e:courses(new)qftfield theory totalfield theory lecture...
TRANSCRIPT
-
����� ��� ������
��� ����� ��
��� ����� ����������� ������
����� ���� !��"# $�" %��&� '�� !��( %� ) *+,- ��� �( . /0� ���1 '�� 23�4" /0�5� ���( �1 /������ ���( �� $���6���� 7�- �� �8 /0� ���9 ��: /0� ������0� �; ��� '�� �� 23�4" ?> ����. �@+A-� �0B� $�" %��&� �( !� %"C" �D�"# $�( 23�4" �� ���E��� <�� ���# F��6�5(:�( ���E � !��"# $�" %��&�!���� '�� ��E �" �� '�� �� %� �����6���� %� /0� $#�( G�� < /0� ��" �; ����A( !�1 ��� �� � �"�������9�( ��� �1��D $��HI ���� !�1 '�� �� �� �1 ��0�� %� "� �� %( $��- ��� ���(��( < /��E �1��J� $�" %��&� ��
K� �( �53�0 ���
-
���� ��� ����� � ��� ���
/�J� ��� �� !��(
-
����� ����� ����� � ��� !�"�� ��� '%�(���� ��� ��%& �
X��� �" ���- ��: *�� %( pi ���� �( \���" %���- �� qi %+�J" �� !��(
pi :=∂L
∂q̇i. )5.
���� /0�1 /T�0 � �1 %+�J" :� ��(�- pi %� /0� ]^��
pi = pi(q1, · · · qN , q̇1, · · · q̇N ) )6.
X /��� $��- �" %� ���" �� %( ��� '���" q̇i !�1 /T�0 !��( $��- �" �� W(�- �� %� M�� �" G�� �I ����
q̇i = q̇i(q1, · · · qN , p1, · · · pN ). )7.
�" %�3�4" �� C" !�1 ����0� %� ��9� *_" .�# �" Y� �� !����" �3� /0� /0�� �1 ����0� :� !���( !��( G�� ���� /�^� $��- �" `���� �� /A-
-
X��� �����:�( ��: *�� %( �� $# $��- �" %�
d
dtF =
∂F
∂t+ {F,H} )11.
X��� �" ����D F,H W(�- �� $�0��� %���� � ��� �" ���- ��: O��� %( %� /0� !���� {F,H} $#�� %�
{F,H} =∑
i
∂F
∂qi
∂H
∂pi− ∂F∂pi
∂H
∂qi)12.
< M�� ���- Q�( *�� %( :�� !�V��� �� f, g ��b� �1��"�� $�0��� %���� �@� ��4( %� �� �" 2;�-���" d�^�" ��X/0� ��: e��D !���� $�0��� %���� %� �� $��- �" �����(
{f, g} = −{g, f}{f, ag + h} = {f, g} + a{f, h}
{{f, g}, h}+ {{g, h}, f}+ {{h, f}, g} = 0{f, gh} = {f, g}h+ g{f, h} )13.
��%�) ����� ����� � ��� !�"�� ��� �#���$ ��� ��%& �
!�( O��� /��9 ����
-
X:� �-��HT �0B� !�1 $�" /��� OQ���" :� ���1 %����
-
X"# �1��D�� ��: *�� %( /��� OQ���"δL
δφ(x)− ddt
δL
δφ̇(x)= 0 )23.
%I�� O�C��" � $�" :� ��(�- !P���EQ �3��L %� ��9� !��(
-
�
φ̇ = {φ,H} π̇ = {π,H} )29.
X/��� M1��D :�� !�V��� F ��b� �1��" �1 !��( 7�6���0 �
Ḟ =∂F
∂t+ {F,H}. )30.
n
-
*�� ���
�� ����� ��� �� +��, � ���� �-. ��� ���/0
���/� �
$�" N�L��L�� �� $��C- O��o� /���( �" ����5�
-
%� ��� �" ��� OB�H- '���" $��� %��^� � e(O) = O ���- ���E �&��� �(
-
�V� �� !�� �� G ���E $��- �"
-
��/�� !��� '(����4�� ��� �5%� �
Y���� %� /0� 3�" n !���� !�( n !�V� �� ��C��� ���E
-
Λ : Rn+1 −→ Rn+1 : x′μ = Λμνxν �����3 *�H- �1 <1� �
Z- �� ����(�� ( �@D�� N�^ %� /0� �@�H- �����3 *�H-X�� �" S� ��: %4(�� ��
ημνΛμαΛνβ = ηαβ )57.
/��� $��- �" X�����3 �L�� /��5� �( OB�H-
λμν = δμν + L
μν )58.
X0� ��: %6�� %( Q�( %4(�� �� $# !��b���I �( �
Lμν + Lνμ = 0 )59.
2���( �� LK��-�" $��- �"
-
%L (Mμν)αβ ���� �1 K��-�" �� !�1 %���� %� M��( M1��D �" ���
-
M1��D �" ��� <�( �" $�": �V� @�J" a�C� �� �� Φ !g �%,3�" n $�" S /J3 ����0� �� �� !�s�� %� �� G�����" %4C� O�+�J" <�� 1��D �@�� %L %( �� $�" �� /0� /��� ����� S′ /J3 ����0� �� %� !���� �s�� %� M�H(���1 a�(�" ����� %( �����3 *�H- �� �( O�+�J" �� �� � /0� x′ �( �(��( S′ �s�� �� :� � x �( �(��( S �s�� �� :� �&�O��,�" �� $�" %��9 � *�� /0� ��" �"� �� 1��D n $��1 �� $�" !�1 %,3�" ���- %� /0� M@�" . x′ = Λx X ����
-
'��8� '������ � *% ���
���/� ��
�E�
-
Y���� �� Y���� �� < /0� ���5���- /"BT T /"BT $#�� %� U(Λ) = (Λ−1)T $#�� %� /0� ������ ���� Y���� ��$�" �� !��( <���� 7�� �����1 !����( !�1 $�" ��� �" *�H- Y���� ���o� /A- %� ���1 $�" � /0� !�(��5L
M���� �1
φ′μ(x′) = Λμνφ
ν(x). )76.
-
X��� �" %���� ��: O��� %( �(��5L �� �����3 ���E �VT �1
Λ = e−→θ ·J+
−→β ·K )82.
<���1 Boost ���D !�1��"���� −→β � $���� !�1 ��"���� �1 −→θ $#�� %�� 0 ≤ −→β
-
�� �����3 �3���" OB�H- %� /0� 7:Q �s��- �� $��( *"�� !��(
-
cv
-
�C( ���9 � $��C- X 7��5L '��
���/� ��
%� M��� �" �0B�����" :�
-
φ(x) −→ φ′(x′) = φ(x) + Δφ(x) )103.
/A-
-
X�# �"�� ��: *�� %( Jμ $���I %6���� �
Jμ =(∂L∂φ,μ
Ψa(x) + Lχμa(x))�a )111.
/0� ��: *�� %( %����� � *C��" $���I �- N :� �4D 2��- Jμ $���I 1� �" $��� %�
Jμa :=∂L∂φ,μ
Ψa(x) + Lχμa(x) )112.
M�� ����- ���� ��I� Y�� �� $�" ��L %� ��9� !��( �� Q�( O�Ho� �E� <���1 %����� *C��" !�1 $���I �� %�1�" %4(�� $#�� %� O��,- �� �( /0� �� ���� �D# %4(�� �� %� ��( 1��D �@�� $��1 %( $���I ���5� 7�� %� �� M1��D
-
!� %���� !�1 %��&� XM6�� '��
���/� ��
�1��"K8��Z"����3� %��&� �� ��( ��J� %� /0� �"�5," !� %���� $��C-
-
X/0� ��: $��C- !���� !P���EQ ��
φ(x) −→ φ′(x) := eieαφ(x) )115.
!� %���� $��C- �� $��C- �� /5I �1 %( /0� $���� $�": �V� a�C� %�1 !��( %� /0� /(�o �� α %� M�� /9� ��(
-
X /��� /0� ��^�" !� %���� $��C- !���� %� �� !P���EQ �I 7�� $��- �" (119. %4(�� %( %I�- �(
L = Dμφ∗Dμφ−m2φ∗φ )122.
X /0� ��: OB�I !���� %� M�( �" M�� :�( �� !P���EQ �� ��E�1
L = ∂μφ∗∂μφ−m2φ∗φ+AμJμ +AμAμφ∗φ )123.
:� �" %� /0� �@�� $��1 %( �E�,I �� � /0� �� ��,I Jμ $���I �( Aμ !����( $�" 1� �" $��� AμJμ %@�I %�!� %���� $��C- !�^�C- ���(��(
-
*�� %( �� $�" ��
-
�� M1��D M�� ���0 �� ��8 � M�� :�( �� Q�( %4(�� ��E�1 < /0� Aμ $�" %���� *�H- A′μ � D′μ = ∂μ −A′μ $#�� %�X /0� ��: *�� %( Aμ $�" *�H- %�
A′μ = gAμg−1 + (∂μg)g−1 )134.
