effect of structural sealants on the stability of glass...

iv

Effect of structural sealants on the stability of glass beams

Eva Verhoeven

Supervisors: dr. ir.-arch. Jan Belis, prof. dr. ir. Rudy Van Impe

Abstract – This article gives an insight in the effect of structural sealants on the stability of glass beams. The study consists of a numerical analysis, with supplementary experiments for the material behaviour of the sealant.

Keywords – monolithic glass beams, lateral torsional buckling, buckling curve, structural sealant, load-bearing capacity

I. INTRODUCTION

Glass beams can be applied in primary load-bearing building structures. Usually the connection between a glass beam and the other elements of the construction, is based on a strucutural sealant. The beam has its compressed upper rim silicon glued to a glass roof plate for example. Since the considered beams have a relatively slender cross-section, they are sensitive to lateral torsional buckling. However the structural sealant laterally supports the compressed rim and prevents the lateral movement and rotation of the beam. As a result the buckling strength of the beam is improved.

II. MONOLITHIC BEAMS WITHOUT A STRUCTURAL SEALANT

Beams without a structural sealant are investigated, to have a reference point for beams with a structural sealant. The results of the numerical analysis can be used to develop buckling curves. These curves can be applied to calculate easily the buckling strength of a glass beam, taking account of imperfections. A buckling curve relates the geometry, represented by the slenderness λ, to the load bearing capacity, represented by the reduction factor χ [1].

The definition of λ is based on the tensile strength σp,t of the glass and the critical stress σcr. The value of χ is determined by the tensile strength σp,t and the bending stress σy, which is related to the applied load. χ has 2 limiting values: 1 and 1/λ². Fig. 1 shows how buckling curves for glass beams can be developed.

Fig. 1: Procedure to develop buckling curves

A parametric study gives the possibility to consider a number of beams, with different geometries. The tests are simulated by using the Finite-Element program ABAQUS. For all calculations volume elements with 8 nodes (C3D8) are used. The model consists of 49500 elements, with a non-uniform distribution: at mid span the element-density is higher.

The first loading type is a concentrated load at mid span. Since one numerical calculation results in one buckling curve, a parametric study leads to an accumulation of points. The dispersion of the curves is bigger for small values of λ. The higher the value of λ, the better the resemblance is of the curves, as shown in Fig. 2:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6λλλλ

χχ χχ

Fig. 2: Buckling curves, based on the numerical simulations of beams with a concentrated load and initial imperfection L/333

The relative position of the curves regard to each other, is determined by the ratio of the thickness to the height of the beam. The higher the thickness-height ratio, the better the values of χ approximate to 1 for small λ. The magnitude of the initial imperfection has an influence too on the values of χ. For big initial imperfections, the buckling curves have smaller values of χ for small λ [2].

Both conclusions can be explained as follows: the value of χ can only be 1 if the beam is loaded by simple bending. As a result of the initial imperfection, the cross sections are slightly rotated and the beam is loaded by ‘oblique’ bending. The lower the thickness-height ratio or the bigger the initial imperfection, the more the loadcase deviates from simple bending.

The set of buckling curves is divided into 6 subsets, according to the thickness-height ratio and the initial imperfection. For each subset, the minimum buckling curve is determined.

What precedes concerns the loadcase of a concentrated load. The second loading type is a uniform load over the full length of the glass beam. Although the number of calculations is limited, the same conclusions seems to be valid.

v

III. MONOLITHIC BEAMS WITH A STRUCTURAL SEALANT

A. Modelling of a structural sealant

Lateral torsional buckling is characterized by a lateral displacement and a rotation of the cross sections of the beam. Therefore the structural sealant mainly deforms by shear loading. As a simplification, the effect of the rotation of the beam is neglected. The prevention of the lateral movement is modelled by a spring support. In the Finite-Element model lateral springs are attached to the compressed upper rim, along the whole beam length [3].

The influence of the spring stiffness k on the load bearing capacity can be examined numerically by varying its value during the simulations. For a beam with length 3 m, length-height ratio 10, thickness 10 mm and initial imperfection L/333, a spring stiffness k smaller than 100 N/m² has hardly no effect.

B. Shear tests

To develop buckling curves for beams with a structural sealant, realistic values of the spring stiffness k are necessary. That’s why the behaviour under shear loading is investigated experimentally. The chosen material is Dow Corning 895, a common used silicone for structural sealants [4].

The silicone joint has a length of 100 mm and a thickness and width of 6 mm x 6 mm or 15 mm x 15 mm. The thickness of the joint is defined as the distance between the 2 contact surfaces. The width is the dimension of the joint in the direction of the shear loading.

2 series (6 mm x 6 mm and 15 m x 15 mm) of 5 specimens have been tested at the Textiles department of Ghent University. The tests have been carried out displacement-controlled, with a constant speed of 5 mm/min, according to ETAG 002 [5].

The load-displacement curves are shown in Fig. 3. The results of the fifth specimen with joint dimensions 15 mm x 15 mm are not used, because the specimen slipped out of the grip. The other specimens have a very similar predestructive behaviour.

0

300

600

900

1200

1500

1800

0 20 40 60 80 100

displacement [mm]

load

[N]

6 mm x 6 mm

15 mm x 15 mm

Fig. 3: Load-displacement curves for the succesfull tests

For both series, the relation between the applied load and the displacement can be approached by a straight line. This means that a lineair spring behaviour can be supposed. For a silicone joint with dimensions 6 mm x 6 mm, the lineair spring stiffness k has a value of 191430 N/m². For dimensions 15 mm x 15 mm a value of 214410 N/m² may be assumed. Since both values are higher than 100 N/m², the influence of a structural sealant will probably not be neglegible.

C. Buckling curves

Fig. 4 shows the buckling curves, based on the numerical simulations of beams with a concentrated load and an initial imperfection L/333. If the two sets of points are compared with each other, two big differences are visible. As expected, the buckling curves for beams with a structural sealant have higher values of χ. The second difference refers only to small values of λ: for beams without a structural sealant the buckling curves lie below the theoretical limit (χ < 1), in contrast with the buckling curves for beams with a structural sealant (χ > 1).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ

without structural sealantstructural sealant 6 mm x 6 mm

Fig. 4: Buckling curves, based on the numerical simulations

of beams with initial imperfection L/333

3 silicone joints, with different dimensions, are studied: 6 mm x 6 mm, 6 mm x (thickness of the beam) and 15 mm x 15 mm. The relative position of the buckling curves regard to each other, is not only influenced by the thickness-height ratio. Possibly another conclusion can be made if λ is calculated in a different way: for beams with a structural sealant, λ is based on the critical stress σcr of a beam without a structural sealant. Another option to calculate λ is using the critical stress σcr for a beam with a structural sealant. The magnitude of the initial imperfection has a similar influence as for beams without a structural sealant [2].

In practice, values higher than 3 will not occur.A structural sealant with dimensions 6 mm x 6 mm or 6 mm x (thickness of the beam) is most efficient for beams with a value of λ of about 2. For a structural sealant with dimensions 15 mm x 15 mm the effect is the biggest on beams with a value of λ of about 2,5: the value of χ is more than doubled. For values of λ smaller than 1, a silicone joint has a limited effect: these beams fail by simple bending.

For a uniform load, the number of calcuations is smaller, but the same phenomenons can be observed.

ACKNOWLEDGEMENTS

The author would like to acknowledge the suggestions of Jan Belis during the research. Johanna Louwagie also deserves gratitude for helping with the shear tests.

REFERENCES

[1] A. Luible (2004). Stabilität von Tragelementen aus Glas. Dissertation, EPF Lausanne, thèse 3014.

[2] E. Verhoeven (2008). Effect van constructieve kitvoegen op de stabiliteit van glazen liggers. Master thesis, Laboratory for Research on Structural Models, Ghent University, 2008.

[3] J. Belis, R. Van Impe, G. Lagae & W. Vanlaere (2003). Enhancement of the buckling strength of glass beams by means of lateral restraints. Structural engineering and mechanics, pp. 495-511.

[4] Dow Corning (2001). Product Information Dow Corning 895, Structural Glazing Sealant, one-part silicone rubber.

[5] EOTA (1999). ETAG 002, Guideline for European technical approval for structural sealant glazing systems (SSGS) – part 1: Supported and unsupported systems.

Effect van constructieve kitvoegen op de stabiliteit van glazen

liggers

Eva Verhoeven

Promotoren: dr. ir.-arch. Jan Belis, prof. dr. ir. Rudy Van Impe Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van Burgerlijk bouwkundig ingenieur Vakgroep Bouwkundige constructies Voorzitter: prof. dr. ir. Luc Taerwe Faculteit Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2007-2008

i

Voorwoord

Deze scriptie is de afsluiting van mijn opleiding tot burgerlijk ingenieur bouwkunde. Dit werk

zou niet tot stand gekomen zijn zonder de hulp en steun van vele personen. Daarom zou ik

graag van de gelegenheid willen gebruik maken om hen te bedanken.

Graag wil ik mijn promotoren prof. dr. ir. Rudy Van Impe en dr. ir.-arch. Jan Belis bedanken

voor de kans die ze mij gaven om dit onderwerp te onderzoeken. Verder wil ik Jan ook

bedanken als mijn begeleider. Met zijn enthousiasme, zijn vele aanwijzingen en het nalezen

van mijn scriptie, heeft hij me enorm geholpen.

Verder moet ik ook dr. ir. Wesley Vanlaere danken, die altijd bereid was om uitleg te geven

over Abaqus en met veel geduld mijn problemen oploste. Ook ir.-arch. Dieter Callewaert, ir.

Didier Delincé, prof. dr. ir. Guy Lagae en prof. dr. ir. Benedict Verhegghe verdienen een

vermelding voor hun bijdrage. Vervolgens bedank ik Dennis en Erik voor hun hulp in het labo

en ing. Johanna Louwagie van de vakgroep Textielkunde, voor de technische ondersteuning

tijdens de proeven. Daarnaast verdienen ook mijn medescriptiestudenten een dankwoord voor

de leuke sfeer.

In het bijzonder wil ik mijn ouders bedanken omdat ze mij de kans gaven deze opleiding te

volgen en voor de aangename studie-omgeving die ze creëerden. Tenslotte wens ik vooral Raf

te bedanken voor de aanmoedigingen en het geduld.

De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van

de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen

van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk

te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie.

Eva Verhoeven 2 juni 2008

ii

Overzicht

Effect van constructieve kitvoegen op de stabiliteit van glazen liggers

door Eva Verhoeven

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van

Burgerlijk bouwkundig ingenieur

Promotor: dr. ir.-arch. Jan Belis

Promotor: prof. dr. ir. Rudy Van Impe

Universiteit Gent

Faculteit Ingenieurswetenschappen

Vakgroep Bouwkundige constructies

Voorzitter: prof. dr. ir. Luc Taerwe

Academiejaar 2007-2008

Samenvatting

Voor de verbinding tussen glazen liggers en vloerplaten, of tussen glazen kolommen en

gevelelementen wordt veelal gebruik gemaakt van een silicone kitvoeg (structural sealant).

Deze heeft een belangrijke invloed op het kipgedrag van de glazen ligger of kolom: bij het

kippen worden de zijdelingse verplaatsingen immers belemmerd door de kitvoeg, waardoor

de kritieke belasting verhoogd wordt. In deze scriptie wordt het gunstige effect van een

constructieve kitvoeg op het kipgedrag van glazen liggers en kolommen onderzocht.

Hoofdstuk 1 is een inleidend hoofdstuk met een situering van deze scriptie binnen het

onderzoek van het Laboratorium voor Modelonderzoek van de vakgroep Bouwkundige

Constructies. Ook worden de doelstellingen van dit werk geformuleerd.

Hoofdstuk 2 beschrijft de literatuurstudie die uitgevoerd werd in het kader van dit werk. Eerst

worden enkele begrippen uit de vlakglastechnologie verduidelijkt om daarna dieper in te gaan

op het kipfenomeen in de staal- en glasbouw. Hierbij wordt het begrip kipkromme toegelicht.

iii

De laatste paragraaf van dit hoofdstuk handelt over constructieve kitvoegen, met een

bespreking van de materiaalspecificaties en vaak toegepaste constructieprincipes.

Hoofdstuk 3 gaat over de numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg. Er worden twee

belastingsgevallen beschouwd: een puntkracht en een verdeelde belasting. Alle numerieke

simulaties worden gebaseerd op een niet-uniform elementennet, bestaande uit 49500 C3D8

elementen. Voor liggers met puntkracht wordt de resulterende puntenwolk in deelwolken

gesplitst, op basis van de dikte-hoogte verhouding en de initiële vormfout van de liggers.

Voor elke deelwolk wordt de ondergrens bepaald. Voor liggers met een verdeelde belasting is

het aantal simulaties te beperkt om ondergrenzen vast te leggen.

Hoofdstuk 4 toont enkele mogelijkheden om een kitvoeg te modelleren. Omwille van de

eenvoud wordt in dit werk enkel de afschuiving van de kitvoeg gemodelleerd. Dit gebeurt

door middel van een continue veerondersteuning, gericht volgens de dikterichting van de

ligger. Hoe groter de veerstijfheid, hoe groter het effect op de bezwijkbelasting, vooral bij

grote slankheden.

Hoofdstuk 5 bespreekt de afschuifproeven van siliconevoegen met afmetingen 6 mm x 6 mm

en 15 mm x 15 mm. De resultaten worden aangewend om twee niet-lineaire veermodellen op

te stellen die een quasi lineair verloop hebben.

Hoofdstuk 6 maakt gebruik van de resultaten van Hoofdstuk 4 en Hoofdstuk 5 om een

numerieke analyse uit te voeren van liggers met kitvoeg. Voor liggers met een puntkracht

worden drie soorten voegen beschouwd: 6 mm x 6 mm, 6 mm x t en 15 mm x 15 mm. Deze

hebben een niet te verwaarlozen effect: bij sommige liggers wordt de bezwijkbelasting meer

dan verdubbeld. Als benadering mag in het numeriek model een lineair veergedrag

aangenomen worden. Voor liggers met een verdeelde belasting werden te weinig simulaties

uitgevoerd om algemeen geldende conclusies te trekken.

Hoofdstuk 7 vat de belangrijkste resultaten van dit werk samen.

Trefwoorden: monolithisch glas, kipgedrag, kipkromme, kitvoeg, draagvermogen

vi

Tabel van afkortingen en symbolen

E elasticiteitsmodulus van glas

C1 factor ter bepaling van de randvoorwaarden bij een elastische kipberekening

C2 factor ter bepaling van de randvoorwaarden bij een elastische kipberekening

E elasticiteitsmodulus van glas

fy vloeigrens van staal

F puntkracht in het midden van de overspanning

Fafsch opgemeten kracht bij een afschuifproef

Fcr kritieke waarde van de puntkracht F

G glijdingsmodulus van glas

h hoogte van de ligger

It wringconstante

Iw welfconstante

Ix traagheidsmoment rond as x

Iy traagheidsmoment rond as y

k factor met betrekking tot de eindverdraaiing in het vlak van de ligger

kveer veerstijfheid van de continue veerondersteuning

kw factor met betrekking tot de welving aan de liggeruiteinden

Kveer veerstijfheid van de veren ter vervanging van de continue veerondersteuning

L lengte van de ligger

Mcr elastisch kipmoment

MX buigend moment rond as X

My bezwijkmoment

p uniform verdeelde belasting

P puntkrachten ter vervanging van de uniform verdeelde belasting p

t dikte van de ligger

u verplaatsing volgens de x-as

uafsch opgemeten verplaatsing bij een afschuifproef

vii

u0 initiële vormfout volgens de x-as

v verplaatsing volgens de y-as

Wy elastisch weerstandsmoment

zg positie boven of onder het dwarskrachtmiddelpunt van een liggerdoorsnede

α factor met betrekking tot de imperfectie van een stalen profiel

χ reductiefactor

γ veiligheidsfactor

φ factor in de formule van EC 3

ϕ rotatie rond de z-as

λ relatieve slankheid

σbreuk treksterkte van glas

σcr ideale kipspanning

σmax maximale randspanning

σy maximale buigspanning

viii

Inhoudsopgave

1. Inleiding .................................................................................................................................1

1.1 Situering..........................................................................................................................1

1.2 Doelstellingen .................................................................................................................1

2. Literatuurstudie ....................................................................................................................3

2.1 Vlakglastechnologie........................................................................................................3

2.2 Beschrijving van het kipgedrag ......................................................................................4

2.2.1 Kip in de staalbouw ............................................................................................4

2.2.2 Kip in de glasbouw .............................................................................................8

2.2.3 Invloed van de geometrische parameters..........................................................12

2.2.4 Invloed van het glastype ...................................................................................13

2.2.5 Invloed van een initiële vormfout.....................................................................13

2.3 Belemmering van het kipgedrag door een kitvoeg .......................................................15

2.3.1 Materiaalspecificaties .......................................................................................15

2.3.2 Constructieprincipes .........................................................................................17

2.3.3 Invloed van een kitvoeg op de kipweerstand....................................................20

3. Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg ................................................................22

3.1 Ideale liggers versus liggers met imperfecties..............................................................22

3.2 Optimalisatie van het elementennet..............................................................................24

3.2.1 Uniforme verdeling van de elementen..............................................................26

3.2.2 Niet-uniforme verdeling van de elementen ......................................................28

3.2.3 Onderlinge vergelijking van de resultaten ........................................................30

3.2.4 Vergelijking met de theoretische spanningen...................................................32

3.2.5 Invloed van het elementennet op de eigenwaardenberekening ........................33

3.2.6 Keuze van het elementennet .............................................................................35

ix

3.3 Opstellen van de referentie-kipkrommen .....................................................................36

3.3.1 Liggers belast met een puntkracht in het midden .............................................36

3.3.1.1 Parameters..........................................................................................36

3.3.1.2 Uitvoeren van de numerieke simulaties.............................................37

3.3.1.3 Opstellen van de kipkrommen ...........................................................38

3.3.1.4 Invloed van de grootte van de initiële vormfout................................45

3.3.2 Liggers belast met een uniform verdeelde belasting ........................................49

3.3.2.1 Parameters..........................................................................................49

3.3.2.2 Uitvoeren van de numerieke simulaties.............................................49

3.3.2.3 Opstellen van de kipkrommen ...........................................................50

3.3.2.4 Invloed van de grootte van de initiële vormfout................................51

4. Theoretische invloed van een kitvoeg................................................................................53

4.1 Numerieke modellering van een kitvoeg......................................................................53

4.2 Invloed van een kitvoeg op de kiplast ..........................................................................56

4.2.1 Ideale liggers.....................................................................................................57

4.2.2 Liggers met imperfecties ..................................................................................59

5. Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg ....................................62

5.1 Proefstukken .................................................................................................................62

5.1.1 Materialen .........................................................................................................62

5.1.2 Maken van de proefstukken..............................................................................64

5.2 Proefopstelling en -procedure.......................................................................................66

5.3 Proefresultaten ..............................................................................................................68

5.3.1 Siliconevoeg van 6 mm x 6 mm .......................................................................68

5.3.2 Siliconevoeg van 15 mm x 15 mm ...................................................................70

5.4 Analyse van de resultaten .............................................................................................71



5.4.3 Vergelijking ......................................................................................................74

6. Numerieke analyse van liggers met kitvoeg .....................................................................76

6.1 Liggers belast met een puntkracht in het midden.........................................................76


x

6.1.2 Lineaire benadering van het veergedrag...........................................................83

6.1.3 Siliconevoeg van 6 mm x t ...............................................................................84


6.2 Liggers belast met een uniform verdeelde belasting ....................................................90



7. Samenvatting en besluiten..................................................................................................93

7.1 Inleiding ........................................................................................................................93

7.2 Liggers zonder kitvoeg .................................................................................................93

7.3 Liggers met kitvoeg ......................................................................................................95

7.4 Suggesties voor verder onderzoek ................................................................................96

A. Resultaten numerieke simulaties: liggers zonder kitvoeg ..............................................98

B. Fotoreeks van een afschuifproef .....................................................................................101

C. Resultaten numerieke simulaties: liggers met kitvoeg .................................................103

Bibliografie ............................................................................................................................107

Lijst van figuren....................................................................................................................109

Lijst van tabellen...................................................................................................................115

1

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Situering

Glas is een transparant materiaal waardoor het een grote aantrekkingskracht uitoefent op

ontwerpers van bouwkundige constructies. Het materiaal lijkt in eerste instantie ongeschikt

om toe te passen als constructief element. We denken immers meteen aan het brosse gedrag

van glas. Door gebruik te maken van gelamineerd glas, is het echter wel mogelijk om

structurele elementen uit glas te gebruiken.

Glazen liggers of vinnen die worden toegepast als dragend element, zijn meestal via hun

bovenrand verbonden met de rest van de constructie. Een veelgebruikte verbindingsmethode

is gebaseerd op een silicone kitvoeg (structural sealant). Wanneer de ligger uitkipt, worden

de zijdelingse verplaatsingen belemmerd door de kitvoeg, waardoor de kritieke belasting zal

verhogen. In dit werk wordt de invloed van deze voegen op het kipgedrag onderzocht.

Deze scriptie kadert in het onderzoek naar het gedrag van gelamineerd glas, dat uitgevoerd

wordt aan het Laboratorium voor Modelonderzoek van de vakgroep Bouwkundige

Constructies.

1.2 Doelstellingen

De hoofdbedoeling van deze scriptie is om het gunstig effect van een constructieve kitvoeg op

het kipgedrag te bestuderen. Hierbij is het belangrijk om rekening te houden met de initiële

vormfout van de ligger. Het onderzoek verloopt op numerieke wijze, aan de hand van het

eindige-elementen pakket Abaqus. Aanvullend worden experimenten uitgevoerd om het

materiaalgedrag van de kitvoeg te onderzoeken. De studie wordt beperkt tot monolithische

glazen liggers die belast worden door een puntkracht in het midden of door een uniform

Hoofdstuk 1: Inleiding

2

verdeelde belasting. De doelstelling van dit werk is een antwoord te vinden op de volgende

vragen:

� Hoe kunnen kipkrommen opgesteld worden voor glazen liggers zonder kitvoeg? Wat

is de algemene vorm van deze krommen? Door welke factoren worden de krommmen

beïnvloed?

� Hoe kan een constructieve kitvoeg gemodelleerd worden? Wat is, theoretisch gezien,

de invloed van een kitvoeg op de kipkrommen?

� Wat is het materiaalgedrag van de kitvoeg bij afschuiving? Spelen de afmetingen van

de kitvoeg hierbij een rol? Hoe kan dit materiaalgedrag geïmplementeerd worden in

het numeriek model?

� Wat is het effect van een kitvoeg op de kipkrommen? Bij welke liggers is de invloed

het grootst? Spelen de afmetingen van de kitvoeg hierbij een rol?

3

Hoofdstuk 2

Literatuurstudie

2.1 Vlakglastechnologie

Het chemisch meest eenvoudige glas is kwartsglas, dat enkel uit siliciumoxide bestaat. Het is

opgebouwd uit een driedimensionaal netwerk van tetraëders bestaande uit een centraal

siliciumatoom met daarrond vier zuurstofatomen. Kwartsglas heeft echter een hoge

smelttemperatuur waardoor het moeilijk verwerkbaar is. In de meeste toepassingen wordt

daarom natronkalkglas gebruikt, dat ontstaat door een aantal componenten, zoals soda, kalk

en metaaloxiden, toe te voegen aan het basismateriaal.

Tabel 2.1: Relevante eigenschappen van natronkalkglas (Belis, 2005)

Eigenschap Waarde Eenheid

Massadichtheid 2500 kg/m³

Elasticiteitsmodulus 70000 N/mm²

Dwarscontractiecoëfficiënt 0,23 -

Meestal maakt men gebruik van vlakglas dat geproduceerd wordt aan de hand van het

floatprocédé. Hierbij worden de basisproducten gesmolten en vervolgens onder hoge

temperatuur in een tinbad gebracht. Door het verschil in oppervlaktespanning tussen het

dikvloeibare glas en het tin, heeft de glassmelt die komt bovendrijven een zeer glad

oppervlak. Het glas wordt uitgegloeid door de temperatuur gecontroleerd te laten dalen zodat

er geen residuele spanningen ontstaan.

Men kan echter ook bewust eigenspanningen aanbrengen, waardoor het glas wordt

voorgespannen en schijnbaar sterker wordt. Het glas wordt daartoe opnieuw opgewarmd en

vervolgens plots afgekoeld met koude lucht. Zo komt de buitenkant van de glasplaat terug in

Hoofdstuk 2: Literatuurstudie

4

vaste toestand, terwijl de binnenkant nog taaivloeibaar is. Na een gelijkmatige

temperatuursdaling resulteert dit in een drukspanning aan de buitenzijde en een trekspanning

aan de binnenzijde van de glasplaat. Hierdoor zijn de toegelaten buigtrekspanningen hoger

waardoor het element een grotere belasting kan dragen. Afhankelijk van de

afkoelingssnelheid en bijgevolg, de graad van voorspanning spreekt men van thermisch

gehard of thermisch versterkt glas.

Tabel 2.2: Buigtreksterkte van glas volgens de normen (CEN prEN 13474-1, 1999;

CEN EN 1863-1, 2000; CEN EN 12150-1, 2000)

Glastype Buigtreksterkte [MPa]

Uitgegloeid glas 45

Thermisch versterkt glas 70

Thermisch gehard glas 120

Zowel uitgegloeid als thermisch voorgespannen glas heeft een lineair elastisch

materiaalgedrag bij temperaturen die onder het vervormingspunt liggen (520°C bij

natronkalkglas, dus ver boven kamertemperatuur). Eens de breuksterkte bereikt wordt, stopt

het lineaire verloop en krijgt men een brosse breuk.

Indien glas wordt toegepast als structureel element, is het om veiligheidsredenen doorgaans

beter om gelamineerd glas te gebruiken. De glasplaten worden daarbij aan elkaar gehecht

door een adhesieve tussenlaag waardoor de glasplaten kunnen samenwerken. De tussenlaag

zorgt er eveneens voor dat eventuele scherven niet loskomen en dat brosse breuken tussen de

verschillende lagen kunnen gestopt worden. De meest gebruikte tussenlaag is

polyvinylbutyral (PVB). “SentryGlas Plus” (SGP) is een recenter, alternatief

tussenlaagmateriaal dat veel sterker en stijver is dan PVB, maar minder frequent wordt

toegepast. Deze materialen hebben een visco-elastisch gedrag: temperatuurs- en tijdseffecten

spelen een belangrijke rol in hun mechanisch gedrag.

2.2 Beschrijving van het kipgedrag

2.2.1 Kip in de staalbouw

Beschouwen we een stalen ligger met slanke rechthoekige dwarsdoorsnede, aan beide

uiteinden opgelegd in gaffels, die onderworpen wordt aan buiging om de sterke as. Indien de

belasting een kritieke waarde bereikt, zal de ligger instabiel worden en een doorbuiging


5

vertonen in het vlak én uit het vlak. Tevens zullen de dwarsdoorsneden een hoekverdraaiing

ondergaan, behalve ter hoogte van de gaffels die geen rotatie toelaten. Dit

instabiliteitsverschijnsel heet kip. Hierbij treedt een combinatie op van buiging in het vlak,

buiging uit het vlak en wringing.

