o cn otras pír labras el condensador es(lue entregil i l l i l l i¡ente:

Q c = +

l-a potencia rerctiva de un condensador se puede expresar como el

¡rroducto rle la pulsación to por el valor máximo de la energía alnracenada porel campo eléctrico. Téngase en cuenlil que si denominamos Vr= tl2 V a la

rerrsión mixi¡na, la energía elécrricu que se Rl¡nacena periúlicamente será:

w , 3c l c c n l a x

se define como potencia conl,rleja S absorbida por el dipolo receptor a:

S = V I t= V lUe . l l+ tp = V l lg (4 .134)

donde I+ expresa el conjugado del fasor I. Al convertir (4.134) a la fonnarectungular o binónrica nos da:

(4 . 127)

( 4 . 1 3 1 )

(4.1 32)

( 4 . 1 3 3 )

(4 .135 )

(4. t 36)

I-- t2Ccrl

un generador de potencia reactiva

I' 1 2

Cto

es decir la pane real de h potencia complejl es la potencia acriva, mientras t¡uela parte iniaginaria es la, potencia reactiva. Es frecuente en el estudiarltepriircipiante éxpresur la potencia cornpleja así : S = V I, lo cual es i¡rcorrecto.bUserve el lecior que li fórnrula conecta es la (4.134), donde es neccsariotonrar el conjugado de la corriente püra conseguir que las círgÍ¡s inductiv¡ts (cnlas t¡ue la córiiente se retrasa a la tensión) den lugar a potencias reactivasposiiivas. (El lector puede denrostrar que s_i.se tomara el convenio contrario, laiór¡¡ula dc la poteircia conrpleja sería V+I, pero nuncn el producto VIIilunque e¡r es¡e épígrat'e al tonur la tensión como ret-erencia, estos doS últin¡os

| .u ;

J14

'l

= c\r (4. 129\

-135

ELECTRO¡yüAGNEIISIv|O Y ClRCUf l OS ELECTRICOS

l)ro(luctos clan lugar a los mismos resuhados).(')

A veces es conveniente dibuju las componentes de la potenciaconrpleja en un diagranra complejo, como se indica en la fig. 4.49. Escvitlcnte (lue para una cürga inductiva (f.d.p. en retraso) se tiene: 0 < rp ( 90opor lo t¡ue Q es positiva, y el vecror S estará situado en el primer cuadranre.l'¿uil una carga capacitiva (f.d.p. en adelanto) se tiene: -90o < g < 0, por lo queQ es negirtiva, y S estarii situado en el cuarro cuadranre. (La fig. 4.49 seconoce vulgamrente con e I nornbre de triéngulo de potencias ).

Fig. {..f9

Si consideranros la potencia compleja asociada al circuito enparalelo de la fig. 4.50 (expresado en el dominio de la frecuencia), se tendrá:

S = V I * - V ( I l + I 2 ) * - V I r * + V I 2 * = S r + 5 2 @ . 1 3 7 ) .

que expresa el denominado principio de conservación de la potenciaconrple.ia(') que indica que la potencia compleja sunrinistrada por ta fuente(o en general fuentes) es igual a la suma de las potencias complejas absorbidaspor las carg¡ts, o de un rnodo equivalente.

P * = I P t t Q * = I Q , ; S g =

CIRCUTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

Fig. 4.50

reactivas (teniendo en cuenta en este caso los signos conespondientes)' Laúltinla relación de (4.134) nluestra cómo calcular el módulo de la potenciaaparente del generador que en ningún caso será la suma modular de laspotencias aparéntes de las-cargas (a no ser que tengan igual f.d.p.).

E]ENTPLO DE API]CACION 4,15:

En el circuito seric de lafig. a.51. el generador de tensión tiene un vaktr

instontóneo dado por la exPresión:

v(t) = ,/Z S0 cos 100 t voltios

F ig . 4 .5 |

Calcular: I ) intensidatl instanlánea,2) porencia instantánea tlesarrollada por el

generador.3) potencia compleja entregadu por el g,enerador,4) potencüt conpleyt dc cad¿t

elemento pasivo, 5) A portir úc los rcsultutlos de los apartados 3 y 4, compruébese el baknt:e

de potencias en el circuito, es decir que lu potcnciu conpleja swninistrula por el gencrador csigwt a la swna de las potcncius conpleios desarrolladas en los receptores.

S 0 L U C I O N I

El f¡rsor dc tcn.sión dcl gcncrüdor scr¿i:

v * 50¿0a

y las inrpcdanc¡as cornplcjas, tcn¡cntlo cn cucnn quc tr) = lff) ruüscg , scnin:

Z R = 3 o : z t - + j L t o - + j 9 f ) ; z c = - j * = '

j 5 a

( 4 . 1 3 8 )

qrre indica que la potencia acriva sunrinistrada por el generador es igual a lasrr¡na de las potencias activls de las corgas y lo mismo con lns potencias

(t) Si r" considcran los fasorcs gcncrales: V = V¿tgvi l = lZ,ev- g, sc obtienen los siguientcsr r : s u l r ¡ r t l r ¡ s : v l t = V I ¿ g = v l c o s g + j V l s c n g = P + i Q ' v r l - v l / - g = P - i Q m i e n u a s q u e v l == Y l lLqu- q .

( t ) ¡ lgunr ls au torcs t tcnomin i ln ü cs tc l )nnc ip io : Tcurc rna dc Rouchcro t .

4.lfi

r)

' t 1

P ' + O '; * a ;

,l'J7

?)

I LECTltOlvlACNEns MO Y CIRCUIIOS ELELTRICOS

lx)r consiguicntc la conicntc complcja en lü rnalla valdrá:

50 ¿rJe 5 0 . ¿ 0 0l =

3 * ¡ 9 - , 5 =

r¿rrJ , = r0 ¿-53,139 anrper ios

([tc corrcspondc a un valor instandnco:

i(t) = '/2 l0 cos ( 100 t ' 53' | 3o)

[.a potcnc¡il insurnuineü dcsarrollada por cl gencmdor scrá:

p(t) = v(t) i(t) = lü)0 cos lt)0 t cos (100t - 53,13")cs dccir:

p(t) = 5(X) cos 5J, l3o + 500 cos (200 t - 53,13o) = 300 + 5U) co.s (200 t - 53,13o)

quc corrcs[nn(te a una potcncia mcdi¡t dc 3ü) W y a una potencia fluctuante:

5m. cos (zü)t - 53,13o)

La ¡rutencia complcja surninistrada fnr el gcncrador será:

Sg = V . l * = 50/00. l ( t ¿53,130 = 500 ̂ ¿,53,130 = 300 + j400

cs tlccir:Pg = 3m W I Qg = + ¡l(X) VAR : S = 500 VA

En la res¡stcncia sc disipará únicamentc potcncia activa:

P R = R I 2 = J . 1 0 2 = 3 m W

en la inrluctarrciil sc übsorbc ¡xltcncia reacüva posiüva:

Q L = + x 1 2 - 9 . 1 0 2 = 9 0 0 v A R

y cn cl condcnsador se absorbc potcncia reactiva negativa:

Q c = ' X c 1 2 = ' 5 . 1 0 2 = - 5 t n V A Rrr cn l i lrmit com¡llcj i t :

S R = l ( X ) + j { ) ; S L = 0 + j 9 m ; S c = 0 - j 5 f i )

Scgtirr cl a¡ltrlo 3, h potcnci¿r co¡nplcja suministruda por cl gcnerador es:

CIRCUTrc)S DE COITRIENTE AUIERNA SEN()IDAL

y de acucrdo con el tptdo ,1, la potcncia complcjl ¡bsorbid¡¡ por cl conjunttl dcelcmenlos pasivos scrá:

S¡¡¡5 = 3ü)+ j900 - j 500= 300+ j400 + 5.6, = {Tñtif66t= 500 VA

de estc modo se cumplc cl balancc de potcncius:

Sg = SabS ::e Pg = Pub, = 300 W; Qg = Qrbs = 400 VAR

E]IiMPLO DE API.ICACION 1.16

Iln taller alinentado por L.na rcd de c.a. de 220 v tiene conectadas ktssiguientes cargas a) 2500 VA con f.d.p. 0,8 in¿luctivo (en retruso) b) 3000 VAII con f.d.¡t.0,ó cupacitivo (en adelanto) c) 500 W con f .d.p. unidad.

Calcular: I ) Potenckts uuiva. reacüva y aparcnrc de cuda carga.2) | de¡n totdesdel taller. 3) Corricnte absorbido por el taller dc h red dc alinentación y suf.d.p.

l ) C ' o r g u a :S O L U C T ( ) N

Sa = 2500 VA ; Pa = S cos 9u = ?500. 0.tl = 2(XX) W;

Qu = S scn Qu = 2500 - 0,6 = l50o vAR

Potcncia complcja :Sa = Pa + jQ, = 2000 + j 1500

la potencia rcactivlr se ha to¡nado conlo posit iva, porr luc la carga es inth¡ct iva, o ( lc

otfo ¡¡rodo [X)rque cl f.d.p. v¿l cn rctr¿l.so.

C a r g u b :

Q'b = - 3m0 VAR (signo - porquc lit curga cs citpacitivu)

Sb = ++L = *S = 3750 vAscn $6 u ,Ü

Pb = Sg cos tp6 = 3150. o'6 = 2l5o w

cs dccir, la ¡ntcncia complcjl tlc la cargu h scr¿i:

C'a rgu c :

S b = 2 3 5 0 - j 3 ( X X )

P c = 5 0 0 W ; c o s g b = l : Q . - 0 I S c = 5 ( X ) V A

(lue rcllrcscnur una potcnciü cotnplcji l:

l )

4)

t

4 3 8

S g = 3 U ) + j 4 0 0

439

ELECTROMAGN SNSMO Y CIRCUffOS ELECI'RICOS

S c = 5 0 0 + j 0

Ln ¡ntcncia compleja total absorbida por el taller:

S.ro.r¡L = Sa + .Sb + Sc = (20ü) + j 1500) + (2250 - j 30m) + (500 + j 0)

cs tfccir:

S'ror¡L = (2(n0 + 2250 + 5m) +j (1500 - 3000 + 0) = 4750 - jl5m

(luc c()rresp,ondg 0:

PtotnL= 4150 W ; ftOTAL = - 1500 VAR capac¡tivos

srorAL =.,mp;rsoF = 498r,21 VA

Obscrvs cl tector que la potencia activa total es ta suma de las potencias activasparcialcs rlc cada cargu: la potcncia rcactiva es la suma algebraica (con su signo) de las¡ntcncias reactivas parcialcs. Sin cmbargo la potencia aparenre total (4981,21 VA) nocs In suma aritmética de las potencias aparentes parciales (2500 VA; 3750 VA : 500VA). Esto es dcbitlo a que cl f.d.p. cs distinto para cada carga. Lo que si es cierlo esquc la ¡ntcncia complcja toul cs la sunra de las potcncias complejas dc cada carga.

l) La coniente toul absorbid¡ por el uller se pucdc obtener dc la ecuación:

StOt¡L= V lfCnel-

dc úx¡dc r¡c ¡Jcduce:. 4981.21Itutnt =ff =22,(A A

cl f.rl.¡r. rlc la insulación sc obtiene así:

PtOfrfL = V ItOtnU cos 9T = STOTn¡ co.s tpf

( luc al susti tuir valores du:4-

- "cos qT =

ffi,21 = 0,954

cste [.d.p. cs cüpacitivo, yil quc kO'f¡L es negativa, lo quc indica que la corrienle

tot¡rl sc adclanu a la tcnsitin.

t .r0 ,14 I

CIRCUI'I()S I)E CURRIL,NI IJ AL I'ERN¿\ .SLI'I()ID¿\[-

Ptotnr

G=P.=zTTlr

{ro"=r

J).8 i¡drtiw

'4?sOWü

2trIIrAccl "

f l ¡ - j

"4ruHxc

[--

3OOOVATc o s t . = o , 6 c a p .- o

P. =225OUD t r +

f-Qb=3ooovnr

wa06 -3ooovArRc

4lv1r* Pa=SOOU

+=fr

Qa'OVAr

Fig. 4.52

En la fig. 4.52 se muestfa un diagrama ilustrativo. en cl quc sc aprecia cómo sccfcctúa la ransferencia dc potcncia tanto activ¡ como rcactiva, desdc ta rcrt (gcnerador)hasta el taller (rcccptor). L¿¡s flcchas blancas rcprescnu¡n la potencia activa. Sc obscrvaque la ¡rotencia acüva total cs igual a la suma de las ¡rtcncias activas constlmidas

¡nr los rccepores o cargr¡s. Las flcchas ncgras rcprescnun el scntido cn qüc sc pruluccia t¡ansfcrencia de potcncia rcactivn. Obsérvese que la carga b) consume una potenciareacüva (red a carga) de - 3000 VAr, cl signo ncgativo es dcbido al carócter capaciüvottc cstc receptor. Lo an¡crior cs cquivalentc a conskterar que la carga b cnvía a la re<l unapotencia rcactiva dc 3000 VAr, y así sc ha scñal¡r.lo traz¡ndo una llccha en scntidocontrario. Sumando los w¡lores algcbraicos tlc las potencias reacúvas, sc obticne unapotencia reactiva total Q1¡¡.¡¡L = - 1500 VAr (cn el sentido rcd . uller), lo que

cquivale a considerar a la rctl corno un receptor dc poiencia reactiva de + I -5ü) V Ar.En la fig.4.52 sc han sc¡lalado u¡nbién los circuitos equivalentcs dc cada carga.

EJEI'IPLO DE AI'LICACION 1.17

Sc dcsca nedir Ia potcncia ubsorbida por un receptor inluctivo de inpaktnciaZ utilizando tres amperínetros conto se indica en \afig..1.53. El untperímetro A¡ núdc ktc.orrietúe total ubsorbida de lu red.

Et-E(-rR( )NfA(;NE'n.SñtO y CtRCUn'0S Et-ti{TR tC( )S

t;-?z -z N

V ( r e c l l t a I

N

Fig, a.53

Ctlculur: u) Potencia activu absorbida por la impedancia de carga Z si laslecturus de los unrperímetros han sido : A ¡

- 40 A ; AZ = 22A ; AJ = 30 A. b) Inpedanciacoupleju Z /g .

soLUc toN

a) Si se tonta la tensión dc la rcd como rcferencia, es dccir Y = V l{Y . la conientc 12 irácn fasc ct¡ll la tcnsión, ya que la rafira en la cual esú conectado A2 es resistiva pura;prr consiguicntc la cxprcsión compleja dc la coniente 12 scrá:

12 = 22 ¿os

F)r la otrA rilrna del paralclo, donde está la imp,dancia'Z /,t4t,la corricnte sc relrasará(carga i¡ lductiva)t lc la tcnsión un ángulo g,como el rnft lulo de esn corr ienrc ¡nedidocon cl ar¡rpcrírnelro A3 c.s de 30A, lendrá una represenfación complcja:

1 3 = 3 0 / - 9

lit corricntc total | ¡ scr¿i la suma vectorial (compleja o fasorial) dc las corrientcs lZ eI3 cr)fno rsí lc¡ rcquicre la aplic¡lción dcl primer lema de Kirchhoff en el nudo M. Sisc

considcra quc la corr icntc I ¡ sc rct rasa un angulo ü respccto a la tcnsión, su

fcf)rcsctrtac irin cofn plcjil scni:

l ¡ = 4 0 ' / ' a

c u rnl) t ióntltlsc adc ¡ttiis :

I ¡ - Ir + 13 ::r 10 ¿- ü = 22 ¿0" + 30 /.- t4t

rluc c¡l l i lrnrit binti¡nica nos da:

J0 cos (r - jJO scncr = (22 + j 0) + (30 cos (p)

lx)r lo qrfc sc cutnplirún l¡rs iguitldatlcs dc las partes realcs e ilnaginarias:

'l-12 443

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

40 cosa = 22+ 30 cos g ; 40 scn a' = 30 scn I

dc donde se úxluce:c o s c r = 0 , 6 7 2 ; cos I - 0,163

la tcnsión de la red se pucde obrcner direcumentc dc la rutna resistiva:

Vr . , l = VMN = R IZ = J.22 ¿0e = l l0 ¿0 0 vol t ios

y por consiguicnre la potcncia acüva absorbid¿l por la irnpcduncia Z scrá:

P = V 1 3 c o s r p = 1 1 0 . 3 0 . 0 ' 1 6 3 = 5 3 8 W

b) La impedancia Z seú:

z = fr= mtfffi - 3,667 ¿80,629 = 0,ó + i 3'62 a .

4.11 FACTOR DE POTENCIA: SU IMPORTANCIA PRACTICA

Como se ha visto en el epígrafe anterior, el factor de potenciarepresenta el coseno del ángulo que ioiman la tensión y la corriente de unciicuito. Ta¡nbién es el cocieñte entre la potencia activa y aparente de la red:

Pc o s q - s(4 . 139)

Históricamente la introducción técnicu de los diversos tipos rlepotencia: activa, reactiva y aparente, y del factor de potencia (f'd.p.) se debe ¡tias Compañías Eléc¡ricas qué rienen a.sl' curgo la explotación de las ce¡ttrllesque necisitan ¡ransportar grandes cantidades de energía de un punto a ocro..Eseviden¡e que la eficacia con que se realice este transporte -eJerce tlna ac(:tondirecta soüre el coste de la en'ergía eléctrica, el cu¡tl en defini¡iva, lo.paga el

clienfe. Un usuario que apoila una carga qtre da origen a un.rendirnicntorelativamente pobre de la red de transpone, clebe pagar un preclo mayor.porcada kilovatiolhora (kwh) de energír activa, c¡ue realnren¡e. regile y. trtil iza'Así mismo, un consunt idor que iequiere de la Conrpañía Eléctr ica un¡linstalación m¿is costosa para el üanspone y disribución, también deberá pitgar

mís cada kWh.

La potencia activa represe nta realntente la pote ncia qgdil que scconsume, mieniras que la potencia reac,tiva.represen¡a una oscilación de ener-gía entre el generador y el receptor, su tunciÓn conslste en sumlnlstrar encrgla

iara los canipos nragnéticos y éarga de.contlensudores y trunsferir.esta cncrgíahe vuelta a ld fuenrel cuando-se lnula el canlpo nragnétictl o cuando se tle scitr-

ELECTROIVIAGNffiSMO Y clRCUITos ELECTRICoS

1nn los condensadores. Aunque los voltio-anrperios re¡ctivos, co¡no tales, noequieren un üporte de energía por p¡ute de los generadores, sí que necesitanura producción de voltio-anrperios por pürte de los mismos y por ranto limitan;u capacid¡rd de suminisro. Téngase en cuenta que la tensión de un generador)s unü nragnitud esencialntente constante, y que la corriente está limirada poria sección de los conductores de sus devanados para que la potencia disipadaixrr efecto Joule no dé lugar a calen¡amientos inadmisibles, es por esto, por lo:ual, la l)otencia nominal de los generadores (y tiansfonnadores) se defirre en.VA y no cn kW. Pa¡a una cierta potencia aparente de un generador, la poten-;in activn que suministra depende del f.d.p. de la carga que coloca el uiua¡io.l¡rs rnotores eléctricos por ejemplo, representan una carga de tipo inductivo,\u potenciír activa est¿i relacionada con el trabajo nrecánico útil t¡ue realizan,¡rcro ret¡uieren ademiís una potencia reactiva para nlnntener los can'lposrnngnéticos en los que se basa su t'uncionanriento. Esta potencia reactiva nece-;aria en los nrotores, precisa de una ntayor corriente en la red, lo que provocarn¿rs nrflyores pérdidas RI2 en las líneas, con la consiguiente pérdida de ren-lir¡ricnto de la instalación, lo que no es aconsejable.

Para que el lector conrprenda mejor la interrelación entre lasx)te¡lciils P, Q y S y su efecto cn e I rbndinliento de un sunrinisrro de energía,ie vír a considerar el ejemplo mostrado en la fig. 4.54, en el que se muestrarn nlotor eléctrico que está alimentado por un génerador V, d ravés de una

r - - - -I

Il +r l/--\.

v f Ig r. tt t r '

a é

I

I

It - - - -

!-,'*,nspoo¡r.l*rrr.^ Ds r¡A.spo'r' --+- REcEproR ---l

Fig. 4.54

ínea cléctrica de resistencia total R. Se considera que la tensión V en el:xrrerno receptor es constante y que la potencia desanollada por el motor esonstilntc (n:ueve un por resistente fijo), lo que equivale a considerar que larotenci¿l activü P _que_absorbe el motor de la red es constante, Supóngase por'jenr¡rfoque R = 0,2C), P = I I kW I Y =220V. Vamos a analizardos casbs:¡ Que el f.tl.p. con el que trabaja el motor es la unidad; 2) Que el f.d.p. es

t4. l

CIRCUNDS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

0.5 inductivo.

C a s o l : c o s r P = l

En este caso la corriente que absorberá el motor de la red, según elesquema de la fig. 4.54 y teniendo en cuenta (4.1 l0) será:

. P lI - -= ; ; ; -+=50AV c o s g L L v ' I

La potencia reactiva del motor serií:

Q = VI ser l {P = 220 .50.0 = 0 VAr

ya que Para cos I = l, se tiene sen I = Q.

La potencia perdida en la l ínea de transporte debido alfuncionamiento del motor será:

Pp = R 12 =A,2. 502 = 500 W

y por consiguiente el generador de la compañía eléctrica debcrd entregar unapotencia activa tohl:

Pg = P * Pp = 11000 + 500= I 1500 W'

la tensión Vn necesaria en el generador se obtiene aplicando el 2q lema de

Kirchhoff en- la malla de la fig. 4.54, que si se elige la tensión V contoreferencia da lugar a:

Vg = V + R I =a Y g= 220¿V + 0_'2 . 50 ¿Oe = 230 l$e

lo que supone una potencia aparente del generadpr:

Sg =Vg lg = 230. 50 = I1500 VA

como quiera que la energía hay t¡ue nredirla en el local del cliente (donde est¡iel motor), éste recibirá una facturación por el 95,69o de la energía querealmente produce la compañía eléctrica con su generador, yil que se cumple:

ilffx)= ii5mi = e5,67oPq

4,15

E l-EclRotvlAcNEt¡SNtO y CtRCUÍTOS ELECT'RICOS

ctrciente (lue expresn en definitiva el rendimienlb de ta instalación.

L ' a s o 2 : c o s { p = [ , $

Consideremos ahora el caso en que se consumen también I lkWpero con coS{p = 0,5 inductivo (en retraso). La corriente necesaria ahora serd:

r = P _ l l O mt= ! ; ; ;=m:Cs=lü)A

(lue es doble que en la situación anterior. La potencia reactiva de la carga será:

Q = V I sen g=.220 . lm. 0,866 = 19052,56 VAR

ya que cuitnclo ccls (P = 0,-5, se tiene sen I = 0,866.

l-a potencia perdida en la línea de transporte valdrá ahora:

Pp = R 12 =O,2. 1002 = 2000 W

y por consiguiente el generador de la compañía cléctrica deber¿í entregar una¡ntencia activa totnl:

Pg = P + Pp = I 1000 + 2000 = l30m W

lir ¡lr¡cva tensión Vn del generador, se obtiene al aplicar el 2s lema deKircl¡hoff.

' l 'éngase én cuenta también tlue si se toma la tensión receptora

co¡no ret'erencin: V = ??0 l{)'!,la corriente se retrasa un iÍngulo q = arcos 0,5= 60" de l¡r te¡lsión, es decir el valor fasorial es I = 100 ¿- 6Oe, de este modose cunr¡rlirii:

V e = 2 2 0 l l e + 0 , 2 . 1 0 0 l - 6 O e = 2 3 0 - j 1 7 , 3 2 = 2 3 0 , 6 5 ¿ - 4 3 a

lo r¡uc supone unn potencia apnrente del generador:

Sg= Vg | = 230,6.5 . lü)= 23065 VA

conro t¡uiera arlenrás t¡ue la energía hay que medirla en el receptor, lacornposición eléctrica deberú producir l3 kW de los cuales sólamente sefacturan I I kW, que supone en tanto ¡rcr ciento:

CIRCUI'T0S DE C()RRIENTI AUI'EI{I'{A SHN0IDAL

P I 1000i

= i3itiit

= 84'6 o/oI

E¡ la f lg.4.55 se muestrc u¡ l cuadro contparat ivo en el quemuesrran los vi l lorclmlis signit ' icutivos de los dos casos estudiados.

l ) l t k lv cos I = I f ) l l kW cos A = 0,5

I = 5 0 Aa - 0 V A rP p = 5 ( n wPB = I 15ü) wV s = 2 3 0 vSB = I1500 VA11 = 95,6 o/o

I = l 0 0 Aa - 19052,56 VArPp = 2000 WPB = l30m WVg = 230,65 VSs = 23065 VATl = 84 ,6 o/o

Fig. a.55

Observamos que cuanto nlayor es el f.d.p. de la carga ( es decir

menor es el desfase I enre la tensién y la corriente ) se tiene:

a) Menor inercidu¿t de corrienrc en lu línea ¿le alimentación'

b) Porcncia reactivtt nrcnor (que es nula para cos tp = l)'c) Menores pérdidas cn kt líncu.d) Menores tensiones neccsarias en g,eneración.e) Menor potcnciu upare nrc del generutlor.

fl Meior rendintiento

A la vista cle esros resultados, resultn obvio que las compañíaseléctricas estimulen el trabajo con f.d.p. elevados, generahnente superiores a0,85 - 0,9, ofreciendo una bónificacióri en sus tarifits e intente n disuadir a losuiuarioi a rrabajar con f.d.p. nrús bajos, aplicando tarifas incrementadas' llnEspaña se uplicá un coeficiente tle pcnulización por rcauiva cuyo valor cnt¡lnto por cicnlo en fr¡nción de I f'd.p. es:

K¡ (en Vo) =-1.Z- - 2 lcos29

este coeficienre se aplica sobre el precio nledio del kWh' (debe tenerse encr¡cl¡ta, no obstantc, i¡ue el cocficiente miixinlo a aplicar es dcl 47 a/o, attntluc

(4 . 140)

se

4-r6 447

ELECTRo¡vl,AcNmsMO Y CIRCUffOS ELECTRTCOS

la lornrt¡la anterior dé lugar a un factor superior). Si éste supo¡le un valor de"lr" pts&Wh, se tendr¿i para el caso l, donde se tiene un f.d.p. unidad:

r r = f - 2 t = - 4 T o

de este nrodo para elcaso l, el precio del kWh será de "0,96 a" pts y para elsilso 2 de "1,47a" pts. Es evidente por consiguiente, las grandes ventajas queticne prra el usu¡rio el rrabajar con altos f.d.p, ya que puede redu-circonsirlerablemente su facturación de energía eléctrica (En Espnña las rarifastlonrésticas no tienen esta penalización).

Para medir la energía consumida se utiliza un contador de energíaactiva: kWh; sin embargo si se desea detemrinar adentás el f.d.p. nredio con elque ha trabajado una instalación durante I mes (en ¡nuchos casos dos nreses),cs preciso incorporar un contador de reactiva que nrida los kVArh durante urrperiodo de facturación. De este modo se determina la tgq:

rf, ,ñ _ en_ergía rgrutiva _ Q.t _ QL ó Y - e n e r g í a a c t i v a - P . t - P

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

energía reactiva de l¡r red de tipo inductivo, ya que la ntal'or parte dc lainduitria util iza, mát¡uinas eléctricas en su proceso productivo t¡ue necesitatteste tipo de energía para desanollar los campos magnéticos que rct'¡uieren sufuncionamiento. El t'.d.p. inductivo de estas cargas es por conslgulenteinherente a las nrismas y no se puede nrodificar más que por un rnejor discñoy utilización. Ahora bien. como quiera quc lo que interesa es que la rcd "veu"

irn mejor f.d.p. en conjunto, se puede modificar el mismo, utilizandoreceptores que consuman potencia reactiva tle diferente signo n ll de losmotóres, lo i¡ue se logrn saiisfactoriatRente concctando condenstdorcs crr l¡tinstalación, de este nrotlo se puede reducir la potencia reactiva inductiva (cincluso anularla) obteniendo un buen f.d.p. final.

Antes de indicar cónto se corrige el f.d.p. de unl instalación concondensadores, vamos a indicar una serie de procedirrticntos priicticos t¡uceviten los bajos f.d.p. haciendo un mejor uso de los equipos instalados. Asíse tiene:

l) Para las nraquinarias eléctr icas girator ias, convienc enprimer lugar sustituir los lltotores que funcionan colr pocil cürg¿t,por motores de ntenor potencia que trabajen en condicionesnonlinales (con potencias análogas a las que se necesiten), cuyorendimiento y f.d.p en esas condiciones es mejor. Para evitar ltsnlarchas en vacío (sin par resistente), desconectnr los ¡rtotores del¡ red en las horas de parada.

2, Para k¡s transformadores. elegir el tipo adecuado nl entpleoque se destine, con pocus pérditlas en vacío. Evitar el funciona-nriento con poc¡r corgu. Desconectar el tr¡nsfornudor con un inte-mrptor autonrático (disyuntor) en caso de parada de la irtstalación.

3) Itara las lámparas de descarga: fluoresccntes, de va¡ror rlenrercurio y rle sodio, comprobar que todas ellas llevan su pro¡rioconclensador. Las liínrparas de incandescencia (denorninatli¡svulgarmente bonrbillas) se consideran prácticamente cor¡lo ci¡rgtsresistivas y por tilnto no perjudican,el f.d.p. (es clccir para elhs e I

cose es iguul a l).

Una vez que se han hecho las consideraciones anteriores quesuponen un uso m¡is racional de los et¡uipos, vanlos a ver cónlo se et'ectriala corrección del f.d.p. con condensldores. En la tig. 4.5ó se rnuestril unílinstalación receptora simulada por un nrotor que absorbe de la rcd (acomctida

general) una potencia activa P con un f.d.p. inductivo de valor: cos rp. Se lraañadido al conjunto receptor una batería dc contlensudores plru corrscguir t¡ucel f.d.p. de la inst¡rhcitin lenga un valor final previanrenre pretijado cos q'.

( 4 . l 4 l )

donde t representa el tiempo t¡anscurrido desde una facturación a la siguiente.A partir de (4.141) se derermina el f.d.p. y aplicando (4.140) se calculará lapenalización (o bonificación en su caso) correspondienre.

Adern¡ls de pagar por la energía realmente consumida y portrabajrq con factores de potencia excesivnmente bajos, los clientes industrialesreciben tanrbién penalizaciones por demandas desordenadas Una energíade 100 kWh se suministra a un precio menor en forma de 5kW duranre 20horas c¡ue en forma de 20 kW duranre 5 horas. También tiene influencia elrnornento del día en que se realiza el consumo; no es lo mismo consumir por lanoche que a ciertas horas del día. Las conrpañías eléctricas aplican unconrplernentr¡ de discr iminació¡r horar ia con ayuda de cónradoresespccialcs que detectan el consumo en rres períodos diarios diferentesdenorni¡rtdo.s: horas punta (4hldía), horas valle (8 h/día, por lu no,che) y horasllarro (12 h/día). El reparto de las diferentes horas depende de la zona del paísy de h estación correspondiente: invierno (Octubre-Marzo) y verano (Abril-Se¡rtiernbre).

4.12 COITITECCION DEL FACTOR DE I 'OTENCIA

Conlo se acaba tle indicar en el epígrafe anterior, con objeto denrcjorar el rendimiento de las instalaciones eléctricas y evitar el pago decantidades suplementarias en la t'acturación, es conveniente trabrijai confrctorcs de potencia elevados. Normalnrente los consumidores rei¡uieren

44fi .1.19

E L E C l-R o rvlA ci N m S I l() Y C I R C U IIOS E t. ECT R IC( ).S

0 a t e r l a d ccondcngadotca

Fig. 4.56

Nos interesa determinar la capacidad C de estos condensadores y

su potencia reactiva Qc püa conseguir mejorar el f.d.p. desde cos g a cos g'.El proceso de c¿ilculo es el siguiente:

El módulo o nragnitud de la corriente absorbida por los receptores I¡ seráigual a:

I L = (4.1 42)V c o s q

que irá retrasada (carga inductiva) un úngulo g respecto de la tensión de la red,(luc por comodidad se to¡na como refcrencia tal como se muestra en la fig.

4.57, ln tensión fasorial seni: V =Y /(P y en consecuencia la expresión de lacorriente compleja absorbida por el receptor será:

lL= lLl- q

l-a corriente I. absorbida por la batería de condensadores vendrií

cxprcsadit por:

," = -lt= ,Ít= VCrrr /90e = tc¿gff (4.143)- J c 0 ,

t¡uc esrii adelantrda 90o respecto de ln tensión de la red V, scgún se muestra en

.150

CIRCUMOS DE CORRIENI'E ALT'ERNA SENOIDAL

el diagrama fasorial de la f ig. 4.57.

Fig. 4.57

De este nlodo la corriente total absorbida por el conjtrnto de lainstalació¡1, se obtendri conto sunra de I¡ e 16 como así lo requiere la

aplicación del ler lerna de Kirchhoff en el nudo A de la fig. 4.56. Es decir:

\ = I , + I . (4.144)

en la fig. 4.57 se nruestra la suma (4.144) en forma fasorial, observándoseque la córriente I. debe ser tal, que sumada vectorialmente alyse logre que

11 forme con la tensión el dngulo I' final previamente establecido. Al escribiren forma polar (4.144) resultir:

l r l - g ' = l L / - q + l g l 9 } e ( 4 . 1 4 5 )

donde el moctulo I" es igual a VCo según (4.143). Al pasar (4.145) a la lbrrna

binónlica se obtiene:

[1cos rp ' - j I l sen 9 '= ILcos q ' j I ¡ sen g + j lC (4 .146)

de donde se clcduce (igualando partes reales e imaginarias) :

a) If cos g' = I¡ cos tP

b) - 11 sen (P '= - I ¡ sen g + lC

(4.1 47)

Despejlndo Il de (4.147 a) y llevando a (4.14'l b) obtenemos:

Ic = IL sen q - I¡ cos tp tg q'= l¡ cos rp (rg rp - tg <p') (4'148)

ecuación que pennite calcular la magnitud de la corriente capacitiva necesaria.T'eniendo én iuenta ade¡nús que lu magnitud anterior es igual según (4.143) a

. [5 |

ELECTROÑI,ACN E'NS MO Y CI RCUN'OS ELEL-TRICOS

VCrrr, rcsultt t¡n¿r capacidad C de la batería de condensadores:

l r - l ¡ c o s A , .f - = ' ! - =

Vco Vto

Si se desea calcular la potencia reactiva de los condensadores se

CIRCUN{)S DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

Fig. a.58

expre siórr que coincide con la (4.152) tleducida por un diagrama tle corricntes.

Existen tablas que dan directamente el factor (tg I - tg tp') por elque hay t¡ue multiplicar la potencia,a_ctiv¡ de la instalación para obtener la

¡rotencia Qg directamente (ver tabla ne 2).

Por ejemplo, supóngase que se desea corregir e! f.d.p' de unainstalación que consume 100 kW con un f.d.p. inicial de 0,62 hasta obtenerun f.d.p. finál Oe 0,9. El valor de la potencia reactiva de los condensadoresserii de acuerdo con (4.152):

Q c = P ( t g g - i g g ' )

El factor (tgq - tg g') se deduce de la tabla antcrior, co¡no

intersección de la fila cos gi = 0,62, con la columna cos gf = 0,9. dando unvalor de 0,7E I lo que implica unr potencia re¡ctivn de:

Qc = l f i ) .0,781 = 78' l kVAR

En la práctica existen baterías de condensadores normalizadns aunas determinad¿rs potencius reuctivas y suelen ser frecuentes lits siguientes:

0 ,5 - I - 1 ,5 -2 - 2 ,5 -3 -4 -5 -6 -8 -10 - t2 -15 -20 -25 kVAR

de tal forma que la potencia reactiva crlculada deberá crearse con tliverslscombinaciones <le los tipos anteriore s; p¡ua el ejcnrplo anterior de 78, I kVARharán falta:

tcntlrií:

Qc = Inr t V . Ic* I = Irn lV ¿0e . I ¿' 90ef = - V I

(4. t 4e)

(4. 150)

(4 . 152 )

(lue conlo era de esper¡u es negativa, de acuerdo con el convenio de signos delu potcnciu reuctiva. Si se tier¡c ahora cn cuenta el v¡lor rle l" calculado en(4.1'18) , al llevarlo n (4.146) se obtenrlrú un módulo dc Q" :

I Qc | = V Ic = V IUcos p (tg q - tgq')

qrre tenicndo en cuenta (4. 142) se puede escribir:

( 4 . l 5 l )

I Q c | = P ( t g g - t g g ' )

Ideulnrente, porece que interesaría conscguir que el f.d.p. final

luera igual a I (es decir que g' fuera igual a cero), sin embargo en la prácticapar¿l que no se necesite una gran inversión en condensadores, es suficiente

que cos g'sea del orden de 0,85 a 0,9 (obsérvese en la ecuación 4.136 que

p¿rra cos g' = 0,85 el coeficiente de penalización por reactiva es igual a I ).

Puede tumbién deducirse la expresión (4.¡48) siguiendo uncritcrio dc potcncias. Considcrnr el triingulo de potencias 0AB de ll fig..l.5tl, tlontle 0A indicu lu poterrcia activn absorbitla por lu instah¡ció¡r y AB es

lil potenc¡ir inductiva lbsorbida por el receptor, de tal fonna r¡ue:

A B At g 9 = o A = P

Curnclo sc ins¡llan condensadores. el punto B pasa nl punto C,nlerccd a la introrJucción tle lu potencia reactiva Qc, sientlo el triríngulo 0AC,el tliÍngulo final de potencils. De est¿r tigura se deduce:

Qc = llC = All - AC = Prg g - Prg e' = P(rg g - rg q') 2 Grupos de 25 kVARI Cnrpo de 20 kVAR

50 KVAR20 KVAR

I GruDo de I kVAR ft kVAR' 'rotAl- ----------7dTñF

r52 -15 3

[LE(-I-R()NT{GNETI.S M() Y C¡RCUN'0S ELEfi'RICOS

FACTOR DE CORRECCION( t g p - t g Q )

Tabla Nu 2

paru lrrcer el pedido cs ¡reces¿trio tnnrllié¡¡ indiclr li¡ tensión de la red ü lai¡uc se viln ¿t cotlcctilr los contlensatlores, (una tensión de alimentaciónsupcrit'rr I l¡t rle tliserio de lcls contlcnsarJores po.ltía suponer su pcrtbración).

CIRCUNI)S DE CORRIEI.{TE ALTERNA SENOIDAL

instalación. de debe tener la precaución de no tocar sus terminales ya que laposible carga almacenada ¡rodría ser peligrosa al descargarse sobre el cuerpo;para evitai este pcligro,' la gran nrayoría de los Condensadores tiettenperrnanentemente cone-ctarlits uñas resistencias en paralelo, de tal.fomla que alilesconectarlos de la red, sr: descargan sobre estas resistencias sigtriendo unaley exponencial ( ver capít¡lo 6 ). Normahnente dcspués de un minuto de ladesco¡iexión, ta rensión residual no suele superar el25Vo de la tcnsitln no¡¡linalde la red.

Para compensar el f.d.p. de los motores eléctricos en caso de no

conocer sus datos internos (cos g) pueden tomarse lOs valores aproxitnarlos,que se muestran en la tabla nq 3. El motor dinrensionado según esta tabla,

alcanza un cosg - 0,95 en vacío y un cos I = 0,90 a plena carga'

Potencia en kW

3 k wl0 kw20 kw

rmkw

TABLA NC 3

Los transfbrnra lores de distribución necesitan en general tlel 3 alSVo de su potencia nonrinal en potencia de magnetización. Para.la conlpensil-ción individr¡al se tonra corrro tnse el consumo en vacío. Se pucde itdnlitir unlpotencia de condenstdores tlel 5 al l}Vo de ln potencia de I trnnstbrmador, sitri¡ue haya que tenrer con ello ele vaciones de ¡ensión- E1 ]qt ec¡uipos de st¡lda-dura sé précisan condensadores cotl una potencia delSOVo tle la nominal tlcltransforinador (soldadura en c.u) y cuando se emplean rec¡ificadorcs(soltladura en c.c.), son suficientes condensadores con una potencia equiva-lente al lj%o de la no¡ninal.

L¡s ldmparirs de clesctrga necesitan tarnbién conde nsadores p¡lr¡tcompensar ll energia reac¡iva de las react¡ncinS o transformadores de dispcr-sión't¡ue requicren estas liimpariu. AsÍ en el caso de liímparas tluorescentes it

220V se precis:t un condensudor de '1,5¡tF pnra un tubo de 20W; 6pF para

40W hastn l$¡rF para 140W. Para las llimplras de vapor de mercurio t 2?-0V,

las capacitlatles necesarias vnrían cntre 7pF para unü ldmpara de 50W, ltlp[;

para 150W y 10¡rF para 1000W. Pari¡ l¡rs li inrparnsde hitlogenttros n'¡ct¿ilicos

las cl¡lacidiutes ¡tecesarins oscilan entre 20¡rF pilra unil potencia de l50W il

il

itil

I4

l l2 l

c'()s (0

i n i c i a

Cos g' l ' i t rul

0 . t t { ) ( } . } 15 0 .90 0 ,95 0 . l { x }cos9i n i c i a

Cos q' final

0 . 8 0 0 , 8 5 ( ) , 9 0 0 . 9 5 1 , 0 0

0 . J It ) . 4 l( ) . 4 l0, -l .l( ) . 4 5

{ } , .1 6{ } , .1 70 , ' l I0 , J g

0 , 5 0

0 , 5 I0 . 5 l{ ) . 5 J( ) , 5 .1

0 ,5 -5

{ ) .5 ót ) , 5 7( ) ,5 11( ) , 5 g( ) , ó t )

0 , ó I( ) . 6 J{ ) , ó J0 , ó .1{ ) . 6 5

() . ór ó( ) . ó 7

{ } . 6 t l{ ) . ó 9t ) . 7 { )

I , l t f O1 . 1 2 8l . ( ) 7 81 . 0 2 90 , 9 8 2

0 , 9 3 ó( ) . 9 9 10 , t l 5 { }{ } ,8 { )90 . ? ó 8

0,7 2f)0 , ó 9 1t ) , t ,540 . ó l 8{} ,5 tJ J

0 .5 .19{ } . 5 I 50 , . 1 I 3( ) , .15{ )0 , ¡ l 1 )

0 . J 8 8r ) , J 5 l l{) . .} l,t() , I (rr){ ) . 1 ? r }

IIIII

-17 5. l I 0

_ ]49? 9 r13.1

t , 3 l ( ll , 25 t t ll .20r i ]l , l 5 ql , l l ?

1,0ólt . ( ) 2qt ) . 9 8 ( If).9 J 1)l0.8 9 tr l

0 . 8 5 90 , 8 2 1( ) , 7 I - l().7 - l t{(1 .7 | -1

{ } .6 7 r i( ) . 6 , 15( ) , 6 I J0 . 5 t J { l{ } , 5 . 1 9

{ ) . 5 1 t().J l l tJ{ ) , J . 5 l i{ ) , J I 1 ,{ ) . . 1 0 l

t . 6 ( ) 5 1I , -5.{ r{t , . l 791I , 1 4 l lr . 2 l , l l

I ,7 .1 |l , ó 7 61 . 6 1 51 . 5 5 7I ,J ó.I

l , - 1 4 61 , 3 9 . 1l , J 4 - 11 , 2 9 5l . 2 4 t l

I . 2 0 2l . l s t ll , l l t )1 . 0 7 5I .0 3.1

0 .99 50 , 9 5 70.9 2( )0 , { ) 8 .10. t l . l 9

0 , l l l 5( ) . 7 8 |0. 7.19{ ) , 7 1 6( ) , 6 I 5

0 ,6 5 .10, ó J. l0 . .5 9 . t{ ) , 5 f t 5

0 . 5 J ó

1 . 8 9 ó1 . 8 3 11 . 7 7 01 . 7 1 2l , ó 5 5

l , ó t ) I1 . 5 4 91 , 4 8 91 , . 1 5 01 . 4 ( ) 3

1 , 3 5 71 , 3 l 3l , l 7 l1 , 2 1 0l , l 8 9

I , I 5 0l . l l 21 , 0 ? 51 , 0 3 9| .0{}4

( ) . 9 7 { )0 . g l ó0,9 {).1{ ) .8 7 It ) . 8 J0

0 ,8 09t ) . 7 79{ r . 7 J qt ) . 7 J t )0 . 6 9 |

9 3 0E 7rf8 2 E7 7 9732

l , ó 8 6l , ó . d 2l . ó { ) 0I , 5 5 9r . 5 r 8

4794 4 1.{043 órf3 3 3

1 . 2 9 91 , 2 6 5l . ? J 3I , l l x )1 , 1 6 9

1 . 1 3 8I . l { ) 8l . { } 7 8I , { ) , ¡ t ¡1 . 0 2 ( )

2 , ? 2 52 . 1 6 0? ,0992 ,04 I1 . 9 8 4

IIIII

lIIII

0 , 7 10 . 7 20 , 7 30 ,7 40 , ? 5

( ) , 7 60 , 7 70 , 7 I0 . 7 g0 , 8 0

0 , 8 I( ) . 920 , 8 30 , 8 40 . 8 5

0 , 8 ó0 , 8 7( ) , 8 8( ) ,890,9 ( )

{ ) . 9 l( ) ,9 20 , 9 3() .9 4( ) , 95

0 ,9 6l l ,g70 . 9 I( ) ,9( ,I . 0 0

0.2420 , 2 1 40 , 1 8 60 , 1 5 90 . 1 3 2

0 . 1 0 50,0790 ,5 52

:'.t::

: : : : . : :

3723 4 43 t ó2 8 9262

235209r 8 2l 5 ó1 3 0

l ü 40 7 80 5 2026

00000

00000

0000

0 , 5 0 I0 , 4 8 0{1 ,452{),4 2 50 . 3 9 8

f ) , 3 7 10 , 3 4 50 , 3 1 80,2920 . 2 ó 6

0 ,2400 . 2 1 40 . 1 8 80 , 1 ó 20 . 1 3 ó

0 , 1 0 90,08 30 ,05 50. ()2 I

0 . ó ó 30 , 6 3 5() . ó 070,5 t l00 . 5 5 3

( ) , 5 2 ó0, 5 OtJ0 , 4 7 30 ,4 470 , 4 2 1

0 , 3 9 50 ,3 690 , 3 4 30 , 3 l 70 , 2 9 1

0,2640 , 2 3 80 . 2 ¡ 00 , 1 9 31 , 1 5 5

ll , l27{ } . ( r970 , 0 6 ó0 . 0 3 4

0 ,9920 ,9 640 , 9 3 60.9 090 , 8 8 2

0 . 8 5 50 .8 290 , 8 0 20 . 7 7 60,7 5 ( )

7246 9 8672646ó20

5 9 35675 3 95 1 2,t 84

.15 ó

.12ót 9 53 6 3329

0 , 2 9 10 , 2 5 10 ,2 { ) ll ) . 1 { 2

0t)000

00000

00000

Pote ncia del condensador en kVAr

5AVo45Vo50 To35 Vo

potencia nominal del ntotor

-15-l

( - ' t ¡urr r lc l sc t lcsntof l t i l un i l b t ter ía de cont lcnsi ldores de una

-15 5

ELECTROMAGNS¡ISIV|O Y CIRCUIIOS ELECTRICOS

i¡rF ¡nnr 1000W. En el caso de lámparas de vapor de sodio de baja presión

rcr¡uieren capacidades de 5 pF para l8W a 40pF para 180W. Para lirs lím-

rras rle vapor de soclio a alta presión se utilizan condensadores de l0¡rF para

)W h¿rsta l20ttF p'ara 1000W.

Según sean las condiciones de servicio, los receptores se compen-'n pr)r scpirado, por grupos o centralnrente. Estas clases de compensaciónruliién se ¡rucden combinar. Normalmente, en las instalaciones grandes: fii-ic¡rs de cerncnto, industrias de papel, nretalúrgicas, etc; los condensadores: r.:()nectrll a lns barras colectoras de la disribución principal de bajn tensión ylos ptrrrtos tle concentración de carga dentro de la instalación. En la; tunl id¡d se disponen en el ntercado de baterías de condensadoresutorreguladas qt ie pernt i ten un escalonamiento automÍt ico de losrndensadores en-función de la potencia reactiva requerida por la instalación'rra conseguir un f.d.p. de consigna ( previamente prefijado)' Los escalones,1,:den scide igual o diferente potencia. Otro aspecto prictico a tener enrcntir es t¡ue debido a las elevadas corrientes de cierre y apertura que sertxlucen por la inclusión de condensadores en una instalación, es que losrsiblcs de ¡lrotección de los contlensadores se deben prever para un valor de,5 a 1,8 vcces la intensidad nonlinal de los misnlos. Conviene asinlismorocetler a un perfecto apriete de las conexiones para evitar posibles,rlentamientos.

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

Enlaf ig .4 '5gsenlues¡r¿ l<Jeunaformagráf ica,e lefectodeu¡ t tbatcrfa de condensldores, sobre las medidas de los contadores de üctlva y

iü"ii"u ¿" ""a insratac¡On, según lo indicaclo hasta ahora. Obsérveseque.los"ondenia¿otes deben Oiion"ítutte detrás de los con¡adores, consiguiéndose,rriói"rciOn en la fe.ruia Oer contador de reactiva per9 L9 sobre el tle activa,

ñ;t.;indicaba en el rliagrama vectorial de la f,rg' 4'58'

ETET,TPLO DE APLICACTON 4.TE

lJna abra ali¡nentwlo por utw red a220 v.,50 Ilz., ilene lus siguientes cargos:

t ) Grúa, con unil potencia total instaladainductivo ( en retraso ), rendinúento 90?o'

de I0 kW , cosq = A,8

in¿luclivo' Tl = 88 7o'unidad.

2) Dos hormi¡lonerus de SClt cada una, cosq = 0:75

3ii¡ lln grupo tle soldadurade 5 kW, \ = 97 ?o, f'd'p'

S O L U C T O N

El csquema dc la instalacién es cl inrlicado en la fig. 4.({1,

Corr ientes parc ia les. '

G rúa :

Potencia tnecánica dcsrrollaür: l0 kW

Potencia elcctrica acüva absorbid¿r dc la rctl:

Calctilar:a) Corrientes parcinles absorbklar pr ca|a curgu.

h) Corriente total Y ril f .d.P.c) .Si l¿ línea tiene uru resistencia total tle 0,1 {2, calcular la pote ncia

perdida por efecto Joule en Ia misma.

d) porencia reactiva de los condensadores necesaria para elevur el

f .d.p. de Ia i¡stalación a 0,9 en retraso'

e) Nueva corriente que circularé por la líneu con los efectrts

condensadores cotuctados y porcncia perclida en la línea ¡nr efecto

de Joule.

R e d d e e n t r a d a

C o n t a d o r d e a c t i v a

tador

d e

e a c t l v a

a)

l )

p r = l - A =' f l J$ = n,n kw

B a t e r i a d e

c o n d e n s a d o r e s Intensidad consurnida Por la grtn:

al--) '? - ¿( \

|!-

Tran l fo rmador

reduc io r

F i g . 4 . 5 9

, P t l l lI ¡ = v r * g l =

f f i = 6 1 ' 1 3 A

457

.l?()v -¡- I

r '0. I J?- -l- I t'

¡ ¡ * - . . * - - - - t - ó

E LECI'IION IAGN ET|.S NIO Y CI RCUITOS ELECTR ICOS

I ' i 9 . 4 . 6 0

to¡nando la tcnsión como rel'crcncia, V = V ¿04,la corriente ante rior en ftlrmafasorial scni:

I l = 63 ,13¿- 36 ,87o

ya (lue cl arc cos 0,8 = 36,87o. Obsirvese que el ügumento dc la corriente (fasc)

cs ncgativo ya que la carga cs inductiva, ¡r,or lo que la corricnte sc rctrasa a la

tc n sitin.

? ) l l r l r n r i g o n e r a s :

Clda homrigoncra dcsarrolla una potcncia mecánica de 5 CV = 5.73ó = 3680 W.[-a potcncia eléctrica acüva absorbiü dc la rcd seni:

P 2 = r y = # - 4 1 8 1 , 8 1fl (r,üll

y l:r intcnsidad absorbitla por cittla hormigonera scr¿i:

12 =o** = #}lh =25,34A :e

yi l r l t tc c l arct ls ( ) ,75 = - l l , '1 lo

. l ) ( i rupo de so ldaduru ;

Potcncia rttcc¿inica tlcsarrollada : -5 kW.

w

l z = ?5 ,34 ¿ ' 41 ,4 l a

.l5ft

Qc = 24,62 ( 0,638 '0,484 ) = 3,78 kVAR

.159

CIRCUTTOS DE CORRIENTE AL]ERNA SENOIDAL

Pote¡tcia acúva absorbida dc la rc<l:

I nrcn s idad abstlrbicla:

pr = tp99 = 5154,úr w¡ J 0,9?

5154.'ó1 =23,43 A a 13 = 23,43 ¿oa? 2 A . I1 3 =

ya que cl arcos I = 0o

b) l-a corrienre tonl absorbi¡la por la obra, de acuerdo con la fig' 4'60 será:

l T = I l + 2 1 2 + 1 3

que susüttrycndo valores da:

IT =63' t3 z-36,87e + 2 '25,34 ¿ '4 l ,4 |e + 23 '43 lU =132'16¿'32 '$e

que indica una conienrc de:

IT = 132,76 A.; cos I = cos 32,53q = 0,843

t-a potcncia disipada en la línea será:

Pp = R 12 = 0,1 . 132,76 = 1762,52 W

L;r potencia activa to6l de la insralación scrá:

P¡ = v Ir cos I = 22(l . 132'76. 0,843 = 24,62 kw

y la ¡ntencia reacüva cle los condensadores scrá:

Q c = P 1 ( t s g - t g g ' )

los valorcs dc las tangentcs son:

g = 32,53o ; tg 32,53 = 0,63t1

cOS q' = 0,9 : 9' = 25,84"

cn consccucncia se úene:

; tg ?5,84 = 0,4tf4

c)

t$

c)

ELEC'IROMAGNMSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

[,a nuevr crlrriente rJe línca, puede obtcncrse de un diagrafna vcctorial tlc currielltcs, otclricrrtk) cn cucnt^a quc la ¡xrtcrrcia activa tot¿rl frcrn¡anccc const¿lntc y quc cos (p'= 0,9,.sc tcnrlni:

I¡ = -J- = #f'�;?-; = 124,34 A: =r IL = 124,34 ¿ - 25,[J4eV cos tp' 220 . 0,9

¡xrr lo t¡uc la nueva ¡xrtcncia di.sipada cn la línca scni:

P 'n = R l L2 = 0 ' l ' nq3q2= 1546 ,13 W

c()nlo cra dc cspcrar, la corricntc de lfnca sc ha re¡lucido y ha pasado de valcr I.¡ = | Jl,76 A a l¡. = 124,34 A, por lo quc sc ha obtcnido una rcducción umbión en las perdidasrle In línca.

4. IJ IV IEDIDA DE LA POTENCIA EN C.A.

La rnayor parte de los instrumentos de ntedida de potencia son delti¡l electrodin¿imico. Los instrumentos de este tipo consisten, en esencia, cleruna bobina f i ja I ( f ig.4.6l) , devanada en dos secciones y de una bobinarnóvil 2, t¡ue cstii sujetn al eje de giro portaclor de la agujir indicadora. Unosrnuclles nntagonistas están lijos por un extrenro a la cajn del instrunrento y porcl otro nl eje del equipo nlóvil. Una de las bobinas se denonrina, bobi¡ra deinlcnsidad, est¡i formada por un hilo grueso (ver devanado I en la fig.,t.61 y tiene poca resistencia; la otra bobina, llamada br¡bina de tensión,estii for¡nada por un gran número de espiras de hilo delgado y tiene gran resis-tencia (lue a veces se la aumenta por medio de una resistencia adicional (verrlevnnatlo 2 v resistencia R en la fig. 4.61). Al pasar corriente por las bobinasilparece un pilr rnotor que actúa sobre el sistema móvil. y que es proporcionalal producto de las conientes instant¿i¡reas que circulan por los dos devanados,existc tilmbién un par antagonista introducido por los nruelles y que son¡rroporcionales a la desviación de la aguja, de tal fornra que cuando seer¡uilibran anrbos pares puede lcerse por la deflexión del sistema móvil el valorrle In potelrcia.

Si se dispone de un vatímetro que tiene conectada su bobinavolt i r ¡ ldtr ica i l una tensión insta¡ l tánea vx(t) y circula por su bobinailrnfrcrirndtricil unir corrienle instantúnea iv (t) y se supone que el desfase entreanrbrs rrugniiutles es de grados. la lectura-correspondiente del vatírnetro será:

P = I'rT

I0

v x ( t ) i y ( t ) d t = V x I , c o s u (4 . l53a )

,160

Dolrtle Vr e It representiln respectivarnente los vil lores etlcaces de

4 6 t

CIRCUMOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

la tensión y lit cclrriente. Cuando se operil con valores fasoriales, cs u t¡rettudo¡nás convehiente obtener el valor unterior como la pirte real del prcxlucto dc lltensión por el conjugado de la corriente, es decir:

p = R e I V * I y * ] ( 4 . 1 5 3 b t

Fig. 4.61

Si se desea medir con un vatímetro la potencin rbsorbid¿r por unitc¡uga conectada a la red, entonces h bobina dp intensidud se conectarú dc talforma que circule por ella la corriente que absorbe la cargu, nlientrfls que labobina de tensión se debe conectar en paralelo con la red. l-a lectura delvatímeEo conectado de esta forma si es V la tensión, I la corriente absorbida,y cos p el f.d.p. de la carga

P = l,t

que representa l l potencia absorbida por el receptor. En el caso del

serü:1"f . ,

J v ( t ) i ( t ) d t = V

0

I cos tp vatios ( 4. t 54 )

El E(]l'RofvtAGNFI-|.SNlO Y CIRCUITOS ELECIR l(l( )S

vilrírnetro, l)arit r luc la de tlexión se¿r tle l i t tbrnta:

Q = V I s e n g V A R ( 4 . 1 5 5 )

es nccesario añadir a la bobina rnóvil (voltimétrica o de tensión) una reactanciap¡rril que su circuito sea muy induc¡ivo (de esta fornr¡ se añade un desfase de9Oo para converlir el coseno en seno).

En lu fig. 4.ó2 se ha representado cl símbolo dcl vatímetro (o delv¡r¡lnletro) conectado para nredir la potencia ac¡ivn ( o relctiva en su caso) de lacarga recep¡ora. La línea gntesa horizontal representa la bobina de intensidadtluC se coloca en serie con el circuito. La línea delgada vertical represenra lqbobi¡ra voltinrétrica o de tensión (lue se coloca en paralelo con la red. Elvatímctro electrodinámico es u¡r ilpürilto con "polarización", lo que significar¡ue el se ntido de la desvitción de la aguja depende de la orien¡ación que tienenentre sí las co¡rientes que circulan por las bobinas. Para que el sentido de ladcsviación dc la parte nlóvil sea la correcta, los terminales quc represe ntan elorigen de las bot¡inas se señalan con un asterisco {ver figs. 4'61 y 4.62),dcbicndo co¡reclÍtrse atnbos bornes al ntis¡no punto del circuito.

Fig.4.62

l-a r¡leclida de la potencia a¡rarente en un circuito de c.a. se realizauriliz¡rndo un voltínlelro para nledir lu tensión de la red (conectado en paralelo)y un anrpcrírnctrg paril nledir la corriente lbsorbida por la.cargu (ver ttg.4.62)i¡ue sc conectil clt seric. Ll potcncia i¡purenie se obtendrii conro producto del¡lrlras lccttttlts:

CIRCUNOS DE CORRIENTE AL'TERNA SENOIDAL

E]Ei IPI .O DE APLICACION J.Tg

Considérese el esquemu dc lafig.4.ó2. Las lectu¡as de los oparatos de meütla

lan sido:

V =220voltios: I = 5 amryrios ; P =880 votios

subiendo que lu carga es del tipo induclivo. calcular: a) potencia aparente

absorbida por lu curga, b)fuctor de potencia, c) potencio reociva, d) impedancia compleja.

S O L U C I O N

a) [.a ¡ntencia apiuente será:

S = V . ¡ = 2 2 0 . 5 = l l 0 0 V A

b) El f.d,p. de la carga vendrá cxpresado ¡nr:

P 880cos{p=; ='i iüt =0,8

c) siseconsidera*.:i:J='J.;::;T:;""'

ya que cuando cos I = 0,8; Se üenc sen I = 0,6.

Si sc rofltl la tc¡rsión corno origen de fascs, sc tendrá: V = 2?0 ¿(ls, y l¿t corricrltc

cslará rctrasa(la (carga in{ucriva) un ángulo p = trcos 0,8 = 36,87o tlc la tcnsitin cs

decir i t = S ¿- 36,87b, por consiguicnte la im¡redancia equivalcntc de la carga scrá:

0

, =Y{ =#ff i =44 t+36.87a =35,2 + i26,4 o

E,l lccror pxlrá comprobar quc si no sc conocc a priori la nilturillcta rJe la carga, no c.\

posible precisar con los apararos de nrct l ida indicados si la carga es inductivi l o

iapaciriv¿r. Para determinar cl tipo dc carga debcrá incorporarsc utl vilrímetro, y¿t (lu0

¡xlr rnetlio de él ¡ntlni avcr¡gtiarse cl signo de la potencia rcactiva. si ésn cs F)s¡tivrt la

carga cs ilrductiva, pcro si es ncgativit la carga scrii capacitiva.

En la práctica ¡tara pcxler real izar lccruras negativas con un vatímcro o un varínlclro,

cs prcciso i l rvcrr ir un¿¡ sol¿t de las bobinas del a¡)ürato t lc nret l i t la: bicn scit la

ampclr¡tétr ica ( l la volt imétr ica. Gcneralmentc sc prel ' ierc invcrt ir csn últ ima )/ i l t l l lü

t le tsrc r¡r(xlo no cs ncccsario abrir cl circuito (que es lo t luc succderÍa al cambiur cl

tlcvanatlo trrrpcrinrctrico), F)r lo que se pucden hacer lecturas sin tlcsconecüar la carga

tlc la rctl.

"l tr2

. S = V . l V A ( 4 . 1 5 6 )

"[63

+Rrh'rtt7-..-

t r ü

.1 . l4

ELECIROMACNMSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

' I 'RANSFERENCI¿\ MAXTMA DE POTENCIA

Una de las características distin¡ivas de un ingeniero, es su¡rrerrcupación por la optimización. En los circuitos electrónicos es frecuenterencr que adaptar un elemento de un sistema a otro ya existente con el fin deobtr:ncr los rnejores resultados, en particular buscando una trattsferencia¡¡r¡ixinn de potencia. En el capítulo anterior en el ejemplo de aplicación 3.20 sea¡lalizaron las condiciones que debería reunir una carga para extraer la nráximaIrotencia rle una red con fuentes de c.c., vamos a ver ahora una demostraciónrniís general para el caso de que se tengan excitaciones de c.a.

En la fig. 4.63a se ha representado una red conteniendo elententosnctivos y pasivos en su interior, y que dispone de dos tenninales de salida A yIt, a los que se conecta una impedancia de cargaZl-. En la fig. 4.63b se hareprcsentado el circuito et¡uivalente de Thévenin de la red alintentando Zy.Elproblerna a resolver seríu ¿qué valores deben tener R¿yX¡para que setansfiera I¿¿ nuLrinta encrgfa a esta impedancia?

CIRCUI'fi)S DE CORRIENTE ALTEIiNA SENOIDAL

t'*

p¡rra un circuito determinado VTh , RTh y X¡¡ son valores fijos delinidos, de

tal fonna que R¡ y X¡ deben ajustarse para obtener los resultados óptinros. Si

se desea una ¡ransferencia máxima de energía (potencia), la ecuación Gl. 159)debe llevarse al máximo. El pro,cedimiento general sería derivar P¡ respecto a

RL y a X¡ e igualando estas derivadas a cero' encontrar los valores de R¡ y

X¡ que cumplen estas condiciones. Ahora bien observando (4.159) vetnos

que P¡ es mixima para cualquicr valor de R¡ si se cumple que X¡=-X1¡ yaque de este modo se anula el término inductivo y hace máxinla la corriente. Ilneitas condiciones la potencia (4.159) se convierte en:

P L = R r l l 1 2 = R l(Rrr,+ RL)2 * (Xft + XL)2

= R , - PL T h

( .1 . 159)

(4 . 160)

( 4 . l 6 l )

( ,1. I 63 )

zr=Rr+ j x ,

V1PL=R,ffi

cuya magnitud será rnáxirna cuando se cumpla la condición:

dP,j - odRr-

igurrl a :

( luc corresponde a un nródulo:

l l l =

Observamos que la

I = = Irh,,'Lru * Zt

F i g . 4 . 6 3

corr iente I en el circuito de la f ig. 4.63 b es

vrn(4 . 157 )

(\,, + Rr)+j(Xrr, +XL)

Vft(4. t s8)

De este modo el valor de Zy-será:

ZL = RL + jxu = Rrh - j xnr =Lrh* @'162)

es decir, que para que se obtengn una máxima transferencia de energía de ttncircui to á una carga, ésta deberi í tener una impedancia igual a laimpedancia conjugado de Thévenin del circuito. La potencia ¡ttúxinlasería igual a:

)t \rlh

3 - -

l - 1 )

{ tRru + RL) ' + (Xrn + XL)"

PL nr., 4 R f t

que sr:: obtiene al sustituir (4. 162) en (.1. 160).

Debe destacarse que en las redes eléctricas de potencia. ningtiltaparnto eléctrico está diseñado para sacar la potcncia nrdxinlu de t¡n enchufe.que;iene una inrpedahcia interna equivalente rle sólo una frucción tle ohurio.

I)or kl t¡uc l i l potencia üctiva desarrolladt en la cilrga será:

.l (l,l .165

ELECTROMAGNMS}IO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

pues claríl lr¡sar a corrientes nruy elevadas que no soportarían los c¡rbk:s dealinre n¡rción. En vez de esto. generalmente una carga eléctrica se diseña par:r(lue consur¡ra una cantidad detlnida de potencia y para un mayor rendimierrto ynlenor caída de tensión en las líneas, la impedancia de la fuente se hace quesct fan baja como pueda lograrse económicamen¡e. Obsérvese t¡ue, laimpetlancia de la carga no se hace igual a la impedancia conjugada Ce lafuente.

Sin enrbargo en elecrónica, comunicaciones y control, las señalesson rle baja potencia y se procura conseguir una máxima transferencia depotenciit, ya que entonces la energín t¡ansferida es normalmente despreciable.La condici t ln (4.162) se denomina entonces adaplación de inrpcdanciase ntrc lfl tire¡rte y la carga y requiere a veces la inclusión de un transformadore n el circt¡ito.

D I I , . I I ' I . I C A C I O N 1 , 2 0

En el circuito de Ia fig.4.e, de ternünar el valor de Z¿ para que trausliera la

CIRCIJITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

Z L = Z ' T h = 2 ' 1 2 t >

y por consiguicntc la potencia máxima desarrollada seni igual:

D, -r Ylth I lo2P L = ¡ o * = I z

= 1 2 , 5 w

4. f 5

í tsr:

R E S O N A N C I A E N C . A .

= R ' r j x '

El fenómcno de resonancia existe en una gran diversi<Iad desistemas físicos y ocurre cuando el sistema es afectado por estÍntulosperiódicos con una frecuenci¿t similar a la frecuencia nntural del sistenrl.CuantJo un sistemn es excitado tiende a oscilar a sus frecue ncias naturalcs. Sila fr¡erza de excir¡ición tiene una frecuencia igual a la frecuencia ¡ratural l¿¡nragnitud de ln respuesta puede hacerse muy elevada. Para que se. produz.caresonancia es neces¿rno que existan dos formas de almacenamiento de energí4,en sis¡emrs mecúnicos: energía cinética y potencill y en sistentas eléctricrls:energía eléctrica y magnética.

Consideremos por ejenrplo un circuito serie formado por R-I. y C.Si la fuente de excitación es un generador de tensión constante y frecuencia

variable, la corriente (respuesta) es mlxima a la frecuencia para la cual Z(trl)es un mÍni¡no. Este hecho puede utilizarse para definir las frecucncias tlcresonanci¿r e i¡ulica en t¡n circuito serie de impetlancia:

f , = R + j X ( c o )

que pilra (lr¡e se pro(luzca resonilnciil se debe cumplir:

(4 . 164)

Fig' 'l'64

ruainu poteru:iu o esta intpedancia. Calcular ademós el valor de esta potencia.

S O L U C I O N

El lcctor puetle rlcrnosrrar lÍrcilmcnre, que el circuito equivalcntc de Thévenindc la rcd cuyos tcrnrinalcs dc sllirL¡ son A y B, csui conslituído por un gcncrador:

l0 ¿9()e vol t ios

y una inr¡rctlullciü:Zrn = (2 - j 2) ll j2 = 2 + j 2 Cl

dc cstc fllülo lu im¡"-*tlanci¿t de la ürga dcl*ni scr:

.166

I r n ( Z ) = X ( o ) = $ (4 . 165)

y que se indicnría

(4. I 66)

En un circuito paralelo seríü una expresión dual

I r n ( Y ) = Y ( o l ) = 0

l- ts rel lc ioncs (-1.16-5) y (4.1ó6) inr l icnn que la tensión y lacorriente del circuito dcben ir en tase, lo que constituye otra definición dcresonalrcia en Elcctricitlad.

v'r,=ff i : j2=

Puru cl caso rle rrn circuito serie R-L-C se tendrú:

D L - . . t )jcuC ulc

(4. r 67)

.t67

v ill l¡rlicnr la conclición (4. 165) se ob¡iene:

0o L = -..1 ,,. =t o^ -

, n C o

lo quc corre.sponde a una frecuencia de resonancia:

ollticne uníl curva definida por la ecuación:

V

R2 + (Lc,l - -! fCot

(ll¡e ser¿i lniixima pnril to = 0)o como representa la fig. 4.65.

li'cctrencias a los cuales la corriente del circuito se reduce a

Im8x

I

Tson irnportantes para el estudio de circuitos sintonizados enfon¡ra que se define como anchura de banda a:

A f = f z - f 1

vrax= F

- I r " * .

/t=-¡7 / \

ut

IAnchr ¡ ra de

b a n d a

ut u,uo

I-t-!

JLC

(4 . 168)

Si se calcula el valor de la intensidad en función de la frecuencia se

ELECT]ROMAGN E-NS MO Y CIRCUTTOS ELECTR¡COS

[ =

CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

El cociente entre lu ttecuencia de resonancia y el ancho de bnnda:

o = = f o " ( 4 . 1 7 1 )v - f z - f t

se define co¡no el factor de calidad del circuito, de tal forrna que P¿u:r uncircuito resonante se cuntPle:

F lro - f f i( ,1 . l7 2)

(4,r 6e)

[-os valores de las

Electrónica, de tal

(4. 170)

Q. Af = cte

Puede dernostrarse que Q vale:

o L eneruía nuixinu alnncenadu' , . :=+=t f f i (4 '173)

lo cual ¡ltd¡sfls¡!-g¡g¡lg rrloio-el rend.intiEntss-oi.g]-quc.,sp-.qlqTrgglq lq.el.'efqÍl_e¡_Elcircuito. Qgg¡¡g mayor gs Q, talJo yls_puntiugurh es lljjll d.e la rig¿.65 y_g!_qrleuito tie¡e un canÍcter nliís lglectivo. A lrecuenclas de auolo s luf.Hr,'Q-ra-iir"enre e*ced¿;m6r ilt50, pero a frecuencia tle. rnegaherziospu"dericonseguirse por medio de cavidudes rcsonantes valores de Q de variosmiles.

¿á El fenómeno de resonnncia tiene aplicaciones ntuy positivas e r¡ las

técnicas de la Telecomunicación, y así se tienen el caso corriente de sintonizardiversas emisoras por rnedio de uir condensador variable que al ir cambiandosu capacidad, de acuerdo con (4.164) permite seleccionar di ferentesfrecuencias de emisión, señales que previamente detectadas y amplificadaspueden hacerse audibles en un aitavoz. El diseño de filtros electrónicos sebasa también en circuitos resonantes que perrniten elintinar frecuenciasindeseables en señates de comunicación, Exis¡en para ello:/iltros paso baio,paso alto, paso banda y tlc reclwzo de bantla en función de lus frecuencius decone de los filros.

Sin ernbargo en Elecuotecnia, et fenbnrcno de resonanciit suete ser'

ruy perjudicial y oblila a proyectüf con cUidado las redes eléc¡ricirs pafa que aI ta íricuéncia dó rraninriiión de la energíl (50 ¡-tz en Españn) no puedan

producirse fenónrenos de este tipo que tlarían lugar t sobretensiones en eliiste¡na con el posible deterioro de aisluntientos en las miít¡uinas eléctricas.(En la práctica,-el diseño no fesonante de una red de transnrisión tle energía,no sueie ser tlifícil de curnplir. sin enrbargo aparecen otros fenótrlenos

. denominados de ferroresonancia c¡ue son nrás corrlplicados y que tienen unprincipio de aparición diferente, y que fi veces son difíciles de evitar puesóompona el cstudio de ele¡nentos no line¿¡les)'

' 469

tr [o

Fig.

f ¿

4.f i5

.168

ELECTROI\IAGNmSNlO Y Cf RCL,ITOS ELFITR¡cOS

IiJh:i l!PLO DIi ¡IPLICACION .',21

Un circuito serie R-L-C estó ulimentado por un generador de tensión de 100v.S i l osvu lo resde l ospa róme l rosson :R =5 {2 , L=2 m l l ; C =20 t tF .Cu l cu la r : l )hrecuenciu de resonancia.2) lntensidad que circula par el circuito si lafrecuencia delgenerwlor e.r iguul o lafrecuencia ¿le resonancia. S)'l-cnsiones en R,I. y C.1) Frecu¿nciaslly tj, 5) Ánchuttt ¿!¿ bnnda, 6) Factor de culitüut del ¿ircuito resonünte.

sor .ucr ( )N

l) I.a inrper,lnncia compleja dcl circuito para una pulsación o es igual u:

/ . = R + j ( L o l - e t , )

la contlir:irin de rcsonancia es según (4. | 65):

X (trl) =

de dor¡cle sc dcduce:

L c o - * = o

| . ¡ r l \ ^ r t r ( l ) ( )

0o0 = ffi

= 5000 rad/s =t f =ñ =795.77 tl¿

CIRCUITOS DE CORRTENTE ALTERNA SENOIDAL

dc dondc sc dctluce:

t l = '

( l ) 2 = +

que al suslituir valores da:

@ol = 3903,88 rad/s ; $2= ó403'8tf rad/s

es tlccir:f l = 621,32H2 ; f2 = l0l9,2l l lz '

lo que corrcsg)ndc a un anclttl tlc bunda:

Af = fe -f t = 397,89 Llz

El factor dc cal idat l del c i rcui to cs scgún (4.171):

,^\ fO _ 795 ,77 .lQ =

l', - fl =

39,7$t Fr L

quc cs un valor frqucño para scr útil cn la técnica de las comu¡ticuciotlcs.

R I+ -

2 L ' 2

R I+ -

2 L ' 2

5)

2) Si se Io¡na la tensión como refcrencia: V = 100 Ztr. la conicntc que resultará r laf¡ecuencia antcrior será:

I = V - v - l o q z o e = 2 ¡ / o e

R * j ( r ' - # ) - R

3) [¡s tcnsioncs conrplcjas cn cada elcmcnto pusivo senin:

v R =v L =

v c =

R I = 5 .

+ j Lro I

' j * r

?0 /.Ao = 100 lOe

= + j 2 .10-1 .5000 .20¿0e = 200 290"

20¿Dq = 200 ¿- 90"- - j2 0 . t 0 - ó . 5 0 0 0

1) Las frecuencias f t y f2 se obticncn dc la condición:

\ / VI t | - . - i . . * - -" ' - l z l -r

t / n z + ( L o - l l l 2Y

" ' \ - -w Co

'

que equivale a cscribir:

I

,{zt -r n t a x - _ L y

./t R

4'1047r

E LEC'IT,OMACN ETIS MO Y CIRCUTTOS ELECTR ICOS

P R O I I L T i M A S

llallar la suma de las tcnsiones scnoidales:

vt = 50 ü cos ( ot t - 1500) i vz= 200 {T ,.n ( ro t + 50e)

exprcsar la suma como una función coseno y también como una función seno.

I Rcsp. 188,84 {2.o, (rot-54,4 lo); 188,84{t sen(CIr - S{4tg + 90') I

En el circuito de la fig. P.4.1 la corriente i(t) esui adelanrada 45o rcspccro de latcrr.sión. Calcular la resistcncia R y la d.d.p. instantánca en borncs de cadaelemento pasivo.

u g t . l a o V á c o a a o o t

CIRCUTTOS DE CORRIENTE AI-JTERNA SENOIDAL

I Resp. Z es la asociación en scrie de una resistcncia dc lQ con unainduct¡nciade0,lll I

4.4.- En el circuito dc la fig. P.4.3. los gcncradores de tensión tienen cl rnis¡novalor instantáneo dado por la ecuación:

v g l = v g 2 = ü r 0 c o s l 0 t

Fig. P.4.1

I Resp. R - 40 fl ; vR = 120 cos ( 400 t + 45e); vL= 30cos ( 4fi) t +v C = l 5 0 c o s ( 4 0 0 t - 4 5 9 ) l

En el circuito dc la [ig. P.4.2, los valores de v* e ison:

vr( t ) = l0 ü.o, l0 t ; i ( r ) = l0 ü.o, l0 t

Fig. P.4.2

Calculur el vulor tlc la irnpedanciaZ.

l 35a) ;

Fig. P.4.3

calcular por el método de las corrientes de malla, la coniente i(t) que circulapor la bobina de 4 Henrios

I Resp. i(t¡ = L'{lcos (t + 900) I

Calcular por el método dc los nudos la tensión insunt¿inea v4p cn cl circuito

de la f ig. P.4.4.

4,5 .

I O{?cos ( lOt+9oo }

lo {?cos lo t

472

Fig. P,4.4

473

E t- ECIltOt;"l AGN ETI S tvl O Y C I RC U ffOS E L EL-[R lCOs

I Rcs¡ r . vAD = l0 c t ts (10 t + .15g ) |

l lr¡ cl circuito dc la l ' ig. P.4.5, calcular la corricnte insuntJnco i(t) aplicando eltcorcma de Théven¡n.

CIRCU;:OS DE CORRIENTE ALT'ERNA SENOIDAL

R2 cs de ó0V, calcular : l ) Valores dc Rt ,R2 y X2.2) t l fagni t r ¡des ( le

corrientes I I c i: .

las

-t.6.

Itf 2 tL

B t r f ) . r ) s ( t . ( - ) O ú t

1.7 .

B

Fig . P .4 .5

I Rcs¡r . I i tn = 40 ¿r)( la:ZTn= I + j l O; i ( t ) = l0 cos ( t+1350) I

La fig. P.4.6, rcprescnta una red que trabaja con una frecuencia f = l0l2n, yt icnc dos terminales i lcccsibles desde cl exterior A y B. Se efcctúan r losrncdidas: l) Cuando se concctr¡ entre los tcrminales un condensador cle 0,1laradios, la ten.sión en éste t icnc una magnitud de 50 volt ios.2) Cuando seconcct¿r r unü inductancia tle 0,1 l"lcnrios, la cofricnrc que circula a través dc

clla cs dc 50/ü a¡nflcrios, observando que esu corrienrc se adelanra 45" a latcnsión que cxistía cnue A y B cuando sc conectó el con(lcnsador. Calcular elcircuito cquivalcntc de Thévcnin ¡lc lu rcd que tcnga .scntido l 'ísicr¡.

Fig. P.a.ó

I l lcsp. lV1¡ , l= 100 V: ZTh = rcs is lencia dc ? f ) cn scr ic con r ¡nainducuncia tlc t),l l l I

,¡.¡1.- E.l circuito dc h Fig P.4.7 ss concct¡r a una red monofásica con una tcnsiónr:licu¿ rlc l(X)V. ¡¡bsorbicnrk¡ una p,otcncia activa de 4ffiW y una fx)lenciorc:rcliv¡r de {ÍX)VAR. Si la nrugnilud dc la d.d.p. cn brlrnes dc la rcsistcncia

l - -II

,'-.,( r \ r ) ¡ 6 r ) v

IIl _ _ E - r

+

I'

Fig. P.4.7

I R e s p l ) R l = l ü ) o ; R 2 = 1 2 Q ; X 2 = 1 6 Q ; 2 ) l l ¡ l - l A i l t 2 l = 5 A I

4.g,- En cl circuiro rle la fig. P.4.8, se sabe que la magnitud de la impedancia Z esde 5o y que absorbó una porencia activa de 2904 W. La potencia activasuminis'rraba ¡ror el gcnera<ior es 4e 4840 W. Calcular: a) impalancia Z, b)lnductancia L'si la reisión elicaz del generador es dc 220V., con o - l() ratl/s.

+g

t l r = l O r a d / s -

I

4 . 1 0 .

Fig. P.4.8

I Rcsp a) R = 3 f) : X = 4 O ; b) L = 0,1 henrios I

En cl circuito dc la I ' ig.P.4.9. cl gcnera(lor t icne una tensión rle 5(n V y

saSernos que enuega afcircuito una corrientc dc 20A con f.tl.p. ittductivtt. l-¿tporencia ntedia absorbida por el circuito cs de I kW y la rnagnitutl dc laicnsión entre B y C cs de 500 V. Calculiu los valores de Rl,L¡ V CZ.

I Rcsp R¡ = 160 (] : Lt = l? henrios; C2 = 5fXH pF I

4744?.5

, l . l l .

ELECTROMACNETISMO Y CIRCUN OS ELECTRICOS

FiS. P .4 .9

En cl circuito dc la [ ig. P.4. 10, el gencrador de tcnsión t iene un valor

instantánco : vg (t) = ^n 100 cos t voltios. Calcular : a) Tensión insr;anráneavgD(t) cn borncs dc la irnpcdancia Zy. b) Valordc la irnpcdancia Z¡. para Qucla tensión en bornes de L2 sea cero, c) Potcncia compleja suminisuada por elgcncrador cn las condicioncs clel apartado anterior.

v ( t lI

Fig. P.4.10

I R e s p a ) I O O { Z c o s ( t + l 8 0 r ) ; b ) Z ¡ = - j O J n : c ) S = 0 + j 2 0 0 0 0 ]

I. l 2.- En cl circuio de la fig. P.4. I I, los valores de las tens¡ones de los genenadoressort:

v-r = lü) {2 cos loo tó ¡vg2 = 100 {f .or (100 r + c)

Cl ' 2F I

C r=zF

L Z = O , 2 5 H Z t

t76

4 . 1 4 .

477

CIRCUMOS DE CORRJENTE ALTERNA SENOIDAL

4 . 1 3 .

I R e s p a ) o = 9 0 0 ; b ) - 2 0 + j

En el circuito de la fig. P.4.12,son:

V s l = 8 c o s ( t + 4 5 ' ) ;

F ig. P.4.1 I

Calcular: a) Éase cr del generador vg2 si se sabc que cnrcga al circuito ulta

porenc¡a acriva rle 100 W. b) Porcnciá complcja suministrada por el gencradorvg 1 al circuito.

r20 I

los valores inshnráncos de los gencril(ltlrcs

ig2=8 ./2 cos t I ug3 = I cos ( t "r 45o)

Fig . P .4 .12

Calcular: I ) lntensidad insunuinea i(t). 1) Potcncias i lcttva , tcactiva yaparente sutninistraúr por lil fuente dc tctrsión v*¡ al circuito.

I R e s p l ) i ( t ) = 4 r l z c o s ( t + 9 f f ) ; 2 ) P s ¡ = 1 6 W : Q e t = - 1 6 V A R ;

s - 1 6 { t v A l

En c l c i rcui to dcsofl :

la fig. P.4.13, los valores insfandncos dc lo.s gcncrildores

o , 5 F

i ( i l I?

E l- ECTR O lvtAC |.{ETI S N lO Y C I RC U ITOS E L EC-I' R I COS

rv B l = 2 A { 2 r o , l 0 0 t ; v g z = 8 c o s ( l 0 0 r + . 1 5 g ) ; i * i = 2 0 f r r r n l 0 0 r

A

+

4 . 1 6 .

4 . r 7 .

CIRCUIT()S DE CORRIEM'E ALTERNA SENOIDAL

Calcular la ¿.d.p, insnndnea enue los nudos A y B del circuito rle la [ig.

p.4. 15. ¿Que prrtenci¿s activas suministran los generüdores al circuito?

¿Dóncle sc disipan cstits potenci¿u? Compruóbcsc.

0 , o l l l c

u g l = l o V Z c o s l o O t

3 = l O V Z c o s ( l O O t + 9 0 o l

Fig . P .4 .15

lRcsp ¿ r ) vAB = l 0cos ( l f i ) t + l 35g ) vo l t i os : Pg l = tw t . l g l= 19 )Y '

pg3 = 100 w. Las porencias se disipan en las rcsistencias: Pcn(lo) = 25 w;

P n u ( l Q ¡ = l 2 5 W l

En la red dc c.a. de la f iguragenenadorcs s0n:

ugl = l0 'D cos l00t vol r ios

o , o l F

g l

4 . 1 5 .

F ig . P .4 . l3

Calcu l lr : I ) D¡ferencia rlc potcncii l l instantinca en bornes dc lares¡stencia de 2(}.2) Potencia activa y rcactiva suministratla por el generaclordc tcnsión vg2 al circuilo.

I Resp l) vUF = 4 f i tot (100 t + 90g) : 2) Pe2= * 40 Wl Qs! = - 136vAR I

En el circuilo de la [ig. P.14, calcular: a) D.d.p. insüantánea enue los nutlos By D. b) Porencias complejas sunrinistradas por los gcneradores.c) Potenciasco¡nplcjas en los elcmentos pasivos del circuito. Compruébese en balancc depotcncias en la re<|.

o , 2 H

Fig . P .4 . l4

P.4. 16, los valores insmnuineos de

: ig2 = 20 ̂ '[ 2 sen l ff) r a]npcrios

los

I Rssp a) vBD = l0 \ñ cos ( l0 t - 900 ) voltios: b)Sz = + j 400; St = 5[X) + j 200; S (l O) = 200 W;

U2 Q) = + j 1600 VAR; S ( i l l ) ) = + j 100 VAR;VAR; Sgen = Sreccpr = 400 W + j 700 VAR I

S 1 = - 1 0 0 + j 1 0 0 ;S ( 2 O ) = 2 0 0 W : Ss (- jza) - - j looo

o . o l H v , o l F

c + ñ , - D

= l O , € s e n l O O t ,

o , o l l l

Z 0 c o e ( t O t - 4 5 o )

0 , 0 5 F 2 l

lo V?senlot

l o

I O#cos I o t

2 5 T O , O I F

478

F ig . P .4 . l 6

419

4 . 1 8 . -

ELECTROMAGN ENSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

Calcular: l) Corriente instantánea que circula fxJr la rama BC,2) Potenciasacúvas y rcactivos suministratlas por los generadores al circuito.

