鏡射撞球摘要 -...

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鏡射撞球

摘要

透過學習，我們理解到可結合鏡面反射與撞球，找出撞球台上從某一點「繞球台」

撞至另一點的碰撞點位置與碰撞的角度。我們將撞球檯變換不同圖形，並稍加修

改撞球規則，使得撞球檯不再只是死板的長方形，以提高理論的趣味性。我們針

對「繞球台」，將球依指定角度、指定出發點撞出，將其所產生的軌跡進行討論，

從三邊形探討到六邊形，從「有規律繞球台」探討到「無規律繞球台」，透過不

斷的畫圖、分析與推證，找出了兩圖形、兩角度所繪出軌跡相同的原因，也為非

長方形的撞球檯提供了很好的打法數據，更將不同形狀的球檯做出難易比較，提

高了理論的實用性。

壹、研究動機

在打撞球時，發現碰撞有一定的規律，我想知道其他圖形，是否也有相同的規律。

我很好奇為何撞球檯一定是長方形，而沒有其他形狀，我們以不同圖型去撞擊，

並運用理化鏡面反射原理來進行實驗。

貳、研究目的

一、觀察相鄰兩線段所夾的角

二、尋找各圖中軌跡所圍成三角形的總類(不斷重複的相似.多次全等的三角形)

三、觀察軌跡組成的特殊圖型(正三角形.直角三角形.等腰三角形.正方形……)

四、觀察撞擊 10 次以內進洞時的軌跡幾條

五、將相同出發點不同射出角度結果做比較

六、將相同圖形不同出發點結果做比較

七、證明(不同出發點以相同角度射出，其軌跡相同、固定出發點以不同角度射

出，兩軌跡相同)

參、研究過程

一、我們所要探討的所有的圖形軌跡

(一)三邊形

1. 正三角形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 15 度)

2. 正三角形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 30 度)

3. 正三角形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 45 度)

4. 直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)(A 點 15 度)

5. 直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)(A 點 30 度)

6. 直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)(A 點 45 度)

7. 直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)(A 點 60 度)

2

8. 直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)(A 點 75 度)

9. 直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)(B 點 15 度)

10. 直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)(B 點 30 度)

11. 直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)(B 點 45 度)

12. 直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)(C 點 15 度)

13. 等腰三角形(30：30：120) (A 點 15 度)

14. 等腰三角形(30：30：120) (E 點 15 度)

15. 等腰三角形(30：30：120) (E 點 30 度)

16. 等腰三角形(30：30：120) (E 點 45 度)

17. 等腰三角形(30：30：120) (E 點 60 度)

18. 等腰直角三角形(底：高)(1：1)(A 點 15 度)

19. 等腰直角三角形(底：高)(1：1)(A 點 30 度)

20. 等腰直角三角形(底：高)(1：1)(A 點 45 度)

21. 等腰直角三角形(底：高)(1：1)(A 點 60 度)

22. 等腰直角三角形(底：高)(1：1)(A 點 75 度)

23. 等腰直角三角形(底：高)(1：1)(B 點 15 度)

24. 等腰直角三角形(底：高)(1：1)(B 點 30 度)

25. 黃金三角形(底：高)(10：3.16)(A 點 15 度)

26. 黃金三角形(底：高)(10：3.16)(A 點 30 度)

27. 黃金三角形(底：高)(10：3.16)(36-36-108)(E 點 15 度)

28. 黃金三角形(底：高)(10：3.16)(36-36-108)(E 點 30 度)

29. 黃金三角形(底：高)(10：3.16)(36-36-108)(E 點 45 度)

30. 黃金三角形(底：高)(10：3.16)(36-36-108)(E 點 60 度)

31. 黃金三角形(底：高)(10：3.16)(36-36-108)(E 點 75 度)

32. 黃金三角形(底：高)(10：3.16)(36-36-108)(E 點 90 度)

33. 黃金三角形(底：高)(10：3.16)(36-36-108)(E 點 105 度)

34. 黃金三角形(底：高)(10：15.39)(72：72：36)(A 點 15 度)

35. 黃金三角形(底：高)(10：15.39)(72：72：36)(A 點 30 度)

36. 黃金三角形(底：高)(10：15.39)(72：72：36)(A 點 45 度)

37. 黃金三角形(底：高)(10：15.39)(72：72：36)(A 點 60 度)

38. 黃金三角形(底：高)(10：15.39)(72：72：36)(E 點 15 度)

39. 黃金三角形(底：高)(10：15.39)(72：72：36)(E 點 30 度)

(二)四邊形

1. 正方形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 15 度)

2. 正方形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 30 度)

3. 正方形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 45 度)

4. 正方形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 60 度)

5. 正方形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 75 度)

3

6. 長方形(長：寬)(1.6：1)(A 點 15 度)

