ec2_m2p_coab_multon_2012

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Laboratoire Matriaux et Durabilit des Constructions

INSA - Universit Paul Sabatier - Toulouse - France135, Avenue de Rangueil 31077 Toulouse Cedex 4 France

BETON ARMEEurocode 2

S. Multon

Centre Gnie Civil

PLAN1. Gnralits et principe des vrifications2. Association Acier - Bton3. Traction Simple4. Compression Simple 5. Flexion Simple6. Effort tranchant7. Poutres en T8. Poutres continues9. Dalles10. Mthodes des bielles et des tirants (semelle

superficielle, poutre voile, console)11. Flexion Compose12. Flche

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Bibliographie

- Thorie et pratique du bton arm aux tats limites , M. Albigs et M. Mingasson, Eyrolles.- Pratique du BAEL 91, J. Perchat, J. Roux, Ed. Eyrolles- Prcis : Structures de Gnie-Civil (projets, dimensionnements, normalisation), D. Didier, M. Le Brazidec, P. Nataf, R. Pralat, G. Simon, J. Thiesset, Ed. Nathan.- Bton Arm : Guide de calcul, H. Renaud, J. Lamirault, Ed. Foucher.- Bton Arm, J-P. Mougin, Eyrolles.- Bton arm aux tats limites selon ladditif du BAEL 91, J. Ouin, EL Educalivre.

- Cours de Bton Arm de B. Capra, universit de Marne la Valle,- Cours de J-L. Clment, ENS de Cachan,- Cours du CNAM de M. Lorrain et D. Morin.

Bibliographie

- Bton arm BAEL et Eurocode 2., J. Perchat, Techniques de lIngnieur.- Pratique de lEurocode 2, J. Roux, Eyrolles- Matrise de lEurocode 2, J. Roux, Eyrolles- Bton arm Thorie et applications selon lEurocode 2, J-L. Granju, Eyrolles- Calcul des structures en bton, Eurocode 2, J-M. Paill, Eyrolles- Applications de lEurocode 2 : calcul des btiments en bton, J-A. Calgaro, J. Cortade, Presses de lcole nationale des Ponts et chausses.- Construction et calculs des structures de btiment, Tomes 3 et 7, H. Thonier, Presses de lcole nationale des Ponts et chausses.- Dimensionnement des constructions selon lEurocode 2 laide des modles Bielles et Tirants, J-L. Bosc, Presses de lcole nationale des Ponts et chausses.

- Travail de fin dtude ESTP : Document dapplication pratique de lEurocode 2, A. Delafond, Tuteur : J-L. Sellier (SOCOTEC)

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Juin 2012 Bton Arm - S. Multon 5

EUROCODE 2

Gnralits et principe des vrifications

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PLAN1. Prsentation des Eurocodes2. Principe des justifications3. Actions et sollicitations4. Matriaux 5. Hypothses de calcul ELU-ELS6. Classes dexposition et enrobage

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1. Les Eurocodes

Objectifs :- favoriser le dveloppement du march unique

europen pour les produits et les services dingnierie (suppression des obstacles dus des pratiques nationales codifies diffrentes)

- amliorer la comptitivit de lindustrie europenne

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1. Les Eurocodes

10 textes :EN 1990 : Bases de calcul des structuresEN 1991 : Actions sur les structures (EC1)EN 1992 : Structures en bton (EC2)EN 1993 : Structures en acier (EC3)EN 1994 : Structures mixtes acier-bton (EC4)EN 1995 : Structures en bois (EC5)EN 1996 : Structures en maonnerie (EC6)EN 1997 : Calcul gotechnique (EC7)EN 1998 : Rsistance au sisme (EC8)EN 1999 : Structures en aluminium (EC9)

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2. Principe des justifications Calcul aux tats Limites (EL) tat Limite : tat dune structure au-del

duquel sa fonction nest plus remplie.

2 types :tat Limite de Service (ELS)tat Limite Ultime (ELU)

10

ELS : lis aux conditions normales dexploitation, et de durabilit en service

Dformations Vibrations Fissuration (corrosion)

Critres de calcul :

Vrification de contraintes admissibles et douverture de fissures

Comportement linaire des matriaux (lasticit) avec des charges non pondres

2. Principe des justifications

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ELU : Capacit portante, scurit des biens et des personnes

Perte dquilibre statique Rupture des sections Instabilit de formes

Critres de calcul :

Vrification de dformations admissibles

Comportement non linaire des matriaux avec des charges pondres


12

Paramtres influenant la scurit : matriaux : incertitude sur la valeur des rsistances

(htrognit, dispersion) charges : valeurs des actions sexerant sur

louvrage, simultanit des diffrentes actions. modles de calcul : calcul RdM en lasticit

=> comportement rel diffrent du comportement modlis

Mthode de calcul (aux EL) semi-probabiliste avec coefficients partiels de scurit


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Actions FF : Action applique la structure

- actions permanentes reprsentes par une valeur caractristique Gk (variabilit souvent faible reprsentation par valeur moyenne)

- actions variables Qk reprsentes par une des 3 valeurs reprsentatives : la valeur de combinaison : 0 Qk, la valeur frquente 1 Qk et la valeur quasi frquente 2 Qk


14

RsistancesR : Rsistances des matriaux (fe, fcj, ftj)

RRk

N

R

5 %


rsistance caractristique dfini par un fractile de 5% (prconis par lEC0)

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Valeurs de calcul


Valeur de calcul des actions :

Valeur de calcul des rsistances : Rd = Rk / R

Fd = F.Fk

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Vrifications : la valeur de calcul de leffet des actions doit tre infrieure la valeur de calcul de la rsistance correspondante

( )

b

tj

b

cj

S

ediiifffRFEd ,,.


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3. Actions

Dfinitions des actions dans les btiments EN 1991 Partie 1Partie 1-1 : actions permanentes G, exploitation QPartie 1-2 : actions sur les structures exposes au feuPartie 1-3 : charges de neigePartie 1-4 : actions du ventPartie 1-5 : actions thermiquesPartie 1-6 : actions en cours de constructionPartie 1-7 : actions accidentelles

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3. ActionsActions permanentes G (NF-EN 1991-1-1) : intensits faiblement variables (poids propre, poids des superstructures, pousse des terres...) Annexe A EC1-1.

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3. Actions

Charges dexploitation des btiments Q (NF-EN 1991-1-1, 6.3) : prend en compte lusage normal, des objets mobiles, des vhicules, des vnements rares prvus (concentration de personnes, empilage de mobilier)

La charge concentre Qk doit tre considre comme agissant en un point quelconque du plancher, du balcon ou des escaliers, sur une surface de forme adapte (valeur recommande : aire carre de 50 mm de ct), en fonction de l'usage et du type de plancher et gnralement non cumulable avec la charge rpartie.

Les surfaces charges doivent tre calcules en utilisant les valeurs caractristiques qk (charge uniformment rpartie) et Qk (charge concentre).

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Charges courantes pour les planchers, aires de stockage et aires de circulation, en fonction de diffrentes catgories :

Nature des locaux Catgorie de la surface qk (kN/m) Qk (kN)

Habitation A

Planchers 1,5 2

Escaliers 2,5 2

Balcons 3,5 2

Bureaux B 2,5 4

Lieux de runion

C1 Espaces avec tables (coles, cafs) 2,5 3C2 Espaces avec siges fixes 4 4

C3 Espaces sans obstacles la circulation des personnes

4 4

C4 Espaces avec activits physiques 5 7

C5 Espaces avec foules importantes 5 4,5

CommercesD1 Commerces de dtail 5 5

D2 Grands magasins 5 7

3. Actions

cf. EC1-1 article 6.3 et AN pour complments

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aires de stockage (E) et garage (F et G)Nature Catgorie de la surface qk(kN/m)

Qk(kN)

Aire de stockage E1Surfaces susceptibles de revoir une accumulation de marchandise, y compris aires daccs

7,5 7

Aire de circulation et de stationnement pour vhicules lgers

F PTAC < 30 kN, nb de places assises < 8 2,25 15

Aire de circulation et de stationnement pour vhicules de poids moyen

G 30 kN < PTAC < 160 kN 2 essieux 5 90

3. Actions

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Sur les toitures

Nature Catgorie de la surface qk(kN/m)Qk(kN)

Toitures inaccessibles sauf pour entretien de rparations courants H

Toitures de pente < 15% recevant une tanchit

0,8 1,5

Autres 0 1,5

Toitures accessibles pour les usages A D I Valeurs en fonction de leur usage

Terrasses accessibles pour usages particuliers K Valeurs en fonction de leur usage

Pour la catgorie K, on considre que la charge rpartie sapplique sur une surface de 10 m.

3. Actions

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Coefficients de rduction horizontale A pour planchers et toitures (EC1 6.3.1.2 et AN) :

175 0

0 += AA

A 177,0 0 += AA

A

EC1 (expressions recommandes)

ANF

A0 = 10 m A0 = 3,5 m

3. Actions

0 : coefficient de combinaison des actions variables

Surface de catgories A, B, C3, D1 et FSurface de catgories A E

24

Coefficients de rduction verticale n pour poteaux et murs (EC1 6.3.1.2 et AN) : ce coefficient sapplique toute la charge des niveaux situs au-dessus, n est le nombre dtage (>2) au-dessus des lments structuraux chargs et de la mme catgorie

( ) 122 0 +=n

nnn

nn

36,15,0 +=

EC1 (expressions recommandes)

ANF

nn

8,07,0 +=

3. Actions

Surface de catgorie A

Surface de catgorie B et F

Surface de catgories A D

EC1 3.3.2(2) : Lorsque la charge d'exploitation est considre comme une action d'accompagnement, un seul des deux facteurs et n doit tre appliqu.

