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Ein Mehrfachtraglinienverfahrenzur Analysedes Gleit uges der VogelVon der Fakultat fur Maschinenbau und Elektrotechnikder Technischen Universitat CaroloWilhelminazu Braunschweigzur Erlangung der Wurde einesDoktorIngenieurs (Dr.Ing.)genehmigte

DissertationvonDipl.Ing. Andreas Brummeraus Thuine

Eingereicht am: 24.06.1997Mundliche Prufung am: 13.02.1998Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. D. HummelMitberichterstatter: Prof. Dr. Ing. H. Kossira1998

Ein Mehrfachtraglinienverfahrenzur Analysedes Gleit uges der VogelVon der Fakultat fur Maschinenbau und Elektrotechnikder Technischen Universitat CaroloWilhelminazu Braunschweigzur Erlangung der Wurde einesDoktorIngenieurs (Dr.Ing.)genehmigte

DissertationvonDipl.Ing. Andreas Brummeraus Thuine

Eingereicht am: 24.06.1997Mundliche Prufung am: 13.02.1998Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. D. HummelMitberichterstatter: Prof. Dr. Ing. H. Kossira1998

UbersichtEs wird ein Mehrfachtraglinienverfahren fur die potentialtheoretische Berechnung der Um-stromung dunner Kongurationen mit beliebiger Grundriform und Nichtplanaritat ent-wickelt und zur Untersuchung des Vogel uges eingesetzt.Zur Berechnung wird die Konguration durch eine ideal dunne, dreidimensionale Skelett- ache ersetzt. Sie wird mit tragenden Linien (Potentialwirbel) und Aufpunkten belegt. Protragender Linie wird fur die Zirkulationsstarke ein stetiger, quadratischer Parametersplineangenommen. In den Aufpunkten wird die kinematische Stromungsbedingung erfullt. Dieinduzierten Geschwindigkeiten werden uber das Gesetz von Biot und Savart bestimmt. Esergibt sich ein lineares Gleichungssystem, dessen Losung die unbekannten Wirbelstarkenliefert. Uber den Satz von Kutta und Joukowsky werden anschlieend die Lasten berech-net, die an der Skelett ache angreifen. Zusatzlich wird die Saugkraft ermittelt, die an derSkelettvorderkante entsteht. Durch Addition aller Lasten ergeben sich die aerodynamischenBeiwerte der Konguration. Der Ein u stationarer Wirbel, die sich infolge einer Stromungs-ablosung an stark gepfeilten Vorderkanten ausbilden, kann auf Basis der Saugkraftanalogieerfat werden. Der Reibungswiderstand wird uber den Reibungsbeiwert einer voll turbu-lenten Plattengrenzschicht abgeschatzt. Das Verfahren wird mit exakten Losungen und mitErgebnissen anderer Trag achentheorien, sowie mit Meergebnissen verglichen. Zusatzlichwird der induzierte Widerstand anhand eines auf Flugel mit Klappen erweiterten TretzEbenenVerfahrens uberpruft.Mit dem Mehrfachtraglinienverfahren wird der Gleit ug von Vogeln untersucht. Die stro-mungsmechanischen Aufgaben eines Vogelschwanzes sowie der Ein u verschiedener Schwanz-und Flugelgeometrien auf das Flugverhalten der Vogel werden diskutiert. Eine Strategie, mitder Vogel verschiedene Gleichgewichtslagen austrimmen, wird vorgestellt. Die Untersuchungist auf symmetrische Kongurationen beschrankt, die symmetrisch angestromt werden.Ein Vogel kann verschiedene Fluggeschwindigkeiten sowohl uber eine Veranderung des Null-momentes (Nullmomentensteuerung) als auch durch eine Verschiebung des aerodynamischenNeutralpunktes (Neutralpunktsteuerung) austrimmen. Das Nullmoment verandert der Vogelzum Beispiel durch einen Schwanzausschlag nach oben bzw. unten. Die Neutralpunktlagevariiert er uber das Vor- und Zuruckschwenken der Flugel. Bezuglich der Gleitzahl undder Sinkgeschwindigkeit hat die Neutralpunktsteuerung gegenuber der Nullmomentensteue-rung Vorteile. Im Geschwindigkeitsbereich der optimalen Flugleistungen steuern und trim-men Vogel daher wohl primar durch das Schwenken der Flugel. Der Vogelschwanz ist dannunbelastet und zusammengelegt. Im Schnell ug wird der Vogelschwanz zur betragsmai-gen Reduktion des Nullmomentes ausgeschlagen. Hingegen dient der Schwanzausschlag imLangsam ug einer Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes. Diesbezuglich hat eingespreizter Schwanz gegenuber einem ungespreizten Schwanz Leistungsvorteile. Vogel sprei-zen deshalb den Schwanz beim Kreisen in der Thermik.Zur Verbesserung der Flugleistungen sind Vogel um die Querachse aerodynamisch instabil.Sie vergroern auf diese Weise ihre Wendigkeit und reduzieren ihre Mindest uggeschwin-digkeit. Im Gegensatz zu stabilen Flugzeugen, die zur Landung das Hohenruder nach obenausfahren, schlagen Vogel daher in der Landephase den gespreizten Schwanz weit nach untenaus.

UbersichtEs wird ein Mehrfachtraglinienverfahren fur die potentialtheoretische Berechnung der Um-stromung dunner Kongurationen mit beliebiger Grundriform und Nichtplanaritat ent-wickelt und zur Untersuchung des Vogel uges eingesetzt.Zur Berechnung wird die Konguration durch eine ideal dunne, dreidimensionale Skelett- ache ersetzt. Sie wird mit tragenden Linien (Potentialwirbel) und Aufpunkten belegt. Protragender Linie wird fur die Zirkulationsstarke ein stetiger, quadratischer Parametersplineangenommen. In den Aufpunkten wird die kinematische Stromungsbedingung erfullt. Dieinduzierten Geschwindigkeiten werden uber das Gesetz von Biot und Savart bestimmt. Esergibt sich ein lineares Gleichungssystem, dessen Losung die unbekannten Wirbelstarkenliefert. Uber den Satz von Kutta und Joukowsky werden anschlieend die Lasten berech-net, die an der Skelett ache angreifen. Zusatzlich wird die Saugkraft ermittelt, die an derSkelettvorderkante entsteht. Durch Addition aller Lasten ergeben sich die aerodynamischenBeiwerte der Konguration. Der Ein u stationarer Wirbel, die sich infolge einer Stromungs-ablosung an stark gepfeilten Vorderkanten ausbilden, kann auf Basis der Saugkraftanalogieerfat werden. Der Reibungswiderstand wird uber den Reibungsbeiwert einer voll turbu-lenten Plattengrenzschicht abgeschatzt. Das Verfahren wird mit exakten Losungen und mitErgebnissen anderer Trag achentheorien, sowie mit Meergebnissen verglichen. Zusatzlichwird der induzierte Widerstand anhand eines auf Flugel mit Klappen erweiterten TretzEbenenVerfahrens uberpruft.Mit dem Mehrfachtraglinienverfahren wird der Gleit ug von Vogeln untersucht. Die stro-mungsmechanischen Aufgaben eines Vogelschwanzes sowie der Ein u verschiedener Schwanz-und Flugelgeometrien auf das Flugverhalten der Vogel werden diskutiert. Eine Strategie, mitder Vogel verschiedene Gleichgewichtslagen austrimmen, wird vorgestellt. Die Untersuchungist auf symmetrische Kongurationen beschrankt, die symmetrisch angestromt werden.Ein Vogel kann verschiedene Fluggeschwindigkeiten sowohl uber eine Veranderung des Null-momentes (Nullmomentensteuerung) als auch durch eine Verschiebung des aerodynamischenNeutralpunktes (Neutralpunktsteuerung) austrimmen. Das Nullmoment verandert der Vogelzum Beispiel durch einen Schwanzausschlag nach oben bzw. unten. Die Neutralpunktlagevariiert er uber das Vor- und Zuruckschwenken der Flugel. Bezuglich der Gleitzahl undder Sinkgeschwindigkeit hat die Neutralpunktsteuerung gegenuber der Nullmomentensteue-rung Vorteile. Im Geschwindigkeitsbereich der optimalen Flugleistungen steuern und trim-men Vogel daher wohl primar durch das Schwenken der Flugel. Der Vogelschwanz ist dannunbelastet und zusammengelegt. Im Schnell ug wird der Vogelschwanz zur betragsmai-gen Reduktion des Nullmomentes ausgeschlagen. Hingegen dient der Schwanzausschlag imLangsam ug einer Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes. Diesbezuglich hat eingespreizter Schwanz gegenuber einem ungespreizten Schwanz Leistungsvorteile. Vogel sprei-zen deshalb den Schwanz beim Kreisen in der Thermik.Zur Verbesserung der Flugleistungen sind Vogel um die Querachse aerodynamisch instabil.Sie vergroern auf diese Weise ihre Wendigkeit und reduzieren ihre Mindest uggeschwin-digkeit. Im Gegensatz zu stabilen Flugzeugen, die zur Landung das Hohenruder nach obenausfahren, schlagen Vogel daher in der Landephase den gespreizten Schwanz weit nach untenaus.

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 42 Bezeichnungen 92.1 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Geometrische Groen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Aerodynamische und ugmechanische Groen . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Numerische Groen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Koezienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Abkurzungen und Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Kongurationsbezeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Losung der Nachrechnungsaufgabe 183.1 Anforderungen an das Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Darstellung der achenhaften Zirkulationsverteilung und Wahl der Auf-punktlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1 Tiefenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2 Spannweitenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Berechnung der Zirkulationsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.1 Induzierte Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2 Lineares Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.3 Gesamtzirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 42 Bezeichnungen 92.1 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Geometrische Groen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Aerodynamische und ugmechanische Groen . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Numerische Groen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Koezienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Abkurzungen und Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Kongurationsbezeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Losung der Nachrechnungsaufgabe 183.1 Anforderungen an das Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Darstellung der achenhaften Zirkulationsverteilung undWahl der Auf-punktlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1 Tiefenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2 Spannweitenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Berechnung der Zirkulationsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.1 Induzierte Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2 Lineares Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.3 Gesamtzirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 INHALTSVERZEICHNIS3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.1 Beiwerte eines Panels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.2 Saugkraftbeiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.3 Ortliche Beiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.4 Gesamtbeiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.5 Reibungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.6 Sonderbehandlung abgelost umstromter Vorderkanten . . . . . . 433.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte uber die Stro-mungsgroen in der TretzEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.2 Berechnung der Beiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6.1 Ein u der Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6.2 Vergleich mit anderen Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6.3 Vergleich mit Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogel 594.1 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Flugleistungen und Flugeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Flugel ohne Steuer ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.1 Flugel mit Steuer ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.2 Variation der Steuer achengeometrie . . . . . . . . . . . . . . . 754.4.3 Variation der Flugelgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5 Trimmstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955 Zusammenfassung 101

2 INHALTSVERZEICHNIS3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.1 Beiwerte eines Panels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.2 Saugkraftbeiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.3 Ortliche Beiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.4 Gesamtbeiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.5 Reibungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.6 Sonderbehandlung abgelost umstromter Vorderkanten . . . . . . 433.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte uber die Stro-mungsgroen in der TretzEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.2 Berechnung der Beiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6.1 Ein u der Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6.2 Vergleich mit anderen Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6.3 Vergleich mit Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogel 594.1 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Flugleistungen und Flugeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Flugel ohne Steuer ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.1 Flugel mit Steuer ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.2 Variation der Steuer achengeometrie . . . . . . . . . . . . . . . 754.4.3 Variation der Flugelgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5 Trimmstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955 Zusammenfassung 101

INHALTSVERZEICHNIS 3Literaturverzeichnis 105Bildverzeichnis 113AnhangA Uberfuhrung des CauchyIntegrals der induzierten Geschwindigkeitnormal zur Skelett ache in eine Summe 207B Untersuchung der CauchySingularitat im Integral der induziertenGeschwindigkeit normal zur Skelett ache 209C Analytische Integration der Induktion eines Querwirbels mit einerquadratischen Verteilung der Zirkulationsstarke 214D Analytische Integration der Induktion einer ebenen, beidseitig insUnendliche laufenden Wirbelschicht mit einer linearen Verteilungder Zirkulationsdichte 217E Berechnung des Wirbeldichtevektors auf einem Querwirbel 221F Berechnung des Singularitatsparameters der Saugkraft fur einen Punktauf der Skelettvorderkante 223G Uberfuhrung der Flachenintegrale zur Berechnung der Beiwerte ausden Stromungsgroen in der TretzEbene in Ringintegrale 226

INHALTSVERZEICHNIS 3Literaturverzeichnis 105Bildverzeichnis 113AnhangA Uberfuhrung des CauchyIntegrals der induzierten Geschwindigkeitnormal zur Skelett ache in eine Summe 207B Untersuchung der CauchySingularitat im Integral der induziertenGeschwindigkeit normal zur Skelett ache 209C Analytische Integration der Induktion eines Querwirbels mit einerquadratischen Verteilung der Zirkulationsstarke 214D Analytische Integration der Induktion einer ebenen, beidseitig insUnendliche laufenden Wirbelschicht mit einer linearen Verteilungder Zirkulationsdichte 217E Berechnung des Wirbeldichtevektors auf einem Querwirbel 221F Berechnung des Singularitatsparameters der Saugkraft fur einen Punktauf der Skelettvorderkante 223G Uberfuhrung der Flachenintegrale zur Berechnung der Beiwerte ausden Stromungsgroen in der TretzEbene in Ringintegrale 226

1 EinleitungDie Beobachtung iegender Vogel versetzt uns immer wieder in Erstaunen und Be-wunderung fur eine Kunst, die dem Menschen als Individuum nicht vergonnt ist.Unmittelbar drangen sich Fragen auf, deren Beantwortung eng mit der Entwicklungder modernen Flugtechnik verbunden ist. Genannt seien in diesem Zusammenhangnur die Untersuchungen zur Leistungsersparnis im Formations ug (Wieselsberger [1],Schlichting [2], Hummel [3], Beukenberg [4]) oder die Berichte uber die Widerstands-reduktion mittels halbmondformiger Flugel (Lundry [5], van Dam [6], Burkett [7, 8]).Generelle Voraussetzung fur eine erfolgreiche Ubertragung der von der Natur ent-wickelten Mechanismen in eine vom Menschen erdachte Technik ist es, den grund-legenden physikalischen Eekt verstanden zu haben. In der vorliegenden Arbeit sollzu diesem Verstandnis im Hinblick auf den Gleit ug der Vogel ein Beitrag geliefertwerden. Im Vordergrund steht hierbei die Strategie, mit der Vogel verschiedene Flug-geschwindigkeiten austrimmen.Bendet sich ein Vogel in einem stationaren Gleit ug, dann wird die Komponente desVogelgewichtes normal zur Flugrichtung durch einen Auftrieb kompensiert. Gleichzei-tig wird der aerodynamische Widerstand durch die Komponente der Gewichtskraft inFlugrichtung ausgeglichen. Damit kein Moment um den Schwerpunkt entsteht, muder Angrispunkt der resultierenden Luftkraft (Druckpunkt) im Schwerpunkt des Vo-gels liegen. Diesen statischen Gleichgewichtszustand kann ein Vogel nur dann stationaraufrecht erhalten, wenn Storungen seiner Fluglage standig ausgeglichen werden.Auf Basis der genannten Zusammenhange kann die Frage"Wie gleitet ein Vogel?\in verschiedene Teilprobleme zerlegt werden. Da ist zum einen der Aspekt, wie einVogel den Auftrieb erzeugt, den er zur Kompensation seines Gewichtes benotigt. Hi-storisch gesehen beruht die Beantwortung dieser Frage auf den Versuchen von Cayley[9], der nachwies, da eine angestellte Vogelfeder, die durch die Luft bewegt wird oderum die Luft stromt, eine hebende Kraft produziert. Die Feder erzeugt einen dyna-mischen Auftrieb. Anhand dieser Erkenntnis baute Cayley das erste Gleit ugzeug,das einen Menschen trug. Damit war der endgultige Beweis erbracht, da Korper, dieschwerer als Luft sind, uber langere Zeit iegen konnen. Die Grundlage zur Berechnung

1 EinleitungDie Beobachtung iegender Vogel versetzt uns immer wieder in Erstaunen und Be-wunderung fur eine Kunst, die dem Menschen als Individuum nicht vergonnt ist.Unmittelbar drangen sich Fragen auf, deren Beantwortung eng mit der Entwicklungder modernen Flugtechnik verbunden ist. Genannt seien in diesem Zusammenhangnur die Untersuchungen zur Leistungsersparnis im Formations ug (Wieselsberger [1],Schlichting [2], Hummel [3], Beukenberg [4]) oder die Berichte uber die Widerstands-reduktion mittels halbmondformiger Flugel (Lundry [5], van Dam [6], Burkett [7, 8]).Generelle Voraussetzung fur eine erfolgreiche Ubertragung der von der Natur ent-wickelten Mechanismen in eine vom Menschen erdachte Technik ist es, den grund-legenden physikalischen Eekt verstanden zu haben. In der vorliegenden Arbeit sollzu diesem Verstandnis im Hinblick auf den Gleit ug der Vogel ein Beitrag geliefertwerden. Im Vordergrund steht hierbei die Strategie, mit der Vogel verschiedene Flug-geschwindigkeiten austrimmen.Bendet sich ein Vogel in einem stationaren Gleit ug, dann wird die Komponente desVogelgewichtes normal zur Flugrichtung durch einen Auftrieb kompensiert. Gleichzei-tig wird der aerodynamische Widerstand durch die Komponente der Gewichtskraft inFlugrichtung ausgeglichen. Damit kein Moment um den Schwerpunkt entsteht, muder Angrispunkt der resultierenden Luftkraft (Druckpunkt) im Schwerpunkt des Vo-gels liegen. Diesen statischen Gleichgewichtszustand kann ein Vogel nur dann stationaraufrecht erhalten, wenn Storungen seiner Fluglage standig ausgeglichen werden.Auf Basis der genannten Zusammenhange kann die Frage"Wie gleitet ein Vogel?\in verschiedene Teilprobleme zerlegt werden. Da ist zum einen der Aspekt, wie einVogel den Auftrieb erzeugt, den er zur Kompensation seines Gewichtes benotigt. Hi-storisch gesehen beruht die Beantwortung dieser Frage auf den Versuchen von Cayley[9], der nachwies, da eine angestellte Vogelfeder, die durch die Luft bewegt wird oderum die Luft stromt, eine hebende Kraft produziert. Die Feder erzeugt einen dyna-mischen Auftrieb. Anhand dieser Erkenntnis baute Cayley das erste Gleit ugzeug,das einen Menschen trug. Damit war der endgultige Beweis erbracht, da Korper, dieschwerer als Luft sind, uber langere Zeit iegen konnen. Die Grundlage zur Berechnung

5der aerodynamischen Krafte, die an einem Trag ugel endlicher Spannweite angreifen,bildet die Prandtl'sche Traglinientheorie [10, 11], die im Ansatz auf den Arbeiten vonKutta [12], Lanchester [13] und Joukowsky [14] beruht. Mittels dieser Theorie kann diegrundsatzliche Frage der dynamischen Auftriebserzeugung als beantwortet angesehenwerden.Keine Auskunft gibt die Theorie uber den maximal moglichen Auftriebsbeiwert ei-ner Konguration. Diesem Wert kommt jedoch im Hinblick auf die Mindest ugge-schwindigkeit eine wichtige Bedeutung zu. Vogel haben verschiedene Mechanismenentwickelt, den maximalen Auftriebsbeiwert zu vergroern (Kuchemann und Holst[15]). Hierzu zahlt zum Beispiel die positive Wolbung der Flugel, deren Bedeutungfruhzeitig von Cayley [9] und Lilienthal [16] erkannt wurde und die fur verschiede-ne Vogelarten von Oehme [17, 18], Nachtigall [19], Nachtigall und Klimbingat [20]und Biesel et al. [21] geometrisch erfat wurde. Des weiteren zahlt zu den Hochauf-triebshilfen der Daumenttich der Vogel (Stresemann [22], Stolpe und Zimmer [23],Nachtigall und Kempf [24]), der wie ein Vor ugel wirkt, sowie das Deckgeeder derFlugel (Liebe [25]), das funktionell einer Ruckstrombremse gleicht. Umstritten ist dieBedeutung der aufgefacherten Handschwingen. Wahrend Lorenz [26], Nachtigall [27]und Norberg [28] vermuten, da die aufgefacherten Handschwingen den Maximalauf-trieb des Vogels vergroern, sieht Hummel [29] in der primaren Funktion der auf-gefacherten Handschwingen die Reduktion des induzierten Widerstandes. Auch demVogelschwanz wird hinsichtlich der Auftriebserzeugung eine Bedeutung beigemessen.Nach MaynardSmith [30], Baumel [31] und Burton [32] nutzt ein Vogel den Schwanzzur Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes. Nach Baumel kann ein Beob-achter sofort erkennen, wann ein Vogel den Schwanz hierzu einsetzt, da der Schwanzdann gespreizt wird. Hingegen vertritt Pennycuick [33] die Auassung, da der Vogel-schwanz nicht nur im Langsam ug sondern standig Auftrieb produziert. Ungeklart istin diesem Zusammenhang, um welchen Betrag ein Vogel den maximalen Auftriebsbei-wert des Flugels durch den Schwanz vergroern kann und welchen Ein u hierbei dieSchwanzgeometrie (z. B. Lange, Breite, Spreizung, Gabelung) und die Flugelgeome-trie (z. B. Streckung, Wolbung, Zuspitzung) ausubt. Auerdem stellt sich die Frage,ob und gegebenenfalls wann es fur einen Vogel im Hinblick auf die Flugleistungen vonVorteil ist, mit dem Schwanz Auftrieb zu produzieren.Der zweite Teilaspekt betrit die Problematik, wie ein gleitender Vogel den Momen-tenhaushalt um die Querachse kontrolliert. Es wird hierbei zwischen der Steuerungund der Trimmung unterschieden. Die Steuerung kennzeichnet den Mechanismus, mitdem ein Vogel von einem Gleichgewichtszustand in einen anderen wechselt. Unter derTrimmung versteht sich die Art und Weise, mit der ein Vogel bei verschiedenen Flug-geschwindigkeiten die Bedingung der Momentenfreiheit um den Schwerpunkt erfullt.Im allgemeinen lat sich ein Steuermechanismus auch zur Trimmung benutzen. DieRuderausschlage, die zur Einleitung einer Fluglageanderung und zum anschlieendenAustrimmen der neuen Gleichgewichtslage erforderlich sind, konnen jedoch entgegen-gesetzt sein.Zum Thema der Steuerung eines Vogels gibt es eine Vielzahl von Berichten (Focke[34], Schmidt [35], Slijper [36], Steinbacher [37]), die im Grundgedanken auf die Ar-

5der aerodynamischen Krafte, die an einem Trag ugel endlicher Spannweite angreifen,bildet die Prandtl'sche Traglinientheorie [10, 11], die im Ansatz auf den Arbeiten vonKutta [12], Lanchester [13] und Joukowsky [14] beruht. Mittels dieser Theorie kann diegrundsatzliche Frage der dynamischen Auftriebserzeugung als beantwortet angesehenwerden.Keine Auskunft gibt die Theorie uber den maximal moglichen Auftriebsbeiwert ei-ner Konguration. Diesem Wert kommt jedoch im Hinblick auf die Mindest ugge-schwindigkeit eine wichtige Bedeutung zu. Vogel haben verschiedene Mechanismenentwickelt, den maximalen Auftriebsbeiwert zu vergroern (Kuchemann und Holst[15]). Hierzu zahlt zum Beispiel die positive Wolbung der Flugel, deren Bedeutungfruhzeitig von Cayley [9] und Lilienthal [16] erkannt wurde und die fur verschiede-ne Vogelarten von Oehme [17, 18], Nachtigall [19], Nachtigall und Klimbingat [20]und Biesel et al. [21] geometrisch erfat wurde. Des weiteren zahlt zu den Hochauf-triebshilfen der Daumenttich der Vogel (Stresemann [22], Stolpe und Zimmer [23],Nachtigall und Kempf [24]), der wie ein Vor ugel wirkt, sowie das Deckgeeder derFlugel (Liebe [25]), das funktionell einer Ruckstrombremse gleicht. Umstritten ist dieBedeutung der aufgefacherten Handschwingen. Wahrend Lorenz [26], Nachtigall [27]und Norberg [28] vermuten, da die aufgefacherten Handschwingen den Maximalauf-trieb des Vogels vergroern, sieht Hummel [29] in der primaren Funktion der auf-gefacherten Handschwingen die Reduktion des induzierten Widerstandes. Auch demVogelschwanz wird hinsichtlich der Auftriebserzeugung eine Bedeutung beigemessen.Nach MaynardSmith [30], Baumel [31] und Burton [32] nutzt ein Vogel den Schwanzzur Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes. Nach Baumel kann ein Beob-achter sofort erkennen, wann ein Vogel den Schwanz hierzu einsetzt, da der Schwanzdann gespreizt wird. Hingegen vertritt Pennycuick [33] die Auassung, da der Vogel-schwanz nicht nur im Langsam ug sondern standig Auftrieb produziert. Ungeklart istin diesem Zusammenhang, um welchen Betrag ein Vogel den maximalen Auftriebsbei-wert des Flugels durch den Schwanz vergroern kann und welchen Ein u hierbei dieSchwanzgeometrie (z. B. Lange, Breite, Spreizung, Gabelung) und die Flugelgeome-trie (z. B. Streckung, Wolbung, Zuspitzung) ausubt. Auerdem stellt sich die Frage,ob und gegebenenfalls wann es fur einen Vogel im Hinblick auf die Flugleistungen vonVorteil ist, mit dem Schwanz Auftrieb zu produzieren.Der zweite Teilaspekt betrit die Problematik, wie ein gleitender Vogel den Momen-tenhaushalt um die Querachse kontrolliert. Es wird hierbei zwischen der Steuerungund der Trimmung unterschieden. Die Steuerung kennzeichnet den Mechanismus, mitdem ein Vogel von einem Gleichgewichtszustand in einen anderen wechselt. Unter derTrimmung versteht sich die Art und Weise, mit der ein Vogel bei verschiedenen Flug-geschwindigkeiten die Bedingung der Momentenfreiheit um den Schwerpunkt erfullt.Im allgemeinen lat sich ein Steuermechanismus auch zur Trimmung benutzen. DieRuderausschlage, die zur Einleitung einer Fluglageanderung und zum anschlieendenAustrimmen der neuen Gleichgewichtslage erforderlich sind, konnen jedoch entgegen-gesetzt sein.Zum Thema der Steuerung eines Vogels gibt es eine Vielzahl von Berichten (Focke[34], Schmidt [35], Slijper [36], Steinbacher [37]), die im Grundgedanken auf die Ar-

6 1 Einleitungbeiten von Stresemann [22], Lorenz [26] und Milla [38] zuruckgehen. Demnach kannein Vogel durch Ausschlagen des Schwanzes nach unten bzw. oben seinen Rumpf nei-gen bzw. aufrichten. Aufgrund der damit verbundenen Widerstandszunahme wird erfur die Steuerung um die Querachse jedoch die Verschiebung des Kraftangrispunktesrelativ zum Schwerpunkt durch Vor- bzw. Zuruckschwenken der Flugel bevorzugen.Eine zusammenfassende Darstellung stammt von Oehme [39, 40, 41], der in anschau-licher Weise verschiedene Moglichkeiten der Steuerung eines Vogels diskutiert. Dieerste systematische Untersuchung zur Ruderwirksamkeit eines Vogelschwanzes fuhrteHummel [42] durch, indem er an die Hinterkante eines Rechteck ugels verschiedengeformte Bleche ansetzte und diese Kongurationen im Windkanal verma. Es zeigtesich zum Beispiel, da die Ruderwirksamkeit eines Vogelschwanzes mit der Schwanz-breite und der Spreizung deutlich zunimmt, wahrend eine Schwanzverlangerung kaumEin u auf die Ruderwirksamkeit hat.Im Vergleich zur Steuerung ist zur Problematik der Trimmung kaum etwas bekannt.Eine grundsatzliche Studie stammt von Tucker [43], der an einem im Windkanal glei-tenden Vogel den Ein u der Flugelstreckung und Schwanzspreizung auf die Druck-punktlage untersuchte. Hierbei nimmt Tucker an, da der Flachenschwerpunkt desFlugels bzw. Vogelschwanzes dem Angrispunkt der Luftkraft des Flugels bzw. Schwan-zes entspricht. Folglich wird fur die Diskussion des Momentengleichgewichtes lediglichder Vogelgrundri benotigt. Die Abhangigkeit der Druckpunktlage zum Beispiel vomAnstellwinkel oder dem Schwanzausschlag nach oben bzw. unten wird nicht beruck-sichtigt, weshalb die genannten Interpretationen eher kritisch zu bewerten sind. Esist bislang weitgehend ungeklart, auf welche Weise ein Vogel bei verschiedenen Flug-geschwindigkeiten die Bedingung der Momentenfreiheit um den Schwerpunkt erfullt.Insbesondere dem Ein u einer Trimmstrategie auf die Flugleistungen und Flugei-genschaften eines Vogels kommt bei der Beantwortung dieser Frage eine grundlegendeBedeutung zu.Der dritte Teilaspekt betrit die aerodynamische Langsstabilitat, also das Problem,wie ein Vogel einen statischen Gleichgewichtszustand stationar aufrecht erhalt. Istder Vogel aufgrund seiner Geometrie und Schwerpunktlage "naturlich\ stabil, dannwerden Storungen seiner Fluglage ohne aktives Eingreifen des Vogels, allein infolgeder Aerodynamik der Konguration, ausgeglichen. Ist der Vogel hingegen um dieQuerachse instabil, dann mu er Storungen standig aktiv ausregeln. Er mu seineFluglage "kunstlich\ stabilisieren.Die fundamentale Bedeutung der Langsstabilitat erkannte erstmals Penaud [44]. Erbaute das erste Modell ugzeug, das langsstabil og. Die zugehorige Theorie der Langs-stabilitat geht auf die Arbeiten von Lanchester [13] und Knoller [45] zuruck. Qualitativsind seither einige Manahmen erkannt worden, durch die ein Vogel auf die Langs-stabilitat Ein u nehmen kann. Bereits Lorenz [26], MaynardSmith [30], Jack [46]und Herzog [47] erwahnen die stabilisierende Wirkung des Vogelschwanzes, die mit derSchwanzlange zunimmt. Aufgrund der Feststellung, da Vogel auch ohne Schwanz ie-gen konnen, wird die Bedeutung des Vogelschwanzes in diesem Zusammenhang jedochals gering eingestuft (Herzog [47], Burton [32]). Des weiteren benennen v. Holst undKuchemann [48] den stabilisierenden Eekt eines tie iegenden Schwerpunktes und

6 1 Einleitungbeiten von Stresemann [22], Lorenz [26] und Milla [38] zuruckgehen. Demnach kannein Vogel durch Ausschlagen des Schwanzes nach unten bzw. oben seinen Rumpf nei-gen bzw. aufrichten. Aufgrund der damit verbundenen Widerstandszunahme wird erfur die Steuerung um die Querachse jedoch die Verschiebung des Kraftangrispunktesrelativ zum Schwerpunkt durch Vor- bzw. Zuruckschwenken der Flugel bevorzugen.Eine zusammenfassende Darstellung stammt von Oehme [39, 40, 41], der in anschau-licher Weise verschiedene Moglichkeiten der Steuerung eines Vogels diskutiert. Dieerste systematische Untersuchung zur Ruderwirksamkeit eines Vogelschwanzes fuhrteHummel [42] durch, indem er an die Hinterkante eines Rechteck ugels verschiedengeformte Bleche ansetzte und diese Kongurationen im Windkanal verma. Es zeigtesich zum Beispiel, da die Ruderwirksamkeit eines Vogelschwanzes mit der Schwanz-breite und der Spreizung deutlich zunimmt, wahrend eine Schwanzverlangerung kaumEin u auf die Ruderwirksamkeit hat.Im Vergleich zur Steuerung ist zur Problematik der Trimmung kaum etwas bekannt.Eine grundsatzliche Studie stammt von Tucker [43], der an einem im Windkanal glei-tenden Vogel den Ein u der Flugelstreckung und Schwanzspreizung auf die Druck-punktlage untersuchte. Hierbei nimmt Tucker an, da der Flachenschwerpunkt desFlugels bzw. Vogelschwanzes dem Angrispunkt der Luftkraft des Flugels bzw. Schwan-zes entspricht. Folglich wird fur die Diskussion des Momentengleichgewichtes lediglichder Vogelgrundri benotigt. Die Abhangigkeit der Druckpunktlage zum Beispiel vomAnstellwinkel oder dem Schwanzausschlag nach oben bzw. unten wird nicht beruck-sichtigt, weshalb die genannten Interpretationen eher kritisch zu bewerten sind. Esist bislang weitgehend ungeklart, auf welche Weise ein Vogel bei verschiedenen Flug-geschwindigkeiten die Bedingung der Momentenfreiheit um den Schwerpunkt erfullt.Insbesondere dem Ein u einer Trimmstrategie auf die Flugleistungen und Flugei-genschaften eines Vogels kommt bei der Beantwortung dieser Frage eine grundlegendeBedeutung zu.Der dritte Teilaspekt betrit die aerodynamische Langsstabilitat, also das Problem,wie ein Vogel einen statischen Gleichgewichtszustand stationar aufrecht erhalt. Istder Vogel aufgrund seiner Geometrie und Schwerpunktlage "naturlich\ stabil, dannwerden Storungen seiner Fluglage ohne aktives Eingreifen des Vogels, allein infolgeder Aerodynamik der Konguration, ausgeglichen. Ist der Vogel hingegen um dieQuerachse instabil, dann mu er Storungen standig aktiv ausregeln. Er mu seineFluglage "kunstlich\ stabilisieren.Die fundamentale Bedeutung der Langsstabilitat erkannte erstmals Penaud [44]. Erbaute das erste Modell ugzeug, das langsstabil og. Die zugehorige Theorie der Langs-stabilitat geht auf die Arbeiten von Lanchester [13] und Knoller [45] zuruck. Qualitativsind seither einige Manahmen erkannt worden, durch die ein Vogel auf die Langs-stabilitat Ein u nehmen kann. Bereits Lorenz [26], MaynardSmith [30], Jack [46]und Herzog [47] erwahnen die stabilisierende Wirkung des Vogelschwanzes, die mit derSchwanzlange zunimmt. Aufgrund der Feststellung, da Vogel auch ohne Schwanz ie-gen konnen, wird die Bedeutung des Vogelschwanzes in diesem Zusammenhang jedochals gering eingestuft (Herzog [47], Burton [32]). Des weiteren benennen v. Holst undKuchemann [48] den stabilisierenden Eekt eines tie iegenden Schwerpunktes und

7der Massentragheit weit nach vorne gestreckter Halse bzw. nach hinten gehaltenerBeine. Eine interessante Studie fuhrte Hoey [49] durch. Er baute ein ferngesteuertesFlugmodell von einem Raben und untersuchte daran Manahmen zur Vergroerungder statischen und dynamischen Langs- und Seitenstabilitat. Die statische Langssta-bilitat erreicht sein Modell durch ein SSchlagProl. Hoey vermutet einen ahnlichenMechanismus bei den Vogeln. Die ersten systematischen Untersuchungen uber diequantitative Wirksamkeit verschieden geformter Vogelschwanze im Hinblick auf sta-tische Langs- und Seitenstabilitat gehen wiederum auf die Windkanalmessungen vonHummel [42] zuruck. Hiernach nimmt die Langsstabilitat erwartungsgema mit derSchwanzlange zu. Zusatzlich hat die Spreizung des Schwanzes eine beachtliche stabili-sierende Wirkung, wobei die relative Zunahme der Langsstabilitat infolge einer Sprei-zung bei gegabelten Schwanzen im Vergleich zu ungegabelten Schwanzen groer ist.Weitgehend ungeklart ist, wie sich die Wirkung eines Vogelschwanzes in Abhangigkeitder Flugelgeometrie (z. B. Streckung, Pfeilung, Zuspitzung) verandert, und welchenEin u ein Vogel auf die Langsstabilitat ausuben kann, indem er die Geometrie derFlugel im Flug verandert.Bezuglich der Frage, ob Vogel um die Querachse aerodynamisch stabil oder instabilsind, vertritt Nachtigall [50] die Auassung, da die meisten Vogel mit einer geringenstatischen Langsstabilitat iegen. Nach Burton [32] sind Vogel aerodynamisch instabil,da sie dann wendiger sind. Aufgrund der Ahnlichkeit der Vogelschwanzbewegungenzwischen dem Flugmodell eines Raben im Falle einer leicht instabilen Schwerpunkt-lage und einem lebenden Vogel gelangt Hoey [49] zu dem gleichen Ergebnis. Bei denangefuhrten Aussagen handelt es sich jedoch durchweg um Vermutungen, deren Be-grundungen auf qualitativen Uberlegungen beruhen. Um bezuglich der Frage, ob Vogelstabil oder instabil iegen, zu einer tieferen Einsicht zu gelangen, ist es erforderlich,den quantitativen Ein u der Langsstabilitat auf die Flugleistungen eines Vogels zuuntersuchen.Eine Grundvoraussetzung fur die weiterfuhrende Analyse des Gleit uges der Vogel istes daher, eine zuverlassige Aussage uber den Ein u verschiedener Manahmen aufdie Flugleistungen eines Vogels zu bekommen. Zu diesen Manahmen zahlt sowohldie Veranderung der Flugel- bzw. Vogelschwanzgeometrie, des Vogelgewichtes undder Schwerpunktlage als auch die Anderung der Fluggeschwindigkeit. Generell sindverschiedene Methoden bekannt, die Flugleistungen eines Vogels zu ermitteln. DieGleitzahlen oder Sinkgeschwindigkeiten lassen sich zum Beispiel durch Flugversuchemit lebenden Vogeln in einemWindkanal (Tucker [51, 52], Pennycuick [33]) oder durchdas Nach iegen der Flugbahnen frei iegender Vogel mit einem Segel ugzeug (Ras-pet [53]) bestimmen. Fur eine Parameterstudie ist die Leistungsanalyse an lebendenVogeln jedoch nicht geeignet. Hierzu bieten sich vielmehr theoretische Methoden an,wie zum Beispiel das von Pennycuick [54] vorgeschlagene und von Hedenstrom [55, 56]angewandte Verfahren. Grundlage dieses Verfahrens ist die Bedingung der Kraftefrei-heit, aus der sich unter der Annahme kleiner Winkel uber das Vogelgewicht unmit-telbar der erforderliche Auftrieb ergibt. In Verbindung mit der Flugelstreckung undder Fluggeschwindigkeit lat sich damit naherungsweise der induzierte Widerstandermitteln. Zur Abschatzung des Widerstandes, den der Vogelrumpf am Gesamtwider-

7der Massentragheit weit nach vorne gestreckter Halse bzw. nach hinten gehaltenerBeine. Eine interessante Studie fuhrte Hoey [49] durch. Er baute ein ferngesteuertesFlugmodell von einem Raben und untersuchte daran Manahmen zur Vergroerungder statischen und dynamischen Langs- und Seitenstabilitat. Die statische Langssta-bilitat erreicht sein Modell durch ein SSchlagProl. Hoey vermutet einen ahnlichenMechanismus bei den Vogeln. Die ersten systematischen Untersuchungen uber diequantitative Wirksamkeit verschieden geformter Vogelschwanze im Hinblick auf sta-tische Langs- und Seitenstabilitat gehen wiederum auf die Windkanalmessungen vonHummel [42] zuruck. Hiernach nimmt die Langsstabilitat erwartungsgema mit derSchwanzlange zu. Zusatzlich hat die Spreizung des Schwanzes eine beachtliche stabili-sierende Wirkung, wobei die relative Zunahme der Langsstabilitat infolge einer Sprei-zung bei gegabelten Schwanzen im Vergleich zu ungegabelten Schwanzen groer ist.Weitgehend ungeklart ist, wie sich die Wirkung eines Vogelschwanzes in Abhangigkeitder Flugelgeometrie (z. B. Streckung, Pfeilung, Zuspitzung) verandert, und welchenEin u ein Vogel auf die Langsstabilitat ausuben kann, indem er die Geometrie derFlugel im Flug verandert.Bezuglich der Frage, ob Vogel um die Querachse aerodynamisch stabil oder instabilsind, vertritt Nachtigall [50] die Auassung, da die meisten Vogel mit einer geringenstatischen Langsstabilitat iegen. Nach Burton [32] sind Vogel aerodynamisch instabil,da sie dann wendiger sind. Aufgrund der Ahnlichkeit der Vogelschwanzbewegungenzwischen dem Flugmodell eines Raben im Falle einer leicht instabilen Schwerpunkt-lage und einem lebenden Vogel gelangt Hoey [49] zu dem gleichen Ergebnis. Bei denangefuhrten Aussagen handelt es sich jedoch durchweg um Vermutungen, deren Be-grundungen auf qualitativen Uberlegungen beruhen. Um bezuglich der Frage, ob Vogelstabil oder instabil iegen, zu einer tieferen Einsicht zu gelangen, ist es erforderlich,den quantitativen Ein u der Langsstabilitat auf die Flugleistungen eines Vogels zuuntersuchen.Eine Grundvoraussetzung fur die weiterfuhrende Analyse des Gleit uges der Vogel istes daher, eine zuverlassige Aussage uber den Ein u verschiedener Manahmen aufdie Flugleistungen eines Vogels zu bekommen. Zu diesen Manahmen zahlt sowohldie Veranderung der Flugel- bzw. Vogelschwanzgeometrie, des Vogelgewichtes undder Schwerpunktlage als auch die Anderung der Fluggeschwindigkeit. Generell sindverschiedene Methoden bekannt, die Flugleistungen eines Vogels zu ermitteln. DieGleitzahlen oder Sinkgeschwindigkeiten lassen sich zum Beispiel durch Flugversuchemit lebenden Vogeln in einemWindkanal (Tucker [51, 52], Pennycuick [33]) oder durchdas Nach iegen der Flugbahnen frei iegender Vogel mit einem Segel ugzeug (Ras-pet [53]) bestimmen. Fur eine Parameterstudie ist die Leistungsanalyse an lebendenVogeln jedoch nicht geeignet. Hierzu bieten sich vielmehr theoretische Methoden an,wie zum Beispiel das von Pennycuick [54] vorgeschlagene und von Hedenstrom [55, 56]angewandte Verfahren. Grundlage dieses Verfahrens ist die Bedingung der Kraftefrei-heit, aus der sich unter der Annahme kleiner Winkel uber das Vogelgewicht unmit-telbar der erforderliche Auftrieb ergibt. In Verbindung mit der Flugelstreckung undder Fluggeschwindigkeit lat sich damit naherungsweise der induzierte Widerstandermitteln. Zur Abschatzung des Widerstandes, den der Vogelrumpf am Gesamtwider-

8 1 Einleitungstand des Vogels hat, wird zusatzlich die Stirn ache des Rumpfes benotigt. Fur denProlwiderstandsbeiwert nimmt Pennycuick einen konstanten Wert an. Die einzigengeometrischen Parameter, die bei diesem Verfahren zur Berechnung der Flugleistun-gen benotigt werden und deren Ein u sich demnach mit dieser Methode analysie-ren lat, sind die Flugelstreckung (Flugel ache und -spannweite) und die Stirn achedes Rumpfes. Die Wirkung verschieden geformter Flugel gleicher Streckung und ver-schieden geformter Vogelschwanze lat sich nicht untersuchen. Auch die Abhangigkeitder Flugleistungen von der Trimmstrategie eines Vogels und der Langsstabilitat kannnicht ermittelt werden, da bei dem Verfahren die Bedingung der Momentenfreiheitum den Schwerpunkt ganzlich unberucksichtigt bleibt. Ein anderes Vorgehen stammtvon Thomas [57] und wird auch von Balmford et al. [58] angewandt. Hiernach latsich der Ein u der Vogelschwanzgeometrie auf die Flugleistungen ermitteln, indemder Schwanz als ein frei gleitender, schlanker Flugel betrachtet wird, dessen aerodyna-mische Beiwerte mit der Theorie schlanker Korper [59] berechnet werden konnen. DieBehandlung des Vogelschwanzes als einen frei iegenden Einzel ugel ist jedoch sehrfragwurdig, da es eine starke Interferenz zwischen der Umstromung des Schwanzesund der des Flugels gibt. Diese wechselseitige Beein ussung mu bei der Berechnungder Flugleistungen eines Vogels in Abhangigkeit der Schwanzgeometrie berucksichtigtwerden.Die Basis der vorliegenden Untersuchung bildet daher ein theoretisches Verfahren,mit dem die aerodynamischen Beiwerte einer Vogelkonguration, bestehend aus ei-nem Flugel mit einem angesetzten Schwanz, berechnet werden konnen. Sowohl dieFlugelgeometrie als auch die Schwanzform ist hierbei variabel. Mittels der Bedingungder Kraftefreiheit und der Momentenfreiheit um den Schwerpunkt lassen sich mitden berechneten Beiwerten fur verschiedene Randbedingungen (z. B. Vogelgewicht,Schwerpunktlage, Fluggeschwindigkeit) Gleichgewichtszustande ermitteln und die zu-gehorigen Flugleistungen bestimmen. Auf der Grundlage dieser Vorgehensweise wirdder Gleit ug der Vogel, im Hinblick auf die genannten Problematiken, analysiert.

8 1 Einleitungstand des Vogels hat, wird zusatzlich die Stirn ache des Rumpfes benotigt. Fur denProlwiderstandsbeiwert nimmt Pennycuick einen konstanten Wert an. Die einzigengeometrischen Parameter, die bei diesem Verfahren zur Berechnung der Flugleistun-gen benotigt werden und deren Ein u sich demnach mit dieser Methode analysie-ren lat, sind die Flugelstreckung (Flugel ache und -spannweite) und die Stirn achedes Rumpfes. Die Wirkung verschieden geformter Flugel gleicher Streckung und ver-schieden geformter Vogelschwanze lat sich nicht untersuchen. Auch die Abhangigkeitder Flugleistungen von der Trimmstrategie eines Vogels und der Langsstabilitat kannnicht ermittelt werden, da bei dem Verfahren die Bedingung der Momentenfreiheitum den Schwerpunkt ganzlich unberucksichtigt bleibt. Ein anderes Vorgehen stammtvon Thomas [57] und wird auch von Balmford et al. [58] angewandt. Hiernach latsich der Ein u der Vogelschwanzgeometrie auf die Flugleistungen ermitteln, indemder Schwanz als ein frei gleitender, schlanker Flugel betrachtet wird, dessen aerodyna-mische Beiwerte mit der Theorie schlanker Korper [59] berechnet werden konnen. DieBehandlung des Vogelschwanzes als einen frei iegenden Einzel ugel ist jedoch sehrfragwurdig, da es eine starke Interferenz zwischen der Umstromung des Schwanzesund der des Flugels gibt. Diese wechselseitige Beein ussung mu bei der Berechnungder Flugleistungen eines Vogels in Abhangigkeit der Schwanzgeometrie berucksichtigtwerden.Die Basis der vorliegenden Untersuchung bildet daher ein theoretisches Verfahren,mit dem die aerodynamischen Beiwerte einer Vogelkonguration, bestehend aus ei-nem Flugel mit einem angesetzten Schwanz, berechnet werden konnen. Sowohl dieFlugelgeometrie als auch die Schwanzform ist hierbei variabel. Mittels der Bedingungder Kraftefreiheit und der Momentenfreiheit um den Schwerpunkt lassen sich mitden berechneten Beiwerten fur verschiedene Randbedingungen (z. B. Vogelgewicht,Schwerpunktlage, Fluggeschwindigkeit) Gleichgewichtszustande ermitteln und die zu-gehorigen Flugleistungen bestimmen. Auf der Grundlage dieser Vorgehensweise wirdder Gleit ug der Vogel, im Hinblick auf die genannten Problematiken, analysiert.

2 Bezeichnungen2.1 KoordinatensystemeBei den Koordinatensystemen handelt es sich um orthogonale Rechtssysteme, derenAchsenrichtungen durch die jeweiligen Einheitsvektoren festgelegt werden (z. B. ex,ey, ez fur das ugelfeste Koordinatensystem). Die dimensionslosen Koordinaten inRichtung dieser Achsen entsprechen den Indizes der Einheitsvektoren (z. B. x, y, z furdas ugelfeste Koordinatensystem).ex, ey, ez ugelfestes Koordinatensystem nach Bild 1, Ursprung in der Sym-metrieebene der Konguration in der Flugelvorderkante, ex weistin Richtung der Flugelsehne nach hinten und ez nach obenes, er, en begleitendes Koordinatensystem einer Skelettlinie y = konst. nachBild 8, Ursprung im betrachteten Punkt auf der Skelett ache, esund er spannen die Schmiegebene zur Skelett ache in diesem Punktaufeb, et, en begleitendes Koordinatensystem einer Skelettlinie = konst. nachBild 8, Ursprung im betrachteten Punkt auf der Skelett ache, ebund et spannen die Schmiegebene zur Skelett ache in diesem Punktaufext, eyt, ezt TretzKoordinatensystem nach Bild 9, Ursprung in der Symme-trieebene der Konguration in der Flugelvorderkante, ext weist inRichtung U1 und ezt nach obenexe, eye, eze experimentelles Koordinatensystem nach Bild 39, Ursprung im geo-metrischen Neutralpunkt des Flugels, exe weist parallel zur un-gestorten Anstromung nach vorne und eze nach untenexg, eyg, ezg geodatisches Koordinatensystem nach Bild 39, Ursprung imSchwerpunkt der Konguration, exg verlauft in der Symmetrieebeneder Konguration horizontal nach vorne und ezg nach untenert, ent begleitendes Koordinatensystem der Randkurve R in der TretzEbene nach Bild 9

2 Bezeichnungen2.1 KoordinatensystemeBei den Koordinatensystemen handelt es sich um orthogonale Rechtssysteme, derenAchsenrichtungen durch die jeweiligen Einheitsvektoren festgelegt werden (z. B. ex,ey, ez fur das ugelfeste Koordinatensystem). Die dimensionslosen Koordinaten inRichtung dieser Achsen entsprechen den Indizes der Einheitsvektoren (z. B. x, y, z furdas ugelfeste Koordinatensystem).ex, ey, ez ugelfestes Koordinatensystem nach Bild 1, Ursprung in der Sym-metrieebene der Konguration in der Flugelvorderkante, ex weistin Richtung der Flugelsehne nach hinten und ez nach obenes, er, en begleitendes Koordinatensystem einer Skelettlinie y = konst. nachBild 8, Ursprung im betrachteten Punkt auf der Skelett ache, esund er spannen die Schmiegebene zur Skelett ache in diesem Punktaufeb, et, en begleitendes Koordinatensystem einer Skelettlinie = konst. nachBild 8, Ursprung im betrachteten Punkt auf der Skelett ache, ebund et spannen die Schmiegebene zur Skelett ache in diesem Punktaufext, eyt, ezt TretzKoordinatensystem nach Bild 9, Ursprung in der Symme-trieebene der Konguration in der Flugelvorderkante, ext weist inRichtung U1 und ezt nach obenexe, eye, eze experimentelles Koordinatensystem nach Bild 39, Ursprung im geo-metrischen Neutralpunkt des Flugels, exe weist parallel zur un-gestorten Anstromung nach vorne und eze nach untenexg, eyg, ezg geodatisches Koordinatensystem nach Bild 39, Ursprung imSchwerpunkt der Konguration, exg verlauft in der Symmetrieebeneder Konguration horizontal nach vorne und ezg nach untenert, ent begleitendes Koordinatensystem der Randkurve R in der TretzEbene nach Bild 9

10 2 Bezeichnungen2.2 Geometrische GroenDimensionsbehaftete Groen sind mit einem ()+ gekennzeichnet.a0, a1, a2, a dimensionslose Hilfsvektoren zur Berechnung der induzierten Ge-schwindigkeiten (Bild 1, Bild 4, Gl. (3.5)), Bezugsgroe: s+b, t, n dimensionslose Koordinaten des begleitenden Koordinatensystemseiner Skelettlinie = konst. (Bild 8), Bezugsgroe: s+bKV , (bKH) dimensionslose Breite der Klappe an der Flugelhinterkante (Klap-penhinterkante) (Bild 27), Bezugsgroe: s+d dimensionslose Gabelungstiefe der Klappe (Bild 27), Bezugsgroe:s+F+, (F+F ) Flache der in die Ebene z = 0 projizierten Konguration (desFlugels)F , (FF ) dimensionslose Flache der in die Ebene z = 0 projizierten Kongu-ration (des Flugels), Bezugsgroe: s+2f dimensionslose Wolbungshohe des Flugels, Bezugsgroe: s+`+, (`+F ) ortliche Tiefe der in die Ebene z = 0 projizierten Konguration(des Flugels)`, (`F ) dimensionslose ortliche Tiefe der in die Ebene z = 0 projiziertenKonguration (des Flugels), Bezugsgroe: s+`K dimensionslose Tiefe der in die Ebene z = 0 projizierten Klappe(Bild 27), Bezugsgroe: s+`, (`F ) dimensionslose Bezugstiefe der Konguration (des Flugels) nachGl. (3.103), Bezugsgroe: s+`l dimensionslose Kongurationstiefe ` im Mittelschnitt des Streifensl (Bild 3)M ef Transformationsmatrix vom ugelfesten ins experimentelle Koordi-natensystem (Gl. (3.96))P (A) Hilfsfunktion, die zur Abspaltung der CauchySingularitat im Inte-gral der induzierten Geschwindigkeiten benotigt wird (Anhang A,Gl. (3.21))~P Grenzwert von P (A) fur A ! 0 (Gl. (3.87))p, q 2 [0; 1] Parameter (Gl. (3.24), (3.67))R dimensionsloser Ortsvektor vom Ursprung des ugelfesten Systemszu einem Punkt auf der Skelett ache, Bezugsgroe: s+R Randkurve in der TretzEbene (Bild 9)rt, nt dimensionslose Koordinaten in Richtung von ert und ent, Bezugs-groe: s+r25 dimensionslose Bogenlangenkoordinate der in die Ebene x = 0 pro-jizierten Linie = 0; 25 der Skelett ache, Bezugsgroe: s+

10 2 Bezeichnungen2.2 Geometrische GroenDimensionsbehaftete Groen sind mit einem ()+ gekennzeichnet.a0, a1, a2, a dimensionslose Hilfsvektoren zur Berechnung der induzierten Ge-schwindigkeiten (Bild 1, Bild 4, Gl. (3.5)), Bezugsgroe: s+b, t, n dimensionslose Koordinaten des begleitenden Koordinatensystemseiner Skelettlinie = konst. (Bild 8), Bezugsgroe: s+bKV , (bKH) dimensionslose Breite der Klappe an der Flugelhinterkante (Klap-penhinterkante) (Bild 27), Bezugsgroe: s+d dimensionslose Gabelungstiefe der Klappe (Bild 27), Bezugsgroe:s+F+, (F+F ) Flache der in die Ebene z = 0 projizierten Konguration (desFlugels)F , (FF ) dimensionslose Flache der in die Ebene z = 0 projizierten Kongu-ration (des Flugels), Bezugsgroe: s+2f dimensionslose Wolbungshohe des Flugels, Bezugsgroe: s+`+, (`+F ) ortliche Tiefe der in die Ebene z = 0 projizierten Konguration(des Flugels)`, (`F ) dimensionslose ortliche Tiefe der in die Ebene z = 0 projiziertenKonguration (des Flugels), Bezugsgroe: s+`K dimensionslose Tiefe der in die Ebene z = 0 projizierten Klappe(Bild 27), Bezugsgroe: s+`, (`F ) dimensionslose Bezugstiefe der Konguration (des Flugels) nachGl. (3.103), Bezugsgroe: s+`l dimensionslose Kongurationstiefe ` im Mittelschnitt des Streifensl (Bild 3)M ef Transformationsmatrix vom ugelfesten ins experimentelle Koordi-natensystem (Gl. (3.96))P (A) Hilfsfunktion, die zur Abspaltung der CauchySingularitat im Inte-gral der induzierten Geschwindigkeiten benotigt wird (Anhang A,Gl. (3.21))~P Grenzwert von P (A) fur A ! 0 (Gl. (3.87))p, q 2 [0; 1] Parameter (Gl. (3.24), (3.67))R dimensionsloser Ortsvektor vom Ursprung des ugelfesten Systemszu einem Punkt auf der Skelett ache, Bezugsgroe: s+R Randkurve in der TretzEbene (Bild 9)rt, nt dimensionslose Koordinaten in Richtung von ert und ent, Bezugs-groe: s+r25 dimensionslose Bogenlangenkoordinate der in die Ebene x = 0 pro-jizierten Linie = 0; 25 der Skelett ache, Bezugsgroe: s+

2.2 Geometrische Groen 11rN25, (rN25F ) dimensionsloser Ortsvektor vom Ursprung des ugelfesten Systemszum geometrischen Neutralpunkt der Konguration (des Flugels),Bezugsgroe: s+rt;h dimensionslose Lange der Strecke h des Polygonzuges in der TretzEbene (Bild 11), Bezugsgroe: s+s+ Halbspannweite der in die Ebene z = 0 projizierten Kongurations, r, n dimensionslose Koordinaten des begleitenden Koordinatensystemseiner Skelettlinie y = konst. (Bild 8), Bezugsgroe: s+Xt, Yt, Zt dimensionslose Eckpunktkoordinaten des Kontrollvolumens imTretzKoordinatensystem (Bild 9), Bezugsgroe: s+x, y, z dimensionslose Koordinaten des ugelfesten Koordinatensystems(Bild 1), Bezugsgroe: s+xt, yt, zt dimensionslose Koordinaten des TretzKoordinatensystems(Bild 9), Bezugsgroe: s+xe, ye, ze dimensionslose Koordinaten des experimentellen Koordinaten-systems (Bild 39), Bezugsgroe: s+xg, yg, zg dimensionslose Koordinaten des geodatischen Koordinatensystems(Bild 39), Bezugsgroe: s+xD, (xd) xKoordinate des Druckpunktes (ortlichen Druckpunktes)(Gl. (4.24))xN xKoordinate des aerodynamischen Neutralpunktes (Gl. (4.14))xN25, (xN25F ) xKoordinate des geometrischen Neutralpunktes der Konguration(des Flugels)xS xKoordinate des Schwerpunktesx" xKoordinate des aerodynamischen Neutralpunktes der Ruderbe-wegung (Gl. (4.20))y+ Streifenbreite im ugelfesten Koordinatensystemy dimensionslose Streifenbreite y+ (Bild 1), Bezugsgroe: s+yt;h dimensionslose Breite der Strecke h des Polygonzuges in der TretzEbene (Bild 11), Bezugsgroe: s+" Klappenwinkel, Ausschlag nach unten zahlt positiv (Bild 16)"0 Winkel zwischen der Ebene z = 0 und der Klappe bei " = 0(Bild 16)# Spreizungswinkel, nach auen spreizen zahlt positiv (Bild 27), # trigonometrische Koordinaten (Gl. (3.8), Gl. (3.34)), # aquidistante Teilung der trigonometrischen Koordinate , #(Gl. (3.16), Gl. (3.35)) = 4F KongurationsstreckungF = 4FF Flugelstreckung

2.2 Geometrische Groen 11rN25, (rN25F ) dimensionsloser Ortsvektor vom Ursprung des ugelfesten Systemszum geometrischen Neutralpunkt der Konguration (des Flugels),Bezugsgroe: s+rt;h dimensionslose Lange der Strecke h des Polygonzuges in der TretzEbene (Bild 11), Bezugsgroe: s+s+ Halbspannweite der in die Ebene z = 0 projizierten Kongurations, r, n dimensionslose Koordinaten des begleitenden Koordinatensystemseiner Skelettlinie y = konst. (Bild 8), Bezugsgroe: s+Xt, Yt, Zt dimensionslose Eckpunktkoordinaten des Kontrollvolumens imTretzKoordinatensystem (Bild 9), Bezugsgroe: s+x, y, z dimensionslose Koordinaten des ugelfesten Koordinatensystems(Bild 1), Bezugsgroe: s+xt, yt, zt dimensionslose Koordinaten des TretzKoordinatensystems(Bild 9), Bezugsgroe: s+xe, ye, ze dimensionslose Koordinaten des experimentellen Koordinaten-systems (Bild 39), Bezugsgroe: s+xg, yg, zg dimensionslose Koordinaten des geodatischen Koordinatensystems(Bild 39), Bezugsgroe: s+xD, (xd) xKoordinate des Druckpunktes (ortlichen Druckpunktes)(Gl. (4.24))xN xKoordinate des aerodynamischen Neutralpunktes (Gl. (4.14))xN25, (xN25F ) xKoordinate des geometrischen Neutralpunktes der Konguration(des Flugels)xS xKoordinate des Schwerpunktesx" xKoordinate des aerodynamischen Neutralpunktes der Ruderbe-wegung (Gl. (4.20))y+ Streifenbreite im ugelfesten Koordinatensystemy dimensionslose Streifenbreite y+ (Bild 1), Bezugsgroe: s+yt;h dimensionslose Breite der Strecke h des Polygonzuges in der TretzEbene (Bild 11), Bezugsgroe: s+" Klappenwinkel, Ausschlag nach unten zahlt positiv (Bild 16)"0 Winkel zwischen der Ebene z = 0 und der Klappe bei " = 0(Bild 16)# Spreizungswinkel, nach auen spreizen zahlt positiv (Bild 27), # trigonometrische Koordinaten (Gl. (3.8), Gl. (3.34)), # aquidistante Teilung der trigonometrischen Koordinate , #(Gl. (3.16), Gl. (3.35)) = 4F KongurationsstreckungF = 4FF Flugelstreckung

12 2 BezeichnungenRef Streckung des Referenz ugelsOpt Streckung , bei der die Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit fureinen Gewichtsbeiwert cG;Ref optimal werden (Gl. (4.27)) = `AI Zuspitzung Gradient der Bogenlangenkoordinate in Richtung von (Gl. (3.10)) dimensionslose ortliche Tiefenkoordinate (Gl. (3.2)), Bezugsgroe:`+f Tiefenkoordinate der maximalen Wolbungshohe fD, (N ,S, ") Abstand des Druckpunktes xD (aerodynamischen Neutralpunk-tes xN , Schwerpunktes xS, aerodynamischen Neutralpunktes derRuderbewegung x") vom geometrischen Neutralpunkt des FlugelsxN25F , dividiert durch die Bezugs ugeltiefe `F (Gl. (4.24), (4.14),(4.3), (4.20))NS Abstand des aerodynamischen Neutralpunktes xN vom Schwer-punkt xS, dividiert durch die Bezugs ugeltiefe `F (Gl. (4.15))N;Ref,(S;Ref) Abstand des aerodynamischen Neutralpunktes xN (SchwerpunktesxS) vom geometrischen Neutralpunkt des Referenz ugels xN25;Ref,dividiert durch die Bezugs ugeltiefe des Referenz ugels `;Ref(Gl. (4.29), (4.30)) dimensionslose Bogenlangenkoordinate der Skelettlinie einesSchnittes y = konst., Bezugsgroe: `+ Gradient der Tiefenkoordinate in Richtung von (Gl. (3.11))oder raumlicher Winkel zwischen den Einheitsvektoren er und et(Bild 8)', ('V ) Pfeilwinkel der Einviertelpunktlinie (Vorderkante) der in die Ebenez = 0 projizierten Konguration (Bild 15) Hangewinkel (Bild 15)2.3 Aerodynamische und ugmechanische GroenB Vektor, der fur alle Aufpunkte die Komponenten von U1 in negativeenRichtung beinhaltet (Gl. (3.51))C Singularitatsparameter (Gl. (3.82))cA, (ca) Auftriebsbeiwert (ortlicher Auftriebsbeiwert) im experimentellenKoordinatensystem, Bezugsgroen: q+1F+, (q+1y+`+)~cA Auftriebsbeiwert im experimentellen Koordinatensystem, der uberden Impulssatz ermittelt wird, Bezugsgroen: q+1F+

12 2 BezeichnungenRef Streckung des Referenz ugelsOpt Streckung , bei der die Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit fureinen Gewichtsbeiwert cG;Ref optimal werden (Gl. (4.27)) = `AI Zuspitzung Gradient der Bogenlangenkoordinate in Richtung von (Gl. (3.10)) dimensionslose ortliche Tiefenkoordinate (Gl. (3.2)), Bezugsgroe:`+f Tiefenkoordinate der maximalen Wolbungshohe fD, (N ,S, ") Abstand des Druckpunktes xD (aerodynamischen Neutralpunk-tes xN , Schwerpunktes xS, aerodynamischen Neutralpunktes derRuderbewegung x") vom geometrischen Neutralpunkt des FlugelsxN25F , dividiert durch die Bezugs ugeltiefe `F (Gl. (4.24), (4.14),(4.3), (4.20))NS Abstand des aerodynamischen Neutralpunktes xN vom Schwer-punkt xS, dividiert durch die Bezugs ugeltiefe `F (Gl. (4.15))N;Ref,(S;Ref) Abstand des aerodynamischen Neutralpunktes xN (SchwerpunktesxS) vom geometrischen Neutralpunkt des Referenz ugels xN25;Ref,dividiert durch die Bezugs ugeltiefe des Referenz ugels `;Ref(Gl. (4.29), (4.30)) dimensionslose Bogenlangenkoordinate der Skelettlinie einesSchnittes y = konst., Bezugsgroe: `+ Gradient der Tiefenkoordinate in Richtung von (Gl. (3.11))oder raumlicher Winkel zwischen den Einheitsvektoren er und et(Bild 8)', ('V ) Pfeilwinkel der Einviertelpunktlinie (Vorderkante) der in die Ebenez = 0 projizierten Konguration (Bild 15) Hangewinkel (Bild 15)2.3 Aerodynamische und ugmechanische GroenB Vektor, der fur alle Aufpunkte die Komponenten von U1 in negativeenRichtung beinhaltet (Gl. (3.51))C Singularitatsparameter (Gl. (3.82))cA, (ca) Auftriebsbeiwert (ortlicher Auftriebsbeiwert) im experimentellenKoordinatensystem, Bezugsgroen: q+1F+, (q+1y+`+)~cA Auftriebsbeiwert im experimentellen Koordinatensystem, der uberden Impulssatz ermittelt wird, Bezugsgroen: q+1F+

2.3 Aerodynamische und ugmechanische Groen 13cW , (cw) Widerstandsbeiwert (ortlicher Widerstandsbeiwert) im experimen-tellen Koordinatensystem, Bezugsgroen: q+1F+, (q+1y+`+)cWi, (cwi) Beiwert des induzierten Widerstandes (ortlichen induzierten Wi-derstandes) im experimentellen Koordinatensystem, Bezugsgroen:q+1F+, (q+1y+`+)~cWi Beiwert des induzierten Widerstandes, der uber den Impulssatz er-mittelt wird, Bezugsgroen: q+1F+cWR Reibungswiderstandsbeiwert im experimentellen Koordinaten-system, Bezugsgroen: q+1F+cW0 Nullwiderstandsbeiwert (Widerstandsbeiwert cW bei cA = 0)cM , (cm) Nickmomentenbeiwert (ortlicher Nickmomentenbeiwert) bezogenauf den geometrischen Neutralpunkt der Konguration, schwanz-lastig positiv, Bezugsgroen: q+1F+`+ , (q+1y+`+2)cM0 Nullmomentenbeiwert (Nickmomentenbeiwert cM bei cA = 0)cMS Nickmomentenbeiwert um den Schwerpunkt, schwanzlastig positiv,Bezugsgroen: q+1F+`+cM;Nase Nickmomentenbeiwert um den Ursprung des ugelfesten Koordina-tensystems, schwanzlastig positiv, Bezugsgroen: q+1F+`+cL, (cl) Rollmomentenbeiwert (ortlicher Rollmomentenbeiwert) im expe-rimentellen Koordinatensystem, positiv in exeRichtung gesehenrechtsdrehend, Bezugsgroen: q+1F+`+ , (q+1y+`+2)cN , (cn) Giermomentenbeiwert (ortlicher Giermomentenbeiwert) im expe-rimentellen Koordinatensystem, positiv in ezeRichtung gesehenrechtsdrehend, Bezugsgroen: q+1F+`+ , (q+1y+`+2)cY , (cy) Seitenkraftbeiwert (ortlicher Seitenkraftbeiwert) im experimentel-len Koordinatensystem, Bezugsgroen: q+1F+, (q+1y+`+)cF , (cf) Vektor der Gesamtkraftbeiwerte (ortlichen Kraftbeiwerte)(Gl. (3.99), (3.93)), Bezugsgroen: q+1s+2, (q+1s+2)cM , (cm) Vektor der Gesamtmomentenbeiwerte (ortlichen Momentenbeiwer-te) im ugelfesten Koordinatensystem (Gl. (3.100), (3.94)), positivin positive Achsenrichtung gesehen rechtsdrehend , Bezugsgroen:q+1s+3, (q+1s+3)cs Vektor der ortlichen Saugkraftbeiwerte (Gl. (3.91)), Bezugsgroen:q+1s+2cms Vektor der ortlichen Saugmomentenbeiwerte im ugelfesten Koor-dinatensystem (Gl. (3.92)), positiv in positive Achsenrichtung ge-sehen rechtsdrehend, Bezugsgroen: q+1s+3cG, (cG;Ref) Gewichtsbeiwert nach Gl. (4.5), Bezugsgroen: q+1F+, (q+1F+Ref)cG;Ref;Opt Gewichtsbeiwert cG;Ref, bei dem die Streckung des Referenz- ugels Ref bezuglich Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit optimalist (Gl. (4.28))

2.3 Aerodynamische und ugmechanische Groen 13cW , (cw) Widerstandsbeiwert (ortlicher Widerstandsbeiwert) im experimen-tellen Koordinatensystem, Bezugsgroen: q+1F+, (q+1y+`+)cWi, (cwi) Beiwert des induzierten Widerstandes (ortlichen induzierten Wi-derstandes) im experimentellen Koordinatensystem, Bezugsgroen:q+1F+, (q+1y+`+)~cWi Beiwert des induzierten Widerstandes, der uber den Impulssatz er-mittelt wird, Bezugsgroen: q+1F+cWR Reibungswiderstandsbeiwert im experimentellen Koordinaten-system, Bezugsgroen: q+1F+cW0 Nullwiderstandsbeiwert (Widerstandsbeiwert cW bei cA = 0)cM , (cm) Nickmomentenbeiwert (ortlicher Nickmomentenbeiwert) bezogenauf den geometrischen Neutralpunkt der Konguration, schwanz-lastig positiv, Bezugsgroen: q+1F+`+ , (q+1y+`+2)cM0 Nullmomentenbeiwert (Nickmomentenbeiwert cM bei cA = 0)cMS Nickmomentenbeiwert um den Schwerpunkt, schwanzlastig positiv,Bezugsgroen: q+1F+`+cM;Nase Nickmomentenbeiwert um den Ursprung des ugelfesten Koordina-tensystems, schwanzlastig positiv, Bezugsgroen: q+1F+`+cL, (cl) Rollmomentenbeiwert (ortlicher Rollmomentenbeiwert) im expe-rimentellen Koordinatensystem, positiv in exeRichtung gesehenrechtsdrehend, Bezugsgroen: q+1F+`+ , (q+1y+`+2)cN , (cn) Giermomentenbeiwert (ortlicher Giermomentenbeiwert) im expe-rimentellen Koordinatensystem, positiv in ezeRichtung gesehenrechtsdrehend, Bezugsgroen: q+1F+`+ , (q+1y+`+2)cY , (cy) Seitenkraftbeiwert (ortlicher Seitenkraftbeiwert) im experimentel-len Koordinatensystem, Bezugsgroen: q+1F+, (q+1y+`+)cF , (cf) Vektor der Gesamtkraftbeiwerte (ortlichen Kraftbeiwerte)(Gl. (3.99), (3.93)), Bezugsgroen: q+1s+2, (q+1s+2)cM , (cm) Vektor der Gesamtmomentenbeiwerte (ortlichen Momentenbeiwer-te) im ugelfesten Koordinatensystem (Gl. (3.100), (3.94)), positivin positive Achsenrichtung gesehen rechtsdrehend , Bezugsgroen:q+1s+3, (q+1s+3)cs Vektor der ortlichen Saugkraftbeiwerte (Gl. (3.91)), Bezugsgroen:q+1s+2cms Vektor der ortlichen Saugmomentenbeiwerte im ugelfesten Koor-dinatensystem (Gl. (3.92)), positiv in positive Achsenrichtung ge-sehen rechtsdrehend, Bezugsgroen: q+1s+3cG, (cG;Ref) Gewichtsbeiwert nach Gl. (4.5), Bezugsgroen: q+1F+, (q+1F+Ref)cG;Ref;Opt Gewichtsbeiwert cG;Ref, bei dem die Streckung des Referenz- ugels Ref bezuglich Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit optimalist (Gl. (4.28))

14 2 BezeichnungencA", (cW",cM", cM0;") partielle Ableitung von cA, (cW , cM , cM0) nach dem Klappenwinkel"cA, (cM,cMS;) partielle Ableitung von cA, (cM , cMS) nach dem Anstellwinkel cW"" partielle zweifache Ableitung von cW nach dem Klappenwinkel "cpo, (cpu) Dierenz zwischen dem statischen Druck auf der Skelettoberseite(Skelettunterseite) und dem statischen Druck in der ungestortenAnstromung, dividiert durch q+1 (Gl. (3.74))cp = cpu cpo DierenzdruckbeiwertD Matrix der Ein ukoezienten und Stetigkeitsforderungen(Gl. (3.51))D(0), D(1), D(2) Ein ukoezienten (Gl. (3.50))E Ein uvektor (Gl. (3.5))E(0), E(1), E(2) Ein uvektoren nach Gl. (3.45)E Gleitzahl (Gl. (4.6))G+ Gewichtskraftg Vektor der Koezienten fur die Zirkulationsstarken der tragendenLinien (Gl. (3.51))k Verhaltnis des induzierten Widerstandes einer Konguration zumWert eines ebenen Ellipsen ugels (Gl. (3.137))q+1 Staudruck der ungestorten AnstromungRe = `+I U+1+ Reynoldszahl, gebildet mit der KongurationsinnentiefeReF = `+I;FU+1+ Reynoldszahl, gebildet mit der Flugelinnentiefe~Re = pF+U+1+ Reynoldszahl, gebildet mit der Wurzel aus der Kongurations acheU+1 AnstromungsgeschwindigkeitU1 dimensionsloser Vektor der ungestorten Anstromung, Bezugsgroe:U+1V = U1 + v dimensionsloser Vektor der Stromungsgeschwindigkeit, Bezugs-groe: U+1v dimensionsloser Vektor der induzierten Stromungsgeschwindigkeitin einem Punkt auf der Skelett ache (ohne den Anteil des Wirbel-dichtevektors ), Bezugsgroe: U+1vn =Pvn Komponente von v in enRichtungvn Beitrag einer Teil ache einer Langswirbelschicht zu vnv dimensionsloser Vektor der induzierten Stromungsgeschwindigkeitauf der Skelettoberseite infolge des Wirbeldichtevektors , Bezugs-groe: U+1ub Komponente von v in ebRichtung (Bild 8)

14 2 BezeichnungencA", (cW",cM", cM0;") partielle Ableitung von cA, (cW , cM , cM0) nach dem Klappenwinkel"cA, (cM,cMS;) partielle Ableitung von cA, (cM , cMS) nach dem Anstellwinkel cW"" partielle zweifache Ableitung von cW nach dem Klappenwinkel "cpo, (cpu) Dierenz zwischen dem statischen Druck auf der Skelettoberseite(Skelettunterseite) und dem statischen Druck in der ungestortenAnstromung, dividiert durch q+1 (Gl. (3.74))cp = cpu cpo DierenzdruckbeiwertD Matrix der Ein ukoezienten und Stetigkeitsforderungen(Gl. (3.51))D(0), D(1), D(2) Ein ukoezienten (Gl. (3.50))E Ein uvektor (Gl. (3.5))E(0), E(1), E(2) Ein uvektoren nach Gl. (3.45)E Gleitzahl (Gl. (4.6))G+ Gewichtskraftg Vektor der Koezienten fur die Zirkulationsstarken der tragendenLinien (Gl. (3.51))k Verhaltnis des induzierten Widerstandes einer Konguration zumWert eines ebenen Ellipsen ugels (Gl. (3.137))q+1 Staudruck der ungestorten AnstromungRe = `+I U+1+ Reynoldszahl, gebildet mit der KongurationsinnentiefeReF = `+I;FU+1+ Reynoldszahl, gebildet mit der Flugelinnentiefe~Re = pF+U+1+ Reynoldszahl, gebildet mit der Wurzel aus der Kongurations acheU+1 AnstromungsgeschwindigkeitU1 dimensionsloser Vektor der ungestorten Anstromung, Bezugsgroe:U+1V = U1 + v dimensionsloser Vektor der Stromungsgeschwindigkeit, Bezugs-groe: U+1v dimensionsloser Vektor der induzierten Stromungsgeschwindigkeitin einem Punkt auf der Skelett ache (ohne den Anteil des Wirbel-dichtevektors ), Bezugsgroe: U+1vn =Pvn Komponente von v in enRichtungvn Beitrag einer Teil ache einer Langswirbelschicht zu vnv dimensionsloser Vektor der induzierten Stromungsgeschwindigkeitauf der Skelettoberseite infolge des Wirbeldichtevektors , Bezugs-groe: U+1ub Komponente von v in ebRichtung (Bild 8)

2.4 Numerische Groen 15vt = 0@ utvtwt 1A dimensionsloser Vektor der induzierten Stromungsgeschwindigkeitin der TretzEbene im TretzKoordinatensystem, Bezugsgroe:U+1vnt Komponente von vt in entRichtungwg dimensionslose Sinkgeschwindigkeit im geodatischen Koordinaten-system, Bezugsgroe: p2G+=%+F+Fwg;Ref dimensionslose Sinkgeschwindigkeit im geodatischen Koordinaten-system, Bezugsgroe: p2G+=%+F+Ref Anstellwinkel (Winkel zwischen dem Einheitsvektor ex und demVektor der ungestorten Anstromung U1)0 Nullauftriebswinkel (Anstellwinkel bei cA = 0) dimensionslose Gesamtzirkulation eines Schnittes y = konst., Be-zugsgroen: U+1s+ dimensionslose Zirkulation eines Wirbels, Bezugsgroen: U+1s+ transformierte Zirkulationsdichte (Gl. (3.13)), Bezugsgroen: U+1s+ dimensionsloser Wirbeldichtevektor (Gl. (3.76)) (Anhang E), Be-zugsgroe: U+1s, r Komponenten von in es- bzw. erRichtung (Bild 8) Korrekturfaktor fur die diskrete Langswirbelstarke (Gl. (3.39))+ kinematische Zahigkeit der LuftN" Anderung der aerodynamischen Neutralpunktlage N mit demRuderausschlag " (Gl. (4.19))%+ Luftdichtet dimensionsloses Potential in der TretzEbene, Bezugsgroen:U+1s+ dimensionslose Zirkulationsdichte (Gl. (3.9)), Bezugsgroen: U+1s+2.4 Numerische GroenH Anzahl der Strecken des Polygonzuges in der TretzEbene (=Streifenanzahl L der Konguration zuzuglich der Anzahl von Ver-bindungslinien)h Nummer einer Strecke des Polygonzuges in der TretzEbeneoder Nummer der moglichen spannweitigen Aufpunktlage fur einenStreifen (Gl. (3.36))i AufpunktnummerJ Anzahl von diskreten Langswirbeln, die zur Berechnung der Induk-tionen der Langswirbelschicht eines Querwirbels verwendet werdenj Langswirbelnummer

2.4 Numerische Groen 15vt = 0@ utvtwt 1A dimensionsloser Vektor der induzierten Stromungsgeschwindigkeitin der TretzEbene im TretzKoordinatensystem, Bezugsgroe:U+1vnt Komponente von vt in entRichtungwg dimensionslose Sinkgeschwindigkeit im geodatischen Koordinaten-system, Bezugsgroe: p2G+=%+F+Fwg;Ref dimensionslose Sinkgeschwindigkeit im geodatischen Koordinaten-system, Bezugsgroe: p2G+=%+F+Ref Anstellwinkel (Winkel zwischen dem Einheitsvektor ex und demVektor der ungestorten Anstromung U1)0 Nullauftriebswinkel (Anstellwinkel bei cA = 0) dimensionslose Gesamtzirkulation eines Schnittes y = konst., Be-zugsgroen: U+1s+ dimensionslose Zirkulation eines Wirbels, Bezugsgroen: U+1s+ transformierte Zirkulationsdichte (Gl. (3.13)), Bezugsgroen: U+1s+ dimensionsloser Wirbeldichtevektor (Gl. (3.76)) (Anhang E), Be-zugsgroe: U+1s, r Komponenten von in es- bzw. erRichtung (Bild 8) Korrekturfaktor fur die diskrete Langswirbelstarke (Gl. (3.39))+ kinematische Zahigkeit der LuftN" Anderung der aerodynamischen Neutralpunktlage N mit demRuderausschlag " (Gl. (4.19))%+ Luftdichtet dimensionsloses Potential in der TretzEbene, Bezugsgroen:U+1s+ dimensionslose Zirkulationsdichte (Gl. (3.9)), Bezugsgroen: U+1s+2.4 Numerische GroenH Anzahl der Strecken des Polygonzuges in der TretzEbene (=Streifenanzahl L der Konguration zuzuglich der Anzahl von Ver-bindungslinien)h Nummer einer Strecke des Polygonzuges in der TretzEbeneoder Nummer der moglichen spannweitigen Aufpunktlage fur einenStreifen (Gl. (3.36))i AufpunktnummerJ Anzahl von diskreten Langswirbeln, die zur Berechnung der Induk-tionen der Langswirbelschicht eines Querwirbels verwendet werdenj Langswirbelnummer

16 2 BezeichnungenK Panel- / Querwirbel- / Aufpunktanzahl eines Streifens (Bild 2)k Panel- / QuerwirbelnummerL Streifenanzahl (Bild 3)l Streifennummer oder Nummer des Aufpunktes auf der VorderkanteM Teil achenanzahl durch die die Langswirbelschicht eines Querwir-bels zur Berechnung der Induktionen ersetzt wird (Bild 3)m Teil achennummerN Panel- / Querwirbel- / Aufpunktanzahl einer Konguration2.5 KoezientenG0, G1, G2 Koezienten der Zirkulationsstarke eines Streifens (Gl. (3.53))g0, g1, g2 Koezienten der Zirkulationsstarke eines Querwirbels (Gl. (3.24))gV 0, gV 1 Koezienten der Langswirbelstarke auf der Panel ache vor demQuerwirbel (vordere Panel ache) (Gl. (3.66))gH0, gH1 Koezienten der Langswirbelstarke auf der Panel ache hinter demQuerwirbel (hintere Panel ache) (Gl. (3.73))a0 ; a1 : : : a5m0; m1: : :m5w0 ; w1 : : : w8375 Koezienten der Polynome zur Approximation der Beiwerte(Gl. (3.141))2.6 Abkurzungen und Indizes()+ Kennzeichnung einer dimensionsbehafteten Groe() Kennzeichnung eines Beiwertes, der mit den geometrischen Groendes Flugels (Konguration ohne Klappe) gebildet wird (z. B. F+F ,`+F , `+I;F ) und ggf. auf den geometrischen Neutralpunkt des FlugelsxN25F bezogen istA Aufpunkt oder Auen (an der Stelle y = 1)c Zahlindex fur die Querwirbel zwischen der Vorderkante und dembetrachteten Querwirbelexakt analytisch berechnetF Kennzeichnung eines Parameters, der mit den geometrischenGroen des Flugels (Konguration ohne Klappe) gebildet wird(z. B. F Zuspitzung des Flugels)

16 2 BezeichnungenK Panel- / Querwirbel- / Aufpunktanzahl eines Streifens (Bild 2)k Panel- / QuerwirbelnummerL Streifenanzahl (Bild 3)l Streifennummer oder Nummer des Aufpunktes auf der VorderkanteM Teil achenanzahl durch die die Langswirbelschicht eines Querwir-bels zur Berechnung der Induktionen ersetzt wird (Bild 3)m Teil achennummerN Panel- / Querwirbel- / Aufpunktanzahl einer Konguration2.5 KoezientenG0, G1, G2 Koezienten der Zirkulationsstarke eines Streifens (Gl. (3.53))g0, g1, g2 Koezienten der Zirkulationsstarke eines Querwirbels (Gl. (3.24))gV 0, gV 1 Koezienten der Langswirbelstarke auf der Panel ache vor demQuerwirbel (vordere Panel ache) (Gl. (3.66))gH0, gH1 Koezienten der Langswirbelstarke auf der Panel ache hinter demQuerwirbel (hintere Panel ache) (Gl. (3.73))a0 ; a1 : : : a5m0; m1: : :m5w0 ; w1 : : : w8375 Koezienten der Polynome zur Approximation der Beiwerte(Gl. (3.141))2.6 Abkurzungen und Indizes()+ Kennzeichnung einer dimensionsbehafteten Groe() Kennzeichnung eines Beiwertes, der mit den geometrischen Groendes Flugels (Konguration ohne Klappe) gebildet wird (z. B. F+F ,`+F , `+I;F ) und ggf. auf den geometrischen Neutralpunkt des FlugelsxN25F bezogen istA Aufpunkt oder Auen (an der Stelle y = 1)c Zahlindex fur die Querwirbel zwischen der Vorderkante und dembetrachteten Querwirbelexakt analytisch berechnetF Kennzeichnung eines Parameters, der mit den geometrischenGroen des Flugels (Konguration ohne Klappe) gebildet wird(z. B. F Zuspitzung des Flugels)

2.7 Kongurationsbezeichnung 17h Nummer einer Strecke des Polygonzuges in der TretzEbene oderNummer der moglichen Aufpunktlage in Spannweitenrichtung aufeinem Streifen (Gl. (3.36))I Innen (an der Stelle y = 0)i Aufpunktnummerj LangswirbelnummerK Klappe (Vogelschwanz)k Panel- / Querwirbelnummerkonst. konstantLW Anteil der Langswirbel eines QuerwirbelsLW; V Anteil der Langswirbelschicht auf der Panel ache vor dem Quer-wirbel (vordere Panel ache)LW;H Anteil der Langswirbelschicht auf der Panel ache hinter dem Quer-wirbel (hintere Panel ache)l Streifennummer oder Aufpunktnummer auf der Vorderkantem Teil achennummer der Langswirbelschicht eines Querwirbelsmax, (min) Maximalwert, (Minimalwert)num numerisch berechneto Skelett- bzw. RandkurvenoberseiteQW QuerwirbelanteilR Randkurve in der TretzEbeneRef Kennzeichnung eines Beiwertes bzw. geometrischen Parameters, dermit den geometrischen Groen eines Referenz ugels gebildet wirdund ggf. auf den geometrischen Neutralpunkt des Referenz ugelsbezogen istu Skelett- bzw. RandkurvenunterseiteV Vorderkante der Skelett achevar. variabel2.7 KongurationsbezeichnungDer Name einer Konguration richtet sich nach der Schwanzform (z. B. Kongura-tion B = Rechteck ugel (F = 5, NACA 3400 Skelettprol) mit der Klappe B). DieGeometrie der untersuchten Schwanzformen wird in Bild 26 und 27 angegeben. DerRechteck ugel (F = 5, NACA 3400 Skelettprol) heit Basis ugel und die Kongu-ration B Basiskonguration.

2.7 Kongurationsbezeichnung 17h Nummer einer Strecke des Polygonzuges in der TretzEbene oderNummer der moglichen Aufpunktlage in Spannweitenrichtung aufeinem Streifen (Gl. (3.36))I Innen (an der Stelle y = 0)i Aufpunktnummerj LangswirbelnummerK Klappe (Vogelschwanz)k Panel- / Querwirbelnummerkonst. konstantLW Anteil der Langswirbel eines QuerwirbelsLW; V Anteil der Langswirbelschicht auf der Panel ache vor dem Quer-wirbel (vordere Panel ache)LW;H Anteil der Langswirbelschicht auf der Panel ache hinter dem Quer-wirbel (hintere Panel ache)l Streifennummer oder Aufpunktnummer auf der Vorderkantem Teil achennummer der Langswirbelschicht eines Querwirbelsmax, (min) Maximalwert, (Minimalwert)num numerisch berechneto Skelett- bzw. RandkurvenoberseiteQW QuerwirbelanteilR Randkurve in der TretzEbeneRef Kennzeichnung eines Beiwertes bzw. geometrischen Parameters, dermit den geometrischen Groen eines Referenz ugels gebildet wirdund ggf. auf den geometrischen Neutralpunkt des Referenz ugelsbezogen istu Skelett- bzw. RandkurvenunterseiteV Vorderkante der Skelett achevar. variabel2.7 KongurationsbezeichnungDer Name einer Konguration richtet sich nach der Schwanzform (z. B. Kongura-tion B = Rechteck ugel (F = 5, NACA 3400 Skelettprol) mit der Klappe B). DieGeometrie der untersuchten Schwanzformen wird in Bild 26 und 27 angegeben. DerRechteck ugel (F = 5, NACA 3400 Skelettprol) heit Basis ugel und die Kongu-ration B Basiskonguration.

3 Losung der Nachrechnungsaufgabe3.1 Anforderungen an das VerfahrenBei den zu untersuchenden Kongurationen handelt es sich um gleitende Vogel. ImGegensatz zu starren Flugzeugen ist die Geometrie von Vogeln sehr exibel. Diesbetrit sowohl die Flugelgeometrie (z. B. Streckung, Pfeilung, Zuspitzung, Wolbung)als auch die Vogelschwanzgeometrie (z. B. Lange, Breite, Spreizung, Gabelung). DasVerfahren, das zur aerodynamischen Berechnung der Vogelkongurationen benutztwerden soll, mu daher bezuglich der Geometrie auerst exibel sein. Aufgrund der imallgemeinen dunnen Prole von Vogeln wird auf die Berucksichtigung einer Proldickeverzichtet.Das Ziel der vorliegenden Untersuchung ist die Analyse der Flugleistungen und Flug-eigenschaften von gleitenden Vogeln. An die Genauigkeit des Berechnungsverfahrens,insbesondere an die Vorhersage des auftriebsabhangigen Widerstandes, werden da-her sehr hohe Anspruche gestellt. Aus diesem Grund ist sowohl die Berucksichtigungder Nichtplanaritat einer Konguration als auch die Erfassung nichtlinearer Eekteinfolge stationarer Ablosungen an stark gepfeilten Vorderkanten erforderlich.Grundsatzlich bieten sich fur diese Aufgabe die Trag ugelverfahren an, die auf der sta-tionaren, inkompressiblen Potentialgleichung beruhen. Bei diesen Verfahren lat sichder Ein u der Reibung nachtraglich in die aerodynamischen Beiwerte einarbeiten.Die Trag ugelverfahren konnen in zwei Gruppen eingeteilt werden. Die Verfahrender ersten Gruppe arbeiten mit einem ebenen Wirbelsystem, so da mit ihnen nurannahernd ebene Kongurationen berechnet werden konnen. Bei den Verfahren derzweiten Gruppe wird diese Einschrankung fallen gelassen. Im weiteren werden diewesentlichen Trag ugelverfahren kurz genannt und hinsichtlich ihrer Eignung fur dieformulierte Aufgabe diskutiert. Hierbei spielt die Moglichkeit einer Berechnung desortlichen Widerstandes und damit einer Saugkraftverteilung langs der Vorderkanteeine wichtige Rolle, da mit der Saugkraft die Auswirkungen von stationaren Ablosun-gen an stark gepfeilten, scharfen Vorderkanten auf die aerodynamischen Beiwerte aufeinfache Weise erfat werden konnen (Pohlhamus [60, 61]). Obwohl die ebenen Ver-fahren der ersten Gruppe fur die genannte Problematik nur eingeschrankt geeignetsind, werden sie im weiteren aufgefuhrt, da sie die Grundlage fur alle nichtplanarenTrag ugelverfahren bilden.

3 Losung der Nachrechnungsaufgabe3.1 Anforderungen an das VerfahrenBei den zu untersuchenden Kongurationen handelt es sich um gleitende Vogel. ImGegensatz zu starren Flugzeugen ist die Geometrie von Vogeln sehr exibel. Diesbetrit sowohl die Flugelgeometrie (z. B. Streckung, Pfeilung, Zuspitzung, Wolbung)als auch die Vogelschwanzgeometrie (z. B. Lange, Breite, Spreizung, Gabelung). DasVerfahren, das zur aerodynamischen Berechnung der Vogelkongurationen benutztwerden soll, mu daher bezuglich der Geometrie auerst exibel sein. Aufgrund der imallgemeinen dunnen Prole von Vogeln wird auf die Berucksichtigung einer Proldickeverzichtet.Das Ziel der vorliegenden Untersuchung ist die Analyse der Flugleistungen und Flug-eigenschaften von gleitenden Vogeln. An die Genauigkeit des Berechnungsverfahrens,insbesondere an die Vorhersage des auftriebsabhangigen Widerstandes, werden da-her sehr hohe Anspruche gestellt. Aus diesem Grund ist sowohl die Berucksichtigungder Nichtplanaritat einer Konguration als auch die Erfassung nichtlinearer Eekteinfolge stationarer Ablosungen an stark gepfeilten Vorderkanten erforderlich.Grundsatzlich bieten sich fur diese Aufgabe die Trag ugelverfahren an, die auf der sta-tionaren, inkompressiblen Potentialgleichung beruhen. Bei diesen Verfahren lat sichder Ein u der Reibung nachtraglich in die aerodynamischen Beiwerte einarbeiten.Die Trag ugelverfahren konnen in zwei Gruppen eingeteilt werden. Die Verfahrender ersten Gruppe arbeiten mit einem ebenen Wirbelsystem, so da mit ihnen nurannahernd ebene Kongurationen berechnet werden konnen. Bei den Verfahren derzweiten Gruppe wird diese Einschrankung fallen gelassen. Im weiteren werden diewesentlichen Trag ugelverfahren kurz genannt und hinsichtlich ihrer Eignung fur dieformulierte Aufgabe diskutiert. Hierbei spielt die Moglichkeit einer Berechnung desortlichen Widerstandes und damit einer Saugkraftverteilung langs der Vorderkanteeine wichtige Rolle, da mit der Saugkraft die Auswirkungen von stationaren Ablosun-gen an stark gepfeilten, scharfen Vorderkanten auf die aerodynamischen Beiwerte aufeinfache Weise erfat werden konnen (Pohlhamus [60, 61]). Obwohl die ebenen Ver-fahren der ersten Gruppe fur die genannte Problematik nur eingeschrankt geeignetsind, werden sie im weiteren aufgefuhrt, da sie die Grundlage fur alle nichtplanarenTrag ugelverfahren bilden.

