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8/8/2019 Similarity Laws of Def Lag Ration
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S I M I L A R I T Y L A W S O F D E F L A G R A T I O N 4 3 0
F o r a m i x t u r e o f f ix e d c o m p o s i t i o n , t h i s re d u c e s t o
P t
F + G ( T ~ - - T o ) - k s
= A ( 7 ' ~ - 7 ' 0) + B ' P I
w h e r e t h e c o n s t a n t s F , G a n d B ' i n c re a s e w i t h i n -
c r e a s e o f i n e r t g a s c o n c e n t r a t i o n . I t f o l l o w s t h a t
P ~ i n c r e a s e s w i t h i n e r t g a s a d d i t i o n ; b u t t h a t t h e
i n c r e a s e w i l l b e l e ss t h e g r e a t e r T o , a s f o u n d e x -
p e r i m e n t a l l y .
T r e a t i n g e q u a t i o n 7 a s in ( a ) a n d r e m e m b e r -
h ag t h a t i n t h e e x p e r i m e n t a l w o r k P N / P ~ + 1 ) o o
w a s c o n s t a n t , i t c a n b e s h o w n t h a t P E ~ a n d
( P o : ) 0 s h o u l d b e i n c r e a s e d b y i n e r t g a s a d d i t i o n ,
a s f o u n d e x p e r i m e n t a l l y . R e m e m b e r i n g t o o t h a t
C e ; > > C N a n d t h a t , i n t h e e x p e r i m e n t a l w o r k ,
P x / P E i s ~ 1 , i t c a n be f u r t h e r s h o w n t h a t K
s h o u l d b e l i t t l e a f f e c t e d b y i n e r t g a s a d d i t i o n .
ACKNOWLEDGMENT
W e a r e g r a te f u l t o M e s s r s . R i c a r d o a n d C o .
f o r t h e d e s i g n a n d g i f t of t h e f i n e w i r e r e s i s t a n c e
t h e r m o m e t e r a n d f o r m u c h o t h e r g e n e r o u s h e l p .
R E F E R E N C E S
1. TOWNEND AND CHAMBERLAIN: Proc. Roy. Soc.,
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5 6
S I M I L A R I T Y L A W S O F DEFLAGRATION
B y F . S C H U L T Z - G R U N O W
T h e e a r l y t h e o r ie s o f d e f l a g r a t i o n l e d t o t h e
f o li o w i n g e q u a t i o n f o r t h e b u r n i n g v e l o c i t y w ,, :
( i, = f (0) (1)
w h e r e a i s t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y ira c m ~
r i s a c h a r a c t e r i s t i c r e a c t i o n t i m e , a n d t h e q u a n -
t i t y ~b i s a t e m p e r a t u r e r a t i o b a s e d o n t h e c o n -
c e p t o f a n i g n i t io n t e m p e r a t u r e . L a t e r t h e c o n c e p t
o f i g n i t i o n o c c u r r i n g a t s o m e f i x e d t e m p e r a t u r ew a s e l i m i n a t e d ( 1 ) a n d r w a s e x p r e s s e d b y f u n c -
t i o n s b a s e d o n m o r e d e t a i l e d c o n s i d e r a t i o n s o f
r e a c t i o n k i n e t i c s ( 2) . T h e s e d e v e l o p m e n t s m o d i f i e d
t h e p a r a m e t e r q~, b u t t h e f o r m o f e q u a t i o n 1 f o r
t h e d i m e n s i o n l e s s r e p r e s e n t a t i o n o f b u r n i n g
v e l o c i t y w a s r i o t a f f e c te d .
H o w e v e r , i t w a s n o t p o s s i b l e t o e x p l a i n a l l
9 x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n t e r m s o f e q u a t i o n ( 1) . N o
e x p l a n a t i o n c o u l d b e g i v e n f o r th e f a c t t h a t f l a m e
v e l o c i t i e s i n m i x t u r e s d i l u t e d w i t h a r g o n a n d
h e l i u m d o n o t (l if te r g r e a t l y a l t h o u g h t h e t h e r m a l
d i f f u s i v i t y o f h e l i u m i s n i n e t i m e s g r e a t e r t h a n
t h a t o f a r g o n a n d t h u s t h e r e s h o u l d b e a g r e a t
d i f fe r e n c e a c c o r d i n g t o e q u a t i o n ( 1) . T h i s h a s
r i g h t l y b e e n c a l l e d b y J o s t ( 3) t h e e x p e r i m e n t u m
cruc is o f t h e d e f l a g r a t i o n t h e o r y .