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Combinaison daction lELU de rsistance

G = 1,35 si G dfavorable 1 si favorableQ,1 = 1,5 (charge dominante et charge daccompagnement)

>

++1

ik,i0,1,k,11,k Q. Q G i

QQG

3. Actions

26

>

++1

ik,i2,k,11,1k Q Q Gi

Combinaisons daction lELS

>

++1

ik,i0,k,1k Q Q Gi

caractristique :

frquente :

quasi permanente :

+1

ik,i2,k Q Gi

(valeur frquentes : 0 = 0,7 1111 = 0,5 = 0,5 = 0,5 = 0,5 2222 = 0,3= 0,3= 0,3= 0,3 vrifier au cas par cas dans lEC0)

3. Actions

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EC2 retient 3 types dacier : Classe A : acier ductilit normale uk 2,5% (lamin froid ou

trfil) Classe B : acier haute ductilit uk 5% (lamin chaud) Classe C : acier trs haute ductilit uk 7,5%

EC2 se limite aux aciers de limite lastique infrieure ou gale 600 MPa

4.1 Matriaux : Acier

28

Diagrammes contraintes - dformations

4.1 Matriaux : Acier

Diagramme palier inclin (pour aciers A et B)

Diagramme palier horizontal

s

s

fyd = fyk / s

Es

se = fyd / Es

dformation non limite plus de limitation en pivot A

s

s

fyd = fyk / s

Es

se = fyd / Es

Es = 200000 MPa

ud = 0,9uk

k.fyk / s

k donn en Annexe C : 1,05 (A) et 1,08 (B)

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Tableau des sections dacier

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a) Classe de rsistance dsigne par C 25 / 30 (fck sur cylindres et sur cubes)

4.2 Matriaux : Bton

b) Rsistance de calcul en compression : fcd = ccfck / c (c = 1,5)

c) Diagrammes contrainte-dformation : 3 types proposs pour les calculs de section (parabole rectangle ou 2 diagrammes simplifis : bi-linaire ou rectangle EC2 3.1.7)

= 0,8 et = 1,0 pour fck 50 MPa

= 0,8 (fck 50)/400 = 1,0 (fck 50 )/200 pour 50

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avec f cm (t ) = cc (t ) f cm

o s est un coefficient qui prend les valeurs :0,20 pour les ciments CEM 42,5 R, CEM 52,5 N, CEM 52,5 R ; 0,25 pour les ciments CEM 32,5 R, CEM 42,5 N ; 0,38 pour les ciments CEM 32,5 N.

(t en jour)

fcm : rsistance moyenne en compression 28 j

d) Rsistance caractristique la compression sur cylindres en fonction du temps : fck = fcm - 8 (EC2, 3.1) en MPa

4.2 Matriaux : Bton

( )

=

2/1281expt

stcc

32

Valeur moyenne : Valeur infrieure de la rsistance caractristique : Valeur suprieure de la rsistance caractristique :

3/2.30,0 ckctm ff =

ctmctk ff .7,005,0 =ctmctk ff .3,195,0 =

e) Rsistance caractristique la traction (fck < 50 MPa, EC2, 3.1) :

4.2 Matriaux : Bton

f) Module dlasticit :Ecm = 22 [(f cm )/10]0,3 (f cm en MPa) en GPa

valables pour un bton de granulats de quartzite g de 28 jours, valeurs rduire de 10 % pour des granulats calcaires, de 30 % pour des granulats issus de grs et augmenter de 20 % pour des granulats issus de basalte (EC2 3.1.3(2))

module instantan :

module diffr : Ec, eff = Ecm / (1+(, t0)) voir le h) concernant le fluage pour la dfinition de

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g) Retrait (EC2, 3.1.4)

4.2 Matriaux : Bton

dans les btiments, les effets de la temprature et du retrait peuvent tre nglig si (EC2, 2.3.3 et AN), des joints espacs de djoint sont prvus :djoint 25 m : dpartements proches de la Mditerrane

djoint 30 35 m : Est, Alpes et massif central

djoint 40 m : rgion parisienne et Nord,

djoint 50 m : Ouest de la France

Le Tableau 3.1 de lEC2 donne directement les valeurs les diffrentes caractristiques du bton (traction, module, dformation limite) en fonction de sa classe.

34


4.2 Matriaux : Bton

La dformation totale de retrait cs est gale : cs = cd + cacd : retrait de dessiccation volue en fonction du temps :

cd(t) = ds(t, ts) kh cd,0kh : coefficient dpendant du rayon moyen h0 (Tableau 3.3)cd,0 : retrait de dessiccation non gn (Tableau 3.2)

( ) ( )( ) 3004,0,

htttt

tts

s

sds+

=

t est l'ge du bton l'instant considr, en joursts est l'ge du bton (jours) au dbut du retrait de dessiccation (en gnral la fin de la cure).h0 est le rayon moyen (mm) de la section transversale = 2Ac/uavec :

Ac aire de la section du btonu primtre de la partie de la section expose la dessiccation.

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4.2 Matriaux : Bton

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4.2 Matriaux : Bton

ca : retrait endogne volue en fonction du temps :

ca(t) = as(t) ca ()ca () = 2,5 (fck 10).10-6

as(t) =1 exp ( 0,2.t0,5)t tant exprim en jours.

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h) Fluage (EC2, 3.1.4)

4.2 Matriaux : Bton

- Dformation de fluage du bton linstant t = , sous une contrainte de compression constante c 0,45 fck(t0) applique lge du bton t0 (fluage linaire) :

cc(,t0) = (,t0). (c /Ec)

Ec : module tangent (peut tre pris gal 1,05 Ecm) (,t0) Figure 3.1

- Dformation de fluage du bton linstant t = , sous une contrainte de compression constante c > 0,45 fck(t0) applique lge du bton t0 (fluage non linaire) :

cc(,t0) = (, t0) exp (1,5 (c/fcm(t0) 0,45)) . (c /Ec)

Rem. : pour volution de la dformation de fluage en fonction du temps EC2, Annexe B

38

t0 : ge du bton au moment du chargement, en joursh0 : rayon moyen = 2Ac / u, o Ac est l'aire de la section transversale du bton et u le primtre de la partie expose la dessiccation

Classe R : CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 RClasse N : CEM 32,5 R, CEM 42,5 NClasse S : CEM 32,5 N

( )0, tCalcul de

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Hypothses gnrales :- Principe de Navier-Bernoulli : au cours des dformations, les sections droites restent planes et conservent leurs dimensions,

- La rsistance du bton tendu est nglige- Adhrence parfaite entre lacier et le bton : au contact entre le bton et les armatures : s = c

5. Hypothses de calcul

40

Dfinition de classes dexposition (EC2 Tableau 4.1) / durabilit du bton

Dsignation de la classe / aux conditions d'environnement : Exemples informatifs illustrant le choix des classes d'exposition1. Aucun risque de corrosion ni d'attaque (X0)2. Corrosion induite par carbonatation (XC1, 2)3. Corrosion induite par les chlorures (XD1, 2)4. Corrosion induite par les chlorures prsents dans l'eau de mer (XS1, 2)5. Attaque gel/dgel (XF1, 2)6. Attaques chimiques (XA1, 2)

5.1 Vrification lELS

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1) Limitation de la compression du bton 0,6fck vrifier pour certaines classes dexposition (XD, XF, XS)

faire sous la combinaison caractristique (G + Q + 0,7Q2)2) Limitation de la contrainte dans lacierpour viter une fissuration excessive du bton, EC2 recommande de

limiter la contrainte dans les aciers 0,8fyk pour la combinaison caractristique

3) Matrise de la fissurationsous combinaison quasi permanente

(G + 0,3 Q)

5.1 Vrifications lELS

42

Adhrence parfaite, au niveau de lacier : s = c donc

soit

EC2 dfinit e : coefficient dquivalence acier - bton

cm

c

s

s

EE

=

e

ss

s

cmc E

E

==

cm

se E

E=

5.1 Vrification lELS

Ecm diffrent court et long terme (prise en compte du fluage) e diffre galement)

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Es = 200000 MPa,

pour fc28 = 30 MPa, Eij = 34180 MPa e = 5,85

et Evj = 11497 MPa e = 17,39

Les recommandations professionnelles publies par la Fdration Franaise du Btiment indique que si une grande prcision nest pas ncessaire, on peut prendre e = n = 15 pour des btons courants et 9 pour des BHP.

44

Dfinition de dformations limites des matriaux (EC2, fck < 50 MPa):Le raccourcissement relatif du bton est limit :

En flexion 3,5 3,5 3,5 3,5 En compression 2 2 2 2

Lallongement relatif de lacier :

nest pas limit si on considre un diagramme palier horizontal

dpend du type dacier utilis (ud)

5.2 Vrification lELU

Le dimensionnement lELU se fait en supposant que le diagramme des dformations passe par lun des trois pivots A, B ou C.

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Pivot A : Allongement de lacier le plus tendu : s = 10.10-3

Ah

z

1

10 %%%%0000

pices soumises la traction simple ou une flexion simple ou compose

CompressionTraction

A



Pivot B : Raccourcissement de la fibre de bton la plus comprime : bc = 3,5.10-3

Ah

z

B

3,5 %%%%0000

pices soumises une flexion simple ou compose

2

Traction Compression

0

0


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Pivot C : Raccourcissement de la fibre de bton la distance de 3h/7 : bc = 2.10-3

Ah

z

C

2 %%%%0000

pices soumises la flexion compose ou la compression simple

3

Traction Compression

2 %%%%0000

3/7.h

0

0


48

Dfinition de classes dexposition (EC2 Tableau 4.1) / durabilit du bton

Dsignation de la classe / aux conditions d'environnement : Exemples informatifs illustrant le choix des classes d'exposition1. Aucun risque de corrosion ni d'attaque (X0)2. Corrosion induite par carbonatation (XC1, 2)3. Corrosion induite par les chlorures (XD1, 2)4. Corrosion induite par les chlorures prsents dans l'eau de mer (XS1, 2)5. Attaque gel/dgel (XF1, 2)6. Attaques chimiques (XA1, 2)

6. Classes dexposition et enrobage

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Enrobage nominal (EC2 Tableau 4.4.1) / durabilit du bton

cnom = cmin +cdevcnom : enrobage nominal respecter

cmin : enrobage minimal

cdev : tolrance dexcution = 10 mm

( )mmcccccc adddurstdurgdurdurb 10;;max ,,,min,min,min +=avec :


50

Enrobage nominal (EC2 Tableau 4.4.1)cmin,b : enrobage minimal requis vis--vis de ladhrence

armature individuelle :

si 32 mm : cmin,b = sinon cmin,b= + 5 mm

paquet :

diamtre quivalent mmnbn 55=


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Enrobage nominal (EC2 Tableau 4.4.1)cmin,dur : enrobage minimal requis vis--vis des conditions denvironnement (Tableau 4.4.N)


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Classe structurale (Tableau 4.3.NF, dans EC2-AN)

Classe structurale : permet de caractriser les critres lis la durabilit de louvrage.Classe S4 : recommande par lEC2, btiments et ouvrages de gnie civil courants (durabilit vise de 50 ans)La classe peut tre modifie en fonction de la dure de vie vise, de la classe du bton, de la nature du liant (Tableau 4.3.NF, AN).


