Download - Temporario Alg Linear
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
1/56
N I V E R S I D A D E
F E D E R A L
D E S A N T A C A T A R I N A
N I V E R S I D A D E
V I R T A L D O E S T A D O D O
M A R A N H Ã O
C E N T R O
D E
C I E N C I A S
I S I C A S M A T E M A T I C A S
C R S O
E S P E C I A L I Z A Ç Ã Q E M M A T E M Á T I C A
C L A D I O
D O S
R E I S L O B O
F I L H O
C L O V E M I L T O N
M E N E Z E S P E R E I R A
D I A G O N A L I Z A Ç A O
D E C O M P O S I Ç Ã O
L D E M A T R I Z E S
C A X I A S
2 0 0 9
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
2/56
C L A D I O
D O S R E I S
L O B O
F I L H O
C L O V E M I L T O N
M E N E Z E S
P E R E I R A
D I A G O N A L I Z A Ç Ã O
D E c o M P o s I Ç Ã o
M A T R I Z E S
T r a b a l h o
c o n c l u s ã o d e C u r s o a p r e s e n t a d o
C u r s o E s p e c i a l i z a ç ã o
M a t e m á t i c a
F o r m a ç ã o
P r o f e s s o r ,
D e p a r t a m e n t o
M a t e m á t i c a ,
C e n t r o d e C i ê n c i a s
F í s i c a s
M a t e m á t i c a s ,
n i v e r s i d a d e
F e d e r a l S a n t a
C a t a r i n a
c o n v ê n i o
c o m n i v e r s i d a d e V i r t u a l d o E s t a d o d o
M a r a n h ã o .
P r o f e s s o r : R o b e r t o
C o r r ê a S i l v a .
C A X I A S
2 0 0 9
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
3/56
. . - 2 .
5 1 5 .
= = E z i f * *
l z í z ë z š
V r ; _ _ l
: :
_ _
N I V E R S I D A D E
F E D E R A L D E
S A N T A
C A T A R I N A
C E N T R O
C I E N C I A S F Í S I C A S
M A T E M Á T I C A S
D e p a r t a m e n t o M a t e m á t i c a
C u r s o
d e E s p e c i a l i z a ç ã o
M a t e m á t i c a - F o r m a ç ã o
P r o f e s s o r n a m o d a l i d a d e d i s t â n c i a
" D i a g o n a I i z a ç ã o
D e c o m p o s i ç ã o
M a r r i z e s
M o n o g r a f i a s u b m e t i d a
a C o m i s s ã o d e
a v a l i a ç ã o
d o C u r s o E s p e c i a l i z a ç ã o
M a t e m á t i c a - F o r m a ç ã o d o
p r o f e s s o r
c u m p r i m e n t o p a r c i a l
p a r a
o b t e n ç ã o
t í t u l o d e E s p e c i a l i s t a
M a t e m á t i c a .
A P R O V A D A P E L A
C O M I S S Ã O
E X A M I N A D O R A
0 8 / 0 9 / 2 0 0 9
D r . R o b e r t o
C o r r e a d a
S i l v a
( C F M / F S C
O r i e n t a d o r )
D r ] O s c a r R i c a r d o
J a n e s c h
( C F M / F S C
E x a m i n a d o r )
D r . I n d e r
J e e t
T a n e j a ( C F M / F S C
E x a m i n a d o r )
r / 7
š r f r m r a a
P r o f ?
e r i
e r e z i n h a B o C a r v a l h o
( D r a )
C o o r d e n a d o r a
C u r s o " d e
E s p e c i a l i z a ç ã o
M a t e m á t i c a - F o r m a ç ã o d e
P r o f e s s o r
F l o r i a n ó p o l i s ,
S a n t a
C a t a r i n a ,
s e t e m b r o
2 0 0 9 .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
4/56
D e u s ,
n o s s o
o r i e n t a d o r
p r o f .
R o b e r t o
C o r r ê a
d a S i l v a t o d o s
a q u e l e s
q u e d e a l g u m a
f o n n a
t i v e r a m
c o n t r i b u i ç ã o p a r a
r e a l i z a ç ã o
d e s t e t r a b a l h o .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
5/56
S e
e n s i n o
d e M a t e m á t i c a , n o s c u r s o s
b á s i c o s ,
f o s s e
f e i t o
c o m o r e a l m e n t e
d e v e r i a
s e r ,
c o m v i v o
i n t e r e s s e ,
c l a r e z a
s i m p l i c i d a d e ,
e s s a
f a b u l o s a
c i ê n c i a
e x e r c e r i a
s o b r e
t o d o s
h o m e n s
e s t r a n h a d e s m e d i d a
f a s c i n a ç a o
( R E Y
P A S T O R ,
M a t e m á t i c o
e s p a n h o l ) .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
6/56
R E S M O
N e s t e
t r a b a l h o , a p r e s e n t a m o s
d i a g o n a l i z a ç ã o f a t o r a ç ã o
m a t r i z e s .
p r i m e i r a
d e c o m p o s i ç ã o
s e r á d a
f o r m a
M D M " ,
o n d e
u m a
m a t r i z d i a g o n a l
é a m a t r i z d o s
a u t o v e t o r e s
d e A .
s e g u n d a d o t i p o
q u e
é u m a m a t r i z
t r i a n g u l a r i n f e r i o r
e s c a l o n a d a . D e v e m o s
e s c r e v e r e s t a s
d e f i n i ç õ e s ,
e x e m p l o s
r e s u l t a d o s .
C o m o
a p l i c a ç õ e s ,
p a r a
o p r i m e i r o
c a s o ,
v e r e m o s
c o m o
c a l c u l a r
A p ,
s e n d o
u m n ú m e r o n a t u r a l
e v e n t u a l m e n t e
m u i t o
g r a n d e p a r a
s e g u n d o ,
i l u s t r a r e m o s a
t e o r i a
m o s t r a n d o
u m p r o b l e m a
R e s o l u ç ã o
S i s t e m a s
E q u a ç õ e s
L i n e a r e s .
P a l a v r a s - c h a v e :
D e c o m p o s i ç ã o .
D i a g o n a l i z a ç ã o .
M a t r i z e s . E q u a ç õ e s
L i n e a r e s .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
7/56
s M Á R 1 o
I N T R O D Ç Ã O
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O P E R A D O R E S
L I N E A R E S
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 1
. D e f i n i ç a o
O p e r a d o r e s L i n e a r e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 2
I s o r n o r s m o
O p e r a d o r I n v e r s í v e l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 3
M u d a n ç a
B a s e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 4 M a t r i z e s
S e m e l h a n t e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 5
A u t o v a l o r e s
A u t o v e t o r e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 6
A u t o e s p a ç o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 7
P o l i n ô m i o C a r a c t e r í s t i c o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . 8
D e t e r m i n a ç ã o d e A u t o v a l o r e s
A u t o v e t o r e s
M a t r i z e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D I A G O N A L I Z A Ç Ã O
O P E R A D O R E S
L I N E A R E S
E M A T R I Z E S
. . . . . . . . . . .
2 . 1
D i a g o n a l i z a ç ã o O p e r a d o r e s
L i n e a r e s
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 . 2
D i a g o n a l i z a ç ã o d e M a t r i z e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 . 3
A p l i c a ç ã o D i a g o n a l i z a ç ã o :
P o t ê n c i a s
u m a
M a t r i z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D E C O M P O S I Ç A O
L D E
M A T R I Z E S
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 . 1
D e f i n i ç ã o D e c o n p o s i ç ã o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 . 2
A p l i c a ç ã o D e c o m p o s i ç ã o
R e s o l u ç ã o
d e S i s t e m a s
E q u a ç õ e s
L i n e a r e s
C O N S I D E R A Ç Õ E S
F I N A I S
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B I B L I Q G R A F I A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
8/56
I N T R O D Ç Ã O
A s s i m
c o m o
f a t o r a ç ã o
n ú m e r o
n a t u r a l , d e c o m p o s i ç ã o
d e u m a m a t r i z
c o m o
p r o d u t o d u a s o u
m a i s
m a t r i z e s ,
p o d e
s e r
b a s t a n t e ú t i l
r e s o l u ç ã o
v á r i o s
p r o b l e m a s
E n g e n h a r i a ,
F í s i c a B i o l o g i a . N o c a s o
d i a g o n a l i z a ç ã o ,
u s a m o s
i n f o r m a ç ã o
s o b r e
a u t o v a l o r e s
a u t o v e t o r e s c o n t i d a
n u m a m a t r i z
p a r a
a p r e s e n t a r
u m a
f a t o r a ç ã o
t i p o
M D M 4 ,
o n d e
m e s m a
n o s
p e r m i t e c a l c u l a r
r a p i d a m e n t e p a r a v a l o r e s g r a n d e s
d e c o m p o s i ç ã o
g e r a l m e n t e
u s a d a
p a r a r e s o l v e r
s i s t e m a s
e q u a ç õ e s
l i n e a r e s
o r d e m
m a i o r o u i g u a l
q u a t r o ,
n o s
q u a i s m é t o d o s c o n v e n c i o n a i s
f i c a m d i f í c e i s
s e r e m
a p l i c a d o s .
t r a b a l h o
e s t á
d i v i d i d o t r ê s
c a p í t u l o s .
c a p í t u l o
i n t r o d u z i m o s
i d é i a d e
o p e r a d o r e s
l i n e a r e s ,
d e s t a c a n d o
d e t e r m i n a ç ã o
d o s
a u t o v a l o r e s
a u t o v e t o r e s ,
c o m s u a s
d e n i ç õ e s ,
p r o p r i e d a d e s
a p l i c a ç õ e s .
c a p í t u l o
a p r e s e n t a m o s
c r i t é r i o s
d i a g o n a l i z a ç ã o
o p e r a d o r e s l i n e a r e s e m a t r i z e s ,
q u a l ,
a b o r d a m o s
t e o r e m a s
p r o p r i e d a d e s i l u s t r a m o s
e s s a
t e o r i a
c o m
u m a
a p l i c a ç ã o
s o b r e p o t ê n c i a
d e m a t r i z e s .
F i n a l m e n t e , c a p í t u l o e s t u d a m o s d e c o m p o s i ç ã o
u m a
m a t r i z
s e u s
c o n c e i t o s
f u n d a m e n t a i s
p r o p r i e d a d e s . D e s t a c a m o s
a i n d a u m p r o b l e m a
s o b r e
r e s o l u ç ã o
s i s t e m a
e q u a ç õ e s
l i n e a r e s u s a n d o
e s s a
d e c o m p o s i ç ã o ,
q u e
s e r v i r á c o m o b a s e
a p l i c a ç ã o
o u t r a s
s i t u a ç õ e s .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
9/56
O P E R A D O R E S
L I N E A R E S
A d m i t i n d o
c o n h e c i d a
a t e o r i a
E s p a ç o s
V e t o r i a i s
T r a n s f o r m a ç õ e s l i n e a r e s ,
a b o r d a r e m o s
a q u i e s t u d o s a
p a r t i r O p e r a d o r e s
L i n e a r e s . N e s t e e s t u d o
v a m o s t r a b a l h a r
a p e n a s
c o m
E s p a ç o s
V e t o r i a i s
r e a i s ,
c u j a t e o r i a
e l e m e n t a r p o d e
s e r e n c o n t r a d a
[ l ] ,
[ 6 ]
c i t a d o s
n a s
r e f e r ê n c i a s
b i b l i o g r á f i c a s .