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4 4 0 L A M I N A R C O M B U S T I O N A N D D E T O N A T I O N W A V E S
I t c a n b e sh o w n t h a t e q u a t i o n ( i ) i s n o t c o m -
p l e t e a n d t h e r e f o r e c a n n o t b e a p p l ie d g e n e r a l l y t o
t h e d e t e r m i n a t i o n o f b u r n i n g v e l o c i ti e s , b e c a u s e
t h e d i m e n s i o n l e s s v e l o c i t y ~o = w , , V / ~ / / a i s no t a
f u n c t i o n o f a s i n g l e d i m e n s i o n l e s s g r o u p 4 , , b u t o fs e v e r a l . T h e s e g r o u p s c a n b e d e t e r m i n e d w i t h o u t
t h e u s u a l a s s u m p t i o n o f e q u a l i t y o f h e a t a n d
m a s s t r a n s fe r . T h e i g n i t i o n l i m i t s c a n a l s o b e
e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e s e g r o u p s .
W e w i l l n o t i n t r o d u c e h e r e t h e d i f f e r e n t ia l e q u a -
t i o n s g o v e r n i n g d e f l a g r a t i o n , a l t h o u g h t h i s l e a d s
t o t h e s a m e r e s u l t s. I n s t e a d , w e w i ll m a k e u s e of
t h e m e t h o d o f d i m e n s i o n a l a n a l y s i s. T h e u s u a l
r e s t r i c t i o n t h a t d i f f u s i o n a u d h e a t c o n d u c t i o n a r e
s i m i l a r w i l l n o t b e m a d e .
F o r s i m p l i c i t y , t h e p h y s i c a l a n d c h e m i c a l c o n -s t a n t s a r e a t p r e s e n t a s s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t
o f te m p e r a t u r e . M o r e o v e r , a s i m p l e b i m o l e c u l a r
r e a c t i o n i s a s s u m e d .
A s d e f l a g r a ti o n is a n e f f ec t of h e a t c o n d u c t i v i t y ,
d i f f u s i o n a n d c h e m i c a l r e a c t i o n , t h e f o l l o w i n g
v a r i a b l e s o c c u r :
w ,, t h e b u r n i n g v e l o c i t y ( c m / s e c ) , w h i c h i s t o b e
d e t e r m i n e d
c~ t h e i n i t ia l c o n c e n t r g t i o n o f t h e f i r s t r e a c t a n t
( m o l / c m a)
c~ t h e i n i t ia l c o n c e n t r a t i o n o f t h e s e c o n d r e a c t a n t
( m o l / c m a)
X t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y ( c a l / c m s e c ~
c p t h e s p e c i f ic h e a t ( c a l / g ~
-g t h e s p e c i f ic w e i g h t ( g / c m a)
D the d i f fu s ion coe f f i c i en t ( cm"- / sec)
q t h e h e a t l i b e r a t io n b y t h e c h e m i c a l r e a c t i o n
p e r m o l e ( c a l / m o l e )
k t h e v e l o c i t y c o e f fi c ie n t o f t h e r e a c t i o n a c c o r d -
ing t o dc l /d t = ] , ' c l c2
T h e f o l lo w i n g u n i ts w i l l b e u s e d :
~ f o r t e m p e r a t u r e T
s e c f o r t i m e !c m f o r l e n g t h l
c a l . f o r q u a n t i t y o f h e a t q
g f o r m a s s
S i n c e th e r e a c t i o n i s p o s t u l a t e d t o b e b i m o l e c u -
l a r , n o s t o i c h i o m e t r i c n u m b e r v o c c u rs . T h e r e a r e
n i n e v a r i a b l e s a n d f i v e u n i t s . I f t h e r e s u l t i s t o b e
i n d e p e n d e n t o f u n i t s, a l l t h e v a r i a b l e s m u s t o c c u r
a s p r o d u c t s i n th e f la m e p r o p a g a t i o n e q u a t i o n , a s
m u l t i p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n a r e t h e o n l y p r o c e s s e s
b y w h i c h d i m e n s i o n l e s s g r o u p s a r e o b t a i n e d . T h e r e
e x i s t s a c e r t a i n n u m b e r o f d i m e n s i o n l e s s g r o u p s o f
v a r i a b l e s . T h i s n u m b e r i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n
t h e n u m b e r o f v a r i a b l e s a n d t h e n u m b e r o f u n i t s .
