SEMIEXTENSIVO – MATEMÁTICA A
13.01)
m n p
ABC k
log ABC log k
logA logB logC log k
m n p log k
10 k
ALTERNATIVA D
13.02)
Para [H+] = 0,001, temos
3
pH log0,001
pH log10
pH ( 3)
pH 3
SOLUÇÃO ÁCIDA
Para [H+] = 0,01, temos
2
pH log0,01
pH log10
pH ( 2)
pH 2
SOLUÇÃO ÁCIDA
Para [H+] = 0,1, temos
1
pH log0,1
pH log10
pH ( 1)
pH 1
SOLUÇÃO ÁCIDA
ALTERNATIVA D
13.03)
2
2
log60 log 2 .3.5
log60 log2 log3 log5
10log60 2log2 log3 log
2
log60 2log2 log3 log10 log2
log60 log2 log3 log10
log60 0,30 0,48 1
log60 1,78
ALTERNATIVA C
13.04)
2
5A log 5 2
A 2 2
A 0
ALTERNATIVA A
13.05)
3
2log 8 log2
3log 8 log2
2
3log 8 0,30
2
log 8 0,45
ALTERNATIVA A
13.06)
3
2
3
2 2
3
2 2 2
2 2 2
a by log
c
y log a b log c
y log a log b log c
y 3log a log b log c
ALTERNATIVA C
13.07)
logE = 3logm + 2logn -10logp
logE = logm3 + logn2 - logp10
logE = logm3n2
p10
æ
èç
ö
ø÷
E =m3n2
p10
ALTERNATIVA B
13.08)
2 4 8 16
2 2 22
2 2 2
2 2 22
2 2 2 2
2
2
25log x log x log x log x
4
log x log x log x 25log x
log 4 log 8 log 16 4
log x log x log x 25log x
2 3 4 4
12log x 6log x 4log x 3log x 25
25log x 25
log x 1
x 2
ALTERNATIVA A
13.09)
3 2 5 7
3 3 33
3 3 3
3
y log 2 log 5 log 7 log 9
log 5 log 7 log 9y log 2
log 2 log 5 log 7
y log 9
y 2
ALTERNATIVA A
13.10)
Igualando as coordenadas (abscissa e ordenada) do ponto A, temos:
2
10 10
2
10 10
2
10
2
2
2
log x 1 1 log x 35
1 log x 35 log x 1
x 351 log
x 1
x 3510
x 1
10x 10 x 35
x 10x 25 0
x 5
ALTERNATIVA B
13.11)
200 200
A B
200 200
A B
200
A B C
A B 2C 3C
Alog 5 Blog 2 C
log 5 log 2 C
log 5 .2 C
5 .2 200
5 .2 5 .2
A 2C
e
B 3C
Logo, temos que A + B + C = 2C + 3C + C = 6C
ALTERNATIVA E
13.12)
3 2
3
2
logx 3 log3 log2 2log5
logx log10 log3 log2 log5
10 .3logx log
2.5
logx log60
x 60
ALTERNATIVA E
13.13)
10
0
010
0
5 3
10
5 3
10 10
10
IR log
I
32 000IR log
I
R log 2 .10
R log 2 log 10
R 5log 2 3
R 5.0,30 3
R 4,50
ALTERNATIVA D
13.14)
Encontrar o valor de t, tal que, n(0)
n(t)2
. Assim:
t
t
t
t3
1
t3
1
3
3
n(t) n(0) 0,8
n(0)n(0) 0,8
2
10,8
2
22
10
2log2 log
10
2log2 t log
10
log2 t log2 log10
log2 t 3log2 1
0,30 t 3.0,30 1
0,30 t 0,10
t 3 anos
ALTERNATIVA E
13.15)
2 8
22
8
22
2 2
2
2
log x log x 8
log xlog x 8
log x
log xlog x 8
3
3log x log x 24
4log x 24
log x 6
x 26
x 64
ALTERNATIVA A
13.16)
0,1t
0,1t
0,1t
0,1t
0,1t 1
d(t) 50 1 e
25 50 1 e
11 e
2
1e
2
ln e ln2
0,1t ln2
0,1t 0,7
t 7 segundos
ALTERNATIVA C
13.17)
Na equação exponencial, fazendo a troca de variáveis x5 k , temos:
k2 – 7k + 10 = 0
k = 5 ou k = 2
Logo:
x
x
5
5 5 x 1
ou
5 2 x log 2
Somando os valores de x, temos:
5
5 5
5
5
SOMA 1 log 2
SOMA log 5 log 2
SOMA log 5.2
SOMA log 10
ALTERNATIVA B
13.18)
2 2 4
22 2
2
22 2
22
2 2
2
2 2
2log 6 2 ... log x log x
3
log x6log log x
1 log 41
3
log xlog 9 log x
2
log xlog 9
2
2log 9 log x
log 9 log x
81 x
Com o valor de x, calculamos então:
3 3
4
3 3
3
log x log 81
log x log 3
log x 4
ALTERNATIVA D
13.19)
a)
45S
11
3
45S
2
3
135S
2
b)
n 1
n 1
n 1
2 1 n 1 1 1
3 n 1 1 1
3 n 1 1 1
3 n 1 1 1
1a a q
30
1 145
3 30
3 5 3 2 3 5
5 3 2 3 5
log 5 3 log 2 3 5
log5 log3 log2 log3 log5
10 10log 3 n log3 log2 log3 log
2 2
log10 log2 3 n log3 log2 log
mín
3 log10 log2
1 0,30 3 n 0,48 0,30 0,48 1 0,30
3 n 0,48 2,18
1,44 2,18 0,48n
n 7,51 n 8
13.20)
h
0
0,00012h
0,00012h
0,00012h
p(h) P e
530 760 e
530e
760
530ln ln e
760
ln530 ln760 0,00012h
6,27 6,63 0,00012h
0,36 0,00012h
h 3 000 metros
14.01)
2
f(1) log1 f(1) 0
f(4) log4
f(16) log16 f(16) log4 f(16) 2log4
(...)
P.A de razão log 4.
ALTERNATIVA B
14.02)
Sendo f e g funções inversas, para calcular o valor de g(1), basta calcular o
valor de x tal que f(x) = 1, assim:
a
1
f(x) log x 1
x a
x a
Logo, g(1) = a.
ALTERNATIVA C
14.03)
Se está sendo pedida a imagem, logo 256 é o domínio, ou seja, x = 256.