T o d a s
a s p r o p r i e d a d e s
e s t u d a d a s n a s
t r a n s f o r m a ç õ e s
l i n e a r e s
s u a s r e s p e c t i v a s
m a t r i z e s
r e t a n g u l a r e s
s ã o v á l i d a s t a m b é m
p a r a
o p e r a d o r e s l i n e a r e s .
e n t a n t o ,
e s t e s s u a s
c o r r e s p o n d e n t e s
m a t r i z e s
q u a d r a d a s p o s s u e m
o u t r a s p r o p r i e d a d e s
p a r t i c u l a r e s ,
q u e
e s t u d a r e m o s
n e s t e c a p í t u l o .
1 . 1
D e f i n i ç ã o :
T o d a
T r a n s f o n n a ç ã o
L i n e a r
e s p a ç o
v e t o r i a l
m e s m o ,
i s t o
c h a m a d a d e
O p e r a d o r
L i n e a r s o b r e
1 . 1 . 1
E x e m p l o :
D a d a a
f u n ç ã o
. -
d e f i n i d a p e l a
l e i
T ( X ,
2 3 / ,
4 y ) ,
v e r i f i c a m o s q u e
o p e r a d o r
l i n e a r ,
p o i s :
S e j a , t = ( x , y ) E R 2 e v = ( a , b ) E R 2 , t e m o s :
i ) T ( H + V ) = T ( ( X , Y ) + ( b ) )
= T ( x + a , y + b )
= ( X + a - 2 ( y + b ) z 3 ( X + ) + 4 ( Y + b )
. = ( x + a - 2 y - 2 b i , 3 x + 3 a + 4 y + 4 b )
= ( x - 2 y + a - 2 b , 3 x + 4 y + 3 a + 4 b )
= ( x - 2 y , 3 x + 4 y ) + ( a - 2 b , 3 a + 4 b )
= T ( x ,
y ) + T ( a ,
T ( l 1 ) +
T ( V )
D a d o
( X ,
e o t
t e m o s :
i i )
T ú w )
T ( < 1 ( X z
Y ) )
T ( o . x ,
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
10/56
( a x 2 o t y ,
š a x
4 o z y )
1 ( x
2 y , 4 y )
T ( X ,
= m
L o g o ,
t e m o s
q u e
é , u m
O p e r a d o r
L i n e a r .
1 . 1 . 2 E x e m p l o :
D a d a a
f u n ç ã o
d e n i d a
p e l a
l e i
T ( X
: ( l x l
t e m o s
q u e
e s t e
n ã o
o p e r a d o r
l i n e a r ,
p o i s :
S e j a m
( x ,
( a ,
v e t o r e s
g e n é r i c o s
R 2 .
T u x ,
( a ,
b > 1
T o )
T o )
" f × ,
T o ,
= T < + a ,
y + b >
= × 1 , 2 y > + a | , 2 b >
+ z | ,
2 y + b
= < 1 1
+ l a 1 , 2 y + 2 b
( l x
a l ,
2 y i
2 b )
O b s e r v a m o s q u e
| x V +
l x ]
l a ]
n ã o v e r d a d e i r a ,
p o i s
p a r a
t e m o s :
l 1 + ( - 3 ) l I 1 l + l - 3 !
L o g o ,
T n ã o m n o p e r a d o r
l i n e a r .
1 . 2 I s o m o r s m o
O p e r a d o r
I n v e r s í v e l
1 . 2 . 1
D e f i n i ç ã o :
T o d a
t r a n s f o r m a ç ã o
l i n e a r T :
e s p a ç o
v e t o r i a l
e s p a ç o
v e t o r i a l
q u e s e j a b i j e t o r a d e n o m i n a d a
i s o m o r s m o
c a s o
q u e
o p e r a d o r
l i n e a r ,
s e j a ,
t e r e m o s
a u t o m o r s m o d e V .
1 . 2 . 2
P r o p o s i ç ã o :
i s o m o r s m o
e n t ã o
T 4 :
e -
t a m b é m
i s o m o r s m o
( d e
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
11/56
D e m o n s t r a ç ã o :
C o m o
b i j e t o r a ,
e n t ã o ,
e x i s t e
f u n ç ã o
i n v e r s a
T 4 .
M o s t r a r e m o s
s e g u i r q u e
u m a
t r a n s f o r m a ç ã o l i n e a r .
( I )
S e j a m
v ,
c o n s i d e r e m o s
( v
v z )
C o m o
s o b r e j e t o r a ,
e n t a o
e x i s t e m
u l ,
d e m a n e i r a
q u e
T ( u )
T " ( v )
T ( u z )
T " ( v z )
u z .
S u b s t i t u i n d o
e s t e s
r e s u l t a d o s
i g u a l d a d e
i n i c i a l ,
t e m o s :
< T < u .
T t u z
( T o ,
u z
r v . T v z .
A s s i m :
T ( v .
v z )
T ( v , )
r * ( v z )
( I I )
S e n d o
T ( o . u )
u v ,
T ( v ) ,
t e m o s :
T * ( z v )
T ( T ( z u ) )
z T * ( v ) .
P r o v a r e m o s
a g o r a
q u e é b i j
e t o r a
c o n s e q u e n t e m e n t e
i s o m o r s m o .
( 1 1 1 )
s u p o n h a m s
V . ,
( v , )
T * ( v z )
E n t ã o
T ( u )
T ( u )
v z .
D a í ,
v z .
L o g o
i n j e t o r a .
( I V )
D a d o
t o m a n d o
T ( u )
t e r e m o s :
T ( V )
T l ( T ( 1 1 ) )
0 q u e
m o s t r a
q u e
s o b r e j e t o r a .
C o m o é u m a
t r a n s f o r m a ç ã o
l i n e a r
b i j e t o r a ,
l o g o é
i s o m o r s m o .
T e n d o c o m o
b a s e
t e o r i a n ú c l e o
i m a g e m
u m a
T r a n s f o r m a ç ã o L i n e a r ,
p o d e m o s
c i t a r
s e g u i n t e
c o r o l á r i o :
1 . 2 . 3 C 0 l 0 r á r i 0 :
S e j a
u m a
t r a n s f o r m a ç ã o
l i n e a r .
d i m
d i m V ,
e n t ã o
i n j e t o r a ,
s e e
s o m e n t e
s e ,
é s o b r e j e t o r a .
N o t a : C o m o
n e s t e
e s t u d o e s t a m o s n o s
l i m i t a n d o
o p e r a d o r e s
l i n e a r e s ,
a d i m e n s ã o
d o s
e s p a ç o s
v e t o r i a i s s e r á
s e m p r e a
m e s m a . D e s s a
f o r m a ,
p o d e m o s
p r o v a r
q u e
é u m
a u t o m o r s m o
s i m p l e s m e n t e m o s t r a n d o
q u e T
i n j e t o r a
( o u
s o b r e j e t o r a )
c o n s e q u e n t e m e n t e
v e r e m o s q u e
e x i s t e
o p e r a d o r i n v e r s o
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
12/56
1 . 2 . 4
E x e m p l 0 .
M o s t r a r q u e
o p e r a d o r l i n e a r
d e n i d o
p o r
T ( x , y , z ) = ( x , x - y , 2 x + y ~ Z ) l
a u t o m o r s m o e
d e t e r m i n a r
S o l u ç ã o :
P r i m e i r a m e n t e
d e t e r m i n a r e m o s
N ( T )
a t r a v é s
d o S i s t e m a :
x = O
x ~ y = O
2 x + y ~ z = 0
C u j a ú n i c a
s o l u ç ã o
( 0 ,
0 ) .
L o g o ,
N ( T )
{ ( O ,
0 ) }
- = >
i n j e t o r a .
C o m
b a s e
c o r o l á r i o
a c i m a ,
p o d e m o s a r m a r
q u e
u m a u t o m o r s m o .
A g o r a ,
s e n d o
( a ,
T " ( x , e a p l i c a n d o
T e m a m b o s o s
m e m b r o s
d e s s a
i g u a l d a d e ,
t e m o s :
T @ a @ = W @ J J
C o m o
T " ( T ( x ,
2 ) )
( x ,
z ) ,
p o d e m o s
e s c r e v e r
T ( a ,
( x , z ) ,
a s s i m :
T ( a ,
( a ,
a - b ,
2 a + b
( x ,
a - b = y
2 a + b - c = z
O q u e r e s u l t a a = x , b = x - y e c = 3 x - y - Z .
L o g o ,
T < ,
( X ,
~ y ,
~ z .
1 . 3
M u d a n ç a
B a s e
S e j a m
b a s e s
e s p a ç o
v e t o r i a l
F a r e m o s
r e l a ç ã o
e n t r e a s
c o o r d e n a d a s
v e t o r v
r e l a ç ã o
b a s e
c o m
c o o r d e n a d a s
d e s t e
m e s m o
v e t o r r e l a ç ã o
b a s e
F a r e m o s
c o n s t r u ç ã o
p a r a
e s p a ç o
v e t o r i a l
d i m e n s ã o
p a r a
c o m
d i m e n s ã o
c o n s t r u ç ã o é
a n á l o g a .
S e j a m
{ v 1 ,
v 2 } { w ,
w 2 }
b a s e s
V . D a d o
v e t o r
s e n d o
e s t e
c o m b i n a ç ã o
l i n e a r
d o s v e t o r e s d a s
b a s e s
X } V 1
X 2 V z
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
13/56
[ V ] / t
( x t ,
x z )
) t W
Y 2 W 2 ( H )
[ V ] B ( Y i ,
Y 2 )
P o d e m o s
t a m b é m
f a z e r
u m a l r e l a ç ã o
e n t r e
v e t o r e s
d a b a s e
A c o m
o s d a
b a s e
i s t o
a 1 2 W 1 + a 2 2 W 2
V 1 :
a n W 1 + a 2 | W 2 }
( H I )
S u b s t i t u i n d o
( I I I )
( I ) ,
t e m o s :
( G H W 1
2 1 W 2 )
( a t 2 W |
a 2 2 W 2 )
( a t
t x t
a t z X z ) w t
( a z t x t
a z z X z ) W z ( I V )
C o m p a r a n d o
( I V )
c o m
( I I )
v e m q u e :
a 1 | X 1 +
ë l 1 2 X 2
a 2 t X t
a 2 2 X 2
[ y t : : I : a n
a t 2 ; H : X t J
a z t
a 2 2
f o r m a
m a t r i c i a l
p o d e m o s
r e p r e s e n t a r
s i m p l e s m e n t e
p e l a
e q u a ç ã o :
I V I B
[ V I A
O n d e a m a t r i z :
[ I E
c h a m a d a m a t r i z m u d a n ç a
b a s e
p a r a B .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
14/56
( ) b s e r v a ç õ e s :
F a z e n d o
c o m p a r a ç ã o
m a t r i z
[ I ] Ê
c o m
( I I I ) ,
o b s e r v a - s e
q u e :
a n a n
I V I I B :
I V z ] B
m a t r i z
[ I ] Ê
m a t r i z o p e r a d o r l i n e a r
i d e n t i d a d e
V ~ + V
c o n s i d e r a d o
n a s
b a s e s
e B .
i n v e r s a
m a t r i z
m u d a n ç a
b a s e
p a r a
é a m a t r i z
m u d a n ç a
_ d e
b a s e
p a r a
s e j a ,
( [ I ] Ê ) "
[ I ] Ê
1 . 3 . 1
E x e m p l o :
C o n s i d e r e m o s
b a s e s
{ v ,
v z } { W ,
w z }
R 2 ,
o n d e
v = ( - 1 , 1 ) ,
v 2 = ( 1 , 0 ) , w = ( 2 , - I ) e w z = ( - 1 , I ) .
