ECOLE NORMALE SUPERIEURE

DEPARTEMENT DE FORMATION INITIALE SCIENTIFIQUE

CENTRE DrsquoETUDE ET DE RECHERCHE

PHYSIQUE-CHIMIE

MEMOIRE DE FIN DrsquoETUDES POUR LrsquoOBTENTION DU CERTIFICAT DrsquoAPTITUDE

PEDAGOGIQUE DE LrsquoECOLE NORMALE (CAPEN)

Ndeg drsquoordre 385

PRESENTER PAR RANDRIANARISON Rojo

Date de Soutenance 18 octobre 2016

PRESIDENT DU MEMOIRE Mme Harinosy RATOMPOMALALA

Maicirctre de Confeacuterences

JURY - Mr RANDRIANANDRAINA Faneva

PhD et Maicirctre de Confeacuterences

-Mr RATSIFARITANA Charles Andriatomanga

PhD et Maicirctre de Confeacuterences

RAPPORTEUR Mr Reneacute Yves RASOANAIVO PhD et Maicirctre de Confeacuterences

ANNEE UNIVERSITAIRE 2015-2016

laquo ELABORATION DE MATERIEL DIDACTIQUE POUR

LrsquoETUDE EXPERIMENTALE DE LrsquoEQUILIBRE DrsquoUN

SOLIDE MOBILE AUTOUR DrsquoUN AXE FIXEraquo

i

REMERCIEMENTS

laquo Avec Dieu tout est possible raquo cette phrase nous conduit premiegraverement de remercier tout

drsquoabord le bon Dieu de nous avoir donneacute lrsquoesprit de creacuteativiteacute la force la chance et le courage de

terminer ce travail

Deuxiegravemement le proverbe Malgache dit que laquo Ny hazo no vanon-ko lakana ny tany naniriny

no tsara raquo A lrsquoaide de cette citation jrsquoexprime ma gratitude agrave Dr Reneacute Yves RASOANAIVO

davoir accepteacute la charge drsquoecirctre rapporteur et pour le soutien qursquoil mrsquoest apporteacute tout au long de ce

travail de recherche les discussions qursquoil est susciteacutees alimenteacutees et les conseils pertinents qursquoil

mrsquoa donneacute

Troisiegravemement je tiens agrave remercier eacutegalement Dr Harinosy RATOMPOMALALA drsquoavoir

accepteacutee drsquoecirctre preacutesidente de ce meacutemoire

Quatriegravemement mes remerciements vont agrave Dr RANDRIANANDRAINA Faneva et

Dr RATSIFARITANA Charles Andriatomanga qui sont bien voulu donner son temps pour

juger ce meacutemoire et dapporter des regards compleacutementaires sur mon travail

Mais cette recherche nrsquoaurait pu exister sans les nombreux enseignants Nous voudrions exprimer

notre profonde reconnaissance envers nos enseignants de la filiegravere physique chimie agrave lrsquoeacutecole

normale supeacuterieure drsquoAntananarivo

Cinquiegravemement toute ma reconnaissance va eacutegalement agrave notre promotion FANANTENANA

Je tiens agrave remercier vivement mes maitres de stage en responsabiliteacute Mr Rado et Mr Daniel

professeurs titulaires des sciences physiques au sein du LJRA Andranonahoatra Itaosy pour son

accueil le temps passeacute ensemble et le partage de son expertise au quotidien Gracircce aussi agrave ses

confiances jai pu maccomplir totalement dans mes missions Au plus ils ont consacreacutes de leur

temps et de leur eacutenergie agrave reacutepondre agrave mes questions

Je remercie particuliegraverement agrave mon oncle RAMAMONJISOA Jean Alain qui ma beaucoup aideacute agrave

fabriquer notre mateacuteriel didactique

Enfin je tiens agrave remercier toutes les personnes qui mont conseilleacutes et relu lors de la reacutedaction de

notre meacutemoire ma famille mon maitre GERARD en Kung Fu tous les membres du choral

ANTEMANrsquoNY LANITRA au FJKM Betela Marobiby et mes amis

JE LES REMERCIE TOUS TRES CHALEUREUSEMENT

ii

SOMMAIRE

REMERCIEMENThelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip i

SOMMAIREhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipii

LISTE DES FIGUREShelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipv

LISTE DES TABLEAUXhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipvii

LISTE DES ABREVIATIONShelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipviii

INTRODUCTION 1

PREMIERE PARTIE REPERES THEORIQUES 3

I Mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe 3

I1 Deacutefinition 3

I2 Vitesse angulaire 4

I3 Le mouvement de rotation uniforme 5

I31 Deacutefinition 5

I32 Exemple drsquoun mouvement de rotation 5

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe 6

II1 Importance de la direction de la forcehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip6

II2 Importance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de rotation et

lintensiteacute de la forcehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip8

II3 Moment dune force par rapport agrave un axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip9

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force 9

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier 10

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe 11

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe 12

II35 Moment drsquoun couple de force 14

II36 Choix du sens positif du mouvement 15

III Theacuteoregraveme des moments 15

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe 19

iii

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX 21

I Regravegles de seacutecuriteacute dans un atelierhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip21

II Fabrication dun mateacuteriel dexpeacuterience pour leacutetude de leacutequilibre dun solide mobile autour dun

axe fixehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip22

II1 Outils utiliseacutes 23

II2 Matiegraveres premiegraveres 25

II3 Phases drsquoeacutelaboration 25

Premiegravere phase Fabrication du support 25

Deuxiegraveme phase Fabrication drsquoune reacuteglette 31

Troisiegraveme phase Assemblage du dispositif 34

TROISIEME PARTIE EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES 36

I Aptitudes agrave deacutevelopper chez lrsquoapprenant(e) 36

I1 Esprit scientifique 36

I2 Reacutealisation pratique 36

II Rocircle de lrsquoexpeacuterience dans lrsquoenseignement des sciences physiques 37

III Approche avec expeacuterience pour lrsquoenseignement de sciences physiques 38

III1 Description de cette approche 38

III2 Construction des savoirs 38

III3 Construction des seacuteances drsquoenseignement-apprentissage 38

III3a Questionnement 39

III3b Gestion du temps 39

III3c Utilisation des mateacuteriels drsquoexpeacuteriences 39

IV Avantages de lrsquoutilisation des mateacuteriels drsquoexpeacuteriences 39

V Travaux pratiques sur lrsquoeacutetude du moment drsquoune force 39

V1 Fiche des cours-TP pour les enseignants 39

V2 Fiche des travaux pratiques pour les eacutelegraveves 54

V3 Exercices drsquoeacutevaluation 57

VI Travaux pratiques sur lrsquoeacutetude du theacuteoregraveme des moments 59

iv

VI1 Fiche de preacuteparation pour les enseignants 59

VI2 Fiche des travaux pratiques pour les eacutelegraveves 67

VI3 Exercices drsquoeacutevaluation 69

CONCLUSION 71

BIBLIOGRAPHIE 72

WEBOGRAPHIE 72

v

Liste des figures

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide 3

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 4

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte 6

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe 7

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte 7

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte 8

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe

de rotation et lintensiteacute de la force 9

Figure 8 Bras de levier d 10

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier 11

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe 11

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie 12

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales 13

Figure 13 Couple des forces 14

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement 15

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous 16

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

fixe 21

Figure 17 Les matiegraveres premiegraveres 25

Figure 18 Modegravele numeacutero 1 et la piegravece correspondante 26

Figure 19 Ponccedilage et lissage de la piegravece numeacutero 1 26

Figure 20 Marquage et perccedilage du point O 27

Figure 21 Sciage et ponccedilage de la planche (2) 27

Figure 22 Les deux piegraveces avant de faire lrsquoassemblage 27

Figure 23 Assemblage des deux piegraveces et montage du rayon drsquoun veacutelo 28

Figure 24 Peinture de la piegravece obtenue 28

Figure 25 La piegravece ainsi obtenue 28

Figure 26 Marquage du point G1 29

Figure 27 Cercle de centre G1 et de rayon 10cm 29

Figure 28 Traccedilage de deux droites parallegraveles (D1) et (D2) 29

Figure 29 Sciage de la planche numeacutero 2 pour avoir une roue de rayon 10 cm et drsquoeacutepaisseur 08

cm 29

Figure 30 Ponccedilage de la roue 30

i

REMERCIEMENTS

laquo Avec Dieu tout est possible raquo cette phrase nous conduit premiegraverement de remercier tout

drsquoabord le bon Dieu de nous avoir donneacute lrsquoesprit de creacuteativiteacute la force la chance et le courage de

terminer ce travail

Deuxiegravemement le proverbe Malgache dit que laquo Ny hazo no vanon-ko lakana ny tany naniriny

no tsara raquo A lrsquoaide de cette citation jrsquoexprime ma gratitude agrave Dr Reneacute Yves RASOANAIVO

davoir accepteacute la charge drsquoecirctre rapporteur et pour le soutien qursquoil mrsquoest apporteacute tout au long de ce

travail de recherche les discussions qursquoil est susciteacutees alimenteacutees et les conseils pertinents qursquoil

mrsquoa donneacute

Troisiegravemement je tiens agrave remercier eacutegalement Dr Harinosy RATOMPOMALALA drsquoavoir

accepteacutee drsquoecirctre preacutesidente de ce meacutemoire

Quatriegravemement mes remerciements vont agrave Dr RANDRIANANDRAINA Faneva et

Dr RATSIFARITANA Charles Andriatomanga qui sont bien voulu donner son temps pour

juger ce meacutemoire et dapporter des regards compleacutementaires sur mon travail

Mais cette recherche nrsquoaurait pu exister sans les nombreux enseignants Nous voudrions exprimer

notre profonde reconnaissance envers nos enseignants de la filiegravere physique chimie agrave lrsquoeacutecole

normale supeacuterieure drsquoAntananarivo

Cinquiegravemement toute ma reconnaissance va eacutegalement agrave notre promotion FANANTENANA

Je tiens agrave remercier vivement mes maitres de stage en responsabiliteacute Mr Rado et Mr Daniel

professeurs titulaires des sciences physiques au sein du LJRA Andranonahoatra Itaosy pour son

accueil le temps passeacute ensemble et le partage de son expertise au quotidien Gracircce aussi agrave ses

confiances jai pu maccomplir totalement dans mes missions Au plus ils ont consacreacutes de leur

temps et de leur eacutenergie agrave reacutepondre agrave mes questions

Je remercie particuliegraverement agrave mon oncle RAMAMONJISOA Jean Alain qui ma beaucoup aideacute agrave

fabriquer notre mateacuteriel didactique

Enfin je tiens agrave remercier toutes les personnes qui mont conseilleacutes et relu lors de la reacutedaction de

notre meacutemoire ma famille mon maitre GERARD en Kung Fu tous les membres du choral

ANTEMANrsquoNY LANITRA au FJKM Betela Marobiby et mes amis

JE LES REMERCIE TOUS TRES CHALEUREUSEMENT

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SOMMAIRE

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LISTE DES TABLEAUXhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipvii

LISTE DES ABREVIATIONShelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipviii

INTRODUCTION 1

PREMIERE PARTIE REPERES THEORIQUES 3

I Mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe 3

I1 Deacutefinition 3

I2 Vitesse angulaire 4

I3 Le mouvement de rotation uniforme 5

I31 Deacutefinition 5

I32 Exemple drsquoun mouvement de rotation 5

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe 6

II1 Importance de la direction de la forcehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip6

II2 Importance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de rotation et

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II3 Moment dune force par rapport agrave un axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip9

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force 9

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier 10

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe 11

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe 12

II35 Moment drsquoun couple de force 14

II36 Choix du sens positif du mouvement 15

III Theacuteoregraveme des moments 15

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe 19

iii

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX 21

I Regravegles de seacutecuriteacute dans un atelierhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip21

II Fabrication dun mateacuteriel dexpeacuterience pour leacutetude de leacutequilibre dun solide mobile autour dun

axe fixehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip22

II1 Outils utiliseacutes 23

II2 Matiegraveres premiegraveres 25

II3 Phases drsquoeacutelaboration 25

Premiegravere phase Fabrication du support 25

Deuxiegraveme phase Fabrication drsquoune reacuteglette 31

Troisiegraveme phase Assemblage du dispositif 34

TROISIEME PARTIE EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES 36

I Aptitudes agrave deacutevelopper chez lrsquoapprenant(e) 36

I1 Esprit scientifique 36

I2 Reacutealisation pratique 36

II Rocircle de lrsquoexpeacuterience dans lrsquoenseignement des sciences physiques 37

III Approche avec expeacuterience pour lrsquoenseignement de sciences physiques 38

III1 Description de cette approche 38

III2 Construction des savoirs 38

III3 Construction des seacuteances drsquoenseignement-apprentissage 38

III3a Questionnement 39

III3b Gestion du temps 39

III3c Utilisation des mateacuteriels drsquoexpeacuteriences 39

IV Avantages de lrsquoutilisation des mateacuteriels drsquoexpeacuteriences 39

V Travaux pratiques sur lrsquoeacutetude du moment drsquoune force 39

V1 Fiche des cours-TP pour les enseignants 39

V2 Fiche des travaux pratiques pour les eacutelegraveves 54

V3 Exercices drsquoeacutevaluation 57

VI Travaux pratiques sur lrsquoeacutetude du theacuteoregraveme des moments 59

iv

VI1 Fiche de preacuteparation pour les enseignants 59

VI2 Fiche des travaux pratiques pour les eacutelegraveves 67

VI3 Exercices drsquoeacutevaluation 69

CONCLUSION 71

BIBLIOGRAPHIE 72

WEBOGRAPHIE 72

v

Liste des figures

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide 3

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 4

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte 6

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe 7

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte 7

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte 8

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe

de rotation et lintensiteacute de la force 9

Figure 8 Bras de levier d 10

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier 11

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe 11

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie 12

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales 13

Figure 13 Couple des forces 14

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement 15

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous 16

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

fixe 21

Figure 17 Les matiegraveres premiegraveres 25

Figure 18 Modegravele numeacutero 1 et la piegravece correspondante 26

Figure 19 Ponccedilage et lissage de la piegravece numeacutero 1 26

Figure 20 Marquage et perccedilage du point O 27

Figure 21 Sciage et ponccedilage de la planche (2) 27

Figure 22 Les deux piegraveces avant de faire lrsquoassemblage 27

Figure 23 Assemblage des deux piegraveces et montage du rayon drsquoun veacutelo 28

Figure 24 Peinture de la piegravece obtenue 28

Figure 25 La piegravece ainsi obtenue 28

Figure 26 Marquage du point G1 29

Figure 27 Cercle de centre G1 et de rayon 10cm 29

Figure 28 Traccedilage de deux droites parallegraveles (D1) et (D2) 29

Figure 29 Sciage de la planche numeacutero 2 pour avoir une roue de rayon 10 cm et drsquoeacutepaisseur 08

cm 29

Figure 30 Ponccedilage de la roue 30

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SOMMAIRE

REMERCIEMENThelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip i

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LISTE DES ABREVIATIONShelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipviii

INTRODUCTION 1

PREMIERE PARTIE REPERES THEORIQUES 3

I Mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe 3

I1 Deacutefinition 3

I2 Vitesse angulaire 4

I3 Le mouvement de rotation uniforme 5

I31 Deacutefinition 5

I32 Exemple drsquoun mouvement de rotation 5

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe 6

II1 Importance de la direction de la forcehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip6

II2 Importance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de rotation et

lintensiteacute de la forcehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip8

II3 Moment dune force par rapport agrave un axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip9

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force 9

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier 10

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe 11

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe 12

II35 Moment drsquoun couple de force 14

II36 Choix du sens positif du mouvement 15

III Theacuteoregraveme des moments 15

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe 19

iii

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX 21

I Regravegles de seacutecuriteacute dans un atelierhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip21

II Fabrication dun mateacuteriel dexpeacuterience pour leacutetude de leacutequilibre dun solide mobile autour dun

axe fixehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip22

II1 Outils utiliseacutes 23

II2 Matiegraveres premiegraveres 25

II3 Phases drsquoeacutelaboration 25

Premiegravere phase Fabrication du support 25

Deuxiegraveme phase Fabrication drsquoune reacuteglette 31

Troisiegraveme phase Assemblage du dispositif 34

TROISIEME PARTIE EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES 36

I Aptitudes agrave deacutevelopper chez lrsquoapprenant(e) 36

I1 Esprit scientifique 36

I2 Reacutealisation pratique 36

II Rocircle de lrsquoexpeacuterience dans lrsquoenseignement des sciences physiques 37

III Approche avec expeacuterience pour lrsquoenseignement de sciences physiques 38

III1 Description de cette approche 38

III2 Construction des savoirs 38

III3 Construction des seacuteances drsquoenseignement-apprentissage 38

III3a Questionnement 39

III3b Gestion du temps 39

III3c Utilisation des mateacuteriels drsquoexpeacuteriences 39

IV Avantages de lrsquoutilisation des mateacuteriels drsquoexpeacuteriences 39

V Travaux pratiques sur lrsquoeacutetude du moment drsquoune force 39

V1 Fiche des cours-TP pour les enseignants 39

V2 Fiche des travaux pratiques pour les eacutelegraveves 54

V3 Exercices drsquoeacutevaluation 57

VI Travaux pratiques sur lrsquoeacutetude du theacuteoregraveme des moments 59

iv

VI1 Fiche de preacuteparation pour les enseignants 59

VI2 Fiche des travaux pratiques pour les eacutelegraveves 67

VI3 Exercices drsquoeacutevaluation 69

CONCLUSION 71

BIBLIOGRAPHIE 72

WEBOGRAPHIE 72

v

Liste des figures

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide 3

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 4

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte 6

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe 7

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte 7

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte 8

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe

de rotation et lintensiteacute de la force 9

Figure 8 Bras de levier d 10

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier 11

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe 11

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie 12

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales 13

Figure 13 Couple des forces 14

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement 15

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous 16

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

fixe 21

Figure 17 Les matiegraveres premiegraveres 25

Figure 18 Modegravele numeacutero 1 et la piegravece correspondante 26

Figure 19 Ponccedilage et lissage de la piegravece numeacutero 1 26

Figure 20 Marquage et perccedilage du point O 27

Figure 21 Sciage et ponccedilage de la planche (2) 27

Figure 22 Les deux piegraveces avant de faire lrsquoassemblage 27

Figure 23 Assemblage des deux piegraveces et montage du rayon drsquoun veacutelo 28

Figure 24 Peinture de la piegravece obtenue 28

Figure 25 La piegravece ainsi obtenue 28

Figure 26 Marquage du point G1 29

Figure 27 Cercle de centre G1 et de rayon 10cm 29

Figure 28 Traccedilage de deux droites parallegraveles (D1) et (D2) 29

Figure 29 Sciage de la planche numeacutero 2 pour avoir une roue de rayon 10 cm et drsquoeacutepaisseur 08

cm 29

Figure 30 Ponccedilage de la roue 30

iii

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX 21

I Regravegles de seacutecuriteacute dans un atelierhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip21

II Fabrication dun mateacuteriel dexpeacuterience pour leacutetude de leacutequilibre dun solide mobile autour dun

axe fixehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip22

II1 Outils utiliseacutes 23

II2 Matiegraveres premiegraveres 25

II3 Phases drsquoeacutelaboration 25

Premiegravere phase Fabrication du support 25

Deuxiegraveme phase Fabrication drsquoune reacuteglette 31

Troisiegraveme phase Assemblage du dispositif 34

TROISIEME PARTIE EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES 36

I Aptitudes agrave deacutevelopper chez lrsquoapprenant(e) 36

I1 Esprit scientifique 36

I2 Reacutealisation pratique 36

II Rocircle de lrsquoexpeacuterience dans lrsquoenseignement des sciences physiques 37

III Approche avec expeacuterience pour lrsquoenseignement de sciences physiques 38

III1 Description de cette approche 38

III2 Construction des savoirs 38

III3 Construction des seacuteances drsquoenseignement-apprentissage 38

III3a Questionnement 39

III3b Gestion du temps 39

III3c Utilisation des mateacuteriels drsquoexpeacuteriences 39

IV Avantages de lrsquoutilisation des mateacuteriels drsquoexpeacuteriences 39

V Travaux pratiques sur lrsquoeacutetude du moment drsquoune force 39

V1 Fiche des cours-TP pour les enseignants 39

V2 Fiche des travaux pratiques pour les eacutelegraveves 54

V3 Exercices drsquoeacutevaluation 57

VI Travaux pratiques sur lrsquoeacutetude du theacuteoregraveme des moments 59

iv

VI1 Fiche de preacuteparation pour les enseignants 59

VI2 Fiche des travaux pratiques pour les eacutelegraveves 67

VI3 Exercices drsquoeacutevaluation 69

CONCLUSION 71

BIBLIOGRAPHIE 72

WEBOGRAPHIE 72

v

Liste des figures

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide 3

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 4

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte 6

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe 7

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte 7

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte 8

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe

de rotation et lintensiteacute de la force 9

Figure 8 Bras de levier d 10

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier 11

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe 11

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie 12

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales 13

Figure 13 Couple des forces 14

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement 15

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous 16

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

fixe 21

Figure 17 Les matiegraveres premiegraveres 25

Figure 18 Modegravele numeacutero 1 et la piegravece correspondante 26

Figure 19 Ponccedilage et lissage de la piegravece numeacutero 1 26

Figure 20 Marquage et perccedilage du point O 27

Figure 21 Sciage et ponccedilage de la planche (2) 27

Figure 22 Les deux piegraveces avant de faire lrsquoassemblage 27

Figure 23 Assemblage des deux piegraveces et montage du rayon drsquoun veacutelo 28

Figure 24 Peinture de la piegravece obtenue 28

Figure 25 La piegravece ainsi obtenue 28

Figure 26 Marquage du point G1 29

Figure 27 Cercle de centre G1 et de rayon 10cm 29

Figure 28 Traccedilage de deux droites parallegraveles (D1) et (D2) 29

Figure 29 Sciage de la planche numeacutero 2 pour avoir une roue de rayon 10 cm et drsquoeacutepaisseur 08

cm 29

Figure 30 Ponccedilage de la roue 30

iv

VI1 Fiche de preacuteparation pour les enseignants 59

VI2 Fiche des travaux pratiques pour les eacutelegraveves 67

VI3 Exercices drsquoeacutevaluation 69

CONCLUSION 71

BIBLIOGRAPHIE 72

WEBOGRAPHIE 72

v

Liste des figures

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide 3

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 4

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte 6

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe 7

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte 7

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte 8

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe

de rotation et lintensiteacute de la force 9

Figure 8 Bras de levier d 10

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier 11

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe 11

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie 12

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales 13

Figure 13 Couple des forces 14

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement 15

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous 16

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

fixe 21

Figure 17 Les matiegraveres premiegraveres 25

Figure 18 Modegravele numeacutero 1 et la piegravece correspondante 26

Figure 19 Ponccedilage et lissage de la piegravece numeacutero 1 26

Figure 20 Marquage et perccedilage du point O 27

Figure 21 Sciage et ponccedilage de la planche (2) 27

Figure 22 Les deux piegraveces avant de faire lrsquoassemblage 27

Figure 23 Assemblage des deux piegraveces et montage du rayon drsquoun veacutelo 28

Figure 24 Peinture de la piegravece obtenue 28

Figure 25 La piegravece ainsi obtenue 28

Figure 26 Marquage du point G1 29

Figure 27 Cercle de centre G1 et de rayon 10cm 29

Figure 28 Traccedilage de deux droites parallegraveles (D1) et (D2) 29

Figure 29 Sciage de la planche numeacutero 2 pour avoir une roue de rayon 10 cm et drsquoeacutepaisseur 08

cm 29

Figure 30 Ponccedilage de la roue 30

v

Liste des figures

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide 3

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 4

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte 6

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe 7

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte 7

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte 8

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe

de rotation et lintensiteacute de la force 9

Figure 8 Bras de levier d 10

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier 11

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe 11

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie 12

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales 13

Figure 13 Couple des forces 14

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement 15

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous 16

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

fixe 21

Figure 17 Les matiegraveres premiegraveres 25

Figure 18 Modegravele numeacutero 1 et la piegravece correspondante 26

Figure 19 Ponccedilage et lissage de la piegravece numeacutero 1 26

Figure 20 Marquage et perccedilage du point O 27

Figure 21 Sciage et ponccedilage de la planche (2) 27

Figure 22 Les deux piegraveces avant de faire lrsquoassemblage 27

Figure 23 Assemblage des deux piegraveces et montage du rayon drsquoun veacutelo 28

Figure 24 Peinture de la piegravece obtenue 28

Figure 25 La piegravece ainsi obtenue 28

Figure 26 Marquage du point G1 29

Figure 27 Cercle de centre G1 et de rayon 10cm 29

Figure 28 Traccedilage de deux droites parallegraveles (D1) et (D2) 29

Figure 29 Sciage de la planche numeacutero 2 pour avoir une roue de rayon 10 cm et drsquoeacutepaisseur 08

cm 29

Figure 30 Ponccedilage de la roue 30

vi

Figure 31 Perccedilage du point G1 30

Figure 32 Peinture de la roue avec le vernis agrave bois 30

Figure 33 Le support de la reacuteglette apregraves lrsquoassemblage 31

Figure 34 Modegravele numeacutero 2 31

Figure 35 Sciage du deuxiegraveme bois carreacute pour avoir le modegravele numeacutero 2 31

Figure 36 Ponccedilage de la piegravece obtenue 32

Figure 37 Marquage du point G2 32

Figure 38 Perccedilage du point G2 32

Figure 39 Les points marqueacutes sur la face numeacutero 2 de la reacuteglette 32

Figure 40 Perccedilage des points marqueacutes 33

Figure 41 Deacutecoupage de la reacuteglette en utilisant une scie 33

Figure 42 Peinture de la reacuteglette avec le vernis 33

Figure 43 Une reacuteglette 34

Figure44 Le support et la reacuteglette avant lrsquoassemblage 34

Figure 45 Montage de deux piegraveces 34

Figure 46 Le dispositif expeacuterimental ainsi fabriqueacute 35

Figure 47 Barre OA 57

Figure 48 Barre rigide AB 58

Figure 49 Pendule OA 58

Figure 50 Barre OB soumise agrave deux forces de sens contraire 58

Figure 51 Barre AB de masse neacutegligeable 69

Figure 52 Barre homogegravene OA 70

Figure 53 La peacutedale drsquoacceacuteleacuterateur drsquoune automobile 70

vii

Liste des tableaux

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force 16

Tableau 2 Releveacute des mesures 17

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure 18

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et du support 24

viii

Liste des abreacuteviations

LJRA Lyceacutee Joseph Ravoahangy Andrianavalona

FJKM Fiangonanrsquoi Jesoa Kristy eto Madagasikara

ENS Ecole Normale Supeacuterieure

TP Travaux Pratiques

AN Application Numeacuterique

cm centimegravetre

m megravetre

N Newton

Nm Newton-megravetre

mN milli-Newton

g gramme

kg kilogramme

MΔ( ) Moment drsquoune force

sum Somme des forces appliqueacutees

sum Somme des moments drsquoune force exteacuterieure

dexp Longueur expeacuterimentale du bras de levier

dtheacuteo Longueur theacuteorique du bras de levier

sin sinus

d (A G) distance entre deux points A et G

1

INTRODUCTION

La physique est une science qui eacutetudie par lrsquoexpeacuterimentation des concepts et des theacuteories en

eacutetablissant les lois qui les reacutegissent Elle appartient dans les sciences expeacuterimentales Lrsquoenseignement

expeacuterimental des sciences physiques joue un rocircle tregraves important dans le processus

drsquoenseignementapprentissage des savoirs Lrsquoexpeacuterience tient une place preacutepondeacuterante dans la

construction ou lrsquoacquisition des connaissances chez les apprenants Car apprendre

expeacuterimentalement conduit les eacutelegraveves de former lrsquoesprit scientifique de seacutelectionner les

informations de srsquoinformer pour deacutevelopper lrsquoesprit critique Les travaux pratiques sont des actions

ou la maniegravere de faire acqueacuterir plus efficacement la connaissance La reacutealisation des TP occupe une

place tregraves importante dans son enseignementapprentissage car les expeacuteriences permettent de

deacutevelopper chez lrsquoapprenant(e) le sens drsquoobservation lrsquoesprit drsquoanalyse et de critique

Compte tenu de ce qui preacutecegravede lrsquoenseignement des sciences physiques est souvent baseacute sur

des expeacuteriences Autrement dit lrsquoenseignement est sous forme drsquoexpeacuterimentation Lrsquoexpeacuterimentation

est un processus opeacuteratoire plus ou moins complexe sur les deux plans theacuteorique et pratique Elle est

une pratique qui consiste agrave reproduire de faccedilon plus ou moins artificielle des situations concregravetes

des pheacutenomegravenes de leurs aspects

Dans le programme officiel de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours un

problegraveme drsquoexpeacuterience Soit lrsquoinsuffisance ou le manque des salles de laboratoire soit lrsquoabsence des

mateacuteriels didactiques

Notre objectif est donc reacutesoudre les problegravemes rencontreacutes et drsquoameacuteliorer lrsquoenseignement et

lrsquoapprentissage des sciences physiques Parmi ces problegravemes soit le manque des mateacuteriels

drsquoexpeacuterience soit lrsquoabsence des salles de laboratoire et ses eacutequipements Ces problegravemes suscitent des

questions essentielles Comment ameacuteliorer lrsquoenseignement et lrsquoapprentissage des sciences

physiques Pour reacutepondre agrave cette question de nombreuses hypothegraveses pourraient ecirctre avanceacutees

parmi lesquelles nous pensons qursquoelles srsquoagiraient notamment drsquoeacutelaborer un mateacuteriel drsquoexpeacuteriences

concernant lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

Notre sujet se rapporte au domaine drsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel didactique et srsquointitule

laquoELABORATION DE MATERIEL DIDACTIQUE POUR LrsquoETUDE EXPERIMENTALE

DE LrsquoEQUILIBRE DrsquoUN SOLIDE MOBILE AUTOUR DrsquoUN AXE FIXEraquo

Le choix du sujet a eacuteteacute fait pour une raison bien preacutecise durant notre stage en responsabiliteacute nous

avons traiteacute le chapitre sur la force et statique plus preacuteciseacutement sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe et nous avons constateacute que pendant une seacuteance drsquoenseignement les expeacuteriences

2

permettent de former lrsquoesprit scientifique un raisonnement scientifique et la pratique drsquoune

deacutemarche expeacuterimentale

Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer un mateacuteriel didactique afin drsquoapporter notre part

dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun

axe fixe Lrsquoanalyse de lrsquoenseignement des sciences physiques dans la classe de seconde incite agrave

mettre en œuvre les meacutethodes expeacuterimentales en favorisant la participation des eacutelegraveves agrave la

construction du cours Nous reacutealisons un projet visant agrave eacutelaborer un mateacuteriel didactique permettant

aux eacutelegraveves de bien saisir la deacutefinition et lrsquoeffet du moment drsquoune force par rapport agrave un axe fixe et le

theacuteoregraveme des moments

Ce meacutemoire comporte trois parties principales

La premiegravere traite des eacuteleacutements theacuteoriques sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

Dans cette eacutetude nous allons eacutetudier lrsquoeffet drsquoune force sur la rotation drsquoun solide le moment

drsquoune force orthogonale agrave lrsquoaxe de rotation le moment drsquoune force quelconque par rapport agrave lrsquoaxe

de rotation le theacuteoregraveme des moments et les conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe

La deuxiegraveme porte essentiellement agrave lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience Cette partie est

deacutedieacutee agrave la preacutesentation des travaux que nous avons effectueacutes travaux relatifs agrave lrsquoeacutelaboration de

mateacuteriel didactique pour lrsquoenseignementapprentissage afin drsquoeacutetablir les conditions geacuteneacuterales

drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

La troisiegraveme partie terminera le travail par des applications peacutedagogiques Cette partie contient

deux fiches peacutedagogiques concernant le moment drsquoune force par rapport agrave un axe fixe et le

theacuteoregraveme des moments Pour exploiter ce mateacuteriel dans une seacuteance drsquoenseignement nous

eacutetablissons deux fiches de travaux pratiques dont lrsquoune pour lrsquoenseignant et lrsquoautre pour lrsquoeacutelegraveve

3

PREMIERE PARTIE REPERES THEORIQUES

Notre objectif dans cette partie consiste agrave eacutevaluer theacuteoriquement lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe par rapport agrave un reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire Drsquoabord dans un premier temps

nous allons entamer ce qursquoon attend par un mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe

Ensuite des expeacuteriences qui illustrent lrsquoeacutetude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun

axe Puis apregraves ces expeacuteriences nous deacutefinissons une nouvelle grandeur physique Enfin une

derniegravere expeacuterience srsquoadresse sur le theacuteoregraveme des moments et en guise de conclusion eacutetablir les

conditions drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

I Mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe [13] [14]

I1 Deacutefinition

Un solide mobile est animeacute dun mouvement de rotation autour dun axe fixe si les points du

solide situeacutes sur lrsquoaxe de rotation sont immobiles et les autres points du solide deacutecrivent des

trajectoires circulaires ou des arcs de cercle dans un plan perpendiculaire agrave lrsquoaxe et centreacutes sur lrsquoaxe

de rotation Pendant la dureacutee Δt tous les points du solide tournent drsquoun mecircme angle α dans un sens

bien deacutefini

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide

Les points M et N sont immobiles tandis que les points A et B sont mobiles et deacutecrivent des

trajectoires circulaires

4

I2 Vitesse angulaire

I21 Cas drsquoun point du solide

On considegravere le mouvement de rotation drsquoune porte autour drsquoun axe (Δ) passant par ses

gonds Soit un point M appartenant agrave cette porte autre que les points de contact entre les gonds et la

porte Le mouvement du point M est un mouvement de rotation autour de lrsquoaxe (Δ) Ainsi la

trajectoire du point M est un arc de cercle de rayon R Le mouvement du point M est circulaire

Entre deux instants t1 et t2 le point M deacutecrit un arc de cercle avec un deacuteplacement angulaire de

mesure α

S

La relation entre lrsquoarc de cercle S et lrsquoangle α est

Avec - angle de rotation en rad mrad m rad

- R distance entre le point M et lrsquoaxe de rotation en megravetre

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire moyenne que lrsquoon note ω m comme le rapport entre

lrsquoangle de rotation exprimeacute en rad et la dureacutee du parcours Δt exprimeacutee en seconde

rad

rads

s

Avec Δα deacuteplacement angulaire effectueacute entre les deux positions angulaires 1 et 2

exprimeacutee en radian (rad)

Δt dureacutee du parcours exprimeacutee en seconde (s)

Wm vitesse angulaire moyenne exprimeacutee en rads

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 S

5

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire instantaneacutee comme la vitesse angulaire agrave un instant donneacute

Nous eacutevaluons en calculant la vitesse angulaire moyenne pendant un intervalle de temps tregraves court

noteacute dt encadrant lrsquoinstant t consideacutereacute

On note w(t)

rad

rads

s

I22 Cas du solide

Consideacuterons la porte tous les points de la porte tournent du mecircme angle α pendant la mecircme

dureacutee En conseacutequence tous les points de la porte ont agrave chaque instant la mecircme vitesse angulaire

ω(t)

