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7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
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S t o c h a s t i c M o d e l s o f E n e r g y C o m m o d i t y P r i c e s
a n d T h e i r A p p l i c a t i o n s : M e a n - r e v e r s i o n w i t h
J u m p s a n d S p i k e s
S h i j i e D e n g
O c t o b e r 2 5 , 1 9 9 8
A b s t r a c t
I n t h i s p a p e r , w e p r e s e n t s e v e r a l m e a n - r e v e r s i o n j u m p d i u s i o n m o d e l s t o d e s c r i b e
e n e r g y c o m m o d i t y s p o t p r i c e s . W e i n c o r p o r a t e m u l t i p l e j u m p s , r e g i m e - s w i t c h i n g a n d
s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y i n t h e s e m o d e l s . P r i c e s o f v a r i o u s e n e r g y c o m m o d i t y d e r i v a t i v e s
a r e o b t a i n e d u n d e r e a c h m o d e l . W e s h o w h o w t h e e l e c t r i c i t y d e r i v a t i v e s c a n b e u s e d
t o e v a l u a t e g e n e r a t i o n a n d t r a n s m i s s i o n c a p a c i t y . W e a l s o s h o w f o r o u r p r i c e m o d e l s ,
h o w t o d e t e r m i n e t h e v a l u e o f i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t i e s a n d t h e t h r e s h o l d v a l u e a b o v e
w h i c h a r m s h o u l d i n v e s t .
1 I n t r o d u c t i o n
E n e r g y c o m m o d i t y m a r k e t s g r o w r a p i d l y a s e l e c t r i c i t y m a r k e t r e f o r m a r e s p r e a d i n g i n t h e
U n i t e d S t a t e s a n d a r o u n d t h e w o r l d . T h e v o l u m e o f t r a d e f o r e l e c t r i c i t y r e p o r t e d b y U S p o w e r
m a r k e t e r s h a s s u r g e d f r o m 2 7 m i l l i o n M W h i n 1 9 9 5 t o 1 , 1 9 5 m i l l i o n M W h i n 1 9 9 7 S o u r c e :
E d i s o n E l e c t r i c I n s t i t u t e . T h i s t r e n d i n e v i t a b l y e x p o s e s t h e p o r t f o l i o s o f g e n e r a t i n g a s s e t s
P h . D c a n d i d a t e , I E & O R D e p t . , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y , B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0 .
M y e - m a i l a d d r e s s i s d e n g @ i e o r . b e r k e l e y . e d u . I a m v e r y g r a t e f u l f o r m a n y f r u i t f u l d i s c u s s i o n s w i t h D a r r e l l
D u e a n d h i s v a l u a b l e c o m m e n t s . I a l s o t h a n k S h m u e l O r e n f o r h i s v a l u a b l e s u g g e s t i o n s a n d c o m m e n t s . A l l
r e m a i n i n g e r r o r s a r e m y o w n . T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y a g r a n t f r o m t h e U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a E n e r g y
I n s t i t u t e .
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a n d v a r i o u s s u p p l y c o n t r a c t s h e l d b y t r a d i t i o n a l e l e c t r i c u t i l i t y c o m p a n i e s t o m a r k e t p r i c e
r i s k . I t h a s s o f a r c h a n g e d a n d w i l l c o n t i n u e t o c h a n g e n o t o n l y t h e w a y a u t i l i t y c o m p a n y
o p e r a t e s a n d m a n a g e s i t s p h y s i c a l a s s e t s s u c h a s p o w e r p l a n t s , b u t a l s o t h e w a y i t v a l u e s
a n d s e l e c t s p o t e n t i a l i n v e s t m e n t p r o j e c t s . I n g e n e r a l , r i s k m a n a g e m e n t a n d a s s e t v a l u a t i o n
n e e d s r e q u i r e u n d e r s t a n d i n g a n d s o p h i s t i c a t e d m o d e l i n g o f c o m m o d i t y s p o t p r i c e s . A m o n g
a l l t h e e n e r g y c o m m o d i t i e s , m o d e l i n g p r i c e b e h a v i o r o f e l e c t r i c i t y p o s e s t h e b i g g e s t c h a l l e n g e
f o r r e s e a r c h e r s a n d p r a c t i t i o n e r s . I n t h e s u m m e r o f 1 9 9 8 , p r i c e s o f e l e c t r i c i t y u c t u a t e d f r o m
$ 0 M W h t o $ 7 0 0 0 M W h . I t i s n o t u n c o m m o n t o s e e a 1 5 0 i m p l i e d v o l a t i l i t y i n t r a d e d
e l e c t r i c i t y o p t i o n s . S c h w a r t z 1 9 9 6 a n d M i l t e r s e n a n d S c h w a r t z 1 9 9 8 i n v e s t i g a t e d s e v e r a l
s t o c h a s t i c m o d e l s f o r c o m m o d i t y s p o t p r i c e s a n d p e r f o r m e d a n e m p i r i c a l a n a l y s i s b a s e d o n
c o p p e r , g o l d a n d c r u d e o i l p r i c e d a t a . T h e y f o u n d t h a t s t o c h a s t i c c o n v e n i e n c e y i e l d s c o u l d
e x p l a i n t h e t e r m s t r u c t u r e o f f o r w a r d p r i c e s a n d d e m o n s t r a t e d t h e i m p l i c a t i o n s t o h e d g i n g
a n d r e a l a s s e t v a l u a t i o n b y d i e r e n t m o d e l s . I n o u r p a p e r , w e e x a m i n e a b r o a d e r c l a s s o f
s t o c h a s t i c m o d e l s w h i c h c a n b e u s e d t o m o d e l b e h a v i o r i n c o m m o d i t y p r i c e s s u c h a s j u m p
a n d s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y , i n a d d i t i o n t o s t o c h a s t i c c o n v e n i e n c e y i e l d . W e f e e l t h a t m o d e l s
w i t h j u m p s a n d s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y a r e p a r t i c u l a r l y s u i t a b l e f o r m o d e l i n g o f t h e s p o t p r i c e
p r o c e s s e s o f n e a r l y n o n - s t o r a b l e c o m m o d i t i e s s u c h a s e l e c t r i c i t y .
W h i l e s o m e e n e r g y c o m m o d i t i e s , s u c h a s c r u d e o i l , m a y b e p r o p e r l y m o d e l e d a s t r a d e d
s e c u r i t i e s , t h e n o n s t o r a b i l i t y o f e l e c t r i c i t y m a k e s s u c h a n a p p r o a c h i n a p p r o p r i a t e . H o w e v e r ,
w e c a n a l w a y s v i e w t h e s p o t p r i c e o f a c o m m o d i t y a s a s t a t e v a r i a b l e . A l l t h e p h y s i c a l
c o n t r a c t s n a n c i a l d e r i v a t i v e s o n t h i s c o m m o d i t y a r e t h e r e f o r e c o n t i n g e n t c l a i m s o n t h e
s t a t e v a r i a b l e . W e m o d e l t h e s p o t p r i c e p r o c e s s e s o f e n e r g y c o m m o d i t i e s a s a n e j u m p -
d i u s i o n p r o c e s s e s , i n t r o d u c e d i n D u e a n d K a n 1 9 9 6 . A n e j u m p - d i u s i o n p r o c e s s e s a r e
e x i b l e e n o u g h t o a l l o w u s t o c a p t u r e t h e s p e c i a l c h a r a c t e r i s t i c s o f c o m m o d i t y p r i c e s s u c h a s
m e a n - r e v e r s i o n , s e a s o n a l i t y , a n d s p i k e s " i . e . u p w a r d j u m p s f o l l o w e d s h o r t l y b y d o w n w a r d
j u m p s M o r e i m p o r t a n t l y , w e a r e a b l e t o c o m p u t e t h e p r i c e s o f v a r i o u s e n e r g y c o m m o d i t y
d e r i v a t i v e s f o r t h e a s s u m e d u n d e r l y i n g a n e j u m p d i u s i o n p r i c e p r o c e s s e s b y a p p l y i n g
t r a n s f o r m a n a l y s i s s e e D u e , P a n a n d S i n g l e t o n 1 9 9 8 . I n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r n o t
o n l y t h e u s u a l a n e j u m p - d i u s i o n m o d e l s b u t a l s o a r e g i m e - s w i t c h i n g m e a n - r e v e r s i o n j u m p -
d i u s i o n m o d e l . T h a t m o d e l i s u s e d t o c a p t u r e t h e r a n d o m s w i t c h e s b e t w e e n a b n o r m a l "
a n d n o r m a l " e q u i l i b r i u m s t a t e s o f s u p p l y a n d d e m a n d f o r a c o m m o d i t y .
J u m p s a n d s p i k e s i n t h e p r i c e o f a c o m m o d i t y a l s o h a v e s i g n i c a n t i m p a c t s o n t h e v a l u e s
o f i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t i e s a n d t h e o p t i m a l t i m i n g o f i n v e s t m e n t i n a p r o d u c t i o n f a c i l i t y
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f o r t h e c o m m o d i t y . A s w e w i l l s e e i n s e c t i o n f o u r , a d o w n w a r d j u m p i n t h e i n v e s t m e n t
v a l u e p r o c e s s r e d u c e s t h e v a l u e o f t h e i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t y a n d s h o r t e n t h e e x p e c t e d
w a i t i n g t i m e t o i n v e s t . A r e g i m e - s w i t c h i n g t y p e o f v a l u e p r o c e s s , o n t h e o t h e r h a n d , w o u l d
r e s t o r e s o m e o f t h e v a l u e o f i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t y a n d m a k e i t a d v a n t a g e o u s t o w a i t l o n g e r .
M o r e o v e r , w h e n t h e i n v e s t m e n t v a l u e p r o c e s s i s r e g i m e - s w i t c h i n g , i n v e s t m e n t i n a p r o j e c t
s h o u l d n e v e r o c c u r i n t h e l o w " s t a t e r e g a r d l e s s t h e i n v e s t m e n t v a l u e ; w h i l e i n t h e h i g h "
s t a t e , i n v e s t m e n t i s i n d i c a t e d w h e n t h e i n v e s t m e n t v a l u e e x c e e d s a c e r t a i n t h r e s h o l d v a l u e .
