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Morphologie et dynamique des galaxies
M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »
Hervé Beust
Laboratoire d’Astrophysique de Grenoble
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Morphologie et dynamique des galaxies
1. Zoologie des galaxies2. Gravitation et dynamique planétaire3. Dynamique stellaire 4. Dynamique galactique
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Morphologie et dynamique des galaxies
1. Zoologie des galaxies• Historique de la notion de galaxie• Classification des galaxies• Photométrie des galaxies• Répartition des galaxies dans l’Univers • Le contenu des galaxies• Cycle de fonctionnement d’une galaxie• Principaux résultats pour les divers types de galaxies
2. Gravitation et dynamique planétaire
3. Dynamique stellaire4. Dynamique galactique
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Historique de la notion de galaxie• 1610 : Galilée résout la voie lactée en étoiles.• Fin XVIIIe siècle : Idée d’un système stellaire aplati centré sur le
Soleil (Herschel).• 1784 – 1854 – 1888 (Lord Ross – Dreyer – Messier) : Catalogues
d’objets diffus (mélangé) Nébuleuses spirales ??• 1915 : Shapley compte les amas globulaires Le Soleil n’est pas au
centre (à 15 kpc).• 1916 : Pease découvre la rotation de la Galaxie.• 1923 : Hubble identifie des Céphéides dans M31 d = 300 kpc (670 en fait) C’est un système extragalactique L’étude des galaxies peut commencer
• 1926 : Classification de Hubble, révisée ensuite par De Vaucouleurs
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Classification des galaxies
• 13% Elliptiques (de E0 à E7)
• 22% Lenticulaires (S0,spirales sans bras)
• 61% Spirales (barrées et non barrées)(Sa-c, Sba-c)
• 4% Irrégulières
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Classification
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Galaxie elliptique : M87
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La galaxie sombrero (M104) : Lenticulaire
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Galaxie irrégulière : NGC 4449
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Galaxie irrégulière : NGC 6822
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Galaxie irrégulière : M82
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Galaxies spirales
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M100 et NGC2997 : spirales
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NGC 1987 et NGC1300 : spirales barrées
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Morphologie des galaxies
• Elliptiques : vues sous la forme d’une image elliptique d’axes a et b. On pose q=b/a. – Si ce sont des ellipsoïdes de révolution d’axes a0 et b0
(q0=b0/a0), inclinés de i par rapport au plan du ciel alors
– Si i ≈ 0, alors q ≈ 1 q0. Statistiquement on ne trouve pas assez de q ≈ 1. Les galaxies elliptiques sont plutôt des objets non-axisymétriques, des ellipsoïdes à 3 axes inégaux a,b,c.
20
20
22
1cos
q
qqi
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Morphologie des galaxies• Lenticulaires :
– Axisymétriques. Intermédiaires entre elliptiques et spirales; – Gros bulbe par rapport au disque;– Pas de bras.
• Spirales : Systèmes axisymétriques à 3 sous-systèmes distincts: – Au centre : le bulbe ≈ galaxie elliptique.– Autour : le disque = zone active,
contient les bras spiraux et le gaz.– Tout autour : le halo, beaucoup moins
dense mais peut-être massif.– Bras spiraux = ondes de densité…
• Irrégulières : plusieurs sous-classes– Irrégulières magellaniques = Petites galaxies (109 – 1010 M) : Bulbe + barre +
petit disque– Galaxies bleues compactes : très petites (108 M) ≈ grosses régions H II
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Magnitudes des galaxies• Magnitudes apparente et absolue : définition comme pour les étoiles:
• Les magnitudes absolues des galaxies varient entre −22 et −18• Loi de distribution empirique de Schechter (1976)
• MAIS, la distribution varie suivant lestypes : – α ≈ −1.7 pour les types tardifs
(Irrégulières) : plus de petites galaxies– α ≈ −0.7 pour les types précoces
(Elliptiques) : pic dus aux bulbes
AdAdMm
f
fm
25Mpc)(log55pc)(log5
log5.20
MMM
LL
L
L
L
LLL
MMMM d10exp10ln104.0d)(
dexpd)(
** 4.014.0*
***
*
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Photométrie des galaxies (I)
• Elliptiques et bulbes des spirales– Hubble (1920) :
– De Vaucouleurs (~1950) :• Notion d’isophote = ligne de niveau de brillance superficielle
• Rayon isophotal : r = √ A/π si A est l’aire enfermée par l’isophote I
• Loi en r1/4 :
– Il y a aussi les lois de King (galaxies tronquées) et de Nuker (plusieurs paramètres)
20)(ar
IrI
= détermination de la brillance superficielle (magnitude par seconde carrée)
en divers points de l’image
lumièrela de moitiéla contenant Isophote
130.3)(
log4/1
e
ee
I
r
r
I
rI
bbB
ctcr
r
r
rIrI
rrrrKrI 12)(
/1
1
/1
1)(
22
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Photométrie des galaxies (II)
• Disques des spirales et des lenticulaires :– Freeman (1970) :
– Sersic (1968, généralisation de la loi en r1/4) :
– Pour n=4, on retrouve la loi en r1/4; pour n=1, on a une loi exponentielle
– Il n’y a pas une simple transition de n=4 à n=1 du bulbe au disque d’une galaxie. S’y ajoute souvent une composante de type lentille.
1
)(log
/1 n
en
e r
rb
I
rI
20
/0 /mag3.065.21avece)( 0 IIrI rr
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Répartition des galaxies dans l’Univers
• Les galaxies ne sont pas des systèmes isolés. Elles se rassemblent en « associations » :– Paires = deux galaxies en interaction proche.
Taille typique : 0. 1 Mpc Exemple : Nuages de Magellan / Galaxie
– Groupes = quelques dizaines de galaxies liées gravitationnellement. Taille typique : 1 – 2 Mpc. 85% des galaxies sont dans des groupes. Exemple : Le groupe local
– Amas = quelques milliers de galaxies. Amas réguliers et irréguliers. Taille typique : 10 Mpc. Exemple : Virgo, Coma
– Superamas = associations de groupes et d’amas. Taille typique ⋍ 100 Mpc. Exemple : Le Superamas local– Hypergalaxie = regroupement plan des superamas proches (≲ 200 Mpc). Encore sujet à débat.
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Le voisinage solaire
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Le voisinage solaire (2)
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Le voisinage solaire (3)
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La Galaxie
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La Galaxie vue de dessus
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Les galaxies liées à la nôtre
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Le groupe local
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Les groupes de galaxies proches
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Les groupes de galaxies proches (2)
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Le superamas local
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Les superamas voisins
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Le contenu des galaxies : contenu stellaire
On distingue Population I et Population II
• Population I :– Etoiles jeunes
– Etoiles bleues abondantes (type O, B) qui dominent la luminosité
– Métallicité élevée
Dans les bras des Spirales et les Irrégulières
• Population II :– Etoiles vieilles
– Luminosité dominée par les géantes / supergéantes rouges (type M)
– Faible métallicité
Dans les amas globulaires, les Elliptiques et le bulbes des Spirales
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Composition chimique : métallicité
• Z = métallicité = témoin des conditions de formation de l’étoile
• Population I = Z élevé (⋍ Soleil)• Population II = Z faible (⋍ 0.001)• Etoile jeune : Z élevé• Etoile âgée : Z faible
Etoile de masse M
Etoile de masse M
X = mH / M Soleil = 0.695 + Y = mHe / M Soleil = 0.285 + Z = mReste / M Soleil = 0.0169--------------------X + Y + Z = 1
Hydrogène
Hélium
Autres éléments
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Le contenu des galaxies : milieu interstellaire– Dans les Elliptiques : moins de 0.1% de la masse
– Dans les Spirales : 5 à 10% de la masse
– Dans les Irrégulières : Plus de 30%
• On y trouve:– Du gaz : Atomique Neutre (H I) Ionisé (H II) Moléculaire (H2)
Plusieurs types Associé aux Nuages Moléculaires de nuages Etoiles chaudes (O,B) géants (GMC)
– Des poussières (⋍10% de la masse)• Pour l’observer :
– Poussières : Extinction
– H I : Raie à 21 cm (radio)
– H II : Difficile, pas de raies ⟹ Raie Hα de H I (6562 Å) + O II (9727 Å)– H2 : Pas directement (molécule symétrique), mais via la molécule CO dans
le millimétrique (molécule abondante, grande résolution, pas d’extinction)
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Les poussières dans le milieu interstellaire
• Comment les voir ?– Indirectement : trous dans la Voile lactée– Directement : Nébuleuses par réflexion (diffusion de la lumière d’une étoile
chaude par les poussières)
• Effet principal : Extinction A⋍0.8 Mag / kpc– En réalité, A dépend de la longueur d’onde A = 〔 f(λ)+1 〕 AV– Résultat principal : A ∝ 1/λ S’explique par la nature
diélectrique des grains 0.1 – 10μm– Mais bosse à 2200 Å ?? Grains de graphite 0.02 μm ouC60 Fullerène ?– Conséquences : rougissement
+ difficulté d’observation à courte longueur d’onde
![Page 36: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/36.jpg)
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Le contenu des galaxies : Trous noirs supermassifs
• Il y a probablement au centre de chaque galaxie un trou noir supermassif de plusieurs millions de masses solaires.