3.1 Anforderungen an das Verfahren 19Zu der Gruppe der planaren Berechnungsverfahren gehoren die einfachen Traglinien-verfahren (Prandtl [10, 11], Multhopp [62], Weissinger [63], Truckenbrodt [64, 65],Laschka und Wegener [66]), Mehrfachtraglinienverfahren (Wieghardt [67], Scholz [68],Schlichting und Kahlert [69]) und Trag achenverfahren (Truckenbrodt [70], Multhopp[71], Niemz [72], Wagner [73, 74]), sowie die planaren Wirbelleiterverfahren (Falkner[75], Lan [76, 77], DeJarnette [78]). Primar unterscheiden sich diese Verfahren in derWahl der Ansatzfunktion fur die gesuchte Zirkulationsverteilung.Bei den einfachen Traglinienverfahren wird der Flugel mit einer tragenden Linie be-legt. Fur die Zirkulationsstarke dieser tragenden Linie wird ein FourierPolynom an-genommen. Zur Bestimmung der unbekannten Koezienten des FourierPolynomswird die kinematische Stromungsbedingung in Punkten auf dem Flugel (Aufpunk-te) erfullt. Hinsichtlich der Genauigkeit liefern diese Verfahren auf einfache Weise furFlugel groer Streckung gute Ergebnisse fur den Auftriebs- und Widerstandsbeiwert.Eine zufriedenstellende Berechnung eines Nickmomentes ist mit den einfachen Trag-linienverfahren jedoch nicht moglich.Die Mehrfachtraglinienverfahren unterscheiden sich von den einfachen Traglinienver-fahren nur durch die Anordnung mehrerer tragender Linien hintereinander. Hierbeierfolgt die Tiefeneinteilung der Trag ugel mit tragenden Linien und Aufpunkten ent-sprechend dem Theorem von Pistolesi [79]. Die Mehrfachtraglinienverfahren erlau-ben die Berechnung beliebiger ebener Flugel und liefern fur die Gesamtbeiwerte guteErgebnisse. Eine Berechnung der spannweitigen Widerstandsverteilung ist mit dengenannten Verfahren jedoch nur bedingt moglich.Der Ubergang von diskreten tragenden Linien zu einer kontinuierlichen Verteilung dergesuchten Zirkulation in Spannweiten- und Tiefenrichtung fuhrt zu den Trag achen-verfahren. Auch diese Verfahren benutzen fur die spannweitige Zirkulationsverteilungden FourierPolynomansatz. Fur die Verteilung in Tiefenrichtung wird der aus derSkelettTheorie bekannte Glauert'sche Ansatz gemacht, wobei von Truckenbrodt [70],Multhopp [71] und Niemz [72] zwei Glieder und von Wagner [73, 74] funf Gliederberucksichtigt werden. Zur Berechnung der unbekannten Koezienten der Ansatz-funktion wird die kinematische Stromungsbedingung in Punkten erfullt, die auf zweibzw. funf Linien konstanter relativer Tiefe angeordnet sind. Die Trag achenverfahrenliefern fur beliebige, ebene Flugel sehr gute Ergebnisse. Sie ermoglichen auerdemdie Berechnung einer Widerstandsverteilung, die jedoch zum Teil einen unerwunschtschwingungsformigen Verlauf zeigt (Wagner [74]).Abschlieend seien fur die Gruppe der ebenen Trag achenverfahren noch die planarenWirbelleiterverfahren genannt, bei denen die gesuchte achenhafte Zirkulationsvertei-lung sowohl in Spannweiten- als auch in Tiefenrichtung durch diskrete Wirbel ersetztwird. Hierbei erfolgt die Belegung der ebenen Trag ache mit Wirbeln und Aufpunktenin Tiefenrichtung entweder nach dem Theorem von Pistolesi [79] oder entsprechendeiner von Lan [76, 77] und DeJarnette [78] vorgeschlagenen "CosinusEinteilung\.Der Vorteil der letztgenannten Einteilung liegt in der Berucksichtigung der CauchySingularitat im Integral der von einer achenhaften Verteilung der Zirkulation in einemAufpunkt induzierten Geschwindigkeit in Richtung normal zur Flache. Zusatzlich ist

3.1 Anforderungen an das Verfahren 19Zu der Gruppe der planaren Berechnungsverfahren gehoren die einfachen Traglinien-verfahren (Prandtl [10, 11], Multhopp [62], Weissinger [63], Truckenbrodt [64, 65],Laschka und Wegener [66]), Mehrfachtraglinienverfahren (Wieghardt [67], Scholz [68],Schlichting und Kahlert [69]) und Trag achenverfahren (Truckenbrodt [70], Multhopp[71], Niemz [72], Wagner [73, 74]), sowie die planaren Wirbelleiterverfahren (Falkner[75], Lan [76, 77], DeJarnette [78]). Primar unterscheiden sich diese Verfahren in derWahl der Ansatzfunktion fur die gesuchte Zirkulationsverteilung.Bei den einfachen Traglinienverfahren wird der Flugel mit einer tragenden Linie be-legt. Fur die Zirkulationsstarke dieser tragenden Linie wird ein FourierPolynom an-genommen. Zur Bestimmung der unbekannten Koezienten des FourierPolynomswird die kinematische Stromungsbedingung in Punkten auf dem Flugel (Aufpunk-te) erfullt. Hinsichtlich der Genauigkeit liefern diese Verfahren auf einfache Weise furFlugel groer Streckung gute Ergebnisse fur den Auftriebs- und Widerstandsbeiwert.Eine zufriedenstellende Berechnung eines Nickmomentes ist mit den einfachen Trag-linienverfahren jedoch nicht moglich.Die Mehrfachtraglinienverfahren unterscheiden sich von den einfachen Traglinienver-fahren nur durch die Anordnung mehrerer tragender Linien hintereinander. Hierbeierfolgt die Tiefeneinteilung der Trag ugel mit tragenden Linien und Aufpunkten ent-sprechend dem Theorem von Pistolesi [79]. Die Mehrfachtraglinienverfahren erlau-ben die Berechnung beliebiger ebener Flugel und liefern fur die Gesamtbeiwerte guteErgebnisse. Eine Berechnung der spannweitigen Widerstandsverteilung ist mit dengenannten Verfahren jedoch nur bedingt moglich.Der Ubergang von diskreten tragenden Linien zu einer kontinuierlichen Verteilung dergesuchten Zirkulation in Spannweiten- und Tiefenrichtung fuhrt zu den Trag achen-verfahren. Auch diese Verfahren benutzen fur die spannweitige Zirkulationsverteilungden FourierPolynomansatz. Fur die Verteilung in Tiefenrichtung wird der aus derSkelettTheorie bekannte Glauert'sche Ansatz gemacht, wobei von Truckenbrodt [70],Multhopp [71] und Niemz [72] zwei Glieder und von Wagner [73, 74] funf Gliederberucksichtigt werden. Zur Berechnung der unbekannten Koezienten der Ansatz-funktion wird die kinematische Stromungsbedingung in Punkten erfullt, die auf zweibzw. funf Linien konstanter relativer Tiefe angeordnet sind. Die Trag achenverfahrenliefern fur beliebige, ebene Flugel sehr gute Ergebnisse. Sie ermoglichen auerdemdie Berechnung einer Widerstandsverteilung, die jedoch zum Teil einen unerwunschtschwingungsformigen Verlauf zeigt (Wagner [74]).Abschlieend seien fur die Gruppe der ebenen Trag achenverfahren noch die planarenWirbelleiterverfahren genannt, bei denen die gesuchte achenhafte Zirkulationsvertei-lung sowohl in Spannweiten- als auch in Tiefenrichtung durch diskrete Wirbel ersetztwird. Hierbei erfolgt die Belegung der ebenen Trag ache mit Wirbeln und Aufpunktenin Tiefenrichtung entweder nach dem Theorem von Pistolesi [79] oder entsprechendeiner von Lan [76, 77] und DeJarnette [78] vorgeschlagenen "CosinusEinteilung\.Der Vorteil der letztgenannten Einteilung liegt in der Berucksichtigung der CauchySingularitat im Integral der von einer achenhaften Verteilung der Zirkulation in einemAufpunkt induzierten Geschwindigkeit in Richtung normal zur Flache. Zusatzlich ist

20 3 Losung der Nachrechnungsaufgabemit dieser Einteilung eine explizite Berechnung der ortlichen Saugkraft und damit derspannweitigen Widerstandsverteilung moglich. Bezuglich der Geometrie der zu be-rechnenden Konguration sind die Wirbelleiterverfahren sehr exibel. Leider genugensie hinsichtlich der Genauigkeit, insbesondere der berechneten Widerstande, keinensehr hohen Anforderungen. Nach einer Untersuchung von Horstmann [80] ist hierfurdie stuge Verteilung der Zirkulation in Spannweitenrichtung verantwortlich.Zu der Gruppe der nichtplanaren Trag ugelverfahren zahlen das Traglinienverfah-ren von SchmidGoller [81], die erweiterten Wirbelleiterverfahren von Rubbert [82]und Hedmann [83], die Panelverfahren von Woodward [84], Rubbert und Saaris [85],Labruyere et al. [86], Kraus [87] und Kraus und Sacher [88], das Mehrfachtraglinien-verfahren von Horstmann [80] sowie das Trag achenverfahren von Leyser [89].Das Traglinienverfahren von SchmidGoller [81] stellt eine Erweiterung der klassi-schen Traglinientheorie von Prandtl [10, 11] dar. Es wird eine Verallgemeinerung desMunkschen Verschiebungssatzes (Munk [90]) fur beliebig gerichtete tragende Elementeangegeben. Die Widerstandsbestimmung an einer ebenen, gepfeilten tragenden Linieist damit moglich. Zusatzlich wird die Auftriebsberechnung an einer nichtplanaren tra-genden Linie verfeinert. Die genannte Problematik der Berechnung des Nickmomentesmittels einer tragenden Linie bleibt jedoch unverandert erhalten.Die nichtplanaren Wirbelleiterverfahren basieren auf dem bereits genannten Verfahrenvon Falkner [75]. Auch bei ihnen erfolgt die Belegung der tragenden Flache mit diskre-ten Wirbeln und Aufpunkten entsprechend dem Theorem von Pistolesi. Hinsichtlichder Geometrie sind diese Verfahren sehr exibel, ermoglichen jedoch aufgrund derstugen Zirkulationsverteilung in Spannweitenrichtung keine befriedigende Vorhersa-ge des induzierten Widerstandes (Horstmann [80], SchmidGoller [81]).Bei den Panelverfahren wird neben dem Auftriebsproblem auch die Dicke einer Kon-guration berucksichtigt. Hierzu wird die Kongurationsober ache in kleine Teil achen(Panel) unterteilt. Pro Panel wird von Kraus und Sacher [87, 88] eine konstante QuellSenkenStarke angenommen. Zusatzlich werden innerhalb der Konguration auf derSkelett ache diskrete Hufeisenwirbel angeordnet. Fur die Zirkulationsstarke der Huf-eisenwirbel wird in Tiefenrichtung eine Verteilung vorgeschrieben und in Spannwei-tenrichtung eine Treppenfunktion angesetzt. Zur Bestimmung der unbekannten QuellSenkenStarken wird die kinematische Stromungsbedingung pro Panel in einem Auf-punkt erfullt. Die Zirkulationsstarke der Hufeisenwirbel wird pro Flugelstreifen an-hand der Kutta'schen Ab ubedingung berechnet, die pro Flugelstreifen in einemPunkt unmittelbar hinter der Flugelhinterkante erfullt wird. Durch eine Integrationder Ober achendruckverteilung ergeben sich anschlieend die aerodynamischen Bei-werte. Die Panelverfahren bilden die Grundlage fur viele Interferenzuntersuchungen(z. B. FlugelRumpfInterferenz). Sie liefern gute Ergebnisse fur die Auftriebs- undNickmomentenbeiwerte. Eine zufriedenstellende Vorhersage des induzierten Wider-standes ist jedoch auch mit diesen Verfahren nicht moglich (Horstmann [80], SchmidGoller [81]).Erst durch den Ubergang von einer diskreten auf eine kontinuierliche Zirkulationsver-teilung in Spannweitenrichtung wird eine genaue Berechnung des induzierten Wider-

20 3 Losung der Nachrechnungsaufgabemit dieser Einteilung eine explizite Berechnung der ortlichen Saugkraft und damit derspannweitigen Widerstandsverteilung moglich. Bezuglich der Geometrie der zu be-rechnenden Konguration sind die Wirbelleiterverfahren sehr exibel. Leider genugensie hinsichtlich der Genauigkeit, insbesondere der berechneten Widerstande, keinensehr hohen Anforderungen. Nach einer Untersuchung von Horstmann [80] ist hierfurdie stuge Verteilung der Zirkulation in Spannweitenrichtung verantwortlich.Zu der Gruppe der nichtplanaren Trag ugelverfahren zahlen das Traglinienverfah-ren von SchmidGoller [81], die erweiterten Wirbelleiterverfahren von Rubbert [82]und Hedmann [83], die Panelverfahren von Woodward [84], Rubbert und Saaris [85],Labruyere et al. [86], Kraus [87] und Kraus und Sacher [88], das Mehrfachtraglinien-verfahren von Horstmann [80] sowie das Trag achenverfahren von Leyser [89].Das Traglinienverfahren von SchmidGoller [81] stellt eine Erweiterung der klassi-schen Traglinientheorie von Prandtl [10, 11] dar. Es wird eine Verallgemeinerung desMunkschen Verschiebungssatzes (Munk [90]) fur beliebig gerichtete tragende Elementeangegeben. Die Widerstandsbestimmung an einer ebenen, gepfeilten tragenden Linieist damit moglich. Zusatzlich wird die Auftriebsberechnung an einer nichtplanaren tra-genden Linie verfeinert. Die genannte Problematik der Berechnung des Nickmomentesmittels einer tragenden Linie bleibt jedoch unverandert erhalten.Die nichtplanaren Wirbelleiterverfahren basieren auf dem bereits genannten Verfahrenvon Falkner [75]. Auch bei ihnen erfolgt die Belegung der tragenden Flache mit diskre-ten Wirbeln und Aufpunkten entsprechend dem Theorem von Pistolesi. Hinsichtlichder Geometrie sind diese Verfahren sehr exibel, ermoglichen jedoch aufgrund derstugen Zirkulationsverteilung in Spannweitenrichtung keine befriedigende Vorhersa-ge des induzierten Widerstandes (Horstmann [80], SchmidGoller [81]).Bei den Panelverfahren wird neben dem Auftriebsproblem auch die Dicke einer Kon-guration berucksichtigt. Hierzu wird die Kongurationsober ache in kleine Teil achen(Panel) unterteilt. Pro Panel wird von Kraus und Sacher [87, 88] eine konstante QuellSenkenStarke angenommen. Zusatzlich werden innerhalb der Konguration auf derSkelett ache diskrete Hufeisenwirbel angeordnet. Fur die Zirkulationsstarke der Huf-eisenwirbel wird in Tiefenrichtung eine Verteilung vorgeschrieben und in Spannwei-tenrichtung eine Treppenfunktion angesetzt. Zur Bestimmung der unbekannten QuellSenkenStarken wird die kinematische Stromungsbedingung pro Panel in einem Auf-punkt erfullt. Die Zirkulationsstarke der Hufeisenwirbel wird pro Flugelstreifen an-hand der Kutta'schen Ab ubedingung berechnet, die pro Flugelstreifen in einemPunkt unmittelbar hinter der Flugelhinterkante erfullt wird. Durch eine Integrationder Ober achendruckverteilung ergeben sich anschlieend die aerodynamischen Bei-werte. Die Panelverfahren bilden die Grundlage fur viele Interferenzuntersuchungen(z. B. FlugelRumpfInterferenz). Sie liefern gute Ergebnisse fur die Auftriebs- undNickmomentenbeiwerte. Eine zufriedenstellende Vorhersage des induzierten Wider-standes ist jedoch auch mit diesen Verfahren nicht moglich (Horstmann [80], SchmidGoller [81]).Erst durch den Ubergang von einer diskreten auf eine kontinuierliche Zirkulationsver-teilung in Spannweitenrichtung wird eine genaue Berechnung des induzierten Wider-

3.2 Darstellung der achenhaften Zirkulationsverteilung und Wahl derAufpunktlage 21standes moglich. Bei dem nichtplanaren Mehrfachtraglinienverfahren von Horstmann[80] wird daher fur die Zirkulationsstarke pro tragender Linie ein quadratischer Splineangenommen. Eine Kongurationsdicke wird nicht berucksichtigt. Die Tiefenbelegungder tragenden Flache mit tragenden Linien und Aufpunkten erfolgt nach dem Theoremvon Pistolesi [79]. Das Verfahren ist in seiner Anwendung auf V-formig nichtplanareKongurationen beschrankt. Es liefert sehr gute Ergebnisse fur die aerodynamischenGesamtbeiwerte, einschlielich des induzierten Widerstandes. Eine Berechnung derspannweitigen Widerstandsverteilung ist jedoch nicht moglich.Bei dem Trag achenverfahren von Leyser [89] wird der Nachlauf der zu berechnen-den Konguration als starr angenommen und verlauft parallel zur ungestorten An-stromung ins Unendliche. Die ideal dunne, tragende Flache ergibt sich durch eineVerlangerung der Nachlauache entgegen der Anstromrichtung um den Betrag derortlichen Flugeltiefe. Zur Berechnung wird die tragende Flache mit Dipolen belegt.Die Ansatzfunktion fur die unbekannte Dipolstarke setzt sich aus globalen singularenFunktionen und lokalen bikubischen Funktionen zusammen. Die Koezienten der An-satzfunktionen werden anhand der kinematischen Stromungsbedingung, die in Punk-ten auf der tragenden Flache erfullt wird, und anhand von Stetigkeitsforderungen andie gesuchte Dipolstarkeverteilung bestimmt. Uber den Satz von Kutta und Joukow-sky [14] ergeben sich die aerodynamischen Lasten auf der tragenden Flache. Zusatzlichwird die an der Flugelvorderkante angreifende Saugkraft berechnet. Mit dem beschrie-benen Verfahren hoherer Ordnung ist eine genaue Berechnung sowohl der ortlichenBeiwerte als auch der Gesamtbeiwerte moglich. Die fur eine Berechnung benotigte Re-chenzeit ist jedoch ganz erheblich. Auerdem ist die Anwendung des Verfahrens aufschwach gewolbte Flugel und kleine Anstellwinkel beschrankt, da die Singularitatennicht auf der Skelett ache angeordnet werden.Zusammenfassend lat sich festhalten, da keines der vorgestellten Trag ugelverfah-ren den anfangs formulierten Anforderungen genugt. Aus diesem Grund wird ein neuesVerfahren fur beliebig nichtplanare Trag ugel entwickelt, das bezuglich der Geometriesehr exibel ist und eine genaue Vorhersage der Gesamtbeiwerte sowie der ortlichenBeiwerte einschlielich einer spannweitigen Widerstandsverteilung ermoglicht. Es ba-siert auf einer Kombination und grundlegenden Erweiterung der Verfahren von Lan[76, 77], DeJarnette [78] und Horstmann [80].3.2 Darstellung der achenhaften Zirkulationsvertei-lung und Wahl der Aufpunktlage3.2.1 TiefenverteilungBei einem Mehrfachtraglinienverfahren wird die gesuchte Zirkulationsverteilung inTiefenrichtung durch eine endliche Anzahl von tragenden Linien diskreter Starke er-setzt. Die Positionen der tragenden Linien und der Aufpunkte (Punkte, in denen

3.2 Darstellung der achenhaften Zirkulationsverteilung und Wahl derAufpunktlage 21standes moglich. Bei dem nichtplanaren Mehrfachtraglinienverfahren von Horstmann[80] wird daher fur die Zirkulationsstarke pro tragender Linie ein quadratischer Splineangenommen. Eine Kongurationsdicke wird nicht berucksichtigt. Die Tiefenbelegungder tragenden Flache mit tragenden Linien und Aufpunkten erfolgt nach dem Theoremvon Pistolesi [79]. Das Verfahren ist in seiner Anwendung auf V-formig nichtplanareKongurationen beschrankt. Es liefert sehr gute Ergebnisse fur die aerodynamischenGesamtbeiwerte, einschlielich des induzierten Widerstandes. Eine Berechnung derspannweitigen Widerstandsverteilung ist jedoch nicht moglich.Bei dem Trag achenverfahren von Leyser [89] wird der Nachlauf der zu berechnen-den Konguration als starr angenommen und verlauft parallel zur ungestorten An-stromung ins Unendliche. Die ideal dunne, tragende Flache ergibt sich durch eineVerlangerung der Nachlauache entgegen der Anstromrichtung um den Betrag derortlichen Flugeltiefe. Zur Berechnung wird die tragende Flache mit Dipolen belegt.Die Ansatzfunktion fur die unbekannte Dipolstarke setzt sich aus globalen singularenFunktionen und lokalen bikubischen Funktionen zusammen. Die Koezienten der An-satzfunktionen werden anhand der kinematischen Stromungsbedingung, die in Punk-ten auf der tragenden Flache erfullt wird, und anhand von Stetigkeitsforderungen andie gesuchte Dipolstarkeverteilung bestimmt. Uber den Satz von Kutta und Joukow-sky [14] ergeben sich die aerodynamischen Lasten auf der tragenden Flache. Zusatzlichwird die an der Flugelvorderkante angreifende Saugkraft berechnet. Mit dem beschrie-benen Verfahren hoherer Ordnung ist eine genaue Berechnung sowohl der ortlichenBeiwerte als auch der Gesamtbeiwerte moglich. Die fur eine Berechnung benotigte Re-chenzeit ist jedoch ganz erheblich. Auerdem ist die Anwendung des Verfahrens aufschwach gewolbte Flugel und kleine Anstellwinkel beschrankt, da die Singularitatennicht auf der Skelett ache angeordnet werden.Zusammenfassend lat sich festhalten, da keines der vorgestellten Trag ugelverfah-ren den anfangs formulierten Anforderungen genugt. Aus diesem Grund wird ein neuesVerfahren fur beliebig nichtplanare Trag ugel entwickelt, das bezuglich der Geometriesehr exibel ist und eine genaue Vorhersage der Gesamtbeiwerte sowie der ortlichenBeiwerte einschlielich einer spannweitigen Widerstandsverteilung ermoglicht. Es ba-siert auf einer Kombination und grundlegenden Erweiterung der Verfahren von Lan[76, 77], DeJarnette [78] und Horstmann [80].3.2 Darstellung der achenhaften Zirkulationsvertei-lung und Wahl der Aufpunktlage3.2.1 TiefenverteilungBei einem Mehrfachtraglinienverfahren wird die gesuchte Zirkulationsverteilung inTiefenrichtung durch eine endliche Anzahl von tragenden Linien diskreter Starke er-setzt. Die Positionen der tragenden Linien und der Aufpunkte (Punkte, in denen

22 3 Losung der Nachrechnungsaufgabedie kinematische Stromungsbedingung erfullt wird) in Tiefenrichtung sind zunachstfrei wahlbar. Sie sollen im weiteren am Beispiel eines Flugels ohne Steuer ache inAnlehnung an das planare Vorgehen von Lan [76, 77] fur beliebig dreidimensionaleKongurationen festgelegt werden. Fur Flugel mit Steuer ache erfolgt die Belegungentsprechend getrennt fur den Flugel allein und die Steuer ache. Die Einteilung ndetim ugelfesten Koordinatensystem statt, das durch die Einheitsvektoren ex, ey undez aufgespannt wird (Bild 1). Der Ursprung dieses Systems liegt in der Symmetrie-ebene der Konguration auf der Vorderkante. ex verlauft parallel zur Prolsehne desFlugelmittelschnittes und weist in Richtung der Hinterkante. ez steht senkrecht aufex und weist nach oben. In Verbindung mit dem eyVektor entsteht ein orthogonalesRechtssystem. Die dimensionslosen Koordinaten des ugelfesten Systems sindx = x+s+ ; y = y+s+ ; z = z+s+ ; (3.1)wobei s+ die Flugelhalbspannweite ist. Ein Kreuz an einer Variablen kennzeichneteine dimensionsbehaftete Groe.Zur Berechnung wird die Konguration durch eine ideal dunne, beliebig geformteFlache (Skelett ache) ersetzt. Aus der Skelett ache wird ein schmales Band der Breitey ausgeschnitten. Fur die gesuchte achenhafte Zirkulationsverteilung auf dem Bandwird in diesem Kapitel angenommen, da sie in Spannweitenrichtung konstant sei. Dietragenden Linien sollen auf dem Band entlang der Tiefenkoordinaten = x xV` = konst. (3.2)laufen. Hierbei ist xV die ortliche xKoordinate der Flugelvorderkante und` = `+s+ (3.3)die ortliche Flugeltiefe.Auf dem Bandmittelschnitt liegt der Aufpunkt A. Zur Berechnung der induziertenGeschwindigkeit in diesem Aufpunkt werden die tragenden Linien zwischen dem linkenund rechten Bandrand durch gerade Strecken (Querwirbel) ersetzt. Nach dem Gesetzvon Biot und Savart (Schlichting und Truckenbrodt [91]) induziert ein Querwirbel indem Aufpunkt A die auf die ungestorte Anstromung U+1 bezogene Geschwindigkeitd(vn;A)QW = en;A E d: (3.4)Hierbei istE = 14 a1 a2ja1 a2j2 a0 a1ja1j a2ja2j (3.5)der Ein uvektor des Querwirbels auf den Aufpunkt, wobei a1, a2, a3 auf die Flugel-halbspannweite bezogene Hilfsvektoren entsprechend Bild 1 sind. Zudem istd = d+U+1s+ (3.6)

22 3 Losung der Nachrechnungsaufgabedie kinematische Stromungsbedingung erfullt wird) in Tiefenrichtung sind zunachstfrei wahlbar. Sie sollen im weiteren am Beispiel eines Flugels ohne Steuer ache inAnlehnung an das planare Vorgehen von Lan [76, 77] fur beliebig dreidimensionaleKongurationen festgelegt werden. Fur Flugel mit Steuer ache erfolgt die Belegungentsprechend getrennt fur den Flugel allein und die Steuer ache. Die Einteilung ndetim ugelfesten Koordinatensystem statt, das durch die Einheitsvektoren ex, ey undez aufgespannt wird (Bild 1). Der Ursprung dieses Systems liegt in der Symmetrie-ebene der Konguration auf der Vorderkante. ex verlauft parallel zur Prolsehne desFlugelmittelschnittes und weist in Richtung der Hinterkante. ez steht senkrecht aufex und weist nach oben. In Verbindung mit dem eyVektor entsteht ein orthogonalesRechtssystem. Die dimensionslosen Koordinaten des ugelfesten Systems sindx = x+s+ ; y = y+s+ ; z = z+s+ ; (3.1)wobei s+ die Flugelhalbspannweite ist. Ein Kreuz an einer Variablen kennzeichneteine dimensionsbehaftete Groe.Zur Berechnung wird die Konguration durch eine ideal dunne, beliebig geformteFlache (Skelett ache) ersetzt. Aus der Skelett ache wird ein schmales Band der Breitey ausgeschnitten. Fur die gesuchte achenhafte Zirkulationsverteilung auf dem Bandwird in diesem Kapitel angenommen, da sie in Spannweitenrichtung konstant sei. Dietragenden Linien sollen auf dem Band entlang der Tiefenkoordinaten = x xV` = konst. (3.2)laufen. Hierbei ist xV die ortliche xKoordinate der Flugelvorderkante und` = `+s+ (3.3)die ortliche Flugeltiefe.Auf dem Bandmittelschnitt liegt der Aufpunkt A. Zur Berechnung der induziertenGeschwindigkeit in diesem Aufpunkt werden die tragenden Linien zwischen dem linkenund rechten Bandrand durch gerade Strecken (Querwirbel) ersetzt. Nach dem Gesetzvon Biot und Savart (Schlichting und Truckenbrodt [91]) induziert ein Querwirbel indem Aufpunkt A die auf die ungestorte Anstromung U+1 bezogene Geschwindigkeitd(vn;A)QW = en;A E d: (3.4)Hierbei istE = 14 a1 a2ja1 a2j2 a0 a1ja1j a2ja2j (3.5)der Ein uvektor des Querwirbels auf den Aufpunkt, wobei a1, a2, a3 auf die Flugel-halbspannweite bezogene Hilfsvektoren entsprechend Bild 1 sind. Zudem istd = d+U+1s+ (3.6)

3.2 Darstellung der achenhaften Zirkulationsverteilung und Wahl derAufpunktlage 23die dimensionslose Zirkulationsstarke des Querwirbels und en;A der Einheitsvektornormal zur Skelett ache im Aufpunkt A.Zur Integration von Gl. (3.4) wird die Wirbelstarke d mit der auf die ortliche Flugel-tiefe bezogenen Bogenlangenkoordinate der Skelettlinie des Bandmittelschnittesy = konst., der Tiefenkoordinate und der trigonometrischen Koordinate zud = @@ dd dd d (3.7)erweitert. Zwischen der Tiefenkoordinate und der trigonometrischen Koordinate besteht der Zusammenhang = 12 (1 cos) mit 2 [0; ]: (3.8)Mit den Abkurzungen fur die Zirkulationsdichte = @@ ; (3.9)dem Gradient der Bogenlangenkoordinate = dd (3.10)und dem Gradient der Tiefenkoordinate (Gl. (3.8)) = dd = 12 sin (3.11)wird aus Gl. (3.7)d = d: (3.12)Die Zirkulationsdichte und der Gradient werden im weiteren zur transformiertenZirkulationsdichte = = 12 sin (3.13)zusammengefat. Im Gegensatz zur Zirkulationsdichte bleibt die transformierte Zir-kulationsdichte an einer anliegend umstromten Vorderkante endlich. An einer Flugel-hinterkante und an einem Klappenknie wird zu Null. Verantwortlich ist hierfur derSinus der trigonometrischen Koordinate , der fur = 0 (Vorderkante) und = (Hinterkante/Klappenknie) zu Null wird und die Wurzelsingularitat der Zirkulations-dichte an einer anliegend umstromten Vorderkante und die logarithmische Singula-ritat am Klappenknie beseitigt.Durch Einsetzen von Gl. (3.12) und Gl. (3.13) in Gl. (3.4) und Integration von derFlugelvorderkante ( = 0) zur Flugelhinterkante ( = ) ergibt sich die von den

3.2 Darstellung der achenhaften Zirkulationsverteilung und Wahl derAufpunktlage 23die dimensionslose Zirkulationsstarke des Querwirbels und en;A der Einheitsvektornormal zur Skelett ache im Aufpunkt A.Zur Integration von Gl. (3.4) wird die Wirbelstarke d mit der auf die ortliche Flugel-tiefe bezogenen Bogenlangenkoordinate der Skelettlinie des Bandmittelschnittesy = konst., der Tiefenkoordinate und der trigonometrischen Koordinate zud = @@ dd dd d (3.7)erweitert. Zwischen der Tiefenkoordinate und der trigonometrischen Koordinate besteht der Zusammenhang = 12 (1 cos) mit 2 [0; ]: (3.8)Mit den Abkurzungen fur die Zirkulationsdichte = @@ ; (3.9)dem Gradient der Bogenlangenkoordinate = dd (3.10)und dem Gradient der Tiefenkoordinate (Gl. (3.8)) = dd = 12 sin (3.11)wird aus Gl. (3.7)d = d: (3.12)Die Zirkulationsdichte und der Gradient werden im weiteren zur transformiertenZirkulationsdichte = = 12 sin (3.13)zusammengefat. Im Gegensatz zur Zirkulationsdichte bleibt die transformierte Zir-kulationsdichte an einer anliegend umstromten Vorderkante endlich. An einer Flugel-hinterkante und an einem Klappenknie wird zu Null. Verantwortlich ist hierfur derSinus der trigonometrischen Koordinate , der fur = 0 (Vorderkante) und = (Hinterkante/Klappenknie) zu Null wird und die Wurzelsingularitat der Zirkulations-dichte an einer anliegend umstromten Vorderkante und die logarithmische Singula-ritat am Klappenknie beseitigt.Durch Einsetzen von Gl. (3.12) und Gl. (3.13) in Gl. (3.4) und Integration von derFlugelvorderkante ( = 0) zur Flugelhinterkante ( = ) ergibt sich die von den

24 3 Losung der NachrechnungsaufgabeQuerwirbeln des Bandes im Aufpunkt A normal zur Skelett ache induzierte Geschwin-digkeit(vn;A)QW = CZ 0 en;A E d: (3.14)Dieses CauchyIntegral lat sich durch Abspalten der Singularitat und Anwendungder Trapezregel (EngelnMullges und Reutter [92]) in die Summe(vn;A)QW = KXk=1 en;A EA;kk A KXk=1 PA;k (3.15)uberfuhren (Anhang A). Hierbei entspricht K der Anzahl der Stutzstellen zur nu-merischen Integration von Gl. (3.14). Gleichzeitig entspricht K der Querwirbelanzahlauf dem Band, = K (3.16)der aquidistanten Teilung der trigonometrischen Koordinate 2 [0; ], k der Nummerdes Querwirbels an der Positionk = k 12 mit k 2 [1; K] (3.17)und EA;k dem Ein uvektor des Querwirbels k auf den Aufpunkt A analog zu Gl. (3.5).Des weiteren istk = kk (3.18)die diskrete Zirkulationsstarke des Querwirbels k, wobeik = k (3.19)und k = k (3.20)ist. Die FunktionPA;k = enz;Aety;Aesx;A 1À sinA cot(k A) (3.21)wird zum Abspalten der CauchySingularitat in Gl. (3.14) benotigt und im AnhangB hergeleitet. In Gl. (3.21) kennzeichnet der Index A geometrische Groen im Auf-punkt A. Hierzu zahlt die Komponente des Einheitsvektors normal zu der Skelett achein ezRichtung enz;A, der Anteil des Einheitsvektors tangential zu der SkelettlinieA = konst. in eyRichtung ety;A, der Anteil des Einheitsvektors tangential zu derSkelettlinie yA = konst. in exRichtung esx;A und die ortliche Flugeltiefe À.

24 3 Losung der NachrechnungsaufgabeQuerwirbeln des Bandes im Aufpunkt A normal zur Skelett ache induzierte Geschwin-digkeit(vn;A)QW = CZ 0 en;A E d: (3.14)Dieses CauchyIntegral lat sich durch Abspalten der Singularitat und Anwendungder Trapezregel (EngelnMullges und Reutter [92]) in die Summe(vn;A)QW = KXk=1 en;A EA;kk A KXk=1 PA;k (3.15)uberfuhren (Anhang A). Hierbei entspricht K der Anzahl der Stutzstellen zur nu-merischen Integration von Gl. (3.14). Gleichzeitig entspricht K der Querwirbelanzahlauf dem Band, = K (3.16)der aquidistanten Teilung der trigonometrischen Koordinate 2 [0; ], k der Nummerdes Querwirbels an der Positionk = k 12 mit k 2 [1; K] (3.17)und EA;k dem Ein uvektor des Querwirbels k auf den Aufpunkt A analog zu Gl. (3.5).Des weiteren istk = kk (3.18)die diskrete Zirkulationsstarke des Querwirbels k, wobeik = k (3.19)und k = k (3.20)ist. Die FunktionPA;k = enz;Aety;Aesx;A 1À sinA cot(k A) (3.21)wird zum Abspalten der CauchySingularitat in Gl. (3.14) benotigt und im AnhangB hergeleitet. In Gl. (3.21) kennzeichnet der Index A geometrische Groen im Auf-punkt A. Hierzu zahlt die Komponente des Einheitsvektors normal zu der Skelett achein ezRichtung enz;A, der Anteil des Einheitsvektors tangential zu der SkelettlinieA = konst. in eyRichtung ety;A, der Anteil des Einheitsvektors tangential zu derSkelettlinie yA = konst. in exRichtung esx;A und die ortliche Flugeltiefe À.

3.2 Darstellung der achenhaften Zirkulationsverteilung und Wahl derAufpunktlage 25Die in einem beliebigen Punkt auf dem Streifenmittelschnitt induzierte Stromungsge-schwindigkeit resultiert demnach aus den Induktionen der diskreten Querwirbel (ersteSumme in Gleichung (3.15)) abzuglich eines Restgliedes. Dieses ist proportional zurtransformierten Zirkulationsdichte im Aufpunkt. Zur Berechnung der unbekanntenZirkulationsstarken der Querwirbel mu die Summe uber die Funktion PA;k zu Nullwerden. Diese Forderung wird erfullt, wenn die Aufpunkte auf der Skelett ache an dieKoordinatenA = i = i mit i 2 [1; K] (3.22)gelegt werden.Eine kontinuierliche Verteilung der Zirkulation in Tiefenrichtung induziert demnachin einem Aufpunkt i fur i 2 [1; K] die Geschwindigkeit (vn;i)QW , die sich unterBerucksichtigung der CauchySingularitat durch Addition der Induktionen von KQuerwirbeln diskreter Starke zu(vn;i)QW = KXk=1 en;i Ei;kk (3.23)ergibt. Die Tiefenkoordinate der Querwirbel wird hierbei durch Gleichung (3.17) fest-gelegt und diejenige der Aufpunkte durch Gleichung (3.22). Am Beispiel eines Schnit-tes y = konst. wird in Bild 2 die Belegung der Skelett ache mit tragenden Linienund Aufpunkten fur K = 4 gezeigt.3.2.2 SpannweitenverteilungFur die spannweitige Zirkulationsverteilung wird in dem entwickelten Mehrfachtrag-linienverfahren pro tragender Linie ein quadratischer Parameterspline angenommen.Der Flugel wird hierzu durch Schnitte y = konst. in L Streifen unterteilt (Bild 3).Jeder Streifen entspricht einem Intervall des Parametersplines. Im weiteren werden dieAbschnitte der tragenden Linien auf den Streifen Querwirbel genannt. Jede tragendeLinie besteht folglich aus L Querwirbeln. Die Zirkulationsstarke k eines Querwir-bels k entspricht der quadratischen Funktionk(q) = g0;k + g1;kq + g2;kq2 mit q 2 [0; 1]: (3.24)Der Parameter q wachst hierbei entlang des Querwirbels linear an und nimmt amlinken Streifenrand den Wert Null und am rechten Streifenrand den Wert Eins an.Fur jede tragende Linie liegen folglich 3L unbekannte Koezienten vor, zu deren Be-stimmung 3L Randbedingungen benotigt werden. Am Beispiel einer tragenden Liniewerden diese Randbedingungen im weiteren benannt. Die tragende Linie soll aus denQuerwirbeln k 2 [1; L] bestehen, wobei der Querwirbel an der linken Flugelseitenkantedie Nummer k = 1 und derjenige an der rechten Flugelseitenkante die Nummer k = Lbesitzen soll.11Unabhangig von der Position in Tiefen- und Spannweitenrichtung hat jeder Querwirbel eineNummer k und jeder Aufpunkt eine Nummer i.

3.2 Darstellung der achenhaften Zirkulationsverteilung und Wahl derAufpunktlage 25Die in einem beliebigen Punkt auf dem Streifenmittelschnitt induzierte Stromungsge-schwindigkeit resultiert demnach aus den Induktionen der diskreten Querwirbel (ersteSumme in Gleichung (3.15)) abzuglich eines Restgliedes. Dieses ist proportional zurtransformierten Zirkulationsdichte im Aufpunkt. Zur Berechnung der unbekanntenZirkulationsstarken der Querwirbel mu die Summe uber die Funktion PA;k zu Nullwerden. Diese Forderung wird erfullt, wenn die Aufpunkte auf der Skelett ache an dieKoordinatenA = i = i mit i 2 [1; K] (3.22)gelegt werden.Eine kontinuierliche Verteilung der Zirkulation in Tiefenrichtung induziert demnachin einem Aufpunkt i fur i 2 [1; K] die Geschwindigkeit (vn;i)QW , die sich unterBerucksichtigung der CauchySingularitat durch Addition der Induktionen von KQuerwirbeln diskreter Starke zu(vn;i)QW = KXk=1 en;i Ei;kk (3.23)ergibt. Die Tiefenkoordinate der Querwirbel wird hierbei durch Gleichung (3.17) fest-gelegt und diejenige der Aufpunkte durch Gleichung (3.22). Am Beispiel eines Schnit-tes y = konst. wird in Bild 2 die Belegung der Skelett ache mit tragenden Linienund Aufpunkten fur K = 4 gezeigt.3.2.2 SpannweitenverteilungFur die spannweitige Zirkulationsverteilung wird in dem entwickelten Mehrfachtrag-linienverfahren pro tragender Linie ein quadratischer Parameterspline angenommen.Der Flugel wird hierzu durch Schnitte y = konst. in L Streifen unterteilt (Bild 3).Jeder Streifen entspricht einem Intervall des Parametersplines. Im weiteren werden dieAbschnitte der tragenden Linien auf den Streifen Querwirbel genannt. Jede tragendeLinie besteht folglich aus L Querwirbeln. Die Zirkulationsstarke k eines Querwir-bels k entspricht der quadratischen Funktionk(q) = g0;k + g1;kq + g2;kq2 mit q 2 [0; 1]: (3.24)Der Parameter q wachst hierbei entlang des Querwirbels linear an und nimmt amlinken Streifenrand den Wert Null und am rechten Streifenrand den Wert Eins an.Fur jede tragende Linie liegen folglich 3L unbekannte Koezienten vor, zu deren Be-stimmung 3L Randbedingungen benotigt werden. Am Beispiel einer tragenden Liniewerden diese Randbedingungen im weiteren benannt. Die tragende Linie soll aus denQuerwirbeln k 2 [1; L] bestehen, wobei der Querwirbel an der linken Flugelseitenkantedie Nummer k = 1 und derjenige an der rechten Flugelseitenkante die Nummer k = Lbesitzen soll.11Unabhangig von der Position in Tiefen- und Spannweitenrichtung hat jeder Querwirbel eineNummer k und jeder Aufpunkt eine Nummer i.

26 3 Losung der NachrechnungsaufgabeDurch die Forderung verschwindender Wirbelstarke an den Flugelseitenkantenkq=0 = 0 fur k = 1kq=1 = 0 fur k = L (3.25)und die Bedingung einer auch uber die (L 1) Streifengrenzen hinweg einschlielichder ersten Ableitung stetigen Zirkulationsverteilung (C1-stetig)kq=1 = k+1q=0 fur k 2 [1; L 1]dkdrt q=1 = dk+1drt q=0 fur k 2 [1; L 1] (3.26)werden 2L Randbedingungen geliefert. Die Ableitung der Zirkulationsstarke k er-folgt hierbei nach der auf die Flugelhalbspannweite bezogenen Bogenlangenkoordinatert der Kurve, die sich durch die Projektion der Kongurationshinterkante in eine Ebe-ne normal zur ungestorten Anstromung ergibt. Entsprechned verlauft die resultierendeZirkulationsstarke der Nachlaufwirbel stetig uber der Bogenlangenkoordinate rt. Dieshat fur die Berechnung des induzierten Widerstandes aus den Bewegungsgroen inder TretzEbene Vorteile (vgl. Kapitel 3.5).Es verbleiben pro tragender Linie L Unbekannte, zu deren Bestimmung L weitereRandbedingungen benotigt werden. Diese Randbedingungen werden durch die kine-matische Stromungsbedingung bereitgestellt, die pro Querwirbel in einem Aufpunkterfullt wird. Die Position dieser Aufpunkte in Flugeltiefenrichtung ist durch Gl. (3.22)festgelegt. In spannweitige Richtung werden die Aufpunkte auf den Streifenmittel-schnitten angeordnet (vgl. Kapitel 3.3.1).3.3 Berechnung der Zirkulationsverteilung3.3.1 Induzierte GeschwindigkeitenInfolge des gewahlten Ansatzes fur die Zirkulationsstarken der tragenden Linien ver-lat jeden Querwirbel eine kontinuierliche Wirbelschicht (Langswirbelschicht), dieuber die Skelett ache zur Hinterkante und von dort ins Unendliche lauft. Zum Auf-stellen des linearen Gleichungssystems fur die unbekannten Koezienten der Zirku-lationsverteilung mu die durch dieses Wirbelsystem in einem Aufpunkt induzierteStromungsgeschwindigkeit normal zur Skelett ache bekannt sein. Sie setzt sich ad-ditiv aus den Induktionen des Querwirbels und der zugehorigen Langswirbelschichtzusammen. Ihre Berechnung wird im weiteren am Beispiel der Induktion des Wir-belsystems k (Querwirbel k und zugehorige Langswirbelschicht) in einem Aufpunkt ibeschrieben. Eine analytische Integration dieser induzierten Geschwindigkeit uber das

26 3 Losung der NachrechnungsaufgabeDurch die Forderung verschwindender Wirbelstarke an den Flugelseitenkantenkq=0 = 0 fur k = 1kq=1 = 0 fur k = L (3.25)und die Bedingung einer auch uber die (L 1) Streifengrenzen hinweg einschlielichder ersten Ableitung stetigen Zirkulationsverteilung (C1-stetig)kq=1 = k+1q=0 fur k 2 [1; L 1]dkdrt q=1 = dk+1drt q=0 fur k 2 [1; L 1] (3.26)werden 2L Randbedingungen geliefert. Die Ableitung der Zirkulationsstarke k er-folgt hierbei nach der auf die Flugelhalbspannweite bezogenen Bogenlangenkoordinatert der Kurve, die sich durch die Projektion der Kongurationshinterkante in eine Ebe-ne normal zur ungestorten Anstromung ergibt. Entsprechned verlauft die resultierendeZirkulationsstarke der Nachlaufwirbel stetig uber der Bogenlangenkoordinate rt. Dieshat fur die Berechnung des induzierten Widerstandes aus den Bewegungsgroen inder TretzEbene Vorteile (vgl. Kapitel 3.5).Es verbleiben pro tragender Linie L Unbekannte, zu deren Bestimmung L weitereRandbedingungen benotigt werden. Diese Randbedingungen werden durch die kine-matische Stromungsbedingung bereitgestellt, die pro Querwirbel in einem Aufpunkterfullt wird. Die Position dieser Aufpunkte in Flugeltiefenrichtung ist durch Gl. (3.22)festgelegt. In spannweitige Richtung werden die Aufpunkte auf den Streifenmittel-schnitten angeordnet (vgl. Kapitel 3.3.1).3.3 Berechnung der Zirkulationsverteilung3.3.1 Induzierte GeschwindigkeitenInfolge des gewahlten Ansatzes fur die Zirkulationsstarken der tragenden Linien ver-lat jeden Querwirbel eine kontinuierliche Wirbelschicht (Langswirbelschicht), dieuber die Skelett ache zur Hinterkante und von dort ins Unendliche lauft. Zum Auf-stellen des linearen Gleichungssystems fur die unbekannten Koezienten der Zirku-lationsverteilung mu die durch dieses Wirbelsystem in einem Aufpunkt induzierteStromungsgeschwindigkeit normal zur Skelett ache bekannt sein. Sie setzt sich ad-ditiv aus den Induktionen des Querwirbels und der zugehorigen Langswirbelschichtzusammen. Ihre Berechnung wird im weiteren am Beispiel der Induktion des Wir-belsystems k (Querwirbel k und zugehorige Langswirbelschicht) in einem Aufpunkt ibeschrieben. Eine analytische Integration dieser induzierten Geschwindigkeit uber das

3.3 Berechnung der Zirkulationsverteilung 27Gesetz von Biot und Savart ist fur eine beliebig geformte Skelett ache nicht moglich.Aus diesem Grund wird das Wirbelsystem geometrisch vereinfacht. Die Vereinfachungbetrit sowohl den Querwirbel als auch die Langswirbelschicht.Der im allgemeinen krummlinig uber die Skelett ache eines Streifens laufende Quer-wirbel wird hierzu durch eine gerade Verbindung seines Anfangspunktes auf dem lin-ken Streifenrand mit seinem Endpunkt auf dem rechten Streifenrand ersetzt. Die In-duktion des vereinfachten Querwirbels k in dem Aufpunkt i ergibt sich entsprechenddem Gesetz von Biot und Savart uber das Integral (Bild 4a)(vn;i;k)QW = en;i ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 k(q) dq: (3.27)Durch Einsetzen der Funktion fur die Zirkulationsstarke des Querwirbels (Gl. (3.24))folgt (vn;i;k)QW = en;ig0;k E(0)i;k QW + g1;k E(1)i;k QW + g2;k E(2)i;k QW ; (3.28)wobei die Ein uvektoren E(0)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 dq E(1)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 q dq E(2)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 q2 dq (3.29)regulare Integrale sind, die sich analytisch berechnen lassen. Ihre Losung wird imAnhang C angegeben.Zur Berechnung der Induktion der Langswirbelschicht des Querwirbels k im Auf-punkt i wird die Langswirbelschicht durch M Teil achen approximiert (Bild 3). JedeTeil ache ist eine durch vier Punkte aufgespannte, windschiefe Flache, so da Schnitte = konst. und y = konst. pro Teil ache gerade Linien darstellen. Die vier Punkte, dieeine Teil ache aufspannen, liegen auf dem linken und rechten Streifenrand und ent-sprechen dem Anfangs- und Endpunkt eines Querwirbels und einer Linie i = konst.nach Gl. (3.22). Sie stellen gleichzeitig die Eckpunkte der Teil ache dar. Fur die Langs-wirbelschicht stromab der Flugelhinterkante wird angenommen, da sie mit einem freiwahlbaren Winkel gegenuber der ungestorten Anstromung einseitig ins Unendlichelauft. Der freie Nachlauf wird demnach als starr angenommen und nicht kraftefreiausgerichtet. Aufrollvorgange im Nachlauf werden vernachlassigt.Die von der auf diese Weise geometrisch vereinfachten Langswirbelschicht des Quer-wirbels k in einem Aufpunkt i induzierte Normalgeschwindigkeit (vn;i;k)LW berechnetsich aus der Summe(vn;i;k)LW = MXm=1vn;i;m; (3.30)

3.3 Berechnung der Zirkulationsverteilung 27Gesetz von Biot und Savart ist fur eine beliebig geformte Skelett ache nicht moglich.Aus diesem Grund wird das Wirbelsystem geometrisch vereinfacht. Die Vereinfachungbetrit sowohl den Querwirbel als auch die Langswirbelschicht.Der im allgemeinen krummlinig uber die Skelett ache eines Streifens laufende Quer-wirbel wird hierzu durch eine gerade Verbindung seines Anfangspunktes auf dem lin-ken Streifenrand mit seinem Endpunkt auf dem rechten Streifenrand ersetzt. Die In-duktion des vereinfachten Querwirbels k in dem Aufpunkt i ergibt sich entsprechenddem Gesetz von Biot und Savart uber das Integral (Bild 4a)(vn;i;k)QW = en;i ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 k(q) dq: (3.27)Durch Einsetzen der Funktion fur die Zirkulationsstarke des Querwirbels (Gl. (3.24))folgt (vn;i;k)QW = en;ig0;k E(0)i;k QW + g1;k E(1)i;k QW + g2;k E(2)i;k QW ; (3.28)wobei die Ein uvektoren E(0)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 dq E(1)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 q dq E(2)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 q2 dq (3.29)regulare Integrale sind, die sich analytisch berechnen lassen. Ihre Losung wird imAnhang C angegeben.Zur Berechnung der Induktion der Langswirbelschicht des Querwirbels k im Auf-punkt i wird die Langswirbelschicht durch M Teil achen approximiert (Bild 3). JedeTeil ache ist eine durch vier Punkte aufgespannte, windschiefe Flache, so da Schnitte = konst. und y = konst. pro Teil ache gerade Linien darstellen. Die vier Punkte, dieeine Teil ache aufspannen, liegen auf dem linken und rechten Streifenrand und ent-sprechen dem Anfangs- und Endpunkt eines Querwirbels und einer Linie i = konst.nach Gl. (3.22). Sie stellen gleichzeitig die Eckpunkte der Teil ache dar. Fur die Langs-wirbelschicht stromab der Flugelhinterkante wird angenommen, da sie mit einem freiwahlbaren Winkel gegenuber der ungestorten Anstromung einseitig ins Unendlichelauft. Der freie Nachlauf wird demnach als starr angenommen und nicht kraftefreiausgerichtet. Aufrollvorgange im Nachlauf werden vernachlassigt.Die von der auf diese Weise geometrisch vereinfachten Langswirbelschicht des Quer-wirbels k in einem Aufpunkt i induzierte Normalgeschwindigkeit (vn;i;k)LW berechnetsich aus der Summe(vn;i;k)LW = MXm=1vn;i;m; (3.30)

28 3 Losung der Nachrechnungsaufgabewobei vn;i;m die von der Langswirbelschicht auf der Teil ache m im Aufpunkt inormal zur Skelett ache induzierte Stromungsgeschwindigkeit ist. Infolge der geome-trischen Vereinfachung entspricht jeder Langswirbel auf einer Teil ache einer geradenStrecke. In Verbindung mit der konstanten Zirkulationsstarke eines LangswirbelsdLW;k = ddq (k) dq = (g1;k + 2g2;kq) dq (3.31)resultiert die induzierte Geschwindigkeit vn;i;m durch Integration uber die Streifen-breite ausvn;i;m = CZ 10 en;i E ddq (k)dq: (3.32)Der Vektor E stellt hierbei den Ein u eines Langswirbels der Teil ache m auf denAufpunkt i entsprechend Gl. (3.5) dar. Das CauchyIntegral (3.32) ist analog zu dembereits genannten CauchyIntegral (3.14) aufgebaut. Es lat sich daher in gleicherWeise durch Abspalten der Singularitat und Anwendung der Trapezregel (EngelnMullges und Reutter [92]) in die Summevn;i;m = JXj=1 en;i Ei;jLW;k;j (3.33)uber die Induktionen von J Langswirbeln diskreter Starke LW;k;j uberfuhren. Hierzuwird der Parameter q 2 [0; 1] auf dem Streifen durch die trigonometrische Koordinate# 2 [0; ]q = 12 (1 cos#) (3.34)ersetzt. Bei der Uberfuhrung wird zusatzlich vorausgesetzt, da die diskreten Langs-wirbel j 2 [1; J ] auf dem Streifen an den spannweitigen Koordinaten#j = j 12# mit # = J (3.35)liegen, und der Aufpunkt i auf dem Rand der Teil ache m an einer der spannweitigenKoordinaten#i = h# fur h 2 [1; J 1] (3.36)liegt (Bild 4b). Die diskrete Starke eines Langswirbels j 2 [1; J ] des Querwirbels kergibt sich bei Verwendung der Trapezregel durch Einsetzen von Gl. (3.34) und demGradientendqd# = 12 sin# (3.37)in Gl. (3.31) zuLW;k;j = #2 [g1;k sin#j + g2;k(1 cos#j) sin#j] ; (3.38)

28 3 Losung der Nachrechnungsaufgabewobei vn;i;m die von der Langswirbelschicht auf der Teil ache m im Aufpunkt inormal zur Skelett ache induzierte Stromungsgeschwindigkeit ist. Infolge der geome-trischen Vereinfachung entspricht jeder Langswirbel auf einer Teil ache einer geradenStrecke. In Verbindung mit der konstanten Zirkulationsstarke eines LangswirbelsdLW;k = ddq (k) dq = (g1;k + 2g2;kq) dq (3.31)resultiert die induzierte Geschwindigkeit vn;i;m durch Integration uber die Streifen-breite ausvn;i;m = CZ 10 en;i E ddq (k)dq: (3.32)Der Vektor E stellt hierbei den Ein u eines Langswirbels der Teil ache m auf denAufpunkt i entsprechend Gl. (3.5) dar. Das CauchyIntegral (3.32) ist analog zu dembereits genannten CauchyIntegral (3.14) aufgebaut. Es lat sich daher in gleicherWeise durch Abspalten der Singularitat und Anwendung der Trapezregel (EngelnMullges und Reutter [92]) in die Summevn;i;m = JXj=1 en;i Ei;jLW;k;j (3.33)uber die Induktionen von J Langswirbeln diskreter Starke LW;k;j uberfuhren. Hierzuwird der Parameter q 2 [0; 1] auf dem Streifen durch die trigonometrische Koordinate# 2 [0; ]q = 12 (1 cos#) (3.34)ersetzt. Bei der Uberfuhrung wird zusatzlich vorausgesetzt, da die diskreten Langs-wirbel j 2 [1; J ] auf dem Streifen an den spannweitigen Koordinaten#j = j 12# mit # = J (3.35)liegen, und der Aufpunkt i auf dem Rand der Teil ache m an einer der spannweitigenKoordinaten#i = h# fur h 2 [1; J 1] (3.36)liegt (Bild 4b). Die diskrete Starke eines Langswirbels j 2 [1; J ] des Querwirbels kergibt sich bei Verwendung der Trapezregel durch Einsetzen von Gl. (3.34) und demGradientendqd# = 12 sin# (3.37)in Gl. (3.31) zuLW;k;j = #2 [g1;k sin#j + g2;k(1 cos#j) sin#j] ; (3.38)

3.3 Berechnung der Zirkulationsverteilung 29wobei = #2 JXj=1 sin#j (3.39)ein Korrekturfaktor fur die diskrete Langswirbelstarke ist. resultiert aus der Forde-rung, da die Summe der abgehenden Zirkulation der Langswirbelschicht auf einemStreifen gleich der Summe der Zirkulationsstarken LW;k;j der diskreten Langswirbelj 2 [1; J ] sein mu (3. Helmholtz`scher Wirbelsatz [91]). Mit steigender Anzahl J vonLangswirbeln diskreter Starke konvergiert gegen Eins (Bild 5). Durch Einsetzenvon Gl. (3.38) in Gl. (3.33) folgt die von der Langswirbelschicht einer Teil ache m imAufpunkt i induzierte Normalgeschwindigkeitvn;i;m = en;i g1;k E(1)i;k LW;m + g2;k E(2)i;k LW;m : (3.40)Hierbei sind E(1)i;k LW;m = #2 JXj=1 Ei;j sin#j E(2)i;k LW;m = #2 JXj=1 Ei;j(1 cos#j) sin#j (3.41)die Ein uvektoren der Langswirbelschicht der Teil ache m des Querwirbels k furden Aufpunkt i. Die insgesamt durch die Langswirbelschicht des Querwirbels k imAufpunkt i induzierte Normalgeschwindigkeit ergibt sich mit Gl. (3.40) und Gl. (3.30)zu (vn;i;k)LW = en;i hg1;k E(1)i;k LW + g2;k E(2)i;k LWi ; (3.42)wobei E(1)i;k LW = MXm=1 E(1)i;k LW;m E(2)i;k LW = MXm=1 E(2)i;k LW;m (3.43)die Ein uvektoren der Langswirbelschicht des Querwirbels k fur den Aufpunkt i sind.Ein Wirbelsystem k, bestehend aus dem Querwirbel k und dessen Langswirbelschicht,induziert demnach in einem Aufpunkt i die Normalgeschwindigkeitvn;i;k = en;ivi;k = en;i hg0;k E(0)i;k + g1;k E(1)i;k + g2;k E(2)i;k i : (3.44)

3.3 Berechnung der Zirkulationsverteilung 29wobei = #2 JXj=1 sin#j (3.39)ein Korrekturfaktor fur die diskrete Langswirbelstarke ist. resultiert aus der Forde-rung, da die Summe der abgehenden Zirkulation der Langswirbelschicht auf einemStreifen gleich der Summe der Zirkulationsstarken LW;k;j der diskreten Langswirbelj 2 [1; J ] sein mu (3. Helmholtz`scher Wirbelsatz [91]). Mit steigender Anzahl J vonLangswirbeln diskreter Starke konvergiert gegen Eins (Bild 5). Durch Einsetzenvon Gl. (3.38) in Gl. (3.33) folgt die von der Langswirbelschicht einer Teil ache m imAufpunkt i induzierte Normalgeschwindigkeitvn;i;m = en;i g1;k E(1)i;k LW;m + g2;k E(2)i;k LW;m : (3.40)Hierbei sind E(1)i;k LW;m = #2 JXj=1 Ei;j sin#j E(2)i;k LW;m = #2 JXj=1 Ei;j(1 cos#j) sin#j (3.41)die Ein uvektoren der Langswirbelschicht der Teil ache m des Querwirbels k furden Aufpunkt i. Die insgesamt durch die Langswirbelschicht des Querwirbels k imAufpunkt i induzierte Normalgeschwindigkeit ergibt sich mit Gl. (3.40) und Gl. (3.30)zu (vn;i;k)LW = en;i hg1;k E(1)i;k LW + g2;k E(2)i;k LWi ; (3.42)wobei E(1)i;k LW = MXm=1 E(1)i;k LW;m E(2)i;k LW = MXm=1 E(2)i;k LW;m (3.43)die Ein uvektoren der Langswirbelschicht des Querwirbels k fur den Aufpunkt i sind.Ein Wirbelsystem k, bestehend aus dem Querwirbel k und dessen Langswirbelschicht,induziert demnach in einem Aufpunkt i die Normalgeschwindigkeitvn;i;k = en;ivi;k = en;i hg0;k E(0)i;k + g1;k E(1)i;k + g2;k E(2)i;k i : (3.44)

30 3 Losung der NachrechnungsaufgabeIn Gl. (3.44) sindE(0)i;k = E(0)i;k QWE(1)i;k = E(1)i;k QW + E(1)i;k LWE(2)i;k = E(2)i;k QW + E(2)i;k LW (3.45)die Ein uvektoren des Wirbelsystems k fur den Aufpunkt i, die sich anhand derGleichungen (3.29) und (3.43) berechnen lassen.Die Gute der numerischen Integration der Induktion einer Wirbelschicht wird im wei-teren am Beispiel einer ebenen, beidseitig ins Unendliche laufenden Langswirbelschichtuberpruft. Die Induktion dieser Wirbelschicht lat sich uber das CauchyIntegral(3.32) unter Berucksichtigung der Singularitat analytisch bestimmen (Anhang D).Die induzierte Geschwindigkeit (vn)exakt ist in Bild 6 uber dem Parameter q 2 [0; 1]getrennt fur eine konstante und eine lineare Verteilung der Langswirbelstarke darge-stellt. An Sprungstellen der Wirbelstarke am linken und rechten Streifenrand strebt(vn)exakt logarithmisch gegen Unendlich. Diese Singularitaten lassen sich durch dasZusammenfugen mehrerer Wirbelschichten vermeiden, sofern die Wirbelstarke sprung-frei von einer Wirbelschicht zur nachsten wechselt. Zusatzlich ist im Bild das hundert-fache der Dierenz zwischen der numerisch und der analytisch berechneten Geschwin-digkeit f = 100[(vn)num (vn)exakt] uber dem Parameter q fur verschiedeneLangswirbelanzahlen J aufgetragen. (vn)num ergibt sich uber die Gleichungen (3.33)und (3.38).Es zeigt sich, da die Dierenz mit steigender Anzahl von Langswirbeln J sowohl beider konstanten als auch bei der linearen Verteilung der Langswirbelstarke schnell klei-ner wird. Unabhangig von der Anzahl J wird die numerisch ermittelte Geschwindigkeitim Aufpunkt auf der Streifenmitte durchweg exakt berechnet. Aus diesem Grund wirdvon den moglichen spannweitigen Aufpunktlagen nach Gl. (3.36) der Streifenmittel-schnitt#i = 2 bzw. qi = 12 (3.46)ausgewahlt. Voraussetzung hierfur ist eine gerade Anzahl von diskreten Langswirbeln(J 2 [2; 4; 6 : : : ]).3.3.2 Lineares GleichungssystemAm Beispiel einer aus N = K L Querwirbeln und Aufpunkten bestehenden Kon-guration wird der Aufbau des linearen Gleichungssystems im weiteren verdeutlicht.Aufgrund des quadratischen Ansatzes fur die Zirkulationsstarke eines Querwirbels(Gl. (3.24)) werden 3N unbekannte Koezienten gesucht, zu deren Bestimmung 3N

30 3 Losung der NachrechnungsaufgabeIn Gl. (3.44) sindE(0)i;k = E(0)i;k QWE(1)i;k = E(1)i;k QW + E(1)i;k LWE(2)i;k = E(2)i;k QW + E(2)i;k LW (3.45)die Ein uvektoren des Wirbelsystems k fur den Aufpunkt i, die sich anhand derGleichungen (3.29) und (3.43) berechnen lassen.Die Gute der numerischen Integration der Induktion einer Wirbelschicht wird im wei-teren am Beispiel einer ebenen, beidseitig ins Unendliche laufenden Langswirbelschichtuberpruft. Die Induktion dieser Wirbelschicht lat sich uber das CauchyIntegral(3.32) unter Berucksichtigung der Singularitat analytisch bestimmen (Anhang D).Die induzierte Geschwindigkeit (vn)exakt ist in Bild 6 uber dem Parameter q 2 [0; 1]getrennt fur eine konstante und eine lineare Verteilung der Langswirbelstarke darge-stellt. An Sprungstellen der Wirbelstarke am linken und rechten Streifenrand strebt(vn)exakt logarithmisch gegen Unendlich. Diese Singularitaten lassen sich durch dasZusammenfugen mehrerer Wirbelschichten vermeiden, sofern die Wirbelstarke sprung-frei von einer Wirbelschicht zur nachsten wechselt. Zusatzlich ist im Bild das hundert-fache der Dierenz zwischen der numerisch und der analytisch berechneten Geschwin-digkeit f = 100[(vn)num (vn)exakt] uber dem Parameter q fur verschiedeneLangswirbelanzahlen J aufgetragen. (vn)num ergibt sich uber die Gleichungen (3.33)und (3.38).Es zeigt sich, da die Dierenz mit steigender Anzahl von Langswirbeln J sowohl beider konstanten als auch bei der linearen Verteilung der Langswirbelstarke schnell klei-ner wird. Unabhangig von der Anzahl J wird die numerisch ermittelte Geschwindigkeitim Aufpunkt auf der Streifenmitte durchweg exakt berechnet. Aus diesem Grund wirdvon den moglichen spannweitigen Aufpunktlagen nach Gl. (3.36) der Streifenmittel-schnitt#i = 2 bzw. qi = 12 (3.46)ausgewahlt. Voraussetzung hierfur ist eine gerade Anzahl von diskreten Langswirbeln(J 2 [2; 4; 6 : : : ]).3.3.2 Lineares GleichungssystemAm Beispiel einer aus N = K L Querwirbeln und Aufpunkten bestehenden Kon-guration wird der Aufbau des linearen Gleichungssystems im weiteren verdeutlicht.Aufgrund des quadratischen Ansatzes fur die Zirkulationsstarke eines Querwirbels(Gl. (3.24)) werden 3N unbekannte Koezienten gesucht, zu deren Bestimmung 3N

3.3 Berechnung der Zirkulationsverteilung 31Randbedingungen notwendig sind. Durch die Forderung verschwindender Wirbelstar-ke an den Flugelseitenkanten (Gl. (3.25)) und die Stetigkeitsbedingungen an den Strei-fenrandern (Gl. (3.26)) werden 2N = K 2L Randbedingungen bereitgestellt. Diefehlenden N Randbedingungen werden durch die kinematische Stromungsbedingungen;i U1 + vi = 0 fur i 2 [1; N ] (3.47)geliefert, die pro Querwirbel in einem Aufpunkt erfullt wird. Die im Aufpunkt i indu-zierte Geschwindigkeit vi ist hierbei die Summe der Induktionen der Wirbelsystemealler Querwirbel k 2 [1; N ] (Gl. (3.45))vi = NXk=1 g0;k E(0)i;k + g1;k E(1)i;k + g2;k E(2)i;k : (3.48)Durch Einsetzen von Gl. (3.48) in Gl. (3.47) folgtNXk=1 g0;kD(0)i;k + g1;kD(1)i;k + g2;kD(2)i;k = en;i U1; (3.49)wobeiD(0)i;k = en;i E(0)i;kD(1)i;k = en;i E(1)i;kD(2)i;k = en;i E(2)i;k (3.50)die Ein ukoezienten des Wirbelsystems k fur den Aufpunkt i sind.Insgesamt liegen damit 3N lineare Gleichungen (Gl. (3.25), Gl. (3.26), Gl. (3.49))fur die 3N unbekannten Koezienten vor. In MatrixSchreibweise lassen sich dieseGleichungen zuDg = B (3.51)zusammenfassen. D ist die Matrix der Ein ukoezienten und der Stetigkeitsforde-rungen, g der Vektor der unbekannten Koezienten und B der Vektor, der die Kom-ponenten der ungestorten Anstromung in Richtung normal zur Skelett ache in denAufpunkten enthalt.Das lineare Gleichungssystem (3.51) wird mit einem StandardGleichungsloser gelostg = D1 B; (3.52)so da anschlieend die gesuchten Koezienten der Zirkulationsstarke der tragendenLinie vorliegen.

3.3 Berechnung der Zirkulationsverteilung 31Randbedingungen notwendig sind. Durch die Forderung verschwindender Wirbelstar-ke an den Flugelseitenkanten (Gl. (3.25)) und die Stetigkeitsbedingungen an den Strei-fenrandern (Gl. (3.26)) werden 2N = K 2L Randbedingungen bereitgestellt. Diefehlenden N Randbedingungen werden durch die kinematische Stromungsbedingungen;i U1 + vi = 0 fur i 2 [1; N ] (3.47)geliefert, die pro Querwirbel in einem Aufpunkt erfullt wird. Die im Aufpunkt i indu-zierte Geschwindigkeit vi ist hierbei die Summe der Induktionen der Wirbelsystemealler Querwirbel k 2 [1; N ] (Gl. (3.45))vi = NXk=1 g0;k E(0)i;k + g1;k E(1)i;k + g2;k E(2)i;k : (3.48)Durch Einsetzen von Gl. (3.48) in Gl. (3.47) folgtNXk=1 g0;kD(0)i;k + g1;kD(1)i;k + g2;kD(2)i;k = en;i U1; (3.49)wobeiD(0)i;k = en;i E(0)i;kD(1)i;k = en;i E(1)i;kD(2)i;k = en;i E(2)i;k (3.50)die Ein ukoezienten des Wirbelsystems k fur den Aufpunkt i sind.Insgesamt liegen damit 3N lineare Gleichungen (Gl. (3.25), Gl. (3.26), Gl. (3.49))fur die 3N unbekannten Koezienten vor. In MatrixSchreibweise lassen sich dieseGleichungen zuDg = B (3.51)zusammenfassen. D ist die Matrix der Ein ukoezienten und der Stetigkeitsforde-rungen, g der Vektor der unbekannten Koezienten und B der Vektor, der die Kom-ponenten der ungestorten Anstromung in Richtung normal zur Skelett ache in denAufpunkten enthalt.Das lineare Gleichungssystem (3.51) wird mit einem StandardGleichungsloser gelostg = D1 B; (3.52)so da anschlieend die gesuchten Koezienten der Zirkulationsstarke der tragendenLinie vorliegen.

32 3 Losung der Nachrechnungsaufgabe3.3.3 GesamtzirkulationFur jeden Streifen l 2 [1; L] ergibt sich die Gesamtzirkulation l(q) aus der Summeder Zirkulationen aller Querwirbel des Streifens. Besteht der Streifen l zum Beispielaus den Querwirbeln k 2 [1; K], dann istl(q) = KXk=1 g0;k + g1;kq + g2;kq2 = G0;l +G1;lq +G2;lq2; (3.53)wobeiG0;l = KXk=1 g0;kG1;l = KXk=1 g1;kG2;l = KXk=1 g2;k (3.54)die Koezienten der Gesamtzirkulation des Streifens l sind.3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte3.4.1 Beiwerte eines PanelsDie aerodynamischen Beiwerte werden im ugelfesten Koordinatensystem berechnet.Bezugspunkt fur die Momente ist der Ursprung dieses Koordinatensystems. PositiveKrafte weisen in positive Achsenrichtung und positive Momente drehen in positiveAchsenrichtung gesehen rechts. Die Bezugsgroen sind zunachst fur die Krafte derStaudruck der ungestorten Anstromung und das Quadrat der Flugelhalbspannweiteund fur die Momente zusatzlich erneut die Flugelhalbspannweite.Die Berechnung der ortlichen Beiwerte und der Gesamtbeiwerte erfolgt uber den Satzvon Kutta und Joukowsky. Im ersten Schritt werden hierzu die an den tragenden Lini-en angreifenden Krafte und die daraus resultierenden Momente durch eine Integrationentlang der tragenden Linien ermittelt. Die benotigte diskrete Zirkulationsstarke dertragenden Linien ist aus der Losung des linearen Gleichungssystems bekannt. Sie ent-spricht pro tragender Linie einem stetigen Parameterspline zweiten Grades. Anschlie-end wird der Anteil der Langswirbelschicht an den Kraft- und Momentenbeiwertendurch eine Integration uber die Skelett ache bestimmt. Aufgrund des gewahlten An-satzes fur die Zirkulationsstarke der tragenden Linien ist die Langswirbelstarke inspannweitiger Richtung kontinuierlich verteilt. In Tiefenrichtung verlauft die Langs-wirbelstarke stug. Jeweils beim Uberschreiten einer tragenden Linie verandert sie sich

32 3 Losung der Nachrechnungsaufgabe3.3.3 GesamtzirkulationFur jeden Streifen l 2 [1; L] ergibt sich die Gesamtzirkulation l(q) aus der Summeder Zirkulationen aller Querwirbel des Streifens. Besteht der Streifen l zum Beispielaus den Querwirbeln k 2 [1; K], dann istl(q) = KXk=1 g0;k + g1;kq + g2;kq2 = G0;l +G1;lq +G2;lq2; (3.53)wobeiG0;l = KXk=1 g0;kG1;l = KXk=1 g1;kG2;l = KXk=1 g2;k (3.54)die Koezienten der Gesamtzirkulation des Streifens l sind.3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte3.4.1 Beiwerte eines PanelsDie aerodynamischen Beiwerte werden im ugelfesten Koordinatensystem berechnet.Bezugspunkt fur die Momente ist der Ursprung dieses Koordinatensystems. PositiveKrafte weisen in positive Achsenrichtung und positive Momente drehen in positiveAchsenrichtung gesehen rechts. Die Bezugsgroen sind zunachst fur die Krafte derStaudruck der ungestorten Anstromung und das Quadrat der Flugelhalbspannweiteund fur die Momente zusatzlich erneut die Flugelhalbspannweite.Die Berechnung der ortlichen Beiwerte und der Gesamtbeiwerte erfolgt uber den Satzvon Kutta und Joukowsky. Im ersten Schritt werden hierzu die an den tragenden Lini-en angreifenden Krafte und die daraus resultierenden Momente durch eine Integrationentlang der tragenden Linien ermittelt. Die benotigte diskrete Zirkulationsstarke dertragenden Linien ist aus der Losung des linearen Gleichungssystems bekannt. Sie ent-spricht pro tragender Linie einem stetigen Parameterspline zweiten Grades. Anschlie-end wird der Anteil der Langswirbelschicht an den Kraft- und Momentenbeiwertendurch eine Integration uber die Skelett ache bestimmt. Aufgrund des gewahlten An-satzes fur die Zirkulationsstarke der tragenden Linien ist die Langswirbelstarke inspannweitiger Richtung kontinuierlich verteilt. In Tiefenrichtung verlauft die Langs-wirbelstarke stug. Jeweils beim Uberschreiten einer tragenden Linie verandert sie sich

3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte 33sprunghaft. Neben der Zirkulationsstarke wird zur Anwendung des Satzes von Kuttaund Joukowsky die lokale Stromungsgeschwindigkeit auf der Skelett ache benotigt.Sie wird uber das Gesetz von Biot und Savart in den Aufpunkten berechnet und dann achenhaft uber der Skelett ache interpoliert, so da anschlieend fur jeden Punktder Skelett ache ein Geschwindigkeitsvektor vorliegt. Durch Addition der jeweils aneinem Streifen der Konguration angreifenden Krafte und Momente (einschlielichder an der Skelettvorderkante angreifenden Saugkraft) ergeben sich die gesuchten ort-lichen Beiwerte und durch Addition aller ortlichen Beiwerte die Gesamtbeiwerte derKonguration.Fur die beschriebene Beiwertberechnung wird die Skelett ache in kleine Teil achen(Panel) zerlegt. Ein Panel ist die Skelett ache eines Streifens zwischen den Schnit-ten i1 = konst. und i = konst. nach Gleichung (3.22) (Bild 7). Zu jedem Panelgehort ein Abschnitt einer tragenden Linie k = konst. (Gl. (3.17)), der Querwirbeldes Panels. Die aerodynamischen Beiwerte eines Panels k lassen sich zu einem Vektorder Kraftbeiwerte cf;k und einem Vektor der Momentenbeiwerte cm;k zusammenfassen.Jeder dieser Vektoren wird uber die Summe von drei Teilen gebildet, dem Querwir-belanteil (cf;k)QW bzw. (cm;k)QW und den Anteilen der Langswirbelschicht auf derPanel ache vor dem Querwirbel (cf;k)LW;V bzw. (cm;k)LW;V (vordere Panel ache) undhinter dem Querwirbel (cf;k)LW;H bzw. (cm;k)LW;H (hintere Panel ache)cf;k = (cf;k)QW + (cf;k)LW;V + (cf;k)LW;H (3.55)cm;k = (cm;k)QW + (cm;k)LW;V + (cm;k)LW;H: (3.56)Zusatzlich greift an der Panelvorderkante eine Saugkraft an, falls diese anliegend um-stromt wird. Die Berechnung der Saugkraft wird hier zunachst ausgeklammert. Sieerfolgt gesondert im anschlieenden Kapitel 3.4.2.Der Anteil eines Querwirbelabschnittes der auf die Flugelhalbspannweite bezogenenLange dt am Vektor der Kraftbeiwerte ergibt sich uber den Satz von Kutta undJoukowsky zu(dcf;k)QW = 2[ V et]k dt: (3.57)et ist der Einheitsvektor in Richtung des Querwirbels k = konst. tangential zurSkelett ache, k die Querwirbelstarke im betrachteten Punkt und V der auf dieungestorte Anstromung bezogene Vektor der lokalen Stromungsgeschwindigkeit. Derinduzierte Auftrieb (Eppler [93]) infolge der induzierten Stromungsgeschwindigkeiteneines nichtplanaren Wirbelsystems einer beliebigen Konguration wird also erfat.Wahrend der Einheitsvektor et aus der Geometrie der Skelett ache und die Querwir-belstarke aus der Losung des linearen Gleichungssystems bekannt sind, ist die lokaleStromungsgeschwindigkeit V am Ort des Querwirbels zunachst unbekannt. Zur Be-rechnung von V werden im ersten Schritt die induzierten Stromungsgeschwindigkeitenvi in den Aufpunkten i 2 [1; N ] bestimmt. N = K L entspricht der Querwirbel- bzw.

3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte 33sprunghaft. Neben der Zirkulationsstarke wird zur Anwendung des Satzes von Kuttaund Joukowsky die lokale Stromungsgeschwindigkeit auf der Skelett ache benotigt.Sie wird uber das Gesetz von Biot und Savart in den Aufpunkten berechnet und dann achenhaft uber der Skelett ache interpoliert, so da anschlieend fur jeden Punktder Skelett ache ein Geschwindigkeitsvektor vorliegt. Durch Addition der jeweils aneinem Streifen der Konguration angreifenden Krafte und Momente (einschlielichder an der Skelettvorderkante angreifenden Saugkraft) ergeben sich die gesuchten ort-lichen Beiwerte und durch Addition aller ortlichen Beiwerte die Gesamtbeiwerte derKonguration.Fur die beschriebene Beiwertberechnung wird die Skelett ache in kleine Teil achen(Panel) zerlegt. Ein Panel ist die Skelett ache eines Streifens zwischen den Schnit-ten i1 = konst. und i = konst. nach Gleichung (3.22) (Bild 7). Zu jedem Panelgehort ein Abschnitt einer tragenden Linie k = konst. (Gl. (3.17)), der Querwirbeldes Panels. Die aerodynamischen Beiwerte eines Panels k lassen sich zu einem Vektorder Kraftbeiwerte cf;k und einem Vektor der Momentenbeiwerte cm;k zusammenfassen.Jeder dieser Vektoren wird uber die Summe von drei Teilen gebildet, dem Querwir-belanteil (cf;k)QW bzw. (cm;k)QW und den Anteilen der Langswirbelschicht auf derPanel ache vor dem Querwirbel (cf;k)LW;V bzw. (cm;k)LW;V (vordere Panel ache) undhinter dem Querwirbel (cf;k)LW;H bzw. (cm;k)LW;H (hintere Panel ache)cf;k = (cf;k)QW + (cf;k)LW;V + (cf;k)LW;H (3.55)cm;k = (cm;k)QW + (cm;k)LW;V + (cm;k)LW;H: (3.56)Zusatzlich greift an der Panelvorderkante eine Saugkraft an, falls diese anliegend um-stromt wird. Die Berechnung der Saugkraft wird hier zunachst ausgeklammert. Sieerfolgt gesondert im anschlieenden Kapitel 3.4.2.Der Anteil eines Querwirbelabschnittes der auf die Flugelhalbspannweite bezogenenLange dt am Vektor der Kraftbeiwerte ergibt sich uber den Satz von Kutta undJoukowsky zu(dcf;k)QW = 2[ V et]k dt: (3.57)et ist der Einheitsvektor in Richtung des Querwirbels k = konst. tangential zurSkelett ache, k die Querwirbelstarke im betrachteten Punkt und V der auf dieungestorte Anstromung bezogene Vektor der lokalen Stromungsgeschwindigkeit. Derinduzierte Auftrieb (Eppler [93]) infolge der induzierten Stromungsgeschwindigkeiteneines nichtplanaren Wirbelsystems einer beliebigen Konguration wird also erfat.Wahrend der Einheitsvektor et aus der Geometrie der Skelett ache und die Querwir-belstarke aus der Losung des linearen Gleichungssystems bekannt sind, ist die lokaleStromungsgeschwindigkeit V am Ort des Querwirbels zunachst unbekannt. Zur Be-rechnung von V werden im ersten Schritt die induzierten Stromungsgeschwindigkeitenvi in den Aufpunkten i 2 [1; N ] bestimmt. N = K L entspricht der Querwirbel- bzw.

34 3 Losung der NachrechnungsaufgabeAufpunktanzahl der Konguration. Pro Aufpunkt i ergibt sich die Geschwindigkeit vidurch Addition der Induktionen der Wirbelsysteme aller N Querwirbel aus Gl. (3.48)vi = NXk=1 g0;k E(0)i;k + g1;k E(1)i;k + g2;k E(2)i;k : (3.58)Die Koezienten g0;k, g1;k und g2;k fur k 2 [1; N ] sind aus der Losung des linearenGleichungssystems (Gl. (3.52)) bekannt, so da sich die Vektoren vi in Verbindung mitden vorliegenden Ein uvektoren E(0)i;k , E(1)i;k und E(2)i;k (Gl. (3.45)) explizit anhand vonGl. (3.58) berechnen lassen. Durch Addition der ungestorten Anstromung U1 folgendie resultierenden Stromungsgeschwindigkeiten in den AufpunktenVi = U1 + vi fur i 2 [1; N ]: (3.59)Da in den Aufpunkten zur Berechnung der Zirkulationsstarke der tragenden Linien diekinematische Stromungsbedingung erfullt wird, liegen die GeschwindigkeitsvektorenVi tangential zur Skelett ache.Die in einem beliebigen Punkt auf der Skelett ache benotigte Stromungsgeschwin-digkeit V ergibt sich aus den Geschwindigkeitsvektoren Vi durch lineare Inter- bzw.Extrapolation. Die so ermittelten Vektoren V liegen jedoch im allgemeinen nicht mehrexakt tangential zur Skelett ache. Dies widerspricht der kinematischen Stromungsbe-dingung. Die Geschwindigkeitsvektoren V werden daher korrigiert, indem sie unterBeibehaltung ihres Betrages in die Schmiegebene der Skelett ache im betrachtetenPunkt projiziert werden.Zur Integration von Gl. (3.57) wird die Koordinate in Querwirbelrichtung t mit demParameter q 2 [0; 1] erweitertdt = dtdq dq: (3.60)Durch Einsetzen von Gl. (3.60) in Gl. (3.57) und Integration vom Anfangspunkt desQuerwirbels (q = 0) zum Endpunkt des Querwirbels (q = 1) resultiert der Beitrag desQuerwirbels zum Vektor der Kraftbeiwerte(cf;k)QW = 2 Z 10 [ V et]k dtdq dq: (3.61)Bezeichnet R den auf die Flugelhalbspannweite bezogenen Ortsvektor vom Ursprungdes ugelfesten Systems zum betrachteten Punkt auf dem Querwirbel, dann lat sichmit Gl. (3.57) der Anteil eines Querwirbelabschnittes dt zum Vektor der Momenten-beiwerte(cm;k)QW = R (dcf;k)QW (3.62)bestimmen. In Verbindung mit Gl. (3.60) folgt damit der Beitrag des Querwirbels zumVektor der Momentenbeiwerte(cm;k)QW = 2 Z 10 R [ V et]k dtdq dq: (3.63)

34 3 Losung der NachrechnungsaufgabeAufpunktanzahl der Konguration. Pro Aufpunkt i ergibt sich die Geschwindigkeit vidurch Addition der Induktionen der Wirbelsysteme aller N Querwirbel aus Gl. (3.48)vi = NXk=1 g0;k E(0)i;k + g1;k E(1)i;k + g2;k E(2)i;k : (3.58)Die Koezienten g0;k, g1;k und g2;k fur k 2 [1; N ] sind aus der Losung des linearenGleichungssystems (Gl. (3.52)) bekannt, so da sich die Vektoren vi in Verbindung mitden vorliegenden Ein uvektoren E(0)i;k , E(1)i;k und E(2)i;k (Gl. (3.45)) explizit anhand vonGl. (3.58) berechnen lassen. Durch Addition der ungestorten Anstromung U1 folgendie resultierenden Stromungsgeschwindigkeiten in den AufpunktenVi = U1 + vi fur i 2 [1; N ]: (3.59)Da in den Aufpunkten zur Berechnung der Zirkulationsstarke der tragenden Linien diekinematische Stromungsbedingung erfullt wird, liegen die GeschwindigkeitsvektorenVi tangential zur Skelett ache.Die in einem beliebigen Punkt auf der Skelett ache benotigte Stromungsgeschwin-digkeit V ergibt sich aus den Geschwindigkeitsvektoren Vi durch lineare Inter- bzw.Extrapolation. Die so ermittelten Vektoren V liegen jedoch im allgemeinen nicht mehrexakt tangential zur Skelett ache. Dies widerspricht der kinematischen Stromungsbe-dingung. Die Geschwindigkeitsvektoren V werden daher korrigiert, indem sie unterBeibehaltung ihres Betrages in die Schmiegebene der Skelett ache im betrachtetenPunkt projiziert werden.Zur Integration von Gl. (3.57) wird die Koordinate in Querwirbelrichtung t mit demParameter q 2 [0; 1] erweitertdt = dtdq dq: (3.60)Durch Einsetzen von Gl. (3.60) in Gl. (3.57) und Integration vom Anfangspunkt desQuerwirbels (q = 0) zum Endpunkt des Querwirbels (q = 1) resultiert der Beitrag desQuerwirbels zum Vektor der Kraftbeiwerte(cf;k)QW = 2 Z 10 [ V et]k dtdq dq: (3.61)Bezeichnet R den auf die Flugelhalbspannweite bezogenen Ortsvektor vom Ursprungdes ugelfesten Systems zum betrachteten Punkt auf dem Querwirbel, dann lat sichmit Gl. (3.57) der Anteil eines Querwirbelabschnittes dt zum Vektor der Momenten-beiwerte(cm;k)QW = R (dcf;k)QW (3.62)bestimmen. In Verbindung mit Gl. (3.60) folgt damit der Beitrag des Querwirbels zumVektor der Momentenbeiwerte(cm;k)QW = 2 Z 10 R [ V et]k dtdq dq: (3.63)

3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte 35Die regularen Integrale (3.61) und (3.63) werden mit Hilfe der Trapezregel (EngelnMullges und Reutter [92]) numerisch gelost.Am Beispiel der vorderen Panel ache wird im weiteren die Berechnung der Anteileder Langswirbelschicht an den aerodynamischen Beiwerten beschrieben (Bild 7). Nachdem Satz von Kutta und Joukowsky betragt der Anteil eines Langswirbelabschnittesder auf die Flugelhalbspannweite bezogenen Lange ds und Zirkulationsstarke dLW;V;kam Vektor der Kraftbeiwerte(d2cf;k)LW;V = 2[ V es] dLW;V;kds; (3.64)wobei es der Einheitsvektor tangential zur Skelettlinie eines Schnittes y = konst. ist.Liegen auf dem Streifen zwischen dem Querwirbel k und der Streifenvorderkante dieQuerwirbel c 2 [1; k 1], dann berechnet sich die Langswirbelstarke dLW;V;k ausdLW;V;k = k1Xc=1 ddq (c(q)) dq = k1Xc=1 (g1;c + 2g2;cq)= gV 0;k + gV 1;kq (3.65)mit gV 0;k = k1Xc=1 g1;cgV 1;k = 2 k1Xc=1 g2;c: (3.66)Zur Integration von Gl. (3.64) wird die Bogenlange der Langswirbel mit dem Para-meter p 2 [0; 1] erweitertds = dsdp dp: (3.67)Der Parameter p wachst in Tiefenrichtung linear an und nimmt an der Panelvorder-kante den Wert p = 0 und an der Panelhinterkante den Wert p = 1 an. Am Querwirbelist p = pQW . Durch Einsetzen von Gl. (3.65) und Gl. (3.67) in Gl. (3.64) folgt(d2cf;k)LW;V = 2[ V es](gV 0;k + gV 1;kq) dsdp dp dq: (3.68)Damit ergibt sich der Beitrag der vorderen Panel ache zum Vektor der Kraftbeiwerteuber die Flachenintegration(cf;k)LW;V = 2 Z 10 Z pQW0 [ V es](gV 0;k + gV 1;kq) dsdp dp dq: (3.69)

3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte 35Die regularen Integrale (3.61) und (3.63) werden mit Hilfe der Trapezregel (EngelnMullges und Reutter [92]) numerisch gelost.Am Beispiel der vorderen Panel ache wird im weiteren die Berechnung der Anteileder Langswirbelschicht an den aerodynamischen Beiwerten beschrieben (Bild 7). Nachdem Satz von Kutta und Joukowsky betragt der Anteil eines Langswirbelabschnittesder auf die Flugelhalbspannweite bezogenen Lange ds und Zirkulationsstarke dLW;V;kam Vektor der Kraftbeiwerte(d2cf;k)LW;V = 2[ V es] dLW;V;kds; (3.64)wobei es der Einheitsvektor tangential zur Skelettlinie eines Schnittes y = konst. ist.Liegen auf dem Streifen zwischen dem Querwirbel k und der Streifenvorderkante dieQuerwirbel c 2 [1; k 1], dann berechnet sich die Langswirbelstarke dLW;V;k ausdLW;V;k = k1Xc=1 ddq (c(q)) dq = k1Xc=1 (g1;c + 2g2;cq)= gV 0;k + gV 1;kq (3.65)mit gV 0;k = k1Xc=1 g1;cgV 1;k = 2 k1Xc=1 g2;c: (3.66)Zur Integration von Gl. (3.64) wird die Bogenlange der Langswirbel mit dem Para-meter p 2 [0; 1] erweitertds = dsdp dp: (3.67)Der Parameter p wachst in Tiefenrichtung linear an und nimmt an der Panelvorder-kante den Wert p = 0 und an der Panelhinterkante den Wert p = 1 an. Am Querwirbelist p = pQW . Durch Einsetzen von Gl. (3.65) und Gl. (3.67) in Gl. (3.64) folgt(d2cf;k)LW;V = 2[ V es](gV 0;k + gV 1;kq) dsdp dp dq: (3.68)Damit ergibt sich der Beitrag der vorderen Panel ache zum Vektor der Kraftbeiwerteuber die Flachenintegration(cf;k)LW;V = 2 Z 10 Z pQW0 [ V es](gV 0;k + gV 1;kq) dsdp dp dq: (3.69)

36 3 Losung der NachrechnungsaufgabeMit dem Hebelarm R vom Ursprung des ugelfesten Koordinatensystems zum be-trachteten Punkt auf der vorderen Panel ache folgt mit Gl. (3.68) der Anteil dervorderen Panel ache zum Vektor der Momentenbeiwerte(cm;k)LW;V = 2 Z 10 Z pQW0 R [ V es](gV 0;k + gV 1;kq) dsdp dp dq: (3.70)Analog zu den Gleichungen (3.69) und (3.70) ergeben sich die Anteile der hinterenPanel ache an den aerodynamischen Beiwerten zu(cf;k)LW;H = 2 Z 10 Z 1pQW [ V es](gH0;k + gH1;kq) dsdp dp dq (3.71)und (cm;k)LW;H = 2 Z 10 Z 1pQW R [ V es](gH0;k + gH1;kq) dsdp dp dq: (3.72)Hierbei sind gH0;k und gH1;k die Koezienten der Langswirbelstarke der hinterenPanel ache, die sich mit Gl. (3.66) ausgH0;k = gV 0;k g1;kgH1;k = gV 1;k 2g2;k (3.73)berechnen.Auch die regularen Flachenintegrale (3.69) (3.72) werden numerisch mittels der Tra-pezregel (EngelnMullges und Reutter [92]) gelost. Uber die Gleichungen (3.55) und(3.56) resultieren anschlieend die gesuchten aerodynamischen Beiwerte des Panels k.Neben den Kraft- und Momentenbeiwerten wird pro Panel k in einem Punkt derOber- und Unterseitendruckbeiwert uber die inkompressible BernoulliGleichung be-stimmt. Hierzu werden die Vektoren der Stromungsgeschwindigkeit auf der Skelett-oberseite und der -unterseite benotigt. Diese Geschwindigkeitsvektoren lassen sich nurberechnen, wenn der Wirbeldichtevektor im betrachteten Punkt bekannt ist. Um denWirbeldichtevektor zu ermitteln, mu die berechnete diskrete Zirkulationsstarke dertragenden Linien anhand der Gl. (3.18) in ein Wirbeldichte umgerechnet werden. InVerbindung mit der kontinuierlichen Verteilung der Zirkulationsstarke in spannweiti-ger Richtung lat sich auf diese Weise fur jeden Punkt auf den tragenden Linien einWirbeldichtevektor und damit der gesuchte Oberseiten- und Unterseitendruckbeiwertbestimmen.Die Berechnung wird im weiteren fur den Querwirbelmittelpunkt des Panels k aus-gefuhrt, wobei cpo;k den Oberseitendruckbeiwert, cpu;k den Unterseitendruckbeiwertund cp;k den Dierenzdruckbeiwert in diesem Punkt darstellen und sich anhand voncpo;k = 1 j Voj2cpu;k = 1 j Vuj2cp;k = j Voj2 j Vuj2 (3.74)

36 3 Losung der NachrechnungsaufgabeMit dem Hebelarm R vom Ursprung des ugelfesten Koordinatensystems zum be-trachteten Punkt auf der vorderen Panel ache folgt mit Gl. (3.68) der Anteil dervorderen Panel ache zum Vektor der Momentenbeiwerte(cm;k)LW;V = 2 Z 10 Z pQW0 R [ V es](gV 0;k + gV 1;kq) dsdp dp dq: (3.70)Analog zu den Gleichungen (3.69) und (3.70) ergeben sich die Anteile der hinterenPanel ache an den aerodynamischen Beiwerten zu(cf;k)LW;H = 2 Z 10 Z 1pQW [ V es](gH0;k + gH1;kq) dsdp dp dq (3.71)und (cm;k)LW;H = 2 Z 10 Z 1pQW R [ V es](gH0;k + gH1;kq) dsdp dp dq: (3.72)Hierbei sind gH0;k und gH1;k die Koezienten der Langswirbelstarke der hinterenPanel ache, die sich mit Gl. (3.66) ausgH0;k = gV 0;k g1;kgH1;k = gV 1;k 2g2;k (3.73)berechnen.Auch die regularen Flachenintegrale (3.69) (3.72) werden numerisch mittels der Tra-pezregel (EngelnMullges und Reutter [92]) gelost. Uber die Gleichungen (3.55) und(3.56) resultieren anschlieend die gesuchten aerodynamischen Beiwerte des Panels k.Neben den Kraft- und Momentenbeiwerten wird pro Panel k in einem Punkt derOber- und Unterseitendruckbeiwert uber die inkompressible BernoulliGleichung be-stimmt. Hierzu werden die Vektoren der Stromungsgeschwindigkeit auf der Skelett-oberseite und der -unterseite benotigt. Diese Geschwindigkeitsvektoren lassen sich nurberechnen, wenn der Wirbeldichtevektor im betrachteten Punkt bekannt ist. Um denWirbeldichtevektor zu ermitteln, mu die berechnete diskrete Zirkulationsstarke dertragenden Linien anhand der Gl. (3.18) in ein Wirbeldichte umgerechnet werden. InVerbindung mit der kontinuierlichen Verteilung der Zirkulationsstarke in spannweiti-ger Richtung lat sich auf diese Weise fur jeden Punkt auf den tragenden Linien einWirbeldichtevektor und damit der gesuchte Oberseiten- und Unterseitendruckbeiwertbestimmen.Die Berechnung wird im weiteren fur den Querwirbelmittelpunkt des Panels k aus-gefuhrt, wobei cpo;k den Oberseitendruckbeiwert, cpu;k den Unterseitendruckbeiwertund cp;k den Dierenzdruckbeiwert in diesem Punkt darstellen und sich anhand voncpo;k = 1 j Voj2cpu;k = 1 j Vuj2cp;k = j Voj2 j Vuj2 (3.74)

3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte 37ergeben. Vo ist die lokale Stromungsgeschwindigkeit auf der Skelettoberseite und Vu dielokale Stromungsgeschwindigkeit auf der Skelettunterseite. Diese Geschwindigkeits-vektoren lassen sich uberVo = V + vVu = V v (3.75)bestimmen (Bild 8a), wobei v die induzierte Stromungsgeschwindigkeit auf der Ske-lettoberseite infolge des Wirbeldichtevektors = sr = 0BB@@k@r@k@s 1CCA (3.76)ist. r ist die auf die Flugelhalbspannweite bezogene Koordinate in Richtung von erund er ist der Einheitsvektor, der senkrecht auf der von es und en aufgespanntenEbene steht, so da es, er und en ein orthogonales Rechtssystem bilden. Aufgrundder kinematischen Stromungsbedingung mu der Wirbeldichtevektor tangential zurSkelett ache liegen. Zwischen dem Wirbeldichtevektor und der induzierten Geschwin-digkeit v besteht der Zusammenhangv = 12ser + 12res: (3.77)Mit bekanntem Wirbeldichtevektor lassen sich die gesuchten Druckbeiwerte uberdie Gleichungen ((3.74), (3.76), (3.77)) berechnen.Der Wirbeldichtevektor kann in jedem Punkt auf dem Querwirbel bestimmt werden(Anhang E). Die Komponente des Wirbeldichtevektors in erRichtung ergibt sichfur den Querwirbel k zur = @k@s = 2kesx` sink : (3.78)Liegen auf dem Streifen zwischen der Skelettvorderkante und dem betrachteten Quer-wirbel k die Querwirbel c 2 [1; k 1], dann berechnet sich die Komponente in esRichtung auss = @k@r = 1cos "r sin + ddq kXc=1 k! dqdt# ; (3.79)wobeicos = eretsin = eset (3.80)ist. Damit ist der Wirbeldichtevektor auf dem Querwirbel k bekannt, so da sichdie gesuchten Druckbeiwerte cpo;k, cpu;k und cp;k berechnen lassen.

3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte 37ergeben. Vo ist die lokale Stromungsgeschwindigkeit auf der Skelettoberseite und Vu dielokale Stromungsgeschwindigkeit auf der Skelettunterseite. Diese Geschwindigkeits-vektoren lassen sich uberVo = V + vVu = V v (3.75)bestimmen (Bild 8a), wobei v die induzierte Stromungsgeschwindigkeit auf der Ske-lettoberseite infolge des Wirbeldichtevektors = sr = 0BB@@k@r@k@s 1CCA (3.76)ist. r ist die auf die Flugelhalbspannweite bezogene Koordinate in Richtung von erund er ist der Einheitsvektor, der senkrecht auf der von es und en aufgespanntenEbene steht, so da es, er und en ein orthogonales Rechtssystem bilden. Aufgrundder kinematischen Stromungsbedingung mu der Wirbeldichtevektor tangential zurSkelett ache liegen. Zwischen dem Wirbeldichtevektor und der induzierten Geschwin-digkeit v besteht der Zusammenhangv = 12ser + 12res: (3.77)Mit bekanntem Wirbeldichtevektor lassen sich die gesuchten Druckbeiwerte uberdie Gleichungen ((3.74), (3.76), (3.77)) berechnen.Der Wirbeldichtevektor kann in jedem Punkt auf dem Querwirbel bestimmt werden(Anhang E). Die Komponente des Wirbeldichtevektors in erRichtung ergibt sichfur den Querwirbel k zur = @k@s = 2kesx` sink : (3.78)Liegen auf dem Streifen zwischen der Skelettvorderkante und dem betrachteten Quer-wirbel k die Querwirbel c 2 [1; k 1], dann berechnet sich die Komponente in esRichtung auss = @k@r = 1cos "r sin + ddq kXc=1 k! dqdt# ; (3.79)wobeicos = eretsin = eset (3.80)ist. Damit ist der Wirbeldichtevektor auf dem Querwirbel k bekannt, so da sichdie gesuchten Druckbeiwerte cpo;k, cpu;k und cp;k berechnen lassen.

38 3 Losung der Nachrechnungsaufgabe3.4.2 SaugkraftbeiwerteWird die Skelettvorderkante anliegend umstromt, dann entsteht an ihr eine Saug-kraft. Ursache fur diese Kraft ist die unendlich groe Geschwindigkeit, mit der dieVorderkante umstromt wird. Entsprechend der BernoulliGleichung fur inkompres-sible Stromungen gehort zu dieser Stromungsgeschwindigkeit ein unendlich groerUnterdruck. Dieser Unterdruck wirkt auf die innitesimale Stirn ache der Skelettvor-derkante und fuhrt damit zu einer endlichen Saugkraft. Die Kenntnis dieser Saugkraftist zur Berechnung des induzierten Widerstandes uber die an der Skelett ache angrei-fenden Krafte unerlalich.Im weiteren wird angenommen, da die Umstromung der Skelettvorderkante in un-mittelbarer Umgebung der Kante wie bei der Umstromung einer zweidimensionalenebenen Plattenvorderkante verlauft. Aufgrund dieser Annahme lat sich die Berech-nungsvorschrift fur die an einer angestellten, ebenen Platte angreifende Saugkraft(Grammel [94]) auf den allgemeinen Fall der anliegend umstromten Skelettvorder-kante ubertragen. Am Beispiel der Vorderkante des Streifens l wird die Saugkraftbe-rechnung anschlieend beschrieben. Sie erfolgt im ugelfesten Koordinatensystem. DieBezugsgroen fur die Krafte und Momente sowie der Bezugspunkt fur die Momenteund die positiven Wirkungsrichtungen der Beiwerte stimmen mit den im Kapitel 3.4.1genannten uberein.Analog zu der Berechnung der Saugkraft bei einer ebenen Platte ergibt sich der Anteileines Abschnittes der Streifenvorderkante der Lange dt zum Vektor der Saugkraftbei-werte cs;l zudcs;l = 2ebC2 dt: (3.81)Der Vektor der Saugkraftbeiwerte dcs;l steht senkrecht auf der Vorderkante und ver-lauft tangential zur Skelett ache (Bild 8b). C kennzeichnet den Singularitatspara-meter, der aus dem GrenzwertC = limb!0(ubpb) (3.82)berechnet wird. Hierbei ist b die auf die Flugelhalbspannweite bezogene Koordinatein Richtung von eb. ub ist die vom Wirbeldichtevektor im betrachteten Punkt auf derSkelettoberseite induzierte und auf die ungestorte Anstromung bezogene Geschwin-digkeit in Richtung von eb. An der Skelettvorderkante wird b zu Null und ub strebtgegen Unendlich.Aufgrund der anliegenden Umstromung der Streifenvorderkante liegt der Wirbeldich-tevektor in der Vorderkante tangential zu derselben. Unter Ausnutzung dieser Rand-bedingung lat sich der Grenzwert (3.82) bilden (Anhang F). Hierbei ergibt sich furden SingularitatsparameterC2 = 2V ety4`enz cos2 ; (3.83)

38 3 Losung der Nachrechnungsaufgabe3.4.2 SaugkraftbeiwerteWird die Skelettvorderkante anliegend umstromt, dann entsteht an ihr eine Saug-kraft. Ursache fur diese Kraft ist die unendlich groe Geschwindigkeit, mit der dieVorderkante umstromt wird. Entsprechend der BernoulliGleichung fur inkompres-sible Stromungen gehort zu dieser Stromungsgeschwindigkeit ein unendlich groerUnterdruck. Dieser Unterdruck wirkt auf die innitesimale Stirn ache der Skelettvor-derkante und fuhrt damit zu einer endlichen Saugkraft. Die Kenntnis dieser Saugkraftist zur Berechnung des induzierten Widerstandes uber die an der Skelett ache angrei-fenden Krafte unerlalich.Im weiteren wird angenommen, da die Umstromung der Skelettvorderkante in un-mittelbarer Umgebung der Kante wie bei der Umstromung einer zweidimensionalenebenen Plattenvorderkante verlauft. Aufgrund dieser Annahme lat sich die Berech-nungsvorschrift fur die an einer angestellten, ebenen Platte angreifende Saugkraft(Grammel [94]) auf den allgemeinen Fall der anliegend umstromten Skelettvorder-kante ubertragen. Am Beispiel der Vorderkante des Streifens l wird die Saugkraftbe-rechnung anschlieend beschrieben. Sie erfolgt im ugelfesten Koordinatensystem. DieBezugsgroen fur die Krafte und Momente sowie der Bezugspunkt fur die Momenteund die positiven Wirkungsrichtungen der Beiwerte stimmen mit den im Kapitel 3.4.1genannten uberein.Analog zu der Berechnung der Saugkraft bei einer ebenen Platte ergibt sich der Anteileines Abschnittes der Streifenvorderkante der Lange dt zum Vektor der Saugkraftbei-werte cs;l zudcs;l = 2ebC2 dt: (3.81)Der Vektor der Saugkraftbeiwerte dcs;l steht senkrecht auf der Vorderkante und ver-lauft tangential zur Skelett ache (Bild 8b). C kennzeichnet den Singularitatspara-meter, der aus dem GrenzwertC = limb!0(ubpb) (3.82)berechnet wird. Hierbei ist b die auf die Flugelhalbspannweite bezogene Koordinatein Richtung von eb. ub ist die vom Wirbeldichtevektor im betrachteten Punkt auf derSkelettoberseite induzierte und auf die ungestorte Anstromung bezogene Geschwin-digkeit in Richtung von eb. An der Skelettvorderkante wird b zu Null und ub strebtgegen Unendlich.Aufgrund der anliegenden Umstromung der Streifenvorderkante liegt der Wirbeldich-tevektor in der Vorderkante tangential zu derselben. Unter Ausnutzung dieser Rand-bedingung lat sich der Grenzwert (3.82) bilden (Anhang F). Hierbei ergibt sich furden SingularitatsparameterC2 = 2V ety4`enz cos2 ; (3.83)

3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte 39wobeicos = eret (3.84)und V die transformierte Zirkulationsdichte (Gl. (3.13)) im betrachteten Punkt aufder Skelettvorderkante ist.Zur Berechnung von V wird pro Streifen ein Aufpunkt auf die Skelettvorderkan-te im Streifenmittelschnitt gelegt. Die kinematische Stromungsbedingung fur diesenAufpunkt auf dem Streifen l lautetvn;l = en;l U1: (3.85)vn;l ist die im Aufpunkt normal zur Skelett ache induzierte Stromungsgeschwindigkeit.Im weiteren sollen auf dem Streifen l die Querwirbel k 2 [1; K] liegen. N ist dieQuerwirbelanzahl der Konguration.Analog zu den Ausfuhrungen in Kapitel 3.2.1 ergibt sich die induzierte Geschwindig-keit vn;l in einem Aufpunkt l 6= i (Gl. (3.22)) durch Addition der Induktionen allerN Querwirbel und deren Langswirbelschichten (Gl. (3.44) und (3.45)) abzuglich einesRestgliedes (Gl. (3.15)) zuvn;l = en;l NXk=1 g0;k E(0)l;k + g1;k E(1)l;k + g2;k E(2)l;k V;l KXk=1 Pl;k: (3.86)Das Restglied entsteht bei der Uberfuhrung des CauchyIntegrals der induziertenGeschwindigkeit normal zur Skelett ache in eine Summe und ist proportional zurtransformierten Zirkulationsdichte V;l im betrachteten Aufpunkt an der Vorderkantedes Streifens l. Pl;k entspricht der Funktion PA;k nach Gleichung (3.21) fur A = l.Mit dem Grenzwert~Pl = liml!0 KXk=1 Pl;k! = enz;lety;lesx;l Kl (3.87)wird aus Gl. (3.86)vn;l = en;l NXk=1 g0;k E(0)l;k + g1;k E(1)l;k + g2;k E(2)l;k V;l ~Pl: (3.88)Durch Einsetzen von Gl. (3.88) in Gl. (3.85) und Au osen nach V;l folgt V;l = en;l 1~Pl " U1 + NXk=1 g0;k E(0)l;k + g1;k E(1)l;k + g2;k E(2)l;k # : (3.89)Damit ist die transformierte Zirkulationsdichte V;l pro Streifen in dem Aufpunkt aufder Streifenvorderkante bekannt. Diese Werte werden anschlieend durch einen steti-gen, quadratischen Spline interpoliert, so da fur jeden Punkt der Skelettvorderkante

3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte 39wobeicos = eret (3.84)und V die transformierte Zirkulationsdichte (Gl. (3.13)) im betrachteten Punkt aufder Skelettvorderkante ist.Zur Berechnung von V wird pro Streifen ein Aufpunkt auf die Skelettvorderkan-te im Streifenmittelschnitt gelegt. Die kinematische Stromungsbedingung fur diesenAufpunkt auf dem Streifen l lautetvn;l = en;l U1: (3.85)vn;l ist die im Aufpunkt normal zur Skelett ache induzierte Stromungsgeschwindigkeit.Im weiteren sollen auf dem Streifen l die Querwirbel k 2 [1; K] liegen. N ist dieQuerwirbelanzahl der Konguration.Analog zu den Ausfuhrungen in Kapitel 3.2.1 ergibt sich die induzierte Geschwindig-keit vn;l in einem Aufpunkt l 6= i (Gl. (3.22)) durch Addition der Induktionen allerN Querwirbel und deren Langswirbelschichten (Gl. (3.44) und (3.45)) abzuglich einesRestgliedes (Gl. (3.15)) zuvn;l = en;l NXk=1 g0;k E(0)l;k + g1;k E(1)l;k + g2;k E(2)l;k V;l KXk=1 Pl;k: (3.86)Das Restglied entsteht bei der Uberfuhrung des CauchyIntegrals der induziertenGeschwindigkeit normal zur Skelett ache in eine Summe und ist proportional zurtransformierten Zirkulationsdichte V;l im betrachteten Aufpunkt an der Vorderkantedes Streifens l. Pl;k entspricht der Funktion PA;k nach Gleichung (3.21) fur A = l.Mit dem Grenzwert~Pl = liml!0 KXk=1 Pl;k! = enz;lety;lesx;l Kl (3.87)wird aus Gl. (3.86)vn;l = en;l NXk=1 g0;k E(0)l;k + g1;k E(1)l;k + g2;k E(2)l;k V;l ~Pl: (3.88)Durch Einsetzen von Gl. (3.88) in Gl. (3.85) und Au osen nach V;l folgt V;l = en;l 1~Pl " U1 + NXk=1 g0;k E(0)l;k + g1;k E(1)l;k + g2;k E(2)l;k # : (3.89)Damit ist die transformierte Zirkulationsdichte V;l pro Streifen in dem Aufpunkt aufder Streifenvorderkante bekannt. Diese Werte werden anschlieend durch einen steti-gen, quadratischen Spline interpoliert, so da fur jeden Punkt der Skelettvorderkante

40 3 Losung der Nachrechnungsaufgabeeine transformierte Zirkulationsdichte V vorliegt. In Verbindung mit der Beziehungfur den Singularitatsparameter C (Gl. (3.83)) und der Erweiterungdt = dtdq dq (3.90)kann damit Gleichung (3.81) zum Vektor der Saugkraftbeiwerte des Streifens lcs;l = 2eb Z 10 C2 dtdq dq (3.91)integriert werden. Mit dem Hebelarm R vom Ursprung des ugelfesten Koordinaten-systems zum betrachteten Punkt an der Streifenvorderkante und Gl. (3.81) folgt derVektor der Saugmomentenbeiwerte des Streifens lcms;l = 2 Z 10 R ebC2 dtdq dq: (3.92)Die Integrale (3.91) und (3.92) sind regular und werden mittels der Trapezregel(EngelnMullges und Reutter [92]) numerisch gelost.3.4.3 Ortliche BeiwerteDie Vektoren der ortlichen Beiwerte cf;l und cm;l eines Streifens l 2 [1; L] erge-ben sich im ugelfesten Koordinatensystem durch Addition der Saugkraftbeiwertecs;l (Gl. (3.91)) bzw. cms;l (Gl. (3.92)) und der Kraft- und Momentenbeiwerte cf;k(Gl. (3.55)) bzw. cm;k (Gl. (3.56)) der Panel k 2 [1; K] des Streifens zu:cf;l = cs;l + KXk=1 cf;k (3.93)cm;l = cms;l + KXk=1 cm;k: (3.94)Fur die spatere Darstellung werden diese Beiwerte ins experimentelle Koordinaten-system (exe, eye, eze) transformiert. Der Ursprung dieses Systems ist der geometrischeNeutralpunkt des Flugels. exe liegt in der Symmetrieebene der Konguration und weistparallel zur ungestorten Anstromung nach vorne. eze steht senkrecht auf exe und zeigtnach unten. In Verbindung mit eye entsteht ein orthogonales Rechtssystem, dessendimensionslose Koordinaten xe, ye und ze sind.Mit dem auf die Flugelhalbspannweite bezogenen Ortsvektor vom Ursprung des ugel-festen Systems zum Ursprung des experimentellen KoordinatensystemsrN25 = 0@xN250zN251A (3.95)

40 3 Losung der Nachrechnungsaufgabeeine transformierte Zirkulationsdichte V vorliegt. In Verbindung mit der Beziehungfur den Singularitatsparameter C (Gl. (3.83)) und der Erweiterungdt = dtdq dq (3.90)kann damit Gleichung (3.81) zum Vektor der Saugkraftbeiwerte des Streifens lcs;l = 2eb Z 10 C2 dtdq dq (3.91)integriert werden. Mit dem Hebelarm R vom Ursprung des ugelfesten Koordinaten-systems zum betrachteten Punkt an der Streifenvorderkante und Gl. (3.81) folgt derVektor der Saugmomentenbeiwerte des Streifens lcms;l = 2 Z 10 R ebC2 dtdq dq: (3.92)Die Integrale (3.91) und (3.92) sind regular und werden mittels der Trapezregel(EngelnMullges und Reutter [92]) numerisch gelost.3.4.3 Ortliche BeiwerteDie Vektoren der ortlichen Beiwerte cf;l und cm;l eines Streifens l 2 [1; L] erge-ben sich im ugelfesten Koordinatensystem durch Addition der Saugkraftbeiwertecs;l (Gl. (3.91)) bzw. cms;l (Gl. (3.92)) und der Kraft- und Momentenbeiwerte cf;k(Gl. (3.55)) bzw. cm;k (Gl. (3.56)) der Panel k 2 [1; K] des Streifens zu:cf;l = cs;l + KXk=1 cf;k (3.93)cm;l = cms;l + KXk=1 cm;k: (3.94)Fur die spatere Darstellung werden diese Beiwerte ins experimentelle Koordinaten-system (exe, eye, eze) transformiert. Der Ursprung dieses Systems ist der geometrischeNeutralpunkt des Flugels. exe liegt in der Symmetrieebene der Konguration und weistparallel zur ungestorten Anstromung nach vorne. eze steht senkrecht auf exe und zeigtnach unten. In Verbindung mit eye entsteht ein orthogonales Rechtssystem, dessendimensionslose Koordinaten xe, ye und ze sind.Mit dem auf die Flugelhalbspannweite bezogenen Ortsvektor vom Ursprung des ugel-festen Systems zum Ursprung des experimentellen KoordinatensystemsrN25 = 0@xN250zN251A (3.95)

3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte 41und der Transformationsmatrix vom ugelfesten ins experimentelle SystemM ef = 0@ cos 0 sin0 1 0sin 0 cos1A (3.96)ergeben sich die ortlichen Kraftbeiwerte im experimentellen System zu0@cw;lcy;lca;l1A = 1`lyl M efcf;l; (3.97)und die ortlichen Momentenbeiwerte zu0@ c`;lcm;lcn;l1A = 1`2lyl M ef (cm;l rN25 cf;l) : (3.98)Hierbei ist yl die auf die Flugelhalbspannweite bezogene Breite des Streifens l und`l die dimensionslose Flugeltiefe im Streifenmittelschnitt.3.4.4 GesamtbeiwerteDie Gesamtbeiwerte der Konguration cF und cM berechnen sich im ugelfesten Ko-ordinatensystem durch Addition der ortlichen Beiwerte aller L Streifen der Kongu-rationcF = LXl=1 cf;l (3.99)cM = LXl=1 cm;l: (3.100)Auch die Gesamtbeiwerte werden zur spateren Darstellung ins experimentelle Koor-dinatensystem transformiert. Mit Gl. (3.96) ergeben sich die Kraftbeiwerte im expe-rimentellen System zu0@cWicYcA 1A = 1F M efcF ; (3.101)und die Momentenbeiwerte zu0@ cL`cMcN 1A = 1F M ef (cM rN25 cF ) : (3.102)F ist die auf das Quadrat der Flugelhalbspannweite bezogene Flache und` = 1F Z 11 `2 dy (3.103)die dimensionslose Bezugs ugeltiefe der in die Ebene z = 0 projizierten Konguration.