T h e r e m a i n d e r o f t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e p r o p o s e t h r e e
a l t e r n a t i v e m o d e l s f o r e n e r g y c o m m o d i t y s p o t - p r i c e p r o c e s s e s a n d c o m p u t e t h e t r a n s f o r m
f u n c t i o n s n e e d e d f o r c o n t i n g e n t - c l a i m s p r i c i n g . I n s e c t i o n t h r e e , w e p r e s e n t s o m e i l l u s t r a t i v e
e x a m p l e s o f t h e m o d e l s s p e c i e d i n s e c t i o n t w o . W e o b t a i n t h e p r i c i n g f o r m u l a e o f s e v e r a l
e n e r g y c o m m o d i t y d e r i v a t i v e s i n t h e e x a m p l e s . T h e c o m p a r i s o n s o f t h e p r i c e s o f e n e r g y
c o m m o d i t y d e r i v a t i v e s u n d e r d i e r e n t m o d e l s a r e a l s o s h o w n . W e p r o v i d e a h e u r i s t i c m e t h o d
f o r e s t i m a t i n g t h e p r o c e s s p a r a m e t e r s b y m a t c h i n g m o m e n t c o n d i t i o n s o f t h e h i s t o r i c a l s p o t
p r i c e s a n d c a l i b r a t i n g t h e p a r a m e t e r s t o t r a d e d o p t i o n s p r i c e s . I n s e c t i o n f o u r , w e c h o o s e
e l e c t r i c i t y a s a n c o n c r e t e e x a m p l e t o i l l u s t r a t e h o w d i e r e n t t y p e s o f g e n e r a t i o n a s s e t s c a n
b e v a l u e d a s e l e c t r i c i t y o p t i o n s . W e a l s o d e m o n s t r a t e t h e i m p l i c a t i o n o f j u m p s a n d s p i k e s
i n t h e i n v e s t m e n t v a l u e p r o c e s s t o t h e v a l u e o f i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t y a n d t h e t i m i n g o f
i n v e s t m e n t d e c i s i o n . W e c o n c l u d e b y m a k i n g s o m e o b s e r v a t i o n s a n d p o i n t i n g o u t f u t u r e
r e s e a r c h d i r e c t i o n s .
2 M e a n - R e v e r t i n g J u m p - D i u s i o n M o d e l s
T h e m o s t n o t i c e a b l e p r i c e b e h a v i o r o f e n e r g y c o m m o d i t i e s i s t h e m e a n - r e v e r t i n g e e c t . W h e n
t h e p r i c e o f a c o m m o d i t y i s h i g h , i t s s u p p l y t e n d s t o i n c r e a s e t h u s p u t t i n g a d o w n w a r d s p r e s -
s u r e o n t h e p r i c e ; w h e n t h e s p o t p r i c e i s l o w , t h e s u p p l y o f t h e c o m m o d i t y t e n d s t o d e c r e a s e
t h u s p r o v i d i n g a n u p w a r d s l i f t t o t h e p r i c e . A n o t h e r s a l i e n t e e c t i n e n e r g y c o m m o d i t y
p r i c e s i s t h e p r e s e n c e o f p r i c e j u m p s a n d s p i k e s . T h i s i s p a r t i c u l a r l y p r o m i n e n t i n t h e c a s e
w h e r e m a s s i v e s t o r a g e o f a c o m m o d i t y i s n o t e c o n o m i c a l l y v i a b l e a n d d e m a n d e x h i b i t s l o w
e l a s t i c i t y . A p e r f e c t e x a m p l e o f s u c h p r i c e b e h a v i o r w o u l d b e e l e c t r i c i t y w h i c h i s a l m o s t n o n -
s t o r a b l e . F i g u r e 1 p l o t s t h e h i s t o r i c a l o n - p e a k e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e s i n T e x a s E R C O T
a n d a t t h e C a l i f o r n i a a n d O r e g o n b o r d e r C O B . T h e f u n d a m e n t a l e c o n o m i c p r i n c i p l e s a y s
t h a t i n a c o m p e t i t i v e m a r k e t t h e s p o t p r i c e o f a c o m m o d i t y i s d e t e r m i n e d b y t h e c r o s s i n g
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Determination of the Spot Price of a Commodity
$0
$10
$20
$30
$40
$50
$60
$70
$80
$90
$100
0 50 100 150 200
Quantity
Spot Price
Supply Curve
Inverse Demand (t0)
Inverse Demand (t1)
S0
S1
Supply
Demand
F i g u r e 2 : D e t e r m i n a t i o n o f S p o t P r i c e s
2 . M e a n - r e v e r t i n g j u m p - d i u s i o n p r o c e s s w i t h r e g i m e - s w i t c h i n g .
3 . M e a n - r e v e r t i n g j u m p - d i u s i o n p r o c e s s w i t h s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y .
W e c o n s i d e r t w o t y p e s o f j u m p s i n a l l t h e a b o v e m o d e l s . W h i l e o u r a n a l y t i c a l a p p r o a c h
c o u l d h a n d l e m u l t i p l e t y p e s o f j u m p s , w i t h p r o p e r l y c h o s e n i n t e n s i t i e s t w o t y p e s o f j u m p s
s u c e t o m i m i c t h e j u m p s a n d o r s p i k e s i n t h e p r i c e p r o c e s s o f e n e r g y c o m m o d i t i e s . T h e
c a s e o f o n l y o n e t y p e o f j u m p i s i n c l u d e d a s a s p e c i a l c a s e w h e n t h e i n t e n s i t y o f t y p e - 2 j u m p
i s s e t t o z e r o .
I n a d d i t i o n t o t h e c o m m o d i t y p r i c e p r o c e s s u n d e r c o n s i d e r a t i o n , w e a l s o j o i n t l y s p e c i f y
a n o t h e r f a c t o r p r o c e s s w h i c h c a n b e c o r r e l a t e d w i t h t h e c o m m o d i t y p r i c e . T h i s a d d i t i o n a l
f a c t o r p r o c e s s c o u l d b e t h e p r i c e p r o c e s s o f a n o t h e r c o m m o d i t y o r i t c o u l d b e t h e u n d e r l y i n g
p h y s i c a l d e m a n d p r o c e s s o f a u t i l i t y c o m p a n y f o r a n e n e r g y c o m m o d i t y . I n t h e c a s e o f
e l e c t r i c i t y , t h e a d d i t i o n a l f a c t o r c a n b e u s e d t o s p e c i f y t h e s p o t p r i c e o f t h e g e n e r a t i n g f u e l
s u c h a s n a t u r a l g a s . A j o i n t l y s p e c i e d s p o t p r i c e p r o c e s s o f t h e g e n e r a t i n g f u e l i s e s s e n t i a l
f o r r i s k m a n a g e m e n t i n v o l v i n g c r o s s c o m m o d i t y r i s k s b e t w e e n e l e c t r i c i t y a n d t h e f u e l . T h e r e
i s e m p i r i c a l e v i d e n c e d e m o n s t r a t i n g a p o s i t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e p r i c e o f e l e c t r i c i t y
a n d t h e p r i c e o f g e n e r a t i n g f u e l i n c e r t a i n g e o g r a p h i c r e g i o n d u r i n g c e r t a i n t i m e s o f a y e a r .
I n a l l m o d e l s t h e r i s k f r e e i n t e r e s t r a t e , r , i s a s s u m e d t o b e d e t e r m i n i s t i c .
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Generation Resource Stack for the Western US
$0
$10
$20
$30
$40
$50
$60
$70
$80
$90
$100
0 20000 40000 60000 80000 100000
Demand (MW)
Marginal Cost
($/MWh)Marginal Cost
Resource stack includes:
Hydro units;
Nuclear plants;
Coal units;
Natural gas units;
Misc.
F i g u r e 3 : G e n e r a t i o n S t a c k f o r E l e c t r i c i t y i n a R e g i o n
2 . 1 M o d e l 1 : A m e a n - r e v e r t i n g d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y p r o c e s s
w i t h t w o t y p e s o f j u m p s
W e s t a r t w i t h s p e c i f y i n g s p o t p r i c e o f a n e n e r g y c o m m o d i t y a s a m e a n - r e v e r t i n g j u m p -
d i u s i o n p r o c e s s w i t h t w o t y p e s o f j u m p s . L e t X
t
= l n S
e
t
w h e r e S
e
t
i s t h e e n e r g y c o m m o d i t y
s p o t p r i c e , e . g . e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e . Y
t
i s t h e f a c t o r p r o c e s s w h i c h , i n t h e c a s e o f m o d e l i n g
e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e , c a n b e u s e d t o s p e c i f y t h e s p o t p r i c e o f a g e n e r a t i n g f u e l , e . g . n a t u r a l
g a s . I n t h i s f o r m u l a t i o n , w e h a v e t y p e - 1 j u m p r e p r e s e n t i n g t h e u p w a r d s j u m p s a n d t y p e - 2
j u m p r e p r e s e n t i n g t h e d o w n w a r d s j u m p s B y c h o o s i n g t h e i n t e n s i t y f u n c t i o n s p r o p e r l y f o r t h e
j u m p p r o c e s s e s , w e c a n m i m i c t h e s p i k e s i n t h e p r i c e p r o c e s s o f v a r i o u s e n e r g y c o m m o d i t i e s
A s s u m e t h a t , u n d e r r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , X
t
a n d Y
t
a r e s t r o n g s o l u t i o n s t o t h e f o l l o w i n g
s t o c h a s t i c d i e r e n t i a l e q u a t i o n s S D E u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e Q ,
d
0
@
X
t
Y
t
1
A
=
0
@
1
t
1
t , X
t
2
t
2
t , Y
t
1
A
d t +
0
@
1
t 0
t
2
t
q
1 , t
2
2
t
1
A
d W
t
+
2
X
i = 1
Z
i
t
2 . 1
w h e r e
1
t a n d
2
t a r e t h e m e a n - r e v e r t i n g c o e c i e n t s ;
1
t a n d
2
t a r e t h e l o n g t e r m
m e a n s ;
1
t a n d
2
t a r e i n s t a n t a n e o u s v o l a t i l i t y r a t e s o f X a n d Y ; W
t
i s a n F
t
- a d a p t e d
s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n u n d e r Q i n
2
; Z
j
i s a c o m p o u n d P o i s s o n p r o c e s s i n
2
w i t h
t h e P o i s s o n a r r i v a l i n t e n s i t y b e i n g
j
t j = 1 ; 2 . Z
j
r e p r e s e n t s t h e r a n d o m j u m p s i z e i n
6
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
7/35
2
. L e t
j
J
c
1
; c
2
; t
R
R
2
e x p c Z
j
t
d v
j
z d e n o t e t h e t r a n s f o r m o f t h e j u m p s i z e o f t y p e - j
j = 1 ; 2 j u m p .