7. 長方形(長：寬)(1.6：1)(A 點 30 度)

8. 長方形(長：寬)(1.6：1)(A 點 45 度)

9. 長方形(長：寬)(1.6：1)(A 點 60 度)

10. 長方形(長：寬)(1.6：1)(A 點 75 度)

11. 長方形(長：寬)(2：1)(D 點 15 度)

12. 長方形(長：寬)(2：1)(D 點 30 度)

13. 長方形(長：寬)(2：1)(D 點 45 度)

14. 長方形(長：寬)(2：1)(D 點 60 度)

15. 長方形(長：寬)(2：1)(D 點 75 度)

16. 長方形(長：寬)(4：3)(B 點 15 度)

17. 長方形(長：寬)(4：3)(B 點 30 度)

18. 長方形(長：寬)(4：3)(B 點 45 度)

19. 長方形(長：寬)(4：3)(B 點 60 度)

20. 長方形(長：寬)(4：3)(B 點 75 度)

21. 平行四邊形(底：高)(1：1)(A 點 15 度)

22. 平行四邊形(底：高)(1：1)(A 點 30 度)

23. 平行四邊形(底：高)(1：1)(B 點 15 度)

24. 平行四邊形(底：高)(1：1)(B 點 30 度)

25. 平行四邊形(底：高)(1：1)(B 點 45 度)

26. 平行四邊形(底：高)(1：1)(B 點 60 度)

27. 平行四邊形(底：高)(1：1)(B 點 75 度)

28. 平行四邊形(底：高)(1：1)(B 點 90 度)

29. 平行四邊形(底：高)(1：1)(B 點 105 度)

30. 平行四邊形(底：高)(1：1)(B 點 120 度)

31. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(A 點 15 度)

32. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(A 點 30 度)

33. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(A 點 45 度)

34. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(A 點 60 度)

35. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(A 點 75 度)

36. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(B 點 15 度)

37. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(B 點 30 度)

38. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(B 點 45 度)

39. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(B 點 60 度)

40. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(B 點 75 度)

41. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(C 點 15 度)

42. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(C 點 30 度)

43. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(C 點 45 度)

4

44. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(C 點 60 度)

45. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(C 點 75 度)

46. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(C 點 90 度)

47. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(C 點 105 度)

48. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(C 點 120 度)

49. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(D 點 15 度)

50. 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)(D 點 30 度)

(三)五邊形

1. 正五邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 15 度)

2. 正五邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 30 度)

3. 正五邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 45 度)

4. 正五邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 60 度)

5. 正五邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 75 度)

6. 正五邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 90 度)

7. 正五邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 105 度)

(四)六邊形

1. 正六邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 15 度)

2. 正六邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 30 度)

3. 正六邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 45 度)

4. 正六邊形(邊長：邊長)(1：1)(A 點 60 度)

二、備註

1、直角梯形:具有兩個直角的梯形

2、洞(以線段交點為圓心，洞的半徑為 0.5)

3、特殊的角度(15 度的倍數，從 15 度開始，至此角可包含之最大 15 度的倍數為

止)

4、球(半徑為 0.125)

5、撞擊(依照反射定律-入射角等於反射角，假設桌面光滑，無摩擦，可無限撞擊

直到進洞)

6、進洞(球的面積 1/2 若在洞內，則算進洞)

7、必須選定幾個出發點?是因圖而異，因為不同出發點的軌跡有時會重複，重複

的則省略不畫。有些圖型只需畫部分出發點的軌跡，即可表現出所有的軌跡，但

有些則必須全部畫出才可。

8、必須選定幾個特殊角度?是因圖而異，因為相同出發點兩不同角度的軌跡有時

會重複，重複的則省略不畫。有些圖型只需畫部分特殊角射出的軌跡，即可表現

出所有特殊角射出的軌跡，但有些則必須全部畫出才可。

5

三、過程

1.首先選定圖形，在每個角設置一個洞

2.選定一個角為出發點，令其中一邊為 0 度，以特殊的角度射出球，去撞擊正 n

邊形和其它圖形

3.畫出 10 條球行進的軌跡

4.觀察 10 次撞擊內球是否進洞

5.尋找各圖中軌跡所圍成三角形的總類(不斷重複的相似.多次全等的三角形)

6.觀察軌跡組成的特殊圖形(正三角形.直角三角形.等腰三角形.正方形……)

7.觀察相鄰兩線段所夾的角

8.列出表格，將相同出發點不同射出角度、相同圖形不同出發點所得的結果做比

較

四、繪圖示範:

以正方形為例，因正方形為線對稱圖形，故選定其中角 A 來當出發點即可表現

出不同出發點所形成的軌跡(可省略相同圖形不同出發點比較)，又因發現相同出

發點任兩互餘的角度所繪出的圖形都相同，故畫 15.30.45 度，即可表現出所有軌

跡(15 度同於 75 度 . 30 度同於 60 度)，而 0 度與 90 度沿著邊射到另一角即入洞

而省略不畫。

如圖

A 點 15 度

6

A 點 30 度

A 點 45 度

7

肆、研究結果

一、三角形

(一)正三角形(邊長：邊長)(1：1)

相鄰兩線段所夾

的角

形成三角形的種

類

預測進洞條數

A 點 15 度 30.90.150 (30-60-90)

A 點 30 度 (30-60-90) 2 條

A 點 45 度 30.60.90.150 (30-60-90)

A點15度

(二)等腰三角形(角度)(30-30-120)


的角


類

預測進洞條數

A 點 15 度 30.90 (30-30-120) 7 條

E 點 15 度 30.90.150 (30-30-120)

(15-45-120)

(45-60-75)

8

E 點 30 度 60 4 條

E 點 45 度 30.90.150 (60-60-60)

(30-60-90)

(30-30-120)

(45-60-75)

(15-75-90)

9 條

E 點 60 度 2 條

A點15度

E點15度

(三)直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)


的角


類

預測進洞條數

A 點 15 度 30.90.150 (30-60-90)

(60-60-60)

(30-30-120)

9

A 點 30 度 2 條

A 點 45 度 30.90.150 (30-60-90)

(30-30-120)

(60-60-60)

A 點 60 度 60 4 條

A 點 75 度 30.90.150 (30-30-120)

(60-60-60)

(30-60-90)

B 點 15 度 30.90.150 (30-30-120)

(30-60-90)

(60-60-60)

B 點 30 度 60 4 條

B 點 45 度 30.90.150 (30-30-120)

(30-60-90)

C 點 15 度 30.90.150 (30-60-90)

(30-30-120)

A 點 15 度

10

B 點 15 度

C 點 15 度

11

(四)等腰直角三角形(45-45-90)


的角


類

預測進洞條數

A 點 15 度 30.60.120.150 (30-60-90)

A 點 30 度 30.60.120.150 (30-60-90)

A 點 45 度 (45-45-90)

A 點 60 度 30.60.120.150 (30-60-90)

A 點 75 度 30.90 (30-60-90) 8 條

B 點 15 度 30.60.120.150 (30-60-90)

B 點 30 度 30.60.120 (30-60-90)

A 點 15 度

12

B 點 15 度

(五)黃金三角形(底：高)(10：3.16)/(角度)(36：36：108)

相鄰兩線段所夾的角形成三角形的種類預測進洞條數

A 點 15 度 6.66.78.138.150 (6-51-123)

(21-36-123)

(21-66-93)

A 點 30 度 24.48 (24-48-108) 5 條

E 點 15 度 6.66.78.138.150 (6-51-123)

E 點 30 度 24.48.96. (24-42-114)

E 點 45 度 18.54 (18-54-108) 4 條

E 點 60 度 12.60.84.132.156 (12-48-120)

E 點 75 度 30.42.102.120 (30-42-108)

(33-72-75)

(39-69-72)

(30-39-111)

(33-42-105)

E 點 90 度 72 4 條

E 點 105 度 102 2 條

13

A 點 15 度

E 點 15 度

(六)黃金三角形(底：高)(10：15.39)/ (角度)(72：72：36)

相鄰兩線段所夾的

角

形成三角形的種類預測進洞條數

A 點 15 度 6.138.150 (6-36-138)

(6-15-159)

(15-21-144)

A 點 30 度 24.48.96.120 (30-42-108)

(24-36-120)

(36-66-78)

(30-138-12)

(12-66-102)

(12-24-144)

(24-48-108)

14

A 點 45 度 18.54.90.126 (18-72-90)

(18-45-117)

(18-63-99)

(18-36-126)

(9-27-144)

A 點 60 度 12.60.84.132.156 (12-24-144)

(12-60-108)

(24-72-84)

(12-36-132)

(36-72-72)

(12-72-96)

(12-48-120)

7 條

E 點 15 度 6.66.78.138.150 (6-36-138)

(12-24-144)

(36-66-78)

(15-21-144)

(30-72-78)

(21-66-93)

(21-72-87)

E 點 30 度 24.48.96.120 (30-42-108)(66-36-78)

(12-66-102)

(36-36-108)

(24-42-114)

15

A 點 15 度

16

E 點 15 度

17

二、四邊形

(一)正方形

大綱:

1.邊長皆為 10

2. 每角設定一邊為 0 度.一邊為 90 度

3.由於每邊邊長相同.每角角度相同，故從任一角射出軌跡皆相同

4.固定從角 A(90 度)射出，發現任兩互餘的角度所繪出的圖形都相同，

故畫 15.30.45 度，即可表現出所有軌跡(15 度同於 75 度 . 30 度同於 60 度)