V a m o s
d e t e r m i n a r a m a t r i z
m u d a n ç a
d e b a s e d e
p a r a
S o l u ç ã o :
a l l
a l 2
z l í a
[ m r
A g o r a
f a r e m o s
u m a
c o m b i n a ç ã o
l i n e a r
d o s
v e t o r e s d a b a s e
r e l a ç ã o
b a s e
V ] = ( - 1 , 1 ) :
a | | ( 2 ,
- 1 ) + 8 2 | ( - I ,
O + a
{ 2 a 1 1 a 2 1 : _ 1
a - 1 | + a 2 i : ]
1 1 2 :
2 1 -
a H = O
a 2 | : 1
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
15/56
A s s i m ,
l V I l B
( l ,
3 . | z ( 2 ,
- 1 )
3 z z ( - l ,
O u
2 a 2 * a 2 2 : 1
- a I 2 + a 2 2 : 0
a 1 2 + a 2 2 : 0
- 1 + a z z = 0
a n z l
a z z
L o g o ,
[ v z ] B =
e p o r t a n t o [ I ] B
1 . 3 . 2
P r o c e s s o
P r á t i c o p a r a
d e t e r m i n a ç ã o
m a t r i z
m u d a n ç a
d e b a s e
B a s e a d o
e m c o m p o s t a
t r a n s f o r m a ç õ e s
l i n e a r e s s a b e n d o q u e
m a t r i z
m u d a n ç a
b a s e d e u m a
b a s e q u a l q u e r
p a r a a
c a n ô n i c a
m a t r i z
c u j a s
c o l u n a s s ã o a s c o o r d e n a d a s d o s
v e t o r e s d a
b a s e ,
p o d e m o s
e s c r e v e r
r e l a ç ã o
a b a i x o . t
S a b e n d o
q u e
s ã o b a s e s
e s p a ç o
v e t o r i a l b a s e
c a n ô n i c a ,
t e m o s
q u e :
I l ê
= ( m 2 > " m ê
I s t o
= B _ ] A
o n d e
s ã o m a t r i z e s c u j a s
c o l u n a s
s ã o
f o n n a d a s p e l o s
v e t o r e s d a s
b a s e s
r e s p e c t i v a m e n t e .
1 . 3 . 2 . 1 E x e m p l 0 :
V a m o s
c a l c u l a r
m a t r i z
m u d a n ç a
d e b a s e
p a r a B d o
e x e m p l o
( 1 . 3 . 1 ) ,
u s a n d o
p r o c e s s o p r á t i c o .
T e m o s
q u e :
{ v ,
v 2 } { w , _ W z } ,
d a i :
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
16/56
: B - I A I L 2 1
i i l i l i i i i i
i i i ?
- 1 + 1
1 + o
_ - 1 + 2 1 + o
1 . 4
M a t r i z e s
S e m e l h a n t e s
1 . 4 . 1
D e f i n i ç ã o :
D u a s m a t r i z e s
s ã o
s e m e l h a n t e s s e
e x i s t e
u m a
m a t r i z i n v e r s í v e l
t a l q u e
M J B M .
t e r m o s d e m a t r i z e s o p e r a d o r e s ,
m a t r i z m u d a n ç a
b a s e d e
p a r a
p o d e m o s
e s c r e v e r :
1 . 4 . 2
P r o p r i e d a d e :
A s m a t r i z e s s e m e l h a n t e s
[ T ] [ T ] B
p o s s u e m o
m e s m o
d e t e r m i n a n t e .
D e m o n s t r a ç ã o :
P a r t i n d o
q u e ,
s e g u e q u e :
M [ T l B
l T l A
d a í ,
d e t M
d e t [ T ] B
d e t [ T ] A
d e t M
A s s i m :
[ T ] B
d e :
[ T ] , .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
17/56
1 . 4 . 3
E x € m p l 0 .
S e j a
o p e r a d o r
l i n e a r
c o n s i d e r e m o s
a s b a s e s
{ ( 1 ,
O ) ,
( O t ,
1 ) }
{ ( 4 ,
1 ) ,
( ~ 1 1 V ,
- 3 ) } .
S a b e n d o q u e
[ T ] A
L 1 1
v a m o s
d e t e r m i n a r
u m a
m a t r i z
[ T ] B
s e m e l h a n t e
[ T ]
S o l u ç ã o :
P a r a
c a l c u l a r a
m a t r i z
[ T ] B
v a m o s
u t i l i z a r
r e l a ç ã o
[ T ] B
[ T ] A M ,
o n d e
m a t r i z
m u d a n ç a
b a s e
p a r a
t i l i z a n d o - s e
p r o c e s s o p r á t i c o ,
t e m o s
q u e :
[ 1 ]
A " B
i s t o
: H i
1 2 H ? H z ~ J ; H :
1 2 1
M i z
- 1 1
- 1 1
O g o
- é i i i - 1
z i i i i
_ = 1 4
- 5 3 - 1 1
_ _ 5
- 1 9
s ó - 5 3 - 1 5 4 + 1 5 9
_ 2 o - 1 9
- 5 5 + 5 7
3 5 V
P o d e m o s m o s t r a r
a i n d a
q u e ,
c o m o m a t r i z e s
[ T ] A
[ T ] B
s ã o s e m e l h a n t e s ,
e n t ã o ,
p o s s u e m
m e s m o
d e t e r m i n a n t e ,
s e j a :
d e t [ T ] A
d e t [ T ] B
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
18/56
S e g u e q u e :
- 3
à - z r [ T ] A
z _ 1
1 : 4 - 3 : 1
1 t [ T ] ,
z ó - 5
s e j a ,
[ T ] A
[ T ] B
p o s s u e m m e s m o d e t e r m i n a n t e .
1 . 5
A u t o v a l o r e s
A u t o v e t o r e s :
C o n s i d e r e
o p e r a d o r l i n e a r T :
V - V .
D a d o
v e r e m o s
s e g u i r
i m p o r t a n t e
T ( u )
p o s s u í r e m m e s m a
d i r e ç ã o .
1 . 5 . 1
D e f i n i ç ã o :
D a d o
e s p a ç o
v e t o r i a l e s e j a T :
V - * V
o p e r a d o r l i n e a r .
v e t o r
a u t o v e t o r e x i s t e
u m e s c a l a r
t a l
q u e
T ( u )
l u ,
s e n d o
d i t o
a u t o v a l o r
a s s o c i a d o a
N o t a :
a c o r d o
c o m a
d e n i ç ã o ,
v e t o r
d i t o a u t o v e t o r
s e e x i s t e
u m a
i m a g e m
T ( v )
m ú l t i p l o
e s c a l a r
P o d e m o s d i z e r q u e n o e n o
T ( v )
t ê m a m e s m a
d i r e ç ã o .
D e s s a
f o r m a ,
d e p e n d e n d o d o
v a l o r
o p e r a d o r d i l a t a
c o n t r a i s e 0
i n v e r t e
s e n t i d o v s e à a n u l a v q u a n d o O b s e r v e q u e n a
g u r a
( l . 5 a )
o v e t o r v E
a u t o v e t o r
o p e r a d o r
q u e
i n v e r t e
o s e n t i d o d e
i s t o
p o r q u e
0 . J á
f i g u r a
( l . 5 b )
i l u s t r a
v e t o r
q u e
n ã o é
a u t o v e t o r
o p e r a d o r
p o i s
T ( p )
n ã o
m ú l t i p l o
e s c a l a r d e
F i g u r a l . 5 a
F i g u r a l . 5 b
1 . 5 . 2
E . c e m p l 0 :
v e t o r
( 2 ,
a u t o v e t o r
o p e r a d o r
l i n e a r
R 2 , d e n i d o
p o r
T ( x , y )
( 2 x
3 y ,
2 y )
a s s o c i a d o
a u t o v a l o r 7 r
p o i s :
T ( _ v ) =
T ( 2 ,
2 ) z ~ z
( 1 o , 1 0 )
5 ( 2 , 2 )
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
19/56
c o n t r a p a r t i d a ,
v e t o r
( 1 ,
n ã o é
a u t o v e t o r
p o i s :
T ( u ) = T ( 1 , 2 ) = ( 2 - 1 + 3 ~ 2 , 3 - 1 + 2 - 2 ) = ( 8 , 7 ) ? t ( 1 , 2 )
s e j a ,
n ã o
e x i s t e
X p a r a e s s a
i g u a l d a d e ,
l o g o
s i s t e m a
n ã o
t e m
s o l u ç ã o .
1 . 5 . 3 E x e m p l o :
D a d o
v e t o r
( 1 , 1 , l )
o p e r a d o r l i n e a r
d e n i d o
p o r
T ( x , y , z )
z ) ,
t e m o s
q u e
a u t o v e t o r a s s o c i a d o
a u t o v a l o r
p o i s :
T ( v )
T ( l , l , 1 ) = ( 1 + 1 , 1 + 1 , l + 1 ) = ( 2 , 2 , 2 ) =
2 ( 1 , 1 , 1 )
2 v .
q u e
n ã o
o c o r r e c a s o d a d o
v e t o r u
( 1 ,
3 ) ,
p o i s :
T ( u )
T ( l , 2 , 3 )
2 . 2
3 , 1 +
( 3 , 5 , 4 )
7 t ( l , 2 , 3 )
s e j a ,
n ã o
e x i s t e
p a r a
e s s a
i g u a l d a d e ,
c o n s e q u e n t e m e n t e
u n ã o
a u t o v e t o r
1 . 6
A u t o e s p a ç o
1 . 6 . 1
D e f i n i ç ã o :
S e n d o X u m
a u t o v a l o r
o p e r a d o r
l i n e a r
V ~ > V ,
t e m o s
c o n j u n t o
P O . )
{ u E
| T ( u ) =
9 t u }
d e t o d o s
v e t o r e s
i n c l u i n d o
n u l o ,
d e n o m i n a d o
a u t o e s p a ç o
a s s o c i a d o a o
a u t o v a l o r
1 . 6 . 2
T e o r e m a :
c o n j u n t o
f o r m a d o
p e l o s
a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s
a u t o v a l o r
9 e o
v e t o r n u l o
s u b e s p a ç o
v e t o r i a l
i s t o
P O . )
T ( u )
7 t u }
s u b e s p a ç o
D e m o n s t r a ç ã o :
d e m o n s t r a ç ã o
s e r á f e i t a c o m
P ( ) t )
R 2 ,
p a r a o
i n t e i r a m e n t e
a n á l o g a .
D a d o s
P ( 7 t )
t e m o s
q u e :
( 0 , 0 )
P ( ? t ) ,
p o i s
T ( 0 , ( ) ) ? t ( 0 , 0 )
( 0 , 0 )
i i ) T ( v +
v z )
T ( v | )
T ( v z )
7 t ( v
v z ) ,
e n t ã o :
v 1
P o t ) .
i i i )
T ( o < V )
T ( v )
< > < ( 7 t
V 1 )
M O C V 1 ) ,
l o g o :
z w .
P o ) .
1 . 6 . 3
E x e m p l o : S a b e n d o
q u e X
a u t o v a l o r
o p e r a d o r
l i n e a r
t a l
q u e ,
T ( X , 2 Y z
4 Y )
D e t e r m i n a r e m o s
a u t o e s p a ç o
a s s o c i a d o
e s s e
a u t o v a l o r .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
20/56
S o l u ç a o z
P ( 2 ) =
{ ( X ,
T ( X ,
2 ( X ,
Y ) }
{ ( X ,
2 Y ,
4 Y )
( 2 X ,
2 Y ) }
= { ( X , Y ) € R * I X + 2 Y = 2 X , - > < + 4 Y = 2 Y }
= { ( X , Y ) E R * l X = 2 Y }
{ ( 2 Y z
R }
- = { Y ( 2 1 ) | Y € R }
= [ ( 2 z 1 ) ]
A s s i m ,
c o n j u n t o
P ( 2 )
{ y ( 2 ,
[ ( 2 , 1 ) ]
a u t o e s p a ç o
a s s o c i a d o a
q u e
g e o m e t r i c a m e n t e
r e p r e s e n t a d o p e l a r e t a L .
