1Electromagnetisme

Bases

Sources du champ E.M. Distribution de charges = couple (,j ). Lhypothe`se des milieux continus permet de dire que tout se passecomme si lon avait un fluide electrique (ou ce qui revient au meme : et j sont des fonctions suffisamment regulie`res). et

j sont des grandeurs nivelees (i.e. moyennees sur des echelles assez petites par rapport au macroscopique du laboratoire mais tre`s

grandes devant les echelles de la matie`re) : = dqd

( : ce nest pas une limite quand d tend vers 0 !...).

On peut ecrire en fonction des densites particulaires des porteurs i : ni =dNid

(nombre de porteurs par unite de volume) : = n1q1 + n2q2 + . . .

Lintensite i est egal a` la charge qui travers une surface S orientee par unite de temps (comptee positivement dans le sens de lorientationde S). On a j = n1q1v 1 + n2q2v 2 + . . . et i = dq

dt=

S

j .n dS

Dans le cas dun unique type de porteurs de charges (par exemple courant de particules), on a j = v ( cest faux sil y a plusieurstypes de porteurs de charges, par exemple pour un courant de conduction dans un electrolyte ou un metal).

Equation de conservation de la charge Lequation de conservation locale de la charge secrit : divj + t

= 0

Demonstration : Soit V un volume fixe de surface S. La charge qui sort de S en dt vaut dq = dtS

j .n dS. Par ailleurs, la charge contenue dans V vaut Q(t) =

V(M, t)d . Pendant dt, la charge varie dans V de dQ = Q(t+ dt)Q(t) = dQ

dtdt =

d

dt

(Vd

)dt = dt

V

td . Par conservation de la charge,

dQ est egal a` dq, dou` dtS

j .n dS = dt

V

td et en utilisant Ostrogradski :

V

td =

V

divj d , dou`

V

(div

j +

t

)d = 0.

Ceci est valable pour tout volume V , dou` lequation en prenant un volume elementaire et en le faisant tendre vers 0.NB : En regime stationnaire, lequation se reduit a` divj = 0 : la densite de courant est a` divergence nulle, donc lintensite totale quisort dune surface fermee S est nulle : cf. loi des noeuds.

Force et puissance volumique de Lorentz La force volumique electromagnetique (de Lorentz) vaut f = dF

d=

E +

j

B

et sa puissance estdP

d=j .E

Application : pour un conducteur ohmique, la loi dOhm locale j = E donne dPd

= E2, dou` pour un troncon cylindrique de

longueur l et section s parcouru par une intensite i = js : P = 1

l

si2 = Ri2 car R =

1

l

sest la resistance du troncon.

Demonstration : La force subie par les porteurs de charge du volume d vaut dF =

i niqid(E + v i

B ) =

i(niqi

E + niqi

v i B ) et on reconnat

lexpression annoncee.La puissance vaut P = F .v = qE.v . En raisonnant par porteurs, on a dP =

i dPi =

i niqid

E .v i = (

i niqi

v i).Ed =

j .Ed .

Equations de Maxwell

Equations de Maxwell

divB = 0 (Flux magnetique M)

rotE =

B

t(Maxwell-Faraday MF)

divE =

0(Maxwell-Gauss MG)

rotB = 0

(j + 0

E

t

)(Maxwell-Ampe`re MA)

Remarques : 1. le couple (M,MF) exprime des proprietes intrinseques du champ E.M. alors que le couple (MG,MA) explicite lanature de la liaison entre le champ E.M. et ses sources (,j ). Par contre, les deux types dequations sont necessaires pour determinerentie`rement chaque champ (theore`me de Helmoltz : un champ vectoriel ne peut etre entie`rement determine que si lon connat a` la foissa divergence et son rotationnel).2. Les equations etant lineaires, on a un theore`me de superposition : une combinaison lineaire de solutions des equations est encoresolution.

Ne pas confondre cette notion avec celle de linearite du comportement du materiau, par exemple la loi dOhm locale

j =

E (il existe des gaz ionises ou des semi-conducteurs pour lesquels la relation entrej et E est non-lineaire).