Assim:
2
8
2
f(256) log 256
f(256) log 2
f(256) 8
ALTERNATIVA C
14.04)
Se o ponto P pertence ao gráfico da função, então, f(64) = 6. Assim:
k
6
f(64) 6
log 64 6
64 k
k 2
ou
k 2 (não convém)
ALTERNATIVA B
14.05)
Condição de Existência:
250 5x x 0
S: (- 10, 5)
ALTERNATIVA B
14.06)
* Perceber que as bases dos dois retângulos são iguais a 1;
* Perceber que a altura de um dos retângulos é a diferença (log3 – log2) e que
a altura do outro retângulo é a diferença (log4 – log3);
Calculando a área, temos:
2
S 1 log3 log2 1 log4 log3
S log4 log2
S log2 log2
S 2log2 log2
S log2
ALTERNATIVA A
14.07)
log(2x + 1) > log(x – 2)
2x + 1 > x – 2
x > - 3
ALTERNATIVA E
14.08)
b
2
b
7
2 2
f(x) log (x 1)
b 2f(5) 2 log (5 1) 2 4 b
b 2 (não convém)
f(129) log (129 1) log 2 7
ALTERNATIVA A
14.09)
b
1 1 1
b
f(x) log x
f(0,5) 1 log 0,5 1 0,5 b 2 b b 2
A região sombreada é um retângulo de base igual a 2 e altura igual a blog 2 ,
assim:
b
2
S 2 log 2
S 2 log 2
S 2
ALTERNATIVA A
14.10)
2
4
mín
log (3x 6) 4
3x 6 2
3x 22
x 7,33... x 8
ALTERNATIVA C
14.11)
5 2
4 2
5
22
2
2
2
2
2 2 2
2 2
2
2
4
A(t) B(t)
log 2 t log 2t 4
log 2 tlog 2t 4
log 4
5log 2 t2log 2 t 2
2
5log 2 t 2 log 2 log t 2
2
5log 2 t 2 2log (2 t)
2
1log (2 t) 2
2
log (2 t) 4
2 t 2
t 14 anos
ALTERNATIVA E
14.12)
3
3
4
5 5
4
5 5
f (5)43
f (5)1
43
4f (5)
43
f(x) log x
f(5) log 5
5 5 5
5 5 5
5 5
4f(5) 4
3
f(5) 3 centenas
f(5) 300
ALTERNATIVA C
14.13)
Nos vértices do trapézio, podemos concluir as relações:
k
2
k
log p 1 p k
log q 2 q k
Considerando que a área do trapézio é igual a 30, temos:
2
2
Área 30
1 2 q p30
2
k k 20
k k 20 0
k 5 q 25 ; p 5
ou
k 4 q 16 ; p 4
Pelo gráfico temos que p e q são positivos, ou seja, q = 25 e p = 5. Assim:
k + p – q = 5 + 5 – 25
k + p – q = - 15
ALTERNATIVA B
14.14)
2 2 2
1319 1319 1319
2 2 2
1319
2
1319
1319
maior que 1
n f(10) f(11) f(12)
n log 10 log 11 log 12
n log 10 11 12
n log 10 11 12
n 2 log 1320
n 2
ALTERNATIVA E
14.15)
Cálculo do g(-2)
2
a
a
g( 2) log 2 2 3 2 2
g( 2) log 16
Cálculo do f(g(-2))
a
g( 2)
log 16
f(g( 2)) a
f(g( 2)) a
f(g( 2)) 16
ALTERNATIVA C
14.16)
Resolução da inequação
2 2
2
1
log (2x 5) log (3x 1) 1
2x 5log 1
3x 1
2x 52
3x 1
2x 52 0
3x 1
2x 5 6x 20
3x 1
7 4x0
3x 1
Determinação das Condições de Existência
2x 5 0
3x 1 0
5x
2
1x
3
Logo, 1
x3
Fazendo a intersecção da Resolução da Inequação com as Condições de
Existência encontramos a Solução, assim:
1 7S : ;
3 4
ALTERNATIVA D
14.17)
Pelo gráfico, temos que:
x
1f( 1)
f(x) 22
f(1) 2
Sendo f e g funções inversas e g(k) = 3, então, f(3) = k, assim:
3
f(3) k
2 k
8 k
ALTERNATIVA E
14.18)
Os pontos A e B pertencem também ao gráfico da função f, assim, tem-se:
1
10
f(a) 1
log (a 2) 1
1a 2
10
19 19a A ;1
10 10
E tem-se também:
1
10
b
2 b
f(98) b
log (98 2) b
1100
10
10 10
2 b
b 2 B 98; 2
Os pontos A, B e C são colineares, então:
19 1998 k
010 10
1 2 0 1
19k 2k 98 0
5
k 31,40
ALTERNATIVA D
14.19)
a)
k
1
Q(0) 1
10log 1
0 1
10k 10
k 1
b)
1
0
Q(t) 0
10log 0
t 1
1010
t 1
10 t 1
t 9 horas
14.20)
a)
Para a população A, temos:
3
6 6
8 2
6 6
8 8
6A(1) log 1 1 A(1) log 2 A(1) A(1) 2 mil habitantes
3
A(7)=log 1 7 A(7) log 8 A(7) 6 mil habitantes
Para a população B, temos:
2 2
2 2
B(1) log (4.1 4) B(1) log 8 B(1) 3 mil habitantes
B(7) log 4.7 4 B(7) log 32 B(7) 5 mil habitantes
b)
1ª Opção: A(t) > B(t)
6
8 2
6
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
log 1 t log 4t 4
log 1 tlog 4 t 1
log 8
6log 1 tlog 4 log t 1
3
2log 1 t 2 log 1 t
log 1 t 2
1 t 2
t 3
A população de A é maior que a população de B a partir de t = 3 anos.
2ª Opção: B(t) > A(t)
6
8 2
6
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
log 1 t log 4t 4
log 1 tlog 4 t 1
log 8
6log 1 tlog 4 log t 1
3
2log 1 t 2 log 1 t
log 1 t 2
1 t 2
t 3
A população B será maior que a população A antes de t = 3 e não “a partir” de
certo instante t, ou seja, essa opção não possui solução.
SEMIEXTENSIVO – MATEMÁTICA B
13.01)
Para obter a menor probabilidade de engarrafar, basta calcular a MAIOR
probabilidade de NÃO engarrafar. Multiplicando as probabilidades
complementares de cada trecho, temos:
a)p 0,2 0,5 0,10
b)p 0,2 0,7 0,14
c)trajeto impossível
d)p 0,3 0,6 0,18
e)p 0,3 0,4 0,12
ALTERNATIVA D
13.02)
10 5p p
14 7
ALTERNATIVA D
13.03)
12p p 0,15
79
ALTERNATIVA D
13.04)
8p
15
ALTERNATIVA E
13.05)
1 1 1p
2 2 2
1 1p
2 4
3p
4
ALTERNATIVA C
13.06)
5 4p
8 7
5p
14
ALTERNATIVA C
13.07)
200p
500
2p
5
ALTERNATIVA E
13.08)
0,15 1323p
1323
p 0,15 p 15%
ALTERNATIVA B
13.09)
3p
10
p 30%
ALTERNATIVA B
13.10)
150p
200
p 0,75
ALTERNATIVA E
13.11)
2
1 1 1p 15
15 15 15
1p
15
ALTERNATIVA A
13.12)
B A C p 0,3 0,2 0,06
ou
B B C p 0,5 0,0 0,00
ou
B C C p 0,0 0,4 0,00
ou
B D C p 0,1 0,2 0,02
ou
B E C p 0,1 0,1 0,01
SOMA = 0,09
ALTERNATIVA D
13.13)
25 25p
100 100
1p
16
ALTERNATIVA B
13.14)
Há 7 artrópodes que não são insetos, assim:
7 6p
12 11
7p
22
ALTERNATIVA C
13.15)
Formas distintas de retirada das 10 bolas (Espaço Amostral):
8
10
10!90
8!P
Formas distintas da bola branca ser retirada antes de esgotar as outras cores
(Evento):
8
9
7
8
2
9!BPVVVVVVVV 9
8!
8!VBPVVVVVVV 8
7!
(...)
VVVVVVVBPV 2! 2
SOMA 9 8 7 6 5 4 3 2 44
P
P
P
Cálculo da probabilidade das bolas brancas se esgotarem por primeiro:
44p
90
22p
45
ALTERNATIVA A
13.16)
Probabilidade de ser aprovado caso o público aprove:
50 75 80 50 75 80 50 25 80 50 75 20p
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
17p
20
Probabilidade de ser aprovado caso o público não aprove:
50 60 75 50 60 75 50 40 75 50 60 25p
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
33p
80
Diferença entre as probabilidades:
17 33
20 80
3544%
80
ALTERNATIVA E
13.17)
75 18Proficiente : 13,5%
100 100Proficiente :18%
25 18Não Proficiente : 4,5%
100 100
7 82Proficiente : 5,74%
100 100Não Proficiente : 82%
93 82Não Proficiente : 76,26%
100 100
Como o estrangeiro selecionado foi classificado como Proficiente (Espaço
Amostral = 13,5% + 5,74%), então, a probabilidadade dele ser efetivamente
Proficiente (Evento = 13,5%) é:
13,5p
13,5 5,74
13,5p
19,24
p 70%
ALTERNATIVA B
13.18)
Total de maneiras distintas dos 5 se sentarem:
55! 120P
Total de maneiras distintas dos 5 se sentarem com o Carlos na cadeira 3:
44! 24P
Total de maneiras distintas dos 5 se sentarem com o Daniel na cadeira 4:
44! 24P
Total de maneiras distintas dos 5 se sentarem com o Carlos na cadeira 3 e o
Daniel na cadeira 4:
33! 6P
Probabilidade de Carlos se sentar na cadeira 3 ou Daniel se sentar na cadeira
4:
24 24 6 7p p
120 20
Probabilidade de nem Carlos se sentar na cadeira 3 e nem Daniel se sentar na
cadeira 4:
7p 1
20
13p 65%
20
13.19)
a)
(Atendente Homem) E (Resolvido na 1ª Ligação) = 40 60
24%100 100
(Atendente Mulher) E (Resolvido na 1ª Ligação) = 60 55
33%100 100
SOMA = 57%
b)
24p
57
p 42,1%
13.20)
a)
Considere a hipótese limite de se tirar 3 lápis de cada cor, ou seja, seria no
total a retirada de 9 lápis. O próximo lápis a ser retirado, independente da cor,
completará 4 lápis de uma mesma cor.
