Introducao Interpolacao Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Forma de Newton-Gregory
Interpolacao
Wellington D. [email protected]
http://pessoal.utfpr.edu.br/previero
Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRCampus Londrina
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Introducao Interpolacao Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Forma de Newton-Gregory
Sumario
1 Introducao
2 Interpolacao Polinomial
3 Forma de Lagrange
4 Forma de Newton
5 Forma de Newton-Gregory
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Introducao Interpolacao Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Forma de Newton-Gregory
1 Introducao
2 Interpolacao Polinomial
3 Forma de Lagrange
4 Forma de Newton
5 Forma de Newton-Gregory
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Introducao Interpolacao Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Forma de Newton-Gregory
Exemplo 1
Um veıculo de fabricacao nacional, apos varios testes, apre-sentou os resultados abaixo, quando se analisou o consumode combustıvel de acordo com a velocidade media imposta aoveiculo. Fixado uma distancia, os testes foram realizados emrodovia com operacao normal.
Velocidade Media(km/h) 55 70 85 100 120 140Consumo (km/l) 14,08 13,56 13,28 12,27 11,30 10,40
Qual o consumo do veıculo se a velocidade media for de90km/h?
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Exemplo 2O comportamento da temperatura de uma garrafa de cervejaao ser colocada num freezer e descrito na tabela abaixo.
Tempo(min) 0 30 60 90 120 150 180 210Temperatura (◦C) 20 16,5 13,2 10,8 8,6 7 5,7 4,7
Qual o tempo necessario para a cerveja esteja a 5◦C?
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Exemplo 2O comportamento da temperatura de uma garrafa de cervejaao ser colocada num freezer e descrito na tabela abaixo.
Tempo(min) 0 30 60 90 120 150 180 210Temperatura (◦C) 20 16,5 13,2 10,8 8,6 7 5,7 4,7
Qual o tempo necessario para a cerveja esteja a 5◦C?
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Introducao Interpolacao Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Forma de Newton-Gregory
Interpolar uma funcao f (x) consiste em aproximar essa funcaopor uma outra funcao g(x), escolhida entre uma classe de funcoesdefinidas a priori e que satisfaca algumas propriedades. A funcaog(x) e entao usada em substituicao a funcao f (x).
Utilizacao:quando sao conhecidos somente os valores numericos dafuncao para um conjunto de dados (dados obtidosexperimentalmente) e e necessario calcular o valor dafuncao em um ponto nao tabelado;quando a funcao em estudo tem uma expressao tal queoperacoes como a diferenciacao e a integracao saodifıceis de serem realizadas.
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Interpolar uma funcao f (x) consiste em aproximar essa funcaopor uma outra funcao g(x), escolhida entre uma classe de funcoesdefinidas a priori e que satisfaca algumas propriedades. A funcaog(x) e entao usada em substituicao a funcao f (x).
Utilizacao:quando sao conhecidos somente os valores numericos dafuncao para um conjunto de dados (dados obtidosexperimentalmente) e e necessario calcular o valor dafuncao em um ponto nao tabelado;quando a funcao em estudo tem uma expressao tal queoperacoes como a diferenciacao e a integracao saodifıceis de serem realizadas.
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Interpolar uma funcao f (x) consiste em aproximar essa funcaopor uma outra funcao g(x), escolhida entre uma classe de funcoesdefinidas a priori e que satisfaca algumas propriedades. A funcaog(x) e entao usada em substituicao a funcao f (x).
Utilizacao:quando sao conhecidos somente os valores numericos dafuncao para um conjunto de dados (dados obtidosexperimentalmente) e e necessario calcular o valor dafuncao em um ponto nao tabelado;quando a funcao em estudo tem uma expressao tal queoperacoes como a diferenciacao e a integracao saodifıceis de serem realizadas.
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(x0, f (x0)), (x1, f (x1)), ..., (xn, f (xn)) sao os pontos deinterpolacao;g(x) e o polinomio interpolador.
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1 Introducao
2 Interpolacao Polinomial
3 Forma de Lagrange
4 Forma de Newton
5 Forma de Newton-Gregory
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ObjetivoDado o conjunto de n + 1 pontos distintos(x0, f (x0)), (x1, f (x1)), ..., (xn, f (xn)), aproximar f (x) por umpolinomio y = pn(x), de grau menor ou igual a n tal que
f (xi) = pn(xi)
para i = 0,1,2, . . . ,n.