3. Lequation de conservation de la charge est contenue dans les equations de Maxwell : en prenant la divergence de MA : 0 =div (

rotB ) = 0

(div

j + 0div

(Et

))dou` 0 = divj + 0 t (div

E ) et on obtient lequation de conservation de la charge

en remplacant la divergence de E dans MG.

2 Contenu physique des equations de Maxwell : formes integrale MG : la forme integrale donne le theore`me de Gauss qui reste

donc valable en regime quelconque. MG exprime que les charges jouent pour le champ electriqueE un role de source. Par contre,contrairement au regime stationnaire, les charges ne sont plus les seules sources (il faut tenir compte de j ).

MA : en notant jD = 0E

t(designe par Maxwell sous le nom courant de deplacement), la forme integrale de MA secrit

C

B.dl = 0(i+ iD) avec iD = 0

S

E

t.n dS

jD traduit seulement une variation temporelle du champ electrique, et pas

du tout un courant ni un deplacement de quoi que ce soit ! Par contre, on peut dire quen regime variable, le termejD = 0E

tjoue au

meme titre quune densite de courant j un role de source pour le champ magnetique : un champ electrique variable dans le temps estune source de champ magnetique. NB : en regime stationnaire,jD =

0 et lon retrouve le theore`me dAmpe`re.

M : le flux du champ magnetique a` travers toute surface fermee est nul, i.e. le champ magnetique est a` flux conservatif. Une autreconsequence est quil nexiste pas de charges magnetiques, ou dit autrement : le champ magnetique na pas de sources qui joueraientpour

B le role que les charges jouent pourE ).

MF : en regime stationnaire, on retrouve que le champ electrique a un rotationnel nul, i.e. le champ electrique est a` circulationconservative en regime stationnaire. En regime quelconque, en notant e la circulation de E sur un contour ferme quelconque C, on

obtient que e = ddt

ou` =

S

B.n dS est le flux magnetique qui traverse le contour ferme C (independant de la surface S

puisqueB est a` flux conservatif) : on obtient la loi de Faraday du phenome`ne dinduction E.M. (e sidentifiant a` la f.e.m. induite sur C).

On peut aussi enoncer : un champ magnetique variable dans le temps est source dun champ electrique a` circulation non conservative.Remarque : en regime variable, les equations de Maxwell font apparatre de manie`re evidente un couplage entre les champsE etB . Enregime stationnaire, ce couplage disparat.

Note historique Vers 1860, Maxwell etablit un tableau des equations presentees ci-dessus qui ne fait pas apparatre le courant dedeplacement jD = 0

Et . En effet, cet ensemble dequation correspond aux ARQS qui traduit une approximation des lois generales

pour des champs lentement variables dans le temps. Or, les circuits oscillants de lepoque ne permettaient pas dacceder a` des frequencessuffisantes pour mettre en evidence les phenome`nes de propagation specifiques du terme jD.En 1862, Maxwell modifie ses equations ARQS de lE.M. en introduisant son fameux courant de deplacement. La raison en est quecest la facon la plus simple de modifier les equations issues de lexperience afin de les rendre compatibles avec la conservation de lacharge.Par ailleurs, Maxwell ne disposait pas du formalisme de lanalyse vectorielle. Enfin, il existait a` cette epoque la theorie de lether qui adepuis lors ete abandonnee...

Charges dans un conducteur En regime stationnaire, est nulle dans tout le volume dun conducteur ohmique homoge`ne ; enregime quelconque est negligeable dans tout le domaine des frequences industrielles et hertziennes (restriction due en partie au faitque nest pas constante pour toute frequence).Demonstration : Cela resulte de lequation de MG et de lequation de conservation de la charges :

t= div

j = (div

E ) =

0. En regime stationnaire, on a

donc = 0. En regime variable, cette equation secrit en posant = 0

(temps caracteristique) : t

+

= 0, dou` (r , t) = 0(r )et/ . Pour un metal, = 107

Sm1dou` 1018 s : on a une relaxation extremement rapide vers letat stationnaire caracterise par (r ) = 0. On peut donc admettre = 0 pour toute frequence

1

1018 Hz. En fait, la limite est moins elevee car la loi dOhm locale perd sa validite avec une reelle pour des frequences superieures a` 1014 Hz.