Assim, o número mínimo de lápis que devemos retirar para que estejamos
certos de haver 4 lápis de uma mesma cor é 10.
b)
9 8 7p
21 20 19
6p
95
14.01)
10p 1
34
24p
34
12p
17
ALTERNATIVA E
14.02)
Soma Máxima representa uma das 6 faces do dado, ou seja:
1p
6
ALTERNATIVA A
14.03)
As possibilidades de soma são as seguintes:
0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 3
2 2 3 4
Para ter mais chance de acertar, minha aposta deve ser na soma igual a 2.
ALTERNATIVA C
14.04)
a) VERDADEIRO
b) VERDADEIRO
c) FALSO - p(A B) p(A) p(B) p(A B)
d) VERDADEIRO
e) VERDADEIRO
14.05)
R ser escalado = 1 – 0,2 = 0,8
S ser escalado = 0,7
p = 0,8 . 0,7 = 0,56
ALTERNATIVA D
14.06)
2
5
1p
1p
5.4
2.1
1p
10
C
ALTERNATIVA A
14.07)
1 1p 3
3 3
1p
3
ALTERNATIVA B
14.08)
p A B p(A) p(B) p(A B)
0,8 0,3 p(B) p(A).p(B)
0,5 p(B) 0,3.p(B)
0,5 0,7.p(B)
5p(B)
7
ALTERNATIVA B
14.09)
Apenas uma carta ser endereçada ao destinatário errado é IMPOSSÍVEL. Se
uma das cartas for colocada no envelope errado, pelo menos, outra carta será
colocada em outro envelope errado. Assim:
p = 0
ALTERNATIVA D
14.10)
a) VERDADEIRO - 2
8
8.728
2.1C
b) FALSO - 2 4
1 18 16
c) VERDADEIRO - 2
p 0,258
d) VERDADEIRO - 4
p 1 0,7516
e) VERDADEIRO - 3 1
8 8
8.7.6 8448
3.2.1 1C C
ALTERNATIVA B
14.11)
Total de sequências possíveis:
5 . 4 . 3 = 60
Sequências de formam P.A:
1,2,3 / 2,3,4 / 3,4,5 / 1,3,5 (considerando as ordens crescente e decrescente) =
8
Probabilidade da sequência formar P.A:
8p
60
2p
15
ALTERNATIVA D
14.12)
Opções que não marcam pontos:
0125 / 0512 / 2105 / 2015 / 5012 / 5102
Probabilidade:
4
6 6 6 1p
4! 24 4P
ALTERNATIVA D
14.13)
I – VERDADEIRO
1 1 1 1p 12,5%
2 2 2 8
II – FALSO
p = 2F1M ou 3F
2
3
1 1 1 1 1 1p
2 2 2 2 2 2
3 1p
8 8
p 50%
P
III – VERDADEIRO
2
1 1p
2 2
p 50%
P
IV – FALSO
1p
2
p 50%
ALTERNATIVA A
14.14)
Para que o mesmo “0” emitido por A chegue em C, tem-se as seguintes
opções:
Acerto nas duas transmissões:
99,9 99,9p p 99,8001%
100 100
Erro nas duas transmissões:
0,1 0,1p p 0,0001%
100 100
Soma das probabilidades = 99,8002%
ALTERNATIVA A
14.15)
Etapa I : 1 ou 2
Etapa II : 2 ou 3
Etapa III : 2 ou 3 ou 3 ou 4 ou 4 ou 4 ou 5 ou 6
3p
8
ALTERNATIVA D
14.16)
( V )
1
8
3
10
811p
10.9.8 15
3.2.1
CC
( F ) 1 1 1
p 2 25%2 2 2
( F ) Dois eventos são ditos independentes quando a probabilidade de
ocorrência conjunta de A e B é igual ao produto das probabilidades de
ocorrência de cada um deles.
( V )
3
8
3
10
p 1
8.7.6
3.2.1p 110.9.8
3.2.1
42p 1
90
8p 50%
15
CC
( F )
8 1p
15 2
4p 50%
15
14.17)
( F ) São eventos independentes podendo haver ou não a intersecção entre
eles.
( V )
192 000 000 = 0,03 . PM
PM = 6 400 000 000 habitantes
( V )
Intersecção é nula
( F )
77 100 3 77"Tem Celular"
100 100 100 100
"Tem Celular" 74,69%
( V )
10 32p
100 100
p 3,2%
14.18)
1) – VERDADEIRO – Soma das probabilidades de se encontrar “0” peças
defeituosas ou “1” peça defeituosa.
0 5 1 4p 0,04 x0,96 5x0,04 x0,96
2) – VERDADEIRO – Complemento da probabilidade de se encontrar “0” peças
defeituosas.
0 5p 1 0,04 x0,96
3) – FALSO
ALTERNATIVA B
14.19)
a)
1) Total de valores possíveis para cheque:
Começar com 3, último algarismo par e diferente de 0 : 1 . 8 . 7 . 6 . 4 = 1 344
Começar com 4, último algarismo par e diferente de 0: 1 . 8 . 7 . 6 . 3 = 1 008
Soma = 2 352
2) Cálculo da probabilidade:
1p
2 352
b)
1) Total de valores possíveis para o cheque:
Se termina em 04, o valor começará com 3, então: 1 . 7 . 6 . 1 . 1 = 42
2) Cálculo da probabilidade:
Para acertar na segunda tentativa, é necessário errar a primeira, então:
41 1p
42 41
1p
42
14.20)
a) Para terminar com mais duas rodadas, o Fernando precisaria vencer as
duas, assim:
1 1p 25%
2 2
b)
Possibilidades de término com vitória do Fernando: FF / FRF / RFF / FRRF /
RFRF / RRFF
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1p(F)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
11p(F)
16
Possibilidades de término com vitória do Ricardo: RRR / RRFR / RFRR / FRRR
p(F) p(R) 1
5p(R)
16
Fernando receberia 11
200 R$137,5016
Ricardo receberia R$62,50
SEMIEXTENSIVO – MATEMÁTICA C
13.01)
A menor distância corresponde à distância do ponto P à reta, assim:
2 2
3.1 4.2 31D
3 4
D 4u.c
ALTERNATIVA E
13.02)
Para calcular a distância entre duas retas paralelas, descobre-se um ponto
qualquer de uma delas e calcula-se a distância entre o ponto até a outra reta.
Assim, se r: 3x + 4y – 10 = 0 e, por exemplo, P(2, 1) um ponto da reta r, a
distância entre as retas será a distância de P até a reta s: 3x + 4y + 90 = 0.
Então:
2 2
3.2 4.1 90D
3 4
D 20
ALTERNATIVA B
13.03)
2 2
5.10 12.10 90D
5 12
260D
13
D 20m
ALTERNATIVA D
13.04)
2 2
3.1 4.5 7D
3 4
D 6
ALTERNATIVA D
13.05)
2 2
2.0 0 5D
2 ( 1)
5D
5
D 5
ALTERNATIVA C
13.06)
Considere P(-1, 2) pertencente à reta 3x + 4y – 5 = 0. A distância entre as retas
é igual à distância entre P e a reta 3x + 4y – 10 = 0. Assim:
2 2
3.( 1) 4.2 10D
3 4
5D
5
D 1
ALTERNATIVA C
13.07)
O raio da circunferência tangente ao eixo x é igual à ordenada do centro dessa
circunferência, ou seja, R = 4.
ALTERNATIVA D
13.08)
O valor de r será a distância entre P e C. Assim:
2 2
r 1 4 2 6
r 5
ALTERNATIVA A
13.09)
Cálculo das coordenadas da intersecção:
x y 3 0
2x y 0
3x 3 0 x 1
2.1 y 0 y 2
Logo, I(1, 2).