3.4 Berechnung der aerodynamischen Beiwerte 41und der Transformationsmatrix vom ugelfesten ins experimentelle SystemM ef = 0@ cos 0 sin0 1 0sin 0 cos1A (3.96)ergeben sich die ortlichen Kraftbeiwerte im experimentellen System zu0@cw;lcy;lca;l1A = 1`lyl M efcf;l; (3.97)und die ortlichen Momentenbeiwerte zu0@ c`;lcm;lcn;l1A = 1`2lyl M ef (cm;l rN25 cf;l) : (3.98)Hierbei ist yl die auf die Flugelhalbspannweite bezogene Breite des Streifens l und`l die dimensionslose Flugeltiefe im Streifenmittelschnitt.3.4.4 GesamtbeiwerteDie Gesamtbeiwerte der Konguration cF und cM berechnen sich im ugelfesten Ko-ordinatensystem durch Addition der ortlichen Beiwerte aller L Streifen der Kongu-rationcF = LXl=1 cf;l (3.99)cM = LXl=1 cm;l: (3.100)Auch die Gesamtbeiwerte werden zur spateren Darstellung ins experimentelle Koor-dinatensystem transformiert. Mit Gl. (3.96) ergeben sich die Kraftbeiwerte im expe-rimentellen System zu0@cWicYcA 1A = 1F M efcF ; (3.101)und die Momentenbeiwerte zu0@ cL`cMcN 1A = 1F M ef (cM rN25 cF ) : (3.102)F ist die auf das Quadrat der Flugelhalbspannweite bezogene Flache und` = 1F Z 11 `2 dy (3.103)die dimensionslose Bezugs ugeltiefe der in die Ebene z = 0 projizierten Konguration.

42 3 Losung der Nachrechnungsaufgabe3.4.5 ReibungswiderstandDa das vorgestellte Mehrfachtraglinienverfahren auf der reibungslosen Potentialglei-chung basiert, kann ein Reibungswiderstand mit diesem Verfahren nicht bestimmtwerden. Der berechnete Widerstandsbeiwert cWi nach Gl. (3.101) ist der reibungsloseDruckwiderstand der Konguration, der auch induzierter Widerstand genannt wird.Der Anteil der Reibung am Gesamtwiderstand einer Konguration wird im weiterenuber das Widerstandsgesetz fur eine voll turbulente Plattengrenzschicht ohne Druck-gradient abgeschatzt (Schlichting [95]).Hierzu wird die auf die Flugelhalbspannweite bezogene Bogenlange r25 der in dieEbene x = 0 projizierten Linie = 0; 25 der Skelett ache benotigt. Ein schmalerStreifen der Skelett ache der Breite dr25 und der Tiefe ` liefert zum Beiwert desReibungswiderstandes cWR den BeitragdcWR = 0; 148F ÌRe 15 ` 45 dr25; (3.104)wobeiÌ = `+Is+ (3.105)die dimensionslose Kongurationsinnentiefe undRe = U+1`+I+ (3.106)die mit der Kongurationsinnentiefe gebildete Reynoldszahl ist. Die Bezugsgroen furden Reibungswiderstand sind der Staudruck der ungestorten Anstromung und dieKongurations ache.Zur Integration von Gl. (3.104) wird die Bogenlange r25 zudr25 = dr25dy dy (3.107)erweitert. Durch Einsetzen von Gl. (3.107) in Gl. (3.104) und Integration vom linkenzum rechten Flugelrand ergibt sich der gesuchte Reibungswiderstand cWR zucWR = 0; 148F ÌRe 15 Z 11 ` 45 dr25dy dy: (3.108)Das Integral (3.108) wird numerisch mit Hilfe der Trapezregel gelost. Durch Additiondes induzierten Widerstandes cWi (Gl. (3.101)) folgt der reibungsbehaftete Gesamt-widerstand cWcW = cWi + cWR (3.109)der Konguration.

42 3 Losung der Nachrechnungsaufgabe3.4.5 ReibungswiderstandDa das vorgestellte Mehrfachtraglinienverfahren auf der reibungslosen Potentialglei-chung basiert, kann ein Reibungswiderstand mit diesem Verfahren nicht bestimmtwerden. Der berechnete Widerstandsbeiwert cWi nach Gl. (3.101) ist der reibungsloseDruckwiderstand der Konguration, der auch induzierter Widerstand genannt wird.Der Anteil der Reibung am Gesamtwiderstand einer Konguration wird im weiterenuber das Widerstandsgesetz fur eine voll turbulente Plattengrenzschicht ohne Druck-gradient abgeschatzt (Schlichting [95]).Hierzu wird die auf die Flugelhalbspannweite bezogene Bogenlange r25 der in dieEbene x = 0 projizierten Linie = 0; 25 der Skelett ache benotigt. Ein schmalerStreifen der Skelett ache der Breite dr25 und der Tiefe ` liefert zum Beiwert desReibungswiderstandes cWR den BeitragdcWR = 0; 148F ÌRe 15 ` 45 dr25; (3.104)wobeiÌ = `+Is+ (3.105)die dimensionslose Kongurationsinnentiefe undRe = U+1`+I+ (3.106)die mit der Kongurationsinnentiefe gebildete Reynoldszahl ist. Die Bezugsgroen furden Reibungswiderstand sind der Staudruck der ungestorten Anstromung und dieKongurations ache.Zur Integration von Gl. (3.104) wird die Bogenlange r25 zudr25 = dr25dy dy (3.107)erweitert. Durch Einsetzen von Gl. (3.107) in Gl. (3.104) und Integration vom linkenzum rechten Flugelrand ergibt sich der gesuchte Reibungswiderstand cWR zucWR = 0; 148F ÌRe 15 Z 11 ` 45 dr25dy dy: (3.108)Das Integral (3.108) wird numerisch mit Hilfe der Trapezregel gelost. Durch Additiondes induzierten Widerstandes cWi (Gl. (3.101)) folgt der reibungsbehaftete Gesamt-widerstand cWcW = cWi + cWR (3.109)der Konguration.

3.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte uber die Stromungsgroenin der TretzEbene 433.4.6 Sonderbehandlung abgelost umstromter VorderkantenDie in Kapitel 3.4.2 berechneten Saugkraftbeiwerte sind unter der Voraussetzung ei-ner anliegend umstromten Skelettvorderkante bestimmt worden. An stark gepfeilten,scharfen Vorderkanten lost die Stromung jedoch bereits bei kleinen Anstellwinkelnab. Uber der Konguration bilden sich stationare Wirbel, die auf der Kongurationzusatzliche Unterdrucke absetzen. Infolge dieser Wirbel sind die aerodynamischen Bei-werte derartiger Kongurationen nichtlinear vom Anstellwinkel abhangig.Um den Ein u der stationaren Stromungsablosung an stark gepfeilten Vorderkantenauf die aerodynamischen Beiwerte abschatzen zu konnen, soll die Saugkraftanalogie(Pohlhamus [60, 61]) angewandt werden. Hiernach lat sich der zusatzliche Auftriebinfolge der stationaren Wirbel dadurch bestimmen, da der bei anliegender Stromungan der Skelettvorderkante angreifende Saugkraftvektor in Richtung normal zur Ske-lett ache gedreht wird.Die Drehung wird durchgefuhrt, indem in den Integralen (3.91) und (3.92) der Bi-normalenvektor eb durch den Einheitsnormalenvektor en bzw. en ersetzt wird. Derpositive Einheitsnormalenvektor en wird eingesetzt, solange die transformierte Zirku-lationsdichte im Aufpunkt an der Vorderkante V;l (Gl. (3.89)) positiv ist. In diesemFall wird die Vorderkante von unten nach oben umstromt, so da sich die stationarenWirbel uber der Skelett ache ausbilden. Ist die transformierte Zirkulationsstarke ander Vorderkante kleiner Null, dann wird der Binormalenvektor eb durch den negativenEinheitsnormalenvektor en ersetzt. Die Vorderkante wird in diesem Fall von obennach unten umstromt, so da sich die stationaren Wirbel unter der Skelett ache aus-bilden. Die weitere Berechnung der aerodynamischen Beiwerte verlauft unverandertzu der in Kapitel 3.4.3 und 3.4.4 beschriebenen Weise.3.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbei-werte uber die Stromungsgroen in der TretzEbene3.5.1 GrundgleichungenNeben der Berechnung der aerodynamischen Beiwerte durch Addition aller an derSkelett ache angreifenden Krafte und Momente, soll der reibungslose Auftriebs- undWiderstandsbeiwert einer Konguration zusatzlich anhand der Massen- und Impuls-erhaltungssatze bestimmt werden. Wie anschlieend gezeigt wird, reicht hierzu dieKenntnis der Gesamtzirkulationsverteilung und der Nachlaufgeometrie einer Kon-guration aus. Grundlage fur die Berechnung ist eine stationare, inkompressible undreibungsfreie Stromung.Zur Anwendung der Erhaltungssatze wird um die Konguration ein groes, qua-derformiges Kontrollvolumen aufgespannt (Bild 9a). Das Kontrollvolumen ist im

3.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte uber die Stromungsgroenin der TretzEbene 433.4.6 Sonderbehandlung abgelost umstromter VorderkantenDie in Kapitel 3.4.2 berechneten Saugkraftbeiwerte sind unter der Voraussetzung ei-ner anliegend umstromten Skelettvorderkante bestimmt worden. An stark gepfeilten,scharfen Vorderkanten lost die Stromung jedoch bereits bei kleinen Anstellwinkelnab. Uber der Konguration bilden sich stationare Wirbel, die auf der Kongurationzusatzliche Unterdrucke absetzen. Infolge dieser Wirbel sind die aerodynamischen Bei-werte derartiger Kongurationen nichtlinear vom Anstellwinkel abhangig.Um den Ein u der stationaren Stromungsablosung an stark gepfeilten Vorderkantenauf die aerodynamischen Beiwerte abschatzen zu konnen, soll die Saugkraftanalogie(Pohlhamus [60, 61]) angewandt werden. Hiernach lat sich der zusatzliche Auftriebinfolge der stationaren Wirbel dadurch bestimmen, da der bei anliegender Stromungan der Skelettvorderkante angreifende Saugkraftvektor in Richtung normal zur Ske-lett ache gedreht wird.Die Drehung wird durchgefuhrt, indem in den Integralen (3.91) und (3.92) der Bi-normalenvektor eb durch den Einheitsnormalenvektor en bzw. en ersetzt wird. Derpositive Einheitsnormalenvektor en wird eingesetzt, solange die transformierte Zirku-lationsdichte im Aufpunkt an der Vorderkante V;l (Gl. (3.89)) positiv ist. In diesemFall wird die Vorderkante von unten nach oben umstromt, so da sich die stationarenWirbel uber der Skelett ache ausbilden. Ist die transformierte Zirkulationsstarke ander Vorderkante kleiner Null, dann wird der Binormalenvektor eb durch den negativenEinheitsnormalenvektor en ersetzt. Die Vorderkante wird in diesem Fall von obennach unten umstromt, so da sich die stationaren Wirbel unter der Skelett ache aus-bilden. Die weitere Berechnung der aerodynamischen Beiwerte verlauft unverandertzu der in Kapitel 3.4.3 und 3.4.4 beschriebenen Weise.3.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbei-werte uber die Stromungsgroen in der TretzEbene3.5.1 GrundgleichungenNeben der Berechnung der aerodynamischen Beiwerte durch Addition aller an derSkelett ache angreifenden Krafte und Momente, soll der reibungslose Auftriebs- undWiderstandsbeiwert einer Konguration zusatzlich anhand der Massen- und Impuls-erhaltungssatze bestimmt werden. Wie anschlieend gezeigt wird, reicht hierzu dieKenntnis der Gesamtzirkulationsverteilung und der Nachlaufgeometrie einer Kon-guration aus. Grundlage fur die Berechnung ist eine stationare, inkompressible undreibungsfreie Stromung.Zur Anwendung der Erhaltungssatze wird um die Konguration ein groes, qua-derformiges Kontrollvolumen aufgespannt (Bild 9a). Das Kontrollvolumen ist im

44 3 Losung der NachrechnungsaufgabeTretzKoordinatensystem deniert, dessen Ursprung mit dem des ugelfesten Koor-dinatensystems ubereinstimmt. Das TretzSystem wird durch die Einheitsvektorenext, eyt und ezt aufgespannt. ext verlauft in Richtung der ungestorten Anstromung undezt steht senkrecht auf ext und weist nach oben. In Verbindung mit eyt entsteht einorthogonales Rechtssystem, dessen auf die Flugelhalbspannweite bezogenen Koordi-naten mit xt, yt und zt bezeichnet werden.Die Eintritts ache I des Kontrollvolumens liegt sehr weit stromauf xt = Xt unddie Austritts ache II (TretzEbene) sehr weit stromab xt = Xt der Konguration.Durch die Austritts ache stot der Nachlauf der Konguration. Er hinterlat in derTretzEbene einen Schlitz, der im weiteren Nachlaufschlitz genannt wird. Die Sei-ten achen III liegen sehr weit von der Konguration entfernt an den Koordinatenyt = Yt Zt zt Zt IIIl und IIIrzt = Zt Yt yt Yt IIIu und IIIo:Durch Anwendung der Erhaltungssatze fur Masse und Impuls auf das Kontrollvolumenlassen sich die resultierenden Krafte berechnen, die insgesamt auf den eingeschlosse-nen Korper (Konguration und Nachlaufabschnitt innerhalb des Kontrollvolumens)wirken. Hierzu werden die folgenden Annahmen getroen:1. Die Eintritts ache I liegt so weit stromauf der Konguration, da auf ihr dieAnstromungsbedingungen vorliegen.2. Der Nachlauf verlauft von der Kongurationshinterkante parallel zur ungestor-ten Anstromung starr ins Unendliche.3. Die Seiten achen III sind so weit von der Konguration entfernt, da auf ihnenquadratische Glieder der Storgeschwindigkeit vernachlassigbar klein sind.Aufgrund der zweiten Annahme durchstot der Nachlauf die TretzEbene senkrecht.Er induziert demnach in der TretzEbene nur Geschwindigkeiten in eyt und eztRichtung und keine Geschwindigkeiten in extRichtung. Liegt die Austritts ache wieangenommen sehr weit stromab der Konguration, dann konnen zusatzlich die folgen-den Annahmen getroen werden:4. Die auf die ungestorte Anstromung bezogene Storgeschwindigkeit in extRich-tung ut ist in der TretzEbene vernachlassigbar klein.5. Die Anderung der Storgeschwindigkeit ut in extRichtung ist in der TretzEbene vernachlassigbar klein.Mit diesen Annahmen ergeben sich die resultierenden Krafte in extRichtung und eztRichtung durch Anwendung der Massen- und Impulserhaltungssatze uber die Flachen-integration (Kuchemann [96], SchmidGoller [81])~cWi = 1F Z ZtZt Z YtYt v2t + w2t dyt dzt (3.110)

44 3 Losung der NachrechnungsaufgabeTretzKoordinatensystem deniert, dessen Ursprung mit dem des ugelfesten Koor-dinatensystems ubereinstimmt. Das TretzSystem wird durch die Einheitsvektorenext, eyt und ezt aufgespannt. ext verlauft in Richtung der ungestorten Anstromung undezt steht senkrecht auf ext und weist nach oben. In Verbindung mit eyt entsteht einorthogonales Rechtssystem, dessen auf die Flugelhalbspannweite bezogenen Koordi-naten mit xt, yt und zt bezeichnet werden.Die Eintritts ache I des Kontrollvolumens liegt sehr weit stromauf xt = Xt unddie Austritts ache II (TretzEbene) sehr weit stromab xt = Xt der Konguration.Durch die Austritts ache stot der Nachlauf der Konguration. Er hinterlat in derTretzEbene einen Schlitz, der im weiteren Nachlaufschlitz genannt wird. Die Sei-ten achen III liegen sehr weit von der Konguration entfernt an den Koordinatenyt = Yt Zt zt Zt IIIl und IIIrzt = Zt Yt yt Yt IIIu und IIIo:Durch Anwendung der Erhaltungssatze fur Masse und Impuls auf das Kontrollvolumenlassen sich die resultierenden Krafte berechnen, die insgesamt auf den eingeschlosse-nen Korper (Konguration und Nachlaufabschnitt innerhalb des Kontrollvolumens)wirken. Hierzu werden die folgenden Annahmen getroen:1. Die Eintritts ache I liegt so weit stromauf der Konguration, da auf ihr dieAnstromungsbedingungen vorliegen.2. Der Nachlauf verlauft von der Kongurationshinterkante parallel zur ungestor-ten Anstromung starr ins Unendliche.3. Die Seiten achen III sind so weit von der Konguration entfernt, da auf ihnenquadratische Glieder der Storgeschwindigkeit vernachlassigbar klein sind.Aufgrund der zweiten Annahme durchstot der Nachlauf die TretzEbene senkrecht.Er induziert demnach in der TretzEbene nur Geschwindigkeiten in eyt und eztRichtung und keine Geschwindigkeiten in extRichtung. Liegt die Austritts ache wieangenommen sehr weit stromab der Konguration, dann konnen zusatzlich die folgen-den Annahmen getroen werden:4. Die auf die ungestorte Anstromung bezogene Storgeschwindigkeit in extRich-tung ut ist in der TretzEbene vernachlassigbar klein.5. Die Anderung der Storgeschwindigkeit ut in extRichtung ist in der TretzEbene vernachlassigbar klein.Mit diesen Annahmen ergeben sich die resultierenden Krafte in extRichtung und eztRichtung durch Anwendung der Massen- und Impulserhaltungssatze uber die Flachen-integration (Kuchemann [96], SchmidGoller [81])~cWi = 1F Z ZtZt Z YtYt v2t + w2t dyt dzt (3.110)

3.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte uber die Stromungsgroenin der TretzEbene 45~cA = 2F Z ZtZt Z YtYt wt dyt dzt: (3.111)vt und wt sind die auf die ungestorte Anstromung bezogenen Storgeschwindigkeitenin der TretzEbene in Richtung von eyt und ezt. Die Schlange uber den Beiwertenkennzeichnet die in der TretzEbene berechneten Werte. Eine Berucksichtigung derNachlaufneigung in erster Ordnung andert am Integral fur den Widerstandsbeiwert~cWi nichts, obwohl der Widerstandsbeiwert eine Groe zweiter Ordnung ist (Sears[97]).Aufgrund der starr vorgeschriebenen Nachlaufgeometrie ist der Nachlauf, der ent-sprechend der o. g. Annahme von der Hinterkante der Konguration parallel zur un-gestorten Anstromung ins Unendliche lauft, nicht kraftefrei. Die am Nachlauf im Kon-trollvolumen angreifende Kraft ist in den resultierenden Kraften (Gl. (3.110) undGl. (3.111)) enthalten. Da die Wirbeldichtevektoren im Nachlauf parallel zur un-gestorten Anstromung verlaufen, kann die am Nachlauf angreifende Kraft nur senk-recht auf der xtAchse stehen. In extRichtung hat diese Kraft keine Komponente, soda im Rahmen der getroenen Annahmen die Widerstandsbeiwerte cWi und ~cWi uber-einstimmen mussen. Anders sieht es mit den berechneten Auftriebsbeiwerten cA und~cA aus. Der in der TretzEbene ermittelte Beiwert ~cA setzt sich aus dem Auftriebs-beiwert der Konguration cA und einem am Nachlauf in eztRichtung angreifendenKraftbeiwert zusammen. Ursache fur die letztgenannte Kraft ist eine auf der Nach-laufwirbelschicht parallel zur ytAchse induzierte Geschwindigkeit. Fur nur schwachnichtplanare Kongurationen ist diese Storgeschwindigkeit jedoch gering, so da auchdie Kraftbeiwerte ~cA und cA naherungsweise ubereinstimmen mussen.Durch Einfuhrung des Potentialst = +tU+1s+ (3.112)mit vt = @t@ytwt = @t@zt (3.113)wird aus den Integralen (3.110) und (3.111)~cWi = 1F Z ZtZt Z YtYt @t@yt2 + @t@zt 2 dyt dzt (3.114)~cA = 2F Z ZtZt Z YtYt @t@zt dyt dzt: (3.115)Die Flachenintegrale (3.114) und (3.115) lassen sich uber die Green'sche Integralformelund den Gau'schen Integralsatz (Bronstein und Semendjajew [98]) in Ringintegrale

3.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte uber die Stromungsgroenin der TretzEbene 45~cA = 2F Z ZtZt Z YtYt wt dyt dzt: (3.111)vt und wt sind die auf die ungestorte Anstromung bezogenen Storgeschwindigkeitenin der TretzEbene in Richtung von eyt und ezt. Die Schlange uber den Beiwertenkennzeichnet die in der TretzEbene berechneten Werte. Eine Berucksichtigung derNachlaufneigung in erster Ordnung andert am Integral fur den Widerstandsbeiwert~cWi nichts, obwohl der Widerstandsbeiwert eine Groe zweiter Ordnung ist (Sears[97]).Aufgrund der starr vorgeschriebenen Nachlaufgeometrie ist der Nachlauf, der ent-sprechend der o. g. Annahme von der Hinterkante der Konguration parallel zur un-gestorten Anstromung ins Unendliche lauft, nicht kraftefrei. Die am Nachlauf im Kon-trollvolumen angreifende Kraft ist in den resultierenden Kraften (Gl. (3.110) undGl. (3.111)) enthalten. Da die Wirbeldichtevektoren im Nachlauf parallel zur un-gestorten Anstromung verlaufen, kann die am Nachlauf angreifende Kraft nur senk-recht auf der xtAchse stehen. In extRichtung hat diese Kraft keine Komponente, soda im Rahmen der getroenen Annahmen die Widerstandsbeiwerte cWi und ~cWi uber-einstimmen mussen. Anders sieht es mit den berechneten Auftriebsbeiwerten cA und~cA aus. Der in der TretzEbene ermittelte Beiwert ~cA setzt sich aus dem Auftriebs-beiwert der Konguration cA und einem am Nachlauf in eztRichtung angreifendenKraftbeiwert zusammen. Ursache fur die letztgenannte Kraft ist eine auf der Nach-laufwirbelschicht parallel zur ytAchse induzierte Geschwindigkeit. Fur nur schwachnichtplanare Kongurationen ist diese Storgeschwindigkeit jedoch gering, so da auchdie Kraftbeiwerte ~cA und cA naherungsweise ubereinstimmen mussen.Durch Einfuhrung des Potentialst = +tU+1s+ (3.112)mit vt = @t@ytwt = @t@zt (3.113)wird aus den Integralen (3.110) und (3.111)~cWi = 1F Z ZtZt Z YtYt @t@yt2 + @t@zt 2 dyt dzt (3.114)~cA = 2F Z ZtZt Z YtYt @t@zt dyt dzt: (3.115)Die Flachenintegrale (3.114) und (3.115) lassen sich uber die Green'sche Integralformelund den Gau'schen Integralsatz (Bronstein und Semendjajew [98]) in Ringintegrale

46 3 Losung der Nachrechnungsaufgabeentlang der Randkurve R (Bild 9b) uberfuhren (Anhang G)~cWi = 1F IR tvnt drt (3.116)~cA = 2F IR t dyt: (3.117)Hierbei wird die Randkurve R in der TretzEbene im mathematisch positiven Dreh-sinn in Richtung des Einheitsvektors ert durchlaufen. rt ist die auf die Flugelhalbspann-weite bezogene Bogenlangenkoordinate der Randkurve R in ertRichtung und vnt diein Richtung des nach auen weisenden Einheitsnormalenvektors ent auf der Randkurveinduzierte und auf die ungestorte Anstromung bezogene Stromungsgeschwindigkeit.Die Ringintegrale (3.116) und (3.117) konnen weiter in Linienintegrale zerlegt werden.Von diesen Integralen liefert das Linienintegral vom Punkt E zum Punkt A keinenBeitrag zu den gesuchten Beiwerten, da das Potential t auf dieser sehr weit vomNachlauf entfernten Linie gleich Null ist. Damit werden aus den Ringintegralen dieLinienintegraleF ~cWi = Z BA t;uvnt;u drt;u + Z CB t;uvnt;u drt;u ++ Z DC t;ovnt;o drt;o + Z ED t;ovnt;o drt;o (3.118)F2 ~cA = Z BA t;u dyt;u + Z CB t;u dyt;u ++ Z DC t;o dyt;o + Z ED t;o dyt;o: (3.119)Zwischen den Punkten A und E wird die TretzEbene durch die Randkurve aufge-schlitzt. Dieser Schlitz wird im weiteren Randkurvenschlitz genannt. Er wird von derRandkurve R auf der Unterseite (u) zwischen den Punkten A, B und C von rechtsnach links und auf der Oberseite (o) zwischen den Punkten C, D und E von linksnach rechts durchlaufen. Auf dem Randkurvenschlitz gilt an jeder Stelledrt;o = drt;uvnt;o = vnt;udyt;o = dyt;u; (3.120)so da sich die Linienintegrale (3.118) und (3.119) durch Vertauschen der Integra-tionsgrenzen und Einsetzen von Gl. (3.120) zu den IntegralenF ~cWi = Z DC (t;o t;u)vnt;o drt;o + Z ED (t;o t;u)vnt;o drt;o (3.121)F2 ~cA = Z DC (t;o t;u) dyt;o + Z ED (t;o t;u) dyt;o (3.122)entlang der Oberseite des Randkurvenschlitzes zusammenfassen lassen.

46 3 Losung der Nachrechnungsaufgabeentlang der Randkurve R (Bild 9b) uberfuhren (Anhang G)~cWi = 1F IR tvnt drt (3.116)~cA = 2F IR t dyt: (3.117)Hierbei wird die Randkurve R in der TretzEbene im mathematisch positiven Dreh-sinn in Richtung des Einheitsvektors ert durchlaufen. rt ist die auf die Flugelhalbspann-weite bezogene Bogenlangenkoordinate der Randkurve R in ertRichtung und vnt diein Richtung des nach auen weisenden Einheitsnormalenvektors ent auf der Randkurveinduzierte und auf die ungestorte Anstromung bezogene Stromungsgeschwindigkeit.Die Ringintegrale (3.116) und (3.117) konnen weiter in Linienintegrale zerlegt werden.Von diesen Integralen liefert das Linienintegral vom Punkt E zum Punkt A keinenBeitrag zu den gesuchten Beiwerten, da das Potential t auf dieser sehr weit vomNachlauf entfernten Linie gleich Null ist. Damit werden aus den Ringintegralen dieLinienintegraleF ~cWi = Z BA t;uvnt;u drt;u + Z CB t;uvnt;u drt;u ++ Z DC t;ovnt;o drt;o + Z ED t;ovnt;o drt;o (3.118)F2 ~cA = Z BA t;u dyt;u + Z CB t;u dyt;u ++ Z DC t;o dyt;o + Z ED t;o dyt;o: (3.119)Zwischen den Punkten A und E wird die TretzEbene durch die Randkurve aufge-schlitzt. Dieser Schlitz wird im weiteren Randkurvenschlitz genannt. Er wird von derRandkurve R auf der Unterseite (u) zwischen den Punkten A, B und C von rechtsnach links und auf der Oberseite (o) zwischen den Punkten C, D und E von linksnach rechts durchlaufen. Auf dem Randkurvenschlitz gilt an jeder Stelledrt;o = drt;uvnt;o = vnt;udyt;o = dyt;u; (3.120)so da sich die Linienintegrale (3.118) und (3.119) durch Vertauschen der Integra-tionsgrenzen und Einsetzen von Gl. (3.120) zu den IntegralenF ~cWi = Z DC (t;o t;u)vnt;o drt;o + Z ED (t;o t;u)vnt;o drt;o (3.121)F2 ~cA = Z DC (t;o t;u) dyt;o + Z ED (t;o t;u) dyt;o (3.122)entlang der Oberseite des Randkurvenschlitzes zusammenfassen lassen.

3.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte uber die Stromungsgroenin der TretzEbene 47Die Potentialdierenz zwischen einem Punkt Po auf der Schlitzoberseite und einemzugehorigen Punkt Pu auf der Schlitzunterseite entspricht der auf beliebigem Wegevon Po nach Pu eingeschlossenen Zirkulation des Nachlaufes. Die eingeschlossene Zir-kulation ist aber an jeder Stelle rt;o gleich der Gesamtzirkulation der Kongurationan dieser Stelle = t;o t;u: (3.123)Zwischen den Punkten D und E ist die Potentialdierenz folglich gleich Null, soda die Linienintegrale dieser Abschnitte keinen Beitrag zu den gesuchten Beiwertenliefern. Durch Einsetzen von Gl. (3.123) in die Integrale (3.121) und (3.122) resultiert~cWi = 1F Z DC vnt;o drt;o (3.124)~cA = 2F Z DC dyt;o: (3.125)Die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte einer Konguration ergeben sich also in derTretzEbene durch eine Linienintegration der Stromungsgroen entlang der Obersei-te des Randkurvenschlitzes. Die Integration ist hierbei auf den zusammenhangendenBereich des Randkurvenschlitzes beschrankt, der zwischen den von der linken undrechten Seitenkante der Konguration abgehenden Nachlaufwirbeln liegt.Fur einfach zusammenhangende Nachlaufe (z. B. Ellipsen ugel, Rechteck ugel ohneKlappen) ist der Randkurvenschlitz in diesem Bereich mit dem Nachlaufschlitz iden-tisch. Fur diese Kongurationen gilt das klassische Ergebnis, da sich die Beiwerte ~cAund ~cWi durch eine Linienintegration entlang der Nachlaufwirbelschicht ergeben. Essind jedoch auch Kongurationen denkbar, die in der TretzEbene einen aus mehre-ren Abschnitten aufgebauten Nachlaufschlitz verursachen, der im Integrationsbereichnicht mit dem Randkurvenschlitz identisch ist. Als Beispiel ist hierzu in Bild 10 einRechteck ugel mit einer gespreizten, nach unten ausgeschlagenen Klappe dargestellt.Der Nachlauf dieser Konguration besteht aus funf Abschnitten; zwei Flugelabschnitte(CM und FD) und drei Klappenabschnitte (LK, KG und GH). Der Randkurven-schlitz, infolge der Randkurve R, ist im Bild mit dargestellt. Er besteht aus den funfAbschnitten des Nachlaufes und zusatzlich aus den Verbindungslinien MK und GF .Hierbei ist der Verlauf der Verbindungslinien frei wahlbar. Es empehlt sich jedoch,die Verbindungslinien parallel zur ztAchse laufen zu lassen. Auf diese Weise tragendie Linienintegrale entlang der Verbindungslinien zum Auftriebsbeiwert ~cA nicht bei.Anders sieht es mit der Berechnung des Widerstandsbeiwertes ~cWi aus. Sowohl diePotentialdierenz t;o t;u als auch die induzierte Geschwindigkeit vnt;o ist auf denVerbindungslinien ungleich Null. Im Beispiel entspricht die Potentialdierenz auf derVerbindungslinie MK (GF ) der Gesamtzirkulation der Konguration im Punkt M(F ). Die Potentialdierenz ist auf jeder Verbindungslinie konstant. Die Linieninte-grale entlang der Verbindungslinien haben folglich einen Anteil am gesuchten Wider-standsbeiwert ~cWi . Zur Berechnung von ~cWi mu also entlang der Strecken CM ,MK,LK, KG, GH, GF und FD integriert werden. Fur Kongurationen mit geteilten

3.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte uber die Stromungsgroenin der TretzEbene 47Die Potentialdierenz zwischen einem Punkt Po auf der Schlitzoberseite und einemzugehorigen Punkt Pu auf der Schlitzunterseite entspricht der auf beliebigem Wegevon Po nach Pu eingeschlossenen Zirkulation des Nachlaufes. Die eingeschlossene Zir-kulation ist aber an jeder Stelle rt;o gleich der Gesamtzirkulation der Kongurationan dieser Stelle = t;o t;u: (3.123)Zwischen den Punkten D und E ist die Potentialdierenz folglich gleich Null, soda die Linienintegrale dieser Abschnitte keinen Beitrag zu den gesuchten Beiwertenliefern. Durch Einsetzen von Gl. (3.123) in die Integrale (3.121) und (3.122) resultiert~cWi = 1F Z DC vnt;o drt;o (3.124)~cA = 2F Z DC dyt;o: (3.125)Die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte einer Konguration ergeben sich also in derTretzEbene durch eine Linienintegration der Stromungsgroen entlang der Obersei-te des Randkurvenschlitzes. Die Integration ist hierbei auf den zusammenhangendenBereich des Randkurvenschlitzes beschrankt, der zwischen den von der linken undrechten Seitenkante der Konguration abgehenden Nachlaufwirbeln liegt.Fur einfach zusammenhangende Nachlaufe (z. B. Ellipsen ugel, Rechteck ugel ohneKlappen) ist der Randkurvenschlitz in diesem Bereich mit dem Nachlaufschlitz iden-tisch. Fur diese Kongurationen gilt das klassische Ergebnis, da sich die Beiwerte ~cAund ~cWi durch eine Linienintegration entlang der Nachlaufwirbelschicht ergeben. Essind jedoch auch Kongurationen denkbar, die in der TretzEbene einen aus mehre-ren Abschnitten aufgebauten Nachlaufschlitz verursachen, der im Integrationsbereichnicht mit dem Randkurvenschlitz identisch ist. Als Beispiel ist hierzu in Bild 10 einRechteck ugel mit einer gespreizten, nach unten ausgeschlagenen Klappe dargestellt.Der Nachlauf dieser Konguration besteht aus funf Abschnitten; zwei Flugelabschnitte(CM und FD) und drei Klappenabschnitte (LK, KG und GH). Der Randkurven-schlitz, infolge der Randkurve R, ist im Bild mit dargestellt. Er besteht aus den funfAbschnitten des Nachlaufes und zusatzlich aus den Verbindungslinien MK und GF .Hierbei ist der Verlauf der Verbindungslinien frei wahlbar. Es empehlt sich jedoch,die Verbindungslinien parallel zur ztAchse laufen zu lassen. Auf diese Weise tragendie Linienintegrale entlang der Verbindungslinien zum Auftriebsbeiwert ~cA nicht bei.Anders sieht es mit der Berechnung des Widerstandsbeiwertes ~cWi aus. Sowohl diePotentialdierenz t;o t;u als auch die induzierte Geschwindigkeit vnt;o ist auf denVerbindungslinien ungleich Null. Im Beispiel entspricht die Potentialdierenz auf derVerbindungslinie MK (GF ) der Gesamtzirkulation der Konguration im Punkt M(F ). Die Potentialdierenz ist auf jeder Verbindungslinie konstant. Die Linieninte-grale entlang der Verbindungslinien haben folglich einen Anteil am gesuchten Wider-standsbeiwert ~cWi . Zur Berechnung von ~cWi mu also entlang der Strecken CM ,MK,LK, KG, GH, GF und FD integriert werden. Fur Kongurationen mit geteilten

48 3 Losung der NachrechnungsaufgabeNachlaufen ergibt sich der Widerstandsbeiwert demnach nicht mehr allein durch dieLinienintegration entlang der Oberseiten aller Abschnitte der Nachlaufwirbelschicht.Im weiteren werden die Verbindungslinien wie Abschnitte des Nachlaufschlitzes be-handelt, zu denen eine konstante tragende Zirkulation gehort. Die Nachlaufwirbeldieser Abschnitte haben folglich die Starke Null. Der auf diese Weise erweiterte Nach-laufschlitz ist im Integrationsbereich wieder mit dem Randkurvenschlitz identisch,so da die Linienintegration entlang der Oberseite des erweiterten Nachlaufschlitzesden gesuchten Widerstandsbeiwert ~cWi liefert. Wird anschlieend vom Nachlaufschlitzgesprochen, so ist generell der erweiterte Nachlaufschlitz gemeint, der im Integrations-bereich mit dem Randkurvenschlitz identisch ist.3.5.2 Berechnung der BeiwerteZur Integration der Linienintegrale (3.124) und (3.125) wird der erweiterte Nachlauf-schlitz einer Konguration in der TretzEbene pro Abschnitt durch einen Polygon-zug ersetzt. Die Verbindungslinien bilden jeweils eine Strecke des Polygonzuges. DieAnzahl der Strecken aller Polygonzuge einer Konguration sei H. Sie entspricht derStreifenanzahl der Konguration zuzuglich der Anzahl der Verbindungslinien. ProStrecke h wird die Bogenlange rt;o und die yt;oKoordinate mit dem Parameter q zudrt;o = drt;odq dq = rt;h dq (3.126)dyt;o = dyt;odq dq = yt;h dq (3.127)erweitert (Bild 11). Der Parameter q wachst entlang der Strecke linear an und nimmtam linken Streckenrand den Wert Null und am rechten Streckenrand den Wert Einsan. rt;h ist die Lange der Strecke h und yt;h die Streckenbreite parallel zur ytAchse.Durch Einfuhrung der Polygonzuge und der Gleichungen (3.126) und (3.127) lassensich die Integrale (3.124) und (3.125) zu Summen uber die Anteile ~cWi;h und ~cA;h dereinzelnen Strecken h 2 [1; H]~cWi = 1F HXh=1 ~cWi;h (3.128)~cA = 1F HXh=1 ~cA;h; (3.129)umformen, wobei~cWi ;h = rt;h Z 10 hvnt;o dq (3.130)~cA;h = yt;h Z 10 h dq (3.131)ist.

48 3 Losung der NachrechnungsaufgabeNachlaufen ergibt sich der Widerstandsbeiwert demnach nicht mehr allein durch dieLinienintegration entlang der Oberseiten aller Abschnitte der Nachlaufwirbelschicht.Im weiteren werden die Verbindungslinien wie Abschnitte des Nachlaufschlitzes be-handelt, zu denen eine konstante tragende Zirkulation gehort. Die Nachlaufwirbeldieser Abschnitte haben folglich die Starke Null. Der auf diese Weise erweiterte Nach-laufschlitz ist im Integrationsbereich wieder mit dem Randkurvenschlitz identisch,so da die Linienintegration entlang der Oberseite des erweiterten Nachlaufschlitzesden gesuchten Widerstandsbeiwert ~cWi liefert. Wird anschlieend vom Nachlaufschlitzgesprochen, so ist generell der erweiterte Nachlaufschlitz gemeint, der im Integrations-bereich mit dem Randkurvenschlitz identisch ist.3.5.2 Berechnung der BeiwerteZur Integration der Linienintegrale (3.124) und (3.125) wird der erweiterte Nachlauf-schlitz einer Konguration in der TretzEbene pro Abschnitt durch einen Polygon-zug ersetzt. Die Verbindungslinien bilden jeweils eine Strecke des Polygonzuges. DieAnzahl der Strecken aller Polygonzuge einer Konguration sei H. Sie entspricht derStreifenanzahl der Konguration zuzuglich der Anzahl der Verbindungslinien. ProStrecke h wird die Bogenlange rt;o und die yt;oKoordinate mit dem Parameter q zudrt;o = drt;odq dq = rt;h dq (3.126)dyt;o = dyt;odq dq = yt;h dq (3.127)erweitert (Bild 11). Der Parameter q wachst entlang der Strecke linear an und nimmtam linken Streckenrand den Wert Null und am rechten Streckenrand den Wert Einsan. rt;h ist die Lange der Strecke h und yt;h die Streckenbreite parallel zur ytAchse.Durch Einfuhrung der Polygonzuge und der Gleichungen (3.126) und (3.127) lassensich die Integrale (3.124) und (3.125) zu Summen uber die Anteile ~cWi;h und ~cA;h dereinzelnen Strecken h 2 [1; H]~cWi = 1F HXh=1 ~cWi;h (3.128)~cA = 1F HXh=1 ~cA;h; (3.129)umformen, wobei~cWi ;h = rt;h Z 10 hvnt;o dq (3.130)~cA;h = yt;h Z 10 h dq (3.131)ist.

3.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte uber die Stromungsgroenin der TretzEbene 49Das Integral (3.131) lat sich unmittelbar analytisch losen, da die Gesamtzirkulationh(q) = G0;h +G1;hq +G2;hq2 fur q 2 [0; 1] (3.132)fur jede Strecke h aus der Berechnung der Konguration mit dem Mehrfachtraglinien-verfahren vorliegt (Gl. (3.53)). Fur den Beitrag einer Strecke h zum Auftriebsbeiwertder Konguration folgt~cA;h = yt;hG0;h + 12G1;h + 13G2;h : (3.133)In Verbindung mit Gl. (3.129) resultiert damit der gesuchte Auftriebsbeiwert ~cA.Der Anteil einer Strecke am Gesamtwiderstandsbeiwert (Gl. (3.130)) wird numerischbestimmt. Hierzu mu der Integrant in Gl. (3.130) in Punkten auf der Strecke be-kannt sein. Wahrend diese Forderung fur die Gesamtzirkulation bereits erfullt ist(Gl. (3.132)), ist die induzierte Geschwindigkeit vnt;o auf der Strecke zunachst un-bekannt. Ihre Berechnung erfolgt analytisch und wird im weiteren fur einen Punktbeschrieben.Die von den Nachlaufwirbeln aller Strecken in einem Punkt i induzierte Geschwin-digkeit vnt;o;i setzt sich additiv aus den Induktionen der einzelnen Strecken h 2 [1; H]entsprechendvnt;o;i = ent;o;i HXh=1 vt;i;h (3.134)zusammen. In Gl. (3.134) ist ent;o;i der nach auen weisende Einheitsvektor normal zuroberen Randkurve R des Randkurvenschlitzes im Punkt i und vt;i;h der von den Nach-laufwirbeln der Strecke h im Punkt i induzierte und auf die ungestorte Anstromungbezogene Geschwindigkeitsvektor. vt;i;h berechnet sich uber das Gesetz von Biot undSavart fur eine ebene, beidseitig ins Unendliche laufende Wirbelschicht zuvt;i;h = 12CZ 10 a(q) extja(q)j2 dhdq dq: (3.135)a(q) ist der auf die Flugelhalbspannweite bezogene Vektor vom induzierenden Punktauf der Strecke h zum Aufpunkt i unddhdq = G1;h + 2G2;hq fur q 2 [0; 1] (3.136)die Starke der Nachlaufwirbel der Strecke h, die sich aus Gl. (3.132) ergibt. Die Losungdes Integrals (3.135) wird in Anhang D bereitgestellt, so da sich der Integrant inGl. (3.130) in Verbindung mit Gl. (3.132) in Punkten analytisch berechnen lat. DasIntegral (3.130) kann damit numerisch uber die Trapezregel (EngelnMullges undReutter [92]) gelost werden, womit der gesuchte induzierte Widerstandsbeiwert ~cWiuber Gl. (3.128) folgt.

3.5 Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte uber die Stromungsgroenin der TretzEbene 49Das Integral (3.131) lat sich unmittelbar analytisch losen, da die Gesamtzirkulationh(q) = G0;h +G1;hq +G2;hq2 fur q 2 [0; 1] (3.132)fur jede Strecke h aus der Berechnung der Konguration mit dem Mehrfachtraglinien-verfahren vorliegt (Gl. (3.53)). Fur den Beitrag einer Strecke h zum Auftriebsbeiwertder Konguration folgt~cA;h = yt;hG0;h + 12G1;h + 13G2;h : (3.133)In Verbindung mit Gl. (3.129) resultiert damit der gesuchte Auftriebsbeiwert ~cA.Der Anteil einer Strecke am Gesamtwiderstandsbeiwert (Gl. (3.130)) wird numerischbestimmt. Hierzu mu der Integrant in Gl. (3.130) in Punkten auf der Strecke be-kannt sein. Wahrend diese Forderung fur die Gesamtzirkulation bereits erfullt ist(Gl. (3.132)), ist die induzierte Geschwindigkeit vnt;o auf der Strecke zunachst un-bekannt. Ihre Berechnung erfolgt analytisch und wird im weiteren fur einen Punktbeschrieben.Die von den Nachlaufwirbeln aller Strecken in einem Punkt i induzierte Geschwin-digkeit vnt;o;i setzt sich additiv aus den Induktionen der einzelnen Strecken h 2 [1; H]entsprechendvnt;o;i = ent;o;i HXh=1 vt;i;h (3.134)zusammen. In Gl. (3.134) ist ent;o;i der nach auen weisende Einheitsvektor normal zuroberen Randkurve R des Randkurvenschlitzes im Punkt i und vt;i;h der von den Nach-laufwirbeln der Strecke h im Punkt i induzierte und auf die ungestorte Anstromungbezogene Geschwindigkeitsvektor. vt;i;h berechnet sich uber das Gesetz von Biot undSavart fur eine ebene, beidseitig ins Unendliche laufende Wirbelschicht zuvt;i;h = 12CZ 10 a(q) extja(q)j2 dhdq dq: (3.135)a(q) ist der auf die Flugelhalbspannweite bezogene Vektor vom induzierenden Punktauf der Strecke h zum Aufpunkt i unddhdq = G1;h + 2G2;hq fur q 2 [0; 1] (3.136)die Starke der Nachlaufwirbel der Strecke h, die sich aus Gl. (3.132) ergibt. Die Losungdes Integrals (3.135) wird in Anhang D bereitgestellt, so da sich der Integrant inGl. (3.130) in Verbindung mit Gl. (3.132) in Punkten analytisch berechnen lat. DasIntegral (3.130) kann damit numerisch uber die Trapezregel (EngelnMullges undReutter [92]) gelost werden, womit der gesuchte induzierte Widerstandsbeiwert ~cWiuber Gl. (3.128) folgt.

50 3 Losung der Nachrechnungsaufgabe3.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren3.6.1 Ein u der DiskretisierungZur Berechnung der aerodynamischen Beiwerte einer dunnen, beliebig geformten Kon-guration mit dem entwickelten Mehrfachtraglinienverfahren sind gewisse Vereinfa-chungen erforderlich. So wird die gesuchte kontinuierliche Verteilung der Zirkulationin Tiefenrichtung durch eine endliche Anzahl von tragenden Linien diskreter Starkeersetzt. Fur die kontinuierliche Verteilung in Spannweitenrichtung wird pro tragenderLinie ein quadratischer Parameterspline angenommen. Des weiteren wird das Wirbel-system zur Berechnung der in den Aufpunkten induzierten Geschwindigkeiten geome-trisch vereinfacht. Anschlieend werden die von den Langswirbeln in den Aufpunkteninduzierten Geschwindigkeiten numerisch bestimmt. Der Ein u dieser Vereinfachun-gen auf die Genauigkeit der berechneten aerodynamischen Beiwerte wird im weiterenuntersucht.Um den Ein u der Diskretisierung in Flugeltiefenrichtung zu ermitteln, bieten sichdie zweidimensionalen Stromungen an (Streckung !1). Bei diesen Stromungen istdie Zirkulation in Spannweitenrichtung konstant, so da die Langswirbel die StarkeNull besitzen. Ein Ein u der numerischen Berechnung der Induktionen der Langswir-bel ist daher nicht vorhanden. Ebenso ist aufgrund der konstanten Zirkulationsstarkekein Ein u der numerischen Integration der Beiwerte vorhanden, so da bestehendeAbweichungen zwischen der entwickelten Theorie und exakten Losungen allein infolgeder Diskretisierung in Tiefenrichtung verursacht werden. Ein weiterer Vorteil der Uber-prufung der entwickelten Theorie an zweidimensionalen Stromungen wird durch dieTatsache begrundet, da bei einer reibungslosen Umstromung beliebiger Prole keinWiderstand entsteht (D' Alembertsches Paradoxon). Am berechneten Widerstands-beiwert eines Skelettprols lat sich demnach unmittelbar die Genauigkeit der durch-gefuhrten Nachrechnung ablesen. Die anschlieende Untersuchung ndet an Flugelnsehr groer Streckung ( = 1800) bei einem Anstellwinkel von = 5 statt. Diedargestellten Ergebnisse entsprechen den ortlichen Beiwerten im Flugelmittelschnitt.In Bild 12 sind die Ergebnisse fur ein Plattenprol dargestellt. Neben den aerodyna-mischen Beiwerten ist die transformierte Zirkulationsdichte und die Dierenzdruck-verteilung cp uber der Tiefenkoordinate fur verschiedene Anzahlen von tragendenLinien (K = 10 und K = 20) zu sehen. Die transformierte Zirkulationsdichte zeigteinen linearen Verlauf. Sie nimmt an der Vorderkante einen endlichen Wert an, derexplizit aus Gleichung (3.89) berechnet werden kann. Im Bild ist dieser Wert durcheinen ausgefullten Kreis gekennzeichnet. Der Dierenzdruckverlauf entspricht der er-sten Birnbaumverteilung (Schlichting und Truckenbrodt [91]). An der Vorderkantestrebt cp gegen Unendlich. Unabhangig von der Anzahl der tragenden Linien stim-men die mit dem entwickelten Mehrfachtraglinienverfahren berechneten Ergebnisseexakt mit den uber konforme Abbildung ermittelten Werten uberein.

50 3 Losung der Nachrechnungsaufgabe3.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren3.6.1 Ein u der DiskretisierungZur Berechnung der aerodynamischen Beiwerte einer dunnen, beliebig geformten Kon-guration mit dem entwickelten Mehrfachtraglinienverfahren sind gewisse Vereinfa-chungen erforderlich. So wird die gesuchte kontinuierliche Verteilung der Zirkulationin Tiefenrichtung durch eine endliche Anzahl von tragenden Linien diskreter Starkeersetzt. Fur die kontinuierliche Verteilung in Spannweitenrichtung wird pro tragenderLinie ein quadratischer Parameterspline angenommen. Des weiteren wird das Wirbel-system zur Berechnung der in den Aufpunkten induzierten Geschwindigkeiten geome-trisch vereinfacht. Anschlieend werden die von den Langswirbeln in den Aufpunkteninduzierten Geschwindigkeiten numerisch bestimmt. Der Ein u dieser Vereinfachun-gen auf die Genauigkeit der berechneten aerodynamischen Beiwerte wird im weiterenuntersucht.Um den Ein u der Diskretisierung in Flugeltiefenrichtung zu ermitteln, bieten sichdie zweidimensionalen Stromungen an (Streckung !1). Bei diesen Stromungen istdie Zirkulation in Spannweitenrichtung konstant, so da die Langswirbel die StarkeNull besitzen. Ein Ein u der numerischen Berechnung der Induktionen der Langswir-bel ist daher nicht vorhanden. Ebenso ist aufgrund der konstanten Zirkulationsstarkekein Ein u der numerischen Integration der Beiwerte vorhanden, so da bestehendeAbweichungen zwischen der entwickelten Theorie und exakten Losungen allein infolgeder Diskretisierung in Tiefenrichtung verursacht werden. Ein weiterer Vorteil der Uber-prufung der entwickelten Theorie an zweidimensionalen Stromungen wird durch dieTatsache begrundet, da bei einer reibungslosen Umstromung beliebiger Prole keinWiderstand entsteht (D' Alembertsches Paradoxon). Am berechneten Widerstands-beiwert eines Skelettprols lat sich demnach unmittelbar die Genauigkeit der durch-gefuhrten Nachrechnung ablesen. Die anschlieende Untersuchung ndet an Flugelnsehr groer Streckung ( = 1800) bei einem Anstellwinkel von = 5 statt. Diedargestellten Ergebnisse entsprechen den ortlichen Beiwerten im Flugelmittelschnitt.In Bild 12 sind die Ergebnisse fur ein Plattenprol dargestellt. Neben den aerodyna-mischen Beiwerten ist die transformierte Zirkulationsdichte und die Dierenzdruck-verteilung cp uber der Tiefenkoordinate fur verschiedene Anzahlen von tragendenLinien (K = 10 und K = 20) zu sehen. Die transformierte Zirkulationsdichte zeigteinen linearen Verlauf. Sie nimmt an der Vorderkante einen endlichen Wert an, derexplizit aus Gleichung (3.89) berechnet werden kann. Im Bild ist dieser Wert durcheinen ausgefullten Kreis gekennzeichnet. Der Dierenzdruckverlauf entspricht der er-sten Birnbaumverteilung (Schlichting und Truckenbrodt [91]). An der Vorderkantestrebt cp gegen Unendlich. Unabhangig von der Anzahl der tragenden Linien stim-men die mit dem entwickelten Mehrfachtraglinienverfahren berechneten Ergebnisseexakt mit den uber konforme Abbildung ermittelten Werten uberein.

3.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren 51In Bild 13 sind die berechneten Beiwerte sowie die transformierte Zirkulationsdich-te und die Dierenzdrucke cp fur ein Kreissegmentskelett mit einer relativenWolbungshohe von f=` = 0; 1 dargestellt. Auch bei diesem Skelett nimmt die trans-formierte Zirkulationsdichte erwartungsgema an der Vorderkante einen endlichenWert an, wahrend der Dierenzdruck gegen Unendlich strebt. Zum Vergleich ist dieexakte Losung mit ins Bild eingetragen (Grammel [94]). Es zeigt sich fur beide An-zahlen von tragenden Linien (K = 10 und K = 20) eine sehr gute Ubereinstimmung.Insbesondere an den Werten fur den Widerstandsbeiwert lat sich die Gute der Be-rechnung erkennen. Werden die Wirbel und die Aufpunkte hingegen auf die Prolsehnegelegt, wie es bei der klassischen Skeletttheorie ublich ist (Schlichting und Trucken-brodt [91]), dann weichen die berechneten Beiwerte deutlich von der exakten Losungab. Besonders im ermittelten Widerstandsbeiwert fuhrt diese Vereinfachung zu einemFehler, der auch durch eine sehr hohe Aufpunktanzahl nicht kompensiert werden kann(K = 200, eben). Fur eine genaue Berechnung des Widerstandsbeiwertes durch eineIntegration der Druckverteilung ist es daher erforderlich, die tragenden Linien und dieAufpunkte auf die Skelettlinie zu legen.Das Verhalten der transformierten Zirkulationsdichte an einem Klappenknie wird inBild 14 gezeigt. Hier sind die Ergebnisse fur ein Klappenskelett dargestellt, das einKlappentiefenverhaltnis von K = 0; 5 besitzt und dessen Klappe um " = 10 nachunten ausgeschlagen ist. Neben den Wirbelanzahlen K = 2 10 (10 tragende Linienauf der Flosse und 10 tragende Linien auf dem Ruder) und K = 2 20 sind die be-rechneten Werte fur K = 2 200 mit ins Bild eingetragen. Bei K = 2 200 ergibtsich der Widerstandsbeiwert zu Null, so da die fur diese Wirbelanzahl berechnetenBeiwerte als Vergleichsbasis fur die kleineren Wirbelanzahlen genutzt werden konnen.Insgesamt zeigt sich ein gutes Konvergenzverhalten des Verfahrens. Bereits bei ei-ner Wirbelanzahl von K = 2 10 ist die Ubereinstimmung mit den fur K = 2 200berechneten Beiwerten sehr gut. Am Klappenknie wird die transformierte Zirkula-tionsdichte erwartungsgema zu Null, wahrend der Dierenzdruck cp logarithmischgegen Unendlich strebt.In Bild 15 werden die mit dem entwickelten Verfahren berechneten lokalen Kraft-beiwerte des Mittelschnittes eines gescherten Platten ugels ( = 1800, Vorderkanten-pfeilwinkel 'V = 30) und eines hangenden Platten ugels ( = 1800, Hangewinkel = 30) fur den Anstellwinkel = 5 mit den exakten Losungen verglichen. Die ex-akte Losung ergibt sich jeweils durch eine entsprechende Transformation der Beiwerteeines ebenen Platten ugels. Auch hierbei zeigt sich bereits bei der geringen Anzahlvon diskreten Wirbeln (K = 10) eine sehr gute Ubereinstimmung (gleiche Zahlen).Im nachsten Schritt wird der Ein u der numerischen Berechnung der Induktionen derLangswirbelschicht sowie der Ein u der spannweitigen Unterteilung in L Streifen aneiner fur die vorliegende Untersuchung typischen Konguration uberpruft. Es handeltsich hierbei um einen Rechteck ugel der Streckung F = 5 mit einem NACA 3400Skelettprol (3% Wolbungshohe bei 40% Wolbungsrucklage), an dessen Hinterkanteim Mittelbereich eine ebene, quadratische Klappe angesetzt worden ist (Bild 16). DieKlappentiefe `K ist gleich der Flugeltiefe `F . Gegenuber der Ebene z = 0 ist die Klappebei " = 0 um "0 = 5; 7 nach unten ausgeschlagen, so da sie an der Flugelhinterkante

3.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren 51In Bild 13 sind die berechneten Beiwerte sowie die transformierte Zirkulationsdich-te und die Dierenzdrucke cp fur ein Kreissegmentskelett mit einer relativenWolbungshohe von f=` = 0; 1 dargestellt. Auch bei diesem Skelett nimmt die trans-formierte Zirkulationsdichte erwartungsgema an der Vorderkante einen endlichenWert an, wahrend der Dierenzdruck gegen Unendlich strebt. Zum Vergleich ist dieexakte Losung mit ins Bild eingetragen (Grammel [94]). Es zeigt sich fur beide An-zahlen von tragenden Linien (K = 10 und K = 20) eine sehr gute Ubereinstimmung.Insbesondere an den Werten fur den Widerstandsbeiwert lat sich die Gute der Be-rechnung erkennen. Werden die Wirbel und die Aufpunkte hingegen auf die Prolsehnegelegt, wie es bei der klassischen Skeletttheorie ublich ist (Schlichting und Trucken-brodt [91]), dann weichen die berechneten Beiwerte deutlich von der exakten Losungab. Besonders im ermittelten Widerstandsbeiwert fuhrt diese Vereinfachung zu einemFehler, der auch durch eine sehr hohe Aufpunktanzahl nicht kompensiert werden kann(K = 200, eben). Fur eine genaue Berechnung des Widerstandsbeiwertes durch eineIntegration der Druckverteilung ist es daher erforderlich, die tragenden Linien und dieAufpunkte auf die Skelettlinie zu legen.Das Verhalten der transformierten Zirkulationsdichte an einem Klappenknie wird inBild 14 gezeigt. Hier sind die Ergebnisse fur ein Klappenskelett dargestellt, das einKlappentiefenverhaltnis von K = 0; 5 besitzt und dessen Klappe um " = 10 nachunten ausgeschlagen ist. Neben den Wirbelanzahlen K = 2 10 (10 tragende Linienauf der Flosse und 10 tragende Linien auf dem Ruder) und K = 2 20 sind die be-rechneten Werte fur K = 2 200 mit ins Bild eingetragen. Bei K = 2 200 ergibtsich der Widerstandsbeiwert zu Null, so da die fur diese Wirbelanzahl berechnetenBeiwerte als Vergleichsbasis fur die kleineren Wirbelanzahlen genutzt werden konnen.Insgesamt zeigt sich ein gutes Konvergenzverhalten des Verfahrens. Bereits bei ei-ner Wirbelanzahl von K = 2 10 ist die Ubereinstimmung mit den fur K = 2 200berechneten Beiwerten sehr gut. Am Klappenknie wird die transformierte Zirkula-tionsdichte erwartungsgema zu Null, wahrend der Dierenzdruck cp logarithmischgegen Unendlich strebt.In Bild 15 werden die mit dem entwickelten Verfahren berechneten lokalen Kraft-beiwerte des Mittelschnittes eines gescherten Platten ugels ( = 1800, Vorderkanten-pfeilwinkel 'V = 30) und eines hangenden Platten ugels ( = 1800, Hangewinkel = 30) fur den Anstellwinkel = 5 mit den exakten Losungen verglichen. Die ex-akte Losung ergibt sich jeweils durch eine entsprechende Transformation der Beiwerteeines ebenen Platten ugels. Auch hierbei zeigt sich bereits bei der geringen Anzahlvon diskreten Wirbeln (K = 10) eine sehr gute Ubereinstimmung (gleiche Zahlen).Im nachsten Schritt wird der Ein u der numerischen Berechnung der Induktionen derLangswirbelschicht sowie der Ein u der spannweitigen Unterteilung in L Streifen aneiner fur die vorliegende Untersuchung typischen Konguration uberpruft. Es handeltsich hierbei um einen Rechteck ugel der Streckung F = 5 mit einem NACA 3400Skelettprol (3% Wolbungshohe bei 40% Wolbungsrucklage), an dessen Hinterkanteim Mittelbereich eine ebene, quadratische Klappe angesetzt worden ist (Bild 16). DieKlappentiefe `K ist gleich der Flugeltiefe `F . Gegenuber der Ebene z = 0 ist die Klappebei " = 0 um "0 = 5; 7 nach unten ausgeschlagen, so da sie an der Flugelhinterkante

52 3 Losung der Nachrechnungsaufgabetangential zur Skelettlinie verlauft. Die beschriebene FlugelKlappenAnordnung wirdim weiteren Basiskonguration genannt. Die anschlieende Konvergenzuntersuchungwird bei dem Klappenwinkel " = 0 und einem Anstellwinkel von = 10 durch-gefuhrt. Hierbei verlauft der Nachlauf der Konguration ab der Hinterkante parallelzur ungestorten Anstromung ins Unendliche.Fur die Untersuchung wird sowohl der Flugel als auch die Klappe mit K = 10 tra-genden Linien versehen. Die spannweitige Einteilung erfolgt auf dem Flugelmittelteilund der Klappe sowie auf den linken und rechten Flugelauenteilen jeweils mit einerCosinusEinteilung in drei Streifen. Die spannweitige Streifenanzahl der Kongura-tion ist demnach L = 9. Insgesamt wird die Basiskonguration somit in N = 120Panel unterteilt.An der Konguration wird zunachst der Ein u der Anzahl J von diskreten Langs-wirbeln pro Wirbelschicht eines Querwirbels auf die berechneten Beiwerte cA, cWi undcM untersucht (Bild 17). Die mit einem Stern gekennzeichneten Beiwerte sind aufdie geometrischen Groen des Flugels ohne Klappe (Flugel ache, Bezugs ugeltiefe,geometrischer Neutralpunkt des Flugels) bezogen. Mit steigender LangswirbelanzahlJ konvergieren die Beiwerte schnell gegen einen endlichen Wert. Der erforderliche Re-chenaufwand lat sich reduzieren, indem die Langswirbelanzahl J in Abhangigkeitvom Abstand zwischen dem Aufpunkt und dem Mittelpunkt des induzierenden Pa-nels mit einem Faktor multipliziert wird. Als Ma fur den Abstand bietet sich diePaneldiagonale des induzierenden Panels an. Ist der Abstand zwischen dem Aufpunktund dem Mittelpunkt des induzierenden Panels kleiner als das Doppelte der maxima-len Diagonale des induzierenden Panels, dann wird J im weiteren verzehnfacht. DerEin u dieser Manipulation auf das Konvergenzverhalten ist ebenfalls in Bild 17 dar-gestellt. Bei einem geringeren Rechenaufwand konvergieren die Beiwerte fruher gegenden gleichen Endwert. Fur alle weiteren Rechnungen wird J = 30 festgelegt und diegenannte Manipulation beibehalten.In Bild 18 sind die aerodynamischen Beiwerte cA, cWi, cM der Konguration uber derStreifenanzahl L dargestellt. Zur Berechnung wird die Basiskonguration entsprechendder beschriebenen Methode mit tragenden Linien belegt, wobei L=3 2 [2; 3; 4; : : : ] je-weils zu gleichen Teilen auf die drei spannweitigen Bereiche aufgeteilt wird. Zusatzlichsind die in der TretzEbene berechneten Auftriebsbeiwerte ~cA und Widerstandsbei-werte ~cWi dargestellt. Die Intervallanzahl H des Polygonzuges fur den Nachlaufschlitzin der TretzEbene entspricht der jeweiligen Streifenanzahl L der Kongurationzuzuglich der zwei erforderlichen Verbindungslinien.Die Beiwerte konvergieren mit steigender Streifenanzahl L gut gegen einen endlichenWert. Fur die Auftriebsbeiwerte cA und ~cA sind die Grenzwerte jedoch verschieden.Wahrend der Grenzwert fur cA den gesuchten Auftriebsbeiwert der Konguration dar-stellt, ist in ~cA zusatzlich ein Anteil der Kraft enthalten, die am nicht kraftefrei ausge-richteten Nachlauf angreift. Diese Kraft entspricht der Dierenz in den Grenzwertenfur cA und ~cA. In Widerstandsrichtung ist der Nachlauf kraftefrei. Die Widerstands-beiwerte cWi und ~cWi konvergieren daher gegen den gleichen Wert. Bereits bei L=3 = 4ist die Dierenz zwischen cWi und ~cWi bezogen auf den Wert von cWi = 0; 065 kleinerals ein Prozent. Diese Dierenz wird mit steigender Streifenanzahl L weiter reduziert.

52 3 Losung der Nachrechnungsaufgabetangential zur Skelettlinie verlauft. Die beschriebene FlugelKlappenAnordnung wirdim weiteren Basiskonguration genannt. Die anschlieende Konvergenzuntersuchungwird bei dem Klappenwinkel " = 0 und einem Anstellwinkel von = 10 durch-gefuhrt. Hierbei verlauft der Nachlauf der Konguration ab der Hinterkante parallelzur ungestorten Anstromung ins Unendliche.Fur die Untersuchung wird sowohl der Flugel als auch die Klappe mit K = 10 tra-genden Linien versehen. Die spannweitige Einteilung erfolgt auf dem Flugelmittelteilund der Klappe sowie auf den linken und rechten Flugelauenteilen jeweils mit einerCosinusEinteilung in drei Streifen. Die spannweitige Streifenanzahl der Kongura-tion ist demnach L = 9. Insgesamt wird die Basiskonguration somit in N = 120Panel unterteilt.An der Konguration wird zunachst der Ein u der Anzahl J von diskreten Langs-wirbeln pro Wirbelschicht eines Querwirbels auf die berechneten Beiwerte cA, cWi undcM untersucht (Bild 17). Die mit einem Stern gekennzeichneten Beiwerte sind aufdie geometrischen Groen des Flugels ohne Klappe (Flugel ache, Bezugs ugeltiefe,geometrischer Neutralpunkt des Flugels) bezogen. Mit steigender LangswirbelanzahlJ konvergieren die Beiwerte schnell gegen einen endlichen Wert. Der erforderliche Re-chenaufwand lat sich reduzieren, indem die Langswirbelanzahl J in Abhangigkeitvom Abstand zwischen dem Aufpunkt und dem Mittelpunkt des induzierenden Pa-nels mit einem Faktor multipliziert wird. Als Ma fur den Abstand bietet sich diePaneldiagonale des induzierenden Panels an. Ist der Abstand zwischen dem Aufpunktund dem Mittelpunkt des induzierenden Panels kleiner als das Doppelte der maxima-len Diagonale des induzierenden Panels, dann wird J im weiteren verzehnfacht. DerEin u dieser Manipulation auf das Konvergenzverhalten ist ebenfalls in Bild 17 dar-gestellt. Bei einem geringeren Rechenaufwand konvergieren die Beiwerte fruher gegenden gleichen Endwert. Fur alle weiteren Rechnungen wird J = 30 festgelegt und diegenannte Manipulation beibehalten.In Bild 18 sind die aerodynamischen Beiwerte cA, cWi, cM der Konguration uber derStreifenanzahl L dargestellt. Zur Berechnung wird die Basiskonguration entsprechendder beschriebenen Methode mit tragenden Linien belegt, wobei L=3 2 [2; 3; 4; : : : ] je-weils zu gleichen Teilen auf die drei spannweitigen Bereiche aufgeteilt wird. Zusatzlichsind die in der TretzEbene berechneten Auftriebsbeiwerte ~cA und Widerstandsbei-werte ~cWi dargestellt. Die Intervallanzahl H des Polygonzuges fur den Nachlaufschlitzin der TretzEbene entspricht der jeweiligen Streifenanzahl L der Kongurationzuzuglich der zwei erforderlichen Verbindungslinien.Die Beiwerte konvergieren mit steigender Streifenanzahl L gut gegen einen endlichenWert. Fur die Auftriebsbeiwerte cA und ~cA sind die Grenzwerte jedoch verschieden.Wahrend der Grenzwert fur cA den gesuchten Auftriebsbeiwert der Konguration dar-stellt, ist in ~cA zusatzlich ein Anteil der Kraft enthalten, die am nicht kraftefrei ausge-richteten Nachlauf angreift. Diese Kraft entspricht der Dierenz in den Grenzwertenfur cA und ~cA. In Widerstandsrichtung ist der Nachlauf kraftefrei. Die Widerstands-beiwerte cWi und ~cWi konvergieren daher gegen den gleichen Wert. Bereits bei L=3 = 4ist die Dierenz zwischen cWi und ~cWi bezogen auf den Wert von cWi = 0; 065 kleinerals ein Prozent. Diese Dierenz wird mit steigender Streifenanzahl L weiter reduziert.

3.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren 53Der Vergleich des am Ort des Flugels berechneten Widerstandsbeiwertes cWi mitdem in der TretzEbene ermittelten Wert ~cWi eronet die Moglichkeit, die Genauig-keit einer durchgefuhrten Nachrechnung unabhangig von anderen Theorien zu prufen.Die Idee fur ein solches Testverfahren wird bereits von Tretz [99] genannt. Da derWiderstand eine von zweiter Ordnung kleine Groe ist, stellt dieser Test sehr hoheAnforderungen an die Genauigkeit der Berechnung. Fur die Untersuchung unkonven-tioneller Kongurationen, fur die keine vergleichbaren Rechnungen vorliegen, ist erauerst hilfreich.Um den Ein u der Verbindungslinien auf den berechneten Widerstandsbeiwert ~cWi zuermitteln, wird der Widerstand in der TretzEbene zusatzlich unter Vernachlassigungder Beitrage der Verbindungslinien bestimmt. Der auf diese Weise berechnete Wertkonvergiert nicht gegen den am Ort des Flugels ermittelten Widerstand. Bezogen aufden Wert von cWi = 0; 065 betragt die Abweichung in den Grenzwerten mehr alszehn Prozent. Die Berucksichtigung der Verbindungslinien bei der Berechnung desinduzierten Widerstandes in der TretzEbene ist daher unumganglich.3.6.2 Vergleich mit anderen TheorienObgleich die Genauigkeit der durchgefuhrten Nachrechnung in der beschriebenen Wei-se unabhangig von anderen Berechnungsverfahren uberpruft werden kann, werden dieermittelten Beiwerte fur einen Rechteck ugel (Streckung = 2), einen Pfeil ugel(Streckung = 2p2, Vorderkantenpfeilwinkel 'V = 53; 54, Zuspitzung = 1=3)und den Kreisscheiben ugel mit den Ergebnissen anderer Theorien verglichen. DieseFlugel bieten sich insbesondere deshalb an, da fur sie von Garner et al. [100] um-fangreiche Rechnungen durchgefuhrt wurden. Grundlage dieser Rechnungen sind ver-schiedene Trag achenverfahren (Zandbergen et al. [101], Hewitt [102], Garner undFox [103]), die jeweils eine Weiterentwicklung der Multhopp'schen Trag achentheorie[71] darstellen. Zusatzlich werden die mit dem hier entwickelten Mehrfachtraglinien-verfahren berechneten Gesamtbeiwerte fur den Kreisscheiben ugel mit der exaktenLosung (Spiegel [104]) verglichen, die fur diesen Flugel mit Hilfe der Methode desBeschleunigungspotentials ermittelt worden ist.Sowohl die genannten Trag achenverfahren als auch die exakte Losung fur den Kreis-scheiben ugel basieren auf einem ebenen Wirbelsystem. Zur Berechnung der Flugelmit dem entwickelten Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) wird der Nachlauf daherin die Flugelebene gelegt, so da sich ebenfalls ein ebenes Wirbelsystem ergibt. Nebenden Gesamtbeiwerten werden pro Konguration die spannweitige Auftriebsbeiwertver-teilung ca=cA, die spannweitige Widerstandsbeiwertverteilung cwi=c2A und die spann-weitige Verteilung der lokalen Druckpunktlage (xdxV )=` verglichen. Zusatzlich wer-den die Dierenzdrucke cp in verschiedenen spannweitigen Schnitten uberpruft. ZurDarstellung werden die Dierenzdrucke mit dem Faktor p multipliziert, damit dieSingularitat in der Vorderkante kompensiert wird. Der Grenzwert lim!0(cpp) stelltgleichzeitig ein Ma fur die Saugkraft dar, die in dem jeweiligen Schnitt an der Vorder-kante angreift. Die Rechnungen werden fur den Anstellwinkel = 1 durchgefuhrt,

3.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren 53Der Vergleich des am Ort des Flugels berechneten Widerstandsbeiwertes cWi mitdem in der TretzEbene ermittelten Wert ~cWi eronet die Moglichkeit, die Genauig-keit einer durchgefuhrten Nachrechnung unabhangig von anderen Theorien zu prufen.Die Idee fur ein solches Testverfahren wird bereits von Tretz [99] genannt. Da derWiderstand eine von zweiter Ordnung kleine Groe ist, stellt dieser Test sehr hoheAnforderungen an die Genauigkeit der Berechnung. Fur die Untersuchung unkonven-tioneller Kongurationen, fur die keine vergleichbaren Rechnungen vorliegen, ist erauerst hilfreich.Um den Ein u der Verbindungslinien auf den berechneten Widerstandsbeiwert ~cWi zuermitteln, wird der Widerstand in der TretzEbene zusatzlich unter Vernachlassigungder Beitrage der Verbindungslinien bestimmt. Der auf diese Weise berechnete Wertkonvergiert nicht gegen den am Ort des Flugels ermittelten Widerstand. Bezogen aufden Wert von cWi = 0; 065 betragt die Abweichung in den Grenzwerten mehr alszehn Prozent. Die Berucksichtigung der Verbindungslinien bei der Berechnung desinduzierten Widerstandes in der TretzEbene ist daher unumganglich.3.6.2 Vergleich mit anderen TheorienObgleich die Genauigkeit der durchgefuhrten Nachrechnung in der beschriebenen Wei-se unabhangig von anderen Berechnungsverfahren uberpruft werden kann, werden dieermittelten Beiwerte fur einen Rechteck ugel (Streckung = 2), einen Pfeil ugel(Streckung = 2p2, Vorderkantenpfeilwinkel 'V = 53; 54, Zuspitzung = 1=3)und den Kreisscheiben ugel mit den Ergebnissen anderer Theorien verglichen. DieseFlugel bieten sich insbesondere deshalb an, da fur sie von Garner et al. [100] um-fangreiche Rechnungen durchgefuhrt wurden. Grundlage dieser Rechnungen sind ver-schiedene Trag achenverfahren (Zandbergen et al. [101], Hewitt [102], Garner undFox [103]), die jeweils eine Weiterentwicklung der Multhopp'schen Trag achentheorie[71] darstellen. Zusatzlich werden die mit dem hier entwickelten Mehrfachtraglinien-verfahren berechneten Gesamtbeiwerte fur den Kreisscheiben ugel mit der exaktenLosung (Spiegel [104]) verglichen, die fur diesen Flugel mit Hilfe der Methode desBeschleunigungspotentials ermittelt worden ist.Sowohl die genannten Trag achenverfahren als auch die exakte Losung fur den Kreis-scheiben ugel basieren auf einem ebenen Wirbelsystem. Zur Berechnung der Flugelmit dem entwickelten Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) wird der Nachlauf daherin die Flugelebene gelegt, so da sich ebenfalls ein ebenes Wirbelsystem ergibt. Nebenden Gesamtbeiwerten werden pro Konguration die spannweitige Auftriebsbeiwertver-teilung ca=cA, die spannweitige Widerstandsbeiwertverteilung cwi=c2A und die spann-weitige Verteilung der lokalen Druckpunktlage (xdxV )=` verglichen. Zusatzlich wer-den die Dierenzdrucke cp in verschiedenen spannweitigen Schnitten uberpruft. ZurDarstellung werden die Dierenzdrucke mit dem Faktor p multipliziert, damit dieSingularitat in der Vorderkante kompensiert wird. Der Grenzwert lim!0(cpp) stelltgleichzeitig ein Ma fur die Saugkraft dar, die in dem jeweiligen Schnitt an der Vorder-kante angreift. Die Rechnungen werden fur den Anstellwinkel = 1 durchgefuhrt,

54 3 Losung der Nachrechnungsaufgabeso da der in der Flugelebene ins Unendliche laufende Nachlauf naherungsweise inWiderstandsrichtung als kraftefrei angesehen werden kann.Der Rechteck ugel wird in Tiefenrichtung mit K = 20 tragenden Linien belegt. InSpannweitenrichtung wird der Flugel durch eine CosinusEinteilung in L = 50 Strei-fen unterteilt. Die berechneten Beiwerte sind in Bild 19 und Bild 20 dargestellt.Aufgrund der kleinen Streckung ( = 2) ist die Auftriebsbeiwertverteilung nahezuelliptisch, so da das Verhaltnisk = cWic2A= 1 (3.137)ist. Insgesamt zeigen sowohl die Gesamtbeiwerte als auch die ortlichen Beiwerte unddie Dierenzdruckverteilungen eine sehr gute Ubereinstimmung mit der Trag achen-theorie.Auch der Pfeil ugel wird mitK = 20 tragenden Linien belegt. Pro Flugelhalfte wird erdurch eine CosinusEinteilung in L=2 = 25 Streifen unterteilt. Die Auftriebsbeiwert-verteilung zeigt den fur einen Pfeil ugel typischen Verlauf (Bild 21), der im Bereichder Flugelmitte einen Einbruch aufweist. Gleichzeitig verlagert sich der Druckpunktin diesem Bereich nach hinten. Hierfur ist die Entpfeilung der Isobaren im Mittel-teil eines nach hinten gepfeilten Flugels verantwortlich (Bild 22). Insgesamt ist dieUbereinstimmung mit den Ergebnissen der Trag achentheorie sehr zufriedenstellend.Die geringen Abweichungen im Flugelmittelschnitt werden dadurch begrundet, dadie genannten Trag achenverfahren einen stetigen Verlauf der Flugelvorderkante undder -hinterkante benotigen. Die Knicke im Flugelmittelschnitt werden daher bei derBerechnung des Pfeil ugels mit dem Verfahren von Zandbergen et al. [101] durchkleine Abrundungen ersetzt. Aufgrund dieser Abrundungen ist auch der Grenzwertlim!0(cpp) fur den Flugelmittelschnitt groer als Null, so da hier eine Saugkraftentsteht, die gegenuber der vorliegenden Theorie zu einer Verringerung des ortlichenWiderstandsbeiwertes fuhrt. Bei der Berechnung des nicht abgerundeten Pfeil ugelsmit dem vorliegenden Mehrfachtraglinienverfahren strebt der Grenzwert gegen Null.Das Verfahren sagt damit fur den Flugelmittelschnitt eine lokale Kraft voraus, dienormal auf dem Flugel steht und keine Komponente tangential zum Flugel besitzt.Dieses Ergebnis trit nach Kuchemann [105] fur alle Pfeil ugel zu.Der Kreisscheiben ugel wird mit K = 10 tragenden Linien belegt und mit einerCosinusEinteilung in L = 180 Streifen unterteilt. Die hohe Anzahl von Streifen isterforderlich, um die spannweitige Flugeltiefenverteilung im Flugelauenbereich hin-reichend aufzulosen. Die mit dem entwickelten Mehrfachtraglinienverfahren (MTV)ermittelten Beiwerte sind in Bild 23 und Bild 24 dargestellt. Insgesamt zeigendie Beiwerte eine gute Ubereinstimmung mit der Trag achentheorie und der exak-ten Losung. Im Gegensatz zu dem Ergebnis der einfachen Traglinientheorie fallt derortliche Auftriebsbeiwert uber der Spannweite geringfugig ab. Ein Ellipsen ugel klei-ner Streckung besitzt demnach nur naherungsweise eine konstante Auftriebsbeiwert-verteilung uber der Spannweite. Vermutlich nimmt der ortliche Auftriebsbeiwert amFlugelrand weiterhin einen endlichen Wert an, obwohl die Flugeltiefe hier zu Null wird.

54 3 Losung der Nachrechnungsaufgabeso da der in der Flugelebene ins Unendliche laufende Nachlauf naherungsweise inWiderstandsrichtung als kraftefrei angesehen werden kann.Der Rechteck ugel wird in Tiefenrichtung mit K = 20 tragenden Linien belegt. InSpannweitenrichtung wird der Flugel durch eine CosinusEinteilung in L = 50 Strei-fen unterteilt. Die berechneten Beiwerte sind in Bild 19 und Bild 20 dargestellt.Aufgrund der kleinen Streckung ( = 2) ist die Auftriebsbeiwertverteilung nahezuelliptisch, so da das Verhaltnisk = cWic2A= 1 (3.137)ist. Insgesamt zeigen sowohl die Gesamtbeiwerte als auch die ortlichen Beiwerte unddie Dierenzdruckverteilungen eine sehr gute Ubereinstimmung mit der Trag achen-theorie.Auch der Pfeil ugel wird mitK = 20 tragenden Linien belegt. Pro Flugelhalfte wird erdurch eine CosinusEinteilung in L=2 = 25 Streifen unterteilt. Die Auftriebsbeiwert-verteilung zeigt den fur einen Pfeil ugel typischen Verlauf (Bild 21), der im Bereichder Flugelmitte einen Einbruch aufweist. Gleichzeitig verlagert sich der Druckpunktin diesem Bereich nach hinten. Hierfur ist die Entpfeilung der Isobaren im Mittel-teil eines nach hinten gepfeilten Flugels verantwortlich (Bild 22). Insgesamt ist dieUbereinstimmung mit den Ergebnissen der Trag achentheorie sehr zufriedenstellend.Die geringen Abweichungen im Flugelmittelschnitt werden dadurch begrundet, dadie genannten Trag achenverfahren einen stetigen Verlauf der Flugelvorderkante undder -hinterkante benotigen. Die Knicke im Flugelmittelschnitt werden daher bei derBerechnung des Pfeil ugels mit dem Verfahren von Zandbergen et al. [101] durchkleine Abrundungen ersetzt. Aufgrund dieser Abrundungen ist auch der Grenzwertlim!0(cpp) fur den Flugelmittelschnitt groer als Null, so da hier eine Saugkraftentsteht, die gegenuber der vorliegenden Theorie zu einer Verringerung des ortlichenWiderstandsbeiwertes fuhrt. Bei der Berechnung des nicht abgerundeten Pfeil ugelsmit dem vorliegenden Mehrfachtraglinienverfahren strebt der Grenzwert gegen Null.Das Verfahren sagt damit fur den Flugelmittelschnitt eine lokale Kraft voraus, dienormal auf dem Flugel steht und keine Komponente tangential zum Flugel besitzt.Dieses Ergebnis trit nach Kuchemann [105] fur alle Pfeil ugel zu.Der Kreisscheiben ugel wird mit K = 10 tragenden Linien belegt und mit einerCosinusEinteilung in L = 180 Streifen unterteilt. Die hohe Anzahl von Streifen isterforderlich, um die spannweitige Flugeltiefenverteilung im Flugelauenbereich hin-reichend aufzulosen. Die mit dem entwickelten Mehrfachtraglinienverfahren (MTV)ermittelten Beiwerte sind in Bild 23 und Bild 24 dargestellt. Insgesamt zeigendie Beiwerte eine gute Ubereinstimmung mit der Trag achentheorie und der exak-ten Losung. Im Gegensatz zu dem Ergebnis der einfachen Traglinientheorie fallt derortliche Auftriebsbeiwert uber der Spannweite geringfugig ab. Ein Ellipsen ugel klei-ner Streckung besitzt demnach nur naherungsweise eine konstante Auftriebsbeiwert-verteilung uber der Spannweite. Vermutlich nimmt der ortliche Auftriebsbeiwert amFlugelrand weiterhin einen endlichen Wert an, obwohl die Flugeltiefe hier zu Null wird.

3.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren 55Dieser Grenzwert kann mit dem Mehrfachtraglinienverfahren jedoch nicht ermitteltwerden, da die Langswirbelstarke aufgrund des quadratischen Splineansatzes fur dieZirkulationsstarke der tragenden Linien nur endliche Werte annehmen kann. Voraus-setzung fur einen endlichen ortlichen Auftriebsbeiwert bei verschwindender Flugeltiefeist aber eine unendliche Langswirbelstarke, wie sie grundsatzlich bei einer anliegen-den Umstromung einer Flugelseitenkante vorhanden ist. Ein Vergleich der ortlichenWiderstandsbeiwertverteilung ist nicht moglich, da sowohl Zandbergen et al. [101] alsauch Spiegel [104] diesbezuglich keine Angaben machen.3.6.3 Vergleich mit MessungenDie Uberprufung der Saugkraftanalogie von Pohlhamus [60, 61] erfolgt an einem Del-ta ugel der Streckung = 1. Der Flugel wird fur die Berechnung mit K = 14 tra-genden Linien belegt und mit einer CosinusEinteilung in L = 60 Streifen unterteilt.Der Nachlauf verlauft ab der Flugelhinterkante parallel zur ungestorten Anstromungins Unendliche. Diese Nachlaufrichtung wird fur alle weiteren Rechnungen beibehal-ten. Die berechneten Beiwerte ohne und mit Berucksichtigung der Saugkraftanalo-gie werden in Bild 25 mit den Meergebnissen von Hummel [106] und Peckham[107] verglichen. Die Messungen wurden bei einer mit der Flugelinnentiefe gebildetenReynoldszahl von Re = 2 106 durchgefuhrt.Deutlich ist die fur Delta ugel typische nichtlineare Abhangigkeit der Auftriebsbei-werte cA und der auf die Flugelspitze bezogenen Nickmomentenbeiwerte cM;Nase vomAnstellwinkel zu erkennen. Verantwortlich fur diese Nichtlinearitat sind die stati-onaren Wirbel, die sich infolge einer Stromungsablosung an der Vorderkante oberhalbder Konguration ausbilden. Diese Wirbel konnen mit dem entwickelten Verfahrennicht simuliert werden. Entsprechend liefert die lineare Theorie ohne Saugkraftanalo-gie deutlich zu kleine Auftriebsbeiwerte, Widerstandsbeiwerte und kop astige Nick-momentenbeiwerte. Fur die zu kleinen Widerstandsbeiwerte ist die bei anliegenderStromung an der Vorderkante tangential zum Flugel angreifende Saugkraft verant-wortlich. Wird hingegen die Wirkung der Wirbel auf die aerodynamischen Beiwertebei der Berechnung mittels der Saugkraftanalogie berucksichtigt, dann zeigt sich einezufriedenstellende Ubereinstimmung zwischen der Theorie und den Mewerten.Im Hinblick auf die spatere Anwendung des entwickelten Mehrfachtraglinienverfah-rens werden im weiteren die theoretisch ermittelten Gesamtbeiwerte fur einen Recht-eck ugel mit Klappen unterschiedlicher Geometrie mit Meergebnissen verglichen.Der vermessene Rechteck ugel hat die Streckung F = 5 (ohne Randbogen) undein NACA 3412 Prol (Hummel [42]). Die Flugelrandbogen sind halbierte Rota-tionskorper, deren lokaler Durchmesser der lokalen Proldicke entspricht. An dieFlugelhinterkante sind im Flugelmittelteil dunne, ebene Blechklappen unterschied-licher Grundriform angesetzt worden. Der Klappenausschlagswinkel " zahlt nachunten positiv und ist Null, wenn die Klappe an der Hinterkante tangential zur Ske-lett ache des Flugels verlauft. Gegenuber der Ebene z = 0 ist die Klappe dann um"0 = 5; 7 nach unten geneigt. Der beschriebene Flugel und die verwendeten Klappen

3.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren 55Dieser Grenzwert kann mit dem Mehrfachtraglinienverfahren jedoch nicht ermitteltwerden, da die Langswirbelstarke aufgrund des quadratischen Splineansatzes fur dieZirkulationsstarke der tragenden Linien nur endliche Werte annehmen kann. Voraus-setzung fur einen endlichen ortlichen Auftriebsbeiwert bei verschwindender Flugeltiefeist aber eine unendliche Langswirbelstarke, wie sie grundsatzlich bei einer anliegen-den Umstromung einer Flugelseitenkante vorhanden ist. Ein Vergleich der ortlichenWiderstandsbeiwertverteilung ist nicht moglich, da sowohl Zandbergen et al. [101] alsauch Spiegel [104] diesbezuglich keine Angaben machen.3.6.3 Vergleich mit MessungenDie Uberprufung der Saugkraftanalogie von Pohlhamus [60, 61] erfolgt an einem Del-ta ugel der Streckung = 1. Der Flugel wird fur die Berechnung mit K = 14 tra-genden Linien belegt und mit einer CosinusEinteilung in L = 60 Streifen unterteilt.Der Nachlauf verlauft ab der Flugelhinterkante parallel zur ungestorten Anstromungins Unendliche. Diese Nachlaufrichtung wird fur alle weiteren Rechnungen beibehal-ten. Die berechneten Beiwerte ohne und mit Berucksichtigung der Saugkraftanalo-gie werden in Bild 25 mit den Meergebnissen von Hummel [106] und Peckham[107] verglichen. Die Messungen wurden bei einer mit der Flugelinnentiefe gebildetenReynoldszahl von Re = 2 106 durchgefuhrt.Deutlich ist die fur Delta ugel typische nichtlineare Abhangigkeit der Auftriebsbei-werte cA und der auf die Flugelspitze bezogenen Nickmomentenbeiwerte cM;Nase vomAnstellwinkel zu erkennen. Verantwortlich fur diese Nichtlinearitat sind die stati-onaren Wirbel, die sich infolge einer Stromungsablosung an der Vorderkante oberhalbder Konguration ausbilden. Diese Wirbel konnen mit dem entwickelten Verfahrennicht simuliert werden. Entsprechend liefert die lineare Theorie ohne Saugkraftanalo-gie deutlich zu kleine Auftriebsbeiwerte, Widerstandsbeiwerte und kop astige Nick-momentenbeiwerte. Fur die zu kleinen Widerstandsbeiwerte ist die bei anliegenderStromung an der Vorderkante tangential zum Flugel angreifende Saugkraft verant-wortlich. Wird hingegen die Wirkung der Wirbel auf die aerodynamischen Beiwertebei der Berechnung mittels der Saugkraftanalogie berucksichtigt, dann zeigt sich einezufriedenstellende Ubereinstimmung zwischen der Theorie und den Mewerten.Im Hinblick auf die spatere Anwendung des entwickelten Mehrfachtraglinienverfah-rens werden im weiteren die theoretisch ermittelten Gesamtbeiwerte fur einen Recht-eck ugel mit Klappen unterschiedlicher Geometrie mit Meergebnissen verglichen.Der vermessene Rechteck ugel hat die Streckung F = 5 (ohne Randbogen) undein NACA 3412 Prol (Hummel [42]). Die Flugelrandbogen sind halbierte Rota-tionskorper, deren lokaler Durchmesser der lokalen Proldicke entspricht. An dieFlugelhinterkante sind im Flugelmittelteil dunne, ebene Blechklappen unterschied-licher Grundriform angesetzt worden. Der Klappenausschlagswinkel " zahlt nachunten positiv und ist Null, wenn die Klappe an der Hinterkante tangential zur Ske-lett ache des Flugels verlauft. Gegenuber der Ebene z = 0 ist die Klappe dann um"0 = 5; 7 nach unten geneigt. Der beschriebene Flugel und die verwendeten Klappen

56 3 Losung der Nachrechnungsaufgabesind in Bild 26 dargestellt. Die Abmessungen werden in Bild 27 angegeben. FurSpreizungswinkel der Klappe # 6= 0 ist die Geometrie der vermessenen und der be-rechneten Kongurationen gleich. Entsprechendes gilt fur die Flugel mit rechteckigenKlappen (# = 0) , sofern bei der Berechnung eine anliegende Stromung an den Klap-penseitenkanten vorausgesetzt wird. Soll jedoch an den Seitenkanten der rechteckigenKlappen die Saugkraftanalogie angewandt werden, dann mussen die geometrischenKlappenseitenkanten in stark gepfeilte Vorderkanten verandert werden. Hierzu wirddie Klappenhinterkante um ein Prozent der Flugelhalbspannweite verbreitert und dieAnschlaglinie der Klappe an der Flugelhinterkante um den gleichen Betrag verkurzt.Auf diese Weise bleibt die Flache der Klappe unverandert. Die so zur Berechnunggeringfugig veranderte Geometrie der Klappen ist ebenfalls in Bild 27 angegeben (ein-geklammerte Werte). Die bei der Berechnung verwendete Diskretisierung der unter-suchten FlugelKlappenAnordnungen ist Bild 28 zu entnehmen.Grundlage fur den Vergleich bilden die Messungen von Hummel [42] sowie eigene Un-tersuchungen an diesen FlugelKlappenKongurationen. Beide Experimente wurdenim 1,3 mWindkanal (Gottinger Bauart, Kreisquerschnitt) des Instituts fur Stromungs-mechanik der TU Braunschweig bei einer Anstromungsgeschwindigkeit von U+1 = 40msdurchgefuhrt. Dies entspricht einer mit der Flugeltiefe (`+F = 0; 14 m) gebildetenReynoldszahl von ReF = 3; 7 105. Es wurden pro Konguration Messungen undRechnungen fur10 " 10 mit " = 5 (3.138)und 6 18 mit = 2 (3.139)durchgefuhrt.In Bild 29 werden die berechneten und die gemessenen Beiwerte cA, cW und cM furden Flugel ohne und mit der quadratischen Steuer ache B verglichen. Die mit einemStern gekennzeichneten Beiwerte sind auch weiterhin auf die geometrischen Groendes Flugels ohne Steuer ache (Flugel ache, Bezugs ugeltiefe, geometrischer Neutral-punkt) bezogen. Fur den Flugel ohne Steuer ache sind die aerodynamischen Beiwerteohne und mit Stern identisch. Es werden sowohl die Berechnungsergebnisse fur eineanliegende Stromung als auch fur eine abgeloste Stromung an den Klappenseitenkan-ten gezeigt. Bei der abgelosten Stromung wird mit der Saugkraftanalogie gerechnet.Fur den Flugel ohne Steuer ache ist die Ubereinstimmung zwischen den berechne-ten und gemessenen Beiwerten sehr gut. Sowohl der Nullauftriebswinkel als auch dieAbhangigkeiten der Auftriebs-, Widerstands- und Nickmomentenbeiwerte vom An-stellwinkel werden durch die Theorie richtig wiedergegeben. Lediglich das Nullmo-ment und der Nullwiderstand werden geringfugig zu klein vorhergesagt. Der Grundfur das zu kop astige Nullmoment liegt in der Vernachlassigung des Reibungsein ussesauf das Nickmoment. Im Experiment bildet sich um den Flugel eine Reibungsgrenz-schicht, deren Verdrangungsdicke von der Vorderkante zur Hinterkante wachst. Die

56 3 Losung der Nachrechnungsaufgabesind in Bild 26 dargestellt. Die Abmessungen werden in Bild 27 angegeben. FurSpreizungswinkel der Klappe # 6= 0 ist die Geometrie der vermessenen und der be-rechneten Kongurationen gleich. Entsprechendes gilt fur die Flugel mit rechteckigenKlappen (# = 0) , sofern bei der Berechnung eine anliegende Stromung an den Klap-penseitenkanten vorausgesetzt wird. Soll jedoch an den Seitenkanten der rechteckigenKlappen die Saugkraftanalogie angewandt werden, dann mussen die geometrischenKlappenseitenkanten in stark gepfeilte Vorderkanten verandert werden. Hierzu wirddie Klappenhinterkante um ein Prozent der Flugelhalbspannweite verbreitert und dieAnschlaglinie der Klappe an der Flugelhinterkante um den gleichen Betrag verkurzt.Auf diese Weise bleibt die Flache der Klappe unverandert. Die so zur Berechnunggeringfugig veranderte Geometrie der Klappen ist ebenfalls in Bild 27 angegeben (ein-geklammerte Werte). Die bei der Berechnung verwendete Diskretisierung der unter-suchten FlugelKlappenAnordnungen ist Bild 28 zu entnehmen.Grundlage fur den Vergleich bilden die Messungen von Hummel [42] sowie eigene Un-tersuchungen an diesen FlugelKlappenKongurationen. Beide Experimente wurdenim 1,3 mWindkanal (Gottinger Bauart, Kreisquerschnitt) des Instituts fur Stromungs-mechanik der TU Braunschweig bei einer Anstromungsgeschwindigkeit von U+1 = 40msdurchgefuhrt. Dies entspricht einer mit der Flugeltiefe (`+F = 0; 14 m) gebildetenReynoldszahl von ReF = 3; 7 105. Es wurden pro Konguration Messungen undRechnungen fur10 " 10 mit " = 5 (3.138)und 6 18 mit = 2 (3.139)durchgefuhrt.In Bild 29 werden die berechneten und die gemessenen Beiwerte cA, cW und cM furden Flugel ohne und mit der quadratischen Steuer ache B verglichen. Die mit einemStern gekennzeichneten Beiwerte sind auch weiterhin auf die geometrischen Groendes Flugels ohne Steuer ache (Flugel ache, Bezugs ugeltiefe, geometrischer Neutral-punkt) bezogen. Fur den Flugel ohne Steuer ache sind die aerodynamischen Beiwerteohne und mit Stern identisch. Es werden sowohl die Berechnungsergebnisse fur eineanliegende Stromung als auch fur eine abgeloste Stromung an den Klappenseitenkan-ten gezeigt. Bei der abgelosten Stromung wird mit der Saugkraftanalogie gerechnet.Fur den Flugel ohne Steuer ache ist die Ubereinstimmung zwischen den berechne-ten und gemessenen Beiwerten sehr gut. Sowohl der Nullauftriebswinkel als auch dieAbhangigkeiten der Auftriebs-, Widerstands- und Nickmomentenbeiwerte vom An-stellwinkel werden durch die Theorie richtig wiedergegeben. Lediglich das Nullmo-ment und der Nullwiderstand werden geringfugig zu klein vorhergesagt. Der Grundfur das zu kop astige Nullmoment liegt in der Vernachlassigung des Reibungsein ussesauf das Nickmoment. Im Experiment bildet sich um den Flugel eine Reibungsgrenz-schicht, deren Verdrangungsdicke von der Vorderkante zur Hinterkante wachst. Die

3.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren 57verdrangende Wirkung der Grenzschicht fuhrt dazu, da die aerodynamisch wirksa-me Flugelwolbung kleiner als die geometrische Wolbung ist. Im Vergleich zu demberechneten Nullmoment liefert das Experiment daher betragsmaig einen kleinerenWert. Die Abweichung im Nullwiderstand beruht auf der verwendeten Abschatzungdes Reibungswiderstandes uber den Widerstandsbeiwert einer voll turbulenten Plat-tengrenzschicht. Bei dieser Abschatzung wird zum Beispiel die Proldicke oder ein aufdem Flugel vorhandener Druckgradient nicht berucksichtigt.Ein entsprechendes Bild zeigt sich bei der Basiskonguration (Flugel mit Klappe B).Unter der Annahme einer abgelosten Stromung an den Klappenseitenkanten wer-den die gemessenen Beiwertverlaufe uber dem Anstellwinkel durch die Theorie sehrgut wiedergegeben. Lediglich der Nullwiderstand und das Nullmoment werden er-neut etwas zu klein berechnet, was auf die bereits genannten Grunde zuruckzufuhrenist. Bezuglich der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte ist der Ein u der abgelostenStromung an den Klappenseitenkanten gering. Der fur eine anliegende Stromung be-rechnete Nickmomentenverlauf ist jedoch im Vergleich zu den Messungen zu ach.Hierfur ist der fehlende Ein u der Wirbel verantwortlich, die an den Klappensei-tenkanten entstehen und den Auftrieb auf der Klappe und damit insbesondere daskop astige Nickmoment vergroern (Hummel [42]).Die berechneten Beiwerte cA, cW und cM der Basiskonguration werden fur die Klap-penausschlage " = 10; 0; 10 fur eine anliegende Stromung an der Klappe inBild 30 und fur eine abgeloste Stromung in Bild 31 mit den Messungen verglichen.Mit zunehmender Klappenbelastung werden die Abweichungen zwischen den Messun-gen und der fur anliegende Stromung berechneten Beiwerte groer (Bild 30). So wirdfur " = 10 der Auftriebsanstieg und die Widerstandszunahme zu klein berechnet.Zusatzlich ist der Nickmomentenverlauf zu ach und der Ein u eines Ruderausschla-ges auf das Nullmoment wird nicht richtig wiedergegeben. Wird der Ein u der Wirbelhingegen durch die Verwendung der Saugkraftanalogie berucksichtigt, dann zeigendie berechneten Beiwerte eine erstaunlich gute Ubereinstimmung mit dem Experi-ment (Bild 31). Die geometrischen Klappenseitenkanten wirken also aerodynamischwie stark gepfeilte Flugelvorderkanten. Aus diesem Grund werden fur alle weiterenRechnungen die Seitenkanten von rechteckigen Schwanzformen in der beschriebenenWeise in geometrische Vorderkanten umgewandelt (vgl. Bild 27 und Bild 28), an denendie Saugkraftanalogie angewandt wird.In den Bildern 32 36 werden die berechneten Beiwerte fur verschieden lange Klap-pen (A, B, C), breite Klappen (AA, B, AB) und gespreizte Klappen ohne Gabelung(G, B, K und S, R, Q) und mit Gabelung (S, V , T ) fur " = 0 in Abhangigkeit vomAnstellwinkel mit Meergebnissen verglichen. Abgesehen von den bereits diskutiertenAbweichungen im Nullmoment und Nullwiderstand ist die Ubereinstimmung zwischender Theorie und dem Experiment durchweg sehr zufriedenstellend.

