septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Morphologie et dynamique des galaxies
M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »
Hervé Beust
Laboratoire d’Astrophysique de Grenoble
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Morphologie et dynamique des galaxies
1. Zoologie des galaxies2. Gravitation et dynamique planétaire3. Dynamique stellaire 4. Dynamique galactique
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Morphologie et dynamique des galaxies
1. Zoologie des galaxies• Historique de la notion de galaxie• Classification des galaxies• Photométrie des galaxies• Répartition des galaxies dans l’Univers • Le contenu des galaxies• Cycle de fonctionnement d’une galaxie• Principaux résultats pour les divers types de galaxies
2. Gravitation et dynamique planétaire
3. Dynamique stellaire4. Dynamique galactique
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Historique de la notion de galaxie• 1610 : Galilée résout la voie lactée en étoiles.• Fin XVIIIe siècle : Idée d’un système stellaire aplati centré sur le
Soleil (Herschel).• 1784 – 1854 – 1888 (Lord Ross – Dreyer – Messier) : Catalogues
d’objets diffus (mélangé) Nébuleuses spirales ??• 1915 : Shapley compte les amas globulaires Le Soleil n’est pas au
centre (à 15 kpc).• 1916 : Pease découvre la rotation de la Galaxie.• 1923 : Hubble identifie des Céphéides dans M31 d = 300 kpc (670 en fait) C’est un système extragalactique L’étude des galaxies peut commencer
• 1926 : Classification de Hubble, révisée ensuite par De Vaucouleurs
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Classification des galaxies
• 13% Elliptiques (de E0 à E7)
• 22% Lenticulaires (S0,spirales sans bras)
• 61% Spirales (barrées et non barrées)(Sa-c, Sba-c)
• 4% Irrégulières
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Classification
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Galaxie elliptique : M87
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La galaxie sombrero (M104) : Lenticulaire
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Galaxie irrégulière : NGC 4449
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Galaxie irrégulière : NGC 6822
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Galaxie irrégulière : M82
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Galaxies spirales
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M100 et NGC2997 : spirales
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NGC 1987 et NGC1300 : spirales barrées
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Morphologie des galaxies
• Elliptiques : vues sous la forme d’une image elliptique d’axes a et b. On pose q=b/a. – Si ce sont des ellipsoïdes de révolution d’axes a0 et b0
(q0=b0/a0), inclinés de i par rapport au plan du ciel alors
– Si i ≈ 0, alors q ≈ 1 q0. Statistiquement on ne trouve pas assez de q ≈ 1. Les galaxies elliptiques sont plutôt des objets non-axisymétriques, des ellipsoïdes à 3 axes inégaux a,b,c.
20
20
22
1cos
q
qqi
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Morphologie des galaxies• Lenticulaires :
– Axisymétriques. Intermédiaires entre elliptiques et spirales; – Gros bulbe par rapport au disque;– Pas de bras.
• Spirales : Systèmes axisymétriques à 3 sous-systèmes distincts: – Au centre : le bulbe ≈ galaxie elliptique.– Autour : le disque = zone active,
contient les bras spiraux et le gaz.– Tout autour : le halo, beaucoup moins
dense mais peut-être massif.– Bras spiraux = ondes de densité…
• Irrégulières : plusieurs sous-classes– Irrégulières magellaniques = Petites galaxies (109 – 1010 M) : Bulbe + barre +
petit disque– Galaxies bleues compactes : très petites (108 M) ≈ grosses régions H II
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Magnitudes des galaxies• Magnitudes apparente et absolue : définition comme pour les étoiles:
• Les magnitudes absolues des galaxies varient entre −22 et −18• Loi de distribution empirique de Schechter (1976)
• MAIS, la distribution varie suivant lestypes : – α ≈ −1.7 pour les types tardifs
(Irrégulières) : plus de petites galaxies– α ≈ −0.7 pour les types précoces
(Elliptiques) : pic dus aux bulbes
AdAdMm
f
fm
25Mpc)(log55pc)(log5
log5.20
MMM
LL
L
L
L
LLL
MMMM d10exp10ln104.0d)(
dexpd)(
** 4.014.0*
***
*
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Photométrie des galaxies (I)
• Elliptiques et bulbes des spirales– Hubble (1920) :
– De Vaucouleurs (~1950) :• Notion d’isophote = ligne de niveau de brillance superficielle
• Rayon isophotal : r = √ A/π si A est l’aire enfermée par l’isophote I
• Loi en r1/4 :
– Il y a aussi les lois de King (galaxies tronquées) et de Nuker (plusieurs paramètres)
20)(ar
IrI
= détermination de la brillance superficielle (magnitude par seconde carrée)
en divers points de l’image
lumièrela de moitiéla contenant Isophote
130.3)(
log4/1
e
ee
I
r
r
I
rI
bbB
ctcr
r
r
rIrI
rrrrKrI 12)(
/1
1
/1
1)(
22
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Photométrie des galaxies (II)
• Disques des spirales et des lenticulaires :– Freeman (1970) :
– Sersic (1968, généralisation de la loi en r1/4) :
– Pour n=4, on retrouve la loi en r1/4; pour n=1, on a une loi exponentielle
– Il n’y a pas une simple transition de n=4 à n=1 du bulbe au disque d’une galaxie. S’y ajoute souvent une composante de type lentille.
1
)(log
/1 n
en
e r
rb
I
rI
20
/0 /mag3.065.21avece)( 0 IIrI rr
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Répartition des galaxies dans l’Univers
• Les galaxies ne sont pas des systèmes isolés. Elles se rassemblent en « associations » :– Paires = deux galaxies en interaction proche.
Taille typique : 0. 1 Mpc Exemple : Nuages de Magellan / Galaxie
– Groupes = quelques dizaines de galaxies liées gravitationnellement. Taille typique : 1 – 2 Mpc. 85% des galaxies sont dans des groupes. Exemple : Le groupe local
– Amas = quelques milliers de galaxies. Amas réguliers et irréguliers. Taille typique : 10 Mpc. Exemple : Virgo, Coma
– Superamas = associations de groupes et d’amas. Taille typique ⋍ 100 Mpc. Exemple : Le Superamas local– Hypergalaxie = regroupement plan des superamas proches (≲ 200 Mpc). Encore sujet à débat.
Le voisinage solaire
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Le voisinage solaire (2)
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Le voisinage solaire (3)
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La Galaxie
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La Galaxie vue de dessus
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Les galaxies liées à la nôtre
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Le groupe local
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Les groupes de galaxies proches
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Les groupes de galaxies proches (2)
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Le superamas local
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Les superamas voisins
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Le contenu des galaxies : contenu stellaire
On distingue Population I et Population II
• Population I :– Etoiles jeunes
– Etoiles bleues abondantes (type O, B) qui dominent la luminosité
– Métallicité élevée
Dans les bras des Spirales et les Irrégulières
• Population II :– Etoiles vieilles
– Luminosité dominée par les géantes / supergéantes rouges (type M)
– Faible métallicité
Dans les amas globulaires, les Elliptiques et le bulbes des Spirales
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Composition chimique : métallicité
• Z = métallicité = témoin des conditions de formation de l’étoile
• Population I = Z élevé (⋍ Soleil)• Population II = Z faible (⋍ 0.001)• Etoile jeune : Z élevé• Etoile âgée : Z faible
Etoile de masse M
Etoile de masse M
X = mH / M Soleil = 0.695 + Y = mHe / M Soleil = 0.285 + Z = mReste / M Soleil = 0.0169--------------------X + Y + Z = 1
Hydrogène
Hélium
Autres éléments
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Le contenu des galaxies : milieu interstellaire– Dans les Elliptiques : moins de 0.1% de la masse
– Dans les Spirales : 5 à 10% de la masse
– Dans les Irrégulières : Plus de 30%
• On y trouve:– Du gaz : Atomique Neutre (H I) Ionisé (H II) Moléculaire (H2)
Plusieurs types Associé aux Nuages Moléculaires de nuages Etoiles chaudes (O,B) géants (GMC)
– Des poussières (⋍10% de la masse)• Pour l’observer :
– Poussières : Extinction
– H I : Raie à 21 cm (radio)
– H II : Difficile, pas de raies ⟹ Raie Hα de H I (6562 Å) + O II (9727 Å)– H2 : Pas directement (molécule symétrique), mais via la molécule CO dans
le millimétrique (molécule abondante, grande résolution, pas d’extinction)
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Les poussières dans le milieu interstellaire
• Comment les voir ?– Indirectement : trous dans la Voile lactée– Directement : Nébuleuses par réflexion (diffusion de la lumière d’une étoile
chaude par les poussières)
• Effet principal : Extinction A⋍0.8 Mag / kpc– En réalité, A dépend de la longueur d’onde A = 〔 f(λ)+1 〕 AV– Résultat principal : A ∝ 1/λ S’explique par la nature
diélectrique des grains 0.1 – 10μm– Mais bosse à 2200 Å ?? Grains de graphite 0.02 μm ouC60 Fullerène ?– Conséquences : rougissement
+ difficulté d’observation à courte longueur d’onde
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Le contenu des galaxies : Trous noirs supermassifs
• Il y a probablement au centre de chaque galaxie un trou noir supermassif de plusieurs millions de masses solaires.