Figuur 2.1: Beeld van een uitgekipte ligger, met aanduiding van de verplaatsingen in de X-richting

Voor de theoretische afleiding beschouwen we een ideale ligger met dubbelsymmetrische

doorsnede, die aan beide uiteinden belast wordt met twee gelijke momenten MX met

tegengesteld teken. Het theoretisch elastisch kipmoment kan met onderstaande

evenwichtsvergelijkingen bepaald worden (Timoshenko en Gere, 1961):

2

2

xX dz

)z(vdEIM −= (2.1)

2

2

yX dz

)z(udEIM)z( =ϕ− (2.2)

3

3

wtX dz

)z(dEI

dz

)z(dGI

dz

)z(duM

ϕ−ϕ= (2.3)

Met de X-, Y- en Z-as en u(z), v(z) en ϕ(z) volgens Figuur 2.1 en verder:

Tabel 2.3: Verklaring van de gebruikte symbolen

Symbool Betekenis

EIx Buigstijfheid volgens as x

EIy Buigstijfheid volgens as y

EIw Welfstijfheid

GIt Torsiestijfheid

Voor een smalle rechthoekige doorsnede kan de welfstijfheid verwaarloosd worden en wordt

volgende differentiaalvergelijking bekomen:

F

vu

Z

X Y ϕ

u


6

0dz

)z(dGI

EI

M)z(

2

2

ty

2X =ϕ+ϕ (2.4)

De triviale oplossing stemt overeen met de grondtoestand. De ligger blijft dan verticaal en

wordt in het vlak aan buiging onderworpen. Niet-triviale evenwichtsvormen kunnen optreden

als onderstaande voorwaarde voldaan is:

π=⋅

yt

X

EIGI

LM (2.5)

De laagste onder deze eigenwaarden bepaalt het elastisch kipmoment Mcr:

ytcr EIGIL

Mπ= (2.6)

In EC3 staat een meer algemene formule vermeld om het elastisch kipmoment Mcr te bepalen

van een stalen ligger met uniforme dubbelsymmetrische doorsnede (prEN 1993-1-1, 2002):

−+

π+

⋅

π= g2

2g2

Y2

t2

Y

w

2

w2Y

2

1cr zC)zC(EI

GI)kL(

I

I

k

k

)kL(

EICM (2.7)

zg houdt rekening met de positie van de belasting ten opzichte van het zwaartepunt van de

dwarsdoorsnede.

Indien de ligger niet is opgelegd in gaffels, moeten andere randvoorwaarden gebruikt worden.

Een inklemming aan één of beide uiteinden zal de kipcapaciteit doen toenemen. Het effect

van de verschillende soorten randvoorwaarden kan in rekening gebracht worden door met een

effectieve lengte te werken. Dit wordt uitgedrukt door de factoren k en kw. De factor k heeft

betrekking op de eindverdraaiing in het vlak van de ligger terwijl de factor kw rekening houdt

met de welving aan het uiteinde. Zonder speciale voorzieningen om welving te verhinderen, is

kw gelijk aan één. k varieert van 0,5 voor een volledige inklemming tot 1 voor een volledig

gebrek aan inklemming.

De factoren C1 en C2 zijn afhankelijk van de belasting en de randvoorwaarden. Voor een

ligger met twee vorkopleggingen die belast wordt door een puntkracht in het midden, is C1

gelijk aan 1,35 en C2 gelijk aan 0,59. Bij een uniform verdeelde belasting bedraagt C1 1,12 en

C2 0,45.

Bovenstaande afleiding houdt geen rekening met plasticiteit, eigenspanningen of vormfouten.

Uit theoretische en experimentele studies is gebleken dat de verhouding van het

bezwijkmoment van een kippende elastisch-plastische ligger met een vormfout en met


7

eigenspanningen tot het vloeimoment, verband houdt met de slankheid van de ligger

(Vandepitte, 1980). Volgens EC 3 moet gewerkt worden met een reductiefactor χ voor de

rekenwaarde van de kipcapaciteit My,d (prEN 1993-1-1, 2002).

γχ= y

yd,y

fWM (2.8)

Wy is het plastisch of elastisch weerstandsmoment, afhankelijk van de klasse waartoe de

doorsnede behoort. De reductiefactor χ is functie van de relatieve slankheid λ en kan als volgt

bepaald worden:

11

22≤

λ−φ+φ=χ (2.9)

( )[ ]22,015,0 λ+−λ⋅α+⋅=φ (2.10)

cr

yy

M

fW=λ (2.11)

In bovenstaande formules is α een factor die rekening houdt met de imperfecties van de

profielen. Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen gelaste en gewalste profielen. Mcr is het

elastisch kipmoment en kan bepaald worden met formule (2.7) die eerder al vermeld werd.

De waarde van de reductiefactor χ kan ook rechtstreeks afgelezen worden op één van de

kipkrommen. Deze curven geven het verband weer tussen de reductiefactor χ en de relatieve

slankheid λ (Figuur 2.2). Afhankelijk van het type profiel moet de kipkromme b, c of d

gebruikt worden.

b/c

d

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ

2

1

λ

Figuur 2.2: Kipkrommen gedefinieerd volgens EC3


8

In Figuur 2.2 zijn tevens de theoretische grenzen voor χ aangegeven. De kipcapaciteit My,d

kan noch het vloeimoment yy fW ⋅ , noch het theoretisch kipmoment Mcr overtreffen. De

grenswaarde één houdt dus verband met de vloeigrens fy, terwijl de grenswaarde 2

1

λ rekening

houdt met de stabiliteit.

2.2.2 Kip in de glasbouw

Kip blijkt een belangrijk bezwijkfenomeen voor glazen liggers omdat ze meestal een hoge en

smalle doorsnede hebben. Dit instabiliteitsverschijnsel is al uitvoerig onderzocht op

theoretische, experimentele en numerieke wijze (Belis, 2005; Luible, 2004; Kasper, 2005). Er

wordt onderscheid gemaakt tussen ideale liggers en liggers met vormfouten. Bij de eerste-

orde benadering (ideale liggers) kunnen de horizontale verplaatsingen van de bovenrand

oneindig toenemen bij constante belasting. Indien men rekening houdt met een initiële

vormfout, krijgt men ook horizontale verplaatsingen bij een belasting kleiner dan de kritieke

belasting.

M

Mcr

volmaakte ligger

ligger met vormfouten

bifurcatiepunt

grondvorm

postkritiek evenwicht

u Figuur 2.3: Schematische voorstelling van de zijdelingse verplaatsing u van een

uitkippende ligger, belast met een constant moment (Belis, 2005)

Om het kipverschijnsel van een monolithische ideale glazen ligger te beschrijven wordt

dezelfde differentiaalvergelijking (2.4) gebruikt als in de staalbouw. Het theoretisch elastisch

kipmoment kan berekend worden op basis van EC3 met formule (2.7).

Bij een tweede-orde benadering moet men een basisvorm aannemen voor de initiële

vormfout. De vormfout die samenvalt met de eerste eigenvorm is de gevaarlijkste omdat de

vervormingen dan sneller toenemen. Bijgevolg neemt men als basisvorm voor een eenvoudig

opgelegde ligger een halve sinusboog met amplitude u0 in het midden van de overspanning.


9

Belis verwijst naar Stüssi1, Godoy2 en Liess3 en voerde ook zelf experimentele

vlakheidsmetingen uit, waaruit bleek dat deze aanname aanvaardbaar is (Belis, 2005).

Er zijn verschillende mogelijkheden om de kipweerstand te bepalen van een ligger met

initiële vormfout. Aan de hand van een tweede-orde berekening kan het kipprobleem herleid

worden tot een spanningsprobleem. Bij belasting door momenten aan de liggeruiteinden

wordt de maximale randspanning in het midden van de overspanning gegeven door volgende

uitdrukking (Stüssi, 1971):

⋅

−

⋅⋅

⋅+

⋅=σ 02

cr

XYt

2X

X

Xmax u

M

M1

1

IGI

Mt

I

Mh

2

1 (2.12)

Volgens Luible kan de niet-lineaire spanningsverdeling in de dwarsdoorsneden echter niet

correct weergegeven worden met bovenstaande tweede-orde theorie. Ook het postkritieke

draagvermogen - dit is het draagvermogen dat een uitgekipte ligger nog heeft - wordt niet

goed in rekening gebracht (Luible, 2004). Belis heeft daarentegen experimenteel bewezen dat

bovenstaande werkwijze in een aantal gevallen wel degelijk aanvaardbaar is (Belis, 2005).

Een algemeen aanvaarde manier om het kipprobleem van een imperfecte ligger te bestuderen,

is het opstellen van een numeriek model. Een eindige-elementenberekening levert de juiste

kipweerstand, maar is vrij omslachtig en daarom praktisch minder toepasbaar. Op basis van

dergelijke berekeningen is het echter wel mogelijk om speciale kipkrommen te ontwikkelen

voor glas (Luible, 2004). Deze zijn geïnspireerd op en vertonen daarom een grote analogie

met de kipkrommen voor stalen liggers. De kipkrommen geven het verband weer tussen de

geometrie van een glazen ligger en de kipweerstand. Deze methode heeft het voordeel dat de

niet-lineaire spanningsverdeling, de imperfecties, het postkritieke draagvermogen alsook de

verschillende glastypes in rekening kunnen gebracht worden, op voorwaarde dat de

kipkrommen opgesteld worden op basis van een geschikt model (Hoofdstuk 3, 4 en 6).

1 Fritz Stüssi (1971). Grundlagen des Stahlbaues. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, Zweite

neubearbeite Auflage, p. 400. 2 Luis A. Godoy (2000). Theory of elastic stability: Analysis and sensitivity. Philadelphia, Levittown, London:

Taylor & Francis, p. 213. 3 Johannes Liess (2001). Bemessung druckbelasteter Bauteile aus Glas. Kassel: Books on Demand GmbH,

Universität Kassel, FB Architektur, FG Tragwerksplannung, Kasseler Dissertation, p. 57-69.


10

Net als in de staalbouw wordt de geometrie van de glazen ligger uitgedrukt door een

slankheid λ [-] die als volgt gedefinieerd wordt:

cr

breuk

σσ

=λ (2.13)


Symbool Betekenis

λ Slankheid

σbreuk Treksterkte

σcr Ideale kipspanning

De slankheid λ kan bij glazen liggers niet bepaald worden op basis van een vloeigrens zoals

bij stalen liggers. Daarom moet men beroep doen op de treksterkte σbreuk.

De theoretische kiplast - dit is de kiplast van een ideale ligger - kan omgerekend worden naar

een ideale kipspanning σcr. Dit is de maximale trekspanning in de ligger wanneer hij om zijn

sterke as op buiging belast wordt door de theoretische kiplast.

De reductiefactor χ [-] wordt omschreven aan de hand van een maximale buigspanning σy.

Deze spanning is een maat voor het bezwijkmoment My, zijnde het buigend moment waarbij

de maximale toelaatbare spanning overschreden wordt en de ligger bezwijkt. De buigspanning

σy wordt gedefinieerd als de maximale spanning in de ligger wanneer hij door het

bezwijkmoment My onderworpen wordt aan buiging in zijn vlak. De buigspanning σy heeft

een gelijkaardige definitie als de ideale kipspanning σcr: beide worden bekomen door de

ligger op buiging te belasten om zijn sterke as. Voor σy wordt de ligger echter belast door het

bezwijkmoment (tweede-orde probleem), terwijl dit voor σcr de theoretische kiplast is

(bifurcatieprobleem).

breuk

y

σσ

=χ (2.14)

y

yy W

M=σ (2.15)


11


Symbool Betekenis

χ Reductiefactor

σy Maximale buigspanning

My Bezwijkmoment om de sterke as

Wy Elastisch weerstandsmoment om de sterke as

Het opstellen van de kipkrommen kan op volgende manier gebeuren. Door een groot aantal

numerieke simulaties uit te voeren voor verschillende liggers, dus voor verschillende

slankheden, kan telkens de kipweerstand en dus de reductiefactor bepaald worden. De vraag

die zich stelt is wanneer de kipweerstand van een ligger bereikt wordt of met andere woorden,

wanneer de ligger bezwijkt. Aangezien dit niet eenvoudig te bepalen is, wordt volgende

aanname gedaan (Luible, 2004): de kipweerstand wordt bereikt wanneer ofwel aan de

onderrand ofwel aan de bovenrand de spanning gelijk is aan de treksterkte.

De praktische werkwijze om de kipkrommen op te stellen wordt verduidelijkt aan de hand van

Figuur 2.4:

Figuur 2.4: Schematische werkwijze om kipkrommen op te stellen voor glazen liggers (Luible, 2004)

1. Men voert een numerieke simulatie uit van het kipfenomeen. Nadien kan het verloop

van de maximale trekspanningen aan de onder- en bovenrand weergegeven worden.

Ook de belasting kan opgevraagd worden, die kan omgerekend worden naar een

maximale buigspanning σy.

2. Voor een bepaalde treksterkte σbreuk, in Figuur 2.4 aangeduid als σp,t, kan onderzocht

worden of de spanning aan de onder- of bovenrand bepalend is.


12

3. Vervolgens bepaalt men de bijhorende maximale buigspanning σy.

4. Op basis van formule (2.13) en (2.14) worden de slankheid λ en de reductiefactor χ

berekend.

5. Door bovenstaande stappen te herhalen, wordt een wolk van punten bekomen.

De numerieke simulaties resulteren in een puntenwolk waaruit één of meerdere kipkrommen

moeten afgeleid worden. Het is een veilige benadering om een kipkromme te definiëren op

basis van de ondergrens van de puntenwolk. Eventueel kan men ook gebruik maken van

betrouwbaarheidsintervallen vb. het 95% betrouwbaarheidsinterval.

De rekenwaarde van het kipmoment kan eenvoudig bepaald worden aan de hand van een

kipkromme:

γσ

⋅⋅χ=σ⋅⋅χ= breukyd,breukyd,y WWM (2.16)


Symbool Betekenis

My,d Rekenwaarde van het kipmoment

γ Veiligheidsfactor op de breuksterkte

Figuur 2.4 toont ook de theoretische grenswaarden voor de reductiefactor χ. Voor kleine

waarden van de slankheid λ kan het kipprobleem beschouwd worden als een zuiver

buigingsprobleem en nadert de reductiefactor χ naar de eenheid. Voor grote slankheden

evolueert het kipprobleem tot een zuiver bifurcatieprobleem en nadert de reductiefactor χD

naar de grenswaarde 2

1

λ.

2.2.3 Invloed van de geometrische parameters

Men kan de invloed bestuderen van de geometrische parameters op de kipweerstand van een

monolithische ligger (Belis, 2005; Luible, 2004). Indien de hoogte toeneemt en de dikte en

overspanning van de ligger constant blijven, dan stijgt de kritieke belasting. De buig- en

wringstijfheid nemen immers toe met toenemende liggerhoogte. Bij gelijkblijvende hoogte en

dikte, neemt de kiplast af als de overspanningslengte toeneemt. De lengte heeft een grotere

invloed op de kritieke belasting dan de hoogte. Meestal zal de lengte echter gelijk moeten zijn

aan een opgegeven waarde, terwijl de hoogte en dikte van de ligger nog niet zullen vastliggen.


13

Tenslotte stijgt de kritieke belasting als de dikte van de glasplaat toeneemt. Deze parameter

heeft een veel groter effect op de kritieke belasting dan de hoogte en de lengte.

2.2.4 Invloed van het glastype

Bij de analyse van de experimentele resultaten stelde Belis vast dat de horizontale

verplaatsingen bij thermisch behandeld glas veel groter zijn (Belis, 2005). De verklaring

hiervoor is de grotere treksterkte en daardoor ook de grotere vervormingscapaciteit van dit

glastype. De zijdelingse verplaatsingen bij liggers uit uitgegloeid glas zijn meestal klein

doordat ze breken vooraleer ze kunnen kippen. Deze vaststelling strookt met Figuur 2.4: voor

grote treksterktes, dus grote slankheden kan een zuiver bifurcatieprobleem beschouwd

worden, terwijl het probleem voor kleine treksterktes, dus kleine slankheden nadert tot een

buigingsprobleem. Dit betekent echter niet dat alle liggers uit uitgegloeid glas ongevoelig zijn

voor kip: de geometrie van de doorsnede speelt ook een belangrijke rol. Verder bleek uit de

experimenten dat de waarde van de kiplast nauwelijks beïnvloed wordt door het glastype.

Uit numerieke simulaties blijkt dat een ideale monolithische ligger uit uitgegloeid glas steeds

zal bezwijken door buiging terwijl een ligger uit gehard glas zal bezwijken door kip. Voor een

imperfecte of gelamineerde ligger is dit niet meer het geval.

2.2.5 Invloed van een initiële vormfout

De basisvorm van een initiële vormfout kan benaderd worden door een halve sinusboog, wat

het meest nadelig is met betrekking tot het kipgedrag. Onderstaande tabel geeft een overzicht

van de maximale vormfoutamplitudes uit de literatuur en hun toepassingsgebied.

Tabel 2.7: Overzicht van de maximale relatieve vormfouten uit de literatuur

(CEN EN 12150-1, 2000; CEN EN 572-2, 2004; Belis, 2005)

Bron Toepassingsgebied Maximale vormfout

CEN EN 12150-1, 20004

Horizontaal gehard, monolithisch volgens CEN EN 572-2, 2004

L/333

Horizontaal gehard volgens overige normen L/250

Verticaal gehard, monolithisch L/200

4 De opgegeven waarden zijn, met uitzondering van de waarden voor verticale thermische processen, eveneens

geldig voor thermisch versterkt glas volgens CEN EN 1863-1 (2000), Glass in building – heat strengthened soda

lime silicate glass – part 1: Definition and description, CEN, English version, p. 12.


14

Bron Toepassingsgebied Maximale vormfout

Liess5 Uitgegloeid en gehard, monolithisch L/500

Luible Uitgegloeid en gehard, monolithisch en gelamineerd L/323

Belis Uitgegloeid, gelamineerd L/435

Gehard, gelamineerd L/412

Een initiële vormfout heeft geen invloed op de waarde van de kritieke belasting, maar wel op

de vervormingen en de spanningen. De curve van de belasting in functie van de zijdelingse

verplaatsingen, wijkt af van de ideale grondvorm (Figuur 2.3). Hoe groter de vormfout is, hoe

groter de zijdelingse verplaatsingen zijn en hoe meer de curve afwijkt.

Een toename van de initiële vormfout veroorzaakt een snellere spanningstoename, waardoor

het draagvermogen van de ligger nadelig beïnvloed wordt. Bij korte liggers heeft de initiële

vormfout een grotere invloed op de kipweerstand dan bij lange liggers (Luible, 2004).

Een ligger met een massieve doorsnede is relatief ongevoelig voor kip, aangezien de kiplast

van zo een ligger hoger ligt dan de bezwijkbelasting door buiging. De maximale zijdelingse

verplaatsingen zijn daardoor beperkt, zowel voor een ligger uit gehard als uitgegloeid glas.

Een gedrongen ligger zal voornamelijk verticale verplaatsingen vertonen. Bijgevolg treden de

maximale buigtrekspanningen op aan de onderrand in de middendoorsnede van de ligger. Het

bezwijkgedrag van een ligger met massieve doorsnede wordt gedomineerd door buiging in het

vlak, zowel bij kleine als bij grote vormfouten.

Bij een ligger met een slanke dwarsdoorsnede is de kiplast meestal kleiner dan de

bezwijkbelasting door buiging, waardoor de ligger kipgevoelig is. Bij kleine belastingen zijn

de horizontale verplaatsingen klein en vervormt de ligger vooral door buiging in het vlak. De

maximale buigtrekspanningen treden dan op aan de onderrand in de middendoorsnede. Als de

belasting groter wordt, nemen ook de zijdelingse verplaatsingen toe en is er een geleidelijke

overgang naar buiging uit het vlak. De convexe zijde wordt onderworpen aan trekspanningen

terwijl aan de concave zijde drukspanningen heersen. Bij een ligger met slanke

dwarsdoorsnede wordt het bezwijkfenomeen bepaald door buiging om de zwakke as.

Hieruit blijkt dat het spanningsverloop bij bezwijken voornamelijk afhangt van de

kipgevoeligheid van de ligger. Een ligger bezwijkt door buiging in het vlak, al dan niet in

combinatie met buiging uit het vlak en wringing (Belis, 2005).

5 Belis verwijst naar Liess, o.c., p. 97 en Luible, o.c., p. 37.


15

2.3 Belemmering van het kipgedrag door een kitvoeg

2.3.1 Materiaalspecificaties

Het voorgaande is enkel geldig voor glazen liggers met vrije boven- en onderrand. In

werkelijkheid kan de ligger via de bovenrand verbonden zijn met de constructie waarvan hij

deel uitmaakt. Hiervoor worden meestal lijnvormige adhesieve verbindingen gebruikt.

Aangezien deze verbindingen krachten kunnen overdragen, spreekt men van structural

sealants of constructieve kitvoegen.

De dikte en elasticiteit van de voeg zorgen ervoor dat opstellingsfouten, vormfouten en

thermische effecten opgevangen kunnen worden. De sterkte van de verbinding wordt bepaald

door de overgang tussen de te verbinden onderdelen en de voeg (adhesie) en door cohesie van

de voeg zelf. Ook andere factoren kunnen de sterkte beïnvloeden: het type en duur van de

belasting, de nauwkeurigheid van uitvoering, kwaliteit van de te verbinden oppervlakken,

omgevingsinvloeden (vb. UV-licht, temperatuur, vochtigheid).

Wurm classificeert de adhesieve verbindingen op basis van de elasticiteitsmodulus van het

gebruikte materiaal (Wurm, 2007). Hij maakt onderscheid tussen elastische (vb. silicone,

polyurethaan), taai-elastische en brosse (vb. epoxyharsen, acrylaten) verbindingen (Figuur

2.5). Voor de beschouwde toepassing is een elastische verbinding het meest relevant: meestal

wordt een glazen ligger aan de rest van de constructie verbonden door middel van een silicone

kitvoeg.

Figuur 2.5: Spanning-rek diagramma voor verschillende

adhesieve verbindingen (Wurm, 2007)

Siliconen zijn synthetische polymeren bestaande uit een Si-O ketting, waaraan organische

atoomgroepen kunnen gebonden worden via een Si-C binding. Afhankelijk van het aantal

basiseenheden dat herhaald wordt (kettinglengte) en de graad van cross-linking (aantal

dwarsverbindingen tussen de kettingen) worden verschillende types siliconen verkregen. Eén


16

van de meest toegepaste siliconen is polydimethylsiloxane (PDMS) dat bestaat uit een

aaneenschakeling van (CH3)2SiO eenheden.

Si O

CH3

CH3

n

Si

CH3

CH

Si O

CH3

CH

CH3H C3

Figuur 2.6: Chemische formule van polydimethylsiloxane (PDMS)

Siliconen hebben een hoge weerstand tegen UV-stralen, warmte en vochtigheid, vertonen

uitstekende weersbestendige eigenschappen en zijn bestand tegen ozon en extreme

temperaturen. Bovendien hebben ze een goede hechting op veel materialen. Volgens Wagner

hebben siliconen ook voldoende weerstand tegen cyclische belastingen, chemische stoffen en

micro- en macrobiologische organismen (Wagner, 1999). Dit zijn de belangrijkste redenen

om voor silicone kitvoegen te kiezen en waarom andere adhesieve materialen (vb.

polysulfide, polyurethaan) minder geschikt zijn.

De bij ons meest gebruikte siliconen voor kitvoegen zijn “DOW CORNING 895” (DC 895)

en “DOW CORNING 993” (DC 993). Beiden bezitten de hierboven vermelde eigenschappen

en zijn speciaal ontwikkeld voor de structurele verlijming van glas en andere materialen. Het

grootste verschil is dat DC 895 een ééncomponent, neutraal uithardende silicone is, terwijl

DC 993 een twee componenten, neutraal uithardende silicone is.

Een ééncomponent silicone kan rechtstreeks uit het patroon gebruikt worden en is dus zeer

eenvoudig toe te passen. Voor het uithardingsproces is water nodig, dat afkomstig is van de

vochtige lucht. Het water moet in de voeg dringen door diffusie, een zeer langzaam proces.

Daarom hebben ééncomponent siliconen een relatief lange uithardingstijd.

Bij een twee componenten silicone moeten de base en de katalysator eerst gemengd worden.

Tijdens het mengproces mag geen lucht worden opgenomen in het materiaal, vandaar dat een

speciale menginstallatie nodig is en dat handmatig mengen of mengen met handmixers

ontoereikend is. Het mengproces zorgt voor een homogene verdeling van de katalysator,

waardoor het uithardingsproces onmiddellijk kan starten. Dit resulteert in een kortere

uithardingstijd dan bij ééncomponent siliconen. De mengprocedure heeft als nadeel dat een

twee componenten silicone niet in situ kan toegepast worden terwijl dat voor een

ééncomponent silicone wel mogelijk is (Wagner, 1999).


17

Tabel 2.8 toont enkele relevante eigenschappen van DC 895 en DC 993. De maximale

verlenging van DC 993 is slechts de helft van die van DC 895 terwijl de treksterkte ongeveer

gelijk is. Bijgevolg zullen vb. de elasticiteitsmodulus en glijdingsmodulus verschillend zijn.

Tabel 2.8: Relevante eigenschappen van DC 895 en DC 993 (Productinformatie Dow Corning, 2001, 2004)

Eigenschap DC 895 DC 993 Eenheid

Soortelijk gewicht 1,43 1,30 g/ml

Uitzakken 0 0 mm

Tijd tot kleefvrijheid (25°C, 50%RV) 40 tot 60 80 tot 100 minuten

Na 7 dagen uitharding (25°C, 50%RV)

Maximale verlenging6 260 130 %

Treksterkte 1,06 0,95 MPa

Temperatuurbestendigheid -50 tot +150 -50 tot +150 °C

2.3.2 Constructieprincipes

In wat volgt worden enkele constructieprincipes voor constructieve kitvoegen geïllustreerd.

Silicone kitvoegen worden vaak toegepast voor de aansluiting tussen twee gevelpanelen, maar

bijvoorbeeld ook voor een dak-ligger, vloer-ligger of gevel-kolom aansluiting. Figuur 2.7

toont de visuele impact van zulke verbindingen.

Figuur 2.7: Dak-ligger en gevel-kolom aansluitingen, bestaande uit siliconenkitvoegen

in het Broadfield House Glass Museum te Kingswinford (http://www.firmanglass.com)

6 In de productinformatie van Dow Corning wordt verwezen naar ISO 8339 voor de maximale verlenging en

treksterkte.


18

Bij sommige verbindingen wordt gewerkt met een doorlopende backfill of steunstrip zodat de

dwarsdoorsnede van de aansluiting onveranderlijk is langsheen de volledige lengte van de

ligger/vin. Men kan echter ook gebruik maken van geïsoleerde setting blocks of steunblokjes.

In dat geval kunnen twee verschillende dwarsdoorsneden beschouwd worden: met of zonder

steunblokje.

Het eerste constructieprincipe kan geïllustreerd worden aan de hand van een glazen orangerie

in Leiden, die in 2002 werd voltooid (Nijsse, 2003). Het betreft een volledige glazen aanbouw

voor een oud herenhuis, met een oppervlakte van 4,85 m bij 4 m en een hoogte van 3,37 m tot

4,15 m. De basisstructuur wordt gevormd door een aaneenschakeling van portalen, bestaande

uit een glazen kolom en een glazen balk. De portalen worden onderling met elkaar verbonden

door glazen dak- en gevelelementen.

Figuur 2.8: Schematische voorstelling van de orangerie te Leiden (Nijsse, 2003)

De balken en kolommen zijn opgebouwd uit drie glasplaten met een dikte van 10 mm elk. De

afhellende dakplaten bestaat uit twee glasplaten (10 mm en 2 x 5,5 mm + PVB) met een

spouw van 12 mm, de gevelelementen zijn 12 mm dik. Er werden silicone kitvoegen

toegepast, zowel voor de aansluiting tussen de kolommen en de gevelelementen als voor de

aansluiting tussen de balken en de dakelementen. Figuur 2.9 toont de dwarsdoorsnede van de

verbinding van een balk met twee dakelementen. Over de volledige lengte van de balk is in

het midden een polyethyleen steunstrip (19 x 6 mm) aangebracht, en langs weerszijden

daarvan een siliconevoeg (7,5 x 6 mm). De steunstrip zorgt ervoor dat de siliconevoegen

gemakkelijk kunnen aangebracht worden en fungeert tevens als afstandshouder. Voor de

verbinding tussen de twee dakplaten wordt eveneens een polyethyleen steunstrip (8 x 23 mm)

gebruikt en bovenaan een weather seal of weersbestendige voeg (8 x 10 mm) als afdichting.