A c c o r d i n g l y , i n s t e a d o f t h e t w o d i m e n s i o n l e s s
g r o u p s i n e q u a t i o n ( 1 ) , t h e r e a r e f o u r , a n d t h e
m o s t g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r f l a m e p r o p a g a t i o n
m u s t h a v e t h e f o r m
~0 = f ( 4 , , , 4 , " - , 4 , 3 ) . ( 2 )
T h e t e r m o ) s h o u l d b e s o d e f in e d t h a t i t c o n t a i n s
t h e b u r n i n g v e l o c i t y w , l i n e a r l y s i n c e w , i s t h e
q u a n t i t y t o b e d e t e r m i n e d . S u c h e x p r e s s i o n f o r r
i s a l r e a d y g i v e n i n e q u a t i o n ( 1 ) , if r i s r e p l a c e d b y
t h e q u a n t i t y 1 / k C l o r 1//,'c,. w h i c h h a s t h e s a m e
d i m e n s i o n . F u r t h e r m o r e , f o r t h e t h e r m a l d i f f u -
s i v i t y , a = k / c ~ , , o n e m a y s u b s t i t u t e t h e d i ff u s io n
c o e f f i c ie n t D , s o t h a t s e v e r a l s u i t a b l e d e f i n i t i o n s
o f t h e d i m e n s i o n l e s s b u r n i n g v e l o c i t y a r e p o s s i b l e .
W e c h o os e
~// )n
( ) n e o f t h e d i m e n s i o n l e s s g r o u p s m u s t c o n t a i n
t h e h e a t o f r e a c t i o n q . T h e m o s t c o n v e n i e n t t h e
e x p r e s s i o n i s
q c l4,1 --
T c v ' g '
w h e r e T c a n b e t h e t c m p e r a t u r e o f t h e u n b u r n e d
g a s .
A n o t h e r i m p o r t a n t e x p r e s s i o n f o r 4,1 c a n b eg i v e n b y i n t r o d u c i n g t h e e q u a t i o n o f s t a t e :
q R c ~4,l =
p c p
w h i c h g i v e s t h e i n f l u e n c e o f p r e s s u r e o n f l a m e
p r o p a g a t i o n .
T h e s e c o n d d i m e n s i o n l e s s g r o u p 4,"- i s t h e
S c h m i d t n u m b e r :
D c p ' l D4 , 2 - -
X a "
T h e t h i r d g r o u p 4 ,3 m a y r e p r e s e n t t h e r e l a t i v e
c o n c e n t r a t i o n o f t h e r e a c t a n t s :
C 1
C 2q
F o r o t h e r o r d e r s o f r e a c t i o n , t h e s t o i c h i o m e t r i c
n u m b e r v b e i n g i t s e l f d i m e n s i o n l e s s o c c u r s a s t h e
f o u r t h d i m e n s i o n l e s s g r o u p :
4 , 4 ~ / 2 .
T h e f u n c t i o n f ( ~ l , 4 ,2 , 4 , a, " - - ) i ts e l f w o u l dh a v e t o be d e t e r m i n e d e i t h e r t h e o r e ti c a l l y o r
e x p e r i m e n t a l l y . I t m a y b e n o t e d , h o w e v e r , t h a t
d i m e n s i o n a l a n a l y s i s p r o v i d e s a n a d v a n t a g e i n a s -
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S I M I L A R I T Y L A W S O F D E F L A G R A T I O N 4 - t l
n m c h a s t h e r e ar e n o w o n l y t h re e i n d e p e n d e n t
p a r a m e t e r s , n a m e l y r r q53. M o r e o v e r , a
g e n e r a l d i s c u s s i o n of e x p e r i m e n t a l d a t a i s n o w
p o s s i b l e s i n c e fo r d i f fe r e n t c a s e s t h e d i m e n s i o n l e s s
b u r n i n g v e l o c i t y 60 is t h e s a m e if t h e g r o u p s h a v e
t h e s a m e v a l u es , e v en t h o u g h t h e i n d i v id u a l
v a r i a b l e s a r e d i ff e r en t . F o r e x a m p l e , t h e e x p r e s -
t h o s e i n c a s e tw o . ( ) t h e r w i s e n o d i m e n s i o n l e s s
r e l a ti o n c o u l d ho M . T h e s a m e r e s u h c a n b e d e-
r i v e d f ro m t h e d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s f or hu'at
c o n d u c t i o n a n d d i f f u s io n . T h i s s h o w s t h a i ( ' q U a -
t i o n ( 2 ) is t h e s i m i l a r i t y h t w f o r l l a m e p r o t )a ~ a t i, ~ n .
