Download - pendulo simple y terorema de steiner
3.3. Cálculos y resultados:
3.3.1 datos de la barra metálica
Tabla 1. Datos del laboratorio con la barra metálica
Dimensiones de la barra metálica
La barra es homogénea y tiene las siguientes dimensiones y medidas.
A = 0.67 cm N° de agujeros= 21
B = 3.56 cm masa (M) = 1854 gr
C = 110 cm
Dimensiones de los agujeros
l(cm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) # de oscilaciones
Promedio del tiempo
Periodo T (promedio)
1 51 34 33.73 33.61 20 33.78 1.6892 45.8 32.84 32.78 32.73 20 32.78 1.6393 40.9 32.36 32.26 32.4 20 32.34 1.6174 36 32.06 31.93 31.65 20 31.88 1.5945 30.9 31.81 31.72 31.77 20 31.77 1.5886 25.8 32.07 31.87 31.97 20 31.97 1.5987 20.8 33.46 33.39 33.42 20 33.42 1.6718 15.9 17.7 17.45 17.56 10 17.57 1.7579 10.8 20.28 20.31 20.29 10 20.29 2.02910 5.8 26.72 26.67 26.8 10 26.73 2.673
Ancho de la barra metálica (A) a = 0.67 cm
Diámetro del agujero b = 1.58 cm
Hallando su volumen y densidad:
Volumen
V 1=AxBxC−21 x π x r2 xA
V 1=0.67 x 3.56 x110−21 x π x0.792 x0.67
V 1=234.785 cm3
Densidad
ρ= masavolumen
ρ= 1854234.785
ρ=7.896gr
cm3
M = masa de la barra con agujeros
m = masa de un cilindro sólido, cuyo volumen es igual al volumen de un agujero de la barra y cuya densidad es la misma que la de la barra.
M+21m = masa de una barra solida sin agujeros.
Z = distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos
L = distancia entre el c.g de la barra y el eje de giro “o”.
0 10 20 30 40 50 60 -
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
LONGITUD (CM)
Figura1 .grafica periodo (s) vs Longitud (cm)
Calculo del momento de inercia
La siguiente figura muestra la barra usada para el experimento:
O
Figura 2. Barra metálica con agujeros
Los cálculos y análisis que haremos se basaran considerando a la barra con sus respectivos agujeros cuyo número es de 21.
El momento de inercia de la barra metálica respecto al eje que pasa por “O” será (I 0 ) igual al
Momento de inercia de la barra solida (sin agujeros “ I 1”) respecto al eje que pasa por “O” menos
el Momento de inercia del conjunto de cilindros solidos (agujeros de la barra “I 2”) respecto al eje que pasa por “O”.
Entonces la ecuación será:
I 0=I 1−I 2 …….. (α )
Hallando I 1:
Usando el momento de inercia de un paralelepípedo y el teorema de Steiner, tenemos:
I 1=M +21 m12
( B2+C2 )+( M +21 m)L2
………(β
)
Donde “L” es igual a la distancia entre el centro de gravedad “C.G” y el eje de giro “o”
Ahora hallamos I 2 .
Sea el siguiente grafico la representación de todos los cilindros sólidos, faltantes en la barra con huecos.
a b c d e f g h i j k
Datos:
m= masa de cada cilindro
m=δ×vcilindro
m=7.896 x π x r2 x a
m=7.896 x π x 0.792 x 0.67
Centro de gravedad del conjunto de cilindros “C.G”
m=10.37 g r
La distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos (z) aproximadamente es 5 cm
El momento de inercia del conjunto de cilindros sólidos respecto al centro de gravedad del conjunto, será igual a la suma de los momentos de cada uno de los cilindros respecto del centro de gravedad del conjunto de cilindros.
Las siguientes ecuaciones representan los momentos de inercia respecto del centro de gravedad “C.G” (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner).
I a=m2
r 2
I b=I a+m( z )2
I c=I a+m(2 z )2
I d=I a+m(3 z )2
⋮I k=I a+m(10 z )2
Sea ∑ I C . G =momento de inercia del conjunto de cilindros respecto su centro de gravedad.
Entonces ∑ I C . G será la sumatoria de todos los momentos de inercia de todos los cilindros respecto “C.G”:
∑ I C . G=I a+2 ( I b+ I c+ I d+…+ I k )operando :
∑ I C . G=I a+2 (10 I a+m(z )2+m(2 z )2+…+m(10 z )2 )
∑ I C . G=21 I a+2 mz2 (12+22+…+102)
∑ I C . G=21 I a+770 mz2
∑ I C . G=21m2
r2+770 mz2
Por lo tanto:
∑ I C . G=21m2
r2+770 mz2
Se tendrán que duplicar, pues solo representan los cilindros sólidos ubicados al lado derecho del centro de gravedad y para tener en cuenta los del lado izquierdo (por ser simétrica la barra) solo tendremos que multiplicar por dos.