X /0���: *�� %( �@(# �; *�H- ���(��(
Φ −→ gΦ Aμ −→ gAμg−1 + (∂μg)g−1. )135.
%( %4(�� ��
-
�"������ $�" � ��j ( %4(�� X 7�� Y����� X M�� '��
���/� �
����" N�L��L�� �� �� *��- $���� O��j :� %� �� !� ��j K( !�51���0� M���(��� %� /0� $# '�� ���� �" R1*3� �1 %(� /��E �&��� �����" � %��E�I !�1 /��1 $��- ��� �-��j �L !��( %� M��� �"
-
!�1��@�T :� *"�� %T��6" �� %� /0� $# M��( ��j !�1 /3�� :� M���- �" %� �,��- ��- *"�� ��,�" ��j �� !��(�( �� *"�� %T��6" ��
-
|n1, n2, n3, · · ·〉, )142.
<���1 {Ni} !�1 ��@�T %�1 i���" !�1����( �P�� %� ��� �" ���� $���Fock !�V� ���V� ��
-
a†i |0〉 =∑βj
bj†|0〈βj |αi〉 )148.
X M��( %���� %� ��� �" �^�� ��9� %4(�� ��
a†i =∑βj
bj†〈βj |αi〉 )149.
X /0� ��: *�� %( $# �9�A3� %�
ai =∑βj
bj〈βj |αi〉∗ )150.
7��- �� `(�� � �� %� M�� �" G�� �( %( �� :� <���1���9�( !� ��j �- � !� ��j |1 !�V� ��: �� `(�� � ���� %� � /0� ����-G�� ��G�� ��
-
�� � λ(Ψ)2 = 1 %� M0� �" %6�� �� %( (i, j) !�I %( (j, i) !�1UD�� !��( %4(�� ������- �(
λ(Ψ) = ±1. )155.
M���� ���� !�V� ��: �� � λ(Ψ) = 1 M���� �V� ��: ���� >
-
M��( %���� �1 $�:�( !��( %� ��( �1��D ���9�( ��9� (162. `(�� � %� �� M1��D M�� ���,�0� (161. %4(�� :� �E� ���%� M���# �" /0( �L M1
-
�1 $�"�� !��( �
N = (x− y)a†a )169.
2���^ %� M���# �" /0( (146x 147. `(�� � :� ���,�0� � |α〉 !� ��j �- /3�� !�� N ��@�T $��� �o��( ���" ���1��X M���� �1 $�"�� !��( M1 � �1 $�:�( !��( M1 ���(��( <���1 �� !���" (x± y)
N = a†a )170.
%4(�� :� ���,�0� �(
〈n1, n2, · · · |Ni|n1, n2, · · ·〉 = 〈n1, n2, · · · |a†iai|n1, n2, · · ·〉 )171.
X /��� M1��D %� ��� �" �� (145. `(�� � �� 20��- !�1 /(�o
ai|n1, n2, · · ·ni, · · ·〉 = eiα√ni|n1, n2, · · ·ni − 1, · · ·〉 )172.
��E:�0 ���6(�I��� `(�� � �( N�J��� �� %��# !��( �1 $�"�� ���"�� �"� /��E �� !���" �� eiα $��- �" �1 $�:�( !��(X���
�- ��: �T�9 l(�4" �� :�� �� /���( �" ���
eiα = 1 if∑km
-
=∑j,l
b†jbl∑
i
〈βj |αi〉Ki〈αi|βl〉
=∑j,l
b†j〈βj |K̂|βl〉bl )176.
%(
-
/0( �� $# *�� !� ���0 %H0�A" < /��� ���� ���J3� %��� ���� $��- �" �� �� ��@�T �� �@H9 /3�� *_" /0��X��� 1��D
V̂ =12
∑i,j,k,l
a†ia†jakal〈i, j|V̂ |l, k〉 )184.
:� O��j %� /0� !��"# d�� :� *C��" M�� ����# /0( %� !� ��j �� � !� ��j �- !�1��@�T �@� *�� %� M�� ��- ��(<���1 ]A� �1 $�"�� !��( M1� �1 $�:�( !��( M1 `(�� � �� <��� �" /�H- $#
X��� �" %���� ��: *�� %( $�" !�1��-���� 2���( O��j ( ���3�� *����� ��_" $���T %(
V̂ =12
∫dx
∫dx′ψ̂†(x)ψ̂†(x′)
1|x − x′| ψ̂(x
′)ψ̂(x) )185.
>q
-
h�H����1 � �������� !�1 ���+-�� �1 $�" Y����� �@� ���� XM�,1 '��
���/� �
!� ��j K( !�1 ����0� %�3�4" !��( %���L !�H-��� �� %� M��� � M�� ���# 7�� Y����� !�H-��� �( %��bE '�� �� �" !�1 /3���� O��j !��� � l@D !�1��@�T %���L %� M��� ��H8 ��8 %( �L M1 !�( O��� ����
-
��� ���9 �� '�0��(
-
+��%� '(� �%&� ��
�1 F�� �� :� 7���1
-
%� M�� �" !��#��� < ���":�V� O�+�J" %� � ���� ����� ���V� O�+�J" %( `C� x `(��� ���� %� M�� /9� ��(
-
X���1 ��: �EP�� !���� %� M1� �" Y����
φ̂(x)|φ〉 = φ(x)|φ〉 )195.
%( O�H@1 !�V� !��( !"���" !�1 %��� )���( �����( ��. ]"��- �( O��j !��( �"������ ����" *_" M���- �" M1:�(� "��- `(�� � �1 $�" �� %� M�� �" G��
-
〈φ|π̂(x)|φ′〉 = �i
δ
δφ(x)δ(φ − φ′) )203.
-
W(�- ( �@D�� N�^ x�1 /~1 7��- !�V� x!� ��(�- !�1 ������� *_" ��� �" ����" $#�� %� ��1�," %���� ���<���� l9� �^��� �&� :� $# ���&� � \�" !�1
���I %� O��j ������
-
$����E �B� $�" Y����� XM��1 '��
���/� ��
X/0���: *�� %( �CC� $����E �B� $�" !P���EQ
L = 12(∂μφ∂μφ−m2φ2) )210.
X���# /0( �� ����@"�1 �L M1 � φ(x) \���" $�" $��- �" $# :� %�
π(x) = φ̇(x) )211.
H =12
∫d3xπ2(x) + (∇φ(x))2 +m2φ2(x) )212.
�" S� �5�# ��0B� %(��" %� ��� �" S� ����� OQ���" $��1���1��@�T %� M��� �" h�H����1 Y�������X�� �" S� ��: %3���"�� φ̂(x) $�"��@�T %� M0� �" %6�� �� %( %@���B( ���(��( <����
(� +m2)φ̂(x) = 0 )213.
���� ������ ���6(�I `(�� � :� �L M1 < /0� $�": � �V� ����(��5L ��1� $��� x �6����� %�
km
-
[φ̂(x), φ̂(y)] = 0
[π̂(x), π̂(y)] = 0
[φ̂(x), π̂(y)] = i�δ(x − y) )214.
X /0� ��: *�� %( �5�# !�1 %���- � �1��@�T ���"�� $�"��1 ���6(�I `(�� � %� M��� �"
[φ̂(x, t), φ̂(y, t)] = 0
[π̂(x, t), π̂(y, t)] = 0
[φ̂(x, t), π̂(y, t)] = i�δ(x − y) )215.
-
a†(k) =∫d3xe−ikx(ωkφ− iπ) )220.
�6�#:� �
[a(k), a†(k′)] = (2π)32ωkδ3(k − k′) )221.
%���-�� �� O��j !��� � l@D !�1��@�TYC� F��6�5( 2��^ �� !�5�" a†(k) � a(k) !�1 ��@�T 1� �" $��� %�X"# 1��D�� ��: O��� %( %� /��� �1 ��@�T �� 2���( �� ����@"�1 $��- �" <��� �" �,�� UJ�" !�1
Ĥ =12
∫d3k
(2π)31
2ωkωk(a
†(k)a(k) + a(k)a†(k)) )222.
�( !�1 %���� ��- /��� � 3�� :� ��� %� M���# �" /0( /��5� �( ��C" M�� N��� �� DZBD /3�� !r��� ��E�1$# �,� %4C� ���6(�I � ����@"�1 ���-:�( �( $��- �" �� /��5� �( ��
-
*�� %( a∗ � a�0B� !�1�Z�" ���- �( <1� �" $��� �� $�0#�� %���� {x, p} $#�� %�
a =1√2(x + ip) a∗ =
1√2(x− ip) )227.
/��� M1��D
{a, a∗} = −i, )228.