T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n D e n e t h e g e n e r a l i z e d t r a n s f o r m f u n c t i o n a s
' u ; X
t
; Y
t
; t ; T E
Q
e
, r T , t
e x p u
1
X
T
+ u
2
Y
T
F
t
f o r a x e d t i m e T w h e r e u u
1
; u
2
2 C
2
. T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n ' i s w e l l - d e n e d a t a
g i v e n u u n d e r r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s o n
t ,
t ,
t ,
t , a n d
J
c
1
; c
2
; t
U n d e r t e c h n i c a l r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , ' e
, r t
i s a m a r t i n g a l e u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l
m e a s u r e Q s i n c e i t i s a F
t
, c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o f a s i n g l e r a n d o m v a r i a b l e e x p u
1
X
T
+
u
2
Y
T
1
T h e r e f o r e t h e d r i f t t e r m o f ' e
, r t
i s z e r o . A p p l y i n g I t o ' s l e m m a f o r c o m p l e x
f u n c t i o n , w e o b s e r v e t h a t ' n e e d s t o s a t i s f y t h e f o l l o w i n g f u n d a m e n t a l p a r t i a l d i e r e n t i a l
e q u a t i o n P D E
D f , r f = 0 2 2
w h e r e
D f @
t
f +
X
@
X
f +
1
2
t r @
2
X
f
T
+
2
X
j = 1
j
t
Z
R
2
f X
t
+ Z
j
t
; t , f X
t
; t d v
j
z
I t i s c o n j e c t u r e d t h a t , u n d e r r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , ' t a k e s t h e f o r m :
' u ; X
t
; Y
t
; t ; T = e x p t ; u +
1
t ; u X
t
+
2
t ; u Y
t
2 3
w h e r e a n d
1
2
0
s a t i s f y t h e c o m p l e x - v a l u e d o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
d
d t
t ; u + B t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = u
d
d t
t ; u + A t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = 0
2 4
w i t h A ; : C
2
R ! C
1
a n d B ; : C
2
R ! C
2
b e i n g
A ; t =
2
P
i = 1
i
i
i
+
1
2
2
i
2
i
+
1
2
1
2
, r +
2
P
j = 1
j
t
j
J
1
;
2
; t , 1
B ; t =
0
@
1
1
2
2
1
A
2 5
1
F o r a f o r m a l p r o o f s e e 7 .
7
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
8/35
N o w , w e i n t e g r a t e a n d o u t w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g i n i t i a l c o n d i t i o n s t o g e t s o l u t i o n s
2 . 6 . T h e n w e h a v e
' u ; X
t
; Y
t
; t ; T = e x p t ; u +
1
t ; u X
t
+
2
t ; u Y
t
w h e r e
1
t ; u
1
; u
2
0
= u
1
e x p ,
R
T
t
1
s d s
2
t ; u
1
; u
2
0
= u
2
e x p ,
R
T
t
2
s d s
t ; u =
Z
T
t
2
X
i = 1
i
s
i
s
i
s ; u +
1
2
2
i
s
2
i
s ; u + s
1
s
2
s
1
s ; u
2
s ; u
, r +
2
P
j = 1
j
s
j
J
1
s ; u ;
2
s ; u ; s , 1 d s
2 6
2 . 2 M o d e l 2 : A r e g i m e - s w i t c h i n g m e a n - r e v e r t i n g p r o c e s s w i t h
t w o t y p e s o f j u m p s
T o m o t i v a t e t h i s m o d e l , w e c o n s i d e r a g a i n t h e c a s e o f e l e c t r i c i t y i n w h i c h t h e f o r c e d o u t a g e s
o f g e n e r a t i o n p l a n t s o r u n e x p e c t e d c o n t i n g e n c i e s i n t r a n s m i s s i o n n e t w o r k s o f t e n r e s u l t i n
a b n o r m a l l y h i g h s p o t p r i c e s f o r a s h o r t t i m e p e r i o d a n d t h e n a q u i c k p r i c e f a l l - b a c k . I n
o r d e r t o c a p t u r e t h e p h e n o m e n a o f s p o t p r i c e s s w i t c h i n g b e t w e e n h i g h " a n d n o r m a l "
s t a t e s , w e e x t e n d m o d e l 1 t o a M a r k o v r e g i m e - s w i t c h i n g m o d e l w h i c h w e w i l l d e s c r i b e i n
d e t a i l b e l o w .
L e t U
t
b e a c o n t i n u o u s - t i m e t w o - s t a t e M a r k o v c h a i n
d U
t
= 1
U
t
= 0
U
t
d N
0
t
+ 1
U
t
= 1
U
t
d N
1
t
2 7
w h e r e N
i
t
i s a P o i s s o n p r o c e s s w i t h a r r i v a l i n t e n s i t y
i
i = 0 ; 1 a n d 0 = , 1 = 1 .
W e n e x t d e n e t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p e n s a t e d c o n t i n u o u s - t i m e M a r k o v c h a i n M t a s
d M
t
= , U
t
U
t
d t + d U
t
2 8
T h e j o i n t s p e c i c a t i o n o f e l e c t r i c i t y a n d t h e g e n e r a t i n g f u e l p r i c e p r o c e s s e s i s
d
0
@
X
t
Y
t
1
A
=
0
@
1
t
1
t , X
t
2
t
2
t , Y
t
1
A
d t +
0
@
1
t 0
t
2
t
q
1 , t
2
2
t
1
A
d W
t
+
2
X
i = 1
Z
i
t
+ U
t ,
d M
t
2 . 9
8
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
9/35
w h e r e f i
1
i ;
2
i
0
; i = 0 ; 1 g d e n o t e s t h e r a n d o m j u m p s i n s t a t e v a r i a b l e s w h e n
r e g i m e - s w i t c h i n g o c c u r s .
T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n L e t F
i
x ; t i = 0 ; 1 d e n o t e
E e
, r T , t
e x p u
1
X
T
+ u
2
Y
T
X
t
= x ; Y
t
= y ; U
t
= i
w h e r e U
t
i s t h e M a r k o v r e g i m e s t a t e v a r i a b l e . T h e i n n i t e s i m a l g e n e r a t o r D o f F
i
i s g i v e n
b y
D F
0
x ; t = d F
0
x ; t +
0
R
R
2
F
1
x + 0 ; t , F
0
x ; t d
t
0
D F
1
x ; t = d F
1
x ; t +
1
R
R
2
F
0
x + 1 ; t , F
1
x ; t d
t
1
2 1 0
w h e r e
d F
i
x ; t = F
i
t
+ F
i
x
i
x ; t +
1
2
t r F
i
x x
i
x ; t
i
x ; t
T
+
2
X
j = 1
i
j
x ; t
Z
R
2
F
i
x + z ; t , F
i
x ; t d
j t
z
i = 0 ; 1 i s t h e r e g i m e s t a t e v a r i a b l e
F o r t h e s p e c i a l c a s e w h e r e t h e j u m p d i u s i o n p r o c e s s e s a r e t h e s a m e i n a l l r e g i m e s t a t e s , t h e
s o l u t i o n t o 2 . 1 0 a s s u m e s t h e f o l l o w i n g f o r m ,
F
0
x ; y ; t = e x p
0
t +
1
t x +
2
t y
F
1
x ; y ; t = e x p
1
t +
1
t x +
2
t y
2 1 1
S u b s t i t u t i n g 2 . 1 1 i n t o D F
i
x ; y ; t , r F
i
x ; y ; t = 0 a n d l e t t t ; u
0
t ; u ;
1
t ; u
0
,
t t ; u
1
t ; u ;
2
t ; u
0
, w e g e t t h e f o l l o w i n g o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
O D E s
d
d t
t ; u + B t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = u
d
d t
t ; u + A t ; u ; t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = 0
2 1 2
w h e r e
A t ; t ; t =
0
@
A
1
t ; t +
0
e x p
1
t ,
0
t
0
t ; t , 1
A
1
t ; t +
1
e x p
0
t ,
1
t
1
t ; t , 1
1
A
B t ; t =
0
@
1
t
1
t
2
t
2
t
1
A
2 1 3
9
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
10/35
w i t h
A
1
t ; t =
2
X
i = 1
i
i
i
+
1
2
2
i
2
i
,
1
2
1
2
, r +
2
X
j = 1
j
j
J
; t , 1
j
J
; t a n d
t ; t a r e t r a n s f o r m f u n c t i o n s o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s r e p r e s e n t i n g j u m p
s i z e i n s t a t e v a r i a b l e s w i t h i n a r e g i m e a n d a s s o c i a t e d w i t h t h e r e g i m e - s w i t c h i n g , r e s p e c t i v e l y .
W h e n O D E s 2 . 1 2 d o n o t h a v e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n , w e n e e d t o n u m e r i c a l l y s o l v e 2 . 1 2
a n d o b t a i n t h e v a l u e o f t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n .
2 . 3 M o d e l 3 : A m e a n - r e v e r t i n g s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y p r o c e s s w i t h
t w o t y p e s o f j u m p s
W e c o n s i d e r a t h r e e f a c t o r a n e p r o c e s s w i t h t w o t y p e s o f j u m p s i n t h i s m o d e l . O n c e a g a i n ,
w e m o t i v a t e t h e m o d e l i n t h e s e t t i n g o f m o d e l i n g t h e e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e . C o n s i d e r X
t
a n d
Y
t
t o b e t h e l o g a r i t h m o f t h e s p o t p r i c e o f e l e c t r i c i t y a n d g e n e r a t i n g f u e l , e . g . n a t u r a l g a s ,
r e s p e c t i v e l y . V
t
c a n b e t h o u g h t a s a f a c t o r w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t h e a g g r e g a t e r e g i o n a l
d e m a n d p r o c e s s . W e a t h e r c o n d i t i o n s s u c h a s u n u s u a l h e a t w a v e s u s u a l l y c a u s e s i m u l t a n e o u s
j u m p s i n b o t h e l e c t r i c i t y p r i c e a n d t h e a g g r e g a t e l o a d ; w h i l e t h e p l a n t o r t r a n s m i s s i o n l i n e
o u t a g e s w i l l l i k e l y c a u s e j u m p s i n e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e o n l y . T h e r e i s a l s o e m p i r i c a l e v i d e n c e
a l l u d i n g t o t h e f a c t t h a t t h e v o l a t i l i t y o f e l e c t r i c i t y p r i c e i s h i g h w h e n t h e a g g r e g a t e d e m a n d
s u r g e s a n d v i c e v e r s a . W i t h p r o p e r r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s , t h e r e e x i s t s a M a r k o v p r o c e s s
w h i c h i s t h e s t r o n g s o l u t i o n t o t h e f o l l o w i n g s t o c h a s t i c d i e r e n t i a l e q u a t i o n S D E u n d e r t h e
r i s k n e u t r a l m e a s u r e Q
d
0
B
B
B
@
X
t
V
t
Y
t
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
1
t
1
t , X
t
V
t
V
t , V
t
2
t
2
t , Y
t
1
C
C
C
A
d t +
0
B
B
B
@
p
V
t
0 0
1
t
2
t
p
V
t
q
1 ,
2
1
t
2
t
p
V
t
0
2
t
3
t
p
V
t
0
3
t
1
C
C
C
A
d W
t
+
2
X
i = 1
Z
i
t
2 . 1 4
w h e r e W i s a n F
t
- a d a p t e d s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n u n d e r Q i n
3
; Z
i
i s a c o m p o u n d
P o i s s o n p r o c e s s i n
3
w i t h t h e P o i s s o n a r r i v a l i n t e n s i t y b e i n g
i
X
t
; V
t
; Y
t
; t i = 1 ; 2 . W e
m o d e l t h e s p i k y b e h a v i o r b y a s s u m i n g t h a t t h e i n t e n s i t y f u n c t i o n o f t y p e - 1 j u m p i s o n l y a
f u n c t i o n o f t i m e t , d e n o t e d b y
1
t a n d t h e i n t e n s i t y o f t y p e - 2 j u m p i s a f u n c t i o n o f V
t
,
i . e .