• On distingue deux cas : 1. Galaxie non active : Le trou noir n’intervient que par sa masse⟹ Détecter des mouvements orbitaux au plus proche du centre2. Galaxie active : Le trou noir accrète de la matière ⟹ LuminositéOn estime la masse en disant
Ce qui permet d’estimer M en mesurant L. On trouve 106 – 1010 M⨀
Cycle de fonctionnement d’une galaxie
• Mais le Z est inhomogène : il décroît d’un facteur 3-4 du centre du disque vers les bords
• On ne connaît pas d’étoile avec Z = 0.
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Etoiles Gaz interstellaire
Résidus non lumineuxGaz intergalactique ?
Formation
Conséquence
Le Z augmente dans la galaxie
Pop I
Pop II
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Résultats concernant les principaux types de galaxies
• Elliptiques:– Peu d’activité – quasiment pas de gaz interstellaire (pas assez….)
– Population II de grande métallicité
Ce sont des galaxies très évoluées
• Lenticulaires:– Contenu stellaire ⋍ Elliptiques– Peu d’activité (pas de régions H II)
– Pas de formation stellaire
– Plus de gaz que dans les Elliptiques
Pourquoi la formation stellaire s’y est-elle arrêtée ? Fonction de l’environnement ?
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Résultats concernant les principaux types de galaxies (II)
• Spirales:– Bulbe et disque très différents
– Bulbe pris isolément galaxie Elliptique ⋍: Population II, pas de gaz plus vieux
– Disque = système beaucoup plus jeune : gaz interstellaire (5-10%), Population I, activité de formation stellaire, régions H II ( étoiles chaudes, donc ⟹jeunes) Système en évolution
– Le H I s’étend plus loin que les étoiles.
– La distribution est parfois dissymétrique
– Le H I est lié aux bras spiraux (contraste de densité 3-5). Le gaz est plus affecté par la structure spirale que les étoiles
– Le H II est lié à H I et présente parfois une région annulaire
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Résultats concernant les principaux types de galaxies (III)
• Irrégulières:– Beaucoup de gaz : 30%
– Etoiles de faible métallicité Ce sont des galaxies peu évoluées
– Beaucoup d’étoiles jeunes, avec formation stellaire très (trop ?) active
• Exemple : galaxies bleues compactes– Elles ressemblent à de grandes régions H II
– On y trouve surtout des étoiles chaudes et massives (types O-B)
– Très fort taux de formation stellaire
Au point qu’à ce rythme , tout le gaz risque d’être consommé rapidement… Episode de flambée de formation stellaire ? Pourquoi ?
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Morphologie et dynamique des galaxies
1. Zoologie des galaxies2. Gravitation et dynamique planétaire
• L’interaction de gravitation• Le problème des deux corps et les lois de Kepler• Le problème Képlérien perturbé et les théories planétaires• Les résonances
3. Dynamique stellaire4. Dynamique galactique
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 42
L’interaction de gravitation
• La force de gravitation est la plus faible des forces fondamentales.• Mais c’est la seule qui est toujours attractive et qui agit à grande distance ( r-2) C’est elle qui régit les interactions à grande distance dans l’Univers– Les forces électromagnétiques sont écrantées à grand distance par la neutralité;– Les forces nucléaires n’agissent qu’à très courte distance ( e-r)
• Elle vérifie le principe d’équivalence : Elle est proportionnelle à la masse masse grave = masse inerte– Vérifié expérimentalement à mieux que 10-17 près
• G = Constante de la gravitation = 6.6732 x 10-11 m3 s-2 kg-1
• Force petite, à longue portée, toujours attractive, inexacte
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 43
La gravitation universelle (Newton 1687)
• Deux corps ponctuels de masses m1 et m2 s’attirent en raison inverse de leur distance r : m1 m2
r
• G = Constante de la gravitation = 6.6732 x 10-11 m3 s-2 kg-1
• Force petite, à longue portée, toujours attractive, inexacte– Théorie plus exacte : Relativité Générale (Einstein 1916)
221
2112 r
mmGFF
12F 21F
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 44
Le potentiel gravitationnel
• La force de gravitation dérive d’une énergie potentielle
• On place l’origine du repère à la masse 1, on raisonne en coordonnées sphériques (r,θ,φ). La force F1→2 s’écrit :
• Le potentiel gravitationnel créé par m1, c’est Ep/m2
r
mmGEp
2121,
r
mGmF
r
mGm
rF
r
mGm
rF
r
mGm
rr
mGmFr
21
21
21
212
21
sin
10
10
r
GmrU 1)(
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 45
Théorème de Gauss
• Une distribution continue de matière de mass volumique crée le potentiel
• Cette équation peut s’inverser pour donner l’équation de Poisson
• Théorème de Gauss : Le flux du champ gravitationnel à travers une surface fermée est égal à 4G la masse à l’intérieur
• Se démontre avec Ostrogradsky :
r
rr
rGrU
3d
rGrgrU 4
GMrrGrrgSrgVVS
4d4dd 33
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 46
Potentiel d’un corps étendu
• Pour un corps étendu de symétrie sphérique, le champ g(r) est nécessairement radial dirigé vers le centre.
• C’est la même expression que pour un corps ponctuel !
• Si le corps n’a pas la symétrie sphérique, on développe le potentiel en harmoniques sphériques
r
GMrU
r
GMrg
GMrgrSrgS
2
2 44d
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 47
Potentiel d’un corps étendu
• Développement en harmoniques sphériques :
• Les Pn sont les Polynômes et fonctions de Legendre.
• Les Jn, cn,p et sn,p sont des coefficients numériques. Pour la Terre :
J2 = 1,082625103 (aplatissement polaire)
J3 = 2,534106 c2,2 = 1,571106 s2,2 = 0,903106
J4 = 1,623106 c3,1 = 2,190106 s3,1 = 0,272106
2 1,, sincoscoscos1
,,
n
n
ppnpn
pnnn
n
e pspcPPJr
R
r
GM
rU
npn
pn
n
p
pn
n
n
n
nn ssn
ssPs
snsP 1
d
d
!2
11
d
d
!2
1 2
2/2)(2
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Le problème des N corps= Trouver le mouvement de N points matériels d’attirant mutuellement
selon la loi de Newton
• N petit (≲100): Mécanique Céleste : On décrit le mouvement de chaque point.
• N grand: Dynamique stellaire : On ne s’intéresse qu’aux propriétés statistiques du système.
• Equation de base:
– Tout est là : Système différentiel d’ordre 6N
– On ne connaît de solution exacte que pour N=2 ⟹ lois de Képler– Pour N>2, on a quelques intégrales premières globales : 10 constantes
• Centre de gravité : • Moment cinétique• Energie
48
N
ijj
ij
ijjiiiNiii
rr
rrmGmrmrm
13..1),(
BtArmrm i
N
ii
N
iii
11
0
LrrmN
iiii
1
Err
mGmrm
ji ij
jiN
iii
1
2
21
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Le problème des 2 corps C’est le seul pour lequel on connaît une solution exacte
• Equations pour les deux corps
• • On fait la différence• C’est le problème Képlérien :
• La résolution du problème relatif est équivalente à celle d’un point matériel attiré par un centre massif de masse m1+m2. La résolution de ce problème conduit aux Lois de Képler.
• Il y a plusieurs méthodes de résolution : Formules de Binet, intégrales premières, etc…
49
ur
mGmrmu
r
mGmrm
2
21222
2111 ,
21direction la dans unitairevecteur ,21 urrr
rr
mmGu
r
mmGrrr
3
212
2112
)()(
rr
r
3
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 50
Les lois de Képler
• Elles découlent de la loi de la gravitation universelle, et régissent le mouvement relatif de deux corps qui s’attirent selon la loi de Newton
• Elles ont été découvertes expérimentalement par Képler avant la formulation de la gravitation universelle par Newton.
• Elles décrivent le mouvement des planètes avec une assez bonne approximation.
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 51
Les lois de Képler : loi 1• Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil
occupe un des foyers.