5. 0 度與 90 度沿著邊射到另一角即入洞


的角


類

預測進洞條數

A 點 15 度 30.50 (75-75-30)

(90-75-15)

A 點 30 度 60.120 (30-60-90)

(60-60-60)

(30-30-120)

(45-45-90)

估計第 11 條進洞

A 點 45 度 45.90 (45-45-90) 第 1 條進洞

A 點 60 度 60.120 (30-60-90)

(60-60-60)

(30-30-120)


A 點 75 度 30.50 (75-75-30)

(90-75-15)

角度軌跡敘述:

1、15 度

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角僅出現兩種角度，分別是 30 度和 150 度

有兩種三角形(75-75-30)(90-75-15)

10 條軌跡內未進洞

2、30 度


有三種三角形(30-60-90)(60-60-60)(30-30-120)

10 條軌跡內未進洞，估計進洞條數:第 11 條進洞

3、45 度

直接射入對角內，軌跡如同對角線

以角 BAD 的角平分線延伸，直接射入角 BCD，同時為角 BCD 的角平分線

有一種三角形(45-45-90)

第 1 條就進洞

18

正方形 A 點 15 度

19

(二)長方形

大綱:

1.有三組長方形邊長分別為(3:4) (1:2) (1:1.6)

2.由於圖型為線對稱圖形，故從任一角射出軌跡皆相同

3.每角設定一邊為 0 度.一邊為 90 度

4. 0 度與 90 度角的軌跡沿著邊射到另一角即入洞，故不畫出軌跡

長方形邊長(3:4)

大綱: 固定從角 B(90 度)射出，發現沒有相同軌跡的兩個角度，

故畫 15.30.45.60.75 度，才可表現出所有軌跡


的角


類

預測進洞條數

B 點 15 度 30.150 (75-75-30)

(90-75-15)

B 點 30 度 60.120 (30-30-120)

(60-60-60)

(30-60-90)

B 點 45 度 90 (45-45-90) 第 6 條進洞

B 點 60 度 60.120 (30-30-120)

(60-60-60)

(30-60-90)

第 10 條進洞

B 點 75 度 30.150 (75-75-30)

(90-75-15)

第 5 條進洞

角度軌跡敘述:

1、15 度


有兩種三角形(75-75-30)(90-75-15)


2、30 度


有三種三角形(30-30-120)(60-60-60)(30-60-90)


3、45 度

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角僅出現一種角度，為 90 度，線段皆垂直

有一種三角形(45-45-90)

軌跡組成三個正方形

軌跡圖形為線對稱洞形，對稱軸將長方型平分

第六條軌跡進洞

20

4、60 度


有三種三角形(60-60-60)(30-30-120)(30-60-90)

軌跡組成多個平行四邊形

第十條軌跡進洞

5、75 度

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角僅出現一種角度，為 30 度

有兩種三角形(30-75-75)(15-75 -90)

第五條軌跡進洞

長方形邊長(3:4) B 點 15 度

21

長方形邊長(1:2)(正常撞球檯的比例)

大綱:固定從角 D(90 度)射出，發現沒有相同軌跡的兩個角度，故畫 15.30.45.60.75

度，才可表現出所有軌跡


的角


類

預測進洞條數

D 點 15 度 30.150 (15-75-90)

(30-75-75)

(15-15-150)

D 點 30 度 60.120 (30-30-120)

(60-60-60)

(30-60-90)

D 點 45 度 90 (45-45-90) 第 2 條進洞

D 點 60 度 60.120 (60-60-60)

(30-30-120)

(30-60-90)

第 9 條進洞

D 點 75 度 30.150 (15-75-90)

(30-75-75)


角度軌跡敘述:

1、15 度


有三種三角形(15-75-90)(30-75-75)(15-15-150)


2、30 度


有三種三角形(30-30-120)(60-60-60)(30-60-90)


3、45 度

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角僅出現一種角度，為 90 度，線段垂直

有一種三角形(45-45-90)

軌跡與邊組成一個三角形

軌跡圖形為線對稱洞形，對稱軸將三角型平分

第二條軌跡進洞

4、60 度


有三種三角形(60-60-60)(30-30-120)(30-60-90)

第九條軌跡進洞

22

5、75 度


有兩種三角形(15-75-90)(30-75-75)

10 條軌跡內未進洞，估計進洞條數:17 條(觀察長度)

長方形邊長(1:2) D 點 15 度

長方形邊長(1:1.6) (黃金矩形)

大綱:固定從角 A(90 度)射出，發現沒有相同軌跡的兩個角度，故畫 15.30.45.60.75

度，才可表現出所有軌跡


A 點 15 度 30.150 (15-75-90)

(30-75-75)