2
X
t
; V
t
; t =
2
t V
t
. L e t
j
J
c
1
; c
2
; t
R
R
2
e x p c Z
j
t
d v
j
z d e n o t e t h e t r a n s f o r m
o f t h e j u m p s i z e o f t y p e - j j = 1 ; 2 j u m p .
1 0
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
11/35
T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n F o l l o w i n g s i m i l a r a r g u m e n t s t o t h o s e u s e d i n M o d e l 1 , w e k n o w
t h a t t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n
' u ; X
t
; V
t
; Y
t
; t ; T E
Q
e
, r T , t
e x p u
1
X
T
+ u
2
V
T
+ u
3
Y
T
F
t
i s o f f o r m
' u ; X
t
; V
t
; Y
t
; t ; T = e x p t ; u +
1
t ; u X
T
+
2
t ; u V
T
+
3
t ; u Y
T
2 1 5
w h e r e u ; t a n d u ; t
1
u ; t ;
2
u ; t ;
3
u ; t
0
a r e s o l u t i o n s t o t h e f o l l o w i n g o r d i n a r y
d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
d
d t
t ; u + B t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = u
d
d t
t ; u + A t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = 0
2 1 6
w i t h A ; : C
3
R ! C
1
a n d B ; : C
3
R ! C
3
b e i n g
A ; t = , r +
3
P
i = 1
i
i
i
+
1
2
2
3
2
3
t +
1
t
1
J
; t , 1
B ; t =
0
B
B
B
@
1
t
1
t ; u
2
t
2
t ; u +
2
t
2
J
; t , 1 +
1
2
B
1
; t
3
t
3
t ; u
1
C
C
C
A
2 1 7
a n d
B
1
; t =
1
t ; u
1
t ; u +
2
t ; u
1
t
2
t +
3
t ; u
2
t
3
t
+
2
t ; u
1
t ; u
1
t
2
t +
2
t ; u
2
2
t +
3
t ; u
1
t
2
t
2
t
3
t
+
3
t ; u
1
t ; u
2
t
3
t +
2
t ; u
1
t
2
t
2
t
3
t +
3
t ; u
2
2
t
2
3
t
3 P r i c i n g o f E n e r g y C o m m o d i t y D e r i v a t i v e s
W e h a v e s p e c i e d t h r e e t y p e s o f m e a n - r e v e r t i n g j u m p - d i u s i o n p r o c e s s e s f o r m o d e l i n g t h e
e n e r g y c o m m o d i t y s p o t p r i c e s . W e a l s o s h o w e d h o w t o c o m p u t e t h e g e n e r a l i z e d t r a n s f o r m
f u n c t i o n o f t h e p r o c e s s e s a t a n y g i v e n t i m e T . T h e p r i c e s o f E u r o p e a n t y p e c o n t i n g e n t c l a i m s
o n t h e s p o t p r i c e c a n n o w b e o b t a i n e d t h r o u g h t h e i n v e r s i o n o f t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n s . L e t
X
t
b e a s t a t e v e c t o r i n R
n
a n d u 2 C
n
, t h e g e n e r a l i z e d t r a n s f o r m f u n c t i o n i s g i v e n b y
' u ; X
t
; t ; T E
Q
e
, r T , t
e x p u X
T
F
t
= e x p t ; u + t ; u X
t
3 . 1
1 1
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
12/35
L e t G v ; X
t
; Y
t
; t ; T ; a ; b d e n o t e t h e t i m e - t p r i c e o f a c o n t i n g e n t c l a i m w i t h p a y o e x p a X
T
w h e n b X
T
v i s t r u e a t t i m e T w h e r e a , b a r e v e c t o r s i n R
n
a n d v 2 R
1
, t h e n w e h a v e
G v ; X
t
; t ; T ; a ; b = E
Q
e
, r T , t
e x p a X
T
1
b X
T
v
F
t
=
' a ; X
t
; t ; T
2
,
1
Z
1
0
I m ' a + i w b ; X
t
; t ; T e
, i w v
w
d w 3 . 2
S e e a p p e n d i x f o r a f o r m a l p r o o f . T o i l l u s t r a t e t h e r e s u l t s , w e t a k e s o m e c o n c r e t e e x a m p l e s
o f t h e t h r e e m o d e l s a n d c o m p u t e t h e p r i c e f o r s e v e r a l c o m m o n l y t r a d e d e n e r g y c o m m o d i t y
d e r i v a t i v e s . S p e c i c a l l y , m o d e l 1 a i s a s p e c i a l c a s e o f m o d e l 1 ; m o d e l 2 a i s a s p e c i a l c a s e o f
m o d e l 2 ; a n d m o d e l 3 a i s a s p e c i a l c a s e o f m o d e l 3 . C l o s e d - f o r m s o l u t i o n s o f t h e d e r i v a t i v e
s e c u r i t i e s u p t o F o u r i e r i n v e r s i o n a r e p r o v i d e d w h e n e v e r a v a i l a b l e .
3 . 1 I l l u s t r a t i v e M o d e l s
T h e s p e c i c m o d e l s w e p r e s e n t e d h e r e a r e o b t a i n e d b y s e t t i n g t h e p a r a m e t e r s i n t h e t h r e e
g e n e r a l m o d e l s t o b e c o n s t a n t s . T h e j u m p s a p p e a r i n t h e p r i m a r y c o m m o d i t y p r i c e o n l y a n d
t h e j u m p s i z e s a r e d i s t r i b u t e d a s i n d e p e n d e n t e x p o n e n t i a l r a n d o m v a r i a b l e s i n R
n
. T h e r e f o r e
t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n o f t h e j u m p s i z e t a k e s t h e f o r m o f
j
J
c ; t
n
Y
k = 1
1
1 ,
k
j
c
k
3 3
3 . 1 . 1 M o d e l 1 a
M o d e l 1 a i s a s p e c i a l c a s e o f 2 . 1 w i t h a l l p a r a m e t e r s b e i n g c o n s t a n t s . T h e j u m p s a r e
i n X , t h e l o g a r i t h m o f t h e c o m m o d i t y s p o t p r i c e , o n l y . T h e s i z e o f t y p e - j j u m p j = 1 ,
2 i s e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d w i t h m e a n
j
J
. T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n o f t h e j u m p s i z e i s
j
J
c
1
; c
2
; t
1
1 ,
j
J
c
1
j = 1 ; 2
d
0
@
X
t
Y
t
1
A
=
0
@
1
1
, X
t
2
2
, Y
t
1
A
d t +
0
@
1
0
1
2
q
1 ,
2
1
2
1
A
d W
t
3 . 4
+
2
X
i = 1
Z
i
t
1 2
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
13/35
T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '
1 a
T h e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n o f t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n c a n b e
w r i t t e n o u t e x p l i c i t l y f o r t h i s m o d e l .
'
1 a
u ; X
t
; Y
t
; t ; T = e x p +
1
X
t
+
2
Y
t
3 5
w h e r e = T , t . B y s o l v i n g t h e o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n 2 . 5 w i t h a l l p a r a m e t e r s
b e i n g c o n s t a n t s , w e g e t t h e f o l l o w i n g ,
1
; u
1
= u
1
e x p ,
1
2
; u
2
= u
2
e x p ,
2
; u = , r ,
2
P
j = 1
j
J
1
l n
u
1
j
J
, 1
u
1
j
J
e x p ,
1
, 1
+
a
1
2
1
u
2
1
4
1
+
a
2
2
2
u
2
2
4
2
+ u
1
1
1 , e x p ,
1
+ u
2
2
1 , e x p ,
2
+
u
1
u
2
1
1
2
1 , e x p ,
1
+
2
1
+
2
3 6
w i t h a
1
= 1 , e x p , 2
1
a n d a
2
= 1 , e x p , 2
2
3 . 1 . 2 M o d e l 2 a
M o d e l 2 a i s a r e g i m e s w i t c h i n g w i t h t h e r e g i m e - j u m p o n l y i n t h e r s t c o m m o d i t y p r i c e . I n t h e
e l e c t r i c i t y m a r k e t s , t h i s i s s u i t a b l e f o r m o d e l i n g t h e o c c a s i o n a l p r i c e s p i k e s i n t h e e l e c t r i c i t y
s p o t p r i c e c a u s e d b y f o r c e d o u t a g e o f t h e m a j o r p l a n t s o r l i n e c o n t i n g e n c y i n t r a n s m i s s i o n
n e t w o r k s . F o r s i m p l i c i t y , w e a s s u m e t h a t t h e r e a r e n o j u m p s w i t h i n e a c h r e g i m e .
d
0
@
X
t
Y
t
1
A
=
0
@
1
1
, X
t
2
2
, Y
t
1
A
d t +
0
@
1
0
1
2
q
1 ,
2
1
2
1
A
d W
t
3 . 7
+ U
t ,
d M
t
w h e r e W i s a n F
t
- a d a p t e d s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n i n
2
U
t
i s t h e r e g i m e s t a t e p r o c e s s
d e n e d i n 2 . 7 . T h e s i z e o f r e g i m e - j u m p s i s a s s u m e d t o b e d i s t r i b u t e d a s e x p o n e n t i a l r a n d o m
v a r i a b l e s a n d t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n s o f t h e r e g i m e - j u m p s i z e a r e
c
1
; c
2
; t
1
1 ,
c
1
= 0 ; 1 w h e r e
0
0 a n d
1
0
T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '
2 a
F o r t h i s m o d e l t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '
2 a
c a n n o t b e s o l v e d
i n c l o s e d - f o r m c o m p l e t e l y . W e h a v e
'
0
2 a
x ; y ; t = e x p
0
t +
1
t x +
2
t y
'
1
2 a
x ; y ; t = e x p
1
t +
1
t x +
2
t y
3 8
1 3
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
14/35
w h e r e t t ; u
1
t ; u ;
2
t ; u
0
h a s t h e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n o f
1
; u
1
= u
1
e x p ,
1
2
; u
2
= u
2
e x p ,
2
b u t t t ; u
0
t ; u ;
1
t ; u
0
n e e d s t o b e n u m e r i c a l l y c o m p u t e d f r o m
d
d t
0
@
0
t
1
t
1
A
= ,
0
B
B
B
@
A
1
t ; t +
0
e x p
1
t ,
0
t
1 ,
0
1
t ; u
1
, 1
A
1
t ; t +
1
e x p
0
t ,
1
t
1 ,
1
1
t ; u
1
, 1
1
C
C
C
A
0
@
0
0 ; u
1
0 ; u
1
A
=
0
@
0
0
1
A
w i t h
A
1
t ; t = , r +
2
X
i = 1
i
i
i
+
1
2
2
i
2
i
,
1
1
2
1
2
3 . 1 . 3 M o d e l 3 a
M o d e l 3 a i s a s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l i n w h i c h t h e t y p e - 1 j u m p s a r e s i m u l t a n e o u s j u m p s
i n t h e c o m m o d i t y s p o t p r i c e a n d v o l a t i l i t y , a n d t h e t y p e - 2 j u m p s a r e i n t h e c o m m o d i t y s p o t
p r i c e o n l y . A l l p a r a m e t e r s a r e c o n s t a n t s .