Tous les points drsquoun solide en rotation autour drsquoun axe fixe ont agrave chaque instant la mecircme

vitesse angulaire ω(t) crsquoest la vitesse angulaire du solide Nous avons remarqueacute que tous les points

du solide ont agrave chaque instant la mecircme vitesse de rotation mais ils nrsquoont pas geacuteneacuteralement la mecircme

vitesse lineacuteaire

I3 Le mouvement de rotation uniforme

I31 Deacutefinition

Un solide est en mouvement de rotation uniforme si sa vitesse angulaire est constante au cours

du temps ω m = ω (t) = ω

I32 Exemple drsquoun mouvement de rotation

La Terre est animeacutee drsquoun mouvement de rotation uniforme autour de lrsquoaxe des pocircles Ce

mouvement est peacuteriodique La dureacutee pour effectuer un tour complet est appeleacutee peacuteriode que lrsquoon

note T Pour la Terre T = 86164 s peacuteriode de rotation autour de lrsquoaxe des pocircles dans le reacutefeacuterentiel

geacuteocentrique La vitesse angulaire de la Terre est donneacutee par lrsquoexpression ci-dessous

rads rad

s

w(t)=

Avec dα Deacuteplacement angulaire infiniteacutesimal

dt Temps infiniteacutesimal

w(t) Vitesse angulaire agrave lrsquoinstant t

Avec Δα 2 rad

Δt T

6

AN w=

= 7310

-5 rads

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe [03][07][08][09][10]

II1 Importance de la direction de la force

a) Expeacuteriences et observations

Expeacuterience ndeg 1

Consideacuterons la porte drsquoune salle de classe agrave cause des gonds qui la soutiennent le seul

mouvement qursquoelle puisse prendre est un mouvement de rotation autour drsquoun axe vertical fixe

joignant les gonds Pour faire tourner la porte autour de cet axe nous devons lui appliquer une force

exerceacutee au poignet de cette porte une force perpendiculaire au plan de la porte par exemple

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte

Observation

Nous observons que la force fait tourner la porte autour de lrsquoaxe de rotation La porte tourne

autour de lrsquoaxe des gonds

Expeacuterience ndeg 2

Si nous appliquons une force verticale sur le poignet crsquoest-agrave-dire parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation

7

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe

Observation

Nous observons que la force nrsquoa aucun effet sur la porte Cette derniegravere reste immobile

Expeacuterience ndeg 3

Tirer horizontalement et perpendiculaire agrave lrsquoaxe de rotation la porte sur le poignet avec une force

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte

Observation

Nous observons que la force nrsquoa non plus aucun effet de rotation La porte est resteacutee immobile

8

Expeacuterience ndeg 4

Exerccedilons maintenant une force inclineacutee dont la droite drsquoaction rencontre eacutegalement lrsquoaxe

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte

Observation

Nous constatons que la force ne produit aucun effet de rotation sur la porte

b) Conclusion

Une force dont la droite drsquoaction est agrave la fois perpendiculaire et distante de lrsquoaxe de rotation a un

effet de rotation sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe

Une force dont la droite drsquoaction est parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation a un effet de rotation nul

Une force dont la droite drsquoaction rencontre lrsquoaxe de rotation nrsquoa aucun effet de rotation

II2 Importance de la distance de la droite drsquoaction de la force agrave lrsquoaxe de rotation et lrsquointensiteacute de

la force [02] [04] [05] [07]

a) Expeacuterience

Exerccedilons successivement deux forces et drsquointensiteacutes diffeacuterentes et perpendiculaires agrave la

porte Les points drsquoapplications de ces forces sont totalement diffeacuterents

9

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de

rotation et lintensiteacute de la force

b) Observation

Nous avons pris d1 infeacuterieure agrave d2 nous constatons que pour faire tourner la porte en mecircme effet

on applique plus de force pour la distance d1 par rapport agrave celle de la distance d2

Conclusion

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est petite alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus grande pour avoir le mecircme effet de rotation

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est grande alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus petite pour avoir le mecircme effet de rotation

II3 Moment drsquoune force par rapport agrave un axe [01] [02] [03] [06] [09] [10]

Les expeacuteriences preacuteceacutedentes montrent que lrsquoeffet dynamique drsquoune force sur un corps introduit

une nouvelle grandeur physique invariante agrave chaque eacutequilibre crsquoest laquo le moment drsquoune force

constante par rapport agrave un axe fixe raquo

Ce qui importe cette grandeur caracteacuterise lrsquoeffet de la force sur un solide capable de tourner autour

drsquoun axe Certes deux forces agissent sur un solide et ayant le mecircme moment par rapport agrave lrsquoaxe

auront le mecircme effet

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force

Lrsquointensiteacute du moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave lrsquoaxe consideacutereacute est eacutegale au produit de

son intensiteacute par la distance de lrsquoaxe agrave la droite drsquoaction de la force

Notation MΔ ( )

119813120783

10

m (eacutequation I )

N

Avec - MΔ( ) Moment de la force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ)

- F Intensiteacute de la force

- d Distance entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe de rotation (Δ) La distance laquo d raquo

srsquoappelle bras de levier

Dans le systegraveme international cette grandeur se mesure en newton-megravetre (Nm)

ATTENTIONS

Il faut toujours preacuteciser lrsquoaxe de rotation

Ne pas confondre les uniteacutes newton-megravetre Nm et mN un sous multiple de Newton

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire agrave la fois agrave la droite drsquoaction de la

force et agrave lrsquoaxe de rotation

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaisseacutee depuis le centre de rotation sur la droite

drsquoaction de la force Le pouvoir de laquo rotation raquo deacutepend donc de la position relative du point

drsquoapplication de la force et du centre de rotation consideacutereacute

Figure 8 Bras de levier d

Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonomeacutetrie dans le triangle rectangle ABC drsquohypoteacutenuse

AB= l

MΔ ( ) = F x d

11

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier

Le bras de levier d peut ecirctre deacutetermineacute connaissant

La distance l entre le point drsquoapplication de la force et lrsquoaxe de rotation

Lrsquoangle α formeacute par la droite drsquoaction de la force et la droite passant par lrsquoaxe de rotation et le

point drsquoapplication de la force

Ce qui permet drsquoeacutetablir d = l middot sin(α)

Si lrsquoangle formeacute est de 90deg alors sin (90deg) = 1 Lrsquoexpression du moment drsquoune force est reacuteduite agrave

lrsquoeacutequation I

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Consideacuterons une regravegle AB munie de plusieurs trous permettant drsquoaccrocher un corps (C) de masse

donneacutee et un dynamomegravetre en diffeacuterents points La regravegle AB est mobile autour drsquoun axe horizontal

passant par son milieu O

Vers lrsquoextreacutemiteacute B de la regravegle suspendons le corps (C) Entraicircneacutee par le poids du corps (C) la regravegle prend

alors la position verticale

Pour amener la regravegle dans sa position horizontale on exerce sur sa partie OA une force verticale

orienteacutee vers le bas Nous pouvons mesurer lrsquointensiteacute de F rsquo au moyen drsquoun dynamomegravetre

A O B

M

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe

Observation

A

C

B

12

Nous observons que plus la distance drsquo= OM est grande plus la force a une intensiteacute petite mais le

produit Frsquoxdrsquo reste constant

Nm N m

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Cas dune force non orthogonale ou inclineacutee drsquoun angle quelconque θ Si nous inclinons la droite

drsquoaction de la force sans changer son point drsquoapplication celle-ci doit ecirctre plus forte en intensiteacute pour

produire le mecircme effet Soit F sa nouvelle intensiteacute et d la nouvelle distance de lrsquoaxe de rotation agrave la

droite drsquoaction de

A O B

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie

Observation

Nous observons que le produit Fxd possegravede la mecircme valeur que lorsque la force est perpendiculaire agrave

(OA) en M La force peut tourner la reacuteglette dans un sens Elle admet un moment par rapport agrave cet

axe mais son bras de levier pose un problegraveme

Deacutetermination drsquoun moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Deacutecomposer la force en deux forces orthogonales dont la droite drsquoaction de lrsquoune est parallegravele agrave

lrsquoaxe et la droite drsquoaction de lrsquoautre coupe lrsquoaxe

13

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales

=

MΔ ( ) = MΔ ( ) + MΔ ( )

Nous allons choisir le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre comme sens positif arbitraire de rotation La

droite drsquoaction de la force coupe lrsquoaxe de rotation ( ) donc le moment de cette force est nul

MΔ ( ) = 0

MΔ ( ) = MΔ ( )

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - Frsquorsquo x d Car la force fait tourner le solide dans le sens contraire

Deacutetermination de la longueur d et lrsquointensiteacute de la force

Drsquoapregraves la figure ci- dessus nous avons

sin

d OM

F F

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - F x sin (θ) x OM

Nm N degreacute m

MΔ () = - FxsinθxOM

14

II35 Moment drsquoun couple de force

Deacutefinition drsquoun couple de forces

Un systegraveme de deux forces parallegraveles de sens contraires de mecircme intensiteacute et nrsquoayant pas le

mecircme support constitue un couple parfait

Couple (

) signifie support diffeacuterentes et

=

Les supports des forces deacutefinissent un plan P appeleacute plan du couple

Figure 13 Couple des forces

Moment drsquoun couple

Consideacuterons un couple de forces appliqueacute agrave un disque en rotation autour drsquoun axe fixe (Δ) passant

le centre O et perpendiculaire agrave son plan Les forces sont orthogonales agrave lrsquoaxe Elles ont mecircme

intensiteacute F Les deux forces tendent agrave faire tourner le disque dans le mecircme sens les moments de ces

forces ont donc le mecircme signe positif

La somme des deux moments est appeleacutee moment du couple dont lrsquoexpression srsquoeacutecrit

Nm N m

Avec d eacutetant la distance entre les supports des forces

Le moment drsquoun couple des forces de mecircmes intensiteacutes par rapport agrave un axe perpendiculaire au plan

du couple est mesureacute par le produit de lrsquointensiteacute commune des deux forces par la distance entre leur

support

15

II36 Choix du sens positif du mouvement

Expeacuterience

Utilisons une reacuteglette de longueur 30 centimegravetres mobile autour drsquoun axe horizontal passant par

un point O La force tend agrave faire tourner la reacuteglette dans un sens tandis que la force

tend agrave

faire tourner dans lrsquoautre sens Pour marquer cette diffeacuterence nous choisissons arbitrairement un sens

positif de rotation autour de lrsquoaxe

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement

Observation

fait tourner la reacuteglette dans le sens positif Alors le moment de cette force

sera pris

positivement

fait tourner la reacuteglette dans le sens neacutegatif Alors le moment de cette force

aura une valeur

neacutegative

Une force admet un moment nul quand la droite drsquoaction de est parallegravele ou coupe lrsquoaxe

Conclusion

Il est impeacuteratif drsquoattribuer un signe au moment de la force Le moment drsquoune force est une grandeur

algeacutebrique il peut ecirctre positif ou neacutegatif

III Theacuteoregraveme des moments [01] [06] [07] [09] [10] [12] [13] [15]

III1 Expeacuterience

Le dispositif expeacuterimental est une reacuteglette AB consideacutereacutee comme une barre rigide perceacutee de

plusieurs trous auxquels nous pouvons suspendre des masses agrave lrsquoaide des fils inextensibles et de

masses neacutegligeables Chaque trou correspond un point de contact entre le fil et la barre La reacuteglette

16

de longueur L = 30 cm est mobile sans frottement autour drsquoun axe ( ) horizontal passant par son

centre de graviteacute Elle tourne sous lrsquoaction de la tension des fils

Masse M1 Masse M2

Nous appliquons agrave la barre deux forces =

et

agrave lrsquoaide de deux fils tendus par des

masses marqueacutees M1 et M2 Les intensiteacutes F1 et F2 sont connues si la barre est en eacutequilibre en

utilisant les relations suivantes F1 =M1g et F2= M2g Faisons varier les deux masses M1 et M2 ce qui

entraine les diffeacuterentes valeurs des intensiteacutes F1 et F2 Pour chaque eacutequilibre relevons lrsquointensiteacute de

chaque force et mesurons les longueurs des bras de levier d1 et d2 correspondantes agrave lrsquoaide drsquoune

regravegle gradueacutee Lorsque le mateacuteriel ne tourne pas autour de laxe ( ) Pour maintenir horizontalement

la droite (AB) nous avons obtenu les reacutesultats expeacuterimentales en tenant compte des erreurs

provenant de la mesure lors de lrsquoexpeacuterimentation

III2 Valeurs expeacuterimentales

Dans cette expeacuterience nous allons prendre lrsquointensiteacute de la pesanteur g = 10Nkg Lrsquointensiteacute de la

force exerceacutee en un point de contact entre le fil et la reacuteglette est donneacutee par le tableau suivant

Masse (en Kg)

0050

0100

0150

0200

0250

0300

Intensiteacute de la force ou

(en N)

0500

1000

1500

2000

2500

3000

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous

17

Le tableau ci-dessous donne les valeurs correspondantes agrave chaque mesure

Mesure Mesure ndeg1 Mesure ndeg 2 Mesure ndeg3 Mesure ndeg4

F1 (N) 100 050 150 300

d1 (m) 004 008 008 006

F1 d1 (Nm) 004

004 012 018

F2 (N) 200 200 100 300

d2 (m) 002 002 012 006

F2 d2(Nm) 004 004 012 018

Tableau 2 Releveacute des mesures

Nous remarquons que lors de lrsquoexpeacuterimentation il existe toujours des erreurs provenant soit du

mateacuteriel drsquoexpeacuterience soit de la mesure

III3 Observation

Nous constatons que F1 ne F2 dans la condition suivante d1ned2

Nous constatons que F1d1=F2d2 lorsque la reacuteglette ne tourne pas autour de lrsquoaxe crsquoest-agrave-dire

agrave lrsquoeacutequilibre

Nous constatons que la somme algeacutebrique des moments est nulle en effet lrsquoexpeacuterience lrsquoa

montreacute

III4 Calcul drsquoerreur

Le mot erreur se reacutefegravere agrave quelque chose de juste ou de vrai On parle drsquoerreur sur une

mesure physique lorsque nous pouvons la comparer agrave une valeur de reacutefeacuterence qui peut ecirctre

consideacutereacutee comme vraie (par exemple la tempeacuterature du zeacutero absolu) Geacuteneacuteralement pour les

mesures effectueacutees au laboratoire il nrsquoest pas eacutevident de posseacuteder une valeur de reacutefeacuterence et surtout

difficile de connaicirctre la valeur exacte de la grandeur mesureacutee (par exemple longueur drsquoune barre

vitesse drsquoun projectile) Nous parlons alors drsquoincertitude Chaque grandeur mesureacutee a une certaine

incertitude

Pendant lrsquoexpeacuterience nous effectuons la mesure par des chiffres significatifs crsquoest-agrave-dire le

nombre de chiffres significatifs agrave indiquer dans un reacutesultat est eacutegalement fixeacute par le calcul des

incertitudes Tout reacutesultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs

Dans notre cas lrsquoerreur est mesureacutee agrave partir de la diffeacuterence entre la longueur du bras de levier

obtenue expeacuterimentalement et sa valeur theacuteorique Soient dexp et dtheacuteo les valeurs respectives du bras

18

de levier lrsquoune expeacuterimentale et lrsquoautre theacuteorique Et nous allons noter Δd lrsquoerreur entre les deux

valeurs

m

Nous pouvons remarquer que la mesure de lrsquointensiteacute drsquoune force preacutesente aussi une erreur Le

tableau ci-dessous repreacutesente les calculs drsquoerreur lors de prise de chaque reacutesultat

Mesure Mesure ndeg1 Erreurs Mesure ndeg 2 Erreurs Mesurendeg3 Erreurs Mesure ndeg4 Erreurs

F1(en N)

1000

0010

0500

0010

1500

0010

3000

0010

d1 (en m)

0040

0004

0080

0004

0080

0004

0060

0004

F1xd1

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

F2

(en N)

2000

0010

0020

0010

0010

0010

3000

0010

d2

(en m)

0020

0004

0020

0004

0120

0004

0060

0004

F2xd2

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure

III5 Interpreacutetation

Systegraveme la reacuteglette

Bilan des forces appliqueacutees

Son poids

La reacuteaction de lrsquoaxe

Δd = dexp - dtheacuteo

19

Les deux forces et

(tension des fils)

Reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire

Evaluation des moments des forces choisir le sens positif dans le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre

Les moments de la reacuteaction de lrsquoaxe et le poids sont nul car les droites drsquoaction de ces deux

forces couplent lrsquoaxe de rotation

Le moment de la force MΔ (

)= - M1gd1

Le moment de la force MΔ (

)= M2gd2

A lrsquoeacutequilibre lrsquoeacutetude expeacuterimentale simple va nous permettre de preacuteciser quantitativement que

lrsquoeffet de rotation de la force sur la reacuteglette et lrsquoeffet de rotation de la force

sont eacutegaux Et

son poids et la reacuteaction de lrsquoaxe nrsquoont pas drsquoeffet de rotation

Donc MΔ ( ) = MΔ (

)

MΔ ( ) + MΔ (

)= 0

III2 Eacutenonceacute du theacuteoregraveme des moments

Pour mettre un solide mobile autour drsquoun axe fixe en eacutequilibre il faut que la somme des

moments par rapport agrave lrsquoaxe fixe des forces appliqueacutees qui tendent agrave le faire tourner dans un sens

positif est eacutegale agrave la somme des moments par rapport agrave lrsquoaxe des forces qui tendent agrave le faire tourner

dans le sens neacutegatif

Enonceacute du theacuteoregraveme des moments laquo Dans le reacutefeacuterentiel terrestre lorsqursquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe est en eacutequilibre la somme algeacutebrique des moments par rapport agrave cet axe

de toutes les forces exteacuterieures appliqueacutees agrave ce solide est nulle raquo

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe [10] [15] [16]

Un solide mobile autour dun axe fixe est en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre si nous avons

La somme vectorielle des forces exteacuterieures est nulle sum crsquoest-agrave-dire immobiliteacute

du centre dinertie G

La somme algeacutebrique des moments des forces exteacuterieures par rapport agrave laxe est nulle

20

sum crsquoest-agrave-dire en absence de mouvement de rotation

Il faut remarquer que ces conditions sont neacutecessaires mais non suffisantes Elles sont neacutecessairement

veacuterifieacutees srsquoil y a un eacutequilibre Elles ne sont suffisantes pour pouvoir affirmer qursquoun systegraveme est au

repos

21

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX

Dans cette partie nous inteacuteressons sur lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel expeacuterimental concernant

lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe Elle est consacreacutee agrave la preacutesentation des travaux

que nous avons effectueacutes Premiegraverement pour lrsquoeacutetude du moment drsquoune force crsquoest une reacuteglette

mobile et sans frottement appreacuteciable autour drsquoun axe fixe horizontale (Δ) passant par son centre de

graviteacute Deuxiegravemement dans le cas du theacuteoregraveme des moments nous disposons drsquoun mecircme mateacuteriel

drsquoexpeacuterimental

Dans le programme officiel de la classe de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours

un problegraveme drsquoexpeacuterience Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer des mateacuteriels didactiques afin

drsquoapporter notre part dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide

mobile autour drsquoun axe fixe Nous pouvons donc eacutelaborer un mateacuteriel expeacuterimental comme lrsquoindique

le scheacutema suivant

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

I Regravegles de Seacutecuriteacute dans un atelier [17]

Seule les personnes ayant suivi la formation obligatoire sont autoriseacutees agrave travailler dans un

atelier

22

Le port des lunettes de seacutecuriteacute est obligatoire lors de lrsquoutilisation des machines fixes et

portatives

Les masques anti-poussiegraveres sont recommandeacutes pour des travaux poussieacutereux par exemple le

ponccedilage

Une tenue approprieacutee au travail drsquoatelier est exigeacutee Les pieds nus et sandales sont interdits

Enlever tout objet pouvant srsquoaccrocher agrave une machine en marchethinsp montres bijoux fils

drsquoeacutecouteurs eacutecharpes etc Les manches longues doivent ecirctre enrouleacutees les cheveux longs

attacheacutes

Pour raisons de seacutecuriteacute et de santeacute il est interdit de fumer boire ou manger dans lrsquoatelier

Il est interdit drsquoutiliser les machines sous lrsquoinfluence drsquoalcool ou de drogue (y compris

certains meacutedicaments sous ordonnance)

Utiliser les outils approprieacutes au travail agrave exeacutecuter En cas drsquoheacutesitation sur la technique ou

lrsquooutil agrave utiliser pour entreprendre quelque chose il est interdit de commencer sans se

renseigner aupregraves du personnel responsable

Travailler drsquoune faccedilon ordonneacutee Avant de quitter lrsquoatelier il est conseilleacute de mettre de lrsquoordre

sur la table de travail et les outilsthinsp mettre les deacutechets hors de vue dans les containers

approprieacutes

Lire comprendre et appliquer les regravegles drsquoutilisation des machines avant de commencer

Pendant le travail regarder constamment ougrave sont vos doigts Garder ses doigts loin des outils

coupants et en dehors de la ldquozone drsquoactionrdquo des machines

Ne laisser jamais tourner une machine sans surveillance

Ne reacutegler jamais une machine en marche Arrecircter la machine et attendez son arrecirct complet

Deacutebrancher les machines portatives pour le changement des lames

Nettoyer les machines apregraves chaque usage

Les accidents arrivent souvent lorsque lrsquoon est presseacute ou par manque de concentration

La fatigue le stress et lrsquoalcool sont des multiplicateurs de risque

Lire attentivement les pictogrammes de chaque outil

II Fabrication drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe [11]

Il y a plusieurs mateacuteriels drsquoexpeacuteriences qui illustrent le moment drsquoune force par rapport agrave un axe

fixe et le theacuteoregraveme des moments Parmi eux nous allons fabriquer une reacuteglette en bois de sapin

23

II1 Outils utiliseacutes [19]

Les outils neacutecessaires sont donneacutes par le tableau suivant

Outils utiliseacutes Photo Actions

Une scie agrave ruban

Deacutecouper une planche en

forme ronde ou autre

Une scie circulaire

Transformer les bois en bois

carreacute drsquoarrecirct bien deacutefini

Une perceuse

Percer un trou

Une raboteuse

Lisser

Un compas

Tracer un cercle

24

Une Ponceuse

Lisser

Une scie

Deacutecouper lineacuteairement une

planche

des marteaux

servant par exemple agrave enfoncer

un clou

Un pinceau

Colorer en vernis les mateacuteriels

fabriqueacutes

Un stylo bleu

Marquer des lignes ou des trous

Une eacutequerre

- instrument servant agrave repeacuterer

une perpendiculaire

- pour veacuterifier des angles

diegravedres droits soit pour tracer

des angles plans droits

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et le support

viii

Liste des abreacuteviations

LJRA Lyceacutee Joseph Ravoahangy Andrianavalona

FJKM Fiangonanrsquoi Jesoa Kristy eto Madagasikara

ENS Ecole Normale Supeacuterieure

TP Travaux Pratiques

AN Application Numeacuterique

cm centimegravetre

m megravetre

N Newton

Nm Newton-megravetre

mN milli-Newton

g gramme

kg kilogramme

MΔ( ) Moment drsquoune force

sum Somme des forces appliqueacutees

sum Somme des moments drsquoune force exteacuterieure

dexp Longueur expeacuterimentale du bras de levier

dtheacuteo Longueur theacuteorique du bras de levier

sin sinus

d (A G) distance entre deux points A et G

1

INTRODUCTION

La physique est une science qui eacutetudie par lrsquoexpeacuterimentation des concepts et des theacuteories en

eacutetablissant les lois qui les reacutegissent Elle appartient dans les sciences expeacuterimentales Lrsquoenseignement

expeacuterimental des sciences physiques joue un rocircle tregraves important dans le processus

drsquoenseignementapprentissage des savoirs Lrsquoexpeacuterience tient une place preacutepondeacuterante dans la

construction ou lrsquoacquisition des connaissances chez les apprenants Car apprendre

expeacuterimentalement conduit les eacutelegraveves de former lrsquoesprit scientifique de seacutelectionner les

informations de srsquoinformer pour deacutevelopper lrsquoesprit critique Les travaux pratiques sont des actions

ou la maniegravere de faire acqueacuterir plus efficacement la connaissance La reacutealisation des TP occupe une

place tregraves importante dans son enseignementapprentissage car les expeacuteriences permettent de

deacutevelopper chez lrsquoapprenant(e) le sens drsquoobservation lrsquoesprit drsquoanalyse et de critique

Compte tenu de ce qui preacutecegravede lrsquoenseignement des sciences physiques est souvent baseacute sur

des expeacuteriences Autrement dit lrsquoenseignement est sous forme drsquoexpeacuterimentation Lrsquoexpeacuterimentation

est un processus opeacuteratoire plus ou moins complexe sur les deux plans theacuteorique et pratique Elle est

une pratique qui consiste agrave reproduire de faccedilon plus ou moins artificielle des situations concregravetes

des pheacutenomegravenes de leurs aspects

Dans le programme officiel de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours un

problegraveme drsquoexpeacuterience Soit lrsquoinsuffisance ou le manque des salles de laboratoire soit lrsquoabsence des

mateacuteriels didactiques

Notre objectif est donc reacutesoudre les problegravemes rencontreacutes et drsquoameacuteliorer lrsquoenseignement et

lrsquoapprentissage des sciences physiques Parmi ces problegravemes soit le manque des mateacuteriels

drsquoexpeacuterience soit lrsquoabsence des salles de laboratoire et ses eacutequipements Ces problegravemes suscitent des

questions essentielles Comment ameacuteliorer lrsquoenseignement et lrsquoapprentissage des sciences

physiques Pour reacutepondre agrave cette question de nombreuses hypothegraveses pourraient ecirctre avanceacutees

parmi lesquelles nous pensons qursquoelles srsquoagiraient notamment drsquoeacutelaborer un mateacuteriel drsquoexpeacuteriences

concernant lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

Notre sujet se rapporte au domaine drsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel didactique et srsquointitule

laquoELABORATION DE MATERIEL DIDACTIQUE POUR LrsquoETUDE EXPERIMENTALE

DE LrsquoEQUILIBRE DrsquoUN SOLIDE MOBILE AUTOUR DrsquoUN AXE FIXEraquo

Le choix du sujet a eacuteteacute fait pour une raison bien preacutecise durant notre stage en responsabiliteacute nous

avons traiteacute le chapitre sur la force et statique plus preacuteciseacutement sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe et nous avons constateacute que pendant une seacuteance drsquoenseignement les expeacuteriences

2

permettent de former lrsquoesprit scientifique un raisonnement scientifique et la pratique drsquoune

deacutemarche expeacuterimentale

Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer un mateacuteriel didactique afin drsquoapporter notre part

dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun

axe fixe Lrsquoanalyse de lrsquoenseignement des sciences physiques dans la classe de seconde incite agrave

mettre en œuvre les meacutethodes expeacuterimentales en favorisant la participation des eacutelegraveves agrave la

construction du cours Nous reacutealisons un projet visant agrave eacutelaborer un mateacuteriel didactique permettant

aux eacutelegraveves de bien saisir la deacutefinition et lrsquoeffet du moment drsquoune force par rapport agrave un axe fixe et le

theacuteoregraveme des moments

Ce meacutemoire comporte trois parties principales

La premiegravere traite des eacuteleacutements theacuteoriques sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

Dans cette eacutetude nous allons eacutetudier lrsquoeffet drsquoune force sur la rotation drsquoun solide le moment

drsquoune force orthogonale agrave lrsquoaxe de rotation le moment drsquoune force quelconque par rapport agrave lrsquoaxe

de rotation le theacuteoregraveme des moments et les conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe

La deuxiegraveme porte essentiellement agrave lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience Cette partie est

deacutedieacutee agrave la preacutesentation des travaux que nous avons effectueacutes travaux relatifs agrave lrsquoeacutelaboration de

mateacuteriel didactique pour lrsquoenseignementapprentissage afin drsquoeacutetablir les conditions geacuteneacuterales

drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

La troisiegraveme partie terminera le travail par des applications peacutedagogiques Cette partie contient

deux fiches peacutedagogiques concernant le moment drsquoune force par rapport agrave un axe fixe et le

theacuteoregraveme des moments Pour exploiter ce mateacuteriel dans une seacuteance drsquoenseignement nous

eacutetablissons deux fiches de travaux pratiques dont lrsquoune pour lrsquoenseignant et lrsquoautre pour lrsquoeacutelegraveve

3

PREMIERE PARTIE REPERES THEORIQUES

Notre objectif dans cette partie consiste agrave eacutevaluer theacuteoriquement lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe par rapport agrave un reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire Drsquoabord dans un premier temps

nous allons entamer ce qursquoon attend par un mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe

Ensuite des expeacuteriences qui illustrent lrsquoeacutetude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun

axe Puis apregraves ces expeacuteriences nous deacutefinissons une nouvelle grandeur physique Enfin une

derniegravere expeacuterience srsquoadresse sur le theacuteoregraveme des moments et en guise de conclusion eacutetablir les

conditions drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

I Mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe [13] [14]

I1 Deacutefinition

Un solide mobile est animeacute dun mouvement de rotation autour dun axe fixe si les points du

solide situeacutes sur lrsquoaxe de rotation sont immobiles et les autres points du solide deacutecrivent des

trajectoires circulaires ou des arcs de cercle dans un plan perpendiculaire agrave lrsquoaxe et centreacutes sur lrsquoaxe

de rotation Pendant la dureacutee Δt tous les points du solide tournent drsquoun mecircme angle α dans un sens

bien deacutefini

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide

Les points M et N sont immobiles tandis que les points A et B sont mobiles et deacutecrivent des

trajectoires circulaires

4

I2 Vitesse angulaire

I21 Cas drsquoun point du solide

On considegravere le mouvement de rotation drsquoune porte autour drsquoun axe (Δ) passant par ses

gonds Soit un point M appartenant agrave cette porte autre que les points de contact entre les gonds et la

porte Le mouvement du point M est un mouvement de rotation autour de lrsquoaxe (Δ) Ainsi la

trajectoire du point M est un arc de cercle de rayon R Le mouvement du point M est circulaire

Entre deux instants t1 et t2 le point M deacutecrit un arc de cercle avec un deacuteplacement angulaire de

mesure α

S

La relation entre lrsquoarc de cercle S et lrsquoangle α est

Avec - angle de rotation en rad mrad m rad

- R distance entre le point M et lrsquoaxe de rotation en megravetre

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire moyenne que lrsquoon note ω m comme le rapport entre

lrsquoangle de rotation exprimeacute en rad et la dureacutee du parcours Δt exprimeacutee en seconde

rad

rads

s

Avec Δα deacuteplacement angulaire effectueacute entre les deux positions angulaires 1 et 2

exprimeacutee en radian (rad)

Δt dureacutee du parcours exprimeacutee en seconde (s)

Wm vitesse angulaire moyenne exprimeacutee en rads

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 S

5

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire instantaneacutee comme la vitesse angulaire agrave un instant donneacute

Nous eacutevaluons en calculant la vitesse angulaire moyenne pendant un intervalle de temps tregraves court

noteacute dt encadrant lrsquoinstant t consideacutereacute

On note w(t)

rad

rads

s

I22 Cas du solide

Consideacuterons la porte tous les points de la porte tournent du mecircme angle α pendant la mecircme

dureacutee En conseacutequence tous les points de la porte ont agrave chaque instant la mecircme vitesse angulaire

ω(t)

Tous les points drsquoun solide en rotation autour drsquoun axe fixe ont agrave chaque instant la mecircme

vitesse angulaire ω(t) crsquoest la vitesse angulaire du solide Nous avons remarqueacute que tous les points

du solide ont agrave chaque instant la mecircme vitesse de rotation mais ils nrsquoont pas geacuteneacuteralement la mecircme

vitesse lineacuteaire

I3 Le mouvement de rotation uniforme

I31 Deacutefinition

Un solide est en mouvement de rotation uniforme si sa vitesse angulaire est constante au cours

du temps ω m = ω (t) = ω

I32 Exemple drsquoun mouvement de rotation

La Terre est animeacutee drsquoun mouvement de rotation uniforme autour de lrsquoaxe des pocircles Ce

mouvement est peacuteriodique La dureacutee pour effectuer un tour complet est appeleacutee peacuteriode que lrsquoon

note T Pour la Terre T = 86164 s peacuteriode de rotation autour de lrsquoaxe des pocircles dans le reacutefeacuterentiel

geacuteocentrique La vitesse angulaire de la Terre est donneacutee par lrsquoexpression ci-dessous

rads rad

s

w(t)=

Avec dα Deacuteplacement angulaire infiniteacutesimal

dt Temps infiniteacutesimal

w(t) Vitesse angulaire agrave lrsquoinstant t

Avec Δα 2 rad

Δt T

6

AN w=

= 7310

-5 rads

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe [03][07][08][09][10]

II1 Importance de la direction de la force

a) Expeacuteriences et observations

Expeacuterience ndeg 1

Consideacuterons la porte drsquoune salle de classe agrave cause des gonds qui la soutiennent le seul

mouvement qursquoelle puisse prendre est un mouvement de rotation autour drsquoun axe vertical fixe

joignant les gonds Pour faire tourner la porte autour de cet axe nous devons lui appliquer une force

exerceacutee au poignet de cette porte une force perpendiculaire au plan de la porte par exemple

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte

Observation

Nous observons que la force fait tourner la porte autour de lrsquoaxe de rotation La porte tourne

autour de lrsquoaxe des gonds

Expeacuterience ndeg 2

Si nous appliquons une force verticale sur le poignet crsquoest-agrave-dire parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation

7

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe

Observation

Nous observons que la force nrsquoa aucun effet sur la porte Cette derniegravere reste immobile

Expeacuterience ndeg 3

Tirer horizontalement et perpendiculaire agrave lrsquoaxe de rotation la porte sur le poignet avec une force

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte

Observation

Nous observons que la force nrsquoa non plus aucun effet de rotation La porte est resteacutee immobile

8

Expeacuterience ndeg 4

Exerccedilons maintenant une force inclineacutee dont la droite drsquoaction rencontre eacutegalement lrsquoaxe

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte

Observation

Nous constatons que la force ne produit aucun effet de rotation sur la porte

b) Conclusion

Une force dont la droite drsquoaction est agrave la fois perpendiculaire et distante de lrsquoaxe de rotation a un

effet de rotation sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe

Une force dont la droite drsquoaction est parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation a un effet de rotation nul

Une force dont la droite drsquoaction rencontre lrsquoaxe de rotation nrsquoa aucun effet de rotation

II2 Importance de la distance de la droite drsquoaction de la force agrave lrsquoaxe de rotation et lrsquointensiteacute de

la force [02] [04] [05] [07]

a) Expeacuterience

Exerccedilons successivement deux forces et drsquointensiteacutes diffeacuterentes et perpendiculaires agrave la

porte Les points drsquoapplications de ces forces sont totalement diffeacuterents

9

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de

rotation et lintensiteacute de la force

b) Observation

Nous avons pris d1 infeacuterieure agrave d2 nous constatons que pour faire tourner la porte en mecircme effet

on applique plus de force pour la distance d1 par rapport agrave celle de la distance d2

Conclusion

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est petite alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus grande pour avoir le mecircme effet de rotation

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est grande alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus petite pour avoir le mecircme effet de rotation

II3 Moment drsquoune force par rapport agrave un axe [01] [02] [03] [06] [09] [10]

Les expeacuteriences preacuteceacutedentes montrent que lrsquoeffet dynamique drsquoune force sur un corps introduit

une nouvelle grandeur physique invariante agrave chaque eacutequilibre crsquoest laquo le moment drsquoune force

constante par rapport agrave un axe fixe raquo

Ce qui importe cette grandeur caracteacuterise lrsquoeffet de la force sur un solide capable de tourner autour

drsquoun axe Certes deux forces agissent sur un solide et ayant le mecircme moment par rapport agrave lrsquoaxe

auront le mecircme effet

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force

Lrsquointensiteacute du moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave lrsquoaxe consideacutereacute est eacutegale au produit de

son intensiteacute par la distance de lrsquoaxe agrave la droite drsquoaction de la force