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TeoremaDada a funcao f (x) e o conjunto de n + 1 pontos distintos(x0, f (x0)), (x1, f (x1)), ..., (xn, f (xn)), existe um unico polinomiopn(x), de grau menor ou igual a n tal que f (xi) = pn(xi) parai = 0,1,2, . . . ,n.
Demonstracao: Seja pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn.Para obter o polinomio pn(x) devemos obter os seus coeficien-tes a0,a1,a2, . . . ,an.
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Pelo enunciado do Teorema, devemos ter que f (xi) = pn(xi)para i = 0,1,2, . . . ,n. Assim:
f (x0) = pn(x0) = a0 + a1x0 + a2x02 + . . . + anx0
n
f (x1) = pn(x0) = a0 + a1x1 + a2x12 + . . . + anx1
n
...f (xn) = pn(xn) = a0 + a1xn + a2xn
2 + . . . + anxnn
Logo, temos o sistema com (n+1) equacoes e (n+1) incognitas:a0,a1,a2, . . . ,an.
a0 + a1x0 + a2x02 + . . . + anx0
n = f (x0)a0 + a1x1 + a2x1
2 + . . . + anx1n = f (x1)
...a0 + a1xn + a2xn
2 + . . . + anxnn = f (xn)
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A matriz dos coeficientes
A =
1 x0 x0
2 . . . x0n
1 x1 x12 . . . x1
n
......
.... . .
...1 xn xn
2 . . . xnn
e uma matriz de Vandermonte e como por hipotesex0, x1, x2, . . . , xn sao todos distintos, temos que det(A) 6= 0.Portanto o sistema linear admite solucao unica.
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Exemplo 3
Determine o polinomio de grau ≤ 2 que interpola os pontos databela
x -1 0 2f (x) 4 1 -1
Resposta
p(x) = 1− 73x + 2
3x2
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Exemplo 3
Determine o polinomio de grau ≤ 2 que interpola os pontos databela
x -1 0 2f (x) 4 1 -1
Resposta
p(x) = 1− 73x + 2
3x2
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1 Introducao
2 Interpolacao Polinomial
3 Forma de Lagrange
4 Forma de Newton
5 Forma de Newton-Gregory
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Forma de Lagrange
Sejam f (x) definida em x0, x1, x2, . . . , xn (n + 1) pontos distintose yi = f (xi), i = 0, . . . ,n. Considere pn(x) o polinomio de graumenor ou igual a n que interpola f em x0, x1, x2, . . . , xn na forma
pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + . . . + ynLn(x) =n∑
k=0
ykLk (x),
onde Lk (x) e de grau n.
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Para cada i , queremos que a condicao pn(xi) = yi sejasatisfeita, isto e,
pn(xi ) = y0L0(xi ) + y1L1(xi ) + . . . + yiLi (xi ) + . . . + ynLn(xi ) = yi .
Para isso, devemos ter que
Lk (xi ) =
{0 se k 6= i1 se k = i
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Assim, Lk (x) e definido por:
Lk (xi) =(x − x0)(x − x1) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)
(xk − x0)(xk − x1) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1) · · · (xk − xn)
Ou, ainda,
Lk (x) =n∏
j=0j 6=k
(x − xj)
(xk − xj).
Logo, temos a formula de Lagrange para o polonomiointerpolador
pn(x) =n∑
k=0
ykLk (x).
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Exemplo 4
Considere a funcao f (x) definida nos pontos, conforme a tabela
xi 0 0,5 1f (xi) 1,3 2,5 0,9
Determine o polinomio interpolador, usando a formula deLagrange e estime f (0,8).
Resposta
p(x) = −5,6x2 + 5,2x + 1,3f (0.8) ∼= p(0,8) = 1,876
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Exemplo 4
Considere a funcao f (x) definida nos pontos, conforme a tabela
xi 0 0,5 1f (xi) 1,3 2,5 0,9
Determine o polinomio interpolador, usando a formula deLagrange e estime f (0,8).