I R e s p . l ) i g g ( t ) = 2 0 c o s ( 1 0 0 t + 4 5 o ) ; Z ) P e l = - 6 0 W ; Q S l = + 2 mVAR; PgZ= 320W ; Qg2 = 0 VAR l.

En cl circuito dc la [ig. P.4 .17, los valores instantiineos dc los generadorcsson:

CIRCUTTOS DE CORRIENI"E ALTERNA SENOIDAL

Fig . P .4 .18

En el circuito de la [ig. P,4.19, los valores instantáneos dc los genera(lorcs

son:

vgl = l0 dt cos lOt ; vs2 = l0 cos ry,

+ 45o)

iB3 = 20 sen (l0t + 135") : isa = t0 {2 sen l0r

rn * l = 4 0 ú s c n l 0 t v o l t i o s ; i s 2 = 1 0 ü c o s l 0 t a m p c r i o s

Calcular: l) D.d.p. insuntánca entre los nudos A y D. 2) Potencias activas yreacúvas suministradas por los generadorcs al ckcuito.

I Resp l) v¡p = 40 cos (lOt + l35o): 2¡ Prr = 800 W; Qr¡ = 8fi) VAR ;

Pr2 = 900W: Qg2 = '400 VAR l

4. t9.- En cl circuito dc la fig. P.4. 18, calcular: a) potcncias cornplejas su¡ninisuadaspor los gencratlores: b) potcncias activas y reacúvas en los clcmentm pasivos,Colnpruébese el balancs de ¡rtencia cn cl circuito.

I R c s p a ) S n r = l ü ) + j 0 ; S g 2 = 0 + j 2 0 0 ; S g r = 2 0 0 + j 0 ; b )P s 6 ( l Q ) = l ü ) W : P ¡ O ( l f l ) = 2 ü ) W ; Q ¡ s ( 0 , 1 H ) = + l f i ) V A R ;QgD( 0,1 H ) = + 2ffi VAR: Qnc(0,1 F) = - 100 VAR . SecompruebaqueSgcn = 3& + j 3ü) = S¡sgsp¡= I P¡ +j E Q¡ I

4.24.-

F ig . P .4 . l 9

Calcular: I ) D.d.p. instant¿inea entre los nudos A y B. 2)rcactiva suminisUada ¡¡or vg l.

Potcncia activa y

o{Zcos l0t

C

Fig. P.4.17

o , o 5 F o , 0 5

i . ]

4 ttO 4tf r

E L EL-Ttt OfvlAC N lif I S fvlo Y C I RC U ITOS E Ltú-f R ICO S CIRCUTK)S DE CORRIENI'E ALI'ERNA SE.NOIDAL

o , l F o , o :

Fig . P .4 .21

I t t csp . P ¡ = lm W; Q t r - IOOVAR: S ¡ = fOO ü Ve ;P2 = 200W ;

Q 2 = 0 ; 5 2 = = 2 0 0 V A ; P 3 = 2 5 W ; Q l = - 2 5 V A R ; 5 3 = 2 5 ñ . V A ;P4 = 50w ; Q¿ = 25W ; Sq = 55,9 vA. I

En el circuito electrico de la fig. P.4.22, se pide: a) d.d.p. instantánca entr€ losnudos A y B.b) Potenciüs activas, re¿lcúvas y üparentes suminisuaclas fmr losgene radores.

""= I f f icos lot

-2oEsen I Ot

-1.2 | .

1 .22.

i l {csp. l) v4¡¡ = J

El¡ el circuito tle lason:

rv l = 5 V 2 c o s l 0

ü . o , ( l ( ) t + 9 0 g ) ; i ) P E I = 5 0 W ; Q s l = + l m v A R l

[ig. P.4.20, los valorcs instantáneos dc los gcncradores

t volt iosi i2 - l0 ü sen l0 t ampi c: = 4 cos (10 t - 45")

4.23.

F i g . P . 4 . 2 0Calcular: a) d.d.p. instantánea entre los nudos A y D, b) potencia activa,reactiva y aparenle suministrada flor el generador vl al circuito.

[ R e s p . a ) v A D = r l 2 c o s l 0 r ; b ) P = l O W ; Q = 4 0 V A R ; S = 4 1 , 2 3 V A I

En cl circuito eléctrico dc c.a. rlc la figuraP.4.2l,los valores instantáneos delos generadorcs son:

i t = l0 .[ cos l0 r anrpcr¡os; i2 = l0 {t cos (10 r + 90o) ampcrios

vJ = l0 cos (10 r - 45") voltios; v4 = S tlt sen l0 [ voltios.

Cllcul¿rr las potcncias activas, rcactivas y aparcntes suministradas ¡x)r losgcncradorqs. Fig, P.4.22

[Resp . a ) vAB = l 0 cgs ( l 0 t - 135 ) ;J53,55 VA; PU = ( ) ; Qb = lm VARSc = 6fi) VAI

3 5 0 W ; Q a = 5 0 V A Rl 0 0 V A ; P c = 6 ü ) W ;

; S a =Q c = o ;

b ) P o =; s b =

o , ¡ H

v b = 2 o s c n ( l O t + l 3 5 o )

o , l F l g

o , l H I o , l H

Jtt2 "l g3

4.24 .

4 ,25 .

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

En el circuito de la fig. P.4.23,elmódulo de la f.e.m. del generador dc tcn.siónes dc 100V. La potencia acüva suministrada porel generador es de l0m W y

el nrútulo de la corriente I es l0\ñ amperios, de carácrer inductivo. a)Cafcular el valor complejo de la impedancia Z1'-b) ¿Curil es la magnitud de la

d.d.p. existente cnue los nudos A y B?. c) Tomando la tcnsión V6g comovector de referencia, calcular las cxpresiones complejas de las corrientes I 1e lZ .d) De acuerdo con la referencia anterior ¿cuálcs son los valores de lasf a s e s a y p ?

zf*J5

Fig. 4.23

I Resp. a)Zl = - j5 l t t ) | VnB | = l00V ; c) I l = + j20c r = 9 0 o ; F = 4 5 o 1

En el circuito dc la fig. P.24, los valores insünnuincos de los generadorcs son:

ri t = tO{Z scn lü ) t a tnpcr ios ; i z = l0ücos l f f i t amper ios

v = 1000 {t cos 100 t voltios.

4.26,-

CIRCI.,rTTOS DE CORRIENTE ATTERNA SENOIDAL

Calcular: I ) Conicnte instanuinea ia quc circula por el gcnerador de tc¡rsiún 2)

Potencia activa, reacüva y apÍrente suministrada por cl generador dc con'ientci2.

I R e s p . l ) i a = l 0 { 2 c o s ( 1 0 0 t + l 8 0 g ) ; 2 ) p = + l 0 k W ; a = } 1 0

kVAR; S = l0{T VA I

En el circuito de la figura P,4.25,los valores instanúneos dc los genera(loresson:

vl !É l0 ü cos t0 r voltios ; vZ* l0 ü scn l0 r voltieis ;i = 20 cos (10 t + 45') ampcrios

Fig.4.25

Calcular: a) d.d.p. ins¡antánea ent¡e los nudos A y B ; b) Poiencia complejasuminisrada por el gencrador de conienrc al ci¡cuito, c) Potcncia disipada en laresistencia de l().

I Resp.a)vAB = l0{f .o, (10 t + 900) I b) S = 2fi) + j lü) : c) P(lf l) =250W1

4,27 .- En el circuito de la figura P.4.26, los valores instantáncos de los generadorestle tcnsión son:

ul = l0 {f .u, t voltios; v2 = l0 {f ,rn t voltios

l,a potencia complcja suminist¡arla por cl gencrador vZ cs S = 250 + j150.C'alcular: | ) valor insl.antáneo de la coniente suminist¡ada por el gcnerador dei'ttensida¡J. 2) Potcncias activa, reactiva y aparenle sunrinistrada por cl¡cnerador ¡lc corriente al circuito.

c 2 = l o o ¡ t F L = r H

, l l l4

FiS. 4.24

4tf 5

ELECTRONIACNMSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

Fig. P.4.26

+ 4 5 e ) ; p = 3 0 0 W ;

C¡R(:'UTTOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

Calcular: a) d.d.p. insnn¡ánca entre los nudos A y B. b) Potcncia complcjasulninistrad¡ porel generador i¡ aI circuito.

f Rcsp . a )v , ¡ ¡ = t 0 {2 r rn l 0 t ; b )S = 2 f i ) - j 2001

4.29.- En el circuiul de c.a. rle la figura P.4.28, l¡ frecucncia dc los generadorcs es dcl02r hcrr rios. L¿ tensión instanuinea del gencrarlor de lensión cs:

T -vr = l0.rl ! cos lOt vokios. Si la potencia compleja suministraü fxtr eslegcncrador;tl circuito es: S = 2ü) - j 100. Calculan a) Coniente insnnuínea dclgcncrador lc intcnsid¡¡d i2 : b) d.tl.p. inshntiínea enue los nudos B y D.

Fig. 1.28

D

P.

.l.2tt.

I R c s p . l ) i = 3 0 c o s ( t

s = 3 f f i ü v A l

:1;:' circuito rlc la figura

i ¡ = 2 0 c o s ( l 0 t + J 5 o ) ;

i. l = l0 \ñ scn l0 t.

a - 3 m v A R ;

P.4.27, los valores instantáneos dc los Beneradores

Y1 = lo { t cos l0 t ; v3= 2o{ l cos l0 t

4.30.

I Res¡ r . a ) iZ = 20 cos (10 t +135 ' ) ; b ) vnD = 20 cos (10 t - 135" ) I

En el circuilo de la figura P.4.29,los valores instantáneos dc los gencradorcsdc te¡rsión son: -

v¡ = l0 ü cos 100 t vol t ios; vZ= l0 { t sen lü) t vo l t i t ls .

o , o l H

_ o r o l F

,t

4r37

o . o s F ñ O , l t l

¡ t¿ o; tJ il-'

486

Fig . P . 1 .27F ig . P . 1 .29

+

ELECTROMACNEI'ISMO Y CIRCUITOS ELEL-TruCUS

La potencia compleja suminisrada por cl gcncrador v2 cs: S = 250 + j 150.

C:rlcular: | ) valor instantáneo de la corriente suministrada por el gencrador dcintcn.sirla¡|, 2) tl.d.p. complcja ent¡e los nudos B y C. c) potencia disipada en laresistcncia de lQ.

tResp . t ) i = 30cos (100 t+ 45 " ) : 2 lVBC= 25 ' i 5 ; 3 )P ( tQ)= 50W I

4.31.- En el circuirode la fig. P.4.30. los valores insuntlneos dc los gencradoresson:v l = l0ús"n t vo l t ios; yZ = 50{7 .ot t vo l t ios; i = 20cos ( t+45o)arnpcrios.

F i g . P . 4 . 3 0

Calcular: l ) Valores dc la rcsistencia R en olunios y de la int luctancia L enhcnrios, para que el gencrador v2 entrcgue al circuito una potcncia activa de

5(n W y una potencia reactiva inductiva de 500 VAR. 2) d.d.p. instantáncacnue los nudos A y B.

i l { c s p . l ) R = l O i L = 2 H i z ) v A B = 2 0 1 2 c o s ( t + l t t 0 e ) |

4.32 . En cl circuito dc la f ig. P.4.31, los gcneradores son dc c.a. .scnoidal cle lamisrnil l'rccucnci¿¡. La cxpres¡ón insunuínea del gencrudor de corriente es :

ig = 20 cos (10 t + l35e). Si cl gcncrador de tensión no producc potcncia

activa y la ¡ntcnciil reilctiva que cntrcga al circuito es cilpacitiva y dc valor l(UVAR (cs tlccir S = 0 - j l(ru). Calcular: a) Tcnsión insta¡ruinca vg. b) Potcncia

cotnplcja suministrada fnr el gcncrador dc corrientc.

I R c s p . ¿ t ) v b = l ( ] { 2 c o s ( 1 0 t - 9 ( ) g ) ; b ) S = 1 5 0 - j 2 5 0 |

4 .33 .

CIRCUI-I'O.S UE C()RRIEN I t, AL I L,RNA SbI''IIJIIJAL

Fig . P .4 .3 I

En el c i rcui ro t le la f igura P,4,32,anrbos gcneradores t iencl r la nr is l l la

frccucncia. El vator instanuir¡co dc la conicntc dcl gcnerildor (lc i¡rtcnsicl¿ld cs:

ia = l0 1ñ cos 100 t ¿¡tllpcrios

o. o2l l

Fig . P .1 .32

sc sabe adcmás que la potcncia complcja sufninistradc por el gencra(lor de

corricnre al circuito S; = 900 - j 4(n. Calcul i l r : i l ) f .c.¡rt . inst i tr t tánca dcl

generador dc tcnsión. c) Cornprob¿lr cl baluncc dc potcncias cn cl circuito, cs

¿ccir la suma dc las potencias dc los gencrüdorcs cs iguir l a l¿r sutl la de las

pOtencias dc lcls rcccptores.

[Resp. a) vg = 40 \ñ scn 100 t: b) .Sb = 800 +j 800 ; c) S (gcncratlorcs) =

1700 + j 4Ó0 ; s ( l f)) = t l00 w ;,s ( l f)) = 400w ; s (5Q) = 5mw : s(0,02H)= + j2600; S (0,005 F)=' j200; S(0,01F) = - j l f iX) |

: ; ; : t circuito t lc la l ' ig. P.,1.33, kls valorcs ¡nstantáncos t lc los gcncri l( lorcs

4 tttt

4 .34 .

J ttg

.1 .35 .

ELEC Í'R0NIAGNMSMO Y CIRCUrrOS ELTC-I'RICO5:

vl = l() { t cos lü) r volt ios: i3 = l0 cos (100 r + J5")

Fig. P.4.J3

Sabiendo que la potcncia co¡npleja sunrinistrada por el gencrador cle tensión alc i rcui to es : S l = - 100 +j lm. Calcular : a) valor insuntáneo t le i2 ; b)

F)tcnci¿t complcja sunrinistratla por cl generador de corricnlc i3.

I Resp. il) ir = l0 \fi sen lffit ; b).S3 = 0 - j 500 I

la fig. P.4.34, los valores insranuincos dc kls generadores

r0 vof t ¡os; vZ= l0 ü sen l0 t vo l t ¡os;= l0 cos (10 t + 45q ) arnperios

l i¡r cl circuito ( leson:

v ¡ = l o { t c o s

4.36.

4 .37 .

CIRCUTTOS DE CORRTENTE ALTERNA SENOIDAL

Sabiendo que el generador de tcnsión v I enrega al circuilo una polcnci¿l acdva

de l00W y una porcncia reactiva inductiva dc 400 VAR. Calcular: a) D.tl.p.

insmnránéa vcE en bornes del generador dc corriente; b) valores de la

resisteficia R y caplci&d C de la rama AB del circuito.

I Resp. a) vCE =90ú. cos (10 r + 9ü ) : U¡ f t = I f ¡ ; C = 0, lF I

En el circuito de ta fig. P.4.35 se conocen los valores instantáneos dc losgenef:xlorcis:

vb = 5 ./t cos l0 t voltios; ic = l0 {Z scn l0 t amperios

F ig . P .4 .35

la porencia complc ja su¡nin is t rac la por v5 0s $ = l0 + j 40, calct t lar : l )

F.c.¡n. i¡rstanuinea del gencra(lor v,.2) Potencia t l is ipada cn la rcsiste¡tci i t dr¡

0,5Q dc la pane supcrior izquierür del circuito.

I Rcsp. l ) va = 4 cos (10 t "d50 ) ;2 ) 2W I

Sc tlis¡xlne del circuiro elécrrico dc la fig. P.4.36, cn cl que ambos gencra(lorcs

t icnclr la misrna frccuencia. a) Si la potenc¡a activa suministrada por cl

t

i3

o , l F

t')

Fig. P.1 .34

o , o l l l

o , 0 2 5 F

-r90

P.4 .36

'19 I

ELECTROMAGNENS MO Y CTRCUTTOS ELEC'I'RICOS

generador de tcnsión es de 8W con f.d.p. 0,447 intluctivo, dctenninar sutcnsi(in instantánea v ¡ si la intensitlad dcl gencrador tle conicnte en valor

insuntáneo es i2=2 {Z cos l0 t amperios. NOTA: tle las dos solucioncs

¡rusiblcs tómcse aquella quc dé lugar a una f.e.m. más pcqucña. b) calcular la

¡rotencia complcja enucgada por el gencrador de corricnte. c) Conrprobar elbalancc de ¡ntencias en el circuib.

I R c s p . a ) v t = 4 ñ . c o s l 0 t ; b ) S ( i z ) = 7 ? + j 1 6 : c ) S ( g c n c r a t l o r c s ) =

S(reccptores) = 80 + j 32 I

En el circuito de la figura P.4.37,los valores ¡nsüantáncos de los generadorcsson:

va = l0 ü cos t vol t ios; vb = 20 cos ( t + u) vol t ios ; ic = l0 ü scn t

afnpcr¡os.

Dcterminar: a) Valor de la fase o en grados,del generador dc tensión v5 , si sc

sabc (luc el genera(lor de tcnsión va no suministra potencia activa al circuito.

b) Calcular las potcncias co¡nplejas suministradas por los lrcs gcncradorcs.

Fig. P.4.37

I l { c s p . a ) f r - - . 1 5 o : b ) S a = 0 - j 1 0 0 t S b = 0 + j 1 0 0 ; S c = l ü ) + j 2 0 0 1

En la fig.P.4.3tf sc muc.stra un gcnerador vg que a través dc unt línca dcinrpcrlitncia 0,1 + j (),2 f ) (toul: it la y vucha) ali¡ncnh un rcccpror constiruidopor (tos cargils: u) l lu¡ninución incanttcsccntc dc 4 kW; b) Moror dc l0 kW de

492 49:l

CIRCUNOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

potencia mecánica, rendimiento del807o y f.d.p.0,? inductivo.Calcular :I ) l'ensión que debc aplicarse al exuemo generador vg para quc las carSas

tengan una tensión en bornes de 220 V .2) porencia reactiva de los condensadores conecüaclos en el cxtrcrno reccptor(vcr línca a trazos dc la [ig. F.4.38) para elcvar el f.d,p. ,lc! conjuntu tlc lasiorg* a la unirtad en el extremo receptor y capacidad necesaria si la frccucttciade la rcd es de 50 Hz; 3) potencia complcja al principio tle la línea(suministrada por rg) en los dos casos siguientes: a) sin conectar los

cordcnsadores, b) conec nndo los condensado¡es.

O , I + j O , 2 O

Fig. P.4.38

I Resp. l) rg = 239,28 V t 2) 12,76 kVAR: C = 839 ttF. 3) a) 174ffi + j

1a555; b) t7OO3 + j I 125 l.

4.40.- Un gencrador alimcnu dos cargas con las siguientcs caraclerísticas: l) lt'lotorde 5CV, rcndimiento del85% y f.rl 'p.0,75 inductivo (lCV = 736W);2)Grupo de sokladura de IKW: 1 = 8O%fld.p. 0,8 inrluctivo- Dcsrlc clgenerador hasta la carga l,la línea de alimentación üene una im¡rcrlancin de0,t+j 0,1 O. La impcdancia dc la línea ent¡c la carga I y la carga 2 es rle t).2 'rj 0,211. Suponiendo quc la tensión en borncs de la carga 2 es tlc 220 V, 50H¿.Calcula¡: a) Tcnsion en bornes de la carga I y a principio de línea (tcnsirin dclgcnerador) b) si en paralelo con la carga l. sc ¡nne un condensador r.lc 5fi) ¡rl:(la tensión cn la carga 2 sc su¡nne quc siguc siendo rJe 220V)¿Cuál serj lnpotencia conrpleja a principio dc línea. a la salida dcl gcncndor ?

[Rcsp. a) vl = 225,96V: ve = 232,55V I b) S = 8305 ' j l l58l

I ) C A U C I I Y ,

2) t joLJRlER,

3) GUI[-LEN.I[N,

ELECTROIVIACNETISN'lO Y CIRCUfIOS ELffTRICOS

N I O G R A F I A S

Augustin Louis (1789 - 1857), Matcm¿it ico francés. Ingrer;¡ i en 1805cn la Escuela Poli tócnica, donde tuvo como rnacstros i l Poisson.r\mpérc, Hachettc y Prony. Ingeniero dc la Ecole de Ponts etChuussées. l tofcsor dc la Pol i técnica ( l8l5), también cnsrlñó cn laSoborna y cn cl College dc France. Su obra princ ipal fue enmatcmiitica pura, pcro en ur¡ punto importante recayó cn la física.T'rabajó en cálculo diferencial e integral. Sc lc considera uno dc losf 'undadorcs dcl úlgebrd compleja (1821), ampliando denominacionesintroducidas por Argand en cl plano complejo. En l ' ísica, estudió laIncciinica (lc sillictos tlcformtblcs, la doblc rcl'raccirin ó¡rticil, la reflcxiónvírrca y rf lct¿i l ica, ctc. Conocía a la pcrfección el latírr y el griego.Fueuno tle los gr¿tndcs matcmáticos tlc su ticmpo.

Jcar¡ Baptiste Joseph (1768-1830) Matemático francés. Fue preparado

¡)am s¿rcerdotc pcro despuós estudió en la Acaclemia Mil iur (1789- 93).I'rol'csor cn la Politécnica dc Fortificaciones y Análisis Matenl¿ilico.Acornpañti a Na¡nlerin a Egipto en I798 y fue gobernador de una partetle esc país durante la ocupación francesa. Sus trabajos más im¡nrtantesse rcficren a la TcorÍa Analítica dcl calor (1822) que inspiró a Ohm arazonarnientos anólogos sobre el f lujo elécuico. En matemáticastlcsarrol ló procedimientos generales cle rcsolución ele ecuacionesalgebraicas, que arnpl iaron Navicr y Sturm. Descubrió el teorctna dcFouricr, quc dcmucstra quc cualquierosci lación perif t l ica sc puededesconlponer cn una su¡na de términos tr igonométricos, unodcnorlrinado lirntlamental y los demás armónicos dcl mismo.

Ernsr r\dolph ( l 89tt- 19?0). lngcniero germano-ilrneric¿lno. Estudió enla U¡rivcrsitlatt ctc Municlr tlonrtc fuc alulnno tlc Anrold SclmrncrÍbld. En19?6 sc rrasladó a los EEUU y fuc conralado como prol'csor deingcnicría cléctrica cn el MIT (Massaclwsetts l¡tstitute of T'echnology),tlontlc pcrmancció cl reslo de su vida. Inicialmente ensef,ó máquinasclécrr icas, pcro cnsegu¡da sc pasó a la rama dc comunicacioncsinf lr¡cnciado por los profcsores T.E. Shea y E.L. Bowles. Entrs loslños 193 | y 19.15 cscribiri un texto sobre rcdcs dc ctxttunicacioflcs quc

incluía dos lonros: cl primcro sc dcdicatla u la tcoría clásica dc rcdcs conpariirnetros conccntrüdos y e I scgundo trauba la teoría clásica de las

l íncas lnrgas, [ i l t ros y rcdcs con parátnetros d ist r ibuídos. Suconrribución i l la tcoría de circuitcls l 'ue enorrne publicando varios

textos sol)re csta m¿ttcria dotados de un alto contenido ntatemático y(luc lucron arklptirdos como tcxtos püra la cnseñar.z.u dc rcdcs cléctricascn muchas univcrsit lat lcs dcl mundo. Como prol 'csor cra inimitablc,

cnscri¡b¿¡ con l¿urto cntusiun¡o y clarirJ¿ld quc provocab¿l la atl¡niración tle

sus alt¡¡nnos, lrucicndoles amaf su i tsign¿¡tura. Ft lc profesor t leprolc.\()rcs. que r l i l 'unt l ieron a.su vcz sus cnscñonzüs por to(las las

tu¡ivcrsit t ; .r t lcs t lcl mr¡nt lo. Mctlul la dc l t t lnor t lcl IRE y medalla t lc

II

III

CIITCUTTOS DIi CORRIENTE ALTEITNA SENOIDAL

4) JENKIN,

educación t lcl { lEE. A modo de argumenlo y para comprender st¡in tu ic ión y c l : r r idad de ntcnte, s i rva la opin ión de Bowles quc

considcruba a Ci¡illenlin conlo un dispositivo adaptador de intpeduncktsenue cl gran gcrio nratemútico y padrc de la cibernéüca Norbcrt Wiencrdcl MlT, con cl ,'csto dc los catetlráticos dc esa institución.

l lenry Char les Fleeming ( 1 833- 1885). Fís ico inglés. Estudió enEdimburgo, Pa¡ís y Cénova. Entrc 185 I y l8ól trabajó en diversüsernprcsas britáltf cas dedicad¿ts pr¡ncipalnrente ül diseño y fabricación dclos primeros c;¡blcs submarinos. E¡r l8ól formó su propia emprcs:tconsultora a l;¡ que se asoció nl¿is urcle Will iam Thomson (LordKelvin). Fuc nornbrado perito por la Comisión Real de Telegrafíasubmarina y per,enecía al Comité tle patrones elécuicos de Inglalerr¿I.En 1865 sc le nombró catedrát ico de ingenier ía c léctr ica cn c lUnivcrsity Coll . ,ge dc Londres y nlás tardrr en 1868 para la nrisnraas¡gn¿¡tura en E,l i l rrburgo, Junto con [,ord Kelvin invcntó ut i l Ísimt¡saparatos ¡)ara ta rclcgrafía sublnarina y un sistc¡na dc ransporte aérco llque dió el nombrü de tclphcrage.

Arthur Edwin (1861-1939). Ingcnicro e lécuico anglo-ame; icano, qt ¡e

nació en Colaba llndia) Desdc rnuy jovcn se inrcresó en la elecricitlatf y

se hizo telegrafisra (1877). A los vcinte años l legÓ a los E.E.U.U. y

trabajó como ay;tdonte de Edison. Catedrético de ingeniería elécuica enHarvarrl rlesdc 1902 hasta su rctiro cn I 930. I ntrodujo juntct conSteinmetz el ccí|,:ulo complejo en el estudio de los circuitos de c.a. Araiz tte la ranl;misión hecha por radio por Marconi en 1902, dcstlcInglatcna a Tc¡rünova, postuló la existencia de una región ionizada etlla irlta attnósfe¡a cüpaz de retleja¡ ! .'i . la ücna las ond¿¡s de ratlio. Algotlcspués, la n:isma ex¡ll icación l 'uc indcpendientemente sugcrida purtlcavisidc (ca¡la dc Kcnnelly-Hcavisidc conocida hoy clía co¡¡ro región 13de la ionosf cra).

Wi l l iam ( I S23- l883). Ingenicro germano- inglús. Fue uno r le losmicmbros de una silga alemana dc invcntores dc la que su her¡natlomayor Werncr fuc fundatlor. Sicmens (entonces todavia Karl Wilheltn)esrudió cn Magdeburgo y Cótinga donde tuvo como prolbsores aWlrólrler y Willrelm Wcbcr. So uasladó a lnglaterra cn 1842 para uatarde intro(lucir al l Í un proccdimicnto de galvanoplastia que su hermilnoWcrner y é l habían invc¡r l tdo. Se quedó cn e l Reino Unidt¡nacional izánt lose inglés en 1859. Micmbro de la Royal Socicty y

prirncr Prcsirlcilte dcl tEE ( lnsrituto de ingenieros eléctricos ingleses).Realiz.ó csturlios para mcjorar el rcndimicnto de las nráquin¿Ls de vApor.Creatlor dcl nrútodo dcl horno de rsvcrbero pilra la lundición clcl hicntl yquc sustituiría con cl tienrpo 0l tipo Besscmcr. Pionero en el desarrollodc ll lucr¡¡¡rotora elóctrica, en la instalación dc cablcs uansocuinicos ycn la ¡ncjorü tlc gcncdorcs cléctricos.

5) KENNELLY,

ó) STEMENS,

7) STEINMETZ. Chules Protcr¡s (1865-1923). Ingenicro eléctrico gcnnano-itmcricatto.Estutl it l cn Brcslau, Bcrlín y Zuriclr, A los vcinticuuro años cntigrti a

.194 495

ELECTROMAGNENSMO Y CIRCInTOS ELELTRICOS

los E.E.U.U. Cuando se hizo ciudadano americano cambió cl nonrbredc Karl ¡nr Charles y le añadió cl de Pnrtcus (scmidiós griego que tcníacl don tle mcmmorfosearse) para indicar su cambio <le nornbre ynacionalid.rd. En 1893, se incorporó a la rccién crcada Ccneral Elcctriccn Schnecudy, en donde permanecié cl resto ric su vitla. escribió ungran número de libros de ingeniería elócuica. Junto con Kenellyincorporó el método simbólico (números complejos) para facilitar elestudio de los circuitos de c,a. . Se le acreditan unas doscienlas patentcsde inventos en todas las ramas dc la ingenicrla eléctrica.

8) 'l'lIOMSON, William, Lord Kelvin (ltl24-1907). Maremático y físico esco,cós. Fue

un niño prodigio cn Maremáticas. Estudió cn Glasgow y Cambridgc.Al acabar su carera pcrfeccionó estudios en París con Regnault. En1846, cuando conuba sólamente veintidos años se encargó de la cátedrade filosoffa natural de la Universidad dc Glasgow, quc había dcdescmpeñar por espacio de cincuenta y tres años. Sus trabajoscjercieron una gran influencia en el progreso de la Física cn la segundamiud dcl siglo XlX. La mayor partc de sus invcstigacioncs sercalizaron en cl campo dc la termodinómica y la elcctricidad. Propuso lacreación de la escala absoluta dc lcm¡rraturas, dió una dc las mcjoresfórmulas para cl cálculo de los efcctos rérmicos debidos a lacompresión, la expansión en gases, ctc. Inventó gran núnrero dcaparatos de laboratorio para la medida de magnitudes elécrricas. Susc.studios fueron de una gran ayuda para la colocación dcl primcr cablct¡ansatlántico para telcgrafía (18ó6). Introtlujo el tcléfono de Bell enGran Brctaña. En 1892 rccibió el título de Lord Kclvin. Le enlenaroncn la abadía de Wetminster, al lado de Newon.

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496

t8)

te)

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,Ig7

CI RCTJITOS'I ' 'R I I IASICOSY

COM PONENTIIS SIM ETITICAS

CAPITULO

5

5 . I . I N T I T O D U C C I O N

En el apnrrado 4.2, se ha visto cotno se puede generar una te¡tsiórtalterna senoidal, cúando una bobina se nlueve dentro de un catnpO magnétictl.La aparición cle est¿t tinica ond¡ alterna, trlce que sc denonline esta Ináquinil:gencrador monof¿isict¡. Si el número de bobinas en el rolor se incre¡nentade una forma especial , el resultado es un generador pol i fásico queproduce nliís de una onda al¡erna en cada revolución del rotor.

los sistemas polifisicos'tueron inventados por el ingeniero croírlo-americano Nikola Tesla en 1888, la base del mismo era el descubrinliento rlclmotor asíncrono polifiísico. George Westinghouse compró las patentes deTcsla y el impacto del nuevo sistenra tuvo lugar en la Exposición Mundial tleChicalo de 1893, donde se presentó un generador bifdsico que sunrinisrrabados teñsiones desfasadas 90e en el tiempo n base de acoplar en el nlismo eje¡necdnico dos nltemadores monofiísicos "decalirdos" 90s entre sf. M¿Ís tarde laEmpresa West inghouse obtuvo en 1893 el pernr iso para construir en lascat¡iratas del Niágara una cenlral hidroeléctricíl (lue se equipó con ahcmatlorusbifásicos y que enrró en servicio en 1896 (disponía esta central de diczalternadores bifisicos de 3500 kVA cada uno). Europa a través de laConrpañía alemana AEC consruyó en l89l la primera línea de_¡ransPqrrctrifiiiica del nrundo con nrotivo de la Exposición Internacionalde Electricichdde l:rankfort. ( Ln li¡ea tenía l75km de longitud y unía las ciud¡des illenlattitscle Lnuffcn y Franktbrt. Se instaló la centrll e n el río Neckar cerca de Laufl'cnque disponía de dos ultcrnadorcs rrifúsicos de 210 kVA. El proyecto ftrerealizado por el ingeniero dc la AEC: Michirel Dolivo-Dobrowolsky; lr:salternadores fuero¡t construídoS por lit Corrrpañía suiza Oerlikon y fuerondiseñatlos por C.li.l-. Ilrown, t¡uien posteriomrente t'undaríu a finales de l89lla hoy conocida rnultinacional suiza lJrorvn lloveri ).

En este capírulo se estudiar¿ín únicamente los sis¡emas trifi isicospuesto (lue son los t¡ue con mds frecuenciu se utilizan en la generació¡t,i ransporie y disrr ibuóión de energír eléctr ica. La ventaja de los sis lemlsrrifisicos puedcn resurnirse en las siguientes propicdades:

41)9

CIRCUI f()s ] 'RII;ASICOS Y COIVÍ I\JNEN I L5 SI}IL I I(IC¿\SELECTROMACNE¡ISMO Y CUTCUNOS ELEC'TRICOS

l) Pura trünsponar una determituda energía, d una ciertu tensión,el sistetna trifiisico es mtis econó¡nico que el sistema monofúsico, a igualdadde potencid il ¡ruilsnr¡ilr e igwldud en lar pérdidu en el cobre de Iu líneu, yaque sc obtiene un ulwrro en el peso de cobre de un25?o.

2) La potencia instantdnea de un sistema trifilsico es constante,indcpancliente del tiempo, por ello los ¡notores riftfsicos tienen un purubyilutanrcnrc wúÍorme, b t¡te evin ¡tibraciones y esfuerzos en el rotor.

3) Los monres rifilsicos pueden arrancer por sí ntismas, sittenúxtrgo los ntobres monofósicos necesinn dispositivos especktles paraconseguir su arrdnque.

Existen tanrbién en la actualidnd sistemas bifrísicos que se enrpleanen scrvonrecanismos, en aviones y barcos, para detectar y corregir señales derunlbo, indicación de alerones, etc.; sin enrbargo en la mayoría de los casos,cuarrdo se necesitan siste¡nas mono o bifásicos, se consiguen u¡ilizando deur¡t for¡nn adecuada los sistemns trif¿ísicos. Las instalaciones donlésticas o de¡ret¡ueña entidad son monofásicas, pero esto no supone mds que unarlcrivución del sistenla trifásico.

El número de tensiones (fases) que pueden producir los sistemaspolifásicos no es¡ii limitado sin ernbargo a tres, y asl existen algunos sis¡emaseléctricos que trabajan con mds rendimiento si se aumentan el número defases, este es el caso del proceso de rectificación (conversión de la c.a. enc.c), donde se ernplean sistenns hexnfdsicos y dodecafrísicos par¿ obtener unasalida de corriente continuu de mejores prestaciones (con menos rizado, esdecir con menos componente nlternn). Como quiera que como sc ha indicadol:r generación y transpor¡e de energfa se realiza por medio de sistemastrifi isicos. lir tbrnu de obtener ó y l2 t'ases es por nredio de conexionesespcciales en los translbrmadores (nríquinas eléctricas que se ernplean paravarinr lls tensiones en lm redes eléctricas).

Parn conrpre nder el funcionamiento de los sistemas e léctricos de¡rotcrrcia cs por lo tilnto esencial, tcner una buena tbrmación en circuitostriftisicos. Afortunadamente. las técnicas utilizadas en l¡r resolución tlecircuitos rnonofúsicos estudiadns en el capítulo anterior pueden aplicarsedirectnrnente a los sistem¿rs trifiísicos. Es nl¡is. en muchos casos. los circuitostrifiísicos se pueden reducir í esquemüs monotisicos equivalentes, lo queI ¡rc i I it a cxtrerni¡damente los ciilculos priícticos.

5 .2 ( i l iNEI I¿ \CION DE TENSIONES TRI ITASIC¿\S

' Consideremos el esquenra de la fig. 5.1, donde existe un inrín N-.S fi.io .v dentro rlc él un cilindro (rotor) que se mueve a la velocidad angulur

5(X)

^ t l ' . l r f t t

.-.

Las expresiones instantúncas de

vAA, (t) = {2 V cos crlt

vBB, (t) = {2 V cos (ox -120o)

vCC, (t) = {2 V cos (ox - 240o) =

l ^E^

'r,\F i g . 5 . l

or rad/s accionado por un sistema nrecdnico exterior. Este rotor tiene arrollado

sobre él tres juegos de bobinas constituído por los de_vanndos AA', llB' yCC'que están separados entre sí l20o en el espacio (A,B y C representan losprincipios de lai bobinas y A', B' y C' los finales correspondientes). Conroi¡uieri que las tres.b-qbitlirS-l-¡gl-e4-el-g¡lgr.¡e..qlggq 4g..g¡p.ilf s' y qqdq Un4. de

e I I as gj¡q-qqLl a-rnisma-v etoc i.{ir{-Ugg-bf g, !alg..¡1. i ndu c id a e n c ad adevairáclo, rend¡é-El-rnig¡.np--v-alorde-pic-9,--!.9-.¡nisma-tbrma y. la-misntafrecucncia. pila cada arrolla¡niento, se obtendrá una onda' que corllo sabemosrendiú la forma tqgojdgl, y de ral modo, que las tres tensiones resultantgsestariín desfasaiiás l20o en el tiempo. En la figura 5.2 se han representadoestas tréi'iéñiióncs' sé'háTtiiiuésto que el tiempo ! = 0 la tensión en la bobinaAA' es mórj¡nalo que coresponde piua el caso de la fig. 5.1. el momento enel cual la superficie de la bobina AA'es horizontal).

estas tres lensiolles seriítt:

( s . l )./2 V cos (rot + 120")

cada devanado en el que se produce una tensión sinusoidal se denot¡rina I'ASEy de ahí que el siste¡na aquí cstutliado se denontine generador trifásict¡ (noconfundir lu palabra l'ase, cn el sentido que aquí se intlica. es dccir conlocomponente de u¡la tlc las te nsiones generador¿¡s, con iingulo de tlse tle utlitfunción senoidal, que se denomina tanlbién abreviadanrente fase¡ (') .

(t) Lu prl"bru flsc sc lplica t¡mbiin l otros conccptos quc rpareccrán cn cl capítulo. ¡nr lo que

debc intcrprctarsc cn c¡da n¡()mcnlrr scgún su conlexto.

50 1

E l .ECTR( )lvlA(l N ETI.S [lO Y C I R(l tJ ITOS E L ECI'R lC( )S

* ¡ ¡J t

CIRCUMOS TRI FASICOS Y COM I{)NENI'ES SINIIJTRICA.S

Obsérve se en la fig. 5.2 qtre en cualtluier instante de tient¡rtl sccurnple t¡ue:

v¡a'( t ) +v6s'( t) + v6g,(t)=0 (5.3)

es decir la st¡ma de los valores instantineos de las tres tensiones es, en carl¡tn'¡onlento igual I ce ro.

La et¡uivalencia de la ecuación (5.3) en vi l lores thsoriales es:

(5 .4 )\. l

/./ ' .

a

Il 2 0 g I

I

I

VAA '+ VBR ' + VCC ' = 0

lo que se l¡ace nl¡ís evidente en el dingranta fasorialde la.fig. 5.3 (Obsérveseque por ejcnrplo l ¡ t strnrn de Vgg'+ VCC,es igual a 'VnR', por lo que securuple 5.4 en cadn ¡notnento considerado, ya que loS fasores giran a h tl¡isllla

velocidatl or, perrnaneciéndo invariatlle su posición relativa).

El orden en el que se suceden los valores máximr¡s tle lastensiones de cada una de las t'ases de un generador trifásico se denrlminasecuencia de fases. Con el rotor del generador girando según se indicu cnla fig. 5.1a, h secuencia de fases es ABC. Es cvidente que !ise invicrte elsentido de rotrción del generador, l¿r secuencia de fases tambié¡t se invcrtir¡i.Como quiera, sin embargo, que los generadores siempre giran en el n¡isrl¡osentido, la frecuencia de t'ases seri invariable y debe señalarse de ttna fonrtaadecr¡ada. Un nrodo sinrple para determinar el sentido de sucesión de fases csrecurrir a la representación t'asorial. En la tig. 5.4 se rePfesenton los fasores rletensiones de dos sistemas trifisicos. El esquenra de la fig. 5.4a correspondt: uun sentitlo de sucesión de fuses: A,B,C. Téngase en cuenta tltte los ft¡so¡cs

giran n una velocid¡rd angular <o en el sentido contrario a las agujas ctel reloj,por lo quc un observador situado en unt posición fija (por ejemplo en el c.iereal) veiá pasiu los fhsores de la tig. 5.4aen el sentido ABC, ¡nientras (lue.cnel caso tte la fig. 5.4b la secuencia ser¿i ACB. Se dice entonces que lit sucesitit¡de fases dc la fig. 5.44 es de secuencia clirecla o positiva, nrientras t¡uc clesque¡r'l l de la tlg. 5.4b corresponde a unil secuencia inversa o negativa(e¡i detiniriva esre últir¡o caso es cquivalente n una sucesión ABC en el se ntitlohornrio, i¡lverso o negativo). La secuencia de lines es de vital importattcia cttlos sisremas de dis¡ribución de energía cléctrica, ya que dcterminan el scnlirlode ro¡ación de los nrotores trif¡ísicos. Por ejemplo si se intercanrbian tltlstcnsioncs de tlse, se cantbiarii la secuencia, por lo que sc invertiri el scntirklde qinr del nlotor.

l 2 0 e .'4Fig . 5 .2

l-a represen tac ión fasorial de lasrn( )s t r i ld l cn l¿ r f ig .5 .3 , que cor responde arlratcnl¿itic:us:

V A A , = ! e J O = V / 0 s

V B B , = ! e J l 2 0 o = ! ¿ - 1 2 0 o

VCC'= ! e+j120" = Y l+ l 20o

tensiones anter iores es lalas s iguientes expres iones

(5 .2)

u ¡ ¡ '

\

\

Fig. 5. .3

El con. iunto t le tensiones (5.1) ó (5.2) const i tuyen un ; istemadcno¡lrin¡ulo sirnétric¡¡ yn que cst¡i lbnnndo por tres tensiones senoirl¡tles del

nris¡no v¡rlor eflcaz V (tl rnrplitucl miíxi¡nn Vm = J2 V), tn misnla frecuencia ytlesths¡ulos i 20" enre sí,

-502 503

E LECTROI\TAGN ETI.S M() Y CIRCUITOS ELE�TRICOS CIRCUITOS TRI FASICOS Y COM K)NENTES SIMETRICAS

:r;"v ¡ l '

I n ' r i r ' I r :

Fig. 5.5

Es evidente c¡ue si las tensiones genertdoras constituyetl ullsistema simétrico (ecuacioncs 5.2), y adenliís se cuntple la igualdad de lasimpalancias de carga:

Z A = Z B = Z C = / , = / , / . 9 (s.6)

entonces las corrientes (5.5) serán todas iguales en valor absoluto, y

desfasadas en el mismo ángulo q respecto a las tensiones correspondientes ypor lo tanto separadas l20o enúe sí, tal como se muestra en la tig. 5.6. De

O B S E R V A D O R

flr

a l b )

Fig. 5.4

El generador trifásico de la fig. 5.1 se representa generalmente porIres generadores de tensión con los valores señnlados en (5.1) ó (5.2), cle talnranerfl t¡rre cadn uno de ellos se puede utilizar para ulinrentar sendasirrrpcdalrcias de carga: Z¡,Zg,Zg, tal cotno se nruestra en lu fig. 5.5, en la(lue se han expresado los valores f'asoriales de tensiones y corrientes (") Se hautiliz"ado en esta figura la simbología de doblc subfndice comentada en elcupítulo 3. Recuérdese que de acuerdo con esta nomenclatura, una tensiónV,q¡'representa la d.d.p entre los tenninales A y A', o de A sobre A', lo t¡ueindica que A se toma con polaridad positiva respecto de A', lo que ademúsestá de acuerdo con el sentido físico de generación de rensión en losdcvnnados de la f ig.5. l , puestoque A, B y Crepresentan los pr incipiosdelas bobinas X A', B', C', las finales correspondientes.

El circuito rifúsico de la fig. 5.5 en el que cada fase del generadorest¡í unitJa a un receptor independiente de los dem¿{s y por nredio de los con-ductores se denomina circuito trifásico independiente. Es evidente queesta disposición ret¡uiere un total de seis conductores piua transnritir la energíadcl gcneraclor a los receptores. En los epígrafes siguientes se antlizarún Co-ncxiones específicas que reducen el número de conductores para unir el gene-rndorcon la carga, haciendo nrús económico de este modo el transporle deer¡ergrÍ1.

zo

u ¡ o 'u n o '

O B S E R V A D O R

uo ¡ '

En el circuito de la f ig. 5.5 se disponenlüllns independientes, dando lugar ir unas coffientes

por consiguiente, de tresde circulación:

Y ..,-,Ic = -?: (5.5)

"cIR=+. I B = * ,

('l l ',rr sinrplici¡lo<l sc h¡r consirJcr:rdo dcsprccírblc h inr¡redancia tlc las líneas rJc unirin: gcncrador-s i r f s i l .

-50-l

Fis. 5.6

ores fasor ia les de las los generadores

( s .7 )

este r l lodo lr : .s va I

1 6 + l g + I C = 0

cornen tes por

5( )5

ELECI'lto[{AcNH'lSlvl() Y ClltCUf[OS ELECTRICOS CIRCUffo!; l 'Rl FASICOS Y CON{ I{)NENf ES SllYl Ll'RICAS

5.7 se han designado los de éste con las mismns letras pero primadas " ' 'r (r)t r cn vÍ l l t l r i ¡ rs t i ln t i ineo:

i ¡ ( t ) + i B ( r ) + i s ( t ) = 0 ( 5 . 8 )A : R F A S E R

sc tlice entonccs t¡ue las tres impedancias de carga (que según (5.6) sonigrnles en nuidulo y fase ) constituyen un sistem¡ equilibrado.

Si lns inrpedancias dc carga son diferentes en nródulo y (o) fase,hs tres corier¡tes (5.5) senin desiguales por lo que l:r su¡na (5.7) ó (5.8) serádiftrente de cero, se dice entonces que el receptor representa un sistemad cse q u i l i l l ru do .

Iin lo que sigue se supondrii que las tensiones de generación sonsicrn¡rre sirnétricits (condición 5.2) y sc harán estudios paniculares para lossistenras equilibrados y desequilibrados en función de que las inrpedancias decargil se¿ul igualcs o no, Desde un punto de vis¡a analí¡ico, los sistemasequilibrados reunen grandes ventajus, ya que lo que sucede en una fasc, serepite en las otras dos con unos desfases de + 1200. De este nrodo, essuficier¡tc rerlizar los cilculos conrpletos püra una sóla fasc, lo que representarrabajar con el denominado circui to equivalente nronofásico. Lossistenras desequilibrados sin embargo, al no tener estas propiedades desinretría, requieren un n"¡ilyor esfuerzo analítico, ya que deben realizarse loscilct¡los sinrul¡iineamente para las ires fases. Afortunadamen¡e y como yavere¡¡ los, los sistemas reales son pr i lct icamente equi l ibrados, lo quesinrplificarii enornremcnte los cálculos de los circuitos triti isicos.

5 .3 CONEXION EN ES'TRELLA EQUIL IBRADA

Un procedinriento para reducir el número de conductores que unenel gcncrldor co¡ l c l receptor (clrgl) de la f ig. 5.5, es ut i l izar un únicocon(luctor de retorno en lugar de los tres señalados, conectando a él losrermi¡lalcs ll¡rales de todas las fases del generudor y de los receptores. En lahg. 5.7 sc nl¡cstril el circuito conespondiente ( en el que se han despreciadohs inrpcduncias de las línens de unión entrc el generador y la curgn). Se diceentonc€s quc tanto el generador conro el receptor estún coneclados enE.S'tftUl-LA (y se simboliza con la letra Y). El sistenn de la ftg. 5.7 constituyeun¡ rcd rr i t¿is ica estrel la-cstrel la (Y-Y) de cuatro conductores. Los tresconducrores externos se denonrinan conductores de fnse y el de retorno sella¡na conduclor neulro. Por convenio internacional, los conductores defase se tlesignan por las letrns: R, S y T y cs la nomenchtura que se haexpresaclo en la fig. 5.7. El tenninal A corresponde a l¡ fase R, el B a la S y elC a ln'l '). l l l neutro se designa con la lera N (que es el punto común de A', B'y C') para tlistinguir los ternrinales entre el generndor y e I receptor, en la fig.

FAsE T I, -+

Fig. 5.7

Se denonl inan tensiones simplcs o tcnsiones de fasc, l i tstres tcnsioncs VRN, VSN y VTN, de nródulo Vp medidas,entre ca( laconductor de fase y i:l punto neutro de la fuente (y son,equivalentes a lnstensiones VAA,, Vss'y' V66,, del esquema de la fig. 5.-5). Sus expresiottcsfasoriales pCra un istema simétrico directo, tomando la fase R co¡ltoreferencia, ierin de rn modo análogo al indicado en (5.2):

VRN = '/p eJ0o = VFl0o = VF

v s N = ' r , r p g - l l z 0 0 = y r z - | 2 0 0 = v e ( - l - : # l ( 5 . 9 )

V ' N = V p e l l 2 o g = Y F l l 2 g e = u r , - l . . . ¡ f ,

generalmente el punto neutro del generador se ¡oma como potenciitl rlcieferencia y suele estar conectado a ¡ierra por lo que VN = 0.

Se denominan tensiones compuestas o tensiones de l íncn,las te nsiones nredidas e¡ltre dos conductorcs de tbse: VRs ' VsT y V1¡¡. Lastensiones co¡npuestas se pueden expres¡rr respecto a las tenSiones silnplcsdando lugar a las siguientes rclaciones:

In ---f

fr'.

,]:"LF A S E 5

no considcrar l t int¡rct lancia dc la l i¡rea, los puntt ls R y R', S y S'. ' l '

ncccs¿rr io cst i t t l is t inc ión.

s 'C = T

( * ) En c l caso dc l l f i g . 5 . 7 a ly T ' , N y N' coincidcn y no cs

vt,n

A ' ¡ B ' r C ' r N

506507

ELECTROMACNE]]S MO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

V p S = V R N - V S ¡ ¡VSf = VSN VT.NV f n = V T N - V n N

Las di ferencias (5.10) se pueden obtener de untenicndo en cuenta (5.9) y así resulta:

vns = !Rr* r - vsn - vp - Vp ( - r - ¡ f t

es dccir:

= fi

3 0 0 = f i ( V ' e j 0 u ) s j 3 o e =

(5 . l o)

lns relaciolres nnteriores se determinan de un modo inmediato aplicando el 2alernl de Kirchhoff al circuito de la fig. 5.7.

= ./3 VnN e j 3oo

nlodo anillítico,

) -

( 5 . 1 l )

(5 . I 2 )

= ! r ( * . j f

vp( + * : * r

vns= . / 3 V r , ( f . i j ) = f i V p e j

y de un rndo aniilogo:

VsT= 13 Vrs ' j90o= {3 (Vpe- j l20a¡6 j30c={3 V5¡ e j 300

V . r R = { 3 V p " + j 1 5 0 0 = . / 3 ( V r e ¡ t 2 0 e ¡ e j 3 0 o = { 3 V ¡ ¡ e j 3 0 q(5 . I 3 )

e¡r la fig. 5.8 se muestra cl diagrama de fasores correspondiente, en el que

Ir a d l o , ' / t , f i v r

Yst

F i g . 5 . 8

5()tt

r a d i o = V F

509

CIRCTJITOS TRI FAS¡COS Y COM PONENTES SIM ETR ¡CAS

¡rartienclo de las tensiones simples (5.9) y aplicando (5.10) se obtienen losiesultados (5.12) y (5.13). Obsérve se tünto en las relaciones analíticus cttrrrofasoriales que lai tensiones de línea forman también un sistema trifásicosimétrico que cstii adelantado 30o rcspecto q l-as tcnsiones sinrples quecomienzan'por el nrismo índice. Asf en ia fig. 5.8 se observa que vp5. esliíadelanmda iOo respecto a la tensión simple Vp¡, lo que confirma el cálculoanalítico expresado en (5.12); del rnismo modo V51, 1ó V'*) estii adelantado30o respecto de V5¡ 1ó Vry). El módulo de las tensiones tle línea V¡ cs

según se muestra en (5 .12) y (5. l3) f i veces el rnódulosinrples, es decir:

v l = { 3 v p

Vp de las tensiones

donde Vt= lVRSl= lVSTl= lV tR l y Vp= lVRNl= IVSNI= lV t 'N l

En las redes de distribución españolas, el módulo de las tensionessimples estú normalizado en 220 V, por lo que según (5.l4) l¿rs te nsiones dclíneir (cuando los generadorcs o transformadores está¡r conectados en estrella)

tienen un módulo de 220,[3 = 380 V. Existen aú¡n dreas rurales antiguas, enlas que la tensión simple es de 127 V, lo que corresponde a una tensión de

línea de 127.r/.1 =220Y. Cuando se caracteriza una línen por uno sola tensión,se refiere sienrpre a la tensión de línea. Así se dice: una retl trif¡isica de

380V (que da lugar a tensiones simples de 380/{3 = 220Y).

Si las cilrgas de lil red de la fig. 5.7 son equilibratl¡rs se tenclrii:

Z R = Z S = Z T = Z * Z / V = / , " 1 q

( s . I 4 )

( s . l s )

conro el generador y las cargas están unidos por una línea de irttpcdanciadespreciable se cumplirií:

VnN = VR'N' ; VsN = Vs'N' ; VrN = VTN' ( 5 . 1 6 )

las corrientes I¡ , 12,13 de la fig. 5.7 que circulan porcada fase de la cargase denominan corrientes de fase. Los valores correspondientes se obtienenaplicando la ley de Oh¡¡r en alterna y teniendo en cuentil (5.16) resultando:

r Ysu - Ye-9t']r l ZR Z eJg

r- ]fuN - vr-:-i.'11'1 2 = Z { = w =

VF_Z e j ( o o - q ) - l F e - i q

+ e j ( - l 2 o g - r p ) = l F e - j e e - j l 2 o a

ELECTROT}|AGN ITI S M() Y CI RCUrIOS ELEC-IRICOS

, V - t N V p c j l S o ¡ V F i / lt r = d; t =t-?f t - =

t c j (1200' tp) - I re ' j 'P s¡120u(s. l7)

lo r¡uc indici¡ t¡ue las corrientes de fase del receptor conectado en estrellatbnnan un siste¡na trifrisico equilibrado de corrienres cuyo nródulo es: Ip =

V¡2, dcsfirsado un ingulo g respecro del sistema de rensiones simples. En la11u. 5.9. se nrucslra este hecho.

vRr',

r a d i o = [ F = I t

CIRC UTTOS l"Rl I ASICOS Y C0tvl IT)NEhTfES SltvltitR ICAS

F i g . 5 . 9

Se t lenonl innn corr ientes deIS c I ' r ( f ig . 5.7) . Se obscrv i l en la t ig . 5.7estrel ln se cunlple:

l Ínea a las corrientes externas I¡¡,que en e I montaje de las cargas en

v c e - r ( DI N = I l + I r + I 3 = I n + I . ; + l r # [ t + e - j l 2 0 , + " + j l ? 0 q ] = t )

(5.20)

ya que la cantidnd cncerradi, enre corchetes cofTesponde a la Suma de tresiusor"r de rnótJulo unidad y Cesfasados 120o, cuya suma es igual acero. Sededuce en consecuencia qúc si la alimentación es simétrica y la carga estiequilibrada no habri corrier,¡e de "retorno" por el conductor neutro (de ahíprocede su denonúnación). P,)r ello en esle caso este conductor es superfluo yno es necesario unir el punto neutro del generador con el punto neutro dclreceptor. Suprinriendo él ct:nductor neutro, se obtiene un siStema estre llit-.rtr.'11,, (Y-Y) a tres hilos (tig.5.l0). En esta red los puntos neurros I y N'est¡tn física¡nentc separados pcio sin cnrbargo cstifn al nrisnro potcncittl dc cerovoltios siempre qué la carga esté equilibrada.Veámosltt: Si se denonlinitV¡'¡ el potencial de N' respecto de N, se puede escribir:

f V R , N , V N N : V N , Nl R = = ñ = T

r VS'N VSN -V¡UUrs= zi- =*---T

r V't'N VrN -VUfgI r = - 7 n = T

l¡¡s corrientes anteriores se consideran positivas en el sentido generador-t€ccptor, tal como se muestra en_la t'ig. 5.10. Como quiera además que en clnr¡dó N se cunrple que Ip + l5 + It = 0, resultará:

-Y¡u;,YN-u r- S + YrN;vNJ =gr ---Z z

(s.2 I )

(s .22)

es decir:tR = I t = I t e- j ,p ; ls = Iz= Ipe- jQe' j120 ' � ; I t= 13 = Ipe- j ,pet l20 ' (5 .18)

si se denonrinn l¡ al nródulo de l¡r corriente de línea, las ecuaciones (5.17) y(5.It l) indican que:

L (vnx + vs¡¡ + v1¡¡ ) f+t = Q (5 .23)

( 5 .24 )

ú . V pI L = l F = t

pero la sunta comprendida entre paréntesis es igtral a cero debido a t¡ue laalinlentación es sinlétrica, de donde se rleduce que:(s . I e)

cs dccir c¡l lu conexión cr¡ cstrell¡¡ coi¡rciden los valores de las corrientes delirse y tlc línca. La corriente que circulit por el conductor neutro se obticneapl icant lo el ler lema de Kirchhoff bien sea en el nudo N ó en el N'resultrrldo:

vN'N = o

es decir los puntos N'y N de l:r fig. 5.10 aunt¡ue estdn físicamente separadostienen el misnro potencial.

5 t0 5 l r

In --O>

Ynn r, I. Jzn

-lF- vN'N *J

+ I

+ tT'r, ' rz

ELECTROMACNTNS NIO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

F i g . 5 . l 0

l-a conexión estrella-estrellu sin hilo neutro (fig. 5.10) supone ungrarr ahorro nl dejar reducidos a res los seis conductores iniciales que unían elg,encrador con ln c¡uga. No obstante para poder prescindir del hilo neutro, lastres cilrgrs de la fig. 5.10 deben ser idénticas, ya que de no serlo la ausenciatlel hilo ncutro ocasionarín el desequilibrio de tensiones en las tres cargas (verepígrafc 5.5)

La retl de la fig. 5.7 se denomina sistema trif¿ísico a cuatrohilos.En estos sistemas, la sección del neutro acostumbra a ser la mitad (aveces igual) a la de los otros conductores de la línea (fases). El sistematrifiisico a cuatro hilos es nruy empleado en las ¡edes de distribución de bajatensión para suministro de energía eléctrica en locales comerciales, pequeñasindusrias e instalaciones donrésticas. En la fig. 5.1 I se representa el esquema

CIRCUffOS TRIFASICOS Y COt"l¡ONENTES SINIE-l'RICAS

(oue procede tle los transfor¡rradores ubicados en la zoltt). lnttlediatrt¡rlelttc

iláirr,i¿J¿ó ta éntrada tlet cable de 4 hilos ul edificio se colocrn unos tusiblcs

;-itd;; iut iu.tt de la red p¡ua protegerla conka los cortocircuilos' Etttre las

diferentes fnses de entratla y et tiito néutro se distribuyen lus cargits tlc altt¡rr-

brado que son ctrgas monotdsicas. Se tlebe- procurar repilrtlr..cs¡as cltrS¡ls

ó"i* ft" ¿it.*nteshs"s, intentando conseguii un sistenra equilibrrdo (igurl

número de limparas por fase). Los nrotores eléctricos rif:isicos sc conectall a

las tres fases (tienenires hilos de unión) y constituyen porsí tnislltos clrgasequilibradas ya que solicitan un nlódulo de corriente idéntico parn todls lasfases.

c:rda carga tiene sus propios fusibles de proteccitílt (o.interruptO-

res n'tagnetotérmicosi. No se insüla'fusible ni.interruptor.sob¡e e.l conductor

neutro íu"r fig. 5.1 I ) pues la fusión de este fusible (de nonlinndo técrricrttretttecortaciicuitole fusi6le) equivale a la intenupción del hilo..ncutro y corlloresultaclo de ello, las teniioncs correspondientes a los tliversos grtlposindividuales de liinrparas dejarían de ser iguales en el mso.de t¡ue lls clrgflsmonofásicas no se hubieran repartido por lgual en las tres lascs (ver epígrlt'e5.5), de nrodo que en algunas linrparas la tensión serín insuficientc y ell otrilsresult¡¡ri excesiva, lo Ñe conduóir¿i a su rripida destrucción (si el siste¡nitestuviera perfectamenté equilibrado, la opertura del hilo lreulrrl no ejerceriitninguna acción desfavorable).

h zs t

EI EM P T.OF A S I C O .

DE APLICACION 5 .1 . : C IRCIJ ITO ITQUIVAI . I tNTI i i l lON0 '

E,n la red trifasica de lalig.5.l2,lu tensión cotnpüttsta ul linul dt lu línen es de

R

rlr.cTtr}l s

.r'flr f. Ivt.' rrlJ'

v_-.itil.

f * o L I M E t t T A c t o t t - - - DI

C A R I I A :i

t r " l r i i

T t I N E A

IIl4t-

IFig. 5.1 l

tle la inst¿rlación eléctricr de una pequeña industria. La acornetida generalcorrstitrryc la fuente generadora que proporcionn ln empresil sr¡¡nilristradora

5 t 2

, F i g . 5 . 1 ?

z l

vRn un ' i ' '

I . j2 - - - l l ¡ =n

S Z S = 1 . , ! l 5

- ;vrx tsYi

5 t l

ELECTROMAGNmSMo Y r:lRcuno: ELECTRICoS

380 lt. Lu c(r1,tt es et¡uilibra<kt y tiene una inrpedanciio por¡orc de 3Sl',8 Z45e ohmios,Lt¿s inpeduncids dc codu Iosc de lq linea (incluso la del neutro) cs de I +j 2 ohmios. Lasucesión de fases es ¡rlS?. 'l'omando la tensión Vp,¡¡, como referencia, mlcular: I)Corr ienus I ¡ ,1g, e Iy ,2)Tensiones Vp¡,VS¡tyV¡¡¡ ; 3) l 'ensiones Vpg,Vgy yVyp,

SOLUCTON

l) El ¡n&Jr¡lo dc la tensión compuesta al final de lfnca es dc 380V, lo quc.correspondescgún (5.14) a una tensión simplc de 380/r/3 voltios. Si se clige la tensión V¡.¡¡,,conro referencia y teniendo en cuenur que el scntido de sucesión de las fascs es RST, setcnrlnin lirs siguientes cxprcsiones faSoriales;

v R ' N ' = ¿Ae I VS 'N '= 380{t ¿.l?0e ; VrN, = Z,+ l20o

),n16, e l_ l t¿ ,

/vr H'

CIRC UITOS TRt FASICOS Y COt\'l I'ONENTES SMFrRICAS

: VT,N,1 3 =

4= 10./" +750

que forman un s¡stcma simétrico ya que la carga esd equ¡librada. L¡s valores dc lascorrientes de las líneaS coinci{cncon las dg faqg.. Dc acucrclo con la fig. 5.12, se pucdoescribir:

tR = I l = l0¿.45o; 15 = 12= l0 ¿-165 t I f = 13 = 10, / .+75o amper¡os

en la fig.5.l3 sc han reprcscntado los fasorcs anteriorcs. La corricnte del neutro scráigual a ccro, ya que el sistcrna es simótrico y equilibrio. Compnrbérnoslo:

I N = I R+ lS * 11 = l0 l - 450 + lA¿- 1650 + l0Z+75o = 03p0./l

380

ü 2\ La tensión.fasc:pQJttro-a-nrinqip..lq de lfnca, por ejcrnplo para la fasc R (fasc ttercferencia), se obticne aplicando cJJrlcma de Kirchhoff a la malla R - ZR - R' - 7.¡'

N' - ZN - N, lo que da lugar a: r J

I s= ra \¿5c\

vs '

\R.- I^\ b t/-...

,*},l tsH

"'€

Fig. 5 . l3

en la fig. 5.13 sc han rcprescnüado los fasores correspondientes. Las cofrientes Il,12,

13, tluc circulanin ¡x)r cada una (le las irn¡redmcias de c:rga scrán:

lry ¿osr VR'N' ' l 3,--- | ti ,, , "o \l - v.S-'N' - r(r ./ | A(g .t ¡ ' - ; - = W ¿ - 4 5 0, . - , z ¡ = { ñ \ ? : t = t o / ' 1 6 5 - ;

v 3

- r ' / , /

U[* = VR:N. +ZR J¡L* Z tu . lX= 'uR 'N '+ Zn Ip

es importante que et lector se dé cuenta de que Ia imLgdnnciadclneuuo no intcrvicueen el cálculo_¡lpl¿_ISrúéLtlg[gip_l_o 1|-q_Li[ea ya que al esuar el sistcnn equilibriuli¡ secumplirflernbre que IN_:t_, o ü4"óüó-ñió¿ó qúe VNN, = ZN IN = 0, cs dccir lgs

punros N y N' t ienen el mismo potencial, y por cllo, ambos puntos coinciden aefecros elécuicos. De csre modo el sitquita.-gqqlvglgltg.g!_égln9o-de la flg 5.1?- se{ii eJqgf qldg qr1_ la fig, 5.14, donde se lran unido los neutrost lly. N' por un hilo tlci*p*.lonóia*-, 6¡ue facif iqa]a comprensión d...U9"N. y.N' soñ¡l mismo punto.

: l + J

IB ,

Itr,N ,

t n +

\ z) v-. ,*-l ''/

- RN

{'- rolo

,4 >-\thrt-.r, ru:,.i, ,",

I t-l

v

+

--1-J

r,,.-*

Z T = l ' j a

vns =,Rr I t

/ \

\ \I t

i r

/

I-b:b-*:'ff,,xRrR)otri vR, ¡¡ . = 380/l to3

, , - rR=r l

/

5 l . l

Fig . 5 . l4

5 r5

ELECTROMACNMS MO Y CI RCUN'OS ELECTRICOS

Iln estc nucvo circuito la ccuación quc rclaciona la tcnsión a principio dc lÍnca con laterrsitin al final dc línca püru la fase R scrá:

vnN = vR'N' + Zx In )

t l l | cc ( ) inc idcc0moeradeespcrar ; ; '# rmente .Dcunmodoaná logohs ccuucioncs para las otras dos fascs scrían:

V5¡ = V5'¡, + Z,5 15 : VTN = V1,¡¡,+ Z1 11

En la ¡r¡rjctic¡1, dcbido a las sil¡guías dc las ccuaciones anteriores (para las fases R,S y:::----'f) n_o es nccc5ññdr-calizar.,los ciilcgto5 pilra_fgf.!r_ql-!ascs, sino que cs suficicntehaccrlos paqr¡g¡¡, por cjcmplo para la fasc ds ¡cfcrencia R. l,¡ itlea¡onsistc e¡!.tlllqiarcl tlenonrinadacir.cui.!.tl.equivalente nronofásico. dcl sistcma trifásico, el cual se 3)<rbticnc considcrando únicamcnte la fasc R rlcl ci¡cuito dc la fig. 5.14 lo que da lugar alcircuito rlc la tig. 5.15, En esie circu¡to se cumplc la rclación:

VnN = VR 'N ' +Z l t I n = VR 'N '+ R IR . J X I ; J--------...+t¿

Fig. 5. l 5

(luc c()fi lo crir (lc cs[nr¿¡r coincirlc colr la yu calculada en cst¿l l 'ase. Elr realidatl cl lector

¡xrrlría ¿rhornrsc cl cs(lucrnü dc la l"ig. 5.1-t y haber obtelritto clircctarflentc cl et¡uivalcntcrn()nol¿i.sico dc la l ' ig. 5.15 u part ir { tcl circuito de la f ig. 5.12, dándosc cuenm quc alrrslnr t:l si.stcrna cquilibrarlo los ncul¡os N y N' coincitlen.

Al susti tuir krs valores numóricos,.se tcndrá para la fase R:

i l ; = r y l o u + ( t + j J ) t l t ¿ - . 1 5 q = r y ¿ 0 r ) t 0 ¿ - , r 5 p + 2 0 ¿ 4 ; ; ' \' '*_: V3 :.\."--,. V3 l-=---n/

cn la lig. 5.li sc ha rcprcscntil(lo la sunta ilntcr¡or quc da conro rc.sultatlo:

CRC UrrOS TRI FAS ICOS Y COM F] N ENTES S ITVI ETR ICAS

A partir de estc valor. sc pueden cscribir direcLlmente los resuludos para liu tltms tftls

fases, Como el sistcma d dc sccucncia dirccta, la tcnsión Vs¡ tendrá cl lnislno valor

nrodular quc VRN pcro irá rcrasatfa l20o de ésta; de un mcxlo análtlgtl la tcnsitirr V1'¡¡

tendrácl ¡nismo nrululoquc VR¡l pero inl adclanuda l20o de la lnisnta. Es tlocir:

vRN = 240,7 ¿l,1a voltios á. vsN = 240,7 ¿(l:.1: -j.g: ly.' f ' I 1,1:]: i-------_.-. .Gu

J:; '

ñ= 240'7 ¿(1,7e + 120*') = 2s0,7 ¿ l2l '74á "';''-

cn la fig. 5.13 se han dibujatlo VSN y Vf¡¡ cn trtzo discontinuo para indicar quc no sc

han calculatlo dircctnmcnre sino por l¿$ propicdades dc simctría tlcl sistcma equilibrado.

t¡s tensioncs compucsr&s a ¡lrincipio de línea se pueden calcular aplicantlo (5.10). No

obstantg teniendo en cucnta quc el sistcnla cstá equilibritdo, es tnás sinr¡tlc ot)tencrVRs a part ir dc (5.12):

vRs = .ñ 240,7 ¿1,7e's j 30r = ..ñ 210,7 ¿ 3U, = 1.1_6,9 ¿.31 ,7e r 'ol t ios

\ r . - - . - '

' - ? \ \ ! ' '

Conocida la lensión antcrior VRS, se puedcn dcducir las ouas tcnsiones co¡ll l)tlcstas

VS",. y Vtn , dircctamente, yü que deberán tencrcl mismo nlodulo que VRS , pcro con

un desfase de + l20o respccto a ésü4, y así resulta:

V 5 1 . = 4 1 6 , 9 ¿ ( 3 1 , 7 e -

nT* :

416,9 ¿ (31 ,7q +

téngasc en cucnta que si-la sc,sucncia 4c fascs qs"$ST.-la sccucncia conespondicntc alas-tensiones <lc tineliTñlñlñSTSf:TRl-(ObiCrucse el orden cíclico rte lascombinaciones de las dos lctras). Por ello Vg1 sc retrasa l20o dc V¡5 y V1¡ sc

rctf¿¡s¿¡ otros l20o dc YsTrgt tlccir sc arlelann l20o dc V¡g. En la fig. 5.1j stilantctrtc

sc ha dibujirioii iensión dc línea V¡¡5 .

EJEIVIPI.O DI' APT,ICACION 5.2

En la rcd triltisicu a rcs hilos dc luJi1g.5.l6, Iu tensión co,ttpuestd al prüu:il,kr.lelínea es de 380V. ( Por sinplicidad y como cs hubitual en cl cstudio dc kts úrcuitostrifasicos, no se dibujan en la Fig.5.l5 los generadores de rcnsión de kt ulincntacüinsino solumente sus lermirutles externos : lus fases Il , 5 y T, y cn su cuso ¿l ncutro Nl'bt car¡¡,a esui et¡uilibruda y tiene uno ünpe&urcia por fitse de l0+j | 0tl. Los tre s conductor(sde la línea tienen una impeduncia de I +jl0. La sucesión de fases ¿s /l.l?'. L-akulttr: l)Módulo de las corrientes de línea 2) Módulo de Ia tcnsión co,ttpucskt en kt cur¡.o.

l20e) = 416,9 ¿l20e) = 416,9 ¿

I + j 2 = R + j X

+

t * . :

5 l ( r

v t tN = 2d0,7 ¿ l ,74 vo lÚos

5 1 7

r)

t : l- ECI lt OIvl ¿\G N ETI S lvlo \1 C I R CtJ ffOS E [-liCT R ICOS

H

't

N O

A t. I MEil ' �rA{: i oN

T R I T A S I C A

I , I N E A

n l r r n l o a / f a g e

zl- lL

CARGA

F ig . 5 . l ó

S O I - U C I O N

Al csur¡' la curgil cquil ibradr, los neutros N y N'coinciden (incluso uunqu, no exisn elhilo ncuro corno aquí succde) por lo que se pueden faciliur los cálculos uülizando elcircuiro r:t luivalcnte monol¿isico (csqucma por fase), dando lugar para la fasc R alcircuito dc la f ig. 5.17. En estc circuito se cumple:

. /RN =VR,N , + Zn IR = ZLIR + ZnlR.= (Z 'L +Zn) IU

¡ 9 . j l O = Z L

F i g . 5 . 1 7

si sc lonra lu rcnsirin al princi¡lio tlc línca como rclbrencia se tcndni:

ry ¿0e. VRN - - ! r -t ¡ =

¿ ; j t r * = =14 ,1 l ' 45e

fl RC U TTOS TRI FAS ICOS Y COIVI T{)N ENTES S I IVI ETR ICAS

es dccir cl muh¡lo dc las conicntes dc línca es

I L = l 4 ' l A

2) La tcnsión VR.N.en el rcceptor vendrá expresada en el circuito de la fig. 5.17 ¡ror:

VR,N, =Z l In = (10 * j lO) l4 , l ¿ - 150 = 2UJ¿A9

¡rrr lo que li¡ tcnsión sirnplc en la carga valdni:

vF = ?oov

y la tcnsión dc línea corrcspondiente scrá:

vL = ü. 2oo = 346,1 volt ios

El lector observará que el circuito equivalentc monoflisico nos da la información básicaque se desea y no es necesario haccr los cálculos de todas las fascs. La fa.sc It cssr¡licicnte para dctcrminar todas las relaciones que sc produccn en cl circuio.

5.4 CONEXION EN TRIANGULO EQUILIBRADO

S i c o n e c t a m o s t r e s i m p e d a n c i a s d e c a r g a 2 1 , 2 2 y 7 , 3¡lirecta¡nen¡e entre los co¡rductores de una línca trifásica sill conductor net¡lrot¡ue sale de los terminales de un generador trifiísico, se obtendrú la conexirinde receptores en lr iángulo ( f ig.5. l8).

vnN = #

¿oe

obtcnicn(lo una corricntc pilra la l'asc R:

-1vrn

+

vnS n, , , \

5 1 8

F i g . 5 . l 8

5 r9

ELECTROIVIACNMSMO Y clRcunos ELECTRICOS

En este nrontaje en triiingulo ( que se sintboliza corr la letra griega;\ ) rur se necesita distinguir entre tensiones de fase y de línea. ya tlue latensión entre el principio y fin de cada fase (tensión de fase) del iecóptorr,cpre scntü al nrisnlo tienrpo la tensión de línea. Es decir en el esquenra de lalig. 5. I ti se cumple:

VR'S,= VRS ; VST '= VSr ; VTR'= VrR (5 .25)

o cll for¡nt morjular:

CRCUil'OS TRI I-ASICOS Y CONII{)NEM'ES SllvlEl"lt lcAS

rsdlo= IL= t /5 I r r a d l o =

, / / )u\/*,

uu= ñ uruta

ur

,o:'

radio=rr=-}=?:

vT'R'=T( v r

vp¡ = vL

donrlc Vpn representa la tensión de cada una de lastlccir:

Vf¡ = f VR,S,f = lVST,l = lV1,p' l

( 5 .26)

fases del tr iángulo, es

(5 .27 )

l l

t l\ '

i{

b

'¿ ./

J Y/

y V¡ es cl rnódulo de las tensiones contpuestas del generador:

Vl = lVRsl = lVsd = lVrnl (5.28)

Ahora bien, la tensión de línea V¡ está relacionada con la rensiónsirnple de los generadores Vp por la relación (5.l4). De este nrodo en clc ircui to <Ic la t ig. 5.18 se cumple:

V p ¿ = V L = f i V f . (5 .29 )Iirr la fig. 5. l9 se han re¡rresentado las tensiones sirnples del generador Vp¡ ,VsN , VTN de nlódulo Vp y las tensiones de línea V¡¡5 , V51, VTRque son iguales a las tensiones simples de la carga en triingulo Vp,5,

,Vs'l ,VlR, de nlódulo VF^ = Vl = {J Vp. Se observa que conlo ya sei¡rtJicó cn lu fig. 5.8. lns tensiones de líne¡r fiornran un sisre¡nt trif¡ísicosi¡¡lcitrico r¡ue estii adcluntatlo 30" respecto a las tensiones sinrples delgelreratlor.

Si las ci l rgas del tr i r íngulo est¡ín equi l ibrndi ls, se cunrple:

Z t = Z J = Z y = / , = / e j P

F i g . 5 . 1 9

estas corrientes se pueden expresar en función de la tensión sinrple delgenerador Vp, teniendo en cuenta (5. l2), 1S. l3) f (5.25) dando lugar a:

\\ \

\

r. - YRs f-Y.r g'9' - f v-'r l - Z Z e i q T e : ( 3 0 4 ' q ) = l F " j ( 3 0 0 - t l )

r- - ySI fi vp e-je00 €JL ef (- eoo- tp) = IF er (- eoa- (p) ( s.32)r 2 = T = W = - Z - e , \

r- - hR fi vp ei 150'� ryL eJ (1500- e) = [Fef (r50g- rp)1 3 = T = w = - - 1 1 ,

dc e:; te rnodo se obtendr¡ irrcr rv( . )s .scnt i r l t ¡s posi l ivos,it S', de S' i l

' f" y de T' ¿l

v¡r lot'cs .srJn:

T . - V B ' S ' .' l Z '

unil.\ corrie¡ltes de fase en el receptor I ¡, Ir e I-¡püra unü sucesión de fases ttS-f se elige n de R'

I l ' , t i l l corno se ntuestr i l en la f ig. 5. l t t y cuyos

las expresiones anteriores indican que si la cilrgil esti equilibradir, se obtieneun sistema rrifisico sinrétrico de corrientes <Je tuse, de nlodulo:

f Y rZ

que se ret¡üsa un ángulo de g grados (el argunrento de ln inrpedlncil) i**p..,oa las tensiones de línea. En la fig. 5.l9 se aprecia este hecho.

Por la línea de unión generudor-receptor circulan r¡¡las corrientcsde l ínea IR, IS, I l t lue se considerun posit ivns cn el scnric lo gcncratkrr-

5 2 1

( 5 .30)

I F=+

, \ ü

vsn

r a d l o

5:0

, vs'T' - v ' 'r l = -T - : I r =+K ( s . 3 t )

ELECÍRONIAGNETISMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

ci¡rgil, ti¡l cor¡ro se nluestr¡r en la [ig. 5. 18. Los valores correspondientes sepucdcn crlcular aplicnndo cl I er le nra de Kirchhoff a los nudos R', S' y T delu cirga, rcrsult¡rntlo:

I n = l l - 1 3 ; I s - 1 2 - l t ; I r - 1 3 ' I t (5 .33 )

cn la fig. 5.19 se muestran las difercncias fasoriales anteriores, que se puedendctcr¡ninar de un lncxlo an¡lítico, teniendo en cuen¡a (5.32) y así resulta:

I ¡ t = l t - l j = IFe j (300-9¡ - IpeJ( l5 l ) r9 ¡= I rc - i9 (c i3O' � -e i1500) (5 .34)

cs decir:f i . 1 , , . r ? r .t í - j ; ) = { 3 I ¡ , e - j , p ( 5 . 3 5 )

CIRCUÍTOS TRIFASICOS Y COMff)NENTES SIIIETRICAS

receptor, el ángulo I que forman las tensiones co¡npuestas co¡r l¡tscr¡riientes de fase, será el mismo que el que forman las tensionessimples con las corr ientes dc l inea. Estas conclusiones se apreciattficiinren¡e en el diagranla fasorial de la fig.5.19. Así se observa t¡ue la

rensión compuesta V¡¿5 está desfasada g grados (el argumen¡o dc la

impedancia) con la corriente simple I¡, ! este mismo ingulo_q es el qttefonnan la tensión simple V¡¡ del generador con la corriente de línea I¡, y deun modo análogo se obtienen los mismos resultados para las otras dos thses.

Es importante que el lector retenga estos.resultados (qtreobviamente sólamén¡: son viílidos en circuitos eqrrilibrados) ya que permitcrtrcDresentar directarrrente las cOrr ientcs de l ínea respeCto de l lsfeis iorres sint¡ l les dt l generador sin necesidad de dibujar las corr ientcssimples.

Oro procedimiento para determinar directamen¡e las corrientes detínea Ip,15 e 11 sin nccesidaddecalcular lascorr ientesde fase I¡ , I r c I¡ cssustiruli lf cargn en triángulo por una cstrella equivalcntc. De itcuerdo con clepígrafe 3.9.3 si ss denonrinaZ lt impedalcia compleja de la carga ertrriiíñgulo, la impedancia equivalente en estrella Zy sen:

Z esq

I l t = lp c - J (P (. n li + J r +

o de otro nrodo teniendo en cuentil (5 .32\:

I p = . / 3 t p e - j e - f i t t p e j ( 3 0 0 - e ) ] e - j 3 0 0 = f i I ¡ e - j 3 t l o ( 5 . 3 6 )

y de unir tonna nniloga paril las orras corrientes:

1 5 = f i t ¡ . e - j q e - j t 2 n g - , f i t l p e j ( ' 9 ü ' p ) ] e - j 3 $ = . r / 3 1 2 e - j 3 0 o

I . r . = V J I F e ' i e e j r 2 O e - f i t l F e j ( r 5 0 9 - t p ) ] e - j 3 0 9 = f i 1 3 i ; l i T ,

se obscrvi¡ en las ecuaciones (5.36) y (5.37) y de un modo miis descriptivo enla fig. 5.19 que las tres corrienies de línea I¡, 15 e 11 forman un sistematrifisico sinlétrico que está relrasado 30" respecto a las corrientes de taser¡uc fcrrrnun los nrinuendos dc (5.33). Es decir la corriente I¡ s€ retrasa 30o del¡; 15, se retri¡s¡r -10o respecto b, e Il se retr¡¡sa 30o respectode 13. El módulorlc es¡as corricntes de línea I¡ es según indican las ecuaciones (5.36) y (5.37),

fi ueces cl rnúlulo lp tle las corrientes simples, es decir:

de este modo el circuito trifi isico de la fig.S.l8 se transfomla en el de l¡lfig.5.20. Al ser la carga equilibrada el punto neutro N'coincide con el neulro

del generador N. J 'rabl jat ldoobtiene paro ln titse R:

F i e . 5 . 2 0

con e l c i rcu i to cqu iva len te monof i i s ico , se

zy = ? = (s.3e)

I ¡ = { 3 I p

I L = l l R l = l l S l = l l d

Debido al hecho de querespccto i . l l i ts ter ls io l les s i r ¡ lp lescon)l)uest i ts () t le l ínei l se rctr i ls i t t l

q 1 ?

(s .3 I )

y IF = l I ¡ l = l l r l = l l 3 l .

las tensiones compuestas se adelantan 30"del generodor y de que las corr ientes

J()u rcspecto de las corrientes dc lase dcl

523

ELECTROTVIACN ET¡SMO Y CIRCUMOS ELE�TRICOS

rR =ry Yrgg = 3V e. jeI

- ! " lv

r F = f i V

(s.40)

y ( lenot 'niní lndo:

irl ¡nritlulo rle la corriente de fase del triríngulo como se hizo en (5.32), resulta:

IR = {3 tp e ' ie (5 .41)y l)arr lils otr¿rs dos fases:

Is = {3 le e' j ,pc - j t2O'� . lT= {3 tp s - jqs j l2ü (5.42)

exprcsiones que coinciden con Ins (5.36) y (5.37) detenninadas allí trabajando<lirectarrrente con la carga en triiíngulo. Con la carga en estrella es másin¡nctlirto cornprobar que las corrientes de línea I¡, 15,e 11, se desfasan el

Íngulo rp (que indica la impedancia de carga) respecto a las tensiones simplesVn¡¡, VsN y VTN, del generador (se suponen despreciables las intpedanciasdr: la línca; si éstns se considernn, el desfase rle las corrientes se refieren a lastensiones sinrples de la carga VR,N', VS,ru', VlN,en las que N' coincide conN ) .

La posibilidad de que un receptor se pueda conectar en estrella oen triringulo, ilumenn su adaptabilidad a diferentes condiciones de distribuciónde la energía eléctrica. Así, por ejemplo, si los arrollamientos de un motorestin calculatlos para una tensión de fase de 220Y, entonces, util izando laccrnexióll en triiíngulo. este r¡rotor puede conectarse a una red cuya tensión delír¡en sca dc 220V ; util izundo lu conexión en estrella, el nrisnro nrotor puedeconectarse a una red con una tensión compuesta o de línea de 22tN3 = 380V.

Lu conexión en trii ingulo puede aplicarse no sólo a los receptoresconro ar¡uí se l ¡a denrostrado sino tanlbién a las fuentes de energía:generadores, lransfonrrüdores. etc. En este caso cnda fase de la fuente debe sercr¡lrer;tnrl¿l clirccturnente entre dos conductores de la líner de tres corrductores.lirr ln l ' ig. 5.21 sc nlucslrü el csquentr resultante, en el que Vns, VSr y VTR,reprcsentan las tensiones de los generadores conectados en tr iángulo.Obsdrvense con detalle las polaridades de los generadores que fornran unanrnllir o circuito cerrudo en el t¡ue las fuentes aparecen conectadrs en serie, delal nrodo t¡ue el f in t lc l i ¡ luse de uno (terminal de sal i t la) se une con clprincipio <Je la fase siguiente (ternlinal cle entrada) . Puede parecer a primeravistu r¡ue la conexión en scrie de las tres fnses del generitdor cn trii ingulocenado cs et¡uivrlerltc a un cortocircuito, conlo así sucetlería, si las fuentes

52-1 525

Y,, T

CIRCUITOS TRIFASICOS Y COM ruNENTES SITVIETRICAS

FASE R

FTSE S

FASE T

F i g . 5 . 2 l

fueran de corriente continua. Pero como quiera que en el sistenlu trifisico sctiene en cualquier instante que Vp5 + VS.¡ + VTR = 0, en el caso consideraclono sólo no hay corriente de cortocircui¡o Sino que,,en ausencia de carga, lacorriente de óirculación por la malla del triángulo es sienr¡lre cero. Sirlembargo, eslo es exacto úñicamente cuando las tensiones de cada una de lasfases del generador son rigurosamente sinusoidales, ptles sólo con eslacondición és igual a cero la .sunla de hS tensiones generitdorirs. Co¡no qttieraque en la práciica, las f.e.nr.s. generadores no son exaclür¡rente sinusoidales,

no se satisface completamente la condición anterior (Iuc.n = 0) (r) , por estarazón son raroS los generadores ConeCtados en triángulo.-Por el conlrario, enloS transformadoreise tlti l iza la conexión en triángulo con tünta frecuenciaconro la conexión en estrella.

