J) 2020/5/26前回

、適当な 環 は

"

でぜ したら体 になる コトを みた 、

Z → R.

RI ] → R (E ) 、Ni ] → Q ( i )

今回 は、

これを ちゃんと 定式 化するh豏颫、 。 tttn ' ~㖦っ磕 ' ~䐈颫EE -

meinem| 齧羹橤:嚚:蘭炎し た藊( a

,b ) ~ ( c

,d ) iな ad =

bc.am/し にくくR.b.de Rが

この 一 は Rx R 。 上 の 同値 関係.me

②(反射律] Ya

,b ) t R × Rio に対して

、集合 X 上の同値 カン ケー ~ は 、

⑤ hex.mx 、

Rは 可換環 より ab t.ba な ので、 (a,b) ~ ( a , b )

.

○ちh .se X、

x-y ⇒ y ~x .1対科、律] K

(a , b ) 、( e

.d) ER × R# o に対して

,

掙 たいと EX、 ( a ,

b ) ~ ( c , d ) と 仮 する と、 ad = b c

.

は & Art ⇒ ついで

R は 可 な点だ事 なので、c b = da が 成立

、

い、 ( c . d ) - ( a . b )_| 鬱鬱!::::::::::::::饜:いま

、

するとadf bcf

'b de

.

30 ms R : 可換環 に して、

"

移項"

し、 まとめる と

、

以降 うるさく 対立 は いわない。 ( af - be ) d = 0

.

いま、

d キ 0 で あっ て、R は 整域 なので

、

「

消去律 " より 、af-bei@i.1a.b) ~ (et) /

分数 私灬 鷹譱譙齅::ただ、

炎劄.

LewisU ( a

.b) ER× Re o

,

HER to,[ ( ax 、

bx ) ] = [(a . D )-まず Rは整域 だから

、bx E Rto に も

.

(a) . b = ( ha ) a なので (ax、bx ) ~ 1 a , b ) 、

yじかた)

4〇 kmmdt (a.D.cc 、d ) E R × Rio に対し

、

次 の 二 項演算 たち は、

Welles

f) ined.ua.b) ] t [ u . d ) ] i = ( 1 adtbc 、 bd ) ]

.

1 2) [ (a . b )] ・ [ (c , d ) ] i = [ lac,b d ) ] .鶬簽籤爨、箱-

.ie(adtbc ) . b

' d ' t a d b'

d'

t be b' d' に 分配律)

nnnr nine

=

' d d'

t b b'

c d' にカ カン)

= b ddd'

t b b'c d ' に い)os

= b ddd ' t b b'

c'd に いい)

= a'd ' b d + b

'

d bd じ カ カン)rect t.tl

= ( a'

d'

t が ) ・ bd に分配律)

④」 (adtbc.ba ) ~ ( a

'd 't b'

i,b'd'丿

.

(2) も 同上.

T 課題 ] /

4-

R も 0 より.I to に 注○ tTC (R ) は 、

上記 の

で

和 、 積"

と、

ゼロ元 0 : = [ は 、1 ) ] 、

単位元 仁 [ ( 1 , 1 ) ]

兜品の哲無篇、舵簿環感が課題」 、

一

PwplboFranc (R) は 体leonnj 丼[ (a , b ) ] E Frac (R ) に対して

、

50 ( 0 , 1 ) x ( a , b ) i.at 0 . b = 0 より AERが

従って、[ ( b , a ) ] E Eac (R) となる

、

すると、

[ (a , b ) ] ( b.cn ) ] = [ ( ab.ae b ) ] に 積 )粹災然巌らが"

榮整域 R → 体 Frac ( R)

を 得た ! もう少し 性質 を みる

と純は

、 単射、

自然な写像< R → Franc R )amclaihlgze

⑥ も a.ci ER を とり 固定、

T.la、1 ) ] = [ ( al

,1 )] なら

、a . 1 = 1 . a ! i . a a ' /

れ礐[ゼロ刊 の f Frac (R ) の 元 を

,

"

分数"

みたい に.

. f : = [ (a.b ) ] ( ac.R.be 1た。 )「

羹窼ii 鷹品など晶能さ は呦1nsと みて

、さしつかえ ない

.Free(R ) の 元 と し て .at f とかく 、

lliぶんすー たい

fraction held.

の Frac (R ) を、

R の 分数体 という.less

7○ 性質 a.cER.b.d.at Ao に対し、以下 が成立

、

あたかも フツー の 分数 [ 約分] 殽 = が、 Clematis )

の 桂 に 計算可、 [和 ] f + f = で filament) )bd

、

一

同一視のもと、

→ [積] 台 ・ f = 金.

1 に www.al4に)-_-

)が 「 た

。 P ,𦥯 ( ただ の 最小 性 )い り

Rを含む 最小の体がFradD R を 含む 体 は、必ず Frac (R) を 含む

、-Rc な i 体 に つい て

. VEE Franc LR)

単射に対し

、 DER =1 0 だから、MF と みれば

Frac (R )→ F F :体 より、逆元 に EF が存在する

、

単射 に GT そこ で、次 の 写像_を考える ことが できる

Frac (R ) -) F i f H a が、

○8 (well- defined ) 台 = 金 なら ば、ad = bc であり

、fれた F の 中 の 式 と み2.li'. I ' t F をかければ

ab " = c d " を 得る 、

上 のギロン は、

逆を たどれる ので 単射、

従って、

Frae (R ) い F を 得る /

録は そのまま 舲煕!集:筧きみ謳.is言2号 として 、

(コ) FC F なので、 F が体 である こと から、

E = b" in F.

~ mr

が 成立。

Propter より、

Frac ( F ) < E . y

⑨Zを含む最小の体は

、 Q ( 1 ) Z を 含む体 は、Q .

Qに )、112,4, .. .

たくさんあった、Z C Frac (Z ) も

、そう

.

Replace より Fracは ) C Q .

Q (F )、R

.

C . . . .

鬱鬱傘::彲:鱟"で(2) ZEE ) の Frac ( ZEE J ) は ?

• ZEE ] CR (E ) で あり,

Qに ) は体

なので、 Pwplsree より . Fred ZEEDC Qに )

10〇 ・ VxtyE ER(E ) ( x.geの ) に対し 、

つに 台、はさ ( a.b.c.de Z.hn#0.dtO )

と表示 する と .IR の 中 で 計算 したら 、蟾::籃::藦きた家は𩝐川

以上から,TclTEI ) = Q (E)

| ( 3 ) Frac (8い ) = R( i ) 、

同様にして.C) は 最小 性

.

(つ) は 計算 より 従う。[課題 )/Leee