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ANÁLISIS DE SEÑALES
SERIES DE FOURIER PARA UNA SEÑAL TRIANGULAR
DANIEL STIVEN VALENCIA BALLESTEROS
DANIEL ALBERTO TOBÓN
DOCENTE: SARA YEPES
INSTITUCION UNIVERSITARIA ITM
FACULTAD DE INGENIERIAS
TECNOLOGIA EN TELECOMUNICACIONES
MEDELLIN
2015
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Contenido
OBJETIVOS ...................................................................................................................................... 4
SERIES DE FOURIER .................................................................................................................... 5
METODOLOGIA ............................................................................................................................... 7
RESULTADOS OBTENIDOS ........................................................................................................ 9
RESULTADOS TEORICOS DE LOS COEFICIENTES A0 An Bn ........................................ 9
SERIE DE FOURIER ............................................................................................................. 15
RESULTADOS OBTENIDOS MEDIANTE MATLAB ........................................................... 16
TABLA COMPARATIVA .............................................................................................................. 17
ERRORES ASOCIADOS .............................................................................................................. 17
RESULTADOS OBTENIDOS MENDIANTE ANALIZADOR DE ESPECTRO..................... 18CONCLUSIONES: ......................................................................................................................... 19
REFERENCIAS .............................................................................................................................. 20
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3
INTRODUCCION
Las descripciones comprensibles del paso y de la forma de una señal en la
dimensión del tiempo y en la dimensión de la frecuencia son parte importante para
la comprensión de transmisión de datos y una de las bases fundamentales en
materia de telecomunicaciones. Para mostrar en términos matemáticos una señal
determinada bien sea senoidal o no y llevarla a la dimensión de la frecuencia se usa
la Serie de Fourier.
Básicamente, éste proyecto toma una señal propuesta por la docente de forma
gráfica en forma de función en el tiempo; seguidamente se le da una amplitud
cualquiera, se define la función por tramos y se comienza a calcular los coeficientes
necesarios para la suma de armónicos que constituyen la Serie de Fourier.
Más específicamente se propone tomar una señal en función del tiempo de tipo
triangular con amplitud de 1 voltio y sin offset.
El número de armónicos a calcular son 10 para cada coeficiente, pero por la
naturaleza impar de la onda señal, se sabe que sólo los coeficientes Bn arrojaránun resultado diferente de cero.
Además de plasmar los resultados calculados, se muestran los resultados obtenidos
en el software MATLAB y en el analizador de espectro, para posteriormente unirlos
en un cuadro comparativo.
Finalmente, con la Serie de Fourier obtenida se le dan 16 valores aleatorios de
tiempo para reconstruir la función inicial.
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4
OBJETIVOS
Consolidar los conocimientos adquiridos en las clases magistrales y
demostrarlos en la práctica trabajando sobre una señal determinada,
combinando los conocimientos básicos del software MATLAB, del
proceso para llegar a la Serie de Fourier a partir de las fórmulas dadas
para hallar los coeficientes y de la introducción en el uso del analizador
de espectro para hallar los picos proporcionados por la señal dada.
Comparar los resultados para corroborar la veracidad de la teoría.
Reconstruir la señal inicial a partir de los resultados arrojados mediante
la Serie de Fourier.
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5
SERIES DE FOURIER1
Esta serie se usa en análisis de señales para representar las componentes
senoidales de una onda periódica no senoidal, es decir, para cambiar una señal en
el dominio del tiempo a una señal en el dominio de la frecuencia. En general, se
puede obtener una serie de Fourier para cualquier función periódica, en forma de
una serie de funciones trigonométricas con la siguiente forma matemática
La ecuación indica que la forma de onda f (t) comprende un valor promedio (A 0)
de DC, una serie de funciones cosenoidales en las que cada término sucesivo tiene
una frecuencia que es múltiplo entero de la frecuencia del primer término cosenoidal
de la serie, y una serie de funciones senoidales en la que cada término sucesivo
tiene una frecuencia que es múltiplo entero de la del primer término senoidal de la
serie. No hay restricciones para los valores o los valores relativos de las amplitudes
de los términos seno y coseno. La ecuación se enuncia como sigue en palabras:
Cualquier forma de onda periódica está formada por un componente promedio yuna serie de ondas senoidales y cosenoidales relacionadas armónicamente. Una
armónica es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental. La frecuencia
fundamental es la primera armónica, y es igual a la frecuencia (rapidez de
repetición) de la forma de onda. El segundo múltiplo de la fundamental se llama
segunda armónica, el tercer múltiplo es la tercera armónica, y así sucesivamente.