Resposta
p(x) = −5,6x2 + 5,2x + 1,3f (0.8) ∼= p(0,8) = 1,876
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1 Introducao
2 Interpolacao Polinomial
3 Forma de Lagrange
4 Forma de Newton
5 Forma de Newton-Gregory
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Diferencas Divididas
Definicao: Diferenca dividida de ordem zero
Definimos diferenca dividida de ordem zero de uma funcao f (x)definida nos pontos xi , i = 0,1, . . . ,n por:
f [xi ] = f (xi).
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Definicao: Diferenca dividida de ordem n
Definimos diferenca dividida de ordem n de uma funcao f (x)definida nos pontos xi , i = 0,1, . . . ,n por:
f [x0, x1, x2, . . . , xn] =f [x1, x2, . . . , xn]− f [x0, x1, x2, . . . , xn−1]
(xn − x0).
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Podemos tabelar de forma conveniente as diferencasdividadas, notando que as diferencas de ordem 1 saocalculadas a partir das diferencas de ordem zero, as diferencasde ordem 2, a partir das diferencas de ordem 1 e assim pordiante.
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3x0 f [x0]
f [x0, x1]x1 f [x1] f [x0, x1, x2]
f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]x2 f [x2] f [x1, x2, x3]
f [x2, x3]x3 f [x3]
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Exemplo 5
Seja f (x) tabelado abaixo
xi -1 0 1 2 3f (xi) 1 1 0 -1 -2
Construa sua tabela de diferencas divididas.
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Resposta
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4-1 1
00 1 − 1
2-1 1
61 0 0 − 1
24-1 0
2 -1 0-1
3 -2
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Propriedade
f [x0, x1, x2, . . . , xn] = f [xj0 , xj1 , xj2 , . . . , xjn ] , onde j0, j1, j2, . . . , jn equalquer permutacao de 0,1,2, . . . ,n.
Exemplo 6
f [x0, x1] = f [x1]−f [x0]x1−x0
= f [x0]−f [x1]x0−x1
= f [x1, x0]
f [x0, x1, x2] = f [x0, x2, x1] = f [x1, x0, x2] = f [x1, x2, x0] =f [x2, x1, x0] = f [x2, x0, x1]
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Propriedade
f [x0, x1, x2, . . . , xn] = f [xj0 , xj1 , xj2 , . . . , xjn ] , onde j0, j1, j2, . . . , jn equalquer permutacao de 0,1,2, . . . ,n.
Exemplo 6
f [x0, x1] = f [x1]−f [x0]x1−x0
= f [x0]−f [x1]x0−x1
= f [x1, x0]
f [x0, x1, x2] = f [x0, x2, x1] = f [x1, x0, x2] = f [x1, x2, x0] =f [x2, x1, x0] = f [x2, x0, x1]
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Propriedade
f [x0, x1, x2, . . . , xn] = f [xj0 , xj1 , xj2 , . . . , xjn ] , onde j0, j1, j2, . . . , jn equalquer permutacao de 0,1,2, . . . ,n.
Exemplo 6
f [x0, x1] = f [x1]−f [x0]x1−x0
= f [x0]−f [x1]x0−x1
= f [x1, x0]
f [x0, x1, x2] = f [x0, x2, x1] = f [x1, x0, x2] = f [x1, x2, x0] =f [x2, x1, x0] = f [x2, x0, x1]
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Forma de Newton
Seja f (x) uma funcao contınua (n+1) vezes diferenciavel nointervalo [a,b]. Sejam x0, x1, x2, . . . , xn (n + 1) pontos de [a,b].Seja p0(x) o polinomio de grau 0 que interpola f (x) em x0.Assim para x 6= x0:
f [x0, x ] = f [x ]−f [x0](x−x0) = f (x)−f (x0)
(x−x0)
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸p0(x)
+ (x − x0)f [x , x0]︸ ︷︷ ︸E0(x)
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Forma de Newton
Seja f (x) uma funcao contınua (n+1) vezes diferenciavel nointervalo [a,b]. Sejam x0, x1, x2, . . . , xn (n + 1) pontos de [a,b].Seja p0(x) o polinomio de grau 0 que interpola f (x) em x0.Assim para x 6= x0:
f [x0, x ] = f [x ]−f [x0](x−x0) = f (x)−f (x0)
(x−x0)
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸p0(x)
+ (x − x0)f [x , x0]︸ ︷︷ ︸E0(x)
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Forma de Newton
Seja f (x) uma funcao contınua (n+1) vezes diferenciavel nointervalo [a,b]. Sejam x0, x1, x2, . . . , xn (n + 1) pontos de [a,b].Seja p0(x) o polinomio de grau 0 que interpola f (x) em x0.Assim para x 6= x0:
f [x0, x ] = f [x ]−f [x0](x−x0) = f (x)−f (x0)
(x−x0)
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸p0(x)
+ (x − x0)f [x , x0]︸ ︷︷ ︸E0(x)
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Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]
(x − x1)=
=
f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]
(x − x1)=
f (x)−f (x0)(x−x0) −
(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=
f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
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Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]
(x − x1)=
=
f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]
(x − x1)=
f (x)−f (x0)(x−x0) −
(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=
f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
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Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]
(x − x1)=
=
f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]
(x − x1)=
f (x)−f (x0)(x−x0) −
(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=
f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