Courant dans un conducteur - Effet de peau Dans un metal soumis a` un champ electrique sinusodal E = E 0 cost, on aj =

E 0 cost et

jD = 0

E

t= 0

E 0 sint, dou`

jDj

=0

= (ou` est le temps de relaxation introduit dans lepoint precedent sur les charges dans un conduteur). On a donc jD j pour 1/ : dans le volume dun metal, le courant dedeplacementjD est negligeable devant la densite de courant

j dans tout le domaine des frequences industrielles et hertziennes.

En reunissant ce resultat et le precedent, on a donc que dans tout le domaine des frequences industrielles et hertziennes, on peut negligerla densite de charge dans MG et le courant de deplacementjD dans MA : cest leffet de peau.

Equation de propagation du champ E.M. Le couplage introduit par les equations de Maxwell est a` lorigine duphenome`ne de propagation du champ E.M. Lequation de propagation verifiee par les champs E et B dans le vide est

2E 00

2E

t2=0 ; 2

B 00

2B

t2=0 avec 00c

2 = 1

Resolution de lequation de dAlembert On peut chercher : soit des solutions a` variables liees de la forme f(t

x

c

)(ondes

progressives), soit des solutions a` variables separees de la forme h(x)k(t) (ondes stationnaires).

3 Resolution de lequation de dAlembert en variables liees Soit s(x, t) une grandeur a` variables liees verifiant lequation des ondes

(ou equation des cordes vibrantes) : 2s

x2

1

v22s

t2= 0 alors s(x, t) est de la forme s(x, t) = f(x vt) + g(x+ vt) ou` f et g

designent deux fonctions arbitraires.Demonstration : On fait le changement de variable u = x vt et w = x + vt. On obtient pour les derivees premie`res :

s

x=

s

u

u

x+s

w

w

x=

s

u+s

wet

s

t=s

u

u

t+s

w

w

t= v

s

u+ v

s

w. Et pour les derivees secondes :

2s

x2=2s

u2+ 2

2s

uv+2s

w2et2s

t2= v2

2s

u2 2v2

2s

uv+ v2

2s

w2. Lequation

devient donc : 4 2s

uv= 0, soit encore

u

(s

w

)= 0. Ainsi

s

w= h(w) et donc s(x, t) = f(u) + g(w) (avec g primitive de h).

Onde plane progressive Une onde plane progressive est une onde de la forme s(x, t) = f(x vt) (a` une dimension). On a s(x, t) = s

(0, t

x

v

): le deplacement de lextremite determine comple`tement le deplacement de toute la corde a` tout instant.

Lallure a` un instant t est obtenue par simple translation de duree xv

.

On a s(x, t) = s(x vt, 0) : la forme de la corde s(x, 0) a` linstant initial determine comple`tement le deplacement de toute la corde a`tout instant. Lallure a` un instant t est obtenue par simple translation de longueur vt.v est la vitesse de propagation de londe. En effet, soit u = xvt une valeur fixee constante du champ, on a : 0 = du = dxv dt, dou`dx

dt= v. Ainsi pour suivre un etat du champ fixe, il faut se deplacer en meme temps que lui a` la vitesse v dans le sens des x croissants.

On montre de meme que la solution g(x+ vt) correspond a` un champ qui se deplace sans deformation a` la vitesse v dans le sens des xdecroissants.Ainsi : une onde plane progressive de la forme s(x, t) = f(x vt) represente la propagation sans deformation dun signal a` la vitessev dans le sens des x croissants. De meme, une onde plane progressive de la forme s(x, t) = f(x + vt) represente la propagation sansdeformation dun signal a` la vitesse v dans le sens des x decroissants.La solution generale de lequation de propagation peut sexprimer sous la forme de la superposition de deux ondes planes progressivesde meme celerite et de sens de propagation opposes.NB : On note egalement la solution generale sous la forme : s(x, t) = F

(t

x

v

)+G

(t+

x

v

).