La frecuencia fundamental es la mínima necesaria para representar a una forma de
onda. Por consiguiente, la ecuación se puede escribir como sigue
Onda simétrica
1Tomasi, 2003, p.22-24
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6
Simetría de onda. Dicho en términos sencillos, la simetría de la onda describe
la simetría de una forma de onda en el dominio del tiempo, esto es, su posición
relativa con respecto a los ejes horizontal (tiempo) y vertical (amplitud).
Simetría par.
Si una forma de onda periódica de voltaje es simétrica respecto al eje vertical
(amplitud) se dice que tiene simetría especular, o de ejes, y se llama función par.
Para todas las funciones pares, los coeficientes B de la ecuación 1 son cero. Por
consiguiente, la señal sólo contiene un componente de cd y los términos
cosenoidales. La suma de una serie de funciones pares es una función par. Las
funciones pares satisfacen la condición
Simetría impar.
Si una forma periódica de onda de voltaje es simétrica respecto a una línea
intermedia entre el eje vertical y el horizontal negativo (es decir, a los ejes en el
según doy cuarto cuadrantes) y pasa por el origen de las coordenadas, se dice que
tiene una simetría puntual o que es antisimétrica, y se le llama función impar. Para
todas las funciones impares, los coeficientes A de la ecuación 1 son cero. Por
consiguiente, la señal tan sólo contiene un componente de DC y los términos
senoidales la suma de una serie de funciones impares es una función impar. A esta
forma primero se le debe reflejar en el eje Y y después en el eje X para sobreponerla
consigo misma. Así
Los coeficientes de A0, A1 a An y B1 a Bn se pueden calcular como sigue
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METODOLOGIA
Para llevar acabo satisfactoriamente los objetivos del proyecto final se
necesitaron los conceptos teóricos y comprender como llegar a plantear la serie de
Fourier para una señal cualquiera. Además del uso de equipos como el osciloscopio,
el generador de señales y el analizador de espectro para la simulación.
Se estableció un paso a paso desde el conocimiento de la señal dada hasta su
reconstrucción a partir de Fourier.
El paso a paso general consta de:
- Representación, planteamiento y cálculo matemático a mano de la señal.
Muestra de resultados para cada coeficiente An y Bn.
- Cálculo de los coeficientes en el software MATLAB, observación de los
resultados y comparación parcial de resultados.
- Muestra y toma de resultados de la simulación con el analizador de espectro
y comparación final de resultados con un cuadro comparativo.
- Toma de tiempos aleatorios para la reconstrucción de la señal utilizando la
serie de Fourier obtenida.
Primero se debe llevar a términos matemáticos la ecuación, para eso de defineen tramos para un periodo (T). Posteriormente se plantean las ecuaciones para
cada coeficiente utilizando las fórmulas dadas en clase. Se hace una recopilación
de resultados y se plantea la serie de Fourier.
Después, de trabaja la señal en MATLAB con el código proporcionado por la
docente y se recopilan los resultados de los coeficientes según el programa para la
comparación parcial.
Finalmente con el uso del osciloscopio, el generador de señales y el analizador
de espectro se hacen la observación de los niveles de voltaje entregados, también
se recopilan y se hace el cuadro comparativo para los resultados obtenidos a mano,
en MATLAB y de la simulación. Además de reconstruir la señal como se dijo
anteriormente tomando 16 tiempos aleatorios.
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SERIES DE FOURIER
PARÁMETROS INICIALES
10
1
1 0 0
1
REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA SEÑAL TRIANGULAR
4 ; 0 ≤ ≤ / 4 2 4
;
4≤ ≤ / 2
2 4 ; 2 ≤ ≤ 3 / 44 2 ; 3 / 4 ≤ ≤
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RESULTADOS OBTENIDOS
RESULTADOS TEORICOS DE LOS COEFICIENTES A0 An Bn
INTEGRAL PARA A0
= 1[
∫ (4 ) ⁄ + ∫ (2 4 ) ⁄
⁄
+ ∫ (2 4 )
⁄
+ ∫ (4 4)
⁄ ]
INTEGRAL PARA An
= 2∫ (4 ) ⁄
(cos 2 ) + ∫ (2 4 ) ⁄ ⁄ (cos 2 )
+ ∫ (2 4 ) ⁄
(cos 2 ) + ∫ (4 4) ⁄ (cos 2 )
INTEGRAL PARA Bn
= 2[
∫ (4 ) ⁄ (sin 2 ) + ∫ (2 4 ) ⁄
⁄ (sin 2 )+ ∫ (2 4 ) ⁄
(sin 2 ) + ∫ (4 4)
⁄ (sin 2 ) ]
COEFICIENTES A0
= 1 ∫ ( 4100µ) + ∫ (2 4100µ) + ∫ (2 4100µ)
+ ∫ ( 4100µ 4)
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10
= 1100µ ( 180000 + 180000 180000 180000)
= 2
100µ0
=
COEFICIENTE An
= 2100µ∫ ( 4100µ)
(cos 2100µ ) + ∫ (2 4100µ) (cos 2100µ )
+ ∫ (2 4100µ) (cos 2100µ ) + ∫ ( 4100µ 4)
(cos 2100µ )
= 2100µ ( 220000 220000 + 220000 220000)
= 2100µ 0
=
= 2100µ [ ∫ (4
100µ)
(cos4
100µ ) + ∫ (2 4
100µ)
(cos4
100µ )+ ∫ (2 4100µ) (cos 4100µ ) + ∫ ( 4100µ 4)
(cos 4100µ ) ]
= 2100µ ( 120000 120000 + 120000 + 120000)
= 2100µ 0
=
= 2100µ[
∫ ( 4100µ) (cos 6100µ ) + ∫ (2 4100µ)
(cos 6100µ )+ ∫ (2 4100µ)
(cos 6100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (cos 6100µ ) ]
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11
= 2100µ ( 2 + 3 180000 + 2 + 3 180000 2 + 3 180000 + 2 + 3 180000)
= 2
100µ0
= Dado que la función f (t) es una función impar, todos los coeficientes An = 0. Por lo tantola serie de Fourier para f (t) estará dada por la serie de senos.