<1� �" $��� �� �I !�1�Z�" ( $�0#�� %���� %�XM�� �����:�( ��: !�1 *�� :� 7���1 %( �� �0B� ����@"�1 M���- �" ���
H = a∗a H = aa∗ H =12(aa∗ + a∗a) )229.
↠� â !�1��@�T ( ��: %4(�� %( (228. %4(�� Y����� ��#����
[â, â†] = 1 )230.
�" /0( �� ��: O��,�" �"������ !�1 ����@"�1 M�����D� �� �0B� ����@"�1 7�� 7�� %� �� %( %��( �3� ��� �"X���� O��,- ��(�o !�1��C" �:��� %( ����� �( ���1 %� M���#
Ĥ1 = â†â Ĥ2 = â↠Ĥ3 =12(â↠+ â†â) )231.
� ��( 1��D ��� ��� �" ��6�� %� �"������ �"���� ���� O��,- ��(�o !�1��C" ������( Q�( !�1 ����@"�1 %� �6�# :�<��� �" %��^� O�H@1 !�V� !�1 /3�� %�1 %( %� /0� ��(�o !r��� �� �5�# O��,- �5�-
$# !��H" %� /0� ��H9 *(�9� ��C�" B"�� F�� �� $�����6�5( � M�� N�J��� �� ��� Q�( !�1 ����@"�1 ( :� /���( �"���� %����� !�1 /�� %�1 !��( $��- �" �� ��� �� �"������ $�" %��&���
-
×([a(k), a†(k′)]e−ikx+ik
′y + [a†(k), a(k′)]eikx−ik′y)
=∫
d3k(2π)3
12ωk
(e−ik(x−y) − eik(x−y))
=: iΔ(x− y) )232.
X /��� M1��D M���(�&��� !���" !�1 $�": �� �� ���6(�I %4(�� �E� ���
[φ̂(x, t), φ̂(y, t)] =∫
d3k(2π)3
12ωk
(eik·(x−y) − e−ik·(x−y)) = 0 )233.
� V � % @ �� � % � % 4 C � �� � 1 !�� ( $�� - � " % � � 6 �# :�
-
�":�;# �1��@�T ( ������ !�E�6(�I `(�� � W^� � /��� OQ���" *� �( h�H����1 ���+- �� Y����� ����" l(�4"X /0� ��: �,� �; !�1 �E�6(�I *"�� �5�- ������ Y����� `(�� �
-
[b(k), b†(k′)] = (2π)32ωkδ(k − k′) )246.
:� K� �1��@�T �� X/��� ���� l@D !�1��@�T 2���( �� ������3���( � �4D %���- x����@"�1 %H0�A" ��� �( $��- �"X��# �"����: *�� %( $� 2-�"��6�5(
: H :=∫
d3k(2π)3
12ωk
ωk(a†(k)a(k) + b†(k)b(k)
) )247.: P :=
∫d3k
(2π)31
2ωkk(a†k)a(k) + b†(k)b(k)
) )248.: Q :=
∫d3k
(2π)31
2ωk
(a†(k)a(k) − b†(k)b(k)
) )249.)250.
!�1��( � ωk =√
k2 +m2 !r��� x k %���- �( O��j 2-�- %( b†(k) � a†(k) !�1��@�T %� �1� �" $��� S�� `(�� �<��� �" l@D �� −1 � +1
m=
-
i���� $�" Y����� X M5� '��
���/� ��
-
X:� ��( 1��D O��HT ]��� *�� %( i���� %3���"(i∂t −m i∂x−i∂x −i∂t −m
)ψ(t, x) = 0 )254.
M1� �" ���9 %3���" �� *� !��(
ψ =(ab
)e−i(Et−px) )255.
X� 1��D ��: %4(�� %( �6�" (285. %3���" �� $# !��b���I %�(E −m −pp −E −m
)(ab
)= 0 )256.
�� !r��� ��C" �P�� �� W9�� �� �^�C- �� <��( �,� �( �(��( %8�(�" K��-�" $��"�-� %� ���� �,� �; N��I ��9� %3���" ��X1� �" /0� %( ��: O��� %(
E =√p2 +m2 , E = −
√p2 +m2 )257.
-
(ab
)= η
( −pE0+m
1
))260.
�( N��I ���(��(
-
X /��� M1��D �� },� �� ��D *�� @�J" O�+�J" !�1 ����0� �� �� ��D *�� i���� %3���" %� M�� �^�C- �
x′μ = Λμνxν ∂
∂xν= Λμν
∂
∂x′μ)270.
(iγν∂
∂xν−m)ψ(x) = 0 )271.
(iγμ∂
∂x′μ−m)ψ′(x′) = 0 )272.
)273.
X� 1��D ��: %4(�� %( �6�" %�
S−1γμS = Λμνγν )274.
X %( � 1��D *�H- Q�( %4(�� M���( �&��� �� �����3 �L�� /��5� �( OB�H- ��E�1
S−1γ0S = γ0 + θγ1 )275.S−1γ1S = γ1 + θγ0 )276.
T %� M���# �" /0( Q�( `(�� � ��8 %���C" �( ����# S = I + θT M1� ���9 �����3 �L�� /��5� �( *�H- !��( �E�X�� S� ��: `(�� � �� /���( �"
[γ0, T ] = γ1 [γ1, T ] = γ0 )277.
%� ��� �" ��� �����( γ1 � γ0 !�1 K��-�" !�1 /��D %( %I�- �(
T =12γ0γ1 =
14[γ0, γ1] )278.
/A- ���(��( < /0� �3���� K��-�" σx $#�� %� T = 12σx /��� M1��D M�� ���� N�J��� �1 γ !��( %� ���D Y������X��( 1��D ��: *�� %( i�������t0� �����3 *�H- (266. *�H-
ψ′(x′) = eθ2 σxψ(x) )279.
<���( �&��� �� ��: %@~�" *�H- �� :� ���0 ��(��� �� $����(
mm
-
� (m, 0) *�� %( ��j %���- !r��� )����(�� ��C9� O��HT %(.����(��5L /0� ��0 ��j �� %( /H�� %� �(�L��L��X/0���: *�� %( (290. %4(�� �( ��( i���� ���t0�
ψ(x) :=(
10
)e−imt )280.
X /��� M1��D (279. %4(�� �( l(�4" ���
ψ′(x′) = eθ2 σxψ(x) =
(cosh
θ
2+ σx sinh
θ
2
)(10
)e−i(E0t
′−px′) )281.
p %���- �( �� i���� ���t0� %� M0� �" !� %4(�� $��1 %( �fC9� M�� �����I E0 � m � p ����C" 2���( �� θ ��C" ��E�1XM�� %I�- ��: %4(�� %( /0� ���� ��� �� !��( <�� �" ��-
(Ep
)=(
cosh θ sinh θsinh θ cosh θ
)(m0
)=(m cosh θm sinh θ
))282.
%� M�� �" /9� Kt0 < 1� �" /0( i�A�" ����0� %( ��0 ����0� �� �� %���- � !r��� %4(�� %�
cosh(θ
2) =
√cosh θ + 1
2=
√E +m
2m
sinh(θ
2) =
√cosh θ − 1
2=
√E −m
2m. )283.
F ���� �-.�� E���� �5��9� ��9 D ��
XM�� UJ�" �� γ2 � γ1 x γ0 K��-�" %0 /���( �" /3�� ����
γ0 = σz =(
1 00 −1
)γ1 = iσx =
(0 ii 0
)γ2 = iσy =
(0 1−1 0
))284.
X:� ��( 1��D O��HT ]��� *�� %( i���� %3���"(
i∂t −m −∂x + i∂y−∂x − i∂y −i∂t −m
)ψ(t, x) = 0 )285.
M1� �" ���9 %3���" �� *� !��(
ψ =(ab
)e−i(Et−pxx−pyy) )286.
mn
-
X� 1��D ��: %4(�� %( �6�" (285. %3���" �� $# !��b���I %�(E −m −ipx − py
−ipx + py −E −m
)(ab
)= 0 )287.
�� !r��� ��C" �P�� �� W9�� �� �^�C- �� <��( �,� �( �(��( %8�(�" K��-�" $��"�-� %� ���� �,� �; N��I ��9� %3���" ��X1� �" /0� %( ��: O��� %(
E =√p2x + p2y +m2 , E = −
√p2x + p2y +m2 )288.
-
*"�� %��� �� � � ��( ���T ������( $# !�1����( �P�� /0� ���( ��"�1 (287. %3���" �� ��I�" K��-�" %� �6�# :�XM�� �"��6�5( ��: 2-�- %( �� v(p) � u(p) !�1����( <�1� �" *��-
u†(p)u(p) = v†(p)v(p) =E0m. )293.
X /��� M1��D `���� �� /A-
u(p) =
√E0 +m
2m
(1
py−ipxE0+m
))294.
v(p) =
√E0 +m
2m
(−(py+ipx)
E0+m
1
))295.
X %� ��� lCA- $��- �" �����( �L M1
u(p)u†(p) + v(p)v†(p) =E
m
(1 00 1
))296.
-
�6�#:� �
(Tαβ)μν = ηαμδβν − ηβμδαν )301.
< n(n−1)2 �( /0��(��( !�( n $�": �V��� �����3 ���E !�1 3�" ���- ���(��(
-
%4(�� :� � M����( c[γα, γβ] O��� %( ���5�# %� /0� ���� �1 ταβ ���� !��(
[a, bc] = {a, b}c− b{a, c} )307.
%� M��� �" %I��" %H0�A" ��� �(
-
u(p) = η(
φσ·p
E0+mφ
))314.�
v(p) = η( −σ·p
E0+mφ′
φ′
))315.
!�1 N��I %( �1���t0� �� $�����6�5( � %��� !�1����( N�J��� �( <���1 ���J3� !� %,3�"�� !�1����( φ′ � φ �5�#�� %�
-
���� E���� ����� +��%� �
!P���EQ
-
X M���# �" /0( Q�( "��- `(�� � � (362. `(�� � %( %I�- �( ���
bi(p) =∑α
∫d3xui
∗α(p)ψα(x, t)e
i(E0t−p·x)
di(p) =∑α
∫d3xvi
∗α(p)ψ
†α(x, t)e
i(E0t+p·x)
b†i (p) =∑α
∫d3xuiα(p)ψ†α(x, t)e
−i(E0t−p·x)
d†i (p) =∑α
∫d3xvi
∗α(p)ψα(x, t)e
i(E0t+p·x) )332.
%( ��(���9�( ���6(�I��� `(�� � ������ �1 $�" ( %� M�� �" G�� ���6(�I `(�� � !�6( i���� $�" Y�������X M�� �" G�� %� ���" ��
{ψα(x, t), ψβ(y, t)} = {ψ†α(x, t), ψ†β(y, t)} = 0
{ψα(x, t), ψ†β(y, t)} = δαβδ(βx− y) )333.
XM���# �" /0( (526. `(�� � :� ���,�0� � %H0�A" ��� �(
{bα, b†β} = (2π)3E
mδαβδ(p − p′) )334.
{dα, d†β} = (2π)3E
mδαβδ(p − p′) )335.
X%� /0� $# %6��
-
: H : := ω(b†b− dd†) − ω〈0|(b†b− dd†)|0〉= ω(b†b− dd† + 1) = ω(b†b+ d†d) )339.
�" !��( O��� ���� <��( �,� !���" DZBD !��( %�������( %�����^�C- � �����6�5( �� �� %�������( $��- �" �L M1/��� M1��D ��D ���0 ����0�� ���0
Q = (b†b+ dd†) )340.
: Q : := (b†b+ dd†) − 〈0|(b†b+ dd†)|0〉= (b†b+ dd†) − 1 = (b†b− d†d) )341.
X/��� M1��D $# %�������( � i���� ����@"�1 !��( %6����
: H :=2∑
i=1
∫d3p
(2π)3m
EE(b†i
(p)bi(p) + d
†i (p)di(p)
))342.
Q = −e2∑
i=1
∫d3p
(2π)3m
E(b†i(p)bi(p) − d†i (p)di(p)
))343.
<���1 k %���- �( $����:�� � $����3� ���� l@D 2-�- %( di(p) � bi(p) !�1��@�T %� �1� �" $��� `(�� � ��
nk
-
K8��Z"����3� $�" Y����� X M1� '��
���/� ��
%� /0� !���- :� ���� $# ��9�� !��:# O�I�� ���- %� /0� ����� !�51���0� :� %���� �� �0B�K8��Z"����3�%( l9� %I�- �( /���( �" �1 ����0� %��E �� Y�����
-
X M���# /0( $�" !P���EQ :� M���- �" �� \���" !�1 %���- �L M1
πμ :=∂L
∂(∂0Aμ)= Fμ,0 )351.
%� /0�� %4(�� �� :�
π0 = 0 π1 = −Ex, π2 = −Ey, π3 = −Ez )352.
��: *�� %( �� �� ����@"�1 $��- �" ����# )�( YJ(. ��� �,� !���" A0 $#�� %� M�� N�J��� !��8 �� %���� ��E�1X /���
H = 12(π21 + π
22 + π
23) +
12
∑i
-
2���( �� !�E�6(�I `(�� � � %���� �� �1 $�" %���� *�H- /�J� ��� �� !��(
-
a�� ��
-
�"������ !�1 $�" Y�� M1�( X M1�:�� '��
���/� ��
%� M��� �" < M�� ����" �"������ !�1 $�" Y�� M1�( %�3�4" !��( �� �0�0� � �@� *���" �5�- M1��D �" '�� ���� �L M1 � ����� :� O��j �E����� �&� !���( O��j !�1 Y�� M1�( %�3�4" !��( �f0�0� ��H�� �"������ !�1 $�"O��j :� !� %T��6" ��HT !�1 %�"�� :� �-��HT M���� %9BT �5�# %( �" %� �0�0� OQ�56" ���(��(
-
gR����" `(�� � �� %� ���1 O��j l@D � ��� !�1��@�T a†in(k) � ain(k) !�1 ��@�T $#�� %�
[ain(k), ain†(k′)] = (2π)32ωkδ(k − k′) )373.
<��� �" S�X���� ��: l(�4" �4�( /0� ��:# $�" �� φout $�" %� �6�# :� �L M1
φout(x) =∫
d3k
(2π)31
2ωk(aout(k)e−ikx + aout(k)†eikx) )374.
R����" `(�� � �� %� ���1 O��j l@D � ��� !�1��@�T a†out(k) � aout(k) !�1 ��@�T $#�� %�
[aout(k), aout†(k′)] = (2π)32ωkδ(k − k′) )375.
<��� �" S�
� l@D ��@�T d�� �� %� /0� ��" ��# p�-��,�" �5�# �( �� p���1 a†in(k) � ain(k) !�1��@�T $��1 �1��@�T �� ��#p��� ��� ���- $�� !�E�6(�I %4(�� �( �5�- ��� � l@D !�1��@�T ��" p���( %���� ��I� O�H@1 !�V� ���� ���
%( �� A† � A ��@�T ��D ��E |1 [A,A†] = 1 d�� :� ���6(�I %4(�� �� %� M�� /9� ��( OQ��0 �� %( 0�� !��(%4(�� ���(��( <��� �" S� ���6(�I %4(�� $��1 ���� A† + c∗ � A + c !�1 ��@�T ���: <�� ���
�- ���� ��8
X/0���: *�� %( �I��D � !���� !��� � l@D !�1��@�T
aout(k) = ain(k) + S(k) )376.a†out(k) = a†in(k) + S ∗ (k) )377.
-
aout(k) − ain(k) = limt−→+∞
∫d3xeikx(ωk + i∂t)φ(x) − limt−→−∞
∫d3xeikx(ωk + i∂t)φ(x)
=∫d4xdt
∂
∂teikx(ωk + i∂t)φ(x) )380.
X��( 1��D��: *�� %( l��" �� �o�
-
= i∫d4xeikx(� +m2)〈0|φ(x)|0〉 )385.
M1��J( �E�
-
a†out(k)T (φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xn)) − T (φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xn))a†in(k)
=∫d4xe−ikx(−i)(� +m2)T (φ(x)φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xn)) )392.
%4C� n W(��- %H0�A" %( �� 〈l1, l2, · · · lN |k1, k2, . . . kM 〉 d�� :� ����-�" �+�T�1 $��- �" (??. `(�� � :� � ��" ���,�0� �(
-
=∫d4x1d
4x2eik2x2−ik1x1(�1 +m2)(�2 +m2)
∫d4p1(2π)4
d4p2(2π)4
e−ip1x1−ip2x2Ĝ(p1, p2)
=∫d4x1d
4x2eik2x2−ik1x1
∫d4p1
(2π)4)d4p2
(2π)4)e−ip1x1−ip2x2(−p21 +m2)(−p22 +m2)Ĝ(p1, p2)
)397.
X%� M���# �" /0( p2 � p1 !�� Kt0 � x2 � x1 !�� !�E ������� :� K�
〈k2|k1〉c = (−k21 +m2)(−k22 +m2)Ĝ(−k1, k2) )398.