. . . _ _ _
F i g . L é a
1 . 7
P o l i n ô m i o
C a r a c t e r í s t i c o
1 . 7 . 1
D e f i n i ç ã o :
S e j a
A = ( a
M ( n ,
R ) ,
d e n o m i n a m o s
p o l i n ô m i o c a r a c t e r í s t i c o
g r a u
p o l i n ô m i o
s e g u i r :
3 1 2
P ^ ( Ú = d e t . _ _ Ê _ 2 _ 1
_ _ _ _
. ? . 2 _ 2 . Í . Ê _ , . . , í ,
. . . . .
. _ * Ê 2 v _ . _
: d ° * ( ^ t I )
a n ? - t
a m - t
s e j a ,
P A ( t )
d e t ( A
t l n )
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
21/56
1 . 7 . 2
D e f i n i ç ã ü :
D a d o u m
e s p a ç o
v e t o r i a l
d i m e n s ã o
V u m
o p e r a d o r
l i n e a r . D e n o m i n a - s e
P o l i n ô m i o C a r a c t e r í s t i c o
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
m a t r i z d e
T e m
r e l a ç a o
a q u a l q u e r
b a s e
d e V . s a r e m o s a
i n d i c a ç ã o
P T ( t ) .
Ó b s e r v a ç ã o t
O p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
i n d e p e n d e d a
e s c o l h a u m a b a s e
p a r a
p o i s
d e t e r m i n a n t e d e m a t r i z e s
s e m e l h a n t e s
i g u a l .
1 . 7 . 3
T e o r e m a :
S e j a
T u m
o p e r a d o r l i n e a r , e n t ã o ,
a u t o v a l o r e s
s ã o r a í z e s r e a i s
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
P T ( t ) .
D e m o n s t r a ç ã o :
a c o r d o c o m a
d e n i ç ã o
( 1 . 5 . 1 )
t e m o s
q u e é u m
a u t o v a l o r d e T
s e ,
s o m e n t e
s e ,
N u c
( [ T ] C
M n )
{ 0 } ,
i s t o
g a r a n t e
q u e
[ T ] C
n ã o i n v e r s í v e l , m a i s ,
g a r a n t e
a i n d a
q u e
d e t ( [ T ] C
M n )
0 . P o r
d e f i n i ç ã o
d e t ( [ T ]
X L . )
d e t ( [ T ] C
t l n )
P T ( t ) ,
a s s i m o
t e o r e m a
e s t á
p r o v a d o .
N o t a :
e s p a ç o
v e t o r i a l
s o b r e
n ú m e r o d e
a u t o v a l o r e s
o p e r a d o r
l i n e a r
- * V
m e n o r
o u i g u a l à
d i m e n s ã o
p o i s
a l g u m a s d a s
r a í z e s
P T ( t )
p o d e m
n ã o
s e r
r e a i s .
1 . 7 . 4
E x e m p l o f
S e j a
o p e r a d o r
l i n e a r
d e f i n i d o
p o r
T ( X , y , 2 ) = ( X + y + 2 , 2 y + Z ¬ 2 y + 3 Z ) ,
e n c o n t r a m o s
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
d e t e r m i n a d o
p e l a
m a t r i z
b a s e
c a n ô n i c a
d a s e g u i n t e
f o r m a :
A z [ T ] C = 0
2 1 , 1 = 0 1 0 , 1 1 = 0 1 0
1 > T ( 1 ) = â e 1 ( A - 1 1 )
1 - 1
= â (
2 - 1
3 - :
L o g o ,
1 - 1 , 1 1 - 1 1
2 - t
2 - t
- _
t - Y *
: ( 1 - i ) ( 2 - 1 ) ( 3 - 1 ) - 2 ( 1 - 1 )
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
22/56
= ( 1 ~ f ) { ( 2 - 1 ) ( 3 - Í ) - 2 1
= i ( 1
- 1 )
[ ( 6 - 2 :
- 3 1
t z )
- 2 ]
= n - o w - a + @
= - t 3 + 6 t 2 - 9 t + 4
c u j a s
r a í z e s
e m R s ã o :
A s s i m ,
a u t o v a l o r e s
s ã o :
s e n d o p r i m e i r o c o m
m u l t i p l i c i d a d e
I . 7 . 5
E x e m p l o :
S e j a 0 o p e r a d o r
l i n e a r T : d e n i d o p o r
T ( X s
Z ) : ( X
X + y _ 2 Z :
y _ Z )
E n c o n t r a r e m o s
p e l a
m a t r i z
n a b a s e c a n ô n i c a d o
R 3 ,
o p o l i n ô m i o c a r a c t e r í s t i c o d o
o p e r a d o r
S e g u e
q u e :
1 0 0
n l o o
t o _ o
A z [ T ] C = 1
1 - 2 , 1 = o 1
o , ú 1 = o
o 1 ~ 1
0 0 1 o o :
L o g o ,
P T ( t )
d e t ( A
t l )
l _ ~ t
= d e
_ l - t
- 1 - t
l - t
l - t
= ( 1 - ) ( 1 - ú ) ( - 1 - ú ) + 2 ( 1 ~ : )
_ 1 _
I -
) . _
1 1 ~ t
: ( 1 - Í ) [ ( 1 ~ Í ) ( - 1 ~ Í ) +
= ( 1 - ) ( t 2 + 1
= - t 3 + t 2 - t + 1
C u j a s
r a i z e s
s ã o : l E
~ i ,
( C .
P o r t a n t o ,
ú n i c o
a u t o v a l o r
l ~ ,
p o i s d e m a i s
s ã o c o m p l e x o s
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
23/56
1 . 8
D e t e r m i n a ç ã o
d e a u t o v a l o r e s
a u t o v e t o r e s
M a t r i z e s
C o n s i d e r e m o s
u m a m a t r i z
M ( n ,
R ) ,
v e r e m o s
a s e g u i r q u e p a r t i r
p o l i n ô m i o
P A ( ? )
d e t p o d e m o s
d e t e r m i n a r
a u t o v a l o r e s e o s a u t o v e t o r e s d e A .
1 . 8 . 1
D e t e r m i n a ç ã o
d o s a u t o v a l o r e s
1 . 8 . 1 . 1
D e f i n i ç ã o :
a u t o v a l o r e s
s ã o o s
a u t o v a l o r e s d o o p e r a d o r
l i n e a r a s s o c i a d o
1 . 8 . 2
D e t e r m i n a ç ã o
d o s a u t o v e t o r e s
1 . 8 . 2 . 1
D e f i n i ç ã o :
O s a u t o v e t o r e s s ã o
a u t o v e t o r e s
d o o p e r a d o r l i n e a r
a s s o c i a d o
a A .
1 . 8 . 3 E x e m p l o :
D a d a a m a t r i z
d e t e r m i n a r e m o s
s e u s a u t o v a l o r e s e
a u t o v e t o r e s
c o r r e s p o n d e n t e s .
S o l u ç a o :
o p e r a d o r l i n e a r
a s s o c i a d o
m a t r i z
T ( X ,
( 2 X
2 y ,
3 y ) -
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
o p e r a d o r
d a d o p o r
d e t ( A
X l ) ,
d a í :
7 1
= ( 2 - t ) ( 3 - > . ) _ 2
= 6 - 2 1 - 3 ? t + ) . 2 - 2
= 7 t 2 - 5 7 t + 4
9 3 - 5 ? t + 4 = 0
? t , = 4 e 9 t z = 1
E n t ã o , a u t o v a l o r e s
d o o p e r a d o r
T s ã o :
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
24/56
P a r a
d e t e r m i n a r f o s a u t o v e t o r e s ,
u s a r e m o s
d e f i n i ç ã o
a u t o e s p a ç o .
P a r a k l t e m o s :
P ( 4 )
{ ( X z
T ( X z
4 ( X z
Y ) }
{ ( x ,
( Z X
2 y _ ,
3 y )
( 4 x ,
4 y ) }
{ ( x , y )
E R 2 | 2 x + 2 y = 4 x , x + 3 y = 4 y }
= { ( X Y ) € R 2 l X = Y }
{ ( Y
R 2 )
= { Y ( 1 , 1 ) 1 y
G R )
K 1 ,
1 ) ] -
E n t ã o ,
o s v e t o r e s d o t i p o
P ( 4 )
{ y ( 1 ,
R } ,
s ã o o s
a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s
a u t o v a l o r
P a r a
) t z =
t e m o s :
P ( 1 ) =
{ ( X
E R 2
T ( X z
1 ( X
Y ) }
{ ( X
( 2 X
Z Y ,
3 Y )
( X
Y ) }
{ ( x , y )
E R 2 \ 2 x + 2 y = x , x + 3 y = y }
{ ( X z
R 2 | X = - 2 Y }
{ ( - 2 Y ,
R 2 )
{ Y ( ~ 2
[ ( - 2 ,
1 ) ] .
A s s i m ,
v e t o r e s
t i p o
P ( 1 )
( - 2 ,
R } ,
s ã o
a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s a o
a u t o v a l o r
- i l
1 . 8 . 4 E x e m p l o :
D a d a
m a t r i z
= { 0
- 3 }
d e t e r m i n a r e m o s s e u s
a u t o v a l o r e s
a u t o v e t o r e s .
S o l u ç a o :
o p e r a d o r l i n e a r
a s s o c i a d o à
m a t r i z
T ( x ,
( 3 x
- 3 2 ,
3 2 ,
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
25/56
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o d o
o p e r a d o r
d a d o
p o r
d e t
M ) ,
d a í
s e g u e
q u e :
3 - À 3 ~ À
- 3 - x W - 1
2 - 7
. ~ 3
2 - Ã
~ ? t
- r -
- 4 +
( 3 -
( 2 -
( - 1 -
= - + 4 # - x ~ ó
- + 4 - x - ó = o
7 t = 3 ,
> t 2 = 2 , ? t 3 = = ~ 1
E n t ã o ,
a u t o v a l o r e s s ã o :
3 , K 2
P a r a
d e t e m a i n a r o s a u t o v e t o r e s u s a r e m o s
d e n i ç ã o
a u t o e s p a ç o .
