Download - Some Bitcoin for Thought
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
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You will want to read the following for starters on understanding bitcoin cryptography.
https : êê en.bitcoin.it ê wiki ê Secp256k1
http : êê en.wikisource.org ê wiki ê NIST_Koblitz _Curves _Parameters
The naive way to break an encryption algorithm is to brute -
force the key.The complexity of that attack is 2 n, where n is the key length.All cryptanalytic attacks can be viewed as shortcuts to that
method.And since the efficacy of a brute - force attack is a direct function of key length,
these attacks effectively shorten the key.So if, for example,
the best attack against DES has a complexity of 239, that effectively shortens DES’ s 56 -
bit key by 17 bits.That’ s a really good attack,
by the way.Right now the upper practical
limit
on
brute
force
is
somewhere
under
80
bits.However, using
that
as
a guide
gives us some
indication as to how
good an attack has to be
to break any of the modern
algorithms.These days,
encryption algorithms have, at a minimum,
128 -
bit keys.That means any NSA cryptoanalytic breakthrough has to reduce
the effective key length by at least 48 bits in order to be practical.
http : êê en.wikipedia.org ê wiki ê Elliptic_Curve _DSA
http : êê www.reddit.com ê r ê Bitcoin ê comments ê 1 nvsn7 ê elliptic_curve _secp256k1 _vulnerability êhttp : êê blog.ezyang.com ê 2011 ê 06 ê the - cryptography - of - bitcoin êhttp : êê bitcoinmagazine.com ê 6021 ê bitcoin - is - not - quantum - safe - and - how - we - can - fix êhttp : êê en.wikipedia.org ê wiki ê Cryptographic_hash _function
http : êê mathworld.wolfram.com ê EllipticCurve.html
We can liken the finding of bitcoins to someone firing at a target,
and they are force to fire at the target while wearing a blind fold.
We can make the statistical probability of hitting the target greater if we either
1. Take off the blind fold Hvery hardL2. Make the target bigger HeasierL3. Create a net so that we hit the target and drag it back to us so that it' s easier to hit.
Making target bigger : Say we know what the elliptical curve that bitcoin uses,
we can can create more facets to it. We can embed different functions within it;
reduce it to other variable entirely. Then,
we have better ways of converting to potential solutions to the equation.
We need to know what the field characteristic of the bitcoin elliptical curve is.
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http : êê bitcoin.stackexchange.com ê questions ê 21 907ê what -
does - the - curve - used - in - bitcoin - secp256k1 - look - like
http : êê www.secg.org ê index.php?action = secg, docs_secg
Actually secp256k1 is defined over a Galois field, not a ring of integers modulo a prime.Now,
it turns out that the secp256k1 field is a prime field and therefore isomorphic to a
ring of integers modulo a prime, but this is not true for all ECDSA curves -- in fact,
the "sectXXXyZ" curves Hfor which much faster hardware exists than the "secpXXXyZ" curvesLcannot be described using rings of integers.See this page for an explanation of why every
finite field has a GF representation but only the prime fields have a a Z ê pZ representation :
en.wikipedia.orgê wiki ê Finite_field Ò Statement
See : Fp2 Hvia quadratic residues modulo pL - Not wholly true. Not necessarily correct. Here,
phenomenological velocity can be used.
Please research what is the relationship between Fp2 and bitcoin secp256k1?
http : êê www.reddit.com ê r ê Bitcoin ê comments ê 1 nvsn7 ê elliptic_curve _secp256k1 _vulnerability ê
"On their
protocol specification wiki they say that in their scripts they provide hexidecimal
decompressed x,y coordinates Hthough these are really r,s valuesL"
So, if x and y are actually r and s, then we can boil either down to only one variable. We
can actually force r to be purely in terms of s by definition. But what are r and s?
http : êê bitcoinmagazine.com ê 7781 ê satoshis - genius -
unexpected - ways - in - which - bitcoin - dodged - some - cryptographic - bullet êThus, elliptic curve cryptography uses an elliptic curve with two modifications.First,
the equation is now y2 = x3 + ax + b + kp, where k can be any integer and p is
some large prime number Ha parameter of the curve alongside a and bL.Second,
x and y must be integers.Although the resulting set is hardly a “curve”,
surprisingly enough the same math still works,
and the restriction to integers avoids rounding errors.