Con carga equilibrada, cuando las corrientes de lfuea Ig, 15 y 11'son iguales en módulo y deslasadas entre sÍ 120o, la corriente de fase de lafuente es:

(t) Lo oncla pcri<iclica ¡trrtdttcit l l ¡xrr clt l:t f 'asc

surni l . !e los armtinicr¡s l 'unt lat t tcnt¡ lcs dc l : ts

a¡mrinico. quc sc st .n¡rün cn f tsc y por c l lo sc

a r m ó n i c o . t

( 5.-13)

r lc l a l ternudor sc t lcsconlponc cn scr ic t lc Ft l t l r icr . L, t

t r c s [ ¡ r s c s c s i g u l l i t c c r ( ) l ) c r o n ( ) ; t s f l r l s r l r - r l t c r c c r

¡ lucdc ¡ l roduc i r unü r ;o r r tc t t t c tJc c t re t l la t ' i t i r r t l c l t c rcc r

I F = *

d o n d e l l = l l R l = l l j l = l l f l e I p = l l t l = l l 2 l ; l l l l . D e a q u í s e d e d u c e q t r e ,si las fases de carga y las de fuenle estún conectadas en trii ingulo, en el casode carga et¡uilibrada, las corrientes tle las thses de las fuentes t¡ue estiin unid¿tsa dos terminales de línea coinciden con las del receptor unido ¿¡ esos r¡ris¡llosterminales. Así la corr iente I¡ Que circula de S a R en h f ig. 5.21 sería la

EI-I,CIROITIACNE IISMO Y CIRCUTTOS EL¡{-l'R¡COS

¡¡risnra t¡ue lir I ¡ t¡ue circula cn el rece ptor de la tig. 5.ltl y tlel rni ;mo nrcxlc'para lr e I3 . Sc pucden de este nrodo plantearcuatro tipos de prrrblema: l)generadores conec¡ados en estrella-receptores en estrella; 2) gene:adores encsrrella y rcceptores en triiíngulo; 3) generadorcs en triángulo y rect:ptores entriángulo; -l) generadores en triingulo y receptores en estrella; 4) ge':neradorescn tridngulo y receplores en triiíngulo, Como quiera que en la nrayr;ría de loscasos estar¡'ros interesados en el cstudio dc la distribución de tensiones ycorrientes cn cl lado receptor , serd indiferente la conexión del generador, lot¡ue.sin cnrbargo seri preciso conocer es el sentido de sucesión de tases y laslensiones quc inrpone el generador en la red.

I ;J l i l t |Pl .O tr l t AI ' I . ICACIf.N 5.3

t-a fig. 5.22 muestri una carga cquilibracla ds 38 {J ¿3Oo tt conectada cnrriángulo alin¡cnt¡uh por uni¡ rcd siméuica dc secucncia positivaaúavésdcunalíncadcirnpcdancia l+j2O por hilo. a) Si In tcnsión compucstÍI en el rcceplor es de 380v calcular :l) ñtagnirud dc las corricntes dc línca; 2) Múlulo dc la tcnsión compucsut a principio delínca. l¡) Si la tr.nsirin compucsu a principio de lílrea es de 380 v detc¡nrina¡: l) Magnitud delas corricn¡cs dc línea b) Tensión compuestl cn el receptor en triángulo. Sugercncia:'I'runsk>rrnar la carga cn triángulo en una estrclla equivalentc.

CIRCUTI'()S l"RIFASICOS Y C()IVIIT)NL.N'I L,S SIME I 'RICAs

fig. 5.23. Obsúrvese en esra tigura que se ha tn¡zado un hilo ncuuo intaginario tlc

t t n - .R - f _ l

r r R ,

f

h - r+JZ +

YRH VR.Nz . f l b o ' f LA { 5 -

Fig. 5.23

im¡rerlancia nt¡la enue el ncul¡o N dcl generador y el neutro N'del rcccptor cuando nisiquicra existe ninguno rle ellos cn la fig. 5.22. Es indiferente quc se disponga o no tlcncutros realcs cn la insnlación. Sicmprc quc la rcd csté cquilibrada, scrá posilrlcdibujar un circuito equivalentc monofásico con el que rcalizar los cálculos.

Si en el circuito dc la fig. 5.23 se toma la tensión V¡.¡.cn el receplor colno rtrigtrn

de fascs se poclrá escribir:

vR.N.= # ,o'Y J

dc donde se dcduce la corricnte I¡:. 3-!9 zno

,* =4[ = +: = ro z- 3oel ; t 30e

que concs¡nnde a una corricntc dc línea lL = l0 am¡rrios.

t.b) La tcnsión simple V¡¡ a principio ele lfnca se obtienc aplicando el 2e lcn¡a rlc

Kircholf al circuito de la fig. 5.23, ¡csultando:

vRN = vR.N. + z¡ I¡ = ff

zo" + ( I + j 2) l0 z- 3u = 238J7 t 2,96o

Jnr consiguicnte, la tensión simplc a principio de línea será igual a 238'37 V, lo quc

corrcsponde a una tcnsitln compucsl¡t V¡ = V 3 238,37 = 412'87 V.

2.a) Si lo quc sc coooce es la tcnsirin co¡nlrucsur a principio dc lí¡¡c¿, al clcgir la ¡cnsirl¡tsinr¡llc V¡¡ con¡o rcl'crcncia rcsult¿uá:

vRN=ry ¿oav 3

y cn la rnal la dc la f ig . 5.23 sc cunlp l i rú:

F i 9 . 5 . 2 2

S O l , U C I O N

Llr inr¡rctl¿t¡tcilt r'n cstrclla cqtrivalcntc I la carga scri:I .¿t )

z y = ? =

526

( ld csrc n¡o(lo el circuiro cquivülcntc ntonol¿isico dc la l ' ig. 5.22 seri i cl int l icado cn la

527

ELECTROMACNETISMO Y CIRC UMOS ELETTruCOS CIRCUMOS TRIFASICOS Y COMruNENTES SIMETRICAS

tr ¿oe F, z8 É¿30a- EZ y z = T = T = 5 ¿ 3 O e, v R ' N 't R = z R .

z9,2 ¿- 32,964

de esua forma, el circuito cquivalente monofúsico dc la [ig. 5.24 cs el de la l'ig. 5.25.

2, l l ) L¡t tensión si lnple V¡1.¡. scrá igual a:

V* ,N ,= vRN-Zp I ¡ ¡= t r

¿0s - ( I + j 2 ) g ,2 ¿ -32 ,g6a =20 t ,93 ¿ -2 ,g6a

l + j l

: l

' *\

r n - r r

) " ' lL,,J,_,f[tlc este modo la nueva rnagnitud de las corrientes de línea será cle 9,2A. I r j 2

R "

nRt 5 l lpe

cuyo nrédulo es de 201,93 voltios y por consiguicnte la tcnsión cornpucsta al finaldc línc¿ scrá:

vu = {5 20r,93 = 349,25v

IiIIi¡III'LO DE APLICACION 5.4

Se dispone de la rcd trifósica de la fig. 5.24, alimentada por un .siste'lt,osinótrico de sccuencia directa. Se sabe que la tensión en bornes de la carga en estrella es380v (dc llnca).'l'omando la tensión Vp.y,como referencia calcular: l) ltlugnitud de la

tensitin ¿le lu carga en ridngulo.2) Módulo de la tensión compuesta a principio dc línea.

Fig. 5.25

tensión simple en la carga 101600 f¿ cotno refereltciit se

vR.N.=ry ¿oa. / l

En esta red si se elige laticne:

de este mülo la corriente I¡¡¡ valdrá:

rRr=ryy la coniente I¡2 :

ry ¿oe1 3 = + ¿- 6oe = 2rp4 ¿- 6oe= 10¿60, V 3

l + j l I r j 2 J34 ¿ao

I R 2 = H = = 3 1 , 4 3 ¿ ' 4 o , l 7 e

ds cste modo la tcnsión simplc VR,,N,, scrá igual a:

V ¡ , .N . , = 5 ¿30e .31 ,43 ¿ - 40 , l 7e = l t t , l s

¿ - l 0 , l 7o

cuya magnitud es de 157,15 voltios, lo que corresponderá a una tensión compucsla:

v"L= { l l5T, l5 = z1z,Lgv

Aplicando cl lcr le¡na dc Kirclrhol' l 'cn cl nutlo R'.se pucdc ohtcncr lu corricntc l¡:

IR = 21 ,94 ¿. 6Je + 3l ,43 ¿- 40,17e = 52,59 ¿- 4Í1,3e

y la tcnsión VnN a principio dc línca valdrá:

N .

I O ¿59r fl i f ase

CARCI I

F i g . 5 . 2 4

S O I , U C I O N

Si .sc t¡ansforma la carga cn riángulo en estrclla rcsulu:

t 5 l ¡o-r J l l f ase

CARCA 2

2)

t )

5 2tt 529

ELEc-TROtvlACNmS NIO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

vRN = \ 'R .N . + Z ¡ t ¡ = l -U /00+ ( I + j l ) 52 .59 l - Jg . l ," V l

quc correslxrn(lc a un valor:

vRN = 293'67 ¿'0,84e

cs decir una tcnsión simplc de 293,67V ,lo que corrcspondc a una tcnsión compuesta

a principio de línca de'Jl 193,ó7 = 508,65 V.

5.5 CAR( ;AS DESEQUILIBI IADAS

Cenerat¡ne¡l te en l r práct ica, los sistenlas tr i f¿is icos estánscnsible¡nente equilibrados, bien porque ntuchas de las cargas son trifásicasen si uris¡rrs (co¡no los ¡notores trifásicos), o bien porque cuando existenc¿rgüs n¡onoliisicas, éstas se hart repartido equitativamente entre las tres fases;de este rnodo, una gran parte de los problemas de circuitos trifásicos sepueden resolver por los procedimientos vistos hnsta ahora. Cuando las cnrgasilejan de ser iguales para las tres tases, se obtiene un sistema desequilibradoi¡ue delle resolverse simultiÍneanrente para las ¡rcs fases, sin que puedaco¡lsiderarse un circuito equivalente monofásico, porque las ccuacionescorrespondielrtes han perdido sus condiciones de simetría. En las redesdcsequilibraclas es nruy irnportante conocer la secuencia de fases, ya que unca¡nbio en la secuencin puede dar lugar a un repar¡o de las corrientes de lÍneacorupletame ¡rte distinto, run cuando las tensiones de'¡limentación y las _cargassc ulanrengan iguales. En lo que siguc se van a estudiar los circui¡os trifásicoscon cargils desequilibradas, suponiendo conro es habitual, que el sistema deal i ¡nentación es sintétr ico. En el epígrafe 5.10 se anal iza una técnicadenonrinrda de las cotnponentes simétricas que permite hacer un estudior¡iis general, convirtiendo un sistema no sintétrico en simétrico, lo cuul esrnuy útil para analizar faltas en sistemas de potencia.

5.5.1 C.\¡ IGAS DESFI()UII , IBRADAS CONEC'TADAS !;N F:S'¡ 'RELLA

Pasando a es¡udiar los sistemas desequi l ibrados, vamos aconsitleru en primer lugar t¡ue la fuente cle alimen¡ación y las cargas se hallanconectad¡s en-estrella y que los conductores de la lÍnea, incluso el hilo neutrorienen uira inrpedanciit tlnita. no insignificante.

L:rs impedancias de las fnses de lfnea conectadns en serie con lasfases de lirs curgai (receptor) pueden incluirse en las impedancias de est¡tsfases y por cólrsiguiente sólanrente ser¿í necesario tener cn cuen¡ascparadlniente tir inrpedtncia del hilo neutro.-En la Frg. 5r.26 :e muestra es¡aitler rltrntlc Z¡ rcpre sénta la intpedlncia clel hilo neutro y Zp.,ZS y ZT son las

inrpedancias irx¡rlcs de cada tase (t1tre son la sunm de la propia de cada fase de

530

C IRCUI'OS't'R I FASICOS Y COIYI IUNEM'ES S ¡tvlETR lCAs

la carga y de la línea correspondiente).

Para estudiar el circuito de la fig. 5.26, que tiene dos nudos,tomaremos el neutro tle la alimentación conro tensión de refcrencia, es tlecirVN = 0, lo cual es consistente con la realidad física, ya que generalmen¡c elp,into neuro de generadores y transformadores suele ir unido a tiena. De cstcinodo se de¡ermiirará p::imeramente la tensión V¡'¡ Que representa la tensitindel neutro del receptor.

Fig. 5.26

Las ter:siones en cada una de lasmente a:

VRN' = VRN - VN'N ; VsN' = VsN -VN'N ;

de este rnoclo las corrientes de línea serán:

cargas son iguales

vTN'= VrN 'vN 'N:

- Ysx . Yu-N. .Z g '

respect rva-

(5.44)

( 5."15 )

( 5 .46)

(5.r17 )

vRN 'I¡¡ =

I r =

7,7vTN' V r N - Y N . N

Z'¡7'T

y h del neurro:

rN=H[ahora bien en el nrrdo N' se cumple:

I R + I S + I r = I N

y a l sust i tu i r (5 . . t5) y (5.46) en ( 5 .47 ) resul ta :

5 3 1

Jn¡_ f¡lU_ . VSr.¡ -Vru'¡¡ _ VrN -V¡¡'¡r _ V¡l'N+-*zt:* * -ft* = -2¡ (5.48)

conro las tensioncs VRN , VSN y V1¡ de la alimentación son conocidas, laecuación anterior permite determina¡ la tensión VN.¡¡ :

\t¡¡'N =

V n N V S N . V T Nz R * 6 * T _ Yruün+VsxYÍ-VrNYr

Yp+Y5+Y1+Y¡¡

<fontfe Yi = llZ¡ representan las adntitancias correspondientes.Conocida latensión del neutro de las cargns V N'N denominada tensió¡r detlc.splaznrniento del neutro, las ecuaciones (5.45) permiten calcultr lascorrientes de lfnea y las (5.44) deternrinan las tensiones totales de las cargas.

En la fig. 5.27 se da una interpretación geométrica de las ecuacio-nes anteriores para un sistema de secuencia positiva. Se parte de las tensiones

Fig. 5.27

sim¡rles del generador, tomando V¡¡ como referencia, se represen¡un V5¡ yVT¡ , de ahí se obtiene¡r hs tensiones compuestas o de línea: VRS , Vs'r yVm . A partir de (5.49) se representa la tensión VN.N , lo t¡ue fija la posiciónclel punto neutro N'de las cargas . De este modo se deternrinan las tensionessinrples dc la carga VnN, ,VSN.y VrN..

part ic t¡ lnres:

5 3 2

CIRCUITOS TRIFASICOS Y COM FONENTES SIMETRICAS

CAR( ;A F :N ITSTRELLA EQUIL I I IRADA

Si las cargíIs estún equilibradas se cumple:

Y p = Y S = Y 1 = Y

de este ntodo la tensión del neutro de las cargas será según

Y (V** * VrN + VrN)- 0

ELECTROMAGNE-NS MO Y CIRCUITOS ELECTRJCOS

l )

( s.4e ) v N N ' =

( s .50)

(5.49):

( s . 5 l )t r l l

J. J- -L

Z p ' Z g ' Z . 7 ' Z y3 Y + Y *

puesro que al ser la ali¡nentación simétrica se cumple que VnN -F VS¡ +

Vrrq = Q. La corriente de retorno por el neutro según (5.46) seri igtral ncelo, las tensiones sinrples en las cargas de acuerdo con (5.44)coincidirán con las del generador y las ecuaciones (5.45) deterrninarártlas corrientes de líneil. Estos resultados eran de esperar y coinciden cotllos que se calcularon en el epígrafe 5.3. En el diagranra flasorial de la fig.5.27 los resultados anteriores implican la coincidencia de los puntosneutros N y N'.

cARGA t tN ES' I 'RELLA DESEQUILI ITRADA A { I ITLOS

Losa resultados son los expresados anteriorrnente en este epígrafe. Elcálculo comienza determinando la tensión del ncutro según (5.49); aparrir de este valor, las ecuaciones (5.45) y (5.46) permiten definir lascorrientes de línea y de retorno por el neutro. En el caso palticular es quese desprecie la impedancia dcl neutro es decir Z¡ = 0, entonces V¡¡N, =

0, es decir los potenciales de los puntos neutros del generador y receptorresultan ser iguales (estin unidos por un hilo de impedancia nult, ZN =

0 ) .

cAR(;A t iN l . :s ' rRELl,A l )1. : .st iQul l , l l fRAI)A A 3 l l l l ,os

Este caso se cumple cuando no hay conductor neuuo en lt instalación, loque equivale a clecir en nuestro estudio general, t¡ue Z¡ = ooi o cle otroInodo que Y¡ = 0. Se calcula la tensión del neutro de las ci lrg¿ts conayuda de la ecuación (5.49) , en la que e l ú l t imo surnat tdo dc ldeno¡ninador desaparece; calculada la tensión VN'N de desplazarnientodel neutro, las ecuaciolres (5.44) dan los valores de las tcnsiottes decilrga y con (5.45) se determinan las corrientes de línea. Al no existir hiloneutro, no habr¿i coriente de retorno por este hilo, lo que se confinnacon la ayuda de (5.46).

2 l

3 )

Del estudio generül anter ior se deducen los siguientes casos

s33

E l- ECTROIVIAG NE-t] S tvl( ) Y C IRC U ITOS E LECTR lC( )s

UEMPLO DIi ,rPUC,tCrOrV 5.5.

l"a red de I u lig. 5.28 nuesra un sistema si¡nétrico de secuencia positiva de

j l 0 J L - j l o f L

Fig. 5.28

220V de líncu que alimenta tres c.tr¡as monofásicas conectadas enlre cadafose y neutro deintpcdancias: Zp = jl0Q; Zg = ¡99' ZT = - ilAA. Si el interruptor D está cerrodo,utlcular: u) Corriemes: l¡ .15 Jy e I¡¡. 2) Si el inlerruptor D está abierrc, calcular: b)'l'cnsión lcl neutro N' respecto del neuro N de la alimentación, c)'fensiones en cuda una deluscargos,d)Corr ientesIp, Ig, l ' ¡e I ¡ ¡ .Nota: ' l 'ómeselarcnsiónVp¡¡delaal imentaciónconro referencüt de fases.

soLUc loN

a) En cstc caso se tienen ues c¡¡rgas conecbdas en esuella en las que et punto comtin N'cst¡i unido al neut¡o de la ali¡nentación. Al ser el sislema de secuencia positiva y tom¡¡rVRN corno refercncia, sc tcndrán las siguientes expresiones fasorialcs para las tcnsionessimplcs:

., 320 ltrl 'r ' trrv n N = ñ 2 0 0 ; V q ¡ = ¡ i z - 1 2 0 0 ; v r N = f ; ¿ r 2 0 e

las ctlnic¡ttcs de cada f¿¡sc, al scr vN'N = 0, serdn de rcuerdo con (5'a5):

b)

CIRCUIIOS TRI FAS¡COS Y C0lvl IONENTES SItúFfR ICAS

Si se abrc cl intcrruplor D, cl centro N'de la esuella de cargas t lejari i de esnr í t 0vohios. Por mcd¡o dc (5.a9) se calculará VN.N, tcnicnclo en cuenlit que Y¡r¡ = 0 :

v N ' N =V R N Y p + V s N Y s + V t ¡ t Y 1

Y R + Y S + Y . r + Y ¡R

5

'T

N tr /osl ..'j t 0

' it- r20. lb + ttr ¿tzos, l- j l 0

t l l

J l o +

l o + - J l o

quc da conlo rcsulul(lo:

vN'N = 347 ¿-12tr v

c) La tensión de la carga conecmda a la fase R será:

vnx, = vRN - vN.N = ffi

¿ ae - 347 ¿-120s = 425 ¿45q voltios

y ds un mcxlo análtlgo püra las otr¿rs dos fascs:

r, 220vsN .- ff ¿ - 1200 - 347 ¿-la}a = 220 ¿ 6Ae volrios

Y J

r, 220VfN. ==ft ¿ l20s - 347 ¿-lz}c = 425 ¿ 75e voltios

Y J

(D Dc acuer(lo c()n (5.45) las corricnlcs (lc lm fases scr¿in:

, VR N' 425 ¿150 ,. . ,, .t <e V.s N_I R = , - = - f f = 4 2 , 5 ¿ - 4 5 e A ; I t = É

I r=+ =f f= l?s

220 z60a=ff i =22¿ff i4 A

¿ t 6 5 e A

2T ¿aa. \ ' R N { . 1l ¡ ¡ = - t " =

J l o

4 r - t z o g= t2,7 ¿'glte; Is =+ =k = t2'7 ¿' lzoe

ry ¿n)no, vTN r / lt T =

4 = - j l ' = 1 2 , 7 ¿ z l U q

la corr iente rte rctorno por el neulro será igual a cero ya que el interruptor D cst iabicrro. Cor¡to cotnprobación rle cllo, el lector puede proccdcr a rcalizar li l sunla lx +

IS + 11. y sc obscrvani (lue cs nula, corno cra dc csperar.

De los rcsult¿tdos dc este problema se puedcn dcducir diversas c.gncluilQle5.pr¿icticas;Cuando se tiene unu cargq1lg$cquilibradq.gencct¿tda gn-e${g!!gSgt¡gulta.-s! g-(llltigggque las tcnljglqs_g¡ las cargas estÉn fijadas pr¿icticamente.por la alinlqntlgi.ql,.pcr() scoliüénc¡r corricntcs en las líneas tlcsigualcs quc hacen (lue circulc una fuene corricnts (lc

rctorno piiiel ncr¡tro ((¡tc conlo sabcnros cn cl caso dc carga g(p¡il ibrada dcbcrii¡ l lcvaruna cofr icnte nlt la).

dü cstc nl(xlo la corricnle rlc rctorno F)r cl ncuUo scni:

tN = l t tN + lsN + tTN = 12,7 /- 909 + 12,7 ¿- l?()e + 12,7 ¿21fl0 = 31J ¿' l20o A

534 535

ELL,U I RUIVI.AUNU I ISIVIU I LII(LUI I U5 LLI{ I RIL0S

Ctrando la carga t lesequil ibrada en esucl la no . l ieng_unif la _$u _ag-{ !r .o_-al dc lanlilnentación cntonces lN = 0,Jlg_ro t¡lnto las corricntes de línca como las tensiones enlas cargas sc hncen desiguales, pudicndo óstas scr luperiqlgs3 la dc.l¿t qlimqqlacióJ1Jgtclt.sión dcl cerrtro de la esrella deja de.ser prácticamente nula, pudientlo alcanztr valoreaólevarios.

N¿.,-l-;

Autrquc los valores presenhdos en estc problema suponen un fuerte descquilibrio, queno cs f recuentc en la prácüca, pueden servir dc rcferencia para observar los cfcctos¡rcrjudiciales (lue originan las cargas desequilibradas. Siempre que sea posible, elproyectisu tlc una instalación tlcbc pr(rurar distribuir las cargas monofásicas cntrc laslres fa.scs dc la red, intentando lograr un sistcma lo rnás equil ibrado posiblc. En latlistribtrción tlc cnergía elóctrica a un cditicio, la compailía st¡nrinistradora repartc losconsunlos enÚe las diferentes fases, intentando que el inmucblc en su conjunto quedeequilibrado. Como est:t acción se rcaliza en cada uno dc los ctlif icios dc un barrio,ciutlntl, elc. se logra, de acuerdo con la lcy dc los grandcs númcros que sc obtenga unsi.stcnt¡r equi l ibrado. Afortunadamente, las industr ias, que son grandes centros deconsunlo cnergético, üencn su.s cargas relativamente equ¡libradas, nterced il (luc en sut)roceso productivo se incluycn cargas lrifdsicas: motores eléctricos, resi.stencias decalcfacción, etc. y por ello se comportan como rcceptores equ¡librados.

soLUc loN

De acucrdo con (5.49) la tensión del cent¡o de la estrclla N' rcspecto dcl ncutro

de alimenución N vale:

v N ' N = J ur_ I n__l-Y s r¡ Ls-J .Yr ¡¡ IrY¡ ¡ +YS + Y" ¡ ' + Y ¡

si cl sistema es de secuencia direcua, se tendfti:

vnN=# ¿0a; vsN=f f i ¿ - t204: v r .n ¡= '# ¿ l20a

dc dmdc sc dcduce:

tr ¿oo;fu + ¿ - 1 2 0 g +b ' -v 5000

+ 34i ¿ tzla +=' .fi

r ¡ \'' sffx)3 i !.tr

vN'N =l l l

r y * +50 f i , + 50 f i , +o

IiJIiMTI"Of";t S f:'S

DIi APIJCACION 5.6: INDICADOR DE LA SECUENCIA DIi

EI circuito desequilibrado de lalig,5.29, se denomina indicador de la secrcncia

R d

Fig. 5.29

de fuses de Vurley I estó constituído por un condensador y dos lámparas que se conectanen estrelltt a una re¿l trifihica a tres hilos. Si el sistema d¿ alimentación tiene una sucesión de.fuses IIS'l', determinar las tensiones a que sc verdn sometidas las ldmparas de las fases S y'fsi h tansión contputstu de la red es dc 380v. Deducir conclwiones prúcticas. NO-I-A:'l'omarV ¡7y de b red como referencia de fases.

5J6

que da lugar avN'¡¡ = 163,82 ¿81,24e v

de este modo, las tcnsiones resulumtes en cada carga son:

VRN, = VRN

vsN' =vsN -

v1¡' =vTN '

, ' 389 ¿ ae - 163,8 z ¿ 81,249 = 253,02 ¿- 39,78e volrios- Y¡¡'N = 7,v 3

390 , . . . ' \ r ¡ t .vN'N = ffi

¿ - 1200 - 163,82 ¿ 81,24e =316,78 ¿- 110,940 voltios

t ' 3 8 0 ' r ^ ^ 6 r f 1 1 r . ' . , o r . ' A o r t - t ¡ ^ . /vNN = ffi

¿ 1200 - 163,82 ¿ 81,240 = 137,4A ¿- 168,24 volrios

En la fig. 5.30 se ha represcnladg el {iggr4¡paf+pftil concspondicntc. crt clque se aprccia-rll-füeffidesplgz¿1mrgq1q dcl¡gugq [LComo quiera que la lámpara conectada ala fase S tiene una tcnsión iic 37éJEY quc cs supcrior a la tcnsidm dc la tirnparu cokxttla cnta fise T (t 373w-),llairciliia uñt¡uyorliri óii¡¡¡ i¡¡n¡ura tlc la tusc S. El lcctor pucilc-

,-demosrraiquE si:hisuceiión de fases itcga a scr Rfs;enióñceFf¡flímparo nrús ilurninadahubieia sido la colocada cn la fase T. Con estc simple circuito se pucde dctcclar porconsiguienre cl senrido dc suódsióii rie lñscs:lc una rcrl trifásica, que coires¡nnde en carl¿ic¿rsoa la sccucncia: condcnsador - lámpura más l l i i l lante - lánrpara nrenosl¡rillanle. En el caso csturliado la sucesión es: fasc R (condcnsador), fase S (lámpara másbrillante), tase T (lárnpara nlenos brillantc). En la rcalización práctica tle cste circuito, alrlisponersc sóla¡ncnle en el nrcrcado rJe klnrparas dc 220 V, iada fase estii lbnnada rcalntcntepor dos "bonrbillas" dc 20W, 220V, que concsponrJcn áliña rcsistencia uninria de:

537

[:LECI'R( )¡vlACNFI'lS Nlo Y CIRCUIIOS ELIiCTRICOS CIRCUTT0S TRIFASICOS Y CON'II{)NENTES SIMTTR ICAS

Fig. 5.3 t

las im¡rcdancias totales de cada fase son:

Z R = I + l 0 - l l O ; Z S = I + 2 0 = 2 l l l : , Z . 7 = I + 1 5 = 1 6 C l

de cste modo (5.49) nos da la tensión del centro de la estrella:

- ̂ - yl zzoz i¿¡- :-.ts_.= -F = Ju = q.Xp rt.:

quc su[rcnen urr t¡ll¡rl de 4t140 O = 5üX)O para las faxs S y T. El condcnsatlor clegido puedescr tlc l¡rl;, {(X}V. quc tienc u¡¡¡ rc¿cüil¡rcia a 50 llz dc valor:

I nf)fi

R

S

T

N

III\\

\ -¿'t'

Fis. 5.30

. z=xc=# =#* , = 3 r83n = ¡oooa l

I iJ l ivr l -0 DE. ¿ lPI . |CACION 5.7

La red de h ÍiS. 5.31 muestra un sistema simétrico de secuencia directo de330V dc lheo. qtrc alinrcntu lres curgas desequilibrulas concctadas en estrella de impeünciar:Z'R = l0¿0'Q : Z'q = 20 20" {2: Z'T = I5¿0"O. r) S, el interruptor D está cerrado. :ü lcuktr : a) ' fcns ionet VN./V ,Vn,U, ,VS'U, ,Vf .U, ,b) Corr ientes In, lS, IT, IN.2)

Comestur u lus pregunttts unteriores si el inrcrruptor D está abierrc. NOI'A: l)Tómese latcnsitin V p¡¡ dc la ulimentoción cono refuencüt de fases. 2) Las itnpedancius de línea sonfus itttlicaúu en ktfgura.

soLUctoN

I a) L¡s tensioncs simplcs rle la alintcntación scrán:

vN'n¡ = l l l ll r + u + 1 6 " 1

= 1 1 , 9 ¿ 1 9 , 7 6 0 V

las rensiones cntre cada una dc las fases de la rcd y el centro de la esuella serán:

vt tN,= vRN - vN,N = ry ¿ae - l l ,9¿19,?69 - 208,23 ¿- l , l le vo lüos{ 3

tp ¿- t 200 - I I ,g ¿t9,76g = 228,63 ¿- I 2l ,94s volriosVSN. =VSN - VN* =

{ ,tP

¿lz}a - l l ,g ¿tg,1 6e = z2l,86 ¿ 123,03e voltiosv tN '=vTN 'v ¡ ¡ ' *= v ¡

co¡r1o quiera que cada inrpedancia de cnrga está en ser¡e con la corresfnndiente

inrpedancia dc lÍnca, la rcnsión en cada carga se obtcndrá aplicando la regla dcl tl ivi.sor

tle tcnsitin, dando lugar a:

V R , N , = V R N , # = 2 0 t ] , ? 3 ¿ . l , l l r ¡ i f = l 8 9 , 3 z . l , l l 0 V

180 ,, ,.0 -!- 3 8 o

G z , - , ¡ +

G¿_ l2oe * + ,tr ¿no. *

./ n.rr,.

\ , /

/ " r ) ,

s38

V n N = f f ¿ o e ; v s N = f f ¿ - l 2 o o ; v r N =¿ 1200

53e

E LECIROMAG N E]'lS tvto Y C IRC U n'OS ELECI'R ICOS

Z sv s ' ¡ r ' = v s N ' mZ ' r

vT 'N '=v ' I 'N 'm

I b) [.¡r corricntes dc línca scnin:

= 228,63 ¿- l2l,94o

=221,86 ¿ 123,030

18,93 ¿- l , l le A

= t0,89 / - l2 l ,94e A

= 217,74 ¿- l2l ,94o V

208,00 ¿123,03a v

w.2 l

r 5ró

r - Jt:ru- - !09.,J /: !J-11r R = - r ; = w =

, VS.N. _217.74 ¿- lzJ,2{rs=- r ; , =3¿oo

, V1H. 2O8 /t2?..O10tt =-fii = -:ffi: = 13,871123,03e A

y la conicnte dcl ncutro scrá scgún (5.46):

E¡L = I I,g z-lg.zoo = i,gs ¿ 19,76c AIn =-ñ* =-*n*- =

el lcctor pucdc compmbar que cl valor anterior coincidc con la sunta dc las conicntes rlelíncu, como consecuencia de la aplicación del ler lema ¡le Kirchhoff en el nudo N':

lN = IR + 15 + 11 = 18,93 l ' l , l le + 10,89 Z' l2l,94e +13,871123,030= 5,95219,760A

2 a) Al abrir el interruptor D, la nueva tcnsión dcl ccntro de la estrella sení:

i t rro'* +' f fr-r2o'* +'# ¿r,o' �*v¡l 'N = 4 l ,49¿19,76e V

l l l l- r . + +l l 2 l ' 1 6 É

(fo csrc rn(xlo, las tclrsioncs cntrc ca(la fasc de la alimentación y cl centro de la estrella.ser¿in:

vt tN.= vRN - vN.N = ry ¿aa - 41,4g¿lg,76q = 180,9 ¿- 4,459 vol r ios1 3

1rivsN,=vs¡¡ - vN-n¡ = =* ¿ - lzOa. 4 l ,4g¿lg,76s = 252,49 l - l?6,10 vol t ios

v 31Rr)

V'fru' =VTN - VN'N = - ¿ 120"' 4l ,49¿19,76e = 230,43 ¿ 130,24 volÚosv 3

y las tcnsioncs dc c¿lrgl tcndrán un valor:

540 54 I

CtRC Ul I US I R l l '¿ \5 lLU5 | LUIv l l \ . , l rL l { l L , - ¡ J l rv rL I n lL ¡ ' \ ¡

V R f . ¡ ' = V R N ' #

vs 'N '=vsN' f f iv r t ' = v T N ' #

2 b) [¡s conientes de línea senin:

= 180,9 ¿- 4,45s

= 252,49 ¿- 126.le

= 230,43 ¿ 13020

= l8t,45 ¿' 4,450 V

= 240J7 ¿' l26,le V

= 216,03 ¿ 130,20 V

r qil

u2 rl ll 6

r - v.n u- - l0J'1-5-,4:J¿5: =lR= rR =

lozoo- =

, VS'N ' 240-,47 ¿- 126,10I s = T ; = W =

r -Jr¡: ?JSPI-¿-!U¿.:=I'r=*ff = --_tsioo

:y la corrientc del neuuo será igual a ccro al cstar nbierlo este circuito. El lcctor puedc

comprobar quc se cunrPle:

l N = l R + 1 5 + 1 1 = 1 6 , 4 4 ¿ ' 4 A S e + 0 , 0 2 ¿ - 1 2 6 , 0 I f c + 1 4 ' 4 0 1 1 3 0 ' 2 ' � = 0

5.5.2 CARGAS DESEQUTLIDRADAS CONECTADAS EN TRI¡TNGULO

consideremos ahora un receptor desequilibrado conectado enU-iángulo, alimentado por un generador simétrico a ¡ravés de unas imperlanciasde líñea Znu,ZSt,[tt como se muesrrs en la fig. 5.32. Este problcnta seresuelve dctin modo simple transformando las cürgas en triiingulo: Z¡5,ZSt, y Z1¡ en una estrella equivalente: Z'p, Z'3, y Z'7.

De acuerdo con el epígrafe 3.9.3 se tienen los valores:

, . - - zRszTR - , Zns Zs r - .T j *= : lXZry - (5 .52 ) .¿ R= zñ;Z;Fz"rR ; ¿' s= 4FzsfzrR ' a r- Z¡5+Z5a+21¡ '

to que da lugar a unus admitancias tonles por fase:

I _ , I i , IYp = zA;z¿ ;Ys = / , 's* z , , ; Yr = z1r z l

El esquenta resultante corresponde a una conexión en estrelladesequilibradn siñ neutro, que puede resolverse de acuerdo con desarrolloseguiáo en 5.5.1. Así latensión V¡r¡ ' ¡ se puedeobtenerapl icando(-5.49) '

ló,44 ¿- 4,454 A

12,02 ¿- l26,0le A

14,40¿ 130,20 A

(s. s 3)

E L EC fR ( )fvlACi N En S Nl O Y c'l R C U f l Os E LLCTR ICOS

poniendo en ella YN = 0, a partir de esta tensión se calculan las corrientes delínca nrediante las ecuaciones:

Ip =(V¡ ¡ -V¡ ¡ ' ¡ ¡ ¡ Y¡ : 15 =(VSN - VN,N)Y5: 11=(VtN 'VN,N )YT (5 .54)

de este rnodo las tensiones simples en la estrella equivalente serán:

VR'N' = Z'n In ; Vs'N' = Z's Is ; I 'r '¡t ' = Z'r ' lr (5.55)

que concsponden a unas tensiones compues¡as en el receptor en tridngulo:

VR's'= Vn'¡¡ ' - Vs'r . l ' ; Vs"r" = Vs'N' 'VTn'; V1¡ ' = V1¡ ' ' V¡ ' ¡ ' (5 '56)

C IRC U ITOS TRI FA.S ICO.S Y COM ION ENI"ES S I TYI I]TR ICAS

I T

is. 5.33

i m p e d a n c i a s : Z R S = 1 0 ¿ 0 e t l : Z S f = t 0 / 9 0 e n : Z T R = 1 0 ¿ ' 9 0 e Q '

alimentada por un sislema simérico de secuencia positiva de 220 V de llnea.'I'ontando kttensión V p¡¡ de kt atimentación como referencia defuses. culcular: a) corrientes simples I ¡¿s,, I5y e lyp, b) corrientes de línea: Ip' I5 e 17.

S ( ) I -UCION

a) Las tcnsioncs simplcs rJe la alimen¡ación vendrán expresadas por:- - ̂220 '^o ; vsN =4 ¿ - nv ; vr¡¡ =4 ¿nooVRN=JT zu '

{3 {3

lo que da lugar las siguicntes tcnsioncs compuesms:

y tinalntcnre las corrientes simples en la carga gl tridngulo serán:

l _f_r<'r ; I . us'T'.

; Irn =JrK-Ins =Z?, i ' r=Zti ; IrR= Zrs.

V¡ts = 220/joe ; VSt = 22A/.- 90e ;

de este mülo las corrientes de fase se riin:

rRS ='"# =22¿3oq; I .sr =##=22l- ln0e;

b) Las conicntcs coml)tlcstas o dc lí¡rca scriin:

fui:VrR =220/ .1500 ;

IrR =W#=22¿210ec n e l c q¡q. ptljs r l r r e r r l ue s€ d.esBrec ienjas-impedanciiu-dcJtne-¡¡ el. p¡sU!-e masc sirírplificl e no[!!enlenle yü (lue lgs tensiones co¡¡ntestas_en el receBlglcó-iiiflfClt'o¡l lt.s tensionc.s compucstas de la nlimentag!órl. De este modo elciit¿ufo .se pruAEiñi¡mr en Sé¡iiiffi contr$-o-al exÑesib añuí, calculando lasroÁirrr.t simples en el receptor merlianre,(5=S-]) y*."t.,,tan,io ta tE -línia

-lplicrúñt;¡-Turlema dé-Kirclilrciff en los nudos R',S' y T' (que !

TI

IR = IRS - t fn =?2 ¿3Ae '22 / .240q = 42 ,5 Z45e A

lS = lSt - InS =221- l t l00 '22 ¿30a = 42,5 ¿165q A

IT = lrn - Ist =22 ¿210e - 22¿- l t f0e =22¿- 604 Ac o iiiól d mmñ ff$f*trtsspe'crivttme ms[- -- + - - -

EI t i i t tPL? DE , IPLICACION 5.8

En iu Jig. 5.33 se nwcstrü uno carg,a desequilibrula conecmda en tridngulo de

r,^ñz * ¡ r t o f L

3Rs=lo O

VT,

'rr,, zrn

ZÍ;L ' ls_ ___-Ds o I ; L ' l c T '

rád$

542543

ELECTROMACNE'NSMO Y CIRCU¡TOS ELECTRICOS

I'JI;IIII,LO DE API-ICACION 5.9

En la fig. 5 ,34 se muesra una carga desequillbrada conectada en trióngulo deimpedancias: ZRS = 20¿0' f2: ZSf = 20/90e {2: Z¡p = 202' 90e d). olimentada porun sistema sinétrico de sccwncia positlva de 380v d¿ llnea, a tovés ele una llnca de 0+j2{2pr hilo.

'l'o¡nando la rcnsión V ¡¡¡ de la alimentación como rcferencia, calcularo) Corrientes I p ,Ig e Iy de lfnea: b) Tensiones en la corga: VRS. , VSf. ,Vf n,. c)Corrientes de fase: Ipg , I5y, Iyg.

F i g . 5 . 3 4

S O L U C I O N

Al tran.sformar la carga en triángulo en estrclla se obüene de acucrdo con (5.52):

Z ' p = - j 2 0 O ; Z ' S = j 2 0 f l i Z ' T = 2 0 l l

quc cofrcspondcn a unas impedancias totales:

Z R = Z ' R * Z n U = - j z O + j 2 = - j l S O

Z S = j 2 0 + j 2 = + j 2 2 AZr= 20+ jza

cIRCUTTOS T.RIFASICOS Y COMPONEN'I.LS SIIV{E I'RICAS

por lo que según (5.49) la rcnsión cntrc cl ccnuo dc la estrcl la equivalcnte N'y el

ncutro N tlcl generador scrú:

vNl¡

) a

5 . )

ffro' * .ff2-r 2oo É, .'# ¿ nt: #t l l

- J l 8 + W

+ 2 0 + ' 1 2

605 ,88¿109,4.10 V

a)

dc dorule sc dcducen según (5.54) las conientcs tle lfnca:

h =(H z0o - 605,88 ¿tw,44e)* =3e,51236,8eA- - 1 3

rs = (# ¿-nú - 605;88/109,oo')h =31,812 - t72,12a A- { 3¡ r =( # ¿nv - 605,88110e,001f f i=re.49/ -81,384A' 1J3

cl lcctor puedc comprobar quc la sum¡ dc las conientcs antcriorcs cs igual a ccro al noexisür hilo de rctorno.

t ) L¡s lcnsiones simplcs en la carga vicncn exprcsadas cn (5.55) y los resulhilos son:

VR,N' = - j 20 . 39,51 236,8e = 790,2 ¿' 53,2e vVS.N, = j 20 . 34,81 ¿' 172,72e = 696,2/'82,72e V

VT'N' = 20 ' l9 l9 l ' t t l ,380 = 389,8 Z '81 '180 V

que conespondcn a las tcnsioncs compucsuls:

Vp'5' =V¡'¡ ' 'Vs'N' = 3891528'540 v ; vs-r = 306'ú1 ¿'84'42o vVT.R.= 483,06¿149,2e V

c) [¿s conientcs simples en la carga triángulo vicncn dclerminadas por (5.57):

r*, =s##########################################################################################################f = 8,47t 8,54e A: trr=&f9 = É,33t-t74.42' A. 183,0Q/-Jrü.J' = z4,ls¿ z3g,2o ArTR=ff i =

POTENCIA EN SISTEIVIAS TII IFASICOSo cn forma tle adminncias:

t t l l l lY R = r r . = : l l g ; Y s = ü = ; f r ; Y r = ü = z o + j z s i e m e n s

las tensiones simples de la alimcnuación scrán:

vR¡¡ = ry ¿0a : v.s¡¡ ='# ¿ -nle i vrN ='# ¿tzlev 3

5 6 .1 GENERALIDADES ,

Los concepros de potencia insmhtánea, activa, reactiva y aparenteestudiados en el epígrafe 4.9 del capítulo anterior, se pueden extender a lossisremas trifdsicos de un modo simple. Así, si denomina¡uos vl(t), v2(t), y

I

544 545

EI,.ECTROMACNETISMO Y CIR'*,' ELECTRICOS

v t ( t ) , i ¡ las tens iones s in rp les ins tan t ¡ íncas de un s is temr ¡ r i fás ico(equi l ibr l r lo o no), e i ¡( t ) , i2(t) e i3(t) a las corr ientes simples, la ¡rotenciainstanr¡i¡rea total para una conexión en estrella o triángulo serd:

3

p(r) = pr (t) + pe(t) + pl(t) = I vk(t) ik(t)k * l

y de un rnodo aniílogo, la potencia activa o media ¡otal será:

3\i-t

P = L V,. l'. cos g* W (5.59)k = l

rlonde V¡ representa aquí el valor eficaz cle la tensión simple de la fase k, I¡ la

corricnte eficaz sinrple de la'fase k, y cosrp¡ el f.d.p. de la fase k.

De fomn similnr,la potcncia reactiva total sení:

*LQ = L V u l * s e n g k V A R

k = l

y ia potencia apilrente vendrá expresada por:

(5.60)

CIRCUITOS TR¡FASICOS Y COMPONENI'ES SIME, I'RICAS

y si se t iene en cuenta (5.63) y (5.ó4) da lugar a:

$ = ( V ¡ I ¡ c o s g t + j V r t r s e n Q ¡ ) + ( Y Z l z c o s Q Z + j Y Z l z s e n Q z ) +

( Vt 13 cos 93 + j Vl 13 sen 9t ) (5.66)

o en fonna m¿ís compacta:3 3

S = I V r l ¡ c o s { p ¡ + j I V r l r s e n { p ¡k = l k = l

(5 .58)

es decir, de acuerdo con (5.59) y (5.60):

S = P + j Q ( . 5 . ó 8 )

lo que indica t¡ue el módulo de la potencia aparente (5.68) viene tlefinitlo ¡ror(5.61) y no por (5.62),

5 .6 .2 POTENCIAS EN STSTBMAS TRIFASICOSEQUTLIBRADOS

Los conceptos analizados en el epígrafé 5'ó' I sirven para circuitostrifásicos: equilibrados o no, en estrella o triiíngulo; sin embafgo esconveniente v-er las expresiones que resultan cuando el sisteml es sinrétdco yequilibrado. Considerémos las tensiones instantáneas simples:

v ¡ ( t ) = \ n V p c o s t r t t

v2(r) = {2 Vr cos (olt - 120")

v3(t) = {2 Ve cos ( t l t +l20o)

que forman un conjunto simétrico de secuenciasintples de l l fbrma:

i¡( t ) = ü lp cos (cot - (P)

i2(t) = ü tp cos (tot - l20s - A)

i j(t) = {2 Ip cos (rrl t + l20s - 9)

(s.67)

(5.b9)

directa. Scan las corrientes

( 5 .70)

$ = P 2 + e 2

comercn,s.f tut error que ulgunos estudiontes¿ll)arente ilsí: :

3

g = I V * t u

con los ftsores de corientes simples:

I r - l l / @ - e r ) ; 1 2 = 1 3 ¿ ( P - q ; ) ; 1 3 =

la potencia compleja de una fase viene expresadalo tlue cofre sponde a una potencia compleja totel:

s = I v k l * r

VA

el considerar

(5.6 r )

la potencia

vA (5.62)k = l

clcbe destacarse que la expresir in correcta es la (5.61) ' lo que seconrprende nl¿is fióilmente si se utiliz¡n conceptos de porencia compleja.Supéngase que los thsores de tensión simple vienen expresados por:

V f = ! ¡ . / . t t ; V : = V 2 ¿ p ; V l - V 3 / y

\ / .(yg3) (5.64)

según (4.134) por Sf = VI*,

( 5 .63)

que conesponden a una carga equilibrada, en el que tp indica el argumento dela impedancia rle cada lhse. De acuerdo con (5.58) la potencia instantiinct totalseri:

( s .65)

la ccuación (5.71) se convierte en:

p(t) = Vp tp [3.os g+cos (2ort -g)+cos (2cot +1204-g)+cos (2art -120!--9 ) ](5 .73)

alrgra bien, la suma del 2s, 3e y 4e sumando de la ecuación anterior, represent"a

un sistcma equilibrado o siméuico (que gira a la velocidad angular 2ol), por loquc su suma es cero. De este modo (5.73) se transforma en:

CIRCUITOS TRTFASICOS Y COMTONENTES SIMTTR¡CAS

Fig. 5.35

que coincide con la potencia instantinea como era de esperar al ser p(t)constante. Si se compara (5.75) con (5.59) se observa que en un sistemarifásico equilibrado, la potencia activa total es tres veces la potencia activa deuna fase. De un ¡nodo an¡ílogo la potencia reactiva total de u¡l siste¡llaequilibrado d.trú:

ELECTROMACNETI.S MO Y CIRCU ITOS ELECTRICOS

3rp(t) =

Lvk(t) in(t) =

k = lr

I cos ot cos (ox-g)+cos (ox- 120") cos (ot- l20o-rp).r.1

= 2v r Ip

[ *.or(rot+120o) cos (o¡t + l20o -g) I

tenicndo cn cuenta la identidad trigonométrica:

c o s x c o s y = * [ r o , ( x + Y ) + c o s ( x - y ) ]

p(t) = I Vp Ip cos I

(5 .7 I )

(5 .7 2)

(5.7 4)

quc curiosanrente (¿?) no depentle del tiempo. ¡Eyllllsu@lda_s-orprendente!.ir e.tg 1q9!E ¿ e r e iird ra re a . 9,r'¡g e . g n _gljrrqur-Iil rno ndnises-Jmgiñiinrii¡iirdlcr¡tle'cúacrcr pulsuiolío,osil[arulo <Lurufrecuenciu doA[E queTaretf rctp¿"jfu*5Pe9!s-dc=u

i l i l l rndr l . los téeqrrililrr:r!g.*[qs. términossiru¡seidele+depulsación2olse-cancelanr.ug-llv in ñritcñcia instantánea es conslante, En la f ie. 5'35 se aprecian¿Iárurnen a'ddiffisiones, córrien-te¡.rpotencias de cada unrl_ql_g las.fases g¡e--o-!-¡9".¡ya el IES-ultado-.dQ-$Lsuma,

La potenci¿l medit o activa serít:

Tr r

P = i J p ( t ) d t = 3 V p I r c o s g w

R r ( t ) =Vr l rcos r1 r

v r ( t )

p 2 ( t ) = u r l c o a J c o s [ z t u t - l a o e

) - i ] p ( t ) = p t ( t ) r p 2 ( t l r " p 3 ( t )

p ( t ) = 3 V F I r c o s o

p3( t ) = - Vr l rcos o ?Vf Ip "o" [Z

( , ¡ r t -a¿or l - i l

5.1ll

(5 .7 5)

549

E L, ECTR OÑ'I ACN EN S NI O Y C I RC UTTOS E LESI- RICOS

Q = 3 Qror. = J Vr IF sen g VAr

y lil potenci;t itpitrente se r¿í:

g = @ 3 v p t p v A "5.7 ' l \

cn la tigurl 5.36 se ¡nuestra el triángulo de-potencias, que es anllogc'al de lafig. J.a9 dcl clpítulo anlerior, pero con un factor de escala tres veces tnayor.

Q= 3Vr I ' sen {

P : I V F I F c o s Y

Fig. 5.36

Debe clesracarscjuc-E¡ los c¡ílculos anteriore$E-¡¡fili znn valQres

si¡roles o tlg f'aSb-dg-ieffii-o_riqS:y comgntgs.,.y $g-qp!isqn-ir.SiSte milllq¡lcctndoscn isrrclla o Eñ]ñíqeü_q¡.Urtisún¡it[Lqn¡p. En cualqüier caso coloc,idq el f.d'grte la clrSir"Tg¡í.lrreilq]gdLja t91s!ór! rle f¡rse y-l¡rcorientc-rle-fase,para¡n<tdi déíenriiñ-ii la poienii[ aitiva dq!_g!-s1g¡¡a !r¡f¿íSlgo, E4¡luchos casos,.i;í;;é,iirll,ü.r4ler!Ñ'"pt¿TTóñ"¡Tñ1Gl!9-h-*,..{"óT'"p*i6les"-Por¿J¿,¡¡t";'* nroror úI,fTsiE6 coñecridó-en tri¿ingulo iiene trél-iiññiialesoic.rit lés que se unen a la red de alimentlción, o si está conectado en esrella,.i n.utro de la ¡¡lisnla no es ilccesible desde el exterior. ppf-¡Odq 9ü9, e!-c o n v qr i g n t q expresul as-poten ci a s-lnte riores"cn-func ión-d-e-v¡!-qre s d e I ín e a'v;;fr*i,it.t-iirñloru¡-riue s-e.rt,jel.¡-p¡¡¡-sqrsas cp¡gqtadaléñeStie-llebri;íngulo.

r ¡ü cAl l ( ;A t :QUILII tRADA CON¡:C' � tADA EN ESTRnLLA

tin la tig. -5.374 se muesfia unü ci¡rga conectnda en estrella de impedancia

z ap a/ ftrse que representa por ejcmplo el circuito .et¡uivalente de

un ,ri,rto, rriftisiio. Se indican los vulores nrodulares de las tensiones y

iorri",rr"s sirn¡rles y cornpuestos. La relación entr€ ellos es según (5.14) y( 5 . l 9 ) :

CIRCUN )S TRIFASICOS Y COI"ITONENTES SIMEÍRICAS

( .5.7 6)

\II

t ¡ )

Fig. 5,37

que al sr¡st i tuir en (5 75), (5.76) y (5 .77) result Í t :

P ' 3'y'F Ip cos {p = 3 * I¡ cos {p - {l Vr- I¡ cos tpY J

Q = 3 V r . I p s e n g = 3 + I ¡ s e n q = { 3 V r - l ¡ s e n Q' ./3S * 3 v p l r , = f i v l l l

V p n = V L ; I F = *

(s.7e)

relaciones que expresan las potencias en función de valores de línea

(Conviene recalcnr que I es el ingulo qtre forman la tensión y la corrientec¡r cada tase y no la tensió¡r de línea con la corrientc de línca).

bl_ql R err-EQtlrlt nRAD^-coNEcrA D a EN TRIA NG u Lo

En la f ig. 5.37b se muestm un¡ carga conectada en tr i i íngulg t te

impedancia ZZg O / fasc, en la que se indican los valores simples y

compuestos de tensiones y corrientes. Las relaciones modulares en¡reelloide acuerdo con (5.26) y (5.38) son:

(s.80)

de este n lodo (5.75) , (5 .76)

p = 3 V F ^ l p c o s { p = 3 V L *

Q = 3 v p , r l r s e n p = 3 V r - t *

L¿ . /3

P - 3 V r ' ¡ l r ; = 3 V r - L =d3

y (5 .11) se tratlstbrrnlln rtsí:

cos{P= f i V¡ I ¡ cos*

s e n Q = f i V L I L s e n q ( 5 . 8 1 )

f i V L I ¡

T T \

s O * -

L

550

V F = *

; l F = l L (5.7rf)

.5.5 I

ELECTROMACNMS MO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

cxpresiones que coinciden con las dcmostradas en el caso de conexiónen cs[ella.

IiI l i l l íPt.O DE APL,CACION S.I0

Tre s impefuncias dc 3+j4 12 esttin conectadas en cstrella a u¡u red trifiísica de220 v de línea . Calcular las potencias P, Q ¡ S absorbidas por esns cargas.

S O L U C I O N

Si sc clige la tensión en la tase R como referencia se tendrá:

y F)r consilluicnte la conientc dc la fasc R scrá:

ry¿oeIR=ry=#r*

con ello sc tienc:

(lue coincidcn con lo.s valorcs calculados anteriormentc.

v L = 2 2 0 v ; I u - l p f r

; g = 5 3 , 1 3 9

y p()r ello rcsulhrá:

P={J . zzo .+cos{ 3

Co l r tp r ( ) l l i t c ión :

La potcncia activa cs la ¡ntcncia disipada en la parte resistiva tlc la impcdancia:

P = 3 . R . lF2 = 3 . t . t* ) 2 = 5808 wv 3

y la potcncia rcuctiva cs la potcncia cn l¿l rcacuncia;

Q = 3 . X . l r 2 = 3 . 4 . t * 1 2 = 7 7 4 4 V A Rv 3

53,13e= 5808 W; Q =./J . 220 .+ sen 53,134= 7744 vARv 3

S = { J , z z o , + = 9 6 8 o v A{ t

CIRCUITOS TRIFAS¡COS Y COMPONENTES SIMSI'RICAS

EJEMPLO DE APLICACION 5.IT

Calculur las potencius P, Q y S en el circuito del ejenplo de uplicación 5.8.

SOLUCION

La tcnsión dc tínea que coincide con la dc fasc dc las cafgas es tle 220V. Losmódulos dc las conientes en cada fasc son:

l ¡ = l l ¡ 5 l = 2 2 A : 1 2 = l . t 5 1 l = 2 2 A i l l = l 1 1 ¡ l = 2 2 A

y las fases de c¡da carga son:

9t = 0" i rP2 = 90o I rp3 ='90o

dc este modo la potcncia activa tot¡l scni:

P = I V¡ l¡ cos e¡ = 220, 22 [ cos ü + cos 90o + cos (' 900) | = 4840 W

y la potencia reacdva:

Q = I Vr t¡ scn g¡ = 22O .22 [ sen 00 + scn 90e + sen C 90") t = 0 VAR

de csp modo se obtienc:

s = {Flñr= 4840 vAE.IEMPLO DE APLICACION S.I2

IJ na red trifikica de 20 kV de llnea alimento una instalación que tlispone'.de tloscargas: a) IJno conectada en trián¡¡ulo de 3ül kVA conf.d.p.035 inductivo b) otra conectadaen estrella de I(N kVA con [.d.p.0,95 capacitivo. Calcular: l) Potencius P,Q y Sequivalentes cle Ia instalación,2) Módtdo de Ia corrienrc de llnea total al¡sorbido, 3) F.tl.p. delcon|unlo.

r, 220VRN = fi

zUe

= ft* 53,r3g

l) Las ¡ltenci¡ts parü la carga il

Pu = S, cos ga = 3U) . 0,tf5 = 255

y para la carga b:

Pb = 56 cos gb = 100 . 0,95 = 95

de este modo rcsulu¡:

S O L U C I O N

son:

kW ;Q , = S , scn ga = 3m.0 ,527 = 158 ,03 kV¡ \ l t

kW ; Qt = 56 scn 9b = 100.( - 0,3 l2 l ) - - 31,72 kVAR

552 ss3

2\

.S = (155 +c.s tlt:cir:

P ' [ = ] 5 0 k w ; Q r =

Como quicra que:

Sc tcrtdrii:

I r =

3) H f.(1.p. dcl cott junto scr¿i:

St

VJu,-

PTCOS (f[' =

S, =

EJIi i lPLO DIi , IPLICACION 5.13

lJna carga rriftísictt equilibrada tiene 24(DV de línea I consume 300kl1t con

fi.p. 0,8 inductivo. Lu curga cstá alinenrada ¡nr una línea de impedancia ZL - 0,2 + il J A

por hilo. Calcuhr la rcnsión conryuestd a principio de línea.

SOLUCION

Aunquc no cs neccsrrio conocer cómo estl coneclada la carga, pulemosconsitlcrar r¡uc estÁ cn cst¡clla. Sc tcndni una corricntc de lÍne¿¡:

P 300 000f ¡ = r

- _ _ _ _ = F - - = 9 0 , 2 1 Av r / l V ¡ c o s r p V 3 2 4 o o o , 8

si sc rorn¡l l:r rcnsión .sirnplc de la fasc R' dcl reccpior como rcferc¡tcia, sc tcnclni:

V R .N = lllA /.os = I 385 ,(A ¿0e volrios! J

IR = 90,2|¿ - 36,t l7oampcrios

(lc c.\tc nr()do lu tcn.sirir¡ la.sc-ncutro ll print:ipio tlc línca scni:

VH¡¡ = VR'N + ZL lR = 1385,(A¿()e t (0,2 + j l , l ) 90,21 ¿ - 36,870

rx drcir:vRN = 116l ,27 ¿2,69o

554

CIRCUTTOS TRI FASICOS Y COI''I IUN I,NTES SIN,IT'I'R ICAS

lo que cofres[nn(le a un m(Xlulo tle la tcnsión simplc tlc:

VF = 146l '22v

y a un mrxlulo de la tcnsión colnpuesta:

5.1

vL = {T r¿e l ,zz= 2530,9 v

CORRECCTON DEL I . 'ACTOR DE POTENCTA EN' I 'R I .F A S I C A

Consiclerarenlos únicamente la elevación del f.d.p. de los circttitoseeuilibrados. Ya se ha estucliado en el capítulo 4 y con suficiente amplittrd cloór aué es necesario corregir el f.d.p.de ias instalaciones. Cuando el sistcnla

is trifásico el problema es i-tléntico ai estt¡diado pero haciendo los cilculos por

fase .

Para mayor facilidad, consideremos que se tiene una cilrga

inrluctiva equilibrada conecnda en esrella y sea I el úngulo Tte fornra la V de

fase con la i ¿e fase, infentemos corregir el f.d.p. por medio de una estrella tlecondensadores, como indica la fig. 5.38.

Fig. 5.38

[.4 corriente de carga lp¡ se retrasa 91 grados de la tensión VX¡

(lraremos el ciilculo únicanlente para la fase R, en las otras se repite lo ntisnxr).bo,no ouiera ttue la estrella de iondensadores está et'¡rril ibrtda, el ccntro de laestrelln estari

'0 volticls ( igual quc el centro de la estrella de cargas ), es co¡rlo

si un hilo conductor imaginario y sin impedancia uniera ambos neulros. Lacorriente Ip6 cn r¡n conde]tsitdor itbemos que se adelanta 90o a su tensión (cn

esre caso Vp¡¡ por lo t¡ue la cornposición geométrica que da el prinrer letr¡a tlc

E LEC-[ R( )lvt AC¡ N fn S NlO Y Cl RC UIIOS [:LEC' I R lC( )S

j l 5t t .0l) + (95 - j3l .2?\ = 350 + j lzó,t f l

126,81 kvAR; Sr=m=372,26 kvA

Sr=üut IL = 37z,26kVA

3'12260

fi zoooo= 10,75A

350 = 0,940 inductivo372,26

,/

555

ELECTROMAGNMS MO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

Kirchhofl en el nudo R, se expresa por el diagrama de la f ig, 5.39.

vRu

Fis. 5.39

Donde rp2 es el ángulo de desfase final entre tensión y corriente.Nuestro problema es hallar l¡g y también la capacidad C cuando se conoce lapotencia activa de la carga. Para ello si calculamos la corriente de línea Ip¡ :

I I R I | =

de la fig. 5.39 obtenemos:

conocido e l va lor decondensadores:

f i V ¡ cos gr

f I nCf ob tenen los l¿ r po tenc ia

Inc I sen gó'

E*t 'cr- , \ \ - t r \ \ L- t (¿ l

( 5 .82 )

l O N l = l O P l c o s g l = l I p ¡ l c o s g r ; l P N l = l O P l s e n g ¡ = l I R I I s e n g ¡

I MN | = lON I tg gz = | IR¡ lcos g¡ tg 92

por lo que:

I P M | = | I p q l = | P N l - | M N l = l I R t I s e n g l - l I n ¡ l c o s g ¡ t g g 2

(luc es :I l p g l = | I p ¡ | c o s r p ¡ ( r g g r - t g g z ) (5 .93 )

reac t iva d e los

Q c = 1 T v u lt . t '

que es:

5 5(,

I n t o . " I\ l

Q c = P ( t g g t - t g g z ) ( 5.tt-l)

pero como se trene:

5s7

CIRCUTTOS TR¡FASICOS Y COMPONENTES SIMETRICAS

irléntica a la (4.148) lo que ocu¡¡e es que en la expresión (5.84) In potencia Pes trifásica total, obtenibndo para Q.'la potencia reactiva total del gnrpo de

condensadores. Puesto que la expresión (5.84) es válida, venlos que entoncespodremos emplear también la tabla del faoor de conección del capítulo 4 paraelevar el f.d.p. en triflsica.

Pa¡a calcular la capacidad, al igual que en monofásica, se tendrd

que la inrpedancia del condensador l/Cto se puede calcular nlediante elcociente ténsión del condensador , que es la tensión sintple de la red,dividido por ll¡gl es decir:

I YE--ct

= TTíAI =+ f = l-lnr-lVp 0)

(s.8s )

Vantos a ver seguidamente un resultado priictico interesante. I-aexpresión (5.85) nos da la capacidad de cada uno de los condensadorescoirectados en estrella. ¿Cuúl sería la cupacidud tle unos condensadoresconecrados en tridngulo que eleven elf.d.p. al mismo valor que la eYrellu?.

La pregunta es fácil de contestar recordando la-equivalenci¡testrella-triánguio. .Si llamanros Cy la capacidad de los condensadores enesrella y C6 ia capacidad equivalentc de los condensadores en triingulo, (fig.

5.40). La equivalencia entre las redes, de acuerdo con lo estudiado en elapartado 3.9.3 será:

Tz^€' + c^

s\ c-) r c.'/H F

Fig. 5.40

Z 6 = 3 Z v

ELECTRONIAGNMSN'IO Y C¡RCUTTOS ELECI'RICOS (.]IRCUTTOS'TRIFASICOS Y CONII\)NENTES SIMETR ICAS

dc dondc cos I = cos 51,-17 = 0,623, por lo que:

P = f i 415 . 5,g7. o,é23 = 2673 w

El diagrarna f asorial de sisterna es cl represe ntatlo cn la fig. 5.41, clondc sc ha elcgido

Fig. 5.41

como referencia la tensión simple y donde se ha supuesto en principio que loscondensadores están en estrella. Como quiera que hay que clevar el f.d.p. tourl de lainsta|ac iónalauni t |ad|acorr ientecapacidvanecesar ia, r lcacuert locon. laf igurascrá: � �

l - ' t , , . , (

U ¡ g l = l l ¡ ¡ l s c n g t = 5 , 9 ? . s e n 5 l , 4 7 e = 4 , 6 7 A * ¿ ( - r ' t ' ' L ' ' ( ' t ' l

Si los condensadores están en cst¡ella, la tensión de cada condcnsador será:

V C = V F = 2 3 9 , f i 0 V

y la irnpcdancia capacitiva de cada fase scrá:

por lo t¡ue:

cA ( 5 .86)

Co¡rclusión ntuy irnportante ya que nos dice que para conegir unf.d.p. la capacidad nccesaria del rr iángulo es rres v€ces mcnor que lacapacidad necesaria en estrella, esto hace que el fabricante de condensadorestr i t ls icos diseñe los nr is¡nos directarnente en tr idngulo, ya que obriene clnris¡lo efec¡o r¡uc la estrella con res Veces nlenos cirpacidad.

ó t , lE¡ÍPI.O lr t i ¡ tPI. tcACIoN 5.11

L'adt fasc de una curg,a tdúsica conectado en estelkt tiene_25 ohtttios der c.r i.r te nc ia y 0, I I I . de i ruluc tuncio, culcular :

u). La corriente de lÍnet,la ¡ntencia obsorbida y el factor de porcncia cuandocst¿ cürga sc conect.r u urut red trifiisica de 50 I lz. 4 I 5lr,

b) La mpacidad por lase tle w grupo de condcnsddores conecrados en triángulot¡ue eleven cl J'i.p. a la unidad, y kt potencia reactiva correspondiente en los ntismos.

I Z,^l = -!-u

C6{r)l Z v l = l -

' Cy{r)

239.60L F

ff i,:,t,e7A. :

9y3

b)

S O L U C I O N

a) La reacuurcia dc cada lase cs:

X L = L t r l - 0 , 1 . 2 n . 5 0 = 3 1 , 4 O

La iln¡rctlancia complcja scrá:

Z = 25 + j 3 | ,4 = 40 , l3 ¿5 1 ,470 ohmios

l-ucgo cl ángulo p¡ tlue rcuasa la corricntc dc la tcnsión es 51,47"

[ .a tcnsión s i rnple dc la rcd es:

Vp=J l l =239,60v' V 3

por cl ángukl dc la conicntc (lc lÍ¡tc¿t .scrá:

?:

\ ..:.f

, -$ '¿-

.i/ ,lt5

V rl L = l F =

i =

rJe tlonrlc:

que son 62 ¡tF, por lo que la capacidad en triángulo scrá trcs vcces menor como sc l¡aindicado antó.s, es dccir:

a3

I Vc 2 39'60 = 5 I ,3 ohnr i 'sc ' r = l \ * l =

d 6 ?

r ' . - - l - -Á , )5 1 , 3 t , l 5 1 , 3 . 2 r . i l

= 6 ' 2 ' l o ' ) F

la grtcncia absorbida 1nr la ciugÍl seni:

, \ ' , : ) \ j 5 . - P = V T V U l f . c o s g

I o T o . u I

55 tt

C'6 = = 20,6ó pF

5.59

ELECTROMACNffiS¡v|O Y CIRCUITOS ELECTR¡COS

Ln potencia reactiva de los condensadorcs. la vamos a calcula¡ si está el grupoconecudo en est¡clla (da lo mismo en triángulo, a cfccros de potcncia).

q: ú vs l l¡slscn 90c = ü. ¿ls .4,67 = ¡rso ven--

El lector puede comprobar estos resultados utilizando la tabla de factores de conección(1'abla N? delcapítulo 4).

s.8 rlrEDrQA DB.LA POTENCTA EN STSTEMAS TRITAS-IC9$

5.8.I GENERALIDADES

En el epígrafe 4.12 se analizó la medida de la porencia en uncircuito de c.a. monofásico. Recuérdese que la lectura de un vatí¡netro, queliene conectada su bobina voltimétrica a una tensión V, y por cuya bobina

anr¡lerimétrica circula una corriente Iu, siendo a el ángulo entre los fasores deanlba.s señales es:

hi loscomo

Fig, 5.42

surna de las potencias parciales de cada fase, es decir:

P = P r + P z + P l

CIRCUITOS TRI FAS ICOS Y COM ITCNET.¡TES SI METR ICA

suficiente utilizar un único vatímetro conec¡itdo a una fase, tle tal nloclo que lapotencia total sení Ees veces la que marque este vrtÍ¡netro.

Cuando la red tiene sólamente ¡res hilos (es decir no existe lriloneutro), estmdo la carga en esuella o triángulo, et¡uilibrada o no; se puedeefectuar la medida de la potencia trifdsica utilizando sólanrente dos vatí¡neuos.En general el mínimo número de vatímetros que se recluiere para nredir lapotencia en un sistema polifásico es uno menos que el núnrero de hilos oóonductores del sistema (Teorema de Blondel ). Veamos l¡ demosración parau¡r siste¡¡ra trif¿ísico a ¡res hilos.

Sabenlos que la potencia instantúnea total de un siste¡na trifísicovale:

p(t) = vRN (t) in ( t) + vSN (t) is ( t ) + vrN (t) i1 ( t) (5.89)

si el sistenla tiene tres hilos, entonrjes se cutnple:

Tt f

P = i I u* (r) i r (r) dt = V* I , cos u (5.87)T J

Si se desea meJir la potencia (activa) de un sistema trifásico a 4(equilibrado o no) necesitÍIremos tres vatímetros uno por cada fase talse rnuestra en la fig. 5.42. La potencia total del conjunto ser¿í igual a la

i p ( t ) + i 5 ( t ) + i r ( t ) = 0

en consecuencia se puede deducir una corriente deejenrplo se despeja i1(t), resulta:

ir (t) = - iP (t) ' iS (t)

(5 .90)

las otras dos; s i por

(5 .e I )

(5 .92)

que llevando a (5.89) da un valor para la potencia instantinea p(t):

p(t) = vRN(t) in(t) + vsN(t) i5(t) +vrN(t) [- in (t) - is (t) ]

es decir:

si se rla el caso especial de que la carga está equilibrada, entonces serii

p(r) = [ vn¡(r) - vrN(r) ] ip(r) +

pero como quiera que se cunrple:

vp¡(t) - vrru(t) = vp1(t) ;

I urN(r) - vrN(r) ] i5(t) (5.93)

v5¡¡(t) - v¡.¡(t) = v51(t) ( 5 .e4 )

(5 .95 )

resultard una expresión para la potencia instrntdnea:

p(r) = v¡1(r) ip(r) + v5flr) i5(r) = pr(r) + p2(t)

lo que demuestra que se puetle medir la potencia total de un sistenra triftisico atres hilos (equilibrado o no) por medio de dos vatínretros. Las conexionesdeben ser las siguientes:

(5 .88)

5(r0 5 6 1

Et-ECTRO¡vlAcNmsNlo Y CIFCUITOS ELECTRICOS

v A i l N l l t T l t o I :

I lobinu voltirnetrici l conecttda entre las fases R y'l ' .l]obin¿l ünlperimétrica en scrie con la fise R.

l-a lcctura correspondiente será:

Vnr I¡¡ cos Ct, (5.96a)

siendo u el i{ngulo de dcsfase entre v¡1e ip. Crrando se realizan problemasy se trabaja co¡r valores fasori¡rles es a veces más priíctico obtener la potenciaanterior ntediante la cxpresión:

P t = R e t v R T , I R * | (5.96b)

vA'i lNl l i ' l 'Ro lz

Bobina voltinrétrica conectada entre las fases S y T.llobina amperintérica en serie con la f ase S.

l-a lectura correspondierlte será:

CIRCUITOÍ TRIFASICOS Y COMPONENTES SIMETRrcAS

cargu rrifiísica de la fig. 5.43. Este procedinriento de medida se conocc en lapráctica cor'¡lo c(tnexióll ¡\ron.

sO-

Fig. 5.43

Es imp(,rtan te parlll¡qdi4!9ió-n.de.Ul ¡le-diüf. grleqtíLlg$I¡-eUrflas oolarida¿es tañtó-d¿ t¿¡s bobinas anrpcrinrétricas corno voltintétricas dc lo5iñi-"il*Tt,y--i,ffi ;-.tt,,gb4j"rierrascondicionestleléru_ieib-.(Ñr ejerlrplo en ensayos de vacío y cortoclrcullo de lnaqutnltsetlctricas), aleuue.ilb-!qs_dgs_Ig!lpg[9: qy_99.1!g_{gtj ¿uI.!e,g!t-tqt-t-egativi¡s, -En estos casos, para poder efectuar Ia medlda corresponolente ts l)reclsoíñGis.inl6ilil;stlrmi¡xrtesdel¿¡lqhin¡-vg!tinrétrica o.f|q.lq unrperirn{trica. !--)9.esilrnodo la potencia ntedida por este vatínrct¡o deberá considerarse e¡llollct:s.-erl! islr-o -'!ülí.qI ia éc u ¿ü i ó-q ( 5.9 8 )'

5.8.2 t l lEDlDrr DE t ,A POTENCIA EN CIRCUITOS EQUILII IRADOS

Supóngase que la carga de la fig. 5'43, esti formadn por lrcs

inrpetlancias iguales Z g (carga equilibrada) en esrella o riángulo. lin es¡ccaio se obtendrd¡t unas corrientes de línea de igual nródulo y deslasadas rlc

las tens iones s imp les de la red e l ingu lo rp (n rgumento de lus

inrpedancias). En la fig. 5.44 se han representado en un diagrama fasorial lits

tensiones simples y compuestas, y también las corrien¡es de línca.De ncuerdo

con este diagranra fasorial el ingulo ct que aparece en (5.9ó) y que represen¡a

el desfase enrre V¡1e Ip es 30n - q, mientras que el ángulo p que aparece cn

(-5.97) es el destjrse que exisle enrre v51q Is y que vale: -10s + 9. El módulo

de lirs tensiortcs de línea es V¡ ! el nródulo de las corrientes de línea es l¡-, rle

esre modo las lecturas de los vutímetros de acuerdo con (5.96) y (5.97) senin:

= I le I Vn ' r [R* | = V I . IL cos (30e - (p ) (5 .99)

= I te I VS-1. IS ' l= VU I l cos (30 ' r + q)

t 1 :Pr =

i l u * . r ( r ) iR ( r )d r =

i T

P 2 = * [ u r r ( t ) i s ( t ) t l t =' T i ,Vsr 15 cos B

en el t¡ue p indica el desfi¡se entre v51e i5. Al igual que en el caso anterior,cunndo se reitliz.an problentas y se trabaja con valores tasoriales es a vecesmds priíctico obtener la potencia anterior nrcdiante la expresión:

P 2 = R e I V s r . l s * l (5.97b)

[,] esquertta de montlje es el ¡nosuado en la fig. 5'43. Debido a la

naturaleza t le l ls conexiones. t t inguna de las lecturas (P¡ ó P2) t iene en sí

rlrisrn¡r un significado físico conro potencia de alguna parte de la carga' Sincrnbargo su sumil algcbraica :

( 5.97a )

(5 .98)P = P t + P :

represcntil dc lcuerclo con (5.9-5). llt potencia ¡tctiv¡t to¡al absorbida por la

562

P ¡

Pr

56_l

ELECTROMACNMS MO Y CIRCUMOS ELECTRICOS

(le cste nl()do la potencia totíi l absorbida por la carga serú:

vst

Fig. 5.44

P = Pr + P2 = ./3 vu l¡. cos tp (5.100)

(lue representa la potencia activa de un sistema equilibrado. Si se analizan laslecturas de los vatfmetros (5.99), se pueden obtener los siguientes casosp'articuliucs:

I) Si la cttrgu es resistivu pura, g - 0o, y ambas lecturas .rerdn iguales:P t=Pz'

2) Si tp <(t0o, es decir si elf.d.p. es superior a0,5, entonces se tendrd :P 7 > A y P Z > 0 .

Si ,tt =()0" (f.d.p. = 0,5), entonces el segundo vaúmetro dora urw lecturanulu (Pl = 0).

,Si p > ó0o , entonces cos (30o * e) és negotivo y el vatímetro Pt clarú unülectura negutivü. Paro pocler efectuur lu medicla clebercí i¡tvertirse una deIas bobinas clel vat{metro 2. La polenciü sigue siendo lu sunta cle P ¡(pctsitiwr) y Pz (negativo).

De las lecturas de los vatímetros se puede deducir también elf.d.p. de la cnrga. Restando los valores de P¡ y P2 de (5.99) se obtiene :

5&l

CIRC UTTOS TRI FAS ICOS Y COÑI t\)N ENTES S IIVI ETR ICAS

P¡ - PZ = Vl I¡ sen {P

y dividiendo (5.101) por (5.100) resulta:

gtj& = + rseP ¡ + P 2 . f ] * o

es decir:

rse=./3FFApor lo que el f.d.p. seríi:

c O S P =

,+ 3 t 55t1,

( s . l 0 l )

( s .102 )

(5 . 103)

(5 . 103)

3)

1)

de las lecturas de los vatímelros se puede obtener también la potencia reactivade la carga:

a = ./3 V¡ I¡ sen rp = .n (pr - P2) (5 . I 04 )

UEMTLO pE. APIJCA

Una instalación alimenrada por una rcd trifúsica simétrica dc 3ll0V dc tensitincompuesta y 50H2, consta de los siguientcs cargas: a) un ¡notor trilásico de l0kW,

rendimiento det 86Vo y f.d.p. ̂ En inductiw, b) un conjunto trilósico de resistencias decalefacción, con unu potencia onl de SkW; c) un motor rifósico de 7kW.4 = 80Vo, cos tp =

I tú, inductivo. Calcular: I ) Móduto de las corrientes prciales absorbidas por coda carga yonl de la instalación con suf.d.p.2) Leaurus de dos vatímetros colocados correctameue yque midan la potencia (activa) absorbido ¡nr la insnlación. 3) Potencia reactiva y capaciútdpr fase de una batería de condensadores conectndos en trióng,ulo, que elcven el f.d.p. del

., conjunto a la unklad.4) Conrcsnr el apartulo 2 cuando lu instalación lleva incorporados los''conde¡sadores

calculados en el opartulo 3,

.qg.l:lj_-c_l0N

l) Los múlulos dc las corrientcs rle línea son:

f _ P' a r13 r t V cosg

, 5 0 0 0lb =f f = 7,6A_ v 3 3 9 0

A ¡ t^ A . " a / l

380 0 ,86 T.fr

I

r () 000 = 20.{A

7 000t -t c = l t f ,8A{J r8o o,B -!-

'{ z

Polil.,g_¿!!gg.ll l . lq g-qltignlc tot¡¡1, dcbcrin sumarse ggg-!!ti.tric_untante llasoriall lasI

: r a d l o = V '

565

corricntcs anlcriorcs t le una dctcrminüd¿¡ fase (R, S, ó T) . Si se el ige la nnsiórr V¡¡¡

conro rcl'crcnciil dc liue, rcsultffá:

vRN = ffi ¿oe

y las exprcsioncs fasori¡¡lcs de las corrientcs en la fase R, correspondientes a las cargasunlcriorcs , rcnicndo e n cucnla que lus cugíts son intluctivas, ( cs decir las corrientes serctfilsafi rcspccto ü lü tcltsitin ) scrán:

IR, , = 20 , -1 / . - ; t rco , S = ?0 , - l / - 300 A; IRb = 7 ,6¿ürcos | =1 ,6 ¿00 A

IR. = 18,8 / . - '¿rcco, + = l8 ,8/ . ' 45sv 2

(le cste nlo(lo la conicntc total dc la instalación en la fase R scni:

I R r o r a t - I p u + l R b + I R . = 4 5 , 1 7 ¿ - 3 1 , 3 5 0 A

:á I S,ora l = .15,1 7 ¿- l5 l ,35g A ; ITrora l = 45,17 ¿+88,65e A

es dccir la nlagn¡tr¡t l de l¿ corriente total es de 45,17 A y el f.d.p. será: cos 31.,35o =(),85.1 .

S i so cotocan los vatímeuos como se indica en la [ ig. 5.43, al ser el sistemacrluil ibrado, l¿ls tccturas ven(lrán expresadas por (5.99), en las que {p = 31,35o (losdisfttses Je colrJitleran positivos para car7(N inductival ), rosultando:

Pl = Vf- l ¡ cos ( 300 - I ) = 380 . 45,17 . cos (300 - 31,50) = l7l60w

P ¿=Vt- I ¡ cos ( 300 + (p ) = 380 . 45,17, cos (300 + 31,50) - 8230W

I)or lo (pte h potcncia toul absorbitla por la insurlación cs:

P = Pl + P2 = 17260 + 8230 = 25390W

(il¡e sc puüdc cotnprobar t¡uc coincidc con:

p = { J VU I ¡ cos t p = t ñ 380 . ' l 5 , l 7 . cos 31 ,50 = 25390W

() tantbión con:

p fu , l. t0000 5000 7000. = 253?g!y' = 253g0wp='3 + - -s +:= =t f f i + t :1 . t " *

I'la tlU Tlc tr'lfo I \r,Ó

que prÍcticuucnre coincidc con los v¿¡lorcs ünteriores, lenicndo e¡l cucnta los erTores de

rcd0tttlctl.

CIRCUf fOS TRI FASICOS Y CO¡'l I{)NENTES SINIETR ICAS

Las potcnci:ts Pt Y PZ se puedcn dctcrminar umbién de acucrdo con (5.96t¡):

Pt = Re 1V¡1I¡ ' l = Rc f 380 ¿ '300- 45 ' l? .¿3t .35 ' � I = 380.45,17 . cos (31,350 -

300) = 380. - t5 ,17. cos 1.350 = l? ló0W

P 2 = R e 1 V 5 1 1 5 ' l = R e [ 3 8 0 ¿ - 9 0 e . 4 5 , 1 ? l t l 5 l , 3 5 0 | = 3 8 0 . 4 5 ' 1 7 ' c o s ( l 5 l ' 3 5 c - 9 0 0 )= 380 .45 .17 . cos ó1 ,350 = 8230W

cs¡¡ forma dc calcular lus potcncias t¡uc scñllun los vatftnctros se prcfiere cuanrlo ttl¡loslos cílculos sc rcalizan uúlizantlo rnugnitudcs I'asorialcs.

3) La ¡ntcncia rcacliva nccesaria cn condcngdorcs cs:

Qc = P ( tg 9 i ' tg gt ) = 25390 ' tg 31,35 ' �= 15467 VAR

y¡quc g ¡=31 ,35 y g [=0 " (po rquec ]cosq f= l ) .

Si se dcnomina l. al módukl dc l¡ corricntc de fase dc los condcnsadorcs se cumplini :

cs tlccir:Q C = 3 V f l C = 3 V ¡ l g

. I 5167Ic=if f i = 13,57A

y aplicando la ley dc Olrrn cn alterna (cn forrna lnodular) a los condcns¿ldores, resultíl:

E L ECTR () rvt AG N ETI s tvlo Y C I RC UIIOS E LECTR ICOS

lt)

4)

VrlC = *i"- o VLC¿o =F)

a'^t

ca o dft = füñS*i36 E¡ 113,65 ¡rF

La nueva corr¡cntc de línca scrá:

I r= = -8 . - -_= 25390 =38 ,5 t1ArL- {J v ¡ cos tp 'ñ . 380 . I

ya quc el f.d.p. totül cs igual I la unittud. Las lcctur¿s dc los vatímeuos serún:

Pl = VU I¡ cos ( 300 - (p ) = 3t10 . 3t1,58 . cos (30q' 0'¡) = 12696 W

P Z = V l l ¡ c o s ( 3 0 u + ( p ) = 3 t t 0 . 3 8 , 5 t l . c o s ( 3 0 0 - 0 o ) = 1 2 6 9 6 W

es dccir resulta una potcncia total:

P = Pl + P2 = 12696 + l?696 =25392 $/ = 25390 W

566567

E LEC¡ ROMAGN ETISIVIO Y CIRC U I ¡ OS !,LEL.I.RICOS

qrrc coincide con la potencia acliva toul rle la insmlación. Téngase cn cuent¿r que losc<¡ndcnsadores modifica¡¡ la porcncia rcactiva del sisrcma pero no la porcncia activa.

5.9 'TRANSPORTE DE ENBRGTA ELECTRICA: VENTAJAI)B LOS SISTDMAS TRTFASICOS IIRENTB A LOSMONOFASICOS

Una de las grandes ventajas de los sistemas trifásicos es quedesarrr¡llan una potencia instantánea libre de fluctuaciones y que por lo tantono depcnde del tiempo, este hecho se demostró en el epígrafe 5.6. Otra de lasgrirndes ventljas se refiere, al ahono que se obtiene en el peso de cobre, en laslíneas ¡le transporte de energía clectrica trifásicas frente a las monofásicas, quese vil a clemostrar aquí.

Para realizar este análisis comparativo se van a considerar dossistenras: uno trifiisico a tres hilos y otro monofrísico y por ello a dos hilos. Secollsiclern que arnbos siste¡nns transmiten la misma potencia (activa), a lar¡risrna distancia con las mismas perdidas en las lfneas y la misma tensión entrecollductores.

es clecir la sección de los hilos en trif¿isica es la nlitad que en nronofásica, loque da una relación de pesos en cobre:

En el siste¡na monofásico se tendrá:

P = V I ¡ c o s t p ; P p = 2 R l l f

dor¡de P representa la potencia que se transntite, Po la potencia perdida, I¡ es

la rnagnitud de la corriente de la línea, cosg es el f.d.p. y R¡ la resistencia deun hilo.

Peso cobre tr i fúsica Ne hi los tr i f is icaPeso cobre monofúsica Nri hi los mono[¿ísica

de don¿e se deduce que el transporte cle energía eléctrica en trifásica requiereun 25% menos de

'cobre que en monofásica, lo guc Supone un ahorro

económico importante, justiiicando una vez más la ventaja cle los siste¡llastrifisicos frente a los ¡nonof¿ísicos'

5.IO COMPONENTES SIMETRICAS

5.IO.I GF:N}:RALIDADF:S

Las componentes simétr icas const i tuyen un procedimientoanalftico de grnn valor para detcrmina¡ el rendimiento de ciertos tipos clecircuitos triflsicos 1o poiifásicos en general) desequilibrados que contienennráquinas eléctricas roiativas. Aunqué se pueden utilizar para resolver redesestiii icas desequilibradas como lós analizados en el epígrafe 5.5, estaaplicación sería en general más molesta y laboriosa.que con los rnétodos allícbnsiderados. En éa¡nbio para circui tos desequi l ibrados que conl ienenmáquinas eléctricas rotativ¿is , el nrétodo de l¿r.s com.ponentes sinlétricas,suministra el único procedimiento prúctico para detenninar los efectos de losdesequilibrios en estás máquinas y por ello es ampliamente utilizado.

'l'ar¡rbién

resulia imprescindible su aplicación en el estudio dc taltas en la red:cortocircuiios asiméricos, desconexión de alguna fase, etc.