Cálculo da distância da intersecção até a reta t:
2 2
5.1 12.2 10D
5 12
D 3
ALTERNATIVA B
13.10)
Bissetriz dos quadrantes pares: x + y = 0
2 2
0 ( 4)D
1 1
D 2 2
ALTERNATIVA B
13.11)
Cálculo da equação do lado BC:
3 1 x 3BC : 0
2 5 y 2
BC :15 y 2x 3y 5x 2 0
BC : 3x 2y 13 0
A altura é a distância do vértice A ao lado BC, então:
2 2
3.0 2.0 13h
3 2
h 13
ALTERNATIVA D
13.12)
O ponto P(0, 0) pertence à reta 2x + 3y = 0. A distância entre as retas é igual à
distância de P à reta 2x + 3y – 5 = 0. Assim:
2 2
2.0 3.0 5D
2 3
5 13D
13
ALTERNATIVA C
13.13)
Centro: C(1, -3)
2 2
3.( 3) 1D
( 1) 3
D 10
ALTERNATIVA B
13.14)
O centro da circunferência é o ponto médio entre A e B, assim:
0 6 8 0C ;
2 2
C 3; 4
O raio da circunferência é a metade da distância entre A e B, assim:
2 2
0 6 8 0R
2
R 5
Equação da circunferência:
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
(x ) (y ) R
(x 3) (y 4) 5
x 6x 9 y 8y 16 25
x y 6x 8y 0
ALTERNATIVA C
13.15)
O raio da circunferência é a distância entre C e P. Assim:
2 2
R 2 1 1 3
R 13
Equação da circunferência:
2 2 2
22 2
2 2
2 2
(x ) (y ) R
(x 2) (y 1) 13
x 4x 4 y 2y 1 13
x y 4x 2y 8
ALTERNATIVA D
13.16)
Coeficiente angular de r: mr = 2
Coeficiente angular de s: ms = mr = 2 (retas paralelas)
Centro da circunferência: C (2, 0)
0 0s : y y m(x x )
s : y 0 2(x 2)
s : y 2x 4
s : 2x y 4 0
ALTERNATIVA A
13.17)
O centro da circunferência é o ponto médio entre A e B. assim:
3 1 7 1C ;
2 2
C 1;4
O raio é a metade da distância entre A e B. Assim:
2 2
3 1 7 1R
2
R 13
Equação da circunferência
2 2 2
22 2
2 2
(x ) (y ) R
(x 1) (y 4) 13
(x 1) (y 4) 13
ALTERNATIVA B
13.18)
2 2
3m 4.1 4D 6
3 4
3m 8 30
223m 8 30 m
3
ou
383m 8 30 m
3
16SOMA
3
ALTERNATIVA A
13.19)
A altura de um trapézio é a distância entre as bases. Como as bases são
paralelas e B pertence à base AB, a altura é igual à distância entre B e a base
CD. Assim, fazemos:
1) Equação da base CD
1 2 x 1CD : 0
2 2 y 2
CD : 2 2y 2x y 2x 4 0
CD : 4x 3y 2 0
2) Cálculo da altura
2 2
4.( 3) 3.2 2h
4 ( 3)
h 4
ALTERNATIVA C
13.20)
Cálculo da equação da circunferência:
2 2 2
2 2 2
2 2
(x ) (y ) R
(x 1) (y 3) 5
(x 1) (y 3) 25
(V)
2 2(4 1) (7 3) 25
25 25
(V)
2 2
2
2
(x 1) (0 3) 25
(x 1) 9 25
(x 1) 16
x 1 4 x 5 (5,0)
ou
x 1 4 x 3 ( 3,0)
(F)
2 2(3 1) (8 3) ...25
4 25...25
29 25
Q é exterior à circunferência
(V)
Ordenada máxima/mínima é quando x = 1 (abscissa do centro). Assim:
2 2
2
(1 1) (y 3) 25
(y 3) 25
y 3 5 y 8 (1,8) Ordenada Máxima
ou
y 3 5 y 2 (1, 2) Ordenada Mínima
(F)
2 2 2
2 2 2
2 2
(x ) (y ) R
(x 1) (y 3) 5
(x 1) (y 3) 25
VVFVF
ALTERNATIVA B
13.21)
Os três pontos são vértices de um triângulo retângulo e, como pertencem a
uma circunferência, concluímos que o triângulo retângulo é inscrito na
circunferência.
Quando um triângulo retângulo é inscrito na circunferência, o diâmetro da
circunferência coincide com a hipotenusa do triângulo, ou seja, os pontos (0,2)
e (2,0) são extremos do diâmetro.
O centro da circunferência é o ponto médio dos pontos (0,2) e (2,0), assim:
0 2 2 0C ;
2 2
C 1;1
O raio da circunferência é metade da distância entre os pontos (0,2) e (2,0),
assim:
2 2
2 0 0 2R
2
R 2
Equação da circunferência:
2 2 2
22 2
2 2
(x ) (y ) R
(x 1) (y 1) 2
(x 1) (y 1) 2
ALTERNATIVA B
13.22)
a)
2 2
2
(x 3) 2 5
(x 3) 1
x 3 1 x 4 P(4,2)
ou
x 3 1 x 2 (não convém)
b)
r
3 4 x 3r : 0
0 2 y 0
r : 6 4y 3y 2x 0
r : 2x y 6 0
m 2
13.23)
a)
A reta que passa por (4, 2) e pelo centro (3, 0) da circunferência é a mediatriz
de AB, ou seja, perpendicular a AB. Chamando essa mediatriz de r, temos:
r
4 3 x 4r : 0
2 0 y 2
r : 3y 2x 4y 6 0
r : 2x y 6 0 m 2
Assim, se chamarmos de s a reta que passa por A e B, temos s
1m
2 , pois r
e s são perpendiculares entre si.
0 0s : y y m(x x )
1s : y 2 (x 4)
2
s : 2y 4 x 4
s : x 2y 8 0
b)
Para encontrar as coordenadas de A e B, é necessário resolver o sistema entre
a circunferência e a reta s. Então:
2 2
2 2
2 2
2 2
2
(x 3) y 25
x 2y 8 0 x 8 2y
8 2y 3 y 25
5 2y y 25
25 20y 4y y 25
5y 20y 0
y 0 x 8 A(8,0)
ou
y 4 x 0 B(0,4)
c)
2 2
AB
AB
d 8 0 0 4
d 4 5
14.01)
A região a ser pintada é um círculo limitado pela circunferência cuja equação é
x2 + y2 – 8x – 8y + 28 = 0.
Centro :
C (4, 4)
Raio:
2 2 24 4 28 R
R 2
Área do Círculo:
2
2
2
S R
S .2
S 4
S 12,56m
12 placas = 12 x 12,56 = 150, 72 m2
Área vermelha = 75, 36 m2
1 lata de tinta = 3 m2
Total de latas de tinta vermelha = 25, 12 latas, ou seja, 26 latas.
ALTERNATIVA C
14.02)
x2 + y2 – 12x + 8y + 43 = 0
Centro:
C(6, -4)
Raio:
2 2 26 ( 4) 43 R
R 3
ALTERNATIVA A
14.03)
A rampa (3x + 4y – 12 = 0) intercepta as paredes (eixos x e y) nos pontos (0,3)
e (4,0). Assim, o triângulo retângulo que circunscreve a circunferência do tubo
possui catetos medindo 3 e 4. Logo a hipotenusa mede 5.
