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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
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¿Qué es el movimiento armónico simple?
Un movimiento armónico simple es un movimiento periódico y oscilatorio, sin rozamiento, producido por una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento y aplicada en la misma dirección pero en sentido contrario.
Son movimientos vibratorios que se pueden expresar mediante funciones armónicas.
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Conceptos previos
Movimiento periódico: - Se repite a intervalos iguales de tiempo
-Periodo T : Tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la oscilación
-Frecuencia F: número de oscilaciones que se realiza en un segundo
(Se deducirá más adelante)
oSe mide en
hertz
Se mide en segundos
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-Producido por una fuerza que varía periódicamente y que en todo momento es directamente proporcional al desplazamiento
-El movimiento vibratorio no es uniforme, es producido por una fuerza periódica lo que implica una aceleración variable: Ej: el péndulo
-Oscilación o vibración completa o ciclo: Es el movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio
•Movimiento Vibratorio:
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AMPLITUD
En el péndulo se escribe como A
Es el valor máximo que puede tomar la elongación.
Amplitud
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Resorte de Hooke
Constante de Hooke:
K= Constante de Hooke ( )
F= Fuerza Externa (en Newton)
x= Elongación (en metros)
= K
LEY DE HOOKE:“ Fuerza es proporcional a la elongación” Constante de Hooke
X0
Posición de
EquilibrioX
Elongación resorte= 2cm por masa 4 kg
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Se considera que en el sistema no hay roce
-Fuerza externa: Fuerza necesaria para sacar el sistema del punto de equilibrio
-Fuerza restauradora: Aplicada por el resorte, necesaria para que el resorte vuelva a su posición de equilibrio Es contraria a Fext
Suma de Fuerzas es 0
De lo anterior se desprende que:
Entonces:
X0
F restauradora = -F externa
Fr= - KxFext = kx
Fuerzas que actúan en el sistema
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Ejemplo de lo estudiado:- A un resorte de Hooke, que cuelga
verticalmente, cuya posición de equilibrio es , se le adosa una masa de 4kg. Su elongación es 2cm
a) ¿Cuál es la constante de Hooke?
X0
Se considera Fext= m*g (actúa la gravedad)Fext= 4kg * 10 m/sFext= 40 NX= 2 cm 2* 10-2
40 N = K
2* 10-2
K= 2000
b)¿Cuál es la fuerza de restauración? K= 2000
x= 2* 10-2
Fr= - Kx
Fr= -2000 * 2* 10-2
c) ¿Cuál es la fuerza externa?
Fext = kx
K= 2000x= 2* 10-2
Fext= 2000 * 2* 10-2 F ext= 40 N
Fr= -40 N
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Trabajo Si la fuerza es constante se tiene que:Método del gráfico
Podemos determinar el trabajo realizado entre las posiciones x1 y x2 calculando el área sombreada, es decir: w= Fx x: distanciaF: fuerza externa
Se deduce la fórmula para M.A.S
1 40
2
4
6
W= ½ * Kx
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Aceleración
Magnitud vectorial que nos indica el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s2.
En M.A.S es siempre negativa
Deducción fórmula:F= -Kx
ma = -Kx
a= -Kx m
Se considera que el resorte no tiene masa
x: elongación cualquierak: constantem: masa que mueve el sistema
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Energía de un M.A.S.
En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.
Energía cinéticaEs periódica, proporcional al cuadrado de la amplitud y depende de la posición, tiene un valor máximo en el centro y mínimo en los extremos.
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Energía potencial elásticaLa energía potencial (Ep) almacenada en un resorte estirado o comprimido esta dada por:
Energía mecánicaNo depende de la posición. Es constante
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VelocidadLa velocidad varía en el M.A.S: Al aplicarle una fuerza el punto de máxima
velocidad es el punto de equilibrio En los extremos (de elongación y
contracción) la velocidad es igual a 0.
Deducción de la fórmula:Ep = ½ Kx0 2
½ kx + ½ mv2 = ½ Kx0 2 /* 2kx2 + mv2 = Kx0 2
mv2 = Kx0 - kx2
mv2 = K (x0 2- x2 )
V =
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Periodo
Aplicando las leyes de la dinámica y sabiendo que la aceleración de un movimiento armónico simple es a = - w2x (para M.A.S cinemática) tenemos:
Si sustituimos - por su valor en función del período y despejamos éste, nos queda:
k
m2T
T
4mk
2
2
22 mk
)x(mmaF
kxF
•Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse o tiempo que tarda la partícula en realizar una vibración completa
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Oscilación de un resorte horizontal,
masa adosada
Oscilación de un resorte vertical, masa adosada
Oscilación de un péndulo
Ejemplos MAS
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Péndulo
Es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso.
Es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.
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Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de
circunferencia cuyo radio es la longitud,l
Se tiene las siguiente fórmulas:
Ecuación del movimiento
Sólo si el ángulo es pequeño se trata de una M.A.S
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Resorte
Un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido
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Tabla ejemplo resorte con masa adosada
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