Ahora mediante el teorema de Steiner hallamos el momento de inercia del conjunto de cilindros
respecto de un centro de giro “o” ( I 2 ) paralela al “C.G”.
I 2=21m2
r2+770 mz2+21 mL2
…………. (θ
)
Reemplazando (β) y (θ) en (α ) tenemos:
I 0=I 1−I 2
I 0 =
M+21 m12
(B2+C2)+(M +21 m) L2
- (21
m2
r2+770 mz2+21mL2
)
I 0 Representa el momento de inercia de la barra con agujeros respecto un eje que pasa por “O”.
Calculo del periodo mínimo
A partir de la ecuación T=2 π √ I 0
MgL
Con I 0 =
M+21 m12
(B2+C2)+(M +21 m) L2
-(21
m2
r2+770 mz2+21mL2
)
Encontramos un valor “L” para el cual el periodo sea mínimo.
Reemplazando las ecuaciones tenemos:
T=2 π √ M +21 m12
( B2+C2 )+( M +21 m)L2−(21m2
r2+770 mz2+21 mL2 )
MgL
Para que el periodo sea mínimo aplicamos el criterio de la primera derivada:
Derivando:
∂T∂ L
=2 π [(2( M +21 m)L−42 mL)MgL−Mg ( M +21 m
12( B2+C2 )+( M +21 m) L2−(21
m2
r2+770 mz2+21 mL2 ))]√ M +21 m
12( B2+C2 )+( M +21 m) L2−(21
m2
r2+770 mz2+21 mL2 )(√ MgL )3
Si T esmin⇒ δTδL
=0
Despejando “L” tenemos L=√ M +21 m
12( B2+C2 )−(21
m2
r2+770 mz2 )
M …. (i)
“L” es igual a la raíz cuadrada del momento de inercia, del objeto en análisis respecto su centro de gravedad sobre su masa
Reemplazando datos en (i):
Lmin (teorico)=√ 1854+21 (10.37 ) (3.562+1102 )12
−⦋2110.37
20.792+770 (10.37 )52 ⦌
¿1854
¿
Lmin (teorico)=31.9412 cm
Hallamos “T” en
T=2 π √ M +21 m12
( B2+C2 )+( M +21 m)L2−(21m2
r2+770 mz2+21 mL2 )
MgL
Reemplazando datos:
T teorico=√ 1854+21 (10.37 ) ( 3.562+110
2 )12
+(1854+21 (10.37 ) )31.942−⦋2110.37
20.792+770 (10.37 ) 52+21 (10.37 )31 .942 ⦌
1854 (9.81 ) (31.94 )
T teorico=2 π √0 . 065 =1.60 s
Comparación de los valores teórico y experimental de “l” para “t” mínimo
Del siguiente grafico experimental se elige L para un T mínimo.
Figura 3. periodo vs longitud
Un acercamiento de la imagen nos permite visualizar de mejor manera el periodo mínimo.
0 10 20 30 40 50 60 -
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
LONGITUD (CM)
Figura4. Acercamiento de la figura 3
Hallamos el periodo mínimo experimental mediante proporcionalidad
Por lo tanto:
Tabla 2. Comparación del experimento con la teoría
Experimentalmente. Teóricamente
“T” mínimo =1.58s “T” mínimo = 1.6
“L”=30.9 cm “L”= 31.94 cm
Puntos de oscilación con el mismo periodo:
figura4. Puntos del mismo periodo
Estos puntos señalados, en la gráfica representan aquellos que tienen el mismo periodo; los valores de las longitudes donde ocurren este hecho experimentalmente, son los siguientes :
L1 = 25.8 cm
L2 = 36.0 cm
Encontrando los valores de los momentos de inercia con la fórmula:
T=2 π √ IO
MgL ….. (1)
Ahora empezamos a llenar una tabla con los valores de sus periodos y sus respectivos momentos de inercia.