El método de las componentes simétricas se basa en el Teorenla deFortescue que este autor desarrolló en el año l9l8 en la revista del AIEE(American Instinue of Electrical Engineers )('). El teoremil de Fortescue,aplicado a una rcd trif¡isica, establece que un sistenra trif¿isico desequilibradosé puede descomponer en tres sistemas equilibrndos o sinlétricos de lassiguientes características:

I) lJn sistenn cquilibrado de fasores trifiÍsicos que tieneu la misnutsecuencict tle fhse que el sisrcmu originul desequilibrado .v t¡ue sedenomina de secuencia direcla o posiliva.

(') C.L. F¡rrlcscuc : ílethod o['symmetrical Coordinates Applied to the Solution ol PolyphaseNetwo¡ks . T ' ransac l ions A. l ,E .E. vo l 37 , pag. 102?- l140. Año l9 l I ' Es tc o r t ícu lo fuedesa¡rol luftr por muchos ingcnicros. dcst¡cnndo los tcxlos dc C.F. W,¡gncr y R.D. Evans:Symmetrical Cünponents, t l r lc (. i ¡ ;rw l l i l l , l93l). W.V. Lron: , lppl i¿r¡u'r, t t l ' tht ' l lufuxl oJSlmnm¿uical Co'za¡tntents (lUc Gr¡w llill. 1937) ,

h a 1 ! -s ¡ 7 2

= i (5.roe)

(5 , t 05)

(5 . 106)

Para un sistema trifiisico se cumplir¿í:

P = fi v 13 cos tp ; Pp = J Rr I¡2

De (5.105) y (5.106) se obt iene:

P- Yz col3q. Pl 1 Y2 co-s2g , ER r = T É ; R ¡ = i p z ' - Y - ( 5 . t 0 7 )

corno (luiera que las resistencias de los hilosproporcionales a las secciones y éstas lo soncond uctor, resu I tari:

b bs ¡ R 3

de la línea son inversanrentedirectamente ü los pesos del

(5 . 108 )I2

5(rll 569

nt.EC'moñlA(;NE-nsMO Y CIRCUnOS ELI-:CTRtCoS

2 ) I-t n sistenu equilibruút de Jbsores rifclsicr.ts que tienen una secuencirt tleJitres o¡tuestu ¿t la del sistenw desequilibrado original y que :ie dcnrnninatle secuencia inversa o negativa,

3) IJ n sistenn de tres fasores monofasicos iguales en módulo y Jbse que sedeno¡¡titttt: sisrcmt ile secuencia cero u homopolar,

Iln lu fig. -5.45 se nluestra estt idea pnra fasores tle tensión. Elsistenl¡r dcscr¡ui l ibr ldo de ¡ensiones : V¡, Vg, y V1 se desconrpone en; l )Sisternl direc¡o: Vnt, VSl, y VTt cuy¡r secuetrcia coincide con la de losf¿¡strrcs origilralcs; 2) Sistema inverSo: Vp2, V52, y Yn cuya secuencia cscontrirria ; 3) Sistern¡r hornopolar: Vpp, Vg¡¡, y Vfo . En la parte derecha de lalig. 5.45 se ¡r'ruestiiltr los tres sislemns : directo , inverso y honropolar. En

CIRCUTTOS TRIFAS ICOS Y COM K)NENTES S¡M ETRICAS

subíndice 0 representa el sisteml hontopolar. Las fases se han denominldo:R , S y T .

5.10.2 EL OPIIRADOR TRIF'ASIC0 "a"

Sabemos de tílgebra compleja que si sc rnultiplica un veclor poreja, el efecto que se obtiene es girar el vector en sentido antihorario un ángulo

cr . Por ejernplo dtrlz= +j corresponde a t¡na rotación antihoraria de n/2

radianes. Para conseguir un giro de l20o = 2nl3, quc es neces{rio en elestudio de las componentes sinlé¡ricas, es frecuente utilizar el operador "a".

que se define así:

a = ¿ 2 t t t 3 - e i t 2 0 0 = c o s t 2 0 q + j s e n l 2 0 s = - * . ¡ f ( 5 . 1 1 0 )

multiplicando "4" por sí mismo dos veces ," obtli.n" ut qu. expresa u¡rítromción antilroraria de 240o, y así sucesivamente. De este modo se ctrmplc:

¡ = s i l 2 O o ; ¡ ' 2 = a a = e i 2 4 0 o I a 3 = a . a . a = e J 3 S ' = l ( 5 . l l l )

En la fig. 5.46 se muestra un juego de composiciones vectorialcsque utilizan el operador o factor vectorial trifásico" "a". El uso de estcoperador sinrplifiCa enorrnementc el cilculo de siste¡nas trifiísicos siméricos.De la fig. 5.46 se obtienen una scrie de relaciones útiles:

, - r a d i o * { T

r !

l = i g . 5 . , 1 6

\\

ilil:il

' n z

S I STEMA

\ HOMOPOLAR

\ r * o t s o , r o

Fig. 5.{ 5

conrposición (descomposición) fnsorial. Elcl subíndicc 2 sigrrit jca sistenlit invcrso y cl

a ) l + a + 4 2 = 0 ;

d) - l = i l + ¿¡2 .

b ) - f l = l + n 2 = l ¿ - 6 0 q ;

c) I - a =JJ ¿- 300:

c ) - i l J = l + n = l ¿ 6 0 o

t) l -al = . /3/10' 'l l purtc iz.r¡ tr icrt l i t se rcpresenti l l : lsubínt l iuc I ind ic l t s is lcn l i t d i re c to,

570

, < : - \

5 7 r

ELECTROMACN E-NSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

g) ( l + a) ( l - a) = I - a2 = {3 l3O"; h) ( l+a)2 =lZl20";

i ) ( l - n ) r = 3 L 6 0 " ; j ) a - ú = , [ 3 ¿ W . ( 5 . 1 t 2 )

Las identidades nnteriores son de gran importancia en el estudio delas corrrponentes si métricas.

5.10.3 coNtPoNl:NTES SIMETRTCAS DE FASORES DIISEQUILIBRA.DOS

Supóngase que partimos de tres fasores de tensión desequilibrada:Vn, VS y V1.. De acuerdo con las reglas del dlgebra (espacios vectoriales), lastres tensiones anteriores se podrán expresar en función de tres tensionesarbitrarias: Vt,V2 y Vg por medio de una transformación lineal:

VR = n t Vnt + aZ VnZ + o0 VnO

VS = l ¡ t Vnl + bZ VnZ + b6 VnO

VT = ( t Vn t + cZ VnZ + c0 VnO

( s . l l 3 )

supuesto que el determinante de los coeficientes sea diferente a cero. Deacuerdo con lo anterior las tensiones originales se pueden sustituir por la sumade tres jucgos de tensiones derivadas, a saber:

(a ¡V¡ , b tV¡ , c lVr ) ; (azY2,bzYz, c2Y2) i (a0V0, boV0, cgVo) (5 .1 l4 )

es cvitlcnte que si los coeticientes son arbitrarios, cada juego de las tensionesanteriores estirrii desequilibrado como el sistema original, por lo que no se haobteniclo ninguna ventaja con la transformación (5.1 l3). Fue Fortescue y casisinrult¡íncanrente Stokvis, quienes üpuntaron que si se hacía una elecciónapropindl de los coef ic ientes tJe (5.1l3). cada uno de los sistenras detensiones derivatlos podían estar equilibrados, con lo que se lograba una griln.sinrplil ' icacirin en los cálculos. Como se ha indicado en el epígrafe 5.101,estos tres sistemas son:

l) r) tnF:c'r() :

Fornlnclo por lus tensiones: VRl, VSI y Vf l y que teniendo encr:cnt:r el est¡uerna de la fig. 5.45 y utilizando el operador "a" se puedenexpresflr lnejor así:

= i l lVn I

572

vn r v s r ; V 'n = aVn I ( s . l l 5 )

5 7 i

CIRCUTI 'OS' I 'RI I :ASICOS Y COMIUNL,N I LS sIMb I RIUA.S

2) TNVERSO:

Fomtado por las tensiones: VRZ' VS2 Y Vf: Y que de acuerdo cott

la fig.5.45 se pueden expresar: '

Vnz ; VSz - aVnz ; VrZ = a2VR2 (5' l l6)

3) ilotvr0PolAR:

Fomlado por las tensiones: VnO , VSO y V1g Que tienen el ¡ilis¡rlo

módulo y fase, es decir:

V n O ; V S g = V g O ; V 1 O = V R S

De este ntodo el sistenra original desequilibrado se puededescomponer en una su¡na de tres sistenralec¡uilibrados que se deno¡rrinancompohentes simétr icas del conjunto inic ial , de acuerdo con lasecuaclones:

V R = V R l + v R 2 + V n oVs = Vsl + Vs2 + Vso = a2VRl + aVnz + VnoVi = V1r + Vrz + Vro = nVnt + a2Vnz + VRo

o en fonna matricial:

( s . t l 7 )

( s . l l 8 )

[ n * l [ t I r l [ n - ' ll r t l l ll u ' l = l r o " l l u * ,1 t s .ue )1 , , I I l l Ir /rJ [r u u'l [u*rl

El problenra en la práctica es determinar lls componentessimétr icas (en def ini t iva VRl, VR2,Vno ) bonociendo las tensiones (ocorrientes) desequilibradas V¡ , Vs y Vt lo t¡ue plantea el problenla inversoal mosrado en (5.1 l8).

- Se puede calcular la componente homopolar V¡¡¡ sutnanclo lus

ecuaciones (5.1 l8) y teniendo en cuenta las propiedades del operador "a" yasÍ resulta:

Vp + V5 + V- ¡ = V¡ ¡ ( l+a2+a¡ + .V¡2( l+a+a2¡+3Vpg (5 .120)

(:lRCUfrOS'fRI FASICOS Y COt\l KINENIES SllvlE I R ICASE L, trCI'R ( )f\lAG l'¡ ET'15 Nl( ) Y C I RC U fTOS E L Et-T R lC( )S

pero corllo t¡rricrn t¡ue l+a+a! = 0, se deduceI

VRo = i ,n* +V, + Vr) (5. t 2l )

Para calcular VR t , se nrultiplica la 2' ecuación (-5. I l8) por "r", la3r por a2 y los resultados se suman con la l!, resultando:

V¡¡ + i lV5 + aZVT = (Vp¡+ V¡2+ Vpg ) + (a3VRt + a2V¡2 +aVp¡) +

+ ( a 3 V ¡ ¡ + a a V p 2 + a z V p s ) ( 5 . 1 2 2 )

cs decir:

v ¡ ¡ + nv5 + a2v1=VRl ( l+ o3 a ¡3 ¡+vp2{ü+ a2 + a4¡+V¡ ¡ ( l+a+ a2)(5 .123)

y t¡uc teniel ldo cn cuen¡i l ( lue a3 = l , 04 = a, los sumandos segundo yterccro del scgundo nlienlbro se ilnulan, dando lugar a:

lltl,[liflllllcorr ie ntes desequi l ibradas IR, IS e ITtri lnsfonrtan erl :

[ r * n l [ t I r l [ t - l

l '-,1=+l , a ,'I l ', 1I | 3 l I[ ' - ,1 [ ' , ? ' l [ ' , 1

Iln un sistema trif¿isico, lA suma de las corrientescofriente IN de retonlo por el hi lo neutro. Es decir:

f n + f 5 + 1 1 = l ¡

Ahora bien de (5. 130) se deduce:

I * n = T ( l n * I s + I r ) = i t *

(5 . l2 8 )

, l as ec t t í l c i o l t cscuaf ido se t rata de( 5 . 1 l 9 ) y ( 5 . [ Z l t ) s e

[l [ | illtl(s.r 2e)

(s. I 3o)

( 5 . 1 3 3 )

v* , =+ (vn+avs*a2v r ) (5 .124)

De un nrodo aniÍlogo se puede calcular Vp2, para ello se debe

rnultiplicar Ia 2t ecuación (5. I ltt) por a2, lu 3r por a y los resultados se sumancon la l¡, obteniendo:

V¡¡ + a2V5 +f lV,¡ = (Vnl+ VRz + Vpg) + (aaVRl + a3V¡2 +a2Vp¡) +

+ (n2V¡ ¡ + a3V¡ ¡ +aV¡g) (5 .125)

cs dccir:

V¡¡ - i a2V5 +aV'¡ = V¡¡¡( l+ a{ +a2) + VRz ( l+a3+¡3¡ + VRo ( l+42+a)

rle donde se rleduce: (5' 126)

t . rV R2

= 3 tV*+ a'V, + aVr) (5. 127)

l - : rs ecu i rc iones (5 .121) . ( -5 .12a) y (5 .127) admi ten la s igu ien tefonuultción n¡atricial:

Ir lad e l í n e a e s i g u i l l

( s . l 3 t )

( 5 . 1 3 2 )

lo que indicir t lue l i l corriente de retorno por el neutro vil le:

IN = 3 lno

Cuando el sistema trifi isico tiene sólamente tres hilos, es decir rlohay neutro, en(onces l¡ cs cero y en consect¡encia de acuerdo con (5.133) hscorrientes en las fases de líneu no coontienen componentes de secuencin ccro tt

574575

y por ello de acuerdo con (5.128), las componentes de secuencia hontopolards las tcnsio¡les de línea ser¿ín:

IVRs' = Vsro =VrRo =

T (V*, * Vsr + Vr*) (5.135)

que tcrrie nclo en cuenta (5.134), nos indica que las tensiones de línea no tienencotllponcntes honropolares o de secuencia cero.

Si se considera una carga en estrel la desequi l ibrada conlo laconsitlernda en el epígrafe 5.5.1, se tendrán tres tensiones simplesdcsiguales: VRN' , VsN' , VrN., hs componentes homopolares de estas trestensiones seri igual de acuerdo con (5.128):

vRN,' = vsN,o = vTN,' = *,u**,

+ vsr.¡, + vr*.) (5.136)

ahora bien teniendo en cuenta (5.44) resulta que:

Vp¡,+V5¡.+VTN,= (VnN - V¡ ' ¡) + 1V5¡-V¡,¡) + (VrN -VN.N) (5.137)

y conro quiera que Vp¡ +V5¡+V6¡ = 0, se obtiene:

ELECTROMAGNENSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

holrropolnr.

f)e un modo aniilogo en un sistema trif¡ísico a tres hilos lastensioncs de línea cumplcn la condición:

V n S + V S T + V r n = $

CIRCTJITOS TRIFASICOS Y COM IONEM'ES S ¡M ETR ICAS

Vpy,= 42524Jo,' VSN'= 220/ó0" : V¡¡¡' = 425¿75o

Calculor: I) Componcntes simüricas de los rcnsiones sinples anreriorcs.2)Compnentes simétricas de lols t¿nsio¡es de lhso.

SOLUCION

l) De acuer<lo con (5. 128) resulurán unas componentcs homopolarcs:

IVRN.g =, ( VnX, +V5¡' +Y1¡' l = 347 1600 =VSN'O = VTN'g

y que tcniendo cn cucnta (5.139), se tendrá una tcnsión de dcsplazamicnn dcl ncutro:

vN.N = - 347¿6tÚ =3472 -lZU

quc coincirle con cl ¡csuliado calculado en el cjemplo de aplicación 5.5.

Las cornponentes dc sccuencia ¡rositiva serán:

VRN. t = I ,

n * " . + aV5¡ .+ a2V1¡ - ¡ . )

es dccin

I ift(lVRN.¡ =

i ( 425 ¿45'� + | I l2U. 220¿ ffi + | l- 12ú325 ¿ 1 5a ) =

T = 121 ¿ 0a

y las otras componcntes serán:

Vsl¡'t = l27Z' 12tr : VrN't = 127¿ l20o

De un modo análogo, lar comporrcntcs dc sccucncia negaüva serán:

VRN,Z = i

( Vn¡¡ . + aIVSN. + aVTN. )

quc al sustituir valorcs nos dan:

IVRN.2 =

; ( 425 ¿45'� + | Z- 120e. 22A ¿ ffie + | ll}Oe.425 ¿ 7 5i, = 0 = VSN.2 =VTN.2

2) Las tensiones compuesuts o dc línca serán:

V¡¡5 = V¡¡. - VSN. = 425 ¿45e - 220¿(/(f = 22O2.30"V51= V5¡. - VTN'= 2?0¿.9UV1¡ = V1¡. - VRN.= 224¿l5U

( 5 . 1 3 4 )

(5 . 139)

VRN'*VSN'*VTN, = - JVN'N

y por consiguie nte las componentes hornopolares desirnples, tcniendo en cuenta (5. 136) y (5.138) serdn:

VRN'o=vsN'o=VrN'o = - VN'N

(5 . 138 )

las tres tensiones

que inr.licil r¡ue hs tensiones sirnples de una es¡rella <.lesequilibrada tienenconrponentes de secuencia cero y (lue representiln con signo nrcnos la tensiénde tlesplazlmiento del neulro.

E]'ii lIPLO DE APLICACION 5.16

57(,

E,n el ejemplo de aplicación J.5, las ten,siones .simples cle la cargo son:

571

ELECTROMAGNENSNIO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

i[¡s conlponcntes homopolarcs serán:

IVRSO= VSTg = VTR6= i

( Vn5 ' * VSt + V fn ) = 0

Corno cra dc es¡ierar, lls tensiones de lÍnea no üenen componentes de sccuencia cero.

Lr-s componenrcs de s€cuencia direcn serán:

IVRsl =

i ( Vns + aV51 + a2V1R ) = 220¿3Ae

Vst ¡ = 220 ¿- 9Óa ; VtR l = 220¿l5}e

y las de sccuencia negativa:

I

VRs2 = i t Vns + a2V5'¡ + aV1¡ ) = 0= VST2 =VTR2

¡esulta{os lógicos ya que el tcctor puerle conrprobar que las tres tensiones VRS'VS' y

VTR coflstituyen un sistema equilitrrado dirccto.

IiJETIPLO DE API.ICACION 5.17

Las corrientes que circulan por las líncos de una red desequilibrada a 4 hilos (ver

problena 5.5) son:

IR= 12 ,7 ¿ 'g }e : IS= 12 ,7 ¿ '120e : l T= I2 ' 7 ¿2 IAe

Calcut<tr las comyonentes simétricas d¿ ¿slos trcs corrientes'

S O L U C I O N

De acuertlo con (5.130) resuln:

l no= i ( I ¡ + I5 + I1 )= \ t l z , t r ' 9$+12 '1 t ' 12Ú+12 ,7 /2 l s ) =34 ,71 ' 1200

cs dccir:tRg - ISO = lT0 = 34,1 Z' lzl)o

el lector puccte cornprobar qrte las corrientes- homopolares an-te-riores coinciden con la

conientc de rctorno iror el nóuro en cl cjemplo de aplicación 5'5'

Las cotnponentes dc secuencia posidva son:

C I RC U mOS TRI FAS ICOS Y C0ivl TONENTFJ S lM E-l' R ICA S

es dcci¡:

IIn r =

i ( 12,7 /.- g}e + l ¿1209 . 12,7 /.- l20e + | ¿- 1200 . 12,7 ¿2rce) = 4,23 ¿Oa

y por consiguiente :

ISt = 4,23¿- lzDe ; I f t = 4,23¿120e

[¡s componentes de secuencia ncgativa son:

IRz =

es dcc ir:

I

Inz = i

( 12 ,7 ¿- 90e + l¿-120q . 12,7 ¿-

y por consiguiente :

t . .

i ( I n + a ¿ I s + a 1 1 )

l20g +l¿1200 . 12,1 ¿?]Ae) = 9,3 /.- 6Ae

Is2 = 9'3/'+ 6oa ;

EJEITTPLO DIi AP//]CACION 5.^|8

Ir2 = 9,3¿' lSoe

En el circuito trifósico de Ia fig. 5.47, las impedancias de carga estúnequilibradas y tienen un valor de lé5230a Q. La tensión de línea es de 220V con unusecuencia /fSL Sr. la fase T estó abierta y sc tona lu tensión V p¡¡ dc la red como referenciu,

calatlar: I)Coruientesln, IS, lf.2)Componentessimétricasdeestascorrientes.

F 9 t o h m l o s

Fig. 5.47

S O I , U C T O N

.\l csur abicrta la l'asc T, la cilrga sobre las fases RS vale:r)

578

r n r = l ( l n + a l s + a 2 l r )

s79

ELECTROMACNET|SMO Y CIRCUTTOS ELE�TR|COS

Z c q = Z U ( Z + Z ) = I Z = l t ¿ 3 0 e

Al tomar VRN como referencia de fascs, la tensión VRS valdrá:

vRs = 22oz3oe

y llor consiguicnte la corriente Ip scrá:

rp =:Bt =W=zotoe( - z q l r ¿ - l u '

la corriente Is scrá igual y conlraria a la anterior, es dcci¡:

I S = - I R = 2 0 1 1 8 0 0

Erl resulncn sE tiene¡

lR = 20 Z0o ; 15 = 201180" : IT = 0

2) t)c acucrdo con (5. | 30) resulu para tas componentcs homo¡rlares:

t ll no=

i ( I ¡ +15 + I1 )=

; ( 2O¿Oo + 20Z l80c+0 ) = 0= I sg= IT0

Pir:ra las componentes de secuencia directa se dene:

r ^ lt n r = i ( I ¡ +a 15 +a¿ 11 )=

i ( 20¿04 + l l l ? t r . 20218 t r+0 ) = 11 .54¿-30e

y por consiguicnte:Ist = 11,54¿'l5Ú ; ITI = l l '54¿90e

Dc un mulo andlogo, las componcntes dc sccucncia negativn son:

t ^ lf nZ= i ( I ¡ ¡ +az l g +a 11 ¡ - i ( 2O¿r8 + l¿ .12 f f . 20 l l 80e+0 ) = l l , 54Z+30 ' �

y por consiguicnte:l s z = 1 1 , 5 4 ¿ 1 5 0 4 ; I T 2 = 1 1 , 5 4 ¿ ' g t r

ctRc t tTos'l'Rt FAs ¡cos Y coM K)N ENI'ES SME"TR lCAs

5.T0.4 IMPCDANCTAS DETI¡DAS A LAS CORRTEN'I 'ES DEDTFERENTE SECUENCTA

La caída de tensión que se origina en una parte cualtluiera de uncircuito por la coniente de u¡ia secuencia determinadl, depentle de laimpedancia de ral pane del circuito para la corriente de dicha secuencia.

La impedancia que ofrece un circuito cuando por. el circulansólamente corrienüs de secuencia positiva o directa se deno¡nina impedanciaa la corriente de secuencia posiiiva:

(5 , 140)

De un modo análogo, si solo existen corrientes de secuencianegativa, la impedancia se denomina lmpedancia a la corriente tlesecuencia negat iva:

z 1 = H = * = H

.r--Yez Ysz -Yr¿L2= T*t = Isz : I i t

7 -YBo Yso - Yxta(' - Ino -

Iso lro

Cuando existen únicamente corrientes de secuencia cero, laimpedancia se denomina impedancia a la corriente de secuencis cero:

( 5 . t 4 1 )

(s.r 42)

Los valores de Z1y Z2 para aparritos estiíticos, tales cotlloresistencias, condensadores, transformadores, líneas de transporte, etc. Sonlos mismos, ya que ln impedanciu no dcpende del sentido de sucesión defases. En los casos en los que produce una interacción de los camposmagnéticos o eléctricos de las tres fases, la inpedancia de secuencia cero Zgserá difercn¡e de Zt y Zz ya que las corrientes de secuencia hontopola.rproducen un tipo.de campo totalmente diferente al de las olras corrientes (enun caso es rotativo y en el otro pulsatorio), En general en las mdc¡uinaseléctricus rctativas las irnpedancias Z¡ ,Zz y Z9 serdn diferentes. En la tablnne I se da una relación de v¡lores típicos de estas irnpedancias para diferentesmáquinas y lÍneas eléctricas.

El an¿ilisis de una falta asimétrica en un sislema simétrico corlsisteen la deterrninación de las componentes simétricas desequilibradas quecirculan. Como quiera que las corrientes componentes de la secuencia de unafase dan lugar a caídas de tensión solamente de la rnisma secucncia y sorrindependientes de las corrientes de las o¡ras secuencias. en un siste¡na

5ttO 5lt l

ELECTROMACNMSMO Y C¡RCUTTOS ELECTRICOS

er¡urlibrado(') l¿rs corrientes de cualquier secuencia pueden considerarse comocirculando en unr red independiente formada solanrente por las impedancias ala corriente de ul secue ncia. El circuito equivalente monofisico tbrnrado porlas impetlancias a la corriente de cualquier secuencia exclusiva¡nente sedenclmina red de secuencia para tal secuencia particular. La red desectrencia incluye las f.e.m.s. o tcnsiones gcneradas de secuencia igual.Las redes de secuencia que trrnsportan las corrien¡es Ip¡, I¡2 e I¡g sei¡rrerco¡rexionan parü re presentur divcrsas condiciones de fal tasdcsequilibradas.

Lll-ENIENTO VAT ORES TIPICOS DE IIVIPEDA¡¡CLA fCIR LTNIDAD (')

z t l z z l z o

] 'RANSFORN{ADORES1 3 2 k V . . . . . ¡ . . r . . ¡ . . . t . , ¡ , . t

? 7 5 k VJjj

jj

jj

0,100 ,140, l6

21 ,2

0,90,9

0,8

(8+j l7) 104(4+j I ?) 104Q+ i l ? ) l 0 {

+3,4 j

j 0 ,1j 0 ,14j 0 , 16

j 0 , 1 5 '

j 0,25

j 0,2j 0,3

0 ,15 + j 0 ,80

(8+j l 7) 10'4(4+j | ?) l0-4Q+i l ?) | 0 '4

j 0 , 1 0j 0,25

j 0 , t 5j 0 , 1 5

1 0 0 k v . . . . . . . . . . ¡ . . .

AL-I'ERNADORES(c. TERMICAS)1l)0O rr)rn

1500 rp rn . . . , . . . . . ¡ . . . . . . r . . . . . . . . .

ALTERNADORES(c. HTDRAULICAS)Con arnortiguadoresSin ar¡rortiguadorcs

IUOTOITES DE INDUCCION

LINEAS DE TRAN$PORTEt32 kV275 kV.tm kv

TABLA NE I

( ' ) En el c¡so r te dcsequi l ibr io en tas impcrtanci¡s dc l ¡ rcd. cx istc interacción enlrc l ¡s

inrperlancias y conientcs de las dife¡en¡cs sccuencias(t) ¡65 v¡lorcs por unidad (p.u,) sc emplcan con ¡siduidad cn cl estudio de los sislcmas cléctricos

de potenci¡ ya i¡ue permitc trabaj¡r con cantidadcs no¡maliz¡dus rcspecto ¡,unos valores base.

l¡aciendo más simples los cllculos y la cornparación cnlrc divers¡¡ miquinas. La impedancia base)

Z¡, es iguat a VilS. donae V¡ cs la tenrión de tínea y S la ¡xrtencia apotcn¡c. La impedancia p.u. er

el cocicnl¿ 7, nu = 7. rcall'Ib.

582

CRC LT¡TOS TI I FASICOS Y COM FON ENTES S¡M ETRICAS

5.10.5 REDES DE SECUIiNCTA

En ll tig. 5.48 se representa un generador trifiísico en vacío, cuyoneutro N estd a tiena a través de una impedancia ZN. Si aparece una t'alta c¡tla red, circulanín unas corrientes I¡, 15, e 11, algunas de las cuales ¡rucdcltser nulas. Para dibujar las redes monof¿ísicas de secuencia, hay que tcncr c¡lcuenta que las tensiones generadas son solo de secuencia positiva, ya qrre elgenerador esrá proyectnco para suministrar tensiones trifdsicas equilibradas.Por ello como se indica en la parte derech¡ de la fig. 5.48, la red de sectle ¡rcia¡rositiva está formada pol la tensión del generador (solo se indica la thse R) cnserie con la impedancia Z 1 de impedancia positiva del gcncrador. Las redcs dc

. - o nr r---ü

---o. In t

z t

v g R = v g R t

--ü IRe

R ED DE SECIJEI ¡C I A

P O S I T I V A

R E D D E S E C I J E ] ¡ C I A

NEGATI VA

RED DE SECUEÍ{CIA

CERO

f

' j '

Fig. 5.48

secuencia negativa y cero no contiencn ningún generador lVgnz = VgRo =.0)pero incluyen las impedrncias de éste a las corrientes de seclencia ñegativa(Zü y cero (Zr0) respectivanrente. FIay que tener en cuenta también que en loque respecta alas conrponentes de secuencia positiva y negativa, el neuno delgenerador está al potencial de ticrra (VN = 0) ya que solamente ci¡culacorriente honropolar enre el neutro y tierra. La corriente que Pasa por Z¡henros visto c¡r ((.5.133) que es igurrl a 3lno y por ello en la red de secuenciitcero conticne una impedancia 32¡ entre el nudo N y el nudo 0(ticna), de es¡emodo la inrpetlancia total honropol¡¡r es Zu=Zsy + 32¡. Las ecuaciones tlelas tensiones pilril la tlse R se obtienen dc lós circuitos de la fig. 5.47,resultando:

V n l = V s R - Z t I n lVR2 = '2 , tnzV n g - - Z o l n o

(5. I 43)

5n3

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

donde Vop representa ln tensión generadora simple de la fase R que es entlefinitiva la tensión generadora de secuencia positiva de esra fase.

5.10.6 CALCULO DE } 'ALTAS EN SISTEMAS D8 POTENC¡A

Para ver una aplicación de las componenres simétricas en elnnálisis de faltas en sistemas de potencia, se va a considerar el caso de uncortocircuito entre una fase y tierra. Con objeto de evitar interacciones entrelcnsiorres y corrientes de diferentes secuencias, se supondrii: a) Las tensionesgencrn<loras son únicamente de secuencia positiva. b) sólamcnte circulan porla rcd las corrientes debidas a la falta, c) las impedancias de la red en cada faseest{n equilibradas. En la fig. 5.49 se ha mosrado una falta simple enrre lafase l{ y tiena. Las condicioncs de la falta, al no existir más corrientes en la

rn

CIRC UNOS TRI FAS ICOS Y COIVI K)NEI-{TES S IM ETR ICAS

InO - IRI =IRz

Al l levÍu (5. 146) a (5.143) se obtiene:

V n O * ' Z g I n O - - Z g

Vpl = Vg r . ^ -2 , +vRz = -22 +

Ahora bicn de acuerdo con lil I r ecuación deescribir:

V R = V R o + V p t + V R 2 = V s R - ( Z 1 + 2 2 + Z o )

- IB- 3 ( 5 . 1 4 6 \

(s. l 47)

(5.1 I 8) se puecle

( s . l 4 8 )

TB3

In3

y que según (5.1¿14) es igual a cero, y por consiguiente la corriente de la falt¡tIp será:

I p = (s . 149)

Fig. 5,49

línea que las de la talta serán:I S = 0 ; I r = Q ; V n - 0

r le este modo las corr ientes de l ínea serán: Incotnponentes simétricas teniendo en cuenta (5.130) son

cle dontle se deduce:

5tf .[

( 5 .144 )

, I S = 1 1 = 0 c u y a spara la fase R:

donde Z0=Zso + 32¡. En et caso de que el neutro del generador cstéíntinumente un-ido a tierra entonces Z¡¡ = 0 y por consiguiente Z¡ coincidecon la impedancia de secuencia cero dcl generador Zrg.De un modo análogose pueden analizar las faltas de cortocircui¡o entre óos líneas, dos líneas atierra, etc.

lilI

ü2llill+[l (5 . 145 )

585

ELECTROIVIAGNmSñ1() Y CIRCUffOS EI-ECTRICOS

PROBLEMAS

5. l.- 'Ircs impcdancias iguales dc v¿lor Z =8+j6 Cl se conectan en cstrella y scalin¡cnu¡n ¡nr mcrlio de una rcd uitásica siméuica a ues hilos de 3tl0V rtetcnsión compuesür. Calcular las cxpresioncs complejas dc las corrientcs dclÍnea si la succsión dc fases cs RST y se toma V¡¡ como refercncia.

I Resp. t¡ =* ,- ]6,87c; t, - * ¿- É6,87o I I.¡ = ![ z83,t3c Iv 3 - v 3 { 3

5.2, Trcs im¡rcdancias igualcs dc valot Z = 6 + j8O se conectan en úiángulo y sealinrentan por mcdio rlc una rctl trifásica sirnétrica a tres hilos rle 380V detclrsiti¡r conrpucstír. Crlcular las e xprcsioncs complejas (le las corricntes del'lsc y dc línc¿r si l¿¡ succsitin dc fascs cs posiliva y sc lonra la tcnsión sirnplcdcl gcncrad()r VnN conlo rcl'crcncia dc l'ascs.I ltcsp. IRS = 38 ¿- 23,130 ; lSt = 38 ¿- l43,l3o ; ITR = 38 /.96,87e ;

IR = 3BVJ ¿- 53,¡34: ts = 38f , ¿- t73, l3e: IR = 38{J ¿66,g7e I

[Jna rctl trif¿isica sinriuica a res hilos de secuencia positiva de 220v de lÍneaalir¡¡clrta tlos cargas cquilibr¿tlas, la primera de cllas esui congctada cn triringulo

y ticnc una impedancia por lase dc 20{J/30e Q, la otra cstá conectada en

csrrclfa y tienc irnpedancia Ar * ¿As O/tasc. Calcular las corrientesv 3

complcjus lp, lS, lT,absorbidas por ci¡da carga y lotal de la insnlación si sc

lonl¡l la tcnsión VR¡¡ Como rcferencia.

[ l t e s p . I p ¡ = l l ¿ - 3 0 e : I S t = l ¡ ¿ - 1 5 0 0 ; I T t = l l Z 9 A e ;lR? = " I , ' t r ¿0s; lsZ = 4, ' l ¿ '12()o; lR2 = 4,4 / .120e ;l R = 1 4 , 9 7 ¿ - 2 1 , 5 5 e : I S = 1 1 , 9 7 ¿ ' t 4 l , 5 5 o ; l T = 1 4 , 9 7 / - 9 t l , 4 5 a l

Sc tl isponc rte r¡na rctl tri lásica simétrica de secuencia positiva a 4 hilos de3tt0v dc tcnsirln conlpucstÍt. Enre la fase R y el neutro se conecüa unainrpcdlncia Z_1¡ = I + j l Q: cntre la fase S y el ncutro se coloca una

inrpct tanci i ¡ Zq = l - j4 Q y entre la fascT y c l ncutro seconecta una

rus¡stcnci i l pur i l ZT = 5() . Tornando h tcnsi t in VHN como rcfcrcnciü,

c¿tlculilr: l) Exl)rcsitl¡rcs conrplcjus tlc las crlrricntcs tlc lÍnca. 2) Corricntc derctorn() por cl nculf0.I ltc.s¡r. l) In = "l3,lftl ¿- 16,870 : IS = 43,lflf ¿- 66,t47e ; lT = 43,tJB ¿ l20q ;2 ) l N = - 1 1 , 7 9 ¿ " 1 J . 3 3 0

Una rc(l tr i l 'ásica sinrctr ici l de sccucncia posit iva a trcs hi los, dc 3tf0v t letcn.\it in colnpucst¿l l l i lncntil unil cilrga descquilibrada coneclada cn cstrcllactfyas inrpdanci i¡s so¡l : ZR = a + j3Q; ZS = J' j4Ql ZT = 5l). Tomando la

tcns¡ón V n X t lc l gcncrador como refcrencia, c¿t lcular : I ) Expresiones

CIRCUflI)S TRIFASICOS Y COtvlK)NENTES SIMETRICAS

complejas tle las conientes de línca . 2) Tcnsión del neuuo dc lls cargas(punro común rle la csuella dc cargas) res[rccto dcl neut¡o dcl gencrador. .i)Tensiones cn cada una dc las cargas.I Rcsp. l) ln = 3'l,7llz- 1.5,070; 15 - ' l l ,88l'90'070; 11 = (fr,961 l2l '370

I 2) vNN =tJ6,?62- '18,090; VRN'=173,88221,80; VsN'= 2W,38 z '143'20

i VTN'= 3(üü-'82 ¿ 123'37e I

5.ó.. Una red r¡ifásica simétrica dc secucncia positiva a trcs hilos. de 380V derensión compuesta alimcnn una carga desequilibrada conechda en triánguloc u y a s i m p c d a n c i a s s o n : Z R S = 4 + j 3 A ; Z S T = 3 ' j 4 Q i Z T R = 5 l ) 'Tomando la tcnsión V¡¡ t lcl gcncratlor como rcfcrcl¡cia, calcular: l)

Expresioncs complcjas dc las conicntcs de fasc.2) Exprcsioncs complejas rlelas conicntcs de lÍne¿.I Rcsp. l) IRS = 7ó Z '6,81e; 151 = 76 Z '36,870: ITR = 76 I 15Ü :2) lR = 148,9 l - 18¡30; ls = 39.34 Z ' l l l '86 ' � : l l= 151.73 ¿ 146,56e1

5 . 3 .

5.4 .

5 .5 .

5.7.

5.8 .

5 .9 .

5 . 1 0 .

Una red trilásica sirnétrica a ues hilos de secuencia posiüva, alimenta a truvúsde una línea de impcdancia 2 + j5O ¡nr hilo, dos cargüs equilibradas: a) cargaen ui¿ingulo de 3020u (Vl'ase; b) carga en estrella de l0¿- 90o O/fasc. t.atensión t lc l ínca en las cargas es de 380V. Calcular: l ) Magnitut l dc l¡scorrientes absorbidas por cada carga y flor el conjunto de ambas. 2) Tclrsitincompuesta al principio de la línea.

I Resp l ) 2 l ,94A ; 2 l ,94A ; 3 l ,03A i 2) 376,18V I

La rcd trifásica del problema anterior tiene una lensión compuesu a principirlrlc líne¿¡ de 380V,los impedanci&s de las cargas y dc las líneas son las mis¡nitsque anres. Calcular: I ) Magnitud de las corrientes absorbidas por cilda cargil ypor el conjunto de ambas. 2) Tensión compuesu al final de línea, cs decir c¡tla zona donde se conecüan las cÍlrg¿Is.

I Resp. l ) 22,16A i 22,16A : 31,34 A ; 2) 383,85V1

Un motor concctado en cstrella de 50CV de ¡rotencia mecdnica (lCV = 736W), rendinricnro del 807o y [.tl.p. 0,7 incluctivo, esui alimenudo por una red

rr i f¿isica dc 3tt0 V. Calcular: l ) magnitud dc la corr iente absorbida por cl

t¡lotor, 2) inrpcdunciu por l'üsc cquivalcntc dcl tntltor.

I Rcsp l) 99,t l4A : ]) 2,2 /.15,57ef¡ I

.Sc dis¡nnc de una rcd uifásica sinróuica de sccuencia positiva a res hilos dc

2?0V de tcnsit in cornpucst¿r, a la cual sc conccüln dos cargi¡s tr i fásicasc(f uil ibradas: il) ci¡rgil concctrrl¿t cn cstrclla dc lA¿00 O/lasc ; l l) Oar¡iaconccrada cn triúngulo dc l0¿3()' O/fasc. Tomando como rcl'crcncia tlc larcnsir in VRN , cülcular: l ) lntcnsit ladc.s contplcj irs lR,IS, 11 en la carga üt l

csrrel l0, en la carga cn tr i¡ ingulo y totales dc l ínca.2) Potencias coml)le.¡a.sabsorbidas ¡xlr cüda carga y toutl tle la inst¡laciÓn.

I Rcsp l ) In u=* ¿oa; ts ,=+ ¿-nae; I ra =+ t+1200 ;' r / J v3 \ , 3ltrb = 22\f i ¿'30e: Ist, =zzú ¿- l5()0; Iru = 2?JJ /.9oe ;

.5tt6 5 rt7

5 . 1 1 .

ELEC'I IT0IvIAGNETISMO Y CIRCU¡TOS ELECTRICOS

lR = 49,51 ¿- ?2,630 ; IS = 49,51 ¿- 142,63e; I f = 49,51 2.97,37e ;2) S" = 41140 + j 0 ; Sb = 12574 + j72ffi1 S = 17414 + j 72ffi |

Una red tr i fásica simétrica de secuencia posit iva dc 380 V de tensióncompucs[a y 5(] [ f z. t icne concctadas dos cargas cqui l ibradas: l) carga entriángulo dc 25¿30'' fl/[a-sc, 2) carga cn c.strclla rle lfi)200 f)/fa.se. Calcular: a) magnitutlcs tlc las corrientes absorbidas por cada carga y total de lainsulación, b) factor de potencia totd de la instalación, c) capacitlael por fasedc un banco de condens{:ldores conecuados en tri¿ir¡gulo para elcvar el f.d.p. delconjunto a la unidld, d) ¡ntencia rcactiva toul dc los condcnsadores calculadoscn el cpígrafc antcr¡or. c) módulo dc las nuevas cofricntes dc lÍnca cuando selnn concctado los condens.dores.I Resp. a) 26,33 A ; 2,19 A;28,25A; b) 0,885; c) 63,69 pF; d) 86ó8 VAR;e) 25A I

Un urller está alimcntado por una rcd trifásica a 4 hilos cle 380 V de tensióncornfrucsül y 50 Hz. y ticnc conec|adas las siguientes cargas: a) 60 lánrpruas de60 W, conecüada.s entre fase y neutro de tal manera que e¡ conjunto delrlumbrado qucde equilibrado (20 li lmparas/fase), b) 5 tornos automúticoscquipados con motorcs dc 5 CV cada uno, I = 807o y f.d.p, 0,72 incluctivo, c)J frcsatloras con motorcs indivitlualcs dc 7 CV, n = ÍlT%o y f.d.p. O,lfintfuctivo, d) | Prcnsa con un motor rle 20kW, rendimiento 83Vo y f.d.p. 0,115inductivo. Calcular: l) Módulo de las corrientes absorbidas Flor las cargas a,b,c y d, y tonl de la insulación, 2) ponncia reactiva necesaria de una bateriat lc condensadores que eleven el f .d.p. del ul ler a 0,95 inductivo. Si loscondensadores cst¿in en tri¿íngulo ¿Cuál será la capacidad necesaria por fasecome.sF)ndicnte?; 3) Si el uller está alimenndo por una línea de 0,1 +j0,2{lpor hilo ¿Qué tcnsión compuesta será necesaria al principio de la línea en elsupucsto dc quc fil tcnsirin cn la cilrga seü consmntc e igual a 3tt0 V, cn loscu"sos siguicntcs: ¿¡) sin concctar los condcnsadorcs, b) concctundo losc()nrjcnsadorcs.I Resp l ) lo = 5,47A ; lU = 48,53A ; lc = 35,81A ; ld = 43,07A ; l t f f fn l= 131,2-1A :2 ) Qc = 28 ,93 KVAR ; C = 212,6 pF; 3 ) 425,87V ;41 l ,5V I

[Jn rrrotor trifásico conccurdo a una red tlc 380V est¿i funcionando a plenarr¿rrga. lvtidicnrkl la potcncia por el procedimiento de los tlos vatímeros se hanobtenido los siguicntcs rcsul htlos:Vatírncro l: Bobina ampcrinréuica en la l 'asc R, bobina voltimcuica entre Ry T. lcctura Pl = l0 kW.Vatí¡netro J: Bobina am[rcrinrétrica cn la fase S, bobina voltinrétrica entre Sy T. Lwtura P2 = 5 kW.

Calcular: r) Potenciit activa absorbida por cl rnotor dc la rctl. b) F.d.p. delnlotor. c) Potcrria rcactiva tlc una bütería de condcnsadorcs tluc clcvcn cl l'.tl.p.dc la in.stalación a la unidad.I t {cspa) l5 kW: b) 0, t166; c) t1,67 kVAR I

'frcs inrluctancias dc rcactanciü X y rcsistencia despreciablc, cst¿ílr conccudas

cn triingulo y sc alimcnun [xlr mcdio dc una rcd tlc lffnv. Sc dis¡runc dc un

CIRCUMOS TRIFASICOS Y COMTCINENTES SIMETR¡CAS

vatímcrro cuya bobina ümpcrirnét¡ica se colocit cn $cric con lü firsc R y ctln la

bobina voltiméuic¡l cnuc R y T, dantlo una lcctura de 1000W. Culcular litinnnsidad de lfnea (rnululo) y la feacuncia tle cada bobina.

I Resp 2A 186ó () I

Una red tr i fásica simétrica de secuencia posit iva t le 22Ov de tcnsiéncompuesta, alirnenta dos cargas cquilibradas: l) Un motor uif¿isico concctado

en rriángulo que tienc una impedancia equivalentc por fase de 20ü ¿3(lo O ;

2) Una resistencia eléctrica de calefacción conectiada en estrella tle $ ohnr iosv 3

por fase. Tomando la tensión VRN del generador como referencia, calcular: l)rnódulos de las corrientes absorbidas por cada carga y total de ta insualación. 2)Potencia activa total absorbida por las cargas. 3) Lecturas P¡ y Pz de dosvatímetros conectados cofrcct¡lmente para qus su suma represcnte la F)tcnciaactiva tota¡ consumida por los receptores.4) S¡ se funde una stila de lasrcsistencia quc componen et grupo dc calefacción ¿Curil será la suma dc laslccturas Pt y P2 de los vatímetros?

I Resp l ) | I ¡ ¡ | = l lA : I lnz | = 4 lA : I 1191¡ ¡ | = 14 ,97A; 2 ) p =

5306W; 3) Pl = 3258W ; Pt = 2048W ; Pr + P2 = 4468W I

En cl circuito dc la fig. P.5.1. la carga I reprcsenta un conjunto dc alunrhradode 6000W de lámparas incandesccntes, conccladas en esfclla tlc fornla quc cl

CARGA I C A R G A ¿

Fig. P.5.1

conjunto equilibrado: la carga 2 represenh un motor trilásico conectado cntrialngulo dc 20 CV, I = 857o, cos I = 0,8 inductivo. La tcnsión conlpucstaen cl conjunto dc tas c¡lrg¿rs cs de 3tt0v y yiencn alimenndas por un CcntroOencrador mediantc una línea tle impedanc¡a 0,1+j0,2 A/hilo. Si la sccucnciatlc fa.se.s cs RST y sc toma la tcn.sión VRN cn las carg¿ls como rcfcrencia tlc

5 . 1 5 .

5 .16 . -

5 . 1 2 .

5. l . l .

58ft

5. I , l .

589

E LECTROiVIACNil.SNIO Y Cl RCUITOS ELECIR ICOS

l' i lscs, culcular: i t l corr icntcs tR l , f R2, IR. b) Tc¡rsir in c()r¡ lpucsm ir l pr incipir ltlc fínea c) Lccturas P¡ y PZ rlc los vatímctros colocatlos en cl origcn dc lalíltca. Cornpruebcse que la suma P¡+Pr coincide con la suma cle las potenciastbsorbiúrs ¡xr las clrgas mls las disipadas cn la línea.I Rcsp a) Ip t= 9 ,12¿ 0e ; IR?= 3? , t ]9¿ - 36 , l f7s ; IR = 40 ,55¿ - 29 , l lo ; b )393,07V; c ) P l = 15939W ; PZ = 7872W; P= 2381 IW I

La fig. P.5.2 mucstra una línea trifdsica dc inrpcdancia l+j2 ohmios/tri lo yquc alimcnta a 3tl0v, 50llz un conjunto rcccptor const¡tuído ¡ror dos cargas

triliisicas cquilibradas,una cn triángulo de inrpctlancia l9.It Z.+6Oe (Ufasc y

C'lRCttffOS TRI FASICOS Y Colvt ruNENTES SIMETRICAS

y f.d.p. 0,6 inductivo, b) Cent¡al dc hormigonado con una potenci¿t tolal tlc20kW ,l = l l59o y f .d.p.0,707 inductivo. c) I luminación equil ibrada dc 9kWcon li lmparas incandcscentcs. S¡ la tensitin compuest¿l cn las cargas cs (lt)380v, 50tf z, calcular: l) Magnitudcs de las corricnrcs parciales absorbidas porcatla carga, corrientc total dc la insralación y su [.d.p .i 2) Tcnsión conrpucsulque debe aplicarse al principio de la línea, para que la tensión en la carga scildc 380 v. 3) Si sc conecta a la rc(l, en la zona dc las cargas, una batcría dccondcnsadores en esuella de 500pF por fase ¿,cuál será el valor de la nucv¡lconicntc dc línca y su f.t ' l.p. y la tcnsión compucsu¡ nccesaria al principio d,:la red? "{) Contesur al apartado anterior, si los condcnsadores sc concct¿ur crltriiin gu lo.I Resp l ) 23,3A ; 50,6A ; 13,7A ; 83,64 ; cos r f r ¡ = 0,7ó i2) 44(1,47V ; ] l66 ,46A ; 0 ,954 ;41 I ,47V;4) 80 ,12A ; 0 ,791 capac i r i vo ; 354,26V I

El circuito tr i fásico dc la l igura P.5.3, cst^l al imcntado por una rcd sirnetr ic¡rde secucncia l)ositiva con 220V dc lír¡ea. L¡ tcnsión Vn¡¡ se torn¿t cotn(¡

.5 . I 7 .

5. I l l ,

590

I R

5 . r 9 .

l9Y3'lsgn nor rasr

Fig. P.5.2

-l,3-lrgon po" f s¡ct,3

otra cfl esrrclla dc * ,o0g f¡ /lase. La sucesión tfc [ascs cs RsT y se roma{ 3

la tcnsitin VR¡¡ 0n las cargas corno rcferencia cfe fases. Calculan l) Conientes

cn la l 'ue R, dc las cargas 1,2 y loml absorbida glr cl conjunto con su f.d.p.l) Tcnsión compucsl¿r ¿rl principio dc la l ínea, tenicndo cn cuenta quc latc¡tsitin compucst¡ cn las cargas rcccploras cs de 380V: l) cüpacirlad p,or fasctlc unos condcnsadorcs concclrrlos cn esuella cn cl extrcmo rcccptor quc clevcncl l '.d.p.ün csc punto ¿t la unid¿rd, Dcterminar en cste caso, cl nuevo valor (le

la corr icntc t lc l ínca (múlukl) absorbida por la instatación.4) Dcterrninar laflucvit tcnsirin al ¡trincipirl rlc la línca csHndo con{JcHdos los con(lcnsadorcs. 5)S¡ los condcn.saclorcs calculados cn cl ap¿¡rt¿¡do 3 sc concctan cR triéngulo

¿,Cuiil sr'rit la tcnsión ncccsiuia al principio tlc línea?

I t tcsp l ) In f 20¿ - 600 ; lR2= l ( l¿ ' ó0e ; ln = 30¿ - ó00 ; cos9 = 0,5 ;

2) -196,02V i 3, 377 lrF ; 15 A ; 4) 409,29V ; 5) 26ó,tf4v I

Llnu l íncu tr i l i is ic:¡, t icnc una impcdanciü de 0,1+j0,5 ohmios por hi lo y:rlitncntu li ls siguie'ntes cilrgirs: uI Gniu dc potcnci¿t tncüiirl ici¡ lOCV, fl = t{(}%,

Fig. P..5.3

relbrcncia dc fascs. Se han conect¡¡do dos vadmckos para medir la polcncitubso¡bida prr la instralación. Calcul¡r las indicaciones tle los vatímerros c¡¡ k¡scasos siguicntcs: a) con cl intcrruptor K ubieno: b) Con cl interrupror Kccnado, c) Con K abicrto y circuiro corrado labicrto) cn A. d) con K abicrro ycircuito cort¡do cn B.IRcspa) Pr = l54l t l ,SW; P¡ = 2f i )5.5W; b) P¡ = l l925W: Pt = 549r)W;c) 9610,5W ;1ffi5,5W; rl) ¡4415,75W; - 5703.75W I

5,20." Una rcd uitisica simérica dc sccucnci¡ positiva dc.t80V ¡lc lÍnca y 50llz,alin¡cnta dos cargas cquilibradts: l) Curga en uiánguln dc l5Z30o (l/t'asc, l)carg¡ cn cstrclla tlc l0(ll0e l)/lasc, Tonr¡n¡lo corno rcl'crclrcia tlc l¡scs lir

.sg I

I r j 2 f t p o r

- j ¿ t t c a d a

ELEC1ROMACN ETISMO Y CI RCUTTOS ELECTRICOS

l'ascs. culculu: ¡t) corricntct; lR l, lRZ. l¡¡. b) Tcnsióll cotnpucsl¿l irrl ¡rrincipiorle línca c) Lccturas P¡ y PZ dc kls vatíntctros $oloc¡¡dos cn cl origcn tlc lu

lÍnca. Compruébesc qus la suma P¡+P2 coincide con la suma dc las potcncias

absorbidas por las cargas más las disipadas en la línea.

I Resp a) Int= 9,12¿ 0q: IR2= 32, t19¿ - 36,870 : ln = 40,55 ¿ '29,1 l0 ; b)

393 ,07V ; c ) P l = 15939W ; PZ=7872W; P= 2381 IW I

CIRCUITOS TRIFASICOS Y COMIONENTES SIMETR ICAS

y f.d.p. 0,6 inductivo, b) Ccntral dc horrnigonado con unü potcncia totnl tlc2OfW , r l = t l l?o y [ .d.p.0,707 inductivo.c) l luminación cqui l ibrada dc 9kWcon lám¡raras incandcscerrtcs, Si ln tensitin compucsta cn las c;ugü.\ c$ dc380v,50H2, calcular: l) Magnitudcs dc las corricntcs parcialcs absorll idas ¡xrrcada carga, corr¡entc total dc la instalución y su f.d.p.; 2) Tcnsióll cornpuesutque dcbe aplicarse al principio de la línea, para que la tensión cn la carga sca

de 380 v. 3) Si sc concct¡ a la red, en la zona de las cargas. una batería dc

condensadores en e.srella dc 5ffipF por fasc (:cuál serú cl valor tle la nueva

corricntc de línea y su [.d.p.y la tcnsión compucsn ncccs¿lriü al principio tlc

la red? 4) Contestar al aparuado antcrior. si los condcnsdorcs se concct¿ln crl

triiíngulo.I Resp l) 23,3A ; 50,6A ; 13,7A ; 83,6A ; cos r[r-¡ = 0,76 ; 2) 440,47V ; ])

66 ,46A ; 0 ,954 ;41 I ,47V;4) 80 ,12A;0 ,791 capac i t i vo ; 354,26V I

El circuito tritásico de la figura P.5.3, esd alimentaclo por una rcd sinrótrica

de secucncia positiva con 220V dc línca. L¿ tensión Vnru se tollla conlo

5 . 1 ? .

5 . t t i .

5e0

La fig. P.5.2 mucsraque alimcnta a 380V,

una línca trif¿isica dc inr¡redancia l+i2 ohmios/hilo y50Hz un conjunto reccptor constituído ¡xlr dos cargas

t¡iftisicas cqu¡libradas,una cn uiilngulo clc impcdancia 19fi l+60a (Ufasc y

rn

5 . 1 9 .

l9V5 f@n Po. f aee

Fig. P.5.2

*11*oon po.v 3 b

f a s e

orra cn esrretla dc 4. ,000 Q /fasc. Lr succsión dc l'rscs cs RST y sc totna{ r

la tcnsión Vp¡rt en las cargas como rcfercncia dc lascs. Calcular: l) Corricntcs

cn la farc R, dc las cargas | ,2 y toul absorbida ¡xrr cl conjunto con su l '.d.p.

2) Tcrrsit in co¡npuesti l al principio dc la l ínca, tenicndo cn cucnta que la

tcnsitin compuestil cn las cargas rcccptoras cs dc 380V:3) capacidatl por fasc

dc unos condcnsadorcs concrl¡lrlos cn csuclla cn cl cxucmo rcccptor quc clcvctl

cl l '.d.p. cn csc punto a la unid¿td. Dctermin¿¡r cn cste ca.so, cl nucvo valor dela corricnte dc líncu (rnülulo) absorbida por la instalación. 4) Dctcrminar lanucv¿t tcnsión al principio dc la línca cstando conccl¿ltlos los condcnsadorcs. 5)Si los contlcnsarlorcs cülculados cn cl apartatlo 3 $c conccun cn uiúngulo

,,Cuúl scrú la tcnsitin neces¿uia al principio dc línca?

I R c s p l ) t n p 2 O Z - 6 0 0 : I R Z = l 0 ¿ - 6 0 0 ; I n = 3 0 / . ' 6 0 0 ; c o s q = ( ] , 5 ;

2) 496,02V: 3) 377 ttF ; 15 A ; 4) .109,29V i 5) 2óó.tl4v I

Una l ínca ui lásica, t iene uni l im¡rcdancia de 0.1+.i0,5 ohmicls [)or lr i lo y

afirncnu las siguicntcs citrg:ts: a) Cirúu (tc potcnci¿t tnccl inic¿t l()CV,rl = t10%

Fig. P.5.3

relbrencia dc l'ascs. Sc han concct¿¡tto ttos vatímetros para mcdir lr potcnciaabsorbidu ¡nr la insulación. Calcular las indicacioncs dc los vatímctros cn krscasos siguicntes: a) con cl intcrruptor K abierm: b) Con cl intcrruptor Kccrrado. c) Con K abicrto y circuito corhdo (abicrto) cn A, d) con K abicrto yci¡r-uito conado cn B.IRcspa) Pr = l54l l l .SW: Pl = ] (X)5,5W: h) Pt = 11925]V: P: = 5.199W:c) 9610,5W :1005,5W ; rl) 144t5.75W: - 5?03,75w I

5.20.- Una rcd tril¡isica sinréuica dc sccucncia positiva rlc .]tl0V tlc línca y 50llz.,ali¡ncnt¡ dos cargas cquilibradas: l) Cargu cn triiingulo tlc 15230" fVlasc, 2)carg:r cn cstrclla dc l(Xll0e l)/lasc. Tolrtando ct¡mo rclcrcncil dc l¿rscs la

l + j 2 f I p o r

5 9 r

5 . 2 t .

5.22 .

il-ECTROIvIAGNETISNIO Y CIRCUIIOS ELECTR tCoS

tcnsión VRN, calcular : a) rnodulo dc las iorrientes absorbidas ¡xtr ca(la cargay tot i t l t le la instalaciórr. b) Lecturas correspondientes a dos vatímcuosco¡lecratlos corrcctÍ¡mcnte par medir la potenci¡l activa absorbida por lain.smlacirin. c) Potencia reactiva toml y capaciclad por fasc cfe un banco dccon(lcn.s¿tdores coneclados en triángulo y acoplados a la rcd, que elcven el f.d.p.toürl tlc la insmlación a la ur¡idacl.

I Resp a) t5 ,2VJ n:+ A; t rorAL = 28,25A I b) p¡ = t0723 w; p2 =v 3

5723W ; c) 8ó60VAR ; 63,6 pF I

En la f ig. P.5.4 se mucstra una red trifásica frlrrnarfa p,or una línea de 0,1+j0,3f)/hilo, quc ulirncnu trcs motorcs tri l 'ásicos a una tensión compuesh tle380V,50H2. (VnN cn el rcceptor se toma como rel.erencia). EI rnotor I estáconüctatlo cn triángulo y cs cqu¡valcntc a uni¡ irnpedanc¡a de 25 ¿45" fUfasc;cl nrotor 2 cstá conecmdo en esrella y equivalc a unü iln¡rctlancia de $¿Aa(Ufasc. El motor 3 cstá conccl¡ldo en cstrella. Lás lccturas dc los vatímetros¡nostrados en la [ig. P.5.4. han sirlo : Pt = 2l7mw ; PZ = 7405W;Calcular: l) Mórlulo dc la corriente totál absorblda por cl conjunto y su f.d.p.; 2) nragnitud dc la corriente absorbida fxrr el n¡otor n0 3, e impcdancia porfasc cquivalcnte dcl mismo;3) Si se conecüa en la zona receptorü una bateríade contlensadores dc 30 kVAr, ¿',Cuól scrá la nueva coriente nu¡l absorbida ¡rurla insralación, su f.d.p.y la tensión compucsta nccesaria al principio de líneasi la tcnsión cn las c¿¡rgas es sicrnpre de 380V?

Fig. P.5 . .1

*csp ,) sn'03i'=.?i;il ilÍ.l;;il 3iT,;,l:líflo

f); 3) 14'e4A:

En c l c i rcu¡ to t r i l 'ás ico t lc la t ig . 1 ' � .5 .5, la a l imentación cs s imétr ica, desccucnci¿l pos¡ t iva y con uni l tcnsión compucsta dc 220V. ' l ' t l lnando VRN

corno rcl'crcr¡ciu, cnlcular: a) lccturit dc los vutfrnctros ttt().strados crr lu l ' ig.P.5: b) ldr-¡¡l cuilndo sc rotnpc lu l 'asc T cn cl punto A : c) lt lc¡¡t suilndo sc

5.23.

CIRCUTTOS'. RIFASICOS Y COMTONENTES SIMETRICAS

rornpe la fase T er¡ el punto B (en vez del punto A).

F i g . P . 5 . 5

I Resp a) Pr * 7621W ; P2 = 4400W ; b) Pt = 3219,7W ; Pz = 2788,3WI

c) Pr = 4399,3W ; P2 = l6l0,2w I

La red trifásica de la fig. P.5.ó está alimennda a principio de lfnea por ungenerador simérico, de secucncia positiva, de 380V de tensión compuesta y50H2. l-as cargas que se representan están equilibradas, siendo su conexirin laque se indica. a) Esrando el intenuptor D2 abierto, 0l cerrar D¡, las lecturas rlclos vatÍmetros fueron: P¡ = 7457W; PZ = 2470W I ¿Cuál es el valor dc laimpedancia compleja por fase de la carga l? ; b) Si a conünuación se conecnlacarga 2 (es decir Dt y D2 esdn cerrados) ¿Cuál scrá el módulo de la tensionde línea que se tendrá en las cargas? c) En la situación del aparndo anrerior¿Cuál será el valor de la potencia reactiva totat neccsaria en unoscondcnsadorcs conecndos en triángirlo al principio de la línea, que elcvcn clf.d.p. tonl de la instalación cn ese punto a 0,9 inductivo?

C ) , l n j O , 3 O p o r h i l o

as [Q,.JI por fase 15 [Q'fI por fase

592 5e3

ELL,C-I.R0IvIACN EI"ISIVIO Y CII(CU TT T]S ELEL-I IUCUS L I K L U I I t l 5 I ¡ t t l ' r \ : > l L t ) ¡ t ( - U t v ¡ l \ - / t r t : ¡ r I L . r . ¡ t ¡ v l L I t t l r . . - ¡ r ¡

l ¡9.e-f Jr- . fase

CARGA I CARCA 2

Fig . P .5 ,7

I Rcsp I ) 280,7V ; 2) 378,5V I

La red trifásica dc la fig. P.5.8 está alimentada en los tcrminalcs RS'f lx)r un

sistcma simétrico dirccto cle 3tl0v dc tensión compuesta,50llz. Las cargasquc se reprcsenlan est¿ín cquilibradas y su conexión es la que se intlica.Calcular t) LecturÍui Pt y P2 dc los vatímeuos si Dl esl¿i abicrto y Dz y Df

esuín cerrados; 2) tcnsión compuesn en la carga 3, si Dt y D2 csHn abiertos

y Dl ccrrado; 3) cuando se cicrran los lres intcrruptores, las lccturas tlc ltls

var ímetros son: Pl = 87616W I PZ = 84408W, dctcrminar c l valor cn

ohmios dc la rcsistcncia R (plr fasc) dc la cargü l.

CARGA 2

5.24 .

5.?5 .

F i g . P . 5 . 6

I Res¡r a) 10,34 ¿36,83 O ; b) 351,67V ; c) 4966 kVAR ]

Una rerl trifúsica siméuica de sccucncia positiva, al¡¡nenn metliante una lfneade irnpedancia 0,1 + j 0,2Q por hilo los siguientes receptores: a) un motortrifúsico rlc l0kW, Tl = 82Vo; f.d.p. 0,707 inducüvo, b) un motor trifásico de| 5kW , I = 85%, cos rp = 0,8 inductivo, c) un rnotor trifúsico tle 5kW, Tl =

SOVo y f.d.p. 0,6 intluctivo. La tensión compuesua en la zona dc los receptoreses de 380V, 50H2, Calcular : l ) Móclulos dc las corr ientes parcialesabsorbidas por cada motor, y corriente tot¿tl absorbida por el conjunto de lainstalación y su [.d.p. 2) Tcnsión cornpuesüa a principio de línea si la tensiónreceptora cs sicmpre tlc 380V : 3) potcncia rcoctiva cle una batería decondcnsadores acoplados a la red en cl exuemo rcceptor y que eleven el f.d.p.dcl conjunto en esa zona a 0,9 inductivo, 4) si se desconecnn repenünamentelos motores dc l0kW y dc lskw (ciugus a y b)¿cuál será el f.d.p. resulhnte dela insulación? ¿es inductivo o capacitivo?; 5) cn el caso antcrior ¿cuál será lanucva tensión compucsH necesaria al principio dc línea?

IResp l r 26 ,2 lA ;33 ,51A ; 15 ,83A ] l fO tnL = 75 ,09A ; cosQT = 0 ,73 ; 2 )

407,30V; 3) 16,28 kVAR ; 4) 0,618 capacit ivo; 5) 377,52V I

La fig. P.5.7 muestra uria rcd trifisica, alimcntada por un gcncrador simétrico,de sccucncia posiüva, dc 380V de tensión compucsta (principio de l ínea).Lacarga I es una csuclla dc rcsistcncias rJc 25 (Vtasc. La carga 2 rcpresenta el

c i rcui to cquivalente de un n lotor t r i fús ico conccudo en t r iángulo t leimpctlancia: 6/.+36,t17e l)/l 'ase. Citlcular: I ) Tcnsión compuesta en bc¡rncstfcl rnotor (cnrga 2\ | 2) s¡ sc dcscorrecta el nlolor ¿cuál será la tcnsióncofnpucsu quc aparcccrá cn bomcs dc l¿¡ citfg¿t | ?

5.26.

CARCA 2

? o . ld l l . fn tc

Fig. P.5.8

CARCA 3

6 - J l 5 J l . f n ¡ c

O , l + J O , 3 0 . h l l o O , I + J O , 5 4 . h l l oj I Japor

CARGA I

n J ¡ . fnnc

594 59s

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

I Resp l ) Pr = l54t t t t ,5W i P2 = l22t l0W,t l S*. f rnV ; .1) R = | Ql

5.27 .- L¡ rcrl t¡ifásica dc la fig. P.5.9 cstá alimentada en los tcrminalcs de entrada porun sistema simét¡ico directo dc 380V de tensión cornpuesn, 50H2. Existe

al principio de línea una carga I quc rcpresenta un molor uifásicoconecmdo en cst¡ella. Al final de línea hay una carga cn triángulo de 12190"lVf¿¡se . Estando el intcnuptor D2 abierto, cs decir funcionando sólo el motor,sc obscrvan las siguicntcs lccturas dc los vatí¡nctros: P¡ = lóó74Wi P2 =ll337w. l) Calcula¡ la impedancia por fasc del motor.2) sc cierra elinlcruptor D2 (cl motor sigue funcionando) ¿Cuál será la cl.d.p. cn bornes dela carga 2?, 3) Sc abrc la fasg T cn el punto A ¿cuálcs scriin las lecturas dc losv¡¡tíl¡¡ctros csundo conec¡adas ambas cargas? (se sup,one que la im¡rcrlanciacquivalentc del motor permancce invariable),4) cn cl caso antcrior ¿cuál serácl vak¡r dc la tcnsirin quc adquicre cl ccnuo dc la cst¡clla tlcl moror resficcto delncut¡o rlcl gcnendor?

R .

S "

T '

CIRCUTTOS TRIFASICOS Y COMTONENTES SIIVIETRICAS

r svT[g'n . fase# bq". rase

146,560; IT = 22,36 ¿93,440 ;= 4249,6W ; cos(m = 0,852 |

F ig . P .5 . | 0lResp. l) In = 22,36¿- 26,560; IS = 22,36¿-21 350V ; 398,82V ; 3) Pt = t l9l4,40w ; PZ

5.29. La l ' ig. P.5.1I reprcscnu una red r i fásica a 4 hi los, de 380V de tcnsióncompuestír, simétrica y dc secuencia dirccta. L¿s cargas conecladas son: l)n'lotor trifásico conccl^irdo en triiingulo quc absorbc una pottncia aparentc tlc la

,;T;',rctl dc 2mkVA con f,d.p.0,866 inrlr¡ctivo,2) Una carga monofásica enuc le\fascs R y S formada por una baterÍa de condcnsadores que aport¿n una ¡x)tenciarcilct¡va (le 50kVAr, 3) Una carga nlonofásica de alumbrado inca¡rdc.sccntcconcculda entrc l¡r lirse T y el ncutro que absorbc una flolcnc¡a activa dc 20kW.Tomando la tcnsirin VRN como rcfcrcncia, calcular: a) Valorcs complcjo.s dcc()n icntcs lR, l .S, lT,c lN; l l ) lccturas Pt y P2 dc los vut f rnctrCIs i t rd icado$ cn

CARCA I

Fig. P.5.9

CARGA 2

5.28 .

fRcsp. l ) 5 /30* ' l ) ; 2 )VLZ=30aV ; 3 ) P l = 25010W ; Pr = - 12505W

: VN'N = 109,72 Z- 604 |

Sc disponc (lc li l rcd trifúsicu it cu¡rtro hilos de la l ' ig. P.5.10, alimenLada porun gcncri l( lor simétr ico dirccto. La irnpcdancia det neutro se consideratlcs¡rrcciublc. Sc subc quc la tcnsión en bornes de la cürga en triángulo esconsranrc y dc mi lgni tud igual a 3t t0v. Tomando VRN cn la carga en

tr i i ingulo comt) rcfcrcnci¿¡, calcular: l ) Conicntcs complcjas IR, 15, 11 al

¡rrincipio dc línca, 2) Módulo rlc la tcnsión compue.sm cn borncs dc la ciuga encsucl la y i l l pr i f lc ipio dc l ínca, l) lecturas dc clos vatÍmctros conectadoscorccr¿uncnlc par¿t nt0dir la ptltcncia trifdsica i¡ pnncipio dc línca ¿,cuánto vale

cl t . t l .p. dc l i t insul i tción'I .

t a l g q : J t . f a a c

59ó 597

ELECTROMAGNETISMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

la fig. P.5.ll. ¿la sunra de a¡nbas lectur¿s mirlcn la potcncia activa totalconsumida por la instalación? Ra¿óncse la respucsu.lResp. n) In - 201/-10,9c : lg= 331,14¿.126,6'I l '¡ = 385,5296'8 ; lN =91,16¿1200; b) Pt =72175W ; P2 c l0 l02lW . Lr ¡uma dc P¡ más P2no mide la potencia total ya que eriste coniente dc retorno por el ncutro. Nose detccu el consumo dcl alumbradol

5.30.- En la rcd de la fig. P.5.12, se suponc que la tcnsión cn la zona dc receptoreses dc 4ü)V, simét¡ica y dc sccucncia positiva, El motor uifrísico ticneuna potcncia mecánica de l2,5CV, I = 8570 y f.d.p. 0,8 inductivo. Las fisesde la línca licnen una resistencia dc 0,15O y rcacuncia dcspreciable. Elneuro tienen una resislencia de 0,4O y no úcne rcactancia. Dc las fases R, Sy T se alimentan lámparas incandqscentes, cuyos consumos son de 20A,l5A y 5A rcspectivamente. a) Calcular la tensión entrc la fase T y elneutro en el extremo emisor (V1¡,), b) respondcr a la pregunta anteriorcuando se desconecu el motor, c) idem si se dcsconccta el motor y la carga dcalumbrado dc la fasc T.

F ig . P .5 .12

[Resp. l) VT,N, - 229/.120o i 2) 226,7 ¿120o i 3) 223,95¿1200 I

La red de la fig. P.5.13, está ali¡nentada por un generador trif¿isico si¡nétricodirecto de 22AY de tcnsión compuesüa. Tornando la tcnsión VRN cornoreferencia, calcular: a) Tcnsión de línea en la carga en cstrella estando elinterruptor D2 abierto, b) lecturas P t y P2 cn el caso anter¡or, c) si se cicrrael intenuptor D2 de la carga monofásica 2 ¿cuilles scrán los valores dc lascorrientes IR, IS e lf ? d) Dcterminar los valorcs de P¡ y PZ en el casoanterior.

R .

CIRCUTT().S TRIFASICOS Y CONII{)NENI'E.S SIME I'RIC¿\S

CAROA 2l + j 2 t L

tttiiii.'r""u

Fig . P .5 .13

[Resp. ü) 2mV ; b) Pt = 1577,4W ; Pe = 422,6W ; c) Ip = 40.9J ¿- 2(1,7e

i 1 5 = 4 0 , 9 3 ¿ 1 7 0 , 7 e ; l f = 8 , 1 6 ¿ 7 5 o ; d ) P l = 6 t l 4 3 W : P Z = - 2 8 2 9 W 1 .

En cl circuito de la Fig. P.5.14 sc rnuestra una inst¿llación clóctricil cquilibradaalimcnuda por una rcd sirnétrica dc sccuencia positiva. Al l ' inal tlc la lílrcaexisten dos fnomres tril¿isicos M¡ y MZ conecutlo.s cn estrclla. El nlotor 2

Fig . P .5 . l4

.se puedc representar por una cürga tlc 3+jaQ/fase. L¿rs lccrurils dc kls ul)ilratostJc nrctlida son las siguiclttcs:

Pt = 27135W : Pe = 7271W : VZ = J5( ) .5V

Calcular: l) Lcctura dcl arnperírnetro concct¿lrlo cn la flsc R, ]) irnpctlanciapor fasc cquivalcnte t lcl nlotor I{ t . 3) Lcctura dcl volt ínrctro V l , 4) si sc

ntanticne con.stantc la tcnsirin a prirrcipio dc línca cn cl vil lor i lcr¡rnularto cn clapürtüdo 3) ¿cudl scrá l¡¡ lcctura dcl voltínctro Vr si sc tlcsconcct¿r cl nlotor

lvl ¡ '1.

5.32.s '

T '

N .

s '

R .

T .

5 . 3 1 .

l + J l f l , h i l o

O , t r j O , 2 f l . h l , l o

598 599

ELECIROMACNET|SNIO Y CIRCUNOS,ELECTRICOS

I Rcsp . l ) 80 ,15A ; 2 )4+ j l f ) ; l ) fS0v ; 4 )364V I

5,33.- L.a rcd triflsica dc la fig.P.-5.15, ticnc una tcnsión tlc alimc¡rtación a principiorlc linca dc 3ll0 V, 5l)llz , simét¡ica y dc sccucncia tlirccu. La línca ticne u¡rairnpcdarrcia dc 0+j 0,5 O¡hilo. La carga I cs una c¡¡rgi¡ cn triángulo deimpetlancia R6 + jX¿ fVfasc. La carga 2 cs una carga en esuella resistiva

¡rura. a) Si el intenuptor Dl csui ccrrado y D2 abicrto. las lecturas delos vatímetros son: P¡ = 13813,óW ; PZ = 978.8W ; calcular la impedanciap<lr lirse de la carga cn triingulo.b) si cl intcrruptor Dl csti abierto y D2ccrratlo, la tcnsión dcl voltímcl¡o conccndo cnt¡e dos fascs al linal dc la lÍ¡re¿fuc dc 368,ó5v. Calcular la rpsistcncia R por fase dc h carga ? y las lccturasdc los vatímetros. c) sc conect¡t al final de la línea una batcría dect¡ndcnsadores cn lridngulo ¿cu.íl dcbcrá scr la capacidad pr fasc ncccsrria parar¡uc lir lu:lura dcl v<lltírnct¡o sc¡ la nrisma quc la tcnsión dc alimentación (cstlccir 380v) supuesto qrrc esÉn ccn¡¡dos los intcruptorcs Dl y D2 (Nota:tornar lu capucidad nrcnor dc las dos ¡nsibles).I Rcsp. a) 26 = 9+jl2 O; b) R = 2fl ¡ P¡ .38ll lt lW ; PZ = 29070W ;c) 274 pFl

CARGA IR A t J X A 3 . f a a c

F i g . P . 5 . 1 5

[ :¡r l l consrruccit in t lc una obra civi l , al imenmda por uni l rcd tr i l ¡ isica a 380Vtlc rclrsió¡r co¡npucst¿r, sc v¿t ü cfnplear la siguienlc müquinilr¡a: l) Ccntral dchrrrrrr igontdt) dc 5()kW, r l = t l( la/o y f .d.p. 0,7 int luct ivo ; l ) RlondÍn dcIronr¡ igonado con unü potcncia instalut la dc 30CV, q = 75o/o y f . , l .p.0,o5inducr ivo ( lCV = 7J6 W) ;3) Crupos dc so ldadura con unü po lcnc ia dc 25kW, r¡ = 9}o/o y l ' . t l .p.0,9 irrductivo: {) lvlaquinaria t l ivcrsa: grúas, cirtutstranslx)rti l(loras, pc(lucñüs hortnigoncrüs, ctc., con unü potcnciil toüal dc ;0

kW, n = 700/o , l ' .d .p. 0,ó int luct ivo. Calcular : l ) Magni tudes t lc las

corricntcs pilrci¡rlcs absorbidils p¿rrit c:,tdü rcccptor a plena cargü y corricntc f r)nl

tlc línca: l) Potcncius activl, rcilctiv¿l y ilpürcntc ttcl conjurittl, indicantltr cl

l ' . t | .¡1. t lc l t instalacit in, l ) Potcnci i t rc: lct ivi l ncccsi lr i i l t lc un bancrl t lc

CRCUNOS TRIFASICOS Y COÑIIONENTES SIMETRICAS

condensadorcs que eleven el f.d.p. ro¡¡l a 0,9 induclivo.4) lndicar la porcncianecesaria ¡lel ranslbrmador de alimentación dc la obra cn los casos siguicntes:a) sin conecrar los condensadores. b) Conectlndo los condensadores. NO l-A:Lr ¡xltcncia de los ransformadores se midc en kVA.I iesp. l ) 135,ó6A ; ó8,8tn ; 46,89A t 72 '35¡ : 320' l8A :2"l4tt,28kW; t49,74 kvAR;2t0,74 kvA I 0,704 ; 3) 77,9kVAR; 4) a:210,?4 kVA: b: l&1,76 kVAl

5.35.- L¿r instalación de alumbrado de un ccnl¡o comercial esd alimentada por una rcdrrifúsica siméuica dc secuencia posiúva a 4 hilos con 380V dc tensión com-pucsta. Entrc cada fasc y ncutro se hallan conecudas en un momcnto dado lassiguicntcs cargas rcsistivas: l) Fase It: 3fl) lárnparas de lü)W; 2) Fase S: 2ü)lámparas de l00W ; 3) Fase T: 100 lámparas dc 100 w. [:s lámparas ücnenur¡a tcnsión nominal de 220v (igual a la tcnsión fase'neutro a la cual secqnecun). Se pidc: l) ¿Cuálcs scrán las impedancias equivalentes (rcsistencias)cc las difcrenres cargas? 2) ¿Cuáles scrán las nragnitudes de las corricntcs cn ladiferentes fases y en el neut¡o?: 3) Si sc producc en cste momento y cn la en-t'atla dcl cdificio, la rotura dcl hilo ncutro ¿qur! valorcs tomarán las co¡ricntesen las líneas? .{) Sabicndo que unü lámpara no soporu¡ una stlbrctcnsiórt supc-¡io¡ al2ll% de su valor nominal ¿ Sc lbndirán algunas lánrparas ?l R e s p . l ) Z R = 1 . 6 1 3 Q ; 2 5 = 2 A 2 A ; Z T = 4 ' 8 4 Q : 2 ) l ¡ = 1 3 6 ' 0 l A ;I s =90 ,66A ; IT=45 ,33n ; IN=78 .52A ; 3 ) IR = 103 '88A ; lS =94 ' : J6A

; IT = 57,HA ; 4) Se fundirán las lü) lámparas de la fase Tl'

5 .36.

R

S

r

En el c i rcui to de la f ig . P.5.16, sc muestra una insta lac iÓn elcct¡ ' icadesct¡uilibrada alirnentada ¡nr una rc(l t¡ifá.sica sinrétrica de sccuencia ¡lositivit

5.3- t .P a = 9 5 O W . P b = l l 4 O U .

c o s ? " = O , 5 l n d . c o s f ' = l

P = 7 6 0 U .c

cos V" =0 , 5c ¡¡f¡ .

F i g . P . 5 . l 6

tlc Jtt0v tle tcnsión compucsta. L¿rs cargas son monol'ásicas. La cargü "it"

absorbe una potenc¡a üctiva dc 950W con f.d.p. 0,5 inductivo. La carga "t)"

ltlsorbc una potcnciü activa dc I l40W con f.d.p. unidad. L¡ carga "c" ¿tl)s(lrtrcdc l i r rct l una p()tcnc¡a activa dc 760W con f.d.p.0,5 capacit¡vo. Torl l tr t( loconto rclcrcnciu t lc l '¿rscs la tcttsion VRN dc la rcd, ci l lcular: I) Exprcsiuttcs

CARGA 2Rf l . faec

ófi) 60r

E LE gN(0 TVIAG N gII S M0 Y C I RC U I'I US E LL;L-¡. RICOS

complcjas r le hs corr ientcs dc l ínea lp , tS ,c lT. 2)

vütftnciro.$ scfi¿¡luclos cn l¿t [ig. P.5.16.[Rcsp. l ) In = 7 , t l l ¿ - 3 ,67 e ; lS = 4 ,359¿- 173,40

2) Pl = 2660W; P2= l90W ; Se comprueba que P¡

Lccturas Pt y P2 de los

; I t = 3,605 ¿l(r3,9e ;+ P Z - P a + P U + P c l

5 .3 7 . En cl circuito de la l ' ig.P.S.17, se muestra una ¡nst^írlación alimcnuda por

P =2792Ya

eos?"=O,7O'7

5,38 .

F i g . P . 5 . 1 7

una rcd trifásica sirnétrica de sccuencia directa, con una tensión compuesh de380v. El motor "a" cs tri lósico, y absorbe de la rcd una potenciü activa rtc2792W con f.d.p. 0,707 inductivo. El motor 'rb! ' es monofásico y estáconcct¡ldo enue las l'ases R y S de la red. Si las lecturas de los vatímetros hansiclo:

P l = 3 7 2 2 W ; P Z , = - l 7 0 W '

tlcterminar ¡a potencia activa Pg Que el motor "b"

absorbe cle la red y su f.d.p.

[Resp. Pb = 760W ; cos 9b = 0,5 inductivol

La insralación clóctr ica t le la l ' ig. P.5.18, t icne en el extremo receptor, unsistcma equilibnrdo dc tcnsioncs, con un valor de línea dc 220V, con sucesióntlc fascs RST. El rcccptor cstii conrpue.sto por las siguientes cargas: l) Unnlotor tril¿isico concct¡ldo cn e.st¡clla que absorh una potencia acúva dc la retlt f e , l kw , con f . , | . p ,0 ,8 i nduc t i vo i 2 ) Un g rupo de 60 l ámparasincandcsccntes dc 40W cada una, concctadas de un modo equilibrado a 220V(20 lánlparas cnue cada dos [ases); 3) un motor monofásico conect¿tdo entrclas l 'ascs R y S y t¡ue ubsorbe ?kW de la red, con [.d.p.0,7 inducl.ivo; 4) Unhrlrnilkl tlc 5mW concct¿ltlo cntrc la filse T y el neutro. La irnpedancia de lalfnc¿r es de 0,5+ j l A/hi lo, siendo dcspreciable la impedancia del neutro.'fomando

como rcfercncia la tensión VRN dcl rcceptor, calcular: a) corrientes

lR , Is , Ia c I ¡ ¡ ; b) Tcnsiones s¡mples en e l or igen de la l ínea : VR,N ,VS,N , VT.N ic) Tcnsioncs compuesns VR,S, , VST.,VT,R,.

60¿ 60_1

C I R C U I I U S I R l l ' A S l C U b I L U N ¡ t t / l ¡ u l t I l - ¡ . r t r r l L , l l t l L ¡ r ' r

Fig. P.5.18

[Resp. a) lR=31.44¿' 2 l , l8o ; lS = 28,632'165,ó0 ; lT=22,19¿99,2a:

t¡¡ = 3'9¿ / '120o; b) Vn'ru = 154.8528,780: VS'N = 157'79/' l l6'44q:

VTN =146,24 ¿126,60; c)VR'S * 217'59¿36,450 ; VS'f' =259,24¿'86'26" i

VrR'= 257'892158'68"1

5.39.- El circuito rtc ta tig. P.5.19, sc supone que formr un sislcma sinrétrico tlctcnsiones de sccucncia dircch en cl extremo rcccptor. con un v¡lor dc 380v de

F ig . P ,5 . l 9

tcnsión compuesta. Las cargas son las siguientcs: l) Motor trifásico de lOkW:rf = 90Vo; cos g = 0,8: 2) Alurnbrado incandcscentc entre la fasc l t y cl

neurro tle 5 kW; 3) Alu¡nbraclo incattdesccnte cntrc la lasc S y cl neutro ttc -l

kW ; 4) Alumbrudo i¡ lcandcsccntc cntrc la lasc T y cl ncuro dc I kW : 5)

R '

s '

T .

R .

s '

T ,

N ,

CARGA 3?KU, coe?=0,7

CARGA á

5()OU, coe?= ICA8GA IdKY, cos?=Or B

O , l + j O , l

5.40. -

E LE(]IRoMAcNgllstvlo Y clRcumos ElEct'Rtcos

Ittotor ¡nonol¿isico de 2kW conecndo entre las fases R y S 4 = B07o ; cos g= 0,6 inductivo. Tomando la tensión VRN en el receplor como rcfcrcnci¿r,calcular : l ) Exprcsiones complejas dc las IR,IS, IT e tN ; 2) Tcnsioncscomplejas simples a principio de línca: vR,N,, vs,N' ,vT,N, : 3) Tensionescomplejas compucstas a principio de línea: VR,S,, VST,, VTR, .

[Resp. t ) IR = 52,56¿-18,83s; IS = 43,37/ , - 152.880; I t =24,9¿89, .450: lN = 16 ,43¿ '4ó ,1 le : 2 l vR ,N ' = 230J3¿ O , l f o ; vs ,N , = zz3 ,z l¿ -I l t f ,ó" ; VT,N, = 220j2¿l l9,2o ; 3) VR,S, = 392¿- 30,539 ; VS,T, =38[f ,3 5¿- 89,9o; VT'R, = 387,57 /.150,8o1

La rcd de la tig. P.5.20 esui alimcntada por un sistema s¡métrico y dirccto aprincipio de línea dc l80v de tcnsión compucsla. Las cargas rcprescnlan unulumbr¿tdo incandcsccnte, distribuído entre cada una de las fases y el neuuo.La.s resistencias equivalentcs dc las mismas son: 80 n para la fase R, ó0 Qpitra fasc S, y 40 Q para la fase T. Las im¡redanciÍls de las fases cle la línea tleali¡ncntación cs dc 2+j0 O por hilo y a+j0 Q para cl neutro. Calcular: l)J'cnsión dcl ncutro de las lárnparas rcspccto al neutro de ali¡nentación, es decirVN,N,. 2) corr icntcs Ip ,15 ; 11 c IN , 3) Tensioncs a que esún sometidascada una de las fascs de las lámparas, es decir: VR,N. , VS.N, ,VT,N, .NOI'A.: Tórncse como rcferencia de tens¡ones VRN .