P a r a
t e m o s :
P ( 3 )
{ ( X ,
T ( X ,
3 ( X ,
Z ) }
{ ( X ,
( 3 X
- 3 2 ,
3 2 ,
- 2 )
( 3 X ,
B y ,
3 2 ) }
= { ( x ,
z ) E R 3 | 3 x - y - 3 z = 3 x ,
2 y - 3 z = 3 y , - z = 3 z }
= { ( x , y , z ) E R 3 | y = - 3 z e z = 0 }
= { ( X , Y , Z ) E R 3 I Y = 0 , Z = 0 } -
{ ( x , 0 , 0 ) E R 3 }
= { x ( 1 , ( ) , 0 ) | x E R }
= r < 1 , , 0 > 1
E n t ã o ,
v e t o r e s d o t i p o
P ( 3 )
{ x (
1 , 0 ,
R } ,
s ã o o s
a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s
P a r a
7 t 2 =
t e m o s :
P ( 2 )
{ ( X ,
T ( X ,
2 ( X ,
Z ) }
{ ( x ,
( 3 x
- 3 2 ,
É Z ,
- z )
( 2 x ,
2 y ,
2 z ) }
{ ( x ,
- 3 2
2 x ,
- 3 2
2 y ,
2 z }
= { ( x , y , z ) E R 3 | x = y e z = 0 }
{ ( Y ,
R }
= { y < 1 , 1 , 0 I y
[ ( 1 , 0 ) ]
A s s i m ,
v e t o r e s d o t i p o
P ( 2 )
{ y ( 1 ,
R } ,
s ã o
a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
26/56
P a r a - 1 ,
t e m o s :
P ( - 1 ) - =
{ ( X
T ( X
= ~ 1 ( X
× { ( X a
( 3 X
_ 3 Z :
3 2 :
_ Z )
( _ X :
_ y
_ Z ) }
{ ( × , * y ,
- 3 2
= ; - 5 ,
_ 3 z
- y ,
- z }
{ ( X y Z ) € R 3 l X = y = 2 }
{ ( x ,
{ x ( 1 ,
1 ) | x
E R }
= [ ( 1 , 1 z 1 ) ]
L o g o ,
v e t o r e s t i p o
P ( - 1 )
{ x ( 1 ,
s ã o o s
a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
27/56
D I A G O N A L I Z A Ç Ã O D E
O P E R A D O R E S
L I N E A R E S E
M A T R I Z E S
d e c o m p o s i ç ã o
d e m a t r i z e s e s s e n c i a l
e s t u d o d a
á l g e b r a
l i n e a r ,
v i s t o
q u e ,
v á r i o s
p r o b l e m a s
d i a - a - d i a
n o s
e n c o n t r a m o s s i t u a ç õ e s
n a s q u a i s
u s a r t a i s m é t o d o s ,
e v i t a
u t i l i z a ç ã o
p r o c e s s o s l o n g o s q u e p o d e m
o c a s i o n a r e r r o s .
E s t e s ,
p o r
s u a
v e z ,
s ã o
m a i s
s i m p l e s e
p r á t i c o s ,
p a r a a
r e a l i z a ç ã o
e s t u d o s
d i r e c i o n a d o s à
a p l i c a ç ã o
o u t r o s
c a m p o s
l i g a d o s à
M a t e m á t i c a .
c a p í t u l o
a n t e r i o r i n t r o d u z i m o s
d e f i n i ç õ e s
d e o p e r a d o r e s l i n e a r e s
e s e u s
r e s p e c t i v o s
a u t o v a l o r e s e
a u t o v e t o r e s . F a r e m o s
a q u i
e s t u d o
d i a g o n a l i z a ç ã o
c o m b a s e
n a s
r e f e r ê n c i a s
[ 2 ]
[ 6 ] ,
o n d e
o n o s s o
o b j e t i v o
e n c o n t r a r u m a
b a s e
a u t o v e t o r e s
d a d o
e s p a ç o
v e t o r i a l ,
q u a l
e s t a
s e j a m a i s
s i m p l e s
p o s s í v e l .
P o r
v á r i o s m o t i v o s ,
v e r e m o s
q u e
s i t u a ç ã o
m a i s c o n v e n i e n t e s e r á
e n c o n t r a r
u m a
m a t r i z d i a g o n a l a s s o c i a d a
o p e r a d o r .
2 . 1
D i a g o n a l i z a ç ã o
o p e r a d o r e s
l i n e a r e s
2 . 1 . 1
D e f i n i ç ã o :
S e j a
e s p a ç o
v e t o r i a l
d i m e n s ã o
n i t a .
o p e r a d o r
l i n e a r
V ~ * V
é d i a g o n a l i z á v e l
q u a n d o
e x i s t e
u m a b a s e
f o r m a d a
p e l o s
a u t o v e t o r e s
d e T .
S e n d o
{ u , . . . ,
u , , }
u m a b a s e
f o r m a d a
a u t o v e t o r e s
e n t ã o ,
T ( u )
l t u
a s s i m
p o r
d e n i ç ã o
m a t r i z e s d a
t r a n s f o r m a ç ã o
l i n e a r
T e m
r e l a ç ã o
b a s e
B t e m o s
a m a t r i z
[ T l z í i ]
> z
r t
O n d e
X 1 ,
. . . ,
7 t , ,
s ã o o s a u t o v a l o r e s d e
d i a g o n a l :
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
28/56
2 8
O b s e r v a ç ã o :
O s a u t o v a l o r e s
? t , . . . , ? n
n ã o s ã o
n e c e s s a r i a m e n t e d i s t i n t o s d o i s
d o i s .
D e v i d o
i s s o j
p o d e
a c o n t e c e r d e o
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
P T ( x )
o p e r a d o r
l i n e a r
d e c o m p o r f a t o r e s l i n e a r e s
t i p o
7 t ) k ,
s e m
q u e T s e j a
d i a g o n a l i z á v e l . E s s e
f a t o
o c o r r e
d e v i d o d i m e n s ã o
d o s
a ú t o e s p a ç o s ,
s e j a ,
m u l t i p l i c i d a d e
a l g é b r i c a
d o s
a u t o v a l o r e s
i g u a l
d i m e n s ã o
d o s
s e u s r e s p e c t i v o s
a u t o e s p a ç o s .
2 . 1 . 2 P r ü p r i e d a d e t O s a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s
a u t o v a l o r e s
r e a i s
d i s t i n t o s
o p e r a d o r
l i n e a r
s ã o
l i n e a r m e n t e
i n d e p e n d e n t e s .
d e m o n s t r a ç ã o a b a i x o ,
c o n j u n t o
q u e m o s t r a r e m o s
s e r L I
é c o m p o s t o
p o r
v e t o r
d e c a d a
a u t o e s p a ç o
a s s o c i a d o s e u
r e s p e c t i v o
a u t o v a l o r .
D e m o n s t r a ç ã o :
F a r e m o s a
d e m o n s t r a ç ã o
p a r a n
p a r a
d e m o n s t r a ç ã o
a n á l o g a .
S e j a m a u t o v a l o r e s
k z ,
v 1 ,
a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s
a o s
a u t o v a l o r e s
r e s p e c t i v a m e n t e . D e v e m o s p r o v a r
q u e
v j e s ã o
L I .
S e j a
a l v j
a z v z
A p l i c a n d o
e s t a
e q u a ç ã o t r a n s f o r m a ç ã o
X 2 1 ,
e l e m b r a n d o
q u e
T ( v )
7 t v
I v
p a r a
1 , 2
s e g u e
q u e :
X 2 1 ) - ( a 1 v , +
a z v z )
T ( 0 )
T ( a , v ,
a z v z )
7 t 2 I ( a , v ,
a z v z )
a , T ( v , ) +
a 2 T ( v 2 )
7 t 2 a , I ( v , )
? t 2 a 2 I ( v 2 )
a , 7 , v ,
+ a 2 ? t 2 v 2
- ? t 2 a , v ]
- a z k z v z
a , ? t , v ,
- ? 2 a , v ,
a 2 7 t 2 v 2
a 2 7 t 2 v 2
a , ( ? t ,
- 7 t 2 ) v ,
+ a 2 ( ? 2
- ? 2 ) v 2
a 1 O \ ~ 1 _ ) " 2 ) V i
C o m o
7 t
K 2 ,
c o n c l u í m o s
q u e
A p l i c a n d o a g o r a T
X 1 1
e q u a ç ã o
o r i g i n a l
a l v ,
a z v z
t e m o s :
( T - > ¬ 1 ) ( a , v ,
+ z 2 v 2 ) z T ( o ) = o
T ( a , v ,
+ a v 2 ) - t , 1 ( a , v ,
+ z z 2 v 2 ) =
a T ( V 1 ) + a 2 T ( V 2 ) > 1 a i I ( V | ) 7 1 a 2 I ( V 2 ) :
a q v ,
+ a 2 7 t 2 v 2
- ? t , a , v ,
- À l a z v z
a , ? t , v ,
- 7 t ] a 1 v ,
+ a 2 ? t 2 v 2
- 7 t , a 2 v 2
a 1 ( ) * i i _ ) i ) V 1 + a 2 ( 7 2
_ ) | ) V 2
a 2 O z _ ) * l ) V z : V 0
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
29/56
T a m b é m ,
c o m o
c o n c l u í m o s .
q u e
L o g o
v e t o r e s
s ã o
l i n e a r m e n t e
i n d e p e n d e n t e s .
2 . 1 . 3
C o r o l á r i o :
S e n d o e s p a ç o
v e t o r i a l
d i m e n s ã o n
e T :
o p e r a d o r
l i n e a r c o m
a u t o v a l o r e s r e a i s
d i s t i n t o s , e n t ã o ,
p o s s u i
u m a b a s e
c u j o s
e l e m e n t o s
s ã o
t o d o s
a u t o v e t o r e s
d e T .
2 . 1 . 4
E x e m p l o :
S e j a
o p e r a d o r
l i n e a r
R 2 ,
j T ( X ,
2 y ,
4 y ) .
S e g u e
q u e a m a t r i z d e T
b a s e
c a n ô n i c a
^ = l i
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
o p e r a d o r
d a d o
p o r :
1 - v t
â < - z t ( A - > t 1 ) =
= ( 1 ~ ) ( 4 - t ) + 2
= 4 - 7 - 4 k + ) t 2 + 2
X 2 - 5 ? t + 6
i f - 5 x + ó = . - 0
x , = 2
x z z s
L o g o ,
s ã o
a u t o v a l o r e s
C o m o
k z ,
t e m o s
u m a
b a s e
f o m l a d a
p e l o s
c o r r e s p o n d e n t e s
a u t o v e t o r e s .
D e t e n n i n a r e m o s
o s a u t o v e t o r e s
u s a n d o
a d e n i ç ã o
d e a u t o e s p a ç o .
P a r a
P ( 2 )
{ ( × ,
R z l
T ( × ,
2 ( × z
Y ) }
~ { ( X z
R Z I
2 y ,
4 y )
( 2 × ,
2 y ) }
= { ( X , y ) € R 2 l X + 2 y = 2 × , - X + 4 y = 2 y }
{ ( × ,
R z l
2 y }
{ ( 2 y ,
R 2 }
= { y ( 2 , 1 ) 1 y
f 5 R }
= [ ( 2 , 1 ) ]
E n t ã o ,
V e t o r e s d o t i p o
P ( 2 )
{ y ( 2 ,
R } ,
s ã o
a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
30/56
P a r a
P ( 3 )
{ ( X ,
R 2 !
{ ( y ,
R 2 }
{ y ( 1 ,
[ ( 2 , 1 ) ]
E n t ã o ,
v e t o r e s d o
t i p o
P ( 3 )
{ y ( 1 ,
R } ,
s ã o
a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s a
A s s i m ,
c o n j u n t o
{ ( 2 ,
1 ) ,
( 1 ,
1 ) }
u m a
b a s e d o
p o r t a n t o
d i a g o n a l i z a v e l
2 . 1 . 5
E x e m p l o :
S e j a
o p e r a d o r l i n e a r T :
R 3 ,
T ( x ,
( x ,
Z z ) ,
v e m
q u e :
m a t r i z d e T
n a b a s e c a n ô n i c a
- 2 - 1
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
o p e r a d o r
1 - x
à e r ( A - m z
- 1 - x
~ 7 ~ ) ( - 1
- W 2 -
= - x 3 + 2 x 2 + x - 2
- f + 2 > G + > r - 2 : 0
) \ . 1 : 1 , > \ , z : - 1 ) \ . 3 : 2
L o g o ,
X 1 ,
s ã o o s
a u t o v a i o r e s
d e T .
{ ( X
R 2 |
T ( X z
3 ( X z
{ ( X ,
R 2 I
2 y z
4 y )
( 3 X ,
3 y ) }
{ ( × ,
R 2 !
+ 2 y
3 X , - X
4 y =
3 y }
. _ 2
_ 1 _
. - À
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
31/56
C o m o o s a u t o v a i o r e s s ã o
t o d o s d i s t i n t o s ,
c o r r e s p o n d e n t e s
a u t o v e t o r e s f o r m a m
u m a
b a s e
R 3 .