(15-15-150)

第 9 條進洞

A 點 30 度 60.120 (60-60-60)

(30-30-120)

(30-60-90)

A 點 45 度 90 (45-45-90)

A 點 60 度 60.120 (60-60-60)

(30-30-120)

(30-60-90)

A 點 75 度 30.150 (15-75-90)

(30-75-75)

第 6 條進洞

23

角度軌跡敘述:

1、15 度


有三種三角形(15-75-90)(30-75-75)(15-15-150)

以 15 度射出，進洞時也以 15 度射入

第九條軌跡進洞

2、30 度


有三種三角形(60-60-60)(30-30-120)(30-60-90)


3、45 度

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角僅出現一種角度，為 90 度，線段垂直

有一種三角形(45-45-90)


4、60 度


有三種三角形(60-60-60)(30-30-120)(30-60-90)


5、75 度

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角僅出現一種角度，為 30 度

有兩種三角形(15-75-90)(30-75-75)

第六條軌跡進洞

長方形邊長(1:1.6) A 點 15 度

24

(三)平行四邊形

大綱:

1. (底：高)(1：1)

2. 由於對邊邊長相同.對角角度相同，故從兩對角中任一角射出軌跡皆相同，畫

A 點與 B 點，即可表示 C 點跟 D 點，(A-C)(B-D)為對角

3. 固定從角 A(45 度)射出，發現沒有相同軌跡的兩個角度，

故畫 15.30 度，才可表現出所有軌跡

4. 固定從角 B(135 度)射出，發現沒有相同軌跡的兩個角度，

故畫 15.30.45.60.75.90.105.120 度，才可表現出所有軌跡

5. A 點 0 度與 45 度角的軌跡沿著邊射到另一角即入洞

6. B 點 0 度與 135 度角的軌跡沿著邊射到另一角即入洞

平行四邊形(底：高)(1：1)


A 點 15 度 30.60.120 (15-30-135)

(30-30-120)

(60-60-60)

(45-60-75)

(15-75-90)

(30-60-90)

A 點 30 度 30.60.120.150 (30-45-105)

(30-30-120)

(45-60-75)

(30-60-90)

(15-75-90)

(15-60-105)、

(15-30-135)

(15-15-150)

(15-45-120)

B 點 15 度 30.60.120.150

B 點 30 度 30.60 估計第 12 條進洞

B 點 45 度 90 (45-45-90) 第 4 條進洞

B 點 60 度 30.60 (30-75-75) 估計第 11 條進洞

B 點 75 度 30.60.120.150 (30-75-75)

B 點 90 度 (45-45-90) 第 1 條進洞

B 點 105 度 30.60.120. (30-60-90)

B 點 120 度 30.60.120.150

25

角度軌跡敘述:

(一)A 點

1、(A 點 15 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現三種角度，分別是 30.60 度和 120 度

有六種三角形(15-30-135)(30-30-120)(60-60-60)(45-60-75)(15-75-90)(30-60-90)


2、(A 點 30 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現四種角度，分別是 30.60.120 度和 150

度

有九種三角形(30-45-105) (30-30-120)(45-60-75) (30-60-90) (15-75-90)(15-60-105)

(15-30-135)(15-15-150)(15-45-120)


------------------------

(二)B 點

1、(B 點 15 度)


度


2、 (B 點 30 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現兩種角度，分別是 30 度和 60 度

10 條軌跡內未進洞，估計進洞條數:第 12 條軌跡進洞

3、(B 點 45 度)

以 45 度角射向對邊，軌跡與對邊呈 90 度，直接以相同軌跡射回 B 洞

有一三角形(45-45-90)

第二條軌跡即進洞

4、(B 點 60 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現兩種角度，分別是 30.60 度

有一三角形(30-75-75)

10 條軌跡內未進洞，估計進洞條數:第 11 條進洞

規律:(角度為 30-75-75 的等腰三角形底邊長為 3.79，而第 11 條軌跡要進洞，底的

長度必須在 3.66~4.16 之間，而 3.79 恰在此範圍內)

5、(B 點 75 度)


度

圖中有一正三角形


26

6、(B 點 90 度)

軌跡 90 度直接射入對角角 D

有一三角形(45-45-90)

第一條軌跡即進洞

7、(B 點 105 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現三種角度，分別是 30.60.120 度

有一三角形(30-60-90)


8.(B 點 120 度)


度


平行四邊形 (底：高)(1：1) A 點 15 度

27

平行四邊形 (底：高)(1：1) B 點 15 度

28

(四)直角梯形

大綱:直角梯形的定義即是有兩角為直角的梯形

1. (上底：下底：高)(1：2：1)