d
0
B
B
B
@
X
t
V
t
Y
t
1
C
C
C
A
=
0
B
B
B
@
1
1
, X
t
V
V
, V
t
2
2
, Y
t
1
C
C
C
A
d t +
0
B
B
B
@
p
V
t
0 0
1
2
p
V
t
q
1 ,
2
1
2
p
V
t
0
2
3
p
V
t
0
3
1
C
C
C
A
d W
t
+
2
X
i = 1
Z
i
t
3 . 9
w h e r e W i s a n F
t
- a d a p t e d s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n i n
3
; Z
i
i = 1 ; 2 i s a c o m p o u n d
P o i s s o n p r o c e s s i n
3
. T h e P o i s s o n a r r i v a l i n t e n s i t y f u n c t i o n s a r e
1
X
t
; V
t
; Y
t
; t =
1
a n d
2
X
t
; V
t
; Y
t
; t =
2
V
t
. T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n s o f t h e j u m p s i z e a r e
1
J
c
1
; c
2
; c
3
; t
1
1 ,
1
1
c
1
1 ,
2
1
c
2
2
J
c
1
; c
2
; c
3
; t
1
1 ,
1
2
c
1
w h e r e
k
J
i s t h e m e a n s i z e o f t h e t y p e - J J = 1 ; 2 j u m p i n f a c t o r k k = 1 ; 2
1 4
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
15/35
T h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '
3 a
F r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e k n o w '
3 a
i s o f f o r m
'
3 a
u ; X
t
; V
t
; Y
t
; t ; T = e x p t ; u +
1
t ; u X
T
+
2
t ; u V
T
+
3
t ; u Y
T
S i m i l a r t o m o d e l 2 a , t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '
3 a
d o e s n o t h a v e a c l o s e d - f o r m s o l u t i o n . W e
n u m e r i c a l l y s o l v e f o r b o t h t ; u a n d t ; u
1
t ; u ;
2
t ; u ;
3
t ; u
0
f r o m t h e f o l l o w i n g
o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s O D E s
d
d t
t ; u + B t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = u
d
d t
t ; u + A t ; u ; t = 0 ; 0 ; u = 0
3 1 0
w i t h
A ; t = , r +
3
P
i = 1
i
i
i
t ; u +
1
2
2
3
t
2
3
+
1
1
1 ,
1
1
1
t ; u 1 ,
2
1
2
t ; u
, 1
B ; t =
0
B
B
B
B
B
B
@
1
1
t ; u +
2 1
1
1 ,
1
2
1
t ; u
, 1
2
2
t ; u +
2 2
1
1 ,
1
2
1
t ; u
, 1 +
1
2
B
1
; t
3
3
t ; u
1
C
C
C
C
C
C
A
3 1 1
a n d
B
1
; t =
1
t ; u
1
t ; u +
2
t ; u
1
2
+
3
t ; u
2
3
+
2
t ; u
1
t ; u
1
2
+
2
t ; u
2
2
+
3
t ; u
1
2
2
3
+
3
t ; u
1
t ; u
2
3
+
2
t ; u
1
2
2
3
+
3
t ; u
2
2
2
3
3 . 2 E n e r g y C o m m o d i t y D e r i v a t i v e s
I n t h i s s u b s e c t i o n , w e p r o v i d e t h e p r i c i n g f o r m u l a e f o r t h e f u t u r e s , c a l l s , s p a r k s p r e a d o p t i o n s ,
a n d l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n s . W e u s e p a r a m e t e r s g i v e n i n T a b l e ? ? t o e x p l i c i t l y c o m p u t e
t h e d e r i v a t i v e p r i c e s . C o m p a r i s o n s o f t h e d e r i v a t i v e p r i c e s i n d i e r e n t m o d e l s w i l l b e s h o w n .
3 . 2 . 1 F u t u r e s F o r w a r d P r i c e
A f u t u r e s f o r w a r d c o n t r a c t p r o m i s i n g t o d e l i v e r o n e u n i t o f c o m m o d i t y S
i
a t a f u t u r e t i m e
T f o r a p r i c e o f F h a s t h e f o l l o w i n g p a y o a t t i m e T
P a y o = S
i
T
, F
1 5
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
16/35
S i n c e t h e r e i s n o i n i t i a l p a y m e n t i s r e q u i r e d t o e n t e r i n t o a f u t u r e s c o n t r a c t , t h e f u t u r e s p r i c e
F i s g i v e n b y
F S
i
t
; t ; T = E
Q
S
i
T
F
t
R e w r i t e t h e a b o v e e x p r e s s i o n a s
F S
i
t
; t ; T = E
Q
S
i
T
F
t
= e
r
E
Q
e
, r
e x p X
i
T
F
t
W e t h e r e f o r e h a v e
F S
i
t
; t ; T = e
r
' e
T
i
; X
t
; 3 1 2
w h e r e = T , t ; ' u ; X
t
; i s t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n i n 3 . 1 ; e
i
i s t h e v e c t o r w i t h i
t h
c o m p o n e n t b e i n g 1 a n d o t h e r c o m p o n e n t s a l l b e i n g 0 .
F u t u r e s p r i c e m o d e l 1 a R e c a l l t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '
1 a
i s g i v e n b y 3 . 5 a n d 3 . 6 .
B y s e t t i n g u = 1 ; 0
0
i n '
1 a
, w e g e t
'
1 a
1 ; 0
0
; X
t
; Y
t
; = e x p X
t
e x p ,
1
, r +
a
1
2
1
4
1
+
1
1 , e x p ,
1
, j
w h e r e = T , t , X
t
= l n S
t
, a
1
= 1 , e x p , 2
1
a n d j =
2
P
j = 1
j
J
1
l n
j
J
, 1
j
J
e x p ,
1
, 1
T h e r e f o r e b y 3 . 1 2 , w e h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n .
P r o p o s i t i o n 1 I n M o d e l 1 a , t h e f u t u r e s p r i c e o f c o m m o d i t y S
t
a t t i m e t w i t h d e l i v e r y t i m e
T i s
F S
t
; t ; T = e
r
'
1 a
1 ; 0
0
; X
t
; Y
t
;
= e x p X
t
e x p ,
1
+
a
1
2
1
4
1
+
1
1 , e x p ,
1
, j 3 . 1 3
w h e r e = T , t , X
t
= l n S
t
, a
1
= 1 , e x p , 2
1
a n d j =
2
P
j = 1
j
J
1
l n
j
J
, 1
j
J
e x p ,
1
, 1
N o t e t h a t t h e f u t u r e s p r i c e i n t h i s m o d e l i s s i m p l y t h e f u t u r e s p r i c e i n t h e m e a n - r e v e r s i o n
m o d e l w i t h o u t a n y j u m p s b u t s c a l e d u p b y a f a c t o r o f e x p , j . I f w e i n t e r p r e t t h e s p i k e s
i n c o m m o d i t y s p o t p r i c e a s u p w a r d s j u m p s f o l l o w e d s h o r t l y b y d o w n w a r d s j u m p s o f s i m i l a r
s i z e s , t h e n o v e r a l o n g t i m e h o r i z o n w e c a n s a y t h a t b o t h t h e f r e q u e n c i e s a n d t h e s i z e s o f t h e
1 6
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
17/35
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
18/35
Electricity Forward Curves under Different Models
$15.00
$20.00
$25.00
$30.00
$35.00
$40.00
$45.00
$50.00
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Deliverary Date (yrs)
Futures Price
Model 1a
Model 2a
Model 3a
GBM
F i g u r e 4 : F o r w a r d C u r v e s u n d e r D i e r e n t M o d e l s
w h e r e = T , t a n d G
1
, G
2
a r e o b t a i n e d b y s e t t i n g f a = e
i
, b = , e
i
, v = , l n K g a n d
f a = 0 , b = , e
i
, v = , l n K g i n 3 . 2 , r e s p e c t i v e l y .
G
1
= E
Q
e
, r
e x p X
T
1
X
T
l n K
F
t
=
F
i
t
e
, r
2
,
1
Z
1
0
I m ' 1 , w i ; 0 ; X
t
; e x p i w l n K
w
d w
= F
i
t
e
, r
1
2
,
1
Z
1
0
I m ' 1 , w i ; 0 ; X
t
; e x p r + i w l n K
w F
i
t
d w 3 . 1 5
w h e r e F
i
t
= e
r
' e
T
i
; X
t
; i s t h e t i m e - t f o r w a r d p r i c e o f c o m m o d i t y S
i
w i t h d e l i v e r y t i m e
T
G
2
= E
Q
e
, r
1
X
i
T
l n K
F
t
=
' 0 ; X
t
; t ; T
2
,
1
Z
1
0
I m ' i w e
i
; X
t
; t ; T e
, i w l n v
w
d w
= e
, r
1
2
,
1
Z
1
0
I m ' i w e
i
; X
t
; t ; T e
r , i w l n v
w
d w
!
3 . 1 6
C a l l o p t i o n p r i c e S u b s t i t u t i n g '
1 a
, '
2 a
, a n d '
3 a
i n t o 3 . 1 5 a n d 3 . 1 6 w e h a v e t h e c a l l
o p t i o n p r i c e g i v e n b y 3 . 1 4 u n d e r M o d e l 1 a , 2 a a n d 3 a , r e s p e c t i v e l y .
V o l a t i l i t y s m i l e F i g u r e 5 p l o t s t h e c a l l o p t i o n v a l u e s w i t h d i e r e n t m a t u r i t y t i m e u n d e r
d i e r e n t m o d e l s . T h e c a l l v a l u e s u n d e r a G e o m e t r i c B r o w n i a n m o t i o n G B M m o d e l a r e a l s o
1 8
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
19/35
Call Options Price under Different Models(Strike K = $35, rf = 4%)
$0.0
$5.0
$10.0
$15.0
$20.0
$25.0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Maturity Time (yrs)
Call Price
Model 1a
Model 2a
Model 3a
GBM
F i g u r e 5 : C a l l O p t i o n s P r i c e u n d e r D i e r e n t M o d e l s
p l o t t e d f o r c o m p a r i s o n p u r p o s e . N o t e t h a t , a s m a t u r i t y t i m e i n c r e a s e s , t h e m e a n - r e v e r s i o n
e e c t s i n a l l t h r e e m o d e l s c a u s e t h e v a l u e o f a c a l l o p t i o n t o c o n v e r g e t o a l o n g - t e r m v a l u e
w h i c h i s d i e r e n t f r o m t h e s p o t p r i c e o f t h e u n d e r l y i n g . F i g u r e 6 i l l u s t r a t e s t h e i m p l i e d
v o l a t i l i t y c u r v e s u n d e r t h e t h r e e i l l u s t r a t i v e m o d e l s f o r t h e p a r a m e t e r s e t s g i v e n i n T a b l e
3 . 4 .