De geometrie van de aansluiting wordt grotendeels bepaald door de minimale opleglengte van

de dakelementen, die in dit geval 13 mm bedraagt.


19

gelamineerde glazen balk 10-10-10 mm

glazen dakelement 10-12-5,5x2+PVB

structurele kitvoeg 7,5 x 6 mm

PE steunstrip 19 x 6 mm

PE steunstrip 8 x 23 mm

weersbestendige voeg 8 x 10 mm

8

33

6

34 Figuur 2.9: Dwarsdoorsnede van de aansluiting tussen een balk en

twee dakelementen, in de orangerie te Leiden

Vrijwel alle verbindingen met een doorlopende steunstrip zijn opgebouwd volgens

bovenstaand principe. De dikte en samenstelling van de balken en de dakelementen kan echter

variëren, waardoor ook de afmetingen, aangeduid in Figuur 2.9, zullen wijzigen. Toch zullen

deze variaties beperkt zijn, aangezien de minimale opleglengte van de dakelementen min of

meer constant is. De inkomhal van het Broadfield House Glass Museum in Kingswinford

vertoont veel gelijkenis met de orangerie in Leiden (http://www.firmanglass.com). Figuur

2.10 toont de verbinding van een balk met twee dakelementen. De silicone kitvoeg (DC 895)

heeft hier afmetingen van 6 x 6 mm. Tevens werd een ander soort steunstrip gebruikt:

geëxpandeerd schuim in plaats van polyethyleen.

gelamineerde glazen balk 32 mm

gelamineerde glazen dakplaat 6-6 mm

spouw 10 mm

steunstrip

glazen dakplaat 10 mm

steunstrip uit geëxpandeerd schuim

weersbestendige voeg

structurele kitvoeg 6 x 6 mm

Figuur 2.10: Aansluiting tussen een balk en twee dakelementen, in het

Broadfield House Glass Museum in Kingswinford


20

Volgens de productinformatie van Dow Corning moet een doorlopende silicone kitvoeg een

breedte hebben tussen 6 mm en 15 mm en moet de dikte minstens 6 mm bedragen. Dit strookt

met de vermelde praktijkvoorbeelden.

Geïsoleerde steunblokjes zijn een veelgebruikt alternatief voor een doorlopende steunstrip.

Het belangrijkste verschil is de variërende breedte van de kitvoeg: ter plaatse van de

steunblokjes is de kitvoeg veel smaller. Bijgevolg is de dwarsdoorsnede ter plaatse van een

steunblokje verschillend van de dwarsdoorsnede zonder steunblokje. Andermaal heeft de

minimale opleglengte van de dakplaten een grote invloed op de geometrie van de verbinding.

Figuur 2.11 toont twee verschillende dwarsdoorsneden met afmetingen die in de praktijk

gebruikelijk zijn:

36

12 3123 6

36

615 15

steunblokje

Figuur 2.11: Dwarsdoorsnede met en zonder steunblokje

2.3.3 Invloed van een kitvoeg op de kipweerstand

De verbinding tussen een ligger en de constructie waarvan hij deel uitmaakt, heeft een invloed

op de kipweerstand. De kitvoeg zal de horizontale verplaatsingen en de rotatie van de ligger

belemmeren waardoor de kritieke belasting toeneemt. Voor veel liggers is de

bezwijkbelasting door buiging groter dan de kiplast. Indien men er in slaagt om zulke liggers

te doen bezwijken door buiging, dan vergroot hun draagcapaciteit enorm.

Belis et al. onderzochten in welke mate de theoretische kiplast van monolithische ideale

liggers kan verhoogd worden door laterale belemmering van de verplaatsingen (Belis et al.,

2003). Om de invloed van verhinderde verplaatsingen na te gaan, werden veren toegevoegd

over de volledige bovenrand van de ligger of op enkele discrete punten. Door variatie van de

veerstijfheden werden de horizontale uitwijkingen meer of minder belemmerd. Algemeen kan

vastgesteld worden dat een toename van de veerstijfheid resulteert in een hogere kiplast. Voor


21

liggers met een continue veerondersteuning over de volledige bovenrand en een uniform

verdeelde belasting, is dit effect het grootst voor kleine veerstijfheden. Ook indien de liggers

belast worden met een puntlast in het midden van de overspanning, is de toename van de

kiplast het grootst voor kleine veerstijfheden.

In dit werk wordt het onderzoek van Belis et al. uitgebreid naar geometrisch niet-lineair

gedrag: ook liggers met imperfecties worden beschouwd. Tevens zullen praktisch bruikbare

veermodellen opgesteld worden, gebaseerd op veelgebruikte voegmaterialen.

22

Hoofdstuk 3

Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg

Voor de numerieke analyse van het kipfenomeen wordt gebruik gemaakt van het eindige-

elementenpakket Abaqus. Het invoeren van de rekenopdrachten gebeurt via handmatig

geprogrammeerde inputfiles. De resultaten kunnen weggeschreven worden naar bestanden of

kunnen gevisualiseerd worden aan de hand van de postprocessor Abaqus/CAE.

Bij de numerieke simulaties wordt verondersteld dat het glas een ideaal elastisch

materiaalgedrag heeft en bovendien wordt er geen bovengrens vastgelegd voor de optredende

spanningen. De numerieke simulaties leiden tot theoretische resultaten en achteraf moet vb.

nog een spanningscontrole uitgevoerd worden om het draagvermogen van de ligger te

bepalen. Bij monolithische ideale liggers kan men een bepaalde ontwerpspanning aannemen

in functie van het gebruikte type glas (Tabel 2.2). Vervolgens kan de belasting bepaald

worden waarbij de ligger bezwijkt door buiging in het vlak. Deze belasting moet vergeleken

worden met de theoretische kiplast om het draagvermogen van de ligger te bekomen (Belis,

2005).

In dit werk worden enkel monolithische liggers beschouwd: gelamineerde liggers worden niet

onderzocht. Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen liggers zonder kitvoeg (vrije boven- en

onderrand) met kitvoeg (enkel een vrije onderrand) (Hoofdstuk 4, 5 en 6). De liggers worden

belast door een puntkracht in het midden of door een uniform verdeelde belasting. Omwille

van symmetrie volstaat het om telkens een halve ligger te modelleren.

3.1 Ideale liggers versus liggers met imperfecties

Zoals vermeld in Hoofdstuk 2 hebben ideale liggers en liggers met imperfecties een

verschillend gedrag, waardoor een andere aanpak nodig is voor de numerieke berekeningen.

Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg

23

Bij een ideale monolithische ligger bestaat de numerieke analyse uit een

eigenwaardenberekening. Voor iedere simulatie resulteert dit in een aantal eigenwaarden met

bijhorende kipvorm. Door de aangebrachte belasting te vermenigvuldigen met de kleinste van

deze eigenwaarden, bekomt men de waarde van de kritieke belasting. Het geval van een

ideale ligger met vrije boven- en onderrand wordt niet verder onderzocht, maar dient als basis

voor een ideale ligger met een kitvoeg (Hoofdstuk 4).

De aanwezigheid van een initiële vormfout heeft geen invloed op de waarde van de kritieke

belasting (Figuur 2.3). Een vormfout veroorzaakt echter zijdelingse verplaatsingen bij een

belasting lager dan de kritieke belasting, wat niet het geval is bij een ideale ligger. Een initiële

vormfout beïnvloedt dus de vervormingen, en bijgevolg ook de spanningsverdeling in de

ligger.

De berekeningen voor een ligger met imperfecties zijn niet-lineair, in tegenstelling tot de

berekeningen voor een ideale ligger. Dit vergt een ietwat andere aanpak voor de numerieke

simulaties. De vormfout die samenvalt met de eerste eigenvorm is de meest gevaarlijke.

Daarom wordt in een eerste berekeningsstap de eerste eigenvorm van de ligger berekend, met

behulp van een eigenwaardenberekening. Vervolgens wordt de grootte van de vormfout

verschaald naar een vooropgestelde waarde (Tabel 2.7) en geïmplementeerd in de

basisgeometrie van de ligger. De resulterende geometrie houdt dus rekening met de grootte

van de vormfout en is de startgeometrie van de eigenlijke niet-lineaire analyse. Bij de tweede,

niet-lineaire berekeningsstap kan een neerwaartse verplaatsing opgelegd worden aan de

bovenrand van het midden van de ligger. De niet-lineaire analyse verloopt dan

vervormingsgestuurd. Voor een uniforme verdeelde belasting is dit niet mogelijk. In dat geval

moet de maximale belasting ingegeven worden en verloopt de analyse belastingsgestuurd.

De numerieke simulaties van liggers met imperfecties worden gebruikt om kipkrommen op te

stellen. Deze curven geven het verband weer tussen de geometrie van de glazen ligger,

uitgedrukt door een slankheid λ, en de kipweerstand, uitgedrukt door een reductiefactor χ. De

theoretische achtergrond en de praktische werkwijze zijn terug te vinden in Hoofdstuk 2. Uit

de tweede berekeningsstap van de numerieke analyse volgt het verloop van de belasting,

evenals het verloop van de maximale trekspanningen aan de onder- en bovenrand. De

nauwkeurigheid van de spanningen is echter afhankelijk van het gebruikte elementtype en het

aantal elementen. Daarom moet het elementennet eerst geoptimaliseerd worden. Dit gebeurt

op basis van de spanningen in de niet-lineaire berekeningsstap. Aangezien het elementennet


24

in beide berekeningsstappen hetzelfde moet zijn, moet ook het elementennet in de eerste

berekeningsstap (eigenwaardenberekening) aangepast worden.

3.2 Optimalisatie van het elementennet

Hoewel schaalelementen een logische keuze zouden kunnen zijn, worden vaak volume-

elementen toegepast. Met deze elementen is het immers mogelijk om meerdere elementen te

gebruiken in de dikterichting van de ligger. Dit is vooral van belang wanneer later, als

uitbreiding op dit werk, gelamineerde liggers zouden onderzocht worden. Het gebruik van

volume-elementen impliceert uiteraard een langere rekentijd, maar daartegenover staat de

grotere nauwkeurigheid van de numerieke simulaties.

De Meester kwam tot de conclusie dat een C3D20R element het meest geschikte volume-

element was voor de geometrische parameterstudie die hij uitvoerde (De Meester, 2004). Hij

hield hierbij rekening met mathematische juistheid, benodigde rekentijd en

processorbelasting. Belis maakte gebruik van C3D20R elementen voor de numerieke

modellen van ideale liggers. Voor liggers met imperfecties werden de volume-elementen met

20 knopen vervangen door volume-elementen met acht knopen (C3D8), en dit om een fijn

elementennet te realiseren met een aanvaardbare rekentijd. In de literatuur worden ook andere

elementen gebruikt, zoals C3D8I elementen of continuous shell elementen (Kasper en

Sedlacek, 2003; D´Haene en Savineau, 2007).

In dit werk wordt gekozen voor C3D20R elementen voor de numerieke modellen van ideale

liggers. Het C3D20R element is een driedimensionaal, doosvormig continuümelement met 20

knopen. De letter ‘R’ staat voor reduced integration wat betekent dat er voor de berekening

van de stijfheden slechts twee integratiepunten in elke richting gebruikt worden.

Om de rekentijd te beperken worden de numerieke modellen van liggers met imperfecties

opgebouwd uit volume-elementen met acht knopen. Verder onderzoek is nodig om te

oordelen of het C3D8 of C3D8I element het meest geschikt is. De letter ‘I’ staat voor

incompatible modes. Het C3D8I element is uitgerust met een aantal bijkomende

vrijheidsgraden (de incompatible modes), waardoor de resultaten bij buigingssimulaties

verbeteren. Uiteraard zorgen de bijkomende vrijheidsgraden voor een langere rekentijd dan

bij een eenvoudig lineair element (vb. C3D8), maar ten opzichte van een kwadratisch element

(vb. C3D20R) zal de rekentijd veel korter zijn.


25

uitgekipte ligger

Figuur 3.1: Knopen van het C3D8(I) en het C3D20R element (Abaqus Manual, 2004)

Bij ideale liggers heeft het elementennet een relatief beperkte invloed op de resultaten. Er

wordt immers enkel een eigenwaardenberekening uitgevoerd. Bij liggers met imperfecties

daarentegen speelt het elementennet een grote rol en wordt de optimalisatie verder in detail

bekeken.

Het elementennet wordt bepaald door drie factoren: het elementtype, het aantal elementen en

de manier waarop de elementen verdeeld worden over de ligger. Voor de verdeling van de

elementen worden twee mogelijkheden beschouwd: een uniforme en een niet-uniforme

verdeling. De niet-uniforme verdeling kan als volgt verklaard worden. De maximale

trekspanningen aan de onder- en bovenrand treden op in de middendoorsnede, aan de

buitenkant van de ligger (Figuur 3.2). Enkel in deze twee punten moet het spanningsverloop

gekend zijn. Het lijkt daarom interessant om de zones rondom deze punten meer te verfijnen

dan de rest van het model.

Figuur 3.2: Beeld van een halve ligger vanuit de middendoorsnede, met aanduiding

van de punten met maximale trekspanningen

Voor de optimalisatie worden elementennetten beschouwd, bestaande uit C3D8 of C3D8I

elementen en met een uniforme of niet-uniforme verdeling. Telkens worden een aantal

elementennetten bekeken met variërende fijnheid. De uitgevoerde berekeningen hebben

betrekking op een ligger die belast wordt met een puntkracht, met lengte drie meter, lengte-

hoogte verhouding tien, dikte tien millimeter en vormfout L/333 (Tabel 2.7).

punt bovenaan

uitgekipte ligger onvervormde ligger

punt onderaan


26

3.2.1 Uniforme verdeling van de elementen

Bij de uniforme optimalisatie is het aantal elementen in de dikterichting steeds gelijk aan vier,

terwijl het aantal elementen in de lengte- en hoogterichting stelselmatig verhoogd wordt

(Tabel 3.1). De lengte en hoogte van één element zijn ongeveer gelijk aan elkaar.

Tabel 3.1: Samenstelling van de uniforme elementennetten

lengte hoogte dikte totaal

90 22 4 7920

135 33 4 17820

180 44 4 31680

225 55 4 49500

270 66 4 71280

Voor elk elementennet moet het spanningsverloop in beide punten geregistreerd worden. In

Abaqus wordt de normaalspanning in de lengterichting voorgesteld door S11, de maximale

hoofdspanning door SP1. Voor de twee punten in de middendoorsnede zou S11 niet zo veel

mogen verschillen van SP1, wat inderdaad geldt voor het punt onderaan. In het punt bovenaan

zijn er echter afwijkingen omdat de puntkracht er zeer lokaal wordt ingeleid (in één knoop).

Dit heeft tot gevolg dat er ook spanningen in de andere richtingen worden opgewekt.

Bijgevolg wordt in Abaqus het verloop van S11 geregistreerd, zowel onderaan als bovenaan.

Het belastingsverloop kan niet rechtstreeks opgevraagd worden in Abaqus. Wel is het

mogelijk om de reactiekracht op te meten in de knoop waar de verplaatsing wordt opgelegd.

De reactiecomponent volgens de hoogterichting is het rechtstreeks gevolg van de verticale

belasting en wordt in Abaqus voorgesteld door RF3. Deze reactiecomponent moet nog

verdubbeld worden om de puntkracht op de volledige ligger te kennen.

Figuur 3.3 toont het spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende uniforme

elementennetten met C3D8 elementen. Op de horizontale as staat de load proportionality

factor of het percentage van de totale belasting waarmee de ligger belast wordt. Hoe fijner de

elementennetten zijn, hoe minder twee opeenvolgende curven van elkaar verschillen. De

krommen evolueren met andere woorden naar een limietkromme. Hierbij komen de staarten

van de curven steeds hoger te liggen. Voor de spanning in het punt bovenaan wordt een

gelijkaardige figuur bekomen.


27

C3D8 elementen, uniform verdeeld

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

percentage van de totale belasting

S1

1 o

nde

raa

n [M

Pa

]7920 elementen

17820 elementen

31680 elementen

49500 elementen

71280 elementen

Figuur 3.3: Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende

uniforme elementennetten, bestaande uit C3D8 elementen

In Figuur 3.4 zijn dezelfde curven weergegeven, maar ditmaal voor uniforme elementennetten

bestaande uit C3D8I elementen. De numerieke simulaties met de twee fijnste elementennetten

(49500 en 71280 elementen) gaven aanleiding tot foutmeldingen en konden niet uitgevoerd

worden. Blijkbaar was de processorbelasting bij deze simulaties te hoog. Dit is het logisch

gevolg van de bijkomende vrijheidsgraden (de incompatible modes) van het C3D8I element.

In Figuur 3.4 is te zien dat het aantal elementen nauwelijks effect heeft op het

spanningsverloop: de drie krommen zijn niet van elkaar te onderscheiden. Dit is een duidelijk

verschil met de C3D8 elementen, waarbij de nauwkeurigheid stijgt met toenemend aantal

elementen. Dit besluit is ook geldig voor het spanningsverloop in het punt bovenaan.

C3D8I elementen, uniform verdeeld

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


S1

1 o

nder

aa

n [M

Pa

]

7920 elementen

17820 elementen

31680 elementen


uniforme elementennetten, bestaande uit C3D8I elementen


28

3.2.2 Niet-uniforme verdeling van de elementen

Bij de niet-uniforme optimalisatie wordt het model verdeeld in zes zones (Figuur 3.5). De

twee punten aan de onder- en bovenrand zijn gelegen in zone 4 respectievelijk zone 6. Deze

zones hebben het meest fijne elementennet. Zone 2 is het minst verfijnd. Om geen

discontinuïteiten te veroorzaken, worden zones 1, 3 en 5 ingevoerd. Zones 1 en 3 hebben in

de lengterichting hetzelfde elementennet als zone 2, maar in de hoogterichting hetzelfde

elementennet als zones 4 en 6. Bij zone 5 is het net andersom: in de lengterichting hetzelfde

elementennet als zones 4 en 6 en in de hoogterichting hetzelfde elementennet als zone 2. Alle

zones hebben evenveel elementen in de dikterichting. Zones 4, 5 en 6 strekken zich uit over

10% van de lengte van het numerieke model, dus over 10% van de halve lengte van de ligger.

De hoogte van zones 1, 3, 4 en 6 is gelijk aan 20% van de hoogte van de ligger.

zone 1

zone 3 zone 6

zone 2 zone 5

zone 4

20%

10% Figuur 3.5: Schematische weergave van het elementennet bij de niet-uniforme optimalisatie

De niet-uniforme optimalisatie vereist vijf parameters om het elementennet vast te leggen, in

tegenstelling tot de uniforme optimalisatie, waar drie parameters volstaan (Tabel 3.2). De

elementennetten zijn zodanig gedefinieerd dat de maaswijdte in de fijne zones ongeveer

dubbel zo klein is als in de grove zones. Bovendien hebben de beschouwde elementennetten

van de niet-uniforme optimalisatie evenveel elementen als bij de uniforme optimalisatie. De

elementen worden echter op een andere manier verdeeld over het model.

Tabel 3.2: Samenstelling van de niet-uniforme elementennetten

lengte

zone1-2-3

lengte

zone 4-5-6

hoogte

zone 2-5

hoogte

zone 1-3-4-6 dikte totaal

70 20 10 6 4 7920

105 30 15 9 4 17820

140 40 20 12 4 31680

175 50 25 15 4 49500

210 60 30 18 4 71280


29

Bij ieder niet-uniform elementennet werd het belastingsverloop opgevraagd, evenals het

spanningsverloop aan de onder- en bovenrand. Voor de elementennetten opgebouwd uit

C3D8 elementen, wordt het verloop van S11 in het punt onderaan weergegeven in Figuur 3.6.

Het verschil tussen twee opeenvolgende spanningsverlopen is kleiner naarmate het aantal

elementen toeneemt. In tegenstelling tot bij de uniforme optimalisatie komen de staarten van

de curven lager te liggen bij verdere verfijning.

C3D8 elementen, niet-uniform verdeeld

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


S1

1 o

nde

raa

n [M

Pa

]

7920 elementen

17820 elementen

31680 elementen

49500 elementen

71280 elementen


niet-uniforme elementennetten, bestaande uit C3D8 elementen

Ook bij toepassing van C3D8I elementen wordt een niet-uniforme verdeling beschouwd.

Figuur 3.7 toont het verloop van de spanning onderaan voor de drie meest grove

elementennetten. Net als bij de uniforme optimalisatie vallen de krommen zo goed als samen.

C3D8I elementen, niet-uniform verdeeld

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


S1

1 o

nder

aa

n [M

Pa

]

7920 elementen

17820 elementen

31680 elementen


niet-uniforme elementennetten, bestaande uit C3D8I elementen


30

3.2.3 Onderlinge vergelijking van de resultaten

In Figuur 3.8 zijn de spanningsverlopen in het punt onderaan weergegeven voor alle

beschouwde elementennetten: C3D8 of C3D8I elementen, met een uniforme of niet-uniforme

verdeling. Figuur 3.9 toont dezelfde krommen, maar voor het spanningsverloop in het punt

bovenaan. Op beide figuren is hetzelfde fenomeen te herkennen: de krommen behorend bij

C3D8 elementen met een uniforme verdeling komen steeds hoger te liggen naarmate het

aantal elementen toeneemt, terwijl de krommen behorend bij C3D8 elementen met een niet-

uniforme verdeling steeds lager komen te liggen. In beide gevallen evolueren de curven wel

naar dezelfde limietcurve.

De krommen die overeenstemmen met C3D8I elementen liggen zeer dicht bij elkaar. De

invloed van het aantal elementen en de manier waarop ze verdeeld zijn, lijkt bij dit

elementtype verwaarloosbaar klein. Men merkt echter op dat de limietcurve van de C3D8I

elementen verschillend is van die van de C3D8 elementen. Bij totale belasting van de ligger

(percentage van de totale belasting = 1) bedraagt dit verschil ongeveer 20 MPa voor de

spanning aan de onderrand en 30 MPa voor de spanning aan de bovenrand, wat allerminst te

verwaarlozen valt.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


S1

1 o

nde

raa

n [M

Pa

]



C3D8I elementen, uniform verdeeldC3D8I elementen, niet-uniform verdeeld

# elementen

# elementen

Figuur 3.8: Spanningsverloop in het punt onderaan voor alle beschouwde elementennetten


31

-30

0

30

60

90

120

150

180

210

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


S1

1 b

ove

naa

n [M

Pa

]



C3D8I elementen, uniform verdeeldC3D8I elementen, niet-uniform verdeeld

# elementen

# elementen

Figuur 3.9: Spanningsverloop in het punt bovenaan voor alle beschouwde elementennetten

Analoog aan Figuur 3.8 en Figuur 3.9 kan ook het verloop van de belasting weergegeven

worden (Figuur 3.10). Voor de C3D8 elementen liggen de krommen lager naarmate het aantal

elementen toeneemt, en dit zowel voor uniforme als niet-uniforme elementennetten. Hierbij

streven beide soorten curven naar dezelfde limietcurve. Dit is een andere vaststelling als in

Figuur 3.8 en Figuur 3.9, waar de krommen van de uniforme verdeling langs onder naderen

tot de limietkromme, en de krommen van de niet-uniforme verdeling langs boven. Opnieuw

liggen de curven behorend bij de C3D8I elementen op elkaar: ook het belastingsverloop is bij

dit elementtype nauwelijks afhankelijk van het aantal elementen en de verdeling ervan. Het

grootste verschil met Figuur 3.8 en Figuur 3.9 is echter dat de limietkromme van de C3D8 en

C3D8I elementen dezelfde is.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1


bela

stin

g [N

]



C3D8I elementen, uniform verdeeld

C3D8I elementen, niet-uniform verdeeld

# elementen

Figuur 3.10: Belastingsverloop voor alle beschouwde elementen


32

Op basis van Figuur 3.8, Figuur 3.9 en Figuur 3.10 is niet meteen duidelijk welk elementtype

het meest geschikt is. In Figuur 3.10 is de limietkromme duidelijk gedefinieerd: zowel de

curven behorend bij C3D8 als C3D8I elementen naderen tot dezelfde curve. Op basis van

deze figuur zou men besluiten dat C3D8I elementen het beste resultaat leveren: zelfs met een

klein aantal elementen valt de bekomen kromme nagenoeg samen met de limietkromme. Bij

C3D8 elementen daarentegen, moet het aantal elementen groot genoeg zijn om een

behoorlijke nauwkeurigheid te verkrijgen.

Bovenstaande redenering is niet geldig voor Figuur 3.8 en Figuur 3.9. Het probleem hierbij is

dat de krommen van C3D8 en C3D8I elementen naar een verschillende limietcurve evolueren.

Aangezien het juiste spanningsverloop niet gekend is, kan men ook niet oordelen welk

elementtype het meest geschikt is.

Bij buigingssimulaties leveren C3D8I elementen betere prestaties dan C3D8 elementen,

dankzij de bijkomende vrijheidsgraden. Het kippen van een ligger is echter een combinatie

van buiging en wringing, waardoor men niet mag concluderen dat C3D8I elementen ook meer

geschikt zijn voor kipsimulaties. Om hierover uitsluitsel te bieden, is verder onderzoek nodig.

3.2.4 Vergelijking met de theoretische spanningen

Het numeriek model van een ligger met puntkracht kan aangepast worden door twee

eindmomenten in te voeren. Voor dit belastingsgeval kan de theoretische maximale spanning

berekend worden met formule (2.12). Vervolgens kan men zowel voor C3D8 als C3D8I

elementen de numerieke spanning bepalen, en nagaan bij welk elementtype de afwijking ten

opzichte van de theoretische spanning het kleinst is.

In het numeriek model van een ligger met puntkracht, werd een verticale verplaatsing

opgelegd aan de middendoorsnede. Naar analogie hiermee, zou men een eindmoment

invoeren door een rotatie op te leggen aan één van de knopen in het eindvlak. Dit blijkt echter

onmogelijk omdat de knopen van continuümelementen niet de juiste actieve vrijheidsgraden

(active degrees of freedom) hebben om een rotatie op te leggen. Daarom werd het

eindmoment vervangen door twee puntkrachten: een drukkracht ter hoogte van de bovenrand

van de ligger en een trekkracht ter hoogte van de onderrand, beide aangrijpend in de

einddoorsnede.

Indien men een vervormingsgestuurde simulatie wil uitvoeren, dan moet men aan de twee

aangrijpingspunten een horizontale verplaatsing opleggen in de lengterichting van de ligger,

met gelijke grootte maar tegengestelde zin. Op het einde van de simulatie (percentage van de

totale belasting = 1) zijn de verplaatsingen bovenaan en onderaan gelijk, maar de krachten die


33

ermee overeenstemmen niet. Bijgevolg is dit geen goede modellering van een eindmoment.

Met een belastingsgestuurde simulatie daarentegen, is het wel mogelijk om bovenaan en

onderaan krachten in te voeren, met gelijke grootte maar tegengestelde zin.

Beschouw een ligger met lengte drie meter, lengte-hoogte verhouding tien, dikte tien

millimeter en vormfout L/333, die wordt belast door twee eindmomenten van 1500 Nm, wat

in het numeriek model vertaald wordt door vier puntkrachten van 5000 N. Formule (2.12)

levert in dat geval een theoretische maximale spanning van 12,4 MPa. Voor de numerieke

simulaties werden enkel uniforme elementennetten beschouwd. De verkregen spanningen zijn

terug te vinden in Tabel 3.3. Hierbij moet opgemerkt worden dat de krachten in de

einddoorsneden zeer lokaal werden ingeleid met spanningsconcentraties tot gevolg. Het zou

correcter geweest zijn om rigid bodies aan te brengen ter hoogte van de einddoorsneden,

zodat de belasting gespreid wordt. Deze uitbreiding van het model werd echter niet

uitgevoerd.