Notation MΔ ( )

119813120783

10

m (eacutequation I )

N

Avec - MΔ( ) Moment de la force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ)

- F Intensiteacute de la force

- d Distance entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe de rotation (Δ) La distance laquo d raquo

srsquoappelle bras de levier

Dans le systegraveme international cette grandeur se mesure en newton-megravetre (Nm)

ATTENTIONS

Il faut toujours preacuteciser lrsquoaxe de rotation

Ne pas confondre les uniteacutes newton-megravetre Nm et mN un sous multiple de Newton

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire agrave la fois agrave la droite drsquoaction de la

force et agrave lrsquoaxe de rotation

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaisseacutee depuis le centre de rotation sur la droite

drsquoaction de la force Le pouvoir de laquo rotation raquo deacutepend donc de la position relative du point

drsquoapplication de la force et du centre de rotation consideacutereacute

Figure 8 Bras de levier d

Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonomeacutetrie dans le triangle rectangle ABC drsquohypoteacutenuse

AB= l

MΔ ( ) = F x d

11

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier

Le bras de levier d peut ecirctre deacutetermineacute connaissant

La distance l entre le point drsquoapplication de la force et lrsquoaxe de rotation

Lrsquoangle α formeacute par la droite drsquoaction de la force et la droite passant par lrsquoaxe de rotation et le

point drsquoapplication de la force

Ce qui permet drsquoeacutetablir d = l middot sin(α)

Si lrsquoangle formeacute est de 90deg alors sin (90deg) = 1 Lrsquoexpression du moment drsquoune force est reacuteduite agrave

lrsquoeacutequation I

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Consideacuterons une regravegle AB munie de plusieurs trous permettant drsquoaccrocher un corps (C) de masse

donneacutee et un dynamomegravetre en diffeacuterents points La regravegle AB est mobile autour drsquoun axe horizontal

passant par son milieu O

Vers lrsquoextreacutemiteacute B de la regravegle suspendons le corps (C) Entraicircneacutee par le poids du corps (C) la regravegle prend

alors la position verticale

Pour amener la regravegle dans sa position horizontale on exerce sur sa partie OA une force verticale

orienteacutee vers le bas Nous pouvons mesurer lrsquointensiteacute de F rsquo au moyen drsquoun dynamomegravetre

A O B

M

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe

Observation

A

C

B

12

Nous observons que plus la distance drsquo= OM est grande plus la force a une intensiteacute petite mais le

produit Frsquoxdrsquo reste constant

Nm N m

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Cas dune force non orthogonale ou inclineacutee drsquoun angle quelconque θ Si nous inclinons la droite

drsquoaction de la force sans changer son point drsquoapplication celle-ci doit ecirctre plus forte en intensiteacute pour

produire le mecircme effet Soit F sa nouvelle intensiteacute et d la nouvelle distance de lrsquoaxe de rotation agrave la

droite drsquoaction de

A O B

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie

Observation

Nous observons que le produit Fxd possegravede la mecircme valeur que lorsque la force est perpendiculaire agrave

(OA) en M La force peut tourner la reacuteglette dans un sens Elle admet un moment par rapport agrave cet

axe mais son bras de levier pose un problegraveme

Deacutetermination drsquoun moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Deacutecomposer la force en deux forces orthogonales dont la droite drsquoaction de lrsquoune est parallegravele agrave

lrsquoaxe et la droite drsquoaction de lrsquoautre coupe lrsquoaxe

13

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales

=

MΔ ( ) = MΔ ( ) + MΔ ( )

Nous allons choisir le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre comme sens positif arbitraire de rotation La

droite drsquoaction de la force coupe lrsquoaxe de rotation ( ) donc le moment de cette force est nul

MΔ ( ) = 0

MΔ ( ) = MΔ ( )

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - Frsquorsquo x d Car la force fait tourner le solide dans le sens contraire

Deacutetermination de la longueur d et lrsquointensiteacute de la force

Drsquoapregraves la figure ci- dessus nous avons

sin

d OM

F F

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - F x sin (θ) x OM

Nm N degreacute m

MΔ () = - FxsinθxOM

14

II35 Moment drsquoun couple de force

Deacutefinition drsquoun couple de forces

Un systegraveme de deux forces parallegraveles de sens contraires de mecircme intensiteacute et nrsquoayant pas le

mecircme support constitue un couple parfait

Couple (

) signifie support diffeacuterentes et

=

Les supports des forces deacutefinissent un plan P appeleacute plan du couple

Figure 13 Couple des forces

Moment drsquoun couple

Consideacuterons un couple de forces appliqueacute agrave un disque en rotation autour drsquoun axe fixe (Δ) passant

le centre O et perpendiculaire agrave son plan Les forces sont orthogonales agrave lrsquoaxe Elles ont mecircme

intensiteacute F Les deux forces tendent agrave faire tourner le disque dans le mecircme sens les moments de ces

forces ont donc le mecircme signe positif

La somme des deux moments est appeleacutee moment du couple dont lrsquoexpression srsquoeacutecrit

Nm N m

Avec d eacutetant la distance entre les supports des forces

Le moment drsquoun couple des forces de mecircmes intensiteacutes par rapport agrave un axe perpendiculaire au plan

du couple est mesureacute par le produit de lrsquointensiteacute commune des deux forces par la distance entre leur

support

15

II36 Choix du sens positif du mouvement

Expeacuterience

Utilisons une reacuteglette de longueur 30 centimegravetres mobile autour drsquoun axe horizontal passant par

un point O La force tend agrave faire tourner la reacuteglette dans un sens tandis que la force

tend agrave

faire tourner dans lrsquoautre sens Pour marquer cette diffeacuterence nous choisissons arbitrairement un sens

positif de rotation autour de lrsquoaxe

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement

Observation

fait tourner la reacuteglette dans le sens positif Alors le moment de cette force

sera pris

positivement

fait tourner la reacuteglette dans le sens neacutegatif Alors le moment de cette force

aura une valeur

neacutegative

Une force admet un moment nul quand la droite drsquoaction de est parallegravele ou coupe lrsquoaxe

Conclusion

Il est impeacuteratif drsquoattribuer un signe au moment de la force Le moment drsquoune force est une grandeur

algeacutebrique il peut ecirctre positif ou neacutegatif

III Theacuteoregraveme des moments [01] [06] [07] [09] [10] [12] [13] [15]

III1 Expeacuterience

Le dispositif expeacuterimental est une reacuteglette AB consideacutereacutee comme une barre rigide perceacutee de

plusieurs trous auxquels nous pouvons suspendre des masses agrave lrsquoaide des fils inextensibles et de

masses neacutegligeables Chaque trou correspond un point de contact entre le fil et la barre La reacuteglette

16

de longueur L = 30 cm est mobile sans frottement autour drsquoun axe ( ) horizontal passant par son

centre de graviteacute Elle tourne sous lrsquoaction de la tension des fils

Masse M1 Masse M2

Nous appliquons agrave la barre deux forces =

et

agrave lrsquoaide de deux fils tendus par des

masses marqueacutees M1 et M2 Les intensiteacutes F1 et F2 sont connues si la barre est en eacutequilibre en

utilisant les relations suivantes F1 =M1g et F2= M2g Faisons varier les deux masses M1 et M2 ce qui

entraine les diffeacuterentes valeurs des intensiteacutes F1 et F2 Pour chaque eacutequilibre relevons lrsquointensiteacute de

chaque force et mesurons les longueurs des bras de levier d1 et d2 correspondantes agrave lrsquoaide drsquoune

regravegle gradueacutee Lorsque le mateacuteriel ne tourne pas autour de laxe ( ) Pour maintenir horizontalement

la droite (AB) nous avons obtenu les reacutesultats expeacuterimentales en tenant compte des erreurs

provenant de la mesure lors de lrsquoexpeacuterimentation

III2 Valeurs expeacuterimentales

Dans cette expeacuterience nous allons prendre lrsquointensiteacute de la pesanteur g = 10Nkg Lrsquointensiteacute de la

force exerceacutee en un point de contact entre le fil et la reacuteglette est donneacutee par le tableau suivant

Masse (en Kg)

0050

0100

0150

0200

0250

0300

Intensiteacute de la force ou

(en N)

0500

1000

1500

2000

2500

3000

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous

17

Le tableau ci-dessous donne les valeurs correspondantes agrave chaque mesure

Mesure Mesure ndeg1 Mesure ndeg 2 Mesure ndeg3 Mesure ndeg4

F1 (N) 100 050 150 300

d1 (m) 004 008 008 006

F1 d1 (Nm) 004

004 012 018

F2 (N) 200 200 100 300

d2 (m) 002 002 012 006

F2 d2(Nm) 004 004 012 018

Tableau 2 Releveacute des mesures

Nous remarquons que lors de lrsquoexpeacuterimentation il existe toujours des erreurs provenant soit du

mateacuteriel drsquoexpeacuterience soit de la mesure

III3 Observation

Nous constatons que F1 ne F2 dans la condition suivante d1ned2

Nous constatons que F1d1=F2d2 lorsque la reacuteglette ne tourne pas autour de lrsquoaxe crsquoest-agrave-dire

agrave lrsquoeacutequilibre

Nous constatons que la somme algeacutebrique des moments est nulle en effet lrsquoexpeacuterience lrsquoa

montreacute

III4 Calcul drsquoerreur

Le mot erreur se reacutefegravere agrave quelque chose de juste ou de vrai On parle drsquoerreur sur une

mesure physique lorsque nous pouvons la comparer agrave une valeur de reacutefeacuterence qui peut ecirctre

consideacutereacutee comme vraie (par exemple la tempeacuterature du zeacutero absolu) Geacuteneacuteralement pour les

mesures effectueacutees au laboratoire il nrsquoest pas eacutevident de posseacuteder une valeur de reacutefeacuterence et surtout

difficile de connaicirctre la valeur exacte de la grandeur mesureacutee (par exemple longueur drsquoune barre

vitesse drsquoun projectile) Nous parlons alors drsquoincertitude Chaque grandeur mesureacutee a une certaine

incertitude

Pendant lrsquoexpeacuterience nous effectuons la mesure par des chiffres significatifs crsquoest-agrave-dire le

nombre de chiffres significatifs agrave indiquer dans un reacutesultat est eacutegalement fixeacute par le calcul des

incertitudes Tout reacutesultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs

Dans notre cas lrsquoerreur est mesureacutee agrave partir de la diffeacuterence entre la longueur du bras de levier

obtenue expeacuterimentalement et sa valeur theacuteorique Soient dexp et dtheacuteo les valeurs respectives du bras

18

de levier lrsquoune expeacuterimentale et lrsquoautre theacuteorique Et nous allons noter Δd lrsquoerreur entre les deux

valeurs

m

Nous pouvons remarquer que la mesure de lrsquointensiteacute drsquoune force preacutesente aussi une erreur Le

tableau ci-dessous repreacutesente les calculs drsquoerreur lors de prise de chaque reacutesultat

Mesure Mesure ndeg1 Erreurs Mesure ndeg 2 Erreurs Mesurendeg3 Erreurs Mesure ndeg4 Erreurs

F1(en N)

1000

0010

0500

0010

1500

0010

3000

0010

d1 (en m)

0040

0004

0080

0004

0080

0004

0060

0004

F1xd1

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

F2

(en N)

2000

0010

0020

0010

0010

0010

3000

0010

d2

(en m)

0020

0004

0020

0004

0120

0004

0060

0004

F2xd2

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure

III5 Interpreacutetation

Systegraveme la reacuteglette

Bilan des forces appliqueacutees

Son poids

La reacuteaction de lrsquoaxe

Δd = dexp - dtheacuteo

19

Les deux forces et

(tension des fils)

Reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire

Evaluation des moments des forces choisir le sens positif dans le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre

Les moments de la reacuteaction de lrsquoaxe et le poids sont nul car les droites drsquoaction de ces deux

forces couplent lrsquoaxe de rotation

Le moment de la force MΔ (

)= - M1gd1

Le moment de la force MΔ (

)= M2gd2

A lrsquoeacutequilibre lrsquoeacutetude expeacuterimentale simple va nous permettre de preacuteciser quantitativement que

lrsquoeffet de rotation de la force sur la reacuteglette et lrsquoeffet de rotation de la force

sont eacutegaux Et

son poids et la reacuteaction de lrsquoaxe nrsquoont pas drsquoeffet de rotation

Donc MΔ ( ) = MΔ (

)

MΔ ( ) + MΔ (

)= 0

III2 Eacutenonceacute du theacuteoregraveme des moments

Pour mettre un solide mobile autour drsquoun axe fixe en eacutequilibre il faut que la somme des

moments par rapport agrave lrsquoaxe fixe des forces appliqueacutees qui tendent agrave le faire tourner dans un sens

positif est eacutegale agrave la somme des moments par rapport agrave lrsquoaxe des forces qui tendent agrave le faire tourner

dans le sens neacutegatif

Enonceacute du theacuteoregraveme des moments laquo Dans le reacutefeacuterentiel terrestre lorsqursquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe est en eacutequilibre la somme algeacutebrique des moments par rapport agrave cet axe

de toutes les forces exteacuterieures appliqueacutees agrave ce solide est nulle raquo

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe [10] [15] [16]

Un solide mobile autour dun axe fixe est en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre si nous avons

La somme vectorielle des forces exteacuterieures est nulle sum crsquoest-agrave-dire immobiliteacute

du centre dinertie G

La somme algeacutebrique des moments des forces exteacuterieures par rapport agrave laxe est nulle

20

sum crsquoest-agrave-dire en absence de mouvement de rotation

Il faut remarquer que ces conditions sont neacutecessaires mais non suffisantes Elles sont neacutecessairement

veacuterifieacutees srsquoil y a un eacutequilibre Elles ne sont suffisantes pour pouvoir affirmer qursquoun systegraveme est au

repos

21

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX

Dans cette partie nous inteacuteressons sur lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel expeacuterimental concernant

lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe Elle est consacreacutee agrave la preacutesentation des travaux

que nous avons effectueacutes Premiegraverement pour lrsquoeacutetude du moment drsquoune force crsquoest une reacuteglette

mobile et sans frottement appreacuteciable autour drsquoun axe fixe horizontale (Δ) passant par son centre de

graviteacute Deuxiegravemement dans le cas du theacuteoregraveme des moments nous disposons drsquoun mecircme mateacuteriel

drsquoexpeacuterimental

Dans le programme officiel de la classe de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours

un problegraveme drsquoexpeacuterience Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer des mateacuteriels didactiques afin

drsquoapporter notre part dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide

mobile autour drsquoun axe fixe Nous pouvons donc eacutelaborer un mateacuteriel expeacuterimental comme lrsquoindique

le scheacutema suivant

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

I Regravegles de Seacutecuriteacute dans un atelier [17]

Seule les personnes ayant suivi la formation obligatoire sont autoriseacutees agrave travailler dans un

atelier

22

Le port des lunettes de seacutecuriteacute est obligatoire lors de lrsquoutilisation des machines fixes et

portatives

Les masques anti-poussiegraveres sont recommandeacutes pour des travaux poussieacutereux par exemple le

ponccedilage

Une tenue approprieacutee au travail drsquoatelier est exigeacutee Les pieds nus et sandales sont interdits

Enlever tout objet pouvant srsquoaccrocher agrave une machine en marchethinsp montres bijoux fils

drsquoeacutecouteurs eacutecharpes etc Les manches longues doivent ecirctre enrouleacutees les cheveux longs

attacheacutes

Pour raisons de seacutecuriteacute et de santeacute il est interdit de fumer boire ou manger dans lrsquoatelier

Il est interdit drsquoutiliser les machines sous lrsquoinfluence drsquoalcool ou de drogue (y compris

certains meacutedicaments sous ordonnance)

Utiliser les outils approprieacutes au travail agrave exeacutecuter En cas drsquoheacutesitation sur la technique ou

lrsquooutil agrave utiliser pour entreprendre quelque chose il est interdit de commencer sans se

renseigner aupregraves du personnel responsable

Travailler drsquoune faccedilon ordonneacutee Avant de quitter lrsquoatelier il est conseilleacute de mettre de lrsquoordre

sur la table de travail et les outilsthinsp mettre les deacutechets hors de vue dans les containers

approprieacutes

Lire comprendre et appliquer les regravegles drsquoutilisation des machines avant de commencer

Pendant le travail regarder constamment ougrave sont vos doigts Garder ses doigts loin des outils

coupants et en dehors de la ldquozone drsquoactionrdquo des machines

Ne laisser jamais tourner une machine sans surveillance

Ne reacutegler jamais une machine en marche Arrecircter la machine et attendez son arrecirct complet

Deacutebrancher les machines portatives pour le changement des lames

Nettoyer les machines apregraves chaque usage

Les accidents arrivent souvent lorsque lrsquoon est presseacute ou par manque de concentration

La fatigue le stress et lrsquoalcool sont des multiplicateurs de risque

Lire attentivement les pictogrammes de chaque outil

II Fabrication drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe [11]

Il y a plusieurs mateacuteriels drsquoexpeacuteriences qui illustrent le moment drsquoune force par rapport agrave un axe

fixe et le theacuteoregraveme des moments Parmi eux nous allons fabriquer une reacuteglette en bois de sapin

23

II1 Outils utiliseacutes [19]

Les outils neacutecessaires sont donneacutes par le tableau suivant

Outils utiliseacutes Photo Actions

Une scie agrave ruban

Deacutecouper une planche en

forme ronde ou autre

Une scie circulaire

Transformer les bois en bois

carreacute drsquoarrecirct bien deacutefini

Une perceuse

Percer un trou

Une raboteuse

Lisser

Un compas

Tracer un cercle

24

Une Ponceuse

Lisser

Une scie

Deacutecouper lineacuteairement une

planche

des marteaux

servant par exemple agrave enfoncer

un clou

Un pinceau

Colorer en vernis les mateacuteriels

fabriqueacutes

Un stylo bleu

Marquer des lignes ou des trous

Une eacutequerre

- instrument servant agrave repeacuterer

une perpendiculaire

- pour veacuterifier des angles

diegravedres droits soit pour tracer

des angles plans droits

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et le support

1

INTRODUCTION

La physique est une science qui eacutetudie par lrsquoexpeacuterimentation des concepts et des theacuteories en

eacutetablissant les lois qui les reacutegissent Elle appartient dans les sciences expeacuterimentales Lrsquoenseignement

expeacuterimental des sciences physiques joue un rocircle tregraves important dans le processus

drsquoenseignementapprentissage des savoirs Lrsquoexpeacuterience tient une place preacutepondeacuterante dans la

construction ou lrsquoacquisition des connaissances chez les apprenants Car apprendre

expeacuterimentalement conduit les eacutelegraveves de former lrsquoesprit scientifique de seacutelectionner les

informations de srsquoinformer pour deacutevelopper lrsquoesprit critique Les travaux pratiques sont des actions

ou la maniegravere de faire acqueacuterir plus efficacement la connaissance La reacutealisation des TP occupe une

place tregraves importante dans son enseignementapprentissage car les expeacuteriences permettent de

deacutevelopper chez lrsquoapprenant(e) le sens drsquoobservation lrsquoesprit drsquoanalyse et de critique

Compte tenu de ce qui preacutecegravede lrsquoenseignement des sciences physiques est souvent baseacute sur

des expeacuteriences Autrement dit lrsquoenseignement est sous forme drsquoexpeacuterimentation Lrsquoexpeacuterimentation

est un processus opeacuteratoire plus ou moins complexe sur les deux plans theacuteorique et pratique Elle est

une pratique qui consiste agrave reproduire de faccedilon plus ou moins artificielle des situations concregravetes

des pheacutenomegravenes de leurs aspects

Dans le programme officiel de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours un

problegraveme drsquoexpeacuterience Soit lrsquoinsuffisance ou le manque des salles de laboratoire soit lrsquoabsence des

mateacuteriels didactiques

Notre objectif est donc reacutesoudre les problegravemes rencontreacutes et drsquoameacuteliorer lrsquoenseignement et

lrsquoapprentissage des sciences physiques Parmi ces problegravemes soit le manque des mateacuteriels

drsquoexpeacuterience soit lrsquoabsence des salles de laboratoire et ses eacutequipements Ces problegravemes suscitent des

questions essentielles Comment ameacuteliorer lrsquoenseignement et lrsquoapprentissage des sciences

physiques Pour reacutepondre agrave cette question de nombreuses hypothegraveses pourraient ecirctre avanceacutees

parmi lesquelles nous pensons qursquoelles srsquoagiraient notamment drsquoeacutelaborer un mateacuteriel drsquoexpeacuteriences

concernant lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

Notre sujet se rapporte au domaine drsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel didactique et srsquointitule

laquoELABORATION DE MATERIEL DIDACTIQUE POUR LrsquoETUDE EXPERIMENTALE

DE LrsquoEQUILIBRE DrsquoUN SOLIDE MOBILE AUTOUR DrsquoUN AXE FIXEraquo

Le choix du sujet a eacuteteacute fait pour une raison bien preacutecise durant notre stage en responsabiliteacute nous

avons traiteacute le chapitre sur la force et statique plus preacuteciseacutement sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe et nous avons constateacute que pendant une seacuteance drsquoenseignement les expeacuteriences

2

permettent de former lrsquoesprit scientifique un raisonnement scientifique et la pratique drsquoune

deacutemarche expeacuterimentale

Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer un mateacuteriel didactique afin drsquoapporter notre part

dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun

axe fixe Lrsquoanalyse de lrsquoenseignement des sciences physiques dans la classe de seconde incite agrave

mettre en œuvre les meacutethodes expeacuterimentales en favorisant la participation des eacutelegraveves agrave la

construction du cours Nous reacutealisons un projet visant agrave eacutelaborer un mateacuteriel didactique permettant

aux eacutelegraveves de bien saisir la deacutefinition et lrsquoeffet du moment drsquoune force par rapport agrave un axe fixe et le

theacuteoregraveme des moments

Ce meacutemoire comporte trois parties principales

La premiegravere traite des eacuteleacutements theacuteoriques sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

Dans cette eacutetude nous allons eacutetudier lrsquoeffet drsquoune force sur la rotation drsquoun solide le moment

drsquoune force orthogonale agrave lrsquoaxe de rotation le moment drsquoune force quelconque par rapport agrave lrsquoaxe

de rotation le theacuteoregraveme des moments et les conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe

La deuxiegraveme porte essentiellement agrave lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience Cette partie est

deacutedieacutee agrave la preacutesentation des travaux que nous avons effectueacutes travaux relatifs agrave lrsquoeacutelaboration de

mateacuteriel didactique pour lrsquoenseignementapprentissage afin drsquoeacutetablir les conditions geacuteneacuterales

drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

La troisiegraveme partie terminera le travail par des applications peacutedagogiques Cette partie contient

deux fiches peacutedagogiques concernant le moment drsquoune force par rapport agrave un axe fixe et le

theacuteoregraveme des moments Pour exploiter ce mateacuteriel dans une seacuteance drsquoenseignement nous

eacutetablissons deux fiches de travaux pratiques dont lrsquoune pour lrsquoenseignant et lrsquoautre pour lrsquoeacutelegraveve

3

PREMIERE PARTIE REPERES THEORIQUES

Notre objectif dans cette partie consiste agrave eacutevaluer theacuteoriquement lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe par rapport agrave un reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire Drsquoabord dans un premier temps

nous allons entamer ce qursquoon attend par un mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe

Ensuite des expeacuteriences qui illustrent lrsquoeacutetude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun

axe Puis apregraves ces expeacuteriences nous deacutefinissons une nouvelle grandeur physique Enfin une

derniegravere expeacuterience srsquoadresse sur le theacuteoregraveme des moments et en guise de conclusion eacutetablir les

conditions drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

I Mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe [13] [14]

I1 Deacutefinition

Un solide mobile est animeacute dun mouvement de rotation autour dun axe fixe si les points du

solide situeacutes sur lrsquoaxe de rotation sont immobiles et les autres points du solide deacutecrivent des

trajectoires circulaires ou des arcs de cercle dans un plan perpendiculaire agrave lrsquoaxe et centreacutes sur lrsquoaxe

de rotation Pendant la dureacutee Δt tous les points du solide tournent drsquoun mecircme angle α dans un sens

bien deacutefini

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide

Les points M et N sont immobiles tandis que les points A et B sont mobiles et deacutecrivent des

trajectoires circulaires

4

I2 Vitesse angulaire

I21 Cas drsquoun point du solide

On considegravere le mouvement de rotation drsquoune porte autour drsquoun axe (Δ) passant par ses

gonds Soit un point M appartenant agrave cette porte autre que les points de contact entre les gonds et la

porte Le mouvement du point M est un mouvement de rotation autour de lrsquoaxe (Δ) Ainsi la

trajectoire du point M est un arc de cercle de rayon R Le mouvement du point M est circulaire

Entre deux instants t1 et t2 le point M deacutecrit un arc de cercle avec un deacuteplacement angulaire de

mesure α

S

La relation entre lrsquoarc de cercle S et lrsquoangle α est

Avec - angle de rotation en rad mrad m rad

- R distance entre le point M et lrsquoaxe de rotation en megravetre

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire moyenne que lrsquoon note ω m comme le rapport entre

lrsquoangle de rotation exprimeacute en rad et la dureacutee du parcours Δt exprimeacutee en seconde

rad

rads

s

Avec Δα deacuteplacement angulaire effectueacute entre les deux positions angulaires 1 et 2

exprimeacutee en radian (rad)

Δt dureacutee du parcours exprimeacutee en seconde (s)

Wm vitesse angulaire moyenne exprimeacutee en rads

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 S

5

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire instantaneacutee comme la vitesse angulaire agrave un instant donneacute

Nous eacutevaluons en calculant la vitesse angulaire moyenne pendant un intervalle de temps tregraves court

noteacute dt encadrant lrsquoinstant t consideacutereacute

On note w(t)

rad

rads

s

I22 Cas du solide

Consideacuterons la porte tous les points de la porte tournent du mecircme angle α pendant la mecircme

dureacutee En conseacutequence tous les points de la porte ont agrave chaque instant la mecircme vitesse angulaire

ω(t)

Tous les points drsquoun solide en rotation autour drsquoun axe fixe ont agrave chaque instant la mecircme

vitesse angulaire ω(t) crsquoest la vitesse angulaire du solide Nous avons remarqueacute que tous les points

du solide ont agrave chaque instant la mecircme vitesse de rotation mais ils nrsquoont pas geacuteneacuteralement la mecircme

vitesse lineacuteaire

I3 Le mouvement de rotation uniforme

I31 Deacutefinition

Un solide est en mouvement de rotation uniforme si sa vitesse angulaire est constante au cours

du temps ω m = ω (t) = ω

I32 Exemple drsquoun mouvement de rotation

La Terre est animeacutee drsquoun mouvement de rotation uniforme autour de lrsquoaxe des pocircles Ce

mouvement est peacuteriodique La dureacutee pour effectuer un tour complet est appeleacutee peacuteriode que lrsquoon

note T Pour la Terre T = 86164 s peacuteriode de rotation autour de lrsquoaxe des pocircles dans le reacutefeacuterentiel

geacuteocentrique La vitesse angulaire de la Terre est donneacutee par lrsquoexpression ci-dessous

rads rad

s

w(t)=

Avec dα Deacuteplacement angulaire infiniteacutesimal

dt Temps infiniteacutesimal

w(t) Vitesse angulaire agrave lrsquoinstant t

Avec Δα 2 rad

Δt T

6

AN w=

= 7310

-5 rads

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe [03][07][08][09][10]

II1 Importance de la direction de la force

a) Expeacuteriences et observations

Expeacuterience ndeg 1

Consideacuterons la porte drsquoune salle de classe agrave cause des gonds qui la soutiennent le seul

mouvement qursquoelle puisse prendre est un mouvement de rotation autour drsquoun axe vertical fixe

joignant les gonds Pour faire tourner la porte autour de cet axe nous devons lui appliquer une force

exerceacutee au poignet de cette porte une force perpendiculaire au plan de la porte par exemple

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte

Observation

Nous observons que la force fait tourner la porte autour de lrsquoaxe de rotation La porte tourne

autour de lrsquoaxe des gonds

Expeacuterience ndeg 2

Si nous appliquons une force verticale sur le poignet crsquoest-agrave-dire parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation

7

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe

Observation

Nous observons que la force nrsquoa aucun effet sur la porte Cette derniegravere reste immobile

Expeacuterience ndeg 3

Tirer horizontalement et perpendiculaire agrave lrsquoaxe de rotation la porte sur le poignet avec une force

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte

Observation

Nous observons que la force nrsquoa non plus aucun effet de rotation La porte est resteacutee immobile

8

Expeacuterience ndeg 4

Exerccedilons maintenant une force inclineacutee dont la droite drsquoaction rencontre eacutegalement lrsquoaxe

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte

Observation

Nous constatons que la force ne produit aucun effet de rotation sur la porte

b) Conclusion

Une force dont la droite drsquoaction est agrave la fois perpendiculaire et distante de lrsquoaxe de rotation a un

effet de rotation sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe

Une force dont la droite drsquoaction est parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation a un effet de rotation nul

Une force dont la droite drsquoaction rencontre lrsquoaxe de rotation nrsquoa aucun effet de rotation

II2 Importance de la distance de la droite drsquoaction de la force agrave lrsquoaxe de rotation et lrsquointensiteacute de

la force [02] [04] [05] [07]

a) Expeacuterience

Exerccedilons successivement deux forces et drsquointensiteacutes diffeacuterentes et perpendiculaires agrave la

porte Les points drsquoapplications de ces forces sont totalement diffeacuterents

9

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de

rotation et lintensiteacute de la force

b) Observation

Nous avons pris d1 infeacuterieure agrave d2 nous constatons que pour faire tourner la porte en mecircme effet

on applique plus de force pour la distance d1 par rapport agrave celle de la distance d2

Conclusion

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est petite alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus grande pour avoir le mecircme effet de rotation

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est grande alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus petite pour avoir le mecircme effet de rotation

II3 Moment drsquoune force par rapport agrave un axe [01] [02] [03] [06] [09] [10]

Les expeacuteriences preacuteceacutedentes montrent que lrsquoeffet dynamique drsquoune force sur un corps introduit

une nouvelle grandeur physique invariante agrave chaque eacutequilibre crsquoest laquo le moment drsquoune force

constante par rapport agrave un axe fixe raquo

Ce qui importe cette grandeur caracteacuterise lrsquoeffet de la force sur un solide capable de tourner autour

drsquoun axe Certes deux forces agissent sur un solide et ayant le mecircme moment par rapport agrave lrsquoaxe

auront le mecircme effet

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force

Lrsquointensiteacute du moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave lrsquoaxe consideacutereacute est eacutegale au produit de

son intensiteacute par la distance de lrsquoaxe agrave la droite drsquoaction de la force

Notation MΔ ( )

119813120783

10

m (eacutequation I )

N

Avec - MΔ( ) Moment de la force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ)

- F Intensiteacute de la force

- d Distance entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe de rotation (Δ) La distance laquo d raquo

srsquoappelle bras de levier

Dans le systegraveme international cette grandeur se mesure en newton-megravetre (Nm)

ATTENTIONS

Il faut toujours preacuteciser lrsquoaxe de rotation

Ne pas confondre les uniteacutes newton-megravetre Nm et mN un sous multiple de Newton

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire agrave la fois agrave la droite drsquoaction de la

force et agrave lrsquoaxe de rotation

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaisseacutee depuis le centre de rotation sur la droite

drsquoaction de la force Le pouvoir de laquo rotation raquo deacutepend donc de la position relative du point

drsquoapplication de la force et du centre de rotation consideacutereacute

Figure 8 Bras de levier d

Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonomeacutetrie dans le triangle rectangle ABC drsquohypoteacutenuse

AB= l

MΔ ( ) = F x d

11

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier

Le bras de levier d peut ecirctre deacutetermineacute connaissant

La distance l entre le point drsquoapplication de la force et lrsquoaxe de rotation

Lrsquoangle α formeacute par la droite drsquoaction de la force et la droite passant par lrsquoaxe de rotation et le

point drsquoapplication de la force

Ce qui permet drsquoeacutetablir d = l middot sin(α)

Si lrsquoangle formeacute est de 90deg alors sin (90deg) = 1 Lrsquoexpression du moment drsquoune force est reacuteduite agrave

lrsquoeacutequation I

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Consideacuterons une regravegle AB munie de plusieurs trous permettant drsquoaccrocher un corps (C) de masse

donneacutee et un dynamomegravetre en diffeacuterents points La regravegle AB est mobile autour drsquoun axe horizontal

passant par son milieu O

Vers lrsquoextreacutemiteacute B de la regravegle suspendons le corps (C) Entraicircneacutee par le poids du corps (C) la regravegle prend

alors la position verticale

Pour amener la regravegle dans sa position horizontale on exerce sur sa partie OA une force verticale

orienteacutee vers le bas Nous pouvons mesurer lrsquointensiteacute de F rsquo au moyen drsquoun dynamomegravetre

A O B

M

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe

Observation

A

C

B

12

Nous observons que plus la distance drsquo= OM est grande plus la force a une intensiteacute petite mais le

produit Frsquoxdrsquo reste constant

Nm N m

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Cas dune force non orthogonale ou inclineacutee drsquoun angle quelconque θ Si nous inclinons la droite

drsquoaction de la force sans changer son point drsquoapplication celle-ci doit ecirctre plus forte en intensiteacute pour

produire le mecircme effet Soit F sa nouvelle intensiteacute et d la nouvelle distance de lrsquoaxe de rotation agrave la

droite drsquoaction de

A O B

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie

Observation

Nous observons que le produit Fxd possegravede la mecircme valeur que lorsque la force est perpendiculaire agrave

(OA) en M La force peut tourner la reacuteglette dans un sens Elle admet un moment par rapport agrave cet

axe mais son bras de levier pose un problegraveme

Deacutetermination drsquoun moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Deacutecomposer la force en deux forces orthogonales dont la droite drsquoaction de lrsquoune est parallegravele agrave

lrsquoaxe et la droite drsquoaction de lrsquoautre coupe lrsquoaxe

13

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales

=

MΔ ( ) = MΔ ( ) + MΔ ( )

Nous allons choisir le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre comme sens positif arbitraire de rotation La

droite drsquoaction de la force coupe lrsquoaxe de rotation ( ) donc le moment de cette force est nul

MΔ ( ) = 0

MΔ ( ) = MΔ ( )

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - Frsquorsquo x d Car la force fait tourner le solide dans le sens contraire

Deacutetermination de la longueur d et lrsquointensiteacute de la force

Drsquoapregraves la figure ci- dessus nous avons

sin

d OM

F F

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - F x sin (θ) x OM

Nm N degreacute m

MΔ () = - FxsinθxOM

14

II35 Moment drsquoun couple de force

Deacutefinition drsquoun couple de forces

Un systegraveme de deux forces parallegraveles de sens contraires de mecircme intensiteacute et nrsquoayant pas le

mecircme support constitue un couple parfait

Couple (

) signifie support diffeacuterentes et

=

Les supports des forces deacutefinissent un plan P appeleacute plan du couple

Figure 13 Couple des forces

Moment drsquoun couple

Consideacuterons un couple de forces appliqueacute agrave un disque en rotation autour drsquoun axe fixe (Δ) passant

le centre O et perpendiculaire agrave son plan Les forces sont orthogonales agrave lrsquoaxe Elles ont mecircme

intensiteacute F Les deux forces tendent agrave faire tourner le disque dans le mecircme sens les moments de ces

forces ont donc le mecircme signe positif

La somme des deux moments est appeleacutee moment du couple dont lrsquoexpression srsquoeacutecrit