3.6 Uberprufung der entwickelten Verfahren 57verdrangende Wirkung der Grenzschicht fuhrt dazu, da die aerodynamisch wirksa-me Flugelwolbung kleiner als die geometrische Wolbung ist. Im Vergleich zu demberechneten Nullmoment liefert das Experiment daher betragsmaig einen kleinerenWert. Die Abweichung im Nullwiderstand beruht auf der verwendeten Abschatzungdes Reibungswiderstandes uber den Widerstandsbeiwert einer voll turbulenten Plat-tengrenzschicht. Bei dieser Abschatzung wird zum Beispiel die Proldicke oder ein aufdem Flugel vorhandener Druckgradient nicht berucksichtigt.Ein entsprechendes Bild zeigt sich bei der Basiskonguration (Flugel mit Klappe B).Unter der Annahme einer abgelosten Stromung an den Klappenseitenkanten wer-den die gemessenen Beiwertverlaufe uber dem Anstellwinkel durch die Theorie sehrgut wiedergegeben. Lediglich der Nullwiderstand und das Nullmoment werden er-neut etwas zu klein berechnet, was auf die bereits genannten Grunde zuruckzufuhrenist. Bezuglich der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte ist der Ein u der abgelostenStromung an den Klappenseitenkanten gering. Der fur eine anliegende Stromung be-rechnete Nickmomentenverlauf ist jedoch im Vergleich zu den Messungen zu ach.Hierfur ist der fehlende Ein u der Wirbel verantwortlich, die an den Klappensei-tenkanten entstehen und den Auftrieb auf der Klappe und damit insbesondere daskop astige Nickmoment vergroern (Hummel [42]).Die berechneten Beiwerte cA, cW und cM der Basiskonguration werden fur die Klap-penausschlage " = 10; 0; 10 fur eine anliegende Stromung an der Klappe inBild 30 und fur eine abgeloste Stromung in Bild 31 mit den Messungen verglichen.Mit zunehmender Klappenbelastung werden die Abweichungen zwischen den Messun-gen und der fur anliegende Stromung berechneten Beiwerte groer (Bild 30). So wirdfur " = 10 der Auftriebsanstieg und die Widerstandszunahme zu klein berechnet.Zusatzlich ist der Nickmomentenverlauf zu ach und der Ein u eines Ruderausschla-ges auf das Nullmoment wird nicht richtig wiedergegeben. Wird der Ein u der Wirbelhingegen durch die Verwendung der Saugkraftanalogie berucksichtigt, dann zeigendie berechneten Beiwerte eine erstaunlich gute Ubereinstimmung mit dem Experi-ment (Bild 31). Die geometrischen Klappenseitenkanten wirken also aerodynamischwie stark gepfeilte Flugelvorderkanten. Aus diesem Grund werden fur alle weiterenRechnungen die Seitenkanten von rechteckigen Schwanzformen in der beschriebenenWeise in geometrische Vorderkanten umgewandelt (vgl. Bild 27 und Bild 28), an denendie Saugkraftanalogie angewandt wird.In den Bildern 32 36 werden die berechneten Beiwerte fur verschieden lange Klap-pen (A, B, C), breite Klappen (AA, B, AB) und gespreizte Klappen ohne Gabelung(G, B, K und S, R, Q) und mit Gabelung (S, V , T ) fur " = 0 in Abhangigkeit vomAnstellwinkel mit Meergebnissen verglichen. Abgesehen von den bereits diskutiertenAbweichungen im Nullmoment und Nullwiderstand ist die Ubereinstimmung zwischender Theorie und dem Experiment durchweg sehr zufriedenstellend.

58 3 Losung der NachrechnungsaufgabeEin entsprechendes Bild zeigt sich bei den DerivativacA" = @cA@"cM0;" = @cM0@"cW"" = @2cW@"2 ; (3.140)die fur verschieden lange und breite, rechteckige Schwanzformen in Bild 37 uberder auf die Flugel ache FF bezogenen Kongurations ache F dargestellt sind und inBild 38 fur verschieden gespreizte Klappen uber dem Spreizungswinkel # aufgetragensind. Zur Berechnung der Derivativa werden die berechneten und die fur 10gemessenen Beiwerte pro Konguration durch die PolynomecA(; ") = a0 + a1 + a2"+ a3"+ a4"2 + a5"2cM(; ") = m0 +m1 +m2"+m3"+m4"2 +m5"2cW (; ") = w0 + w1 + w2"+ w3"+ w4"2 ++ w5"2 + w62 + w72"+ w82"2 (3.141)mittels der Methode der kleinsten Fehlerquadrate approximiert. Es wird also ange-nommen, da bei konstantem Klappenwinkel " der Auftriebsbeiwert und der Nickmo-mentenbeiwert linear und der Widerstandsbeiwert quadratisch vom Anstellwinkel abhangig sind. Fur einen konstanten Anstellwinkel wird durchweg eine quadrati-sche Abhangigkeit der Beiwerte vom Klappenwinkel " berucksichtigt. Begrundet wirddieser nichtlineare Ansatz durch die stationaren Wirbel, die bei einer ungespreiztenoder positiv gespreizten Klappe an den Klappenseitenkanten entstehen und sich uberder Klappe ausbilden. Grundsatzlich fuhren diese Wirbel auch zu einer nichtlinearenAbhangigkeit der Auftriebs- und Nickmomentenbeiwerte vom Anstellwinkel. DieseNichtlinearitat ist jedoch gering (vgl. Bild 31) und wird daher vernachlassigt. Die inBild 37 und Bild 38 dargestellten Werte entsprechen den Ableitungen der Polynome(3.141) an der Stelle = " = 0. Insgesamt wird der Ein u der Klappengeometrieauf die aerodynamischen Beiwerte durch die Theorie in sehr guter Ubereinstimmungmit dem Experiment wiedergegeben.Zusammenfassend ist festzustellen, da sich mit dem entwickelten Mehrfachtraglinien-verfahren die aerodynamischen Beiwerte von Flugeln mit Klappen in guter Uberein-stimmung mit dem Experiment vorhersagen lassen. Insbesondere die Veranderung derBeiwerte in Abhangigkeit einzelner geometrischer Parameter wird von der Theoriequalitativ und quantitativ richtig wiedergegeben.

58 3 Losung der NachrechnungsaufgabeEin entsprechendes Bild zeigt sich bei den DerivativacA" = @cA@"cM0;" = @cM0@"cW"" = @2cW@"2 ; (3.140)die fur verschieden lange und breite, rechteckige Schwanzformen in Bild 37 uberder auf die Flugel ache FF bezogenen Kongurations ache F dargestellt sind und inBild 38 fur verschieden gespreizte Klappen uber dem Spreizungswinkel # aufgetragensind. Zur Berechnung der Derivativa werden die berechneten und die fur 10gemessenen Beiwerte pro Konguration durch die PolynomecA(; ") = a0 + a1 + a2"+ a3"+ a4"2 + a5"2cM(; ") = m0 +m1 +m2"+m3"+m4"2 +m5"2cW (; ") = w0 + w1 + w2"+ w3"+ w4"2 ++ w5"2 + w62 + w72"+ w82"2 (3.141)mittels der Methode der kleinsten Fehlerquadrate approximiert. Es wird also ange-nommen, da bei konstantem Klappenwinkel " der Auftriebsbeiwert und der Nickmo-mentenbeiwert linear und der Widerstandsbeiwert quadratisch vom Anstellwinkel abhangig sind. Fur einen konstanten Anstellwinkel wird durchweg eine quadrati-sche Abhangigkeit der Beiwerte vom Klappenwinkel " berucksichtigt. Begrundet wirddieser nichtlineare Ansatz durch die stationaren Wirbel, die bei einer ungespreiztenoder positiv gespreizten Klappe an den Klappenseitenkanten entstehen und sich uberder Klappe ausbilden. Grundsatzlich fuhren diese Wirbel auch zu einer nichtlinearenAbhangigkeit der Auftriebs- und Nickmomentenbeiwerte vom Anstellwinkel. DieseNichtlinearitat ist jedoch gering (vgl. Bild 31) und wird daher vernachlassigt. Die inBild 37 und Bild 38 dargestellten Werte entsprechen den Ableitungen der Polynome(3.141) an der Stelle = " = 0. Insgesamt wird der Ein u der Klappengeometrieauf die aerodynamischen Beiwerte durch die Theorie in sehr guter Ubereinstimmungmit dem Experiment wiedergegeben.Zusammenfassend ist festzustellen, da sich mit dem entwickelten Mehrfachtraglinien-verfahren die aerodynamischen Beiwerte von Flugeln mit Klappen in guter Uberein-stimmung mit dem Experiment vorhersagen lassen. Insbesondere die Veranderung derBeiwerte in Abhangigkeit einzelner geometrischer Parameter wird von der Theoriequalitativ und quantitativ richtig wiedergegeben.

4 Untersuchungen zum Gleit ug derVogelDas entwickelte und bestatigte Verfahren wird im weiteren dazu benutzt, den Gleit- ug von Vogeln zu untersuchen. Im Vordergrund stehen hierbei die aerodynamischenund ugmechanischen Eigenschaften sowie die Flugleistungen verschieden geformterVogelkongurationen. Die Untersuchung ist auf den Bereich geordneter, stationarerStromungen beschrankt. Es werden daher nur Anstellwinkel 12 und Klappen-ausschlage 20 " 12 zugelassen. Diese Spanne von Klappenwinkeln ist zulassig,da nach Fisher [108] der Auftrieb auf dem Vogelschwanz erst bei erheblich groerenKlappenausschlagen zusammenbricht.Zur Berechnung wird der Vogel (Flugel und Vogelschwanz) durch eine ideal dunneFlache approximiert. Der Ein u des stromlinienformigenVogelrumpfes und der Flugel-dicke wird nicht berucksichtigt. Die Konguration wird fur die Anstellwinkel6 12 mit = 2 (4.1)und fur die Klappenausschlage15 " 10 mit " = 5 (4.2)berechnet. Der Reibungswiderstandsbeiwert des Vogels wird uber Gl. (3.108) fur ei-ne Reynoldszahl bestimmt. Anschlieend werden die Beiwerte mittels der Methodeder kleinsten Fehlerquadrate durch die Ausgleichspolynome cA(; "), cW (; ") undcM(; ") (Gl. (3.141)) approximiert.4.1 BewegungsgleichungenAusgangspunkt fur die ugmechanische Analyse sind die stationaren Bewegungsglei-chungen fur den Gleit ug (Hafer und Sachs [109]). Mit den im experimentellen Koordi-natensystem vorliegenden aerodynamischen Beiwerten (cA, cW , cM) und dem Abstanddes Schwerpunktes (S) vom geometrischen Neutralpunkt des Flugels (N25F)S = xS xN25F`F (4.3)

4 Untersuchungen zum Gleit ug derVogelDas entwickelte und bestatigte Verfahren wird im weiteren dazu benutzt, den Gleit- ug von Vogeln zu untersuchen. Im Vordergrund stehen hierbei die aerodynamischenund ugmechanischen Eigenschaften sowie die Flugleistungen verschieden geformterVogelkongurationen. Die Untersuchung ist auf den Bereich geordneter, stationarerStromungen beschrankt. Es werden daher nur Anstellwinkel 12 und Klappen-ausschlage 20 " 12 zugelassen. Diese Spanne von Klappenwinkeln ist zulassig,da nach Fisher [108] der Auftrieb auf dem Vogelschwanz erst bei erheblich groerenKlappenausschlagen zusammenbricht.Zur Berechnung wird der Vogel (Flugel und Vogelschwanz) durch eine ideal dunneFlache approximiert. Der Ein u des stromlinienformigenVogelrumpfes und der Flugel-dicke wird nicht berucksichtigt. Die Konguration wird fur die Anstellwinkel6 12 mit = 2 (4.1)und fur die Klappenausschlage15 " 10 mit " = 5 (4.2)berechnet. Der Reibungswiderstandsbeiwert des Vogels wird uber Gl. (3.108) fur ei-ne Reynoldszahl bestimmt. Anschlieend werden die Beiwerte mittels der Methodeder kleinsten Fehlerquadrate durch die Ausgleichspolynome cA(; "), cW (; ") undcM(; ") (Gl. (3.141)) approximiert.4.1 BewegungsgleichungenAusgangspunkt fur die ugmechanische Analyse sind die stationaren Bewegungsglei-chungen fur den Gleit ug (Hafer und Sachs [109]). Mit den im experimentellen Koordi-natensystem vorliegenden aerodynamischen Beiwerten (cA, cW , cM) und dem Abstanddes Schwerpunktes (S) vom geometrischen Neutralpunkt des Flugels (N25F)S = xS xN25F`F (4.3)

60 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelergeben sich die Bewegungsgleichungen zu (Bild 39)cW = cG sin cA = cG cos cMS = 0 = cM +S(cA cos + cW sin): (4.4)Hierbei ist der Bahnneigungswinkel, cMS der Nickmomentenbeiwert bezogen auf denSchwerpunkt der Konguration undcG = G+q+1F+F (4.5)die auf den Staudruck der Anstromung q+1 und die Flugel ache F+F bezogene Ge-wichtskraft G+ des Vogels. cG wird im weiteren Gewichtsbeiwert genannt, wobei zubeachten ist, da sich der Gewichtsbeiwert bei konstanter Flachenbelastung G+=F+Fmit der Fluggeschwindigkeit andert.Fur die ugmechanischen Untersuchung wird im weiteren angenommen, da die Ande-rungen der aerodynamischen Beiwerte mit der Fluggeschwindigkeit des Vogels geringsind und vernachlassigt werden konnen. Die Anderung des Reibungswiderstandsbei-wertes infolge der sich mit der Fluggeschwindigkeit andernden Reynoldszahl wird alsonicht berucksichtigt. Damit liegen fur einen Trimmpunkt die funf Unbekannten cG,S, ", , vor. Zu ihrer Bestimmung stehen die drei Gleichungen (4.4) zur Verfugung,so da zwei Groen vorgegeben werden konnen. Hierzu bieten sich der Gewichtsbei-wert cG und die Schwerpunktlage S an. Ein vorgegebener Gewichtsbeiwert lat sichdurch verschiedene Kombinationen von Flachenbelastung und Staudruck bzw. Flug-geschwindigkeit erreichen. Fur eine konstante Flachenbelastung (z. B. ein Vogel mitfester Geometrie) reprasentiert cG die Fluggeschwindigkeit, wobei mit steigendem cGdie Fluggeschwindigkeit kleiner wird. Die Schwerpunktlage S wird variabel vorge-geben, da sie fur einen Vogel im Gleit ug unbekannt ist. Zwar fuhrte Stegman [110]erste grundsatzliche Untersuchungen bezuglich der Schwerpunktlage bei Vogeln durch,seine qualitativen Angaben reichen jedoch fur eine ugmechanische Analyse nicht aus.Nach Vorgabe eines Gewichtsbeiwertes cG und einer angenommenen SchwerpunktlageS ergeben sich die verbliebenen drei Unbekannten ", und in Verbindung mitden Ausgleichspolynomen fur die aerodynamischen Beiwerte (Gl. (3.141)) durch eineniterativen Losungsalgorithmus anhand der drei Bewegungsgleichungen (4.4). Anschlie-end lassen sich die zu diesem Trimmpunkt gehorenden Beiwerte (cA, cW , cM) und diegewunschten Derivativa uber die Ausgleichspolynome ermitteln. Fur jede vorgegebeneSchwerpunktlage S resultiert auf diese Weise durch Variation des GewichtsbeiwertescG eine getrimmte Polare.4.2 Flugleistungen und FlugeigenschaftenAuf der Basis der berechneten Gleichgewichtszustande werden die Flugleistungen undFlugeigenschaften der VogelSchwanzAnordnung analysiert. Von den Flugleistungen

60 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelergeben sich die Bewegungsgleichungen zu (Bild 39)cW = cG sin cA = cG cos cMS = 0 = cM +S(cA cos + cW sin): (4.4)Hierbei ist der Bahnneigungswinkel, cMS der Nickmomentenbeiwert bezogen auf denSchwerpunkt der Konguration undcG = G+q+1F+F (4.5)die auf den Staudruck der Anstromung q+1 und die Flugel ache F+F bezogene Ge-wichtskraft G+ des Vogels. cG wird im weiteren Gewichtsbeiwert genannt, wobei zubeachten ist, da sich der Gewichtsbeiwert bei konstanter Flachenbelastung G+=F+Fmit der Fluggeschwindigkeit andert.Fur die ugmechanischen Untersuchung wird im weiteren angenommen, da die Ande-rungen der aerodynamischen Beiwerte mit der Fluggeschwindigkeit des Vogels geringsind und vernachlassigt werden konnen. Die Anderung des Reibungswiderstandsbei-wertes infolge der sich mit der Fluggeschwindigkeit andernden Reynoldszahl wird alsonicht berucksichtigt. Damit liegen fur einen Trimmpunkt die funf Unbekannten cG,S, ", , vor. Zu ihrer Bestimmung stehen die drei Gleichungen (4.4) zur Verfugung,so da zwei Groen vorgegeben werden konnen. Hierzu bieten sich der Gewichtsbei-wert cG und die Schwerpunktlage S an. Ein vorgegebener Gewichtsbeiwert lat sichdurch verschiedene Kombinationen von Flachenbelastung und Staudruck bzw. Flug-geschwindigkeit erreichen. Fur eine konstante Flachenbelastung (z. B. ein Vogel mitfester Geometrie) reprasentiert cG die Fluggeschwindigkeit, wobei mit steigendem cGdie Fluggeschwindigkeit kleiner wird. Die Schwerpunktlage S wird variabel vorge-geben, da sie fur einen Vogel im Gleit ug unbekannt ist. Zwar fuhrte Stegman [110]erste grundsatzliche Untersuchungen bezuglich der Schwerpunktlage bei Vogeln durch,seine qualitativen Angaben reichen jedoch fur eine ugmechanische Analyse nicht aus.Nach Vorgabe eines Gewichtsbeiwertes cG und einer angenommenen SchwerpunktlageS ergeben sich die verbliebenen drei Unbekannten ", und in Verbindung mitden Ausgleichspolynomen fur die aerodynamischen Beiwerte (Gl. (3.141)) durch eineniterativen Losungsalgorithmus anhand der drei Bewegungsgleichungen (4.4). Anschlie-end lassen sich die zu diesem Trimmpunkt gehorenden Beiwerte (cA, cW , cM) und diegewunschten Derivativa uber die Ausgleichspolynome ermitteln. Fur jede vorgegebeneSchwerpunktlage S resultiert auf diese Weise durch Variation des GewichtsbeiwertescG eine getrimmte Polare.4.2 Flugleistungen und FlugeigenschaftenAuf der Basis der berechneten Gleichgewichtszustande werden die Flugleistungen undFlugeigenschaften der VogelSchwanzAnordnung analysiert. Von den Flugleistungen

4.2 Flugleistungen und Flugeigenschaften 61wird die Gleitzahl EE = 1tan = cAcW (4.6)und die dimensionslose Sinkgeschwindigkeitwg = w+gp2G+=%+F+F (4.7)anhand vonwg = cWcA 32 11 + cWcA 2 34 (4.8)fur verschiedene Schwerpunktlagen und Gewichtsbeiwerte berechnet. Zusatzlich wirddas Verhalten des maximalen Auftriebsbeiwertes cAmax in Abhangigkeit von derSchwanzgeometrie und vom Ruderausschlag " analysiert.Von den Flugeigenschaften werden die statische Langsstabilitat, der Ruderweg und dieRuderwirksamkeit untersucht. Bei der statischen Langsstabilitat wird zwischen einernaturlichen und einer kunstlichen Stabilitat unterschieden. Naturliche Stabilitat liegtvor, wenn bei einer Storung zum Beispiel im Anstellwinkel die Aerodynamik der Kon-guration ein Nickmoment um den Schwerpunkt erzeugt, das die Storung ruckgangig zumachen versucht. Im Gegensatz hierzu entsteht bei einer statisch instabilen Kongu-ration ein die Storung vergroerndes Nickmoment. Damit eine instabile Kongurationdennoch stationar in einem Trimmpunkt iegen kann, mussen Storungen aktiv (z. B.durch Ruderausschlage) ausgeglichen werden. Die instabile Konguration mu kunst-lich stabilisiert werden. Im weiteren wird davon ausgegangen, da auch ein instabilerVogel stationar in einem Trimmpunkt iegen kann. Es wird also vorausgesetzt, da einVogel uber Mechanismen verfugt, Storungen fruhzeitig zu erkennen und aktiv auszu-steuern. Die Funktionsweise dieser kunstlichen Stabilisierung wird jedoch nicht weiteruntersucht.Als Ma fur die statische Langsstabilitat dient der NickmomentengradientcMS; = cM +ScA; (4.9)wobei die DerivativacM = @cM@cA = @cA@ (4.10)anhand der Ausgleichspolynome (3.141) berechnet werden konnen. Aufgrund desschwanzlastig positiv denierten Nickmomentes lassen sich die ZuordnungencMS;< 0 stabilcMS;= 0 indierent (4.11)cMS;> 0 instabiltreen.

4.2 Flugleistungen und Flugeigenschaften 61wird die Gleitzahl EE = 1tan = cAcW (4.6)und die dimensionslose Sinkgeschwindigkeitwg = w+gp2G+=%+F+F (4.7)anhand vonwg = cWcA 32 11 + cWcA 234 (4.8)fur verschiedene Schwerpunktlagen und Gewichtsbeiwerte berechnet. Zusatzlich wirddas Verhalten des maximalen Auftriebsbeiwertes cAmax in Abhangigkeit von derSchwanzgeometrie und vom Ruderausschlag " analysiert.Von den Flugeigenschaften werden die statische Langsstabilitat, der Ruderweg und dieRuderwirksamkeit untersucht. Bei der statischen Langsstabilitat wird zwischen einernaturlichen und einer kunstlichen Stabilitat unterschieden. Naturliche Stabilitat liegtvor, wenn bei einer Storung zum Beispiel im Anstellwinkel die Aerodynamik der Kon-guration ein Nickmoment um den Schwerpunkt erzeugt, das die Storung ruckgangig zumachen versucht. Im Gegensatz hierzu entsteht bei einer statisch instabilen Kongu-ration ein die Storung vergroerndes Nickmoment. Damit eine instabile Kongurationdennoch stationar in einem Trimmpunkt iegen kann, mussen Storungen aktiv (z. B.durch Ruderausschlage) ausgeglichen werden. Die instabile Konguration mu kunst-lich stabilisiert werden. Im weiteren wird davon ausgegangen, da auch ein instabilerVogel stationar in einem Trimmpunkt iegen kann. Es wird also vorausgesetzt, da einVogel uber Mechanismen verfugt, Storungen fruhzeitig zu erkennen und aktiv auszu-steuern. Die Funktionsweise dieser kunstlichen Stabilisierung wird jedoch nicht weiteruntersucht.Als Ma fur die statische Langsstabilitat dient der NickmomentengradientcMS; = cM +ScA; (4.9)wobei die DerivativacM = @cM@cA = @cA@ (4.10)anhand der Ausgleichspolynome (3.141) berechnet werden konnen. Aufgrund desschwanzlastig positiv denierten Nickmomentes lassen sich die ZuordnungencMS;< 0 stabilcMS;= 0 indierent (4.11)cMS;> 0 instabiltreen.

62 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelDie Langsstabilitat einer Konguration ist entsprechend Gl. (4.9) von der Schwer-punktlage abhangig. Je groer S ist, je weiter also der Schwerpunkt hinter demgeometrischen Neutralpunkt des Flugels liegt, desto groer wird der Nickmomenten-gradient cMS; und damit die Instabilitat. Um den Ein u der Kongurationsgeome-trie auf die Langsstabilitat zu untersuchen, mu der Schwerpunkt daher bei den zuvergleichenden FlugelSchwanzAnordnungen in der gleichen Position liegen. Hierzuwird im weiteren der geometrische Neutralpunkt des Flugels gewahlt, so daS = 0 (4.12)und cMS; = cM (4.13)ist.In anschaulicher Weise lat sich die Langsstabilitat einer Konguration auch mittelsdes aerodynamischen Neutralpunktes beschreiben. Der aerodynamische Neutralpunktist der Punkt, auf den bezogen das aerodynamische Nickmoment unabhangig vomAnstellwinkel ist. Entsprechend dieser Denition greift der Auftrieb infolge einer An-stellwinkelstorung im aerodynamischen Neutralpunkt an. Liegt der aerodynamischeNeutralpunkt hinter dem Schwerpunkt, dann fuhrt der Zusatzauftrieb zu einem ruck-drehenden Nickmoment um den Schwerpunkt. Die Konguration ist statisch langssta-bil. Liegt der aerodynamische Neutralpunkt vor dem Schwerpunkt, dann verursachtder im Neutralpunkt angreifende Zusatzauftrieb ein die Storung vergroerndes Nick-moment. Die Konguration ist instabil.Unter der Annahme kleiner Winkel und Vernachlassigung der Anteile des Widerstan-des am Nickmoment berechnet sich der aerodynamische Neutralpunkt anhand vonN = xN xN25F`F = cMcA : (4.14)In Verbindung mit dem zuvor Gesagten gelten demnach die ZuordnungenNS = N S = xN xS`F > 0 stabilNS = 0 indierent (4.15)NS < 0 instabil:Fur eine vergleichende Diskussion der statischen Langsstabilitat verschiedener Kon-gurationen ist der aerodynamische Neutralpunkt jedoch nur eingeschrankt zu gebrau-chen. Der Grund hierfur liegt darin, da der aerodynamische Neutralpunkt zwar denAngrispunkt des Zusatzauftriebes infolge einer Anstellwinkelstorung kennzeichnet,uber den Betrag der dort angreifenden Kraft aber keine Auskunft gibt. Die Groedes Nickmomentes, das infolge der Storung um den Schwerpunkt entsteht, kann folg-lich nicht allein an der Lage des aerodynamischen Neutralpunktes abgelesen werden.

62 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelDie Langsstabilitat einer Konguration ist entsprechend Gl. (4.9) von der Schwer-punktlage abhangig. Je groer S ist, je weiter also der Schwerpunkt hinter demgeometrischen Neutralpunkt des Flugels liegt, desto groer wird der Nickmomenten-gradient cMS; und damit die Instabilitat. Um den Ein u der Kongurationsgeome-trie auf die Langsstabilitat zu untersuchen, mu der Schwerpunkt daher bei den zuvergleichenden FlugelSchwanzAnordnungen in der gleichen Position liegen. Hierzuwird im weiteren der geometrische Neutralpunkt des Flugels gewahlt, so daS = 0 (4.12)und cMS; = cM (4.13)ist.In anschaulicher Weise lat sich die Langsstabilitat einer Konguration auch mittelsdes aerodynamischen Neutralpunktes beschreiben. Der aerodynamische Neutralpunktist der Punkt, auf den bezogen das aerodynamische Nickmoment unabhangig vomAnstellwinkel ist. Entsprechend dieser Denition greift der Auftrieb infolge einer An-stellwinkelstorung im aerodynamischen Neutralpunkt an. Liegt der aerodynamischeNeutralpunkt hinter dem Schwerpunkt, dann fuhrt der Zusatzauftrieb zu einem ruck-drehenden Nickmoment um den Schwerpunkt. Die Konguration ist statisch langssta-bil. Liegt der aerodynamische Neutralpunkt vor dem Schwerpunkt, dann verursachtder im Neutralpunkt angreifende Zusatzauftrieb ein die Storung vergroerndes Nick-moment. Die Konguration ist instabil.Unter der Annahme kleiner Winkel und Vernachlassigung der Anteile des Widerstan-des am Nickmoment berechnet sich der aerodynamische Neutralpunkt anhand vonN = xN xN25F`F = cMcA : (4.14)In Verbindung mit dem zuvor Gesagten gelten demnach die ZuordnungenNS = N S = xN xS`F > 0 stabilNS = 0 indierent (4.15)NS < 0 instabil:Fur eine vergleichende Diskussion der statischen Langsstabilitat verschiedener Kon-gurationen ist der aerodynamische Neutralpunkt jedoch nur eingeschrankt zu gebrau-chen. Der Grund hierfur liegt darin, da der aerodynamische Neutralpunkt zwar denAngrispunkt des Zusatzauftriebes infolge einer Anstellwinkelstorung kennzeichnet,uber den Betrag der dort angreifenden Kraft aber keine Auskunft gibt. Die Groedes Nickmomentes, das infolge der Storung um den Schwerpunkt entsteht, kann folg-lich nicht allein an der Lage des aerodynamischen Neutralpunktes abgelesen werden.

4.2 Flugleistungen und Flugeigenschaften 63Lediglich fur den Sonderfall, da die Auftriebsanstiege cA der zu vergleichenden Kon-gurationen nahezu gleich sind, ist die Diskussion der statischen Langsstabilitat aufBasis des Neutralpunktes sinnvoll.Als eine weitere Flugeigenschaft wird der Ruderweg behandelt. Der Ruderweg ent-spricht der Dierenz der statischen Ruderstellungen, die fur eine Schwerpunktlage zuzwei getrimmten Flugzustanden gehoren. Die Groe des Ruderweges wird durch denGradienten @"=@cG beschrieben.Eng gekoppelt ist der Ruderweg mit der statischen Langsstabilitat. Eine stabile Kon-guration besitzt ein negatives Nickmomentenderivativ cMS;. Eine Anstellwinkelver-groerung, die gleichbedeutend mit einer Zunahme des Auftriebsbeiwertes bzw. einerAbnahme der Fluggeschwindigkeit ist, verursacht demzufolge bei einer stabilen Kon-guration ein kop astiges Nickmoment um den Schwerpunkt. Zum Ausgleich diesesMomentes ist in der Regel eine in Richtung "ziehen\ (" < 0) veranderte Ruder-stellung erforderlich. Der Ruderweg einer stabilen Konguration ist demnach negativ.Im Falle einer instabilen Konguration fuhrt eine Anstellwinkelvergroerung hinge-gen zu einem schwanzlastigen Nickmoment. Zum Ausgleich dieses Momentes ist einein Richtung "drucken\ (" > 0) veranderte Ruderstellung erforderlich, weshalb derRuderweg einer instabilen Konguration positiv ist. Auch an der Groe des Deriva-tivs @"=@cG lat sich demnach die Langsstabilitat einer Konguration ablesen, wobeidie Anordnung fur @"=@cG = 0 indierent ist. In diesem Fall gehort zu jeder Flugge-schwindigkeit die gleiche Ruderstellung.Nicht verwechselt werden darf der Ruderweg mit der Ruderwirksamkeit, die uber dieRudergradientencA" = @cA@"cW" = @cW@" (4.16)und cMS;" = cM0;" NScA" cAN" (4.17)berechnet wird. Hierbei kennzeichnetcM0;" = @cM0@" (4.18)die Anderung des Nullmomentes cM0 undN" = @N@" = @@" cMcA (4.19)die Verschiebung des aerodynamischen Neutralpunktes infolge eines Ruderausschlages.Im allgemeinen ist die Neutralpunktverschiebung durch einen Ruderausschlag gering,so da in Gleichung (4.17) N" = 0 gesetzt werden kann. Die Ruderwirksamkeit

4.2 Flugleistungen und Flugeigenschaften 63Lediglich fur den Sonderfall, da die Auftriebsanstiege cA der zu vergleichenden Kon-gurationen nahezu gleich sind, ist die Diskussion der statischen Langsstabilitat aufBasis des Neutralpunktes sinnvoll.Als eine weitere Flugeigenschaft wird der Ruderweg behandelt. Der Ruderweg ent-spricht der Dierenz der statischen Ruderstellungen, die fur eine Schwerpunktlage zuzwei getrimmten Flugzustanden gehoren. Die Groe des Ruderweges wird durch denGradienten @"=@cG beschrieben.Eng gekoppelt ist der Ruderweg mit der statischen Langsstabilitat. Eine stabile Kon-guration besitzt ein negatives Nickmomentenderivativ cMS;. Eine Anstellwinkelver-groerung, die gleichbedeutend mit einer Zunahme des Auftriebsbeiwertes bzw. einerAbnahme der Fluggeschwindigkeit ist, verursacht demzufolge bei einer stabilen Kon-guration ein kop astiges Nickmoment um den Schwerpunkt. Zum Ausgleich diesesMomentes ist in der Regel eine in Richtung "ziehen\ (" < 0) veranderte Ruder-stellung erforderlich. Der Ruderweg einer stabilen Konguration ist demnach negativ.Im Falle einer instabilen Konguration fuhrt eine Anstellwinkelvergroerung hinge-gen zu einem schwanzlastigen Nickmoment. Zum Ausgleich dieses Momentes ist einein Richtung "drucken\ (" > 0) veranderte Ruderstellung erforderlich, weshalb derRuderweg einer instabilen Konguration positiv ist. Auch an der Groe des Deriva-tivs @"=@cG lat sich demnach die Langsstabilitat einer Konguration ablesen, wobeidie Anordnung fur @"=@cG = 0 indierent ist. In diesem Fall gehort zu jeder Flugge-schwindigkeit die gleiche Ruderstellung.Nicht verwechselt werden darf der Ruderweg mit der Ruderwirksamkeit, die uber dieRudergradientencA" = @cA@"cW" = @cW@" (4.16)und cMS;" = cM0;" NScA" cAN" (4.17)berechnet wird. Hierbei kennzeichnetcM0;" = @cM0@" (4.18)die Anderung des Nullmomentes cM0 undN" = @N@" = @@" cMcA (4.19)die Verschiebung des aerodynamischen Neutralpunktes infolge eines Ruderausschlages.Im allgemeinen ist die Neutralpunktverschiebung durch einen Ruderausschlag gering,so da in Gleichung (4.17) N" = 0 gesetzt werden kann. Die Ruderwirksamkeit

64 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogeleiner Konguration ist dann unabhangig vom Trimmpunkt und lat sich anhand derGradienten cA", cW" und cM0;" beschreiben.Grundsatzlich geben die Rudergradienten Auskunft uber die Groe der Krafte undMomente, die infolge eines Ruderausschlages hervorgerufen werden. Diese Krafte undMomente fuhren dann unmittelbar zu einer Translations- und Drehbeschleunigungder Konguration und leiten damit die Anderung eines stationaren Trimmpunktes einoder wirken einer Storung entgegen (kunstliche Stabilisierung).Im Zusammenhang mit der Ruderwirksamkeit ist die Einfuhrung des Neutralpunktesder Ruderbewegung hilfreich. Der Neutralpunkt der Ruderbewegung ist der Punkt,auf den bezogen das Nickmoment unabhangig vom Ruderausschlag " ist. Der Zusatz-auftrieb infolge eines Ruderausschlages greift demnach in diesem Punkt an. Unterder Annahme kleiner Winkel und der Vernachlassigung der Anteile des Widerstandesergibt sich der Neutralpunkt der Ruderbewegung " anhand von" = x" xN25F`F = cM"cA" ; (4.20)wobeicM" = @cM@" (4.21)ist. Liegt der Neutralpunkt der Ruderbewegung hinter dem geometrischen Neutral-punkt des Flugels, dann ist " positiv.Zur Verdeutlichung der Zusammenhange zwischen der Ruderwirksamkeit und demRuderweg wird im weiteren die Anderung eines Trimmpunktes fur eine stabile, indif-ferente und naturlich instabile Konguration qualitativ beschrieben (Bild 40). Hierbeiwerden eventuell vorhandene dynamische Vorgange nicht berucksichtigt. Es wird derFall betrachtet, bei dem der neue Trimmpunkt bei einer geringeren Fluggeschwin-digkeit, also bei einem groeren cA bzw. cG liegt. Fur die Ruderwirksamkeit wirdangenommen, da cMS;" < 0 und cA" > 0 ist. Dies entspricht der Wirksamkeit desHohenruders an einem konventionellen Flugzeug, wobei Ausschlage nach unten posi-tiv zahlen.Bei einer stabilen Konguration mu das Ruder zur Verringerung der Fluggeschwin-digkeit in Richtung "ziehen\ (" < 0) ausgeschlagen werden. Durch die sprunghafteVeranderung der Ruderstellung von zum Beispiel " = 0 auf " = 5 entsteht einschwanzlastiges Nickmoment um den Schwerpunkt (cMS;" < 0), und der Auftrieb wirdkleiner (cA" > 0). Die Auftriebsanderung ist also zunachst entgegen der gewunschtenRichtung. Aufgrund der Lasten richtet sich die Konguration auf und sackt geringfugigdurch. Mit der Drehbewegung wird der Anstellwinkel und damit auch der Auftriebgroer. Gleichzeitig wird das Nickmoment, das die Anderung des Gleichgewichtszu-standes bewirkt, infolge der Stabilitat schwacher, bis es im neuen Trimmpunkt zu Nullwird. Die Stabilitat verzogert demnach die Anderung des Trimmpunktes. Gegenuberder Ausgangssituation gehort zu dem neuen Trimmpunkt eine in Richtung "ziehen\veranderte Ruderstellung. Der Ruderweg der stabilen Konguration ist daher negativ.

64 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogeleiner Konguration ist dann unabhangig vom Trimmpunkt und lat sich anhand derGradienten cA", cW" und cM0;" beschreiben.Grundsatzlich geben die Rudergradienten Auskunft uber die Groe der Krafte undMomente, die infolge eines Ruderausschlages hervorgerufen werden. Diese Krafte undMomente fuhren dann unmittelbar zu einer Translations- und Drehbeschleunigungder Konguration und leiten damit die Anderung eines stationaren Trimmpunktes einoder wirken einer Storung entgegen (kunstliche Stabilisierung).Im Zusammenhang mit der Ruderwirksamkeit ist die Einfuhrung des Neutralpunktesder Ruderbewegung hilfreich. Der Neutralpunkt der Ruderbewegung ist der Punkt,auf den bezogen das Nickmoment unabhangig vom Ruderausschlag " ist. Der Zusatz-auftrieb infolge eines Ruderausschlages greift demnach in diesem Punkt an. Unterder Annahme kleiner Winkel und der Vernachlassigung der Anteile des Widerstandesergibt sich der Neutralpunkt der Ruderbewegung " anhand von" = x" xN25F`F = cM"cA" ; (4.20)wobeicM" = @cM@" (4.21)ist. Liegt der Neutralpunkt der Ruderbewegung hinter dem geometrischen Neutral-punkt des Flugels, dann ist " positiv.Zur Verdeutlichung der Zusammenhange zwischen der Ruderwirksamkeit und demRuderweg wird im weiteren die Anderung eines Trimmpunktes fur eine stabile, indif-ferente und naturlich instabile Konguration qualitativ beschrieben (Bild 40). Hierbeiwerden eventuell vorhandene dynamische Vorgange nicht berucksichtigt. Es wird derFall betrachtet, bei dem der neue Trimmpunkt bei einer geringeren Fluggeschwin-digkeit, also bei einem groeren cA bzw. cG liegt. Fur die Ruderwirksamkeit wirdangenommen, da cMS;" < 0 und cA" > 0 ist. Dies entspricht der Wirksamkeit desHohenruders an einem konventionellen Flugzeug, wobei Ausschlage nach unten posi-tiv zahlen.Bei einer stabilen Konguration mu das Ruder zur Verringerung der Fluggeschwin-digkeit in Richtung "ziehen\ (" < 0) ausgeschlagen werden. Durch die sprunghafteVeranderung der Ruderstellung von zum Beispiel " = 0 auf " = 5 entsteht einschwanzlastiges Nickmoment um den Schwerpunkt (cMS;" < 0), und der Auftrieb wirdkleiner (cA" > 0). Die Auftriebsanderung ist also zunachst entgegen der gewunschtenRichtung. Aufgrund der Lasten richtet sich die Konguration auf und sackt geringfugigdurch. Mit der Drehbewegung wird der Anstellwinkel und damit auch der Auftriebgroer. Gleichzeitig wird das Nickmoment, das die Anderung des Gleichgewichtszu-standes bewirkt, infolge der Stabilitat schwacher, bis es im neuen Trimmpunkt zu Nullwird. Die Stabilitat verzogert demnach die Anderung des Trimmpunktes. Gegenuberder Ausgangssituation gehort zu dem neuen Trimmpunkt eine in Richtung "ziehen\veranderte Ruderstellung. Der Ruderweg der stabilen Konguration ist daher negativ.

4.3 Flugel ohne Steuer ache 65Auch bei einer indierenten Konguration mu das Ruder fur die geforderte Trimm-punktanderung in Richtung "ziehen\ ausgeschlagen werden, worauf primar ein auf-richtendes Nickmoment entsteht. Infolge der Drehbewegung der Konguration wachstder Anstellwinkel an. Da das Moment mit wachsendem Anstellwinkel konstant bleibt(cMS; = 0), reicht im Vergleich zu einer stabilen Konguration ein kleinerer Ru-derausschlag aus. Zum Einnehmen des neuen Trimmpunktes mu der Ruderausschlagzuruckgenommen werden, so da anschlieend die Ruderstellung wieder mit derjenigendes Ausgangszustandes ubereinstimmt. Der Ruderweg einer indierenten Kongura-tion ist demnach gleich Null.Ausgangspunkt der naturlich instabilen Konguration ist ein kunstlich stabilisier-ter Trimmpunkt. Wie bei den zuvor diskutierten Fallen erfolgt zur Einleitung derTrimmpunktanderung ein Ruderausschlag in Richtung "ziehen\ (" < 0). Dieser Aus-schlag kann jedoch deutlich kleiner sein, als fur die zuvor beschriebenen Konguratio-nen, da das aufrichtende Nickmoment infolge der Instabilitat automatisch anwachst(cMS; > 0). Die Instabilitat unterstutzt also eine zugige Anderung des Trimmpunk-tes. Durch die Drehbewegung wird der Anstellwinkel und damit der Auftrieb groer.Die Konguration gelangt jedoch nicht automatisch in einen neuen stationaren Zu-stand. Dieser kann nur durch einen Ruderausschlag in Richtung "drucken\ (" > 0)eingenommen werden, wobei der Ausschlag deutlich groer sein mu als derjenige zumEinleiten der Trimmpunktanderung. Durch diesen positiven Ruderausschlag wird dieaufrichtende Drehbewegung der Konguration beendet und gleichzeitig der Auftriebvergroert. Die Ruderwirksamkeit cA" > 0 unterstutzt demnach bei einer instabilenKonguration eine Trimmpunktanderung. Infolge der im neuen Trimmpunkt in Rich-tung "drucken\ veranderten Ruderstellung ist der Ruderweg einer instabilen Kongu-ration positiv. Der neue Trimmpunkt mu dann wieder kunstlich stabilisiert werden.Instabile Flugzeuge bzw. Vogel sind daher im Vergleich zu stabilen Kongurationenwendiger.4.3 Flugel ohne Steuer acheDer Basis ugel fur die folgenden Untersuchungen ist der bereits zur Uberprufung derTheorie verwendete Rechteck ugel, der eine Streckung = 5 und ein NACA 3400Skelettprol besitzt. Die fur eine Reynoldszahl von Re = 370 000 berechneten Bei-werte sind in Bild 29 zusammen mit Meergebnissen als Funktion des Anstellwinkelsdargestellt. Fur den Flugel ohne Steuer ache sind die aerodynamischen Beiwerte ohneund mit Stern identisch. Die anschlieende ugmechanische Analyse ndet auf Basisder berechneten Beiwerte statt. Wie bereits ausgefuhrt, werden hierbei die Anderun-gen der aerodynamischen Beiwerte mit der Fluggeschwindigkeit des Vogels, also mitder Reynoldszahl, als gering angesehen und vernachlassigt.Erwartungsgema ist der Auftriebs- und Nickmomentenbeiwert linear und der Wi-derstandsbeiwert nichtlinear vom Anstellwinkel abhangig. Aufgrund der positivenWolbung besitzt der Flugel einen negativen Nullauftriebswinkel (0 < 0) und ein

4.3 Flugel ohne Steuer ache 65Auch bei einer indierenten Konguration mu das Ruder fur die geforderte Trimm-punktanderung in Richtung "ziehen\ ausgeschlagen werden, worauf primar ein auf-richtendes Nickmoment entsteht. Infolge der Drehbewegung der Konguration wachstder Anstellwinkel an. Da das Moment mit wachsendem Anstellwinkel konstant bleibt(cMS; = 0), reicht im Vergleich zu einer stabilen Konguration ein kleinerer Ru-derausschlag aus. Zum Einnehmen des neuen Trimmpunktes mu der Ruderausschlagzuruckgenommen werden, so da anschlieend die Ruderstellung wieder mit derjenigendes Ausgangszustandes ubereinstimmt. Der Ruderweg einer indierenten Kongura-tion ist demnach gleich Null.Ausgangspunkt der naturlich instabilen Konguration ist ein kunstlich stabilisier-ter Trimmpunkt. Wie bei den zuvor diskutierten Fallen erfolgt zur Einleitung derTrimmpunktanderung ein Ruderausschlag in Richtung "ziehen\ (" < 0). Dieser Aus-schlag kann jedoch deutlich kleiner sein, als fur die zuvor beschriebenen Konguratio-nen, da das aufrichtende Nickmoment infolge der Instabilitat automatisch anwachst(cMS; > 0). Die Instabilitat unterstutzt also eine zugige Anderung des Trimmpunk-tes. Durch die Drehbewegung wird der Anstellwinkel und damit der Auftrieb groer.Die Konguration gelangt jedoch nicht automatisch in einen neuen stationaren Zu-stand. Dieser kann nur durch einen Ruderausschlag in Richtung "drucken\ (" > 0)eingenommen werden, wobei der Ausschlag deutlich groer sein mu als derjenige zumEinleiten der Trimmpunktanderung. Durch diesen positiven Ruderausschlag wird dieaufrichtende Drehbewegung der Konguration beendet und gleichzeitig der Auftriebvergroert. Die Ruderwirksamkeit cA" > 0 unterstutzt demnach bei einer instabilenKonguration eine Trimmpunktanderung. Infolge der im neuen Trimmpunkt in Rich-tung "drucken\ veranderten Ruderstellung ist der Ruderweg einer instabilen Kongu-ration positiv. Der neue Trimmpunkt mu dann wieder kunstlich stabilisiert werden.Instabile Flugzeuge bzw. Vogel sind daher im Vergleich zu stabilen Kongurationenwendiger.4.3 Flugel ohne Steuer acheDer Basis ugel fur die folgenden Untersuchungen ist der bereits zur Uberprufung derTheorie verwendete Rechteck ugel, der eine Streckung = 5 und ein NACA 3400Skelettprol besitzt. Die fur eine Reynoldszahl von Re = 370 000 berechneten Bei-werte sind in Bild 29 zusammen mit Meergebnissen als Funktion des Anstellwinkelsdargestellt. Fur den Flugel ohne Steuer ache sind die aerodynamischen Beiwerte ohneund mit Stern identisch. Die anschlieende ugmechanische Analyse ndet auf Basisder berechneten Beiwerte statt. Wie bereits ausgefuhrt, werden hierbei die Anderun-gen der aerodynamischen Beiwerte mit der Fluggeschwindigkeit des Vogels, also mitder Reynoldszahl, als gering angesehen und vernachlassigt.Erwartungsgema ist der Auftriebs- und Nickmomentenbeiwert linear und der Wi-derstandsbeiwert nichtlinear vom Anstellwinkel abhangig. Aufgrund der positivenWolbung besitzt der Flugel einen negativen Nullauftriebswinkel (0 < 0) und ein

66 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelkop astiges Nullmoment (cM0 < 0). Mit wachsendem Anstellwinkel wird das auf dengeometrischen Neutralpunkt des Flugels bezogene Nickmoment schwanzlastiger. Deraerodynamische Neutralpunkt liegt kurz vor dem geometrischen Neutralpunkt beiN = 0; 01.Da der Flugel keine Steuer ache besitzt, reduziert sich die Anzahl der Unbekanntenzur Bestimmung der stationaren Trimmpunkte auf die vier Groen cG, S, , .Bei Vorgabe einer Schwerpunktlage S ist daher nur ein stationarer Trimmpunkter iegbar, der sich aus den drei Bewegungsgleichungen (4.4) berechnet. Die zu ei-ner Schwerpunktlage gehorende getrimmte Polare entartet auf diese Weise zu einemPunkt.In Bild 41 sind fur verschiedene Schwerpunktlagen S die erreichbaren Flugleistun-gen (Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg) und als Ma fur die statische Langsstabi-litat der Abstand NS (positiv = stabil) uber dem Gewichtsbeiwert cG aufgetragen.Da der aerodynamische und der geometrische Neutralpunkt sehr eng zusammenliegen,gilt S NS.Die Gleitzahl und die Sinkgeschwindigkeit zeigen einen typischen Verlauf. Ausgehendvom Sturz ug (kleiner Gewichtsbeiwert) werden die Flugleistungen mit abnehmenderFluggeschwindigkeit gunstiger, bis zuerst die Gleitzahl bei cG = 0; 43 das Maximumvon E = 18 erreicht und anschlieend die Sinkgeschwindigkeit bei cG = 0; 75 mitwgmin = 0; 074 minimal wird. Fur einen Flug mit der maximalen Gleitzahl mu derSchwerpunkt bei S = 0; 16 liegen und fur den Gleit ug mit minimaler Sinkge-schwindigkeit bei S = 0; 09. Generell sind nur instabile Fluglagen (NS < 0)austrimmbar, wobei die Instabilitat mit abnehmender Fluggeschwindigkeit, also mitwachsendem Gewichtsbeiwert, kleiner wird.Die am Flugel angreifenden Lasten lassen sich in guter Naherung zu einem frei-en Nullmoment und einem im aerodynamischen Neutralpunkt angreifenden Auftriebzusammenfassen. Damit das resultierende Moment um den Schwerpunkt in einemTrimmpunkt zu Null werden kann, mu der im Neutralpunkt angreifende Auftriebdas kop astige Nullmoment des Flugels kompensieren. Fur positive Gewichtsbeiwer-te sind demzufolge nur Schwerpunktlagen hinter dem aerodynamischen Neutralpunktmoglich. Alle Gleichgewichtszustande des Flugels sind daher instabil. Diese Instabilitatist im Sturz ug am groten und wird mit wachsendem Gewichts- bzw. Auftriebsbei-wert kleiner. Der zum Ausgleich des Nullmomentes benotigte Hebelarm jNSj kannmit wachsendem Auftrieb kleiner werden. Im Grenzfall sehr groer Auftriebsbeiwertestrebt der Abstand gegen Null, so da die Konguration bezuglich der Langsstabilitatindierent wird. In der Praxis tritt dieser Fall jedoch nicht ein, da zuvor das Auftriebs-maximum erreicht wird. Diese Grenze kann jedoch mit dem vorgestellten Verfahrennicht berechnet werden.Ein u des ReibungswiderstandsbeiwertesDer Reibungswiderstandsbeiwert eines Vogels lat sich nur sehr schwer genau berech-nen. In dem vorliegenden Verfahren werden daher zur Ermittlung dieses Beiwertes

66 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelkop astiges Nullmoment (cM0 < 0). Mit wachsendem Anstellwinkel wird das auf dengeometrischen Neutralpunkt des Flugels bezogene Nickmoment schwanzlastiger. Deraerodynamische Neutralpunkt liegt kurz vor dem geometrischen Neutralpunkt beiN = 0; 01.Da der Flugel keine Steuer ache besitzt, reduziert sich die Anzahl der Unbekanntenzur Bestimmung der stationaren Trimmpunkte auf die vier Groen cG, S, , .Bei Vorgabe einer Schwerpunktlage S ist daher nur ein stationarer Trimmpunkter iegbar, der sich aus den drei Bewegungsgleichungen (4.4) berechnet. Die zu ei-ner Schwerpunktlage gehorende getrimmte Polare entartet auf diese Weise zu einemPunkt.In Bild 41 sind fur verschiedene Schwerpunktlagen S die erreichbaren Flugleistun-gen (Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg) und als Ma fur die statische Langsstabi-litat der Abstand NS (positiv = stabil) uber dem Gewichtsbeiwert cG aufgetragen.Da der aerodynamische und der geometrische Neutralpunkt sehr eng zusammenliegen,gilt S NS.Die Gleitzahl und die Sinkgeschwindigkeit zeigen einen typischen Verlauf. Ausgehendvom Sturz ug (kleiner Gewichtsbeiwert) werden die Flugleistungen mit abnehmenderFluggeschwindigkeit gunstiger, bis zuerst die Gleitzahl bei cG = 0; 43 das Maximumvon E = 18 erreicht und anschlieend die Sinkgeschwindigkeit bei cG = 0; 75 mitwgmin = 0; 074 minimal wird. Fur einen Flug mit der maximalen Gleitzahl mu derSchwerpunkt bei S = 0; 16 liegen und fur den Gleit ug mit minimaler Sinkge-schwindigkeit bei S = 0; 09. Generell sind nur instabile Fluglagen (NS < 0)austrimmbar, wobei die Instabilitat mit abnehmender Fluggeschwindigkeit, also mitwachsendem Gewichtsbeiwert, kleiner wird.Die am Flugel angreifenden Lasten lassen sich in guter Naherung zu einem frei-en Nullmoment und einem im aerodynamischen Neutralpunkt angreifenden Auftriebzusammenfassen. Damit das resultierende Moment um den Schwerpunkt in einemTrimmpunkt zu Null werden kann, mu der im Neutralpunkt angreifende Auftriebdas kop astige Nullmoment des Flugels kompensieren. Fur positive Gewichtsbeiwer-te sind demzufolge nur Schwerpunktlagen hinter dem aerodynamischen Neutralpunktmoglich. Alle Gleichgewichtszustande des Flugels sind daher instabil. Diese Instabilitatist im Sturz ug am groten und wird mit wachsendem Gewichts- bzw. Auftriebsbei-wert kleiner. Der zum Ausgleich des Nullmomentes benotigte Hebelarm jNSj kannmit wachsendem Auftrieb kleiner werden. Im Grenzfall sehr groer Auftriebsbeiwertestrebt der Abstand gegen Null, so da die Konguration bezuglich der Langsstabilitatindierent wird. In der Praxis tritt dieser Fall jedoch nicht ein, da zuvor das Auftriebs-maximum erreicht wird. Diese Grenze kann jedoch mit dem vorgestellten Verfahrennicht berechnet werden.Ein u des ReibungswiderstandsbeiwertesDer Reibungswiderstandsbeiwert eines Vogels lat sich nur sehr schwer genau berech-nen. In dem vorliegenden Verfahren werden daher zur Ermittlung dieses Beiwertes

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 67erhebliche Vereinfachungen eingefuhrt. So wird fur die Grenzschicht angenommen,da sie auf dem gesamten Vogel ugel der voll turbulenten Grenzschicht einer ebenen,nicht angestellten Platte entspricht. Der Reibungswiderstandsbeiwert eines Flugelsist dann nur noch von der dimensionslosen Flugeltiefenverteilung und der mit einercharakteristischen Lange gebildeten Reynoldszahl abhangig (vgl. Gl. (3.108)). Des wei-teren wird bei den ugmechanischen Untersuchungen der fur eine Vogelgeometrie undeine Reynoldszahl ermittelte Reibungswiderstandsbeiwert als konstant angesehen.Aufgrund der genannten Annahmen ist die Groe des uber Gl. (3.108) ermitteltenReibungswiderstandsbeiwertes nur als erste Naherung anzusehen. Der Reibungswider-standsbeiwert wird daher im weiteren variiert, um den grundsatzlichen Ein u diesesParameters auf die Flugleistungen eines Vogels zu analysieren. Hierzu sind in Bild 42die Gleitzahlen und Sinkgeschwindigkeiten des Basis ugels fur die ReibungsbeiwertecWR = 0; 007=0; 011=0; 018 dargestellt. Pro Kurve ist der jeweilige Reibungswider-standsbeiwert konstant. Die gewahlten Werte fur den Reibungswiderstandsbeiwertdes Basis ugels berechnen sich uber Gl. (3.108) fur die Reynoldszahlen Re = 37 000(cWR = 0; 018), Re = 370 000 (cWR = 0; 011) und Re = 3 700 000 (cWR = 0; 007).Mit zunehmendem Reibungswiderstandsbeiwert werden die Flugleistungen erwartungs-gema schlechter. Gleichzeitig verschieben sich die Gewichtsbeiwerte fur bestes Glei-ten und geringstes Sinken zu groeren Werten. Die Fluggeschwindigkeiten fur dieLeistungsoptima werden also mit wachsendem Reibungsbeiwert kleiner.Dieser Zusammenhang lat sich in guter Naherung durch die BeziehungenEmax = 12r cW0wg;min = 4cW0(3cW0)3=4 (4.22)beschreiben (Hafer und Sachs [109]), wobei die Optima bei den Gewichtsbeiwerten(cG)Emax =pcW0(cG)wg;min =p3cW0 (4.23)erreicht werden. Fur den Basis ugel ist der Nullwiderstandsbeiwert cW0 identisch mitdem Reibungswiderstandsbeiwert cWR.4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag4.4.1 Flugel mit Steuer acheDie Basiskonguration fur die folgenden Untersuchungen ist der Rechteck ugel (F =5, NACA 3400 Skelettprol) mit der ebenen quadratischen Steuer ache B (Bild 16).

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 67erhebliche Vereinfachungen eingefuhrt. So wird fur die Grenzschicht angenommen,da sie auf dem gesamten Vogel ugel der voll turbulenten Grenzschicht einer ebenen,nicht angestellten Platte entspricht. Der Reibungswiderstandsbeiwert eines Flugelsist dann nur noch von der dimensionslosen Flugeltiefenverteilung und der mit einercharakteristischen Lange gebildeten Reynoldszahl abhangig (vgl. Gl. (3.108)). Des wei-teren wird bei den ugmechanischen Untersuchungen der fur eine Vogelgeometrie undeine Reynoldszahl ermittelte Reibungswiderstandsbeiwert als konstant angesehen.Aufgrund der genannten Annahmen ist die Groe des uber Gl. (3.108) ermitteltenReibungswiderstandsbeiwertes nur als erste Naherung anzusehen. Der Reibungswider-standsbeiwert wird daher im weiteren variiert, um den grundsatzlichen Ein u diesesParameters auf die Flugleistungen eines Vogels zu analysieren. Hierzu sind in Bild 42die Gleitzahlen und Sinkgeschwindigkeiten des Basis ugels fur die ReibungsbeiwertecWR = 0; 007=0; 011=0; 018 dargestellt. Pro Kurve ist der jeweilige Reibungswider-standsbeiwert konstant. Die gewahlten Werte fur den Reibungswiderstandsbeiwertdes Basis ugels berechnen sich uber Gl. (3.108) fur die Reynoldszahlen Re = 37 000(cWR = 0; 018), Re = 370 000 (cWR = 0; 011) und Re = 3 700 000 (cWR = 0; 007).Mit zunehmendem Reibungswiderstandsbeiwert werden die Flugleistungen erwartungs-gema schlechter. Gleichzeitig verschieben sich die Gewichtsbeiwerte fur bestes Glei-ten und geringstes Sinken zu groeren Werten. Die Fluggeschwindigkeiten fur dieLeistungsoptima werden also mit wachsendem Reibungsbeiwert kleiner.Dieser Zusammenhang lat sich in guter Naherung durch die BeziehungenEmax = 12r cW0wg;min = 4cW0(3cW0)3=4 (4.22)beschreiben (Hafer und Sachs [109]), wobei die Optima bei den Gewichtsbeiwerten(cG)Emax =pcW0(cG)wg;min =p3cW0 (4.23)erreicht werden. Fur den Basis ugel ist der Nullwiderstandsbeiwert cW0 identisch mitdem Reibungswiderstandsbeiwert cWR.4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag4.4.1 Flugel mit Steuer acheDie Basiskonguration fur die folgenden Untersuchungen ist der Rechteck ugel (F =5, NACA 3400 Skelettprol) mit der ebenen quadratischen Steuer ache B (Bild 16).

68 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelDie Kantenlange der Steuer ache entspricht der Flugeltiefe. In Normallage (" = 0)verlauft die Steuer ache tangential zur Skelett ache an der Hinterkante. Sie besitztin dieser Position gegenuber der Ebene z = 0 eine Neigung von "0 = 5; 7 nach unten.Die fur eine mit der Flugelinnentiefe gebildete Reynoldszahl von ReF = 370 000 undfur einen Klappenausschlag von " = 0 berechneten Beiwerte cA, cW und cM sind inBild 43 uber dem Anstellwinkel dargestellt. Zum Vergleich sind die mit den geome-trischen Groen der Konguration (Flugel und Klappe) gebildeten Beiwerte cA, cWund cM , sowie die Ergebnisse des Flugels ohne Steuer ache (Basis ugel) mit in dasBild eingezeichnet. Bezugspunkt fur cM und fur cM ist der geometrische Neutralpunktdes Flugels ohne Klappe.Im Vergleich zum Flugel allein fuhrt die Steuer ache zu einer leichten Verringerungdes Nullauftriebswinkels 0 und zu einer Vergroerung des Gradienten cA. Die Steu-er ache vergroert demnach bei " = 0 die Kongurationswolbung und produzierteinen mit dem Anstellwinkel wachsenden Auftrieb. Diese Auftriebsproduktion ist abernicht so eektiv wie beim Flugel ohne Klappe, da der auf die Gesamt ache der Kon-guration bezogene Auftriebsanstieg cA im Vergleich zum Flugel allein kleiner ist.Der Grund hierfur ist die Position der Klappe, die sich im Abwindfeld des Flugelsbendet. Der geometrische Parameter, der diesen Ein u beschreibt, ist die Kon-gurationsstreckung . Wahrend der Flugel ohne Klappe eine Streckung von = 5besitzt, hat die Basiskonguration nur eine Streckung von = 4; 16.Aufgrund der Wolbungsvergroerung durch die Steuer ache wird das NullmomentcM0 der Basiskonguration im Vergleich zum Flugel allein kop astiger. Gleichzeitigwird der Nickmomentenanstieg cM negativ. Die Steuer ache vergroert demnach dieLangsstabilitat des Flugels (Hummel [42]). Der Neutralpunkt der Basiskongurati-on liegt entsprechend hinter demjenigen des Flugels ohne Klappe bei N = 0; 03(Basis ugel: N = 0; 01).Der Nullwiderstand cW0 der Basiskonguration wird aufgrund der Reibung an derKlappe groer. Zusatzlich wachst der Widerstandsbeiwert cW im Vergleich zum Flugelallein deutlich schneller mit dem Anstellwinkel an. Verantwortlich hierfur ist zumeinen der fur = konst. groere Auftriebsbeiwert und zum anderen die im Vergleichzum Flugel ohne Klappe ungunstigere Zirkulationsverteilung der Basiskonguration(Bild 44). Wahrend der Flugel eine nahezu widerstandsoptimale, elliptische Zirkula-tionsverteilung besitzt, fuhrt die Klappe bei " = 0 zu einem Anwachsen der Zirkulati-on im Bereich der Flugelmitte. Der induzierte Widerstand wird demzufolge durch dieKlappe vergroert, wobei dieser Eekt fur " = 0 noch schwach ist. Mit zunehmen-dem Klappenausschlag steigt die Zirkulationsverteilung im Bereich der Flugelmitteweiter an, so da die Abweichung von der elliptischen Zirkulationsverteilung groerwird, und damit der induzierte Widerstand bei konstantem Auftrieb (z. B. cA = 0; 6)steigt. Auf der anderen Seite fuhrt eine Verringerung des Klappenwinkels anfang-lich zu einer Reduktion des induzierten Widerstandes, bis der Widerstand bei einerbestimmten Klappenstellung minimal wird. Diese widerstandsgunstigste Klappenstel-lung wird erreicht, wenn die spannweitige Zirkulationsverteilung der Basiskongura-tion annahernd der des Flugels entspricht. Fur den Auftriebsbeiwert von cA = 0; 6 ist

68 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelDie Kantenlange der Steuer ache entspricht der Flugeltiefe. In Normallage (" = 0)verlauft die Steuer ache tangential zur Skelett ache an der Hinterkante. Sie besitztin dieser Position gegenuber der Ebene z = 0 eine Neigung von "0 = 5; 7 nach unten.Die fur eine mit der Flugelinnentiefe gebildete Reynoldszahl von ReF = 370 000 undfur einen Klappenausschlag von " = 0 berechneten Beiwerte cA, cW und cM sind inBild 43 uber dem Anstellwinkel dargestellt. Zum Vergleich sind die mit den geome-trischen Groen der Konguration (Flugel und Klappe) gebildeten Beiwerte cA, cWund cM , sowie die Ergebnisse des Flugels ohne Steuer ache (Basis ugel) mit in dasBild eingezeichnet. Bezugspunkt fur cM und fur cM ist der geometrische Neutralpunktdes Flugels ohne Klappe.Im Vergleich zum Flugel allein fuhrt die Steuer ache zu einer leichten Verringerungdes Nullauftriebswinkels 0 und zu einer Vergroerung des Gradienten cA. Die Steu-er ache vergroert demnach bei " = 0 die Kongurationswolbung und produzierteinen mit dem Anstellwinkel wachsenden Auftrieb. Diese Auftriebsproduktion ist abernicht so eektiv wie beim Flugel ohne Klappe, da der auf die Gesamt ache der Kon-guration bezogene Auftriebsanstieg cA im Vergleich zum Flugel allein kleiner ist.Der Grund hierfur ist die Position der Klappe, die sich im Abwindfeld des Flugelsbendet. Der geometrische Parameter, der diesen Ein u beschreibt, ist die Kon-gurationsstreckung . Wahrend der Flugel ohne Klappe eine Streckung von = 5besitzt, hat die Basiskonguration nur eine Streckung von = 4; 16.Aufgrund der Wolbungsvergroerung durch die Steuer ache wird das NullmomentcM0 der Basiskonguration im Vergleich zum Flugel allein kop astiger. Gleichzeitigwird der Nickmomentenanstieg cM negativ. Die Steuer ache vergroert demnach dieLangsstabilitat des Flugels (Hummel [42]). Der Neutralpunkt der Basiskongurati-on liegt entsprechend hinter demjenigen des Flugels ohne Klappe bei N = 0; 03(Basis ugel: N = 0; 01).Der Nullwiderstand cW0 der Basiskonguration wird aufgrund der Reibung an derKlappe groer. Zusatzlich wachst der Widerstandsbeiwert cW im Vergleich zum Flugelallein deutlich schneller mit dem Anstellwinkel an. Verantwortlich hierfur ist zumeinen der fur = konst. groere Auftriebsbeiwert und zum anderen die im Vergleichzum Flugel ohne Klappe ungunstigere Zirkulationsverteilung der Basiskonguration(Bild 44). Wahrend der Flugel eine nahezu widerstandsoptimale, elliptische Zirkula-tionsverteilung besitzt, fuhrt die Klappe bei " = 0 zu einem Anwachsen der Zirkulati-on im Bereich der Flugelmitte. Der induzierte Widerstand wird demzufolge durch dieKlappe vergroert, wobei dieser Eekt fur " = 0 noch schwach ist. Mit zunehmen-dem Klappenausschlag steigt die Zirkulationsverteilung im Bereich der Flugelmitteweiter an, so da die Abweichung von der elliptischen Zirkulationsverteilung groerwird, und damit der induzierte Widerstand bei konstantem Auftrieb (z. B. cA = 0; 6)steigt. Auf der anderen Seite fuhrt eine Verringerung des Klappenwinkels anfang-lich zu einer Reduktion des induzierten Widerstandes, bis der Widerstand bei einerbestimmten Klappenstellung minimal wird. Diese widerstandsgunstigste Klappenstel-lung wird erreicht, wenn die spannweitige Zirkulationsverteilung der Basiskongura-tion annahernd der des Flugels entspricht. Fur den Auftriebsbeiwert von cA = 0; 6 ist

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 69hierzu ein Klappenwinkel von " 5 erforderlich. Beide Kongurationen besitzendann den gleichen induzierten Widerstand. Aufgrund der Reibung an der Steuer acheist der Widerstandsbeiwert cW der Basiskonguration jedoch auch bei dieser Klap-penstellung groer als beim Flugel ohne Klappe. Wird die Klappe weiter nach obenausgeschlagen, dann sinkt die Zirkulationsverteilung im Bereich der Flugelmitte unterdie Werte des Flugels. Der induzierte Widerstand steigt entsprechend wieder an.Die Klappe vergroert demnach in der Regel sowohl den Reibungs- als auch den indu-zierten Widerstand einer Konguration. Wahrend der zusatzliche Reibungswiderstandnicht verhindert werden kann, lat sich der zusatzlich induzierte Widerstand bei ei-nem bestimmten Klappenausschlag auf Null reduzieren. In dieser Position beein utdie Klappe die Zirkulationsverteilung des Flugels ohne Klappe nicht. Entsprechendist die Klappe nahezu unbelastet, so da die Druckverteilung auf dem Flugel mit undohne Klappe ungefahr gleich ist (Bild 45). Im gunstigsten Fall entspricht die unbe-lastete Klappe einer Strom ache im Nachlauf des Flugels ohne Steuer ache. In dieserwiderstandsgunstigsten Klappenstellung besitzen beide Kongurationen die gleicheDruckpunktlage.Die fur verschiedene Klappenausschlage berechneten Beiwerte cA, cW und cM wur-den bereits zur Uberprufung der Theorie in Bild 31 mit Meergebnissen verglichen.Ein positiver Ruderausschlag fuhrt zu einer Verringerung des Nullauftriebswinkelsund des Nullmomentes, wobei der Auftriebsanstieg unverandert bleibt. Die negativeNickmomentensteigung cM nimmt mit dem Ruderausschlag etwas zu. Diese leich-te Vergroerung der statischen Langsstabilitat ist auf die mit dem Ruderausschlagstarker werdenden stationaren Wirbel zuruckzufuhren, die infolge einer Stromungs-ablosung an den Klappenseitenkanten entstehen. Insgesamt ist die Steigungsanderungjedoch gering, so da die statische Langsstabilitat fur eine Schwerpunktlage nahe-rungsweise als konstant angesehen werden kann. Fur die Basiskonguration ergibtsich eine Ruderwirksamkeit von cA" = 0; 68 und cM0;" = 0; 32. Der Neutralpunktder Ruderbewegung liegt bei " = 0; 6, also funfzehn Prozent der Flugeltiefe vor derFlugelhinterkante. Der Zusatzauftrieb infolge eines Klappenausschlages greift dem-nach in einem Punkt an, der auf dem Flugel liegt und nicht, wie von Tucker [43] undThomas [57] angenommen, auf der Klappe.Entsprechend der festgestellten Wirkung kann ein Vogel uber einen Schwanzausschlag" steuern und verschiedene Fluggeschwindigkeiten austrimmen. Diese Steuerung bzw.Trimmung basiert auf der Veranderung des Nullmomentes, wahrend die Langssta-bilitat unverandert bleibt. Sie ist vergleichbar mit der Hohenrudersteuerung eineskonventionellen Flugzeugs und wird Nullmomentensteuerung genannt.Im weiteren wird der Schwanzausschlag " dazu benutzt, verschiedene Fluggeschwindig-keiten der Basiskonguration auszutrimmen. Die Eektivitat einer derartigenTrimmung im Hinblick auf die Flugleistungen wird fur die SchwerpunktlagenS 2 [0=0; 1=0; 2=0; 3] untersucht. In Bild 46 sind die Gleitzahlen E und Sinkge-schwindigkeiten wg pro Schwerpunktlage uber dem Gewichtsbeiwert cG aufgetragen.Zusatzlich sind die Anstellwinkel und die Klappenwinkel " dargestellt. Zum Ver-gleich sind die Leistungen des Flugels ohne Klappe mit eingezeichnet. Der Flugel kann

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 69hierzu ein Klappenwinkel von " 5 erforderlich. Beide Kongurationen besitzendann den gleichen induzierten Widerstand. Aufgrund der Reibung an der Steuer acheist der Widerstandsbeiwert cW der Basiskonguration jedoch auch bei dieser Klap-penstellung groer als beim Flugel ohne Klappe. Wird die Klappe weiter nach obenausgeschlagen, dann sinkt die Zirkulationsverteilung im Bereich der Flugelmitte unterdie Werte des Flugels. Der induzierte Widerstand steigt entsprechend wieder an.Die Klappe vergroert demnach in der Regel sowohl den Reibungs- als auch den indu-zierten Widerstand einer Konguration. Wahrend der zusatzliche Reibungswiderstandnicht verhindert werden kann, lat sich der zusatzlich induzierte Widerstand bei ei-nem bestimmten Klappenausschlag auf Null reduzieren. In dieser Position beein utdie Klappe die Zirkulationsverteilung des Flugels ohne Klappe nicht. Entsprechendist die Klappe nahezu unbelastet, so da die Druckverteilung auf dem Flugel mit undohne Klappe ungefahr gleich ist (Bild 45). Im gunstigsten Fall entspricht die unbe-lastete Klappe einer Strom ache im Nachlauf des Flugels ohne Steuer ache. In dieserwiderstandsgunstigsten Klappenstellung besitzen beide Kongurationen die gleicheDruckpunktlage.Die fur verschiedene Klappenausschlage berechneten Beiwerte cA, cW und cM wur-den bereits zur Uberprufung der Theorie in Bild 31 mit Meergebnissen verglichen.Ein positiver Ruderausschlag fuhrt zu einer Verringerung des Nullauftriebswinkelsund des Nullmomentes, wobei der Auftriebsanstieg unverandert bleibt. Die negativeNickmomentensteigung cM nimmt mit dem Ruderausschlag etwas zu. Diese leich-te Vergroerung der statischen Langsstabilitat ist auf die mit dem Ruderausschlagstarker werdenden stationaren Wirbel zuruckzufuhren, die infolge einer Stromungs-ablosung an den Klappenseitenkanten entstehen. Insgesamt ist die Steigungsanderungjedoch gering, so da die statische Langsstabilitat fur eine Schwerpunktlage nahe-rungsweise als konstant angesehen werden kann. Fur die Basiskonguration ergibtsich eine Ruderwirksamkeit von cA" = 0; 68 und cM0;" = 0; 32. Der Neutralpunktder Ruderbewegung liegt bei " = 0; 6, also funfzehn Prozent der Flugeltiefe vor derFlugelhinterkante. Der Zusatzauftrieb infolge eines Klappenausschlages greift dem-nach in einem Punkt an, der auf dem Flugel liegt und nicht, wie von Tucker [43] undThomas [57] angenommen, auf der Klappe.Entsprechend der festgestellten Wirkung kann ein Vogel uber einen Schwanzausschlag" steuern und verschiedene Fluggeschwindigkeiten austrimmen. Diese Steuerung bzw.Trimmung basiert auf der Veranderung des Nullmomentes, wahrend die Langssta-bilitat unverandert bleibt. Sie ist vergleichbar mit der Hohenrudersteuerung eineskonventionellen Flugzeugs und wird Nullmomentensteuerung genannt.Im weiteren wird der Schwanzausschlag " dazu benutzt, verschiedene Fluggeschwindig-keiten der Basiskonguration auszutrimmen. Die Eektivitat einer derartigenTrimmung im Hinblick auf die Flugleistungen wird fur die SchwerpunktlagenS 2 [0=0; 1=0; 2=0; 3] untersucht. In Bild 46 sind die Gleitzahlen E und Sinkge-schwindigkeiten wg pro Schwerpunktlage uber dem Gewichtsbeiwert cG aufgetragen.Zusatzlich sind die Anstellwinkel und die Klappenwinkel " dargestellt. Zum Ver-gleich sind die Leistungen des Flugels ohne Klappe mit eingezeichnet. Der Flugel kann

70 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelmit einer Schwerpunktlage nur in einem Trimmpunkt iegen. Diese Trimmpunkte sindfur die gewahlten Schwerpunktlagen der Basiskonguration auf den Flugleistungs-kurven des Flugels durch Symbole gekennzeichnet. Bei S = 0 ist ein stationarerGleit ug mit dem Flugel nicht moglich.Mit der Variation der Schwerpunktlage verandert sich die Langsstabilitat. Schwer-punktlagen vor dem aerodynamischen Neutralpunkt der Basiskonguration(S < N = 0; 03) fuhren zu einer stabilen Fluglage und Schwerpunktlagenhinter dem Neutralpunkt (S > N) zu instabilen Fluglagen.Die Flugleistungskurven werden zunachst am Beispiel der Schwerpunktlage S = 0; 2(c) diskutiert. Bei dieser Schwerpunktlage ist die Konguration instabil. Ausgehendvon dem kleinsten er iegbaren Gewichtsbeiwert von cG cW0, bei dem = 1und " = 16 ist, wird der Anstellwinkel mit wachsendem Gewichtsbeiwert groer.Gleichzeitig steigt der Klappenwinkel an. Die Flugleistungen werden hierbei zunachstgunstiger, bis zuerst die Gleitzahl bei cG = 0; 43 mit E = 17; 2 maximal wird undanschlieend die Sinkgeschwindigkeit bei cG = 0; 56 mit wg = 0; 085 minimal wird. BeicG = 1; 15 erreicht der fur einen Gleichgewichtszustand erforderliche Klappenausschlagdie willkurlich festgelegte Grenze von " = 12.Im Fall cG cW0 bendet sich die Konguration in einem vertikalen Sturz ug. In die-ser Situation ist der Auftrieb gleich Null. Das kop astige Nullmoment des Flugels mudaher vollstandig durch die Steuer ache kompensiert werden, so da das Nullmomentder Basiskonguration zu Null wird. Hierzu ist ein Klappenausschlag von " = 16erforderlich. Gleichzeitig mu der Anstellwinkel dem Nullauftriebswinkel entsprechen,der fur diese Klappenstellung bei 0 = 1 liegt. Sowohl der Klappenausschlag " furcM0 = 0 als auch der zugehorige Nullauftriebswinkel 0 sind fur alle Schwerpunktlagengleich. Die Gleitzahl ist im vertikalen Sturz ug gleich Null und die Sinkgeschwindigkeitwird maximal (im Bild nicht mehr dargestellt). Entsprechend der gewahlten Schwer-punktlage von S = 0; 2 ist das Derivativ cMS; positiv (instabil). Mit wachsendemAnstellwinkel bzw. Gewichtsbeiwert wird daher das Nickmoment um den Schwerpunktschwanzlastiger. Zur Kompensation dieses Momentes mu die Klappe mit abnehmen-der Fluggeschwindigkeit in Richtung "drucken\ (" > 0) ausgeschlagen werden. DerRuderweg der instabilen Konguration ist also positiv (@"=@cG > 0). Bezuglich derFlugleistungen uberwiegt der Auftriebsanstieg zunachst den Widerstandszuwachs, soda die Gleitzahl groer und die Sinkgeschwindigkeit kleiner wird. Mit wachsendemAuftrieb nimmt der Widerstandsanstieg zu. Entsprechend der durch die Gleichungen(4.6) und (4.8) beschriebenen Zusammenhange erreicht deshalb zuerst die Gleitzahlund anschlieend die Sinkgeschwindigkeit ein Optimum. Eine weitere Verringerungder Fluggeschwindigkeit ist moglich, solange die Stromung uber der Klappe nicht zu-sammenbricht. Der zugehorige Klappenausschlag ist dann maximal. Er kann jedochmit dem vorliegenden Verfahren nicht berechnet werden.Fur einen konstanten Gewichtsbeiwert ist die erforderliche Klappenstellung und dieerreichbare Flugleistung (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) stark von der Schwer-punktlage abhangig. Je weiter der Schwerpunkt nach hinten verlagert wird, desto wei-ter mu die Steuer ache nach unten ausgeschlagen werden. Ausgehend von der leicht

70 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelmit einer Schwerpunktlage nur in einem Trimmpunkt iegen. Diese Trimmpunkte sindfur die gewahlten Schwerpunktlagen der Basiskonguration auf den Flugleistungs-kurven des Flugels durch Symbole gekennzeichnet. Bei S = 0 ist ein stationarerGleit ug mit dem Flugel nicht moglich.Mit der Variation der Schwerpunktlage verandert sich die Langsstabilitat. Schwer-punktlagen vor dem aerodynamischen Neutralpunkt der Basiskonguration(S < N = 0; 03) fuhren zu einer stabilen Fluglage und Schwerpunktlagenhinter dem Neutralpunkt (S > N) zu instabilen Fluglagen.Die Flugleistungskurven werden zunachst am Beispiel der Schwerpunktlage S = 0; 2(c) diskutiert. Bei dieser Schwerpunktlage ist die Konguration instabil. Ausgehendvon dem kleinsten er iegbaren Gewichtsbeiwert von cG cW0, bei dem = 1und " = 16 ist, wird der Anstellwinkel mit wachsendem Gewichtsbeiwert groer.Gleichzeitig steigt der Klappenwinkel an. Die Flugleistungen werden hierbei zunachstgunstiger, bis zuerst die Gleitzahl bei cG = 0; 43 mit E = 17; 2 maximal wird undanschlieend die Sinkgeschwindigkeit bei cG = 0; 56 mit wg = 0; 085 minimal wird. BeicG = 1; 15 erreicht der fur einen Gleichgewichtszustand erforderliche Klappenausschlagdie willkurlich festgelegte Grenze von " = 12.Im Fall cG cW0 bendet sich die Konguration in einem vertikalen Sturz ug. In die-ser Situation ist der Auftrieb gleich Null. Das kop astige Nullmoment des Flugels mudaher vollstandig durch die Steuer ache kompensiert werden, so da das Nullmomentder Basiskonguration zu Null wird. Hierzu ist ein Klappenausschlag von " = 16erforderlich. Gleichzeitig mu der Anstellwinkel dem Nullauftriebswinkel entsprechen,der fur diese Klappenstellung bei 0 = 1 liegt. Sowohl der Klappenausschlag " furcM0 = 0 als auch der zugehorige Nullauftriebswinkel 0 sind fur alle Schwerpunktlagengleich. Die Gleitzahl ist im vertikalen Sturz ug gleich Null und die Sinkgeschwindigkeitwird maximal (im Bild nicht mehr dargestellt). Entsprechend der gewahlten Schwer-punktlage von S = 0; 2 ist das Derivativ cMS; positiv (instabil). Mit wachsendemAnstellwinkel bzw. Gewichtsbeiwert wird daher das Nickmoment um den Schwerpunktschwanzlastiger. Zur Kompensation dieses Momentes mu die Klappe mit abnehmen-der Fluggeschwindigkeit in Richtung "drucken\ (" > 0) ausgeschlagen werden. DerRuderweg der instabilen Konguration ist also positiv (@"=@cG > 0). Bezuglich derFlugleistungen uberwiegt der Auftriebsanstieg zunachst den Widerstandszuwachs, soda die Gleitzahl groer und die Sinkgeschwindigkeit kleiner wird. Mit wachsendemAuftrieb nimmt der Widerstandsanstieg zu. Entsprechend der durch die Gleichungen(4.6) und (4.8) beschriebenen Zusammenhange erreicht deshalb zuerst die Gleitzahlund anschlieend die Sinkgeschwindigkeit ein Optimum. Eine weitere Verringerungder Fluggeschwindigkeit ist moglich, solange die Stromung uber der Klappe nicht zu-sammenbricht. Der zugehorige Klappenausschlag ist dann maximal. Er kann jedochmit dem vorliegenden Verfahren nicht berechnet werden.Fur einen konstanten Gewichtsbeiwert ist die erforderliche Klappenstellung und dieerreichbare Flugleistung (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) stark von der Schwer-punktlage abhangig. Je weiter der Schwerpunkt nach hinten verlagert wird, desto wei-ter mu die Steuer ache nach unten ausgeschlagen werden. Ausgehend von der leicht

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 71stabilen Schwerpunktlage S = 0 werden die Flugleistungen zunachst besser und fal-len anschlieend wieder ab. Fur jeden Gewichtsbeiwert gibt es dementsprechend eineoptimale Schwerpunktlage. Diese Schwerpunktlage liegt fur alle moglichen Gewichts-beiwerte hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt der Basiskonguration. Sie istalso instabil. Die Instabilitat wird mit wachsendem Gewichtsbeiwert schwacher. DieFlugleistungen der Basiskonguration sind auch bei diesen Schwerpunktlagen schlech-ter als diejenigen des Flugels ohne Klappe.Die Flugleistungen einer Konguration werden fur einen konstanten Gewichts- bzw.Auftriebsbeiwert optimal, wenn der Widerstand minimal wird. Wie bereits weiteroben ausgefuhrt, ist hierzu ein Klappenausschlag erforderlich, bei dem die spannwei-tige Zirkulationsverteilung der Konguration mit und ohne Klappe gleich ist. DieKlappe ist dann nahezu unbelastet, so da die Druckpunktlagen beider Kongura-tionen ungefahr gleich sind. In einem ausgetrimmten Gleit ug mu der Druckpunktim Schwerpunkt liegen. Fur einen konstanten Auftriebsbeiwert entspricht daher diewiderstandsgunstigste Schwerpunktlage der Druckpunktlage des Flugels ohne Klappe.Die Druckpunktlage des FlugelsD = xD xN25F`F = cMcA = N cM0cA (4.24)ist in Bild 47 uber dem Gewichtsbeiwert aufgetragen. Aufgrund der positiven Wol-bung liegt der Druckpunkt generell hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt desFlugels. Unter Vernachlassigung der leichten Ruckverlagerung des aerodynamischenNeutralpunktes durch die Klappe sind demnach die leistungsgunstigsten Schwerpunkt-lagen grundsatzlich instabil. Diese Instabilitat wird durch die stabilisierende Wirkungder Klappe reduziert. Trotzdem liegen die optimalen Schwerpunktlagen der Basiskon-guration durchweg hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt dieser Anordnung.Sie sind also instabil. Die auch bei diesen Schwerpunktlagen durch die Klappe verur-sachten Verluste an Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit beruhen auf dem vergroertenReibungswiderstand der Basiskonguration.Zur Verdeutlichung der Zusammenhange sind in Bild 48 die Flugleistungen der Ba-siskonguration in Abhangigkeit von der Schwerpunktlage S fur die drei Gewichts-beiwerte cG 2 [0; 4=0; 6=0; 8] dargestellt. Zusatzlich sind die Flugleistungen des Flugelsfur diese Gewichtsbeiwerte als Symbole eingezeichnet. Wie bereits diskutiert, kann derFlugel mit einem Gewichtsbeiwert nur mit einer bestimmten Schwerpunktlage iegen.Diese Schwerpunktlage entspricht der Druckpunktlage des Flugels. Entsprechend demzuvor Gesagten stellt sie pro Gewichtsbeiwert die leistungsgunstigste Schwerpunktlageder Konguration mit Klappe dar.Erwartungsgema zeigen die Flugleistungen eine deutliche Abhangigkeit von derSchwerpunktlage, die mit der gunstigen bzw. ungunstigen Klappenstellung zusam-menhangt. Bis auf einen kleinen Versatz sind die optimalen Schwerpunktlagen mitden erforderlichen Schwerpunktlagen des Flugels identisch. Die Ursache fur den klei-nen Versatz liegt darin, da die ebene Klappe in der widerstandsgunstigsten Stellungnoch schwach belastet ist. Sie bildet keine Strom ache im Nachlauf des Flugels ohne

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 71stabilen Schwerpunktlage S = 0 werden die Flugleistungen zunachst besser und fal-len anschlieend wieder ab. Fur jeden Gewichtsbeiwert gibt es dementsprechend eineoptimale Schwerpunktlage. Diese Schwerpunktlage liegt fur alle moglichen Gewichts-beiwerte hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt der Basiskonguration. Sie istalso instabil. Die Instabilitat wird mit wachsendem Gewichtsbeiwert schwacher. DieFlugleistungen der Basiskonguration sind auch bei diesen Schwerpunktlagen schlech-ter als diejenigen des Flugels ohne Klappe.Die Flugleistungen einer Konguration werden fur einen konstanten Gewichts- bzw.Auftriebsbeiwert optimal, wenn der Widerstand minimal wird. Wie bereits weiteroben ausgefuhrt, ist hierzu ein Klappenausschlag erforderlich, bei dem die spannwei-tige Zirkulationsverteilung der Konguration mit und ohne Klappe gleich ist. DieKlappe ist dann nahezu unbelastet, so da die Druckpunktlagen beider Kongura-tionen ungefahr gleich sind. In einem ausgetrimmten Gleit ug mu der Druckpunktim Schwerpunkt liegen. Fur einen konstanten Auftriebsbeiwert entspricht daher diewiderstandsgunstigste Schwerpunktlage der Druckpunktlage des Flugels ohne Klappe.Die Druckpunktlage des FlugelsD = xD xN25F`F = cMcA = N cM0cA (4.24)ist in Bild 47 uber dem Gewichtsbeiwert aufgetragen. Aufgrund der positiven Wol-bung liegt der Druckpunkt generell hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt desFlugels. Unter Vernachlassigung der leichten Ruckverlagerung des aerodynamischenNeutralpunktes durch die Klappe sind demnach die leistungsgunstigsten Schwerpunkt-lagen grundsatzlich instabil. Diese Instabilitat wird durch die stabilisierende Wirkungder Klappe reduziert. Trotzdem liegen die optimalen Schwerpunktlagen der Basiskon-guration durchweg hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt dieser Anordnung.Sie sind also instabil. Die auch bei diesen Schwerpunktlagen durch die Klappe verur-sachten Verluste an Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit beruhen auf dem vergroertenReibungswiderstand der Basiskonguration.Zur Verdeutlichung der Zusammenhange sind in Bild 48 die Flugleistungen der Ba-siskonguration in Abhangigkeit von der Schwerpunktlage S fur die drei Gewichts-beiwerte cG 2 [0; 4=0; 6=0; 8] dargestellt. Zusatzlich sind die Flugleistungen des Flugelsfur diese Gewichtsbeiwerte als Symbole eingezeichnet. Wie bereits diskutiert, kann derFlugel mit einem Gewichtsbeiwert nur mit einer bestimmten Schwerpunktlage iegen.Diese Schwerpunktlage entspricht der Druckpunktlage des Flugels. Entsprechend demzuvor Gesagten stellt sie pro Gewichtsbeiwert die leistungsgunstigste Schwerpunktlageder Konguration mit Klappe dar.Erwartungsgema zeigen die Flugleistungen eine deutliche Abhangigkeit von derSchwerpunktlage, die mit der gunstigen bzw. ungunstigen Klappenstellung zusam-menhangt. Bis auf einen kleinen Versatz sind die optimalen Schwerpunktlagen mitden erforderlichen Schwerpunktlagen des Flugels identisch. Die Ursache fur den klei-nen Versatz liegt darin, da die ebene Klappe in der widerstandsgunstigsten Stellungnoch schwach belastet ist. Sie bildet keine Strom ache im Nachlauf des Flugels ohne

72 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelKlappe. Die Belastung fuhrt im Vergleich zum Flugel zu einer leichten Ruckverlage-rung des Druckpunktes. Die optimale Schwerpunktlage der Basiskonguration liegtdaher jeweils in einem kleinen Abstand hinter dem Druckpunkt bzw. Schwerpunktdes Flugels ohne Klappe.Sofern ein Vogel demnach bei einer Fluggeschwindigkeit seine Gleit ugleistungen opti-mieren will, wird er den Schwanz in eine unbelastete Position bringen. Die spannweiti-ge Zirkulationsverteilung uber der Konguration ist dann mit und ohne Vogelschwanzgleich und moglichst elliptisch. Hinter dem Vogel bilden sich zwei Nachlaufwirbel aus.Spedding [111] hat diese beiden Wirbel im Nachlauf eines gleitenden Vogels unter-sucht. Aufgrund der Ahnlichkeit der Nachlaufstruktur zu derjenigen eines Ellipsen- ugels schliet er auf eine elliptische Zirkulationsverteilung uber der Konguration.Neben den beiden Wirbeln hat Spedding keine weiteren konzentrierten Nachlaufwir-bel gefunden. Die Vermutung, da ein Vogelschwanz im Gleit ug unbelastet ist, wirddaher durch die Versuche von Spedding bestatigt.Zur Diskussion der Vogelschwanzfunktion im Bereich des maximalen Auftriebsbei-wertes sind in Bild 49 die berechneten Auftriebsbeiwerte fur = 12 uber demKlappenausschlag " dargestellt. Damit die Konguration bei einer bestimmten Klap-penstellung stationar gleiten kann, mu der Schwerpunkt im jeweiligen Druckpunktder Konguration liegen. Diese Schwerpunktlagen S sind ebenfalls im Bild darge-stellt.Fur = 12 erreicht der Flugel ohne Steuer ache den Auftriebsbeiwert cA = 1; 05.Der Druckpunkt des Flugels liegt dann bei D = 0; 06. Soll in dieser Situation anden Flugel eine Steuer ache angesetzt werden, wobei der Auftriebsbeiwert und derAnstellwinkel unverandert bleiben, dann mu die Steuer ache unbelastet sein. DieDruckpunktlagen der Kongurationen mit und ohne Steuer ache sind dann gleich.Die Klappe bendet sich in der fur diesen Auftriebsbeiwert widerstandsgunstigstenPosition. Fur einen Gleichgewichtszustand mute der Schwerpunkt der Basiskongu-ration demnach bei S = 0; 06 liegen. Wie bereits ausgefuhrt ist die ebene Klappe inder widerstandsgunstigsten Stellung jedoch noch schwach belastet und verlagert denDruckpunkt geringfugig nach hinten. Die fur cA = 1; 05 berechnete Schwerpunktlageder Basiskonguration liegt daher bei S = 0; 07. Der zugehorige Klappenwinkelbetragt " = 8. Ausgehend von dieser Klappenstellung fuhrt ein positiver Ruder-ausschlag aufgrund der Ruderwirksamkeit cA" > 0 zu einer Vergroerung des Auf-triebsbeiwertes. Gleichzeitig verschiebt sich der Druckpunkt der Konguration nachhinten, so da auch die erforderliche Schwerpunktlage mit wachsendem Ruderaus-schlag nach hinten wandert. Die Instabilitat der Konguration nimmt zu. Je weiterdie Steuer ache nach unten ausgeschlagen wird, desto groer wird der bei konstantemAnstellwinkel erreichbare Auftriebsbeiwert und desto instabiler wird die Kongura-tion. Dieser Zusammenhang ist gultig, solange die Stromung uber der Anordnungnicht zusammenbricht. Der Klappenwinkel wird dann maximal.Damit der berechneten Vergroerung des Auftriebsbeiwertes durch den Ruderaus-schlag " eine physikalische Bedeutung im Hinblick auf die mogliche Vergroerung desmaximalen Auftriebsbeiwertes eines Vogels zukommt, mussen zwei Voraussetzungen

72 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelKlappe. Die Belastung fuhrt im Vergleich zum Flugel zu einer leichten Ruckverlage-rung des Druckpunktes. Die optimale Schwerpunktlage der Basiskonguration liegtdaher jeweils in einem kleinen Abstand hinter dem Druckpunkt bzw. Schwerpunktdes Flugels ohne Klappe.Sofern ein Vogel demnach bei einer Fluggeschwindigkeit seine Gleit ugleistungen opti-mieren will, wird er den Schwanz in eine unbelastete Position bringen. Die spannweiti-ge Zirkulationsverteilung uber der Konguration ist dann mit und ohne Vogelschwanzgleich und moglichst elliptisch. Hinter dem Vogel bilden sich zwei Nachlaufwirbel aus.Spedding [111] hat diese beiden Wirbel im Nachlauf eines gleitenden Vogels unter-sucht. Aufgrund der Ahnlichkeit der Nachlaufstruktur zu derjenigen eines Ellipsen- ugels schliet er auf eine elliptische Zirkulationsverteilung uber der Konguration.Neben den beiden Wirbeln hat Spedding keine weiteren konzentrierten Nachlaufwir-bel gefunden. Die Vermutung, da ein Vogelschwanz im Gleit ug unbelastet ist, wirddaher durch die Versuche von Spedding bestatigt.Zur Diskussion der Vogelschwanzfunktion im Bereich des maximalen Auftriebsbei-wertes sind in Bild 49 die berechneten Auftriebsbeiwerte fur = 12 uber demKlappenausschlag " dargestellt. Damit die Konguration bei einer bestimmten Klap-penstellung stationar gleiten kann, mu der Schwerpunkt im jeweiligen Druckpunktder Konguration liegen. Diese Schwerpunktlagen S sind ebenfalls im Bild darge-stellt.Fur = 12 erreicht der Flugel ohne Steuer ache den Auftriebsbeiwert cA = 1; 05.Der Druckpunkt des Flugels liegt dann bei D = 0; 06. Soll in dieser Situation anden Flugel eine Steuer ache angesetzt werden, wobei der Auftriebsbeiwert und derAnstellwinkel unverandert bleiben, dann mu die Steuer ache unbelastet sein. DieDruckpunktlagen der Kongurationen mit und ohne Steuer ache sind dann gleich.Die Klappe bendet sich in der fur diesen Auftriebsbeiwert widerstandsgunstigstenPosition. Fur einen Gleichgewichtszustand mute der Schwerpunkt der Basiskongu-ration demnach bei S = 0; 06 liegen. Wie bereits ausgefuhrt ist die ebene Klappe inder widerstandsgunstigsten Stellung jedoch noch schwach belastet und verlagert denDruckpunkt geringfugig nach hinten. Die fur cA = 1; 05 berechnete Schwerpunktlageder Basiskonguration liegt daher bei S = 0; 07. Der zugehorige Klappenwinkelbetragt " = 8. Ausgehend von dieser Klappenstellung fuhrt ein positiver Ruder-ausschlag aufgrund der Ruderwirksamkeit cA" > 0 zu einer Vergroerung des Auf-triebsbeiwertes. Gleichzeitig verschiebt sich der Druckpunkt der Konguration nachhinten, so da auch die erforderliche Schwerpunktlage mit wachsendem Ruderaus-schlag nach hinten wandert. Die Instabilitat der Konguration nimmt zu. Je weiterdie Steuer ache nach unten ausgeschlagen wird, desto groer wird der bei konstantemAnstellwinkel erreichbare Auftriebsbeiwert und desto instabiler wird die Kongura-tion. Dieser Zusammenhang ist gultig, solange die Stromung uber der Anordnungnicht zusammenbricht. Der Klappenwinkel wird dann maximal.Damit der berechneten Vergroerung des Auftriebsbeiwertes durch den Ruderaus-schlag " eine physikalische Bedeutung im Hinblick auf die mogliche Vergroerung desmaximalen Auftriebsbeiwertes eines Vogels zukommt, mussen zwei Voraussetzungen

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 73erfullt werden. Zum einen mu der Anstellwinkel des maximalen Auftriebsbeiwertesunabhangig vom Ruderwinkel " sein. Dies ist bei Klappen ugeln in guter Naherungerfullt, wie die Messungen von Gothert [112] und Wenzinger [113] belegen. Zum ande-ren mu die Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes durch einen Klappenaus-schlag proportional zum Klappenwinkel " sein, wobei der Proportionalitatsfaktor dieRuderwirksamkeit cA" ist. Zur Uberprufung der zweiten Annahme sind in Bild 49 diefur verschiedene Klappenstellungen gemessenen Auftriebsmaxima der Basiskongura-tion dargestellt. Es zeigt sich, da mit steigendem Ruderwinkel der maximale Auftrieblinear groer wird, wobei die Steigung der theoretischen Kurve fur cA( = 12) sehrgut mit der Steigung der experimentellen Kurve fur cA;max ubereinstimmt. Auch diezweite Voraussetzung wird also durch die Messungen bestatigt. Relative Anderungendes Auftriebsmaximums infolge eines Ruderausschlages " werden demnach durch dieTheorie in Ubereinstimmung mit dem Experiment vorausgesagt. Die Berechnung derAbsolutgroe des maximalen Auftriebsbeiwertes einer Konguration ist jedoch nichtmoglich.Die Flugleistungen, die fur = 12 in Abhangigkeit vom Klappenwinkel erreichtwerden, sind in Bild 50 uber dem Gewichtsbeiwert aufgetragen. Zusatzlich ist derjeweilige Klappenwinkel " und die fur einen Gleichgewichtszustand notwendige Langs-stabilitat NS dargestellt.Die Klappe bendet sich bei cG = 1; 05 und = 12 in der widerstandsgunstigstenPosition. Die Flugleistungen der Basiskonguration werden daher fur diesen Gewichts-beiwert maximal. Noch vorhandene Unterschiede zum Flugel ohne Klappe beruhenauf dem groeren Reibungswiderstand der Basiskonguration. Im Bereich groer Auf-triebsbeiwerte ist der Anteil der Reibung am Gesamtwiderstand jedoch gering, so dadie minimalen Verluste durch die Klappe auerst klein sind. Obwohl beide Kon-gurationen fur cG = 1; 05 nahezu die gleiche Druckpunktlage und damit die gleicheSchwerpunktlage besitzen, ist die Instabilitat der Basiskonguration geringer. Ver-antwortlich hierfur ist die stabilisierende Wirkung der Steuer ache. Ausgehend vondiesem Trimmpunkt lat sich die Fluggeschwindigkeit durch einen Ruderausschlagnach unten verringern. Entsprechend der weiter oben diskutierten Zusammenhangeverlagert sich hierbei der Druckpunkt nach hinten. Da der Schwerpunkt in einemGleichgewichtszustand im Druckpunkt liegen mu, wird die Konguration instabiler.Gleichzeitig werden die Flugleistungen schlechter, da der induzierte Widerstand durchden Schwanzausschlag wachst.Der Ein u des Vogelschwanzes auf die Flugleistungen und Flugeigenschaften einesVogels bei starrer Flugelgeometrie lat sich demnach wie folgt zusammenfassen:Durch Ausschlagen des Schwanzes nach oben bzw. unten kann der Vogel seine Flugge-schwindigkeit regulieren. Die Funktionsweise dieser Steuerung bzw. Trimmung ist mitder eines Hohenruders an einem konventionellen Flugzeug vergleichbar. Sie basiertauf einer Veranderung des Nullmomentes, wobei die Langsstabilitat der Kongura-tion unverandert bleibt. Fur eine Schwerpunktlage gehort zu jeder Fluggeschwindig-keit ein Klappenwinkel. Es gibt eine Fluggeschwindigkeit fur bestes Gleiten und eineetwas kleinere Fluggeschwindigkeit fur minimales Sinken. Im Vergleich zum Flugel