Resolution de lequation de dAlembert en variables separees On cherche ici des solutions de la forme s(x, t) = S0h(x)k(t) (S0constante). Alors necessairement, on a h(x) = cos

(cx+

)et k(t) = cos(t+ ), soit : s(x, t) = S0 cos

(cx+

)cos(t+ )

Demonstration : Tous calculs faits, on obtient c2 h(x)

h(x)=k(t)

k(t). Ainsi il existe une constante K = 2 telle que c2

h(x)

h(x)=k(t)

k(t)= 2. (La notation se

justifie par le fait que la dimension de K est la s2, i.e. la dimension dune pulsation.)1ercas : K = +2 k(t) = Aet + Bet. B = 0 sinon londe diverge en tout point ! Donc k(t) = Aet, mais dans ce cas londe devient nulle en tout point tre`srapidement, ce qui nest pas acceptable physiquement. Conclusion : ce cas nest pas viable.2e`mecas : K = 0 k(t) = At+ B, avec A = 0 sinon londe diverge. Alors k(t) = B, ce qui nest pas acceptable pour une onde. Conclusion : ce cas nest pas viable.3e`mecas : K = 2 < 0 k(t) = A cos(t + ) et h(x) = B cos

(cx+

). Posons S0 = AB, alors s est de la forme annoncee.

Remarque energetique sur les ondes stationnaires En x tel que cx + = 0, s(x, t) = 0. On appelle ces points des noeuds de

vibration. Or pour une onde E.M., E = 0 implique que le vecteur de Poynting est egalement nul. En consequence, aucune puissanceE.M. ne peut se propager en passant par ces points :londe stationnaire ne se propage pas, lenergie reste confinee entre les noeuds de vibration successifs

Lien entre les ondes stationnaires et les ondes progressives Si s(x, t) = S0 cos(cx+

)cos(t + ), alors en utilisant la for-

mule cc = 12c + +c, on obtient s(x, t) = S0

2

[cos

(t+

cx+ +

)+ cos

(t

cx+

)]comme superposition de deux

ondes progressives sinusodales (ou harmoniques) de meme amplitude et de sens de propagation opposes.

Potentiels Le champ E.M. (E ,B ) derive dun couple de potentiels (V,A ) appeles potentiel scalaire et potentiel-vecteur :E = gradV

A

t;

B =

rotA La partie a` circulation non conservative

A

test aussi appelee champ electromoteur de

Neumann.Les potentiels ne sont pas uniques, ils sont definis a` un gradient dune fonction f pre`s pour le potentiel-vecteur, et a` la derivee

partielle par rapport au temps de la meme fonction f pour le potentiel scalaire. Autrement dit : le couple(V

f

t,A +grad f

)est egalement valide. On profite de cette non unicite pour imposer une condition supplementaire sur V et A dite jauge de Coulomb :div

A +

1

c2V

t= 0

En consequence, en regime quelconque on na plus necessairement

E = gradV !...

4NB : Les potentiels qui satisfont la jauge de Coulomb verifient lequation de propagation des potentiels 2V = 0

et 2A = 0

j .

En regime statique, ces equations redonnent les equations de Poisson pour le potentiel electrostatique et le potentiel-vecteur (celle-cipermettant de retrouver la formule de Biot et Savart de la magnetostatique).

Potentiels retardes Soit S un point de la source dune distribution D et M un point ou` lon calcule le champ E.M. On poseSM = ru . On montre que tout se passe comme si les potentiels V et A en M correspondaient a` la superposition de signaux envoyesvers M par les sources S de D et se propageant avec la meme celerite c. Ainsi un observateur place en M est informe avec un retardcorrespondant au temps de propagation de londe E.M. de toute modification de D.

ARQS Lapproximation des regimes quasi-stationnaires consiste a` calculer les champs a` partir des potentiels en negligeant les retardsqui figurent dans les expressions, autrement dit a` faire les approximations V (M, t) = 1

4pi0

D

(tt)

rd

1

4pi0

D

(t)

rd

etA (M, t) =

04pi

D

j (tt)

rd

04pi

D

j (t)

rd .