Nm N m

Avec d eacutetant la distance entre les supports des forces

Le moment drsquoun couple des forces de mecircmes intensiteacutes par rapport agrave un axe perpendiculaire au plan

du couple est mesureacute par le produit de lrsquointensiteacute commune des deux forces par la distance entre leur

support

15

II36 Choix du sens positif du mouvement

Expeacuterience

Utilisons une reacuteglette de longueur 30 centimegravetres mobile autour drsquoun axe horizontal passant par

un point O La force tend agrave faire tourner la reacuteglette dans un sens tandis que la force

tend agrave

faire tourner dans lrsquoautre sens Pour marquer cette diffeacuterence nous choisissons arbitrairement un sens

positif de rotation autour de lrsquoaxe

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement

Observation

fait tourner la reacuteglette dans le sens positif Alors le moment de cette force

sera pris

positivement

fait tourner la reacuteglette dans le sens neacutegatif Alors le moment de cette force

aura une valeur

neacutegative

Une force admet un moment nul quand la droite drsquoaction de est parallegravele ou coupe lrsquoaxe

Conclusion

Il est impeacuteratif drsquoattribuer un signe au moment de la force Le moment drsquoune force est une grandeur

algeacutebrique il peut ecirctre positif ou neacutegatif

III Theacuteoregraveme des moments [01] [06] [07] [09] [10] [12] [13] [15]

III1 Expeacuterience

Le dispositif expeacuterimental est une reacuteglette AB consideacutereacutee comme une barre rigide perceacutee de

plusieurs trous auxquels nous pouvons suspendre des masses agrave lrsquoaide des fils inextensibles et de

masses neacutegligeables Chaque trou correspond un point de contact entre le fil et la barre La reacuteglette

16

de longueur L = 30 cm est mobile sans frottement autour drsquoun axe ( ) horizontal passant par son

centre de graviteacute Elle tourne sous lrsquoaction de la tension des fils

Masse M1 Masse M2

Nous appliquons agrave la barre deux forces =

et

agrave lrsquoaide de deux fils tendus par des

masses marqueacutees M1 et M2 Les intensiteacutes F1 et F2 sont connues si la barre est en eacutequilibre en

utilisant les relations suivantes F1 =M1g et F2= M2g Faisons varier les deux masses M1 et M2 ce qui

entraine les diffeacuterentes valeurs des intensiteacutes F1 et F2 Pour chaque eacutequilibre relevons lrsquointensiteacute de

chaque force et mesurons les longueurs des bras de levier d1 et d2 correspondantes agrave lrsquoaide drsquoune

regravegle gradueacutee Lorsque le mateacuteriel ne tourne pas autour de laxe ( ) Pour maintenir horizontalement

la droite (AB) nous avons obtenu les reacutesultats expeacuterimentales en tenant compte des erreurs

provenant de la mesure lors de lrsquoexpeacuterimentation

III2 Valeurs expeacuterimentales

Dans cette expeacuterience nous allons prendre lrsquointensiteacute de la pesanteur g = 10Nkg Lrsquointensiteacute de la

force exerceacutee en un point de contact entre le fil et la reacuteglette est donneacutee par le tableau suivant

Masse (en Kg)

0050

0100

0150

0200

0250

0300

Intensiteacute de la force ou

(en N)

0500

1000

1500

2000

2500

3000

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous

17

Le tableau ci-dessous donne les valeurs correspondantes agrave chaque mesure

Mesure Mesure ndeg1 Mesure ndeg 2 Mesure ndeg3 Mesure ndeg4

F1 (N) 100 050 150 300

d1 (m) 004 008 008 006

F1 d1 (Nm) 004

004 012 018

F2 (N) 200 200 100 300

d2 (m) 002 002 012 006

F2 d2(Nm) 004 004 012 018

Tableau 2 Releveacute des mesures

Nous remarquons que lors de lrsquoexpeacuterimentation il existe toujours des erreurs provenant soit du

mateacuteriel drsquoexpeacuterience soit de la mesure

III3 Observation

Nous constatons que F1 ne F2 dans la condition suivante d1ned2

Nous constatons que F1d1=F2d2 lorsque la reacuteglette ne tourne pas autour de lrsquoaxe crsquoest-agrave-dire

agrave lrsquoeacutequilibre

Nous constatons que la somme algeacutebrique des moments est nulle en effet lrsquoexpeacuterience lrsquoa

montreacute

III4 Calcul drsquoerreur

Le mot erreur se reacutefegravere agrave quelque chose de juste ou de vrai On parle drsquoerreur sur une

mesure physique lorsque nous pouvons la comparer agrave une valeur de reacutefeacuterence qui peut ecirctre

consideacutereacutee comme vraie (par exemple la tempeacuterature du zeacutero absolu) Geacuteneacuteralement pour les

mesures effectueacutees au laboratoire il nrsquoest pas eacutevident de posseacuteder une valeur de reacutefeacuterence et surtout

difficile de connaicirctre la valeur exacte de la grandeur mesureacutee (par exemple longueur drsquoune barre

vitesse drsquoun projectile) Nous parlons alors drsquoincertitude Chaque grandeur mesureacutee a une certaine

incertitude

Pendant lrsquoexpeacuterience nous effectuons la mesure par des chiffres significatifs crsquoest-agrave-dire le

nombre de chiffres significatifs agrave indiquer dans un reacutesultat est eacutegalement fixeacute par le calcul des

incertitudes Tout reacutesultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs

Dans notre cas lrsquoerreur est mesureacutee agrave partir de la diffeacuterence entre la longueur du bras de levier

obtenue expeacuterimentalement et sa valeur theacuteorique Soient dexp et dtheacuteo les valeurs respectives du bras

18

de levier lrsquoune expeacuterimentale et lrsquoautre theacuteorique Et nous allons noter Δd lrsquoerreur entre les deux

valeurs

m

Nous pouvons remarquer que la mesure de lrsquointensiteacute drsquoune force preacutesente aussi une erreur Le

tableau ci-dessous repreacutesente les calculs drsquoerreur lors de prise de chaque reacutesultat

Mesure Mesure ndeg1 Erreurs Mesure ndeg 2 Erreurs Mesurendeg3 Erreurs Mesure ndeg4 Erreurs

F1(en N)

1000

0010

0500

0010

1500

0010

3000

0010

d1 (en m)

0040

0004

0080

0004

0080

0004

0060

0004

F1xd1

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

F2

(en N)

2000

0010

0020

0010

0010

0010

3000

0010

d2

(en m)

0020

0004

0020

0004

0120

0004

0060

0004

F2xd2

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure

III5 Interpreacutetation

Systegraveme la reacuteglette

Bilan des forces appliqueacutees

Son poids

La reacuteaction de lrsquoaxe

Δd = dexp - dtheacuteo

19

Les deux forces et

(tension des fils)

Reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire

Evaluation des moments des forces choisir le sens positif dans le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre

Les moments de la reacuteaction de lrsquoaxe et le poids sont nul car les droites drsquoaction de ces deux

forces couplent lrsquoaxe de rotation

Le moment de la force MΔ (

)= - M1gd1

Le moment de la force MΔ (

)= M2gd2

A lrsquoeacutequilibre lrsquoeacutetude expeacuterimentale simple va nous permettre de preacuteciser quantitativement que

lrsquoeffet de rotation de la force sur la reacuteglette et lrsquoeffet de rotation de la force

sont eacutegaux Et

son poids et la reacuteaction de lrsquoaxe nrsquoont pas drsquoeffet de rotation

Donc MΔ ( ) = MΔ (

)

MΔ ( ) + MΔ (

)= 0

III2 Eacutenonceacute du theacuteoregraveme des moments

Pour mettre un solide mobile autour drsquoun axe fixe en eacutequilibre il faut que la somme des

moments par rapport agrave lrsquoaxe fixe des forces appliqueacutees qui tendent agrave le faire tourner dans un sens

positif est eacutegale agrave la somme des moments par rapport agrave lrsquoaxe des forces qui tendent agrave le faire tourner

dans le sens neacutegatif

Enonceacute du theacuteoregraveme des moments laquo Dans le reacutefeacuterentiel terrestre lorsqursquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe est en eacutequilibre la somme algeacutebrique des moments par rapport agrave cet axe

de toutes les forces exteacuterieures appliqueacutees agrave ce solide est nulle raquo

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe [10] [15] [16]

Un solide mobile autour dun axe fixe est en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre si nous avons

La somme vectorielle des forces exteacuterieures est nulle sum crsquoest-agrave-dire immobiliteacute

du centre dinertie G

La somme algeacutebrique des moments des forces exteacuterieures par rapport agrave laxe est nulle

20

sum crsquoest-agrave-dire en absence de mouvement de rotation

Il faut remarquer que ces conditions sont neacutecessaires mais non suffisantes Elles sont neacutecessairement

veacuterifieacutees srsquoil y a un eacutequilibre Elles ne sont suffisantes pour pouvoir affirmer qursquoun systegraveme est au

repos

21

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX

Dans cette partie nous inteacuteressons sur lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel expeacuterimental concernant

lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe Elle est consacreacutee agrave la preacutesentation des travaux

que nous avons effectueacutes Premiegraverement pour lrsquoeacutetude du moment drsquoune force crsquoest une reacuteglette

mobile et sans frottement appreacuteciable autour drsquoun axe fixe horizontale (Δ) passant par son centre de

graviteacute Deuxiegravemement dans le cas du theacuteoregraveme des moments nous disposons drsquoun mecircme mateacuteriel

drsquoexpeacuterimental

Dans le programme officiel de la classe de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours

un problegraveme drsquoexpeacuterience Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer des mateacuteriels didactiques afin

drsquoapporter notre part dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide

mobile autour drsquoun axe fixe Nous pouvons donc eacutelaborer un mateacuteriel expeacuterimental comme lrsquoindique

le scheacutema suivant

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

I Regravegles de Seacutecuriteacute dans un atelier [17]

Seule les personnes ayant suivi la formation obligatoire sont autoriseacutees agrave travailler dans un

atelier

22

Le port des lunettes de seacutecuriteacute est obligatoire lors de lrsquoutilisation des machines fixes et

portatives

Les masques anti-poussiegraveres sont recommandeacutes pour des travaux poussieacutereux par exemple le

ponccedilage

Une tenue approprieacutee au travail drsquoatelier est exigeacutee Les pieds nus et sandales sont interdits

Enlever tout objet pouvant srsquoaccrocher agrave une machine en marchethinsp montres bijoux fils

drsquoeacutecouteurs eacutecharpes etc Les manches longues doivent ecirctre enrouleacutees les cheveux longs

attacheacutes

Pour raisons de seacutecuriteacute et de santeacute il est interdit de fumer boire ou manger dans lrsquoatelier

Il est interdit drsquoutiliser les machines sous lrsquoinfluence drsquoalcool ou de drogue (y compris

certains meacutedicaments sous ordonnance)

Utiliser les outils approprieacutes au travail agrave exeacutecuter En cas drsquoheacutesitation sur la technique ou

lrsquooutil agrave utiliser pour entreprendre quelque chose il est interdit de commencer sans se

renseigner aupregraves du personnel responsable

Travailler drsquoune faccedilon ordonneacutee Avant de quitter lrsquoatelier il est conseilleacute de mettre de lrsquoordre

sur la table de travail et les outilsthinsp mettre les deacutechets hors de vue dans les containers

approprieacutes

Lire comprendre et appliquer les regravegles drsquoutilisation des machines avant de commencer

Pendant le travail regarder constamment ougrave sont vos doigts Garder ses doigts loin des outils

coupants et en dehors de la ldquozone drsquoactionrdquo des machines

Ne laisser jamais tourner une machine sans surveillance

Ne reacutegler jamais une machine en marche Arrecircter la machine et attendez son arrecirct complet

Deacutebrancher les machines portatives pour le changement des lames

Nettoyer les machines apregraves chaque usage

Les accidents arrivent souvent lorsque lrsquoon est presseacute ou par manque de concentration

La fatigue le stress et lrsquoalcool sont des multiplicateurs de risque

Lire attentivement les pictogrammes de chaque outil

II Fabrication drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe [11]

Il y a plusieurs mateacuteriels drsquoexpeacuteriences qui illustrent le moment drsquoune force par rapport agrave un axe

fixe et le theacuteoregraveme des moments Parmi eux nous allons fabriquer une reacuteglette en bois de sapin

23

II1 Outils utiliseacutes [19]

Les outils neacutecessaires sont donneacutes par le tableau suivant

Outils utiliseacutes Photo Actions

Une scie agrave ruban

Deacutecouper une planche en

forme ronde ou autre

Une scie circulaire

Transformer les bois en bois

carreacute drsquoarrecirct bien deacutefini

Une perceuse

Percer un trou

Une raboteuse

Lisser

Un compas

Tracer un cercle

24

Une Ponceuse

Lisser

Une scie

Deacutecouper lineacuteairement une

planche

des marteaux

servant par exemple agrave enfoncer

un clou

Un pinceau

Colorer en vernis les mateacuteriels

fabriqueacutes

Un stylo bleu

Marquer des lignes ou des trous

Une eacutequerre

- instrument servant agrave repeacuterer

une perpendiculaire

- pour veacuterifier des angles

diegravedres droits soit pour tracer

des angles plans droits

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et le support

2

permettent de former lrsquoesprit scientifique un raisonnement scientifique et la pratique drsquoune

deacutemarche expeacuterimentale

Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer un mateacuteriel didactique afin drsquoapporter notre part

dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun

axe fixe Lrsquoanalyse de lrsquoenseignement des sciences physiques dans la classe de seconde incite agrave

mettre en œuvre les meacutethodes expeacuterimentales en favorisant la participation des eacutelegraveves agrave la

construction du cours Nous reacutealisons un projet visant agrave eacutelaborer un mateacuteriel didactique permettant

aux eacutelegraveves de bien saisir la deacutefinition et lrsquoeffet du moment drsquoune force par rapport agrave un axe fixe et le

theacuteoregraveme des moments

Ce meacutemoire comporte trois parties principales

La premiegravere traite des eacuteleacutements theacuteoriques sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

Dans cette eacutetude nous allons eacutetudier lrsquoeffet drsquoune force sur la rotation drsquoun solide le moment

drsquoune force orthogonale agrave lrsquoaxe de rotation le moment drsquoune force quelconque par rapport agrave lrsquoaxe

de rotation le theacuteoregraveme des moments et les conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe

La deuxiegraveme porte essentiellement agrave lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience Cette partie est

deacutedieacutee agrave la preacutesentation des travaux que nous avons effectueacutes travaux relatifs agrave lrsquoeacutelaboration de

mateacuteriel didactique pour lrsquoenseignementapprentissage afin drsquoeacutetablir les conditions geacuteneacuterales

drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

La troisiegraveme partie terminera le travail par des applications peacutedagogiques Cette partie contient

deux fiches peacutedagogiques concernant le moment drsquoune force par rapport agrave un axe fixe et le

theacuteoregraveme des moments Pour exploiter ce mateacuteriel dans une seacuteance drsquoenseignement nous

eacutetablissons deux fiches de travaux pratiques dont lrsquoune pour lrsquoenseignant et lrsquoautre pour lrsquoeacutelegraveve

3

PREMIERE PARTIE REPERES THEORIQUES

Notre objectif dans cette partie consiste agrave eacutevaluer theacuteoriquement lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe par rapport agrave un reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire Drsquoabord dans un premier temps

nous allons entamer ce qursquoon attend par un mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe

Ensuite des expeacuteriences qui illustrent lrsquoeacutetude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun

axe Puis apregraves ces expeacuteriences nous deacutefinissons une nouvelle grandeur physique Enfin une

derniegravere expeacuterience srsquoadresse sur le theacuteoregraveme des moments et en guise de conclusion eacutetablir les

conditions drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

I Mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe [13] [14]

I1 Deacutefinition

Un solide mobile est animeacute dun mouvement de rotation autour dun axe fixe si les points du

solide situeacutes sur lrsquoaxe de rotation sont immobiles et les autres points du solide deacutecrivent des

trajectoires circulaires ou des arcs de cercle dans un plan perpendiculaire agrave lrsquoaxe et centreacutes sur lrsquoaxe

de rotation Pendant la dureacutee Δt tous les points du solide tournent drsquoun mecircme angle α dans un sens

bien deacutefini

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide

Les points M et N sont immobiles tandis que les points A et B sont mobiles et deacutecrivent des

trajectoires circulaires

4

I2 Vitesse angulaire

I21 Cas drsquoun point du solide

On considegravere le mouvement de rotation drsquoune porte autour drsquoun axe (Δ) passant par ses

gonds Soit un point M appartenant agrave cette porte autre que les points de contact entre les gonds et la

porte Le mouvement du point M est un mouvement de rotation autour de lrsquoaxe (Δ) Ainsi la

trajectoire du point M est un arc de cercle de rayon R Le mouvement du point M est circulaire

Entre deux instants t1 et t2 le point M deacutecrit un arc de cercle avec un deacuteplacement angulaire de

mesure α

S

La relation entre lrsquoarc de cercle S et lrsquoangle α est

Avec - angle de rotation en rad mrad m rad

- R distance entre le point M et lrsquoaxe de rotation en megravetre

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire moyenne que lrsquoon note ω m comme le rapport entre

lrsquoangle de rotation exprimeacute en rad et la dureacutee du parcours Δt exprimeacutee en seconde

rad

rads

s

Avec Δα deacuteplacement angulaire effectueacute entre les deux positions angulaires 1 et 2

exprimeacutee en radian (rad)

Δt dureacutee du parcours exprimeacutee en seconde (s)

Wm vitesse angulaire moyenne exprimeacutee en rads

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 S

5

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire instantaneacutee comme la vitesse angulaire agrave un instant donneacute

Nous eacutevaluons en calculant la vitesse angulaire moyenne pendant un intervalle de temps tregraves court

noteacute dt encadrant lrsquoinstant t consideacutereacute

On note w(t)

rad

rads

s

I22 Cas du solide

Consideacuterons la porte tous les points de la porte tournent du mecircme angle α pendant la mecircme

dureacutee En conseacutequence tous les points de la porte ont agrave chaque instant la mecircme vitesse angulaire

ω(t)

Tous les points drsquoun solide en rotation autour drsquoun axe fixe ont agrave chaque instant la mecircme

vitesse angulaire ω(t) crsquoest la vitesse angulaire du solide Nous avons remarqueacute que tous les points

du solide ont agrave chaque instant la mecircme vitesse de rotation mais ils nrsquoont pas geacuteneacuteralement la mecircme

vitesse lineacuteaire

I3 Le mouvement de rotation uniforme

I31 Deacutefinition

Un solide est en mouvement de rotation uniforme si sa vitesse angulaire est constante au cours

du temps ω m = ω (t) = ω

I32 Exemple drsquoun mouvement de rotation

La Terre est animeacutee drsquoun mouvement de rotation uniforme autour de lrsquoaxe des pocircles Ce

mouvement est peacuteriodique La dureacutee pour effectuer un tour complet est appeleacutee peacuteriode que lrsquoon

note T Pour la Terre T = 86164 s peacuteriode de rotation autour de lrsquoaxe des pocircles dans le reacutefeacuterentiel

geacuteocentrique La vitesse angulaire de la Terre est donneacutee par lrsquoexpression ci-dessous

rads rad

s

w(t)=

Avec dα Deacuteplacement angulaire infiniteacutesimal

dt Temps infiniteacutesimal

w(t) Vitesse angulaire agrave lrsquoinstant t

Avec Δα 2 rad

Δt T

6

AN w=

= 7310

-5 rads

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe [03][07][08][09][10]

II1 Importance de la direction de la force

a) Expeacuteriences et observations

Expeacuterience ndeg 1

Consideacuterons la porte drsquoune salle de classe agrave cause des gonds qui la soutiennent le seul

mouvement qursquoelle puisse prendre est un mouvement de rotation autour drsquoun axe vertical fixe

joignant les gonds Pour faire tourner la porte autour de cet axe nous devons lui appliquer une force

exerceacutee au poignet de cette porte une force perpendiculaire au plan de la porte par exemple

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte

Observation

Nous observons que la force fait tourner la porte autour de lrsquoaxe de rotation La porte tourne

autour de lrsquoaxe des gonds

Expeacuterience ndeg 2

Si nous appliquons une force verticale sur le poignet crsquoest-agrave-dire parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation

7

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe

Observation

Nous observons que la force nrsquoa aucun effet sur la porte Cette derniegravere reste immobile

Expeacuterience ndeg 3

Tirer horizontalement et perpendiculaire agrave lrsquoaxe de rotation la porte sur le poignet avec une force

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte

Observation

Nous observons que la force nrsquoa non plus aucun effet de rotation La porte est resteacutee immobile

8

Expeacuterience ndeg 4

Exerccedilons maintenant une force inclineacutee dont la droite drsquoaction rencontre eacutegalement lrsquoaxe

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte

Observation

Nous constatons que la force ne produit aucun effet de rotation sur la porte

b) Conclusion

Une force dont la droite drsquoaction est agrave la fois perpendiculaire et distante de lrsquoaxe de rotation a un

effet de rotation sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe

Une force dont la droite drsquoaction est parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation a un effet de rotation nul

Une force dont la droite drsquoaction rencontre lrsquoaxe de rotation nrsquoa aucun effet de rotation

II2 Importance de la distance de la droite drsquoaction de la force agrave lrsquoaxe de rotation et lrsquointensiteacute de

la force [02] [04] [05] [07]

a) Expeacuterience

Exerccedilons successivement deux forces et drsquointensiteacutes diffeacuterentes et perpendiculaires agrave la

porte Les points drsquoapplications de ces forces sont totalement diffeacuterents

9

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de

rotation et lintensiteacute de la force

b) Observation

Nous avons pris d1 infeacuterieure agrave d2 nous constatons que pour faire tourner la porte en mecircme effet

on applique plus de force pour la distance d1 par rapport agrave celle de la distance d2

Conclusion

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est petite alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus grande pour avoir le mecircme effet de rotation

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est grande alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus petite pour avoir le mecircme effet de rotation

II3 Moment drsquoune force par rapport agrave un axe [01] [02] [03] [06] [09] [10]

Les expeacuteriences preacuteceacutedentes montrent que lrsquoeffet dynamique drsquoune force sur un corps introduit

une nouvelle grandeur physique invariante agrave chaque eacutequilibre crsquoest laquo le moment drsquoune force

constante par rapport agrave un axe fixe raquo

Ce qui importe cette grandeur caracteacuterise lrsquoeffet de la force sur un solide capable de tourner autour

drsquoun axe Certes deux forces agissent sur un solide et ayant le mecircme moment par rapport agrave lrsquoaxe

auront le mecircme effet

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force

Lrsquointensiteacute du moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave lrsquoaxe consideacutereacute est eacutegale au produit de

son intensiteacute par la distance de lrsquoaxe agrave la droite drsquoaction de la force

Notation MΔ ( )

119813120783

10

m (eacutequation I )

N

Avec - MΔ( ) Moment de la force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ)

- F Intensiteacute de la force

- d Distance entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe de rotation (Δ) La distance laquo d raquo

srsquoappelle bras de levier

Dans le systegraveme international cette grandeur se mesure en newton-megravetre (Nm)

ATTENTIONS

Il faut toujours preacuteciser lrsquoaxe de rotation

Ne pas confondre les uniteacutes newton-megravetre Nm et mN un sous multiple de Newton

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire agrave la fois agrave la droite drsquoaction de la

force et agrave lrsquoaxe de rotation

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaisseacutee depuis le centre de rotation sur la droite

drsquoaction de la force Le pouvoir de laquo rotation raquo deacutepend donc de la position relative du point

drsquoapplication de la force et du centre de rotation consideacutereacute

Figure 8 Bras de levier d

Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonomeacutetrie dans le triangle rectangle ABC drsquohypoteacutenuse

AB= l

MΔ ( ) = F x d

11

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier

Le bras de levier d peut ecirctre deacutetermineacute connaissant

La distance l entre le point drsquoapplication de la force et lrsquoaxe de rotation

Lrsquoangle α formeacute par la droite drsquoaction de la force et la droite passant par lrsquoaxe de rotation et le

point drsquoapplication de la force

Ce qui permet drsquoeacutetablir d = l middot sin(α)

Si lrsquoangle formeacute est de 90deg alors sin (90deg) = 1 Lrsquoexpression du moment drsquoune force est reacuteduite agrave

lrsquoeacutequation I

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Consideacuterons une regravegle AB munie de plusieurs trous permettant drsquoaccrocher un corps (C) de masse

donneacutee et un dynamomegravetre en diffeacuterents points La regravegle AB est mobile autour drsquoun axe horizontal

passant par son milieu O

Vers lrsquoextreacutemiteacute B de la regravegle suspendons le corps (C) Entraicircneacutee par le poids du corps (C) la regravegle prend

alors la position verticale

Pour amener la regravegle dans sa position horizontale on exerce sur sa partie OA une force verticale

orienteacutee vers le bas Nous pouvons mesurer lrsquointensiteacute de F rsquo au moyen drsquoun dynamomegravetre

A O B

M

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe

Observation

A

C

B

12

Nous observons que plus la distance drsquo= OM est grande plus la force a une intensiteacute petite mais le

produit Frsquoxdrsquo reste constant

Nm N m

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Cas dune force non orthogonale ou inclineacutee drsquoun angle quelconque θ Si nous inclinons la droite

drsquoaction de la force sans changer son point drsquoapplication celle-ci doit ecirctre plus forte en intensiteacute pour

produire le mecircme effet Soit F sa nouvelle intensiteacute et d la nouvelle distance de lrsquoaxe de rotation agrave la

droite drsquoaction de

A O B

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie

Observation

Nous observons que le produit Fxd possegravede la mecircme valeur que lorsque la force est perpendiculaire agrave

(OA) en M La force peut tourner la reacuteglette dans un sens Elle admet un moment par rapport agrave cet

axe mais son bras de levier pose un problegraveme

Deacutetermination drsquoun moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Deacutecomposer la force en deux forces orthogonales dont la droite drsquoaction de lrsquoune est parallegravele agrave

lrsquoaxe et la droite drsquoaction de lrsquoautre coupe lrsquoaxe

13

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales

=

MΔ ( ) = MΔ ( ) + MΔ ( )

Nous allons choisir le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre comme sens positif arbitraire de rotation La

droite drsquoaction de la force coupe lrsquoaxe de rotation ( ) donc le moment de cette force est nul

MΔ ( ) = 0

MΔ ( ) = MΔ ( )

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - Frsquorsquo x d Car la force fait tourner le solide dans le sens contraire

Deacutetermination de la longueur d et lrsquointensiteacute de la force

Drsquoapregraves la figure ci- dessus nous avons

sin

d OM

F F

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - F x sin (θ) x OM

Nm N degreacute m

MΔ () = - FxsinθxOM

14

II35 Moment drsquoun couple de force

Deacutefinition drsquoun couple de forces

Un systegraveme de deux forces parallegraveles de sens contraires de mecircme intensiteacute et nrsquoayant pas le

mecircme support constitue un couple parfait

Couple (

) signifie support diffeacuterentes et

=

Les supports des forces deacutefinissent un plan P appeleacute plan du couple

Figure 13 Couple des forces

Moment drsquoun couple

Consideacuterons un couple de forces appliqueacute agrave un disque en rotation autour drsquoun axe fixe (Δ) passant

le centre O et perpendiculaire agrave son plan Les forces sont orthogonales agrave lrsquoaxe Elles ont mecircme

intensiteacute F Les deux forces tendent agrave faire tourner le disque dans le mecircme sens les moments de ces

forces ont donc le mecircme signe positif

La somme des deux moments est appeleacutee moment du couple dont lrsquoexpression srsquoeacutecrit

Nm N m

Avec d eacutetant la distance entre les supports des forces

Le moment drsquoun couple des forces de mecircmes intensiteacutes par rapport agrave un axe perpendiculaire au plan

du couple est mesureacute par le produit de lrsquointensiteacute commune des deux forces par la distance entre leur

support

15

II36 Choix du sens positif du mouvement

Expeacuterience

Utilisons une reacuteglette de longueur 30 centimegravetres mobile autour drsquoun axe horizontal passant par

un point O La force tend agrave faire tourner la reacuteglette dans un sens tandis que la force

tend agrave

faire tourner dans lrsquoautre sens Pour marquer cette diffeacuterence nous choisissons arbitrairement un sens

positif de rotation autour de lrsquoaxe

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement

Observation

fait tourner la reacuteglette dans le sens positif Alors le moment de cette force

sera pris

positivement

fait tourner la reacuteglette dans le sens neacutegatif Alors le moment de cette force

aura une valeur

neacutegative

Une force admet un moment nul quand la droite drsquoaction de est parallegravele ou coupe lrsquoaxe

Conclusion

Il est impeacuteratif drsquoattribuer un signe au moment de la force Le moment drsquoune force est une grandeur

algeacutebrique il peut ecirctre positif ou neacutegatif

III Theacuteoregraveme des moments [01] [06] [07] [09] [10] [12] [13] [15]

III1 Expeacuterience

Le dispositif expeacuterimental est une reacuteglette AB consideacutereacutee comme une barre rigide perceacutee de

plusieurs trous auxquels nous pouvons suspendre des masses agrave lrsquoaide des fils inextensibles et de

masses neacutegligeables Chaque trou correspond un point de contact entre le fil et la barre La reacuteglette

16

de longueur L = 30 cm est mobile sans frottement autour drsquoun axe ( ) horizontal passant par son

centre de graviteacute Elle tourne sous lrsquoaction de la tension des fils

Masse M1 Masse M2

Nous appliquons agrave la barre deux forces =

et

agrave lrsquoaide de deux fils tendus par des

masses marqueacutees M1 et M2 Les intensiteacutes F1 et F2 sont connues si la barre est en eacutequilibre en

utilisant les relations suivantes F1 =M1g et F2= M2g Faisons varier les deux masses M1 et M2 ce qui

entraine les diffeacuterentes valeurs des intensiteacutes F1 et F2 Pour chaque eacutequilibre relevons lrsquointensiteacute de

chaque force et mesurons les longueurs des bras de levier d1 et d2 correspondantes agrave lrsquoaide drsquoune

regravegle gradueacutee Lorsque le mateacuteriel ne tourne pas autour de laxe ( ) Pour maintenir horizontalement

la droite (AB) nous avons obtenu les reacutesultats expeacuterimentales en tenant compte des erreurs

provenant de la mesure lors de lrsquoexpeacuterimentation

III2 Valeurs expeacuterimentales

Dans cette expeacuterience nous allons prendre lrsquointensiteacute de la pesanteur g = 10Nkg Lrsquointensiteacute de la

force exerceacutee en un point de contact entre le fil et la reacuteglette est donneacutee par le tableau suivant

Masse (en Kg)

0050

0100

0150

0200

0250

0300

Intensiteacute de la force ou

(en N)

0500

1000

1500

2000

2500

3000

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous

17

Le tableau ci-dessous donne les valeurs correspondantes agrave chaque mesure

Mesure Mesure ndeg1 Mesure ndeg 2 Mesure ndeg3 Mesure ndeg4

F1 (N) 100 050 150 300

d1 (m) 004 008 008 006

F1 d1 (Nm) 004

004 012 018

F2 (N) 200 200 100 300

d2 (m) 002 002 012 006

F2 d2(Nm) 004 004 012 018

Tableau 2 Releveacute des mesures

Nous remarquons que lors de lrsquoexpeacuterimentation il existe toujours des erreurs provenant soit du

mateacuteriel drsquoexpeacuterience soit de la mesure

III3 Observation

Nous constatons que F1 ne F2 dans la condition suivante d1ned2

Nous constatons que F1d1=F2d2 lorsque la reacuteglette ne tourne pas autour de lrsquoaxe crsquoest-agrave-dire

agrave lrsquoeacutequilibre

Nous constatons que la somme algeacutebrique des moments est nulle en effet lrsquoexpeacuterience lrsquoa

montreacute

III4 Calcul drsquoerreur

Le mot erreur se reacutefegravere agrave quelque chose de juste ou de vrai On parle drsquoerreur sur une

mesure physique lorsque nous pouvons la comparer agrave une valeur de reacutefeacuterence qui peut ecirctre

consideacutereacutee comme vraie (par exemple la tempeacuterature du zeacutero absolu) Geacuteneacuteralement pour les

mesures effectueacutees au laboratoire il nrsquoest pas eacutevident de posseacuteder une valeur de reacutefeacuterence et surtout

difficile de connaicirctre la valeur exacte de la grandeur mesureacutee (par exemple longueur drsquoune barre

vitesse drsquoun projectile) Nous parlons alors drsquoincertitude Chaque grandeur mesureacutee a une certaine

incertitude

Pendant lrsquoexpeacuterience nous effectuons la mesure par des chiffres significatifs crsquoest-agrave-dire le

nombre de chiffres significatifs agrave indiquer dans un reacutesultat est eacutegalement fixeacute par le calcul des

incertitudes Tout reacutesultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs

Dans notre cas lrsquoerreur est mesureacutee agrave partir de la diffeacuterence entre la longueur du bras de levier

obtenue expeacuterimentalement et sa valeur theacuteorique Soient dexp et dtheacuteo les valeurs respectives du bras

18

de levier lrsquoune expeacuterimentale et lrsquoautre theacuteorique Et nous allons noter Δd lrsquoerreur entre les deux

valeurs

m

Nous pouvons remarquer que la mesure de lrsquointensiteacute drsquoune force preacutesente aussi une erreur Le

tableau ci-dessous repreacutesente les calculs drsquoerreur lors de prise de chaque reacutesultat

Mesure Mesure ndeg1 Erreurs Mesure ndeg 2 Erreurs Mesurendeg3 Erreurs Mesure ndeg4 Erreurs

F1(en N)

1000

0010

0500

0010

1500

0010

3000

0010

d1 (en m)

0040

0004

0080

0004

0080

0004

0060

0004

F1xd1

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

F2

(en N)

2000

0010

0020

0010

0010

0010

3000

0010

d2

(en m)

0020

0004

0020

0004

0120

0004

0060

0004

F2xd2

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure

III5 Interpreacutetation

Systegraveme la reacuteglette

Bilan des forces appliqueacutees

Son poids

La reacuteaction de lrsquoaxe

Δd = dexp - dtheacuteo

19

Les deux forces et

(tension des fils)

Reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire

Evaluation des moments des forces choisir le sens positif dans le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre

Les moments de la reacuteaction de lrsquoaxe et le poids sont nul car les droites drsquoaction de ces deux

forces couplent lrsquoaxe de rotation

Le moment de la force MΔ (

)= - M1gd1

Le moment de la force MΔ (

)= M2gd2

A lrsquoeacutequilibre lrsquoeacutetude expeacuterimentale simple va nous permettre de preacuteciser quantitativement que

lrsquoeffet de rotation de la force sur la reacuteglette et lrsquoeffet de rotation de la force

sont eacutegaux Et

son poids et la reacuteaction de lrsquoaxe nrsquoont pas drsquoeffet de rotation

Donc MΔ ( ) = MΔ (

)

MΔ ( ) + MΔ (

)= 0

III2 Eacutenonceacute du theacuteoregraveme des moments

Pour mettre un solide mobile autour drsquoun axe fixe en eacutequilibre il faut que la somme des

moments par rapport agrave lrsquoaxe fixe des forces appliqueacutees qui tendent agrave le faire tourner dans un sens

positif est eacutegale agrave la somme des moments par rapport agrave lrsquoaxe des forces qui tendent agrave le faire tourner

dans le sens neacutegatif

Enonceacute du theacuteoregraveme des moments laquo Dans le reacutefeacuterentiel terrestre lorsqursquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe est en eacutequilibre la somme algeacutebrique des moments par rapport agrave cet axe

de toutes les forces exteacuterieures appliqueacutees agrave ce solide est nulle raquo

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe [10] [15] [16]