y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b + kp
In general, however, the curves fall into two
categories : “pseudorandom” curves and Koblitz curves.In a pseudorandom curve,
the parameters a and b are chosen by a specified algorithm Hessentially a hashLfrom a certain “seed”.For secp256r1, the standard 256 - bit pseudorandom curve,
the seed is c49d360886e704936a6678e1139d26b7819f7e90, giving rise to the parameters :
Vitalik Buterin : Fortunately, Bitcoin does not use pseudorandom curves;
Bitcoin uses Koblitz curves.In Bitcoin’ s secp256k1, the parameters are :
p = 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663
a = 0
b = 7
y ^ 2 == x ^ 3 + 0 x + 7 +
k 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663This is the base equation for bitcoin elliptical curves from what Vitalik says,
and Vitalik is the top notch Ò1 programmer in the
bizzz.
Theta BASE
y = height of cone = h =4 p r2 q - r2 q2
2 p
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x = base of cone = Hr ^ 2 - h ^ 2L =2 p r - r q
2 p
y ^ 2 == x ^ 3 + 0 x + 7 +
k 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663 =
In[4]:=
4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2 ==
2 p r - r q
2 p ^ 3 + 0
2 p r - r q
2 p + 7 +
k 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663
Out[4]=
4 p r2 q - r2 q2
4 p2
ã 7 +
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663 k +H2 p r - r qL38 p3
In[5]:= Solve
B
4 p r2 q - r2 q2
4 p 2ã 7 +
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663 k +
H2 p r - r qL38 p 3
, rF
Out[5]= ::r Ø2 I4 p2 q - p q2M
3 I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3M + J4 21ê3 I4 p2 q - p q2M2N í J3 I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3M J- 96 768 p9 -
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 325 331 Ö
730 501 069 312 k p9
+ 290304 p8
q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 975 995 Ö
191 503 207 936 k p8 q - 362880 p7 q2 -
6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 969 993 Ö
989 379 009 920 k p7
q2
+ 242944 p6
q3
+
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 313 329 Ö
326 252 673 280 k p6 q3 - 91488 p5 q4 -
1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 742 498 Ö
497 344 752 480 k p5 q4 + 18336 p4 q5 +
300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 748 499 Ö
699 468 950 496 k p4 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 708 308 Ö
289079 208 k p3 q6 + -J- 256 I4 p2 q - p q2M6 + I- 96 768 p9 -
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 Ö
325 331 730 501 069 312 k p9 + 290304 p8 q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 Ö
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975 995 191 503 207 936 k p8
q - 362880 p7
q2
-
6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 Ö
969 993 989 379 009 920 k p7 q2 + 242944 p6 q3 +
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 Ö
313 329 326 252 673 280 k p6
q3
- 91 488 p5
q4
-
1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 Ö
742 498 497 344 752 480 k p5 q4 + 18 336 p4 q5 +
300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 Ö
748 499 699 468 950 496 k p4 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 Ö
145 708 308 289 079 208 k p3
q6M2NN1ê3N + J- 96 768 p
9-
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 325 331 730 Ö
501069 312 k p9
+ 290304 p8
q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 975 995 191 Ö
503207 936 k p8 q - 362880 p7 q2 -
6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 969 993 989 Ö
379009 920 k p7 q2 + 242944 p6 q3 +
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 313 329 326 Ö
252673 280 k p6 q3 - 91 488 p5 q4 -
1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 742 498 497 Ö
344752 480 k p5
q4
+ 18 336 p4
q5
+300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 748 499 699 Ö
468950 496 k p4 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 708 308 Ö
289079 208 k p3 q6 +-J- 256 I4 p2 q - p q2M6 + I- 96 768 p9 -