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 73erfullt werden. Zum einen mu der Anstellwinkel des maximalen Auftriebsbeiwertesunabhangig vom Ruderwinkel " sein. Dies ist bei Klappen ugeln in guter Naherungerfullt, wie die Messungen von Gothert [112] und Wenzinger [113] belegen. Zum ande-ren mu die Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes durch einen Klappenaus-schlag proportional zum Klappenwinkel " sein, wobei der Proportionalitatsfaktor dieRuderwirksamkeit cA" ist. Zur Uberprufung der zweiten Annahme sind in Bild 49 diefur verschiedene Klappenstellungen gemessenen Auftriebsmaxima der Basiskongura-tion dargestellt. Es zeigt sich, da mit steigendem Ruderwinkel der maximale Auftrieblinear groer wird, wobei die Steigung der theoretischen Kurve fur cA( = 12) sehrgut mit der Steigung der experimentellen Kurve fur cA;max ubereinstimmt. Auch diezweite Voraussetzung wird also durch die Messungen bestatigt. Relative Anderungendes Auftriebsmaximums infolge eines Ruderausschlages " werden demnach durch dieTheorie in Ubereinstimmung mit dem Experiment vorausgesagt. Die Berechnung derAbsolutgroe des maximalen Auftriebsbeiwertes einer Konguration ist jedoch nichtmoglich.Die Flugleistungen, die fur = 12 in Abhangigkeit vom Klappenwinkel erreichtwerden, sind in Bild 50 uber dem Gewichtsbeiwert aufgetragen. Zusatzlich ist derjeweilige Klappenwinkel " und die fur einen Gleichgewichtszustand notwendige Langs-stabilitat NS dargestellt.Die Klappe bendet sich bei cG = 1; 05 und = 12 in der widerstandsgunstigstenPosition. Die Flugleistungen der Basiskonguration werden daher fur diesen Gewichts-beiwert maximal. Noch vorhandene Unterschiede zum Flugel ohne Klappe beruhenauf dem groeren Reibungswiderstand der Basiskonguration. Im Bereich groer Auf-triebsbeiwerte ist der Anteil der Reibung am Gesamtwiderstand jedoch gering, so dadie minimalen Verluste durch die Klappe auerst klein sind. Obwohl beide Kon-gurationen fur cG = 1; 05 nahezu die gleiche Druckpunktlage und damit die gleicheSchwerpunktlage besitzen, ist die Instabilitat der Basiskonguration geringer. Ver-antwortlich hierfur ist die stabilisierende Wirkung der Steuer ache. Ausgehend vondiesem Trimmpunkt lat sich die Fluggeschwindigkeit durch einen Ruderausschlagnach unten verringern. Entsprechend der weiter oben diskutierten Zusammenhangeverlagert sich hierbei der Druckpunkt nach hinten. Da der Schwerpunkt in einemGleichgewichtszustand im Druckpunkt liegen mu, wird die Konguration instabiler.Gleichzeitig werden die Flugleistungen schlechter, da der induzierte Widerstand durchden Schwanzausschlag wachst.Der Ein u des Vogelschwanzes auf die Flugleistungen und Flugeigenschaften einesVogels bei starrer Flugelgeometrie lat sich demnach wie folgt zusammenfassen:Durch Ausschlagen des Schwanzes nach oben bzw. unten kann der Vogel seine Flugge-schwindigkeit regulieren. Die Funktionsweise dieser Steuerung bzw. Trimmung ist mitder eines Hohenruders an einem konventionellen Flugzeug vergleichbar. Sie basiertauf einer Veranderung des Nullmomentes, wobei die Langsstabilitat der Kongura-tion unverandert bleibt. Fur eine Schwerpunktlage gehort zu jeder Fluggeschwindig-keit ein Klappenwinkel. Es gibt eine Fluggeschwindigkeit fur bestes Gleiten und eineetwas kleinere Fluggeschwindigkeit fur minimales Sinken. Im Vergleich zum Flugel

74 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelohne Schwanz sind diese Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) einerFlugelSchwanzAnordnung generell schlechter. Verantwortlich ist hierfur zum einendie unvermeidliche Reibung am Vogelschwanz und zum anderen der zusatzlich indu-zierte Widerstand aufgrund eines Schwanzausschlages. Letzterer wird bei einer festenSchwerpunktlage nur in einer Schwanzposition, also bei einer Fluggeschwindigkeit,Null. In dieser Stellung ist der Schwanz unbelastet, so da die Leistungsverluste durchden Vogelschwanz minimal werden. Abweichungen von diesem Trimmpunkt erfordernandere Schwanzstellungen, in denen der dann belastete Vogelschwanz zusatzlich in-duzierten Widerstand produziert. Das Austrimmen verschiedener Fluggeschwindig-keiten mittels eines Schwanzausschlages ist daher nicht besonders leistungsgunstig.Dennoch wird der Vogelschwanz sicherlich zur Regulierung der Fluggeschwindigkeitbenutzt, wenn die Flugleistungen nicht maximal sein sollen (z. B. steilerer Gleitwinkelbei moglichst geringer Zunahme der Fluggeschwindigkeit).Wahrend der Flugel ohne Steuer ache aufgrund seines kop astigen Nullmomentesnur mit instabilen Schwerpunktlagen gleiten kann, ermoglicht die Steuer ache derBasiskonguration auch stabile Fluglagen. Hierzu mu der Vogelschwanz weit nachoben ausgeschlagen werden, so da das Nullmoment der Konguration schwanzlastigwird. In dieser Position vergroert der Schwanz jedoch den induzierten Widerstandganz erheblich. Gleichzeitig verringert der negative Ruderausschlag den maximal er- iegbaren Auftriebsbeiwert. Die stabile Fluglage mu also durch betrachtliche Ver-luste an Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit und durch eine Reduktion der Mindest- uggeschwindigkeit erkauft werden. Im Gegensatz dazu kann ein instabil iegenderVogel seinen Schwanz in der leistungsgunstigsten, unbelasteten Position halten. DerSchwerpunkt des Vogels mu hierzu im Druckpunkt des Flugels ohne Schwanz liegen,also hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt des Flugels. Obwohl der aerodyna-mische Neutralpunkt durch den Vogelschwanz nach hinten verlagert wird, sind diewiderstandsgunstigsten Schwerpunktlagen der Basiskonguration durchweg instabil.Sie liegen also nicht nur hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt des Flugels, son-dern auch hinter dem Neutralpunkt der Basiskonguration. Ein instabil gleitenderVogel hat also gegenuber einem stabilen Vogel betrachtliche Vorteile. Er mu jedochStorungen seiner Fluglage standig aktiv aussteuern. Hierzu ist der Vogelschwanz sehrgut geeignet, da seine Stellung schnell verandert werden kann und kleine Ausschlageum die widerstandsgunstigste Lage nahezu keinen zusatzlichen Widerstand produzie-ren.Die Instabilitat hat fur einen Vogel noch weitere Vorteile. Aufgrund des positivenNickmomentenanstiegs cMS; sind instabile Kongurationen erheblich wendiger alsstabile. Auerdem kann ein Vogel seinen maximal er iegbaren Auftriebsbeiwert nurdann durch einen Schwanzausschlag nach unten vergroern, wenn er instabil iegenkann. Je weiter ein Vogel den Schwanz nach unten ausschlagt, desto geringer wird sei-ne minimale Fluggeschwindigkeit und desto instabiler seine Fluglage. Ein weit nachunten ausgeschlagener Schwanz hat gleichzeitig eine sehr gute Bremswirkung, die ins-besondere in der Landephase der Vogel vorteilhaft ist.Aus den genannten Grunden ist es daher sehr wahrscheinlich, da Vogel instabil ie-gen. Diese Vermutung wird durch die Beobachtung landender Vogel bestatigt, die zur

74 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelohne Schwanz sind diese Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) einerFlugelSchwanzAnordnung generell schlechter. Verantwortlich ist hierfur zum einendie unvermeidliche Reibung am Vogelschwanz und zum anderen der zusatzlich indu-zierte Widerstand aufgrund eines Schwanzausschlages. Letzterer wird bei einer festenSchwerpunktlage nur in einer Schwanzposition, also bei einer Fluggeschwindigkeit,Null. In dieser Stellung ist der Schwanz unbelastet, so da die Leistungsverluste durchden Vogelschwanz minimal werden. Abweichungen von diesem Trimmpunkt erfordernandere Schwanzstellungen, in denen der dann belastete Vogelschwanz zusatzlich in-duzierten Widerstand produziert. Das Austrimmen verschiedener Fluggeschwindig-keiten mittels eines Schwanzausschlages ist daher nicht besonders leistungsgunstig.Dennoch wird der Vogelschwanz sicherlich zur Regulierung der Fluggeschwindigkeitbenutzt, wenn die Flugleistungen nicht maximal sein sollen (z. B. steilerer Gleitwinkelbei moglichst geringer Zunahme der Fluggeschwindigkeit).Wahrend der Flugel ohne Steuer ache aufgrund seines kop astigen Nullmomentesnur mit instabilen Schwerpunktlagen gleiten kann, ermoglicht die Steuer ache derBasiskonguration auch stabile Fluglagen. Hierzu mu der Vogelschwanz weit nachoben ausgeschlagen werden, so da das Nullmoment der Konguration schwanzlastigwird. In dieser Position vergroert der Schwanz jedoch den induzierten Widerstandganz erheblich. Gleichzeitig verringert der negative Ruderausschlag den maximal er- iegbaren Auftriebsbeiwert. Die stabile Fluglage mu also durch betrachtliche Ver-luste an Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit und durch eine Reduktion der Mindest- uggeschwindigkeit erkauft werden. Im Gegensatz dazu kann ein instabil iegenderVogel seinen Schwanz in der leistungsgunstigsten, unbelasteten Position halten. DerSchwerpunkt des Vogels mu hierzu im Druckpunkt des Flugels ohne Schwanz liegen,also hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt des Flugels. Obwohl der aerodyna-mische Neutralpunkt durch den Vogelschwanz nach hinten verlagert wird, sind diewiderstandsgunstigsten Schwerpunktlagen der Basiskonguration durchweg instabil.Sie liegen also nicht nur hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt des Flugels, son-dern auch hinter dem Neutralpunkt der Basiskonguration. Ein instabil gleitenderVogel hat also gegenuber einem stabilen Vogel betrachtliche Vorteile. Er mu jedochStorungen seiner Fluglage standig aktiv aussteuern. Hierzu ist der Vogelschwanz sehrgut geeignet, da seine Stellung schnell verandert werden kann und kleine Ausschlageum die widerstandsgunstigste Lage nahezu keinen zusatzlichen Widerstand produzie-ren.Die Instabilitat hat fur einen Vogel noch weitere Vorteile. Aufgrund des positivenNickmomentenanstiegs cMS; sind instabile Kongurationen erheblich wendiger alsstabile. Auerdem kann ein Vogel seinen maximal er iegbaren Auftriebsbeiwert nurdann durch einen Schwanzausschlag nach unten vergroern, wenn er instabil iegenkann. Je weiter ein Vogel den Schwanz nach unten ausschlagt, desto geringer wird sei-ne minimale Fluggeschwindigkeit und desto instabiler seine Fluglage. Ein weit nachunten ausgeschlagener Schwanz hat gleichzeitig eine sehr gute Bremswirkung, die ins-besondere in der Landephase der Vogel vorteilhaft ist.Aus den genannten Grunden ist es daher sehr wahrscheinlich, da Vogel instabil ie-gen. Diese Vermutung wird durch die Beobachtung landender Vogel bestatigt, die zur

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 75Landung ihren Schwanz im allgemeinen weit nach unten ausschlagen. Die Vogel re-duzieren auf diese Weise ihre Mindest uggeschwindigkeit und nutzen gleichzeitig diegute Bremswirkung des Schwanzes in dieser Position.Bei den bisherigen Uberlegungen wurde der Ein u des Vogelrumpfes vernachlassigt.Es ist jedoch nicht auszuschlieen, da dem Vogelschwanz auch im Zusammenhang mitdem Ein u des Rumpfes auf die Aerodynamik des Vogels eine Bedeutung zukommt.Obwohl dieser Eekt mit dem vorgestellten Verfahren nicht untersucht werden kann,soll er im weiteren kurz qualitativ diskutiert werden.Wie aus grundsatzlichen Untersuchungen bekannt ist (Schlichting und Truckenbrodt[91]), produziert ein rotationssymmetrischer Rumpf naherungsweise einen Auftrieb,der dem vom Rumpf uberdeckten Flugelstuck entspricht. Die Flache unter der spann-weitigen Zirkulationsverteilung ist daher mit und ohne Rumpf nahezu gleich. Un-abhangig hiervon kann die spannweitige Verteilung der Zirkulation im Bereich desRumpfes bezuglich der Widerstandsproduktion gunstig bzw. ungunstig sein. Eineungunstige Verteilung liegt vor, wenn der Vogelrumpf die Zirkulationsverteilung desFlugels ohne Rumpf verandert. Der Vogelrumpf vergroert dann den induzierten Wi-derstand des Vogels. Dieser negative Rumpfein u kann durch den Vogelschwanz ver-hindert werden. Der Schwanz mu hierzu so belastet werden, da die spannweitigeZirkulationsverteilung des Vogels wieder derjenigen des Flugels allein entspricht. Ei-ne weitere Aufgabe des Vogelschwanzes ware es demnach, einen gegebenenfalls vor-handenen, negativen Ein u des Vogelrumpfes auf den induzierten Widerstand zukompensieren. Fur eine genauere Analyse dieser Schwanzfunktion sind jedoch weitereUntersuchungen erforderlich.4.4.2 Variation der Steuer achengeometrieDie Funktionen eines Vogelschwanzes fur den stationaren Gleit ug lassen sich nachdem zuvor Gesagten wie folgt zusammenfassen: Reduktion der Mindest uggeschwindigkeit Vergroerung der statischen Langsstabilitat bzw. Verkleinerung der Instabilitat Steuerung der Langsbewegung bei nicht leistungsoptimalen Flugbahnen Kompensation von Storungen bei instabilen Fluglagen Kompensation eines negativen Rumpfein usses auf den induzierten Widerstand.Neben diesen Aufgaben fuhrt ein Vogelschwanz im Vergleich zum Flugel ohne Schwanzaufgrund des zusatzlichen Reibungswiderstandes generell zu einer Verschlechterungder Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit). Wahrend fur die moglichstwirksame Erfullung der Aufgaben ein groer Vogelschwanz wunschenswert ist, resul-tiert aus der Forderung nach optimalen Flugleistungen ein moglichst kleiner Schwanz.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 75Landung ihren Schwanz im allgemeinen weit nach unten ausschlagen. Die Vogel re-duzieren auf diese Weise ihre Mindest uggeschwindigkeit und nutzen gleichzeitig diegute Bremswirkung des Schwanzes in dieser Position.Bei den bisherigen Uberlegungen wurde der Ein u des Vogelrumpfes vernachlassigt.Es ist jedoch nicht auszuschlieen, da dem Vogelschwanz auch im Zusammenhang mitdem Ein u des Rumpfes auf die Aerodynamik des Vogels eine Bedeutung zukommt.Obwohl dieser Eekt mit dem vorgestellten Verfahren nicht untersucht werden kann,soll er im weiteren kurz qualitativ diskutiert werden.Wie aus grundsatzlichen Untersuchungen bekannt ist (Schlichting und Truckenbrodt[91]), produziert ein rotationssymmetrischer Rumpf naherungsweise einen Auftrieb,der dem vom Rumpf uberdeckten Flugelstuck entspricht. Die Flache unter der spann-weitigen Zirkulationsverteilung ist daher mit und ohne Rumpf nahezu gleich. Un-abhangig hiervon kann die spannweitige Verteilung der Zirkulation im Bereich desRumpfes bezuglich der Widerstandsproduktion gunstig bzw. ungunstig sein. Eineungunstige Verteilung liegt vor, wenn der Vogelrumpf die Zirkulationsverteilung desFlugels ohne Rumpf verandert. Der Vogelrumpf vergroert dann den induzierten Wi-derstand des Vogels. Dieser negative Rumpfein u kann durch den Vogelschwanz ver-hindert werden. Der Schwanz mu hierzu so belastet werden, da die spannweitigeZirkulationsverteilung des Vogels wieder derjenigen des Flugels allein entspricht. Ei-ne weitere Aufgabe des Vogelschwanzes ware es demnach, einen gegebenenfalls vor-handenen, negativen Ein u des Vogelrumpfes auf den induzierten Widerstand zukompensieren. Fur eine genauere Analyse dieser Schwanzfunktion sind jedoch weitereUntersuchungen erforderlich.4.4.2 Variation der Steuer achengeometrieDie Funktionen eines Vogelschwanzes fur den stationaren Gleit ug lassen sich nachdem zuvor Gesagten wie folgt zusammenfassen: Reduktion der Mindest uggeschwindigkeit Vergroerung der statischen Langsstabilitat bzw. Verkleinerung der Instabilitat Steuerung der Langsbewegung bei nicht leistungsoptimalen Flugbahnen Kompensation von Storungen bei instabilen Fluglagen Kompensation eines negativen Rumpfein usses auf den induzierten Widerstand.Neben diesen Aufgaben fuhrt ein Vogelschwanz im Vergleich zum Flugel ohne Schwanzaufgrund des zusatzlichen Reibungswiderstandes generell zu einer Verschlechterungder Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit). Wahrend fur die moglichstwirksame Erfullung der Aufgaben ein groer Vogelschwanz wunschenswert ist, resul-tiert aus der Forderung nach optimalen Flugleistungen ein moglichst kleiner Schwanz.

76 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelJeder Vogelschwanz stellt demnach einen Kompromi dar. Im weiteren werden ver-schiedene Vogelschwanze im Hinblick auf die Gewichtung dieses Kompromisses zuGunsten der Schwanzfunktionen bzw. der Flugleistungen verglichen.4.4.2.1 Steuer achenlangeDer Ein u der Steuer achenlange wird anhand der berechneten Beiwerte des Ba-sis ugels diskutiert, an den die Steuer achen A,B und C (Bild 26 und Bild 27) an-gesetzt wurden. Die berechneten Beiwerte fur diese Kongurationen wurden bereitszur Uberprufung der Theorie in Bild 32 mit Meergebnissen verglichen. Aus ihnenergeben sich die in Bild 51 uber der auf die Flugel ache FF bezogenen Kongurati-ons ache F dargestellten Gradienten cA und cM sowie die Neutralpunktlagen N .Die Gradienten entsprechen den Ableitungen der Ausgleichspolynome (Gl. (3.141))an der Stelle = " = 0.Mit zunehmender Schwanzlange `K werden der Auftriebsanstieg cA nur schwach undder kop astige Nickmomentengradient cM deutlich groer. Bei fester Schwerpunkt-lage nimmt die Langsstabilitat einer Konguration demnach mit der Schwanzlangezu.Infolge der Schwanzverlangerung wird die Schwanz ache groer. Die zusatzlicheSchwanz ache produziert zusatzlichen Auftrieb, der jedoch nur schwach mit dem An-stellwinkel wachst. Ursache hierfur ist die Kutta'sche Ab ubedingung, die unabhan-gig vom Anstellwinkel an der Hinterkante erfullt wird. Die hintere Schwanz ache istdaher aerodynamisch nur schwach belastet. Zusatzlich bendet sich der Vogelschwanzim Abwindfeld des Flugels. Eine Anstellwinkelvergroerung fuhrt zu einer Verstarkungdes Abwindfeldes und behindert damit den Auftriebsanstieg auf dem Vogelschwanz.Trotz dieses nur geringen Auftriebszuwachses wird der kop astige Nickmomentengra-dient cM mit der Schwanzlange groer, da der Hebelarm des Zusatzauftriebes be-trachtlich ist und mit der Schwanzlange groer wird. Eine Schwanzverlangerung wirktdeshalb stabilisierend auf die Fluglage (Hummel [42]).Die berechneten Ruderwirksamkeiten cA" und cM0;" sind in Bild 37 zusammen mitMeergebnissen uber der Kongurations ache dargestellt. Mit wachsender Schwanz-lange werden der Auftriebsgradient cA" und der kop astige NullmomentengradientcM0;" groer, wobei der Zuwachs von cA" nur schwach ist. Die Ruderwirksamkeiteines Vogelschwanzes nimmt demnach mit der Lange zu. Hierbei ist die Vergroe-rung des Auftriebsgradienten cA" gering, da unabhangig vom Klappenausschlag ander Schwanzhinterkante die Kutta'sche Ab ubedingung erfullt wird.Die Gleitzahlen E und die Sinkgeschwindigkeiten wg der Kongurationen A, B undC sind in Bild 52 fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2 uber demGewichtsbeiwert dargestellt. Diese Schwerpunktlagen fuhren zu einem instabilen Flug-zustand. Zum Vergleich sind auch die Flugleistungen des Basis ugels dargestellt. FurS = 0; 1 kann der Flugel nur bei cG = 0; 68 und fur S = 0; 2 bei cG = 0; 36instabil gleiten.

76 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelJeder Vogelschwanz stellt demnach einen Kompromi dar. Im weiteren werden ver-schiedene Vogelschwanze im Hinblick auf die Gewichtung dieses Kompromisses zuGunsten der Schwanzfunktionen bzw. der Flugleistungen verglichen.4.4.2.1 Steuer achenlangeDer Ein u der Steuer achenlange wird anhand der berechneten Beiwerte des Ba-sis ugels diskutiert, an den die Steuer achen A,B und C (Bild 26 und Bild 27) an-gesetzt wurden. Die berechneten Beiwerte fur diese Kongurationen wurden bereitszur Uberprufung der Theorie in Bild 32 mit Meergebnissen verglichen. Aus ihnenergeben sich die in Bild 51 uber der auf die Flugel ache FF bezogenen Kongurati-ons ache F dargestellten Gradienten cA und cM sowie die Neutralpunktlagen N .Die Gradienten entsprechen den Ableitungen der Ausgleichspolynome (Gl. (3.141))an der Stelle = " = 0.Mit zunehmender Schwanzlange `K werden der Auftriebsanstieg cA nur schwach undder kop astige Nickmomentengradient cM deutlich groer. Bei fester Schwerpunkt-lage nimmt die Langsstabilitat einer Konguration demnach mit der Schwanzlangezu.Infolge der Schwanzverlangerung wird die Schwanz ache groer. Die zusatzlicheSchwanz ache produziert zusatzlichen Auftrieb, der jedoch nur schwach mit dem An-stellwinkel wachst. Ursache hierfur ist die Kutta'sche Ab ubedingung, die unabhan-gig vom Anstellwinkel an der Hinterkante erfullt wird. Die hintere Schwanz ache istdaher aerodynamisch nur schwach belastet. Zusatzlich bendet sich der Vogelschwanzim Abwindfeld des Flugels. Eine Anstellwinkelvergroerung fuhrt zu einer Verstarkungdes Abwindfeldes und behindert damit den Auftriebsanstieg auf dem Vogelschwanz.Trotz dieses nur geringen Auftriebszuwachses wird der kop astige Nickmomentengra-dient cM mit der Schwanzlange groer, da der Hebelarm des Zusatzauftriebes be-trachtlich ist und mit der Schwanzlange groer wird. Eine Schwanzverlangerung wirktdeshalb stabilisierend auf die Fluglage (Hummel [42]).Die berechneten Ruderwirksamkeiten cA" und cM0;" sind in Bild 37 zusammen mitMeergebnissen uber der Kongurations ache dargestellt. Mit wachsender Schwanz-lange werden der Auftriebsgradient cA" und der kop astige NullmomentengradientcM0;" groer, wobei der Zuwachs von cA" nur schwach ist. Die Ruderwirksamkeiteines Vogelschwanzes nimmt demnach mit der Lange zu. Hierbei ist die Vergroe-rung des Auftriebsgradienten cA" gering, da unabhangig vom Klappenausschlag ander Schwanzhinterkante die Kutta'sche Ab ubedingung erfullt wird.Die Gleitzahlen E und die Sinkgeschwindigkeiten wg der Kongurationen A, B undC sind in Bild 52 fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2 uber demGewichtsbeiwert dargestellt. Diese Schwerpunktlagen fuhren zu einem instabilen Flug-zustand. Zum Vergleich sind auch die Flugleistungen des Basis ugels dargestellt. FurS = 0; 1 kann der Flugel nur bei cG = 0; 68 und fur S = 0; 2 bei cG = 0; 36instabil gleiten.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 77Im Bereich um den Gewichtsbeiwert cG = 0; 36 werden die Flugleistungen furS = 0; 2 mit zunehmender Schwanzlange schlechter. Gleiches gilt fur S = 0; 1in der Umgebung von cG = 0; 68. Auerhalb dieser Bereiche (z. B. cG > 0; 55 furS = 0; 1) sind die Flugleistungen der Konguration mit langem Schwanz besser alsdiejenigen der Anordnung mit kurzem Schwanz.Im Vergleich zum Flugel ohne Steuer ache fuhrt der Schwanz generell zu einer Ver-schlechterung der Gleitzahlen und der Sinkgeschwindigkeiten. Diese Leistungsverlustewerden unabhangig von der Schwanzgeometrie fur S = 0; 1 bei cG = 0; 68 und furS = 0; 2 bei cG = 0; 36 minimal. Sie beruhen im Bereich dieser Gewichtsbeiwer-te auf dem groeren Reibungswiderstand einer Konguration mit Schwanz. Da derReibungswiderstand mit der Schwanzlange groer wird, werden auch die minimalenLeistungsverluste durch den Vogelschwanz mit der Lange groer. Die erreichbarenFlugleistungen werden deshalb fur S = 0; 1 in der Umgebung von cG = 0; 68 undfur S = 0; 2 im Bereich um cG = 0; 36 mit wachsender Schwanzlange schlechter.Aus diesem Grund verbringen Vogel einer Art statistisch um so langere Zeit ohneUnterbrechung in der Luft, je kurzer ihr Schwanz ist (Evans und Thomas [114], Evansund Hatchwell [115]).Mit zunehmender Abweichung von den genannten Gewichtsbeiwerten nimmt derSchwanzausschlag und damit auch die Belastung der Steuer ache zu. Infolgedessenvergroert die Klappe zunehmend den induzierten Widerstand der Konguration, soda die Leistungsverluste durch den Vogelschwanz groer werden. Hierbei ist die Zu-nahme des induziertenWiderstandes bei einem langen Schwanz kleiner als beim kurzenSchwanz, weil der lange Schwanz bei ungefahr gleichem Auftriebsgradienten cA" einebessere Ruderwirksamkeit cM0;" besitzt. Der Ruderweg langer Schwanze ist daher klei-ner. Unterstutzt wird dieser Eekt durch die geringere Instabilitat der Kongurationmit langem Schwanz, die ebenfalls einen kleineren Ruderweg zur Folge hat. Ab einergewissen Abweichung von der Fluggeschwindigkeit minimaler Leistungsverluste durchden Vogelschwanz wird also der groere Reibungswiderstand langer Schwanze durcheinen geringeren induzierten Widerstand kompensiert.Die Gleitzahlen und die Sinkgeschwindigkeiten der drei Kongurationen (A, B undC) sind fur den Anstellwinkel von = 12 in Bild 53 uber dem Gewichtsbeiwertaufgetragen. Zusatzlich werden die jeweiligen Klappenwinkel " und die fur ein Gleich-gewicht notwendigen Abstande NS zwischen dem aerodynamischen Neutralpunktund dem Schwerpunkt angegeben.Fur cG = 1; 05 und = 12 benden sich die Steuer achen in der widerstandsgunstig-sten Position. Die Klappen liefern in dieser Stellung keinen Beitrag zum induzier-ten Widerstand. Die Zirkulationsverteilung uber dem Flugel ist dann fur die dreiSchwanzformen gleich, so da die Kongurationen insgesamt die gleichen induziertenWiderstande besitzen. Die noch vorhandenen Leistungsunterschiede bei cG = 1; 05 be-ruhen auf den verschiedenen Reibungswiderstanden. Je langer der Vogelschwanz ist,desto groer ist der Reibungswiderstand und desto schlechter sind die Flugleistun-gen. Aufgrund der unbelasteten Steuer ache besitzen die Kongurationen die gleichenDruckpunktlagen. Die fur einen Gleichgewichtszustand notwendigen Schwerpunktla-

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 77Im Bereich um den Gewichtsbeiwert cG = 0; 36 werden die Flugleistungen furS = 0; 2 mit zunehmender Schwanzlange schlechter. Gleiches gilt fur S = 0; 1in der Umgebung von cG = 0; 68. Auerhalb dieser Bereiche (z. B. cG > 0; 55 furS = 0; 1) sind die Flugleistungen der Konguration mit langem Schwanz besser alsdiejenigen der Anordnung mit kurzem Schwanz.Im Vergleich zum Flugel ohne Steuer ache fuhrt der Schwanz generell zu einer Ver-schlechterung der Gleitzahlen und der Sinkgeschwindigkeiten. Diese Leistungsverlustewerden unabhangig von der Schwanzgeometrie fur S = 0; 1 bei cG = 0; 68 und furS = 0; 2 bei cG = 0; 36 minimal. Sie beruhen im Bereich dieser Gewichtsbeiwer-te auf dem groeren Reibungswiderstand einer Konguration mit Schwanz. Da derReibungswiderstand mit der Schwanzlange groer wird, werden auch die minimalenLeistungsverluste durch den Vogelschwanz mit der Lange groer. Die erreichbarenFlugleistungen werden deshalb fur S = 0; 1 in der Umgebung von cG = 0; 68 undfur S = 0; 2 im Bereich um cG = 0; 36 mit wachsender Schwanzlange schlechter.Aus diesem Grund verbringen Vogel einer Art statistisch um so langere Zeit ohneUnterbrechung in der Luft, je kurzer ihr Schwanz ist (Evans und Thomas [114], Evansund Hatchwell [115]).Mit zunehmender Abweichung von den genannten Gewichtsbeiwerten nimmt derSchwanzausschlag und damit auch die Belastung der Steuer ache zu. Infolgedessenvergroert die Klappe zunehmend den induzierten Widerstand der Konguration, soda die Leistungsverluste durch den Vogelschwanz groer werden. Hierbei ist die Zu-nahme des induziertenWiderstandes bei einem langen Schwanz kleiner als beim kurzenSchwanz, weil der lange Schwanz bei ungefahr gleichem Auftriebsgradienten cA" einebessere Ruderwirksamkeit cM0;" besitzt. Der Ruderweg langer Schwanze ist daher klei-ner. Unterstutzt wird dieser Eekt durch die geringere Instabilitat der Kongurationmit langem Schwanz, die ebenfalls einen kleineren Ruderweg zur Folge hat. Ab einergewissen Abweichung von der Fluggeschwindigkeit minimaler Leistungsverluste durchden Vogelschwanz wird also der groere Reibungswiderstand langer Schwanze durcheinen geringeren induzierten Widerstand kompensiert.Die Gleitzahlen und die Sinkgeschwindigkeiten der drei Kongurationen (A, B undC) sind fur den Anstellwinkel von = 12 in Bild 53 uber dem Gewichtsbeiwertaufgetragen. Zusatzlich werden die jeweiligen Klappenwinkel " und die fur ein Gleich-gewicht notwendigen Abstande NS zwischen dem aerodynamischen Neutralpunktund dem Schwerpunkt angegeben.Fur cG = 1; 05 und = 12 benden sich die Steuer achen in der widerstandsgunstig-sten Position. Die Klappen liefern in dieser Stellung keinen Beitrag zum induzier-ten Widerstand. Die Zirkulationsverteilung uber dem Flugel ist dann fur die dreiSchwanzformen gleich, so da die Kongurationen insgesamt die gleichen induziertenWiderstande besitzen. Die noch vorhandenen Leistungsunterschiede bei cG = 1; 05 be-ruhen auf den verschiedenen Reibungswiderstanden. Je langer der Vogelschwanz ist,desto groer ist der Reibungswiderstand und desto schlechter sind die Flugleistun-gen. Aufgrund der unbelasteten Steuer ache besitzen die Kongurationen die gleichenDruckpunktlagen. Die fur einen Gleichgewichtszustand notwendigen Schwerpunktla-

78 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelgen sind daher fur cG = 1; 05 gleich. Mit zunehmender Schwanzlange verschiebt sichder aerodynamische Neutralpunkt nach hinten. Entsprechend kann die Kongurationmit langem Schwanz fur cG = 1; 05 mit einer geringeren Instabilitat NS gleiten, alsdiejenige mit kurzem Schwanz.Der maximale Auftriebsbeiwert einer Konguration bei konstantem Anstellwinkelkann durch einen Klappenausschlag nach unten deutlich vergroert werden. Mit zu-nehmendem Ausschlag wird hierbei die Zirkulationsverteilung bezuglich des induzier-ten Widerstandes ungunstiger. Der Widerstand steigt an. Dieser Widerstandsanstieguberwiegt den Auftriebsanstieg, so da die Flugleistungen schlechter werden. Die Ver-schlechterung der Flugleistungen ist umso groer, je langer der Schwanz ist. Die mogli-che Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes durch einen Schwanzausschlagnimmt mit der Schwanzlange etwas zu. Verantwortlich hierfur ist primar die leichteZunahme der Ruderwirksamkeit cA". Parallel dazu nimmt der er iegbare Bereich vonSchwerpunktlagen bzw. Langsstabilitaten aufgrund der besseren RuderwirksamkeitcM0;" mit der Schwanzlange geringfugig zu.Eine Vogelart kann demnach im Verlauf der Evolution durch die Verlangerung ihresSchwanzes die Langsstabilitat vergroern. Gleichzeitig nimmt die RuderwirksamkeitcM0;" zu, wahrend cA" nahezu unverandert bleibt. Die optimale Gleitzahl und die mi-nimale Sinkgeschwindigkeit werden schlechter. Bezuglich der Flugleistungen hat dieSchwanzverlangerung nur dann Vorteile, wenn der Vogel den Schwanz zur Verande-rung seines Nullmomentes belastet. Ein langer Schwanz ist daher zum Beispiel fureinen Vogel von Interesse, der primar fur einen langsamen Flug ausgelegt ist, aberauch schnell gleiten konnen mu. Ein weiterer Vorteil eines langen Schwanzes liegtin dem groeren Bereich austrimmbarer Schwerpunktlagen bzw. Langsstabilitaten.Vogel, die ihre Beute im Flug tragen, konnen diese Eigenschaft eines langen Schwan-zes nutzen. Aufgrund der guten Bremseigenschaft und der leichten Reduktion derMindest uggeschwindigkeit hat ein langer Schwanz auch in der Landephase Vorteile.4.4.2.2 Steuer achenbreiteDer Ein u der Schwanzbreite bK = bKV = bKH wird auf Basis der berechnetenBeiwerte der Kongurationen R, B, AC untersucht (Bild 26 und Bild 27). Die Flachendieser Kongurationen entsprechen jeweils denen der Kongurationen A, B und C.In Bild 51 sind die Gradienten cA und cM sowie die Neutralpunktlagen N uberdem Flachenverhaltnis F=FF dargestellt.Sowohl der Auftriebsanstieg cA als auch der kop astige Nickmomentengradient cMwerden mit der Schwanzbreite groer. Im Vergleich zur Schwanzverlangerung ist dieZunahme von cA groer, wahrend die statische Langsstabilitat nahezu gleich ansteigt.Bei einer Schwanzverlangerung entsteht der zusatzliche Auftrieb uberwiegend auf derzusatzlichen Schwanz ache. Eine Schwanzverbreiterung fuhrt hingegen zu einer Ver-groerung des Auftriebs auf der gesamten Schwanz ache und auf dem Flugel. Beigleicher Flachenzunahme wachst cA daher mit der Schwanzbreite starker an, als

78 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelgen sind daher fur cG = 1; 05 gleich. Mit zunehmender Schwanzlange verschiebt sichder aerodynamische Neutralpunkt nach hinten. Entsprechend kann die Kongurationmit langem Schwanz fur cG = 1; 05 mit einer geringeren Instabilitat NS gleiten, alsdiejenige mit kurzem Schwanz.Der maximale Auftriebsbeiwert einer Konguration bei konstantem Anstellwinkelkann durch einen Klappenausschlag nach unten deutlich vergroert werden. Mit zu-nehmendem Ausschlag wird hierbei die Zirkulationsverteilung bezuglich des induzier-ten Widerstandes ungunstiger. Der Widerstand steigt an. Dieser Widerstandsanstieguberwiegt den Auftriebsanstieg, so da die Flugleistungen schlechter werden. Die Ver-schlechterung der Flugleistungen ist umso groer, je langer der Schwanz ist. Die mogli-che Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes durch einen Schwanzausschlagnimmt mit der Schwanzlange etwas zu. Verantwortlich hierfur ist primar die leichteZunahme der Ruderwirksamkeit cA". Parallel dazu nimmt der er iegbare Bereich vonSchwerpunktlagen bzw. Langsstabilitaten aufgrund der besseren RuderwirksamkeitcM0;" mit der Schwanzlange geringfugig zu.Eine Vogelart kann demnach im Verlauf der Evolution durch die Verlangerung ihresSchwanzes die Langsstabilitat vergroern. Gleichzeitig nimmt die RuderwirksamkeitcM0;" zu, wahrend cA" nahezu unverandert bleibt. Die optimale Gleitzahl und die mi-nimale Sinkgeschwindigkeit werden schlechter. Bezuglich der Flugleistungen hat dieSchwanzverlangerung nur dann Vorteile, wenn der Vogel den Schwanz zur Verande-rung seines Nullmomentes belastet. Ein langer Schwanz ist daher zum Beispiel fureinen Vogel von Interesse, der primar fur einen langsamen Flug ausgelegt ist, aberauch schnell gleiten konnen mu. Ein weiterer Vorteil eines langen Schwanzes liegtin dem groeren Bereich austrimmbarer Schwerpunktlagen bzw. Langsstabilitaten.Vogel, die ihre Beute im Flug tragen, konnen diese Eigenschaft eines langen Schwan-zes nutzen. Aufgrund der guten Bremseigenschaft und der leichten Reduktion derMindest uggeschwindigkeit hat ein langer Schwanz auch in der Landephase Vorteile.4.4.2.2 Steuer achenbreiteDer Ein u der Schwanzbreite bK = bKV = bKH wird auf Basis der berechnetenBeiwerte der Kongurationen R, B, AC untersucht (Bild 26 und Bild 27). Die Flachendieser Kongurationen entsprechen jeweils denen der Kongurationen A, B und C.In Bild 51 sind die Gradienten cA und cM sowie die Neutralpunktlagen N uberdem Flachenverhaltnis F=FF dargestellt.Sowohl der Auftriebsanstieg cA als auch der kop astige Nickmomentengradient cMwerden mit der Schwanzbreite groer. Im Vergleich zur Schwanzverlangerung ist dieZunahme von cA groer, wahrend die statische Langsstabilitat nahezu gleich ansteigt.Bei einer Schwanzverlangerung entsteht der zusatzliche Auftrieb uberwiegend auf derzusatzlichen Schwanz ache. Eine Schwanzverbreiterung fuhrt hingegen zu einer Ver-groerung des Auftriebs auf der gesamten Schwanz ache und auf dem Flugel. Beigleicher Flachenzunahme wachst cA daher mit der Schwanzbreite starker an, als

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 79bei einer Schwanzverlangerung. Gleichzeitig fuhrt der zusatzliche Auftrieb auf demSchwanz zu einem kop astigen Nickmoment, so da der negative Gradient cM mitder Schwanzbreite groer wird. Eine Schwanzverbreiterung wirkt also stabilisierend aufdie Langsbewegung. Wahrend der Neutralpunkt der Konguration R bei N = 0; 01liegt, ergibt sich fur die Anordnung AC eine Neutralpunktlage von N = 0; 06.Unabhangig von der Schwanzbreite liegt der Neutralpunkt der Ruderbewegung bei" = 0; 6.Ein ahnliches Bild zeigt sich bei der Ruderwirksamkeit (Bild 37). Mit zunehmenderSchwanzbreite steigt sowohl der Auftriebsgradient cA" als auch der negative Null-momentengradient cM0;" an. Im Vergleich zu einer Schwanzverlangerung sind dieseAnderungen ausgepragter.Der Auftrieb infolge eines Ruderausschlages entsteht hauptsachlich im Bereich desKlappenknies. In reibungsloser Stromung strebt der Unterdruck in diesem Bereich ge-gen Unendlich. Da die Lange des Klappenknies mit der Schwanzbreite zunimmt, steigtder Rudergradient cA" deutlich an. Bei einer Anstromung unter dem Nullauftriebswin-kel mu daher auch der Abtrieb im vorderen Flugelbereich zunehmen. Entsprechendwird der Rudergradient cM0;" mit der Schwanzbreite betragsmaig groer.Die Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) der Kongurationen R, B undAC sind in Bild 54 uber dem Gewichtsbeiwert fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1und S = 0; 2 dargestellt. Insgesamt hat eine Schwanzverbreiterung nahezu dengleichen Ein u wie eine Schwanzverlangerung. Infolge des steigenden Reibungswi-derstandes werden die minimalen Leistungsverluste durch den Schwanz mit zuneh-mender Breite groer. Fur S = 0; 1 betrit dies den Bereich um cG = 0; 68 undfur S = 0; 2 die Umgebung von cG = 0; 36. Auerhalb dieser Bereiche sind dieFlugleistungen der Kongurationen mit breiten Schwanzen besser als die der An-ordnungen mit schmalen Schwanzen. Hierfur ist die groere Ruderwirksamkeit cM0;"breiter Schwanze verantwortlich.Die Flugleistungen, die in Abhangigkeit vom Klappenausschlag " fur den Anstellwinkel = 12 erreicht werden, sind in Bild 55 uber dem Gewichtsbeiwert aufgetragen.Zusatzlich wird der fur einen Gewichtsbeiwert erforderliche Klappenausschlag " unddie notwendige Langsstabilitat NS angegeben.Fur cG = 1; 05 benden sich die Klappen in der widerstandsgunstigsten Stellung. Dievorhandenen Unterschiede in den Flugleistungen beruhen auf den unterschiedlichenReibungswiderstanden der Kongurationen. Die fur diesen Trimmpunkt erforderli-chen Ruderstellungen " und Schwerpunktlagen sind gleich, weshalb die Instabilitatder Kongurationen mit der Schwanzbreite abnimmt. Ausgehend von diesem Gleich-gewichtszustand kann der Auftriebsbeiwert der Konguration bei konstantem Anstell-winkel vergroert werden, indem die jeweilige Steuer ache nach unten ausgeschlagenwird. Aufgrund des steigenden induzierten Widerstandes werden die Flugleistungenhierbei schlechter. Der Verlust an Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit ist umso geringer,je breiter die Klappe ist. Wie bereits gezeigt, beein ut eine Klappe die spannweitigeZirkulationsverteilung primar im Bereich der Klappenbreite. Fur eine gewunschte Ver-groerung des Auftriebsbeiwertes mu die spannweitige Zirkulationsverteilung daher

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 79bei einer Schwanzverlangerung. Gleichzeitig fuhrt der zusatzliche Auftrieb auf demSchwanz zu einem kop astigen Nickmoment, so da der negative Gradient cM mitder Schwanzbreite groer wird. Eine Schwanzverbreiterung wirkt also stabilisierend aufdie Langsbewegung. Wahrend der Neutralpunkt der Konguration R bei N = 0; 01liegt, ergibt sich fur die Anordnung AC eine Neutralpunktlage von N = 0; 06.Unabhangig von der Schwanzbreite liegt der Neutralpunkt der Ruderbewegung bei" = 0; 6.Ein ahnliches Bild zeigt sich bei der Ruderwirksamkeit (Bild 37). Mit zunehmenderSchwanzbreite steigt sowohl der Auftriebsgradient cA" als auch der negative Null-momentengradient cM0;" an. Im Vergleich zu einer Schwanzverlangerung sind dieseAnderungen ausgepragter.Der Auftrieb infolge eines Ruderausschlages entsteht hauptsachlich im Bereich desKlappenknies. In reibungsloser Stromung strebt der Unterdruck in diesem Bereich ge-gen Unendlich. Da die Lange des Klappenknies mit der Schwanzbreite zunimmt, steigtder Rudergradient cA" deutlich an. Bei einer Anstromung unter dem Nullauftriebswin-kel mu daher auch der Abtrieb im vorderen Flugelbereich zunehmen. Entsprechendwird der Rudergradient cM0;" mit der Schwanzbreite betragsmaig groer.Die Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) der Kongurationen R, B undAC sind in Bild 54 uber dem Gewichtsbeiwert fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1und S = 0; 2 dargestellt. Insgesamt hat eine Schwanzverbreiterung nahezu dengleichen Ein u wie eine Schwanzverlangerung. Infolge des steigenden Reibungswi-derstandes werden die minimalen Leistungsverluste durch den Schwanz mit zuneh-mender Breite groer. Fur S = 0; 1 betrit dies den Bereich um cG = 0; 68 undfur S = 0; 2 die Umgebung von cG = 0; 36. Auerhalb dieser Bereiche sind dieFlugleistungen der Kongurationen mit breiten Schwanzen besser als die der An-ordnungen mit schmalen Schwanzen. Hierfur ist die groere Ruderwirksamkeit cM0;"breiter Schwanze verantwortlich.Die Flugleistungen, die in Abhangigkeit vom Klappenausschlag " fur den Anstellwinkel = 12 erreicht werden, sind in Bild 55 uber dem Gewichtsbeiwert aufgetragen.Zusatzlich wird der fur einen Gewichtsbeiwert erforderliche Klappenausschlag " unddie notwendige Langsstabilitat NS angegeben.Fur cG = 1; 05 benden sich die Klappen in der widerstandsgunstigsten Stellung. Dievorhandenen Unterschiede in den Flugleistungen beruhen auf den unterschiedlichenReibungswiderstanden der Kongurationen. Die fur diesen Trimmpunkt erforderli-chen Ruderstellungen " und Schwerpunktlagen sind gleich, weshalb die Instabilitatder Kongurationen mit der Schwanzbreite abnimmt. Ausgehend von diesem Gleich-gewichtszustand kann der Auftriebsbeiwert der Konguration bei konstantem Anstell-winkel vergroert werden, indem die jeweilige Steuer ache nach unten ausgeschlagenwird. Aufgrund des steigenden induzierten Widerstandes werden die Flugleistungenhierbei schlechter. Der Verlust an Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit ist umso geringer,je breiter die Klappe ist. Wie bereits gezeigt, beein ut eine Klappe die spannweitigeZirkulationsverteilung primar im Bereich der Klappenbreite. Fur eine gewunschte Ver-groerung des Auftriebsbeiwertes mu die spannweitige Zirkulationsverteilung daher

80 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelbei einer schmalen Klappe in einem schmalen Bereich stark und bei einer breiten Klap-pe in einem breiten Bereich maig ansteigen. Bezuglich des induzierten Widerstandesist der letztgenannte Fall gunstiger, weshalb die Verluste an Gleitzahl und Sinkge-schwindigkeit bei einem breiten Vogelschwanz geringer sind. Aufgrund der besserenRuderwirksamkeit cA" ist der fur eine bestimmte Vergroerung des Auftriebsbeiwer-tes erforderliche Ruderausschlag bei breiten Steuer achen geringer. Die mit einemmaximal zulassigen Ruderausschlag erreichbare Vergroerung des Auftriebsbeiwertesnimmt daher mit der Schwanzbreite erheblich zu.Durch einen Ausschlag des Vogelschwanzes nach unten entsteht ein kop astiges Nick-moment. Zum Ausgleich dieses Momentes mu der Schwerpunkt nach hinten oder deraerodynamische Neutralpunkt nach vorne verlagert werden. Die Instabilitat der Kon-guration mu also zunehmen. Hierbei ist die Zunahme der Instabilitat pro Zunahmedes Gewichtsbeiwertes fur die drei Kongurationen gleich, da die Neutralpunktlageder Ruderbewegung unabhangig von der Schwanzbreite konstant ist (" = 0; 6 furR, B und AC). Der Auftrieb infolge eines Ruderausschlages greift in diesem Neutral-punkt an. Eine gewunschte Auftriebsvergroerung verursacht daher unabhangig vonder Schwanzbreite das gleiche Nickmoment. Die erforderliche Zunahme der Instabi-litat ist aus diesem Grund fur die Kongurationen gleich. Analog zur Wirkung einerSchwanzverlangerung nimmt der aussteuerbare Bereich von Abstanden NS mit derSchwanzbreite zu. Hierfur ist primar die bessere Ruderwirksamkeit cM0;" breiter Vo-gelschwanze verantwortlich. Sowohl die mogliche Vergroerung des Auftriebsbeiwertesals auch die Zunahme der aussteuerbaren Langsstabilitaten ist im Vergleich zu einerSchwanzverlangerung bei einer achengleichen Schwanzverbreiterung ausgepragter.Durch eine Schwanzverbreiterung kann eine Vogelart demnach im Laufe der Evolutionihre Langsstabilitat und die Ruderwirksamkeiten cM0;" und cA" vergroern. Der aus-trimmbare Bereich von Schwerpunktlagen bzw. Langsstabilitaten nimmt deutlich zu.Im Vergleich zu einer achengleichen Verlangerung des Schwanzes ist der Anstieg voncA" groer. Eine Schwanzverbreiterung ist daher insbesondere fur Vogel von Interes-se, die den Schwanz, zum Beispiel beim Kreisen in der Thermik, zur Reduktion derMindest uggeschwindigkeit nach unten ausschlagen. Die bei konstantem Auftriebsbei-wert in diesem Geschwindigkeitsbereich er iegbaren Gleitzahlen und Sinkgeschwindig-keiten werden mit zunehmender Schwanzbreite gunstiger. Dieser Vorteil mu jedochdurch eine Verschlechterung der maximalen Gleitzahl Emax und der minimalen Sinkge-schwindigkeit wgmin erkauft werden. Im Vergleich zu einem schmalen langen Schwanz(z. B. C) ist ein achengleiche, kurzer breiter Schwanz (z. B. AC) besser dazu ge-eignet, den maximalen Auftriebsbeiwert in der Thermik zu vergroern. Hingegen istdie Bremswirkung von einem schmalen langen Schwanz in der Landephase gunstiger.Beide Schwanze haben die gleiche stabilisierende Wirkung auf den Vogel und verur-sachen im Vergleich zum Flugel nahezu die gleichen Verluste an maximaler Gleitzahlund minimaler Sinkgeschwindigkeit. Die Geometrie eines kurzen breiten Schwanzeskann jedoch mittels einer Spreizung weniger variiert werden als bei einem schmalenlangen Schwanz. Ein kurzer breiter Vogelschwanz stellt demnach vermutlich eine anbestimmte, haug wiederkehrende Aufgaben angepate Schwanzform dar, wahrend einlanger schmaler Schwanz in Verbindung mit der Moglichkeit einer Spreizung erheblich exibler eingesetzt werden kann.

80 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelbei einer schmalen Klappe in einem schmalen Bereich stark und bei einer breiten Klap-pe in einem breiten Bereich maig ansteigen. Bezuglich des induzierten Widerstandesist der letztgenannte Fall gunstiger, weshalb die Verluste an Gleitzahl und Sinkge-schwindigkeit bei einem breiten Vogelschwanz geringer sind. Aufgrund der besserenRuderwirksamkeit cA" ist der fur eine bestimmte Vergroerung des Auftriebsbeiwer-tes erforderliche Ruderausschlag bei breiten Steuer achen geringer. Die mit einemmaximal zulassigen Ruderausschlag erreichbare Vergroerung des Auftriebsbeiwertesnimmt daher mit der Schwanzbreite erheblich zu.Durch einen Ausschlag des Vogelschwanzes nach unten entsteht ein kop astiges Nick-moment. Zum Ausgleich dieses Momentes mu der Schwerpunkt nach hinten oder deraerodynamische Neutralpunkt nach vorne verlagert werden. Die Instabilitat der Kon-guration mu also zunehmen. Hierbei ist die Zunahme der Instabilitat pro Zunahmedes Gewichtsbeiwertes fur die drei Kongurationen gleich, da die Neutralpunktlageder Ruderbewegung unabhangig von der Schwanzbreite konstant ist (" = 0; 6 furR, B und AC). Der Auftrieb infolge eines Ruderausschlages greift in diesem Neutral-punkt an. Eine gewunschte Auftriebsvergroerung verursacht daher unabhangig vonder Schwanzbreite das gleiche Nickmoment. Die erforderliche Zunahme der Instabi-litat ist aus diesem Grund fur die Kongurationen gleich. Analog zur Wirkung einerSchwanzverlangerung nimmt der aussteuerbare Bereich von Abstanden NS mit derSchwanzbreite zu. Hierfur ist primar die bessere Ruderwirksamkeit cM0;" breiter Vo-gelschwanze verantwortlich. Sowohl die mogliche Vergroerung des Auftriebsbeiwertesals auch die Zunahme der aussteuerbaren Langsstabilitaten ist im Vergleich zu einerSchwanzverlangerung bei einer achengleichen Schwanzverbreiterung ausgepragter.Durch eine Schwanzverbreiterung kann eine Vogelart demnach im Laufe der Evolutionihre Langsstabilitat und die Ruderwirksamkeiten cM0;" und cA" vergroern. Der aus-trimmbare Bereich von Schwerpunktlagen bzw. Langsstabilitaten nimmt deutlich zu.Im Vergleich zu einer achengleichen Verlangerung des Schwanzes ist der Anstieg voncA" groer. Eine Schwanzverbreiterung ist daher insbesondere fur Vogel von Interes-se, die den Schwanz, zum Beispiel beim Kreisen in der Thermik, zur Reduktion derMindest uggeschwindigkeit nach unten ausschlagen. Die bei konstantem Auftriebsbei-wert in diesem Geschwindigkeitsbereich er iegbaren Gleitzahlen und Sinkgeschwindig-keiten werden mit zunehmender Schwanzbreite gunstiger. Dieser Vorteil mu jedochdurch eine Verschlechterung der maximalen Gleitzahl Emax und der minimalen Sinkge-schwindigkeit wgmin erkauft werden. Im Vergleich zu einem schmalen langen Schwanz(z. B. C) ist ein achengleiche, kurzer breiter Schwanz (z. B. AC) besser dazu ge-eignet, den maximalen Auftriebsbeiwert in der Thermik zu vergroern. Hingegen istdie Bremswirkung von einem schmalen langen Schwanz in der Landephase gunstiger.Beide Schwanze haben die gleiche stabilisierende Wirkung auf den Vogel und verur-sachen im Vergleich zum Flugel nahezu die gleichen Verluste an maximaler Gleitzahlund minimaler Sinkgeschwindigkeit. Die Geometrie eines kurzen breiten Schwanzeskann jedoch mittels einer Spreizung weniger variiert werden als bei einem schmalenlangen Schwanz. Ein kurzer breiter Vogelschwanz stellt demnach vermutlich eine anbestimmte, haug wiederkehrende Aufgaben angepate Schwanzform dar, wahrend einlanger schmaler Schwanz in Verbindung mit der Moglichkeit einer Spreizung erheblich exibler eingesetzt werden kann.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 814.4.2.3 Spreizung einer ungegabelten Steuer acheDie berechneten Auftriebsgradienten cA und Nickmomentengradienten cM der Kon-gurationen mit konstanter Schwanzlange `K und variabler Breite bKV sind inBild 56uber dem Spreizungswinkel # dargestellt. Sowohl Linien gleicher Breite bKV =`F (z. B.G, B, K) als auch Linien gleicher Kongurations ache F=FF (z. B. Z, B, Q) sindeingezeichnet. Die angegebenen Werte entsprechen den Ableitungen der Ausgleichspo-lynome (Gl. (3.141)) an der Stelle = " = 0.Entlang der Linien konstanter Breite bKV =`F (durchgezogene Linien) werden cA undcM mit zunehmender Spreizung # groer, wobei der Anstieg im Bereich positiverSpreizungswinkel steiler ist. Die Langsstabilitat eines Vogels nimmt also mit der Sprei-zung des Schwanzes zu. Der aerodynamische Neutralpunkt der Konguration G liegtbei N = 0; 01 und derjenige der Konguration K bei N = 0; 09.Infolge einer Spreizung wird die Schwanz ache groer. Die zusatzliche Schwanz acheproduziert Auftrieb, der aufgrund seines Hebelarmes ein kop astiges Nickmomenthervorruft. Diese stabilisierende Wirkung wird im Bereich positiver Spreizungswin-kel durch die Wirbelbildung an den Schwanzseitenkanten unterstutzt. Die Wirbelvergroern den Auftrieb auf dem Schwanz und tragen damit zur Stabilisierung derKonguration bei.Ausgehend von einem ungespreizten Vogelschwanz wird der Auftriebsgradient cAentlang einer Linie konstanter Kongurations ache F=FF (gestrichelte Linien) sowohlbei positiver als auch bei negativer Spreizung nahezu symmetrisch groer. Gleichzeitigbleibt die statische Langsstabilitat cM bei negativer Spreizung konstant und steigtbei positiver Spreizung an.Bei konstanter Schwanz ache wird mit abnehmendem Spreizungswinkel die vordereSchwanzbreite bKV groer und die hintere Schwanzbreite bKH kleiner. Aerodynamischist der Bereich um das Klappenknie stark belastet, so da mit zunehmender Brei-te bKV der Auftriebsgradient steigt. Gleichzeitig verschiebt sich der Angrispunktdes Schwanzauftriebs infolge der Flachenzunahme im vorderen Schwanzbereich undder gleichgroen Flachenabnahme im hinteren Bereich nach vorne. Der Hebelarm desSchwanzauftriebs wird daher kleiner. Wahrend der zusatzliche Schwanzauftrieb sta-bilisierend auf die Langsbewegung wirkt, hat die Reduktion des Hebelarmes eine de-stabilisierende Wirkung. Insgesamt heben sich beide Eekte nahezu auf, so da dieLangsstabilitat bei einer negativen Spreizung ungefahr konstant bleibt. Im Falle ei-ner positiven Spreizung bei konstanter Schwanz ache wird die vordere SchwanzbreitebKV kleiner und die hintere Schwanzbreite bKH groer. Nach dem zuvor Gesagtenmute der Auftriebsgradient cA fallen. Infolge der positiven Spreizung werden aberdie geometrischen Schwanzseitenkanten zu Vorderkanten, die ebenfalls aerodynamischhoch belastet sind. Der Auftriebsgradient cA wird deshalb mit dem Spreizungswinkelgroer. Gleichzeitig verschiebt sich der Angrispunkt des Schwanzauftriebs infolge derFlachenzunahme im hinteren Schwanzbereich und der gleichgroen Flachenabnahmeim vorderen Schwanzbereich nach hinten. Sowohl der zusatzliche Auftrieb auf demSchwanz als auch die Ruckverlagerung des Angrispunktes wirken stabilisierend aufdie Langsbewegung, so da der negative Nickmomentengradient cM steigt.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 814.4.2.3 Spreizung einer ungegabelten Steuer acheDie berechneten Auftriebsgradienten cA und Nickmomentengradienten cM der Kon-gurationen mit konstanter Schwanzlange `K und variabler Breite bKV sind inBild 56uber dem Spreizungswinkel # dargestellt. Sowohl Linien gleicher Breite bKV =`F (z. B.G, B, K) als auch Linien gleicher Kongurations ache F=FF (z. B. Z, B, Q) sindeingezeichnet. Die angegebenen Werte entsprechen den Ableitungen der Ausgleichspo-lynome (Gl. (3.141)) an der Stelle = " = 0.Entlang der Linien konstanter Breite bKV =`F (durchgezogene Linien) werden cA undcM mit zunehmender Spreizung # groer, wobei der Anstieg im Bereich positiverSpreizungswinkel steiler ist. Die Langsstabilitat eines Vogels nimmt also mit der Sprei-zung des Schwanzes zu. Der aerodynamische Neutralpunkt der Konguration G liegtbei N = 0; 01 und derjenige der Konguration K bei N = 0; 09.Infolge einer Spreizung wird die Schwanz ache groer. Die zusatzliche Schwanz acheproduziert Auftrieb, der aufgrund seines Hebelarmes ein kop astiges Nickmomenthervorruft. Diese stabilisierende Wirkung wird im Bereich positiver Spreizungswin-kel durch die Wirbelbildung an den Schwanzseitenkanten unterstutzt. Die Wirbelvergroern den Auftrieb auf dem Schwanz und tragen damit zur Stabilisierung derKonguration bei.Ausgehend von einem ungespreizten Vogelschwanz wird der Auftriebsgradient cAentlang einer Linie konstanter Kongurations ache F=FF (gestrichelte Linien) sowohlbei positiver als auch bei negativer Spreizung nahezu symmetrisch groer. Gleichzeitigbleibt die statische Langsstabilitat cM bei negativer Spreizung konstant und steigtbei positiver Spreizung an.Bei konstanter Schwanz ache wird mit abnehmendem Spreizungswinkel die vordereSchwanzbreite bKV groer und die hintere Schwanzbreite bKH kleiner. Aerodynamischist der Bereich um das Klappenknie stark belastet, so da mit zunehmender Brei-te bKV der Auftriebsgradient steigt. Gleichzeitig verschiebt sich der Angrispunktdes Schwanzauftriebs infolge der Flachenzunahme im vorderen Schwanzbereich undder gleichgroen Flachenabnahme im hinteren Bereich nach vorne. Der Hebelarm desSchwanzauftriebs wird daher kleiner. Wahrend der zusatzliche Schwanzauftrieb sta-bilisierend auf die Langsbewegung wirkt, hat die Reduktion des Hebelarmes eine de-stabilisierende Wirkung. Insgesamt heben sich beide Eekte nahezu auf, so da dieLangsstabilitat bei einer negativen Spreizung ungefahr konstant bleibt. Im Falle ei-ner positiven Spreizung bei konstanter Schwanz ache wird die vordere SchwanzbreitebKV kleiner und die hintere Schwanzbreite bKH groer. Nach dem zuvor Gesagtenmute der Auftriebsgradient cA fallen. Infolge der positiven Spreizung werden aberdie geometrischen Schwanzseitenkanten zu Vorderkanten, die ebenfalls aerodynamischhoch belastet sind. Der Auftriebsgradient cA wird deshalb mit dem Spreizungswinkelgroer. Gleichzeitig verschiebt sich der Angrispunkt des Schwanzauftriebs infolge derFlachenzunahme im hinteren Schwanzbereich und der gleichgroen Flachenabnahmeim vorderen Schwanzbereich nach hinten. Sowohl der zusatzliche Auftrieb auf demSchwanz als auch die Ruckverlagerung des Angrispunktes wirken stabilisierend aufdie Langsbewegung, so da der negative Nickmomentengradient cM steigt.

82 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelEin ahnliches Verhalten zeigt sich bei den Ruderwirksamkeiten cA" und cM0;" (Bild 57).Mit der Spreizung werden sowohl cA" als auch cM0;" entlang der Linien konstanter Brei-te bKV =`F (durchgezogene Linien) groer. Bei konstanter Schwanz ache (gestrichelteLinien) wird cA", ausgehend von einem ungespreizten Schwanz, sowohl bei positiver alsauch bei einer negativen Spreizung groer. Gleichzeitig steigt die RuderwirksamkeitcM0;" infolge einer negativen Spreizung nur schwach und im Fall einer positiven Sprei-zung deutlich an. Die Grunde fur dieses Verhalten sind mit den genannten Ursachenfur die Verlaufe von cA und cM identisch.Am Beispiel der Kongurationen G, B und K wird der Ein u der Spreizung auf dieFlugleistungen diskutiert (Bild 58). Erwartungsgema werden die Gleitzahlen undSinkgeschwindigkeiten fur S = 0; 1 im Bereich um cG = 0; 68 und fur S = 0; 2 inder Umgebung von cG = 0; 36 mit zunehmender Schwanz ache schlechter, da der Rei-bungswiderstand steigt. Bei groeren Abweichungen von diesen Gewichtsbeiwertenhat der gespreizte Schwanz aufgrund der besseren Ruderwirksamkeit Leistungsvor-teile. Der groere Reibungswiderstand dieser Schwanzformen wird hier durch einenkleineren induzierten Widerstand kompensiert.Die Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) werden fur = 12 bei cG =1; 05 mit wachsendem Spreizungswinkel etwas schlechter (Bild 59), was auf den zu-nehmenden Reibungswiderstand der Konguration zuruckzufuhren ist. Gleichzeitignimmt die erforderliche Instabilitat deutlich ab, da die stabilisierende Wirkung derSteuer ache mit dem Spreizungswinkel steigt. Ausgehend von diesem Trimmpunktwachst der Auftriebsbeiwert durch einen positiven Schwanzausschlag an. Aufgrundder besseren Ruderwirksamkeit cA" nimmt hierbei der fur eine bestimmte Vergroe-rung des Gewichtsbeiwertes erforderliche Klappenausschlag mit wachsendem Sprei-zungswinkel ab. Die mogliche Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes einerKonguration durch einen Schwanzausschlag nimmt daher mit dem Spreizungswinkelerheblich zu. Die Flugleistungen werden hierbei schlechter. Die Verschlechterung istbei der quadratischen Schwanzform B der Basiskonguration am groten. Fur denkeilformigen (negativ gespreizten) Schwanz und den positiv gespreizten Schwanz sinddie Verluste an Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit nahezu gleich und deutlich geringerals bei dem quadratischen Schwanz. Insgesamt ist die mogliche Vergroerung des ma-ximalen Auftriebsbeiwertes durch einen keilformigen Schwanz jedoch gering. Mit demSpreizungswinkel wird der Rudergradient cA" groer und damit auch die mogliche Re-duktion der Mindest uggeschwindigkeit. Bei positiv gespreizten Schwanzen wird derAnstieg von cA" zusatzlich durch die stationaren Wirbel uber der Schwanz ache un-terstutzt, so da diese Schwanzform bezuglich der Vergroerung des maximalen Auf-triebsbeiwertes besonders wirkungsvoll ist. Neben der Vergroerung des maximalenAuftriebsbeiwertes ist mit einem positiv gespreizten Schwanz ein beachtlich groererBereich von Abstanden NS zwischen Schwerpunkt und aerodynamischem Neutral-punkt austrimmbar. Hierfur ist die bessere Ruderwirksamkeit cM0;" positiv gespreiz-ter Schwanze verantwortlich, die ebenfalls zum Teil auf den stationaren Wirbeln uberder Klappe beruht. Wahrend mit dem keilformigen und dem ungespreizten Schwanznahezu keine stabilen Fluglagen ausgetrimmt werden konnen, sind mit dem positivgespreizten Schwanz auch stabile Fluglagen (NS > 0) moglich.

82 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelEin ahnliches Verhalten zeigt sich bei den Ruderwirksamkeiten cA" und cM0;" (Bild 57).Mit der Spreizung werden sowohl cA" als auch cM0;" entlang der Linien konstanter Brei-te bKV =`F (durchgezogene Linien) groer. Bei konstanter Schwanz ache (gestrichelteLinien) wird cA", ausgehend von einem ungespreizten Schwanz, sowohl bei positiver alsauch bei einer negativen Spreizung groer. Gleichzeitig steigt die RuderwirksamkeitcM0;" infolge einer negativen Spreizung nur schwach und im Fall einer positiven Sprei-zung deutlich an. Die Grunde fur dieses Verhalten sind mit den genannten Ursachenfur die Verlaufe von cA und cM identisch.Am Beispiel der Kongurationen G, B und K wird der Ein u der Spreizung auf dieFlugleistungen diskutiert (Bild 58). Erwartungsgema werden die Gleitzahlen undSinkgeschwindigkeiten fur S = 0; 1 im Bereich um cG = 0; 68 und fur S = 0; 2 inder Umgebung von cG = 0; 36 mit zunehmender Schwanz ache schlechter, da der Rei-bungswiderstand steigt. Bei groeren Abweichungen von diesen Gewichtsbeiwertenhat der gespreizte Schwanz aufgrund der besseren Ruderwirksamkeit Leistungsvor-teile. Der groere Reibungswiderstand dieser Schwanzformen wird hier durch einenkleineren induzierten Widerstand kompensiert.Die Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) werden fur = 12 bei cG =1; 05 mit wachsendem Spreizungswinkel etwas schlechter (Bild 59), was auf den zu-nehmenden Reibungswiderstand der Konguration zuruckzufuhren ist. Gleichzeitignimmt die erforderliche Instabilitat deutlich ab, da die stabilisierende Wirkung derSteuer ache mit dem Spreizungswinkel steigt. Ausgehend von diesem Trimmpunktwachst der Auftriebsbeiwert durch einen positiven Schwanzausschlag an. Aufgrundder besseren Ruderwirksamkeit cA" nimmt hierbei der fur eine bestimmte Vergroe-rung des Gewichtsbeiwertes erforderliche Klappenausschlag mit wachsendem Sprei-zungswinkel ab. Die mogliche Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes einerKonguration durch einen Schwanzausschlag nimmt daher mit dem Spreizungswinkelerheblich zu. Die Flugleistungen werden hierbei schlechter. Die Verschlechterung istbei der quadratischen Schwanzform B der Basiskonguration am groten. Fur denkeilformigen (negativ gespreizten) Schwanz und den positiv gespreizten Schwanz sinddie Verluste an Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit nahezu gleich und deutlich geringerals bei dem quadratischen Schwanz. Insgesamt ist die mogliche Vergroerung des ma-ximalen Auftriebsbeiwertes durch einen keilformigen Schwanz jedoch gering. Mit demSpreizungswinkel wird der Rudergradient cA" groer und damit auch die mogliche Re-duktion der Mindest uggeschwindigkeit. Bei positiv gespreizten Schwanzen wird derAnstieg von cA" zusatzlich durch die stationaren Wirbel uber der Schwanz ache un-terstutzt, so da diese Schwanzform bezuglich der Vergroerung des maximalen Auf-triebsbeiwertes besonders wirkungsvoll ist. Neben der Vergroerung des maximalenAuftriebsbeiwertes ist mit einem positiv gespreizten Schwanz ein beachtlich groererBereich von Abstanden NS zwischen Schwerpunkt und aerodynamischem Neutral-punkt austrimmbar. Hierfur ist die bessere Ruderwirksamkeit cM0;" positiv gespreiz-ter Schwanze verantwortlich, die ebenfalls zum Teil auf den stationaren Wirbeln uberder Klappe beruht. Wahrend mit dem keilformigen und dem ungespreizten Schwanznahezu keine stabilen Fluglagen ausgetrimmt werden konnen, sind mit dem positivgespreizten Schwanz auch stabile Fluglagen (NS > 0) moglich.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 83Ein Vogel kann demnach die aerodynamische Wirksamkeit seines Schwanzes durch einepositive Spreizung deutlich steigern. Dies betrit sowohl die stabilisierende Wirkungdes Ruders als auch die Rudergradienten cA" und cM0;". Gleichzeitig vergroert dieSpreizung den aussteuerbaren Bereich von Langsstabilitaten und die mogliche Ver-groerung des maximalen Auftriebsbeiwertes. Bezuglich der Flugleistungen hat eingespreizter Schwanz nur dann Nachteile, wenn er nahezu unbelastet ist. Ungespreiz-te und keilformige Vogelschwanze sind also in der Regel aerodynamisch unbelastet.Eine entsprechende Vermutung auerte bereits Baumel [31]. Im Strecken ug mit dermaximalen Gleitzahl iegen Vogel daher mit einem ungespreizten oder negativ ge-spreizten Schwanz. Wird der Vogelschwanz hingegen zur Vergroerung des maximalenAuftriebsbeiwertes nach unten ausgeschlagen, dann ist es fur den Vogel bezuglich derGleitzahl und der Sinkgeschwindigkeit in Verbindung mit der Langsstabilitat gunsti-ger, den Schwanz zu spreizen. Aus diesem Grund spreizen Vogel beim Kreisen in derThermik ihren Schwanz. In der Landephase spreizen Vogel den Schwanz, da sie aufdiese Weise die Ruderwirksamkeit cA" erheblich vergroern konnen und dementspre-chend die Mindest uggeschwindigkeit durch einen Schwanzausschlag starker reduzie-ren konnen.Die Beobachtung, da Vogel den Schwanz im Strecken ug zusammenlegen, lat einenRuckschlu auf die Stabilitat des Vogels zu. Der Vogelschwanz ist in dieser Situa-tion unbelastet und bendet sich in der widerstandsgunstigsten Position. Die Druck-punktlagen der Kongurationen mit und ohne Steuer ache sind dann gleich. Sofernder Flugel positiv gewolbt ist, liegt der Druckpunkt hinter dem aerodynamischenNeutralpunkt des Flugels. In einem Gleichgewichtszustand mu der Druckpunkt imSchwerpunkt liegen. Ungeachtet der stabilisierenden Wirkung des Vogelschwanzes be-ndet sich der Vogel demnach in einer instabilen Fluglage. Diese Instabilitat wirddurch die stabilisierende Wirkung des Vogelschwanzes reduziert. Bei allen untersuch-ten Schwanzformen reicht diese Reduktion jedoch nicht aus, eine stabile Fluglageeinzunehmen. Die beschriebene Beobachtung bestarkt demnach die Vermutung, daVogel instabil iegen.4.4.2.4 Spreizung einer gegabelten Steuer acheGrundsatzlich hat die Spreizung eines gegabelten Schwanzes die gleiche Wirkung wiebei einem ungegabelten Schwanz. Sie wird im weiteren am Beispiel der SchwanzformenBX und KX (Bild 26 und Bild 27) diskutiert.Mit wachsendem Spreizungswinkel # wird der Auftriebsgradient cA und als Ma furdie Stabilitat der negative Nickmomentengradient cM groer (Bild 56). Gleichzei-tig steigen der Rudergradient cA" und der negative Nullmomentengradient cM0;" an(Bild 57). Im Vergleich zu einem ungegabelten Schwanz sind diese Anderungen infolgeder Spreizung bei einem gegabelten Schwanz durchweg etwas geringer.Die Flugleistungen werden fur S = 0; 1 im Bereich um cG = 0; 68 und fur S = 0; 2im der Umgebung von cG = 0; 36 mit wachsendem Spreizungswinkel (G, BX, KX)ungunstiger (Bild 60). Bei groeren Abweichungen von diesen Gewichtsbeiwerten hatder Schwanz mit der groeren Ruderwirksamkeit (# > 0) wiederum gegenuber einemnegativ gespreizten Schwanz Leistungsvorteile.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 83Ein Vogel kann demnach die aerodynamische Wirksamkeit seines Schwanzes durch einepositive Spreizung deutlich steigern. Dies betrit sowohl die stabilisierende Wirkungdes Ruders als auch die Rudergradienten cA" und cM0;". Gleichzeitig vergroert dieSpreizung den aussteuerbaren Bereich von Langsstabilitaten und die mogliche Ver-groerung des maximalen Auftriebsbeiwertes. Bezuglich der Flugleistungen hat eingespreizter Schwanz nur dann Nachteile, wenn er nahezu unbelastet ist. Ungespreiz-te und keilformige Vogelschwanze sind also in der Regel aerodynamisch unbelastet.Eine entsprechende Vermutung auerte bereits Baumel [31]. Im Strecken ug mit dermaximalen Gleitzahl iegen Vogel daher mit einem ungespreizten oder negativ ge-spreizten Schwanz. Wird der Vogelschwanz hingegen zur Vergroerung des maximalenAuftriebsbeiwertes nach unten ausgeschlagen, dann ist es fur den Vogel bezuglich derGleitzahl und der Sinkgeschwindigkeit in Verbindung mit der Langsstabilitat gunsti-ger, den Schwanz zu spreizen. Aus diesem Grund spreizen Vogel beim Kreisen in derThermik ihren Schwanz. In der Landephase spreizen Vogel den Schwanz, da sie aufdiese Weise die Ruderwirksamkeit cA" erheblich vergroern konnen und dementspre-chend die Mindest uggeschwindigkeit durch einen Schwanzausschlag starker reduzie-ren konnen.Die Beobachtung, da Vogel den Schwanz im Strecken ug zusammenlegen, lat einenRuckschlu auf die Stabilitat des Vogels zu. Der Vogelschwanz ist in dieser Situa-tion unbelastet und bendet sich in der widerstandsgunstigsten Position. Die Druck-punktlagen der Kongurationen mit und ohne Steuer ache sind dann gleich. Sofernder Flugel positiv gewolbt ist, liegt der Druckpunkt hinter dem aerodynamischenNeutralpunkt des Flugels. In einem Gleichgewichtszustand mu der Druckpunkt imSchwerpunkt liegen. Ungeachtet der stabilisierenden Wirkung des Vogelschwanzes be-ndet sich der Vogel demnach in einer instabilen Fluglage. Diese Instabilitat wirddurch die stabilisierende Wirkung des Vogelschwanzes reduziert. Bei allen untersuch-ten Schwanzformen reicht diese Reduktion jedoch nicht aus, eine stabile Fluglageeinzunehmen. Die beschriebene Beobachtung bestarkt demnach die Vermutung, daVogel instabil iegen.4.4.2.4 Spreizung einer gegabelten Steuer acheGrundsatzlich hat die Spreizung eines gegabelten Schwanzes die gleiche Wirkung wiebei einem ungegabelten Schwanz. Sie wird im weiteren am Beispiel der SchwanzformenBX und KX (Bild 26 und Bild 27) diskutiert.Mit wachsendem Spreizungswinkel # wird der Auftriebsgradient cA und als Ma furdie Stabilitat der negative Nickmomentengradient cM groer (Bild 56). Gleichzei-tig steigen der Rudergradient cA" und der negative Nullmomentengradient cM0;" an(Bild 57). Im Vergleich zu einem ungegabelten Schwanz sind diese Anderungen infolgeder Spreizung bei einem gegabelten Schwanz durchweg etwas geringer.Die Flugleistungen werden fur S = 0; 1 im Bereich um cG = 0; 68 und fur S = 0; 2im der Umgebung von cG = 0; 36 mit wachsendem Spreizungswinkel (G, BX, KX)ungunstiger (Bild 60). Bei groeren Abweichungen von diesen Gewichtsbeiwerten hatder Schwanz mit der groeren Ruderwirksamkeit (# > 0) wiederum gegenuber einemnegativ gespreizten Schwanz Leistungsvorteile.

84 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelWird der gegabelte Schwanz zur Vergroerung des Auftriebsbeiwertes bei konstan-tem Anstellwinkel = 12 nach unten ausgeschlagen (" > 0), dann werden dieFlugleistungen ungunstiger (Bild 61). Unabhangig von der Gabelung haben hier-bei positiv oder negativ gespreizte Schwanze gegenuber rechteckigen Schwanzen Lei-stungsvorteile. Infolge der besseren Ruderwirksamkeit wird die mogliche Vergroerungdes maximalen Auftriebsbeiwertes durch einen Schwanzausschlag mit wachsendemSpreizungswinkel groer und der austrimmbare Bereich von Langsstabilitaten bzw.Schwerpunktlagen steigt an. Im Vergleich zu einem ungegabelten Schwanz sind die-se Veranderungen jedoch durchweg kleiner. Zusatzlich ist die stabilisierende Wirkungeines gegabelten Schwanzes im Vergleich zu einem ungegabeten Schwanz geringer.Einen gunstigen Ein u hat die Gabelung auf die maximale Gleitzahl Emax und dieminimale Sinkgeschwindigkeit wg;min eines Vogels (Bild 62). Ausgehend von einemkeilformigen Schwanz ist die Flachenzunahme infolge einer Spreizung bei einem gega-belten Schwanz kleiner als bei einem ungegabelten Schwanz. Der Reibungswiderstandgegabelter Schwanze steigt daher mit dem Spreizungswinkel langsamer an, weshalbauch die maximalen Flugleistungen nur langsamer abfallen. Ein gegabelter Schwanzhat daher gegenuber einem ungegabelten Schwanz auch bei konstanter Ruderwirk-samkeit cM0;" bezuglich der maximalen Flugleistungen Vorteile.Die Gabelung des Schwanzes ist demnach fur einen Vogel bezuglich der Gleitzahl undSinkgeschwindigkeit von Nutzen, wenn der Anteil der Reibung am Gesamtwiderstandder Konguration gro ist und die Steuer ache regelmaig zur Steigerung der Ruder-wirksamkeit gespreizt wird. Vogel mit gegabelten Schwanzen iegen daher vermutlichuberwiegend im Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte bzw. im Geschwindigkeitsbereichder maximalen Flugleistungen mit einem nahezu unbelasteten Schwanz. Zur Steue-rung der Ruderwirksamkeit werden sie den Schwanz haug fur Flugmanover spreizen,ohne hierbei nennenswerte Verluste an Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit zu erleiden.Unabhangig von der Gabelung wird ein Vogel den Schwanz aus Leistungsgrundenspreizen, wenn der Schwanz zur Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes be-lastet wird.4.4.3 Variation der Flugelgeometrie4.4.3.1 Variation der WolbungDer Ein u der Flugelwolbung auf die aerodynamischen und ugmechanischen Eigen-schaften eines Vogels wird zunachst am Beispiel eines Rechteck ugels der Streckung = 5 untersucht. Dieser Flugel wird fur die Wolbungshohen f=` 2 [0=0; 03=0; 06] beieiner Reynoldszahl von Re = 370 000 berechnet, wobei die Wolbungsrucklage jeweilsvierzig Prozent der Flugeltiefe betragt. Die Geometrie der Skelettlinien entspricht denvierzirigen NACAProlen. Fur f=` = 0; 03 ergibt sich der Basis ugel (NACA 3400).Die berechneten Beiwerte cA, cW und cM sind in Bild 63 uber dem Anstellwinkel dargestellt. Mit zunehmender Wolbung wird der Nullauftriebswinkel kleiner und das

84 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelWird der gegabelte Schwanz zur Vergroerung des Auftriebsbeiwertes bei konstan-tem Anstellwinkel = 12 nach unten ausgeschlagen (" > 0), dann werden dieFlugleistungen ungunstiger (Bild 61). Unabhangig von der Gabelung haben hier-bei positiv oder negativ gespreizte Schwanze gegenuber rechteckigen Schwanzen Lei-stungsvorteile. Infolge der besseren Ruderwirksamkeit wird die mogliche Vergroerungdes maximalen Auftriebsbeiwertes durch einen Schwanzausschlag mit wachsendemSpreizungswinkel groer und der austrimmbare Bereich von Langsstabilitaten bzw.Schwerpunktlagen steigt an. Im Vergleich zu einem ungegabelten Schwanz sind die-se Veranderungen jedoch durchweg kleiner. Zusatzlich ist die stabilisierende Wirkungeines gegabelten Schwanzes im Vergleich zu einem ungegabeten Schwanz geringer.Einen gunstigen Ein u hat die Gabelung auf die maximale Gleitzahl Emax und dieminimale Sinkgeschwindigkeit wg;min eines Vogels (Bild 62). Ausgehend von einemkeilformigen Schwanz ist die Flachenzunahme infolge einer Spreizung bei einem gega-belten Schwanz kleiner als bei einem ungegabelten Schwanz. Der Reibungswiderstandgegabelter Schwanze steigt daher mit dem Spreizungswinkel langsamer an, weshalbauch die maximalen Flugleistungen nur langsamer abfallen. Ein gegabelter Schwanzhat daher gegenuber einem ungegabelten Schwanz auch bei konstanter Ruderwirk-samkeit cM0;" bezuglich der maximalen Flugleistungen Vorteile.Die Gabelung des Schwanzes ist demnach fur einen Vogel bezuglich der Gleitzahl undSinkgeschwindigkeit von Nutzen, wenn der Anteil der Reibung am Gesamtwiderstandder Konguration gro ist und die Steuer ache regelmaig zur Steigerung der Ruder-wirksamkeit gespreizt wird. Vogel mit gegabelten Schwanzen iegen daher vermutlichuberwiegend im Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte bzw. im Geschwindigkeitsbereichder maximalen Flugleistungen mit einem nahezu unbelasteten Schwanz. Zur Steue-rung der Ruderwirksamkeit werden sie den Schwanz haug fur Flugmanover spreizen,ohne hierbei nennenswerte Verluste an Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit zu erleiden.Unabhangig von der Gabelung wird ein Vogel den Schwanz aus Leistungsgrundenspreizen, wenn der Schwanz zur Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes be-lastet wird.4.4.3 Variation der Flugelgeometrie4.4.3.1 Variation der WolbungDer Ein u der Flugelwolbung auf die aerodynamischen und ugmechanischen Eigen-schaften eines Vogels wird zunachst am Beispiel eines Rechteck ugels der Streckung = 5 untersucht. Dieser Flugel wird fur die Wolbungshohen f=` 2 [0=0; 03=0; 06] beieiner Reynoldszahl von Re = 370 000 berechnet, wobei die Wolbungsrucklage jeweilsvierzig Prozent der Flugeltiefe betragt. Die Geometrie der Skelettlinien entspricht denvierzirigen NACAProlen. Fur f=` = 0; 03 ergibt sich der Basis ugel (NACA 3400).Die berechneten Beiwerte cA, cW und cM sind in Bild 63 uber dem Anstellwinkel dargestellt. Mit zunehmender Wolbung wird der Nullauftriebswinkel kleiner und das

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 85kop astige Nullmoment groer. Der Auftriebsanstieg und der Nickmomentenanstiegbleiben hingegen konstant, so da sich die Lage des aerodynamischen Neutralpunktesnicht andert (N = 0; 01). Einen gunstigen Ein u hat die Wolbung auf den ma-ximalen Auftriebsbeiwert des Flugels. Mit zunehmender Wolbung wird der maximaleAuftriebsbeiwert groer und damit die Mindest uggeschwindigkeit kleiner (Schlichtingund Turckenbrodt [91]).Die Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) des Flugels sind fur die ver-schiedenen Wolbungshohen nahezu gleich (Bild 64). Hingegen ist die Druckpunktlage(Gl. (4.24)) eine Funktion des Nullmomentes. Je kop astiger das Nullmoment ist, de-sto weiter liegt der Druckpunkt fur einen konstanten Gewichtsbeiwert cG hinter demaerodynamischen Neutralpunkt. Der Abstand zwischen dem aerodynamischen Neu-tralpunkt und der fur einen Gleichgewichtszustand erforderlichen Schwerpunktlagenimmt daher mit steigender Wolbung erheblich zu. Die Fluglagen werden also mitder Wolbung instabiler. Einen Sonderfall stellt der ebene Flugel dar, bei dem derDruckpunkt unabhangig vom Anstellwinkel im aerodynamischen Neutralpunkt liegt.Entsprechend mu der Schwerpunkt fur alle Fluggeschwindigkeiten im Neutralpunktliegen, so da der ebene Flugel durchweg indierent gleitet.Um den Ein u eines Vogelschwanzes an verschieden gewolbten Flugeln zu untersu-chen, wird an die Rechteck ugel die Steuer ache B angesetzt. Unabhangig von derFlugelwolbung hat die Steuer ache in der Position " = 0 gegenuber der Ebene z = 0eine Neigung von "0 = 5; 7 nach unten.Wie bereits diskutiert, fuhrt eine Steuer ache zu einer Vergroerung des Auftriebs-gradienten cA und der negativen Nickmomentensteigung cM. Die Steuer ache hatalso einen stabilisierenden Ein u auf die Konguration. Diese Wirkung eines Vogel-schwanzes ist fur verschiedene Wolbungshohen gleich (Bild 65). Ein analoges Bildzeigt sich bei der Ruderwirksamkeit. Die Rudergradienten cA" und cM0;" sind un-abhangig von der Flugelwolbung konstant.Die leistungsgunstigste Schwerpunktlage einer Konguration mit Schwanz entsprichtfur jeden Gewichtsbeiwert cG der Druckpunktlage des Flugels ohne Steuer ache. Mitzunehmender Wolbung wandert der Druckpunkt des Flugels nach hinten. Da die La-ge des aerodynamischen Neutralpunktes unabhangig von der Wolbung des Flugelsist, nimmt die fur einen leistungsoptimalen Flug erforderliche Instabilitat mit derWolbung zu.Die erreichbaren Flugleistungen fur = 12 sind in Bild 66 fur die genannten Flugel-wolbungen uber dem Gewichtsbeiwert aufgetragen. Zusatzlich sind die erforderlichenAbstande NS und Ruderausschlage " dargestellt. Zum Vergleich sind die Trimm-punkte des jeweiligen Flugels mit eingezeichnet.Wie bereits gesagt, nimmt der maximale Auftriebsbeiwert des Flugels und die furdiesen Trimmpunkt erforderliche Instabilitat mit der Flugelwolbung zu. Durch dieKlappe wird die Instabilitat unabhangig von der Flugelwolbung jeweils um den glei-chen Betrag reduziert. Gleichzeitig werden die Gleitzahlen und Sinkgeschwindigkeiten

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 85kop astige Nullmoment groer. Der Auftriebsanstieg und der Nickmomentenanstiegbleiben hingegen konstant, so da sich die Lage des aerodynamischen Neutralpunktesnicht andert (N = 0; 01). Einen gunstigen Ein u hat die Wolbung auf den ma-ximalen Auftriebsbeiwert des Flugels. Mit zunehmender Wolbung wird der maximaleAuftriebsbeiwert groer und damit die Mindest uggeschwindigkeit kleiner (Schlichtingund Turckenbrodt [91]).Die Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) des Flugels sind fur die ver-schiedenen Wolbungshohen nahezu gleich (Bild 64). Hingegen ist die Druckpunktlage(Gl. (4.24)) eine Funktion des Nullmomentes. Je kop astiger das Nullmoment ist, de-sto weiter liegt der Druckpunkt fur einen konstanten Gewichtsbeiwert cG hinter demaerodynamischen Neutralpunkt. Der Abstand zwischen dem aerodynamischen Neu-tralpunkt und der fur einen Gleichgewichtszustand erforderlichen Schwerpunktlagenimmt daher mit steigender Wolbung erheblich zu. Die Fluglagen werden also mitder Wolbung instabiler. Einen Sonderfall stellt der ebene Flugel dar, bei dem derDruckpunkt unabhangig vom Anstellwinkel im aerodynamischen Neutralpunkt liegt.Entsprechend mu der Schwerpunkt fur alle Fluggeschwindigkeiten im Neutralpunktliegen, so da der ebene Flugel durchweg indierent gleitet.Um den Ein u eines Vogelschwanzes an verschieden gewolbten Flugeln zu untersu-chen, wird an die Rechteck ugel die Steuer ache B angesetzt. Unabhangig von derFlugelwolbung hat die Steuer ache in der Position " = 0 gegenuber der Ebene z = 0eine Neigung von "0 = 5; 7 nach unten.Wie bereits diskutiert, fuhrt eine Steuer ache zu einer Vergroerung des Auftriebs-gradienten cA und der negativen Nickmomentensteigung cM. Die Steuer ache hatalso einen stabilisierenden Ein u auf die Konguration. Diese Wirkung eines Vogel-schwanzes ist fur verschiedene Wolbungshohen gleich (Bild 65). Ein analoges Bildzeigt sich bei der Ruderwirksamkeit. Die Rudergradienten cA" und cM0;" sind un-abhangig von der Flugelwolbung konstant.Die leistungsgunstigste Schwerpunktlage einer Konguration mit Schwanz entsprichtfur jeden Gewichtsbeiwert cG der Druckpunktlage des Flugels ohne Steuer ache. Mitzunehmender Wolbung wandert der Druckpunkt des Flugels nach hinten. Da die La-ge des aerodynamischen Neutralpunktes unabhangig von der Wolbung des Flugelsist, nimmt die fur einen leistungsoptimalen Flug erforderliche Instabilitat mit derWolbung zu.Die erreichbaren Flugleistungen fur = 12 sind in Bild 66 fur die genannten Flugel-wolbungen uber dem Gewichtsbeiwert aufgetragen. Zusatzlich sind die erforderlichenAbstande NS und Ruderausschlage " dargestellt. Zum Vergleich sind die Trimm-punkte des jeweiligen Flugels mit eingezeichnet.Wie bereits gesagt, nimmt der maximale Auftriebsbeiwert des Flugels und die furdiesen Trimmpunkt erforderliche Instabilitat mit der Flugelwolbung zu. Durch dieKlappe wird die Instabilitat unabhangig von der Flugelwolbung jeweils um den glei-chen Betrag reduziert. Gleichzeitig werden die Gleitzahlen und Sinkgeschwindigkeiten

86 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogeldurch den zusatzlichen Reibungswiderstand an der Klappe etwas schlechter. Ausge-hend von diesen Trimmpunkten kann der maximale Auftrieb des jeweiligen Flugels beikonstantem Anstellwinkel durch einen Schwanzausschlag nach unten vergroert wer-den. Aufgrund des hiermit verbundenen Widerstandsanstieges werden die Gleitzahlenund Sinkgeschwindigkeiten schlechter. Insgesamt ist die mogliche Vergroerung desAuftriebsbeiwertes durch den Schwanzausschlag unabhangig von der Flugelwolbung,da der Rudergradient cA" unabhangig von der Flugelwolbung ist. Demgegenuber wirdder aussteuerbare Bereich von Schwerpunktlagen mit der Flugelwolbung kleiner undverschiebt sich in den instabilen Bereich. Der zusatzliche Auftrieb infolge eines Ruder-ausschlages greift im Neutralpunkt der Ruderbewegung an. Die Lage dieses Punktesist unabhangig von der Flugelwolbung, da die Rudergradienten cA" und cM0;" un-abhangig von der Wolbung sind. Fur die Steuer ache B liegt der Neutralpunkt derRuderbewegung bei " = 0; 6. Je kleiner der Abstand zwischen dem Neutralpunktder Ruderbewegung und dem Schwerpunkt wird, desto kleiner ist das Nickmomentum den Schwerpunkt, das durch den zusatzlichen Auftrieb verursacht wird. Die Ruck-verlagerung des Schwerpunktes, die zum Ausgleich dieses Momentes erforderlich ist,wird daher mit wachsender Instabilitat kleiner.Die Flugelwolbung hat demnach primar Ein u auf den maximal er iegbaren Auf-triebsbeiwert und die austrimmbaren Schwerpunktlagen bzw. Abstande NS. Mit zu-nehmender Wolbung nimmt die Mindest uggeschwindigkeit ab. Gleichzeitig verschie-ben sich die leistungsoptimalen Schwerpunktlagen nach hinten. Die Ruderwirksamkeiteines Vogelschwanzes und die aerodynamische Neutralpunktlage ist unabhangig vonder Flugelwolbung. Entsprechend diesen Zusammenhangen werden schnell iegendeVogel ein geringere und langsam iegende Vogel eine deutlich groere Flugelwolbungbesitzen.4.4.3.2 Variation der Streckung bei konstanter FlachenbelastungDer Ein u der Flugelstreckung auf die Flugeigenschaften und Flugleistungen derVogel wird an Rechteck ugeln untersucht, die eine Skelettlinie entsprechend demNACA 3400 Skelettprol besitzen und unabhangig von der Streckung eine konstanteFlugeltiefe haben. Eine Variation der Streckung entspricht demzufolge einer Varia-tion der Spannweite und der Flugel ache. Es soll hier zunachst nicht der Fall be-trachtet werden, bei dem ein Vogel mit konstantem Gewicht seine Streckung und da-mit seine Flugel ache sowie die Flachenbelastung G+=F+ durch Einziehen bzw. Aus-strecken seiner Flugel variiert. Vielmehr sollen hier Vogel unterschiedlicher Streckungaber gleicher Flugelform und Flachenbelastung G+=F+ verglichen werden. Bei einerFluggeschwindigkeit ist dann der Gewichtsbeiwert cG unabhangig von der Streckungdes jeweiligen Vogels konstant. Ein Vergleich der von diesen Vogeln bei einer Flug-geschwindigkeit in Abhangigkeit von der Streckung erreichbaren Flugleistungen istdaher unverandert bei einer Auftragung uber dem Gewichtsbeiwert cG moglich. Eswerden Rechnungen fur die Streckungen 2 [3=5=7=10] bei einer Reynoldszahl vonRe = 370 000 durchgefuhrt, wobei = 5 dem Basis ugel entspricht.

86 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogeldurch den zusatzlichen Reibungswiderstand an der Klappe etwas schlechter. Ausge-hend von diesen Trimmpunkten kann der maximale Auftrieb des jeweiligen Flugels beikonstantem Anstellwinkel durch einen Schwanzausschlag nach unten vergroert wer-den. Aufgrund des hiermit verbundenen Widerstandsanstieges werden die Gleitzahlenund Sinkgeschwindigkeiten schlechter. Insgesamt ist die mogliche Vergroerung desAuftriebsbeiwertes durch den Schwanzausschlag unabhangig von der Flugelwolbung,da der Rudergradient cA" unabhangig von der Flugelwolbung ist. Demgegenuber wirdder aussteuerbare Bereich von Schwerpunktlagen mit der Flugelwolbung kleiner undverschiebt sich in den instabilen Bereich. Der zusatzliche Auftrieb infolge eines Ruder-ausschlages greift im Neutralpunkt der Ruderbewegung an. Die Lage dieses Punktesist unabhangig von der Flugelwolbung, da die Rudergradienten cA" und cM0;" un-abhangig von der Wolbung sind. Fur die Steuer ache B liegt der Neutralpunkt derRuderbewegung bei " = 0; 6. Je kleiner der Abstand zwischen dem Neutralpunktder Ruderbewegung und dem Schwerpunkt wird, desto kleiner ist das Nickmomentum den Schwerpunkt, das durch den zusatzlichen Auftrieb verursacht wird. Die Ruck-verlagerung des Schwerpunktes, die zum Ausgleich dieses Momentes erforderlich ist,wird daher mit wachsender Instabilitat kleiner.Die Flugelwolbung hat demnach primar Ein u auf den maximal er iegbaren Auf-triebsbeiwert und die austrimmbaren Schwerpunktlagen bzw. Abstande NS. Mit zu-nehmender Wolbung nimmt die Mindest uggeschwindigkeit ab. Gleichzeitig verschie-ben sich die leistungsoptimalen Schwerpunktlagen nach hinten. Die Ruderwirksamkeiteines Vogelschwanzes und die aerodynamische Neutralpunktlage ist unabhangig vonder Flugelwolbung. Entsprechend diesen Zusammenhangen werden schnell iegendeVogel ein geringere und langsam iegende Vogel eine deutlich groere Flugelwolbungbesitzen.4.4.3.2 Variation der Streckung bei konstanter FlachenbelastungDer Ein u der Flugelstreckung auf die Flugeigenschaften und Flugleistungen derVogel wird an Rechteck ugeln untersucht, die eine Skelettlinie entsprechend demNACA 3400 Skelettprol besitzen und unabhangig von der Streckung eine konstanteFlugeltiefe haben. Eine Variation der Streckung entspricht demzufolge einer Varia-tion der Spannweite und der Flugel ache. Es soll hier zunachst nicht der Fall be-trachtet werden, bei dem ein Vogel mit konstantem Gewicht seine Streckung und da-mit seine Flugel ache sowie die Flachenbelastung G+=F+ durch Einziehen bzw. Aus-strecken seiner Flugel variiert. Vielmehr sollen hier Vogel unterschiedlicher Streckungaber gleicher Flugelform und Flachenbelastung G+=F+ verglichen werden. Bei einerFluggeschwindigkeit ist dann der Gewichtsbeiwert cG unabhangig von der Streckungdes jeweiligen Vogels konstant. Ein Vergleich der von diesen Vogeln bei einer Flug-geschwindigkeit in Abhangigkeit von der Streckung erreichbaren Flugleistungen istdaher unverandert bei einer Auftragung uber dem Gewichtsbeiwert cG moglich. Eswerden Rechnungen fur die Streckungen 2 [3=5=7=10] bei einer Reynoldszahl vonRe = 370 000 durchgefuhrt, wobei = 5 dem Basis ugel entspricht.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 87Wahrend der Nullauftriebswinkel und das Nullmoment nahezu unabhangig von derStreckung sind, strebt der Auftriebsgradient mit der Streckung gegen den GrenzwertcA = cA 2 und der Nickmomentengradient cM = cM gegen Null (Bild 67 undBild 68). Der aerodynamische Neutralpunkt eines Rechteck ugels wandert also mitzunehmender Streckung zum geometrischen Neutralpunkt. Unter der Annahme, dader maximale Anstellwinkel fur eine anliegende Stromung auf dem Flugel unabhangigvon der Streckung ist, steigt der maximale Auftriebsbeiwert mit der Streckung an.Einen entscheidenden Ein u hat die Streckung auf den induzierten Widerstand. Fureinen konstanten Auftriebsbeiwert wird der induzierte Widerstand mit wachsenderStreckung deutlich kleiner. Dieser Zusammenhang wird in guter Naherung durch dieBeziehung cWi = c2A=() beschrieben.Aufgrund des sinkenden Widerstandsbeiwertes werden die Flugleistungen bei kon-stanter Fluggeschwindigkeit bzw. konstantem Gewichtsbeiwert mit steigender Strek-kung besser (Bild 69). Gleichzeitig werden die Gewichtsbeiwerte fur bestes Glei-ten und geringstes Sinken groer. Bei konstanter Flachenbelastung nehmen also dieFluggeschwindigkeiten der Leistungsoptima mit steigender Streckung ab. Diese Zu-sammenhange werden in guter Naherung durch die Gleichungen (4.22) und (4.23)wiedergegeben. Der fur einen Trimmpunkt (cG = konst.) erforderliche Abstand NSist unabhangig von der Streckung, da der Nullmomentenbeiwert der Flugel konstantist. Mit abnehmendem Gewichtsbeiwert wird NS groer. Der Druckpunkt wan-dert mit abnehmendem Auftriebsbeiwert nach hinten, wahrend der aerodynamischeNeutralpunkt seine Lage beibehalt. Die fur einen Gleichgewichtszustand erforderlicheInstabilitat wird daher mit fallendem Gewichtsbeiwert groer.Um die Wirkung eines Vogelschwanzes in Abhangigkeit von der Flugelstreckung beikonstanter Flachenbelastung G+=F+ zu untersuchen, wird an die Rechteck ugel je-weils eine ebene, quadratische Steuer ache angesetzt. Die Kantenlange der Steuer- ache entspricht der Flugeltiefe, so da das Verhaltnis von Flugel ache zu Klap-pen ache gleich der Streckung F des Flugels ist. Die Steuer ache hat fur " = 0gegenuber der Ebene z = 0 jeweils eine Neigung von "0 = 5; 7 nach unten.Wie bereits in Verbindung mit der Basiskonguration diskutiert, fuhrt ein Vogel-schwanz zu einer Vergroerung des Auftriebsanstieges cA, einer Verkleinerung desNickmomentengradienten cM und damit zu einer Ruckverlagerung des aerodyna-mischen Neutralpunktes N (Bild 68). Diese Wirkung eines Vogelschwanzes wirdmit zunehmender Flugelstreckung schwacher. Ursache hierfur ist das abnehmendeVerhaltnis von Klappen ache zu Flugel ache. Im Grenzfall unendlicher Streckung istdie Steuer ache wirkungslos.Ein ahnliches Bild zeigt sich bei den Ruderwirksamkeiten cA" und cM0;" (Bild 70). Mitzunehmender Flugelstreckung F , also mit abnehmendem Verhaltnis von Schwanz- ache zu Flugel ache, streben beide Gradienten gegen Null. Durch Multiplikation mitdem Flachenverhaltnis FF=FK lassen sich die Rudergradienten cA" und cM0;" auf dieKlappen ache als Bezugsgroe umrechnen. Die so bezogenen Ruderwirksamkeiten zei-gen einen nahezu konstanten Verlauf uber der Streckung. Demzufolge konnen die furF = 5 berechneten Rudergradienten der verschiedenen Schwanzformen auf einfacheWeise auf Flugel anderer Streckung umgerechnet werden.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 87Wahrend der Nullauftriebswinkel und das Nullmoment nahezu unabhangig von derStreckung sind, strebt der Auftriebsgradient mit der Streckung gegen den GrenzwertcA = cA 2 und der Nickmomentengradient cM = cM gegen Null (Bild 67 undBild 68). Der aerodynamische Neutralpunkt eines Rechteck ugels wandert also mitzunehmender Streckung zum geometrischen Neutralpunkt. Unter der Annahme, dader maximale Anstellwinkel fur eine anliegende Stromung auf dem Flugel unabhangigvon der Streckung ist, steigt der maximale Auftriebsbeiwert mit der Streckung an.Einen entscheidenden Ein u hat die Streckung auf den induzierten Widerstand. Fureinen konstanten Auftriebsbeiwert wird der induzierte Widerstand mit wachsenderStreckung deutlich kleiner. Dieser Zusammenhang wird in guter Naherung durch dieBeziehung cWi = c2A=() beschrieben.Aufgrund des sinkenden Widerstandsbeiwertes werden die Flugleistungen bei kon-stanter Fluggeschwindigkeit bzw. konstantem Gewichtsbeiwert mit steigender Strek-kung besser (Bild 69). Gleichzeitig werden die Gewichtsbeiwerte fur bestes Glei-ten und geringstes Sinken groer. Bei konstanter Flachenbelastung nehmen also dieFluggeschwindigkeiten der Leistungsoptima mit steigender Streckung ab. Diese Zu-sammenhange werden in guter Naherung durch die Gleichungen (4.22) und (4.23)wiedergegeben. Der fur einen Trimmpunkt (cG = konst.) erforderliche Abstand NSist unabhangig von der Streckung, da der Nullmomentenbeiwert der Flugel konstantist. Mit abnehmendem Gewichtsbeiwert wird NS groer. Der Druckpunkt wan-dert mit abnehmendem Auftriebsbeiwert nach hinten, wahrend der aerodynamischeNeutralpunkt seine Lage beibehalt. Die fur einen Gleichgewichtszustand erforderlicheInstabilitat wird daher mit fallendem Gewichtsbeiwert groer.Um die Wirkung eines Vogelschwanzes in Abhangigkeit von der Flugelstreckung beikonstanter Flachenbelastung G+=F+ zu untersuchen, wird an die Rechteck ugel je-weils eine ebene, quadratische Steuer ache angesetzt. Die Kantenlange der Steuer- ache entspricht der Flugeltiefe, so da das Verhaltnis von Flugel ache zu Klap-pen ache gleich der Streckung F des Flugels ist. Die Steuer ache hat fur " = 0gegenuber der Ebene z = 0 jeweils eine Neigung von "0 = 5; 7 nach unten.Wie bereits in Verbindung mit der Basiskonguration diskutiert, fuhrt ein Vogel-schwanz zu einer Vergroerung des Auftriebsanstieges cA, einer Verkleinerung desNickmomentengradienten cM und damit zu einer Ruckverlagerung des aerodyna-mischen Neutralpunktes N (Bild 68). Diese Wirkung eines Vogelschwanzes wirdmit zunehmender Flugelstreckung schwacher. Ursache hierfur ist das abnehmendeVerhaltnis von Klappen ache zu Flugel ache. Im Grenzfall unendlicher Streckung istdie Steuer ache wirkungslos.Ein ahnliches Bild zeigt sich bei den Ruderwirksamkeiten cA" und cM0;" (Bild 70). Mitzunehmender Flugelstreckung F , also mit abnehmendem Verhaltnis von Schwanz- ache zu Flugel ache, streben beide Gradienten gegen Null. Durch Multiplikation mitdem Flachenverhaltnis FF=FK lassen sich die Rudergradienten cA" und cM0;" auf dieKlappen ache als Bezugsgroe umrechnen. Die so bezogenen Ruderwirksamkeiten zei-gen einen nahezu konstanten Verlauf uber der Streckung. Demzufolge konnen die furF = 5 berechneten Rudergradienten der verschiedenen Schwanzformen auf einfacheWeise auf Flugel anderer Streckung umgerechnet werden.

