Download - Wiederholung
19.04.23 1
Wiederholung
Gerichtete Graphen Digraph D=(V,E) DAG: kreisfreier Digraph
topologische Sortierung Transitive Hülle
Algorithmus von Warshall: O(n3) Dynamische Programmierung
Wurzelbäume Suchbäume
19.04.23 2
Primzahlen
a | b , 9 k 2 Z: ak=b a - b , @ k 2 Z: ak=b ggT(a,b) := maxk2N{k | a und k | b}
1 · ggT(a,b) · min{a,b}
kgV(a,b) := mink2N{a | k und b | k} a>1 prim , {k2N | k|a} = {1,a}
19.04.23 3
Modulare Arithmetik
Division mit Rest a= ba/mc*m + r, mit 0 · r < m
Gleicher Rest von a/m und b/m: a ´ b mod m , m | a-b , m*k=(a-b),
d.h. a = a§m = a§2m = a§3m = … mod m Vereinfachte Notation: a = b mod m (Z, ´) Äquivalenzrelation:
reflexiv: a=a mod m symmetrisch: a=b mod m , b=a mod M transitiv: a=b mod m und b=c mod m ) a=c
mod m m Äquivalenzklassen mit Repräsentanten Zm={0,1,…,m-1}
19.04.23 4
Anwendungen von modularer ArithmetikPseudozufallszahlen-Generator:
Linearer Kongruenz-Generator Beginne mit zufälligem Startwert (Seed) x0 2 Zm.
Berechne iterativ für festes a,b2Zm: xi = a*xi-1 + b mod m für i=1,2,3,…
x1,x2,x3,… definieren Pseudozufallsfolge. Für einige Anwendungen kein guter Generator.
19.04.23 5
Teilbarkeit durch 3
Satz: Sei n eine natürliche Zahl.
3|n , 3|Quersumme(n)
Verwende Dezimaldarstellung. Reduziere mod 3:
n=i ni*10i = sumi ni*1i = sumi ni mod 3
) n=0 mod 3 , i ni = 0 mod 3
19.04.23 6
Teilbarkeit von LinearkombinationenLemma Linearkomb.: Für alle a,b,d 2 N gilt:
d | a und d | b ) d | (xa+yb) für alle x,y 2 Z
Aus der Voraussetzung: dka=a, dkb=b
) (xa+yb) = (xdka+ydkb) = d(xka+ykb)
) d | (xa+yb)
19.04.23 7
ggT als Linearkombination
Satz von Bezout: Seien a,b 2 Z. Es gilt:ggT(a,b) = min{ax+by 2 N | x,y 2 Z}.
Sei S={ax‘+by‘ | x‘,y‘ 2 Z}. Sei s=ax+by 2 S minimal.
„ggT(a,b) · s“: Lemma auf letzter Folie: ggT(a,b) | s ) ggT(a,b) · s„ggT(a,b) ¸ s“: Sei q=ba/sc. a mod s = a-qs = a-q(ax+by) = a(1-qx) + b(-qy).
) a mod s 2 S und a mod s < s) a mod s = 0.) s | a und analog kann s | b gezeigt werden) ggT(a,b) ¸ s
ggT-Korollar: Sei a, b 2 Z. Dann gilt: d | a und d | b ) d | ggT(a,b).
19.04.23 8
Teilerfremde Zahlen
Def: a,b teilerfremd , ggT(a,b)=1
Satz zur Teilerfremdheit: Für alle a, b, p 2 Z gilt:ggT(a,p)=1 und ggT(b,p)=1 ) ggT(ab,p)=1
Es gibt x,y,x‘,y‘ mitxa + yp = 1 und x‘b + y‘p = 1.) xax‘b + xay‘p + ypx‘b + yy‘pp = (xx‘)ab + (xay‘ + yx‘b + yy‘p)p = 1) ggT(ab, p) = 1
19.04.23 9
Anwendung ISBN-Kode
ISBN-Nummer: Länderkode-Verlagsnummer-laufendeNr-Prüfziffer Prüfziffer = i i-te Ziffer * i mod 11 Steger: „Diskrete Strukturen“, ISBN 3-540-67597-3 1*3+2*5+3*4+4*0+…+9*7 = 3 mod 11
Satz: Der ISBN-Kode erkennt einen Fehler.
Seien z1,…,z9 die Ziffern. Sei 0 < ej < 10 ein Fehler in der j-ten Ziffer, d.h. zj
‘ = zj + ej z.z.: i i*zi (i i*zi) +j*ej mod 11.
, j*ej 0 mod 11. Satz zur Teilerfremdheit:
ggT(j,11) = 1 und ggT(ej,11)=1 ) ggT(j*ej,11) = 1 ) j*ej 0 mod 11
19.04.23 10
Teilersatz
Teilersatz: Für alle a,b 2 Z und primes p gilt:p | ab ) p | a oder p | b
Ann.: p - a und p - a.) ggT(p,a)=1 und ggT(p,b)=1
Anwendung Satz zur Teilerfremdheit) ggT(p,ab) = 1
(Widerspruch: p | ab ) ggT(p,ab)=p)
19.04.23 11
Fundamentalsatz der ArithmetikSatz: Jedes n 2 N, n>1, lässt sich eindeutig als Produkt von
Primzahlen darstellen:
n=p1e1 * p2
e2 * …* pkek, pi prim.
Existenz: Induktion über n, s. erste Vorlesung Eindeutigkeit:
Sei n=p1*p2*…*pk=q1*q2*…*qr
Ann: Es gibt pi qj für j=1,…,k. Wiederholte Anwendung des Teilersatzes:
pi | rj=1 qj ) pi teilt ein qj.
) pi = qj (Widerspruch) Teile durch pi=qj auf beiden Seiten und iteriere.
19.04.23 12
ggT-Satz
Satz (ggT): Für a¸0 und b>0 gilt:ggT(a,b) = ggT(b, a mod b)
„ggT(a,b) | ggT(b,a mod b)“: d=ggT(a,b), d.h. d | a und d | b
a mod b = a – qb mit q=b a/b c) d | a mod b (Lemma Linearkomb.)) d | ggT(b, a mod b) (ggT-Korollar)
„ggT(b, a mod b) | ggT(a,b)“: d=ggT(b, a mod b), d.h. d | b und d | a mod b
a = qb + (a mod b)) d | a (Lemma Linearkomb.)) d | ggT(a,b) (ggT-Korollar)