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 Ö
325 331 730 501 069 312 k p9 + 290304 p8 q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 Ö
975 995 191 503 207 936 k p8
q - 362880 p7
q2
-
6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 Ö
969 993 989 379 009 920 k p7 q2 + 242944 p6 q3 +
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 Ö
313 329 326 252 673 280 k p6
q3
- 91 488 p5
q4
-
1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 Ö
742 498 497 344 752 480 k p5 q4 + 18 336 p4 q5 +
300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 748 Ö
499 699 468 950 496 k p4 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 Ö
708 308 289 079 208 k p3
q6M2NN1ê3 í
I3 21ê3 I8 p
3- 12 p
2q + 6 p q
2- q
3MM>, :r Ø2 I4 p2 q - p q2M
3 I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3M -
K2 21ê3 K1 + Â 3 O I4 p
2q - p q
2M2O ì J3 I8 p3
- 12 p2
q + 6 p q2
- q3M J- 96 768 p
9-
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 325 331 Ö
4 Some Bitcoin for Thought.nb
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730 501 069 312 k p9
+ 290304 p8
q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 975 995 Ö
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6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 969 993 Ö
989 379 009 920 k p7
q2
+ 242944 p6
q3
+
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 313 329 Ö
326 252 673 280 k p6 q3 - 91488 p5 q4 -
1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 742 498 Ö
497 344 752 480 k p5 q4 + 18336 p4 q5 +
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699 468 950 496 k p4 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 708 308 Ö
289079 208 k p3 q6 + -J- 256 I4 p2 q - p q2M6 + I- 96 768 p9 -
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 Ö
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4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 Ö
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q - 362880 p7
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-
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969 993 989 379 009 920 k p7 q2 + 242944 p6 q3 +
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313 329 326 252 673 280 k p6
q3
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q4
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7q2
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q3
+
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q4
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+
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Some Bitcoin for Thought.nb 5
Printed by Mathematica for Students
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6 Some Bitcoin for Thought.nb
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8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
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I6 2
1ê3
I8 p
3- 12 p
2q + 6 p q
2- q
3
MM>>But what is zero? Is it really so nothing?
Usefulness : 0 = 2 p r - 2 p x - q r
0 = 2 p r - 2 p x - q r
So, let' s try that again :
4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2 ==
2 p r - r q
2 p ^ 3 + 0
2 p r - r q
2 p + 7 +
k 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663
In[5]:= SolveB4 p r2 q - r2 q2
4 p 2ã 7 +
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663 k +
H2 p r - r qL38 p 3
, rF
Some Bitcoin for Thought.nb 7
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8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
http://slidepdf.com/reader/full/some-bitcoin-for-thought 8/28
In[6]:=
4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2 ==
2 p r - r q
2 p ^ 3 + H2 p r - 2 p x - q rL 2 p r - r q
2 p + 7 +
k 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663
Out[6]=
4 p r2 q - r2 q2
4 p
2
ã 7 +
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663 k +H2 p r - r qL38 p3
+H2 p r - r qL H2 p r - 2 p x - r qL
2 p
In[7]:= SolveB 4 p r2 q - r2 q2
4 p 2ã 7 +
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663 k +
H2 p r - r qL38 p 3
+H2 p r - r qL H2 p r - 2 p x - r qL