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 52
Les lois de Képler : loi 2 (loi des aires)• Le rayon vecteur qui joint le Soleil à la planète
balaie des aires égales en des temps égaux
Cette loi est équivalente à la conservation du moment cinétique
constanted
d2
t
rmL
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 53
Les lois de Képler : loi 3• Les carrés périodes orbitales des planètes sont
proportionnels aux cubes des demi-grands axes
Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton
a (UA) 0.387 0.723 1.000 1.523 5.203 9.539 19.191 30.061 39.529
T (ans) 0.241 0.615 1.000 1.881 11.86 29.46 84.01 164.79 247.7
T2 / a3 1.0001 1.0001 1.0000 1.0001 0.9991 0.9998 0.9985 0.9997 0.9933
GMmMGa
T 222
3
2 444 constante
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Résolution résumée du problème des 2 corpsPar les intégrales premières
• Energie :
• Moment cinétique : • Conséquence • Dans le plan C = r2(dθ/dt) Loi des aires (Loi de Kepler n°2)• Une autre intégrale première (Laplace) :
• On tire :
• Ensuite on appelle• C’est l’équation polaire de la trajectoire, une conique rapportée à un de ses
foyers, d’excentricité e. (Loi de Kepler n°1)
54
Cte221
3
rrh
rr
rr
teC0d
d rrCrrt
rr
CCrr plan est mouvement Le,
r
ruu
CrE
r
rCr
t
teC0
d
d
uE
Cr
1
/2
cos1
,, ,2
e
pr
CpEuEe
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Résolution résumée du problème des 2 corps• On montre aussi que
• On a donc trois cas :– h<0 e<1 : La trajectoire est une ellipse. Les deux objets sont liés gravitationnellement. Le mouvement est périodique.– h=0 e=1 : La trajectoire est une parabole, parcourue une fois. La vitesse relative est nulle à l’infini– h>0 e>1 : La trajectoire est une hyperbole, parcourue une fois. La vitesse relative est non nulle à l’infini.
• Dans le cas elliptique, on introduit a = p/(1-e2)=-/2h, le demi-grand axe.• On introduit le moyen mouvement
• On montre que la période du mouvement est T = 2/n, ce qui se traduit par la troisième loi de Kepler
• On tire :
• Ensuite on appelle
• C’est l’équation polaire de la trajectoire, une conique rapportée à un de ses foyers.
55
hp
eEuCrp2
12
3222an
hhn
21
22
3
2 44
mmGa
T
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Formulaire Képlerien (elliptique)• On se place dans le repère propre
• On introduit – L’anomalie vraie = angle polaire
– L’anomalie excentrique u
– L’anomalie moyenne M = n(t-tp)
• Lien M u :
56
uearYuer
naYu
r
naX
euarXu
Mauea
e
ear
e
e
ue
ue
ue
eu
ueuttnM
u
p
sin1sincos1sin
coscosd
dcos1
cos1
1
tan1
1tan
cos1
sin1sin
cos1
coscos
Képler deEquation
sin
2222
2
22
22
2
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 57
Les éléments d’orbite
a = demi-grand axe
e = excentricité
i = inclinaison Longitude du
nœud ascendant Argument du
périastre
tp = Temps de passage au périastre
Le demi-grand axe et l’excentricité ne suffisent pas pour décrire entièrement l’orbite d’un astre. Il faut des angles pour préciser la position de l’ellipse dans l’espace
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 58
Excentricités et inclinaisons• Dans le Système Solaire, les excentricités et les
inclinaisons des planètes sont petites : Le système est ~ plan et tourne rond !
Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton
e 0.2056 0.0068 0.0167 0.0933 0.048 0.056 0.046 0.010 0.2488
i (degrés) 7.00 3.39 0 1.85 1.31 2.49 0.77 1.77 17.15
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 59
Le mouvement Képlérien perturbé• Dans de nombreuses situations, les corps célestes ont un mouvement
proche d’un mouvement Képlérien.
• Par exemple, les planètes du système solaire suivraient des orbites Képlériennes pures si elles ne subissaient que l’attraction du Soleil.
• En réalité, elles subissent en outre l’attraction de toutes les autres planètes. L’attraction solaire est dominante on peut encore décrire les mouvements à l’aide d’orbites Képlériennes qui vont lentement se modifier
• Dans le cas général, un mouvement Képlerien perturbé obéira à une équation du type
• On appelle mouvement Képlérien osculateur l’orbite Képlérienne que suivrait le corps si la perturbation disparaissait.
23avec
rPPr
rr
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 60
Equations de Gauss et de Lagrange• On peut transformer les équations du mouvement pour en déduire des
équations de variation des éléments orbitaux en fonction de . Ce sont les équations de Gauss.
P
02
02
02
1sind
dcos
d
d
sind
dsin
cosd
d
1cosd
d
2d
d
uPeavPvrt
it
Ce
kPrt
iC
kPrt
iC
vPeavPert
eC
vPevPat
aC
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Equations de Lagrange• Si la pertubation dérive d’un potentiel U, on peut transformer ces
équations en Equations de Lagrange
• Ces équations sont équivalentes aux équations de Gauss, pour le cas où la perturbation dérive d’un potentiel…
61
e
U
e
e
a
Ua
aat
M
i
Uie
e
Uie
tiCe
i
U
tiC
UUi
t
iiC
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M
Ue
t
eae
M
Ua
t
aa
2
3
2
22
12
1
d
d
cossin1d
dsin
d
dsin
cosd
dsin
11d
d
2d
d
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Variations séculaires : moyennes, développements
• Souvent, les équations de perturbation ne sont pas solubles telles quelles. On est amené à faire des approximations : moyennes et développements.
• Généralement, on s’ intéresse à l’effet à long terme de la perturbation. C’est justifié par la caractère perturbé du mouvement Képlérien. Le temps caractéristique de la perturbation est ≫ période orbitale.
• Or, la perturbation varie sur l’échelle de temps de l’orbite on va la remplacer par sa moyenne sur l’orbite. On écrit une série de Fourier
62
MMUttUP
UU
kMGLUkMGLU
GLUGLMU
P
kskck
d2
1d
1
sin,,,,cos,,,,
,,,,,,,,,
2
00
0
1,,
0
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Théories planétaires• Une théorie planétaire est un modèle du mouvement des planètes dans un
système planétaire (solaire ou non) autour d’une étoile.• C’est un cas particulier du problème à N corps où un des corps (le
« Soleil », numéroté 0, a une masse nettement plus grande que tous les autres. Les autres seront les « planètes ».
• On va supposer que toutes les planètes suivent des orbites Képlériennes perturbées autour du Soleil. On raisonne en variables héliocentriques rk = rayon vecteur Soleil – Planète k
• Equations du mouvement des planètes
• Point de départ : On développe les Uk,i en coefficients de Laplce
• Il n’y a pas a de théorie exacte, mais plusieurs typesde théories (à variations séculaires, générales…) de précision et complexité variables.
63
3,1
,30
2
2 1,
d
d
i
ik
ikiik
n
kii
ikkk
kk
r
rr
rrGmUUr
r
mmG
t
r
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Théorie de Laplace-Lagrange• C’est la théorie linéaire la plus simple.
• Principe : On développe les Uk,i en puissances des excentricités et inclinaisons en s’arrêtant à l’ordre 2, et on moyenne le résultat sur tous les mouvements orbitaux Les demi-grands axes ak sont constants.
• On raisonne en éléments de Poincaré, pour chaque planète k
64
kkkkkkkkkk
kkkkkkkkkk
kkkkkkkkk
ieLpieLq
eLpeLq
amMGLpMq
coscos112sincos112
cos112sin112
2,3
2,3
2,2
2,2
*,1,1
kj
kkj
kj
kn
kii
kjikk q
U
t
p
p
U
t
qUU
,
,
,1
,, d
d
d
d
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Théorie de Laplace-Lagrange• Résultat :
1. Pour i<k :
2. Pour i>k :
65
2,3,3
2,3,3
2,2
2,2
2,2
2,2
12/3
,2,2,2,222/3
*2
02/1,
2
1
4
1
2
ikikiikkk
i
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i
kkk
ii
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i
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ppqqpqpqa
ab
ppqqa
ab
amMGa
aGm
a
ab
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12/3
,2,2,2,222/3
*2
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2
1
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ikikiikki
k
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k
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k
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ppqqpqpqa
ab
ppqqa
ab
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aGm
a
ab
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nnnn p
p
P
p
p
P
q
q
Q
q
q
Q
,3
1,3
3
,2
1,2
2
,3
1,3
3
,2
1,2
2
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Théorie de Laplace-Lagrange• Equations du mouvement :
où E et J sont des matrices nn.
• Résolution :
On diagonalise E2 et J2. Chaque composante a une solution sinusoïdale. En repassant dans la base initiale, la solution est une combinaison linéaire de solutions sinusoïdales
66
33
33
22
22
d
d
d
dd
d
d
d
JQt
PJP
t
Q
EQt
PEP
t
Q
323
222
d
d
d
dQJ
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QQE
t
Q
ii
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n
iiikk
ii
n
iiikkii
n
iiikk
tsBtptsBtq
tgAtptgAtq
cossin
cossin
1,,3
1,,3
1,,2
1,,2
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Théorie de Laplace-Lagrange• A et B sont les vecteurs propres, les ,,, sont des constantes d’intégration.
• Les gi’s et les si’s sont les valeurs propres des matrices E et J. Elles ont la dimension d’une fréquence. Ce sont les fréquences fondamentales de précession des orbites du systèmes planétaire.