F i g . P . 5 . l 0

f t t csp . l ) 7 ,11¿ 139, {o ; l ) lR = 2 ,715¿-1 ,23e ; lS = 3 ,5ó3 ¿- l l8 , l0 ; l f= 5 , 0 5 7 ¿ l l 9 , 3 e ; l N = l , l f 6 . ¿ 1 3 9 . 4 " : 3 ) V R . N . = 2 1 9 , 6 ¿ - 1 , 2 3 e ;Vs.N. = 213,78¿ - l l8 , l0 ; Vr .N,= 202,28 ¿l 19,30 : que representan lüstcnsioncs cornpucslas a l ' inal dc líneu siguicntes: VR.S.= 369,28¿29,8ó0 ;Vs'T' = 3il ,98¿- 90,270 : VT'R' = J66,43¿ l5(),38e I

ó0.1 605

l ) ARON,

2) BOUCHEROT

3) EVANS,

3) JANET,

CIRCUIT0S TRI FASICOS Y COMI{)NENIES SllvlE IRICAS

I } I O G R A F I A S

llennann ( 1845-1913). Físico alemán. Estudió cn las Universidadüs ( le

t{eirlcltrerg y Berlín. Calcdrático cn Bcrlín dcsde 1880. Trabajó cn 0lcampo de la Elcctrotccn¡a, cspcciatmente cn e lectrotnctr íü,dcsarrollando instrumcntos eléctricos lipo péndulo. Se dcbc a é1, clsistcma cle ¡neditla dc la potencia trilásica por mcdio dc dos vatímcuosy quc por cllo en algunos tsxtos se conoce como concxión Aron.lnvestigó en la teoría del micrófono, cn acumuladores y elcctricid¡rdarmosférica. En ltt83 con motivo de la Exposición Eldcuica en Vicnil,presenró un sistema dc ransm¡sión de señales eléct¡icas sin hilos.

Paul (l tt69-1943). lngcnicro y cientffico francés. Estuclió cn la Escucladc [:ísica y Química dc PlrÍs (ltt85 a ltttftt). Trabujó en la Cornpariíntle fcrrocarrilcs del Nortc durante seis años sicndo cncargado de losservicios cléctricos. Dcsde ltt97 fuc gercnte dc cliversas ernprcsasdedicadas a la construcción de máquinas c léctr icas. En 1898 stincorporó como prol'cutr en la Escuela Supcrior dc Elcctricidad dc l'ar ís(crcada en l t t91). Más tarde cn 1907 sucedit i u E. Hos¡ri tal icr cor¡roprol 'esor en la Escuela dc Física y Química industr ialcs t le l)arÍs.Contribuyó con sus tcorías al estudio de la c.a. y al dc.sarrollo de redcsdc distr ibución. Mcjoró cl arranque dc los ¡notores asincronr)s,incorponando una doble jaula dc ardilla. Invenb un ti¡to dc alrcrnador tlcalta frccuencia. Contribuyó con Blondcl al cstudio dcl acoplamiento tlealtenratlores.

Robut Davit l (1892-194?). Ingcniero americano. Recibió e I Bachclorde Clicncias cn l914 cn la Univcrsidad dc Oklahomü. Más t¿rrds cn1926 sc graduó en ingcniería eléctrica cn la ntisnta Univcrsidutl. [:nl9l4 ingrcst i cn la Compañía Westinghouse, donclc t 'ue asignado ¿rldepartarnento de Ccntr¿tlcs. En l93 l cra uno de los dircctorcs t lcltlcparurncnto de línc¿rs. Evans escribió numcrosos artículos tóc¡¡icos ¿r¡rclación con la esutli l idad de sistemas clécuicos dc potencia. Coaulorcon C.F. Wagncr r lc l famoso texto: Symmetr ical Compof lents(compt)ncntcs sirnótricas) quc fuc adoptado como tcxto otrligato¡iosobrc cl tcma cn muchas univcrsidades rlel mundo. Sc lc acrcdih¡r r¡lástlc 75 patcntcs cn el camp) de la ingeniería elcctrica.

Paul ( | t l63- 1937). Fís ico f rancés. Estudió en la E.scuclu Nurr t r¿t lSupcrior. E,n ltttf6 l'uc nombrudo profcsor dc Electrotccnia cn (ire¡tolrle,

pasando cn ltigl a Pnrís corno catedrático dc la misma asignatur¿t cn larccién inaugurada Escucla Supcrior de Elccuicidad, dondc dictt i cstüscnscñünz.¿r.s hilsta su mucrtc. Fr¡e Dircctor dcl Lalxtratt)rio Ccl¡tri l l rlcEf cctrotccnia. Er¡ l9ü) al)¿lrcciri su printcra cdición dc " Lecciotrc.r dtElectrotecniu Generul

", obra de gran cal idad pcdagégica y ( luc cnsuccsivus cdicitxrcs fuc incor¡xlri¡ndo los progrc.sos (tc csm cic¡tci¿t,Iurrnn¡xlo a ¡¡rultiturl dc ingcnicros tlc tod¡l Eurupa incluycntlo a r¡tuclroscs¡turlulus, Lc.succdió cn lu Ciitctlru Jcan Fnllou y tl l¡is t¡¡r(lc Frlrrqois

4) JOULE,

5) ' lESLA,

6) VARLEY,

ELECTROÑIACNETISMO Y CIRCUTTOS ELECTR ICOS

Ci¡hcn quc at laptó la obra dc Janet, cn un tcxto dc Electrotccniac()tnpucsto dc cuauo tomos, quc ha scrvido dc guía piua lus enscñ¿tnzn"stlc rrsla rnüteria en muchas Escuc¡as Técnicas Euro¡rcas. hasta fccltasmuy recientes.

James Prcscott ( | 8l 8- | 889). FÍsico inslés. Fuc un l 'anático en lorcfcrcnte a las mcdidus. En Itf40 había logrado obtcner la lónnula quellcva su nornbrc, que dctcrmina la potcncia disipada clt una rcsistcnciaclócuica. Dcspués de muchos experimcntos, en 1847 prcsentó unaMcmoria en la que calculaba el " equivulente meccinico del culor ". Lasprincipales rcvi.slras científicas no quisicron publicar c.stc trabajo; porlo que sc vió obligado a dar una confcrencia ante un pútll ico arisco;cntre los asistentcs cstaba William Thomson, que a la sazón tcníaveintitrós años,que elogió el trabajo y apoyó lo.s rcsultatlos, lo que

abrió a Joulc las pucrtas tlel mundo cicntífico y la amistad con cllururo Lord Kclv in. Aunque Joule rcconoció c l pr inc ip io deconservación de la encrgía, cl primerc en presentarla cn fonna Scncral yquc llevó el honor de descubrirla fue cl alcm¿ín Hclmholtz,.

Nikola (1856-1943). lngeniero e léctr ico croata-amer icano. Estudiómatemáticas y fí.sica en Praga y la carrcra de ingeniero elécuico enButlapcst (1881). En 1884 emigró a los E.stados Unidos y trabajó en laCcntrul Eléct¡icü quc la compnñía Edison huhÍa inuugurldo tlos aflosilntes en Ncw York. En ltt87 se esubleció por su cucnu para poderllevar a cah) sus propias ideas; sn estc mismo ailo tlcsarrolló lossistcmas polirásicos, descubrió el campo giratorio, invcntó el motorasíncrono y dió la solución al problema dcl transportc dc energíaeléctrica. Di.señó alternadores y uansformadorcs trifásicos. Fue íNesortle la Compañía Westinghouse y proyectó la Central instalada cn lascararatas rlel Niágara ( 1896). Trabajó en todos los campos de laingeniería clécuica: gcneradores, motores, Lranslbr¡nadores, etc.,tles¡wolló la alta tcnsión, construyó altcrnadores dc alta frccucncia parafa incipicntc telegrafía sin hilo.s (radio). Rcalizti investig¿tcione.s sobrecl uso tlc uccitc como aislantc, construcción tlc condcnsadorcs, ctc.

Cromwcll Flcctwood ( l t t28-1883). Físico inglós. En l t t46 irrgresó cnla Conrpañía lnglesa dc Tclégrafos. Desarrolló métotlo.s es¡rccialcs parafa focalinción dc avcrías cn cables ( la famosa esp¡ra dc Varley fuepiltcnta(la cn ltt59 ). Cuando cn 1847 sc introdujo la guupcrcha cornoclelnento aislantc dc los cablcs, demostró junto con su hcnnuno Alfred,cn una línca cxpcrimcntal dc l0 millas, que el clbcto capacitivo dc loshilos obshculizaría la transrnisión de scñales a gran distancia. Varleypatcntó un sistcma con doblc circuito para contrarrcstar la cargacsuitica. Tomó pürte dcsucada cn el tendido dcl primcr cable tclegráficotrÍrsatl¿íntico ( los consultores fueron William Thomson que rn¿is l"ardcl 'ue nombratlo klrd Kclvin. Flccming Jcnkin y Cromwell F. Varlcy).Prcocupil(lo por li l cxactitud dc la.s medid¿rs construyó rcsi.stcncias ycon(lcnsudorcs ¡)¿rtroncs y l'uc uno de los ¡rioncros cri cl tlcstrrollo dc lalclcctromcría. Colabrlró con Latimer Clark paril prcparar un sistc¡na

7) WAGNER,

CIRCUTTOS TRIFASICOS Y COMruNENTES SIMFI"RICAS

racional dc unidadcs clécuicas. En 1863 dctcnninó cl vülor dcl tl ltmirl.para haccrsc una idca tle la confusión dc unicladcs ctl uquclla clxlcit,

basrc dccir que en la Rcvista'l'elegrqphic lournal c dc ltt&l se dubl utru

lisu dc I l upos difcrcntes de unidadcs de rcsistcncia. L¿ unidrid Varlcy

creada por éi mismo, era equivalentc a la rcsistencia dc un hilo dc cobre

dc ll l6 pulgadrs dc diómcrro y I mill¿l dc longiturl. Varley intcrvino cn

l8til cn la Prirnera Conlercncia lntcrnacional ttc Electrrcidatl tlc París

en la quc se prepíuÍlron las dircctrices pÍril la unificación dc las unitladcs

cléctricas. Se le auibuyen gran canüdad de patcntes cn elación cofl lil

uansmisión telcgráfica: Escribió una gran varicdad dc artículos sollre cl

tcrna: nrcrlidu dc rcsistencias, localización dc ttclcctos cn con(luctorcs

tclcgráficos, vclocid¿rd dc transnrisión dc scñalcs cn corlductorcs, ctc.

Char lcs Frcdcr ick ( l895-1970). lngcnicro amcr icano. Estudi t i cn c l

Carnegic lnst i tute of Technology. Se t loctoró cn 1940 con prcnl io

extraort l inario cn la Universit lad dc l l l inois. Dos dc sus prinlcros

artículo.s tecnicos publicados con su compañcro Evans cn la rcvista tlcl

AIEE y que sc rcferían a la estabi l idad t lc si .stemas cléctr icos t lc

potcnc¡a, rccibicron cl Premio Montefiorc. Realiz.ó invcstigacioncs

iobrc la aplicación de la teoría de las componentcs simétricas en li ls

rcdcs etéctr icas. Coedi tor r le l famoso l ibro dc la Cor l lpañ íaWestinghousez Electrical Transmisslon and Distribution ReferenceBook. La publicación más famosa es la quc reillizo con su colaboradrlrEvans cn 1933 y es cl l ibro Symmetrical Components (cornlnncrl tcs

simétricas) quc fuc un icxto básico sobre cl tcma quc l'uc y c.s ttxlaví¡t

csrucl iado por mult i tud dc ingenicros de todo cl mundo. Ganti lame<lalla Edison cn l95l por sus aponaciones c¡t la aplicació¡r tlc lus

componentcs simétricas ¡¡ la ingcnicría eléct¡ica.

fiO6 607

E LECTR OMACN ETI S !r'1() Y Cl RC U ffOS ELFCI'R lC( )S

RT. ]FT :RENCIAS

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cAPn'ul.C)

RIIGIMEN TRANSITORIO6DE LOS

CIRCUI' I 'OS I ILECTRICOS

6. I INTRODUCCION

En las lecciones anter iores se han estudiado con det:r l le loscircuitos eléctricos trabajando en régimen perrnane¡lte, en los que se incluíungeneradores tanto de c.c. (cap. 3) co¡no de c.a. (cap. 4).

Antes de que un circuito (o míquina) ptreda llegnr a unt situ¡tcirinestacionaria ó de régimen permanente de f t¡ncionamiento (r¡ue scadit'eren¡e de algún estado tnterior), el circuito pasa por un períotlo detransición, durante el cuiif, las tensiones y corrientes varian en fi¡nción delt iem¡ro, hasta l legar f inalmente a la condición de equi l ibr io (estat loestacionario) impuesta por los parámetros tle Ia red. El período de ticmpctrequerido par¿l que las tensiones y corrientes alcancen el estado tinalestacion¡rio, se denomina período transilorio. Durante este tientpo, lttsexpresiones matemáticas de las tensic¡nes y corrientes en las diversas parlesrlela red con¡ienen ciertos términos distintos de las conrponentes est¡cionariusestudiird¡ts en los capítulos ¡rnteriores. Estas contponentes coltstilttyen ltls¡érmi¡ros transi lor ios y son, por lo general , de corta durrción, s icnr l t lamortiguados por ciertos tactores exponenciales decrecientes, ct¡yos valorcsdependen de los pariimetros del circuito.

En general cuak¡uier operacir in de conexión, o desconexir i t t 'inducción o conmutación dentro de un circuito, hará tlue existan lbnónlcntlsrransitorios en la red. Aunt¡ue los t'enónrenos transitorios son generitl¡ne¡tte tlccorla cluración, es precisantcttte en estos períodos dc tiempo en los quc scpresentan los problenrls nrús serios y cornplicados de lirncionanlicltto ¡le t¡ttcircuito o en plniculir rle t¡na m:it¡uina e léctrica.

En este capít tr lo se vi tn a estudiar los circui tos eléctr icos cnrégirnen transirorio. Prinreramente cl lniílisis se renlizit por e,l dcnoruinitdonrétt¡do cl¿isicr¡, es decir resolviendo hs ecuirciones integrodit'erenciülcs {cn¿ef inir iv l di tcrenciales), r¡uc resultan l l a¡ l l ic l r los lc¡ l ¡¡¡s de Kirchhol ' f i t lcircuito y dctennirral¡do lls constu¡ltcs tle integración t¡uc resttltitn, conocicltdrr

ó0rt lr(X)

RECII}|EN 'l RANSl"t'( )Rlo DE 11)S ClRCUIl Os uLLt I Rlco.-;

ELECTR()ITI¡\(]NE"llSMO Y CIRCUnOS ELECI'RICOS

lts condiciones iniciales de lu red. Este método es f¿icil de aplictr a circuitossirrrplcs. re¡lresentados l lo st¡mo por una ecuación diferenci¡rl de segundoordcn. pcroresulta complicada y tediosu su aplicación en circuitos de ntayororden por la dificultad en detemrinar corectamente las contliciones iniciales delir red.- En el c:rpítulo se estudian por este procedimiento las redes de ordenturro v dos, cn lns que se incluyen conceptos y terminologías de gran interés enel ¡uirilisis runsitoiio. A con¡inuación se define el concepto de lransformadarle l-nplare que constituve la base del método moderno de cílculo detrlnsitorios en circuitos eléctricos. Este procedimiento consiste en transformarlas lunciones y operaciones temporales en otras funciones que dependen de

u¡rt liccuencia colnpleja generalizada s = O + jol; el método es muy sistenláticov potentc, yil que pemrite resolver las ecuaciones diferenciules de un circuito{c un nrodb siinpie, pues trnnsforma las ecuaciones diferencinles li¡leales deunu red, en ecunóionés algebraicas función de la frecuencia conrpleja s, con lagran ventaia de ttue las condiciones inicinles del circuito quedan incorporadast-lc un nlodb autohrático. Para no desviar la atención del lector en el estudio <Jeeste capítulo, en el apéndice 4 del texto se hace un repaso.de las propiedadestlc la tianslbmrudu tie La¡rlace, el ciilculo de transformadas de excitacionesbírsicirs t¡trc tienen interés en teoría de circuitos y la detenrlinación detranslbmradas inversas o antiransformadas.

A continuación en este capítulo 6, se aplicnn las propiedndcs de latr¡rnsformada de Laplace, al estudio de transitorios en redes eléctricas;iniciando la exposicién, con la respuesta de los elementos pasivos simples enel donlinio S dé Laplace, definiendó los conceptos de impedancia y admitanciaopertcionales y lasreglas de transformación que deben seguirse para pasar delrlominio del tiérnpo al dominio S. El capÍrulo finaliza con diversos ejemplosde aplic:rción que permiten comprobar la ventaja del método operacional deLaplace trcnte i¡ los métodos clisicos.

6 .2 I ,A RESPUESTA COMPLETA DE UNA RED L INEAL

Al aplicar los lenlas de Kirchhoff a circuitos eléctricos simplesfserie o prraleloi, se obtienen unas ecuaciones integrc-diferenciales de orden Ió 2. Las ecuitciones de prinrer orden responden a la fonla generll:

( 6 .3 )

donde f = f(t) puede represenl¿¡r una tensión, una corriente o una clrgo: g(t) cs

la tensión o corriente de cxcitación {e la red (generadores); l,b,c y t soncoeficientes consmnres y t es el tiempo. Las ecuaciones dil'erencides anteriorcsreciben también el cali-ficativo de lineales, debido a que los coeltcientes t¡ueaparecen en cada término son parámetros constantes y no son función de lava¡iable dependiente f(t).

En circuitos más complejos que estén formados por miis ntallas-ynudos, la aplicación de los lenias-de Kirchhoff ¿a lugar a una serie deecuaciones' integro-di ferenciales, en las que,. cada vari i rble_dependierrte(corriente rle nra-ila ó rensión de nudo) responde o una ecuución tlifererrcilllineal de un orden que en general es superior a dos, de la fonlt¿t:

dn f dn . l f d fo" i* + an-l frñ.i + ... + ur ái * q¡ f = G(t) (6.4)

donde G(t) es en general una función lineul de g(t) y sus derivadas.

Como el lector recordarú de un Curso de Anrpl iación deMatemáticas, la solución completa dc una ecuució¡t diferencial line¡l (concoeficientes cons¡antes) se compone de doS términos: el primero de ellos seobtiene resolviendo la homogéñea de la ecuación diferencial, es decir es lasolución general de la ecuación diferencial cuando g(t) ó C(¡) se hace iguala cero, o d-e otro modo cuandos se anula la función de excitación del circuito.Esta solución fn(t) se conoce en ingeniería eléctrica conlo respuestanatural, propia y también libre del circuito; físicamente. representa larespuesta del circuito cuando se anulan los generadores existentes en el inismoy donde se consideran únicanlente con¡o fuentes, las debidas a las energíasalnracenadas en los elenlentos rcact ivos de la red: inductancias ycondensadores como consecuencia de unr ali¡nentación previa de los nris¡nos.La respuesta natural recibc este nonrbre porque qs así conlo respontle elcircuitó naturalmente. libremente, sin estar forzado. El sistema se cotnporta deeste modo debitlo a su propiit cstructura, yil qpe no hay fuentcs co¡¡ectadast¡ue lo excite n. El otro témlino que sc incluye cn la solucitin de la ecuacióltdife:encial depende del tipo de excitación del circuito y corresponde a lasolución part icular fn(t) de la ecuación di ferencial . se conoce con elnonbre de respuesta Ttrrz.ada del circuito ya quc depende tle la fornraparticular de la fuente (o fuentes) de excitacitín.

En definitiva la solución conrpleta de una ccu¡tción tlifcrenciitll ineal conlo lu t6..1) es cle la tbnnr:

i , * f +b f i + cr=s( t )

df, , f r + b f = g ( t )(lrre corrcspo¡lde u l it expresión nornl¡rl izada:

( 6 . l ¡

(6 .2 ¡drm

lns ccrri lcioncs dc segundo orclen

6 l 0

f+

' - = g( t )T

son tJe ln tbrnta:

( r l l

ELICTITOIVIA( ;NETISÑIr) Y CIRCUIT0S ELECTR ICO.S

f(r) = rn(r¡+ fn (r) ' ( ó . 5 )

l-r respuesta natural del circuito fn(t) conriel¡e lus constan¡es deintcgnrcirin de la ecuución dit'erenciirl correspondiente. fln circuiros.pasivos( luc conleng:rn resistcncias. €sta respues¡a debe ser necesi¡r ianrenteunrortiguadr, vinicndo caructerizada por témtinos exponenciulcs decrecientes.Al cabo de un cierto t iempo, estos términos pueden considerarsede s¡rrccitblcs, t¡ueclando como única respuesta, In solución particular,fn(t); eneste c:rso se dice que el c ircui to funcionR o ha l legado al réf imenpcrmanenlc. Mientrus t¡ue la respuestn natural no sea despreciable, se dicer¡ue el circuito ft¡¡rciona en réginren transilorio. La respuesta forzada delcircuito f,,(r) no contiene constantes de integración arbitrarias ya que estántlcfi nidls ¡ror I a excitación conesponcliente.

l)ara deternlinar las constilntes de integración de la respuestacoulpuesril, r¡uc estiin presentes en la respuesta natural, es preciso conocer elcstnclo dcl circuito en algún ins¡ante de tienrpo. En la práctica este instantecones¡rolrde al ¡nomento en el t¡ue se produce la conexión (o desconexión ensu c¡rso) de los interruptores del circuito. Por conveniencia matemática, seconsidera casi siempre, t¡ue la conmutución (conexión o desconexión) se¡rroduce cn el liernpo t = 0, de titl modo t¡ue el tiempo innlediatuntente anteriorsc dellne por t = ()- y el ticmpo innrediatarnente posterior a la conmutación serlcnota por t = 0+. El estado previo del circuito anterior a h conmutación (en t= () -) sc detine genernlmenle con el conocimienfo de la tensión en bornes delos elenlentos cirpncitivos y lu corriente en los elcmentos inductivos. Es¡ascontliciones de ct¡lrtorno definidas en I = 0- se tlcnorninitn co¡tdicionesinici¡ les. Sin embnrgo. hay que tener en cuent¡r que pari l evaluar lasconsf¡r¡lres de integración debe n co¡locerse los v¿¡lores inntditnnrcnte despuésde t¡ue sc hl producido la conntutación, pueslo que se pretende analizar elcornportnnriento del circuito u partir rJe ese instante. En ¡nucltos sasos elproblenra cs indi terente, ya t¡ue las var i tbles: tensión y corr iente sonlirnciones continuas en t = 0 (es decir f(0-) = f(0+)), pero existen situacionescon cxcituciones tipo irnpulso donde las vlriables no tienen el núsnu vnlor ent = 0- y t = 0+, por lo que es preciso determinar con sumo cuidado lasrnugnitudes t lc las tensiones y corr ientes e¡¡ t = 0+, necesarias para lacvaluaciórr t le l i ¡s const: tntes inic iales purt iendo del conocinl iento de susvllores en | = 0-. Estit tlcternrin¡tción requierc un conoci¡nie¡tto claro del( :onrp()r t í r¡uiel) to dc los cle¡¡ lentos pasivos simples, en el i ¡ tstunte de lacorlrlrutilciórt y se lnalizan con det¡tlle en el siguiente epígrlf'e.

6 .3 CONDICIONI IS INICI ¡ \LES DE LOS BLETvIEN' IOS

l-us corrdiciollcs inici:rlc's de r¡lr¡t red riependen de lits energínsl¡lrulcurr¡rrl¡rs cn k¡s clc¡ncltto$ rcitctivos crt ¡ = 0-. y In cs¡ructuri¡ trtpológica del¡r rnis¡nt cn t = 0+ dcspués de la con¡nt¡¡itción. Lo quc hirya pnsado untes sc

{ ; l2

RECÍMI N TR^NSMOruO DE LOS C¡RCUITOS ELECTRrcOS

manifestará en los v¡r{ores que tengan las tensiones en los condensadores y lascorrientes en lrs bobrnas. Los de¡alles de este proceso no tienen imponancil ylo único quc intereslr es conocer los v¡¡lores en ¡ = 0-. Una vez realizada laconnlutación en t = 0+, pueden aparecer nuevas ¡ensiones y corrientes en lared, como resultado de los valores iniciales anteriores y debido a las fuentesque ahora se introdu,:en. La evaluación de las tensiones y conientes en t = (I+,permidrá determinar las constantes de integración que apÍuecen en lu respttestacompleta de la red t)ara ¡ > 0. Veanros el comportanrie¡tto de los ele¡¡rc¡rlospasivos simples en (:l momento de la conmutación.

ó.3.1 RESTS'I 'EN(i IA

En una rr:sistencia, la relación en¡re la tensión y la corriente vieneexpresada por la ley de Ohnr:

v( t ) = R i ( t ) (6 .6)

según la ecuación iinterior, existe proporcionalidad directa entre la tensión y lacorriente en una resistencia, lo t¡ue equivale a decir t¡ue la corriente sigtre loscambios (forma) riue imponga la tensión; si ésta cantbia instanúneanrente, lacorriente también cambiar¿i de un modo instantáneo con una magnitud l/It dela tensión.

ó.3.2 INDUCTANCTA

En una induct¿lnci¿r, la relación erlre la tensión y la corriente es dela fonrr¿t:

(6.7 )

cle la ecuación anterior se deduce que la corriente en una bobina nopuede variar bruscanrente, ya que la tensión debería hacerse infinita, lcrcual no ticne sentido fÍsico (') .

Se puede comprobar la afirmación anterior con un poco mdsderalle matenriítico, deduciendo a partir de (6.7) la corriente i¡(t) para untiempo genérico t :

v(t)=r-*#

(*) En el apéndice . l se

anr¡rl i tud infinita y t icnrpo

estudia la función inrpulso o

de duración nulo, que adcrnis

dcl ta de Dirac D(t) , quc cs una sc¡ ia l dc

cunrplc la s iguicnle nonnal iz .ación:

; . Il ¡ t r l d r = l = l ¡ t r l d r = lr , i

es urra scñ¡l ir.lctl quc ticnc propicdadu$ intcrccuntcs cn lngcnicríl dc Conuol.'fcoriu dc l¿ Scñ¡|.Anál is is l ) in i ¡n icr¡ , utc.

ó 1 3

RECIMEN TRANSTTORIO DE LOS CIRCUMOS ELECI'RICOS

e n t -nte en e l

tf

, l v ( t ) d tJ

o -

la corr ien tecular la corrie

:I rI

J

.oo

s:

1L

Ie;al

Irdo

t

lndr

dr

orsea

+

dc

ra

)

t le:

lr)

m

(r,

vadr

, (t,

urT

v(r

v¿

l L '

su) -a

l v

os suo -) -

t t- l v

: J V

, ;v s e

do:

IL

taI y

n t0 La aseveración anterior se puede justiltc¡r con ntiis detalle il pirtlr

de (6, l2):r 0 - t

t r t r l fv " ( r ) = * J i t O d t = É J i t O a t + ¡ J i ( 0 a t ( 6 . 1 4 )

la primera integral ¿el úñmo nr¡ernUi O" tu ..uo"Oión unr.rio, representa latensión en el cóndensador en t = 0 -, es decir vg (0-). Si lu conmutación delcondensador se produce en t = 0, el valorde la tensión del condensador cnt = 0*, scrií igual de acucrdo con (6.14) a:

O+l f

v.(0+) = v" (0-) + ¿ J

i(t) dt (6. 15)0-

que paru corrientes que no sean tipo impulso conduce a:vs (0+) = vc (0-) (6' 16)

que represe¡tta la continuidad tle la tensión en un condensador en el nlonlentode la conmutación.

0 +t f

i r ( 0 + ) = i u ( 0 - ) * i J v ( t ) d t ( 6 . 1 0 )0 -

exceptuando la si¡uación teórica de que la tensión aplicada sea un impulso deDiraó, la integral de (6.10) será siempre igual a cero, de donde se deduce que:

i¡ (0+) = i l (0 -) (6.1 I )

que r€prcsenta la continuidad física de la corriente en bobina en el momento

ELECIR0ñ|AGN ETlstllo Y CIRCUITOS ELECIRICOS

(r) dt (6 ,8 )

Que

(6 .9 )

0- . S i l ainstante t

de la connrutación.

De la ecuación anterior se deduce que para el cálculo de losvnlores iniciales en u¡l circuito, una l¡obina cargada se puedesustituir por una fuente idel l de corriente de valor i¡ (0+) = i l(O-) 'Si la bobina está descargada ir- (0-) = 0, entontes se comportair¡icialn¡ente co¡no un circuito abiert¡¡ ( iL (0+) = 0), independiente-¡nente de l¡r tensión en sus terminales.

Otras conclusiones que pueden deducirse de (6.7) es elconrpDrtanriento de una bobina cuando las excitaciones del circuito(genóradores) son de corriente continua. En cste caso, cuando se ha alcanzadoel régimen pernr¿rnente (t = -). lt corriente en la bobina tendr¿í un valorconst¿rnte inde pcndiente del ticnrpo, por lo que según (6.7) la derivada seriiigual a cero, lo que significa que con corriente continua, en régimenplrnranente, uno bobina se comporta como un cortocircuito.

6 . J .3 CAPACIDAD

En un condensador. la rel¿rción entre la tensión v ln corriente vieneex¡rresada por:

6 1 4

vo de un modo equivalente:

l f .v c ( t ) = É J i ( t ) d t

i(t¡=cry!

( 6 . l 2 )

(6 . l 3 ))nlponer el

iL ( r )

o represeliza en [ =

:o

dral

sc(

tndrea

l i ln

] r e

dt

n'r¡SC

rá:

i unta

r pued

tner s,rtaciórresul t

SC

rirlltl

+,m+

nc

e l pcofl t= 0

de la ecuación anrerior se deduce que la tensión en un condensador ¡lopuerte variar bruscamente, ya que la corriente deberfa hacerse infinita, locual no tiene sentido físico.

De (6.16) se deduce en¡onces que para el cólculo de losvalores iniciales en un circuito, un co¡ldensador cargado sepuede susli tuir por una fuente ideal de'tensión de valor v6(0+) =vs(0-). Si el condensador está 'descargado [vs(0-) = 0] entoncesse comporla como un cortocircuito [vs(0+) = 0l independientemente dela corriente que circula por el mismo.

Por olro lado, si se considera un condensador en un circuito decorriente continua, cuando se ha alcanzado el régirnen permanente (t = o), latensión en borncs del condensador tendr¡i un valor constante. independientedel trenrpo, por lo que según (6.13) la derivada serii igual il cero, lo t¡uesignif ica que con corriente cr¡ntinua, en régimen pernrarrente, un

' ' f ' ' l ' '

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUMOS EI-ECTRICOS

condc¡rsador se comporta como un circui to abierto.

En la fig. 6.1 se resunren las conclusiones anteriores. Se han re-presentado los circuitos equivalentes dc los elemenros pasivos sirnples en lascondiciolres i¡riciales, en siruación dc cargado o descargado de los circuitosct¡uivalentes finnles cuando los generadores de la red son de corrienlec o n l i n u a .

ELf,TtIfTO

crRcurTo EqurYArxilTE IlrIctALt= O+

CT RCI.|TTOEQUMI^tiTE

rll| L(SOIO COff C.Cl

t--nclRG m rlEscARCADO

4AAF-oR

&-,anñ-ot.

t lü-l roc

ryi L ( O f ) = l r ( O - )

u C = ( O + ) = v C { O - I

qllA/L-oR

l L ( 0 r ) = O

H H

@va( O+ ) =O

c-,\ A^-oR

cor toc l rcu l to

@

H Hc i r c u i t o a b i e r t o

Fig. ó.1

Dc este modo, cuando te desean detenninar lns condicionesinicilles cn una red deberírn seguirse los siguicntes pasos:

u) Sr¿sli¡rir todos las g,eneradores de tensión del circuito vr(t) por.lircntes de rcnsión conlinua de valor vo()+).

b) Sl.rlillrir lo¿l¡¡.s kts gcnerudorcs dc ibrricntc tlel circuito ir(t) por

Jilentcs de atrricnte u¡¡¿tintu de valor irQ+),c) Srslifr¡ir nd¿¿s lus bobinas cargadu por generadores de cgrriente. de

vukv i¿Q+) = itQ-). Si la corriene inicial en la bobina es cero i¡(0-) = l), .rlcti¡ttir por wt circuito abierto.

d) .Sr¡.ui¡rir ndos los conden.sudores cargados, por g,eneradores deIensitín dc valor v6 (0+) = vc 0-) .Si la rcnsión iniciul en unt:ttn¿lcnsddor es Lero v60-) =0, stt¡tituir por ,an cortocircuito.

e) En la rcd resisliva rcsuhante, culculur las corrientes y tensionesi¡ticiules neccsürias pura cl esnulk¡ subsiguiente dc l¿t red.

¿\dicir¡¡ral : Si se deseln t letermin¡¡r las condiciones inic iulcs para lasderivadas (por ejernplo i'(0+) , v'(0+)), se escribirán las ecuaciones dela retl nplicundo el ¡lrinrer lcn¡a o segundo de Kirchhoff scgftn senccesirc. para t >0. A continurción se crlculariin l¡¡s variables derivadaspara el insta¡rte t = 0+. (L¡ts condiciones iniciules pilra las derivadas

6 r 6

REcl!"lEN TRANSITORIO DE U)S CIRCUffOS ELECTRICOS

son ¡recesariils parü el estudio de redes de orden superior a l).

E]EfuTPI.O DT: API]CACION ó.7

Enlttrcddetal is.6.2, lucorr ienledelgeneradorde intensidatlesir=¡1¡r '2r

Fig. 6.2

El interruptor se übre en t = 0, siendo los valores iniciales:

i ¡ 0 - ) = 0 i v g ( 0 - ) = ' 5 V

culcular : I ) in Q+), iC 0+), v¿0+); 2¡ v 'g (0+), i 'L0+), 3) v" C (0+).

S O I " U C I O N

El circuitc¡ correspon(l iente en el instante [ = 0+ (vál ido únicamentc par¿l cstc

i¡sta¡rc) cs cl mostra(lo cn la fig.6.3. Sc obscrvu quc lir bobinü sc lta sustituÍdÜ ¡ltlrun c i rcui ro a l l icr ro, y i l quc i ¡ (0-)= 0;e l condcnsador se ha sust i t r ¡ í t lo p() r t t r l

gcncra(lor tlc rensión vg (0-) = - 5V (obsérvesc la ¡rolaridatl tlel gcncra(lor en lu lig.

6.3). Atlemás sc lra romildo la corrientc tlcl gencrador de intensidatl ir(0+) =

I tb - r t ¡1=o = l0A.

i ( o + )g

F i g . 6 . 3

Dcl circuito dc la tig. fr.3 sc dctlucc de un rrlo(lo inmetliato:

i¡1 (0+) = l0 A ; ic (0+) = 0

Para c i ¡ lcr¡ f ¡ r r g l v i t lor t lc v¡(( l+) , n¡ t l icarnos c l scgundt l lc¡n i ¡ t lc Kirchl to l ' l 'u la l l l¿ l l l i l

dc la dcrcclt¡t:

2 I O , 2 F

v r ( O + )

Ii r ( O + )

6t1

2)

ELECTR()MAGNETISMO Y CIRCU¡"I'OS ELEL'I'RICOS

v ¡ ( 0 + ) - 5 - 2 i ¡ 1 ( 0 + ) = 0

tlc rkndc sc tlcducc:v ¡ ( 0 + ) = 5 + 2 . 1 0 = 2 5 V

P;rra calcular las condicioncs iniciales de las dcrivadas, cs prcciso representar elcircuito para D0. En la fig.6.4 se mucstra la rcd coffes[rcntliente. En est¿t red secumple :

i c ( r ) = cry = iu(9

L=O, 5 l l

--o>i t +

vc

C=O r 2Fi = 1 O eI

Fig. 6.4

y en cotrsecucncia en t = 0+ result¡t:

zJt ,J

[.ry ] t=o+ =i ¡ ( 0 + ) = i ¡ ( 0 ' ) = 0

y por lo uanto :

Si .sc rplica el segundootlticnc:

L

(luc cn cl instante t = 0+

v', (0+) = 0

lema de Kirchhoff a la malla de la tlerccha tle la tig. 6.a

tlir (t)

t + v c ( t ) - R i ¡ 1 ( t ) = 0

nos da:

L i'¡(0+) + vc (0+) - R in (0) = 0

y tenicnrlo crt cucnta los rcsult¿ttlos dcl aparratlo l, que(|il:

( r l f t

cs dc¡ir:

0,5 i ' ¡ (0+) + ( - 5) - 2 .10 = 0

3)

REülNlbN ¡ RAl. js l I URIU LrL Lt / ¡ LI¡ \LUI I t - r - r t - ¡ ' - r t ' I r \ r \ - \ ' " . t

1 5

i ' ¡ (0+) = 0J

=,50A/s

De acuerdo con cl apartüdo ?, cn cl circuito de la [ig, 6.4 sc cumplc:

dvr(r)ig(r)= C -il =iu(t)

cxpresi(in r¡uc al dcrivilr rcsllccto dc t nos (l¿l:

que pafa I = 0+ da lugar a:

y rcniendo cn cuon¡¡i el result¡do del apartado antcrior sc llega a:

i'r (0+) 50v"s (0+) =-ff = ü = 250 V/sz

que cs el rcsuludo solicitado'

Es impormnrc cn cl estutlio de l¡s condicioncs inicialcs. quc cl lcctor rlistinga los

circuiios que se obtienen cn t =0+ y en t > 0. En nuestro caso cl csqucma dc lu lig'

6.3 represcnu la visión dcl circuito "congelado" en t = 0+. A parrrr-tle c.stc monlerlto,

puiu t't 0. cl circuiro se ha l¡ansformadoy se convierte en el rle la fig. 6.4.

6.4 ANALISIS CLASICO DE TRANSITORTOS EN SIS'TE¡VIASDE PRIMER ORDEN

Los sistemus de pr imer orden reponden.u l i ts.ecuacionesdiferenciales (6.1) ó (6.2), qué se traducen en la práctica I circuitos que

confienen un único etementó almacenador de energía eléctrica: bobina o

iónJénsu¿or. A continuación se van a estudiar con detalle las rerles tn¿ís

;ñpi.t R-L y R-C panr deducir conclusiones prácticas t¡ue nriís tarde segeneralizariín.

6.{ . I RTISPUESTA ' I 'RANSIT0¡I IA DT] UN CTRCUITO R'L

a) RI iSPUESTA NATURAL

considérese el circuito de la fig. 6.5 que representü una red serieR-L alimenta<la por una fuenre de tensión que {9p9nd_e del tiempo v(t),estando situarlo el connlt¡tador señalado, en la posición l. En el tienrpo t = 0

, ' 6 t 9

ELEC¡ROMACN linsrvlo Y CIRCUITOS ELECTRICOS

v ( t )

Fig. ó.5

el connlrtrdor p¿¡sir a h posición 2. Varnos a suponer que ll corrien¡e previaen ll txlbin¿¡ en I = 0- tiene un valor i(0-) = l¡¡, entorrc€s en cl ticnrpo t = 0+,tle acuertlo con el principio de continuidad de la corriente en una inductanciase curnpliri:

i ( 0 + ¡ = i ( 0 - ) = l o ( 6 . l 7 )

en estn sitr¡ació¡r el circt¡ito resultante pnra t > 0 est¿i fomrado por una mallaR-l- sin fuentes de ulinlentación exteriores. La respuesta delcircuito (respuestanrtural) se dcberá por entero a la energía almrcenada en la bobina:

w = * r - ¡ r o

V;rrnos a rleterminilr li l Jo*rn,, i(t) para t > 0. Siscgun(lo le¡na de Kirchhoff n h nralla formado se cumpliri:

L # + R i = 0

ecuución diferenci l lul tu, r l l ¡e se resuelve

d t = [

( 6 . l 8 )

apl icamos el

(6 . l 9 )

(6.20)

horrtogénea de prir nerde un nlodo inmerlrato

es dcc ir:

l l ecuación lutter ior rcpresenti t uni lordr: n (cl ordcn clc ln deriv¿tdil t l l i isscpirri lndo lts variables i y t:

que i l l integri l r nos dü:

dontlc K cs lu üor¡st i l r t tc t le i r t tegri tc iólr . La

6?0

d i R .d i + i i = 0

di RT

* J d t r

solución

J+=( 6 . 2 1 )

K (6.22)

de ( 6.22) cs:

para sinrplificar la forma dedefinir co¡no cl logaritmo clemodo (6.23) se puede escribir:

es decir:

r . Rl n i = - f t + K ( 6 . 2 3 )

la ecunción anterior, la constante K se puedeotra constante A, es decir K = Ln A, de este

t + l n A ( 6 . 2 4 \

(6.25)

que es la soh¡ción de la ecuación diferencial (6.20).

Un procedinriento alternativo y más inmediato para resolver (6.20)y que se apl ica ta¡nbién en la resolución de ecuaciones di ferencialcshornogénens de alto orden, es darse cuenta que debe encontrarse unu corrie¡ttci(t), ¡al que su derivada, sumada con ella nilsma (multiplicada por el parámetroR/L) sea nula para todo valor de t. Esto quiere decir que la función i(t) y suderivada di/dt deben tener la misma forma de onda. La función exponenciulcumple esta exigencia; si se pane de la función:

i(t) -- A cst (6'26)

con"¡o solución de (6.20), donde A y S son constanles, se tiene:

R EGIÑIEN'I'RANSTTORI(J DE U)S CIRCUITOS ELES¡'RICOS

e s l

RI n r

L

i ( t ) = d r ' R '

# = s A (6.27)

(6.2 8)

( lue al l levi l r a (6.20) nos da:

s A e s r + f n e s r = 0

que es la versión algebraica de la ecuación diferencial (6.20). Prescindiendode la solución trivial A = 0, la ecuación (6.28) se tra¡tsforma en:

Rs + f = 0 ( 6 ' 2 9 )

que se deno¡nina ecuació¡r caractcrístic¿¡ cle la ecui¡ción diferenci¡¡l. Su

fr2 I

ELECIROMAGNETISMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

yrluciilr constituye el valor c¡racrerÍstico o frecuencia natural del circuito (') :

R, = - i ( 6 . 30 )

quc al sustituir en (6.26), nos da el valor de la coniente natural i(t):

o . 3 6 8 f 0

RL,GIfv lbf '¿ l fUU.\ t ¡ l lUl( tU UL ü,¡ L l t iu\ ' r l | \ ' / ' . '

cociente es un parámetro intportante que recibe el nonlbre de co¡¡stante de

tiempo y se simbolizo con la letra griega t. La deno¡ninación anterior se dcbe

a aue f tiene dinrensiones de dempo, ya que lus tli lnerlsiones de L y R son:

voltioslLl = amperios/segundo

de donde:

ILIiRT

= ltl

de este nlodo (6.33) se puede escribir t i t tnbién:

i ( t ¡ = l o . ' u ' ; r = k

si se consiclera un tiempo t = T, el valor de lu corriente serú:

=+l'L;tRr

I i t t l ] , =t Io ,

I = 0,3óg Iu

r d i ( t ) I I0L d t J t = o = t l l = - ;

I v l2 -

t i l(6.34)

( 6 .15 )

( 6 .3 6 )

(6 .3 I )

de

ión

s inpo,ma

R

i ( t ) = A e L t ( 6 . 3 1 )

que coincide con el resultado (6.25) obtenido allí por el procedinrientosel)íración de variables.

Para evaluar la constante A, debemos tener en cuenta la cotldicinicinl (6. l7), lo que requiere que se curnpla:

t .L , li ( t = 0 + ) = l o = l n r L ' l = [ ( 6 . 3 2 )

L J r = o

es decir A = I0, por lo que (6.31) se transfofrna en:

- 3 ,i ( t ) = l o e L ( 6 . 3 3 )

En definit iva la respuesta natural del circuito (la respuestaexcitaciones externas) es una corriente exponencial decreciente con el tiemErr la fig. 6.6 se ha representado la corriente anterior. La corriente es máxi

(6 .37 )

el resultando anterior se pucdc utilizur parl definir la const¡rntc dc tienrpo t,

como el tiempo necesario para que la respuesta naturul se reduzca a l/e =

O¡Og ¿" su ualor inicial 16 ;buantó mayor ei la constante de tienrpo, tanto nr¡Ís

lento seni el decrecimiento de la corriente con el tiempo.

se puede dar una <tcfinición altcrnativa de la constante de. tienrpo,calculando la fendiente cle i(t) en t = 0. Si partinros de (6.36), el valor de lapendiente será:i ( t )

C

cuyo significaclo geométrico se muestra en la fig. 6.6. La constanle de tiempo

t, represcnta entonces el tienrpo necesario parü que se anule la respuestanatuial, si la velocidad de decrecinliento se c.onservüra en el valor inicialrepresentado por (6. 38).

,-a corriente i(t) que circulu por h nralla R-L, se debe a la energíaalmacenad:, inicialmente en lt bobinu L lo212 que se va disi¡ l lnt lo en laresistencia F. en un tiempo teóricumente infinito. Coltlprobentos que h energíadisipada en l¡t resislencia es:

Fig. 6.6

en t = 0 y vu le i = l ( ) , y su dec rec im ien to dependede lu relación L/R; este

('l El hcclxr tlc quc sc tc llrrnc "frccucncia" no dcbc inrtucir a confusión, pcnsando que da lugar a

oscilaciones rlc tipo scnoi<lal cn la rcspucsta. Este nombre proccdc dc quc cl cocicnte UR tiene

dirrrcnsitín <le ticnr¡xr (vcr crprcsirin (6.35), por lo quc R/L tienc dimensioncs de frccucncia.

(t22 623

; ^ . 2 , , , ; ^ , z ' f t . IW = l R i - ( t ) d r = l R l l e

r ¿ d t = *

J j o ¿( lue coincide con la energía que tenía almacenada la(6.39) representa el balance energético del circuiro.

t ) R E . S P U E S T A F O R Z A D A D E U N A R E D R . LC O N T I N U A

E,LECTROilIA(;NEIISMO Y CIRCUI I OS ELLCI'RICOS

)L I (6.39)

o \

bohina. La ecuación

A UNA TENSTON

Si en cl esquema de la fig. 6.5, cl ge nerador de rensión v(r), es decorriente continua de f.e.m. V6 y el conmutador se pasa de la posición 2 a laposición I en t = 0, la tensión V6 actuarii como rmn excitación forzada de lared R-L. Este tipo de señal recibe el nombre de escalón dc amplitud Vo yviene definido por las condiciones:

V ( t ) - O p a r a t < 0 (6.40)v ( t ) = Y O O u t u t > 0

en la hg. 6.7a se ha representado la scñal an¡erior. Al aplicar el 2s lema deKirchhotT a la malla formada se obtiene:

RECIMEN TRA\ISITORIO DE LOS CIRCTJITOS ELECTRICOS

de acuerdo con cl epígrafe 6.2,la solución completa de la ecuación diferencinl(6.41) se conrpone de la respuesta natural in (solución de la homogénea) y dela respuesta for¿ada i¡ (solución panicular):

i = in + ir 6.42)

la respuesta natural, de acuerdo con el apartado a) de es¡e epígrafe, será de laforma:

R'T: t ^ -tlr

i = A g ' ¿ = A en

que constituye la respuesta transitoria del circuito. La respuesta for¿ada es unilsolución particular de (6.41); para encontrar este valor, el procedin:ientocliísico es probar con una función análoga a ln de excitación; conlo en estecaso la tensión aplicadr es una constante V6, se ensayari una respucst¿lconstante if = I0, que al sustituir en (6.4.1) nos da:

(6.44)

corno Io es una constante , sú derivada ser¿i igual a cero, de donde se deduce:

L * + R I o = v o

i f = r o = F

. Vi = i n * i r = { e ' t / r + #

K

(6.43)

(6 .45)

L g + R i = V o (6 .41)

que constituye la solur:ión en régimen perrnanente del circuito, y que el lectorpuede encontrar directamente, si tiene en cuenta según se expresó en clepígrafe ó.3, t¡ue.en régimen perrnanente en c.c.,.la bobina.se pujdc sustituirpor un cortocircuito, .ror lo que la corriente i¡ será igual a Vo/R. En definitivala solución complela de (6.41) seri:

(6.46)

la constante A deberií evaluarse conociendo lus condiciones iniciales. Si scconsidera que la corricnte inicial en la bobina es en general i(0-) = I1, 1lo queindicaría en este caso, que mientras el conmutador estaba en posición 2, lubobina no ha tenido tiempo de descargarse completamenre), de acuerdoentonces con el principio de continuidnd de la corrienre en una inductancia sete ndrá:

r ( 0 + ) = i ( 0 - ) = l t

y il l aplicar esta condición cle contorno n (6.46) result&rú:

624

Fig. 6.7

(6.47)

625

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

i ( t= 0+¡ = Ir

cs dec ir:

I l = A + hR

(lue llevando a (6.46) da como solución final:

i ( t ¡ = * + ( l ¡ hR ) e -t/r (6.50)

en eI caso nrás simple, en el que la condición inicial es i(0-) = 0, la expresión(6.50) se transforma en:

RECIMEN TITAT-¡STTORIO DE LOS CIRCUTTOS ELESI'RICOS

=[o "-v'1,=r.+

: + A = l t p

(6.48)

(6.49)

f ig . 6.5. Dc este modo tantoserán s in¡ i lares (duales) a las

v ( t )

i ( r )I

(6.s r )

en la fig. 6.7b se ha representado esta corriente. Se observa en esta figura y en

In ecu¡¡ción (6.51) que si t = r el valor de la corriente es:

Fig. 6'8

términos de la carga almncenada q(0-) ó como tensión en bornes vg(0-)

(cualouiera de estos valores deter¡nina la energía almacenada en el

ionáeitso¿or). Supóngase por ejenrplo que el estado inicia.l está representadopoiéi "utot u" tOi = Vo, entonóes üe aiuerdo con el principio de continuidad

de la tensión en el condensador, se cumplirii:

vg (0+) = vC(0-) - Vg (6" s 3)

vamos a determinar la evolución dc la ¡ensión en el condensador v(t) pilrí¡ t> O. Át aplicar el primer lema de Kirchhoff al nudo A de la fig. 6.8 se obtie¡te:

i R + i C = 0 (6.54)

V n ¡ t - . Li ( t ¡ = i f ( l - e - u r ) ; f = ñ

i 1 r ¡ = F ( l - e ' r ¡ = 0 , 6 3 2 p(6.s2¡

expresión que permite identificar a la constante del tiempo, como el tie^mp-onecesario para que la corriente (partiendo de un valor nulo) alcance el63,3?odel valor de régimen permanente Vo/R.

6.1.2 RI ' .SPUESTA TRANSITORIA DE UN C¡RCUITO R-C

a) RESI'UHSTA NATURAL

Consitlérese el circuito de la fig. 6.8 t¡ue representil una red R-Cen paralelo alinrentada por un generador de corriente que depende del tiernpoi,(t)('). Inicialmente el conmutador se encuentra en la posición l. Si en elti"*pn t = 0, el conmutador se paso a la posición 2, toda la energía almacenadapor él condensador actuarii como una fuente de tensión. que se descargarúsobre la resistencia R en fonna de corrien¡e exponencial decreciente. El estadoinicial del condensador en t = 0- se puede deñnir indistintamente, bien en

el nuclo inferior B se ha tonrldo como rel'erencia de tensiones, de tal modo quela tensión del nudo A respecto del B representa la tensión del condenstdor v(t)oue coincide con la d.d.p. en bornes-de la resistencia R. Ahora bien, si sesustituyen los valores de i¡ = v/R e ig = C dv/dt se obtiene:

c # * ü = o (6 .5s)

(6 .56)es decir:

d v lfr+Re v =0

( ') S. lra clcgitto cste t i¡xr dc circuito. p()rque cs dual rcspecto al t le la

las ccuaciones rlc funcionarniento dc este circuito como sus respueslasdclnostrr tJas c l t c l e¡ t ígrafe ó.4.1.

626

que es una ecuación diferencial hornogénea de primer orden. De un tnodoanálogo al que se siguió en el epígrafe anterior, al ensayur una solución dcltipo exponencial:

v(t) = { sst

y susriruir e¡r (6.56) se obtiene la ecuación característica:

( 6 .57 )

(t27

ELECT1{O|V|ACNE'flSMO Y C¡RCUIIOS ELECTRICOS

Is+Rb =0 (6 .58)

cuya solución es s = - ¡/RC, de tal m¡rdo que la respuesta natural del circuito.al sust i tuir {6.58) en (6.57) es:

(6.59)

(6.60)

( 6 . 6 1 )

(lue es una expresión aniiloga a ( 6.33), en la t¡ue ahora la constante de tiempo

t vale:t = R C (6.62)

que refiresenta el tiempo necesario para quc la respuesta nltural se reduzca ai/e = 0,3óll tle su valor inicial. El lector puede comprobar una ecuaciónsinrilar a (6.39) y ver que toda la energía CY¡¡zl2 almacenada inicialmcnte porel co¡rdcnsador se disipará en la resistencia.

b) RFISt'Uli.S'l 'A }'OnZADA Dr: UNA R[:D R'C A UN (;IiN]:RADOR DEcoRRrriN'¡ ' l i cON'l ' tNuA

Si en el circuito de la fig. 6.8, el generador de conien¡e genéricoio(r) es dc corriente continua de magnitud l¡¡ y el conmutador que estaba en lapbsición 2 se devuelve u la posición I en t = 0, se obtendr¿Í una red conéxcit¡rción tbrzlda constnnte. Al aplictr el primer lenn de Kirchhoff al nudo Aresultu:

que constituye la respucsta transitoria del circuito. La componcntetbrzada,serd ia solución en régimen perrnanen¡e y se obtiene (al ser laexcitación de c.c.) sustituyendo el condensador Por un circuito abierto; de estemodo toda la corrien¡e Ig atravesará la resistencia R y por consiguientc latensión v¡ valdri:

RECIMEN TRANSNORIO DE L()S SRCUITOS ELECTRICOS

v f = R I o

por consiguriente la solución completa de (6.63) seri:

! = Ae-Úr + R IO

v(t) = ft IO (l - e-Ut) ; t - RC

la corriente en el conclensador para t > 0 será:

t t

v n = S e m = n e ' i

, -r lRC= l g

o

(6.65)

(6.66)

(6.67 )

(6.7 r )

(6.72)

- _ l _ rv ( t ) = A e R C

paril evaluar la constante A, aplicanros las condiciones iniciales:

l ' t l

: v ( r = O + ) ; v " = l A e R C I = et J , = o

es decir A = V(,,y al susti tuir en (6.59) se l lega I la solución:

v ( t ) = V . , c R C la constante A debe determinarse a partir de las condiciones iniciales. Si se

considera que la tensión inicial dcl condensador es v(0-) = V I (lo que indicaríten nuestro caso, que mientras el conmutador ha permanccido en la posiciórr 2,el condensador no se ha descargado completamente) y teniendo en ctlenta lircontinuidad de la tensión en el condensador en el momento de la conmutacitin,resulta:

v g ( O - ) = V l = v s ( 0 + ) = v ( t = 0 ) = A + R 1 6 ( ó . 6 8 )

de donde se cleduce:A = V r - R I o

que al llevar A 6.67)nos cla el resultaclo final:

v ( t ) = f t Io+ (V l - R I ¡ ¡ ) e -Vr

(6.69)

(6.70)

en el caso rniís simple, en el que se considere el condensador inicialnrentetlescargado (Vt = 0) se tendr¡i:

c g : + : - rv d t ' R - o (6 "63) . .- dv CRI' -r/rr . = t A = ; '

lu sc¡lución conrpleta de l¡¡ ecu¡¡ción rntprior tendrú dos componentes: n¡rtur¡ll yforzadr, es dccir:

v n * v ¡

In cornponente nilturrl, de ilcuerdo con (6.69) serd de la forma:

(;2tt

mientras que la corriente en la resistenci¿t valdr¿í:

i t t = Iu - i . = 1. , ( l - t -uRc)

( 6.64 )(6 .73)

(t29

ELECTROMAGNETISMO Y CIRCUNUS ELESI'RICOS

6.5 SOI,UCION SIS'I 'EMATICA DE ITEDES DB PRIMEITORDEN

l,os resultados obtenidos en el epígrafe nnterior se pucdengerreralizar n redes más complejas de primer orden, es decir en las quesoliunente exish un único elemento almacenador de energía eléctrica: bobina oco¡ldensador, (o que existiendo varios del mismo tipo se puedan transformaren uno solo ec¡uivalente).

Iln la fig. 6.9, se ha representado la conflguración de un circuito

Icc

Fig. 6.9

en el instante siguiente a unü conmutación (para t ) 0); el rccuadro de laiz-r¡uierda representa un circuito eléctrico genérico (C.E.) que puede contenergerreradores de tensión, generadores de corrien¡e y resistencias. El circuitoánterior puede alinrentür una inductanci¡t L o un cottdensador C. En la parte deh tlerecha se ha representado el circuito equivalente de

'lhévenin del C.E que

crrgr In bobina. o su equivalente de Norton (en forma de generador decorriente) cargnndo el condensador. De este ntodo la red de la fig. 6.9b esnnrilogr al circuito de la figura 6.5, y la red de la fig. 6.9c es equivalcnte alcircuito de la fig. 6.8. Teniendo en cuenta estas et¡uivalencias se puetle decirquc Ins rcspuestas naturales de los circuitos de las figuras 6.9b y c scrín de lafornra siguiente:

i n ( t ) = A e

i

I

. !B e t

" !r + f", (t)

. !r T

f(r) = [ftO+¡ - [_ (0+¡

¡ . r + f (r)

c o n t =

d fñ

nlodo (6.78) nos dü ln respuesta cbrnpleta de un sisterlra de primer

Corrviene recalcar algo mús sobre la solución i lnterior. [:rr prinre r

Ftt

RECIMEN TI{ANSTTORTO DE t,OS CIRCUTTOS ELECTRICOS

(6.74)

vn ( t ) = con | - Ro,C

Las expresiones an¡eriores unidaS a laS componentes forzadas correspon-dientesl penniten calcular de un modo simple la respuesta transitoria de unared de ¡irinrer orden. Las constantes de integración correspondientes seobtendrín a partir de las condiciones iniciales de¡erminadas según se estudióen el epfgrafe 6.3.

El cilculo anterior se puede sistematizar aun nl¡is, si se analizn co¡tdetenimiento la solución de una ecuación diferencial tle primer orden de laforma nomralizada (6.2):

Lq

+ l = g ( r )f,

Como sabemos, Ia solución de la ecuación diferencial anteriorcomponentes: natural rn(t) y forzada fp(t), esta últinla represent¿l lapefrnanente de la red,. es decir para t T * y qge representüremosioo(r).La componente naturilt fn(t) será de la formÍr gencrul (6.741

modo se puede escribir la solución de (6.75):

f ( t ¡ = A e

La constante A se determina para elconmutaciórr t = 0+, resultando:

f(0+) = { + f".(0+) =+ fi = f(0+) -f".(0+)

que al sustituir en (6.76) nos dil: .

NATURALI

l 'ERlvl¿\NEM't

de esteorden.

(6 .7 s )

t iene dosresprrestanlejor pory de este

(6 .76)

t iempo in¡ l let l iato a la

(6 .77 \

r - : :

I

lErn

6_10 (r3 I

E L ECTR otltAG N ETI S lvlO Y CIR C UTIOS E LECTR ICOS

lugar f(0+) se derermina por el pr incipio di : conrinuidad de rensiones ocorrienres (en ausencia de señales impulso), por lo que f(0+) serrí igual a f(()-). El r:dlculo de la componenre perrnanente f6 (t) es basrante simple cuandose rri¡¡¿t de redes de c.c., ya qu€ en estos casos las inductancias se puedenstrstituir por conocircuiros y los condensadores por circuiros abier¡os (ver fig.fr. I ), clando lugtr a una red re sisiiva en la cual la resolución es sencilla. En elclso de tlue los generadores presentcs en la red sean ds c.a. senoidal laconlponente permilnente f""(r) se determina con las técnicas ya estudiadas en elcapítrrlo 4 cle esre rexto, trasladando el circuito tl dominio del plarn complejovolviendo ¡n¡ís tarde ¿l dominio del tiempo. Para oro tipo de exciraciones, larcspuesla pemnnente se detemlinarldirectamente como solución particular de(6.75), ya que no existen procedimientos directos para calcular f-(t).

En resumen, el proceso de cdlculo de ¡ransitorios en una red deprinrer orden siguc los siguientes pasos:

I ) Dibrtior cl ciraúto para t < 0 y calcular clvalor de réginrcn pcnnanenre dela corriewe en lu bobinu ( o tcnsión e¡t hornes del condensudor) en estecircui¡o. Determinur entonces este valor en l = 0. Se obdene así i¿0-) óvs (0-).

2) tlplicur ¿l principio de continuidad y dercr¡ninar los valoresi¿¡0+¡=it¡L¡-), v6(0+).= v60-) en su caso. (Estas igualdades sonvdli&ts siempre quc ilo existan g,eneradorcs con señules üpo impulso).

3) Dibujar el circuito para t > 0 y calcular la resistencia de Thévenin Ry¡vistu desde los bornes cle la hohina o el corulensador. Con ello seilercrrnitut la con.stttue de úenrpo de la respuesta nauual: r = LlRrn, ó

t = R ¡ ¡ rC.

1) Calailur lu respuesta en régimen permdneme (corriente en la bobina otutskín en el condensador) en cl circuito para | > 0. a) Si lo.r generadoresde la red son de c.c. entonces sustituir antes la bobinu por nncrtrtocircuito y el condensudor por un circuito abierto. b) Si ktsgenenulrtres dc lu red son de c.a. senoidal, aplicar las Écnicas de cólculodel capítub I para calcular esta respuesta. c) Si los generadores tienenoffo tipo de formu de onda, dcrcrminar la solución particular de lat:cttttción dil'crcnciul corrcsptnulicnte ¿t t > 0.

5) Escrihir lu solución complcta para r > 0 uplicando la cctución (6.78).

6) IJtílizando lu rcspuesta calculadu en cl aparntdo anterior, dercrminar otrasv¿trútbles de intcrés cn lu red.

632

RECTIEN TRANSNORIO DE U)S CIRCUTTOS ELECTRICOS

EJ EMPI .O DTi APIJCACION 6 .2

En el circuito de la lig.6.l0, calcukr lu corriente i(t) al cerrar el interruptor enI = 0 .

[ . i9. 6. l0

S O L U C I O N

Para t . 0 se dene la red de la tig. ó. 1 1 , en la que se ha sustituÍdo la bobina¡nr un cortocircuito (régimen pcrmanenle en la pre-conexión). I-a coniente en la bobina scobriene de un modo i¡¡merlia¡o:

Fig. 6. I I

' 2 4¡ =;l;? = 3A ; t<0

cs rlccir i(0-) = 3, y por cl principio de continuidad de la conicnte se tcndrá : i(0+) = l.

Par¡¡ t > 0, sc obtienc la rcd de la fig. ó.12a. La rcsistcncia equivulcntc rlcThévcnin vista dcstlc los bornes de la rcd bobina sc dctcrmina con ayuda dc la fig. ó.12b,rcsult¡mdo:

633

De la rcd de la ñg. {tl29,se pucde obtener la corriente en régimen [rcrrnanenreqttc circula por la bobina, por ello tlebe susütuirse la inductancia ¡ro, uticorto"ircuito. El

REGÍN{EN I'RANSITORIO DE IOS CIRCUTIUS ELECTruCOS

SOLUCION

Púo t < 0. el conmuudor de l¡ fig. 6.13 e¡d en la posición l. Si su¡xrnemosque en la posición anterior sc alcanzó cl régimen permanentc, al ser la cxcitacirinconstante,el condensador actua¡á como un circuito abierto y no pasará coniente ¡ror clmismo, y en consecuencia no habní caíü de tcnsión en la resistencia de 4O. De estc modo lad.d.p, cn bornes del condcnsador será la que existe en la ¡esistencia dc 6Q pr la que circulala conicnte dcl generador de int€nsidill de 4A. Es deci¡:

vc(t < 0) = v6 (0) =.24V =+ vg (Ol) = 24V

Para t > 0 el conmundor ha pasado a la posición 2 y cl circuito resultante csel que mucstra la fig. 6.14, en el que es evidcnte que R1¡ = 4 + 12 = l6Q. por lo quc laconstanle de tiempo valdri:

t = R T h C = 1 6 .Il6

= I se8undo

l _-iE r

Fig. ó.14

En el circuito de la fig.6.14, en régimen f,ermanenle, el condensador actúacomo un circuito abierto, por lo que su tensión en bomes será igual a la f.c,nr. dcl generadorde tensión, es ¡lccir:

v-(t) = 20V =+ v- (0+) = 20

llevando estos valores a (ó.?8) se obticne:

vs (t) - (24 - }O)e' t + 20 = 20 + 4e' t voltios

EJEfuTPLO DE APLTCACION ó.J

El circuito de la fig. 6.15 se abre en el tiempo t =0. Calcular la corricntc i ¡ (t)qru circula por la bobiru para t > 0.

ETECTROIVIACNE-NSM0 Y CIRCUII os ELECI.RICOS

R r n = ( 8 l l 4 ) + 4

(F¡c con cslnn(le a una consnntc de üem¡lo:

= + / + 4 = T e

L 5 t 5 3t=R'r = U

= =ñ = i scgundos

3

b )a )

F ig . 6 .12

vÍrlor corrcspondicntc sc obüene dc un modo inmediato:

i -( l)=ff i ¡{; =2,4A =r ¡""(0) =2,4

al sustituir los valores anteriores en (6.78) se obüene la conicnte i(r):

i ( t ) = ( 3 - 2 , 4 ) e - a t D + 2 , 4 = 2 , 4 + 0 , 6 e - 1 . 3 3 t a n r p c r i o sIiJ IIilf I'1.0 DE, AP/i.ICACTON 6.J

El conmutador de la fig. 6.l J pasa de la posición I a 2 en r = 0. calcular laten.rión en lnrnes del condensodor para t > 0.

v g ( t )

6J,l

Fig. 6. l3

635

ELECTROMACNETIS MO Y CIRCUITOS ELFfl'RICOS

v = l O O c o s 3 t ,

4 -> -+i ( r l

4Jl

i r ( i l I3 H .

+

F i g . 6 . 1 5

SOLUCION

En el ticmpo t < 0, la rcsistcncia dc 2fl csri cn parulclo con la ranra sericconstituida por t¡na rcsiste ncia dc 4fl y u¡¡a bobina dc 3ll. Van¡os a calcul¡r l¡ coniente dcrrrgirncn pcnnancnte quc circula por la bobina para t > 0. Pa¡a cllo dibujamos el circuitolusoriul corrcspondicnte ¡¡ la f ig.6. l.5 y que se muesrra cn la fig.6. 16. Elfasordcl

---a> ¿ __'rP

' 5 o o r zr o o , - | rE t o l tJ ; r ó \v z t t t C

+ . f e f L

F ig . 6 . l 6

gcncrador rlc tcnsión ticnc un valor cficaz de tm/f2 voltios y fasc 0o . La impcdanciacompleja dc la bobina scrá +jlo, en la quc la pulsrción del generador vale 3 rads/s.. por loquc cl valor corrcs¡rondicnte scrá: +j3.3 = +j9Q. La corrientc complcja surninistrada por elgcnerador de rcr¡sión será:

Ip ¿0ev 2 H

¿0e= 10,4 ¿- ?,6e

F ( - l + i 9 ) lJ r - -'

6 + j 9

y la corricntc l ¡ vnklní:1

Ir =103 ¿- 2,60 i l({ ; j .D = 1,92 Z- 5tl.9o

cs dccir, la corriente insunúnea quc circularii ¡nr la bobina cn régimcn p€rmanenlc para l<0scni:

636

R ECIIYI EN'I'ITAN S TI'OR IO DE LOS CI RCU TT()S ELEüTRICOS

(t) = 1,92 {f .o, ( 3r ' 58,90 )

de este Incxto la corricnte inicial i¡(0-) valdrá:

(0-) = l,gZ {2 .ot (- 58,99) = 1,4 amperios

en consecucncia y tenicntlo cn cucnut el principio de continuidad de la corrientc cn li¡inductmcia, se tentlrá:

i l (0+) = ¡r (0-) = 1,4 A

Para t > 0, se tiene el circuito de la fig.6.17. La resistencia equivalcntc deThévenin que sc obscrva desdc la bobina cs evidenle que vale 5 + 4 = 9 Cl, por consiguienlela constantc de úenrpo dc la rcspuesn natural seni:

segundos

l O 0 c o s 3 t .

Flg. 6.17

la corriente forzada o de régimen permanente pafa t > 0 se pucde obtener operandopreviamente en el plano complcjo en el circuito de la fig. 6. | 7. La corricnte compleja será:

4 roor / r

I = i ? j 9 = 5 ' 5 6 t ' 4 5 0

que cones¡rrnde a un valor instan¡áneo dc régimen permanentc:

i - ( r )= ü, ,5,56 cos (3 t ' 45 ' � ) = 7,86cos (3 t - 45o)

¡rr lo quc i- (0+¡ valcli-(0+) = 7.8ó cos (' 45o) = 5'5ó A

la rcspuesh comptcra sc obrcndrá aplicando la solución gcneral (6.78) que en nucsuo caso scconvierte en:

i ¡

l ¡

L 3 r' ? - -t - R - 9 - 3

637

REGIMEN TRAIttsn'oRto DE t s ctRcuITOS ELECT'RICOSELECTROMAGNENSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

it ( t ) = f ¡ ¡ (0+) - ¡* (0+) | c-Ut + i - ( t )

los tdrnrinos cllculatlos han sido:

It =

i segundos ; i¡ (0+) = 1,4 A I i""(0+) = 5,56 A

i..(t) = 7,86 cOs (3 t - 454)

al sustituir estos villorcs cn la ecuación general, se obtiene cl rcsultado:

il (t) = 7,86 cos (3 [ - 45") - 4,16 e- 3 t Amperios

IiJ EITT PI,O DIi APIJCACTON 6,5

E,n el circuito R-C de la fig.6.l8,lü corriente swninistrada por el generador

la ecuacit in difcrencial Y

por consiguiente la respuesta conrpleu será:

, v ( t ) = v n ( t ) + v p ( t ) = A e ' 2 t * ¡ g t ' t

la cOnstantc A que se incluye en la respuesta natural Se obticne aplicando las conrlicioncs

iniciales, y así resulla:v(r= 0+) = A + l0 = v. (0+) = 2

por consiguienle A = - I y de este modo la respuesh será:

v( t ) = l (h - t '8 c '2 t vo l t ios

6,6 ANALISIS CLASICO DE TRANSIT0RIOS EN SISTEM¿\SDE SEGUNDO ORDEN

Los sistemas de seguntlo orden responden I la ccuacióncliferencial iO.¡l qu. se raducen in la-pníctica a ciréuitosque contienen dos"íirón¡ot aimacenadores cle energfa dé diferente tipo, es decir. u¡ta bobinn y

un conoensador (o dos bobinas, o dos condensadores qt¡e no se puedcnreducir a uno solo equivalente)'

Existen en la práctica una gfan diversidad de circuitos que puedendar lusar a ecuaciones diferenciales de segundo orden. Por ello no es fácil.*fir."t "" t"álisis sistemiitico de los mism-os. Pebido a esto se va n estudiaraouí únicamente la red cldsica R-L-C para comprender los principios básicos'Ei-iitigrit"te epígrafe se abordará ci estudio üe la transformada de Laplacecuyo apii"a.ión ierñite una sistematización para retles de cualquier orden.

6.6. I RESPUE.STA TRANS¡TORIA DD UN C¡RCUTTO R'L 'C

a) RESPUESTA NATURAL

Considérese el circuito de

i

la fig. 6. l9 que representil unü red sene

excitación, es decir:

el parámetro B sefesuha:

dc donde se dcduce:

v p ( t ) = B c ' t

obricnc sustituyendo la solución antcrior cn

I t - B e - t l + [ B e ' t l = 5 e - t2 f

i + B = 5 + $ = 1 0

i ( t ¡ . 5 e - tE

I t t rr + F v ( t )

F ig .6 . l 8

de in tens ida t l esde la fo rma : i f =5e ' l umper ios .Cu l cu la rv ( t )po ra t20 .s i l a tens ión

itticial ¿n ¿l utndensatbr cs vg (0+) = 2V.

SOLUCION

Aplicando el primer lema dc Kirchhoff al nurJo A sc obtiene:

l d vi n - v = 5 c ' t

la ccuación homogénca cones¡nntlicnte cs:

I ttv; ü

* v = o

v n ( t ) = A e ' 2 1cuya solución cs dc la forma:

(luc rclrcscnu ta rcspuesb natu¡al de la red. La rcspucst¡t lbzada es una solución particular dela ccuación difcrencial original. Tomamos una solución dc prucba dc la misma lorma que la

638 639

ELECTROtvtAc NETISMO Y CIRCUTIOS ELECTRICOS

v ( t !

F i g . 6 . l 9

R-L-C, nlinrcntada [xlr una fuen¡e de tensión que depende del tiempo v(t).

Cuando el conmutador está situado en la posición l, el segundolenl¿t de Kirchhoff nos da:

v ( t ) = v R * v L * v C

donrJe los v¿tlores correspondientes son:

(6.79)

/ R = R i ; v u = L # ; v c

por lo clue (6.79) se convierte en:

REctlvlEN TRANSTIORIO DE LOs CIRCLTIOS ELECTRICOS

L c # + R C # + v c = r (6 .84)

(6.85)

si se sustituye la solución de prueba vc = A e sl en la ecuación anterior rcsultu:

(LC s2 + R C s + l ) A e st = Q

cuya ecuación característica es:

L C s 2 + R C s + l = 0

que tiene las siguientes raíces:- R C t . / R 2 C 2 - 4 L C

s ¡ , s 2 = - t t t

(6.96)

s¡ ' s2 --T"fC

que son las frecuencias nalurales de la red. Por consiguiente la soh¡citinde (6.84) será de la fonna:

V c n ( t ) = A t e t l t + A 2 e t z t

(6.87)

(6.88)= | j ,o, (6.80)

- d i l fv ( t )=L ¡ i * * i + ¡J i d t (6 .81 )

, que es una ecuación integro-diferenciat que pertitiot.ular i(t). Sin embargoCs miís simplc resolver la ecuacién ec¡uivalente a (6.81) expresada en función' tle la tensión v" del condensador y utilizar a postcriori la última ecuación(6.80) para calcular i(t):

rlr¡t , l=cff (6.82)

Sil levamos (6.82) a (6.81) resulta:

t . # + R c # + v s = v ( ¡ ) ( 6 . 8 3 )

quc es una ecuación de segundo orden. La respuesta natural de csta rcd cs lasolr¡ción de la homogénea de (ó.83) que ffsicamente significa determinar larespuesla del circuito rJe ln fig. 6.19 cuando el conmutador se Pasa a la posi-ciói¡ 2 e n r = 0. En este caso lt¡ ecuación diferencial (6.83) se rransforma en:

640

donde At y AZ son dos constantes arbitrarias, que se deben evaluar en funcióndc las condiciones inicialcs. Sc hace no¡ar al lector la rcgla inflexible de que elnúmero de cons¡antes arbitrarias que ap¡uecen en la respuesta nafural coincidecon el grado de la ecuación diferencial. Si esto no fuera así, sería imposibledefinir el estado del circui¡o sin ambigüedades y por ello poder llegar a dar unasolución única.

Dependiendo de los valores de las raíces de (6.87) se tienen restipos de funcionamiento de la red:

I ) C I R C U I T O S O B R } : A M O R T I G U A D O O C O N D E S C A R G AAPI 'RTODICA

Esta situación corresponde al caso de que las raíces st y sz sean reales y

dis¡intas, que equivale a decir teniendo en cuenta (6.87) a que:

R 2 C 2 > 4 L C = ) R > 2

de este nrcxlo resulta:

(6.8e)

y denonrinando a y b a las siguientes expresiones:

(6.90)

fi4 I

REGIMEN TRA}{SITORIO DE LoS CIRCUTTOS ELECTRJCOS

CIRCUITO AMORTIGUADO CR¡ I ' ICAMENTE

Esu siruación corresponde a la igualdad::

R 2 C 2 = 4 L C : + R = 2al s iguicnte valor de tensión

v c n ( t ) = A l e ( ' a + b ) t + A z e ( - a ' b ) t ( 6 . 9 2 )

donde A ¡ y AZ son dos constantes arbitrarias que se determinan enfunción de las constantes iniciales. Si se consideran que estas últ imasson por ejemplo:

v c ( 0 + ) = v o ; [ * l r = o = Q

teniendo en cuenta (6.92) se tendrá:

V o = A ¡ + A 2

Q = (-a+b) A1+(-a-b) AZ

es decir:^ a+b r , ^ -a+bAl=T Vg ; Az=JE= Vg

f levando estas constantes t (6,92) resulta:

Vr. ?

Vcn (,) = # [ 1a+u) e (-a+b) t + ( -a+b) s (-a- b) t ]

y teniendo en cuenta (6.82) corresponde a una corrientecilcuito:

(6.e+¡

(6.95)

ELEC1ROIv|ACNffiS MO Y CIRCUilOS ELECTRICOS

RÍ l : r -TT ;

da I u gar según (6. 88 )condensador:

S =Irc( # \ 2 2'

(6.9 I )

natural en el

(6.93)

(6.96)

natural en el

(6.ee)

(6. 102)

r ( r )

¡i .

p

i n ( t ) = r W

quc teniendo en cuent¡ren (6.9 I ) da lugar a:

V o I e ( - a + b ) t . ¡ e ( - a - b ) r ] ( 6 . 9 7 )

los valores de los parámetros a y b expresados

\i

Fig. 6.20

lo que coresponde según (6.87) a dos raíces reales iguales:R

s l . , s 2 = ' t = ' & ( 6 . 1 0 0 )

llevando estos valores a (6.88) podría aparecer a primera vista que lasolución sería de la forma:

v c n ( t ) = ( A l + A z ) e - 0 t . A e - i t t ( 6 . l 0 l )

donde sc ha tomado A = ¡{ t + AZ, como única constante arbitraria. Perosegún se ha dicho anteriorrnente, la respuesta natural de una ecuacióndiferencial de segundo orden debe contener dos constantes arbitrarias,yit que si no es así, la solución no quedaría unívocamente determinadapor dos condiciones iniciales conocidas con antelación. Por ello, en vezde considerar a A conro una constante, se toma como una función deltiempo:

-z v e-"'i n ( t ) = # S h b t

J*t - 4L/c(6 .98)

A = A t + A 2 t

eJ lector puede comprobar entonces que la respuesta nütura lcrlfrespondie llte:

v c n ( t ) = . A ¡ e ' ¿ r t + A Z t e ' a t ( 6 . 1 0 3 )

e: solución de (6.83). Si r . , consideran las condiciones inic iales (o de

/ 643

en la fig. 6.20, la curva señalada con la letra .'a'' corresponde a larepresentación de (6.98).

ELEC'TRONTAGNMSNIO Y CIRCUNOS ELETI'RICOS

contonro) (6.93) tlel caso anterior, resulB:

V 0 = A t ; 0 = - a A t + A Z

de tlonde se dcduce:

A t = V 0 ; A Z = r r V 0

y l leviln(lo a (6. 103) nos d¡r:

v c n ( t ) = V o ( l + a t ) e ' a t

lo t¡ue corresponde según (6.82) a una corienle:

dvi n ( t ) = Q ? = - C V o i l z l e - u l

(pte leniendo en cuenta el valor de "il ' que Se expreSó e¡tR

- V ' - [

i n ( t ¡ = - " t t e 2 L. L

estit respucsta que scgún se hil de¡nostrado se cumplc cuando

R = 2

es u¡Iil siruación línrite enrre el cAso ilperiódico y li l descargil oscilanteqr¡c ¡espués vercmos; se denonrina condición dc ümort igu¡mientoinrico. En la fig. 6.20 (curva b) se ha represent¿rdo (6. 108), la corrienterlc de scilrgn tieric un vÍtlor de pico nlayor que e n el caso apcriodico peroticnde ü ccro tniis riipidamenle.

REcIMEN 1 lrANSn ORl0 DE U)S cIRCUIIOS I:LEÜI'RICOS

clondc los valores de a Y On vienen definidos por:

; b = .riF t -

te = {- l = j t r l n ( 6 . l l l )

#-t f t r 'ú)n recibe el nornbre cle pulsüción natural del circuito; dc este nrodo

(6.88) se convierte en:

vcn (t) := Al e ( - a + j t , , ) I + A2 e ( - a ' jot , , ) t

o de un nrodo erlt¡ivaleltte:

vcn ( t ) = s -at I B¡ cos o)n t + Bz sen on t ]

doncle B 1 y BZ representan dos constantes arbitrarias.ri¡il y co¡npflcta de cxpres&r (6. I l3) es:

vcn(t) = B e' a I sen (0n t+cr')

doncle los pariirnetros B y ct soll:

B_Lfr = arctg 6;

si se consiclerart las condiciones iniciales (6.93) re sulta:

v.(0+) = Vo - ff se n ü, (6.1 I ó)

t = 0 = 0 = ' a B s e n ü , + 0 n B c o s c t

(6. r 04)

(6. 105)

(6. 106)

(6. r 07)

(6,91) nos da:

(6. 108)

Ra ñ - ? i .

0),t =

l ) C I n C u l ' f O S U n A I I I O R ' l ' I G U , t D 0 Oos(- ' l l .AN' I 'E

Esn sitt¡itcit in corresponde n la clesigualdad:

R 2 C l < 4 [ , C = á R < 2

y s2 de (6.tt7) son conrplejls

S¡ , 52 = - [r t j 0n

C O N D E S C A R G A

(6. 109)

y ser¡in de ln

(6. I l0)

B =

; l l =

(6 . I l2 )

(6 . I l 3 )

Una forma mús

(6 . I l4 )

(f i, I I 5)

[ (lvc| ---L d r

de donde se d

lg

le( t ce :

= .9lna

l ls r i t íces s1

lon¡t i t :

64'l

y conjugadas(lue al sust i tuir en (6. I t4) nos da:

( 6 . I l 7 )

ó45

LLbL I l ( ( rNt l \Lr l l l - I l . ) t r lU r L l l ( L l , / l I t J J l - l - l - L . I l \ t \ t , . 1

e - a t s e n ( u l n t + ü ) ( 6 . l 1 8 ) v c n ( t ) = V o + ( A t + A z t ) e ' 8 r s i R = 2

vcn(t) - Vg + B s 'o l sen (on t+a) si R

:vc,,(r) = v9 1u2- tga

CI)n

i , , ( t ) = C * = Q I U e - a t ( x 2 + o n 2 ) s e noln

cs (lecir:

i n ( t ) = & e - a t s e n 0 n tLtrS

Lc * r t + RC # *vc-vo

< 2 (6. I 23)

función de lasse calculnrú la

(luc corresponde de acuerdo con (6.82) a una corriente natural:

l)ucstrl que a2 * on2 = l/LC. Ln corriente antcr¡or representa uníl

ilescarga oscilante que va decreciendo con el tiempo y estd represe¡ltadapor la curva c tJe la fig. 6.20.

b ) I T E S P U E S T A f O R Z A D A l r E U N A R E D R ' L ' C A U N AAt,tNiltN'rAcloN Dli c.c.

Si en el circuito de la fig. 6.19, el generador de tensión vn (t) es decorriente continua de v-alor Vo y-et conmutador que esiaba en la

¡rosición 2 (respuesta natural) se devuelve.a'la posición I en t = 0, seirbrendrá una ied con excitación forzada constante. La ecuaciónrlifcrencial que regirá el comportatniento del circuito, teniendo en cüenta(6.83) será:

donde las constantes arbitrarias se determinarán encondiciones iniciales. Para otros t ipos de excitaciónsolución particular de la ecu¡lción diferencial (6.83).

Iil EiT PLO DE API.ICACION 6,6

El circuito de ta fig. 6.2t a ha olcanza¡lo el régimen pernanente con el

interruptor cetada, El interrupioi se obrc cn t = 0. Calcul¿r la expresión de Ia tensión cn

bornes del co¡ulcnsador ¡nra I > 0.

5 n 5ft

tv r ( O - ) = l O V .

. v a ( t )v r { O r } ' l O V .

0)n r (6. I 19)

(6. 120)

( ( r . l2 l )

f

cs eviclente que lil respuestil forznda en régimen pernlilnente rlos dariíVclr - Vo, yü que el condensildor en régirnen pemlanente en c.c. es

ct¡ i r ivalenre ü un circui to nbierto por lo que no giqcul l r¿i ningunacglrienre forzada por la red de totla li tensióll nplicada Vo aparecerá elt

lnrnes del contlensador. De este nlodo la solución de (6. I 2l) s€rii:

v c ( t ) = v n ( t ) + v p ( t ) (6. 122)

cl r la ( lue vn( t ) =V0. ' l 'en iendo en cuenta i tdetn i is los resul t i ldosobteniendo eir el ilpilrtildo t) de este epígrafe se telrdrii:

t ( O + I r l A . t ) O

b l

Fig. 6.21

SOLUCION

En réginren pcfmanentc pafo t < 0. la bobina sc compofta cotno un

cortr¡circuito, ¡nr lo quc la corriente que circula por ella será:

¡ni¡(0')=¡fr = I A

pa¡a t < 0, en régimcn lrcrmane nte cl condensador es equivalente a un circuito abicrto, por lo

que su tensión en bornes coincidirá con la Ensión de la aliment¡ción:

vg(O) = lOV

En la fig. 6.tlh sc nrucstrün los scntirlos y polaritladcs dc i¡ (0') y vg (0')'

Por las condiciones dc conünuiüd se cumplini:

a f

r (o - t , r r . f

'i4(t

v c ( t ) = v o + A l e ( - a + b ) t + A 2 e ( ' a ' b ) t s i R > 2 i¡(0-) = iL((}r) = lA ; vc(0') = vs(Dl) = lOV

647

E LECTROMACNMS NIO Y CIRCUITOS ELECTRJCOS

En la fig. 6.18b se muestra el circuio para t > 0, que res¡nnde a ta siguientcecr¡ación dc funcionanrien¡o:

* v 6 = S

dont le L=2,511 ; C=0,2F ; R= l0+5= l5Q,porconsiguicnreseobr iene:

dZ"n dvno,s f i * 3 l i +v6=$

cuya ecuación carac!crística es:

0 , 5 s 2 + 3 s + l = 0 = a s ¡ = - 0 , 1 7 7 ; h = - 2 , E 2

¡nr consiguicntc sc tendró una dcscarga apcrir5dica que resf¡onderá a la ecuación gencral:

v6(r) = A¡ e' 0.t?7 1+ AZ r' 2'E2 t

Par¡ calcula¡ Al y AZ cs prcciso trabajar con las condiciones iniciales.Sabenv.ls por un lado que v6 (0+) = lOV y por consiguiente se tendrá:

v g ( 0 + ) = 1 0 - A t + A 2

¡ro¡ clro lado, la coniente i(t) en la malla se puede obtener así:

dv'i (t) = C:le = 02 [- O,f

' l f A¡ e'0'l?? t '2,82 A2 e'2'82 r ]

cs dccir:i ( r ) = - 0,0354 At e- 0 '177 r '0 ,564 42 e '2 '8? t

Pero i(0+) = lA Y fnr consiguicnte:

i(0+) = ¡ =. 0O354 At - 0,5ó4A2

de estas dos con¡licioncs iniciales sc dcduce:

A l = 1 2 , 5 6 ; A Z = - 2 , 5 6

F)r lo quc lÍ¡ exprcsión final clc v. (t) scr¡i:

dZv. dvnL C u p + R c ü

el8

vg(r) = 12,56 e- o, 177 t ' - 2,56.' 2,E2 ti¡ (0+) = lA ; vc (0+) - 2V

649

REC¡MEN TRANSTTOruO DE IOS CIRCI'JITIOS ELECTRICOS

EIEIúPLA DE API,ICACION 6,7

El circuito de la fig. 6.22, ha alcanzado el régimen permanente con elinerruptor abierto, El interruptor se cierra en t = A. Dercrmi¡ur la d.d.p, v(t) en bornes dclconfunsulorpral>0.