3 . 2 . 3 C r o s s C o m m o d i t y S p r e a d O p t i o n
I n e n e r g y c o m m o d i t y m a r k e t s , c r o s s c o m m o d i t y d e r i v a t i v e s p l a y c r u c i a l r o l e s i n r i s k m a n a g e -
m e n t . C r a c k s p r e a d o p t i o n s i n c r u d e o i l m a r k e t s a s w e l l a s t h e s p a r k s p r e a d a n d l o c a t i o n a l
s p r e a d o p t i o n s i n e l e c t r i c i t y m a r k e t s a r e g o o d e x a m p l e s . D e n g , J o h n s o n a n d S o g o m o n i a n
1 9 9 8 i l l u s t r a t e d h o w t h e s p a r k s p r e a d o p t i o n s , w h i c h a r e d e r i v a t i v e s o n e l e c t r i c i t y a n d t h e
f o s s i l f u e l s u s e d t o g e n e r a t e e l e c t r i c i t y , c a n h a v e v a r i o u s a p p l i c a t i o n s i n r i s k m a n a g e m e n t
f o r u t i l i t y c o m p a n i e s a n d p o w e r m a r k e t e r s . M o r e o v e r , s u c h o p t i o n s a r e e s s e n t i a l i n a s s e t
v a l u a t i o n f o r f o s s i l f u e l e l e c t r i c i t y g e n e r a t i o n p l a n t s . A s p a r k s p r e a d c a l l S S C o p t i o n p a y s
o t h e p o s i t i v e p a r t o f t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e a n d t h e g e n e r a t i n g
f u e l c o s t . I t h a s t h e f o l l o w i n g p a y o f u n c t i o n a t t h e t i m e o f m a t u r i t y ,
S S C S
e
T
; S
g
T
; H ; T = m a x S
e
T
, H S
g
T
; 0
1 9
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
20/35
Implied Volatility Curves of Call Options(Maturity: 0.25yrs; Se =$24.63 )
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
130%
140%
$28 $38 $48 $58 $68 $78 $88 $98
Strike Price
Volatility
Model 1a
Model 2a
Model 3a
GBM
F i g u r e 6 : V o l a t i l i t y - S m i l e u n d e r D i e r e n t M o d e l s
w h e r e S
e
T
a n d S
g
T
a r e t h e p r i c e o f t h e e l e c t r i c i t y a n d t h e g e n e r a t i n g f u e l , r e s p e c t i v e l y ; t h e c o n -
s t a n t H , t e r m e d s t r i k e h e a t r a t e , r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f u n i t s o f g e n e r a t i n g f u e l c o n t r a c t e d
t o p r o d u c e o n e u n i t o f e l e c t r i c i t y .
A n o t h e r k i n d o f c r o s s c o m m o d i t y o p t i o n c a l l e d l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n i s a l s o i n t r o d u c e d
i n D e n g , J o h n s o n a n d S o g o m o n i a n 1 9 9 8 . A l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n p a y s o t h e p o s i t i v e
p a r t o f t h e c o m m o d i t y p r i c e d i e r e n c e a t t w o d i e r e n t d e l i v e r y p o i n t s . I n t h e c o n t e x t o f
e l e c t r i c i t y m a r k e t s , t h e y s e r v e t h e p u r p o s e s o f h e d g i n g t h e t r a n s m i s s i o n r i s k a n d t h e y c a n a l s o
b e u s e d t o v a l u e t r a n s m i s s i o n e x p a n s i o n p r o j e c t s a s s h o w n i n D e n g , J o h n s o n a n d S o g o m o n i a n
1 9 9 8 . T h e t i m e T p a y o o f a l o c a t i o n a l s p r e a d c a l l o p t i o n i s
L S C S
a
T
; S
b
T
; L ; T = m a x S
b
T
, L S
a
T
; 0
w h e r e S
a
T
a n d S
b
T
a r e t h e t i m e - T c o m m o d i t y p r i c e s a t l o c a t i o n a a n d b , a n d t h e c o n s t a n t L
i s a l o s s f a c t o r r e e c t i n g t h e f a c t t h a t t h e r e m i g h t b e a t r a n s p o r t a t i o n t r a n s m i s s i o n l o s s
a s s o c i a t e d w i t h s h i p p i n g o n e u n i t o f t h e c o m m o d i t y f r o m l o c a t i o n a t o b
O b s e r v i n g t h e s i m i l a r p a y o s t r u c t u r e s o f t h e a b o v e t w o s p r e a d o p t i o n s , w e d e n e a
g e n e r a l c r o s s - c o m m o d i t y s p r e a d c a l l o p t i o n a s a n o p t i o n w i t h t h e f o l l o w i n g p a y o a t m a t u r i t y
t i m e T ,
C S C S
1
T
; S
2
T
; K ; T ; T = m a x S
1
T
, K S
2
T
; 0
w h e r e K i s a s c a l i n g c o n s t a n t a s s o c i a t e d w i t h t h e s p o t p r i c e o f c o m m o d i t y 2 . T h e i n t e r p r e -
2 0
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
21/35
t a t i o n f o r K i s d i e r e n t f o r d i e r e n t i n s t r u m e n t s , f o r e x a m p l e , K i s e q u a l t o t h e h e a t r a t e
H f o r a s p a r k s p r e a d o p t i o n a n d i t i s t h e l o s s f a c t o r L f o r a l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n .
T h e v a l u e o f a E u r o p e a n c r o s s - c o m m o d i t y s p r e a d c a l l o p t i o n o n S
1
t
a n d S
2
t
a t t i m e t i s
g i v e n b y
C S C S
1
t
; S
2
t
; K ; t = E
Q
e
, r T , t
m a x S
1
T
, K S
2
T
; 0 F
t
= E
Q
e
, r
e x p X
1
T
1
S
1
T
, K S
2
T
0
F
t
, E
Q
e
, r
K e x p X
2
T
1
S
1
T
, K S
2
T
0
F
t
= G
1
, G
2
3 . 1 7
w h e r e
G
1
= G 0 ; l n S
1
t
; l n K S
2
t
; t ; T ; 1 ; 0 ; ; 0
0
; , 1 ; 1 ; 0 ; ; 0
0
G
2
= G 0 ; l n S
1
t
; l n K S
2
t
; t ; T ; 0 ; 1 ; 0 ; ; 0
0
; , 1 ; 1 ; 0 ; ; 0
0
3 1 8
a n d r e c a l l t h a t
G v ; X
t
; t ; T ; a ; b =
' a ; X
t
; t ; T
2
,
1
Z
1
0
I m ' a + i w b ; X
t
; t ; T e
, i w v
w
d w
C r o s s c o m m o d i t y s p r e a d c a l l o p t i o n p r i c e u n d e r e a c h o f t h e t h r e e m o d e l s a r e o b t a i n e d
b y s u b s t i t u t i n g '
1 a
, '
2 a
, a n d '
3 a
i n t o 3 . 1 7 a n d 3 . 1 8 .
T h e s p a r k s p r e a d c a l l o p t i o n v a l u e w i t h s t r i k e h e a t r a t e H = 9 5 f o r d i e r e n t m a t u r i t y
t i m e i s s h o w n i n g u r e 7 .
Spark Spread Call under Different Models(Heat Rate: 9.5MMBtu/MWh, rf = 4%)
$0.0
$5.0
$10.0
$15.0
$20.0
$25.0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Maturity Time (yrs)
Spark Spread Call
Model 1aModel 2a
Model 3aGBM
F i g u r e 7 : S p a r k S p r e a d C a l l P r i c e u n d e r D i e r e n t M o d e l s
2 1
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
22/35
3 . 3 C o m p a r a t i v e S t a t i c s
L e t X
i
t
d e n o t e l n S
i
t
a n d e
i
b e t h e v e c t o r w i t h t h e i
t h
c o m p o n e n t b e i n g 1 a n d a l l o t h e r
c o m p o n e n t s b e i n g 0 . B y s e t t i n g a = 0 , b = e
i
i n 3 . 2 , w e o b t a i n t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n
f u n c t i o n C F
S
i
T
v o f S
i
T
u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e a t t i m e t g i v e n t h e p a r a m e t e r s o f t h e
p r o c e s s a n d S
i
t
:
C F
S
i
T
v P r S
i
T
v
= P r X
i
T
l n v
= e
r T , t
E
Q
e
, r T , t
e x p 0 X
T
1
e
i
X
T
l n v
F
t
= e
r T , t
' 0 ; X
t
; t ; T
2
,
1
Z
1
0
I m ' i w e
i
; X
t
; t ; T e
, i w l n v
w
d w
!
=
1
2
,
1
Z
1
0
I m ' i w e
i
; X
t
; t ; T e
r T , t , i w l n v
w
d w 3 . 1 9
W h e n e v e r t h e c l o s e d - f o r m s o l u t i o n o f t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n ' i s a v a i l a b l e , w e c a n a n a l y t i -
c a l l y i n v e s t i g a t e t h e s t o c h a s t i c m o n o t o n i c i t y i n t h e r s t o r d e r s t o c h a s t i c d o m i n a n c e s e n s e
o f S
i
T
w i t h r e s p e c t t o t h e m o d e l p a r a m e t e r s a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s f r o m 3 . 1 9 . T h e c o m -
p a r a t i v e s t a t i c s r e s u l t s o f d e r i v a t i v e s e c u r i t y p r i c e w i t h r e s p e c t t o t h e p r o c e s s p a r a m e t e r s
c a n t h e r e f o r e b e e s t a b l i s h e d f o r t h o s e d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s h a v i n g m o n o t o n i c p a y o f u n c t i o n s
i n t h e u n d e r l y i n g p r i c e S
i
T
. W e i l l u s t r a t e t h i s p o i n t t h r o u g h t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n a n d
c o r o l l a r y .
P r o p o s i t i o n 2 I n M o d e l 1 a , u n d e r p r o p e r c o n d i t i o n s f o r
j
J
a n d
j
J
, t h e t e r m i n a l p r i c e S
1
T
c o n d i t i o n i n g o n S
1
t
i s s t o c h a s t i c a l l y i n c r e a s i n g i n t h e r s t o r d e r s t o c h a s t i c d o m i n a n c e s e n s e
i n
i
, S
1
t
; a n d S
1
t
i s s t o c h a s t i c a l l y i n c r e a s i n g i n
1
,
1
b u t s t o c h a s t i c a l l y d e c r e a s i n g i n
2
,
,
2
P r o o f . S e e A p p e n d i x .
S i n c e t h e p a y o f u n c t i o n s o f t h e f u t u r e s a n d c a l l o p t i o n s a r e i n c r e a s i n g f u n c t i o n s i n u n d e r -
l y i n g p r i c e S
i
t
, w e h a v e t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y .