O raio da circunferência inscrita é o apótema (r) do triângulo e sabemos que a
área desse triângulo pode ser calculada por S = p . r em que p é o
semiperímetro do triângulo. Assim:
S p.r
3 4 5S r
2
S 6r
Mas sabemos também que a área de um triângulo retângulo é a metade do
produto dos catetos, ou seja:
3.4S
2
S 6
Igualando os valores das áreas temos:
6r = 6
r = 1
ALTERNATIVA C
14.04)
Reescrevendo a equação, temos:
x2 + y2 - 4x – 8y + 11 = 0
C(2, 4)
ALTERNATIVA D
14.05)
x2 + y2 – 2x – 2y – 14 = 0
Centro: C(1, 1)
Raio:
2 2 21 1 ( 14) R
R 4
ALTERNATIVA C
14.06)
x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0
C(-3, -2)
ALTERNATIVA D
14.07)
2x2 + 2y2 – 12x + 8y – 24 = 0
x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
Centro: C(3, -2)
Raio:
2 2 23 ( 2) ( 12) R
R 5
ALTERNATIVA C
14.08)
Se a circunferência tangencia os dois eixos, as coordenadas dos pontos de
tangência são simétricos à bissetriz ímpar, ou seja, (0,2) e (2,0).
Consequentemente o centro terá coordenadas (2, 2).
ALTERNATIVA C
14.09)
(F)
2 2( 2) 2 2.( 2) 4.2 4...0
4 4 4 8 4...0
8 0
INTERIOR
(V)
2 21 6 2.1 4.6 4...0
1 36 2 24 4...0
11 0
EXTERIOR
(V)
2 2( 1) ( 1) 2.( 1) 4.( 1) 4...0
1 1 2 4 4...0
0 0
PERTENCENTE
(F)
2 2( 5) 0 2.( 5) 4.0 4...0
25 10 4...0
11 0
EXTERIOR
(F)
2 20 1 2.0 4.1 1...0
1 4 1...0
4 0
INTERIOR
14.10)
Cálculo do centro do círculo:
x2 + y2 + 2x – 4y = 0
C(-1, 2)
Cálculo do ponto de intersecção:
x 2y 4 0
2x y 5 0
2x 4y 8 0
2x y 5 0
3y 3 0 y 1
2x 1 5 0 x 2
A intersecção é (2,1)
Equação da reta:
2 1 x 20
1 2 y 1
4 y x 2y 2x 1 0
x 3y 5 0
ALTERNATIVA E
14.11)
O centro da circunferência é o ponto médio entre A e B, assim:
1 7 1 9C ;
2 2
C 4;5
O raio é a metade da distância entre A e B, assim:
2 2(1 7) (1 9)R
2
R 5
Equação da circunferência:
2 2 2
2 2 2
2 2
(x ) (y ) R
(x 4) (y 5) 5
(x 4) (y 5) 25
ALTERNATIVA A
14.12)
p = Maior Valor possível de x
p = α+R
q = Maior Valor possível de y
q = β+R
x2 + y2 – 14x – 6y – 6 = 0
α = 7 ; β = 3
2 2 27 3 ( 6) R
R 8
Logo:
p = 7 + 8 = 15
q = 3 + 8 = 11
3p + 4q = 3 . 15 + 4 . 11 = 89
ALTERNATIVA D
14.13)
I – VERDADEIRO
II – FALSO – Apenas o eixo x nos pontos (0, 0) e (2, 0)
III – VERDADEIRO
2 2r (7 1) ( 10 2)
r 10
ALTERNATIVA D
14.14)
2 2 2
2 2
2 2
1
2 2 2
2 2
2 2
2
(6x 25) 36y 25
36x 300x 625 36y 625
25 25x y x 0 C ,0
3 6
64x (8y 25) 25
64x 64y 400y 625 625
25 25x y y 0 C 0,
4 8
Equação segmentária:
x y1
25 25
6 8
6x 8y 25
ALTERNATIVA E
14.15)
A distância mínima é a distância do centro até a reta diminuída do raio (para
uma reta externa). Assim:
Cálculo do centro até a reta:
C(2, -3) / R = 5
2 2
3.2 4.( 3) 29D
3 4
D 7
Distância mínima = 7 – 5 = 2.
ALTERNATIVA B
14.16)
Se x2 + y2 – 4x + 4y + k = 0 for circunferência, o centro será C(2, -2). Assim:
2 2
máx
22 ( 2) k R
R 8 k
8 k 0
k 8 K 7
ALTERNATIVA C
14.17)
O raio é a distância entre o centro C(0,0) e a reta x – y – 1 = 0. Assim:
2 2
0 0 1r
1 1
1r
2
2r
2
ALTERNATIVA D
14.18)
C(0, 3)
I – FALSO
2 2 20 3 7 R
R 2
II – VERDADEIRO
III – VERDADEIRO
Cálculo da distância do centro (0, 3) à reta x – y + 1 = 0:
2 2
0 3 1D
1 1
D 2
A reta é tangente pois a distância entre ela e o centro é igual ao raio.
ALTERNATIVA A
14.19)
a)
O coeficiente angular do diâmetro é igual ao da reta, ou seja, 2
m3
.
O diâmetro passa pelo centro da circunferência C(3, 0).
0 0y y m(x x )
2y 0 (x 3)
3
3y 2x 6
2x 3y 6 0
b)
Cálculo das coordenadas dos pontos de intersecção com o eixo y (x = 0):
2 2
2
0 y 6.0 16 0
y 16
y 4 (0,4)
ou
y 4 (0, 4)
Cálculo das coordenadas dos pontos de intersecção com o eixo x (y = 0):
2 2
2
x 0 6x 16 0
x 6x 16 0
x 2 ( 2,0)
ou
x 8 (8,0)
Calculo da área:
2 0 8 0 21S
2 0 4 0 4 0
1S 8 32 8 32
2
S 40
14.20)
a)
x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0
C(1, -2)
2 2 21 ( 2) 1 R
R 2
b)
Cálculo das equações das duas retas:
0 0
0 1 x 0r : 0
1 0 y 1
r : 0 y x 1 0
r : x y 1 0
s : y y m(x x )
3s : y 0 (x 3)
4
s : 4y 3x 9
s : 3x 4y 9 0
Cálculo da intersecção entre r e s:
x y 1 0
3x 4y 9 0
4x 4y 4 0
3x 4y 9 0
137x 13 0 x
7
13 6y 1 0 y
7 7
13 6I ,
7 7
c)
2 2
2 2
2 2
2
x y 2x 4y 1 0
x y 1 0 y x 1
x (x 1) 2x 4(x 1) 1 0
x x 2x 1 2x 4x 4 1 0
2x 2 0
x 1 y 0 (1,0)
ou
x 1 y 2 ( 1, 2)
d)
2 2
3.1 4.( 2) 9D
3 4
14D
5
SEMIEXTENSIVO – MATEMÁTICA D
13.01)
A planificação do bebedouro 3 está representada na alternativa E.
ALTERNATIVA E
13.02)
Cálculo do volume de água:
3
3
54 3h
v 2h
54 27
v 8
v 16cm
Cálculo do volume de óleo:
água óleo
óleo
3
óleo
v v 54
16 v 54
v 38cm
ALTERNATIVA D
13.03)
Se chamarmos de H a altura da torre, a pirâmide formada pela plataforma terá
uma altura igual a (H – 60). Assim:
18 H
10 H 60
18H 1 080 10H
8H 1 080
H 135m
ALTERNATIVA D
13.04)
Chamando a altura da pirâmide de H, temos:
2144 H
64 4
12 H
8 4
H 6m
13.05)
3
V H
Hv
2
V8
v
Vv
8
ALTERNATIVA D
13.06)
Se a altura da pirâmide é 12 cm e a secção é feita a 4 cm da base, então a
altura da nova pirâmide formada pela secção será igual a 8 cm. Assim:
2
b
b
b
b
S 12
s 8
S 9
s 4
ALTERNATIVA C
13.07)
Se a altura do tronco é de 3 cm, então a altura da nova pirâmide formada será
6 cm. Assim, calculamos o volume da nova pirâmide:
3
3
108 9
v 6
108 27
v 8
v 32cm
Logo, calculamos o volume do tronco:
tronco
tronco
3
tronco
V 108 v
V 108 32
V 76cm
ALTERNATIVA E
13.08)
(F)
2
b b
2
b b
S .10 S 100
s .5 s 25
(F)
3 3
12V 100 25 100 .25
3
V 4 125 50
V 700 cm 2 000cm
(V)
2 2 2AB 5 12
AB 13cm
(V)
2
S .10 .5 .13
S 195 cm
13.09)
01 - FALSO
2
2
B 3
b 2
B 9
b 4
02 – VERDADEIRO
3
3 11V 9 4 9 .4
3
V 11 19
V 19 11cm
04 – VERDADEIRO
Cálculo da geratriz do tronco:
2
2 2g 3 11 1
g 10cm
Cálculo da área lateral:
2
S .3 .2 .10
S 50 cm
08 – FALSO
A secção transversal de um tronco de cone é um trapézio isósceles cujas
bases são os diâmetros das bases e a altura é igual a altura do tronco. Logo:
st
2
st
6 4 .3 11S
2
S 15 11cm
16 – VERDADEIRO
t b b
2 2
2
S S S s
St 50 .3 .2
St 63 cm
SOMA = 22
13.10)
01 – VERDADEIRO
02 – VERDADEIRO
04 – FALSO – 12 arestas
08 – VERDADEIRO
Destacando o trapézio no sólido, temos:
2
2 26 3 2 H
H 3 2cm
16 – FALSO
Para calcular o apótema do tronco, usamos uma face lateral. Assim:
2 2 2
t
t
6 3 a
a 3 3cm
Cálculo da área lateral:
2
S 2.2 2.8 .3 3
S 60 3cm
32 – VERDADEIRO
2 2 2 2
3
3 2V 2 8 2 .8
3
V 84 2cm
64 – FALSO
2
b
2
b
b
b
S 8
s 2
S16
s
SOMA = 43
13.11)
Sendo V o volume total do copo, o volume da mistura (sem espuma) igual a v e
a altura ocupada pela mistura (sem espuma) de 16 cm, é possível calcular o
volume da mistura (v) em relação a V:
3V 20
v 16
V 125
v 64
v 0,512V
Ou seja, o volume da mistura (sem espuma) é 51,2% do volume do copo.