• On distingue deux cas : 1. Galaxie non active : Le trou noir n’intervient que par sa masse⟹ Détecter des mouvements orbitaux au plus proche du centre2. Galaxie active : Le trou noir accrète de la matière ⟹ LuminositéOn estime la masse en disant
Ce qui permet d’estimer M en mesurant L. On trouve 106 – 1010 M⨀
![Page 37: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/37.jpg)
Cycle de fonctionnement d’une galaxie
• Mais le Z est inhomogène : il décroît d’un facteur 3-4 du centre du disque vers les bords
• On ne connaît pas d’étoile avec Z = 0.
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Etoiles Gaz interstellaire
Résidus non lumineuxGaz intergalactique ?
Formation
Conséquence
Le Z augmente dans la galaxie
Pop I
Pop II
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septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Résultats concernant les principaux types de galaxies
• Elliptiques:– Peu d’activité – quasiment pas de gaz interstellaire (pas assez….)
– Population II de grande métallicité
Ce sont des galaxies très évoluées
• Lenticulaires:– Contenu stellaire ⋍ Elliptiques– Peu d’activité (pas de régions H II)
– Pas de formation stellaire
– Plus de gaz que dans les Elliptiques
Pourquoi la formation stellaire s’y est-elle arrêtée ? Fonction de l’environnement ?
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Résultats concernant les principaux types de galaxies (II)
• Spirales:– Bulbe et disque très différents
– Bulbe pris isolément galaxie Elliptique ⋍: Population II, pas de gaz plus vieux
– Disque = système beaucoup plus jeune : gaz interstellaire (5-10%), Population I, activité de formation stellaire, régions H II ( étoiles chaudes, donc ⟹jeunes) Système en évolution
– Le H I s’étend plus loin que les étoiles.
– La distribution est parfois dissymétrique
– Le H I est lié aux bras spiraux (contraste de densité 3-5). Le gaz est plus affecté par la structure spirale que les étoiles
– Le H II est lié à H I et présente parfois une région annulaire
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septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Résultats concernant les principaux types de galaxies (III)
• Irrégulières:– Beaucoup de gaz : 30%
– Etoiles de faible métallicité Ce sont des galaxies peu évoluées
– Beaucoup d’étoiles jeunes, avec formation stellaire très (trop ?) active
• Exemple : galaxies bleues compactes– Elles ressemblent à de grandes régions H II
– On y trouve surtout des étoiles chaudes et massives (types O-B)
– Très fort taux de formation stellaire
Au point qu’à ce rythme , tout le gaz risque d’être consommé rapidement… Episode de flambée de formation stellaire ? Pourquoi ?
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septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Morphologie et dynamique des galaxies
1. Zoologie des galaxies2. Gravitation et dynamique planétaire
• L’interaction de gravitation• Le problème des deux corps et les lois de Kepler• Le problème Képlérien perturbé et les théories planétaires• Les résonances
3. Dynamique stellaire4. Dynamique galactique
![Page 42: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/42.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 42
L’interaction de gravitation
• La force de gravitation est la plus faible des forces fondamentales.• Mais c’est la seule qui est toujours attractive et qui agit à grande distance ( r-2) C’est elle qui régit les interactions à grande distance dans l’Univers– Les forces électromagnétiques sont écrantées à grand distance par la neutralité;– Les forces nucléaires n’agissent qu’à très courte distance ( e-r)
• Elle vérifie le principe d’équivalence : Elle est proportionnelle à la masse masse grave = masse inerte– Vérifié expérimentalement à mieux que 10-17 près
• G = Constante de la gravitation = 6.6732 x 10-11 m3 s-2 kg-1
• Force petite, à longue portée, toujours attractive, inexacte
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mars 2011 Licence 3 - Gravitation 43
La gravitation universelle (Newton 1687)
• Deux corps ponctuels de masses m1 et m2 s’attirent en raison inverse de leur distance r : m1 m2
r
• G = Constante de la gravitation = 6.6732 x 10-11 m3 s-2 kg-1
• Force petite, à longue portée, toujours attractive, inexacte– Théorie plus exacte : Relativité Générale (Einstein 1916)
221
2112 r
mmGFF
12F 21F
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mars 2011 Licence 3 - Gravitation 44
Le potentiel gravitationnel
• La force de gravitation dérive d’une énergie potentielle
• On place l’origine du repère à la masse 1, on raisonne en coordonnées sphériques (r,θ,φ). La force F1→2 s’écrit :
• Le potentiel gravitationnel créé par m1, c’est Ep/m2
r
mmGEp
2121,
r
mGmF
r
mGm
rF
r
mGm
rF
r
mGm
rr
mGmFr
21
21
21
212
21
sin
10
10
r
GmrU 1)(
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mars 2011 Licence 3 - Gravitation 45
Théorème de Gauss
• Une distribution continue de matière de mass volumique crée le potentiel
• Cette équation peut s’inverser pour donner l’équation de Poisson
• Théorème de Gauss : Le flux du champ gravitationnel à travers une surface fermée est égal à 4G la masse à l’intérieur
• Se démontre avec Ostrogradsky :
r
rr
rGrU
3d
rGrgrU 4
GMrrGrrgSrgVVS
4d4dd 33
![Page 46: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/46.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 46
Potentiel d’un corps étendu
• Pour un corps étendu de symétrie sphérique, le champ g(r) est nécessairement radial dirigé vers le centre.
• C’est la même expression que pour un corps ponctuel !
• Si le corps n’a pas la symétrie sphérique, on développe le potentiel en harmoniques sphériques
r
GMrU
r
GMrg
GMrgrSrgS
2
2 44d
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mars 2011 Licence 3 - Gravitation 47
Potentiel d’un corps étendu
• Développement en harmoniques sphériques :
• Les Pn sont les Polynômes et fonctions de Legendre.
• Les Jn, cn,p et sn,p sont des coefficients numériques. Pour la Terre :
J2 = 1,082625103 (aplatissement polaire)
J3 = 2,534106 c2,2 = 1,571106 s2,2 = 0,903106
J4 = 1,623106 c3,1 = 2,190106 s3,1 = 0,272106
2 1,, sincoscoscos1
,,
n
n
ppnpn
pnnn
n
e pspcPPJr
R
r
GM
rU
npn
pn
n
p
pn
n
n
n
nn ssn
ssPs
snsP 1
d
d
!2
11
d
d
!2
1 2
2/2)(2
![Page 48: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/48.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Le problème des N corps= Trouver le mouvement de N points matériels d’attirant mutuellement
selon la loi de Newton
• N petit (≲100): Mécanique Céleste : On décrit le mouvement de chaque point.
• N grand: Dynamique stellaire : On ne s’intéresse qu’aux propriétés statistiques du système.
• Equation de base:
– Tout est là : Système différentiel d’ordre 6N
– On ne connaît de solution exacte que pour N=2 ⟹ lois de Képler– Pour N>2, on a quelques intégrales premières globales : 10 constantes
• Centre de gravité : • Moment cinétique• Energie
48
N
ijj
ij
ijjiiiNiii
rr
rrmGmrmrm
13..1),(
BtArmrm i
N
ii
N
iii
11
0
LrrmN
iiii
1
Err
mGmrm
ji ij
jiN
iii
1
2
21
![Page 49: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/49.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Le problème des 2 corps C’est le seul pour lequel on connaît une solution exacte
• Equations pour les deux corps
• • On fait la différence• C’est le problème Képlérien :
• La résolution du problème relatif est équivalente à celle d’un point matériel attiré par un centre massif de masse m1+m2. La résolution de ce problème conduit aux Lois de Képler.
• Il y a plusieurs méthodes de résolution : Formules de Binet, intégrales premières, etc…
49
ur
mGmrmu
r
mGmrm
2
21222
2111 ,
21direction la dans unitairevecteur ,21 urrr
rr
mmGu
r
mmGrrr
3
212
2112
)()(
rr
r
3
![Page 50: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/50.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 50
Les lois de Képler
• Elles découlent de la loi de la gravitation universelle, et régissent le mouvement relatif de deux corps qui s’attirent selon la loi de Newton
• Elles ont été découvertes expérimentalement par Képler avant la formulation de la gravitation universelle par Newton.
• Elles décrivent le mouvement des planètes avec une assez bonne approximation.
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mars 2011 Licence 3 - Gravitation 51
Les lois de Képler : loi 1• Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil
occupe un des foyers.