2. 圖型有兩直角，分別為角 A.角 B

由於沒有相同軌跡的圖形，故從任一角射出軌跡皆不相同，須 A 點.B 點. C 點跟

D 點都畫，才可表示全部軌跡

3. 固定從角 A(90 度)射出，發現沒有相同軌跡的兩個角度，


4. 固定從角 B(90 度)射出，發現沒有相同軌跡的兩個角度，


5.固定從角 C(135 度)射出，發現沒有相同軌跡的兩個角度，

故畫 15.30.45.60.75.90.105.120 度，才可表現出所有軌跡

6.固定從角 D(45 度)射出，發現沒有相同軌跡的兩個角度，

故畫 15.30 度，才可表現出所有軌跡

7. A 點 0 度與 90 度角的軌跡沿著邊射到另一角即入洞

8. B 點 0 度與 90 度角的軌跡沿著邊射到另一角即入洞

9. C 點 0 度與 135 度角的軌跡沿著邊射到另一角即入洞

10. D 點 0 度與 45 度角的軌跡沿著邊射到另一角即入洞

直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)

相鄰兩線段所

夾的角

形成三角形的

種類

預測進洞條數備註

A 點 15 度 30.60.75.120.15

0

A 點 30 度 30.60.120 (60-60-60)

(30-60-90)

A 點 45 度 (45-45-90) 第 1 條進洞軌跡和 C 點 45

度相同 A 點 60 度 30.60.120 (60-60-60)

(30-60-90)

第 9 條進洞軌跡和 B 點 60

度相同

A 點 75 度 30.60.150 (60-60-60)

(30-30-120)

B 點 15 度 30.60.120.150 (30-30-120)

B 點 30 度 30.60.120.150 (30-30-120) 第 10 條進洞

B 點 45 度 90 (45-45-90) 第 4 條進洞

B 點 60 度 30.60.120 (60-60-60)

(30-60-90)

第 9 條進洞軌跡和 A 點 60

度相同

29

B 點 75 度 30.60.120.150 (30-75-75)

C 點 15 度 30.60.90.120.15

0

C 點 30 度 30.60.120 (30-60-90)

C 點 45 度 (45-45-90) 第 1 條進洞軌跡和 C 點 45

度相同

C 點 60 度 30.60.120 (30-60-90)

C 點 75 度 30.60.150 (30-60-150)

C 點 90 度 90 (45-45-90) 第 2 條進洞

C 點 105 度 30.90 (30-30-120)

C 點 120 度 30.60.120.

150

(30-60-90) 估計第 11條進

洞

D 點 15 度 30.60.150 (30-75-75)

D 點 30 度 30.60.120.

150

(30-60-90)

角度軌跡敘述:

(一)A 點

1、(A 點 15 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現五種角度，分別是 30.60.75.120 度和 150

度


2、(A 點 30 度)


圖中有三個正三角形


3、(A 點 45 度)

軌跡 45 度直接射入對角 C 內

圖中有一(45-45-90)三角形

第一條軌跡進洞，軌跡和(C 點 45 度)相同

4、(A 點 60 度)


圖中有三正三角形.和一(30-60-90)三角形

第九條軌跡進洞，軌跡和(B 點 60 度)相同

5、(A 點 75 度)


圖中有一正三角形.和一(30-75-75)三角形


------------------

30

(二)B 點

1、(B 點 15 度)


度

圖中有一(30-30-120)三角形

10 條軌跡內未進洞，

2、(B 點 30 度)


度

圖中有一(30-30-120)三角形

第 10 條軌跡進洞

3、(B 點 45 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現一種角度，90 度


以 45 度射出，軌跡射向對邊，經兩次反彈後，依原路徑射回 B 洞


4、(B 點 60 度)


圖中有三正三角形.和一 (30-60-90)三角形

第九條軌跡進洞，軌跡和(A 點 60 度)相同

5、(B 點 75 度)


度

圖中有一種(30-75-75)全等三角形


------------------

(三)C 點

1、(C 點 15 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現五種角度，分別是 30.60.90.120 度和 150

度


2、(C 點 30 度)




31

3、(C 點 45 度)

軌跡 45 度直接射入對角 C 內


第一條軌跡進洞，軌跡和(A 點 45 度)相同

4、(C 點 60 度)




5、(C 點 75 度)



6、(C 點 90 度)

軌跡往下射，與對邊呈 90 度，反射角 0 度，以相同軌跡射回 C 洞



7、(C 點 105 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現兩種角度，分別是 30.90 度

圖中有一(30-30-120)三角形


8、(C 點 120 度)


度



--------------------

(四)D 點

1、(D 點 15 度)




2、(D 點 30 度)


度



32

直角梯形 (上底：下底：高)(1：2：1) A 點 15 度

直角梯形 (上底：下底：高)(1：2：1) B 點 15 度

33

直角梯形 (上底：下底：高)(1：2：1) C 點 15 度

直角梯形 (上底：下底：高)(1：2：1) D 點 15 度

34

(三)五邊形

大綱:

1.邊長皆為 12


3.由於每邊邊長相同.每角角度相同，為對稱圖形，故從任一角射出軌跡皆相同

4.固定從角 A(108 度)射出，發現任何角度所繪出的圖形都不相同，

故畫 15.30.45.60.75.90.105 度，才可表現出所有軌跡

5. 0 度沿著邊射到另一角即入洞

正五邊形 (邊長：邊長) (1：1)


的角


類

預測進洞條數

A 點 15 度 6.66.78.138 (6-66-108)

(51-57-72)

(6-72-102)

(6-51-123)

A 點 30 度 96.120 (12-72-96) 6 條

A 點 45 度 16.18.19.54.56.160 (18-54-108)

(19-72-89)

(53-54-73)

(19-71-90)

(53-56-71)

(17-71-92)

A 點 60 度 12.60.84.132 (12-60-108)

(48-60-72)

(12-36-132)

(12-72-96)

(24-60-96)

(24-12-144)

(36-36-108)

(24-48-108)

11 條

A 點 75 度 102.114. (6-33-141)

(6-72-102)

(6-66-108)

(33-39-108)

A 點 90 度 72 4 條

A 點 105 度 30.42.

(30-42-108)

(42-66-72)

(30-72-78)

35

(36-72-72)

(36-42-102)

(36-69-75)

(36-66-78)

角度軌跡敘述:

1、(A 點 15 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現的角度: 6.66.78.138

出現的三角形: (6-66-108)(51-57-72)(6-72-102)(6-51-123)


2、(A 點 30 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現的角度: 96.120

出現的三角形: (12-72-96)


3、(A 點 45 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現的角度: 16.18.19.54.56.160

出現的三角形:(18-54-108)(19-72-89)(53-54-73)(19-71-90)(53-56-71) (17-71-92)


4、(A 點 60 度)


出現的三角形: (12-60-108)(48-60-72)(12-36-132)(12-72-96)(24-60-96) (24-12-144)

(36-36-108) (24-48-108)


5、 (A 點 75 度)


出現的三角形: (6-33-141)(6-72-102)(6-66-108)(33-39-108)


6、(A 點 90 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現的角度: 72


7、(A 點 105 度)


出現的三角形: (30-42-108)(42-66-72)(30-72-78)(36-72-72)(36-42-102)

(36-69-75)(36-66-78)


36

正五邊形 (邊長：邊長) (1：1)A 點 15 度

(四)六邊形

大綱:

1.邊長皆為 10


3.由於每邊邊長相同.每角角度相同，為對稱圖形，故從任一角射出軌跡皆相同

4.固定從角 A(120 度)射出，發現任兩相加為 120 度的角度所繪出的圖形相同，

故畫 15.30.45.60 度，即可表現出所有軌跡(15 度同於 105 度 . 30 度同於 90 度.45

度等於 75 度)

5. 0 度沿著邊射到另一角即入洞

37

正六邊形(邊長：邊長)(1：1)


的角


類

預測進洞條數

A 點 15 度 30.75.90.150 (30-60-90)

(30-75-75)

A 點 30 度第一條進洞

A 點 45 度 30.90.150 (30-30-120)

(30-45-105)

(30-60-90)

A 點 60 度第一條進洞

角度軌跡敘述:

1、(A 點 15 度)


出現的三角形: (30-60-90) (30-75-75)


2、(A 點 30 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現的角度:無

第一條軌跡進洞

3、(A 點 45 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現的角度: 30.90.150

出現的三角形: (30-30-120) (30-45-105) (30-60-90)


4、(A 點 60 度)

在十條線段內，相鄰兩線段所夾的角出現的角度:無

第一條軌跡進洞

38

正六邊形(邊長：邊長)(1：1)A 點 15 度

39

伍、研究結論

一、不同出發點以相同角度射出，其軌跡相同:可只畫部分出發點的軌跡，即可

表現出所有的軌跡。

總結:

1. 全部出發點以相同角度射出其軌跡皆相同的原因:

(1)多條對稱軸左右對稱，對稱軸左右射出之角度軌跡也對稱相等(正 n 邊形)

(2)經由多次畫圖與推證得知，必須最少同時滿足此圖形的全部角度皆相同(邊長

不一定要等長)，與此圖形具有兩條以上(上下與左右皆對稱)的對稱軸兩個條件才

可。(長方形)*(將正六邊形的對邊同時加長，但角度不變的六邊形)

2.三角形其中 2 個出發點以相同角度射出其軌跡相同，但另 1 點以相同角度射出

的軌跡則與其它的不同的原因:

(1)只有 1 條對稱軸，對稱軸左右射出之角度軌跡對稱相等(等腰三角形)

