Exercices de Mathematiques

Racines n-ie`mes complexes (I)

Enonces

Enonces des exercices

Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]

Resoudre z7 =1

z2dans lC.

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]

Resoudre 27(z 1)6 + (z + 1)6 = 0 dans lC.

Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]

Resoudre lequation (E) (z 1)3 + (z 1)2(z + 1) + (z 1)(z + 1)2 + (z + 1)3 = 0.

Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]

Dans lC, resoudre lequation z8 =1 + i3 i .

Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]

Calculer les sommes

S = C 0n +C

4n +C

8n +

T = C 1n +C5n +C

9n +

U = C 2n +C6n +C

10n +

V = C 3n +C7n +C

11n +

Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net cEduKlub S.A.Tous droits de lauteur des uvres reserves. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultationindividuelle et privee sont interdites.

Exercices de Mathematiques

Racines n-ie`mes complexes (I)

Indications, resultats

Indications ou resultats

Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]

Les solutions sont les racines cinquie`mes de lunite.

Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]

On est amene a` chercher les racines sixie`mes uk de 27.Les solutions sont les zk =

uk1uk+1

. On trouve :

z0 = 2 + i3, z1 =

12 +

12 i3, z2 =

27 +

17 i3, z3 =

27 +

17 i3, z4 =

12 +

12 i3, z5 = 2 + i

3

Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]

Remarquer que lequation equivaut a` (z 1)4 = (z + 1)4.On trouve trois solutions : z1 = i, z2 = 0, z3 = i.

Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]

Utiliser la forme trigonometrique du second membre.

Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]

Developper (1 + x)n, avec x = 1, x = i, x = 1 et x = i.Resoudre, par combinaisons lineaires, le syste`me dont S, T, U, V sont solutions.

Page 2 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net cEduKlub S.A.Tous droits de lauteur des uvres reserves. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultationindividuelle et privee sont interdites.

Exercices de Mathematiques

Racines n-ie`mes complexes (I)

Corriges

Corriges des exercices

Corrige de lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]

En prenant les modules, il vient |z| = 1. Lequation devient z7z2 = 1 donc z5 = 1.Les solutions sont les racines cinquie`mes de lunite : zk = exp

2ikpi5 avec 0 k 4.

Corrige de lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]

Lequation, qui ne posse`de pas la solution z = 1, secrit :(z+1z1

)6= 27 = 27eipi.

Les racines sixie`mes de 27eipi sont les uk =3 exp

(ipi6 +

ikpi3

)avec 0 k 5.

Lequation initiale est donc equivalente a` : z+1z1 = uk, avec 0 k 5.Mais z+1z1 = uk z =

uk1uk+1

(les uk sont tous distincts de 1).On trouve successivement :

u0 =32 +

12 i3 u1 = i

3 u2 = 32 +

12 i3

u3 = 32 12 i3 u4 = 32

12 i3 u5 =

32

12 i3

Ensuite, si uk = xk + iyk, on a :uk 1uk + 1

=(uk 1)(uk + 1)

|uk + 1|2=

2 2iyk4 2xk =

1

2 xk (1 iyk).

Voici finalement les six solutions de lequation initiale :

z0 = 2 + i3 z1 =

12 +

12 i3 z2 =

27 +

17 i3

z3 =27 +

17 i3 z4 =

12 +

12 i3 z5 = 2 + i

3

Corrige de lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]

On sait que pour tous a, b lC, on a la factorisation a4 b4 = (a b)(a3 + a2b+ ab2 + b3).Si on multiplie (E) par (z + 1) (z 1) (donc par 2), on obtient une equation equivalente.

(E) (z 1)4 (z + 1)4 = 0(z 1z + 1

)4= 1 z 1

z + 1= {1, i,1,i}.

Legalitez 1z + 1

= 1 ne donne aucune solution z. Sinonz 1z + 1

= z = 1 + 1 .

On trouve trois solutions : z1 =1 + i

1 i = i, z2 = 0, z3 =1 i1 + i

= i

Page 3 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net cEduKlub S.A.Tous droits de lauteur des uvres reserves. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultationindividuelle et privee sont interdites.

Exercices de Mathematiques

Racines n-ie`mes complexes (I)

Corriges

Corrige de lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]

On a 1 + i =2 exp ipi4 et

3 i = 2 exp ipi6 .

Donc = 1+i3i =

12exp 5ipi12 .

On doit donc trouver les racines huitie`mes de .

Les solutions sont les zk = 21/16 exp

(5ipi96 +

ikpi4

), avec k {0, . . . , 7}.

Corrige de lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]

On utilise le binome pour developper (1 + x)n, avec x = 1, x = i, x = 1 et x = i.On obtient successivement :

(1 + 1)n = C 0n +C1n +C

2n +C

3n +C

4n +C

5n + = S + T + U + V

(1 + i)n = C 0n + iC1n C 2n iC 3n +C 4n + iC 5n + = S + iT U iV

(1 1)n = C 0n C 1n +C 2n C 3n +C 4n C 5n + = S T + U V(1 i)n = C 0n iC 1n C 2n + iC 3n +C 4n iC 5n + = S iT U + iV

Ainsi S, T, U, V sont solutions du syste`me :

S + T + U + V = 2n : (1)

S + iT U iV = (1 + i)n : (2)S T + U V = 0 : (3)S iT U + iV = (1 + i)n

En effectuant (1) + (2) + (3) + (4), on trouve :

S =2n+(1+i)n+(1i)n

4 =2n+2Re ((1+i)n)

4 =2n+2

2ncosnpi4

4

En effectuant (1) i(2) (3) + i(4), on trouve :

T =2ni(1+i)n+i(1i)n

4 =2n2Re (i(1+i)n)

4 =2n+2

2nsinnpi4

4

En effectuant (1) (2) + (3) (4), on trouve :

T =2n(1+i)n(1i)n

4 =2n2Re ((1+i)n)

4 =2n22n cosnpi4

4

En effectuant (1) + i(2) (3) i(4), on trouve :

T =2n+i(1+i)ni(1i)n

4 =2n+2Re (i(1+i)n)

4 =2n22n sinnpi4

4

Page 4 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net cEduKlub S.A.Tous droits de lauteur des uvres reserves. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultationindividuelle et privee sont interdites.