Objetivos
• Utilizar símbolos da lógica proposicional;
• Encontrar o valor lógico de uma expressão em lógicaproposicional;
• Construir demonstrações formais em lógicaproposicional;
• Usar símbolos formais da lógica predicada;
• Construir demonstração formais;
• [Talvez] Conhecer a linguagem de programaçãoProlog;
Lógica na MTD Discreta?
• Resolver problemas que envolvam raciocínio lógico;
• Construir, questionar, compreender e criticarargumentos;
• Reconhecer e trabalhar com símbolos formais que sãoutilizados na lógica proposicional;
• Usar a lógica proposicional para representar e avaliarargumentos;
• Construir demonstrações formais nas lógicasproposicionais e usá-las para determinar a validade deum argumento;
• Executar diversas técnicas de demonstração;
Conteúdo
• Proposições;
• Valores lógicos;
• Conectivos;
• Tabelas-verdade;
• Tautologias, Contradições e Contingências;
• Lógica proposicional;
• Predicados;
• Talvez: Programação Lógica.
Proposições
• Em lógica, proposições são sentençasdeclarativas com valores comprovadamente eindiscutivelmente: verdadeiro ou falso;
– Nenhum outro possível valor!
• Proposições também são chamadas dedeclarações por diferentes autores oucontextos.
Proposições
• As seguintes sentenças são proposições:
1. Dez é menor do que sete.• Matematicamente comprovado ser Falso.
2. Existe vida em outros planetas do universo.• Por enquanto, não sabemos a resposta, mas
conhecemos meios viáveis a longo prazo que nos darãoestá resposta.
3. Um triângulo tem três lados.• Verdadeiro.
4. Madrid é a capital da Espanha.• Verdadeiro
Proposições
• As seguintes sentenças não são proposições:
1. Como está você?• Isto não contém uma declaração com significado V ou F.
2. Ela é muito talentosa.• Apesar de ser uma frase declarativa, faltam
informações sobre quem é “ela” para constatar V ou F.
3. Brócolis é saboroso.• Isto não é nem verdade e nem falso absoluto, é uma
questão de opinião, por tanto, não é uma proposiçãoválida.
Proposições
• Algumas sentenças são, ainda, dignas de muitodebate filosófico:
1. Fantasmas existem.• Alguns filósofos defendem que é uma proposição, mas
que é definitivamente falsa, pois não há provas contrárias;
• Outros defendem que a sentença nem se quer é umaproposição, mas sim parte de crendices ou folclores, daimaginação e, por tanto, impossível de ser verificada.
Negação de uma Proposição
• Qualquer proposição existente pode ser negada;
• Em escrita ou fala, utilizamos a partícula negativa“não”;
• Ex. de Proposição:
– 𝑃 : “Está chovendo agora”.
• Ex. de Proposição Negada:– 𝑃, ¬𝑃, ~𝑃 ou 𝑃′ : “Não está chovendo agora”.
• Ao aplicar a negação, o valor lógico da proposição seráinvertido:
P ¬P ¬¬P
V F V
F V F
Conectivos Lógicos
• Ao falar ou escrever, combinamos frases simples por meiode conectivos lógicos;
• Estas combinações formam sentenças compostas queenriquecem as informações trocadas;
• As informações como um todo, dependem de umacombinação dos valores lógicos das proposições e seusconectivos;
• Na Lógica Formal, chamaremos estas sentenças compostasde: Sistema Formal. Outros nomes utilizados são:– Fórmulas Proposicionais;– Fórmulas Bem Formuladas: FBFs.
Conectivos Lógicos
• Exemplos:1. Fulano foi até a loja de esportes e foi até a casa de sua avó.
2. Fulano foi até a loja de esportes ou foi até a casa de sua avó.
3. Fulano ou foi até a loja de esportes, ou foi até a casa de sua avó.
• Há duas proposições:A. Fulano foi até a loja de esportes;
B. Fulano foi até a casa de sua avó.
• Quais são as interpretações possíveis para os trêsexemplos?