88 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelWird der Vogelschwanz zur Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes einge-setzt, dann ergeben sich in Abhangigkeit der Flugelstreckung die in Bild 71 uberdem Gewichtsbeiwert dargestellten Flugleistungen ( = 12). Zusatzlich werden dieerforderlichen Ruderwinkel " und Abstande NS angegeben.Die mogliche Vergroerung des Gewichtsbeiwertes bei konstantem Anstellwinkel durcheinen Schwanzausschlag nach unten wird mit zunehmender Flugelstreckung kleiner, dadie Ruderwirksamkeit cA" geringer wird. Entsprechend nimmt der fur eine gewunschteAuftriebsvergroerung erforderliche Ruderausschlag mit der Streckung zu. Aufgrundder abnehmenden Ruderwirksamkeit cM0;" wird der Bereich aussteuerbarer AbstandeNS mit wachsender Streckung kleiner.Vogel konnen also im Laufe der Evolution durch eine Vergroerung der Flugelstrek-kung bei konstanter Flachenbelastung ihre maximale Gleitzahl und minimale Sinkge-schwindigkeit verbessern. Gleichzeitig steigt der maximale Auftriebsbeiwert an. Mitzunehmender Streckung werden die Fluggeschwindigkeiten fur bestes Gleiten und ge-ringstes Sinken kleiner. Fur Vogel, die zum Zurucklegen weiter Distanzen gute Flug-leistungen bei einer moglichst groen Fluggeschwindigkeit benotigen, ist es daher vonInteresse, eine groe Flugelstreckung und eine groe Flachenbelastung zu besitzen.Gleichzeitig werden insbesondere diese Vogel groen Wert darauf legen, den Reibungs-widerstand zu reduzieren. Der genannte Vorteil einer groen Flugelstreckung mu je-doch durch einen Verlust an Ruderwirksamkeit des Vogelschwanzes erkauft werden.Entsprechend verringert sich die mogliche Vergroerung des maximalen Auftriebs-beiwertes durch einen Schwanzausschlag und der austrimmbare Bereich von Schwer-punktlagen. Auerdem wird das Austrimmen einer Fluggeschwindigkeit uber den Vo-gelschwanzausschlag mit wachsender Flugelstreckung ungunstiger.4.4.3.3 Variation der Streckung bei konstantem VogelgewichtIm Gegensatz zu einem konventionellen Flugzeug hat ein Vogel die Moglichkeit, sei-ne Spannweite und Flugel ache im Flug zu verandern, indem er die Flugel einziehtbzw. ausstreckt. Um den Ein u dieser Geometrieveranderung auf die Flugleistun-gen des Vogels zu untersuchen, wird im weiteren vereinfachend angenommen, dadie rechteckige Grundriform und die Flugeltiefe hierbei unverandert bleiben. DerReibungswiderstandsbeiwert cWR ist dann unabhangig von der Flugelstreckung desVogels.Bei einem Vogel mit konstantem Gewicht steigt die Flachenbelastung G+=F+ mitabnehmender Flugel ache an. Der Gewichtsbeiwert cG andert sich daher auch beikonstanter Fluggeschwindigkeit mit der Flugelstreckung. Ein Vergleich der von einemVogel bei einer Fluggeschwindigkeit in Abhangigkeit von der Flugelstreckung erreich-baren Flugleistung ist daher bei einer Auftragung uber dem Gewichtsbeiwert cG nichtmoglich. Aus diesem Grund werden die Flugleistungen der Flugel 2 [3=5=7=10] inBild 72 uber dem GewichtsbeiwertcG;Ref = cG FFFRef (4.25)

88 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelWird der Vogelschwanz zur Vergroerung des maximalen Auftriebsbeiwertes einge-setzt, dann ergeben sich in Abhangigkeit der Flugelstreckung die in Bild 71 uberdem Gewichtsbeiwert dargestellten Flugleistungen ( = 12). Zusatzlich werden dieerforderlichen Ruderwinkel " und Abstande NS angegeben.Die mogliche Vergroerung des Gewichtsbeiwertes bei konstantem Anstellwinkel durcheinen Schwanzausschlag nach unten wird mit zunehmender Flugelstreckung kleiner, dadie Ruderwirksamkeit cA" geringer wird. Entsprechend nimmt der fur eine gewunschteAuftriebsvergroerung erforderliche Ruderausschlag mit der Streckung zu. Aufgrundder abnehmenden Ruderwirksamkeit cM0;" wird der Bereich aussteuerbarer AbstandeNS mit wachsender Streckung kleiner.Vogel konnen also im Laufe der Evolution durch eine Vergroerung der Flugelstrek-kung bei konstanter Flachenbelastung ihre maximale Gleitzahl und minimale Sinkge-schwindigkeit verbessern. Gleichzeitig steigt der maximale Auftriebsbeiwert an. Mitzunehmender Streckung werden die Fluggeschwindigkeiten fur bestes Gleiten und ge-ringstes Sinken kleiner. Fur Vogel, die zum Zurucklegen weiter Distanzen gute Flug-leistungen bei einer moglichst groen Fluggeschwindigkeit benotigen, ist es daher vonInteresse, eine groe Flugelstreckung und eine groe Flachenbelastung zu besitzen.Gleichzeitig werden insbesondere diese Vogel groen Wert darauf legen, den Reibungs-widerstand zu reduzieren. Der genannte Vorteil einer groen Flugelstreckung mu je-doch durch einen Verlust an Ruderwirksamkeit des Vogelschwanzes erkauft werden.Entsprechend verringert sich die mogliche Vergroerung des maximalen Auftriebs-beiwertes durch einen Schwanzausschlag und der austrimmbare Bereich von Schwer-punktlagen. Auerdem wird das Austrimmen einer Fluggeschwindigkeit uber den Vo-gelschwanzausschlag mit wachsender Flugelstreckung ungunstiger.4.4.3.3 Variation der Streckung bei konstantem VogelgewichtIm Gegensatz zu einem konventionellen Flugzeug hat ein Vogel die Moglichkeit, sei-ne Spannweite und Flugel ache im Flug zu verandern, indem er die Flugel einziehtbzw. ausstreckt. Um den Ein u dieser Geometrieveranderung auf die Flugleistun-gen des Vogels zu untersuchen, wird im weiteren vereinfachend angenommen, dadie rechteckige Grundriform und die Flugeltiefe hierbei unverandert bleiben. DerReibungswiderstandsbeiwert cWR ist dann unabhangig von der Flugelstreckung desVogels.Bei einem Vogel mit konstantem Gewicht steigt die Flachenbelastung G+=F+ mitabnehmender Flugel ache an. Der Gewichtsbeiwert cG andert sich daher auch beikonstanter Fluggeschwindigkeit mit der Flugelstreckung. Ein Vergleich der von einemVogel bei einer Fluggeschwindigkeit in Abhangigkeit von der Flugelstreckung erreich-baren Flugleistung ist daher bei einer Auftragung uber dem Gewichtsbeiwert cG nichtmoglich. Aus diesem Grund werden die Flugleistungen der Flugel 2 [3=5=7=10] inBild 72 uber dem GewichtsbeiwertcG;Ref = cG FFFRef (4.25)

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 89aufgetragen, wobei FRef der maximalen Flugel ache des Vogels (voll ausgestreckteFlugel) entspricht und im weiteren Referenz ache genannt wird. Die zugehorige ma-ximale Flugelstreckung wird Referenzstreckung Ref genannt. Fur die Darstellung inBild 72 wurde Ref = 10 gewahlt. Der Gewichtsbeiwert cG;Ref ist fur einen Vogel beieiner Fluggeschwindigkeit unabhangig von der Flugelstreckung konstant, so da beieiner Auftragung uber diesem Gewichtsbeiwert unmittelbar die fur eine Fluggeschwin-digkeit optimale Streckung abgelesen werden kann.Analog zum Gewichtsbeiwert wird auch die dimensionslose Sinkgeschwindigkeitwg;Ref = wgrFRefFF (4.26)auf die maximale Flugel ache FRef des Vogels umgerechnet. Die dimensionsbehafteteSinkgeschwindigkeit fur ein Vogelgewicht ist damit proportional zur Sinkgeschwindig-keit wg;Ref, wobei der Proportionalitatsfaktor unabhangig von der aktuellen Flugel- ache FF ist.Oberhalb eines bestimmten Gewichtsbeiwerte cG;Ref > cG;Ref,Opt (Ref = 10: cG;Ref,Opt =0:42) hat es fur einen Vogel bezuglich der Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit erheblicheNachteile, seine Flugel ache und Streckung zu reduzieren. Fur cG;Ref = cG;Ref,Opt stelltdie maximale Streckung Ref des Vogels bezuglich der Flugleistungen das Optimumdar. Im Bereich cG;Ref < cG;Ref,Opt hat eine Flachenreduktion fur den Vogel Vorteile.Ab dieser Grenze gibt es fur jede Fluggeschwindigkeit, also fur jeden GewichtsbeiwertcG;Ref, eine Flugelstreckung F < Ref, bei der die Flugleistungen maximal werden.Wenn ein Vogel bei konstantem Reibungswiderstandsbeiwert cWR und konstanterFluggeschwindigkeit seine Flugel ache reduziert, dann wird der dimensionsbehafteteReibungswiderstand kleiner. Gleichzeitig mu der Vogel den Anstellwinkel vergroern,damit der Auftrieb weiterhin das Gewicht des Vogels kompensiert. Aufgrund der klei-neren Streckung und des groeren Auftriebsbeiwertes wird der induzierte Widerstandgroer. Im Bereich kleiner Gewichtsbeiwerte cG;Ref < cG;Ref,Opt uberwiegt die Abnahmedes Reibungswiderstandes die Zunahme des induzierten Widerstandes, so da hier ei-ne gewisse Flachenreduktion bei gleichzeitiger Streckungsreduktion Leistungsvorteilebringt.Unter der Annahme einer elliptischen Zirkulationsverteilung und eines von der Flugel-streckung unabhangigen Nullwiderstandsbeiwertes cW0 lat sich fur jeden Gewichts-beiwert cG;Ref eine Flugelstreckung Opt angeben, bei der die Flugleistungen maximalwerden. Diese optimale Streckung berechnet sich ausOpt = 3s2(cG;RefRef)2cW0 (4.27)und ist fur Ref = 10 in Bild 72 dargestellt. Die mit dieser Flugelstreckung Opt furden jeweiligen Gewichtsbeiwert cG;Ref erreichbaren Flugleistungen lassen sich mit dembekannten Nullwiderstandsbeiwert und der Beziehung fur den induzierten Widerstand(Gl. (3.137)) abschatzen. Sie sind ebenfalls fur Ref = 10 in Bild 72 dargestellt undbilden die Einhullende fur die Flugleistungen des Vogels bei konstantem Nullwider-standsbeiwert.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 89aufgetragen, wobei FRef der maximalen Flugel ache des Vogels (voll ausgestreckteFlugel) entspricht und im weiteren Referenz ache genannt wird. Die zugehorige ma-ximale Flugelstreckung wird Referenzstreckung Ref genannt. Fur die Darstellung inBild 72 wurde Ref = 10 gewahlt. Der Gewichtsbeiwert cG;Ref ist fur einen Vogel beieiner Fluggeschwindigkeit unabhangig von der Flugelstreckung konstant, so da beieiner Auftragung uber diesem Gewichtsbeiwert unmittelbar die fur eine Fluggeschwin-digkeit optimale Streckung abgelesen werden kann.Analog zum Gewichtsbeiwert wird auch die dimensionslose Sinkgeschwindigkeitwg;Ref = wgrFRefFF (4.26)auf die maximale Flugel ache FRef des Vogels umgerechnet. Die dimensionsbehafteteSinkgeschwindigkeit fur ein Vogelgewicht ist damit proportional zur Sinkgeschwindig-keit wg;Ref, wobei der Proportionalitatsfaktor unabhangig von der aktuellen Flugel- ache FF ist.Oberhalb eines bestimmten Gewichtsbeiwerte cG;Ref > cG;Ref,Opt (Ref = 10: cG;Ref,Opt =0:42) hat es fur einen Vogel bezuglich der Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit erheblicheNachteile, seine Flugel ache und Streckung zu reduzieren. Fur cG;Ref = cG;Ref,Opt stelltdie maximale Streckung Ref des Vogels bezuglich der Flugleistungen das Optimumdar. Im Bereich cG;Ref < cG;Ref,Opt hat eine Flachenreduktion fur den Vogel Vorteile.Ab dieser Grenze gibt es fur jede Fluggeschwindigkeit, also fur jeden GewichtsbeiwertcG;Ref, eine Flugelstreckung F < Ref, bei der die Flugleistungen maximal werden.Wenn ein Vogel bei konstantem Reibungswiderstandsbeiwert cWR und konstanterFluggeschwindigkeit seine Flugel ache reduziert, dann wird der dimensionsbehafteteReibungswiderstand kleiner. Gleichzeitig mu der Vogel den Anstellwinkel vergroern,damit der Auftrieb weiterhin das Gewicht des Vogels kompensiert. Aufgrund der klei-neren Streckung und des groeren Auftriebsbeiwertes wird der induzierte Widerstandgroer. Im Bereich kleiner Gewichtsbeiwerte cG;Ref < cG;Ref,Opt uberwiegt die Abnahmedes Reibungswiderstandes die Zunahme des induzierten Widerstandes, so da hier ei-ne gewisse Flachenreduktion bei gleichzeitiger Streckungsreduktion Leistungsvorteilebringt.Unter der Annahme einer elliptischen Zirkulationsverteilung und eines von der Flugel-streckung unabhangigen Nullwiderstandsbeiwertes cW0 lat sich fur jeden Gewichts-beiwert cG;Ref eine Flugelstreckung Opt angeben, bei der die Flugleistungen maximalwerden. Diese optimale Streckung berechnet sich ausOpt = 3s2(cG;RefRef)2cW0 (4.27)und ist fur Ref = 10 in Bild 72 dargestellt. Die mit dieser Flugelstreckung Opt furden jeweiligen Gewichtsbeiwert cG;Ref erreichbaren Flugleistungen lassen sich mit dembekannten Nullwiderstandsbeiwert und der Beziehung fur den induzierten Widerstand(Gl. (3.137)) abschatzen. Sie sind ebenfalls fur Ref = 10 in Bild 72 dargestellt undbilden die Einhullende fur die Flugleistungen des Vogels bei konstantem Nullwider-standsbeiwert.

90 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelFur Opt = Ref lat sich mit der Beziehung (4.27) der GewichtsbeiwertcG;Ref,Opt =pcW0Ref=p2 (4.28)bestimmen, fur den die maximale Streckung des Vogels bezuglich der Flugleistungendas Optimum darstellt. Die bei diesem Gewichtsbeiwert mit der maximalen Streckungdes Vogels erreichten Leistungen konnen durch eine Streckungsveranderung nicht ver-bessert werden. Gleichzeitig stellt der Gewichtsbeiwert cG;Ref,Opt die Grenze dar, unter-halb derer die Flugleistungen durch eine Streckungsverkleinerung vergroert werdenkonnen. Oberhalb dieser Grenze ist zur Steigerung der Flugleistungen bei konstantemNullwiderstandsbeiwert eine Streckungsvergroerung erforderlich.Will ein Vogel seine Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) fur eine be-stimmte Fluggeschwindigkeit optimieren, dann gibt es fur diesen Vogel eine optima-le Streckung. Je groer die Fluggeschwindigkeit bei konstantem Vogelgewicht ist, jekleiner also cG;Ref,Opt ist, desto kleiner ist die leistungsgunstigste Streckung. Die maxi-male Streckung eines Vogels Ref stellt nur fur eine Fluggeschwindigkeit, namlich furcG;Ref,Opt, das Optimum bezuglich der Flugleistungen dar. Seine maximale Gleitzahlund minimale Sinkgeschwindigkeit erreicht der Vogel mit dieser Streckung jedoch nichtbei cG;Ref,Opt. Der Gewichtsbeiwert fur bestes Gleiten liegt um den Faktor p2 und derfur geringstes Sinken um den Faktor p6 uber diesem Wert. Sofern ein Vogel demnachhaug mit seiner maximalen Streckung im Geschwindigkeitsbereich der maximalenGleitzahl bzw. Sinkgeschwindigkeit iegt, hat es fur ihn bezuglich der FlugleistungenVorteile, seine Flugelstreckung im Laufe der Evolution zu vergroern.Bereits Newman [116] erkannte, da Vogel durch Einziehen der Flugel ihre Fluglei-stungen im Bereich groer Fluggeschwindigkeiten verbessern konnen. Diese Erkennt-nis wurde von Tucker und Parrott [52] durch Windkanalversuche mit frei iegendenVogeln bestatigt. Die zugehorigen theoretischen Zusammenhange (Gl. (4.27)) wurdenim Grundgedanken bereits von Tucker [117] aufgezeigt.4.4.3.4 Variation der ZuspitzungDer Ein u der Flugelzuspitzung wird an Flugeln konstanter Streckung = 5 undkonstanter Flugel ache untersucht, die pro Flugelschnitt y = konst. ein NACA 3400Skelettprol besitzen. Die Einviertelpunktlinien dieser Flugel sind gerade, so da dergeometrische Neutralpunkt jeweils auf dieser Linie liegt (Bild 73). Es werden Rech-nungen fur die Zuspitzungen 2 [0=0; 2=0; 4=0; 6=0; 8=1] durchgefuhrt, wobei sichfur = 1 der Basis ugel ergibt. Aufgrund der konstanten Flugel ache und der kon-stanten Streckung andert sich mit der Zuspitzung die Flugelinnentiefe. Die mit derFlugelinnentiefe gebildete Reynoldszahl Re ist demzufolge von der Zuspitzung desFlugels abhangig. Um die Flugleistungen verschieden zugespitzter Flugel bei einerFluggeschwindigkeit vergleichen zu konnen, werden die Flugel daher nicht bei einerkonstanten Reynoldszahl Re sondern bei der mit der Wurzel aus der Flugel achegebildeten Reynoldszahl von ~Re = 830 000 berechnet. Die Reynoldszahl ~Re ist un-abhangig von der Zuspitzung des Flugels bei einer Fluggeschwindigkeit konstant. Furden Basis ugel entspricht diese Reynoldszahl einer mit der Flugelinnentiefe gebildetenReynoldszahl von Re = 370 000.

90 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelFur Opt = Ref lat sich mit der Beziehung (4.27) der GewichtsbeiwertcG;Ref,Opt =pcW0Ref=p2 (4.28)bestimmen, fur den die maximale Streckung des Vogels bezuglich der Flugleistungendas Optimum darstellt. Die bei diesem Gewichtsbeiwert mit der maximalen Streckungdes Vogels erreichten Leistungen konnen durch eine Streckungsveranderung nicht ver-bessert werden. Gleichzeitig stellt der Gewichtsbeiwert cG;Ref,Opt die Grenze dar, unter-halb derer die Flugleistungen durch eine Streckungsverkleinerung vergroert werdenkonnen. Oberhalb dieser Grenze ist zur Steigerung der Flugleistungen bei konstantemNullwiderstandsbeiwert eine Streckungsvergroerung erforderlich.Will ein Vogel seine Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) fur eine be-stimmte Fluggeschwindigkeit optimieren, dann gibt es fur diesen Vogel eine optima-le Streckung. Je groer die Fluggeschwindigkeit bei konstantem Vogelgewicht ist, jekleiner also cG;Ref,Opt ist, desto kleiner ist die leistungsgunstigste Streckung. Die maxi-male Streckung eines Vogels Ref stellt nur fur eine Fluggeschwindigkeit, namlich furcG;Ref,Opt, das Optimum bezuglich der Flugleistungen dar. Seine maximale Gleitzahlund minimale Sinkgeschwindigkeit erreicht der Vogel mit dieser Streckung jedoch nichtbei cG;Ref,Opt. Der Gewichtsbeiwert fur bestes Gleiten liegt um den Faktor p2 und derfur geringstes Sinken um den Faktor p6 uber diesem Wert. Sofern ein Vogel demnachhaug mit seiner maximalen Streckung im Geschwindigkeitsbereich der maximalenGleitzahl bzw. Sinkgeschwindigkeit iegt, hat es fur ihn bezuglich der FlugleistungenVorteile, seine Flugelstreckung im Laufe der Evolution zu vergroern.Bereits Newman [116] erkannte, da Vogel durch Einziehen der Flugel ihre Fluglei-stungen im Bereich groer Fluggeschwindigkeiten verbessern konnen. Diese Erkennt-nis wurde von Tucker und Parrott [52] durch Windkanalversuche mit frei iegendenVogeln bestatigt. Die zugehorigen theoretischen Zusammenhange (Gl. (4.27)) wurdenim Grundgedanken bereits von Tucker [117] aufgezeigt.4.4.3.4 Variation der ZuspitzungDer Ein u der Flugelzuspitzung wird an Flugeln konstanter Streckung = 5 undkonstanter Flugel ache untersucht, die pro Flugelschnitt y = konst. ein NACA 3400Skelettprol besitzen. Die Einviertelpunktlinien dieser Flugel sind gerade, so da dergeometrische Neutralpunkt jeweils auf dieser Linie liegt (Bild 73). Es werden Rech-nungen fur die Zuspitzungen 2 [0=0; 2=0; 4=0; 6=0; 8=1] durchgefuhrt, wobei sichfur = 1 der Basis ugel ergibt. Aufgrund der konstanten Flugel ache und der kon-stanten Streckung andert sich mit der Zuspitzung die Flugelinnentiefe. Die mit derFlugelinnentiefe gebildete Reynoldszahl Re ist demzufolge von der Zuspitzung desFlugels abhangig. Um die Flugleistungen verschieden zugespitzter Flugel bei einerFluggeschwindigkeit vergleichen zu konnen, werden die Flugel daher nicht bei einerkonstanten Reynoldszahl Re sondern bei der mit der Wurzel aus der Flugel achegebildeten Reynoldszahl von ~Re = 830 000 berechnet. Die Reynoldszahl ~Re ist un-abhangig von der Zuspitzung des Flugels bei einer Fluggeschwindigkeit konstant. Furden Basis ugel entspricht diese Reynoldszahl einer mit der Flugelinnentiefe gebildetenReynoldszahl von Re = 370 000.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 91Die berechneten Beiwerte cA, cW und cM sind fur die Flugelzuspitzungen 2 [0=0; 4=1]in Bild 74 uber dem Anstellwinkel aufgetragen. Aufgrund der geometrisch ahnli-chen Prolschnitte und der geraden Einviertelpunktlinien der Kongurationen sinddie Nullauftriebswinkel und Nullmomente nahezu unabhangig von der Zuspitzung.Auch der Auftriebsgradient cA und der Nickmomentengradient cM werden durchdie Zuspitzung kaum beein ut (Bild 75). Verantwortlich hierfur ist die konstan-te Flugelstreckung und die gerade Einviertelpunktlinie. Dementsprechend andert sichauch die Lage des aerodynamischen Neutralpunktes N nicht. Der Abstand zwischendem jeweiligen geometrischen Neutralpunkt und dem aerodynamischen Neutralpunktbleibt also fur verschiedene Zuspitzungen konstant. Einen geringen Ein u hat dieZuspitzung auf den Widerstandsbeiwert. Wahrend der ReibungswiderstandsbeiwertcWR mit steigender Zuspitzung stetig fallt, erreicht das Verhaltnis k (Gl. (3.137)) desinduzierten Widerstandes zum Wert eines Ellipsen ugels bei = 0; 5 ein Minimum(Bild 76).Der geringere Reibungswiderstandsbeiwert zugespitzter Flugel resultiert aus der gunsti-geren Flugeltiefenverteilung und basiert auf der nichtlinearen Abhangigkeit des Rei-bungsbeiwertes cWR von der spannweitigen Flugeltiefenverteilung (Gl. (3.108)). Durchdie Zuspitzung nimmt der ortliche Reibungswiderstandsbeiwert infolge der kleinerenortlichen Reynoldszahl im Flugelauenbereich zu und aufgrund der groeren ortlichenReynoldszahl in der Umgebung der Flugelmitte ab. Insgesamt uberwiegt die Abnahme,so da der in Bild 76 dargestellte Gesamtreibungswiderstandsbeiwert cWR mit der Zu-spitzung des Flugels kleiner wird. Gegenuber einem Rechteck ugel ( = 1) fuhrt die-ser geometrische Ein u unter Annahme einer voll turbulenten Grenzschicht bei demFlugel = 0 zu einer dreiprozentigen Reduktion des Reibungsbeiwertes. Die genannteProzentzahl ist unabhangig von der Flugelstreckung. Vogel mit zugespitzten Flugelnbesitzen demnach bei gleicher Flugel ache und Fluggeschwindigkeit ( ~Re = konst.)im Vergleich zu einem Rechteck ugel einen geringeren Reibungswiderstand. Mage-bend fur den Faktor k ist die spannweitige Zirkulationsverteilung (Bild 77). Bei einerebenen Nachlaufschicht wird der Faktor mit zunehmender Abweichung von einer el-liptischen Zirkulationsverteilung (k = 1) groer. Mit der Zuspitzung wird die bereitsannahernd elliptische Zirkulationsverteilung des Rechteck ugels zunachst gunstigerund anschlieend deutlich schlechter. Der Ein u der geringen Nichtplanaritat desNachlaufes eines zugespitzten Flugels kann vernachlassigt werden.Grundsatzlich kann der Faktor k fur jeden Flugelgrundri durch entsprechende Ver-windung auf den Wert eines Ellipsen ugels gebracht werden. Hierzu ist zum Beispielbei dem zugespitzten Flugel = 0 im Auenbereich eine Vergroerung der Zirkulationerforderlich. Der geometrische Anstellwinkel mu also auen vergroert werden. DieseVerwindung ist vom Auftriebsbeiwert abhangig. Mit zunehmendem Auftrieb mu siegroer werden. Starre Flugzeuge konnen daher im allgemeinen nur im Auslegungs-punkt mit einer elliptischen Zirkulationsverteilung iegen, wahrend ein exibler Vogeldurch entsprechende Anpassung seiner Flugelverwindung unabhangig vom Grund-ri durchweg mit dieser Verteilung iegen kann. Dem beschriebenen Zusammenhangwerden jedoch durch das Auftreten von Stromungsablosungen Grenzen gesetzt. DieStromung lost zunachst dort ab, wo der ortliche Auftriebsbeiwert einen zulassigen

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 91Die berechneten Beiwerte cA, cW und cM sind fur die Flugelzuspitzungen 2 [0=0; 4=1]in Bild 74 uber dem Anstellwinkel aufgetragen. Aufgrund der geometrisch ahnli-chen Prolschnitte und der geraden Einviertelpunktlinien der Kongurationen sinddie Nullauftriebswinkel und Nullmomente nahezu unabhangig von der Zuspitzung.Auch der Auftriebsgradient cA und der Nickmomentengradient cM werden durchdie Zuspitzung kaum beein ut (Bild 75). Verantwortlich hierfur ist die konstan-te Flugelstreckung und die gerade Einviertelpunktlinie. Dementsprechend andert sichauch die Lage des aerodynamischen Neutralpunktes N nicht. Der Abstand zwischendem jeweiligen geometrischen Neutralpunkt und dem aerodynamischen Neutralpunktbleibt also fur verschiedene Zuspitzungen konstant. Einen geringen Ein u hat dieZuspitzung auf den Widerstandsbeiwert. Wahrend der ReibungswiderstandsbeiwertcWR mit steigender Zuspitzung stetig fallt, erreicht das Verhaltnis k (Gl. (3.137)) desinduzierten Widerstandes zum Wert eines Ellipsen ugels bei = 0; 5 ein Minimum(Bild 76).Der geringere Reibungswiderstandsbeiwert zugespitzter Flugel resultiert aus der gunsti-geren Flugeltiefenverteilung und basiert auf der nichtlinearen Abhangigkeit des Rei-bungsbeiwertes cWR von der spannweitigen Flugeltiefenverteilung (Gl. (3.108)). Durchdie Zuspitzung nimmt der ortliche Reibungswiderstandsbeiwert infolge der kleinerenortlichen Reynoldszahl im Flugelauenbereich zu und aufgrund der groeren ortlichenReynoldszahl in der Umgebung der Flugelmitte ab. Insgesamt uberwiegt die Abnahme,so da der in Bild 76 dargestellte Gesamtreibungswiderstandsbeiwert cWR mit der Zu-spitzung des Flugels kleiner wird. Gegenuber einem Rechteck ugel ( = 1) fuhrt die-ser geometrische Ein u unter Annahme einer voll turbulenten Grenzschicht bei demFlugel = 0 zu einer dreiprozentigen Reduktion des Reibungsbeiwertes. Die genannteProzentzahl ist unabhangig von der Flugelstreckung. Vogel mit zugespitzten Flugelnbesitzen demnach bei gleicher Flugel ache und Fluggeschwindigkeit ( ~Re = konst.)im Vergleich zu einem Rechteck ugel einen geringeren Reibungswiderstand. Mage-bend fur den Faktor k ist die spannweitige Zirkulationsverteilung (Bild 77). Bei einerebenen Nachlaufschicht wird der Faktor mit zunehmender Abweichung von einer el-liptischen Zirkulationsverteilung (k = 1) groer. Mit der Zuspitzung wird die bereitsannahernd elliptische Zirkulationsverteilung des Rechteck ugels zunachst gunstigerund anschlieend deutlich schlechter. Der Ein u der geringen Nichtplanaritat desNachlaufes eines zugespitzten Flugels kann vernachlassigt werden.Grundsatzlich kann der Faktor k fur jeden Flugelgrundri durch entsprechende Ver-windung auf den Wert eines Ellipsen ugels gebracht werden. Hierzu ist zum Beispielbei dem zugespitzten Flugel = 0 im Auenbereich eine Vergroerung der Zirkulationerforderlich. Der geometrische Anstellwinkel mu also auen vergroert werden. DieseVerwindung ist vom Auftriebsbeiwert abhangig. Mit zunehmendem Auftrieb mu siegroer werden. Starre Flugzeuge konnen daher im allgemeinen nur im Auslegungs-punkt mit einer elliptischen Zirkulationsverteilung iegen, wahrend ein exibler Vogeldurch entsprechende Anpassung seiner Flugelverwindung unabhangig vom Grund-ri durchweg mit dieser Verteilung iegen kann. Dem beschriebenen Zusammenhangwerden jedoch durch das Auftreten von Stromungsablosungen Grenzen gesetzt. DieStromung lost zunachst dort ab, wo der ortliche Auftriebsbeiwert einen zulassigen

92 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelMaximalwert uberschreitet. Wahrend der ortliche Auftriebsbeiwert bei einem Recht-eck ugel proportional zur spannweitigen Zirkulationsverteilung ist, nimmt er bei ei-nem zugespitzten Flugel infolge der abnehmenden ortlichen Flugeltiefe nach auen zu.Die Stromung um einen stark zugespitzten Flugel ist daher primar im Flugelauen-bereich ablosegefahrdet. Durch die fur eine Reduktion des induzierten Widerstandeserforderliche Verwindung wird die Gefahr der Stromungsablosung bei diesen Flugelnzusatzlich vergroert. Vogel mit stark zugespitzten Flugeln konnen demzufolge nur beikleinen Auftriebsbeiwerten, also bei groen Fluggeschwindigkeiten, mit einer ellipti-schen Zirkulationsverteilung iegen. Bei groeren Auftriebsbeiwerten mussen sie eineungunstigere Zirkulationsverteilung und damit einen groeren induzierten Widerstandhinnehmen, damit die Stromung im Flugelauenbereich nicht ablost.Um die Wirkung einer Steuer ache in Abhangigkeit von der Flugelzuspitzung zu un-tersuchen, werden an die Flugel ebene, quadratische Steuer achen angesetzt (Bild 73).Hierbei wird das Verhaltnis von Flugel ache zu Klappen ache konstant bei FF=FK = 5gehalten, so da sich fur F = 1 die Basiskonguration ergibt.Insgesamt hat die Zuspitzung kaum Ein u auf die Wirksamkeit einer Steuer ache(Bild 75). So wird der Auftriebsgradient cA des Flugels durch die Klappe um einenkonstanten Betrag vergroert und die Nickmomentensteigung cM verkleinert. Deraerodynamische Neutralpunkt N wird durch die Klappe unabhangig von der Zu-spitzung nach hinten verschoben. Das gleiche Bild zeigt sich bei der Ruderwirksamkeit(Bild 78). Sowohl der Rudergradient cA" als auch die Nullmomentensteigung cM0;"verlaufen nahezu konstant uber der Zuspitzung F .Die Zuspitzung der Flugel beein ut demnach primar den Widerstand eines Vo-gels. Mit der Zuspitzung wird der Reibungswiderstand bei gleicher Flugelstreckung,Flugel ache und Fluggeschwindigkeit kleiner. Gleichzeitig kann der induzierte Wider-stand bei einem verwindungsfreien Flugel reduziert werden. Diese Reduktion ist beiF = 0; 5 maximal. Bei dieser Zuspitzung wird das Verhaltnis des induzierten Wider-standes zum Wert eines Ellipsen ugels nahezu Eins. Wird die Zuspitzung weiter ver-groert (F < 0; 5), dann steigt der induzierte Widerstand bei konstantem Auftrieb an,wahrend der Reibungswiderstand weiter sinkt. Um die Zunahme des induzierten Wi-derstandes zu verhindern, mu ein Vogel seine zugespitzten Flugel verwinden. Sowohldurch die Zuspitzung als auch durch die Verwindung wird der ortliche Auftriebsbei-wert im Flugelauenbereich groer. Die Gefahr der Stromungsablosung nimmt daherim Flugelauenbereich zu. Vogel mit stark zugespitzten Flugeln iegen demzufolgeprimar im Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte, also im Geschwindigkeitsbereich ober-halb der Fluggeschwindigkeit fur maximales Gleiten. Bei geringeren Fluggeschwin-digkeiten mu der ortliche Auftriebsbeiwert im Flugelauenbereich reduziert werden,damit die Stromung hier nicht ablost. Der induzierte Widerstand steigt daraufhinan, so da der geringere Reibungswiderstand zugespitzter Flugel schnell kompensiertwird. Vogel, die zum Beispiel haug in der Thermik kreisen, werden also vorzugsweisekeine stark zugespitzten Flugelformen besitzen.

92 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelMaximalwert uberschreitet. Wahrend der ortliche Auftriebsbeiwert bei einem Recht-eck ugel proportional zur spannweitigen Zirkulationsverteilung ist, nimmt er bei ei-nem zugespitzten Flugel infolge der abnehmenden ortlichen Flugeltiefe nach auen zu.Die Stromung um einen stark zugespitzten Flugel ist daher primar im Flugelauen-bereich ablosegefahrdet. Durch die fur eine Reduktion des induzierten Widerstandeserforderliche Verwindung wird die Gefahr der Stromungsablosung bei diesen Flugelnzusatzlich vergroert. Vogel mit stark zugespitzten Flugeln konnen demzufolge nur beikleinen Auftriebsbeiwerten, also bei groen Fluggeschwindigkeiten, mit einer ellipti-schen Zirkulationsverteilung iegen. Bei groeren Auftriebsbeiwerten mussen sie eineungunstigere Zirkulationsverteilung und damit einen groeren induzierten Widerstandhinnehmen, damit die Stromung im Flugelauenbereich nicht ablost.Um die Wirkung einer Steuer ache in Abhangigkeit von der Flugelzuspitzung zu un-tersuchen, werden an die Flugel ebene, quadratische Steuer achen angesetzt (Bild 73).Hierbei wird das Verhaltnis von Flugel ache zu Klappen ache konstant bei FF=FK = 5gehalten, so da sich fur F = 1 die Basiskonguration ergibt.Insgesamt hat die Zuspitzung kaum Ein u auf die Wirksamkeit einer Steuer ache(Bild 75). So wird der Auftriebsgradient cA des Flugels durch die Klappe um einenkonstanten Betrag vergroert und die Nickmomentensteigung cM verkleinert. Deraerodynamische Neutralpunkt N wird durch die Klappe unabhangig von der Zu-spitzung nach hinten verschoben. Das gleiche Bild zeigt sich bei der Ruderwirksamkeit(Bild 78). Sowohl der Rudergradient cA" als auch die Nullmomentensteigung cM0;"verlaufen nahezu konstant uber der Zuspitzung F .Die Zuspitzung der Flugel beein ut demnach primar den Widerstand eines Vo-gels. Mit der Zuspitzung wird der Reibungswiderstand bei gleicher Flugelstreckung,Flugel ache und Fluggeschwindigkeit kleiner. Gleichzeitig kann der induzierte Wider-stand bei einem verwindungsfreien Flugel reduziert werden. Diese Reduktion ist beiF = 0; 5 maximal. Bei dieser Zuspitzung wird das Verhaltnis des induzierten Wider-standes zum Wert eines Ellipsen ugels nahezu Eins. Wird die Zuspitzung weiter ver-groert (F < 0; 5), dann steigt der induzierte Widerstand bei konstantem Auftrieb an,wahrend der Reibungswiderstand weiter sinkt. Um die Zunahme des induzierten Wi-derstandes zu verhindern, mu ein Vogel seine zugespitzten Flugel verwinden. Sowohldurch die Zuspitzung als auch durch die Verwindung wird der ortliche Auftriebsbei-wert im Flugelauenbereich groer. Die Gefahr der Stromungsablosung nimmt daherim Flugelauenbereich zu. Vogel mit stark zugespitzten Flugeln iegen demzufolgeprimar im Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte, also im Geschwindigkeitsbereich ober-halb der Fluggeschwindigkeit fur maximales Gleiten. Bei geringeren Fluggeschwin-digkeiten mu der ortliche Auftriebsbeiwert im Flugelauenbereich reduziert werden,damit die Stromung hier nicht ablost. Der induzierte Widerstand steigt daraufhinan, so da der geringere Reibungswiderstand zugespitzter Flugel schnell kompensiertwird. Vogel, die zum Beispiel haug in der Thermik kreisen, werden also vorzugsweisekeine stark zugespitzten Flugelformen besitzen.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 934.4.3.5 Variation der PfeilungDer Ein u der Flugelpfeilung auf die aerodynamischen und ugmechanischen Eigen-schaften von Vogeln wird an Flugeln der Streckung = 5 untersucht, die eine konstan-te Flugeltiefe besitzen (Bild 79). Die Skelettlinie der Flugel entspricht dem NACA3400 Skelettprol. Es werden Rechnungen fur die Pfeilwinkel 'V 2 [20=10=0=10=20] durchgefuhrt, wobei sich fur 'V = 0 der Basis ugel ergibt. Die mit der Flugel-tiefe gebildete Reynoldszahl betragt Re = 370 000.Die aerodynamischen Beiwerte cA, cW und cM sind in Bild 80 fur die Flugel 'V 2[20=0=20] dargestellt. Der Nullauftriebswinkel, der Nullmomentenbeiwert und derNullwiderstandsbeiwert sind unabhangig vom Pfeilwinkel. Ausgehend von 'V = 0wird der fur einen bestimmten Anstellwinkel berechnete Auftriebsbeiwert mit demPfeilwinkel etwas kleiner. Diese Tendenz ist unabhangig von der Pfeilungsrichtung.Insgesamt ist die Anderung des Auftriebsgradienten cA jedoch gering (Bild 81).Der Widerstandsbeiwert fur einen Auftriebsbeiwert ist ebenfalls unabhangig von derPfeilung. Einen starken Ein u hat der Pfeilwinkel auf den Nickmomentenanstieg cMund damit auf die Lage des aerodynamischen Neutralpunktes N . Mit zunehmendemPfeilwinkel 'V wird der Gradient cM groer, so da der aerodynamische Neutralpunktrelativ zum jeweiligen geometrischen Neutralpunkt nach vorne wandert.Die Lage des geometrischen Neutralpunktes ist jedoch ebenfalls vom Pfeilwinkel ab-hangig. Durch eine Vergroerung der Pfeilung um zum Beispiel zwanzig Grad ver-schiebt sich der geometrische Neutralpunkt um zwolf Prozent der Flugeltiefe nachhinten. Im Gegensatz zu konventionellen Flugzeugen haben Vogel die Moglichkeit, dieFlugel im Flug nach vorne oder hinten zu schwenken. Um die Wirkung dieser Geome-trieveranderung zu untersuchen, ist es sinnvoll, die aerodynamischen Beiwerte auf diegeometrischen Groen (Flugel ache, Bezugs ugeltiefe) und den geometrischen Neu-tralpunkt xN25;Ref eines Referenz ugels (hier: Rechteck ugel Ref = 5) zu beziehen.Auf diese Weise ergeben sich in Abhangigkeit vom Pfeilwinkel 'V die Nickmomenten-anstiege cM;Ref und die aerodynamischen NeutralpunktlagenN;Ref = xN xN25;Ref`;Ref = cM;RefcA;Ref ; (4.29)die ebenfalls in Bild 81 dargestellt sind.Relativ zum geometrischen Neutralpunkt des Referenz ugels verschiebt sich der aero-dynamische Neutralpunkt mit wachsendem Pfeilwinkel nach hinten. Bei einer festenSchwerpunktlageS;Ref = xS xN25;Ref`;Ref (4.30)nimmt also die Langsstabilitat mit der Pfeilung zu. Aufgrund des konstanten Null-momentes ist der Abstand zwischen dem aerodynamischen Neutralpunkt und demDruckpunkt fur einen Auftriebsbeiwert unabhangig vom Pfeilwinkel des Flugels kon-stant. Eine Verschiebung des aerodynamischen Neutralpunktes durch das Schwenkender Flugel bedingt demnach eine gleichgroe Verschiebung des Druckpunktes.

4.4 Trimmung uber den Schwanzausschlag 934.4.3.5 Variation der PfeilungDer Ein u der Flugelpfeilung auf die aerodynamischen und ugmechanischen Eigen-schaften von Vogeln wird an Flugeln der Streckung = 5 untersucht, die eine konstan-te Flugeltiefe besitzen (Bild 79). Die Skelettlinie der Flugel entspricht dem NACA3400 Skelettprol. Es werden Rechnungen fur die Pfeilwinkel 'V 2 [20=10=0=10=20] durchgefuhrt, wobei sich fur 'V = 0 der Basis ugel ergibt. Die mit der Flugel-tiefe gebildete Reynoldszahl betragt Re = 370 000.Die aerodynamischen Beiwerte cA, cW und cM sind in Bild 80 fur die Flugel 'V 2[20=0=20] dargestellt. Der Nullauftriebswinkel, der Nullmomentenbeiwert und derNullwiderstandsbeiwert sind unabhangig vom Pfeilwinkel. Ausgehend von 'V = 0wird der fur einen bestimmten Anstellwinkel berechnete Auftriebsbeiwert mit demPfeilwinkel etwas kleiner. Diese Tendenz ist unabhangig von der Pfeilungsrichtung.Insgesamt ist die Anderung des Auftriebsgradienten cA jedoch gering (Bild 81).Der Widerstandsbeiwert fur einen Auftriebsbeiwert ist ebenfalls unabhangig von derPfeilung. Einen starken Ein u hat der Pfeilwinkel auf den Nickmomentenanstieg cMund damit auf die Lage des aerodynamischen Neutralpunktes N . Mit zunehmendemPfeilwinkel 'V wird der Gradient cM groer, so da der aerodynamische Neutralpunktrelativ zum jeweiligen geometrischen Neutralpunkt nach vorne wandert.Die Lage des geometrischen Neutralpunktes ist jedoch ebenfalls vom Pfeilwinkel ab-hangig. Durch eine Vergroerung der Pfeilung um zum Beispiel zwanzig Grad ver-schiebt sich der geometrische Neutralpunkt um zwolf Prozent der Flugeltiefe nachhinten. Im Gegensatz zu konventionellen Flugzeugen haben Vogel die Moglichkeit, dieFlugel im Flug nach vorne oder hinten zu schwenken. Um die Wirkung dieser Geome-trieveranderung zu untersuchen, ist es sinnvoll, die aerodynamischen Beiwerte auf diegeometrischen Groen (Flugel ache, Bezugs ugeltiefe) und den geometrischen Neu-tralpunkt xN25;Ref eines Referenz ugels (hier: Rechteck ugel Ref = 5) zu beziehen.Auf diese Weise ergeben sich in Abhangigkeit vom Pfeilwinkel 'V die Nickmomenten-anstiege cM;Ref und die aerodynamischen NeutralpunktlagenN;Ref = xN xN25;Ref`;Ref = cM;RefcA;Ref ; (4.29)die ebenfalls in Bild 81 dargestellt sind.Relativ zum geometrischen Neutralpunkt des Referenz ugels verschiebt sich der aero-dynamische Neutralpunkt mit wachsendem Pfeilwinkel nach hinten. Bei einer festenSchwerpunktlageS;Ref = xS xN25;Ref`;Ref (4.30)nimmt also die Langsstabilitat mit der Pfeilung zu. Aufgrund des konstanten Null-momentes ist der Abstand zwischen dem aerodynamischen Neutralpunkt und demDruckpunkt fur einen Auftriebsbeiwert unabhangig vom Pfeilwinkel des Flugels kon-stant. Eine Verschiebung des aerodynamischen Neutralpunktes durch das Schwenkender Flugel bedingt demnach eine gleichgroe Verschiebung des Druckpunktes.

94 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelEin Vogel kann also durch das Vor- und Zuruckschwenken der Flugel steuern undverschiedene Fluggeschwindigkeiten austrimmen. Diese Steuerung bzw. Trimmung ba-siert auf der Veranderung der Neutralpunktlage bei konstantem Nullmoment. Sie wirddaher im weiteren Neutralpunktsteuerung genannt. Wird die Neutralpunktsteuerungzum Austrimmen einer Gleichgewichtslage benutzt, dann mu der Abstand zwischendem aerodynamischen Neutralpunkt und dem Schwerpunkt mit steigendem Auftriebs-beiwert, also mit fallender Fluggeschwindigkeit, reduziert werden. Ein stabil iegenderVogel mu demnach mit abnehmender Fluggeschwindigkeit seine Flugel nach vorneschwenken, wahrend ein instabiler Vogel die Flugel nach hinten schwenken mu. Da dasNullmoment durch diese Trimmung nicht beein ut wird, gehort zu jedem Auftriebs-beiwert ein fester Abstand NS und damit ein bestimmtes Ma an Stabilitat. Soferndas Nullmoment kop astig ist (positive Flugelwolbung), sind nur instabile Fluglagenmoglich, im Falle eines positiven Nullmomentes nur stabile Fluglagen. Grundsatzlichkann ein Vogel durch die Veranderung der Flugelpfeilung nicht von einer instabilen(stabilen) in eine stabile (instabile) Fluglage wechseln. Gegenuber der Trimmung mit-tels eines Schwanzausschlages (Nullmomentensteuerung) hat die Neutralpunktsteue-rung bezuglich der Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit erhebliche Vorteile, da der Wi-derstand durch die Variation der Pfeilung kaum beein ut wird. Auf der Basis derNeutralpunktsteuerung konnen zum Beispiel schwanzlose Vogel verschiedene Flugge-schwindigkeiten austrimmen.Um den Ein u der Flugelpfeilung auf die aerodynamische Wirksamkeit eines Vogel-schwanzes zu untersuchen, wird an die Flugel die ebene Steuer achen B (`K = `F =bKV = bKH) angesetzt. Bei " = 0 besitzt die Klappe gegenuber der Ebene z = 0eine Neigung von "0 = 5; 7 nach unten. Die fur diese Kongurationen berechnetenGradienten cA, cM und cM;Ref, sowie die Neutralpunktlagen N und N;Ref sindin Bild 81 uber dem Pfeilwinkel aufgetragen. Wie gewohnt fuhrt die Steuer ache imVergleich zum Flugel zu einer Vergroerung des Auftriebsgradienten und der negati-ven Nickmomentensteigung. Der aerodynamische Neutralpunkt verschiebt sich nachhinten, so da die Stabilitat der Konguration bei fester Schwerpunktlage zunimmt.Mit wachsendem Pfeilwinkel wird die stabilisierende Wirkung der Steuer ache etwasschwacher, da die aerodynamische Belastung des Flugelmittelteils und damit auch derKlappe fur einen Auftriebsbeiwert mit steigendem Pfeilwinkel fallt.Ein uberraschendes Ergebnis zeigt sich bezuglich der Ruderwirksamkeiten cA" undcM0;" (Bild 82). Wahrend der Auftriebsgradient cA" nahezu unabhangig vom Pfeil-winkel ist, wird der Nullmomentengradient cM0;" mit steigender Flugelpfeilung kleiner.Das Nullmoment ist ein freies Moment. Es entsteht durch zwei Krafte gleicher Groe,aber entgegengesetzter Wirkungsrichtung. Je groer die Krafte und der Abstand zwi-schen ihnen ist, desto groer wird das Nullmoment. Ein positiver Ruderausschlag fuhrtzu einer Vergroerung des Auftriebs im Flugelmittelbereich. Die Vergroerung ist na-hezu unabhangig vom Pfeilwinkel, da cA" konstant ist. Der negative Nullauftriebswin-kel wird demzufolge groer. Bei Anstromung unter dem Nullauftriebswinkel mu derzusatzliche Auftrieb im Flugelmittelteil durch einen Abtrieb in den Flugelauenbe-reichen kompensiert werden. Das so entstandene Kraftepaar hat bei einer negativenFlugelpfeilung einen groen Abstand und erzeugt damit ein groes Nullmoment. Mit

94 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelEin Vogel kann also durch das Vor- und Zuruckschwenken der Flugel steuern undverschiedene Fluggeschwindigkeiten austrimmen. Diese Steuerung bzw. Trimmung ba-siert auf der Veranderung der Neutralpunktlage bei konstantem Nullmoment. Sie wirddaher im weiteren Neutralpunktsteuerung genannt. Wird die Neutralpunktsteuerungzum Austrimmen einer Gleichgewichtslage benutzt, dann mu der Abstand zwischendem aerodynamischen Neutralpunkt und dem Schwerpunkt mit steigendem Auftriebs-beiwert, also mit fallender Fluggeschwindigkeit, reduziert werden. Ein stabil iegenderVogel mu demnach mit abnehmender Fluggeschwindigkeit seine Flugel nach vorneschwenken, wahrend ein instabiler Vogel die Flugel nach hinten schwenken mu. Da dasNullmoment durch diese Trimmung nicht beein ut wird, gehort zu jedem Auftriebs-beiwert ein fester Abstand NS und damit ein bestimmtes Ma an Stabilitat. Soferndas Nullmoment kop astig ist (positive Flugelwolbung), sind nur instabile Fluglagenmoglich, im Falle eines positiven Nullmomentes nur stabile Fluglagen. Grundsatzlichkann ein Vogel durch die Veranderung der Flugelpfeilung nicht von einer instabilen(stabilen) in eine stabile (instabile) Fluglage wechseln. Gegenuber der Trimmung mit-tels eines Schwanzausschlages (Nullmomentensteuerung) hat die Neutralpunktsteue-rung bezuglich der Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit erhebliche Vorteile, da der Wi-derstand durch die Variation der Pfeilung kaum beein ut wird. Auf der Basis derNeutralpunktsteuerung konnen zum Beispiel schwanzlose Vogel verschiedene Flugge-schwindigkeiten austrimmen.Um den Ein u der Flugelpfeilung auf die aerodynamische Wirksamkeit eines Vogel-schwanzes zu untersuchen, wird an die Flugel die ebene Steuer achen B (`K = `F =bKV = bKH) angesetzt. Bei " = 0 besitzt die Klappe gegenuber der Ebene z = 0eine Neigung von "0 = 5; 7 nach unten. Die fur diese Kongurationen berechnetenGradienten cA, cM und cM;Ref, sowie die Neutralpunktlagen N und N;Ref sindin Bild 81 uber dem Pfeilwinkel aufgetragen. Wie gewohnt fuhrt die Steuer ache imVergleich zum Flugel zu einer Vergroerung des Auftriebsgradienten und der negati-ven Nickmomentensteigung. Der aerodynamische Neutralpunkt verschiebt sich nachhinten, so da die Stabilitat der Konguration bei fester Schwerpunktlage zunimmt.Mit wachsendem Pfeilwinkel wird die stabilisierende Wirkung der Steuer ache etwasschwacher, da die aerodynamische Belastung des Flugelmittelteils und damit auch derKlappe fur einen Auftriebsbeiwert mit steigendem Pfeilwinkel fallt.Ein uberraschendes Ergebnis zeigt sich bezuglich der Ruderwirksamkeiten cA" undcM0;" (Bild 82). Wahrend der Auftriebsgradient cA" nahezu unabhangig vom Pfeil-winkel ist, wird der Nullmomentengradient cM0;" mit steigender Flugelpfeilung kleiner.Das Nullmoment ist ein freies Moment. Es entsteht durch zwei Krafte gleicher Groe,aber entgegengesetzter Wirkungsrichtung. Je groer die Krafte und der Abstand zwi-schen ihnen ist, desto groer wird das Nullmoment. Ein positiver Ruderausschlag fuhrtzu einer Vergroerung des Auftriebs im Flugelmittelbereich. Die Vergroerung ist na-hezu unabhangig vom Pfeilwinkel, da cA" konstant ist. Der negative Nullauftriebswin-kel wird demzufolge groer. Bei Anstromung unter dem Nullauftriebswinkel mu derzusatzliche Auftrieb im Flugelmittelteil durch einen Abtrieb in den Flugelauenbe-reichen kompensiert werden. Das so entstandene Kraftepaar hat bei einer negativenFlugelpfeilung einen groen Abstand und erzeugt damit ein groes Nullmoment. Mit

4.5 Trimmstrategie 95zunehmender Pfeilung wird der Abstand kleiner, womit auch die RuderwirksamkeitcM0;" schwacher wird.Neben der Neutralpunktsteuerung kann ein Vogel demnach das Vor- bzw. Zuruck-schwenken der Flugel dazu benutzen, seine Schwanzwirksamkeit im Hinblick auf dieAnderung des Nullmomentes zu variieren. Je weiter die Flugel nach vorne geschwenktwerden, desto wirksamer wird der Vogelschwanz.4.5 TrimmstrategieIm Gegensatz zu konventionellen Flugzeugen haben Vogel zwei grundsatzlich ver-schiedene Steuerungs- bzw. Trimmungsarten zur Auswahl, die sie getrennt oder inKombination einsetzen konnen. Es handelt sich hierbei die Nullmomentensteuerungund die Neutralpunktsteuerung.Bei einer Trimmung mittels der Nullmomentensteuerung wird der Druckpunkt furverschiedene Auftriebsbeiwerte allein durch eine entsprechende Veranderung des Null-momentes in einer Position gehalten. Diese Position entspricht der Schwerpunktlage.Fur eine Schwerpunktlage ist der Abstand zum aerodynamischen Neutralpunkt un-abhangig vom Trimmpunkt. Die Langsstabilitat eines Vogels ist damit fur verschiede-ne Fluggeschwindigkeiten gleich. Eine Verschiebung des Schwerpunktes fuhrt zu einerVeranderung der Langsstabilitat. Schwerpunktlagen vor dem aerodynamischen Neu-tralpunkt fuhren zu einer stabilen und solche hinter dem aerodynamischen Neutral-punkt zu einer instabilen Fluglage. In Verbindung mit einer Schwerpunktverschiebungist mit der Nullmomentensteuerung ein Wechsel von einer stabilen in eine instabileFluglage moglich.Ein Vogel kann sein Nullmoment durch verschiedene Geometrieveranderungen variie-ren. Er kann zum Beispiel die Flugelwolbung oder -verwindung verandern, oder seinenSchwanz nach oben bzw. unten ausschlagen. Die Veranderung des Nullmomentes ist inder Regel mit einer Veranderung der spannweitigen Zirkulationsverteilung verbunden.Ausgehend von einer elliptischen Verteilung, die bezuglich des induzierten Widerstan-des ein Optimum darstellt, bedingt die Veranderung des Nullmomentes eine Vergroe-rung des induzierten Widerstandes. Im Hinblick auf die Flugleistungen (Gleitzahl undSinkgeschwindigkeit) ist die Nullmomentensteuerung daher nicht besonders gunstig.Bei einer Trimmung uber die Neutralpunktsteuerung wird der Druckpunkt fur verschie-dene Auftriebsbeiwerte allein durch eine Verschiebung des aerodynamischen Neutral-punktes an der Position des Schwerpunktes gehalten. Die Langsstabilitat eines Vogelsist folglich von der Fluggeschwindigkeit abhangig. Mit abnehmender Fluggeschwin-digkeit nimmt die Stabilitat (Instabilitat) einer stabilen (instabilen) Kongurationab. Unabhangig von der Schwerpunktlage ist die Stabilitat bei einem Auftriebsbei-wert konstant. Eine Schwerpunktverschiebung hat demnach keinen Ein u auf dieLangsstabilitat. Sofern die Konguration ein kop astiges Nullmoment besitzt, sindnur Schwerpunktlagen hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt austrimmbar. Ana-log dazu sind bei einem positiven Nullmoment nur stabile Fluglagen moglich. Ein

4.5 Trimmstrategie 95zunehmender Pfeilung wird der Abstand kleiner, womit auch die RuderwirksamkeitcM0;" schwacher wird.Neben der Neutralpunktsteuerung kann ein Vogel demnach das Vor- bzw. Zuruck-schwenken der Flugel dazu benutzen, seine Schwanzwirksamkeit im Hinblick auf dieAnderung des Nullmomentes zu variieren. Je weiter die Flugel nach vorne geschwenktwerden, desto wirksamer wird der Vogelschwanz.4.5 TrimmstrategieIm Gegensatz zu konventionellen Flugzeugen haben Vogel zwei grundsatzlich ver-schiedene Steuerungs- bzw. Trimmungsarten zur Auswahl, die sie getrennt oder inKombination einsetzen konnen. Es handelt sich hierbei die Nullmomentensteuerungund die Neutralpunktsteuerung.Bei einer Trimmung mittels der Nullmomentensteuerung wird der Druckpunkt furverschiedene Auftriebsbeiwerte allein durch eine entsprechende Veranderung des Null-momentes in einer Position gehalten. Diese Position entspricht der Schwerpunktlage.Fur eine Schwerpunktlage ist der Abstand zum aerodynamischen Neutralpunkt un-abhangig vom Trimmpunkt. Die Langsstabilitat eines Vogels ist damit fur verschiede-ne Fluggeschwindigkeiten gleich. Eine Verschiebung des Schwerpunktes fuhrt zu einerVeranderung der Langsstabilitat. Schwerpunktlagen vor dem aerodynamischen Neu-tralpunkt fuhren zu einer stabilen und solche hinter dem aerodynamischen Neutral-punkt zu einer instabilen Fluglage. In Verbindung mit einer Schwerpunktverschiebungist mit der Nullmomentensteuerung ein Wechsel von einer stabilen in eine instabileFluglage moglich.Ein Vogel kann sein Nullmoment durch verschiedene Geometrieveranderungen variie-ren. Er kann zum Beispiel die Flugelwolbung oder -verwindung verandern, oder seinenSchwanz nach oben bzw. unten ausschlagen. Die Veranderung des Nullmomentes ist inder Regel mit einer Veranderung der spannweitigen Zirkulationsverteilung verbunden.Ausgehend von einer elliptischen Verteilung, die bezuglich des induzierten Widerstan-des ein Optimum darstellt, bedingt die Veranderung des Nullmomentes eine Vergroe-rung des induzierten Widerstandes. Im Hinblick auf die Flugleistungen (Gleitzahl undSinkgeschwindigkeit) ist die Nullmomentensteuerung daher nicht besonders gunstig.Bei einer Trimmung uber die Neutralpunktsteuerung wird der Druckpunkt fur verschie-dene Auftriebsbeiwerte allein durch eine Verschiebung des aerodynamischen Neutral-punktes an der Position des Schwerpunktes gehalten. Die Langsstabilitat eines Vogelsist folglich von der Fluggeschwindigkeit abhangig. Mit abnehmender Fluggeschwin-digkeit nimmt die Stabilitat (Instabilitat) einer stabilen (instabilen) Kongurationab. Unabhangig von der Schwerpunktlage ist die Stabilitat bei einem Auftriebsbei-wert konstant. Eine Schwerpunktverschiebung hat demnach keinen Ein u auf dieLangsstabilitat. Sofern die Konguration ein kop astiges Nullmoment besitzt, sindnur Schwerpunktlagen hinter dem aerodynamischen Neutralpunkt austrimmbar. Ana-log dazu sind bei einem positiven Nullmoment nur stabile Fluglagen moglich. Ein

96 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelWechsel von einer stabilen zu einer instabilen Fluglage (oder umgekehrt) ist mit derNeutralpunktsteuerung auch in Verbindung mit einer Schwerpunktverschiebung nichtmoglich.Ein Vogel kann die Lage des aerodynamischen Neutralpunktes verandern, indem erzum Beispiel seine Flugel nach vorne bzw. hinten schwenkt. Das Nullmoment bleibthierbei unverandert. Sofern die Pfeilwinkel nicht zu gro werden, hat diese Grund-riveranderung nahezu keinen Ein u auf den Widerstand. Im Vergleich zur Nullmo-mentensteuerung hat die Neutralpunktsteuerung daher Leistungsvorteile.Am Beispiel eines Flugels ohne Steuer ache wird die Funktionsweise der Neutral-punktsteuerung im weiteren gezeigt. Hierzu werden Gleichgewichtszustande fur ver-schiedene Fluggeschwindigkeiten und Schwerpunktlagen S;Ref 2 [0=0; 1=0; 2] alleindurch das Vor- bzw. Zuruckschwenken der Flugel ausgetrimmt. Der Referenz ugel isthier der ungepfeilte Basis ugel. Die Untersuchung wird anhand der gepfeilten Flugelkonstanter Streckung = 5 und Flugeltiefe durchgefuhrt, die ein NACA 3400 Ske-lettprol besitzen und in Bild 79 dargestellt sind. Grundlage fur die Berechnung derGleichgewichtszustande bildet das in Kapitel 4.2.1 vorgestellte Verfahren, wobei dervariable Klappenwinkel " durch den variablen Pfeilwinkel 'V ersetzt wird. Bei derBerechnung werden nur Pfeilwinkel j'V j 20 zugelassen.Die moglichen Gleitzahlen E und Sinkgeschwindigkeiten wg sowie die zugehorigenPfeilwinkel 'V und Abstande NS sind in Bild 83 uber dem Gewichtsbeiwert cGaufgetragen. Zum Vergleich sind die moglichen Flugleistungen des starren Basis ugelsmit eingezeichnet, wobei der jeweilige Trimmpunkt fur die gewahlten Schwerpunktla-gen S;Ref durch Symbole gekennzeichnet ist. Fur S;Ref = 0 ist mit dem Basis ugelkein stationarer Gleit ug moglich.Aufgrund der positiven Flugelwolbung ist das Nullmoment kop astig, so da die Kon-guration bei einer Trimmung mittels der Neutralpunktsteuerung nur instabile Flugla-gen einnehmen kann (NS < 0). Die erforderliche Instabilitat ist unabhangig von derSchwerpunktlage fur eine Fluggeschwindigkeit konstant. Sie entspricht der fur diesenGleichgewichtszustand notwendigen Instabilitat des starren Basis ugels. Mit abneh-mendem Gewichtsbeiwert, also mit zunehmender Fluggeschwindigkeit, nimmt die In-stabilitat erheblich zu. Dieser Zusammenhang spiegelt den Verlauf des Druckpunktesin Abhangigkeit vom Auftriebsbeiwert wieder. Aufgrund der starken Zunahme der In-stabilitat ist das Austrimmen einer Fluggeschwindigkeit durch das Vor- bzw. Zuruck-schwenken der Flugel im Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte nur bedingt moglich. Derfur ein Gleichgewicht erforderliche Pfeilwinkel wird mit fallendem Gewichtsbeiwertkleiner. Die Flugel der instabilen Konguration mussen also mit zunehmender Flug-geschwindigkeit nach vorne geschwenkt werden. Im Gegensatz zur Trimmung ubereinen Klappenausschlag werden die Flugleistungen bei der Trimmung uber die Neu-tralpunktsteuerung nicht verschlechtert und sind unabhangig von der Schwerpunktlagefur jeden Gewichtsbeiwert konstant (Kurven liegen ubereinander).Eine besondere Stellung bezuglich der Steuerung bzw. Trimmung nimmt der Vogel-schwanz ein. Durch einen Schwanzausschlag kann ein Vogel sein Nullmoment andern.

96 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelWechsel von einer stabilen zu einer instabilen Fluglage (oder umgekehrt) ist mit derNeutralpunktsteuerung auch in Verbindung mit einer Schwerpunktverschiebung nichtmoglich.Ein Vogel kann die Lage des aerodynamischen Neutralpunktes verandern, indem erzum Beispiel seine Flugel nach vorne bzw. hinten schwenkt. Das Nullmoment bleibthierbei unverandert. Sofern die Pfeilwinkel nicht zu gro werden, hat diese Grund-riveranderung nahezu keinen Ein u auf den Widerstand. Im Vergleich zur Nullmo-mentensteuerung hat die Neutralpunktsteuerung daher Leistungsvorteile.Am Beispiel eines Flugels ohne Steuer ache wird die Funktionsweise der Neutral-punktsteuerung im weiteren gezeigt. Hierzu werden Gleichgewichtszustande fur ver-schiedene Fluggeschwindigkeiten und Schwerpunktlagen S;Ref 2 [0=0; 1=0; 2] alleindurch das Vor- bzw. Zuruckschwenken der Flugel ausgetrimmt. Der Referenz ugel isthier der ungepfeilte Basis ugel. Die Untersuchung wird anhand der gepfeilten Flugelkonstanter Streckung = 5 und Flugeltiefe durchgefuhrt, die ein NACA 3400 Ske-lettprol besitzen und in Bild 79 dargestellt sind. Grundlage fur die Berechnung derGleichgewichtszustande bildet das in Kapitel 4.2.1 vorgestellte Verfahren, wobei dervariable Klappenwinkel " durch den variablen Pfeilwinkel 'V ersetzt wird. Bei derBerechnung werden nur Pfeilwinkel j'V j 20 zugelassen.Die moglichen Gleitzahlen E und Sinkgeschwindigkeiten wg sowie die zugehorigenPfeilwinkel 'V und Abstande NS sind in Bild 83 uber dem Gewichtsbeiwert cGaufgetragen. Zum Vergleich sind die moglichen Flugleistungen des starren Basis ugelsmit eingezeichnet, wobei der jeweilige Trimmpunkt fur die gewahlten Schwerpunktla-gen S;Ref durch Symbole gekennzeichnet ist. Fur S;Ref = 0 ist mit dem Basis ugelkein stationarer Gleit ug moglich.Aufgrund der positiven Flugelwolbung ist das Nullmoment kop astig, so da die Kon-guration bei einer Trimmung mittels der Neutralpunktsteuerung nur instabile Flugla-gen einnehmen kann (NS < 0). Die erforderliche Instabilitat ist unabhangig von derSchwerpunktlage fur eine Fluggeschwindigkeit konstant. Sie entspricht der fur diesenGleichgewichtszustand notwendigen Instabilitat des starren Basis ugels. Mit abneh-mendem Gewichtsbeiwert, also mit zunehmender Fluggeschwindigkeit, nimmt die In-stabilitat erheblich zu. Dieser Zusammenhang spiegelt den Verlauf des Druckpunktesin Abhangigkeit vom Auftriebsbeiwert wieder. Aufgrund der starken Zunahme der In-stabilitat ist das Austrimmen einer Fluggeschwindigkeit durch das Vor- bzw. Zuruck-schwenken der Flugel im Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte nur bedingt moglich. Derfur ein Gleichgewicht erforderliche Pfeilwinkel wird mit fallendem Gewichtsbeiwertkleiner. Die Flugel der instabilen Konguration mussen also mit zunehmender Flug-geschwindigkeit nach vorne geschwenkt werden. Im Gegensatz zur Trimmung ubereinen Klappenausschlag werden die Flugleistungen bei der Trimmung uber die Neu-tralpunktsteuerung nicht verschlechtert und sind unabhangig von der Schwerpunktlagefur jeden Gewichtsbeiwert konstant (Kurven liegen ubereinander).Eine besondere Stellung bezuglich der Steuerung bzw. Trimmung nimmt der Vogel-schwanz ein. Durch einen Schwanzausschlag kann ein Vogel sein Nullmoment andern.

4.5 Trimmstrategie 97Gleichzeitig kann ein Vogel durch das Spreizen seines Schwanzes den aerodynamischenNeutralpunkt verschieben. Eine positive Spreizung fuhrt zu einer Neutralpunktver-schiebung nach hinten. In der Regel andert sich hierbei auch das Nullmoment derKonguration. Sofern der Schwanz bei Anstromung unter dem NullauftriebswinkelAbtrieb produziert, wird das Nullmoment infolge einer positiven Spreizung schwanz-lastiger. Der Vogelschwanz kann demnach sowohl zur Nullmomentensteuerung als auchzur Neutralpunktsteuerung eingesetzt werden.Bezuglich der Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) werden die Verlu-ste durch den Vogelschwanz minimal, wenn der Schwanz nahezu unbelastet ist. DerSchwanz entspricht in dieser Position einer Strom ache im Nachlauf des Flugels ohneSteuer ache. Die leistungsgunstigste Schwanzstellung ist folglich vom Auftriebsbei-wert abhangig. Zu jeder Schwanzstellung gehort ein Nullmoment der Konguration.Will ein Vogel demnach bei einem Auftriebsbeiwert mit der widerstandsgunstigstenSchwanzstellung iegen, dann ist dazu eine bestimmte Langsstabilitat NS erforder-lich. Bezuglich der Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit stellt diese Langsstabilitat dasOptimum dar. Eine Veranderung des Auftriebsbeiwertes und damit der Fluggeschwin-digkeit bedingt eine Veranderung der leistungsgunstigsten Langsstabilitat.Bei einer festen Lage des aerodynamischen Neutralpunktes kann die LangsstabilitatNS nur durch eine Verschiebung des Schwerpunktes verandert werden. Fur jedenTrimmpunkt gibt es dann eine optimale Schwerpunktlage, bei der die Gleitzahl undSinkgeschwindigkeit maximal werden. Vermutlich konnen Vogel die Lage des Schwer-punktes jedoch im Fluge kaum verandern. In diesem Fall kann die leistungsgunstigsteLangsstabilitat nur durch eine Verschiebung des aerodynamischen Neutralpunktes ein-gestellt werden. Wie bereits ausgefuhrt, konnen Vogel die Lage des aerodynamischenNeutralpunktes durch Vor- und Zuruckschwenken der Flugel verandern. Sie konnendemnach mit Hilfe der Neutralpunktsteuerung in verschiedenen Trimmpunkten mitder jeweils widerstandsgunstigsten Schwanzstellung iegen.Eine Neutralpunktsteuerung uber das Spreizen des unbelasteten Schwanzes ist nichtmoglich, da sich die Druckpunktlage auf diese Weise nicht verandern lat. Die Sta-bilitat der Konguration nimmt zwar mit dem Spreizungswinkel zu, gleichzeitig wirddas Nullmoment aber schwanzlastiger, so da die Druckpunktlage unverandert bleibt.Die Neutralpunktsteuerung uber das Spreizen des Schwanzes ist demnach nur mit ei-nem belasteten Schwanz moglich. Bezuglich der Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit istein belasteter Schwanz jedoch in der Regel ungunstig, so da diese Art der Steuerungvermutlich nur eine untergeordnete Rolle spielt.Am Beispiel einer Vogelkonguration (Flugel mit Schwanz) wird im weiteren unter-sucht, wie ein Vogel in Abhangigkeit von der Fluggeschwindigkeit durch das Schwenkenund Einziehen der Flugel sowie das Ausschlagen und Spreizen seines Schwanzes die je-weils maximale Flugleistung erreichen kann. Die hierzu betrachteten Kongurationenwerden in Bild 84 dargestellt. Die Rechnungen werden bei einer mit der Flugeltiefegebildeten Reynoldszahl von ReF = 370 000 durchgefuhrt.Die Gleichgewichtszustande werden pro Gewichtsbeiwert cG;Ref (Referenz ugel: Recht-eck ugel Ref = 5) und Schwanzausschlag " durch Variation der Flugelpfeilung 'V

4.5 Trimmstrategie 97Gleichzeitig kann ein Vogel durch das Spreizen seines Schwanzes den aerodynamischenNeutralpunkt verschieben. Eine positive Spreizung fuhrt zu einer Neutralpunktver-schiebung nach hinten. In der Regel andert sich hierbei auch das Nullmoment derKonguration. Sofern der Schwanz bei Anstromung unter dem NullauftriebswinkelAbtrieb produziert, wird das Nullmoment infolge einer positiven Spreizung schwanz-lastiger. Der Vogelschwanz kann demnach sowohl zur Nullmomentensteuerung als auchzur Neutralpunktsteuerung eingesetzt werden.Bezuglich der Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit) werden die Verlu-ste durch den Vogelschwanz minimal, wenn der Schwanz nahezu unbelastet ist. DerSchwanz entspricht in dieser Position einer Strom ache im Nachlauf des Flugels ohneSteuer ache. Die leistungsgunstigste Schwanzstellung ist folglich vom Auftriebsbei-wert abhangig. Zu jeder Schwanzstellung gehort ein Nullmoment der Konguration.Will ein Vogel demnach bei einem Auftriebsbeiwert mit der widerstandsgunstigstenSchwanzstellung iegen, dann ist dazu eine bestimmte Langsstabilitat NS erforder-lich. Bezuglich der Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit stellt diese Langsstabilitat dasOptimum dar. Eine Veranderung des Auftriebsbeiwertes und damit der Fluggeschwin-digkeit bedingt eine Veranderung der leistungsgunstigsten Langsstabilitat.Bei einer festen Lage des aerodynamischen Neutralpunktes kann die LangsstabilitatNS nur durch eine Verschiebung des Schwerpunktes verandert werden. Fur jedenTrimmpunkt gibt es dann eine optimale Schwerpunktlage, bei der die Gleitzahl undSinkgeschwindigkeit maximal werden. Vermutlich konnen Vogel die Lage des Schwer-punktes jedoch im Fluge kaum verandern. In diesem Fall kann die leistungsgunstigsteLangsstabilitat nur durch eine Verschiebung des aerodynamischen Neutralpunktes ein-gestellt werden. Wie bereits ausgefuhrt, konnen Vogel die Lage des aerodynamischenNeutralpunktes durch Vor- und Zuruckschwenken der Flugel verandern. Sie konnendemnach mit Hilfe der Neutralpunktsteuerung in verschiedenen Trimmpunkten mitder jeweils widerstandsgunstigsten Schwanzstellung iegen.Eine Neutralpunktsteuerung uber das Spreizen des unbelasteten Schwanzes ist nichtmoglich, da sich die Druckpunktlage auf diese Weise nicht verandern lat. Die Sta-bilitat der Konguration nimmt zwar mit dem Spreizungswinkel zu, gleichzeitig wirddas Nullmoment aber schwanzlastiger, so da die Druckpunktlage unverandert bleibt.Die Neutralpunktsteuerung uber das Spreizen des Schwanzes ist demnach nur mit ei-nem belasteten Schwanz moglich. Bezuglich der Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit istein belasteter Schwanz jedoch in der Regel ungunstig, so da diese Art der Steuerungvermutlich nur eine untergeordnete Rolle spielt.Am Beispiel einer Vogelkonguration (Flugel mit Schwanz) wird im weiteren unter-sucht, wie ein Vogel in Abhangigkeit von der Fluggeschwindigkeit durch das Schwenkenund Einziehen der Flugel sowie das Ausschlagen und Spreizen seines Schwanzes die je-weils maximale Flugleistung erreichen kann. Die hierzu betrachteten Kongurationenwerden in Bild 84 dargestellt. Die Rechnungen werden bei einer mit der Flugeltiefegebildeten Reynoldszahl von ReF = 370 000 durchgefuhrt.Die Gleichgewichtszustande werden pro Gewichtsbeiwert cG;Ref (Referenz ugel: Recht-eck ugel Ref = 5) und Schwanzausschlag " durch Variation der Flugelpfeilung 'V

98 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelausgetrimmt. In Bild 85 sind die moglichen Gleitzahlen E uber dem Gewichtsbei-wert cG;Ref aufgetragen. Zusatzlich werden die erforderlichen Pfeilwinkel 'V und alsMa fur die Langsstabilitat die Abstande NS angegeben. Der Schwerpunkt wirdfur diese Untersuchung fest an die Position S;Ref = 0; 15 gelegt. Durch Wahl die-ser Schwerpunktlage kann die Konguration im Bereich der maximalen Gleitzahl miteinem unbelasteten Schwanz und einem nahezu ungepfeilten Flugel gleiten.Flug mit maximaler GleitzahlFur einen Flug mit der maximalen Gleitzahl cG;Ref = 0; 43 mu der Vogel seine groteStreckung einnehmen (F = Ref = 5). Damit diese Gleitzahl moglichst gro ist undbei einem kleinen Gewichtsbeiwert (groe Fluggeschwindigkeit) liegt, wird der Vogelseinen Reibungswiderstand klein halten. Er wird also moglichst mit einem zusammen-gelegten (negativ gespreizten) Schwanz iegen (Schwanzform G). Gleichzeitig wirdder Schwanz nahezu unbelastet sein, damit die spannweitige Zirkulationsverteilungelliptisch ist (" = 5). Solange die Konguration bei dieser Geometrie ein positi-ves Nullmoment besitzt, bendet sich der Vogel in einer instabilen Fluglage. Er mudemzufolge Storungen seines Gleichgewichtszustandes aktiv ausgleichen. Vermutlichwerden hierzu mit dem Schwanz standig kleine Ruderbewegungen durchgefuhrt.Schnell ugWill der Vogel ausgehend von diesem Trimmpunkt seine Fluggeschwindigkeit ver-groern und weiterhin mit der jeweils gunstigsten Gleitzahl iegen, dann wird er denneuen Gleichgewichtszustand uber die Neutralpunktsteuerung austrimmen. Der insta-bile Vogel mu hierzu die Flugel nach vorne schwenken, wodurch die Instabilitat ver-groert wird. Zur Vermeidung von zusatzlichem Widerstand bleibt der Vogelschwanzweiterhin zusammengelegt und unbelastet (Schwanzform G, " = 5). Auch die Strek-kung wird der Vogel zunachst nicht verringern, bis der Gewichtsbeiwert auf ungefahrsiebzig Prozent des Wertes fur bestes Gleiten gesunken ist (cG;Ref = 0; 3). Fur diesenGewichtsbeiwert stellt die maximale Streckung des Vogels bezuglich der Gleitzahl undSinkgeschwindigkeit das Optimum dar.Wird dem Vogel in dieser Situation die Instabilitat zu gro, so da er Storungen sei-ner Fluglage nicht mehr schnell genug ausregeln kann, dann wird er seinen Schwanznach oben ausschlagen (Schwanzform G, " = 10) und/oder nach auen spreizen(Schwanzform K, " = 5). Durch den Schwanzausschlag nach oben wird das kopf-lastige Nullmoment reduziert. Gleichzeitig mu der Flugel fur einen Gleichgewichts-zustand bei konstantem Gewichtsbeiwert nach hinten geschwenkt werden, so da deraerodynamische Neutralpunkt in Richtung des Schwerpunktes nach hinten wandert.Die Fluglage des Vogels wird stabiler. Infolge des vergroerten induzierten Wider-standes werden die Flugleistungen schlechter. Da die Ruderwirksamkeit cM0;" eineskeilformigen Schwanzes klein ist, kann der Vogel die Langsstabilitat auf die beschrie-bene Weise nur geringfugig vergroern. Auf der anderen Seite kann der Vogel durchdas Spreizen des unbelasteten Schwanzes den aerodynamischen Neutralpunkt nachhinten verlagern, ohne die Lage des Druckpunktes zu verandern. Die Langsstabilitatnimmt entsprechend zu, wahrend der Pfeilwinkel des Flugels unverandert bleibt. In

98 4 Untersuchungen zum Gleit ug der Vogelausgetrimmt. In Bild 85 sind die moglichen Gleitzahlen E uber dem Gewichtsbei-wert cG;Ref aufgetragen. Zusatzlich werden die erforderlichen Pfeilwinkel 'V und alsMa fur die Langsstabilitat die Abstande NS angegeben. Der Schwerpunkt wirdfur diese Untersuchung fest an die Position S;Ref = 0; 15 gelegt. Durch Wahl die-ser Schwerpunktlage kann die Konguration im Bereich der maximalen Gleitzahl miteinem unbelasteten Schwanz und einem nahezu ungepfeilten Flugel gleiten.Flug mit maximaler GleitzahlFur einen Flug mit der maximalen Gleitzahl cG;Ref = 0; 43 mu der Vogel seine groteStreckung einnehmen (F = Ref = 5). Damit diese Gleitzahl moglichst gro ist undbei einem kleinen Gewichtsbeiwert (groe Fluggeschwindigkeit) liegt, wird der Vogelseinen Reibungswiderstand klein halten. Er wird also moglichst mit einem zusammen-gelegten (negativ gespreizten) Schwanz iegen (Schwanzform G). Gleichzeitig wirdder Schwanz nahezu unbelastet sein, damit die spannweitige Zirkulationsverteilungelliptisch ist (" = 5). Solange die Konguration bei dieser Geometrie ein positi-ves Nullmoment besitzt, bendet sich der Vogel in einer instabilen Fluglage. Er mudemzufolge Storungen seines Gleichgewichtszustandes aktiv ausgleichen. Vermutlichwerden hierzu mit dem Schwanz standig kleine Ruderbewegungen durchgefuhrt.Schnell ugWill der Vogel ausgehend von diesem Trimmpunkt seine Fluggeschwindigkeit ver-groern und weiterhin mit der jeweils gunstigsten Gleitzahl iegen, dann wird er denneuen Gleichgewichtszustand uber die Neutralpunktsteuerung austrimmen. Der insta-bile Vogel mu hierzu die Flugel nach vorne schwenken, wodurch die Instabilitat ver-groert wird. Zur Vermeidung von zusatzlichem Widerstand bleibt der Vogelschwanzweiterhin zusammengelegt und unbelastet (Schwanzform G, " = 5). Auch die Strek-kung wird der Vogel zunachst nicht verringern, bis der Gewichtsbeiwert auf ungefahrsiebzig Prozent des Wertes fur bestes Gleiten gesunken ist (cG;Ref = 0; 3). Fur diesenGewichtsbeiwert stellt die maximale Streckung des Vogels bezuglich der Gleitzahl undSinkgeschwindigkeit das Optimum dar.Wird dem Vogel in dieser Situation die Instabilitat zu gro, so da er Storungen sei-ner Fluglage nicht mehr schnell genug ausregeln kann, dann wird er seinen Schwanznach oben ausschlagen (Schwanzform G, " = 10) und/oder nach auen spreizen(Schwanzform K, " = 5). Durch den Schwanzausschlag nach oben wird das kopf-lastige Nullmoment reduziert. Gleichzeitig mu der Flugel fur einen Gleichgewichts-zustand bei konstantem Gewichtsbeiwert nach hinten geschwenkt werden, so da deraerodynamische Neutralpunkt in Richtung des Schwerpunktes nach hinten wandert.Die Fluglage des Vogels wird stabiler. Infolge des vergroerten induzierten Wider-standes werden die Flugleistungen schlechter. Da die Ruderwirksamkeit cM0;" eineskeilformigen Schwanzes klein ist, kann der Vogel die Langsstabilitat auf die beschrie-bene Weise nur geringfugig vergroern. Auf der anderen Seite kann der Vogel durchdas Spreizen des unbelasteten Schwanzes den aerodynamischen Neutralpunkt nachhinten verlagern, ohne die Lage des Druckpunktes zu verandern. Die Langsstabilitatnimmt entsprechend zu, wahrend der Pfeilwinkel des Flugels unverandert bleibt. In

4.5 Trimmstrategie 99diesem Fall werden die Flugleistungen aufgrund des groeren Reibungswiderstandes,der insbesondere im Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte einen groen Anteil am Ge-samtwiderstand des Vogels ausmacht, ungunstiger. Der Vogel mu also die geringereInstabilitat durch Verluste an Gleitzahl (bzw. Sinkgeschwindigkeit) erkaufen.Bei einer weiteren Vergroerung der Fluggeschwindigkeit hat eine Reduktion derFlugel ache, auch in Verbindung mit einer Abnahme der Streckung, Leistungsvorteile.Der Vogel wird demzufolge seine Flugel einziehen, so da er pro Gewichtsbeiwert mitder jeweils leistungsgunstigsten Streckung iegt (Opt = 3 fur cG;Ref = 0; 14). Sofernder Vogelschwanz weiterhin unbelastet und zusammengelegt bleibt, mu der Vogeldie Flugel weit nach vorne schwenken. Durch die Abnahme der Flugel ache verlagertsich der aerodynamische Neutralpunkt nach vorne. Gleichzeitig wird das kop astigeNullmoment der Konguration reduziert. Die fur einen Gewichtsbeiwert erforderlicheInstabilitat des Vogels wird daher durch die Verkleinerung der Flugel ache auch ohneeine Veranderung der Schwanzgeometrie und des Schwanzausschlages deutlich verrin-gert (vgl. F = 5, Schwanzform G, " = 5 mit F = 3, Schwanzform G, " = 5bei cG;Ref = 0; 14). Das bei Vogeln im Schnell ug zu beobachtende Einziehen derFlugel hat also nicht nur bezuglich der Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwin-digkeit) sondern auch hinsichtlich der Stabilitat der Fluglage Vorteile. Gleichzeitigsteigt die Ruderwirksamkeit des Vogelschwanzes mit abnehmender Flugelstreckungan. Die mogliche Reduktion des kop astigen Nullmomentes durch einen Schwanzaus-schlag nach oben wird daher mit abnehmender Flugel ache groer. Der Vogel kanndemzufolge seine Instabilitat bei kleinen Gewichtsbeiwerten durch einen Schwanzaus-schlag nach oben in Verbindung mit dem Zuruckschwenken der Flugel deutlich starkerverringern als bei groeren Gewichtsbeiwerten (Schwanzform G, " = 10). Insbeson-dere in Verbindung mit einer Spreizung des Schwanzes kann der Vogel auf diese Weisebei groen Fluggeschwindigkeiten seine Fluglage stabilisieren. Je stabiler der Vogelsein mochte, damit er den Regelmechanismus zum Einhalten einer Fluglage entlastenkann, desto weiter werden die Flugel nach hinten geschwenkt sowie der Vogelschwanzgespreizt und nach oben ausgeschlagen (Schwanzform B, " = 10). Die Zunahmeder Stabilitat mu jedoch auch weiterhin durch leichte Verluste an Gleitzahl (Sinkge-schwindigkeit) erkauft werden.Im Bereich hoher Fluggeschwindigkeiten ist eine Trimmung ausschlielich uber dieNeutralpunktsteuerung kaum moglich, da der fur eine Anderung der Fluggeschwindig-keit erforderliche Ruderweg (d'V =dcG;Ref) und damit die Anderung der Langsstabilitatmit der Fluggeschwindigkeit zu gro wird. Der Vogel wird daher groe Fluggeschwin-digkeiten primar uber die Nullmomentensteuerung austrimmen. Mit steigender Flug-geschwindigkeit mu der Schwanz eines instabil iegenden Vogels zunehmend nachoben ausgeschlagen werden. Im Extremfall gelangt der Vogel in einen vertikalen Sturz- ug. In diesem Zustand sind der Auftrieb und das Nullmoment gleich Null. Sofern derFlugel positiv gewolbt ist, wird der Vogelschwanz weit nach oben ausgeschlagen sein.Die Fluggeschwindigkeit wird in diesem Trimmpunkt ausschlielich durch den Nullwi-derstand des Vogels festgelegt. Sie wird bei minimalem Nullwiderstand maximal. DerVogel mu hierzu seine Flugel anlegen.

4.5 Trimmstrategie 99diesem Fall werden die Flugleistungen aufgrund des groeren Reibungswiderstandes,der insbesondere im Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte einen groen Anteil am Ge-samtwiderstand des Vogels ausmacht, ungunstiger. Der Vogel mu also die geringereInstabilitat durch Verluste an Gleitzahl (bzw. Sinkgeschwindigkeit) erkaufen.Bei einer weiteren Vergroerung der Fluggeschwindigkeit hat eine Reduktion derFlugel ache, auch in Verbindung mit einer Abnahme der Streckung, Leistungsvorteile.Der Vogel wird demzufolge seine Flugel einziehen, so da er pro Gewichtsbeiwert mitder jeweils leistungsgunstigsten Streckung iegt (Opt = 3 fur cG;Ref = 0; 14). Sofernder Vogelschwanz weiterhin unbelastet und zusammengelegt bleibt, mu der Vogeldie Flugel weit nach vorne schwenken. Durch die Abnahme der Flugel ache verlagertsich der aerodynamische Neutralpunkt nach vorne. Gleichzeitig wird das kop astigeNullmoment der Konguration reduziert. Die fur einen Gewichtsbeiwert erforderlicheInstabilitat des Vogels wird daher durch die Verkleinerung der Flugel ache auch ohneeine Veranderung der Schwanzgeometrie und des Schwanzausschlages deutlich verrin-gert (vgl. F = 5, Schwanzform G, " = 5 mit F = 3, Schwanzform G, " = 5bei cG;Ref = 0; 14). Das bei Vogeln im Schnell ug zu beobachtende Einziehen derFlugel hat also nicht nur bezuglich der Flugleistungen (Gleitzahl und Sinkgeschwin-digkeit) sondern auch hinsichtlich der Stabilitat der Fluglage Vorteile. Gleichzeitigsteigt die Ruderwirksamkeit des Vogelschwanzes mit abnehmender Flugelstreckungan. Die mogliche Reduktion des kop astigen Nullmomentes durch einen Schwanzaus-schlag nach oben wird daher mit abnehmender Flugel ache groer. Der Vogel kanndemzufolge seine Instabilitat bei kleinen Gewichtsbeiwerten durch einen Schwanzaus-schlag nach oben in Verbindung mit dem Zuruckschwenken der Flugel deutlich starkerverringern als bei groeren Gewichtsbeiwerten (Schwanzform G, " = 10). Insbeson-dere in Verbindung mit einer Spreizung des Schwanzes kann der Vogel auf diese Weisebei groen Fluggeschwindigkeiten seine Fluglage stabilisieren. Je stabiler der Vogelsein mochte, damit er den Regelmechanismus zum Einhalten einer Fluglage entlastenkann, desto weiter werden die Flugel nach hinten geschwenkt sowie der Vogelschwanzgespreizt und nach oben ausgeschlagen (Schwanzform B, " = 10). Die Zunahmeder Stabilitat mu jedoch auch weiterhin durch leichte Verluste an Gleitzahl (Sinkge-schwindigkeit) erkauft werden.Im Bereich hoher Fluggeschwindigkeiten ist eine Trimmung ausschlielich uber dieNeutralpunktsteuerung kaum moglich, da der fur eine Anderung der Fluggeschwindig-keit erforderliche Ruderweg (d'V =dcG;Ref) und damit die Anderung der Langsstabilitatmit der Fluggeschwindigkeit zu gro wird. Der Vogel wird daher groe Fluggeschwin-digkeiten primar uber die Nullmomentensteuerung austrimmen. Mit steigender Flug-geschwindigkeit mu der Schwanz eines instabil iegenden Vogels zunehmend nachoben ausgeschlagen werden. Im Extremfall gelangt der Vogel in einen vertikalen Sturz- ug. In diesem Zustand sind der Auftrieb und das Nullmoment gleich Null. Sofern derFlugel positiv gewolbt ist, wird der Vogelschwanz weit nach oben ausgeschlagen sein.Die Fluggeschwindigkeit wird in diesem Trimmpunkt ausschlielich durch den Nullwi-derstand des Vogels festgelegt. Sie wird bei minimalem Nullwiderstand maximal. DerVogel mu hierzu seine Flugel anlegen.

100 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelFlug mit minimaler SinkgeschwindigkeitAusgangspunkt ist der Flug mit maximaler Gleitzahl (F = 5, Schwanzform G," = 5, 'V = 0). Um in den Geradeaus ug mit minimaler Sinkgeschwindigkeitzu gelangen, ist eine Reduktion der Fluggeschwindigkeit erforderlich. Der Gewichts-beiwert wird groer (cG;Ref = 0; 75). Zum Austrimmen der groeren Gewichtsbeiwertemu der Vogel den Abstand zwischen Neutralpunkt und Schwerpunkt reduzieren oderdas Nullmoment betragsmaig vergroern. Ein instabiler Vogel mu demnach seineFlugel nach hinten schwenken (Neutralpunktsteuerung) oder den Schwanz nach untenausschlagen (Nullmomentensteuerung). Solange der Schwanz nicht zur Vergroerungdes Auftriebsbeiwertes benotigt wird, hat das Zuruckschwenken der Flugel Leistungs-vorteile (Neutralpunktsteuerung). Der erforderliche Ruderweg ist hierbei klein, da dieVeranderung der Druckpunktlage mit wachsendem Auftriebsbeiwert kleiner wird. DieInstabilitat der Fluglage des Vogels nimmt ab. Der Vogelschwanz bleibt weiterhinzusammengelegt und unbelastet und die Flugelstreckung moglichst gro.Langsam ugFur eine weitere Reduktion der Fluggeschwindigkeit oder beim Kreisen in der Thermikmu der Auftriebsbeiwert weiter vergroert werden. Sofern der Anstellwinkel hierbeiden im Hinblick auf eine Stromungsablosung maximal zulassigen Wert erreicht hat(cG;Ref = 1; 05), ist die Auftriebsvergroerung nur durch einen Schwanzausschlag nachunten moglich. Aufgrund der besseren Ruderwirksamkeit cA" wird der Vogel in dieserSituation seinen Schwanz weit spreizen (Schwanzform K, " > 0). Der Reibungswider-stand wachst demzufolge an. Dennoch sind die Flugleistungen der Konguration miteinem positiv gespreizten Schwanz gunstiger als mit einem ungespreizten Schwanz, dader induzierte Widerstand bei gleichem Auftriebsbeiwert deutlich kleiner ist und derAnteil der Reibung am Gesamtwiderstand des Vogels im Bereich groer Auftriebsbei-werte gering ist.Neben der Vergroerung des Auftriebsbeiwertes fuhrt der positive Schwanzausschlagzu einer Zunahme des kop astigen Nullmomentes. Zum Ausgleich dieses Momentesmussen die Flugel nach vorne geschwenkt werden. Entsprechend nimmt die Instabilitatdes Vogels mit dem Schwanzausschlag zu.LandungIn der Landephase iegt der Vogel mit einer moglichst kleinen Geschwindigkeit, al-so im Bereich des maximalen Auftriebsbeiwertes (cG;Ref = 1; 48). Der Anstellwinkelentspricht dem maximal zulassigen Wert, so da der Flugel kurz vor einer Stromungs-ablosung steht. Gleichzeitig ist der Vogelschwanz bei einem instabilen Vogel weit nachunten ausgeschlagen, so da auch die Stromung uber dem Schwanz kurz vor einem Zu-sammenbruch steht. Aufgrund der besseren Ruderwirksamkeit ist der Schwanz starkgespreizt. Das Nullmoment der Konguration ist bei dieser Schwanzstellung sehr kopf-lastig. Zum Ausgleich dieses Momentes mussen die Flugel weit nach vorne geschwenktwerden. In der weit nach unten ausgeschlagenen Position hat der Vogelschwanz einesehr gute Bremswirkung.

100 4 Untersuchungen zum Gleit ug der VogelFlug mit minimaler SinkgeschwindigkeitAusgangspunkt ist der Flug mit maximaler Gleitzahl (F = 5, Schwanzform G," = 5, 'V = 0). Um in den Geradeaus ug mit minimaler Sinkgeschwindigkeitzu gelangen, ist eine Reduktion der Fluggeschwindigkeit erforderlich. Der Gewichts-beiwert wird groer (cG;Ref = 0; 75). Zum Austrimmen der groeren Gewichtsbeiwertemu der Vogel den Abstand zwischen Neutralpunkt und Schwerpunkt reduzieren oderdas Nullmoment betragsmaig vergroern. Ein instabiler Vogel mu demnach seineFlugel nach hinten schwenken (Neutralpunktsteuerung) oder den Schwanz nach untenausschlagen (Nullmomentensteuerung). Solange der Schwanz nicht zur Vergroerungdes Auftriebsbeiwertes benotigt wird, hat das Zuruckschwenken der Flugel Leistungs-vorteile (Neutralpunktsteuerung). Der erforderliche Ruderweg ist hierbei klein, da dieVeranderung der Druckpunktlage mit wachsendem Auftriebsbeiwert kleiner wird. DieInstabilitat der Fluglage des Vogels nimmt ab. Der Vogelschwanz bleibt weiterhinzusammengelegt und unbelastet und die Flugelstreckung moglichst gro.Langsam ugFur eine weitere Reduktion der Fluggeschwindigkeit oder beim Kreisen in der Thermikmu der Auftriebsbeiwert weiter vergroert werden. Sofern der Anstellwinkel hierbeiden im Hinblick auf eine Stromungsablosung maximal zulassigen Wert erreicht hat(cG;Ref = 1; 05), ist die Auftriebsvergroerung nur durch einen Schwanzausschlag nachunten moglich. Aufgrund der besseren Ruderwirksamkeit cA" wird der Vogel in dieserSituation seinen Schwanz weit spreizen (Schwanzform K, " > 0). Der Reibungswider-stand wachst demzufolge an. Dennoch sind die Flugleistungen der Konguration miteinem positiv gespreizten Schwanz gunstiger als mit einem ungespreizten Schwanz, dader induzierte Widerstand bei gleichem Auftriebsbeiwert deutlich kleiner ist und derAnteil der Reibung am Gesamtwiderstand des Vogels im Bereich groer Auftriebsbei-werte gering ist.Neben der Vergroerung des Auftriebsbeiwertes fuhrt der positive Schwanzausschlagzu einer Zunahme des kop astigen Nullmomentes. Zum Ausgleich dieses Momentesmussen die Flugel nach vorne geschwenkt werden. Entsprechend nimmt die Instabilitatdes Vogels mit dem Schwanzausschlag zu.LandungIn der Landephase iegt der Vogel mit einer moglichst kleinen Geschwindigkeit, al-so im Bereich des maximalen Auftriebsbeiwertes (cG;Ref = 1; 48). Der Anstellwinkelentspricht dem maximal zulassigen Wert, so da der Flugel kurz vor einer Stromungs-ablosung steht. Gleichzeitig ist der Vogelschwanz bei einem instabilen Vogel weit nachunten ausgeschlagen, so da auch die Stromung uber dem Schwanz kurz vor einem Zu-sammenbruch steht. Aufgrund der besseren Ruderwirksamkeit ist der Schwanz starkgespreizt. Das Nullmoment der Konguration ist bei dieser Schwanzstellung sehr kopf-lastig. Zum Ausgleich dieses Momentes mussen die Flugel weit nach vorne geschwenktwerden. In der weit nach unten ausgeschlagenen Position hat der Vogelschwanz einesehr gute Bremswirkung.