En dautres termes : lARQS neglige les phenome`nes de propagation. Les consequences sur le champ E.M. de cette approximationARQS sont les suivantes : le champ magnetique verifie les lois de la magnetostatique, en particulier, le caracte`re conservatif du flux magnetique et sesconsequences (lois des branches, des noeuds) sont valables dans lARQS. le champ electrique diffe`re du champ electrostatique stationnaire : il faut tenir compte du champ electromoteur de Neumann

A

t(traduit le phenome`ne dinduction).En resume, on peut aussi dire que les equations de Maxwell de lARQS negligent le courant de deplacementjD = 0

E

t.

LARQS est valable lorsque la distance du point M aux sources est faible devant la longueur donde = c

ou` est la frequence devariation de la distribution D. Par exemple, avec = 30 MHz (ordre de grandeur des limites de generateurs de signaux utilises en TP),on a = 10 m !...

Lorsque est superieure a` 1 GHz ( = 30 cm), on sort du cadre de lARQS : les phenome`nes de propagation

jouent alors un role essentiel. Cest le cas aussi pour les ondes radio FM avec des frequences de lordre de 100 MHz !

Relations de passage du champ E.M. M donne la continuite de BN . MF donne la continuite de E T . MG donne la discontinuite de EN . MA donne la discontinuite de B T .On peut regrouper ces resultats par les relations vectorielles : E 2

E 1 =

0

n 12 ;B 2

B 1 = 0

jS

n 12

Energie electromagnetique

Modelisation Par analogie avec le transport de charge par le vecteurj , on cherche un couple (w,) ou` w representerait la densitevolumique denergie electromagnetique contenue dans le champ et le courant denergie electromagnetique tels que : la puissance

electromagnetique secoulant a` travers une surface S vaudrait P =

S

.n dS et lenergie electromagnetique emmagasinee a` un

instant donne dans un volume V vaudrait W =

V

wd

On montre quune solution consiste a` prendre w = 0E2

2+

B 2

20;

=

E

B

0

Aspects energetiques de lelectrocinetique Les mode`les de la capacite C, linductance L et la resistance R de lelectrocinetiquesont des mode`les ou` lenergie est emmagasinee respectivement sous forme electrique, magnetique et dissipee par effet joule. On aWE =

Q2

2C=

0E

2

2d ; WB =

LI2

2=

B2

20d ; P = RI2 =

j .Ed

Propagation des OEMPPV

Mode`le de lOEMPPV - Plan donde Une onde electromagnetique plane de direction de propagation v uz est une structure ou`les champs sont de la forme s(z, t). Une onde electromagnetique plane progressive dans le vide (OEMPPV) de direction de propagation v uz est une structure ou` leschamps sont des fonctions periodiques de la forme s(z, t) = f

(t

z

c

)( on ecarte le cas ou` f est constante). Dans une telle onde,

toute coordonnee du champ a, a` un instant donne, meme valeur en tout point dun plan z = cte, celui-ci etant appele plan donde.validite du mode`le : le mode`le de lOEMPPV decrit localement la structure de londe E.M. emise par une source situee a` une grandedistance.

5 Structure de lOEMPPV dapre`s les equations de Maxwell Une OEMPPV presente un caracte`re transverse, i.e. sans compo-

sante le long de la direction de propagation. Cela se decoule des equations MG et M qui donnent v uz.E = 0 ; v uz.B = 0

Les champsE et

B sont orthogonaux entre eux, plus precisement, il resulte de MA que B =

v uz E

c

Les champs electrique et magnetique ont meme etat vibratoire : E = cB

NB : Sur des particules non relativistes, une OEMPPV agit de facon preponderante par lintermediaire de son champ electrique. Celaresulte de la comparaison des contributions electrique et magnetique de la force de Lorentz : si F E = q

E et

F B = q

v B , on a

FBFE

v

c.