Conectivos Lógicos
• Conectivo lógico E:– Também conhecido como conjunção;
– Representado na lógica proposicional pelo símbolo ˄ ou .
– Presume que ambas as proposições conectadas devem serverdadeiras.
– Exemplo: A ^ B
• Lê-se “A e B”
• Lê-se “Fulano foi até a loja de esportes e foi até a casa desua avó.”
Conectivos Lógicos
• Conectivo lógico E:– Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é
necessária a construção da tabela-verdade;
– A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicosde cada proposição do sistema;
– Tabela-verdade E:
A B A ^ B
V V V
F V F
V F F
F F F
Conectivos Lógicos
• Conectivo lógico OU:– Também conhecido como disjunção;
– Representado na lógica proposicional pelo símbolo ˅ ou +
– Presume que ao menos uma proposição conectada deve serverdadeira.
– Exemplo: A ˅ B
• Lê-se “A ou B”
• Lê-se “Fulano foi até a loja de esportes ou foi até a casade sua avó.”
Conectivos Lógicos
• Conectivo lógico OU:– Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é
necessária a construção da tabela-verdade;
– A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicosde cada proposição do sistema;
– Tabela-verdade OU:
A B A ˅ B
V V V
F V V
V F V
F F F
Conectivos Lógicos
• Conectivo lógico OU Exclusivo:– Também conhecido como disjunção exclusiva;
– Representado na lógica proposicional pelo símbolo ˅ ou ⊕
– Presume que somente uma proposição conectada deve serverdadeira.
– Exemplo: A ˅ B
• Lê-se “A ou exclusivo B”
• Lê-se “Ou Fulano foi até a loja de esportes ou foi até acasa de sua avó.”
Conectivos Lógicos
• Conectivo lógico OU Exclusivo:– Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é
necessária a construção da tabela-verdade;
– A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicosde cada proposição do sistema;
– Tabela-verdade OU Exclusivo:
A B A ˅ B
V V F
F V V
V F V
F F F
Exercícios do livro
• Parte A - Lista de questões do livro.
• GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência daComputação - um tratamento moderno de matemática discreta -5 ed. Rio de Janeiro, LTC – 2013.
Precedência dos Operadores
• Para construir uma tabela-verdade, será necessárioresolver todas as possíveis combinações de valoreslógicos das proposições existentes;
• A resolução de um sistema formal deve seguir umaordem, assim como acontece nas equaçõesmatemáticas:
1. (), {}
2. ¬
3. ˅, ^, ˅
Tabelas-Verdade
Assumindo o seguinte:
• “Hoje irá chover ou nevar e não iremos caminhar”.
A. Hoje irá chover;
B. Hoje irá nevar;
C. Hoje iremos caminhar;
– (𝑨˅B)^¬C
Tabelas-Verdade
• Sistema Lógico: (𝐴˅B)^¬C
– Arranjo de valores entre proposições A – B:A B
V V
F V
V F
F F
Tabelas-Verdade
• Sistema Lógico: (𝐴˅B)^¬C
– Arranjo de proposições incluindo C:A B C
V V V
F V V
V F V
F F V
V V F
F V F
V F F
F F F
Tabelas-Verdade
• Sistema Lógico: (𝐴˅B)^¬C
– Inclusão da primeira parte do sistema:A B C (AvB)
V V V V
F V V V
V F V V
F F V F
V V F V
F V F V
V F F V
F F F F
Tabelas-Verdade
• Sistema Lógico: (𝐴˅B)^¬C
– Inclusão da segunda parte do sistema:A B C (AvB) ¬C
V V V V F
F V V V F
V F V V F
F F V F F
V V F V V
F V F V V
V F F V V
F F F F V
Tabelas-Verdade
• Sistema Lógico: (𝐴˅B)^¬C
– Solução final do sistema:A B C (AvB) ¬C (𝐴˅B)^¬C
V V V V F F
F V V V F F
V F V V F F
F F V F F F
V V F V V V
F V F V V V
V F F V V V
F F F F V F
Conectivos Lógicos
• Exemplos:1. Se Fulano foi até a loja de esportes então foi até a casa de sua avó.
