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El plano cartesiano y

Gráficas de ecuaciones

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Sistema de coordenadas rectangulares

• En el cap 2 presentamos la recta numérica real que resulta al

establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto de

los números reales y puntos sobre una recta.

• Identifica el punto de la recta numérica de arriba asociado al

valor real que se da:

• _____ - ½

• _____ 𝜋• _____ 1.4

a

b

c

d

e



• En el sistema de coordenadas

rectangulares se usan dos rectas

numéricas que intersecan a 90

grados, en el cero de cada recta.

• La recta horizontal se llama eje de x

y la recta vertical, eje de y.

• La intersección de los dos ejes se

llama el origen.

• Los ejes dividen el plano en cuatro

cuadrantes, I-IV.


Cuadrantes y puntos

• A cada punto P en el plano le

corresponden dos coordenadas:

La abscisa es la distancia

horizontal desde el punto

hasta el eje vertical.

La ordenada es la distancia

vertical desde el punto hasta

el eje horizontal.

• Estas coordenadas se

representan mediante un par

ordenado (a, b)


Cuadrantes y puntos

• El par ordenado (3, 1)

corresponde al un punto

localizado a 3 unidades a

la derecha del origen y 1

unidad hacia arriba.

• El par ordenado (-2, 4)

corresponde al un punto

localizado a 2 unidades a

la izquierda del origen y 4

unidades hacia arriba.

• En general los signos en

los cuadrantes se

distribuyen como se

muestra.



P

Q

Notar los puntos P y

Q. ¿Cuál punto tiene

coordenadas

2,− 2 ?G


Ecuaciones en dos variables

• Una ecuación en dos variables describe la

relación entre dos cantidades.

• Ejemplos

2x – 5 = 20 es una ecuación en una variable

y = 2x – 5 es una ecuación en dos variables

3x – 4y = 8 es una ecuación en dos variables que

no esta despejada para y.


Gráfica de una Ecuación

• La gráfica de una ecuación en dos variables

es el conjunto de todos los pares ordenados,

(a,b), cuyas coordenadas satisfacen la

ecuación.

• Si un par ordenado satisface una ecuación se

dice que es una solución de la ecuación.


Ejemplo

9

Identificar dos

soluciones de la

ecuación cuya

gráfica se muestra.


Solución de una Ecuación

La solución de una ecuación en dos variables, x y y, es un par ordenado de números reales, (a,b) que tiene la propiedad que al sustituir el valor de a por x, y el valor de b por y, se produce un enunciado cierto.Ejemplo: ¿Es (2,7) una solución de y = 3x + 1?Solución: Al sustituir x por 2 y y por 7 tenemos7 = 3(2) + 17 = 7 Esto es un enunciado cierto, por lo tanto (2,7) es una solución de y = 3x + 1.


Ejemplo

Ejemplo: ¿Es (1,-4) una solución de y = 2x – 5?

Solución:


Bosquejar una gráfica

• Una forma de bosquejar (“sketch”) la gráfica

de una ecuación es localizar suficientes puntos

(soluciones), hasta obtener una imagen clara

de la forma de la gráfica.

Ejemplo: Gráfique : y = 3x + 1 . Elegimos algunos valores para sustituir por x:

x = -2, 0, 1

3, 1, 2

Construimos una tabla de valores.


Graficar y = 3x + 1

Evaluamos la ecuación

en los valores de x para

determinar los valores

correspondientes de y.

x y

2

-2

1

1/3

0


Cont. Ejemplo

• Con cada par de valores,

(x, y) construimos un

par ordenado.

• Luego los graficamos en

el plano.

x y

2

-2

1

1/3

0


Cont. Ejemplo

Una gráfica con esta

forma se conoce

como una recta.


Intervalo de crecimiento

Si observamos el

comportamiento de los

puntos en la gráfica,

notamos que a medida

que los valores de x se

hacen más grandes, los

valores de la y también

se hacen más grandes.

Decimos que la recta

sube en el plano.

Decimos que la recta es

creciente.


Eje

rcic

ios


Cont. Ejemplo

A medida que los valores

de x se hacen más grandes,

los valores de la y se hacen

más pequeños.

Decimos que la recta baja

en el plano.

Decimos que la recta es

decreciente.


Dibujar la grafica de 3x – 4y = -8Primeramente nos conviene despejar la ecuación para y.

3x – 4y = -8

x y

-8

-4

0

4

8


Cont. Ejemplo

El

intercepto

en y

El

intercepto

en x

Los interceptos de

una gráfica son los

puntos donde la

gráfica corta los

ejes.

El intercepto en y

tiene coordenadas

(0,b), donde b es

cualquier número

real.

El intercepto en x

tiene coordenadas

(a,0), donde a es

cualquier número

real.


EjemploDado 2x – 5y = 8 , bosqueje la gráfica de la

ecuación usando el método de los interceptos.

SOLUCION


• Cuando un médico inyecta un medicamento en el músculo de un

paciente, la concentración del fármaco en el cuerpo, depende del

tiempo transcurrido después de la inyección.

• La siguiente figura muestra la gráfica de la concentración del

fármaco sobre el tiempo.

a. ¿Durante que periodo

está la concentración de

medicamento aumentando?

Solución:

Interpretar gráficas


b. ¿Durante que periodo está la concentración de medicamento

disminuyendo?

Solución:

c. ¿Cuál es la

concentración máxima de la

droga? ¿Cuándo ocurre?

Solución:


Práctica: Sistema de coordenadas

rectangulares

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