![Page 52: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/52.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 52
Les lois de Képler : loi 2 (loi des aires)• Le rayon vecteur qui joint le Soleil à la planète
balaie des aires égales en des temps égaux
Cette loi est équivalente à la conservation du moment cinétique
constanted
d2
t
rmL
![Page 53: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/53.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 53
Les lois de Képler : loi 3• Les carrés périodes orbitales des planètes sont
proportionnels aux cubes des demi-grands axes
Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton
a (UA) 0.387 0.723 1.000 1.523 5.203 9.539 19.191 30.061 39.529
T (ans) 0.241 0.615 1.000 1.881 11.86 29.46 84.01 164.79 247.7
T2 / a3 1.0001 1.0001 1.0000 1.0001 0.9991 0.9998 0.9985 0.9997 0.9933
GMmMGa
T 222
3
2 444 constante
![Page 54: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/54.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Résolution résumée du problème des 2 corpsPar les intégrales premières
• Energie :
• Moment cinétique : • Conséquence • Dans le plan C = r2(dθ/dt) Loi des aires (Loi de Kepler n°2)• Une autre intégrale première (Laplace) :
• On tire :
• Ensuite on appelle• C’est l’équation polaire de la trajectoire, une conique rapportée à un de ses
foyers, d’excentricité e. (Loi de Kepler n°1)
54
Cte221
3
rrh
rr
rr
teC0d
d rrCrrt
rr
CCrr plan est mouvement Le,
r
ruu
CrE
r
rCr
t
teC0
d
d
uE
Cr
1
/2
cos1
,, ,2
e
pr
CpEuEe
![Page 55: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/55.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Résolution résumée du problème des 2 corps• On montre aussi que
• On a donc trois cas :– h<0 e<1 : La trajectoire est une ellipse. Les deux objets sont liés gravitationnellement. Le mouvement est périodique.– h=0 e=1 : La trajectoire est une parabole, parcourue une fois. La vitesse relative est nulle à l’infini– h>0 e>1 : La trajectoire est une hyperbole, parcourue une fois. La vitesse relative est non nulle à l’infini.
• Dans le cas elliptique, on introduit a = p/(1-e2)=-/2h, le demi-grand axe.• On introduit le moyen mouvement
• On montre que la période du mouvement est T = 2/n, ce qui se traduit par la troisième loi de Kepler
• On tire :
• Ensuite on appelle
• C’est l’équation polaire de la trajectoire, une conique rapportée à un de ses foyers.
55
hp
eEuCrp2
12
3222an
hhn
21
22
3
2 44
mmGa
T
![Page 56: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/56.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Formulaire Képlerien (elliptique)• On se place dans le repère propre
• On introduit – L’anomalie vraie = angle polaire
– L’anomalie excentrique u
– L’anomalie moyenne M = n(t-tp)
• Lien M u :
56
uearYuer
naYu
r
naX
euarXu
Mauea
e
ear
e
e
ue
ue
ue
eu
ueuttnM
u
p
sin1sincos1sin
coscosd
dcos1
cos1
1
tan1
1tan
cos1
sin1sin
cos1
coscos
Képler deEquation
sin
2222
2
22
22
2
![Page 57: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/57.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 57
Les éléments d’orbite
a = demi-grand axe
e = excentricité
i = inclinaison Longitude du
nœud ascendant Argument du
périastre
tp = Temps de passage au périastre
Le demi-grand axe et l’excentricité ne suffisent pas pour décrire entièrement l’orbite d’un astre. Il faut des angles pour préciser la position de l’ellipse dans l’espace
![Page 58: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/58.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 58
Excentricités et inclinaisons• Dans le Système Solaire, les excentricités et les
inclinaisons des planètes sont petites : Le système est ~ plan et tourne rond !
Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton
e 0.2056 0.0068 0.0167 0.0933 0.048 0.056 0.046 0.010 0.2488
i (degrés) 7.00 3.39 0 1.85 1.31 2.49 0.77 1.77 17.15
![Page 59: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/59.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 59
Le mouvement Képlérien perturbé• Dans de nombreuses situations, les corps célestes ont un mouvement
proche d’un mouvement Képlérien.
• Par exemple, les planètes du système solaire suivraient des orbites Képlériennes pures si elles ne subissaient que l’attraction du Soleil.
• En réalité, elles subissent en outre l’attraction de toutes les autres planètes. L’attraction solaire est dominante on peut encore décrire les mouvements à l’aide d’orbites Képlériennes qui vont lentement se modifier
• Dans le cas général, un mouvement Képlerien perturbé obéira à une équation du type
• On appelle mouvement Képlérien osculateur l’orbite Képlérienne que suivrait le corps si la perturbation disparaissait.
23avec
rPPr
rr
![Page 60: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/60.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 60
Equations de Gauss et de Lagrange• On peut transformer les équations du mouvement pour en déduire des
équations de variation des éléments orbitaux en fonction de . Ce sont les équations de Gauss.
P
02
02
02
1sind
dcos
d
d
sind
dsin
cosd
d
1cosd
d
2d
d
uPeavPvrt
it
Ce
kPrt
iC
kPrt
iC
vPeavPert
eC
vPevPat
aC
![Page 61: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/61.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Equations de Lagrange• Si la pertubation dérive d’un potentiel U, on peut transformer ces
équations en Equations de Lagrange
• Ces équations sont équivalentes aux équations de Gauss, pour le cas où la perturbation dérive d’un potentiel…
61
e
U
e
e
a
Ua
aat
M
i
Uie
e
Uie
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i
U
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UUi
t
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t
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M
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aa
2
3
2
22
12
1
d
d
cossin1d
dsin
d
dsin
cosd
dsin
11d
d
2d
d
![Page 62: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/62.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Variations séculaires : moyennes, développements
• Souvent, les équations de perturbation ne sont pas solubles telles quelles. On est amené à faire des approximations : moyennes et développements.
• Généralement, on s’ intéresse à l’effet à long terme de la perturbation. C’est justifié par la caractère perturbé du mouvement Képlérien. Le temps caractéristique de la perturbation est ≫ période orbitale.
• Or, la perturbation varie sur l’échelle de temps de l’orbite on va la remplacer par sa moyenne sur l’orbite. On écrit une série de Fourier
62
MMUttUP
UU
kMGLUkMGLU
GLUGLMU
P
kskck
d2
1d
1
sin,,,,cos,,,,
,,,,,,,,,
2
00
0
1,,
0
![Page 63: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/63.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Théories planétaires• Une théorie planétaire est un modèle du mouvement des planètes dans un
système planétaire (solaire ou non) autour d’une étoile.• C’est un cas particulier du problème à N corps où un des corps (le
« Soleil », numéroté 0, a une masse nettement plus grande que tous les autres. Les autres seront les « planètes ».
• On va supposer que toutes les planètes suivent des orbites Képlériennes perturbées autour du Soleil. On raisonne en variables héliocentriques rk = rayon vecteur Soleil – Planète k
• Equations du mouvement des planètes
• Point de départ : On développe les Uk,i en coefficients de Laplce
• Il n’y a pas a de théorie exacte, mais plusieurs typesde théories (à variations séculaires, générales…) de précision et complexité variables.
63
3,1
,30
2
2 1,
d
d
i
ik
ikiik
n
kii
ikkk
kk
r
rr
rrGmUUr
r
mmG
t
r
![Page 64: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/64.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Théorie de Laplace-Lagrange• C’est la théorie linéaire la plus simple.
• Principe : On développe les Uk,i en puissances des excentricités et inclinaisons en s’arrêtant à l’ordre 2, et on moyenne le résultat sur tous les mouvements orbitaux Les demi-grands axes ak sont constants.
• On raisonne en éléments de Poincaré, pour chaque planète k
64
kkkkkkkkkk
kkkkkkkkkk
kkkkkkkkk
ieLpieLq
eLpeLq
amMGLpMq
coscos112sincos112
cos112sin112
2,3
2,3
2,2
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*,1,1
kj
kkj
kj
kn
kii
kjikk q
U
t
p
p
U
t
qUU
,
,
,1
,, d
d
d
d
![Page 65: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/65.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Théorie de Laplace-Lagrange• Résultat :
1. Pour i<k :
2. Pour i>k :
65
2,3,3
2,3,3
2,2
2,2
2,2
2,2
12/3
,2,2,2,222/3
*2
02/1,
2
1
4
1
2
ikikiikkk
i
ikikk
i
kkk
ii
k
i
k
iik
ppqqpqpqa
ab
ppqqa
ab
amMGa
aGm
a
ab
a
GmU
2,3,3
2,3,3
2,2
2,2
2,2
2,2
12/3
,2,2,2,222/3
*2
02/1,
2
1
4
1
2
ikikiikki
k
ikiki
k
kki
ki
i
k
i
iik
ppqqpqpqa
ab
ppqqa
ab
amMGa
aGm
a
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a
GmU
nnnn p
p
P
p
p
P
q
q
Q
q
q
Q
,3
1,3
3
,2
1,2
2
,3
1,3
3
,2
1,2
2
![Page 66: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/66.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Théorie de Laplace-Lagrange• Equations du mouvement :
où E et J sont des matrices nn.