P a r a
d e t e r m i n a r
a u t o v e t o r e s ,
u s a r e m o s d e f i n i ç ã o
a u t o e s p a ç o .
~ P a r a ? t , = 1 , t e m o s :
P ( 1 )
{ ( X z
R 3 | T ( X , Y , Z ) = 1 ( X Y Z ) }
= { ( X , Y , Z ) E R 3 { ( X z ~ 2 X - Y , 2 X + Y + 2 Z ) = ( X Y z Z ) }
= { ( x , y , z ) t - E R 3 | x = x , - 2 x - y = y , 2 x + y + 2 z = z }
= { ( X , Y , Z ) € R 3 I . X = - Y z Y = Z }
= { ( X z Y , Z ) E R 3 I X = - 2 , ! / = 2 }
{ ( - z ,
R 3 }
= { z ( - 1 , 1 , 1 ) | z E R }
= [ ( - 1 , 1 , 1 ) ]
L o g o ,
v e t o r e s
t i p o
P ( 1 )
{ z ( - 1 ,
s ã o
a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s
P a r a - 1 ,
t e m o s :
P ( - 1 )
{ ( X
T ( X ,
~ 1 ( X ,
{ ( X z
( X ,
~ Y ,
2 2 )
( - X , ~ Y z - 2 ) }
{ ( x ,
z ) E R 3 | X = É x , - 2 x - y = - y , 2 x + y + 2 z = - z }
= { ( x , y , z ) E R 3 | x = 0 , y = - 3 z }
{ ( 0 ,
~ 3 z ,
R 3 }
{ Z ( O ,
- 3 ,
_ 3 >
E n t ã o ,
v e t o r e s t i p o
P ( - 1 )
{ z ( 0 ,
- 3 ,
R } ,
s ã o o s
a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s
P a r a
t e m o s :
P Q ) { ( X z
T ( X z
Y z Z )
2 ( X z
Y z Z ) }
{ ( X :
( X
_ y n Z Z )
( Z X :
Z y v
{ ( X ,
2 - x ,
- 2 x
2 y , t 2 x
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
32/56
3 2
{ ( x , y , z ) € R 3 | x = 0 e y - = 0 }
{ ( O ,
z ) . €
= { z ( 0 , 0 , 1 ) ] z E R }
A s s i m ,
o s v e t o r e s
d o t i p o
P ( 2 )
( 0 ,
R } ,
s ã o
a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s
D e s s a
f o r m a ,
c o n j u n t o
{ ( - 1 ,
1 ) , ( 0 ,
- 3 ,
1 ) , ( 0 , 1 ) }
é u m a b a s e
c o n s e q u e n t e m e n t e
T é d i a g o n a l i z á v e l .
2 . 1 . 6
E x e m p l 0 .
D a d o o p e r a d o r l i n e a r
R 2 *
R 2 ,
d e n i d o
p o r
T ( X
( S X
T e m o s
q u e ,
m a t r i z b a s e
c a n ô n i c a
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o d o
o p e r a d o r
d a d o p o r :
5 ~ x
ó = z r ( A - M ) :
1 3 X
= ( 5 - ? ) ( 3 . - X ) - f l
= 1 5
- 5 ) - 3 ? t + ) t 2
8 7
8 )
+ 1 6
A s s i m ,
o ú n i c o a u t o v a l o r d e T
D e t e r m i n a r e m o s
a u t o v e t o r e s
a t r a v é s
d e n i ç ã o
a u t o e s p a ç o .
P a r a ? = 4 ,
t e m o s
P ( 4 )
{ ( X z
T ( X
= 4 ( X
y ) }
{ ( X z
( 5 X
~ Y
3 5 / )
( 4 X z
4 > ) }
{ ( x , y ) E R 2 | 5 x - y = 4 x , x + 3 y = 4 y }
= { < , > f e R 2 | = y }
{ ( y ,
E R * }
= { y ( ( 1 1 ) | Y
= [ ( 1 , 1 ) ] ~
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
33/56
A s s i m , o s
v e t o r e s
d o t i p o
P ( 4 )
{ y ( 1 ,
s ã o a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s
a 7
C o m o
n ã o e x i s t e m
d o i s
a u t o v e t o r e s
L I d o
R 2 ,
e n t ã o ,
n ã o e x i s t e u m a b a s e
f o r m a d a
p o r a u t o v e t o r e s ,
L o g o ,
n ã o
d i a g o n a l i z á v e l .
2 . 1 . 7
T e o r e m a :
S e j a T :
V u m
o p e r a d o r l i n e a r . d i a g o n a l i z á v e l , e n t ã o ,
t e m
u m a
d e c o m p o s i ç ã o d o
t i p o
[ T ]
P D P 4 ,
o n d e
m a t r i z
d i a g o n a l
f o r m a d a i p e l o s
a u t o v a l o r e s
F a r e m o s u m a
v e r s ã o
r e d u z i d a
d e m o n s t r a ç ã o
d e s t e
t e o r e m a ,
s e n d o
e s t a n o
c o m
a u t o v a l o r e s
d i s t i n t o s ,
p a r a o
d e m o n s t r a ç ã o
é a n á l o g a .
D e m o n s t r a ç ã o :
S e j a
o p e r a d o r
l i n e a r
R 3 ,
q u a l a d m i t e a u t o v a l o r e s
X 1 ,
d i s t i n t o s ,
a s s o c i a d o s
a o s
a u t o v e t o r e s
v | ,
r e s p e c t i v a m e n t e .
c o r o l á r i o d a
p r o p r i e d a d e a n t e r i o r n o s
g a r a n t e
q u e o c o n j u n t o
{ \ / 1 ,
V 2 ,
v 3 }
u m a
b a s e
D e s s a
f o n n a :
T ( v , ) = ? t , v ,
= 7 t , v ,
+ 0 v , + 0 v 3
T ( v 2 )
= 7 \ . 2 v 2
= 0 V ,
+ ? 2 v 2
+ 0 \ / 3
T ( v 3 )
7 3 v \ 3
O v , O V ,
7 t 3 v 3
O n d e
o p e r a d o r
r e p r e s e n t a d o
n a b a s e d o s a u t o v e t o r e s
p e l a m a t r i z
d i a g o n a l .
, [ T ] , ,
f o r m a d a
p e l o s
a u t o v a l o r e s n a d i a g o n a l p r i n c i p a l .
m a t r i z
c a n ô n i c a o p e r a d o r i s t o
[ T ]
e n t ã o ,
m a t r i z e s A
s ã o
s e m e l h a n t e s
p o r
r e p r e s e n t a r e m
m e s m o
o p e r a d o r
T e m b a s e s d i f e r e n t e s .
B a s e a d o
r e l a ç ã o
e n t r e
m a t r i z e s
s e m e l h a n t e s
p o d e m o s
e s c r e v e r :
M " A M
O n d e ,
a m a t r i z
m u d a n ç a
d e b a s e
p a r a
a b a s e
c a n ô n i c a
{ e ,
e z ,
e 3 } ,
s e n d o
= ( 1 . z 0 ,
0 ) , € z = ( 0 , 1 , 0 ) € s = ( 0 , 0 ,
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
34/56
C o m o
P o d e m o s
e s c r e v e r
r e l a ç ã o
a c i m a
s e g u i n t e
f o r m a :
0 1 1
M = [ I ] Ê
= C - P = r P = P
1 > " A P
[ T 1
P D P
. 3 4
o n d e P
m a t r i z
c u j a s c o l u n a s s ã o
a u t o v e t o r e s
d o o p e r a d o r
2 . 1 . 8
E x e m p l o :
D o e x e m p l o
( 2 . 1 . 5 )
t e m o s
q u e o
o p e r a d o r l i n e a r d i a g o n a l i z á v e l , e n t ã o ,
e x i s t e u m a
m a t r i z !
i n v e r s í v e l
P f o r m a d a
p e l o s
a u t o v e t o r e s
t a l
q u e
P " A P
o n d e
u m a
m a t r i z
d i a g o n a l
c u j o s
e l e m e n t o s
d i a g o n a l
p r i n c i p a l s ã o
a u t o v a l o r e s d e
D e f a t o :
A = { - 2
z - 1
0 } , P = { 1
O i l ,
P ] =
1 ~ 2
- 1 0 0
P 1 A P =
- _ . . - . Â
0 - 2
~ 1 0
5 5 1
P * A P =
i l l
1 0 0
P " A P =
0 0 2
1 2 l 1
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
35/56
2 . 1 . 9
T e o r e m a :
S e j a
u m .
e s p a ç o
v e t o r i a l
d e d i m e n s ã o
n i t a s o b r e
o p e r a d o r
l i n e a r
d i a g o n a l i z á v e l
s e ,
s o m e n t e s e :
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o d e
t e m t o d a s
r a í z e s
m u l t i p l i c i d a d e a l g é b r i c a c a d a
a u t o v a l o r
i g u a l
d i m e n s ã o
V ( ? ) .
D e m o n s t r a ç ã o :
( = = = > )
S e j a
B = { u , , . . . , u , l , . . . , k , - - . , k ( } u m a
b a s e
d e - V
f o r m a d a d e
a u t o v e t o r e s
m o d o
q u e e m c a d a
= { , , . . . , 1 1 r } e s t ã o
t o d o s
a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s
a u t o v a l o r
R ( i
. . . ,
k ) .
m a t r i z d e T
r e l a ç ã o
e s s a
b a s e
[ T ] B =
p o r t a n t o , q u e
P T ( t )
i n d e p e n d e
r e p r e s e n t a ç ã o
m a t r i c i a l
( Í ) :
- Í ) r
- Í ) r k
c u j a s r a í z e s
e s t ã o
t o d a s e m
P a r a
c a d a
í n d i c e
( 1 5
s e j a
I - I
s u b e s p a ç o
g e r a d o
p o r
B ,
d e v e m o s m o s t r a r
q u e
V ( 7 ) ~ .
i n c l u s ã o
( ? )
f á c i l d e
v e r i c a r ,
p o i s
e l e m e n t o
é u m a
c o m b i n a ç ã o l i n e a r
p o r t a n t o ,
a u t o v e t o r
c u j o
a u t o v a l o r
a s s o c i a d o
i q .
A g o r a ,
p a r a
p r o v a r q u e
V ( ? t )
t o m a r e m o s
V ( ? )
r e l a ç ã o
à b a s e
u = u , , u , , + . . . + x k r k u k r k _
E n t ã o :
7 t , o t , , u H + . . . + ? 1 a , I . . . + 7 , o t k , u k , + . . . + ) , 1 k , k u k r k
l q u
T ( u )
o t , , T ( u , , ) + . . . +
o t k r k T ( u k r k
X , 1 , , u , , + . . . +
) t , 1 , , | u , , |
+ . . . +
l t k a m u k ,
. . . +
l t k u m k u k r k
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
36/56
C o m p a r a n d o a
p r i m e i r a
a ú l t i m a
c o m b i n a ç ã o
l i n e a r
a c i m a o b t e m o s :
x i a z i X z u z i
- - ~
l i a m , X k a z f ,
? 1 a | i : ? | < a | u - - - ) 1 a i < r k
: À k a k r k
P a r t i n d o d e
) z , 0 t 2 ,
- ? 2 o t 2 ,
t e m o s ,
( X 1
X 2 )
o t z l .
C o m o
( X 1 X 2 )
d i f e r e n t e
z e r o ,
e n t ã o
o t z |
t e m q u e
s e r
z e r o ,
a s s i m :
1 2 , = . . . = o , &
= . . . = a 1 < , = . . . = o . , q
D o n d e
= , l 1 + . . . + ( 1 L l , , |
e p o r t a n t o
H .