" Fo p r . v e t h e s e c o n s i d e r a t i o n s , J a h n ' s ( 4 ) c x l) c ri
m e r i t s o n h y d r o g e n a n(1 - x y g c n , m i x e d x vi lh
N , i C O. . O~! _
per p e r [ p e rc e n t : c e ~ t i c e n t
75 _ i 25
50 --50
8 2 . 5 - - 1 7 . 5
85 15
8 2 . 5 1 7 . 5
85 15
75 25
5 0 5 0
8 7 . 5 1 2 . 5
6 0 4 0
6 5 3 5
- - ~ i 1 00
1 . 5 9 8 . 5
H 2
p e rc e n t
5 0 0 . 3 4 5 0 . 8 3 3 0 . 1 8 9 0 . 6 5 6 1 4 . o 7 . 7
6 0 0 . 3 5 4 0 . 8 1 0 0 . 2 0 5 0 . 7 2 5 1 6 .7 1 3 . o
4 0 0 . 3 2 9 0 . 8 7 5 0 . 1 7 0 0 . 5 9 0 1 2 . 8 5 . 5
3 5 0 . 3 1 7 0 . 9 2 2 0 . 1 6 1 0 . 5 5 0 1 1 . 6 5 . 6
2 6 0 . 2 9 8 0 . 9 6 5 0 . 1 4 1 0 . 4 8 9 9 . 2 6 . 2
2 3 . 1 0 . 2 9 4 0 . 9 8 2 0 . 1 3 3 0 . 5 4 5 8 . 4 5 . 4
3 3 . 3 0 . 3 1 2 0 . 9 2 8 0 . 1 5 7 0 . 5 4 4 1 1 .2 8 . 4
5 0 0 . 3 3 4 0 . 8 6 1 0 . 1 89 0 . 6 5 7 1 4 , 9 1 4 . 9
0 . 3 1 2 0 . 9 2 6 0 . 1 5 2 0 . 5 2 6 1 0 .6 4 . 3
4 0 0 . 3 1 9 0 . 9 0 3 0 . 1 7 l 0 . 5 94 1 2 ,8 1 2 . 8
3 5 0 . 3 1 0 0 . 9 2 8 0 . 1 6 1 0 . 5 6 0 1 1 . 6 1 1 . 6
2 0 0 . 2 5 7 1 . 12 2 0 . 1 2 6 0 . 4 3 6 7 . 4 4 3 7 . 2
1 3 0 . 2 4 4 1 . 1 8 7 0 . 1 0 6 0 . 3 6 7 5 . 1 4 3 9 . 0
T A B L E 1
D i m e n s i o n l e s s q u a n t i l i e s o J, q h , q~.,- , t a k e n f r o m J a h n ' s e x p e r i m e n t s
ep 3 ' ~ - a e l l 2 103 CO. 103 ~ t 'n r
* N o t p l o t t e d .
t O O ~ l ~ 2 ~ :~
3 . 2 4 4 . 9 5 . 1 5
5 . 9 5 9 . 2 5. 9 1
2 . 0 3 4 . 8 1 4 . 4 3
1 . 6 2 8 . 1 : 3 . 9 7
1 . 3 2 3 . 7 3 . 2
1 . 1 1 9 . 3 : 2 . 9
2 . 3 3 4 . ( 1 3 . 8 6
5 . 1 5 2 . 0 5 . 1 9[
1 . 2 2 4 . 6 i 3 . 6 5
3 . 7 4 1 . 4 4 . 4 2
3 . 0 I 3 7 . 3 4 . 0 1
1 . 3 1 0 . 5 ! 2 . 5 8
0 0
1 . 1 3 1 . 9 3
1 . 0 4 I . 2O
1 . 2 4 2 . 3 3 "
1 . 3 4 2 . 0 6 *
1 . 5 1 1 . 4 9
1 . 3 5 1 . 5 5
t . 3 6 1 . 3 3
1 . 3 5 1
1 . 4 0 2 . 4 6 "
1 . 2 4 I
1 . 3 2 1
1 . 7 8 0 . 2 *i
2 . 6 2 2 . 1 2 1 0 . 1 3 " i
T A B L E 2
D i m e n s i o n l e s s q u a n t i t ie s 0 6 '~ l , ~ b., t a k e n f r o m J a h n ' s e x p e r i m e n t s
C02 I
I . . . . . . i - ip e r c e n t ] p e r c e n t ] p e r c e n t i
8 4 1 6 4 1
7 5 2 5 5 0 . 8
5 0 5 0 6 3 . 5
7 9 2 1 4 7
5 0 5 0 5 0
6 0 4 0 5 060 4 0 4 O
6 0 4 0 3 0
5 0 5 0 4 0
* N o t p l o t t e d .