C o r o l l a r y 1 I n M o d e l 1 a , u n d e r p r o p e r c o n d i t i o n s f o r
j
J
a n d
j
J
t h e f u t u r e s a n d c a l l
o p t i o n p r i c e s o f S
1
a r e i n c r e a s i n g f u n c t i o n s o f
i
,
i
, S
1
t
,
1
, a n d
1
; b u t d e c r e a s i n g f u n c t i o n s
o f
2
a n d ,
2
2 2
-
7/28/2019 Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their Applications.
23/35
P r o o f . B y P r o p o s i t o n 1 , t h e p r e v i o u s p r o p o s i t i o n , a n d a n e q u i v a l e n t d e n i t i o n o f t h e F i r s t
O r d e r S t o c h a s t i c D o m i n a n c e w h i c h s t a t e s t h a t i f X r s t o r d e r s t o c h a s t i c a l l y d o m i n a t e s Y ,
t h e n E f X E f Y f o r a n y i n c r e a s i n g f u n c t i o n f x
3 . 4 P a r a m e t e r E s t i m a t i o n
I n t h i s s u b s e c t i o n , w e i l l u s t r a t e h o w w e c a n e s t i m a t e t h e p a r a m e t e r s f o r t h e m o d e l s w e
c o n s i d e r e d i n S e c t i o n 3 . 1 u s i n g t h e e l e c t r i c i t y p r i c e d a t a . F o r i l l u s t r a t i o n p u r p o s e , w e p i c k
M o d e l 1 a a n d d e r i v e t h e m o m e n t c o n d i t i o n s f r o m t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n f o r t h e u n c o n d i -
t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f t h e u n d e r l y i n g p r i c e r e t u r n . W e a s s u m e t h e r i s k p r e m i u m a s s o c i a t e d
w i t h t h e f a c t o r X t o b e p r o p o r t i o n a l t o X , i . e . t h e r i s k p r e m i u m i s o f f o r m
X
X . F o r
s i m p l i c i t y , w e f u r t h e r a s s u m e t h e r i s k p r e m i a a s s o c i a t e d w i t h t h e j u m p s a r e z e r o . T h e r e f o r e
t h e p r i c e p r o c e s s e s u n d e r t h e t r u e m e a s u r e i s o f t h e s a m e f o r m . I n p a r t i c u l a r ,
i
=
i
+
i
i
=
i
i
i
+
i
j
=
j
j
=
j
W e t h e n u s e t h e e l e c t r i c i t y a n d n a t u r a l g a s s p o t a n d f u t u r e s p r i c e s e r i e s t o g e t t h e e s t i m a t e s
f o r t h e p a r a m e t e r s u n d e r t h e t r u e m e a s u r e a n d t h e r i s k p r e m i a b y m a t c h i n g m o m e n t c o n -
d i t i o n s a n d t h e f u t u r e s p r i c e s . T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n p r o v i d e s t h e m e a n , v a r i a n c e a n d
s k e w n e s s o f t h e l o g a r i t h m o f t h e e l e c t r i c i t y p r i c e i n M o d e l 1 a
P r o p o s i t i o n 3 I n M o d e l 1 a w h e r e X
t
= l n S
e
t
, l e t X
1
l i m
t ! 1
X
t
d e n o t e t h e u n c o n d i -
t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f X
t
I f E X
1
n
1 , t h e n t h e m e a n , v a r i a n c e a n d s k e w n e s s o f X
1
a r e
m e a n =
1
+
1
1
+
2
2
1
v a r i a n c e =
2
1
2
1
+
1
2
1
+
2
2
2
1
s k e w n e s s =
4
p
2
1
1
3
1
+
2
3
2
2
1
+ 2
1
2
1
+ 2
2
2
2
3
2
2 3
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P r o o f . I n t h e t r a n s f o r m f u n c t i o n '
1 a
a s d e n e d b y 3 . 5 a n d 3 . 6 , l e t u = i w a n d
t ! 1 , w e o b t a i n t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f X
1
t o b e
X
1
w = e x p i w
1
,
w
2
2
1
4
1
,
2
X
j = 1
j
J
1
l n 1 , i w
j
J
I f E X
1
n
1 , t h e n t h e n
t h
m o m e n t o f X
1
i s g i v e n b y
E X
n
1
= , i
n
d
n
d w
n
X
1
w
w = 0
I n p a r t i c u l a r ,
E X
1
= , i
d
d w
X
1
w
w = 0
=
1
+
1
1
+
2
2
1
T h e f o r m u l a e f o r v a r i a n c e a n d s k e w n e s s a r e o b t a i n e d i n t h e s a m e f a s h i o n .
A s s h o w n i n t h e p r o o f o f t h e P r o p o s i t i o n 3 , w e c a n o b t a i n a s m a n y m o m e n t c o n d i t i o n s
a s w e d e s i r e f o r X
1
f r o m t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f X
1
f o r t h e e s t i m a t i o n o f t h e m o d e l
p a r a m e t e r s o f M o d e l 1 a . T h e p a r a m e t e r s i n M o d e l 2 a a n d M o d e l 3 a a r e o b t a i n e d b y
m i n i m i z i n g t h e m e a n s q u a r e d e r r o r s o f t h e t r a d e d o p t i o n s p r i c e s .
4 I m p l i c a t i o n t o C a p a c i t y V a l u a t i o n a n d t h e V a l u e o f
I n v e s t m e n t O p p o r t u n i t y
I n t h i s s e c t i o n , w e r s t i l l u s t r a t e h o w t h e e n e r g y c o m m o d i t y d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s c a n b e
u t i l i z e d t o v a l u e i n s t a l l e d c a p a c i t y o r r e a l a s s e t s . N e x t w e e x a m i n e t h e v a l u e o f i n v e s t -
m e n t o p p o r t u n i t y a n d t h e t i m i n g o f i n v e s t m e n t w h e n t h e v a l u e p r o c e s s a s s o c i a t e d w i t h a n
i n v e s t m e n t h a s r a n d o m u p a n d d o w n j u m p s i n i t .
4 . 1 R e a l O p t i o n s V a l u a t i o n o f C a p a c i t y
F o r t h e e a s e o f e x p o s i t i o n , w e i l l u s t r a t e h o w t o u s e d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s t o v a l u e r e a l a s s e t s
t h r o u g h p r e s e n t i n g e x a m p l e s f r o m t h e e l e c t r i c p o w e r i n d u s t r y . T h i s s u b s e c t i o n f o l l o w s t h e
m e t h o d o l o g y p r o p o s e d i n D e n g , J o h n s o n a n d S o g o m o n i a n 1 9 9 8 b u t h e r e t h e v a l u a t i o n i s
b a s e d o n a s s u m p t i o n s a b o u t e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e p r o c e s s i n s t e a d o f f u t u r e s p r i c e p r o c e s s .
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M o d e l 1 a M o d e l 2 a M o d e l 3 a
1
1 . 7 0 1 . 3 7 2 . 1 7
2
1 . 8 0 1 . 8 0 3 . 5 0
3
N A N A 1 . 8 0
1
3 . 4 0 3 . 3 0 3 . 2 0
2
0 . 8 7 0 . 8 7 0 . 8 5
3
N A N A 0 . 8 7
1
0 . 7 4 0 . 8 0 N A
2
0 . 3 4 0 . 3 4 0 . 8 0
3
N A N A 0 . 5 4
1
0 . 2 0 0 . 2 0 0 . 2 5
2
N A N A 0 . 2 0
1
6 . 0 8 6 . 4 2 6 . 4 3
1 1
0 . 1 9 0 . 2 6 0 . 2 3
1 2
N A N A 0 . 2 2
2
7 . 0 0 8 . 2 0 5 . 0 0
2 1
- 0 . 1 1 - 0 . 2 0 - 0 . 1 4
T a b l e 1 : P a r a m e t e r s f o r t h e I l l u s t r a t i v e M o d e l s
T a k e a f o s s i l f u e l e l e c t r i c p o w e r g e n e r a t i n g p l a n t , t h e s p r e a d b e t w e e n t h e p r i c e o f e l e c t r i c -
i t y a n d t h e f u e l t h a t i s u s e d t o g e n e r a t e i t d e t e r m i n e s t h e e c o n o m i c v a l u e o f t h e g e n e r a t i o n
a s s e t t h a t c a n b e u s e d t o t r a n s f o r m t h e f u e l i n t o e l e c t r i c i t y . T h e a m o u n t o f f u e l t h a t a
p a r t i c u l a r g e n e r a t i o n a s s e t r e q u i r e s t o g e n e r a t e a g i v e n a m o u n t o f e l e c t r i c i t y d e p e n d s o n
t h e a s s e t ' s e c i e n c y . T h i s e c i e n c y i s s u m m a r i z e d b y t h e a s s e t ' s o p e r a t i n g h e a t r a t e ,
w h i c h i s d e n e d a s t h e n u m b e r o f B r i t i s h t h e r m a l u n i t s B t u s o f t h e i n p u t f u e l m e a s u r e d i n
m i l l i o n s r e q u i r e d t o g e n e r a t e o n e m e g a w a t t h o u r M W h o f e l e c t r i c i t y . T h u s t h e l o w e r t h e
o p e r a t i n g h e a t r a t e , t h e m o r e e c i e n t t h e f a c i l i t y . T h e r i g h t t o o p e r a t e a g e n e r a t i o n a s s e t
w i t h o p e r a t i n g h e a t r a t e H t h a t u s e s g e n e r a t i n g f u e l g i s c l e a r l y g i v e n b y t h e v a l u e o f a s p a r k
s p r e a d o p t i o n w i t h s t r i k e " h e a t r a t e H w r i t t e n o n g e n e r a t i n g f u e l g b e c a u s e t h e y y i e l d t h e
s a m e p a y o . S i m i l a r l y , t h e v a l u e o f a t r a n s m i s s i o n a s s e t t h a t c o n n e c t s l o c a t i o n 1 t o l o c a t i o n
2 i s e q u a l t o t h e s u m o f t h e v a l u e o f t h e l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n t o b u y e l e c t r i c i t y a t l o c a t i o n
1 a n d s e l l i t a t l o c a t i o n 2 a n d t h e v a l u e o f t h e o p t i o n t o b u y e l e c t r i c i t y a t l o c a t i o n 2 a n d
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s e l l i t a l o c a t i o n 1 i n b o t h c a s e s , l e s s t h e a p p r o p r i a t e t r a n s m i s s i o n c o s t . T h i s e q u i v a l e n c e
b e t w e e n t h e v a l u e o f a p p r o p r i a t e l y d e n e d s p a r k a n d l o c a t i o n a l s p r e a d o p t i o n s a n d t h e r i g h t
t o o p e r a t e a g e n e r a t i o n o r a t r a n s m i s s i o n a s s e t c a n b e e a s i l y u s e d t o v a l u e s u c h a s s e t s .
