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Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
1xCscxCot
1xCotxscCZn ; nRx ; 1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSecZn ;
21)(2nRx ; 1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSenRx ; 1xCosxSen
22
2222
22
2222
22
2222
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS Ciclo 2013-III
TRIGONOMETRÍA “Identidades Trigonométricas de Arcos
Compuestos” Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con Identidades trigonométricas.
Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
En el presente capítulo realizaremos el estudio de las
razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su
vez están constituidas por la suma o resta de otros 2
ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo
con la demostración de las principales Identidades para
ángulos compuestos que son:
* Sen( + ) = Sen.Cos + Cos.Sen
* Cos( + ) = Cos.Cos-Sen.Sen
Demostración:
A partir del grafico:
Se observa:
Sen ( + ) = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR)
En el OQR QR = ORSen = Sen.Cos;
(OR = Cos)
En el MSR SM = RMCos = Cos.Sen;
(RM = Sen)
Reemplazando
Sen (+) = Sen Cos + Cos.Sen …….. Demostrado
También observamos:
Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR)
En el OQR OQ = ORCos = Cos.Cos; (OR = Cos)
En el MSR SR = MRSen = Sen.Sen; (MR = Sen)
Reemplazamos:
Cos(+) = Cos. Cos - Sen.Sen .......(Demostrado)
Procedemos ahora a obtener la Tg(+) de la siguiente
manera:
Sabemos que:
Tg(+) =
sen sen sen
sen sen
cos
cos cos
cos cos
Dividimos a la expresión por (Cos.Cos)
Tg(+) =
sen sen
sen sen
cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos cos cos
Simplificando obtendremos:
Tg(+) =
sen sen
sen sen
Tg Tg
Tg Tg
cos cos
cos.cos
.
1
1
* Tg(+) =
Tg
Tg Tg
+ Tg
1 . (Demostrado)
Tomaremos en cuenta para las demás razones
trigonométricas que:
1 SR
P Q A X
Y
MB
Semana Nº 8
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Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
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CtgTg
SecCos
CscSen
1
1
1
Identidades Trigonométricas para la Diferencia de
Ángulos:
Usando las Identidades para la suma de ángulos (ya
demostrados), deducimos las identidades para la
diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio.
* Sen( - ) = sen(+(-))
Sen(+(-)) =
sen sen
sen
cos cos
cos
sen sen sen cos cos Demostrado
* Cos(-) = Cos(+(-))
Cos(+(-)) = Cos . Cos(-) - SenSen(-)
Cos - Sen
cos cos cos sen sen
(Demostrado)
* Tg(-) =
TgTg
TgTg
.1
De igual manera tomar en cuenta que:
CtgTg
SecCos
CscSen
1
1
1
Algunas Propiedades de Importancia
a) Sen( + ).Sen(-) = Sen² - Sen²
b) Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+)
c) Si: + + = 180° Tg + Tg+ Tg = Tg.Tg.Tg
d) Si: + + = 90° Tg.Tg +Tg.Tg + Tg.Tg = 1
e) Cos( + ).Cos(-) = cos² - Sen²
f) Si: + + =180°Ctg.Ctg+Ctg.Ctg+Ctg.Ctg=1
g) 1
2.
22.
22.
2
Ctg
Btg
Ctg
Atg
Btg
Atg
h) 2
.2
.2222
CCtg
BCtg
ACtg
CCtg
BCtg
ACtg
i) Tg - Tg - Tg( - ).Tg.Tg = Tg( - )
j)
yx
yxsentgyTgx
cos.cos
)(
k)
SenySenx
yxsenCtgyCtgx
.
)(
l)
SenyCosx
yxCosCtgytgx
.