• Résolution :
On diagonalise E2 et J2. Chaque composante a une solution sinusoïdale. En repassant dans la base initiale, la solution est une combinaison linéaire de solutions sinusoïdales
66
33
33
22
22
d
d
d
dd
d
d
d
JQt
PJP
t
Q
EQt
PEP
t
Q
323
222
d
d
d
dQJ
t
QQE
t
Q
ii
n
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n
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ii
n
iiikkii
n
iiikk
tsBtptsBtq
tgAtptgAtq
cossin
cossin
1,,3
1,,3
1,,2
1,,2
![Page 67: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/67.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Théorie de Laplace-Lagrange• A et B sont les vecteurs propres, les ,,, sont des constantes d’intégration.
• Les gi’s et les si’s sont les valeurs propres des matrices E et J. Elles ont la dimension d’une fréquence. Ce sont les fréquences fondamentales de précession des orbites du systèmes planétaire.
• Les gi’s sont tous posifis, et les si’s sont tous négatifs, sauf un qui est nul (invariance par rotation).
• Dans le système solaire :
Indice i gi (/an) Période (ans) si (/an) Période(ans)
1 5.85909 221195 5.200748 249195
2 7.459556 173737 6.570095 197257
3 17.398552 74489 18.74556 69136
4 18.052003 71793 17.63585 73487
5 3.711292 349205 0 --
6 22.284414 58157 25.73827 50353
7 2.701372 479756 2.903761 446318
8 0.633134 2046960 0.823444 1913226
67
![Page 68: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/68.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 68
Exemple : évolution de l’excentricité de l’orbite terrestre
• L’excentricité de la Terre fluctue entre 0 et 0.06
• Ceci a un impact sur le climat terrestre
• Imprévisible sur une échelle de ~1 milliard d’années Chaos !
![Page 69: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/69.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Résonances
• De manière générale, on parle de résonance dans un système dynamique lorsqu’un angle caractéristique cesse de précesser et se met à osciller autour d’une position d’équilibre.
• En mécanique céleste, on distingue 4 types de résonances1. La résonance de Kozai : arrêt de la précession de l’argument
du périastre .
2. Les résonances de moyen mouvement : important et fréquent
3. Les résonances séculaires : plus compliqué
4. Les résonances spin-orbite : liées aux effets de marée
69
![Page 70: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/70.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 70
Les résonances de moyen mouvement• Une résonance de moyen mouvement correspond à une
commensurabilité (=un rapport rationnel simple) entre les moyens mouvements (=les périodes orbitales) de deux corps dans une système planétaire
• C’est assez fréquent dans le Système Solaire:– Planètes
• 5 périodes de Jupiter = 2.013 périodes de Saturne• 3 périodes de Neptune = 1.99 périodes de Pluton
– Satellites de Jupiter• 2 périodes de Io = 1 période d’Europe• 2 périodes d’Europe = 1 période de Ganymède
– Satellites de Saturne• 2 périodes de Mimas = 1 période de Téthys• 2 périodes d’Encelade = 1 période de Dioné• 4 périodes de Titan = 3 périodes d’Hypérion
![Page 71: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/71.jpg)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 71
Résonances de moyen mouvement (II)
• Ces coïncidences ne doivent rien au hasard. Il s’agit de résonances autoentretenues.
• Certaines résonancesconcentrent des objets. Exemple:résonance 2:3 avecNeptune(Plutinos)
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mars 2011 Licence 3 - Gravitation 72
Résonances de moyen mouvement (III)
Résonancesavec Jupiter
Une coupe de la ceinture d’astéroïdes : Lacunes de Kirkwood
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septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Morphologie et dynamique des galaxies
1. Zoologie des galaxies2. Gravitation et dynamique planétaire3. Dynamique stellaire
• Introduction – Problème des N corps• Théorème du Viriel – Temps dynamique• Hydrodynamique stellaire, Equation de Boltzmann• Théorème de Jeans, mélange dynamique• Systèmes à symétrie sphérique• Instabilité de Jeans• Relaxation
4. Dynamique galactique
![Page 74: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/74.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Dynamique stellaire : Le problème des N corps
= Etude du comportement dynamique d’un groupe d’objets célestes où la force dominante est la gravitation
• Ca s’applique à :– Des amas d’étoiles
– Des galaxies
– Des amas de galaxies
• Ca ne s’applique pas à : – Le système Solaire
– Les systèmes d’étoiles multiples Mécanique Céleste
• Cadre des approximations : – On ne prend que les étoiles (Galaxie = milieu interstellaire 10%)
– La gravitation est due uniquement aux étoiles du système (= autogravitant)
– Etoiles = points matériels massifs (tailles ≪ distances relatives)– Pas de collisions Problème des N corps
![Page 75: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/75.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Le théorème du Viriel scalaire= « Equilibre statistique » entre dispersion de vitesse et attraction gravitationnelle
•
•
• Hypothèse : • Signification : Le système garde en gros les mêmes dimensions ⟹ 2T+V=0moyenneen 0J
i
N
iii rrmV
1
.Viriel
VTrrmrmJ
rrmJ
rmJ
N
iiii
N
iii
i
N
iii
N
iii
24.22
.2
scoordonnée de axes / inertied' moments
11
2
1
1
2
![Page 76: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/76.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Le théorème du Viriel scalaire (II)
• Dans le cas du problème des N corps
• Une autre façon de le voir : Ω est une fonction homogène de degré -1 des coordonnées. Relation d’Euler:• Au bout du compte
• Conséquence : E = T+Ω ⟹ T=-E et Ω=2E ⟹ E<0 (système lié)
e)potentiell (Energie
...
1
111
Nji ij
ji
jiNji
iji
N
i ijij
N
iiii
rr
mGmV
rrfrfrrmV
Vxx i
i
1
02 T
![Page 77: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/77.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Conséquence du théorème du Viriel
• Vitesse moyenne des étoiles– v ̅ = vitesse moyenne des étoiles– m ̅= masse moyenne des étoiles
• Si M = Nm ̅, alors 2T+Ω = 0 ⟹ r
mG
rr
mmG
NN
rr
mGm
vmNrmT
ij
ji
Nji ij
ji
N
iii
22
1
221
1
221
2
N-
2
)1(
médianrayon r
r
GM
2v2
![Page 78: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/78.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Conséquence du théorème du Viriel
• Temps dynamique = temps moyen pour traverser le système = Echelle de temps minimale d’évolution du système.
– Amas d’étoiles : td 10⋍ 6 ans
– Galaxie : td 10⋍ 7 ans
– Amas de galaxies : td 10⋍ 8 - 109 ans
td âge du système≪
GM
r
v
rt
3
d
2
![Page 79: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/79.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Hydrodynamique stellaire
• Espace des phases– A l’instant t, l’étoile i est caractérisée par ses vecteurs position et vitesse
– C’est un point dans un espace à 6 dimension appelé Espace des phases
• Fonction de distribution– C’est la densité dans l’espace des phases :
– Applications: densité / potentiel
vv
rrvrtvr
3
33
d mepetit voluun dans vitessede
3d mepetit voluun dans position de t à étoilesd' Massedd,,
tvr ,,
3,2,1,3,2,1, ,,,,, iiiiiiii vvvvxxxr
vtvrtr 3d,,,
GU
rrr
trGtrU
4
d,
, 3
Equation de Poisson
☞ C’est une densité lissée !
![Page 80: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/80.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Hydrodynamique stellaire• Equation de Bolzmann C’est l’équation d’évolution de
– Dans l’espace réel, on a
– Dans l’espace des phases, la matière se conserve ⟹ Equation de continuité– C’est quoi ? C’est le flux de Ψ…
tvr ,,
Ur
06
ft
f
6
0
6
0
1
0
2
0
16
321321
0 :Boltzmann donc0Or
,,,,,3..1
121
fftv
f
x
f
x
ff
x
U
x
U
x
Uvvvfi
x
Uvf
vxf
vxx
iiv
iix
i
i
0D
D
t
Uvtvx
U
xv
t vrii iii
i
),,( tvr
),( tr ),( trU
Dérivées de Ψ
Intégration Poisson Boltzmann
![Page 81: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/81.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Equations de JeansEquations de Jeans = Moments de l’équation de Boltzmann
≡ Equations de l’hydrodynamique
• Première équation :
⟹ = Equation de continuité
vvvvvx
Uvv
xt
vvx
Uv
xvv
tv
i iiiv
ii
ii ii ii
i
3
0
33
3333Boltzmann
d1
dd
0dddd
0
vt
![Page 82: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/82.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Equations de Jeans
• Deuxième équation
0
: vitessede Dispersion
0d
0dd
dd
dddd
2
2
3
33
3
sinon 0 j,i si 10
3
3333Boltzmann
jij
i ii
j
iij
ii
ij
jijijjiiij
jivv
jii
j
ji ijij
i
jj
ij
iij
ii ijijj
x
U
xx
vvvv
xv
t
vvvvvvvv
x
Uvvv
xv
t
vx
Uv
xvvv
t
vv
vvv
vv
vv
vx
Uv
xvvvv
tvv
jj
![Page 83: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/83.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Equations de Jeans
• On retrouve l’équation d’Euler. Le terme s’apparente à un gradient de pression . C’est vrai si le tenseur est isotrope.