Tabel 3.3: Overzicht van de resultaten van de numerieke simulaties

Elementtype Aantal elementen σnumeriek [MPa] Afwijking σtheoretisch – σnumeriek

C3D8 7920 11,7 6,1%

C3D8 17820 12,6 1,7%

C3D8I 7920 15,1 22,0%

C3D8I 17820 15,8 27,5%

Tabel 3.3 toont dat de theoretische spanning beter benaderd wordt door C3D8 elementen:

Voor een combinatie van buiging en wringing leveren C3D8 elementen duidelijk betere

resultaten dan C3D8I elementen. Bijgevolg is het voordeel dat C3D8 elementen hebben bij

buigingssimulaties, niet meer van toepassing bij kipsimulaties. Men kan concluderen dat het

gerechtvaardigd is om C3D8 elementen te verkiezen boven C3D8I elementen, hoewel het

aantal uitgevoerde simulaties beperkt is.

3.2.5 Invloed van het elementennet op de eigenwaardenberekening

Het elementennet in de eerste berekeningsstap (eigenwaardeanalyse) moet gelijk zijn aan dat

in de tweede berekeningsstap (niet-lineaire analyse). Men zou de bedenking kunnen maken of

het aantal elementen en de manier waarop ze verdeeld zijn, ook een invloed heeft op de

eigenwaardenberekening. Aangezien deze berekening gebruikt wordt om de startgeometrie

van de niet-lineaire analyse te bepalen, wordt dit verder onderzocht.


34

Figuur 3.11 toont de eerste eigenvorm van de ligger bij het meest fijne (7920 elementen) en

het meest grove uniforme elementennet (71280 elementen) met C3D8 elementen. Op de

verticale as staat de genormeerde horizontale uitwijking van de bovenrand van de ligger, op

de horizontale as staat de lengte-coördinaat, van het steunpunt tot de middendoorsnede. Het

onderscheid tussen beide krommen is nauwelijks te zien: bij C3D8 elementen die uniform

verdeeld zijn, heeft het aantal elementen geen invloed op de eerste eigenvorm.


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5

lengte-coördinaat [m]

u, g

eno

rmee

rd

7920 elementen

71280 elementen

Figuur 3.11: Eerste eigenvorm bij het meest fijne en meest grove

uniforme elementennet met C3D8 elementen

Figuur 3.12 toont dezelfde krommen maar voor C3D8 elementen die niet-uniform verdeeld

zijn. In dit geval is de eerste eigenvorm wel afhankelijk van het aantal elementen. De twee

curven zijn immers duidelijk van elkaar te onderscheiden.


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5


u, g

eno

rmee

rd

7920 elementen

71280 elementen

Figuur 3.12: Eerste eigenvorm bij het meest fijne en meest grove

niet-uniforme elementennet met C3D8 elementen


35

Indien het aantal elementen bij een niet-uniforme verdeling groot genoeg is, wordt dezelfde

eerste eigenvorm bekomen als bij een uniforme verdeling. Dit is weergegeven in Figuur 3.13.

C3D8 elementen

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5


u, g

eno

rme

erd

71280 elementen, uniform verdeeld

71280 elementen, niet-uniform verdeeld

Figuur 3.13: Eerste eigenvorm bij het meest fijne uniforme en

niet-uniforme elementennet met C3D8 elementen

3.2.6 Keuze van het elementennet

Zoals eerder vermeld zijn er drie factoren die het elementennet definiëren: het elementtype,

het aantal elementen en de manier waarop ze verdeeld zijn. Op basis van de vergelijking van

de spanningen, afkomstig van de numerieke simulaties, met de theoretische spanningen, werd

gekozen voor C3D8 elementen.

Verder kan verondersteld worden dat een niet-uniform elementennet een grotere

nauwkeurigheid heeft dan een uniform elementennet: de zone rondom de twee punten in de

middendoorsnede (Figuur 3.2) is immers meer verfijnd. Volgens Figuur 3.8 en Figuur 3.9 is

het bovendien een veilige benadering om te werken met een niet-uniform elementennet,

aangezien de bijhorende spanningen hoger zijn dan voor een niet-uniform elementennet.

Figuur 3.12 toont dat het aantal elementen voldoende groot moet zijn opdat de eerste

eigenvorm een correct verloop zou hebben. Uiteraard neemt niet alleen de nauwkeurigheid,

maar ook de rekentijd toe met toenemend aantal elementen. Bijgevolg moet een compromis

gevonden worden tussen beide factoren. Op basis van Figuur 3.6 wordt het aantal elementen

vastgelegd op 49500. Het spanningsverloop onderaan en bovenaan (Figuur 3.9) valt dan bijna

samen met het spanningsverloop, behorend bij 71280 elementen.

Het gekozen elementennet bestaat uit 49500 C3D8 elementen met een niet-uniforme

verdeling: 225 elementen in de lengterichting, 55 elementen in de hoogterichting en 4

elementen in de dikterichting.


36

175 elementen 50 elementen

15 elementen

15 elementen

25 elementen

Figuur 3.14: Schematische voorstelling van het gekozen elementennet

3.3 Opstellen van de referentie-kipkrommen

Met het gekozen elementennet worden de spanningen voldoende nauwkeurig gemodelleerd en

kunnen de resultaten van de numerieke simulaties aangewend worden om kipkrommen op te

stellen. Er worden twee belastingsgevallen beschouwd: een puntkracht in het midden en een

uniform verdeelde belasting.

3.3.1 Liggers belast met een puntkracht in het midden

3.3.1.1 Parameters

Er worden 144 verschillende liggers beschouwd met telkens een andere geometrie. De lengte,

lengte-hoogte verhouding en dikte worden zodanig gekozen dat het parameterdomein uit de

praktijk zo goed mogelijk wordt afgebakend (Tabel 3.4). Sommige combinaties leiden tot

geometrieën met weinig praktische betekenis vb. een ligger met lengte zes meter, lengte-

hoogte verhouding tien en dikte zes millimeter. Bij de uitgevoerde parameterstudie wordt

echter geen rekening gehouden met de relevantie van de geometrieën.

Tabel 3.4: Overzicht van de geometrische parameters

voor simulaties met een puntkracht in het midden

Parameter Waarde Eenheid

L 1-2-3-4-5-6 m

L/h 10-20 -

t 6-10-15-19 mm

u0 L/250-L/333-L/1000 m

Er worden verschillende initiële vormfouten u0 bestudeerd. Een overzicht van de maximale

vormfouten uit de literatuur is terug te vinden in Tabel 2.7. De maximaal toelaatbare vormfout

bedraagt L/200 en is van toepassing op verticaal geharde liggers (CEN EN 12150-1, 2000).

Aangezien dit een verouderd voorspanningsproces is, wordt in dit werk L/250 als maximale


37

vormfout genomen. Daarnaast wordt een vormfout van L/333 beschouwd, en eveneens een

vormfout van L/1000 om de invloed van zeer kleine vormfouten na te gaan.

3.3.1.2 Uitvoeren van de numerieke simulaties

De eerste stap om kipkrommen op te stellen is het uitvoeren van de numerieke simulaties. In

de tweede berekeningsstap moet telkens het verloop van RF3 en het spanningsverloop S11 in

de twee punten van de middendoorsnede opgevraagd worden. Het lijkt in eerste instantie niet

eenvoudig om dit via een parameterstudie te doen. De reden hiervoor is de volgende. Om een

numerieke simulatie uit te voeren van één ligger zijn er twee inputfiles (.inp) nodig: één voor

de eigenwaardenberekening en één voor de niet-lineaire berekening. Beide worden aan elkaar

gekoppeld door in de tweede inputfile te verwijzen naar de eerste inputfile. Een

parameterstudie (.psf) vertrekt steeds van dezelfde inputfile die als template wordt gebruikt.

Indien de tweede inputfile (niet-lineaire berekening) wordt opgegeven als template, dan

kunnen aan een aantal parameters (L, L/h, t, u0) een reeks waarden toegekend worden. De

waarden van de parameters in de eerste inputfile (eigenwaardenberekening) blijven echter

ongewijzigd. In de twee berekeningsstappen wordt dus met een verschillende geometrie

gerekend, wat tot foutmeldingen leidt en bovendien geen praktische betekenis heeft.

Het probleem kan als volgt opgelost worden. In de .psf file wordt de eerste inputfile als

parameter ‘eerste_inputfile’ opgegeven, net zoals de geometrische parameters. Deze

parameter krijgt geen getal als waarde, maar de naam van een inputfile. Voor elke geometrie

wordt een andere eerste inputfile gecreëerd met een eigen naam. Het automatisch genereren

van de eerste inputfiles gebeurt eveneens met een .psf file.

Samengevat zijn er twee parameterstudies nodig. De eerste .psf file heeft enkel L, L/h en t als

parameters en creëert voor elke geometrie een eerste inputfile. De tweede .psf file heeft L,

L/h, t, u0 en ‘eerste_inputfile’ als parameters. In deze parameterstudie wordt telkens de

tweede niet-lineaire berekeningsstap van een simulatie uitgevoerd.

Het opvragen van het verloop van RF3 en het spanningsverloop S11 aan de onder- en

bovenrand, kan geïmplementeerd worden in de tweede .psf file via het output, gather en

report commando. Het lijkt echter niet mogelijk om in dat geval het aantal beduidende cijfers

van de opgevraagde resultaten te verhogen. Indien de resultaten opgevraagd worden via de

postprocessor Abaqus/CAE, dan kan het aantal beduidende cijfers wel aangepast worden.

Het verloop van RF3 en S11 wordt bijgevolg eenmalig opgevraagd vanuit Abaqus/CAE. De

bijhorende python code wordt automatisch opgeslagen in de .rpy file. Dit bestand kan


38

vervolgens handmatig uitgebreid worden, zodat het verloop van RF3 en S11 opgevraagd

wordt voor alle uitgevoerde numerieke simulaties. Door de extensie ervan te veranderen van

.rpy naar .py, kan men dit bestand laten lopen vanuit Abaqus/CAE via run script. Met dit

commando worden bestanden gecreëerd met de waarden van RF3 en S11, met voldoende

aantal beduidende cijfers.

3.3.1.3 Opstellen van de kipkrommen

De maximale spanningen in het punt bovenaan en onderaan, kunnen rechtstreeks gebruikt

worden. De bekomen waarden van RF3 moeten eerst verdubbeld worden om tot de belasting

F van de volledige ligger te komen en nadien omgerekend worden naar buigspanningen σy:

2y

yy ht

6

4

LF

W

M

⋅⋅⋅==σ (3.1)

Op analoge manier kan het elastisch kipmoment Mcr omgerekend worden naar een ideale

kipspanning σcr. De waarde van Mcr kan bepaald worden aan de hand van formule (2.7) :

y

crcr W

M=σ (3.2)

Figuur 3.15 toont het verband tussen de maximale trekspanning aan de boven- en onderrand

en de buigspanningen σy voor een ligger met lengte drie meter, lengte-hoogte verhouding tien,

dikte tien millimeter en initiële vormfout L/333. De gelijkenis met Figuur 2.4 is treffend. Bij

kleine belastingen overheerst buiging in het vlak. Bijgevolg wordt het punt bovenaan eerst

onderworpen aan een drukspanning en het punt onderaan aan een trekspanning. Als de

belasting verder toeneemt, begint de ligger uit te kippen en vergroten de horizontale

verplaatsingen. Er is een overgang van buiging om de sterke as naar buiging om de zwakke as

waardoor zowel bovenaan als onderaan trek heerst.

σcr

0

5

10

15

20

25

-30 0 30 60 90 120 150 180S11 boven- en onderaan [MPa]

σσ σσy

[MP

a]

spanning onderaan

spanning bovenaan

Figuur 3.15: Verband tussen de spanning boven- en onderaan en σσσσy, geldig voor

een ligger met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333


39

Indien een bepaalde glastreksterkte σbreuk aangenomen wordt, kan onderzocht worden of de

spanning bovenaan of onderaan maatgevend is. In Figuur 3.15 is de spanning aan de

onderrand bepalend voor treksterktes gaande van 0 tot 105 MPa. Voor grotere treksterktes is

de spanning aan de bovenrand bepalend. Voor elke aangenomen treksterkte σbreuk kan de

bijhorende waarde van de buigspanning σy bepaald worden. Vervolgens kunnen de slankheid

λ en de reductiefactor χ berekend worden met formules (2.13) en (2.14).

Door telkens een andere treksterkte aan te nemen, variëren de slankheid en de reductiefactor

en wordt een kipkromme bekomen. Hierbij moet opgemerkt worden dat de treksterkte bij alle

liggers beperkt wordt tot een waarde van 220 MPa. Spanningen groter dan deze grenswaarde

hebben geen fysische betekenis en worden niet in rekening gebracht bij het opstellen van de

kipkrommen. Figuur 3.16 toont de kipkromme die gebaseerd is op de numerieke simulatie

van een ligger met lengte drie meter, lengte-hoogte verhouding tien, dikte tien millimeter en

initiële vormfout L/333. De basisvorm van de curve is gelijkaardig aan Figuur 2.4. Voor

kleine slankheden nadert de reductiefactor ongeveer naar de eenheid, het kipfenomeen

evolueert naar een zuiver buigingsprobleem. Voor grote slankheden kan het kipfenomeen

beschouwd worden als een zuiver bifurcatieprobleem en geldt de grenswaarde 2

1

λ.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ

2

1

λ

Figuur 3.16: Kipkromme gebaseerd op de numerieke simulatie van een ligger

met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333

De slankheid kan ook variëren in functie van de waarde van de ideale kipspanning σcr. Dit

kan bereikt worden door liggers met andere geometrieën te beschouwen. Sommige liggers

bezwijken eerder door buiging dan door kip. Aan de bovenrand van de ligger heerst dan een

drukspanning en aan de onderrand een trekspanning. Slechts bij zeer hoge belasting begint de

ligger uit te kippen, waardoor de spanningen vaak al groter zijn dan 220 MPa (Figuur 3.17).


40

In dat geval geeft de numerieke simulatie aanleiding tot een kipkromme, die bijna samenvalt

met de theoretische eenheidsgrenswaarde voor alle waarden van λ.

0

200

400

600

800

-500 0 500 1000 1500

S11 boven- en onderaan [MPa]

σσ σσy

[MP

a]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6

λλλλ

χχ χχ

Figuur 3.17: Spanningsverloop en kipkromme gebaseerd op de numerieke simulatie

van een ligger met L = 1 m, L/h = 10, t = 19 mm en u0 = L/333

Door meerdere numerieke simulaties uit te voeren, zal een beter beeld verkregen worden van

de algemene vorm van de kipkrommen. In Figuur 3.18 zijn alle waarden weergegeven,

behorend bij liggers met lengte drie meter en initiële vormfout L/333 (acht simulaties).

Het is duidelijk dat de wolk van punten een grotere spreiding heeft bij kleine slankheden λ.

Naarmate de slankheid groter wordt, naderen de acht krommen beter tot elkaar. Het product

van de dikte t met de lengte-hoogte verhouding L/h is bepalend voor de ligging van de

kipkromme: hoe groter t * L/h van de ligger bij de numerieke simulatie, hoe hoger de

kipkromme ligt en hoe beter de eenheidsgrenswaarde benaderd wordt.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

λλλλ

χχ χχ

L = 3 m, L/h = 10, t = 6 mm

L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mmL = 3 m, L/h = 10, t = 15 mm

L = 3 m, L/h = 10, t = 19 mm

L = 3 m, L/h = 20, t = 6 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 10 mm

L = 3 m, L/h = 20, t = 15 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 19 mm

Figuur 3.18: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers

met L = 3 m en u0 = L/333


41

Ook voor liggers met een andere lengte kunnen gelijkaardige grafieken opgesteld worden

(Figuur 3.19). Telkens ligt de kipkromme, behorend bij de kleinste waarde van t * L/h,

onderaan. Naarmate t * L/h stijgt, komt de kipkromme hoger te liggen bij kleine waarden van

λ. Hoe groter de lengte van de ligger bij de numerieke simulatie, hoe groter de spreiding in de

resulterende puntenwolk. Bovendien wordt de theoretische eenheidsgrens minder goed

benaderd als de lengte groter is.

Naarmate de lengte kleiner wordt, zijn de kipkrommen gedefinieerd voor een kleiner bereik

van λ: bij liggers met een kleine lengte is de ideale kipspanning σcr immers relatief groot,

terwijl de treksterkte σbreuk steeds beperkt wordt tot 220 MPa.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ


met L = 1 m (links) en L = 6 m (rechts) en u0 = L/333

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4λλλλ

χχ χχ

L = 1 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 2 m, L/h = 10, t = 10 mm

L =3 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 4 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 5 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 6 m, L/h = 10, t = 10 mm


met L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333

Figuur 3.20 toont de kipkrommen die gebaseerd zijn op de numerieke simulaties van liggers

met lengte-hoogte verhouding tien, dikte tien millimeter en initiële vormfout L/333. Net als


42

bij Figuur 3.18 treedt de grootste spreiding op bij kleine waarden van λ. Ditmaal bepaalt de

lengte van de ligger hoe hoog de kipkromme gelegen is: hoe kleiner de lengte, hoe beter de

theoretische eenheidsgrens benaderd wordt. Dit is ook geldig voor andere lengte-hoogte

verhoudingen en dikten.

Uit bovenstaande figuren kan men het volgende besluiten: indien een aantal numerieke

simulaties uitgevoerd worden van liggers met constante lengte, dan liggen de resulterende

kipkrommen hoger naarmate t * L/h groter is (Figuur 3.18). Men kan eveneens een aantal

liggers beschouwen met verschillende geometrie, maar met een constante waarde van t * L/h

(Figuur 3.20). In dat geval komen de kipkrommen hoger te liggen bij stijgende lengte. Beide

vaststellingen kunnen als volgt gecombineerd worden: hoe groter de verhouding van de dikte

t tot de hoogte h, hoe hoger de kipkromme gelegen is en hoe beter de kromme nadert tot de

theoretische grenswaarde. Dit strookt met Figuur 3.18: aangezien de lengte constant is, is de

factor t * L/h equivalent met t/h. In Figuur 3.20 is t * L/h constant, waardoor t/h toeneemt bij

afnemende lengte.

Worden een aantal liggers beschouwd met verschillende geometrie, maar wel zodanig dat de

dikte-hoogte verhouding constant is, dan volgt uit de numerieke simulaties telkens ongeveer

dezelfde kipkromme. Dit wordt aangetoond in Figuur 3.21, waarbij vier kipkrommen

weergegeven zijn met t/h gelijk aan 0,050.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5λλλλ

χχ χχ

L = 2 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 3 m, L/h = 10, t = 15 mm

L = 4 m, L/h = 20, t = 10 mm

L = 6 m, L/h = 20, t = 15 mm

Figuur 3.21: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties

van liggers met t/h = 0,050 en u0 = L/333

Tabel 3.5 geeft een overzicht van de beschouwde liggers, met oplopende waarden van de

dikte-hoogte verhouding. Een grote dikte-hoogte verhouding stemt overeen met een vrij

massieve doorsnede. Uit bovenstaande figuren blijkt dat de numerieke simulaties van zulke


43

liggers aanleiding geven tot hoog gelegen kipkrommen. Met andere woorden, de kipkrommen

die het meest afwijken van de eenheidsgrenswaarde zijn afkomstig van de meest slanke

liggers.

Tabel 3.5: Overzicht van de bestudeerde geometrieën met oplopende waarden van t/h

L

[m]

L/h

[-]

t

[mm]

t/h

[-]

L

[m]

L/h

[-]

t

[mm]

t/h

[-]

L

[m]

L/h

[-]

t

[mm]

t/h

[-]

6 10 6 0,010 4 10 15 0,038 4 20 15 0,075

5 10 6 0,012 5 10 19 0,038 5 20 19 0,076

4 10 6 0,015 3 20 6 0,040 2 10 19 0,095

6 10 10 0,017 5 20 10 0,040 4 20 19 0,095

3 10 6 0,020 4 10 19 0,048 1 10 10 0,100

5 10 10 0,020 2 10 10 0,050 2 20 10 0,100

6 20 6 0,020 3 10 15 0,050 3 20 15 0,100

5 20 6 0,024 4 20 10 0,050 1 20 6 0,120

4 10 10 0,025 6 20 15 0,050 3 20 19 0,127

6 10 15 0,025 1 10 6 0,060 1 10 15 0,150

2 10 6 0,030 2 20 6 0,060 2 20 15 0,150

4 20 6 0,030 5 20 15 0,06 1 10 19 0,190

5 10 15 0,030 3 10 19 0,063 2 20 19 0,190

6 10 19 0,032 6 20 19 0,063 1 20 10 0,200

3 10 10 0,033 3 20 10 0,067 1 20 15 0,300

6 20 10 0,033 2 10 15 0,075 1 20 19 0,380

Dit kan als volgt verklaard worden. In theorie kan de eenheidsgrenswaarde enkel bereikt

worden bij zuivere buiging om de as volgens de dikterichting van de ligger. Door de initiële

vormfout wordt de ligger in het midden echter belast door scheve buiging. Dit heeft als

gevolg dat de kipkromme afwijkt van de theoretische eenheidsgrens. Hoe kleiner de dikte-

hoogte verhouding van de ligger, hoe groter de invloed van de initiële vormfout. Blijkbaar is

de buiging, relatief gezien, ‘schever’ voor een slanke doorsnede dan voor een massieve

doorsnede. Onderstaande figuur toont de meest massieve (L = 1 m, L/h = 20, t = 19 mm en t/h

= 0,380) en meest slanke doorsnede (L = 6 m, L/h = 10, t = 6 mm en t/h = 0,010) die

beschouwd worden.


44

Figuur 3.22: Beeld van de meest massieve en meest slanke doorsnede

(zicht vanuit de middendoorsnede naar het steuntpunt toe)

In Figuur 3.23 zijn alle kipkrommen weergegeven die behoren bij een ligger met initiële

vormfout L/333 (48 simulaties). Aangezien de dikte-hoogte verhouding van de bestudeerde

liggers varieert binnen een breed interval, heeft de puntenwolk een zeer grote spreiding bij

kleine waarden van λ (Tabel 3.5).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ

Figuur 3.23: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met u0 = L/333

De puntenwolk moet vertaald worden naar één kipkromme, die gebruikt kan worden om de

bezwijkbelasting van een willekeurige ligger te bepalen. De ondergrens van de puntenwolk is

hiervoor bijvoorbeeld een veilige benadering. Men kan echter ook meerdere krommen

afleiden uit de puntenwolk. Hiertoe wordt de puntenwolk onderverdeeld op basis van de

dikte-hoogte verhouding en wordt telkens de ondergrens bepaald. Een mogelijke

scheidingswaarde voor de dikte-hoogte verhouding bedraagt 0,060: op die manier wordt de

puntenwolk in twee deelwolken gesplitst met ongeveer evenveel kipkrommen.

Figuur 3.24 en Figuur 3.25 tonen de puntenwolken voor een dikte-hoogte verhouding kleiner

respectievelijk groter dan 0,060. Figuur 3.24 bevat kipkrommen die gebaseerd zijn op

numerieke simulaties van liggers met een dikte-hoogte verhouding tussen 0,010 en 0,050. In


45

Figuur 3.25 varieert de dikte-hoogte verhouding tussen 0,060 en 0,380. Hoewel de dikte-

hoogte verhouding een kleiner bereik heeft in Figuur 3.24, is de spreiding van de puntenwolk

groter dan in Figuur 3.25. Het fenomeen van de scheve buiging heeft immers meer invloed bij

kleine dikte-hoogte verhoudingen.

t/h < 0,060

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ

Figuur 3.24: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers

met t/h < 0,060 en u0 = L/333

t/h > 0,060

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

λλλλ

χχ χχ


met t/h > 0,060 en u0 = L/333

3.3.1.4 Invloed van de grootte van de initiële vormfout

In voorgaande paragraaf hadden de numerieke simulaties en kipkrommen betrekking op

liggers met een initiële vormfout van L/333. Er worden eveneens kipkrommen opgesteld voor

liggers met een initiële vormfout van L/250 en L/1000. Opnieuw is de dikte-hoogte

verhouding van de ligger bij de numerieke simulatie bepalend voor de ligging van de


46

kipkromme. Hoe groter de dikte-hoogte verhouding, hoe beter de kipkromme naar de

theoretische eenheidsgrens nadert.

De invloed van de grootte van de initiële vormfout wordt duidelijk in Figuur 3.26. Hoe

kleiner de vormfout, hoe beter de kipkromme naar de eenheidsgrenswaarde nadert voor kleine

slankheden. Bij grote vormfouten heeft de kipkromme een lagere limietwaarde, zoals Luible

ook vaststelde (Luible, 2004). Dit kan eveneens verklaard worden door het principe van de

scheve buiging. Hoe groter de initiële vormfout, hoe ‘schever’ de buiging is en hoe groter de

afwijking ten opzichte van de eenheid.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

λλλλ

χχ χχ

L/250

L/333

L/1000


met L = 3 m, L/h = 10 en t = 10 mm

Figuur 3.27 toont de kipkrommen behorend bij een ligger met lengte zes meter, lengte-hoogte

verhouding tien en dikte zes millimeter enerzijds, en een ligger met lengte drie meter, lengte-

hoogte verhouding 20 en dikte 15 millimeter anderzijds:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ

L/250

L/333

L/1000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2

λλλλ

χχ χχ

L/250

L/333

L/1000

Figuur 3.27: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met

L = 6 m, L/h = 10 en t = 6 mm (links) en L = 3 m, L/h = 20 en t = 15 mm (rechts)


47

Uit bovenstaande figuur blijkt dat de grootte van de initiële vormfout meer invloed heeft bij

een ligger met een slanke doorsnede, dan bij een ligger met een massieve doorsnede. Dit is

het gevolg van de scheve buiging: als de initiële vormfout toeneemt bij een slanke doorsnede,

dan is er, relatief gezien, een grote toename in de ‘scheefheid’ van de buiging. Bij een meer

massieve doorsnede daarentegen, heeft een toename van de initiële vormfout minder effect.

Net als in vorige paragraaf wordt de puntenwolk opgedeeld op basis van de dikte-hoogte

verhouding. Voor de grenswaarde tussen de twee deelwolken wordt opnieuw 0,060 genomen.

Figuur 3.28 en Figuur 3.29 tonen alle kipkrommen, gebaseerd op numerieke simulaties van

liggers met initiële vormfout L/333 en L/1000. De ondergrens van de puntenwolk die

overeenkomt met L/1000 ligt hoger dan bij L/333. Dit hangt samen met de kleinere spreiding

van de volledige puntenwolk bij L/1000. In Bijlage A zijn ook de puntenwolken weergegeven

voor liggers met een initiële vormfout L/250.

t/h < 0,060

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6λλλλ

χχ χχ

L/333

L/1000


met t/h < 0,060 en u0 = L/333 of L/1000

t/h > 0,060

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ

L/333

L/1000


met t/h > 0,060 en u0 = L/333 of L/1000


48

In Figuur 3.30 zijn de ondergrenzen van de puntenwolken weergegeven voor de drie

vormfouten, met onderscheid tussen een dikte-hoogte verhouding groter of kleiner dan 0,060.

De maximale slankheid λ die relevant is voor praktijktoepassingen kan bepaald worden op

basis van vb. een ligger met lengte zes meter, lengte-hoogte verhouding tien, dikte 19

millimeter en treksterkte 120 MPa. Hiermee correspondeert een waarde van λ van 2,6.