2. Fulano foi até a loja de esportes se e somente se foi até a casa desua avó.
• Há duas proposições:A. Fulano foi até a loja de esportes;
B. Fulano foi até a casa de sua avó.
• Quais são as interpretações possíveis para os doisexemplos?
Conectivos Lógicos
• Conectivo lógico Se ... Então ...:– Também conhecido como implicação ou condicional;
– Representado na lógica proposicional pelo símbolo →
– Assume a existência de uma proposição antecedente e umaconsequente;
– Sempre que a proposição antecedente for verdadeira, há aimplicação da consequente também ser verdadeira
– Exemplo: A → B
• Lê-se “A implica em B”
• Lê-se “Se Fulano foi até a loja de esportes, então Fulanofoi até a casa de sua avó.”
Conectivos Lógicos
• Conectivo lógico Se ... Então ...:– Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é
necessária a construção da tabela-verdade;
– A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicosde cada proposição do sistema;
– Tabela-verdade Implicação:
A B A → B
V V V
F V V
V F F
F F V
Atividade Prática
• Escreva o antecedente e o consequente de cada uma dassentenças a seguir: (sugestão: reescreva as sentenças colocando-as na forma se/então):
1. Se a chuva continuar, então o rio vai transbordar.
2. Uma condição suficiente para a falha de uma rede elétrica é que achave central desligue.
3. Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios.
4. Uma boa dieta é uma condição necessária para uma saúdesaudável.
Conectivos Lógicos
• Agora imagine um cenário onde há uma “implicação dupla”.
• Neste caso, ambas proposições dependeriam uma da outramutuamente;
• Construa a tabela-verdade para:
(𝐴 → 𝐵)^(𝐵 → 𝐴)
A B
V V
F V
V F
F F
Conectivos Lógicos
• Agora imagine um cenário onde há uma “implicação dupla”.
• Neste caso, ambas proposições dependeriam uma da outramutuamente;
• Construa a tabela-verdade para:
(𝐴 → 𝐵)^(𝐵 → 𝐴)
A B A→B B→A
V V V V
F V V F
V F F V
F F V V
Conectivos Lógicos
• Agora imagine um cenário onde há uma “implicação dupla”.
• Neste caso, ambas proposições dependeriam uma da outramutuamente;
• Construa a tabela-verdade para:
(𝐴 → 𝐵)^(𝐵 → 𝐴)
A B A→B B→A (A→B)^(B→A)
V V V V V
F V V F F
V F F V F
F F V V V
Conectivos Lógicos
• Conectivo lógico se e somente se:– Também conhecido como bi-implicação (bicondicional ou
equivalência);
– Representado na lógica proposicional pelo símbolo ↔
– Assume que ambas proposições devem ter valores iguais;
– Exemplo: A ↔ B
• Lê-se “A se e somente se B”
• Lê-se “Fulano foi até a loja de esportes se e somente sefoi até a casa de sua avó.”
Conectivos Lógicos
• Conectivo lógico ... se e somente se ...:– Para determinar se o Sistema Formal é verdadeiro, é
necessária a construção da tabela-verdade;
– A tabela-verdade é um arranjo dos possíveis valores lógicosde cada proposição do sistema;
– Tabela-verdade Bi-implicação:
A B A ↔ B
V V V
F V F
V F F
F F V
Atividade Prática
• Utilizando apenas os operadores/conectivos lógicos:– E, OU, Não;
• Construa sistemas lógicos equivalentes aos seguintesconectivos:1. Ou exclusivo;