Fig.6.22

SOLUCION

En la tig. ó.23a sé muestra el csquema de la red para I > 0' Como quicra que clcircuito ha alcanzado el régimen frermanente en esur situacióni al ser la alimentación de

? c ( o + ) = t v

Fig. 6.23

c.c., la bobina se ha sustituído por un cortocircuito y el condensador por un circuito ¿¡bicrro.f)e este modo rcsulta:

i¡ (o-) = 1= to , vg (0') = 2 i¡ (o') = 2v

y ¡nr las condicioncs de continuitlad se cumple:

b )a )

l r ( O + )

ELECTROMAGNMSMO Y CTRC UTTOS ELECTRICOS

En la fig. 6.23b se ha dibujado cl circuio congelado en el insnnte t = 0+.En este circuito sc cumple:

)vi ¡ ( { } + ) = ñ = l l

¡nr lo que al aplicar el primer lema de Kirchhoff al nudo A resulta:

ig (0+) = i¡ t0r) - i¡ (Or) =l - | s 0

corno quiua atlemás que en el condensador se cumple:

Kbt* ¡UvtE l { | t t lu ro l I U IUIJ WL r j . ) . t L t r r r - - , ¡ ¡ - . . . - ' . - . - ¡ ¡

que sr¡stituyendo los valores numéricos nos da:

+ + 0 , 5 * + Y = oo[- ú

cuya ecuación c¡rracErísüca es:0 2 5 s 2 + 0 , 5 s + | = 0

y cuyas soluciones son'. _

S l , e 2 = - l t j V 3 : $ r = l ; t n = { I

tle este modo, la solución de la ecuación diferencial scrá según (6.1 l3) de la lbrma:

v (t) = e - e t I gr cos o]nt + Bzsen ont J

v (r) .= e' t I nr cos {J t + 82 sen {3 r J

las condiciones iniciales hemos visto quc eran:

vc (0+) = 2V : v'c (0+) = 1¡

cofno quiera que v'(t) vale:

v, (r) = - g -, [s¡ cos{J, + 82 sen f i tJ +e - t [ . / l B¡ sen f i , * {J 82 cos {J, l

resultarái _v ( t = 0 ) = 2 = 8 1 I v ' ( t = 0 ) = 0 = - B l + ' - 1 3 8 2

y por consiguienn las consüantes arbitrarias valdrfut:

B l = 2 ; 8 2 = r t

de este modo la tensión en borncs del condensador seni:

( r ) = l e ' t I c o s d J r ' . + s c n { 3 t J{ 3

o de una forma más cornpacta:

v ( t ) = Ifi

e - t s e n ( f i t + ó 0 g )

r dvc (r) Ii g ( 0 + ) = Q L , f J , = o + = C " ' c ( 0 + )

v 's (o+)=ry=o

En la íig.6.24 se muestra el esquema del circuito

o-- tR A

tt---

i R + i L + i C = 0

:(g *! [ "rr) dt + c !'fll = eR L l d r

cs tlecir:

quc dcrivatrdo sc transfonna en:

es decil:rcsult^a:

TFig. 6.24

para I > 0. Obsérvese que aparecen dos redes independientes. En el nudo A se cumple:

l d v vR . ' t * L = $

T uTHI

29 -+lav,

650

c # +

65 I

ELECTROMACNMSMO Y CIRCT'ITOS ELECTRICOS

ETEIIíPI.O DE API.ICACION 6.0

En el circuito de la fig.6.25, el interruptar sc ci¿rra en t = 0. Siendo lascondicionc s iniciales :

v c Q - ) = 5 V ; i ¿ Q - ) = l A

-+ ln

Fig. 6.25

Culcular: l) D.d.p. v, (t) en bornes del condcnsador;2, corricnte l(t)

swúnLrtroda pr el generador.

l )

S O L U C I O N

Aplicancto el segundo lema de Kirchhotf a la malla dcl circuito resuln:

v s ( r ) - v 6 ( r ) + L + A + R 2 i ¡

ahora bien, en el nudo A sc cumple:

i ¡ - i p + i c = f r + c T

que al sustituir cn la ecuaciÓn anterior nos da:

. ^ d 2 u c l ! . r L d v e ( r ) 1 2vu ( r ) s LC - ; f i + [ ü .

RzC I t - + [ , * * ,

y tf,niendo en cucnut los valores de los parómeúos fesulta:

¡.f l tr I L=ll l '

,--- -lr' l l t ) Q = O , 5 F

Y ( t ) ' l O c o e tg Rz= l o

652

c2v¡ ( t) dvc (r)0,5 ofr

+ -:,- + 1,5 v6 = lo cos t

653

RECTMEN T 'AI{SrTOruO DE I-OS CIRCUTTOS ELECTRICOS

la respuestÍt nalural es ln soluciÓn de la homogénea:

0,5 q# + {'# * r,5 vs =o

cuya ccuación cafacterística es:

que da lugar a las naíce.s:

0,5 s2+ s + 1,5 = 0

s ¡ , S 2 = ' l t i . \ n

fnr lo que la rcspucs,ia natural será:

vcn (t) = e' t I gr cosü t + 82 sen {I t ]

la respuesra forzada corresp,onde a la solución particular de la ecuación difcrencial I ),quc equivale a la srilución en régimcn permanenrc de un circuito alimentado por utt

g.n.*,tor de c.0. d(: pulsación ro = I racUs (yl que el valor insuntáneo del generad()r cs

íO cosr). podemc,i o¡rcrar directamenrc la ecuación l) en el plano cornplst(),

susütuyendo el op< rador derivada primera por jo, y la derivada segunda por Ü{r))?. De

este modo la ecuac'ón fasorial conespondienn a I scrá:

' 0,5 Vc + j Vc + 1,5 Vg = * ¿0el 2

cuya solución comPleja es:r0= ¿0e{ ?

V C = T * i l = 5 ¿ - 4 5 0

es decir, la respuesla forzada será:

v.n(r) = 5 {Tcos ( t - 45o)

de ese modo la respuest¿l complcta dc l) scni:

vs ( r ) c vsn ( r )+ vcp ( r )=e - r I g r cos { t t+ 82 sen { t t J + 5 ücos ( t -45o )

las constantes arbitrarias, se dcterminan a partir de las condiciones iniciüles.resultando:

vg(O') = vg((}t) = 5 = Bt + 5 tñ cos (-45o)

de donde sc deducc B I = 0, y por consiguicnte se üene:

ELECTROIVIAGNffiS MO Y CIRCLITOS ELFITRICOS

v 6 ( t ) = 8 2 e ' l s e n ü t + S l n c o s ( t - 4 5 " )

la ora condición inicial procede de iU(0+) - i¡ (C) = I A ; como quicra además que se

cumple:. vg ^ duc qIEi L = i l + C *

= 0 , 5 v g + 0 , 5 . t 2 )

y que:

l L P = - 8 2 e - r s c n ü tü

I CSU lt^a:

i¡(0+) = I =

es dccir:

+ { T B 2 e ' ¡ c o s { t r - 5 { z * n ( t - 4 5 ' )

o,5vs(o+) +0,5t T l r=o

I = 0 , 5 . 5 + 0 , 5 [ . / z s r - s { I t * n 1 - a s ' ) l

tbdonds se dcdre:r.2=-4'{l

y por consiguiente vg(t) valdrá finalmentc:

vs( t )= -qñ. " ' t sent /?t + 5 'JTcos( t -45o) vol t ios

Z) l¿ corrientc suminisrada por el generador i(t) será igual a la quc auaviesa la bobinai¡(t), fr lo que llcvando la expresién dc vr(t) a la ecuación 2) nos dará:

i ( t )= -4e ' t cos { i t * 5 f i r o , t ampc r i os

r¡ue es la respuesu soliciuda.

6.7 TIIANSFORMADA DE LAPLACE

En las secciones precedentes se ha estudiado el comportamientonansitorio de los circuitos eléctricos, por medios clásicos, esto es, calculandola respuesta de una red por medios clásicos, eslo eS, calculando la respuestatle uni red en dos fases: én primer lugar determinando la respuesta natural dela red fn(t) como solución de la homogénea de la ecuación diferencial, y ensegundó lugar, c¡lculando la respuesta permanente fo(t) como soluciónparriculnr de la ecuación diferencial. La respuesb compleia f.(t) = f¡t¡ + fo(Oirrcorpora unas constantes arbitrarias en su compo¡enle natural, qug. ledcternrinan con ayuda de las condiciones iniciales. Cgmo ya se ha podidoconrprobar en los epígrafes anteriores, la determinación de las constantes

(t54

REGIMEN TRANSNORIo DE LOS CIRCUNOS ELECTRICOS

requiere un estudio lento y cuidadoso de la red y unn bucna comprensión deióJ f.nó*"nos físicos qúe tienen lugar en la connrutación tle elenrcntospuiiuot, sobre todo tratándose de bobiñas y condensadores y en redes de nlto

orden.

Para facilitar v sistema¡izar el estudio de ¡ransitorios en redes

lineales de cualquier ordén, se emplea con,mayor comodidad un ¡nétodoooiricional denbminada transformada de Laplace. Con esta técnicn se

t'oniio-un las ecuaciones integrodiferenciales d diferenciales del circrrito en.iuu"ion"t algebraicas función de una frecuencia compleja generalizada:

de tal ntodo, que en las ecuaciones resultantes quedan incluíclas las

condiciones ín¡iiales como parte de la transformación al donlinio s. A

continuación se resuelven eitas ecuaciones algebraicas y se obtierrc larespuesta F(s) que se transforma posteriormente al dominio {el tiempo f(t).

En la fig.6.26 se muestra un esquenla que resume.de un modoeráfico la resolucióñde un problema de transiiorios, cornparando el métodoflásico con la transformada de Laplace. El lector encontrnrá una gran annlogíitentre el cuadro de la f ig. 6.26y el de la f ig.4. l l anal izada en el cap-í tulo 4sobre corriente alterna.

-Hay que destacar aquí, c¡ue la ¡ranstonnación fasorial

del canítulo 4 se aplicaba-a excitaciones senoidales de liecuencia fija; sinembaryo la transfoñnada de Laplace tiene la ventaja de que es nrucho ¡rlúsgeneral y se aplica a cualquier tipo de excitación.

s = ct + j o

La rransformada de Laplace es una trünsfontlüdil integral t¡ue se

(6. l2,,l)

(6 . 125)

define así:

¿[ r ( r ) J = j . ' s r F ( t ) d t = F (s )0-

el símbolo Z representa cl procesO dc transtbrnllción v se lce con laspalabras: "La lranslormada de Laplace de].." El resultudo dc la integralés una función de s, de tal ntodo t¡ue la transformarJa de h función tenl¡roralf(t) se designa por F(s). Nótese el uso de la nlisma letra pnra f(t) y sutransformadá p'(i). en un cüso con minúsctrla para las funciones tlcl tienrpo yen el otro con mayúsculas para sus transformadas. Obsérvese que el lí¡ll iteinferior de la integral (6.125) es 0-, es decir el tiempo intnediatamente anteriora la conmutación; la elección de ""0-" frente a "0", se hace plra podcr incluirlas condiciones inic iales de señales t ipo impulso. Exceptuando este clsoespecial, para cualquier olrü lbnna tle onda, cs indit'erente tal elección.

ó55

ELECfRotvtAGNEnSNIO Y CIRCUITOS ELLCIRICOS

Fig. ó.26

En el apéndice -1, se repnsit la transformada de Laplace: susorígcnes históricos, teoremns y propiedades. También se definen los ripos deseñlles biisicas r¡ue tienen utilidad en el cstudio de los circuitos eléctricos:uscalón, ra¡¡rpil, i inpulso o delta de Dirac. Se incluye también li¡ transtbrmadainversa de Laplaóe y los procedimientos de cálculo de la nrisma. Esconveniente qué el lector que no posea uno fbrmación suficiente sobre cdlculoope ritcionnl, rcpase este apéndice, anles de continuar con csta lección, ya qqesé suponcn co¡rocidos es¡os conceptos para poder abordar las aplicaciones dela transformada de Laplace en el aní¡lisis tr:¡nsitorio de redes elécrricas.

RECIMEN 1'tANSlToRlO DE U)S ClRCUll'()S ELECTRIC0S

6.8 APLICACION|' |S DB L' \ TRANSFORIIIADA DE LAPI,ACIiEN EL ESTUDIO DE 'TRANSTTOIIIOS DE CITTCIJI ' I 'OSEI,ECl 'RICOS

Conro yír. conoce sobradamen¡e el lector de los epígrafcsanteriores, el estudió :liísico de ransitorios requiere la aplicación de los lenrasdc Kirchhoff a las rrtallas y nudos de la red. La aplicación de estos lcmasconduce en general, a un juego de ecuaciones integrodiferenciales querepresentan él conrportamiento del s istema eléctr ico. Plan¡eadas cstasecuaciones de funcicñamiento, la resolución de las mism¡s podría realiz¡rse Iprimera vista, aplici¡ndo las ransformaciones de Laplace de aquéllus. Sinémbargo, esta fórm¡ de proceder es muy lenta, por lo que resulta nlás titiltransfo-rmar directaroen¡e el circuito, al dominio de Laplace (planos), de talmodo quc se incorporen cn csta nuevn rcd lss condiciones iniciales. Ln ide¡es andlóga al proceio scguido en el estudio de los circui¡os de c.a. en el qttc setranstbrinubl la red en el dominio del tiernpo al dominio de la frecuenciacornpleja (plano thsorial). Con el circuito ransformado, la aplicación directir<te lds lémás de Kirchhoff dará lugar a un juego de ecuaciones algebraicas tlcm¡ís fícil manipuk'ción. Estudiando la respuesta de este circuito se obtendrúuna solución en el "plano s" ¡ la que aplicando la transformad¡t inversa o"andtransformada" pe-rmitird conocer la cxpresión en el dominio del tiempo.

Para poder realizar este proceso de transformación de:"dominios", es préciso analizar previamente la respuesta de los elementospasivos simples jr conocer los e-squenras equivalentes a que dan lugar.

ó. l f . I RIiSpt,E.STAS DF: l ,Os l . :1, l i t \ l t iNTOS PA.SIVO.S SIt\ lPl, l is I iNF.L PI ,ANO S.

a) RIISISTENCIA

En la fig. ó.27a se ha reprcsentado una resistcnciit en cl do¡nirtiodelt iempo.

0 0 H t N I o t ) E l . T I E I { P O

¡ l

D O H I N I O

Fig. 6.21

De acuerdo con ln ley dc Ohnl, sabenros (ltte Se cunrplc:

b )

D O M T N I O

DE LA

TRECUENC tA

TNAilSFORI.IADADE

LAPLACE

CUACIOIIAS ALCEBRAICAS

INCLUYEN AUTOI{AT,

O N D I C I O N E S I N I C I A L E S

E C U A C I O N E S D T F E R E N C I A .

Y co l lD ICtOt fESI N I C I A L E S C T R C U I T O

TRANSFORI.IADA

INVERSA DE LA PLACE

N A T U R A L t F O R Z A D A

f n ( t . ) + f ( t )

SOLUC I ONC L A S I C A

SOLUCIOI{AI .GEBRAICA

656 657

ELECTROMAGN EnS MO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

v(t) = R i( t)

h relac:ión anterior en el donlinio de Laplace ser¿í:

(6. 126)

l , l v ( t ) l = ¿ [ R i ( t ) ] = ) V ( s ) = f t 1 ( s ) ( 6 - 1 2 7 )

donde:

V(s) = [.[ v(t) I ; I (s)= l , l i ( t ) l (6 .128)

en la tig. 6.27b se inuestra e[ circuito_ equivalente correspondiente a laecuación- (6.127) y que represen¡a en definiiiva un circuito en el plano S. Ellector puede coniprobar la analogía enúe las ecuaciones (6.126) y (6.127).

b) rNr)ucTANctA

En la fig. 6.28 se ha representado una bobina en el dominio delticrnpo. Sabemos qle la relación entre la tensión aplicada v(t) y la corriente

Lr L ( o - )

+

DOI'IINTO DEL TIEI'IPO DOiIINIO DE LAPI.ACE

a l b l

Fig. 6.28

RECIMEN TRANSMORIO DE U)S CIRCUITOS ELECI'RICOS

donde ¡(0-)a¡uivalente

representa la corriente inici¿rl de la bobina. La ecuación anterior es

V ( s ) = f s l ( s ) - L i ¡ ( 0 - ) (6. I 32\

ecuación que responde al circuito equivalente mostrado en la fig. 6.28b (alupii.* ét in le*a' de Kirchhoff a este circuito se obtiene la ecuación (6.132)).Es importante hacer notar, que la asociación serie de elementos mostrados enli f¡sl 6.28b en el dominio s, representa el circuito equivalente de unainduürancia en el dominio del dempó. Uno de los elementos es una inductancia;;;rñ La óhnlios, el otro cs una'fucnte de c.c., que se in¡roduce para incluirla condición inicial de corriente previa en la bobina. El valor de la tensión deesta fuente es Li¡(0-) y con la polaridad mostrada en la fig. 6'28b para que

cunrpla la ecuación (6.132). En definitiva,. el sentido de elevación de tensiónde iste senerador (que rr¿t de su terntinal - a su termin¡rl +) coincidc con elsentido de la corrienté inicial de la bobinn,. Obsérvese t¡ue si las conclicionesiniciales fueran nulas, el circuito et¡uivalente de la Frg. 6.28b seríu aniilogo alde la fig. 4.14b del capftulo 4 de coniente alterna, sin más que sustituir s por

jor.

c) CAPACIDAI)

En la fig. 6.29a se ha representado u¡r condensatlor en eldominiodel tiempo. Sabenlos que la relación entre v(t) e i(t) viene expresadapor:

"q( o- ).I

Fig, 6.29

v ( t ) = i ( t ) c l t (6 . 133)

a:

_t _C s

i (r) cs igual a:

la relación anterior en

v(t) = L *i

el dominio de Laplace será:

(6. 129)

(6 . 130)

que nos cla

( 6 . r 3 l )

l , [ v ( t ) l = L I L * I

que tcn iendo en cuenta la ecuación (14) del apéndiceU'ílnstonna(la de Laplace de la derivada, resulta:

la4 ,

t

I f 'C J

donrinio de Laplace será:I t t

r [ v ( t ) J = f , | * f

L *

'o<D

i ( r ). , , ]

o

658

V(s) = l- [ s l(s) - i¡ (0 -) I

la relación anterior en el

(6. I 34)

659

el plano s, ser in

(6 . 139)

( 6 . l 4 l )

(6 . 143)

REGIN,IEN TRANSITORIO DE INS CIRCUMOS ELECTRICOS

de este mot lo las impedancias de estos e lementos en

resrlectivamente: r

Z p ( s ) - R ; Z u ( s ) = L s ; Z C ( s ) = ¡ i

ELECTRO|IIACNffiSN'IO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

( lue lcnicn( lo cn cuenta la ecuación (25) del apéndice 4, r¡ue nos da latranstir¡'¡lrad¡r de Laplace dc la integral, resulta:

r i ' I| | . .| | i($dt I

v(s)=*l lgl .+l (6r35). [ S S

I

la integral ¡rnterior representa la carga q(0+) que ha adquirido el con<tensadorrle:;de el tienrpo -- has¡a el tiempo 0-. Conlo qtriera que adentiis el cocicnteentrc üilrga y capacidld es la d.rl.p. se podrá escribir:

I - vc(0+)V ( s ) = ¿ l ( s ) + * f ( 6 . 1 3 6 )

donde vc(O-) repiesenl¡¡ el potencial inicial en bornes del condensador. En laf ig. ó.29b se nruestra cl c ircui to equivalente a que responde (6.136)constittrído por una capncidad de inrpeilanci¿ l/Cs ohmios en serie con unati¡cnte dc c.c. de valor v.(0-)/s donde vs(0-) representa la tensión inicial t-lelcorrdensador. Obsérvese, compar¡¡ndo las figuras 6.29a y ó.29b que la

¡rolaritltcl del gerrerador de tensió¡r es la nrisma que vc (0-)/s donde vg (0-)

representil ln tensión inicial del condcnsador. Obsérvese, compflrando laslig¡ras ó.29a y 6.29b que la polaridad del generador de tensión es la misnraqrie vs (0-). Por otro lado, si las condiciones iniciales son nulas, el lector

conrprobar:i la gran analogía del circuito de la fig. 6.29b en el de la hg. 4'l6b

rJel capítulo .l de c.a. (lo que lllí se expresa por jrrl at¡uí representl s).

d) I I \ I I ' I IDANCIA Y ADI\I I I 'ANCIA

Este término sólan¡ente se define en el dominio s y cuando sesupone¡ las ctllrliciones ilticiales nulas, se designa con el símbolo Z(s) y es elcocicntc c¡ltre V(s) e l(s) y tienc dinrcnsiones de ohnlios:

Z(s)=ff i o (6.ri7)

las rclirc:iolres crltre V(s) e l(s) ptra los clementos pasivos silnples, con lascor¡t l ic iones inic iales igur l l cero. se dcducen de (6.127), (6.132) y (6.1361rcs¡rectivatrtcnle y son :

V ( s ¡ = R I ( s ) : V ( s ) = l - s l ( s ) ; V ( s ) = f t t f r l ( ( r . l 3 t t )

Rccuérdese del cap. 4,.que las impeclnncias de los elementos pasivos sinrplesi" .ii¿gi""n pe-ianenie sinusoidal respondían a las expresiones complejas:

Z¡(or)=ft ; Zr-0to)=jorL ; Zc0o)=+ (6.140). v v . j ú l C

comnaranclo (6.139) con (6.140) reconocemos nuevamente quc las

iñü;;irt complcjás represenr¡n un caso especial de las impcdancias en el

plano tle Laplace, en las t¡ue el valor de s tonra un vllor específico : s - j{'t,

siendo o la pulsación de la señal senoidal. La ecuación (6.137) representa la

ley de Ohm generalizada aplicada en el plano s.

De un nrodo anílogo al que se hizo al estudiar la c.a. se pucde

definir el concepto de admitancia Y(s) por la relación:

Y(s) =ffi siemens

que es la inversn de la impedancia y por ello se mide en siemens' Los vitlorcscbnespontlicntes a los elenlentos pasivos sirnples seriin:

Yp(s)={ ; Y¡(s l=fr ; Y6(s)=Cs (6 '142)

A| igual que se hizo en cl capítu|o 4, se pucden ob¡ener reg|as para

la asociación Oü impeOancias y admitincius. Así si existen impedancias cn

serie, la impedancia equivalente será:

J.,Z(s)= LZ¡( .s)

y pilril adnritiulcias en pilralelo, resutt,,rri,l

Y(s)= lY¡ (s) (6. I 44)

I

donde Y(s) rcpresel¡ta el valor equivalente.

Co¡no t¡uiera que los le¡nts dc Kirchhoff sott lineulcs, po<lrettxts

aplicar las récnicas tte malias, nudoS y otros teoremas de circuitos estutl iados

ó ó l6ó0

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

cn los cnpítulos 3 y 4, tiunbién e¡l el plano s de Laplace, por lo que no serúne{iesÍlrio repetirlos üquí.

A modo de resu¡nen, a continuación se indican los pasos a seguircun¡rdo sc desea estudiar un circuito eléctrico por la técnica de la transformadadc l-aplnce:

Deterntinar las condicíones íniciales en los elenrcntos queulmacenan energía en Ia red es decir, corrientes iú0-) en lasbobinas y tensiones v6 (0-) en los condetLradores.

2.- Transfornutr la red en el clominio del tiempo en una redequívalente e.n el donúnío cle Laplace. Para ello:

a) Swtit;uir cadq resistencia por su intpeclnncia Z(s) = R.b) Stutituir coda bobina por su impedancia Z(s) = Ls en

serie con una fuente de tensíón contirun cle magnitudL|LQ-), con su terminal + en el lado lwcia el que opunt{tla corriente inicial itQ-).

c) Srusli¡rúr cacla condensador por su ímpedancio Z(s) =IlCs, en serie con unü fircnre de tensién contínua devalor vg(}-)ls, con la misma polaridail que vc(0-)

d) S¿¿srlrlür las fitenres de tensión vr./t) y de corriente is(t)existentes en Ia red por silJ transformadas de Laplace,aplicando Ia definición (6.125). Puede ser muy útil pararealizttr este paso, el utilizor las técnicas de sintetizaciónde ondas que se explica en el epígrafe 5 clel apéndíce 4.

3 .- Escribir las ecuocíones corresporulíentes ol método de amlisiselegido: nwllals, nudos, etc. (es evidente que en el anúlisis pornudos se deben translbrmar previamente los generadores detensión en generadores de corriente, íncltryendo aquéllos querepresenttt,t lus concliciottes inicíules). Despejar ü continua-ckín las re.rpuestas del circuito: corriente,f cle nwll¿t o rcnsio-nes cle ruulo cn su c(Lro, mecliante cólculo algebraico sit¡ple.

1.- Deterrninur las transfonnufu$ i¡werstn o antitrünifornndos delus respuest&s ba.sd¡ulose en Ia técnica de desco,nposicirín en

ITucciones pürcioles que se tnuestra en el epígrafe 7 delupénclice 4 , y cott uyuda de Ia T'ablu na I de e se apéntlíce.Con ello se determinordn las respuestas en el donúnio delüentpo tleseatl¿r.Í. Conviene fimlmente reulizur ulguno pruebodc cr¡ttri.rfsrf c iu dc lct solució¡t: comprobur que lus respuesnascumplen l¿rs coildiciones iniciules ¡, /ittüles, interprektrJ'ísícunrcnte los resulmdos que se obtienen, e tc.

RECIMEN TRANSTTORP DE U)S CIRCUTTOS ELECTR¡COS

Veamos ahora algunos ejemplos de aplicació¡t en los que puedencomprobarse los conceptos lnteriores.

ETEMPLO DE APT]CACION 6.9

En el circuito de la fig.6.30a determinar la corriente i(t) que circula por la

bobi¡m de 5H cuarulo se cierra eI interruplor K cn t = 0'

t=o l( KI .

t ro

I+l { o - }

=5s

L i ( 0 _ ¡ = 1 0

P A S O I :

a ) b )

Fig. 6.30

S O L U C I O N

L¡ corriente inicial en la bobina es:

iL(o-)= ,o#,0 =ZA

(téngase en cuent¡l que en régimcn permanente en c.c. la imptlancia dc una bobina cs ccro).

PASO 2¡El circuito ransfornrado para t > 0 es cl indicado en la fig' 6.30b. Sc obscrva

que la bobina se convierle en una impedancia Ls = 5s eñ serie con un gcncra{or Li(O-) = ¡¡¡vohios. La transformarla rle la f.e.m. de cxciución rcprescntada por una onda dc la forrna40u(t) es 40/s.

PASO 3:L¡ ecuación del circuito uansformado cs

T + 1 0 = [ 1 0 + 5 . s l t ( s )

(r(r.l

que al tlespejar I (s) rcsulüil:

6(i3

ELECTROT\IACNEflSMO Y CIRCUTTOS ELECTR lC( )S

i

.10

r / r . \ - t j t t

- J0 -+ ro t . - 2 ( s : J )t \ J / -

l 0 + 5 s s ( 5 s + l 0 ) s ( s + 2 )

l'r\.S O { :Para lrallar la ant¡uansformada de I (s), sc descompone

l'raccioncs parcialcs y rcsulta:

I ( s ) = H = A + +s ( s + ? ) s s + 2

obtcnié¡¡tlosc cl v¡rklr tlc los rcsiduos s¡guiqntc.s:

d - [ s t ( s ) l s = o = t f f i ] s = o = ]

B = [ ( s + 2 ) t ( s ) l r = . 2 = f a r * ] s = _ 2

cn con.sccucnc iit:

csur cofriente en

,l2 . 2= 4

4 2I ( s ) = -' \ v ' s s + 2

y la tnnsfonnada inversu seró:

i ( r ) = 4 - 2 e ' 2 ' p a r a > 0

Ei l i ¡ tPL0 DE ' l .P lJC, lCl / . )N 6.10

El interntptor K de lu fig. ó.3 t a, sc cicrra con el ticmpo sttficiente pura que seeskúlezca lu corricnte dc ré¡¡imcn estacionario o pernranenle en las bobinu¡, En t - 0 se tbrecl interruptor. ¿letarnúnar kt corrienl.e i ¡ (il suministroda por h pila.

+

I , ( s l f r ( s )

Fig . 6 .3 I

665

REGII,IEN ÍRANSITORIO DE U)S CIRCUTTOS ELECTRICOS

SOLUCION

En r = 0-, la conicnre que circula ¡rrr la bobina dc la malla de lu izquierda esccro porque csüi corroci¡cuiraúr por cl intcrruptor, La coricntc i2(0-) en la bobina de la otra

nralla será:

i2(o-)=ff = ron

ya quc V¡¡ = VCD = l(10V, y cn régimcn pcrmancnle en c.c. las trobinas equivalcrt a

cortocircuitos,

El circuito r:quivalcnrc en el dominio de laplacc ¡lc lit ficcuencia complcjit cs clindicado en la l'ig. ó.3ib, dontic se ha lransfonna{o el gencrador dc l00V cn lü)/s'Aplicando mallas rcsul'¡t:

! n .;

= ( l 0 + l 0 + 5 s ) t r ( $ - l 0 1 2 ( s )

: ' i 2 ( 0 - ) = 5 0 - ' l 0 l l ( s ) + ( l 0 + l 0 + 5 s ) l z ( s )rcsult¡n<lo:

I ¡ (s ) =40s + 80

s ( s 2 + 8 s + 1 2 )

las raíces dcl denominador o poT los tlc I1 (s) son:

s ¡ - 0 ; s 2 + 8 s + 1 2 = 0 : á

por consiguicnte rcsulta:

t r ( s ) = f f i =

5 2 = = - 2 i 5 3 = ' ó

ttondc los valorcs do los residuos son:

A B C;

* t * 2

* t * 6

80= n =r - l 0 s + 8 0 |f i , = L s f f i J s = o

e=[(s+2) #= in*a ]

(- = t (s + ó),,#i,il'i-¿idc csu lirrma l¡ (s) scrii igual a:

a 0 L 2 ) + 8 0 = 0s = - 2 = G 2 ) G ' ¿ + 6 ) :

I ifl-k-é).t-tillJ , = . 0 = ( - o )

( - 6 + 2 ) = ' 6 , 6 7

_f ,67s + 6

6,67

t t ( s )

(¡rc corrcs¡xltdc il una ilrltitnln.slirn¡t¡ttl¿¡:

= (r.r87-s

ELECTROMACNMS MO Y CIRCU N'OS ELEL-TRICO.S

(t) = 6,67 - 6,67 e 'ó t Amgrcrios püra t>0

I iTIif iTTLO DTi APLICACTON 6.II

En el circuito de la fig. 6.32a, las condicioncs inicialcs son: i¡(0-) ='3A :v6(0-) = 2V. Calcul¡r la corricnte i¡(t) sunrinisuada por el gcncrar.lor dc tensión continua

parn t > 0.

t r , , r , ti L ( o - )

f

v6( o- ) l

i t

! r

Fig. 6,32

soLUcloN

En la fig. ó.32b se ha represcntado el circuito equivalente en el dominio deLa¡rlace. Lus generadores se han t¡ansformado de acuerdo con las exprcsioncs:

r i l o u A l t = f t L 1 5 e ' 3 t l = J ,

el circuito transformado de la bobina, consiste en una impedancia Ls=s, cn serie con ungcnerador de tensión de valor L.iL(0-) = 1.3 = 3V, con la polaridad most¡ada, dondc el

ter¡ninal + estii en la parte supcrior, puesto que es el lado hacia el que apunta la conicnteinicial rcal i¡(0.) = - 3A. El circuito cquivulcnte del condensador cstii rcpresentado por una

capacitlad dc irnpcdancia l/Cs = 2/s, rnás un gcncrudor dc tcnsión vu(G)/s = 2/s.

Aplicando cl método dc las mallas al circuio de la fig. ó.32b resulta:

l0 2 1 ' tl ) t

- i . 3 = ( 3 + s + s ¡ l ' ( s ¡ - ( s + i ) 1 2 ( s )

? ) 1 2 ( s ) = - 4¡le dflxle s) dcducc:

- t l s 2 - s + 1 4 - 8 s 2 - s + 1 4l ¡ (s ) =

cuyo tlcsu rollo cn fracciones parcialcs es:

66(r

( s + l ) ( s 2 + 3 s + 2 )

I r ( s )I r ( s )

( s + 3 ) ( s + l ) ( s + 2 )

667

RL,CIML,N I RAl. l5t I URIU UL l j - l ¡ L l l ruul I t ro r- t ' i - \ ' I r r r r ' ' ¡ - ;

t ¡ ( s ) = *

donde los valores dc los residuos son:

A = [ t , + l ) I ¡ ( s ) ] , = - l = l ; B = [ t t + 2 ' ) l ¡ ( s ) ] , = - z = t 6

f = [ t r + 3 ) t l ( s ) ] r = . t = - T

por consiguientc la tnnsformada inve rsa scrá:1

i 1 ( t ) = f e ' t + 1 6 e - 2 t

B+ i l J C+ - -s + J

5 5T C

- 3 t

EJEI,TPLO DE API-ICACION 6,12

En el circuiro de lafig.6.33, calcular la d'd'p' v(t)'en bornes dcl gcnerador de'

corriente si totlas las condiciones iniciales son nulas'2 n

+v( r ) ( l ) u^ . J +* , . * , r . E ,n2

f

d v .

Fig. 6.33

S O L U C I O N

El circuiro rransformado es cl mosuado en la tig.6.3J: quc asociantlo las

2 f I

Fig. 6.3a

in pcdancias cn paralclo con et gcncrlrkrr dc corriente, y translbrm¡lntto cl gcncrarlor tlcte iién en corrients sc conviene en lo rctl tlc lrr fig. 6.35, con los valores siguientes:

+) :

t

I Is

a

2n3

2v ( 3 ) Ig

ELECTROMAC N ETIS tvlO Y CIRCUTIOS E LEL-TR ICOS

V ( s )

+q5

Z { s } > > ? t L t

sc obtic¡rc:

Fis. 6.35

Y ( s ) = i + 3 + ; + \ = r yA¡rliclnrltt cl l)rintcr lcrna dc Kirclrhoff al nudo lorntatlo ¡xtr la "ranta" supcrior

? - ú = l ' 2 s - 2 t - 3 s + 4 , t Is s L 2 s

- + t J V ( s )

- 4= - - T -

( s + l ) ' + |

tlc tlortdc rcsttlta:

v (s)

cuyn r¿¡r¡s[ol'n¡¿xla i¡tvcrsa cs:v(t) = -4 c - | scnt voltios

I iTEI I I I 'LO DE API. 'CACTON 6.13

Ett el circuiro de lafig. ó.3i6 et inrcrrupror se cicrru cn t = 0. Colcuhr kttensión \t) ¿tt c! conilensuibr y la corrieile i¡en la bobina.

l o v .

- 4= -

s ¿ + 2 s + 2

Fig. 6.36

S O L U C I O N

Para t < 0 cn régimcn [rcrmanente, lacon(lcft.sador un circuito abicrlo, por cllo cn l¿l ¡nalla de

668

bobina ss un cortocircuito Y elli¡ dcrcchit no circulará coniente y la

R ECIMEN TRANSTTORIO DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

tcnsión de l0v tpucccrÍi cn cl corxlenstdor. De este mcxlo las contliciones inicialcs scnin:

v ¡ (0 - ) = lOV ; i l (0 - ) = 0

L.¿¡ rcd uansformada serii la que se nruesua en la fig. 6.37, que al aplicar 0l

Fig. 6.37

nrétodcl de las fnallas da lugar a las siguientes ecuacioncs:

!-Qs

de dondc se dcducc:

12 (s) =

s ( s 2 + 2 s + 2 )

A tI t|*= ; + s + l - J l + ; + t i l t

I ¡ 1 t ¡ ; 1 2 ( s ) =

la conicnte i¡(l) cn la txlbina scr¿i:

i ¡ ( t) = L'r I 12 (s) |

ahona bien, dcstomponiendo lr(s) cn l'nilcciones parciales resulta:

l 0s

1 0 .s

- l 0s ( s 2 + 2 s + 2 )

l 12 (s)

s+ l ) r z (s )

= ( l + l

l r ¡

; l t '= ih5: l l = É

v 2

r0

cuyos rcsiduos s()n:

A = - 5

por consiguicnte se obticnc:

¿- 45e ¿ 45e

iL ( t ) - - 5 + 5 { t e ' tcos ( t -45e ) ampcr ios

[-a rl.rl.p. cn borncs tlcl condcnsador cn cl plano S seni:

I r ( s )

669

ELECTROMA(;NET|SlvlO Y CIRCUilI )s ELECI'RICOS REC¡MENIRANSTI()RIO DE U)S CIRCUTI()S É'Lb'CI RICOS

dzl transformador (se supone que üene w funcionomiento ideal), b) si Ia chispa de encerutido

en la bi¡la se produce-cuondo lu tt.d.p. en sw elecrodos (4uc es vz(t)) es iguul a l0 kv

¿cuól será el volor de! iempo t, a portir de la apertura del ruptor' para el cuul salta la chispa

en la bujla?

V c ( s ) = - l l t ( s )

cuyos rcsirluos son:

; D * = :,t,5

; D = +"rl 2

u: -s + I + j l

Q = 5 ¿45e ¿ - 4 5 e

1nr Io quc h translbrmada invers¡ nos da:

vq ( t )= 5 + 5 {Z c - r cos ( r + 450 ) vo l t i os

I iJEl t tPt .0 DE API. ICACION 6.14: S|STEMA DE ENCI iNDIDr. , DEAI.tT0 tt l ov I L

En lufig. ó.38a se tntustra el sistema de encenditb por batería de un nntor tlecoultustión interna & cuotro Cilindros (automóvil). EtisiCamente está fornado Por ,u

a B u J t a

N2=2O. O()0 e s p .

+ -v 1 ( t )

L=2 rsrttH.

N l = 2 o o e s p '

a ) b l

Fig. 6.38

interruptor de enccndido S quc cicrru el circuito del ocumulador (butería), olimentan<lo elprinario de un tronsJ'ormtul¡¡r (lnltim) cuya sallda va en serie con un "ruprcr" que se olte ycierra mediante h acción dc unu lcva que pertenece a un eje que cngrana con el motor. Elsecundnrio del lransformador wt unido u un üstribuidor ("delco"), que forma un único cwrpocon el ruptor, y cuya mi.rión es llcvur fu alta tensión del secundario del transformador a lascuatro bujías del motor. En fu ftg.6.J\b sc muestra el esquema eléctrica de Ia instaloción,&¡nde se considera que cn csrc insktntc e.l "ruptor" estó cerrado (el tiempo.suJiciente para quese hayt con,reguklo el ré¡¡inu:n lüilu,nfit(). En t = (l se abrc el ruptor,los ptránteros dclcircuito de kt lig. ó.38b vtn: rui¡trnt:ttt de I devanado primurio Il = 2¡¿, inductancia L = 2,5ntl l, cupaciúnt C = t tlF, tcnsüin dtl ut:umuludor V s

= I 2V ; espiras del primario N t = 2ü) :

espiras dcl secundario N2 = 2(NNN). (lulcuktr: a) expresión de lo d.tl.p. v2U) cn el sccundorio

670

a) S i suponcmos quc para tesnndo ccnado el ruptor,coricnte pri maria vaklni:

S O L U C I O N

< 0 se ha alcan¿ado el régimen pcrmancntc en cl circuito,

la bobilla será equivalentc a un Corttrcircuito, por lo que la

ir- (0-) =+= 6A

el condensador en t < 0 esuí cortocircuitado por el ruptor por lo que se cons¡dcra qlfe sc

ha dcscargalc:vC (0') = 0V

Con esras conclicione$ iniciales. el circuito equivalente cn el dominio S tlcl circuito tlc la

f ig.6.3tfb scrd cl quc se mucstrü cn l i l f ig.6.39. En la l l tal la quc sc forma, al apl icar cl

20 lema de Kirclrhoff se obtienc:

2 , 5 . t 0 - 3 sL i ( o - ) = t 5 . l o - 3

{-'2¡. +

I.r

tlrF

l ? * t 5

Fig. 6.39

t 0 - ll ( s ) =

l t t(X) + 6s

2 + 2 , 5 . l 0 ' l s +1 0 6 s 2 + 8 0 0 s + 4 , 1 0 8

s

y la tensión V I (s) scró:

Vt(s) = Ls I (s) - Li (0-)

que al sustituir valores nos da:

vr (s) = p;B¡ikr{9¡ . ior¡ = ;.400tnn,uo +A:-

s ; . t o ( i l r 2 o i m o

67 1

RECINIEN TRANSITORIO DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

v g ( t ) = v n c o s r r t

Fig. 6.40

ensayos de inlernrptores ilutoütóticos de nrcdia tcnsión. Se disponc de un generador de c.u.(alternador) que ulinrcnta., través de una inductoncio limindora de corriente L, un inlerrupbrS que en t = 0 estó cerrado, lo que represema un COrtoCircuilo respecto del gencrador: t)represenn la capacidod de la líneu y elementos ulyacenles y que en un laboronrio de Ensayosestá deJinifui con bancos de condcnsadores. Se desea dercrmirur para t>0. es decir cuttndo s¿provoca la opertura de! interruplor uulomático (o tlisyuntor) la d.d.p., t¡tu aparecerá entre suspotos y que en e! esquema de lafig. ó.40 coincide con la tensión en bornes del condensador.'Esta-tcnsión

se denomina rcnsión transiloriu de resrcblecimiento (T.'f.R.) y en ktsinsulaciones reules es la que prov.oca arcos de re'ence¡dido en el disyuntor.

S O L U C I O N

Si t¡¡ rcd dc la fig. 6.10 ha ulcanzatlo cl régimcn permnncnte Par¡¡ t < 0' clcircuito cquivalcnte pilra cse pcrÍo<lo de ticm¡n antcrior a la a¡rerlura dcl disyttnlor serú clmosrrado cn la fig. ó.4 la. Para csc pcrÍodo dc tiempo se pucdc calcular la conientc i(t),

v2 ( t )= ' 30 . l o3 .e ' 400 t scn 20ü )0 t vo l t i os

h) El ricnrpo t de encendido dc la bujía scrli el correspondientc a l¡ solución:

10. l0l = I v2(t) I = 30 . 103 . c - 400 I sen 20000 t

si se desprecia el término ex¡lncnci¡l en cl prirncr scrniciclo de la onda senoidal, ya queduranle este tiempo casi no can¡bia de valor result¡:

[ = 1 7 p s

puedc cornprobar el leclor que pan¡ cste ücmpo, se ticne:

e - 4 f f i t = 0 , 9 9 3 - I

quc conobora nuesra aproximación anrcrior.

I i lE ¡ t tPLO DE APL ICACION 6 .15 : T I |NS ION TRANSITORIA DERESTABI .ECI IT I IENTO

El circuito de la lig.610 represcnta un esquema eléctrico simplitlcado, que seuriliza pura dclermirutr la tlenominatla tensiótt truttsiloria dc ¡eslablecimienlo en

672

E LECTR OlvlACN ETI S M0 Y C I R C U IT()S E LECTR lC( )S

cl valor dcl residuo A es:

r¡!. = Lts * 400 - j 20000 ) s 2 + 8 0 0 s + 4 1 0 8

6 . t 0 ó] s = - . 1 0 0 + j 2 0 0 0 0 = l 5 0 l 9 0 g

por consiguienn el valor de la tcnsión primaria inducicla cn el uansformador será:

v¡ (1) = ¡'t I vr (s) ] = 300 e' 400 t cos ( 20000 t + 909 )

c.s dccir:

vl (t) = - 300 e'400 I sen 20000 t vohios

corno quicm que el sccundario tienc 100 veccs más espir¿ts quc cl primario:

lI2 - 2ooo0N , = i o o - = l o o

la rcnsión secundaria v2(t) scrá 100 vcccs lu tcnsión primuria v1(t):

s c n 2 0 0 0 r = I = 53 1 +

v ( s )g

V a ( s )

l

Fig. 6.4 I

uabajando cn cl plano fasorial y asÍ resulta:

b ¿osr , - v - f

- _ - Y m ¿ - 9 ( ) er L = u =

J L . , o = G L 0 )

67f

ELECTSOMACNMSMO Y CIRCUNOS ELECI RICOS

quc corrcsgrntle a un valor inst¡nuínco:

¡ r . ( t )= *

cos ( to t ' 90e ) = *

sen o t

quc pafa t = 0 corresponde a i¡(0-) = 0. La tensión en bornes del condensador se

consirtera también inícialmcnte ccro ya que cstá cortocircuiutlo por el disyumtor , cs

decir vc(0-F 0.

Al abrir ct intenuptor autornático, el circuito equivalente quc sc obtienc en el dominio

de taplace cs et que sc indica cn la fig.6'41 b, en el que Vr(s) representa:

Vs(s)-z, (Vmcosú!r , = f f r

aplicando la regla del divisor dc tensión al circuito de la fig. 6.41b resulE:

RL,UlJvlb.N I tu\ l {51I Ul( lU UE, tU¡ Lt t (Lul I \ " rc | ' -LLL I l t l r ' - \ ' ¡ ' r

L = 0 , 1 6 m H ; C = 0 , l p F ; f = 5 0 H 2

se tlcne:I

0 )0 =F =25000rad/s ; a l=Znt=3 l4 rad /svLc

es decir, Oo >> trl por lo que vc(t) se puede aproximar a:

vg(t) = Vnr I cos alt - cos oot I

considerando que durante el tiempo en que persiste la oscilación a la pulsación oo, sc

tiene cos ot -t I, resulüará:

vg(t) = V,n ( l - cos oot)

lo cual nos indica que la tensión que aparece enl,re los polos del tlisyuntor despüés de su

aperfura, puede alcanz¿r un valor doble que. la tensión nominal dc la línea a la cual sc

cbnecta. Én la práctica las cornponentes resistivas del circuito hacen que este valor no

sea superior a 1,6 - 1,8 de la tcnsión nonlinal del circuito.

I ' R O I } L E M A S

Se dis¡ronc de una resistencia ft = l0 kfl en serie con un condensador tle lpF,cuya tensión inicial es vc(O-) = 5V. Si en el t iempo t = Q se alimenla cl

circuito con una pila de l0 V, calcular la expresión v(t) tle tensién en bornesdel condenstdor p¿Ira D0.

[Rcsp. vc = l ( ] - 5 c ' l ( xh vo l t ios f

En el circuito de la fig. P.6.1 cl interruptor se abre en t = Q. Calcular i¡(t) para

r > 0 .I R c s p i ¡ ( r ) = 3 c ' 6 v s ¡

En cl circuiro tlc la [ig. P.6.2, cl intcrruptor sc cicrra cn t = 0. Calcular i¡(t) y

v¡(t).

.I

Vs(s)= dflfu tr =* G

V m s( s 2 + @ 2 ) ( L C s 2 + I )

y (lcnominanclo Oo o la pulsación nalural del circuil,o de valor:

ICIO =m

"se podrá escribi¡:

Vg (s) = to02 Vn¡(s2 + t r l2 ) (s2 * (Do2)

que üdmite una descomposición de la forma:

rj2y13_ l" s sv s ( s ) = ; f f i 1 f f i - ñ ; F J

y quc al aplicilr la tranSfonnada inversa Sc convicne en:

v g ( t ) = # * [ c o s t o t ' c o s o o t I

6 . 1 .

6.2.

qrrc es la tensión que aparccerá en los bomes dcl disyuntor a partir de su a¡rertura. Si seconsideran unos valores prricücos:

(t74

6.3.

675

E L [CTlt Olvl,AC N ETI S tvlO Y C I RCUITOS E LECT R ]CoS

I R c s p i L ( t ) = 2 ( I - c v ¡ ( t ) = 8 c ' t l

I t iS. P.ó. I F i g . P . 6 . 2

El con(lcnsador de la fig. P.6.3 se carga inicialmenle a una tensión vs(O-) =

2V. En t = 0 se cicrra el intcrruptor. Calcular v(t) para t > 0.

I R c s p v ( t ) = l 0 - 8 e ' V 7 5 I

En la red dc la fig. P.6.4 cl interruptor esÉ inicialmente abierto, alcanz¿ndo elrrigii lcn pernrancntc. En t = 0 se cicrra e I intcnuptor. Calcular il(t) para

r > 0 .

I Rcsp i ¡ ( r ) = 0,6 + 0,067 . '3 '57 t ¡

1o rt

torL ?ofl

t ' O

i L ( r ) ü

IOJL

Fig. P. f i .3 Fig. P.6.4

[ i ¡ r c l c i rcu i to t l c la 1 ig .P .6 .5 , c l i r r te r rup tor ha es tado ab ic r to c l t iem¡ '1 ¡sul.icicntc p¿rril quc li l red huya alcanzado el régimcn perrl¡ancntc. El intcmtpt')r.sc cicrra cn I = 5 r¡rs y dcspuds sc abrc en I = 15 rns . Calcular v(t) cn I l ' ;s iguicntcs pcrirxlos dc t ictt tpo: í t) t < 5 nrs; b) 5 nls <t< l5 rns; c) t > 15 nl: :

RECIf\f EN TRAN.SffORlO t)E t-()S CIRCUITOS EI.-I:CTRICOS

Fig. P.6.5

I Rcsp a) 33,33V ] b) 12,5 ' 9 ,47 e ' ( t '5) /5 ' ló '

c) 33,33 + 89,21 c - (t ' l5yl.25 dondc el dernpo se expresa en miliseg J

6.7.- El conmr¡tador de la fig. P.6.6, se encuonlra en la posición I hasta alcanzar surégimcn permanente. En t = 0, el conmumdor pasa a Ia posición 2. Calcul¿r lacorricnle i(t) para t > 0.I ResP i (0 = ó. l0 ' 5 " ' t /8 amPer ios ]

loov.

Ii L ( r )

6. .1.

6 .5 .

6 .8 .

Fig. P.6.6

El circu¡to mostra(lo cn la f ig. P.6.7 ha alcanzado el régimen pcrmancntc concl ir¡ tcrruptor S abicrl .o. En t = 0 cl intcrruptor sc cicna. Calcular la corr ic¡¡tci(t) t¡uc circula prr la indt¡ct i tncia.

I l tcsp i ( t ) = 2,1 - 3,4 c ' t ¿¡mper ios ; ¡ ; ¡0 I

En c l c i rcui to r lc la f ig .P.ó. t t e l in tenuptor sc c ierrA cn. t = 0. Calcular lav ¡ ( t ) p i u a t > 0 .

I Rcsp vg( r ) = 2 ,72- 0 ,7 t t3 e - 20 t - 0 ,178 e - I l0 t ¡

6 .6 .

676

6.9 .

671

ELECTROIVIACN TNS MO Y CIRCUTTOS ELECT.RICOS

Fig. P.9.7 Fig. P.6.8

En cl circuito r lc la f ig. P.6.9 las condiciones iniciales son nulas. En t = 0, sc

cierra cl intcrruptor S. Calcular la i¡( t) para [ > 0. NO]'A: el generatlor de

tensión v2 cs una fuente controlada cuya f.e,m, depeltde de la corriente i(t) en

la rama ccntral.

RECIMEN TRANSTTORIO DE LCIS CIRCUN'OS IiLEC'I'RICOS

I Resp vg¡(r ) ,e 20 + l0 c ' 10000 t ' vg2(t ) r* 20. l0 e ' I (XXX] t ¡

Calcular la transformada de laplacede la corricntc: i(t¡ = l0cos (20 t + 30")

IRespr (s )= f f1

Calcular la transformada dc t^aplace dc la oncla mostrada en la tig. P.6.1l.

r R c s p . F ( s ) = + W l

Calcular la transforrnada de Laplace-de la scñal mosrada cn la fig. P.6.12'

r R e s p . F ( s ) = # - A # l

3011.

0 , s f l .

6.t2,

6 . 1 3 .

6 . 14 .

6. r5 .

6 . 1 0 .

6 . 1 1 .

Fig. P.6.9

I Rcsp i¡(r) = 0,4 ( I - c' l'25 t ) anrperios I

En cl circuito tlc la l ' ig. P.6. l0 ha it lcanzadointcrruptores SI y SZ ccrrados. En [ = 0,Calcular la.s rcnsiones vC¡(t) f vg2(t).

cl rógirncn pcrt l lancntc con lossc abrcn ambos intenuptores

Fig. P.ó.1 I F ig . P .6 .12

Calcular la transformada (le Laplace dc la semionda mo.strada en la fig. P.6. l3SUCERENCIA: La semionda mostrada se puedc generar mediantc la surlla dcla scnoide E* scn or u(r) y Erscn t¡(t-T2)u (t-T/2) tlontlc ü) = 2níT , u(t) cs

el escalón unidad y u(t-TP) es cl escalón unidad t¡aslarJ¿¡do T2.

r ( r )

l oo-

h b = O l O J tI ¡ l r l

67 tt

Fig . P .6 . l0 Fig . P .6 .13

679

EI-ECTROMACN ET|S MO Y CIRCU'O', ELECÍ'RICOS

I Rcsp. I'(s) = itg{r'�, - ,z*rrnffi.Q + e- sT/z ¡ t

Calculir la t¡ansformada inversa tle l-rplace de la función:6. tó .

6 . t 7 .

b . | 8 .

ó . 19 .

6.2t).

6rtO

" ) A ^

q é + 2 s + lF ( s ) =s ( s + 2 ) ( s - 3 )

I Rcsp. r(r) = I ] e'21 . l? e3rl

Calcul¿u la tr¿nsfonnada inversa cle Laplace de la función:

v ( s ) = = l o s ' 2- s 2 + 6 s + t 3

I Rcsp, v(t) = l8,tf 7 c ' 3t cos ( ?.t '¡ 580) I

Cllcul¿rr la unnslllrmada inversa dc hplace dc la función:

I (.s) = -.!---l . -' - s ( s + l ) 3

I l t e . s ¡ r i ( r ¡ = - 2 + e ' t ( 1 , 5 1 2 + 2 t + 2 \ l

Calcular la tensión vc( t ) cn c l c . i rcui to de la f ig . P.6. 14g,encra(lor cs unír l'unción dclu de Dirac : 6(t).

si la tensión del

tv g { t )

5 t , l

F i g . P .6 . l 1

[ { c s p v C : ( t ) = 2 c ' 2 t f

Err cl circuito rlc la l ' ig. P.6. l5 cl conmutador ha cst¡ttlo r:oncctado u la ¡rosiciónI lurst i t (prü cl crrcuito lra i t lc¿tnz.utkl cl rcgi¡nLrÍt pcrt¡ lancnlc. En J = 0, clc()nrnut¿r(lor l)i lsl a h ¡rttsicitin l. (-' i¡lculnr i¡(t) pura t > 0.

REüIIVIEN I'RANSTTORIO DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

Fig. P.ó.15

I R c s p . i ( t ) = 2 + 4 e ' 2 ¡ l

6.21.- En cl circuito dc la l'ig. P.6.16, h¡ tcnsitín inici¡rl del condcnsador cs v. (0-) =

tOV. Calcular v.(t) para r > 0 aplicanrlo la dcnica de la ransfonnada dc

Laplace.l otl

l / l o F l t

e- rcos2r + v . ( t , ( T

6.22.

Fig . P .6 . l6

I R c s ¡ t v c , ( t ) = 2 0 - l 0 e ' I + 0 , 5 c - t s c n 2 t I

En cl circuito dc Ia l ' ig. P.6.17 , las cond¡cioncs inicialesla corricnle i2(t) p¿tr¿l t > 0., si cl interruptor se cicrra en I

t:o r Jl

F ig . P .ó . l 7

i2 ( r ) = 0 , -135 ( c ' 0 ,27 t - c ' ( ) .73 t ¡ ¡

son nulas. Calcular= 0 .

1 2 J t 2 l l .

I l tcs¡t.

6tt r

(s ,73.

Fig. P.6. I I

Calcular v¡¡(t), para I > 0.

I Res¡1 . v ¡ ( t ) = | - 0 ,8 e - t r3 -0 ,2e '2 t ) I

(t.24,- En cl circuito dc la [ig. P.6.19, las condiciones

v g ( 0 + ) = l V : ¡ t ( 0 + ) = 0 A i i Z

6.25.

ELECTROMACN N'ISMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

En cl circuito tlc la fig. P.6.lt l , las contliciones iniciales son:

i¡¡ (0+) = 0,5 A ; i¡2 (0+) = 0 A

3 l l ,

¿ H ' Ií} t,,.ñ 'Lz zn

+

u R

iniciales son:

( 0 + ) = 0 A

t . . R . . -

l H ' | ¡ l l .

at.-, l" 'r-.a' itr..#""

ie

Fig. P.6. l9

Calcular v¡(t), ¡ura t > 0.

I R c s p . v n ( t ) = 0 , 5 - 0 , 5 c - 4 t - 2 t c ' 2 , ) |

En cl circuiLo t lc la f ig. P.6.20, cl conmuudor pasa cn t = 0 t lc la ¡rusiciónla l, habióntlosc conseguido los siguicnrcs valores ¡niciales:

l a

682

i ¡ ( 0 - ) = 2 A ; v C ( 0 - ) = 4 V6.28.

6ttl

REG¡IVIEN TRAT'ISITORIO DE L,OS CIRCUNOS ELECTRICOS

¡ t ; o d t t l l l .

8 ( r )

Fig. P.6.20

calcular la corricnre i(t) para t > 0 si la capacidad c valc: a) 120 Faradio; b)l/4 Far¡tlio ; c) l/3 Faradio. NoTA : Supóngase que los valorcs inicialcsson los misntos sn las tres situaciones.

I Rcsp. a) Z ' {1." ' 2 t (cor 4 t+ 450)¡ b) (2 - 8t ) e - 2 t ; c) - 3c ' r+ 5 c-3 t ]

6.26.- En cl circuito de la fig. P.ó.21, cl intcrruptor ha pcrmanecido ccrr¿ttlo hast¿conscguir el régimen pcrmanente. En t = 0 cl intcrrupttlr sc abre. Calcular littensión v(t) para >0.

I RcsP' v(t) = ' 12ü) . - 5o t t"n ¡94 ¡ ¡

6.27.- En cl circuiro dc la fig. P.6.22,e1 intcrrupror sc cicrra cn t = 0. [.ascondiciones inicialcs son; i¡(0') = ¡6 ; vg(0-) = 2V. Calcular i¡(t) para t > r)'

I Rcsp. i¡ (t) = 0,662 +2,M e - l'25 t.ot ( 1,2 t - 80,6'�) |

+, r (o - )

L = 0 , 5 l l .

Fig. P.ó.21

En cl circuito de la l ig. P.6.23. l i ts cotldicioncsv p ( t ) p i l r a t > 0 .

I Rcsp. v¡ ( r ) = | + l ,4 l c '0 .625 t cos ( 0,33 t/

FiS. P .6 .22

in ic ia lcs son nulas. Calcular

+ l l l u ) |

v a { o - ) r r t t t ü+

ELECIROil,IACNENSNIO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

+

Fig. P.6.23

cl circuito dc la fig. P.6.24, el intcrruptorsc cicrra cn csc mismo inslantc, Calcular ;{)- : 2) 'l'cn.sion cn lil bobina pilril t > 0.

S ¡ sc abrc en t = 0 nr icntras que

l) Corricnte en la bobina para

l v

6.29.

6.30.

IlrrS r[ =

v l = s e n t

Fig. P.ó.24

f R c s p . l ) - l A ; 2 ) 4 c ' 3 t l

E,n cl circuito de la l ' ig. P.6.25 las condicioncs inicialcs son nulas. Calcul lrr ' . ( t ) ¡ l u r a l > 0 .

l H ,

F i . r l .P .6 .25! t - c - - l t + 0 , . 5 t - 0 . 3 5 |

=O

f r r . ( o ) = l A ,

+v r ( t ) l t l

6tt4

I Rcs¡ r . v ¡ ( t ) = l , l5 c

685

ó.31 .

RECIMEN TRANSITORIO DE U)S CIRCUITOS ELECTRICOS

[¡ rcd tlc la fig. P.6.26 funciona en régimen pcrmancntc con el conmrrta(torcn li l posicitin l. En t = 0, el conmutatlor pasa a la posición 2. Calcular i¡(t)

p¿ra t > 0.

30 fL

6ftnlt

lM l r

$ r . t t l

?mlf .

Fig. P.6.26

I Resp. i¡ (r) = 69,? e '5050 t ' 6(),7. - 4950{D t t¡ ¡

6.32.- La rcd dc la fig. P.é.27 represcnla el circuito equivalente por fasc de un nrotorasÍr¡crono trifásico ( R = 30Q ; L = 60 mH ), el condcnsador C = 50BF es elcnrpleado para conegir el f.d.p. del motor. El intcrruptor S rcprescnta enrcalidad los contactos principales dcl contactor quc acciona el motor. Si cl t =0 sc abre S, t.leterminar la tcnsión que aparcce e¡rtre los contactos fijos ynxivilcs dcl contactor. La ¡ed tiene una lensión simple dc 220Y ,50|:lz.

;:*s i I ,

| . sq'r-T'I

I

v ( t ) = Ú t 2 2 o ¡ c o 8 3 1 4 t v o l t l o s

Fig. P.6.27

6.33 .

I R c s p . 2 2 A ü . o r 3 l 4 t + 3 4 0 e - 2 5 0 t c o s ( 5 2 0 t - 1 5 6 , 4 0 ) |

Lr rct l dc la l ' ig. P.6.2t i , sc ut¡t ir .af,ara producir corr i(ntes t ipo impulso r levulor clcvudo: C rcprcsent¿r un blnco dc condensadores conect¿ulos c¡t p¿ualclo(F¡c sc cürgiln il un¿t tcnsirin v, lncdia¡ltc un circuito (luc no sc fl lucstra c¡¡ l irl-igura. A y B son (los cslbras explosoras cuya distancia se gradua pilra quc s¿tllcun ilrco cntrc cllas cuando los condcnsadores se han cargado a la tcnsirincs¡)ccil ' icada V.; R representa la rcsistencia dcl circuito y del cquipo a cnsayür;

L c.s un¿t inductanci¿r coft núclco de airc con unas pocas cspiras. S¡ lo.sp¿tr i imctros dc la rcd son: Vc = 25kV; C = 8pF; L = I pt l ; R = lO.

Calcular: a) Exprcsión dc la corricnte instantánea i(t) para t > 0 (cl ticnrpot = 0 sc consirlcra cl i¡rstantc cn cl t¡uc sc producc cl arco cntrc A y ll) ; tr)Ticntpo nccc.\ario para ( lr¡c se obtcnga cl ¡¡t¿ixinro dc corr icntc; c) Co¡ric¡¡tc

l o 0 c o s ( S r + 3 0 )

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRIC()S

tn¿ixima o dc pico p:ra el tiempo ünterior.

l oe- tsentlO¡tF

Fig. P.6.29

I R c s ¡ 1 . i ( t ) = l 0 - 4 c ' t ( c o s t - s c n t ) I

En cl circuito de la f ig. P.6.30, l¿s condiciones inicialcs son :iL (0-) = lA ; vc (0-) = lV

En t = 0.sc cierra cl innnuptor. Calcular la corriente i(t) suministrada p,or lapila tlc l2V para D0.

RECIMEN TRAT.ISTTORIO DE T.OS CIRCT.'TTOS ELECTRICOS

I Resp. i (t) = ?,5 - 4,5 e - l '5 t * ¡3 " ' 2 t ¡

ó.36.- En et circuito rle ta tig. P.6.31. el intcmrpmr sc abre en t = 0, una ver. quc larcd había alcanzado ól régimen permanente. Calcular la conicnte i¡ (t) para

t > 0 .

Fig. P.6.31

I Resp. i¡ (0 = 0,252 " - 35 t.ot (281 I + 6,30) |

6.37.- En et circuito de ta fig. P.6.32, el condens¡dor sc m¡ntiene cn la posición Ihasta alcanzar el régimen pcrmanente. En t = 0, cl conmumtlor se pasa a laposición 2. Calcula ic (t) para t> 0. ( Circuito capacitivo con discontinuidad

en el origen ).

6.38.

Fig. P.6,32

I Resp . i g ( r ) = - J . l 0 ' 5 6 ( t ) + 2 ,5 . l 0 ' ' 5 t ' 0 ' 5 t ¡

En el circuito de la fig, P.6.33, los intemuptorcs Sl y SZ esdn cerrados y S labierto, alcanzúndosc el régimen permanente en eslas contlicioncs. En clt ienrpo t = 0, sc ubrcn los interruptores S¡ y S? y.sc ciena 53. Calcular las

expresioncs dc i(t) y rle v¡(t) para I >0. (Circuito inductivo con cli.scontinuidu¿leen el orig,en ) .

lResp. a) i ( t) = 28865

En cl circuito dc la l- ig.

l)ari¡ t > 0.

Fig. P.6.28

e- ó2500 t sen 0,1083.106 r; b)

P.6.29,eI intcrruplor sc cicrra

t=O l0 l t

9,67 ps; c) l3,66kA I

p¿rra t = 0. Calculitr i(t)6 .34 ,

6. _]5.

r L ( t t f

l i la loov

t r r , o ) = l A

6ll(r

Fig. P.6.30

687

ELICIRONIAGNE llstvto Y CIRCUITOS ELECTRICOS

Fig. P.6.33

I R c s p . i ( t ¡ = 5 c ' t ; v L ( l ) = 1 5 6 ( t ) ' 5 e ¡ I

6.39.- BORINA DE TESLA. En la fig. P.6.34, sc muesua un¡ bobina de Tesla,cmplclda cn los latnrutorios de ensayos de alu¡ tcnsión, para producir tensionesclcvadus y tlc alta frccue ncia (del orden de un millón de vollios, cntre l0 y lü)kllz). Se rata dc un ransfo¡mador con núcleo de ai¡e doblemente resonante,que se alimcnta por rnedio tle una ¡ed dc c,c, ó de c.a. a través de uncondcns¿tdor C¡. En la I'ig. P.6.34, A y B son dos csfcras (que constituycn unaparilto ttcnominado cspintcrómetro) cuya scparaci<in sc puede graduar,rnediante un mecanis¡no accionatlo por un rnotor cléctrico. Cuan¡lo clcondens:¡dor C¡ irdquicrc una tcnsión Vl, sc.lccrcan lasesferas A y B cnuc síItastu quc sc producc una dcscarga cn ul ¡lirc cxistcnlc cntrc cllas (V¡ sc

dcrurntina tcnsión tlc dis¡xrro). Los dcvano¡los tiencn intluctancias propias L1 y

l-r c inducuncia mutua M. Si sc dcsprccian las resis¡encias de los devanados y

sc considcra ouc la dcscarga entre las esferas se puedc rcpresenlat como uncortrrcircurlo brusco, calcular la tcnsión v2(t) quc aparcce cn el condcnsatlorconccl:r(lo cn cl sccundario.

v r ( t l

6tt8

C e n e r

tt ig. P.6.3.1

689

R EG I IVI EN'I'RA N S T TOR IO DE U).S C I RC UTTOS ELEC'TRICOS

I Rcs¡ r . v ' ( t ) - Yv t - : -_L . , (cosYr t - cos ]2 t ) ; r londcsccur l tp lc :o L r L : C l Y l - - 1 2 -

tef#/-; k = + ; . o i ' z = + l

{ t - r L z V L r c r l L z c z

' , 1 lY l - ' 1 1 - =' ¡ ' t

o

. N{2g = , - r , ü

6.40. CENERADOR DE, ONDAS DE, CHOQUE. [-a f igura 6.35 represcnt¿r cl

cs(lucrna sirnplificado clc un gcncrador de ondas dc cho<¡uo quc pernlil.c si¡rtulitr

una sobrctensi(in aunosfórica (tiptl rayo). Estc tipo de sobretensioncs.son dc lit

l 'on¡ra mosrra(la en la partc dcrccha de la figura. El tiempo de elevncititt sct lcl ine corno 1,25 (tZ - t l ) y cs cl t lc ort len dc 0,5 a lO¡rs, y el t icrnpo dc caít l¿t

tl rc:presenta el tiernpo para el cual la onrta ha bajado al 5A?o dcl valor dc piccr

Vn. Una onda "stan(lard" es por ejc¡nplo: lOm kV; l,2l50tts, quc significa urt

pico de l000kV, con un t¡empo dc clevación de 1,2¡rs y un ticmpo dc caída tlc50¡ts. Estas ondas res[nn(len a la ccuación general:

v(r) = Vg (cct ' oFt)

dontle para la scñal norma¡izada anteriori V¡¡ = 1,04 Vp ; rt = - 0,0146 i

l| = - 2,467. Lu fig. P.6.35 pcrmite producir una onda dc chor¡ue para ensayostlieléctricos: aisladorcs, má(luinas eléctricas, etc. Un condensa(lor C¡ se c¿rgit it

una rcnsión V t le c.c. nlediuntc un circuito no dibujado en l¿r f igura y so(fcscirrga a continuación sobre la red R I t t 2C2 al cerrar ol i r t lerru¡l t t l r S.

Calcular la expresión de vo(t).

l oo90

50

rL Rcs¡r. vq¡ (t) =

siguicntcs: ( r +

; cn la priictica

sc cuiltplc tlc un

t ' i 9 . P . 6 . 3 5

-U - ( c t r t - c [ ] r ) dondca y p cun rp l cn l as r c l ac io r t esR rCt(cr - t l l

\ -

^ , I I I r - o If ] = - l * ; ' d r + ñ ;c ; + n i ' c i l ; a B = ñ , - c , ñ2 r :2l /R¡ Ct y lA: Cr son rnucho ll lcnores que lf it C2 por lt l t¡ttc

rnor lo i lp rox i rnadr l : n =- ^ + : 0 I

R l C z ' r = ' R r C t ]

v o ( t ) Í

v O ( t )

r ) GERARD,

2) r f t iAv ls lDt :

3) I-APL¿\Ct,

4) tvtADARI¿\GA

61X)

ELECTR0MAGNETISMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

I } I 0 ( ; R A I I I A S

Eric ( l t t57- l9 l4) . Ingcnicro bclga. Estudió la carrcra de lngeniero dc

lvt inas cn Licja ( I 8?9). Trabajó cn la Admini.strac ión belga detclógralbs. Excelcnte profesor, gran pedagogo y magnífico autor rJe

l ibros dc e lectrotccnia. Director del lnst i tu to Elccuotécnico deMontefiorc, anexo a la Univcrsitlad de Lieja. E.ste cenuo primero en elrTtundo cn la cnscñanza de la ingcniería elóctr ica fuc fundado fxlr el

intJustrial y senador bclga : Ccorgcs Montcfiore cn 1882. Aquí se acuñóprobnblcmcnrc cl nonlbrc dc In discipl ina Elcctrotccnia. Este Inst i tutol'uc 11 c un¿t rlc cxcclcntcs profe.sorcs cspañolcs y (luc uajcrolr la

enseñanz.a dc c.sH nlatcria a nucstro pais. Dcstacanlos entrc otros a D.

José Morillo y Farfin quc fuc catetlrático de la E.T.S.l. Indtrstriales de

Matlr id; D. José A. Pércz del Pulgar S.J., jesuít ia, fundador dcl I .C.A.l .y profcsor dc csta üsignatura dcsdc l914 a 1939; D. Antonio Robcrt

Rodrígucz., catcdrírtico dc la E,T.S.l. Industriales cle Barcelona, dcsdcl 9 l 9 a 1 9 5 0 .

Ol ivcr ( l t t5() -1925), lngeniero c lécuico inglés. Hcavis ide no tenía unainstrucción un¡vcrsitaria completa, pcro con el estf lnulo dc st l t ír lWheatstone, ctnpcz,ó un programa de autoctlucación quc resultó

udnr i rab lc . Rca l i zó un t raba jo rnuy impor tan te a l ap l i car las

nlatem¿ir ic ls ü l anál is is de los c i rcui tos e léctr icos. En part icu lar

introdujo cl cálcr¡kl r lperi lcional quc pcrmitía dc un modo muy

simple, anal izar el crJmport^amiento t le los circuitos eléctr ico.s enrógimen ransitorio. Escribió un excelente lratado de electrumagnetismo.Sus teorías pernriticron comprender con exoctitutl el funcionamicnto dc

lus l íncas tclcgráf icas y tclcl 'ónicas. Prcd i jo Incses rnás t i l rde que

Kennclly la cxistencia dc la región E de la ioslera en la que sc renejaban

lus ondas de ratlio, Acuñó la palabru inrpetl¿rncia para tlcl'inir el cocicnterensión/corriente para cualquier üpo de excitación. También reconoció la

unalogía cntrc los circuitos elócuicos y magnético, tlando cl no¡nbre de

rcf uchncia a la resistenciu magnética.

Picrrc Sirnulr ( 17.t9- ¡tt27). Ast¡tino¡no y ¡natctnático I'rancés. Antc.s de

cumplir kls 20 arios, cnvió un cnsayo dc rnccánica a D'Alclnbcrt y Óste

utlmirildo F)r la prolitndidad de .su uabajo, propuso a La¡rlacc como pro-

lcs6r dc Matcnt¿iticas cn lü Escuela tvtil iuar tlc París. Sus invcstigacir-¡nesilstron(imic¿rs lls rccclpiló cn unu monumcntal obra tlc citlco volúmcnes

l larrr¿rda: f i lecú¡t ictt Cc:le.¡te y quc sc cditó en cl intcrvnlo dc 1799 al l t25. En fn¿rtcrnáticas puri ls cscribió un tratü(lo dc probabil idatles( l t t20). T¿rrnbicn rc¿l l iz.t i cstudios cn teoría de series, intcgración t le

ccuilcionc.s dil'crcncialcs cn dcrivadas parciales, tcoría dc las ecuaciones,ctc. En Física, trabajó cn li l tcoría del potcncial, altura barornétrica tle

los nronrcs, üccrcil dc la vclocitlatl tlcl sonido, diluución dc ltls cucrpos

sól i t los, ctc.

Josc N, far íu t lc ( l85l - 193J) lngcnicro de lv{ inas cspañol . Al f inal iz .ar sucorrcr i l cs luvo dcst inu( lo cn Alnrucl in ( I t l79- l t t t tó) . Prolcsor cr l c l

RECIMEN TRANSNOR¡O DE I..OS CIRCUNOS ELECTRICOS

Latxrrarorio tlc Química rtc la E.T.S, de Ingcnicros rlc Minas de N'ladrid( | s 8 6 . | 8 9 1 ) , y < | e s r | c e s t ¿ ú | t i m a f c c h a h a s u s u f a l l c c i n r i e n t o ,rtesemocñó cn la misma Escuela. la cátcdra de EIcct¡otccnia. Divulgó laelectrióid.rC cn un curso de cstudios supcriorcs del Atcneo. cxplicando 20confercncias sobrc clcctrostática, magnetismo y elcctromagnctismo(189?).En|902ingrcsóen|aAcadcmiadcCiencias.Fucrcprcrcntantccspañol cn la Comisión lntcmacional de Elecuoucnia. Publicó divcrsosariÍculos sobre tranvfas eléctricos, autoinduccitin cn lÍneas aéreas,irnágcncs cléct¡icas y cstudio dc las rcdes dc truns¡xrne.

5) PEREZ DEL PULGAR Josc Agustín (lS?5 -t939). Jcsuíu, profcsor, cscrilor cicntílicoespañol. Liccnóiado cn Cicncias Flsicas por la Universidarl tle tvlatlritl(1905). Amplió estudios en Bélgica, Holanda y Alcmania . Funtlrdor dclInstituro católico dc furcs c Indust¡ias (lcAl) en 1914. Profcsor dcElccrrotccnia cn cstc ccntro hasla su fallecinricnto en 1939. Su obraprincipal luc Elcctrodinámicu intlustriul dc la quc se publicaron cultrot9nr6s. Aulor dc numcrosos trabajos tlc ingeniería elóctrica: teorÍa dclpotencial, obscrvacioncs sobrc l¡ tcorÍa nratcmática dc l¡t elct'tricitlarl. cltliagranta gcncral dc los sisternas clcctromagnéticos dc c.a., ctc.

-r-uc cl

primcro cn proponer la construcción tlc la Red N¿rcional llléctric¡¡cspañola. bajo la lirrrna dc ur¡n o dos polígonos concéntricos unidos porlíneas rudialc.s.

6) ROJAS Y CABALLERO INFANTE Francisco rlc Paula (ltt3l-1q09). tngcnicroinrlustriul cspañol. Catcdnitico de física aplicada en la Escucla Intlusrialde Valcnciu y después cn la E.T.S.|. Industrialcs dc Barcclona:posreriorrncnle pasó a lvlarlrirl (l8tl7) a lbrnrar parte tle la EscuclaPolitécnica. Fue t¡mbión profesor de física matentática cn laUnivcrsidud Cenral. ln¡lividuo de número dc las Rcales Acadcmias dcCicncias dc Marlrirl y Barcclona. Su obru principal [uc Electrodintit¡ticalndustrial dc la quc sc publicaron tres tonlos. Lir Rcal Acadcmia lcprcnriri ¡xrr su Mcmoria: Esturlio dc la nráquina dinamoclcctrica ( l8ft7).Dirigiti la publicación dc la Rcvista La Electrici¿hrrl . pritncrn enEspaña quc dio ü conoccr kls adclantos tlc h cicncia cléctrica. En cst¡rcvisra quc rlcsgraciatlamcntc duré unos cinco uños ( ltl83- | 888), cxistíauna .fecci¿in Doctrinal dcsdc la cual cl profesor Rojas difundió porprirncra vcz cn nucstro país. los funtlanrcntos y aplicaciones dc litclectricitl¡rd. Téngasc cn cucnta quc la asignatura dc Elcctrotccnia sccrnpcz<i a incorporar cn los progrlmls dc cslurlios dc lir EscuclasTúcnic¡ts Esplrlttlas e n la tlicld¿r dc 1890 a l9(X).

7) SANCHEZ CUERVO. Luis (lt l?6-1936). lngcnicro tlc Caminos, Canalcs y I 'ucrlos(l l l97). C¡rrctlr i i t ico dc Electrotccnia l l: Máquinas Eléctricas de laE.T.S.l. Caminos tlc Madrid (1914'34). Autor dc nurrrerosos publica-ci¡¡ncs cn ingcnicríu cldctrica, principalmcntc sobrc elcct¡ilicación tle fc-nocarrilcs. Participti cn numcrosos proycctori dc tracción cléctrica, cnparticullr proycctó con¡llcunrcntc lu elcctriñcación dc l:r Rarnpa de Pa-jurcs. Nlicnrtrro rlc la Rc:¡l Acatlcmia tle Cicncius (mcdalla n{ l9) tlcstlc!925. Su tliscurso tlc rcccpcirin vcrsti sobrc "Lu anergíu ". ul que con-

691

tt) TTRlvf AN,

E l- [c-t'R ot lAc N rn s Nlo Y c I Rc tJl-tos E LL{TR lcos

r'

tcstó cl acadirnico D. Bl:u Cabrera y Felipe.

l :rcdcrick Emmons (1900-1983). Ingcniero americano. Se graduó en

Quírnici¡ e lngcn¡cría cn la Universidüd de Sunford (1924). Doctor porcl lvll-f. Su rcsis doctoral vcrsó sobre transporte de energía eléctrica agran rlistancia y fue tirrigitln p()r Vannevar Bush. Excclente profesor ycrf ucadtlr. En 1927 l'uc nonrbracftt prolbsor dc ingcniería elccuica enS ranfrlrtl. Fuo catedrúlico, tt ircctor dcl Deparbrncnto de IngenieríaElóctr ica y t l i rcctor dc la Escucla de lngeniería de esn Universidad.-l 'cnl¡an

fuc cl responsable dc que este Cenuo alcar¡z.ara gran famatf l l lnd¡ir l , l l l t rodujo los estudios dc radio en el Ccnrro e inrpulsó lasü¡sorlünzils tlc Laborafrlrio. Prcsitlcntc. dcl IRE cn 19.12. Entre l9a3 y

19"15 [ur: Dircctor rtel Labor¡rtorio de radio dc Hanvard. E,n 1945 volvió aSnnl 'orr l c irnpul.só la colahoracion Universidad-Empresa. Muchos dc

sus ¿rlurr¡nos fueron los responsablcs dc la creación dcl vallc del sil iciocn Cill i lbrnia; cl cjcnrplo más conocido fue la Conlpanía formada porW.R. l lewlcr y Duvit l f 'ackart l , hoy una mult inaciorral quc l lcva losilpcllidos dc sus fundarlorcs. Escr¡bió varios libros dc texto cnlre los que

desmcan: tcoría de las líncas dc translnisión e ingenicría clectrónica y derittlio.

Wilcy & Sons.

Row Pub. Ncw

t2)

l 3 )

t4)

l 5 )

l6)t7)

t8 )

te)

20)

2 t )22)

23)

24'�)

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Y ork, l 9tl-1.

692

r)-l)

J)-r)

ó)

7)

n)

e)

693

SISTEMA INTERNACIONALDE, UNIDADES

I . INTRODUCCTON

ElSistemalnternacionaldeunidades(abreviadamente:SI),esunaversión acrual del sitt".a m¿ti¡.o]tiuUtt.ido poi acuerdo internacional' que

proporciona una retacü;'lEü inirc rgOas' las medidas de la Ciencia'

íiliilil c;''";;b' i;il;;'il"ii¿ it st po' t"v {:-9-91^Novienrbre de1967. El SI parre ¿" ,¡J.',iriáa¿eíU¿s¡cos i dos suplgqre.ntarias. Todas las

"íor'*i¿u¿ls derivan áe ellas. Los múlriplós y submúltiplos se expresan en

sistema decimal'

2 . UNIDADES BASTCAS

Las unidades búsicas que componqn e-l S.�! Y-lgyus definiciones se

desgiben "n "in"ii becreto t¡ tzi tggg (B'o'E' 3- 12-89) son:

a) LONGITUD: metro (m)

El mero se define como la longitud del rayqc.g.ft-9fdo en el

vacío por ra luz duranre un t iempo de 11299,797.458 de

segundo.

b) MAsA: ki logrumo (kg)

El ki logrurno, es ia masa de un ci l indro de aleación de ir idio-

ptot inJ gua;dadg en la of ic iha internacional de Pesas y

Medidas"de parís. EsrA es la única unidad búsica def inida

todavía, en la actualidad, por un objeto'

c) TTEMPO: Segundo (s)

El segundo se define como la duración de 9 192631770 ciclos

de la radiación correspondicnte a una trilnsición específica del

¿iromo t le Cesio-133: (Su medida se hace sintonizant lo un

695

( l)

e)

f)

E l- ECTR( )rllAc N ETI S NIO Y C I R C t J ITOS E I-ICTR lC( ).S

oscil i t t lor con lu frecucncia de 'rcsonilncii l

de kls i i tonros de(:esio 133, culndo plsan por un sisterna t le i rnanes y un¿lcavidad resonilnte hÍrsta un detector).

CORttl l iN'fE ELEC'I 'RICA : umperio (A)

El amperio se deflne como la corrien¡e que circulando ,c,or doshi los largos para le los, separados un metro en e l ' /acío,produciríu un¿r tucrza entre los mismos (debida a sus c¡r'nlposr¡lngnéticos) de 2. l0-7 newton por cada metro de longitutl.

I

' l '1,: lvf l 'nRA'fU RA : kelvin (K)

El Kelv in. se def ine como la f racc ión l l27 3,16 c le laremperarura rernlodiniímica del pLlnto tr iple del aguit. Lntenlperiltura oo K se lla¡n l cero alxolulo .

CAN'I ' IDAD Dti SUSTANCIA: mol (mol)

El mol es la cantidad de sustancia que tiene tantas entidadesclementales conro útontos hay en 0,01 2 ki logramos dec¿rrbono - 12. (Al us¡rr el nlol hay que especif icar lns entidadesfundanlentales, que podri in ser i i tomos, rnoléculas, iortes,electrones, otras part ículas o grupos cspecíf icos de talespart ícu lns).

IN"I ' I . INSIDAD l,Ul\ l lNOSA : candela (cd)

L¡r cÍ lndel i l se def ine conro la intensidacl lunrinosa en unat l i recc ión dada, de un¿l fuente que emite una rüdiac ión

rnonocromdticil de tiecuenciir 540x I0l2 Hz y cuya intensidadenergét ica en d icha d i recc ión es de l /683 v i l t ios por

AI}ENDICE I : SISTEMA IN]IRNACIONAL DE UNIDADES

igual a la de un cuadrado de lados iguales a la longitud dclrld io.

4. PREFIJOS DBCIMALES

Los siguienres preñjos deben urilizarse para indicrr fraccionesdecinrales o múltiplos de una unidad'

MI.JL'TfPLOSPREFIJO SIMBOLO SUBMULTIPLOSPREFIJO srMuor.ql

l 0 l 8

l 0 l 5

l 0 l 2

l0e

l0ó

103

102

1 0 1

exa

pcla

Bra

giga

mega

k i lo

hccto

ün

E

P

T

cM

k

h

dr

l 0 ' l

l0-2

l0 '3

t 0-6

l0-e

t 0 ' l 2

t 0 - 1 5

l0 - l8

úxi

ccnú

mi l i

micro

nano

pico

femto

atto

d

c

m

tr

n

p

f

a

5. TABLAS DE UNTDADBS

Elt las piginas siguientes sc muestran tres tablus en las qtle seexDonen: t) En la r íbla n,

- l , las pr incipales magnitudes geométr icas y

mécánicas. indicúndose los símbolos de ias magnitudes y de las unidadcscorrespondientes en el sis¡ema in¡ernacional de unidades, junto con suscorrespondientes valores en unidades C,C.S. b) En l¿r tabla ns 2_, se da u¡tarelacibn r le las unidades Sl eléctr icas junto con sus símbolos ycorrespondencia con Ins unidadcs CGS electrostát icas (CCSES).y.C9.Qelectronragnéticas (CGSEM). c) En la tabla_ns3 se exponen las unidades Slmagnéticiis y sus equivalencias con las CGS.(elécrricas y mngnéticits).Coñviene qie el lector se acostumbre a ut i l izar siernpre cl SistentuInternacio¡r i r l ¿e r tnidi tdes, ( lue es unt versir in del s istenta Ml(S¿\racionrlizado (Siste¡na Ciorgi). Cunndo se ha considerado quc lu unidad CCSestá nruy cxrendicla cn los rext<ls de Ingeniería Eléc¡rica, se ha cittdo tanlbiénel nomttre de la unitlad correspondiente y su equivalencia con la unidatl Sl.Este es el caso del gauss, el maxwell, el oersted y el gilben, (lue son unidades(CC;SEM respcctivarnenlc, de la intlucción nragnética, flujo, canrpo magnétictty lirerza nritgttetomotriz),

s)

este reofTÍldiiin.