C o n c l u í m o s
p o r t a n t o m o d o
a n á l o g o
q u e
V ( ? t )
p a r a t o d o
k ) .
D a s
i g u a l d a d e s
V ( ? t )
t e m o s
q u e d i m
V ( ? t )
d i m
q u e m u l t i p l i c i d a d e
a l g é b r i c a
7 .
( < : )
P o r h i p ó t e s e
o p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
p o d e
s e r
f a t o r a d o
s o b r e
s e g u i n t e
f o r m a :
P T f = < ¬
- o f *
. . . W
- o f *
o n d e
? j
s e í
+ . . . + r k
= g f d d
P T ( t )
d i m v n .
m u i ú p i i e i d a d e
a l g é b r i c a
c a d a d o s
a u t o v a l o r e s
?
p o i s ,
r ( i
k ) .
P o r
h i p ó t e s e s
a i n d a ,
d i m V ( ? t )
r ( i
. . .
S e j a
V O )
. . .
V ( 7 t k )
m o s t r e m o s
q u e
V ( ? )
V ( ? t )
{ 0 } ,
s e m p r e
q u e
f a t o ,
O q )
V ( 7 q - ) ,
e n t ã o
T ( u )
7 t ~ u
l j u
d a í
( ?
7 ) u
C o m o
7 t
l j ,
e n t ã o
c o n s e q u e n t e m e n t e
V ( ? t , )
( V ( 7 )
. _ .
V ( 7 , _
1 ) )
{ 0 }
k ) ,
s e j a ,
t e m o s
u m a
s o m a
d i r e t a .
V o a )
. . . A
v o d ) .
S e g u e
q u e ,
d i m d i m
V ( ? t )
_ . .
d i m
V ( 7 t k )
r + . . .
s e n d o
s u b e s p a ç o v e t o r i a l d e c u j a
d i m e n s ã o
e n t ã o
T o m a n d o
u m a
b a s e
V ( ? )
. . .
k ) ,
e n t ã o
é u m a b a s e
c o n s t i t u í d a
a u t o v e t o r e s
D o n d e
d i a g o n a l i z á v e l .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
37/56
O b s e r v a ç õ e s :
1 )
S e n d o
o p e r a d o r
l i n e a r .
a u t o v a l o r
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
P T ( x )
d e s s e
o p e r a d o r
f o r d o
t i p o
x ) " ,
d i z e m o s
q u e
u m a r a i z
m ú l t i p l a
P T ( x )
e c o m m u l t i p l i c i d a d e
a l g é b r i c a n .
S e j a m
s u b e s p a ç o s
v e t o r i a i s
e s p a ç o
v e t o r i a l
{ 0 } ,
d i z - s e
q u e
u m a
s o m a d i r e t a d o s
s u b e s p a ç o s
N o t a ç ã o :
C - B
2 . 1 . 1 0
E x e m p l o :
S e j a o p e r a d o r l i n e a r
R 2 - *
R 2 ,
d e n i d o
p o r
T ( X ,
( 9 X
6 y ) -
T e m o s
q u e :
p o l i n ô m i o c a r a c t e r í s t i c o d o
o p e r a d o r
é d a d o
p o r
d ( A * x 1 )
ó q l
= ( 9 - x ) ( ó _ i ) _ 4
= 5 4 - 9 7 \ ~ 6 7 + 7 3 - 4
) 8 ~ 1 5 À + 5 0
X 2 - l 5 ? z + 5 0 = O
7 = 1 0 ,
7 z = 5
L o g o , a u t o v a l o r e s s ã o : 1 0 e
s a r e m o s a
d e n i ç ã o
a u t o e s p a ç o
p a r a
d e t e r m i n a ç ã o
d o s
a u t o v e t o r e s .
P a r a
1 0 ,
t e m o s :
P ( 1 0 )
{ ( X ,
R 2 |
T ( > , 1 0 ( X ,
I / ) }
{ ( X ,
R 2 !
( 9 X 6 y ) = ( 1 0 x , 1 0 y ) }
{ ( x ,
R 2 ] 9 X +
= 1 0 x ,
6 y = 1 0 y }
{ ( X z Y ) € R 2 | X = Y }
{ < y , y E R 2 }
= { Y ( 1 z 1 ) l Y € R }
= [ ( 1 z 1 ) ]
A s s i m , V e t o r e s
t i p o
P ( 1 0 " ) =
{ y ( l ,
l )
s ã o
a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
38/56
3 1 8
P a r a
o b t e m o s :
P ( 5 )
{ ( X _ ,
R Z Í
T ( X ,
5 ( X ,
y ) }
{ ( x ,
R 2 |
( 9 x
ó y )
( S X ,
5 y ) }
{ ( x , y )
E R 2 l 9 x + y = 5 x ,
4 x + 6 y = 5 y }
= K & Y ) E R y = 4 W }
{ ( x ,
4 x )
R 2 }
= { x ( l , - 4 ) | x E R }
= = [ ( 1 , - 4 ) ]
E n t ã o
v e t o r e s d o
t i p o
P ( 5 ) { x ( l
s ã o
a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s a
O b s e r v e
q u e
r a í z e s d o
p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
s ã o
t o d a s
r e a i s
m u l t i p l i c i d a d e a l g é b r i c a
d e c a d a
a u t o v a l o r
7 t
é i g u a l à
d i m e n s ã o
s e u
r e s p e c t i v o
a u t o -
e s p a ç o
V ( ? z ) .
L o g o ,
d i a g o n a l i z á v e l .
P o r t a n t o , e x i s t e
u m a
m a t r i z i n v e r s í v e l
f o r m a d a
p o r
a u t o v e t o r e s
t a l
q u e
P f l
d i a g o n a l .
, P z
, P =
V e m
T e m o s
q u e :
1 - I > 1 - ^
L J 1 - I
P " A P
P " A P =
P * A P =
O W L / 1 - J > 1 - * 1 - >
C > L l | > - *
5 1 0
- 2 0
i l l - 1 4
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
39/56
2 . 1 . 1 1
E x e m p l o :
D a d o o p e r a d o r l i n e a r
T : R 3
- R 3 ,
d e n i d o p o r
T ( x ,
( 3 x
4 2 ,
5 2 ,
- 2 ) .
T e m o s
q u e a m a t r i z T n a
b a s e
c a n ô n i c a
q u e
o p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
d e T é
d a d o
p o r
3 - 9 ,
d e t ( A - X I )
3 - X
¬ > >
( - 1
- >
= - 9 8
+ 5 ? 2 - 3 ) - 9
- 9 3 5 7 3 - 3 7 - 9
Ó . .
= x z = 3 , x 3
= - 1
A s s i m , a u t o v a l o r e s
d e T
s ã o :
- 1 ,
s e n d o
o p r i m e i r o
c o m m u l t i p l i c i d a d e
P a r a
d e t e r m i n a r
a u t o v e t o r e s ,
u s a r e m o s
d e f i n i ç ã o
a u t o e s p a ç o .
P a r a
t e m o s :
P ( 3 )
{ ( X z
( X
3 ( X
Z ) }
{ ( x ,
( 3 x
4 2 ,
5 2 ,
- 2 )
( 3 x ,
3 y ,
3 2 ) }
{ ( x , . y ,
- 4 2
3 x ,
3 y ,
3 2 }
= { ( x , y , 2 ) E R 3 | 2 = 0 }
{ ( X
. = { x ( 1 , 0 , 0 ) + y ( O , 1 , 0 ) | x e y E R }
[ ( 1 ,
O ) , ( 0 , 1 ,
0 ) ]
P a r a
- 1 ,
t e m o s :
P ( 3 )
{ ( X ,
( X ,
- 1 ( X ,
Z ) }
{ ( X
( g x
4 Z >
5 Z >
_ Z )
( _ X _ y = _ Z ) }
{ ( x ,
3 x - 4 2 = - X ,
3 y +
5 2 = - y , - 2 = - 2 }
= { ( x , y , 2 ) E R 3 | x = z , y =
- Z 2 }
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
40/56
{ ( Z :
_ Ã Z
= { z ( 1 ,
- Ê ,
l ) { z E R }
= t < 1 ,
- , 1 1
N o t e
q u e r a í z e s d o p o l i n ô m i o
c a r a c t e r í s t i c o
s a o
t o d a s r e a i s
m u l t i p l i c i d a d e
a l g é b r i c a
d e c a d a
i g u a l à
d i m e n s ã o
s e u
r e s p e c t i v o
a u t o e s p a ç o .
E n t ã o ,
d i a g o n a l i z á v e l , o u
s e j a ,
e x i s t e
u m a m a t r i z
i n v e r s í v e l
t a l
q u e
P A P
u m a m a t r i z
d i a g o n a l
f o r m a d a
p e l o s
a u t o v a l o r e s
T e m o s
q u e :
3 0 _ 4 1 0 1
1 0 - 1
A = 0 3 5 , 1 > = 0 l 1 - - É P - z o i ã
0 0 - 1
0 0 1
0 0 1
1 0 - 1 3 0 - 4 1 0 1
P - * A P = 0 1 Ê 0 3 5 0 1 - Í
0 0 1 0 0 - 1 0 0 1 .
~ 3 0 0
= 0 3 0
0 0 - 1
2 . 2
D i a g o n a l i z a ç ã o
m a t r i z e s
D a í
2 . 2 . 1
D e f i n i ç ã o :
D a d a u m a
m a t r i z
M ( n ,
R ) .
b a s e c a n ô n i c a
R " ,
e x i s t e
o p e r a d o r
l i n e a r
R " -
a s s o c i a d o a
t a l
q u e
[ T ]
m a t r i z
d i z
d i a g o n a l i z á v e l
s e ,
e s o m e n t e
s e ,
o p e r a d o r a s s o c i a d o d i a g o n a l i z á v e l .
S e A
d i a g o n a l i z á v e l ,
e n t ã o ,
e x i s t i r á d e
m a n e i r a
i n t e i r a m e n t e
a n á l o g a a
o p e r a d o r e s ,
m a t r i z e s
d e a u t o v e t o r e s e m a t r i z
d i a g o n a l
a u t o v a l o r e s
t a l q u e
M D M 4 .
C o m o A
s ã o
m a t r i z e s d e
u m m e s m o
o p e r a d o r
l i n e a r ,
e n t ã o s ã o s e m e l h a n t e s ,
i n d i c a n n o s
p o r
m a t r i z
m u d a n ç a
d e b a s e d e p a r a
t e m o s :
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
41/56
M l A M
f a t o ,
s e n d o
C = { ( 1 , 0 , . . . , 0 ) ; . . . ; ( 0 , 0 , . . . , O ,
l ) } c B = { ( X , . . . , X n ) ; . . . ; ( X , , | , . . . , X , ¬ n ) } ,
e n t ã o :
X 1 1
X z t
X 2 2 x n z
X z n
s e j a ,
c o m p o n e n t e s d o
n - é s i m o
a u t o v e t o r
f o r m a m
n - é s i m a
c o l u n a
2 . 2 . 2
E x e m p l o :
D a d a
m a t r i z
v a m o s
m o s t r a r
q u e
d i a g o n a l i z á v e l
0 0 3
d u e
e x i s t e
u m a
m a t r i z
i n v e r s í v e l
f o r m a d a
p o r
a u t o v e t o r e s
[ T ]
o n d e
M J A M
d i a g o n a l .