)(
m) )(... 22 xSenbaCosxbsenxa
Donde:
22 ba
bSen
22 ba
aCos
n) Si: Rxxbsenxaxf ;cos..)(
Se cumple: 2222 )( baxfba
Demostremos las propiedades
a) “sen(+).sen(-) = Sen² - sen²”
Sabemos que:
Sen(+) = Sencos + cossen ..(I)
Sen(-) = sencos - cossen ..(II)
Multiplicamos Miembro a miembro:
sen(+).sen(-) = sen².cos²- cos².sen²
Reemplazamos:
Cos² = 1 – sen2
Cos² = 1 - sen²
sen(+) sen(-) = sen² (1 - sen²) - (1 - sen²)sen²
= sen² - sen².sen² - [sen² - sen².sen²]
= sen² - sen².sen² - sen² + sen².sen²
sen(+).sen(-) = sen² - sen²..............(Demostrado)
b) “Tg + Tg + Tg( + ).Tg Tg = Tg( + )”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
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Sabemos que:
Tg( + ) =
tgtg
tagtg
.1
Multiplicamos (1-Tg.Tg) a ambos miembros:
(1 - Tg.Tg)Tg( + ) =
tgtg
tagtg
.1
(1 – Tg.Tg)
Tg( + ) -Tg.Tg.Tg( + ) = Tg + Tg
Ordenamos convenientemente:
Tg + Tg + Tg( + ).Tg Tg = Tg( + ) …Demostrado
c) Si: “ + + = 180° Tg + Tg + Tg = Tg.Tg.Tg”
Sabemos que:
+ + = 180° + = 180° -
Tomamos tangente a ambos miembros:
Tg( + ) = Tg(180° - )
tgtg
tagtg
.1
= -Tg
Tg + Tg = -Tg (1 - Tg.Tg)
Tg + Tg = -Tg + Tg.Tg.Tg
Ordenamos convenientemente:
Tg + Tg + Tg = Tg.Tg.Tg (Demostrado)
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Simplifique:
sen º cos cos º senP
cos cos º sen sen º
15 15
15 15
A) 2 3 B) 2 3 C) 2 3 D)3
2 E)
3
6
RESOLUCIÓN
sen ºP
cos º
15
15
sen ºP tg º
cos º
1515
15
P 2 3
RPTA.: B
2. Siendo: tg x y tg x y 3 2 4 2 3 5
Halle: “ tg x y ”
A) 1
21
B) -1 C) 1
10
D) 1
21
E) 1
10
RESOLUCIÓN
* tg( x y) tg 3 2 4 4
* tg( x y) tg 2 3 5 5
* tg x y ? tg = ?
“ ”
tg tg
tgtg tg
4 5
1 1 4 5
tg 1
21
RPTA.: D
3. Si a y b son ángulos complementarios y
además: sena senb3 7 . Halle: tg (a-b)
A) 17
21
B) 19
21
C) 20
21
D) 22
21
E) 23
21
RESOLUCIÓN
Si:
a + b =90º senb= cosa
sena cosa3 7
tga ctgb 7
3
Se pide:
tga tgb
tg a btgatgb
7 3
3 7
7 311
3 7
tg a b 20
21
RPTA.: C
4. Halle “ tg ” de la figura.
A) -18 B) 1
18
C) 18 D) 1
18 E) 1
RESOLUCIÓN
53º
53º
3k
2k2k4k
3k
4k
37º
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Se observa:
i) ktg tg
k
3 3
2 2
ii) º tg tg º 37 37
tg tg ºtg tg
tg tg º
3 3
37 2 4
3 31 371
2 4
tg 18
RPTA.: A
5. De la figura mostrada, calcular: tg
A) 5
3
B) 55
3
C) 5
3
D) 55
3
E) 4
3
RESOLUCIÓN
tg 4
5 tg
7
5
tg tg
tg tgtg
tg tg
1
tg
4 7
5 5
4 71
5 5
tg
11
5
3
25
tg 55
3
RPTA.: B
PROBLEMAS DE CLASE
1. Si:
tg(5+ 3)= 5 . . . (1)
tg(5– 3)= 2 . . . (2)
calcular: k=tg(10)+(6)
A) B) C) D)3 E)
2. Si A y B son ángulos agudos y se cumple que senA = 5/13 y cosB =4/5 , calcule el valor de F = 130 cos(A + B).
A) 22 B) 33 C)44 D) 55 E)66
3. Si , se pide hallar:
A) 1/5 B)1/7 C)1/9 D) 1/11 E) 1/13
4. Si x + y + z = , se pide reducir:
TgyTgzTgzTgxTgyTgxE
.
2
.
2
.
