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Simulación Matemática de Yacimientos
Modelos Matemáticosdel Flujo de Fluidos en
Medios Poroso
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 1septiembre de 2014
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IntroducciónLa simulación de yacimientos describe el
comportamiento de los procesos físicosque ocurren en los yacimientos.
Para ello nosotros los ingenieros debemosidentificar dichos procesos físicos yformular las ecuaciones matemáticas
que los gobiernan.
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IntroducciónEl modelado matemático de un sistema
dado, requiere entender elcomportamiento de los diferenteselementos que conforman el sistema enestudio.
En la simulación de yacimientos el sistema
se compone de la roca del yacimiento ylos diferentes fluidos que fluyen a travésde el.
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IntroducciónCon lo anterior es fácil suponer que la
habilidad para predecir el comportamientode un yacimiento estará en función de:1. La habilidad que tenga el ingeniero para
identificar el proceso físico que sepresenta en el yacimiento.2. Y representar dicho proceso en forma
matemática.
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IntroducciónEs necesario comprender los conceptos
básicos de ingeniería de yacimientos paramodelar el flujo de fluidos a través delmedio poroso: Potencial de flujo. Ley de Darcy.
Flujo en estado estacionario y turbulento. Propiedades de la roca. Propiedades de los fluidos. Propiedades roca/fluido.
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Modelos Matemáticos del Flujode Fluídos en un Medio Poroso
Potencial de Flujo
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-
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Potencial de un FluidoEl potencial de un fluido esta definido como
el trabajo requerido para transportar unaunidad de masa de un fluido desde unpunto con presión atmosférica y elevacióncero a otro punto determinado.
Matemáticamente, para un fluido
incompresible, esto es:
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D p
h f
hf = potencial del fluido (pies); p = presión (psia); = gradiente del fluido (psia/pies);D = profundidad (pies)(+ en la dirección hacia arriba)
-
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Gradiente del FluidoEl gradiente del fluido esta definido como:
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gc
= gradiente del fluido (psia/pies); c = 0.21584x10-3
; = densidad (lbm/pies3
); gaceleracion gravitacional (pies/seg2)
-
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Potencial de FlujoSi multiplicamos por a ambos lados de la
ecuación de potencial de un fluido,tendríamos:
El termino hf tiene unidades de presión yfrecuentemente es conocida como la
presión de referencia. En simulación deyacimientos, este termino es conocidocomo el Potencial de Flujo (
).
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D ph f
-
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Potencial de FlujoPor lo tanto el potencial de flujo lo tenemos
definido como:
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= potencial de flujo (psia); p = presión (psia); = gradiente del fluido (psia/pies); D= profundidad (pies)(+ en la dirección hacia arriba)
D p
-
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Potencial de FlujoEn la ingeniería de yacimientos, se requiere
de llevar todos los datos de presión a unacierta profundidad de referencia. Estaprofundidad de referencia puede ser lacima, el punto medio o la base delyacimiento; o usualmente el punto medioentre los contactos de fluidos.
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-
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Potencial de Flujo
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 12septiembre de 2014
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Presión
Profundidad
Contacto Gas - Aceite
Contacto Agua - Aceite
Nivel de Agua Libre
Profundidad del Plano de Referencia
-
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Potencial de Flujo Aplicación a Calcular la Presión a un Plano de ReferenciaLa presión a un plano de referencia dado se
puede estimar como:
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M PR M PR Z Z PP
PPR = Presión al Plano de Referencia(psia); PM = Presión Medida (psia); = gradientedel fluido (psia/pies); Z
PR
= Profundidad del Plano de Referencia (pies); ZM
=Profundidad donde la Presión fue Medida(pies)
-
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septiembre de 2014
Fuente: “Laboratorio de Fluidos en el Fondo del Pozo” Oilfield Review Vol-21 No-4 – 2010
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Potencial de Flujo Aplicación a Calcular la Presión a un Plano de Referencia
-
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septiembre de 2014
Fuente: “Laboratorio de Fluidos en el Fondo del Pozo” Oilfield Review Vol-21 No-4 – 2010
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 15
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Potencial de Flujo Aplicación a Calcular la Presión a un Plano de Referencia
-
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Potencial de Flujo
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 16septiembre de 2014
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-
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Potencial de FlujoEn unidades de campoEl potencial de flujo en unidades de campo,
con respecto a la densidad del fluido:
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DP 144
1
= potencial de flujo (psia); p = presión (psia); = densidad del fluido (lb/pies3
); D =profundidad (pies)
-
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Potencial de FlujoEl gradiente del potencial de flujo, lo
obtenemos por diferenciación de ladefinición del potencial de flujo, entoncestendremos:
Donde D es positivo en dirección verticalhacia abajo.
x
D
x
P
x
144
1
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Potencial de Flujo
0
x
D
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 19septiembre de 2014
0
y
D1
z
D
Superficie de Referencia
Yacimiento
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-
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Potencial de Flujo
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 20septiembre de 2014
0 x
D0
y
D1
z
D
Yacimiento
Superficie de Referencia
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-
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Potencial de Flujo
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 21septiembre de 2014
0 x
D0
y
D1
z
D
Superficie de Referencia
Yacimiento
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-
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Potencial de Flujo
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 22septiembre de 2014
Yacimiento
Superficie de Referencia
0 x
D0
y
D1
z
D
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-
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Potencial de FlujoEjercicio
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 23septiembre de 2014
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En la figura siguiente se muestra un yacimiento de aguadulce. Los puntos A, B y C están separados a como semuestra la figura. La densidad del agua es de 62.43lb/pie3. La presión en el punto B es de 2000 psia y el aguaestá bajo equilibrio hidrostático al tiempo de su
descubrimiento. Cuáles son las presiones en los puntos A yC?
-
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Modelos Matemáticos del Flujode Fluidos en un Medio Poroso
Ley de Darcy
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 24septiembre de 2014
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-
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Ley de DarcyEn 1856, como resultado de estudios
experimentales de flujo de agua a travésde filtros de arena no consolidada, elfrancés Henry Darcy dedujo la fórmula
que lleva su nombre.
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-
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Ley de Darcy
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 26septiembre de 2014
La Ley de Darcy describe, con
base en experimentos delaboratorio, las características delmovimiento del agua a través deun medio poroso. El agua, por
relaciones de energía, circula demayor a menor altura.El agua se desplazará en ladirección donde haya más
permeabilidad y esta a su vezindicará a que velocidad semueve el agua en condicionesunitarias de gradiente.
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-
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Ley de DarcyEsta es válida en un medio saturado,
continuo, homogéneo e isotrópico ycuando las fuerzas gravitacionales sondespreciables.
Se ha extendido, con ciertas limitaciones, almovimiento de otros fluidos incluyendodos o más fluidos no miscibles en rocasconsolidadas y otros medios porosos.
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Si l ió M t áti d Y i i t M d l M t áti d l Fl j d Fl id M di P 28
-
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Ley de DarcyLa forma general de la ley de Darcy para el
flujo de fluidos en un medio poroso, enuna dimensión y una sola fase, es enforma diferencial:
x
k Aq x xc
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q (STB/D);
c=0.001127; A (pie2); k (md);
(cp); (psia); x (pie)
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Simulación Matemática de Yacimientos Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 29i b d 2014
-
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Ley de DarcyTambién la podemos expresar en términos
de velocidad, entonces tendríamos:
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 29septiembre de 2014
x
k u A
q xc x
x
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 30septiembre de 2014
-
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Ley de DarcyLa ley de Darcy para el flujo de fluidos en
un medio poroso, en tres dimensiones esexpresada como:
Y con la definición de potencial de flujo:
k u c
Simulación Matemática de Yacimientos Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 30septiembre de 2014
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D pk
u c
144
1
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 31septiembre de 2014
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Ley de Darcy
Para flujo multifásico la forma de laecuación de Darcy para cada fasepuede ser expresada como:
Dondel
= aceite, gas o agua; y k rl es lapermeabilidad relativa de cada fase.
Z pkk u lll
rlcl
Simulación Matemática de Yacimientos Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 31septiembre de 2014
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 32septiembre de 2014
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Ley de DarcyEjercicioEn la figura siguiente se muestra un yacimiento de aceite. Lapermeabilidad es de 100 md y el espesor es de 40 pies. La densidad
del aceite es de 40 lb/pie3
, la viscosidad de 0.6 cp. Hay dos pozosperforados en los puntos 1 y 2. Los dos pozos están separadoshorizontalmente 2000 pies. La profundidad del pozo 1 es 8152.6 pies yel pozo 2 se encuentra a una profundidad de 7800 pies. Las presionesde fondo fluyendo son 3600 psia y 3570 psia del pozo 1 y 2respectivamente. Determinar la velocidad del fluido entre los 2 pozos.
jseptiembre de 2014
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 33septiembre de 2014
-
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Ley de DarcyEjercicio
p
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Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Ecuación de Continuidad
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Ecuación de continuidadUna descripción matemática del flujo de
fluidos en medios porosos está basada enla ley de la conservación de masa, la cualestablece que la masa dentro de un
sistema permanece constante con eltiempo. Es decir que:
0dt dm
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Ecuación de continuidadLa ecuación de continuidad, que es la
consecuencia de la aplicación de la ley deconservación de masa.Esta determina que para un cierto elemento
de medio poroso, la rapidez decrecimiento de la masa dentro delelemento es exactamente igual al flujoneto de masa hacia el mismo.
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 37septiembre de 2014
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Ecuación de continuidad
Masa queentra
Masaque sale
Pozo
Para inyección
Para producción
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Ecuación de continuidad
donde:
mi masa que entra.
m o
masa que sale.
m s
masa que entra o sale por un pozo.
m a
masa acumulada.
asoi mmmm
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 39septiembre de 2014
-
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Ecuación de continuidadLos términos de masa los podemos definir
como: z y xm a
t wt qm iii
t wt qm ooo
t qm ms
Vb=( ∆ x)( ∆ y)( ∆ z)= volumen bruto; = porosidad; = densidad;qi = gasto de entrada;qo = gasto de salida;t = incremento de tiempowi = gasto másico de entrada;w
o
= gasto másico de salida;qm = gasto del pozo;
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Ecuación de continuidad
La ecuación queda de la forma:
t t t m x x x x
z y x z y x
t qt wt w
22
Masa queentra
Masaque sale
Pozo
Para inyección
Para producción
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Ecuación de continuidad
El gasto másico x x x x Am z ymw
xc x um
x xc x Auw
La masa en términos dela densidad y la
velocidad volumétricaPor tanto el gasto
másico queda definido
en términos de lavelocidad volumétrica
c=constante para unidades consistentes
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Ecuación de continuidadSustituyendo lo anterior en la ecuación de
continuidad, queda de la forma:
t
z y x z y xq
Au Au
t t t
cc
m
x x x x x x x x
1
22
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Ecuación de continuidadSi dividimos la ecuación anterior por el
volumen bruto:
t V
q
x
uu
t t t
cbc
m
x x x x x x
1
22
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-
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Ecuación de continuidadSi ahora tomamos límites que tienden a
cero en espacio y tiempo:
t
V
q
x
uu
t t t
ct x
bc
m x x x x x x
t x
1
lim
lim
00
22
00
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-
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Ecuación de continuidadEn la ecuación anterior nosotros podemos
reconocer la definición de la derivadaparcial de orden uno con respecto aespacio y tiempo en las coordenadas
cartesianas.
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Ecuación de continuidadPara espacio:
Para tiempo:
z , y , xs ,
s
2ss f 2ss f lim
s
f
0s
t
t f t t f lim
t
f
0t
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Ecuación de continuidadEntonces la ecuación de continuidad se
puede escribir como:
Si la multiplicamos por el volumen de roca:
t V
qu
x cbc
m x
1
t V q
x Au x cb
c
m x x
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= densidad del fluido (lbm/pie3); = velocidad (bbl/dia-ft2); x (pies); Ax (pie2); qm= gasto másico (lbm/dia); c = 5.614583; V b (pie3); = porosidad (fracción); t =
tiempo (día)
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Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Ecuación de Estado
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Ecuación de EstadoPara encontrar definir el modelo
matemático, es necesario incluir laecuación de estado a la ecuación decontinuidad.
Hay que recordar que la ecuación de estadorelaciona la densidad con respecto a lapresión y temperatura.
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Densidad de los fluidosIncompresibles, Ligeramente Compresibles y Compresibles
D e n
s i d a d
Presión
•Incompresible
•Ligeramente Compresible
•Compresible
•Aceite con gas en solución
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Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Propiedades de la Roca
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P i d d d l RSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 52septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaPorosidad – Definición
Los espacios porosos de una roca contienen
fluidos. Algunos de estos espacios estánaislados y otros están interconectados. Larelación de los espacios porosos en una
roca con respecto al volumen bruto de laroca es llamada porosidad.
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
P i d d d l RSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 53septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaPorosidad – Total y Efectiva
Dos tipos de porosidad primaria pueden
encontrarse en un yacimiento: porosidadtotal y la porosidad efectiva.La porosidad total es la suma de los poros
aislados e interconectados.La porosidad efectiva solo incluye los poros
interconectados.
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P i d d d l RSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 54septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaPorosidad Efectiva
La porosidad efectiva entonces, es la
medida de capacidad de la roca paraalmacenar fluidos producibles en estosespacios interconectados.
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P i d d d l RSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 55septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaPorosidad
La porosidad depende de la presión del
yacimiento por la combinación de lacompresibilidad de la roca y los poros. Laporosidad aumenta a como las presión del
yacimiento aumenta. Esta relación sepuede expresar como:
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00 1 p pc
=porosidad (fracción); 0 = porosidad a una presión de referencia p0; c = compresibilidad de poro (psi); p=presión (psia)
P i d d d l RSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 56septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaHomogeneidad y Heterogeneidad
Una propiedad de la roca, como lo puede
ser la porosidad, puede variar de un puntoa otro.Si la propiedad es constante e
independiente de su ubicación, la rocadel yacimiento puede ser llamadahomogénea.
Por otro lado si la propiedad varia conrespecto a la distancia, entonces es
llamada heterogénea.Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Propiedades de la RocaSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 57septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaHomogeneidad
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
1,1 = 0.3 2,1 = 0.3 3,1 = 0.3
1,2 = 0.3 2,2 = 0.3 3,2 = 0.3
1,3 = 0.3 2,3 = 0.3 3,3 = 0.3
Propiedades de la RocaSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 58septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaHeterogeneidad
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
1,1 = 0.28 2,1 = 0.30 3,1 = 0.27
1,2 = 0.30 2,2 = 0.28 3,2 = 0.32
1,3 = 0.29 2,3 = 0.31 3,3 = 0.28
Propiedades de la RocaSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 59septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaHomogeneidad y Heterogeneidad
En realidad los yacimientos homogéneos no
existen, el concepto de homogeneidadgeneralmente es usado para idealizar elmedio poroso; esto normalmente es para
simplificar problemas difíciles de resolver ycon ello obtener una solución analítica.
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Propiedades de la RocaSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 60septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaPermeabilidad – Definición
Es la capacidad del medio poroso para
transmitir fluidos a través de los porosinterconectados. Esta capacidad esllamada permeabilidad absoluta o
simplemente permeabilidad, si el medioesta saturado 100% con un fluido en unasola fase.
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Propiedades de la RocaSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 61septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaPermeabilidad Efectiva
Si el medio esta saturado por dos o mas
fases la capacidad del yacimiento paratransmitir una fase es llamadapermeabilidad efectiva.
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Propiedades de la RocaSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 62septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaPermeabilidad Efectiva
La permeabilidad varia de un punto a otro,
incluso en el mismo punto, lo cualdepende de la dirección de flujo.En muchos problemas, se asume que la
permeabilidad puede ser representada por3 valores: K x, K y y K z, las cualesrepresentan la permeabilidad en la
dirección X, Y y Z respectivamente.
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Propiedades de la RocaSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 63septiembre de 2014
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Propiedades de la RocaIsotropía
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
kx1,3 = 200ky1,3 = 200kx2,3 = 200ky2,3 = 200 kx
3,3 = 200ky3,3 = 200
kx1,2 = 100ky1,2 = 100
kx2,2 = 100ky2,2 = 100
kx3,2 = 100ky3,2 = 100
kx1,1 = 50ky1,1 = 50
kx2,1 = 150ky2,1 = 150
kx3,1 = 250ky3,1 = 250
Propiedades de la RocaSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 64septiembre de 2014
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Propiedades de la Roca Anisotropía
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
kx1,3 = 200ky1,3 = 100 kx2,3 = 200ky2,3 = 100 kx
3,3 = 200ky3,3 = 100
kx1,2 = 100ky1,2 = 150
kx2,2 = 100ky2,2 = 150
kx3,2 = 100ky3,2 = 150
kx1,1 = 150ky1,1 = 50
kx2,1 = 120ky2,1 = 190
kx3,1 = 250ky3,1 = 220
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 65septiembre de 2014
Propiedades de la Roca
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Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Propiedades de la RocaHomogeneidad, Heterogeneidad, Isotropía, Anisotropía
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 66septiembre de 2014
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8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Modelo Matemático
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Modelo MatemáticoSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 67septiembre de 2014
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Modelo MatemáticoIntroducción
El modelo matemático que describe el flujo
de un fluido través del medio poroso tienela forma de una ecuación diferencialparcial y consideran la relación dinámica
entre el fluido, el medio poroso y lascondiciones de flujo que presenta elsistema.
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Modelo MatemáticoSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 68septiembre de 2014
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Modelo MatemáticoIntroducciónPara expresar el modelo matemático del flujo de
fluidos a través del medio poroso es necesario
utilizar las siguientes 3 leyes o reglasfundamentales:
1. El principio de conservación de masa.2. Una ecuación de estado que describa la
densidad del fluido como función de latemperatura y la presión.
3. La ley de darcy que describe el gasto de unfluido moviéndose dentro o fuera de unvolumen definido.
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 69septiembre de 2014
Modelo Matemático
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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La ecuación de continuidad ya la
definimos como:
t V q
x Au x c
b
c
m
x x
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Modelo MatemáticoEcuación de Continuidad
= densidad del fluido (lbm/pie3); = velocidad (bbl/dia-ft2); x (pies); Ax (pie2); qm= gasto másico (lbm/dia); c = 5.614583; V b (pie3); = porosidad (fracción); t =
tiempo (dia)
Modelo MatemáticoSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 70septiembre de 2014
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Modelo MatemáticoEcuación de Estado
Un relación simple para expresar el factor
de volumen de un fluido es:
sc B
Ing. Oscar Osorio Peralta - Ingenieria y Consultoría Mexicana (INCOMEX)
B = factor de volumen de un fluido (volumen @ condiciones de yacimiento/volumen @
condiciones estándar
Modelo MatemáticoSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 71septiembre de 2014
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Modelo MatemáticoLey de Darcy
La ley de Darcy la definimos como:
xk u xc x
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM = velocidad (bbl/dia-ft2
); c=0.001127; k (md); (cp); (psia); x (pie)
Modelo MatemáticoSimulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 72septiembre de 2014
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Modelo MatemáticoGasto másico a gasto volumétrico
El gasto másico lo expresaremos entérminos de gasto volumétrico, tomandoen cuenta que:
3
3
3
3
L
m
t
L
L
L
t
m
qq scsccm
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
= densidad del fluido @ condiciones estándar (lbm/pie3); qm = gasto másico
(lbm/dia); c = 5.614583; qsc = gasto volumétrico @ condiciones estándar (STB/dia)
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 73septiembre de 2014
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Modelo MatemáticoSi sustituimos la ecuaciones anteriores en laecuación de continuidad, tenemos elmodelo matemático que describe elflujo un fluido en un medio poroso en
una sola dirección:
Bt
V q x
x B
k A
x c
bsc
x xc
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
c=0.001127; A x = Área (pie2); k = permeabilidad (md); = viscosidad (cp); B = factorde volumen (bbl/STB); x (pies); = potencial de flujo (psia); qsc = gasto volumétrico(STB/dia); V b = Volumen de roca (pie3); c = 5.614583; = porosidad (fracción); t =
tiempo (día)
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 74septiembre de 2014
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Modelo MatemáticoEl modelo matemático que describe elflujo un fluido en un medio poroso en 3direcciones:
Bt
V
q z z B
k A
z y y B
k A
y x x B
k A
x
c
b
sc
z z
c
y y
c
x x
c
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
c=0.001127; A x , A y , Az = Área (pie2); k x , k y , k z = permeabilidad (md); = viscosidad(cp); B = factor de volumen (bbl/STB); x, y, z (pies); = potencial de flujo (psia);qsc = gasto volumétrico (STB/dia); V b = Volumen de roca (pie3); c = 5.614583; =
porosidad (fracción); t = tiempo (día)
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 75septiembre de 2014
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Modelo MatemáticoLa ecuación anterior es la forma más
general de representar el flujo de unfluido en un medio poroso en unasola fase.
En esta ecuación no asumimos que tipode fase se maneja (incompresible,
ligeramente compresible ycompresible).
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 76septiembre de 2014
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8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Modelo MatemáticoCoordenadas cilíndricas
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 77septiembre de 2014
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8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Modelo MatemáticoEl modelo mátematico en coordenadas
cilíndricas queda de la siguiente forma:
Bt
q z B
k
z B
k
r r B
k r
r r
c
sc z
ccr
c
1
112
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 78septiembre de 2014
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8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Modelo MatemáticoUnidad Símbolo UnidadesCampo
UnidadesMétricas
Factor deConversión
Longitud x, y, z, r ft m 0.3048
Área A ft2 m2 0.09290304
Permeabilidad k darcy m2 0.9869233
Viscosidad cp Pa s 0.001
Factor de Volumen del Gas Bg RB/scf m3 / std m3 5.5519314
Factor de Volumen del Líquido Bo, Bw RB/stb m3 / std m3 1
Relación Gas - Aceite Rs scf/STBstd m3 /std m3
0.1801175
Presión , p psia kPa 6.894757
Gradiente de Presión P , psi/ft kPa / m 22.62059
Gravedad de la Fase psi/ft kPa / m 22.62059
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 79septiembre de 2014
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Modelo MatemáticoUnidad Símbolo Unidades
CampoUnidadesMétricas
Factor deConversión
Gasto de Gas qsc , qgsc scf / D std m3
/ D 0.0286364
Gasto de Líquido qsc , qosc ,qwsc
STB / D std m3 / D 0.1589873
Velocidad Volumétrica u, q/A RB / (D-ft2)m3 / (d-
m3)1.7103717
Volumen de Roca V b ft3 m3 0.02831685
Densidad de la Fase lbm/ft3 kg / m3 16.01846
Aceleración Gravitacional g32.174ft/s2
9.8066352m/s2
0.3048
Compresibilidad c psia-1 kpa-1 0.1450377
Temperatura Absoluta T °R °K 0.5555556
Permeabilidad relativa k r fracción fracción 1.0
Porosidad fracción fracción 1.0
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 80septiembre de 2014
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Modelo MatemáticoUnidad Símbolo Unidades
Campo
Unidades
Métricas
Factor de
ConversiónSaturación de la fase S fracción fracción 1.0
Factor de Compresibilidad Z adimensional adimensional 1.0
Tiempo t día día 1.0
Ángulo , radianes radianes 1.0Factor de conversión deTransmisibilidad
c 1.127 86.4 x 10-6 -
Factor de conversión deGravedad
c0.21584 x
10-31 x 10-3 -
Factor de conversión de Volumen
c 5.614583 1 -
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 81septiembre de 2014
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Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Modelo Matemático para unFluído Incompresible
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Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 82septiembre de 2014
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Definición de un Fluido Incompresible
Este tipo de fluido es una idealización del aceitelibre de gas y principalmente del agua.
Un fluido incompresible tiene cero compresibilidad,por lo tanto, independientemente de la presión,este tiene una densidad, un factor de volumen y
una viscosidad constante, y matemáticamente es:
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cte p f
B p f B
cte p f
10
=densidad (lbm/pie3); B = factor de volumen (bbl/STB); B0 = factor de volumen auna presión de referencia p0 (bbl/STB); = viscosidad (cp)
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 83septiembre de 2014
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Consideraciones a un Fluido Incompresible
Si un fluido es incompresible, ladensidad de este es constante. En
otras palabras B = constante. Si los efectos termales son despreciables,
B=1. Para un fluido incompresible, también
podemos decir que la viscosidad esconstante.
Asumimos que la porosidad no varia conla presión.
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 84septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
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Con las consideraciones anteriores, el modelo lopodemos reescribir como:
Esta es una solución independiente del tiempo. Ladependencia del tiempo es igual a cerocuando se hace la consideración de B como
constante y también el medio poroso seasume incompresible (la porosidad no variacon la presión).
0q z z
k A z
y y
k A y
x x
k A x
sc z zc y yc x xc
(psia);
(cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az (pie2); k (md); qsc (STB/D); c = 0.001127
Fluido Incompresible
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 85septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
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Si el término de gravedad loconsideramos como despreciableentonces el modelo para un fluidoincompresible queda como:
Esta ecuación considera un medioheterogéneo y anisotrópico.
0q z zPk A
z y
yPk A
y x
xPk A
x sc z zc y yc x xc
P (psia);
(cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az (pie2); k (md); qsc (STB/D); c = 0.001127
Fluido Incompresible
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 86septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
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Para un medio homogéneo e isotrópico,considerando el término de gravedadcomo despreciable tenemos:
0kV
q
z
P
y
P
x
P
bc
sc
2
2
2
2
2
2
P (psia);
(cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az (pie2); k (md); qsc (STB/D); c = 0.001127
Fluido Incompresible
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 87septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
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Para un medio homogéneo e isotrópico,considerando el término de gravedadcomo despreciable y sin termino defuente o sumidero (pozo), tenemos:
La cual conocemos como la Ecuación deLaplace.
02
2
2
2
2
2
z
P
y
P
x
P
P (psia);
(cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az (pie2); k (md); qsc (STB/D); c = 0.001127
Fluido Incompresible
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 88septiembre de 2014
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8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Modelo Matemático para unFluído Ligeramente Compresible
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Modelo Matemático de Flujo en un Medio Porosoó
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 89septiembre de 2014
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Definición de un Fluido Ligeramente CompresibleUn fluido ligeramente tiene compresibilidadconstante, usualmente en rangos desde los 10-5
hasta los 10-6
psi-1
. El aceite libre de gas, agua yaceite por arriba del punto de burbuja son ejemplode este tipo de fluidos. La densidad, el factor devolumen y la viscosidad son dependientes de lapresión:
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
00 1 p pc
=densidad (lbm/pie3); 0 = densidad a una presión de referencia p0 (lbm/pie3); B = factor de volumen (bbl/STB); B0 = factor de volumen auna presión de referencia p0 (bbl/STB); = viscosidad (cp); 0 = viscosidad a una presión de referencia p0 (cp); p=presión (psia);
c=compresibilidad del fluido (psi-1)
00
1 p pc
B B
00
1 p pc
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 90septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Porosol id i ibl
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Para un fluido ligeramente compresible se asumeque la compresibilidad es muy pequeña y
permanece constante en un cierto rangode presión.
Esto para un medio heterogéneo y
anisotrópico y asumiendo que el medioporoso es incompresible.
Fluido Ligeramente Compresible
t
P
B
cV q z
z B
k A
z y
y B
k A
y x
x B
k A
x c
bsc
z zc
y y
c x x
c
0
=potencial (psia); =viscosidad (cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az = Área (pie2); k = permeabilidad (md); qsc = gasto de producción oinyección (STB/D); c = 0.001127; B=factor de volumen (bbl/STB); c = compresibilidad (psia-1); c=5.615; = porosidad (fracción);
V b=volumen bruto de la roca (pies3); B0=factor de volumen a una presión de referencia p0 (bbl/STB); t =tiempo (días); p =presión (psia)
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 91septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFl id Li t C ibl
-
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91/149
Si consideramos despreciable los efectos porgravedad:
Esto para un medio heterogéneo yanisotrópico.
Fluido Ligeramente Compresible
t
P
B
cV q z
z
P
B
k A
z y
y
P
B
k A
y x
x
P
B
k A
x c
bsc
z zc
y y
c x x
c
0
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
=viscosidad (cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az = Área (pie2); k = permeabilidad (md); qsc = gasto de producción o inyección (STB/D); c =0.001127; B=factor de volumen (bbl/STB); c = compresibilidad (psia-1); c=5.615; = porosidad (fracción); V b=volumen bruto de la roca
(pies3); B0=factor de volumen a una presión de referencia p0 (bbl/STB); t =tiempo (días); p =presión (psia)
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 92septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFl id Li t C ibl
-
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92/149
Si asumimos que los cambios de viscosidad y elfactor de volumen con respecto a la presión, son
despreciables, entonces los podemos considerarconstantes. Si asumimos un medio homogéneoe isotrópico y sin termino de fuente o sumidero,la ecuación queda se la siguiente forma:
La cual la conocemos como la ecuación dedifusividad.
Fluido Ligeramente Compresible
t
P
k
c
z
P
y
P
x
P
cc
12
2
2
2
2
2
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
=viscosidad (cp); k = permeabilidad (md); c = 0.001127; c = compresibilidad (psia-1); c=5.615; = porosidad (fracción); t =tiempo(días); p =presión (psia)
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 93septiembre de 2014
-
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Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Modelo Matemático para unFluído Compresible
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Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoDefinición de un Fluido Compresible
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 94septiembre de 2014
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Definición de un Fluido CompresibleUn fluido compresible tiene compresibilidad alta,usualmente en rangos desde los 10-2 hasta los 10-4
psi-1
y depende altamente de la presión. Ladensidad y la viscosidad incrementan a como lapresión incrementa, pero tiende a estabilizarse aaltas presiones. El factor de volumen decrece a
como la presión incrementa desde la presiónatmosférica hasta altas presiones.
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
zRT pM g
g = densidad (lbm/pie3); p = presión (psia); M = peso molecular del gas (lbm/lb mol); z = factor de compresibilidad del gas; R = 10.73; T =temperatura (°R); psc = presión a condiciones estándar (psia); Tsc = temperatura a condiciones estándar (°R); = viscosidad (psi-1);
c=5.614583
pT Tz p Bscc
sc
M pT f ,,
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 95septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Para el flujo de gas es imposible considerarla viscosidad, la densidad, el factor de
volumen y el factor compresibilidad Z,como constantes; debido a la altadependencia de la presión.
Un aspecto el cual si se puede considerardespreciable son los efectosgravitacionales, esto debido a la baja
densidad del gas.
Fluido Compresible
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 96septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible
-
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96/149
Debido a lo anterior tenemos la ecuaciónsiguiente:
Para un medio heterogéneo y anisotrópico.
Z
P
t T P
T V q z
z
P
B
k A
z y
y
P
B
k A
y x
x
P
B
k A
x sc
scbscg
gg
z zc
gg
y y
c
gg
x xc
Fluido Compresible
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
g =viscosidad (cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az = Área (pie2); k = permeabilidad (md); qscg = gasto de producción o inyección (SCF/D); c =0.001127; Bg=factor de volumen (bbl/SCF); c = compresibilidad (psia-1); = porosidad (fracción); V b=volumen bruto de la roca (pies3); t =
tiempo (días); P =presión (psia); Tsc = temperatura a condiciones estándar (°R); Tsc = temperatura (°R); Psc = presión a condicionesestándar (psia); Z = factor de compresibilidad del gas (adim)
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 97septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible
-
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97/149
La ecuación anterior es una ecuación endiferencias parciales no lineal; y esta sepresenta por la dependencia de g, Bg y elfactor de compresibilidad Z, con respecto a
la presión.
Fluido Compresible
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 98septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible – Linealización por el Método de P2
-
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La linealización de la ecuación para un fluidocompresible se puede llevar a cabo por 2
métodos.Una primera opción es el método llamado
P2. En este se reconoce lo siguiente:
Y se asume que el producto gZ esconstante a bajas presiones.
Fluido Compresible Linealización por el Método de P
2 p
2
1 p p
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 99septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible – Linealización por el Método de P2
-
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99/149
La variable dependiente en el resultado de laecuación ahora será P2 en lugar de P.
Esta forma de la ecuación para un fluidocompresible es aceptada para yacimientos debaja presión (usualmente debajo de 500 psia),donde el comportamiento del gas real se
asemeja al comportamiento de un gas ideal.
t
PcV Zq
T
T P Z z
z
Pk A
z y
y
Pk A
y x
x
Pk A
x c
bscg
scc
sc z zc y yc x xc
2222
2
Fluido Compresible Linealización por el Método de P
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
g =viscosidad (cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az = Área (pie2); k = permeabilidad (md); qscg = gasto de producción o inyección (SCF/D); c =0.001127; Bg=factor de volumen (bbl/SCF); c = compresibilidad (psia-1); = porosidad (fracción); V b=volumen bruto de la roca (pies3); t =
tiempo (días); P2 =presión al cuadrado (psia2); Tsc = temperatura a condiciones estándar (°R); Tsc = temperatura (°R); Psc = presión acondiciones estándar (psia); Z = factor de compresibilidad del gas (adim)
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 100septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible – Linealización por el Método Pseudopresión
-
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El concepto de pseudopresión de un gasreal es definido como:
La linealización se asume sustituyendo lapseudopresión en el modelo matemático.
Fluido Compresible Linealización por el Método Pseudopresión
dP Z
PP
P
p 0
2
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Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 101septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoFluido Compresible – Linealización por el Método Pseudopresión
-
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Por tanto el modelo matemático quedadefinido como:
Fluido Compresible Linealización por el Método Pseudopresión
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t
PcV q
PT
Z T P z
z
Pk A
z y
y
Pk A
y x
x
Pk A
x
p
c
igib
scg
iscc
igsc p
z zc
p
y yc
p
x xc
g =viscosidad (cp); x, y, z (pies); Ax, Ay, Az = Área (pie2); k = permeabilidad (md); qscg = gasto de producción o inyección (SCF/D); c =0.001127; Bg=factor de volumen (bbl/SCF); c = compresibilidad (psia-1); = porosidad (fracción); V b=volumen bruto de la roca (pies3); t =
tiempo (días); Pp =pseudo presión (psia2/cp); Tsc = temperatura a condiciones estándar (°R); Tsc = temperatura (°R); Psc = presión acondiciones estándar (psia); Z = factor de compresibilidad del gas (adim)
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 102septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoLinealización por el Método Pseudopresión vs P2
-
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Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
p p
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 103septiembre de 2014
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Modelos Matemáticos paraFlujo Multifásico(Aceite – Negro)
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 104septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro - Conceptualización
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Gas
Aceite + Gas
Disuelto
Agua
g p
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 105septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro - Conceptualización
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Los modelos de Aceite Negro, están basadosen la suposición de la presencia de las tresfases: aceite, agua y gas.
En base a esto se tiene que en un elemento
se van a contener cada una de estoscomponentes.
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 106septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Ecuación de Continuidad para el Aceite
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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La ecuación de conservación de masa parael componente aceite es:
osco
o
c
b
ozo
z
oyo
y
oxo
x q B
S
t
V zu
B
A
z yu
B
A
y xu
B
A
x
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
ó ó
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 107septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Ecuación de Continuidad para el Agua
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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La ecuación de conservación de masa parael componente agua es:
wscw
w
c
b
wzw
z
wyw
y
wxw
x
q B
S
t
V
zu B
A
z yu B
A
y xu B
A
x
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
ó d ó d
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 108septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Ecuación de Continuidad para el Gas
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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La ecuación de conservación de masa parael componente gas es:
Donde:
gsco
o
s
g
g
c
boz
o
s z fgz
g
z
oy
o
s y fgy
g
y
ox
o
s x fgx
g
x
qS B
R
B
S
t
V zu
B
R Au
B
A
z
yu B
R Au
B
A
y xu
B
R Au
B
A
x
oscs fgscgsc q Rqq
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
L i i i j
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 109septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Ley de Darcy
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Las ecuaciones anteriores tienen un manejosimilar que las ecuaciones de una sola
fase.Para obtener los modelos matemáticos de
cada uno de los componentes (aceite,agua y gas), tenemos que asociar la ley deDarcy a cada una de ellas.
Z pkk u lll
rlcl
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
á
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 110septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Componente Aceite
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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El modelo matemático para el componenteaceite para flujo multifásico es:
osc
o
o
c
bo
o
oo
ro z zc
oo
oo
ro y yco
o
oo
ro x xc
q BS
t V z
z Z
z p
Bk Ak
z
y y
Z
y
p
B
k Ak
y x
x
Z
x
p
B
k Ak
x
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
El d l t áti l t
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 111septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Componente Agua
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
111/149
El modelo matemático para el componenteagua para flujo multifásico es:
wsc
w
w
c
bw
w
ww
rw z zc
ww
ww
rw y ycw
w
ww
rw x xc
q B
S
t
V z
z
Z
z
p
B
k Ak
z
y y
Z
y
p
B
k Ak
y x
x
Z
x
p
B
k Ak
x
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
El modelo m temáti o p el omponente
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 112septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Componente Gas
-
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112/149
El modelo matemático para el componentegas para flujo multifásico es:
gsc
o
os
g
g
c
b
oo
oo
sro z zcg
g
gg
rg
z zc
oo
oo
sro y ycg
g
gg
rg
y yc
oo
oo
sro x xcg
g
gg
rg
x xc
q B
S R
B
S
t
V
z z
Z
z
p
B
Rk Ak
z
Z
z
p
B
k Ak
z
y y
Z
y
p
B
Rk Ak y
Z
y
p
B
k
Ak y
x x
Z
x
p
B
Rk Ak
x
Z
x
p
B
k Ak
x
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
E t d l t áti ti
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 113septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio PorosoModelo de Aceite Negro – Ecuaciones Complementarias
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Estos modelos matemáticos tienenasociados ahora las saturaciones de cadacomponente. Las ecuaciones auxiliarespara estos modelos son:
gogcgowwocow
gwo
S f PPPS f PPP
1S S S
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 114septiembre de 2014
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Modelos Matemáticos paraFlujo Multifásico(Composicional)
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 115septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Modelo Composicional – Conceptualización
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Yi
Xi
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
En los modelos composicionales el
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 116septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Modelo Composicional – Conceptualización
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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En los modelos composicionales, elcomportamiento de fases es parte crucial
de estos.Los datos PVT juegan un papel muy
importante. Y estos se representan conalguna ecuación de estado, EoS (Equationof State).
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
El manejo de la EoS en la simulación
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 117septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Modelo Composicional – Equation of State (EOS)
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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El manejo de la EoS en la simulacióncomposicional se utiliza cuando queremos
calcular la distribución de componentes encada una de las fases, la variación dedensidad de las fases, la viscosidad y laspropiedades termodinámicas.
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Un modelo composicional de 3D tres fases
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 118septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Modelo Composicional – Ecuaciones
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
118/149
Un modelo composicional de 3D, tres fases,es modelado por 2Nc + 4 ecuaciones.
Donde Nc es el numero de componentes.
Fuente: SPE 50990 “Compositional and Black Oil Reservoir Simulation”
SPE Reservoir Evaluation Engineering – Agosto 1998Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Un modelo composicional de 3D tres fases
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 119septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Modelo Composicional – Ecuaciones Liquido - Vapor
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Un modelo composicional de 3D, tres fases,es modelado por las siguientes
ecuaciones:
ggiooii
g
g
rg
ig z
g
g
rg
ig y
g
g
rg
ig x
o
o
roio z
o
o
roio y
o
o
roio x
S yS xt
q
z
k yT
z y
k yT
y x
k yT
x
z
k xT
z y
k xT
y x
k xT
x
Fuente: SPE 50990 “Compositional and Black Oil Reservoir Simulation”
SPE Reservoir Evaluation Engineering – Agosto 1998Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
kkk
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 120septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Modelo Composicional – Ecuaciones Adicionales
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
120/149
www
w
w
rww z
w
w
rww y
w
w
rww x
S Bt
q
x
k BT
z x
k BT
y x
k BT
x
Fuente: SPE 50990 “Compositional and Black Oil Reservoir Simulation”
SPE Reservoir Evaluation Engineering – Agosto 1998
1
1
1
1
1
wgo
N
i
i
N
i
i
S S S
y
x
c
c
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Modelos Matemáticos del Flujo
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en un Medio Poroso 121septiembre de 2014
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Condiciones Iniciales y
Condiciones de Frontera
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Las ecuaciones diferenciales que describen
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en un Medio Poroso 122septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Condiciones Iniciales y de Frontera
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
122/149
Las ecuaciones diferenciales que describenel flujo de fluidos en un medio poroso,
matemáticamente hablando, tienen unnumero de soluciones infinitas y unade las cuales describe el problema enparticular.
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Nosotros podemos obtener una solución
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en un Medio Poroso 123septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Condiciones Iniciales y de Frontera
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
123/149
Nosotros podemos obtener una soluciónmediante la imposición de restricciones
adicionales, conocidas como condicionesiniciales y de frontera.
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Estas condiciones son parte de los datos
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en un Medio Poroso 124septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Condiciones Iniciales y de Frontera
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
124/149
Estas condiciones son parte de los datosconocidos del yacimiento en estudio.
Las condiciones iniciales para un modelode simulación son la distribución de
presiones y saturaciones al tiempoinicial t=0.Las condiciones de frontera son los
limites físicos que tiene el yacimiento.
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Modelos Matemáticos del Flujo
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en Medios Porosos 125septiembre de 2014
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
125/149
Modelos Matemáticos del Flujo
de Fluídos en un Medio Poroso
Condiciones Iniciales
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
-
8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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Todo sistema en equilibrio en un
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en un Medio Poroso 127septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Condiciones Iniciales
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8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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qtiempo cero permanecerá así, a
menos que ocurra algunaperturbación.
En un yacimiento esto ocurre cuando seperfora el primer pozo.
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
En la simulación las variables dependientes
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en un Medio Poroso 128septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Condiciones Iniciales
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8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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pcon frecuencia son la presión y la
saturación; y para calcular su distribuciónen un yacimiento a cualquier tiempo sedebe tener la condición inicial, las cualestoman la siguiente forma general:
z , y , xP z y xS ,,Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Donde es alguna constante o una función
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en un Medio Poroso 129septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Condiciones Iniciales
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8/19/2019 Microsoft PowerPoint - 3.1 Modelo Matematico 2014.Pptx
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gque describe la distribución de un
parámetro (presión o saturación) dentrodel sistema al tiempo cero.
Ing. Oscar Osorio Peralta - Facultad de Ingeniería UNAM
Simulación Matemática de Yacimientos – Modelos Matemáticos del Flujo de Fluidos en un Medio Poroso 130septiembre de 2014
Modelo Matemático de Flujo en un Medio Poroso
Condiciones Iniciales: Presión y