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cdur, : marge de scurit (= 0 ; valeur recommande par EC2 et AN)

cdur,st : rduction de l'enrobage minimal dans le cas d'acier inoxydable (= 0 en gnral)

cdur,add : rduction de l'enrobage minimal dans le cas de protection supplmentaire (= 0 en gnral)


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Espacements horizontal et vertical entre barres (EC2, 8.2) : eh et ev

( )mmmmde gv 20;5;max max + eh oumax : diamtre des barresdg : dimension du plus gros granulat

paquet :

diamtre quivalent bn n =



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Association Acier Bton :

Ancrage des armatures(EC2, Section 8)

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Longueur dancrage conventionnelle de rfrence (8.4.3) :

bd

sdrqdb fl

4,

=

sd : contrainte de calcul de la barre dans la section partir de laquelle on mesure l'ancrage (=435 MPa pour des aciers de 500 MPa et dans les conditions maximales, sinon on peut calculer la valeur exacte en fonction du chargement).

fbd : valeur de calcul de la contrainte ultime d'adhrence

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fbd : valeur de calcul de la contrainte ultime d'adhrence

ctdbd ff 2125,2 =

1 = 1 si les conditions dadhrence sont bonnes, 0,7 sinon2 = 1 si 32 mm ou (132 )/100 sinon ( : diamtre de la barre)fctd = fctk,0.05 / c

fctk ,0.05 : rsistance caractristique la traction avec un fractile de 5% ctmctk ff 7,005.0, =

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EC2, 8.4.2 dfinit les conditions dadhrence des armatures :

( moins quon puisse montrer que les conditions sont bonnes)

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rqdbbd ll ,54321 =

- les coefficients i 1, sont dfinis dans le Tableau 8.2 de lEC2 (pour prendre en compte la forme des barres, lenrobage et le confinement des aciers)

Longueur dancrage de calcul (8.4.4) :

- EC2, 8.4.4(2), par simplification, on peut considrer :rqdbeqb ll ,1, = 1 = 0,7 si cd >3 ; 1 sinon

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Longueur dancrage minimale (8.4.4) :

( )mmll rqdbb 100;10;3,0max ,min,

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Ancrages courbes (EC2, 8.4) : partir de la longueur dveloppe

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Ancrages des armatures deffort tranchant (EC2, 8.5)

Juin 2012

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Armatures tendues lr

lr = lb

Recouvrement des barres

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Recouvrement des barres (EC2, 8.7)

min,0,6543210 lll rqdb = La longueur de recouvrement vaut :

[ ]mmll rqdb 200;15;3,0max ,6min,0 =avec :et 6 = (1/25)0,5, compris entre 1 et 1,5, avec 1, proportion de barres avec recouvrement dont l'axe se situe moins de 0,65 l0 de l'axe du recouvrement considr

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Juin 2012 67

Armatures transversales

As, fe

Recouvrement des barres (EC2, 8.7)Armatures transversales dans les zones de recouvrement de barres tendues de diamtre

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Recouvrement des barres (EC2, 8.7)Armatures transversales dans les zones de recouvrement de barres tendues de diamtre si

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69

Recouvrement des barres (EC2, 8.7)Armatures transversales dans les zones de recouvrement de barres comprimes de diamtre mmes rgles que les barres tendues

+ disposer une barre transversale de part et d'autre du recouvrement, une distance infrieure 4 des extrmits

70

Recouvrement des treillis souds (EC2, 8.7.5)

Juin 2012

30/11/2012

36

71

Paquet de barres (EC2, 8.9)Un paquet de nb barres (rapport des diamtres < 1,7) peut tre considr comme une barre :

- de mme section que le paquet

-de mme centre de gravit que le paquet

-et de diamtre : bn n =

Juin 2012

Juin 2012 72

30/11/2012

37

Juin 2012 73

Traction Simple

Juin 2012 74

Traction SimplePLAN

1. Hypothses2. Contraintes de calcul3. Dimensionnement des armatures4. Armatures transversales

30/11/2012

38

Juin 2012 75

1. Hypothses

Rappel : La rsistance du bton tendu est nglige.

- Mme centre de gravit pour le bton et la section darmatures

Juin 2012 76

2.1 Limites lELU

Rsistance de lacier en traction :

fyd = fyk / s

s = 1,15

30/11/2012

39

Juin 2012 77

2.2 Limites lELS

Pour viter une ouverture de fissures excessive,on limite la contrainte de traction sous lacombinaison caractristique des charges dansles aciers st :

st = 0,8fyk

Juin 2012 78

3. Principe de dimensionnement

N : Effort normal de traction,

A : Section daciers,

: Contraintes limites de calcul

Principe : N = A x

Calcul de A lELU et lELS

30/11/2012

40

Juin 2012 79

NEd et Nser : Efforts normaux de traction lELU et lELS,

Au et Aser : Sections daciers lELU et lELS,

fyd et st : Contraintes limites de calcul lELU et lELS

3. Principe de dimensionnement

ELUNEd = 1,35.G + 1,5.QCondition dquilibre statique NEd = Au x fyd

ELS

Nser = G + QCondition dquilibre statique :

Nser = Aser x st

La section darmatures du tirant est : A = sup (Au; Aser)

Juin 2012 80

3.3 Maitrise de la fissuration

Limitation de la section du bton vis--vis de la section dacier,

As,min.fyk > Ac.fctm

(As,min : section des aciers tendus, fyk : limite dlasticit de lacier, Ac : section de bton tendu, fctm : rsistance

caractristique du bton la traction)

a) Matrise de la fissuration non requise

30/11/2012

41

Juin 2012 81

3.3 Maitrise de la fissuration

(As,min : section des aciers tendus, fyk : limite dlasticitde lacier, Ac : section de bton tendu, fctm : rsistancecaractristique du bton la traction)

b) Matrise de la fissuration requise

,

30

0,65.

80

Juin 2012 82

4. Armatures transversales

En zone courante :t _ l / 3et t > 6 mm

cartement : st < plus petite dimension de la pice

En zone de recouvrement : voir chapitre prcdent

30/11/2012

42

83

Compression Simple

84

EC2 tout poteau est en compression compos (il existe toujours une excentricit du fait des dfauts de construction) pas de mthode particulire pour la

compression simple

En France Mthode donne par les Recommandations professionnelles

Rglementations

30/11/2012

43

85

Compression SimplePLAN

1. Longueur de flambement2. Dimensionnement des armatures3. Dispositions constructives

86

1. Longueur de flambement et lancement

En compression, risque de flambement :

l

longueur de flambement (dite efficace)

l0 = l

l l l l

l0 = 2.l l0 = 0,7.l l0 = l / 2 l0 = l

Pour des lments isols (pas de rle de contreventement)

30/11/2012

44

87

Longueurs de flambement : Structure contrevente

++

++=

2

2

1

10 45,0

145,0

1.5,0k

kk

kll

++

++

++=

2

2

1

1

21

210 1

11

1;101max.k

kk

kkk

kkll

Structure non contrevente

avec k1 et k2, les coefficients de souplesses des deux encastrements partiels du poteau

lEI

Mk =


avec : rotation des lments sopposant la rotation pour un moment flchissant M

EI et l, la rigidit en flexion et la longueur de llment comprim (sil y a un lment comprim adjacent dans un nud, il faut remplacer EI/l par la somme des EI/ldes 2 poteaux)

88

lEI

Mk =

lEIM 3=

avec : rotation des lments sopposant la rotation pour un moment flchissant M

Le rapport M / dpend de la nature de la liaison au niveau de lappui oppos celui tudi :

lEIM 4=


M

M

30/11/2012

45

89

Longueurs de flambement :

Poutre, Ie2, le2

l

Poteau, I1, l1

1

2

Poteau, I2, l2

Poteau, I, l

Poutre, Iw2, lw2

Poutre, Iw1, lw1 Poutre, Ie1, le1


111111

111 //

//eeewww lIlI

lIlIk +

+=

222222

222 //

//eeewww lIlI

lIlIk +

+=

avec :

w ou e i = 4 si lautre appui de la poutre est un encastrement ou 3 si cest un appui simple

Rem. : Il faut tenir compte de la fissuration dans la rigidit des lments sopposant la dformation.

90

Longueur de flambement des poteaux de btiments(Recommandations professionnelles, clause 5.8.3.2) :

- si leur raideur est non prise en compte dans le contreventement

- sils sont correctement connects en tte et en pied des lments de raideur suprieure ou gale

la longueur de flambement peut tre prise gale 0,7.l


30/11/2012

46

91


lancement dun lment : il0

=

avec l0 : longueur de flambement (m),i : rayon de giration (m).

BIi = avec I : Inertie de llment dans le plan de flambement (m4),

B : Section de llment (m).

2. Dimensionnement des armaturesEC2 : il existe toujours une excentricit :ei : excentricit additionnelle traduisant les imperfections

gomtriques (aprs excution),

mhi 0=200/10 =

lh /2=

( )mm /115,0 +=compris entre 2/3 et 1 (l : la longueur de llment)

2/. 0le ii =

Cas dun lment isol (pas de rle de contreventement, sinon prise en compte dun effort transversal supplmentaire cf. EC2 5.2)

m = 1 pour un poteau isol (poteau ne participant pas au contreventement)

l0 : la longueur de flambement ou longueur efficace de llment

30/11/2012

47

EC2 : il existe toujours une excentricit :

93

30

;2max hcmei

Tout lment comprim est en flexion compos Dimensionnement en flexion compos

2. Dimensionnement des armatures

94

Si les conditions suivantes sont respectes : poteau bi articul sous charges centres

lancement 120 20 fck 50 MPa paisseur dans le sens du flambement h 0,15 m

distance d des aciers la paroi la plus proche min(0,30h ; 100 mm)

armatures symtriques par moiti sur chaque face

chargement au moins 28 joursles Recommandations professionnelles de la FFB autorisent

lemploi de la mthode suivante.


30/11/2012

48

95

Rsistance thorique en compression simple :NEd = Nbt + Nacier = B.fbu + A.sc

Effort ultime de compression rglementaire (FFB) :

: permet de prendre en compte les risques de flambementb = 1,5s = 1,15

+=

s

yks

b

cksh

fAfbhkk

.

.

. N N RdEdAire dacier dimensionner


96

( )ydscdshEd fAbhfkkN += Pour un poteau de section rectangulaire :

+

=2

621

86,0

3,132

=

si 60

si 60 < 120

hl 120

=Pour une section rectangulaire h : paisseur du poteau dans le sens du flambt


30/11/2012

49

97

Pour un poteau de section rectangulaire :

( )( )615,075,0 += hkh

5006,0

6,1 yksf

k =

= d / h, d : enrobage des aciers

= As / (b.h)

pour h < 0,50 m sinon kh = 1

pour fyk > 500 MPa et > 40 sinon ks = 1

si et inconnus, on peut prendre kh = 0,93 titre conservatif ? cf. exe.