= 2 ∫ (sin 2 )
COEFICIENTES Bn
= 2100µ[
∫ ( 4100µ) (sin 2100µ ) + ∫ (2 4100µ)
(sin 2100µ )+ ∫ (2 4100µ)
(sin 2100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 2100µ ) ]
= 2100µ ( 110000 + 110000 + 110000 + 110000)
= 2100µ ( 410000)
= .
= 2100µ[
∫ ( 4100µ) (sin 4100µ ) + ∫ (2 4100µ)
(sin 4100µ )+ ∫ (2 4100µ)
(sin 4100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 4100µ ) ]
= 2100µ 140000 140000 140000 + 140000
= 2100µ 0
=
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12
= 2100µ[
∫ ( 4100µ) (sin 6100µ ) + ∫ (2 4100µ)
(sin 6100µ )
+ ∫ (2 6
100µ)
(sin6
100µ ) + ∫ (4
100µ 4)
(sin6
100µ ) ]
= 2100µ ( 190000 190000 190000 190000)
= 2100µ ( 490000)
=
= 2100µ[
∫ ( 4100µ) (sin 8100µ ) + ∫ (2 4100µ)
(sin 8100µ )+ ∫ (2 6100µ)
(sin 8100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 8100µ ) ]
= 2100µ ( 180000 + 180000 + 180000 180000)
= 2100µ 0
=
= 2100µ[
∫ ( 4100µ) (sin 10100µ ) + ∫ (2 4100µ)
(sin 10100µ )+ ∫ (2 6100µ)
(sin 10100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 10100µ ) ]
= 2100µ ( 1250000 + 1250000 + 1250000 + 1250000)
= 2100µ ( 4250000)
= .
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13
= 2100µ[
∫ ( 4100µ) (sin 12100µ ) + ∫ (2 4100µ)
(sin 12100µ )
+ ∫ (2 6
100µ)
(sin12
100µ ) + ∫ (4
100µ 4)
(sin12
100µ ) ]
= 2100µ ( 1120000 1120000 1120000 + 1120000)
= 2100µ 0
=
= 2100µ[
∫ ( 4100µ) (sin 14100µ ) + ∫ (2 4100µ) (sin 14100µ )+ ∫ (2 6100µ) (sin 14100µ ) + ∫ ( 4100µ 4)
(sin 14100µ ) ]
= 2100µ ( 1120000 1120000 1120000 1120000)
= 2
100µ( 4
120000)
= .
= 2100µ[
∫ ( 4100µ) (sin 16100µ ) + ∫ (2 4100µ)
(sin 16100µ )+ ∫ (2 6100µ)
(sin 16100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 16100µ ) ]
=
2100µ (
1160000
116000 +
1160000
1160000 )
= 2100µ 0
=
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14
= 2100µ[
∫ ( 4100µ) (sin 18100µ ) + ∫ (2 4100µ)
(sin 18100µ )+ ∫ (2 6100µ)
(sin 18100µ ) + ∫ ( 4100µ 4) (sin 18100µ ) ]
= 2100µ ( 1810000 + 1810000 + 1810000 + 1810000 )
= 2100µ ( 4810000)
=
= 2100µ [ ∫ (4
100µ)
(sin20
100µ ) + ∫ (2 4
100µ)
(sin20
100µ )+ ∫ (2 6100µ) (sin 20100µ ) + ∫ ( 4100µ 4)
(sin 20100µ ) ]
= 2100µ ( 1200000 1200000 + 1200000 1200000 )
= 2100µ 0
=
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15
SERIE DE FOURIER
Al conseguir los coeficientes resultantes para los An, Bn, podemos obtener la serie de
Fourier, la cual está dada por los coeficientes Bn ya que nuestra función es una función imparcon An= 0.