• Les gi’s sont tous posifis, et les si’s sont tous négatifs, sauf un qui est nul (invariance par rotation).
• Dans le système solaire :
Indice i gi (/an) Période (ans) si (/an) Période(ans)
1 5.85909 221195 5.200748 249195
2 7.459556 173737 6.570095 197257
3 17.398552 74489 18.74556 69136
4 18.052003 71793 17.63585 73487
5 3.711292 349205 0 --
6 22.284414 58157 25.73827 50353
7 2.701372 479756 2.903761 446318
8 0.633134 2046960 0.823444 1913226
67
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 68
Exemple : évolution de l’excentricité de l’orbite terrestre
• L’excentricité de la Terre fluctue entre 0 et 0.06
• Ceci a un impact sur le climat terrestre
• Imprévisible sur une échelle de ~1 milliard d’années Chaos !
mars 2011 Licence 3 - Gravitation
Résonances
• De manière générale, on parle de résonance dans un système dynamique lorsqu’un angle caractéristique cesse de précesser et se met à osciller autour d’une position d’équilibre.
• En mécanique céleste, on distingue 4 types de résonances1. La résonance de Kozai : arrêt de la précession de l’argument
du périastre .
2. Les résonances de moyen mouvement : important et fréquent
3. Les résonances séculaires : plus compliqué
4. Les résonances spin-orbite : liées aux effets de marée
69
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 70
Les résonances de moyen mouvement• Une résonance de moyen mouvement correspond à une
commensurabilité (=un rapport rationnel simple) entre les moyens mouvements (=les périodes orbitales) de deux corps dans une système planétaire
• C’est assez fréquent dans le Système Solaire:– Planètes
• 5 périodes de Jupiter = 2.013 périodes de Saturne• 3 périodes de Neptune = 1.99 périodes de Pluton
– Satellites de Jupiter• 2 périodes de Io = 1 période d’Europe• 2 périodes d’Europe = 1 période de Ganymède
– Satellites de Saturne• 2 périodes de Mimas = 1 période de Téthys• 2 périodes d’Encelade = 1 période de Dioné• 4 périodes de Titan = 3 périodes d’Hypérion
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 71
Résonances de moyen mouvement (II)
• Ces coïncidences ne doivent rien au hasard. Il s’agit de résonances autoentretenues.
• Certaines résonancesconcentrent des objets. Exemple:résonance 2:3 avecNeptune(Plutinos)
mars 2011 Licence 3 - Gravitation 72
Résonances de moyen mouvement (III)
Résonancesavec Jupiter
Une coupe de la ceinture d’astéroïdes : Lacunes de Kirkwood
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Morphologie et dynamique des galaxies
1. Zoologie des galaxies2. Gravitation et dynamique planétaire3. Dynamique stellaire
• Introduction – Problème des N corps• Théorème du Viriel – Temps dynamique• Hydrodynamique stellaire, Equation de Boltzmann• Théorème de Jeans, mélange dynamique• Systèmes à symétrie sphérique• Instabilité de Jeans• Relaxation
4. Dynamique galactique
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Dynamique stellaire : Le problème des N corps
= Etude du comportement dynamique d’un groupe d’objets célestes où la force dominante est la gravitation
• Ca s’applique à :– Des amas d’étoiles
– Des galaxies
– Des amas de galaxies
• Ca ne s’applique pas à : – Le système Solaire
– Les systèmes d’étoiles multiples Mécanique Céleste
• Cadre des approximations : – On ne prend que les étoiles (Galaxie = milieu interstellaire 10%)
– La gravitation est due uniquement aux étoiles du système (= autogravitant)
– Etoiles = points matériels massifs (tailles ≪ distances relatives)– Pas de collisions Problème des N corps
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Le théorème du Viriel scalaire= « Equilibre statistique » entre dispersion de vitesse et attraction gravitationnelle
•
•
• Hypothèse : • Signification : Le système garde en gros les mêmes dimensions ⟹ 2T+V=0moyenneen 0J
i
N
iii rrmV
1
.Viriel
VTrrmrmJ
rrmJ
rmJ
N
iiii
N
iii
i
N
iii
N
iii
24.22
.2
scoordonnée de axes / inertied' moments
11
2
1
1
2
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Le théorème du Viriel scalaire (II)
• Dans le cas du problème des N corps
• Une autre façon de le voir : Ω est une fonction homogène de degré -1 des coordonnées. Relation d’Euler:• Au bout du compte
• Conséquence : E = T+Ω ⟹ T=-E et Ω=2E ⟹ E<0 (système lié)
e)potentiell (Energie
...
1
111
Nji ij
ji
jiNji
iji
N
i ijij
N
iiii
rr
mGmV
rrfrfrrmV
Vxx i
i
1
02 T
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Conséquence du théorème du Viriel
• Vitesse moyenne des étoiles– v ̅ = vitesse moyenne des étoiles– m ̅= masse moyenne des étoiles
• Si M = Nm ̅, alors 2T+Ω = 0 ⟹ r
mG
rr
mmG
NN
rr
mGm
vmNrmT
ij
ji
Nji ij
ji
N
iii
22
1
221
1
221
2
N-
2
)1(
médianrayon r
r
GM
2v2
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Conséquence du théorème du Viriel
• Temps dynamique = temps moyen pour traverser le système = Echelle de temps minimale d’évolution du système.
– Amas d’étoiles : td 10⋍ 6 ans
– Galaxie : td 10⋍ 7 ans
– Amas de galaxies : td 10⋍ 8 - 109 ans
td âge du système≪
GM
r
v
rt
3
d
2
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Hydrodynamique stellaire
• Espace des phases– A l’instant t, l’étoile i est caractérisée par ses vecteurs position et vitesse
– C’est un point dans un espace à 6 dimension appelé Espace des phases
• Fonction de distribution– C’est la densité dans l’espace des phases :
– Applications: densité / potentiel
vv
rrvrtvr
3
33
d mepetit voluun dans vitessede
3d mepetit voluun dans position de t à étoilesd' Massedd,,
tvr ,,
3,2,1,3,2,1, ,,,,, iiiiiiii vvvvxxxr
vtvrtr 3d,,,
GU
rrr
trGtrU
4
d,
, 3
Equation de Poisson
☞ C’est une densité lissée !
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Hydrodynamique stellaire• Equation de Bolzmann C’est l’équation d’évolution de
– Dans l’espace réel, on a
– Dans l’espace des phases, la matière se conserve ⟹ Equation de continuité– C’est quoi ? C’est le flux de Ψ…
tvr ,,
Ur
06
ft
f
6
0
6
0
1
0
2
0
16
321321
0 :Boltzmann donc0Or
,,,,,3..1
121
fftv
f
x
f
x
ff
x
U
x
U
x
Uvvvfi
x
Uvf
vxf
vxx
iiv
iix
i
i
0D
D
t
Uvtvx
U
xv
t vrii iii
i
),,( tvr
),( tr ),( trU
Dérivées de Ψ
Intégration Poisson Boltzmann
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Equations de JeansEquations de Jeans = Moments de l’équation de Boltzmann
≡ Equations de l’hydrodynamique
• Première équation :
⟹ = Equation de continuité
vvvvvx
Uvv
xt
vvx
Uv
xvv
tv
i iiiv
ii
ii ii ii
i
3
0
33
3333Boltzmann
d1
dd
0dddd
0
vt
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Equations de Jeans
• Deuxième équation
0
: vitessede Dispersion
0d
0dd
dd
dddd
2
2
3
33
3
sinon 0 j,i si 10
3
3333Boltzmann
jij
i ii
j
iij
ii
ij
jijijjiiij
jivv
jii
j
ji ijij
i
jj
ij
iij
ii ijijj
x
U
xx
vvvv
xv
t
vvvvvvvv
x
Uvvv
xv
t
vx
Uv
xvvv
t
vv
vvv
vv
vv
vx
Uv
xvvvv
tvv
jj
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Equations de Jeans
• On retrouve l’équation d’Euler. Le terme s’apparente à un gradient de pression . C’est vrai si le tenseur est isotrope.
= Tenseur des contraintes
• Les xi se calculent comme les racines de Pn et les i vérifient :
2
P
2
2
2
Continuité
0
Uvvv
t
x
U
xx
vvv
t
v
x
U
xx
vvvv
xv
t
jij
i ii
j
iij
j
jij
i ii
j
iij
ii
ij
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Intégrales premières• Pour une étoile donnée, une intégrale première, c’est toute fonction
qui reste constante le long de son mouvement
• I1,…,In sont indépendantes ⇔ ∄ g(I1,…,In ) = 0• I conservative ⇔ I ne dépend pas du temps : • I non isolante ⇔ L’hypersurface « I = cte » est partout dense dans
l’espace des phases• ☞ Si le potentiel est stationnaire on connaît déjà l’énergie
• Il ne peut pas y avoir plus de 5 intégrales premières conservatives, indépendantes et isolantes (question de dimension de l’espace des phases)
cte),,( tvrI
IUIv
t
I
t
v
v
I
t
x
x
I
t
I
t
Ivr
ixU
i
iiv
i
i
ii
/
d
d
d
d0
D
D
),( vrI
)(rU
)(221
1 rUvI
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Intégrales premières• Exemple : Le pendule de Foucault
• Intégrales premières
0111
00cos
t
tAr
001
13
2
20
2212
21
1
cos
ISOLANTEaussi Energie
ISOLANTEEnergie
ArI
I
rrI
Conclusion :I3 n’est pas isolante !