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Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]
(x − x1)=
=
f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]
(x − x1)=
f (x)−f (x0)(x−x0) −
(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=
f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
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Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]
(x − x1)=
=
f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]
(x − x1)=
f (x)−f (x0)(x−x0) −
(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=
f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
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Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]
(x − x1)=
=
f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]
(x − x1)=
f (x)−f (x0)(x−x0) −
(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=
f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
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Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]
(x − x1)=
=
f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]
(x − x1)=
f (x)−f (x0)(x−x0) −
(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=
f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
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Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]
(x − x1)=
=
f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]
(x − x1)=
f (x)−f (x0)(x−x0) −
(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=
f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
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Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]
(x − x1)=
=
f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]
(x − x1)=
f (x)−f (x0)(x−x0) −
(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=
f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
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Introducao Interpolacao Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Forma de Newton-Gregory
Vamos agora construir o polinomio de grau ≤ 1 que interpolaf (x) em x0 e x1:
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =f [x0, x ]− f [x1, x0]
(x − x1)=
=
f (x)−f (x0)(x−x0) − f [x0, x1]
(x − x1)=
f (x)−f (x0)(x−x0) −
(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=
f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)
(x − x1)
=f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x0)(x − x1)
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⇒ f [x0, x1, x ] = f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)(x−x1)
⇒ f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸p1(x)
+ (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸ ︷︷ ︸E1(x)
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⇒ f [x0, x1, x ] = f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)(x−x1)
⇒ f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸p1(x)
+ (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸ ︷︷ ︸E1(x)
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⇒ f [x0, x1, x ] = f (x)−f (x0)−(x−x0)f [x0,x1](x−x0)(x−x1)
⇒ f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸p1(x)
+ (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸ ︷︷ ︸E1(x)
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Aplicando o mesmo raciocınio temos a forma de Newton para opolinomio de grau ≤ n que interpola f (x) em x0, x1, . . . , xn:
pn(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] +
+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)f [x0, x1, . . . , xn]
O erro e dado por
En(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)f [x0, x1, . . . , xn, x ]
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Exemplo 7
Usando a forma de Newton, determine o polinomio de grau ≤ 2que interpola f (x) nos pontos da tabela
x -1 0 2f (x) 4 1 -1
Resposta
p(x) = 1− 73x + 2
3x2
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Exemplo 7
Usando a forma de Newton, determine o polinomio de grau ≤ 2que interpola f (x) nos pontos da tabela
x -1 0 2f (x) 4 1 -1
Resposta
p(x) = 1− 73x + 2
3x2
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1 Introducao
2 Interpolacao Polinomial
3 Forma de Lagrange
4 Forma de Newton
5 Forma de Newton-Gregory
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Diferencas Finitas
Seja f (x) uma funcao contınua no intervalo [a,b]. Sejamx0, x1, . . . , xn (n+1) pontos distintos do intervalo [a,b] tais quexi+1 − xi = h, para i = 0,1, . . . , (n − 1).
Definicao: Diferenca finita de ordem zero
Definimos diferenca finita de ordem zero de uma funcao f (x)definida nos pontos xi , i = 0,1, . . . ,n por:
∆0f (x) = f (x).
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Definicao: Diferenca finita de ordem r
A difenca finita de ordem r de uma funcao f (x) definida nospontos xi , i = 0,1, . . . ,n e dada por:
∆r f (xi) = ∆r−1f (xi + h)−∆r−1f (xi).