2 p , rF
Out[7]=
::r Ø -
2 I8 p4 - 4 p2 q - 8 p3 q + p q2 + 2 p2 q2M3 I8 p
3
- 12 p2
q + 6 p q2
- q3
M -
J21ê3 J- 4 I8 p4 - 4 p2 q - 8 p3 q + p q2 + 2 p2 q2M2 - 24 I2 p4 x - p3 x qM I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3MNNì 3 I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3M J- 96 768 p9 -
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 325 331 Ö
730 501 069 312 k p9 - 8192 p12 - 18 432 p11 x + 290304 p8 q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 975 995 Ö
191 503 207 936 k p8 q + 12 288 p10 q + 24 576 p11 q +
9216 p9 x q + 55 296 p10 x q - 362880 p7 q2 -
6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 969 993 Ö
989 379 009 920 k p7 q2 - 6144 p8 q2 - 27648 p9 q2 -
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8 Some Bitcoin for Thought.nb
Printed by Mathematica for Students
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Some Bitcoin for Thought.nb 9
Printed by Mathematica for Students
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10 Some Bitcoin for Thought.nb
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Some Bitcoin for Thought.nb 11
Printed by Mathematica for Students
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12 Some Bitcoin for Thought.nb
Printed by Mathematica for Students
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Printed by Mathematica for Students
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2304 p6 q5 + 1536 p7 q5 + 1728 p5 x q5 + 3456 p6 x q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 Ö
708 308 289 079 208 k p3 q6 - 96 p4 q6 - 192 p5 q6 -
128 p6 q6 - 144 p4 x q6 - 288 p5 x q6M2 + 4 J- 4 I8 p4 - 4 p2 q - 8 p3 q + p q2 + 2 p2 q2M2 -
24
I2 p4 x - p3 x q
M I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3
MN3
NN1ê3
>>In[8]:= SolveB 4 p r2 q - r2 q2
4 p 2ã 7 +
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663 k +
H2 p r - r qL38 p 3
+H2 p r - r qL H2 p r - 2 p x - r qL
2 p , kF
Out[8]= 99k Ø I- 56 p3
- 16 p4
r2
- 8 p3
r3
+ 16 p4
r x + 8 p2
r2
q +
16 p3
r2
q + 12 p2
r3
q - 8 p3
r x q - 2 p r2
q2
- 4 p2
r2
q2
- 6 p r3
q2
+ r3
q3M ëI926 336 713 898 529 563 388 567 880 069 503 262 826 159 877 325 124 512 315 660 672 063 270 677 373 304
p3M==
14 Some Bitcoin for Thought.nb
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
http://slidepdf.com/reader/full/some-bitcoin-for-thought 15/28
In[9]:= SolveB 4 p r2 q - r2 q2
4 p 2ã 7 +
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663 k +
H2 p r - r qL38 p 3
+H2 p r - r qL H2 p r - 2 p x - r qL
2 p , kF
Out[9]= 99k Ø I- 56 p3 - 16 p4 r2 - 8 p3 r3 + 16 p4 r x + 8 p2 r2 q +
16 p3 r2 q + 12 p2 r3 q - 8 p3 r x q - 2 p r2 q2 - 4 p2 r2 q2 - 6 p r3 q2 + r3 q3M ëI926 336 713 898 529 563 388 567 880 069 503 262 826 159 877 325 124 512 315 660 672 063 270 677 373 304
p3M==In[10]:= c := 2.99792458 * H10^8L
SolveB
r 1 - HvL2
c2
q
1-HvL2
c2
4 p r - r q
2 p ã r Sin@bD, vF
Out[11]= ::v Ø -1. - 1.12941 µ 1018 q + 8.98755 µ 1016 q2 + 3.54814 µ 1018 Sin@bD
2
- 12.5664 q + q2 + 39.4784 Sin@bD2 >,
:v Ø- 1.12941 µ 10
18q + 8.98755 µ 10
16q2 + 3.54814 µ 10
18Sin@bD2
- 12.5664 q + q2 + 39.4784 Sin@bD2 >>
In[8]:= SolveB 4 p r2 q - r2 q2
4 p 2ã 7 +
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663 k +
H2 p r - r qL3
8 p 3
+H2 p r - r qL H2 p r - 2 p x - r qL
2 p
, kF
In[4]:=
4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2 ==
2 p r - r q
2 p ^ 3 + 0
2 p r - r q
2 p + 7 +
k 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663
0 = H2 p r - 2 p x - q rL = 0 = q r - 2 p r - 2 p r ^ 2 -4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2 = 0
In[4]:=
4 p r2 q - r2 q2
2 p
^ 2 ==2 p r - r q
2 p
^ 3 + 02 p r - r q
2 p
+ 7 +
k 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663
q r - 2 p r - 2 p r ^ 2 -4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2
Some Bitcoin for Thought.nb 15
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
http://slidepdf.com/reader/full/some-bitcoin-for-thought 16/28
In[14]:= SolveB 4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2 ==