Logo, o volume da espuma é de 48,8% do copo.
ALTERNATIVA C
13.12)
Chamando de v o volume do líquido que ocupará todo o cubo, temos:
3
3
8 000 h
hv
2
8 0008
v
v 1 000cm
Igualando o volume do cubo ao valor encontrado para v, temos:
3
3
y v
y 1 000
y 10cm
ALTERNATIVA C
13.13)
Considerando que o preço de R$0,80 é para volume V de pirulito e chamando
de v o volume do minipirulito, temos:
3
V h
hv
2
V8
v
Vv
8
Para manter a proporção, o minipirulito será vendido por R$0,10.
ALTERNATIVA C
13.14)
01 – VERDADEIRO
Cálculo do volume total do reservatório:
2
3
1V 8 6
3
V 128 m
Cálculo do volume de água a uma altura igual a x:
3
3
3
3
128 6
v x
128 216
v x
128 xv
216
16 xv
27
02 – FALSO
6 8
3 r
r 4m
04 – VERDADEIRO
2 2 2
2 2 2
g R H
g 8 6
g 10m
08 – FALSO
3
cone
cone cubo3 3
cubo cubo
V 128 mV V
V 6 V 216 m
SOMA = 05
13.15)
Cálculo do volume da caixa d´água:
2 2
2 2
3 3
3 9 9V . .1 . .1
3 4 4
81 9V
16 4
133V m V 26,10125 m V 26 101,25 litros
16
Como o condomínio gasta 17 mil litros de água por dia, a caixa d´água
completamente cheia abastece o condomínio por 01 dia completo.
13.16)
Cálculo do volume do chuveiro:
cilindro tronco
2 2 2 2 2
3
V V V
10V 12 30 6 12 6 12
3
V 12 960 + 2 520
V 15 480 cm V 15,48 litros
Para encher o chuveiro 6 vezes, o volume necessário é de 92,88 litros.
Se em um dia goteja 46, 44 litros, são necessários 02 dias de gotejamento.
13.17)
Cálculo do volume do halteres:
cilindro tronco
2 2 2 2 2
3
3
V V 2 V
6V 2 10 2 2 4 2 4
3
V 40 4 28
V 152 cm
V 477,28 cm
Cálculo da massa do halteres:
3
md
V
m7,9 10
477,28
m 3,77 kg
ALTERNATIVA E
13.18)
I - VERDADEIRO
3
água
água
água água
64000 80
27000 H
4 80
3 H
H 60dm H 6m
II – VERDADEIRO
óleo água
óleo
óleo
H H 8
H 6 8
H 2m
III – VERDADEIRO
b
2
b
2
b
164000 S 80
3
S 2 400dm
S 24m
ALTERNATIVA D
13.19)
a)
2
A
2B
A
B
12R H
V 31V
R H3
V4
V
b)
3
A
B
3
3
3 2
3 3 2
3
3
V H
V h
H4
h
H4
h
H 4h
4 4
16h H
4
2h H
2
13.20)
Cálculo do volume do cone:
2
3
1V 2 6
3
V 8 cm
Se o volume do tronco é de 7π cm3, então, o cone formado pela secção terá
volume v = π cm3. Logo:
38 6
x
62
x
x 3cm
14.01)
O orifício será um retângulo de dimensões 3cm x 2cm e a altura da caixa é de
5cm.
I – Pode ser colocado
II – Pode ser colocado
III – Não pode ser colocado – O diâmetro da esfera é de 3 cm, assim, na
dimensão 2 cm ela não passa.
IV – Pode ser colocado
V – Pode ser colocado
ALTERNATIVA C
14.02)
3 3
3
4 4R 1 000 000 1
3 3
R 1 000 000
R 100
ALTERNATIVA E
14.03)
a 3R 2
ar
2
R3
r
ALTERNATIVA D
14.04)
Cálculo da aresta do cubo:
3a 1 000
a 10cm
Cálculo do raio da esfera:
ar
2
10r
2
r 5cm
ALTERNATIVA D
14.05)
Cálculo do raio da esfera:
3
3
4R 288
3
R 216
R 6cm
Cálculo da aresta do cubo:
a 3R
2
a 36
2
a 4 3cm
Cálculo da área total do cubo:
2
2
2
S 6a
S 6 4 3
S 288cm
ALTERNATIVA A
14.06)
Cálculo da aresta do cubo:
3
2
V2
S
a2
6a
a 12
Cálculo do raio da esfera:
ar
2
12r
2
r 6
Cálculo de 1
3do volume da esfera:
3
e
e
1 1 4V 6
3 3 3
1V 96
3
ALTERNATIVA E
14.07)
Cálculo do raio da esfera:
3
3
4R 36
3
R 27
R 3cm
Cilindro que possui esfera inscrita tem raio igual ao raio da esfera e altura igual
ao diâmetro da esfera. Assim:
2
cil
3
cil
V 3 .6
V 54 cm
ALTERNATIVA C
14.08)
Cilindro que possui esfera inscrita tem raio igual ao raio da esfera e altura igual
ao diâmetro da esfera. Assim:
3
1
2 32 1
3
1
32 1
4R
V 34V V
R 2R R3
4R
V 3 22V V
R3
ALTERNATIVA D
14.09)
A maior esfera é a que possui como diâmetro a menor dimensão, ou seja,
diâmetro 8 cm. Então:
A dimensão 8 cm admite 1 esfera;
A dimensão 17 cm admite 2 esferas;
A dimensão 26 cm admite 3 esferas;
Multiplicando, temos:
Número de esferas = 1 . 2 . 3
Número de esferas = 6
ALTERNATIVA D
14.10)
Cálculo da aresta do cubo:
3a 8
a 2m
A base do cilindro circunscrito a um cubo, é uma circunferência circunscrita a
um quadrado cujo lado é a aresta do cubo, assim, calculamos o raio do cilindro:
a 2r
2
2 2r
2
r 2m
A altura do cilindro circunscrito a um cubo é igual a altura do cubo que é igual à
aresta. Assim, calculamos o volume do cilindro:
2
cil
3
cil
V 2 2
V 4 m
ALTERNATIVA D
14.11)
I – FALSO
Cálculo do raio da esfera:
3
3
4R 12
3
R 9
Cilindro que possui esfera inscrita tem raio igual ao raio da esfera e altura igual
ao diâmetro da esfera. Assim:
2
cil
3
cil
cil
cil
V R .2R
V 2 R
V 2 .9
V 18
II – FALSO
Cálculo da aresta do cubo:
a 3R
2
a 34 3
2
a 8cm
Cálculo do volume do cubo:
3
cubo
3
cubo
3
cubo
V a
V 8
V 512cm
III – VERDADEIRO
Volume de um cilindro:
2V R H
Dobrando o raio da base, ficamos:
2
2
V´ 2R H
V´ 4 R H
V´ 4V
ALTERNATIVA D
14.12)
A partir do volume do cone, temos:
2
2
1 ab
3 2
a b 12
Substituindo a relação b 3 3
b aa 2 2 , temos:
2
2
a b 12
3a a 12
2
a 2
Logo, b = 3.