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Théorème de Jeans• est une intégrale première conservative :
⟹ I est une solution de l’équation de Boltzmann ! Et si I1,…Ik le sont, toute fonction g(I1,…Ik ) le sera aussi.
• Inversement, en régime stationnaire vérifie DΨ/Dt=0⟹ C’est une intégrale première, conservative en régime stationnaire !• En régime stationnaire, la fonction de distribution est une fonction arbitraire des intégrales premières indépendantes et conservativesMieux :• En régime stationnaire, la fonction de distribution n’est fonction que des
intégrales premières indépendantes, conservatives, isolantes. Il y en a 5 au maximum
• Si les orbites sont régulières et les fréquences incommensurables, Ψ n’est fonction que de 3 intégrale (Théorème de Jeans fort)
),( vrI
0/0
IUIvtI vr
),( vr
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Mélange dynamique• En général, l’état du système est stationnaire :
• Pour atteindre cet état, il faut un temps tm appelé temps de mélange dynamique.
• On trouve (résultat numérique) : tm ≈ 30 td• Dans tous les cas, td est très inférieur à l’âge du système
⟹ L’état stationnaire a largement le temps de s’établir.
0t
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Systèmes à symétrie sphérique
Um
)(221 rUvE
• Ce sont des systèmes où le potentiel a la symétrie sphérique.En coordonnées sphériques (r,θ,φ), on a U(r).
• Combien y a-t-il d’intégrales premières ?– On a déjà l’énergie
– La force est centrale
⟹ est constant• Théorème de Jeans fort ⟹ • Mais la fonction de distribution doit avoir la symétrie sphérique
⟹ Ψ(E, L)• On a souvent Ψ(E). Si Ψ (E), alors
Si Ψ(E, L)
)(rU
vrL
),( LE
222 vvvr
222 vvvr
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Systèmes à symétrie sphérique
• Si Ψ(E), on définit
avec Ψ(ε)>0 si ε>0, 0 sinon.Equation de Poisson : Δϕ = -4πGρ
• On injecte dans l’équation de Poisson
• Si on connaît Ψ, on tire ρ et ϕ en résolvant l’équation.
relative Energie
relatif Potentiel2
21
0
0
vEU
UU
d24d4
d4d
0
2
0
2221
0
222132
21
vvv
vvvvv
d2164d
d
d
d10
222
GG
rr
rr
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Systèmes à symétrie sphérique
• Inversement, connaissant ρ, peut-on tirer Ψ ?
Ceci est une équation intégrale d’Abel. Elle s’inverse en
Formule d’Eddington (1916)
• On injecte dans l’équation de Poisson
• Si on connaît Ψ, on tire ρ et ϕ en résolvant l’équation.
d
d
d
22
1d2
22
100
00
2
2
2
02
d
d1d
d
d
22
1
d
d
d
d
d
22
1
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Systèmes à symétrie sphérique: exemples • Exemple 1 : Polytropes et modèle de Plummer
On calcule la densité et on obtient ρ = cn ϕn (cn constante)
Poisson ⟹On pose :Equation de Lane-EmdenPour n=5, la solution est
C’est le modèle de Plummer, représentation moyennement correcte d’un amas globulaire.
sinon0
0 si23
nF
04d
d
d
d1 22
n
nGcr
rrr
0ds
d
d
d1
)0(,,
)0(4
1 221
n
nn
sssb
rs
cGb
G
b
rrrMmFc
c
sbr
)0(3
d464
27
1
)0(
3/1
1
0
22
5
2/5
3
55
22
2
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Systèmes à symétrie sphérique: exemples • Exemple 2 : Sphère isotherme
Une solution, c’est
r0 = Rayon de King. On a ρ(0)=∞ ! Sphère isotherme singulière. Pour avoir ρ(0) il faut prendre les autres solutions de l’équation. De toutes façons on a M(∞)=∞ ! Amélioration : Sphère isotherme tronquée de King On trouve ρ=0 pour r≥rt On appelle concentration
0e4d
d
d
d1ee
2
222 /0
22
/0
/2/32
0
G
rr
rr
00
20
002
2
3avec
3,
3ln2
G
rr
r
r
r
sinon0
0 si1e2
2/2/32
0
0
logr
rc t
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
L’instabilité de Jeans
• C’est l’instabilité d’une sphère autogravitante face à l’effondrement gravitationnel
• On considère une sphère initialement en équilibre avec un potentiel U0 uniforme, et une densité ρ0 uniforme.C’est impossible ! ΔU0=4πGρ0≠0 ! ⟹ U0 pas uniforme !
• Jeans l’a quand même appliqué en supposant que ça vaut pour la surdensité par rapport à ρ0. En fait, notre sphère fait partie d’un système à plus grande échelle.
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
I – Instabilité de Jeans dans un fluide • On écrit les équations de l’hydrodynamique et l’équation de Poisson
• On dit ρ = ρ0+ρ1 avec ρ1≪ρ0 , et ainsi de suite pour les autres variables.
Equation de continuité linéarisée
GU
PUvvt
v
vt
4
0
0
0
101
enégligeabl
1110
0
011
0
000
101010
vt
vvvt
vt
vvt
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
I – Instabilité de Jeans dans un fluide • On linéarise les autres équations
• On y rajoute une équation d’état : hypothèse perturbation adiabatique P ∝ ργ• Vitesse du son • On élimine P1 :
Equation de continuité linéarisée
11
1101
0
1
0
0110
0
100
0
010
0
001
0
01
10
4
GU
PUt
v
PUUvvvvvvt
v
t
v
0
12
11
sc
Ut
v
1
12
d
d
PP
cs
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• On dérive l’équation de continuité et on remplace :
• Equation de Poisson ⟹ • On cherche une solution ondulatoire : (+ symétrie sphérique)
• On pose
1
2
1021
2
0
12
1021
21
021
2
0
0
s
s
cU
t
cU
tt
v
t
04 011
2
21
2
Gc
ts
Equation d’évolutionde ρ1
trkiCtr
exp,1 0
222 4
Gc
k s Equation de dispersionk ⇿ ω
02
02 2,
4
G
ckc
Gk s
JJ
sJ
Nombre d’onde et longueur d’onde de Jeans
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• L’équation de dispersion devient
• Si λ < λJ ⇔ k > kJ, on a ω2>0, donc ω réel est oscillant ⟹ oscillations ⇔ stabilité
• Si λ > λJ ⇔ k < kJ, on a ω2<0, donc ω imaginaire pur est exponentiel réel ⟹ divergence ⇔ instabilité !!
• Masse de Jeans = masse d’une sphère de diamètre λJ
• Si cs2 = γkT/μ,
• Cette masse est susceptible de s’effondrer sous son propre poids (perturbation ∼ λJ)• Exemple : Nuage moléculaire H2, n=2000 cm-3, T=7K ⟹MJ≃11 M
• On pose
Si λ > λJ , le système s’effondre
14
2
0
2
Jk
k
G
trki
exp
trki
exp
2/3
0
203
06 6
G
cM s
JJ
2/3
0
0
6
G
kTM J
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
II – Instabilité de Jeans dans un système stellaire
• Il faut repartir des équations de Bolzmann et de Poisson linéarisées
• Problème: Que vaut ?? Oui, mais U0 uniforme ⟹• On cherche
vGGU
UUvt
UUU
vvr
3111
100111
1010
d44
0
,
1v
00
U
00111
vr Uvt
trkivtrkiUU aa
exp,exp 11
vvGUk
kUvvk
aa
vaa
320
d4
vvk
k
k
G v
302
d4
1
Equation de dispersionk ⇿ ω
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Si on veut aller plus loin, il faut faire une hypothèse sur Ψ0 Distribution de Maxwell⇾
• On reporte, en supposant
• Avec ça devient
• La limite stabilité/instabilité se trouve en ω=0 .Pour ω=0 , on trouve
• On doit avoir des solutions stables pour k>kJ
et des solutions instables pour k<kJ .
vvv v
vv
vv
v
2222 2/2/322
00
2/2/32
00 e
2e
2
Oxk //
vvvv
kv
v
k
G
v
z
v
y
v
x
x
x
vv
32
2
2
2
2
2
2/322
02
d2
exp2
exp2
exp/2
410
2de
0
2
tt
1d2
exp/
222
2
320
x
v
x
x
x
v
vv
kv
v
k
G
22
02 4J
v
kG
k
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Dans l’instabilité : ω=iγ
• On trace la relation de dispersion normalisée
• En fait, il n’ya pas de solutions oscillantes pour le système d’étoiles (amortissment de Landau).
tx
kkkk t
vvJ de
2erf
2kerf1
2exp
21
0v22
2
222 2
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Relaxation• En régime stationnaire, le théorème de Jeans dit
• En réalité, il n’y a pas de régime rigoureusement stationnaire
• Pourquoi ?– Parce qu’en considérant un potentiel lissé, on fait une approximation
– C’est principalement lorsque deux étoiles sont « proches » l’une de l’autre que les écarts au potentiel lissé comptent.