Un solide mobile autour dun axe fixe est en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre si nous avons

La somme vectorielle des forces exteacuterieures est nulle sum crsquoest-agrave-dire immobiliteacute

du centre dinertie G

La somme algeacutebrique des moments des forces exteacuterieures par rapport agrave laxe est nulle

20

sum crsquoest-agrave-dire en absence de mouvement de rotation

Il faut remarquer que ces conditions sont neacutecessaires mais non suffisantes Elles sont neacutecessairement

veacuterifieacutees srsquoil y a un eacutequilibre Elles ne sont suffisantes pour pouvoir affirmer qursquoun systegraveme est au

repos

21

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX

Dans cette partie nous inteacuteressons sur lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel expeacuterimental concernant

lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe Elle est consacreacutee agrave la preacutesentation des travaux

que nous avons effectueacutes Premiegraverement pour lrsquoeacutetude du moment drsquoune force crsquoest une reacuteglette

mobile et sans frottement appreacuteciable autour drsquoun axe fixe horizontale (Δ) passant par son centre de

graviteacute Deuxiegravemement dans le cas du theacuteoregraveme des moments nous disposons drsquoun mecircme mateacuteriel

drsquoexpeacuterimental

Dans le programme officiel de la classe de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours

un problegraveme drsquoexpeacuterience Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer des mateacuteriels didactiques afin

drsquoapporter notre part dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide

mobile autour drsquoun axe fixe Nous pouvons donc eacutelaborer un mateacuteriel expeacuterimental comme lrsquoindique

le scheacutema suivant

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

I Regravegles de Seacutecuriteacute dans un atelier [17]

Seule les personnes ayant suivi la formation obligatoire sont autoriseacutees agrave travailler dans un

atelier

22

Le port des lunettes de seacutecuriteacute est obligatoire lors de lrsquoutilisation des machines fixes et

portatives

Les masques anti-poussiegraveres sont recommandeacutes pour des travaux poussieacutereux par exemple le

ponccedilage

Une tenue approprieacutee au travail drsquoatelier est exigeacutee Les pieds nus et sandales sont interdits

Enlever tout objet pouvant srsquoaccrocher agrave une machine en marchethinsp montres bijoux fils

drsquoeacutecouteurs eacutecharpes etc Les manches longues doivent ecirctre enrouleacutees les cheveux longs

attacheacutes

Pour raisons de seacutecuriteacute et de santeacute il est interdit de fumer boire ou manger dans lrsquoatelier

Il est interdit drsquoutiliser les machines sous lrsquoinfluence drsquoalcool ou de drogue (y compris

certains meacutedicaments sous ordonnance)

Utiliser les outils approprieacutes au travail agrave exeacutecuter En cas drsquoheacutesitation sur la technique ou

lrsquooutil agrave utiliser pour entreprendre quelque chose il est interdit de commencer sans se

renseigner aupregraves du personnel responsable

Travailler drsquoune faccedilon ordonneacutee Avant de quitter lrsquoatelier il est conseilleacute de mettre de lrsquoordre

sur la table de travail et les outilsthinsp mettre les deacutechets hors de vue dans les containers

approprieacutes

Lire comprendre et appliquer les regravegles drsquoutilisation des machines avant de commencer

Pendant le travail regarder constamment ougrave sont vos doigts Garder ses doigts loin des outils

coupants et en dehors de la ldquozone drsquoactionrdquo des machines

Ne laisser jamais tourner une machine sans surveillance

Ne reacutegler jamais une machine en marche Arrecircter la machine et attendez son arrecirct complet

Deacutebrancher les machines portatives pour le changement des lames

Nettoyer les machines apregraves chaque usage

Les accidents arrivent souvent lorsque lrsquoon est presseacute ou par manque de concentration

La fatigue le stress et lrsquoalcool sont des multiplicateurs de risque

Lire attentivement les pictogrammes de chaque outil

II Fabrication drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe [11]

Il y a plusieurs mateacuteriels drsquoexpeacuteriences qui illustrent le moment drsquoune force par rapport agrave un axe

fixe et le theacuteoregraveme des moments Parmi eux nous allons fabriquer une reacuteglette en bois de sapin

23

II1 Outils utiliseacutes [19]

Les outils neacutecessaires sont donneacutes par le tableau suivant

Outils utiliseacutes Photo Actions

Une scie agrave ruban

Deacutecouper une planche en

forme ronde ou autre

Une scie circulaire

Transformer les bois en bois

carreacute drsquoarrecirct bien deacutefini

Une perceuse

Percer un trou

Une raboteuse

Lisser

Un compas

Tracer un cercle

24

Une Ponceuse

Lisser

Une scie

Deacutecouper lineacuteairement une

planche

des marteaux

servant par exemple agrave enfoncer

un clou

Un pinceau

Colorer en vernis les mateacuteriels

fabriqueacutes

Un stylo bleu

Marquer des lignes ou des trous

Une eacutequerre

- instrument servant agrave repeacuterer

une perpendiculaire

- pour veacuterifier des angles

diegravedres droits soit pour tracer

des angles plans droits

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et le support

3

PREMIERE PARTIE REPERES THEORIQUES

Notre objectif dans cette partie consiste agrave eacutevaluer theacuteoriquement lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe par rapport agrave un reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire Drsquoabord dans un premier temps

nous allons entamer ce qursquoon attend par un mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe

Ensuite des expeacuteriences qui illustrent lrsquoeacutetude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun

axe Puis apregraves ces expeacuteriences nous deacutefinissons une nouvelle grandeur physique Enfin une

derniegravere expeacuterience srsquoadresse sur le theacuteoregraveme des moments et en guise de conclusion eacutetablir les

conditions drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe

I Mouvement de rotation drsquoun solide autour drsquoun axe fixe [13] [14]

I1 Deacutefinition

Un solide mobile est animeacute dun mouvement de rotation autour dun axe fixe si les points du

solide situeacutes sur lrsquoaxe de rotation sont immobiles et les autres points du solide deacutecrivent des

trajectoires circulaires ou des arcs de cercle dans un plan perpendiculaire agrave lrsquoaxe et centreacutes sur lrsquoaxe

de rotation Pendant la dureacutee Δt tous les points du solide tournent drsquoun mecircme angle α dans un sens

bien deacutefini

Figure 1 Mouvement de rotation drsquoun solide

Les points M et N sont immobiles tandis que les points A et B sont mobiles et deacutecrivent des

trajectoires circulaires

4

I2 Vitesse angulaire

I21 Cas drsquoun point du solide

On considegravere le mouvement de rotation drsquoune porte autour drsquoun axe (Δ) passant par ses

gonds Soit un point M appartenant agrave cette porte autre que les points de contact entre les gonds et la

porte Le mouvement du point M est un mouvement de rotation autour de lrsquoaxe (Δ) Ainsi la

trajectoire du point M est un arc de cercle de rayon R Le mouvement du point M est circulaire

Entre deux instants t1 et t2 le point M deacutecrit un arc de cercle avec un deacuteplacement angulaire de

mesure α

S

La relation entre lrsquoarc de cercle S et lrsquoangle α est

Avec - angle de rotation en rad mrad m rad

- R distance entre le point M et lrsquoaxe de rotation en megravetre

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire moyenne que lrsquoon note ω m comme le rapport entre

lrsquoangle de rotation exprimeacute en rad et la dureacutee du parcours Δt exprimeacutee en seconde

rad

rads

s

Avec Δα deacuteplacement angulaire effectueacute entre les deux positions angulaires 1 et 2

exprimeacutee en radian (rad)

Δt dureacutee du parcours exprimeacutee en seconde (s)

Wm vitesse angulaire moyenne exprimeacutee en rads

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 S

5

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire instantaneacutee comme la vitesse angulaire agrave un instant donneacute

Nous eacutevaluons en calculant la vitesse angulaire moyenne pendant un intervalle de temps tregraves court

noteacute dt encadrant lrsquoinstant t consideacutereacute

On note w(t)

rad

rads

s

I22 Cas du solide

Consideacuterons la porte tous les points de la porte tournent du mecircme angle α pendant la mecircme

dureacutee En conseacutequence tous les points de la porte ont agrave chaque instant la mecircme vitesse angulaire

ω(t)

Tous les points drsquoun solide en rotation autour drsquoun axe fixe ont agrave chaque instant la mecircme

vitesse angulaire ω(t) crsquoest la vitesse angulaire du solide Nous avons remarqueacute que tous les points

du solide ont agrave chaque instant la mecircme vitesse de rotation mais ils nrsquoont pas geacuteneacuteralement la mecircme

vitesse lineacuteaire

I3 Le mouvement de rotation uniforme

I31 Deacutefinition

Un solide est en mouvement de rotation uniforme si sa vitesse angulaire est constante au cours

du temps ω m = ω (t) = ω

I32 Exemple drsquoun mouvement de rotation

La Terre est animeacutee drsquoun mouvement de rotation uniforme autour de lrsquoaxe des pocircles Ce

mouvement est peacuteriodique La dureacutee pour effectuer un tour complet est appeleacutee peacuteriode que lrsquoon

note T Pour la Terre T = 86164 s peacuteriode de rotation autour de lrsquoaxe des pocircles dans le reacutefeacuterentiel

geacuteocentrique La vitesse angulaire de la Terre est donneacutee par lrsquoexpression ci-dessous

rads rad

s

w(t)=

Avec dα Deacuteplacement angulaire infiniteacutesimal

dt Temps infiniteacutesimal

w(t) Vitesse angulaire agrave lrsquoinstant t

Avec Δα 2 rad

Δt T

6

AN w=

= 7310

-5 rads

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe [03][07][08][09][10]

II1 Importance de la direction de la force

a) Expeacuteriences et observations

Expeacuterience ndeg 1

Consideacuterons la porte drsquoune salle de classe agrave cause des gonds qui la soutiennent le seul

mouvement qursquoelle puisse prendre est un mouvement de rotation autour drsquoun axe vertical fixe

joignant les gonds Pour faire tourner la porte autour de cet axe nous devons lui appliquer une force

exerceacutee au poignet de cette porte une force perpendiculaire au plan de la porte par exemple

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte

Observation

Nous observons que la force fait tourner la porte autour de lrsquoaxe de rotation La porte tourne

autour de lrsquoaxe des gonds

Expeacuterience ndeg 2

Si nous appliquons une force verticale sur le poignet crsquoest-agrave-dire parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation

7

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe

Observation

Nous observons que la force nrsquoa aucun effet sur la porte Cette derniegravere reste immobile

Expeacuterience ndeg 3

Tirer horizontalement et perpendiculaire agrave lrsquoaxe de rotation la porte sur le poignet avec une force

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte

Observation

Nous observons que la force nrsquoa non plus aucun effet de rotation La porte est resteacutee immobile

8

Expeacuterience ndeg 4

Exerccedilons maintenant une force inclineacutee dont la droite drsquoaction rencontre eacutegalement lrsquoaxe

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte

Observation

Nous constatons que la force ne produit aucun effet de rotation sur la porte

b) Conclusion

Une force dont la droite drsquoaction est agrave la fois perpendiculaire et distante de lrsquoaxe de rotation a un

effet de rotation sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe

Une force dont la droite drsquoaction est parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation a un effet de rotation nul

Une force dont la droite drsquoaction rencontre lrsquoaxe de rotation nrsquoa aucun effet de rotation

II2 Importance de la distance de la droite drsquoaction de la force agrave lrsquoaxe de rotation et lrsquointensiteacute de

la force [02] [04] [05] [07]

a) Expeacuterience

Exerccedilons successivement deux forces et drsquointensiteacutes diffeacuterentes et perpendiculaires agrave la

porte Les points drsquoapplications de ces forces sont totalement diffeacuterents

9

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de

rotation et lintensiteacute de la force

b) Observation

Nous avons pris d1 infeacuterieure agrave d2 nous constatons que pour faire tourner la porte en mecircme effet

on applique plus de force pour la distance d1 par rapport agrave celle de la distance d2

Conclusion

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est petite alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus grande pour avoir le mecircme effet de rotation

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est grande alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus petite pour avoir le mecircme effet de rotation

II3 Moment drsquoune force par rapport agrave un axe [01] [02] [03] [06] [09] [10]

Les expeacuteriences preacuteceacutedentes montrent que lrsquoeffet dynamique drsquoune force sur un corps introduit

une nouvelle grandeur physique invariante agrave chaque eacutequilibre crsquoest laquo le moment drsquoune force

constante par rapport agrave un axe fixe raquo

Ce qui importe cette grandeur caracteacuterise lrsquoeffet de la force sur un solide capable de tourner autour

drsquoun axe Certes deux forces agissent sur un solide et ayant le mecircme moment par rapport agrave lrsquoaxe

auront le mecircme effet

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force

Lrsquointensiteacute du moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave lrsquoaxe consideacutereacute est eacutegale au produit de

son intensiteacute par la distance de lrsquoaxe agrave la droite drsquoaction de la force

Notation MΔ ( )

119813120783

10

m (eacutequation I )

N

Avec - MΔ( ) Moment de la force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ)

- F Intensiteacute de la force

- d Distance entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe de rotation (Δ) La distance laquo d raquo

srsquoappelle bras de levier

Dans le systegraveme international cette grandeur se mesure en newton-megravetre (Nm)

ATTENTIONS

Il faut toujours preacuteciser lrsquoaxe de rotation

Ne pas confondre les uniteacutes newton-megravetre Nm et mN un sous multiple de Newton

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire agrave la fois agrave la droite drsquoaction de la

force et agrave lrsquoaxe de rotation

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaisseacutee depuis le centre de rotation sur la droite

drsquoaction de la force Le pouvoir de laquo rotation raquo deacutepend donc de la position relative du point

drsquoapplication de la force et du centre de rotation consideacutereacute

Figure 8 Bras de levier d

Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonomeacutetrie dans le triangle rectangle ABC drsquohypoteacutenuse

AB= l

MΔ ( ) = F x d

11

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier

Le bras de levier d peut ecirctre deacutetermineacute connaissant

La distance l entre le point drsquoapplication de la force et lrsquoaxe de rotation

Lrsquoangle α formeacute par la droite drsquoaction de la force et la droite passant par lrsquoaxe de rotation et le

point drsquoapplication de la force

Ce qui permet drsquoeacutetablir d = l middot sin(α)

Si lrsquoangle formeacute est de 90deg alors sin (90deg) = 1 Lrsquoexpression du moment drsquoune force est reacuteduite agrave

lrsquoeacutequation I

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Consideacuterons une regravegle AB munie de plusieurs trous permettant drsquoaccrocher un corps (C) de masse

donneacutee et un dynamomegravetre en diffeacuterents points La regravegle AB est mobile autour drsquoun axe horizontal

passant par son milieu O

Vers lrsquoextreacutemiteacute B de la regravegle suspendons le corps (C) Entraicircneacutee par le poids du corps (C) la regravegle prend

alors la position verticale

Pour amener la regravegle dans sa position horizontale on exerce sur sa partie OA une force verticale

orienteacutee vers le bas Nous pouvons mesurer lrsquointensiteacute de F rsquo au moyen drsquoun dynamomegravetre

A O B

M

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe

Observation

A

C

B

12

Nous observons que plus la distance drsquo= OM est grande plus la force a une intensiteacute petite mais le

produit Frsquoxdrsquo reste constant

Nm N m

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Cas dune force non orthogonale ou inclineacutee drsquoun angle quelconque θ Si nous inclinons la droite

drsquoaction de la force sans changer son point drsquoapplication celle-ci doit ecirctre plus forte en intensiteacute pour

produire le mecircme effet Soit F sa nouvelle intensiteacute et d la nouvelle distance de lrsquoaxe de rotation agrave la

droite drsquoaction de

A O B

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie

Observation

Nous observons que le produit Fxd possegravede la mecircme valeur que lorsque la force est perpendiculaire agrave

(OA) en M La force peut tourner la reacuteglette dans un sens Elle admet un moment par rapport agrave cet

axe mais son bras de levier pose un problegraveme

Deacutetermination drsquoun moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Deacutecomposer la force en deux forces orthogonales dont la droite drsquoaction de lrsquoune est parallegravele agrave

lrsquoaxe et la droite drsquoaction de lrsquoautre coupe lrsquoaxe

13

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales

=

MΔ ( ) = MΔ ( ) + MΔ ( )

Nous allons choisir le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre comme sens positif arbitraire de rotation La

droite drsquoaction de la force coupe lrsquoaxe de rotation ( ) donc le moment de cette force est nul

MΔ ( ) = 0

MΔ ( ) = MΔ ( )

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - Frsquorsquo x d Car la force fait tourner le solide dans le sens contraire

Deacutetermination de la longueur d et lrsquointensiteacute de la force

Drsquoapregraves la figure ci- dessus nous avons

sin

d OM

F F

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - F x sin (θ) x OM

Nm N degreacute m

MΔ () = - FxsinθxOM

14

II35 Moment drsquoun couple de force

Deacutefinition drsquoun couple de forces

Un systegraveme de deux forces parallegraveles de sens contraires de mecircme intensiteacute et nrsquoayant pas le

mecircme support constitue un couple parfait

Couple (

) signifie support diffeacuterentes et

=

Les supports des forces deacutefinissent un plan P appeleacute plan du couple

Figure 13 Couple des forces

Moment drsquoun couple

Consideacuterons un couple de forces appliqueacute agrave un disque en rotation autour drsquoun axe fixe (Δ) passant

le centre O et perpendiculaire agrave son plan Les forces sont orthogonales agrave lrsquoaxe Elles ont mecircme

intensiteacute F Les deux forces tendent agrave faire tourner le disque dans le mecircme sens les moments de ces

forces ont donc le mecircme signe positif

La somme des deux moments est appeleacutee moment du couple dont lrsquoexpression srsquoeacutecrit

Nm N m

Avec d eacutetant la distance entre les supports des forces

Le moment drsquoun couple des forces de mecircmes intensiteacutes par rapport agrave un axe perpendiculaire au plan

du couple est mesureacute par le produit de lrsquointensiteacute commune des deux forces par la distance entre leur

support

15

II36 Choix du sens positif du mouvement

Expeacuterience

Utilisons une reacuteglette de longueur 30 centimegravetres mobile autour drsquoun axe horizontal passant par

un point O La force tend agrave faire tourner la reacuteglette dans un sens tandis que la force

tend agrave

faire tourner dans lrsquoautre sens Pour marquer cette diffeacuterence nous choisissons arbitrairement un sens

positif de rotation autour de lrsquoaxe

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement

Observation

fait tourner la reacuteglette dans le sens positif Alors le moment de cette force

sera pris

positivement

fait tourner la reacuteglette dans le sens neacutegatif Alors le moment de cette force

aura une valeur

neacutegative

Une force admet un moment nul quand la droite drsquoaction de est parallegravele ou coupe lrsquoaxe

Conclusion

Il est impeacuteratif drsquoattribuer un signe au moment de la force Le moment drsquoune force est une grandeur

algeacutebrique il peut ecirctre positif ou neacutegatif

III Theacuteoregraveme des moments [01] [06] [07] [09] [10] [12] [13] [15]

III1 Expeacuterience

Le dispositif expeacuterimental est une reacuteglette AB consideacutereacutee comme une barre rigide perceacutee de

plusieurs trous auxquels nous pouvons suspendre des masses agrave lrsquoaide des fils inextensibles et de

masses neacutegligeables Chaque trou correspond un point de contact entre le fil et la barre La reacuteglette

16

de longueur L = 30 cm est mobile sans frottement autour drsquoun axe ( ) horizontal passant par son

centre de graviteacute Elle tourne sous lrsquoaction de la tension des fils

Masse M1 Masse M2

Nous appliquons agrave la barre deux forces =

et

agrave lrsquoaide de deux fils tendus par des

masses marqueacutees M1 et M2 Les intensiteacutes F1 et F2 sont connues si la barre est en eacutequilibre en

utilisant les relations suivantes F1 =M1g et F2= M2g Faisons varier les deux masses M1 et M2 ce qui

entraine les diffeacuterentes valeurs des intensiteacutes F1 et F2 Pour chaque eacutequilibre relevons lrsquointensiteacute de

chaque force et mesurons les longueurs des bras de levier d1 et d2 correspondantes agrave lrsquoaide drsquoune

regravegle gradueacutee Lorsque le mateacuteriel ne tourne pas autour de laxe ( ) Pour maintenir horizontalement

la droite (AB) nous avons obtenu les reacutesultats expeacuterimentales en tenant compte des erreurs

provenant de la mesure lors de lrsquoexpeacuterimentation

III2 Valeurs expeacuterimentales

Dans cette expeacuterience nous allons prendre lrsquointensiteacute de la pesanteur g = 10Nkg Lrsquointensiteacute de la

force exerceacutee en un point de contact entre le fil et la reacuteglette est donneacutee par le tableau suivant

Masse (en Kg)

0050

0100

0150

0200

0250

0300

Intensiteacute de la force ou

(en N)

0500

1000

1500

2000

2500

3000

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous

17

Le tableau ci-dessous donne les valeurs correspondantes agrave chaque mesure

Mesure Mesure ndeg1 Mesure ndeg 2 Mesure ndeg3 Mesure ndeg4

F1 (N) 100 050 150 300

d1 (m) 004 008 008 006

F1 d1 (Nm) 004

004 012 018

F2 (N) 200 200 100 300

d2 (m) 002 002 012 006

F2 d2(Nm) 004 004 012 018

Tableau 2 Releveacute des mesures

Nous remarquons que lors de lrsquoexpeacuterimentation il existe toujours des erreurs provenant soit du

mateacuteriel drsquoexpeacuterience soit de la mesure

III3 Observation

Nous constatons que F1 ne F2 dans la condition suivante d1ned2

Nous constatons que F1d1=F2d2 lorsque la reacuteglette ne tourne pas autour de lrsquoaxe crsquoest-agrave-dire

agrave lrsquoeacutequilibre

Nous constatons que la somme algeacutebrique des moments est nulle en effet lrsquoexpeacuterience lrsquoa

montreacute

III4 Calcul drsquoerreur

Le mot erreur se reacutefegravere agrave quelque chose de juste ou de vrai On parle drsquoerreur sur une

mesure physique lorsque nous pouvons la comparer agrave une valeur de reacutefeacuterence qui peut ecirctre

consideacutereacutee comme vraie (par exemple la tempeacuterature du zeacutero absolu) Geacuteneacuteralement pour les

mesures effectueacutees au laboratoire il nrsquoest pas eacutevident de posseacuteder une valeur de reacutefeacuterence et surtout

difficile de connaicirctre la valeur exacte de la grandeur mesureacutee (par exemple longueur drsquoune barre

vitesse drsquoun projectile) Nous parlons alors drsquoincertitude Chaque grandeur mesureacutee a une certaine

incertitude

Pendant lrsquoexpeacuterience nous effectuons la mesure par des chiffres significatifs crsquoest-agrave-dire le

nombre de chiffres significatifs agrave indiquer dans un reacutesultat est eacutegalement fixeacute par le calcul des

incertitudes Tout reacutesultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs

Dans notre cas lrsquoerreur est mesureacutee agrave partir de la diffeacuterence entre la longueur du bras de levier

obtenue expeacuterimentalement et sa valeur theacuteorique Soient dexp et dtheacuteo les valeurs respectives du bras

18

de levier lrsquoune expeacuterimentale et lrsquoautre theacuteorique Et nous allons noter Δd lrsquoerreur entre les deux

valeurs

m

Nous pouvons remarquer que la mesure de lrsquointensiteacute drsquoune force preacutesente aussi une erreur Le

tableau ci-dessous repreacutesente les calculs drsquoerreur lors de prise de chaque reacutesultat

Mesure Mesure ndeg1 Erreurs Mesure ndeg 2 Erreurs Mesurendeg3 Erreurs Mesure ndeg4 Erreurs

F1(en N)

1000

0010

0500

0010

1500

0010

3000

0010

d1 (en m)

0040

0004

0080

0004

0080

0004

0060

0004

F1xd1

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

F2

(en N)

2000

0010

0020

0010

0010

0010

3000

0010

d2

(en m)

0020

0004

0020

0004

0120

0004

0060

0004

F2xd2

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure

III5 Interpreacutetation

Systegraveme la reacuteglette

Bilan des forces appliqueacutees

Son poids

La reacuteaction de lrsquoaxe

Δd = dexp - dtheacuteo

19

Les deux forces et

(tension des fils)

Reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire

Evaluation des moments des forces choisir le sens positif dans le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre

Les moments de la reacuteaction de lrsquoaxe et le poids sont nul car les droites drsquoaction de ces deux

forces couplent lrsquoaxe de rotation

Le moment de la force MΔ (

)= - M1gd1

Le moment de la force MΔ (

)= M2gd2

A lrsquoeacutequilibre lrsquoeacutetude expeacuterimentale simple va nous permettre de preacuteciser quantitativement que

lrsquoeffet de rotation de la force sur la reacuteglette et lrsquoeffet de rotation de la force

sont eacutegaux Et

son poids et la reacuteaction de lrsquoaxe nrsquoont pas drsquoeffet de rotation

Donc MΔ ( ) = MΔ (

)

MΔ ( ) + MΔ (

)= 0

III2 Eacutenonceacute du theacuteoregraveme des moments

Pour mettre un solide mobile autour drsquoun axe fixe en eacutequilibre il faut que la somme des

moments par rapport agrave lrsquoaxe fixe des forces appliqueacutees qui tendent agrave le faire tourner dans un sens

positif est eacutegale agrave la somme des moments par rapport agrave lrsquoaxe des forces qui tendent agrave le faire tourner

dans le sens neacutegatif

Enonceacute du theacuteoregraveme des moments laquo Dans le reacutefeacuterentiel terrestre lorsqursquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe est en eacutequilibre la somme algeacutebrique des moments par rapport agrave cet axe

de toutes les forces exteacuterieures appliqueacutees agrave ce solide est nulle raquo

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe [10] [15] [16]

Un solide mobile autour dun axe fixe est en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre si nous avons

La somme vectorielle des forces exteacuterieures est nulle sum crsquoest-agrave-dire immobiliteacute

du centre dinertie G

La somme algeacutebrique des moments des forces exteacuterieures par rapport agrave laxe est nulle

20

sum crsquoest-agrave-dire en absence de mouvement de rotation

Il faut remarquer que ces conditions sont neacutecessaires mais non suffisantes Elles sont neacutecessairement

veacuterifieacutees srsquoil y a un eacutequilibre Elles ne sont suffisantes pour pouvoir affirmer qursquoun systegraveme est au

repos

21

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX

Dans cette partie nous inteacuteressons sur lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel expeacuterimental concernant

lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe Elle est consacreacutee agrave la preacutesentation des travaux

que nous avons effectueacutes Premiegraverement pour lrsquoeacutetude du moment drsquoune force crsquoest une reacuteglette

mobile et sans frottement appreacuteciable autour drsquoun axe fixe horizontale (Δ) passant par son centre de

graviteacute Deuxiegravemement dans le cas du theacuteoregraveme des moments nous disposons drsquoun mecircme mateacuteriel

drsquoexpeacuterimental

Dans le programme officiel de la classe de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours

un problegraveme drsquoexpeacuterience Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer des mateacuteriels didactiques afin

drsquoapporter notre part dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide

mobile autour drsquoun axe fixe Nous pouvons donc eacutelaborer un mateacuteriel expeacuterimental comme lrsquoindique

le scheacutema suivant

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

I Regravegles de Seacutecuriteacute dans un atelier [17]

Seule les personnes ayant suivi la formation obligatoire sont autoriseacutees agrave travailler dans un

atelier

22

Le port des lunettes de seacutecuriteacute est obligatoire lors de lrsquoutilisation des machines fixes et

portatives

Les masques anti-poussiegraveres sont recommandeacutes pour des travaux poussieacutereux par exemple le

ponccedilage

Une tenue approprieacutee au travail drsquoatelier est exigeacutee Les pieds nus et sandales sont interdits

Enlever tout objet pouvant srsquoaccrocher agrave une machine en marchethinsp montres bijoux fils

drsquoeacutecouteurs eacutecharpes etc Les manches longues doivent ecirctre enrouleacutees les cheveux longs

attacheacutes

Pour raisons de seacutecuriteacute et de santeacute il est interdit de fumer boire ou manger dans lrsquoatelier

Il est interdit drsquoutiliser les machines sous lrsquoinfluence drsquoalcool ou de drogue (y compris

certains meacutedicaments sous ordonnance)

Utiliser les outils approprieacutes au travail agrave exeacutecuter En cas drsquoheacutesitation sur la technique ou

lrsquooutil agrave utiliser pour entreprendre quelque chose il est interdit de commencer sans se

renseigner aupregraves du personnel responsable

Travailler drsquoune faccedilon ordonneacutee Avant de quitter lrsquoatelier il est conseilleacute de mettre de lrsquoordre

sur la table de travail et les outilsthinsp mettre les deacutechets hors de vue dans les containers

approprieacutes

Lire comprendre et appliquer les regravegles drsquoutilisation des machines avant de commencer

Pendant le travail regarder constamment ougrave sont vos doigts Garder ses doigts loin des outils

coupants et en dehors de la ldquozone drsquoactionrdquo des machines

Ne laisser jamais tourner une machine sans surveillance

Ne reacutegler jamais une machine en marche Arrecircter la machine et attendez son arrecirct complet

Deacutebrancher les machines portatives pour le changement des lames

Nettoyer les machines apregraves chaque usage

Les accidents arrivent souvent lorsque lrsquoon est presseacute ou par manque de concentration

La fatigue le stress et lrsquoalcool sont des multiplicateurs de risque

Lire attentivement les pictogrammes de chaque outil

II Fabrication drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe [11]

Il y a plusieurs mateacuteriels drsquoexpeacuteriences qui illustrent le moment drsquoune force par rapport agrave un axe

fixe et le theacuteoregraveme des moments Parmi eux nous allons fabriquer une reacuteglette en bois de sapin

23

II1 Outils utiliseacutes [19]

Les outils neacutecessaires sont donneacutes par le tableau suivant

Outils utiliseacutes Photo Actions

Une scie agrave ruban

Deacutecouper une planche en

forme ronde ou autre

Une scie circulaire

Transformer les bois en bois

carreacute drsquoarrecirct bien deacutefini

Une perceuse

Percer un trou

Une raboteuse

Lisser

Un compas

Tracer un cercle

24

Une Ponceuse

Lisser

Une scie

Deacutecouper lineacuteairement une

planche

des marteaux

servant par exemple agrave enfoncer

un clou

Un pinceau

Colorer en vernis les mateacuteriels

fabriqueacutes

Un stylo bleu

Marquer des lignes ou des trous

Une eacutequerre

- instrument servant agrave repeacuterer

une perpendiculaire

- pour veacuterifier des angles

diegravedres droits soit pour tracer

des angles plans droits

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et le support

4

I2 Vitesse angulaire

I21 Cas drsquoun point du solide

On considegravere le mouvement de rotation drsquoune porte autour drsquoun axe (Δ) passant par ses

gonds Soit un point M appartenant agrave cette porte autre que les points de contact entre les gonds et la

porte Le mouvement du point M est un mouvement de rotation autour de lrsquoaxe (Δ) Ainsi la

trajectoire du point M est un arc de cercle de rayon R Le mouvement du point M est circulaire

Entre deux instants t1 et t2 le point M deacutecrit un arc de cercle avec un deacuteplacement angulaire de

mesure α

S

La relation entre lrsquoarc de cercle S et lrsquoangle α est

Avec - angle de rotation en rad mrad m rad

- R distance entre le point M et lrsquoaxe de rotation en megravetre

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire moyenne que lrsquoon note ω m comme le rapport entre

lrsquoangle de rotation exprimeacute en rad et la dureacutee du parcours Δt exprimeacutee en seconde

rad

rads

s

Avec Δα deacuteplacement angulaire effectueacute entre les deux positions angulaires 1 et 2

exprimeacutee en radian (rad)

Δt dureacutee du parcours exprimeacutee en seconde (s)

Wm vitesse angulaire moyenne exprimeacutee en rads

Figure 2 Trajectoire drsquoun point M entre deux instants t1 et t2 S

5

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire instantaneacutee comme la vitesse angulaire agrave un instant donneacute

Nous eacutevaluons en calculant la vitesse angulaire moyenne pendant un intervalle de temps tregraves court

noteacute dt encadrant lrsquoinstant t consideacutereacute

On note w(t)

rad

rads

s

I22 Cas du solide

Consideacuterons la porte tous les points de la porte tournent du mecircme angle α pendant la mecircme

dureacutee En conseacutequence tous les points de la porte ont agrave chaque instant la mecircme vitesse angulaire

ω(t)

Tous les points drsquoun solide en rotation autour drsquoun axe fixe ont agrave chaque instant la mecircme

vitesse angulaire ω(t) crsquoest la vitesse angulaire du solide Nous avons remarqueacute que tous les points

du solide ont agrave chaque instant la mecircme vitesse de rotation mais ils nrsquoont pas geacuteneacuteralement la mecircme

vitesse lineacuteaire

I3 Le mouvement de rotation uniforme

I31 Deacutefinition

Un solide est en mouvement de rotation uniforme si sa vitesse angulaire est constante au cours

du temps ω m = ω (t) = ω

I32 Exemple drsquoun mouvement de rotation

La Terre est animeacutee drsquoun mouvement de rotation uniforme autour de lrsquoaxe des pocircles Ce

mouvement est peacuteriodique La dureacutee pour effectuer un tour complet est appeleacutee peacuteriode que lrsquoon

note T Pour la Terre T = 86164 s peacuteriode de rotation autour de lrsquoaxe des pocircles dans le reacutefeacuterentiel

geacuteocentrique La vitesse angulaire de la Terre est donneacutee par lrsquoexpression ci-dessous

rads rad

s

w(t)=

Avec dα Deacuteplacement angulaire infiniteacutesimal

dt Temps infiniteacutesimal

w(t) Vitesse angulaire agrave lrsquoinstant t

Avec Δα 2 rad

Δt T

6

AN w=

= 7310

-5 rads

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe [03][07][08][09][10]

II1 Importance de la direction de la force

a) Expeacuteriences et observations

Expeacuterience ndeg 1

Consideacuterons la porte drsquoune salle de classe agrave cause des gonds qui la soutiennent le seul

mouvement qursquoelle puisse prendre est un mouvement de rotation autour drsquoun axe vertical fixe

joignant les gonds Pour faire tourner la porte autour de cet axe nous devons lui appliquer une force

exerceacutee au poignet de cette porte une force perpendiculaire au plan de la porte par exemple

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte

Observation

Nous observons que la force fait tourner la porte autour de lrsquoaxe de rotation La porte tourne

autour de lrsquoaxe des gonds

Expeacuterience ndeg 2

Si nous appliquons une force verticale sur le poignet crsquoest-agrave-dire parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation

7

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe

Observation

Nous observons que la force nrsquoa aucun effet sur la porte Cette derniegravere reste immobile

Expeacuterience ndeg 3

Tirer horizontalement et perpendiculaire agrave lrsquoaxe de rotation la porte sur le poignet avec une force

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte

Observation

Nous observons que la force nrsquoa non plus aucun effet de rotation La porte est resteacutee immobile

8

Expeacuterience ndeg 4

Exerccedilons maintenant une force inclineacutee dont la droite drsquoaction rencontre eacutegalement lrsquoaxe

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte

Observation

Nous constatons que la force ne produit aucun effet de rotation sur la porte

b) Conclusion

Une force dont la droite drsquoaction est agrave la fois perpendiculaire et distante de lrsquoaxe de rotation a un

effet de rotation sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe

Une force dont la droite drsquoaction est parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation a un effet de rotation nul

Une force dont la droite drsquoaction rencontre lrsquoaxe de rotation nrsquoa aucun effet de rotation