98

24,127

=

si 60

si 60 < 120

DL0.4

=

Pour un poteau de section circulaire :

+

= ydscdshRd fAfDkkN 4

2pi

+

=2

521

84,0


pour une section circulaire :

30/11/2012

50

99

( )( )815,07,0 += Dk h

50065,0

6,1 yksf

k =

= d / D, d : enrobage des aciers

= As / (piD/4)

pour D < 0,60 m sinon kh = 1

pour fyk > 500 MPa et > 30 sinon ks = 1

Pour un poteau de section circulaire :


si et inconnus, on peut prendre kh = 0,93 titre conservatif ? cf. exe.

100

As : section totale des aciers situs la distance d des parois, disposs en 2 lits symtriques pour une section rectangulaire ou en 6 barres rparties pour une section circulaire

Recommandations professionnelles de la FFB

3. Dispositions constructives

30/11/2012

51

101

diamtre minimal = 8 mm ferraillage minimum

= c

yd

Edss Af

NAA .002,0;10,0maxmin,

Armatures longitudinales (EC2, 9.5.2)

ferraillage maximum

=c

c

ss AA

AA.08,0.04,0

maxmax,hors zone de recouvrementau droit des zones de recouvrement


102

diamtre minimal :- cadre et boucle : t max(6 mm; l_max / 4)- treillis t = 5 mm espacement des cadres en zone courante :

Armatures transversales (EC2, 9.5.3)

b : plus petite dimension du poteau

st,max = min(20.l; 40 cm; b)


30/11/2012

52

103

Flexion Simple

104

Flexion SimplePLAN

1. Gnralits, dimensions, matriaux et armatures minimales

2. quilibre des sections3. Dimensionnement des armatures lELU4. Vrification des contraintes lELS5. Maitrise de la fissuration6. Dispense de vrification de la flche

30/11/2012

53

Janvier 2007 Bton Arm - S. Multon 105

Poutre sollicite en flexion plane simple si le torseur des contraintes gnralises se rduit seulement :

M(x) et V(x)Remarque : En Bton Arm, les effets de ces deux sollicitations sont traits sparment.

1. Gnralits Flexion Simple

Janvier 2007 Bton Arm - S. Multon 106

1.1 Hypothses

Hypothse : Pour le dimensionnement des armatures en flexion simple lELU, on suppose que le diagramme des dformations passe par lun des deux pivots de flexion simple (A ou B)

- Au cours des dformations, les sections droites restent planes et conservent leurs dimensions,

- La rsistance du bton tendu est nglige

- Adhrence parfaite acier - bton

30/11/2012

54

107

Porte considrer dans un calcul de flexion (EC2 5.3.2.2)21 aall neff ++=

ln : porte libre entre nus dappuis

- Si la poutre (ou dalle) est solidaire des poteaux (ou voiles) qui la supportent, le moment de calcul peut tre pris gal au moment au nu dappui.

1.1 Hypothses : Porte

108

Acier : Rsistance :

Bton : Rsistance :

c

ckcd

ff

=c = 1,5

s

ykyd

ff

=s = 1,15

1.2 Rsistance des matriaux lELU

30/11/2012

55

109

1.2 Diagramme des 3 pivots

Pivot A : Allongement de lacier : ud = 0,9. uk valeur fonction de la nuance (Annexe C)Pour fck 50 MPa et un diagramme parabole rectangle (sinon EC2, 3.1)Pivot B : Raccourcissement du bton : cu2 = 3,5.10-3 (flexion)Pivot C : Raccourcissement du bton (1-c2/cu2).h de la fibre la plus comprime : c2 = 2.10-3 (compression, flexion compose)

z

Ah 1A

ud

CompressionTraction

0

0B

cu2

2

C

3

(1-c2/cu2).h

c2

110

EC2, 9.2 : La section darmatures longitudinale dune poutre doit tre suprieure ou gale :

= dbdbf

fA ttyk

ctms 0013,0;26,0maxmin,

bt : largeur moyenne de la zone tendue (pour une poutre en T dont la membrure suprieure est comprime, seule la largeur de lme est prise en compte)

1.3 Section darmatures minimale

30/11/2012

56

111

2. quilibre des sections lELU

A

x x

s

c

c

x

yu

ds

diagramme parabole rectangle

EC2 3.1.7 Comportement du bton lELU

112

2. quilibre des sections lELUEC2 3.1.7(3) : simplification de la loi de comportement du bton :

A

x x

s

c

....fcd

x

x

ds

diagramme rectangulaire

simplifi

.x

b = 0,8 et = 1,0 pour fck 50 MPa = 0,8 (fck 50)/400 = 1,0 (fck 50 )/200 pour 50

30/11/2012

57

113

quations dquilibre au centre de gravit des aciers tendus :

=

=+

Edc

sc

A MMFF 0

=

=+

Edcd

scd

A MxdfbxAfbx

2....

0....

A

x x

s

c

fcd

x

x

ds

.x

b


Inconnues : s, x et A (A) Donnes : b, h (d), fcd, fyd, Mu

(I)

(II)

114

Ecriture adimensionnelle :

cd

Edu

fbdM

dy

dx

.21 2

=

dx

u =cd

Edu fbd

M.

2 =

(II)

uuu =

21 ( )uu 2111 =


on pose et

(u est le moment rduit)

et en inversant :

pour fck 50 MPa = 0,8 et = 1,0 formules habituelles

30/11/2012

58

115

udcu

cuABAB d

x

+==

3

3

Cas limites :1. Cas de la droite AB (section de poutre en Pivots A et B simultanment)

A

x x

ud

cu3

xAB

d

b


A

B

= ABABAB

2

1

pour fck 50 MPa et pour des aciers de :

nuance A : AB = 0,102

nuance B : AB = 0,056

nuance C : AB = 0,039

116

A

x x

uk = 10.10-3

cu

xAB

b

2. quilibre des sections

Si u AB u AB xu xAB

cd

Edu fbd

M2=

Le coefficient u dpend de la gomtrie du bton, des sollicitations et de la rsistance du bton (quelle que soit la section dacier):

xu

A

B Poutre dimensionne pour rupture en Pivot A

Si u AB u AB xu xAB

Poutre dimensionne pour rupture en Pivot B

xu

30/11/2012

59

117

s

ydcu

cuBEBE

Efd

x

+

==

3

3

Cas limites :2. Cas de la droite BE (section de poutre en Pivot B et acier la limite lastique)

A

x x

se = fyk / Es

cu3

xBE

d

b

( ) 372,04,018,0 == BEBEBE


E

Bcas courant : fck 50 MPa, fyk = 500 MPa, s = 1,15 (ES = 200000 MPa)

Si u BE xu xBE besoin de A pour renforcer le bton en compression

118

3. Armatures de flexion

1. Calcul de cd

Edu fbd

M2=

s

yd

BEBE

Efd

x

+

==

3

3

10.5,3

10.5,3 ( )BEBElu 4,018,0 =

2. Calcul en fonction de la classe dexposition :

cas courant : fe = 500 MPa, s = 1,15 (ES = 200000 MPa) lu = 0,372

et

Pour fck 50 MPa et palier horizontal pour les aciers :

pas de limitation de la contrainte dans le bton lELS

Calculer :

2.1. X0 ou XC

2.2. XD, XF ou XS limitation de la contrainte dans le bton lELS

Dterminer lu dans des abaques ou tableau en fonction de la classe du bton et du rapport MEd / Mser

30/11/2012

60

119

Dtermination de lu (abaque du BAEL avec = 0,85)

J. Perchat Techniques de lIngnieur

Pour EC2 : toujours prendre = 0,85

ser

Ed

MM

=

.

fck////

120

3.1 Si u lu A = 0( )

uu 21125,1 =Calcul de yu = u.d (avec d = 0,9.h)

Equation (I) de lquilibre de la section de la poutre BAet st entre le pivot A et le point E acier plastifi st = fyd

yd

cdu

ffxbA ...8,0=

Remarque : Si on crit lquilibre de la section au centre de gravit du bton comprim, on obtient :

uydEd zAfM .=ydu

Ed

fzMA =

avec uu xdz .4,0=A

x x

st

bc

fcdx

xu

st

0,8.xu

b


30/11/2012

61

121

3.2 Si u > lu (abaque du BAEL avec = 0,85) A 0


Lquilibre de la section au centre de gravit des aciers tendus scrit alors :

( ) ( )

=+

=+

EdscBEcdBE

stsccdBE

A MddAxdfbxAAfbx

''4,0..8,00'..8,0

A

x x

st

bc

xu

b

sc

( )lulu 21125,1 =u

luluu

= 'xu = udOn impose xu tel que : avec

122

310.5,3.'

''

=

u

usc

x

dx

==

==

ydscs

ydsesc

scssc

s

ydsesc

fEf

EEf

.

( )[ ] ( ) ( )'

'

'

1'4,0'..8,0'

ddMM

ddxdfxbMA

sc

EdEd

sc

ucduEd

=

=

[ ]sccduyd

AfxbfA ''..8,01

+= + vrification ELS


d:position des aciers comprims / fibre sup.

'

EdM

A

x x

st

bc

xu

b

sc

30/11/2012

62

123

Pour fck 50 MPa et palier inclin pour les aciers :- limitation de la dformation de lacier au Pivot A

- contrainte dans lacier peut tre suprieure fyd

Pour 50 < fck 90 MPa :

- dformation ultime du bton dpend de sa rsistance

- et = 0,8 (fck 50)/400 = 1,0 (fck 50 )/200


Variation de la mthode gnrale pour :

124


- dformation ultime du bton dpend de sa rsistance


s

ydcu

cuBEBE

Efd

x

+

==

2

2

== BEBEBElu

2

1

30/11/2012

63

125


= 0,8 (fck 50)/400 = 1,0 (fck 50 )/200


cd

Edu fbd

M.