/3�� ( O��j ����-�" ����T �( ��C��" ���( %4(�� %+�J" !�V� �� !� %4C� �L W(��- %� M(�� �"�� 2-�- �(X/0� ]^�� !� ��j �L �@� /3�� %( %4(�� �� M��- <���� ������ � %3�� !�1
〈l1, l2, · · · lN |k1,k2, · · ·kM 〉c
= (i)N−MN∏
i=1
(−li2 +m2)M∏
j=1
(−kj2 +m2)Ĝ(−k1, k2, · · · kM , l1, l2, · · · lN )
)399.
qm
-
�"������ $�" %��&� � �"������ ����" �� ��" ������� X M1�:��� '��
���/� ��
W(��- �� ����H�1 W(��- :� �-��HT ���1 �4" �"������ $�" %��&� �� %� ���1 /�� ��- �0�0� %� M��� %��bE '�� ��XM1� �" $��� ��: O��� %( �� �1 $# %� !� %4C� �L
〈0|T (φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xN ))|0〉 )400.
�" $��� '�� ����
-
XM����( M���- �" ���
〈q′, t′|q, t〉 := 〈qN |e−i�
NH�|q0〉 =∫dq1dq2 · · · dqN−1〈qN |e−
i�
H�|qN−1〉〈qN−1|e−i�
H�|qN−2〉 · · · 〈q1|e−i�
H�|q0〉)403.
XM�� �" %H0�A" �� ����-�" ����T :� ��� ���
〈qk|e−i�
H�|qk−1〉 ≈ 〈qk|1 −i
�H�|qk−1〉
= δ(qk − qk−1) −i�
�〈qk|H |qk−1〉 = δ(qk − qk−1)(1 −
i�
�V (qk)) −
i�
�〈qk|
p2
2m|qk−1〉
= δ(qk − qk−1)(1 −i�
�V (qk)) −
i�
�
∫dp
2π�e
i�
p(qk−qk−1)
=∫
dp
2π�(1 − i�
�(V (qk) +
p2
2m))e
i�
p(qk−qk−1)
≈∫
dp
2π�e
−i��
(V (qk)+p2
2m )+i�
p(qk−qk−1) )404.
%4(�� :� � M��E �" ������� p !�� !�D# O��HT��∫dpei
12 αp
2+iβp =
√2πiαe
iβ2
α )405.
XM���# �" /0( � M�� �" ���,�0�
〈qk|e−i�
H�|qk−1〉 = Cei��
(m2 (
qk−qk−1� )
2−V (qk))
)406.
%( �3� ���� $# ���&� � m � � � !�1 /(�o %( ����( %� /0� /(�o �T �� C %� �� /9�
-
X ���� /0� h�H����1 ���+-�� Q ��@�T Q(t) $#�� %�
Q̂(t) = eiHtQ̂e−iHt )410.
X��� $��� $��- �" � $�( Q�( �� %� %w�# %(��" O�H0�A" �(
〈q′, t′|T (Q̂(t1)Q̂(t2))|q, t〉 =∫Dqq(t1)q(t2)e
i�
∫ t′t
L(q(τ),q̇(τ))dτ )411.
<��� �" ����#�( �� q(t′) = q′ � q(t) = q !:�" a�� %� ��� �" %���E ������� ���1 ��" 7��- !�� $#�� %����� X��� �" ���� M��- ���J3� ����H�1 W(��- %( ����� %( %4(�� ��
〈q′, t′|T (Q̂(t1)Q̂(t2) · · · Q̂(tn))|q, t〉 =∫Dqq(t1)q(t2) · · · q(tn)e
i�
∫ t′t
L(q(τ),q̇(τ))dτ )412.
�� ��� �� !��(
-
�" F��� W(�- �� 3�" ��
-
�3��0� !�1 $�" ! ��( F��� W(�- �3B�D� %H0�A" X M1��0 '��
���/� ��
O��� %( %� /0� F��� W(�- ��� %H0�A" �"������ $�" %��&� �� /���( �" %� ���� ����5" %� M��� %��bE '�� ��
Z[J ] =∫Dφei�S[φ]+
i�
∫J(x)φ(x)dx4∫
Dφei�S[φ])423.
$���( %� ��( ���( �� ���� /���( �" ���(��(
-
<���1 /H_" %�1 a1, a2, · · ·aN $#�� %�X /��� �� ����-�" 7�� %( �� `(�� � �� $��- �"
∫DXe−
12 X
tAX =
√(2π)N
detA
∫DXe−
12 (X
tAX)+JtX =
√(2π)N
detAe
12 J
tA−1J )426.
��: ���1 ]A� `(�� � �� M1 :�( )��( $��C�" � /H_" K��-�" �� �5�- %�@(. ��H� �� !�49 AK��-�" �E� ��� ���"���" K��-�" �� %� M�� ��j /0� 7:Q
-
M���� ������� $�" %��&��� O�H0�A" �� !��( %� !��(��� %( %I�-�( < /0� ��(�" :� �-Q�( %@�I�� V (X) $#�� %���
-
�� O��� � \�J" M���- �" ��� %V9 :� ���,�0� �(
-
i j
$# �����E Y���� � Δij ≡ 〈xixj〉0 ����H�1 W(�- X ����� ��� ��� ���9 X= *��
....
....
....
i
j
k
pi
j
k
p
Σ
-
i
k
i j
k l
j ji
l lk+ +
*��
i j ii jjgg
28B
-
C 1 +g
8
%4(�� :� C O��HT ����E ����" Xm *��
i j i jg
2BC
-
X DZBD %( DZBD 7��E��� :� !� %���� Xq *��
!�1 O��HT %� M�� �" /9� ��� <����( �9�( i1, i2, ·in �I��D !�1�� �5�- �0 �D#�� � ��� *�� ���� !�1 V !�1�� ���" M�� /0�� DZBD %( DZBD 7��E��� �� %��# !��( <��# �" /0( �1 V :� !���- !�1�� �0�� M1 %( :� DZBD %( DZBDDZBD %(DZBD !�1 7��E��� 7��- %T��6"
-
��%�) L1�> � �����6�� ��� '���� ��� ���"�� ��
��A" �� ��D �6�����
-
X /��� M1��D ���(��(
A(x− y) := Dxδ(x− y). )449.
X c %���X M���� �" ��: *�� %( �� A(x − y) %���� *�H-
A(x− y) =∫dqA(q)eiq(x−y) )450.
X %� �� /(�o �����( ���- �" �����D O��� ����
Δ(x− y) =∫
Δ(q)eiq(x−y) )451.
%���i���� !��3� W(��- ��4��1 � �1 ������� !�1 �:��� %@� ���( �� ���- !�(k $�":�V� !�� φ %�0�� !�1�Z�" ��E�1
-
!�����D �5�# ���� :� ���� M5" ������� /�� !�1 /(�o M��� %��6�#:�
-
<1� /H�� �� Δ(x− y) O��HT ���1 x, y a�C� $#�0�� %� `D �����1 %( X �
*_" �@D�� %4C� �1 !�� � �� N�^ M1�� �� ���� /H�� �@H9 !�1 /��9�� %� �� ���1������ 7��- 7��E����1 !��( X �<���( ∫ d4x �������x
[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[XM����( ��: *�� %( g 2���( �� %H-�" �- �� !� %4C��� ����H�1 W(�- (437. %4(�� �( /5(��"�� M���- �" 2-�- �� %(
〈φ(x)φ(y)〉 = Δ(x− y) + g2Δ(0)
∫dzΔ(x− z)Δ(z − y) +O(g2) )459.
1��2� ��-. �� #����. /��0 ����
�5�# %���� !�1 ��" 2���( �� �1 $�" �- �- M��� - �" <���( �&��� �� 〈φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xn)〉 ����H�1 W(� -
-
〈φ̂(q1)φ̂(q2) · · · φ̂(qn)〉 =∫d4x1d
4x2 · · ·d4xne−i(q1x1+q2x2+···qnxn)〈φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xn)〉 )463.
��E�1%� M�� %I�- ��( /�J�
-
x x1 2
-
xx
xx1
2
3
4
< ��� %H-� �� *+�" !� %4C���5L W(�- Xu *��
X M����
〈φ(x1)φ(x2)φ(x3)φ(x4)〉(1)c =ig
4!
∫d4yΔ(x1 − y)Δ(x2 − y)Δ(x3 − y)Δ(x4 − y) )473.
��_"
-
xy z
1 2x
-
q qk1 2
q - k2
-
uq
-
!��"# ����" � �"������ ����" %4(�� XM1���5L '��
���/� ��
!�H-��� l��8 :� %� ���� ��I��s��- �� !��"# ����" � �"������ ����" ( %� M1� $��� M1��D �" '�� ����$�" � �"������ !�1 $�" %( �� $# M���- �" M�5,( Q�( ���0 /3�� �� �� �s��- �� %� ��9�
-
t t
qq
1 2
2
1
<��� �" �8 @�J" ������ !�1 %�"�� �( @�J" !�1��" X �"������ �D � /�� Xc= *��
=∫dq1〈q2|e−
i�
H(t2−t1)|q1〉〈q1|ψ(t1)〉
=∫dq1K(�|q2, t2; q1, t1)ψ(q1, t1) )484.