II2 Importance de la distance de la droite drsquoaction de la force agrave lrsquoaxe de rotation et lrsquointensiteacute de

la force [02] [04] [05] [07]

a) Expeacuterience

Exerccedilons successivement deux forces et drsquointensiteacutes diffeacuterentes et perpendiculaires agrave la

porte Les points drsquoapplications de ces forces sont totalement diffeacuterents

9

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de

rotation et lintensiteacute de la force

b) Observation

Nous avons pris d1 infeacuterieure agrave d2 nous constatons que pour faire tourner la porte en mecircme effet

on applique plus de force pour la distance d1 par rapport agrave celle de la distance d2

Conclusion

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est petite alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus grande pour avoir le mecircme effet de rotation

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est grande alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus petite pour avoir le mecircme effet de rotation

II3 Moment drsquoune force par rapport agrave un axe [01] [02] [03] [06] [09] [10]

Les expeacuteriences preacuteceacutedentes montrent que lrsquoeffet dynamique drsquoune force sur un corps introduit

une nouvelle grandeur physique invariante agrave chaque eacutequilibre crsquoest laquo le moment drsquoune force

constante par rapport agrave un axe fixe raquo

Ce qui importe cette grandeur caracteacuterise lrsquoeffet de la force sur un solide capable de tourner autour

drsquoun axe Certes deux forces agissent sur un solide et ayant le mecircme moment par rapport agrave lrsquoaxe

auront le mecircme effet

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force

Lrsquointensiteacute du moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave lrsquoaxe consideacutereacute est eacutegale au produit de

son intensiteacute par la distance de lrsquoaxe agrave la droite drsquoaction de la force

Notation MΔ ( )

119813120783

10

m (eacutequation I )

N

Avec - MΔ( ) Moment de la force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ)

- F Intensiteacute de la force

- d Distance entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe de rotation (Δ) La distance laquo d raquo

srsquoappelle bras de levier

Dans le systegraveme international cette grandeur se mesure en newton-megravetre (Nm)

ATTENTIONS

Il faut toujours preacuteciser lrsquoaxe de rotation

Ne pas confondre les uniteacutes newton-megravetre Nm et mN un sous multiple de Newton

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire agrave la fois agrave la droite drsquoaction de la

force et agrave lrsquoaxe de rotation

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaisseacutee depuis le centre de rotation sur la droite

drsquoaction de la force Le pouvoir de laquo rotation raquo deacutepend donc de la position relative du point

drsquoapplication de la force et du centre de rotation consideacutereacute

Figure 8 Bras de levier d

Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonomeacutetrie dans le triangle rectangle ABC drsquohypoteacutenuse

AB= l

MΔ ( ) = F x d

11

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier

Le bras de levier d peut ecirctre deacutetermineacute connaissant

La distance l entre le point drsquoapplication de la force et lrsquoaxe de rotation

Lrsquoangle α formeacute par la droite drsquoaction de la force et la droite passant par lrsquoaxe de rotation et le

point drsquoapplication de la force

Ce qui permet drsquoeacutetablir d = l middot sin(α)

Si lrsquoangle formeacute est de 90deg alors sin (90deg) = 1 Lrsquoexpression du moment drsquoune force est reacuteduite agrave

lrsquoeacutequation I

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Consideacuterons une regravegle AB munie de plusieurs trous permettant drsquoaccrocher un corps (C) de masse

donneacutee et un dynamomegravetre en diffeacuterents points La regravegle AB est mobile autour drsquoun axe horizontal

passant par son milieu O

Vers lrsquoextreacutemiteacute B de la regravegle suspendons le corps (C) Entraicircneacutee par le poids du corps (C) la regravegle prend

alors la position verticale

Pour amener la regravegle dans sa position horizontale on exerce sur sa partie OA une force verticale

orienteacutee vers le bas Nous pouvons mesurer lrsquointensiteacute de F rsquo au moyen drsquoun dynamomegravetre

A O B

M

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe

Observation

A

C

B

12

Nous observons que plus la distance drsquo= OM est grande plus la force a une intensiteacute petite mais le

produit Frsquoxdrsquo reste constant

Nm N m

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Cas dune force non orthogonale ou inclineacutee drsquoun angle quelconque θ Si nous inclinons la droite

drsquoaction de la force sans changer son point drsquoapplication celle-ci doit ecirctre plus forte en intensiteacute pour

produire le mecircme effet Soit F sa nouvelle intensiteacute et d la nouvelle distance de lrsquoaxe de rotation agrave la

droite drsquoaction de

A O B

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie

Observation

Nous observons que le produit Fxd possegravede la mecircme valeur que lorsque la force est perpendiculaire agrave

(OA) en M La force peut tourner la reacuteglette dans un sens Elle admet un moment par rapport agrave cet

axe mais son bras de levier pose un problegraveme

Deacutetermination drsquoun moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Deacutecomposer la force en deux forces orthogonales dont la droite drsquoaction de lrsquoune est parallegravele agrave

lrsquoaxe et la droite drsquoaction de lrsquoautre coupe lrsquoaxe

13

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales

=

MΔ ( ) = MΔ ( ) + MΔ ( )

Nous allons choisir le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre comme sens positif arbitraire de rotation La

droite drsquoaction de la force coupe lrsquoaxe de rotation ( ) donc le moment de cette force est nul

MΔ ( ) = 0

MΔ ( ) = MΔ ( )

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - Frsquorsquo x d Car la force fait tourner le solide dans le sens contraire

Deacutetermination de la longueur d et lrsquointensiteacute de la force

Drsquoapregraves la figure ci- dessus nous avons

sin

d OM

F F

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - F x sin (θ) x OM

Nm N degreacute m

MΔ () = - FxsinθxOM

14

II35 Moment drsquoun couple de force

Deacutefinition drsquoun couple de forces

Un systegraveme de deux forces parallegraveles de sens contraires de mecircme intensiteacute et nrsquoayant pas le

mecircme support constitue un couple parfait

Couple (

) signifie support diffeacuterentes et

=

Les supports des forces deacutefinissent un plan P appeleacute plan du couple

Figure 13 Couple des forces

Moment drsquoun couple

Consideacuterons un couple de forces appliqueacute agrave un disque en rotation autour drsquoun axe fixe (Δ) passant

le centre O et perpendiculaire agrave son plan Les forces sont orthogonales agrave lrsquoaxe Elles ont mecircme

intensiteacute F Les deux forces tendent agrave faire tourner le disque dans le mecircme sens les moments de ces

forces ont donc le mecircme signe positif

La somme des deux moments est appeleacutee moment du couple dont lrsquoexpression srsquoeacutecrit

Nm N m

Avec d eacutetant la distance entre les supports des forces

Le moment drsquoun couple des forces de mecircmes intensiteacutes par rapport agrave un axe perpendiculaire au plan

du couple est mesureacute par le produit de lrsquointensiteacute commune des deux forces par la distance entre leur

support

15

II36 Choix du sens positif du mouvement

Expeacuterience

Utilisons une reacuteglette de longueur 30 centimegravetres mobile autour drsquoun axe horizontal passant par

un point O La force tend agrave faire tourner la reacuteglette dans un sens tandis que la force

tend agrave

faire tourner dans lrsquoautre sens Pour marquer cette diffeacuterence nous choisissons arbitrairement un sens

positif de rotation autour de lrsquoaxe

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement

Observation

fait tourner la reacuteglette dans le sens positif Alors le moment de cette force

sera pris

positivement

fait tourner la reacuteglette dans le sens neacutegatif Alors le moment de cette force

aura une valeur

neacutegative

Une force admet un moment nul quand la droite drsquoaction de est parallegravele ou coupe lrsquoaxe

Conclusion

Il est impeacuteratif drsquoattribuer un signe au moment de la force Le moment drsquoune force est une grandeur

algeacutebrique il peut ecirctre positif ou neacutegatif

III Theacuteoregraveme des moments [01] [06] [07] [09] [10] [12] [13] [15]

III1 Expeacuterience

Le dispositif expeacuterimental est une reacuteglette AB consideacutereacutee comme une barre rigide perceacutee de

plusieurs trous auxquels nous pouvons suspendre des masses agrave lrsquoaide des fils inextensibles et de

masses neacutegligeables Chaque trou correspond un point de contact entre le fil et la barre La reacuteglette

16

de longueur L = 30 cm est mobile sans frottement autour drsquoun axe ( ) horizontal passant par son

centre de graviteacute Elle tourne sous lrsquoaction de la tension des fils

Masse M1 Masse M2

Nous appliquons agrave la barre deux forces =

et

agrave lrsquoaide de deux fils tendus par des

masses marqueacutees M1 et M2 Les intensiteacutes F1 et F2 sont connues si la barre est en eacutequilibre en

utilisant les relations suivantes F1 =M1g et F2= M2g Faisons varier les deux masses M1 et M2 ce qui

entraine les diffeacuterentes valeurs des intensiteacutes F1 et F2 Pour chaque eacutequilibre relevons lrsquointensiteacute de

chaque force et mesurons les longueurs des bras de levier d1 et d2 correspondantes agrave lrsquoaide drsquoune

regravegle gradueacutee Lorsque le mateacuteriel ne tourne pas autour de laxe ( ) Pour maintenir horizontalement

la droite (AB) nous avons obtenu les reacutesultats expeacuterimentales en tenant compte des erreurs

provenant de la mesure lors de lrsquoexpeacuterimentation

III2 Valeurs expeacuterimentales

Dans cette expeacuterience nous allons prendre lrsquointensiteacute de la pesanteur g = 10Nkg Lrsquointensiteacute de la

force exerceacutee en un point de contact entre le fil et la reacuteglette est donneacutee par le tableau suivant

Masse (en Kg)

0050

0100

0150

0200

0250

0300

Intensiteacute de la force ou

(en N)

0500

1000

1500

2000

2500

3000

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous

17

Le tableau ci-dessous donne les valeurs correspondantes agrave chaque mesure

Mesure Mesure ndeg1 Mesure ndeg 2 Mesure ndeg3 Mesure ndeg4

F1 (N) 100 050 150 300

d1 (m) 004 008 008 006

F1 d1 (Nm) 004

004 012 018

F2 (N) 200 200 100 300

d2 (m) 002 002 012 006

F2 d2(Nm) 004 004 012 018

Tableau 2 Releveacute des mesures

Nous remarquons que lors de lrsquoexpeacuterimentation il existe toujours des erreurs provenant soit du

mateacuteriel drsquoexpeacuterience soit de la mesure

III3 Observation

Nous constatons que F1 ne F2 dans la condition suivante d1ned2

Nous constatons que F1d1=F2d2 lorsque la reacuteglette ne tourne pas autour de lrsquoaxe crsquoest-agrave-dire

agrave lrsquoeacutequilibre

Nous constatons que la somme algeacutebrique des moments est nulle en effet lrsquoexpeacuterience lrsquoa

montreacute

III4 Calcul drsquoerreur

Le mot erreur se reacutefegravere agrave quelque chose de juste ou de vrai On parle drsquoerreur sur une

mesure physique lorsque nous pouvons la comparer agrave une valeur de reacutefeacuterence qui peut ecirctre

consideacutereacutee comme vraie (par exemple la tempeacuterature du zeacutero absolu) Geacuteneacuteralement pour les

mesures effectueacutees au laboratoire il nrsquoest pas eacutevident de posseacuteder une valeur de reacutefeacuterence et surtout

difficile de connaicirctre la valeur exacte de la grandeur mesureacutee (par exemple longueur drsquoune barre

vitesse drsquoun projectile) Nous parlons alors drsquoincertitude Chaque grandeur mesureacutee a une certaine

incertitude

Pendant lrsquoexpeacuterience nous effectuons la mesure par des chiffres significatifs crsquoest-agrave-dire le

nombre de chiffres significatifs agrave indiquer dans un reacutesultat est eacutegalement fixeacute par le calcul des

incertitudes Tout reacutesultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs

Dans notre cas lrsquoerreur est mesureacutee agrave partir de la diffeacuterence entre la longueur du bras de levier

obtenue expeacuterimentalement et sa valeur theacuteorique Soient dexp et dtheacuteo les valeurs respectives du bras

18

de levier lrsquoune expeacuterimentale et lrsquoautre theacuteorique Et nous allons noter Δd lrsquoerreur entre les deux

valeurs

m

Nous pouvons remarquer que la mesure de lrsquointensiteacute drsquoune force preacutesente aussi une erreur Le

tableau ci-dessous repreacutesente les calculs drsquoerreur lors de prise de chaque reacutesultat

Mesure Mesure ndeg1 Erreurs Mesure ndeg 2 Erreurs Mesurendeg3 Erreurs Mesure ndeg4 Erreurs

F1(en N)

1000

0010

0500

0010

1500

0010

3000

0010

d1 (en m)

0040

0004

0080

0004

0080

0004

0060

0004

F1xd1

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

F2

(en N)

2000

0010

0020

0010

0010

0010

3000

0010

d2

(en m)

0020

0004

0020

0004

0120

0004

0060

0004

F2xd2

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure

III5 Interpreacutetation

Systegraveme la reacuteglette

Bilan des forces appliqueacutees

Son poids

La reacuteaction de lrsquoaxe

Δd = dexp - dtheacuteo

19

Les deux forces et

(tension des fils)

Reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire

Evaluation des moments des forces choisir le sens positif dans le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre

Les moments de la reacuteaction de lrsquoaxe et le poids sont nul car les droites drsquoaction de ces deux

forces couplent lrsquoaxe de rotation

Le moment de la force MΔ (

)= - M1gd1

Le moment de la force MΔ (

)= M2gd2

A lrsquoeacutequilibre lrsquoeacutetude expeacuterimentale simple va nous permettre de preacuteciser quantitativement que

lrsquoeffet de rotation de la force sur la reacuteglette et lrsquoeffet de rotation de la force

sont eacutegaux Et

son poids et la reacuteaction de lrsquoaxe nrsquoont pas drsquoeffet de rotation

Donc MΔ ( ) = MΔ (

)

MΔ ( ) + MΔ (

)= 0

III2 Eacutenonceacute du theacuteoregraveme des moments

Pour mettre un solide mobile autour drsquoun axe fixe en eacutequilibre il faut que la somme des

moments par rapport agrave lrsquoaxe fixe des forces appliqueacutees qui tendent agrave le faire tourner dans un sens

positif est eacutegale agrave la somme des moments par rapport agrave lrsquoaxe des forces qui tendent agrave le faire tourner

dans le sens neacutegatif

Enonceacute du theacuteoregraveme des moments laquo Dans le reacutefeacuterentiel terrestre lorsqursquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe est en eacutequilibre la somme algeacutebrique des moments par rapport agrave cet axe

de toutes les forces exteacuterieures appliqueacutees agrave ce solide est nulle raquo

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe [10] [15] [16]

Un solide mobile autour dun axe fixe est en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre si nous avons

La somme vectorielle des forces exteacuterieures est nulle sum crsquoest-agrave-dire immobiliteacute

du centre dinertie G

La somme algeacutebrique des moments des forces exteacuterieures par rapport agrave laxe est nulle

20

sum crsquoest-agrave-dire en absence de mouvement de rotation

Il faut remarquer que ces conditions sont neacutecessaires mais non suffisantes Elles sont neacutecessairement

veacuterifieacutees srsquoil y a un eacutequilibre Elles ne sont suffisantes pour pouvoir affirmer qursquoun systegraveme est au

repos

21

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX

Dans cette partie nous inteacuteressons sur lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel expeacuterimental concernant

lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe Elle est consacreacutee agrave la preacutesentation des travaux

que nous avons effectueacutes Premiegraverement pour lrsquoeacutetude du moment drsquoune force crsquoest une reacuteglette

mobile et sans frottement appreacuteciable autour drsquoun axe fixe horizontale (Δ) passant par son centre de

graviteacute Deuxiegravemement dans le cas du theacuteoregraveme des moments nous disposons drsquoun mecircme mateacuteriel

drsquoexpeacuterimental

Dans le programme officiel de la classe de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours

un problegraveme drsquoexpeacuterience Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer des mateacuteriels didactiques afin

drsquoapporter notre part dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide

mobile autour drsquoun axe fixe Nous pouvons donc eacutelaborer un mateacuteriel expeacuterimental comme lrsquoindique

le scheacutema suivant

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

I Regravegles de Seacutecuriteacute dans un atelier [17]

Seule les personnes ayant suivi la formation obligatoire sont autoriseacutees agrave travailler dans un

atelier

22

Le port des lunettes de seacutecuriteacute est obligatoire lors de lrsquoutilisation des machines fixes et

portatives

Les masques anti-poussiegraveres sont recommandeacutes pour des travaux poussieacutereux par exemple le

ponccedilage

Une tenue approprieacutee au travail drsquoatelier est exigeacutee Les pieds nus et sandales sont interdits

Enlever tout objet pouvant srsquoaccrocher agrave une machine en marchethinsp montres bijoux fils

drsquoeacutecouteurs eacutecharpes etc Les manches longues doivent ecirctre enrouleacutees les cheveux longs

attacheacutes

Pour raisons de seacutecuriteacute et de santeacute il est interdit de fumer boire ou manger dans lrsquoatelier

Il est interdit drsquoutiliser les machines sous lrsquoinfluence drsquoalcool ou de drogue (y compris

certains meacutedicaments sous ordonnance)

Utiliser les outils approprieacutes au travail agrave exeacutecuter En cas drsquoheacutesitation sur la technique ou

lrsquooutil agrave utiliser pour entreprendre quelque chose il est interdit de commencer sans se

renseigner aupregraves du personnel responsable

Travailler drsquoune faccedilon ordonneacutee Avant de quitter lrsquoatelier il est conseilleacute de mettre de lrsquoordre

sur la table de travail et les outilsthinsp mettre les deacutechets hors de vue dans les containers

approprieacutes

Lire comprendre et appliquer les regravegles drsquoutilisation des machines avant de commencer

Pendant le travail regarder constamment ougrave sont vos doigts Garder ses doigts loin des outils

coupants et en dehors de la ldquozone drsquoactionrdquo des machines

Ne laisser jamais tourner une machine sans surveillance

Ne reacutegler jamais une machine en marche Arrecircter la machine et attendez son arrecirct complet

Deacutebrancher les machines portatives pour le changement des lames

Nettoyer les machines apregraves chaque usage

Les accidents arrivent souvent lorsque lrsquoon est presseacute ou par manque de concentration

La fatigue le stress et lrsquoalcool sont des multiplicateurs de risque

Lire attentivement les pictogrammes de chaque outil

II Fabrication drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe [11]

Il y a plusieurs mateacuteriels drsquoexpeacuteriences qui illustrent le moment drsquoune force par rapport agrave un axe

fixe et le theacuteoregraveme des moments Parmi eux nous allons fabriquer une reacuteglette en bois de sapin

23

II1 Outils utiliseacutes [19]

Les outils neacutecessaires sont donneacutes par le tableau suivant

Outils utiliseacutes Photo Actions

Une scie agrave ruban

Deacutecouper une planche en

forme ronde ou autre

Une scie circulaire

Transformer les bois en bois

carreacute drsquoarrecirct bien deacutefini

Une perceuse

Percer un trou

Une raboteuse

Lisser

Un compas

Tracer un cercle

24

Une Ponceuse

Lisser

Une scie

Deacutecouper lineacuteairement une

planche

des marteaux

servant par exemple agrave enfoncer

un clou

Un pinceau

Colorer en vernis les mateacuteriels

fabriqueacutes

Un stylo bleu

Marquer des lignes ou des trous

Une eacutequerre

- instrument servant agrave repeacuterer

une perpendiculaire

- pour veacuterifier des angles

diegravedres droits soit pour tracer

des angles plans droits

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et le support

5

Nous deacutefinissons la vitesse angulaire instantaneacutee comme la vitesse angulaire agrave un instant donneacute

Nous eacutevaluons en calculant la vitesse angulaire moyenne pendant un intervalle de temps tregraves court

noteacute dt encadrant lrsquoinstant t consideacutereacute

On note w(t)

rad

rads

s

I22 Cas du solide

Consideacuterons la porte tous les points de la porte tournent du mecircme angle α pendant la mecircme

dureacutee En conseacutequence tous les points de la porte ont agrave chaque instant la mecircme vitesse angulaire

ω(t)

Tous les points drsquoun solide en rotation autour drsquoun axe fixe ont agrave chaque instant la mecircme

vitesse angulaire ω(t) crsquoest la vitesse angulaire du solide Nous avons remarqueacute que tous les points

du solide ont agrave chaque instant la mecircme vitesse de rotation mais ils nrsquoont pas geacuteneacuteralement la mecircme

vitesse lineacuteaire

I3 Le mouvement de rotation uniforme

I31 Deacutefinition

Un solide est en mouvement de rotation uniforme si sa vitesse angulaire est constante au cours

du temps ω m = ω (t) = ω

I32 Exemple drsquoun mouvement de rotation

La Terre est animeacutee drsquoun mouvement de rotation uniforme autour de lrsquoaxe des pocircles Ce

mouvement est peacuteriodique La dureacutee pour effectuer un tour complet est appeleacutee peacuteriode que lrsquoon

note T Pour la Terre T = 86164 s peacuteriode de rotation autour de lrsquoaxe des pocircles dans le reacutefeacuterentiel

geacuteocentrique La vitesse angulaire de la Terre est donneacutee par lrsquoexpression ci-dessous

rads rad

s

w(t)=

Avec dα Deacuteplacement angulaire infiniteacutesimal

dt Temps infiniteacutesimal

w(t) Vitesse angulaire agrave lrsquoinstant t

Avec Δα 2 rad

Δt T

6

AN w=

= 7310

-5 rads

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe [03][07][08][09][10]

II1 Importance de la direction de la force

a) Expeacuteriences et observations

Expeacuterience ndeg 1

Consideacuterons la porte drsquoune salle de classe agrave cause des gonds qui la soutiennent le seul

mouvement qursquoelle puisse prendre est un mouvement de rotation autour drsquoun axe vertical fixe

joignant les gonds Pour faire tourner la porte autour de cet axe nous devons lui appliquer une force

exerceacutee au poignet de cette porte une force perpendiculaire au plan de la porte par exemple

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte

Observation

Nous observons que la force fait tourner la porte autour de lrsquoaxe de rotation La porte tourne

autour de lrsquoaxe des gonds

Expeacuterience ndeg 2

Si nous appliquons une force verticale sur le poignet crsquoest-agrave-dire parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation

7

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe

Observation

Nous observons que la force nrsquoa aucun effet sur la porte Cette derniegravere reste immobile

Expeacuterience ndeg 3

Tirer horizontalement et perpendiculaire agrave lrsquoaxe de rotation la porte sur le poignet avec une force

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte

Observation

Nous observons que la force nrsquoa non plus aucun effet de rotation La porte est resteacutee immobile

8

Expeacuterience ndeg 4

Exerccedilons maintenant une force inclineacutee dont la droite drsquoaction rencontre eacutegalement lrsquoaxe

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte

Observation

Nous constatons que la force ne produit aucun effet de rotation sur la porte

b) Conclusion

Une force dont la droite drsquoaction est agrave la fois perpendiculaire et distante de lrsquoaxe de rotation a un

effet de rotation sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe

Une force dont la droite drsquoaction est parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation a un effet de rotation nul

Une force dont la droite drsquoaction rencontre lrsquoaxe de rotation nrsquoa aucun effet de rotation

II2 Importance de la distance de la droite drsquoaction de la force agrave lrsquoaxe de rotation et lrsquointensiteacute de

la force [02] [04] [05] [07]

a) Expeacuterience

Exerccedilons successivement deux forces et drsquointensiteacutes diffeacuterentes et perpendiculaires agrave la

porte Les points drsquoapplications de ces forces sont totalement diffeacuterents

9

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de

rotation et lintensiteacute de la force

b) Observation

Nous avons pris d1 infeacuterieure agrave d2 nous constatons que pour faire tourner la porte en mecircme effet

on applique plus de force pour la distance d1 par rapport agrave celle de la distance d2

Conclusion

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est petite alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus grande pour avoir le mecircme effet de rotation

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est grande alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus petite pour avoir le mecircme effet de rotation

II3 Moment drsquoune force par rapport agrave un axe [01] [02] [03] [06] [09] [10]

Les expeacuteriences preacuteceacutedentes montrent que lrsquoeffet dynamique drsquoune force sur un corps introduit

une nouvelle grandeur physique invariante agrave chaque eacutequilibre crsquoest laquo le moment drsquoune force

constante par rapport agrave un axe fixe raquo

Ce qui importe cette grandeur caracteacuterise lrsquoeffet de la force sur un solide capable de tourner autour

drsquoun axe Certes deux forces agissent sur un solide et ayant le mecircme moment par rapport agrave lrsquoaxe

auront le mecircme effet

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force

Lrsquointensiteacute du moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave lrsquoaxe consideacutereacute est eacutegale au produit de

son intensiteacute par la distance de lrsquoaxe agrave la droite drsquoaction de la force

Notation MΔ ( )

119813120783

10

m (eacutequation I )

N

Avec - MΔ( ) Moment de la force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ)

- F Intensiteacute de la force

- d Distance entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe de rotation (Δ) La distance laquo d raquo

srsquoappelle bras de levier

Dans le systegraveme international cette grandeur se mesure en newton-megravetre (Nm)

ATTENTIONS

Il faut toujours preacuteciser lrsquoaxe de rotation

Ne pas confondre les uniteacutes newton-megravetre Nm et mN un sous multiple de Newton

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire agrave la fois agrave la droite drsquoaction de la

force et agrave lrsquoaxe de rotation

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaisseacutee depuis le centre de rotation sur la droite

drsquoaction de la force Le pouvoir de laquo rotation raquo deacutepend donc de la position relative du point

drsquoapplication de la force et du centre de rotation consideacutereacute

Figure 8 Bras de levier d

Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonomeacutetrie dans le triangle rectangle ABC drsquohypoteacutenuse

AB= l

MΔ ( ) = F x d

11

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier

Le bras de levier d peut ecirctre deacutetermineacute connaissant

La distance l entre le point drsquoapplication de la force et lrsquoaxe de rotation

Lrsquoangle α formeacute par la droite drsquoaction de la force et la droite passant par lrsquoaxe de rotation et le

point drsquoapplication de la force

Ce qui permet drsquoeacutetablir d = l middot sin(α)

Si lrsquoangle formeacute est de 90deg alors sin (90deg) = 1 Lrsquoexpression du moment drsquoune force est reacuteduite agrave

lrsquoeacutequation I

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Consideacuterons une regravegle AB munie de plusieurs trous permettant drsquoaccrocher un corps (C) de masse

donneacutee et un dynamomegravetre en diffeacuterents points La regravegle AB est mobile autour drsquoun axe horizontal

passant par son milieu O

Vers lrsquoextreacutemiteacute B de la regravegle suspendons le corps (C) Entraicircneacutee par le poids du corps (C) la regravegle prend

alors la position verticale

Pour amener la regravegle dans sa position horizontale on exerce sur sa partie OA une force verticale

orienteacutee vers le bas Nous pouvons mesurer lrsquointensiteacute de F rsquo au moyen drsquoun dynamomegravetre

A O B

M

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe

Observation

A

C

B

12

Nous observons que plus la distance drsquo= OM est grande plus la force a une intensiteacute petite mais le

produit Frsquoxdrsquo reste constant

Nm N m

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Cas dune force non orthogonale ou inclineacutee drsquoun angle quelconque θ Si nous inclinons la droite

drsquoaction de la force sans changer son point drsquoapplication celle-ci doit ecirctre plus forte en intensiteacute pour

produire le mecircme effet Soit F sa nouvelle intensiteacute et d la nouvelle distance de lrsquoaxe de rotation agrave la

droite drsquoaction de

A O B

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie

Observation

Nous observons que le produit Fxd possegravede la mecircme valeur que lorsque la force est perpendiculaire agrave

(OA) en M La force peut tourner la reacuteglette dans un sens Elle admet un moment par rapport agrave cet

axe mais son bras de levier pose un problegraveme

Deacutetermination drsquoun moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Deacutecomposer la force en deux forces orthogonales dont la droite drsquoaction de lrsquoune est parallegravele agrave

lrsquoaxe et la droite drsquoaction de lrsquoautre coupe lrsquoaxe

13

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales

=

MΔ ( ) = MΔ ( ) + MΔ ( )

Nous allons choisir le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre comme sens positif arbitraire de rotation La

droite drsquoaction de la force coupe lrsquoaxe de rotation ( ) donc le moment de cette force est nul

MΔ ( ) = 0

MΔ ( ) = MΔ ( )

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - Frsquorsquo x d Car la force fait tourner le solide dans le sens contraire

Deacutetermination de la longueur d et lrsquointensiteacute de la force

Drsquoapregraves la figure ci- dessus nous avons

sin

d OM

F F

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - F x sin (θ) x OM

Nm N degreacute m

MΔ () = - FxsinθxOM

14

II35 Moment drsquoun couple de force

Deacutefinition drsquoun couple de forces

Un systegraveme de deux forces parallegraveles de sens contraires de mecircme intensiteacute et nrsquoayant pas le

mecircme support constitue un couple parfait

Couple (

) signifie support diffeacuterentes et

=

Les supports des forces deacutefinissent un plan P appeleacute plan du couple

Figure 13 Couple des forces

Moment drsquoun couple

Consideacuterons un couple de forces appliqueacute agrave un disque en rotation autour drsquoun axe fixe (Δ) passant

le centre O et perpendiculaire agrave son plan Les forces sont orthogonales agrave lrsquoaxe Elles ont mecircme

intensiteacute F Les deux forces tendent agrave faire tourner le disque dans le mecircme sens les moments de ces

forces ont donc le mecircme signe positif

La somme des deux moments est appeleacutee moment du couple dont lrsquoexpression srsquoeacutecrit

Nm N m

Avec d eacutetant la distance entre les supports des forces

Le moment drsquoun couple des forces de mecircmes intensiteacutes par rapport agrave un axe perpendiculaire au plan

du couple est mesureacute par le produit de lrsquointensiteacute commune des deux forces par la distance entre leur

support

15

II36 Choix du sens positif du mouvement

Expeacuterience

Utilisons une reacuteglette de longueur 30 centimegravetres mobile autour drsquoun axe horizontal passant par

un point O La force tend agrave faire tourner la reacuteglette dans un sens tandis que la force

tend agrave

faire tourner dans lrsquoautre sens Pour marquer cette diffeacuterence nous choisissons arbitrairement un sens

positif de rotation autour de lrsquoaxe

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement

Observation

fait tourner la reacuteglette dans le sens positif Alors le moment de cette force

sera pris

positivement

fait tourner la reacuteglette dans le sens neacutegatif Alors le moment de cette force

aura une valeur

neacutegative

Une force admet un moment nul quand la droite drsquoaction de est parallegravele ou coupe lrsquoaxe

Conclusion

Il est impeacuteratif drsquoattribuer un signe au moment de la force Le moment drsquoune force est une grandeur

algeacutebrique il peut ecirctre positif ou neacutegatif

III Theacuteoregraveme des moments [01] [06] [07] [09] [10] [12] [13] [15]

III1 Expeacuterience

Le dispositif expeacuterimental est une reacuteglette AB consideacutereacutee comme une barre rigide perceacutee de

plusieurs trous auxquels nous pouvons suspendre des masses agrave lrsquoaide des fils inextensibles et de

masses neacutegligeables Chaque trou correspond un point de contact entre le fil et la barre La reacuteglette

16

de longueur L = 30 cm est mobile sans frottement autour drsquoun axe ( ) horizontal passant par son

centre de graviteacute Elle tourne sous lrsquoaction de la tension des fils

Masse M1 Masse M2

Nous appliquons agrave la barre deux forces =

et

agrave lrsquoaide de deux fils tendus par des

masses marqueacutees M1 et M2 Les intensiteacutes F1 et F2 sont connues si la barre est en eacutequilibre en

utilisant les relations suivantes F1 =M1g et F2= M2g Faisons varier les deux masses M1 et M2 ce qui

entraine les diffeacuterentes valeurs des intensiteacutes F1 et F2 Pour chaque eacutequilibre relevons lrsquointensiteacute de

chaque force et mesurons les longueurs des bras de levier d1 et d2 correspondantes agrave lrsquoaide drsquoune

regravegle gradueacutee Lorsque le mateacuteriel ne tourne pas autour de laxe ( ) Pour maintenir horizontalement

la droite (AB) nous avons obtenu les reacutesultats expeacuterimentales en tenant compte des erreurs

provenant de la mesure lors de lrsquoexpeacuterimentation

III2 Valeurs expeacuterimentales

Dans cette expeacuterience nous allons prendre lrsquointensiteacute de la pesanteur g = 10Nkg Lrsquointensiteacute de la

force exerceacutee en un point de contact entre le fil et la reacuteglette est donneacutee par le tableau suivant

Masse (en Kg)

0050

0100

0150

0200

0250

0300

Intensiteacute de la force ou

(en N)

0500

1000

1500

2000

2500

3000

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous

17

Le tableau ci-dessous donne les valeurs correspondantes agrave chaque mesure

Mesure Mesure ndeg1 Mesure ndeg 2 Mesure ndeg3 Mesure ndeg4

F1 (N) 100 050 150 300

d1 (m) 004 008 008 006

F1 d1 (Nm) 004

004 012 018

F2 (N) 200 200 100 300

d2 (m) 002 002 012 006

F2 d2(Nm) 004 004 012 018

Tableau 2 Releveacute des mesures

Nous remarquons que lors de lrsquoexpeacuterimentation il existe toujours des erreurs provenant soit du

mateacuteriel drsquoexpeacuterience soit de la mesure

III3 Observation

Nous constatons que F1 ne F2 dans la condition suivante d1ned2

Nous constatons que F1d1=F2d2 lorsque la reacuteglette ne tourne pas autour de lrsquoaxe crsquoest-agrave-dire

agrave lrsquoeacutequilibre

Nous constatons que la somme algeacutebrique des moments est nulle en effet lrsquoexpeacuterience lrsquoa

montreacute

III4 Calcul drsquoerreur

Le mot erreur se reacutefegravere agrave quelque chose de juste ou de vrai On parle drsquoerreur sur une

mesure physique lorsque nous pouvons la comparer agrave une valeur de reacutefeacuterence qui peut ecirctre

consideacutereacutee comme vraie (par exemple la tempeacuterature du zeacutero absolu) Geacuteneacuteralement pour les

mesures effectueacutees au laboratoire il nrsquoest pas eacutevident de posseacuteder une valeur de reacutefeacuterence et surtout

difficile de connaicirctre la valeur exacte de la grandeur mesureacutee (par exemple longueur drsquoune barre

vitesse drsquoun projectile) Nous parlons alors drsquoincertitude Chaque grandeur mesureacutee a une certaine

incertitude

Pendant lrsquoexpeacuterience nous effectuons la mesure par des chiffres significatifs crsquoest-agrave-dire le

nombre de chiffres significatifs agrave indiquer dans un reacutesultat est eacutegalement fixeacute par le calcul des

incertitudes Tout reacutesultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs

Dans notre cas lrsquoerreur est mesureacutee agrave partir de la diffeacuterence entre la longueur du bras de levier

obtenue expeacuterimentalement et sa valeur theacuteorique Soient dexp et dtheacuteo les valeurs respectives du bras

18

de levier lrsquoune expeacuterimentale et lrsquoautre theacuteorique Et nous allons noter Δd lrsquoerreur entre les deux

valeurs

m

Nous pouvons remarquer que la mesure de lrsquointensiteacute drsquoune force preacutesente aussi une erreur Le

tableau ci-dessous repreacutesente les calculs drsquoerreur lors de prise de chaque reacutesultat

Mesure Mesure ndeg1 Erreurs Mesure ndeg 2 Erreurs Mesurendeg3 Erreurs Mesure ndeg4 Erreurs