2 p r - r q
2 p
^ 3 + q r - 2 p r - 2 p r ^ 2 -4 p r2 q - r2 q2
2 p
^ 22 p r - r q
2 p
+ 7 +
k 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663,
kF
Out[14]= ::k Ø - 56 p3
+ 16 p4
r2
- 8 p3
r3
- 8 p3
r r2 H2 p - qL2 + 8 p
2r2
q - 16 p3
r2
q +
12 p2 r3 q + 4 p2 r r2 H2 p - qL2 q - 2 p r2 q2 + 4 p2 r2 q2 - 6 p r3 q2 + r3 q3 ì I926 336 713 898 529 563 388 567 880 069 503 262 826 159 877 325 124 512 315 660 672 063 270 677 373 304
p3M>>In[15]:= SolveB 4 p r
2
q - r2
q2
2 p ^ 2 ==
2 p r - r q
2 p ^ 3 + q r - 2 p r - 2 p r ^ 2 -
4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2
2 p r - r q
2 p + 7 +
k 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 908 834 671 663,
rF
Out[15]= ::r Ø2 I4 p2 q - p q2M
3
I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3
M + J4 21ê3 I4 p2 q - p q2M2N í J3 I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3M J- 96 768 p9 -
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 325 331 Ö730 501 069 312 k p9 + 290304 p8 q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 975 995 Ö
191 503 207 936 k p8 q - 362880 p7 q2 -
6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 969 993 Ö
989 379 009 920 k p7
q2
+ 242944 p6
q3
+
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 313 329 Ö
326 252 673 280 k p6 q3 - 91 488 p5 q4 -
1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 742 498 Ö
497 344 752 480 k p5 q4 + 18 336 p4 q5 +
300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 748 499 Ö
699 468 950 496 k p4 q5 - 1528 p3 q6 -
16 Some Bitcoin for Thought.nb
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
http://slidepdf.com/reader/full/some-bitcoin-for-thought 17/28
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 708 308 Ö
289079 208 k p3 q6 +-J- 256 I4 p2 q - p q2M6 + I- 96768 p9 -
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 Ö
325 331 730 501 069 312 k p9
+ 290304 p8
q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 Ö
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6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 Ö969 993 989 379 009 920 k p
7q2
+ 242944 p6
q3
+
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 Ö
313 329 326 252 673 280 k p6 q3 - 91 488 p5 q4 -
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742 498 497 344 752 480 k p5 q4 + 18 336 p4 q5 +
300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 Ö
748 499 699 468 950 496 k p4 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 Ö
145 708 308 289 079 208 k p3 q6M2NN1ê3N +
1
3 21ê3 I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3M J- 96 768 p9 -
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501069 312 k p9
+ 290304 p8
q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 975 995 191 Ö
503207 936 k p8 q - 362880 p7 q2 -
6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 969 993 989 Ö
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1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 742 498 497 Ö
344752 480 k p5 q4 + 18 336 p4 q5 +
300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 748 499 699 Ö
468950 496 k p4
q5
- 1528 p3
q6
-
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- 256
I4 p2 q - p q2
M6
+
I- 96 768 p9 -
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 325 Ö331 730 501 069 312 k p9 + 290304 p8 q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 975 Ö
995 191 503 207 936 k p8
q - 362880 p7
q2
-
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499 699 468 950 496 k p4 q5 - 1528 p3 q6 -
Some Bitcoin for Thought.nb 17
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
http://slidepdf.com/reader/full/some-bitcoin-for-thought 18/28
25011091275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 Ö
708 308 289 079 208 k p3 q6M2NN1ê3>,
:r Ø2 I4 p2 q - p q2M
3 I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3M -
K2 21ê3
K1 + Â 3 O I4 p2
q - p q2
M2
O ì J3 I8 p3
- 12 p2
q + 6 p q2
- q3
M J- 96 768 p9
-
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-
