![Page 1: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/1.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Pencacahan
“Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” –Aristotle
1 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 2: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/2.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Berapakah jumlah bilangan bulat dari 5 sampai 12? Jawaban: 8
2 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
5 6 7 8 9 10 11 12
m m+1 m+2 m+3 m+4 m+5 m+6 m+7
1 2 3 4 5 6 7 8
(n-‐m)+1
Teorema: Jika m dan n adalah bilangan bulat dengan m < n, maka ada sejumlah n – m + 1 buah bilangan bulat dari m sampai n.
m n
![Page 3: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/3.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Ada berapa bilangan bulat yang terdiri dari Pga angka (100 – 999)? Dari semua itu berapa yang: Habis dibagi 5? Merupakan bilangan genap? Merupakan bilangan ganjil?
3 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 4: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/4.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Pohon Kemungkinan
Sebuah pertandingan antara Pm A dan Pm B, pemenang adalah Pm yang menang 2 kali berturut – turut atau menang total 3 pertandingan. • Berapakah jumlah skenario pertandingan yang mungkin terjadi?
4 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 5: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/5.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Aturan Perkalian Suatu PIN terdiri dari urutan 4 karakter yang dapat berupa alfabet maupun numerik, tentukan: • Berapa jumlah PIN berbeda yang dapat dihasilkan?
• Berapa jumlah PIN berbeda yang dapat dihasilkan apabila Pdak boleh ada pengulangan karakter yang sama pada masing – masing PIN?
5 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 6: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/6.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Aturan Perkalian
Pada pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari: ketua kelas, wakil ketua kelas, dan bendahara terdapat 4 calon, yaitu: Abi, Bida, Dani, Nia. Nia Pdak bisa menjadi ketua kelas, bendahara hanya dapat diisi oleh Bida dan Dani. Berapa banyak jenis komposisi pengurus kelas yang dapat terbentuk? Jawab: ?
6 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 7: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/7.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Permutasi
Contoh: Suatu himpunan dengan elemen a, b, dan c memiliki permutasi: abc acb cba bac bca cab
7 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
Teorema: Untuk bilangan bulat n dimana n > 1, jumlah permutasi suatu himpunan dengan n buah elemen adalah n!
![Page 8: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/8.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Permutasi Dengan Objek Melingkar
Dalam suatu pertemuan, terdapat 6 peserta yang duduk melingkari meja bundar. Ada berapa cara pengaturan tempat duduk? (posisi yang diperhitungkan adalah posisi relaPf antar peserta, sedangkan posisi kursi Pdak diperhitungkan) Jawab: 120
8 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 9: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/9.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Permutasi-‐r
Ada berapa cara berbeda menyusun dua huruf yang terurut dari kata UBI? UB UI BI IB IU BU = 6 cara
9 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
Teorema: Jumlah permutasi-‐r dari suatu himpunan dengan n elemen adalah: P(n, r) = n!
(n! r)!
![Page 10: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/10.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Dengan huruf yang Pdak boleh berulang: • Berapa banyak jumlah cara untuk menyusun kata yang terdiri dari 3 huruf yang terurut dari kata UNIBRAW?
• Berapa banyak jumlah cara penyusunan apabila huruf pertama adalah R?
10 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 11: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/11.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Aturan Penjumlahan
Menghitung elemen dari himpunan saling lepas. Contoh: Password suatu email berupa karakter alfabet dan numerik dengan ketentuan terdiri dari minimal satu karakter dan maksimal Pga karakter dan boleh menggunakan karakter yang sama (berulang), berapa jumlah kemungkinan password yang dapat dibuat?
11 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 12: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/12.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Aturan Selisih Dari contoh pada slide sebelumnya, berapakan jumlah password yang terdapat karakter sama (berulang)? Petunjuk: 1. Cari jumlah kemungkinan password dengan
memperbolehkan pengulangan karakter (contoh sebelumnya)
2. Cari jumlah kemungkinan password tanpa pengulangan karakter.
3. Hitung selisih keduanya (password yang memperbolehkan pengulangan karakter dikurangi password tanpa pengulangan karakter).
12 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 13: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/13.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Aturan Inklusi/Eksklusi
Untuk 2 himpunan: N(A∪B) = N(A) + N(B) – N(A∩B) Untuk 3 himpunan: N(A∪B∪C) = N(A) + N(B) + N(C) – N(A∩B) – N(A∩C) – N(B∩C) + N(A∩B∩C) Keterangan: N(A) = jumlah elemen himpunan A
13 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 14: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/14.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Contoh
Ada berapa bilangan bulat dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 3 atau 5?
Petunjuk: 1. Misal A adalah himpunan bilangan bulat dari 1
sampai 1000 yang habis dibagi 3 dan B adalah himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 5.