7��- !�� ������� ��
-
x x
qq
1 2
2
1
= *��
/0� $# ��1� $��� F��� W(�- ��
-
�s��- ��
-
t
x
φ
(x,t)φ
φ(x)
(x)1
2
φ
<�� �" �8 ���1��" %�1 $�" φ2(x) %( φ1(x) :� ��A- !��( X $�" �� !��( �"������ �D � /�� Xk= *��
L −→ −12∂xφ
2 − ∂yφ2 −12m2φ2 − V (φ) )494.
X /��� M1��D %6���� �
K(kT |, φ2(x), y2;φ1(x), y1) =∫Dφe
−1kT
∫y2
y1dy∫
dx 12 ∂xφ2+∂yφ
2+ 12 m2φ2+V (φ) )495.
W�I φ(x, y) !�(�� $�" �� �-���� !�1�D � /�� 7��- !�� $#�� %� /0� F��� W(�- �� O��HT �� /0�� R�8*�� x�� S� φ(x, y2) = φ2(x) � φ(x, y1) = φ1(x) !:�" `���� �� �����1 %� /0� C" $�" ��
-
y
x
φ
(x,y)φ
φ(x)
(x)1
2
φ
1/Ze−1
kT H[φ] ������ φ(x, y) !�(�� $�" /~1 �1 ����- /3���� X $�" �� !��( �-���� �D � /�� Xm= *��
-
����# �" XM1����� '��
���/� ��
���0 �"�5," �&� :� �1 F�� ��
-
qN = sN−1sN )501.
X��� �� ��: 2-�- %( �� �1 s �1 q �����( $��- �" W9�� ��
-
X/�����: *�� %( $��- �" �� S�� F��� W(�-
Z =∑
s1,s2,···sN
N∏k=1
eβJsksk+1+βB2 (sk+sk+1) )505.
X���( ��: *�� %( Y��1 %���� %� ��� ���- $��L ��C��� K��-�" 7�� %( !�(�� ����-�" $��- �" ���
〈sk|T |sk+1〉 = eβJsksk+1+βB2 (sk+sk+1) )506.
X"# 1��D����: *�� %( F��� W(�- O��� ����
Z =∑
s1,s2,···sN〈s1|T |s2〉〈s2|T |s3〉〈s3|T |s4〉 · · · 〈sN−1|T |sN〉〈sN |T |s1〉
=∑s1
〈s1|TN |s1〉 = trTN = λN+ + λN− )507.
%( ) t0�. %�H� ����� ��:# !r��� W(�-
-
=sinhβB√
sinh2 βB + e−4βJ)512.
1��D �,� Y8��Z" �� ��C" �,� �; !�"��� <�# �" /0( B = 0 �� Q�( O��HT %H0�A" �( ��D %( ��D Y8��Z"x��� b *_" !��A" ��C" βB %� !��8 %( M1� *" �,� /�0 %( �� �� T � �,� /�0 %( �� B $�"��1 ��E�1 �"�
-
$#�� %�
σ̂3(k) := T kσ̂3T−k. )518.
X %( ��� �" *�H- (680. O��HT �"�����"�- z ���
〈sksl〉 = 〈+|σ̂3(k)σ̂3(l)|+〉 )519.
X M1����9 M���- �"
T = e−βH )520.
X /��� M1��D �L M1 <� 1��D H ��@�T %��� /3�� |+〉/3�� O��� ����
σ̂3(k) = e−βkH σ̂3eβkH )521.
���� �"������ ����" ����0� �� �( �� ����" �( �� �� �0B� ����0� �� a�H-�� ��#��� (559. � (558. %4(����t0� !�1 /~1 7��- !�� $# %H0�A" !��( %� /0� �0B� ����H�1 W(�- �� %4(�� yL /�0 < /0� ���": �(!�� %� /0� h�H����1 ���+-����@�T �� !��( ����H�1 W(�- �� /0�� /�0��
-
a b
cde
< !�( �� ����# %�H� �� %��( !�1 %C@� Xn= *��
H = −J′∑
i,j
sisj . )522.
:� /0� O��HT F��� W(�-
Z =∑S
eβJ∑′
i,jsisj ≡
∑s1,s2,···sN
∏links
eKsisj , )523.
%� /0� �� %( ���" �4(�� �� /A�
-
= (coshK)L∑S
⎛⎝1 + τ(∑
links
sisj) + τ2(∑
doublelinks
sisjsksl) + τ3(∑
triplelinks
sisjskslsmsn) + · · ·
⎞⎠)526.
OQ�+-� 7��- !�� W�I !���" %(∑triplelinks � @�J" OQ�+-� !�1 /,I !�� W�I !���" %(∑doublelinks �1 $#�� %�
-
.
.
... ... ..
..
... ... ..
.
..
.. ... . .
. ...
.
.
.. ... ...
.. ... .
.
.
.. ... ....
. ... ... ...
.
... ... ..
. ... ... .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(1) (2) (3)
<��� �" ����� OQ�+-� :� %T��6" �� %( %0 �1 ���: �3���" ������( %� %C@� %0 Xq= *��
(?=. *�� �&� ���1 ��A�" ��� �"�1�s ��( �� `C� � �� ��+-��1 (526. `�( :� %@�I�1 �� %� �6�# :� Xc ��b-<����:�6"
�L !�1 %C@� M1� ���� ��I� %L��t�� !�1 %C@� M1 Q(τ) `�(�� %� M�� �" /9� /�J� Q(τ) W(�- %H0�A" !��(�E� ���� M1� $��� W (τ) �( ���5�# 3�" W(�- � lC �( �� $# ��8 x C �( �� %L��� �� %C@� �� �E� < %L���
W (τ) :=∑C
τ lC )531.
%� ���" �� %( ���� ��I � q(τ) � W (τ) 3�" W(�- ( !� ���0 %4(�� ����#
Q(τ) = eW (τ). )532.
X M1� `�( �� /0�� R�8 %� /0� ���� �5�- %4(�� �� O�Ho� !��(
Q(τ) = 1 +∑C
τ lC +12
∑C,C′
τ lC+lC′ +13!
∑C,C′,C”
τ lC+lC′+lC” + · · · . )533.
�1�s ��( �� 7���1 �� �� ���� $��� (??. *���� %� �5�# *_" ���1 ��A�" %���� ���
-
.
.
........
. ..
.
..
.
.
..
.
..
..
.
.
. ..
.
.
.
... .
.
.
....... .
. ......
.
.
........ ..
. ........ .
.
........
. ........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
�� ��A�"�� /0�� /�0 !Q�( ��A�"
-
.
.
... ... ..
..
... ... ..
.
..
.. ... . .
. ...
.
.
.. ... ...
.. ... .
.
.
.. ... ....
... ... ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
W=1, P = -1 W=0 , P = 1 P=P. P’ = (-1).(-1)=1
<��� �" �_�D �� ����� `0� � yL /�0 !�1 ��A�" !�1 $:� Xu= *��
Q(τ) = 1 +∑C
P (C)τ lC +12
∑C,C′
P (C)P (C′)τ lC+lC′ +13!
∑C,C′,C”
P (C)P (C′)P (C”)τ lC+lC′+lC” + · · · . )536.
-
.
.
.....
...
.
.
..........
. .........
.........
.. .
.
.
.
P=0
-
.
.
........
..
........
.
..
...... .
....
.
.
........
......
.
.
.........
. .........
.........
.
W=1, P = -1
W=0, P=1
<���1 M1 !�� OQ�+-� !���� %��1 ��A�" Rb� :� !� %���� X=c *��
M rk(x, y) = ατMuk−1(x− 1, y) + βτMdk−1(x− 1, y) + τM rk−1(x− 1, y) + 0 M lk(x, y − 1)M lk(x, y) = βτMuk−1(x+ 1, y) + ατMdk−1(x+ 1, y) + 0 M rk−1(x, y − 1) + τM lk(x, y − 1) )538.
X��� �" �- ���0 %���� !�1 ��" 2���( S�� ����- `(�� �
M̂uk (p, q) =∑x,y
eipx+iqyMuk(x, y) etc )539.
X��# �"�� ��: O��� %( ����- `(�� � %6����
M̂uk (p, q) = τeiq(M̂uk−1(p, q) + 0 M̂
dk−1(p, q) + βM̂
rk−1(p, q) + αM̂
lk(p, q)
)M̂dk (p, q) = τe
−iq(0 M̂uk−1(p, q) + M̂
dk−1(p, q) + αM̂
rk−1(p, q) + βM̂
lk(p, q)
)M̂ rk (p, q) = τe
ip(αM̂uk−1(p, q) + βM̂
dk−1(p, q) + M̂
rk−1(p, q) + 0 M̂
lk(p, q)
)M̂ lk(p, q) = τe
−ip(βM̂uk−1(p, q) + αM̂
dk−1(p, q) + 0 M̂
rk−1(p, q) + M̂
lk(p, q)
))540.