o , i . , ] c ,
O. 2 6 0
0 . 2 7 9
O. 3 0 8
0 . 2 7 2
0 . 2 8 7
O. 2830 . 2 6 7
0 . 2 5 2
0 . 2 7 2
7 X
1 . 268
1 . 1 5 9
0 . 9 8 6
1 . 2
1 . 0 8 1
1. 1131 . 1 1 8
1 , 2 7 1
1. 152
0 . 1 3 8
0 . 1 7 7 0 . 5 4 6 1 5 . 2 7 . 4 1
0 . 2 0 3 0 . 6 6 9 1 7 . 3 1 3 , 6
0 . 1 7 1 0 . 5 2 5 1 4 . 3 . 6 , 4
0 . 1 8 2 0 . 5 8 6 1 4 . 8 1 4 . 8
0 . 1 8 0 0 , 5 7 1 4 , 9 1 1 .90 . 1 6 1 0 . 5 1 1 2 . 7 1 2 , 7
0 . 1 3 9 0 . 4 3 1 0 , 3 1 3 .7
0 . 1 6 3 0 . 5 2 1 2 , 7 1 5 . o
CH 2 1 0 ' CO 1 0 ' ] W i w l ( t 0 * t j ' ] ~ i e ~ 3
I - - - i I - i
i
0 . 4 1 8 1 3 5 . 1 0 . 7 1 4 . 7 3 . 9 4 1 . 4 5 2 . .5 7 *
2 . 0
5 . 0
1 . 4
3 . 9
3 . 32 . 2
1 . 0
1 2 7
3 1 . 5 4 . 6 5 1 . 11
5 2 . 6 5 . 6 9 0 . 9 1
2 3 . 9 4 . 3 6 1 . 1 6
4 1 . 7 4 . 7 9 1 . 0 4
4 0 . 0 4 . 7 1 1 . 0 62 8 . 6 4 . 0 l 1 . 2 0
1 6 . 7 3 . 2 2 1 . 4 0
2 9 . 7 4 . 0 6 1 . 1 7
2 . 0 5 "
1 . 2 7
2 . 2 4 *
1
1 . 2 51
0 . 7 5
0 . 8 0
s i o n s o f 4~t s h o w t h a t t h e i n f l u e n ce o f t e m p e r a t u r e
o n p r e s s u r e c a n b e c o m p e n s a t e d b y c o n c e n t r a t i o n
a n d t h a t i t is p o s s ib l e t o in d i c a t e t h e i n f l u e n c e o f
p r e s s u r e w i t h o u t f u r t h e r e x p e r i m e n t s i f t h e i n f lu -
e n c e o f t e m p e r a t u r e is d e t e r m i n e d .
I f in t w o d i f fe r e n t c a s e s t h e c o r r e s p o n d i n gd i m e n s i o n l e s s g r o u p s h a v e t h e s a m e v a l u e s , t h e
d i s t r i b u t i o n s o f t e m p e r a t u r e a n d o f c o n c e n t r a t i o n
i n t h e f l a m e f r o n t i n c as e o n e m u s t b e s i m i l a r t o
n i t r o g e n o r w i t h c a r b o n d i o x i d e a s in e r t g a s e s ,
w e r e p l o t t e d i n t h e d i m e n s i o n l e s s fo r r n c o r r e s p o n d -
i n g t o e q u a t i o n ( 2 ) , i . e . t h e d i m e n s i o n l e s s v e l o c i ty
r w a s p l o t t e d a g a i n s t th e d i m e n s i o n l e s s q u a n t i t y
q~l f o r s e l e c t e d e x p e r i m e n t s i n w h i c h ~b2 a n d (#~
w e r e m o r e o r le s s c o n s t a n t . I f o u r t h e o r y i s c o r -r e c t , a ll t h e s e e x p e r i m e n t s w i l l l ie a l o n g a s i n g l e
c u r v e , i r r e sp e c t i v e o f t h e i n e r t g a s u s e d .
T h e r e a c t i on o f o x y g e n a n d h y d r o g e n w a s
8/8/2019 Similarity Laws of Def Lag Ration
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4 4 2 L A M I N A R C O M B U S T I O N A N D D E T O N A T I O N W A V F S
c h o s e n a s it s m e c h a n i s m i s t h e b e s t k n o w n ( 5 ).
A l t h o u g h i t is n o t a s i m p l e s e c o n d - o r d e r r e a c t i o n ,
i t m a y b e e x p r e s s e d a s
, ~ ( n _ ~ ) = t , . ( H . , ) ( O 2 ) , ( 3 )d t
w h e r e ( H e ) , ( O ~ ) s t a n d s f o r e l , o .,. T a b l e s 1 a n d 2
g i v e th e e x p e r i m e n t a l d a t a a n d t h e c a l c u l a t e d
d i m e n s i o n l e s s q u a n t i t i e s oa, ~ b ~, ~ b2 , O a . W i d e l y
d e v i a t i n g v a l u e s o f ~ b2 , ~ b a , w e r e n o t p l o t t e d .