2 + 2 + 2 + 2+ 2
810−210000 90.06−230000+32.42−250000 17.54−270000
+10−
290000
Finalmente asignamos valores a t para reconstruir nuestra señale a partir de la Serie de Fourier
t f(t)
0 025E-6 0.9650E-6 075E-6 -0.96100E-6 0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008 0,0001 0,00012 V o l t i o s segundos
ONDA TRIANGULAR RECONSTRUIDA
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RESULTADOS OBTENIDOS MEDIANTE MATLAB
A continuación se presentan los resultados obtenidos mediante el software MATLAB a partir de las
integrales que arrojan el resultado de los armónicos.
DATOS OBTENIDO DESDE MATLAB INTEGRANDO
ARMONICO An RESULTADO
0
0
0
0
0
0
0
1,6e-17 ≅ 0
-2,6e-33≅ 0
1,1e-17 ≅ 0
0
ARMONICOBn
RESULTADO
0,8106
0
-0,0901 0 0,0324 4,3e-17≅ 0 -0,0165 -1.1e-17≅ 0 0,0100 1,2e-17≅ 0
DATOS OBTENIDOS DESDE LA FUNCION FOUSER EN MATLAB
ARMONICO An RESULTADO
0
-1,5e-16
4,82e-16
1,9e-17
7,95e-18
2,1e-17
2,53e-17
-1,7 e-17 ≅ 0
5,4e-18≅ 0
-5,5e-17 ≅ 0
2,85e-17
ARMONICOBn
RESULTADO
0,81057 -6,3e-9 -0,090 1,26e-8 0,0324
-1,89e-8 -0,0165 2,52e-8 0,0100 -3,15e-8
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TABLA COMPARATIVA
ARMÓNICOS AMPLITUD
TEORICO INTEGRAL MATLAB FOUSERn f An(V) Bn(V) An(V) Bn(V) An(V) Bn(V)1 10KHz 0 810e-3 0 0,8106 0 0,81057
2 20KHz 0 0 0 0 -1,5e-16 03 30KHz 0 -90e-3 0 -0,0901 4,82e-16 -0,090
4 40KHz 0 0 0 0 1,9e-17 0
5 50KHz 0 32,42e-3 0 0,0324 7,95e-18 0,03246 60KHz 0 0 0 4,3e-17 2,1e-17 0
7 70KHz 0 -16,54e-3 1,6e-17 -0,0165 2,53e-17 -0,0165
8 80KHz 0 0 -2,6e-33 -1.1e-17 -1,7e-17 09 90KHz 0 10e-3 1,1e-17 0,0100 5,4e-18 0,0100
10 100KHz 0 0 0 1,2e-17 -5,5e-17 0
ERRORES ASOCIADOS
Para nuestro caso vamos a calcular los errores asociados entre los cálculos
obtenidos teóricamente (X) y los arrojados por MATLAB en la función fouser (x).
ERROR ABSOLUTO | |%
ERROR RELATIVO − %
ERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO
An Bn An Bn1 0 5,7e-3% 1% 7,3e-3%2 -1,5e-16% 0% 1% 0%3 4,82e-16% 0% 1% 0%4 1,9e-17% 0% 1% 0%5 7,95e-18% 0,2e-3% 1% 0,6e-3
6 2,1e-17% 0% 1% 0%7 2,53e-17% 40e-3% 1% 2,41%8 -1,7e-17% 0% 1% 0%9 5,4e-18% 0% 1% 0%10 -5,5e-17% 0% 1% 0%
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RESULTADOS OBTENIDOS MENDIANTE ANALIZADOR DE ESPECTRO
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CONCLUSIONES:
Se pudo observar de manera satisfactoria el comportamiento de una señal en la
dimensión de la frecuencia aplicándole la Serie de Fourier.
Gracias a los resultados arrojados por los cálculos hechos se puede corroborar la
teoría acerca de la inexistencia de coeficientes An para señales de tipo impar y la
entrega de voltajes sólo en los coeficientes Bn impares.
Apoyándonos en los resultados de los errores absolutos y relativos de cada
armónico, asentamos la idea de los pequeños errores a la hora de realizar una
medición, bien sea por omisión de milésimas o cienmilésimas.
Los valores experimentales en el analizador de espectro para los coeficientes A n,
Bn no coincidieron para los resultados teóricos y los arrojados por el software
MATLAB ya que el analizador de espectro calcula la Transformada de Fourier y
no la serie de Fourier como esperábamos.
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REFERENCIAS
Tomasi, W. (2003). Sistemas de comunicaciones electrónicas. México: Pearson
Education.