X/��� ��: ����-�" *�� %( $��- �" �� %4(�� ��⎛⎜⎜⎝
M̂uk (p, q)M̂dk (p, q)M̂ rk (p, q)M̂ lk(p, q)
⎞⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎝
τeiq 0 τeiqβ τeiqα0 τe−iq τe−iqα τe−iqβ
τeipα τeipβ τeip 0τe−ipβ τe−ipα 0 τe−ip
⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝
M̂uk−1(p, q)M̂dk−1(p, q)M̂ rk−1(p, q)M̂ lk−1(p, q)
⎞⎟⎟⎠ )541.
==m
-
W=1, P = -1P=P1.P2=(-1)(-1)=1
<���1 M1 !�� OQ�+-� !���� %� ���1 ��A�" Rb�:� !���� %���� Xcc *��
X /��� ��: %�BD *�� %( �� $# $��- �" %�
M̂k(p, q) = SM̂k−1(p, q) )542.
�� �
M̂l = Sl−1M̂1 )543.
� /0�� x ��� xQ�( /5I��5L :� 7���1�� �� ��D ��� 79 ���- �" i�A�" �,� %&A3�� < M���� %3�� `���� %( \���� ���X /��� M1��D 2-�- %( `���� ���� %� �� lCA- ���- �" �����( �����D
-
( x, y -1)
(x , y)
r
u
u
l
��I� %(��" !�1 *�� �� ���� !�1 �40 !��( c *��
-
%6���� �
W (τ) ≡l∑1
Nnll
=−N4π2
l∑1
1l
∫ 2π0
dp
∫ 2π0
dq
4∑i=1
λli〈u|ei〉〈ei|M̂1〉
=N
4π2
∫ 2π0
dp
∫ 2π0
dq
4∑i=1
ln(1 − λi)〈u|ei〉〈ei|M̂1〉 )550.
Q�( %4(�� :� �� W (τ) %��# :� �(
-
0��" $�" 2��C- XM1,1 '��
���/� �
���E��� �^ '�� ����
-
��� extremum �� %���� /���( �" %� �� %w�# ���(��( < /��E �&��� /���( �" P���EQ 2��^ O��� %( �� 9�� ��X /0� ��: O��HT
F = U − TS =∑C
HCPC + kT∑
PC lnPC )557.
T %� M�� %���� $��L �� 1T ���� P���EQ 2��^ *�� %���� $# � M� � %���E ��� �"�����"�- �� ��D O�"�@�" :� �" �6�����<��( ��"�����"�- !�"� $��1
X/��� M1��D %H0�A" ����(
-
〈si〉 ≡∑
s
Pi(s)s = mi )562.
X M���# �" /0(
Pi(+1) + Pi(−1) = 1 Pi(+1) − Pi(−1) = mi )563.
X/��� M1��D ���(��( �
Pi(+1) =1 +mi
2, Pi(−1) =
1 −mi2
)564.
X���# M1��D /0( �6�# :� �
S = −kN∑
i=1
(1 +mi
2ln
1 +mi2
+1 −mi
2ln
1 −mi2
))565.
�
U = 〈H〉 = −N∑
i,j=1
Jijmimj −N∑
i=1
Bimi )566.
�f���5� �
F = −N∑
i,j=1
Jijmimj −N∑
i=1
Bimi + kTN∑
i=1
(1 +mi
2ln
1 +mi2
+1 −mi
2ln
1 −mi2
))567.
-
$�" ��E�1 �"� Tc := zJk ��E�1 %� � 1��D 7�@�" �����(
-
6�� "�� 7�� � �� ����85 ����� 136�8 ���
-
XM��E �" %6�� $#:� %�
m ∼ ( 3BkTc
)13 −→ m ∼ B 13 )582.
Tcχ−(t, B = 0) ∼ (−t)−γ
′for T < Tc )583.
$#�� %�
χ+(t, B = 0) :=∂M(t, B)
∂B|B=0,t>0
χ−(t, B = 0) :=∂M(t, B)
∂B|B=0,t
-
χ =1
2k(Tc − T )−→ χ ∼ t−1 )589.
TcC−(t, B = 0) ∼ t−α′ for T < Tc )590.
-
Tc) ∼ t−ν
ξ−(B = 0, T < Tc) ∼ (−t)−ν′ )595.
-
X��� ���-��: *�� %( $��- �" �� ��8��Z" ��^�" !��b�j�,�
χij :=∂〈si〉∂Bj
=∂ ln Z∂βBi
∂Bj)602.
M1� �
Z- j %4C� �� �� ��8��Z" $�" �E� %� /0� �� ��1� $��� /�� �� < /0� �� ���,�0� (598. %4(�� :� $#�� %�X%� 1� �" $��� (??. %4(�� �� %���C"<�� �"�
Z-�CL i %4C��� Y8��Z"
χij = ββGij )603.
-
X/0���: *�� %( ����H�1 ����A( %4C� ������ �� %� M��� �" XO�Ho�
G(−→r ) ∼ e− rξ
rn−2+η)610.
M����
-
�&�1 ��
`0��" $�" F���(
-
7��� !��b� '�C" G�� XM161 '��
���/� ��
X����� !�1 /�� �V�( ����A( %4C� �������� %� M��� %��bE '�� �L��
x�1� �" $��� ����- ����� ��D :� X3�
x���1 7�T �1 /�� �� %( a�(�" ����A( !�1��� X N
< /��� �5�# :� �- �� ��� 2���( $���(���5�# %�1 ��� �" T�( %� ���� ��I� !� ���0 `(�� � �1��� �� ( X \
�� 7�6�� ����A( !�1 ��� /@+D %0 �� M5� !��( %� �� ����� ��- ����(� � ��J� M1��D �" '�� ����
-
X /��� M1��D G ���� KHE ��:# !r��� !��(�
dG = −SdT −MdB )621.
M����Q�( %4(�� :�
-
X���# /0( b � a !��� �� 2���( $��- �" �� β ����A( !��� %� 1� �" $��� %4(�� ��
β =1 − ba
)628.
X %� ��( 1��D $# %6�� c
-
!��� ���(��(
-
%� M1� $��� M�����- (700. %4(�� ���� G�� �� ��5����(�5�- %� /0� $# 7��� !��b� '�C" %^�� /C��"
����A( %4C� �������� �P�� ���"�E /��s � ��8��Z" !��b�j�,� 2��^ x Y8��Z" *_" ��"�����"�- !�1 /�� Qf ��<���� ����-�����
a !�1��� ���� ��� /,I �� :� ���1 ���� a�(�" �1 /�� ���V� ����H�1 %( %� ���5�# *9�Q ����A( !�1��� �f��o<��# �" /0( b �
�H��" �(�6- �&� :� ���1 %� M����( /0( ��b� �1��" ����A( !�1��� ( �4(�� � M�����- b � a !�1��� Rb� �( �f_3�o<���1
!�1��� !�T��C" �� ��". /0� ��� !� ���,�0� |1 ����A( ����0� !���D�0 O��I :� `(�� � �� \��J�0��� %� ���" �(�J( S�� 23�4" %( %I�- �(
-
����� !��b� '�C" G�� X M1�:�� '��
���/� ��
�������� %� �� �" ��( Y� %���� ��� X1� �" 7�6�� M5"��� �� 7��� !��b� '�C"G�� %� M��� %��bE '�� ��%���� 7�� � ���1 ����- `(�� � !���� �P�� !�"�E �� � !��b�j�,� x Y8��Z" �&� !� ��"�����"�- !�1 /�� ����A( %4C�!��b� '�C" G�� d��� %4C� %�BD ��4( <���1 �H��" �(�6-�&� :� %� 1� �" /0( ����A( !�1��� ( �� �4(�� �
X /0���: ��b� '�C" *�� !���� ����A( %4C� �������� KHE W(�- %� ��( �� 7���
G(λat, λbH) = λG(t,H) )642.
`(�� � �� < M���# /0( b � a ���� 7��� !�1��� 2���( �� ����A( !�1���:� �-��5L %� M�����-G�� �� ��H9 �(X:� ���( O��HT
β =1 − ba
δ =b
1 − b γ = γ′ =
2b− 1a
α = α′ = 2 − 1a
)643.
XM�� �� ����A( !�1��� ( �� ��: �� %�D��� %4(�� �� M�����- �� `(�� � �� ( b � a Rb� �(
γ = γ′ = β(δ − 1) α+ β(δ + 1) = 2 )644.