F1(en N)

1000

0010

0500

0010

1500

0010

3000

0010

d1 (en m)

0040

0004

0080

0004

0080

0004

0060

0004

F1xd1

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

F2

(en N)

2000

0010

0020

0010

0010

0010

3000

0010

d2

(en m)

0020

0004

0020

0004

0120

0004

0060

0004

F2xd2

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure

III5 Interpreacutetation

Systegraveme la reacuteglette

Bilan des forces appliqueacutees

Son poids

La reacuteaction de lrsquoaxe

Δd = dexp - dtheacuteo

19

Les deux forces et

(tension des fils)

Reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire

Evaluation des moments des forces choisir le sens positif dans le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre

Les moments de la reacuteaction de lrsquoaxe et le poids sont nul car les droites drsquoaction de ces deux

forces couplent lrsquoaxe de rotation

Le moment de la force MΔ (

)= - M1gd1

Le moment de la force MΔ (

)= M2gd2

A lrsquoeacutequilibre lrsquoeacutetude expeacuterimentale simple va nous permettre de preacuteciser quantitativement que

lrsquoeffet de rotation de la force sur la reacuteglette et lrsquoeffet de rotation de la force

sont eacutegaux Et

son poids et la reacuteaction de lrsquoaxe nrsquoont pas drsquoeffet de rotation

Donc MΔ ( ) = MΔ (

)

MΔ ( ) + MΔ (

)= 0

III2 Eacutenonceacute du theacuteoregraveme des moments

Pour mettre un solide mobile autour drsquoun axe fixe en eacutequilibre il faut que la somme des

moments par rapport agrave lrsquoaxe fixe des forces appliqueacutees qui tendent agrave le faire tourner dans un sens

positif est eacutegale agrave la somme des moments par rapport agrave lrsquoaxe des forces qui tendent agrave le faire tourner

dans le sens neacutegatif

Enonceacute du theacuteoregraveme des moments laquo Dans le reacutefeacuterentiel terrestre lorsqursquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe est en eacutequilibre la somme algeacutebrique des moments par rapport agrave cet axe

de toutes les forces exteacuterieures appliqueacutees agrave ce solide est nulle raquo

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe [10] [15] [16]

Un solide mobile autour dun axe fixe est en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre si nous avons

La somme vectorielle des forces exteacuterieures est nulle sum crsquoest-agrave-dire immobiliteacute

du centre dinertie G

La somme algeacutebrique des moments des forces exteacuterieures par rapport agrave laxe est nulle

20

sum crsquoest-agrave-dire en absence de mouvement de rotation

Il faut remarquer que ces conditions sont neacutecessaires mais non suffisantes Elles sont neacutecessairement

veacuterifieacutees srsquoil y a un eacutequilibre Elles ne sont suffisantes pour pouvoir affirmer qursquoun systegraveme est au

repos

21

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX

Dans cette partie nous inteacuteressons sur lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel expeacuterimental concernant

lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe Elle est consacreacutee agrave la preacutesentation des travaux

que nous avons effectueacutes Premiegraverement pour lrsquoeacutetude du moment drsquoune force crsquoest une reacuteglette

mobile et sans frottement appreacuteciable autour drsquoun axe fixe horizontale (Δ) passant par son centre de

graviteacute Deuxiegravemement dans le cas du theacuteoregraveme des moments nous disposons drsquoun mecircme mateacuteriel

drsquoexpeacuterimental

Dans le programme officiel de la classe de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours

un problegraveme drsquoexpeacuterience Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer des mateacuteriels didactiques afin

drsquoapporter notre part dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide

mobile autour drsquoun axe fixe Nous pouvons donc eacutelaborer un mateacuteriel expeacuterimental comme lrsquoindique

le scheacutema suivant

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

I Regravegles de Seacutecuriteacute dans un atelier [17]

Seule les personnes ayant suivi la formation obligatoire sont autoriseacutees agrave travailler dans un

atelier

22

Le port des lunettes de seacutecuriteacute est obligatoire lors de lrsquoutilisation des machines fixes et

portatives

Les masques anti-poussiegraveres sont recommandeacutes pour des travaux poussieacutereux par exemple le

ponccedilage

Une tenue approprieacutee au travail drsquoatelier est exigeacutee Les pieds nus et sandales sont interdits

Enlever tout objet pouvant srsquoaccrocher agrave une machine en marchethinsp montres bijoux fils

drsquoeacutecouteurs eacutecharpes etc Les manches longues doivent ecirctre enrouleacutees les cheveux longs

attacheacutes

Pour raisons de seacutecuriteacute et de santeacute il est interdit de fumer boire ou manger dans lrsquoatelier

Il est interdit drsquoutiliser les machines sous lrsquoinfluence drsquoalcool ou de drogue (y compris

certains meacutedicaments sous ordonnance)

Utiliser les outils approprieacutes au travail agrave exeacutecuter En cas drsquoheacutesitation sur la technique ou

lrsquooutil agrave utiliser pour entreprendre quelque chose il est interdit de commencer sans se

renseigner aupregraves du personnel responsable

Travailler drsquoune faccedilon ordonneacutee Avant de quitter lrsquoatelier il est conseilleacute de mettre de lrsquoordre

sur la table de travail et les outilsthinsp mettre les deacutechets hors de vue dans les containers

approprieacutes

Lire comprendre et appliquer les regravegles drsquoutilisation des machines avant de commencer

Pendant le travail regarder constamment ougrave sont vos doigts Garder ses doigts loin des outils

coupants et en dehors de la ldquozone drsquoactionrdquo des machines

Ne laisser jamais tourner une machine sans surveillance

Ne reacutegler jamais une machine en marche Arrecircter la machine et attendez son arrecirct complet

Deacutebrancher les machines portatives pour le changement des lames

Nettoyer les machines apregraves chaque usage

Les accidents arrivent souvent lorsque lrsquoon est presseacute ou par manque de concentration

La fatigue le stress et lrsquoalcool sont des multiplicateurs de risque

Lire attentivement les pictogrammes de chaque outil

II Fabrication drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe [11]

Il y a plusieurs mateacuteriels drsquoexpeacuteriences qui illustrent le moment drsquoune force par rapport agrave un axe

fixe et le theacuteoregraveme des moments Parmi eux nous allons fabriquer une reacuteglette en bois de sapin

23

II1 Outils utiliseacutes [19]

Les outils neacutecessaires sont donneacutes par le tableau suivant

Outils utiliseacutes Photo Actions

Une scie agrave ruban

Deacutecouper une planche en

forme ronde ou autre

Une scie circulaire

Transformer les bois en bois

carreacute drsquoarrecirct bien deacutefini

Une perceuse

Percer un trou

Une raboteuse

Lisser

Un compas

Tracer un cercle

24

Une Ponceuse

Lisser

Une scie

Deacutecouper lineacuteairement une

planche

des marteaux

servant par exemple agrave enfoncer

un clou

Un pinceau

Colorer en vernis les mateacuteriels

fabriqueacutes

Un stylo bleu

Marquer des lignes ou des trous

Une eacutequerre

- instrument servant agrave repeacuterer

une perpendiculaire

- pour veacuterifier des angles

diegravedres droits soit pour tracer

des angles plans droits

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et le support

6

AN w=

= 7310

-5 rads

II Etude de lrsquoeffet drsquoune force sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe [03][07][08][09][10]

II1 Importance de la direction de la force

a) Expeacuteriences et observations

Expeacuterience ndeg 1

Consideacuterons la porte drsquoune salle de classe agrave cause des gonds qui la soutiennent le seul

mouvement qursquoelle puisse prendre est un mouvement de rotation autour drsquoun axe vertical fixe

joignant les gonds Pour faire tourner la porte autour de cet axe nous devons lui appliquer une force

exerceacutee au poignet de cette porte une force perpendiculaire au plan de la porte par exemple

Figure 3 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force perpendiculaire au plan de la porte

Observation

Nous observons que la force fait tourner la porte autour de lrsquoaxe de rotation La porte tourne

autour de lrsquoaxe des gonds

Expeacuterience ndeg 2

Si nous appliquons une force verticale sur le poignet crsquoest-agrave-dire parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation

7

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe

Observation

Nous observons que la force nrsquoa aucun effet sur la porte Cette derniegravere reste immobile

Expeacuterience ndeg 3

Tirer horizontalement et perpendiculaire agrave lrsquoaxe de rotation la porte sur le poignet avec une force

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte

Observation

Nous observons que la force nrsquoa non plus aucun effet de rotation La porte est resteacutee immobile

8

Expeacuterience ndeg 4

Exerccedilons maintenant une force inclineacutee dont la droite drsquoaction rencontre eacutegalement lrsquoaxe

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte

Observation

Nous constatons que la force ne produit aucun effet de rotation sur la porte

b) Conclusion

Une force dont la droite drsquoaction est agrave la fois perpendiculaire et distante de lrsquoaxe de rotation a un

effet de rotation sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe

Une force dont la droite drsquoaction est parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation a un effet de rotation nul

Une force dont la droite drsquoaction rencontre lrsquoaxe de rotation nrsquoa aucun effet de rotation

II2 Importance de la distance de la droite drsquoaction de la force agrave lrsquoaxe de rotation et lrsquointensiteacute de

la force [02] [04] [05] [07]

a) Expeacuterience

Exerccedilons successivement deux forces et drsquointensiteacutes diffeacuterentes et perpendiculaires agrave la

porte Les points drsquoapplications de ces forces sont totalement diffeacuterents

9

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de

rotation et lintensiteacute de la force

b) Observation

Nous avons pris d1 infeacuterieure agrave d2 nous constatons que pour faire tourner la porte en mecircme effet

on applique plus de force pour la distance d1 par rapport agrave celle de la distance d2

Conclusion

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est petite alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus grande pour avoir le mecircme effet de rotation

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est grande alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus petite pour avoir le mecircme effet de rotation

II3 Moment drsquoune force par rapport agrave un axe [01] [02] [03] [06] [09] [10]

Les expeacuteriences preacuteceacutedentes montrent que lrsquoeffet dynamique drsquoune force sur un corps introduit

une nouvelle grandeur physique invariante agrave chaque eacutequilibre crsquoest laquo le moment drsquoune force

constante par rapport agrave un axe fixe raquo

Ce qui importe cette grandeur caracteacuterise lrsquoeffet de la force sur un solide capable de tourner autour

drsquoun axe Certes deux forces agissent sur un solide et ayant le mecircme moment par rapport agrave lrsquoaxe

auront le mecircme effet

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force

Lrsquointensiteacute du moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave lrsquoaxe consideacutereacute est eacutegale au produit de

son intensiteacute par la distance de lrsquoaxe agrave la droite drsquoaction de la force

Notation MΔ ( )

119813120783

10

m (eacutequation I )

N

Avec - MΔ( ) Moment de la force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ)

- F Intensiteacute de la force

- d Distance entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe de rotation (Δ) La distance laquo d raquo

srsquoappelle bras de levier

Dans le systegraveme international cette grandeur se mesure en newton-megravetre (Nm)

ATTENTIONS

Il faut toujours preacuteciser lrsquoaxe de rotation

Ne pas confondre les uniteacutes newton-megravetre Nm et mN un sous multiple de Newton

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire agrave la fois agrave la droite drsquoaction de la

force et agrave lrsquoaxe de rotation

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaisseacutee depuis le centre de rotation sur la droite

drsquoaction de la force Le pouvoir de laquo rotation raquo deacutepend donc de la position relative du point

drsquoapplication de la force et du centre de rotation consideacutereacute

Figure 8 Bras de levier d

Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonomeacutetrie dans le triangle rectangle ABC drsquohypoteacutenuse

AB= l

MΔ ( ) = F x d

11

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier

Le bras de levier d peut ecirctre deacutetermineacute connaissant

La distance l entre le point drsquoapplication de la force et lrsquoaxe de rotation

Lrsquoangle α formeacute par la droite drsquoaction de la force et la droite passant par lrsquoaxe de rotation et le

point drsquoapplication de la force

Ce qui permet drsquoeacutetablir d = l middot sin(α)

Si lrsquoangle formeacute est de 90deg alors sin (90deg) = 1 Lrsquoexpression du moment drsquoune force est reacuteduite agrave

lrsquoeacutequation I

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Consideacuterons une regravegle AB munie de plusieurs trous permettant drsquoaccrocher un corps (C) de masse

donneacutee et un dynamomegravetre en diffeacuterents points La regravegle AB est mobile autour drsquoun axe horizontal

passant par son milieu O

Vers lrsquoextreacutemiteacute B de la regravegle suspendons le corps (C) Entraicircneacutee par le poids du corps (C) la regravegle prend

alors la position verticale

Pour amener la regravegle dans sa position horizontale on exerce sur sa partie OA une force verticale

orienteacutee vers le bas Nous pouvons mesurer lrsquointensiteacute de F rsquo au moyen drsquoun dynamomegravetre

A O B

M

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe

Observation

A

C

B

12

Nous observons que plus la distance drsquo= OM est grande plus la force a une intensiteacute petite mais le

produit Frsquoxdrsquo reste constant

Nm N m

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Cas dune force non orthogonale ou inclineacutee drsquoun angle quelconque θ Si nous inclinons la droite

drsquoaction de la force sans changer son point drsquoapplication celle-ci doit ecirctre plus forte en intensiteacute pour

produire le mecircme effet Soit F sa nouvelle intensiteacute et d la nouvelle distance de lrsquoaxe de rotation agrave la

droite drsquoaction de

A O B

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie

Observation

Nous observons que le produit Fxd possegravede la mecircme valeur que lorsque la force est perpendiculaire agrave

(OA) en M La force peut tourner la reacuteglette dans un sens Elle admet un moment par rapport agrave cet

axe mais son bras de levier pose un problegraveme

Deacutetermination drsquoun moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Deacutecomposer la force en deux forces orthogonales dont la droite drsquoaction de lrsquoune est parallegravele agrave

lrsquoaxe et la droite drsquoaction de lrsquoautre coupe lrsquoaxe

13

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales

=

MΔ ( ) = MΔ ( ) + MΔ ( )

Nous allons choisir le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre comme sens positif arbitraire de rotation La

droite drsquoaction de la force coupe lrsquoaxe de rotation ( ) donc le moment de cette force est nul

MΔ ( ) = 0

MΔ ( ) = MΔ ( )

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - Frsquorsquo x d Car la force fait tourner le solide dans le sens contraire

Deacutetermination de la longueur d et lrsquointensiteacute de la force

Drsquoapregraves la figure ci- dessus nous avons

sin

d OM

F F

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - F x sin (θ) x OM

Nm N degreacute m

MΔ () = - FxsinθxOM

14

II35 Moment drsquoun couple de force

Deacutefinition drsquoun couple de forces

Un systegraveme de deux forces parallegraveles de sens contraires de mecircme intensiteacute et nrsquoayant pas le

mecircme support constitue un couple parfait

Couple (

) signifie support diffeacuterentes et

=

Les supports des forces deacutefinissent un plan P appeleacute plan du couple

Figure 13 Couple des forces

Moment drsquoun couple

Consideacuterons un couple de forces appliqueacute agrave un disque en rotation autour drsquoun axe fixe (Δ) passant

le centre O et perpendiculaire agrave son plan Les forces sont orthogonales agrave lrsquoaxe Elles ont mecircme

intensiteacute F Les deux forces tendent agrave faire tourner le disque dans le mecircme sens les moments de ces

forces ont donc le mecircme signe positif

La somme des deux moments est appeleacutee moment du couple dont lrsquoexpression srsquoeacutecrit

Nm N m

Avec d eacutetant la distance entre les supports des forces

Le moment drsquoun couple des forces de mecircmes intensiteacutes par rapport agrave un axe perpendiculaire au plan

du couple est mesureacute par le produit de lrsquointensiteacute commune des deux forces par la distance entre leur

support

15

II36 Choix du sens positif du mouvement

Expeacuterience

Utilisons une reacuteglette de longueur 30 centimegravetres mobile autour drsquoun axe horizontal passant par

un point O La force tend agrave faire tourner la reacuteglette dans un sens tandis que la force

tend agrave

faire tourner dans lrsquoautre sens Pour marquer cette diffeacuterence nous choisissons arbitrairement un sens

positif de rotation autour de lrsquoaxe

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement

Observation

fait tourner la reacuteglette dans le sens positif Alors le moment de cette force

sera pris

positivement

fait tourner la reacuteglette dans le sens neacutegatif Alors le moment de cette force

aura une valeur

neacutegative

Une force admet un moment nul quand la droite drsquoaction de est parallegravele ou coupe lrsquoaxe

Conclusion

Il est impeacuteratif drsquoattribuer un signe au moment de la force Le moment drsquoune force est une grandeur

algeacutebrique il peut ecirctre positif ou neacutegatif

III Theacuteoregraveme des moments [01] [06] [07] [09] [10] [12] [13] [15]

III1 Expeacuterience

Le dispositif expeacuterimental est une reacuteglette AB consideacutereacutee comme une barre rigide perceacutee de

plusieurs trous auxquels nous pouvons suspendre des masses agrave lrsquoaide des fils inextensibles et de

masses neacutegligeables Chaque trou correspond un point de contact entre le fil et la barre La reacuteglette

16

de longueur L = 30 cm est mobile sans frottement autour drsquoun axe ( ) horizontal passant par son

centre de graviteacute Elle tourne sous lrsquoaction de la tension des fils

Masse M1 Masse M2

Nous appliquons agrave la barre deux forces =

et

agrave lrsquoaide de deux fils tendus par des

masses marqueacutees M1 et M2 Les intensiteacutes F1 et F2 sont connues si la barre est en eacutequilibre en

utilisant les relations suivantes F1 =M1g et F2= M2g Faisons varier les deux masses M1 et M2 ce qui

entraine les diffeacuterentes valeurs des intensiteacutes F1 et F2 Pour chaque eacutequilibre relevons lrsquointensiteacute de

chaque force et mesurons les longueurs des bras de levier d1 et d2 correspondantes agrave lrsquoaide drsquoune

regravegle gradueacutee Lorsque le mateacuteriel ne tourne pas autour de laxe ( ) Pour maintenir horizontalement

la droite (AB) nous avons obtenu les reacutesultats expeacuterimentales en tenant compte des erreurs

provenant de la mesure lors de lrsquoexpeacuterimentation

III2 Valeurs expeacuterimentales

Dans cette expeacuterience nous allons prendre lrsquointensiteacute de la pesanteur g = 10Nkg Lrsquointensiteacute de la

force exerceacutee en un point de contact entre le fil et la reacuteglette est donneacutee par le tableau suivant

Masse (en Kg)

0050

0100

0150

0200

0250

0300

Intensiteacute de la force ou

(en N)

0500

1000

1500

2000

2500

3000

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous

17

Le tableau ci-dessous donne les valeurs correspondantes agrave chaque mesure

Mesure Mesure ndeg1 Mesure ndeg 2 Mesure ndeg3 Mesure ndeg4

F1 (N) 100 050 150 300

d1 (m) 004 008 008 006

F1 d1 (Nm) 004

004 012 018

F2 (N) 200 200 100 300

d2 (m) 002 002 012 006

F2 d2(Nm) 004 004 012 018

Tableau 2 Releveacute des mesures

Nous remarquons que lors de lrsquoexpeacuterimentation il existe toujours des erreurs provenant soit du

mateacuteriel drsquoexpeacuterience soit de la mesure

III3 Observation

Nous constatons que F1 ne F2 dans la condition suivante d1ned2

Nous constatons que F1d1=F2d2 lorsque la reacuteglette ne tourne pas autour de lrsquoaxe crsquoest-agrave-dire

agrave lrsquoeacutequilibre

Nous constatons que la somme algeacutebrique des moments est nulle en effet lrsquoexpeacuterience lrsquoa

montreacute

III4 Calcul drsquoerreur

Le mot erreur se reacutefegravere agrave quelque chose de juste ou de vrai On parle drsquoerreur sur une

mesure physique lorsque nous pouvons la comparer agrave une valeur de reacutefeacuterence qui peut ecirctre

consideacutereacutee comme vraie (par exemple la tempeacuterature du zeacutero absolu) Geacuteneacuteralement pour les

mesures effectueacutees au laboratoire il nrsquoest pas eacutevident de posseacuteder une valeur de reacutefeacuterence et surtout

difficile de connaicirctre la valeur exacte de la grandeur mesureacutee (par exemple longueur drsquoune barre

vitesse drsquoun projectile) Nous parlons alors drsquoincertitude Chaque grandeur mesureacutee a une certaine

incertitude

Pendant lrsquoexpeacuterience nous effectuons la mesure par des chiffres significatifs crsquoest-agrave-dire le

nombre de chiffres significatifs agrave indiquer dans un reacutesultat est eacutegalement fixeacute par le calcul des

incertitudes Tout reacutesultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs

Dans notre cas lrsquoerreur est mesureacutee agrave partir de la diffeacuterence entre la longueur du bras de levier

obtenue expeacuterimentalement et sa valeur theacuteorique Soient dexp et dtheacuteo les valeurs respectives du bras

18

de levier lrsquoune expeacuterimentale et lrsquoautre theacuteorique Et nous allons noter Δd lrsquoerreur entre les deux

valeurs

m

Nous pouvons remarquer que la mesure de lrsquointensiteacute drsquoune force preacutesente aussi une erreur Le

tableau ci-dessous repreacutesente les calculs drsquoerreur lors de prise de chaque reacutesultat

Mesure Mesure ndeg1 Erreurs Mesure ndeg 2 Erreurs Mesurendeg3 Erreurs Mesure ndeg4 Erreurs

F1(en N)

1000

0010

0500

0010

1500

0010

3000

0010

d1 (en m)

0040

0004

0080

0004

0080

0004

0060

0004

F1xd1

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

F2

(en N)

2000

0010

0020

0010

0010

0010

3000

0010

d2

(en m)

0020

0004

0020

0004

0120

0004

0060

0004

F2xd2

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure

III5 Interpreacutetation

Systegraveme la reacuteglette

Bilan des forces appliqueacutees

Son poids

La reacuteaction de lrsquoaxe

Δd = dexp - dtheacuteo

19

Les deux forces et

(tension des fils)

Reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire

Evaluation des moments des forces choisir le sens positif dans le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre

Les moments de la reacuteaction de lrsquoaxe et le poids sont nul car les droites drsquoaction de ces deux

forces couplent lrsquoaxe de rotation

Le moment de la force MΔ (

)= - M1gd1

Le moment de la force MΔ (

)= M2gd2

A lrsquoeacutequilibre lrsquoeacutetude expeacuterimentale simple va nous permettre de preacuteciser quantitativement que

lrsquoeffet de rotation de la force sur la reacuteglette et lrsquoeffet de rotation de la force

sont eacutegaux Et

son poids et la reacuteaction de lrsquoaxe nrsquoont pas drsquoeffet de rotation

Donc MΔ ( ) = MΔ (

)

MΔ ( ) + MΔ (

)= 0

III2 Eacutenonceacute du theacuteoregraveme des moments

Pour mettre un solide mobile autour drsquoun axe fixe en eacutequilibre il faut que la somme des

moments par rapport agrave lrsquoaxe fixe des forces appliqueacutees qui tendent agrave le faire tourner dans un sens

positif est eacutegale agrave la somme des moments par rapport agrave lrsquoaxe des forces qui tendent agrave le faire tourner

dans le sens neacutegatif

Enonceacute du theacuteoregraveme des moments laquo Dans le reacutefeacuterentiel terrestre lorsqursquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe est en eacutequilibre la somme algeacutebrique des moments par rapport agrave cet axe

de toutes les forces exteacuterieures appliqueacutees agrave ce solide est nulle raquo

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe [10] [15] [16]

Un solide mobile autour dun axe fixe est en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre si nous avons

La somme vectorielle des forces exteacuterieures est nulle sum crsquoest-agrave-dire immobiliteacute

du centre dinertie G

La somme algeacutebrique des moments des forces exteacuterieures par rapport agrave laxe est nulle

20

sum crsquoest-agrave-dire en absence de mouvement de rotation

Il faut remarquer que ces conditions sont neacutecessaires mais non suffisantes Elles sont neacutecessairement

veacuterifieacutees srsquoil y a un eacutequilibre Elles ne sont suffisantes pour pouvoir affirmer qursquoun systegraveme est au

repos

21

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX

Dans cette partie nous inteacuteressons sur lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel expeacuterimental concernant

lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe Elle est consacreacutee agrave la preacutesentation des travaux

que nous avons effectueacutes Premiegraverement pour lrsquoeacutetude du moment drsquoune force crsquoest une reacuteglette

mobile et sans frottement appreacuteciable autour drsquoun axe fixe horizontale (Δ) passant par son centre de

graviteacute Deuxiegravemement dans le cas du theacuteoregraveme des moments nous disposons drsquoun mecircme mateacuteriel

drsquoexpeacuterimental

Dans le programme officiel de la classe de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours

un problegraveme drsquoexpeacuterience Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer des mateacuteriels didactiques afin

drsquoapporter notre part dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide

mobile autour drsquoun axe fixe Nous pouvons donc eacutelaborer un mateacuteriel expeacuterimental comme lrsquoindique

le scheacutema suivant

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

I Regravegles de Seacutecuriteacute dans un atelier [17]

Seule les personnes ayant suivi la formation obligatoire sont autoriseacutees agrave travailler dans un

atelier

22

Le port des lunettes de seacutecuriteacute est obligatoire lors de lrsquoutilisation des machines fixes et

portatives

Les masques anti-poussiegraveres sont recommandeacutes pour des travaux poussieacutereux par exemple le

ponccedilage

Une tenue approprieacutee au travail drsquoatelier est exigeacutee Les pieds nus et sandales sont interdits

Enlever tout objet pouvant srsquoaccrocher agrave une machine en marchethinsp montres bijoux fils

drsquoeacutecouteurs eacutecharpes etc Les manches longues doivent ecirctre enrouleacutees les cheveux longs

attacheacutes

Pour raisons de seacutecuriteacute et de santeacute il est interdit de fumer boire ou manger dans lrsquoatelier

Il est interdit drsquoutiliser les machines sous lrsquoinfluence drsquoalcool ou de drogue (y compris

certains meacutedicaments sous ordonnance)

Utiliser les outils approprieacutes au travail agrave exeacutecuter En cas drsquoheacutesitation sur la technique ou

lrsquooutil agrave utiliser pour entreprendre quelque chose il est interdit de commencer sans se

renseigner aupregraves du personnel responsable

Travailler drsquoune faccedilon ordonneacutee Avant de quitter lrsquoatelier il est conseilleacute de mettre de lrsquoordre

sur la table de travail et les outilsthinsp mettre les deacutechets hors de vue dans les containers

approprieacutes

Lire comprendre et appliquer les regravegles drsquoutilisation des machines avant de commencer

Pendant le travail regarder constamment ougrave sont vos doigts Garder ses doigts loin des outils

coupants et en dehors de la ldquozone drsquoactionrdquo des machines

Ne laisser jamais tourner une machine sans surveillance

Ne reacutegler jamais une machine en marche Arrecircter la machine et attendez son arrecirct complet

Deacutebrancher les machines portatives pour le changement des lames

Nettoyer les machines apregraves chaque usage

Les accidents arrivent souvent lorsque lrsquoon est presseacute ou par manque de concentration

La fatigue le stress et lrsquoalcool sont des multiplicateurs de risque

Lire attentivement les pictogrammes de chaque outil

II Fabrication drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe [11]

Il y a plusieurs mateacuteriels drsquoexpeacuteriences qui illustrent le moment drsquoune force par rapport agrave un axe

fixe et le theacuteoregraveme des moments Parmi eux nous allons fabriquer une reacuteglette en bois de sapin

23

II1 Outils utiliseacutes [19]

Les outils neacutecessaires sont donneacutes par le tableau suivant

Outils utiliseacutes Photo Actions

Une scie agrave ruban

Deacutecouper une planche en

forme ronde ou autre

Une scie circulaire

Transformer les bois en bois

carreacute drsquoarrecirct bien deacutefini

Une perceuse

Percer un trou

Une raboteuse

Lisser

Un compas

Tracer un cercle

24

Une Ponceuse

Lisser

Une scie

Deacutecouper lineacuteairement une

planche

des marteaux

servant par exemple agrave enfoncer

un clou

Un pinceau

Colorer en vernis les mateacuteriels

fabriqueacutes

Un stylo bleu

Marquer des lignes ou des trous

Une eacutequerre

- instrument servant agrave repeacuterer

une perpendiculaire

- pour veacuterifier des angles

diegravedres droits soit pour tracer

des angles plans droits

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et le support

7

Figure 4 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force parallegravele agrave lrsquoaxe

Observation

Nous observons que la force nrsquoa aucun effet sur la porte Cette derniegravere reste immobile

Expeacuterience ndeg 3

Tirer horizontalement et perpendiculaire agrave lrsquoaxe de rotation la porte sur le poignet avec une force

Figure 5 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force horizontale dans le plan de la porte

Observation

Nous observons que la force nrsquoa non plus aucun effet de rotation La porte est resteacutee immobile

8

Expeacuterience ndeg 4

Exerccedilons maintenant une force inclineacutee dont la droite drsquoaction rencontre eacutegalement lrsquoaxe

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte

Observation

Nous constatons que la force ne produit aucun effet de rotation sur la porte

b) Conclusion

Une force dont la droite drsquoaction est agrave la fois perpendiculaire et distante de lrsquoaxe de rotation a un

effet de rotation sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe

Une force dont la droite drsquoaction est parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation a un effet de rotation nul

Une force dont la droite drsquoaction rencontre lrsquoaxe de rotation nrsquoa aucun effet de rotation

II2 Importance de la distance de la droite drsquoaction de la force agrave lrsquoaxe de rotation et lrsquointensiteacute de

la force [02] [04] [05] [07]

a) Expeacuterience

Exerccedilons successivement deux forces et drsquointensiteacutes diffeacuterentes et perpendiculaires agrave la

porte Les points drsquoapplications de ces forces sont totalement diffeacuterents

9

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de

rotation et lintensiteacute de la force

b) Observation

Nous avons pris d1 infeacuterieure agrave d2 nous constatons que pour faire tourner la porte en mecircme effet

on applique plus de force pour la distance d1 par rapport agrave celle de la distance d2

Conclusion

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est petite alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus grande pour avoir le mecircme effet de rotation

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est grande alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus petite pour avoir le mecircme effet de rotation

II3 Moment drsquoune force par rapport agrave un axe [01] [02] [03] [06] [09] [10]

Les expeacuteriences preacuteceacutedentes montrent que lrsquoeffet dynamique drsquoune force sur un corps introduit

une nouvelle grandeur physique invariante agrave chaque eacutequilibre crsquoest laquo le moment drsquoune force

constante par rapport agrave un axe fixe raquo

Ce qui importe cette grandeur caracteacuterise lrsquoeffet de la force sur un solide capable de tourner autour

drsquoun axe Certes deux forces agissent sur un solide et ayant le mecircme moment par rapport agrave lrsquoaxe

auront le mecircme effet

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force

Lrsquointensiteacute du moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave lrsquoaxe consideacutereacute est eacutegale au produit de

son intensiteacute par la distance de lrsquoaxe agrave la droite drsquoaction de la force

Notation MΔ ( )

119813120783

10

m (eacutequation I )

N

Avec - MΔ( ) Moment de la force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ)

- F Intensiteacute de la force

- d Distance entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe de rotation (Δ) La distance laquo d raquo

srsquoappelle bras de levier

Dans le systegraveme international cette grandeur se mesure en newton-megravetre (Nm)

ATTENTIONS

Il faut toujours preacuteciser lrsquoaxe de rotation

Ne pas confondre les uniteacutes newton-megravetre Nm et mN un sous multiple de Newton

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire agrave la fois agrave la droite drsquoaction de la

force et agrave lrsquoaxe de rotation

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaisseacutee depuis le centre de rotation sur la droite

drsquoaction de la force Le pouvoir de laquo rotation raquo deacutepend donc de la position relative du point

drsquoapplication de la force et du centre de rotation consideacutereacute

Figure 8 Bras de levier d

Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonomeacutetrie dans le triangle rectangle ABC drsquohypoteacutenuse

AB= l

MΔ ( ) = F x d

11

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier

Le bras de levier d peut ecirctre deacutetermineacute connaissant

La distance l entre le point drsquoapplication de la force et lrsquoaxe de rotation

Lrsquoangle α formeacute par la droite drsquoaction de la force et la droite passant par lrsquoaxe de rotation et le

point drsquoapplication de la force

Ce qui permet drsquoeacutetablir d = l middot sin(α)

Si lrsquoangle formeacute est de 90deg alors sin (90deg) = 1 Lrsquoexpression du moment drsquoune force est reacuteduite agrave

lrsquoeacutequation I

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Consideacuterons une regravegle AB munie de plusieurs trous permettant drsquoaccrocher un corps (C) de masse

donneacutee et un dynamomegravetre en diffeacuterents points La regravegle AB est mobile autour drsquoun axe horizontal

passant par son milieu O

Vers lrsquoextreacutemiteacute B de la regravegle suspendons le corps (C) Entraicircneacutee par le poids du corps (C) la regravegle prend

alors la position verticale

Pour amener la regravegle dans sa position horizontale on exerce sur sa partie OA une force verticale

orienteacutee vers le bas Nous pouvons mesurer lrsquointensiteacute de F rsquo au moyen drsquoun dynamomegravetre

A O B

M

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe

Observation

A

C

B

12

Nous observons que plus la distance drsquo= OM est grande plus la force a une intensiteacute petite mais le

produit Frsquoxdrsquo reste constant

Nm N m

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Cas dune force non orthogonale ou inclineacutee drsquoun angle quelconque θ Si nous inclinons la droite

drsquoaction de la force sans changer son point drsquoapplication celle-ci doit ecirctre plus forte en intensiteacute pour

produire le mecircme effet Soit F sa nouvelle intensiteacute et d la nouvelle distance de lrsquoaxe de rotation agrave la

droite drsquoaction de

A O B

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie

Observation

Nous observons que le produit Fxd possegravede la mecircme valeur que lorsque la force est perpendiculaire agrave

(OA) en M La force peut tourner la reacuteglette dans un sens Elle admet un moment par rapport agrave cet

axe mais son bras de levier pose un problegraveme

Deacutetermination drsquoun moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Deacutecomposer la force en deux forces orthogonales dont la droite drsquoaction de lrsquoune est parallegravele agrave

lrsquoaxe et la droite drsquoaction de lrsquoautre coupe lrsquoaxe

13

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales

=

MΔ ( ) = MΔ ( ) + MΔ ( )

Nous allons choisir le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre comme sens positif arbitraire de rotation La

droite drsquoaction de la force coupe lrsquoaxe de rotation ( ) donc le moment de cette force est nul

MΔ ( ) = 0

MΔ ( ) = MΔ ( )

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - Frsquorsquo x d Car la force fait tourner le solide dans le sens contraire

Deacutetermination de la longueur d et lrsquointensiteacute de la force

Drsquoapregraves la figure ci- dessus nous avons

sin

d OM

F F

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - F x sin (θ) x OM

Nm N degreacute m

MΔ () = - FxsinθxOM

14

II35 Moment drsquoun couple de force

Deacutefinition drsquoun couple de forces

Un systegraveme de deux forces parallegraveles de sens contraires de mecircme intensiteacute et nrsquoayant pas le

mecircme support constitue un couple parfait

Couple (

) signifie support diffeacuterentes et

=

Les supports des forces deacutefinissent un plan P appeleacute plan du couple

Figure 13 Couple des forces

Moment drsquoun couple

Consideacuterons un couple de forces appliqueacute agrave un disque en rotation autour drsquoun axe fixe (Δ) passant

le centre O et perpendiculaire agrave son plan Les forces sont orthogonales agrave lrsquoaxe Elles ont mecircme

intensiteacute F Les deux forces tendent agrave faire tourner le disque dans le mecircme sens les moments de ces

forces ont donc le mecircme signe positif

La somme des deux moments est appeleacutee moment du couple dont lrsquoexpression srsquoeacutecrit