3. UNfDr\DES SUPLEMIiN' l 'ARIAS

i l ) AN(;l,Jt,O Pl,,\NO: radiiín (r ird)

l l l rutl i i in es el l irrgulo pli tno con su vértice cl¡ el centro de unc:írculo, t¡ue conlprende un ürco de longitucl igual al raclio.

b) ,\N(¡tJl.o sol, lDo: estercorradi¿ín (Sr)

Iil estereorildiiín es el ¿ingulo sólido, con vénice en el centro deunl e sfcnr, (ptc cornprendc un i lrcn Cc la superl- icie esféricit

61)6697

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUT.r()S ELECTRICOS

TABLA NO I

UNIDADES SI. MACNITUDES GEOMETRICAS Y MECANICAS

APENDICE I : SIS"TEMA TMERNACIONAL DE UNIDADES

TABLA NE 2

UNIDADES S[. MACNITUDES ELECTRICAS

Mr\CNITUDES UNIDADES SIMBOLO VALOR EN

UNIDADES C.C.S

l ; u n d a m e n t i l l e s :

Longitud I

lvllus¿r m

T'ic:rn Do t

de brse :

metro

kilogranro

scf¡und()

m

kg

s

102 cm

lo3 g

l s

Der i v ¡ t das

Su¡rcrficic

Volu lncn

Vc.lcrcidrxl

Acelcració¡t

Fucr¿a F

Encrgía, trabajo E/W

['otc nc i¿l P

Prcsión p

Monrcnto l)i lr M,T

A,S

V,V

U ' V

¿l

sec u n da r ias :

rnctro cuadndo

meüo cúbico

mctro p,or scgundo

nlcro F)r scgundO

al cu¿¡dnrlo

ncwton

ju l io

val,io

pilscal

nclvton rnero

m2

m3

m/s

nr/s2

N

J

wP

N.nt

l o4 cm2

106 cnr3

| 02 c rn/s

102 crn/s2

t05 dinas

107 ergios

107 ergios/s

l0 bares

107 dinils. cm

Angulo, arco CI,p

Vclocidud ungulir ü"t

Frccucnc iu rotación f

l:rccuclrcia [, v

Pu lsac itin o

Pcr irxlo T

nd¡¿in

radi¿in Ircr scgundo

rcvolución por rnin.

lrcru

rudián por scgundo

.scqun(lo

NIJ

rad/s

r/rnn

Hz

raüs

S

UNIDADES SllvtBOLO VALOR ENccs ES -l_cGS q.lYt-

F u n d a m e n l a l e s :lnten.sidad dc la corienteclóctrica I

de base :

amDerio A 3. 109 l 0 - l

Der ivadas :

Carga electricaDcnsidul tlc cargavolumétrica

Supcrficial

Lineal

Densi&cl dc corrienteDifercncia de potencialtensión, fuerza elecuomo'tr iz,In tcnsid.rd cam po eléctrico

Desp lazam i ento eléc trico

lFIuj,o eléctrico

lv= J DdslCapacitlart ClPermiüvidad eI Perm iti vidad del vacío

I Perm it¡vidad relativalo conrrmte dielécrricaI

I Polzrizrc ión d ielectrica

l O = e o E + PlResistenc ia

lRercranciaItmputancialRcsistividadlConductancialSusceptancialnonrinnci¿rlConducúvidad

a lI

l;'.1 |?' '^ |- l

IU,V,E IE lD lv 1D = e [eo

t rP

RXZp

cBYo,Y

s e c u n d a r i a s : lculonrbio

culombio por m3

culo¡nbio por m2

culo¡l tbio por m.

amprio por m2.voltio

voltio por metfo

culornbio ¡nr rn2culombios

FaradioFaradio por m.

culombio por m2

ohmio

ohmioohmio

ohmio-nlelro

sicmcn.ssicrncns :

.sicmcnssicmens lx)r m.

C

C/m3ClnSC/ntAlm2v

V/nl

CfuzC

FF/m

Clm2

ot)l)

O-m. S

SsS/m

l6n I 0e

3. 10e

3 . 1 0 3l . t 0 s3 . t 0 73 . 1 0 5l/300

l0'4/3l 2 n . l 0 5l 2 n l 0 l I

9 . l 0 l l c t

l 0 ' l I / g

t 0 ' l l / g

t 0 ' l l p

l0-e/99 . l 0 l lg . t 0 l Iq . t 0 l I

9 . t 0 e

t 0 - I

l0 -7t 0 -5t 0 '310.5t08

t0ó4n. I0 '54n l l0

l0 'e

4 n t 0 ' l l

l0e109t09l 0 l I

I0 'eI0"e| ( ) ' t )

l 0 - l I

NOTA: La ¡nrmitividad dcl vacío cn u¡ridudcs Sl cs :

, .=* lo.e F/nr

698 699

ELIrCI'RONIACNFIISNlO Y CIRCUIIOS ELECTRIC0S

;

TABLA NO 3

UNIDADES SI. MACN¡TUDES MAGNETICAS. POTENCIAS ELECTRICAS I APENr)rcri

RIIPASO DIi I 2ANALISIS VECTORIAL

I . INTRODTJCCION

El análisis vec¡orial es ttna de las herramientas más básicas en laforntullción nratentiítica de muchos problemas de Ciencit e Ingeniería. Enparticuliu es inrposible estt¡diar los dos capítulos de electromagnetismo con cli¡ue se inicia ei¡e texto si el lector no posee una formación mínima s¡rbreCanrpos escalares y vectoriales. La misión de este apéndice es presen¡ar utlestutlio simplificado del An¿ílisis Vectorinl que es imprescindible para.at¡uclloslectores t¡ué carecgn de esta fbrmación y que puede ser útil a modo cle re¡lasopara los estudi¿rntes t¡ue han recibido ya esta enseñanza en sus cursos previosde matenr¡íticas o'Ieoría de Campos.

Lrs magnitudes escalares son at¡uellas que quedan de¡erminadlsdando un solo nrirnero renl: su medida: ejenrplo de cllo son la den¡idarl, clvolt¡rnen, la potencia,... Lus rntgnitudes vccloriales son uquellas-en lts.t¡tteno bnsta dar ün nú¡nero para detérminarlas, es preciso conocer su inte¡rsidado nragnitud, su dirección y sentido; es¡e es el caso de lit f 'uerza, velocidatl,acelcración, etc.

Si se tiene una ntagnitud escalar asociada con cada punto dclespacio, se dice entonces (lue se h¿r definitJo en esa región una funciólt depúnto o un campo escalar; un ejemplo de campo escalar es el catnpo de¡emperatur¡rs de un objeto: cada punto tiene una temperatura determinada, tlehecllo la tenrpcmtura puedc variar de un punto a olro y en cada punto prtetlcvar i¡rcon el ' t icnrpo. Sin enrbargo, en un punlodeterminado y en un t iernpodefinido, la terrtperatura t¡ucdit conrpletanrente determinadl por un sittt¡rlcn únte ro. { ' , i

Si se t iene unu nugnitud vecior ial asociadu a cada punto delespacio, se dice entonccs ( lue sc hn def inido en esa rcgiórt t l ¡ l col l lpovectorial. Los curnpos vccroriules reciben denonrinaciones especi:tles, scgtin

70 I

tvtAGNITUDES UNIDADES SIMBOLO VALOR ENCGS ES I CCS EM

l ; u ¡ ¡d ¡ r ¡ l en t t l es :Itttr '¡¡sirLrtJ rlc lacorricntc clúctrica I

de base :

¿lnlDerio A 3. ¡0e t 0 ' lD e r i v a d ¡ ¡ s :I ndtrcc itin nragniticau tlcrrsithrd tlc llujoFlujt l dc i¡rr lucción rnagnct.

Canrp0 nl¿tgnético

Frrcrza r¡rag nclonrotri z

Difcrclicir de potcncialtnilgnct ic0

lnductumcia:llut0in(luclancií¡Inducur¡lc¡it nlutur¡Pcrnrcrbif irlarl[=cr¡¡rcabi I idad del vac ítr

Pcnnc¿rbil itlad rclati va

lmnnitc itinI l = ¡t , ,1l l+M)ll e luc ta nc ia

Pcnneancia

B(D

Ll

v

tv

LN,l

tlFo

lrr= tt/ltoM

fr"

secu ndar ius :

TeslaWcbcr

Arn¡rcrio (vucln)por mctroAmpcrio (vr¡clm)

Henrio

t l

hcnrio por rnero

tArnpcrio (vu¿lt¡l)por fncuo '

,.Amperio (vuclt¡) '

por WelrcrWeber por arnperi(vuclu)

Twb

A-V/m

A-V

,Tl l

l{/m

o-ur,n

A-VnMb

wb/A-v

l0'ó/3n-28

l 2n l07

l2n l0 -9

ro ' , , lg

t o'l 3 n6n

iroiu'

3 6 n l 0 l l

ro-l I n6t

l0a gaussl0-8Maxw

4 r l0 -3oersted4n I 0 ' lgilbers

t l

l0e

:

f i1 Hn

¿n f O' l

4n l0 '9

, ge¡+n

Potcrrciu activa" fcactiva

PaSill)ÍuenE

vattov0ltio-amperiorcücl.ivovollio-amperio

wVAR

VANOTA: La pcrmcabilidad dcl vacío en unidades SI cs Po = -lnl0-7 H/nr se cumple la

rcf¿rción [o Eo = llc?,siendo c la vclocidad tle la luz en el vacío (c = 3.108 m/s).

7(X)

donde A es el nrúlulo, que dene la unidad y dirnensión de A :

A = l A l

ELECTROMAGNENSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

tn interprctación física dc los vec-tores que lo constituyetl. for ejemplo, si sonfu"irai se dirá un campo de fuerzai; si so¡ velocidades, un campo develocidades, etc.

2. OPERACTONES CON VECTORES

Sabemos que un vector se define por un módulo, o magnitud, unadirecció¡r y un sentido. Un vector A se puede expresar así:

A = a t A ( l )

APENDICE 2: REPASO DE ANALISIS vECToRl'AL

oroducto escnlur y el vecroriul. Es inrportlnte dürse ct¡en¡il (lt¡€ cstils

ü;;;ú;;ñ indepenOierrtes del sistema de coordenadas que se utilice piuit

.épr"sentat los vectoies en el espacio

Lasumadelosvectoresesuntercervector .queesigual l | tercerlado de un triringuto construído por estos dos vectores colocatlos uno tcóni¡nuac¡On del- otro. Su origeri es el origen del prinrero, su final oextremidad es la extremidad d-el segundo. En lrr fig' 2l se .trtucstran dosñi;¿J A y tt. A purrir de un origenlualquiera 0, se coloca el vector ̂. l:-*oarrii ¿e su'extrerriida,l. ie colociel vectoi ll. El tercer latlo es el vector C,

ü*rii."i ii mismo origen que A y la mis¡ru exremidad que el B, y se tiene:

C = A + I I ( 4 )

/ [ '

Fig. 2

El vector suma C cs tantbién la diagonal del paralelogrilmoconstruído con los dos vectores A y l!, teniendo los tres el nrislno origcrt 0.El vector C y sus dos conrponentes A y l| son coplanares.

La suma vectorial tiene las propiedades contnutiltiva y asociativa:

r \ + l ] ; B + AA + ( l t + C ) = ( A + l l ) + C

se tlefine corno vector opuesto -B de un vector deten¡linado ll.aquél que tiene la nrismu nragnitud y dirección, pero de sentido contr:rrio. Esdecir:

l l = a D B + - B = - a g B ( ( t )

Bas¿indonos en esta definición, se define como rest¡¡ vectorill l dedos vectores A y tl, la suma de A con el opuesto de B :

y aA cs un vector unitario sin dimensiones o versor, que tiene un módulounitjácl en la dirección y sentido de A, es decir:

(2\

orientado demuestra en la

A Ao A = m = Á (3)

El vector Alongit t rc l A que apuntaf ig. I .

( ' )

se puede representír por un segmentoen la dirección y sentido de a4 cotrlo se

\ü)EXTREII IDAD ( AFIJO)

(s)tt'

bro b

ORTCEN

Fig. I

l.as operaciones biisicas vectoriales, que se viln a re.pasar atluí deurra lbnna breve, son la suma, resta y dos formas de multiplicación: el

t 7 l( * ) [r,, krs l ibros sohrc c¡i lcult lt : r l cs c ( ) tno : A , ü , \ , u r \ , € , \ ,

702

vcctori¡r l . c.r istcn nruclr¡rs f i lrmrs pi lra simtxl l i / . lr un vector unitario

i , \ ,

701

ELECTROIIIAGNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

Un vecror r\ se puetle nrultiplicar por un escalar k, de tal formaque cl resultado es un vector que tiene la nlis¡na tlirección y sentido c¡ue elvector original, pero cuyÍl magnitud es k veces la de A:

AI)ENDICE I : REPASO DE ANALISIS VEftoRlAL

A x R = B n A B s e n O a n ( 1 2 )

iln representa el versor correspondiente, que se muestra en lati¿. 4. El módulo del proclucto vectorial representa el drea delpllralelogranro tbnnildo por r\ y B.

Fig. 4

Es ti ici l denlostrür que el prcxlucto vectorial no es conmutativo,pero ( lue sí es distr ibut ivo es decir:

k A = Í l A . ( k A )

A . B = B . AA. (B+C) = A .B + A .C

( l0)

( l l )

b) El producto vectorial de dos vectores que se escribe A x B(en algunos textos se emplea también lu sinrbología: AnB), es

un vecror cuya magnitud es AB sen ong, cuya dirección esperpendicular al plano definido por A y B y sentido el del dedo

frulgar de lu mano derecha, cuando los dedos giren de A a B a

trnvés del ii¡lgulo 069:

(8)

Dos vectores A y B se pueden ¡nultiplica¡ entre sí de dos maneras.

i r) El producto escAlar de dos vectores es una cant idadescalar y se define usí:

A.B = A.B cos Ong (9)

donde Ong es el ángulo nrás pequeño entre A y B y que esnle¡lor (le l80s como inclica la fig.3.

Fig. 3

Es evidente de acuerdo con la definición (9) que se cumplirá:

( l 3 )

A.A = Az

el producto escalar es conmutativo y distributivo:

A x R * B x AA x ( B + C ) = A x B + A x C

En cllculo vec¡orinl existen tanlbié¡¡ productos de res vectores. Hay dos tiposde productos:

a) El producto mixto de tres vectores, es el producto escalar deun vecror por el producto vectorial de los otros clos, y tiene lapropiedad siguiente:

A . ( B x C ) = B . ( C x A ) - C . ( A x B ) ( 1 4 )

Obsérvese lir permutnción cíclica del orden en que se succdenlos vectores cn l t ident idacl i lnter ior. Como ( luicra quc t lci lcuer(lo con la definición (12) se cunrple:

{ x R = - t f x A

l¿r expresi(in ( I4) indicaría que:

, \ . ( R x C ) = - ¿ \ . ( C x l l )

c l vülor ubsoluto t le un producto rnixto

( 1 5 a )

( t s b )

es e l vo lumen del

704 705

A.(A x C)= 0 ( l 6 )

b) El doble producto vectorial es el producto vectorial de unvector por el producto vectorial de los otros dos vectores y sederlruestra que se cumple:

A x ( I l x C ) = l l (A C) - C (A . I l ) ( 17 )

3. SISTIITVTAS DE COORDENADAS ORTOGONALES

Un sistenta de coordenadas tiene dos fines: uno es localiziu puntosetr el es¡lacio y el otro eS conscguir unn forma co¡rveniente- de representacióndc rrragirituclés y direcciones de vectores en este espacio. En.trn e¡paciotr i<l i rndnsional,

-se puede local izar un punto como intersección de tres

su¡rcrficies, cuundo éstus son perpendiculares entre sÍ se tiene un siste¡rl¡r decobrdcnadas ortogonales. Estits superficies se representan por ui constnnte (i= l, 2. ó 3) y pueden ser en generul superficies curvas. Los vectores unitariosderronlirratJós' tarnbién veCtores base en este sistema generalizado tlecoordr:nadas curvi l íneas (f ig.5) se denominan: al ,a.2, 13, y se disponen detal nlodo t¡ue sigan la secuencia de la mano derecha. cumpliéndose lassi suicf rtes relaciones:

y por Ser vectores unitlrrios se pucde escribir:

t l ¡ ' ü ¡ = [ 1 2 ' X 2 = i l 3 ' i l 3 = I

E,n este sistemü ortonor¡nul se puede representarsus tres componentes:

si sepor:

[ = 'a t A l+ az 'A2+ a3 A3

tienen clos vectores: el A represetltildo por (20) y otro l!

a ¡A ¡B l

ilt

A2B2

a3A3B 3

C ¡A ¡B 1

( l0 )

C2A2B2

C3A3B3

B - a t B l + a r 8 2 + 4 3 8 3

El valor del producto escalar de los vectores A por B, teniendo en cue¡tta lit

definición (g) y tas propiedades (19), vendri expresado por:

A.B = Ar B¡ + A2 82 +A3 83 \22)

y el producto vectorial de tos vectores A por B, teniendo en cuentu ( l2) y las'propiedades (18) y (19) ser¡i:

A x B = a ¡ ( A z B ¡ - A ¡ 8 2 ) + a 2 ( A ¡ B l - A ¡ 8 3 ) + a 3 ( A ¡ 8 2 - A 7 B ¡ )

que puede escribirse de una formA miis simplc conro el dcsarrollo tteldetenrúnante:

A x B =

se puede denlostrarpuede escribir:

nsinrisnlo que el producto mixto por el otro vcctor C se

puralelepípedo construído con losrlue si dos de los tres vectores sollser¿i sienrpre cero:

otros tres vectores. De ahíiguales el producto ¡r l ixto

( 1 8 )

( l 9 i t )

( t 9b )

ufl vector por

(20)

repre.sen tatlo

( 2 1 )

(23)

(2-l)C . ( A x I l ) =

De acuerdo con y (22) el mó{ulo de un vector A serii igtral

i l l X l l r = á l j

t lc t it l nltxltr (lue p()r

I t ig. 5

. A 2 X A 3 = ¿ l l : f l 1 X [ ¡ - A J

lus corrd ic iones r le onogot l i t l i t lnd se e t t t l lp le:

i l ¡ . i l r = U r . i l 3 = A 3 . i l ¡ = 0

( 2s)

En coor{elrldirs curvilíneas, se necesita expresar con tiecttencilt elcambio de longitutl diferencial conespondiente a un cambio dif'erencitl cll tln:lr je las coorclénudls. Como quieia, s in embargo, que l lgt t t ta t le lascoordenadas puede no representar unn longitud eS preciso estlblccer tln f actorde conversión paril trn¡rsfor¡nur un crnrtrio dittrencial de coortlettitdits tltt¡ ctt

706 707

ELb,ül1¡.oNtAGNEl]SNtO Y C¡llCUíTOS ELEü|'Rl('r ).S

un cat¡ lbio dc longitud d/¡ de este nrodo:

d/¡ - h¡ du¡ (26)

dondc los tjrctores h¡ se denominan factores de escala o mejor coeficientes¡nét r icos.

El vector desplazarrriento diferencial se podrá expresor en funcióntle sus cornpone¡¡tes que serún los canlbios de longitud ditbrencialcs y asf setcr¡dr¿i:

¿rl)ENtllCE 2 : ltEl'�RS() DE AN¿\IJSIS Vb,t- I'tlRl¡L

O P = o x x l + a y y l * s , r z ¡

y un vector A en coordenadas canesianas se expresará:

d = o* A* + ay Ay * arA,

Plano z=zL

(33)

(34)

df = at d/¡ '* a2 dl2+ a I dl l

o te¡riendo en cuenta (26):

t l f = n l (h l dur)+a2 (hz du2)+ n3 ( l r3 du3)

(ptc coffesponde il un nlódulo según (25):

r l l = . / ( t r , d u ¡ ) 2 + ( h z d u e ) 2 + ( h l d u 3 ) 2

dS I = rl r (hz hj due du3)dS"= a2 (h ¡ h3 t lu ¡ clu3)dS1- a3 (h r hZ dur du2)

(27)

(2rt)

( 3 1 )

¡ h a ' 1 ¡ h 3 ' l

cl diferencinl de volunren (lue se puede formarcon estosIongit t¡d será:

dv = ht hz hr dut duz dul

y los diferenciales de superficie normales a cilda eje se podriín expresor así:

t t t l

Fig . 6

el producto escalilr tle dos vectores será de acuerdo con (22):

A . B = A * B * + A r B r + A r B , ( 3 5 ¡

d

(2e)

diferenciales de

(30)

los sistemas de coordenadas ortogonales mús frecucntes son; coordenadascartesitttttts, coordenadus cilíndricas y coordenadas esféricas . Veantos uconti¡ruació¡r lt descripción dc estos sistenus.

a) SISl 'Fl l l l^ Dl: COORDIINADAS CARTFISIANAS

Il¡r cste cuso se ticrte:

(a¡, c2, a3) = (n*,a'ar) (32)

y son tres planos ortogonales como se mues¡ra en la fig. 6, la posición de un

¡lunto P de coordenadas ( x¡ , !¡ , Z¡ ) vendrií expresado por:

708

ty las expresiones dif,erenciales (28), (30) y (31) serán ahora:

d l = a, dx + av dy + t rdztls* = ox rJY dz (37)dt, - a, c lx dzdsi - a i dx dyd v = d x d y d z

y el producto vectorial según (23):

A x R =axAxIl*

lzAzB7

(36)

l ( t f , I 1 , z 1 )

709

Plano 0=0,

Fig. 7

krs cl i lercnciales cle longitud son:

r l ( , ¡ = d r : ( l ( . ) = r d ó : d t 3 = d z

tirrgnse on cuenru que dos dc lus lres cor:rdenadus, r y z son ya lolrgitutles ypor ello sus coeficie¡ltes nrétricos son iguales u la unidad. sin ernbargo al ser Qurr iingulo, se ret¡rriere un coeficien¡e nrétrico hr = r p,rrr convertir d$ en d/r(ver .f igrrra 7). De este nlodo un triferencial tlc longitud se expresarú eñcoortlcnndas cilíndricas por:

7n l

d l = a r d r + o 0 r d 0 + a r d z

y los diferenciales de superf¡cie y volumen ser¿in:

d s t = 0 r r d Q d z,ltq = oS dr dz

dS, = nzr dr dQ

d v = r d r t l Q d z

Para convert i r las coordenadüs ci l índr icasinmediato comprobiu de la fig. 7 que se cunrpliri:

x - r c o S 0 i y = r s e n 0 ; z = z

C) SISTEII IA DI i COORDIiNADAS I iSFF:RTCAS

d{ = ardr * a0 rdg + aO r se¡ l 0 dO

y los diferenciales de superficie y volunren ser¿iñ:

d s r = f l r f Z s e n 0 d 0 d 0

dsO = Í10 r setl 0 dr dQ

d t q = c O r d r d 0

dv = 12 seng dr dg d0

En este sistenlit se tonra:

(a¡, Í I2, a3) = (a,, og,aq ) (44)

que se muestra en lo fig. 8. un punto P se define por ras coorde¡rrdasr¡,0¡,0t. Un vector A se expresará:

A = o r A r + a g A 6 + a 6 A 9 1 + 5 )

y los diferenciales de longitud tendr¿in dos factores métricos diferentes de launidad:

d / ¡ = 6 t : r J l 2 = r d 0 ; d \ = r s e n 0 d 0 1 a 6 )

cuyos valores seobtienen de la conrposición grríficü nrostrilda en lu fig, g. Laexpresión general del diferencial de lóngitud eñ coordenadas esféric¿u sirá:

b) .s IS ' I 'F , i I I ' \ Dr : COOR DF:NA DAS CTLTNDRTCAS

En este sistenril se toma:

(a l . a2 , o3 ) = (o r , 00 ,o , )

Cl I lnc t ro

r = F 1

(38)

( 4 l )

(42)

en car testanas, cs

(43)

(47)

(48 )

que se muestrü en la f ig.7.Un purl to P se def ine por las coordenaclasZ.1. Un vector A se expresil el l función de las compo¡entes en losnrcncionados de este motJo:

¡ \ = a r A r + u 0 A 0 + a z . A r .

r ¡ , 0 ¡ ,planos

o l e

(3e)

P l a n o z = z

h t . l i h A = r i h 3 = l

=rd0

(40)

d l , = d r

d l r 'dz .

7 t l

t ' - - l - J

' r " ' ' ) - ' - ' { l

/ l r

p = cons tan te

Fig. I

Para converfir las coordenadas esféricas en canesianas se aplicarán

APENDTCE 2: REI'ASO DE ANALISIS VECIORL\L

4. FUNCIONES INTEGRALES

4.1 TNTEGRALES cunv lL tNnns ( * )

Suponemos conocido el concepto d.e integral de.una función deuna variable.'El caso que más interesa en ciílculo vectorial es el de lasintegrdes curvilíneas.

Sea y una curva cuya ecuación en paramétricas venga expresada

x = x ( t ) ; y = y ( t ) , z = z ( t ) ( 5 0 )

donde se supone que las funciones: x(0, y(t), z(t) son derivables y cuy.asderivadas son funiiones continuas de t. Considerentos una función escaltrV(x,y,z) y puntos A y B de la curva, correspondientes a los valores tg y t¡

respectivamente del parámetro t.

Se de¡ro¡nina inregral curvi l ínea de V a lo largo de la curva Tentrel o s p u n t o s A y B u :

B

ELECIROMAGNMS MO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

c o n g t a n t e

c l l 3 = r s e n 6 d9

d l 2 = r d g

por:d l , =

t S F t l l A : r = c o n s E

- J . - - l -t e - t r - l

,/

t ¡f

J uf x(t), y(t), z(t)l (*'t + Y'2+ z'2)' ' '

tsoordelladils cirtesi¿ltlits se cunlple:

f v o¿ =JA

n (37) en c

dr (s l )

(s2)

(53)

las ecuüciones:

x = r sen0 cosQ ; y = r s e n O s e n 4 r ; z = r c o s 0 (4e)

En la tabla ns I se resumen las relaciones anteriores.

ya que segúl

dl = a* dx + ay dy + ardz

que puJemos poner:

d t = t o - * + r r # + 4 , * ) d ty denontinando:

x'(r) = *l ; y'(r) = il iz'(r) = * (s4)

nos l leva a un nródulo d l segfrn (53) :

cll = (*'2 + y 2 a z'2) ll2 6¡ (ss)

CURVILINEAS(u l , u2 , u3 )

CARTESIANAS(x,Y,z)

CILINDRICAS(r,0,2)

ESFERICAS(r,0,0)

VECTORES BASE

a ¡,42

a3

ilx

ay

az

flr

a6,AZ

8r

ag

a6

h lCOEF. METRICOS lt2

Itr

I

I

I

IrI

Irr s e n 0

DIF. VOI.UMEN dv dx dy clz" r dr d0 dz. r2senO tlr d0 d0

712

TABLA NO I

(t) pot sirnplicidad, el cstutl io sc a¡rl ic:r ¡ un sistc¡rra dc coortlcnudas cartcsirnas.

7 t 3

ELECIROIvtACNflSMO Y CIRCUITOS ELEC¡'R¡COS

(lue es el tlit'erenci¿rl de longitud que se e xpresa en (5 I ).

I'JI'MPI.O DE AI'I.ICACION NI I

Sea la luilice circular:

X ¿ C O S | l ) = S C n t ; z = k t

y l a f u n e k i n e s c a l ¿ r V = ] + f * ] . C a l c u l a r l a i n t e ¡ g r a l c u r v i l í n e a e n t r e l o s p u t r t o s¿l( 1,0,0) y B(0,1, ktt l?).

S O L U C I O N

El tl/ cn la curva valc:

u=,[lT+FiV ,lr =./TlT ,lr

y cl valor rlc V en la curva es:

V = x 2 + y 2 * 1 2 = t a . ¡ 2 ¡ 2

cf ¡runttr A corrcspondc a to = () y el punto B corrcsponde al parinrctro 1l = ttl2, tle cstenrorlo la intcgral curvilínca valdrá:

ll

I v d ¿ =A

nl7

I ( ' + * ' , t )0

d r = f l + k t l - lL2 21 J

4.2 CIRCULACION

Se denonlina circulación de un clmpo vectorial A(x,y,z) a lo largodc unir curvil yentre dos puntos P y Q a la integrllcurvilínea:

af , \ . d rP

(s6)

se pucde detinir tlnrbién la circulación a lo largo de una curva cerrada. En estecaso (51¡) se escribe:

$ .t . .tz (s7)Y

E]I| \ IPLO DIi AI 'LICACION Nl 2

Culculur l¿ r:ircul¿n:ión del cunpo vectorial A = d¡ x + a;l + a;z u lt¡lor.eo dt kt curvt:

7 t . t

APENDICE 2: REPASO DE AI'¡ALIS|S VECIORIAL

x = c o s t :

dcsde to=0 a t l=n12.

J = S e n t ; z = 3 t

S O L U C I O N

El producto cscalar clc A por d, valc:

A . d¿ = (ax x * ay y * ezz) (ax x' + ly I ' * rrz') dt = 9 t t lt

de esre rnodo se üene:

} Al 9

f F . d ¿^l

l.'. d, l.'. dl,

El valor tle cada intcgral cs:

n12. dl =

" ' l - grdr =

i"t0

E]EMPLO DE APLICACION NI 3

Dodo un campo vecrorial F = ax x! * a, f I el rccinto ccrrado tte ta tig' 9'

Calcular la ci¡culacün de F' alrededor clel reciruo cerriulo.

( o , o , o )

Fig. 9

S O L U C I ( ) N

La circulación scrá:

1b

? f

I r . d t = | y t . , l y =J J

Y r o

+TTl

s = I r . c u + J'(t

Y¿

7

= f zJ0

2I

dt = |J0

I1 ' J F

Y l

x d x = 4x y d x

7 t 5

E[.EC[R()lvlAGNE IlSt\{O )' CIRCUI'I OS ELEfl'RICOS

J l " ' d ¿ = J' l t

Y l

cn cl cam¡no Y3 se t icne Y

(a * x y + ny y? I ( i t * c l x + av , l y )

s x, y la r i l t ima inlegral da un vslor:

= J(* r , t* + y2 dy)Yl

0

J r . r t f = i z y ? t t y = +' l , l '¿

F)r con.siguicntc, cl valor de la circulación Seni:

.1 .3 IN ' l ' l iGl l¿\ [ , Dt i SUPI iRFICIE

Sea una superficie S de ecuaciones paramétricas:

x = x (u ,v ) ; y = y ( u , v ) ; z = z ( u , v )

se denomina integral de superficie de una función escalar V(x,y,z) extendida aruna regitin D de .S, a la e xpresión:

z(u, v)l ds

? - - 8 1 6 4f F , t l r = i + 4 - t = TT

Jv, r t = J V[* (u ,v) , y (u,V) ,D t )

(s8)

tlonrle ils ind¡ca el elemento de superficie. La integral de superficie es unaintegral doble de la función que resulta al sustituir e,n-V(x,y,z),las variablesx,y,I por las ft¡nciones repre.sentutivas de la superficie, rnultiplicada por lacxpresión del el,:nlento del iirea.

{ .4 FLUJO

Sea .S In nrisnta strperticie del caso an¡erior y A(x,y'z) u1 c{mP!veclorial. Se denomin¿r tlujo del cilmpo vec¡orial A a través de la región D deS, a la integralde superficie:

J a. o' (5e)D

donde:¿\ = llx A^ +a, At +at A,

7 1 6

APENDICE 2: REPAS0 DE ANALISIS VECI'ORIAL

vds = ax dy dz + ay dz dx + a, dx dY

los valores de A debe n tonlarse en la superficie'

Cuirndo el f lujo se extiende a unn supefficierepresenta así:

I

f A .tlss

cerrada s, se

(60)

Ilsuí. claro que las integrales de superficic (58), (59) y (ó0) serándobles aunque i:e simplihque la notación con un único signo integral.

HE\IPL0 DI.: API.ICACIAN Nt I

Dado el campo vectorialA = a x * + a r ( y + z ) + a t r y

Cal¡ular: a) Elfinio sobre la superficie recnngular de Iafigura l0.b) Identsobre Ia supe(icie :riangular

F ig . I0

S 0 L U C I O N

a) El flujo sobre la supcrficic rccungular seni:

J A . c t s = J x y t l x t l y = Ii o

27=1

x d x y tly

7 t 7

ELECTROMAGNMS MO Y CIRCUTTOS E LECTRICOS

ya (luc cl ¡rroducto A.tlS vule:

A.dS = [ ¿rx x2 + a, (y+2.) + u zxy I a, dx r ly = xy t lx dy

b) El flrrjo sobre la superficic uiangular scrá:

{ r \ . t l s = { ( y + z . ) d x r l z =

ya quc cl producto cscalar A. ds valc:

A.tlS = [ "* t2 + a, (y+z) + a¿ xy ] rrrdy rtz = (y + t ) dy rlz

adcm¡is cn la supcrficic uiangular se cunrplc quc y - 0 cn todos sus puntos.

IiJI;I}IPI.O DIi APLICACION NI 5

Se ticnc un canpo vectorial vectoriol A = axxy z - oy! - azx.Calcular el

flujo dc este cil,nlro que utavicsa h.supcrticie del cubo de hdo unidad moslrado en laf g. I I .

APENDICE 2 r REI'ASO DE ANAUSIS VECTORIAL

J l . . r s - J + r y t t J y t J z * ! v r r l y t t z = i r u r i , d , . e Is s s 0 0

En la supcrficic oc rl c se ticne ds='ay dx dzcon Y = 0 y rcsulm:

a ¡

J A . , t t = J l r l x r l z = 0s s

cn la superficic a b g I sc ticnc ds = sv tlx tly con Y=l y nos da:

l t

J n . * = f - r t t x d z = f - u * d r . = - J o x J t r z = ' rs s s 0 0

En la supcrficie que lorma l¡¡ base o a f c, sc tiene un ds =- ¡lz rlx tly con z = 0

ynosda : I r

J l . a s = J x d x ¿ y = J x o x J u y = Is s 0 0

¡nr la cara superior bc tlg se ticne ds =- oz dx dy con z = | y nos qued¡:

I l - z

l zdxdz = t rd , i .

dx = *s 0 0

I A . d s = f - x d x t l y = - l x d x J d y =s s 0 l l

por consiguicnrc el flujo tonl dc A que araviesa el cubo scrá:

, t l l 3f n . d s = i - r + ; - ; = - ;

el valor negativo indica iuc cl flujo cs entrante a la supcrficie,superficie es un sumidero dc tlujo. Cuando cl l lujo es positivo, lafuentrr dc tlujo.

4.5 INTEGRAL TIT IPLE

Sea u = f (x ,y ,z) unü función deconti rua en el ci lmpo de irrtegración (lue esinteg 'al triple de la función f(x,y,z) extendida al

Se t l icc cntonccs quc l¿tsuperficic rcprcscnla una

t res var iab les que se.suponeun volunlen V. Se denotni l lavolu¡nen V a la expresión:

I' 2

Fig. l I

S ( ) L U C I O N

¿r b c, sc t,icnc ds =

J A . t l s = f - . \r i s

- ¡¡r ,Jy ü. y

y 7 . d y d z =

pOr consiguicntc rcsultü:

()

En la cilru frustcrior o

y¿t (lr¡c Llfl csl¿l c¿lril .r = (1. I F ¿

J f ( x , y , z ) d v ( 6 1 )v

donde dv representa el elemento de volumen que será igual n dx dy tlz. La

7 t f {

En l¿r c¡.uit ilntcrior ctl lg, sc ticne tl.s = ilx ,ly dz con x = | rcsultandtl:

7 t 9

ELECTITOMACNE:IISMO Y CIRCUITOS ELESI'RIC()S

integral (6t) extendida at volunren V es uha integral triple aunque s,:simplifique la notación con un único signo integral. El cllculo de la integraltriplc en coordenadas cartesianas se reduce en la práctica al cdlculo sucesivo dt:un integral sinrple y una integral doble o al cálculo de tres integrales simples.Si por ejemplo el volumen de integración está acotado por abajo por lasuperticie z =g¡ (x,y) por aniba por la superficie z =92 (x,y) y por los lados¡¡ediante cilindros rectos, cuya sección por el plano OXY es la región C,entonces la integral (61) se culcula por la fórmula:

APENDICE 2 : REI'�ASO DE ANALISIS VECII)RIAL

I l - r l ' r ' Y I l - r l - - - 2 l l - r - Y | | l ' ¡

l z d v = J d x I d y ! z , l z = l o * I l + l = + J u * lV { ) 0 r - t 0 O L b J 6

- 0 0

( l - x - y ) 2 d y =

l f ( t - x ) o l ' Io L ' r J , = u

rp2 ( x ,y )

I I | f (x , ! ,2) dx dy dz = JJo* o l f t tx ,y ,z) dzV

' D g ¡ ( x , y )

b g r ( x ) g z ( x , y )

f f i f(x ,y,z) clx dy dz = Ju* IOr J ttx,y, z) dz (62b)V a t s ¡ ( x ) e r ( x , y )

I z c t v = I I Isi el voluntet, de integrac¡ótl V est(f lirnilt) ' = 0 . ,u - 0-

(62a)5 . TUNCIONES DIFERENCIALI IS

5.1 GRADIENTII DE UN CAIvIPO ESCAL¡\R

Consideremos una función escalar V(u¡, u2, u3) que es continua yderivable en todos los puntos de una región. La nragnitud de V depende engeneral de la posición de los puntos de la región, pero podemos construirsuperficies a lo largo de las cuales el valor de la función escalar es constante.En la figura l2 se muestran dos de estas superficies en las que el valor de lafunción escalar vale V¡ y Vt + dV respectivanlenle, donde dV representa uncanrbio difere ncial en V. To¡nemos ur¡ punto cualquiera P¡ en la superfigic V 1y otro P2 en la superficie V¡ + dV a lo largo de la normal dn; P3 es otro puntocercano a PZ y que procede de P ¡ por una distancia ctl. Para el mismo canrbiodV en V, el valor de la derivada direccional dV/d/ es máximo a lo largo dela normal entre las superficies, ya que dn es la míni¡na distancia entre ambas.Se denomina gradiente de la función escalar V al valor máximo de laderivada direccional y cs una magnitud vectorial cuyo sentido vectorial esnor¡nal a las superficies en cl sentido de aunlento de la función V:

v , + d v

si suponentos que lit región G estíí acotadag2(x), var iando .K entre los l ímites "4"

Y "b",

a sí:

I iJ I iM P T-O DE API]C,ICION NE 6

Calcular la integral triple:

por las curvas yl = gf (x) e yZ =la integral (6 I ) se podrá calcular

z rlx rJy úz

ulo por lo.r planos x+Y+z = I, z = 0,

Teniendo cn cucnta c lvariación dc z scri:

z l = o

cl dc la vari¡¡blc y será:

Y l = 0

y e I dc la v¿uiable x oscilarú cntrc:

S O L U C I ( ) N

volurncn dc intcgración scñalado, el campo de

z z = I ' x - Y

Y 2 = I ' x

x 2 = Ix ¡ = o

F)r consiguicnrc la integral triplc dcl cnunciitdo se c¿¡lcul¿¡rá mediante la expresión:

774

Fig . 12

721

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS APENDICE ?: RE|áSO DE ANALISIS VECTORI,AL

es conveniente definir un operudor nal¡la V de Hunrilton:

v = r r a * o . , t * o . - L ( 7 2 )' - r h ¡ ? u ¡ ' h 2 J u 2 ' h 3 ) u 3

de este modo el operador gradiente (71) se podrá expresar teniendo en cuenta(72) como:

g r a d V = B n #

dc este modo la derivada direccional en latcnicndo en cuenta el grúfico de la fig. 12:

(63)

otrü dirección se podrá exPresür

(64)

(65)

(67)

É a a av = a x , , -

* s y a r * o z ; ;

es cfecir:

dV dV dn dV

ü = a ñ

ü = d n c o s ü '

dv dv*

* f f i 0 ¡ . s ! * ( g r a d V ) . o ¿

g r a d V = V V

de este modO el operador n¡¡bla se trutn nrltenriitici¡nlente conlo utl vector (') .

En el caso de coordenadas cilne.sianas se cunrplirá:

(7 3)

(7 4)

(75)

(76)

clontJc a¿ representa el vector unitario en la dirección comprendida entre P¡ yI'.r .

De la ecuación (65) se puede escribir:

dV = grad V . a¿ d l =grad V .d¿ (66)

el diferencial total dV se puede expresar en función de los cambiosdilercnciales de las coordenadas, resulmndo:

y de este modo el gradiente te ndrú la ftrnna:

AV AVdv=.ql i l t+ + ü2+ + üt

d t t - ¡

dh b

d t t

y teniendo en cuenta (28) resulta:

cll = at (ht dut) + a2\h2du2) + a3 (h3 du3) 108)

Que de acuerdo con las ecuaciones (66), (67) t 1e8) se podrúescrillir:

' EV u l *o , 9 ] [ " , d t ¡+a2dt2 +a3 d /3 ] toq ldv = lar arr*

o, lr, dr3

(lue al conrparilr con (66) resultard una expresión general para el

s r a d ! = a ¡ + + a z + + 4 3 *' A ¿ t o l t z r l t l

e.s decir:

grad ! = o ' \ ¿ *

* l ) ' t * i l z

5.2 DIVERGENCIA DE UN CAIVIPO VECTORIAL

Si se tiene un campo vectorial A derivable en cada pttnto de unaregión del espacio, la divergencia del vector en un punto P de la región es unacantid¡d escalar que es igual ul flujo neto saliente debido a A por unid¿rd devolumen en el punto P. Lrr divergencia de A se escribe abrevilda¡rlente contod i v A y v a l d r i í :

f a . dsd i v A = l i r n S

AV+0 AV

ry0z

grad v = ava ¡ t r , a * + 4 2 + 4 3

hr Eu2 h3 Du3

av 0v

gradiente:

(70)

( 7 l )

los tres sistemas deEn cii lculo vectorial

podemos ver la forma que toma la <Jiv A cn cocjrdenadas cunesianas. Para elloco¡¡sideremos un punto P conro en la fig. l3 y un difcrencial <le volumenelenrental apoyiindose en el punto P, que por conrodidad se ha elegido uncubo de lados dx, rly, dz.

(t) ll.y qu" tener sumo cuid¡rlo cn cxtcndcr cl uso del opcrador n¡bl¡ en coo¡denudas curvilíncas yaquc es motivo de confusión. Tcnicndo cicrlas ¡rrccrucioncs se puedc ulilir.ar y es dc gran

comodidad.

los va lores de los factores n lét r icos h1, l t2 ,y h3, paracoordefladas clásicos Son los nrostrados en la tabli l ne l.

722 7?3

E [. Ec-l'R Otll AG NETI S MO Y C I R C UTTOS E LECT R ICOS

P ( x , ! , z l

Y . d Y

AI¡ENDICE 2 : REPASO DE ANALISIS VECI ORIAL

+ dx dy dz (Te)0x

lts caras de.recha e izquierda del cubo se tendrá tut

p dy dx dz (80)Ey

Fig. 13

Para calcutrr el flujo de A que atraviesa el cubo, se considerarinlas caras del cubo de un modo leparadoi de un modo similar al que se empl:óp"ni.rofu"r el ejenrplo tte aplióación ne 5. Si denonlinamos A¡ la com;o-

nente cle ¿\ en el eje r, la variución de A* respecto de x serd EA*/Dx y el in-

crenletrto en la conrponente x cle ,\ a lo largo del diferencial de longitud dx

serii ;aA,- ü xDx

* dzdv dx

De este modo el flujo total c¡ue atraviesa esta superficie elententalserín:

_ aA, aA" aA, .( 3 + 3 + ? ' ) d x d y d z ( 8 2 )dx dy dz

que corresponde a un flujo por unidad de volumen, que representa ladivergencia de A:

divd= oS^ + ¿fu + E4,

de un modo sinrilar parafl{o neto:

y pflra la supe rior e inferior;

d i v d ='

,hr l r3 Ar) + +'U ¡ duz*$ rn ¡ a

h3 A2) + + (hr hz nt) | (8s)du3

(8 l )

(83)

De estc ntodo, sianterior serii:

I1l tlt¡jo de r\ ctr llt

dz vit lclri i :

la cornponente de A en ln carn posterior es A¡, eo la carn

aA,A , +

- - A d x, " J x

crrra posrerior donde el diferenci¡rl de superficie es -a* i y

0x Dy lz

si tenemos en cuenla la definición del vec¡or nabla (74) y el resultado anterior,la divergencia sc podrrí también escribir así:

d i v A = V . A (84)

se puede demosrar que la expresión de la divergencia de un campo vectoriale¡r coordenadas curvilíneas viene expresada por la ecuación:

A* dy dz

nricntras que el tlujo de A por la cara nnterior, en la cual se tiene ds = ax dy ¡lz

se rii:los puntos P del campo vectorial A, en los cuales la div A > 0 se llamanfueñtes, ¡nientras t¡ue los puntos, en los cuales div A < 0 se deno¡ninansumitleros del campo vectorial. Si en todos los puntos P de cierto dominio Gla divergencia del campo vec¡orial (prefijado en el dominio G) es igual a cero:div A = 0, entonces se dice t¡ue el campo es solenoidal en este donlinio; deeste modo el canrpo solenoidnl no tiene fuentes ni sumideros. Cuando se licllc

fl1) h l h t h 3 L D u t \ " j

( A * + + d x ) d y d z.lx

l¿r sunta rje cstos clos llu.ios cs igtritl ¡t:

724

(78)

725

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

rul cil¡lpo solenoidal, las líne:rs de carnpo no tienen ni principio ni ltn' Las que,"¡r..r"irt"n el campo son centdas O pueden lener sus extremos en el límite delcarnp().

5 .3 ROTACTONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

.Supóngase una superficie elemental abierta AS' limitada por un

contorno cerraclo T, y un c¿¡mpo vectorial A derivable en cada punto de la

su¡rerticie As. Vamos a c¡lcular la circulación del campo A alrededor del

contorno cerrado T para ello irsignaremos un cierto sentido de circulación en la

curva elegido de un modo urbitrario. Este sentido de circulación impone trnsentido ¡ñsitivo al veclor normal a lu superficie AS, que s.e. obtiene como¡n¡estra'la lig. l4a aplicando la reglir de la mano derecha: si los detlos de lalll¡uro tlereclñ se oriéntan siguicndb el sentido de circulación cn la curva, cl{crl6 ¡rulgar dard sentido positivo de la nornral al área As sobre la que se apoyal:r curuu."fn la fig. l4b s'e muestra un área elemental que se ha supuesto quese hayt colocadó en el plirno X O Y, donde se ha indicado el sentido de

circulación en el contorno T y el sentido positivo del área, señalado por elvcctor u¡ritario nomtnl a lt superficie an.

APENDICE 2: REPASO DE ANALISIS VECTORIAL

ele¡nental de tll modo qr¡e (tt6) nos dé un nriximo positivo. El vector cuyltmagnitud es igunt u esra i' irculución nuixirntt por unitlad de ircu y cuyo sentidoes ól de an sJdenomina rotacional del vector A y se escribe: rot ¿\. De estenrodo se cumple:

rot A = lim o., -LAs+O

¡¡ As f lA d lLr

II

,87)J ¡trilx

A en el punto P.el vector rot A rnide la intensidad de la circulación de

Se puede demostrar (') que el valor del rotacional de un c¿t¡llpovectorial A en coordenadas canesianas es igual a:

aA" aA., aA- lo. * o, cJrAy. - $r, (88)r o t A = o - , d - É ¡ + a r ( ; i É , " . a ^ D y .

un modo nrás conven¡ettte de expresar (88) que perntitit recordark¡ confacilidad es:

r o t A =

a r a y

a aa- AyA.. Ay

donde A¡, Ay, A, representan respectivanlente las componentes en el eje x,y,z delcanrpó vectorial A. Teniendo en cuentí¡ la definición del vector nabla(74) er coordenadas curtesianus, lu expresión (89) se puede escribir de ultmodo ;implificado:

r o t A = V x A (e0)

En general, cn coordenildils curvilíneas la expresión del rotaciottit l

a r l¿ l) z ltt, J

( t{e)

(e l )Ln circul¿rción delelcnrelrtal v¡tldrli:

Fig . l {

vector A por unidad de úrea en estÍ l superficie r o t A = ' ' - Jh r l t 2 h 3

I t r ro 'l aI d-'[r ¡.\ ¡

h:a za

Duth r r \ "

f \ . d ¿ (86)

si se hace tender As a cero de modo que la longitud total de l tienda tanlbién acero, l¡¡ expresión (tt6) tlur¡i la circulución por unidad de área en un punto.P(fig. l¿ Ui. En general, la circulación por unidad de úrea depende de laorñntación de lf superficie. Supongürnos enlonces, que orientanns el ¡írea

726

] - óA s r

Y

(*) t ' 'er capítuloMc. Grarv l l i l l .

I tlc Introduction to nlodcrn clccuornilgnctics dc Durncy ilnd Johftson. Etl.

i727

h rhra

Durh¡A. l

ELECTRONIACNETISNIO Y CIRCUMOS ELECTRICOS

Il istóricamente, el concepto de rotacional proviene de un ¡nodelonr¡r¡enritico para analizitr los etbc¡os que ocurren en la hidrodin¡imica..Supóngase un fluído en movi¡niento (por ej. la corriente de agua cir un canal).Si se considera el canrpo vectorial de velocidades del t' luído, cuando es¡ecampo cs uniforme con la profundidad (fig. l5a) al colocar una rueda depaicias en sc¡rtido transverstl al fluído, esta rueda no experitnentnrií ningún¡novinriento ya que la velocidad es la nlisma en las paletas su¡'eriores einl'eriores. Esto significa t¡ue la circulación ¡lrededor clel cje de la ruedaprotiucicla por el campo de velocidades es cero; o de otro modo el rctacional esnulo.

APENI. ICE 2 : REPASO DE ANALISIS VECTORTAL

:)\/rot V = a,

" ! = 'oz tr l' E x

oue indica tal como muestra la fig. l5 b quc el roracional va dirigiclo cn cl

s'enrido de las Z negativas.

Cuando un campo vectorial tiene su rotacional nulo se dice

entonces qui el campo es iriotacional. Como veremos más adelante, si ttn

óunipo vectorial tienc su rotacional nulo, entonces el campo se puetle

óónr'iJ"ru, r¡ue procetle del gradiente de un campo escrlar y por ello se

clenomina tamU¡én canlpo conservativo.

5.4 AL OPERADOR LAPLACIANO

Se denomintlaplaciano de una función escalar V(x, y, z) a la

divergencia de su gratliente . Se representa por A (no confundir este sírnbolo

con el incremento de una cantidad) y tarnbién a veces por V2, de manera t¡rte

según esta definici' in y de acuerdo con la expresión del operador nablu

inJicada en (?4) se cumplirá en coortlenudas canesianas :C i r c u l a c l ó n n u l a

a l

= :{*i-:-/l\)::i;:--:::= = i ' = = t : l ) : v = - : : . - - - -

Clrcu lac ión d l fe ren te de cero

b )

Fig. 15

Si se considera ahora un campo de ve locidades decrecient: con laprofundidad (fig. l5b), la rueda girarii con una velocidad dc rotaciónproporcional a li cornponente del rolacional de velocidades en el eje de.lanreüa. Cuando no se conoce la dirección det vector rotacional en un punto delfluído, pucde canrbiarse lu orientnción de la rueda dc paletas, hasta quc scencr¡cntie una, pilra la cunl, la velocidad de rotación de las paletas sea máxima.En csta posición, la dirccción del eje de la rueda corresponde a la dirección delvector iotacional, mientr¡s que su velocidad máxima es una medida delmódulo del rotacional. De este modo el rotacional es una medida de Iarrrrbufencia rlel fluído en el punlo donde se sitúa la rueda. El sentido delrt'¡tacional cs el que se deduce del sentido del giro cle la rued¡t, de tal modo quesi tolnanlos lt ¡n¡rno derecha haciendo coincidir l¡r orientación de los dedos conel sentido,-le giro de lits paletas, el dedo pulgar (hg. 1.5) señular¿í la dirección yscntido rlcl rotacional.

Supongarnos por ejenrplo el est¡uenrn tle l:r tig. I 5b, en e.l que lavelociclad de I

' l luÍtlo sigue cl eje cartesiano Y, el eje X es perpendicular y

entri¡nte u lt corriente lluícla y e)7.es snliente al plano de ll prigina. El origenclel sistema de coordenatlas se sitti l en la superficie del ugua. Si el campovectorii¡l de velocidades se reduce linealmente con la prof undidad x, se podráexpresar de ln lbrnta: V

: - o, nlx + nr y por consiguiente de acuerdo con (tl8)

el valor del rotltcionll scrii:

72Íl

a2A - cliv grad = V2 = V.p= operador lnplaciano =

a^, +

que al aplicarlo a una ftrnción escalar V nos da:

a2 a2- * - (92)

lyz ?)zz

laptaciüno de v = [ v- v2v = +u a2v azv

a - 2 + a r r * a *(e3)

195a r

Pua obtener la expresión tlel operitdor laplaciano en coordenildus atrvilírcas

ortog,onales, bas¡arii aplicar (70) y (85)' resultando:

^= --!--. I i-(!r2!Blr* A,F\9,* 9,\93,1 (e1)¿¡ = i i hz h ¡ ' au , * h , Du¡ '

' c )u" ' h2 Eu2 ' du3 ' h l Du¡ '

Iil operador laplaciano ¡un¡bién es aplicilble o un ca¡npo vectot'ial

A. y así se p.rc, le det ini i e l l i rptuciant l de un c¡¡¡r¡po vector ial r \ a t t ¡ t

nu"ío cantpo vectorial que obedece I lu expresión:

Ar\ = V2 A = grÍtd div A - rot rot A

Esta ttefinicitirt parece tln poco lrtificiosa pero si se nplicn l ün cllnlpou.cio¡at tlcllnitkl cn un .ri.rrcrn u de crx¡nlenuius canesiutttts y se otltielten las

12()

ELECTROIVÍACNffiSMO Y C¡RCUffOS ELECTRICOS

cornponcntes de AA . tendre¡nos la explicación del nonlbre. Y así el lectorpucclc corrrprobrr t¡ue ll nplicur (954) se obtiene:

AA = Vl A = ox V2 A, +a, V2 A, +arV} A, (95b)

es rlecir: e¡r coordenadas c¡rrtesianas ortogonales, lus componentes delluplaciana de un campo vectoriul son los laplacianos de lus componentes deltttisttto.

Debe destucilrse que en general, c¡t cttordenudcts curvilíneasortogtttwles no es cierta la propiedud unterior, es decir, en ellas hay que

definir AA por la expresión (95a), no siendo admisible la (95b), puesto queen coordenadas curvilíneas los laplacianos de las componentes de un campovectorinl no son, en general, conrponentes de otro c¿rnrpo vectoriil l. De estemotlo cuando se requiera el ciilculo del laplaciano de un canlpo vectorial encoorclenadas cilíndricrs o esféricas deberi aplicarse la expresión (95a) paradeten¡rinar el valor correspondiente.

En la tabla na 2 se muestra una relación de las expresiones delgradiente. divergencia, rotucional y lapluciano en los tres sistemas decoordenudas básicos: cartcsianu.r, cilíndricus y csféricas .

ETIII'IPLO DIi APT.ICACTON N' 7

APENDICE t : REPASO DE ANALISIS VECTORLAL

TABLA NO 3

y el rudio vector de otro punto de coordenaelas(x', y',t') dcfinido por el vector:

r t = a x x ' * o v y ' + o z z

Si üene elcwtticüttl vecloriul:

Culcttlur: l) magniuul de

cetntidtul unte rior rc.Ípecto il x,);,?.

rudio vector en un punto de coordenudas (x,y,z), d,efiniclo par la

f = a x x + a y y + a z z

lacunt idac tc ' I

Sciltar I HI

: 2¡ gradiente cle la

S ( ) L U C T O N

I ) t : l vi l lor t lc r - r ' cs igual a:

- f ' = a ' < ( . \ - x ' ) + i l y ( y - y ' ) + i t r ( , - z ' \

rluc c0frcs[nn(lc il un lnrxlulo:

. , ' " * *RL,S I ) IFERENCI , \LES VECTOITIALI IS

[ t * ay u r . Ir o r A = l g ¿ ¿ l

' l d x d y i t t lLo* Ay n , J

v , v = # + # + #

COORDBNADAS CARTESIANAS (x,y,z)

s r a d V : - 4 , * * r y $ * u r #a A x + $ . + +

div A = 7^ c,y dz

a2v+ r f i

¡ a 3 A o= ;

t ( r A r ) + ; t O +

[o , r i ló u r . Ir l a J r ) l

= l - - !

r ld r A0 dr . lL A , r A o n r j

I a r J V . I a 2 v=; r ) r ( r ar ) * ¡ tóz

COORDENADAS C IL INDRICAS ( r , 0 ,2 )

s rad v = q * +ao# * r r #

?tudt

rot A

v 2 v

t l iv A

COORDENADAS ISFERIC¿\S ( r , 0 ,0)

srad V=nr # + i ls # + i l6 # i l H

r l i v A = i *

( r 2 A , ) + # $ r A s s c n o ) +

[u, r üo r scn0 ¿tó I '

r o t A = + - l + i + |r ¿ scrrg I r)r ¿0 .)0 |

L o , r A o r s c n 0 A o J

v2v = i * ( r 2# ) + * " $ , s cno H

. L _ _r scno

qra0

\ . d l vt r

r? scn lo ao2

73( )

I r - r ' f = | t t - . \ ' ) J + ( y - y ' )Z + ( t . - T . ' )Z l t l?

7 l I

E L ECTItOlvlACN FnS [f O Y CI RCUI|OS ELECTR lCos

tlu alrí quc cl rntxlulo tlc lu invcrs¡¡ sc¿¡ igual a: /

l l

; j r , , = [ ( x - x ' ) 2 * ( y ' Y ' ) 2 + ( z - z ) 2 l ' t l z

2) El gradicntc (lc la cantidad anterior scni:

s r i l d , , . . ! , , = o * * ( ñ + r r ) + r r * ( r r + n t ) +

y lcnicndo clt cucnm quc: ,

a , la - ( | , - F l ) = - (x - x ' ) [ t * ' x )2 + ( y ' y ' )2 + (z 'z , )zJ

y (lc forr¡ut sittular l¿ts rlclniis dcrivitthls. rcsultiuil:

sradñ*¡ = t'i|t

a la r - ¿ r . ( r r ; l )

-312 = - I-: x. =- l r - r ' ¡ 3

I 'J I iT!PLO DE API. ICACION NE 8

Se tienc un campo vectorial t E . y', z') y los rodlos vectores r y r' definidosen el ejentplo tntcrittr. Deno.urar h igualdad siguiente:

I I r . r ' )r o r ; . ; ¡ = J x ü . I - F

N?l'il: I túguse nso de h identidod vectorial (ver opcración 7 del epígrafe 7.1 ):

rol U . l = U .nl l . f + grad U x J

'|én¡;use en cuentu quc J dependc sólo de x',y',2'pero no de x,.y,z.

' l 'ornand() cl cscal iu U:

v: tcnrlni:

S O L U C I O NI

I | -t ¡ - l r - r ' I

- . f I a r . Irrl l i ;:t¡ l

= f ;,, I

rtt l .t + Srad ñ:,- | x J

c9nr9 quicra quc .l (.r', y', r.') stilo tlcpcndc dc l¡¡s coordcnadas primadaS, su robcional scráccro, ya quc las dcrivadas tlc las componentes dc J, rcspecto de x.y,z son nulas:

fi] =0f ,,* ¿ty

r r f r . t = l ¿ ¿I t)^ Dy

L l * t l v '

732 733

A|)ENDICE 2 : REPASO DE ANALISIS VECTOR¡AL

y por consiguicntc se tcndrá:

, u , ; i r 1 = g r o d ; i r , , t l

y tcnicntlo cn cucnn cl rcsultado dcl problcma antcrior se llega a:

r o , # ; , = - * = f t x r = J - * T +quc cra la igualdad quc se qucría dcmost¡ar.

6, TEOREMAS INTEGRALES

Existen dos teoremns de especial importancia en cálculo vectorial:el teorenra de Ostrr .rgractsky-Gauss o teorema de la divergcncia, qucpermite convertir una integral de volumen en superficie o vicever¡a. y clieore¡ lra dc Stokcs t¡ue permite convert i r una integrul dc superf ic ic clrcurvilí¡rea o al con¡rurio.

6 . I T E O R E M A D E O S T R O G R A D S K Y . G A U S S O T E O R B M ADE L¿\ DIVERCENCIA

Dado un campo vectorial A cuyas componentes admiten prinrerasderivadas parciules continuas €n utt volunren V y sobre la superficie S que ltrlimita, si esta superficie está compuesta por un núnlero finito de partes, y e¡tcada punto de las cuales existe y varía con con¡inuidad el vector normal a lltsuperficie an (que se toma normal y saliente a la superficie), se cunrple lasiguiente iden¡idad:

I d i v A d v = f A . d s (e6)

la expresión anterior es el teorema de Ostrogradsky-G_auss. No se har¡í un¡tdenrostración rigurosa de (96), pero es fácil ver que (96) es una extensión tlr;la definición de divergencia que se dió en (76).

I 'JI i I I IPI.O DIi API. ICACION NE g :

Culcukr d flujo dcl vttt:lor A = a, (22 - x2 ¡ u través del cubo dc uristtt uttitlul

nnstntdoenktfi¡g. l6.llacer elcúlculodirectomenteyaplicandoelrcoremadeCauss.

ELECTROIVI.AGNffiS ñlO Y CIRCUITOS ELECTRICOS

F ig . 16

S ( ) I , U C T O N

a) cAl ,cuLo DIRECT0

Los clcmenlo.s de superficie rcpresentados cn la figura son:

APENDICE 2: REPASO DE ANALISIS VEC'TORIAL

ya que cl producto cscal¿u dc los vcctorcs uniu¡rios que son normalcs entrc sí cs igual a cero.

Dc este moclo sc obticnc:

{ A . d s = t ( l - x l ) d x d y + (0 - x2 )dxdy

cs decir:

y la ecuación (96) nos da:

r f i v A = s ' + + + + = 2 2rrx rrv d.r.

I

f A . tts = Itts 0

- x 2 ) d x x2 t lx fut0

fE

I

J0

I

Iut +0

= l

b) APLICANDO F:L ' IF :ORI INIA D l ' : GTIUSS

La divcrgencia tlcl carnpo vectorial A valc :

I t f i v A d v = I 2 z d x r J y ú z =v v

l l l

f z . r * I o r I zdz = I( t 0 0

cl flujo quc atrüvicsa la su¡nrficic cerraü tlcl cubo sc podrú c.\presilr:

f A , d s = f r \ , c l . r + I A . d s + . . . + I A . d ss

rlc tul rnotlo rluc .$t ticllc:

ds¡ = ar. dx dY

tls4 = -a' dY tlz"

A . d s l = ü ¡ .

A . d s 2 = a r .

A . t lsl = üt.

A . t l s a = t t .

A . tl.s-5 = üt.

A . t ls6 = nt .

ds2 = a* dY dz

ds5 = ' ¿lv dx dz.

, l s l - - a z d x d y

d.s6 = a, dx dz

só

- * l) . (üz.dx dy) = (22 - ^2) t lx t ly . Con z. = I

- x 2 ) . ( i l r d y d z ) = ( )

- *2) . (- i lz dx dy) = - \22-xl) dx dy . Con t = 0

- x 2 ) . ( - a r d y t l z ) = 0

- x 2 ) . ( - i l y t l x d z ) = 0

- x l ) . ( a " t l x d z ) = 0

rcsultado que coincide con cl anlcrior pcro cuy¿t t¡btcnción cs mucho miis sitnple.

6.2 TEOREMA DE STOKES

Suponganros en el espacio unü curvü cerrada y compuesta de unnúmero finito de ürcos con tirngente continua y uoa superficie orientable S(abiena) cuyo contorno seil Y y t¡ue pueda desconrponerse en un ntirnero finitode casquetes representables por ecuaciónes parnrnétricas t¡ue adrniten dcriva-das parciales continuas. Si A es un canrpo vectorial cuyas co¡nponentes adnri-

ten derivadas parciales continuus de prinrer orden sobre S y y entonces secufilple:

52

(zl

(zZ

\r2

\r.2

lr7

(2.1

I rot A . cfs = f n .d lS Y

en la expresión anterior, que constituye el teorema de Stokes. los sentidos decirculación en la curva y lu rrornrul en la superficie estin ligados por la regla dcla mano derecha. Cuando el contorno es plano, este teorema se conoce con elnombre de teorem¡ de Rienl¡rnn. La expresión (97) es en cierto ¡rtodo unaampliación del concepto de rotaciorrll delinido en (87).

(e7)

6

7 _14 73s

T,:J Ti,V P I.O

de A 0 trcvés

ul I ltrcer el c

¿t) Ilr¡ la fig.

y cl difcrcnciul t lc suPcrl ' ic ic:

tlc dondc sc dctlucc:

con lo (luc sc obticnc:

D l i , ' l l ' l J C ¡ l C I 0 N N o I 0

Seu el campo vectorful A - - axy + uy x + az. Calcul¿rr el fluio del rotaciorutl

de la semiesÍera:x 2 + y 2 + 2 2 - l = 0 : z > 0

úlculo directanrcnte. b) Aplican¿lo el teorema de Stokes.

S O L U C I O N

l7 sc rnucsra la superficic abierm dc la semiesfcrríl. El valor del romcional es:

fu . ¿ ry a r . ll a , i t l

n ) l A = l - : - l = x r 2¡ r ) x ) y l z l -

L - r í ' J

ELECI'IIOiIIAGNLTISM() Y CIRCUIT( )S ELECTRICOS

F ig . 11

tfs = il, dy dT. + ily d,r dz * o¿ tlx dY

rtf t A. d.s = 2 dx t ly

APENDICE 2: REPASO DE ANAUSIS VECTORIAL

ya que cl rarlio l{ cs igual a l.

b) Si sc aplica cl teorcn¡il de Stokcs sc úcnc:

J r o t A . < t =

{ n . o fs t

4ontle ycs la ci¡cunfcrencia de ta base. El difr.rcncial dc longitud de circunferencia scrii igual

scgún (37):d f = a r d x + a , d y

y cl producto A. df vaklrá:

A . t l f = ( - a * y + ¡ l y x + a / . : ) ( a * d x + a , d y ) = ' y d x + r d y

de este modo, sc tenrlrá que calcular:

f e . o r = { - r d x + x d yY I

para res<¡lvcr la intcgral anrcior, cxprcs¡¡remos la ccuacirin de la circunl'crcncia

en coordenadas ¡r larcs:

x = R c o s g = c o s ü Y = R s c n 0 , = s c t l o

ya que R = l. El valor tle los clifcrcncialc'¡ tlx' tly, son:

dx = - sCnn dt. : dy = Cosü dO

y ¡nr consiguicntc cl vtlor de la intcgru' curvilínca scri:

| ' ¡ 7 c o s 2 a ) d c = 2 rf ' Y a ^ + x ( l / = J ( s c n - c r +

1 0que coincide con cl valor calculatlo ante';'

7. IDENTIDADES VECT0RIALES

A conrinuación, se Yan a dar una seric de identidades vectorialcsde gran t¡tilidad y r¡ue hacen uso del operador nablit. Téngüse en cuentil pilritconiprender el pórtiué de algunas de estas identidades.t¡ue el operador nablapue<ie s"r consiiler¿ido bien óonlo vector, en las operaciones vectoriales; bicnconro operador diferencial en otros casos.

7.1 OPER¿\CIONES (U y V: escalares; A y B: vectores)

l ) g r a d ( U + V ) = g r a d U + g r a d VJrots

A . d s = 2 l d , \ d ySr.*

- - t - - -

736

= Z n R l = 2 n

737

ELECTROMAGNMSMO Y CTRCUNOS ELECTRICOS

2) grad tU V) = U grad V+ V grad U

3) div (A+ B) = div A + div t |

4) div (U A) = U div A + A . grad Upuesto que: v (uA) = u (v.A) + A .(v u)

5) div (A x B) = I!.rtlt A '¡ A.rot Bpues v . (A x B) = I | . (v x A) - A , (v x t ! )

6 ) r o t ( A + B ) = r o t A + r o t B

7) rot (U A) = U rot A + grad U x Apues V x (UA) = U(V x A) + (V U) x A

s ) r o t ( A x l ! ) = ( B . v ) A - B d i v A - ( A . v ) B + A d i v l |

APENDICE 2: REPASO DE ANALISIS VECTORI.AL

7.2 RELACIONES

pues V x A x B =(B.V)A - (V. A)B - (A .V)B + (V. B) A

Debe tenerse en cuenta que A .V significa :

A . v = A . a , 9 * n . o , 9 * A . a , I =dx dY dz

a a aAx I-+ Av l-+ Az ;-

d x ' d v d z

y en consecuencia el significudo de (A. V)B es el siguiente:

( A . V ) B = o - P * n , P * n , *dx dY ctz

9) grad (A.B) = 1l.V) t!+(B.V) A+ A x rot B+B x rot Aya queV (A.B) = (A.V) B+(B.V)A+A x (V x I l )+ l l x (V x A)

NO'I'A ; Muchas dc las opcrucioncs untcri<lrcs sr¡n inmcdiatas. lcniendo cn cucnta lalincalidarl dc kls t¡rcrutkrrcs, En otros casos. lu dcrnostraci¡in rlc las itlcntidutlcsdebc rc¿¡lizarsc mcdiantc lu ctrnprohircitin tlc las opcncittncs'

l ) r o t g r ü d V = V x V V = 0 s i e m p r e e s c e r o

Demostración :

r o t g r a d V = r o t ( a x + - o r p * a r + ) =d x ' d y d z

a2v 02v 02v a2v= o x ( a y f u , t t ) + a Y

( a , a x - a x a z )

+

D2v azv+ a, (

axJy -

ata- ) ;- 0

2) div rot A = V. (V x A) = 0 sienrpre es cero.

LH demostrilción de estít identidad es similar a la anterior y ellector lo puede comprobar real izando las operacionesmencionadas.

Regla mnemotécnica: A la vista de las clos relacionesanteriore:i, se observu que siempre que uparez,co el operadornablu uplicudo en un doble proclucto: escalar y vectorial elresultaclo siempre seró cero. (Téngase en cuent& que si se leda car¿ícter vectorial al operador nabla, aparece el productom¡xto de tres "vectores", dos de los cuales coinciden y porello el producto nrix.to según la ecuacióll ( l6) serÍi sierrtprecer0).

3) div grad V - V V V =YZV operador laplaciano

4) rot rut A =

ya que

V x 1 V x A )

grad d iv A - V2 A

= V ( V . A ) - ( V . V ) A

( lue cs un¿l e,\ lensión de h ecu¡lción ( l7) tr l t i lndo cl operudornabla conro un vector.

L"a operitción V2A en co()rdencttlas cartesiutttts es igutl a:

73rl 7 .l(.)

H, [, F.C-I"R () IVI AG N ETI.S I\I () Y C I R C U ITOS E LECTR I CO'SAPENDICE 2 : REPASO DE ANALISIS VECTORIAL

que es siempre igual a cero. Cua¡rdo la ecuación (101) se cxpresa como

gradiente negntivo:

f I i . c l , = f g r a d U . d t = - f g r a d v . d l

Y Y T

v2A = a* Vl A* + n, V2A, + a, Y?A,

7. .1 I I )DN] ' IDADI iS INTEGRAI,ES DE GREEN

¡ l f - 2 . . , , r , , - - . - r - - frt I tu gracl v). ¿t =

J I u vtv + (grad u) (srad v{ auJ r -

(9tt)

n"" ,. obtiene uptrc'nAo el ¡eorema de Causs al 9r¡mpqu.",orioiÜ-gioo V, y renientlo en cuenril la idenridüd 4) delePígrat 'e 7.1.

r , = [ r u v 2 v - v v ' u ) ¿ u2) | (U grad V-V grad U)dt J .J " (99)

U,,. r;. otrtiene aplicando la identidad I unterior (primer

,.or"to ¿t Cr"e,i) al campo vectorial V grad U y restandou,r,Uni--i¿enridadeí. Es¡a iüenridad 2) se denontina teorema

sinlétrico tle Creen'

Los teore¡rras de Green son intportantes en el estudio,¡ su rui;',i;i' ¡,or.'ici"r elécrrico cuando ex isren problernas decolltorno.

It. CI\MPOS VECTOIIIALES IRROTACIONALES Y SOLE'

N() IDAI ,ES

8.1 CAI\ ' t l 'O VECTOIIL\L IRROTACIONAL

se denonrin¡t ccmpo veclori¡ l i rrotacir¡nal F, aquél cttyo

rotacional es l ltt lo. es decir:

r o t F = Q ( l m )

F = - g r a d V

entonces la función escalar V se denonrina potencial escalar.

Si se aplica el teoremil de Stokes al campo vectorial

r * f

J rot Ir . ds = f F- .dl

S Y

pero teniendo er l cuenta ( l0 l ) ó ( 103) , nos queda:

= - f o u = oT

(103 )

I i resulta:

(104 )

(1051

(106 )

( 107)

y teniendo en ct le nta (66) nos di l :

f F .d t = fo ,

se consider:r por ejemplo que el.cümpg vectorial F -es un caqpo de fuerzas, l¿r

in¡ecral ( tg6i expiesaiú el'rrirbajo reilizado por la fuerza F al moverse en unit

;;;i i l; iJ;é*,io. S.e observni¡ue cl rcsuliado es nulo, lo que significit quc

no se gana nt se pterc.le energía al rea.lizarse un trabajo,*:1^un c"¡nrp('

inoraciónat. Por to¿o esto se ñ'ice ¡ambién que un campo i¡rotacional es

conserva t i v<¡ .

Para cleternrinrr un ci¡nlpo irrotacional es preciso conocer stl

divergencia y tas condiciones de contorno en los l ínr i tes del culr tpo.'l 'éngÑe en cuent.t que segrin ( l0 I ):

de ircrertlo co' l,. propietl*cl I del epígr.¿l.te 7.2, si un ciltnpo es

po(lrri derivnrse dcl'grndierrre de unl furición escalur U, es decir:

F = gr¿¡d U

y si se co¡oce lt divergencin clc F en tocll l l región de I espacio, se tendrii:

tliv [r = p ( t08)

y renienrl¡ cn cuenl¡t ( l0?), ( ltlS) y hr idcnticlud 3) tlel epígrafe7.?, resultlrií:

c l i v g r a d U = p : + V 2 U = P ( 1 0 9 )

ln ecuación lnrerior se denonrinn ecuación escalar de Poisson. En el caso

irrotacional

( l 0 t )F = grild U

yil (lue lus ecr'ciones ( r(){)) y ( l0l) nos conducen a l¡r iclentidad:

rot grad U= 0 ( 102)

? l t )

7.1 I

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUNOS ELECTRICOS

de que p sea igunl ¿r cero, lu ecuución corespondiente: V2 U = 0 se denominaecuación escalar de Laplace. Ambas ecuaciones son del tipo diferencialen derivadas parciales de segundo orden que determinan el canrpo escalar U,conociendo las condiciones de contorno del campo, que son necesarias paracalcular las constantes que aparccen en la integración.

8.2 CAMPO VECTORIAL SOLENOTDAL

Se denomin& campo vector ial solenoidal F, aquél cuyadivergencia es nula, es decir:

d i v F = 0 ( t l 0 )

tcniendcr en cuenla la relación 2) del epígrafe 1.7 .2, querrií decir c¡ue F puededt:riv¡rrse del rotucional de un campo vectorial A:

F = r o t A ( l l l )

ya (luc las ccuaciones (l l0) y (l I l) conducen a la identidad:

d i v r o t A = ( )

APENDICE 2: REPASO DE ANALISIS VECTORIAL

P = r o t A i l t6)

si se conoce el ro¡acional de F en todo el espacio, por ejemplo

r o t F = P ( l l 7 )

entonces teniendo en cuentü ( l l6), ( l l7) y la relación 4) del epígrafe 7.2,resultani:

r o t r o t A = p ( l l 8 )es decir:

rot rot A - grad (div A) - V2 A = P ( l 19)

si se tiene el caso particular de que A sea un potencial veclor, es decir siademás se cunrple ( I I 3), entonces ( I 19) se ransfonna en:

V 2 n = - P ( r20)

que es la ecuación de Foisson vectorial, análoga a la escalar (109). En el casode que ndemás P sea igual a ceroi entonces h ecuación correspondiente V2 ¿\= 0 se denonúna ecuación vec¡orial de Laplace,

9. TEOREMA DE }IELMHOLTZ

De acuerdo con el epígrafe l.E, los campos vectoriales puedertclasificarse en:

a) Sr¡lenoidal e irrotacional. si se cumple:

d i v F = 0 y r o t F = 0 ( l 2 l )

en este cuso se tiene:

(lue es siempre cero. Culndo üdem¿is se cumple:

d i v A = 0

( t l 2 )

( 1 1 3 )

i

e¡rtonces el crmpo vectorial A, se denonrina potencial veclor.

Si se tiene un cümpo solenoidal F y se aplict el teorerna deOstrogrldsky-Gauss, resulta:

f r t . , r r = Jaiu Rou (r 14)S V

y teniendo en cuentü ( I l0), lu ecuución ( l.l4) se convierte en:

f F . d s = g ( l l 5 )S

Io t¡ue nos indica t¡ue el flu.io del cilnrpo solenoidal F a rravés de unasuperf icie cerrndn S es siem¡rre igual n cero (ley de conservación del flujo).

Itar¡¡ deternlinar un cilmpo solenoidal es preciso conocer surot¡cional y las condicir¡nes de contorno en los l í ln i tes del cumpo.1'énglse en cuentu t¡ue segúrr ( I I l):

7. t2

F = g r i l d U

b) Sr¡lenoidal pero no irrr¡tacional, .si

t l i v I r = 0 yen este cilso .se tiene:

F = r o t A

se cunlple:

r o r F * 0

It = rot r\ ( r 2 2 )

( l 1 3 )

( 1 2 4 )

y p¿lra determinar F clebe conocerse el valor del roti lcional de F y lascondiciones de contorno.

7 4 1

c )

ELECTTOIVfAGNffiS lvlO Y CIRCUITOS ELECIR ICOS

I r ro lac io¡rat 'pero no solenoidal , s i se cúmple:

r o t F = 0 y d i v F * 0 ( l 2s )

en este cilso se cuntple:F = gr r id U (126)

), pnri l dcternrinar F dcbc conocerse el vnlor de l t divergencia F y lascondiciones de contorno.

d) N¡ .so leno¡dal no i r ro lac ional ' , s i se cumple.

d i v F * 0 y r o t F * 0I . INTRODUCCION

[.os números complejos fueron introducidos en la matemática porCauchy en I 82 I , aunque- añter ior¡nente Gauss en 1799 hizo r¡n¡rreprcséntación de magniiudes complejas en un plano para demostrar elreórema fundamental rlel Algebra. Los números complejos aparecen elrnratemÍíticas cu¿rndo se quiere resolver una ecuacién de la tbrma:

x 2 + I = 0 ( l )

no existe ningún número real que elevado al ctladrado gumpla la ecuaciórlanrerior. La sólución de (l) viene expresada por la cantidad imaginarin j,tlonde se cumple:

este c:iso es la superposición de b) y c). El tcorent¡ de llelntholtzesr;rblece entonces lo siguiente: se puede determinar un campovect r ¡ ¡ ' ia l cua lqu ie ra s i se conocen los va lo res de l ¡r l i ve rgenc ia y ro tac iona l de l cnmpo en cua lqu ie r punto yademds las condicior¡cs en los límites.(condiciones de contorno).Co¡n,: se obserya, cl teorema de Helrnholtz csmblece las condiciones pÍrradeter¡ninar un campo vectorinl en general, y represenfa en sí mismo lasuperposición de los c:tsos b) y c).

lln definitiva, lo que estublece este teorema, es (lue un campoveciorial gcneral F, se puede consideri¡r conlo la suñra tle un F¡ irrotacional yotro I¡'s solenoidal:

I i = F i + F ,

pero tenierrdo en cuenta el clricter de estos cümpos, se puede escribir:Debemos destaclr t¡ue los ntittent¡iticos utilizun el símbolo "i" paru la unitiad

imaginaria {- l peto en la irrgeniería eléctricu se enrplea nrejor el sírnbolo j., yaque'Ía lera i esri reservada para expresar la intensidad de la corriente eléctrica.

Se deno¡nina número complejo a los números de la fbrma' r = a + j b

sienclo a y b ntirneros reilles, y j la unidnd irnaginaria .fi

El núnrero conrplejo z. tiene unil componente imaginariu b, de tal ¡lrodo quc sepuetle e scribir:

a = R e l z l ; b = l m [ z . l ( 4 )

En las expresiones anteriores: Re significa "parte real de.."' clnt

p, er i#ü|,ii,,Í'{:,"'::'t";;ií ji: ;;:i,iT[:ílt]1":ilT;,i:ü:"'1,ü"J"iJ.;l:

(t27)

( 1 2 8 )

( l2e)

j = / T ; j 2 = - l ;. 3 , . 4 iJ =-J ; J = l ; etc. (2)

r t) rot F¡ = 0 =) Fi = grad U

y dcbcnlos conocer tdent¡is: div F¡ - p

b) tl iv l is = 0 :á Fs = rgt A

y (lebctnos conocer l ldentl is: rt l l Fs = P

tle este nlodo el cütnpo generülizaclo Ii serú igual l:

(3)

( 130)

F = F¡ + F* = grad U + rot A

y ptrr¿r su tleternlinación debenros conocer los valores dcl escalariectur P v llrs condiciones de contorno tlel cl¡npo vcctorial F.

( r 3 l )

RIIPASO DBI, ALGEBRA DB LOSNUMIIITOS COMI'LI iJOS

7 4'l7 '15

ELECTRO¡,IAGNffiSMO Y CIRCUÍTOS ELECTRICOS

irlentifica a b como parte imaginaria del complejo z.

La expresión (3) se conoce como representación binómica orectangular de un número complejo, que admite una representación en unplano tle coordenadas especiales, denominado plano complejo o de Gauss( f ig . l ) .

Fig. I

El eje de abscisas se denomina eje real mientras que el eje deordenadas se conoce con el nombre de eje imaginario. Las coordenadas (a,b)delinerr de este modo el complejo z; o de otro modo la línea que une el origenhasta el punto P representado por el par (a,b) representa el complejo z.

Otro procedinliento pirril representar el número complejo 2., es porsu ¡nridulo m o distancia de su afijo P ll origen de coordenadas y por suargunrento 0 o ángulo formado por el vector asociado 0P y el eje real. De lafig. I obtcnemos las siguientes relaciones:

i l = n ' t c o s 0 ; b = n l s e n 0

la rcprcsentación del núnrero cornplejo en la forma:

? : = n l ¿ g

; o = a r c r g * ( s )

(6)

(7)

f f i =

se clenonrina fornra polar o nródulo-argumental. El módulo m se expresatalnbiél¡:

m =lzl (8)

746

APENDICE 3 : REPASO DEL Al6EgRA DE'lros NUMEROS CoMPLE'os

las ecuaciones (5) y (6) pcrmiten pasar de una representación binómica a polar

V viceversa. Nonnalmeilte es¡os ilos tipoS de representaciones son las que, seútilizan con más frecuencia en los cilculos prácticos. Sin embargo en losdesarrollos analíticos en tos que intervienen los púmcros complejos se empleamáJ ¡a representación exponencial. Recuérdese de un Curso de Análisis

Matentiítico que el desarrolto en serie de las funciones ex, cos x y sen x e s clela forma:

c O S x = l

desarrollo en serie de ex, se

c x = t * f i + * . # + . . . .x 6 x x 3n + . . . . ; s e n * = l T - 3 I

sustituye x por j0, resulta:ia1z i303+ "T * -T * . . .

(e)

+ . . . .

en las dos últimas expresiones x debe cstaf expresado en radianes. Si en el

* 5 Y 7_ L -' 5 ! 7 I

xz x4J.

21. ' 4!

iAero = t *1i

y teniendo en cuenta los valores de las potencias dc j (ver ecuación 2), sepoclrrí escribir:

( l0)

( l 2 )

#. . . . . ) + i ( I - f t $ + $. . . . . ) ( l l )es decir:

e j o = c o s g + j s e n 0

la relación üriterior recibe el nonlbre de ftirrnula de Euler.

r= a+j[ = m cos 0 + j nl sen g = meJ0 = lzl elO

que expresa la represel l tacién exponenc¡al de unresLmen se tiene:

De acuerdo con la fórmula anterior el número complejo z = ¡t + jb,si se ticne en cuenta (6) se podrá escribir así:

( 1 3 ¡

número co¡nplejo. En

z = i l + j bBlNOtvllCA

= m z o = m d o ( 1 4 ¡K)TAR EXKNENCLAI,

aunque desde un punto de vista riguroso, el arguntento 0 debería estarexpresado en radiantes, es más útil emplear grados sexagesirnales pararesolver problemns o ejercicios priícticos. Es conveniente que el lectorpractique cambios para pasar de una u otra forma de representación y tonre lasuficiente soltura, para evitar cometer emores en el estudio de los circuitos

747

ELECTRONIAGNmSMo Y CIRCUIrOI ELECTRICOS

cléctricos. Ii¡ la ¡tr:rualidad, existen lfonunadamente calculadoras elecnónicas

;;b;i;¡i;,1,,c pinniten realizar éstos cambios de un modo directo' sin tener

;;" iijÑ "ii it'"un¿runte ert el que se nabaja, pues lo determina direcmnrcnte

la calculadora. Exis¡en unas teclas especiales R -+ P P-r R que se emplean

oarü Dasilr dc rectangular a polar ó de polar a rcctangular-' pudiendo rabajar en

i;,f.;;;- " ;ilrtos.-Convi'ene qu" ei lector compruebe. es¡e hecho cn su

;.1.;;;;;";r:'ñ;; ".¡"t.ir,,r su'enrpleo puede cbmprobar las s'guientes

igull<lncles (lrgunrent'o en grldos sexagesimitles):

3 + j 4 = 5 / .53,13" ; l ( l l -25o =9,06 - i4,226 ; - 5+j6 =7'81 ¿129'8s

2 ( l l l 4 5 o = - 1 6 , 3 8 + j l l ' 4 7 ; a ' f i = 5 1 - 3 6 , 8 7 o ; 3 O l ' 1 2 t r = - l 5 ' j 2 5 ' 9 8

-2 - j2=2,821-135 ' ; l0 ¿ !5o =7,O7 + i7 ,07 ;18 l200o = ' 16 '91 - j6 '156

o b s é r v e s e q u e l o s g r a d o s s e t o m a n p o s i t i v o s e n e l s e n t i d ocgntrario al nlovintiento {e las agujas del reloj y negativos en caso C()ntrano'

cs rJecir en el sentido horario.