2 = ( )uu 2111 =et : soit :

Si u lu A = 0 yd

cdu

ffxbA ...8,0=

Si u > lu A 0 reprendre quations prcdentes avec et

126

EC2 9.2.1.2Pour une poutre formant une construction monolithique avec ses appuis :Dimensionner la section sur appuis pour un moment flchissant rsultant de l'encastrement partiel dau moins 0,15 fois le moment flchissant maximal en trave (y compris lorsque des appuis simples ont t adopts dans le calcul)


30/11/2012

64

127

1) Limitation de la contrainte de compression du bton (EC2 7.2(2))

4. Vrifications lELS

limitation de la compression dans le bton 0,6 fck pour les classes XD, XF et XS effectuer sous combinaison caractristique (G + Q + 0,7.Q2)

2) Limitation de la contrainte de lacier (EC2 7.2(5)) limitation de la contrainte dans les aciers 0,8 fyk effectuer sous combinaison caractristique (G + Q + 0,7.Q2)

3) Matrise de la fissuration si elle est requise (EC2 7.3)XC2 4 (pour ouvrage hors catgories A, B, C, D) et XD, XF, XSlouverture de la fissuration wmax doit tre limite (pour ne pas porter prjudice au bon fonctionnement de la structure Tableau 7.1N) effectuer sous combinaison quasi-permanente (G + 0,3.Q)

4) Limitation de la flche

128

Pour gomtrie, sollicitations et matriaux connus : vrification des contraintesy

As1

bc

n

st

y

x

n

sc

As2

d

d

=++

=+

serscstbc

scstbc

A MMMMFFF

s

01

(I)

(II)

4. Vrifications des contraintes lELS

30/11/2012

65

129

1. Recherche de la position de laxe neutre y1 laide de lquation des moments statiques de la section homognise rduite (S.Hb.R.) provenant de lquation de lquilibre des rsultantes de la section, de lhypothse de Bernoulli et de celle dadhrence parfaite :

021

21 =+ scsstsbc AAbx

( ) ( ) 0'21

21 =

+ bcsbcsbcx

dxnA

x

xdnAbx

(I)

0.).'(.).(2 21

2=+ ss AndxAnxdx

b

0.).'(.).(2

. 212

=+== ssS

AndxAnxdxbdsy


130

2. Calcul du moment dinertie quadratique I1 de la S.Hb.R. provenant de lquation de lquilibre des moments de la section par rapport laxe neutre :

( ) ( )21223

1 '3xdnAdxnA

bxI ss ++=

( ) ( ) serstsscsbc MxdAdxAxbx =++

12 '3

22

(II)

( ) ( ) serbcsbcsbc Mx

xdnAx

dxnAx

bx=

+

+

21

22

3

'

3

serMIK =1.

avec


30/11/2012

66

131

3. Calcul des contraintes et vrification :Dans le bton (XD, XF et XS effectuer sous combinaison caractristique ):

ckbcser

bc fxIM 6,0

1max ==

Dans lacier ( effectuer sous combinaison caractristique) :

( ) ykstserst fxdIM

n 8,01

==


132

EC2 7.3.2Si la matrise de la fissuration est requise, une quantit minimale darmatures est ncessaire :

cteffctcss AfkkA ,min, =As,min : section minimale d'armatures dans la zone tendueAct aire de la section droite de bton tendu (avant lapparition des fissures ct < fct,eff)s : contrainte dans les aciers aprs la formation de la fissure (peut tre prise gale fyk)fct,eff : valeur moyenne de la rsistance en traction du bton (fct,eff = fctm)k : rduction des efforts dus aux dformations gnes (prise en compte des contraintes non-uniformes auto-quilibres)= 1,0 pour les mes avec h 300 mm ou les membrures d'une largeur infrieure 300 mm= 0,65 pour les mes avec h 800 mm ou les membrures d'une largeur suprieure 800 mm(interpolation pour les valeurs intermdiaires)kc : prise en compte de la rpartition des contraintes dans la section immdiatement avant la fissuration et de la modification du bras de levier. Traction pure : kc = 1,0. Flexion simple pour une section rectangulaire, kc = 0,4. Pour les autres cas voir le dtail en 7.3.2(2)

5. Matrise de la fissuration (EC2 7.3.4)

30/11/2012

67

133

5. Matrise de la fissuration

Valeurs limites recommandes pour louverture des fissures wk

maxwwk

134

Aspects thoriques


Fissuration dun tirant

FF

< fct0 0

ct

s

Tirant BA de section droite Ac ou zone de bton entourant les armatures dune poutre flchie assimilable un tirant

Contraintes dans le bton

Contraintes dans les aciers

0 0sr

1ssctc AAF +=Etat homogne non fissur :

30/11/2012

68

5. Matrise de la fissurationSi la force dans le tirant F est constante :

csteAAF ssctc =+= 1

01 =+= ssctc dAdAdF

dxfdxf

AAd

AAd bdbd

c

ss

c

sct

441 ===

1

2

1 4.

.... ssbd ddAdxf pipi ==Or, on a vu dans le cours sur ladhrence :

Si fbd est constant, on obtient en intgrant :en posant = As / Ac

xfdxfd bd

x

bdx

ctct 44

00

=== linarit des contraintes

136


Le distance minimale entre 2 fissures est telle que :

min4

rbd

ctct sff ==

bd

ctr f

fs

4min

=

Dans la ralit, lcartement des fissures sr : minmin 2 rrr sss

Les fissures apparaissent progressivement de manire alatoire, quand tous les cartements sont compris entre ces 2 valeurs cest ltat de fissuration complte , aucune nouvelle fissure ne peut apparatre

lexprience montre quen gnral sr 1,8 srmin

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69

137


LEC2 dfinit louverture de fissure de calcul partir de lespacement maximal des fissures sr,max (rsultats de retour dexprience) afin de se placer en scurit.

Cette ouverture calcule a un caractre conventionnel (sans comparaison possible avec des ouvertures mesurables sur ouvrages).

138


Ouverture de fissures dun tirant en bton arm

Aspects thoriques

Louverture moyenne wm dune fissure peut tre dtermin en calculant lallongement moyen dune armature par rapport lallongement du bton sur la longueur comprise entre deux fissures : ( )cmsmrmm sw =

FF

srm

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70

139

5. Matrise de la fissurationPour une force F > Ffissuration lallongement relatif de lacier vaut :

= 2ssm

Allongement relatif de lacier nu sans participation du bton tendu

Rduction de la dformation de lacier par participation du bton tendu entre les fissures

fissuration

s

s

Section BA non fissure

acier nuEs

Comportement exprimental idalis

Comportement simplifi EC2 (linarit)

140


1ssctcf AfAF +=Considrons leffort causant la fissuration du tirant :

s

s

c

c

EE1

=1sc =

Lhypothse dadhrence parfaite conduit :

lors de la fissuration :s

s

c

ct

EEf 1

=

ctectc

ss ffE

E ==1 ( ) ctsecf fAAF +=

aprs fissuration, seul lacier reprend leffort dans le tirant dans la section fissure, la contrainte dans lacier dans cette section est donc :

ctes

c

s

fsf fA

AAF

+==

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141


( ) ct

esff

+= 1 en posant = As / Ac

( )sftss

sftscmsm kEk == 22

1

LEC2 suppose que la dformation moyenne du bton est proportionnelle la dformation moyenne de lacier au moment de la fissuration

( )s

ect

ts

cmsm E

fk

+

=

12

142

Aspect rglementaire( )cmsmrk sw = max,( )xhs

r= 3,1max,

effpr kkkcks

,

4213max,

+=

Si espacement des barres adhrentes 5(c+/2) Si espacement des barres adhrentes < 5(c+/2) x : distance de la fibre suprieure laxe neutre

: diamtre des barres ou diamtre quivalentc : enrobage (en mm)k1 = 0,8 pour la barres HA, 1,6 pour des aciers effectivement lisses

k2 = 0,5 en flexion, 1 en traction pure et valeur intermdiaire en traction excentre (7.13)

k3 = 3,4*(25/c)2/3 si c>25 mm et 3,4 sinonk4 = 0,425

2211

222

211

nn

nneq +

+=

p,eff = As / Ac,eff avec Ac,eff =b*hc,eff avec hc,eff = min(2,5(h-d);(h-x)/3;h/2)


Calcul de louverture des fissures wk :

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72

143

Calcul de : ( )s

s

s

effpeeffp

effctts

cmsm EE

fk

6,01

,

,

,

+

=

s : contrainte dans les aciers sous combinaison quasi-permanente (G + 0,3Q) en supposant la section fissure

kt = 0,4 pour un chargement de longue dure, 0,6 pour une courte dure

fct,eff : valeur moyenne de la rsistance en traction du bton au moment o les premires fissures sont supposes apparatre

e : rapport Es/Ecm


144

EC2 7.3.3- Pour dalles dpaisseur 200 mm, aucune mesure particulire nest prendre (sauf dispositions constructives EC2 9.3).- Les lments dont les fissures sont dues principalement aux charges et respectant les dispositions du Tableau 7.2N ou 7.3N peuvent tre dispenses de calcul direct.

- Les lments dont les fissures sont dues principalement aux dformations gnes et respectant les dispositions du Tableau 7.2N peuvent tre dispenses de calcul direct.

cf. Notes 1 et 2 dans larticle 7.3.3 sur la restriction de lutilisation de ces tableaux


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73

145

30 10.

= ckf

bhA

=

0

Il nest pas ncessaire de vrifier la flche dune poutre si :

0 >

s

ckck ffKdl

31012,35,111

2/300

++ 0 pour la compression), ACsection droite du bton (mm2)

0,22001 +=d

kfck en MPa, , d en mm, l = Asl / bwd 0,02

CRd,c = 0,18/c, k1 = 0,15 et, vmin = (0,34/c)fck1/2 (pour les dalles), vmin = (0,053/c)k3/2fck1/2 (poutres), vmin = (0,35/c)fck1/2 (voiles)

1. Effort tranchant

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151

2. Cas o les armatures sont ncessaires avec des armatures deffort tranchant verticales ( = 90 - EC2, 6.2.3)

2.1 vrification de la compression des bielles ( = 90)

cottan1

max,+

= cdwcwRdEdfzvbVV

==

25016,01 ck

fvv

cw = 1 pour les lments non prcontraints

v1 rduction de la rsistance du bton fissur l'effort tranchant

est langle des bielles par rapport la fibre moyenne de llment avec 5,2cot1

1. Effort tranchant

152

2.2 dtermination des armatures deffort tranchant ( = 90)

cot, ywd

swsRdEd zf

s

AVV =

Asw aire de la section des armatures d'effort tranchants espacement des cadres ou triersfywd limite d'lasticit de calcul des armatures d'effort tranchant

Aire minimale (EC2, 9.2.2) : wyk

cksw bff

s

A 08,0>

Espacement maximal (EC2, 9.2.2) : st,max = 0,75d < 60 cm

1. Effort tranchant

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77

153

2.3 ancrage des armatures dabout (EC2, 6.2.3 et 9.2)Au niveau des appuis dune poutre, il faut ancrer (MEd ngatif sur appui) :

z

MVF EdEdtd += cot2

EC2, 9.2.1.4 : Sur les appuis considrs comme faiblement ou pas encastrs, il faut ancrer au moins 25% du moment en trave