(2)也就是兩底角以相同角度射出其軌跡相同，但由頂角以相同角度射出的軌跡則

與其它的不同

3.四邊形其中 2 個出發點以相同角度射出其軌跡相同，另 2 個出發點以相同角度

射出其軌跡相同(兩兩相同)的原因:

(1)只有 1 條對稱軸，對稱軸左右射出之角度軌跡對稱相等(等腰梯形)

(2)例外:但有些圖找不到對稱軸，則此時必須將一半軌跡及圖形翻轉才會相同(平

行四邊形)

4.全部出發點以相同角度射出其軌跡皆不同的原因:

(1)找不到對稱軸(直角梯形)

(2)邊長及角度皆不相同/直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)/

(3)與 1.、2.、3.所敘述條件不吻合者

(一)三角形:

1、3 個出發點以相同角度射出其軌跡皆相同:

(1)正三角形

2、其中 2 個出發點以相同角度射出其軌跡相同，但另 1 點以相同角度射出的軌

跡則與其它的不同:

(1)等腰三角形(角度)(30-30-120)

(2)等腰直角三角形(45-45-90)

(3)黃金三角形(36-36-108)

(4)黃金三角形(72-72-36)

3、3 個出發點以相同角度射出其軌跡皆不同:

(1) 直角三角形(勾：股：弦)(1：根號 3：2)(30-60-90)

40

(二)四邊形


(1)正方形

(2)長方形(長：寬)(1.6：1)

(3)長方形(長：寬)(2：1)

(4)長方形(長：寬)(4：3)

2、其中 2 個出發點以相同角度射出其軌跡相同，另 2 個出發點以相同角度射出

其軌跡相同(兩兩相同):

(1) 平行四邊形

3、4 個出發點以相同角度射出其軌跡皆不同:

(1) 直角梯形(上底：下底：高)(1：2：1)

(三)五邊形


(1)正五邊形

(四)六邊形


(1)正六邊形

二、固定出發點以兩不同特殊角度(15 的倍數)射出，兩軌跡相同:可只需畫部分特

殊角射出的軌跡，即可表現出所有特殊角射出的軌跡

(一)僅適用於正n邊形

(二)設此角為a度，則此兩角度相加須為a度(但因預設特殊度數為15度的倍數，如

果a不為15度的倍數，兩15度的倍數角度相加無法等於a，則無法顯示此性質)

(三)此正 n 邊形角度 a 度，必為 15 度的倍數

三、不論撞球檯形狀如何，球的反射均遵守反射定律，故撞球桌並不一定要為長

方形。

四、但因長方形，每個角度均為 90 度，上下左右均對稱，在預測球的行進軌跡

時較為容易。

五、若想要降低撞球的的難度，我建議改用正 n 邊形球台，因為它不但邊長一樣，

角度相同，對稱軸較多，減少了不同位置間的繁雜變因，所以預測球的軌跡，相

較之下較為容易(正 n 邊形的 n 越大，洞就越多，進洞也就更為容易)。

41

六、相反的，若要提高撞球的難度，依我的觀察，應將球台的每個邊長及角度

彼此間的差異加大，且必須降低對稱軸的條數，我建議改用三角形球台，由於

洞少，進洞較為困難，且須不等腰，如此可降低對稱軸條數，並懸用狹長型三

角形，如此可增加每個邊長及角度彼此間的差異。

七、就我觀察所畫的圖形而言，最容易進洞的圖形為正 6 邊形，由於它不但邊

長一樣，角度相同，洞最多，對稱軸也最多(多達 6 條)，減少了不同位置間的

繁雜變因，所以預測球的軌跡，相較之下最為容易。

陸、參考資料

一、 http://www.mathland.idv.tw/contest/mathprize/873/873.htm

二、 http://science.ntsec.edu.tw/ezfiles/4/1004/attach/23/pta_11176_6032433_55888.

pdf

三、 http://science.ntsec.edu.tw/ezfiles/4/1004/attach/13/pta_9522_8123361_73394.p

df

四、 http://163.20.15.7/math/mathstudy/86.htm

五、 http://www.mathland.idv.tw/life/gball/gball1.htm

六、 http://science.ntsec.edu.tw/ezfiles/4/1004/attach/40/pta_9927_2405125_75194.p

df

七、研究省思

在後續研究時，我會將遊戲規則改成真實撞球規則，以更加提高理論實用性。

也加圖形更多元化，並去討論圖型間的關係(例如:直角三角形與矩形的關係、正

三角形與正六邊形的關係)，觀察軌跡是否因圖形間的組成與被組成的關係，而

有任何的關聯性，或許在未來的某一天，將會有比現今撞球更具邏輯性、思考性

與挑戰性的鏡面反射遊戲出現！

鏡射撞球 摘要 -...

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