– Ce sont les rencontres qui font évoluer l’état stationnaire. Ce phénomène est appelé relaxation à deux corps.
• Temps de relaxation = temps au bout duquel l’état stationnaire est sigificativement modifié
• Avec les rencontres
constantes,,,,avec,,,,, 5432154321 IIIIIIIIII
variableslentement ,,,,avec,,,,,, 5432154321 IIIIItIIIII
ttr
1
dr tN
Nt
ln2
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Calcul du temps de relaxation
• On s’intéresse aux rencontres. Leur effet principal est une déviation des étoiles
infinil' à vitesse
impactd' paramètre
E
KéplérienMouvement
;
221
2
2122221
321
21
21321
22123
21
21
vvbvbrL
r
mmGrr
rr
mmGrrrr
rrrr
Gmrrr
rr
Gmr
m2
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• On aboutit finalement à
• N = nombre d’étoiles
• Hypothèses
• D0 = Distance moyenne séparant deux étoiles voisines
Les déflexion sont très petites ! La relaxation est un phénomène mineur…
mr
mr
rv
mmG
r
b
b
rr
d
dr221
2
22 d21
d
d
b
b
bv
mmG c
2
21
2tan
N
rb
r
GMvv
N
Mmmm c
4
2; 22
21
38r
M
121 3/2
0
30 N
D
bD
mc
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Hypothèses– 1 étoile test a une vitesse v ̅ – Les autres sont (en moyenne) immobiles– Chaque rencontre est caractérisée
par sont paramètre d’impact b etun angle θ
– ⟹ Pour une rencontre, on a le changement de vitesse
• tr = Temps qu’il faut pour changer significativement la vitesse dans une direction perpendiculaire (y ou z) au mouvement
– Nombre d’étoiles rencontrées pendant Δt, entre b et b+db, θ+dθ : – Changement de vitesse moyen au bout de Δt– ⟨Δvy =0⟩ (algébriquement nul), mais (⟨ Δvy)2 ≠0⟩
• Le changement de gradient dans un déplacement infinitésimal vaut
• Une fois qu’on a minimisé le long de u, si on recommence le long de v, il faut que le gradient reste perpendiculaire à u.
• Les directions u et v sont alors dites conjuguées.
sin
cos
2
22
bb
bb
b
bb
vv
c
c
c
c
b
nvv
2
0
d
ddd bbtvm
n
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• tr = Temps au bout duquel (⟨ Δvy)2 ⟩ ≈ v ̅2
• tr ≫ td La relaxation est un phénomène lent !
• Amas ouvert : tr 10∼ 7 ans ; Amas globulaire : tr 10∼ 9 ansGalaxie elliptique : tr 5∼ ×1014 ans ; Galaxie spirale : tr 10∼ 13 ans (plus court en réalité à cause du gaz)
• La relaxation fait « oublier » les conditions initiales.
Nv
tGm
br
r
b
r
v
tGm
NN
rb
br
r
b
rt
mbv
bb
bbt
mbvv
cc
ccc
c
r
c
cy
ln4
1ln2
grand) et 4
( 1ln
dcosd
2
22
2
2
22
22
2
2
223
21
2
0
2
0222
3232
dr tN
N
NmG
vt
ln2ln4 2
3
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Relaxation violente
• La relaxation peut être due (momentanément ou non) à autre chose que les rencontres à deux corps → en général ça raccourcit (beaucoup) tr
• La relaxation violente correspond à– Un système hors équilibre– Une accélération violente de la relaxation et de l’évolution physico-
chimique– tr ∼ quelques td
• Exemple : galaxies elliptiques
• Si l’état est stationnaire E est une constante !• Si l’évolution est hors équilibre, E est non conservée
⟹ Relaxation violente !
t
U
t
UUv
t
vv
t
U
t
vU
t
E
0
2
d
d
d
d
d
d
2
1
d
d
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Evasion : temps de vie• Ψ n’est pas stable au cours du temps…
• Existe-t-il une état « superstationnaire » invariant par rapport aux rencontres ?
• Le seul état possible c’est la distribution de Maxwell
• MAIS, une étoile qui atteint une vitesse trop grande (> vitesse d’évasion) s’évade du système…⟹ On n’atteint JAMAIS la distribution de Maxwell, car les étoiles s’évadent⟹ Le temps de vie du système peut être fini !
22 2/
2/32e
2
1
vN
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Evasion : temps de vie• Taux d’évasion :
– = Energie potentielle moyenne par étoile– = Energie potentielle pour un couple d’étoiles
• Une étoile qui s’évade juste (v = ve) a une énergie nulle
• L’énergie est constante; ∼ E = cte, Ω = cte, T = cte Le système se contracte
UNU /
2
221
2
202
;2
vmUT
vMTN
UN
vvUvm ee 2221
Maxwell
Perte d’étoiles v≥ve
Reconstitution par relaxation0074.0dt
d
rt
NN
2/72 NtNr r
03807
2;1
7/2
0 rrvv
tttt
tNtN
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Morphologie et dynamique des galaxies
1. Zoologie des galaxies2. Dynamique stellaire 3. Dynamique galactique
• Systèmes axisymétriques. Troisième intégrale• La rotation différentielle de la Galaxie• Approximation d’ordre 1 : mouvement épicyclique• Modèles de potentiels galactiques • Structure spirales des galaxies• Orbites des étoiles : Résonances de Lindblad• Barres
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Dynamique galactique• Une galaxie est un système stellaire de symétrie axiale (en première
approximation) . En coordonnées cylindriques ⨉ ⨉→ Dans la réalité, le gaz rend les choses plus compliquées…• Intégrales premières
– Etat stationnaire ⟹ U(r,z,tu)– Il y en a forcément d’autres, sinon on a isotropie
– Théorème de Jeans fort : Sauf cas particulier, il y a au maximum une autre intégrale isolante I3, mais pas plus
– Problème : Existe-t-il une troisième intégrale ou n’y a-t-il que I1 et I2 ?– En fait I3 est nécessaire, mais historiquement, on a cru le contraire…
),,(;),,( zrzrU
),(221
1 zrUvEI
cte22 rvrLI z
cte01
2 2
r
U
rarr
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Une troisième intégrale ?• Supposons que l’on ait seulement I1 et I2…
• vr et vz ont le même rôle ⟹ ⟨vr2⟩ = ⟨vz2⟩Or, dans le voisinage solaire, ⟨vr2⟩ ≈ 2⟨vz2⟩⟹ I3 existe nécessairement
• Mais que vaut I3 ? Quelle est sa signification physique ?
zrzzrzzz
zrrzrrzr
zrz
vvvvrvvvvzrUvvLEv
vvvvrvvvvzrUvvLEv
rvvvvzrULE
ddd,,d,
ddd,,d,
,,,
222221322
222221322
22221
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Approximation de Oort - Lindblad• On suppose z petit (on reste près du plan galactique) :
• Alors est conservée.
• Ce n’est qu’une approximation. Sinon on devrait avoir ⟨vr vz⟩ = 0Ce n’est pas le cas dans le voisinage solaire pour les étoiles à grande vitesse. Donc…
zUrUzz
UrUzrU
r21
0,
0,,
zUvI z 22
21
3
zUvrvvvvzrU zzr 22
21222
21 ,,,
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
La rotation de la Galaxie• La rotation de la Galaxie est différentielle
= toutes les étoiles ne tournent pas avec la même vitesse angulaire. On a v(r) = rω(r), T(r)=2π/ω(r) ω(r) est une fonction décroissante de r. Soleil : T⊙ = 2.5×108 ans
• Détermination au voisinage du Soleil– On cherche à déterminer ω⊙ et (dω/dr)⊙ – La position d’une étoile voisine par
rapport au Soleil: distance d et angle l – On peut connaître observationnellement
d, l et ses dérivées.
dr
d
rrrru
BlAl
lAdd
luld
lud
ldrr
rrrr
rld
2cos
2sin
cos
sin
cos
cos2d
sinsin222
1-1-
1-1-21
kpcs km 312
kpcs km 5.114dr
d
AB
rAConstantes de Oort (1927)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
La courbe de rotation de la Galaxie• Plus loin, on utilise la raie à 21 cm.• Résultat :
• Limites : On a supposé que les orbites sont circulaires : C’est faux !• On peut en théorie en déduire le potentiel U(r) dans le plan galactique
(mouvement à l’ordre 0) Mais c’est très imprécis
• Rappel: Potentiel Képlérien
Jamais observé dans aucune galaxie !
Rotation solide
Rotation différentielle
ss
svrU
r
U
r
rvr
d)(22
r
rvr
K
r
rv 12
2
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Ordre 1 : mouvements épicycliques
• On considère une étoile sur une orbite circulaire perturbée.
ξ,η,z ≪ r0 car U(r,z)
• On développe, on ne garde que les termes du 1er ordre : pas de • On développe aussi le potentiel en fonction des dérivées partielles
zzr
t
rr
z
t
rr
00
0
0
0
0
01
2
2
z
Uz
U
rrr
r
Urr
U
,,2
,,2
2
2
zr
U
r
U
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Ordre 1 : mouvements épicycliques
• On tient compte des symétries du potentiel par rapport au plan galactique, et de la solution à l’ordre 0:
(1)
(2) (3)
• L’ équation (3) est indépendante des deux autres ⟹ Le mouvement en z est indépendant ⟹ Il y aura bien une troisième intégrale.
200
)0,()0,(
2
)0,( 000
,0,0 rr
U
zr
U
z
U
zrrzrrzrr
zz
Uz
r
U
r
r
0,2
20
0,2
2200
0
0
02
2
0,
2
22
z0
0
cos)()3(r
zzz
Uttztz
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• On pose Fréquence épicyclique
• Il y a trois fréquences fondamentales : κ0, ωz, ω0• Dans le voisinage solaire :
κ0 ≈ 32 km s-1kpc-1 ; ωz ≈ 72 km s-1kpc-1 , ω0 ≈ 25 km s-1kpc-1
ar
U
a
r
0
0
20
0,2
2
0
23)3(
2)2(
0
0,00,2
220
0,2
220
000
33
rrrr
U
rr
U
r
U
000
012
0
20
0020
0
sin24
1)(
cos2
)(
ttc
ttat
ttca
t
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Mouvements épicycliques : solution
1. Supposons a=0. Le mouvement en (ξ,η) se fait sur une ellipse à la fréquence κ0
2. Si c=0, ξ=cte, dη/dt=cte Mouvement circulaire à ⟹ r ≠ r0. 3. Dans le cas général a ≠ 0, c ≠ 0, on peut toujours se ramener au cas 1. en changeant
r0.4. En plus, on a mouvement oscillatoire en z. Au total, l’orbite emplit tout un volume
cylindrique. On a 3 intégralesisolantes et 2 non-isolantes.
5. Sauf si κ0, ωz, ω0 sont dans un rapportrationnel simple (résonances)
Trajectoire ⟹
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Mouvements épicycliques : cas particuliers
1. Potentiel Képlérien
Toutes les intégrales sont isolantes L’orbite est fixée !⟹
2. Rotation solide :
3. Rotation plate :
Dans la pratique, on est toujours entreles cas 1 et 2 ⟹A cela se rajoute toujours la relaxation sousL’effet aléatoire des rencontres.
0022
,
zzr
GMzrU
000
0 20cte
r
21
cte)( 00220
rrv
000 2
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Modèles de galaxies• Idée: Se donner des modèles mathématiques
(paramétriques) ad-hoc de potentiels/densités de galaxies et les ajuster aux observations.
• Buts : Pouvoir estimer les masses, et explorer numériquement la dynamique.
• Condition imposée : Avoir une troisième intégrale I3 par construction
• Modèles classiques : Brandt, Kuzmin, Miyamoto-Nagai
• Modèles modernes : Potentiels de Stäckel.
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Potentiels de Stäckel• Coordonnées sphéroïdales axisymétriques
• Potentiel de Stäckel:
• Il y a une troisième intégrale
22
222
22
222
22
;
avec,,
ca
ccz
ac
aar
aczr
xx
GMxF
FcFcU
quand~avec
),(22
FF
zvcaLLI zyx22
212222
21
3
On tire ρ(λ,ν)de l’équation de Poisson
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Potentiels de Stäckel• Exemple : Potentiel de Kuzmin-Kutuzov
• Dans le plan galactique (z = 0 ⇔ ν = c2) , cela donne
Courbe de rotation →
32/3
22 3
4,
,
aMc
GMU
xc
GMxF
22
0,rac
GMrU
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Structure spirale des galaxies• 61% des galaxies sont spirales
• Notre Galaxie a une structure spirale
• En général, on observe deux bras spiraux, mais il y a des irrégularités
• Les étoiles jeunes sont dans les bras → lien clair avec la formation stellaire.
• Les bras sont peu enroulés, alors que les galaxies ont connu ~50 rotations depuis leur formation.⟹ Les bras sont des structures immatérielles, où les étoiles ne font que passer
• Ce sont des ondes de densité. Quelle est leur origine ?
Ondes de densité cinématiques(Kalnajs 1975)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Ondes spirales• L’onde spirale est une perturbation non-axisymétrique du potentiel
stationnaire axisymétrique
• Perturbation spirale :
• Si U1*(r)=A(r) e-iϕ(r) ,
• à t donné, les points où la phase est égale à C c’est
• à t+dt pour avoir le même C, il faut • ⟹ La spirale tourne à
0110 ;,,,,, UUzrUzrUzrU
m
krfkCmtr
2)(2
mtirUzrU exp,, *11
Amplitude complexe Constante Entier = nombre de bras
mtrrAzrU cos,,1
Spirale à m bras !
tm
ttt dd
ms
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Ondes spirales : suite
• On pose :
k(r) >0 concave (trailing) k(r)<0 convexe (leading)
• |k(r)| grand ⇔ onde très enroulée; |k(r)| petit ⇔ onde peu enroulée;
• k(r) est très affecté au voisinage de certains r particuliers correspondant à des résonances
rkr
r
rm
r
rrk
2;
d
d
d
d
Vecteur d’onde et longueur d’onde
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Mouvement des étoiles dans un champ spiral
• On part du potentiel perturbé
• On considère une étoile dans le plan (z = 0), sur une orbite circulaire perturbée, et on écrit les équation du mouvement
• On aboutit à un système similaire à celui des mouvements épicycliques, mais il reste les dérivées de U1 par rapport à θ .
1
2
00
00
0
112
r-rr,avec
U
r
U
rrr
r
U
rt
r
rr
0110 ;,,,, UUrUzrUzrU
timrUrU sexp, *11
00
000000
,
1
00
,
1
0,
12
,2
2200
12
2
r
rrr
U
r
r
U
rr
U
r
U
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• On élimine tous les termes d’ordre 2 (U1 est d’ordre 1). Il reste
• On injecte la forme spirale de U1 avec θ ≈ ωt
• Solution :
00
00
,
1
00
,
120
200
12
42
r
r
U
r
r
U
timr
U
r
UC
Ctimr
U
s
C
s
ss
0
*1
00
*10
020
0000
*1
0
exp2
exp2
1
(petites) forcées nsOscillatio
020
220
1
)(épicycleslibres nsOscillatio
i32
cte
20
0 expee 00 timm
CCC
Ct s
s
tti
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Conséquence : Résonances de Lindblad• Problèmes si– Ωs = ω0 : Résonance de Corotation
– κ02‒m2(Ωs ‒ ω0)2 = 0 : Résonances de Lindblad :
Résonance interne (ILR)
Résonance externe (OLR)
m
m
s
s
00
00
Corotation
ILR
OLR
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Un modèle linéaire de structure spirale
• On ne va considérer (pour l’instant) que le gaz
• On va considérer un disque mince.
• On écrit les équations de l’hydrodynamique et l ’équation de Poisson
• On dit qu’il existe une solution non spirale de mouvement circulaire ω0(r), et que le mouvement réel est une perturbation.
errrwerurvrr
r
rr
0
00
,,,
GU
PUvvt
v
vt
4
0
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Le disque est mince : ρ→σ=∫ρ dz• La pression ? On dit a0 = vitesse d’agitation• σ(r,θ,t) = σ0(r)+σ1(r,θ,t) ; U(r,θ,t) = U0(r)+U1(r,θ,t) • → On tire les équations décrivant les variations de u, w, σ1, U1• En coordonnées cylindriques, on obtient
+ Poisson ΔU = 4πGσ δ(z)• Ensuite, on linéarise : σ = σ0+σ1, etc…. On ne retient que les termes
du permier ordre
U
r
P
rr
rwu
w
r
rwrw
ru
t
wr
U
r
P
r
rwu
r
rw
r
uu
t
u
rwr
urrrt
1
011
000
200
0
20aP
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Il reste
• On peut réécrire la troisième équation :
• On considère maintenant des perturbations spirales :
11
0
20
000
11
0
20
00
0100
1
1
2
01
Ua
ru
wr
ru
t
w
r
U
r
aw
u
t
u
w
rur
rrt
11
0
20
0
20
01
2
Ua
ru
w
t
w
mtirUU
mtirww
mtiruu
mtir
exp
exp
exp
exp
*11
*
*
*11
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
• Et on injecte dans les équations
avec k vecteur d’onde , et
ν = 0 ⇔ Corotation ; ν = -1 ⇔ OLR; ν = 1 ⇔ ILR.
x = tanα, avec α angle d’ouverture la spirale ν représente le rapport entre la fréquence des oscillations forcées m(Ωs‒ω0) et la fréquence naturelle d’oscillation κ0
kr
mx
mm s
;0
0
0
0
*1
0
20*
10
*
0
0*
*1*
10
*1*
100
20
0
0**
*
0
0*0
*0
0
*1
2
12
11
aU
ikxuwi
r
UikU
rik
awui
wxk
ur
ium
ixk
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Approximation WKB1. Tight winding : x ≪ 1 ⇔ La spirale est bien enroulée
(α=6.3° dans la Galaxie)⟹ On va négliger les termes en x
2. Négliger les dérivées spatiales : Il y a des termes de la forme
On dit ⇔ Pas de variations radiales brusques
Tight winding ⟹On va donc négliger toutes les dérivées par rapport à r
⟹ Il reste un système linéaire
,, *1
*1 UF
r
FikF
m
xkF
r
F
r
F
~
ikFr
FikFkF
r
F
r
F
~
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Résolution : relation de dispersion• Résolution du système
(3 équations, 4 inconnues)
• Equation de Poisson
• Simplification : on dit σ1 ≈ cte jusqu’à et 0 au-delà .Que peut valoir R ? Typiquement R~|1/k|
• La combinaison des 4 équations fournit la relation de dispersion
020
020
20
22 2
1k
kk
Gak
20
2220
0*1
20*
20
2220
*10*
20
2220
*1
2
0
*1
1
2/
1
1
ak
Uikw
ak
Uku
ak
Uk
r
rr
rGrU
211 d
Rrr
k
GGRUrGRrU
*1*
1*111
222
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Equation de dispersion : discussion
• On pose . La relation de dispersion devient
• C’est une équation du 2ème degré en |k|/k0 ! • La limite de stabilité est donnée par ω = 0 ⇔ ν = 0. Pour tout k,
on doit avoir ω2 > 0 jusqu’à m = 0.• Stabilité ⇔ Q ≥ 1 ⇔ • La pression (ou la turbulence) doit être suffisamment importante pour
s’opposer à l’effondrement gravitationnel…
0
00
0
002
G
akaQ
014
2
020
22
k
k
k
kQ
0014 0
20
22
kk
k
k
kQ 1Q
0
00
Ga
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Equation de dispersion : disque stellaire
• Dans le cas d’un disque stellaire, il faut repartir de l’équation de Boltzmann ou des équations de Jeans.
• On introduit une dispersion de vitesse σv qui joue un rôle équivalent à a0.
• La difficulté vient de la combinaison des mouvements épicycliques et des perturbations spirales.
• On aboutit à une nouvelle équation de dispersion:
avec Facteur de réduction
122
2
0
cos12
/1e1
2dsinssine
sin
1,
n
n
ns
Is
s
ss
F
0,120
22
0
2
vk
k
kF
( k0 et ν définis comme précédemment)
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Stabilité : Critère de Toomre
• On a stabilité si ω2>0 ∀ m ≥ 0. Critère• de Toomre
• Ce critère de stabilité est très proche de celui du disque de gaz
• Dans notre Galaxie : Q ≈ 1.3• Quand il y a stabilité, on écrit les solutions l’équation de dispersion k = f(ν) pour
le disque de gaz
Ondes courtes Ondes longues
• En fait, on a ±kl et ±kc ⟹ Ondes trailing ET leading
k
k
k
k v 0,0120
22
0
F 0358.3 0
0
G
Q v
1
0
00
G
aQ
2
22
02
22
0
1144;
1144
Q
Q
k
k
Q
Q
k
k lc
septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies
Solutions de l’équation de dispersion• Dans le cas du disque
stellaire, on trouve aussi des ondes longues et des ondes courtes.
• Pour une valeur de Q donnée, il est possible que dans certains domaines de ν il n’y ait pasde solution en k ⟹ ondesévanescentes.
• Pour le disque stellaire, les ondes n’existent pour un Q donné que dans un domaine 0 ≤ |νm| ≤ |ν| ≤ 1 ⟹ L’onde ne peut pas exister partout dans la galaxie !
• Dans le cas du disque de gaz kc dépend essentiellement de a0, pas kl. Les ondes courtes sont des ondes ~sonores qui sont sujettes à l’amortissement de Landau dans un disque stellaire.
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Solutions de l’équation de dispersion• Dans le cas stellaire, les ondes spirales
n’existent que pour
donc entre les résonances de Lindblad,et pour Q > 1, à l’exclusion aussi d’une zone autour de la corotation
• La région d’existence des ondes est d’autant plus grande que m est petit.
• Cela favorise les modes à m petit, donc m = 2 (1er mode symétrique)
• Dans le cas Q ≫ 1 (⇔ L’autogravité est négligeable), l’onde ne peut exister que si ν ≈ ±1 . ⇔ l’onde stationnaire ne peut se développer que s’il y a résonance entre la fréquence forcée et la fréquence naturelle.Exemple : Potentiel Képlérien ⟹ Les ondes sont quasi inexistantes !
• A chaque itération, on teste un saut aléatoire de la solution, qui induit une variation de χ2 : Δχ2.– Si Δχ2<0, on applique le saut;– Si Δχ2>0, on l’applique avec la probabilité e-Δχ2/T(n)
• Cette technique peut permettre de sortir d’un minimum local.
mm s0
00
01
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Evolution des paquets d’ondes
• La vitesse de groupe (= vitesse de déplacement d’un paquet d’ondes) s’écrit vg=dω/dk (vitesse de phase c=ω/k )
Pente sur les courbes
Un paquet d’ondes évolue toujours dans le sens des k croissants.
00
0
k/kd
d
dk
d
kvg
0
00
d
d
d
d
d
d
d
d
rt
r
rvt
k
gvg
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Evolution des paquets d’ondes (2)
• A : Onde courte, leading, se déplaçant vers la corotation
• C : Réflexion contre la corotation, puis onde longue leading
• E : Réflexion contre l’ILR (OLR), puis onde leading, longue d’abord (F), puis courte
et disparition par amortissement de Landau.
Remarque : En E , WKB est douteux…
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Amplification swing• Tout paquet d’ondes doit passer par la séquence
court leading → long leading → long trailing → court trailing
• Les simulations numériques montrent que l’amplitude de l’onde augmente considérablement quand l’onde passe de leading à trailing.
• Ce phénomène non-linéaire est appelé amplification swing. Il n’est pas prévu dans le cadre de l’approximation WKB
• Il trouve son origine dans une coïncidence entre la vitesse d’une étoile dans son mouvement épicyclique et la vitesse de déroulement du bras.
• Ce phénomène est d’autant plus important que Q est proche de 1 (≲ 1.5)⟹ L’existence de ce phénomène explique qualitativement pourquoi toutes les spirales observées sont trailing : Leur amplitude est plus grande !
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Barres• Les barres sont des exemples de structures triaxiales, plates.
• Ce ne sont pas des ondes de densité en mouvement. Les étoiles qui sont dans la barre y restent.
• Elles se forment comme des ondes stationnaires par interférences entre ondes leading et trailing.
• Quelle est leur origine ? Dans certaines galaxies, il est possible qu’il n’y ait pas de résonance interne de Lindblad.
Potentiel de Kuzmin-Kutuzov c/a=1/2
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Barres (2)• Ca se produit typiquement quand Ωs est
grand. Dans ce cas, un paquet d’ondesdevenant trailing ne peut pas se réfléchir contre l’ILR
Il se propage jusqu’au centre ! ⟹• Ensuite, il ressort sous la forme d’une
onde leading de même amplitude se propageant vers l’extérieur
• Interférence :(m = 2)
• Θ et t sont découplés = Onde stationnaire = BARRE !
2coscos)(2
2cos2cos1
trrA
trrAtrrAU
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Barres (3)• Problème : L’onde leading réfléchie sur ce centre va recommencer un
nouveau cycle leading → trailing→ Et recommencer à se propager jusqu’au centre
• Mais à chaque tour, l’amplification swing modifie l’amplitude de l’onde ⟹ Instabilité ! (de barre)
• Dans la pratique, la barre croît de l’intérieur vers l’extérieur sans dépasser la corotation
• La barre attire des étoiles de ω0 de plus en plus petit ⟹ Le champ spiral ralentit ⟺ Ωs diminue⟹ Une résonance interne de Lindblad apparaît⟹ Le processus de croissance de la barre est stoppé⟹ La barre se stabilise
• Dans une galaxie avec une forte ILR, on ne forme pas de barre.
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