5 ZusammenfassungIn der vorliegenden Arbeit wird ein Mehrfachtraglinienverfahren fur Flugel mit Steu-er achen entwickelt und dazu benutzt, den stationaren Gleit ug der Vogel zu analysie-ren. Das Verfahren ermoglicht die potentialtheoretische Berechnung der Umstromungvon Kongurationen beliebiger Grundriform (z. B. Streckung, Pfeilung, Zuspitzung)und Nichtplanaritat (z. B. Wolbung, Klappenausschlage).Zur Berechnung wird die Konguration durch eine ideal dunne, dreidimensional ge-formte Skelett ache ersetzt. Anschlieend wird die Skelett ache in Tiefenrichtung mittragenden Linien unbekannter Wirbelstarke und mit Aufpunkten (Punkte, in denendie kinematische Stromungsbedingung erfullt wird) belegt. Die Einteilung erfolgt unterBerucksichtigung der CauchySingularitat im Integral der induzierten Geschwindig-keiten normal zur Skelett ache. Jeweils ein Abschnitt einer tragenden Linie und einAufpunkt werden zu einem Panel zusammengefat.Fur die Zirkulationsstarke wird pro tragender Linie ein quadratischer Parametersplineangenommen. Entsprechend lauft von jeder tragenden Linie eine kontinuierliche Wir-belschicht uber die Skelett ache zur Hinterkante und von dort ins Unendliche. Aufroll-vorgange im Nachlauf werden nicht berucksichtigt. Die Intervallgrenzen des Parame-tersplines entsprechen den Panelseitenkanten. Pro Panel liegen damit drei unbekannteKoezienten vor, zu deren Bestimmung drei Randbedingungen benotigt werden. ZweiRandbedingungen werden an den Panelseitenkanten durch Stetigkeitsforderungen andie gesuchte Zirkulationsstarke bereitgestellt. Die dritte Randbedingung ist die kine-matische Stromungsbedingung, die pro Panel in einem Aufpunkt erfullt wird. Insge-samt ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, dessen Losung die Zirkulationsstarkender tragenden Linien liefert.Mit den bekannten Wirbelstarken werden die Stromungsgeschwindigkeiten in den Auf-punkten berechnet. Diese Geschwindigkeitsvektoren werden anschlieend achenhaftinterpoliert. Uber den Satz von Kutta und Joukowsky resultieren damit die an derKonguration angreifenden Lasten. Nicht enthalten ist in diesen Lasten die an derSkelettvorderkante angreifende Saugkraft und der Reibungswiderstand. Die Saugkraftwird explizit in Aufpunkten auf der Vorderkante berechnet. Hierzu wird angenom-men, da die Umstromung der Skelettvorderkante in unmittelbarer Umgebung derKante analog zu der Umstromung einer Plattenvorderkante erfolgt. Der Reibungswi-derstand wird uber den Reibungsbeiwert einer voll turbulenten Plattengrenzschicht

5 ZusammenfassungIn der vorliegenden Arbeit wird ein Mehrfachtraglinienverfahren fur Flugel mit Steu-er achen entwickelt und dazu benutzt, den stationaren Gleit ug der Vogel zu analysie-ren. Das Verfahren ermoglicht die potentialtheoretische Berechnung der Umstromungvon Kongurationen beliebiger Grundriform (z. B. Streckung, Pfeilung, Zuspitzung)und Nichtplanaritat (z. B. Wolbung, Klappenausschlage).Zur Berechnung wird die Konguration durch eine ideal dunne, dreidimensional ge-formte Skelett ache ersetzt. Anschlieend wird die Skelett ache in Tiefenrichtung mittragenden Linien unbekannter Wirbelstarke und mit Aufpunkten (Punkte, in denendie kinematische Stromungsbedingung erfullt wird) belegt. Die Einteilung erfolgt unterBerucksichtigung der CauchySingularitat im Integral der induzierten Geschwindig-keiten normal zur Skelett ache. Jeweils ein Abschnitt einer tragenden Linie und einAufpunkt werden zu einem Panel zusammengefat.Fur die Zirkulationsstarke wird pro tragender Linie ein quadratischer Parametersplineangenommen. Entsprechend lauft von jeder tragenden Linie eine kontinuierliche Wir-belschicht uber die Skelett ache zur Hinterkante und von dort ins Unendliche. Aufroll-vorgange im Nachlauf werden nicht berucksichtigt. Die Intervallgrenzen des Parame-tersplines entsprechen den Panelseitenkanten. Pro Panel liegen damit drei unbekannteKoezienten vor, zu deren Bestimmung drei Randbedingungen benotigt werden. ZweiRandbedingungen werden an den Panelseitenkanten durch Stetigkeitsforderungen andie gesuchte Zirkulationsstarke bereitgestellt. Die dritte Randbedingung ist die kine-matische Stromungsbedingung, die pro Panel in einem Aufpunkt erfullt wird. Insge-samt ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, dessen Losung die Zirkulationsstarkender tragenden Linien liefert.Mit den bekannten Wirbelstarken werden die Stromungsgeschwindigkeiten in den Auf-punkten berechnet. Diese Geschwindigkeitsvektoren werden anschlieend achenhaftinterpoliert. Uber den Satz von Kutta und Joukowsky resultieren damit die an derKonguration angreifenden Lasten. Nicht enthalten ist in diesen Lasten die an derSkelettvorderkante angreifende Saugkraft und der Reibungswiderstand. Die Saugkraftwird explizit in Aufpunkten auf der Vorderkante berechnet. Hierzu wird angenom-men, da die Umstromung der Skelettvorderkante in unmittelbarer Umgebung derKante analog zu der Umstromung einer Plattenvorderkante erfolgt. Der Reibungswi-derstand wird uber den Reibungsbeiwert einer voll turbulenten Plattengrenzschicht

102 5 Zusammenfassungohne Druckgradient abgeschatzt. Durch Addition aller an der Skelett ache angrei-fenden Krafte folgen die aerodynamischen Beiwerte der Konguration. Der Ein ustationarer Wirbel, die infolge einer Stromungsablosung an stark gepfeilten, scharf-kantigen Vorderkanten entstehen, kann mittels der Saugkraftanalogie erfat werden.Neben der Berechnung der aerodynamischen Beiwerte uber das Mehrfachtraglinien-verfahren werden der Auftrieb und der induzierte Widerstand zusatzlich anhand desImpulssatzes ermittelt. Hierzu ist die Kenntnis der Nachlaufgeometrie und der Nach-laufwirbelstarke in einer Ebene normal zur ungestorten Anstromung weit hinter derKonguration erforderlich (TretzEbene). Die Nachlaufgeometrie ergibt sich aus derAnnahme, da die Nachlaufwirbel von der Kongurationshinterkante parallel zur un-gestorten Anstromung ins Unendliche laufen. Der Nachlauf ist demzufolge in An-stromungsrichtung kraftefrei, so da der in der TretzEbene berechnete induzierteWiderstand mit dem Wert ubereinstimmen mu, der sich durch Integration der an derKonguration angreifenden Lasten ergibt. Die Zirkulationsstarke der Nachlaufwirbelist aus der Berechnung der Konguration mit dem Mehrfachtraglinienverfahren be-kannt. Eine Sonderbehandlung ist fur Nachlaufe erforderlich, die in der TretzEbeneaus mehreren Abschnitten bestehen. In diesem Fall ergibt sich der induzierte Wider-stand nicht mehr allein durch eine Linienintegration entlang der einzelnen Nachlauf-abschnitte. Bevor der induzierte Widerstand fur diese geteilten Nachlaufe aus denBewegungsgroen in der TretzEbene ermittelt werden kann, mussen die einzelnenNachlaufabschnitte zu einem zusammenhangenden Kurvenzug erweitert werden. Dergesuchte induzierte Widerstand ergibt sich anschlieend durch eine Linienintegrationuber den gesamten Kurvenzug.Das Mehrfachtraglinienverfahren wird an verschiedenen exakten Losungen (z. B. ebe-ne Platte, Kreissegmentskelett, Kreisscheiben ugel) und an Ergebnissen der Trag- achentheorie (z. B. Rechteck ugel, Pfeil ugel) uberpruft. Unabhangig von anderenTheorien kann die Genauigkeit der durchgefuhrten Nachrechnung kontrolliert werden,indem der induzierte Widerstandsbeiwert des Mehrfachtraglinienverfahrens mit demWert aus der TretzEbene verglichen wird. Hinsichtlich der Anwendung der Theorieauf den Vogel ug werden zusatzlich die berechneten Beiwerte fur Rechteck ugel mitSteuer achen unterschiedlicher Geometrie mit Meergebnissen verglichen. Insgesamtzeigt sich eine gute Ubereinstimmung.Das Verfahren wird im weiteren dazu benutzt, den Gleit ug der Vogel zu analysie-ren. Die stromungsmechanischen Aufgaben eines Vogelschwanzes sowie der Ein uverschiedener Schwanzgeometrien (Lange, Breite, Spreizung, Gabelung) und Flugel-geometrien (Wolbung, Streckung, Zuspitzung, Pfeilung) auf die aerodynamischen und ugmechanischen Eigenschaften werden untersucht. Auf der Basis dieser Ergebnis-se wird eine Strategie vorgestellt, mit der Vogel verschiedene Fluggeschwindigkeitenaustrimmen. Die Untersuchung ist auf symmetrische Kongurationen beschrankt, diesymmetrisch angestromt werden.Der Vogelschwanz vergroert die Langsstabilitat eines Vogels. Durch einen Schwanz-ausschlag kann ein Vogel sein Nullmoment und den Auftriebsbeiwert verandern, wah-rend die Langsstabilitat unbeein ut bleibt (Nullmomentensteuerung). Ein um die

102 5 Zusammenfassungohne Druckgradient abgeschatzt. Durch Addition aller an der Skelett ache angrei-fenden Krafte folgen die aerodynamischen Beiwerte der Konguration. Der Ein ustationarer Wirbel, die infolge einer Stromungsablosung an stark gepfeilten, scharf-kantigen Vorderkanten entstehen, kann mittels der Saugkraftanalogie erfat werden.Neben der Berechnung der aerodynamischen Beiwerte uber das Mehrfachtraglinien-verfahren werden der Auftrieb und der induzierte Widerstand zusatzlich anhand desImpulssatzes ermittelt. Hierzu ist die Kenntnis der Nachlaufgeometrie und der Nach-laufwirbelstarke in einer Ebene normal zur ungestorten Anstromung weit hinter derKonguration erforderlich (TretzEbene). Die Nachlaufgeometrie ergibt sich aus derAnnahme, da die Nachlaufwirbel von der Kongurationshinterkante parallel zur un-gestorten Anstromung ins Unendliche laufen. Der Nachlauf ist demzufolge in An-stromungsrichtung kraftefrei, so da der in der TretzEbene berechnete induzierteWiderstand mit dem Wert ubereinstimmen mu, der sich durch Integration der an derKonguration angreifenden Lasten ergibt. Die Zirkulationsstarke der Nachlaufwirbelist aus der Berechnung der Konguration mit dem Mehrfachtraglinienverfahren be-kannt. Eine Sonderbehandlung ist fur Nachlaufe erforderlich, die in der TretzEbeneaus mehreren Abschnitten bestehen. In diesem Fall ergibt sich der induzierte Wider-stand nicht mehr allein durch eine Linienintegration entlang der einzelnen Nachlauf-abschnitte. Bevor der induzierte Widerstand fur diese geteilten Nachlaufe aus denBewegungsgroen in der TretzEbene ermittelt werden kann, mussen die einzelnenNachlaufabschnitte zu einem zusammenhangenden Kurvenzug erweitert werden. Dergesuchte induzierte Widerstand ergibt sich anschlieend durch eine Linienintegrationuber den gesamten Kurvenzug.Das Mehrfachtraglinienverfahren wird an verschiedenen exakten Losungen (z. B. ebe-ne Platte, Kreissegmentskelett, Kreisscheiben ugel) und an Ergebnissen der Trag- achentheorie (z. B. Rechteck ugel, Pfeil ugel) uberpruft. Unabhangig von anderenTheorien kann die Genauigkeit der durchgefuhrten Nachrechnung kontrolliert werden,indem der induzierte Widerstandsbeiwert des Mehrfachtraglinienverfahrens mit demWert aus der TretzEbene verglichen wird. Hinsichtlich der Anwendung der Theorieauf den Vogel ug werden zusatzlich die berechneten Beiwerte fur Rechteck ugel mitSteuer achen unterschiedlicher Geometrie mit Meergebnissen verglichen. Insgesamtzeigt sich eine gute Ubereinstimmung.Das Verfahren wird im weiteren dazu benutzt, den Gleit ug der Vogel zu analysie-ren. Die stromungsmechanischen Aufgaben eines Vogelschwanzes sowie der Ein uverschiedener Schwanzgeometrien (Lange, Breite, Spreizung, Gabelung) und Flugel-geometrien (Wolbung, Streckung, Zuspitzung, Pfeilung) auf die aerodynamischen und ugmechanischen Eigenschaften werden untersucht. Auf der Basis dieser Ergebnis-se wird eine Strategie vorgestellt, mit der Vogel verschiedene Fluggeschwindigkeitenaustrimmen. Die Untersuchung ist auf symmetrische Kongurationen beschrankt, diesymmetrisch angestromt werden.Der Vogelschwanz vergroert die Langsstabilitat eines Vogels. Durch einen Schwanz-ausschlag kann ein Vogel sein Nullmoment und den Auftriebsbeiwert verandern, wah-rend die Langsstabilitat unbeein ut bleibt (Nullmomentensteuerung). Ein um die

103Querachse instabiler Vogel schlagt den Schwanz im Schnell ug nach oben und imLangsam ug nach unten aus. Der Ausschlag nach oben dient der betragsmaigenReduktion des Nullmomentes unter gleichzeitiger Verringerung des Auftriebsbeiwer-tes. Ein aerodynamisch belasteter Vogelschwanz verursacht jedoch eine Vergroerungdes induzierten Widerstandes. Zusatzlich vergroert der Schwanz den Reibungswi-derstand des Vogels. Im Vergleich zu einem Vogel ohne Schwanz verschlechtert derVogelschwanz demnach die Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit einer Konguration.Diese Leistungsverluste werden fur eine konstante Fluggeschwindigkeit nur bei einerbestimmten Schwanzstellung minimal. In dieser Position ist der Schwanz unbelastet,so da er keinen induzierten Widerstand produziert. Im Geschwindigkeitsbereich dermaximalen Gleitzahl iegen Vogel daher mit einem unbelasteten und zusammenge-legten Schwanz. Bei einer instabilen Fluglage dient der Vogelschwanz vermutlich alsStellorgan zur aktiven Aussteuerung von Storungen. Des weiteren kann ein Vogel mitseinem Schwanz einen vorhandenen, negativen Rumpfein u auf den induzierten Wi-derstand kompensieren.Verschiedene Schwanzformen stellen jeweils einen Kompromi zwischen der aerody-namischen Schwanzwirksamkeit und den Leistungsverlusten (Gleitzahl und Sinkge-schwindigkeit) dar. Mit zunehmender Schwanz ache wird die Wirksamkeit groer.Gleichzeitig nimmt der Reibungswiderstand der Konguration zu, so da die Lei-stungsverluste durch den Schwanz steigen. Durch eine Schwanzverlangerung nimmt diestabilisierende Wirkung des Schwanzes und die Ruderwirksamkeit bezuglich des Null-momentes zu. Die Schwanzverbreiterung vergroert zusatzlich die Ruderwirksamkeitbezuglich des Auftriebsbeiwertes. Bei gleicher Flache sind kurze breite Schwanze wirk-samer als lange schmale Schwanze, wobei die Leistungsverluste durch beide Schwanzenahezu gleich sind. In Verbindung mit der Moglichkeit der Schwanzspreizung sind lan-ge schmale Schwanze jedoch sehr exibel einsetzbar, wahrend kurze breite Schwanzeeher eine an bestimmte Aufgaben angepate Schwanzform darstellen.Mittels einer Spreizung vergroert ein Vogel seine Stabilitat und die Ruderwirksam-keit des Schwanzes. Gleichzeitig steigt der Reibungswiderstand der Konguration an.Dennoch ist ein gespreizter Schwanz im Vergleich zu einem ungespreizten Schwanz bes-ser dazu geeignet, die Mindest uggeschwindigkeit durch einen Ausschlag nach untenzu reduzieren. Bei gleicher Vergroerung des Auftriebsbeiwertes sind die Verluste anGleitzahl und Sinkgeschwindigkeit geringer. Vogel spreizen daher ihren Schwanz beimKreisen in der Thermik. Die Zunahme des Reibungswiderstandes infolge der Sprei-zung kann durch eine Gabelung des Schwanzes reduziert werden. Im Bereich kleinerAuftriebsbeiwerte hat ein gegabelter Schwanz daher gegenuber einem ungegabeltenSchwanz bei gleicher Ruderwirksamkeit Leistungsvorteile.Mit zunehmender Flugelwolbung wird der maximale Auftriebsbeiwert und das kopf-lastige Nullmoment groer. Langsam iegende Vogel besitzen daher im Vergleichzu schnell iegenden Vogeln eine groere Wolbung. Die Flugelstreckung beein utmageblich die Gleitzahlen und Sinkgeschwindigkeiten und die Ruderwirksamkeit desVogelschwanzes. Bei konstanter Flachenbelastung werden die Flugleistungen mit derStreckung besser. Die Ruderwirksamkeit nimmt ab. Hingegen hat es fur einen Vogelim Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte hinsichtlich der Flugleistungen und der Stabi-

103Querachse instabiler Vogel schlagt den Schwanz im Schnell ug nach oben und imLangsam ug nach unten aus. Der Ausschlag nach oben dient der betragsmaigenReduktion des Nullmomentes unter gleichzeitiger Verringerung des Auftriebsbeiwer-tes. Ein aerodynamisch belasteter Vogelschwanz verursacht jedoch eine Vergroerungdes induzierten Widerstandes. Zusatzlich vergroert der Schwanz den Reibungswi-derstand des Vogels. Im Vergleich zu einem Vogel ohne Schwanz verschlechtert derVogelschwanz demnach die Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeit einer Konguration.Diese Leistungsverluste werden fur eine konstante Fluggeschwindigkeit nur bei einerbestimmten Schwanzstellung minimal. In dieser Position ist der Schwanz unbelastet,so da er keinen induzierten Widerstand produziert. Im Geschwindigkeitsbereich dermaximalen Gleitzahl iegen Vogel daher mit einem unbelasteten und zusammenge-legten Schwanz. Bei einer instabilen Fluglage dient der Vogelschwanz vermutlich alsStellorgan zur aktiven Aussteuerung von Storungen. Des weiteren kann ein Vogel mitseinem Schwanz einen vorhandenen, negativen Rumpfein u auf den induzierten Wi-derstand kompensieren.Verschiedene Schwanzformen stellen jeweils einen Kompromi zwischen der aerody-namischen Schwanzwirksamkeit und den Leistungsverlusten (Gleitzahl und Sinkge-schwindigkeit) dar. Mit zunehmender Schwanz ache wird die Wirksamkeit groer.Gleichzeitig nimmt der Reibungswiderstand der Konguration zu, so da die Lei-stungsverluste durch den Schwanz steigen. Durch eine Schwanzverlangerung nimmt diestabilisierende Wirkung des Schwanzes und die Ruderwirksamkeit bezuglich des Null-momentes zu. Die Schwanzverbreiterung vergroert zusatzlich die Ruderwirksamkeitbezuglich des Auftriebsbeiwertes. Bei gleicher Flache sind kurze breite Schwanze wirk-samer als lange schmale Schwanze, wobei die Leistungsverluste durch beide Schwanzenahezu gleich sind. In Verbindung mit der Moglichkeit der Schwanzspreizung sind lan-ge schmale Schwanze jedoch sehr exibel einsetzbar, wahrend kurze breite Schwanzeeher eine an bestimmte Aufgaben angepate Schwanzform darstellen.Mittels einer Spreizung vergroert ein Vogel seine Stabilitat und die Ruderwirksam-keit des Schwanzes. Gleichzeitig steigt der Reibungswiderstand der Konguration an.Dennoch ist ein gespreizter Schwanz im Vergleich zu einem ungespreizten Schwanz bes-ser dazu geeignet, die Mindest uggeschwindigkeit durch einen Ausschlag nach untenzu reduzieren. Bei gleicher Vergroerung des Auftriebsbeiwertes sind die Verluste anGleitzahl und Sinkgeschwindigkeit geringer. Vogel spreizen daher ihren Schwanz beimKreisen in der Thermik. Die Zunahme des Reibungswiderstandes infolge der Sprei-zung kann durch eine Gabelung des Schwanzes reduziert werden. Im Bereich kleinerAuftriebsbeiwerte hat ein gegabelter Schwanz daher gegenuber einem ungegabeltenSchwanz bei gleicher Ruderwirksamkeit Leistungsvorteile.Mit zunehmender Flugelwolbung wird der maximale Auftriebsbeiwert und das kopf-lastige Nullmoment groer. Langsam iegende Vogel besitzen daher im Vergleichzu schnell iegenden Vogeln eine groere Wolbung. Die Flugelstreckung beein utmageblich die Gleitzahlen und Sinkgeschwindigkeiten und die Ruderwirksamkeit desVogelschwanzes. Bei konstanter Flachenbelastung werden die Flugleistungen mit derStreckung besser. Die Ruderwirksamkeit nimmt ab. Hingegen hat es fur einen Vogelim Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte hinsichtlich der Flugleistungen und der Stabi-

104 5 Zusammenfassunglitat der Fluglage Vorteile, die Flugel ache bei gleichzeitiger Abnahme der Streckungzu reduzieren. Vogel ziehen deshalb im Schnell ug die Flugel teilweise ein. Zuge-spitzte Flugel haben primar fur Vogel Vorteile, die uberwiegend im Bereich kleinerAuftriebsbeiwerte iegen. Eine besondere Bedeutung kommt der Flugelpfeilung zu.Durch Variation des Pfeilwinkels verandert sich die Lage des aerodynamischen Neu-tralpunktes, wahrend das Nullmoment und der Auftriebs- und Widerstandsbeiwertnahezu unbeein ut bleiben.Vogel konnen demnach durch das Vor- und Zuruckschwenken der Flugel die Druck-punktlage andern und verschiedene Fluggeschwindigkeiten austrimmen. Diese Trim-mung basiert auf der Veranderung der aerodynamischen Neutralpunktlage, wahrenddas Nullmoment unverandert bleibt (Neutralpunktsteuerung). Zu jeder Fluggeschwin-digkeit gehort hierbei ein bestimmter Abstand zwischen dem aerodynamischen Neu-tralpunkt und dem Schwerpunkt. Die Langsstabilitat bzw. -instabilitat des Vogelsist demnach von der jeweiligen Fluggeschwindigkeit abhangig. Gegenuber der Null-momentensteuerung hat die Neutralpunktsteuerung Leistungsvorteile. Sie wird insbe-sondere im Geschwindigkeitsbereich der optimalen Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeiteingesetzt. Aufgrund der groen Ruderwege ist das Austrimmen einer Fluggeschwin-digkeit mittels der Neutralpunktsteuerung im Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte jedochkaum moglich.Vogel mit einer positiven Flugelwolbung iegen instabil. Sie konnen auf diese Weise imBereich der maximalen Gleitzahl und minimalen Sinkgeschwindigkeit den Schwanz inder widerstandsgunstigsten Position halten. Zusatzlich ist ein instabil iegender Vogelwendiger und kann seine Mindest uggeschwindigkeit durch einen Schwanzausschlagerheblich reduzieren. In der Landephase schlagen Vogel deshalb den stark gespreiztenSchwanz weit nach unten aus.

104 5 Zusammenfassunglitat der Fluglage Vorteile, die Flugel ache bei gleichzeitiger Abnahme der Streckungzu reduzieren. Vogel ziehen deshalb im Schnell ug die Flugel teilweise ein. Zuge-spitzte Flugel haben primar fur Vogel Vorteile, die uberwiegend im Bereich kleinerAuftriebsbeiwerte iegen. Eine besondere Bedeutung kommt der Flugelpfeilung zu.Durch Variation des Pfeilwinkels verandert sich die Lage des aerodynamischen Neu-tralpunktes, wahrend das Nullmoment und der Auftriebs- und Widerstandsbeiwertnahezu unbeein ut bleiben.Vogel konnen demnach durch das Vor- und Zuruckschwenken der Flugel die Druck-punktlage andern und verschiedene Fluggeschwindigkeiten austrimmen. Diese Trim-mung basiert auf der Veranderung der aerodynamischen Neutralpunktlage, wahrenddas Nullmoment unverandert bleibt (Neutralpunktsteuerung). Zu jeder Fluggeschwin-digkeit gehort hierbei ein bestimmter Abstand zwischen dem aerodynamischen Neu-tralpunkt und dem Schwerpunkt. Die Langsstabilitat bzw. -instabilitat des Vogelsist demnach von der jeweiligen Fluggeschwindigkeit abhangig. Gegenuber der Null-momentensteuerung hat die Neutralpunktsteuerung Leistungsvorteile. Sie wird insbe-sondere im Geschwindigkeitsbereich der optimalen Gleitzahl und Sinkgeschwindigkeiteingesetzt. Aufgrund der groen Ruderwege ist das Austrimmen einer Fluggeschwin-digkeit mittels der Neutralpunktsteuerung im Bereich kleiner Auftriebsbeiwerte jedochkaum moglich.Vogel mit einer positiven Flugelwolbung iegen instabil. Sie konnen auf diese Weise imBereich der maximalen Gleitzahl und minimalen Sinkgeschwindigkeit den Schwanz inder widerstandsgunstigsten Position halten. Zusatzlich ist ein instabil iegender Vogelwendiger und kann seine Mindest uggeschwindigkeit durch einen Schwanzausschlagerheblich reduzieren. In der Landephase schlagen Vogel deshalb den stark gespreiztenSchwanz weit nach unten aus.

Literaturverzeichnis[1] Wieselsberger, C.: Beitrag zur Klarung des Winkel uges einiger Zugvogel.Zeitschrift fur Flugtechnik und Motorluftschiahrt 5 (1914), 255229.[2] Schlichting, H.: Leistungsersparnis im Verbands ug. Mitteilungen der Deut-schen Akademie der Luftfahrtforschung. Band 1 (1942), 97139.[3] Hummel, D.: Aerodynamic aspects of formation ight in birds. J. theor. Biol.104 (1983), 321347[4] Beukenberg, M.: Beitrage zu Aerodynamik und Flugmechanik des Formati-ons uges. Dissertation TU Braunschweig, 1989.[5] Lundry, J. L.: A numerical solution for minimum induced drag, and the cor-responding loading, of nonplanar wings. NASA CR1218 (1968).[6] van Dam, C. P.: Induceddrag characteristics of crescentmoonshaped wings.J. Aircraft 24 (1987), 115119.[7] Burkett, C. W.: Reduction in induced drag by the use of aft swept wing tips.Aeronautical Journal 93 (1989), 400405.[8] Burkett, C. W.: Analysis of crescent wings using a subsonic panel method.ICASProceedings 1990, 10651072.[9] Cayley, G.: On aerial navigation. Nicolson's J. Nat. Phil. 24 (1809), 164 174 und 25 (1810), 8187 sowie 161169.[10] Prandtl, L.: Trag ugeltheorie, Teil I. Nachr. d. K. Ges. der Wiss. zu Gottin-gen, Math.phys. Klasse (1918), 451477.[11] Prandtl, L.: Trag ugeltheorie, Teil II. Nachr. d. K. Ges. der Wiss. zu Gottin-gen, Math.phys. Klasse (1919), 107137.[12] Kutta, W. M.: Auftriebskraft in stromenden Flussigkeiten. Ill. aeron. Mittei-lungen (1902), 133.[13] Lanchester, F. W.: Aerial ight. London, 1907/08.

Literaturverzeichnis[1] Wieselsberger, C.: Beitrag zur Klarung des Winkel uges einiger Zugvogel.Zeitschrift fur Flugtechnik und Motorluftschiahrt 5 (1914), 255229.[2] Schlichting, H.: Leistungsersparnis im Verbands ug. Mitteilungen der Deut-schen Akademie der Luftfahrtforschung. Band 1 (1942), 97139.[3] Hummel, D.: Aerodynamic aspects of formation ight in birds. J. theor. Biol.104 (1983), 321347[4] Beukenberg, M.: Beitrage zu Aerodynamik und Flugmechanik des Formati-ons uges. Dissertation TU Braunschweig, 1989.[5] Lundry, J. L.: A numerical solution for minimum induced drag, and the cor-responding loading, of nonplanar wings. NASA CR1218 (1968).[6] van Dam, C. P.: Induceddrag characteristics of crescentmoonshaped wings.J. Aircraft 24 (1987), 115119.[7] Burkett, C. W.: Reduction in induced drag by the use of aft swept wing tips.Aeronautical Journal 93 (1989), 400405.[8] Burkett, C. W.: Analysis of crescent wings using a subsonic panel method.ICASProceedings 1990, 10651072.[9] Cayley, G.: On aerial navigation. Nicolson's J. Nat. Phil. 24 (1809), 164 174 und 25 (1810), 8187 sowie 161169.[10] Prandtl, L.: Trag ugeltheorie, Teil I. Nachr. d. K. Ges. der Wiss. zu Gottin-gen, Math.phys. Klasse (1918), 451477.[11] Prandtl, L.: Trag ugeltheorie, Teil II. Nachr. d. K. Ges. der Wiss. zu Gottin-gen, Math.phys. Klasse (1919), 107137.[12] Kutta, W. M.: Auftriebskraft in stromenden Flussigkeiten. Ill. aeron. Mittei-lungen (1902), 133.[13] Lanchester, F. W.: Aerial ight. London, 1907/08.

106 LITERATURVERZEICHNIS[14] Joukowsky, N.: Uber die Konturen der Trag achen der Drachen ieger. Zeit-schrift fur Flugtechnik und Motorluftschiahrt 1 (1910), 281284 und 3 (1912),8186.[15] Kuchemann D., Holst E. v.: Zur Aerodynamik des Tier uges. Luftwissen8 (1941), 277282.[16] Lilienthal, O.: Der Vogel ug als Grundlage der Flugkunst. Berlin, 1889.[17] Oehme, H.: Vergleichende Proluntersuchungen an Vogel ugeln. Beitr. Vogelk.16 (1970), 301312.[18] Oehme, H.: Die Flugelprole von Star und Turkentaube. forma et functio 2(1970), 266287.[19] Nachtigall, W.: Der Tauben ugel in Gleit ugstellung: Geometrische Kenn-groen der Flugelprole und Luftkrafterzeugung. J. Orn. 120 (1979), 3044.[20] Nachtigall, W., Klimbingat, A.: Messungen der Prolgeometrie mit derProlkammethode und geometrische Flugelkennzeichnung einheimischer Eulen.In: W. Nachtigall (ed.): BIONAreport 3 (1985), Akad. Wiss. Lit. Mainz. Fi-scher, Stuttgart New York, 4586.[21] Biesel, W., Butz, H., Nachtigall, W.: Erste Messungen der Flugelgeome-trie bei frei gleit iegenden Haustauben (Col. Liv. Var. Dom.) unter Benutzungneu ausgearbeiteter Verfahren der Windkanaltechnik und der Stereophotogram-metrie. In: W. Nachtigall (ed.): BIONAreport 3 (1985), Akad. Wiss. Lit. Mainz.Fischer, Stuttgart New York, 139160.[22] Stresemann, E.: Aves. Handbuch der Zoologie 7 (1934), Berlin und Leipzig.[23] Stolpe, M., Zimmer, K.: Der Vogel ug. Akad. Verlagsgesellschaft, Leipzig1937.[24] Nachtigall, W., Kempf, B.: Vergleichende Untersuchungen zur ugbiologi-schen Funktion des Daumenttichs (Alula spuria) bei Vogeln. I. Der Daumen-ttich als Hochauftriebserzeuger. Z. vergl. Physiol. 71 (1971), 326341.[25] Liebe, W.: Ursachen und Gesetzmaigkeiten fur das Abkippen im Flug. Dis-sertation TH Hannover, 1953.[26] Lorenz, K.: Beobachtungen uber das Fliegen der Vogel und uber die Bezie-hungen der Flugel- und Steuerform zur Art des Fliegens. J. Orn. 81 (1933),107236.[27] Nachtigall, W.: Dokumentation der Flugelgittereinstellung der freien Hand-schwingen beim Aufschlag sowie der Daumentticheinstellung beim Abschlag desWellensittichs. J. Orn. 121 (1980), 217222.[28] Norberg, U. M.: Wing design and mirgratory ight. Jsr. J. Zool. 41 (1995),297305.

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LITERATURVERZEICHNIS 107[29] Hummel, D.: Recent aerodynamic contributions to problems of bird ight.ICAS Proceedings 1978, Lissabon, 115129.[30] MaynardSmith, J.: The importance of the nervous system in the evolutionof animal ight. Evolution 6 (1952), 127129.[31] Baumel, J. J.: Functional morphologiy of the tail apparatus of the pigeon(Columba Livia). Advances in Anatomy, Embryology and Cell Biology. 110(1988), SpringerVerlag.[32] Burton, R.: Vogel ug: Aerodynamik, Anatiomie, Anpassung. FranckhKosmosVerlagsGmbH & Co, 1991.[33] Pennycuick, C. J.: A wind tunnel study of gliding ight in the pigeon(Columba Livia). J. exp. Biol. 49 (1968), 509526.[34] Focke, H.:Wie die Mowe iegt. In: Schack, Liege, Focke: Wunder des Mowen- uges. Frankfurt/Main, 1937.[35] Schmidt, R.: Flug und Fliegen im P anzen- und Tierreich. Berlin, 1939.[36] Slijper, E. J.: De vliegkunst en het diernrijk. Brill, Leiden, 1950.[37] Steinbacher, J.: Der Flug der Vogel. In: Schmidt, H.: Der Flug der Tiere.Frankfurt/Main, 1960.[38] Milla, K.: Wie iegt der Vogel? Wien, 1908.[39] Oehme, H.: Die Flugsteuerung des Vogels. I. Uber die ugmechanischen Grund-lagen. Beitr. Vogelkd. 22 (1976), 5866.[40] Oehme, H.: Die Flugsteuerung des Vogels. II. Kurzer Uberblick uber die Ent-wicklung der Flugsteuerungstheorien. Beitr. Vogelkd. 22 (1976), 6772.[41] Oehme, H.: Die Flugsteuerung des Vogels. III. Flugmanover der Kornweihe(Circus Cyaneus). Beitr. Vogelkd., Leipzig 22 (1976), 7282.[42] Hummel, D.: Aerodynamic investigations on a wing with unconventional con-trol surfaces. Jahrbuch der Deutschen Gesellschaft fur Luft- und Raumfahrt(DGLR) 1991, Bd. 1, 91101.[43] Tucker, V.A.: Pitching equilibrium, wing span and tail span in a gliding Har-ris Hawk (Parabuteo Unicinctus). J. exp. Biol. 165 (1992), 2141.[44] Penaud, A.: Aeroplane automoteur. L'Aeronaute 5 (1872), 29.[45] Knoller, R.: Uber die Langsstabilitat der Drachen ugzeuge. Zeitschrift furFlugtechnik und Motorschiahrt 2 (1911), 179182.[46] Jack, A.: Feathered wings. A study of the ight of birds. London, 1953.[47] Herzog, K.: Anatomie und Flugbiologie der Vogel. Fischer Stuttgart, 1968.

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LITERATURVERZEICHNIS 109[65] Truckenbrodt, E.: Zum Ubergang von der erweiterten zur einfachen Tragli-nientheorie bei schiebenden und gepfeilten Flugeln. Z. Flugwiss. 5 (1957), 259264.[66] Laschka, B., Wegener, F.: Ein einfaches Traglinienverfahren. Z. Flugwiss.7 (1959), 3945.[67] Wieghardt, K.: Uber die Auftriebsverteilung des einfachen Rechteck ugelsuber der Tiefe. ZAMM 19 (1939), 257270.[68] Scholz, N.: Beitrage zur Theorie der tragenden Flache. Ing. Arch. 18 (1950),84105.[69] Schlichting, H., Kahlert, W.: Calculation of lift distribution of sweptwings. RAE Rep. Aero. 2297 (1948).[70] Truckenbrodt, E.: Trag achentheorie bei inkompressibler Stromung. Jahr-buch der WGL 1953, 4065.[71] Multhopp, H.: Methods for calculating the lift distribution of wings. A.R.C.R.&M. 2884 (1950).[72] Niemz, W.: Erganzungen zur Trag achentheorie bei inkompressibler Stromungvon E. Truckenbrodt. Jahrbuch der WGL 1956, 130133.[73] Wagner, S.: Beitrag zum Singularitatenverfahren der Trag achentheorie beiinkompressibler Stromung. Ing. Arch. 36 (1967/68), 403420.[74] Wagner, S.: Spanwise distribution of vortex drag and leadingedge suction insubsonic ow. ICAS Proceedings 1982, Seattle, Vol. 2, 12911301.[75] Falkner, V. M.: The calculation of the aerodynamic loading on surfaces ofany shape. A.R.C. R.&M. 1910 (1943).[76] Lan, C., Roskam, J.: Leadingedge force features of the aerodynamic niteelement method. J. Aircraft 9 (1972), 864867.[77] Lan, C.: A quasivortexlattice method in thin wing theory. J. Aircraft 11(1973), 518527.[78] DeJarnette, F. R.: Arrangement of vortex lattices on subsonic wings. For-schungsbericht der North Carolina State University N7628163 bis 28186(1976), 301323.[79] Pistolesi, E.: Betrachtungen uber die gegenseitige Beein ussung von Trag u-gelsystemen. Gesammelte Vortrage der Hauptversammlung 1937 der LilienthalGesellschaft (1937), 214219.[80] Horstmann, K.H.: Ein Mehrfachtraglinienverfahren und seine Verwendungfur Entwurf und Nachrechnung nichtplanarer Flugelanordnungen. DFVLRFB8751. (1987).

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110 LITERATURVERZEICHNIS[81] SchmidGoller, S.: Zur genauen Berechnung des induzierten Widerstandsvon Trag ugeln. Dissertation Universitat Stuttgart, 1992.[82] Rubbert, P. E.: Theoretical characteristics of arbitrary wings by a nonplanarvortex lattice method. Boeing Co. Rep. 069244 (1962).[83] Hedman, S. G.: Vortex lattice method for the calculation of quasi steady stateloadings on thin elastic wings in subsonic ow. FFA Rep. 105 (1966).[84] Woodward, F. A.: Analysis and design of wingbody combinations at subsonicand supersonic speeds. J. Aircraft 5 (1968), 528534.[85] Rubbert, P. E., Saaris, G. R.: A general threedimensional potential owmethod applied to V/STOL aerodynamics. SAE Air Transportation Meeting,New York (1968).[86] Labruyere, Th. E., Loeve, W., Slooff, J. W.: An approximate methodfor the calculation of the pressure distribution on wingbody combinations atsubcritical speeds. AGARD CP 71 (1970).[87] Kraus. W.: Das MBBUnterschallPanelVerfahren. Teil II: Das auftriebs-behaftete Verdrangungsproblem in kompressibler Stromung. MBBBericht Nr.UFE 63370 (1970).[88] Kraus. W., Sacher, P.: Das MBBUnterschallPanelVerfahren. Dreidi-mensionale Potentialtheorie bei beliebig vorgegebener Mehrkorperanordnung.MBBBericht Nr. UFE 67270 (1970).[89] Leyser, J.: Kraftberechnung an der nichtplanaren tragenden Flache. Disserta-tion Universitat Stuttgart, 1996.[90] Munk, M.: Isoperimetrische Aufgaben aus der Theorie des Fluges. InauguralDissertation Universitat Gottingen, 1919.[91] Schlichting, H., Truckenbrodt, E.: Aerodynamik des Flugzeuges. Band1, 2. Auflage, SpringerVerlag, 1967 und Band 2, 2. Auflage, SpringerVerlag,1969.[92] EngelnMullges, G., Reutter, F.: Formelsammlung zur numerischen Ma-thematik mit Standard FORTRAN 77 Programmen. BI Wissenschaftsverlag,1988.[93] Eppler, R.: Induced drag and winglets. Aerospace Science and Technology 1(1997), 315.[94] Grammel, R.: Die hydrodynamischen Grundlagen des Fluges. ViewegVerlag,1917.[95] Schlichting, H.: GrenzschichtTheorie. 8. Auflage, Braun Verlag, 1982.[96] Kuchemann, D.: The aerodynamic design of aircraft. Pergamon Press, 1978.

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LITERATURVERZEICHNIS 111[97] Sears, W. R.: On calculation of induced drag and conditions downstream of alifting wing. J. Aircraft 11 (1974), 191192.[98] Bronstein, J. N., Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik. 22.Auflage, Verlag Harri Deutsch, 1985.[99] Trefftz, E.: Prandtl'sche Trag achen- und Propellertheorie. ZAMM 1 (1921),206218.[100] Garner, H. C., Hewitt, B. L., Labrujere, T. E.: Comparison of threemethods for the evaluation of subsonic liftingsurface theory. A. R. C. R.&M.3597 (1969).[101] Zandbergen, P. J., Labrujere, T. E., Wouters, J. G.: A new approachto the numerical solution of the equation of subsonic lifting surface theory.N.L.R. Report TR G. 49 (1967).[102] Hewitt, B. L.: Developments in subsonic lifting surface theory. B.A.C. Pre-ston Division Report Ae 282 und A.R.C. Report 29488 (1967).[103] Garner, H. C., Fox, D. A.: Algol 60 program for Multhopp's lowfrequencysubsonic liftingsurface theory. A. R. C. R.&M. 3517 (1966).[104] Spiegel, E. v.: Boundary value problems in lifting surface theory. Thesis T.H. Delft, 1959 und N.L.L. Tech. Report W. 1 (1959).[105] Kuchemann, D.: A simple method for calculating the span and chordwise load-ing on straight and swept wings of any given aspect ratio at subsonic speeds.A.R.C. R.&M. 2935 (1956).[106] Hummel, D.: Untersuchungen uber den Ein u des Aufplatzens der Wirbel aufdie aerodynamischen Eigenschaften eines schlanken Delta ugels. DFLBerichtNr. 0257 (1964).[107] Peckham, D. H.: Low speed windtunnel tests on a series of uncambered slen-der pointed wings with sharp edges. A.R.C. R.&M. No. 3186 (1961).[108] Fisher, H. J.: The function of M. depressor caudae and M. caudofemoralis inpigeons. Auk 74 (1957), 479486.[109] Hafer, X., Sachs, G.: Flugmechanik: Moderne Entwurfs- und Steuerungs-konzepte. 3. Auflage, SpringerVerlag, 1993.[110] Stegman, B. K.: Der Schwerpunkt bei den Vogeln und seine Bedeutung furdie Flugstellung beim Fluge. Nachrichten der Akademie der Wissenschaften derUdSSR, Biologische Reihe, No. 2 (1949), 208218. (Originalausgabe in russischerSprache).[111] Spedding, G. R.: The wake of a kestrel (falko tinnunculus) in gliding ight.J. exp. Biol. 127 (1987), 4557.

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112 LITERATURVERZEICHNIS[112] Gothert, R.: Systematische Untersuchungen an Flugeln mit Klappen undHilfsklappen. Jb. dtsch. Luftf.Forschg. 1940, 287307.[113] Wenzinger, C. J.: Windtunnel investigations of ordinary and split aps onairfoils of dierent prole. NACA Rep. 554 (1936).[114] Evans, M. R., Thomas, A. L. R.: The aerodynamic and mechanical eectsof elongated tails in the scarlettufted malachite sunbird: measuring the cost ofa handicap. Anim. Behav. 43 (1992), 337347.[115] Evans, M. R., Hatchwell, B. J.: An experimental study of male adornmentin the scarlettufted malachite sunbird: II. The role of the elongated tail in matechoise and experimental evidence for a handicap. Behav. Ecol. Sociobiol. 29(1992), 421427.[116] Newman, B. G.: Soaring and gliding ight of the black vulture. J. exp. Biol.35 (1958), 280285.[117] Tucker, V. A.: Gliding birds: The eect of variable wing span. J. exp. Biol.133 (1987), 3358.

112 LITERATURVERZEICHNIS[112] Gothert, R.: Systematische Untersuchungen an Flugeln mit Klappen undHilfsklappen. Jb. dtsch. Luftf.Forschg. 1940, 287307.[113] Wenzinger, C. J.: Windtunnel investigations of ordinary and split aps onairfoils of dierent prole. NACA Rep. 554 (1936).[114] Evans, M. R., Thomas, A. L. R.: The aerodynamic and mechanical eectsof elongated tails in the scarlettufted malachite sunbird: measuring the cost ofa handicap. Anim. Behav. 43 (1992), 337347.[115] Evans, M. R., Hatchwell, B. J.: An experimental study of male adornmentin the scarlettufted malachite sunbird: II. The role of the elongated tail in matechoise and experimental evidence for a handicap. Behav. Ecol. Sociobiol. 29(1992), 421427.[116] Newman, B. G.: Soaring and gliding ight of the black vulture. J. exp. Biol.35 (1958), 280285.[117] Tucker, V. A.: Gliding birds: The eect of variable wing span. J. exp. Biol.133 (1987), 3358.

BildverzeichnisBild 1: Flugelfestes Koordinatensystem und geometrische Verhaltnisse zur Be-rechnung der Induktion eines Querwirbels in einem Aufpunkt. 122Bild 2: Belegung der Skelett ache in Tiefenrichtung mit tragenden Linien undAufpunkten am Beispiel eines Schnittes y = konst. fur K = 4. 123Bild 3: Spannweitige Einteilung der Skelett ache in Streifen, Belegung mit Auf-punkten sowie Darstellung der Ansatzfunktion fur die Zirkulationsstarke dertragenden Linien (nichttragende Wirbel sind nicht dargestellt). 124Bild 4: Geometrie zur Berechnung der Induktion des Querwirbels k im Aufpunkti (a) und spannweitige Belegung einer Teil ache der abgehenden Wirbelschichtdes Querwirbels k mit diskreten Langswirbeln und moglichen Aufpunktlagen(b). 125Bild 5: Korrekturfaktor fur die diskrete Langswirbelstarke der Wirbelschichteines Querwirbels uber der Anzahl diskreter Langswirbel J . 126Bild 6: Vergleich der numerisch integrierten Induktionen einer ebenen, beidseitigins Unendliche laufenden Langswirbelschicht mit der analytischen Losung fureine konstante und eine lineare Verteilung der Zirkulationsdichte. 127Bild 7: Darstellung eines Panels sowie der geometrischen und aerodynamischenGroen zur Berechnung der aerodynamischen Lasten auf dem Panel. 128Bild 8: Geometrische und aerodynamische Groen zur Berechnung des Wirbel-dichtevektors auf einem Querwirbel (a) und zur Berechnung des Saugkraft-vektors dcs;l in einem Punkt auf der Skelettvorderkante des Streifens l (b). 129Bild 9: TretzKoordinatensystem und Kontrollvolumen (a) sowie Geometrieeines einfach zusammenhangenden Nachlaufes in der TretzEbene (b). 130

BildverzeichnisBild 1: Flugelfestes Koordinatensystem und geometrische Verhaltnisse zur Be-rechnung der Induktion eines Querwirbels in einem Aufpunkt. 122Bild 2: Belegung der Skelett ache in Tiefenrichtung mit tragenden Linien undAufpunkten am Beispiel eines Schnittes y = konst. fur K = 4. 123Bild 3: Spannweitige Einteilung der Skelett ache in Streifen, Belegung mit Auf-punkten sowie Darstellung der Ansatzfunktion fur die Zirkulationsstarke dertragenden Linien (nichttragende Wirbel sind nicht dargestellt). 124Bild 4: Geometrie zur Berechnung der Induktion des Querwirbels k im Aufpunkti (a) und spannweitige Belegung einer Teil ache der abgehenden Wirbelschichtdes Querwirbels k mit diskreten Langswirbeln und moglichen Aufpunktlagen(b). 125Bild 5: Korrekturfaktor fur die diskrete Langswirbelstarke der Wirbelschichteines Querwirbels uber der Anzahl diskreter Langswirbel J . 126Bild 6: Vergleich der numerisch integrierten Induktionen einer ebenen, beidseitigins Unendliche laufenden Langswirbelschicht mit der analytischen Losung fureine konstante und eine lineare Verteilung der Zirkulationsdichte. 127Bild 7: Darstellung eines Panels sowie der geometrischen und aerodynamischenGroen zur Berechnung der aerodynamischen Lasten auf dem Panel. 128Bild 8: Geometrische und aerodynamische Groen zur Berechnung des Wirbel-dichtevektors auf einem Querwirbel (a) und zur Berechnung des Saugkraft-vektors dcs;l in einem Punkt auf der Skelettvorderkante des Streifens l (b). 129Bild 9: TretzKoordinatensystem und Kontrollvolumen (a) sowie Geometrieeines einfach zusammenhangenden Nachlaufes in der TretzEbene (b). 130

114 BILDVERZEICHNISBild 10: Geteilter Nachlauf eines Rechteck ugels mit einer ausgeschlagenen Klap-pe sowie dessen Bild in der TretzEbene. 131Bild 11: Geometrische Verhaltnisse auf der Strecke h des NachlaufPolygonzugesin der TretzEbene. 132Bild 12: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cm, transformiertenZirkulationsdichte und Dierenzdruckverteilung cp einer ebenen Platte mitder exakten Losung fur = 5. 133Bild 13: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cm, transformiertenZirkulationsdichte und Dierenzdruckverteilung cp eines Kreissegmentske-lettes (f=` = 0; 1) mit der exakten Losung fur = 5. 134Bild 14: Aerodynamische Beiwerte ca, cwi, cm, transformierte Zirkulationsdichte und Dierenzdruckverteilung cp fur ein Klappenprol (Klappenknie beiK = 0; 5, Klappenausschlag " = 10) fur = 5. 135Bild 15: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cy eines gescherten Plat-ten ugels ('V = 30) und eines hangenden Platten ugels ( = 30) mit derexakten Losung fur = 10. 136Bild 16: Geometrie und spannweitige Diskretisierung der Basiskonguration(Rechteck ugel: F = 5, NACA 3400 Skelettprol,Klappe: `K = bKV = bKH = `F , eben) am Beispiel L = 9. 137Bild 17: Aerodynamische Beiwerte cA, cWi, cM der Basiskonguration fur " = 0und = 10 in Abhangigkeit von der Anzahl J diskreter Langswirbel proQuerwirbel. 138Bild 18: Aerodynamische Beiwerte cA, cWi, cM sowie die in der TretzEbeneberechneten Beiwerte ~cA, ~cWi der Basiskonguration fur " = 0 und = 10uber der Streifenanzahl L. 139Bild 19: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20und L = 50 (N = 1000) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen ebe-nen Rechteck ugel = 2 mit den Ergebnissen der Trag achentheorie (NLR)[101]. 140Bild 20: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20und L = 50 (N = 1000) berechneten Druckverteilung in Schnitten y = konst.

114 BILDVERZEICHNISBild 10: Geteilter Nachlauf eines Rechteck ugels mit einer ausgeschlagenen Klap-pe sowie dessen Bild in der TretzEbene. 131Bild 11: Geometrische Verhaltnisse auf der Strecke h des NachlaufPolygonzugesin der TretzEbene. 132Bild 12: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cm, transformiertenZirkulationsdichte und Dierenzdruckverteilung cp einer ebenen Platte mitder exakten Losung fur = 5. 133Bild 13: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cm, transformiertenZirkulationsdichte und Dierenzdruckverteilung cp eines Kreissegmentske-lettes (f=` = 0; 1) mit der exakten Losung fur = 5. 134Bild 14: Aerodynamische Beiwerte ca, cwi, cm, transformierte Zirkulationsdichte und Dierenzdruckverteilung cp fur ein Klappenprol (Klappenknie beiK = 0; 5, Klappenausschlag " = 10) fur = 5. 135Bild 15: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cy eines gescherten Plat-ten ugels ('V = 30) und eines hangenden Platten ugels ( = 30) mit derexakten Losung fur = 10. 136Bild 16: Geometrie und spannweitige Diskretisierung der Basiskonguration(Rechteck ugel: F = 5, NACA 3400 Skelettprol,Klappe: `K = bKV = bKH = `F , eben) am Beispiel L = 9. 137Bild 17: Aerodynamische Beiwerte cA, cWi, cM der Basiskonguration fur " = 0und = 10 in Abhangigkeit von der Anzahl J diskreter Langswirbel proQuerwirbel. 138Bild 18: Aerodynamische Beiwerte cA, cWi, cM sowie die in der TretzEbeneberechneten Beiwerte ~cA, ~cWi der Basiskonguration fur " = 0 und = 10uber der Streifenanzahl L. 139Bild 19: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20und L = 50 (N = 1000) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen ebe-nen Rechteck ugel = 2 mit den Ergebnissen der Trag achentheorie (NLR)[101]. 140Bild 20: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20und L = 50 (N = 1000) berechneten Druckverteilung in Schnitten y = konst.

BILDVERZEICHNIS 115fur einen ebenen Rechteck ugel = 2 mit dem Ergebnis der Trag achentheorie(NLR) [101]. 141Bild 21: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20und L = 2 25 (N = 1000) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einenebenen Pfeil ugel ( = 2p2, 'V = 53; 54, = 1=3) mit den Ergebnissen derTrag achentheorie (NLR) 142Bild 22: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20und L = 2 25 (N = 1000) berechneten Druckverteilung in Schnitten y =konst. fur einen ebenen Pfeil ugel ( = 2p2, 'V = 53; 54, = 1=3) mit demErgebnis der Trag achentheorie (NLR) [101]. 143Bild 23: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 10und L = 180 (N = 1800) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen ebe-nen Kreisscheiben ugel ( = 4=) mit den Ergebnissen der Trag achentheorie(NLR) [101] und der exakten Losung [104]. 144Bild 24: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K =10 und L = 180 (N = 1800) berechneten Druckverteilung in Schnitten y =konst. fur einen ebenen Kreisscheiben ugel ( = 4=) mit dem Ergebnis derTrag achentheorie (NLR) [101]. 145Bild 25: Vergleich der fur anliegende und abgeloste Stromung mit K = 14 undL = 60 (N = 840) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen Delta ugel( = 1) mit Meergebnissen von Hummel [106] und Peckham [107]. 146Bild 26: Darstellung der vermessenen und berechneten FlugelKlappenAnord-nungen. 147Bild 27: Geometrie der vermessenen und berechneten FlugelKlappenAnord-nungen. 148Bild 28: Diskretisierung der berechneten FlugelKlappenAnordnungen. 149Bild 29: Gemessene und fur anliegende und abgeloste Stromung an den Klappen-seitenkanten berechnete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel furden Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) ohne und mit Steuer ache Bfur den Klappenwinkel " = 0. 150

BILDVERZEICHNIS 115fur einen ebenen Rechteck ugel = 2 mit dem Ergebnis der Trag achentheorie(NLR) [101]. 141Bild 21: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20und L = 2 25 (N = 1000) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einenebenen Pfeil ugel ( = 2p2, 'V = 53; 54, = 1=3) mit den Ergebnissen derTrag achentheorie (NLR) 142Bild 22: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20und L = 2 25 (N = 1000) berechneten Druckverteilung in Schnitten y =konst. fur einen ebenen Pfeil ugel ( = 2p2, 'V = 53; 54, = 1=3) mit demErgebnis der Trag achentheorie (NLR) [101]. 143Bild 23: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 10und L = 180 (N = 1800) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen ebe-nen Kreisscheiben ugel ( = 4=) mit den Ergebnissen der Trag achentheorie(NLR) [101] und der exakten Losung [104]. 144Bild 24: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K =10 und L = 180 (N = 1800) berechneten Druckverteilung in Schnitten y =konst. fur einen ebenen Kreisscheiben ugel ( = 4=) mit dem Ergebnis derTrag achentheorie (NLR) [101]. 145Bild 25: Vergleich der fur anliegende und abgeloste Stromung mit K = 14 undL = 60 (N = 840) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen Delta ugel( = 1) mit Meergebnissen von Hummel [106] und Peckham [107]. 146Bild 26: Darstellung der vermessenen und berechneten FlugelKlappenAnord-nungen. 147Bild 27: Geometrie der vermessenen und berechneten FlugelKlappenAnord-nungen. 148Bild 28: Diskretisierung der berechneten FlugelKlappenAnordnungen. 149Bild 29: Gemessene und fur anliegende und abgeloste Stromung an den Klappen-seitenkanten berechnete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel furden Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) ohne und mit Steuer ache Bfur den Klappenwinkel " = 0. 150

116 BILDVERZEICHNISBild 30: Gemessene und fur anliegende Stromung an den Klappenseitenkantenberechnete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck- ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Steuer ache B fur die Klappenwinkel" = 10; 0; 10. 151Bild 31: Gemessene und fur abgeloste Stromung an den Klappenseitenkanten be-rechnete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck- ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Steuer ache B fur die Klappenwinkel" = 10; 0; 10. 152Bild 32: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstell-winkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappenunterschiedlicher Lange `K (A, B, C) fur den Klappenwinkel " = 0. 153Bild 33: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstell-winkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen un-terschiedlicher Breite bKV = bKH (AA, B, AB) fur den Klappenwinkel " = 0.154Bild 34: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstell-winkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen derBreite bKV = `F unterschiedlicher Spreizung # (G, B, K) fur den Klappenwin-kel " = 0. 155Bild 35: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstell-winkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen derBreite bKV = `F=2 unterschiedlicher Spreizung # (S, R, Q) fur den Klappen-winkel " = 0. 156Bild 36: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstell-winkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit gegabeltenKlappen (d = `F=2) unterschiedlicher Spreizung # (S, V , T ) fur den Klappen-winkel " = 0. 157Bild 37: Berechnete und gemessene Gradienten cA", cM0;" und cW"" uber demFlachenverhaltnis F=FF fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol)mit Klappen unterschiedlicher Lange `K (A, B, C) und unterschiedlicher BreitebKV = bKH (R, AA, B, AB). 158Bild 38: Berechnete und gemessene Gradienten cA", cM0;" und cW"" uber demSpreizungswinkel # fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mitKlappen unterschiedlicher Breite bKV (G, B, K bzw. S, R, Q) und Gabelungd (V , T ). 159

116 BILDVERZEICHNISBild 30: Gemessene und fur anliegende Stromung an den Klappenseitenkantenberechnete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck- ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Steuer ache B fur die Klappenwinkel" = 10; 0; 10. 151Bild 31: Gemessene und fur abgeloste Stromung an den Klappenseitenkanten be-rechnete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck- ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Steuer ache B fur die Klappenwinkel" = 10; 0; 10. 152Bild 32: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstell-winkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappenunterschiedlicher Lange `K (A, B, C) fur den Klappenwinkel " = 0. 153Bild 33: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstell-winkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen un-terschiedlicher Breite bKV = bKH (AA, B, AB) fur den Klappenwinkel " = 0.154Bild 34: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstell-winkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen derBreite bKV = `F unterschiedlicher Spreizung # (G, B, K) fur den Klappenwin-kel " = 0. 155Bild 35: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstell-winkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen derBreite bKV = `F=2 unterschiedlicher Spreizung # (S, R, Q) fur den Klappen-winkel " = 0. 156Bild 36: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstell-winkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit gegabeltenKlappen (d = `F=2) unterschiedlicher Spreizung # (S, V , T ) fur den Klappen-winkel " = 0. 157Bild 37: Berechnete und gemessene Gradienten cA", cM0;" und cW"" uber demFlachenverhaltnis F=FF fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol)mit Klappen unterschiedlicher Lange `K (A, B, C) und unterschiedlicher BreitebKV = bKH (R, AA, B, AB). 158Bild 38: Berechnete und gemessene Gradienten cA", cM0;" und cW"" uber demSpreizungswinkel # fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mitKlappen unterschiedlicher Breite bKV (G, B, K bzw. S, R, Q) und Gabelungd (V , T ). 159

BILDVERZEICHNIS 117Bild 39: Flugelfestes, geodatisches und experimentelles Koordinatensystem sowiedie in diesen Systemen angreifenden Lasten. 160Bild 40: Qualitativer Verlauf des Nickmomentes cMS uber dem AuftriebsbeiwertcA fur den Ubergang von einem Trimmpunkt (alt) in einen neuen Trimmpunkt(neu) fur eine langsstabile, indierente und instabile Konguration. 161Bild 41: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg und Langsstabilitat NS uber demGewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel (Rechteck ugel F = 5, NACA 3400Skelettprol) im Gleit ug. 162Bild 42: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels im Gleit uguber dem Gewichtsbeiwert cG fur die Reibungswiderstandsbeiwerte cWR =0; 007(Re = 3; 7 106), cWR = 0; 011(Re = 3; 7 105) und cWR = 0; 018(Re =3; 7 104). 163Bild 43: Aerodynamische Beiwerte cA, cW , cM sowie cA, cW , cM des Basis ugelsohne und mit Klappe B uber dem Anstellwinkel fur den Klappenwinkel" = 0. 164Bild 44: Zirkulationsverteilung des Basis ugels und der Basiskonguration furcA = 0; 6 uber der Spannweite y fur die Klappenwinkel " = 10;5; 0; 5; 10sowie die zugehorigen Widerstandsbeiwerte cWi und cW uber dem Klappenwin-kel ". 165Bild 45: Dierenzdruckverteilung cp des Basis ugels und der Basiskongurationbei " = 5 fur cA = 0; 6 uber der Tiefenkoordinate x fur verschiedene Schnittey = konst.. 166Bild 46: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Anstellwinkel und Klappen-winkel " des Basis ugels sowie der Basiskonguration im Gleit ug uber demGewichtsbeiwert cG fur verschiedene Schwerpunktlagen S. 167Bild 47: Druckpunktlage D des Basis ugels sowie leistungsgunstigste AbstandeNS der Basiskonguration uber dem Gewichtsbeiwert cG. 168Bild 48: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels und der Ba-siskonguration im Gleit ug uber der Schwerpunktlage S fur verschiedeneGewichtsbeiwerte cG. 169

BILDVERZEICHNIS 117Bild 39: Flugelfestes, geodatisches und experimentelles Koordinatensystem sowiedie in diesen Systemen angreifenden Lasten. 160Bild 40: Qualitativer Verlauf des Nickmomentes cMS uber dem AuftriebsbeiwertcA fur den Ubergang von einem Trimmpunkt (alt) in einen neuen Trimmpunkt(neu) fur eine langsstabile, indierente und instabile Konguration. 161Bild 41: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg und Langsstabilitat NS uber demGewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel (Rechteck ugel F = 5, NACA 3400Skelettprol) im Gleit ug. 162Bild 42: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels im Gleit uguber dem Gewichtsbeiwert cG fur die Reibungswiderstandsbeiwerte cWR =0; 007(Re = 3; 7 106), cWR = 0; 011(Re = 3; 7 105) und cWR = 0; 018(Re =3; 7 104). 163Bild 43: Aerodynamische Beiwerte cA, cW , cM sowie cA, cW , cM des Basis ugelsohne und mit Klappe B uber dem Anstellwinkel fur den Klappenwinkel" = 0. 164Bild 44: Zirkulationsverteilung des Basis ugels und der Basiskonguration furcA = 0; 6 uber der Spannweite y fur die Klappenwinkel " = 10;5; 0; 5; 10sowie die zugehorigen Widerstandsbeiwerte cWi und cW uber dem Klappenwin-kel ". 165Bild 45: Dierenzdruckverteilung cp des Basis ugels und der Basiskongurationbei " = 5 fur cA = 0; 6 uber der Tiefenkoordinate x fur verschiedene Schnittey = konst.. 166Bild 46: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Anstellwinkel und Klappen-winkel " des Basis ugels sowie der Basiskonguration im Gleit ug uber demGewichtsbeiwert cG fur verschiedene Schwerpunktlagen S. 167Bild 47: Druckpunktlage D des Basis ugels sowie leistungsgunstigste AbstandeNS der Basiskonguration uber dem Gewichtsbeiwert cG. 168Bild 48: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels und der Ba-siskonguration im Gleit ug uber der Schwerpunktlage S fur verschiedeneGewichtsbeiwerte cG. 169

118 BILDVERZEICHNISBild 49: Berechnete Auftriebsbeiwerte cA( = 12) und fur einen Gleit ug erfor-derliche Schwerpunktlagen S sowie gemessene maximale AuftriebsbeiwertecAmax der Basiskonguration uber dem Klappenausschlag ". 170Bild 50: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabi-litat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel und die Basiskon-guration im Gleit ug. 171Bild 51: Auftriebsgradient cA, Nickmomentengradient cM und Neutralpunktla-ge N uber dem Flachenverhaltnis F=FF fur Klappen unterschiedlicher Lange`K (A, B, C) und unterschiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC). 172Bild 52: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels ohne und mitKlappen unterschiedlicher Lange `K (A, B, C) im Gleit ug fur die Schwer-punktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2 uber dem Gewichtsbeiwert cG. 173Bild 53: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langssta-bilitat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mitKlappen unterschiedlicher Lange `K (A, B, C) im Gleit ug bei = 12. 174Bild 54: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels ohne und mitKlappen unterschiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC) im Gleit ug fur dieSchwerpunktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2 uber dem Gewichtsbeiwert cG. 175Bild 55: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langssta-bilitat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mitKlappen unterschiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC) im Gleit ug bei = 12. 176Bild 56: Auftriebsgradient cA und Nickmomentengradient cM uber dem Sprei-zungswinkel # fur den Basis ugel mit Klappen konstanter Lange lK und varia-bler Breite bKV und Gabelungstiefe d. 177Bild 57: Auftriebsgradient cA" und Nickmomentengradient cM" uber dem Sprei-zungswinkel # fur den Basis ugel mit Klappen konstanter Lange lK und varia-bler Breite bKV und variabler Gabelungstiefe d. 178Bild 58: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg uber dem Gewichtsbeiwert cGfur den Basis ugel ohne und mit Klappen unterschiedlicher Spreizung # (G,B, K) im Gleit ug fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2. 179

118 BILDVERZEICHNISBild 49: Berechnete Auftriebsbeiwerte cA( = 12) und fur einen Gleit ug erfor-derliche Schwerpunktlagen S sowie gemessene maximale AuftriebsbeiwertecAmax der Basiskonguration uber dem Klappenausschlag ". 170Bild 50: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabi-litat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel und die Basiskon-guration im Gleit ug. 171Bild 51: Auftriebsgradient cA, Nickmomentengradient cM und Neutralpunktla-ge N uber dem Flachenverhaltnis F=FF fur Klappen unterschiedlicher Lange`K (A, B, C) und unterschiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC). 172Bild 52: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels ohne und mitKlappen unterschiedlicher Lange `K (A, B, C) im Gleit ug fur die Schwer-punktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2 uber dem Gewichtsbeiwert cG. 173Bild 53: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langssta-bilitat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mitKlappen unterschiedlicher Lange `K (A, B, C) im Gleit ug bei = 12. 174Bild 54: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels ohne und mitKlappen unterschiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC) im Gleit ug fur dieSchwerpunktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2 uber dem Gewichtsbeiwert cG. 175Bild 55: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langssta-bilitat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mitKlappen unterschiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC) im Gleit ug bei = 12. 176Bild 56: Auftriebsgradient cA und Nickmomentengradient cM uber dem Sprei-zungswinkel # fur den Basis ugel mit Klappen konstanter Lange lK und varia-bler Breite bKV und Gabelungstiefe d. 177Bild 57: Auftriebsgradient cA" und Nickmomentengradient cM" uber dem Sprei-zungswinkel # fur den Basis ugel mit Klappen konstanter Lange lK und varia-bler Breite bKV und variabler Gabelungstiefe d. 178Bild 58: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg uber dem Gewichtsbeiwert cGfur den Basis ugel ohne und mit Klappen unterschiedlicher Spreizung # (G,B, K) im Gleit ug fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2. 179

BILDVERZEICHNIS 119Bild 59: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langssta-bilitat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mitKlappen unterschiedlicher Spreizung # (G, B, K) im Gleit ug bei = 12. 180Bild 60: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg uber dem Gewichtsbeiwert cGfur den Basis ugel ohne und mit gegabelten Klappen unterschiedlicher Sprei-zung # (G, BX, KX) im Gleit ug fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1 undS = 0; 2. 181Bild 61: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langssta-bilitat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mitgegabelten Klappen unterschiedlicher Spreizung # (G, BX, KX) im Gleit ugbei = 12. 182Bild 62: Maximale Gleitzahl Emax und minimale Sinkgeschwindigkeit wg;min uberdem Spreizungswinkel # fur den Basis ugel mit ungegabelten Klappen (G, B,K) und gegabelten Klappen (BX, KX). 183Bild 63: Aerodynamische Beiwerte cA, cW , cM uber dem Anstellwinkel furRechteck ugel der Streckung = 5 und verschiedenen Wolbungshohen (ebenerFlugel, NACA 3400 und NACA 6400 Skelettprol). 184Bild 64: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabi-litat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel = 5 mit ver-schiedenen Wolbungshohen (ebener Flugel, NACA 3400 und NACA 6400 Ske-lettprol) im Gleit ug. 185Bild 65: Auftriebsgradienten cA, cA" und Nickmomentengradienten cM, cM0;"uber der Wolbungshohe f=`F fur einen Rechteck ugel der Streckung F = 5ohne und mit Steuer ache B. 186Bild 66: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabi-litat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur einen Rechteck ugel (F = 5) mitverschiedenen Wolbungshohen (ebener Flugel, NACA 3400 und NACA 6400Skelettprol) ohne und mit Steuer ache B im Gleit ug bei = 12. 187Bild 67: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbei-wert cM und Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur Recht-eck ugel unterschiedlicher Streckung ( = 3=5=7=10) mit einem NACA 3400Skelettprol. 188

BILDVERZEICHNIS 119Bild 59: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langssta-bilitat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mitKlappen unterschiedlicher Spreizung # (G, B, K) im Gleit ug bei = 12. 180Bild 60: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg uber dem Gewichtsbeiwert cGfur den Basis ugel ohne und mit gegabelten Klappen unterschiedlicher Sprei-zung # (G, BX, KX) im Gleit ug fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1 undS = 0; 2. 181Bild 61: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langssta-bilitat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mitgegabelten Klappen unterschiedlicher Spreizung # (G, BX, KX) im Gleit ugbei = 12. 182Bild 62: Maximale Gleitzahl Emax und minimale Sinkgeschwindigkeit wg;min uberdem Spreizungswinkel # fur den Basis ugel mit ungegabelten Klappen (G, B,K) und gegabelten Klappen (BX, KX). 183Bild 63: Aerodynamische Beiwerte cA, cW , cM uber dem Anstellwinkel furRechteck ugel der Streckung = 5 und verschiedenen Wolbungshohen (ebenerFlugel, NACA 3400 und NACA 6400 Skelettprol). 184Bild 64: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabi-litat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel = 5 mit ver-schiedenen Wolbungshohen (ebener Flugel, NACA 3400 und NACA 6400 Ske-lettprol) im Gleit ug. 185Bild 65: Auftriebsgradienten cA, cA" und Nickmomentengradienten cM, cM0;"uber der Wolbungshohe f=`F fur einen Rechteck ugel der Streckung F = 5ohne und mit Steuer ache B. 186Bild 66: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabi-litat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur einen Rechteck ugel (F = 5) mitverschiedenen Wolbungshohen (ebener Flugel, NACA 3400 und NACA 6400Skelettprol) ohne und mit Steuer ache B im Gleit ug bei = 12. 187Bild 67: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbei-wert cM und Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur Recht-eck ugel unterschiedlicher Streckung ( = 3=5=7=10) mit einem NACA 3400Skelettprol. 188

120 BILDVERZEICHNISBild 68: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM und NeutralpunktlageN uber der Flugelstreckung F fur Rechteck ugel mit einem NACA 3400Skelettprol ohne und mit der ebenen Klappe `K = `F = bKV = bKH . 189Bild 69: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg und Langsstabilitat NS uberdem Gewichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel unterschiedlicher Streckung ( =3=5=7=10) mit einem NACA 3400 Skelettprol im Gleit ug. 190Bild 70: Rudergradienten cA" und cM0;" uber der Flugelstreckung F fur Recht-eck ugel mit einem NACA 3400 Skelettprol und der ebenen Klappe `K =`F = bKV = bKH . 191Bild 71: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabi-litat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel unterschiedlicherStreckung ( = 3=5=7=10) ohne und mit der ebenen Klappe `K = `F = bKV =bKH im Gleit ug bei = 12. 192Bild 72: Gleitzahl E und optimale Streckung Opt sowie Sinkgeschwindigkeit wguber dem Gewichtsbeiwert cG;Ref (Referenz ugel ist der Rechteck ugel Ref =10) fur Rechteck ugel unterschiedlicher Streckung ( = 3=5=7=10) mit einemNACA 3400 Skelettprol im Gleit ug. 193Bild 73: Geometrie der berechneten Flugel und FlugelKlappenAnordnungenzur Untersuchung des Ein usses der Flugelzuspitzung F . 194Bild 74: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbei-wert cM und Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur gewolb-te Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung = 5 unterschied-licher Zuspitzung . 195Bild 75: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM und NeutralpunktlageN uber der Zuspitzung F fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol)konstanter Streckung F = 5 ohne und mit ebener Klappe `K = `F = bKV =bKH . 196Bild 76: Reibungswiderstandsbeiwert cWR bezogen auf den Wert des Basis u-gels (cWR)=1 sowie Verhaltnis k des induzierten Widerstandes zum Wert einesEllipsen ugels uber der Zuspitzung fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Ske-lettprol) konstanter Streckung = 5. 197

120 BILDVERZEICHNISBild 68: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM und NeutralpunktlageN uber der Flugelstreckung F fur Rechteck ugel mit einem NACA 3400Skelettprol ohne und mit der ebenen Klappe `K = `F = bKV = bKH . 189Bild 69: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg und Langsstabilitat NS uberdem Gewichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel unterschiedlicher Streckung ( =3=5=7=10) mit einem NACA 3400 Skelettprol im Gleit ug. 190Bild 70: Rudergradienten cA" und cM0;" uber der Flugelstreckung F fur Recht-eck ugel mit einem NACA 3400 Skelettprol und der ebenen Klappe `K =`F = bKV = bKH . 191Bild 71: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabi-litat NS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel unterschiedlicherStreckung ( = 3=5=7=10) ohne und mit der ebenen Klappe `K = `F = bKV =bKH im Gleit ug bei = 12. 192Bild 72: Gleitzahl E und optimale Streckung Opt sowie Sinkgeschwindigkeit wguber dem Gewichtsbeiwert cG;Ref (Referenz ugel ist der Rechteck ugel Ref =10) fur Rechteck ugel unterschiedlicher Streckung ( = 3=5=7=10) mit einemNACA 3400 Skelettprol im Gleit ug. 193Bild 73: Geometrie der berechneten Flugel und FlugelKlappenAnordnungenzur Untersuchung des Ein usses der Flugelzuspitzung F . 194Bild 74: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbei-wert cM und Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur gewolb-te Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung = 5 unterschied-licher Zuspitzung . 195Bild 75: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM und NeutralpunktlageN uber der Zuspitzung F fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol)konstanter Streckung F = 5 ohne und mit ebener Klappe `K = `F = bKV =bKH . 196Bild 76: Reibungswiderstandsbeiwert cWR bezogen auf den Wert des Basis u-gels (cWR)=1 sowie Verhaltnis k des induzierten Widerstandes zum Wert einesEllipsen ugels uber der Zuspitzung fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Ske-lettprol) konstanter Streckung = 5. 197

Bildteil 121Bild 77: Zirkulationsverteilung und ortliche Auftriebsbeiwerte ca fur = 10uber der spannweitigen Koordinate y fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Ske-lettprol) konstanter Streckung = 5 und unterschiedlicher Zuspitzung . 198Bild 78: Auftriebsgradient cA" und Nullmomentengradient cM0;" uber der Flugel-zuspitzung F fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter Strek-kung F = 5 mit einer ebenen Klappe `K = `F = bKV = bKH . 199Bild 79: Geometrie der berechneten Flugel und FlugelKlappenAnordnungenzur Untersuchung des Pfeilungsein usses. 200Bild 80: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbei-wert cM und Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur gewolb-te Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung = 5 unterschied-licher Pfeilung 'V . 201Bild 81: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM sowie cM;Ref (Refe-renz ugel ist der Basis ugel) und Neutralpunktlage N sowie N;Ref uberdem Pfeilwinkel 'V fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanterStreckung F = 5 ohne und mit ebener Klappe `K = `F = bKV = bKH . 202Bild 82: Rudergradienten cA" und cM0;" uber dem Pfeilwinkel 'V fur gewolbteFlugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung F = 5 mit der ebenenKlappe `K = `F = bKV = bKH . 203Bild 83: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Pfeilwinkel 'V und LangsstabilitatNS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Ske-lettprol) konstanter Streckung F = 5 im Gleit ug fur verschiedene Schwer-punktlagen S;Ref (Referenz ugel ist der Rechteck ugel = 5). 204Bild 84: Geometrie der berechneten FlugelKlappenKongurationen zur Dis-kussion der Trimmstrategie von Vogeln. 205Bild 85: Gleitzahl E, Langsstabilitat NS und Pfeilwinkel 'V uber dem Ge-wichtsbeiwert cG;Ref fur einen gewolbten Flugel (NACA 3400 Skelettprol) mitKlappen unterschiedlicher Spreizung # fur verschiedene Ausschlage " im Gleit- ug fur S;Ref = 0; 15. 206

Bildteil 121Bild 77: Zirkulationsverteilung und ortliche Auftriebsbeiwerte ca fur = 10uber der spannweitigen Koordinate y fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Ske-lettprol) konstanter Streckung = 5 und unterschiedlicher Zuspitzung . 198Bild 78: Auftriebsgradient cA" und Nullmomentengradient cM0;" uber der Flugel-zuspitzung F fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter Strek-kung F = 5 mit einer ebenen Klappe `K = `F = bKV = bKH . 199Bild 79: Geometrie der berechneten Flugel und FlugelKlappenAnordnungenzur Untersuchung des Pfeilungsein usses. 200Bild 80: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbei-wert cM und Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur gewolb-te Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung = 5 unterschied-licher Pfeilung 'V . 201Bild 81: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM sowie cM;Ref (Refe-renz ugel ist der Basis ugel) und Neutralpunktlage N sowie N;Ref uberdem Pfeilwinkel 'V fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanterStreckung F = 5 ohne und mit ebener Klappe `K = `F = bKV = bKH . 202Bild 82: Rudergradienten cA" und cM0;" uber dem Pfeilwinkel 'V fur gewolbteFlugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung F = 5 mit der ebenenKlappe `K = `F = bKV = bKH . 203Bild 83: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Pfeilwinkel 'V und LangsstabilitatNS uber dem Gewichtsbeiwert cG fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Ske-lettprol) konstanter Streckung F = 5 im Gleit ug fur verschiedene Schwer-punktlagen S;Ref (Referenz ugel ist der Rechteck ugel = 5). 204Bild 84: Geometrie der berechneten FlugelKlappenKongurationen zur Dis-kussion der Trimmstrategie von Vogeln. 205Bild 85: Gleitzahl E, Langsstabilitat NS und Pfeilwinkel 'V uber dem Ge-wichtsbeiwert cG;Ref fur einen gewolbten Flugel (NACA 3400 Skelettprol) mitKlappen unterschiedlicher Spreizung # fur verschiedene Ausschlage " im Gleit- ug fur S;Ref = 0; 15. 206

122 BILDVERZEICHNISz, e

(dv )QW

lA

ly∆

Γd

ze y

ex

x

ξ = konst.

n,A

Γd

a1 a2

a0

e t,A

s+

ξ

1

0σ

AA

e

e

y∆

V

x

s,A

n,A

y

Bandmittelschnitt

rechterlinker

Bandrand

1

Bild 1: Flugelfestes Koordinatensystem und geometrische Verhaltnisse zur Berechnungder Induktion eines Querwirbels in einem Aufpunkt.

122 BILDVERZEICHNIS

Bild 1: Flugelfestes Koordinatensystem und geometrische Verhaltnisse zur Berechnungder Induktion eines Querwirbels in einem Aufpunkt.

Bildteil 123

∆Θ2 ∆Θ

2

∆Θ i

K=4

Skelettlinie eines Schnittes y=konst.

Aufpunkte i

Wirbel k (tragende Linien)

ξ10

=πK

∆Θ

∆Θk

y

z

x

Bild 2: Belegung der Skelett ache in Tiefenrichtung mit tragenden Linien und Auf-punkten am Beispiel eines Schnittes y = konst. fur K = 4.

Bildteil 123

Bild 2: Belegung der Skelett ache in Tiefenrichtung mit tragenden Linien und Auf-punkten am Beispiel eines Schnittes y = konst. fur K = 4.

124 BILDVERZEICHNIS

Längswirbelschicht

6

7l= rt

y

q=0 q=1

5 6 8 9 L

∆Γ++= g0,k qg1,k qg2,k

2∆Γk

L=10

K=2

l= Querwirbel kz

tragende Linien

Aufpunkte

x

Aufpunkt i

linker rechter

Streifenrand

q

Streifen

l

M=4 Teilflächen der zum

Querwirbel k gehörenden

6

Bild 3: Spannweitige Einteilung der Skelett ache in Streifen, Belegung mit Aufpunktensowie Darstellung der Ansatzfunktion fur die Zirkulationsstarke der tragendenLinien (nichttragende Wirbel sind nicht dargestellt).

124 BILDVERZEICHNIS

Bild 3: Spannweitige Einteilung der Skelett ache in Streifen, Belegung mit Aufpunktensowie Darstellung der Ansatzfunktion fur die Zirkulationsstarke der tragendenLinien (nichttragende Wirbel sind nicht dargestellt).

Bildteil 125

gehörendenLängswirbelschicht

=konst.

=konst.

∆ϑ

h=2 h=3h=1

q=1q=0

ϑi

ϑj

∆ϑ/2

∆ϑ/2

Jπ∆ϑ=

x

z y

J=4

Teilfläche m der

QW)

LW,k,j∆Γ

te

a(q)

a0

zum Querwirbel k

Θ i

Θ k

a)

b)

diskrete Längswirbel

mögliche spannweitige Aufpunktlage

∆Γ (q)k

Querwirbel k

z

x

y

q

Aufpunkt i

n,ie

(vn,i,k

q=0

q=1

q

Bild 4: Geometrie zur Berechnung der Induktion des Querwirbels k im Aufpunkt i (a)und spannweitige Belegung einer Teil ache der abgehenden Wirbelschicht desQuerwirbels k mit diskreten Langswirbeln und moglichen Aufpunktlagen (b).

Bildteil 125

Bild 4: Geometrie zur Berechnung der Induktion des Querwirbels k im Aufpunkt i (a)und spannweitige Belegung einer Teil ache der abgehenden Wirbelschicht desQuerwirbels k mit diskreten Langswirbeln und moglichen Aufpunktlagen (b).

126 BILDVERZEICHNISKorrekturfaktor fur die diskrete Langswirbelstarke = 2J JXj=1 sin j 12 J

0 20 40 60 80 1000.990

0.995

1.000

1.005

1.010

κ

JBild 5: Korrekturfaktor fur die diskrete Langswirbelstarke der Wirbelschicht einesQuerwirbels uber der Anzahl diskreter Langswirbel J .

126 BILDVERZEICHNISKorrekturfaktor fur die diskrete Langswirbelstarke = 2J JXj=1 sin j 12 J

Bild 5: Korrekturfaktor fur die diskrete Langswirbelstarke der Wirbelschicht einesQuerwirbels uber der Anzahl diskreter Langswirbel J .

Bildteil 127

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

f

f

vn∆( )exakt

ddq

Γ

vn∆( ) vn∆( )∆f= [ ]100 num-

exakt

vn∆( ) vn∆( )∆f= [ ]100 num-

exakt

vn∆( )exakt

∆

(∆ exakt)nv

∆

(∆ exakt)nvddq

Γ

∆vn

J=10

30

50

100

J=10

50

100

30

q

q

∆vn

0 1 q

1

0 1 q

1

Bild 6: Vergleich der numerisch integrierten Induktionen einer ebenen, beidseitig insUnendliche laufenden Langswirbelschicht mit der analytischen Losung fur einekonstante und eine lineare Verteilung der Zirkulationsdichte.

Bildteil 127

Bild 6: Vergleich der numerisch integrierten Induktionen einer ebenen, beidseitig insUnendliche laufenden Langswirbelschicht mit der analytischen Losung fur einekonstante und eine lineare Verteilung der Zirkulationsdichte.

128 BILDVERZEICHNIS

V

e

dR

hintere Panelfläche

ds

Längswirbel

Aufpunkt i-1

dt

et,q

s,p

d

Vq=1

p=1

p=p

p=0

vordere Panelfläche

Querwirbel k

V

q=0

s

ΓLW,V,k

∆Γk

Θ i-1

Θ k

Θ i

y

x

z

t

ΓLW,H,k

i

Aufpunkt i

Panel k

QW

Bild 7: Darstellung eines Panels sowie der geometrischen und aerodynamischen Groenzur Berechnung der aerodynamischen Lasten auf dem Panel.

128 BILDVERZEICHNIS

Bild 7: Darstellung eines Panels sowie der geometrischen und aerodynamischen Groenzur Berechnung der aerodynamischen Lasten auf dem Panel.

Bildteil 129ξ = konst.

dΓ

δ

b, ub

R

es

es

eb

eb

er

et

et

er

τ

Querwirbel

δ

1

2 δ e

v

δ

δ

z

x

y

τ

o

u

r

s

r s

s r

-v

δ

δ

dΓ

τ

τ

V

V

V 1

2 e

δ

dtt

z

x

y

Skelettvorderkante

Streifen l

s,d c l

a)

b)

s,

b

s,

r

, t

, r

Bild 8: Geometrische und aerodynamische Groen zur Berechnung des Wirbeldichte-vektors auf einem Querwirbel (a) und zur Berechnung des Saugkraftvektorsdcs;l in einem Punkt auf der Skelettvorderkante des Streifens l (b).

Bildteil 129

Bild 8: Geometrische und aerodynamische Groen zur Berechnung des Wirbeldichte-vektors auf einem Querwirbel (a) und zur Berechnung des Saugkraftvektorsdcs;l in einem Punkt auf der Skelettvorderkante des Streifens l (b).

130 BILDVERZEICHNISX Y Zt tt

yt

xt

z t

00

Po

uP

z t

Z t

ty

vent nt,

e rt,r t

Xt Yt Z t

e xt

e yt

ezt

U

Eintrittsfläche I

o

l

u

r

NachlaufwirbelschichtAustrittsfläche II (Trefftz-Ebene)

a)

b)

Randkurvenschlitz

C

Nachlaufschlitz

(o)

(u)

Yt

-Z

A

ED

B

Randkurve R

-Y

t

t

Bild 9: TretzKoordinatensystem und Kontrollvolumen (a) sowie Geometrie eines ein-fach zusammenhangenden Nachlaufes in der TretzEbene (b).

130 BILDVERZEICHNIS

Bild 9: TretzKoordinatensystem und Kontrollvolumen (a) sowie Geometrie eines ein-fach zusammenhangenden Nachlaufes in der TretzEbene (b).

Bildteil 131yt

xt

z t00U

z t

yt

vnt

e rt,rt

geteilter Nachlauf

Trefftz-Ebene Randkurve

Z

Y

C M F D E

A

HGKL

t(o)(o)

(o)

t

RandkurvenschlitzNachlaufschlitz

ent ,

Bild 10: Geteilter Nachlauf eines Rechteck ugels mit einer ausgeschlagenen Klappe sowiedessen Bild in der TretzEbene.

Bildteil 131

Bild 10: Geteilter Nachlauf eines Rechteck ugels mit einer ausgeschlagenen Klappe sowiedessen Bild in der TretzEbene.

132 BILDVERZEICHNIS

Nachlauf-

polygonzug

q=1

q=0

Strecke h

= yt

r

e

e

y

z

x y t,o

∆ t,h

, rt,o

t

t

t,h∆

rt,o , q

nt,o, vnt,o

Bild 11: Geometrische Verhaltnisse auf der Strecke h des NachlaufPolygonzuges in derTretzEbene.

132 BILDVERZEICHNIS

Bild 11: Geometrische Verhaltnisse auf der Strecke h des NachlaufPolygonzuges in derTretzEbene.

Bildteil 133

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

z

V

i

explizit berechneter Vorderkantenwert

exakt

00U

0,000

0,548

Κ=10

0,000

0,000

0,548

Κ=20

0,000

c

c

c

a

w

m

10.5 ξ

c

α

m

γ

ξ

c∆ p

c∆ p

γ

0,000

0,000

0,548

α = 5o

γ

Bild 12: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cm, transformierten Zirkula-tionsdichte und Dierenzdruckverteilung cp einer ebenen Platte mit der ex-akten Losung fur = 5.

Bildteil 133

Bild 12: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cm, transformierten Zirkula-tionsdichte und Dierenzdruckverteilung cp einer ebenen Platte mit der ex-akten Losung fur = 5.

134 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

f

l

z

V

i

f/ = 0.1

exakt

00U

γ

c∆ p

cm

cp∆

ebenΚ=200,

1,860

0,011

0,310

-

-

0,000

1,799

0,320-

10.5 ξα

ξ

γ

α = 5o

γexplizit berechneter Vorderkantenwert

Κ=10

c

c

c

a

w

m

0,000

1,795

0,319-

Κ=20

0,000

1,798

0,319-

Bild 13: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cm, transformierten Zirku-lationsdichte und Dierenzdruckverteilung cp eines Kreissegmentskelettes(f=` = 0; 1) mit der exakten Losung fur = 5.

134 BILDVERZEICHNIS

Bild 13: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cm, transformierten Zirku-lationsdichte und Dierenzdruckverteilung cp eines Kreissegmentskelettes(f=` = 0; 1) mit der exakten Losung fur = 5.

Bildteil 135

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

z

Vexplizit berechneter Vorderkantenwert

K=2*200

00U

c∆ p

c∆ p

γ

ξ = 0.5K

-

1,446

0,002

0,088

Κ=2∗10

0,000

-

1,445

0,087-

1,445

0,001

0,087

Κ=2∗20

ε=10o

c

c

c

a

w

m

ξ

c

α

m

ξ

γ

γ

1

ε = 10α = 5o

o

i

Bild 14: Aerodynamische Beiwerte ca, cwi, cm, transformierte Zirkulationsdichte undDierenzdruckverteilung cp fur ein Klappenprol (Klappenknie bei K = 0; 5,Klappenausschlag " = 10) fur = 5.

Bildteil 135

Bild 14: Aerodynamische Beiwerte ca, cwi, cm, transformierte Zirkulationsdichte undDierenzdruckverteilung cp fur ein Klappenprol (Klappenknie bei K = 0; 5,Klappenausschlag " = 10) fur = 5.

136 BILDVERZEICHNIS

i

gescherter Flügel

ooU

ooU

Ω

hängender Flügel

yϕ

x

y

x

V

i

0.09470.9449

0.9449K = 10

exakt

o

c c ca w y

0.09470.0000

0.0000

α = 10 ϕ = 45V

o

K = 10

exakt -0.5372

-0.53720.00000.9449

0.9449

o α = 10 Ω = 30

o

c c ca w y

0.0000

z

y

Bild 15: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cy eines gescherten Platten- ugels ('V = 30) und eines hangenden Platten ugels ( = 30) mit der exak-ten Losung fur = 10.

136 BILDVERZEICHNIS

Bild 15: Vergleich der aerodynamischen Beiwerte ca, cwi, cy eines gescherten Platten- ugels ('V = 30) und eines hangenden Platten ugels ( = 30) mit der exak-ten Losung fur = 10.

Bildteil 137= 5

b KH

lK

b KV

5.7o=ε0

ε > 0

L 3 L 3

L 3

lK b KV b KH lF= = =

lF

y y z

x

N25F

x

K

K

Klappe:

Flügel:

NACA 3400 Skelettprofil

eben, quadratisch (Form B)

ΛF

Basiskonfiguration

Streifen

Bild 16: Geometrie und spannweitige Diskretisierung der Basiskonguration(Rechteck ugel: F = 5, NACA 3400 Skelettprol,Klappe: `K = bKV = bKH = `F , eben) am Beispiel L = 9.

Bildteil 137

Bild 16: Geometrie und spannweitige Diskretisierung der Basiskonguration(Rechteck ugel: F = 5, NACA 3400 Skelettprol,Klappe: `K = bKV = bKH = `F , eben) am Beispiel L = 9.

138 BILDVERZEICHNIS

0 20 40 60 80 1009.810

9.820

9.830

9.840

0 20 40 60 80 1006.450

6.454

6.458

6.462

0 20 40 60 80 100−0.1090

−0.1086

−0.1082

−0.1078

z.B. J = 4

Längswirbel

Querwirbel

oo

*

*

*

ohne

mit

ohne

mit

Manipulation

Manipulation

mit

ohne

Manipulation

Manipulation

*N25F Mc

mit J

mit 10 J

Längswirbeln berechnet

induzierte Geschwindigkeiten werden

10 cA

10 cM

α = 10o

ε = 0o

J

J

100 cWi

J

Basiskonfiguration

2d

d

induzierendes Panel

Bild 17: Aerodynamische Beiwerte cA, cWi, cM der Basiskonguration fur " = 0 und =10 in Abhangigkeit von der Anzahl J diskreter Langswirbel pro Querwirbel.

138 BILDVERZEICHNIS

Bild 17: Aerodynamische Beiwerte cA, cWi, cM der Basiskonguration fur " = 0 und =10 in Abhangigkeit von der Anzahl J diskreter Langswirbel pro Querwirbel.

Bildteil 139

2 3 4 5 6 7 8−0.109

−0.108

−0.107

−0.106

2 3 4 5 6 7 80.060

0.065

0.070

0.075

2 3 4 5 6 7 80.965

0.975

0.985

0.995

*

*

**

*

* *

* * *

* *

*

N25F Mc

Mehrfachtraglinienverfahren

Trefftz-Ebenen-Verfahren

ohne Verbindungslinien

,

*

*

*

~~

~

~

~

mit Verbindungslinien

~,

mit und ohne Verbindungslinien

Wic

α = 10o

ε = 0o

Basiskonfiguration

L/3

L/3

L/3

WiccA

MWiAc c c

cA

Ac~

cA cA

Wic c

c

cWi

Wi

Wi

Mc

,

, ,

Bild 18: Aerodynamische Beiwerte cA, cWi, cM sowie die in der TretzEbene berechne-ten Beiwerte ~cA, ~cWi der Basiskonguration fur " = 0 und = 10 uber derStreifenanzahl L.

Bildteil 139

Bild 18: Aerodynamische Beiwerte cA, cWi, cM sowie die in der TretzEbene berechne-ten Beiwerte ~cA, ~cWi der Basiskonguration fur " = 0 und = 10 uber derStreifenanzahl L.

140 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.1

0.2

0.3

~

~

2

2

Rechteckflügel Λ = 2

2,4744

2,4743

0,1004

0,1005

0,2094

0,2094

1,0108

1,0008

1,0007

1,0010

cx

D

l

y

y

ca

cA

Ac2

Ac

MTV

cAα Mα/πΛ

cW cW

/πΛ2

i i

x

y

l

lx

xd

d

cM

NLR

N25

c

cA

wi

c

cA

wi

Bild 19: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20 undL = 50 (N = 1000) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen ebenenRechteck ugel = 2 mit den Ergebnissen der Trag achentheorie (NLR) [101].

140 BILDVERZEICHNIS

Bild 19: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20 undL = 50 (N = 1000) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen ebenenRechteck ugel = 2 mit den Ergebnissen der Trag achentheorie (NLR) [101].

Bildteil 141

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.3

0.5

0.8

1.0

Rechteckflügel Λ = 2

c∆ p

Ac

y0

y1

y2

y3

y0

y1

y3

y2

y0

y1

y3

y2

, ξx

ξ

ξ

MTV

= 0.3827

= 0.9239

= 0.7071

= 0.0000

NLR

y

Bild 20: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20 undL = 50 (N = 1000) berechneten Druckverteilung in Schnitten y = konst. fureinen ebenen Rechteck ugel = 2 mit dem Ergebnis der Trag achentheorie(NLR) [101].

Bildteil 141

Bild 20: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20 undL = 50 (N = 1000) berechneten Druckverteilung in Schnitten y = konst. fureinen ebenen Rechteck ugel = 2 mit dem Ergebnis der Trag achentheorie(NLR) [101].

142 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−0.2

0.0

0.2

0.4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

~

~

2

-

-

cx

D

cM

y

ca

cA

I Ac2

AccAα Mα

/πΛ

cW cW

/πΛ2

i i

l

-3.116

-3.102

2.758

2.747

1.130

1.129

1.000

1,007

1.008

1.009

y

y

x

λo

= 53.54

Pfeilflügel Λ = 2 2ϕ

V= 1 3

ϕV

cwi

c

c

A

2

l

A

wic

xx Vd

Vd xx

l

N25

NLR

MTV

Bild 21: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20 undL = 2 25 (N = 1000) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen ebe-nen Pfeil ugel ( = 2p2, 'V = 53; 54, = 1=3) mit den Ergebnissen derTrag achentheorie (NLR)

142 BILDVERZEICHNIS

Bild 21: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20 undL = 2 25 (N = 1000) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen ebe-nen Pfeil ugel ( = 2p2, 'V = 53; 54, = 1=3) mit den Ergebnissen derTrag achentheorie (NLR)

Bildteil 143

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.3

0.5

0.8

1.0

= 0.0000

= 0.7071

= 0.3827

= 0.9239

3

2

1

0

0

2

1

30 2 31

c∆ p

Ac

y

y

y

y

y

y

y

y

Pfeilflügel Λ = 2 2ϕ

V= 1 3

y y yy

ϕV

ξ

ξ

MTV

NLR

y

λo

= 53.54

x

Bild 22: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20 undL = 2 25 (N = 1000) berechneten Druckverteilung in Schnitten y = konst. fureinen ebenen Pfeil ugel ( = 2p2, 'V = 53; 54, = 1=3) mit dem Ergebnisder Trag achentheorie (NLR) [101].

Bildteil 143

Bild 22: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 20 undL = 2 25 (N = 1000) berechneten Druckverteilung in Schnitten y = konst. fureinen ebenen Pfeil ugel ( = 2p2, 'V = 53; 54, = 1=3) mit dem Ergebnisder Trag achentheorie (NLR) [101].

144 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

1.5

-d V

~

~

-

Kreisscheibenflügel Λ = 4/π

x

y

a

cA

c

x x

l

1 bezogen auf die Kreisscheibenfläche und den Radius

1c

xD

y

y

Ac2

AccAα Mα

/πΛ

cW cW

/πΛ2

i i

1.7903

1.7902

1.7902

0.9325

0.9342

0.9325

0.4791

0.4782

0.4791

0.993

1.001

1.000

1.001

- -

l I

cM

c

c

wi

A

2

wi

A2

c

c

x xd V

l

exakt

MTV

NLR

Bild 23: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 10 undL = 180 (N = 1800) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen ebe-nen Kreisscheiben ugel ( = 4=) mit den Ergebnissen der Trag achentheorie(NLR) [101] und der exakten Losung [104].

144 BILDVERZEICHNIS

Bild 23: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 10 undL = 180 (N = 1800) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen ebe-nen Kreisscheiben ugel ( = 4=) mit den Ergebnissen der Trag achentheorie(NLR) [101] und der exakten Losung [104].

Bildteil 145

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.3

0.5

0.8

1.0

y2

= 0.866

y1

= 0.5

0= 0y

y21

y

Kreisscheibenflügel Λ = 4/π

y

0y

NLR

MTV

x

c∆ p

Ac

ξ

ξ

y

y

y

2

1

0

Bild 24: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 10 und L =180 (N = 1800) berechneten Druckverteilung in Schnitten y = konst. fur einenebenen Kreisscheiben ugel ( = 4=) mit dem Ergebnis der Trag achentheorie(NLR) [101].

Bildteil 145

Bild 24: Vergleich der mit dem Mehrfachtraglinienverfahren (MTV) fur K = 10 und L =180 (N = 1800) berechneten Druckverteilung in Schnitten y = konst. fur einenebenen Kreisscheiben ugel ( = 4=) mit dem Ergebnis der Trag achentheorie(NLR) [101].

146 BILDVERZEICHNIS

0 5 10 15 200.0

0.1

0.2

0.3

0 5 10 15 200.00

0.25

0.50

0.75

0 5 10 15 20−0.75

−0.50

−0.25

0.00

Hummel

Peckham

Messungen

Deltaflügel Λ = 1

ohneSaugkraftanalogie

mit

Mehrfachtraglinienverfahren

x

y

cA0cA-

cW

c- W0

cM0

cM,Nase

αoo oo o

αoo oo o

αoo oo o

-cM,Nase

Bild 25: Vergleich der fur anliegende und abgeloste Stromung mit K = 14 und L = 60(N = 840) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen Delta ugel ( = 1)mit Meergebnissen von Hummel [106] und Peckham [107].

146 BILDVERZEICHNIS

Bild 25: Vergleich der fur anliegende und abgeloste Stromung mit K = 14 und L = 60(N = 840) berechneten aerodynamischen Beiwerte fur einen Delta ugel ( = 1)mit Meergebnissen von Hummel [106] und Peckham [107].

Bildteil 147

Konfigurationen A,B,C Konfigurationen AA,B,AB

Konfigurationen R,B,AC

Konfigurationen S,R,Q

Konfigurationen V,TKonfigurationen BX,KX

Konfigurationen G,B,K

Konfigurationen Z,B,Q

Basiskonfiguration B

ε = 5.7

BAA

BAC R

VTKX

Q

K

AB

GB

B Z

B

A

C

RSQ

BX

b

ε > 0

N25F

lK

lF

0

y

xx

z

o

o

Bild 26: Darstellung der vermessenen und berechneten FlugelKlappenAnordnungen.

Bildteil 147

Bild 26: Darstellung der vermessenen und berechneten FlugelKlappenAnordnungen.

148 BILDVERZEICHNIS

o

o

ε > 0

ε = 5.7

b

FF

FK

N25F

b KH

b KV

lK

lF

0

d

x

ϑ > 0

zy

xKlappenform F=FF `K=`F bKV =`F bKH=`F # d=`FA1) 1,1 0,5 1,0 1,0 0 0(1,1) (0,5) (0,975) (1,025) (2,9) (0)B1) 1,2 1,0 1,0 1,0 0 0(1,2) (1,0) (0,975) (1,025) (1,4) (0)C1) 1,3 1,5 1,0 1,0 0 0(1,3) (1,5) (0,975) (1,025) (1,0) (0)G 1,1 1,0 1,0 0 -26,6 0K 1,3 1,0 1,0 2,0 26,6 0Q 1,2 1,0 0,5 1,5 26,6 0R1) 1,1 1,0 0,5 0,5 0 0(1,1) (1,0) (0,475) (0,525) (1,4) (0)S 1,05 1,0 0,5 0 -14,0 0T 1,125 1,0 0,5 1,5 26,6 0,5V 1) 1,075 1,0 0,5 0,5 0 0,5(1,075) (1,0) (0,475) (0,525) (1,4) (0,5)Z 1,2 1,0 1,5 0,5 -26,6 0AA1) 1,15 1,0 0,75 0,75 0 0(1,15) (1,0) (0,725) (0,775) (1,4) (0)AB1) 1,25 1,0 1,25 1,25 0 0(1,25) (1,0) (1,225) (1,275) (1,4) (0)AC1) 1,3 1,0 1,5 1,5 0 0(1,3) (1,0) (1,475) (1,525) (1,4) (0)BX1) 1,15 1,0 1,0 1,0 0 0,5(1,15) (1,0) (0,975) (1,025) (1,4) (0,5)KX 1,2 1,0 1,0 2,0 26,6 0,51) Die Werte in Klammern entsprechen der zur Berechnung leicht veranderten Klappen-geometrie.Bild 27: Geometrie der vermessenen und berechneten FlugelKlappenAnordnungen.

148 BILDVERZEICHNIS

Klappenform F=FF `K=`F bKV =`F bKH=`F # d=`FA1) 1,1 0,5 1,0 1,0 0 0(1,1) (0,5) (0,975) (1,025) (2,9) (0)B1) 1,2 1,0 1,0 1,0 0 0(1,2) (1,0) (0,975) (1,025) (1,4) (0)C1) 1,3 1,5 1,0 1,0 0 0(1,3) (1,5) (0,975) (1,025) (1,0) (0)G 1,1 1,0 1,0 0 -26,6 0K 1,3 1,0 1,0 2,0 26,6 0Q 1,2 1,0 0,5 1,5 26,6 0R1) 1,1 1,0 0,5 0,5 0 0(1,1) (1,0) (0,475) (0,525) (1,4) (0)S 1,05 1,0 0,5 0 -14,0 0T 1,125 1,0 0,5 1,5 26,6 0,5V 1) 1,075 1,0 0,5 0,5 0 0,5(1,075) (1,0) (0,475) (0,525) (1,4) (0,5)Z 1,2 1,0 1,5 0,5 -26,6 0AA1) 1,15 1,0 0,75 0,75 0 0(1,15) (1,0) (0,725) (0,775) (1,4) (0)AB1) 1,25 1,0 1,25 1,25 0 0(1,25) (1,0) (1,225) (1,275) (1,4) (0)AC1) 1,3 1,0 1,5 1,5 0 0(1,3) (1,0) (1,475) (1,525) (1,4) (0)BX1) 1,15 1,0 1,0 1,0 0 0,5(1,15) (1,0) (0,975) (1,025) (1,4) (0,5)KX 1,2 1,0 1,0 2,0 26,6 0,51) Die Werte in Klammern entsprechen der zur Berechnung leicht veranderten Klappen-geometrie.Bild 27: Geometrie der vermessenen und berechneten FlugelKlappenAnordnungen.

Bildteil 149L2 L2L 3

Einteilungstyp IK

K

L L

1

2

1 1

L2 L3 L2L3

Einteilungstyp II

L L

K

K

1

2

1 1

Klappenform Einteilungstyp K1 K2 L1 L2 L3 N SaugkraftanalogieA I 10 10 14 5 10 680 jaB (anliegend) I 10 10 15 10 500 neinB (abgelost) I 10 10 14 5 10 680 jaC I 10 10 14 5 10 680 jaG II 10 10 15 7 580 neinK I 10 10 10 10 14 880 jaQ I 10 10 12 10 10 840 jaR I 10 10 14 5 10 680 jaS II 10 10 17 5 540 neinT II 10 10 12 10 5 840 jaV II 10 10 14 5 5 680 jaZ I 10 10 10 10 10 800 neinAA I 10 10 14 5 10 680 jaAB I 10 10 14 5 10 680 jaAC I 10 10 12 5 14 720 jaBX II 10 10 14 5 5 680 jaKX II 10 10 10 5 7 680 jaDer Nachlauf verlauft bei allen Rechnungen ab der Flugelhinterkante parallel zur un-gestorten Anstromung starr ins Unendliche.Bild 28: Diskretisierung der berechneten FlugelKlappenAnordnungen.

Bildteil 149

Klappenform Einteilungstyp K1 K2 L1 L2 L3 N SaugkraftanalogieA I 10 10 14 5 10 680 jaB (anliegend) I 10 10 15 10 500 neinB (abgelost) I 10 10 14 5 10 680 jaC I 10 10 14 5 10 680 jaG II 10 10 15 7 580 neinK I 10 10 10 10 14 880 jaQ I 10 10 12 10 10 840 jaR I 10 10 14 5 10 680 jaS II 10 10 17 5 540 neinT II 10 10 12 10 5 840 jaV II 10 10 14 5 5 680 jaZ I 10 10 10 10 10 800 neinAA I 10 10 14 5 10 680 jaAB I 10 10 14 5 10 680 jaAC I 10 10 12 5 14 720 jaBX II 10 10 14 5 5 680 jaKX II 10 10 10 5 7 680 jaDer Nachlauf verlauft bei allen Rechnungen ab der Flugelhinterkante parallel zur un-gestorten Anstromung starr ins Unendliche.Bild 28: Diskretisierung der berechneten FlugelKlappenAnordnungen.