No cone, temos:
2 2 2
2
2 2
2
2 2
g R H
ag b
2
2g 3
2
g 10
ALTERNATIVA D
14.13)
Cálculo do volume do recipiente cúbico:
3
cubo
3
cubo
3
cubo
cubo
V a
V 4
V 64 dm
V 64 litros
Sendo assim, o sólido para poder ser colocado no recipiente cúbico sem que a
água transborde, pode ter no máximo 8 litros.
33
esfera esfera
2
cilindro cilindro
paralelepípedo paralelepípedo
2
pirâmide pirâmide
4V 2 V 8,37 litros
3
V 2 2 V 8,85 litros
V 3 3 7 V 7,94 litros
1V 12 5 V 8,94 litros
3
O único sólido que não fará transbordar a água é o PARALELEPÍPEDO
RETÂNGULO.
ALTERNATIVA C
14.14)
Cálculo da medida “x” :
2 2 25 x 3
x 4cm
Logo, a altura do cone é igual a 9 cm.
Cálculo do volume da esfera:
3
esfera
3
esfera
4V 5
3
500V cm
3
Cálculo do volume do cone:
2
cone
3
cone
1V 3 9
3
V 27 cm
Cálculo da porcentagem:
p 50027
100 3
p 16,2%
ALTERNATIVA E
14.15)
água cil cone
2 2
água
água
1V V V
2
1 1V 3 10 1 3
2 3
V 44
ALTERNATIVA E
14.16)
(F) O triângulo não é equilátero
(F)
Cálculo do raio da esfera:
34288 R
3
R 6m
O cone terá o mesmo raio e a altura será igual ao diâmetro, ou seja, igual a 12
m. Assim, calculamos o volume do cone:
2
cone
3
cone
1V 6 12
3
V 144 m
(V)
Cálculo da geratriz do cone:
2 2 2
2 2 2
g R H
g 6 12
g 6 5m
Cálculo da área lateral do cone:
2
S Rg
S 6 6 5
S 36 5 cm
(V) Todo cilindro que possui esfera inscrita é um cilindro equilátero pois sua
altura será igual ao seu diâmetro.
(V)
A altura do cone é igual ao diâmetro da esfera, ou seja, o raio da esfera é igual
a 5 m.
O equador de uma esfera é a circunferência cujo raio é igual ao raio da esfera,
ou seja, o comprimento do equador dessa esfera é:
C 2 R
C 2 5
C 10 m
14.17)
Um cilindro inscrito em um paralelepípedo implica em:
Base do paralelepípedo é um quadrado com a base do cilindro
(circunferência) inscrita;
A aresta da base do paralelepípedo é igual ao diâmetro da base do
cilindro 2R ;
As alturas dos dois sólidos são iguais.
Calculando a relação entre os volumes, temos:
2
1
2
2
2
1
2
2
2 1
V R H
V H
V R
V 2R
V 4V
ALTERNATIVA A
14.18)
3
cubo
3
esfera Maior esfera Maior cubo
3
esfera menor esfera menor cubo
V a
4 aV V V
3 2 6
4 aV V V
3 10 750
01 – FALSO
02 – FALSO
04 – VERDADEIRO
5 esferas em cada dimensão: 5 . 5 . 5 = 125 esferas
08 – VERDADEIRO
esfera menor cubo cubo esfera Maior125V 125 V V V750 6
16 – FALSO
O volume ocupado pelas 125 esferas pequenas é igual ao ocupado pela esfera
grande, ou seja, o volume não ocupado nos dois casos também será o mesmo.
32 – FALSO
3
esfera Maior esfera Maior cubocubo
esfera Maior
3esfera menor
cuboesfera menor esfera menor cubo
4 aV V V V3 2 6 V 6 125
V4 a VV V V 7503 10 750
SOMA = 12
14.19)
As relações entre um cone equilátero inscrito em uma esfera e a esfera são as
mesmas que se tem com um triângulo equilátero inscrito numa circunferência
(secção meridiana). Assim:
Cone equilátero:
g 2r g 2 2 3 g 4 3cm
g 3 4 3 3h h h 6cm
2 2
Relação entre esfera e cone equilátero inscrito:
2R h
3
2R 6
3
R 4cm
Cálculo do volume da esfera:
3
esfera
3
esfera
4V 4
3
256V cm
3
14.20)
a)
Cálculo de h:
a 3h
2
6 3h
2
h 3 3cm
Cálculo de d: (Teorema de Pitágoras)
2 2 2
22
2
h d 3
3 3 d 9
d 18
d 3 2cm
b)
O raio de uma esfera inscrita a um tetraedro segue a relação H
r4
, na qual H
é a altura do tetraedro.
Cálculo do valor de H:
a 6H
3
6 6H
3
H 2 6cm
Cálculo do raio da esfera:
Hr
4
2 6r
4
6r cm
2
SEMIEXTENSIVO – MATEMÁTICA E
13.01)
O volume é o produto das dimensões, ou seja, o produto das raízes. Assim:
6V a.b.c
1
V 6u.v
ALTERNATIVA B
13.02)
A área total é calculada pela relação S 2 ab ac bc que, dentro do
parênteses, possui uma das relações de Girardi. Assim:
S 2 ab ac bc
11S 2
1
S 22 u.a
ALTERNATIVA D
13.03)
A soma das raízes é uma das relações de Girardi. Assim:
1 2 3 4
1 2 3 4
2
1
2
ALTERNATIVA D
13.04)
Reescrevendo a equação, temos:
4 3 2x 0x 0x 0x 1 0
0Soma
1
Soma 0
ALTERNATIVA C
13.05)
Com a Relação de Girardi, temos:
2 3 4
2 3 4
42 x x x
4
x x x 1
ALTERNATIVA D
13.06)
Com a Relação de Girardi, temos:
2 3
2 3
162 x x
1
x x 8
ALTERNATIVA B
13.07)
Raízes: {x – r, x, x + r}
Com as Relações de Girardi, temos:
2
6Soma
1
x r x x r 6
x 2
10Produto
1
( 2 r).( 2).( 2 r) 10
4 r 5
r 3 Raízes : { 5, 2,1}
ou
r 3 Raízes : {1, 2, 5}
k1.( 2) 1.( 5) ( 2).( 5)
1
2 5 10 k
k 3
ALTERNATIVA C
13.08)
2 3
2 3
2 3
2 3
212 x x
9
21x x 2
9
3x x
9
1x x
3
ALTERNATIVA A
13.09)
Perceber que é possível escrever assim:
22 2p q p q 2pq
Pelas Relações de Girardi, podemos concluir que:
9p q ( 1) p q 2
3
7 7p.q.( 1) pq
3 3
Substituindo na equação do início, temos:
22 2
22 2
2 2
p q p q 2pq
7p q 2 2
3
2p q
3
ALTERNATIVA B
13.10)
2
1 2
3
q x 3x – 2x – 5 Raízes: x e x
r x 4x 12 Raiz: x 3
Calculando o produto das raízes:
1 2 3 1 2
1 2 3
1 2 3
x .x .x x .x .( 3)
5x .x .x .( 3)
3
x .x .x 5
ALTERNATIVA D
13.11)
Se 1 – 2i é raiz, então o conjugado 1 + 2i também é raiz.
Pelas relações de Girardi, temos:
3
3
3
11 2i 1 2i x
1
2 x 1
x 3
Cálculo do produto das raízes:
2
Produto (1 2i)(1 2i)( 3)
Produto (1 4i )( 3)
Produto 15
ALTERNATIVA E
13.12)
Reescrevendo a equação, temos: x3 + 0x2 – 10x + m = 0.