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497 344 752 480 k p5 q4 + 18 336 p4 q5 +
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699 468 950 496 k p4 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 708 308 Ö
289079 208 k p3 q6 +-J- 256 I4 p2 q - p q2M6
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18 Some Bitcoin for Thought.nb
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
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Some Bitcoin for Thought.nb 19
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
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20 Some Bitcoin for Thought.nb
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
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Some Bitcoin for Thought.nb 21
Printed by Mathematica for Students
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22 Some Bitcoin for Thought.nb
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
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Some Bitcoin for Thought.nb 23
Printed by Mathematica for Students
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+
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 Ö
313 329 326 252 673 280 k p6 q3 - 18432 p7 q3 +
98 304 p8 q3 - 163840 p9 q3 - 91 488 p5 q4 -
1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 Ö
742 498 497 344 752 480 k p5
q4
+ 9984 p6
q4
-
43 008 p7
q4
+ 61 440 p8
q4
+ 18336 p4
q5
+
300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 748 Ö
499 699 468 950 496 k p4 q5 - 2304 p5 q5 +
9216 p6 q5 - 12 288 p7 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 Ö
708 308 289 079 208 k p3
q6
+ 192 p4
q6
-
768 p5
q6
+ 1024 p6
q6M2NN1ê3>, :r Ø
2 I16 p4 + 4 p2 q - 16 p3 q - p q2 + 4 p2 q2M3 I8 p3 - 12 p2 q + 6 p q2 - q3M - K2 2
1ê3 K1 - Â 3 O I16 p4
+ 4 p2
q - 16 p3
q - p q2
+ 4 p2
q2M2O ì
J3 I8 p3
- 12 p2
q + 6 p q2
- q3
M J- 96 768 p9
-
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 325 331 Ö
730 501 069 312 k p9
+ 65 536 p12
+ 290304 p8
q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 975 995 Ö
191 503 207 936 k p8 q + 49 152 p10 q - 196608 p11 q - 362880 p7 q2 -
6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 969 993 Ö
989 379 009 920 k p7 q2 + 12 288 p8 q2 - 110592 p9 q2 +
245760 p10
q2
+ 242944 p6
q3
+
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 313 329 Ö
326 252 673 280 k p6 q3 - 18 432 p7 q3 + 98 304 p8 q3 - 163840 p9 q3 - 91 488 p5 q4 -
1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 742 498 Ö
497 344 752 480 k p5 q4 + 9984 p6 q4 - 43 008 p7 q4 + 61 440 p8 q4 + 18 336 p4 q5 +
300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 748 499 Ö
699 468 950 496 k p4 q5 - 2304 p5 q5 + 9216 p6 q5 - 12 288 p7 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 708 308 Ö
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1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 Ö
325 331 730 501 069 312 k p9 + 65 536 p12 + 290304 p8 q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 Ö
975 995 191 503 207 936 k p8 q +
49 152 p10 q - 196608 p11 q - 362880 p7 q2 -
6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 Ö
969 993 989 379 009 920 k p7 q2 + 12 288 p8 q2 -
110592 p9
q2
+ 245760 p10
q2
+ 242944 p6
q3
+
24 Some Bitcoin for Thought.nb
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
http://slidepdf.com/reader/full/some-bitcoin-for-thought 25/28
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 Ö
313 329 326 252 673 280 k p6
q3
-
18 432 p7 q3 + 98 304 p8 q3 - 163840 p9 q3 - 91 488 p5 q4 -
1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 Ö
742 498 497 344 752 480 k p5 q4 +
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748 499 699 468 950 496 k p4 q5 -
2304 p5 q5 + 9216 p6 q5 - 12 288 p7 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 Ö
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501069 312 k p9 + 65536 p12 + 290304 p8 q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 975 995 191 Ö
503207 936 k p8
q + 49152 p10