Bijgevolg kan als bovengrens voor de slankheid vb. drie genomen worden.

De ondergrenzen werden bepaald door een aantal punten van de wolken te selecteren en met

elkaar te verbinden. Deze visuele methode is zeker niet exact, maar heeft toch een behoorlijke

nauwkeurigheid. Tabel 3.6 toont een aantal waarden van χ voor verschillende waarden van λ.

Er moet opgemerkt worden dat er ook andere mogelijkheden bestaan om de puntenwolk te

vertalen in één of meerdere kipkrommen. Men kan vb. gebruik maken van het 95%

betrouwbaarheidsinterval.

t/h > 0,060

t/h < 0,060

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ

L/250L/333L/1000

Figuur 3.30: Ondergrenzen van de puntenwolk voor u0 = L/250, L/333 en L/1000

Tabel 3.6: Overzicht van de waarden van χχχχ voor verschillende waarden van λλλλ,

gebaseerd op Figuur 3.30

t/h < 0,060 t/h > 0,060

λ L/250 L/333 L/1000 L/250 L/333 L/1000

0,5 0,56 0,63 0,85 0,85 0,89 0,97

1,0 0,48 0,55 0,75 0,70 0,73 0,85

1,5 0,38 0,40 0,44 0,40 0,40 0,43

2,0 0,25 0,26 0,27 0,25 0,26 0,27

2,5 0,18 0,18 0,18 0,18 0,18 0,18


49

3.3.2 Liggers belast met een uniform verdeelde belasting

3.3.2.1 Parameters

Voor liggers belast met een uniform verdeelde belasting, worden heel wat minder

geometrieën beschouwd dan voor liggers met een puntkracht. De lengte is gelijk aan drie

meter of zes meter, de lengte-hoogte verhouding bedraagt tien of 20 en de dikte wordt

vastgelegd op tien millimeter of 19 millimeter. De grootte van de initiële vormfout neemt

dezelfde waarden aan als bij liggers met een puntkracht (Tabel 3.7). Het totaal aantal

simulaties bedraagt bijgevolg 24 in plaats van 144.

Tabel 3.7: Overzicht van de geometrische parameters

voor simulaties met een uniform verdeelde belasting

Parameter Waarde Eenheid

L 3-6 m

L/h 10-20 -

t 10-19 mm

u0 L/250-L/333-L/1000 m

3.3.2.2 Uitvoeren van de numerieke simulaties

Voor de numerieke simulaties van liggers, belast met een uniform verdeelde belasting, zijn

twee .psf files nodig, net als bij liggers, belast met een puntkracht. De eerste .psf file bevat de

eigenwaardenberekening, de tweede .psf file is de eigenlijke niet-lineaire analyse. Hierbij

wordt voor hetzelfde elementennet gekozen als bij liggers met een puntkracht (Figuur 3.14).

Bij liggers, belast met een puntkracht, kan een neerwaartse verplaatsing opgelegd worden aan

een punt van de middendoorsnede en kan de niet-lineaire analyse vervormingsgestuurd

verlopen. Voor liggers, belast met een uniform verdeelde belasting, zou over de volledige

bovenrand de verplaatsing moeten opgelegd worden. Vandaar dat de numerieke analyse van

zulke liggers belastingsgestuurd verloopt. Ter vereenvoudiging wordt de uniform verdeelde

belasting p vervangen door puntkrachten P: één puntkracht per dwarsdoorsnede, en dit over

de volledige bovenrand van de ligger (Figuur 3.31). Het was ook mogelijk geweest om een

puntkracht aan te brengen in elke knoop van het bovenvlak van de ligger.


50

lengte: 175 + 50 elementen

dikte: 4 elementenpuntkracht P

Figuur 3.31: Schematische weergave van het bovenaanzicht van een halve ligger

met aangrijpende puntkrachten

De maximale waarde van de belasting is afhankelijk van de geometrie van de ligger. Dit is de

reden waarom een vervormingsgestuurde simulatie eenvoudiger is: voor alle geometrieën kan

dezelfde verplaatsing opgelegd worden. Bij de uitgevoerde simulaties van liggers met een

puntkracht, kan telkens de maximale belasting F bepaald worden en de bijhorende maximale

buigspanning σy (formule (3.1)). De maximale verdeelde belasting p wordt zodanig gekozen

dat dezelfde maximale buigspanning σy veroorzaakt wordt. De waarde van de puntkrachten P

kan dan als volgt berekend worden:

y

2

yy

yy W

1

8

Lp

W

1

4

LF

W

M⋅⋅=⋅⋅==σ (3.3)

)element1lengte(L

F2)element1lengte(pP ⋅⋅=⋅= (3.4)

Het opvragen van het verloop van de belasting en de spanningen gebeurt opnieuw vanuit

Abaqus/CAE, via een apart python script. In het geval van een puntkracht wordt de belasting

weergegeven door de reactiekracht RF3, omdat de opgelegde verplaatsing wordt ingegeven

als randvoorwaarde. Bij een belastingsgestuurde simulatie wordt de puntkracht P in het

midden echter weergegeven door CF3.

3.3.2.3 Opstellen van de kipkrommen

Om de verdeelde belasting p te bepalen, uitgaande van de bekomen waarden voor CF3, kan

formule (3.4) gebruikt worden. Vervolgens kunnen de buigspanningen σy berekend worden:

2

2

y

yy ht

6

8

Lp

W

M

⋅⋅⋅==σ (3.5)

De ideale kipspanning σcr wordt bekomen aan de hand van formule (2.7) en (3.2). Samen met

de opgevraagde spanningen aan de boven- en onderrand, leidt dit tot waarden voor λ en χ

(formule (2.13) en (2.14)). Figuur 3.32 toont de kipkrommen voor een ligger, belast met een

verdeelde belasting of een puntkracht, met lengte drie meter, lengte-hoogte verhouding tien,

dikte tien millimeter en initiële vormfout L/333. Beide krommen zijn nauwelijks van elkaar te

onderscheiden.


51

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4

λλλλ

χχ χχ

verdeelde belasting

puntkracht

2

1

λ

Figuur 3.32: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van een ligger met een

verdeelde belasting of een puntkracht, met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333

De puntenwolk, behorend bij liggers met een puntkracht wordt uitgedund, zodat enkel de

geometrieën uit Tabel 3.7 overblijven. Figuur 3.33 vergelijkt de bekomen puntenwolk met die

van een verdeelde belasting. Net als in Figuur 3.32 vallen alle krommen zo goed als samen.

Ook bij een verdeelde belasting is de dikte-hoogte verhouding bepalend voor de relatieve

ligging van de kipkrommen ten opzichte van elkaar. Hoewel het aantal uitgevoerde simulaties

beperkt is, kan men vermoeden dat het belastingsgeval weinig invloed heeft op het verloop

van de kipkrommen. Merk op dat de spreiding in Figuur 3.33 kleiner is dan in Figuur 3.23,

omwille van het kleiner aantal simulaties.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ

verdeelde belasting

puntkracht


met een verdeelde belasting en een puntkracht, met u0 = L/333

3.3.2.4 Invloed van de grootte van de initiële vormfout

Figuur 3.34 toont de kipkrommen die gebaseerd zijn op de numerieke simulaties van liggers

met een verdeelde belasting en met een initiële vormfout van L/333 en L/1000. Zoals


52

verwacht is de spreiding in de puntenwolk voor L/1000 kleiner dan voor L/333. Analoog aan

het geval van een puntkracht, kan dit verklaard worden door het fenomeen van de scheve

buiging.

Omwille van het beperkte aantal simulaties worden geen ondergrenzen bepaald voor de

puntenwolken van liggers met een verdeelde belasting. De verkregen grenskrommen zouden

immers geen praktische betekenis hebben: bij een groter aantal simulaties, zouden lager

gelegen ondergrenzen kunnen bekomen worden.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

λλλλ

χχ χχ

L/333

L/1000


met een verdeelde belasting en met u0 = L/333 en L/1000

53

Hoofdstuk 4

Theoretische invloed van een kitvoeg

4.1 Numerieke modellering van een kitvoeg

In dit werk wordt de invloed bestudeerd van een kitvoeg op het kipgedrag van glazen liggers.

Daartoe moet het numeriek model dat gebruikt werd in Hoofdstuk 3, uitgebreid worden. De

kitvoeg wordt ter hoogte van de bovenrand van de ligger aangebracht en vormt de verbinding

met de rest van de constructie. Als de ligger begint uit te kippen, ondergaat de onderrand van

de kitvoeg een horizontale verplaatsing terwijl de bovenrand vast verbonden is met de

constructie (Figuur 4.1). Bijgevolg wordt de kitvoeg op afschuiving belast en ondervindt de

ligger een terugroepende kracht. Hoe stijver de kitvoeg is, hoe minder deze zal vervormen en

hoe meer de horizontale verplaatsingen van de ligger zullen belemmerd worden. De ligger

ondergaat eveneens een hoekrotatie om de lengte-as, waardoor de onder- en bovenrand van de

kitvoeg niet langer evenwijdig zijn. Dit effect is echter minder uitgesproken dan de

afschuiving van de kitvoeg.

onvervormde ligger uitgekipte ligger Figuur 4.1: Schematische voorstelling van de afschuiving van de kitvoeg

De ligger zal echter pas kippen indien de bovenbelasting voldoende groot is. Dit betekent dat

de kitvoeg eerst kan worden samengedrukt (belasting volgens de hoogterichting van de ligger)

vooraleer ze op afschuiving belast wordt. In Hoofdstuk 2 werden de twee meest voorkomende

constructieprincipes van kitvoegen besproken: met doorlopende steunstrip (backfill) of met

geïsoleerde steunblokjes (setting blocks). Indien een doorlopende steunstrip wordt toegepast

Hoofdstuk 4: Theoretische invloed van een kitvoeg

54

die weinig vervormbaar is, dan zullen de twee naastliggende kitvoegen nauwelijks

samengedrukt worden. De stijve steunstrip fungeert immers als afstandshouder. Een zeer

vervormbare steunstrip kan echter niet verhinderen dat de twee naastliggende kitvoegen

worden samengedrukt. In dat geval zou het onvolledig zijn om enkel de afschuiving van de

kitvoegen te modelleren.

Bij gebruik van geïsoleerde steunblokjes kunnen twee dwarsdoorsneden beschouwd worden.

Ter plaatse van een steunblokje is de vervormbaarheid ervan bepalend voor de mate van

samendrukking van de naastliggende kitvoegen. In de zone tussen de steunblokjes wordt

meestal een steunstrip toegepast die bepaalt of de kitvoegen wel of niet worden

samengedrukt.

Voorgaande toont aan dat, afhankelijk van het constructieprincipe en de gebruikte materialen,

de kitvoegen in min of meerdere mate belast worden op afschuiving, al dan niet in combinatie

met samendrukking.

Er bestaan meerdere mogelijkheden om het effect van een kitvoeg te implementeren in het

numeriek model. Men kan de verbinding modelleren als twee kitvoegen met daartussen een

steunstrip of steunblokje. Het afzonderlijk modelleren van deze onderdelen is echter vrij

omslachtig. Het is eenvoudiger om de verbinding, bestaande uit twee kitvoegen en een

steunstrip of steunblokje, in zijn geheel te beschouwen.

Wanneer de ligger kipt, oefent de kitvoeg - hiermee wordt de volledige verbinding bedoeld -

een terugroepende kracht uit. Het ligt daarom het meest voor de hand om de kitvoeg te

vereenvoudigen tot een continue veerondersteuning, gericht volgens de dikterichting van de

ligger. Deze modellering is ook terug te vinden in de literatuur (Belis et al., 2003). Indien men

ook rekening wil houden met de samendrukking van de kitvoeg, kan een tweede continue

veerondersteuning toegevoegd worden volgens de hoogterichting van de ligger.

Abaqus laat niet toe om lijnvormige veerelementen toe te passen. Daarom wordt de continue

veerondersteuning vervangen door een groot aantal enkelvoudige translatieveren die naast

elkaar worden geplaatst (Figuur 4.2). Aan de bovenrand van de ligger wordt in de

lengterichting aan iedere knoop één of twee spring elements toegevoegd. De gebruikte

veerelementen zijn van het type spring1, die gedefinieerd worden tussen een knoop en de

buitenwereld, dit in tegenstelling tot spring2 elementen die tussen twee knopen gedefinieerd

worden. De oriëntatie van de veren kan ingegeven worden ten opzichte van een lokaal of het

globaal assenstelsel. De veren zijn werkzaam volgens de 2-as (afschuiving) of eventueel de 3-


55

as (samendrukking) van het globaal assenstelsel. Om de belemmering van de rotatie te

modelleren, kunnen rotatieveren toegevoegd worden.

1

3

2

Figuur 4.2: Schematische voorstelling van een ligger met continue veerondersteuning

volgens de dikterichting van de ligger

Men kan zowel lineair als niet-lineair veergedrag beschrijven. Een lineaire veer wordt

gekenmerkt door een constante waarde van de veerconstante. Indien gewerkt wordt met een

uniform elementennet (alle elementen gelijke geometrie), zijn de enkelvoudige veren uniform

verdeeld over de bovenrand van de ligger en hebben ze alle dezelfde veerstijfheid. De

veerstijfheid van één enkelvoudige veer Kveer, uitgedrukt in N/m, kan bepaald worden

uitgaande van de veerstijfheid van de continue veerondersteuning kveer, uitgedrukt in N/m/m.

lengtehalveknopenaantal

)lengtehalve(kK veer

veer

⋅= (4.1)

Bij een niet-uniform elementennet kan de lengte van de elementen variëren, waardoor de

veerstijfheid van de enkelvoudige veren niet constant is. De veerconstanten moeten dan op

volgende manier bepaald worden:

)element1vanlengte(kK veerveer ⋅= (4.2)

Niet-lineair veergedrag wordt in Abaqus gedefinieerd door veerkrachten in te geven met

bijhorende relatieve verplaatsingen. De waarden moeten opgegeven worden in stijgende

volgorde van de verplaatsingen en het bereik ervan moet ruim genoeg zijn. In Abaqus wordt

immers verondersteld dat de kracht constant blijft buiten het gedefinieerde interval, wat

overeenkomt met veerstijfheid nul (Figuur 4.3).


56

Figuur 4.3: Niet-lineair verband tussen relatieve verplaatsing en kracht (Abaqus Manual, 2004)

In werkelijkheid zal het afschuifgedrag van de kitvoeg variëren, afhankelijk van de graad van

samendrukking: hoe meer het materiaal wordt samengedrukt, hoe minder gemakkelijk het zal

afschuiven. Het lijkt niet mogelijk om met veerelementen het afschuif- en

samendrukkingsgedrag van de kitvoeg te koppelen aan elkaar. Eén reeks veren modelleert de

afschuiving, een andere reeks veren de samendrukking, maar beide reeksen moeten

onafhankelijk van elkaar gedefinieerd worden. Dit is het grootste nadeel van het gebruik van

veerelementen.

Mogelijke alternatieven voor spring elements zijn flexible joint elements, multi-point

constraints en connector elements. Het definiëren van zulke elementen verloopt een stuk

minder eenvoudig dan bij veerelementen. Sommigen vb. connector elements hebben echter

wel het voordeel dat de afschuiving en samendrukking van de kitvoeg samen kunnen

gemodelleerd worden.

In dit werk wordt gekozen voor veerelementen. Hierdoor kan het vervormingsgedrag van de

kitvoeg minder nauwkeurig beschreven worden dan met vb. connector elements, maar dit

weegt niet op tegen de eenvoud van deze elementen. Verder wordt geen rekening gehouden

met de samendrukking en de rotatie van de kitvoeg: enkel de afschuiving wordt gemodelleerd.

4.2 Invloed van een kitvoeg op de kiplast

Om de afschuiving van de kitvoeg te modelleren, volstaat één continue veerondersteuning in

de dikterichting van de ligger (Figuur 4.2). Aangezien het materiaalgedrag van de kitvoeg -

dus ook het veergedrag in het numeriek model - nog onbekend is, wordt in eerste instantie de

theoretische invloed van een kitvoeg onderzocht. Hiertoe wordt met een lineair veergedrag

gewerkt, gekenmerkt door een veerstijfheid kveer die varieert binnen een breed interval. Voor

de eenvoud worden enkel liggers beschouwd, belast met een puntkracht in het midden.


57

4.2.1 Ideale liggers

Aan de hand van een parameterstudie kan het effect bestudeerd worden van de veerstijfheid

van de continue veerondersteuning op de kiplast van een monolithische ideale ligger. Hierbij

wordt slechts één geometrie bekeken: een ligger met lengte drie meter, lengte-hoogte

verhouding tien en dikte tien millimeter. Er moet opgemerkt worden dat Abaqus bij grote

veerstijfheden een negatieve eerste eigenwaarde levert. Dit stemt overeen met een naar boven

gerichte belasting, wat in dit geval niet relevant is.

Figuur 4.4: Beeld van een uitgekipte halve ligger,

gekenmerkt door een negatieve eigenwaarde

In eerste instantie leek het niet eenvoudig om enkel de tweede (positieve) eigenwaarde op te

vragen. Het probleem werd opgelost door een preload aan te brengen waardoor de eerste

eigenwaarde wel positief was. Om achteraf de kiplast van de ligger te bepalen, moet de

waarde van de preload opgeteld worden bij de eigenwaarde die door Abaqus geleverd wordt.

Onderstaande grafiek toont het verloop van de kiplast Fcr wanneer de veerstijfheid kveer

varieert.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

kveer [N/m/m]

Fcr [

N]

Figuur 4.5: Invloed van de veerstijfheid kveer op de kiplast, geldig voor een ideale

monolithische ligger met L = 3 m, L/h = 10 en t = 10 mm


58

Hoe groter de veerstijfheid, hoe groter de kiplast. Voor zeer kleine veerstijfheden nadert de

waarde van de kiplast naar 3888 N, de kiplast van een ligger zonder veerondersteuning. Bij

zeer grote veerstijfheden zal de kiplast oneindig groot worden, vermits de veerondersteuning

over de volledige bovenrand is uitgesmeerd. De curve in Figuur 4.5 heeft hetzelfde verloop

als de curven opgesteld door (Belis et al., 2003). De toename van de kiplast is, relatief gezien,

het grootst bij kleine veerstijfheden: de helling van de kromme in Figuur 4.5 neemt af met

toenemende veerstijfheid. Hoe groter de veerstijfheid wordt, hoe kleiner het effect ervan is op

de kiplast. In Figuur 4.6 is een nog groter bereik van de veerstijfheid weergegeven, met

toepassing van een logaritmische schaal. Hieruit blijkt dat er pas bij veerstijfheden groter dan

1000 N/m², een duidelijk effect is op de kritieke belasting.

0

10000

20000

30000

40000

50000

1,0E-05 1,0E-03 1,0E-01 1,0E+01 1,0E+03 1,0E+05 1,0E+07

kveer [N/m/m]

Fcr [N

]

Figuur 4.6: Invloed van de veerstijfheid kveer op de kiplast, geldig voor een ideale


Beschouwen we echter de situatie met één veer in het midden van de overspanning. Dit kan

een schematische weergave zijn van een glazen ligger die langs beide kanten gestabiliseerd

wordt door een kabel met grote rekstijfheid. In dat geval evolueert de kiplast bij zeer grote

veerstijfheden naar de tweede eigenwaarde van een ligger zonder veren (Figuur 4.7). Het is

alsof een min of meer vast punt wordt gecreëerd in de middenoverspanning, waardoor de

ligger kipt volgens twee halve sinusbogen (Figuur 4.8).


59

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

1,0E-04 1,0E-02 1,0E+00 1,0E+02 1,0E+04 1,0E+06

K veer [N/m]

Fcr [N

]

Figuur 4.7: Invloed van de veerstijfheid Kveer op de kiplast, geldig voor een ideale


Figuur 4.8: Beeld van een ligger die gekipt is volgens twee halve sinusbogen

4.2.2 Liggers met imperfecties

Voor een ligger met initiële vormfout moet eerst een eigenwaardenberekening uitgevoerd

worden om de eerste eigenvorm van de ligger te bepalen. In een tweede stap wordt een niet-

lineaire analyse uitgevoerd, die resulteert in een kipkromme. Enkel in de tweede

berekeningsstap wordt de continue veerondersteuning toegevoegd, omdat ook in

werkelijkheid de kitvoeg aangebracht wordt op de ligger in zijn initieel gebogen vorm.

Net als bij de onderzochte ideale ligger, worden verschillende waarden voor de veerstijfheid

kveer beschouwd. Telkens wordt een numerieke simulatie uitgevoerd van een ligger met lengte

drie meter, lengte-hoogte verhouding tien, dikte tien millimeter en initiële vormfout L/333.

Voor iedere waarde van de veerstijfheid kan een kipkromme opgesteld worden, gebaseerd op

één numerieke simulatie. Dit gebeurt op dezelfde manier als in Hoofdstuk 3. Hierbij moet

opgemerkt worden dat in formule (3.2), het elastisch kritiek moment van een ligger zonder


60

veerondersteuning ingevoerd wordt. De verkregen kipkrommen zijn weergegeven in Figuur

4.9. Dit geeft een eerste idee van de invloed van de veerstijfheid op de kipkrommen. Het zou

echter beter zijn om voor elke waarde van de veerstijfheid meerdere numerieke simulaties uit

te voeren zodat een wolk van punten bekomen wordt. In Hoofdstuk 6, wanneer realistische

waarden voor de veerstijfheid kunnen gebruikt worden, wordt dit uitgebreider onderzocht.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

λλλλ

χχ χχ

0 N/m²0,00001 N/m²0,0001 N/m²0,001 N/m²0,01 N/m²0,1 N/m²1 N/m²10 N/m²100 N/m²1000 N/m²10000 N/m²100000 N/m²1000000 N/m²

Figuur 4.9: Kipkrommen voor verschillende veerstijfheden kveer, gebaseerd op de numerieke

simulaties van een monolithische ligger met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333

In Figuur 4.9 is te zien dat de kipkrommen hoger komen te liggen naarmate de veerstijfheid

groter is. Voor veerstijfheden kleiner dan 1 N/m² zijn de krommen echter niet van elkaar te

onderscheiden. Zeer kleine veerstijfheden hebben dus weinig invloed op het kipgedrag van

een ligger met initiële vormfout. Vanaf een veerstijfheid van 100 N/m² is het effect duidelijk

merkbaar.

Een kitvoeg heeft het minst effect bij liggers met een kleine slankheid aangezien deze eerder

bezwijken door buiging dan door kip. Bijgevolg wordt de kitvoeg niet echt op afschuiving

belast en kan deze ook geen terugroepende kracht uitoefenen. Liggers met een grote slankheid

daarentegen, bezwijken door kip. Hoe groter de veerstijfheid is, hoe groter de terugroepende

kracht, en hoe meer het kippen van de ligger wordt belemmerd. Bij zeer grote veerstijfheden

bezwijken ook slanke liggers door buiging en niet meer door kip: de waarde van χ is steeds

ongeveer gelijk aan één.

Voor een ligger met vrije onder- en bovenrand kan de waarde van χ, theoretisch gezien,

maximaal gelijk worden aan de eenheid, indien de ligger zuiver op buiging belast wordt. In

dat geval zal de ligger bezwijken wanneer de buigspanning gelijk wordt aan de treksterkte van


61

het glas. Dit is eveneens geldig indien er een continue veerondersteuning aanwezig is,

werkzaam volgens de dikterichting van de ligger. Bij zuivere buiging zal zo een

veerondersteuning immers geen kracht uitoefenen op de ligger. Voor het numeriek model dat

hier toegepast wordt, kan de waarde van χ dus nooit de theoretische eenheidsgrens

overtreffen. In Figuur 4.9 wijken de kipkrommen, behorend bij grote veerstijfheden, hiervan

af. Dit wordt uitgebreider besproken in Hoofdstuk 6.

Zonder veerondersteuning geldt nog een tweede theoretische grens: de waarde van χ moet

kleiner zijn dan 2

1

λ. De bezwijkbelasting (tweede-orde probleem) kan immers niet groter zijn

dan de elastische kritieke belasting (bifurcatieprobleem). Indien een veerondersteuning

toegevoegd wordt aan het numeriek model, dan vervalt deze grenswaarde. Door de

terugroepende kracht van de veerondersteuning kan de bezwijkbelasting van een ligger met

veerondersteuning groter worden dan de elastische kritieke belasting van een ligger zonder

veerondersteuning. Dit is ook te zien in Figuur 4.9, waar de theoretische grenskromme steeds

meer wordt overschreden bij toenemende veerstijfheid. Indien de waarde van λ gebaseerd zou

worden op de ideale kipspanning σcr van een ligger met veerondersteuning, zou de krommen

vermoedelijk wel onder deze grenswaarde blijven.

62

Hoofdstuk 5

Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg

In Hoofdstuk 4 werd het numeriek model van een ligger met vrije boven- en onderrand

uitgebreid met een kitvoeg. Deze werd gemodelleerd als een continue veerondersteuning over

de volledige bovenrand van de ligger, bestaande uit naast elkaar geplaatste translatieveren die

werkzaam zijn volgens de dikterichting van de ligger. Om numerieke simulaties uit te voeren

en kipkrommen op te stellen voor liggers met een kitvoeg, zijn realistische waarden voor de

veerstijfheid nodig. Daarom werden afschuifproeven uitgevoerd op het materiaal van de

kitvoeg. Op basis van deze resultaten kan een veermodel opgesteld worden, dat vervolgens

geïmplementeerd kan worden in het numeriek model (Hoofdstuk 6).

5.1 Proefstukken

5.1.1 Materialen

In Hoofdstuk 2 werd vermeld dat meestal silicone wordt gebruikt voor kitvoegen. Bij ons

vaak toegepaste materialen zijn “Dow Corning 895” en “Dow Corning 993”. Het grootste

verschil tussen beide is dat DC 895 een ééncomponent silicone is en DC 993 een

tweecomponenten silicone, waarvoor een speciale menginstallatie nodig is. Dit is de reden

waarom in dit werk gekozen werd voor DC 895. Op basis van Tabel 2.8 moet men echter

opmerken dat beide materialen een ander afschuifgedrag zullen hebben: de maximale

verlenging van DC 895 is dubbel zo groot als die van DC 993 terwijl de treksterkte ongeveer

gelijk is. De bekomen proefresultaten voor DC 895 mogen dus niet veralgemeend worden.

In eerste instantie werd gedacht aan een T-vormig proefstuk, bestaande uit twee glazen platen

die verbonden zijn door de silicone. Dit is immers een goede weergave van de werkelijke

Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg

63

situatie: een dak-ligger of gevel-vin aansluiting. Bij zo een proefstuk zou echter een speciale

opstelling nodig geweest zijn om de siliconevoeg in de trekbank te kunnen belasten.

Bovendien dienen de afschuifproeven enkel om het materiaalgedrag van de silicone te

bestuderen en is het niet de bedoeling om vb. het adhesief gedrag tussen het glas en de

silicone te onderzoeken. Vandaar dat de uiteindelijke proefstukken niet uit glas maar uit

aluminium vervaardigd zijn. Eén proefstuk bestaat uit twee aluminiumstukken die in elkaars

verlengde liggen en verbonden zijn door een siliconevoeg (Figuur 5.1, 5.2, 5.3 en 5.4). Op die

manier is geen tussenstuk nodig om de proefstukken te belasten.

Er werden twee reeksen proefstukken vervaardigd met verschillende voegafmetingen: 6 mm x

6 mm en 15 mm x 15 mm. Dit stemt min of meer overeen met de minimale en maximale

voegafmetingen die vaak worden toegepast in de praktijk (Hoofdstuk 2). Voor beide reeksen

heeft de voeg een lengte van 100 mm. De breedte van de voeg wordt gedefinieerd als de

afmeting volgens de afschuifrichting, van het contactvlak tussen de silicone en het

aluminiumstuk. De dikte van de voeg is gelijk aan de afstand tussen beide contactvlakken.

