電位から電場を求める。atmnc.info/~mhonda/shimizu/shimizu18a/honda180518.pdf電位と地形は似ている...
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V=−E⋅ s
E=E x , E y , E z
s= x , y , z
=−E x⋅ xE y⋅ yE z⋅ zsE
x
y
z V
A. 電場と距離ベクトルの内積 (座表を用いた、3次元的イメージ)
平面2
平面1
電位から電場を求める。電位差の2つの計算の比較
y= f x
=f (x+ Δ x)− f (x)
Δ x
f ' (x)=d fd x
≃Δ fΔ x
微分:物理では、小さい量の比(割り算)。
f (x+Δ x)− f (x) ≃dfdx
⋅Δ x ( = f '(x)⋅Δ x )
偏微分は、他の変数を定数の様に扱う。
V=V x x , y , z−V x , y , z≃∂V∂ x
⋅ x
∂V∂ x
≃V x x , y , z−V x , y , z
x=
V x x による偏微分
=V ( x+ Δ x , y+ Δ y , z+ Δ z)−V ( x+ Δ x , y+ Δ y , z )
+ V ( x+ Δ x , y+ Δ y , z )−V (x+ Δ x , y , z )
+ V ( x+ Δ x , y , z )−V (x , y , z )
V=V x x , y y , z z−V x , y , z
≃∂V∂ x
x , y , z⋅ x∂V∂ y
x x , y , z⋅ y∂V∂ z
x x , y y , z⋅ z
V≃∂V∂ x
x∂V∂ y
y∂V∂ z
z
x, y, z それぞれx, y, z だけ変化するとき、V(x,y,z) の変化は、
変化する変数が一つだけになるよう、分解して差をとる。
B, 電位が位置の関数として与えられているとして、
V=−E⋅ s
=−E x⋅ xE y⋅ yE z⋅ z
V≃∂V∂ x
x∂V∂ y
y∂V∂ z
z
E=(E x , E y , E z)=−(∂V∂ x
,∂V∂ y
,∂V∂ z ) (≃−(ΔV
Δ x,ΔVΔ y
,ΔVΔ z ))
すなわち、
A, 電磁場のイメージ
B, 偏微分の性質
A, B を比較
E=(E x , Ey , E z)=−(∂V∂ x
,∂V∂ y
,∂V∂ z ) (≃−( ΔV
Δ x,ΔVΔ y
,ΔVΔ z ))
(V の勾配)E= V =− ∇ V grad
∇≡( ∂∂ x , ∂
∂ y , ∂∂ z ) ナブラと呼ばれるベクトル・微分演算子
「ベクトル解析」で使われる記号
電位と地形は似ているクーロン電場 と 富士山付近の地形図
等電位面は、無限遠点を基準とする点電荷の電位を仮定して、2倍の電位差を10等した。
2つの等高線に注目して、座標軸を設定する。
電場ベクトル
勾配ベクトル:等高線に垂直で大きさは勾配の大きさ
yx
z
3次元空間 ー> 2次元平面電位 ー> 高さ等電位面 ー> 等高線電場 ー> 勾配ベクトル
等高線2を含む、高度一定の平面にx軸、y軸を取り、その平面に垂直にz軸を取り、x,y,z軸それぞれが地表と交わる点をA,B,Cとする。原点Oは地表の下になる。
この3点を含む平面で、周囲の地表を近似できる。
z
xy
O
A
B
C
座標軸と等高線 等高線1 等高線2
等高線1
G=−Δ z √Δ x2+Δ y2
Δ xΔ y=
Δ zΔ l
等高線2ΔyΔx
Δz
Δl
H=(−Δ x ,Δ y)
G=(Gx ,G y)=−(Δ zΔ x
,Δ zΔ y
)
G
勾配ベクトル: 大きさ=斜度 方向 =傾斜の方向
Hxy
z
G=G g
g=(Δ y
√Δ x2+Δ y2
,Δ x
√Δ x2+Δ y2
)(Δ x ,0,0)
(Δ y ,0,0)G
C
B
O
A
(0,0,0)
(Δ x ,Δ y ,Δ z)
xy平面上の勾配ベクトルは
と書ける。 証明は、まず、xy平面で等高線2に平行なベクトル
との内積
つまり、垂直。
次に、
を
と、大きさと単位ベクトルの積で書くことにすると、、
である。
G⋅H=0
勾配ベクトルと経路から2点PQの高度差を求める。
P=P0
P1
Pn2Pn1
Q=Pn
G1
Gn2Gn1
G0PQの高度差
∼G0⋅P0 P1 + G1⋅P1 P2+...
+Gn−1⋅Pn−1 Pn
=∑i=0
n−1
Gi⋅Pi+1 Pi
P=P0
P1
Pn2Pn1
Q=Pn
G1
Gn2Gn1
G0
z
偏微分 3次元関数V(x, y, z) が、 x だけが変化するとき、(y, zは定数と考える)
∂V∂ x
≃V x x , y , z−V x , y , z
x=
V x
x による偏微分
x
y
y=y0
y =y0 上での高さ(V)の変化
x
V
Ex=∂V∂ x
x
富士山の様な電位から、電場を計算。
クーロン場の電位から、電場を求める。
V r =Q
40
1r=
Q40
1
x2 y2
z2
∂V∂ x
=Q
4 0
−x
x2 y2
z2 3=−
Q40
xr3
E=−(∂V∂ x
,∂V∂ y
,∂V∂ z
)=Q
4πε0( x
r3 ,yr3 ,
zr3 ) =
Q4πε0
(x , y , z)
r3
=Q
4 0
rr3
=Q
4 0
rr2
E=Q
40
rr2
r=rr
( に注意)
確かに、一個の電荷の作る電場、
と、一致する。
定数と思って、普通に微分
今日の問題、 クーロン場の電位から、クーロン電場を求めよ。
E=−(∂V∂ x
,∂V∂ y
,∂V∂ z
)
E=Q
40
rr2
V r =Q
40
1r=
Q40
1
x2 y2
z2
から、
を用いて、
を導く
考え方: クーロン電場を三次元座標で表現した式