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q - 362880 p7
q2
-
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379009 920 k p7 q2 + 12 288 p8 q2 - 110592 p9 q2 + 245760 p10 q2 + 242944 p6 q3 +
4 001 774 604 041 647 713 838 613 241 900 254 095 409 010 670 044 537 893 203 654 103 313 329 326 Ö
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q3
- 18 432 p7
q3
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q3
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q4
-
1 500 665 476 515 617 892 689 479 965 712 595 285 778 379 001 266 701 709 951 370 288 742 498 497 Ö
344752 480 k p5 q4 + 9984 p6 q4 - 43 008 p7 q4 + 61 440 p8 q4 + 18 336 p4 q5 +
300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 748 499 699 Ö
468950 496 k p4 q5 - 2304 p5 q5 + 9216 p6 q5 - 12 288 p7 q5 - 1528 p3 q6 -
25011091275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 708 308 Ö
289079 208 k p3 q6 + 192 p4 q6 - 768 p5 q6 + 1024 p6 q6 +-J- 256 I16 p4
+ 4 p2
q - 16 p3
q - p q2
+ 4 p2
q2M6 + I- 96 768 p
9-
1 600 709 841 616 659 085 535 445 296 760 101 638 163 604 268 017 815 157 281 461 641 Ö
325 331 730 501 069 312 k p9 + 65 536 p12 + 290304 p8 q +
4 802 129 524 849 977 256 606 335 890 280 304 914 490 812 804 053 445 471 844 384 923 Ö
975 995 191 503 207 936 k p8 q + 49 152 p10 q -
196608 p11
q - 362880 p7
q2
-
6 002 661 906 062 471 570 757 919 862 850 381 143 113 516 005 066 806 839 805 481 154 Ö
969 993 989 379 009 920 k p7 q2 + 12288 p8 q2 -
110592 p9 q2 + 245760 p10 q2 + 242944 p6 q3 +
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313 329 326 252 673 280 k p6
q3
- 18432 p7
q3
+
98 304 p8
q3
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q4
-
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742 498 497 344 752 480 k p5 q4 + 9984 p6 q4 -
43 008 p7 q4 + 61 440 p8 q4 + 18336 p4 q5 +
300 133 095 303 123 578 537 895 993 142 519 057 155 675 800 253 340 341 990 274 057 748 Ö
499 699 468 950 496 k p4
q5
- 2304 p5
q5
+
9216 p6 q5 - 12 288 p7 q5 - 1528 p3 q6 -
Some Bitcoin for Thought.nb 25
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
http://slidepdf.com/reader/full/some-bitcoin-for-thought 26/28
25011091 275 260 298 211 491 332 761 876 588 096 306 316 687 778 361 832 522 838 145 Ö
708 308 289 079 208 k p3
q6
+ 192 p4
q6
-
768 p5
q6
+ 1024 p6
q6M2NN1ê3>>
Solve
B
2 p 2 p r - 2 p r2 - HhL2
q2
==4 p r2 - 2 r2 q
2 4 p r2 q - r2 q2
, r
F
0 =
2 p 2 p r - 2 p r2 - HhL2
q2
-4 p r2 - 2 r2 q
2 4 p r2 q - r2 q2
= 0
SolveB2 p 2 p r - 2 p r2 - HhL2
q2
-4 p r2 - 2 r2 q
2 4 p r2 q - r2 q2
ã
Kq r -
K2 p r - 2 p
Hr ^ 2 - h ^ 2
L OO+ 1 -
4 p q - q2
2 p Sin@bD , r
FOut[17]= 88<<
In[16]:= SolveB2 p 2 p r - 2 p r2 - HhL2
q2
-4 p r2 - 2 r2 q
2 4 p r2 q - r2 q2
ã
q r - 2 p r - 2 p r ^ 2 -4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2 + 1 -
4 p q - q2
2 p Sin@bD , hF
Out[16]= ::h Ø
-1
32 p3 / 512 p
4r q
2- 1024 p
5r2
q2
+ 512 p4
r r2 H2 p - qL2 q
2- 64 p
3r2
q3
+ 512 p4
r2
q3
- 64 p2
q4
+
256 p3 r q4 + 48 p2 r2 q4 - 512 p4 r2 q4 - 128 p2 r2 H2 p - qL2 q4 + 256 p3 r r2 H2 p - qL2 q4 -
128 p2
r q5
- 4 p r2
q5
+ 512 p3
r2
q5
- 128 p2
r r2 H2 p - qL2 q
5- r
2q6
- 128 p2
r2
q6
-
r2 q7
4 p - q+ 256 p
4r q r
2 H4 p - qL q - 64 p3
r q2
r2 H4 p - qL q - 64 p
2q3
r2 H4 p - qL q -
26 Some Bitcoin for Thought.nb
Printed by Mathematica for Students
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
http://slidepdf.com/reader/full/some-bitcoin-for-thought 27/28
8/11/2019 Some Bitcoin for Thought
http://slidepdf.com/reader/full/some-bitcoin-for-thought 28/28
64 p r2 H2 p - qL2 q4 H4 p - qL q Csc@bD + 64 p r q5 H4 p - qL q Csc@bD +
32 p q3 H4 p - qL q r2 H4 p - qL q Csc@bD - 8 q4 H4 p - qL q r
2 H4 p - qL q Csc@bD -
8 q5 H4 p - qL q r2 H4 p - qL q Csc@bD4 p - q
- 64 p q5 Csc@bD2 + 16 q6 Csc@bD2 >>
SolveB1 -4 p q - q2
2 p Sin@bD == q r - 2 p r - 2 p r ^ 2 -4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2 , rF
SolveB1 -2 p Sin@bD
4 p q - q2
== q r - 2 p r - 2 p r ^ 2 -4 p r2 q - r2 q2
2 p ^ 2 , rF
28 Some Bitcoin for Thought.nb