Omdat de klemmen van de trekbank in elkaars verlengde liggen (paragraaf 5.2), moeten de

aluminiumstukken een trapvorm hebben. De trapvorm is zodanig dat er tussen beide

aluminiumstukken een uitsparing ontstaat waarvan de hoogte overeenkomt met de dikte van

de siliconevoeg. De aluminiumstukken voor de siliconevoeg van 15 mm x 15 mm, hebben een

dikte van 30 mm en zijn samengesteld uit 2 platen van elk 15 mm dikte, die aan elkaar gebout

zijn. Aan de uiteinden wordt de dikte gereduceerd tot maximaal 19 mm zodat de proefstukken

kunnen ingeklemd worden in de trekbank.

100 35 100

leng

te =

100

20

dikt

e =

6

77

breedte = 6

silicone

aluminiumstuk links aluminiumstuk rechts

Figuur 5.1: Schematische weergave van een proefstuk met een

siliconevoeg van 6 mm x 6 mm (afmetingen in mm)


64

Figuur 5.2: Voorbeeld van een proefstuk met siliconevoeg van 6 mm x 6 mm

30 56 45 56 30le

ngt

e =

100

breedte = 15 7,5

7,5

30

dikt

e =

15 19

silicone

aluminiumstuk links

aluminiumstuk rechts

Figuur 5.3: Schematische weergave van een proefstuk met een

siliconevoeg van 15 mm x 15 mm (afmetingen in mm)

Figuur 5.4: Voorbeeld van een proefstuk met siliconevoeg van 15 mm x 15 mm

5.1.2 Maken van de proefstukken

Om de proefstukken te maken, werden de aluminiumstukken eerst ontvet met aceton. Daarna

werd de silicone met een siliconespuit aangebracht op één van beide aluminiumstukken. Dit

gebeurde in één beweging, zodat de vorming van luchtinsluitsels vermeden werd. De juiste

afmetingen van de voeg werden bepaald door vier hulpstaafjes: twee lange staafjes langs

weerszijden van de voeg, als afstandshouder voor de dikte en twee korte staafjes als

afstandshouder voor de breedte. Bij het aanbrengen van de silicone werd de breedte

voldoende groot genomen. Vervolgens werden de twee lange staafjes langs weerszijden van

de silicone geplaatst en de twee korte staafjes ertussen (Figuur 5.5). Door de lange staafjes

naar elkaar toe te bewegen tot ze de korte staafjes raakten, werd de silicone naar omhoog en


65

naar opzij gestuwd. De korte staafjes garandeerden de juiste breedte van de voeg. Daarna kon

het tweede aluminiumstuk op de silicone geplaatst worden. Door het geheel stevig aan te

drukken, terwijl de hulpstaafjes op hun plaats werden gehouden, werd de overtollige silicone

zijdelings weggeperst. Zo werd de dikte van de voeg vastgelegd door de lange hulpstaafjes.

afstandshouder dikteafstandshouder hoogte

aluminiumstuk rechts

silicone

6 mm of 15 mm

Figuur 5.5: Schematische weergave van het gebruik van afstandshouders

Aangezien de korte hulpstaafjes geen contact maakten met de silicone, konden deze

onmiddellijk verwijderd worden. De lange hulpstaafjes moesten echter aanwezig blijven

tijdens het uithardingsproces om ervoor te zorgen dat de viskeuze silicone zijn vorm behield

(Figuur 5.6). Voordat de proefstukken beproefd werden in de trekbank, moesten ook de lange

hulpstaafjes weggehaald worden.

Figuur 5.6: Lange hulpstaafjes, omwikkeld met vershoudfolie

Bij een eerste serie teststukken werd gewerkt met staafjes uit pvc. Achteraf bleek dat bij het

verwijderen van deze staafjes, de siliconevoeg beschadigd werd: de hechting tussen beide

materialen was te groot. Daarom werden voor de definitieve proefstukken stalen staafjes

gebruikt die omwikkeld werden met vershoudfolie. Op die manier was het zeker mogelijk om

de staafjes te verwijderen. Indien de silicone zich zou hechten aan de folie, dan kon de

invloed daarvan bij de afschuifproeven, verwaarloosd worden. Uiteindelijk kon de

vershoudfolie echter zeer gemakkelijk verwijderd worden. In principe zou de dikte van de

folie in rekening moeten gebracht worden bij het bepalen van de afmetingen van de

siliconevoegen. Dit effect wordt echter verwaarloosd.


66

In Hoofdstuk 2 werd vermeld dat ééncomponent siliconen zoals DC 895, uitharden met de

luchtvochtigheid. Volgens de productinformatie van DC 895, is het materiaal na 24 uur 2,2

mm diep uitgehard en na 72 uur 3,5 mm, vertrekkende van het oppervlak in contact met die

luchtvochtigheid. Door de aanwezigheid van de hulpstaafjes is het echter moeilijk in te

schatten wanneer de silicone volledig uitgehard is. Daarom werden tegelijk met de definitieve

proefstukken ook een aantal teststukken gemaakt. Deze bestonden uit twee evenwijdige

aluminiumplaatjes met afmetingen 5 cm x 10 cm, met daartussen een siliconevoeg van 6 mm

x 6 mm of 15 mm x 15 mm. Aan de hand van deze teststukken kon vermeden worden dat de

proefstukken beproefd werden vooraleer de silicone volledig uitgehard was.

De proefstukken met siliconevoegen van 6 mm x 6 mm werden 15 dagen nadat ze gemaakt

werden, beproefd. Al die tijd bleven de hulpstaafjes aanwezig. De proefstukken met

siliconevoegen van 15 mm x 15 mm hebben gedurende 12 dagen uitgehard met hulpstaafjes,

en 15 dagen zonder hulpstaafjes, vooraleer ze beproefd werden. Na acht dagen uitharden

zonder hulpstaafjes, was de silicone volledig uitgehard.

Tabel 5.1: Overzicht van de proefstukken

Uitharding [dagen] Proefstuk Silicone b x d [mm]

Met staafjes Zonder staafjes

6_6_1 DC 895 6 x 6 15 0

6_6_2 DC 895 6 x 6 15 0

6_6_3 DC 895 6 x 6 15 0

6_6_4 DC 895 6 x 6 15 0

6_6_5 DC 895 6 x 6 15 0

15_15_1 DC 895 15 x 15 12 15

15_15_2 DC 895 15 x 15 12 15

15_15_3 DC 895 15 x 15 12 15

15_15_4 DC 895 15 x 15 12 15

15_15_5 DC 895 15 x 15 12 15

5.2 Proefopstelling en -procedure

Voor de proeven is gebruik gemaakt van de trekbank van de vakgroep Textielkunde van de

Universiteit Gent. Dit is een elektromechanische universele trekbank Instron 3369, met een

Bluehill2 Control Console en een uitleestoestel op PC. Met behulp van twee klemmen

werden de proefstukken ingeklemd. Omdat de dikte van de proefstukken te groot was,


67

moesten de geribde plaatjes van de klemmen losgemaakt worden. De op die manier

gecreëerde extra ruimte moest gedeeltelijk opgevuld worden met rubber. Zoniet was het

proefstuk bovenaan en onderaan slechts op één lijn ingeklemd, namelijk ter plaatse van de

‘tand’ van de klemmen.

(a) (b) (c)

Figuur 5.7: Klem (a) met geribde plaatjes (b) zonder geribde plaatjes (c) met rubber

De aluminiumstukken werden met een constante snelheid uit elkaar getrokken, zodat de

siliconevoeg op afschuiving belast werd. De belastingssnelheid werd vastgelegd op vijf

millimeter per minuut, naar analogie met (ETAG 002, Guideline for European technical

approval for structural sealant glazing systems (SSGS), 1999).

Figuur 5.8: Ingeklemd proefstuk

De geleverde kracht werd opgemeten door een meetcel met een bereik tot 2 kN, model Instron

T1701-10022530-418. Ook de bijhorende relatieve verplaatsingen van de klemmen werden

opgemeten. De kracht werd op nul gezet op het moment dat het proefstuk onderaan was

inklemd en nog geen contact maakte met de bovenste klem. Nadat het proefstuk ook

bovenaan was ingeklemd, werd de verplaatsing op nul gezet.


68

5.3 Proefresultaten

5.3.1 Siliconevoeg van 6 mm x 6 mm

Alle 6 mm x 6mm proefstukken werden belast tot breuk. Figuur 5.9 toont het verloop van de

verplaatsing uafsch in functie van de kracht Fafsch. Voor elk proefstuk is de maximale waarde

van de kracht en de bijhorende verplaatsing ook terug te vinden in Tabel 5.2. De fout op de

gemiddelde waarde wordt bepaald als de verhouding van de standaardafwijking tot de

vierkantswortel van het aantal metingen. Indien deze waarde kleiner was dan de fout op een

individuele meting (meetnauwkeurigheid), was de fout op de gemiddelde waarde gelijk aan

deze laatste.

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

uafsch [mm]

Faf

sch

[N]

6_6_1

6_6_2

6_6_3

6_6_4

6_6_5

Figuur 5.9: Verloop van de kracht in functie van de verplaatsing

voor alle 6 mm x 6 mm proefstukken

Tabel 5.2: Maximale kracht, bijhorende verplaatsing en bezwijktype

voor alle 6 mm x 6 mm proefstukken

Bezwijktype Proefstuk Fafsch [N] uafsch [mm]

Cohesief Adhesief

6_6_1 561 ± 1 32,9 ± 0,1 25% 75%

6_6_2 516 ± 1 28,9 ± 0,1 10% 90%

6_6_3 544 ± 1 33,2 ± 0,1 10% 90%

6_6_4 512 ± 1 30,2 ± 0,1 10% 90%

6_6_5 507 ± 1 29,9 ± 0,1 10% 90%

Gemiddelde 528 ± 10 31,0 ± 0,9

Standaardafwijking 23 1,9


69

De afname in kracht op het einde van de proef is het gevolg van het bezwijken van de

siliconevoeg. Over het algemeen vertoonden de proefstukken een hoofdzakelijk adhesieve

breuk. Enkel aan de randen van de voeg was er een cohesief breukpatroon (Figuur 5.10). Bij

één van de proefstukken was er een cohesieve breuk over ongeveer 1,5 cm. Het zwakke

contactvlak tussen silicone en aluminium was telkens het vlak dat onderaan lag toen

proefstukken gemaakt werden. Met andere woorden, de silicone loste steeds van het

aluminiumstuk waarop de siliconerups werd aangebracht. Aan de bovenzijde van de voeg was

er immers een beetje uitvloei, als gevolg van het wegpersen van de overtollige silicone

(Figuur 5.10). Hierdoor was het contactvlak bovenaan groter dan onderaan. In Tabel 5.2 zijn

de breukpatronen van de proefstukken weergegeven, gebaseerd op een grove schatting.

Figuur 5.10: Breukpatroon van proefstuk 6_6_5:

overwegend adhesief en aan de randen cohesief

De siliconevoeg bezweek niet in één keer, zoals ook te zien is in Figuur 5.9: de kracht neemt

af in trapvorm. Na het bezwijken van een deel van de voeg, nam de kracht opnieuw lichtjes

toe totdat een volgend deel van de voeg bezweek. Bij vier van de vijf proefstukken bezweek

de voeg van links naar rechts of omgekeerd (Figuur 5.11). Bij één proefstuk bezweek echter

eerst het middendeel van de voeg, dan het linkerdeel en als laatste het rechterdeel. Figuur B.1

van Bijlage B bevat een fotoreeks van het beproeven van proefstuk 6_6_4.

Figuur 5.11: Opeenvolgende bezwijkstadia van proefstuk 6_6_4


70


Figuur 5.12 toont het verloop van de kracht in functie van de verplaatsing voor de vijf

proefstukken met een siliconevoeg van 15 mm x 15 mm. Proefstuk 15_15_5 werd niet belast

tot breuk: tijdens de proef werd het proefstuk uit de onderste klem getrokken omdat het

onvoldoende ingeklemd was. De resultaten van dit proefstuk zullen bijgevolg niet verder

gebruikt worden. De overige vier proefstukken konden wel tot breuk belast worden. Bij

proefstuk 15_15_3 en 15_15_4 was er eveneens enige slip ter hoogte van de klemmen. Op het

einde van de proef bedroeg deze ongeveer vier millimeter. Aangezien de slip pas zichtbaar

was bij verplaatsingen groter dan ongeveer 60 millimeter, kan het eerste deel van beide

curven wel gebruikt worden. De maximale waarde van de kracht met bijhorende verplaatsing

is weergegeven in Tabel 5.3

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 20 40 60 80 100

uafsch [mm]

Faf

sch

[N]

15_15_1

15_15_2

15_15_3

15_15_4

15_15_5

Figuur 5.12: Verloop van de kracht in functie van de verplaatsing

voor alle 15 m x 15 mm proefstukken

Tabel 5.3: Maximale kracht, bijhorende verplaatsing en bezwijktype

voor alle 15 m x 15 mm proefstukken

Bezwijktype Proefstuk Fafsch [N] uafsch [mm]

Cohesief Adhesief Opmerking

15_15_1 1506 ± 1 73,3 ± 0,1 60% 40%

15_15_2 1246 ± 1 56,9 ± 0,1 95% 5%

15_15_3 1628 ± 1 84,7 ± 0,1 90% 10% Slip

15_15_4 1670 ± 1 89,0 ± 0,1 70% 30% Slip

Gemiddelde 1513 ± 95 76,0 ± 7,2

Standaardafwijking 191 14,3


71

Bij drie van de vier geslaagde proeven, bezweek de siliconevoeg in één keer, zoals ook te zien

is in Figuur 5.12. Bij proefstuk 15_15_2 bezweek eerst het middendeel, dan het rechterdeel

en als laatste het linkerdeel. Figuur 5.13 toont de opeenvolgende bezwijkstadia van proefstuk

15_15_2. In Figuur B.2 van Bijlage B is een fotoreeks weergegeven van het beproeven van

proefstuk 15_15_2.

Figuur 5.13: Opeenvolgende bezwijkstadia van proefstuk 15_15_2

Alle proefstukken vertonen een combinatie van cohesieve en adhesieve breuk. Hierbij heeft

het grootste deel van de oppervlakte een cohesief breukpatroon. In vergelijking met de

siliconenvoegen van 6 mm x 6 mm, heeft het breukpatroon duidelijk een meer cohesief

karakter (Tabel 5.3).

Figuur 5.14: Overwegend cohesief breukpatroon van proefstuk 15_15_3

5.4 Analyse van de resultaten


In Figuur 5.9 is te zien dat de resultaten een zeer goede overeenkomst vertonen: de vijf curven

sluiten nauw aan bij elkaar. Dit is geldig voor het predestructief deel van de proeven. Het

breukfenomeen is echter van minder belang bij het opstellen van het veermodel.

Als ruwe benadering geldt een lineair verband tussen de verplaatsing en de kracht. Meer in

detail bekeken, hebben de krommen een hol verloop tot een verplaatsing van ongeveer 12

millimeter, voor grotere verplaatsingen hebben de krommen eerder een bol verloop.


72

Bij het begin van de proef werd de siliconevoeg reeds belast door het eigengewicht van het

aluminiumstuk in de bovenste klem. De ‘trap’ van het ene aluminiumstuk maakte immers

geen rechtstreeks contact met het andere aluminiumstuk, er was een speling van ongeveer vijf

millimeter. Dit is ook te zien in Figuur 5.2. Het proefstuk werd eerst onderaan ingeklemd en

dan pas bovenaan. Bijgevolg was er al een zekere afschuiving, met tegengestelde zin van de

afschuiving tijdens de proef. Indien het proefstuk eerst bovenaan zou ingeklemd zijn, dan zou

de initiële afschuiving dezelfde zin gehad hebben als die tijdens de proef. Om met de correcte

belasting te rekenen, moeten de opgemeten krachten verminderd worden met het

eigengewicht. De toestand waarbij de gecorrigeerde belasting gelijk is aan nul, wordt

gedefinieerd als de referentietoestand van de voeg. De opgemeten verplaatsingen worden

gecorrigeerd zodanig dat ook de verplaatsing gelijk is aan nul in de referentietoestand. Het

eigengewicht van één aluminiumstuk bedraagt 6,06 Newton, wat uiteraard een relatief kleine

waarde is. De gecorrigeerde waarden verschillen dus weinig van de waarden die werden

opgemeten.

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40

uafsch [mm]

Faf

sch

[N]

6_6_1, opgemeten waarden

6_6_1, gecorrigeerde waarden

Figuur 5.15: Vergelijking tussen de opgemeten en gecorrigeerde waarden

voor het proefstuk 6_6_1

Er moet opgemerkt worden dat de rubberen opvulstukjes tijdens de proef kunnen vervormen,

waardoor de opgemeten verplaatsingen zouden moeten gecorrigeerd worden. Hier wordt

echter geen rekening mee gehouden.

Om het veermodel te bepalen, worden de waarden met een verplaatsing groter dan 28

millimeter verwaarloosd. Op die manier wordt enkel het stijgende deel van de vijf krommen

beschouwd. Figuur 5.16 toont de gemiddelde kromme die gebaseerd is op de vijf


73

gecorrigeerde krommen. Tevens zijn de punten aangeduid waarmee het veermodel kan

benaderd worden. Tenslotte is ook een lineaire benadering van het veermodel weergegeven.

siliconevoeg 6 x 6 mm

y = 19,143x

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20 25

uafsch [mm]

Faf

sch

[N]

Figuur 5.16: Weergave van de kromme die het veermodel bepaalt,

met aanduiding van de lineaire benadering


Zoals eerder gezegd worden de resultaten van proefstuk 15_15_5 niet gebruikt omwille van

overmatige slip ter hoogte van de onderste klem. Op basis van Figuur 5.12 kan men besluiten

dat de vier overige krommen een goede overeenkomst vertonen voor verplaatsingen kleiner

dan 56 millimeter. Voor grotere verplaatsingen neemt de kracht bij proefstuk 15_15_2 weer af

(Tabel 5.3). Alle curven vertonen een ietwat holler verloop tot de verplaatsing ongeveer 30

millimeter bedraagt om daarna te evolueren naar een meer boller verloop.

Bij de 15 mm x 15 mm proefstukken maakten beide aluminiumstukken rechtstreeks contact

met elkaar, dit in tegenstelling tot de 6 mm x 6 mm proefstukken (Figuur 5.4). Als het

onderste aluminiumstuk wordt ingeklemd, dan kan het bovenste aluminiumstuk hierop

steunen. Bijgevolg is er geen initiële vervorming van de siliconevoeg en moeten de

opgemeten waarden niet gecorrigeerd worden.

Het veermodel wordt bepaald als het gemiddelde van de vier krommen uit Figuur 5.12, en dit

voor verplaatsingen kleiner dan 56 millimeter. Het resultaat is weergegeven in Figuur 5.17,

evenals de lineaire benadering.


74


y = 21,441x

0

200

400

600

800

1000

1200

0 10 20 30 40 50

uafsch [mm]

Faf

sch

[N]

Figuur 5.17: Weergave van de kromme die het veermodel bepaalt,

met aanduiding van de lineaire benadering

5.4.3 Vergelijking

Uit de vergelijking van Figuur 5.16 en Figuur 5.17 volgt dat beide krommen eenzelfde

verloop kennen: een hol verloop bij kleine verplaatsingen, overgaand in een bol verloop bij

grotere verplaatsingen. Uiteraard zijn de maximale krachten en verplaatsingen groter voor een

siliconevoeg van 15 mm x 15 mm. Beide curven kunnen ruwweg benaderd worden door een

rechte met ongeveer dezelfde helling. Dit betekent dat een siliconevoeg van 6 mm x 6 mm

ongeveer hetzelfde veermodel levert als een siliconevoeg van 15 mm x 15 mm, in het geval

een lineaire benadering gekozen wordt. Ook met een niet-lineair veermodel zijn gelijkaardige

resultaten te verwachten: de curven in Figuur 5.18 stemmen immers redelijk goed met elkaar

overeen.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 10 20 30 40 50

uafsch [mm]

Faf

sch

[N]



Figuur 5.18: Vergelijking tussen het veermodel, behorend bij een

siliconevoeg van 6 mm x 6 mm en 15 mm x 15 mm


75

In Hoofdstuk 4 werd vastgesteld dat het effect van een kitvoeg belangrijk wordt indien de

veerstijfheid groter is dan 100 N/m². Uit Figuur 5.16 en 5.17 blijkt dat de werkelijke

veerstijfheid 19,143 N/m respectievelijk 21,441 N/m bedraagt. Deze waarden zijn geldig voor

een voeglengte van 100 mm. In de veronderstelling dat de veerstijfheid evenredig is met de

voeglengte, komt dit overeen met 191430 N/m² respectievelijk 214410 N/m². Bijgevolg kan

men verwachten dat een kitvoeg een niet te verwaarlozen invloed zal hebben op het

kipgedrag. Dit wordt verder besproken in Hoofdstuk 6.

76

Hoofdstuk 6

Numerieke analyse van liggers met kitvoeg

In Hoofdstuk 4 werd besloten om enkel het afschuifgedrag van de kitvoeg te modelleren. Dit

gebeurt door middel van een continue veerondersteuning. Op basis van afschuifproeven werd

het materiaalgedrag van DC 895, een veel gebruikte silicone voor kitvoegen, verder

onderzocht (Hoofdstuk 5). In dit hoofdstuk wordt het resulterende veermodel

geïmplementeerd in het numeriek model. Op die manier kan een numerieke analyse

uitgevoerd worden van de invloed van een kitvoeg op het kipgedrag van glazen liggers.

Zoals eerder vermeld wordt een kitvoeg aangebracht op de ligger met zijn initiële vormfout.

Vandaar dat in de eerste berekeningsstap, waar de eerste eigenvorm bepaald wordt, geen

continue veerondersteuning wordt toegevoegd. Enkel in de tweede, niet-lineaire

berekeningsstap wordt de kitvoeg gemodelleerd.

Net als in Hoofdstuk 3 worden twee belastingsgevallen beschouwd: een puntkracht in het

midden en een uniform verdeelde belasting.

6.1 Liggers belast met een puntkracht in het midden


Een eerste reeks numerieke simulaties heeft betrekking op een siliconevoeg van 6 mm x 6

mm. In het numeriek model wordt een niet-lineair veergedrag gekozen, gebaseerd op de

overeenkomstige afschuifproeven (Figuur 5.16). De proefresultaten zijn geldig voor een voeg

met lengte 100 mm. In het numeriek model wordt de kitvoeg echter vervangen door naast

elkaar geplaatste translatieveren, gericht volgens de dikterichting van de ligger. Elke veer

vertegenwoordigt een deel van de kitvoeg, met lengte gelijk aan de lengte van één element. Er

wordt verondersteld dat de kracht Fafsch, nodig om een bepaalde afschuiving te veroorzaken,

evenredig is met de lengte van de voeg. Voor een verplaatsing groter dan 28 millimeter, is de

Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg

77

veerstijfheid gelijk aan nul, aangezien de kitvoeg dan bezweken is. De waarden uit Figuur

5.16 kunnen als volgt omgevormd worden:

mm100

element1lengteFF proef,afschelmod,afsch ⋅= (6.1)

Het opstellen van de kipkrommen gebeurt op dezelfde manier als in Hoofdstuk 3 en

Hoofdstuk 4. Nadat de numerieke simulaties zijn uitgevoerd, kan het verloop van de belasting

en de spanning aan de onder- en bovenrand opgevraagd worden. Deze waarden kunnen

omgerekend worden naar waarden voor λ en χ. Hierbij moet opgemerkt worden dat voor de

bepaling van λ, gebruik wordt gemaakt van de ideale kipspanning σcr voor een ligger zonder

kitvoeg, hoewel we te maken hebben met een ligger met kitvoeg.

In Figuur 6.1 zijn de kipkrommen weergegeven, gebaseerd op de numerieke simulaties van

een ligger met en zonder kitvoeg, met lengte drie meter, lengte-hoogte verhouding tien, dikte

tien millimeter en initiële vormfout L/333. Hieruit blijkt dat de invloed van een kitvoeg

allerminst te verwaarlozen valt. Zoals eerder vermeld was dit te verwachten: uit de

afschuifproeven bleek dat een kitvoeg van 6 mm x 6 mm benaderd kan worden door een

lineair veermodel met veerstijfheid gelijk aan 191430 N/m². Figuur 4.9 toont dat een kitvoeg

met die veerstijfheid een behoorlijk gunstig effect heeft.

Theoretisch gezien, zou de invloed van een kitvoeg het kleinst moeten zijn voor liggers met

kleine slankheden, aangezien deze eerder bezwijken door buiging dan door kip. De ligger

ondergaat geen zijdelingse verplaatsingen, waardoor de kitvoeg niet op afschuiving belast

wordt en de translatieveren in het numeriek model geen terugroepende kracht uitoefenen.

Bijgevolg zou voor relatief massieve liggers de bezwijkbelasting met kitvoeg weinig mogen

verschillen van die zonder kitvoeg. Slanke liggers daarentegen, bezwijken meestal door kip.

De kitvoeg zal in dat geval de horizontale verplaatsingen belemmeren, waardoor de

bezwijkbelasting toeneemt.

De kipkromme behorend bij een kitvoeg van 6 mm x 6 mm overschrijdt de grenswaarde 2

1

λ,

waarbij λ gebaseerd is op de ideale kipspanning σcr van een ligger zonder kitvoeg: de

bezwijkbelasting (tweede-orde probleem) van een ligger met kitvoeg kan immers groter zijn

dan de elastische kritieke belasting (bifurcatieprobleem) van een ligger zonder kitvoeg. Indien

λ zou berekend worden op basis van de ideale kipspanning σcr van een ligger met kitvoeg,

zou de kipkromme vermoedelijk wel onder deze grens blijven. Men kan ook vaststellen dat de


78

kipkromme voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, de eenheidsgrens lichtjes overschrijdt, terwijl

de kipkromme voor een ligger zonder kitvoeg, onder de eenheid ligt.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4

λλλλ

χχ χχ

zonder kitvoeg

kitvoeg 6 mm x 6 mm

Figuur 6.1: Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van een ligger

met en zonder kitvoeg en L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333

Net als in Hoofdstuk 3 worden meerdere numerieke simulaties uitgevoerd om een beter beeld

te krijgen van de algemene vorm van de kipkrommen. De geometrische parameters nemen

dezelfde waarden aan als bij liggers zonder kitvoeg (Tabel 3.4). Sommige van de beschouwde

combinaties zijn weinig relevant: vb. een ligger met dikte 19 millimeter voorzien van één

kitvoeg van 6 mm x 6 mm, zal in de praktijk niet vaak toegepast worden. In deze

parameterstudie wordt echter geen rekening gehouden met de praktische bruikbaarheid.

Figuur 6.2 toont de kipkrommen die opgesteld zijn op basis van de numerieke simulaties van

liggers met lengte drie meter en initiële vormfout L/333 (acht simulaties). De spreiding in de

puntenwolk is het grootst voor waarden van λ ongeveer gelijk aan twee. Dit is een verschil

met de kipkrommen, behorend bij liggers zonder kitvoeg, waar de spreiding afneemt bij

stijgende waarden van λ (Figuur 3.18).

Indien de kipkrommen van naderbij worden bekeken voor zeer kleine waarden van λ, blijkt de

factor t * L/h bepalend te zijn voor de ligging van de kipkromme. De invloed ervan is echter

minder uitgesproken dan voor liggers zonder kitvoeg. Hoe groter de waarde van t * L/h, hoe

lager de kipkromme ligt en hoe beter de theoretische eenheidswaarde benaderd wordt. Voor

kleine waarden van t * L/h zijn de waarden van χ groter dan de eenheid, terwijl bij liggers

zonder kitvoeg, waarden kleiner dan één worden bekomen.