150 BILDVERZEICHNIS

−8 −4 0 4 8 12 16 200.00

0.04

0.08

0.12

−8 −4 0 4 8 12 16 20−0.20

−0.15

−0.10

−0.05

0.00

−8 −4 0 4 8 12 16 20−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

Basiskonfiguration

Basisflügel

Basisflügel

Basiskonfiguration

Basisflügel

Basiskonfiguration

*

*

Klappenseitenkanten (Theorie)

anliegende Strömung

abgelöste Strömung

N25F Mc

N25F Mc

cA

cM*

cW*

oooooo oo

oooooo oo

oooooo oo

α

α

α

*

Bild 29: Gemessene und fur anliegende und abgeloste Stromung an den Klappenseiten-kanten berechnete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur denRechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) ohne und mit Steuer ache B furden Klappenwinkel " = 0.

150 BILDVERZEICHNIS

Bild 29: Gemessene und fur anliegende und abgeloste Stromung an den Klappenseiten-kanten berechnete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur denRechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) ohne und mit Steuer ache B furden Klappenwinkel " = 0.

Bildteil 151

−4 −2 0 2 4 6 8 100.00

0.04

0.08

0.12

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.21

−0.14

−0.07

0.00

*

ε = 10o

ε = 0o

ε = −10o

ε = 10o

ε = 0o

ε = −10o

ε = −10o

ε = 0o

ε = 10o

ε>0

McN25F

cA

cW*

cM*

o o oooooo

o o oooooo

o o oooooo

o

α

α

α

*

x x

zy

Basiskonfiguration

Bild 30: Gemessene und fur anliegende Stromung an den Klappenseitenkanten berech-nete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck- ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Steuer ache B fur die Klappenwinkel" = 10; 0; 10.

Bildteil 151

Bild 30: Gemessene und fur anliegende Stromung an den Klappenseitenkanten berech-nete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck- ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Steuer ache B fur die Klappenwinkel" = 10; 0; 10.

152 BILDVERZEICHNIS

−4 −2 0 2 4 6 8 100.00

0.04

0.08

0.12

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.21

−0.14

−0.07

0.00

*

ε = 10o

ε = 0o

ε = −10o

ε = 10o

ε = 0o

ε = −10o

ε = 10o

ε = 0o

ε = −10o

ε>0

McN25F

cA

cW*

cM*

o o oooooo

o o oooooo

o o oooooo

o

α

α

α

*

x x

zy

Basiskonfiguration

Bild 31: Gemessene und fur abgeloste Stromung an den Klappenseitenkanten berech-nete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck- ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Steuer ache B fur die Klappenwinkel" = 10; 0; 10.

152 BILDVERZEICHNIS

Bild 31: Gemessene und fur abgeloste Stromung an den Klappenseitenkanten berech-nete Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck- ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Steuer ache B fur die Klappenwinkel" = 10; 0; 10.

Bildteil 153

−4 −2 0 2 4 6 8 100.00

0.04

0.08

0.12

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.21

−0.14

−0.07

0.00

C

AB

Theorie Messung

A

B

C

*N25F Mc

cA

cW*

cM*

o o oooooo

o o oooooo

o o oooooo

ε = 0o

α

α

α

*

Konfigurationen A,B,C

Bild 32: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel furden Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen unterschiedlicherLange `K (A, B, C) fur den Klappenwinkel " = 0.

Bildteil 153

Bild 32: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel furden Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen unterschiedlicherLange `K (A, B, C) fur den Klappenwinkel " = 0.

154 BILDVERZEICHNIS

−4 −2 0 2 4 6 8 100.00

0.04

0.08

0.12

Konfigurationen AA,B,AB

BAA AB

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.21

−0.14

−0.07

0.00

Theorie Messung

AA

AB

B

*N25F Mc

cA

cW*

cM*

o o oooooo

o o oooooo

o o oooooo

oε = 0

α

α

α

*

Bild 33: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel furden Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen unterschiedlicherBreite bKV = bKH (AA, B, AB) fur den Klappenwinkel " = 0.

154 BILDVERZEICHNIS

Bild 33: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel furden Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen unterschiedlicherBreite bKV = bKH (AA, B, AB) fur den Klappenwinkel " = 0.

Bildteil 155

−4 −2 0 2 4 6 8 100.00

0.04

0.08

0.12


G B K

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.21

−0.14

−0.07

0.00

Theorie Messung

B

G

K

*N25F Mc

cA

cW*

cM*

o o oooooo

o o oooooo

o o oooooo

oε = 0

α

α

α

*

Bild 34: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen der BreitebKV = `F unterschiedlicher Spreizung # (G, B, K) fur den Klappenwinkel " =0.

Bildteil 155

Bild 34: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen der BreitebKV = `F unterschiedlicher Spreizung # (G, B, K) fur den Klappenwinkel " =0.

156 BILDVERZEICHNIS

−4 −2 0 2 4 6 8 100.00

0.04

0.08

0.12

Konfigurationen S,R,Q

SR Q

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.21

−0.14

−0.07

0.00

Theorie Messung

S

R

Q

*N25F Mc

cA

cW*

cM*

o o oooooo

o o oooooo

o o oooooo

oε = 0

α

α

α

*

Bild 35: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen der BreitebKV = `F=2 unterschiedlicher Spreizung # (S, R, Q) fur den Klappenwinkel" = 0.

156 BILDVERZEICHNIS

Bild 35: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappen der BreitebKV = `F=2 unterschiedlicher Spreizung # (S, R, Q) fur den Klappenwinkel" = 0.

Bildteil 157

−4 −2 0 2 4 6 8 100.00

0.04

0.08

0.12

Konfigurationen S,V,T

SV T

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

−4 −2 0 2 4 6 8 10−0.21

−0.14

−0.07

0.00

Theorie Messung

S

T

V

*N25F Mc

cA

cW*

cM*

o o oooooo

o o oooooo

o o oooooo

oε = 0

α

α

α

*

Bild 36: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit gegabelten Klappen(d = `F=2) unterschiedlicher Spreizung # (S, V , T ) fur den Klappenwinkel" = 0.

Bildteil 157

Bild 36: Berechnete und gemessene Beiwerte cA, cW und cM uber dem Anstellwinkel fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit gegabelten Klappen(d = `F=2) unterschiedlicher Spreizung # (S, V , T ) fur den Klappenwinkel" = 0.

158 BILDVERZEICHNIS

1.10 1.15 1.20 1.25 1.30−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

1.10 1.15 1.20 1.25 1.300.0

0.5

1.0

1.5

1.10 1.15 1.20 1.25 1.300.0

0.4

0.8

1.2

ABBAAR

ABC

*

*

Kl=var.,Kb = Fl

=var.,bKlK = Fl

N25F Mc

N25F Mc

Kl

bK

F / FF

R

AA

*cM0,ε

cA*

ε

F / FF

F / FF

cW*

εε

B

AB

C

R

AB

AB

C

AB

A

B

C

AA

A

R

AA

MessungTheorie

Bild 37: Berechnete und gemessene Gradienten cA", cM0;" und cW"" uber dem Flachen-verhaltnis F=FF fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mitKlappen unterschiedlicher Lange `K (A, B, C) und unterschiedlicher BreitebKV = bKH (R, AA, B, AB).

158 BILDVERZEICHNIS

Bild 37: Berechnete und gemessene Gradienten cA", cM0;" und cW"" uber dem Flachen-verhaltnis F=FF fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mitKlappen unterschiedlicher Lange `K (A, B, C) und unterschiedlicher BreitebKV = bKH (R, AA, B, AB).

Bildteil 159

−30 −20 −10 0 10 20 300.0

0.4

0.8

1.2

−30 −20 −10 0 10 20 30−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

−30 −20 −10 0 10 20 300.0

0.5

1.0

1.5

SR Q SV T

G B K

o ooooo

o ooooo

o ooooo

ϑ

ϑ

ϑ

Fl /2bKV

d=0= ,

bKV Fl d=0= ,

cW*

εε

*cM0,ε

cA*

ε

B

R

V

V

R

B

G

T

Q

G

S

R

B

K

Q

T

S

S

Q

K

K

V

T

G

Fl /2bKV

/2= d=, Fl

l

bKV

Theorie Messung

d

K

Bild 38: Berechnete und gemessene Gradienten cA", cM0;" und cW"" uber dem Spreizungs-winkel # fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappenunterschiedlicher Breite bKV (G, B, K bzw. S, R, Q) und Gabelung d (V , T ).

Bildteil 159

Bild 38: Berechnete und gemessene Gradienten cA", cM0;" und cW"" uber dem Spreizungs-winkel # fur den Rechteck ugel (F = 5, NACA 3412 Prol) mit Klappenunterschiedlicher Breite bKV (G, B, K bzw. S, R, Q) und Gabelung d (V , T ).

160 BILDVERZEICHNIS

Uoo

xe , ye , ze

Uoo

c

cc

c

αγ

x

x

x

x

z

z

z

Skelettlinie

g

e

W

G*

*

*

A*

M

S

g

e

xN25F

experimentelles Koordinatensystem

geodätisches Koordinatensystem

geometrischer Neutralpunkt des Flügels

System

Anstellwinkel

Bahnneigungswinkel

Anströmgeschwindigkeit

flügelfestes Koordinatensystemx, y, z

N25Fx

Sx

α

γ

x , y , zg g g

im flugzeugfesten System

Schwerpunktkoordinate im flugzeugfesten

Bild 39: Flugelfestes, geodatisches und experimentelles Koordinatensystem sowie die indiesen Systemen angreifenden Lasten.

160 BILDVERZEICHNIS

Bild 39: Flugelfestes, geodatisches und experimentelles Koordinatensystem sowie die indiesen Systemen angreifenden Lasten.

Bildteil 161

MS*c

cA*

-5o

0o

5o

cA*

cA*

MS*c

MS*c

-5o

0o

5o

-5o

0o

5o

neu

ε

stabil

indifferent

instabil

ε

ε

alt

Trimmpunkt

Bild 40: Qualitativer Verlauf des Nickmomentes cMS uber dem Auftriebsbeiwert cA furden Ubergang von einem Trimmpunkt (alt) in einen neuen Trimmpunkt (neu)fur eine langsstabile, indierente und instabile Konguration.

Bildteil 161

Bild 40: Qualitativer Verlauf des Nickmomentes cMS uber dem Auftriebsbeiwert cA furden Ubergang von einem Trimmpunkt (alt) in einen neuen Trimmpunkt (neu)fur eine langsstabile, indierente und instabile Konguration.

162 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.3 0.6 0.9 1.20

5

10

15

20 0.00

0.03

0.06

0.09

0.12−0.45

−0.30

−0.15

0.00

0.15

(Rechteckflügel NACA 3400 Skelettprofil)Λ=5,

Basisflügel

x

y

~~

∆ξNS

* wg*

cG*

∆ξ NS*

wg*

∆ξ*S

E

E

instabil

stabil

Bild 41: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg und Langsstabilitat NS uber dem Ge-wichtsbeiwert cG fur den Basis ugel (Rechteck ugel F = 5, NACA 3400 Ske-lettprol) im Gleit ug.

162 BILDVERZEICHNIS

Bild 41: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg und Langsstabilitat NS uber dem Ge-wichtsbeiwert cG fur den Basis ugel (Rechteck ugel F = 5, NACA 3400 Ske-lettprol) im Gleit ug.

Bildteil 163

0.0 0.3 0.6 0.9 1.20

5

10

15

20

25 0.00

0.03

0.06

0.09

0.120.0 0.3 0.6 0.9 1.2

0

5

10

15

20

25 0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

(Rechteckflügel NACA 3400 Skelettprofil)Λ=5,

Basisflügel

x

y

wg*

cG*

wg*

c WR

0.011

0.011

c WR = 0.007

wg*

cG*

wg*

c WR

0.011

0.011

c WR = 0.007

E

E

= 0.007

0.018

0.018

E

E

= 0.007

0.018

0.018

Bild 42: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels im Gleit ug uber demGewichtsbeiwert cG fur die Reibungswiderstandsbeiwerte cWR = 0; 007(Re =3; 7 106), cWR = 0; 011(Re = 3; 7 105) und cWR = 0; 018(Re = 3; 7 104).

Bildteil 163

Bild 42: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels im Gleit ug uber demGewichtsbeiwert cG fur die Reibungswiderstandsbeiwerte cWR = 0; 007(Re =3; 7 106), cWR = 0; 011(Re = 3; 7 105) und cWR = 0; 018(Re = 3; 7 104).

164 BILDVERZEICHNIS

−4 −2 0 2 4 6 8 10 120.00

0.04

0.08

0.12

−4 −2 0 2 4 6 8 10 12−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

−4 −2 0 2 4 6 8 10 12−0.15

−0.10

−0.05

0.00

o o o o oo oo

o o o o oo oo

o o o o oo oo

*

*

McN25F Mc

McN25F Mc

cM*

cM

cA*

cA

cW

cW*

Mc

Mc*

Ac

A*c

cW*

cW

Basiskonfiguration

α

α

α

Basisflügel

Bild 43: Aerodynamische Beiwerte cA, cW , cM sowie cA, cW , cM des Basis ugels ohneund mit Klappe B uber dem Anstellwinkel fur den Klappenwinkel " = 0.

164 BILDVERZEICHNIS

Bild 43: Aerodynamische Beiwerte cA, cW , cM sowie cA, cW , cM des Basis ugels ohneund mit Klappe B uber dem Anstellwinkel fur den Klappenwinkel " = 0.

Bildteil 165

−10.0 −5.0 0.0 5.0 10.00.00

0.02

0.04

0.06

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

o o o o o

* = 0.6

* = 0.6

Wic*

0o

10 = εo

5o

5o

Wc*

10o

*cWi

*cW

10o

5o

0o

5o

10 = εo

Γ

y

ε

* *Mc Mc

+ε

N25F N25F

Ac

Ac

x

Basisflügel

y

x x

zy

Basiskonfiguration

Bild 44: Zirkulationsverteilung des Basis ugels und der Basiskonguration fur cA =0; 6 uber der Spannweite y fur die Klappenwinkel " = 10;5; 0; 5; 10 sowiedie zugehorigen Widerstandsbeiwerte cWi und cW uber dem Klappenwinkel ".

Bildteil 165

Bild 44: Zirkulationsverteilung des Basis ugels und der Basiskonguration fur cA =0; 6 uber der Spannweite y fur die Klappenwinkel " = 10;5; 0; 5; 10 sowiedie zugehorigen Widerstandsbeiwerte cWi und cW uber dem Klappenwinkel ".

166 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

,

A= 0.6*c

y1

y2

y3

y4

y1 y2

y1y2 y3y4

y1y2 y4y3

1y

y2

3y

y4

x

cp∆

=0.03

=0.19

=0.76

=0.94

Basisflügel

y

x

y

Basiskonfiguration

x

Bild 45: Dierenzdruckverteilung cp des Basis ugels und der Basiskonguration bei" = 5 fur cA = 0; 6 uber der Tiefenkoordinate x fur verschiedene Schnittey = konst..

166 BILDVERZEICHNIS

Bild 45: Dierenzdruckverteilung cp des Basis ugels und der Basiskonguration bei" = 5 fur cA = 0; 6 uber der Tiefenkoordinate x fur verschiedene Schnittey = konst..

Bildteil 167

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.40

5

10

15

20 0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

b

d

c

d

c

b

a

c

b

a

d

a

b

c

d

ε

*McN25

xy

Mc*N25F

x

y

E

E

cG*

wg*

cG*

wg*

∆ξS

∆ξS

∆ξS

∆ξS

N25F

0.75-0.25 +ε

−ε

∆ξS*0.0 0.1 0.2 0.3

o

o

o

o

o

o

o

α

ε

α

=var.=0.1=0.2=0.3

Basiskonfiguration

Basisflügel

a b c dinstabil

Basisflügel

Basiskonfiguration

instabil( stabil )

stabil

Bild 46: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Anstellwinkel und Klappenwinkel " desBasis ugels sowie der Basiskonguration im Gleit ug uber dem GewichtsbeiwertcG fur verschiedene Schwerpunktlagen S.

Bildteil 167

Bild 46: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Anstellwinkel und Klappenwinkel " desBasis ugels sowie der Basiskonguration im Gleit ug uber dem GewichtsbeiwertcG fur verschiedene Schwerpunktlagen S.

168 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

* *Mc McN25F N25F

Basisflügel

Basiskonfiguration

cG

N*∆ξ

*∆ξ *∆ξN D

N25F

0.75-0.25 +ε

−ε

0.0 0.1 0.2 0.3 ,

x

y

Basisflügel

x

y

Basiskonfiguration

∆ξN

( )*

∆ξN

( )*

D∆ξ

∆ξD

( )

*

*

*

Basisflügel

(Abstand, bei dem die Flugleistungen

Gewichtsbeiwert c(E, wg

*∆ξ

NS*

G* maximal werden.)

) der Basiskonfiguration für einen

Bild 47: Druckpunktlage D des Basis ugels sowie leistungsgunstigste Abstande NSder Basiskonguration uber dem Gewichtsbeiwert cG.

168 BILDVERZEICHNIS

Bild 47: Druckpunktlage D des Basis ugels sowie leistungsgunstigste Abstande NSder Basiskonguration uber dem Gewichtsbeiwert cG.

Bildteil 169

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.308

10

12

14

16

18

20 0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

* *

wg*E

Mc Mc

∆ξS

*

=0.6

=0.8

=0.4

Basisflügel

N25F N25F

E

E

Basiskonfiguration

wg*

wg*

= 0.4cG

*cG

*cG

*cG

*cG

x

y

Basisflügel

x

y

Basiskonfiguration

N25F

0.75-0.25 +ε

−ε

∆ξS*0.0 0.1 0.2 0.3

0.6

0.8

0.60.8

*

= 0.4

a b c dinstabil

Basisflügel

Basiskonfiguration

instabil( stabil )

stabil

Bild 48: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels und der Basiskongu-ration im Gleit ug uber der Schwerpunktlage S fur verschiedene Gewichts-beiwerte cG.

Bildteil 169

Bild 48: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels und der Basiskongu-ration im Gleit ug uber der Schwerpunktlage S fur verschiedene Gewichts-beiwerte cG.

170 BILDVERZEICHNIS

−10 −5 0 5 100.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

1.05

*

*

*

0.07

* *

∆ξ S*

Mc Mc

A max

c

A(α

= 12 )o

c

cA*

∆ξS*

Ac

N25F N25F

εo oo o o

= 12 )(α o

x

y

Basisflügel

x

y

Basiskonfiguration

N25F

0.75-0.25 +ε

−ε

∆ξS*0.0 0.1 0.2 0.3

Messung

Theorie

Theorie

Basiskonfiguration

Basisflügel

a b c dinstabil

Basisflügel

Basiskonfiguration

instabil( stabil )

stabil

Bild 49: Berechnete Auftriebsbeiwerte cA( = 12) und fur einen Gleit ug erforderlicheSchwerpunktlagen S sowie gemessene maximale Auftriebsbeiwerte cAmax derBasiskonguration uber dem Klappenausschlag ".

170 BILDVERZEICHNIS

Bild 49: Berechnete Auftriebsbeiwerte cA( = 12) und fur einen Gleit ug erforderlicheSchwerpunktlagen S sowie gemessene maximale Auftriebsbeiwerte cAmax derBasiskonguration uber dem Klappenausschlag ".

Bildteil 171

0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

−0.14

−0.12

−0.10

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0.00

0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.40

5

10

15

20 0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

* *

stab

ilin

stab

il

οα=12 οα=12 , ε= var.

ε

Mc Mc

+εα<12

ο

∆ξNS

*

E

E

N25F N25F

wg*

wg*

∆ξ*

NS

cG*

cG*

ε

o

o

o

o

o

o

o

x

y

x x

zy

Basisflügel Basiskonfiguration

Bild 50: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel und die Basiskonguration imGleit ug.

Bildteil 171

Bild 50: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel und die Basiskonguration imGleit ug.

172 BILDVERZEICHNIS

1.10 1.15 1.20 1.25 1.30−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

1.10 1.15 1.20 1.25 1.300.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

1.10 1.15 1.20 1.25 1.304.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

bK lF , lKvar.

bK , lK lFvar.

ACR B

N*∆ξ

ABC

N*∆ξ

stabiler

(A,B,C)

(R,B,AC)

*

*

McN25F

McN25F

= =

= =

F / FF

F / FF

F / FF

*cMα

∆ξN

R

A

B

AC

C

B

R

A

AC

C

A

R

B

AC

C

*αc

A

*

Bild 51: Auftriebsgradient cA, Nickmomentengradient cM und Neutralpunktlage Nuber dem Flachenverhaltnis F=FF fur Klappen unterschiedlicher Lange `K (A,B, C) und unterschiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC).

172 BILDVERZEICHNIS

Bild 51: Auftriebsgradient cA, Nickmomentengradient cM und Neutralpunktlage Nuber dem Flachenverhaltnis F=FF fur Klappen unterschiedlicher Lange `K (A,B, C) und unterschiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC).

Bildteil 173

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.45

10

15

20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.07

0.08

0.09

0.10

0.11

Basisflügel

ABC

*

*

A

B

C

= 0.1

= 0.2

= 0.2

N25F Mc

McN25F

* = var.

= 0.1

= 0.2*

*

= 0.1

E

cG*

cG*

wg*

∆ξ*

S

∆ξ*

S

∆ξ*

S

∆ξS*

instabilstabil

∆ξ

∆ξ

∆ξS

S

S

∆ξ*

S

N25F

0.75-0.25 +ε

−ε

0.0 0.1 0.2

instabilstabil

instabilstabil

Bild 52: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels ohne und mit Klappenunterschiedlicher Lange `K (A, B, C) im Gleit ug fur die SchwerpunktlagenS = 0; 1 und S = 0; 2 uber dem Gewichtsbeiwert cG.

Bildteil 173

Bild 52: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels ohne und mit Klappenunterschiedlicher Lange `K (A, B, C) im Gleit ug fur die SchwerpunktlagenS = 0; 1 und S = 0; 2 uber dem Gewichtsbeiwert cG.

174 BILDVERZEICHNIS

0.8 1.0 1.2 1.4 1.6−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

−0.18

−0.15

−0.12

−0.09

−0.06

−0.03

0.00

0.03

0.8 1.0 1.2 1.4 1.65

7

9

11

13

15 0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

< 12

= 12

Basisflügel

,

o

o

o

o

o

o

o

z

= 12

ABC

E

*

stab

ilin

stab

il

*

B

A

C

McN25F

αo

αo

αo

ε = var.

E

N25F Mc

wg*

wg*

ε

ε

+ε

Konfigurationen A,B,C

∆ξNS

*

cG*

NS∆ξ

*

cG*

x

Bild 53: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mit Klappen unter-schiedlicher Lange `K (A, B, C) im Gleit ug bei = 12.

174 BILDVERZEICHNIS

Bild 53: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mit Klappen unter-schiedlicher Lange `K (A, B, C) im Gleit ug bei = 12.

Bildteil 175

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.45

10

15

20

R B AC

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.07

0.08

0.09

0.10

0.11

Basisflügel

*

*

B

R

AC

= 0.2

= 0.2

= 0.1

McN25F

* = var.

= 0.1

= 0.2*

*

= 0.1

N25F Mc

E

cG*

cG*

wg*

∆ξ*

S

∆ξ*

S

∆ξ*

S

∆ξ

∆ξ

∆ξS

S

S

∆ξ*

S

∆ξS*

instabilstabil

N25F

0.75-0.25 +ε

−ε

0.0 0.1 0.2

instabilstabil

instabilstabil

Bild 54: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels ohne und mit Klappenunterschiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC) im Gleit ug fur die Schwer-punktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2 uber dem Gewichtsbeiwert cG.

Bildteil 175

Bild 54: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg des Basis ugels ohne und mit Klappenunterschiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC) im Gleit ug fur die Schwer-punktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2 uber dem Gewichtsbeiwert cG.

176 BILDVERZEICHNIS

0.8 1.0 1.2 1.4 1.6−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

−0.18

−0.15

−0.12

−0.09

−0.06

−0.03

0.00

0.03

0.8 1.0 1.2 1.4 1.65

7

9

11

13

15 0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

R B AC

< 12

= 12

Basisflügel

z

,

o

o

o

o

o

o

o

= 12

E

*

stab

ilin

stab

il

*

B

AC

R

McN25F

αo

αo

N25F Mc

+ε

Konfigurationen R,B,AC

αo

ε = var.

wg*

E

wg*

ε

ε

∆ξNS

*

cG*

NS∆ξ

*

x

cG*

Bild 55: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mit Klappen unter-schiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC) im Gleit ug bei = 12.

176 BILDVERZEICHNIS

Bild 55: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mit Klappen unter-schiedlicher Breite bKV = bKH (R, B, AC) im Gleit ug bei = 12.

Bildteil 177KG BQRS Z AC

−30 −20 −10 0 10 20 303.9

4.1

4.3

4.5

−30 −20 −10 0 10 20 30−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

KV

KV

** **

BX KX

N25F McN25F Mc N25F McN25F Mc

=

Fl=1.0

b

l

1.0F

b

=

1.5

0.5

1.5

0.5

K

KX

Q

BX

B

AC

BX

F FF 1.3

S

B

AC

KX

K

S

Q

Z

G

R

G

Z

R

cM*

α

c*Aα

=

o o o o o ooϑ

1.2

1.1

ϑo o o o o o o

1.1

1.2

FF 1.3F

Bild 56: Auftriebsgradient cA und Nickmomentengradient cM uber dem Spreizungs-winkel # fur den Basis ugel mit Klappen konstanter Lange lK und variablerBreite bKV und Gabelungstiefe d.

Bildteil 177

Bild 56: Auftriebsgradient cA und Nickmomentengradient cM uber dem Spreizungs-winkel # fur den Basis ugel mit Klappen konstanter Lange lK und variablerBreite bKV und Gabelungstiefe d.

178 BILDVERZEICHNISKG BQRS Z AC

−30 −20 −10 0 10 20 300.0

0.5

1.0

1.5

−30 −20 −10 0 10 20 30−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

KV

KV

** **

BX KX

N25F McN25F Mc N25F McN25F Mc

M0 ε,

Aε

=1.3FF

F

F FF=1.3

Fl=1.0

b

l

1.0F

b

o o oo o

ϑooooo

ϑ

1.1

1.5

0.5

1.5

0.5

1.2

oo

o o

1.1

1.2

c*

c*

K

KX

Q

Z

G

SR

BX

B

AC

G

AC

B

BX

R

S

ZQ

KX

K

=

Bild 57: Auftriebsgradient cA" und Nickmomentengradient cM" uber dem Spreizungswin-kel # fur den Basis ugel mit Klappen konstanter Lange lK und variabler BreitebKV und variabler Gabelungstiefe d.

178 BILDVERZEICHNIS

Bild 57: Auftriebsgradient cA" und Nickmomentengradient cM" uber dem Spreizungswin-kel # fur den Basis ugel mit Klappen konstanter Lange lK und variabler BreitebKV und variabler Gabelungstiefe d.

Bildteil 179

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.45

10

15

20

G B K

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.07

0.08

0.09

0.10

0.11

Basisflügel

*

*

B

G

K

McN25F

* = var.

= 0.1

= 0.2*

*

= 0.2

= 0.1

= 0.2

= 0.1

N25F Mc

E

cG*

cG*

wg*

∆ξ

∆ξ

∆ξS

S

S

∆ξS*

instabilstabil

∆ξ*

S

∆ξ*

S

∆ξ*

S

∆ξ*

S

N25F

0.75-0.25 +ε

−ε

0.0 0.1 0.2

instabilstabil

instabilstabil

Bild 58: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg uber dem Gewichtsbeiwert cG fur denBasis ugel ohne und mit Klappen unterschiedlicher Spreizung # (G, B, K) imGleit ug fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2.

Bildteil 179

Bild 58: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg uber dem Gewichtsbeiwert cG fur denBasis ugel ohne und mit Klappen unterschiedlicher Spreizung # (G, B, K) imGleit ug fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2.

180 BILDVERZEICHNIS

0.8 1.0 1.2 1.4 1.6−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

−0.18

−0.15

−0.12

−0.09

−0.06

−0.03

0.00

0.03

0.8 1.0 1.2 1.4 1.65

7

9

11

13

15 0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

G B K< 12

= 12

Basisflügel

,

o

o

o

o

o

o

o

z

= 12

E

* *

stab

ilin

stab

il

B

G

K

McN25F

αo

αo

ε

w*g

αo

ε = var.

N25F Mc

wg*

ε

E

+ε


∆ξNS

*

cG*

cG*

NS∆ξ

*

x

Bild 59: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mit Klappen unter-schiedlicher Spreizung # (G, B, K) im Gleit ug bei = 12.

180 BILDVERZEICHNIS

Bild 59: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mit Klappen unter-schiedlicher Spreizung # (G, B, K) im Gleit ug bei = 12.

Bildteil 181

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.45

10

15

20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.07

0.08

0.09

0.10

0.11

Basisflügel

G BX KX

*

*

G

BX

KX

McN25F

* = var.

= 0.1

= 0.2*

*

= 0.2

= 0.1

= 0.2

= 0.1

N25F Mc

E

cG*

cG*

wg*

∆ξ

∆ξ

∆ξS

S

S

∆ξS*

∆ξ*

S

∆ξ*

S

∆ξ*

S

∆ξ*

S

N25F

0.75-0.25 +ε

−ε

0.0 0.1 0.2

instabilstabil

instabilstabil

instabilstabil

Bild 60: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg uber dem Gewichtsbeiwert cG fur denBasis ugel ohne und mit gegabelten Klappen unterschiedlicher Spreizung # (G,BX, KX) im Gleit ug fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2.

Bildteil 181

Bild 60: Gleitzahl E und Sinkgeschwindigkeit wg uber dem Gewichtsbeiwert cG fur denBasis ugel ohne und mit gegabelten Klappen unterschiedlicher Spreizung # (G,BX, KX) im Gleit ug fur die Schwerpunktlagen S = 0; 1 und S = 0; 2.

182 BILDVERZEICHNIS

0.8 1.0 1.2 1.4 1.6−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

−0.18

−0.15

−0.12

−0.09

−0.06

−0.03

0.00

0.03

0.8 1.0 1.2 1.4 1.65

7

9

11

13

15 0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

< 12

= 12

Basisflügel

,

o

o

o

o

o

o

o

z

= 12

G BX KX

E

* *

stab

ilin

stab

il

G

BX

KX

McN25F

αo

αo

ε

w*g

αo

ε = var.

N25F Mc

wg*

ε

E

+ε


∆ξNS

*

cG*

cG*

NS∆ξ

*

x

Bild 61: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mit gegabelten Klap-pen unterschiedlicher Spreizung # (G, BX, KX) im Gleit ug bei = 12.

182 BILDVERZEICHNIS

Bild 61: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur den Basis ugel ohne und mit gegabelten Klap-pen unterschiedlicher Spreizung # (G, BX, KX) im Gleit ug bei = 12.

Bildteil 183B KG

−30 −20 −10 0 10 20 3016.0

16.5

17.0

17.5

18.0

−30 −20 −10 0 10 20 30

0.074

0.075

0.076

0.077

0.078

G BX KX

= -0.6

= -0.6

*

-0.4

-0.4

*N25F Mc N25F Mc

o o o ooϑ

oo

o o o ooϑ

oo

M0 ε,

M0 ε,

=

E max

=

wg min*

BX

B KX

B

BX

KX

c*

c*

FFF

1.2

K

FFF

1.2

G

K

G

Bild 62: Maximale Gleitzahl Emax und minimale Sinkgeschwindigkeit wg;min uber demSpreizungswinkel # fur den Basis ugel mit ungegabelten Klappen (G, B, K)und gegabelten Klappen (BX, KX).

Bildteil 183

Bild 62: Maximale Gleitzahl Emax und minimale Sinkgeschwindigkeit wg;min uber demSpreizungswinkel # fur den Basis ugel mit ungegabelten Klappen (G, B, K)und gegabelten Klappen (BX, KX).

184 BILDVERZEICHNIS

−6 −3 0 3 6 9 120.00

0.03

0.06

0.09

0.12

−6 −3 0 3 6 9 12−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

−6 −3 0 3 6 9 12−0.16

−0.12

−0.08

−0.04

0.00

0.04

f l= 0.03

0.03

l =f

f l = 0.06

0.06

0.06

0.00

0.000.03

0.00

αo o o o o o

αo o o o o o

αo o o o o o

Rechteckflügel Λ=5

Mc

y

fl

z

xN25

x

Ac

Wc

Mc

Bild 63: Aerodynamische Beiwerte cA, cW , cM uber dem Anstellwinkel fur Rechteck- ugel der Streckung = 5 und verschiedenen Wolbungshohen (ebener Flugel,NACA 3400 und NACA 6400 Skelettprol).

184 BILDVERZEICHNIS

Bild 63: Aerodynamische Beiwerte cA, cW , cM uber dem Anstellwinkel fur Rechteck- ugel der Streckung = 5 und verschiedenen Wolbungshohen (ebener Flugel,NACA 3400 und NACA 6400 Skelettprol).

Bildteil 185

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.40

5

10

15

20 0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

E

stab

ilin

stab

il

w*g

w*g

E

0.03

0.06∆ξ

NS

*

f/ l0.00 =

Rechteckflügel

f

Λ=5

Mc

y

l

z

N25

x x

f/ l = 0.00

f/ l = 0.00

f/ l = 0.00

cG*

cG*Bild 64: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel = 5 mit verschiedenenWolbungshohen (ebener Flugel, NACA 3400 und NACA 6400 Skelettprol) imGleit ug.

Bildteil 185

Bild 64: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel = 5 mit verschiedenenWolbungshohen (ebener Flugel, NACA 3400 und NACA 6400 Skelettprol) imGleit ug.

186 BILDVERZEICHNIS

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060.0

0.4

0.8

1.2

1.6

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.063.9

4.1

4.3

4.5

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

F

F

F

cΜα

*cΑα*

f/ l

cΑε*

f/ l

l Mc

y z

fx

*

+ε

N25F

x

Rechteckflügel Λ =5F mit Klappe B

*Mc

y

fl

z

N25

xx


cΜ0,ε

*

Aα

ε,

∗

∗M0c

c

∗Aεc

∗c αM

Bild 65: Auftriebsgradienten cA, cA" und Nickmomentengradienten cM, cM0;" uber derWolbungshohe f=`F fur einen Rechteck ugel der Streckung F = 5 ohne undmit Steuer ache B.

186 BILDVERZEICHNIS

Bild 65: Auftriebsgradienten cA, cA" und Nickmomentengradienten cM, cM0;" uber derWolbungshohe f=`F fur einen Rechteck ugel der Streckung F = 5 ohne undmit Steuer ache B.

Bildteil 187

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.65

7

9

11

13

15 0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

−0.18

−0.15

−0.12

−0.09

−0.06

−0.03

0.00

0.03o

o

o

o

o

o

o

E

stab

ilin

stab

il

F

ε ε ε

α=12o

wg*

ε

0.03

0.06

0.03 0.06

0.03

0.00

∆ξNS

*

*Mc

fl N25

xx

zy


Mc

fx

*

+ε

N25F

x

l y z

Rechteckflügel Λ =5F mit Klappe B

f/ l F =0.00

f/ l F =0.00

w*g , ε

∆ξ*NS,E

f/ l F =0.00

=0.03

f/ l F =0.06

f/ l F

f/ l F =0.06

cG*

cG*Bild 66: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur einen Rechteck ugel (F = 5) mit verschiede-nen Wolbungshohen (ebener Flugel, NACA 3400 und NACA 6400 Skelettprol)ohne und mit Steuer ache B im Gleit ug bei = 12.

Bildteil 187

Bild 66: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur einen Rechteck ugel (F = 5) mit verschiede-nen Wolbungshohen (ebener Flugel, NACA 3400 und NACA 6400 Skelettprol)ohne und mit Steuer ache B im Gleit ug bei = 12.

188 BILDVERZEICHNIS

−6 −3 0 3 6 9 12−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

−0.3 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5−0.20

−0.16

−0.12

−0.08

−0.04

0.00

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

x

y

x

z

Λ=3 5 7 10

N25 cM

Rechteckflügel

Λ = 10cA

cWcM

Wc

cA

cM

7

7

Λ = 3

α

5

10

7

3

5

5

10

3Λ =

Bild 67: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbeiwert cMund Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur Rechteck ugelunterschiedlicher Streckung ( = 3=5=7=10) mit einem NACA 3400 Skelettpro-l.

188 BILDVERZEICHNIS

Bild 67: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbeiwert cMund Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur Rechteck ugelunterschiedlicher Streckung ( = 3=5=7=10) mit einem NACA 3400 Skelettpro-l.

Bildteil 189

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20−0.05

0.00

0.05

0.10

0 5 10 15 20−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

Rechteckflügel mit Klappe

var.

Rechteckflügel

var.

lF

lK

bKllF K= =

x

z

b K

y z

x

x

y

x

2 π

Λ

ΛF

ΛF

FΛ

Λ =

=

N25F cM

N25 cM

F

∆ξN

*

*

∆ξN

*

*

∆ξN*

*αc

A

*Mαc

Bild 68: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM und Neutralpunktlage Nuber der Flugelstreckung F fur Rechteck ugel mit einem NACA 3400 Ske-lettprol ohne und mit der ebenen Klappe `K = `F = bKV = bKH .

Bildteil 189

Bild 68: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM und Neutralpunktlage Nuber der Flugelstreckung F fur Rechteck ugel mit einem NACA 3400 Ske-lettprol ohne und mit der ebenen Klappe `K = `F = bKV = bKH .

190 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.40.0

7.0

14.0

21.0

28.0 0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

x

y

x

zin

stab

ilst

abil

Λ=3 5 7 10

10753

N25 cM

∆ξNS

*

E

E

Rechteckflügel

wg*

Λ 10=

wg*

cG*

cG*

=Λ

3

5

7

10

3 = Λ

5

7

Bild 69: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg und Langsstabilitat NS uber dem Ge-wichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel unterschiedlicher Streckung ( = 3=5=7=10)mit einem NACA 3400 Skelettprol im Gleit ug.

190 BILDVERZEICHNIS

Bild 69: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg und Langsstabilitat NS uber dem Ge-wichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel unterschiedlicher Streckung ( = 3=5=7=10)mit einem NACA 3400 Skelettprol im Gleit ug.

Bildteil 191

0 5 10 15 200.0

0.5

1.0

1.5

0 5 10 15 20−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

var.

Rechteckflügel mit Klappe

lF

lK

b

b K

y z

x

x

llF K= = K

FΛ

FΛ

Λ =

N25F cM

c∗Aε /5Λ

F

c∗Aε

/5ΛF

cM0,ε*

cM0,ε*

/5FΛ

/5FΛ

F

*

+ε

*εc

A

*εc

A

*cM0,ε

*cM0,ε

Bild 70: Rudergradienten cA" und cM0;" uber der Flugelstreckung F fur Rechteck ugelmit einem NACA 3400 Skelettprol und der ebenen Klappe `K = `F = bKV =bKH .

Bildteil 191

Bild 70: Rudergradienten cA" und cM0;" uber der Flugelstreckung F fur Rechteck ugelmit einem NACA 3400 Skelettprol und der ebenen Klappe `K = `F = bKV =bKH .

192 BILDVERZEICHNIS

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

−0.18

−0.15

−0.12

−0.09

−0.06

−0.03

0.00

0.03

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60

5

10

15

20 0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

o

o

o

o

o

o

o

F =F =

E

=3ΛF

=3ΛF

FΛ3=

5 7 10=3ΛF

Rechteckflügel mit KlappeRechteckflügel

5

7

10

5 7 10

7

5

10

+ε

stab

ilin

stab

il

wg*

ε ∆ξNS

*

,E NS∆ξ*

, εw*g

α=12o

cG*

cG*

Λ 10Λ x

y

35710x

357x

zy

Bild 71: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel unterschiedlicher Streckung( = 3=5=7=10) ohne und mit der ebenen Klappe `K = `F = bKV = bKH imGleit ug bei = 12.

192 BILDVERZEICHNIS

Bild 71: GleitzahlE, Sinkgeschwindigkeit wg, Klappenwinkel " und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur Rechteck ugel unterschiedlicher Streckung( = 3=5=7=10) ohne und mit der ebenen Klappe `K = `F = bKV = bKH imGleit ug bei = 12.

Bildteil 193

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.0 0.2 0.4 0.6 0.80

5

10

15

20

25

30

7

10

5

5

7

10wg,Ref

cG,Ref

cG,Ref

E

ΛOpt

ΛRef=

cG,Ref,Opt

ΛOpt ΛRef

cG,Ref,Opt

ΛOpt

Rechteckflügel

x

y

x

z

Λ=3

Λ=3

g,Ref

Einhüllende für E

Einhüllende für w

10 Λ=357

N25

= 10=

E

Bild 72: Gleitzahl E und optimale Streckung Opt sowie Sinkgeschwindigkeit wg uberdem Gewichtsbeiwert cG;Ref (Referenz ugel ist der Rechteck ugel Ref = 10) furRechteck ugel unterschiedlicher Streckung ( = 3=5=7=10) mit einem NACA3400 Skelettprol im Gleit ug.

Bildteil 193

Bild 72: Gleitzahl E und optimale Streckung Opt sowie Sinkgeschwindigkeit wg uberdem Gewichtsbeiwert cG;Ref (Referenz ugel ist der Rechteck ugel Ref = 10) furRechteck ugel unterschiedlicher Streckung ( = 3=5=7=10) mit einem NACA3400 Skelettprol im Gleit ug.

194 BILDVERZEICHNISz

x

y z

y

=5.7o

ε0

, ϕ = 0o, NACA 3400 Skelettprofil)(Λ = 5Trapezflügel

Trapezflügel (Λ , NACA 3400 Skelettprofil)o

, ϕ

+ε

x

-1 -0.2 0.2 1

x

x

-1 -0.2 0.2 1

x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.167

0.147

0.132

0.119

0.109

0.100

0.520

0.460

0.427

0.410

0.402

0.400

F = /λ µ

KF

FF

b KH

lK

lA,F

l I,F

b KV

lA,F

= 0FF

= 5

lK b KHb KV FF/FKmit Klappe =( = = 0.2, = 5, eben)

lA,F l I,F N25F

N25F

N25Fl I,F

l F

Bild 73: Geometrie der berechneten Flugel und FlugelKlappenAnordnungen zur Un-tersuchung des Ein usses der Flugelzuspitzung F .

194 BILDVERZEICHNIS

Bild 73: Geometrie der berechneten Flugel und FlugelKlappenAnordnungen zur Un-tersuchung des Ein usses der Flugelzuspitzung F .

Bildteil 195

−6 −3 0 3 6 9 12−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

−0.3 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5−0.20

−0.16

−0.12

−0.08

−0.04

0.00

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0.0 =

λ= /

Trapezflügel (Λ=5, ϕ=0, NACA3400 Skelettprofil)

cM

1.0

1.0

0.0

1.0

0.0

o

λ 0.4

λ

lAlI

lA lI

0.4

λ

0.4

x

y

N25

cW

=cA

cM

cA

cM

Wc

α

=

Bild 74: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbeiwert cMund Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur gewolbte Flugel(NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung = 5 unterschiedlicher Zu-spitzung .

Bildteil 195

Bild 74: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbeiwert cMund Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur gewolbte Flugel(NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung = 5 unterschiedlicher Zu-spitzung .

196 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.03.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

λ F

λ F

λ F

M

Trapezflügel mit Klappe

c

N

M

N

c

Trapezflügel

lI,F

lA,FN25F

= lA,F / lI,F

= lA,F / lI,F

Klappe

ohne

mit

lI,F

lA,FN25F

= lA,F / lI,F

ohne

mitKlappe

ohne

mit

Klappe

*

*∆ξ

*

*∆ξ

*cMα

∆ξN

*αc

A

*

Bild 75: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM und Neutralpunktlage Nuber der Zuspitzung F fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol) kon-stanter Streckung F = 5 ohne und mit ebener Klappe `K = `F = bKV = bKH .

196 BILDVERZEICHNIS

Bild 75: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM und Neutralpunktlage Nuber der Zuspitzung F fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol) kon-stanter Streckung F = 5 ohne und mit ebener Klappe `K = `F = bKV = bKH .

Bildteil 197

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00

1.02

1.04

1.06

1.08

1.10

1.12

)(λ = 1

k = 2/ πΛ

λ= /


cM

o

lAlI

lA lI

x

y

N25

cWR

cWR

cA

cWi

λ

λBild 76: Reibungswiderstandsbeiwert cWR bezogen auf den Wert des Basis ugels(cWR)=1 sowie Verhaltnis k des induzierten Widerstandes zumWert eines Ellip-sen ugels uber der Zuspitzung fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol)konstanter Streckung = 5.

Bildteil 197

Bild 76: Reibungswiderstandsbeiwert cWR bezogen auf den Wert des Basis ugels(cWR)=1 sowie Verhaltnis k des induzierten Widerstandes zumWert eines Ellip-sen ugels uber der Zuspitzung fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol)konstanter Streckung = 5.

198 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00

0.10

0.20

0.30

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

α = 10o

( )

0.890

0.940

0.908

α = 10o

α = 10o

Γ

y

y

0.0

1.0

1.0 =

0.0

λ= /


cM

1.0

0.0

o

0.4

λλ

λ

lAlI

lA lI

0.4

0.4

x

y

N25

Ac

=

ca

Bild 77: Zirkulationsverteilung und ortliche Auftriebsbeiwerte ca fur = 10 uberder spannweitigen Koordinate y fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol)konstanter Streckung = 5 und unterschiedlicher Zuspitzung .

198 BILDVERZEICHNIS

Bild 77: Zirkulationsverteilung und ortliche Auftriebsbeiwerte ca fur = 10 uberder spannweitigen Koordinate y fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol)konstanter Streckung = 5 und unterschiedlicher Zuspitzung .

Bildteil 199

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.4

0.8

1.2

1.6

F

c∗M0,ε

λF

λF

c∗Aε

cM

λ = /

Trapezflügel ( Λ =5, ϕ =0,o NACA3400 Skelettprofil )

lI,F

lA,F lI,FA,Fl

x

N25Fy

*

F Fmit Klappe

Bild 78: Auftriebsgradient cA" und Nullmomentengradient cM0;" uber der Flugelzuspit-zung F fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter StreckungF = 5 mit einer ebenen Klappe `K = `F = bKV = bKH .

Bildteil 199

Bild 78: Auftriebsgradient cA" und Nullmomentengradient cM0;" uber der Flugelzuspit-zung F fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter StreckungF = 5 mit einer ebenen Klappe `K = `F = bKV = bKH .

200 BILDVERZEICHNISy

y

x

z

z

Pfeilflügel Λ ., NACA 3400 Skelettprofil)

=5.7o

ε0

ϕo

ϕo

ϕ

o

o

o

o

o

Pfeilflügel Λ ., NACA 3400 Skelettprofil)

+ε

-1 -0.2 0.2 1

-1 -0.2 0.2 1

x x

x

x

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.016

0.044

0.100

0.156

0.216

20

10

0

10

20

--

-

µ =

( = konstF= 5, l

F

N25F

b KH

lK

b KV

N25F

lK , eben)

V

V

N25FV ll FF

( = konstF= 5, l

F

lF

lF

mit Klappe ( = lF = =b KV b KH

>0

>0

Bild 79: Geometrie der berechneten Flugel und FlugelKlappenAnordnungen zur Un-tersuchung des Pfeilungsein usses.

200 BILDVERZEICHNIS

Bild 79: Geometrie der berechneten Flugel und FlugelKlappenAnordnungen zur Un-tersuchung des Pfeilungsein usses.

Bildteil 201

−0.3 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5−0.20

−0.16

−0.12

−0.08

−0.04

0.00

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

−6 −3 0 3 6 9 12−0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

0o

20 = ϕo

V

0o

o 20

V =-20 V =0 V =20

−20 o

20o

oooooo

20o

= −20ϕv

o

o o o

o= 0ϕ

V

cM

cM

cM

ϕ ϕ ϕ

x

N25 y

N25

x

y

x

N25

y

cA

cWcM

cA

Wc

cM

α

Bild 80: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbeiwert cMund Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur gewolbte Flugel(NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung = 5 unterschiedlicher Pfei-lung 'V .

Bildteil 201

Bild 80: Auftriebsbeiwert cA uber dem Anstellwinkel sowie Nickmomentenbeiwert cMund Widerstandsbeiwert cW uber dem Auftriebsbeiwert cA fur gewolbte Flugel(NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung = 5 unterschiedlicher Pfei-lung 'V .

202 BILDVERZEICHNIS

−20 −10 0 10 203.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

−20 −10 0 10 20−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

−1.2

−0.6

0.0

0.6

1.2

−20 −10 0 10 20−0.08

−0.04

0.00

0.04

0.08

0.12

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

,Ref

l

oooo o

oooo o

oooo o

,Ref

VV

Mc*α

Mc α

ϕV

ϕV

ϕV

∆ξN∗ ∆ξ

N ,Ref

Klappeohne

mit

Klappeohne

mit

Klappeohne

mit

,Ref

ϕ c

M,RefM

c

ϕ

ll

∆ξN,RefN

∆ξ

N25,RefN25F

FFF

**αc

A

∆ξN∆ξ

N*

cMα

*cMα

/4

*

Bild 81: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM sowie cM;Ref (Referenz ugelist der Basis ugel) und Neutralpunktlage N sowie N;Ref uber dem Pfeil-winkel 'V fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter StreckungF = 5 ohne und mit ebener Klappe `K = `F = bKV = bKH .

202 BILDVERZEICHNIS

Bild 81: Auftriebsanstieg cA, Nickmomentenanstieg cM sowie cM;Ref (Referenz ugelist der Basis ugel) und Neutralpunktlage N sowie N;Ref uber dem Pfeil-winkel 'V fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol) konstanter StreckungF = 5 ohne und mit ebener Klappe `K = `F = bKV = bKH .

Bildteil 203

−20 −10 0 10 20−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

−20 −10 0 10 200.0

0.4

0.8

1.2

1.6

o oo o o

o oo o o

V

c∗M0,ε

ϕV

ϕV

c∗Aε

ϕ

Mc

x

y

l+ε

z

x

ΛFPfeilflügel ( =5) mit Klappe

N25F

F

*

Bild 82: Rudergradienten cA" und cM0;" uber dem Pfeilwinkel 'V fur gewolbte Flugel(NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung F = 5 mit der ebenen Klappe`K = `F = bKV = bKH .

Bildteil 203

Bild 82: Rudergradienten cA" und cM0;" uber dem Pfeilwinkel 'V fur gewolbte Flugel(NACA 3400 Skelettprol) konstanter Streckung F = 5 mit der ebenen Klappe`K = `F = bKV = bKH .

204 BILDVERZEICHNIS

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4−20

−10

0

10

20

−0.60

−0.45

−0.30

−0.15

0.00

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.40

5

10

15

20 0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

l

Pfeilflügel ( =5) ΛΛ

o

o

o

o

l

l

Basisflügel ( =5)

stab

ilin

stab

il

V

= 0.0 / 0.1 / 0.2

= 0.0

= 0.0 ϕV

ϕV

0.2

0.1

0.1

0.2

/ 0.1 / 0.2= 0.0

cM,Ref

ϕ ∆ξ

S,Ref

∆ξS,Ref

N25,RefN25,Ref

= var.

= 0.1

= 0.2

∆ξNS

*

4

E

E

wg*

cG*

wg*

∆ξS,Ref

∆ξS,Ref

∆ξS,Ref

cG*

∆ξNS

*

∆ξS,Ref

∆ξS,Ref

∆ξS,Ref

∆ξS,Ref

Bild 83: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Pfeilwinkel 'V und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol)konstanter Streckung F = 5 im Gleit ug fur verschiedene SchwerpunktlagenS;Ref (Referenz ugel ist der Rechteck ugel = 5).

204 BILDVERZEICHNIS

Bild 83: Gleitzahl E, Sinkgeschwindigkeit wg, Pfeilwinkel 'V und Langsstabilitat NSuber dem Gewichtsbeiwert cG fur gewolbte Flugel (NACA 3400 Skelettprol)konstanter Streckung F = 5 im Gleit ug fur verschiedene SchwerpunktlagenS;Ref (Referenz ugel ist der Rechteck ugel = 5).

Bildteil 205

z

/4

= konst.,

= 5

ooo, ϑ [-26.6 (G), 0 (B), 26.6 (K)], eben)

[-20 , -10 , 0 , 10 ,20 ]

y

ϑ

3

[3,5],o o o o o

mit

Klappe

=5.7o

ε0+ε

ϕ

ϕ Λ

Λ

KBG

, NACA 3400 Skelettprofil)

Pfeilflügel

xx

lF

lK

lF V

VlFF(

F

lFlK b KV( = =

b KV

N25,Ref cM,Ref

Bild 84: Geometrie der berechneten FlugelKlappenKongurationen zur Diskussion derTrimmstrategie von Vogeln.

Bildteil 205

Bild 84: Geometrie der berechneten FlugelKlappenKongurationen zur Diskussion derTrimmstrategie von Vogeln.

206 BILDVERZEICHNIS

0.14 0.30 0.43 0.75 1.05 1.480.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

5

10

15

20

0.14 0.30 0.43 0.75 1.05 1.480.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00−20

−10

0

10

20

0.14 0.30 0.43 0.75 1.05 1.480.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

= ε

stabil

instabil

10o

0o

5o10

o

5o

10o

5o

G

K

o5

10o

B

ΛΛF

F

=3=5

10o

G

0o

o5

10o

5o 5

o

10o

10o

G

5o

o10

Vϕ 10

o5

o

5o

0o

10o

o5

G

5o

cG,Ref

cG,Ref

G

10o

G

∆ξNS*

K

K

B

B

KG

B

c

o

o

o

E

ε =

ε =

ε =

ε =

ε =

o

ε =

G,RefBild 85: Gleitzahl E, Langsstabilitat NS und Pfeilwinkel 'V uber dem Gewichtsbei-wert cG;Ref fur einen gewolbten Flugel (NACA 3400 Skelettprol) mit Klappenunterschiedlicher Spreizung # fur verschiedene Ausschlage " im Gleit ug furS;Ref = 0; 15.

206 BILDVERZEICHNIS

Bild 85: Gleitzahl E, Langsstabilitat NS und Pfeilwinkel 'V uber dem Gewichtsbei-wert cG;Ref fur einen gewolbten Flugel (NACA 3400 Skelettprol) mit Klappenunterschiedlicher Spreizung # fur verschiedene Ausschlage " im Gleit ug furS;Ref = 0; 15.

Anhang AUberfuhrung des CauchyIntegrals der induziertenGeschwindigkeit normal zur Skelett ache in eineSummeDamit das CauchyIntegral der in einem Aufpunkt A auf einem schmalen Band durchdie Querwirbelschicht des Bandes induzierten Geschwindigkeit normal zur Skelett- ache(vn;A)QW = CZ 0 en;A E d (A1)in eine Summe uberfuhrt werden kann, mu die CauchySingularitat aus dem Inte-granten abgespalten werden. Hierzu wird das Integral (A1) mit der transformiertenZirkulationsdichte A des Aufpunktes A erweitert zu(vn;A)QW = Z 0 en;A E( A) d++ ACZ 0 en;A Ed: (A2)Durch Einfuhren einer geeigneten Funktion PA() (Anhang B)PA() = enz;Aety;Aesx;A 1`A sinA cot( A) (A3)lat sich Gl. (A2) weiter umformen in(vn;A)QW = Z 0 en;A E( A) d++ A Z 0 en;A E PA()+ ACZ 0 PA() d: (A4)Das CauchyIntegral uber die Funktion PA() lat sich analytisch losen und wird zuCZ 0 PA() = 0: (A5)

Anhang AUberfuhrung des CauchyIntegrals der induziertenGeschwindigkeit normal zur Skelett ache in eineSummeDamit das CauchyIntegral der in einem Aufpunkt A auf einem schmalen Band durchdie Querwirbelschicht des Bandes induzierten Geschwindigkeit normal zur Skelett- ache(vn;A)QW = CZ 0 en;A E d (A1)in eine Summe uberfuhrt werden kann, mu die CauchySingularitat aus dem Inte-granten abgespalten werden. Hierzu wird das Integral (A1) mit der transformiertenZirkulationsdichte A des Aufpunktes A erweitert zu(vn;A)QW = Z 0 en;A E( A) d++ ACZ 0 en;A Ed: (A2)Durch Einfuhren einer geeigneten Funktion PA() (Anhang B)PA() = enz;Aety;Aesx;A 1`A sinA cot( A) (A3)lat sich Gl. (A2) weiter umformen in(vn;A)QW = Z 0 en;A E( A) d++ A Z 0 en;A E PA()+ ACZ 0 PA() d: (A4)Das CauchyIntegral uber die Funktion PA() lat sich analytisch losen und wird zuCZ 0 PA() = 0: (A5)

208Damit verbleiben in Gl. (A4) ausschlielich regulare Integrale, die mittels der Trapez-regel in Summen(vn;A)QW = KXk=1 en;A EA;k( k A)k++ A KXk=1 en;A EA;kk PA;k (A6)uberfuhrt werden konnen. K entspricht der Anzahl der Stutzstellen zur numerischenIntegration von Gl. (A1), = K (A7)ist die Schrittweite,k = k (A8)der Gradient der Bogenlange im Bandmittelschnitt, k = k (A9)die transformierte Zirkulationsdichte und PA;k der Wert der Funktion PA() fur =k (Gl. (A3)). Entsprechend der Trapezregel liegen die Querwirbel k 2 [1; K] bei dernumerischen Integration an den Positionenk = k 12: (A10)Unter der Voraussetzung k 6= A darf Gl. (A6) in Verbindung mit der diskretenZirkulationsstarke der Querwirbelk = kk (A11)weiter umgeformt werden in(vn;A)QW = KXk=1 en;A EA;kk A KXk=1 PA;k: (A12)

208Damit verbleiben in Gl. (A4) ausschlielich regulare Integrale, die mittels der Trapez-regel in Summen(vn;A)QW = KXk=1 en;A EA;k( k A)k++ A KXk=1 en;A EA;kk PA;k (A6)uberfuhrt werden konnen. K entspricht der Anzahl der Stutzstellen zur numerischenIntegration von Gl. (A1), = K (A7)ist die Schrittweite,k = k (A8)der Gradient der Bogenlange im Bandmittelschnitt, k = k (A9)die transformierte Zirkulationsdichte und PA;k der Wert der Funktion PA() fur =k (Gl. (A3)). Entsprechend der Trapezregel liegen die Querwirbel k 2 [1; K] bei dernumerischen Integration an den Positionenk = k 12: (A10)Unter der Voraussetzung k 6= A darf Gl. (A6) in Verbindung mit der diskretenZirkulationsstarke der Querwirbelk = kk (A11)weiter umgeformt werden in(vn;A)QW = KXk=1 en;A EA;kk A KXk=1 PA;k: (A12)

Anhang BUntersuchung der CauchySingularitat im Integral derinduzierten Geschwindigkeit normal zur Skelett achea0

a1 a2ξ = konst.

dΓ’

c

λ1

2λ dΓ’

e b,A

A

B

A

B

y z

e’s

ee

e’tx

yz

t,A

n,A

σ0

1ξxSkizze B: Geometrie zur Berechnung der Induktionen der Querwirbel eines Bandesder Skelett ache in einem Aufpunkt auf dem Band.Damit das Integral (3.14) in eine Summe uberfuhrt werden kann, mu die Singularitatim Integrantenen;A E = en;A4 a1 a2ja1 a2j ja0jja1 a2j a1a0ja1jja0j a2a0ja2jja0j (B1)abgespalten werden (Skizze B). Zur vereinfachten Darstellung werden im weiterengeometrische Groen der induzierenden Stelle mit ()0 versehen und der Index A alsKennzeichnung der Aufpunktstelle weggelassen. Aus Gleichung (B1) wird dannen E0 = en4 a1 a2ja1 a2j ja0jja1 a2j a1a0ja1jja0j a2a0ja2jja0j0: (B2)

Anhang BUntersuchung der CauchySingularitat im Integral derinduzierten Geschwindigkeit normal zur Skelett ache

Skizze B: Geometrie zur Berechnung der Induktionen der Querwirbel eines Bandesder Skelett ache in einem Aufpunkt auf dem Band.Damit das Integral (3.14) in eine Summe uberfuhrt werden kann, mu die Singularitatim Integrantenen;A E = en;A4 a1 a2ja1 a2j ja0jja1 a2j a1a0ja1jja0j a2a0ja2jja0j (B1)abgespalten werden (Skizze B). Zur vereinfachten Darstellung werden im weiterengeometrische Groen der induzierenden Stelle mit ()0 versehen und der Index A alsKennzeichnung der Aufpunktstelle weggelassen. Aus Gleichung (B1) wird dannen E0 = en4 a1 a2ja1 a2j ja0jja1 a2j a1a0ja1jja0j a2a0ja2jja0j0: (B2)

210Hierbei ist0 = dd 0 = 1e0sx (B3)der Gradient der Bogenlange ,A = 0@xyz1A (B4)der Ortsvektor zum Aufpunkt A,B = 0@x0y0z01A (B5)der Ortsvektor zum Querwirbelmittelpunkt B,a1 a2ja1 a2j = c e0tjc e0tj (B6)der Einheitsvektor in Richtung der induzierten Geschwindigkeit,ja1 a2jja0j = jc e0tjje0tj (B7)der senkrechte Abstand zwischen Querwirbel und Aufpunkt A, en der Einheitsnorma-lenvektor im Aufpunkt A unda1a0ja1jja0j = cos1a2a0ja2jja0j = cos2: (B8)Durch Einsetzen von Gln. (B4) (B8) wird aus Gl. (B2)en E0 = en4 c e0tjc e0tj2 (cos 1 cos2)0: (B9)Wenn der Aufpunkt auf dem Querwirbel liegt, wird der senkrechte Abstand (Gl. (B7))zu Null. Diese CauchySingularitat soll im weiteren mit dem Ziel untersucht werden,eine analytisch integrierbare Funktion P zu nden, die sich in der Umgebung derSingularitat analog zu Gl. (B9) verhalt.Im Einzelnen werden hierzu die Ausdruckec e0t = 0@x0 x0z0 z1A0@e0txe0tye0tz1A = 0@ e0ty(z0 z)e0tx(z0 z) e0tz(x0 x)e0ty(x0 x) 1A (B10)

210Hierbei ist0 = dd 0 = 1e0sx (B3)der Gradient der Bogenlange ,A = 0@xyz1A (B4)der Ortsvektor zum Aufpunkt A,B = 0@x0y0z01A (B5)der Ortsvektor zum Querwirbelmittelpunkt B,a1 a2ja1 a2j = c e0tjc e0tj (B6)der Einheitsvektor in Richtung der induzierten Geschwindigkeit,ja1 a2jja0j = jc e0tjje0tj (B7)der senkrechte Abstand zwischen Querwirbel und Aufpunkt A, en der Einheitsnorma-lenvektor im Aufpunkt A unda1a0ja1jja0j = cos1a2a0ja2jja0j = cos2: (B8)Durch Einsetzen von Gln. (B4) (B8) wird aus Gl. (B2)en E0 = en4 c e0tjc e0tj2 (cos 1 cos2)0: (B9)Wenn der Aufpunkt auf dem Querwirbel liegt, wird der senkrechte Abstand (Gl. (B7))zu Null. Diese CauchySingularitat soll im weiteren mit dem Ziel untersucht werden,eine analytisch integrierbare Funktion P zu nden, die sich in der Umgebung derSingularitat analog zu Gl. (B9) verhalt.Im Einzelnen werden hierzu die Ausdruckec e0t = 0@x0 x0z0 z1A0@e0txe0tye0tz1A = 0@ e0ty(z0 z)e0tx(z0 z) e0tz(x0 x)e0ty(x0 x) 1A (B10)

211jc e0tj2 = e0ty2(z0 z)2 + fe0tx(z0 z) e0tz(x0 x)g2 + e0ty2(x0 x)2en(c e0t) = (e0tyenz e0tzeny)(x0 x) + (e0txeny e0tyenx)(z0 z) (B11)benotigt. Im Grenzfall x0 ! x und z0 ! z wirdlim(x0;z0)!(x;z)(cos1 cos2) = 2 (B12)und lim(x0;z0)!(x;z)(e0t en) = eb = 0@ebxebyebz1A = 0@e0tyenz e0tzenye0tzenx e0txenze0txeny e0tyenx1A (B13)zum Binormalenvektor im Aufpunkt A. Durch Einsetzen der Gleichungen (B10) (B13) in Gl. (B9) folgtlim(x0;z0)!(x;z) en E0 == 14 lim(x0;z0)!(x;z) [ebx(x0 x) + ebz(z0 z)] 20e0ty2(z0 z)2 + fe0tx(z0 z) e0tz(x0 x)g2 + e0ty2(x0 x)2 :(B14)Fur die Umgebung der Singularitat wird der Ansatzx = x0 + x1 x0 = x0 + x10z = z0 + z1 z0 = z0 + z10 (B15)mit x1 = dxdz1 = dzd = dzdx dxdgemacht. Damit folgtx0 x = x1(0 )z0 z = z1(0 )und weiterlim(x0;z0)!(x;z) en E0 = 12 lim0! ZN 1e0sx (B16)

211jc e0tj2 = e0ty2(z0 z)2 + fe0tx(z0 z) e0tz(x0 x)g2 + e0ty2(x0 x)2en(c e0t) = (e0tyenz e0tzeny)(x0 x) + (e0txeny e0tyenx)(z0 z) (B11)benotigt. Im Grenzfall x0 ! x und z0 ! z wirdlim(x0;z0)!(x;z)(cos1 cos2) = 2 (B12)und lim(x0;z0)!(x;z)(e0t en) = eb = 0@ebxebyebz1A = 0@e0tyenz e0tzenye0tzenx e0txenze0txeny e0tyenx1A (B13)zum Binormalenvektor im Aufpunkt A. Durch Einsetzen der Gleichungen (B10) (B13) in Gl. (B9) folgtlim(x0;z0)!(x;z) en E0 == 14 lim(x0;z0)!(x;z) [ebx(x0 x) + ebz(z0 z)] 20e0ty2(z0 z)2 + fe0tx(z0 z) e0tz(x0 x)g2 + e0ty2(x0 x)2 :(B14)Fur die Umgebung der Singularitat wird der Ansatzx = x0 + x1 x0 = x0 + x10z = z0 + z1 z0 = z0 + z10 (B15)mit x1 = dxdz1 = dzd = dzdx dxdgemacht. Damit folgtx0 x = x1(0 )z0 z = z1(0 )und weiterlim(x0;z0)!(x;z) en E0 = 12 lim0! ZN 1e0sx (B16)

212mit Z = ebxx1(0 ) + ebzz1(0 )= [ebxx1 + ebzz1] (0 )= ebx dxd + ebz dzdx dxd (0 )= ebx + ebz dzdx dxd(0 )= ebx ebz enxenz dxd dd(0 ) mit (x = `+ xVdxd = `= [ebxenz ebzenx] 1enz `12 sin(0 )= 12 etyenz `(0 ) sin (B17)N = e0ty2z21(0 )2 + e0tx2z21(0 )2 2e0txe0tzz1x1(0 )2 ++ e0tz2x21(0 )2 + e0ty2x21(0 )2= "(e0ty2 + e0tx2)dzdx dxd2 + (e0tz2 + e0ty2) dxd2+ 2e0txe0tz dzdx dxd dxd (0 )2= "(e0ty2 + e0tx2)enxenz2 + e0ty2 + e0tz2 + 2e0txe0tz enxenz# `214 sin2(0 )2= he0ty2e2nx + e0tx2e2nx + e0ty2e2nz + e0tz2e2nz + 2e0txe0tzenxenzi 1e2nz `214 sin2(0 )2: (B18)Fur den Grenzfall 0 ! geht e0t ! et und es folgtN = e2tye2nx + e2tye2nz + (etxenx + etzenz + etyeny etyeny)2 `2e2nz 14 sin2(0 )2= e2tye2nx + e2tye2nz + e2tye2ny `214 sin2(0 )2 1e2nz= 14 e2tye2nz `2(0 )2 sin2:

212mit Z = ebxx1(0 ) + ebzz1(0 )= [ebxx1 + ebzz1] (0 )= ebx dxd + ebz dzdx dxd (0 )= ebx + ebz dzdx dxd(0 )= ebx ebz enxenz dxd dd(0 ) mit (x = `+ xVdxd = `= [ebxenz ebzenx] 1enz `12 sin(0 )= 12 etyenz `(0 ) sin (B17)N = e0ty2z21(0 )2 + e0tx2z21(0 )2 2e0txe0tzz1x1(0 )2 ++ e0tz2x21(0 )2 + e0ty2x21(0 )2= "(e0ty2 + e0tx2)dzdx dxd2 + (e0tz2 + e0ty2) dxd2+ 2e0txe0tz dzdx dxd dxd (0 )2= "(e0ty2 + e0tx2)enxenz2 + e0ty2 + e0tz2 + 2e0txe0tz enxenz# `214 sin2(0 )2= he0ty2e2nx + e0tx2e2nx + e0ty2e2nz + e0tz2e2nz + 2e0txe0tzenxenzi 1e2nz `214 sin2(0 )2: (B18)Fur den Grenzfall 0 ! geht e0t ! et und es folgtN = e2tye2nx + e2tye2nz + (etxenx + etzenz + etyeny etyeny)2 `2e2nz 14 sin2(0 )2= e2tye2nx + e2tye2nz + e2tye2ny `214 sin2(0 )2 1e2nz= 14 e2tye2nz `2(0 )2 sin2:

213Eingesetzt in Gl. (B16) ergibt sichlim(x0;z0)!(x;z) en E0 = 12 lim0! 12 etyenz `(0 ) sin14 e2tye2nz `2(0 )2 sin2 1e0sx= enzètyesx sin lim0! 10 : (B19)Werden die geometrischen Groen im Aufpunkt mit dem Index A versehen und derStrich an den geometrischen Groen der induzierenden Stelle weggelassen, dann lautetdie gesuchte Funktion demnachPA() = enz;Aety;Aesx;A 1À sinA cot( A): (B20)

213Eingesetzt in Gl. (B16) ergibt sichlim(x0;z0)!(x;z) en E0 = 12 lim0! 12 etyenz `(0 ) sin14 e2tye2nz `2(0 )2 sin2 1e0sx= enzètyesx sin lim0! 10 : (B19)Werden die geometrischen Groen im Aufpunkt mit dem Index A versehen und derStrich an den geometrischen Groen der induzierenden Stelle weggelassen, dann lautetdie gesuchte Funktion demnachPA() = enz;Aety;Aesx;A 1À sinA cot( A): (B20)

Anhang CAnalytische Integration der Induktion einesQuerwirbels mit einer quadratischen Verteilung derZirkulationsstarkete

a1

a(q)

a2

vi,k

i,ke

a0

∆Γ (q)k

Querwirbel k

z

Aufpunkt i

x

y x

yz

~

~~

q

D

q=1

q=0

C

Skizze C: Geometrie zur Berechnung der Induktion eines Querwirbels k in einem Auf-punkt i.Die von einem Querwirbel k mit einer quadratischen Verteilung der Zirkulationk(q)in einem Aufpunkt i induzierte Geschwindigkeit lautet nach Gl. (3.28)(vn;i;k)QW = en;ig0;k E(0)i;k QW + g1;k E(1)i;k QW + g2;k E(2)i;k QW ; (C1)

Anhang CAnalytische Integration der Induktion einesQuerwirbels mit einer quadratischen Verteilung derZirkulationsstarke

Skizze C: Geometrie zur Berechnung der Induktion eines Querwirbels k in einem Auf-punkt i.Die von einem Querwirbel k mit einer quadratischen Verteilung der Zirkulationk(q)in einem Aufpunkt i induzierte Geschwindigkeit lautet nach Gl. (3.28)(vn;i;k)QW = en;ig0;k E(0)i;k QW + g1;k E(1)i;k QW + g2;k E(2)i;k QW ; (C1)

215wobei E(0)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 dq E(1)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 q dq E(2)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 q2 dq (C2)die Ein uvektoren des Querwirbels k fur den Aufpunkt i sind. Im weiteren werden dieIntegrale (C2) analytisch gelost. Hierzu wird zunachst der Betrag der Ein uvektorenin einem lokalen Koordinatensystem ~x, ~y, ~z (Skizze C) berechnet.Der Ursprung dieses Systems liegt im Anfangspunkt C des Querwirbels. Die positive~xAchse lauft durch den Endpunkt D des Querwirbels. Die ~yAchse liegt in der durchden Aufpunkt i und die Punkte C undD aufgespannten Ebene und steht senkrecht aufder ~xAchse. In Verbindung mit der ~zAchse entsteht ein orthogonales Rechtssystem.Im lokalen Koordinatensystem lauten die Vektorena0 = 0@~xD00 1A ; a1 = 0@~xi~yi01A ; a2 = 0@~xi ~xDq~yi0 1A (C3)und a(q) = 0@~xi ~xDq~yi0 1A : (C4)Zur Integration wird das Kreuzproduktet a(q) = 0@1001A0@~xi ~xDq~yi0 1A = ~yi0@0011A (C5)und der Betrag des Vektors a(q)ja(q)j =q(~xi ~xDq)2 + ~y2i=paq2 + bq + c mit 8<: a = ~x2Db = 2~xi~xDc = ~x2i + ~y2i (C6)benotigt. Eingesetzt in Gl. (C2) folgt fur die Betrage der Ein uvektoren fur daskonstante Glied der Zirkulationsstarkej E(0)i;k jQW = d Z 10 dq(aq2 + bq + c) 32 mit d = xDyi4 ;

215wobei E(0)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 dq E(1)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 q dq E(2)i;k QW = ja0j4 Z 10 et a(q)ja(q)j3 q2 dq (C2)die Ein uvektoren des Querwirbels k fur den Aufpunkt i sind. Im weiteren werden dieIntegrale (C2) analytisch gelost. Hierzu wird zunachst der Betrag der Ein uvektorenin einem lokalen Koordinatensystem ~x, ~y, ~z (Skizze C) berechnet.Der Ursprung dieses Systems liegt im Anfangspunkt C des Querwirbels. Die positive~xAchse lauft durch den Endpunkt D des Querwirbels. Die ~yAchse liegt in der durchden Aufpunkt i und die Punkte C undD aufgespannten Ebene und steht senkrecht aufder ~xAchse. In Verbindung mit der ~zAchse entsteht ein orthogonales Rechtssystem.Im lokalen Koordinatensystem lauten die Vektorena0 = 0@~xD00 1A ; a1 = 0@~xi~yi01A ; a2 = 0@~xi ~xDq~yi0 1A (C3)und a(q) = 0@~xi ~xDq~yi0 1A : (C4)Zur Integration wird das Kreuzproduktet a(q) = 0@1001A0@~xi ~xDq~yi0 1A = ~yi0@0011A (C5)und der Betrag des Vektors a(q)ja(q)j =q(~xi ~xDq)2 + ~y2i=paq2 + bq + c mit 8<: a = ~x2Db = 2~xi~xDc = ~x2i + ~y2i (C6)benotigt. Eingesetzt in Gl. (C2) folgt fur die Betrage der Ein uvektoren fur daskonstante Glied der Zirkulationsstarkej E(0)i;k jQW = d Z 10 dq(aq2 + bq + c) 32 mit d = xDyi4 ;

216und fur das lineare und quadratische Gliedj E(1)i;k jQW = d Z 10 q dq(aq2 + bq + c) 32j E(2)i;k jQW = d Z 10 q2 dq(aq2 + bq + c) 32 : (C7)Die Losung dieser Integrale lautet (Bronstein und Semendjajew [98])j E(0)i;k jQW = 2d 2a+ bpa + b+ c bpcj E(1)i;k jQW = 2d 2pc b + 2cpa+ b + cj E(2)i;k jQW = 2d b2 2ac+ bcapa+ b+ c bpca ++ 12apa ln 2pa(a+ b + c) + 2a+ b2pac+ b # ; (C8)wobei = 4ac b2 ist. Die Richtung der Ein uvektoren ei;k ist fur die drei Gliederder Zirkulationsstarke gleich und ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Vektoren a0und a1 im ugelfesten Koordinatensystem zuei;k = a0 a1ja0 a1j : (C9)Mit den Gleichungen (C8) und (C9) lassen sich die gesuchten Ein uvektoren E(0)i;k QW = ei;kj E(0)i;k jQW E(1)i;k QW = ei;kj E(1)i;k jQW E(2)i;k QW = ei;kj E(2)i;k jQW ; (C10)bestimmen, so da die vom Querwirbel k im Aufpunkt i induzierte Geschwindigkeituber Gl. (C1) berechnet werden kann.

216und fur das lineare und quadratische Gliedj E(1)i;k jQW = d Z 10 q dq(aq2 + bq + c) 32j E(2)i;k jQW = d Z 10 q2 dq(aq2 + bq + c) 32 : (C7)Die Losung dieser Integrale lautet (Bronstein und Semendjajew [98])j E(0)i;k jQW = 2d 2a+ bpa + b+ c bpcj E(1)i;k jQW = 2d 2pc b + 2cpa+ b + cj E(2)i;k jQW = 2d b2 2ac+ bcapa+ b+ c bpca ++ 12apa ln 2pa(a+ b + c) + 2a+ b2pac+ b # ; (C8)wobei = 4ac b2 ist. Die Richtung der Ein uvektoren ei;k ist fur die drei Gliederder Zirkulationsstarke gleich und ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Vektoren a0und a1 im ugelfesten Koordinatensystem zuei;k = a0 a1ja0 a1j : (C9)Mit den Gleichungen (C8) und (C9) lassen sich die gesuchten Ein uvektoren E(0)i;k QW = ei;kj E(0)i;k jQW E(1)i;k QW = ei;kj E(1)i;k jQW E(2)i;k QW = ei;kj E(2)i;k jQW ; (C10)bestimmen, so da die vom Querwirbel k im Aufpunkt i induzierte Geschwindigkeituber Gl. (C1) berechnet werden kann.

Anhang DAnalytische Integration der Induktion einer ebenen,beidseitig ins Unendliche laufenden Wirbelschicht miteiner linearen Verteilung der Zirkulationsdichtea(q)

dΓdq

dq

x, ex

C

dv

A

q

z

D

y

q=0

q=1

Skizze D: Geometrie zur Berechnung der Induktion einer ebenen Wirbelschicht.Eine ebene, beidseitig ins Unendliche laufende Wirbelschicht mit einer linearen Ver-teilung der Zirkulationsstarked = ddq dq = (G1 + 2G2q) dq (D1)induziert in einem Aufpunkt A (Skizze D) eine Geschwindigkeit v, die sich uber dasCauchyIntegralv = 0@0vw1A = 12CZ 10 a(q) exja(q)j2 ddq dq (D2)

Anhang DAnalytische Integration der Induktion einer ebenen,beidseitig ins Unendliche laufenden Wirbelschicht miteiner linearen Verteilung der Zirkulationsdichte

Skizze D: Geometrie zur Berechnung der Induktion einer ebenen Wirbelschicht.Eine ebene, beidseitig ins Unendliche laufende Wirbelschicht mit einer linearen Ver-teilung der Zirkulationsstarked = ddq dq = (G1 + 2G2q) dq (D1)induziert in einem Aufpunkt A (Skizze D) eine Geschwindigkeit v, die sich uber dasCauchyIntegralv = 0@0vw1A = 12CZ 10 a(q) exja(q)j2 ddq dq (D2)

218berechnet. Hierbei ista(q) = 0@ 0y y0z z01A (D3)der Vektor von der induzierenden Stelle (0; y0; z0) auf der Wirbelschicht zum Aufpunkt(0; y; z) undex = 0@1001A (D4)der Einheitsvektor in xRichtung parallel zur Wirbelschicht. Die Koordinaten derinduzierenden Stelle sind linear vom Parameter q abhangigy0 = y0 + y1q (D5)z0 = z0 + z1q: (D6)Aus dem Vektorprodukt wird damita(q) ex = 0@ 0y y0z z01A0@1001A = 0@ 0z z0y + y01A = 0@ 0z z0 z1qy + y0 + y1q1A (D7)und das Quadrat des Abstandes wird zuja(q)j2 = (y y0)2 + (z z0)2= y2 2y(y0 + y1q) + (y0 + y1q)2 + z2 2z(z0 + z1q) + (z0 + z1q)2= (y y0)2 + (z z0)2 + [2(y y0)y1 2(z z0)z1]q + (y21 + z21)q2:(D8)Mit den AbkurzungenN0 = 2 (y y0)2 + (z z0)2N1 = 4 [(y y0)y1 (z z0)z1]N2 = 2(y21 + z21) (D9)und den fur jede Geschwindigkeitskomponente verschieden denierten Koezientenv : K0 = z z0K1 = z1 (D10)und w : K0 = y0 yK1 = y1; (D11)erfolgt die Berechnung der induzierten Geschwindigkeit fur die v- und wKomponenteanalog. Am Beispiel der wKomponente wird sie im weiteren beschrieben.

218berechnet. Hierbei ista(q) = 0@ 0y y0z z01A (D3)der Vektor von der induzierenden Stelle (0; y0; z0) auf der Wirbelschicht zum Aufpunkt(0; y; z) undex = 0@1001A (D4)der Einheitsvektor in xRichtung parallel zur Wirbelschicht. Die Koordinaten derinduzierenden Stelle sind linear vom Parameter q abhangigy0 = y0 + y1q (D5)z0 = z0 + z1q: (D6)Aus dem Vektorprodukt wird damita(q) ex = 0@ 0y y0z z01A0@1001A = 0@ 0z z0y + y01A = 0@ 0z z0 z1qy + y0 + y1q1A (D7)und das Quadrat des Abstandes wird zuja(q)j2 = (y y0)2 + (z z0)2= y2 2y(y0 + y1q) + (y0 + y1q)2 + z2 2z(z0 + z1q) + (z0 + z1q)2= (y y0)2 + (z z0)2 + [2(y y0)y1 2(z z0)z1]q + (y21 + z21)q2:(D8)Mit den AbkurzungenN0 = 2 (y y0)2 + (z z0)2N1 = 4 [(y y0)y1 (z z0)z1]N2 = 2(y21 + z21) (D9)und den fur jede Geschwindigkeitskomponente verschieden denierten Koezientenv : K0 = z z0K1 = z1 (D10)und w : K0 = y0 yK1 = y1; (D11)erfolgt die Berechnung der induzierten Geschwindigkeit fur die v- und wKomponenteanalog. Am Beispiel der wKomponente wird sie im weiteren beschrieben.

219Der konstante Anteil der Zirkulationsstarke (K) induziert im Aufpunkt eine Geschwin-digkeit wK, die sich auswK = G1 [K0I0 +K1I1] (D12)berechnet (Gln. (D1), (D2), (D7) (D11)) und der lineare Anteil der Zirkulati-onsstarke (L) induziert die Geschwindigkeit wL nachwL = G2 [2K0I1 + 2K1I2] ; (D13)wobeiI0 = CZ 10 dqN0 +N1q +N2q2 (D14)I1 = CZ 10 q dqN0 +N1q +N2q2 (D15)I2 = CZ 10 q2 dqN0 +N1q +N2q2 (D16)ist. Zur Losung dieser Integrale mu zwischen den Fallen = 4N2N0 N21 = 4 [y1(z z0) z1(y y0)]2 > 0 (D17)und = 0 (D18)unterschieden werden (Bronstein und Semendjajew [98]). Fur den Fall = 0 liegtder Aufpunkt auf der Geraden die durch die Punkte C und D lauft. Ist > 0, dannhandelt es sich bei den Integralen (D14) bis (D16) um gewohnliche Integrale, derenLosungenI2 = 1N2 N12N22 ln N0 +N1 +N2N0 + N21 2N2N02N22 I0 (D19)I1 = 12N2 ln N0 +N1 +N2N0 N12N2 I0 (D20)I0 = 2p arctan2N2 +N1p arctan N1p (D21)in [98] angegeben sind.Fur = 0 lassen sich die Integrale (D14) bis (D16) inI0 = 1N2CZ 10 dq(q +M)2 (D22)I1 = 1N2CZ 10 q dq(q +M)2 (D23)I2 = 1N2CZ 10 q2 dq(q +M)2 (D24)

219Der konstante Anteil der Zirkulationsstarke (K) induziert im Aufpunkt eine Geschwin-digkeit wK, die sich auswK = G1 [K0I0 +K1I1] (D12)berechnet (Gln. (D1), (D2), (D7) (D11)) und der lineare Anteil der Zirkulati-onsstarke (L) induziert die Geschwindigkeit wL nachwL = G2 [2K0I1 + 2K1I2] ; (D13)wobeiI0 = CZ 10 dqN0 +N1q +N2q2 (D14)I1 = CZ 10 q dqN0 +N1q +N2q2 (D15)I2 = CZ 10 q2 dqN0 +N1q +N2q2 (D16)ist. Zur Losung dieser Integrale mu zwischen den Fallen = 4N2N0 N21 = 4 [y1(z z0) z1(y y0)]2 > 0 (D17)und = 0 (D18)unterschieden werden (Bronstein und Semendjajew [98]). Fur den Fall = 0 liegtder Aufpunkt auf der Geraden die durch die Punkte C und D lauft. Ist > 0, dannhandelt es sich bei den Integralen (D14) bis (D16) um gewohnliche Integrale, derenLosungenI2 = 1N2 N12N22 ln N0 +N1 +N2N0 + N21 2N2N02N22 I0 (D19)I1 = 12N2 ln N0 +N1 +N2N0 N12N2 I0 (D20)I0 = 2p arctan2N2 +N1p arctan N1p (D21)in [98] angegeben sind.Fur = 0 lassen sich die Integrale (D14) bis (D16) inI0 = 1N2CZ 10 dq(q +M)2 (D22)I1 = 1N2CZ 10 q dq(q +M)2 (D23)I2 = 1N2CZ 10 q2 dq(q +M)2 (D24)

220umformen, wobeiM = N12N2 (D25)ist. Unter Berucksichtigung des Cauchy'schen Hauptwertes lauten die Losungen furdiese Integrale [98]I0 = 1N2 1M 11 +M (D26)I1 = 1N2 11 +M 1 + ln 1 +MM (D27)I2 = 1N2 1 2D ln 1 +MM D21 +M +M : (D28)Hierbei liefert der Cauchy'sche Hauptwert keinen Beitrag, so da nicht unterschiedenwerden mu, ob der Aufpunkt auf der Geraden zwischen den Punkten C und D liegt,oder auerhalb dieser Strecke.

220umformen, wobeiM = N12N2 (D25)ist. Unter Berucksichtigung des Cauchy'schen Hauptwertes lauten die Losungen furdiese Integrale [98]I0 = 1N2 1M 11 +M (D26)I1 = 1N2 11 +M 1 + ln 1 +MM (D27)I2 = 1N2 1 2D ln 1 +MM D21 +M +M : (D28)Hierbei liefert der Cauchy'sche Hauptwert keinen Beitrag, so da nicht unterschiedenwerden mu, ob der Aufpunkt auf der Geraden zwischen den Punkten C und D liegt,oder auerhalb dieser Strecke.

Anhang EBerechnung des Wirbeldichtevektors auf einemQuerwirbel

dΓ

δsΘ

k

∆Γ

τ

τ

δ

e s

δb

δ t

δ re r

e t

eb

k

Querwirbel k

x

zy

Skizze E: Geometrie zur Berechnung des Wirbeldichtevektors auf dem Querwirbelk.Aus der Losung des linearen Gleichungssystems (Gl. (3.52)) ist fur jeden Querwirbelk die Zirkulationsstarkek = @k@ dd dd = @k@s ` 1esx 12 sink (E1)bekannt (Gln. (3.18), (3.11)). Durch Umformen ergibt sich aus Gl. (E1) unmittelbarder Anteil des unbekannten Wirbeldichtevektors = sr = 0BB@@k@r@k@s 1CCA (E2)

Anhang EBerechnung des Wirbeldichtevektors auf einemQuerwirbel

Skizze E: Geometrie zur Berechnung des Wirbeldichtevektors auf dem Querwirbelk.Aus der Losung des linearen Gleichungssystems (Gl. (3.52)) ist fur jeden Querwirbelk die Zirkulationsstarkek = @k@ dd dd = @k@s ` 1esx 12 sink (E1)bekannt (Gln. (3.18), (3.11)). Durch Umformen ergibt sich aus Gl. (E1) unmittelbarder Anteil des unbekannten Wirbeldichtevektors = sr = 0BB@@k@r@k@s 1CCA (E2)

222in erRichtung (Skizze E). Er lautetr = @k@s = 2kesx` sink : (E3)Zur Berechnung der Komponente s wird zunachst der Potentialsprung zwischen Ske-lettoberseite (o) und der -unterseite (u)k = o;k u;k: (E4)auf dem Querwirbel benotigt. Liegen zwischen der Skelettvorderkante und dem be-trachteten Querwirbel die Panel c 2 [1; k 1], dann resultiert der Potentialsprung kaus k = kXc=1 k: (E5)Infolge des pro Panel quadratischen Ansatzes fur die Zirkulationsstarke ist auf demQuerwirbel die Ableitung von k in Querwirbelrichtung@k@t = @@t kXc=1 k = ddq kXc=1 k! dqdt (E6)bekannt. Mit dem geometrischen Zusammenhangsr = cos sin sin cos bt (E7)und b = @@t ; t = @@b (E8)folgt s = 1cos (r sin b): (E9)Hierbei ist der Winkel zwischen den Einheitsvektoren er und et, so dacos = eretsin = eset (E10)ist. Durch Einsetzen der Gleichungen (E6) und (E8) in (E9) folgts = @k@r = 1cos "r sin + ddq kXc=1 k! dqdt# : (E11)

222in erRichtung (Skizze E). Er lautetr = @k@s = 2kesx` sink : (E3)Zur Berechnung der Komponente s wird zunachst der Potentialsprung zwischen Ske-lettoberseite (o) und der -unterseite (u)k = o;k u;k: (E4)auf dem Querwirbel benotigt. Liegen zwischen der Skelettvorderkante und dem be-trachteten Querwirbel die Panel c 2 [1; k 1], dann resultiert der Potentialsprung kaus k = kXc=1 k: (E5)Infolge des pro Panel quadratischen Ansatzes fur die Zirkulationsstarke ist auf demQuerwirbel die Ableitung von k in Querwirbelrichtung@k@t = @@t kXc=1 k = ddq kXc=1 k! dqdt (E6)bekannt. Mit dem geometrischen Zusammenhangsr = cos sin sin cos bt (E7)und b = @@t ; t = @@b (E8)folgt s = 1cos (r sin b): (E9)Hierbei ist der Winkel zwischen den Einheitsvektoren er und et, so dacos = eretsin = eset (E10)ist. Durch Einsetzen der Gleichungen (E6) und (E8) in (E9) folgts = @k@r = 1cos "r sin + ddq kXc=1 k! dqdt# : (E11)

Anhang FBerechnung des Singularitatsparameters der Saugkraftfur einen Punkt auf der Skelettvorderkantee tδ tδ=

dΓe t

e r

δs

δ r

e s

bb,u

be

dcS

τ

x

z

x

y

τ

s

E

r

t

V D

dt

Skelettvorderkante

Skizze F: Geometrie zur Berechnung des Singularitatsparameters der Saugkraft ineinem Punkt auf der Skelettvorderkante.Die Saugkraft, die an einer anliegend umstromten Skelettvorderkante angreift, berech-net sich ausdcs = 2ebC2 dt; (F1)wobeiC = limb!0ubpb (F2)

Anhang FBerechnung des Singularitatsparameters der Saugkraftfur einen Punkt auf der Skelettvorderkante

Skizze F: Geometrie zur Berechnung des Singularitatsparameters der Saugkraft ineinem Punkt auf der Skelettvorderkante.Die Saugkraft, die an einer anliegend umstromten Skelettvorderkante angreift, berech-net sich ausdcs = 2ebC2 dt; (F1)wobeiC = limb!0ubpb (F2)

224der Singularitatsparameter ist (Skizze F). ub ist die durch den Wirbeldichtevektor im betrachteten Punkt auf der Skelettoberseite induzierte Geschwindigkeit in ebRichtung, die auf den Betrag der ungestorten Anstromung bezogen ist. Die Einheits-vektoren eb, et und en spannen ein orthogonales Rechtssystem auf, dessen dimensions-lose Koordinaten mit b, t und n bezeichnet werden. Der Ursprung dieses Koordina-tensystems liegt im Punkt D auf der Skelettvorderkante. Der Ortsvektor zum PunktE, der mit dem Punkt D in einer Ebene y = konst. liegt, berechnet sich in diesemKoordinatensystem aus0@btn1A = 0@ebx eby ebzetx ety etzenx eny enz1A0@x xV0z zV 1A : (F3)Unter der Annahme, da der Punkt E in unmittelbarer Umgebung der Vorderkanteliegt, giltn 0: (F4)Damit folgt aus Gl. (F3) der Abstand b zub = etyenz (x xV ): (F5)In Verbindung mit der Tiefenkoordinate = x xV` (F6)wird b = etyenz `: (F7)Die induzierte Stromungsgeschwindigkeit ub berechnet sich zuub = 12 @@b = 12t; (F8)wobei t der Anteil des Wirbeldichtevektors = bt = 0BB@@@t@@b 1CCA (F9)in etRichtung ist. Zwischen der transformierten Zirkulationsdichte und der Kom-ponente des Wirbeldichtevektors in erRichtung r besteht der Zusammenhang (Gln.(3.7), (3.11) und (3.13))r = @@s = 1 @@ = 2 ` sin = `pp1 : (F10)

224der Singularitatsparameter ist (Skizze F). ub ist die durch den Wirbeldichtevektor im betrachteten Punkt auf der Skelettoberseite induzierte Geschwindigkeit in ebRichtung, die auf den Betrag der ungestorten Anstromung bezogen ist. Die Einheits-vektoren eb, et und en spannen ein orthogonales Rechtssystem auf, dessen dimensions-lose Koordinaten mit b, t und n bezeichnet werden. Der Ursprung dieses Koordina-tensystems liegt im Punkt D auf der Skelettvorderkante. Der Ortsvektor zum PunktE, der mit dem Punkt D in einer Ebene y = konst. liegt, berechnet sich in diesemKoordinatensystem aus0@btn1A = 0@ebx eby ebzetx ety etzenx eny enz1A0@x xV0z zV 1A : (F3)Unter der Annahme, da der Punkt E in unmittelbarer Umgebung der Vorderkanteliegt, giltn 0: (F4)Damit folgt aus Gl. (F3) der Abstand b zub = etyenz (x xV ): (F5)In Verbindung mit der Tiefenkoordinate = x xV` (F6)wird b = etyenz `: (F7)Die induzierte Stromungsgeschwindigkeit ub berechnet sich zuub = 12 @@b = 12t; (F8)wobei t der Anteil des Wirbeldichtevektors = bt = 0BB@@@t@@b 1CCA (F9)in etRichtung ist. Zwischen der transformierten Zirkulationsdichte und der Kom-ponente des Wirbeldichtevektors in erRichtung r besteht der Zusammenhang (Gln.(3.7), (3.11) und (3.13))r = @@s = 1 @@ = 2 ` sin = `pp1 : (F10)

225Unter Ausnutzung der Randbedingung, da der Wirbeldichtevektor in der Umge-bung einer anliegend umstromten Vorderkante parallel zu derselben verlauft (b = 0),folgt der Zusammenhang (vgl. Anhang E)sr = cos sin sin cos 0t : (F11) ist der Winkel zwischen den Einheitsvektoren er und et, so dacos = eretsin = eset (F12)ist. Aus Gl. (F11) ergibt sicht = 1cos r (F13)und mit Gl. (F10) und (F8) die Geschwindigkeitub = 12` cos pp1 : (F14)In Verbindung mit Gl. (F7) und (F14) lat sich der Grenzwert (F2)C = limb!0ubpb= lim!0 12` cos pp1 r etyenzpp` (F15)bilden. Auf diese Weise resultiert der gesuchte Singularitatsparameter zuC = V2p` cos r etyenz : (F16)

225Unter Ausnutzung der Randbedingung, da der Wirbeldichtevektor in der Umge-bung einer anliegend umstromten Vorderkante parallel zu derselben verlauft (b = 0),folgt der Zusammenhang (vgl. Anhang E)sr = cos sin sin cos 0t : (F11) ist der Winkel zwischen den Einheitsvektoren er und et, so dacos = eretsin = eset (F12)ist. Aus Gl. (F11) ergibt sicht = 1cos r (F13)und mit Gl. (F10) und (F8) die Geschwindigkeitub = 12` cos pp1 : (F14)In Verbindung mit Gl. (F7) und (F14) lat sich der Grenzwert (F2)C = limb!0ubpb= lim!0 12` cos pp1 r etyenzpp` (F15)bilden. Auf diese Weise resultiert der gesuchte Singularitatsparameter zuC = V2p` cos r etyenz : (F16)

Anhang GUberfuhrung der Flachenintegrale zur Berechnung derBeiwerte aus den Stromungsgroen in derTretzEbene in RingintegraleMittels des Gau'schen Integralsatzes (Bronstein und Semendjajew [98])ZZS @f@y + @g@z dy dz = IR [f dz g dy] (G1)und der Beziehungen fur die Funktionen f und gf = 1 @f@y = 0 (G2)g = t @g@z = @t@zt ; (G3)lat sich das Flachenintegral fur den Auftriebsbeiwert (Gl. (3.115))~cA = 2F Z ZtZt Z YtYt @t@zt dyt dzt (G4)in das Ringintegral uber die Randkurve R der zu integrierenden Flache (S)~cA = 2F IR [dzt t dyt] (G5)uberfuhren. Mit der BeziehungIR dzt = 0 (G6)folgt der gesuchte Auftriebsbeiwert zu~cA = 2F IR t dyt: (G7)

Anhang GUberfuhrung der Flachenintegrale zur Berechnung derBeiwerte aus den Stromungsgroen in derTretzEbene in RingintegraleMittels des Gau'schen Integralsatzes (Bronstein und Semendjajew [98])ZZS @f@y + @g@z dy dz = IR [f dz g dy] (G1)und der Beziehungen fur die Funktionen f und gf = 1 @f@y = 0 (G2)g = t @g@z = @t@zt ; (G3)lat sich das Flachenintegral fur den Auftriebsbeiwert (Gl. (3.115))~cA = 2F Z ZtZt Z YtYt @t@zt dyt dzt (G4)in das Ringintegral uber die Randkurve R der zu integrierenden Flache (S)~cA = 2F IR [dzt t dyt] (G5)uberfuhren. Mit der BeziehungIR dzt = 0 (G6)folgt der gesuchte Auftriebsbeiwert zu~cA = 2F IR t dyt: (G7)

227Analog hierzu lat sich das Flachenintegral fur den Widerstandsbeiwert (Gl. (3.114))~cWi = 1F Z ZtZt Z YtY @t@yt2 + @t@zt 2 dyt dzt (G8)mit dem Green'schen Integralsatz (Bronstein und Semendjajew [98])ZZS @f@y @g@y + @f@z @g@z dy dz = ZZS f @2g@y2 + @2g@z2 dy dz + IR f @g@n dr; (G9)der Beziehungf = g = t (G10)und der LaplaceGleichung fur die TretzEbene @2t@x2t = 0@2t@y2t + @2t@z2t = 0 (G11)in das Ringintegral uber die Randkurve R~cWi = 1F IR t@t@nt drt (G12)vnt = @t@nt (G13)wird Gl. (G12) zu~cWi = 1F IR tvnt drt: (G14)

227Analog hierzu lat sich das Flachenintegral fur den Widerstandsbeiwert (Gl. (3.114))~cWi = 1F Z ZtZt Z YtY @t@yt2 + @t@zt 2 dyt dzt (G8)mit dem Green'schen Integralsatz (Bronstein und Semendjajew [98])ZZS @f@y @g@y + @f@z @g@z dy dz = ZZS f @2g@y2 + @2g@z2 dy dz + IR f @g@n dr; (G9)der Beziehungf = g = t (G10)und der LaplaceGleichung fur die TretzEbene @2t@x2t = 0@2t@y2t + @2t@z2t = 0 (G11)in das Ringintegral uber die Randkurve R~cWi = 1F IR t@t@nt drt (G12)vnt = @t@nt (G13)wird Gl. (G12) zu~cWi = 1F IR tvnt drt: (G14)

DanksagungDie vorliegende Arbeit entstand w0ahrend meiner T0atigkeit als wissenschaftlicher Mit8arbeiter am Institut f0ur Str0omungsmechanik der Technischen Universit0at Braunschweig>Die Anregung zum Thema dieser Arbeit verdanke ich Herrn Prof> Dr>8Ing> D> HummelBdessen st0andige BereitschaftB die Forschungsergebnisse eingehend zu diskutierenB we8sentlich zum Gelingen der Arbeit beigetragen hat> Neben der fachlichen Kompetenzvermittelt Prof> Dr>8Ing> D> Hummel eine Begeisterung f0ur die Aerodynamik und dieOrnithologieB f0ur die ich ihm ausgesprochen dankbar bin>Herrn Prof> Dr>8Ing> H> Kossira danke ich f0ur die BereitschaftB im Rahmen des Pro8motionsverfahrens das Koreferat zu erstellen und die damit verbundenen M0uhen aufsich zu nehmen>Ohne die Unterst0utzung meiner KollegenB der Mitarbeiter der Werkstatt und desWindkanals sowie der Mitarbeiterinnen des Sekretariats w0are das Zustandekommender Arbeit nicht m0oglich gewesen> Ihnen allen und denen im Rahmen von Studien8und Diplomarbeiten oder als wissenschaftliche Hilfskr0afte beteiligten Studenten seiherzlich gedankt> Des weiteren gilt mein Dank Herrn K> Rainbothe f0ur die Erstellungdes Manusskriptes und Frau H> Cordes f0ur die Korrekturdurchsicht>Ganz besonderer Dank gilt meiner Frau und unseren beiden Kindern> Durch dasZur0uckstellen eigener Interessen sowie durch ihre Geduld und ihr Verst0andnis habensie mir sehr geholfen>

Lebenslaufvon Andreas Br*ummerPers$onliche DatenGeburtsdatum 0 1234531678Geburtsort 0 ThuineFamilienstand 0 verheiratet> ? KinderStaatsangeh*origk3 0 deutschAusbildung1676 E 1628 0 Grundschule Altenlingen1628 E 16F8 0 Gymnasium Georgianum Lingen IEmsK16FL E 1664 0 Studium des Maschinenbausan der Technischen Universit*at BraunschweigFachrichtung 0 LuftE und RaumfahrttechnikSchwerpunkt 0 Str*omungsmechanikBundeswehr16F8 E 16FL 0 Grundwehrdienst in WerlteBeruf16FF E 1664 0 wissenschaftliche Hilfskraftam Institut f*ur Str*omungsmechanikder Technischen Universit*at Braunschweig1664 E 1662 0 wissenschaftlicher Mitarbeiteram Institut f*ur Str*omungsmechanikder Technischen Universit*at Braunschweigseit Juni 1662 0 beratender Ingenieurim Bereich Schall und Schwingungenin der Firma WK*OTTER Beratende IngenieureYRheine> den 813 M*arz 166F

Herausgeber der ZLR-Forschungsberichte:Zentrum fur Luft- und RaumfahrttechnikTechnische Universitat Braunschweig38106 BraunschweigVertrieb des vorliegenden ZLR-Forschungsberichtes:Institut fur StromungsmechanikTechnische Universitat BraunschweigBienroder Weg 338106 BraunschweigTel.: (0531) 391 2972; FAX: (0531) 391 5952c 1998Institut fur StromungsmechanikJuni 19983-928628-37-2Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen,vorbehalten. Mit Genehmigung des Autors ist es gestattet, diesenBericht ganz oder teilweise auf fotomechanischem Wege (Fo-tokopie, Mikrokopie) zu vervielfaltigen.

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