W e d e m o n s t r a t e t h i s a p p r o a c h b y d e v e l o p i n g a s i m p l e s p a r k s p r e a d b a s e d m o d e l o f t h e
v a l u e o f a f o s s i l f u e l g e n e r a t i o n a s s e t . O n c e e s t a b l i s h e d , w e t t h e m o d e l a n d u s e i t t o
g e n e r a t e e s t i m a t e s o f t h e v a l u e o f s e v e r a l g a s - r e d p l a n t s t h a t h a v e r e c e n t l y b e e n s o l d . T h e
a c c u r a c y o f t h e m o d e l i s t h e n e v a l u a t e d b y c o m p a r i n g t h e e s t i m a t e s c o n s t r u c t e d t o t h e p r i c e s
a t w h i c h t h e a s s e t s w e r e a c t u a l l y s o l d .
I n t h e a n a l y s i s w e m a k e t h e f o l l o w i n g s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s a b o u t t h e o p e r a t i n g c h a r -
a c t e r i s t i c s o f t h e g e n e r a t i o n a s s e t s u n d e r c o n s i d e r a t i o n :
A s s u m p t i o n 1 R a m p - u p s a n d r a m p - d o w n s o f t h e f a c i l i t y c a n b e d o n e w i t h v e r y l i t t l e a d -
v a n c e n o t i c e .
A s s u m p t i o n 2 T h e f a c i l i t y ' s o p e r a t i o n e . g . s t a r t - u p s h u t d o w n c o s t s a n d m a i n t e n a n c e
c o s t s a r e c o n s t a n t .
T h e s e a s s u m p t i o n s a r e r e a s o n a b l e , s i n c e f o r a t y p i c a l g a s t u r b i n e c o m b i n e d c y c l e c o g e n e r -
a t i o n p l a n t t h e r e s p o n s e t i m e r a m p u p d o w n i s s e v e r a l h o u r s a n d t h e v a r i a b l e c o s t s e . g .
o p e r a t i o n a n d m a i n t e n a n c e a r e g e n e r a l l y s t a b l e o v e r t i m e .
T o c o n s t r u c t a s p a r k s p r e a d b a s e d e s t i m a t e o f t h e v a l u e o f a g e n e r a t i o n a s s e t , w e e s t i m a t e
t h e v a l u e o f t h e r i g h t t o o p e r a t e t h e a s s e t o v e r i t s r e m a i n i n g u s e f u l l i f e . T h i s v a l u e c a n b e
f o u n d b y i n t e g r a t i n g t h e v a l u e o f t h e s p a r k s p r e a d o p t i o n s o v e r t h e r e m a i n i n g l i f e o f t h e
a s s e t . S p e c i c a l l y ,
D e n i t i o n 1 L e t o n e u n i t o f t h e t i m e - t c a p a c i t y r i g h t o f a f o s s i l f u e l r e d e l e c t r i c p o w e r
p l a n t r e p r e s e n t t h e r i g h t t o c o n v e r t K
H
u n i t s o f g e n e r a t i n g f u e l i n t o o n e u n i t o f e l e c t r i c i t y
b y u s i n g t h e p l a n t a t t i m e t , w h e r e K
H
i s t h e p l a n t ' s o p e r a t i n g h e a t r a t e .
T h e p a y o o f o n e u n i t o f t i m e - t c a p a c i t y r i g h t i s m a x S
t
E
, K
H
S
t
G
; 0 , w h e r e S
t
E
a n d S
t
G
a r e
t h e s p o t p r i c e s o f e l e c t r i c i t y a n d g e n e r a t i n g f u e l a t t i m e t , r e s p e c t i v e l y . D e n o t e t h e v a l u e o f
o n e u n i t o f t h e t i m e - t c a p a c i t y r i g h t b y u t
F o r a n a t u r a l g a s r e d p o w e r p l a n t , t h e v a l u e o f u t i s g i v e n b y t h e c o r r e s p o n d i n g s p a r k
s p r e a d c a l l o p t i o n o n e l e c t r i c i t y a n d n a t u r a l g a s w i t h a s t r i k e h e a t r a t e o f K
H
. H o w e v e r , f o r
a c o a l - r e d p o w e r p l a n t , i t o f t e n h a s a l o n g - t e r m c o a l s u p p l y c o n t r a c t w h i c h g u a r a n t e e s t h e
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s u p p l y o f c o a l a t a p r e d e t e r m i n e d p r i c e c . T h e r e f o r e t h e p a y o o f o n e u n i t o f t i m e - t c a p a c i t y
r i g h t f o r a c o a l p l a n t d e g e n e r a t e s t o t h a t o f a c a l l o p t i o n w i t h s t r i k e p r i c e K
H
c . I n t h i s
c a s e u t i s e q u a l t o t h e v a l u e o f a c a l l o p t i o n .
D e n i t i o n 2 D e n o t e t h e v i r t u a l v a l u e o f o n e u n i t o f c a p a c i t y o f a f o s s i l f u e l p o w e r p l a n t
b y V . T h e n V i s e q u a l t o o n e u n i t o f t h e p l a n t ' s t i m e - t c a p a c i t y r i g h t o v e r t h e r e m a i n i n g l i f e
0 ; T o f t h e p o w e r p l a n t , i . e . V =
Z
T
0
u t d t
A c a p a c i t y v a l u e c u r v e u s i n g t h e i n i t i a l p r i c e d a t a a t P a l o V e r d e o n 1 0 1 5 9 7 a n d t h e
p a r a m e t e r s o b t a i n e d b y t t i n g M o d e l 1 a t o e l e c t r i c i t y p r i c e a t P a l e V e r d e a n d n a t u r a l g a s
p r i c e a t H e n r y H u b i s s h o w n i n F i g u r e 8 . F o r c o m p a r i s o n p u r p o s e , F i g u r e 8 a l s o p l o t s
$0
$50
$100
$150
$200
$250
$300
$350
$400
7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5
Heat Rate (MMBtu/MWh)
$/kW
OPT Value (PV10/15/97)
OPT Value (COB10/15/97)
DCF Value (PV10/15/97)
DCF Value (COB10/15/97)
Gas Fired Power Plant Capacity Value ($/kW)(Plant life time: 15 years; r_dist =10%; r_f =4.5%; rho =0.3)
F i g u r e 8 : V a l u e o f C a p a c i t y u n d e r D i e r e n t M o d e l s
t h e t w o c a p a c i t y v a l u e c u r v e s o b t a i n e d b y u s i n g t h e d i s c o u n t e d c a s h o w m e t h o d a n d b y
a s s u m i n g e l e c t r i c i t y s p o t p r i c e f o l l o w s g e o m e t r i c B r o w n i a n m o t i o n G B M , r e s p e c t i v e l y . A t
t h e h e a t r a t e l e v e l o f 9 5 0 0 , t h e c a p a c i t y v a l u e o f a n a t u r a l g a s p o w e r p l a n t i s a r o u n d $ 2 0 0 k W
u n d e r M o d e l 1 a . T h e d i s c o u n t e d c a s h o w m e t h o d p r e d i c t s a v a l u e o f $ 2 9 k W . T o p u t
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t h i n g s i n p e r s p e c t i v e , w e t a k e a l o o k a t t h e f o u r g a s - r e d p o w e r p l a n t s w h i c h S o u t h e r n C a l -
i f o r n i a E d i s o n r e c e n t l y s o l d t o H o u s t o n I n d u s t r i e s . U n f o r t u n a t e l y , n o t a l l o f t h e i n d i v i d u a l
p l a n t d o l l a r i n v e s t m e n t s h a v e b e e n m a d e p u b l i c y e t . A s a p r o x y w e t h e r e f o r e u s e t h e t o t a l
i n v e s t m e n t m a d e b y H o u s t o n I n d u s t r i e s $ 2 3 7 m i l l i o n t o p u r c h a s e f o u r p l a n t s - C o o l w a -
t e r , E l l w o o d , E t i w a n d a a n d M a n d a l a y , d i v i d e d b y t h e t o t a l n u m b e r o f m e g a w a t t s M W
o f c a p a c i t y 2 1 7 2 M W t o g e t a p p r o x i m a t e l y $ 1 1 0 , 0 0 0 p e r M W o r $ 1 1 0 k W o f c a p a c i t y .
H o w e v e r , t h e C o o l w a t e r P l a n t
2
, i n D a g g e t t , C a l i f o r n i a , i s t h e m o s t e c i e n t w i t h a n a v e r a g e
h e a t r a t e o f 9 , 5 0 0 o f t h e f o u r p l a n t s i n t h e p a c k a g e a n d t h u s s h o u l d h a v e a h i g h e r v a l u e
p e r M W . W e t h e r e f o r e a s s u m e t h a t t h e i m p l i e d m a r k e t v a l u e f o r C o o l w a t e r c o u l d r a n g e
f r o m $ 1 1 0 , 0 0 0 t o $ 2 2 0 , 0 0 0 p e r M W , o r e q u i v a l e n t l y , $ 1 1 0 k W t o $ 2 2 0 k W . O u r r e a l o p t i o n s
b a s e d e s t i m a t e o f t h e c a p a c i t y v a l u e e x p l a i n s t h e m a r k e t v a l u a t i o n m u c h b e t t e r t h a n d o e s
t h e d i s c o u n t e d c a s h o w e s t i m a t e .
4 . 2 V a l u e o f I n v e s t m e n t O p p o r t u n i t y a n d W h e n t o I n v e s t
I n t h e p r e v i o u s s u b s e c t i o n , w e o b t a i n t h e v a l u e o f i n s t a l l e d c a p a c i t y b y v i e w i n g t h e c a p a c i t y
a s a r e a l o p t i o n w h o s e p a y o s t r u c t u r e c a n b e r e p l i c a t e d b y a b u n c h o f n a n c i a l o p t i o n s .
W e c o n s i d e r n o w t h e f o l l o w i n g r e l a t e d q u e s t i o n s : g i v e n t h e o p p o r t u n i t y t o i n c u r a s u n k
i n v e s t m e n t c o s t K t o i n s t a l l t h e c a p a c i t y a n d r e a l i z e t h e v a l u e V , w h a t i s t h e v a l u e o f s u c h
a n i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t y a n d w h e n i s t h e b e s t t i m e t o r e a l i z e t h a t o p t i o n . T h e e x i s t -
i n g l i t e r a t u r e s s u g g e s t t h a t w i t h o u t j u m p s i n t h e i n v e s t m e n t v a l u e p r o c e s s t h e i n v e s t m e n t
o p p o r t u n i t y v a l u e d e p e n d s o n t h e c o n v e n i e n c e y i e l d a n d v o l a t i l i t y o f t h e i n v e s t m e n t v a l u e
p r o c e s s a n d a r m s h o u l d w a i t t o i n v e s t u n t i l t h e v a l u e V r i s e s t o a t h r e s h o l d l e v e l V
. W h e n
t h e s p o t p r i c e p r o c e s s o f a c o m m o d i t y e x h i b i t s s i g n i c a n t j u m p s , i t i s c o n c e i v a b l e t h a t t h e
v a l u e o f i n v e s t m e n t i n i t s p r o d u c t i o n f a c i l i t y s h o u l d a l s o j u m p u p a n d d o w n f