1. Effort tranchant

154

2.4 vrification de la compression des bielles dabout

a

VEd

VEd.cot / 2

sur appui, langle de la bielle dabout est :cot= cot / 2

1. Effort tranchant

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78

2.4.1 vrification de la compression des bielles dabout dun appui de rive (EC2, 6.5.4)

[ ]c

ckckRdRdRdRd

ff

==

250185,0;max max,21

avec a2 = (a1 + cot(2s0 + s))sinavec :

a1 : largeur de la bielle sur appui

(a1 = aappui cnom 2.s0)s0 : distance entre le bas de la poutre et lentraxe de lacier le plus bas

s : entraxe entre les lits des aciers

1. Effort tranchant

11

abV

w

EdRd =

'sin22

abV

w

EdRd =etappui de rive :

[ ]c

ckckRdRdRdRdRd

ff

==

2501;;max max,321

avec a2 = (a1 + cot(2s0 + s))sin

1. Effort tranchant2.4.2 vrification de la compression des bielles dabout dun appui intermdiaire (EC2, 6.5.4)

11

abVV

w

EdeEdwRd

+=

'sin22

ww

EdwRd

abV

=et

et'sin3

3ew

EdeRd

abV

=

et a3 = (a1 + cote(2s0 + s))sine

avec

w = west = gauche

e = east = droite

appui intermdiaire :

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79

157

Hypothse : La zone centrale des sections napportent aucune contribution la rsistance la torsion

sur la base de rsultats dessais, les sections pleines peuvent tre modlises directement par des sections fermes parois minces quivalentes (EC2, 6.3.1(3))

2. Torsion

158

k

Ediefit A

Tt

2,,=

Flux de cisaillement en torsion pure dans la paroi (EC2, 6.3.2) :

TEd : moment de torsion Ak : aire intrieure au feuillet moyen des parois (partie creuse comprise)t,i : contrainte tangente de torsion dans la paroi itef,i : paisseur de la paroi fictive (peut tre prise gale A/u, ne doit pas tre infrieure deux fois la distance entre le parement extrieur et l'axe des armatures longitudinales; dans le cas de sections creuses, elle est limite par l'paisseur relle de la paroi)

2. Torsion

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80

159

Rsistance des bielles de bton, il faut vrifier que :

1max,max,

+Rd

Ed

Rd

Ed

VV

TT

cossin2,max, iefkcdcwRd tAfvT =avec :

=

25016,0 ckfv

2. Torsion

160

cot2 k

Ed

k

ydsl

AT

u

fA=

Section darmatures longitudinales de torsion Asl :

uk : primtre de la surface Akfyd : limite dlasticit de calcul des armatures Asl : angle des bielles de compression

2. Torsion

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161

cot2 kEd

t

ydst

AT

s

fA

1,,

+cRd

Ed

cRd

Ed

VV

TT

Pour les sections pleines rectangulaires, un ferraillage minimal (EC2, 9.2.1.1) est suffisant si :

sinon, il faut une aire daciers transversaux Ast telle que :

TRd,c : moment de fissuration en torsion pour t,i = fctd

2. Torsion


30/11/2012

82

163

Poutres en T

164

Introduction

Poutre

Dalle

Profiter de la dalle pour augmenter la section de bton comprim et ainsi diminuer la section dacier mettre en uvre

En trave, cette partie est comprime

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83

165

IntroductionPLAN

1. Largeur efficace2. tude aux ELU3. tude aux ELS4. Armatures transversales5. Cisaillement me-membrures

166

1. Largeur efficace

Largeur efficace : largeur de la dalle (ou table) participant la rsistance de la poutre dpend de :

- la nature de la poutre (traves indpendantes ou continue),- du mode dapplication des charges (rparties ou concentres),- des dimensions de la section.

30/11/2012

84

167

bbbb wieffeff += ,

00, 2,01,02,0 llbb iieff +=

Largeur participante dune poutre en T (EC2 5.3.2.1)

iieff bb ,

avec :

1. Largeur efficace

168

1. Largeur efficaceVue en plan

Appui Appui

poutre dimensionner

L : porte de la poutre

beff,i

EC2 5.3.2.1 4 : lanalyse peut tre faite en admettant une largeur de table constante sur toute la porte

30/11/2012

85

169

2. tude aux ELUNotations :

ht

h

b

bp

d

170

a) Moment maximum repris par la poutre dans le cas o la table travaille entirement en compression

0,8.xux

fcd

d

2. tude aux ELU

=

2..

tcdt

TRd

hdfbhMAu centre de gravit des aciers

ht

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86

171

b) MEd MRdT la hauteur de bton comprim intervenant dans le calcul est dans la table de compression, Puisque le bton tendu est nglig, la poutre se comporte comme une poutre rectangulaire fictive de section b x h, quil suffit donc de dimensionner

h

b

2. tude aux ELU

172

utilisation du Principe de Superposition, en dcomposant la section en T, en deux sections rectangulaires

2. tude aux ELU

h

b

=+

A A1 A2

b - bp bp

MEd = +M1 M2

bp

c) MEd MRdT, la hauteur de bton comprim intervenant dans le calcul est dans la nervure (retombe de la poutre)

30/11/2012

87

173

c) Il suffit de dimensionner ces 2 poutres rectangulaires de dimensions (b - bp) x h et bp x h

2. tude aux ELU

A1 A2

b - bp bp

et A = A1 + A2

avec M1 = ht.(b - bp).fcd.(d - ) 2

th M2 = Mu - M1

174

Mme raisonnement aux ELS avec un diagramme de contrainte linaire

3. tude aux ELS

Pour une vrification ELS, on dtermine dabord la position x de laxe neutre

1) Si laxe neutre est dans la table, mmes calculs que pour une poutre rectangulaire

2) Si laxe neutre est dans la retombe, calcul de linertie en considrant deux rectangles : celui de la table et celui de la retombe

30/11/2012

88

175

3. tude aux ELS1) x ht, laxe neutre est dans la table de compression,

puisque le bton tendu est nglig, la poutre se comporte comme une poutre rectangulaire de section b x h

h

b

176

3. tude aux ELS2) xr ht, laxe neutre est dans la nervure (retombe de la

poutre) rsolution exacte complexe

h

b

Calcul de I1 puis des contraintes

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89

177

4. Armatures transversales

Vrifier la rsistance du bton dme et dimensionner les armatures dme comme pour une poutre rectangulaire

178

Cisaillement entre l'me et les membrures des sections en T (EC2 6.2.4) :

5. Cisaillement me-membrures

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90

179

5. Cisaillement me-membruresContrainte de cisaillement longitudinale la jonction entre un ct de la membrure et l'me :vEd = la variation d'effort normal (longitudinal) dans la partie de membrure considre :

xhF

vt

dEd

=

ht : paisseur de la membrure la jonctionx : longueur de membrure considre,Fd : variation de l'effort normal dans la membrure sur la longueur x.

( ) ( )[ ]xxxxxfbF uucdeffd += =0,8 pour un bton ordinaire

180

EC2 6.2.4 (3) : x peut tre prise gale la moiti de la distanceentre la section de moment nul et la section de moment maximal(soit un quart de la porte pour une poutre isostatique supportantune charge uniformment rpartie)


30/11/2012

91

181


Vrification de la compression des bielles :

ffcdEd fvv cossin

==

25016,01 ck

fvv

2cot1 f25,1cot1 f

: pour les membrures comprimes

: pour les membrures tendues

182

5. Cisaillement me-membruresArmatures de couture :

fyd

tEd

f

sff

hvs

Acot

Asf : section dun cours darmature de liaison espace de sf

Asf, espacs de sf

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183

5. Cisaillement me-membruresSi la membrure est une dalle flchie entre deux nervures parallles et si :

ctdEd fkv avec k = 0,4 recommand par lEC2ou 0,5 en cas de prsence de surface verticale dereprise de btonnage ou 1 en absence de surfaceverticale de reprise de btonnage pour lAnnexeNationale franaise.

alors il est inutile dajouter des armatures celles dj prvues pour reprendre la flexion de la dalle.

Dans le cas contraire, il faut prvoir (EC2 6.2.4 (5))

++

f

ss

fyd

tEd

fyd

tEd

f

sfs

AAf

hvf

hvs

A inf,sup,cot2

1;

cotmax


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93

185

Poutres continues

186

Introduction

EC2 autorise diffrentes mthodes danalyse :- lastique linaire (ELS et ELU)- lastique linaire avec redistribution limite des moments (ELU, pour les

btiments, les recommandations professionnelles franaises les autorisent galement lELS pour les btiments)

- Plastique (ELU)- Non linaire (mthode de calcul au flambement avec effet du 2me ordre)

Remarque: Les recommandations professionnelles franaises autorise lutilisation de la mthode de Caquot (BAEL), mais restreint la mthode forfaitaire (BAEL) au cadre du pr-dimensionnement.

30/11/2012

94

187

PLAN1. Analyse lastique (EC2)2. Analyse lastique avec redistribution (EC2)3. Mthode forfaitaire (BAEL)4. Mthode de Caquot (BAEL, EC2)5. Rappel de RdM pour le trac des courbes

enveloppes

Introduction

188

Lanalyse linaire, base sur la Thorie de llasticit, peut tre utilise aux ELS et ELU.

Exemple : Equation des 3 moments donne pour une poutre continue dinertieconstante par trave soumise des charges uniformes sur toute la longueurdes portes

Les calculs sont rapidement complexes utilisation de linformatique ou de mthodes simplifies issues du BAEL (forfaitaire avec vrification ou Caquot)

+=+

++

+

+++

+

+

+

+

1

311

3

11

1

1

11 4

12i

ii

i

iii

i

ii

i

i

i

ii

i

i

ILp

ILpM

ILM

IL

ILM

IL

1. Analyse lastique

Li, Ii et Mi la porte, linertie et le moment sur lappui i

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95

189

Quest-ce que la redistribution du moment sur appui ?Pour prendre en compte ltat fissur de la section de bton arm sur appui

dans le cas de poutre continue, lEC2 autorise diminuer la valeur du moment sur appui

Cela provoque une augmentation du moment en trave Cest la redistribution des moments

LEC2 autorise la redistribution dans les conditions suivantes :- rapport des portes comprises entre 0,5 et 2,- lments sollicits en flexion,- le coef de redistribution = Maprs / Mavant dpend de xu la hauteur de bton comprime lELU

2. Avec redistribution

190

LEC2 limite la redistribution :

Pour fck 50 MPa et les aciers de classe A

8,0/21 + dxkk uavec xu aprs redistributionet k1 = 0,44et k2 = 1,25(0,6 + 0,0014 / cu2)

Pour fck 50 MPa : cu2 = 3,5


Les recommandations professionnelles franaises autorisent lutilisation des coefde redistribution calcules lELU pour la dtermination des sollicitations lELS pour les btiments.