= Tenseur des contraintes
• Les xi se calculent comme les racines de Pn et les i vérifient :
2
P
2
2
2
Continuité
0
Uvvv
t
x
U
xx
vvv
t
v
x
U
xx
vvvv
xv
t
jij
i ii
j
iij
j
jij
i ii
j
iij
ii
ij
![Page 84: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/84.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Intégrales premières• Pour une étoile donnée, une intégrale première, c’est toute fonction
qui reste constante le long de son mouvement
• I1,…,In sont indépendantes ⇔ ∄ g(I1,…,In ) = 0• I conservative ⇔ I ne dépend pas du temps : • I non isolante ⇔ L’hypersurface « I = cte » est partout dense dans
l’espace des phases• ☞ Si le potentiel est stationnaire on connaît déjà l’énergie
• Il ne peut pas y avoir plus de 5 intégrales premières conservatives, indépendantes et isolantes (question de dimension de l’espace des phases)
cte),,( tvrI
IUIv
t
I
t
v
v
I
t
x
x
I
t
I
t
Ivr
ixU
i
iiv
i
i
ii
/
d
d
d
d0
D
D
),( vrI
)(rU
)(221
1 rUvI
![Page 85: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/85.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Intégrales premières• Exemple : Le pendule de Foucault
• Intégrales premières
0111
00cos
t
tAr
001
13
2
20
2212
21
1
cos
ISOLANTEaussi Energie
ISOLANTEEnergie
ArI
I
rrI
Conclusion :I3 n’est pas isolante !
![Page 86: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/86.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Théorème de Jeans• est une intégrale première conservative :
⟹ I est une solution de l’équation de Boltzmann ! Et si I1,…Ik le sont, toute fonction g(I1,…Ik ) le sera aussi.
• Inversement, en régime stationnaire vérifie DΨ/Dt=0⟹ C’est une intégrale première, conservative en régime stationnaire !• En régime stationnaire, la fonction de distribution est une fonction arbitraire des intégrales premières indépendantes et conservativesMieux :• En régime stationnaire, la fonction de distribution n’est fonction que des
intégrales premières indépendantes, conservatives, isolantes. Il y en a 5 au maximum
• Si les orbites sont régulières et les fréquences incommensurables, Ψ n’est fonction que de 3 intégrale (Théorème de Jeans fort)
),( vrI
0/0
IUIvtI vr
),( vr
![Page 87: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/87.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Mélange dynamique• En général, l’état du système est stationnaire :
• Pour atteindre cet état, il faut un temps tm appelé temps de mélange dynamique.
• On trouve (résultat numérique) : tm ≈ 30 td• Dans tous les cas, td est très inférieur à l’âge du système
⟹ L’état stationnaire a largement le temps de s’établir.
0t
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septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Systèmes à symétrie sphérique
Um
)(221 rUvE
• Ce sont des systèmes où le potentiel a la symétrie sphérique.En coordonnées sphériques (r,θ,φ), on a U(r).
• Combien y a-t-il d’intégrales premières ?– On a déjà l’énergie
– La force est centrale
⟹ est constant• Théorème de Jeans fort ⟹ • Mais la fonction de distribution doit avoir la symétrie sphérique
⟹ Ψ(E, L)• On a souvent Ψ(E). Si Ψ (E), alors
Si Ψ(E, L)
)(rU
vrL
),( LE
222 vvvr
222 vvvr
![Page 89: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/89.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Systèmes à symétrie sphérique
• Si Ψ(E), on définit
avec Ψ(ε)>0 si ε>0, 0 sinon.Equation de Poisson : Δϕ = -4πGρ
• On injecte dans l’équation de Poisson
• Si on connaît Ψ, on tire ρ et ϕ en résolvant l’équation.
relative Energie
relatif Potentiel2
21
0
0
vEU
UU
d24d4
d4d
0
2
0
2221
0
222132
21
vvv
vvvvv
d2164d
d
d
d10
222
GG
rr
rr
![Page 90: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/90.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Systèmes à symétrie sphérique
• Inversement, connaissant ρ, peut-on tirer Ψ ?
Ceci est une équation intégrale d’Abel. Elle s’inverse en
Formule d’Eddington (1916)
• On injecte dans l’équation de Poisson
• Si on connaît Ψ, on tire ρ et ϕ en résolvant l’équation.
d
d
d
22
1d2
22
100
00
2
2
2
02
d
d1d
d
d
22
1
d
d
d
d
d
22
1
![Page 91: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/91.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Systèmes à symétrie sphérique: exemples • Exemple 1 : Polytropes et modèle de Plummer
On calcule la densité et on obtient ρ = cn ϕn (cn constante)
Poisson ⟹On pose :Equation de Lane-EmdenPour n=5, la solution est
C’est le modèle de Plummer, représentation moyennement correcte d’un amas globulaire.
sinon0
0 si23
nF
04d
d
d
d1 22
n
nGcr
rrr
0ds
d
d
d1
)0(,,
)0(4
1 221
n
nn
sssb
rs
cGb
G
b
rrrMmFc
c
sbr
)0(3
d464
27
1
)0(
3/1
1
0
22
5
2/5
3
55
22
2
![Page 92: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/92.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Systèmes à symétrie sphérique: exemples • Exemple 2 : Sphère isotherme
Une solution, c’est
r0 = Rayon de King. On a ρ(0)=∞ ! Sphère isotherme singulière. Pour avoir ρ(0) il faut prendre les autres solutions de l’équation. De toutes façons on a M(∞)=∞ ! Amélioration : Sphère isotherme tronquée de King On trouve ρ=0 pour r≥rt On appelle concentration
0e4d
d
d
d1ee
2
222 /0
22
/0
/2/32
0
G
rr
rr
00
20
002
2
3avec
3,
3ln2
G
rr
r
r
r
sinon0
0 si1e2
2/2/32
0
0
logr
rc t
![Page 93: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/93.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
L’instabilité de Jeans
• C’est l’instabilité d’une sphère autogravitante face à l’effondrement gravitationnel
• On considère une sphère initialement en équilibre avec un potentiel U0 uniforme, et une densité ρ0 uniforme.C’est impossible ! ΔU0=4πGρ0≠0 ! ⟹ U0 pas uniforme !
• Jeans l’a quand même appliqué en supposant que ça vaut pour la surdensité par rapport à ρ0. En fait, notre sphère fait partie d’un système à plus grande échelle.
![Page 94: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/94.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
I – Instabilité de Jeans dans un fluide • On écrit les équations de l’hydrodynamique et l’équation de Poisson
• On dit ρ = ρ0+ρ1 avec ρ1≪ρ0 , et ainsi de suite pour les autres variables.
Equation de continuité linéarisée
GU
PUvvt
v
vt
4
0
0
0
101
enégligeabl
1110
0
011
0
000
101010
vt
vvvt
vt
vvt
![Page 95: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/95.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
I – Instabilité de Jeans dans un fluide • On linéarise les autres équations
• On y rajoute une équation d’état : hypothèse perturbation adiabatique P ∝ ργ• Vitesse du son • On élimine P1 :
Equation de continuité linéarisée
11
1101
0
1
0
0110
0
100
0
010
0
001
0
01
10
4
GU
PUt
v
PUUvvvvvvt
v
t
v
0
12
11
sc
Ut
v
1
12
d
d
PP
cs
![Page 96: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/96.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• On dérive l’équation de continuité et on remplace :
• Equation de Poisson ⟹ • On cherche une solution ondulatoire : (+ symétrie sphérique)
• On pose
1
2
1021
2
0
12
1021
21
021
2
0
0
s
s
cU
t
cU
tt
v
t
04 011
2
21
2
Gc
ts
Equation d’évolutionde ρ1
trkiCtr
exp,1 0
222 4
Gc
k s Equation de dispersionk ⇿ ω
02
02 2,
4
G
ckc
Gk s
JJ
sJ
Nombre d’onde et longueur d’onde de Jeans
![Page 97: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/97.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• L’équation de dispersion devient
• Si λ < λJ ⇔ k > kJ, on a ω2>0, donc ω réel est oscillant ⟹ oscillations ⇔ stabilité
• Si λ > λJ ⇔ k < kJ, on a ω2<0, donc ω imaginaire pur est exponentiel réel ⟹ divergence ⇔ instabilité !!
