Download - Matrices
![Page 1: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/1.jpg)
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
Programación
Semestre: Segundo
Paralelo: Primero
Ing. Ramiro Pilaluisa
Integrantes:• Cueva Amok Smith Alexander• Guanoluisa Tarco Katty
Paulina• Sánchez Chancusig Silvia
Paulina• Rodriguez Ballesteros
Fernando Ivan• Vasco Casco Omar Anthony
Septiembre 2014 – Febrero 2015
![Page 2: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/2.jpg)
MATRICESPUNTO DE VISTA MATEMÁTICO
![Page 3: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/3.jpg)
DEFINICION
Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.
![Page 4: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/4.jpg)
• Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna.
• Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.
• Si el número de filas y de columnas es igual (m = n), entonces se dice que la matriz es de orden n.
CARACTERÍSTICAS
![Page 5: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/5.jpg)
Una matriz de números reales de m filas y n columnas es, por definición, el siguiente esquema:Donde cada elemento: i representa la fila y tiene un valor comprendido entre 1 y m; j representa la columna y tiene un valor comprendido entre 1 y n. En intervalos, por tanto, se designa por al conjunto de las matrices de números reales.
![Page 6: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/6.jpg)
• Suma o adición
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas.
![Page 7: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/7.jpg)
Propiedades• Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.• Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C• Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.• Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.• Conmutativa:
A + B = B + A
![Page 8: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/8.jpg)
• Resta de matrices
Restamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B.
![Page 9: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/9.jpg)
Propiedades de la resta
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define
como: A–B = A + (–B)
![Page 10: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/10.jpg)
Multiplicación de una matriz
• Multiplicación de una matriz por un escalar
Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:
![Page 11: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/11.jpg)
Propiedad Descripción
Clausura cA es también una matriz
Elemento neutro Existe el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A
Propiedad asociativa (cd)A = c(dA)
Propiedad distributiva- De escalar- De matriz
c(A+B) = cA+cB(c+d)A = cA+dA
![Page 12: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/12.jpg)
Multiplicación de una matriz
• Multiplicación entre matrices
Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B
![Page 13: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/14.jpg)
Propiedades de la multiplicación entre matrices
• Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C• Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.• No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A• Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C
![Page 15: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/15.jpg)
Matriz Inversa
Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A-1, a la única matriz que cumple que:
A·A-1 = I = A-1·A
Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.
![Page 16: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/16.jpg)
Cálculo de la matriz inversa usando determinantes
![Page 17: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/17.jpg)
Calculo de la Determinante (Regla
de Sarrus)Dada una matriz cuadrada A de orden 3,
Se llama determinante de A al número real:
![Page 18: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/18.jpg)
Los productos con signo " + ", están formados por los elementos de la diagonal principal, y los de las dos diagonales paralelas (por encima y por debajo), con su correspondiente vértice opuesto.
Los productos con signo " ", se forman con los elementos de la diagonal secundaria y los de las dos diagonales paralelas, con su correspondiente vértice opuesto.
![Page 19: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/21.jpg)
Calculo de la Matriz Adjunta
![Page 22: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/23.jpg)
Matriz 4x4
![Page 24: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/25.jpg)
Regla de Chio
![Page 26: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/26.jpg)
EJEMPLO:
![Page 27: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/27.jpg)
Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la
matriz inversa
El método de Gauss - Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.
![Page 28: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/30.jpg)
Ejemplo:
![Page 31: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/31.jpg)
• PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
1. La matriz inversa si existe es única.
2. (A-1)-1 = A, es decir, la inversa de la inversa es la matriz inicial.
3. (A·B)-1 = B-1·A-1
4. |A-1| = 1 / |A|
![Page 32: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/32.jpg)
Matriz TranspuestaDada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
![Page 33: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/33.jpg)
Matriz simétrica y anti simétrica
![Page 34: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/34.jpg)
Propiedades de la matriz traspuesta
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BTAT.
![Page 35: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/35.jpg)
CLASIFICACION DE MATRICES
La matriz es un concepto principal, no sólo en el campo de las matemáticas, sino en el de las Computadoras también. Una matriz puede definirse simplemente como una ordenación rectangular de números reales o complejos. Cada número o entrada en una matriz es llamado un elemento de la matriz. Los elementos incluidos en la línea horizontal forman una fila de la matriz. Los elementos incluidos en la línea vertical forman una columna de la matriz. Una matriz es de diversos tipos y formas. Se pueden clasificar en:
![Page 36: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/36.jpg)
![Page 37: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: Matrices](https://reader033.vdocuments.us/reader033/viewer/2022051001/5695d1671a28ab9b02966665/html5/thumbnails/39.jpg)
GRACIAS