2. Se ... Então ...
3. Se e somente se
Precedência dos Operadores
• Para construir uma tabela-verdade, será necessário resolvertodas as possíveis combinações de valores lógicos dasproposições existentes;
• A resolução de um sistema formal deve seguir uma ordem,assim como acontece nas equações matemáticas:
1. (), {}
2. ¬
3. ˅, ^, ˅
4. →
5. ↔
Precedência dos Operadores
1. (), {}
2. ¬
3. ˅, ^, ˅
4. →
5. ↔
Equação Original Certo Errado
¬A v B (¬A) v B ¬(A v B)
A v B → C (A v B) → C A v (B → C)
A ^ B → C ↔ D ((A ^ B) → C) ↔ D A ^ (B → (C ↔ D))
Expressões em PortuguêsPortuguês Conectivo Lógico Expressão Lógica
Não A.É falso que A...Não é verdade que A...
Negação ¬A
E; mas; também; além disso Conjunção A ^ B
Ou Disjunção A v B
Ou A, Ou B.Disjunção exclusiva
A v B
Se A, então B.A implica B.A, logo B.A só se B; A somente se B.B segue AA é uma condição suficiente para B; basta A para B.B é uma condição necessária para A.
Condicional A → B
A se e somente se B.A é condição necessária e suficiente para B.
Bicondicional A ↔ B
Negações corretas e incorretas
Proposições Correta Incorreta
Vai chover amanhã.É falso que vá chover amanhã.
Não vai chover amanhã
Pedro é alto e magro.É falso que Pedro seja alto e magro.
Pedro não é alto ou não é magro.Pedro é baixo ou gordo.
Pedro é baixo e gordo.(Pode ser que Pedro não tenha
apenas 1 das propriedades)
O rio é raso ou está poluído.É falso que o rio seja raso ou esteja poluído.
O rio não é raso nem está poluído.O rio é fundo e não está poluído.
O rio não é raso ou não está poluído.(Ambas devem ser falsas!)
Atividade Prática
• Sendo A:
– Júlia gosta de manteiga mas detesta creme.
• Qual das alternativas representa ¬A?
1. Júlia detesta manteiga e creme.
2. Júlia não gosta de manteiga nem de creme.
3. Júlia não gosta de manteiga mas adora creme.
4. Júlia odeia manteiga ou gosta de creme.
Tautologia
• É dita tautológico todo sistema lógico cuja tabela-verdade resultaapenas em valores Verdadeiros:
– A ^ B ↔ B ^ A: (comutatividade)
A B A ^ B B ^ A ↔
V V V V V
F V F F V
V F F F V
F F F F V
Tautologia
• É dita tautológico todo sistema lógico cuja tabela-verdade resultaapenas em valores Verdadeiros:
– (A ^ B) ^ C ↔ A ^ (B ^ C): (associatividade)
A B C A ^ B B ^ C ^ C A ^ ↔
V V V V V V V V
F V V F V F F V
V F V F F F F V
F F V F F F F V
V V F V F F F V
F V F F F F F V
V F F F F F F V
F F F F F F F V
Tautologia
• É dita tautológico todo sistema lógico cuja tabela-verdade resultaapenas em valores Verdadeiros:
– A ^ (B v C) ↔ (A ^ B) v (A ^ C): (distributividade)
A B C A ^ B B v C A ^ C A ^ ) v ( ↔
V V V V V V V V V
F V V F V F F F V
V F V F V V V V V
F F V F V F F F V
V V F V V F V V V
F V F F V F F F V
V F F F F F F F V
F F F F F F F F V
Contradição
• É dita contradição todo sistema lógico cuja tabela-verdade resultaapenas em valores Falsos:
– A ^ ¬A
A ¬A A ^ ¬A
V F F
F V F
Contradição
• É dita contradição todo sistema lógico cuja tabela-verdade resultaapenas em valores Falsos:
– (A → B) ^ (A ^ ¬B)
A B A → B A ^ ¬B (A → B) ^ (A ^ ¬B)
V V V F F
F V V F F
V F F V F
F F V F F
Contingências
• Todo e qualquer sistema lógico que não seja Tautologiae Contradição, será considerado contingência.