H o w e v e r , e v e n t h e v a l u e s re t a i n e d s h o w d e v i a t i o n s
i n ~ b 2, q ~ a , s o t h a t a n e x a c t e x p e r i m e n t a l c u r v e i s
n o t t o b e e x p e c t e d ( f i g . I ) . N e v e r t h e l e s s , t a k i n g
i 5 o
zo
,o
o
/
/
/ /
/ /
/
7 O . O C ~ kl
~j, g
F r o . 1
l e s s g r o u p ~ b. L e t u s c o n s i d e r a m i x t u r e o f a g i v e n
c o m b u s ti b le g a s I f o r e x a m p le , m e t h a n e - - a t c o n -
s t a n t c o n c e n t r a t i o n w i t h a n i n e r t g a s , sp e c i f ic a l l y
h e l i u m o r a r g o n. H e l i u m a n d a r g o n h a v e t h e s a m e
h e a t c a p a c i t i e s c p s, , b u t t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t o fm e t h a n e i s t h r e e t i m e s g r e a t e r in h e l i u m t h a n i n
a r g o n a n d t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y o f h e l i u m i s n i n e
t i m e s g r e a t e r t h a n t h a t o f a r g o n. C o n s e q u e n t l y ,
w h e n a r g o n i s re p l a c e d b y h e l i u m , i f2 b e c o m e s
t h r e e t i m e s s m a l le r . E x p e r i m e n t a l l y w e k n o w t h a t
t h e a b s o l u t e b u r n i n g v e l o c i t y w ,, i s v i r t u a l l y t h e
s a m e i n b o t h c a s e s , a n d h e n c e t h e d i m e n s i o n l e s s
b u r n i n g v e l o c i t y w v a r i e s p r o p o r t i o n a t e l y t o ~b2.
C o n c e r n i n g t h e e f f e c t o f t e m p e r a t u r e i t i s n o t e d
t h a t a s l o n g a s t h e s p e c if i c h e a t c ,, m a y b e c o n -
s i de r e d c o n s t a n t t h e t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f
t h e v a r i o u s p h y s i c a l c o n s t a n t s d o e s n o t e n t e r i n t o
t h e s i m i l a r i t y l a w e x c e p t f o r t h e r e a c t i o n v e l o c i t y
c o e f fi c i e nt k . A s r e g a r d s t h e i n f l u e n c e of t e m p e r a -
t u r e o n t h e l a t t e r c o e f f i c i e n t , d e f i n e d a s
] : = ] e 0 e A / n T
t h e c o n s t a n t k i n w b e c o m e s k o a n d a f i f t h d i m e n -
s i o n l e s s q u a n t i t y r e s u l t s :
~ 5 = e - A / R T .
T A B L E 3
D i m e n s i o n l e s s u p p e r l i m i t ~ l i g n i ti o n ~ o f s ~ 'e r a l b u r n i n g g a s es i n a i r a n d d i m e n s i o n l e s s p a r a m e l e r s ~ ., , ~ a
. . . . . ' - ~ I ! I
A b s . l i m i t v o l . i i i i X D f I ~ ~ ai n a i r * c ~ . . . ii c ~ = [ 0 2 ] " ~ o2 , c ~ , q T a [ _
. . . . . . . . i . . . . . i
p e r c e n t ] l
6 9 H2 0 .0 1 8 0 3 0 .0 0 5 5 8 0 .7 5 2 0 .3 8 2 5 7 70 0 1 2 9 3 ] 0 .2 1 7 5 0 .7 6 0 0 .7 5 4 1 2 .2 8 1 1 .0 1 3 .2 3 5
71 CO 0 .0185 .. 0 .00547 1 189 0 .2 4Y 67600 293 ! 0 .0585 0 .211 0 .201 14 .65 ~ 1.05 3 .375
15 CH , 0 .0 05 83 1 0 .0081 5 1 .136 1 0 .2511 191700 . 293[ 0 .063,5 12 .92 0 .691
28 .6 C. ,,H~ 0 .01 0 .007 28 1 .2 ] 0 .26 4 321000 2931 0 .05 75i( 0 .14 5 i(0 .182)! 34 . ,50 (0 .794 ) 1 .373
~2 .4 C eH ~, 0 .0 0 4 9 5 1 0 .0 0 8 3 3 1 .2 1 2 0 .2 5 7 3 '4 4 00 0 2 9 3 0 .0 5 9 6 ' i 1 8 .0 8 0 .5 9 4.: J . . . . . . . ~ ~ . . . . .
* W. Jo s t , Ex p lo s io n s u n d V erb ren n u n g sv n rg g n g e in Gasen , p p . 1 2 9 , 1 3 0 . B er l in (1 93 9 ).