Ook bij grotere waarden van λ verschillen de kipkrommen van elkaar. Het is echter niet

duidelijk welke factor bepalend is voor de relatieve ligging van de kipkrommen ten opzichte

van elkaar. Mogelijks is de spreiding kleiner, indien λ gebaseerd wordt op de ideale

kipspanning σcr van een ligger met kitvoeg.


79

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ

L = 3 m, L/h = 10, t = 6 mmL = 3 m, L/h = 10, t = 10 mmL = 3 m, L/h = 10, t = 15 mmL = 3 m, L/h = 10, t = 19 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 6 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 10 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 15 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 19 mm

Figuur 6.2: Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers

met kitvoeg 6 mm x 6 mm en L = 3 m en u0 = L/333

Voor liggers met gelijke lengte-hoogte verhouding en dikte, bepaalt de lengte hoe hoog de

overeenkomstige kipkrommen gelegen zijn (Figuur 6.3). Hoe groter de lengte, hoe groter de

waarden van χ zijn en hoe meer de kipkromme afwijkt van de eenheidsgrens. Bij liggers

zonder kitvoeg daarentegen, liggen de kipkrommen onder de eenheid (Figuur 3.20).

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7

λλλλ

χχ χχ

L = 1 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 2 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 4 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 5 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 6 m, L/h = 10, t = 10 mm


met kitvoeg 6 mm x 6 mm en L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333

Men kan nagaan of de dikte-hoogte verhouding de belangrijkste parameter is voor de

kipkrommen van liggers met kitvoeg 6 mm x 6 mm, net als bij liggers zonder kitvoeg. In

Figuur 6.4 worden vier kipkrommen getoond, die behoren bij liggers met een dikte-hoogte

verhouding van 0,050. Bij kleine waarden van λ, kunnen de krommen niet van elkaar

onderscheiden worden, terwijl bij grotere waarden van λ twee paren van krommen te

herkennen zijn. De twee krommen in één paar, hebben dezelfde lengte-hoogte verhouding en


80

(ongeveer) dezelfde lengte-dikte verhouding. Het is duidelijk dat de dikte-hoogte verhouding

niet de enige parameter is die de relatieve ligging van de kipkrommen bepaalt, dit in

tegenstelling tot het geval zonder kitvoeg. Bij waarden van λ, berekend op basis van de ideale

kipspanning σcr van een ligger met kitvoeg, zou eventueel een andere conclusie kunnen

getrokken worden.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ L = 2 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 3 m, L/h = 10, t = 15 mm

L = 4 m, L/h = 20, t = 10 mm

L = 6 m, L/h = 20, t = 15 mm


met kitvoeg 6 mm x 6 mm en t/h = 0,050 en u0 = L/333

In Figuur 6.5 zijn alle kipkrommen weergegeven die opgesteld zijn op basis van de numerieke

simulaties van liggers met en zonder kitvoeg en met initiële vormfout L/333. De

puntenwolken vertonen twee grote verschillen: bij de puntenwolk, behorend bij liggers zonder

kitvoeg, neemt de spreiding af naarmate de slankheid λ toeneemt. Bij de puntenwolk,

gebaseerd op liggers met kitvoeg is de spreiding ongeveer even groot voor waarden van λ

tussen nul en vier. Het tweede grote verschil is de ligging van de puntenwolk ten opzichte van

de eenheidsgrens: bij liggers zonder kitvoeg zijn de waarden van χ kleiner dan één, terwijl bij

liggers met kitvoeg de eenheid overschreden wordt. Zoals eerder gezegd kunnen deze

verschillen te wijten zijn aan de manier waarop λ berekend wordt: zowel voor liggers met als

zonder kitvoeg wordt gebruik gemaakt van de ideale kipspanning σcr voor een ligger zonder

kitvoeg.

In de puntenwolk voor liggers met kitvoeg is de hoogste waarde van χ gelijk aan 1,21. Bij

deze waarde hoort een waarde van λ van 0,37, en een ligger met lengte zes meter, lengte-

hoogte verhouding tien en dikte zes millimeter. Dit punt komt bijgevolg overeen met een

treksterkte van 0,2 MPa, wat niet relevant is. Ook de geometrie van de ligger heeft weinig

praktische betekenis, maar hier wordt niet dieper op ingegaan.


81

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ

zonder kitvoeg

kitvoeg 6 mm x 6 mm


met of zonder kitvoeg en u0 = L/333

Ook voor een initiële vormfout van L/250 en L/1000 worden kipkrommen opgesteld. In

Figuur 6.6 kunnen de kipkrommen van liggers met initiële vormfout L/333 en L/1000 met

elkaar vergeleken worden. De spreiding van de puntenwolk voor L/1000 is iets kleiner, bij

kleine waarden van λ. Voor grotere waarden van λ hebben beide puntenwolken ongeveer

evenveel spreiding. De twee ondergrenzen vallen zo goed als samen. In Figuur C.1 van

Bijlage C is ook de puntenwolk voor een vormfout van L/250 weergegeven.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ

L/333

L/1000


met kitvoeg 6 mm x 6 mm en u0 = L/333 of L/1000

Bij liggers zonder kitvoeg, kan de puntenwolk opgesplitst worden op basis van de dikte-

hoogte verhouding (Figuur 3.24 en 3.25). Uit Figuur 6.4 blijkt dat dit voor liggers met een

kitvoeg van 6 mm x 6 mm niet evident is. De relatieve ligging van de kipkrommen ten

opzichte van elkaar, wordt niet uitsluitend bepaald door de dikte-hoogte verhouding. Er zijn


82

meerdere factoren die bepalen hoe groot de afwijking is ten opzichte van de theoretische

eenheidsgrens. Er wordt besloten om geen onderverdeling te maken en om de ondergrens te

bepalen van de volledige wolk. Net als in Hoofdstuk 3, gebeurt dit op visuele wijze, door een

aantal punten van de wolk te selecteren.

Figuur 6.7 toont een overzicht van de ondergrenzen van de puntenwolken, voor liggers met en

zonder kitvoeg, en dit voor de drie beschouwde vormfouten. De maximale slankheid λ wordt

vastgelegd op drie aangezien grotere slankheden in de praktijk zelden voorkomen.

De grootte van de initiële vormfout is het meest van belang voor liggers zonder kitvoeg, met

een dikte-hoogte verhouding kleiner dan 0,060. Voor liggers met kitvoeg, heeft de vormfout

weinig belang: de drie krommen, behorend bij een kitvoeg van 6 mm x 6 mm vallen bijna

volledig samen. Dit kan ook vastgesteld worden in Figuur 6.6.

kitvoeg 6 mm x 6 mm

zonder kitvoegt/h > 0,060

zonder kitvoegt/h < 0,060

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ

L/250L/333L/1000

Figuur 6.7: Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers met en zonder kitvoeg,

voor u0 = L/250, L/333 en L/1000

Tabel 6.1 geeft een overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, geldig

voor liggers met een dikte-hoogte verhouding kleiner dan 0,060. Tabel 6.2 bevat dezelfde

informatie, maar voor liggers met een dikte-hoogte verhouding groter dan 0,060. De relatieve

invloed van een kitvoeg neemt eerst toe bij stijgende waarden van λ, om daarna weer af te

nemen. Het toepassen van een kitvoeg met afmetingen 6 mm x 6 mm is het meest efficiënt

voor liggers met een slankheid van ongeveer twee. In dat geval wordt de waarde van χ meer

dan verdubbeld.


83


voor liggers met t/h < 0,060, gebaseerd op Figuur 6.7

L/250 L/333 L/1000

λ Zonder

kitvoeg

Met

kitvoeg Toename

Zonder

kitvoeg

Met

kitvoeg Toename

Zonder

kitvoeg

Met

kitvoeg Toename

0,5 0,56 1,00 78% 0,63 1,01 60% 0,85 1,02 20%

1,0 0,48 0,98 104% 0,55 0,99 80% 0,75 1,00 33%

1,5 0,38 0,90 137% 0,40 0,92 130% 0,44 0,98 123%

2,0 0,25 0,68 172% 0,26 0,70 169% 0,27 0,75 178%

2,5 0,18 0,42 133% 0,18 0,43 139% 0,18 0,45 150%


voor liggers met t/h > 0,060, gebaseerd op Figuur 6.7

L/250 L/333 L/1000

λ Zonder

Kitvoeg

Met

kitvoeg Toename

Zonder

kitvoeg

Met

kitvoeg Toename

Zonder

kitvoeg

Met

kitvoeg Toename

0,5 0,85 1,00 18% 0,89 1,01 13% 0,97 1,02 5%

1,0 0,70 0,98 40% 0,73 0,99 36% 0,85 1,00 18%

1,5 0,40 0,90 125% 0,40 0,92 130% 0,43 0,98 128%

2,0 0,25 0,68 172% 0,26 0,70 169% 0,27 0,75 178%

2,5 0,18 0,42 133% 0,18 0,43 139% 0,18 0,45 150%

6.1.2 Lineaire benadering van het veergedrag

In Figuur 5.16 is het veermodel weergegeven, dat gebaseerd is op de afschuifproeven van

siliconevoegen van 6 mm x 6 mm. Het verband tussen de afschuifkracht Fafsch en de

verplaatsing uafsch, kan benaderd worden door een rechte. Dit betekent dat een lineair

veermodel kan toegepast worden. De veerstijfheid bedraagt 19,143 N/mm voor een

voeglengte van 100 mm. In de onderstelling dat de veerstijfheid evenredig is met de

voeglengte, komt dit overeen met een waarde van 191430 N/m². Net als bij het niet-lineair

veermodel wordt de verplaatsing beperkt tot 28 millimeter: bij grotere verplaatsingen oefenen

de veren geen terugroepende kracht uit.

Figuur 6.8 toont de puntenwolken, gebaseerd op simulaties met een niet-lineair en lineair

veergedrag, voor liggers met een initiële vormfout van L/333. De puntenwolken zijn, zoals

verwacht, nauwelijks van elkaar te onderscheiden.


84

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ

niet-lineair veergedraglineair veergedrag


met een lineair en niet-lineair veergedrag en met u0 = L/333

Figuur 6.9 toont de kipkrommen voor drie verschillende geometrieën, met een lineair en niet-

lineair veermodel. Het is duidelijk dat een lineair veermodel mag aangenomen worden,

zonder dat de nauwkeurigheid hierdoor beïnvloed wordt. Dit is een belangrijke conclusie: het

is immers een stuk eenvoudiger om een lineair veergedrag te modelleren.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ

niet-lineair veergedrag

lineair veergedrag

L = 6 m, L/h = 10, t = 6 mm

L = 4 m, L/h = 10, t = 10 mm

L = 3 m, L/h = 10, t = 15 mm

Figuur 6.9: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met 3

verschillende geometrieën, met een lineair en niet-lineair veergedrag en met u0 = L/333

6.1.3 Siliconevoeg van 6 mm x t

De proefresultaten voor een siliconevoeg van 6 mm x 6 mm worden uitgebreid voor het geval

van een siliconevoeg met een dikte zes millimeter en een breedte, gelijk aan de dikte t van de

ligger. Hierbij wordt ondersteld dat indien de breedte van de voeg verdubbelt, ook de nodige

afschuifkracht Fafsch verdubbelt. Bovendien wordt aangenomen dat de voeg bezwijkt bij een

verplaatsing gelijk aan 28 millimeter, onafhankelijk van de breedte van de voeg, wat een


85

veilige benadering is. Doordat de proefresultaten niet rechtstreeks gebruikt worden, is het

gebruikte model niet exact, dit in tegenstelling tot vb. het geval van een kitvoeg van 6 mm x 6

mm. Toch lijkt dit een aanvaardbare werkwijze. De waarden van de afschuifkracht voor het

numeriek model, kunnen bepaald worden op basis van de proefresultaten van de siliconevoeg

van 6 mm x 6 mm:

mm6

t

mm100

element1lengteFF proef,afschelmod,afsch ⋅⋅= (6.2)

Er moet opgemerkt worden dat sommige van de beschouwde geometrieën weinig praktische

betekenis hebben. Zo zal men zelden een kitvoeg met breedte 19 millimeter en dikte zes

millimeter aantreffen, maar eerder twee kitvoegen met breedte en dikte zes millimeter, met

daartussen een steunstrip.

Net als bij de kipkrommen voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, is de dikte-hoogte verhouding

niet de enige parameter die een invloed heeft op de waarden van χ. Dit is geldig in het geval

de waarden van λ berekend worden op basis van de ideale kipspanning σcr van een ligger

zonder kitvoeg. In dit werk kan geen uitspraak gedaan worden in het geval de ideale

kipspanning σcr van een ligger met kitvoeg toegepast wordt.

In vergelijking met een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, zou een kitvoeg van 6 mm x t het meest

effect moeten hebben voor liggers met een grote dikte. Er wordt immers verondersteld dat de

tegenwerkende kracht van de kitvoeg evenredig toeneemt met de breedte ervan. Figuur 6.10

toont de kipkrommen, die behoren bij liggers met een dikte van 19 millimeter, met een

kitvoeg van 6 mm x 6 mm of 6 mm x t.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4

λλλλ

χχ χχ

kitvoeg 6 mm x 6 mm

kitvoeg 6 mm x t


met kitvoeg 6 mm x 6 mm en 6 mm x t, en met t = 19 mm en u0 = L/333


86

De ondergrens voor een kitvoeg met afmetingen 6 mm x 6 mm ligt onder die voor een kitvoeg

van 6 mm x t. Verder blijkt dat het vergroten van de breedte van de kitvoeg het meest effect

heeft voor liggers met slankheden groter dan één. Voor liggers met kleine slankheden heeft

het geen zin om een kitvoeg, met om het even welke afmetingen, aan te brengen: zulke liggers

bezwijken door buiging.

In Figuur 6.11 zijn de twee puntenwolken weergegeven voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm

en 6 mm x t, geldig voor een initiële vormfout van L/333. Voor waarden van λ tussen twee en

vier ligt de puntenwolk van een kitvoeg van 6 mm x t iets hoger.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ

kitvoeg 6 mm x 6 mm

kitvoeg 6 mm x t


met kitvoeg 6 mm x 6 mm of 6 mm x t, en u0 = L/333

Tenslotte kunnen de ondergrenzen van de puntenwolken bepaald worden, voor de drie

beschouwde vormfouten (Figuur 6.12). Het zou logisch zijn om een puntenwolk, behorend bij

één vormfout, op te delen in vier deelwolken op basis van de breedte van de kitvoeg, en

telkens de ondergrens vast te leggen. De bekomen deelwolken overlappen elkaar echter bijna

volledig, waardoor de verschillende ondergrenzen zeer nauw bij elkaar aansluiten. Daarom

wordt er slechts één ondergrens weergegeven per vormfout.

De maximale slankheid λ wordt opnieuw vastgelegd op drie: grotere waarden komen in de

praktijk zelden voor. Net als bij een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, heeft de grootte van de

initiële vormfout weinig invloed op de ondergrens. In de figuur zijn eveneens de

ondergrenzen te zien voor het geval van een kitvoeg met afmetingen 6 mm x 6 mm. In Tabel

6.3 zijn enkele waarden van de ondergrenzen weergegeven. Het vergroten van de breedte van

de kitvoeg is het meest efficiënt voor liggers met een slankheid groter dan twee. De toename

van χ is echter minder uitgesproken dan bij de overgang van een ligger zonder kitvoeg naar


87

een ligger met kitvoeg van 6 mm x 6 mm (Tabel 6.1 en 6.2). Figuur C.2 van Bijlage C geeft

een overzicht van de puntenwolken voor de drie vormfouten.

kitvoeg 6 mm x t

kitvoeg 6 mm x 6 mm

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ

L/250L/333L/1000

Figuur 6.12: Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers met een kitvoeg 6 mm x 6 mm

en 6 mm x t, voor u0 = L/250, L/333 en L/1000

Tabel 6.3: Overzicht van de waarden van χχχχ voor verschillende waarden van λλλλ, gebaseerd op Figuur 6.12

L/250 L/333 L/1000

λ 6 x 6 [mm]

6 x t [mm]

Toename 6 x 6 [mm]

6 x t [mm]

Toename 6 x 6 [mm]

6 x t [mm]

Toename

0,5 1,00 1,01 1% 1,01 1,02 1% 1,02 1,03 1%

1,0 0,98 0,99 1% 0,99 1,00 1% 1,00 1,01 1%

1,5 0,90 0,92 2% 0,92 0,93 1% 0,98 0,99 1%

2,0 0,68 0,75 10% 0,70 0,78 11% 0,75 0,82 9%

2,5 0,42 0,55 31% 0,43 0,57 33% 0,45 0,55 22%


Tenslotte wordt een siliconevoeg beschouwd met afmetingen 15 mm x 15 mm. Uiteraard is

dit enkel mogelijk voor liggers met een dikte groter dan 15 millimeter. Dikten gelijk aan zes

en tien millimeter worden geschrapt uit het parameterdomein. De lengten, lengte-hoogte

verhoudingen en initiële vormfouten nemen dezelfde waarden aan als bij voorgaande gevallen

(Tabel 3.4). Bijgevolg wordt het totaal aantal uitgevoerde simulaties gehalveerd.

Figuur 5.18 toont de vergelijking tussen het veermodel voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm en

15 mm x 15 mm. Aangezien beide krommen grote gelijkenis vertonen, kunnen voor de

kipkrommen gelijkaardige resultaten verwacht worden. Anderzijds kan men de bedenking

maken dat een kitvoeg van 15 mm x 15 mm een tegenwerkende kracht uitoefent tot de


88

zijdelingse verplaatsing gelijk wordt aan 56 millimeter, terwijl een kitvoeg van 6 mm x 6 mm

reeds bezwijkt bij een verplaatsing van 28 millimeter.

De puntenwolk behorend bij een kitvoeg van 6 mm x 6 mm wordt uitgedund zodat enkel de

kipkrommen, behorend bij liggers met dikten van 15 millimeter en 19 millimeter overblijven.

In Figuur 6.13 wordt de bekomen puntenwolk vergeleken met die van een kitvoeg van 15 mm

x 15 mm. Aangezien het aantal simulaties kleiner is dan in vorige gevallen, is ook de

spreiding van de puntenwolken kleiner. Bij slankheden groter dan twee, ligt de ondergrens

van de puntenwolk voor een kitvoeg van 15 mm x 15 mm, iets hoger dan die voor een kitvoeg

van 6 mm x 6 mm. Een kitvoeg van 15 mm x 15 mm kan immers grotere zijdelingse

verplaatsingen belemmeren dan een kitvoeg van 6 mm x 6 mm.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5

λλλλ

χχ χχ

kitvoeg 6 mm x 6 mm

kitvoeg 15 mm x 15 mm


met kitvoeg 6 mm x 6 mm of 15 mm x 15 mm, en u0 = L/333

Figuur 6.14 toont de ondergrenzen die kunnen gebruikt worden bij liggers met een kitvoeg

van 15 mm x 15 mm. Net als bij een kitvoeg van 6 mm x 6 mm heeft de grootte van de

initiële vormfout een beperkte invloed.

Tabel 6.4 en Tabel 6.5 geven een aantal waarden van χ weer. Merk op dat de weergegeven

ondergrenzen, voor liggers zonder kitvoeg, opgesteld zijn op basis van een groter aantal

simulaties. De krommen uit Figuur 6.14 moeten bijgevolg met de nodige omzichtigheid

vergeleken worden. Dit geldt eveneens voor de vergelijking van Tabel 6.4 en 6.5 met Tabel

6.1 en 6.2. Figuur C.3 van Bijlage C geeft een overzicht van de puntenwolken voor liggers

met kitvoeg 15 mm x 15 mm.


89

zonder kitvoegt/h > 0,060

zonder kitvoegt/h < 0,060

kitvoeg15 mm x 15 mm

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ

L/250L/333L/1000

Figuur 6.14: Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers

met een kitvoeg 15 mm x 15 mm voor u0 = L/250, L/333 en L/1000

Tabel 6.4: Overzicht van de waarden van χχχχ voor verschillende waarden van λλλλ, voor liggers met t/h < 0,060

L/250 L/333 L/1000

λ Zonder

kitvoeg

Kitvoeg

15 x 15 Toename Zonder

kitvoeg

Kitvoeg

15 x 15 Toename

Zonder

kitvoeg

Kitvoeg

15 x 15 Toename

0,5 0,56 1,00 79% 0,63 1,00 59% 0,85 1,01 19%

1,0 0,48 0,97 102% 0,55 0,98 78% 0,75 1,00 33%

1,5 0,38 0,85 124% 0,40 0,86 115% 0,44 0,92 109%

2,0 0,25 0,66 164% 0,26 0,67 158% 0,27 0,71 163%

2,5 0,18 0,50 178% 0,18 0,50 178% 0,18 0,52 189%

Tabel 6.5: Overzicht van de waarden van χχχχ voor verschillende waarden van λλλλ, voor liggers met t/h > 0,060

L/250 L/333 L/1000

λ Zonder

kitvoeg

Kitvoeg

15 x 15 Toename

Zonder

kitvoeg

Kitvoeg

15 x 15 Toename

Zonder

kitvoeg

Kitvoeg

15 x 15 Toename

0,5 0,85 1,00 18% 0,89 1,00 12% 0,97 1,01 4%

1,0 0,70 0,97 39% 0,73 0,98 34% 0,85 1,00 18%

1,5 0,40 0,85 113% 0,40 0,86 115% 0,43 0,92 114%

2,0 0,25 0,66 164% 0,26 0,67 158% 0,27 0,71 163%

2,5 0,18 0,50 178% 0,18 0,50 178% 0,18 0,52 189%


90

6.2 Liggers belast met een uniform verdeelde belasting


Net als in Hoofdstuk 3 worden slechts een beperkt aantal geometrieën bekeken voor het geval

van een uniform verdeelde belasting (Tabel 3.7). Er wordt gebruik gemaakt van een niet-

lineair veermodel, dat gebaseerd wordt op de proefresultaten van de siliconevoegen van 6 mm

x 6 mm (Figuur 5.16).

Figuur 6.15 toont de kipkrommen voor liggers met een verdeelde belasting, met en zonder

kitvoeg en met een initiële vormfout van L/333. Analoog aan Figuur 6.5 is de invloed van een

kitvoeg op de waarden van χ duidelijk merkbaar. De kipkrommen, behorend bij een kitvoeg

van 6 mm x 6 mm zijn slechts gedefinieerd voor kleine waarden van λ. Dit kan als volgt

verklaard worden: de numerieke analyse verloopt belastingsgestuurd, in tegenstelling tot bij

een puntkracht, waar een vervormingsgestuurde analyse wordt toegepast. De maximale

verdeelde belasting werd voor elke ligger vastgelegd op basis van het analoge geval met een

puntkracht. Dit gebeurt aan de hand van formule (3.4), waarin F de maximale puntkracht is

van een ligger met kitvoeg, met dezelfde geometrie. Op die manier veroorzaakt de maximale

verdeelde belasting dezelfde buigspanning σy als de maximale puntkracht. Blijkbaar mocht de

maximale verdeelde belasting hoger zijn, zodat hogere spanningen en bijgevolg ook grotere

waarden van λ verkregen werden.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

λλλλ

χχ χχ

zonder kitvoeg

kitvoeg 6 mm x 6 mm


met verdeelde belasting, met en zonder kitvoeg en u0 = L/333

In Figuur 6.16 worden de kipkrommen voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, geldig voor een

verdeelde belasting vergeleken met die voor een puntkracht. Bij sommige geometrieën

hebben beide krommen hetzelfde verloop (Figuur 6.16, links), terwijl er bij andere


91

geometrieën een duidelijk verschil bestaat (Figuur 6.16, rechts). Het verschil lijkt groter te

zijn voor slankere liggers - liggers met een kleine dikte-hoogte verhouding of een grote

lengte. Dit zou betekenen dat een slanke ligger met een kitvoeg van 6 mm x 6 mm minder

snel bezwijkt bij een verdeelde belasting dan bij een puntkracht. Mogelijks geldt een andere

conclusie indien meerdere numerieke simulaties uitgevoerd worden. Ook de manier waarop

de waarde van λ berekend wordt, kan een invloed hebben: λ wordt immers gebaseerd op de

ideale kipspanning σcr van een ligger met verdeelde belasting, maar zonder kitvoeg.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4

λλλλ

χχ χχ

verdeelde belasting

puntkracht

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

λλλλ

χχ χχ

verdeelde belastingpuntkracht

Figuur 6.16: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg,

met L = 3 m (links) en L = 6 m (rechts), L/h = 10, t = 19 mm en u0 = L/333

De invloed van de grootte van de initiële vormfout kan bekeken worden in Figuur 6.17. Deze

toont alle kipkrommen voor liggers met een verdeelde belasting met initiële vormfout L/333

en L/1000. Zoals bij het geval van een puntkracht, is de spreiding in de puntenwolk kleiner bij

kleinere vormfouten. Het effect is hier echter minder uitgesproken aangezien het aantal

simulaties kleiner is. Bovendien zijn de krommen slechts gedefinieerd voor kleine waarden

van λ.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

λλλλ

χχ χχ

L/333

L/1000


met kitvoeg, met u0 = L/333 en L/1000


92


Ook een siliconevoeg van 15 mm x 15 mm wordt kort bestudeerd. Er worden enkel liggers

beschouwd met een dikte gelijk aan 19 millimeter (Tabel 3.7). Per vormfout worden bijgevolg

slechts vier simulaties uitgevoerd. Figuur 6.18 toont de kipkrommen van de beschouwde

liggers met een verdeelde belasting, met en zonder kitvoeg en met initiële vormfout L/333.

Opnieuw zijn de kipkrommen voor liggers met kitvoeg enkel gedefinieerd voor kleine

waarden van λ, net als in Figuur 6.15. Voor de onderzochte geometrieën is het effect van een

kitvoeg van 15 mm x 15 mm duidelijk merkbaar. Het aantal simulaties is echter te beperkt om

algemeen geldende conclusies te trekken.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4

λλλλ

χχ χχ

zonder kitvoeg

kitvoeg 15 mm x 15 mm


met verdeelde belasting, met en zonder kitvoeg (15 mm x 15 mm) en u0 = L/333

93

Hoofdstuk 7

Samenvatting en besluiten

7.1 Inleiding

De verbinding tussen glazen liggers en vloerplaten of tussen glazen vinnen en gevelelementen

is meestal gebaseerd op een silicone kitvoeg (structural sealant). Deze voegen hebben een

belangrijke invloed op het kipgedrag: wanneer de glazen ligger of vin uitkipt, worden de

zijdelingse verplaatsingen die hiermee gepaard gaan, belemmerd. Dit heeft als gevolg dat de

kritieke belasting toeneemt. In deze scriptie werd het gunstige effect bestudeerd van een

kitvoeg op het kipgedrag, op numerieke, en deels experimentele wijze. Er werd getracht een

antwoord te vinden op volgende vragen (Hoofdstuk 1):

� Hoe kunnen kipkrommen opgesteld worden voor glazen liggers zonder kitvoeg? Wat

is de algemene vorm van deze krommen? Door welke factoren worden de krommen

beïnvloed?

� Hoe kan een constructieve kitvoeg gemodelleerd worden? Wat is, theoretisch gezien,

de invloed van een kitvoeg op de kipkrommen?

� Wat is het materiaalgedrag van de kitvoeg bij afschuiving? Spelen de afmetingen van

de kitvoeg hierbij een rol? Hoe kan dit materiaalgedrag geïmplementeerd worden in

het numeriek model?

� Wat is het effect van een kitvoeg op de kipkrommen? Bij welke liggers is de invloed

het grootst? Spelen de afmetingen van de kitvoeg hierbij een rol?