Nm N m

Avec d eacutetant la distance entre les supports des forces

Le moment drsquoun couple des forces de mecircmes intensiteacutes par rapport agrave un axe perpendiculaire au plan

du couple est mesureacute par le produit de lrsquointensiteacute commune des deux forces par la distance entre leur

support

15

II36 Choix du sens positif du mouvement

Expeacuterience

Utilisons une reacuteglette de longueur 30 centimegravetres mobile autour drsquoun axe horizontal passant par

un point O La force tend agrave faire tourner la reacuteglette dans un sens tandis que la force

tend agrave

faire tourner dans lrsquoautre sens Pour marquer cette diffeacuterence nous choisissons arbitrairement un sens

positif de rotation autour de lrsquoaxe

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement

Observation

fait tourner la reacuteglette dans le sens positif Alors le moment de cette force

sera pris

positivement

fait tourner la reacuteglette dans le sens neacutegatif Alors le moment de cette force

aura une valeur

neacutegative

Une force admet un moment nul quand la droite drsquoaction de est parallegravele ou coupe lrsquoaxe

Conclusion

Il est impeacuteratif drsquoattribuer un signe au moment de la force Le moment drsquoune force est une grandeur

algeacutebrique il peut ecirctre positif ou neacutegatif

III Theacuteoregraveme des moments [01] [06] [07] [09] [10] [12] [13] [15]

III1 Expeacuterience

Le dispositif expeacuterimental est une reacuteglette AB consideacutereacutee comme une barre rigide perceacutee de

plusieurs trous auxquels nous pouvons suspendre des masses agrave lrsquoaide des fils inextensibles et de

masses neacutegligeables Chaque trou correspond un point de contact entre le fil et la barre La reacuteglette

16

de longueur L = 30 cm est mobile sans frottement autour drsquoun axe ( ) horizontal passant par son

centre de graviteacute Elle tourne sous lrsquoaction de la tension des fils

Masse M1 Masse M2

Nous appliquons agrave la barre deux forces =

et

agrave lrsquoaide de deux fils tendus par des

masses marqueacutees M1 et M2 Les intensiteacutes F1 et F2 sont connues si la barre est en eacutequilibre en

utilisant les relations suivantes F1 =M1g et F2= M2g Faisons varier les deux masses M1 et M2 ce qui

entraine les diffeacuterentes valeurs des intensiteacutes F1 et F2 Pour chaque eacutequilibre relevons lrsquointensiteacute de

chaque force et mesurons les longueurs des bras de levier d1 et d2 correspondantes agrave lrsquoaide drsquoune

regravegle gradueacutee Lorsque le mateacuteriel ne tourne pas autour de laxe ( ) Pour maintenir horizontalement

la droite (AB) nous avons obtenu les reacutesultats expeacuterimentales en tenant compte des erreurs

provenant de la mesure lors de lrsquoexpeacuterimentation

III2 Valeurs expeacuterimentales

Dans cette expeacuterience nous allons prendre lrsquointensiteacute de la pesanteur g = 10Nkg Lrsquointensiteacute de la

force exerceacutee en un point de contact entre le fil et la reacuteglette est donneacutee par le tableau suivant

Masse (en Kg)

0050

0100

0150

0200

0250

0300

Intensiteacute de la force ou

(en N)

0500

1000

1500

2000

2500

3000

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous

17

Le tableau ci-dessous donne les valeurs correspondantes agrave chaque mesure

Mesure Mesure ndeg1 Mesure ndeg 2 Mesure ndeg3 Mesure ndeg4

F1 (N) 100 050 150 300

d1 (m) 004 008 008 006

F1 d1 (Nm) 004

004 012 018

F2 (N) 200 200 100 300

d2 (m) 002 002 012 006

F2 d2(Nm) 004 004 012 018

Tableau 2 Releveacute des mesures

Nous remarquons que lors de lrsquoexpeacuterimentation il existe toujours des erreurs provenant soit du

mateacuteriel drsquoexpeacuterience soit de la mesure

III3 Observation

Nous constatons que F1 ne F2 dans la condition suivante d1ned2

Nous constatons que F1d1=F2d2 lorsque la reacuteglette ne tourne pas autour de lrsquoaxe crsquoest-agrave-dire

agrave lrsquoeacutequilibre

Nous constatons que la somme algeacutebrique des moments est nulle en effet lrsquoexpeacuterience lrsquoa

montreacute

III4 Calcul drsquoerreur

Le mot erreur se reacutefegravere agrave quelque chose de juste ou de vrai On parle drsquoerreur sur une

mesure physique lorsque nous pouvons la comparer agrave une valeur de reacutefeacuterence qui peut ecirctre

consideacutereacutee comme vraie (par exemple la tempeacuterature du zeacutero absolu) Geacuteneacuteralement pour les

mesures effectueacutees au laboratoire il nrsquoest pas eacutevident de posseacuteder une valeur de reacutefeacuterence et surtout

difficile de connaicirctre la valeur exacte de la grandeur mesureacutee (par exemple longueur drsquoune barre

vitesse drsquoun projectile) Nous parlons alors drsquoincertitude Chaque grandeur mesureacutee a une certaine

incertitude

Pendant lrsquoexpeacuterience nous effectuons la mesure par des chiffres significatifs crsquoest-agrave-dire le

nombre de chiffres significatifs agrave indiquer dans un reacutesultat est eacutegalement fixeacute par le calcul des

incertitudes Tout reacutesultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs

Dans notre cas lrsquoerreur est mesureacutee agrave partir de la diffeacuterence entre la longueur du bras de levier

obtenue expeacuterimentalement et sa valeur theacuteorique Soient dexp et dtheacuteo les valeurs respectives du bras

18

de levier lrsquoune expeacuterimentale et lrsquoautre theacuteorique Et nous allons noter Δd lrsquoerreur entre les deux

valeurs

m

Nous pouvons remarquer que la mesure de lrsquointensiteacute drsquoune force preacutesente aussi une erreur Le

tableau ci-dessous repreacutesente les calculs drsquoerreur lors de prise de chaque reacutesultat

Mesure Mesure ndeg1 Erreurs Mesure ndeg 2 Erreurs Mesurendeg3 Erreurs Mesure ndeg4 Erreurs

F1(en N)

1000

0010

0500

0010

1500

0010

3000

0010

d1 (en m)

0040

0004

0080

0004

0080

0004

0060

0004

F1xd1

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

F2

(en N)

2000

0010

0020

0010

0010

0010

3000

0010

d2

(en m)

0020

0004

0020

0004

0120

0004

0060

0004

F2xd2

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure

III5 Interpreacutetation

Systegraveme la reacuteglette

Bilan des forces appliqueacutees

Son poids

La reacuteaction de lrsquoaxe

Δd = dexp - dtheacuteo

19

Les deux forces et

(tension des fils)

Reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire

Evaluation des moments des forces choisir le sens positif dans le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre

Les moments de la reacuteaction de lrsquoaxe et le poids sont nul car les droites drsquoaction de ces deux

forces couplent lrsquoaxe de rotation

Le moment de la force MΔ (

)= - M1gd1

Le moment de la force MΔ (

)= M2gd2

A lrsquoeacutequilibre lrsquoeacutetude expeacuterimentale simple va nous permettre de preacuteciser quantitativement que

lrsquoeffet de rotation de la force sur la reacuteglette et lrsquoeffet de rotation de la force

sont eacutegaux Et

son poids et la reacuteaction de lrsquoaxe nrsquoont pas drsquoeffet de rotation

Donc MΔ ( ) = MΔ (

)

MΔ ( ) + MΔ (

)= 0

III2 Eacutenonceacute du theacuteoregraveme des moments

Pour mettre un solide mobile autour drsquoun axe fixe en eacutequilibre il faut que la somme des

moments par rapport agrave lrsquoaxe fixe des forces appliqueacutees qui tendent agrave le faire tourner dans un sens

positif est eacutegale agrave la somme des moments par rapport agrave lrsquoaxe des forces qui tendent agrave le faire tourner

dans le sens neacutegatif

Enonceacute du theacuteoregraveme des moments laquo Dans le reacutefeacuterentiel terrestre lorsqursquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe est en eacutequilibre la somme algeacutebrique des moments par rapport agrave cet axe

de toutes les forces exteacuterieures appliqueacutees agrave ce solide est nulle raquo

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe [10] [15] [16]

Un solide mobile autour dun axe fixe est en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre si nous avons

La somme vectorielle des forces exteacuterieures est nulle sum crsquoest-agrave-dire immobiliteacute

du centre dinertie G

La somme algeacutebrique des moments des forces exteacuterieures par rapport agrave laxe est nulle

20

sum crsquoest-agrave-dire en absence de mouvement de rotation

Il faut remarquer que ces conditions sont neacutecessaires mais non suffisantes Elles sont neacutecessairement

veacuterifieacutees srsquoil y a un eacutequilibre Elles ne sont suffisantes pour pouvoir affirmer qursquoun systegraveme est au

repos

21

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX

Dans cette partie nous inteacuteressons sur lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel expeacuterimental concernant

lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe Elle est consacreacutee agrave la preacutesentation des travaux

que nous avons effectueacutes Premiegraverement pour lrsquoeacutetude du moment drsquoune force crsquoest une reacuteglette

mobile et sans frottement appreacuteciable autour drsquoun axe fixe horizontale (Δ) passant par son centre de

graviteacute Deuxiegravemement dans le cas du theacuteoregraveme des moments nous disposons drsquoun mecircme mateacuteriel

drsquoexpeacuterimental

Dans le programme officiel de la classe de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours

un problegraveme drsquoexpeacuterience Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer des mateacuteriels didactiques afin

drsquoapporter notre part dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide

mobile autour drsquoun axe fixe Nous pouvons donc eacutelaborer un mateacuteriel expeacuterimental comme lrsquoindique

le scheacutema suivant

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

I Regravegles de Seacutecuriteacute dans un atelier [17]

Seule les personnes ayant suivi la formation obligatoire sont autoriseacutees agrave travailler dans un

atelier

22

Le port des lunettes de seacutecuriteacute est obligatoire lors de lrsquoutilisation des machines fixes et

portatives

Les masques anti-poussiegraveres sont recommandeacutes pour des travaux poussieacutereux par exemple le

ponccedilage

Une tenue approprieacutee au travail drsquoatelier est exigeacutee Les pieds nus et sandales sont interdits

Enlever tout objet pouvant srsquoaccrocher agrave une machine en marchethinsp montres bijoux fils

drsquoeacutecouteurs eacutecharpes etc Les manches longues doivent ecirctre enrouleacutees les cheveux longs

attacheacutes

Pour raisons de seacutecuriteacute et de santeacute il est interdit de fumer boire ou manger dans lrsquoatelier

Il est interdit drsquoutiliser les machines sous lrsquoinfluence drsquoalcool ou de drogue (y compris

certains meacutedicaments sous ordonnance)

Utiliser les outils approprieacutes au travail agrave exeacutecuter En cas drsquoheacutesitation sur la technique ou

lrsquooutil agrave utiliser pour entreprendre quelque chose il est interdit de commencer sans se

renseigner aupregraves du personnel responsable

Travailler drsquoune faccedilon ordonneacutee Avant de quitter lrsquoatelier il est conseilleacute de mettre de lrsquoordre

sur la table de travail et les outilsthinsp mettre les deacutechets hors de vue dans les containers

approprieacutes

Lire comprendre et appliquer les regravegles drsquoutilisation des machines avant de commencer

Pendant le travail regarder constamment ougrave sont vos doigts Garder ses doigts loin des outils

coupants et en dehors de la ldquozone drsquoactionrdquo des machines

Ne laisser jamais tourner une machine sans surveillance

Ne reacutegler jamais une machine en marche Arrecircter la machine et attendez son arrecirct complet

Deacutebrancher les machines portatives pour le changement des lames

Nettoyer les machines apregraves chaque usage

Les accidents arrivent souvent lorsque lrsquoon est presseacute ou par manque de concentration

La fatigue le stress et lrsquoalcool sont des multiplicateurs de risque

Lire attentivement les pictogrammes de chaque outil

II Fabrication drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe [11]

Il y a plusieurs mateacuteriels drsquoexpeacuteriences qui illustrent le moment drsquoune force par rapport agrave un axe

fixe et le theacuteoregraveme des moments Parmi eux nous allons fabriquer une reacuteglette en bois de sapin

23

II1 Outils utiliseacutes [19]

Les outils neacutecessaires sont donneacutes par le tableau suivant

Outils utiliseacutes Photo Actions

Une scie agrave ruban

Deacutecouper une planche en

forme ronde ou autre

Une scie circulaire

Transformer les bois en bois

carreacute drsquoarrecirct bien deacutefini

Une perceuse

Percer un trou

Une raboteuse

Lisser

Un compas

Tracer un cercle

24

Une Ponceuse

Lisser

Une scie

Deacutecouper lineacuteairement une

planche

des marteaux

servant par exemple agrave enfoncer

un clou

Un pinceau

Colorer en vernis les mateacuteriels

fabriqueacutes

Un stylo bleu

Marquer des lignes ou des trous

Une eacutequerre

- instrument servant agrave repeacuterer

une perpendiculaire

- pour veacuterifier des angles

diegravedres droits soit pour tracer

des angles plans droits

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et le support

8

Expeacuterience ndeg 4

Exerccedilons maintenant une force inclineacutee dont la droite drsquoaction rencontre eacutegalement lrsquoaxe

Figure 6 Poignet drsquoune porte soumis agrave une force inclineacutee dans le plan de la porte

Observation

Nous constatons que la force ne produit aucun effet de rotation sur la porte

b) Conclusion

Une force dont la droite drsquoaction est agrave la fois perpendiculaire et distante de lrsquoaxe de rotation a un

effet de rotation sur un solide mobile autour drsquoun axe fixe

Une force dont la droite drsquoaction est parallegravele agrave lrsquoaxe de rotation a un effet de rotation nul

Une force dont la droite drsquoaction rencontre lrsquoaxe de rotation nrsquoa aucun effet de rotation

II2 Importance de la distance de la droite drsquoaction de la force agrave lrsquoaxe de rotation et lrsquointensiteacute de

la force [02] [04] [05] [07]

a) Expeacuterience

Exerccedilons successivement deux forces et drsquointensiteacutes diffeacuterentes et perpendiculaires agrave la

porte Les points drsquoapplications de ces forces sont totalement diffeacuterents

9

Figure 7 Mise en eacutevidence de lrsquoimportance de la distance de la droite daction de la force agrave laxe de

rotation et lintensiteacute de la force

b) Observation

Nous avons pris d1 infeacuterieure agrave d2 nous constatons que pour faire tourner la porte en mecircme effet

on applique plus de force pour la distance d1 par rapport agrave celle de la distance d2

Conclusion

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est petite alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus grande pour avoir le mecircme effet de rotation

Si la distance entre le point drsquoapplication drsquoune force et lrsquoaxe de rotation est grande alors

lrsquointensiteacute de la force soit plus petite pour avoir le mecircme effet de rotation

II3 Moment drsquoune force par rapport agrave un axe [01] [02] [03] [06] [09] [10]

Les expeacuteriences preacuteceacutedentes montrent que lrsquoeffet dynamique drsquoune force sur un corps introduit

une nouvelle grandeur physique invariante agrave chaque eacutequilibre crsquoest laquo le moment drsquoune force

constante par rapport agrave un axe fixe raquo

Ce qui importe cette grandeur caracteacuterise lrsquoeffet de la force sur un solide capable de tourner autour

drsquoun axe Certes deux forces agissent sur un solide et ayant le mecircme moment par rapport agrave lrsquoaxe

auront le mecircme effet

II31 Deacutefinition de la grandeur moment drsquoune force

Lrsquointensiteacute du moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave lrsquoaxe consideacutereacute est eacutegale au produit de

son intensiteacute par la distance de lrsquoaxe agrave la droite drsquoaction de la force

Notation MΔ ( )

119813120783

10

m (eacutequation I )

N

Avec - MΔ( ) Moment de la force par rapport agrave lrsquoaxe (Δ)

- F Intensiteacute de la force

- d Distance entre la droite drsquoaction de la force et lrsquoaxe de rotation (Δ) La distance laquo d raquo

srsquoappelle bras de levier

Dans le systegraveme international cette grandeur se mesure en newton-megravetre (Nm)

ATTENTIONS

Il faut toujours preacuteciser lrsquoaxe de rotation

Ne pas confondre les uniteacutes newton-megravetre Nm et mN un sous multiple de Newton

Le bras de levier est la longueur du segment perpendiculaire agrave la fois agrave la droite drsquoaction de la

force et agrave lrsquoaxe de rotation

II32 Deacutetermination de la longueur du bras de levier

Le bras de levier d est la perpendiculaire abaisseacutee depuis le centre de rotation sur la droite

drsquoaction de la force Le pouvoir de laquo rotation raquo deacutepend donc de la position relative du point

drsquoapplication de la force et du centre de rotation consideacutereacute

Figure 8 Bras de levier d

Le calcul de cette valeur peut se faire la trigonomeacutetrie dans le triangle rectangle ABC drsquohypoteacutenuse

AB= l

MΔ ( ) = F x d

11

Figure 9 Deacutetermination du bras de levier

Le bras de levier d peut ecirctre deacutetermineacute connaissant

La distance l entre le point drsquoapplication de la force et lrsquoaxe de rotation

Lrsquoangle α formeacute par la droite drsquoaction de la force et la droite passant par lrsquoaxe de rotation et le

point drsquoapplication de la force

Ce qui permet drsquoeacutetablir d = l middot sin(α)

Si lrsquoangle formeacute est de 90deg alors sin (90deg) = 1 Lrsquoexpression du moment drsquoune force est reacuteduite agrave

lrsquoeacutequation I

II33 Moment drsquoune force orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Consideacuterons une regravegle AB munie de plusieurs trous permettant drsquoaccrocher un corps (C) de masse

donneacutee et un dynamomegravetre en diffeacuterents points La regravegle AB est mobile autour drsquoun axe horizontal

passant par son milieu O

Vers lrsquoextreacutemiteacute B de la regravegle suspendons le corps (C) Entraicircneacutee par le poids du corps (C) la regravegle prend

alors la position verticale

Pour amener la regravegle dans sa position horizontale on exerce sur sa partie OA une force verticale

orienteacutee vers le bas Nous pouvons mesurer lrsquointensiteacute de F rsquo au moyen drsquoun dynamomegravetre

A O B

M

Figure 10 Force perpendiculaire agrave lrsquoaxe

Observation

A

C

B

12

Nous observons que plus la distance drsquo= OM est grande plus la force a une intensiteacute petite mais le

produit Frsquoxdrsquo reste constant

Nm N m

II34 Moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Expeacuterience

Cas dune force non orthogonale ou inclineacutee drsquoun angle quelconque θ Si nous inclinons la droite

drsquoaction de la force sans changer son point drsquoapplication celle-ci doit ecirctre plus forte en intensiteacute pour

produire le mecircme effet Soit F sa nouvelle intensiteacute et d la nouvelle distance de lrsquoaxe de rotation agrave la

droite drsquoaction de

A O B

Figure 11 Force quelconque inclineacutee drsquoun angle bien deacutefinie

Observation

Nous observons que le produit Fxd possegravede la mecircme valeur que lorsque la force est perpendiculaire agrave

(OA) en M La force peut tourner la reacuteglette dans un sens Elle admet un moment par rapport agrave cet

axe mais son bras de levier pose un problegraveme

Deacutetermination drsquoun moment drsquoune force non orthogonale par rapport agrave un axe

Deacutecomposer la force en deux forces orthogonales dont la droite drsquoaction de lrsquoune est parallegravele agrave

lrsquoaxe et la droite drsquoaction de lrsquoautre coupe lrsquoaxe

13

Figure 12 Deacutecomposition de la force en deux forces orthogonales

=

MΔ ( ) = MΔ ( ) + MΔ ( )

Nous allons choisir le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre comme sens positif arbitraire de rotation La

droite drsquoaction de la force coupe lrsquoaxe de rotation ( ) donc le moment de cette force est nul

MΔ ( ) = 0

MΔ ( ) = MΔ ( )

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - Frsquorsquo x d Car la force fait tourner le solide dans le sens contraire

Deacutetermination de la longueur d et lrsquointensiteacute de la force

Drsquoapregraves la figure ci- dessus nous avons

sin

d OM

F F

MΔ ( ) = MΔ ( ) = - F x sin (θ) x OM

Nm N degreacute m

MΔ () = - FxsinθxOM

14

II35 Moment drsquoun couple de force

Deacutefinition drsquoun couple de forces

Un systegraveme de deux forces parallegraveles de sens contraires de mecircme intensiteacute et nrsquoayant pas le

mecircme support constitue un couple parfait

Couple (

) signifie support diffeacuterentes et

=

Les supports des forces deacutefinissent un plan P appeleacute plan du couple

Figure 13 Couple des forces

Moment drsquoun couple

Consideacuterons un couple de forces appliqueacute agrave un disque en rotation autour drsquoun axe fixe (Δ) passant

le centre O et perpendiculaire agrave son plan Les forces sont orthogonales agrave lrsquoaxe Elles ont mecircme

intensiteacute F Les deux forces tendent agrave faire tourner le disque dans le mecircme sens les moments de ces

forces ont donc le mecircme signe positif

La somme des deux moments est appeleacutee moment du couple dont lrsquoexpression srsquoeacutecrit

Nm N m

Avec d eacutetant la distance entre les supports des forces

Le moment drsquoun couple des forces de mecircmes intensiteacutes par rapport agrave un axe perpendiculaire au plan

du couple est mesureacute par le produit de lrsquointensiteacute commune des deux forces par la distance entre leur

support

15

II36 Choix du sens positif du mouvement

Expeacuterience

Utilisons une reacuteglette de longueur 30 centimegravetres mobile autour drsquoun axe horizontal passant par

un point O La force tend agrave faire tourner la reacuteglette dans un sens tandis que la force

tend agrave

faire tourner dans lrsquoautre sens Pour marquer cette diffeacuterence nous choisissons arbitrairement un sens

positif de rotation autour de lrsquoaxe

Figure 14 Choix du sens positif du mouvement

Observation

fait tourner la reacuteglette dans le sens positif Alors le moment de cette force

sera pris

positivement

fait tourner la reacuteglette dans le sens neacutegatif Alors le moment de cette force

aura une valeur

neacutegative

Une force admet un moment nul quand la droite drsquoaction de est parallegravele ou coupe lrsquoaxe

Conclusion

Il est impeacuteratif drsquoattribuer un signe au moment de la force Le moment drsquoune force est une grandeur

algeacutebrique il peut ecirctre positif ou neacutegatif

III Theacuteoregraveme des moments [01] [06] [07] [09] [10] [12] [13] [15]

III1 Expeacuterience

Le dispositif expeacuterimental est une reacuteglette AB consideacutereacutee comme une barre rigide perceacutee de

plusieurs trous auxquels nous pouvons suspendre des masses agrave lrsquoaide des fils inextensibles et de

masses neacutegligeables Chaque trou correspond un point de contact entre le fil et la barre La reacuteglette

16

de longueur L = 30 cm est mobile sans frottement autour drsquoun axe ( ) horizontal passant par son

centre de graviteacute Elle tourne sous lrsquoaction de la tension des fils

Masse M1 Masse M2

Nous appliquons agrave la barre deux forces =

et

agrave lrsquoaide de deux fils tendus par des

masses marqueacutees M1 et M2 Les intensiteacutes F1 et F2 sont connues si la barre est en eacutequilibre en

utilisant les relations suivantes F1 =M1g et F2= M2g Faisons varier les deux masses M1 et M2 ce qui

entraine les diffeacuterentes valeurs des intensiteacutes F1 et F2 Pour chaque eacutequilibre relevons lrsquointensiteacute de

chaque force et mesurons les longueurs des bras de levier d1 et d2 correspondantes agrave lrsquoaide drsquoune

regravegle gradueacutee Lorsque le mateacuteriel ne tourne pas autour de laxe ( ) Pour maintenir horizontalement

la droite (AB) nous avons obtenu les reacutesultats expeacuterimentales en tenant compte des erreurs

provenant de la mesure lors de lrsquoexpeacuterimentation

III2 Valeurs expeacuterimentales

Dans cette expeacuterience nous allons prendre lrsquointensiteacute de la pesanteur g = 10Nkg Lrsquointensiteacute de la

force exerceacutee en un point de contact entre le fil et la reacuteglette est donneacutee par le tableau suivant

Masse (en Kg)

0050

0100

0150

0200

0250

0300

Intensiteacute de la force ou

(en N)

0500

1000

1500

2000

2500

3000

Tableau 1 Correspondance entre la masse utiliseacutee et lrsquointensiteacute de la force

Figure 15 Reacuteglette perceacutee des trous

17

Le tableau ci-dessous donne les valeurs correspondantes agrave chaque mesure

Mesure Mesure ndeg1 Mesure ndeg 2 Mesure ndeg3 Mesure ndeg4

F1 (N) 100 050 150 300

d1 (m) 004 008 008 006

F1 d1 (Nm) 004

004 012 018

F2 (N) 200 200 100 300

d2 (m) 002 002 012 006

F2 d2(Nm) 004 004 012 018

Tableau 2 Releveacute des mesures

Nous remarquons que lors de lrsquoexpeacuterimentation il existe toujours des erreurs provenant soit du

mateacuteriel drsquoexpeacuterience soit de la mesure

III3 Observation

Nous constatons que F1 ne F2 dans la condition suivante d1ned2

Nous constatons que F1d1=F2d2 lorsque la reacuteglette ne tourne pas autour de lrsquoaxe crsquoest-agrave-dire

agrave lrsquoeacutequilibre

Nous constatons que la somme algeacutebrique des moments est nulle en effet lrsquoexpeacuterience lrsquoa

montreacute

III4 Calcul drsquoerreur

Le mot erreur se reacutefegravere agrave quelque chose de juste ou de vrai On parle drsquoerreur sur une

mesure physique lorsque nous pouvons la comparer agrave une valeur de reacutefeacuterence qui peut ecirctre

consideacutereacutee comme vraie (par exemple la tempeacuterature du zeacutero absolu) Geacuteneacuteralement pour les

mesures effectueacutees au laboratoire il nrsquoest pas eacutevident de posseacuteder une valeur de reacutefeacuterence et surtout

difficile de connaicirctre la valeur exacte de la grandeur mesureacutee (par exemple longueur drsquoune barre

vitesse drsquoun projectile) Nous parlons alors drsquoincertitude Chaque grandeur mesureacutee a une certaine

incertitude

Pendant lrsquoexpeacuterience nous effectuons la mesure par des chiffres significatifs crsquoest-agrave-dire le

nombre de chiffres significatifs agrave indiquer dans un reacutesultat est eacutegalement fixeacute par le calcul des

incertitudes Tout reacutesultat doit comporter un nombre de chiffres significatifs

Dans notre cas lrsquoerreur est mesureacutee agrave partir de la diffeacuterence entre la longueur du bras de levier

obtenue expeacuterimentalement et sa valeur theacuteorique Soient dexp et dtheacuteo les valeurs respectives du bras

18

de levier lrsquoune expeacuterimentale et lrsquoautre theacuteorique Et nous allons noter Δd lrsquoerreur entre les deux

valeurs

m

Nous pouvons remarquer que la mesure de lrsquointensiteacute drsquoune force preacutesente aussi une erreur Le

tableau ci-dessous repreacutesente les calculs drsquoerreur lors de prise de chaque reacutesultat

Mesure Mesure ndeg1 Erreurs Mesure ndeg 2 Erreurs Mesurendeg3 Erreurs Mesure ndeg4 Erreurs

F1(en N)

1000

0010

0500

0010

1500

0010

3000

0010

d1 (en m)

0040

0004

0080

0004

0080

0004

0060

0004

F1xd1

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

F2

(en N)

2000

0010

0020

0010

0010

0010

3000

0010

d2

(en m)

0020

0004

0020

0004

0120

0004

0060

0004

F2xd2

(en Nm)

0040

0010

0040

0010

0120

0010

0180

0010

Tableau 3 Repreacutesentation des erreurs dans chaque mesure

III5 Interpreacutetation

Systegraveme la reacuteglette

Bilan des forces appliqueacutees

Son poids

La reacuteaction de lrsquoaxe

Δd = dexp - dtheacuteo

19

Les deux forces et

(tension des fils)

Reacutefeacuterentiel reacutefeacuterentiel lieacute au laboratoire

Evaluation des moments des forces choisir le sens positif dans le sens de lrsquoaiguille drsquoune montre

Les moments de la reacuteaction de lrsquoaxe et le poids sont nul car les droites drsquoaction de ces deux

forces couplent lrsquoaxe de rotation

Le moment de la force MΔ (

)= - M1gd1

Le moment de la force MΔ (

)= M2gd2

A lrsquoeacutequilibre lrsquoeacutetude expeacuterimentale simple va nous permettre de preacuteciser quantitativement que

lrsquoeffet de rotation de la force sur la reacuteglette et lrsquoeffet de rotation de la force

sont eacutegaux Et

son poids et la reacuteaction de lrsquoaxe nrsquoont pas drsquoeffet de rotation

Donc MΔ ( ) = MΔ (

)

MΔ ( ) + MΔ (

)= 0

III2 Eacutenonceacute du theacuteoregraveme des moments

Pour mettre un solide mobile autour drsquoun axe fixe en eacutequilibre il faut que la somme des

moments par rapport agrave lrsquoaxe fixe des forces appliqueacutees qui tendent agrave le faire tourner dans un sens

positif est eacutegale agrave la somme des moments par rapport agrave lrsquoaxe des forces qui tendent agrave le faire tourner

dans le sens neacutegatif

Enonceacute du theacuteoregraveme des moments laquo Dans le reacutefeacuterentiel terrestre lorsqursquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe est en eacutequilibre la somme algeacutebrique des moments par rapport agrave cet axe

de toutes les forces exteacuterieures appliqueacutees agrave ce solide est nulle raquo

IV Conditions geacuteneacuterales drsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe [10] [15] [16]

Un solide mobile autour dun axe fixe est en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre si nous avons

La somme vectorielle des forces exteacuterieures est nulle sum crsquoest-agrave-dire immobiliteacute

du centre dinertie G

La somme algeacutebrique des moments des forces exteacuterieures par rapport agrave laxe est nulle

20

sum crsquoest-agrave-dire en absence de mouvement de rotation

Il faut remarquer que ces conditions sont neacutecessaires mais non suffisantes Elles sont neacutecessairement

veacuterifieacutees srsquoil y a un eacutequilibre Elles ne sont suffisantes pour pouvoir affirmer qursquoun systegraveme est au

repos

21

DEUXIEME PARTIE ELABORATION DES MATERIELS EXPERIMENTAUX

Dans cette partie nous inteacuteressons sur lrsquoeacutelaboration drsquoun mateacuteriel expeacuterimental concernant

lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe Elle est consacreacutee agrave la preacutesentation des travaux

que nous avons effectueacutes Premiegraverement pour lrsquoeacutetude du moment drsquoune force crsquoest une reacuteglette

mobile et sans frottement appreacuteciable autour drsquoun axe fixe horizontale (Δ) passant par son centre de

graviteacute Deuxiegravemement dans le cas du theacuteoregraveme des moments nous disposons drsquoun mecircme mateacuteriel

drsquoexpeacuterimental

Dans le programme officiel de la classe de seconde lrsquoeacutetude de force et statique pose toujours

un problegraveme drsquoexpeacuterience Le preacutesent meacutemoire a pour finaliteacute drsquoeacutelaborer des mateacuteriels didactiques afin

drsquoapporter notre part dans lrsquoameacutelioration de lrsquoenseignementapprentissage sur lrsquoeacutequilibre drsquoun solide

mobile autour drsquoun axe fixe Nous pouvons donc eacutelaborer un mateacuteriel expeacuterimental comme lrsquoindique

le scheacutema suivant

Figure 16 Dispositif expeacuterimental pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile autour drsquoun axe fixe

I Regravegles de Seacutecuriteacute dans un atelier [17]

Seule les personnes ayant suivi la formation obligatoire sont autoriseacutees agrave travailler dans un

atelier

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Le port des lunettes de seacutecuriteacute est obligatoire lors de lrsquoutilisation des machines fixes et

portatives

Les masques anti-poussiegraveres sont recommandeacutes pour des travaux poussieacutereux par exemple le

ponccedilage

Une tenue approprieacutee au travail drsquoatelier est exigeacutee Les pieds nus et sandales sont interdits

Enlever tout objet pouvant srsquoaccrocher agrave une machine en marchethinsp montres bijoux fils

drsquoeacutecouteurs eacutecharpes etc Les manches longues doivent ecirctre enrouleacutees les cheveux longs

attacheacutes

Pour raisons de seacutecuriteacute et de santeacute il est interdit de fumer boire ou manger dans lrsquoatelier

Il est interdit drsquoutiliser les machines sous lrsquoinfluence drsquoalcool ou de drogue (y compris

certains meacutedicaments sous ordonnance)

Utiliser les outils approprieacutes au travail agrave exeacutecuter En cas drsquoheacutesitation sur la technique ou

lrsquooutil agrave utiliser pour entreprendre quelque chose il est interdit de commencer sans se

renseigner aupregraves du personnel responsable

Travailler drsquoune faccedilon ordonneacutee Avant de quitter lrsquoatelier il est conseilleacute de mettre de lrsquoordre

sur la table de travail et les outilsthinsp mettre les deacutechets hors de vue dans les containers

approprieacutes

Lire comprendre et appliquer les regravegles drsquoutilisation des machines avant de commencer

Pendant le travail regarder constamment ougrave sont vos doigts Garder ses doigts loin des outils

coupants et en dehors de la ldquozone drsquoactionrdquo des machines

Ne laisser jamais tourner une machine sans surveillance

Ne reacutegler jamais une machine en marche Arrecircter la machine et attendez son arrecirct complet

Deacutebrancher les machines portatives pour le changement des lames

Nettoyer les machines apregraves chaque usage

Les accidents arrivent souvent lorsque lrsquoon est presseacute ou par manque de concentration

La fatigue le stress et lrsquoalcool sont des multiplicateurs de risque

Lire attentivement les pictogrammes de chaque outil

II Fabrication drsquoun mateacuteriel drsquoexpeacuterience pour lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun solide mobile

autour drsquoun axe fixe [11]

Il y a plusieurs mateacuteriels drsquoexpeacuteriences qui illustrent le moment drsquoune force par rapport agrave un axe

fixe et le theacuteoregraveme des moments Parmi eux nous allons fabriquer une reacuteglette en bois de sapin

23

II1 Outils utiliseacutes [19]

Les outils neacutecessaires sont donneacutes par le tableau suivant

Outils utiliseacutes Photo Actions

Une scie agrave ruban

Deacutecouper une planche en

forme ronde ou autre

Une scie circulaire

Transformer les bois en bois

carreacute drsquoarrecirct bien deacutefini

Une perceuse

Percer un trou

Une raboteuse

Lisser

Un compas

Tracer un cercle

24

Une Ponceuse

Lisser

Une scie

Deacutecouper lineacuteairement une

planche

des marteaux

servant par exemple agrave enfoncer

un clou

Un pinceau

Colorer en vernis les mateacuteriels

fabriqueacutes

Un stylo bleu

Marquer des lignes ou des trous

Une eacutequerre

- instrument servant agrave repeacuterer

une perpendiculaire

- pour veacuterifier des angles

diegravedres droits soit pour tracer

des angles plans droits

Tableau 4 Tableau des outils pour la fabrication de la reacuteglette et le support