Questões Poscomp (1/2)
• Poscomp[2013, q11]: Considere as sentenças aseguir:– P: Pedro faz as tarefas todos os dias.– Q: Pedro terá boas notas no final do ano. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a
tradução em linguagem simbólica da negação dasentença composta a seguir:
“Se Pedro faz as tarefas todos os dias, então Pedro teráboas notas no final do ano.”
1. P → Q2. P ↔ Q3. P ^ ~Q4. ~P ^ ~Q5. ~P ^ Q
Questões Poscomp (2/2)
• Poscomp[2013, q13]: Admita que um novo conectivo binário,rotulado pelo símbolo ↕, seja definido pela tabela-verdade aolado. Com base nessa definição e nas operações usuais com osconectivos v, ^ e ~, considere as afirmativas a seguir.
I. P ↕ Q é equivalente a Q ↕ P.
II. (P ↕ Q) v (Q ↕ P) não é uma contingência.
III. (Q ↕ P) ^ (P ↕ Q) é uma contradição.
IV. ~[(Q ↕ P) ^ (P ↕ Q)] é uma tautologia.
• Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e II são corretas.
b) Somente as afirmativas I e IV são corretas.
c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.
d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.
e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.
P Q P ↕ Q
V V F
V F V
F V F
F F F
Exercícios do livro
• Parte B – Lista de questões do livro.
• GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência daComputação - um tratamento moderno de matemática discreta -5 ed. Rio de Janeiro, LTC – 2013.
Validade de Argumentos
• A argumentação de um advogado é válida?
– “Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria nagaveta. A faca não estava na gaveta ou JasonPritchard viu a faca. Se a faca não estava lá no dia10 de outubro, segue que Jason Pritchard não viu afaca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 deoutubro, então a faca estava na gaveta e o marteloestava no celeiro. Mas todos sabemos que omartelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras esenhores do Júri, meu cliente é inocente.”
Outras equivalências
• A ^ F F
• A^ V A
• A ^ ¬A F
• A ^ A A
• B v F B
• B v V V
• B v ¬B V
• B v B B
• A v (B ^ C) (A v B) ^ (A v C)
• A v B (A ^ ¬B) v (¬A ^ B)
• A → B ¬(A ^ ¬B) ¬A v B
• A ↔ B (A ^ B) v (¬A ^ ¬B)
Leis de De Morgan
• O matemático inglês Augusto De Morgan (1806 – 1871) foi o primeiro aenunciar algumas equivalências lógicas (e de conjuntos). Estasequivalências convertem operações lógicas E em OU e vice-versa e sãoamplamente utilizadas na construção de sistemas lógicos:
– ¬(A v B) ¬A ^ ¬B
– ¬(A ^ B) ¬A v ¬B
Leis de De Morgan
• Na prática, não importa o número de proposições. Ex.:
– ¬(A v B v C v D) ¬A ^ ¬B ^ ¬C ^ ¬D
– ¬(A ^ B ^ C ^ D ^ E) ¬A v ¬B v ¬C v ¬D v ¬E
Substituições e Deduções
• As substituições e as deduções lógicas sãoutilizadas para a verificação da validade emargumentos lógicos:
– Através do Cálculo Proposicional!
• Ver as tabelas de equivalência e de inferência.– Modus ponens: modus ponendo ponens - em Latim significa
“a maneira que afirma afirmando”.
– Modus tollens: em Latim significa “modo que nega”.