T e m o s q u e
o o p e r a d o r
a s s o c i a d o
à m a t r i z
T ( x ,
( 2 x
4 z ,
3 z )
p o l i n ô m i o c a r a c t e r í s t i c o é d a d o p o r :
d e t ( A - M ) :
1 - À
1 - 9
l \ )
= ( 2 - , ) ( 1 - x ) ( 3 ¬ , )
= - > 8 + ó 3 - 1 1 i + ó
- > + ó 8 _ 1 1 > t + ó = o
) t = 1 , ? t z = 2 ,
7 z 3 = 3
A s s i m ,
o s a u t o v a l o r e s d e
s ã o :
C o m o o s a u t o v a l o r e s
s ã o
t o d o s
d i s t i n t o s ,
e n t ã o ,
t e m o s
u m a b a s e
f o n n a d a
p o r
a u t o v e t o r e s d e
[ T ] C
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
42/56
c á l c u l o
s i m p l e s
p o r
m e i o d a
d e n i ç ã o
a u t o e s p a ç o
n o s
g a r a n t e q u e :
O s v e t o r e s t i p o
P ( 1 )
( - 3 ,
s ã o o s
a u t o v e t o r e s a s s o c i a d o s
v e t o r e s t i p o
P ( 2 )
( l ,
s ã o o s
a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s
v e t o r e s t i p o
P ( 3 )
{ z ( - 7 ,
- 2 ,
s ã o
a u t o v e t o r e s
a s s o c i a d o s
D e s s a
f o n n a ,
o c o n j u n t o
{ ( - 3 ,
0 ) , (
0 ) , ( - 7 ,
~ 2 ,
l ) }
u m a
b a s e d o
c o n s e q u e n t e m e n t e
é d i a g o n a l i z á v e l .
C o m o A
d i a g o n a l i z á v e l ,
e n t ã o ,
e x i s t e m
m a t r i z e s
t a l
q u e
M D M 4 .
S e g u e q u e :
2 3 - 1
- 3 1 - 3 7
0 1 2
A = 0 1 - 4 ; M = 1 0 - 2 ; M " = 1 3 1 3
0 0 3
0 0 1
0 0 1
0 1 2 2 3 - 1 - 3 1 ~ 7
M A M = 1
B o
- A M 1
- z i
0 1 1 0
0 1 2 - 3 1 - 7
M " A M = 2
2 ó 1
M " A M =
O 2 0
O 0 3
2 . 3
A p l i c a ç ã o d i a g o n a l i z a ç ã o :
p o t ê n c i a s d e
u m a
m a t r i z
S e j a
u m a
m a t r i z d e
o r d e m
p o t ê n c i a s s ã o
d e n i d a s d a s e g u i n t e
f o r m a :
A A A . . . A
s e n d o
G e r a l m e n t e
é m u i t o d i ñ c i l o c á l c u l o
A p ,
s o b r e t u d o q u a n d o
p , v e z e s
n u m e r o e v e n t u a l m e n t e
g r a n d e . M a s
d i a g o n a l i z a v e l ,
c a l c u l o
m a i s
s i m p l e s .
O r a ,
u m a m a t r i z
d i a g o n a l i z á v e l ,
e n t ã o ,
e x i s t e
u m a m a t r i z
i n v e r s í v e l
t a l
q u e
M 1 A M
D , o n d e
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
43/56
m a t r i z
d i a g o n a l d o s a u t o v a l o r e s
A l é m
d i s s o ,
t e m o s
q u e :
D z z , D 3 = q
, . . . , D ° =
P a r t i n d o
M " A M
m u l t i p l i c a n d o
i g u a l d a d e
à e s q u e r d a
p o r
d i r e i t a
p o r
o b t e m o s
M D M 4 .
C o m o
A ° =
A A A .
L í _ . ¬ , _ ; _ J
p v e z e s
( M D M )
T e m o s
q u e :
( M D M ~ )
( M D M - )
( M D M - 1 )
( M D M 1 )
v e z e s
M D ( M - * M )
D ( M - 1 M ) D ( M - L M )
D M -
l z y l u v u t m v
L o g o ,
M D P M *
o n d e D p
m a t r i z
d i a g o n a l
e l e v a d a u m a p o t ê n c i a
n o s
e l e m e n t o s
d i a g o n a l
m a t r i z
c u j a s
c o l u n a s
s ã o o s
a u t o v e t o r e s
2 . 3 . 1
E x e m p l r
C a l c u l e
A l o ,
o n d e
S o l u ç ã o :
T e m o s q u e
o p e r a d o r a s s o c i a d o
T ( x ,
( 4 x
3 y ,
P r i m e i r a m e n t e
v e r e m o s s e d i a g o n a l i z á v e l ,
c a l c u l a n d o
s e u s
a u t o v a l o r e s
a u t o v e t o r e s
c o r r e s p o n d e n t e s .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
44/56
p o l i n ô m i o c a r a c t e r í s t i c o
d a d o p o r
A s s i m ,
o s a u t o v a l o r e s
s ã o :
F a z e n d o
d e v i d o s
c á l c u l o s
a t r a v é s
d e n i ç ã o
a u t o e s p a ç o ,
v e r e m o s q u e
P ( 2 )
{ y ( 3 ,
a s s o c i a d o s a
P ( 1 )
{ y ( 1 ,
a s s o c i a d o s s ã o
a u t o v e t o r e s
[ T ] C
A . S e g u e q u e o c o n j u n t o
{ ( 3 ,
2 ) , ( 1 ,
1 ) }
L I .
L o g o ,
d i a g o n a l i z a v e l
s e g u i d a c o n s i d e r e m o s :
4 - x
m A - x n z
l J
z 4 4 - m p i - w + ó
- 4 - i 4 > + 7 L + ? f
: X 2
- 3 X + 2
Q - z x x - n z o
) \ . | : 2 ,
à z z l
) \ . ] : 2 € \ . z : 1 .
, n z
z n i z
C o m o
V e m
q u e :
P o r t a n t o ,
~ A p
M D p M - 1
A I O
M D Í O M - 1
, 0 _ 3 1 1 O 2 4
O 1 ~
1 0 _ f 3 o 7 2
_ 2 m m
1 i 1
m _ d 3 o 7 o
- 3 0 6 9
_ _ 2 o 4 ó
- 2 Q 4 5 }
: i i i
o i i
i i i
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
45/56
4 0 - 2
2 . 3 . 2
E x e m p l o :
D a d a
a " m a t r i z _ A
d i a g o n a l i z á v e l .
C o m o
f o i v i s t o
a n t e r i o n n e n t e ,
m a t r i z "
s e j a ,
M " A M
A c h e m o s u m a
f ó r m u l a
p a r a
A p ,
o n d e
p _ é
i n t e i r o
p o s i t i v o
T e m o s :
1 2 d i a g o n a l i z a
5 0 = D .
0 4 _
0 0 1
j á s a b e m o s
q u e :
2 1 4
- 1 0 - 2
M D p M 1 ,
e n t ã o :
A p :
- - 2
A p :
1 0 O O
~ 2 - 5 °
- 1 - 4 P
2 - 4 P
- 2 ~ 5 ° + 2 ~ 4
A P :
2 - 5 ° - 2 - 4 P
s f
4 ~ 5 ° - 4 ~ 4 P
- 2 ( 5 P - 4 ° )
A P :
2 ( 5 P - 4 P )
4 ( 5 P - 4 P )
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
46/56
D E c o M P o s 1 Ç Ã o
M A T R I Z E S
V i m o s n o . c a p í t u l o
d o i s ,
d e c o m p o s i ç ã o
u m a
m a t r i z p o r d i a g o n a l i z a ç ã o
t i p o
M D M J ,
o n d e m a t r i z c u j a s
c o l u n a s s ã o
a u t o v e t o r e s
m a t r i z
d i a g o n a l .
F u n d a m e n t a d o
n a s
r e f e r ê n c i a s
[ 3 ] ,
[ 4 ]
[ 5 ] ,
e s t u d a r e m o s
a g o r a
o u t r a
d e c o m p o s i ç ã o
f o r m a
n a q u a l L u m a m a t r i z
t r i a n g u l a r
i n f e r i o r
e s c a l o n a d a .
3 . 1
D e f i n i ç ã o :
P o d e m o s
r e d u z i r a s
p r i n c i p a i s
o p e r a ç õ e s
e s c a l o n a m e n t o
à t r ê s
o p e r a ç õ e s
e l e m e n t a r e s
s o b r e
l i n h a s d e u m a
m a t r i z :
( 1 )
T r o c a r
p o s i ç ã o
d e d u a s
l i n h a s ;
( 2 )
S o m a r
a u m a l i n h a m ú l t i p l o
o u t r a
l i n h a ;
( 3 )
M u l t i p l i c a r
u m a
l i n h a p o r u m n ú m e r o
d i f e r e n t e
d e z e r o .
C a d a
u m a d e s s a s t r ê s
o p e r a ç õ e s
p o d e
s e r
i n t e r p r e t a d a
c o m o
m u l t i p l i c a ç ã o
e s q u e r d a p o r
u m a
m a t r i z
i n v e r s i v e l
e s p e c i a l ,
d e n o m i n a d a
m a t r i z e l e m e n t a r ,
s e j a ,
u m a m a t r i z
M ( n ,
q u e
r e s u l t a
a p l i c a ç ã o
u m a
o p e r a ç ã o
e l e m e n t a r à
m a t r i z
i d e n t i d a d e
I m .
- D e s s a
f o r m a
t r ê s t i p o s
m a t r i z e s e l e m e n t a r e s .
O b s e r v e
o s e x e m p l o s
a b a i x o ,
t i p o
0 1 0
1 0 * 0
1 0 0
1 0 0 , - 0 1 0 , 0 × 0
0 0 1
( 1 0 1 0
0 0 1
m a t r i z e s a c i m a
s ã o
o b t i d a s
p a r t i r
I 3 ,
a t r a v é s
d a s
o p e r a ç õ e s
L - L z ,
0 i L z
r e s p e c t i v a m e n t e .
S u p o n h a m o s
q u e ,
d u r a n t e p r o c e s s o
e s c a l o n a m e n t o
d e u m a d a d a
m a t r i z
M ( n ,
n ã o h a j a n e c e s s i d a d e e f e t u a r
p e r m u t a ç õ e s
l i n h a s .
E n t ã o ,
p o d e m o s
a r m a r
q u e
e x i s t e m
m a t r i z e s e l e m e n t a r e s
M , M 2 ,
. . . ,
M k ,
t a i s
q u e :
M k . . .
M 1 A
o n d e é
u m a m a t r i z e s c a l o n a d a . C o m o
u m a
m a t r i z q u a d r a d a ,
t r i a n g u l a r
s u p e r i o r .
C o m o
f o i
o b s e r v a d o ,
c a d a
m a t r i z
n ã o - s i n g u l a r
( d e t M 0 ) .
L o g o ,
p r o d u t o
M 2 M
i n v e r s i v e l ,
i s t o e x i s t e
( M k
l \ / I z M ) l ,
t a l
q u e
( M k . . . M z M 1 ) * .
-
8/19/2019 Temporario Alg Linear
47/56
m a t r i z
( M k . . . M z M ; ) l
u m a m a t r i z
t r i a n g u l a r
i n f e r i o r
c o m
e l e m e n t o s d i a g o n a i s
t o d o s
i g u a i s à q u a l c h a m a r e m o s d e o n d e
M ( n , R ) ,
s e j a ,
D e s s a
f o r m a
o b t i v e m o s
d e c o m p o s i ç ã o
m a t r i z
c o m o p r o d u t o
u m a
m a t r i z
t r i a n g u l a r
i n f e r i o r
L p o r
u m a m a t r i z t r i a n g u l a r
s u p e r i o r
E n u n c i a r e m o s f o r m a l m e n t e o r e s u l t a d o
a c i m a
c o m o
t e o r e m a :
3 . 1 . 1
T e o r e m a :
S e j