• Masse de Jeans = masse d’une sphère de diamètre λJ
• Si cs2 = γkT/μ,
• Cette masse est susceptible de s’effondrer sous son propre poids (perturbation ∼ λJ)• Exemple : Nuage moléculaire H2, n=2000 cm-3, T=7K ⟹MJ≃11 M
• On pose
Si λ > λJ , le système s’effondre
14
2
0
2
Jk
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G
trki
exp
trki
exp
2/3
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G
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6
G
kTM J
![Page 98: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/98.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
II – Instabilité de Jeans dans un système stellaire
• Il faut repartir des équations de Bolzmann et de Poisson linéarisées
• Problème: Que vaut ?? Oui, mais U0 uniforme ⟹• On cherche
vGGU
UUvt
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3111
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Equation de dispersionk ⇿ ω
![Page 99: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/99.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Si on veut aller plus loin, il faut faire une hypothèse sur Ψ0 Distribution de Maxwell⇾
• On reporte, en supposant
• Avec ça devient
• La limite stabilité/instabilité se trouve en ω=0 .Pour ω=0 , on trouve
• On doit avoir des solutions stables pour k>kJ
et des solutions instables pour k<kJ .
vvv v
vv
vv
v
2222 2/2/322
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02 4J
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![Page 100: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/100.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Dans l’instabilité : ω=iγ
• On trace la relation de dispersion normalisée
• En fait, il n’ya pas de solutions oscillantes pour le système d’étoiles (amortissment de Landau).
tx
kkkk t
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21
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2
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![Page 101: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/101.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Relaxation• En régime stationnaire, le théorème de Jeans dit
• En réalité, il n’y a pas de régime rigoureusement stationnaire
• Pourquoi ?– Parce qu’en considérant un potentiel lissé, on fait une approximation
– C’est principalement lorsque deux étoiles sont « proches » l’une de l’autre que les écarts au potentiel lissé comptent.
– Ce sont les rencontres qui font évoluer l’état stationnaire. Ce phénomène est appelé relaxation à deux corps.
• Temps de relaxation = temps au bout duquel l’état stationnaire est sigificativement modifié
• Avec les rencontres
constantes,,,,avec,,,,, 5432154321 IIIIIIIIII
variableslentement ,,,,avec,,,,,, 5432154321 IIIIItIIIII
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1
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![Page 102: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/102.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Calcul du temps de relaxation
• On s’intéresse aux rencontres. Leur effet principal est une déviation des étoiles
infinil' à vitesse
impactd' paramètre
E
KéplérienMouvement
;
221
2
2122221
321
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22123
21
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![Page 103: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/103.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• On aboutit finalement à
• N = nombre d’étoiles
• Hypothèses
• D0 = Distance moyenne séparant deux étoiles voisines
Les déflexion sont très petites ! La relaxation est un phénomène mineur…
mr
mr
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![Page 104: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/104.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Hypothèses– 1 étoile test a une vitesse v ̅ – Les autres sont (en moyenne) immobiles– Chaque rencontre est caractérisée
par sont paramètre d’impact b etun angle θ
– ⟹ Pour une rencontre, on a le changement de vitesse
• tr = Temps qu’il faut pour changer significativement la vitesse dans une direction perpendiculaire (y ou z) au mouvement
– Nombre d’étoiles rencontrées pendant Δt, entre b et b+db, θ+dθ : – Changement de vitesse moyen au bout de Δt– ⟨Δvy =0⟩ (algébriquement nul), mais (⟨ Δvy)2 ≠0⟩
• Le changement de gradient dans un déplacement infinitésimal vaut
• Une fois qu’on a minimisé le long de u, si on recommence le long de v, il faut que le gradient reste perpendiculaire à u.
• Les directions u et v sont alors dites conjuguées.
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2
22
bb
bb
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c
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![Page 105: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/105.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• tr = Temps au bout duquel (⟨ Δvy)2 ⟩ ≈ v ̅2
• tr ≫ td La relaxation est un phénomène lent !
• Amas ouvert : tr 10∼ 7 ans ; Amas globulaire : tr 10∼ 9 ansGalaxie elliptique : tr 5∼ ×1014 ans ; Galaxie spirale : tr 10∼ 13 ans (plus court en réalité à cause du gaz)
• La relaxation fait « oublier » les conditions initiales.
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![Page 106: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/106.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Relaxation violente
• La relaxation peut être due (momentanément ou non) à autre chose que les rencontres à deux corps → en général ça raccourcit (beaucoup) tr
• La relaxation violente correspond à– Un système hors équilibre– Une accélération violente de la relaxation et de l’évolution physico-
chimique– tr ∼ quelques td
• Exemple : galaxies elliptiques
• Si l’état est stationnaire E est une constante !• Si l’évolution est hors équilibre, E est non conservée
⟹ Relaxation violente !
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![Page 107: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/107.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Evasion : temps de vie• Ψ n’est pas stable au cours du temps…
• Existe-t-il une état « superstationnaire » invariant par rapport aux rencontres ?
• Le seul état possible c’est la distribution de Maxwell
• MAIS, une étoile qui atteint une vitesse trop grande (> vitesse d’évasion) s’évade du système…⟹ On n’atteint JAMAIS la distribution de Maxwell, car les étoiles s’évadent⟹ Le temps de vie du système peut être fini !
22 2/
2/32e
2
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![Page 108: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/108.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Evasion : temps de vie• Taux d’évasion :
– = Energie potentielle moyenne par étoile– = Energie potentielle pour un couple d’étoiles
• Une étoile qui s’évade juste (v = ve) a une énergie nulle
• L’énergie est constante; ∼ E = cte, Ω = cte, T = cte Le système se contracte
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2
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2
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Maxwell
Perte d’étoiles v≥ve
Reconstitution par relaxation0074.0dt
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![Page 109: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/109.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Morphologie et dynamique des galaxies
1. Zoologie des galaxies2. Dynamique stellaire 3. Dynamique galactique
• Systèmes axisymétriques. Troisième intégrale• La rotation différentielle de la Galaxie• Approximation d’ordre 1 : mouvement épicyclique• Modèles de potentiels galactiques • Structure spirales des galaxies• Orbites des étoiles : Résonances de Lindblad• Barres
![Page 110: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/110.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Dynamique galactique• Une galaxie est un système stellaire de symétrie axiale (en première
approximation) . En coordonnées cylindriques ⨉ ⨉→ Dans la réalité, le gaz rend les choses plus compliquées…• Intégrales premières
– Etat stationnaire ⟹ U(r,z,tu)– Il y en a forcément d’autres, sinon on a isotropie
– Théorème de Jeans fort : Sauf cas particulier, il y a au maximum une autre intégrale isolante I3, mais pas plus
– Problème : Existe-t-il une troisième intégrale ou n’y a-t-il que I1 et I2 ?– En fait I3 est nécessaire, mais historiquement, on a cru le contraire…
),,(;),,( zrzrU
),(221
1 zrUvEI
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![Page 111: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/111.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Une troisième intégrale ?• Supposons que l’on ait seulement I1 et I2…
• vr et vz ont le même rôle ⟹ ⟨vr2⟩ = ⟨vz2⟩Or, dans le voisinage solaire, ⟨vr2⟩ ≈ 2⟨vz2⟩⟹ I3 existe nécessairement
• Mais que vaut I3 ? Quelle est sa signification physique ?
zrzzrzzz
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222221322
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![Page 112: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/112.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Approximation de Oort - Lindblad• On suppose z petit (on reste près du plan galactique) :
• Alors est conservée.
• Ce n’est qu’une approximation. Sinon on devrait avoir ⟨vr vz⟩ = 0Ce n’est pas le cas dans le voisinage solaire pour les étoiles à grande vitesse. Donc…
zUrUzz
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0,
0,,
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21
3
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21 ,,,
![Page 113: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/113.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
La rotation de la Galaxie• La rotation de la Galaxie est différentielle
= toutes les étoiles ne tournent pas avec la même vitesse angulaire. On a v(r) = rω(r), T(r)=2π/ω(r) ω(r) est une fonction décroissante de r. Soleil : T⊙ = 2.5×108 ans
• Détermination au voisinage du Soleil– On cherche à déterminer ω⊙ et (dω/dr)⊙ – La position d’une étoile voisine par
rapport au Soleil: distance d et angle l – On peut connaître observationnellement
d, l et ses dérivées.
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1-1-21
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kpcs km 5.114dr
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rAConstantes de Oort (1927)
![Page 114: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/114.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
La courbe de rotation de la Galaxie• Plus loin, on utilise la raie à 21 cm.• Résultat :
• Limites : On a supposé que les orbites sont circulaires : C’est faux !• On peut en théorie en déduire le potentiel U(r) dans le plan galactique
(mouvement à l’ordre 0) Mais c’est très imprécis
• Rappel: Potentiel Képlérien
Jamais observé dans aucune galaxie !