X���" �" �9�( 0�� $�( ��: �0�0� ���0 �L 7��� !��b� '�C" G�� N�L��L��
p /�L (700. %4(�� ����� !��H" [ =
m
-
p���# /0( �� ����A( !�1��� !�T ����C" $��- �" %���L [ >
p�5� �� /"��T $��- �" %���L [ k
< S�� OQ� �0 :� �V�( %( �,E 0�� !��( /0� ����� ����� !��b� '�C" G��
V���� � ��T) ���/� ��
�� ����0� $#�� �o�" !��:# O�I�� %� /0� $# M1� 7�6�� /���( �" %� !��� ��J� ����� ����0� �� ��- !��(�� ��_" $���T %(
-
'�C" $��C- !���� �1 '�C" �� %@��� �� `A" �� ��5( O��HT %(
-
?
-
%� M(�� �"�� M6��( %�H� ��� ��8 2���( �� ����H�1 ��8 ��E�1 <���1 �I �E�,I !�1 /(�o BL � JL $#�� %�X �( /0��(��( �I M��0�� ����H�1 ��8
ξL =ξ
L)649.
����H�1 ��8 !���� �I M��0 %� /0� $# Q�( %4(�� !���" u
-
M1� 7�6�� M���- �" %� ! ������� L )660.
-
X1� �" /0( �� ��: %6�� �� ξ = t−ν %���� %( %I�- �
d− 2 + η = 2(d− y) , t 1x = tν )664.
�6�#:� �
ν =1x
η = d− 2y + 2 )665.
%( a�(�" %� ���� ����A( !��� �� M�����- %�@( M�5,( �� 7��� !��b� '�C"G�� ����� !��H" M�����- �5�- %� ���(��(x, y 2���( �� �1��� %�1 ����0# %�I��" !��( M���- �"
-
p���# /0( �� ����A( !�1��� !�T ����C" $��- �" %���L [ >
p�5� �� /"��T $��- �" %���L [ k
-
$��@�� F�� %( F��6�5(:�( X M��( '��
���/� �
'�C"G�� ����� DZ���" %���� ��� X1� �" 7�6�� M5"��� �� ����� !��b� '�C" G�� %� M��� %��bE '�� �� t0� ( ����H�1 W(�- %( a�(�" %� η � ν ����A( !�1��� %H0�A" !��( �1�� %���� 7�� � 1� �" ]^�- �� 7��� !��b�M�� �" ���� ��t0� ����0� %( �-Q�( '�C"�� ��9� %� ��( ���H"G�� ���( ����� !��b� '�C" <�� �":�( ���( �1M�����- �� �,� !�1 �Q�0� �( <�� %���� �
Z- �E�,I 2���^ %� O��,- �� �( /0� �@H9 *�� $��1 ����@"�1 *��
<�(�� �"�
Z- ����- O��� %( �E�,I 2���^ ��L %� M�5,(2���^ �
Z- �-����0F�� ���� M���- �" $# ��� %( %� M�� �" ����" �� $��@�� F��6�5(:�( F�� '�� ����� !��"# !�1 $�" %��&��� M1 ��0����( ��(��� $���� F�� ��
-
H({s};K}
H({S}, K’}
s s s
S
1 2 3
I
< t0� �- %0 :� *���" M��0 �� F��6�5(:�( Xmc *��
��5�# !��:# O�I�� d�� � ���- ( !� ���0 �f�H�� a�H-�� %� ���1 ���1 ����0� ��": :� ����A( %4C� �������� �����!��( M&�" /0� ���� $��@�� F�� %( F��6�5(:�(
-
M���� �" �� F��� ����@"�1 �� ���� !��( p /�L M�( �" h��( '�C"�� %� !�o�" ����@"�1 %� /0� �� ���0 ���X M�: �" W�I �1 i�@( $��� !�1 t0� !�� �
Z =∑
s1,s2,s3
eH(s1,s2,s3 =∑SI
∑s1,s2,s3|SI
eH(s1,s2,s3|SI) )673.
i�@( t0� ��C" %� ���( a���" xi�@( $��� !�1 /3�� 7��- !�� %� /0� $# !���" %(∑(s1,s2,s3|SI) $#�� %�
-
e−K′0+K′1 = e2K1−3K2 + e−K2(2 + e−2K1) )679.
X�6�# :� �
K ′0 =12
ln(A
B) K ′1 =
12
ln(AB) )680.
$#�� %�
A := e2K1+3K2 + eK2(2 + e−2K1)
B := e2K1−3K2 + e−K2(2 + e−2K1) )681.
/(�o $#�� %� ��� �" ��- �o�" ����@"�1���( �- h��( '�C"�� ���- %0 ��t0� M��0 %� 1� �" $��� x(678. %4(���E�,I /(�o %� M�� ���� G�� �" �6����� <�� %���� �
Z- K ′0,K ′1,K ′2 �E�,I !�1 /(�o %( K0,K1,K2 �E�,I !�1
-
7�� *3( � ���� ��I� �I ����@"�1 �@I�� 1kT /(�o �� $���T %( ���� T !�"� X ��� %��� X��� /9� ��( %����� %(<���1 �"� :� !� �w� W(��- �I !�1 /(�o ��� �" ��� (680. %3���"�� $#:� !� %���� %� F��6�5(:�( `(�� � �w�
:� �- h��(. �5�# '�C" h��( ����� %� ��� �" ��- �� �,@�J" ��t0� !�1 M��0K′ x K �E�,I2���^ X 7�� %���
-
H({s};K} H({S}, K’}
ξ ξ
< F��6�5(:�( �o��� ����H�1 ��8 �
Z- Xnc *��
�( ξ %�� ��(� �� !�� a�C� %�1 !��( <���E �" ����A( %�� ��(� $# %( %� ��� �" ���- %�� � �(� �� )�E�,I 2���^%( �� %�� ��(� �� *D�� a�C� F��6�5(:�( *�T %� M�5� �" � ����� $# %( Q�(�� %� �� � �� {���� %( %I�- �(
-
∞ξ
< ����A( %�� ��(� � F��6�5(:�( ��� Xqc *��
!� %4C� %( �� %4C� �� ��� O��� ���� ��( K∗ ����� !� %4C� K %� �� G�� K∗ � `C� �������� ��� O���+DX/��� M1��D ���(��( < /���� 1��D K′ *_" ������ $��1��
K ′ = fL(K) −→ K∗ + ΔK ′ = fL(K∗ + ΔK) = fL(K∗) +∂fL∂K∗
ΔK )689.
�� �
ΔK ′ = ALΔK, )690.
$#�� %�
AL :=∂fL∂K∗
. )691.
X��� �� �� AL K��-�" !�1����( �P�� � �1��C" �P�� $��- �" ���
AL|ui〉 = λi(L)|ui〉 )692.
X��� `�( �1 ����( �P�� �� 2���( �� ΔK′ � ΔK M���- �"
ΔK =∑
i
ci|ui〉 ΔK ′ =∑
i
c′i|ui〉 )693.
XM0� �" ��: %6�� %( (690. %4(�� �� �1 `�( �� $������9 �(
c′i = λi(L)ci )694.
2���^ �1 c′i � F��6�5(:�( :� *H9 �E�,I 2���^ �1 ci
-
��: %4(�� $��- �" �����( !� ��6�: !�E l��" � AL ���- :� ���,�0� �(
-
∞ξ
< F��6�5(:�( ��� �� /(�o %4C� X?c *��
�" ����A( ]40 %6���� � /(�o %4C� :� �" $���� T�( �5�� �
Z- %� ���1 ���1 $��1 �E�,I !�1 /(�o ��
-
= 〈eV 〉0′∑
{s}|{S}eH0) )702.
%4(�� :� $��- �" �f��^
-
H({s};K}
H({S}, K’}
s s s
S
s s s1 2 3
s s s1 2 3
SI
SI
4 5 6
II
< �1 i�@( ( Y�� M1�( �( ��t0� M��0 �� F��6�5(:�( Xuc *��
%@�I �1 %( %H�fB"�� ���� OB�I���: M�� N��� �� II � I !�1 i�@( ( Y�� M1�( ���� 〈VI,II〉0 %@�I %� /0� ����X M���� <���1
〈VI,II〉0(SI , SII) = K1〈s3s4〉0 = K1〈s3〉0〈s4〉0 )709.
-
�6�# :� �
〈s3s4〉0 =(
e2K1 + e−2K1
e2K1 + 2 + e−2K1)
)2SISJ )713.
X:� /0� O��HT �� F��6�5(:�( ����@"�1 %H-� ���- %� M0� �" %6�� �� %( {���� �� ���bE M1 �����(
H({S}) = const+K1(
e2K1 + e−2K1
e2K1 + 2 + e−2K1)
)2SISJ )714.
%( $# �E�,I 2��^ �5�- � /0� ����� �
Z- *�� �&� :� ����# �" ����@"�1 %H-� ���� %� /0���" �� %( %�X /0� ����6�5(:�( ��: O���
K1 −→ K ′1 = K1(
e2K1 + e−2K1
e2K1 + 2 + e−2K1)
)2)715.