Th e p aren th es ized v a lu es p ro b ab ly 2 5 p er cen t to o h ig h .
i n t o a c c o u n t a l l u n c e r t a i n t i e s i l l t h e m e t h o d o f
m e a s u r e m e n t a n d i n t h e v a l u e s o f t h e p h y s i c a l
c o n s t a n t s , i t w i l l b e s e e n t h a t t h e e x p e r i m e n t a l
d a t a l i e f a i r l y c l o s e t o a s i n g l e c u r v e .
T h e d i s c u s s i o n o f t h e e x p e r i m e n t u m c r u c i s m e n -
t i o n e d a b o v e c a l l n o w b e g i v e n i l l t h e f o l l o w i n g
w a y . S i n c e o n l y t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y is c h a n g e d ,
f ( d p ) i n e q u a t i o n 1 r e m a i n s c o n s t a n t a n d h e n c e
e q u a t i o n 1 p r e d i c t s t h a t t h e d i m e n s i o n l e s s b u r n i n g
v e l o c i t y c0 s h o u l d r e m a i n c o n s t a n t . N o w t h e e x -
p e r i m e n t s h o w s t h a t t h i s is n o t t h e c a s e , a n d
m o r e o v e r o u r d is c u s s i o n h a s s h o w n t h a t t h e r e
e x i s t s a d e p e n d e n c e o n m o r e t h a n o n e d i m e n s i o n -
A l l t h e s e l e c t e d e x p e r i m e n t s i n t a b l e s 1 a n d 2
l ie b e n e a t h t h e m a x i m u m b u r n i n g v e l o c i t y a s i t i s
o n l y i n t h i s r e g i o n t h a t t h e c o n c e n t r a t i o n o f
h y d r o g e n m a y b e c o n s i d e r e d s m a l l e n o u g h f o r
e q u a t i o n (3 ) t o a p p l y . A c c o r d i n g l y , i n fi g u r e 1 t h e
i n t e r s e c t i o n w i t h t h e a b s c i s s a g i v e s t h e l o w e r
i n f l a m m a b i l i t y l i m i t . I t w i l l b e s e e n t h a t t h i s l i m i t
a n d c o r r e s p o n d i n g l y a l so t h e u p p e r i n f l a m m a b i l i t y
l i m i t a re r e p r e s e n t e d b y t h e f u n c t i o n
~, = f ( ~ , . , , ~ 3 ) .
I t i s u s u a l t o e x p r e s s t h e i n f l a m m a b i l i t y l i m i t s
i n v o l u m e p e r c e n t. T h e r e f o r e t h e d i m e n s i o n l e ss
8/8/2019 Similarity Laws of Def Lag Ration
http://slidepdf.com/reader/full/similarity-laws-of-def-lag-ration 5/5
A E R O D Y N A M I C F I E L D O F S T A B I L IZ E D F L A M E S 4 4 3
q u a n t i t y 4 ~ c a n t i e d e f i n e d d i r e c t l y f o r t h e c a s e
w h e r e ~o = 0 a s t he d i me ns i on l e s s e xp r e s s i on o f
t h e i g n i t i o n l i m i t
T h e r e e x i s t t w o v a l u e s , ~ ,, a n d ~ t , i n d i c a t i n g t h e
u p p e r a n d l o w e r l im i t . T h e g e n e r a l la w o f e a c h o f
t h e s e l i m i t s h a s t h e f o r m
= f ( , ~ , ~ ) (4 )
T a b l e 3 g i v e s l h e c o n v e r s i o n o f s e v e r a l e x p e r i -
m e n t a l v a l u e s ( 6 ) f o r u p p e r l i m i t s t o d i m e n s i o n l e s s
g r o u p s . T h e t a b l e s h o w s t h e i n t e r e s t i n g f a c t t h a t
t h e d i m e n s i o n l e s s l i m i t s o f m o s t g a s e s d o n o t
d i ff e r m u c h . A s t h i s h o l d s a l s o fo r t h e h e a t c a p a c i t y
c p3 ' t h i s r e s u l t a g r e e s w i t h a n e a r l ie r s t a t e m e n t b y
B u r g e s s a n d W h e e l e r ( 6) t h a t i n m a n y c a se s t h e
l o w e r i n f l a m m a b i l i t y l i m i t ( v o l u m e p e r c e n t )
m u l t i p l i e d w i t h t h e h e a t o f r e a c t i o n is a p p r o x i -
m a t e l y a c o n s t a n t . T h i s p r o d u c t i s th e n u m e r a -
t o r i n t he e x p r e s s i on f o r ~ b, , a n d c pyT i s the
d e n o m i n a t o r , T h a v i n g t h e s a m e v a l u e i n a l l
cases .