2
A) 1 B) 2 C) 6 D) E) ½
5. Evaluar:
S= tg22º+tg23º+tg22º.tg23º
A) tg 22º B) tg 23º C) 2tg 22º
D) 2tg 23º E) 1
6. Si: kCosSen º12º12.3 ,
Calcular: º27cosº27 senW
a) k2
2 b) k
4
2 c)
5
k d) k
6
2 e) k2
2
7. Si:
sennmsennm ).().( ;
determinar:
tg
tg
a)nm
b) mn
c) n
m d)
mn
e) nmnm
8. Der la figura mostrada ; calcular tg 2
a) 2.tgTg b) 3.tgTg c) 4.tgTg
7
9
25
9
3
11
26
9
1 1
tg y tg3 4
E tg
3
4
5
3
4
5
4
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d) 3.2 tgTg e) 4.2 tgTg
9. Si: xtgtgx
btgxxtg
xtgaM
2.12
2.
tal que
4
kx ; Zk , ¿Cuál es el valor de M para
que M sea independiente de x?
a)-1 b)- 1/3 c) 1/3 d) 1 e) 2
10. En un triángulo ABC, se cumple que:
SenCSenBSenA
.2 y CosCCosBCosA
.2
Calcular Sen 2A
a)
12
1
b)
12
1
c) 2
2 d) 12 e) 12
11. Si:
º10º.2532º10º25)( tgtgtgtgyxtg
Y
2.0)(
yxtgCalcularyxtg
a) 2326 b) 2326
c) 2326 d) 2326
e) 2326
PROBLEMA DE REPASO
1. Dado el cuadrado ABCD, calcule “K”
a) 1 b) 2 c)3 d) ½ e) 3/2
2. Sabiendo que:
Halle: tg(x + y + z)
a) 1 b)-1 c) d) e)
3. Si “x” e “y” son ángulos complementarios
(x > 0º), calcular el valor de “m” de modo que
se verifique la identidad.
21
21
xtg
ytg
m
a)2
xtg b)
2
ytg c)
2
ytg .
2
xtg d) 1 e) 2
4. Si:
xCtgCalcularxTg
28
5;
2
1
14
a) 1 b)2 c)3 d) ½ e) 1/3
5. Del gráfico, calcular:
a) – 4 b) – 8 c)–16 d)- 9 e)32
6. Si:
0.cos)(.)( coxyxnmsenysenxnm
; determinar: )cos(
)cos(
yx
yxM
a)n
m b)
m
n c)
n
m d)
m
n e) nm.
7. Determina el valor mínimo de F, si
F = a(Senx - cosx) +b(Senx + cosx); 0 < a < b
a) 22 ba b) ab2
1 c) ba .
d) a + b e) 222 ba
1cot(3x 2y 5z)
3
1cot(2x 3y 6z)
2
1
5
1
6
1
7
Tan
37º
A
B C
D
P
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8. Calcular el valor de:
Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º
a) b) c) d) e) 1
9. Si: 3
2
20
tg ; calcular:
5tg
a) 1/5 b) 1/3 c) 3 d) 5 e) 6
10. Si y son las raíces de la ecuación:
Calcular el valor de:
a) -1/5 b) 1/5 c) -5
d) 5 e) 1
11. Si
Calcular el valor de:
a) 2 b) -1 c) 0
d) 1 e) 2
12. En un triángulo ABC, se sabe que:
Calcular el valor:
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 20
13. Si se cumple:
Además:
Calcular el valor de:
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2
d) 2 e) 3
14. Calcular el valor aproximado de:
√
a) 7,1 b) 7,2 c) 7,3
d) 8,3 e) 8,7
15. Del grafico mostrado, calcular
45˚2
5
14
x
a)1/3 b) 1/2 c) 3/4
d) 1 e) 4/3
16. De un triángulo ABC, reducir:
a) -1 b) 2 c) 1
d) 3 e) 0
17. Si
¿A que es igual?
a) b) c)
d) e)
18. En el grafico mostrado se cumple que:
¿A que es igual?
β
αθ
x
a) Senx b) Cosx c) Tanx
d)Cotx e) Secx
22 21 2
21
2
2