Tabla 4. Valores del momento de inercia
T(s) lreal(cm) T 2(s2) lreal2(m2) I O(kg.m2)
1.689 51 2.852721 0.2601 0.67026677
1.639 45.8 2.686321 0.209764 0.56681534
1.617 40.9 2.614689 0.167281 0.49267617
1.594 36 2.540836 0.1296 0.42140273
1.588 30.9 2.521744 0.095481 0.35898615
1.598 25.8 2.553604 0.066564 0.3035229
1.671 20.8 2.792241 0.043264 0.26756817
1.757 15.9 3.087049 0.025281 0.22613035
2.029 10.8 4.116841 0.011664 0.20483589
2.673 5.8 7.144929 0.003364 0.19091679
Figura5. Grafica momento de inercia vs longitud al cuadrado
Comparamos valores obtenidos y la ecuación de la gráfica 5
I 1=IO + ml2 …..(2)
y= 1.8557x + 0.1824 …. (3)Al comparar las ecuaciones (2) y (3) podemos afirmar que:
La masa (M) teórica es = 1.8557 kg
El momento de inercia I O (teórica) = 0.1824 kg .m2
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
f(x) = 1.85570106120342 x + 0.182447817802912R² = 0.999591898011771
I VS L .L
MO
ME
NT
O D
E I
NE
RC
IA (
KG
.M2)
LONGITUD AL CUADRADO (L . L)
Obtención del error experimental para IG
Aplicando la fórmula para una barra homogénea:
Ι G=M (C2+ A2)12
Donde:
A: ancho de la barraC: largo de la barraM: masa
Reemplazando los datos tenemos
I O=1854.(1.12+0.03562)
12
IG = 0.18714 Kg.m2
El error experimental es:
% error=0 .18714−0 . 18240. 18714
×100
%error=2.53 %
Cálculos del péndulo simple equivalente al péndulo del experimento:
Para encontrar la longitud del péndulo simple equivalente, a nuestro experimento tomaremos el punto “8”
Sabiendo que la longitud en el hueco número 8 es
l8=15.9cm
T=2 π √ M +21m12
( B2+C2 )+( M +21m)L2−(21m2
r2+770mz2+21 mL2 )
MgL
T
8=¿2 π √ 1854+21 (10.37 )( 3.562+1102 )12
+( 1854+21( 10.37)) 15.92−⦋21 10.372
0.792+770 (10.37 )52+21(10.37 ) 15.92 ⦌
1854 (9.81) (15.9 )¿
T 8= 1.79 s
Mediante la fórmula del periodo para un péndulo simple se calcula la longitud que debería tener este para ser equivalente al péndulo físico conformado por la barra metálica
T=2 π √ lg=1.79
l=1.792 x 9.814 π2
l=0.444 m
Demostración de la fórmula del periodo para un péndulo físico:
Usamos la 2da ley de Newton para cuerpos rígidos:
Ecuación diferencial del movimiento del péndulo físico
−mg ( Lsenθ )=Ι o θ. .
O L
paraθ<15osenθ≈θ
−mg ( Lsenθ )=Ι o θ. .
L
θ
mg
C . G
C . GLsenθ
Usando técnicas de solución de ecuaciones diferenciales se llega al siguiente resultado:
Demostración del teorema de Steiner
Sea el vector unitario α perteneciente a la recta :
Usando la definición de momento de Inercia obtenemos:
Si definimos a en el sistema cartesiano tendremos: Ahora si hacemos coincidir la recta aleatoria con un eje conocido, por ejemplo el eje X, tendríamos que:
α=i ⇒ s .α=X Ι x=∫(Y 2+Z2 )dm
Ι oθ. .
+mg ( Lsenθ )=0
θ=θmax sen ( pt+φ ) donde p=√ mgLΙ o
además : p=2 πΤ
∴Τ=2 π √ Ι o
mgL
L
( s . α )αs
r
dm
Ι L=∫ [s2−(s .α )2 ]dmmg
L
s=X i+Y j+Z k
sL
A continuación, hacemos coincidir el origen de un nuevo eje de coordenadas con el centro de gravedad del cuerpo, de manera que el eje sea paralelo al eje .
La definición de la posición del CG nos dice lo siguiente:
x
Y ´Z ´
YZ
C .G
C . Gy ´
yz ´
z
xx ´x ´
Ι G=∫ [Y ´2+Z ´2 ]dmℓ
Ι G=∫ (Y 2+Z2 ) dm+∫ [ (Y −Y ´ )2+ (Z−Z ´ )2] dm−2 (Y−Y ´ )∫Ydm−2 (Z−Z ´ )∫Zdm
yG= 1m∑i=1
n
mi y i=1m∫ yi dm y i=Y ; yG=Y−Y ´ ⇒∫Ydm=(Y−Y ´ ) m
∴ Ι x=Ι G+mℓ2⇒ [ (Y 2−Y ´ 2)+( Z2−Z ´2 ) ]=ℓ2
Ι G=Ι x+ [ (Y 2−Y ´2)+ (Z2−Z ´2 ) ] m−2 [ (Y 2−Y ´2 )+ (Z2−Z ´ 2) ] m
Calcular el momento de inercia de la rueda de maxwell:
Tabla 2. Datos del experimento con la rueda de maxwell
Rueda de maxwell
t1 (s) t2 (s) t3 (s) # de oscilacion
es
Promedio del
tiempo
Periodo T (promedio)
12.51 12.45 12.45 20 12.47 0.6235
Dimensiones de la rueda de MAXWEL
Figura 6. Rueda de maxwell
Diámetro = 10.13 cm
Masa = 350.gr
Hallando su momento de inercia con la fórmula:
T=2 π √ I 1
MgL ….(1)
Donde:
I 1=I 0+mr2 … (2)