A n o t h e r i n t e r e s ti n g o b s e r v a t i o n i s th a t , a c c o rd -
i n g t o e q u a t i o n ( 4 ), t h e i n f l a m m a b i l i t y l i m i t s d o
n o t d e p e n d o n t h e r e a c t i o n m e c h a n i s n l . M or e ove r -
t h e c o n v e r s i o n f r o m t e m p e r a t u r e t o p r e s su r e h o l d s
a ls o i n t h e c a se o f i n f l a m m a b i l i t y li m i t s .
A d i f fe r e n t ig n i t i o n p r o b l e m , n a m e l y , t h a t o f
s p a r k i g n i t i o n , w a s t r e a t e d r e c e n t l y b y J o s t ( 7 ).H e r e t h e s p a r k i s t h e i n i t i a l h e a t s o u r c e . S u l >
s e q u e n t l y t h e s p a r k d i s a p p e a r s a n d t h e o n l y re -
m a i n i n g h e a t s o u r c e i s t h e c h e m i c a l r e a c t io n , s o
t h a t t h e a b o v e c o n s i d e r a t i o n s w i l l h o l d .
T h i s s h o w s t h e a d v a n t a g e s t o b e e x p e c t e d f r o m
t h e f u t u r e u s e o f t h e a b o v e d i m e n s i o n l e s s t r e a t -
m e n t i n t h e s t u d y o f d e f la g r a t io n p h e n o m e n a .
R E F E R E N C E S
1. LE w~ s, B., AND VON ELBE, G.: J ' . Chem. Phys . ,
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57
O N T H E A E R O D Y N A M I C F I E L D O F S T A B I L I Z E D F L A M E S
B y J . F A B R I , 1 R . S I E S T R U N C K 2 AND C. FOURF,a
1 . I N T R O D U C T I O N
T h e t w o - d i m e n s i o n a l f lo w o f a h o m o g e n e o u s
c o m b u s t i b l e ga s i n a c o n s t a n t s e c t io n d u c t is
c o n s i d e r e d . A f la m e , m a i n t a i n e d i n t h e w a k e o f a
s t a b i l i z e r , e x t e n d s d o w n s t r e a m o f t h i s s t a b i l i z e r a
f r o n t, w h i c h i s s y m m e t r ic a l , s t a ti o n a r y a n d n e a r l y
pa r a l l e l t o t he a x i s o f t he duc t ( f i g . 1 ) . T he s ha pe
a n d d i m e n s i o n s o f th e s t a b i l i z e r d o n o t a f f e c t
a p p r e c i a b l y t h e a e r o t h e r m o d y n a m i c a l f i e ld , p r o -
v i d e d t h a t f l a m e s t a b i l i t y i s a s s u r e d . A c c o r d i n g l y ,
s t a b i l i z a t i o n p a r a m e t e r s w i l l b e n e g l e c t e d i n s u c h
a w a y a s t o r e t a i n o n l y t h o s e c o n c e r n i n g fl a m e
l I ng6n i e u r C i v i l des M i ne s , G r oupe d ' A 6r ody-n a m i q u e I n t e r n e .
D r . S c. , C he f du G r oupe d ' A ~ r odyna m i que I n t e r ne .a I ng6n i e u r C i v i l de s M i ne s , G r oupe de C oml m s t ion .
p r o p a g a t i o n , i.e. m a i n l y t h e v e l o c i t y o f th e u n i f o r m
u p s t r e a m f lo w , th e c o m p o s i t io n o f t h e c o m b u s t i b l em i x t u r e a n d t h e c o m b u s t i o n f r o n t v e lo c i ty . T h e
f l a m e s t a b il i z e r i s a s s u m e d t o b e a l i n e a r b o d y a n d
i t s t r a c e o n t h e p l a n e o f f l o w i s t a k e n a s o r i g i n o f
t h e c o o r d i n a t e s .
I t w i l l b e a s s u m e d , a l s o , a s i s u s u a l i n e l e m e n t a r y
s t u d ie s o f c o m b u s t i o n c h a m b e r s , t h a t t h e s a m e
e q u a t i o n o f s t a t e a p p li e s t o l m r n e d a n d u n b u r n e d
ga s e s , w hos e s pe c i fi c he a t s a r e a s s um e d t o be i n -
d e p e n d e n t of t e m p e r a t u r e a n d m i x t u r e c o m p o s i-
t i o n . T h e s t a t i o n a r y f l a m e f r o n t i s a l s o c o n s i d e r e d
a s a l in e of d i s c o n t i n u i t y f o r t h e t h e r m o d y n a m i c a l
a n d a e r o d y n a m i c a l d a t a o f t h e f lo w , c o m b u s t i o n
i ts e lf b e i n g r e p l a c e d b y a s i m p l e d i s c o n t i n u i t y of
t h e t o t a l e n t h a l p y o f t h e f l o w . T h e r m a l c o n d u c -