Rotation solide
Rotation différentielle
ss
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U
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![Page 115: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/115.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Ordre 1 : mouvements épicycliques
• On considère une étoile sur une orbite circulaire perturbée.
ξ,η,z ≪ r0 car U(r,z)
• On développe, on ne garde que les termes du 1er ordre : pas de • On développe aussi le potentiel en fonction des dérivées partielles
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![Page 116: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/116.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Ordre 1 : mouvements épicycliques
• On tient compte des symétries du potentiel par rapport au plan galactique, et de la solution à l’ordre 0:
(1)
(2) (3)
• L’ équation (3) est indépendante des deux autres ⟹ Le mouvement en z est indépendant ⟹ Il y aura bien une troisième intégrale.
200
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![Page 117: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/117.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• On pose Fréquence épicyclique
• Il y a trois fréquences fondamentales : κ0, ωz, ω0• Dans le voisinage solaire :
κ0 ≈ 32 km s-1kpc-1 ; ωz ≈ 72 km s-1kpc-1 , ω0 ≈ 25 km s-1kpc-1
ar
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![Page 118: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/118.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Mouvements épicycliques : solution
1. Supposons a=0. Le mouvement en (ξ,η) se fait sur une ellipse à la fréquence κ0
2. Si c=0, ξ=cte, dη/dt=cte Mouvement circulaire à ⟹ r ≠ r0. 3. Dans le cas général a ≠ 0, c ≠ 0, on peut toujours se ramener au cas 1. en changeant
r0.4. En plus, on a mouvement oscillatoire en z. Au total, l’orbite emplit tout un volume
cylindrique. On a 3 intégralesisolantes et 2 non-isolantes.
5. Sauf si κ0, ωz, ω0 sont dans un rapportrationnel simple (résonances)
Trajectoire ⟹
![Page 119: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/119.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Mouvements épicycliques : cas particuliers
1. Potentiel Képlérien
Toutes les intégrales sont isolantes L’orbite est fixée !⟹
2. Rotation solide :
3. Rotation plate :
Dans la pratique, on est toujours entreles cas 1 et 2 ⟹A cela se rajoute toujours la relaxation sousL’effet aléatoire des rencontres.
0022
,
zzr
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000
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21
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![Page 120: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/120.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Modèles de galaxies• Idée: Se donner des modèles mathématiques
(paramétriques) ad-hoc de potentiels/densités de galaxies et les ajuster aux observations.
• Buts : Pouvoir estimer les masses, et explorer numériquement la dynamique.
• Condition imposée : Avoir une troisième intégrale I3 par construction
• Modèles classiques : Brandt, Kuzmin, Miyamoto-Nagai
• Modèles modernes : Potentiels de Stäckel.
![Page 121: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/121.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Potentiels de Stäckel• Coordonnées sphéroïdales axisymétriques
• Potentiel de Stäckel:
• Il y a une troisième intégrale
22
222
22
222
22
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212222
21
3
On tire ρ(λ,ν)de l’équation de Poisson
![Page 122: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/122.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Potentiels de Stäckel• Exemple : Potentiel de Kuzmin-Kutuzov
• Dans le plan galactique (z = 0 ⇔ ν = c2) , cela donne
Courbe de rotation →
32/3
22 3
4,
,
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22
0,rac
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![Page 123: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/123.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Structure spirale des galaxies• 61% des galaxies sont spirales
• Notre Galaxie a une structure spirale
• En général, on observe deux bras spiraux, mais il y a des irrégularités
• Les étoiles jeunes sont dans les bras → lien clair avec la formation stellaire.
• Les bras sont peu enroulés, alors que les galaxies ont connu ~50 rotations depuis leur formation.⟹ Les bras sont des structures immatérielles, où les étoiles ne font que passer
• Ce sont des ondes de densité. Quelle est leur origine ?
Ondes de densité cinématiques(Kalnajs 1975)
![Page 124: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/124.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Ondes spirales• L’onde spirale est une perturbation non-axisymétrique du potentiel
stationnaire axisymétrique
• Perturbation spirale :
• Si U1*(r)=A(r) e-iϕ(r) ,
• à t donné, les points où la phase est égale à C c’est
• à t+dt pour avoir le même C, il faut • ⟹ La spirale tourne à
0110 ;,,,,, UUzrUzrUzrU
m
krfkCmtr
2)(2
mtirUzrU exp,, *11
Amplitude complexe Constante Entier = nombre de bras
mtrrAzrU cos,,1
Spirale à m bras !
tm
ttt dd
ms
![Page 125: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/125.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Ondes spirales : suite
• On pose :
k(r) >0 concave (trailing) k(r)<0 convexe (leading)
• |k(r)| grand ⇔ onde très enroulée; |k(r)| petit ⇔ onde peu enroulée;
• k(r) est très affecté au voisinage de certains r particuliers correspondant à des résonances
rkr
r
rm
r
rrk
2;
d
d
d
d
Vecteur d’onde et longueur d’onde
![Page 126: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/126.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Mouvement des étoiles dans un champ spiral
• On part du potentiel perturbé
• On considère une étoile dans le plan (z = 0), sur une orbite circulaire perturbée, et on écrit les équation du mouvement
• On aboutit à un système similaire à celui des mouvements épicycliques, mais il reste les dérivées de U1 par rapport à θ .
1
2
00
00
0
112
r-rr,avec
U
r
U
rrr
r
U
rt
r
rr
0110 ;,,,, UUrUzrUzrU
timrUrU sexp, *11
00
000000
,
1
00
,
1
0,
12
,2
2200
12
2
r
rrr
U
r
r
U
rr
U
r
U
![Page 127: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/127.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• On élimine tous les termes d’ordre 2 (U1 est d’ordre 1). Il reste
• On injecte la forme spirale de U1 avec θ ≈ ωt
• Solution :
00
00
,
1
00
,
120
200
12
42
r
r
U
r
r
U
timr
U
r
UC
Ctimr
U
s
C
s
ss
0
*1
00
*10
020
0000
*1
0
exp2
exp2
1
(petites) forcées nsOscillatio
020
220
1
)(épicycleslibres nsOscillatio
i32
cte
20
0 expee 00 timm
CCC
Ct s
s
tti
![Page 128: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/128.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Conséquence : Résonances de Lindblad• Problèmes si– Ωs = ω0 : Résonance de Corotation
– κ02‒m2(Ωs ‒ ω0)2 = 0 : Résonances de Lindblad :
Résonance interne (ILR)
Résonance externe (OLR)
m
m
s
s
00
00
Corotation
ILR
OLR
![Page 129: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/129.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Un modèle linéaire de structure spirale
• On ne va considérer (pour l’instant) que le gaz
• On va considérer un disque mince.
• On écrit les équations de l’hydrodynamique et l ’équation de Poisson
• On dit qu’il existe une solution non spirale de mouvement circulaire ω0(r), et que le mouvement réel est une perturbation.
errrwerurvrr
r
rr
0
00
,,,
GU
PUvvt
v
vt
4
0
![Page 130: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/130.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Le disque est mince : ρ→σ=∫ρ dz• La pression ? On dit a0 = vitesse d’agitation• σ(r,θ,t) = σ0(r)+σ1(r,θ,t) ; U(r,θ,t) = U0(r)+U1(r,θ,t) • → On tire les équations décrivant les variations de u, w, σ1, U1• En coordonnées cylindriques, on obtient
+ Poisson ΔU = 4πGσ δ(z)• Ensuite, on linéarise : σ = σ0+σ1, etc…. On ne retient que les termes
du permier ordre
U
r
P
rr
rwu
w
r
rwrw
ru
t
wr
U
r
P
r
rwu
r
rw
r
uu
t
u
rwr
urrrt
1
011
000
200
0
20aP
![Page 131: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/131.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Il reste
• On peut réécrire la troisième équation :
• On considère maintenant des perturbations spirales :
11
0
20
000
11
0
20
00
0100
1
1
2
01
Ua
ru
wr
ru
t
w
r
U
r
aw
u
t
u
w
rur
rrt
11
0
20
0
20
01
2
Ua
ru
w
t
w
mtirUU
mtirww
mtiruu
mtir
exp
exp
exp
exp
*11
*
*
*11
![Page 132: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/132.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Et on injecte dans les équations
avec k vecteur d’onde , et
ν = 0 ⇔ Corotation ; ν = -1 ⇔ OLR; ν = 1 ⇔ ILR.