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Podemos organizar o calculo das diferencas finitas conforme atabela a seguir:
x ∆0f (x) ∆1f (x) ∆2f (x) ∆3f (x)
x0 ∆0f (x0)∆1f (x0)
x1 ∆0f (x1) ∆2f (x0)∆1f (x1) ∆3f (x0)
x2 ∆0f (x2) ∆2f (x1)∆1f (x2)
x3 ∆0f (x3)
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Exemplo 8
Considere uma funcao f (x) tabelada abaixo
xi 0,5 0,7 0,9 1,1f (xi) 5,8 7,9 10,1 12,3
Construa a tabela de diferencas finitas.
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Resposta
x ∆0f (x) ∆1f (x) ∆2f (x) ∆3f (x)0,5 5,8
2,10,7 7,9 0,1
2,2 -0,10,9 10,1 0
2,21,1 12,3
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TeoremaSeja f (x) uma funcao contınua e (n+1) vezes diferenciavel nointervalo [a,b]. Sejam x0, x1, . . . , xn (n+1) pontos distintos eequidistantes deste intervalo. Entao
f [x0, x1, . . . , xn] =∆nf (x0)
hnn!.
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Utilizando na forma de Newton para pn(x) o teorema anterior
pn(x) = f [x0]︸︷︷︸∆0f (x0)
+(x − x0) f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸∆f (x0)
1!h1
+(x − x0)(x − x1) f [x0, x1, x2]︸ ︷︷ ︸∆2f (x0)
2!h2
+
+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1) f [x0, x1, . . . , xn]︸ ︷︷ ︸∆nf (x0)
n!hn
temos a forma de Newton-Gregory para pn(x):
pn(x) = ∆0f (x0) + (x − x0)∆f (x0)
h+ (x − x0)(x − x1)
∆2f (x0)
2!h2 +
+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)∆nf (x0)
n!hn
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Utilizando na forma de Newton para pn(x) o teorema anterior
pn(x) = f [x0]︸︷︷︸∆0f (x0)
+(x − x0) f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸∆f (x0)
1!h1
+(x − x0)(x − x1) f [x0, x1, x2]︸ ︷︷ ︸∆2f (x0)
2!h2
+
+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1) f [x0, x1, . . . , xn]︸ ︷︷ ︸∆nf (x0)
n!hn
temos a forma de Newton-Gregory para pn(x):
pn(x) = ∆0f (x0) + (x − x0)∆f (x0)
h+ (x − x0)(x − x1)
∆2f (x0)
2!h2 +
+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)∆nf (x0)
n!hn
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Utilizando na forma de Newton para pn(x) o teorema anterior
pn(x) = f [x0]︸︷︷︸∆0f (x0)
+(x − x0) f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸∆f (x0)
1!h1
+(x − x0)(x − x1) f [x0, x1, x2]︸ ︷︷ ︸∆2f (x0)
2!h2
+
+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1) f [x0, x1, . . . , xn]︸ ︷︷ ︸∆nf (x0)
n!hn
temos a forma de Newton-Gregory para pn(x):
pn(x) = ∆0f (x0) + (x − x0)∆f (x0)
h+ (x − x0)(x − x1)
∆2f (x0)
2!h2 +
+ . . . + (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)∆nf (x0)
n!hn
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Exemplo 9
Considere a funcao f (x) tabelada nos pontos como segue
x 0 1 2f (x) 1 1
223
Determine o polinomio interpolador pela formula deNewton-Gregory e avalie f (1,3).
Resposta
p(x) = 1− 56x + 1
3x2
f (1,3) ∼= p(1,3) = 0,48
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Exemplo 9
Considere a funcao f (x) tabelada nos pontos como segue
x 0 1 2f (x) 1 1
223
Determine o polinomio interpolador pela formula deNewton-Gregory e avalie f (1,3).
Resposta
p(x) = 1− 56x + 1
3x2
f (1,3) ∼= p(1,3) = 0,48
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Na tabela abaixo temos o numero de operacoes efetuadasquando sao empregadas as formulas de interpolacao deLagrange, Newton e Newton-Gregory para um conjunto de npontos.
Adicoes Multiplicacoes Divisoes TotalLagrange n2 + n − 1 n2 − 1 2n 2n2 + 3n − 2Newton n2 + n − 2 2n − 3 n2−n
23n2+5n−10
2
Newton-Gregory n2+3n−42 2n − 3 n − 1 n2+9n−12
2
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