(0,7 pour les aciers de classes B et C)

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96

191

La dtermination de la redistribution permise dpend de la redistribution utilise dans le calcul de la section travers xu

8,0/21 + dxkk uavec xu aprs redistribution


( )uuu kdx 2111/ 2 == OrDfinissons :u_av : le u avant lapplication de la redistribution du momentu_ap : le u aprs lapplication de la redistribution du moment

On peut donc crire : ( )apukk _21 2111 + Et : avu

cd

avEdapu fbd

M_2

_

_

.

==

192


On peut donc crire : ( )avukk _21 2111 +soit :

2

_

22

21 21

avu

kkk

soit :avu

kkkkkk_

22

22

22

12

12 22

+

+

soit : 022

22

21_

222

12

++

+

++

kkkkkk avu

La redistribution permise est donc solution de cette quation du 2nd degr en ....

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97

193


Le discriminant de cette quation est :

22

22

1

2

_

222

1 442

+

+

+=

kkkkkk avu

et les deux solutions :

2_2

2211

+

+= avu

kkk

2_2

2212

+

+

+= avu

kkk

solution retenir pour la redistribution

194

Pour fck 50 MPa et les aciers de classe A

= 0,8

( ) 2744,6005,48828125,4 2_

= avantu

8,0/21 + dxkk uavec xu aprs redistributionet k1 = 0,44et k2 = 1,25(0,6 + 0,0014 / cu2)

Pour fck 50 MPa : cu2 = 3,5


( )[ ] 8,0005,48828125,421

_

avantu

peut scrire :

avec

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98

195

3. Mthode ForfaitaireDomaine dapplication :

- Constructions courantes (charges dexploitation modres), Q max(2G;5000 N/m)- les portes successives sont dans un rapport compris entre 0,8 et 1,25- les moments dinertie des sections transversales sont les mmes dans les diffrentes traves en continuit,- la fissuration ne compromet pas la tenue du BA et de ses revtements.

196

Les recommandations professionnelles relatives lapplication de lEC2 en France indique quelutilisation et le domaine de cette mthode ne sontpas du domaine du dimensionnement mais restent dudomaine du pr-dimensionnement et de celui de lavrification douvrages

3. Mthode Forfaitaire

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99

197

Principe : Soit une poutre continue

Li-1 Li Li+1

et la poutre isostatique associe la trave i dite trave de comparaison :

Li

valuer les valeurs des moments maximums en trave et sur appuis par rapport des fractions fixes forfaitairement de la valeur M0, moment maximum de la trave de comparaison

??

?

M0


198

Notations- M0 : valeur maximale du moment flchissant dans la trave de comparaison de porte Li entre nus,- Mw et Me, respectivement les valeurs absolues des moments sur appuis de gauche et de droite et Mt, moment maximal en trave de la trave considre,

Li-1 Li Li+1LiMwM0Mt

Me

- : rapport des charges dexploitation la somme des charges permanentes et des charges dexploitation

QGQ+

=


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100

199

ApplicationsLes valeurs de Mt, Mw et Me doivent vrifier les conditions suivantes :1. Mt Max ( 1,05.M0 ; (1 + 0,3 ) M0 ) -

2.

2ew MM +

023,01 MM t+ dans une trave intermdiaire

023,02,1 MM t+ dans une trave de rive

3. La valeur absolue des moments sur appui intermdiaire doit tre au moins gale :0,6.M0 pour une poutre 2 traves,0,5.M0 pour les appuis voisins des appuis de rive dune poutre plus de 2 traves,0,4.M0 pour les autres appuis intermdiaires dune poutre plus de 3 traves


200

Pratique :a. Dtermination du moment isostatique des traves de comparaison M0,b. Dtermination des moments sur appuis : application dun des 3 cas suivants :

Poutre 2 traves0,6.M0

Poutre 3 traves0,5.M0 0,5.M0

Poutre plus de 3 traves0,5.M0 0,5.M00,4.M0 0,4.M0

M0 est la valeur maximale des moments isostatiques des deux traves de comparaison voisines de lappui considr.

c. Dtermination des moments en trave Mt par application des conditions 1 et 2.


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101

201

3. Arrts de barres forfaitairesForfaitairement, si q < g et si les charges sont uniformment rparties, on peut se passer de tracer la courbe enveloppe

l1 l2

At : armatures calcules en trave

a2 a2102la1 a12

tA

101la1 a2

b1

= sl

llb ;4

;4

max 211

du ct de la trave de riveb2

=

slllb ;

5;

5max 212

du ct de la trave intermdiaire

202

4. Mthode de Caquot

Les recommandations professionnelles relatives lapplication de lEC2 en France (Clause 5.6.1)recommande cette mthode pour les poutrelles et poutres des planchers autres que ceux charge dexploitation modre.

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102

203

4. Mthode de CaquotDomaine dapplication :- Constructions industrielles (charge dexploitation leve) Q > inf (2G; 5000 N/m),

- Cette mthode sapplique galement aux planchers charge dexploitation modre lorsque que lune des conditions de la mthode forfaitaire nest pas remplie

204

Principe :- Calcul forfaitaire du moment de flexion sur appui en ne prenant en

compte que les charges appliques aux deux traves qui lencadrent

Map ?

- Calcul du moment de flexion dans la trave partir des charges appliques cette trave et des moments aux appuis qui lencadrent.

g, q g, qg, q g, q g, q

Mt

g, q g, qg, q g, q g, qMw Me

4. Mthode de Caquot

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103

205

NotationsSoit lappui i dune poutre continue :

- Lw et Le, respectivement les portes entre nus gauche et droite de lappui,

- lw et le, les traves fictives respectivement gauche et droite de lappui i,

l = l si la trave est simplement appuye sur lautre appui,l = 0,8.l si elle est continue au-del de lautre appui.

- pw et pe, les charges rparties uniformes de ces deux traves,- Pw et Pe, les charges concentres appliques des distances aw et ae de lappui i

Lw / lw i Le / lepw, PW, aw pe, Pe, ae

4. Mthode de Caquot

206

Applicationpour des poutres inertie constante le long de la poutre continue,

le moment dappui est gal en valeur absolue :- dans le cas o le chargement est constitu de charges rparties :

- dans le cas o le chargement est constitu de charges concentre : ( )''

3'3'

5,8ew

eeww

lllplp

+

+

''

2'

ew

ww

lllkP

+ ''

2'

ew

ee

lllkP

+ou

avec k qui peut scrire de manire analytique sous la forme :

=

'

2'

1'125,2

1la

la

lak

4. Mthode de Caquot

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104

207

avec :

- Iw et Ie, les moments dinertie des traves de gauche et de droite

- est le rapport

Application pour des poutres inertie variable le long de la poutre continue, le

moment dappui est gal en valeur absolue :

( )

+

+

15,8

2'2'eeww

lplp- dans le cas o le chargement est constitu de charges rparties :

- dans le cas o le chargement est constitu de charges concentres :

+1'

wwlkP

+1

'

eelkP

ou

ew

we

IlIl

'

'

4. Mthode de Caquot

208

5. Courbes enveloppesPour tracer les courbes enveloppes :Soit une partie dune poutre continue :

Li-1

LiLi+1

p

p Liet sa poutre isostatique associe

1. les mthodes forfaitaires et Caquot donnent les moments aux appuis Mw et Me,2. ltude de la poutre isostatique donne le moment m0(x)p

m0(x) sous p

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105

209

Le moment M(x) le long de la trave de la poutre continue est donne par :

Mw Mex

Mf(x)

( ) ( )lxM

lxMxmxM ewf +

+= 10

Pour obtenir le moment maximum en trave, il suffit alors de driver cette expression par rapport x, donc de rsoudre :

( ) ( ) 00 =+=l

Ml

Mdx

xdmdx

xdMew

5. Courbes enveloppes

pour obtenir labscisse xMax du maximum, et calculer Mf(xMax)

210

De mme leffort tranchant est obtenu en drivant Mf(x) :

( ) ( ) ( )l

Ml

MxV

lM

lM

dxxdm

dxxdM

xV ewewf +=+== 00)(


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211

Poutre tudie :

trave LA B


212

Les diffrents cas de charge ont donn la courbe enveloppe suivante :

A B

Mf

x


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107

213

EC2 9.2.1.3 : Pour valuer leffort agissant sur une membrure tendue, il convient de dcaler la courbe enveloppe de la distance

al = z (cot cot) / 2


dpend de lorientation choisie pour les bielles deffort tranchant

214

A B

Mf

Courbe enveloppe dcale de a1 :

a1x

a1

a1a1


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215

On en dduit la courbe des moments rsistants et donc larrt des barres :

A B

Mf

MRd

MRd

Acier en trave en fibre infrieure

lbd lbd

lbdlbd

Acier sur appui en fibre suprieure


216

EC2 6.2.3(5) : Dans les parties sans discontinuit de VEd(chargement uniforme), la dtermination des armatures d'effort tranchant sur une longueur lmentaire l = z (cot + cot)peut tre effectue en utilisant la plus petite valeur de VEd sur cette longueur.


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109

217

Dalles rectangulaires

218

PLAN

Introduction1. Portes2. Poutres Dalles3. Dalles portant sur 4 cts articuls4. Dalles continues5. Section dacier minimale6. Effort tranchant

Dalles rectangulaires

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110

219

Introduction

Diffrents types de planchers :- planchers poutres parallles rapproches,- planchers avec dalle reposant sur des poutres secondaires et des poutres principales,- planchers hourdis creux,- planchers champignons et planchers dalles.

220

- lx : porte la plus petite,- ly : porte la plus grande,- : lancement du panneau,- ed : paisseur de la dalle

lx

ly

y

x

ll

=

1. Portes

Si < 0,5 : la dalle est considre comme une poutre-dalle ne reposant que sur ses 2 grands cts (EC2 5.3.1 (5)),

Si 0,5 : le calcul doit prendre en compte que la dalle repose sur ses 4 cts.

1. Dalle reposant sur 2 cts dimensionnement type poutre

2. Dalle reposant sur 4 cts :

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111

221

La dalle se comporte comme une poutre de porte lx,

Les armatures sont dimensionnes comme pour une poutre de section ed x 1 m et de porte lx.