x = tanα, avec α angle d’ouverture la spirale ν représente le rapport entre la fréquence des oscillations forcées m(Ωs‒ω0) et la fréquence naturelle d’oscillation κ0
kr
mx
mm s
;0
0
0
0
*1
0
20*
10
*
0
0*
*1*
10
*1*
100
20
0
0**
*
0
0*0
*0
0
*1
2
12
11
aU
ikxuwi
r
UikU
rik
awui
wxk
ur
ium
ixk
![Page 133: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/133.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Approximation WKB1. Tight winding : x ≪ 1 ⇔ La spirale est bien enroulée
(α=6.3° dans la Galaxie)⟹ On va négliger les termes en x
2. Négliger les dérivées spatiales : Il y a des termes de la forme
On dit ⇔ Pas de variations radiales brusques
Tight winding ⟹On va donc négliger toutes les dérivées par rapport à r
⟹ Il reste un système linéaire
,, *1
*1 UF
r
FikF
m
xkF
r
F
r
F
~
ikFr
FikFkF
r
F
r
F
~
![Page 134: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/134.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Résolution : relation de dispersion• Résolution du système
(3 équations, 4 inconnues)
• Equation de Poisson
• Simplification : on dit σ1 ≈ cte jusqu’à et 0 au-delà .Que peut valoir R ? Typiquement R~|1/k|
• La combinaison des 4 équations fournit la relation de dispersion
020
020
20
22 2
1k
kk
Gak
20
2220
0*1
20*
20
2220
*10*
20
2220
*1
2
0
*1
1
2/
1
1
ak
Uikw
ak
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ak
Uk
r
rr
rGrU
211 d
Rrr
k
GGRUrGRrU
*1*
1*111
222
![Page 135: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/135.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Equation de dispersion : discussion
• On pose . La relation de dispersion devient
• C’est une équation du 2ème degré en |k|/k0 ! • La limite de stabilité est donnée par ω = 0 ⇔ ν = 0. Pour tout k,
on doit avoir ω2 > 0 jusqu’à m = 0.• Stabilité ⇔ Q ≥ 1 ⇔ • La pression (ou la turbulence) doit être suffisamment importante pour
s’opposer à l’effondrement gravitationnel…
0
00
0
002
G
akaQ
014
2
020
22
k
k
k
kQ
0014 0
20
22
kk
k
k
kQ 1Q
0
00
Ga
![Page 136: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/136.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Equation de dispersion : disque stellaire
• Dans le cas d’un disque stellaire, il faut repartir de l’équation de Boltzmann ou des équations de Jeans.
• On introduit une dispersion de vitesse σv qui joue un rôle équivalent à a0.
• La difficulté vient de la combinaison des mouvements épicycliques et des perturbations spirales.
• On aboutit à une nouvelle équation de dispersion:
avec Facteur de réduction
122
2
0
cos12
/1e1
2dsinssine
sin
1,
n
n
ns
Is
s
ss
F
0,120
22
0
2
vk
k
kF
( k0 et ν définis comme précédemment)
![Page 137: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/137.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Stabilité : Critère de Toomre
• On a stabilité si ω2>0 ∀ m ≥ 0. Critère• de Toomre
• Ce critère de stabilité est très proche de celui du disque de gaz
• Dans notre Galaxie : Q ≈ 1.3• Quand il y a stabilité, on écrit les solutions l’équation de dispersion k = f(ν) pour
le disque de gaz
Ondes courtes Ondes longues
• En fait, on a ±kl et ±kc ⟹ Ondes trailing ET leading
k
k
k
k v 0,0120
22
0
F 0358.3 0
0
G
Q v
1
0
00
G
aQ
2
22
02
22
0
1144;
1144
Q
Q
k
k
Q
Q
k
k lc
![Page 138: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/138.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Solutions de l’équation de dispersion• Dans le cas du disque
stellaire, on trouve aussi des ondes longues et des ondes courtes.
• Pour une valeur de Q donnée, il est possible que dans certains domaines de ν il n’y ait pasde solution en k ⟹ ondesévanescentes.
• Pour le disque stellaire, les ondes n’existent pour un Q donné que dans un domaine 0 ≤ |νm| ≤ |ν| ≤ 1 ⟹ L’onde ne peut pas exister partout dans la galaxie !
• Dans le cas du disque de gaz kc dépend essentiellement de a0, pas kl. Les ondes courtes sont des ondes ~sonores qui sont sujettes à l’amortissement de Landau dans un disque stellaire.
![Page 139: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/139.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Solutions de l’équation de dispersion• Dans le cas stellaire, les ondes spirales
n’existent que pour
donc entre les résonances de Lindblad,et pour Q > 1, à l’exclusion aussi d’une zone autour de la corotation
• La région d’existence des ondes est d’autant plus grande que m est petit.
• Cela favorise les modes à m petit, donc m = 2 (1er mode symétrique)
• Dans le cas Q ≫ 1 (⇔ L’autogravité est négligeable), l’onde ne peut exister que si ν ≈ ±1 . ⇔ l’onde stationnaire ne peut se développer que s’il y a résonance entre la fréquence forcée et la fréquence naturelle.Exemple : Potentiel Képlérien ⟹ Les ondes sont quasi inexistantes !
• A chaque itération, on teste un saut aléatoire de la solution, qui induit une variation de χ2 : Δχ2.– Si Δχ2<0, on applique le saut;– Si Δχ2>0, on l’applique avec la probabilité e-Δχ2/T(n)
• Cette technique peut permettre de sortir d’un minimum local.
mm s0
00
01
![Page 140: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/140.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Evolution des paquets d’ondes
• La vitesse de groupe (= vitesse de déplacement d’un paquet d’ondes) s’écrit vg=dω/dk (vitesse de phase c=ω/k )
Pente sur les courbes
Un paquet d’ondes évolue toujours dans le sens des k croissants.
00
0
k/kd
d
dk
d
kvg
0
00
d
d
d
d
d
d
d
d
rt
r
rvt
k
gvg
![Page 141: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/141.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Evolution des paquets d’ondes (2)
• A : Onde courte, leading, se déplaçant vers la corotation
• C : Réflexion contre la corotation, puis onde longue leading
• E : Réflexion contre l’ILR (OLR), puis onde leading, longue d’abord (F), puis courte
et disparition par amortissement de Landau.
Remarque : En E , WKB est douteux…
![Page 142: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/142.jpg)
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Amplification swing• Tout paquet d’ondes doit passer par la séquence
court leading → long leading → long trailing → court trailing
• Les simulations numériques montrent que l’amplitude de l’onde augmente considérablement quand l’onde passe de leading à trailing.
• Ce phénomène non-linéaire est appelé amplification swing. Il n’est pas prévu dans le cadre de l’approximation WKB
• Il trouve son origine dans une coïncidence entre la vitesse d’une étoile dans son mouvement épicyclique et la vitesse de déroulement du bras.
• Ce phénomène est d’autant plus important que Q est proche de 1 (≲ 1.5)⟹ L’existence de ce phénomène explique qualitativement pourquoi toutes les spirales observées sont trailing : Leur amplitude est plus grande !
![Page 143: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/143.jpg)
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Barres• Les barres sont des exemples de structures triaxiales, plates.
• Ce ne sont pas des ondes de densité en mouvement. Les étoiles qui sont dans la barre y restent.
• Elles se forment comme des ondes stationnaires par interférences entre ondes leading et trailing.
• Quelle est leur origine ? Dans certaines galaxies, il est possible qu’il n’y ait pas de résonance interne de Lindblad.
Potentiel de Kuzmin-Kutuzov c/a=1/2
![Page 144: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/144.jpg)
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Barres (2)• Ca se produit typiquement quand Ωs est
grand. Dans ce cas, un paquet d’ondesdevenant trailing ne peut pas se réfléchir contre l’ILR
Il se propage jusqu’au centre ! ⟹• Ensuite, il ressort sous la forme d’une
onde leading de même amplitude se propageant vers l’extérieur
• Interférence :(m = 2)
• Θ et t sont découplés = Onde stationnaire = BARRE !
2coscos)(2
2cos2cos1
trrA
trrAtrrAU
![Page 145: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/145.jpg)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Barres (3)• Problème : L’onde leading réfléchie sur ce centre va recommencer un
nouveau cycle leading → trailing→ Et recommencer à se propager jusqu’au centre
• Mais à chaque tour, l’amplification swing modifie l’amplitude de l’onde ⟹ Instabilité ! (de barre)
• Dans la pratique, la barre croît de l’intérieur vers l’extérieur sans dépasser la corotation
• La barre attire des étoiles de ω0 de plus en plus petit ⟹ Le champ spiral ralentit ⟺ Ωs diminue⟹ Une résonance interne de Lindblad apparaît⟹ Le processus de croissance de la barre est stoppé⟹ La barre se stabilise
• Dans une galaxie avec une forte ILR, on ne forme pas de barre.
![Page 146: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/146.jpg)
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![Page 147: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/147.jpg)
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![Page 148: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/148.jpg)
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![Page 149: Morphologie et dynamique des galaxies M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »](https://reader038.vdocuments.us/reader038/viewer/2022102801/568134a9550346895d9bb73b/html5/thumbnails/149.jpg)
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