Se 1 2x x 4 , então:
1 2 3
3
3
0x x x
1
4 x 0
x 4
Substituindo a raiz encontrada na equação, ficamos com:
3( 4) 10.( 4) m 0
m 24
ALTERNATIVA D
13.13)
Raízes em P.A: {x – r, x, x + r}
2
9Soma
1
x r x x r 9
x 3
21Produto
1
(3 r).3.(3 r) 21
9 r 7
r 4 Raízes : { 1,3,7}
ou
r 4 Raízes : {7,3, 1}
Cálculo do valor de k:
k( 1).3 ( 1).7 3.7
1
k 11
Cálculo do logaritmo:
2 22 10
2 2 2 2log 3k 1 log (3.11 1) log 32 log 2 10
ALTERNATIVA B
13.14)
Reescrevendo a equação, temos:
x4 + 0x3 + mx2 + nx + p = 0
4
4
01 2 3 x
1
x 6
Pelas relações de Girardi obtemos m e p. Assim:
m1.2 1.3 1.( 6) 2.3 2.( 6) 3.( 6)
1
2 3 6 6 12 18 m
m 25
p1.2.3.( 6)
1
p 36
Logo, m + p = - 25 + (- 36) = - 61
ALTERNATIVA D
13.15)
Considerando as raízes sendo a, b, c que são as dimensões do paralelepípedo
retângulo e as relações de Girardi, calculamos:
Cálculo da Área Total:
2
S 2(ab ac bc)
31S 2
1
S 62cm
Cálculo do Volume:
3
V a.b.c
30V
1
V 30cm
ALTERNATIVA A
13.16)
10 10
10 10
10 10
10 10
10
1 1 1 c b alog log
ab ac bc abc
1 1 1 SOMAlog log
ab ac bc PRODUTO
301 1 1 2log log
3ab ac bc
2
1 1 1log log 10
ab ac bc
1 1 1log 1
ab ac bc
13.17)
Pela relação de Girardi, tenho que:
1 2
1 2
63x x
1
x x 63
Pensando em dois números inteiros e primos cuja soma é 63, encontramos
apenas:
1
2
x 2
x 61
Pela outra relação de Girardi concluímos:
1 2
kx .x
1
2.61 k
k 122
ALTERNATIVA D
13.18)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a bc ab c abc abc a b c
20 10a bc ab c abc
1 1
a bc ab c abc 200
ALTERNATIVA D
13.19)
Reescrevendo o polinômio, temos: P(x) = x3 – 3x2 + 0x + m
Raízes em P.A: {x – r, x , x + r}
3x r x x r
1
3x 3
x 1
Sabemos agora que P(1) = 0, então:
3 21 3.1 m 0
m 2
b)
Sabendo que uma das raízes é 1, temos que:
m(1 r).1.(1 r)
1
1 r2 2
r2 3
r 3 Raízes : 1 3 ,1, 1 3
ou
r 3 Raízes : 1 3 ,1, 1 3
13.20)
xRaízes : ,x,xq
q
Relações de Girardi:
2
x x 28x xq x xq
q q 1
1x 1 q 28
q
x 7x xq
q 1
1 1 7x 1 q 7 1 q
q q x
Substituindo na primeira relação temos:
2 7x 28
x
x 4
Calculando o valor de k:
3
3
x kx xq
q 1
x k
4 k
64 k
k 64
14.01)
As raízes são os pontos que o gráfico do polinômio intercepta o eixo x, assim,
as raízes são: -1, 1, 3
ALTERNATIVA D
14.02)
1 2 3P(x) k(x x )(x x )(x x )
P(x) k(x 1)(x 1)(x 3)
ALTERNATIVA A
14.03)
Se 2i é raiz, então o conjugado – 2i também é raiz, assim, a equação terá pelo
menos as raízes 3, 2i e -2i. O grau mínimo será 3.
ALTERNATIVA C
14.04)
A equação terá pelo menos as raízes:
1 2
3 4
5 6
7 8
x x 4 i
x x 4 i
x x 3i
x x 3i
8º Grau
ALTERNATIVA E
14.05)
O polinômio terá pelo menos as raízes:
1
2
3
x 1 3i
x 1 3i
x 5
Grau Mínimo = 3
ALTERNATIVA B
14.06)
Prováveis Raízes Racionais:
1 1 1PRR : 1, , ,
3 5 15
Nas alternativas, a única dessas que é citada é 1
3que substituímos para tirar a
prova:
3 21 1 1
15. 7. 7. 1 03 3 3
15 7 71 0
27 9 3
15 21 63 27 0
0 0
Comprovado!
ALTERNATIVA E
14.07)
Como é do quarto grau e duas raízes são imaginárias não conjugada uma da
outra, então, as outras duas raízes são as conjugadas das raízes dadas.
Assim:
1 + i e 2 – i
ALTERNATIVA E
14.08)
MÍNIMO = 4 RAÍZES
MÁXIMO = 7 RAÍZES
4 n 7
ALTERNATIVA B
14.09)
Como o termo independente é “0”, uma das outras raízes será “0”. Assim:
2x 3 0
x 3
Duas irracionais e uma racional.
ALTERNATIVA E
14.10)
a) VERDADEIRO – Raízes imaginárias são sempre em quantidade par.
b) FALSO – não procede
c) FALSO – não procede
d) FALSO – não procede
ALTERNATIVA A
14.11)
Raízes:
1
2
3
4
5
x 2 i
x 2 i
x 1 2i
x 1 2i
x
ALTERNATIVA C
14.12)
x2 – 2x + 2 = 0
x = 1 + i ou x = 1 – i
ALTERNATIVA B
14.13)
2
3 2 2
3 2
p(x) 1(x 1)(x 2)(x 3)
p(x) (x 3x 2)(x 3)
p(x) x 3x 3x 9x 2x 6
p(x) x 6x 11x 6
Usando Briott-Rufini, temos:
Quociente: x2 – 3x + 2
ALTERNATIVA B
14.14)
Se 2 + 3i é raiz, temos que 2 – 3i também é raiz.
Usando Relação de Girardi, temos:
3
3
2 3i 2 3i x 6
x 2
01 – FALSO
02 – FALSO
04 – VERDADEIRO
08 – VERDADEIRO
2
(2 3i).(2 3i).2 b
(4 9i ).2 b
b 26
SOMA = 12
14.15)
As raízes de p(x) são: -1, -2i, 2i.
2 2
2
3 2
p(x) 1.(x 1)(x 2i)(x 2i)
p(x) (x 1)(x 4i )
p(x) (x 1)(x 4)
p(x) x x 4x 4
SOMA DOS COEFICIENTES = 1 + 1 + 4 + 4 = 10
ALTERNATIVA B
14.16)
Temos: blog x 3
1P.A 3,b,x
3
P.A 1,b,x
Pela P.A, temos que:
1 xb
2
Pelo logaritmo, temos que: 3
blog x 3 x b
Logo:
3
2 3
3 2
1 xx
2
1 3x 3x xx
8
x 3x 5x 1 0
Usando Briott-Rufini, temos:
x2 + 4x – 1 = 0
x 2 5
Pelas condições de existência do logaritmo, temos que x 2 5 x 0,22 .
ALTERNATIVA A
14.17)
Área 2(ab ac bc)
Volume abc
72
Área 2
2Volume
2
Área7
Volume
ALTERNATIVA B
14.18)
Tendo que 1 2x .x 1 e utilizando as Relações de Girardi, podemos fazer:
1 2 3
3
3
1 2 3
1 2
1 2
1 2 1 3 2 3
3 1 2
4(x .x ).x
2
1.x 2
x 2
1x x x
2
1x x ( 2)
2
5x x
2
kx x x x x x
2
k1 x (x x )
2
5 k1 2
2 2
k 8
ALTERNATIVA A
14.19)
2x2 + 3x + 1 = 0
1x 1 ou x
2
Maior raiz real = 1
2
14.20)
Pela Relação de Girardi, temos:
3
3
1 1 x 3
x 5
Usando a forma fatorada, encontramos:
2
3 2 2
3 2
1(x 1)(x 1)(x 5) 0
(x 2x 1)(x 5) 0
x 5x 2x 10x x 5 0
x 3x 9x 5 0 p 9 e q 5