2. Hitung N(A∪B), yaitu N(A) + N(B) – N(A∩B)
14 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 15: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/15.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Prinsip Sarang Merpa( Misal suatu kelas berisi 40 mahasiswa. Apakah di kelas tersebut pasP ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di bulan yang sama? Apakah di kelas tersebut pasP ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di tanggal yang sama? Apakah di kelas tersebut pasP ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di tanggal dan bulan yang sama?
15 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
Sumber: Susanna S.Epp – Discrete MathemaPcs with ApplicaPons 4th EdiPon
“Fungsi dari satu himpunan berhingga ke himpunan berhingga yang lebih kecil (dak dapat berupa fungsi satu-‐ke-‐satu. Pas( minimal ada dua atau lebih elemen domain yang memiliki image sama di kodomain.”
![Page 16: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/16.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Perluasan Prinsip Sarang MerpaP
16 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
“Untuk suatu fungsi f dari himpunan berhingga X dengan n buah elemen ke himpunan Y dengan m buah elemen dan untuk bilangan bulat posi(f k, jika: k < n/m, maka ada y ∈ Y dimana y adalah image dari k + 1 atau lebih elemen X.”
![Page 17: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/17.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Contoh Aplikasi
Tunjukkan dengan perluasan prinsip sarang merpaP bahwa pada sebuah kelompok dengan 200 orang anggota, terdapat minimal 8 orang yang berinisial awal sama.
17 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 18: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/18.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Kombinasi
Kombinasi menjawab pertanyaan: “Ditentukan suatu himpunan S dengan n buah elemen, ada berapa banyak himpunan bagian dengan ukuran r yang dapat dibuat dari S?” Notasi kombinasi-‐r:
18 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
nr
!
"#
$
%&
![Page 19: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/19.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Sebuah kelompok beranggotakan 3 orang, ada 4 orang calon anggota yaitu Gimin, Peno, Midi, Mo. Berapa banyak komposisi kelompok yang dapat dibentuk? Jawab: Misal M = {Gimin, Peno, Midi, Mo} Kelompok yang dapat dibentuk adalah kombinasi-‐3 dari M, yaitu: {Gimin, Peno, Midi} {Gimin, Peno, Mo} {Gimin, Midi, Mo} {Peno, Midi, Mo} Jadi kelompok yang dapat dibentuk adalah
19 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
43
!
"#
$
%&= 4
Enumerasi lengkap
![Page 20: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/20.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Misalkan jumlah mahasiswa PTIIK angkatan 2013 adalah 1200 orang, akan dipilih 5 orang mahasiswa sebagai perwakilan. Berapa banyak komposisi perwakilan yang dapat dibentuk?
20 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 21: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/21.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Hubungan Permutasi dan Kombinasi?
Untuk mencari hubungan permutasi dan kombinasi, kita bisa menggunakan metode Pdak langsung melalui contoh kasus sebagai berikut: Tulis permutasi-‐2 dari himpunan {a, b, c, d} Petunjuk: Dalam menentukan permutasi, pecah langkah penyelesaian menjadi dua, yaitu: 1. Menentukan semua himpunan bagian yang terdiri dari 2 elemen
dari {a, b, c, d} 2. Menentukan semua pasangan berurutan dari himpunan bagian
tersebut. Dari 2 langkah tersebut, kita dapat menyelidiki hubungan antara permutasi dan kombinasi
21 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 22: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/22.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Hubungan Permutasi & Kombinasi
22 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
nr
!
"#
$
%&=
P(n, r)r!
nr
!
"#
$
%&=
n!r!(n' r)!
Dimana n dan r adalah bilangan bulat non-‐negaPf dengan r < n
![Page 23: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/23.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Kombinasi Dengan Pengulangan
Tulis semua lis untuk mengetahui jumlah kombinasi-‐3 dengan pengulangan dari {a, b, c, d}
23 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
![Page 24: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/24.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Ringkasan
Pakai formula yang mana?
24 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
Dengan Urutan Tanpa Urutan
Boleh Pengulangan
Tanpa Pengulangan
nkk + n!1
k
"
#$
%
&'
P(n,k) nk
!
"#
$
%&
Sumber: Susanna S.Epp – Discrete MathemaPcs with ApplicaPons 4th EdiPon
![Page 25: Pencacahan$ - agipk.lecture.ub.ac.id€¦ · Agi$Putra Kharisma,$ST.,$MT.$ Berapakah$jumlah$bilangan$bulat$dari$5$sampai$12? Jawaban: 8 Matema(ka"Komputasi"0"Pencacahan" 2 5 6 7 8](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022060810/608e67b0e400e80da96f05b5/html5/thumbnails/25.jpg)
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Referensi
Susanna S .Epp. Discrete Mathema<cs with Applica<ons 4th Ed. Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema<cs and Its Applica<ons 7th Ed. Rinaldi Munir. Matema<ka Diskrit edisi ke<ga.
25 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan