Download - Pembuktian Deletion-contraction Theorem
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
1/27
mempersembahkan
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
2/27
Wigati P. Putri 07305141038
Ratnasari Dwi Ambarwati 10305141004Meita Putri Rahayu 10305141005
Dwi Prihastuti 10305141020
Amalia Sita Nursanti 10305141038
PEMBUKTIAN DELETION-CONTRACTION
THEOREM SERTA
PENERAPANNYA DALAM PEMBUATAN JADWAL
UJIAN AKHIR PROGRAM STUDI MATEMATIKA
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
3/27
Pendahuluan Pembahasan Penerapan
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
4/27
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
5/27
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Matematika memiliki beberapa pokok bahasan, salah satunya adalah
graf. Graf adalah himpunan tak kosong berhingga, yang terdiri dari himpunan
rusuk dan himpunan simpul yang himpunan simpulnya tidak boleh kosong.
Graf biasa digunakan sebagai visualisasi obyek-obyek agar lebih mudah
dimengerti. Graf merupakan salah satu cabang ilmu Matematika yang dapat
diterapkan baik dalam Ilmu Matematika maupun dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh graf dalam kehidupan sehari-hari antara lain: struktur organisasi, bagan
alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik, dan lain-lain.
Salah satu topik pada graf adalah pewarnaan graf. Mewarnai sebuah
graf berarti memberi warna pada setiap simpul graf sedemikian hingga simpul
yang berikatan dapat diwarnai dengan warna yang berbeda.
Jumlah warna paling minimum yang dapat diterapkan pada Grafini sering disebut dengan bilangan kromatik ((G)). Salah satu metode yang
digunakan untuk mencari nilai (G) adalah dengan menggunakan polinomial
kromatik.
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
6/27
PENDAHULUAN
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas,
maka rumusan masalah yang dapat diajukan adalah sebagai berikut:
Bagaimana pembuktian Deletion-Contraction Theorem?
Bagaimana cara menentukan banyaknya bilangan kromatik pada
suatu graf dengan metode Deletion-Contraction Theorem?
Bagaimana penerapan pewarnaan simpul pada kasus
penjadwalan ujian kuliah dengan metode Deletion-Contraction
Theorem?
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
7/27
PEMBAHASANPewarnaan Simpul
Polinomial Kromatik
Teorema deletion-contraction
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
8/27
Pewarnaan Simpul
Pewarnaan simpul pada graf adalah suatu pemetaan dari himpunan
simpul ke himpunan warna sedemikian sehingga setiap 2 simpul yang
berikatan mempunyai warna yang berbeda. Misalkan G adalah graf tanpa
loop, k-pewarnaan untuk G menyatakan penggunaan sebanyak k-warna untuk
simpul G.
Polinomila
KromatikTeorema
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
9/27
Pewarnaa
SimpulTeoremaPolinomial Khromatik
Misal G merupakan graf sederhana, dan adalah banyak cara
mewarnai simpul G dengan k warna sedemikian sehingga setiap dua simpul
yang berikatan memiliki warna yang berbeda. Fungsi disebut
polinomial khromatik G atau suku banyak khromatik G .
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
10/27
Pewarnaa
SimpulTeoremaPolinomial Khromatik
Contoh berikut mungkin dapat menjelaskan mengapa banyak pewarnaan-
k dari G dapat dinyatakan sebagai polinomial dalam k .
Contoh 1:
adalah graf lengkap-3. simpul puncak dapat diberi warna
sembarang dari k warna tersebut. Simpul di sebelah kirinya dapat diberi
warna sembarang dari (k-1) warna yang belum diberikan pada simpul
puncak. Simpul di sebelah kanan simpul puncak dapat diberi warnasembarang dari (k-2) warna yang belum terpakai.
Sehingga, banyak cara mewarnai adalah 1 2 atau
= 1 ( 2)(Wilson dan Watkins, 1989: 237, 238).
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
11/27
Polinomial Khromatik
Contoh 2:
Jika G adalah lintasan Graf P3 simpul paling kiri dapat diwarnai dengan
sebanyak k-warna, simpul tengah dapat diwarnai dengan k-1 warna selain warna
yang diberikan pada simpul kiri, dan simpul kanan dapat diwarnai dengan k-1
warna yang sama dengan simpul tengah. Sehingga, banyak cara mewarnai adalah 1 atau = 1
Contoh diatas dapat diperluas untuk mendapatkan kesimpulan berikut:
Jika G adalah pohon dengan n-simpul, maka =
Dari kesimpulan tersebut, didapat bahwa Graf non-isomorfis mempunyai
polinomial kromatik yang sama.
Pewarnaa
SimpulTeorema
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
12/27
Pewarnaa
SimpulTeoremaPolinomial Khromatik
Jika polinomial khromatik diketahui, maka bilangankhromatik suatu graf dapat dihitung dengan mudah, karena
bilangan khromatik graf G adalah bilangan bulat positif
terkecil k yang memenuhi > 0.
Jika cara untuk menentukan polinomial kromatiknya
sudah ditemukan, maka dapat diturunkan sebuah algoritma
untuk menentukan bilangan kromatik.
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
13/27
Pewarnaa
SimpulTeoremaPolinomial Khromatik
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa
1 2 = 1 1
Sehingga, =
dimana G,\ , dan () seperti graf berikut:
Dengan \ didapat dari G dengan menghapus rusuk e. () didapat
dari G dengan memampatkan rusuk e. Gagasan tersebut menghasilkan sebuh
teorema, yang disebut the deletion-contraction theorem
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
14/27
Teorema
Teorema Deleting-Contraction. Misal G adalah graf sederhana, dan G atau
G \ e serta G atau G e adalah graf yang diperoleh dari G dengan
menghapus dan mengkontraksi suatu rusuk e.
Maka = \ ()
Pewarnaa
Simpul
Polinomial
Kromatik
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
15/27
Pewarnaa
Simpul
Polinomial
KromatikPembuktian Teorema
Bukti. Misal e = vw adalah rusuk dari G. G \ e adalah graf yang diperoleh
dengan menghapus rusuk e dan G e adalah graf yang diperoleh dengan
mengkontraksi rusuk e.
Jika simpul v dan w pada graf G \ e diberikan warna berbeda, maka
banyak cara mewarnai G \ e sama dengan banyak cara mewarnai G. Jika
simpul v dan w pada graf G \ e diberikan warna sama, maka banyak cara
mewarnai G \ e sama dengan banyak cara mewarnai G e. Sehingga, jumlah
total pewarnaan-k untuk G \ e adalah
\ = + = \ ()
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
16/27
Pewarnaa
Simpul
Polinomial
KromatikPembuktian Teorema
Perhatikan Ilusatrasi berikut:
Misalkan terdapat graf G
P P P
PPP
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
17/27
Pewarnaa
Simpul
Polinomial
KromatikTeorema
Diperoleh bahwa:
= [ 1( 2) 1 2 ( 1)( 2)( 3)
= 1 2
4 + 5
= 7 + 19 23 + 10
Karena 1 = 0, 2 = 0, 3 = 12, maka = 3
P P P
P P P
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
18/27
PENERAPAN
Penerapan Pewarnaan Simpul pada Kasus Penjadwalan Ujian Kuliah dengan
Metode Deletion-Contraction
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
19/27
Di FMIPA UNY akan melaksanakan ujian akhir.
Pada prodi Matematika terdapat lima mata
kuliah yang akan diujikan, yaitu FPK, Aljabar
Abstrak, Teori Graf, Sistem Geometri, dan
Statistika Matematika, mata kuliah tersebut
disimbolkan secara berurutan sebagai berikut
A, B, C, D, dan E. Terdapat 10 mahasiswa yang
akan mengikuti ujian tersebut. Setiap
mahasiswa memilih dua mata kuliah yang
berbeda, matriks mahasiswa dan matakuliahnya adalah sebagai berikut:
Penerapan Pewarnaan Simpul pada Kasus Penjadwalan Ujian
Kuliah dengan Metode Deletion-Contraction
A B C D E
1 0 1 0 1 0
2 1 1 0 0 0
3 0 0 1 0 1
4 0 0 0 1 1
5 1 0 0 1 0
6 0 1 0 1 0
7 1 0 1 0 0
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 0
10 0 0 0 1 1
Tentukan banyaknya jadwal ujian yang dapat dibuat sedemikian rupa sehingga
semua siswa dapat mengikuti ujian mata kuliah tersebut tanpa ada kesulitan
waktu.
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
20/27
Penyelesaian :
Masalah penjadwalan ujian ini dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode pewarnaan simpul, dengan simpul mewakili mata kuliah dan rusuk
antara dua simpul mewakili bahwa ada mahasiswa yang mengambil kedua
mata kuliah yang diwakili simpul-simpul tersebut, sehingga ujian kedua mata
kuliah yang diambil mahasiswa tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan.
Masalah tersebut dapat dibuat
dalam bentuk graf, yaitu sebagai
berikut :
A
B
C D
E
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
21/27
Penyelesaian :
Dengan menggunakan metode Deletion-Contraction, maka
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
22/27
Penyelesaian :
Polinomial Kromatiknya yaitu:
= 1 1 2 ( 1) 1 + 1 2
= 1 ( 1 1) 2 1 ( 1 1 ] + 1 2
= [
3
+ 3 1 2 2
2 + 1 2 +
3
+ 2= 5 + 9 7 + 2 2 + 8 10 + 4 + 3 + 2
= 7 + 18 20 + 8
Karena 0 a =0, 1 =0, 2 =0, dan 3 =6,
()adalah K minimal, sehingga > 0.
Jadi, bilangan kromatik dari graf tersebut adalah 3.
Dari kesimpulan tersebut, terdapat 3 jadwal yang dapat dibuat agar setiap mahasiswa tidak
mendapatkan jadwal ujian dua mata kuliah yang diambil dalam waktu yang bersamaan.
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
23/27
Pewarnaan graf untuk jadwl ujian
Untuk menentukan pewarnaan graf pada graf tersebut, akan di
tentukan dengan menggunakan Algoritma Welsh-Powell:
Memberikan label simpul , , , ,
sedemikian sehingga (1) (2) (3)
(4) (5)
Memberi warna merah pada simpul v1, karena v1
berikatan dengan v2, v3, v4, dan v5 maka tidak ada
simpul lain yang mempunyai warna yang sama
dengan v1.
Memberi warna biru pada simpul v2, berikan warna
yang sama pada simpul-simpul yang tidak berikatan
dengan v2 yaitu v5.
Memberi warna hijau pada simpul v3, berikan warna
yang sama pada simpul-simpul yang tidak berikatan
dengan v3 yaitu v4.
Karena semua simpul sudah diberi warna maka
algoritma selesai.
A
B
C D
E
v1
v2 v3
v5v4
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
24/27
Pewarnaan graf untuk jadwl ujian
Berdasarkan pewarnaan simpul dengan menggunakan algoritma
Welsh-Powell, maka peroleh:
simpul diberi warna merah, simpul diberi warna hijau,
simpul diberi warna biru,
sehingga terdapat 3 macam warna pada graf
tersebut.
D
E
C
A
B
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
25/27
?PENUTUP
Kesimpulan
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
26/27
Berdasarkan pembahasan di atas maka
Deletion-Contracion Theorem terbukti.
Penentuan banyaknya bilangan
kromatik dengan metode Deletion-
Contracion yaitu: = \ ()
Salah satu aplikasi penghitungan
banyaknya cara memberikan warna
simpul yang menggunakan Deletion-Conttraction Theorem adalah
pembuatan jadwal ujian Prodi
Matematika FMIPA UNY.
Kesimpulan
-
5/25/2018 Pembuktian Deletion-contraction Theorem
27/27
Terima kasih....Sekian.......