Aspects energetiques de lOEMPPV Vu les relations entre les champs E et B , on a les relations suivantes entre les contributions

electrique et magnetique : wE = wB ; w = wE + wB = 0E2 ; = wcv uz On a donc equirepartition des contributions

dorigine electrique et magnetique a` lenergie totale electromagnetique de lOEMPPV. Par ailleurs, est colineaire a` la direction depropagation, en accord avec son role de vecteur-courant de lenergie transportee par londe.

Mode`le de lOEMPP monochromatique On se place dans un milieu (pas forcement le vide) et on conside`re une OEMPP de laforme s(z, t) = f

(t

z

v

)(propagation a` la vitesse v) avec f fonction sinusodale. Finalement on a s(z, t) = s0 cos

[(t

z

v 0

)](s0 > 0 est lamplitude de londe) : on parle donde monochromatique ou sinusodale ou encore harmonique.On ecrit largument du cosinus (apre`s changement de signe conventionnel) sous la forme (z, t) =

(zv t+ 0

)quon appelle

phase de londe, de sorte que le signal secrit s(z, t) = s0 cos(z, t).

Module donde, periodicite de lOEMPP monochromatique On appelle module donde la grandeur (en m1)k =

vce qui permet de mettre en evidence le caracte`re doublement periodique de lOEMPP monochromatique :

s(z, t) = s0 cos(z, t) avec (z, t) = kz t+ 0 : periodicite temporelle de pulsation en un z0 fixe, et periodicitespatiale de pulsation k a` un instant t0 fixe.

On definit donc la periode temporelle T = 2pi

et la periodicite spatiale (appelee longueur donde) = 2pik

, ce qui permet decrire

la phase sous la forme (z, t) = 2pi(z

t

T+ 0

).

On peut relier les periodes spatiale et temporelle par lintermediaire de la celerite de londe = 2pik

= vT

Vecteur donde On definit le vecteur dondek = kv uz ce qui permet de reecrire la phase et londe en un point M tel que r =

OM : s(r , t) = s0 cos(

r , t) avec (r , t) =k .r t+ 0 (NB : k .r = kv uz.(xv ux+ yv uy + zv uz) = kz...).

Le vecteur donde permet decrire pour une OEMPP monochromatique : B =k

E

car on a k = v.

Caracte`re abstrait et ideal dune composante monochromatique LOEMPP monochromatique na aucune realite physique ; ellenest quune composante abstraite a` partir de laquelle un signal reel peut etre decrit par superposition par lanalyse de Fourier. En effet,un signal a une extension en frequences 1

tdautant plus faible que sa duree est grande. On retrouve le mode`le de lOEMPP

monochromatique comme limite ideal dun signal de duree infinie.

Representation complexe du champ E.M. En regime sinusodal force de pulsation = 2pi, on associe a` toute grandeur scalaireg sa representation complexe g definie par g(r , t) = g0(r )ei0(

r )eit Alors g(r , t) = Re(g) = g0(r ) cos(t 0(r )).

Application a` lelectromagnetisme : on appelle amplitude complexe et representation complexe du champ E les vecteurs complexesE 0 = Ex0e

ixv ux+ Ey0eiyv uy et

E =

E 0e

i(k .r t) On retrouve le champ E en prenant la partie reelle de E : E =

Re(E ).

De facon symbolique, on a xj

ikj , ik et

t i

6

Les correspondances ci-dessus ne sont valables telles quelles que pour une onde plane telle que Ex0 et Ey0 sont des constantesindependantes de x et y (propriete caracteristique dune onde plane, i.e. les grandeurs associees ont meme valeur a` un instant donne entout point du plan donde). Par ailleurs, leur utilisation nest valide que pour des grandeurs lineaires.

NB : Si k est complexe, il secrit k = k+ ik et alors s = s0ekzt = s0ekzei(k

zt) dou` s = Re(s) = s0ekz cos(kzt) est

donc une onde attenuee. En posant = 1k

, on definit une longueur de penetration de londe : lamplitude decroit en ez/ et devientnegligeable de`s que z devient superieur a` quelques . Application : effet de peau...

Conducteur parfait Un conducteur parfait est defini comme un milieu dont la conductivite . MF permet den deduire queB

t=0 dans tout le volume du conducteur, et donc que le champ E.M. est nul dans le volume dun conducteur parfait (on ecarte les

champs constants).Ce mode`le nest pas satisfaisant car les meilleurs metaux conducteurs ont des conductivites elevees mais finies. On prefe`re dire que lemode`le du conducteur parfait est une idealisation du comportement des metaux en HF dans la limite des faibles epaisseurs de peau.

Paquet dondes Tout signal s(z, t) peut etre represente par son developpement de Fourier s(z, t) = +

S()ei(kzt) d appele

paquet dondes et consistant en une superposition de composantes monochromatiques (chaque ei(kzt) represente un signal progressifmonochromatique de pulsation et module donde determine). S() represente le poids relatif de la composante de frequence =

2pi,

et |S()|2 est appele son spectre.

Vitesse de phase Deux points despace-temps voisins (z, t) et (z+ dz, t dt) ont meme phase(z, t) = kzt si d = k dzdt =

0, dou` la vitesse de propagation de la phase appelee vitesse de phase : v =dz

dt=

k

La notion de vitesse de phase est relative au concept abstrait de composante de Fourier, alors que seul le paquet dondes a unerealite physique. Ainsi la vitesse de phase v nest associee a` aucun objet physique, elle ne peut en aucun cas representer la vitesse depropagation dune information et peut meme depasser en valeur la vitesse de la lumie`re...

Vitesse de groupe Par definition, la vitesse de groupe vaut vg =d

dk: cest linverse de la pente de la relation de dispersion ecrite

sous la forme k(), ou bien la pente de la relation de dispersion ecrite sous la forme (k). Les vitesses de phase et de groupe montrentque seul un milieu dont la relation de dispersion est lineaire est non dispersif.

Rayonnement. Propagation libre

Syste`me du dipole oscillant Un dipole oscillant est un syste`me constitue dune charge q fixe a` lorigine O et dune charge +qsituee en S et animee sur laxe (Oz) dun mouvement sinusodal de pulsation et amplitude z0 :

OS = z0 cost

uz. le momentelectrique du syste`me est p = qOS = qz0 costuz , soit p = p0 costuz avec p0 = qz0. coordonnees spheriques (r, , ). Cadre approximation dipolaire r z0. Par ailleurs, mouvement non-relativiste z0 .

Realites representees par le mode`le : 1. Le mode`le du dipole oscillant decrit correctement une tre`s petite antenne ou un elementconstituant dune veritable antenne emettrice.2. Dans le domaine de loptique, le mode`le decrit lemission dune source lumineuse. NB : dans ce cas, z0 est de lordre de dimensionsatomiques, donc on est sur detre dans le cas z0 .

Zone de rayonnement : la zone de rayonnement dun emetteur est definie comme lensemble des points de lespace situes a`des distances grandes devant sa longueur donde, soit r duree de propagation r/c T (periode). Cette approximationcorrespond dans une tre`s grande majorite des cas aux conditions de reception des emetteurs dondes electromagnetiques.

Champs EM dans la zone de rayonnement : on trouveE = Eu ;B =

urcE =

E

cu ; E =

04pi2p0 sin

rcos

(t

r

c

).

La structure du champ rayonne par le dipole oscillant sidentifie localement a` celle de londe plane progressive dans le vide.

Seulement localement car presence du 1/r. Et propagation anisotrope due au sin : il faut diriger verticalement une antenne emettricedestinee a` des auditeurs repartis dans le plan horizontal ( max demission dans la direction = pi/2).

7 Puissance rayonnee : = E2

c0

ur = ur est colineaire a` ur et a meme sens confirme le caracte`re radial de la propagation de

lenergie.Lintensite energetique I du rayonnement en un point vaut I =< > est en 1/r2 la puissance rayonnee a` travers une sphe`re centreesur lemetteur est independante du rayon de celle-ci. De facon tre`s generale, une decroissance en 1/r2 de lintensite energetique caracterise une onde progressive qui se propage a`partir dune source quasi-ponctuelle dans toutes les directions de lespace sans effets dissipatifs dans le milieu de propagation (id.dans un milieu bidimensionnel avec une decroissance en 1/r et dans un milieu unidimensionnel avec une constance de lintensiteI).

Rayonnement dacceleration : on a (Formule de Larmor) < P >= 2012pic

q2 < a2 > avec < a2 > = valeur moyenne du carre delacceleration (en 4). Toute particule chargee acceleree rayonne des ondes electromagnetiques dont la puissance moyenne totale est proportionnelleau carre de sa charge et a` la moyenne du carre de son acceleration.

Differents types de propagation (libre, guidee...) Reflexion sur un conducteur pafait : experience On dispose un emetteur dondes centimetriques et de son recepteur et lon inter-pose un plan consistant en un conducteur metallique suppose parfait. On constate lexistence dune onde reflechie par le conducteur.Dans le metal, on peut justifier par calcul que le champ E.M. est pratiquement nul au-dela` dune profondeur de quelques de lordredu m dans la gamme dondes utilisee. On peut donc considerer les champ E et B nuls dans le conducteur et les courants qui existentdans la peau comme une nappe de courant de densite superficiellei = iux.

Structure de londe reflechie Le reflexion dune OEM sur un miroir fixe se fait sans changement de frequence, mais avec introduc-tion dun dephasage de pi. Si E i = E0ei(kzt)v ux est le champ electrique incident, et

k i = k

v uz =

cv uz le vecteur donde

incident, on a pour le champ magnetiqueB i =k i

E i

=E0c

ei(kzt)v uy. Et pour le champ reflechi :E r = E0ei(kzt)v ux,

k r = k

v uz =

cv uz, et

B r =

k r

E r

=E0c

ei(kzt)v uy.

Ainsi londe resultante a pour champ electriqueE = E i+E r = E0(e

ikz eikz)eitv ux = 2iE0 sin kzeitv ux et pour champ

magnetiqueB = B i +B r =

E0c(eikz + eikz)eitv uy = 2

E0c

cos kzeitv uy.

En prenant les parties reelles, on obtient le champ E.M. E = 2E0 sin kz sintv ux ;B = 2

E0c

cos kz costv uy

Onde stationnaire Le champ dune onde reflechi forme ce quon nomme une onde stationnaire car cest un signal s(z, t) qui peutse mettre sous la forme s(z, t) = Z(z)T (t). Les facteurs cost et sint indiquent labsence de propagation de la phase : londe sedeforme sur place sans se propager. Les differences entre londe stationnaire et lOEMPPV sont : en un point donne,E et B ne sont pas en phase mais en quadrature. Lamplitude des vibrations des champs depend de z.E est nul aux noeuds du champ electrique definis par sin kz = 0 soit z = n

2,

son amplitude est maximale aux ventres et la distance dun plan nodal a` un plan ventral vaut 4

; les plans nodaux (resp. ventraux) deBsont les plans ventraux (resp. nodaux) de E . Ainsi lintervalle entre deux plans nodaux successifs dun meme champ est /2.NB : Le miroir est un noeud de champ electrique et un ventre de champ magnetique. On a sur le miroir : E (0) = 0 (resultat coherentavec le mode`le du conducteur parfait) et B (0) = 2E0

ccostv uy (permet de calculer la densite superficielle de courant par B =

0i n ).

Description energetique de londe stationnaire Des formules de E et B pour une onde stationnaire vues precedemment, ontire wE = 20E20 sin2 kz sin2 t et wB = 20E20 cos2 kz cos2 t. Si lon fait une moyenne temporelle, on obtient une expressionindependante de z : w = wE+ wB = 0E20 .

Par ailleurs, le vecteur de Poynting vaut =E

B

0= c0E

20 sin 2kz sin 2t

v uz : les plans nodaux du vecteur sont definis par

z = n

4: ils sont egaux a` la reunion des plans nodaux deE etB . La moyenne temporelle = 0 est nulle en tout point, en accord

avec le caracte`re stationnaire de londe : le flux denergie fait des allers-retours entre les plans nodaux pour sans jamais les franchir.