7.2 Liggers zonder kitvoeg

In eerste instantie werden liggers zonder kitvoeg beschouwd, die dienden als referentie voor

liggers met kitvoeg. Er werden twee belastingsgevallen bestudeerd: een puntkracht in het

midden en een uniform verdeelde belasting. Uit de literatuur bleek dat er verschillende

Hoofdstuk 7: Samenvatting en besluiten

94

mogelijkheden zijn om de kipweerstand te bepalen van een ligger met initiële vormfout. In dit

werk werd gekozen om kipkrommen op te stellen, gebaseerd op eindige-

elementenberekeningen. Het begrip kipkromme vindt zijn oorsprong in de staalbouw, maar

kan uitgebreid worden voor glazen liggers. Een kipkromme geeft het verband weer tussen de

geometrie van een ligger en de bezwijkbelasting. De geometrie wordt uitgedrukt door een

slankheid λ, die gedefinieerd wordt op basis van de treksterkte σbreuk van het glas en de ideale

kipspanning σcr. De bezwijkbelasting wordt voorgesteld door een reductiefactor χ, die

bepaald wordt door een maximale buigspanning σy en de treksterkte σbreuk. De waarde van χ

heeft twee theoretische grenzen: de eenheid en 2

1

λ.

Vooraleer de numerieke simulaties konden uitgevoerd worden en de kipkrommen konden

opgesteld worden, moest het elementennet geoptimaliseerd worden. Dit heeft immers een

belangrijke invloed op de nauwkeurigheid van de resultaten, maar ook op de totale rekentijd.

Rekening houdend met beide factoren werd gekozen voor een elementennet, bestaande uit

49500 C3D8 elementen met een niet-uniforme verdeling.

Een numerieke simulatie van één glazen ligger gaf aanleiding tot één kipkromme. Door

meerdere simulaties uit te voeren werd een wolk van punten bekomen. De spreiding van de

puntenwolk nam toe naarmate de slankheid λ kleiner werd. Bij toenemende waarden van λ,

vielen de verschillende kipkrommen meer en meer samen. Hoe kleiner de dikte-hoogte

verhouding van de ligger en hoe groter de initiële vormfout, hoe meer de bijhorende

kipkromme afweek van de theoretische eenheidsgrens. Dit kon verklaard worden door het

fenomeen van de scheve buiging: een waarde van χ gelijk aan één, kan slechts bereikt worden

bij zuivere buiging om de as volgens de dikterichting van de ligger. Door de initiële vormfout

werd de ligger in het midden echter belast door scheve buiging, waardoor de theoretische

eenheidsgrens niet bereikt werd.

Voor liggers belast met een puntkracht, werd de puntenwolk opgesplitst in twee deelwolken

volgens de dikte-hoogte verhouding van de beschouwde ligger. Er werd eveneens onderscheid

gemaakt op basis van de grootte van de initiële vormfout. De bovengrens voor de slankheid λ

werd vastgelegd op drie, aangezien grotere slankheden in de praktijk nauwelijks voorkomen.

Voor elke deelwolk kon de ondergrens bepaald worden op visuele wijze. Bij het geval van

een uniform verdeelde belasting was het aantal simulaties te beperkt om ondergrenzen op te

stellen, die in de praktijk toepasbaar zijn.


95

7.3 Liggers met kitvoeg

Een kitvoeg bevindt zich meestal ter hoogte van de bovenrand van de ligger. Wanneer de

ligger kipt, ondergaan de dwarsdoorsneden een horizontale verplaatsing en in mindere mate

ook een rotatie. Bijgevolg wordt de kitvoeg voornamelijk op afschuiving belast. Eventueel

kan de voeg eerst samengedrukt worden, afhankelijk van de manier waarop de aansluiting

tussen de ligger en de rest van de constructie is opgebouwd. Omwille van de eenvoud werd in

dit werk enkel de afschuiving van de kitvoeg gemodelleerd. Dit gebeurde door middel van

een continue veerondersteuning, bestaande uit naast elkaar geplaatste translatieveren die

gericht zijn volgens de dikterichting van de ligger.

Om kipkrommen op te stellen voor liggers met kitvoeg waren realistische waarden nodig voor

de veerstijfheid. Daarom werden afschuifproeven uitgevoerd op siliconevoegen van 6 mm x 6

mm en 15 mm x 15 mm. Het gebruikte materiaal was Dow Corning 895, een silicone die bij

ons vaak toegepast wordt voor kitvoegen. De proefresultaten leidden tot twee niet-lineaire

veermodellen, die vrij goed benaderd konden worden door een lineair veermodel. Een kitvoeg

van 6 mm x 6 mm kon gemodelleerd worden als een lineaire veerondersteuning met

veerstijfheid 191430 N/m². Voor een kitvoeg van 15 mm x 15 mm gold een veerstijfheid van

214410 N/m².

Men kan voor verschillende waarden van de veerstijfheid nagaan hoe groot de invloed is op

het kipgedrag. Dit werd enkel onderzocht voor een ligger met lengte drie meter, lengte-hoogte

verhouding tien, dikte tien millimeter en initiële vormfout L/333, die belast werd met een

puntkracht. Hieruit bleek dat het effect van een continue veerondersteuning duidelijk

merkbaar is voor veerstijfheden groter dan 100 N/m². Bijgevolg kon men op basis van de

opgestelde veermodellen verwachten dat een kitvoeg een behoorlijke invloed heeft op het

kipgedrag.

De kipkrommen, die opgesteld waren op basis van de numerieke simulaties van liggers met

kitvoeg, lagen hoger dan die voor liggers zonder kitvoeg. Voor eenzelfde waarde van λ werd

een grotere waarde van χ bekomen. Dit was geldig voor alle onderzochte voegafmetingen: 6

mm x 6 mm, 6 mm x t en 15 mm x 15 mm. Bij liggers zonder kitvoeg was de dikte-hoogte

verhouding bepalend voor de relatieve ligging van de kipkrommen ten opzichte van elkaar.

Voor liggers met kitvoeg daarentegen, was het moeilijk om na te gaan welke factor bepalend

is. Dit kan een gevolg zijn van de manier waarop de waarden van λ berekend werden: steeds

werd de ideale kipspanning σcr gebruikt voor een ligger zonder kitvoeg.


96

Voor elke voegafmeting werd de puntenwolk opgedeeld op basis van de grootte van de

initiële vormfout. Net als voor liggers zonder kitvoeg werden de bijhorende ondergrenzen

bepaald. In het interval tussen nul en drie, had een kitvoeg van 6 mm x 6 mm het meest effect

bij liggers met een slankheid van ongeveer twee. Het vergroten van de breedte van de kitvoeg

van zes millimeter naar de dikte van de ligger, was het meest efficiënt voor liggers met een

slankheid gelijk aan 2,5. Het aanbrengen van een kitvoeg met afmetingen 15 mm x 15 mm

had het meest invloed bij liggers met een slankheid van ongeveer 2,5. Het effect van een

kitvoeg was het kleinst voor liggers met een kleine slankheid: vrij massieve liggers bezwijken

immers door buiging en ondergaan nauwelijks zijdelingse verplaatsingen. Dit betekent dat de

kitvoeg niet op afschuiving belast wordt en geen positief effect kan uitoefenen.

Wanneer een lineair veergedrag toegepast werd voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, had dit

bijna geen invloed op de bekomen kipkrommen. Ter vereenvoudiging mag dus met een lineair

veermodel gewerkt worden.

Bovenstaande conclusies zijn geldig voor liggers, belast met een puntkracht in het midden.

Voor het geval van een verdeelde belasting kan men vermoeden dat gelijkaardige besluiten

kunnen getrokken worden. Het aantal uitgevoerde simulaties was echter te beperkt om

hierover uitsluitsel te geven.

7.4 Suggesties voor verder onderzoek

Voor liggers met een uniform verdeelde belasting werden in dit werk slechts een beperkt

aantal numerieke simulaties uitgevoerd. Om ondergrenzen op te stellen die in de praktijk

kunnen toegepast worden, zouden meerdere geometrieën moeten beschouwd worden.

De kipkrommen voor liggers met kitvoeg werden bepaald op basis van de ideale kipspanning

σcr voor liggers zonder kitvoeg. Mogelijks kunnen andere conclusies getrokken worden indien

de ideale kipspanning σcr voor liggers met kitvoeg gebruikt wordt. In dat geval zouden de

opgestelde kipkrommen echter minder eenvoudig kunnen aangewend worden: men zou eerst

een eigenwaardenberekening moeten uitvoeren voor de ligger met kitvoeg om de ideale

kipspanning σcr te bepalen, vooraleer men de waarde van λ kan bepalen. Daarentegen is de

ideale kipspanning σcr van een ligger zonder kitvoeg eenvoudiger te bepalen, vb. aan de hand

van theoretische formules. Misschien kan een verband opgesteld worden tussen de ideale

kipspanning σcr van een ligger zonder en met kitvoeg, zodat dit probleem verholpen wordt.

In dit werk werd enkel de afschuiving van de kitvoeg gemodelleerd, terwijl de werkelijke

belastingstoestand veel ingewikkelder is. In eerste instantie zou men voor de modellering van


97

de kitvoeg rekening kunnen houden met de rotatie van de dwarsdoorsneden bij het uitkippen

van de ligger. In een later stadium kan men onderzoeken hoe de kitvoeg vervormt indien een

steunstrip of steunblokje aanwezig is: in welke mate kunnen deze verhinderen dat de kitvoeg

wordt samengedrukt of op afschuiving belast wordt.

De uitgevoerde afschuifproeven hadden betrekking op Dow Corning 895. Er is dus een

uitbreiding mogelijk naar andere materialen vb. Dow Corning 993.

Tenslotte werden enkel monolithische liggers beschouwd, terwijl ook gelamineerde liggers

kunnen bestudeerd worden.

98

Bijlage A

Resultaten numerieke simulaties: liggers zonder kitvoeg

Bijlage A: Resultaten numerieke simulaties: liggers zonder kitvoeg

99

u0 = L/250

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ

u0 = L/333

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ

u0 = L/1000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6

λλλλ

χχ χχ

Figuur A.1: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers zonder kitvoeg,

belast met een puntkracht, met t/h < 0,060

Bijlage A: Resultaten numerieke simulaties: liggers zonder kitvoeg

100

u0 = L/250

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ

u0 = L/333

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ

u0 = L/1000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λλλλ

χχ χχ

Figuur A.2: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers zonder kitvoeg,

belast met een puntkracht, met t/h > 0,060

101

Bijlage B

Fotoreeks van een afschuifproef

Bijlage B: Fotoreeks van een afschuifproef

102

Figuur B.1: Fotoreeks van het beproeven van proefstuk 6_6_4

(volgorde: van links naar rechts en van boven naar onder)

Figuur B.2: Fotoreeks van het beproeven van proefstuk 15_15_2

(volgorde: van links naar rechts en van boven naar onder)

Opmerking Figuur B.2: de laatste twee foto’s zijn genomen vanuit een ander

camerastandpunt.

103

Bijlage C

Resultaten numerieke simulaties: liggers met kitvoeg

Bijlage C: Resultaten numerieke simulaties: liggers met kitvoeg

104

u0 = L/250

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ

u0 = L/333

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ

u0 = L/1000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ

Figuur C.1: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers

met kitvoeg (6 mm x 6 mm), belast met een puntkracht


105

u0 = L/250

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ

u0 = L/333

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ

u0 = L/1000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10

λλλλ

χχ χχ


met kitvoeg (6 mm x t), belast met een puntkracht


106

u0 = L/250

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

λλλλ

χχ χχ

u0 = L/333

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

λλλλ

χχ χχ

u0 = L/1000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

λλλλ

χχ χχ


met kitvoeg (15 mm x 15 mm), belast met een puntkracht

107

Bibliografie

Abaqus (2004). Abaqus/Standard User’s Manual. Abaqus, Inc.

J. Belis (2005). Kipsterkte van monolithische en gelamineerde glazen liggers.

Doctoraatsthesis, Laboratorium voor Modelonderzoek, Universiteit Gent.

J. Belis, R. Van Impe, G. Lagae & W. Vanlaere (2003). Enhancement of the buckling strength

of glass beams by means of lateral restraints. Structural engineering and mechanics, pp.

495-511.

CEN EN 572-2 (2004). Verre dans la construction – produits de base: verre de silicate

sodocalcique – partie 2: Glace. CEN, version Française.

CEN EN 1863-1 (2000). Glass in Building – heat strengthened soda lime silicate glass – part

1: Definition and description. CEN, English version.

CEN EN 12150-1 (2000). Thermally toughened soda lime silicate safety glass – part 1:

Definition and description. CEN, English version.

CEN prEN 1993-1-1 (2002). Eurocode 3: design of steel structures – part1-1: General rules.

CEN, English version.

CEN prEN 13474-1 (1999).Glass in building – Design of glass panes – part 1: General basis

of design. CEN, English version.

B. De Meester (2004). Geometrische parameterstudie van structurele glazen balken. Scriptie,

Laboratorium voor Modelonderzoek, Universiteit Gent.

P. D’Haene & G. Savineau (2007). Mechanical properties of laminated safety glass – FEM

study. Proceedings of Glass Performance Days, pp. 594-598.

Dow Corning (2001). Productinformatie Dow Corning 895, afdichting voor structurele

beglazing, ééncomponent siliconenafdichting.

Bibliografie

108

Dow Corning (2004). Productinformatie Dow Corning 993, afdichting voor structurele

beglazing, twee componenten siliconenafdichting.

EOTA (1999). ETAG 002, Guideline for European technical approval for structural sealant

glazing systems (SSGS) – part 1: Supported and unsupported systems.

R. Kasper (2005). Tragverhalten von Glasträgern. Doctoraatsthesis, RWTH Aachen.

R. Kasper & G. Sedlacek (2003). Structural use of glass beams. Proceedings of Glass

Processing Days, pp. 312-315.

A. Luible (2004). Stabilität von Tragelementen aus Glas. Doctoraatsthesis, EPF Lausanne,

thèse 3014.

R. Nijsse (2003). Glass in structures: elements, concepts, designs. Basel, Berlin, Boston:

Birkhaüser Publishers for Architecture, pp. 78-80.

F. Stüssi (1971). Grundlagen des Stahlbaues. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-

Verlag, Zweite neubearbeite Auflage, pp. 401-402.

Stephen P. Timoshenko & James M. Gere (1961). Theory of elastic stability. McGraw-Hill

Book Company, Inc., Kogakusha Company, Ltd., second edition, pp. 251-277.

D. Vandepitte (1980). Berekening van constructies – Bouwkunde en civiele techniek, boekdeel

II. E. Story-Scientia, pp. 320-321.

W. Wagner (1999). The use of silicone sealants for structural sealant glazing. Proceedings of

Glass Processing Days, pp. 94-98.

J. Wurm (2007). Glass structures: design and construcution of self-supporting skins. Basel,

Berlin, Boston: Birkhaüser Verlag AG, pp. 86-88.

http://www.firmanglass.com

109

Lijst van figuren

2.1 Beeld van een uitgekipte ligger, met aanduiding van de verplaatsingen in de X-richting5

2.2 Kipkrommen gedefinieerd volgens EC3 ...........................................................................7

2.3 Schematische voorstelling van de zijdelingse verplaatsing u van een uitkippende ligger,

belast met een constant moment (Belis, 2005)..................................................................8

2.4 Schematische werkwijze om kipkrommen op te stellen voor glazen liggers (Luible,

2004)................................................................................................................................11

2.5 Spanning-rek diagramma voor verschillende adhesieve verbindingen (Wurm, 2007) ..15

2.6 Chemische formule van polydimethylsiloxane (PDMS).................................................16

2.7 Dak-ligger en gevel-kolom aansluitingen, bestaande uit siliconenkitvoegen in het

Broadfield House Glass Museum te Kingswinford (http://www.firmanglass.com) .......17

2.8 Schematische voorstelling van de orangerie te Leiden (Nijsse, 2003)............................18

2.9 Dwarsdoorsnede van de aansluiting tussen een balk en twee dakelementen, in de

orangerie te Leiden..........................................................................................................19

2.10 Aansluiting tussen een balk en twee dakelementen, in het Broadfield House Glass

Museum in Kingswinford................................................................................................19

2.11 Dwarsdoorsnede met en zonder steunblokje ...................................................................20

3.1 Knopen van het C3D8(I) en het C3D20R element (Abaqus Manual, 2004) ..................25

3.2 Beeld van een halve ligger vanuit de middendoorsnede, met aanduiding van de punten

met maximale trekspanningen.........................................................................................25

3.3 Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende uniforme

elementennetten, bestaande uit C3D8 elementen............................................................27

3.4 Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende uniforme

elementennetten, bestaande uit C3D8I elementen ..........................................................27

3.5 Schematische weergave van het elementennet bij de niet-uniforme optimalisatie .........28

3.6 Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende niet-uniforme

elementennetten, bestaande uit C3D8 elementen............................................................29

Lijst van figuren

110

3.7 Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende niet-uniforme

elementennetten, bestaande uit C3D8I elementen ..........................................................29

3.8 Spanningsverloop in het punt onderaan voor alle beschouwde elementennetten ...........30

3.9 Spanningsverloop in het punt bovenaan voor alle beschouwde elementennetten...........31

3.10 Belastingsverloop voor alle beschouwde elementen.......................................................31

3.11 Eerste eigenvorm bij het meest fijne en meest grove uniforme elementennet met C3D8

elementen.........................................................................................................................34

3.12 Eerste eigenvorm bij het meest fijne en meest grove niet-uniforme elementennet met

C3D8 elementen ..............................................................................................................34

3.13 Eerste eigenvorm bij het meest fijne uniforme en niet-uniforme elementennet met

C3D8 elementen ..............................................................................................................35

3.14 Schematische voorstelling van het gekozen elementennet..............................................36

3.15 Verband tussen de spanning boven- en onderaan en σy, geldig voor een ligger met L =

3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333..........................................................................38

3.16 Kipkromme gebaseerd op de numerieke simulatie van een ligger met L = 3 m, L/h =

10, t = 10 mm en u0 = L/333 ...........................................................................................39

3.17 Spanningsverloop en kipkromme gebaseerd op de numerieke simulatie van een ligger

met L = 1 m, L/h = 10, t = 19 mm en u0 = L/333............................................................40

3.18 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met L = 3 m en u0 =

L/333 ...............................................................................................................................40

3.19 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met L = 1 m (links) en

L = 6 m (rechts) en u0 = L/333 ........................................................................................41

3.20 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met L/h = 10, t = 10

mm en u0 = L/333............................................................................................................41

3.21 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met t/h = 0,050 en u0 =

L/333 ...............................................................................................................................42

3.22 Beeld van de meest massieve en meest slanke doorsnede (zicht vanuit de

middendoorsnede naar het steuntpunt toe)......................................................................44

3.23 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met u0 = L/333 ...44

3.24 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met t/h < 0,060 en

u0 = L/333........................................................................................................................45

3.25 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met t/h > 0,060 en

u0 = L/333........................................................................................................................45

Lijst van figuren

111

3.26 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met L = 3 m, L/h = 10

en t = 10 mm....................................................................................................................46

3.27 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met L = 6 m, L/h = 10

en t = 6 mm (links) en L = 3 m, L/h = 20 en t = 15 mm (rechts) ....................................46

3.28 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met t/h < 0,060 en u0 =

L/333 of L/1000...............................................................................................................47

3.29 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met t/h > 0,060 en u0 =

L/333 of L/1000...............................................................................................................47

3.30 Ondergrenzen van de puntenwolk voor u0 = L/250, L/333 en L/1000............................48

3.31 Schematische weergave van het bovenaanzicht van een halve ligger met aangrijpende

puntkrachten ....................................................................................................................50

3.32 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van een ligger met een verdeelde

belasting of een puntkracht, met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333 ..............51

3.33 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met een verdeelde

belasting en een puntkracht, met u0 = L/333...................................................................51

3.34 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met een verdeelde

belasting en met u0 = L/333 en L/1000 ...........................................................................52

4.1 Schematische voorstelling van de afschuiving van de kitvoeg .......................................53

4.2 Schematische voorstelling van een ligger met continue veerondersteuning volgens de

dikterichting van de ligger...............................................................................................55

4.3 Niet-lineair verband tussen relatieve verplaatsing en kracht (Abaqus Manual, 2004)....56

4.4 Beeld van een uitgekipte halve ligger, gekenmerkt door een negatieve eigenwaarde ...57

4.5 Invloed van de veerstijfheid kveer op de kiplast, geldig voor een ideale monolithische

ligger met L = 3 m, L/h = 10 en t = 10 mm.....................................................................57

4.6 Invloed van de veerstijfheid kveer op de kiplast, geldig voor een ideale monolithische


4.7 Invloed van de veerstijfheid Kveer op de kiplast, geldig voor een ideale monolithische


4.8 Beeld van een ligger die gekipt is volgens twee halve sinusbogen.................................59

4.9 Kipkrommen voor verschillende veerstijfheden kveer, gebaseerd op de numerieke

simulaties van een monolithische ligger met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333

.........................................................................................................................................60

Lijst van figuren

112

5.1 Schematische weergave van een proefstuk met een siliconevoeg van 6 mm x 6 mm

(afmetingen in mm) .........................................................................................................63

5.2 Voorbeeld van een proefstuk met siliconevoeg van 6 mm x 6 mm ................................64

5.3 Schematische weergave van een proefstuk met een siliconevoeg van 15 mm x 15 mm

(afmetingen in mm) .........................................................................................................64

5.4 Voorbeeld van een proefstuk met siliconevoeg van 15 mm x 15 mm ............................64

5.5 Schematische weergave van het gebruik van afstandshouders .......................................65

5.6 Lange hulpstaafjes, omwikkeld met vershoudfolie.........................................................65

5.7 Klem (a) met geribde plaatjes (b) zonder geribde plaatjes (c) met rubber......................67

5.8 Ingeklemd proefstuk........................................................................................................67

5.9 Verloop van de kracht in functie van de verplaatsing voor alle 6 mm x 6 mm

proefstukken ....................................................................................................................68

5.10 Breukpatroon van proefstuk 6_6_5: overwegend adhesief en aan de randen cohesief..69

5.11 Opeenvolgende bezwijkstadia van proefstuk 6_6_4 .......................................................69

5.12 Verloop van de kracht in functie van de verplaatsing voor alle 15 m x 15 mm

proefstukken ....................................................................................................................70

5.13 Opeenvolgende bezwijkstadia van proefstuk 15_15_2 ...................................................71

5.14 Overwegend cohesief breukpatroon van proefstuk 15_15_3..........................................71

5.15 Vergelijking tussen de opgemeten en gecorrigeerde waarden voor het proefstuk 6_6_1

.........................................................................................................................................72

5.16 Weergave van de kromme die het veermodel bepaalt, met aanduiding van de lineaire

benadering .......................................................................................................................73

5.17 Weergave van de kromme die het veermodel bepaalt, met aanduiding van de lineaire

benadering .......................................................................................................................74

5.18 Vergelijking tussen het veermodel, behorend bij een siliconevoeg van 6 mm x 6 mm en

15 mm x 15 mm...............................................................................................................74

6.1 Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van een ligger met en zonder

kitvoeg en L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333 .................................................78

6.2 Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg 6 mm x 6

mm en L = 3 m en u0 = L/333 .........................................................................................79


mm en L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333......................................................................79

Lijst van figuren

113

6.4 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg 6 mm x 6

mm en t/h = 0,050 en u0 = L/333.....................................................................................80

6.5 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met of zonder

kitvoeg en u0 = L/333 ......................................................................................................81

6.6 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met kitvoeg 6 mm

x 6 mm en u0 = L/333 of L/1000.....................................................................................81

6.7 Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers met en zonder kitvoeg, voor u0 =

L/250, L/333 en L/1000...................................................................................................82

6.8 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met een lineair en

niet-lineair veergedrag en met u0 = L/333.......................................................................84

6.9 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met 3 verschillende

geometrieën, met een lineair en niet-lineair veergedrag en met u0 = L/333 ...................84


mm en 6 mm x t, en met t = 19 mm en u0 = L/333 .........................................................85


mm of 6 mm x t, en u0 = L/333 .......................................................................................86

6.12 Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers met een kitvoeg 6 mm x 6 mm en 6

mm x t, voor u0 = L/250, L/333 en L/1000 .....................................................................87


mm of 15 mm x 15 mm, en u0 = L/333 ...........................................................................88

6.14 Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers met een kitvoeg 15 mm x 15 mm voor

u0 = L/250, L/333 en L/1000...........................................................................................89

6.15 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met verdeelde

belasting, met en zonder kitvoeg en u0 = L/333..............................................................90

6.16 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg, met L = 3

m (links) en L = 6 m (rechts), L/h = 10, t = 19 mm en u0 = L/333 .................................91

6.17 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg, met u0 =

L/333 en L/1000 ..............................................................................................................91

6.18 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met verdeelde

belasting, met en zonder kitvoeg (15 mm x 15 mm) en u0 = L/333................................92

A.1 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers zonder kitvoeg, belast

met een puntkracht, met t/h < 0,060................................................................................99

Lijst van figuren

114

A.2 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers zonder kitvoeg, belast

met een puntkracht, met t/h > 0,060..............................................................................100

B.1 Fotoreeks van het beproeven van proefstuk 6_6_4 (volgorde: van links naar rechts en

van boven naar onder) ...................................................................................................102

B.2 Fotoreeks van het beproeven van proefstuk 15_15_2 (volgorde: van links naar rechts en

van boven naar onder) ...................................................................................................102

C.1 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg (6 mm x 6

mm), belast met een puntkracht ....................................................................................104

C.2 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg (6 mm x

t), belast met een puntkracht..........................................................................................105

C.3 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg (15 mm x

15 mm), belast met een puntkracht ...............................................................................106

115

Lijst van tabellen

2.1 Relevante eigenschappen van natronkalkglas (Belis, 2005) .............................................3

2.2 Buigtreksterkte van glas volgens de normen (CEN prEN 13474-1, 1999; CEN EN

1863-1, 2000; CEN EN 12150-1, 2000)............................................................................4

2.3 Verklaring van de gebruikte symbolen .............................................................................5

2.4 Verklaring van de gebruikte symbolen ...........................................................................10



2.7 Overzicht van de maximale relatieve vormfouten uit de literatuur (CEN EN 12150-1,

2000; CEN EN 572-2, 2004; Belis, 2005).......................................................................13

2.8 Relevante eigenschappen van DC 895 en DC 993 (Productinformatie Dow Corning,

2001, 2004)......................................................................................................................17

3.1 Samenstelling van de uniforme elementennetten............................................................26

3.2 Samenstelling van de niet-uniforme elementennetten.....................................................28

3.3 Overzicht van de resultaten van de numerieke simulaties ..............................................33

3.4 Overzicht van de geometrische parameters voor simulaties met een puntkracht in het

midden.............................................................................................................................36

3.5 Overzicht van de bestudeerde geometrieën met oplopende waarden van t/h..................43

3.6 Overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, gebaseerd op

Figuur 3.30 ......................................................................................................................48

3.7 Overzicht van de geometrische parameters voor simulaties met een uniform verdeelde

belasting...........................................................................................................................49

5.1 Overzicht van de proefstukken........................................................................................66

5.2 Maximale kracht, bijhorende verplaatsing en bezwijktype voor alle 6 mm x 6 mm

proefstukken ....................................................................................................................68

Lijst van tabellen

116

5.3 Maximale kracht, bijhorende verplaatsing en bezwijktype voor alle 15 m x 15 mm

proefstukken ....................................................................................................................70

6.1 Overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, voor liggers met t/h

< 0,060, gebaseerd op Figuur 6.7 ....................................................................................83


> 0,060, gebaseerd op Figuur 6.7 ....................................................................................83

6.3 Overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, gebaseerd op Figuur

6.12 ..................................................................................................................................87


< 0,060.............................................................................................................................89


> 0,060.............................................................................................................................89

effect of structural sealants on the stability of glass...

Documents