Si se pnrte de un número complejo:

z = a + j b = m ¿ g = m e f O

se denomina tuintero compleio coniugado _ del anterior, aquél que tiene la

,,rirr* óunr real y la i¡nrsh.rio Ca¡i¡ia¿a de signo (con el.m.isnro valor)' El

;iliil,i,t";. "" í¡*ir"."",''.tftr¡o represent¿r un vector simétrico respecto del

;;'r.'J,'b ,ü; ;,I"i";i. rit ri'tisho ¡iodulo y a un ¡rrgumento cambiado de

sígno. El .ot¡ugoob de z se escribe z* y se tiene:

z * =a= jb=m / . -0=me- jO 1 t6 )

2. AL( ;EI IRA DB LOS NUMEROS COMPLBJOS

2.1 OPERAC.IONES RASIC' \S

a) stJNlA: Lr sumt tle dos números complejos tiene por nytg¡ta,at-usunra de las panes reales de los sumandos' y por par¡e lmaglnana'la sunn dc lits pirtes tmnglnilni¡s'

Si se pane de los números complejos'

7 . t = i l ¡ + j b ¡ I ' I 2 = a ? + j b Z

lir sunril serií igual l:

7.t* 7."= (i l¡ + a?) +j (bt + [)

AI'ENDICE 3 : REPASC DEL AI.ÁEBRA DE U)S NUMEROS COIVIPLEJOS

complejo que t i r loe por componcnte real la di ferencia de las

compo¡enres reaigs y qor c.o¡nponente irnngin.aTa ta diferencia tle

las so¡nponentes imagrnanas. Para los conlplejos expresados clt

( l7) resul ta:zrz2= (ar - a2) + j (br - bz) (19)

c) pRoDucro: El producro de dos números complejos se obtie ne'

,nulriplic¿rnáo loi binomios comnlgjqs como si fuesen.algebraicos,y ,.níendo en cuenra los valore; dé las potencias de j expresados

én (2) se simplificará el resultado.

El producto de los números complejos (17) será igual a:

zt .zz= (al+jbl) . (a2+jb z) = (a¡42-b¡ b2)+j(b¡42+a¡b2) (20)

Si los números complejos están expresados en forrna polar

rq= f f i | / \ = t ¡ l ¡ cos 0¡ + j m¡ sen 0 l= a l+ jb l (21)

zZ= m2 /.02 = m2 cos 0Z + j mZ sen 02= a2+ jbZ

al aplicar (20) se obtiene:

zyzZ= (mt mr coS 0¡ cos 0Z - mt mt Sen 0¡ Sen 0e)+

+ j (ml nh sen 0¡ cos Q1 + m1 m2 cos 0t sen 0Z) QZ)

es decir:

21 zz= (mr mz) [cos (01+02)+j sen (0¡+02)l=m $z/(0¡+02)(23)

que i¡dicu que el producto de dos números complejos es

o t ro n r imero comp le jo que t i ene po r módu lo e l

pro¿ucto de los mói lul i ls y por argumento la suma de

los arg l t mentos.

De un modo ¿rniítogo si los nrinteros conlplejos estdn expres¿l(losen forma exPonencial resultar¿l:

r .1= rn¡ e jer i ' rz= m2 e j0e ; T. r tz= l r l l ¡nz , j {e t+02) ( :+)

cocl l iN ' t ' l i : Para obrener e l coc iente entre dos nt inreroscomplejos e.\presados en fbrma binónrica, se multiplicall i lnlbosnúm'ertis por el conjugildo clel denominador y se sinrplificit r: Iresu ltiltlo:

( l s )

( l 7 )

( l 8 )d)

7-1¡i

b) l¡is't ',\: Li¡ diferencia de tlos núrmeros complejos, es otro número

7 ¿It)

ELEC'IROMAGNMS MO Y CIRCTIITOS ELECTRICOS APENDICE 3 : REPASO DEL AI.CEBRA DE I.0S NUMEROS CONIPLE¡OS

obt ienen dando a ksiguiente:

los valores 0, 1,2¡. . . f1- I en la fórnlula

L= ut*J-l,- =2z a? +jbz

(ar +jb,) (ar-jbz)

(n, +jbr) (ar-jbr)(2s)

(26)

(27)

(28)

! { = : { Z = p . j * ; / , = m e j o

r ' 0 + 2 k np = V m ; V = - T

que da lug¿lr a:

'L=.1 i* il b, *.¡ frl-,il?tzz *r+ a?,

r azr+ vii

(30)

!I

si los números complejos están expresados en forma polar, el

fé.iói puede conrprobar cte un mqdo análogo 4 seguido en el caso¡;l'úddu"to, qur se obriene un número complejo guy.?-¡nódulo es

ét .briente ¿rior módulos y cuyo argumenio bs la diferencia de

argumentos. Asf resultará:

EJEtttPLO DE APLTCACION

S i z ¡ = 2 + i 2 Y 2 , 2

operaclones : a) z¡ + tz: b) zt '72 : c) z¡ 12;d) ? ; e) zf : nhzt,2

soLuc t0N

,|Y' T

= - 3 + j4 ; calcular los resuu^dos de las .riguientes

zt zZ= 2,828 , 5¿ (450+ 126,870)

- j 2

zZ= - 3+ja = 5/. l26,tl7e

= 14 ,14 ¿171,8?0 = - la + j2

= 2='$?8=4!l= = z.'q?q ¿45e-lz6,B7o = 0,565 6¿-8l,B7g = 0,08 - j0,56= s¿lz6,g7o 5

u-

= 2,8283 ¿ 450* 3 = 22,62 ¿1350

?l =\49t = H* ¿$r-oz)z2 m2lA2 e

o en forma exponencial:

jor

\= n t *= : !

e j ( e r -oz )T2 *, aro, m2

e) PO' IENCIAS. F 'ORMULA DE MOIVRE:

a) t,1

c) t l

*r.2 = - I + j6 ; b) z | ' ¿Z= 5

= 2 + j 2 = 7 , 8 2 8 ¿ 4 5 0 ;

ori

c ) z t 3

Si r. = m ¿g r rn eJO la potencia n-sinla se obtiene ilplicanclo las

reglas de lu multiplicación, dando lugar a:

Zt = nf ¿n0 = ¡nn sinO (2e)

3r- 36 7126,8?0-+

3600k = t,1t l(42,29c +p00k)t ) Vzz= \ - - 3

que da lugar a las siguicntcs raíccs:

r1= lJ l l42,29e ; 12= l ,7 l1162,290 ; 13 = l '71¿282'?94

3. TNTERPRETACION GEOMETRICA DEL OPERADOR i

S i se parte de un número comPlejo

multiplicar por j se obtiene:

' t = melg = n¡¿$ , i l l

que represenra lü fórrnula cle Moivre e indi..u ,lue la potencia n-

ésima ür un número complejo tiene por módulo la potencia n-sima

áel mffulo y por ürgumenio, el pioducto del exponente por el

argumento de la base.

RA I C I iS :

La raíz n-ésima cle un número complejo es otro número colllPlgjo

cuya porencia n-sima los da el primero. Aplicando la definición

anterior el lector puede comprobar que todo número. c.oTplej.o

riene n rüíces n-sinus distintas que tienen todas por módulo la raíz

n-sima del nródulo y por ürgumentos los n vÍrlores distilttos que se

f)T I ( 3 r ¡j z = eJrrlz m e,0 = nl e j (0 +ttlz\ = nl ¿t0+

donde se6n12.

ha renido en cuenril que según la fórrnula de Euler se cunlple Que j =

Si el complejo z. se divide por j resulta:

? 5 07 5 1

en la l'ig. 2 se hnn representado los tres números complejos: ,,ir,i= - iz.Vemos que h multiplicnción de un número complejo por el opcradorinraginario j, corresponde a una rotación del vector complejo un ángulo de 9ffen scn¡ido positivo (antihorario), mientras que lit d[visión por j corresponde auna rolación de 90o en sentido negativo (horario).

Fig. 2

De una forma más general, la nrultiplicación de un "vector" por un

nrinrero conrplejo de ¡nódulo unidad y fase a (es decir e.lo¡ corresponde a la

ro¡ación ¡lel vector un ingulo cr en sentido positivo o negativo según cual sea

el signo de a. Por ejernplo en circuitos eléctricos trifisicos es útil el empleo

del operatlor ¡ = sj2ttl3 =- | ll20'. Al nrultiplicar un complejo z = m elo por el

operatlor "4", se convierte en ¡nl(0+120q) que corresponde a una rotación

positivir tle 120". En la fig. 3 se muestra los complejos: z, ¡¡ z i a2 zi t3 t.

r\t'�ENl)lcE 3 : REPASO DEL AIJ¡ERRA DE LOS NUMEROS COMPLUOS

Fig. 3

4 . PROPIEDADES DE LOS OPERADORES ' rRe ' f ,

" I r n ' '

Los operadores "Re" : parte real de..,, e "lm" : pane imaginuriar/¿... tienen las propiedades siguientes:

a) Distr ibut iva:

i tI- : ' I = C

J

E L EcTItOtvtAC Nm S N'l O Y C I RCUITOS E LECT R lC( )S

- j r l 2 n l e J O = r n e j ( e - n n ) = m ¿ ( g (32)

Re[ z ¡ +I m [ t ¡ +

t ) Connrutat iva respecto a

z ¡ f = R e l \ l + R e t z z l ( 3 3 )z z l = I m [ \ l + I m í z z I

un factor real k:

( 34¡R e l k z l l = k R e l 4 lI n r I k r l l = k l r n I z ¡ |

c) No es conmutat iva res¡recto a un factor complejo:

R e l z ¡ t n f * z ¡ R e I z z llnrl 'r,¡ 't,1

| * T,l.lnl I r¡ I

d) Conmulat iva re.specto c le la der ivac ión (q = f (x) ) :

( 3s¡

R e t i ? t = * t R e ( r , ) l

I n r f # t = * t t m ( z ) l

t>

752

( 36)

7s3

ELEC'mON,IAGNEnSMO Y C¡RCIITTOS ELECTRICOS

z = t + j b = m ¿ g = m e J O

el conjugado de z, que se especifica como z* eS igual a:

z * = a - j b = m ¿ - f ) = m e - j 0

Las propiedades del conjugado de un complejoconro rlemosEación al lector son:

a) z +T.* =) , Re [z l =z l t

b ) ¿ . 2 * = n l ¿ g . m ¿ - g = m 2 = l z l 7 = a , 2 + b 2

c) (z | + zz)* = r\ * + zz*d) (z t - zz)* ='r. l* - zz*ee) (zt , zZ)* ='r' l* . zZ*

0 ( ! ) * = +" 7,r ' Z¡-

l i l l i i l tPLO Dli ,TPLICACION Ne 2

APEM)ICE 3 : REPASO DEL AI,GEBRA DE IOS NUMEROS COMPLEJOS

S O L U C I O Ne) Conrnutativa respecto de la integraciÓn:

t r . l r t - r .ne [J

zr o*J = J I Re (2,) I dx

67\[ r ] r r - . l

t 'n [J " to*J= J I

Im (z ' ) J dx

lns propiedades anteriores se pueden demostrar fácilmente y se dejan comoejercicio al lector.

5. I 'ROI'TEDADBS DE LA FUNCTON CONJUGADA DE UNCOMPLEJO

como se ha indicado en el epígrafe I de este apéndice, si se partedc urr cont¡llejo z:

a) El producto será:

VI' = 50 ¿30e ft2-160.0.t?1 - 19'.

101450

l0 1ñ ¿0e

] ' = so /3og t ] . =

= !Q0 49,9'�. + l00z0l = n¿4¡s + t0¿-45g = 4 rV == rc¿459

| \'¡r--Y'' ' t\"-

b) El valor de I scrá:

, -L.¿--{gi- +-?1¡ot' -l-i-fi-r!J-t-il ? U-t$lt i(!:.ü-l =| = *-- lóZ:is; 112: qie = rc¿- 459

zñ.¿-tso ,l z ,Á,r. tl z=

l0 / - 45, =

f ¿30a :á I ' = t ¿ '30e

y por consiguicntc:.fi

vt' = 5o ¿w Y t-3ff = rc'[i, ¿oo)que coincide con la solución obtcnida cn el aparndo a) pero calculada allí de un modo lnásinmediato.

,,(38)

(3e)

y que se dejan

(40)( 4 1 )(42)(43)(44'

(4s)

Considérense las siguienus expresiones compleias:

v =50 zJoa , , =uffi1ffü

Colcular el producto VIt , tle dos modos : a) directamente, b) ¿leterminondo el

volor de l, despuós cl de I' y resolviemlo lueg,o el producto VIr.

754 755

I t'*DlcE

TRANSIIOITMADA DE LAPLACE I +

I . INTRODUCCION I I ISTORICA

El empleo de la nansformada de Laplace en la-Ingeniería Eléctricadata de finafeJ¿dt siglo XlX. Se debe¡l ingehiero inglés Oliver Heaviside

iig-Sg-f gZ-s) la inveñción de lo que él.denóminó cálculo operacional, yque empleó óon frecuencia en la reiolución práctica de ransitorios en circuitos

.ji¿riridor. En 1893 publicó un trabajo con el tí¡ulo on .operators in

Ááiii"^it¡ral physici donde desarrollaba sus. teorías y aplicaciones del

"¿i"ulo operacibnál. Realmente el texto carecía de base matemitica sólida y

rigu.otu ior lo que fue duramente criticado por científicos de su tiempo entre

io"t ,tur' desrataba Lord Rayleigh. Li defensa del autor residía,p¡n"ipof*"n¡e, en el valor prictico dél procedimiepto, quc permitía resolver

lon se'ncillez, circuitos comirlicados, contrastados fielmente por los resultadc¡s

obtenidos.(')

El primitivo nrérodo operacional (o simbólico) de Henviside, se

basabc en consiclerar el operttlor D, en las derivadas de una función y = y(t) :

Dv. D2 v. D3 y,..., como un número ordinario (Heaviside usaba.el.operador;ii "n íéz ¿e ;ni' p¿¡ri¡ no confunclirlo con el sínrbolo de la inducción '

O"splurunti"nto elécirico). Al aplicnr cste operador a un circuito e léctrieo se

oUii.n" vnt ecurtción oper'ucional en la que hay quc realizar la"algebrización" cle la misnra paru obtener la solución hnal'

El éxiro crecienre en hs aplicaciones del cálculo operacionnl indtdtr

a los nratemáticos a buscar justificaiiones teóricus por diversos.caminos' El

orimero en losrar un princióio dc justificación de lós mé¡odos de Heavisidc

iu. CnttOn ei l9l7'basiinclosc cn ecuaciones integrales, el año siguientc

Ilronlwich obricne resultados sinrilrres utilizando la teoría de las funciones dc

( " ) v e rElcctr ical En gincering,

l - l isrory uI r l¡c ()prrutut¡tul ( ' t i l rulu:s as lJsed in Electric Circuit A¡wly.r l .r '

V r ¡ l ó t f , Ja t l t l ¡ t rv l ( l ' l (1 . l l lF \ '12 45 . Autor : ' l ' . J .

l l i gg ins '

757

ELECTROMAGNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

vrriable compleja. De cualquier modo, la base de ambos trabajos secncolrtrüon en los escritos de Laplace de 1780. Con el paso de los años elprinritivo cálculo operacional de Heaviside ha sido susrituido por el de latranslbnnación de Laplace. Esta transformación proporcionó la susreiltaciónrigurosa de los métodos operacionales y no se encontraron errores importantesen los resultados de Heaviside.

De forma similar al cálculo operacional, la transformación del-rplace, permite transformar una ecuación diferencial en orra algebraica derelativa sencillez, la cual puede ser expresada en la forma deseada. A panir deesta última y rnediante otra transformación inversa se obtiene la solucióncompleta de la ecuación diferencial de partida, siendo otra de sus ventajas, laposibilklad de permitir In inclusión de condiciones iniciales o lfinites.

. Esencialmen¡e, la transformada de Laplace eli¡nina la variableindependiente en las ecuaciones diferenciales (la cual es generalnrente eltiempo t), sustituyendo en su lugar el operador "s". Esle operador, como sevcrá nrás ¡arde es una cantidad compleja, que puede algebraicamenre sertntadn en forma similar al operador D o p de Heaviside. De hecho, si todaslas condiciones iniciales son nulas, los operadores p y s son priícticamenreidénticos.

2, I )EFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE

Si f(0 es un¿ función del tiempo, su rransformada de Laplace, sedcfine como:

e-st f(t) dt = F(s)

APENDICE 4: TRAI.{SFORMADA DE t ¡A,PLACE

las palabras "lo transformada de Laplace d€..." ; "s"

frecuenci¿l compleja y es igual a:

s = (f + j(l) (segundos- l )

es cl símbolo de l i r

(2)

plra a l ¡un;r o l rcr l y posi t iv : r . Si l l i t ) l < p¡" t r l , ¡ ¡ integral convcrrcrá ¡r r ra o l > u. I tor l rnto la

tegirin rlc convcrgcncia cstá ¡lad¡ fxrr f¡ < Ol < - y Ol sc conoce como la rbscis¡ de co¡ve¡gcncia

absolui i r .

75n

donde j indica el conrptejo rfi .

La implicación del uso de 0- como el límitc inferior de integraciónen la ecuación (l) requiere algunas aclaraciones. Al estudiar los circuitoseléctricos hemos visto que se acostumbra a subdividir el tiempo I = 0 en rrespanes" "0-" inclic¡ el tiempo inmedia¡amente anterior al de referencia, "0"

indica el tiempo exücto de referencia y "0+" el tiempo innretliatanrenreposterior a t = 0. Cuando se cumplc l¡ condición de con¡inuid¿rd f(0-) = (0+),la elección de 0- ó 0+ no es inrportante; sin enrbargo, si se tiene unu funcióninrpulso unidad (ver apartado 6) en el instante t = 0, entonces se dcbe ustr r =o-, de tal modo que se incluya la función de impulso. En vez de haccr u¡raexcepción para redes con señales impulso, sc utilizarii t = 0-, conro línriteinferior de la transformación ( I ).

De acuerdo con la expresión (l) la obtención de la rransfonnadade Laplace de una función de t se realiza en dos pasos:

a) Se multiplica f(t) por el término exponencial ¿'st. ¿r.¡15 =

o+ja. Debe nonrse que tanto el exponewe -$ como e'st noüenen dimensiones.

b) Se reuliza lu integral detinida de la función resultante delaparttüo unrcrior, respecto de 4 desde el líntite infcrior t = 0-husta el superior t = q. AI resolver lu integrul tlelinida, luvariable üulependienre t ,to aparece en el resuhulo, [tegauto uruutunción únicu de s, denominafu F(s).

F(s) es la rranstbnnirda de Laplace de f(r) . Nótese cl uso tle lapitPo letra p:1ru f(t) y su trnnsthrnrad¡r F(.s). en un caso con nlintiscula p:rralas funciorres del tiernpo v en el otro con nrlyúlsculls pilril sus lr¡rnsfbr¡nadas.

De esra forma h transformada de i(t) serri I(s), la de v(t) seriíV(s), etc... constituyendo cada grupo, un par de transformación.

3. TE(}REMAS SOBRI! LA TRANSFORMADA DE L.\PLACII

Anres de cnlcular l*s rrunsformadas de l-aplace de tliversasfunciones es conveniente desurrollar una serie rJe teoremis que represcnranpropiedlde.s titi les paru calculur nr¡is tarde con rapid'ez. rirbtas rlet¡ansforr:adas.

¿[f(r) l = '

J0-

( ' )

EI sínrbolo L representa el proceso de

( * t L , t ¡ : ¡ tns lo rn t ¡ rd r r r tc L l ¡ r l t cc c . \ i s tc ¡ r i r r i r l t ¡uc t las l ' unc ioncs

u;rrufr l rm¡rci t in cs c lccir :

( l )

trilnsforrnación y se lee con

cn l ; rs quc c()nvcr l lc la rntcgrul t lc

f -o,t

I f ( t ) e ' d r

Jo

759

¡¡.

EI"T:CTROMAGNMSMO Y CIRCUITOS EI-ECTRICOS

, '[ - lN l i , \ t - IDAI )

Si r\ es una consttnte y f(t) es ¡ransformable, de t¡l modotlue ¿ [f(t)l = F(s), etltonces se cumplirá:

@ É

r:[n r1r)] = J e'st A f(r) dt - nJ e-'1 f(r) dr = A F(s) (:)

A''ENDICE 4: TRANSFORMADA DE I-APLACE

, . [ " 'u t r t , l ] = J e 's t " -a t f ( r )d r r

J e - ( t *a ) t f ( t )d t= F(s+a) ( l l )

0- 0-lo t¡ue indica que la multiplicación de una función f(t) por e-a!e¡r el dominiodel-tienrpo, produce unt ¡r¡tsl¡tciótl "il" de la tr¡nSfonttad¡¡, en e I dominio rle lafrect¡cncia.

e.- CAMIIIO DE I:SCALA EN !:L DOMTNIO DnL TIEMPO

Cuando se nrodifica l¡t escall del tiempo, la transfonnlda rleLrplace de la tuncitin a la cu¡rl se lplicl este ctmbio tle escala. estii relacionadamuy directnme¡lte con ll ft¡nción originul. Si "a" es unil constilnte positiva sctendrií:

l,[f(r - ul] = f e''t f(t - a) dt (s)0-

S i rea l i zamos e l cambiode var iab le f = l - a ; ¡= f +ü , d t=dT,se tendrií:

@ @

l , [r1t -a¡] = J e

' ' ( t*a) f(t) dt = e'* J . ' t t f(t) dt (6)

0-a 0'asi se supone que f(r) es cero en el tiempo anterior a t = 0, se tendr¿i:

f t ' - € IL l t ( t - u ) l = . - ' u l J " ' ' " 0 d r + J r ' " f ( t ) < t r I = " ' ' u F ( t )

( 7 )

lr,:-o o' I

Téngase e¡l cuentü por consiguiente, que la-relación antcriorúnicamente ser¿í v¡:lida, sienrpre que la función original f(t) sea nula c¡l cltienrpo an¡erior 0 t = 0. En caio contrario que puede haber una contribución

de la parte de la inti:gral cuyos límites varían entre -a y 0-.

d.. TRASLACION I iN EL DOMTNIO DE LA FRECUENCIA COMPLII. IA

Supóngase que la transformada de Laplace de una función f(¡) esF(s), vamos a calcular ta transformada de Laplace de la función e-at f(t), qrrercpresenta una ponderación exponcncial de la función f(t). Aplicando ladcilnición ( I ) de transformada de Laplace se cumpliri:

0- 0-

b. - SUPI iR¡ 'OSICION

Si fl(t) y f2(t) son trdnsformables, de tal modo que se lenga¿ [f¡ (t)l = Fl (s), ¿ tflt)l = Fz (s) el principio dcsuperposición cstablece:

r [qtr l -r f2(r)] = J r '" lEtr l +f21t¡]dr = J e'st f¡( t)dr+0. 0.

+ J e'tt r2{r) dr = Fr(s) + &(s) (4)0-

c.- ' I 'RASI.¿TCION REAL 0 EN EL DOMINIO DEL ] ' IEMPO

Unu función desplazada en el tiempo, tiene una transformada deLaplace que se relaciona fúcilmente con la transformada de la función nodes¡rlaznda, únicanrente birjo circunstancias especialés. En la fig. I se muesra

I1 4 " "- --tD

t

Fig. I

una función t1t) a la izquierda y otra función f(t-a) a la derecha, que representarun des¡rlazumiento o traslación real de la función f(0 de valor "4" . Si latranstbrmada de l.aplitce de tIt) es F(s), la trunsformuda de Laplace de f(t-a)donde ir es unü constanle ser{:

7607 6 1

ELESIROÑIAGNETISMO Y CIRCUITOS ELECTRICOS APEND¡CE a: TRANSFORMADA DE LAPtAcE

La transformada de L¡placc dc derivadas de orden más elevado seobtiene aplicando sucesivamente ei resul¡ado (14). Asl se tiene:

.:.

Ll f"(t)l = [] * f'(t)l = s f[f '(t)l - f '(0-)

es decir:

LÍ, f"(r)l = s I s F(s) - f(0-)l - f '(0-) = s2 F(s) -s f(0-) - f'(0-)

de un modo sinrilar, para una derivada de tercer orden resulta:

L [ f " ' ( t )J = f ' t * f " ( t )J =sL [ f " ( t )J - f " (0 - )

y tenienclo en cuent& ( l6) se obtiene;

L I f" '(t) l = s I s2 F(s)'s f(0-) - f '(0-) l - f"(0-)

es decir:

L I f" ' ( t ) f = s3 F(s) - s2 f(0-) - s f ' (0-) - f"(0-)

en general, para una derivada de orden n se obtendrá:

L [(n)(t) l = sn F(s) - 5n-l (0-) - 5n'2 f '(0-) -.,.- f ln' l)(Q-)

t ^ .l, I f(ut) I =

J e-" f(at) dt (9)

0-si se rcaliza el cambio tr = .rt : d¡ = a dt resulta:

r T - t ! | sc [ f ( a t ) J = ; J e a f ( t ) d t = : P 1 : ¡ ( 1 0 )

- 0 -

f . . D¡:RIVACION REAL O I 'N EL DOMTNTO DEL TTEMPO

Si la transfornrada de Laplace de f(t) es F(s), la transfonnada de

f '(t) que expresa la derivada {p s".e'

z[r'1t)] = i r*t r'(t) dt (t l)0-

tluc integrando por partes, hnciendo:

g = 6 ' s L d u = - S e - s t d tdv=df ( t ) v= f ( t )

nos da:F €

z[r'ttl] = [uv]fi" - Jv du =

[r1tl r'" ]0"_ + J s e''t f(r) dt (t2)0- 0-

el c¡ilcr¡lo del primer sumando del último miembro de la ecuación anterior parael lírnite superiores:

( l 5 )

( l 6 )

l irtl f(t) e'tt = g sil - ro

pilril el línrite inf erior resulta:

I f(t) | est¿i acotada para t { oo

(20)

Obsérvese que en cuitlquier caso. las lransformitdas incluyen lascondiciones iniciules de un nndo direc¡o, lo que representa una venlaja en laresolución de ecuaciones diferenciales lineales por el método de Laplace.Téngase en cuenta que con el método clásico, es preciso evaluar lascondiciones iniciales de un nlodo separado y no directamente como aquí seobtiene. Hay que hacer notar que si se prescinde de las condiciones iniciales.la transformada de Laplace de una derivacla, consiste en sustituir el opem<iorD = d/dt por ln variable de Llplnce s.

g.- INTFIGRACION REAL r:N l:L DOM|NIO DEL TIEIvIPO

Supóngase que la transformada de Laplace de f(t) es F(s).Consideremos la función integral:

( l 7 )

( l 8 )

( t e )

,tj:il. f(t) e''t = f(0-)

y en consecuencia la expresión ( l2) se convierte en:

( 1 3 )

Lí f '(t)l = s F(s) - (0-) = s l, [f(t)l - f(0-) ( l4 )

r¡u.: ilrrlica t¡ue lt trunslornudu de h deriv¡rdu es "s" veces la transtbmrada dela funció¡r original nrenos el vulor inicial de la función temporal.

761

t . t l If, "(t) =

J f(r) dr

. l -6

( 2 1 )

76)

ELECTROMACNMSNIO Y CI RCU�TOS ELECTRICOS

,/

la transtonnada cle Laplace de la inregral anterior éerií:

¡{r)((}-) = l , r ) t t r

Al aplicar repetirlanrcnte lil ecuación (25) resulta:

, [ , ' ' "r1t)f = # +¿$S

APENDICE 4: TRANSFORMADA DE L-APLACE

Considérese la función periódica mostrada en la fig. 2, que ticnc

' '1,r., 3

un períodoT. Se han denominado f¡(t), f2(t),..., las difercntes fi¡nciones encaria período de tiempo. Supóngnse que la transformada de Laplnce de f¡(t) esF¡(s). Las tra¡rsfornr¡tdls de Laplace de otros tralnos, teniendo en cuenta (7)sera::l:

¿[fz( t ) l= LU¡(r-T) ] =e'r 'Fr(s)¿ [. b(¡) | = t,Í f¡(t - 2T) ] = e-2rs ptlr¡

z I fn(t) | = Ll f¡[ t- (n-l) T] I =e-(n'l)rs prls¡

en consecuencia la transformada de la función periódica completa f(t) será:

¿[ ( t ) l= LI f ¡ ( t ) + fz( t ) + . . .+ fn( t ) l= Fr(s) [ | +e ' rs ' , r -s '2Ts +. . .1 =

= Fr(s I rz8)- l - e ' T s \ -

que pcrmite calcular l¡ transformada de una función periódica en funcién de laEansformada del primer ciclo.

¡ . . TEORltt f lA DEL VAI.OR lNlCl¡ \1.

Si la función tlt) y su primera derivada son transformables y siF(s) es la transformada de Laplace de tlt), existiendo el límite:

que ill

nos (l¿r:

r[rt-r)r,lJ =

Jpcrilntlo cn la ecuaciórr a

L t f('l)(t)l =

dontlc:

r[rt-')(,)] = I [f(r)

d,],'" o,

du = f(t)

I -rr\ / = - - e

S

integrar por panes haciendo:I

Iu = f f ( r ) d r ,

J.d

dv = e ' t l d t

t- e-sr i l- ool - l r ( t ) c l t l * I | ' ,L s - ' - Jo- sd-

nterior resulta:

F(s) f ( ' l ) (0- )Ts s

-st f (r) dt

(22\

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Hay t¡ue hlcer notitr que si prescinde de las condiciones iniciales,la rransfbrnratla de Laplace de unr integral consiste en sus¡ituir el operador

l lD =l ,por la var iable dc Lapl lce l /s.

h . . t ;uNc loNEs P! :R loD¡c , \s

Si se conoce li¡ ¡rtnsfonn¡¡d¿r dc Laplace dcl primer ciclo de unafunción periódica, se puede determinar f¡icilmente la transformada de lafunción contpleta.

764

linr sF(s)S -)oo

entonces se puede cleterrtt irt i tr fírci lntente elecuació¡r:

f ( 0 - ) - l i m s F ( s )5 - tÉ

valor de f(0-) de ücuerdo con lil

(2e\

r l ( t l f 2 ( r )

7h5

APENDICE 4: TRAI\¡SFORMADA DE I-API-ACE

[ *tIque se puede escribir:

r l Il im | [ r ' t t l ¿ , l= f imr -- Ló- J

r-+€

es decir:

f ' (r , or]

u ( t ) = l ;

u ( t ) = 0 ;

(36)

f (o-)l (37)

(38)

(3e)

(40)

= !g [s F(s) - f(O-)J

[rt,)- f(O-)l = lg [s F(s)

l inr f(t) = f(*) = l im s F(s)t -+ o ¡-rO

4. DBSARROLLO DB PARES DE TRANSFORMADAS

Vamos a desarrollar a continuación parcs tlc transformadas deLaplace utitizando la definición general (l) y. empleando las propiedldesdemostradas en el epÍgratb anteriór. Se obtendrálr las transfornradas de lasfunciones más comunes que se emplean en la ingeniería.

a) FUNCION ITSCALON UNTDAD u(t)

Esta función se denonlina también "función escalón deHeaviside" y se defitne por lm ecuaciones:

r > 0

r < 0

en la fig. 3a se representa l¿r función anterior. Dicha notacién es convenientepara refresentar la conexión en unü bnterla de f.e.m. V6 a una red en t = O.Lttfunción de excit¡rción se representu cnionces como Veu(t). En el cuso de queVo= l, se obtiene el escalón unidad. para el cual cumplirii:

¿ [ u ( t ) l = i r ' t t . l . d t = :

0-de igual forma par¿l Vo u(t) se tendr¿i por el teorema de lineillidad:

L l v o u ( t ) l = +

767166

ELECTROMACNMS MO Y CTRCUTTOS ELECTRICOS

La rlemostración de la igualdad anterior parte de la rransfonnadade La¡rlace de una derivada (ecuación (14)):

¿t f'(t)l = s F(s) - f(0') (30)

Tortrando lín¡ites cuando s-) É en ambos miembros de la

ecuación anterior resulm:

[ - 1ri* lJrt,l ,-" ot l= tim [sF(s) - r(o')] (3t¡s--r-

fo' I t--

y tenienclo en cuenta que el primer miembro se hace cero cuando t --¡ e, S€

obtiene:0 = linr [s F(s) - f(0-)] (32)

g.. ' t t iOREMA DEL VALOR F'INAL

El teorema del valor final permite calcular e[ valor final o de

réginten permanente de una fu¡rción temporal f(-), cuando se conoce sut¡ursformada. Su definición es:

l i rn f( t ) = f(-) = l im s F(s) (34)

la de¡nosrrución de la iguuldad irnlerior, parte al igual que antes de la ecuación

( l4), tornando línlites cuando s-ro, resultando:

f - ll ¿

t¡rn I [r '(r) e'" dr | = l im [s F(s) ' f(o-)l 1r5),-r)

ld. J ido

cl prinrcr nrien¡bro, en el líntite, se convierte en:

(33)

que sc puede escribir:

f (0-) = l i rn f( t ) = l im s F(s)t - lO- s {6

ELECIIiOIVIAGNETISMO Y CIRCUITOS ELECTR¡C )S

u(t-r)

Fig. 3

Si se tiene un escalón ünidnd con una traslaclórr rÉal ü como seindica en la fig. 3b, se representarl por u(t-a) cuyo valor ser¿l cero para t < a eigual n I para t ) a. De acuerdo con la propiedad de trasla:ión real (7) secrrnrplirit:

L | t r ( t - l ) f = s - i r s f I t r ( t ) f = s - a s ]S

t r . - ITUNCION EX PONFINCIA L e ' u t

Lr transformada de la función exponencial se obtiene poraplicación direct¡r de ( l) resultando:

y por consiguiente:

L I c o s t r l t l =s2 + cl¡z

; L I s e n o ] t J =s 2 + $ 2

(47)

En e I caso de querer obtencr la transformada de un s¡¡lo ciclo dcuna onda sinusoidal, por ejemplo del primero, el teorema aplicable a lasfuncioncs pcriódicas nos darfa:

APENDIC i 4: TRANSFORMADA DE LAPTACE

+ J0)L I eJt"t Il s

s - jtrl s'i

Sa :

s 2 + @ 2 ¿

s 2 + 6 2

(t)

s2 + @2 (46)

+ ü ) 2

(r)

L I f ( t ) l = J l ( s ll - e'Ts

(48)

(4e)

(41 )

(42)

donde F1(s) representa la rransformada del primer ciclo siendo T el perir:do

de la onda, Para una oncla sen ox se obtendría:

L I s e n o t J =Fr (s)I - e-'l's

oo

t [ . - ' t ] = I e ' s t e - a t . c l t

0-

= T r - ( s + a ) t . d r . = - 1 -l vr s + a

0-

el resultado anterior se podrí¡ haber obtenido también teniendo en cuenta laexpresión (.10) y la propiednd de traslación compleja (8). Téngas,: en cuentaqu(::

y por consiguiente:

(44)

eiot = cos ot + j sen olt 1C5)

y conocienrlo ll transf'onnadlt de lit exponencial (42) se podrán obtener lasrrarrsfornli¡rt¡ts cle hs tit¡lcioncs trigonométricas:

76tt

L I u ( t ) l = + ; L I e ' u t f ( t ) f = F ( s + a ) ( 4 3 )

y por consiguiente r ( su l ta

F¡(s ) = ( l -e - rs ) * ; T=¡ r (50)S¿ + (D¿ (l)

d . - F ' [ JNCION RAMPA r ( t ) RAMPA UNIDAD)

Esta función se define por las ecuaciones:

r ( t ) = t ; t > ' ( 5 1 ¡

r ( t ) = 0 ; t < 0

En la f ig.4a se muestra la representación de esta función.transf onnÍrda correspond ie n te sería:

¿[r(r) l = j . - - t t . c l t0-

IL l e - o t u ( t ) l = r * ;

c . - F t ,NC lON l iS ' f

R I ( ;ONOt \ lF :TR ICAS ( cos (D t i sen o t i

J'eniendo en cuentÍI li l identidud de Euler:

[- it

(s2 )

769

ELEC'IROMAGNMS MO Y CTRCUITOS ELECTRICOS APENDICE 4: TRANSFORMADA DE [AP|'ACE

que al integrar por partes, haciendo:

u = [

dv = e'st dt

Fig. 4

; d u = d te'sl

; v = Ti J

se obtiene:

(53¡

(5s)

r r r ( t )J = [ , * ] : . I ie -s ,

dr =+ (s+¡s-

en el clso de que se ¡enga una rampa trasladada como en la fig. 4b,- la funciónse escribirá u(ú¡) y teniendo en cuenta el teorema de traslación resultar¿i:

L I u(t - a)f = s-írs F(s) = t-* *

en el caso de tener una rampü con otra pendiente k, su transformada sería:

L l k r ( t ) l = k l , I r ( r ) l = 5

( 5 6 )

En lu tabla ne I se muestra una tabla de transformadas de Laplace(lue resume el estudio aquí rellizado.

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

F(s) r(t) F(s) ( t)

I

Ts

Ip

Tsn

Is e'as

_l ..s+a

I---(s+a)¿

,l ..(s+a)n

I _s(s+a)

I

E(0 impulso unidad

u(t) escalón unidad

r(t) = tu (0 ramp0 unidad

l .

* tn- I (n entero posilivo)t n - t l f\ t . . r .

u(t-a)

e'at

t e'at

| - rn - I n ' i l t(n- | )!

I

; ( t ' e ' a r )

f r t r -*c '¿rt .*e'bt)

Ifr�(e'ot' e-bt)

# (ae-at'¡'s-bt¡

t -

ú [(a-a)e'at' (a'b) e-bt1

sen (l)t

cos 0ll

4t t - cos or)(oo

e'at scn bt

(at'I +e-¿11)

(l-c-at - üte-at)

(')tSh

Ib

InI

3ab

(s+a) (s+b)

s _.-_._(s+a) (s+b)

- s J . q(s+a) (s+b)

0)

ry.-_ s -,-

s2+o2

l---ñ---;i-

s(s¿+trt¿)

._q_,s2-w2

I---=í-T(s+u)¿+b¿

-! '

s2(s+a)

l---,s(s+a)¿s(s+a).(s+b)

710

TABLA NE I

71 |

ELECTROÑIACNMSMO Y CIRCT'ITOS ELECTRICOS

5 . . S I N T E S I S D E O N D A S U T T L T Z A N D O E L O P E R A D O RITB'TARDO DEL TIEMPO

Existen otros tipos de funciones no comentadas en el epígrafean¡erior y que son de gran interés en la ingeniería eléctricü para determinarrespuestas de circuitos electronicos.

En este apartado se van a c¡lcular las transformadas de Laplace dealgunas funciones que pueden utilizarse a partir de tunciones nriís simples yque urilizan para ello las propiedade¡ del raslado en el üempo.

a) PULSO RECTANGULAR

Este pulso estii.represenlado en la fig. 5a, es una onda rec-langularde anchura "a" y ampl i tud K. En la f ig. 5b se muestran dos señales enescatón, que son las necesarias para sinte¡izar o construir la onda originnl.Para adupiar estas dos últimas señales al pulso original, se toma un escalón de

Fig.

¡rltura K t¡ue comienzil en i = 0 y que se ha denominado fu{t). Sin embargo

es¡a función escalón es incorrecta para t >a y nosolros debemos añadir unescalón negat ivo de ntagnitud R re¡ardado a segundos.y que se hadenonlinaddfS(t) en la fig. 5b. En términos de estas tlos tunciones se puede

cscribir:

f 1 r ) = [ , ( t ) + f ¡ 1 ( 0 = K u ( t ) - K u ( t - t ) ( 5 7 )

cuya lransltrrnradt sc obtiene I partir de la función escalón y de la propiedad

772

APENDICE .I: TRANSFORMADA DE LAPI-ACE

de traslaclo en el t iempo, resultando:

F(s) = f F ,-0, = K( I -e-as)S S

(s8)

b) PULSO 'TRIANCULAR

Este pulso está representado cn la fig. 6a. En la fig. 6b se handibujado las componentes necesarias para reconstruir el pulso original. ['ara"acoplür" estas componentes al pulso triangular desde 0 a T debemos teneruna función rampa con una pendiente k/T que conespondc a la onda f¿(t) dcla fig. 6b. Esta función no es válida después de t = T y debemos añadir unurampa con una pentliente -zKn, retrasada T segundos(función f6(t)). Lu

Fig. 6

suma cle fü(t) y f5(t) t iene

necesario añadir una rampamodo resulta:

una pendiente de -K/T pilr i l t > T.

f.(t) para anular estil pendiente para t

por e l lo cs

> T. De estc

f . { t } = K u ( t )

f 5 ( t l ' . ' K u ( t ' ¡ )f b (r!- +r(t-T)

hndhnn = -ZlUÍ

713

ELECI?OMAGNETISMO Y CIRCU�TOS ELECTRICOS APENDICE 4: TRANSFOR¡¿ADA DE l-APláCE

es válida para t > T y por ello es preciso añadir dos señates fu(r) I L(t), l¡rprimera de ellas es una rampa que comienza en T y pendiente -K/T. con es¡afunción se anularía la pendiente de f"(t) a partir de ¡ = T, quedando unarespues¡a plana f"(t) + f5(t) = K para t > T. Para eliminar esta es precisoañadir un escalón negativo de amplitud -K en t = T, resul¡ando:

f(t¡ = fo(t) + f5(r) + fc(r)

cuya transfornlada de l-rplace es:

r(t)- + r(t-T)- + r(t- 2T)

e-2TsK( I - s-2Ts¡2

K= T (5e¡

(60)I'(s) =+ I1sá

eK I o-TsT s 2 \ '

K IJ - -' T s 2 a

Ts2 KT

K= T

Ks

K I K IT P O T P

f(t) r(r) r ( t - T ) - K u ( t - T ) ( 6 1 )

cl PULSO DE BARRIDO

Este pulso está represen¡ado en la fig. 7a. En la fig. 7b sc h¡ndibujado las señales necesarias para componer el pulso original. Para adaptar

cuya ransformada de Laplace sería:

F(s) = e'Ts e'Ts I - e-rs (l - Ts) I (62)

De un npdo sinlilar se pueden obtener nlultitud de ransformadnsde ondas recurriendo a transformadas de funcioncs mis sirnples.

6. ruxcrón TMPULSo (DELTA DE DIRAC)

La función impulso, no es una función matemdtica cn el sentidoestricto de la palabra y fue introducida en 1926 por P. Dirac en sus estudiosde mecinica cuintica. Paru ver ll génesis de este tipo de señal, valnos aconsiderar la onda rectangular mostr:rda en la fig. 8. Es un pulso finito dc

Fig, l f

anchura TO y altura l/Tp def inido por las ecuaciones:

K r= T P t

If ( t ) = ü ; 0 < r < T sf(t) = 0 paru cuülquier otro tienrpo (63)

est i ls señales i l l pulso or iginalpendiente K/T que coffesponde

1 1 4

Fig. 7

de 0 a T, se debea la señal fo(t) de Ia

ut i l izar una r i lmpa defig. 7b. Esta función no

ef áre.a bajo el irnpulso es igual a I y permanece fija, sea cuirl set el valor deT0. S¡ T0 se vu reducienrlo, la ba-se del pulso se estrecha y la irltura aumenrr,manteniéndosc el ¡iren constilntq en l¡r unidad. Si en el lírnire 1'1¡ -r 0, lir tlrur;r

f ó , , t

(r) -+r(t-T)

7 7 5

i^ o t ¡ r'1ll

u ¡ UU I I

_Jl _#I

ELECIIIOMAGNEflSMO Y CNCUAOS ELECTRICOS

tiende a infinito y se produce en t = 0, pero conservando el ¿írea unidad. Estafunción obtenida se denomina impulso unidad o impulso de Dirac y se

si¡llboliza por 6(t). Gr¡lficamcnte se representa por una lfnea ver¡ical con unaflecha (fig. 9a) piua sugerir que es infinita¡nente alta en t = 0. Una función

6 ( t ) = o ; V t * o

= a (f ig. 9b).

(64)

6 ( r ) d r = I

o rniis generit lrrrcnte:

6 ( t - i l ) = ( ) ; V t É i l (6s)

6( t - i l ) d t = I

Por consiguiente el imptrlso es cero en todos los puntos' exge.ptoen su pr¡nto de clisco¡itinuidi¡d, en cl que se concenlra el ¿irea unidad. El ¡ireade inrpulso clefine la intensidad del mismo y se puede generalizar la delta de

Diruc pura úreas diferentes de la unidad. Asf la función 56(Ü representa unirnpulso r¡ue sucede en ¡ = 0 y de dreu 5. Este valor del área sue le colocarseenüe puriuresis :ll lado de la ilech¡r que representa el impulso de la tig. 9a, el

776

ÁPENDICE a: TRANSFORMADA DE [-AP[-ACE

impulso tiene una int¡-nsidad I, mienras que el impulso de la fig. 9b tie ne u¡taintensidad 5.

La funcir'rn 6(t) se puede definir ta¡nbién e¡l térnrinos de l¡rspropiedades de sus integrales sólamente. Si se supone que la fu¡ción f(t),ilanlada fu¡rción de pruella es una función continua, que se anula fuera tle

algún intervalo finito. entonces la función 6(t) se define como una funciónsinrbólica por lu relacirin:

fst, l r(t)dt = r(o) (66)

la expresión anteric" no ri"*it significaclo comú¡n de una integral clefinicla,

sino que la integral , así como la función 6(t), estún definidas por el núnlero

f(o) asignado a la f,¡nción f(t). Con la interpretacién anterior, resulta que E{r)se puede triltar conro si fucra una función ordinaria, excepto que nunca se

hablarí de 6(t), perc sí de los valores de las integrales en que aparece 6(t).

Aunc¡ue con falta de rigor matemático en sentido estricto, se puulcdar una interpreración geométrica de (66) e incluso de¡nostrar esa expresiórt,tomando como punto de panida lt detinición (64). En la fig. lOa se mucstrauna señal f(t) y una tunción impulso en t = 0. El valor de la integral (66) ser¡Í:

6 ( t ) r ( r ) c l t = 6 ( t ) f ( t ) d r (67)

la igualdad anterior se ha hecho en base a clue 6(t) = 0 para t = 0, lo c¡ttc ltitperrni t ido reducir los l ímites de la integral , a valores separados un

infenitésinro del punto t = 0 donde actúa 6(0.

Fig. 9

nl is gcneral es E(t-a) que es un impulso que se produce en t

Matenrític¿r¡nente Ia 6(tl se detirre:

+ o o

J. €

+ o a

J- O ( )

0+e

J( ) - e

+ 6¡J

- o o

[ - ' ig . l ( ]

117

ELECTROMACNMSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

Si e es suficientemente pequeño, al ser f(t) continua en t = 0,

entonces f(t) es aproximadamente f(0) en¡re 0 - e y 0 + e, de este modo sepuede sacar f(0) fuera de la integral para obtener:

f (0) (68)

ya quc por la deÍrnición (64) la segunda integral vale la unidad'

Esta idea geométrica se puede aplicar a la fig. lOb de tal rnodo quedc un modo anúlogo a (68) se cunrplirá ahora:

la denlostración de la ecuació¡r

t l t = dt, resultü:

. ü) f ( r ) d t = f (a) (69)

yil que si se realiza el clmbio t -Íl = T,

APENDTCE a: TRANSFORMADA DE I-APLACE

al tender Tg -) 0, aplicando la regla de L'Hopital para encontrar el línrite, seobtiene:

) T D ( t ) d t =-e

Is

Ip

.fut'es obvia,

ya que al tender To a cero ta función f6(t) se convier¡e en la 6 de Dirac. En

consecuencia la transformada de Laplace del inrpulso es la unidud. Esleresultado es de gran valor en ta ingeniéría ya que como sc veró mis adellntese derivan aplicaciones muy útiles.

Teniendo en cuenta que las transformadas de lus funciones r(t)'

u(t) y 6(t) son respectivitnrenle:

r tD(t) l=l im L#¿ =l im ={+ = IT g - + 0 T s - ) O

¿ t # l = s F ( s )

(73)

(7s)

(77)

(7e)

(76)

I [ r ( t ) l = i L [ u ( t ) J = i L t 6 ( t ) l = l ( 7 4 \

y recordando el teoremü de clerivación con condiciones inicialcs nulüs:.iu,, + o o

n ) f ( t ) d t =J

- O O

6( f ) f (a + r ) d t = [ f (a + t ) l t= 0 = f (a ) (70)

Las propiedades integrales de la función intpulso expresadas en (68) y 109)rrenniten identificar a la delta de Dirac como una función de muestreo yaque al variar el pariímetro g se va desplazando el impulso reproduciendo encnda lnomento el valor de la función f(l) en cada punto.

Una vez conwitlus la detinición y propiedudes de la delta de Diracvnnlos n calcular la transforntuda de Laplace de la misrna. Si se parte de lafunción fs(t) rectangular de la fig. 8, se puede observar f¿icilmente que estasr:¡irl se püede considcrar la strperposición rle dos escalones de acuerdo con laecurció¡t:

resulta:

^ 6 [ u ( t ) l = * : + ¿ f * u ( t ) l = s f , l u ( t ) l = s * = [ t 6 ( r ) l = I

y por consiguiente:q{0 = 6(r)tlt

si se pa,ne nhora de Ll r(t) | resultil:

r lñ

u ( t ) ' T ;

r+-+r=

l , [ r( t) l= ¿ =+ Lt $ r{t) |

y por ello se cunlple:

, . l l= s ¿ [ r ( t ) l = s - r = : =

. S Z S l, I u( t) | (7f])f6(t) = u(t -Ts)

I - e-Tus

( 7 l )

ln trtrtsfornlada de Laplace tJe lu l'unción unterior vale:

# = u ( t )LIf6(t) l=

* Las identirlades (77) y flg\ se observan mejor en cl esquerna de llf ig. l l . Hacia ubujo sc reltcjonan por derivación y hacia trr iba por

77 tl

Tos(72)

779

sorprender. La< 0 y t ) 0 , s i n

tINTEGFAC

Fig. I I

Si se aplica la regla de derivación a la delta de Dirac, se obtiene la

transtbrnrad¿r de I-.uplace de 8'(t).

ELECTROMACN ETISMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

irrtegraciórr. Debe destacarse un hecho que para él lector puederlcrivada de u(t) se observa en la f ig. I I que es cero para tentbargo en t = 0 se obtiene precisamente 6(t).

APENDICE 4: TII.ANSFORMADA DE LAPIACE

7. TRANSFORIVÍADA INVERSA DE LAPLACE. TABLAS DIiT R A N S F O R M A D A S

La aplicación de la transformada de Laplace a una ecuació¡rdiferencial la convier¡e cn o¡ra algebraica. De esta ecuación algebraica seobtiene fácilmente la respuesta en el dominio de la frecuencia compleja yposteriormen¡e se determina la solución temporal haciendo la transformació¡¡lnversa.

La transformación inversa o antitransformada de la función F(s)se define de la siguiente forma:

f ( t ) = L ' t t l ' (s ) I

!

t (82)

Ll6 '1r¡ ¡ = LI* 6(t) | = s ¿t 6 ( t ) | = s

Existe una expresión analít ica similar a la ecuación (l) quc(definía la ¡ransformada de Laplace) y que se emplea para determinaranalíticamente l-l clue es:

f( t) e ' t d s ; r > 0 ( S 3 )

La integral anterior se denomina de Bromwich, y para srldeterminación es preciso conocer la teoría de la variable compleja. La intcgralse realiza en cl plano conrplejo E, a lo largo de una paralela al eje imaginario,situada a una distancia o adecuada ( positiva ) de tal eje, desde ú)= -€ hasrir r,r= + 6 (las singularidades de F(s) e'st deben quedar a la izquierda dc cs¡rrecta).

La integración anterior puede ofrecer dificultades y, en cualquiercaso, reduce o anula las ventajas de haber pasado a operar en el dominio de llfrecuencia compleja.

En la priictica el problenra se resuelve median¡e tablas dctransformadas, aprovechando la correspondencia biunívoca en¡re una F(s) yla f(t) asociada. Los pares transformados se obtienen aplicando la ecuaciórr( I ) de definición de ln transfonnadn de Laplace (ver tabla ne I ).

Cuando no puede encontrarse en las tablas, la transformada tJe lirrespuesta temporal el procedimiento general es el dc expresar F(s) como sumade fracciones parciales con coeficientes constantes. Las fracciones parcialestendrán un factor de primer o de segundo orden en su denominador y scencontraran fiicillnente cn la tabla de transtbrmadas. La trnnsformada invcrs¡l

o+jott f

=:; I P(sllnJ J

o-jo)

(80)

y ilsí suce.sivilnrente con lls demds derivadas. En general se tendrd:

Z¡ E(n \ ¡ ¡= tn (81)

l-as funciones E'(t), 6"(t), etc. son funciones singulares quereciherl res¡:cctivnmentc los ltontbres de: doblete, triplete, ctc.

7,30 7n r

rY¡liliió¡ ao+�t'rt¡"a

ELECTROMACNETTSMO Y CIRCUTTOS ELECTRICOS

conrpleta es la suma de las ransformadas inversas de cada fracción.

La iransformada de la respuesta temporal F(s) puede expresarseen general como elcociente de dos potinomios P(s) y Q(s). Considérese queestós polinonlios son de orden mY 4,,respectivamente, y están ordenadossegún potencias decrecientes de la variable I asf:

bort + bl s* t

* . . .+ b- , s+b-(84)

n n - llos + a ls +. . .+ &n- l s+an

F(s)=ffi =g(s)+ ffii

APENDICE 4:TRANSFO DEI-'APIACE

polos. hay tres formas btisicas de descomposicién en fracciones parciales: a)

Qu" É(r)'r.nga polos reates y de primcr-orden o simples; b) que los polos

ñan mi,iíUp¡ei oieperidos. c) que lós polos sean conjugados y complejos.

a) POLOS REALES Y DE PRTMER ORDEN

Si todas las raíces de Q(s) = 0' son sinrples' entonces el

desarrollo en fraccioncs parciales es:P(s)F(s)=u5=

P(s)F(s) = (s -pr ) (s -pz) . . . (s -p j )

= xJ- * Jlt *... + 5!- (gz)S-p I S'P2 S-Pn

los coeficientes g y b son reales y constantes. El primer-paso en el desanollo es decir de la forma:en fracciones paiciales es ponerla función racional en fo_rma propia. Se diceque es menor que el grado del polinomio denominador. Si la función F(s) noes propia por ejemplo si cl grado de P(s) es mayor o igual que el de Q(s), sedivide P(s) por Q(s) y obtenemos:

E/-\ - $ K¡

r\D, - ^L

-

j= t s -P j

en la ecuación anterior, B(s) es el coeficiente y R(s) es el resto; de esta formaR(s) tiene un grado menos que Q(s) y la nueva fracción racional R(s)/Q(s) espropia ll(s) será un polinomio cuya transformada inversa (en el polinomio del

tiempo) ser¡i una combinación lineal de funciones 6(t), 6'(t), 6"(t), 6"'(t),etc, por lo tanto, solo serií preciso analizar la función propia R(s)/Q(s). Aplrtii de ahora, se supondri que las fracciones que se utilicen son propias.

Si se considera ln fracción propia F(s) = P(s)/Q(S) determinandohs raíces del numerudor y denominador se obtendrá la factorización siguiente

los va lores K¡ , K2, . . . ,Kn se denominan res iduos. Para evnluar uncoeficienre rípiéo K¡ se multiplican ambos miembros de (87) ó (88) por elfactor (s-p¡), el resuliudo es:

(s-pj) F(s) = K¡ :fri . K2 H - Ki * ... Kn ffihaciendos=pjresulra:

(8s)

(8 8)

(8e)

F(s) = f( (86)

donde rc indica un producto de factores; z-1,221...,2¡ son las m raíces delnumerador y se denominan ceros; Pl, P2,...,Pn son raíces (o ceros) delclenorninador y se denonrinan polos de la fracción parcial.

En generd F(s) puede cxpreslrse conlo unil serie de fracciones,cuyo número cs igual ul núnlero de polos t¡ue tiene. Dependiente del tipo de

7ft?

K.i= [ (s-p¡) F(s) ], = p¡ 1lo)

expresión que permite evi¡luir los residuos de las fracciones.

Una vez conocidos los residuos de las fracciones; la transfonnadainversa de Laplace dc (87) es inmediata, ya que cada sumando representaní untérmino expoñencial, de acuerdo con la solución:

f ( t ) = ¿ - t ¡ f ( s ) | = K l eP¡ I + K2 eP2 t + K3 eP31+ . . .Kn ePn t (91 )

' r) POLOS RE¡r,L&lS Dl: ORDS:N MULTIPLE

Sup;ingase ahora que F(s) tiene en p¡ un polo de orden I (esiccir r rafces npetid¡s). El desarrollo scrd ahora dé la forma:

(s-2,)

7 8 3

F(s,=tB = ün. ffit. ..

=) K2 = * [tr-pj)'F(s)l s=pj

APENDICE 4: TRANSFORMADA DE I-API.ACE

vamos a considerar un único par de polos, en los que se cumple:

Po = c +iF ; po* = ct-i B

clonde p0* indica el conjugado de p0.

La descomposición en fraccioneJ parciales de F(s) ser¿í:

nrultiplicanrlo (92) por (s-p¡)r se obdene:

(s-pj)t F(s) = K¡+K2(s-p¡)+...+ K¡(s-pj)i-l +...+ Kr(s-p¡¡r't (93)

Al hacer s = pise anulan todos los ¡érminos del segundo miembrode la ecuación tnterior exóepto K¡. Que sí se puede evaluar, resultando:

K r = t ( s - p j ) t F ( s ) ] s = p j

ELECI'ltOrvlAGN Hl-lSlvlO \' CIRCUn'OS EI-ECTRIC0S

K ¡ K+. - f + + - {T (92)'

(s-p¡) r - i+ t ¡oo ' (s- t

l ,

k r k2F(s) =- \ " / s p 0 s _ p 0 *

(ee¡

( t00)

A continuacióri se deriva la ecuación (93) una vez con respecto as. El térnrino K¡ desnp¡rrecer¿i, pero permanecer¿í K2 sin que quedernultrpl icado por unü función de s. Una vez mís se puede evaluar K2,haciendo s = pi, resultando:A .

ii Ifr-p¡¡'l'1s) | = Kz+ K3 2(s-p¡)+...+K¡(i - l) (s-p¡¡i-2*...*K, (r- l) (t-pj)"2

y el valor de los residuos kl y kZ renicndo en cuenrn (90) será:

k' = [(t - p,,) F(*)I,-oo ; k, = [(t

- ni)ntrl],='. ( l0l)

conro quiera que F(s) es r¡na función racional de ¡ con coeficientes realcs, alser los polos complejos conjugados, los coeficientes kl y kZ ser¿ín ran¡biénconjugados complejos, es decir:

k2 = k l * (102)

si se supone que el valor exponencial de k ¡ es de la forma A efO se tendr¿i:

k ¡ = A e t O ; k Z = { e - j 0 ( 1 0 3 )

llevando e.stos valores il (100) y tornilndo la rransformada inversa, result¿rr¿í:

(e4)

(e5)

el ¡lroce.io se puede repetir para determinar Ia siguiente constante Kj ! seobticnc:

(e6)K3= +, { T [ts-pj)'F(s)l ],=pi

parÍl cl rénnino generi l l K¡ se t iene la siguiente expresión:

*,= 6fi t # l(s-p,¡,F(s)l )s=p¡ e7,

Unu vez conocidos los residuos, la transformada inversa de (92)serii:

f(r) = z. rJ¡1slt = [ Fl+ - [t#..... ffi *...* r,] en, t (e8)

f(t) = f; l [ f(s)f = A efO ePot +A e -i0 ePot

y teniendo en cuenta (99) se riene:

f ( t )= Ae f0eCI t e , l [ i t +Ae- j0 eo t e - j p t

es decir:

f ( t ) = A ecr [ " l ( Dt+0) + e- j ( Pt+o) ]

o de un mcxlo equivalente más compacto:

t1t) = 2A eüt cos (Ft + 0)

( r04)

( l0s )

( 106)

( l07)c) PoLoS CoMPLli. lOS CON.fU(;ADOS SllvlPLES

Los dos métodos un¡eriores, son válidos para cualquier tipo depolos, bien sean re¿rles o complejos, sin embargo, si existen polos complejos,los residuos son en gencntl ccmplejos y pucde hacerse una simplificacióndebido ¿r que estos polos upureceriin en forma de pares conjugados. Vamos asr¡poner en este cpígrulb (lue se tienen polos conjuguclos sirnples; en panicular

-tIt4

Para un cofrecto empleo de la solución anterior, obsérvese que espreciso que todos los purdmetros que aparecen en la fórrnula, se retieian alpolo con parte imaginariu positiva (a+ jF) y a su correspondienre residuo(Re.lo). Es suficiente por consiguicnre para aplicar (107) obrener el poloimaginario positivo y su residuo.

785

ELECTROIYIAGNEflSMO Y CIRCUITOS ELECTR¡COS

EIE\IPLO DE APLICACION I

Calcular la tansformoda inversa d¿ Loplacc & la finción:

2 s 2 + 8 s ' 3r(st=aTvlT-íó

SOLUCION

Ll fraccion anlerior cs impropia y habná que proculcr a |a división:

- 6 s - ? 1F(s )=2+ # f l o

=2+F l ( s )

Vamos a dcscomponer la fracción propia F¡(s) en fracciones parciales: para

ello deben calcularse los polos dc F¡(s) que son raíces dcl denominador, es dccif:

S 2 + 7 S + 1 0 = 0 = 9 S l = - 2 ; 5 2 = - 5

. l rs_:_?_l_ kl- * - . Ie.F ¡ ( s ) = f f i = s + 2 - s + 5

APENDICE 4: TRAI'{SFORIVtADA DE I'APIACE

S O L U C I O N

Los polos dc F(s) son l¡¡s raíces del dcnominador:

s 3 + 4 s 2 + 5 s + 2 = 0 : $ s l = - l ; s 2 = . 1 ; s 3 = ' 2

lo que supone un ¡xllo tloble en sl = s2 =' I y un polo simple cn $ ='2.

El desanollo en fracciones parciales de F(s) nos da:

. 4 s 2 + l t s + g A ¡ A 2 BF(s)= =G;.

tF + G. D

+ (s + 2)

los valores dc los rcsirluos se calculan aplicando (90) resultando ser:

Kr= [ ( , +z )F1(s ) l ,= - z= t t ' | 3E l ,= - r=W

K2= [ t r +5 )F ¡ ( s ) J r= -5= $ f l J r= - s=W

dc acuenlo con estos valores cl tlcsarrollo de F(s) será:

F ( s ) = 2 + F ¡ ( s ) = 2 + j * . j f t

cuya transformada invers¿t cs:

r ( t ¡=26 ( t ) + e '2 t - J r - s '

I i J I i i I IPLO DTi APIJCACION 2

Calcular Ia tranrfornwda inversa de Inplace de lafrnción propia:

4.s2 + l t . s + I

y los valores dc los residuos son:

A t = [ ( r * l ) e P ( s ) I s = - r = 2 I A 2 = t

B = [ ( t * 2 ) F ( s l l * = - Z = 3 ;

y por consiguientc se tiene:

( s + t ) 2 r ' ( s ) l l r = . t = l ;

F ( s ) = * h + # + #

cuya transformada invers.ll es:

t ( t ) = 2 t e ' t + e ' t + 3 e ' 2 t

EJEfuTPLO DIi APIJCACION 3

Culcular la transformnút inversa de Laplace d¿ la fiurción:

l?(s) =) . -s ¿ + J s + 7

rJ + Js2 + I2s + I

S O L U C I O N ,

[¿.s raíccs dcl dcnorninador son:

s l + 5 s 2 + l 2 s + l l = 0 á s ¡ = . 2 + j Z i s 2 = - 2 - j 2

es decir existcn tkrs raíccs conrplcjas c(mjugi¡das y una ruiz rml.

: s 3 = - I

* r

y por consiguiente:

IJ373

786

l:( s) =. r J + 4 . s 2 + 5 s + 2 El dcsanollo en lrucciones parciales dc F(s) es:

187

ELECTROIvI,ACNEfiS MO Y CIRCUNOS ELECI"RICOS

,,,f t . i

_ _ s 2 t _ l l _ + ? _ L t _ r _ K r ' . ^ K z -( t . I - ¡ i i a ¡ l t t j t ) ( s + D

= s + l : ' l 2 +

L ' , . 2 i l 2 ) + ( t . l )

El residuo Kl cn la raiz, cornpleja con partc imaginaria ¡nsitiva vale:

K t = [ ( r * ? - i Z l F ( s ) | , = - Z + j 2 = j i = 0 , 2 5 ¿ 9 O o = 0 , 2 5 e j g o o = A e i 0

cl rcsiduo K2 vülc:

Kz = [ ( t * l ) F(s) J , = - I = I

y tcniendo cn cucnta (107) resulta:

F(s) = INDICI I ¿ILFABETICO

acoplamicntos magnéticos, I 77

acurnulaclor tlc Plomo, 145

- de Edison, 146

ufapucidn dc irnpcclanci¿rs, Affi

atlm iunc ia compleja, 397

adm i uanc ia o¡rracional, 262

adminncias mutuas,320

aislantes, I I ,

álgebra dc números complejos, 745

Am¡rCre, lcy dc, -12

amperímetro, 404

amperio, l0

amperio dcfinición, 4tl

amperivueltas, 43

amplilud tlc una on(la, 374

anchuna rtc banda, 468

ángulo dc fasc, 374

anlenil, Fntencia radiada ,221

antcna di¡rolcl, 202

apant¿llamicnto eléctrico, I l6

iírbol , 27 4

¿uco, dcscarga, l2l

¿lrgumcnlo, 374, 746

Aron, concxión, 563

asociación dc fucnlcs, 298

autoadm ihncias, 320

autoimpedancia dc malla, 308

autoinducción, 156

- cálculo a partir de la

encrgía, 218

balancc cnergótico,

- camrro EM, 204

batería 0 acumulador, 145

bi nóm ica, represcntació n, 7 46

Biot y Savart , lcy dc, l5 l

blindaje elcctrico, I l9

Blondel, teorema dc, 561

llobina de tensión

o voltimérica, 460

bobina dc intens¡d"ld

o amperimétrica,460

bobina tlc Tcsla, 688

bobina o inducnncia, 256

lnbina, cncrgfn, 209

bornes homólogos, 179

botella de Lcyrten,z

caída de tcnsión,247

calibración dc Coulomb, 148

- de Lorcntz, 193

círmpo EM, lcyes generales, I

- condiciones de contorno,T4

- clcctrost¿ítico, 106

- clcctrico no conservativo, 140

- conscrvat ivo,5 l ,729

t ' ( t ¡ = ' ) . 0 , 2 5 e ' 2 t c o s ( 2 t + 9 0 q ) + I e - l = - 0 , 5 e - 2 1 s e n 2 t + e - l

78tr 7¡ie

- irrotacional ,T40

- vcctorial, 701

- cscalar, T0l

- cléctrico E, I

D , 1 6

c¿unp0 nlagnéüco, cncrgía, 209

- fnilgnético H, t9

cam [x)s cuÍrsiestacionarios, I 92

- variables, 105, 165

capcid.1,J,125

- tle una línea bifilar, 129

- relación con R, 134

- condicioncs iniciales. 612

cÍrractcrización de los medios,28

cargas en esFella, 506

- cn triángulo, 519

- trifásicas desequilibradas, 530

ccros, 782

ciclo, 270

circuito abierto, 255

- c¿tpaciüvo, disconünuidad

en el origen, 687

- equivalente monofásico, 506,513

i nducü vo, discontinu idad

cn et or¡gen, 687

- tt-C, respussta natural, 626

- R-C, respucsta forzada, 628

- R-C, rcspuesta ransitoria, 626

- R-L, respuesüa natural, 619

- R-L, rcspuesüíl forz¿da ,624

7gtl

- R-L, respuesta transitoria, 619

- R-L-C, respucst¡t natural, 639

- R-L-C, respuesH forzada ,646

- R-L-C, respuesta transitoria, 639

- sobreamortiguado, 641

- subamortiguado, &4

- con amortiguamienb crítico, 643

- circuitos eléctricos, convenios

de signos, 245

circuitos rifásicos equilibratlos, 506

- descquilibrados, 530

cinculación de una crmpo,

definición de, 7l4

coeficiente de

- uut'':'*',";:j

t6z- . extgrno.- lffi

- de inducción mutua, 157

componentc directa, 569

- homopolar, 570

- inversa, 570

componentes siméuicas, 569

condensador, 125,258

- dieléctricos en serie, 13 |

- dieléctricos en paralclo, 132

- energía, 207,2ffi

- en triringulo, 557

- en esrella, 557

- Plano, 128

condiciones iniciales, 612

conductancia, 255, 398

- conducüvidad. 12

- tabla de, 12

conductor neuro, 506

- de [ase, 506

- campo dentro de un, 3l

- apantallamiento, I 16

conductores, I I

- materiales, 29

- perfectos, 80

- potencia disipacla, 205

conexién Aron, 563

- en estrella, 506

- en triángulo, 519

- en paralelo, 289

- serie, 287

conjugado de un número complejo, 754

conservación rie la carga ley ,22

constante dc fase, 189

constante de propagación, 186

constante dielect¡ica. I 6

constante de atenuación, t 89

coordenad.ls cartcsiÍlluts, 708

. ci l fndricas, 7l0

- csféricas,7l I

- ortogonales, 706

conona. dcscarga, l2 |

corTección clcl [.d.p., .l4ll, 555

corricnte elccuica, l0

- convenio de signos, 245

de conducción, 167

tle elesPliuamiento, | 7, 165

- alterna. 369

- - potcncia,424

- lcy dc Kirchholf, 24

corrientes de [ase, 509, 520

- de Foucault, 69

- de l ínea, 510, 521

- de malla, 305, 4l I

- estaciona, ias. 140

cortocircuilo, 255

- fas&-ticrra, 584

Coulomb, ley de. 107

cuasiestacionarios, campos, 105 , J97

culombio, 7

delra dc Dinac,775

densidad de carga lincal, I

superficial, 8

,r.nri,rod de coni;:T'étrica'

7

- tle desplazrmiento, 17

tlcrivada dircccional, 72 I

desarg¿l aperiod ica, 64 I

- oscilante, ó.44

tlesfase, 375, 3E I

dcsplazamicnto tlel neutro, 532

diamagnéticos, matcrii l lcs. 2 I

convenio de punto, calculo de f,e.m.s. inducidas,- 177 ¡Je conduccirin, t 2

diclrrctricos, 19

difcrcnc ia tlc ¡xltcrtcial,

sínri l gravitatorio, 246,248

difercncia dc lase, 375

tf i¡rolo cléctrico, l5 , 124

- fnagnct ico, 155

- re d,247

Diriclrlct, conrlición dc, I l0

tliscrin¡inac ión horaria, 448

divcrgcncia de un campo, 723

- tcorema de la, 733

tlivisclr tlc corriente, regla dc, 290

- tle tcnsión, regla dcl, 288

dominiu del tienrpo

cn c.a., 3l l8

- de la frecuencia en c.a, 388

- dc Laplace,656

duaf idatl, 279, 320

rruación dc contittuirlad, 22

- tlc l;t¡llace, I l0

- dc Poisson, I l0

ccuacio¡lcs de lr{axwcll,

intcrpretació¡r lísic¿r, 32

d c o n t l a , l 8 l , l l f 2

cl'ecto coron¿t, l3l

- " sk i n " , 19 I

- pel icu l i r r , l f l3 , l9 l

- punla, 120

clcctroc inertict, | -10

7()2

i

cltrtrodinámica, {

clectrostática, 106

e lementos activos, 263

. :*'"llJ'',1,u,.,,e,287rcspuesta scnoidal, 392

crc"ac ¡ on r. ;;;; JTJ:1"tencend¡do de un automóvil, sistema de, 670

energía almacenatla, campo eléct¡ico, 207

campo magnético,2D

cnergía eléctrica inuínseca, 216

. - Hi::'energía disipada, efecto Joule, 205

equipotencial, 54

equivalencia esrella-triángulo, 29 I

er¡uivalencia enrc fuentes, 298

escalón de lleaviside, 767

eslabón , 27 5

estrella equilibrada,

conexión en, 506

csuella - triángulo, equivalencia, 29 |

Euler, fórmula de,717

exciurción, 268

exponcncial, represcnt¡rción, 7 47

f.e.m. de acción

uanslormadora, 58

- rle autointlucción c inducción

fnutua, I 74

- de movimiento, 59

- de genenildores de, 140

- factor de potencia, 429,443

- corrccción dcl,4..tB

- tablas de cálculo , 526

frctor de c¿rlidad,454

faltas en sistemas tle ¡:otencia, 584

Faratlay, disco de, 7l

- ley de, 50, 5?, ó0, 169

faradio, 127

fase, 374

fases, de sr¡cuencia, 503

fasores, 37 | ,380

fasorial, translbrmación, 390

fenomagnéticos, tnateriales, 2 I

fe nonesonancia, .169

flujo concatenado, 157

- de un campo, dcfinición, 716

- de fxrtencia o energía ,221

- magnético, 40

forma de ontla, 268

Fortescuc, lcorc¡na de, 569

frccuencia, 270

fuentes, gcneradores, 263

- de¡rcndientes, 267

- equivalentcs, 301

- transtormación, 301

fucna contraelecrolnotriz., I 75

- magnótica, 25

- clcctrotnolriz, tlefinición ttc, 56

- clÓcuica, 25

- magnéúca de LaPlace, l8

- magnetomouiz,43

función escalón unidad, 767

- f[uestrco, 778

- deltm,,775

- impulstt, 775

- nampa ,769

funciones di fercnciales, 72 I

- integrales ,7 13

Gauss, ley de,32

generadores, con tro lados, 267

de coniente re^11, Zffi

- de corricnte itteal, 265

- dc f.e.m. 140

- de lensión real, 2g

- rle tensión ideal ,263

- tle ondis de choque,689

- depcndientes, 267

- fnlit¿ilsicos, 499

grad ien le,72l

- de fntencial, 109

grato,274

Green, idenüdades de, 7 4$

Hall, efecto, 72

l{elnrhohz, ecuaciones de, ltl5

catretcs de, 231

7,')3

- tcorenlas úe,743

hcnrio, 157

hcrtzio, 270

hilo tlc grriarrla, 120

histércsis, 2l

honro¡lol¡r, 570

itlenú rlades vectoriales, 7 37

ir rrágcnes eléctri cas, 122

irnanación M, veclor, 20

ir npcrlancia ca¡acterísüca, 199

- irruínseca, 188

- compleja, 397

- operacional,261

irnpcdancias según secuencias, 581, 582

- adaptación de,46

- muluas, 308

inducción eléctrica D, 4

- rnagnética ll, 17

- mutua, 157, 160

- tle un¿l espira circul¿¡r, 153

- rlc un conductor finio, 152

irrductancia, 156

- condiciones iniciales, 613

- energío en una, 258

irrflucncia elóctrica, I l7

intcgral curvilínea, 7 I 3

- supcrf ic ie ,716

- volumen, 7l9

inten.sidad de la corriente elccuica. l0

'/r),1

inversa rle L:place, transformada, 781

inolacional, cam[xl, 7 29

jaula de Faraday, I l9

Joule, ley de, 206

Kennelly, nolación de, 381

kilovaüo-hora, 443

Kirchhoff, lemas , 24, 144, 27 5, 401

l.^aplace, ecu¡lción de, I l0

: *':"'-T;:#;';;J- - teoremas cle, 759

laplaciano,T29

fazo, 274

Lenz, ley dc, 57

lfnea de transmisión sin perdidas, 198

líneas de fuerza, 5

Lorentz, fuerza de, 25

magnéticos, materiales, 29

niafineúZáción M, vector, 19

magnetost¿ítica, 147

magnitud scnoidal, derivada e inrcgnal, 385

malla, 274

mallas, en c.c., 304

- e n c . a . , J l l

masa, 3 l7

Maxwel l. ecuaciones de, 24

medida dc ta polcncia, en c.a..460

- en sistemas uifásicos,.560

método simMlico, 369

- de los dos val.ímeuos, 563

mho, unid.ld, 255

moléculas polares Y no PolÍues, l5

*:rrntodi¡rol:ffi;;;

- magnético del sPin, 19

monofásico, generador, 499

movilidad, I I

Nernst, ley de, 144

Neumann, condición de, I l0

- fórmr¡las de, 159

neulro, conductor, 506

Norton en c.c., 332

- en c.8., 422

nudos, definición,273

- gn c.c., 3 17

- en c.3. , 415

número"o:o'":il;oncs, 748

Ohm, lcy, 12, 147,391

ohmio, 134

onda, amplitud, 373

- eftergía que tnans[nna, 222

- progresiva, 186

- homogenea. ecuación, 183

- no homogéfiea, ecuciÓn. 193

onda scnoidal ,372

;il:ffi;:- - representación conlpleja, 378

ondas bid ireccionales, 269

ond.ls de choque, gencratlor, 689

elcct¡omagnólicas, I 80

en circuitos, 268

en curidratura, 375

en oposición, 375

no perifficas, 270

TEM, I99

unidireccionales ,269

operado;:nÍl*,u,,

geométrica, 751

,laplacia no,729

- lrifásico "a", 571

Osuogradsky-Gauss, teorema de, 733

pantalla eléctrica, I l9

#st*, paramagnético, materiales. 2l, l: .panime*:n:H::::

ff'200pararrayos, principio, | 2 I

*u"'T;J:il'ti:: "'perítxlo ,269

, [rcrmeabilidad absoluu,2l

7e5

pcmri l . iv id¡rd, l5

¡r i las volt¿l icas, 3, 144

- titxl Lcclanché, 145

plano dc L,aplacc, 655

- inr¡rdancia y admitancia, 660

- rcspucsm tte una capacid¡ld, 659

dc una inductancia, 658

de una resistcncia, 657

- plano cornplcjo, rcspuesta de los

clc¡lrcrrtos p¿rsivos, 392

Poissot¡, ( lcui lción t le, I l0

¡xrhr, rrtprcscntación, 7 16

¡nlarizncitirt I ', l5

¡nlil ásico, gencrfltlor, 5üC

polos, 7tt2

potcric ia c lcic l r ic¡t,

- r:onvenio de signos, ?49

- traltsli:rcncia múxi¡na, 34 |

l)otcnci¡r cn (1,i1.¡ 124

- ¿rctiva cn c.4., 427

- ilparenlc cn c.a., 428

- cornplc ja,435

- lluctuantc , 477

- in.stanti¡nca cn c.0., 125,54tt

- tl leditla dc la, 46{)

- rc¿tct iva cn c , ' r1.,127

- s is tcrnas u i lús icos,545

- transfcrencia máxilna, 464

¡nterncial cléctrico, 50

- cscill lu, l()9, 7't I

7e6

- Vector, 148

potcnciales ret,ard¿rdos, I 92

Poynting, veclur de, 214

presión de ionización, 145

principio de superposición, 327

profundidad de pcncuación, 190

puestít a tierra, 139

pulso recnngular, 772

pulso triangular, TT3

pulso dc barrirlo,774

Q, factor, 469

rama, 274

rÍrma dc enlace,z1 5

rampa, 769

reachncia inducúva, 398

- capaciúva, 398

red ü rcs hilos, .5 I I

r il cuaEo hilos, 506

- en escalera ,296

- plana,274

rccfcs, análisis úe, 244

- síntesis de, 244

- de primer orden,

solución sistemática, ó19, 630

- de segundo orden, an¿llisis clásico, 639

- dc s€cuencia, 583

ré si nr e n ".*' :::;11 ]; ll'

régimcn t¡ansitrl rio, 245, 609

regla de Flenring, l9

residuos, 783

rcsistencia elrrcrica, 133, 252

- cúligo de colorcs, 254

- condiciones iniciales, 612

- conductor cilíndrico, 134

- conductorcs scmiesféricos, | 35

- dos esferas entemrdas, 137

- potcncia clisipada, 2[)()

- pucslil a tierra, 139

resonancia en c.t., 467

rcspuesta compleua de una red, 610

- forza(h, definición,61I

- natural, definición, 6l I

rigidez tlielcctrica, 12 I

rotacional de un compo, definición, 726

Rowland, disco de, 233

srcuencia ccro, 570

- dc fases, 503, 536

- direcur, 503, 569

- homopolar, 570

- invcrsa, 503, 570

siemens, unid¿tr l , 155

síntesis de ondas,772

sislenra dc unirtadcs SI, 695

sistemas trifásicos, 5(X)

- equi l ibrudo,50lr

- tlcsc(luil ibrado, 50ó

- cquivalente monofásico, 506, 513

- tlotencia, 545

- insnnuinea, 548

compleja, 546

- ventaja frente a los

rnonofásicos, 568

solenoidal, cant[n, 40

Stokcs, tcorcma de, 735

superficics cquiFntencialcs, 54

supcrrlosición, en c ,c,m 327

- cf l c.a., 4 l8

susceplancia, 399

susceptibilidad eléctrica, l6

- magnéüca, 20

ublas de unidadcs, 697

nrifas eléctricas, 447

tensión eléctrica, 50

- c{lftla de, 247

- colnpuesta, 507

- convcnio de signos,247 ,- dc fase, 50?

- de neutro, 532

- de línea, 507

- de paso, 137

- elcvación de,247

- inducida, I ?6

- simple, 507

- transitoria dc rcstnblcci¡niento, 672

tcnsioncs dc nudo, 4 l5

7e7

- trifiisicas, generación de, 500

lcnsor, 29

tcorenra tlel valor inicial,765

- fin al,1ffi

- de Poyntin g,2ll

teorcnr as integralcs, 733

tcs la, l8'l'lrévenin en c.c., 332

J lrévcnin en c.0., 422

ticnrpr dc relajación, 30

- Iibre medio, 14

t icrro, 317

tilns tle excilación, 268

lomas dc tierra, 139

topología de redes, 273

t¡'rmsfcrer¡cia rn¿ixima de potencia en c.c., 341

- de potencia en c.o., 4&

t¡ ansfirrnración fasorial, 390

uíumft)rmada de laplace, 654

- aplicación a

circuitos, 657

- teoría, 7 57

Uans[xrrtc de energía elcctrica, 568

uiiilrgulo dc im¡redanciils, 398

u iilngulo dc potencias cn uifásica, 550

trifásica, 499

- medida de la potencia, 560

- cofrccción del f.d.p., 555

un itlndcs, sistema internacional, 695

79tf

- b¿isicas. rlefiniciones, 695

- eléctricas, üabla de, 699

- magnéücas, tabla de, 700

- suplemennrias, definiciones, 696

valor inicial, teorema, 765

- efic az,,27 |

- de cresta o dc pico, 272

- final, teoreffit, 1ffi

- medio,Z1 |

varímetro,462

Varley, indicador de, 536

vaÚmetro,461

vatios, 428

vectores, operaciones con, 702

velocidad de fase de onda, 187

velocidad de arrasue, I I

ventaja de los sistemas trifásicos, 568

versor, 702

voltaje y d.d.p., diferencia entre ,172, 173

voltírneLro, 404

voltioamperios reactivos, 428

voltioamperios, 428

weber,40

Wheatstone, puente de, 346

INDICE DE

Amptre,364

Aron, 605

Biot, 238

Boucherot, 605

Braun, 238

Cauchy ,494

Cavendish, 95

Coulomb, 96

Euler, 3g

Evans, 605

Faraday,238

Fleming, 96

Fourier, 494

Franklin, 96

Galvani, 364

Gauss, 97

Gerard,690

Giorgi, 97

Guillemin, 494

BIOGRAFtrAS

Heaviside, ó90

Ilelmholu,3&

Henry, 239

Hertz, 239

Janet, 605

Jenkin, 495

Joule, 606

Kennelly, 495

Kirchhotf, 365

laplace,690

L&n2,239

Lorenu,24A

Madariaga,690

Marconi,240

Maxwell,97

Oersted,UA

Ohm, 98

Pérezdel Pulgar, 691

Planté, 365

Poisson,240

Popov ,241

Poynün g, 241

Rojas y Caballero, 691

Sfuchez Cuervo, 691

Siemens, 495

Steinmelz,495

Stokes, 98

Terman,692

Tesla, 606

Thévenin, 365

Thomson, (Lord Kelvin), 496

Tudor, 241

Varley,606

Volüa, 365

Wagner,607

Wheatstone, 3(fi

N O T A S

.../,.. ¡\ccrca tlcl atttor

Nururat dc Aycrhe (Huesco), mayo dc lÍX6. Perito Industrial, Rama Eléctrica,

¡rlr la Escucla'Iécnic¿r dc Pcrirr¡s tndr¡sl¡iules dc Zaragoza, l9ó51en la actualidad E.U. de

ingeniería Tócnrc;t Inrluslrial). Ingenicro deTclc,:omunicaciÓn, Rama ElccUÓnica, por la

f.i ' .S. . l* lngenicros de ' l 'clecó¡nunicacitln de tvladrid. l9?0. Doctor Ingeniero.dc'i"i."iuuur¡"olión por lu Universid¡rd Politécnic¡ dc lvladrid, 1974. Licenciatto en Ciencias,

Sr:cción rle Físic¡s iror h Univcrsidarl Complutcn';c ¡le Macl¡id, 1976'

Macsrro de Laboraiorio ile Elcctrotecnia de la E.T.S. dc Ingcnieros ¿e't'clecttn¡ur¡icacitin rte Mattrid, 1967'? l. Profesor Encargado dc Curso y dc Clases Prácücas

rle Efcctrotccnia cn ta Escucla anterior, 1970-12. Profesor Encargado de L¿boratorio de

Elccr¡otccnia rle la E.T.S. de Ingenicros de Telccomunhación de Madrid, 1972'74. hofesor

A¡junro de Laborarorio rlc Electrolccnia en la misma Escuela,l974'75. Catedrático de

Elccrrotecnin dc la Escuela Universitaria dc Ingeniería Técnica de Obras Públicas de Madrid,

]g7z-Tg.profesor Artjunro de Máquinas Eléct¡icas de la E.T.S. de lngenieros Inrlustriales de

Madrirl, 1975-?8. Catedrático de Electrotecnia de la E.T.S. dc lngenieros de Caminos,

Canales y puerros de la Univcrsidad de Sanmndcr, t978-80. Catedráúco de Electrotccnia de

la E.'t-.S. rle Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de l¡ Universidad Politécnica de

Ma¡lrid, dcsde 1980, continuando en la ac¡ualitlad.

Director clel Depanamenro dc Energérica de la Univeniüd rte Sannnder, ll'¡78-

flO. Secretario Gcncral ttc la Un¡versidad de Sanunder, 1979-80' Secretario de la E'T'S' de

tngenieros rte Caminos, Canales y Puenos de Madrid. l98l-82. Subdircctor de lnvestigación

y ótrtora,lo de la E.T.S. dc Ingenieros de C¡minos, Canales y Puertos de Madrid' 1983'8ó.

ivlcmber ttcl IEEE (fnslil¡r¿ of Electrical and Elcctronlc Engineers) desde 1972, rccibicndo el

grado dc Scnior Membcr cn l9tl5. Premio dc la Fundación Cencral de la Univcrsitlatl

Folirécnica ¿e Ma¿rid a la labor doccntc dcsanollada por un prolbsor en su vida acadétrtica,

r 9 9 1 .

Aulor (lc nilmcfosos libros dc tcltos (Teofía, Problenras y Manualti de

Lahorart¡rio) y arrículos cn el Area de Ingeniería Elécuica: Elccromagnetismo y Circttitos

cléct¡icos, Miquinas Elcctricas, lnstalacioncs Eléctricas, Electrónica Analógica, Sistr'¡n¡s

Digirl lcs, Microproccsartores, Ingcnicría ¡te Control, Instrumcntación aplicrrrla:

Trarmluctores y mcdidas necúnicas.

l{a inrpilrtitlo grun ntimcro dc Scminarios y crrrsos dc Doclorado en llts

Univers¡rlurles Polirécnicu dc Nlartrid y ttc Cirnnbria. También ha dirigido o pnrticipado 'n

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Canalcs y pucrros y Colcgio Ol'icial dc lngcnicros Técnicos tlc Obras Públicas- tit

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Marlri{ y otr¡s f inlrrciatlos por cl Fontto Smial Errro¡ro y el INEM ( Instituto Nacional r'r:

Ern¡rlco).

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