Validade de Argumentos
• Alguns argumentos lógicos precisam ser interpretados para teremsuas validades lógicas verificadas;
• Nem sempre é possível constatar a validade de uma argumentode maneira objetiva, às vezes é necessário aplicar algumassubstituições, ou realizar um cálculo proposicional;
• Um argumento pode ser representado em forma simbólica como:
– 𝑃1^𝑃2^𝑃3^⋯^𝑃𝑛 → 𝑄
• Neste caso: 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 são proposições dadas, chamadas dehipóteses do argumento, enquanto 𝑄 é a conclusão doargumento.
Ex. 1: Validade de Argumentos
• Argumento: P1 ^ P2 → Q– P1: “Se está chovendo, então há nuvens.”
– P2: “Está chovendo.”
– Q: “Há nuvens.”
• Proposições:– A: Está chovendo.
– B: Há nuvens
• Dedução/validação:– P1: A → B
– P2: A
– Q: B
Válido?
Argumentos fortes!
Ex. 1: Validade de Argumentos
• Iniciamos pelas hipóteses, assumindo-as comoverdadeiras:1. A → B (V)
2. A (V)
• Agora iniciamos um processo de verificação da lógica. Geralmenteiniciamos a análise pela hipótese mais simples. A hipótese 2 nos diz queA deve ser V. Sabendo que A é V, podemos verificar quais os possíveisvalores para B que garantam que a hipótese 1 seja V. Para isto,consultaremos a tabela verdade da implicação:
A B A → B
V V V
F V V
V F F
F F V
Ex. 1: Validade de Argumentos
• Neste caso, tínhamos duas opções:– Analisar toda a tabela verdade da implicação; ou
– Aplicar alguma regra de inferência ou equivalência que nosindicasse a resposta.
• A primeira regra de inferência da tabela entregue:“Modus Ponens” diz: “sempre que o antecedente emuma implicação for verdadeiro, seu consequentetambém deverá ser verdadeiro”.
• Portanto, A sendo verdade, resta a B apenas serverdade. Logo, nossa conclusão é B!– Desta forma o argumento é válido!
Ex. 1: Validade de Argumentos
• Argumento original:
– P1: A → B
– P2: A
– Q: B
• Validade?
1. A → B (hip, V)
2. A (hip, V)
3. B (mp, 1 ,2)Foi possível chegar à mesma conclusão
O argumento é válido!
Ex. 2: Validade de Argumentos
• Argumento: P1 ^ P2 → Q– P1: “Se está chovendo, então há nuvens.”
– P2: “Não há nuvens.”
– Q: “Não está chovendo.”
• Proposições:– A: Está chovendo.
– B: Há nuvens
• Dedução/validação:– P1: A → B
– P2: ¬B
– Q: ¬A
Válido?
Ex. 2: Validade de Argumentos
• Iniciamos pelas hipóteses, assumindo-as comoverdadeiras:1. A → B (V)
2. ¬B (V)
• Agora iniciamos um processo de verificação da lógica. Geralmenteiniciamos a análise pela hipótese mais simples. A hipótese 2 nos diz queB deve ser F. Sabendo que B é F, podemos verificar quais os possíveisvalores para A que garantam que a hipótese 1 seja V. Para isto,consultaremos a tabela verdade da implicação:
A B A → B
V V V
F V V
V F F
F F V
Ex. 2: Validade de Argumentos
• Neste caso, tínhamos duas opções:– Analisar toda a tabela verdade da implicação; ou
– Aplicar alguma regra de inferência ou equivalência que nosindicasse a resposta.
• A segunda regra de inferência da tabela entregue:“Modus Tollens” diz: “sempre que o consequente emuma implicação for falso, seu subsequente tambémdeverá ser falso”.
• Portanto, B sendo falso, resta a A apenas ser falso.Logo, nossa conclusão é ¬A!– Desta forma o argumento é válido!
Ex. 2: Validade de Argumentos
• Argumento original:
– P1: A → B
– P2: ¬B
– Q: ¬A
• Validade?