Remarque : Dans le cas dune poutre-dalle continue, les mmes mthodes de calcul peuvent tre effectues.

2. Poutres Dalles

Dans lautre direction, il faut assurer le ferraillage minimum de flexion

222

Calcul thorique possible laide de la thorie des plaques

Rsolution complexe

Utilisation dabaques ou de calculs par lments finis

3. Dalles portant sur 4 cts articuls

Les recommandations professionnelles relatives lapplication de lEC2 en France reconduisent les abaques dj prsents dans le BAEL qui donnent des rsultats similaires des calculs EF.

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112

223

Les moments flchissants dvelopps au centre dun panneau articul sur son contour sont (BAEL Annexe E.3) :

a) dans le sens lx : Mx = x.p.lxb) dans le sens ly : My = y.Mx

avec p : charge uniformment rpartie par unit daire et couvrant entirement la dalle

X et Y : coefficients donns par des abaques en fonction de

3. Dalles portant sur 4 cts articuls

X Y0,40 0,110,45 0,1020,50 0,0950,55 0,0880,60 0,081 0,3050,65 0,0745 0,3690,70 0,068 0,4360,75 0,062 0,5090,80 0,056 0,5950,85 0,051 0,6850,90 0,046 0,7780,95 0,041 0,8871,00 0,037 1,000

Remarque : Les valeurs de y < 0,25 (correspondant < 0,557 ) ne sont pas prendre en compte

224

Notations :M0x et M0y : moments de la dalle isostatique associe dans les 2 directions X et Y,Mtx et Mty : moments en trave dans les 2 directions X et Y,Max et May : moments sur appuis dans les 2 directions X et Y,

4. Dalles continues (autres que les poutres-dalles)

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113

225

Panneau courant :

Ce qui peut tre obtenu avec

Il faut respecter dans les deux directions larticle A.8.2,32 (BAEL) :0.25,12

MMMM ewt +

+

En trave Sur appui

Possibilit 1

Possibilit 2

Mtx > 0,85.M0xMty > 0,85.M0y

Mtx > 0,75.M0xMty > 0,75.M0y

MaX = May> 0,4.M0x

MaX = May> 0,5.M0x


226

Panneau de rive :BAEL : appui de rive dune dalle Me et Mw 0,15.M0

et respecter

exemple :si le bord libre est le bord gauche : on peut prendre Mt = 0,85 M0, Ma = Mw = 0,3.M0 et Me = 0,5.M0

0.25,12MMMM ewt

++


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114

5. Section dacier minimale

EC2, 9.2 : Comme pour les poutres, la section darmatures longitudinale dune dalle dans les deux directions doit tre suprieure ou gale :

= dbdbf

fA ttyk

ctms 0013,0;26,0maxmin,

bt : largeur moyenne de la zone tendue

228

Si 0,5 Vx = p.lx

21

1 + /2

Vy = p.ly

3

6. Effort tranchant

Pour une dalle, portant sur 4 cts, on pourra utiliser les formules suivantes :

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115

Les armatures deffort tranchant ne sont pas ncessaires si (EC2, 6.2.1 et 6.2.2) :

( )[ ][ ] dbkvfkCVV wcpcklcRdcRdEd 1min3/1,, ;100max +=

Asl section des armatures tendues, prolonges sur plus de (lbd + d) au-del de la section considre, bw largeur de la section droite dans la zone tendue (mm), cp = NEd / Ac < 0,2 fcd en MPa, NEd effort normal agissant dans la section droite en newtons (NEd > 0 pour la compression), AC section droite du bton (mm2)

0,22001 +=d

kfck en MPa, , d en mm, l = Asl / bwd 0,02

CRd,c = 0,18/c, k1 = 0,15 et, vmin = (0,34/c)fck1/2 (pour les dalles),

si des aciers deffort tranchant sont ncessaires, les calculer comme pour une poutre

6. Effort tranchant


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116

231

Mthode bielles / tirants

232

Introduction

Mthode bielles / tirants : gnralisation du modle de treillis de Ritter-Mrsch et de la mthode des bielles applique aux semelles

utilisation dans des rgions de continuit des poutres et des dalles dans ltat fissur (EC2, 6.1-6.4) utilisation dans les rgions de discontinuits (EC2, 6.5)

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117

233

Introduction

La dfinition de modles Bielles-Tirants approprie chaque problme sappuie sur :- les distributions de contraintes donnes par la thorie lastique linaire- la mthode du cheminement des charges

Les directions des bielles et des tirants sont confondues avec celles des rsultantes des efforts de compression et de traction

Les nuds sont situs lintersection des bielles et des tirants

234

PLAN1. Gnralits2. Justifications3. Application aux semelles superficielles 4. Application aux poutres voiles5. Application aux consoles courtes

Introduction

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235

1. Gnralits

Les modles Bielles-Tirants sont constitus de 3 lments : bielles : soumises des contraintes donnes de compression, tirants : reprsentant les armatures, nuds : lments assurant la connexion.

les justifications sont menes lELU

236

Bielles en bton (EC2, 6.5.2)Il faut vrifier dans la bielle que :

avec ou sans compression transversale : la rsistance dune bielle en bton :

avec traction transversale (zones de compression fissure) : la rsistance dune bielle en bton :

cdRd f=max,

2. Justifications

cdRd f'6,0max, =

2501' ckf=avec :

max,Rdcc

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119

237

Tirants en acier (EC2, 6.5.3) Dimensionner les aciers des tirants principaux

(lments en traction dans le treillis) et les tirants secondaires (empchant le fendage des bielles en compression)

rsistance des tirants en acier :

les armatures doivent tre ancres de manire suffisante dans les nuds

s

ykyd

ff

=

2. Justifications

238

lEC2 propose des expressions pour dterminer leffort T de traction transversale dans les tirants secondaires

2. Justifications

Bielle en compression

Tirant secondaire

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120

239

Leffort T de traction transversale dans les tirants secondaires peut tre pris gal :

a) rgions de discontinuit partielle (b H/2) :

b) rgions de discontinuit totale (b > H/2) :

Fb

abT =41

2. Justifications

FhaT

= 7,01

41

240

2. JustificationsNuds (EC2, 6.5.4) les forces agissant aux nuds doivent tre en quilibreRsistance du nud :a) nuds en compression sans tirant ancr

( ) max,321 ;;max RdRdRdRd

[ ]c

ckckRdRdRdRdRd

ff

==

2501;;max max,321

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121

241

2. JustificationsRsistance du nud :b) nuds en compression-traction avec tirant ancr dans une direction

[ ]c

ckckRdRdRdRd

ff

==

250185,0;max max,21

242

2. Justifications

Rsistance du nud :c) nuds en compression-traction avec tirant ancr dans plusieurs directions

cdRd f'75,0max, =

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122

243

N

H

MNM

e =On dfinit e /

b

Si e > b/2 semelle instable

Si e < b/6 interface entirement comprime

Remarque : Enrobage des armatures dune semelle 3 cm

3. Application aux semelles superficiellesGnralits

244

Contrainte limite de calcul q (issue des rapport dessais de sol) :Nature du sol q (MPa)

- Roches peu fissures saines et de stratification favorable

- Terrains non cohrents bonne compacit

- Terrains non cohrents compacit moyenne

- Argiles

0,75 4,5

0,35 0,75

0,2 0,4

0,1 0,3

Dans le cas dune semelle soumise une charge verticale centre, S, la surface de la fondation est telle que :

serser q

SN ( vrifier ELS)

3. Application aux semelles superficielles

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245

Condition de rigidit de la semelle

b

b

h

Si (b-b)/2 h semelle rigide application de la mthode B-T


Si h (b-b)/2 3h semelle semi-rigide interpolation entre la mthode B-T et la mthode par flexion

Si 3h (b-b)/2 semelle flexible mthode par flexion

246

Rappel : Condition de rigidit selon le DTU 13-12

b

b

d

bbdbb '4'

Pour avoir une semelle suffisamment rigide, il fallait avoir:


avec d h

soit hbbh 22'

2

semelle rigide ou semi-rigide

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124

247

3. Application aux semelles superficiellesSemelle rigide sous charge de compression centre

Modle B-T

(idem dans les deux directions pour une semelle ponctuelle)

b

b

d

NEd

T

Ned / 2Ned / 2

Ned / 2 Ned / 2

Z

b/4b/4

b/4b/4

C1C2

Les modles lastiques donnent Z 0,95.d

248

3. Application aux semelles superficielles3.1 Justification du nud sous la charge

Nud en compression sans tirant

cdRdC fmY

C'

1 max,01 =

=

b

b

NEd

C1

Ned / 2Ned / 2

Ned / 2 Ned / 2

Z

b/4b/4

b/4b/4

?Y0

C2

Or lquilibre du nud, on peut crire :

2

2/sin

CNEd

=2

1cosCC

=et

et dun point de vue gomtrique :

4'

tan bbZ

=

et Y0 tel que : Z = d Y0 / 2

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249

3. Application aux semelles superficielles3.2 Armatures infrieures

b

b

NEd

C1

Ned / 2Ned / 2

Ned / 2 Ned / 2

Z

b/4b/4

b/4b/4

? T

Leffort de traction dans le tirant principal :

( )bbZ

NCT Ed == '81

( )bbZfN

fTA

yd

Ed

yds = '8

250

3. Application aux semelles superficielles3.3 Justification des bielles

Dans le cas des semelles superficielles, la vrification des contraintes dansles bielles de bton comprimes nest pas requise en raison du confinementimportant de ces bielles par le volume de bton de la semelle.

Ce confinement justifie galement labsence darmatures secondaires

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251

3. Application aux semelles superficiellesSemelle semi-rigide sous charge de compression centre

Si h (b-b)/2 3h semelle semi-rigide interpolation entre la mthode B-T et la mthode par flexion

Mthode par flexion :1. Calcul du moment flchissant dans la section dencastrement de la semelle sur le mur ou le poteau

2. Dimensionnement type poutre : dtermination des armatures par la mthode utilise en flexion simple

252

3. Application aux semelles superficiellesSemelle semi-rigide sous charge de compression centre

Interpolation entre la mthode B-T et la mthode par flexion proportionnellement la raideur relative des deux modles :

( ) sflexsBTs AAA += 1

avec :

= 1

2'

21

hbb

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ec2_m2p_coab_multon_2012

Documents

calcul des structures

bton arm bael

bton arm thorie

bton ec4en

bton ec2en

calculs des structures

structures ec1en

structures mixtes acier