1. A → B (hip, V)
2. ¬B (hip, V)
3. ¬A (mt, 1 ,2)Foi possível chegar à mesma conclusão
O argumento é válido!
Ex. 3: Validade de Argumentos
• Argumento: P1 ^ P2 → Q– P1: “Se está chovendo, então há nuvens.”
– P2: “Há nuvens.”
– Q: “Está chovendo.”
• Proposições:– A: Está chovendo.
– B: Há nuvens
• Dedução/validação:– P1: A → B
– P2: B
– Q: A
Válido?
Ex. 3: Validade de Argumentos
• Iniciamos pelas hipóteses, assumindo-as comoverdadeiras:1. A → B (V)
2. B (V)
• Agora iniciamos um processo de verificação da lógica. Geralmenteiniciamos a análise pela hipótese mais simples. A hipótese 2 nos diz queB deve ser V. Sabendo que B é V, podemos verificar quais os possíveisvalores para A que garantam que a hipótese 1 seja V. Para isto,consultaremos a tabela verdade da implicação:
A B A → B
V V V
F V V
V F F
F F V
Ex. 3: Validade de Argumentos
• Neste caso, tínhamos duas opções:– Analisar toda a tabela verdade da implicação; ou
– Aplicar alguma regra de inferência ou equivalência que nosindicasse a resposta.
• Não encontramos uma regra de inferência ousubstituição que possa nos resultar em um único valorlógico aceitável para A. Na prática, A pode ser tanto Vquanto F, não há garantias lógicas para apenas umresultado.
• Portanto, B sendo verdadeiro, A não tem um únicovalor definido. Logo, nossa conclusão ¬A v A!– Desta forma o argumento é inválido!
Ex. 3: Validade de Argumentos
• Argumento original:
– P1: A → B
– P2: B
– Q: A
• Validade?
1. A → B (hip, V)
2. B (hip, V)
3. A v ¬A (tab. verd., 1 ,2)Não foi possível chegar à mesma conclusão
O argumento é inválido!
Ex. 4: Validade de Argumentos
• (¬A v B) ^ (B → C) → (A → C)
1. ¬A v B (hip)
2. B → C (hip)
3. A (hip da conclusão)
4. B (1, 3, silogismo disjuntivo)
5. C (2, 4, modus ponens)
Ex. 5: Validade de Argumentos
• A argumentação de um advogado:
– “Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria nagaveta. A faca não estava na gaveta ou JasonPritchard viu a faca. Se a faca não estava lá no dia10 de outubro, segue que Jason Pritchard não viu afaca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 deoutubro, então a faca estava na gaveta e o marteloestava no celeiro. Mas todos sabemos que omartelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras esenhores do Júri, meu cliente é inocente.”
Ex. 5: Validade de Argumentos
• Proposições:A. O cliente é inocente.
B. A faca estava na gaveta.
C. Jason viu a faca.
D. A faca estava lá no dia 10 de outubro.
E. O martelo estava no celeiro.
• Equação:(¬A -> B) ^ (¬B v C) ^ (¬D -> ¬C) ^ [D -> (B ^ E)] ^ ¬E -> A
Ex. 5: Validade de Argumentos
(¬A -> B) ^ (¬B v C) ^ (¬D -> ¬C) ^ [D -> (B ^ E)] ^ ¬E -> A
• Prova:1. ¬A → B (hip)
2. ¬ B v C (hip)
3. ¬ D → ¬ C (hip)
4. D → (B ^ E) (hip)
5. ¬E (hip)
6. ¬E v ¬B (5, adição)
7. ¬(E ^ B) (6, De Morgan)
8. ¬(B ^ E) (7, comutatividade)
9. ¬ D (4, 8, modus tollens)
10. ¬ C (3, 9, modus ponens)
11. ¬ B (2, 10, silogismo disjuntivo)
12. ¬ ¬ A (1, 11, modus tollens)
13. A (12, dupla negação)